ven te chow

7/21/2019 VEN TE CHOW

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MECÁNICA DE

FLUIDOS II

13

UNIVERSIDAD NACIONAL DANIEL ALCIDES CARRION FACULTAD DE INGENIERIAEscuela de formac!" #rofeso"al de "$e"era c%l

5.2. SOLUCIÓN DE BAKHMETEFF-VEN TE CHOW

En 1912 Bakhmeteff, inspirado en general por los trabajos de Bresse y Tolkmitt propone

una metodología que permite integrar la ecuacin para canales en forma cualquiera,

introduciendo la llamada funcin de flujo !ariado" En a#os posteriores, se contin$a con la idea de

Bakhmeteff, eliminando algunas de las limitaciones del m%todo y tratando de lograr un

procedimiento de c&lculo m&s directo y seguro, entre los cuales se pueden citar los trabajos de

'ononobe (19)*+, ee (19-.+, /on 0eggern (19+, 3ho4 (19+"

5na de las hiptesis fundamentales del m%todo es la suposicin de que los llamados

e6ponentes hidr&ulicos se mantienen constantes en el tramo considerado"

A. Desarrollo del método.

'uchos in!estigadores han sugerido procedimientos para refinar el trabajo originalmente

desarrollado por Bakhmeteff7 /en Te 3ho4 en particular, con base en el estudio de muchos de

los trabajos e6puestos anteriormente, desarroll un m%todo que permite e6tender y consolidar la

solucin de Bakhmeteff, manteniendo la misma forma de la funcin de flujo !ariado"

El procedimiento que se presenta a continuacin es !&lido principalmente para cualquier

tipo de seccin trans!ersal en canales prism&ticos"

1. Planteo de la ecuación:

8e la ecuacin din&mica del flujo gradualmente !ariado



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dy

dx=

S0∗1−

S E

S0

1−Q

2T

g A3

a cual puede e6presarse como

dx=

1

S0

∗1−Q

2T

g A3

1−S E

S0

dy …5.18

2. Transformación de la ecuación en términos de y , yn , y c , N , M :

8e la ecuacin de 'anning

Q=1

n∗ A R

2 /3S1/2

0e define como el factor de conduccin :, a

K =1

n∗ A R2

/3

…5.19

uego Q= K S1 /2

→ K 2=

Q2

S …5.20

Bakhmeteff asumi empíricamente que

K 2=(

1

n

∗ A R2/3)

2

=Cy N

…5.21

8onde

3 ; coeficiente de proporcionalidad

< ; e6ponente hidr&ulico para c&lculos de flujo uniforme que depende de la forma de laseccin y del tirante"

a ecuacin ("21+ es m&s apro6imada para unas secciones que para otras, pero en lacomprobacin de la misma, reali=ada con secciones de las m&s !ariadas formas, se ha obtenidoun grado de aceptacin notable"

8e las ecuaciones ("2+ y ("21+, se tiene



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K 2=

Q2

S =Cy

N

8onde

S=S E ; pendiente de la línea de energía, es decir

S E= Q

2

Cy N

…5.22

En el caso de un flujo uniforme y= yn Y S E=S

0,

luego

S0=

Q2

C yn

N …5.23

8i!idiendo ("22+ entre ("2)+, se tiene

S E

S0

=

Q2

Cy N

Q2

C yn N

S E

S0

=( y n

y

) N

…5.24

0e define como factor de seccin >, a

Z = A √ Y

Z = A √ A /T → Z 2=

A3

T …5.25

8e la ecuacin general para el flujo crítico, se tiene

Q2

g =

Ac3

T =Z c

2

Es decir

Z c2=

Q2

g …5.26

8i!idiendo ("2?+ entre ("2+, resulta



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Z c2

Z 2=

Q2

g

A3

T

8e donde

Z c

Z ¿¿

Q2

T

g A3=¿

@or otra parte, de la ecuacin ("2+, desde que el factor de seccin > es una funcin del tirante,se puede suponer que

Z 2=

A3

T =C y

M …5.28

8onde

3 ; coeficiente de proporcionalidad

' ; e6ponente hidr&ulico para c&lculos de flujo crítico que depende de la forma de laseccin y del tirante"

En caso de flujo crítico, se tiene

Z c2=C yc

M …5.29

8i!idiendo ("29+ entre ("2*+, resulta

(Z c

Z )2

=( y c

y ) M

…5.30

Agualando ("2.+ y (")+, se obtiene

Q2

T

g A3=( y c

y ) M

…5.31

0ustituyendo (")1+ y ("2-+ en ("1*+, resulta



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dx=

1

S0

[1−( y c

y ) M

1−( y n

y ) N

]dy …5.32

3. Integración por sustitución:

y

y n

=u→dy= y ndu …5.33

uego

y n

y =

1

u …5.34

y c

y =

y c

yn

. yn

y =

y c

yn

. 1

u …5.35

0ustituyendo ("))+, (")-+ y (")+ en (")2+, se obtiene

dx= 1

S0 [ 1−( y c

yn )

M 1

u M

1− 1

u N ] yn du

dx= y n

S0 [ [

u M −

(

y c

yn

)

M

]u

N − M

u N −1

]du

dx= y n

S0

[ u M −( y c

yn )

M

u

N − M

u N −1

]du

8escomponiendo la fraccin en una suma algebraica de fracciones, adem&s sumando y



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restando 1 al numerador del primer sumando, se tiene

dx= y n

S0 [ u

M −1+1

u N −1

−( y c

yn )

M u

N − M

u N −1 ]du

dx= y n

S0 [1+ 1

u N −1

−( y c

yn )

M u

N − M

u N −1 ]du

3ambiando el signo de los denominadores, las fracciones cambian de signo

dx= y n

S0

[1−

1

1

−u

N +

(

y c

yn

)

M u

N − M

1

−u

N

]du …5.36

Esta ecuacin puede integrarse para toda la longitud 6 del perfil del flujo" 8ebido a que elcambio de tirante en un flujo gradualmente !ariado generalmente es peque#o, los e6ponenteshidr&ulicos ' y < se pueden suponer dentro de los límites de integracin"

3uando los e6ponentes hidr&ulicos son notablemente dependientes de y en los tirantesdel tramo dado, %ste deber& subdi!idirse en otros tramos para reali=ar la integracin7 entonces,en cada tramo, los e6ponentes se pueden considerar constantes" Antegrando la ecuacinanterior, se tiene

x= y n

S0 [u−∫

0

u du

1−u N +(

y c

y n ) M

∫0

u u N − M

1−u N

du ]+cte…5.37

a primera integral de la ecuacin (").+ depende solo de u y < y se designa por

F (u , N )=∫0

udu

1−u N

…5.38

a cual se conoce como funcin de flujo !ariado de Bakhmeteff" os !alores obtenidospara diferentes !alores de u y < se encuentran en la tabla 1 del ap%ndice (CA8D5A3 8E

3<E0 '&6imo /illn+, %sta fue preparada por Bakhmeteff en los a#os 191-191"

3ho4 pudo transformar la segunda integral de la ecuacin (").+

∫0

uu

N − M

1−u N

du …5.39

En la forma de la funcin de flujo !ariado, con el siguiente artificio



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u N =v

J

J ¿

N

¿¿ ( N − M ) …5.40¿¿¿¿

u N − M =v

¿

a¿v=u N / J

→u=vJ / N

→¿

b¿J = N

N − M +1→

J

N ( N − M +1 )=1… .5.41

0ustituyendo ("-+ y ("-1+ en (")9+, se tiene

J ¿

N

¿¿ ( N − M )¿¿¿J ¿

N

¿¿ ( N − M )+ J

N −1

¿¿¿¿¿¿v¿

¿

∫0

uu

N − M

1−u N

du=∫0

V

¿

@ero

J

N ( N − M )+

J

N −1=

J

N ( N − M +1)−1=1−1=0

uego



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v0

1−vJ dv=

J

N ∫0

V dv

1−vJ =¿

J

N F (v , J ) …5.42

∫0

uu

N − M

1−u N du=

J

N ∫0

V

¿

8onde

F (v , J )=∫0

V dv

1−vJ

es la misma funcin de flujo !ariado de Bakhmeteff e6cepto que las !ariables u y < sereempla=an por ! y F, respecti!amente"

0ustituyendo (")*+ y ("-2+ en (").+, y usando la notacin para las funciones de flujo !ariado,se tiene

x= y n

S0 [u− F (u , N )+( y c

yn )

M J

N F (v . J )]+cte…5.43

a ecuacin ("-)+ proporciona la distancia 6 que e6iste entre la seccin considerada y un puntoarbitrario" 0i se aplica esta ecuacin entre dos secciones consecuti!as 1 y 2 de característicasconocidas, es decir, colocando los límites de integracin, la distancia que e6iste entre estasdos secciones es

= x2− x1= y n

S0 {(u2−u1 )−[ F (u2 , N )− F (u1 , N ) ]+( y c

yn )

M J

N [ F ( v2 . J )− F ( v1 . J )]}…100

8onde

= x2− x

1 ; distancia entre las secciones consecuti!as 1 y 2 de características

conocidas"

u= y yn

; relacin entre el tirante de una seccin cualquiera, y el tirante normal"

yn ; tirante normal"

yc ; tirante crítico"

S0 ; pendiente del fondo"

' y < ; e6ponentes hidr&ulicos, son funcin de la geometría de la seccin y del tirante

de agua" as ecuaciones para su c&lculo son "-9 y "2, para secciones trape=oidales sededucir&n en la siguiente seccin"



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F (u , N )=∫0

udu

1−u N ; funcin del flujo !ariado, calculado por Bakhmeteff, cuyos

!alores se muestran en la tabla 1 del ap%ndice"

/ y F ; !ariables introducidas por /en Te 3ho4, siendo

v=u N / J

J = N

N − M +1

F (v , J )=∫0

V dv

1−vJ ; funcin del flujo !ariado, se calcula con la misma tabla de

Bakhmeteff entrando con los !alores de ! y F en lugar de u y <"

Nota. a ecuacin "-- resulta $til cuando se trabaja con un solo tramo, pero si se trabaja con 2o m&s tramos es mejor utili=ar la ecuacin "-)"

B. !lculo de las e"presiones de los e"ponentes #idr!ulicos N $ %.

&. !lculo del e"ponente #idr!ulico N:

8e la ecuacin ("21+, se tiene

1

n2∗ A

2 R

4 /3=Cy N

…5.45

Tomando logaritmos naturales a ambos miembros, resulta"

ln( 1n2)+2!nA+4

3 !nR=!nC + N!ny …5.46

8eri!ando con respecto y, se obtiene

2 1

A

dA

dy + 4

3

1

R

dR

dy = N

1

y …5.47

@ero

dA

dy =T

dem&s



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dR

dy =

d

dy ( A

" )=− A "−2 d#

dy+ #

−1 dA

dy =

T

"−

A

"2

d#

dy

0ustituyendo !alores en ("-.+, se tiene

2T

" =

+4

3 .

"

A ( T

"−

A

"2

d#

dy )= N

y

N = 2 y

3 A [3T +2T −2 A

"

d#

dy ]

N =2 y

3 A [5T −2 A

"

d#

dy ]…5.48

@ara una seccin trape=oidal se cumple que

A= (b+Zy ) y

T =b+2Zy

"=b+2√ 1+Z 2

y → d#

dy=2√ 1+Z

2

3on esto, la ecuacin ("-*+, toma la forma

N = 2 y

3 (b+Zy ) y [5 (b+2Zy )− 2 (b+Zy ) y

b+2√ 1+Z 2 y

2√ 1+Z 2]

N =10

3 [ b+2Zy

b+Zy ]−8

3 [ √ 1+Z 2 y

b+2√ 1+Z 2 ]

8i!idiendo ambos miembros de las fracciones entre b, se obtiene



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N =10

3

[

1+2Z ( y

b)

1+Z ( y

b)

]−

8

3

[

√ 1+Z 2( y

b )1+2√ 1+Z

2

( y

b

) ]…5.49

Esta ecuacin indica que < no es constante sino que !aría con el tirante" @or eso el !alor y que se

usa en la ecuacin "-9 es promedio del tramo, es decir y=´ y= y $− y %

2 "

8onde

y$=t$&ante a! $n$c$'de! t&a('

y% =t$&ante a! %$na!de! t&a('

En la tabla "1 se muestran los !alores de < para secciones rectangulares (>;+ ytrape=oidales7 la figura "1 permite calcular estos !alores para secciones rectangulares,trape=oidales y circulares"

Tabla "1" /alores de < para canales trape=oidales

Figura 5.1. Curvas de valores de N



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'. !lculo del e"ponente #idr!ulico %:

8e la ecuacin ("2*+, se tiene

A3

T =C y

M …5.50

Tomando logaritmos naturales ambos miembros, se obtiene

3 !nA−!nT =!nC + M!ny

8eri!ando respecto a y, se tiene

3

A

dA

dy +

1

T

dT

dy =

M

y

M = y

A (3 dA

dy +

A

T

dT

dy )…5.51

@ara una seccin trape=oidal, se cumple que

A= (b+Zy ) y → dA

dy =b+2Zy



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T =b+2Zy →dT

dy =2Z

0ustituyendo estos !alores en la ecuacin ("1+, se tiene

M = y

(b+Zy ) y (3(b+2Zy)+(b+Zy ) yb+2Zy

(2Z ))

M =3(b+2 Zy)2−2Zy (b+Zy )

(b+2Zy ) (b+Zy )

8i!idiendo ambos miembros de la fraccin entre bG, se tiene

M =3[1+2Z (

y

b )]

2

−2Z ( y

b)[1+Z (

y

b)]

[1+2Z ( y

b )][1+Z (

y

b)]

…5.52

Esta ecuacin indica que si >; (seccin rectangular+ entonces ';), pero, para una seccintrape=oidal ' !aría con el tirante"

En la tabla "2 se muestran !alores de ' para secciones trape=oidales y la figura "2 permitecalcular estos !alores para secciones trape=oidales y circulares"

Tabla "2" /alores de ' para canales trape=oidales

Higura "2" 3ur!as de !alores de '



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. Procedimiento de c!lculo.

@ara determinar el perfil, el canal se di!ide en un n$mero de tramos, de tal forma que encada tramo de las secciones 1 y 2 consideradas deben estar a una distancia tal que lose6ponentes hidr&ulicos ' y < se mantengan constantes"

a longitud de cada tramo se calcula de la ecuacin (1+ a partir de los tirantesconocidos o supuestos en los e6tremos del tramo"

El procedimiento de c&lculo para este m%todo es como sigue

1" Adentificar el tramo donde se reali=an los c&lculos, siendo el y inicial (yi+ el tirante de laseccin de control, y el final (yf+, el tirante hasta donde se desea calcular la cur!a deremanso"

2" 3alcular el tirante promedio yp de los tirantes e6tremos

y#= y $− y%

2

I con el !alor ypJb, calcular el e6ponente hidr&ulico ', el cual se puede calcular por



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medio de la ecuacin

M =

3[1+2Z ( y

b )]

2

−2Z ( y

b)[1+Z (

y

b)]

[1+2Z ( y

b )][

1+Z ( yb)]

…5.52

a tabla "2, o el monograma de la figura "2, de igual manera calcular el e6ponentehidr&ulico <, con la ecuacin"

N =10

3 [1+2Z ( y

b)

1+Z ( y

b) ]−8

3 [ √ 1+Z 2( y

b )1+2√ 1+Z

2( y

b ) ]…5.49

tabla "1 o el monograma de la figura "1

)" 3alcular el tirante normal y el tirante crítico en el tramo a partir deQ , S

0 y n

"

-" 3alcular F"

J = N

N − M +1

8onde < y ', son e6ponentes hidr&ulicos, calculados en 2"

" 8efinir el n$mero de di!isiones n que tendr& el tramo y calcular el incrementoΔ

y ) y=

y $− y %

n

a primera di!isin tendr& como tirante y1 al tirante inicial, y como tirante y2, al tirantey1 m&s el Δy"as di!isiones subsiguientes, tendr&n como y1, al y2 de la di!isin anterior, y como y2,al nue!o tirante y1 m&s el incremento Δy"

?" 3alcular los !alores de u y !, para los tirantes y1, y2"

u= y

yn

v=u N

J

." 3alcular las funciones de flujo !ariado de bakhmeteff H(u, <+ y H(!, F+ para los tirantesy1, y2, con ayuda de la tabla 1 del ane6o"

*" plicar la ecuacin (1+ para obtener la longitud del tramo que separa las dossecciones e6tremas"

= x2− x1= y n

S0 {(u2−u1 )−[ F (u2 , N )− F (u1 , N ) ]+( y c

yn )

M J

N [ F ( v2. J )− F ( v1 . J )]}…100

9" Depetir los c&lculos para la siguiente di!isin, hasta completar con todas las di!isiones



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del tramo"1" cumular las longitudes calculadas en cada di!isin"

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