VENTAJAS Y DESVENTAJAS DE LOS INVENTARIOS.VENTAJAS. REDUCIR COSTOS DE PEDIR. Al pedir un lote de materias primas de un proveedor, se incurre en un costo para el procesamiento del pedido, el seguimiento de la orden, y para la recepcin de la compra en almacn. Al producir mayor cantidad de lotes, se mantendrn mayores inventarios, sin embargo se harn menos pedidos durante un periodo determinado de tiempo y con ello se reducirn los costos anuales de pedir. REDUCIR COSTOS POR MATERIAL FALTANTE. Al no tener material disponible en inventario para continuar con la produccin o satisfacer la demanda del cliente, se incurren en costos. Entre estos costos mencionamos las ventas perdidas, los clientes insatisfechos, costos por retrasar o parar produccin. Para poder tener una proteccin para evitar faltantes se puede mantener un inventario adicional, conocido como inventario de seguridad. REDUCIR COSTOS DE ADQUISICIN. En la compra de materiales, la adquisicin de lotes ms grandes pueden incrementar los costos de materias primas, sin embargo los costos menores pueden reducirse debido a que se aplican descuentos por cantidad y a menor costo de flete y manejo de materiales. Para productos terminados, los tamaos de lote ms grande incrementan los inventarios en proceso y de productos terminados, sin embargo los costos unitarios promedio pudieran resultar inferiores debido a que los costos por maquinaria y tecnologa se distribuyen sobre lotes ms grandes. DESVENTAJAS: COSTO DE ALMACENAJE. Entre los costos en los que se incurren para almacenar y administrar inventarios se encuentran: intereses sobre la deuda, intereses no aprovechados que se ganaran sobre ingresos, alquiler del almacn, acondicionamiento, calefaccin, iluminacin, limpieza, mantenimiento, proteccin, flete, recepcin, manejo de materiales, impuestos, seguros y administracin. DIFICULTAD PARA RESPONDER A LOS CLIENTES. Al existir grandes inventarios en proceso se obstruyen los sistemas de produccin, aumenta el tiempo necesario para producir y entregar los pedidos a los clientes, con ello disminuye la capacidad de respuesta a los cambios de pedidos de los clientes.

COSTO DE COORDINAR LA PRODUCCIN.

Inventarios grandes obstruyen el proceso de produccin, lo cual requiere mayor personal para resolver problemas de trnsito, para resolver congestionamiento de la produccin y coordinar programas. COSTOS POR REDUCCIN EN LA CAPACIDAD. Los materiales pedidos, conservados y producidos antes que sean necesarios desperdician capacidad de produccin. COSTOS POR PRODUCTOS DEFECTUOSOS EN LOTES GRANDES. Cuando se producen lotes grandes se obtienen inventarios grandes. Cuando un lote grande sale defectuoso se almacenen grandes cantidades de inventario defectuoso. Los lotes de menor tamao (y con ello una reduccin en los niveles de inventario) pueden reducir la cantidad de materiales defectuosos.

MODELOS DETERMINSTICOSUn modelo determinstico es un modelo matemtico donde las mismas entradas producirn invariablemente las mismas salidas, no contemplndose la existencia del azar ni el principio de incertidumbre. Est estrechamente relacionado con la creacin de entornos simulados a travs de simuladores para el estudio de situaciones hipotticas, o para crear sistemas de gestin que permitan disminuir la incertidumbre. La inclusin de mayor complejidad en las relaciones con una cantidad mayor de variables y elementos ajenos al modelo determinstico har posible que ste se aproxime a un modelo probabilstico o de enfoque estocstico. Ejemplos Por ejemplo, la planificacin de una lnea de produccin, en cualquier proceso industrial, es posible realizarla con la implementacin de un sistema de gestin de procesos que incluya un modelo determinstico en el cual estn cuantificadas las materias primas, la mano de obra, los tiempos de produccin y los productos finales asociados a cada proceso.

MODELO DE INVENTARIO GENERALLa naturaleza del problema de inventario consiste en hacer y recibir pedidos de determinados volmenes, repetidas veces y a intervalos determinados. Una poltica de inventario responde las siguientes preguntas. Cunto se debe ordenar? Esto determina el lote econmico (EOQ) al minimizar el siguiente modelo de costo:

(Costo total del inventario) = (Costo de compra) + (costo de preparacin + (Costo de almacenamiento) + (costo de faltante). Todos estos costos se deben expresar en trminos del lote econmico deseado y del tiempo entre los pedidos. El costo de compra se basa en el precio por unidad del artculo. Puede ser constante, o se puede ofrecer con un descuento que depende del volumen del pedido. El costo de preparacin representa el cargo fijo en el cual se incurre cuando se hace un pedido. Este costo es independiente del volumen del pedido El costo de almacenamiento representa el costo de mantener suficientes existencias en el inventario. Incluye el inters sobre el capital, as como el costo de mantenimiento y manejo El costo de faltante es la penalidad en la cual se incurre cuando nos quedamos sin existencias. Incluye la perdida potencial de ingresos, as como el costo ms subjetivo de la perdida de la buena voluntad de los clientes.

Cuando se deben colocar los pedidos?

Depende del tipo de sistema de inventario que tenemos. Si el sistema requiere una revisin peridica (por ejemplo, semanal o mensual), el momento para hacer un nuevo pedido coincide con el inicio de cada periodo. De manera alternativa, si el sistema se basa en una revisin continua, los nuevos pedidos se colocan cuando el nivel del inventario desciende a un nivel previamente especificado, llamado el punto de reorden. El modelo general de inventarios parece ser bastante simple, entonces, porqu existen variedad de modelos que van desde el empleo del simple clculo a refinadas aplicaciones de programacin dinmica y matemtica? La respuesta radica en la demanda: S la demanda del artculo es determinista o probabilstica. Una demanda determinista puede ser: a) Esttica (en el sentido que la tasa de consumo permanezca constante durante el transcurso del tiempo. b) dinmica donde la demanda se conoce con certeza, pero vara al perodo siguiente. Una demanda probabilstica tiene anlogamente dos clasificaciones: a) Estado estacionario donde la funcin de densidad de probabilidad de la demanda se mantiene sin cambios con el tiempo. b) Estado no estacionaria donde la funcin de densidad de probabilidad vara con el tiempo. A pesar que el tipo de demanda es el factor principal en el diseo del modelo de inventarios, existen otros factores que tambin pueden influir en la manera como se formula el modelo: 1) Demoras en la entrega: al colocar un pedido, puede entregarse inmediatamente o requerir de cierto tiempo. 2) Reabastecimiento del almacn, el abastecimiento del almacn puede ser instantneo (cuando compra de fuentes externas, o uniforme, cuando el producto se fabrica dentro de la organizacin). 3) Horizonte de tiempo, que puede ser finito o infinito. 4) Abastecimiento mltiple: Un sistema de inventario puede tener varios puntos de almacenamiento (en vez de uno). 5) Nmero de artculos: Puede contener ms de un artculo, caso que es de inters, principalmente si existe alguna clase de interaccin entre diferentes artculos.

EL MODELO EOQ BSICO O MODELO DE HARRIS-WILSONLos supuestos en que se fundamenta este modelo son las siguientes: 1) El horizonte temporal que afecta a la gestin de stocks es ilimitado (i.e.: el proceso contina indefinidamente). 2) La demanda es continua, conocida y homognea en el tiempo (i.e.: si la tasa de consumo es D unidades/ao, la demanda mensual es D/12 unidades/mes, etc.). 3) El perodo de entrega, L, es constante y conocido. 4) No se aceptan rupturas de stock (i.e., debe haber siempre stock suficiente para satisfacer la demanda). 5) El coste de adquisicin, CA u.m./unidad, es constante y no depende del tamao del lote (no hay descuentos por grandes volmenes de compra). 6) La entrada del lote al sistema es instantnea una vez transcurrido el perodo de entrega. 7) Se considera un coste de lanzamiento de CL u.m./pedido y un coste de posesin de stock igual a CP u.m./unidad y ao. Bajo estas hiptesis, lo que resulta ms econmico es organizar los pedidos de manera que se produzca la entrada de un lote al sistema en el momento en que el nivel de stock sea nulo; por tanto las rdenes de emisin de los pedidos se han de realizar en instantes en que el nivel de stock sea el mnimo imprescindible para satisfacer la demanda durante el perodo de entrega. El punto de pedido S ha de ser: S= D*L. Adems, todos los lotes han de tener el mismo tamao, dado que los parmetros del modelo se mantienen constantes a lo largo del tiempo, y que el horizonte es ilimitado. Si cada pedido es de un volumen igual a Q, para satisfacer la demanda anual D habr que ordenar D/Q pedidos/ao (frecuencia de reaprovisionamiento N); la inversa de este valor representar el tiempo que transcurre entre dos entradas consecutivas al sistema (tiempo de ciclo de aprovisionamiento TC). Como el coste de lanzar un pedido es CL u.m., tendremos que el coste anual de lanzamiento KL ser:

Este coste est relacionado con el tamao de lote Q, de manera que si dicho tamao crece, el nmero de lanzamientos se reduce y, por consiguiente, el coste anual de lanzamiento disminuir. El coste anual de adquisicin KA depende de las unidades solicitadas; como la demanda anual D es conocida y se supone que todas las unidades tienen el mismo valor unitario, CA , independientemente del momento en que se solicita y de las cantidades que se requieren (no hay descuentos), la adquisicin de D unidades supondr un coste KA = CA * D El coste anual de posesin de stock KP est relacionado con el nivel medio del stock mantenido a lo largo del ao. Bajo los supuestos considerados, el nivel de stock oscila entre 0 y Q. Dado que la demanda es homognea y no se permiten rupturas de stock, el nivel medio del inventario ser igual a Q/2; como mantener una unidad de producto en stock durante un ao tiene un coste de posesin de CP u.m., el coste anual de posesin ser: KP = CP * Q/2 Observar que conforme aumenta el tamao del lote Q, tambin aumenta el coste anual de posesin KP . El coste total anual de stock ser la suma los tres costes anteriores. En todo caso, los costes relevantes en la gestin de stocks (aquellos sobre los cuales nuestras decisiones pueden influir) son el coste anual de lanzamiento, KL , y el coste anual de posesin, KP, dado que el coste anual de adquisicin no depende ni del tamao del lote ni de las fechas en que se ordenen los pedidos. Por tanto, el coste relevante anual K ser: K = KL + KP u.m. Si consideramos K = K(Q), resulta inmediato comprobar que esta funcin toma un valor mnimo K* asociado a un tamao de lote ptimo (Q*):

Esta cantidad Q* recibe el nombre de lote econmico (Economic Order Quantity). Adems, en este modelo, el lote economico es justamente el valor que iguala los costes1

anuales de lanzamiento y posesin . En la frmula anterior, el coste unitario de posesin, CP, se expresa a menudo como el producto de una tasa de coste de mantenimiento i , por el valor unitario del artculo, CA. La tasa i representa pues el coste (en ) de mantener en stock material por valor de 1 , y puede englobar conceptos tales como el tipo de inters que la empresa podra obtener en una inversin alternativa de riesgo similar, el porcentaje de prdidas anuales resultantes del almacenamiento y manipulacin de productos, las prdidas por robo, el coste del seguro que cubre los stocks, etc.

EL MODELO EOQ CON DESCUENTOS POR VOLUMEN DE COMPRASA menudo los suministradores ofrecen descuentos en los precios del producto servido si les compramos en grandes cantidades. Tales descuentos se habrn de tener en consideracin a la hora de decidir qu cantidad nos conviene adquirir y cundo deberemos efectuar los pedidos. Estaremos pues ante un modelo distinto al de HarrisWilson: CA ya no ser constante, sino que depender del volumen del lote comprado, lo que afectar tanto al coste de posesin unitario CP = i * CA , cmo al coste total anual KT = KA + KL + KP .

DESCUENTOS UNIFORMESLos descuentos uniformes implican el mismo descuento en todas las unidades compradas, descuento que ser de mayor o menor magnitud segn el intervalo o tramo en que se encuentre la cantidad solicitada. Un ejemplo de descuento uniforme sera:

Dado que en cada uno de los n tramos el coste de adquisicin CA s es constante, en realidad este caso se reduce a aplicar el modelo EOQ bsico a cada uno de los intervalos, con lo cual obtendremos un coste anual mnimo para cada tramo considerado KT(i) = KA(i) + KL(i) + KP(i). Obviamente, elegiremos el Q* asociado al menor de estos n costes totales mnimos.

Cabe hacer, sin embargo, una observacin importante: ahora Q* ser el tamao del pedido que minimice los costes relevantes K(Q) = KL + KP dentro del intervalo considerado (optimizacin con restricciones). Por tanto, si al hacer los clculos resulta que el Q* obtenido segn la frmula del modelo anterior no pertenece al intervalo en el que estamos, deberemos tomar como Q* el extremo del intervalo que ms se aproxime al valor obtenido, ya que este ser el valor ptimo restringido a dicho tramo (pues la funcin K(Q) es convexa respecto del origen).

EL MODELO EOQ DE ENTRADA CONTINUAEn muchas ocasiones, parte de los artculos que se almacenan son producidos por la propia empresa en vez de ser adquiridos a otra compaa ajena. En tales situaciones, el supuesto 6 de que la entrada del lote al sistema es instantnea carece de sentido, ya que no es posible producir todos los artculos de golpe, en especial si consideramos series de produccin largas. Ms bien suceder que el proceso productivo va aportando artculos al almacn de forma gradual. As, los artculos producidos irn pasando a formar parte del inventario en lotes de transferencia, los cuales sern de tamao inferior al volumen de la serie producida. En nuestro caso, supondremos que el lote de transferencia es igual a la unidad. Obviamente, partiremos de la hiptesis de que la capacidad productiva anual P ser mayor que la demanda anual D, pues en caso contrario no ser posible satisfacer dicha demanda de forma indefinida.

Consideraremos que tanto la demanda como la produccin son homogneas en el tiempo, con tasas iguales a D y P unidades al ao respectivamente. Al representar este proceso, observaremos que durante el ciclo productivo el nivel de stock aumenta progresivamente a un ritmo constante e igual a la diferencia entre ambas tasas PD; terminado dicho ciclo, se alcanzar el nivel mximo de stock, max; a partir de este instante el nivel del inventario se reducir de forma progresiva segn una tasa D hasta llegar a nivel 0; punto en el cual comenzar otro nuevo ciclo.

En cada ciclo productivo se fabricarn Q unidades en un perodo temporal de Q/P aos, dado que se necesitarn 1/P aos para producir cada unidad. Durante este perodo, el nivel de stock (que parte de 0) aumenta a un ritmo constante PD unidades/ao. As las cosas, el nivel mximo al que se llegar vendr dado por la ecuacin: Imax = (PD)*Q/P . A partir de este punto, transcurrir un tiempo de Imax/D aos hasta volver al nivel inicia (stocks 0). En este modelo, el coste anual de lanzamiento seguir siendo: KL = CL * N = CL * D/Q u.m. Si suponemos que el coste de adquisicin (o de produccin) unitario CA es constante (no hay descuentos por grandes volmenes de produccin), el coste anual de adquisicin ser, KA = CA * D u.m., que no depende de Q y por tanto no es relevante a la hora de minimizar costes. Finalmente, el coste anual de posesin vendr dado por la expresin: KP = CP * Imax/2 u.m., ya que ahora el nivel medio del stock ser Imax/2 . En conclusin, el coste anual relevante ser K = KL + KP u.m., el cual se minimizar para un volumen de produccin1/2

Q* = [2CL*D/((1-D/P)*CP)]

.

EL MODELO EOQ CON RUPTURA DE STOCKS

En muchas situaciones de la vida real la demanda no es satisfecha a tiempo debido a la falta de existencias (rupturas de stock). Cuando esto ocurre podemos estar ante una demanda diferida, o bien ante una demanda perdida. Ambas opciones suponen un coste para la empresa, el cual es mucho mayor en el segundo de los casos (prdida de la venta, posible prdida de clientes, mala imagen, etc.). Sin embargo, si el cliente consiente en diferir la entrega de su pedido, cobra sentido considerar posibles rupturas de stock de un tamao determinado buscando que el coste de diferir las entregas compense los costes de posesin de inventarios. En lo que sigue supondremos que podemos estimar el coste de retardar la entrega de una unidad durante un ao en CD u.m.

La imagen de la derecha representa la evolucin de los stocks cuando se considera la posibilidad de diferir la demanda. Suponiendo que el lote entra de forma instantnea al sistema, el nivel del inventario variar entre un valor mnimo negativo, -M (mxima demanda insatisfecha) y un valor mximo igual a Q-M. Partiendo de este valor mximo, el nivel de stock se reduce de forma progresiva al ritmo que marca la tasa de consumo anual D; despus de un tiempo igual a (Q-M)/D aos se llega al nivel 0, momento en que se produce la ruptura de stocks; durante un perode igual a M/D aos se dejan de servir unidades, y la posicin del stock desciende hasta el valor mnimo M; en este instante llega un nuevo lote de tamao Q al sistema, se entrega la demanda diferida y el nivel del inventario vuelve a su valor mximo. En este modelo, tanto el coste anual de lanzamiento como el coste anual de adquisicin son idnticos a los del modelo EOQ bsico. El coste anual de posesin, sin embargo, s resulta distinto. Ello es debido a la variacin en el nivel medio de posesin. Adems, a la hora de calcular la funcin de coste total deberemos considerar el coste anual de diferir la demanda KD. El tiempo de cada ciclo (tiempo entre dos entradas consecutivas de un lote) es igual a Q/D aos. Se pueden distinguir dos perodos por ciclo: el perodo sin ruptura tiene una duracin igual a (Q-M)/D aos, y presenta un stock medio de (Q-M)/2 unidades; por su parte, el perodo de ruptura es igual a M/D aos y durante el mismo su stock medio es 0, oscilando el nivel de ruptura entre 0 y M. As pues, tendremos que el stock medio en cada ciclo ser de (Q2 2 2

M) / (2D) unidades, mientras que el nivel de ruptura medio por ciclo ser de M / (2D) unidades. Como al ao tendremos D/Q ciclos, el nivel anual medio de stocks ser (Q-M) /2

(2Q) , y el nivel anual medio de ruptura M / (2Q) . El coste anual relevante tendr pues la expresin:2 2

K(Q, M) = KL + KP + KD = CL * D/Q + CP * (Q-M) / (2Q) + CD * M / (2Q). Se puede demostrar que esta funcin multivariable es convexa, por lo que alcanzar su valor mnimo cuando: K / Q = K / M = 0. Resolviendo este sistema de ecuaciones obtenemos los tamaos ptimos del lote y del nivel de ruptura:1/2 1/2

Q* = [ 2CL D (CP+CD) / (CP CD) ]

M* = [ 2CL D CP / ( CD (CP+CD) ) ]

Si hacemos tender el coste CD a infinito, M* tender a cero y Q* tender al valor que se obtendra con el modelo EOQ bsico. Ello es lgico, dado que en tal caso el coste de diferir la entrega se hara prohibitivo y, por tanto, no sera factible considerar rupturas de stock.

MODELO ESTOCSTICO DE UN SOLO ARTCULO (CPE). Demanda constante con el tiempo, con reabastecimiento instantneo y sin escasez. Demanda ocurre con tasa D (por unidad de tiempo), el nivel ms alto del inventario ocurre cuando se entrega la cantidad ordenada, la demora en la entrega se supone una constante conocida. Mientras ms pequea es la cantidad ordenada, ms frecuente ser la colocacin de nuevos pedidos, sin embargo se reducir el nivel del inventario(promedio) mantenido en la bodega.

Figura N1 Variacin del nivel del Inventario Por otro lado, pedidos de mayor cantidad implica un nivel de inventario mayor, pero colocaciones menos frecuente de pedidos como se muestra en la figura No. 2 abajo sealada.

Figura N2 Diversas frecuencias de pedidos

Como existen costos asociados al colocar pedidos y mantencin del inventario en el almacn, la cantidad del artculo se selecciona para permitir un compromiso entre ambos costos. Sea K el costo fijo provocado cada vez que se coloca un pedido y suponga que el costo de mantener una unidad en inventario(por unidad de tiempo) es h, por lo tanto, el costo total por unidad de tiempo CTU (de TCU total cost per unit time) en funcin de Q, se expresa por:

CTU(Q) =

Costo fijo + Unidad de tiempo

Costo mantencin inventario unidad de tiempo

Tal como lo muestra la figura N1, la longitud de cada ciclo es: t0 = Q / D Y el inventario promedio es: Q / 2 El valor ptimo de Q se obtiene minimizando CTU(Q) respecto a Q, por consiguiente, suponiendo que Q es una variable continua se deduce:

Cantidad ptima pedida, que tambin se conoce como lote econmico de pedido de Wilson, o cantidad del lote econmico (EOQ).i

Otra forma de expresarlo es la siguiente: Con h = V * C, donde V es el costo promedio unitario, y C es un porcentaje de dicho costo (unitario)por manejar stock. Por ejemplo Sea $24 el costo de realizar un pedido, con una demanda semanal de 120 artculos, el costo de una unidad $100 y los costos de mantener stock un 24%. Determine el EOQ? En la prctica, la mayora de las veces, se tiene un mayor tiempo de fabricacin o de retraso, desde el instante en que se coloca una orden hasta que ella es realmente entregada, en consecuencia, en el modelo la poltica de pedidos debe especificar con claridad en punto de reordenamiento o reposicin, este debe ocurrir cuando queden L unidades de tiempo previo a la entrega, como lo muestra la figura N3.

En general, esta informacin se puede traducir convenientemente para su implantacin prctica especificando solo el nivel de inventario en que se debe volver a pedir. Esto es

equivalente a observar continuamente el nivel del inventario hasta que se alcance el punto de reorden (esto hace que en ocasiones se denomina modelo de revisin contina). Tomando el ejemplo anterior, si el tiempo de fabricacin es de 12 das determine el punto de reordenamiento: Nota: Observe que conforme el sistema se estabiliza(por lo menos dos ciclos), el tiempo de fabricacin L, puede ser tomado siempre menor que t0. Qu sucede cuando existe variabilidad en la demanda y variabilidad en la entrega?, por ejemplo:

Se debe determinar la desviacin estndar de la demanda. (ver formula N1)

Tambin es posible que exista variabilidad en los plazos de entrega, en este caso se debe calcular la desviacin estndar combinada.

MODELO ESTTICO DE UN SOLO ARTCULO CON DISTINTOS PRECIOS.Modelos donde el precio unitario de adquisicin depende de la cantidad comprada (rebajas por cantidades).

Sin considerar los efectos del precio por cantidad, el clculo del EOQ es de acuerdo a la formula ya vista.

Cantidad en la cual ocurren los valores mnimos de CTU1 , CTU2 .Las funciones de costo CTU1 , CTU2 revelan que la cantidad ptima Q* del pedido depende de en cul zona(I, II, o III) se ubique q, el punto de reduccin en el precio, respecto a las zonas I, II, III que se indican en el grfico. Zonas que estn definidas determinando q1 ( > Q ) a partir de CTU1(Qm) = CTU2(q1) Como se conoce (Qm), la solucin de la ecuacin producir el valor de q1 , en este caso las zonas se definen como sigue: zona I 0