veremos los casos
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DIVISIÓN ALGEBRAICA
VEREMOS LOS CASOS:
1 Monomio entre monomio
Para dividir dos monomios solo dividimos parte constante entre parte constante y parte variable entre parte variable.
Así:
Ejemplo 1
Efectuar: 15x4y5 2x2y
15 x4 y5
2x2 y=152.x4 y5
x2 y
= 7 . 5 x2y4
Obs.:
i)
x4
x2=x 4−2=x2
ii)
y5
y= y5−1= y 4
Ejemplo 2
Calcular:
39 x p y8 n z4 k+3
13 x2 y2n z2 k−5
3913
.x p
x2.y8 n
y2 n.z4 k+3
z2 k−5
p – 2 8n – 2n (4k + 3) – (2k + 5)
p – 2 6n 4k + 3 – 2k +
5
p – 2 6n 2k + 8
exp. “x” exp. ”y” exp. ”z”
39 x p y8 n z4 k+3
13 x2 y2n z2 k−5=13 x p−2 y6 n z2 k+8
2 Polinomio entre monomio
Para dividir un polinomio entre un monomio se divide cada término del polinomio entre el monomio. Así:
Ejemplo 1
Efectuar:
15 x3 y4 z2−25 x7 y3+18 x5 z3
5 x4 y3 z2
Cada:
i)
15 x3 y4 z2
5x 4 y3 z2=3 x−1 y
ii)
−25 x7 y35 x4 y3 z2 = -5x3z-2
iii)
18 x5 z3
5x 4 y3 z2=185xy−3 z
Luego:
La Rpta. será: 3 x−1 y−5 x3 z−2+18
5xy−3 z
Ejemplo 1
Calcular:
21 x p yn zq+18 x3 p y 4 n z5−3 x p+3 y2 n+5 z3q−1
−3x p−4 y2n z2 q−3
i)
21 x p yn zq
−3x p−4 y2n z2 q−3=−7 x4 y−n z3−q
Los exponen- tes
quedarían
Observa que se divide
cada término del polinomio
entre el monomio.
NIVEL: SECUNDARIA SEMANA Nº TERCER AÑO
Recuerda:xm
xn=xm−n
ii)
18 x3 p y4 n z5
−3x p−4 y2n z2 q−3=−6 x4−2 p y2n z8−2q
iii)
−3x p+3 y2n+5 z3 q−1
−3 x p−4 y2 n z2q−3=x7 y5 zq+2
Luego:
La Rpta. será:
-7x4y-nz3-q – 6x4-2py2nz8-2q + x7y5zq+2
3 POLINOMIO ENTRE POLINOMIO
Para poder dividir un polinomio entre polinomio. Generalmente de una variable (División Euclidiana) se utilizan métodos prácticos como Horner, Ruffini con la finalidad que verifique la siguiente identidad.
D(x) d(x) . q(x) + R(x)
Grado D(x) > Grado d(x)
Donde:
D(x) : Dividendo
d(x) : Divisor
q(x) : Cociente
R(x) : Residuo o Resto
Nota:
R(x) = 0 División Exacta
R(x) 0 División Inexacta
MÉTODO DE HORNER
Se sigue los siguientes pasos:a) Se completan y ordenan los polinomios
dividendo y divisor.b) Si dibujas dos líneas. Una horizontal, otra
vertical que se corten a un extremo.c) Sobre la línea horizontal se colocan los
coeficientes del dividendo con todo su
signo (obviar el +).
d) En el casillero intersección se coloca el
primer coeficiente del divisor.
e) El lado de la línea vertical se colocan los
demás coeficientes del divisor, pero
cambiado de signo.
f) Se cierra el diagrama con una línea
horizontal.
ESQUELETO
Ejemplo 1
Dividir:
9 x4+2x2+6 x−83x2+ x−2
D(x) = 9x4 + 0x3 + 2x2 + 6x – 8
d(x) = 3x2 + x – 2
q(x) = 3x2 – x + 3 R(x) = x – 2
Se conoce
Se desea calcular
Ojo: Para poder dividir los polinomios dividendo (D(x)) y divisor (d(x))
deben estar completos y ordenados y si falta algún término
se completa con ceros.
(-1)
ResiduoCociente
Nota: La cantidad de lugares que tiene el residuo es igual al grado del divisor contar de derecha a izquierda.
Divisor
Dividendo
T.IxT.Ixx2
-213-13
6-3
-212
6-3-1
-862093
2 lugares porque el grado del divisor es 2
DIVISIÓN D(x) y d(x)
5x 4−2x2+3−5 x5+2x2−x
D(x) =
d(x) =
5x 4−3+4 x3−2 x2
x2+2−xD(x) =
d(x) =
3x 4−5x2+23+ x3
D(x) =
d(x) =
2x4−5 x3+32 x2−2x
D(x) =
d(x) =
Completar y Ordenar los Polinomios
I. En los siguientes casos dividir e indicar el coeficiente resultante:
1.
14 x7 y 4 z7
2x5 yn z p
Rpta.: ………………………………………
2.
−5x2 n+ p y3m+q z2 n−5
3 x5 p−n y4 q+2m zn−7
Rpta.: ………………………………………
3.
12 x5 y−2 z2q
7 x p+4 y−5 z3 q−5
Rpta.: ………………………………………
4.
2x2m+3 n−5 y5m−2 p+4 z5 p+ 4
3x2 n−7+m y3m+2−p z3 p−4
Rpta.: ………………………………………
5.
5 x3m−2 p+4 q−n y5m+2 q−3 p+5 n
−3x2m+3 p−2 q+n y3m+2 q−5 p+n
Rpta.: ………………………………………
II. En los siguientes casos dividir e indicar la suma de coeficientes:
6.
5xm−n y2m−3+7 xn−m y2 n−7
3xm yn
Rpta.: ………………………………………
7.
5+4 x5 y2−3 x4 y5+2 xy5 x4 y3
Rpta.: ………………………………………
8.
−2+3 x5+4 x8−3 x7
3 x6
Rpta.: ………………………………………
9.
3xm+n+ p−4 xn−m−p+5 x2m−2 n−3 q+5 x p
3 xm+n+ p+q
Rpta.: ………………………………………
10. Dividir: 3x2m+3n+4py2q+3p-
4+5x2m+4n-3py5p+4q
Entre: 5xm+2yp+q+3
Rpta.: ………………………………………
III. Dividir (utilizando Método de Horner) indicar el cociente [q(x)] y el resto [R(x)]
11.
x4−2x3−15 x2+28 x−72 x2−4 x+3
q(x) =
………………………………………
R(x) =
………………………………………
12.
10 x5−13 x3+4 x2+4 x+32x2−1
q(x) =
………………………………………
R(x) =
………………………………………
13.
9 x7−15 x5−6 x3+12 x4−20 x2−83 x4−5 x2−2
q(x) =
………………………………………
R(x) =
………………………………………
14.
6 x5−8 x4+3 x3+16 x2+63 x3−4 x2+5
q(x) =
………………………………………
R(x) =
………………………………………
15.
15 x4−17 x2+20 x3−18x+53 x2+4 x−1
q(x) =
………………………………………
R(x) =
………………………………………
TAREA DOMICILIARIA Nº 4
I. Dividir los siguientes monomios:
1.
25 x5 y3 z4
−5x2 y8 z5
Rpta.: ………………………………………
2.
−15x2m+ p y3n+2 z2 p−3
3 x p−2m y2 n−4 z4−p
Rpta.: ………………………………………
3.
1215 x4 y7 z−a
81 x5 y8 z−3
Rpta.: ………………………………………
4.
3x2 p+3 q+5 y25+3 p−q z p+q+3
2 x p+3q+5 y5−q+2 p z3−q−p
Rpta.: ………………………………………
5.
a2 x+3 y−4 z+2wb5 y+3 x−z−wc5 x+ y+ z−w
2ax+2 y−z+w b2 y− x−z +wc x+ y−z−w
Rpta.: ………………………………………
II. Hallar el cociente en cada uno de los siguientes casos:
6.
3xm+n y2m−n+7 xn−m y7−2 n
5 xn ym
Rpta.: ………………………………………
7.
3+2x5 y7−4 x3 y4+2 xy7 x5 y4
Rpta.: ………………………………………
8.
−2+x3−x8+3 x2−4 x2 x5
Rpta.: ………………………………………
9.
8 xa+b+c−4 xa−b−c+5 x2 a+2b−3c+5xa
7 xa+b+c
Rpta.: ………………………………………
10.
14 xa−b−c−d+21 x2 a+2b+c+d−3 x3 a+2b−3 c+d+4 x5a+3 b−4 c+2 d
2x a+b+c+d
Rpta.: ………………………………………
III. Dividir utilizando Método de Horner e indicar el cociente y el residuo.
11.
2x5−14 x3+x2+28x−15x2−5
q(x) =
………………………………………
R(x) =
………………………………………
12.
x4−10 x3+31 x2−30 x+18
q(x) =
………………………………………
R(x) =
………………………………………
13.
15 x4−6 x2+15x2−1
q(x) =
………………………………………
R(x) =
………………………………………
14.
27 x3+89 x2+6 x+4
q(x) =
………………………………………
R(x) =
………………………………………
15.
x7−x6−x5−4 x 4+4 x3−3x2−x+1x2−x+1
q(x) =
………………………………………
R(x) =
………………………………………