versión electrónica issn: 2448-8089 · 2017-11-15 · proceso de resolución de problemas, la...

Contenido

ARTÍCULOS DE INVESTIGACIÓN

Un estudio sobre el promedio: concepciones y dificultadesen dos niveles educativosSimón Mochón y María Margarita Tlachy Anell 5

Problemas aritméticos. Articulación, significados y procedimientosde resoluciónMarie-Lise Peltier 29

Capacidad espacial y educación matemática: tres problemaspara el futuro de la investigaciónModesto Arrieta 57

Opinión de los estudiantes de QFB sobre la importanciade las matemáticas en su formación profesionalJosé Luis Pinedo Vega, Armilde Rivera Huizary Analeni Presbítero Perales 77

Cualidades psicométricas de una prueba de competencia imaginativaMaría Virginia Rapetti e Hilda Difabio de Anglat 91

Rol que le asignan los docentes a los ejercicios y problemasen las clases de aritmética. Un trabajo exploratorioVirginia Montoro, Martha Ferrero y Cristina Ferraris 109

NOTAS DE CLASE

Un estudio gráfico y numérico del cálculo de la integral definidautilizando el Programa de Cálculo Simbólico (PCS) DERIVE

Matías Camacho Machín y Ramón Depool Rivero 119

Ejemplos del uso de la hoja de cálculo como herramienta didácticaCristianne Butto Zarzar, Joaquín Delgado y Jerónimo Zamora 141

EDUCACIÓN MATEMÁTICA, vol. 15, núm. 3, diciembre de 2003 1

Versión electrónica ISSN: 2448-8089

Dirección editorial: Antonio Moreno PaniaguaEditora responsable: Guillermina Waldegg CasanovaCuidado editorial: Susana Moreno ParadaCorrección de estilo: Ofelia Arruti HernándezDiagramación: Moisés Arroyo HernándezFotomecánica electrónica: Gabriel Miranda Barrón

La presentación y disposición en conjunto y de cada pági-na de la publicación periódica EDUCACIÓN MATEMÁTICA sonpropiedad del editor. Queda estrictamente prohibida la re-producción parcial o total de esta obra por cualquier for-ma o medio, incluso el electrónico, sin autorización escritadel editor.

Certificado de reserva de derechos al uso exclusivo:04-2002-111517075100-102

Certificado de licitud de contenido: 10070Certificado de licitud de título: 12499

Fecha de edición: diciembre de 2003.

Miembro de la Cámara Nacionalde la Industria Editorial Mexicana.

Impreso en México/Printed in Mexico.

2 EDUCACIÓN MATEMÁTICA, vol. 15, núm. 3, diciembre de 2003

RESEÑAS

DE LIBROS

Matemática insólita. Paradojas y paralogismos, de Bryan H. BunchReseñado por Santiago Valiente 161

Leer y escribir en la escuela: lo real, lo posible y lo necesario,de Delia LernerReseñado por David Block Sevilla 169

La comprensión del cerebro. Hacia una nueva cienciadel aprendizaje, OCDE

Reseñado por Guillermina Waldegg 175

Notas y noticias 179

Árbitros 2002-2003 183

Política editorial 189


Editorial

En los últimos años, se amplió la base de quienes se dedican a la Educación Ma-temática y se han incrementado las aportaciones en este campo. Sin duda, a me-dida que han avanzado las investigaciones y hallazgos, se ha logrado configuraruna corriente de pensamiento que reconoce mayor complejidad en los problemasde esta área y que cada vez es más pertinente en el tratamiento de los proble-mas educativos. Esta perspectiva ha rebasado tendencias apoyadas exclusivamenteen la pericia con los contenidos disciplinarios. La obviedad de afirmaciones como:“Para enseñar matemáticas, solamente basta saber matemáticas”, verdad de pero-grullo, ha dejado de ser “la solución” a los problemas de la educación matemática.

Las áreas de acción para la investigación en educación matemática se han in-crementado horizontal y verticalmente. En efecto, en un sentido horizontal, sehan incorporado nuevas temáticas o se les ha prestado mayor atención a temaspoco trabajados; en un sentido vertical, se han logrado mayores niveles de pro-fundización en estudios recientes. Muestra de ello es el número que el lector tie-ne entre manos.

Al leer los artículos incluidos se encontrarán aportaciones interesantes, tantopor la temática abordada como por el enfoque metodológico. Además, encontra-mos en los artículos informaciones o conjeturas que motivarán indagaciones oestudios acuciosos de varios aspectos de la educación matemática.

Por ejemplo, el informe elaborado a partir de las concepciones sobre el prome-dio arroja datos interesantes e inquietantes, como aquellos sobre el mejor desem-peño en estudiantes de secundaria que el de estudiantes de niveles superiores.

Otro tema sin duda atrayente es el que se refiere al papel del “sentido” en elproceso de resolución de problemas, la atención a los significados que se elabo-ran en el proceso de resolución de problemas, el cual invita a explorar con mayorprofundidad un aspecto no trabajado suficientemente por atender a las estrate-gias o a las herramientas conceptuales que se emplean en dichos procesos.

La relación establecida entre “capacidad espacial” y diversos aspectos de lageometría resulta pertinente por el aspecto formativo de esta rama de la matemá-tica muy descuidada en la enseñanza de los niveles medios, carencia no superadaque participa en el deterioro de la visualización matemática en los estudiantes.

El artículo anterior sirve de marco para ampliar la discusión sobre la imagina-ción espacial que se desarrolla en otra de las aportaciones incluidas, la medición

Editorial


de habilidades de imaginación espacial traducidas a ítems de un test resulta deinterés no sólo para el investigador, sino también para el maestro que siemprese ocupa de encontrar formas de enseñanza novedosas o que incluyan aspectosque se han pasado por alto.

Los aspectos geométricos se llevan más lejos al abordar la problemática de cua-dratura de curvas y la forma de manejar estas situaciones a partir del uso de soft-ware que permite ampliar la visualización y ensayar ampliamente las intuicionesque se logran en el trabajo de casos específicos en clase.

Los maestros y los estudiantes son también incorporados en la discusión so-bre la pertinencia de una formación matemática o el manejo de estrategias parala enseñanza apoyadas en ejercicios o problemas.

En fin, temas múltiples y sugerentes que invitan a conocer más de diversosaspectos y nos hacen constar una vez más que la educación matemática, ade-más de estar en la búsqueda de un estatus en las disciplinas científicas, se havuelto más compleja y ha ampliado sus horizontes, no parece estar acotada nimucho menos suficientemente explorada.

El Comité Editorial

EDUCACIÓN MATEMÁTICA, vol. 15, núm. 3, diciembre de 2003, pp. 5-28 5

Un estudio sobre el promedio: concepcionesy dificultades en dos niveles educativos

Simón Mochón y María Margarita Tlachy Anell

RReessuummeenn:: En este artículo se presentan los resultados de un cuestionario y lasentrevistas subsecuentes aplicados a dos grupos de estudiantes de diferentes nive-les (tercero de secundaria y primer año del nivel profesional) sobre el concepto ycálculo del promedio. El promedio es un concepto que se aplica en circunstanciasmuy variadas con los datos presentados en diferentes formatos, de lo cual derivansus dificultades. En general se observó que ambos grupos tuvieron un desempeñodeficiente, con una mejora del grupo del nivel alto. Sin embargo, se encontraronsituaciones en las que los estudiantes de secundaria tienen mejores estrategias desolución. Se muestra también que los estudiantes de este nivel ya tienen muchasintuiciones desarrolladas sobre este concepto en las cuales se puede basar unaenseñanza más efectiva.

Palabras clave: Promedio, concepciones, dificultades, estudio, estudiantes.

AAbbssttrraacctt:: In this article we present the results of a questionnaire and subsequentinterviews applied to two groups of students of different levels (one of middle highschool and the other of college level) about the concept and computation of theaverage. The average is a concept that is applied to many circumstances and withdata presented in different formats, which make it difficult. We observed in gene-ral a low performance of the two groups, with some improvement of the higher-level students. However, we found instances in which the lower level group hasbetter strategies of solution. We show also that the students of this level have lotsof intuitions about this concept in which it can be based a more effective tea-ching.

Keywords: Average, concepts, difficulties, study, students.

Fecha de recepción: agosto de 2002.

INTRODUCCIÓN

El promedio aritmético es un concepto muy importante que se usa frecuente-mente en la vida cotidiana para dar un valor representativo sobre registros de datosvariados: calificaciones, encuestas, censos de población, salarios, velocidades, etc.El promedio se encuentra también en varias disciplinas educativas como la física,la medicina, la sociología, etc. y está inmerso en la estadística como una idea fun-damental que aparece reiteradamente.

Los temas de tratamiento de la información y de estadística están contenidosen el programa de estudios de México desde los últimos grados del nivel básicoy hasta los niveles profesionales. Sin embargo, en la práctica docente se deja mu-chas veces de lado. En países europeos, la probabilidad y la estadística tienen untratamiento más integral dentro del currículum de la enseñanza básica, media ysuperior.

De acuerdo con Shaughnessy (1992), los estudiantes entran en una sociedaddonde el uso de los datos y las gráficas para comunicar información e influir en de-cisiones es creciente y, por tanto, la investigación en la enseñanza de la estadís-tica y la probabilidad es particularmente importante.

Así, algunas preguntas que sería importante responder son las siguientes:

• ¿Qué interpretación dan los estudiantes de diferentes niveles educativosen México a la información proporcionada mediante un promedio en di-ferentes instancias?

• ¿Qué deficiencias, en este concepto y su aplicación, se pueden encontraren los diferentes niveles educativos?

• Según estos resultados, ¿cómo se pueden mejorar las nociones de los es-tudiantes sobre el promedio?

Puesto que existen varias medidas de tendencia central como la moda, la me-diana y la media, aquí nos referiremos al promedio exclusivamente como el pro-medio aritmético o media aritmética. Así, tomaremos al promedio como:

“La suma de todos los datos dividida entre el número total de datos”

Como se discutirá aquí, aun cuando el promedio parece ser un concepto sen-cillo, la variedad de situaciones en las que surge y las distintas formas en las quese pueden organizar los datos lo hacen bastante más complejo.


Un estudio sobre el promedio: concepciones y dificultades en dos niveles educativos

Diversas investigaciones han mostrado que el promedio se utiliza como unaregla de cálculo y se dan diferentes interpretaciones a su significado.

Con estas ideas en mente, se realizó una investigación (explicada en este ar-tículo), cuyos objetivos principales son los siguientes:

• Averiguar las concepciones de los estudiantes de diferentes niveles educa-tivos sobre el promedio.

• Observar las estrategias que utilizan estos estudiantes al calcular el pro-medio dada una serie de datos en distintos formatos.

Para este propósito, se diseñó y aplicó un cuestionario (véase el anexo) a dosgrupos de estudiantes de diferentes niveles educativos. Posteriormente se realiza-ron entrevistas para profundizar sobre las respuestas dadas a este cuestionario.

MARCO TEÓRICO

En un artículo sobre proporcionalidad (Flores, 1995), el autor describe la diver-sidad de circunstancias en las que aparece el promedio. En este artículo cita dosmaneras de calcular el promedio, las cuales se dan a continuación.

El promedio se puede obtener de dos maneras matemáticamente equivalen-tes, dependiendo de cómo están presentados los datos. Para una lista de datos,x1, x2, ..., xn, el promedio se expresa como:

Si por otro lado, los datos están enumerados con sus frecuencias absolutasrespectivas (f1, f2, ..., fn), el promedio se expresa de la siguiente manera:

Este procedimiento es conocido como el algoritmo del promedio ponderado(el número de veces que aparece cada dato es su “peso” o su ponderación).

Por ejemplo, si un profesor realizó cuatro exámenes durante un mes y deseacontarlos con diferentes “pesos”: 10% el primero, 20% los siguientes dos y 50%



x

x x xn

n=+ + +1 2 ...

x

x x x

f fn

n

=+ + ++ + +

1 2

2

f f f

f1 2 n

1

...

...

—

—

el final, y desea obtener el promedio de las calificaciones de sus alumnos, tendráque realizar un promedio ponderado.

Esta idea de ponderación es más general y aparece en problemas de veloci-dades, mezclas, etc. Daremos a continuación dos ejemplos sobre esto.

Por ejemplo, si un automóvil viaja a una velocidad de 100 km/h durante 2horas y después viaja a 40 km/h durante la siguiente hora, su velocidad prome-dio no será de 70 km/h. El promedio debe realizarse ponderado, usando lostiempos como “pesos”. De esta manera, la respuesta correcta será de 80 km/h.

En un segundo ejemplo, si se mezclan dos metales en una razón de 4 a 1 y susvalores monetarios respectivos son diferentes, el valor de la aleación resultará serun promedio ponderado de los valores de los dos metales.

Otro de los trabajos pertinentes a la presente investigación es un estudio sobreel desarrollo del concepto de promedio aritmético en niños (Strauss y Bichler,1988). En él se citan siete propiedades fundamentales del promedio, las cualesse enlistan a continuación (en cada una de ellas hemos incluido un ejemplo amanera de explicación):

a. El promedio se localiza entre los valores extremos.Por ejemplo, el promedio de las edades de un grupo de personas no pue-de ser mayor que la edad de la persona más adulta ni ser menor que laedad de la persona más joven.

b. La suma de las desviaciones desde el promedio es cero.Por ejemplo, el promedio de 1, 2, 3, 4, 5 y 6 es 3.5 y, por tanto, tenemos que:(3.5 – 1) + (3.5 – 2) + (3.5 – 3) + (3.5 – 4) + (3.5 – 5) + (3.5 – 6) = 0

c. El promedio es afectado por valores diferentes a él.Por ejemplo, si el promedio de calificaciones de un estudiante durante 5años es de 9, cualquier calificación subsecuente diferente de 9 cambiarásu promedio.

d. El promedio no es necesariamente igual a uno de los valores que fueronsumados.Por ejemplo, el promedio de 1 y 3 es 2. Este valor no forma parte de losdatos que fueron promediados.

e. El promedio puede ser una fracción que no tiene contraparte en la reali-dad física.Por ejemplo, el promedio del número de hijos por familia de una pobla-ción determinada puede ser de 4.7. Este valor decimal no tiene un signi-ficado claro dentro de la variable promediada que puede tener sólo valo-res discretos enteros.



f. Cuando se calcula un promedio, deben ser tomados en cuenta los valo-res de cero.Por ejemplo, al promediar las calificaciones de un grupo de estudiantes enun examen, debemos incluir todos los ceros que haya.

g. El promedio es un valor representativo de los valores que fueron prome-diados.El promedio de los sueldos de las personas en una región determinada esun indicador de alrededor de qué valor se centra esta variable.

Mokros y Russell (1995) investigaron la noción de representatividad del pro-medio con niños en grados escolares del cuarto al octavo. Encontraron cincoacercamientos diferentes al resolver problemas de promedio, los cuales se dan acontinuación con una pequeña explicación:

• Promedio como moda.En este enfoque los estudiantes manejan el promedio como el valor mo-dal, es decir, como el valor que ocurre con mayor frecuencia. Muestrantambién una falta de flexibilidad en la elección de estrategias.

• Promedio como algoritmo.Aquí los estudiantes eligen un acercamiento exclusivamente algorítmicopara encontrar el promedio, lo cual resulta con frecuencia poco efectivo.

• Promedio como algo razonable.En éste, los estudiantes se basan en su experiencia cotidiana y en su in-tuición para resolver los problemas. Usualmente, estos estudiantes tienenla noción de que el promedio está mas o menos centrado dentro de losdatos.

• Promedio como punto medio.Estos estudiantes usan el concepto de punto medio en sus construccio-nes e interpretaciones para definir el promedio. Impera en ellos la idea deuna distribución simétrica.

• Promedio como punto matemático de balance.En esta noción, que aparece en estudiantes de mayor edad, el promedioes visto como un punto de balance, para el cual, un valor mayor tiene quebalancearse con uno menor.

Varios investigadores señalan problemas de comprensión acerca del promedio.Strauss y Bichler (1988), mediante tareas presentadas a niños de 8 a 14 años

de edad, estudiaron la dificultad de cada una de las propiedades mencionadas



anteriormente. Estos autores concluyeron que estas propiedades podrían dividir-se por su dificultad en dos grupos, siendo las más complejas, las propiedades B(suma de desviaciones = 0), F (ceros en los datos) y G (representatividad del pro-medio). Estos investigadores sugieren que la instrucción del promedio en el salónde clase se debe realizar en dos tiempos diferentes; uno atendiendo a las propie-dades más sencillas y el otro a las propiedades más difíciles.

Otras investigaciones registran que el promedio es utilizado principalmentecomo una regla de cálculo, sin poderle dar una interpretación al valor obtenido(Gattusso y Mary, 1996; Gattusso, 1997). En estos estudios se registran las concep-ciones que tienen los estudiantes de diferentes niveles de escolaridad sobreel concepto de promedio. Estos autores concluyen que el promedio no es unconcepto fácil de entender.

Por último, Pollatsek, Lima y Well (1981) estudiaron la noción del promedioy el promedio ponderado en estudiantes universitarios. Un problema del tipousado en este estudio es el siguiente. Puesto que el peso promedio de 6 hombreses de 180 libras y el peso promedio de 4 mujeres es de 125 libras, se preguntóa los estudiantes cuál sería el peso promedio de las 10 personas. Sus resultadosindicaron que una gran proporción de los estudiantes no tiene un buen sentidode los promedios ponderados. Estos autores atribuyen estos problemas a la en-señanza de tipo de reglas de cálculo y recetas sin que los estudiantes obtenganuna comprensión de los conceptos.

METODOLOGÍA

Se diseñó un cuestionario con diez problemas sobre promedio (véase el anexo),el cual fue aplicado a un grupo de 21 estudiantes de tercer grado de secunda-ria (Secundaria Diurna núm. 260 de la Ciudad de México) y a un grupo de 31estudiantes de primer semestre de ingeniería en sistemas computacionales (Es-cuela Superior de Computación del Instituto Politécnico Nacional). Los dos objeti-vos buscados eran observar las estrategias de resolución y dificultades de cadauno de estos dos grupos y hacer una comparación de las respuestas entre estos dosdiferentes niveles educativos.

Cada problema del cuestionario tenía un objetivo particular, el cual se descri-be a continuación:



Objetivo problema 1: Averiguar si los estudiantes se dan cuenta de la “PropiedadA” de Strauss y Bichler (el promedio se encuentra entre los valores extremos).

Objetivo problema 2: Averiguar si los estudiantes advierten la “Propiedad C”de Strauss y Bichler (el promedio es afectado por valores diferentes a él).

Objetivo problema 3: Averiguar si los estudiantes aceptan o rechazan la “Pro-piedad D” de Strauss y Bichler (el promedio no es necesariamente igual auno de los valores).

Objetivo problema 4: Observar cómo calculan los estudiantes el promedio enun caso simple y averiguar si tienen dificultades con un promedio que notiene contraparte en la realidad física (“Propiedad E” de Strauss y Bichler).

Objetivo problema 5: Observar si los estudiantes se dan cuenta de que incluirceros en los datos influye en el valor del promedio (“Propiedad F” de Straussy Bichler).

Objetivo problema 6: Averiguar qué interpretación le dan los estudiantes alvalor del promedio (“Propiedad G” de Strauss y Bichler sobre la represen-tatividad del promedio).

Objetivo problema 7: Observar las estrategias de los estudiantes al calcular elpromedio cuando los datos se dan en una tabla de frecuencias (promedioponderado).

Objetivo problema 8: Observar las estrategias de los estudiantes al calcular elpromedio cuando los datos se dan en una lista.

Objetivo problema 9: Investigar si los estudiantes son capaces de calcularel promedio ponderado en una situación de velocidades.

Objetivo problema 10: Averiguar qué entienden los estudiantes por promediocuando el problema admite varias interpretaciones: “el promedio de las ta-llas”, “el promedio de las ventas”, el promedio de las tallas ponderado porel número de ventas”, etcétera.

Posteriormente, se aplicó un cuestionario de 6 problemas (problemas 1, 2, 5,7, 8 y 9 del primer cuestionario, con pequeñas modificaciones) a otro grupo de22 estudiantes de tercer grado de secundaria de la misma institución que la an-terior, con el propósito de seleccionar 6 estudiantes para ser entrevistados acercade sus respuestas dadas. Se escogieron al azar 3 estudiantes que habían contes-tado completamente el cuestionario y 3 estudiantes que lo habían contestado par-cialmente (no tomamos en cuenta cuestionarios con respuestas escasas, ya queestos estudiantes posiblemente nos darían muy poca información sobre sus mé-todos de resolución).



Las entrevistas fueron semiestructuradas, con algunas preguntas planeadasde antemano para profundizar sobre las ideas de los estudiantes y preguntas adi-cionales que dependían de las respuestas de cada estudiante.

RESULTADOS DEL CUESTIONARIO Y SU ANÁLISIS

En esta sección se describen los resultados principales del análisis realizado alas respuestas de los estudiantes al primer cuestionario. Recordamos al lectorque este cuestionario se aplicó a dos grupos, uno de 21 estudiantes de tercerode secundaria y otro de 31 estudiantes de nivel superior.

Problema 1Las respuestas a este problema se clasificaron de la siguiente manera:

NNúúmm.. ddee eessttuuddiiaanntteess NNúúmm.. ddee eessttuuddiiaanntteessCCaatteeggoorrííaass RReessppuueessttaa 33ºº sseecc.. nniivveell ssuuppeerriioorr

Calculan el promedio No es posible 12 15

Suman los datos No es posible 3

Explicación sin cálculos No es posible 3 16

Explicación sin cálculos Sí es posible 2

(En este y en los demás problemas no se incluyen los estudiantes que no die-ron una respuesta.)

En este problema se esperaba que, sin hacer cálculos, el estudiante se dieracuenta de que no es posible el valor dado del promedio (9.20), porque se encuen-tra fuera del rango de los datos (de 5.30 a 8.10). Ésta es la tercera categoría deel cuadro anterior. Obviamente, si el estudiante realiza los cálculos correspon-dientes al promedio (primeras dos categorías del cuadro), su valor obtenido loayuda a ver que el valor dado no es posible porque no son iguales.

Se puede apreciar que únicamente 3 estudiantes de los 21 de secundaria ysólo 16 estudiantes de los 31 de nivel superior responden que no es posible elvalor del promedio sin necesidad de calcularlo. Esto indica que la gran mayoríade los estudiantes de secundaria y la mitad del nivel superior no tienen la no-ción (o no la aplican) de que el promedio debe estar entre los valores extremos.



Se observa también que algunos estudiantes de secundaria suman los datospara calcular el promedio y no dividen entre el número de datos (promedio co-mo una suma).

Problema 2Para este problema se registrarán solamente las respuestas al inciso (a). És-

tas se clasificaron de la siguiente manera:


Calculan el promedio No influyen 6 13

Operaciones variadas Sin conclusión 4 3

Explicación sin cálculos No influyen 2 12

Explicación sin cálculos Sí influyen 3 3

En este problema se dice explícitamente que el promedio de las primeras seisventas es de $47. Por lo tanto, las siguientes dos ventas de $47 no deben afec-tar el promedio. Se esperaba entonces que los estudiantes respondieran esto sinrealizar ningún cálculo (tercera categoría del cuadro anterior).

Se puede apreciar que únicamente 2 estudiantes de secundaria y sólo 12 es-tudiantes del nivel superior responden que no influye en el promedio el agregarvalores iguales a él, sin necesidad de calcularlo. Esto otra vez indica que la granmayoría de los estudiantes de secundaria y un gran porcentaje del nivel superiorno tienen esta noción (o no la aplican) acerca del promedio.

(No se muestran aquí los resultados del problema 3.)


NNúúmm.. ddee eessttuuddiiaanntteess NNúúmm.. ddee eessttuuddiiaanntteessCCaatteeggoorrííaass 33ºº sseecc.. nniivveell ssuuppeerriioorr

Uso de la fórmula usual 8 17

Moda (dato más frecuente) 3 12

Suman el número de teléfonos 3

Cantidad de datos como promedio 2

Otras 2 1



En este problema se quería averiguar qué procedimientos utilizan los estu-diantes para calcular el promedio de una lista sencilla de valores.

El procedimiento más común es calcular el promedio con la fórmula usual,aun cuando buena parte de los estudiantes consideraron el valor más frecuente(la moda) como el promedio.

También se puede observar del cuadro que tres estudiantes de secundariaconsideran la suma de los datos como el promedio (esto ya se observó anterior-mente). Dos estudiantes más toman al promedio como la cantidad de datos (10en este caso).

El valor correcto del promedio de los 10 datos dados es de 1.3. Este valor de-cimal no tiene sentido en la realidad física (número de teléfonos) y por lo tantodebe de interpretarse de alguna manera.

Las interpretaciones del promedio calculado son muy variadas. Algunas setranscriben a continuación con su categoría respectiva:

“El promedio de teléfonos es de 1 en cada casa” (Uso de la fórmula usual)En este caso, el estudiante no obtiene decimales al dividir

“En la mayoría de las casas hay uno” (Moda)

“13 el número promedio que hay por casa” (Promedio como suma de datos)

“Por cada casa hay de 1 a 3 teléfonos” (Interpretación de rango)

Nótese que, en el caso del uso de la fórmula, la interpretación es más unaafirmación del valor. Las otras tres sí dan una explicación de su significado. Sinembargo, no se observó que el valor decimal del promedio fuera interpretadocomo tal.

Problema 5Para este problema se mostrarán solamente las respuestas al inciso (b), que

es el más interesante. Éstas se clasificaron de la siguiente manera:




Calculan el promedio Sí se altera 4 11

Calculan el promedio No hay conclusión 4

Respuesta sin cálculos (sí) Sí se altera 5 16

Respuesta sin cálculos (no) No se altera 7 4

En este problema se esperaba que, sin hacer cálculos, el estudiante se dieracuenta de que, al agregar un cero a los datos, éste definitivamente altera el valordel promedio. Ésta es la tercera categoría del cuadro anterior. Obviamente, si elestudiante realiza los cálculos correspondientes al promedio (primeras dos cate-gorías del cuadro), notará que el promedio se ha alterado.

Del cuadro anterior se observa que solamente 5 de los estudiantes de secun-daria y alrededor de la mitad (16) de los estudiantes de nivel superior afirmaronque sí se alterará el valor del promedio cuando se insertan ceros en los datos.En la otra categoría de respuesta afirmativa (4 estudiantes de secundaria y 11del nivel superior), los estudiantes calculan el promedio y por tanto su respues-ta se basa en su resultado numérico y no en su intuición sobre la respuesta.

Dos de las justificaciones dadas por los estudiantes de secundaria en la ter-cera categoría son las siguientes:

“Sí, porque ahora tendríamos que repartir los dulces y el promedio variaría”“Sí, porque hay que aumentar otro niño al resultado”

Problema 6Cuatro de las respuestas de los estudiantes de secundaria se dan a continuación:

“El promedio de 30.5 representa la capacidad física de los reclutas y da aentender que casi todos tienen una capacidad física aproximada de 30.5”

“Que muchos se acercan más a 30.5”“Que cada recluta tuvo para hacer ejercicios 30 min.”

“Se suman los reclutas y se dividen entre 20”

La primera respuesta muestra la idea de que todos los datos están cercanosal valor del promedio. En general, las respuestas muestran poca idea conceptualde lo que significa el valor del promedio.



La mayoría de los estudiantes del nivel superior manifiestan que el promediorepresenta que cada recluta tiene la capacidad de hacer 30 minutos de ejercicio(idea de distribución constante). El resto de los estudiantes explican que unosvalores se compensan con otros para dar el promedio (punto matemático de ba-lance).

Problema 7Las respuestas al inciso (a) de este problema se clasificaron de la siguiente

manera:


Calculan el promedio ponderado 9 21

Dan el valor más frecuente (moda) 5

Cálculos variados 7 4

Recordamos al lector que el objetivo de este problema era observar las estrate-gias de los estudiantes al calcular el promedio cuando los datos se dan en unatabla de frecuencias y si utilizaban la idea del promedio ponderado, que consisteen utilizar las frecuencias de cada grupo de datos como factores.

Es interesante encontrar que 9 de los estudiantes de secundaria calculan elpromedio multiplicando las cantidades del número de hijos por familia por lasfrecuencias respectivas (número de familias), aun cuando no conocen todavía lafórmula del promedio ponderado. Esto indica de alguna manera que el procedi-miento que esta fórmula contiene de manera oculta resulta más o menos natu-ral para una parte significante de los estudiantes.

Entre los cálculos variados, los estudiantes simplemente suman una o ambascolumnas y en el segundo caso dividen los resultados entre sí (ya sea 33 entre 6o 6 entre 33). Este método se asemeja al cálculo simple del promedio cuandose enlistan todos los datos.





Calculan el promedio ponderado 9 30

Calculan el promedio sumando 4

Suman sin dividir 5

De manera similar al problema anterior, el objetivo de este problema era ob-servar las estrategias de los estudiantes al calcular el promedio cuando los datos sedan en una lista.

Es interesante nuevamente encontrar que 9 de los estudiantes de secunda-ria calculan el promedio multiplicando las calificaciones por sus respectivas fre-cuencias (no dadas), las cuales obtienen de contar el número de dieces, nueves,ochos, etc. Esto muestra cómo se puede generar la fórmula del promedio pon-derado de manera intuitiva.

Se observa también que 5 de los estudiantes de secundaria consideran la sumade los datos como el promedio.

Por otro lado, casi todos los estudiantes del nivel superior calculan el prome-dio ponderado a través de la fórmula que ya conocen.



Calculan la velocidad ponderando 10 11

Suma de velocidades entre 2 13

Suma velocidades entre suma tiempos 4 3

Cálculos variados 5 4

Este problema es relativamente difícil, ya que la cantidad de la cual se tieneque calcular el promedio (la velocidad) varía de una manera continua y no dis-creta como en los casos anteriores.

En este problema sucede algo sorprendente. Casi 50% de los estudiantes desecundaria (10 de 21) y sólo 35% de los estudiantes de preparatoria (11 de 31)lo resuelven correctamente, ponderando las velocidades con su tiempo respectivo:



Una gran parte de los estudiantes de nivel superior promedian (incorrecta-mente) las velocidades sin tomar en cuenta los tiempos:

Posiblemente la razón de esto es que los estudiantes de secundaria, al no tenerun procedimiento automático para realizarlo, reflexionan sobre el mejor métodopara hacer esto. En cambio, los estudiantes del nivel superior, aplican el algorit-mo que conocen de manera mecánica.

Entre los cálculos variados está una simple suma de ambas velocidades.(No se registran aquí los resultados del problema 10.)

ANÁLISIS DE LAS ENTREVISTAS

En esta sección se destacarán algunas de las respuestas dadas por los seis estu-diantes entrevistados de tercero de secundaria.

Problema 1. En este problema estabamos interesados en observar si los es-tudiantes podían darse cuenta de que el valor dado del promedio no era posiblepor no estar dentro del rango de los datos. Cuatro estudiantes mencionaron queel valor propuesto no era el indicado (dos de ellos necesitaron calcular primero elpromedio). Sus explicaciones son las siguientes.

Carlos, al preguntarle “¿qué hizo?” contestó: “Comparé los precios”. Al pedir-le que explique su respuesta de por qué no era posible, dijo que: “No, porqueson diferentes precios muy bajos”. Aquí vemos que tiene la intuición de queel valor “alto” dado del promedio no es posible.

Alejandro calcula inicialmente el promedio y contesta: “No, porque hay preciosde 6 y 7 que son los que hay más y no daría el promedio 9.20”. Al insistir elentrevistador, Alejandro respondió: “no hay ningún precio de 9.20, o sea, querebase los 8.10 más alto”. Aquí observamos dos cosas. El estudiante se dacuenta de que la mayoría de los precios están entre 6 y 7 y que por ello el



80 120

2100

+= km/hr

80 2 120 8

10112

× + ×= km/hr

promedio no podría llegar hasta 9.20. Después da mas precisión a su idea di-ciendo que, como el más alto es de 8.10, el promedio no puede ser 9.20.

Pedro, después de calcular el promedio, dice que no es posible y, al pedirleque no use las operaciones, explica: “Se redondea ... los precios se ve que va-len 7, 5 y 8 y si a uno le quitamos y a otro le ponemos no va a dar”. Estomuestra una técnica para comprobar el promedio que se basa en que unosvalores se deben compensar con los otros.

Ana, después de haber calculado el promedio de 6.76, dice lo siguiente: “elpromedio no era 9.20 sino 6.76; además no podía ser porque ahí ni siquie-ra había un precio de 9.20”. Sin embargo, cuando posteriormente el entre-vistador pregunta: “¿Tú crees que el promedio puede ser de 4?”, ella contestaque “podría ser”. Esto muestra que, aun cuando tiene cierta idea sobre esto,no está bien fundamentada.

Los otros dos estudiantes también recurrieron al algoritmo y, cuando se lespreguntó si podían contestar la pregunta sin realizar las operaciones, contesta-ron que sí era posible el valor dado del promedio.

Berenice, al preguntársele si el promedio podría ser de 4, respondió que no,“porque sería muy bajo, los precios están muy altos”. Aquí muestra algún sen-tido de que el promedio no puede ser muy bajo, pero posiblemente no puedadefinir el rango exacto.

Noemí durante su entrevista dijo: “Porque si no me dan la posibilidad de haceroperaciones, no sabría”. Aquí afirma que, si no hace los cálculos correspon-dientes, no podría saber.

Problema 2. En este problema estabamos interesados en observar si los es-tudiantes podían dar una respuesta cualitativa del cambio del valor del prome-dio cuando se agregan más datos: parte a) dos datos más con el mismo valor delpromedio (el promedio queda igual) y parte b) un dato más con un valor mayorque el promedio (el promedio aumenta).

Parte a): Dos estudiantes no hicieron operaciones. Otros tres recurrieron acalcular el promedio. Describimos a continuación cada uno de ellos.



Ana, sin calcular, dice que el promedio será “más grande”. Explica que: co-mo anexaron dos precios más, se tendría que sumar todo”.

Noemí también responde que “Se altera. Nos daría otro promedio”. Cuandose le pregunta si sería mayor o menor, contesta que mayor, pero su explica-ción no es clara.

Alejandro calcula el promedio. De igual manera, Berenice y Pedro procedena calcular el promedio. De sus resultados, se dan cuenta que no cambia.

Parte b): En esta parte, dos estudiantes no hacen operaciones y otros tres calcu-lan el promedio (no los mismos que en el inciso anterior). Sus procedimientos yexplicaciones son las siguientes.

Ana en este inciso dice que “se vuelve a alterar el promedio”. Cuando se lepregunta cómo, ella contesta que: “podría ser que aumente o que disminuya”y después agrega que: “ni que aumente demasiado ni que disminuya tanto,sino que se queda intercalado”. Vemos que Ana se basa aquí en una estima-ción. Tiene la idea de que un valor parecido a los otros no debe afectar muchoal promedio de otras 8 cantidades.

Alejandro, ahora sin calcular, dice que: “dará un número mayor”. Su explica-ción, sin embargo, no es muy clara, ya que puede ser correcta o incorrecta:“Pensé que era más cantidad de dinero y más personas”.

También aquí Noemí contesta que el promedio aumentaría.

Berenice y Pedro proceden a calcular el promedio y basan sus respuestas ensus resultados.

De las respuestas anteriores se puede concluir que esta pregunta les resultóparticularmente difícil.

Problema 5. En este problema estabamos interesados en observar si los es-tudiantes se dan cuenta de que un cero adicional en los datos afecta el valor delpromedio.



Cinco de los estudiantes indicaron que sí se alteraría el promedio (aunqueCarlos no es muy claro en su explicación). Algunas de las razones que dieronfueron: “ahora se divide entre 4” o “ya no son 3 sino 4 niños”.

Noemí dice que “no, porque él llegó sin nada, no aportó ningún dulce, en-tonces el promedio se queda como está”.

Problema 7. En este problema estabamos interesados en observar las estra-tegias de los estudiantes al calcular el promedio cuando los datos se dan en unatabla de frecuencias.

Berenice calculó intuitivamente el promedio ponderado: “... el 4 por 0 y el 8por 1, porque se supone que éstos son número de familias y éstos son loshijos”. Después de corregir un error encuentra el valor de 1.8 para el promedio.

Ana, Pedro y Alejandro no saben cómo manejar las dos columnas de datos.El procedimiento que siguieron para calcular el promedio fue el de sumar cadauna y dividir los resultados uno entre el otro. Pedro explica: “Sumé los hijosy lo dividí entre las 33 familias y no daba ni siquiera uno” (Ana, al contrario,divide 33 entre 6).

Noemí calcula el promedio de la primera columna del número de hijos (6 en-tre 4) e ignora la segunda columna.

Carlos únicamente suma la columna del número de hijos y dice que el pro-medio es de 6.

Obviamente, esta forma de presentar los datos es muy confusa para estos es-tudiante y sólo uno logra calcular el promedio ponderado de manera intuitiva.

Problema 8. En este problema estabamos interesados en observar las estrategiasde los estudiantes al calcular el promedio cuando los datos se dan en una lista.

Ana, Alejandro, Berenice y Pedro agrupan de manera intuitiva cantidades parasumar y calcular el promedio: Por ejemplo, Pedro explica así su procedimiento:“luego el 6 lo multipliqué por 3 ... luego el 7 por 3 ... luego el 8 por 7 ...”



Carlos y Noemí sumaron los datos y dividieron para obtener el promedio.

Es interesante observar que la mayoría de los niños intuitivamente agrupanlas cantidades para calcular el promedio. Esto puede tomarse como base paraformar tablas de frecuencia y para calcular la fórmula del promedio correspon-diente.

Problema 9. En este problema estabamos interesados en observar si los es-tudiantes son capaces de calcular el promedio ponderado en una situación máscompleja de velocidades.

Ana calcula el promedio con el procedimiento correcto (pero en vez de divi-dir entre el tiempo total (10 horas) divide entre el promedio de las horas (5)).Ella explica: “Pues yo multipliqué 80 km por 2, que son las dos horas, medio 160; después los 120 km por 8 que son las horas ... le sumé y me salió1 120. Luego eso lo dividí entre 5”.

Berenice sigue un procedimiento similar al de Ana, pero al final divide entre2. También Noemí hace algo muy similar, pero no divide.

Alejandro divide cada velocidad entre su tiempo respectivo y suma estas can-tidades para dar el promedio.

Pedro suma directamente las dos velocidades y las divide entre dos.

Carlos tuvo muchos problemas con este ejercicio, haciendo varios cálculos unpoco al azar.

Es impresionante observar que, para un problema tan complejo como éste,tres de los seis estudiantes realizaron procedimientos en la dirección apropiaday casi correctos.

CONCLUSIONES

El desempeño de los estudiantes en los primeros seis problemas fue bajo parael grupo de secundaria y mediano para el del nivel superior. Estos problemas están



relacionados con cada una de las propiedades descritas por Strauss y Bichler sobreel promedio, lo cual indica que existen deficiencias conceptuales fuertes en losestudiantes de secundaria que permanecen en menor grado en los estudiantesdel nivel superior.

En los problemas relacionados con el cálculo del promedio con datos en for-matos diferentes, se encontraron dificultades principalmente con los estudiantesdel nivel medio. Éstos aplican más lo que podríamos llamar “fórmulas falsas”, esdecir, variaciones incorrectas del algoritmo, como sólo sumar. Éstos no sólo sonerrores de cálculo, sino que reflejan que los estudiantes tienen otras concepcio-nes del promedio como por ejemplo, “Promedio = Suma”.

También se observó en ambos niveles una interpretación deficiente del valorobtenido del promedio, aun cuando, al comparar los resultados de los dos gru-pos de estudiantes, sí se nota un progreso en el cálculo e interpretación del pro-medio de los estudiantes de nivel superior

Se puede también observar en los resultados de los problemas 7, 8 y 9 delcuestionario que los estudiantes del nivel medio los resuelven correctamente abase de sus intuiciones y que el conocimiento de fórmulas mecánicas de los es-tudiantes del nivel superior les dificulta aplicar una estrategia apropiada.

Las entrevistas confirman estas conclusiones El análisis nos permite darnos cuenta de que hace falta mejorar las prácticas

de la enseñanza del promedio. Entre otras se sugiere:

• Discutir una gama amplia de tipos de problemas en los que aparezca elpromedio.

• Presentar datos en diferentes formas.• Hacer énfasis en el significado del valor obtenido del promedio en cada

caso particular.• No enseñar prematuramente la fórmula del cálculo del promedio. Basar-

se más bien en descripciones numéricas sobre el procedimiento de estecálculo y la razón de éste.



ANEXO. CUESTIONARIO APLICADO

PROBLEMA 1

Los datos que vienen a continuación corresponden a los precios observados encinco tiendas diferentes para una lata de atún de la marca MAR:

TTiieennddaa 11 TTiieennddaa 22 TTiieennddaa 33 TTiieennddaa 44 TTiieennddaa 55

7.50 5.30 8.10 6.20 6.70

Alguien calculó que el promedio de estos precios es de 9.20.¿Puede ser posible? Explica.

PROBLEMA 2

A la salida de un centro comercial se le preguntó a un grupo de personas la can-tidad de dinero que habían gastado en la compra de alimentos. Éstas fueron lasrespuestas:

$35, $39, $28, $93, $62, $25

El promedio de estas 6 ventas es de $47.

a) Dos personas que salían, mencionaron que habían gastado $47 cada una.¿Cómo influyen estos dos valores al nuevo promedio de las 8 ventas?

b) Otra persona al salir, manifiesta que se gastó $65 en alimentos. ¿Cómoinfluye este nuevo valor al promedio de las 9 ventas anteriores?

c) ¿Cuál es el valor del promedio?

PROBLEMA 3

Observa los 10 valores siguientes:



2, 4, 4, 4, 5, 5, 8, 8, 10, 10

¿Crees que el promedio tiene que ser igual a uno de estos valores?Explica tu respuesta.

PROBLEMA 4

En 10 casas de una cuadra se realizó una encuesta en la que se preguntaba por“el número de teléfonos” en cada casa. Los datos obtenidos se muestran a con-tinuación:

Número de teléfonos en cada casa: 1, 2, 1, 1, 3, 1, 1, 1, 1, 1

¿En promedio, cuál es el número de teléfonos que hay por casa?Interpreta y explica tu respuesta.

PROBLEMA 5

Mayra, Jaime y Pedro se reunieron en una fiesta. Cada uno trajo un cierto númerode dulces. Mayra trajo 12 dulces, Jaime 8 y Pedro 16.

a) ¿Cuántos dulces trajeron en promedio por niño?b) Un cuarto niño llega a la fiesta sin dulces. ¿Se altera el promedio de dul-

ces por niño?c) ¿Cuál será ahora el promedio de dulces por niño?

PROBLEMA 6

A los reclutas de una academia de policía se les solicitó presentar un examenque mide la capacidad que tienen para hacer ejercicio. Esta capacidad (medidaen minutos) se obtuvo para cada uno de los 20 reclutas:

25, 21, 35, 33, 40, 32, 30, 34, 30, 27, 16, 25, 29, 31, 31, 32, 44, 32, 33, 20



El promedio de estos valores es de 30.5¿Qué representa este valor? Explica tu respuesta.

PROBLEMA 7

Se realizó una encuesta acerca del número de hijos que tiene una familia mexi-cana. Los datos obtenidos de 33 familias de una cuadra se presentan en el cua-dro siguiente:

NNúúmmeerroo ddee hhiijjooss ppoorr ffaammiilliiaa NNúúmmeerroo ddee ffaammiilliiaass

0 4

1 8

2 11

3 10

a) ¿Cuál es el número de hijos promedio que hay entre las 33 familias en-cuestadas?

b) ¿De qué manera interpretas el valor que representa el promedio?

PROBLEMA 8

Se aplicó un examen a un grupo y las calificaciones obtenidas por los alumnosfueron las siguientes (en una escala del 0 al 10):

4, 5, 5, 6, 6, 6, 7, 7, 7, 8, 8, 8, 8, 8, 8, 8, 9, 9, 9, 9, 9, 10, 10

¿Cuál es el promedio de las calificaciones?

PROBLEMA 9

Un automóvil viaja a una velocidad de 80 km/hr durante 2 horas y después auna velocidad de 120 km/hr durante 8 horas. ¿Cuál será su velocidad promedio?



PROBLEMA 10

El departamento de mercadotecnia de una fábrica de zapatos tenis realizó unaencuesta relativa a las tallas de los alumnos de secundaria:

TTaallllaa VVeennttaass

3 0

4 10

5 20

6 30

7 40

Obtén el promedio.

REFERENCIAS BIBLIOGRÁFICAS

Flores Peñafiel, A. (1995), “Nexos en el razonamiento proporcional: Palancas, me-dia aritmética, promedio ponderado, mezclas, porcentajes de bateo y veloci-dades”, Educación Matemática, vol. 7, núm. 2, pp. 113-125.

Gattusso, L. (1997), “La moyenne, un concept élémentaire?”, La Revue del IÁDOQ,vol. 9, núm. 3, pp. 12-14.

Gattusso, L. y C. Mary (1996), “Development of the Concepts of the ArithmeticAverage from High School to University”, en Proceedings of the 20th Interna-tional Conference for the Psychology of Mathematics Education, núm. 2,pp. 401-408.

Mokros, J. y S. J. Russell (1995), “Children’s Concepts of Average and Representa-tiveness”, en Journal for Research in Mathematics Education, vol. 26, núm. 1,pp. 20-39.

Pollatsek, A., S. Lima y A. D. Well (1981), “Concept of Computation: Students’Understanding of the Mean”, en Educational Studies in Mathematics, núm. 12,pp. 191-204.



Shaughnessy, J. M. (1992), “Handbook of Research on Mathematics Teaching andLearning. A Project of the National Council of Teachers of Mathematics”, enResearch in Probability and Statistics: Reflections and Directions, núm. 19,pp. 465-494.

Strauss, S. y E. Bichler (1988), “The Development of Children’s Concepts of theArithmetic Average, en Journal for Research in Mathematics Education, vol.19, núm. 1, pp. 64-80.



DATOS DE LOS AUTORES

Simón MochónDepartamento de Matemática Educativa,

Centro de Investigación y de Estudios Avanzados del IPN, México

[email protected]

María Margarita Tlachy AnellDepartamento de Matemática Educativa,

Centro de Investigación y de Estudios Avanzados del IPN, México

[email protected]


Problemas aritméticos. Articulación,significados y procedimientos de resolución1

Marie-Lise Peltier

RReessuummeenn:: En este artículo se hace una síntesis de diversos trabajos relevantes delcampo de la psicología cognitiva y de la didáctica de las matemáticas, los cualesabordan la construcción del sentido en el caso particular de los problemas aritmé-ticos. Se pretende aportar elementos teóricos que permitan comprender mejorcómo los alumnos pueden dar sentido al enunciado de un problema y compro-meterse en la solución. Se trata también de hacer elecciones argumentadas paraplanificar la enseñanza de los problemas aritméticos en la escuela elemental.

Palabras clave: Construcción del sentido, problemas aritméticos, escuela pri-maria.

AAbbssttrraacctt:: This article proposes a synthesis of various works concerned with thefields of cognitive psychology and the fields of mathematics didactics on the ques-tion of meaning construction in the particular case of arithmetic problems. It is amatter of bringing theoretical elements making it possible to better unders-tanding how the students can give sense to a problem statement and engagethemselves into the resolution. It is also a question of making sound choices inorder to plan the teaching of the arithmetic problems at elementary school.

Keywords: Meaning construction, arithmetical problems, primary school.

INTRODUCCIÓN

La cuestión de la enseñanza de las operaciones y de los problemas aritméticoses recurrente. ¿Cómo articular el trabajo sobre los problemas con la necesidadde adquisición de técnicas operatorias?, ¿Cómo trabajar el “sentido” de las ope-raciones?, ¿Qué significa “construir el sentido”? En este artículo, me propongo“re-visitar” estas cuestiones a la luz de diversos trabajos sobre el tema, presen-

Fecha de recepción: febrero de 2002.1 Traducción del francés de Alicia Ávila, David Block y Guillermina Waldegg.


Problemas aritméticos. Articulación, significados y procedimientos de resolución

tando primero diferentes puntos de vista complementarios sobre la noción desentido.

Actualmente, un slogan de la pedagogía es la necesaria construcción del sen-tido. El postulado sobre el cual se apoya este slogan es que un conocimiento nopuede ser funcional sino en la medida en que es portador de sentido para quienlo posee. De manera breve se podría decir que un conocimiento es portador desentido para un sujeto si este último es capaz de identificar un campo de apli-cación de este conocimiento. Pero esta formulación es relativamente reduccionis-ta en la medida en que remite principalmente a un aspecto “funcional” de losconocimientos, toma en cuenta al sujeto, pero ignora en parte la naturaleza y elvalor intrínseco de los conocimientos.

Desde un punto de vista filosófico, siguiendo a G. Deleuze (1969),2 podemosconsiderar la cuestión del sentido a partir de la articulación de tres dimensiones:

• La primera es la relativa a lo que Deleuze designa como “referencia”, y quese podría caracterizar de manera un poco simplista como vínculo con elmundo real; se podría igualmente decir que la referencia articula las pro-posiciones con los objetos de los que éstas hablan, esto remite a una cier-ta funcionalidad del saber y a una forma de objetividad, puesto que en esedominio las proposiciones serán susceptibles de verificación.

• La segunda es la “significación”, esta dimensión remite a los conceptos ensí mismos y a las relaciones entre los conceptos. En esta dimensión, lasproposiciones son susceptibles de tener un valor de verdad, se puede ha-blar de la pertinencia o de lo absurdo de las proposiciones enunciadas.

• La última, la “manifestación”, se refiere a hacerse cargo de la subjetividadde las proposiciones, el sujeto se apropia de la proposiciones o se distan-cia de ellas; es la relación del sujeto con el saber.

Desde el punto de vista de la psicología cognitiva, el sentido se define con re-ferencia al sujeto. Para G. Vergnaud,3 por ejemplo, el sentido es una relación delsujeto con las situaciones y con los significantes.

Más precisamente, son los esquemas, es decir las conductas y su organiza-

2 Citado por M. Fabre (1999).3 G. Vergnaud (1990), p. 158.

ción, evocados por el sujeto individual para una situación o para un signifi-cante, los que constituyen el sentido de esta situación o de ese significado paraese individuo. El sentido de la adición para un sujeto individual es el conjuntode esquemas que puede poner a funcionar para abordar las situaciones a lascuales se enfrenta y que implican la idea de adición, es también el conjuntode esquemas que puede poner en práctica para operar con los símbolos, nu-méricos, algebraicos, gráficos y lingüísticos que representan la adición.

Desde un punto de vista didáctico, por ejemplo para Brousseau —que se apo-ya a este respecto en el pensamiento de Bachelard— el sentido de un conocimien-to está definido por tres conjuntos:

a) la colección de situaciones en las que este conocimiento se realiza encuanto teoría matemática (semántica).

b) la colección de problemas en los que este conocimiento interviene comosolución (pragmática).

c) el conjunto de concepciones, de elecciones anteriores que él rechaza (his-toria individual y colectiva).

Se ve aquí aparecer la noción de concepción, tanto desde un punto de vistaepistemológico como desde un punto de vista psicológico.

En cada uno de estos tres paradigmas encontramos, con pesos diferentes, larelación con el mundo, el aspecto subjetivo y las características teóricas y episte-mológicas de los saberes.

Para la enseñanza que tiene por objetivo trabajar las operaciones aritméticas,la cuestión del sentido se planteará en tres niveles:

• El del concepto (sentido de la adición, de la sustracción, de la multiplica-ción, etcétera).

• El del problema (cómo ayudar a los niños a comprender un problema yresolverlo).

• El de la articulación entre la comprensión del problema y la puesta enmarcha de un procedimiento de resolución.


Marie-Lise Peltier

I. EL SENTIDO DE UN CONCEPTO

I.1. CONCEPTO Y CAMPO CONCEPTUAL

Nos apoyaremos en la definición propuesta por G. Vergnaud:4

Una aproximación psicológica y didáctica de la formación de conceptos ma-temáticos lleva a considerar un concepto como un conjunto de invariantesutilizables en la acción. La definición pragmática de un concepto apela así alconjunto de situaciones que constituyen la referencia de sus diferentes pro-piedades y al conjunto de esquemas puestos en práctica por los sujetos enesas situaciones. No obstante, la acción operatoria está lejos de ser la totalidadde la conceptualización de lo real.. No se discute la validez o la falsedad deun enunciado totalmente implícito y no se identifican los aspectos de lo reala los cuales hay que poner atención, sin la ayuda de palabras, enunciados,símbolos y signos. El uso de significantes explícitos es indispensable para laconceptualización. Esto nos lleva a considerar que un concepto es una triple-ta de tres conjuntos:

C = (S, I, ###)

S: el conjunto de situaciones que dan sentido al concepto (la referencia);I: el conjunto de invariantes sobre los cuales descansa la operacionalidad

de los esquemas (los significados);###: el conjunto de formas lingüísticas y no lingüísticas que permiten re-

presentar simbólicamente el concepto, sus propiedades, las situaciones y losprocedimientos de tratamiento (el significante).

Estudiar el desarrollo y el funcionamiento de un concepto en el curso delaprendizaje o durante su utilización es necesariamente considerar a la vez es-tos tres planos. No hay en general una biyección entre significantes y signifi-cados, ni entre invariantes y situaciones. No se puede, pues, reducir el signifi-cado ni a los significantes ni a las situaciones.

Pero los conceptos no están aislados, están constituidos en una red y man-tienen relaciones entre ellos, lo que conduce a G. Vergnaud a definir “camposconceptuales” (en otras disciplinas se habla también de “tramas conceptuales”).



4 Ibid., p. 145.

En un primer momento, Vergnaud5 define un campo conceptual como“un conjunto de situaciones, lo que permite generar clasificaciones que se basanen el análisis de las tareas cognitivas y de los procedimientos que pueden poner-se en juego en cada una de ellas”.

Así, por ejemplo, el campo conceptual de las estructuras aditivas es el con-junto de situaciones, en el sentido de tareas, que demandan una adición, unasustracción o una combinación de tales operaciones. Esta primera aproximaciónpermite, como ya señalamos, “generar una clasificación que descansa en el aná-lisis de las tareas cognitivas y de los procedimientos que pueden ponerse en jue-go en cada una de ellas”.

Después, Vergnaud6 precisa: “el campo conceptual de las estructuras aditivases a la vez el conjunto de situaciones cuyo tratamiento implica una o varias adi-ciones o sustracciones, y el conjunto de conceptos y teoremas que permiten ana-lizar esas situaciones como tareas matemáticas. Son así constitutivas de las es-tructuras aditivas, los conceptos de cardinal, medida, transformación temporalpor aumento o disminución, relación de comparación cualitativa, inversión [...]”

Este segundo enfoque conduce a afinar la clasificación y, con ello, resulta ala vez matemática y psicológica.

La teoría de los campos conceptuales no es propiamente una teoría “didácti-ca”, es una teoría del desarrollo cognitivo que resulta, como acabamos de decirlo,de consideraciones psicológicas y matemáticas. Esta teoría permite un análisis delas situaciones didácticas, pero también de las dificultades conceptuales encon-tradas por los alumnos, del repertorio de procedimientos disponibles, de formasde representación posibles, etcétera.

En didáctica de las matemáticas, M. Artigue7 retoma esta definición de con-cepto de la manera siguiente, posicionándola en relación con la de concepción:

Así como se distinguen en un concepto matemático la noción matemática talcomo se define en el contexto del saber sabio en una época dada, el conjun-to de significantes asociados al concepto, la clase de problemas en cuya re-solución toma su sentido, los teoremas, las técnicas algorítmicas específicasdel tratamiento del concepto, así también se distinguirán en las concepciones delos sujetos esos diferentes componentes y, en particular, la clase de situacio-


Marie-Lise Peltier

5 Ibid., p. 146.6 Ibid., p. 147.7 M. Artigue (1984), Contribution á l’étude de la reproductibilité des situations didactiques,

Tesis de doctorado de Estado, París VII.

nes-problema que dan su sentido al concepto para el alumno, el conjunto designificantes que él es capaz de asociar a dicho concepto, en particular lasimágenes mentales, las expresiones simbólicas, los teoremas, los algoritmosde los que dispone para manipular el concepto.

I.2. LOS CAMPOS CONCEPTUALES DE LAS ESTRUCTURAS ADITIVAS Y MULTIPLICATIVAS

G. Vergnaud distingue en los problemas, los números que designan estados, queson números reales (positivos si designan estados-medida y positivos o negativossi designan estados relativos), y los números que traducen una transformación ouna comparación (y que son reales positivos o negativos).

Así, en el enunciado “Cloé tiene 57 estampas, le da 15 a Jeanne. ¿Cuántas es-tampas tiene Cloé ahora?”, el número “57” designa un estado (el haber inicial deCloé), cuando Cloé da 15 estampas a Jeanne, se trata de una transformación queaquí es negativa y puede representarse por el número “-15”. La pregunta orien-ta a la determinación del estado final, es decir, el número de imágenes de Cloédespués de la transformación de su haber.

Tomemos otro ejemplo: “Pedro tiene 27 canicas, Víctor tiene 15 canicas másque Pedro, ¿cuántas canicas tiene Víctor?”, el número “27” designa un estado, esel referente para la comparación, la comparación es positiva “+15”, se busca elestado referido, es decir, el haber de Víctor.

Para las estructuras aditivas, G. Vergnaud identifica seis relaciones básicas apartir de las cuales es posible engendrar la casi-totalidad de problemas de adi-ción y de sustracción de la aritmética ordinaria (véase el anexo 1).

Esta clasificación muy fina se apoya a la vez en un análisis matemático de losobjetos en juego y de las relaciones entre esos objetos y en un análisis psicoló-gico de la tarea por efectuar para resolver el problema.

La clasificación, que consiste en categorizar los problemas en función de sila resolución experta es una adición o una sustracción, hace caso omiso de losdos análisis anteriores para centrarse solamente en las escrituras matemáticasque traducen no el problema sino su solución. De dicha clasificación se deducía—de manera apresurada— que los problemas cuya resolución implica una sustrac-ción eran más difíciles que los que requerían una adición. El contraejemplosiguiente permite invalidar esta concepción y mostrar que la dificultad de un pro-blema está esencialmente ligada a su estructura y al elemento de esa estructurasobre el cual se plantea la pregunta.



Así el problema: “Paul tenía 105f (francos) en su portamonedas. Gastó 99f,¿cuánto dinero tiene ahora en su portamonedas?” no plantea grandes dificulta-des a los alumnos, aunque se trata de una sustracción. En cambio el problema“María va de compras, gasta 150f. Ahora le quedan 200f en su portamonedas.¿Cuánto dinero tenía María en su portamonedas antes de hacer las compras?” esun problema difícil aunque la situación sea familiar, aunque los números en jue-go sean simples y aunque la operación por efectuar (una adición) sea elemental.

La aproximación de G. Vergnaud permite poner en evidencia la necesidad desimultaneidad del aprendizaje de la adición y la sustracción, permite conducir unanálisis a priori de las situaciones al precisar las relaciones matemáticas aborda-das y la tarea de los alumnos.

En lo que concierne a las estructuras multiplicativas, G. Vergnaud proponecuatro clases: la comparación multiplicativa, la proporcionalidad simple, la pro-porcionalidad simple compuesta, la proporcionalidad doble (cf. anexo 2).

Desde un punto de vista didáctico, esta tipología permite re-visitar el problemadel momento del aprendizaje en el que se introduce la división abogando por unacercamiento simultáneo con el de la multiplicación, siempre y cuando se elijanlos problemas de manera pertinente.

Estas tipologías de problemas aditivos y multiplicativos permiten ayudar a losprofesores a identificar con precisión, en los problemas que plantean, los objetosmatemáticos en juego y sus relaciones, analizar la complejidad de la tarea queproponen y, por tanto, a decidir, establecer secuencias para conducir a los alum-nos a enfrentarse a situaciones variadas y construir evaluaciones en concordan-cia con los aprendizajes efectuados.

Finalmente, se podrá decir que un sujeto construyó el sentido de una opera-ción si reconoce en cualquier situación relevante del campo conceptual las es-tructuras que corresponden a esta operación, la estructura específica de esta si-tuación y, posteriormente, si la aborda de manera conveniente. Pero la cuestiónde saber cómo va a dar sentido el sujeto a un problema particular queda plan-teado y es esta cuestión la que vamos a examinar ahora.


Marie-Lise Peltier

II. EL SENTIDO DE UN PROBLEMA, REPRESENTACIÓNY TRATAMIENTO ASOCIADO

II.1 ¿QUÉ ES UN PROBLEMA?

Comenzaré haciendo una cita de J. Brun:8

Un problema generalmente se define como una situación inicial con un ob-jetivo por alcanzar, que le pide al sujeto realizar una serie de acciones o deoperaciones para alcanzar ese objetivo. Sólo hay un problema en la relaciónsujeto-situación, y sólo cuando la solución no está disponible de golpe peroes posible construirla. Esto significa también que un problema para un cier-to sujeto puede no ser problema para otro, debido, por ejemplo, al distintonivel de desarrollo intelectual de ambos sujetos.

Dar sentido a un problema, o aun comprenderlo, requiere por lo tanto de laarticulación de diversas competencias.

Comprender el problema es, por una parte, comprender que el enunciadoplanteado relata una cierta situación, la cual, en el caso de los problemas aritmé-ticos de la escuela elemental, se obtiene con frecuencia de la vida real y, además,que los datos que se proporcionan son ya respuestas a preguntas que podría ha-berse planteado un personaje ficticio que se encontrara en la situación evocada.Pero es también comprender que ese enunciado debe conducir a una “acción”que implica una reflexión y tomas de decisión, es decir que no se trata simple-mente de un acto de lectura, sino de un texto específico que contiene un pro-yecto de respuestas a preguntas. Así, Brousseau9 propone una ingeniería para elaprendizaje de la sustracción que, escribe él, “se propone hacer pasar las pregun-tas del dominio del profesor al dominio del alumno, enseñar tanto las preguntascomo las respuestas y, hasta donde sea posible, enseñar los conocimientos consu sentido”

Es por tanto indispensable que la lectura del enunciado evoque una situa-ción que, si no es ya conocida por el alumno, sea susceptible de ser construidamentalmente por analogía o adaptación de situaciones conocidas. De esta ma-nera, el alumno puede construir una representación mental de la situación evo-



8 Jean Brun, Math-Ecole, núm. 141.9 Guy Brousseau (1989), RDM 9/3, La Pensée Sauvage, p. 327.

cada y anticipar las que pueden ser preguntas relativas a dicha situación. Puedeentonces leer ciertos datos como respuestas a ciertas preguntas, mientras com-prueba que otras preguntas no están planteadas en el enunciado pero podríanestarlo manipulando los datos. Sin fase de anticipación, es muy difícil “escoger laoperación correcta”. A partir de esta representación mental de la situación y dela anticipación de preguntas y de respuestas, el alumno puede resolver el proble-ma y no a partir de rasgos o de índices superficiales del texto o de la proximidadtemporal con nociones en proceso de aprendizaje.

II.2. LA CONSTRUCCIÓN DE LAS REPRESENTACIONES

Los trabajos en psicología cognitiva que se han realizado desde hace unos 20años han centrado la atención en la cuestión de la construcción de las represen-taciones del sujeto, tanto para fines de la comprensión de fenómenos cognitivoscomo para fines de ayudar al sujeto en casos de disfuncionamiento de los meca-nismos cognitivos. El término de representación se utiliza aquí en el sentido deuna representación puntual y ocasional ligada a una situación particular (en casocontrario se habla de conocimientos o de concepciones, de conjuntos de conoci-mientos y de creencias estables en la memoria de largo plazo, o de estructuracognitiva si lo que interesa es su organización).

Estos trabajos toman en cuenta los conocimientos en juego, los problemas ysus características propias, intentan describir la actividad mental en términos deprocesos y estudian las representaciones.

Para dar una idea de estos trabajos, voy a hacer referencia en primer lugar aJ. Julo.10

En la resolución de un problema, la actividad cognitiva se desarrolla en dosvertientes, una relativa a la representación, la otra relativa a la acción. Eviden-temente estas dos vertientes están estrechamente ligadas. En esta construcciónintervienen varios procesos que están naturalmente concatenados y no son su-cesivos:

• Un proceso de interpretación y de selecciónA partir del contexto semántico que se le propone, el sujeto realiza unaselección de las informaciones que le parecen pertinentes. Esta selección


Marie-Lise Peltier

10 J. Julo (1995), Représentation des problèmes et réussite en mathématiques, PUR.

está, por supuesto, en relación con sus conocimientos anteriores disponi-bles en un doble movimiento, de los conocimientos disponibles hacia lasinformaciones y de las informaciones hacia los conocimientos disponibles,desencadenados por la consideración de las informaciones.

• Un proceso de estructuraciónEl contenido de las representaciones no es un conjunto de entidades dis-juntas. Las representaciones están fuertemente organizadas, su contenidoconstituye “un todo” que tiene su funcionamiento y su lógica propios. Lacuestión consiste en saber cómo se efectúa la estructuración de la repre-sentación. Intervienen varios factores: el contexto semántico y los conoci-mientos anteriores que éste permite movilizar, las analogías con otros pro-blemas que él induce (los problemas encontrados con anterioridad sealmacenan en la memoria y desempeñan un papel de “esquemas de pro-blemas” que forman parte de los conocimientos puestos en funcionamientopor el sujeto en el momento de conocer el enunciado del problema), perotambién los procedimientos y las estrategias puestos en marcha progresiva-mente conforme se van haciendo intentos de resolución.

• Un proceso de operacionalizaciónYa hemos visto que la representación de la situación en la resolución deun problema tiene como propósito permitirnos actuar para alcanzar el ob-jetivo propuesto.

El proceso de operacionalización es el que permite el paso a la acción, ya seaque se trate de una acción efectiva (hacer un cálculo, un esquema…) o de unaacción mental (hacer deducciones, emitir una hipótesis…). Este paso a la acciónresulta de la aplicación de los conocimientos operatorios que provienen de nues-tra experiencia. Recíprocamente, el hecho de actuar va a tener, como lo hemossugerido ya, una influencia sobre la representación, especialmente sobre su es-tructuración, lo cual permitirá también integrar nuevos elementos, ya que, altransformar la situación inicial, la acción va a transformar el contenido de la re-presentación y también, sin duda, tendrá una repercusión sobre el control de lapertinencia de la representación con respecto al objetivo por alcanzar. Este pro-ceso de operacionalización se manifiesta especialmente en el tanteo.

La representación puede ser más o menos operacional, es decir, puede hacermás o menos fácil la elaboración de un procedimiento o de una estrategia.

La cuestión del paso de la representación a la acción todavía no se conocebien, pero pueden citarse algunos casos en los que este paso parece facilitarse.



El primero es el caso en el que los conocimientos operatorios se pueden po-ner en movimiento de inmediato ya que hay un reconocimiento por parte del su-jeto del tipo de problema. Éste es el caso en particular de los problemas que sonobjeto de un entrenamiento específico.

El segundo es el caso de los problemas en los que es posible desarrollar unagran cantidad de acciones, hacer numerosos ensayos, ya que en este caso la re-presentación inicial se enriquece y puede estructurarse.

El tercero es el caso más frecuente en matemáticas. Es el caso en el que losconocimientos adquiridos anteriormente y que se pueden poner en movimientopermiten modelizar la situación y trabajar con el modelo mediante modos de re-presentación simbólicos más operacionales que el lenguaje: esquemas, cuadros,diagramas, escrituras aritméticas. En efecto, el proceso de modelización simplificala representación, la vuelve considerablemente más operacional y permite el con-trol de la pertinencia.

Apoyándose en el análisis de los procesos cognitivos en juego en la actividadde resolución de problemas, J. Julo propone una modalidad de acción didácticapara ayudar a los alumnos a enriquecer su representación del problema y volverlaoperativa o, dicho de manera más simple, para ayudar a los alumnos a compren-der el problema para poderlo resolver y luchar contra los disfuncionamientos. Estamodalidad consiste en enriquecer el contexto que caracteriza el problema dado,proponiendo simultáneamente varios enunciados de ese problema (misma pro-blemática, mismos valores numéricos sólo cambia el contexto semántico) entrelos cuales el alumno escoge el que él quiere resolver, o bien, puede resolverlostodos. Esta modalidad está orientada hacia la representación y prácticamente noafecta el proceso de resolución.

Las experiencias realizadas muestran una clara mejoría en el grado de éxitode todos los alumnos, mejoría que puede explicarse por varios factores entre loscuales cabe destacar un peso menor del contexto en la construcción de la repre-sentación y, por ello, una posibilidad de estructuración acrecentada, así como unaumento de la probabilidad de poner en movimiento esquemas de problemas yde conocimientos operatorios.

II.3. LAS ETAPAS EN LA CONSTRUCCIÓN DEL SENTIDO DE UN PROBLEMA

La construcción del sentido de un problema se apoya en el paso de una repre-sentación de la situación a una representación del problema, es decir, a una re-


Marie-Lise Peltier

presentación de la situación que integra la vertiente de la acción. Las modalida-des de representación evolucionan progresivamente.

En el caso de los problemas aritméticos, la evolución puede dividirse en va-rias grandes etapas o, más bien, en varias modalidades grandes, ya que la evolu-ción no es necesariamente lineal.

A. Las modalidades de representación icónicas, figurativas o analógicas

• La modalidad de las representaciones figurativas no operativas se encuen-tran con frecuencia en el segundo ciclo y pueden estar todavía presentesen algunos alumnos del tercer ciclo.El niño percibe la historia con personajes y objetos, y se construye unaespecie de película pero sin percibir todavía la trama numérica. Si se lepide que represente por escrito la situación, hará dibujos que no permiti-rían un procedimiento de resolución.

• La modalidad de las representaciones figurativas operativas.El niño sigue dependiendo mucho del contexto y de la realidad a la queéste corresponde, pero puede organizarlo de manera operativa. Dibuja to-davía de una manera figurativa, pero ya toma en cuenta las informacionesnuméricas, el dibujo puede, por tanto, servir como un soporte para la re-solución.

• La modalidad de las representaciones analógicas.El niño permanece todavía ligado al contexto, a la representación de lospersonajes y de los objetos, pero, por una parte, no conserva más queaquellos que son pertinentes para el problema, por otra parte, ya no in-tenta fijar la realidad exactamente, puede simplificar los objetos, simboli-zarlos con ruedas, taches, puntos, con sus dedos… y utilizar esas coleccio-nes analógicas para resolver el problema al menos parcialmente, con unprocedimiento probablemente muy “primitivo” y de alcance muy local.

B. Las modalidades de las representaciones simbólicas

El niño se desprende de la representación icónica para interesarse ahora sólo enlas relaciones entre los objetos. Entre las representaciones simbólicas, se encuen-tran modos de representación esquemáticos (diagramas de Venn, esquemas con



flechas, cuadros, recta numérica, segmentos, tablas de proporcionalidad, etc.). Es-tos esquemas constituyen un medio para identificar con mayor claridad los ob-jetos matemáticos decisivos para la conceptualización. Constituye una modalidadmás abstracta y más rica en el plano operativo.

Encontramos finalmente las escrituras aritméticas que constituyen representa-ciones simbólicas particulares. Traducir el enunciado de un problema a una escri-tura numérica (del tipo ecuación para los problemas aritméticos) es una modalidadexperta de representación que permite dar la respuesta solicitada a un menorcosto. Esta modalidad supone la asimilación de las modalidades anteriores, tra-duce lo que normalmente se llama la adquisición del sentido del problema.

Estas representaciones simbólicas representan un papel que podría designar-se como “en espiral”: se apoyan en categorizaciones primitivas de diversas situa-ciones conocidas ya utilizadas, al mismo tiempo que posibilitan en el alumno eldesarrollo de competencias para categorizar las situaciones nuevas que encuen-tra y, de esta manera, afinar las primeras categorías que sirven otra vez comoapoyo para enriquecer las diversas clases de situaciones.

A cada una de estas modalidades se asocia una modalidad de representaciónmediante el lenguaje cuya función es múltiple: ayuda a la designación que permi-te la identificación de elementos de la situación y de sus relaciones, ayuda a laanticipación de los efectos y de las metas, ayuda al pensamiento, al razonamien-to y a la inferencia, ayuda a la organización de la acción, planificación y control.

II.4. DE LA REPRESENTACIÓN DE LA SITUACIÓN A LA PUESTA EN MARCHA

DE PROCEDIMIENTOS DE RESOLUCIÓN

Descaves11 insiste en el hecho de que construir la representación de un proble-ma y calcular su solución son dos fases de la resolución que están en interac-ción, pero que no utilizan los mismos procesos mentales: proceso de categoriza-ción para la construcción de la representación, procesos calculatorios en elsegundo caso. Plantea la hipótesis de que ciertos registros semióticos (esquemas,escrituras algebraicas) funcionan como interfases y pueden interpretarse primerocomo modelización de la situación y después como soporte que permite trans-formaciones simbólicas de los problemas.


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11 A. Descaves (1999), “Introduction du symbolisme à la fin de l’école élémentaire et au dé-but du collège”, en Actes du 26 ième Colloque de la Corirelem, Limoges, IREM du Limousin.

A continuación damos dos ejemplos que analiza A. Descaves para ilustrar loanterior, según si la representación icónica de la situación está en concordanciacon la escritura aritmética que traduce la solución, o si no lo está. Se trata delproblema de Paul, que tenía 105 francos y gastaba 99, y del de María a quien,después de haber gastado 150 francos, todavía le quedaban 200 francos.

El problema de Paul es un caso de concordancia. En efecto, la escritura aritmé-tica que representa el problema es idéntica a la que da la solución: 105 – 99 = ?

El cálculo efectivo de la solución depende por supuesto de los conocimien-tos empleados por los alumnos. Los procedimientos pueden ser muy numerososy variados y pueden basarse en:

• la relación de concordancia con la representación mental icónica (figura-tiva o analógica);

• la transformación previa de la representación icónica (reciprocidad detransformaciones: lo que Paul tiene ahora, agregado a lo que ha gastadoes 105 francos, por tanto 99 + ? = 105);

• una transformación de significado en el sistema aritmético del tratamien-to (buscar a — b equivale a encontrar lo que hay que agregar a b para ob-tener a);

• un sistema de transformaciones en el sistema de representación aritméti-ca (a — b = (a + n) — (b + n), por tanto, para calcular la diferencia 105 —99 se puede calcular la diferencia 106 — 100);

• la ejecución de una técnica operatoria;• transformaciones que operan sobre la representación aritmética del proble-

ma y sobre los conocimientos de numeración (—99 equivale a —100 + 1).

El problema de María es un caso de discordancia, puesto que la representa-ción icónica es la de una disminución y, por tanto, una escritura aritmética quetraduce este enunciado es del tipo ? — 150 = 200, en cambio, la escritura aritmé-tica experta que representa la solución es 200 + 150 = ?

Por consiguiente, aquí la discordancia implica necesariamente transformacio-nes. Los procedimientos pueden basarse en diversos tipos de transformaciones:

• una transformación previa que opera sobre la representación icónica de lasituación (¿cuánto hubiera conservado María si no hubiera ido de compras?);

• el tratamiento que opera sobre una representación esquemática del pro-blema, por ejemplo:



• uso de la reversibilidad de las transformaciones: —150, +105 en un es-quema sagital,—150? � 200

• uso de la recta numérica• uso de segmentos puestos uno detrás de otro que representan respec-

tivamente el gasto o lo que queda, etcétera.• el reconocimiento de una situación aditiva y el tanteo controlado, etcétera.

A partir de sus trabajos, A. Descaves propone una ayuda para pasar de la repre-sentación a la elaboración de un procedimiento de cálculo a través de un procesoalgebraizante. Puesto que la construcción del procedimiento de cálculo requiereuna transformación del significado dentro del sistema de representación o en eldel tratamiento aritmético, Descaves plantea la hipótesis de que el hecho de podernombrar la incógnita constituye en sí mismo una ayuda tanto para la compren-sión del problema como de para su tratamiento. Además, la introducción y la utili-zación de escrituras matemáticas pueden tener, según él, un papel determinantecomo ayuda para la categorización de los problemas. Así, desde el CE2,12 intro-duce una representación en un cuadro como soporte para la automatización deciertas relaciones numéricas, el cual permite imaginar en una coherencia casi for-mal entre las tres escrituras: 6 + 4= 10, 10 — 4 = 6 y 10 — 6 = 4.

10

6 4

Se dan entonces varios problemas y varias escrituras matemáticas, los alum-nos deben vincular cada problema con las escrituras que lo traducen (un problema,varias escrituras posibles), después deben asociar cada problema a uno de los doscuadros que le corresponden, lo que conduce a categorizar los problemas.

Por otra parte, si se parte de la hipótesis de que la modelización permite unamejoría en el tratamiento del problema, la pregunta es si sería razonable propo-ner a los alumnos un aprendizaje de la esquematización. A. Broner y el equipode investigación ERES de Montepellier realizan actualmente un estudio sobre esacuestión, apoyándose en las hipótesis siguientes:


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12 N de T: CE2 corresponde al tercer grado de primaria en México.

• Los esquemas desempeñan un papel de representaciones intermedias en-tre el lenguaje natural y el simbolismo matemático.

• Los esquemas no son ni necesarios ni indispensables para una resoluciónexitosa del problema; sin embargo, constituyen una ayuda eficaz para larepresentación y la resolución de problemas estándar difíciles o de proble-mas complejos que el maestro podría difícilmente proponer en un nivelescolar dado.

• Para ser eficaz, la esquematización supone una enseñanza en la que losesquemas se integran como herramienta de ayuda junto con las herra-mientas matemáticas, una enseñanza donde el lugar y el estatuto debenpensarse dentro de la progresión de aprendizaje y las situaciones propuestas.

Los primeros resultados parecen mostrar que si bien los alumnos que ya lo-graban resolver problemas sin utilizar los esquemas no siempre los utilizan en laresolución de nuevos problemas después de la enseñanza específica de la esque-matización, algunos de los que no lograban desarrollar procedimientos de reso-lución antes de la enseñanza se apropian de este procedimiento con éxito.

En la Teoría de las Situaciones, G. Brousseau13 plantea la hipótesis de que“el sentido de un conocimiento proviene en gran parte del hecho de que el alum-no adquiere este conocimiento adaptándose a las situaciones didácticas que leson devueltas” y admite también que “para todo conocimiento existe una familiade situaciones susceptible de darle un sentido correcto”. Precisa que “en ciertoscasos, existen algunas situaciones fundamentales accesibles al alumno en un mo-mento dado que le permiten construir, en relativamente poco tiempo, una con-cepción correcta del conocimiento (…)”. A partir del ejemplo de la enseñanza dela sustracción, G. Brousseau14 propone una situación fundamental, la cual, segúnafirma, permite construir a la vez el sentido correcto de la sustracción y los pro-cedimientos de resolución. Se trata de “el juego de la caja”. Para describir esta si-tuación que se desarrolla en 17 sesiones, G. Brousseau empieza por insistir enla necesidad de devolver a los alumnos no únicamente el problema sino también lapregunta, y muestra cómo pueden aprovechar las fases adidácticas en la situacióndidáctica elaborada por el maestro, de manera que se logre que el alumno seresponsabilice del conocimiento que va a adquirir. La articulación del sentido yde la técnica se trata mediante la consideración de los procedimientos empíricos



13 G. Brousseau (1998), Théorie des situations didactiques, La Pensée Sauvage, p. 73.14 Ibid.

utilizados por los alumnos en las fases de acción, mediante su evolución a lo largode un periodo de tiempo largo, gracias a un juego sobre las variables de comandoque están a disposición del maestro, y mediante la institucionalización de una téc-nica oficial cuando ya se ha efectuado un trabajo importante sobre la cuestión.

Aquí el punto de vista de R. Douady sobre la herramienta dialéctica aportaelementos interesantes para comprender el paso de los procedimientos de cálculoempíricos, en cuanto herramientas de resolución, a la utilización de procedimien-tos expertos de cálculo reflexivo o algoritmizado, es decir, a objetos de saber.

Podemos mencionar también aquí las ideas de R. Brissiaud para ayudar a losalumnos a establecer procedimientos de cálculo expertos. Brissiaud concede es-pecial importancia a las relaciones de concordancia o de discordancia entre larepresentación inicial de un problema y la economía de su resolución numérica.Considera que se trata aquí de un fenómeno que permite precisar los interjuegosde la conceptualización aritmética y elaborar situaciones de aprendizaje. Bris-siaud dice que hay concordancia en un enunciado como “Juan tiene 105 francos,gasta 6 francos, ¿cuánto tiene ahora?”, puesto que el resultado de la operación105 — 6 puede determinarse por un conteo regresivo de manera económica y,por tanto, sin un procedimiento de cálculo de la sustracción. De la misma ma-nera, el problema “un niño compra tres chocolates a 50 francos cada uno, ¿cuáles el precio total?” es un caso de concordancia pues 3 × 50 puede calcularse demanera económica, mediante 50 + 50 + 50. En cambio, hay discordancia en loscasos siguientes: “Juan tiene 105 francos gasta 67, ¿cuánto tiene ahora?”, o bien,“un niño compra 50 chocolates a 3 francos cada uno ¿cuál es el precio total?”,porque el procedimiento de cálculo experto es económico con respecto a los pro-cedimientos empíricos. Brissiaud plantea entonces la hipótesis de que, para quehaya aprendizaje, el primer encuentro con una operación debe ser en una situa-ción de discordancia y que, por tanto, conviene enseñar el procedimiento expertoen el caso de discordancia. Podría pensarse por el contrario que es precisamenteel juego sobre las variables numéricas lo que va a permitir una evolución de losprocedimientos empíricos hacia procedimientos más elaborados, es decir exper-tos, sin pérdida de sentido, y que la utilización por parte del alumno de un pro-cedimiento experto en un caso de discordancia podría ser una manifestación dela comprensión de ciertas propiedades de la operación.

Por otra parte el sentido de un problema no es el sentido de un concepto,inferir la construcción del sentido solamente del primer encuentro es tal vez unpoco reductor de la manera en la que se puede construir el sentido de un con-cepto. Estas cuestiones deben seguir siendo estudiadas.


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Las investigaciones de D. Butlen y M. Pezard15 muestran el impacto de unapráctica regular de cálculo mental sobre las competencias de los alumnos en laresolución de los problemas aritméticos. En efecto, si el cálculo mental aporta demanera natural un mejor dominio de los cálculos e interviene como una herra-mienta de previsión o de control, abre paralelamente un espacio de libertad enla búsqueda del modelo, permitiendo tomar cierta distancia con respecto a losdatos numéricos y una exploración más cómoda de las relaciones entre los datos.Los autores concluyen: “el aporte de cálculo mental se vincula con la heurísticaen la medida en que ayuda al alumno a adquirir estrategias de resolución de pro-blemas numéricos”.

Finalmente tres tipos de tareas contribuyen a mejorar de manera significati-va la resolución de problemas aritméticos en el caso de muchos alumnos:

• El entrenamiento regular en la utilización de diferentes procedimientos decálculo basados en diferentes significaciones de las operaciones.

• La adquisición de automatismos en la producción de relaciones numéricas.• El entrenamiento para hacer explícitas las elecciones de las operaciones y

de los procedimientos de cálculo empleados en la resolución, esto con di-ferentes registros de escritura.

II.5. EL PAPEL DEL MAESTRO

Desde un punto de vista práctico, es muy compleja la tarea, delegada al maes-tro, que consiste en seleccionar o construir clases de problemas que permitan alos alumnos construir un concepto tal como el de una operación aritmética. Paraintentar llevar esta tarea a buen término, es importante que el maestro tenga encuenta cierto número de parámetros sobre los cuales puede maniobrar. Algunosde éstos han sido objeto de amplios comentarios en el presente texto, mientrasque otros sólo se han mencionado. Desde nuestro punto de vista, el parámetrofundamental es la estructura del problema. El análisis de esta estructura, la iden-tificación de la subcategoría dentro de la estructura dada, que es función del ele-mento que se busca, permite ubicar con precisión los conocimientos en juego,entrever a priori los procedimientos de los alumnos y, en consecuencia, preparar



15 D. Butlen y M. Pezard (2000), “Calcul mental et résolution de problèmes numériques audébut du collège”, Revue Repères Inter-IREM, París, pp. 5-24.

las ayudas que puedan ser necesarias. Este análisis permite construir una progre-sión a mediano y largo plazo con el propósito de cubrir lo más posible el campode problemas susceptibles de ser planteados y, por tanto, permite aproximarse alconcepto bajo sus múltiples aspectos. Este análisis, finalmente, lleva a proponerevaluaciones adecuadas al trabajo ya efectuado con los alumnos.

Los valores numéricos constituyen el segundo parámetro fundamental, pues,por una parte, haciéndolos variar, el maestro podrá adaptar el problema a susalumnos y, por otra parte, podrá propiciar la evolución de sus procedimientos deresolución. El docente puede hacer elecciones con respecto a la naturaleza delos números (enteros, decimales, fracciones), con respecto a sus característicasaritméticas (paridad, divisores primos, relaciones con la base de numeración, etc.),con respecto a su tamaño y a su tamaño relativo y con respecto a la naturalezade las magnitudes que representan. Por supuesto, es fundamental un análisis deltexto del problema, como texto escrito: las características lingüísticas del enun-ciado (vocabulario, presencia de operadores semánticos, sintaxis, puntuación), suorganización (isomorfismo o no, isomorfismo entre la estructura temporal delenunciado y la de la situación evocada), el lugar de la pregunta, todo ello tieneuna incidencia importante en la construcción de la representación del problemapor parte del alumno. Finalmente, la elección de contextos más o menos vincu-lados a campos de experiencia de los alumnos puede facilitar o, por el contrario,dificultar esta construcción.

CONCLUSIONES

La aportación de la teoría de campos conceptuales asociada a una reflexión so-bre la organización didáctica que tiene en cuenta, a la vez, las funciones episte-mológicas de los conceptos, la significación social de los dominios de experien-cia a los que éstos hacen referencia, las interacciones entre los actores de lasituación didáctica y, en consecuencia, el contrato, es fundamental para llevar alos alumnos a construir el sentido de las “operaciones”, proponiéndoles problemasque cubren, tanto como se pueda, una gran variedad de categorías. Queremosinsistir en la fuerte imbricación que hay entre la adquisición del sentido de unproblema y los procedimientos de resolución que los alumnos ponen en funcio-namiento, ya que hemos visto que las tentativas de resolución tienen influenciaen la representación del problema y, en consecuencia, que estos procedimientos,aunque sean arcaicos, contribuyen a la construcción del sentido. Insistimos, igual-


Marie-Lise Peltier

mente, en la necesidad de que el profesor juegue con las variables de las situa-ciones para hacer evolucionar las técnicas empíricas hacia técnicas más expertasde cálculo reflexivo o algoritmetizado. También quedó planteado el asunto delpeso respectivo del trabajo sobre el sentido y de éste sobre la adquisición de téc-nicas. Pero el sentido y el funcionamiento automático de los conocimientos nose oponen, todo lo contrario, es indispensable tener un funcionamiento automá-tico sobre ciertos puntos para liberar espacio de trabajo en la memoria y abor-dar así objetos nuevos. Cuando el profesor decide poner orden en estas técnicasdiversas y pasar a una fase de institucionalización de una técnica convencionaloficial, es posible regresar al sentido, preguntándose por los mecanismos movili-zados en la técnica y en su justificación matemática; el funcionamiento automá-tico que se alcanza con fines de aprendizaje necesita, a su vez, la puesta en marchade medios de control que se apoyen en el sentido.

Finalmente, sólo se puede estar seguro, en términos prácticos, de que unalumno dispone de un concepto matemático con suficiencia de sentido, cuandoes capaz de movilizarlo sin ayuda en situaciones suficientemente complejas enlas que entra en juego el concepto, y de utilizar los diferentes teoremas asociados.Esto requiere que el alumno haya tenido, con suficiente frecuencia, la ocasión detener que actuar bajo su propia responsabilidad sobre este tipo de problemas, yque haya tenido que plantearse preguntas fundamentales en relación con el sen-tido del concepto. Sólo a largo plazo se puede construir tal aprendizaje.

ANEXO 1

TIPOLOGÍA DE G VERGNAUD16 RELATIVA A LAS ESTRUCTURAS ADITIVAS

En la escuela elemental, los problemas aditivos se localizan, esencialmente, enlas tres primeras estructuras:

• Composición de dos medidasEn esta familia se encuentran esencialmente los problemas de reunión ode fraccionamiento de colecciones o de magnitudes medibles. Según quese busque el todo o una de las partes, la operación experta asociada esuna adición o una sustracción.



16 Tomada del libro Le moniteur de mathématiques, Résolution de problèmes, bajo la di-rección de G. Vergnaud, Nathan (1997), p. 16.

• Relación de transformación de estadosSe trata de enunciados que describen situaciones que se desarrollan amenudo en el tiempo, en las que se puede identificar un estado inicial yuna transformación (positiva o negativa) que opera sobre este estado parallegar a un estado final. Esta estructura permite definir seis categorías deproblemas, según si la transformación es positiva o negativa y si la bús-queda lleva al estado final, a la transformación o al estado inicial.

• Relación de comparación aditivaDos estados relativos a dos magnitudes medibles o localizables se compa-ran de manera aditiva, donde una de las magnitudes desempeña el papelde referente de la otra. La relación se enuncia mediante las expresiones“de más” o “de menos”. En esta familia se encuentran, igualmente, seis ca-tegorías según si la relación es positiva o negativa, y si la pregunta lleva ala búsqueda del referido, de la comparación o del referente.

Entre las otras estructuras se encuentran:

• Las composiciones de transformacionesDos transformaciones o más se aplican sucesivamente a estados descono-cidos (porque si fueran conocidos, caerían en la familia de “relaciones detransformación”). La transformación única, compuesta de estas transfor-maciones, permite transformar el estado inicial en el estado final obteni-do después de la aplicación de todas las transformaciones implicadas.

En esta familia, el número de subcategorías depende del número detransformaciones compuestas; en el caso de dos, se pueden definir docesubcategorías según si las transformaciones compuestas son del mismosigno (dos casos), de signos opuestos (dos casos, según si la composiciónes positiva o negativa), y si la pregunta lleva a la determinación de la com-posición o de una de las dos transformaciones (tres casos).

• Las composiciones de relaciones• Las comparaciones de transformaciones

Estos dos últimos casos pueden describirse de manera análoga a los anterio-res. No aparecen prácticamente en ningún problema planteado en la escuela ele-mental.


Marie-Lise Peltier



Cuadro de las relaciones aditivas

ALGUNOS EJEMPLOS DE PROBLEMAS ADITIVOS

Relación parte-parte-todo

Transformación de estadosRelación

Estado-transformación-estado Composición de relaciones

Comparación de estadosRelación referido-

comparación-referente

Composiciónde transformaciones

Composiciónde transformaciones

1 2 3

4 5 6

Matilde gastó 149 F al comprar un casete de68 F y un libro. ¿Cuál es el precio del libro?

En el salón hay 42 mesas y 27 sillas. ¿Cuántassillas es necesario traer para que haya una si-lla para cada mesa?

Kevin tiene 145 timbres en su colección. Víctortiene 20 más. ¿Cuántos timbres tiene Víctor?

Hoy hay 15° de temperatura en París, es decir,12° menos que en Niza. ¿Cuál es la tempera-tura en Niza?

En un puesto de la feria, Laura probó suertedos veces seguidas. La primera vez, perdió 17puntos. En total, ganó 50 puntos. ¿Qué pasó lasegunda vez?

Composición de dos medidas. Se conoce unamedida y la composición, se busca la otra.

Transformación de estados. Se busca la trans-formación necesaria para que del estado ini-cial 27, se obtenga el estado final 42 definidopor el cardinal de una colección de referencia(las mesas).17

Comparación positiva entre dos estados. Sebusca el estado referido

Comparación negativa entre dos estados. Sebusca el estado referente.

Composición de dos transformaciones, se co-noce la primera transformación (negativa) y lacomposición (positiva), se busca la segunda.

17 R. Brissiaud define una categoría particular para este tipo de problemas que designa“problemas de igualación”. Por nuestra parte, consideramos que se trata de un caso particu-lar de problemas de transformación.

ANEXO 2

TIPOLOGÍA DE G. VERGNAUD RELATIVA A LAS ESTRUCTURAS MULTIPLICATIVAS

La comparación multiplicativa de magnitudes

En esta categoría, se encuentran los problemas que utilizan una única magnitud(medible o localizable) y dos estados relativos a esa magnitud, los cuales son ob-jeto de la comparación multiplicativa: uno representa el papel de referente delotro. La relación numérica de comparación es entonces una relación de naturale-za escalar (sin dimensión) que se enuncia mediante las expresiones “tantas vecesmás”, “tantas veces menos”, de las que se dice que son difíciles de comprender porel hecho de que se yuxtapone un término que alude al dominio multiplicativo yotro que remite al dominio aditivo.

Se puede pensar en seis subcategorías, según si la relación multiplicativa sedefine por un coeficiente mayor o menor que 1, y si la pregunta lleva a la bús-queda del referido, de la comparación o del referente.

La proporcionalidad simple

Las situaciones correspondientes a esta categoría pueden representarse mediantetablas numéricas y están asociadas a una función lineal (función “multiplicar por”o “dividir entre”), conducen a realizar ya sea una multiplicación, una división, unadivisión cociente, o una “regla de tres”, es decir, buscan la cuarta proporcional.

En estos problemas se utilizan dos dominios de magnitudes y una relaciónfuncional multiplicativa entre éstos. A menudo, en los problemas de esta cate-goría parece que sólo intervienen dos números, de hecho, también interviene launidad, aunque con frecuencia no aparece explícitamente como su número(“¿cuál es el costo de 8 cuernitos de 4F cada uno?”).

Para resolver estos problemas, el razonamiento puede pasar por el coeficientede proporcionalidad entre las dos magnitudes; o por las propiedades de linealidad dela función lineal asociada:18 multiplicación por un escalar o propiedad de aditividad.


Marie-Lise Peltier

18 Una función lineal f de R en R es una función que a todo número real x le asocia el nú-mero ax, que se obtiene multiplicando el número x por el coeficiente a llamado coeficiente dela función lineal (corresponde al coeficiente de proporcionalidad).

Se llama propiedades de linealidad a las dos propiedades siguientes:

Proporcionalidad simple compuesta

En estos problemas intervienen tres magnitudes; se definen dos relaciones deproporcionalidad simple y la situación conduce a componer estas dos relacionesde proporcionalidad.

Este caso lleva a numerosos problemas según si los elementos se dan o sebuscan.

La proporcionalidad doble (o múltiple)

Los problemas de proporcionalidad doble (o múltiple) son problemas en los queintervienen dos dominios de magnitudes (o más) que son independientes (no hayninguna relación funcional entre ellos) y tales que una relación asocia a una pa-reja (o a una n-ada) de medidas de cada magnitud una tercera (o una n + 1-ési-ma) magnitud llamada magnitud producto.

Entonces, es fundamental determinar la imagen de la pareja (o de la n-ada)de las unidades de las dos (o n) magnitudes. Esta imagen puede ser la unidad dela magnitud producto u otra magnitud.

Las magnitudes pueden ser discretas o continuas.El caso particular de la búsqueda de la relación entre el cardinal del produc-

to cartesiano19 de dos conjuntos finitos y el cardinal de cada uno de ellos corres-ponde a dos magnitudes discretas para las que la imagen de la pareja (1, 1) esigual a 1. En esta categoría se encuentran los problemas del número de cuadra-dos de una cuadrícula rectangular y, de manera general, los problemas que co-rresponden a una composición multiplicativa de dos magnitudes discretas.

La relación entre la medida del área de un rectángulo y las de las longitudesde sus lados pertenece igualmente a este caso. Aquí, las magnitudes son conti-nuas y la imagen de la pareja (1, 1) es 1 y, entonces, la de la pareja (x, y) es xy.

En el caso general, si la imagen de la pareja (1, 1) es el número real α, la ima-gen de la pareja (x, y) es αxy.



Para todo par (x, y) de números reales, f (x + y) = f (x) + f (y).Para todo real x, y para todo escalar real λ, f (λx) = λ f (x).

19 El producto cartesiano de dos conjuntos es el conjunto de todas las parejas posiblescuya primera coordenada es un elemento del primer conjunto y la segunda, un elemento delsegundo conjunto.

Cuadro de relaciones multiplicativas


Marie-Lise Peltier

Comparación multiplicativa Proporcionalidad simple

Proporcionalidad simple compuesta Proporcionalidad doble

1 2

3 4

Un ciclista hace un recorrido en una pista de350 m, si da 2 vueltas a la pista por minuto,durante 25 minutos ¿qué distancia recorre?

Para transportar 840 huevos, un mayorista uti-liza 7 cajas en las que puede poner bandejasde 24 huevos. ¿Cuántas bandejas pone en cadacaja?

Un restaurante hace un pedido por 540 F debotellas de agua mineral de 3 F la botella; lasbotellas vienen en paquetes de 12. ¿Cuántospaquetes recibirá?

Para disfrazar a un payaso se tienen 5 sombre-ros y 12 trajes ¿de cuántas maneras diferentesse puede disfrazar el payaso?

Un rectángulo cuadriculado está compuesto de48 cuadrados, sobre su largo hay 8 cuadrados,¿Cuántos cuadrados hay sobre su ancho?




Caso particular de proporcionalidad doble: bús-queda del cardinal de un producto cartesiano,la imagen de la pareja (1, 1) es 1.

Caso particular de proporcionalidad doble: bús-queda del cardinal de un producto cartesiano,la imagen de la pareja (1, 1) es 1.

EJEMPLOS DE PROBLEMAS MULTIPLICATIVOS


Artigue, M. (1984), Contribution à l’étude de la reproductibilité des situations di-dactiques, tesis de doctorado de Estado, París VII.

Brissiaud, R. (1998), Le progrès en arithmétiques : continuités et ruptures avecl’expérience quotidienne. L’articulation entre le calcul et la résolution de pro-blèmes: quatre attitudes pédagogiques, libro del maestro del manual escolarJ’apprends les maths, CM1, Retz, París, pp. 4-27.

Brousseau G. (1989), RDM 9/3, Grenoble, La pensée sauvage, p. 327.–––––– (1998), Théorie des situations didactiques, Grenoble, La pensée sauvage,

p. 73.Brun, J. (1990), “La résolution de problèmes arithmétiques–Bilan et perspectives”,

Math-Ecole, Neufchatel, núm. 141.



La pensión en un hotel es de 250 F por perso-na y por día. ¿Cuánto pagará un grupo de 5personas por una estancia de 17 días?

Un terreno rectangular mide 120 m de largo y47 m de ancho. ¿Cuál es su área?

Para regar los árboles de su huerta, un produc-tor de frutas utilizó 560 litros de agua en 7días. Se necesitan 8 litros de agua por árbolpor día. ¿Cuántos árboles hay en la huerta?

En una caja de chocolates, hay 6 chocolatesamargos y 3 veces más chocolates con leche.¿Cuántos chocolates con leche hay?

En el grupo A, hay 15 niños, tres veces menosque en el grupo B. ¿Cuántos niños hay en elgrupo B?

Juan tiene 54 canicas y Pedro tiene 18, ¿cuán-tas veces menos que Juan?

Un objeto cuesta 18 F en el supermercado y,en la tienda del barrio, 27 F ¿cuántas vecesmás que en el supermercado?

Proporcionalidad doble: la imagen de la pareja(1, 1) es 250

Caso particular de proporcionalidad doble: bús-queda del cardinal de un producto de dos me-didas, la imagen de la pareja (1, 1) es 1.

Proporcionalidad doble, la imagen de la pareja(1, 1) es 8.

Comparación multiplicativa



Comparación multiplicativa.

Butlen D. y M. Pezard (2000), “Calcul mental et résolution de problèmes numé-riques au début du collège”, Revue Repères Inter-IREM, París, pp. 5-24.

Descaves, A. (1999), “Introduction du symbolisme à la fin de l’école élémentaireet au début du collège”, en Actes du 26ème Colloque de la Corirelem, Limo-ges, IREM du Limousin.

–––––– (2001), “L’apprentissage du sens, certes! mais dans quel sens prendre lesens”, en Actes du 28ème Colloque de la Copirelem, Tours, Orleans, PUO.

Douady, R. (1986), “Jeux de cadre et dialectique outil-objet dans l’enseignementdes mathématiques”, RDM 7.2, Grenoble, La pensée sauvage.

Fabre, M. (1999), Situations problèmes et apprentissages scolaires. París, PUF.Julo, J. (1995), Représentation des problèmes et réussite en mathématiques, PUR.Vergnaud, G. (1990), “La théorie des champs conceptuels”, RDM 10.2.3, Grenoble,

La pensée sauvage.–––––– (1994), “Le rôle de l’enseignant à la limite des concepts de schème et de

champ conceptuel”, Vingt ans de Didactique des mathématiques en France,bajo la dirección de M. Artigue, Grenoble, La pensée sauvage.

–––––– (1997) (dir.), Le moniteur de mathématiques, Résolution de problémes.Francia, Nathan.


Marie-Lise Peltier

DATOS DE LA AUTORA

Marie-Lise Peltier BarbierMaestra de conferencias en didáctica de las matemáticas, IUFM, de Rouen, Francia

[email protected]


Capacidad espacial y educación matemática:tres problemas para el futurode la investigación

Modesto Arrieta

RReessuummeenn:: Desde los años cincuenta los educadores matemáticos han estado in-teresados en la capacidad espacial, debido principalmente a su relación con lamatemática en general y la geometría en particular. Términos como pensamien-to espacial, visualización, orientación espacial... han sido tratados sin un modeloteórico de referencia, lo que dificulta la obtención de conclusiones válidas.

Se proponen tres problemas para el futuro de la investigación: La necesidadde un modelo que haga referencia a la estructura factorial, a los procesos cogni-tivos y a las estrategias utilizadas en las tareas espaciales; la necesidad de otromodelo de desarrollo de los contenidos geométricos asociados a la capacidad es-pacial; y la necesidad de un modelo de propuesta didáctica que nos permita ela-borar propuestas coherentes y eficaces.

Palabras clave: Capacidad espacial, orientación espacial, visualización, geometría.

AAbbssttrraacctt:: Ever since the 50s, mathematics tutors have been interested in spatialability, mainly, due to its connection to performance of mathematics in general andin geometry in particular. Terms such as spatial thought, visualization, spatialorientation, have been dealt with, without having a model on which to fall backon, which has brought about such variety of names, concepts and tests from ca-rried out research that makes it extremely difficult to obtain valid conclusions.

Three problems for the future of the investigation are proposed: The need ofa model that do reference to the structure factorial, to the cognitive processes andto the strategies utilized in the spatial tasks. The need of another developmentmodel of geometrics concepts associated to the spatial ability and the need of adidactics model that permit us to elaborate efficient and coherent proposals.

Keywords: Spatial ability, spatial orientation, visualization, spatial thought.

Fecha de recepción: febrero de 2002.

INTRODUCCIÓN

De la importancia de la Capacidad de Visualización Espacial en la EducaciónMatemática dan fe las investigaciones desarrolladas a lo largo de estos últimosaños y cuyos resultados más relevantes vienen discutidos en las revisiones reali-zadas por Bishop (1980, 1989), Clements y Battista (1992), Clements (1998) yGutiérrez (1998).

Esta importancia proviene de la necesidad teórica y práctica para entendercómo los individuos representan mentalmente el mundo físico y que éste estácentrado en la existencia de varias capacidades espaciales (asociadas al hemisferioderecho del cerebro), que se diferencian de las capacidades verbales (asociadasal hemisferio izquierdo) y, aunque la identificación del factor espacial tiene susraíces en el estudio de la aptitud mecánica (Stenquist, 1922; Cox, 1928) y la capa-cidad práctica (Kohs,1923; Mac-Farlane, 1925), desde 1925 numerosos estudiosfactoriales han identificado un factor espacial matemáticamente distinto de la ca-pacidad verbal, el cual Kelley (1928) describió como la capacidad de manipularmentalmente figuras (véase McGee, 1979).

Pero no es hasta los años cincuenta cuando los educadores matemáticos se in-teresan por dicho campo y relacionan la capacidad espacial con la capacidad mate-mática. Murray (1949), Barakat (1951) y Wrigley (1958) encuentran que la capaci-dad de resolver tests espaciales correlaciona más alto con la capacidad en geometríaque en álgebra. Mac-Farlane (1964) argumentó que la capacidad espacial era esen-cial para la capacidad matemática al igual que Fennema (1979) y Tartre (1990), quetambién reconocen la relación de la capacidad espacial con las matemáticas.

¿PARA QUÉ ES NECESARIA LA CAPACIDAD ESPACIAL?

Los currícula de la enseñanza obligatoria dan fe de esta finalidad, ya que al es-tudio de la Matemática se le reconoce el desarrollo de la capacidad intelectualde los sujetos. Además, el pensamiento espacial es esencial para el pensamientocientífico. Así lo creían Hadamard y Einstein, que lo consideraban esencial para elpensamiento creativo en todos los niveles de matemáticas (Lean y Clements,1981). Además el pensamiento espacial está relacionado con la geometría tal co-mo lo indican Suydam (1985), Usiskin (1987) y el National Council of Teachersof Mathematics (1989), y se utiliza para representar y manipular información enel aprendizaje y en la resolución de problemas (véase Clements y Battista, 1992).


Capacidad espacial y educación matemática

Además, en algunas profesiones esta habilidad es imprescindible: por ejem-plo, para un escultor, un dibujante, un ingeniero, un arquitecto, un topógrafo....ya que es difícil imaginar el progreso en estos dominios sin una habilidad visoes-pacial especialmente desarrollada y, con frecuencia, las medidas de capacidadespacial son las únicas que discriminan para ciertos cursos gráficos y de diseñode ingeniería o en trabajos como mecánico, arquitecto o piloto.

¿POR QUÉ ELEGIMOS LA CAPACIDAD ESPACIAL?

¿Por qué elegimos la capacidad espacial en detrimento de la capacidad numéri-ca o de la capacidad de razonamiento? Evidentemente, todas estas capacidadesque tienen una relación directa con el estudio de la Matemática, sobre todo enedades elementales, son susceptibles de estudio y análisis por parte de los edu-cadores matemáticos, pero se constata un déficit de instrucción en contenidosmatemáticos asociados a la capacidad espacial que conviene compensar.

El desarrollo de la aptitud numérica ha sido impulsado en todos los currícu-la sin distinción, ya que el Bloque Temático de Aritmética dedicado a Númerosy Operaciones nunca ha sido puesto en entredicho. El desarrollo de la Capaci-dad de razonamiento lógico tampoco se ha puesto nunca en duda y ha tenidoun lugar preponderante en los diferentes niveles educativos, aunque su trata-miento siempre ha tenido el problema de la falta de explicitación como contenidomatemático, pues se asocia a la demostración y al uso de estrategias en la reso-lución de problemas.

Por el contrario, los contenidos geométricos asociados a la capacidad espacialsí han tenido durante años un déficit de tratamiento, ya que en los años de implan-tación de la Enseñanza General Básica, prácticamente desapareció de los planes deestudio en las décadas de los sesenta y setenta, debido al impulso de la llamada“Matemática moderna”, a su formalismo y a la algebrización de la geometría.

Como botón de muestra basta citar el libro de Brueckner y Bond (1981),Diagnóstico y tratamiento de las dificultades en el aprendizaje, todo un clásicoque trata del diagnóstico y tratamiento de las dificultades de lenguaje en su ver-tiente lectora, escritora... pero en lo que a las matemáticas se refiere sólo trata lasdificultades aritméticas y las de la resolución de problemas asociados sin men-cionar las dificultades geométricas.

En el Manual de IGF-inteligencia general y factorial (Yuste, 1997), se mencionaque la correlación de la aptitud espacial con lengua, inglés, matemáticas, natura-


Modesto Arrieta

les y sociales es la menor de las correlaciones de entre todas las aptitudes con-sideradas. De ahí que de las cuatro capacidades primarias: razonamiento abstrac-to, aptitud espacial, razonamiento verbal y aptitud numérica, la aptitud espaciales la que menos relación tiene con todas y cada una de las áreas del currículum,incluida la matemática. Esto nos indica la menor relación del área de matemá-ticas con la aptitud espacial y justifica el empeño de dedicar nuestro tiempo y es-fuerzo al análisis de dicha capacidad y paliar en lo posible este déficit.

Clements y Battista (1992) dan cuenta de la poca atención instruccional enlos Estados Unidos, así como Herskowitz, Parzysz y Van Dormolen (1996) desta-can el déficit instruccional y señalan que la educación visual se descuida a me-nudo en el currículum.

En los años ochenta se ha intentado comprender mejor los fenómenos liga-dos al aprendizaje y se le ha dado mayor importancia a la generación de imáge-nes mentales adecuadas para el desarrollo de habilidades como la visualizaciónmatemática en la resolución de problemas.

En España, es a partir de los Programas Renovados de 1985 cuando la capa-cidad espacial vuelve a adquirir una importancia análoga al resto de las capacida-des, al incluirse los conceptos propios de una geometría más intuitiva y práctica.

También interesa destacar que últimamente se está detectando una mejoraen la aptitud espacial de los alumnos debido, seguramente, a la “cultura” de laTV y al uso de máquinas electrónicas, ordenadores, juegos electrónicos tipo “te-tris”, calculadoras gráficas... con mayor presencia de lo visoespacial, aunque toda-vía se detecta un menor aprovechamiento escolar en matemáticas debido, segu-ramente, a la menor presencia de todo lo espacial y geométrico en los programasescolares (Hidalgo, Maroto, Palacios, 1999).

¿QUÉ NOS INTERESA DE LA CAPACIDAD ESPACIAL?

Adentrarse en el tema de la capacidad de visualización espacial supone adentrarseen un tema controvertido y aparentemente anárquico, pues difícilmente dos in-vestigadores se ponen de acuerdo en conceptos básicos y fundamentales como:capacidad espacial, visualización, orientación espacial, relaciones espaciales, pensa-miento espacial... Lohman et al. (1987) identifican algunos de estos problemas:

• Idénticos tests aparecen con diferentes nombres en diferentes estudios.• Tests con el mismo nombre son a veces diferentes.



• El formato y la administración pueden alterar la composición factorial deun test.

• Más importante es la omnipresente diferencia en el factor de extracción ycriterio de rotación usados por diferentes investigadores incluso por elmismo investigador

De ahí que, antes que nada, debemos poner un poco de orden en esta apa-rente maraña de conceptos y, en la medida de lo posible, proponer una estruc-tura con las suficientes garantías teóricas y empíricas que nos permitan situar lacapacidad espacial de tal manera que las investigaciones posteriores puedan tra-bajar con conceptos y pruebas unificadas y replicables.

Históricamente, las capacidades espaciales son las primeras que fueron medi-das usando materiales concretos. La aplicación de tests de papel-y-lápiz a grupos(dictado por conveniencia y no por teoría) alteró más sustancialmente la medidade las capacidades espaciales que la medida de las capacidades verbales.

Pero seguramente el problema más complejo es el de que los sujetos puedenutilizar diferentes estrategias en el mismo test. Esto complica enormemente la in-terpretación conjunta de estudios correlacionales y de procesamiento de la infor-mación de la capacidad espacial.

La falta de un modelo teórico, tanto de factores como de procesos y estrate-gias, ha dificultado enormemente un avance en el estudio de la capacidad de vi-sualización espacial y, como dicen Lohman et al. (1987), quizás el único caminopara resumir toda la literatura es reanalizar estudios desde una perspectiva teó-rica común.

1ER PROBLEMA: ANÁLISIS DE LA ESTRUCTURA DE LA CAPACIDADESPACIAL REFERIDA A FACTORES, A LOS PROCESOS COGNITIVOSASOCIADOS Y A LAS ESTRATEGIAS UTILIZADAS EN LA RESOLUCIÓNDE TAREAS ESPACIALES

FACTORES

Terman y Merrill (1916) fueron los primeros en presentar la capacidad espacialde manera explícita, describiendo las pruebas que hacen referencia a diferentesaspectos de la capacidad espacial: reconocimiento de objetos por su imagen, dis-criminación de formas, doblado de papel, orientación...


Modesto Arrieta

Spearman (1904, 1927), al observar correlaciones positivas entre tests men-tales aplicados a una muestra de sujetos, sugirió que los tests no miden atribu-tos totalmente independientes del funcionamiento mental y estableció un mode-lo bifactorial que contiene un factor común, general o factor “g” y otros factoresespecíficos. Thurstone (1938) propuso siete factores independientes, entre losque figuraba un factor de visualización espacial que implicaba visualización deformas, rotación de objetos... Negó la existencia del factor “g” ya que la rotaciónortogonal impedía la obtención de “g” como factor de 2º orden, aunque con ro-tación oblicua, obtuvo un factor de 2º orden que podía ser interpretado comoel factor “g” de Spearman. Otros investigadores, como Burt (1949), Vernon(1950), Guilford (1967) y Cattell (1971), propusieron sendos modelos jerarquiza-dos en diferentes niveles.

En los últimos veinte años ha habido intentos de revisar modelos anterioresy se ha tratado de unificarlos. Se considera el modelo de los tres estratos de Ca-rroll (1988, 1993, 1994) como la síntesis final de muchas investigaciones reali-zadas en la literatura científica desde Spearman. Manejando 461 conjuntos dedatos y utilizando las matrices de correlaciones iniciales con 2.272 factores de1er orden, 572 factores de 2º orden y 36 de 3er orden el modelo de Carroll (Ca-rroll, 1993) presenta la siguiente estructura factorial (pág. 63).

Los resultados evidencian la existencia de un factor 3G de inteligencia (el fac-tor “g” de Spearman) que se constituye como un rasgo fuente que también fueincorporado por Vernon en su modelo y que se ha replicado 36 veces como factorde 3er orden. Las aptitudes primarias de Thurstone se confirman en el 1er estratoaunque aquí aparecen más (40 han podido ser replicados) y abarcan buena par-te de los propuestos por Guilford. En el 2º estrato, la propuesta de Cattell y Hornobtiene apoyo suficiente (véase Carroll, 1993).

El equipo de trabajo de Horn (1985) ha estudiado la estructura de la inteli-gencia entre los 4 y 5 años y los 7 años. Para Horn, aunque en estas edades apa-recen vestigios de la capacidad visoespacial como aptitud diferenciada, apenaspuede diferenciarse de la inteligencia fluida.

A partir de los 6 años, la estructura de las aptitudes tiende a consolidarse entérminos generales, tal y como la conocemos a través del modelo de los tres estra-tos. Bickeley, Keith y Wolfle (1995) evaluaron el modelo de los tres estratos. Paraello, tomaron una muestra de 2.201 sujetos subdividida en grupos de edad: 6, 8,10, 13, 30-39, 50-59 y 70-79 y les aplicaron 16 tests que cubrían las aptitudesprimarias. Los resultados indican que no aparecen cambios en la organizaciónde la inteligencia a lo largo del ciclo vital (de los 6 a los 79 años).



Modesto Arrieta

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No conozco todavía ningún estudio en Educación Matemática que tenga encuenta esta estructural factorial. Permítaseme el atrevimiento de, por lo menos,poner sobre la mesa diferentes aspectos que me han llamado la atención y quetendremos que aclarar para poder hablar con propiedad de la capacidad espacial.

Si analizamos los factores de 1er orden correspondientes a la percepción vi-sual descritos por Carroll (1993), llama la atención que no figure la orientaciónespacial. Lo dice explícitamente y señala que las pruebas o tests no lo distinguende la visualización o de las relaciones espaciales.

Aunque la mayoría de los estudios desde la Educación Matemática relacio-nados con la capacidad espacial hacen referencia exclusivamente a la visualiza-ción (Fennema y Sherman, 1977; Battista et al., 1982; Fennema y Tartre, 1985;Battista, 1990), también hay autores como Young y Becker (1977), Lean y Cle-ments (1981), Mitchelmore (1980) y Bishop (1983) que, además de la visualiza-ción, también consideran otros factores como la flexibilidad de clausura, la velo-cidad de clausura o las relaciones espaciales. De todas maneras, hay que llamarla atención sobre el hecho de que estudios significativos y relevantes en Educa-ción Matemática (Guay y McDaniel, 1977; Tartre, 1990) discriminan, al menosdesde un punto de vista teórico, ambos factores:

Visualización: Aptitud para manipular objetos mentalmente (el objeto es loque es manipulado por el sujeto).

Orientación espacial: Aptitud para imaginar un objeto desde otra perspecti-va (el sujeto es el que cambia de posición ante el objeto).

Esta diferencia teórica, o por lo menos de matiz, entre ambos conceptos con-trasta con los resultados empíricos de Carroll. Desde la Educación Matemáticaes un aspecto tan importante que necesitaría mejores y más potentes argumen-tos para decidir en uno u otro sentido.

Sorprende que los cinco factores citados aparezcan en el modelo ocupando elmismo nivel (1er estrato) sin que se proponga una jerarquía entre ellos, cuando unanálisis de las pruebas en las que se basan los tests que hacen referencia a esoscinco factores parecen corresponderse con factores de muy diferentes niveles.

Al analizar las pruebas correspondientes a visualización o flexibilidad de clau-sura y ver su dificultad, se entiende que sean pruebas apropiadas para sujetoscon edad superior a 11-12 años, lo que hace pensar que el modelo funcionabien a partir de esa edad, pero los estudios de Bickley et al. (1995) citados an-tes confirman la estructura de los tres estratos desde los 6 años (véase Carroll,1993, p. 626).



Un análisis de las pruebas utilizadas por estos autores revela que las dospruebas utilizadas para la capacidad espacial coinciden con la velocidad de clau-sura y la percepción, dos de las consideradas sencillas y por tanto aptas para eda-des tempranas. Este estudio corrobora la estructura de los tres estratos a partirde los 6 años, pero no aporta nada en la clarificación de la posible jerarquía en-tre los factores de 1er orden de la capacidad espacial.

Esto no quiere decir que la estructura de los tres estratos esté bajo sospecha,sino que, cumpliéndose el modelo de Carroll, sería posible ir un poco más lejosen esa estructura jerarquizando los factores de 1er orden, lo que nos ayudaría alos educadores matemáticos a entender mejor dicha capacidad y nos permitiríaser más eficaces en la ayuda que podamos prestar a nuestros alumnos.

PROCESOS COGNITIVOS

El simple estudio de los factores, por muy jerarquizados que los podamos mos-trar, nunca va a ser suficiente para un diagnóstico eficaz de nuestros alumnos,mientras no caractericemos dichos factores y asociemos a ellos los procesos cog-nitivos inherentes.

Los trabajos en este campo insisten en los procesos mentales de las tareasespaciales, en la rapidez y exactitud con la que se ejecutan esos procesos, en cómose combinan estos procesos para la resolución de tareas, cuál es la base cognitivaorganizada de estas formas de representación, cómo afecta, y cómo se ve afectada porlos procesos, estrategias y representaciones que utilizan las personas.

Kosslyn (1980) propone una teoría general sobre el funcionamiento de laimagen mental en el sistema cognitivo, donde se establece una serie de procesosnecesarios para la construcción de la representación imaginística y de procesosque deberían utilizarse para operar mentalmente con esa representación.

Las teorías cognitivas del procesamiento de la información aplicadas a la in-teligencia pretenden explicar la inteligencia humana en términos de procesosmentales que contribuyen a la resolución de tareas cognitivas. Algunos investiga-dores han intentado controlar y medir los procesos que operan entre el estímu-lo y la respuesta, utilizando tareas experimentales cuyos resultados se han corre-lacionado con resultados en tests psicométricos tradicionales.

Destacan los trabajos de Cooper y Shepard (1973), Metzler y Shepard (1974)y Shepard (1975), donde la capacidad espacial es evaluada por tests de veloci-


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dad en los que el individuo debe decidir acerca de la identidad de una figura en2D o 3D, rotándola mentalmente y comparándola con otra o varias.

Otros investigadores han estudiado formas muy complejas de resolución deproblemas en las que se estudian la precisión y las estrategias de procesamientoutilizadas (Sternberg, 1985, 1988) e intentan detectar procesos cognitivos impli-cados en la resolución de tareas espaciales.

¿Son coherentes estos resultados con el modelo de Carroll? ¿Hasta qué puntopodemos utilizar estos procesos cognitivos para caracterizar los factores?

ESTRATEGIAS

Para Schmeck (1988), el estilo de aprendizaje es una predisposición para utili-zar una estrategia particular de aprendizaje al margen de las demandas especí-ficas de la tarea y en diferentes situaciones. La estrategia de aprendizaje es unconjunto de actividades de procesamiento de información que se utilizan paramejorar el aprendizaje. Para Schemeck, el estilo de aprendizaje es una instanciaintermedia entre la personalidad y la estrategia de aprendizaje. El estilo no es tanespecífico como la estrategia ni tan general como la personalidad.

Para Sternberg (1999), un estilo es una manera de pensar. No es una apti-tud, sino más bien una forma preferida de emplear las aptitudes que uno posee.Aptitud se refiere a lo bien que alguien puede hacer algo, estilo se refiere a cómole gusta a alguien hacer algo. Sternberg clasifica los estilos de pensamiento se-gún las funciones, las formas, los niveles, el alcance o las inclinaciones. Desgra-ciadamente, el análisis factorial confirmatorio no coincide estrictamente con elmodelo teórico, ya que los estilos judicial y oligárquico se confunden en un mismofactor, cuando en el modelo teórico pertenece a categorías diferentes.

Desde la perspectiva de la Educación Matemática, Krutetski (1976) definiótres estilos:

• Analítico: los sujetos prefieren modos de pensamiento lógico-verbales enla resolución de problemas.

• Geométrico: los sujetos prefieren esquemas pictórico-visuales.• Armónico: no tiene preferencia por uno u otro.

Suwarsono (1982) distingue dos tipos de personas:



• Visualisers: Individuos que prefieren usar métodos visuales cuando intentanresolver problemas que pueden resolverse utilizando métodos tanto visua-les como no visuales.

• Non-visualisers: Sujetos que prefieren no usar métodos visuales... e indicaque los mejores son Non-visualisers en High School y cita razones quejustifican esos resultados. La Matemática, por su naturaleza deductiva, fa-vorece al pensador no visual y si la componente verbal-lógica de pensa-miento es una condición sine-qua-non de las capacidades matemáticas, lacomponente visoespacial no es obligatoria. Además, el currículum y losexámenes favorecen al pensador no visual (Presmeg, 1986.)

Burden y Coulson (1981), en su modelo cognitivo, señalan que toda estrate-gia de resolución de un determinado ítem espacial obedece fundamentalmentea tres características, dependiendo del modo de representación utilizado por elsujeto, aquello sobre lo que el sujeto concentra su atención y los medios concre-tos auxiliares utilizados.

Atendiendo al modo de representación empleado por el sujeto:

• Visual: el sujeto necesita formar una imagen mental.• Verbal: el sujeto no necesita hacer uso de una imagen mental.• Mixto: el sujeto emplea ambas estrategias.

Atendiendo a aquello sobre lo que el sujeto concentra su atención:

• Global: considera el objeto globalmente.• Local: considera el objeto parcialmente.

Atendiendo a los medios concretos auxiliares utilizados: los sujetos tomannotas, inclinan la cabeza, desplazan el lápiz...

Otros autores, como Lahrizi (1984) y Cossío (1997), han utilizado esta mis-ma clasificación, aunque sin tener en cuenta los medios auxiliares, y han clasifi-cado a los sujetos según las estrategias utilizadas en un estilo y una intensidaddeterminadas.

Autores como Lohman y Kyllonen (1983) y Lohman et al. (1987) analizan lasestrategias utilizadas por los sujetos en tareas espaciales y definen tres fases en suresolución: codificación, síntesis y comparación, y distinguen a los sujetos por elmodo de afrontar cada una de estas fases en la resolución de tareas espaciales.


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De ahí que la tarea principal relativa a este primer problema sea proponer unmodelo estructural de la capacidad espacial que abarque sendos modelos de facto-res, de procesos cognitivos y de estrategias y que, una vez combinados en un mo-delo integrado, nos permita diagnosticar al alumno a lo largo de todo el ciclo vital.

2º PROBLEMA: ANÁLISIS DEL DESARROLLO DE LA CAPACIDADESPACIAL Y DE LOS CONTENIDOS GEOMÉTRICOS ASOCIADOSA LO LARGO DE TODA LA ESCOLARIDAD.

Piaget (Piaget, Inhelder, 1956; Piaget, Inhelder, Szeminska, 1960) fue el impulsorde estos estudios y en su enfoque se preocupaba más de los aspectos cualitati-vos de la inteligencia y de los patrones universales establecidos, como los órdenesinvariantes de adquisición. La teoría de Piaget abarca toda la escala de edades y,al examinar su trabajo, es posible observar muchos conceptos que evolucionandesde formas rudimentarias durante la primera infancia hasta formas más com-plejas en la niñez o en la adolescencia.

El modelo de razonamiento geométrico de Van Hiele (1986) se plantea laexistencia de diversos niveles de razonamiento geométrico, que van desde el pu-ramente visual, propio de los niños de los primeros cursos de Primaria, hasta ellógico-formal que desarrolla un matemático. Este modelo también sugiere cómolograr que los alumnos mejoren la calidad de su razonamiento matemático. Paraello propone fases de aprendizaje, organizando la enseñanza para ayudar a losestudiantes a construir las estructuras mentales que les permitan lograr un nivelsuperior de razonamiento.

Un estudiante solo podrá comprender realmente aquellas partes de las ma-temáticas que el profesor le presente de manera adecuada a su nivel de razona-miento. Si una relación matemática no puede ser expresada de manera com-prensible para el nivel de razonamiento actual de los estudiantes, es necesarioesperar a que éstos alcancen un nivel de razonamiento superior para presentár-sela. No se puede enseñar a una persona a razonar de una determinada mane-ra; sólo se aprende a razonar mediante la propia experiencia. Pero sí se puedeayudar a esa persona, por medio de una enseñanza adecuada de las matemáti-cas, a que adquiera lo antes posible la experiencia necesaria para que llegue arazonar de esa manera.

Así pues, el modelo de Van Hiele enfatiza la existencia de diferentes modosde razonamiento en Geometría y señala la necesidad de que los profesores ten-



gan en consideración la capacidad de razonamiento de sus alumnos al decidirla forma y el rigor de sus clases.

Otros estudios han continuado esta labor (Clements et al., 1999) y hanextendido el análisis a los movimientos en el plano (Jaime, Gutiérrez, 1996), a lossólidos geométricos (Guillén, 1997) o proponiendo paradigmas complementariospara evaluar los niveles de Van Hiele (Gutiérrez, Jaime, Fortuny, 1991).

Además de un modelo de desarrollo de la capacidad espacial, necesitamosun modelo de desarrollo de los contenidos geométricos asociados, tanto espon-táneos como adquiridos. En definitiva, un modelo integrado que nos sirva parasituar al alumno en el lugar que le corresponde a lo largo de toda la escolaridad.

3ER PROBLEMA: HACIA UN MODELO DE PROPUESTAS DIDÁCTICAS.¿QUÉ CONDICIONES HA DE CUMPLIR UNA PROPUESTA PARAQUE FAVOREZCA UN DESARROLLO EQUILIBRADO Y PROGRESIVODE LA CAPACIDAD ESPACIAL?

Diferentes estudios han defendido la intuición (Fischbein, Tirosh, Hess, 1979), elentrenamiento (Connor y Serbin, 1985), el uso de materiales manipulativos (Prig-ge, 1978; Sowell, 1989), el uso del ordenador-Logo (Noss, 1987; Clements y Bat-tista, 1989, 1990) para la mejora en la adquisición de conceptos geométricos, pero¿qué valor tienen si no se utilizan conjuntamente para proponer un modelo depropuesta didáctica que nos permita elaborar propuestas eficaces? De hecho, laspropuestas habituales son parciales y sólo tienen en cuenta el aspecto tratado.Lo que aquí se propone es integrar todas ellas en un modelo unitario de pro-puesta teniendo en cuenta todos esos aspectos e incluso otros como los errores,las ideas previas o los estilos de aprendizaje de los alumnos.

Además, una propuesta de mejora ha de plantearse en el contexto didácticoadecuado lo que conlleva la aceptación de un modelo que urge desarrollar. Lateoría de situaciones didácticas (Brousseau, 1986; Chevallard, 1991) pretendeofrecer un marco de referencia donde encajen las propuestas que pretenden me-jorar la situación del alumno en cualquier faceta donde presente un déficit.

Por ello, este problema no es exclusivo de la investigación de la capacidad es-pacial, sino de todas aquellas investigaciones cuyo objetivo sea plantear propues-tas enriquecedoras. De ahí que la tarea de proponer modelos didácticos que ten-gan en cuenta las ventajas de la intuición, del entrenamiento, del uso de losmateriales manipulativos y del ordenador, o el conocimiento por parte del profe-


Modesto Arrieta

sor de los errores, de las ideas previas o de los estilos de aprendizaje de los alum-nos y dónde se pueden encajar las propuestas didácticas concretas referidas alcontenido matemático propiamente dicho sea una de las tareas más urgentes dela Educación Matemática. Esperemos que para cuando lo necesitemos, dicho para-digma esté lo suficientemente desarrollado y explicitado como para poder utili-zarlo en las propuestas que tengamos que elaborar relacionadas con la capacidadespacial y el contenido geométrico asociado a ella.

¿CÓMO VAMOS A ANALIZAR ESTOS PROBLEMAS?

No es fácil indicar a priori cuáles son los pasos a dar en el intento de resoluciónde todas los problemas que se han planteado anteriormente. Me gustaría desta-car que las revisiones teóricas exhaustivas son imprescindibles para un avancesignificativo. La mirada crítica en todos los trabajos realizados hasta ahora esfundamental y es evidente de que no avanzaremos mientras no basemos nues-tras investigaciones en modelos establecidos, justificados teóricamente y, en lamedida de lo posible, contrastados empíricamente.

De ahí que todas las investigaciones en este campo habrán de basarse y en-cajar en:

• un modelo estructural• un modelo de desarrollo• un modelo de propuesta

para que todas aquellas investigaciones que pretendan elaborar una propuestade mejora lo hagan dentro de un marco teórico replicable.

Por otro lado, los avances estadísticos, el acceso al ordenador personal, la fa-cilidad de acceso bibliográfico, el software como SPSS o LISREL posibilitan un tra-bajo impensable hace unos cuantos años.

EPÍLOGO

El análisis exhaustivo de todas las cuestiones planteadas hasta ahora nos permi-tiría proponer un modelo que nos serviría de referencia en todas las investigacio-nes relacionadas con la capacidad espacial y que básicamente consistiría en ofre-



cer a la Educación Matemática información relevante que se podría contrastar oreplicar sobre:

• Diagnóstico de la capacidad espacial del alumno.• Encaje del nivel de capacidad espacial del alumno con el desarrollo de los

conocimientos geométricos espontáneos y adquiridos.de acuerdo a su ni-vel de desarrollo.

• Propuestas de mejora coherentes y eficaces.

Si esto lo hacemos con la capacidad espacial, también lo podríamos hacercon la aptitud numérica o con la capacidad de razonamiento lógico tanto induc-tivo como deductivo, lo que nos permitiría conocer el mapa cognitivo del alum-no que más relación guarda con la enseñanza-aprendizaje de la matemática.

De todas maneras uno no puede más que sorprenderse de que, a pesar delos esfuerzos realizados en este siglo, todavía hay mucho por hacer, tanto que aveces puede resultar tan abrumador que no estamos seguros sobre lo quedeberíamos hacer a continuación; pero permita el lector que emule a Moon-Wat-cher, el inolvidable protagonista de la novela de Arthur C. Clarke 2001; una odi-sea espacial, diciendo que ya pensaremos en algo.


Barakat, M. K. (1951), “A Factorial Study of Mathematical Abilities”, British Jour-nal of Psychology: Statistics Section, núm. 4, pp. 137-156.

Battista, M. T. (1990), “Spatial Visualization and Gender Differences in HighSchool Geometry”, Journal for Research in Mathematics Education, vol. 21,núm. 1, pp. 47-60.

Battista, M. T., G. H. Wheatley, G. Talsma (1982), “The Importance of Spatial Vi-sualization and Cognitive Development for Geometry Learning in PreserviceElementary Teachers”, Journal for Research in Mathematics Education, vol. 13,núm. 5, pp. 332-340.

Bickley, P. G., T. Z. Keith y L. M. Wolfle (1995), “The Three-Stratum Theory ofCognitive Abilities: Test of the Structure of Intelligence Across the Life Span”,Intelligence, núm. 20, pp. 309-328.

Binet, A. y T. Simon (1905), “Méthodes nouvelles pour le diagnostique du niveauintellectuel des anormaux”, L’Anné Psychologique, núm. 11, pp. 191-244.


Modesto Arrieta

Bishop, A. (1980), “Spatial Abilities and Mathematics Education”. EducationalStudies in Mathematics, núm. 11, pp. 257-269.

–––––– (1983), “Space and Geometry”, en R. Lesh y M. Landau (eds.), Acquisition ofMathematics Concepts and Processes, Nueva York, pp. 175-203.

–––––– (1989), “Review of Research on Visualization in Mathematics Education”, Fo-cus on Learning Problems in Mathematics, vol. 11, núm 1, pp. 7-16.

Brousseau, G. (1986), “Fondements et méthodes de la Didactique des Mathémati-ques”, Recherches en Didactique des Mathématiques, vol. 7, núm 2, pp. 33-115.

Brueckner, L. y G. L. Bond (1981), Diagnóstico y tratamiento de las dificultadesen el aprendizaje, Madrid, Rialp.

Burden, L. D. y S. A. Coulson (1981), Processing of spatial tasks, tesis de doc-torado inédita, Melbourne, Monash University.

Burt, C. (1949), “The structure of mind: A review of the results of factor anallysis”,British Journal of Educational Psychology, núm. 19, pp. 100-111, 176-199.

Carroll, J. B. (1988), “Cognitive abilities, factors ande processes”, Intelligence, vol.12, núm. 2, pp. 101-109.

–––––– (1993), Human cognitive Abilities: A Survey of Factor Analytic Studies,Cambridge, Cambridge University Press.

–––––– (1994), “Constructing a Theory from Data”, en D. K. Detterman (ed.), CurrentTopics in Human Intelligence, vol. 4. Theories of Intelligence, Norwood, NewJersey, Ablex.

Cattell, J. M. (1890), “Mental Tests and Measurements”, Mind, núm. 15, pp. 373-80.Cattell, R. B. (1971), Intelligence: Its Structure, Growth and Action, Boston,

Houghton-Miflin.Chevallard (1991), La transposition didactique-Du savoir savant au savoir en-

seigné, Grenoble, La Pensée Sauvage.Clements, M. A. (1998b), Visualisation and Mathematics Education, Barcelona,

TIEM.Clements, D. H. y M. T. Battista (1989), “Learning of Geometric Concepts in a Lo-

go Environment”, Journal for Research in Mathematics Education, vol. 20,núm. 5, pp. 450-467.

–––––– (1990), “The Effects of Logo on Children’s Conceptualizations of Angle andPolygons”, Journal for Research in Mathematics Education, vol. 21, núm. 5,pp. 356-371.

–––––– (1992), “Geometry and Spatial Reasoning”, en D. A. Grouws (ed.), Handbookof Research on Mathematics Teaching and learning, NCTM,: MacMillan Pub.Company, pp. 420-464.



Clements, D. H., S. Swaminathan, M. A. Z. Hannibal y J. Sarama (1999), “YoungChildren’s Concepts of Shape”, Journal of Research in Matehematics Educa-tion, vol. 30, núm. 2, pp. 192-212.

Connor, J. M. y L. A. Serbin (1985), “Visual-Spatial Skill: Is it Important for Mathe-matics? Can it be Taught?”, en S. F. Chipman, L. R. Brush y D. M. Wilson (eds.),Women and Mathematics, Hilsdale, N. J., Lawrence Erlbaum, pp. 151-174.

Cooper, L. A. y R. N. Shepard (1973), “Chronometric studies of the rotation ofmental images”, en W. G. Chase (ed.), Visual Information Processing, Acade-mic Press.

Cossio, J. (1997), Diagnosis de la habilidad de visualizar en el espacio 3D conestudiantes de Bachillerato (BUP) del Bilbao metropolitano, Lejona, ServicioEditorial de la Universidad del País Vasco.

Cox, J. W. (1928), Mechanical aptitude, Londres, Methuen.Fennema, E. (1979), “Women and Girls in Mathematics-Equity in Mathematics

Education”, Educational Studies in Mathematics, núm. 10, pp. 389-401.Fennema, E. y J. Sherman (1977), “Sex-related Differences in Mathematics Achie-

vement, Spatial Visualization and Affective Factors”, American EducationalResearch Journal, vol. 14, núm. 1, pp. 51-71.

Fennema, E. y L.A. Tartre (1985), “The Use of Spatial Visualization in Mathematicsby Girls and Boys”, Journal for Research in Mathematics Education, vol. 16,núm. 3, pp. 184-206.

Fischbein, E., D. Tirosh y P. Hess (1979), “The Intuition of Infinity”, EducationalStudies in Mathematics, núm. 10, pp. 3-40.

Galton, F. (1869), Hereditary Genius, Londres, Jualian Fiedmann Publishers (1978).Guay, R. B. y E. D. Mcdaniel (1977), “The Relationship between Mathematics

Achievement and Spatial Abilities Among Elementary School Children”, Jour-nal for Research in Mathematics Education, núm. 8, pp. 211-215.

Guilford, J. P. (1967), The Nature of Human Intelligence, Nueva York, McGraw-Hill.Guillen, G. (1997), El modelo de Van Hiele aplicado a la geometría de los sóli-

dos. Observación de procesos de aprendizaje, Universidad de Valencia.Gustaffson, J. E. (1988), “Hierarchical Models of Individual Differences”, en R. J.

Sternberg (ed.), Advances in the Psychology of Human Intelligence, Hillsdale,New Jersey, Erlbaum, vol. 4.

–––––– (1985), “Measuring and interpreting ‘g’”, Behavioral and Brain Sciences,núm. 8, pp. 231-232.

Gutiérrez, A. (1998), Tendencias actuales de investigación en geometría y visua-lización, Barcelona, TIEM.


Modesto Arrieta

Gutiérrez, A., A. Jaime y J. M. Fortuny (1991), “An Alternative Paradigm to Evalua-te the Acquisition of the Van Hiele Levels”, Journal for Research in Mathema-tics Education, vol. 22, núm. 3, pp. 237-251.

Herschkowitz, R., B. Parzysz y J. Van Dormolen (1996), “Space and Shape”, enA. Bishop et al. (eds.), International Handbook of Mathematics Education.

Hidalgo, S., A. Maroto y A. Palacios (1999), “Evolución de las destrezas básicaspara el cálculo y su influencia en el rendimiento escolar en Matemáticas”, Su-ma, núm. 30, pp. 37-45.

Horn, J. L. (1985), “Remodeling Old Models of Intelligence”, en B. B. Wolman (ed.),Handbook of Intelligence: Theories, Measurement and Applications, NuevaYork, John Wiley and Sons.

Jaime, A. y A. Gutiérrez (1996), El grupo de las isometrías en el plano, Madrid,Síntesis.

Juan Espinosa, M. (1997), Geografía de la inteligencia humana, Madrid, Pirá-mide.

Kelley, T. L. (1928), Crossroads in the Mind, Stanford, Stanford University Press.Kosh, S. C. (1923), Intelligence Measurement, Nueva York, Macmillan.Kosslyn, S. M. (1980), Image and Mind, Cambridge, Massachusets, Harvard

University Press.Krutetski, V. A. (1976), The Psychology of Mathematical Abilities in Schoolchil-

dren, Chicago, University of Chicago Press.Lahrizi, H. (1984), Etude de l’habilité a visuiliser des relations geomètriques dans trois

dimensions chez les élèves-proffeseurs au Maroc, Quebec, Université de Laval.Lean, G. y M. A. Clements (1981), “Spatial ability, Visual Imagery, and Mathemati-

cal Performance”, Educational Studies in Mathematics, núm. 12, pp. 267-299.Lohman, D. F. y P. C. Kyllonen (1983), “Individual Differences in Solution Stra-

tegy on Spatial Tasks”, en Dyllon y Schemeck (eds.), Individual Differences inCognition, Academic Press, vol. 1.

Lohman, D. F., J. W. Pellegrino, D. L. Alderton y J. W. Regian (1987), Dimensionsand Components of Individual Differences in Spatial Abilities, pp. 253-312.

Mcfarlane, M. (1925), “A Study of Practical Ability”, British Journal of Psychology,Monograph Supplement, núm. 8.

Mcfarlane Smith, I. (1964), Spatial Ability: Its Educational and Social Significan-ce, Londres, University of London Press.

Mcgee, M. G. (1979), “Human Spatial Abilities: Psychometric Studies and Envi-ronmental, Genetic, Hormonal, and Neurological Influences”, PsychologicalBulletin, vol. 86, núm. 5, pp. 889-918.



Metzler, J. y R. W. Shepard (1974), “Transformational Studies of the Internal Re-presentation of Three-Dimensional Objects”, en R. L. Solso (ed.), Theorie inCognitive Psychology: The Loyola Symposium, Potomac, Lawrence Erlbaum.

Mitchelmore, M. C. (1980), “Thre-Dimensional Geometrical Drawing in Three Cul-tures, Educational Studies in Mathematics, núm. 11, pp. 205-216.

Murray, J. E. (1949), “Analysis of Geometric Ability”, Journal of Educational Psy-chology, núm. 40, pp. 118-124.

National Council of Teachers of Mathematics (1989), Curriculum and EvaluationStandards for School Mathematics, Reston, Va, N. C. T. M.

Noss, R. (1987), “Children’s Learning of Geometrical Concepts Through Logo”,Journal for Research in Mathematics Education, vol. 18, núm. 5, pp. 343-362.

Piaget, J. y B. Inhelder (1956), La conception de l’espace chez l’enfant., París,Presse Universitaires de France.

Piaget, J., B. Inhelder y A. Szeminska (1960), The Child’s Conception of Geometry,Londres, Routledge.

Prigge, G. R. (1978) “The Differential Effects of the Use of Manipulative Aids onthe Learning of Geometric Concepts by Elementary School Children”, Journalfor Research in Mathematics Education, núm. 9, pp. 361, 367.

Presmeg, N. (1986), “Visualisation and Mathematical Giftedness”, EducationalStudies in Mathematics, núm. 17, pp. 297-311.

Schmeck, R. S. (1988), Learning strategies and learning styles, Nueva York, Ple-num Press.

Shepard, R. N. (1975), “Form, Formation, and Transformation of Internal Repre-sentations”, en R. L. Solso (ed.), Information Processing and Cognition: TheLoyola Symposium.

Sowell, E. (1989), Effects of Manipulative Materials in Mathematics Instruction.Journal for Research in Mathematics Education, vol. 20, núm. 5, pp. 498-505.

Spearman, C. (1904), General intelligence, objectively determined and measured.American Journal Of Psychology, núm. 15, pp. 72-101.

Spearman, N. C. (1927), The Abilities of Man. London: Macmillan.Stenquist, J. L. (1922), Mechanical aptitude tests. Nueva York, World Book.Sternberg, R. J. (1985), Beyond IQ: A triarchic theory of human intelligence, Cam-

bridge, Cambridge University Press.–––––– (1988), Las capacidades humanas, Madrid, Labor.–––––– (1999) Estilos de pensamiento, Barcelona, Paidós.Suwarsono, S. (1982), Visual Imagery in the Mathematical Thinking of Seventh

Grade Students, tesis de doctorado inédita, Melbourne, Monash University.


Modesto Arrieta

Suydam, M. N. (1985), “The shape of instruction in geometry: Some highlightsfrom research”, Mathematics Teacher, núm. 78, pp. 481-486.

Tartre, L. A. (1990), “Spatial orientation skill and mathematical problem solving”,Journal for Research in Mathematics Education, vol. 21, núm. 3, pp. 216-229.

Terman, L. M. y M. A. Merrill (1916), Measuring Intelligence, Boston, Houghton-Miflin.

Thurstone, L. L. (1938), Primary Mental Abilities, Chicago, University of ChicagoPress.

Usiskin, Z. (1987), “Resolving the continuing dilemmas in school geometry”, enM. M. Lindquist y A. P. Shulte (eds.), Learning and Teaching Geometry, K-12:1987 Yearbook, Reston, VA, National Council of Teachers of Mathematics,pp. 17-31.

Van Hiele, P. M. (1986), Structure and Insight, Orlando, Academic Press.Vernon, P. E. (1950), The Structure of Human Abilities, Nueva York, Wiley.Wrigley, J. (1958), “The factorial nature of ability in elementary mathematics”, Bri-

tish Journal of Educational Psychology, núm. 1, pp. 61-78.Young, C. D. y J. P. Becker (1977), “The Interaction of Cognitive Aptitudes with

Sequencies of Figural and Symbolic Treatments of Mathematical Inequalities”,Journal for Research in Mathematics Education, núm. 10, pp. 24-36.

Yuste, C. (1997), Manual de IGF-inteligencia general y factorial, Madrid, TEA.



DATOS DEL AUTOR

Modesto ArrietaDepartamento de Didáctica de las Matemáticas, Universidad del País Vasco, España

[email protected]


Opinión de los estudiantes de QFBsobre la importancia de las matemáticasen su formación profesional

José Luis Pinedo Vega, Armilde Rivera Huizar y Analeni Presbítero Perales

RReessuummeenn:: A nivel superior, el aprendizaje de las matemáticas comprende unaproblemática especifica de cada licenciatura o programa universitario y, como tal,merece una atención especial. En este trabajo retomamos el enfoque de mate-máticas significativas para dar relevancia a la pertinencia de las matemáticas enlas ciencias experimentales y, en particular, en la formación profesional del Quí-mico Farmacéutico Biólogo (QFB). Posteriormente presentamos un análisis de lapercepción sobre la importancia, concepción y problemas del aprendizaje de lasmatemáticas de los estudiantes de QFB de la Universidad Autónoma de Zacate-cas, México.

Palabras clave: Aprendizaje, matemáticas significativas, ciencias experimentales.

AAbbssttrraacctt:: At undergraduate level, the process of learning mathematics involves aparticular set of problems, depending on the branch of science and technologybeing the subject of the bachelor studies, and this is the reason why each of themdeserves special attention. In this paper we retrieve the significative mathematicsapproach in order to highlight the relevance of mathematics in experimentalscience, and particularly in those branches like Chemistry, Pharmacology andBiology. Afterwards, we analyze the students point of view about mathematicsteaching problems at QFB program of the Universidad Autónoma de Zacatecas,México.

Keywords: Learning, significative mathematics, experimental sciences.

INTRODUCCIÓN

En el momento en que hay que definir la orientación de un bachillerato o unacarrera profesional, se pone de manifiesto el hecho de que existen en los estu-

Fecha de recepción: diciembre de 2001.

diantes diferentes niveles de aceptación por las ciencias y en particular por lasmatemáticas. A las licenciaturas de Matemáticas, Física e Ingeniería llegan, sinduda, los estudiantes que ostentan los mayores niveles de aceptación; actitudque no elimina problemas de aprendizaje, simplemente significa una menor re-sistencia. Mientras tanto, en licenciaturas como Químico, Farmacéutico, Biólogo,la resistencia es tal que se traduce en bajos rendimientos y causa de deserción.

El aprendizaje de las matemáticas no se reduce sólo al análisis de los obstácu-los que se le presentan, sino sobre todo a la búsqueda de una buena apropiacióndel conocimiento por estudiantes destinados a desarrollarse en un mundo de re-sultados experimentales. Como sabemos, las ciencias experimentales han alcan-zado un nivel de matematización impresionante gracias a la formación teóricade científicos, la cual les permite visualizar la conjugación de las matemáticas condiversos fenómenos naturales. En consecuencia para estar acorde con la cienciaactual, la educación tiene que plantearse como objetivo mínimo la formación deprofesionistas con capacidad de entender la matematización de las ciencias ex-perimentales.

En este trabajo, retomamos las matemáticas desde el punto de vista de suefectividad. Bajo esta óptica, se definen las matemáticas significativas, que ex-presan con mucha nitidez la riqueza de las matemáticas, su papel motriz en eldesarrollo del conocimiento, su vinculación con otras disciplinas científicas y suimportancia en la enseñanza.

Posteriormente, enfocamos nuestro análisis sobre los problemas de la ense-ñanza de las matemáticas en los estudiantes de QFB de la Universidad Autóno-ma de Zacatecas. En la búsqueda de una aproximación al problema, hemos di-señado una encuesta con la que pretendemos conocer la percepción de lasmatemáticas que tienen los estudiantes y definir la naturaleza de los obstáculosdel aprendizaje en los diferentes niveles de la carrera.

LA EFECTIVIDAD DE LAS MATEMÁTICAS

A primera vista, las matemáticas aparecen como un conjunto de símbolos regi-dos por reglas precisas. Sin embargo, los símbolos que los matemáticos escri-ben en un papel no son otra cosa que traducciones de ideas que resultan desus reflexiones. Se puede, entonces, distinguir las matemáticas escritas o forma-les del pensamiento matemático que constituye la fuente de las matemáticasformales.


Opinión de los estudiantes de QFB

Pero esta distinción no parece ser suficiente. Hay que tener en cuenta el he-cho de que hay matemáticas que permiten resolver problemas complicados, haymatemáticas que comprenden en sí métodos e ideas generadoras de teorías ma-temáticas —ejemplo de ellas sería la teoría de funciones, la teoría de nudos, losnúmeros complejos, etc.—, y hay matemáticas que, por extensión o generalizaciónartificial, generan teorías matemáticas ya conocidas. Justamente Jean Dieudonnéha formulado esta distinción, dando el nombre de matemáticas significativas alas matemáticas fecundas (las dos primeras) y matemáticas vacías a las matemá-ticas redundantes, por decirlo de alguna manera (Dieudonné, 1982, pp. 15-38).

El éxito de la física clásica y después de la relatividad y de la mecánica cuán-tica hicieron evidente la efectividad de las matemáticas, concepto que paulatina-mente se ha extendido a otras disciplinas de las ciencias naturales (véase Murray,1989) e incluso de las ciencias humanas.

Este concepto de efectividad fue definido desde 1960 (Wigner, 1960). Unateoría matemática completamente eficaz es aquella dotada de capacidad: retro-dictiva, predictiva, explicativa y generativa (Lambert, 1999, pp. 48-55).

• La capacidad retrodictiva esta relacionada con la reproducción de resul-tados y su organización en torno a un formalismo matemático o modelo;tal es el caso del ajuste de puntos experimentales mediante alguna técni-ca de ajuste, como mínimos cuadrados, regresión lineal, etcétera.

• La capacidad predictiva se manifiesta cuando las matemáticas sugieren larealización de un experimento u observación y se prevén resultados nu-méricos. Un buen ejemplo de ello fue la predicción de Einstein, en 1913,mediante la teoría general de la relatividad, de la desviación de la luz alpasar cerca de un astro cualquiera por el efecto de la gravedad. Este efec-to se comprobó en mayo de 1919, cuando se hizo evidente el cambio deposición aparente, durante un eclipse, de las estrellas cuya luz pasa en lavecindad del sol.

• La capacidad explicativa radica en la posibilidad de explicar fenómenos.Predecir no es explicar (Thom, 1991). Para que una teoría sea verdadera-mente eficaz en ciencias, debe aportar una explicación al fenómeno delque se trate. Un ejemplo de ello fue la explicación, también de Einstein,del efecto fotoeléctrico.

• La capacidad generativa radica en la posibilidad de engendrar ideas oconceptos o teorías potencialmente importantes.



No se puede esperar que toda teoría matemática reúna estas cuatro capaci-dades; simplemente es más efectiva en la medida en que reúne el máximo de ca-pacidades. La teoría del campo unificado, formulada por Hermann Wyl en 1918,no fue completamente eficaz en relación con sus predicciones experimentales;sin embargo, fue el punto de partida de la física de partículas.

Para que una matemática sea eficaz, es necesario que el dominio estudiadoexhiba invariantes naturales asociadas a relaciones, transformaciones, etc. La fí-sica es matemáticamente eficaz, puesto que se establece sobre numerosas inva-riantes —energía, momentum, momento angular, etcétera.

Así, la relatividad general es eficaz para describir la gravitación, en parte porquese funda sobre un formalismo y describe invariantes —el cálculo tensorial—. Lamecánica cuántica es eficaz, porque se funda sobre ciertas matemáticas significa-tivas —la teoría del álgebra de operadores, la teoría de los espacios de Hilbert—,pero también porque explica resultados experimentales —inicialmente los espectrosde Balmer y Rydberg—.

En general, la eficacia de las matemáticas se alcanza paulatinamente a travésde las infiltraciones empíricas que adaptan progresivamente ciertas partes deesas matemáticas en la descripción de fenómenos.

EL QUEHACER MATEMÁTICO Y SU TRANSPOSICIÓN AL APRENDIZAJE

Evidentemente, el quehacer matemático no está al alcance de toda clase de es-pecialistas, ni de todos los científicos, ni siquiera de todos los matemáticos. Laprofundidad que alcanzan hoy en día las matemáticas es tal, que los propios ma-temáticos dedican prácticamente su atención en campos muy específicos. Porotra parte, una cosa es el aprendizaje de las matemáticas, otra el trabajo de unmatemático y una mas, el establecimiento de una matemática eficaz. Como entoda disciplina, el establecimiento de una matemática eficaz difícilmente puedeser trabajo de una sola persona.

Una distinción más que hay que subrayar es que una cosa es el aprendizajede una disciplina y otra, su desarrollo. Una cosa es el quehacer de la matemáticay otra, su aprendizaje. Las matemáticas tienen un carácter múltiple, al mismotiempo que proveen de herramientas a un estudiante, tienen un carácter forma-tivo, etc., etc. Sin embargo, esta óptica es invisible a los estudiantes. Un gran nú-mero de ellos no tiene la mínima disposición de escuchar nada sobre la poten-



cialidad de las matemáticas, lo majestuoso de su estructura, etc. La actitud haciael aprendizaje es un problema real.

Podría pensarse que el aprendizaje de las matemáticas no tendría ningúnobstáculo, si fueran valoradas, entre otras cosas, por su espléndida y elegante ar-quitectura, o bien, si se pone al estudiante en un buen ambiente donde las facili-dades pedagógicas sean prioritarias. De hecho, ambas expectativas, que han sidollamadas la ilusión lírica y la ilusión romántica respectivamente, tuvieron eco enlos años setenta (Joshua y Dupin, 1993). La realidad ha sido otra; es evidente hoydía que la enseñanza de disciplinas complejas y altamente estructuradas escapaa la pedagogía. Los rendimientos en el aprendizaje son relativamente bajos, loque hace pensar que falta mucho por saber sobre la naturaleza del conocimien-to y las condiciones de su apropiación.

Sabemos que el conjunto de símbolos articulados mediante reglas precisas,llamado matemáticas, se adapta al mundo experimental. Lo que también sabe-mos es que esa adaptación ha sido producto del trabajo de científicos con unasólida formación. Siendo las matemáticas un conjunto de símbolos abstractos ar-ticulados por reglas precisas, poseedoras de una enorme capacidad de adapta-ción a un mundo de resultados experimentales y, no estando en condiciones deabordar el problema desde el punto de vista del ¿cómo es que las matemáticashan logrado...?, nuestro problema fundamental viene a ser el de buscar la mejorapropiación de conocimientos por estudiantes destinados a desarrollarse en esemundo de resultados experimentales.

Es conveniente destacar el enfoque estrictamente didáctico de este plantea-miento. Desde el punto de vista de la didáctica, el contenido de una disciplinaque se va a enseñar debe corresponder a la actualidad del conocimiento; en esecontenido debe estar manifiesto el interés institucional y la utilidad social y, enel proceso de aprendizaje, interesan los mayores rendimientos. Así, la matemáti-ca no puede impartirse sólo de manera simbólica, tampoco es admisible atibo-rrar de matemáticas a un estudiante de una formación profesional en ciencias.Esto da relevancia al diseño de los contenidos de cada asignatura. Para la didác-tica es inadmisible que se sacrifique o deforme el contenido de una disciplina enaras de facilitar su aprendizaje.

En las últimas décadas, la enseñanza de las ciencias y las matemáticas hamerecido una atención singular en unos países más que en otros. La preocupa-ción por la enseñanza tiene muchos móviles, uno de ellos es la eficacia desde elpunto de vista costo-beneficio. Evidentemente, si se traduce a costos, son impor-tantes el numero de grupos, de profesores, de aulas, pero no es menos impor-



tante la calidad del proceso didáctico, la interacción estudiante-profesor-conteni-do. Ante la imperiosa necesidad de las optimizaciones y racionalizaciones múlti-ples, todo lo que suene a reforma tiene posibilidades de ser bienvenido. De ahíque existan múltiples intenciones para reformar planes de estudio, contenidos,métodos de enseñanza, etc. Por supuesto, la eficiencia de cualquier reforma pue-de quedar en entredicho mientras no se atiendan de raíz los obstáculos delaprendizaje.

COMPETENCIA MATEMÁTICA EN LA FORMACIÓN DE LOS QUÍMICOSFARMACÉUTICOS Y BIÓLOGOS

Independientemente de cualquier reforma curricular, la realidad es que existeuna resistencia enorme por parte de los estudiantes a invertir en el aprendizaje.Antes de entrar en este tema, establezcamos algunos elementos en relación conla competencia de las matemáticas para el QFB.

Las funciones de varias variables se encuentran en dominios o campos muydiversos de la formación de un estudiante de QFB. Existen ejemplos desde ele-mentales hasta muy complicados. Las funciones de varias variables aparecen enequilibrio químico, termodinámica, mecánica estadística, mecánica cuántica, far-macología, etc. Los siguientes constituyen ejemplos aislados:

• La ley general de los gases ideales

• En termodinámica, el cambio en la energía interna (U), la energía librede Gibbs (G) la entalpía (H) y la energía libre de Helmholtz (A) de un sis-tema termodinámico son funciones de los componentes del sistema (n1,n2, n3 ) y de P, V, T y S. Esto es: dU



dU TdS pdV dn

dG SdT Vdp dn

dH TdS Vdp dn

dA SdT pdV dn

i i

i i

i i

i i

= − +

= − + +

= + +

= − +

∑∑

∑∑

µ

µ

µ

µ

V V P T

V PT

V PT

= =( , ) : 1 1

1

2 2

2

el cambio de energía de un sistema está dado por:

• En la Mecánica cuántica, la ecuación de Schrödinger independiente deltiempo –de donde surgen los orbitales y las configuraciones electrónicas–es una ecuación diferencial parcial, que describe mediante una función deonda ψ la posición de una partícula de masa m –tal como el electrón– enun potencial V con energía total E:

• Las ecuaciones diferenciales son ineludibles en la descripción de la ciné-tica: de las reacciones químicas, del metabolismo de un fármaco o un ra-diofármaco, o de la eliminación de un contaminante.

• Etcétera.

Todo ello expresa la pertinencia de las matemáticas en la formación de losquímico farmacéutico biólogos. Así las cosas, en el plan de estudios, están ple-namente justificadas las asignaturas de cálculo, ecuaciones diferenciales ordina-rias y parciales, estadística, etcétera.

Evidentemente se trata de matemáticas efectivas.

LAS ACTITUDES DE LOS ESTUDIANTES DE QFB FRENTEA LAS MATEMÁTICAS

Sin ignorar que el análisis sobre la extensión y contenido de los programa dematemáticas en el currículo de los estudiantes de QFB merece una atención muyespecial, es evidente que no puede estar en discusión la necesidad de las mate-máticas.

En la licenciatura en QFB de la UAZ se imparten cinco cursos de matemáticas:álgebra lineal, cálculo diferencial e integral, ecuaciones diferenciales, probabilidady estadística y programación y computación, que corresponden en total a 40 cré-ditos de 477 que comprende la licenciatura completa. El plan de estudios o laintención curricular no está, pues, en cuestionamiento. Sin embargo, es ineludi-



dE

EV

dVEV

dTT V

=

+

∂∂

∂∂

hm

V E4

2

πψ ψ ψ∇ + =

ble interrogarnos sobre cuáles son los niveles de aceptación de las matemáticasde los estudiantes de QFB.

Para conocer esta respuesta, hemos diseñado una encuesta que aplicamos a132 de los 384 estudiantes de la carrera de QFB (44 de nuevo ingreso, 21 de 3er

semestre, 15 de 4º semestre, 20 de 5º semestre, 10 de 6º semestre y 22 de 9º se-mestre). La encuesta se aplicó en agosto de 2001, al inicio del semestre. Los gru-pos nones corresponden a estudiantes regulares, mientras que los grupos paresson de estudiantes desfasados y repetidores.

La encuesta ha tenido como objetivo principal recuperar la percepción de lasmatemáticas que tienen los estudiantes, para luego tratar de acotar la naturalezade los obstáculos del aprendizaje y la posible evolución a lo largo de la carrera(cuadro 1).

Se hicieron preguntas sobre tres rubros, uno la importancia que el estudian-te concede a las matemáticas en las diferentes profesiones, dos el carácter queel estudiante les concede dentro de su formación profesional y su trabajo profe-sional y tres las dificultades de aprendizaje de las matemáticas propias de la re-lación estudiante-maestro-conocimiento. Para ello, la encuesta, sin mencionarlo,contiene tres bloques de preguntas, de la pregunta 1 a la 9 se interroga sobre laimportancia que el estudiante concede a las matemáticas; de la 10 a la 14 so-bre la concepción de éstas y de la 15 a la 21 sobre los obstáculos que el estu-diante encuentra en el proceso de aprendizaje de las matemáticas.

RESULTADOS Y CONCLUSIONES

Los resultados de la encuesta se presentan en el cuadro 2.Se puede observar que los estudiantes otorgan un buen nivel de importancia

a las matemáticas en el ámbito social y en el nivel profesional. Sorprendentemen-te, se concede una importancia singular en medicina y biología, calificadas enpromedio con 7.1 y 6.9 respectivamente.

En relación con la concepción de las matemáticas —preguntas 10 a 14— estáclaro que, para los estudiantes, la matemática no se reduce a variables, númerosy ecuaciones, sino que permiten construir cosas útiles y desarrollar la capacidadde razonamiento del individuo y no aparecen en los programas como relleno en latira de materias. Aunque se puede observar que los alumnos de los semestres des-fasados consideran en mayor proporción a las matemáticas como relleno.





Cuadro 1 Percepción de las matemáticas que tienen los estudiantes de QFB

(Encuesta)

Califique de 0 a 10 su coincidencia con las siguientes aseveraciones:(0 = no coincide en nada 10 = totalmente de acuerdo)Escriba con pluma, sin borrar

1. Las matemáticas tienen importancia exclusivamente cultural.

2. Las matemáticas son importantes en la vida de toda persona.

3. Las matemáticas son importantes en la sociedad.

4. Las matemáticas son importantes para los físicos.

5. Las matemáticas son importantes para los ingenieros.

6. Las matemáticas son importantes para los químicos.

7. Las matemáticas son importantes en medicina.

8. Las matemáticas son importantes para los farmacobiologos.

9. Las matemáticas son importantes para los biólogos.

10. Las matemáticas se reducen a variables, números y ejercicios.

11. Las aplicaciones de las matemáticas permiten construir cosas útiles.

12. El estudio de las matemáticas permite desarrollar la capacidad de razonamientodel individuo.

13. Las matemáticas aparecen en los programas como relleno en la tira de materias.

14. Las matemáticas deben erradicarse de las carreras de biología.

15. El problema del aprendizaje de las matemáticas se debe a que no se ve su utilidad.

16. El problema del aprendizaje de las matemáticas se debe a los malos maestros.

17. El problema del aprendizaje de las matemáticas se debe a los malos métodosde enseñanza.

18. El problema del aprendizaje de las matemáticas se debe a la falta de libros.

19. El problema del aprendizaje de las matemáticas se debe a la falta de dedicaciónde los alumnos.

20. El problema del aprendizaje de las matemáticas se debe a la falta de motivación.

21. El problema del aprendizaje de las matemáticas se debe al lenguaje (fórmulas,ecuaciones, símbolos, operaciones, reglas, etcétera).



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6

En resumen, los estudiantes encuestados, en conjunto, tienen una concep-ción muy buena de las matemáticas y les conceden una gran importancia en di-versas profesiones. Esto significa que el estudiante está consciente del papel delas matemáticas. Pero ¿por qué entonces los bajos rendimientos? La explicaciónparece estar expresa en el tercer bloque de respuestas.

En relación con los problemas de aprendizaje, la respuestas exhiben una cier-ta dispersión; lo que puede ser indicativo de las diferentes percepciones sobre lasdificultades del aprendizaje. Aun así, se pueden apreciar ciertas tendencias:

• las respuestas más contundentes están en relación con las preguntas 19,20 y 17, cuyas notaciones son 8.6, 8.5 y 7.2 respectivamente. Ello signifi-ca que los estudiantes encuestados señalan su falta de dedicación y la fal-ta de motivación como los problemas principales de su aprendizaje y enseguida cuestionan los métodos de enseñanza (pregunta 17).

• una notación de 5.9 a la pregunta 15 puede ser indicativa de que lo quese ve en los cursos de matemáticas no se aplica en los cursos de las otrasdisciplinas.

• el problema de los malos maestros (pregunta 16), aunque en promedio sele asigna una calificación de 5.7, visto en detalle muestra que los estudian-tes de nuevo ingreso son los que menos culpan a los maestros; en con-traste, los del 6º semestre (repetidores) son quienes más los culpan;

• algo que puede resultar significativo son precisamente las respuestas delos alumnos de 6º semestre, que señalan a los malos maestros, los méto-dos de enseñanza y la falta de motivación como los problemas principa-les en su aprendizaje; este grupo no reconoce la falta de dedicación en lamisma proporción que los demás;

• y no señalan como problema la bibliografía (pregunta 18).

Por otro lado, no se puede concluir gran cosa con relación a si los estudian-tes cambian de opinión a lo largo de sus estudios.

Es necesario subrayar que los resultados no pueden extrapolarse a estudian-tes de otras entidades.

Parece claro, en esta población muestral, que el problema del rendimiento seubica en el ámbito de la dimensión afectiva del estudiante hacia las ciencias,donde tiene una importancia vital la motivación como parte formadora de la ac-titud. De ahí que el papel del profesor siga siendo relevante, aunque evidente-mente no depende de él una solución completa. Propiciar un cambio de actitudimplica modificar los elementos en los que se sustenta una conducta. Por prin-



cipio, la actitud es una decisión personal que, para ser modificada, requiere con-vencimiento. El papel de la educación —en este caso la superior— tiene que incidir,entre otras cosas, en presentar a la ciencia como un vehículo cultural y social.Evidentemente, en el caso de las matemáticas esa función no solo compete a losprofesores de matemáticas. Los profesores de otras disciplinas deben desem-peñar también un papel importante en mostrar la efectividad de la matemáticaen su disciplina.


Dieudonnée, J. (1982), “Mathematiques vides et mathematiques significatives”,en Penser les mathématiques. Seminaire de philosofie et mathématiques del’Ecole normal supérieure, París, Seuil, pp. 15-38.

Joshua, S. y J. J. Dupin (1993), Introduction à la didactique des sciences et desmathématiques, Presses Universitaires de France, p. 1.

Lambert, D. (1999), “L’incroyable efficacité des Mathematiques”, La Recherche,núm. 316, pp. 48-55.

Murray, J. D. (1989), Mathematical Biology, Berlín, Springer-Verlag.Thom R., Predire n’est pas explilquer, París, EsHel, 1991.Wigner, E. P. (1960), “The unreasonable effectiveness of Mathematics in the Na-

tural Sciences”, Communication on Pure and Applied Mathematics, vol. XII,pp. 1-14.




José Luis Pinedo VegaCentro de Ciencias Químicas y Centro Regional de Estudios Nucleares.

Universidad Autónoma de Zacatecas, México

[email protected]

Armilde Rivera HuizarUAEP de la Universidad Autónoma de Zacatecas, México

[email protected]

Analeni Presbítero PeralesEstudiante de QFB en la Universidad Autónoma de Zacatecas, México

[email protected]


Cualidades psicométricas de una pruebade competencia imaginativa

María Virginia Rapetti e Hilda Difabio de Anglat

RReessuummeenn:: Se estudia la validez de constructo y la confiabilidad, la potencialidaddiscriminativa y el nivel de dificultad de los ítems de un instrumento diseñado pa-ra medir la habilidad para imaginar y realizar movimientos mentales de figuras.La prueba se aplicó a 118 alumnos de 14 años de edad en promedio.

Palabras clave: Imaginación, test, validez, confiabilidad, adolescencia.

AAbbssttrraacctt:: The psychometric properties of an instrument designed to measure theability to imagine and to perform mental movements of figures are studied.The test has been applied to 118 students of an average age of 14.

Keywords: Validity, reliability, test, imagination, adolescence.

En este trabajo se estudia la validez y confiabilidad de un instrumento diseñadocon el objetivo de evaluar la habilidad para imaginar y realizar movimientos men-tales de figuras. Nos interesamos en esta habilidad porque es especialmente nece-saria para resolver problemas geométricos y, por tanto, su ejercicio es importanteen el proceso de aprendizaje de la matemática.

Sin embargo, esta habilidad no es privativa del área matemática. En el apren-dizaje de las ciencias, Vosniadou y otros (2001) señalan que las representacionesmentales que los niños usan cuando tratan de comprender la información nue-va parece ejercer influencia sobre los procesos de adquisición del conocimiento.Los autores utilizan el constructo de “modelo mental” para describir dichas re-presentaciones individuales del mundo físico, se refieren a una representaciónanalógica y generativa que puede manipularse mentalmente para dar explicacio-nes causales del fenómeno. Se supone que la mayoría de los modelos mentalesson creados para tratar con las demandas de situaciones específicas.

En el área de la educación física, Overly et al. (1998) afirman que en los pro-gramas de entrenamiento de muchos atletas se incorporan las imágenes menta-

Fecha de recepción: diciembre de 2001.

les. Investigaciones sobre su efectividad han demostrado su poder para mejorarel desempeño motriz. El efecto de las imágenes en el conocimiento, en un nivelgeneral, se refiere al uso de estrategias anticipatorias globales, tales como imagi-nar todos los posibles ángulos de retorno de la pelota después de un saque. Delmismo modo, los maestros de danza las integran en varios aspectos del entrena-miento de los bailarines. A menudo, utilizan imágenes metafóricas indirectas pa-ra obtener respuestas cualitativas importantes (por ejemplo: “cruce el salón co-mo si estuviera moviéndose a través del agua”, para obtener un movimiento suavey sostenido).

Paivio (1985) ha desarrollado una perspectiva teórica para el estudio de lasimágenes mentales y del movimiento. Se dice que las imágenes mentales tienenun rol motivacional y cognoscitivo en la mediación de la conducta. Estos rolesoperan tanto en un nivel general como en uno específico.

El efecto de las imágenes en la motivación, en un nivel general, se refiere algrado de aprestamiento psicológico y a la emoción; por ejemplo, las imágenesmentales se usan para reducir la ansiedad en la preparación para una tarea. Enun nivel específico, se refiere a respuestas orientadas hacia una meta puntual,como ganar una competencia.

Antonietti y Colombo (1996-1997) investigaron la ocurrencia espontánea deimágenes mentales en la vida ordinaria. Observaron que su uso es afectado porel tipo de estudio (los sujetos de disciplinas científicas puntuaron más alto quelos que pertenecen a disciplinas socioeconómicas o humanísticas) y varía segúnel sexo: los varones informaron un uso más frecuente de la visualización que lasmujeres, sobre todo cuando las imágenes se construyen intencionalmente (porejemplo, para comprender cómo trabaja algo, para hacer evaluaciones y tomardecisiones o para planificar); lo contrario ocurre cuando las imágenes se educenespontáneamente por estímulos o se incluyen en el ensueño y la fantasía.

Por otra parte, los datos convergen sugiriendo que las imágenes autónomasy de fantasía se distinguen de las imágenes implicadas en el razonamiento diri-gido. Como los datos han mostrado que esta última clase de imágenes ocurrecon rara frecuencia, se puede suponer que el sujeto no puede aprovecharse de-liberadamente de la construcción de imágenes mentales para facilitar los proce-sos cognoscitivos. Más precisamente, el individuo parece considerar poco la po-sibilidad de emplear imágenes mentales para procesar información abstracta overbal y para producir más visualizaciones articuladas. Esto refleja su conoci-miento metacognitivo del uso de las imágenes; en efecto, cree que las imágenesson útiles sobre todo para tratar con elementos que son originariamente visuales


Cualidades psicométricas de una prueba de competencia imaginativa

o espaciales, pero no con aquellos que deben recodificarse en un formato visoes-pacial. Así, a fin de inducir un uso de la visualización más eficiente e intencio-nal, debe enseñársele al sujeto a crear imágenes mentales, aun cuando no tiendaa hacerlo espontáneamente.

Piaget (1978, pp. 295-296), al referirse a las operaciones lógico-matemáticas,sostiene que éstas “proceden de las acciones más generales que podemos ejer-cer sobre los objetos [...] los actos de reunir o disociar, de ordenar o cambiar deorden, etc. consisten inicialmente en movimientos reales efectuados material-mente o imaginados en el pensamiento [...]”; la curva del desarrollo de los entesmatemáticos sigue una dirección “originada en la coordinación de las accionesque el sujeto ejerce sobre el objeto y se aleja cada vez más de este objeto inme-diato, pero sigue conservando el poder de reunirse con él y lo reencuentra enrealidad en todos los niveles de profundidad o extensión a los que puede con-ducir su análisis físico”.

Esta particular función “constructiva” de la imaginación ha sido tematizadapor la filosofía realista, tanto clásica como contemporánea. Tomás de Aquino(I, q.84 a.7) al referirse a la abstracción dice: “Todos pueden experimentar en símismos que, cuando se quiere entender algo, se forman ciertas imágenes a mo-do de ejemplares, en los que podemos contemplar, por así decirlo, lo que nosproponemos entender.” Y agrega más adelante: “Por consiguiente, para que el en-tendimiento entienda en acto su objeto propio, es necesario que recurra a lasimágenes de la fantasía, a fin de descubrir la naturaleza universal existiendo enun objeto singular.” Este texto se ubica en el contexto de la discusión sobre elorigen del conocimiento intelectual y el rol de la sensibilidad en él. Aquí podría-mos encontrar en el texto un elemento importante de lo que queremos decircuando hablamos de la representación como “mediador” cognitivo: dicha media-ción no se limitaría al momento de constitución de los conceptos geométricos,sino que se extendería al momento del “uso” de dichos conceptos.

Antonietti (1990), en una experiencia donde a la libre elaboración de imáge-nes mentales le sigue la resolución de un problema, observa que dicha elabora-ción produce una flexibilidad general de la estructura cognoscitiva ligada al pro-blema. Confirma la función heurística que tiene la elaboración de tipoespacial-figurativa en la solución, haciendo a la situación problemática más dis-ponible a la restructuración.





1 Los ejercicios se extrajeron de distintas fuentes:

• 1, 3 y 6 se tomaron de revistas de entretenimiento,• 2 de Gorgorió (1998),• 4, 5, 7, 8 y 9 de problemas para las Olimpíadas Matemáticas,• 10 del DAT – Razonamiento Mecánico,• 11 de Gorgorió y otros (2000).

DESCRIPCIÓN DEL INSTRUMENTO

Nuestro interés se centra en evaluar la habilidad para realizar transformacionesmentales, no en distinguir entre “visualizadores” (los que poseen un estilo cognos-citivo por el que tienden a usar la imagen visual en la realización de una tarea in-telectual) o “verbalizadores” (los que recurren habitualmente a una estrategia verbal).Nos ocupamos de detectar esa habilidad para poder emplearla como una estra-tegia de aprendizaje que facilite la asimilación y uso de los conceptos.

Existen distintos tests cuya aplicación como instrumentos de evaluación enel aula provoca ciertos inconvenientes, ya sea por su nivel elevado o por su ex-tensión. Entre ellos podemos citar: Purdue Spatial Visualization Test (Guay,1976), Differential Aptitude Tests- SR (Bennet y otros, 1949), Rompecabezas im-presos (Yela, 1974 ), etc. Otros autores han utilizado cuestionarios o autoinfor-mes para evaluar el uso de la imaginación durante distintas actividades (Overlyy otros, 1998; Giorgetti y Antonietti, 1992).

El instrumento que presentamos consta de 12 ejercicios1 (se adjunta en elapéndice), que consisten en:

I.1. Recomponer dos columnas con seis fragmentos desordenados.I.2. Reconocer, entre cuatro representaciones de objetos, las tres que repre-

sentan el mismo objeto en distintas posiciones.I.3. Asociar el desarrollo de un cubo con su correspondiente cubo armado.I.4 y I.5. Contar las caras y las aristas de un cuerpo que se obtienen al efec-

tuar cortes en cada uno de los vértices de un cubo de modo que queden forma-dos triángulos.

I.6. Recomponer un marco de un cuadro a partir de seis partes (sólo cuatroencajan correctamente).

I.7 y I.8. Para formar un cubo se emplean veintisiete cubitos y se pinta su ex-terior. Contar cuántos cubitos tienen pintadas sólo dos caras y cuántos ninguna.

I.9. Calcular de cuántas formas distintas se pueden unir cuatro cuadrados porlos lados. No se deben tener en cuenta las mismas formas en distinta posición.

I.10. Se colocan cuatro engranajes uno al lado del otro, determinar en qué

dirección gira el último de la derecha si el primero de la izquierda gira en senti-do antihorario

I.11. Determinar cuáles de los ocho dibujos corresponden a una casa obser-vada desde cuatro puntos de vista distintos.

I.12. Dibujar cada una de las tres banderas después de girar 90º hacia la iz-quierda (sentido antihorario), teniendo como centro el punto señalado. Dibujarcada una de las tres banderas después de girar 90º hacia la derecha (sentido ho-rario), teniendo como centro el punto señalado.

Los ejercicios 1, 2, 6, 10 y 12 requieren rotaciones mentales para llegar a larespuesta, ya sea que se trate de mover figuras en el plano para ver si encajan(1, 2, 6 y 10) o que se requiera dibujar (12).

El núm. 3 se resuelve armando “mentalmente” el desarrollo plano del cubo ycomparándolo con los modelos que se presentan. El núm. 9 requiere, además,una rotación de figuras en el plano para reconocer las formas similares de unesquema que contemple todas las combinaciones posibles. Para resolver el núm.11 es necesario ubicarse “mentalmente” en las posiciones que se señalan e ima-ginar la vista que desde allí se tiene de la casa, luego se debe reconocerlas entrelos modelos que se muestran. Los números 4, 5, 7 y 8 exigen contar elementosno visibles y, en consecuencia, deben imaginarse.

MUESTRA

Nuestra población comprende a los alumnos de 2º año de enseñanza secunda-ria (que tienen entre 14 y 15 años de edad) de tres colegios de turno matutino,representativos de instituciones de gestión privada de Capital Federal y GranBuenos Aires, Argentina.

La muestra es estratégica u ocasional, seleccionada en función del fin principalde la investigación: probar un instrumento diseñado ad hoc y explorar sus cualidadespsicométricas específicas para su uso particular (la evaluación de la competenciaimaginativa en alumnos de esa edad, nivel de escolaridad y nivel sociocultural).

Está compuesta por cuatro cursos, que corresponden a distintas modalidadesde enseñanza (uno de bachillerato mercantil, otro de bachillerato pedagógico ydos de un colegio técnico). Los dos primeros pertenecen a dos escuelas de Ca-pital Federal y los otros, a una del Gran Buenos Aires.

Tiene un tamaño de 118 sujetos.La aplicación de la prueba fue colectiva y duró aproximadamente 50 minutos.



ANÁLISIS DE LOS RESULTADOS

Los datos de la muestra fueron sometidos a diversos tipos de análisis: descrip-ción de la variable “imaginación”, determinación de la validez de constructo y dela confiabilidad, estudio de la potencialidad discriminativa y del nivel de dificul-tad de los ítems.

A) DESCRIPCIÓN DE LA VARIABLE I Y DE LAS CARACTERÍSTICAS DE LOS ÍTEMS

Con I representamos la variable “imaginación” y la definimos como el número deítems (o ejercicios) de la prueba bien resueltos. Como cada respuesta correcta seevalúa con 1 punto, el rango de la puntuación es de 0 a 12. Al ejercicio 9 se leasigna un punto si se reconocen tres de las cuatro vistas correctas y al ejercicio10 si se dibujan correctamente 4 de las 6 banderas. La media de I = 6.92 y sudesviación estándar = 2.75

El gráfico 1 muestra un rango extendido, ya que abarca del puntaje 1 al 12.También manifiesta que el 50% central de los datos (representados en el bloquerectangular) está comprendido entre los valores 5 y 9.



Gráfico 1 Box-plot de I

Máx = 12.000000Mín = 1.000000175% = 9.00000025% = 5.000000Valor mediano:Med = 7.000000

14

12

10

8

6

4

2

0

Box y Whisker Plot

Cuadro 1 Distribución de frecuencias

FFrreeccuueenncciiaa PPoorrcceennttaajjee FFrreeccuueenncciiaa PPoorrcceennttaajjee

G_1:1 4 3.38 G_7:7 13 11.01

G_2:2 4 3.38 G_8:8 18 15.25

G_3:3 4 3.38 G_9:9 12 10.16

G_4:4 14 11.86 G_10:10 14 11.86

G_5:5 13 11.01 G_11:11 9 7.62

G_6:6 11 9.32 G_12:12 2 1.69

Gráfico 2 Distribución de la variable I

El gráfico 2 (de barras) muestra que los valores menos frecuentes de la varia-ble I son 1, 2, 3 y 12, lo que está indicando que son pocos los sujetos que resol-vieron bien un número pequeño de ítems o toda la prueba.



Esperadonormal

Núm

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16

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Categoría

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:1

G_2

:2

G_3

:3

G_4

:4

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:5

G_6

:6

G_7

:7

G_8

:8

G_9

:9

G_1

0:10

G_1

1:11

G_1

2:12

Cuadro 2 Promedio de aciertos por ejercicio

ÍÍtteemm MMeeddiiaa DDSS

I 1 0.81 0.39

I 2 0.55 0.49

I 3 0.73 0.44

I 4 0.59 0.49

I 5 0.35 0.48

I 6 0.88 0.31

ÍÍtteemm MMeeddiiaa DDSS

I 7 0.14 0.35

I 8 0.27 0.45

I 9 0.38 0.48

I 10 0.90 0.29

I 11 0.54 0.50

I 12 0.72 0.45

B) ESTUDIO DE LA VALIDEZ DE CONSTRUCTO

La homogeneidad de los ítems, relación entre cada ítem y el puntaje de la prueba,puede servir para determinar la validez de construcción del instrumento por elmétodo de la consistencia interna. Para hacerlo, se puede calcular la correlaciónbiserial entre “correcto o incorrecto” en cada ejercicio y la puntuación total deltest y sólo se retienen los elementos que arrojen correlaciones significativas. El test,cuyos elementos son seleccionados por este método, muestra consistencia inter-na, puesto que cada elemento se diferencia en el mismo sentido que el test en-tero (Anastasi, 1973, p. 122).



Cuadro 3 Correlación entre cada ejercicio y la puntuación total del test

ÍÍtteemm CCoorrrreellaacciióónn bbiisseerriiaall

I 1 0.46

I 2 0.56

I 3 0.45

I 4 0.57

I 5 0.60

I 6 0.49


I 7 0.45

I 8 0.65

I 9 0.53

I 10 0.28

I 11 0.62

I 12 0.58

Todos los coeficientes son significativos estadísticamente en el nivel de signi-ficación de 0.05.

C) CONFIABILIDAD

Para calcular la confiabilidad, se aplicaron dos métodos de determinación de laconsistencia interna: alpha de Cronbach y división por la mitad, en cuanto re-quieren una sola administración del instrumento. Arrojan un índice que oscilaentre 0 (confiabilidad nula) y 1 (confiabilidad máxima).

El alpha de Cronbach es 0.76. Luego, según este estadístico (el “preferido” enla investigación cuantitativa contemporánea, según lo evidencian las publicacio-nes periódicas), se considera que el instrumento tiene una confiabilidad relativa-mente buena, porque la teoría psicométrica establece el índice de 0.70 como laconfiabilidad mínima aceptable.



Cuadro 4 Método de la subdivisión

PPrriimmeerraa mmiittaadd SSeegguunnddaa mmiittaadd

Núm. de ítems 6 6

Media 2.97 3.94

Suma 351 466

DS 1.53 2.21

Alpha de Cronbach 0.595 0.614

Correlación entre la primera y la segunda parte = 0.64Confiabilidad por el método de mitades = 0.784Confiabilidad del test con el doble número de ítems = 0.878

El coeficiente de correlación de 0.878 suministra una estimación de la con-fiabilidad de la prueba completa en la que la correlación de las medias pruebasalcanzó un valor de 0.784. Este procedimiento estima la confiabilidad de todo elinstrumento, basada en la confiabilidad obtenida para la mitad, que se calculómediante la “fórmula de profecía “ o de “predicción “ de Spearman-Brown.

El principal supuesto de este método es que los dos nuevos tests son razo-nablemente equivalentes y, luego, el resultado obtenido suele llamarse tambiéncoeficiente de equivalencia, porque se basa en dos formas parciales del instru-mento. En este caso, arroja un índice de confiabilidad que la teoría psicométricallama considerable.

Según Anastasi (1973, p. 89), la diferencia entre los coeficientes que resultande estos dos métodos de determinación de la confiabilidad puede servir comoindicador aproximado del grado de homogeneidad del test, ya que, a menos quelos elementos de éste sean extremadamente homogéneos, el alpha de Cronbachserá inferior a la correlación entre las mitades, como ocurre con nuestro instru-mento.

D) ESTUDIO DE LA POTENCIALIDAD DISCRIMINATIVA DE LOS ÍTEMS

Para determinarla, se empleó el procedimiento de ordenar los resultados en lamuestra total en forma decreciente, computar el porcentaje de respuestas correc-tas por ítem en 27% superior y en 27% inferior y establecer los coeficientes decorrelación biserial.



Cuadro 5 Índices de discriminación


I 1 0.46

I 2 0.71

I 3 0.42

I 4 0.66

I 5 0.78

I 6 0.36


I 7 0.60

I 8 0.94

I 9 0.74

I 10 0.30

I 11 0.68

I 12 0.55

Es difícil establecer un límite medio aceptable para el índice de discriminaciónpero, para tests de escolaridad, se emplea el siguiente (Vianna, p. 232): un coefi-ciente menor de 0.19 se considera deficiente; entre 0.20 y 0.29, marginal; entre0.30 y 0.39, bueno y de 0.40 o más, muy bueno. Por consiguiente, la totalidadde nuestro instrumento tiene una potencialidad discriminativa de nivel bueno omuy bueno.

E) ESTUDIO DE LA DIFICULTAD DE LOS ÍTEMS

Para la determinación del grado de dificultad de los ítems, se divide la muestra—desde la mediana— en grupo superior e inferior; se determina el porcentaje derespuestas correctas en cada ítem (p para el grupo superior y p’ para el inferior).El nivel de dificultad (ND) resulta de promediar p y p’.



Cuadro 6 Nivel de dificultad de los ítems

ÍÍtteemm NNDD

I 1 0.79

I 2 0.53

I 3 0.71

I 4 0.55

I 5 0.31

I 6 0.88

ÍÍtteemm NNDD

I 7 0.12

I 8 0.25

I 9 0.35

I 10 0.90

I 11 0.50

I 12 0.69

Según Yela (1958), los límites aproximados de los ND son: de 0.75 a 0.95, muyfáciles; de 0.55 a 0.74, fáciles; de 0.40 a 0.54, medios; de 0.25 a 0.39, difíciles yde 0.05 a 0.24, muy difíciles. Luego, en nuestro caso, se obtuvieron:

• tres ítems muy fáciles (el 1, el 6 y el 10);• tres ítems fáciles (el 3, el 4 y el 12);• dos ítems medios (el 2 y el 11);• tres ítems difíciles (el 5, el 8 y el 9);• un ítem muy difícil (el 7).

En consecuencia, la mayor parte de la prueba presenta una dificultad media;sólo tres ítems resultan muy fáciles y uno, muy difícil. Nuestro instrumento, en-tonces, evidencia el nivel de dificultad deseable, porque según Vianna (1983,p. 231), la experiencia recomienda, y los estudios estadísticos lo confirman, queen un test de uso escolar se empleen ítems cuyo intervalo de dificultad se ubi-



que entre 0.2 y 0.8 (para que el instrumento pueda establecer los distintos nive-les de rendimiento de los alumnos), con un índice medio de 0.5. También Lin-deman (1971, p. 113) aconseja: “En todos los tests deben incluirse algunos ítemsfáciles para estimular al alumno de escasa capacidad y también es necesario quehaya algunos ítems relativamente difíciles, que constituyan un desafío para losmás capaces. Sin embargo, para lograr que el instrumento de medición tenga lamáxima calidad y utilidad, la mayoría de los ítems incluidos debe presentar unnivel medio de dificultad.”

A MODO DE CONCLUSIÓN

Si bien existen algunos tests para evaluar competencia imaginativa, su aplicaciónen el aula de enseñanza media se ve dificultada por su nivel elevado o por sulongitud. Y una meta educativa de importancia requiere un procedimiento apro-piado de evaluación. En este sentido, según Oakland y Eu (1993), el interés cre-ciente por el desarrollo de pruebas con cualidades psicométricas comprobadas,especialmente de elaboración local, se funda en la preocupación internacionalpor la calidad educativa, en la cual el test desempeña un importante papel.

De allí que el juicio acerca del valor de un instrumento para un propósito par-ticular sólo debería emitirse una vez determinadas, de manera objetiva y tanexacta como fuera posible, dichas cualidades psicométricas, porque este conoci-miento es necesario para que tanto el nuevo instrumento como los datos obte-nidos con él puedan utilizarse significativamente. En nuestro caso, lo hemos em-pleado como preprueba para juzgar la incidencia de una experiencia pedagógicaque buscaba promover la competencia imaginativa.

El análisis estadístico efectuado manifestó que el instrumento presenta validezde construcción adecuada, evaluada a través del índice de homogeneidad de losítems: cada ejercicio parece diferenciarse en el mismo sentido que el instrumentoen su totalidad.

En segundo lugar, respecto del llamado “análisis cuantitativo de los ítems”, latotalidad del instrumento tiene una potencialidad discriminativa de nivel buenoo muy bueno, y el intervalo de dificultad recomendado por la teoría estadística.

Parece, entonces, un instrumento potente en cuanto que, por un lado, eva-lúa una competencia unitaria y, por el otro, resulta sensible a distintos nivelesde logro en la capacidad imaginativa de alumnos de 2º año de enseñanza se-cundaria.



En tercer lugar, manifiesta una confiabilidad cercana o superior a 0.80 segúnel procedimiento empleado (alpha de Cronbach y método de mitades, respecti-vamente), coeficiente que la teoría psicométrica juzga “considerable”.

Finalmente, resulta de ágil aplicación y calificación, ambas cualidades de im-portancia en el ámbito escolar.

Sería de interés, objetivo de un futuro trabajo, establecer la validez de crite-rio de la prueba correlacionando estos resultados con el rendimiento de losalumnos en geometría; también ampliar la muestra para incluir otras edades einvestigar empíricamente si el sexo es en nuestra población un factor diferencialde la capacidad imaginativa.

APÉNDICE

Prueba de competencia imaginativa1.1 Recompone con estos fragmentos desordenados 2 columnas.

1.2 Entre estas figuras, hay 3 que representan el mismo objeto en distintasposiciones. ¿Cuáles son?



a) b) c) d)

1.3 A la derecha encontramos un cubo desarmado ¿Cuál es el correspon-diente cubo armado?

En un cubo se efectuaron cortes en cada uno de los vértices de modo quequeden formados triángulos, como muestra la figura. El cuerpo obtenido tiene24 vértices.

1.4 ¿Cuántas caras tiene?1.5 ¿Cuántas aristas tiene?

1.6 Se presentan a modo de rompeca-bezas, diversas partes de distintosmarcos de cuadros.Sólo 4 de ellas se ajustan perfecta-mente entre sí para formar un mar-co. ¿Cuáles son?



1

3

2

4

1

3

5

2

4

6

Para formar un cubo se usan 27 cubitos y se pinta el exterior del cubo.1.7 ¿Cuántos cubitos tienen sólo dos caras pintadas?1.8 ¿Cuántos cubitos no tienen caras pintadas?1.9 ¿De cuántas formas se pueden unir cuatro cuadrados por los lados? El

dibujo muestra una de ellas. No han de tomarse en cuenta las mismaformas en distinta posición, como la que aparece a la derecha del dibu-jo, que es exactamente igual a la de la izquierda. Cuenta sólo las formasdiferentes.

1.10 En que dirección, A o B, gira el engranaje de la derecha cuando el en-granaje de la izquierda gira en la dirección indicada?

1.11 Indica en los dibujos de la derecha, cuáles corresponden a la casa vistadesde el punto A, desde el punto B, desde el punto C y desde el punto D.



A

B

C

A

H

D

1.12 Dibuja cada una de las banderas después de girar 90° hacia la izquier-da, teniendo como centro el punto señalado.

Dibuja cada una de las banderas después de girar 90° hacia la derecha tenien-do como centro el punto señalado


Anastasi, A. (1973), Tests psicológicos, Madrid, Aguilar.Antonietti, A. (1990), “Libera elaborazione di immagine mentali e soluzione di

problemi”, Orientamenti Pedagogici, vol. 37, núm. 5, 221, pp. 992-1007.Antonietti, A. y B. Colombo (1996-1997), “The Spontaneous Occurrence of

Mental Visualization in Thinking”, Imagination, Cognition and Personality,vol. 16, núm. 4, pp. 415-428.

Battista, M., G. Wheatley y G. Talsma (1989), “Spatial Visualization, FormalReasoning, and Geometric Problem-Solving Strategies of PreserviceElementary Teacher”, Focus on Learning Problems in Mathematics, vol. 11,núm. 4, pp. 17-30.

Bennet,G., H. Seashore y A. Wesman (1949), Differential Aptitude Test, NuevaYork, Psychological Corp.

Giorgetti, M. y A. Antonietti (1992), “‘Verbalizzatori’ e ‘visualizzatori’: Strumenti diidentificazione”, Orientamenti Pedagogici, vol. 39, 229, pp. 71-96.

Gorgorió, N. (1998), “Exploring the Functionality of Visual and Non-VisualStrategies in Solving Rotation Problems”, Educational Studies in Mathematics,vol. 35, núm. 3, pp. 207-231.



Gorgorió, N. et al. (2000), “Proceso de elaboración de actividades geométricasricas: un ejemplo, las rotaciones”, Suma, vol. 33, pp. 59-71.

Guay, R. (1976), Purdue Spatial Visualization Test, Purdue Research Foundation.Lindeman, R. (1971), Tratado de medición educacional, Buenos Aires, Paidós.Oakland, T. y S. Hu (1993). “The Top 10 Tests Used with Children and Youth

Worldwide”, Bulletin of the International Test Commission, vol. 19, núm. 1,pp. 99-120.

Overly, L., C. Hall e I. Haslam (1998), “A Comparison of Imagery Used by DanceTeachers, Figure Skating Coaches, and Soccer Coaches”, Imagination, Cognitionand Personality, vol. 17, núm. 4, pp. 323-337.

Paivio, A. (1985), “Cognitive and Motivational Functions of Imagery in HumanPerformance”, Canadian Journal of Applied Sport Sciences, vol. 10, pp. 22-28.

Piaget, J. (1978), Introducción a la epistemología genética. 1 El pensamientomatemático, 2a. ed., Buenos Aires, Paidós.

Tomás de Aquino (1959), Suma teológica, Madrid, B.A.C.Vianna, H. (1983), Los tests en educación, Pamplona, Universidad de Navarra.Vosniadou, S., Ch. Ioannides, A. Dimitrakopoulou y E. Papademetriou (2001),

“Designing Learning Environments to Promote Conceptual Change inScience”, Learning and Instruction, núm. 11, pp. 381-419.

Yela, M. (1958), Psicometría y estadística, Madrid, Apuntes del Curso de la“Escuela de Psicología y Psicotecnia” de la Universidad de Madrid, revisadospor el autor.

–––––– (1974), Rompecabezas impresos, Madrid, TEA.



DATOS DE LAS AUTORAS

María Virginia RapettConsejo Nacional de Investigaciones Científicas y Técnicas (CONICET) y

Centro de Investigaciones en Antropología Filosófica y Cultural (CIAFIC),

Capital Federal, Argentina

[email protected]

Hilda Difabio de AnglatCentro de Investigaciones Cuyo (CIC), Universidad Nacional de Cuyo,

Mendoza, Argentina

[email protected]


Rol que le asignan los docentesa los ejercicios y problemas en las clasesde aritmética. Un trabajo exploratorio

Virginia Montoro, Martha Ferrero y Cristina Ferraris

RReessuummeenn:: Se trata de un trabajo exploratorio, basado en observaciones de clasesde aritmética, en San Carlos de Bariloche, provincia de Río Negro (Argentina). Elanálisis y la discusión se centran en los ejercicios y problemas utilizados por losdocentes en el tratamiento del tema y se determinan categorías respecto al usoque de éstos hacen los docentes.

Palabras clave: Rol, problemas, aritmética, docentes, matemática.

AAbbssttrraacctt:: This is an exploratory work, based on observation of arithmetic classesin San Carlos de Bariloche, Rio Negro, Argentina. The analysis and discussion fo-cus on exercises and problems used by the teachers during the development ofthe theme, determining categories on the use they make of them.

Key words: Role, teachers, problems, arithmetic, mathematics.

INTRODUCCIÓN

Con origen en un movimiento que tiene por pionero al matemático G. Polya ybasándose fundamentalmente en sus trabajos How to solve it (1945/1957); Mat-hematics and Plausible Reasoning (1954) y Mathematical Discovery (1962-1965/1981), desde comienzos de la década de los ochenta parece haber un acuer-do general en cuanto a que la resolución de problemas debe desempeñar unpapel importante en la matemática escolar.

Hoy resulta un objetivo aceptado de la instrucción matemática convertir a losestudiantes en resolutores competentes de problemas. Sin embargo, la expresión“resolución de problemas” ha sido usada con múltiples significados que van des-de “trabajar sobre ejercicios” hasta “hacer matemática como un profesional”.

Schoenfeld (1992) distingue dos polos en la interpretación de esta expresión.El primero se refiere al sentido de ésta como ha sido usado tradicionalmente en

Fecha de recepción: abril de 1999.

la instrucción matemática; son más bien ejercicios rutinarios organizados comopráctica en una técnica matemática particular que ha sido recientemente mos-trada a los estudiantes. El otro extremo se refiere a la resolución de problemascomo los que encuentra un matemático en su actividad de construcción del co-nocimiento (a estos problemas Schoenfeld los llama de la “clase perpleja”).

Sobre la base de una revisión histórica acerca de la utilización de la resoluciónde problemas, Stanic y Kilpatrick (1988) resumen las referencias encontradas entres grandes temas: como contexto (medio para lograr otros objetivos); como ha-bilidad y como arte.

Para estos autores, lo tradicional en la enseñanza es que la resolución de pro-blemas sea vista como medio para lograr otros objetivos. Esto sucede cuandolos problemas son empleados como vehículos al servicio de otros objetivos curricu-lares (en el sentido de tareas requeridas para ser resueltas). De acuerdo con estosobjetivos, los autores identifican cinco clases:

a) Como una justificación para la enseñanza de la matemática. Algunosproblemas relacionados con las experiencias de la vida real pueden con-vencer a docentes y estudiantes del valor de la Matemática.

b) Como motivación específica para los tópicos de la disciplina. Los proble-mas son usados para introducir tópicos con el entendimiento implícito oexplícito de que, “una vez que has aprendido la lección que sigue, seráscapaz de resolver problemas de este tipo”.

c) Como recreación. Los problemas recreativos son propuestos como moti-vación en un sentido más amplio que en (b). Muestran que “la Matemáti-ca puede ser divertida”.

d) Como un medio de desarrollar nuevas destrezas. Los problemas cuidadosa-mente secuenciados pueden introducir a los estudiantes en un nuevo tema dela disciplina y proveer un contexto para las discusiones de las técnicas de éste.

e) Como práctica. Se les muestra una técnica a los estudiantes y luego seles dan problemas para practicar, hasta que hayan dominado la técnica.

En cualquiera de estos roles, los problemas son vistos más bien como enti-dades que permiten lograr uno de los objetivos antes mencionados. Es decir, laresolución de problemas no se ve generalmente como un objetivo en sí mismo,pero resolver problemas es visto como facilitador para el logro de otros objetivos.La resolución de problemas tiene una interpretación minimal: trabajar las tareasque han sido presentadas e ilustrar el uso que puede darse a los conceptos.


Rol que le asignan los docentes a los ejercicios y problemas en las clases de aritmética

En el segundo rol que, según estos autores, puede adquirir la resolución deproblemas, ésta es vista como una habilidad en sí misma, que debe ser enseñadade manera independiente. Así, se constituye en una jerarquía de destrezas queserán adquiridas por los estudiantes, tendencia educativa que se manifiesta enforma explícita a partir de la década de los ochenta.

El tercer rol al que hacen referencia estos autores, y que da una visión en fuer-te contraste a las dos previas, sostiene que la verdadera resolución de problemas(esto es, trabajar los problemas de la clase “perpleja”) es la actividad matemáticacentral. En esta visión, los grandes problemas que han permanecido sin resolverpor décadas y cuya solución da a los resolutores una notoriedad significativa, di-fieren sólo en escala de los problemas encontrados día a día en la actividad ma-temática y, por ello, las experiencias matemáticas de los estudiantes deberían pre-pararlos para enfrentar tales desafíos.

Por otra parte, cabe mencionar que las teorías de Didáctica de la Matemáti-ca correspondientes a la corriente francesa toman como la actividad matemáticaesencial la resolución de problemas y la reflexión sobre ellos. Según Charnay(1988), las nociones matemáticas se hacen aparecer como herramientas para re-solver problemas a través de las cuales los alumnos construyen el sentido de esossaberes y, sólo después, estas herramientas podrán ser estudiadas por sí mismas.Es decir se le asigna a la resolución de problemas el muy importante rol de darsentido a los saberes matemáticos.

En cuanto a las diversas posiciones que el docente puede adoptar respectoal rol y el lugar que asigna a la actividad de resolución de problemas, Charnay(1988) resume:

a) El problema como criterio del aprendizaje: como mecanismos se utilizanlecciones (adquisición) y ejercicios (ejercitación) y el sentido del problemaes la utilización de los conocimientos por parte del alumno y de controlpara el docente.

b) El problema como móvil del aprendizaje: Se motiva al estudiante a tra-vés de una situación basada en lo cotidiano. Los mecanismos usados sonaporte de conocimiento, práctica, ejercicios. Los problemas atienden a laresignificación de la situación.

c) El problema como recurso de aprendizaje: La resolución de problemascomo fuente, lugar y criterio de la elaboración del saber.

Este trabajo centra su atención en el rol que le asignan los docentes a las ta-reas que podemos llamar ejercicios o problemas en una situación de clase, to-



mando como base para el análisis la clasificación provista por Stanic y Kilpatrick(1988). El mismo se encuadra en un proyecto más amplio cuyo objetivo generales “identificar estrategias de enseñanza utilizadas por docentes en el tratamien-to inicial de la aritmética1 en la escuela media”.

Se trata de una exploración, que no pretende resultados generalizables, sinomás bien un primer acercamiento al uso que los docentes dan en sus clases detodos los días a los ejercicios o problemas. Nuestra intención es llamar la aten-ción sobre procesos, circunstancias y tendencias que, por cotidianos, podrían pa-sar inadvertidos.

METODOLOGÍA

Se realizaron registros de observaciones etnográficas de 20 clases correspondien-tes a tres docentes, elegidos entre aquéllos a cargo de los cursos donde se tra-tan los temas de aritmética y que, contactados en los respectivos colegios, mos-traron disponibilidad e interés en colaborar con esta investigación.

Las observaciones de las clases fueron realizadas durante el periodo en elque los docentes desarrollaron el tema de nuestro interés, en los cursos que elloseligieron y basándose en sus propias planificaciones.

Los registros se llevaron a cabo por dos de las autoras simultáneamente, contoma de notas, copia de lo realizado en el pizarrón y grabación. Cabe aclarar quelas intervenciones generales de los alumnos en las puestas en común fueron te-nidas en cuenta particularmente, pero no se tomaron registros de las actividadesindividuales de éstos (carpetas o evaluaciones), ya que el estudio se centra en lagestión docente. Las clases fueron transcriptas en su totalidad, siguiendo las no-tas y recurriendo a las grabaciones sólo en caso de dudas.

Para el análisis de los datos, se realizó una primera lectura de todas las cla-ses tomando nota de los aspectos más relevantes; a partir de los cuales se con-feccionó una plantilla que serviría de guía para una segunda lectura. Ésta se rea-lizó consignando en la plantilla, para cada ejercicio o problema, las apreciacionesde las investigadoras respecto al rol asignado por los docentes a los ejercicios yproblemas, para ello se adoptó el punto de vista descrito por Stanic y Kilpatrick(1988), adaptándolo a nuestro estudio de casos.



1 Entenderemos por aritmética el estudio de los números enteros respecto a los siguien-tes temas: divisibilidad, números primos, algoritmo de la división; máximo común divisor; nú-meros coprimos; mínimo común múltiplo; teorema fundamental de la aritmética.

Luego se procedió a la discusión conjunta de cada una de las plantillas, enbusca de un consenso en las categorizaciones, que sólo llevó a ajustes menores,ya que se dieron en general pocas diferencias.

Por último se realizó la discusión de éstas a fin de llegar a las conclusionesgenerales.

ANÁLISIS Y DISCUSIÓN DE LOS RESULTADOS

La totalidad de las tareas observadas son utilizadas como medio para lograrotros objetivos. En ningún caso se proponen problemas como arte y tampoco seenseña específicamente a resolver problemas.

Entre estos fines hemos encontrado:

1. Como motivación específica para los tópicos de la disciplina, 2 casos.Ejemplo: En el momento de introducir el concepto de MCD, se propone la si-

guiente consigna: Agrupar las fichas de esta manera:

1) colocar el mayor número de fichas en cada grupo.2) cada grupo debe tener fichas de la misma forma.3) cada grupo debe contener la misma cantidad de fichas

¿Cuántas fichas deben colocar en cada grupo?

La profesora entrega primero el material (figuras geométricas de cartulina) yluego dicta la consigna. Propone un cuadro para organizar la información. Haceuna síntesis de lo que revelan los cuadros formulando los resultados en un len-guaje conjuntista y utilizando el concepto de divisor. Establece que el resultadoes MCD(16,28). Luego del desarrollo de este ejemplo establece la definición demáximo común divisor.

2. Como un medio de desarrollar nuevas destrezas, 12 casos.Ejemplo: A fin de ilustrar el algoritmo “Criba de Eratóstenes”, la profesora

propone leer una fotocopia donde se cuenta una breve historia de él y se expli-ca, paso a paso, cómo se construye. Propone la consigna: “Confeccionar la cribade Eratóstenes para hallar los primos menores que 100” para ser realizada engrupos. En la clase siguiente se hace una puesta en común donde la profesorava realizando en el pizarrón cada paso enunciado en la fotocopia. Discute con



los alumnos sobre algunos casos particulares, como por ejemeplo, 49 y dice: ¿49es múltiplo de qué número? Y luego lo tacha. Anotan en el pizarrón los primosencontrados. Se detienen en 100, porque era lo que pedía el enunciado, mos-trando que esta técnica provee un método para encontrar primos.

3. Como práctica, 35 casosEjemplo: Esta tarea se propone luego de institucionalizar el concepto de míni-

mo común múltiplo; es realizada por los alumnos en el pizarrón, siguiendo la es-trategia propuesta por la profesora (hallar los primeros múltiplos de cada núme-ro, resaltar los comunes y buscar el menor).

Hallar el m.c.m. dea) m.c.m. (135, 150, 45) = d) m.c.m. (6,5, 15,10) =b) m.c.m. (121, 77, 22) = e) m.c.m. (18,42,6) =c) m.c.m. (410, 287) = f) m.c.m. (25, 8) =

4. Recreación, 1 caso (fue propuesto pero no desarrollado en clase).Ejemplo: Curiosidad numérica: Toma un número cualquiera de tres cifras. Es-

críbelo dos veces consecutivas. Comprueba que el número es divisible por 7, 11y 13. Pues 7.11.13 = 1001 y un número ABC multiplicado por 1001 no es otracosa que ABCABC.

El siguiente cuadro muestra estos mismos datos consignados por el profesor.

MMoottiivvaacciióónn DDeessaarrrroollllaarreessppeeccííffiiccaa nnuueevvaass ddeessttrreezzaass PPrrááccttiiccaa RReeccrreeaacciióónn TToottaall

Profesor I 2 5 9 0 16

Profesor II 0 2 13 0 15

Profesor III 0 4 14 1 19

Total 2 11 36 1 50

Vemos cómo, en la amplia mayoría de los casos, se toman los ejercicios o pro-blemas como práctica, es decir, un uso centrado exclusivamente en los contenidospor tratar. Si bien hay 11 casos en los cuales se utilizan para desarrollar nuevasdestrezas, éstas, en su mayoría, se tratan de algoritmos de cálculo.



En el caso de dos profesores, la mayoría de los ejercicios (12 de 16 y 11 de15) podemos considerarlos como ejercicios rutinarios (Schoenfeld, 1992), es de-cir, responden al siguiente esquema: el profesor muestra las nociones, las intro-duce, provee ejemplos y propone los problemas de aplicación. Mientras que en eltercer profesor encontramos que sólo dos ejercicios se ajustan a este esquema,en cuanto que no proveía un ejemplo modelo, resultando más activa la partici-pación de los alumnos. Es de destacar que ésto se desprende del análisis de lasobservaciones, ya que los enunciados de los problemas propuestos por los tresprofesores no difieren en sintaxis o dificultades respecto de los requerimientos alos alumnos.

CONCLUSIONES

Como dijimos, no pretendemos en este trabajo resultados generalizables, sino unprimer acercamiento al uso que los docentes dan en sus clases a tareas que po-demos llamar ejercicios o problemas. Si bien no consideramos que los docentesobservados constituyan una muestra representativa, no tenemos motivos parapensar que se trata de casos raros ni excepcionales, por lo que creemos que pue-den aportar datos para llamar la atención sobre procesos, circunstancias y tenden-cias que, de otro modo, podrían pasar inadvertidos. Somos conscientes de que setrata de una primera discusión de estos resultados que, sin duda, deja abierta laposibilidad de una mayor profundización.

Pensamos que el rol de la actividad matemática en la escuela es contribuirno sólo a la adquisición de las herramientas conceptuales propias de la disciplina,sino a la de su metodología de utilización y comprensión de su potencialidad enla resolución de problemas. En este sentido, la Educación Matemática debeapuntar a que los estudiantes lleguen a ser capaces de trabajar con el métodomatemático, desarrollando habilidades relacionadas con la comprensión de con-ceptos, el razonamiento lógico y el descubrimiento de relaciones, especialmentea través de la resolución de problemas. El proceso de construir el conocimientomatemático involucra buscar soluciones, no sólo memorizar algoritmos o repro-ducir lo hecho por el docente; explorar modelos, no sólo memorizar fórmulas;formular conjeturas, no sólo hacer ejercicios.

Encontramos que, en la mayoría de los casos estudiados, los docentes se cen-tran principalmente en ellos como práctica de los conceptos recién enseñados.Esta situación parecería responder a lo que Charnay (1988) llama modelo “nor-



mativo”: centrado en el contenido y donde el docente elige lecciones y ejerciciospara trasmitir un conocimiento ya construido. Sin embargo, esta forma de trabajoes aceptada socialmente, ya que valora el conocimiento, permite clases ordenadasy hace fácil la evaluación, pero encierra peligros como el de no permitir que losalumnos elaboren estrategias convenientes, el de poner énfasis en la reproduc-ción de los contenidos y que se estereotipen las guías de trabajos prácticos consu correspondiente falta de motivación en los alumnos (Hanfling y Savón, 1997).

Nuestras conclusiones parecen estar de acuerdo con un trabajo de D. Lerner(1992), en el cual se menciona que la mayoría de los docentes de matemáticaentrevistados afirmó que enseñar matemática consiste en explicar, y aprenderlaes ejercitar lo enseñado y llegar a reproducirlo.

Esta modalidad muestra a la Matemática como producto acabado, que pue-de ser trasmitido y memorizado para ser reproducido, no como oportunidad deencontrar buenos problemas, buscar buenas soluciones, establecer conjeturas,sentir la necesidad de justificar los razonamientos, reflexionar sobre lo hecho.


Bressan A. M. (1997), “¿Por qué? ¿Cuál? Hacia una mejor comprensión de losCBC de Matemática para la EGB”, en Los CBC y la enseñanza de la matemá-tica, AZ editora.

Bressan A. y B. Costa de Bogisic (1997), “Matemática”, en Diseño Curricular. EGB

1 y 2. Versión 1.1, Consejo Provincial de Educación. Provincia de Río Negro,Argentina.

Butts, T. (1980), “Posing problems properly”, en S. Krulik (ed.), Problem Solvingin School Mathematics, Yearbook of NCTM, Reston.

Charnay, R. (1988), “Aprender (por medio de) la resolución de problemas”, enParra y Saiz (comps.), Didáctica de matemática. Aportes y reflexiones, Paidós,Educador, Argentina, 1994.

Polya, G. (1962), Mathematical Discovery, Princeton, N. J., Princeton UniversityPress.

–––––– (1945), How to solve it. Princeton, N.J., Princeton University Press.–––––– (1954), Mathematics and Plausible Reasoning. Princeton, N. J., Princeton

University Press.Schoenfeld, A. H. (1992), “Learning to Think Mathematically: Problem Solving,

Metacognition, and Sense Making in Mathematics”, en The University of Ca-



lifornia, Berkeley, Handbook of Research on Mathematics Teaching andLearning, NTCS, Macmillan, Nueva York, 1992, pp. 334-370.

–––––– (1985), Mathematical Problem Solving, Orlando, Fl., Academic Press.–––––– (1989), “Teaching Mathematical Thinking and Problem Solving”, en L. B.

Resnick y L. E. Klopfer (comps.), Toward the Thinking Curriculum: CurrentCognitive Research. 1989 ASCD Yearbook, USA: Association for Supervisionand Curriculum Development, pp. 83-103.

Stanik, G. y J. Kilpatrick (1988), “Historical Perspectives on Problem Solving inthe Mathematics Curriculum”, en R. Charles y E. Silver (eds.), The Teachingand Assessing of Mathematical Problem Solving, Reston, VA: National Coun-cil of Teachers of Mathematics, pp. 1-22.



DATOS DE LAS AUTORAS

Virginia MontoroDepartamento de Matemática, Centro Regional Universitario Bariloche,

Universidad Nacional de Comahue, Argentina

[email protected]

Martha FerreroGrupo de Investigación en Educación Matemática, Departamento de Matemática,

Centro Regional Universitario Bariloche, Universidad Nacional de Comahue, Argentina

[email protected]

Cristina FerrarisDepartamento de Matemática, Centro Regional Universitario Bariloche,

Universidad Nacional de Comahue, Argentina

[email protected]


Un estudio gráfico y numérico del cálculo dela integral definida utilizando el Programade Cálculo Simbólico (PCS) DERIVE

Matías Camacho Machín y Ramón Depool Rivero

Dedicado al Dr. Nácere Hayek Calil, en su 800 cumpleaños.

RReessuummeenn:: A fin de contribuir a mejorar la enseñanza y aprendizaje del cálculo, sepresenta un programa de utilidades (PU) diseñado con el Programa de Cálculo Sim-bólico (PCS) DERIVE, para ser utilizado por estudiantes de Cálculo I de un primercurso de ingeniería. Este PU es el núcleo del material curricular utilizado en unproyecto de investigación más amplio que se desarrolla en la actualidad, uno decuyos objetivos consiste en analizar las potencialidades y dificultades que surgen conla introducción de DERIVE como recurso didáctico en los cursos de iniciación alcálculo. El PU ha sido elaborado partiendo del problema clásico de las cuadratu-ras, esto es, se calcula el área limitada por una curva con el eje de las abscisasen el sentido de distintas aproximaciones (Riemann-Darboux, regla de los trape-cios...), para posteriormente introducir el concepto de integral definida, previo alestudio del cálculo de primitivas (integral indefinida). Se introduce, consecuente-mente, el concepto de integral definida desde una perspectiva gráfica y numéri-ca, desglosando paso a paso los distintos procedimientos de aproximación delárea limitada por una curva y el eje de las abscisas. Se incluyen en este artículoalgunas aportaciones didácticas que han sido obtenidas empíricamente despuésde utilizar el PU en un estudio exploratorio que realizamos actualmente con ungrupo de 14 estudiantes.

Palabras clave: Educación matemática, enseñanza y aprendizaje del cálculo,programas de cálculo simbólico, DERIVE, integral definida.

AAbbssttrraacctt:: With the aim of improving the teaching and learning of calculus a Uti-lity File (UF) designed with the Computer Algebra System (CAS) DERIVE is presen-ted to be used by first year engineering students taking Calculus I. The UF is the

Fecha de recepción: junio de 2002.

core of the curricular material used in a wider research project that is currentlybeing developed. One of the objectives of this project consists in analyzing thepotential and difficulties arising when DERIVE is introduced as a didactic resourcein the introductory calculus course. The UF has been designed beginning the clas-sic problem of the quadratures, that is the area limited by a curve with de x-axisis calculated using different approximations (Riemann-Darboux-Cauchy, trapezoi-dal rule...). This approach enables us to introduce the concept of definite integralbefore the study of the antiderivate (indefinite integral). Consequently, the con-cept of definite integral is presented from a graphical and numerical perspective,analyzing different approaches step by step in order to obtain the area limited bya curve and the x-axis. In addition, some didactical consequences empirically ob-tained in an ongoing exploratory study of the UF with a group of 14 students areincluded.

Keywords: Mathematics education, teaching and learning of calculus, compu-ter algebra system, DERIVE, definite integral.

1. INTRODUCCIÓN

La enseñanza y aprendizaje de los conceptos de cálculo infinitesimal posee unaproblemática que surge paralelamente con su aparición en los programas de laenseñanza media y primeros cursos universitarios. El cálculo siempre ha sidoconsiderado un tema difícil de enseñar, a la vez que complejo.

El trabajo que se presenta forma parte de una investigación que se realizaconjuntamente entre la Universidad de La Laguna (España) y la UniversidadNacional Experimental Politécnica Antonio José de Sucre Unexpo (Venezuela),mediante la cual se pretenden analizar las potencialidades y dificultades que surgencon la introducción del software DERIVE en los cursos de cálculo para los estu-diantes de ingeniería. Se ha elegido como tópico concreto el concepto de integraldefinida y se elaboró para tal efecto un programa de utilidades (PU) sustancial-mente diferente al que viene incorporado en DERIVE, con el objetivo de introducirel concepto de integral definida partiendo del problema clásico de las cuadratu-ras y mostrando cómo aproximar el área limitada por una curva. Se pretende conello, por una parte, que el estudiante asimile tanto la perspectiva gráfica comonumérica del concepto de integral definida y, por otra, que el cálculo de la inte-gral definida de una función (continua o no) no sea visto exclusivamente comola diferencia de una primitiva evaluada en los extremos del intervalo de integra-


Un estudio gráfico y numérico del cálculo de la integral definida utilizando el PCS DERIVE

ción. , tal y como se muestra en algunas inves-

tigaciones (Orton, 1983, pp. 1-18; Eisenberg y Dreyfus, 1991, pp. 25-37).Resultan frecuentes las incoherencias que surgen en los estudiantes al tener

que resolver la integral definida de una función de la que no puede encontrarsu primitiva. Se pretende, con la utilización de prácticas de laboratorio basadasen el PU elaborado, que el estudiante comprenda el significado de la integraciónaproximada como un medio para encontrar respuestas a situaciones que mode-lizan la realidad (Weigand y Weller, 1998, pp. 251-267), las cuales son suscepti-bles de ser resueltas mediante el cálculo de integrales definidas.

ANTECEDENTES

Desde la inclusión de las materias de cálculo en las carreras de ingeniería ha ha-bido diferentes enfoques de los métodos para enseñarlo, aunque existe una predis-posición al uso casi exclusivo de procedimientos algorítmicos para la resoluciónde los diferentes problemas que se plantean. Una gran cantidad de libros de textofavorecen esa concepción de la enseñanza, ya que, en general, dedican a la reso-lución de ejercicios rutinarios una parte importante —entre 30 y 50%— tal y comoseñala Tall (Tall, 1997, pp. 289-325).

A partir de los años ochenta, con la rápida evolución de las nuevas tecnolo-gías informáticas, empiezan a aparecer en el mercado un tipo de programas pa-ra ordenadores personales, tales como el MACSYMA, MUMATH, etc. —denominadosmanipuladores simbólicos—, que son capaces de resolver fácilmente los ejerciciosrutinarios que de otro modo requerirían de una instrucción en técnicas de cál-culo muy laboriosas. Comenzó a partir de entonces, principalmente en EstadosUnidos y Canadá, un replanteamiento sobre qué y cómo debe ser enseñado elcálculo en los últimos cursos de secundaria y primeros cursos de universidad. Enuna sociedad, donde cada vez más la computadora desempeña un papel funda-mental, la enseñanza del cálculo debe plantearse sin obviar esta realidad.

En la década de los noventa y con la aparición de algunos programas másespecíficos, con más capacidades tanto simbólicas como gráficas (MAPLE, MATEMÁ-TICA, MATLAB, MATHCAD, DERIVE, etc.), el uso de los PCS (Programas de Cálculo Sim-bólico) se ha ido extendiendo, aunque en ningún caso el manejo de estos puedeconsiderarse como generalizado. Los libros de texto empiezan en estos últimosaños a incluir problemas específicos que, para su resolución, necesitan utilizar



f x dx F b F a F x

a

b( ) ( ) ( ), ( )∫ = −

primitiva

tales programas, y usan gráficas sugerentes construidas haciendo uso de estesoftware (Thomas y Finney, 1992; Edwards y Penney, 1996; Bradley y Smith,1998; Stewart, 1999). Ahora bien, el uso de estos PCS queda reducido, en gene-ral, a desarrollar cálculos directos de las primitivas de funciones, de desarrollosde Taylor de representaciones de funciones, y no suelen ser utilizados como he-rramientas de enseñanza y aprendizaje que permitan construir a los estudianteslos conceptos básicos del cálculo.

Quizás uno de los PCS que, por sus propias características (fácil manejo, eco-nomía de memoria, etc.), ofrece más posibilidades didácticas es el DERIVE. Esteprograma permite, tal vez de modo más elemental que otros, debido principal-mente a su concepción con fines educativos:

• Realizar operaciones de cálculo simbólico, entre las que se cuentan: ope-raciones con vectores, matrices y determinantes; resolución de ecuacionesy de sistemas de ecuaciones; cálculo de derivadas e integrales (definidas eindefinidas), sumas de series, cálculo de límites, obtención de los polino-mios de Taylor de una función; representación gráfica de funciones en formaexplícitas, implícitas, paramétrica y en coordenadas polares.

• Programar funciones que usen las distintas capacidades del programa an-tes mencionadas, es decir, definir una serie de funciones que combinenlas operaciones básicas que vienen implementadas en DERIVE.

• Utilizar ficheros con funciones (programa de utilidades-PU) definidas porotros usuarios para propósitos diversos como: resolver ecuaciones diferen-ciales, trabajar con álgebra lineal, etcétera.

La incorporación de DERIVE como apoyo para la enseñanza de las matemáticasen los últimos cursos de secundaria y primeros cursos de universidad, comienzaa ser una realidad. Se han desarrollado diferentes proyectos de investigación sub-vencionados por las instituciones académicas responsables que han tratado deextender el uso de este software (Artigue y otros, 1995; Drijvers y otros, 1997,pp. 118-123; Heugl, 1997 pp. 142-148), y han arrojado resultados bastante alen-tadores.

El PU que describiremos fue utilizado por un grupo de 14 estudiantes (7 denuevo ingreso y 7 repetidores) de Cálculo I en la Unexpo-Barquisimeto (Venezue-la) en el mes de julio de 1999, como parte de las actividades programadas paraun estudio exploratorio previo a un trabajo más amplio que se proyecta. En sudesarrollo, se logró observar la fácil adaptación de los estudiantes en cuanto a la



manipulación de las sentencias del programa, así como también su efectivo de-sempeño en los sistemas de representación gráfico y numérico, lo cual se reque-ría para el estudio del concepto de la integral definida partiendo de la aproxima-ción al cálculo del área limitada por una curva y el eje de abscisas.

2. DESCRIPCIÓN DEL PROGRAMA DE UTILIDADES (PU)

Se describe primeramente la función que se relaciona con la integral definidaque viene incorporada en el software original; seguidamente, la descripción del PU

con el que se ha desarrollado el trabajo de formación de los estudiantes, y fina-liza con una aplicación del PU a un problema planteado en un texto de cálculo.

La versión 4 de DERIVE posee un programa de utilidades (PU) que se encuentraincorporado en la carpeta MATH del software original, donde se hace alguna refe-rencia al cálculo de la integral de Riemann, es el archivo Misc.mth, en él aparecedefinida la siguiente función:

Esta función solamente proporciona resultados numéricos de aproximaciónpara la integral en el sentido de Riemann. Los aspectos gráficos no aparecen enningún momento. Por ello, con el PU que hemos diseñado —que constituye el núcleobásico utilizado en el proceso de formación de los alumnos— tratamos de que elalumno asimile el concepto, atendiendo principalmente a sus aspectos gráficos ynuméricos e interpretando la integral definida como un proceso del cálculo apro-ximado de áreas.

El programa (véase anexo) tiene 58 sentencias, de la sentencia núm. 1 a lanúm. 37 se denomina programa base (PB) y de la núm. 38 a la núm. 58 es elprograma que llamamos ejecutable (PE).

En el programa base se definen las distintas funciones que se utilizan en elprograma ejecutable. Este último es el que deberán trabajar los estudiantes cuan-do resuelvan las actividades. En él se puede seguir el procedimiento de cálculo delárea aproximada de una manera gráfica y numérica en el sentido de Riemann-Darboux, es decir, utilizando rectángulos superiores o inferiores y tomando elpunto medio de la base de cada rectángulo; así como por el método de los trape-cios y también mediante porciones de parábolas (regla de Simpson). La metodolo-gía utilizada en el aula es la siguiente: se proporciona al estudiante un material



LEFT_RIEMANN , , , , lim

_/k_ 0

1

u x a b nb a

nu

x a b a k n

n

( ) =−

⋅→ + −( )⋅=

−

∑:

escrito (práctica de enseñanza) que incluye las actividades por desarrollar, se-cuenciadas de tal manera que los estudiantes construyan distintos procedimien-tos de aproximación del área limitadas por la curva. Al finalizar cada experienciade aprendizaje, los estudiantes pueden analizar tanto el marco gráfico como elnumérico de cada aproximación. Cada práctica incluye al final una evaluaciónde la práctica y una autoevaluación para el estudiante.

Vamos ahora a detallar el proceso que debe seguir el estudiante cuando uti-liza el programa de utilidades. Para ello, se desarrolla a continuación un proble-ma similar a los trabajados en el aula por los estudiantes, a fin de exponer losresultados de aplicación de nuestro programa de utilidades.

El problema consiste en calcular el área limitada por la grafica de la funciónf (x)=3x4 — 4x3 — 12x2 + 5 mediante distintas aproximaciones

Una vez definida la función: F(x): =3x4 — 4x3 — 12x2 + 5, lo primero que sedebe hacer es representarla gráficamente y obtener los puntos de corte con eleje de las abscisas (figura 1).

La gráfica tendrá una parte “sobre” el eje OX para el intervalo [—1,0.612574],y otra “bajo” el eje OX en [0.612574,2.72075] (figura 1). Se trata ahora de vi-sualizar las distintas aproximaciones.



Figura 1 Gráfica de la curva

–1 1 2 3

2.72

–25

–20

–15

–10

–5

5

0.61

Grafiquemos 7 rectángulos inferiores en cada región. Para tal efecto, se pro-cede así: se calcula la matriz que representa los 7 rectángulos inferiores (en elsentido de Darboux) “sobre” el eje OX en[–1,0.612574], utilizando la sentencianúm. 38,

RECT_INF_SOBRE_EL_EJE_X(a,b,n),

sustituir (a,b,n) por los valores (—1,0.612574,7) y graficando se obtiene lo reque-rido (figura 2). Esta sentencia del PE está en correspondencia con la sentencianúm. 12 del PB,

RECT_INF_EL_EJE_X(a,b,n):=VECTOR(RECTANGULO(a+iH(a,b,n),a+(i+1)H(a,b,n),FMIN(a,b,n)),i,0,n—1)

Resulta pertinente destacar que el nombre de cada función del PE (y del PB)expresa lo que se hace. En este caso “representa gráficamente los rectángulos in-feriores para la parte de la función que está sobre el eje OX”, donde se conocenlos extremos del intervalo, el número de figuras deseadas; el lado derecho de la



Figura 2 Rectángulos inferiores

2.72–1

5

1 2 30.61

–5

–10

–15

–20

–25

sentencia núm. 12 expresa la matriz de rectángulos inferiores construida a par-tir de los extremos de la base de cada uno (lo cual resulta de subdividir el inter-valo en n subintervalos) y su respectiva altura. Sentencias similares permiten tra-bajar con el resto de las aproximaciones. Estas sentencias constituyen el marcográfico del procedimiento.

De la misma manera, la sentencia núm. 40,

RECT_INF_BAJO_EL_EJE_X(a,b,n),

la utilizamos para la parte donde la función es negativa (el intervalo [0.612574,2.72075]) y, graficando la matriz obtenida para 7 intervalos, tendremos la apro-ximación inferior para el área limitada por la función y el eje OX (figura 2).

A continuación presentamos los diferentes gráficos que el estudiante puedeconstruir siguiendo la práctica de enseñanza. Rectángulos superiores, tomandoel punto medio de cada intervalo (figuras 3 y 4), trapecios (figura 5) y porcionesde parábolas (figura 6).

La figura 7 presenta todas las aproximaciones.Este proceso se puede realizar para un número mayor de subdivisiones de

los intervalos, con lo cual se logra visualizar cómo, a medida que se aumenta el



Figura 3 Rectángulos superiores

–5

–10

–15

–20

–25

5

0.61

–1 1 2

2.72

3



Figura 4 Rectángulos punto medio

Figura 5 Trapecios

–5

–10

–15

–20

–25

0.61

–1 1 2

2.72

5

3

–5

–10

–15

–20

–25

1 2

0.61 2.72

–1

5

3



Figura 7 Rectángulos, trapecios y Simpson

Figura 6 Regla de Simpson

0.61

1 2

2.72

–1

–5

–10

–15

–20

–25

5

3

0.61

1 2

2.72

–1

–25

–5

–10

–15

–20

5

3

número de elementos de aproximación (trapecios, rectángulos y parábolas), és-tos van “llenando” la superficie tanto “bajo” la curva (parte positiva de la función),como “sobre” la curva (parte negativa de la función); cuando esto sucede, puededar la impresión de que la superficie puede cubrirse en su totalidad, el estudiantepuede creer que con un número determinado de figuras es suficiente para llenarla superficie, sin embargo, utilizando el zoom que incorpora DERIVE podrá obser-varse que necesitaría un número cada vez mayor de elementos de aproximaciónpara lograr recubrir toda la superficie (figuras 8 y 9).

Conviene señalar, que el programa de cálculo simbólico MAPLE, en su versiónV (Release 5), contiene en el paquete “student” algunas sentencias relacionadascon el cálculo de la integral definida. Para la integral de Riemann, aparecen de-



Figura 8

Figura 9

–1 1

–4.3319

–4.3319

–0.73846 –0.69231 –0.64615

finidas las órdenes “leftbox”, “rightbox” y “middlebox”, que representan gráfica-mente los rectángulos de altura, las imágenes de los extremos inferiores, superio-res y el punto medio de los subintervalos de integración, respectivamente. Nues-tro programa de utilidades complementa estas aproximaciones gráficas con laincorporación de trapecios y porciones de parábolas (en el sentido de Simpson),además, es capaz de representar las distintas figuras en un mismo gráfico, conlo que se puede facilitar la comparación entre ellas.

Para establecer el marco numérico del trabajo con el PU, hemos definido lasfunciones núm. 21 al núm. 37 en el PB y que se reducen en el PE a las senten-cias núm. 47 al núm. 58, tanto si el área por calcular está sobre el eje OX o ba-jo el eje OX. Sin perder generalidad, escogimos calcular el área en el intervalo[-1,0.612574], cuya área se encuentra sobre el eje OX, utilizando 7 rectángulosinferiores. De manera análoga, se puede proceder utilizando rectángulos superio-res, tomando el punto medio de cada subintervalo, trapecios o porciones de pa-rábolas (regla de Simpson).

Utilizando la sentencia núm. 47,

AREA_RECT_INF_SOBRE_EL_EJE_X(a,b,n),

que está en correspondencia con la sentencia núm. 21,

y sustituyendo (a, b, n) por los valores (—1,0.612574,7) en núm. 47 obtenemos elvalor del área 3.44589.

Análogamente, con la sentencia núm. 48,

AREA_RECT_INF_BAJO_EL_EJE_X(a, b, n),

que está en correspondencia con la sentencia núm. 22,



AREA_RECT_INF_SOBRE_EL_EJE_X( , , ) :

AREA_RECT(FMIN( , , ), H( , , ))0

-

a b n

a b n a b ni

n

=

=∑

1

AREA_RECT_INF_BAJO_EL_EJE_X( , , ) :

AREA_RECT(FMAX( , , ), H( , , ))0

-1

a b n

a b n a b ni

n

=

=∑

y sustituyendo los valores (a, b, n) por (0.612574,2.72075,7) obtenemos el áreade la segunda región que es: 25.60203.

De manera análoga, se utilizarían, en su caso, las sentencias correspondien-tes para las demás aproximaciones (punto medio, trapecio, Simpson).

Con la finalidad de comparar las distintas aproximaciones que se obtienen,se utilizan las sentencias núm. 56,

APROX_DEL_AREA_SOBRE_X(a, b, j, k, m)

y núm. 57,

APROX_DEL_AREA_BAJO_X(a, b, j, k, m),

para las dos partes de la curva, respectivamente, donde a y b son los extremosdel intervalo de integración, j y k, la cantidad de subintervalos, y m, la variación deestas cantidades; se obtiene así una matriz donde, de izquierda a derecha setienen la cantidad de figuras, aproximación con rectángulos inferiores, aproxima-ción con punto medio, aproximación con trapecios, regla de Simpson y aproxi-mación con rectángulos superiores. Esto le permite al estudiante comparar lasdiferentes aproximaciones con el valor exacto y poder determinar cuál es la me-jor. Sustituyendo (a, b, j, k, m) por (—1,0.612574, 20, 50, 10) respectivamente ob-tenemos,

Donde N.F. significa número de figuras; R. INF., rectángulos inferiores; R. PTO.M., rectángulos punto Medio; TRAP., Trapecios; R. SUP., rectángulos superiores.

Se procede a continuación a calcular el valor exacto del área, utilizando lasentencia núm. 58, sustituyendo los valores de “a, b” por —1 y 0.612574 respec-tivamente, y se obtiene



N.F. R. INF R. PTO. M TRAP SIMPSON R. SUP.

20

30

40

50

4 243295639 4 658808640 4 645431180 4 654349487 5 047566721

4 381918849 4 656328914 4 650386531 4 654348120 4 918852413

4 450578153 4 655461879 4 652119910 4 654347890 4 853661667

4 491664689 4 655060719 4 652922043 4 654347827 4 814179396

. . . . .

. . . . .

. . . . .

. . . . .

límite rect. inf límite pto. medio límite trapecio límite simpson límite rect. sup

4.654347783 4.654347783 4.654347783 4.654347783 4.654347783

N

En esta matriz, el estudiante puede observar, por una parte, que al tomar ellímite en cualquiera de los casos el valor es el mismo; y, por otra, puede compararésta con la matriz de aproximaciones y determinar cuál aproximación es la mejor.

Introducido el concepto de integral definida desde la perspectiva anterior, elestudiante tendrá claro, por un lado, cuál es el problema real que da lugar al cálcu-lo integral, la cuadratura de curvas o, lo que es lo mismo, el cálculo de áreas limi-tadas por ciertas curvas, y por el otro, la importancia de la aproximación gráficay numérica para la resolución del problema.

Nuestra propuesta de enseñanza continuaría ahora desde el punto de vistahabitual, esto es, se trabaja con el cálculo de primitivas, para posteriormente co-nectar la integral definida con la indefinida mediante el Teorema Fundamentaldel Cálculo.

Desde el punto de vista numérico, las órdenes “leftsum”, “rigthsum” y “midd-lesum, simpson” y “trapezoid”, de MAPLE, hacen los cálculos de la aproximaciónnumérica. Nuestro PU complementa estos cálculos con la presentación de unamatriz de aproximaciones que puede facilitar la comparación de las aproxima-ciones numéricas, tomando distintas cantidades de figuras.

3. RESOLUCIÓN DE UN PROBLEMA

Es sabido que las aplicaciones de la integral nos permiten calcular longitudes dearcos de curvas, calcular volúmenes de sólidos, tanto de revolución como porsecciones, etcétera.

La idea de introducir el concepto de integral definida de esta manera nos lle-va a afirmar que algunas situaciones problemáticas pueden ser resueltas de ma-nera natural por los estudiantes. Veamos a continuación un ejemplo.

El siguiente problema ha sido extraído de un texto clásico de cálculo (Ed-wards y Penney, 1996, pp. 370-371);

Un fabricante necesita hacer hojas de metal corrugado de 36 pulgadas(90 cm) de ancho con secciones transversales con la forma de la curva (figuras10 y 11)



y x x= ≤ ≤

1

236sen , 0π

¿Qué ancho deben tener las hojas originales extendidas para que el fabri-cante produzca estas hojas corrugadas?

Teniendo en cuenta que la longitud de un arco de curva entre dos puntoscualesquiera a y b viene dada por la fórmula

se tiene en este caso (véase la figura 11)

En el texto mencionado se señala Estas integrales no pueden ser evaluadasen términos de funciones elementales (p. 370) para remitir al lector a otro capí-tulo del libro donde se trata la integración numérica. Presenta entonces la si-guiente solución:

Por lo tanto, la solución del problema es: 36 (1.46) = 52.56 pulgadas (131.4 cm).Con la secuencia de enseñanza desarrollada por los estudiantes para el estu-



1

2

+

∫

dydx

dxa

b

Figura 10 Lámina de metal Figura 11 Gráfica de y = 1---2

sen πx

1

–10 1 2

S x x dx x dx( ) cos cos= + ( )

= + ( )

∫ ∫1 36 1

2

2 2

0

36

2

2 2

0

1π ππ π

1 1 46

2

2 2

0

1+ ( ) =∫ π πcos .x dx

(4)

dio del concepto de integral definida vista como el cálculo de áreas limitadas poruna curva, no necesitamos darle solamente una solución numérica, tal y comose hace en el texto, sino que podría obtenerse dicha solución desde el punto devista gráfico y numérico. Para lo cual bastaría con considerar la función:

que, al graficarla (figura 12), nos permite observar que es una función positiva.El PU servirá ahora para resolver el problema; se pueden observar en la figuralos distintos rectángulos y el “llenado” de la superficie limitada con el eje de lasabscisas.

Utilizando la matriz con 10, 20 y 30 subintervalos en la que aparecen las di-ferentes aproximaciones tenemos que la integral es aproximadamente 1.46369.

Concluimos, en definitiva, que el fabricante debe utilizar hojas extendidas deaproximadamente 36 (1.46369) � 52.69 pulgadas de ancho, lo que equivale a131.73 centímetros de ancho, que es la solución buscada.



Figura 12 Gráfica con rectángulos punto medio

2

1.5

1

0.5

0.2 0.4 0.6 0.8 1

F x x( ) : cos= + ( )1

2

2 2π π

1

2

3

10 1 377485726 1 463695629 1 463695315 1 463695524 1 549904904

20 1 420590677 1 463695472 1 463695472 1 463695472 1 506800266

30 1 434958942 1 463695472 1 463695472 1 463695472 1 492432002

. . . . .

. . . . .

. . . . .

4. ALGUNAS APORTACIONES DIDÁCTICAS

Después de llevar al aula esta experiencia y, aunque nuestras observaciones nose encuentran aún sistematizadas, nos encontramos en disposición de señalarque:

• Con la introducción del concepto de integral definida desde esta perspec-tiva gráfica y numérica con el uso del software DERIVE, se consigue que losestudiantes descubran que existen procedimientos aproximados que, enmuchas ocasiones, permiten resolver problemas que en otros casos seríandemasiado complicados.

• El PU proporciona una herramienta efectiva en el momento de calcular in-tegrales definidas, donde el integrando esta constituido por funciones cu-yas primitivas no pueden ser expresadas mediante funciones elementales.

• El PU puede ser incorporado como complemento de las actividades de lostextos que incluyen problemas específicos en cuya resolución se utilizan,implícitamente, programas como éstos.

• El PU contribuye a formar una imagen del concepto de integral definidamás flexible, ya que el estudiante tiene la posibilidad de observar paso apaso el desarrollo de todo el proceso de construcción de la integral comoárea, evitando así que los conocimientos se impartan utilizando exclusiva-mente procedimientos algorítmicos.

• Se observó empíricamente cómo los estudiantes pueden comprender elsentido de la aproximación con una adecuada utilización del software ma-temático, lo que siempre resulta complicado sin el uso de estos recursos.Los estudiantes constataron como DERIVE brinda la posibilidad de crearsencillos programas para abordar problemas que modelizan situacionesde la vida real.

• Se ha confirmado además que la posibilidad de presentar los procedi-mientos de resolución paso a paso en los sistemas de representación grá-fico y numérico proporcionan una ventaja considerable en comparacióncon procedimientos utilizados en las clases habituales, donde una repre-sentación pormenorizada de los conceptos requerirían un tiempo y un ni-vel de comprensión considerablemente mayores.



ANEXO

PROGRAMA BASE (PB)



PROGRAMA EJECUTABLE (PE)



AGRADECIMIENTOS

Este trabajo ha sido financiado parcialmente por el Proyecto de Investigación dela DGIBXX2000-0069.


Artigue, M., M. Abboud, P. Drouhard y J. B. Lagrange (1995), Une recherché sur lelogiciel DERIVE, Cahier de DIDIREM núm. 3 (número especial), IREM, París, p. 7.

Bradley, G. y K. Smith (1998), Cálculo de una variable, Madrid, Prentice Hall.Edwards, C. y D. Penney (1996), Cálculo, México, Prentice Hall.Eisenberg, T. y T. Dreyfus (1991), “On the reluctance to visualize in Mathematics”,

en W. Zimmermann y S. Cunnigham (eds.), Visualization in Teaching andLearning Mathematics, Washington, MAA, pp. 25-37.

Drijvers, U., A. Verweij y E. Winsen (1997), “Mathematics Lessons with DERIVE. De-veloped by the CAVO working group”, ZDM, núm. 4, pp. 118-123.

Heugl, H. (1997), “Experimental and Active Learning with DERIVE” ZDM, vol. 4,núm. 4, pp. 142-148.

Orton, A. (1983), “Students’ understanding of integration” Educational Studiesin Mathematics, vol. 14, núm. 1, pp. 1-18.

Stewart, J. (1999), Cálculo, México, Thomson.




Matías Camacho MachínDepartamento de Análisis Matemático, Universidad de la Laguna, Islas Canarias, España

[email protected]

Ramón Depool RiveroUniversidad Politécnica “Antonio José de Sucre”, UNEXPO, Venezuela

[email protected]



Tall, D. (1997), “Function and Calculus”, en Bishop et al. (ed.), InternationalHandbook of Mathematics Education, Dordrecht, Kluwer Academic Publis-hers, pp. 289-325.

Thomas, G. y R. Finney (1992), Calculus and Analytic Geometry, Nueva York, Ad-dison Wesley.

Weigand, H. G. y H. Weller (1998), “Modelling Real-life Problems Involving Perio-dic Processes with Computer Algebra”, The International Journal of Compu-ter Algebra in Mathematics Education, vol. 5, núm. 4, pp. 251-267.


Ejemplos del uso de la hoja de cálculocomo herramienta didáctica

Cristianne Butto Zarzar, Joaquín Delgado y Jerónimo Zamora

RReessuummeenn:: El presente trabajo expone algunas reflexiones acerca del uso de la hojade cálculo como ejemplo concreto del lenguaje como herramienta psicológica. Seorigina en un curso de capacitación de docentes en el uso de la Hoja de Cálcu-lo y del ambiente Mathematica® ofrecido por los autores y dirigido a profesoresdel nivel medio superior y del primer año del nivel superior. La discusión se cen-tra en la hoja de cálculo, porque su uso en la enseñanza de estos cursos ha sidopoco explorado. Se presentan ejemplos y se discuten algunas dificultades.

Palabras clave: Hoja de cálculo, herramienta psicológica, zona de desarrollopróximo (ZDP).

AAbbssttrraacctt:: This paper poses some reflections around the use of the spreadsheet asa concrete exampe of psicological tool. It is motivated upon a training course forteachers on the use of the spreadsheets and the Mathematica® offered by theauthors addressed to lecturers teaching Calculus in the last semesters of highs-chool and first years of graduate level. The discussion is focused on the spreads-heet since its usage in this kind of courses has been little explored. We presentsome examples and discuss some difficulties.

Keywords: Spreadsheet, psicological tool, zone of proximal development (ZPD).

INTRODUCCIÓN

Una de las grandes dificultades de los estudiantes que se inician en una nuevadisciplina del currículo radica en el uso del lenguaje propio de la disciplina. Elalumno debe interpretar, traducir a su propio diccionario social, conceptualizar ydemostrar competencia en el manejo de símbolos, de sus relaciones lógicas, y decarácter de implicado a implicante, y en su nivel de generalización. El caso que

Fecha de recepción: febrero de 2000.

nos compete hace referencia a los primeros cursos de cálculo diferencial e inte-gral; normalmente situados en el currículo dentro del nivel medio superior (pre-paratoria o bachillerato) y superior básico (primer año.) Estas dificultades no sonexclusivas de esta disciplina, pues lo mismo ocurre en la práctica docente de la quí-mica, la lengua española y la física, y forman parte del mismo fenómeno abstractode interpretación de símbolos –ya sea en el terreno de la semiótica (Saussure,1998), en el uso del lenguaje como herramienta psicológica (Kozulin, 1995). Enel caso particular del cálculo, las dificultades epistemológicas son evidentes des-de sus orígenes: la noción del continuo como contraposición a lo discreto; del movi-miento en contradicción aparente con lo estático; de la preservación de propie-dades verificables en un número finito de argumentaciones al paso al continuo,todas las cuales se pueden resumir matemáticamente en las dificultades inheren-tes al concepto de número en un campo completo. En el proceso de transposi-ción didáctica1 del campo matemático para la esfera didáctica pedagógica, granparte de esta dificultad se oculta en la manera eminente lógica de su presenta-ción en el aula. El diseño curricular pone especial atención en la ilación lógicade los conceptos antecedentes y subsecuentes. Éste es el caso del concepto clá-sico de continuidad,

función ⇒ límite ⇒ continuidad

que naturalmente se refleja en el manejo de símbolos

(y = f (x), x � Dom f ) ⇒ (lim x → x0 f (x)) ⇒(lim x → x0 f (x) = f (x0) & x0 � Dom f )

sin embargo, históricamente los conceptos de límite, continuidad y función sur-gen interrelacionados, asociados a la idea de completez de los números reales

función + límite + continuidad ⇒ número real,


Ejemplos del uso de la hoja de cálculo como herramienta didáctica

1 Chevallard (1985) denomina “de transposición didáctica” al conjunto de transforma-ciones que sufre el saber científico antes de ser enseñado. Este proceso va desde escoger elsaber a ser enseñado hasta su adaptación al sistema didáctico, incluye todo un proceso ge-nerador de deformaciones, que va desde el establecimiento de la coherencia hasta la creaciónde nuevos conocimientos, y concluye con el saber escolar.

De acuerdo con (Cockroft, 1982), lenguaje es una parte esencial de la formación y expre-sión de las ideas matemáticas y, por ello, es importante que los alumnos sean estimulados aexpresar sus concepciones y justificar sus estrategias y representaciones.

La necesidad de presentar una teoría matemática, en este caso el cálculo,dentro de una estructura lógico-formal es innegable y surge de la exigencia deminimizar las contradicciones lógicas en todo sistema formal, o en todo caso ha-cerlas evidentes (el teorema de Gödel, la geometría de Lovachevski, por ejemplo).

En este sentido, el uso de la herramienta electrónica proporciona nuevas ma-neras de construir significados matemáticos, e.g., procesos repetitivos que denorigen a un supuesto inductivo, una conjetura geométrica o analítica a partir deejemplos particulares. La computadora ofrece la posibilidad de establecer un len-guaje común a los actores del proceso de enseñanza-aprendizaje, esto es, unaplataforma común de transmisión de símbolos mediante la sintaxis —lenguaje deprogramación— propia del ambiente computacional.

La importancia del lenguaje como herramienta psicológica ha sido señaladoampliamente por Vygotsky (Kozullin, 1986; Mason et al., 1985). En este contex-to, la computadora se puede considerar en parte como una herramienta más dellenguaje, no sólo por su carácter externo como herramienta “manipulable”, sinotambién por su influencia psicológica, pues conlleva al usuario a la reflexión desu propia capacidad de pensar y de procesar el conocimiento, produciendo unodiferente. Para que ello sea posible, según la teoría vygotskiana, se requiere unandamiaje mínimo de conocimientos y signos o símbolos que permitan a los par-ticipantes de la propuesta inducir a la reflexión para una posterior evolución con-ceptual de los contenidos. Esto, sin duda también requiere operativamente de unrediseño curricular de los perfiles de los actores (profesores y alumnos), propor-ciona diversas alternativas de trabajo pedagógico. Requiere, concretamente, unuso eficiente como un elemento más del lenguaje.

El uso de la computadora para la enseñanza de las matemáticas ofrece unaalternativa pedagógica distinta y novedosa en temas que tradicionalmente ofre-cen dificultades conceptuales o mecánicas, construyendo una realidad capaz deser “tocada” desde la interfase del ambiente computacional propio, ya sea me-diante listas, gráficos, controles de parámetros, de la animación virtual o con elacercamiento al proceso lógico-formal de la herramienta.2

Al combinar el uso de ambientes computacionales con la discusión en el salónde clases como metodología de trabajo, se pueden explotar aspectos tales como lasdiversas interacciones entre estudiantes, profesor y canal mediatizador (discurso,computadora); el contexto del conocimiento matemático, las funciones cognitivas



2 Inclusive en la simulación de procesos de pensamiento o decisión más elaborados, comológica difusa, borrosa o sistemas expertos.

y comunicativas como escuchar y hablar. De acuerdo con Balacheff y Laborde,(1984), en el proceso del habla construimos significados, reconstruimos lo quedecimos, y las contradicciones, una vez superadas, cambian el entendimiento.

La incorporación de la computadora a la enseñanza se puede lograr desdedistintos modelos de discurso, vgr., 1) Modelo para la mediación en pareja, 2)Aprendizaje colaborativo, 3) Modelo tutorial en pareja (O´Donnell y King, 1999).Para esto, no basta sólo con tener diversos ambientes conformados con la pre-sencia de una computadora y los software destinados especialmente a los temasque se pretenden aprender y enseñar. El aula deberá convertirse en un ambien-te adaptado y adaptable a los nuevos requerimientos de quienes participan en elproceso de aprendizaje y a los objetivos de los modelos que se utilizarán.

MARCO TEÓRICO

De acuerdo con Kozulin y Presseisen (1995), para Vygotsky las funciones supe-riores son exclusivas de los seres humanos y están mediadas por herramientas ysistemas de signos: el lenguaje, la escritura o los sistemas de numeración, entreotros. Al referirnos a la perspectiva vygotskiana, tomaremos solamente la relaciónentre pensamiento y lenguaje, que se explica mediante la relación entre herra-mienta externa (la computadora en este caso) y herramienta psicológica (lengua-je). Desarrollaremos brevemente esta idea para comentar posteriormente cómoel lenguaje computacional puede potencializar habilidades matemáticas y un len-guaje más cercano al lenguaje formal matemático.

Una de las propiedades de las herramientas psicológicas es definir niveles dedesarrollo que son progresivamente más complejos, así como la explicitación desu naturaleza social. Aquí ocurre también lo que denominamos acción media-da, que parte de la acción humana general y se concreta en herramientas exter-nas y herramientas psicológicas (lenguaje). La mediación se da a través de la in-clusión de signos, la incorporación de los instrumentos externos y la inclusión delas herramientas psicológicas que influyen en las funciones mentales y determi-nan la estructura de un nuevo acto instrumental, mediante las relaciones entrepensamiento y lenguaje, conforme lo ilustra la figura 1.

Ciertamente, asumir la actividad cognitiva como una actividad socialmentemediada por herramientas externas y psicológicas implica necesariamente con-siderar el lenguaje y su uso como un instrumento en el cual desempeñan un pa-pel importante, por ejemplo, los sistemas de signos y el uso de los ambientes



computacionales. De éste, su propia estructura obliga a replantear o crear nue-vas estrategias de solución de un problema o un concepto dado. En suma, el usode la herramienta modifica el propio proceso de pensamiento.

EL USO DE AMBIENTES COMPUTACIONALES

De manera más precisa, un ambiente computacional es un conglomerado deprogramas interconectados que conforman:

1. una interfase (intérprete de comandos),2. un lenguaje de alto nivel compatible con el ambiente,3. un asistente (menú de ayuda),4. rutinas de graficación, y5. un editor de texto.

La elección de un ambiente computacional es importante desde el punto devista didáctico y operativo. Al principio, conviene distinguir entre ambientes compu-tacionales y de calculadora: por definición, el primero tiene una interfase gráfica



Figura 1

Herramienta psicológica:lenguaje

Cambio de lacapacidad cognitiva

Acción mediada

Herramienta externa:computadora

Un signo es siempre, originalmente, un instrumento usado para fines sociales, un instrumento pa-ra influir en los demás, y sólo más tarde se convierte en un instrumento para influir en uno mismo.

Vygotsky

de alta calidad de definición y color y es capaz de soportar distintos sistemasoperativos e intérpretes con ayuda de software, y es de uso general; en contrapo-sición, el ambiente de calculadora soporta, a lo más, módulos que amplían unmódulo básico; el lenguaje computacional es de mediano nivel y no es estándar,sino que depende del fabricante; es de uso específico. El costo no es ya la ma-yor ventaja de un ambiente de calculadora sobre uno computacional y es meracuestión de objetivos, costos y funcionalidad.

Entre la variedad de programas y ambientes computacionales disponibles co-mercialmente, hemos tomado la hoja de cálculo Excel para ejemplificar concre-tamente su utilidad como herramienta del lenguaje: además de su uso comúnen el trabajo administrativo y de contabilidad, disponible dentro del paqueteMSOffice© y es de bajo costo relativo. Aquí exploramos sus posibilidades, porqueen muchas ocasiones no se dispone de paquetes más sofisticados, y una hojaelectrónica es de fácil acceso si se cuenta con una computadora de tipo comer-cial. Así, es posible contar con una hoja de cálculo a partir de plataformas dehardware basadas en procesadores 386 o superiores. Esto también presenta laviabilidad de un proyecto de enseñanza o capacitación basado tan solo en equi-po reciclado y de bajo costo.

BREVE DESCRIPCIÓN DE LA HOJA DE CÁLCULO

La hoja de cálculo es un arreglo de filas, numeradas consecutivamente, y colum-nas, ordenadas en orden alfabético (A, B, C). Una fila y un renglón determinanuna celda, a cuyo contenido se tiene acceso desde su dirección, por ejemplo, B3,A25. Las celdas pueden contener texto, números o fórmulas, que pueden hacerreferencia a funciones que dependen de una o más celdas a partir de su referen-cia. Las fórmulas se distinguen por el símbolo “=” en la ventana de estado. Lasreferencias a las celdas pueden ser absolutas o relativas; $B$3 es una referenciaabsoluta, B3 es una referencia relativa, y $B3 es una referencia mixta. Esta dife-rencia entre referencias es una de las características más importantes y a ella de-be su eficiencia la hoja de cálculo; aquélla, a la vez, presenta un primer obstácu-lo de lenguaje: por un lado la sintaxis está muy alejada de la notación funcionalmás común de matemáticas (veremos más adelante cómo puede superarse estadificultad con el uso de nombres); por otro, el signo “=” tiene un significado asi-métrico: “asigne la expresión al contenido de la celda”. Expresiones largas pue-den ser difíciles de leer, como se muestra en el siguiente ejemplo:



Las referencias absolutas en una fórmula apuntan al contenido de la celdareferida en relación con un origen absoluto (digamos la celda A1), en tanto queuna referencia relativa apunta al contenido de una celda referida a la posiciónrelativa con otras celdas. Esta estructura sintáctica basada en celdas y referencias,constituye la base de la hoja de cálculo, la cual está enriquecida por elementoso funciones colaterales que complementan esta funcionalidad: estructuras decontrol e inclusión de objetos como gráficos o texto.

Los siguientes ejemplos muestran desde los aspectos más elementales deluso básico del simbolismo de Excel hasta los más complejos que mimetizan lanotación funcional clásica mediante el uso de nombres en Excel. Preferimos ha-cer una discusión más específica a partir de ejemplos que plantear un análisisgeneral de la simbología de la hoja de cálculo.

EJEMPLOS

1. CAÍDA LIBRE

Encontrar la distancia recorrida por un objeto en caída libre, durante los prime-ros 10 segundos, si inicialmente se parte del reposo.

La fórmula de Galileo afirma que si d es la distancia recorrida y t el tiempoentonces d = 1/2 g t2, donde g = 9.81 m/seg2. La columna A contiene el tiempo enintervalos de 1 segundo hasta diez. La celda A2 continene la fórmula que incre-menta en uno la celda A1 (referencia relativa). Al copiar y pegar en la columnaB, la referencia A1 se actualiza y tiene el significado de variable “valor de la cel-



EExxpprreessiióónn ffuunncciioonnaall EExxpprreessiioonneess eeqquuiivvaalleennttee eenn hhoojjaa ddee ccáállccuulloo

=RAIZ($C$1*A1*B1/(A1*A1+B1*B1))

=1

=A1*$C$1

Ctrl-c; Ctrl-v

(copiar y pegar)

=suma(A1:A10)

OObbsseerrvvaacciióónn

$C$1 contiene el valorconstante C

$C$1 contiene el valorde la razón q. El valor1 se guarda en la cel-da A1.

Cxy

x y2 2+

qk

k=∑

0

10



da inmediata superior relativa a la celda actual”. Esto puede verse claramente sise observa el contenido de la celda A11 en la ventana de contenido

Ventana de contenidoCopiar Pegar

=A1+1 =A1+1 =A10+1

A B A B A B

1 0 1 0 1

2 2 =A1+ 1 2

3 3 3

4 4 4

5 5 5

6 6 6

7 7 7

8 8 8

9 9 9

10 10 10

11 11 11 =A10+1

La primera distancia recorrida se calcula en la celda B1, introduciendo la fórmu-la (= 0.5*$C$1*A1). La celda C1, referida absolutamente aquí, significa el valorconstante de g. El significado de Al en la fórmula de la celda B2, cuando se copiay pega en el resto de la columna B, adquiere el significado de “valor de la celdainmediata a la izquierda de la celda actual”, en este caso el tiempo (véase p. 145).

La acción de “copiar y pegar” en Excel equivale a resolver explícitamente unarelación de recurrencia con dato inicial. Aquí aparece una primera dificultad en eluso de la hoja de cálculo, pues antes de experimentar con una relación funcio-nal y = f (x), es necesario definir las relaciones de recurrencia xn + 1 = ξ(xn), yn + 1 =η(yn), éstas pueden ser tan elementales como una serie aritmética: xn + 1 = a + r xn,por ejemplo para definir el dominio de la variabe x � [a,b], para después dispo-ner de los valores yn = f (xn).

Distancia inicial Copiar Pegar

=0.5*$C$1*A1 C=0.5*$C$1*A1 C=0.5*$C$1*A10

A B C A B C A B C

1 0 9.81 0 9.81 1 9.81

2 1 1 2

3 2 2 3

4 3 3 4

5 4 4 5

6 5 5 6

7 6 6 7

8 7 7 8

9 8 8 9

10 9 9 10

11 10 10 11 =0.5*$C$1*A10

Discusión

El ejemplo de la caída libre ilustra una de las ventajas pocas veces explorada de lahoja de cálculo: el uso de nombres y el simbolismo funcional. Un nombre es unacadena que representa el contenido de toda una columna o fila. La asignaciónde un nombre se hace marcando la(s) columna(s) o fila(s) e incluyendo al prin-cipio de la(s) fila(s) o columna(s) el nombre de ésta(s), y seleccionando del menúprincipal: Insertar → Nombre → Crear. En la ventana de diálogo se pedirá confir-mar si las primeras filas o columnas se tomarán como los nombres de las columnas.

En el ejemplo de caída libre se asignan el nombre t a la columna que con-tienen el tiempo ($A1:$A11) y el nombre g a la celda $C$1. En la celda B1, don-de se calcula la distancia inicial, se puede usar ahora la fórmula ( = 0.5*g*t*t),que se copia y pega en el resto de la columna B (p. 146).

El uso de nombres, además de acercar al alumno a la notación funcionalmatemática clásica, le permite construir su propio significado de variable; losnombres son ahora objetos que representan columnas (o renglones) completos,independientemente de cómo se hayan generado y la relación entre variables seexpresa mediante una relación algebraica 1 a 1 que incluye constantes, variablesy parámetros, en vez de posiciones relativas de celdas.



2. EL TRIÁNGULO DE PASCAL

Como es bien conocido, el desarrollo binomial de (a+b)n admite la fórmula ge-neral

donde

son los coeficientes binomiales. La fórmula que se usa para generar la tabla sebasa en la propiedad

Cn,k = Cn-1,k-1 + Cn-1,k (1)

Los coeficientes arreglados en forma de triángulo se verían así:



=0.5*g*t*t

A B C

t g

1 0 9.81

2 1

3 2

4 3

5 4

6 5

7 6

8 7

9 8

10 9

11 10

a b C a b

n

n kk

nk n k+( ) = =

=

−∑ ,0

C

nk n kn k,

!

! ( )!=

−



11 2 1

1 3 3 11 4 6 4 1

Donde las líneas marcan la relación recursiva (1). Este arreglo se puede “tra-ducir” en la hoja de cálculo como un arreglo de filas y columnas, como se mues-tra enseguida:

= A2+B1AA BB CC DD AA BB CC DD

11 11 11 11 11 11 11 11 11 1122 11 22 11 22 33 4433 11 33 11 33 66 110044 11 44 11 44 1100 2200

El contenido de la celda marcada B2 se puede calcular ahora sumando elcontenido de las celdas vecinas, usando la fórmula de Excel ( = A2+ B1). Si seusan referencias relativas, es muy fácil completar la tabla, pues entonces bastacopiar la celda B2 en el resto de la tabla.

Después de haber completado la tabla, se hace evidente la simetría respectode la diagonal. Esta observación es fácilmente comprobable para un número ra-zonablemente grande de casos, y esta es la ventaja principal de haber usado lahoja de cálculo, lo que nos permite conjeturar la relación

Cn, k = Cn, n — k.

Traducida en la identidad

Discusión

Varios autores han enfocado el uso de la hoja de cálculo hacia el descubrimien-to de patrones numéricos (Mason et al., 1985; Kieran, 1999) como una ruta ha-cia el pensamiento algebraico; en este ejemplo se usa en el mismo sentido, pero

nk n k

nn k k

!

! ( )!

!

( )! !−=

−

en un nivel preuniversitario, es decir, como antecedente a la idea de inducciónmatemática.

3. LA AGUJA DE BUFON

Se hace una simulación del experimento clásico de Bufon: se lanza repetidamen-te una aguja sobre un enrejado de líneas paralelas. Calcular la probabilidad deque la aguja cruce una de las líneas del enrejado.

Planteamiento: Se supone que la aguja y la separación entre las líneas hori-zontales es una unidad. El espacio de eventos se puede parametrizar por d, ladistancia de la línea más cercana al punto medio de la aguja, y θ, el ángulo queforma la aguja con la horizontal.

El espacio de eventos se representa por

E = { (θ, d) ∈ [0,π] × [0,1/2]}.

(en este caso son indistinguibles la punta y la cola de la aguja).El conjunto de eventos favorables viene dado por el conjunto

F = { (θ, d) ∈ [0,π] × [0,1/2] | d ≤ 1/2 sen (θ )}.

Luego la probabilidad es

P = Área (F)/Área (E).

Ya que



Figura 2

d

1/2 sen θ

se sigue que

π = 2/P.

Esta última relación se puede usar para “redescubrir” el número π probabi-lísticamente, vgr. a partir de la noción de probabilidad clásica y de la noción deárea. Un camino obvio conduce a reproducir el experimento, y éste puede sermuy provechoso, pues se presta a asignar tareas o combinar estrategias; porejemplo, un alumno puede arrojar la aguja, mientras otro llevar el conteo, situacio-nes críticas donde un “evento favorable” no sea claro (por ejemplo, si la aguja caeentre las rendijas, o “casi la toca”). La otra opción es usar la hoja electrónica, yse puede comparar el tiempo para realizar una simulación y el experimento.

Para codificar el programa, Excel dispone de la función RANDOM, que gene-ra números aleatorios (pseudoaleatorios en un sentido matemático estricto, pe-ro para fines prácticos se pueden considerar así), y la función lógicas SI que per-miten distinguir un evento favorable. En la figura 3, se muestra una sesión enExcel sin muchos detalles, donde se usaron nombres y funciones de librería co-mo CONTAR o SUMAR.

Figura 3



Área Área( ) / sen( ) , ( ) / ,F d E= = =∫1 2 1 2

0

π

θ θ π

Discusión

La discusión de este problema presupone una “plataforma común de conoci-miento”, como se menciona en la teoría vygotskiana, en este caso, la noción deárea entre regiones curvilíneas y la de probabilidad clásica trigonométrica. Lasventajas de la simulación de un número arbitrariamente grande de experimen-tos es, sin lugar a dudas, una ventaja que permite motivar desde un enfoque dis-tinto el concepto de número, de área y de probabilidad. Este ejemplo cae pro-piamente en el terreno de la modelación matemática (véase también Molyneuxet al., 1999, donde se propone un modelo de difusión molecular). Ya de inicio,el concepto de espacio muestral presenta dificultades epistemológicas profundas,pues existen paradojas que surgen de asociar diversos espacios muestrales almismo experimento; así, ante esta reflexión más profunda, la hoja de cálculo noofrece una respuesta definitiva, pero sí la posibilidad de experimentar rápidamen-te con el modelo.

4. EL MODELO DE CRECIMIENTO LOGÍSTICO

Una población de tamaño xn (densidad de población) crece en unidades discretasde tiempo n a una tasa de crecimiento autorregulada siguiendo el modelo logístico

xn + 1 = m (1 — xn) xn.

Estudiar el comportamiento cualitativo de la evolución de la población con-forme al parámetro m.

Éste es uno de los primeros ejemplos de sistemas dinámicos que han sidoestudiados y presentan distintos tipos de comportamiento, monótono, desde pe-riódico hasta caótico en el rango 1< m < 4 (Devaney).

El uso de controles

Los controles son botones o barras de desplazamiento (técnicamente llamadoscontroles Active X) que permiten modificar el contenido de una celda. Cuandoel contenido de una celda controlado por un botón Active X es el valor de unparámetro, es posible rehacer rápidamente un cálculo o simulación completa, sila hoja de cálculo contiene referencias relativas ligadas al parámetro.



La sucesión xn se puede construir mediante una fórmula recurrente, al igualque en el cálculo de la distancia recorrida en el ejemplo de caída libre. Si el va-lor del parámetro m está referido a la celda A1, por ejemplo mediante una cel-da auxiliar, ésta se liga primero a una celda auxiliar, digamos A2, para controlarla sensibilidad del botón, es decir el incremento y valor inicial del parámetro. Elcontenido de la celda A2 se puede entonces controlar con un botón ActiveX me-diante el Menú de Formularios de la barra de herramientas.

En la simulación presentada en la figura 4, se ha hecho uso de controles pa-ra modificar el valor del parámetro m del modelo. Es interesante ver cómo unsimple deslizamiento de la barra permite dar una idea general del comporta-miento del sistema dinámico en relación con el parámetro. Los gráficos se hanhecho con base en los menús de gráficos propios de Excel.

Discusión

Este ejemplo muestra las posibilidades de alcanzar un nivel de comprensión ra-zonable, aun para un primer encuentro, del concepto de sistema dinámico, desucesión y convergencia (por ejemplo, con las gráficas a la izquierda en las pan-tallas que aparecen en la figura 5), estabilidad y atracción. La importancia de lospuntos fijos f (x) = x de la aplicación logística f (x) = m (1— x) x, se resalta con los grá-



Figura 4

=A2*0.1

A B

1 =A2*0.1

2

ficos de “telaraña” (a la derecha en las pantallas que aparecen en la figura 5); ycomo la estabilidad depende del valor de la derivada en el punto fijo, sin mayordificultad el alumno podría realizar el diagrama correspondiente para los doble-mente periódicos como puntos fijos de la aplicación f 2(x) ≡ f (f (x)) y el proceso debifurcación, es decir, del mecanismo de aparición de dos puntos periódicos cuan-do se varía el parámetro m. Por supuesto que estos conceptos se deben definir,y las propiedades que se puedan conjeturar se deben probar rigurosamente.

El mapeo logístico fue uno de los primeros en ser estudiados, pues presentael fenómeno de caos en sistemas determinísticos. La hoja de cálculo ofrece laposibilidad de estudiar otros sistemas, como los definidos por un “mapeo tienda”(su gráfica presenta un solo máximo en el intervalo [0,1], sin ser necesariamen-te diferenciables), que se puede definir mediante una función lineal a trozos, porejemplo. Los conceptos de órbita, punto fijo, punto periódico y estabilidad pue-den muy bien ilustrarse mediante cualquiera de los dos gráficos: el de telaraña oel de la sucesión xn.

El interés pedagógico de este ejemplo se da también en dos direcciones porun lado, se presenta el problema de cómo definir una sucesión recurrente paracalcular una órbita, cómo variar sólo el valor del parámetro, cómo ejecutar la se-cuencia de comandos necesarios para realizar el despliegue gráfico, así como elmodo de hacer la simulación eficiente (con el uso de botones). En la otra direc-ción, el interés radica en cómo interpretar los resultados de la hoja de cálculo:¿cómo distinguir un punto periódico a partir de la secuencia numérica o del grá-fico?; ¿cómo distinguir una solución “caótica”?; ¿de qué características geométri-



Figura 5

cas de la gráfica de f (x) depende la estabilidad?, etc. En suma, se presenta al es-tudiante el reto de construir un andamiaje mínimo conceptual de un sistema di-námico.

RESULTADOS

Algunas de las prácticas en el ambiente de la hoja de cálculo fueron presenta-das en un curso de diplomado orientado a profesores de enseñanza media su-perior (CEBTIS) y superior de los primeros trimestres (UAM-I, UPN), encargados de laenseñanza de cursos básicos como Cálculo Diferencial e Integral, EcuacionesDiferenciales, o Farmacología. El interés principal de los participantes fue la ca-pacitación orientada a la preparación de material didáctico en dos ambientesespecíficos: la hoja de cálculo y Mathematica. En este trabajo, se han discutidosolamente los aspectos relevantes de la hoja de cálculo, reflexiónando sobre suuso como lenguaje en el sentido de herramienta psicológica, así como algunosaspectos técnicos poco discutidos en la literatura. La aceptación de los partici-pantes fue buena, sobre todo entre los docentes de ciencias experimentales (farma-cología y carreras técnicas), para quienes el uso de la hoja de cálculo se orientafrecuente y principalmente al cálculo numérico. Los participantes de cursos ini-ciales de Cálculo Diferencial y Ecuaciones Diferenciales mostraron una preferenciamarcada por el ambiente que ofrece Mathematica, principalmente por las sinta-xis funcional y la organización lógica de los documentos (Notebooks) disponiblesen distintos estilos.

Presentamos dos ejemplos del tipo de prácticas que los participantes realiza-ron como proyecto final en ambiente de hoja de cálculo.

LA DERIVADA COMO LÍMITE DE RECTAS SECANTES

En esta práctica se ilustra la derivada como límite de rectas secantes para unafamilia de funciones de la forma y = ax(x — j)(x — k). Se incluyeron botones decontrol para modificar los valores de las raices j, k así como el factor de escalaa. La recta secante se traza a partir de los puntos con abscisas xa, xb que tam-bién se pueden controlar. La práctica se muestra en la figura 6 y fue elaboradapor uno de los participantes del nivel superior.





Figura 6

Figura 7

ORDEN DE REACCIÓN. EL CASO DE LA 2,4-DINITROFENILCICLOHEXILAMINA

En esta práctica se grafican datos experimentales de absorbencia de cierto fár-maco a ciertas temperaturas, de donde, a partir de la pendiente de la gráfica, sepuede determinar el orden de la reacción. El autor introdujo ligas de hipertextode los datos a los gráficos correspondientes que, dentro de la práctica, están si-tuados en distintas hojas de trabajo.

AGRADECIMIENTOS

Los autores fueron apoyados por los siguientes proyectos: Cristianne Butto fueapoyada por el proyecto de grupo: “La incorporación de nuevas tecnologías a lacultura escolar: la enseñanza de las ciencias y las matemáticas en la escuelasecundaria”, financiado por Conacyt Ref. G-263385. Becaria Imexci de la SRE;Joaquín Delgado fue apoyado por el proyecto Conacyt 400200-5-32167.




Cristianne Butto ZarzarDepartamento de Matemática Educativa, Cinvestav, Instituto Politécnico Nacional

[email protected]

Joaquín Delgado FernándezDepartamento de Matemáticas, UAM-Iztapalapa

[email protected]

Jerónimo Zamora CarrilloDepartamento de Matemáticas, UAM-Iztapalapa

[email protected]


Devaney, R.L. (1982), An Introduction to Chaotic Dynamical Systems, MenloPark, CA, Benjamin/Cummings.

De Saussure, F. (1998), “Objeto de la Lingüística”, en Curso de Lingüistica Ge-neral, Fontamara, vol. 25, cap. 3, pp. 33-44.

Kieran, C. (1992), “The Learning and Teaching of School Algebra”, en D.A.Grouws (ed.), Handbook of Research on Mathematics Teching and Learning,Nueva York, MacMillan, pp. 390-419.

Kozulin, A. y B. Z. Presseisen (1995), “Mediated Learning Experience and Psycho-logical Tools: Vigotsky’s and Feuerstein’s Perpectives in a Study of StudentLearning”, Educational Pshycologist, vol. 30, núm. 2, pp. 67-75.

Kozulin, A.(1998), “El concepto de actividad psicológica”, en Instrumentos psico-lógicos. La educación desde una perspectiva cultural. Cognición y pensa-miento humano, Paidós, cap. I, pp. 23-49.

Kozullin, A. (ed.) (1986), Vigotsky, L.S. Thought and Languaje (ed. rev.), Cambrid-ge, Ma.-The MIT Press.

Mason, J., A. Graham, D. D. Pimm y N. Grower (1985), Routes of Roots of Alge-bra, Gran Bretaña, The Open University Press.

Molyneux-Hodgson, S., S. Rojano, R. Sutherland y S. Ursini (1999), “Mathemati-cal Modelling: The Interaction of Culture and Practice”, Educations Studiesin Mathematics, núm. 39, pp. 167-183.

O’Donnell, A. y A. King (1999), Cognitive Perspectives on Peer Learning, LEA

Lawrence Erlbaum Associates Publishers, cap. 2.Vigotsky, L. S. (1934), Pensamiento y lenguaje, Ediciones Quinto Sol, 2a. reim-

presión, 1999.



EN EL MUNDO DE LASCONTRADICCIONES MATEMÁTICAS

Pocos libros, cuyo contenido trate las parado-jas, se pueden tener a la mano, por lo menosen nuestra lengua. Conocidísimo es el libro,Paradojas Matemáticas de Northrop (Bre-viario núm. 18/18a de UTEHA, México, 1968).Más reciente, ameno y bien tratado es el libroque hoy nos ocupa Matemática Insólita, cuyaficha completa aparece arriba. En su Pre-facio se dan los lineamientos de la obra,que está compuesta de ocho capítulos, loscuales paso a desarrollar.

Prefacio. Según detalla el autor, “Estelibro es una colección y un análisis de las másinteresantes paradojas y falacias de la mate-mática, la lógica, la física y el lenguaje. Tam-bién trata de importantes resultados mate-máticos que están basados en las parado-jas, especialmente el teorema de Gödel de1931 y los problemas de decisión general”. Enlos tres primeros capítulos se dan ejemplosacerca de falacias matemáticas comúnmen-te aceptadas por los especialistas. En los

capítulos 4 al 8 se muestran ejemplos dedesarrollos en los que aparecen contradic-ciones, pero en los que no hay un consensode explicación. El libro puede ser leído porel lector medio, pues, para la comprensióncabal de la mayoría de sus contenidos, só-lo se requiere un álgebra y una geometríade bachillerato.


Matemática insólita. Paradojas y Paralogismos,de Bryan H. Bunch

Reseñado por Santiago Valiente


Matemática insólita. Paradojas y paralogismos

Capítulo 1. Razonamiento erróneo so-bre ideas sencillas. A partir de la verdaduniversal de que todo mundo comete erro-res en matemáticas, se hace ver la diferen-cia entre el error como una equivocación yla falacia como el error que resulta de unrazonamiento que parece correcto. A partirde esta idea, se nos presentan ejemplos defalacias en las que, por procedimientos in-correctos, se llega a resultados correctos yotros ejemplos en los que aparecen errorespor suponer que un razonamiento puederepetirse para una situación diferente pe-ro relacionada. También se puede ver que,cuando el razonamiento matemático y laexperiencia se contradicen, aparece una fa-lacia y, mientras ésta no sea explicada, setiene una paradoja. Estas paradojas pue-den ser de tipo matemático o del uso inade-cuado del razonamiento o del lenguaje. Enel caso de las falacias matemáticas, éstasaparecen, con frecuencia, por la violaciónde alguna regla matemática.

A continuación, el autor nos presentacuatro apartados en los que se van mos-trando ejemplos de paradojas que resultaninteresantes. En “Ver para creer”, se mues-tra la paradoja del recorrido que hacendos puntos ubicados, cada uno en sendasmonedas, una pegada a la otra, y que sedesplazan sin resbalar sobre una superfi-cie plana. Aquí la paradoja es la de mos-trar como válido que las circunferenciasque describen las monedas, que tienen di-ferentes radios, son iguales; en “Pasos in-aceptables” muestra paradojas sobre razo-namientos falsos entre los que se incluyen

la división entre cero; en “Eliminación deparadojas por definición” se incluyen casosque se refieren al uso arbitrario de concep-tos matemáticos que deben estar muybien definidos. Tales son los casos para�x2� = x , especialmente para cuandoaparece el caso �—1�, ��a�� y �x� �y�,cuando la x y la y no son negativas; en“Una paradoja inesperada”, el autor haceel análisis de las contradicciones que seobservaron un parte emitido por la radiosueca en la Segunda Guerra Mundial:

Un ejercicio de defensa civil se realiza-rá esta semana, con objeto de confir-mar que las unidades de defensa civilestán convenientemente preparadas, na-die sabrá con anterioridad el día en quetendrá lugar este ejercicio.

Capítulo 2. Razonamiento erróneo so-bre el infinito. En este capítulo se hace elanálisis de diversos casos en los que apa-rece el concepto de infinito, en diversasacepciones matemáticas. Tiene cuatroapartados. El primero es “Las dificultadesque origina”’... y así sucesivamente’”, en laque el autor aborda el estudio de relacio-nes para obtener sucesiones numéricas yllegar al concepto de término general y elde infinito numerable; en “El infinito pasoa paso”, siguiendo con las sucesiones, seabordan casos en los que éstas se formansumando términos de otra sucesión y seagrega cada vez un término más, a fin deobtener una nueva sucesión. Estas expre-siones, al final de cuentas, acaban por re-


Santiago Valiente

solverse mediante la inducción matemáti-ca, a fin de realizar demostraciones finitaspara cubrir un número infinito de casos,pues no pueden trabajarse con las herra-mientas del álgebra cotidiana, ya que lasucesión de términos al infinito (y así suce-sivamente) expresan una infinidad nume-rable de ecuaciones; en “Sobre una suma”,se trabaja en casos individuales que tienenuna infinidad contable de términos; en“Una paradoja para un jugador obstinado”,se presenta la discusión de un ejemplo enel que un razonamiento correcto lleva a unaparadoja. Es la paradoja de Petersburgo,la que analiza con suficiencia, apoyado ensumas infinitas de dinero, que son infini-dades numerables y que permiten fácil-mente razonar incorrectamente a partir deseries que no contienen sumas.

Capítulo 3. Utilización de una idea fal-sa para hallar la verdad. Consta de cincoapartados. En “Dibujemos una recta inte-rior”, el autor trabaja en tres demostracio-nes que llevan a contradicciones que sepueden dar a través de propiedades de lageometría del triángulo y que incluye la lla-mada demostración indirecta por reduc-ción al absurdo a partir de la ley del terceroexcluido. En “Existencia y no existencia”,se presentan ejemplos de demostracionesde existencia y de no existencia. Entre lasprimeras, maneja la demostración: “nadietiene más de mil millones de pelos en sucabeza” (¡interesante!), y entre las segun-das, aborda una demostración directa yenseguida una indirecta para establecerque la diagonal de un cuadrado y su lado

son inconmensurables. En “Quién afeitaesta paradoja”, da el enunciado planteadopor Bertand Russell: “Un señor de Sevillaes afeitado por el Barbero de Sevilla si ysólo si el señor no se afeita a sí mismo. ¿Seafeita a sí mismo el Barbero de Sevilla?”Otra más: “Supongamos que un país de-clara que cada ciudad del país debe tenerun alcalde. Sólo hay dos lugares donde alalcalde se le permite vivir, (y debe vivir só-lo en uno de ellos). O el alcalde vive en laciudad que gobierna o en la Ciudad de losAlcaldes, una ciudad construida especial-mente para aquellos alcaldes que no vivenen la ciudad que gobiernan. Puesto que laCiudad de los Alcaldes es una ciudad, de-be tener un alcalde. ¿Dónde debería vivir”,y esta otra más: “Un bibliotecario imprimeuna bibliografía de todas las bibliografíasde su biblioteca que no se citan a sí mis-mas. ¿Debería la nueva bibliografía citarsea sí misma?”. En “Parece realmente cierto”,el autor hace ver que la ley del tercero ex-cluido no ha presentado fallas en el mun-do físico, cosa que no ocurre en la realidadmatemática. Al trabajar con ciertas intui-ciones matemáticas se puede asegurar laexistencia de determinados entes matemá-ticos, aunque éstos no estén demostrados.Caso de ello es la conjetura de Goldbach,que establece que cualquier número natu-ral par mayor que 2 es la suma exacta dedos números primos, la que hasta ahorasigue como conjetura, y de utilidad mate-mática pues permite definir a algunos nú-meros naturales. En “La Lógica al revés”,se maneja la paradoja de Hempel que esta-



blece que en un conjunto finito suficiente-mente grande, si la probabilidad de obteneruna condición aumenta con cada nuevoelemento que tiene esa condición, ello nogarantiza que un siguiente elemento no lacumpla, pero da expectativas creciente desu generalización, sin que ello representeuna demostración.

Capítulo 4. Un lenguaje ambivalente.Se compone de siete apartados en los quese hace el análisis de enunciados verbalesque llevan a contradicciones. En “Colec-ción de contradicciones”, se dan ejemplosy el análisis de los grados de autocontra-dicción de algunas sentencias como: el jui-cio que estoy haciendo es falso. En “Elmentiroso”, se hace el estudio de la versiónaristotélica de la expresión “Esta sentenciaes falsa”, la que ha generado diversas pre-sentaciones respecto de la original. En “Nollamar la atención sobre uno mismo”, sehace el análisis de expresiones paradójicascuya explicación se funda en eliminar lassentencias que originan la paradoja. En“Vicioso, vicioso, vicioso”, se hace referen-cia a la sentencia dada en El Quijotecuando Sancho Panza gobierna la isla deBarataria, lugar en el que todo el que lle-ga debe decir el motivo de su presencia: sidice verdad se le pone en libertad, en cam-bio, si dice mentira, se le cuelga. Un ciertoviajero dice: “Estoy aquí a que me cuel-guen”. En “Una paradoja impertinente”, semaneja la paradoja de Quine, para la queno existe elemento externo que la lleve acontradicción, sino que la contradicciónestá en ella misma. En “En torno a las pa-

labras”, se hace alusión a los adjetivos queson autológicos (que se autodescriben) y alos heterológicos. A partir de esto, “si hete-rológico se describe a sí mismo, es autoló-gico, por lo tanto no se describe. Si no sedescribe a sí mismo, entonces es heteroló-gico, por lo tanto se describe a sí mismo”.En “¿Existe Pegaso?”, el autor se refiere aparadojas que, siendo del lenguaje, tam-bién lo son de la matemática.

Capítulo 5. Paradojas que cuentan.En este capítulo, el autor comienza ha-ciendo una breve descripción histórica res-pecto del cuidado que los matemáticoshan tenido al utilizar el concepto de infini-to. Se desarrolla el capítulo en ocho par-tes. En “Una buena cuenta”, a partir de lacorrespondencia uno a uno entre dos co-lecciones de objetos, se establece el núme-ro de elementos de un conjunto (o de losdos), esto es, se cuentan. Cuando esta idease lleva a los conjuntos infinitos se estable-cen paradojas como la que, en contra dela intuición, establece que el número denúmeros naturales es igual al número denúmeros pares, y no el doble. De la mismamanera, se puede “demostrar” que existeel mismo número de puntos en dos seg-mentos de recta, aunque uno de ellos esde doble longitud del otro. En “Paradojaincorporada”, se muestra, a partir del rum-bo que siguieron los trabajos de GeorgCantor, que “la característica que distin-guía a los conjuntos infinitos era precisa-mente que en ellos se presentaba la para-doja. Se podría decir que un conjuntoinfinito es aquel en el que el todo no es


Santiago Valiente

igual a la suma de sus partes. Más técnica-mente, es aquel en el cual una parte delconjunto que no contiene a todos sus ele-mentos puede ser puesta en correspon-dencia uno a uno con el conjunto total”.Lo mismo ocurre con los números ente-ros, y con mayor complejidad, con los ra-cionales; sin embargo, aunque se pensaraque esta situación siguiera con los núme-ros reales, Cantos probó que no es así, ypara ello usó un nuevo método indirectode demostración: método diagonal deCantor. En “Conjuntos de conjuntos”, seestablece el criterio de Cantor de que pa-ra conjuntos finitos con n términos el nú-mero de subconjuntos es 2n. Cuando hayn términos en el conjunto, se extiende, co-mo notación, al caso en que n es infinito.Con esta idea, llega a los conjuntos llama-dos cardinales transfinitos. En “Orden enel infinito”, se trata de la hipótesis del con-tinuo, por la que el cardinal del conjuntode los números reales es el mismo que elnúmero de maneras en que puede ser or-denado el conjunto de los números natu-rales. En “Las cosas van mal”, en la demos-tración de que el número de subconjuntoses mayor que el número de elementos deun conjunto, se hace ver que este ordinalpuede no estar en la serie de los númerosordinales, cosa que es una contradicción.En “Reparemos el daño”, se aclara que, pa-ra evitar estas contradicciones, Poincaréintrodujo el concepto de definiciones im-predicativas, las que no deberían ser usa-das en matemáticas. Sin embargo, muchosconceptos y definiciones de la matemática

básica se basaban en este tipo de defini-ciones. En “Un programa formal”, se mues-tra el intento por llegar a eliminar las pa-radojas en una teoría formal matemática.Para ello, David Hilbert, en 1920, intentaprobar la consistencia de la matemática yrecurrió a un programa en el que desaso-ciaba las matemáticas de la realidad, estoes, prescindía de las interpretaciones físi-cas. Ese intento se basaba en establecercuidadosamente las reglas, se podrían evi-tar las paradojas y avanzar en el conoci-miento matemático válido. Ese programafue el formalismo matemático, contrario alintuicionismo. Con la teoría axiomática deconjuntos se ha avanzado considerable-mente, pues no rechaza ninguna parte noparadójica de la matemática, aunque encualquier momento pueden surgir nuevasparadojas.

Capítulo 6. ¿Tiene límites el pensa-miento? Se desarrolla en cinco apartados.Aunque hacia 1930 se pensaba que elprograma de Hilbert parecía adecuado pa-ra mostrar que las matemáticas, conve-nientemente formuladas, estaban libres decontradicciones a pesar de las paradojas,poco después era evidente que no llevaríaal éxito. En “Una representación de sí mis-mo”, se muestran los intentos de Gödelpor avanzar en el proceso de sistematiza-ción de la matemática, a partir del concep-to de representación (aplicación). Esto es,para un sistema matemático formal, caso dela teoría axiomática de conjuntos, se pue-de entender como una colección de reglasque permiten trabajar símbolos. Esto llevó



a la idea de construir enunciados verbalesque expresaran ideas precisas acerca deuna situación matemática especial, peroque podría ser aplicado en otro contextousando las variables pertinentes. Un ejem-plo de esto son los axiomas de construc-ción de los números totales (naturales conel cero), de Peano:

1. El cero es un número total.2. Si un número es total, su sucesor

es total.3. a. Si dos sucesores son iguales, los

números son igualesb. Si dos números son iguales, sus

sucesores son iguales.4. El cero no es sucesor de ningún

número.5. Si el cero tiene una propiedad, y

cuando un número la tiene su su-cesor también la tiene, todo núme-ro total tiene la propiedad.

En “El mentiroso matemático”, semuestra cómo el sistema desarrollado porGödel se puede aplicar en la paradoja deEl Mentiroso, pues es deducible de losaxiomas del sistema de los números tota-les. Si no puede ser demostrada una pro-posición, quizá sí lo pudiera ser su nega-ción, pero si puede ser demostrada lanegación de la negación de la proposición,ello implica que podría ser demostradauna proposición falsa en el sistema axio-mático de referencia y, entonces, el sistemaaxiomático sería inconsistente. En esto de-riva el teorema de Gödel, o teorema de in-

completitud de Gödel. De éste, se puedever que el programa de Hilbert no tendríaéxito, pues un sistema axiomático, consisten-te para deducir de él la aritmética, tendríala misma incompletitud que la aritmética.En “Decisiones, decisiones”, se muestra quelos esfuerzos de Gödel y otros matemáticosiban encaminados a determinar decisionespara un problema o conjunto de proble-mas, pues no vale perder el tiempo en labúsqueda de soluciones donde éstas noexisten. En “Un problema de palabras”, sehace ver que, dado un alfabeto finito y undiccionario de sinónimos finitos, no existeun método recursivo para determinar si dospalabras son o no equivalentes, esto es, esirresoluble el problema de la palabra parasemigrupos, pues no se puede determinar,para todo par de palabras, si son equivalen-tes o no lo son, aunque para algunas pare-jas de palabras sí es posible esa determina-ción. En “Un problema de continuidad”, sedescriben los caminos que siguió el pro-blema de la hipótesis del continuo, enun-ciada por Cantor, y enunciado por Hilbert, en1900, como uno de los primeros proble-mas por resolver por los matemáticos.

Capítulo 7. Malentendidos sobre el espa-cio y el tiempo. “A la vez que los matemá-ticos hacían valiosos esfuerzos para elimi-nar las paradojas de la teoría de conjuntos(las paradojas de Burali-Forti, de Cantor,de Russell), aceptaban las limitaciones delsistema de axiomas. En realidad, el estudiode estas limitaciones había venido a seruna rama de las matemáticas con activasy penetrantes investigaciones sobre el pro-


Santiago Valiente

blema de la decisión en varios sistemas. Lamayor parte de este trabajo está basadoen mayor o menor grado en la teoría axio-mática de conjuntos que, de forma especí-fica, eliminaba las paradojas conocidas, oal menos pretendía hacerlo”. En “Parado-jas de los modelos”, se dice que algunasexplicaciones matemáticas aplicadas amodelos no ayudan a construir el modelopara ver las propiedades que éste tiene, si-no que, además, no garantizan la existen-cia matemática del modelo. En “El axiomade elección”, se menciona el axioma deelección, considerando que éste asegura laexistencia de un subconjunto, en situacio-nes precisas, sin que se establezca cómose han seleccionado los elementos queforman al subconjunto y cómo es un axio-ma independiente de otros axiomas de lateoría de conjuntos. En “Círculos (y esfe-ras) muy extraños”, se dan ejemplos con-cretos sobre la medición. Se llega a la con-clusión de que diversos conceptos sobre lamedición se prestan a duda, y ello aparececuando se establece un apoyo axiomático.Después, el autor nos presenta tres para-dojas: la primera referida a las complejida-des en el concepto del área de una super-ficie curva y dos referidas a la teoría deconjuntos. En “Cómo permanecer joven”,se explica la paradoja que surge del hechode vivir en un espacio tetradimensional deMinkoswski, para el que la distancia máslarga entre dos puntos es la línea recta. Enuna gráfica en que se diagrama el tiempode un punto quieto en el eje x, se ve quees el tiempo más rápido que puede existir,

pues representa el punto que se muevepor el tiempo mediante su línea Universoy cualquier desviación de la vertical causa-rá un acortamiento del tiempo y, para ello,debe moverse por el eje x. Esta idea llevaa la Paradoja de los gemelos: “si uno delos gemelos permanece en casa y el otrosale a pasear, cuando se junten otra vez elgemelo paseante será más joven que elque se quedó en casa. De hecho, si el pa-seo ha sido hecho a una velocidad cerca-na a la de la luz, la diferencia de edad se-rá notable”.

Capítulo 8. En marcha contra el infi-nito. Este capítulo incluye cinco apartadosy una conclusión. Se analizan minuciosa-mente cada una de las paradojas conoci-das del filósofo griego Zenón de Elea, aun-que se supone que llegó a construir cercade 40. La base de la argumentación de Ze-nón está en considerar que “el mundo realestá construido a partir de elementos quecorresponden a ‘puntos matemáticos-posi-ción’ sin tamaño”. Entonces demuestra queesta suposición implica contradicciones conlo que la gente percibe en la vida real. Lasparadojas a las que hace referencia el au-tor son “Montones de arena”, “La dicoto-mía”, “Aquiles y la tortuga”, “La flecha” y“El estadio”, que sugerimos al lector leacon cuidado y gusto, ya que el espacio aquídestinado llevaría a otra reseña. En “Con-clusión”, se hace ver que los sutiles razo-namientos de Zenón han tenido mayoratención ahora que antes de 1900 y hanservido de referencia para revisar concep-tos acerca de la teoría cuántica. Los mate-

máticos han aprendido a tener reservas ya buscar mayor precisión en sus definicio-nes, especialmente cuando aparece el con-cepto o situaciones referidas al infinito y

han llegado, incluso, a suponer situacionesdistinta a nuestra realidad física, a fin dever cómo se comportaría la matemática enesa otra “realidad”.



DATOS DEL LIBRO

Bryan H. Bunch (1987)Matemática insólita. Paradojas y paralogismos.

Barcelona, Editorial Reverté, 198 p.

¿Qué puede aportar la didáctica de las ma-temáticas a la enseñanza de otras discipli-nas? Un ejemplo de transposición a la di-dáctica de la lengua.

Hay varias razones por las cuales meparece que este libro es de gran importan-cia para quienes nos dedicamos a la ense-ñanza. En primer lugar, por las orientacionesde una gran riqueza didáctica, fundamen-tadas en varios años de trabajo, para la orga-nización del currículum, para el diseño deactividades didácticas y, sobre todo, para laformación de maestros. En segundo lugar,por marcar con tal claridad el problema dela insuficiencia de los referentes teóricosclásicos, la lingüística, la psicolingüística,para comprender la problemática de la en-señanza escolar de la lectura y la escritura,y por destacar la necesidad de una didác-tica de la lengua. Finalmente, por la formaaudaz, y al mismo tiempo cuidadosa, de

retomar y adaptar algunos de los aportesde la didáctica de las matemáticas de laescuela francesa, al campo de la lengua.Puede decirse que esto constituye, a finalde cuentas, una forma de transposición delsaber, con el efecto de enriquecimientoque estos procesos pueden llevar consigocuando se hacen bien.


Leer y escribir en la escuela: lo real, lo posibley lo necesario, de Delia Lerner

Reseñado por David Block Sevilla1

1 Estos comentarios se presentaron en lamesa redonda “VII Congreso Latinoamerica-no. Desarrollo de la lectura y la escritura”,Puebla, octubre de 2002.


Leer y escribir en la escuela

Voy a hacer dos comentarios sobre elsegundo punto.

SOBRE LA PERTINENCIA DE UNADIDÁCTICA DE LA LENGUA

Cito a continuación algunos fragmentosdel capítulo V del libro que expresan demanera especialmente vívida la problemá-tica de los referentes teóricos y lo que sig-nifica abrir la perspectiva didáctica:

Deslumbrados ante todo por los impac-tantes resultados de las investigacionespsicogenéticas ...( )... ávidos luego porincorporar los aportes psicolingüísticosreferidos al acto de la lectura y al actode la escritura ...( )... impresionados mástarde por los avances de la lingüísticatextual ...( )..., los capacitadores no pu-dimos sustraernos a la tentación deponer en primer plano los contenidospsicológicos y lingüísticos; esos conte-nidos que —desde nuestra perspectiva—constituían los fundamentos impres-cindibles para la enseñanza de la lec-tura y la escritura, los pilares a partirde los cuales era posible empezar apensar la acción didáctica.

Felizmente —aunque llevó tiempoentender las causas y descubrir que setrataba de una circunstancia feliz, laperspectiva de los maestros no coinci-día exactamente con la nuestra.

Si bien ellos se sentían muy sorpren-didos por el caudal de conocimientosinfantiles que empezaban a detectar yque hasta ese momento había perma-

necido oculto tras la aparente ignoran-cia de sus alumnos ...( )... de todos modospensaban —y nos lo hacían saber de diver-sas maneras— que estos conocimientosno eran de ningún modo suficientespara dar respuesta a los problemasque ellos debían afrontar en su tareacotidiana ...( )...

Nos hacían preguntas o pedidoscomo éstos: “explíquenos mejor cómoes la actividad que hay que hacer paraque los niños aprendan este contenidoespecífico ...( )... ¿cuál es la intervenciónadecuada si los chicos cometen deter-minado error?

Y nosotros nos preguntábamos: ¿porqué nos piden recetas? ¿Por qué espe-ran que les demos todo resuelto en lugarde construir ellos mismos las “implica-ciones didácticas”?

Todavía no sabíamos escuchar alos maestros de la misma manera quelo hacíamos con los niños ...( )... No ha-bíamos descubierto aún lo que tan cla-ramente señala Brousseau (1994) enrelación con la investigación didácticay que nosotros podemos aplicar para-fraseándolo a la capacitación: cuandomuchos maestros plantean los mismosproblemas, lo mínimo que tiene que ha-cer el capacitador es preguntarse porqué los plantean e intentar entendercuáles son y en qué consisten los pro-blemas que están enfrentando. (pp. 167y 168)

La problemática de los referentes estálúcidamente planteada. Como bien sabe-mos, muchos educadores hemos compar-


David Block Sevilla

tido esta “tentación” de la que nos habla laautora, ésta fue el efecto de una concep-ción pedagógica que prevaleció en la ense-ñanza básica durante más de veinte años(y todavía...), no solamente en el área de lalectura y la escritura, hay que ver cuántascosas no se dijeron y ocurrieron en mate-máticas, por ejemplo, con respecto a la en-señanza de la noción de número. “Tentacio-nes” colectivas como ésta tienen, yo creo,un carácter epistemológico (quizás de obs-táculo), en el sentido de que son parte delproceso de constitución de un conoci-miento, aquí, del conocimiento didáctico.Es decir, en este relato de la autora, pue-de mirarse también un aspecto de la his-toria de la didáctica.

La misma didáctica francesa, si biennació deslindando su objeto de estudiodel de la sicología, al mismo tiempo, en unprincipio, heredó de ésta algunas de sus in-quietudes, de sus propósitos y de sus mé-todos. Las primeras investigaciones didác-ticas de Brousseau apartaban al maestro dela problemática estudiada. La atención secentró en ese momento “adidáctico”, en elque el maestro propicia las interaccionesde los alumnos con un medio, pero ense-guida se mantiene al margen.

La incorporación del maestro a la pro-blemática estudiada ha sido lenta, y empezó,según dice el mismo Brousseau, de unamanera parecida a la que la autora relata queella vivió: dejando de mirar las desviacionesque ocurrían en los montajes experimen-tales como faltas de comprensión de losmaestros y reconociendo en ellas la expre-

sión de fenómenos didácticos que requeríanser estudiados, tematizados, teorizados.

Fue así como se creó, por ejemplo, laimportante noción de “institucionalización”,que recupera el papel de los saberes cul-turales, institucionales, y que de hecho dis-tingue a la didáctica Brousseauniana de losconstructivismos radicales (según los cualesel niño construye todo él solo, sin necesidadde ninguna comunicación por parte delmaestro). La autora retoma claramente es-ta perspectiva Brousseauniana cuandoafirma: “el maestro sigue teniendo la últi-ma palabra... pero es importante que sea laúltima, no la primera”.

Cabe decir que la incorporación delmaestro en la teoría didáctica no ha termi-nado. El estudio de clases no experimen-tales por la didáctica es relativamente re-ciente. Se enfrentan ahí nuevos problemasmetodológicos y teóricos, por ejemplo: ¿cómoutilizar conceptos didácticos que se crearonoriginalmente en torno al estudio de situa-ciones experimentales, para lograr una com-prensión más profunda de lo que ocurreen las clases comunes, sin caer en una es-pecie de “check list” de lo que el maestrohace o no conforme a un ideal didáctico?¿Cómo ir más allá y tratar de desentrañarlas dificultades, las sujeciones, los momen-tos propicios, en suma, las fuerzas subya-centes que presionan y encauzan el trabajodel maestro en las clases reales?

Es probable, por ejemplo, que no co-nozcamos todavía lo suficiente los mediospara que los maestros puedan integrar asus prácticas algunos de los aportes fun-


Leer y escribir en la escuela

damentales de la didáctica.Todo esto para decir que puede ser

bueno poner en perspectiva la “tentaciónsicologisita” de la que nos habla la autora,para dejar bien claro que no se trata deerrores de algunos individuos, sino de unproceso que está en juego, el de la cons-trucción de la didáctica.

SOBRE LA CUESTIÓNDE “LO DESEABLE Y LO POSIBLE”

Entre los dos referentes de la didácticafrancesa que la autora recupera en su tra-bajo, el de la Teoría de las Situaciones Di-dácticas de Brousseau y el de la Antropo-logía Didáctica de Chevallard, hay unasutil discusión: Chevallard (1992), “el hijorebelde” de la escuela francesa, dice, ju-gando un poco, pero sin ocultar ciertomensaje, que, a diferencia de Brousseau,quien se empeña en estudiar las formas deideales de enseñanza, él busca (primero)comprender las formas posibles, es decir,busca comprender por qué existen las for-mas que existen, qué las hace ser comoson y no de otra manera... busca conocerlas sujeciones que operan sobre el conoci-miento cuando éste vive en el régimen es-colar, a fin de tener mejores posibilidadespara determinar qué cambios tienen ciertaposibilidad de ser integrados con buenosbeneficios. En síntesis, dice: “una situación,antes que ser buena, tiene que ser posible”.

En un texto más reciente, parafraseandoa Vigotsky, Chevallard afirma: “Se trata de

determinar cuál es la zona de desarrollopróximo del desarrollo curricular” Es decir,la zona en la que ciertas acciones sobre elcurrículum podrían sobrevivir y podrían te-ner algún efecto (Chevallard, 1998).

No es difícil estar de acuerdo con estasconsideraciones, habida cuenta de tantosintentos frustrados de cambios en la es-cuela. El problema “gordo” es determinarcuál es esa zona de desarrollo próximo. Ca-be preguntar si en el caso de la enseñan-za de las matemáticas, la hemos hallado.

Delia Lerner, en su texto, proporcionanumerosos ejemplos de estas sujecionesescolares: la selección y el recorte de losconocimientos, su secuenciación temporal,la evaluación y la necesidad de control quela acompaña, entre otras.

Coherente con ello, identifica aspectosclave susceptibles de ser modificados en elcurrículum, con beneficios importantes,propone por ejemplo: establecer objetivospor ciclo y no por grado; acordar a los obje-tivos generales prioridad absoluta sobre losespecíficos; evitar correspondencias térmi-no a término entre objetivos y actividades.

Algunas veces, sin embargo, me quedó lasensación de que no es claro cómo podríanvivir algunas de las propuestas que la au-tora hace, en las sujeciones escolares queella misma destaca, o, dicho de otro modo,en qué medida algunas de sus propuestasse ubicarían en la zona de lo factible.

Un ejemplo es el de la actualización demaestros: ¿es factible un programa en el quelos maestros se actualizan con expertos enprocesos de acompañamiento de dos años?


David Block Sevilla

La principal dificultad es contar con lacantidad de expertos que se necesitaría. Noobstante, coincido en que, aunque esta nopueda ser la estrategia dominante hoy endía, puede convertirse en la mejor estrate-gia en el mediano plazo.

Otro ejemplo es el de la evaluación: poruna parte, la autora atinadamente destacaque la evaluación y la necesidad de controlque trae consigo, constituye uno los meca-nismos más perniciosos para la enseñanzay para el aprendizaje. Propone flexibilizareste control y muestra las bondades for-mativas que tendría hacer participar en losprocesos de evaluación a los mismos alum-nos. Pero, por otra parte, la exigencia so-cial de evaluación es cada vez más fuertey en cada vez más países (México inclusi-ve); cada vez más se pide a las escuelasque demuestren públicamente lo que susalumnos han aprendido. En muchos paí-ses los programas contienen ya metas eva-luables y criterios de evaluación, incluso,en algunos, se pretende condicionar a ellolos financiamientos. La pregunta aquí es:¿debemos seguir luchando contra esta ten-dencia?, o bien, ¿debemos responder a ella

ayudando a determinar los criterios para laevaluación, procurando que éstos obstacu-licen los menos posible los procesos de ense-ñanza que consideramos deseables o, incluso,que los favorezcan? ¿Es esto posible?2

Un último comentario: en muchas par-tes del libro me sentí identificado con elrecorrido de Delia, con sus cuestionamien-tos, sus inquietudes y sus planteamientos.El libro, sin menoscabo de las considera-ciones sobre la difícil y reacia realidad, esoptimista y creativo. Me gustó.


Chevallard, Y. (1998), Análisis de prácticasde enseñanza y didáctica de las mate-máticas: una aproximación antropoló-gica, Université de la Rochèlle.

Chevallard, Y. (1992), “Concepts fonda-mentaux de la didactique: perspectivesapporteés par une approche anthropo-logique”, Recherches en Didactique desMathématiques, vol. 12, núm. 1, pp. 73-112, París, La Pensée Sauvage.

DATOS DEL LIBRO

Delia Lerner (2001)Leer y escribir en la escuela: lo real, lo posible y lo necesario

México, Fondo de Cultura Económica, 191 p.

2 Al escuchar este comentario, la autoramencionó que ha realizado un estudio impor-tante sobre el diseño de pruebas acordes conel enfoque didáctico que maneja.

BASES NEUROLÓGICASDEL APRENDIZAJE

A pesar de los innegables avances que hatenido nuestra comprensión del aprendi-zaje humano durante la segunda mitad delsiglo veinte, todavía es difícil afirmar quelas teorías del aprendizaje se ajustan a loscánones mínimos de fundamentación y ri-gor científico. Estamos todavía lejos de po-der predecir y controlar los aprendizajes, ylejos también de poder capacitar a nues-tros maestros de una manera más eficien-te que la basada simplemente en el relato decasos exitosos o en la norma del “debe ser”del docente. Éste es uno de los grandes re-tos de la educación para este siglo.

Las teorías del aprendizaje han avan-zado en la caracterización de conductas,prácticas y comportamientos y han pro-puesto algunas maneras de explicar la ad-quisición de conocimientos; sin embargo,estas explicaciones se han basado en evi-dencias empíricas limitadas y de corto al-cance, las cuales reducen las posibilidades

de reproducir las prácticas y conductas de-seadas o de evitar las indeseadas. El he-cho de que exista una gama tan extensade teorías para explicar los mismos fenó-menos y que sigan apareciendo más díacon día, es una muestra clara de la fragili-dad, mayor o menor según sea el caso, deestos enfoques.


La comprensión del cerebro. Hacia una nuevaciencia del aprendizaje, OCDE

Reseñado por Guillermina Waldegg


La comprensión del cerebro

No obstante, durante los últimos años,en este panorama se comienza a vislum-brar una nueva manera de fundamentarnuestras hipótesis sobre el aprendizaje hu-mano, basada en “datos duros” acerca delfuncionamiento del cerebro. Cada vez esmás evidente que la psicología cognosciti-va y las neurociencias tienen que interac-cionar para resolver un problema que leses común: el aprendizaje humano.

¿Cómo aprende la gente? ¿qué ocurreen el cerebro cuando adquirimos co-nocimiento (nombres, fechas, fórmu-las) o aptitudes (leer, bailar, dibujar) oactitudes (autoconfianza, responsabili-dad, optimismo)? Preguntas como éstashan interesado a los seres humanosdurante siglos. Hoy los científicos co-mienzan a entender cómo se desarro-lla el cerebro joven y cómo aprende elcerebro maduro. Distintas disciplinascontribuyen a este avance del conoci-miento. La establecida en fechas másrecientes, y probablemente la más im-portante, es la neurociencia cognosciti-va. (OCDE, 2003, p. 39.)

La comprensión del cerebro. Haciauna nueva ciencia del aprendizaje tiendeun puente inicial entre las teorías vigentesdel aprendizaje y la nueva neurociencia cog-noscitiva. Ésta no es una tarea fácil, se tratade vincular dos áreas diferentes del cono-cimiento, cuyas comunidades tienen prác-ticas, técnicas de observación, criterios devalidación, tradiciones y lenguajes distintos.

Sin embargo, el libro permite visualizar elgran potencial de esta vinculación. Me-diante un lenguaje accesible en ambas di-recciones (para los educadores y para losneurobiólogos), el libro logra plantear, demanera clara, los problemas que atañen aambos campos del conocimiento, permi-tiendo vislumbrar un camino común enun futuro próximo.

La neurociencia cognoscitiva parte dela premisa de que incorporar cualquieraprendizaje nuevo, de largo plazo, al cere-bro requiere la modificación de su anato-mía. El aprendizaje es alcanzado ya seamediante el crecimiento de nuevas sinap-sis (conexiones interneuronales), o me-diante el fortalecimiento o debilitamientode las ya existentes. A partir de esta premi-sa, los neurocientíficos cognoscitivistashan emprendido la búsqueda de variacio-nes morfológicas y funcionales en el cere-bro cuando el sujeto desarrolla alguna ac-tividad de aprendizaje.

Uno de los puntos cruciales para lo-grar grandes avances en las neurocienciasha sido el desarrollo de técnicas no invasi-vas para la observación y el análisis del ce-rebro, que permiten visualizar la ubicaciónespacial y los cambios temporales que ocu-rren en la actividad cerebral durante losprocesos de aprendizaje. Algunas de estastécnicas no invasivas son: las imágenes poremisión de positrones, las de resonanciamagnética, o la de estimulación magnéticatemporal que, aunadas a las técnicas tradi-cionales, como el electroencefalograma, per-miten hacer mediciones precisas tanto en


Guillermina Waldegg

actividades cognoscitivas prolongadas comoen aquellas que ocurren en lapsos tan pe-queños como milisegundos (pp. 65-68).

Los resultados de la investigación delos neurobiólogos desmienten muchos de losmitos que prevalecen en la educación: porejemplo, el mito de que una segunda lenguase aprende de la misma manera que la len-gua materna, es decir, sin conocimientosprevios de gramática (argumento comúnen las escuelas de idiomas). La investiga-ción ha demostrado que, cuanto más tar-de se aprende la gramática, más activo semuestra el cerebro: en lugar de procesar lainformación gramatical únicamente con elhemisferio izquierdo, como ocurre con lalengua materna, quienes aprenden tardeprocesan la misma información con amboshemisferios. El cambio en la activación ce-rebral indica que el retraso en la exposi-ción a la lengua hace que el cerebro useestrategias diferentes cuando procesa lagramática. Estudios confirmatorios muestran,además, que los sujetos que tuvieron estaactivación bilateral en el cerebro enfrentanmucha más dificultad para utilizar la gra-mática de manera correcta (pp. 75-76).

Otro mito muy difundido se refiere a ladisminución en la capacidad de aprendi-zaje que sufren las personas mayores. Losneurocientíficos saben que el cerebro su-fre cambios significativos a lo largo de lavida; sin embargo, esta flexibilidad pararesponder a las demandas del medio am-biente permite a los investigadores entendermejor el papel de la formación de nuevassinapsis en el cerebro adulto. Si bien hay

una disminución en la conectividad del ce-rebro adulto, ésta no repercute en la re-ducción de la capacidad cognitiva. Por elcontrario, los modelos de redes neurona-les han mostrado a los investigadores quela adquisición de habilidades se deriva decancelar algunas conexiones y, al mismotiempo, reforzar otras. La capacidad delcerebro de mantenerse flexible, alerta, sen-sible y orientado a la búsqueda de solucio-nes se debe a su plasticidad durante todala vida. En cierto momento, se pensó quesólo los cerebros infantiles eran plásticos;sin embargo, los datos encontrados duran-te las dos últimas décadas confirman queel cerebro mantiene su plasticidad duran-te toda la vida (pp. 86-93).

En cuanto al aprendizaje de las mate-máticas, las investigaciones recientes en lapsicología cognoscitiva y en la neurocienciacognoscitiva han demostrado que el cerebroinvolucra diferentes regiones para cumplirtareas matemáticas distintas; por ejemplo,los actos de identificar el 3 (escrito comonumeral), el tres (escrito como una pala-bra) y una relación del tipo “3 es mayorque 1” activan áreas distintas del cerebro(p. 77). La discalculia (incapacidad de calcu-lar), por ejemplo, se puede explicar en razónde la formación de redes neuronales desor-ganizadas que no permiten integrar estastres regiones. De la misma manera, mu-chas de las dificultades en el aprendizajede la matemática podrían ser explicadasen función de una falta de coordinaciónentre las zonas cerebrales involucradas.

Otro resultado que parece prometedor


La comprensión del cerebro

—y que de alguna manera la intuición do-cente ya lo había caracterizado, pero queahora tiene fundamentos neurológicos— esque el aprendizaje se ve afectado por fac-tores emocionales como el autocontrol ylos rasgos de personalidad. Si bien hacefalta investigación neuropsicológica sobrela regulación emocional, los científicos hanestablecido los componentes biológicos dela expresión emocional. El sistema límbico,localizado dentro del cerebro, también lla-mado el “cerebro emocional”, tiene cone-xiones con la corteza frontal. Cuando es-tas conexiones fallan, por tensión o miedo,el juicio social y el desempeño cognosciti-vo se ven alterados. Con la investigaciónen curso, los neurocientíficos pueden de-mostrar que el procesamiento emocionalpuede impulsar o impedir el proceso edu-cativo (pp. 80-82).

Otras investigaciones han mostrado queel sistema límbico también tiene conexio-nes con el lóbulo occipital, relacionado conlas percepciones. Un hallazgo importante,

encontrado gracias a las neuroimágenes,es que el acto de imaginar o de visualizaractiva muchas de las áreas del cerebro quese ponen en acción con la percepción yque, por tanto, están también conectadascon el sistema límbico (pp. 82-83).

El estudio del cerebro no es una pana-cea para resolver todos los problemas de laeducación, pero la comprensión del aprendi-zaje desde la perspectiva de las neurocien-cias permitirá, sin duda, a los especialistasen la educación tomar decisiones más in-formadas. Cuando tenemos la certeza deque una dificultad de aprendizaje se debea un “problema en el cerebro”, solemosconsiderar que su remedio no está en losrecursos didácticos ni en los sistemas edu-cativos. Sin embargo, gracias a los estudiosde la neurociencia, se logra entender la se-paración de una habilidad en sus distintospasos de procesamiento de la informacióny en sus módulos funcionales, y se puedenvisualizar programas correctivos más efi-cientes.

DATOS DEL LIBRO

OCDE (2003)La comprensión del cerebro. Hacia una nueva ciencia del aprendizaje

México, Santillana, 167 p.

CONGRESO CONJUNTO PMEY PME NA, HONOLULÚ

En Honolulú, Hawai, se llevó a cabo elcongreso conjunto de las sociedades PME yPME NA. Como es costumbre en las reunio-nes de estas dos asociaciones, el programaestuvo compuesto por conferencias plena-rias, presentaciones, presentaciones cortas,sesión de carteles y sesiones de grupos detrabajo y de grupos de discusión.

El lugar de la reunión ayudó a su éxito.El contenido académico del congreso fue

muy variado e interesante. La investigaciónen Matemática Educativa es un procesodinámico que está constantemente en evo-lución y enriqueciéndose a través de lasnumerosas investigaciones que se llevan acabo en diferentes lugares del mundo.

La temática general del congreso fue larelación entre la investigación en enseñan-za de las matemáticas y la práctica docen-te. Por ello, comparado con los congresosde los años anteriores de estas asociacio-nes, destacó en esta reunión un aumento

notable en las investigaciones relaciona-das con la función del profesor en la clasede matemáticas en los distintos niveleseducativos, con mayor énfasis en los nive-les básicos.

El número de ponencias presentadassobre el tema de la enseñanza de las ma-temáticas a nivel universitario aumentótambién considerablemente, aunque toda-vía representan la proporción más peque-ña de los distintos rubros de investigación.La temática de las investigaciones en estecontexto se ha enriquecido mucho. En con-gresos anteriores, la mayor parte de las in-vestigaciones en esta área tenía relación conla enseñanza del cálculo; en esta ocasión,aunque todavía se presentaron estudiosmuy interesantes relacionados con la ense-ñanza del cálculo, hubo varias presentacio-nes relativas al álgebra lineal, a la lógicamatemática y a las ecuaciones diferenciales.

Respecto a la enseñanza del álgebra,un tema bastante tratado en estos congre-sos, también se notaron diferencias impor-tantes. En particular, el número de traba-


Notas y noticias


Notas y noticias

jos relativos a la enseñanza del álgebra anivel elemental, o como se le suele llamarúltimamente, la pre-álgebra, aumentó con-siderablemente.

El congreso fue muy exitoso en térmi-nos de asistencia y mostró evidencias de ladinámica y el vigor que ha adquirido ladisciplina a lo largo de los años.

ESCUELA DE VERANO DE DIDÁCTICADE LAS MATEMÁTICAS

Cada dos años, los investigadores de Di-dáctica de las Matemáticas en Francia sereúnen durante diez días en la Escuela deVerano de Didáctica de las Matemáticaspor iniciativa de la Asociación para la In-vestigación en Didáctica de las matemáti-cas (ARDM, por sus siglas en francés). Enella, se proponen cursos y conferencias des-tinados a la enseñanza de alto nivel de losresultados y las problemáticas actuales endicha disciplina. Los participantes trabajanen cursos y talleres, y tienen la oportunidadde discutir con los equipos de trabajo quehan hecho contribuciones importantes.

La escuela de verano de este año tuvolugar en Corps, Francia, del 19 al 29 deagosto. Las temáticas de trabajo elegidasen esta ocasión fueron el estudio de unproblema abierto que trató sobre la gene-ralidad y la especificidad de las teorías di-dácticas, el estudio de una problemáticaactual en la que se intentó dar respuesta ala pregunta ¿por qué es importante modelarel conocimiento? y el estudio de un proble-

ma curricular que abordó la enseñanza dela estadística. Además de estos temas, tra-tados en cursos y talleres, los participantestuvieron la oportunidad de asistir a semi-narios de investigación en los que tuvieronla oportunidad de tratar asuntos distintosa los incluidos en las temáticas generalesy ampliar sus perspectivas.

Entre las teorías utilizadas para la mo-delación de conocimientos se presentaronlos últimos avances teóricos en la teoría desituaciones, en la teoría antropológica, enla teoría cKc, todas ellas elaboradas por in-vestigadores franceses y se dio un espaciopara la presentación de la teoría APOE de-sarrollada por un grupo internacional deinvestigadores.

La discusión de la especificidad y ge-neralidad de las teorías didácticas permitióhacer una comparación entre los concep-tos fundamentales de las teorías en didác-tica de las matemáticas y sus resultados y loque ha sucedido en áreas tan diferentescomo la enseñanza de la educación físicay de la lingüística. Fue interesante escu-char a investigadores de otras disciplinasque se han servido de algunos de los con-ceptos desarrollados dentro del ámbito dela didáctica de las matemáticas para hacercontribuciones a sus disciplinas de estudio.

Dentro del tema de estadística seabrieron problemas que requieren estudioy que, si bien en algunos casos han sidobastante estudiados por investigadores deotros países, no han sido tratados con pro-fundidad utilizando la metodología de la di-dáctica de las matemáticas francesa.

La reunión se desarrolló en un ambien-te muy cordial que propició intercambiosde opinión muy fructíferos. La participa-ción de investigadores hispanoamericanosen esta ocasión fue, además, más nutridaque de costumbre. Chilenos, argentinos,mexicanos y españoles tuvieron oportuni-

dad de exponer lo que se está haciendo ensus países y mostraron que en ellos se hanhecho contribuciones de gran calidad a ladidáctica de las matemáticas.

María Trigueros G.


Notas y noticias

EVENTOS POR REALIZAR

2004

• Coloquio “Los procesos de conceptualización en debate: homenajea Gérard Vergnaud” 28-31 de enero de 2004 cerca de ParísInformes: [email protected] MerriSecrétaire de l’ARDECO289 Boulevard CHAVE13004 Marseille, France

• ICMI 14 (International Commission on Mathematical Instruction)Estudio No. 14: “Applications and Modelling in Mathematics Education”13-17 de febrero de 2004, en Dortmund, AlemaniaContacto: Profr. Dr. Werner Blum, Chair, International [email protected]://www.brocku.ca/mathematics/ICMI/study14/

• NCTM Annual Meeting 21-24 de abril de 2004, en Filadelfia, Pensilvania, Estados UnidosPre-sesión de investigación: Filadelfia, Pensilvania, 19-21 de abril de 2004 http://www.nctm.org/meetings/philadelphia/index.htm

• ICME 10 (The 10th International Congress on Mathematical Education)4-11 de julio de 2004, en Copenague, Dinamarca. http://www.icme-10.dk/

• PME28 (28th International Conference of the International Group for thePsychology of Mathematics Education)14-18 de julio de 2004, en Bergen, Noruegahttp://www.pme28.org/

• IOWME (International Association for Women in Mathematics Educationat ICME 10) 4-11 de julio de 2004, en Copenague, DinamarcaFecha límite: 31 de enero de 2004Email:. [email protected] y [email protected]


Notas y noticias


Árbitros 2002-2003

NNoommbbrree AAppeelllliiddoo((ss)) IInnssttiittuucciióónn PPaaííss

Silvia Alatorre Universidad Pedagógica Nacional México

Javier Alfaro ITAM México

Alejandra Ávalos Escuela Normal Superior de México México

Carmen Azcárate Universidad Autónoma de Barcelona España

Pilar Azcárate Universidad de Cádiz EspañaGoded

Hugo Balbuena Secretaría de Educación Pública México

Edgar Becerra Ceneval México

Miguel Ángel Campos Universidad Nacional Autónoma de México México

Yolanda Campos Universidad Pedagógica Nacional México

Cristóbal Cárdenas Universidad Iberoamericana México

Guadalupe Carmona University of Purdue Estados Unidos

Alicia Carvajal Universidad Pedagógica Nacional México

José María Chamoso Universidad de Salamanca España

José Contreras University of Southern, Mississipi Estados UnidosFrancia

Francisco Cordero Depto. de Matemática Educativa, Cinvestav México


José Luis Cortina Peabody College, Vanderbilt University Estados Unidos

César Cristóbal Universidad de Quintana Roo México

Eugenio Díaz Barriga Depto. de Matemática Educativa, Cinvestav México

José Ángel Dorta Universidad de La Laguna España

Fortino Escareño Subsecretaría de Educación Básica y Normal México

Hugo Espinosa Depto. de Ed. Especial, SEP México

Juan Manuel Estrada Universidad Nacional Autónoma de México MéxicoMedina

Daniel Eudave Universidad Autónoma de Aguascalientes México

Catalina Ferat Toscano Universidad Nacional Autónoma de México México

Alfinio Flores Arizona State University Estados Unidos

Ángel Homero Flores Universidad Nacional Autónoma de México MéxicoSamaniego

Dilma Fregona Universidad de Córdoba Argentina

Irma Rosa Fuenlabrada DIE-Cinvestav MéxicoVelásquez

Grecia Gálvez Ministerio de Educación Chile

María Gambetta Benemérita Universidad Autónoma MéxicoEster Chuk de Puebla

Fredy González Instituto Pedagógico de Maracay Venezuela

Marcela González ITAM México

Hernán González Universidad de Santiago de Chile ChileGuajardo


Árbitros 2002-2003


José Guzmán Centro de Investigación y de Estudios MéxicoAvanzados

Nelson Hein Universidad Regional de Blumenau Brasil

Rubén Hernández ITAM México

Fernando Hitt Centro de Investigación y de Estudios MéxicoAvanzados

Glinda Irazoque Universidad Nacional Autónoma de México México

Richard Kitchen Universidad de Nuevo México Estados Unidos

Eduardo Lacués Universidad Católica del Uruguay Uruguay

Víctor Larios Universidad Autónoma de Querétaro México

Juan Leove Ortega DIE-Cinvestav México

Gonzalo López Rueda Escuela Normal Superior de México México

Bertha Alicia Madrid Universidad Iberoamericana México

Armando Martínez Universidad del Sur de California Estados Unidos

Jorge Martínez Universidad Iberoamericana México

Rafael Martínez Universidad Nacional Autónoma de México México

Rosa Martínez Universidad Nacional de Comahue Argentina

Patricia Martínez Dirección General de Servicios de Cómputo MéxicoFalcón Académico, UNAM

Rafael Martínez Universidad de Puerto Rico Puerto RicoPanell

José Humberto Mondragón Universidad Iberoamericana México


Árbitros 2002-2003

Luis Moreno Depto. de Matemática Educativa, Cinvestav México

Marco Antonio Murray Lasso Universidad Nacional Autónoma de México México

Rocío Nava Instituto de Educación del Estado de México México

Claudia Navarro Dirección de Educación Especial México

Ana María Ojeda Centro de Investigación y de Estudios MéxicoAvanzados

Asuman Oktac Cinvestav México

Esnel Pérez Escuela Normal Superior de México MéxicoHernández

Ricardo Quintero Centro de Investigación y de Estudios MéxicoAvanzados

Luis Radford Université Laurentienne Canadá

Margarita Ramírez V. Secretaría de Educación Pública México

Araceli Reyes ITAM México

Ángel Ruiz Universidad de Costa Rica Costa Rica

Luisa Ruiz Universidad de Jaén España

Ana Isabel Sacristan Cinvestav México

Jorge Sagula Universidad Nacional de Luján Argentina

Irma Saiz Consejo Gral. de Educación-Corrientes Argentina

Mariana Sáiz Roldán Universidad Pedagógica Nacional México

María Salett Universidad Regional de Blumenau Brasil

Gabriel Sánchez UNAM México


Árbitros 2002-2003


Ernesto Sánchez Departamento de Matemática Educativa Méxicodel Cinvestav

Vicente Sánchez Escuela Nacional de Maestros MéxicoMoreno

Gabriel Sánchez Universidad Nacional Autónoma de México MéxicoRuiz

María Savorío Escuela Nacional de Maestros MéxicoGuadalupe Morales

Mónica Schulmaister Secretaría de Educación Pública México

Patrick Scott University of New Mexico Estados Unidos

Ana Serradó Universidad de Cádiz España

Diana Solaris Secretaria de Educación Pública México

Raciel Trejo Reséndiz Escuela Normal Superior de México México

Ana María Vázquez Universidad Nacional Autónoma de México MéxicoVargas

Mónica Villarreal Universidad de Córdoba Argentina

Francisco Miguel Yáñez Escuela Normal Superior México

Gonzalo Zubieta Cinvestav México


Árbitros 2002-2003


Política editorial

La revista EDUCACIÓN MATEMÁTICA es una publicación internacional arbitrada queofrece un foro interdisciplinario para la presentación y discusión de ideas, con-ceptos y modelos que puedan ejercer una influencia profunda en la enseñanzay el aprendizaje de las matemáticas. La revista aparece tres veces al año y publi-ca artículos de investigación y ensayos teóricos sobre temas relacionados con laeducación matemática.

OBJETIVOS

EDUCACIÓN MATEMÁTICA se propone:• Actuar como un foro de discusión internacional en lengua española en el

que se discutan las problemáticas asociadas a la enseñanza y el aprendi-zaje de las matemáticas.

• Facilitar la comunicación entre investigadores y maestros de matemáticas.• Promover la investigación en educación matemática.• Alentar acercamientos multidisciplinarios.• Buscar una comprensión profunda de la naturaleza, teoría y práctica de la

enseñanza y el aprendizaje de las matemáticas.

LECTORES

EDUCACIÓN MATEMÁTICA está dirigida a investigadores y teóricos de la educaciónmatemática, maestros en formación y en ejercicio, estudiantes de posgrado, dise-ñadores, evaluadores, directivos, administradores y cuadros técnicos vinculadoscon la educación matemática.

TEMÁTICAS

El contenido de EDUCACIÓN MATEMÁTICA se centra en los siguientes temas:

1. Investigaciones sobre educación matemática en el nivel básico1.1. Aprendizaje, cognición y desempeño de los alumnos1.2. Conocimientos, concepciones, formación y prácticas de los maestros1.3. Saber matemático

1.3.1. Aritmética13.2. Geometría1.3.3. Probabilidad y estadística13.4. Preálgebra y álgebra1.3.5. Trigonometría

1.4. Materiales, textos y otros recursos de apoyo a la enseñanza1.5. Diseño, desarrollo y evaluación curricular1.6. Uso de la tecnología1.7. Interacciones en el aula1.8. Evaluación1.9. Enseñanza experimental1.10.Educación de adultos

2. Investigaciones sobre educación matemática en el nivel preuniversitario2.1. Aprendizaje, cognición y desempeño de los alumnos2.2. Conocimientos, concepciones, formación y prácticas de los maestros2.3. Saber matemático

2.3.1. Álgebra2.3.2. Geometría 2.3.3. Probabilidad y estadística2.3.4. Cálculo2.3.5. Razonamiento matemático

2.4. Materiales, textos y otros recursos de apoyo a la enseñanza2.5. Diseño, desarrollo y evaluación curricular2.6. Uso de la tecnología2.7. Interacción en el aula2.8. Evaluación2.9. Enseñanza experimental

3. Investigaciones sobre educación matemática en el nivel universitario3.1. Aprendizaje, cognición y desempeño de los alumnos

190 EDUCACIÓN MATEMÁTICA, vol. 15, núm. 2, agosto de 2003

Política editorial

3.2. Conocimientos, concepciones, formación y prácticas de los maestros3.3. Saber matemático

3.3.1. Álgebra lineal3.3.2. Geometría 3.3.3. Probabilidad y estadística3.3.4. Cálculo de una o varias variables3.3.5. Análisis3.3.6. Ecuaciones diferenciales3.3.7. Variable compleja

3.4. Materiales, textos y otros recursos de apoyo a la enseñanza3.5. Diseño, desarrollo y evaluación curricular3.6. Uso de la tecnología3.7. Interacciones en el aula3.8. Diagnósticos y evaluación3.9. Enseñanza experimental

4. Estudios sobre la historia y la epistemología de las matemáticas y de laeducación matemática4.1. Usos de la historia en la enseñanza y en la formación de maestros4.2. Análisis histórico y epistemológico de conceptos y procesos matemá-

ticos4.3. Análisis de textos y acercamientos didácticos en las distintas épocas

5. Estudios sobre el sistema educativo5.1. Políticas5.2. Instituciones5.3. Asociaciones5.4. Evaluación

6. Estudios sobre la investigación en educación matemática6.1. Teorías y marcos referenciales6.2. Métodos de investigación6.3. Validación6.4. Instituciones y organizaciones6.5. Historia

Serán considerados para su publicación los artículos sobre estos temas queno excedan las 30 cuartillas a doble espacio (alrededor de 10 000 palabras), in-cluidas tablas, gráficas y figuras.

Los editores de EDUCACIÓN MATEMÁTICA considerarán sugerencias para la pu-blicación de números especiales monotemáticos.

EDUCACIÓN MATEMÁTICA, vol. 15, núm. 2, agosto de 2003 191

Política editorial

GUÍA PARA AUTORES

• La revista EDUCACIÓN MATEMÁTICA publica artículos de investigación y otrascontribuciones en español.

• Todo manuscrito debe ir acompañado de una carátula que indique que elmaterial es original e inédito y que no se encuentra en proceso de revisiónpara otra publicación. Debe mencionarse explícitamente si el material ha si-do presentado previamente en congresos o publicado en otro idioma.

• Todos los manuscritos son arbitrados. El Comité Editorial se reserva el dere-cho de aceptar o rechazar un material o hacer sugerencias para su publica-ción.

• El Comité Editorial y Editorial Santillana tendrán los derechos de publicaciónde los artículos aceptados, para lo cual el autor debe firmar una licencia depublicación no exclusiva como la que se podrá encontrar en la página Webwww.santillana.com.mx.

• Es responsabilidad del autor el contenido y la mecanografía del artículo. ElComité Editorial se reserva el derecho de modificar el título cuando lo consi-dere conveniente, previa notificación al autor.

PREPARACIÓN DEL MANUSCRITO

• El manuscrito deberá estar preparado electrónicamente, en Microsoft Word oalgún otro procesador compatible.

• Deberá tener un máximo de 30 cuartillas a doble espacio (alrededor de 10 000palabras), incluidas notas, referencias bibliográficas, tablas, gráficas y figuras.

• Deberá evitarse el uso de siglas, acrónimos o referencias locales que no seanfamiliares a un lector internacional.

• Las referencias dentro del texto deben señalarse indicando, entre paréntesis, elautor, año de la publicación y página o páginas (Freudenthal, 1991, pp. 51-53).Al final del artículo se debe incluir la ficha bibliográfica completa de todas lasreferencias citadas en el texto de acuerdo con el siguiente modelo:

Ávila, A. y G. Waldegg (1997), Hacia una redefinición de las matemáticas enla educación básica de adultos, México, INEA.


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Block, D. y M. Dávila (1993), “La matemática expulsada de la escuela”, Edu-cación Matemática, vol. 5, núm. 3, pp. 39-58.

Kaput, J. (1991), “Notations and Representations as Mediators of Constructi-ve Processes”, en Von Glasersfeld (ed.), Constructivism and MathematicalEducation, Dordretch, Kluwer Academic Publishers, pp. 53-74.

• Si la lengua materna del autor no es el español, el artículo debe ser revisadopor un experto en redacción y ortografía españolas antes de ser enviado a larevista.

• Las ilustraciones, diagramas y figuras deben incluirse en el texto electrónicoy enviarse también en archivos separados. Para la publicación del artículo sedebe incluir una copia impresa de alta resolución de las figuras, fotografías eilustraciones.

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• La carátula debe contener los siguientes puntos:• Título y tema central del artículo.• Explicación de por qué el artículo es importante en el campo y por qué

debe publicarse en la revista.• Nominación de cuatro expertos reconocidos en el campo con los datos si-

guientes:


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• Nombre, título, institución, domicilio postal y electrónico, teléfono y fax. • Campo de especialidad.• Relación entre ellos y con el autor.

• Declaración de que el artículo contiene material original inédito y que noes enviado a ninguna otra revista para su publicación.

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Todos los manuscritos recibidos están sujetos al siguiente proceso:El Comité Editorial hace una primera revisión del manuscrito para verificar si

cumple los requisitos básicos para publicarse en EDUCACIÓN MATEMÁTICA. Esta re-visión interna toma entre 1 y 3 semanas, en este término se le notificará por co-rreo electrónico al autor si su manuscrito será enviado a evaluadores externos.En el caso en el que el manuscrito no se considere adecuado para ser evaluadoexternamente, se le darán las razones al autor.

Las contribuciones que cumplan los requisitos básicos serán enviadas paraun arbitraje ciego de 2 o 3 expertos en el tema. Este segundo proceso de revi-sión toma entre 2 y 3 meses. Después de este periodo, el autor recibirá los co-mentarios de los revisores y se le notificará la decisión del Comité Editorial (acep-tado, aceptado con cambios menores, propuesta de cambios mayores y nuevoarbitraje, y rechazado). El autor deberá contestar si está de acuerdo con los cam-bios propuestos (si éste fuera el caso), comprometiéndose a enviar una versiónrevisada, que incluya una relación de los cambios efectuados, en un periodo nomayor de 3 meses.

Para mayores detalles, consúltese la Guía de Arbitraje en www.santillana.com.mx


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NOTAS DE CLASE

EDUCACIÓN MATEMÁTICA considera para su publicación un número limitado denotas de clase, consistentes en propuestas originales de presentación de un te-ma, acercamientos novedosos que hayan sido probados en clase, lecciones, prác-ticas, ejercicios y, en general, cualquier producto de la experiencia en el aula queel profesor considere valioso compartir con sus colegas, siempre y cuando se in-cluya el soporte bibliográfico correspondiente. Las notas de clase no deberán ex-ceder las 10 cuartillas a doble espacio (aproximadamente 4 000 palabras), inclu-yendo tablas, gráficas y figuras, y deberán enviarse en formato Word o RTF conlos mismos lineamientos de presentación que los artículos. Las notas de clase sesometen a un proceso de arbitraje interno y su contenido matemático y origina-lidad es revisado por un árbitro externo.

RESEÑAS

EDUCACIÓN MATEMÁTICA publica también reseñas de libros especializados, librosde texto, software y tesis de posgrado relacionados con las temáticas de la revis-ta. Estas reseñas no excederán las 5 cuartillas a doble espacio (aproximadamen-te 2 000 palabras) y deberán enviarse igualmente en formato Word o RTF. Lasreseñas deben incluir la ficha completa del texto o software reseñado; el nombre,la filiación y el correo electrónico del autor; en el caso de las reseñas de tesis deposgrado, se incluirá también el grado, institución, director de tesis y fecha de de-fensa.


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