57

La descomposición de un vector en sus componentes rectangulares o en sus componentes

polares no es única debido a que depende de la orientación de los ejes coordenados en el sistema de

coordenadas cartesianas y de la selección del eje polar en el sistema de coordenadas polares. En la

siguiente figura, observa el vector Ar

en sus componentes rectangulares, en sistemas cartesianos

diferentes:

2.7 Suma algebraica de vectores

Anteriormente se describió el procedimiento gráfico para sumar y restar vectores. La suma

vectorial Sr

= Ar

+ Br

+ Cr

, es un vector de componentes determinadas por separado, por la suma

de las componentes rectangulares de los vectores sumandos. A continuación estudiaremos el

procedimiento analítico para sumar y restar vectores.

Para sumar y restar vectores algebraicamente necesariamente todos los vectores que intervienen

en la operación tienen que estar definidos en el sistema de coordenadas cartesiano.

Se tienen tres vectores Ar

, Br

,Cr

y, se desea determinar la suma vectorial Sr

= Ar

+ Br

+ Cr

,

el procedimiento a seguir es el siguiente:

1. Verificar que todos los vectores componentes estén definidos en el sistema de coordenadas

cartesiano; sino lo están, debemos proceder a realizar la transformación al sistema de

coordenadas cartesiano. Todos los vectores deben estar expresados como:

Ar

= (Ax ; Ay ; Az ), Br

= (Bx ; By ; Bz ) y Cr

= (Cx ; Cy ;C z ) o

Ar

= Ax i + Ay j +Az k , Br

= Bx i + By j +Bz k y Cr

= Cx i + Cy j +C z k

2. El vector definido por S

r = A

r + B

r + C

r, es:

Sr

= (Ax ; Ay ; Az ) + (Bx ; By ; Bz ) + (Cx ; Cy ;C z ),

Ay j Ar

i Ax

j i

i Ax

Ar

Ay j

ij i Ax

Ar

Ay j

j i

58

3. Sumando por separado las componentes de los vectores, paralelas a cada uno de los ejes

coordenados, se obtiene:

Sr

= (Ax + Bx + Cx ) + (Ay + By + Cy ) + (Az + Bz + Cz) k

4. Entonces, las componentes del vector suma Sr

: (Sx;; Sy; Sz ), están definidas por:

Sx = Ax + Bx + Cx , Sy = Ay + By + Cy y Sz = Az + Bz + Cz

Sr

= Sx + Sy + Sz k

Ejemplo N° 3:

Del conjunto de vectores siguientes: Ar

= 4 + 2 , Br

= − 2 , Cr

= 2 − 2 y Dr

= − 4 ,

determine el vector Sr

definido por Sr

= Ar

+ Br

− Cr

+ Dr

,.

Como Sr

está definida por Sr

= Ar

+ Br

− Cr

+ Dr

, entonces:

Sr

= (Ax + Ay ) + (Bx + By ) − (Cx + Cy ) + (Dx + Dy )

Sr

= (Ax + Bx − Cx + Dx) + (Ay + By − Cy + Dy )

Sr

= Sx + Sy

Sx = Ax + Bx − Cx + Dx Sx = 4 + (−2) − (2) + (0) Sx = 0

Sy = Ay + By − Cy + Dy Sy = 2 + (0) − (−2) + (-4) Sy = 0

Por lo tanto, Sr

= Ar

+ Br

− Cr

+ Dr

es igual a:

Sr

= 0 + 0 Sr

= 0r

, es decir es el vector nulo

59

2.8 Transformación de vectores

Cuando se van a realizar operaciones con vectores o comparaciones entre ellos, se requiere

que todos los vectores involucrados estén definidos de igual forma; sino lo están, es necesario

realizar la transformación de todos los vectores a una estructura particular.

2.8.1 Transformación de vectores en el plano del Sistema Polar al Sistema Rectangular

Para transformar un vector definido en coordenadas polares como : ( ⎢ ⎢; φ ) a coordenadas

cartesianas, se procede de la siguiente manera:

1. Se representará gráficamente el vector en coordenadas

polares, por una flecha de longitud igual al módulo del vector

⎢ ⎢ y cuya cola coincida con el origen del sistema. El

ángulo medido en sentido antihorario desde el semieje

positivo X al vector es φ , tal como se muestra en la figura

a la derecha.

2. Se proyecta ortogonalmente el vector sobre el eje X, esta

proyección representa la componente Ax paralela al eje X

del vector . Su valor se determina por medio de la

ecuación: Ax = Ar

cos φ.

3. Se proyecta ortogonalmente el vector sobre el eje Y,

esta proyección es la componente Ay paralela al eje Y del

vector . Su valor se determina por medio de la ecuación:

Ay = Ar

sen φ.

4. El vector definido en coordenadas rectangulares es:

como par ordenado : (Ax ; Ay) en sus componentes rectangulares = Ax i + Ay j

φ Ax X

Y

φ X

Y

φ X

Y

60

Otro procedimiento para obtener las componentes rectangulares del vector a partir de

sus coordenadas polares : ( ⎢ ⎢; φ ) es el siguiente:

Ubicas en que cuadrante se encuentra el vector ; es decir, si:

a. 0 rad < φ < 2π rad, entonces el vector se encuentra en el primer

cuadrante. Proyectas ortogonalmente la punta del vector sobre

cada uno de los ejes coordenados. Las componentes rectangulares

del vector se determinan, aplicando al triángulo rectángulo

representado en la figura a la derecha las ecuaciones:

xA = Ar

cos φ yA = Ar

senφ

El vector definido en coordenadas rectangulares es: = Ar

cos φ i + Ar

senφ j

b. 2π

rad < φ < π rad, entonces el vector se encuentra en el

segundo cuadrante. Proyectas ortogonalmente la punta del vector

sobre cada uno de los ejes coordenados. Las componentes

rectangulares del vector se determinan, aplicando al triángulo

rectángulo representado en la figura a la derecha las ecuaciones:

xA = − Ar

cos β yA = Ar

senβ

En este caso, β es el ángulo que forma el vector con el semieje negativo de las x y el

vector definido en coordenadas rectangulares es: = − Ar

cos β i + Ar

senβ j

c. π rad < φ < 2π

3 rad, entonces el vector se encuentra en el

tercer cuadrante. Proyectas ortogonalmente la punta del vector

sobre cada uno de los ejes coordenados. Las componentes

rectangulares del vector se determinan, aplicando al triángulo

rectángulo representado en la figura a la derecha las ecuaciones:

xA = − Ar

cos β yA = − Ar

senβ

φ Ax

X

Y

Ay

φ

Ax X

Y Ay

β

φ Ax X

Y

Ay β

61

En este caso, β es el ángulo que forma el vector con el semieje negativo de las x y el

vector definido en coordenadas rectangulares será: = − Ar

cos β i − Ar

senβ j

d. 2π

3 rad < φ < 2π rad, entonces el vector se encuentra en el

cuarto cuadrante. Proyectas ortogonalmente el vector sobre

cada uno de los ejes coordenados. Las componentes rectangulares

del vector se determinan, aplicando al triángulo rectángulo

representado en la figura a la derecha las ecuaciones:

xA = Ar

cos β yA = − Ar

senβ

En este caso, β es el ángulo que forma el vector con el semieje positivo de las x y el

vector definido en coordenadas rectangulares será: = Ar

cos β i − Ar

senβ j

Exprese los siguientes vectores = (5m; rad 6π 7 ) y B

r = ( 10 N ; rad

35π )

en sus componentes rectangulares :

= [ 5m. cos ( rad 6π 7 .

rad 180ºπ

)] i + [ 5m. sen ( rad 6π 7 .

rad180ºπ

)] j

= [ 5m. cos (210º)] i + [ 5m. sen (210º)] j

= ( −2,5 3 i − 2,5 j ) m

= [ 10 N. cos ( rad 3

5π .rad

180ºπ

)] i + [ 10 N. sen ( rad 3

5π .rad

180ºπ

)] j

= [ 10 N. cos (300º)] i + [ 10 N. sen (300º)] j

= (5 i − 5 3 j ) N

φ Ax X

Y

Ay

β

62

2.8.2 Transformación de vectores en el plano del Sistema de Coordenadas Cartesiano al

Sistema Polar

Para transformar un vector en el plano definido en coordenadas rectangulares como

Ar

= Ax i + Ay j a coordenadas polares : ( ⎢ ⎢; φ ), se procede de la siguiente manera:

1. Se representará gráficamente el vector = Ax i + Ay j ,

en el sistema de coordenadas rectangulares , tal como se

muestra en la figura a la derecha.

2. Se determina el módulo del vector empleando el

teorema de Pitágoras 2y

2x AAA +=

r.

3. Se determina el ángulo φ que forma el vector A

r con el eje positivo x, empleando la

ecuación x

y

AA

tgarc φ =

Exprese los siguientes vectores = ( − 2,828 i + 2,828 j ) m y = (1,04 i + 3,86 j ) N

en sus componentes polares :

- El módulo del vector : ⏐ ⏐ = ( ) ( )22 2,8282,828 + ⏐ ⏐ = 4 m

- La dirección y sentido del vector : φ = 2,8282,828

−tgarc φ = 135º φ = rad

43π

- : ( 4 m; rad 4

3π )

- El módulo del vector : ⏐ ⏐ = ( ) ( )22 3,861,04 + ⏐ ⏐ = 4 N

- La dirección y sentido del vector : φ = 041

3,86 ,

tgarc φ = 74,9º φ = rad 125π

- : ( 4 m; rad 125π )

φ Ax X

Y

Ay

63

Otro procedimiento para determinar el ángulo φ que forma el vector = xAr

+ yAr

con

el semieje positivo de las X, es el siguiente:

Ubicas en que cuadrante se encuentra el vector ; es decir, si:

a. xA > 0 y yA >0 , entonces el vector se encuentra en el

primer cuadrante y el ángulo φ que forma con el semieje

positivo de las x , es simplemente: x

y

AA

tgarc φ =

b. xA < 0 y yA > 0 , entonces el vector se encuentra en el

segundo cuadrante y el ángulo φ que forma con el

semieje positivo de las x , es: φ = π − β; donde

c. xA < 0 y yA < 0, entonces el vector se encuentra en

el tercer cuadrante y el ángulo φ que forma con el

semieje positivo de las x , es: φ = π + β; donde

x

y

A

A tgarc =β

d. xA > 0 y yA < 0, entonces el vector se encuentra en el

tercer cuadrante y el ángulo φ que forma con el semieje

positivo de las x , es: φ = 2π − β; donde x

y

A

A tgarc =β

φ Ax

X

Y

Ay

φ

Ax X

Y Ay

β

φ Ax X

Y

Ay β

φ Ax X

Y

Ay

β