5.1 VECTORES ORTOGONALESSea (V, k, +,*) en e.v. sobre el cual se ha definido el producto interno( / ).

1. Sean u , v∈V , se deice queu , vson ortogonales ssi: (u/ v )=0.2. Si S⊆V , entonces S se dice ortogonal si todo par de elementos distintos de

S son ortogonalesOBSERVACIONES

El Ov es ortogonal a cualquier vector pues (O v/u )=0. S debe tener por lo menos dos vectores para verificar si es un conjunto

ortogonal Al comprobar si todos los productos internos son cero entre los

vectores de S, para tener un S conjunto de vectores ortogonales Si un conjunto es ortogonal entonces es LI Si S'= {α1u1 ,α 2u2 ,…,α nun } es ortogonal, si a cada vector le

multiplicamos por cualquier escalar, siempre en nuevo conjunto va a ser ortogonal.

Ejemplo 1:

Dados los vectores u=(−2 ,3 ,1 ) , v=(3 ,1 ,3 )que son ortogonales obtener un tercer vector “w” ortogonal a “u” y “v”.

(u/ v )=0

Hacemos el producto cruz para encontrar el tercer vector

| i j k−2 3 13 1 3|=i|3 1

1 3|− j|−2 13 3|+k|−2 3

3 1|=8 i+9 j−11kw=(8 ,9 ,−11)

S= {(−2 ,3 ,1 ) , (3 ,1 ,3 ) (8 ,9 ,−11) }

Ejemplo 2:

Dados los vectores u=(2 ,1 ,4 ) , v=(2 ,4 ,−2 )que son ortogonales obtener un tercer vector “w” ortogonal a “u” y “v”.

(u/ v )=0

Hacemos el producto cruz para encontrar el tercer vector

|i j k2 1 42 4 −2|=i|1 4

4 −2|− j|2 42 −2|+k|2 1

2 4|=−18 i+12 j+6k

w=(−18 ,12 ,6 )

S= {(2 ,1 ,4 ) , (2 ,4 ,−2 ) (−18 ,12 ,6 ) }