vectores parte ii
TRANSCRIPT
46
A diferencia de las coordenadas cartesianas (o rectangulares), las coordenadas polares de un
punto no son únicas. Las coordenadas polares ( r; φ ) y ( r ; φ + 2n ) con n entero,
corresponden al mismo punto.
2.6 Definición de vectores en términos de sus componentes
Los vectores pueden situarse en el plano (en dos dimensiones) o en el espacio (en tres
dimensiones).
Al igual que un punto P, los vectores se pueden expresar algebraicamente como un par
ordenado de números reales en el plano ó como una terna ordenada de números en el espacio,
empleando cualquiera de los sistemas de coordenadas mencionados anteriormente. Además, todo
vector puede expresarse como la suma de dos o más vectores los cuales reciben el nombre de
componentes del vector. Las componentes más empleadas para definir a cualquier vector, son las
componentes rectangulares del vector asociadas al sistema de coordenadas cartesiano
2.6.1 Expresión de un vector como un par ordenado en el plano o una terna ordenada de
números reales
Algebraicamente un vector A
r en el plano, en cualquier sistema de coordenadas se puede
definir como un par ordenado de números reales. Un vector Ar
en el espacio, en cualquier sistema
de coordenadas se puede definir como una terna ordenada de números reales.
2.6.1.1 Definición de un vector en el plano en un sistema de coordenadas cartesiano como un
par ordenado de números reales.
Un vector Ar
en el plano definido en un sistema de coordenadas cartesiano, como un par
ordenado de números reales, está representado por Ar
: (a ; b). El par ordenado (a ; b) se
corresponde con las proyecciones ortogonales del vector Ar
sobre los respectivos ejes coordenados:
El número real a , denominado componente del vector paralela al eje x, se corresponde con
la proyección ortogonal del vector Ar
sobre el eje X
47
El número real b, denominado componente del vector paralela al eje y, se corresponde con
la proyección ortogonal del vector Ar
sobre el eje Y.
Cuando la cola del vector Ar
coincide con
el origen del sistema de coordenadas
cartesiano; el par ordenado (a ; b) está
determinado por las coordenadas cartesianas
de la punta del vector Ar
.
Observa y define los vectores Ar
, Br
, Cr
y Dr
representados gráficamente en el siguiente
sistema de coordenadas cartesiano:
Cuando la cola del vector A
r no coincida con el origen del sistema de coordenadas cartesianas
las componentes cartesianas del vector Ar
: (a ; b) se determinan de la siguiente manera:
Los vectores Ar
, Br
, Cr
y Dr
representados como par ordenado
en el sistema de coordenadas
cartesiano son:
Ar
: (3; 4) Br
: (−3; 3) Cr
: (−4; −3) Dr
: (4; −4)
Y
4
2
X
-4 -2 0 2 4
-2
-4
Ar
Br
Cr
Dr
: (a ; b)
48
1 ) Los dos extremos del vector A
r, la punta Ppunta (xpunta; y punta) y la cola Pcola (xcola; ycola), se
proyectan perpendicularmente al eje X . La diferencia entre la abscisa de la punta (xpunta )
menos la abscisa de la cola (xcola) es la componente cartesiana del vector Ar
paralela al
eje X ; es decir: a = xpunta − xcola.
2) Los dos extremos del vector A
r, la punta Ppunta (xpunta; y punta) y la cola Pcola (xcola; ycola), se
proyectan perpendicularmente al eje Y. La diferencia entre la ordenada de la punta
(ypunta ) menos la ordenada de la cola (ycola) es la componente cartesiana del vector Ar
paralela al eje Y ; es decir: b = ypunta − ycola
3) El vector Ar
definido como par ordenado en el sistema de coordenadas cartesiano se
determina con la ecuación: Ar
= ( xpunta − xcola ; ypunta − ycola )
Observa y define los vectores A
r, Br
, i y j como un par ordenado en el sistema de
coordenadas cartesiano que se muestra en la página siguiente.
Los vectores A
r, Br
, Cr
, i y j representados como par ordenado en el sistema de coordenadas
cartesiano:
49
Ar
= [–5 – (–2) ; –3 – (–1)]
Ar
= (– 3 ; – 2 )
Br
= ( 4 – 1 ; 4 – 2) Br
= ( 3 ; 2 )
Cr
= [2 –3 ; – 2 – (–3)] Cr
= (–1 ; 1)
i = [–3 – (–4); 2– 2] i = (1 ; 0)
j = [–2 – (–2) ; 4 – 3 ] j = (0 ; 1)
2.6.1.2 Definición de un vector en el espacio en un sistema de coordenadas cartesiano como
una terna ordenada de números reales.
Un vector Ar
en el espacio en un sistema de coordenadas cartesiano puede ser
representado por una terna ordenada de números reales Ar
: (a ; b ; c); en donde la terna
ordenada de números reales (a ; b ; c) son las componentes cartesianas del vector Ar
en el
espacio :
El número real a es la componente del vector paralela al eje x.
El número real b es la componente del vector paralela al eje y.
El número real c es la componente del vector paralela al eje z.
4
Y
j
i 2
X
-4 -2 0 2 4
-2
Ar
Br
Cr
Observa que los vectores i y j son vectores unitarios, mientras que el vector C
v no es vector unitario
50
Cuando la cola del vector Ar
coincide con
el origen del sistema de coordenadas
rectangulares, las componentes cartesianas
del vector Ar
se determinan trazando las
proyecciones ortogonales sobre los
respectivos ejes coordenados.
Cuando la cola del vector Ar
no coincida con el
origen del sistema de coordenadas
rectangulares, la terna ordenada (a ; b ; c) se
determinan trazando las proyecciones
ortogonales de la punta y de la cola del vector
Ar
sobre los respectivos ejes coordenados,
siguiendo el procedimiento establecido para
determinar las componentes de un vector en el
plano .
El vector A
r definido por una terna ordenada de números reales, en el sistema de coordenadas
cartesiano se determina con la ecuación:
Ar
= ( xpunta − xcola ; ypunta − ycola ; zpunta − zcola )
2.6.1.3 Definición de un vector como par ordenado en un sistema de coordenadas polares
Un vector A
r como par ordenado de números reales en un sistema de coordenadas
polares está representado por Ar
: (r ; φ) en donde el par ordenado (r ; φ) son las componentes
polares del vector Ar
en el plano :
La terna ordenada (a ; b ; c) están definidas por las coordenadas cartesianas de la punta del vector A
r.
X0
Y
Z
xc xp
yp
zp
yc
zc
p (x ,z )p p,y
c (x ,z )c c,y
A
51
El número real r es la distancia radial desde el origen del sistema de coordenadas polares
hasta la punta del vector Ar
.
El número real φ es el ángulo que forma el vector Ar
con el semieje positivo de las x ( eje
polar). Se considera ángulos positivos cuando se miden en sentido contrario a las agujas
del reloj desde el eje polar hasta el vector. Se considera que los ángulos son negativos
cuando se miden en sentido de las agujas del reloj desde el eje polar hasta el vector. El
ángulo plano en el SI se mide en radianes. El factor de conversión de grados a radianes es:
Factor-Conversión xº a rad = 180º
rad π .
Observa y define los vectores A
r, Br
, Cr
y Dr
representados gráficamente en el siguiente
sistema de coordenadas polares:
Los vectores Ar
, Br
, Cr
y Dr
representados en el sistema de coordenadas polares anterior:
Eje Polar
52
Ar
= ( 3 u; 50º ) = ( 3 u; 50º x180ºπ rad ) A
r : ( 3 u; π
185 rad)
Br
= ( 4 u; 135º ) = ( 4 u; 135º x180ºπ rad ) B
r: ( 4 u ; π
43 rad)
Cr
= ( 5 u ; 200º ) = ( 5 u; 200º x180ºπ rad ) C
r: ( 5 u ; π
910 rad)
Dr
= ( 4 u ; 330º ) = ( 4 u; 330º x180ºπ rad ) D
r : ( 4 u; π
611 rad)
Dr
= ( 4 u ; − 30º) = ( 4 u ; − 30º x180ºπ rad ) D
r = ( 4 u ; − π
61 rad)
2.6.2 Definición de un vector en sus componentes rectangulares en un sistema de coordenadas
cartesiano.
Un vector en el plano Ar
en un sistema de coordenadas cartesiano está representado en
sus componentes rectangulares por Ar
= xAr
+ yAr
, en donde xAr
es un vector paralelo al eje x
que sumado vectorialmente con el vector yAr
paralelo al eje y se obtiene el vector Ar
:
xAr
: componente del vector Ar
paralela al eje x.
yAr
: componente del vector Ar
paralela al eje y.
Gráficamente las componentes rectangulares de un vector
Ar
se determinan trazando por la cola del vector una recta
paralela al eje x, y dibujando por la punta del vector Ar
una
recta paralela al eje y . Como se observa en la figura a la
derecha, se forma un triángulo rectángulo, de tal forma que las
componentes del vector quedan definidas:
La dirección de la componente xAr
, del vector Ar
, paralela al eje x, se corresponde con
la orientación del cateto paralelo al eje x .
Ar
53
La dirección de la componente yAr
, del vector Ar
, paralela al eje y, se corresponde con
la orientación del cateto paralelo al eje y .
El sentido de las componentes xA
r y yA
r deben ser tales que la suma de ellas sea
exactamente igual al vector Ar
= xAr
+ yAr
.
En la figura a la derecha el vector Ar
apunta
horizontalmente hacia la izquierda y verticalmente hacia
abajo, con lo cual la componente xAr
apuntará
horizontalmente hacia la izquierda y la componente yAr
apuntará verticalmente hacia abajo.
El módulo de cada una de las componentes, se puede determinar aplicando el Teorema
de Pitágoras o cualquiera de las funciones trigonométricas aplicables a triángulos
rectángulos.
Si conoces el módulo del vector Ar
y el menor ángulo que forma
dicho vector con el eje X, como se muestra en la figura a la
derecha, los módulos de las componentes están definidas por:
φcos.A Axrr
= senφ.A A yrr
=
Para indicar la dirección de las componentes rectangulares xAr
y yAr
del vector Ar
en el
plano, se acostumbra emplear a los vectores unitarios “ i , j ”; estos vectores unitarios, son
unidimensionales, esto es, cada uno se orienta paralelamente a uno de los ejes del sistema
cartesiano, es decir:
, algunas veces denotado por : vector unitario paralelo al semieje
positivo de las x ; el vector unitario está definido por el par ordenado:
i = (1; 0).
, algunas veces denotado por : vector unitario paralelo al semieje
positivo de las y; el vector unitario está definido por el par ordenado:
j = (0 ; 1).
Ar
yAr
xAr
54
Un vector Ar
en el plano, puede definirse igual a la suma de dos vectores, orientados cada uno según los ejes coordenados, como: A
r = xA
r + yA
r.
Si consideramos ahora los vectores unitarios, podemos sustituir cada uno de los sumandos de la
expresión anterior por el producto de un escalar con el correspondiente vector unitario; es decir:
sustituir xAr
, la componente del vector paralela al eje x , por Ax ; es decir: xAr
= Ax
sustituir yAr
, la componente del vector paralela al eje y , por Ay es decir: yAr
= Ay
De este modo, empleando los vectores unitarios, el vector Ar
se representará como:
Ar
= Ax + Ay ,
Donde: Ax y Ay son cantidades escalares que determinan el módulo y el sentido de la
componente del vector paralela al eje X y paralela al eje Y, respectivamente.
Observa los vectores Ar
, Br
, Cr
y
Dr
representados gráficamente en el
siguiente sistema de coordenadas y
exprésalos en sus componentes
rectangulares:
Los vectores Ar
, Br
, Cr
y Dr
en sus
componentes cartesianas, son:
Ar
= 4 + 2 Br
= − 2
Cr
= 2 − 2 Dr
= − 3
Br Y
3
Ar
-3 0 3 X
Dr C
r
-3
El módulo del vector Ar
expresado en sus componentes rectangulares es
La dirección y sentido del vector Ar
está determinado por el ángulo
x
y
AA
tag 1−=φ
Ax
AAy
X
0 φ
55
Un vector Ar
en el espacio se define en sus componentes rectangulares como:
Ar
= xAr
+ yAr
+ zAr
. Las proyecciones ortogonales del vector Ar
sobre cada uno de los ejes
coordenados representan las componentes del vector en sus componentes rectangulares; es decir:
xAr
es la componente del vector Ar
paralela al eje x .
yAr
es la componente del vector Ar
paralela al eje y .
zAr
es la componente del vector Ar
paralela al eje z .
Se acostumbra utilizar los vectores unitarios para definir un vector Ar
en el espacio en sus
componentes rectangulares, ya que indican la dirección de los vectores xAr
, yAr
y zAr
. Los
vectores unitarios i , j y k se orientan respectivamente en la dirección y sentido de los semiejes
positivos 0X, 0Y y 0Z.
El vector unitario i paralelo al semieje positivo de las X, algunas
veces denotado por . El vector i está definido por la terna
ordenada de números reales i : (1; 0; 0).
El vector unitario j paralelo al semieje positivo de las Y, algunas
veces denotado por . El vector j está definido por la terna
ordenada de números reales j : (0 ; 1; 0).
El vector unitario k paralelo al eje semipositivo de las Z,
algunas veces denotado por z . El vector k está definido por la terna ordenada de números
reales k : (0 ; 0; 1).
Un vector en el espacio Ar
= xAr
+ yAr
+ zAr
, se representará empleando los vectores
unitarios como Ar
=Ax i + Ay j +Az k donde se han sustituidos:
la componente xAr
del vector Ar
paralela al eje X por Ax i ,
la componente yAr
del vector Ar
paralela al eje Y por Ay j
56
la componente zAr
del vector Ar
paralela al eje
Z por Az k ; es decir:
xAr
=Ax i yAr
= Ay j zAr
= Az k
El módulo de un vector Ar
en el espacio
expresado en términos de sus componentes
cartesianas es 222xA zy AAA ++=
r
La dirección y sentido del vector Ar
viene definido por dos de los tres ángulos que forma el
vector con los respectivos semiejes positivos 0X, 0Y y 0Z . A los cosenos de los ángulos que
forma el vector Ar
con cada uno de los semiejes se les denomina cosenos directores:
Donde:
A
Acos rxφ =
A
Acos y
r=β AAzcos r=γ
El procedimiento para determinar las componentes rectangulares de un
vector en el espacio, representado en un sistema de coordenadas cartesiano
Ar
= Ax i + Ay j +Az k es exactamente el mismo que el descrito para
definir el vector como una terna ordenada de números reales.
A
0X
Y
Z
Ax
Az
k
i
j
Ay