MATEMÁTICA APLICADA PARA LA INGENIERÍA III

Tema:

Lic.: Miguel Ángel Tarazona Giraldo Email.: mtarazona@uch.edu.pe

ESTUDIOS GENERALES

ÁREA DE MATEMÁTICA Y CIENCIAS NATURALES

Estudios Generales

Unidad

INTRODUCCIÓN• Es una parte esencial de la matemática útil para físicos,

matemáticos, ingenieros y técnicos.

• Constituye una noción concisa y clara para presentar las ecuaciones de modelo matemático de las situaciones físicas

• Proporciona además una ayuda inestimable en la formación de imágenes mentales de los conceptos físicos.

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VECTORES Y ESCALARES 1. ESCALARES: Aquellas que para expresarse necesitan

de un número real y su correspondiente unidad. Ejm: La masa el tiempo; la temperatura.

2. VECTORES: Aquellas que para expresarse necesitan de una magnitud, una dirección y un sentido Ejm: La velocidad, el desplazamiento, la fuerza, etc.

3. TENSORIALES: Aquellas que tiene una magnitud, múltiples direcciones y sentidos. Ejem: El esfuerzo normal y cortante, la presión

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VECTOR• Ente matemático cuya determinación exige el

conocimiento de un módulo una dirección y un sentido.

• Gráficamente a un vector se representa por un segmento de recta orientado

• Analíticamente se representa por una letra con una flecha encima.

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Elementos de un vector1. Dirección:

Gráficamente viene representada por la recta soporte. En el plano por un ángulo y en el espacio mediante tres ángulos

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2. sentido: Es el elemento que indica la orientación del vector. Gráficamente viene representada por la cabeza de flecha.

3. Magnitud: Representa el valor de la magnitud física a la cual se asocia. Gráficamente viene representado por la longitud del segmento de recta

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Algebra vectorial Antes de describir las operaciones de suma, resta,

multiplicación de vectores es necesario definir:1. Vectores iguales. Aquellos que tienen sus tres elementos

idénticos

2. Vector opuesto: Aquel vector que tiene la misma magnitud y dirección pero sentido opuesto

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• Considere dos vectores A y B como se muestra.

• El vector suma se puede determinar mediante la regla del paralelogramo o del triángulo .

• La magnitud de la resultante R se determina mediante la ley de cosenos

• La dirección mediante la ley de cosenos

2 22 cosR A B A B

( )

AR B

sen sen sen

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• Considere dos vectores A y B como se muestra.

• El vector suma se puede determinar mediante la regla del paralelogramo o del triángulo .

• La magnitud del vector diferencia D es

• La dirección mediante la ley de cosenos

2 22 22 cos( ) 2 cos( )D A B A B A B A B

( )

AD B

sen sen sen

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Multiplicación de un escalar por un vectorConsideremos la multiplicación de un escalar c por un vector . El producto es un nuevo vector . La magnitud del vector producto es c veces la magnitud del vector . Si c > 0 el vector producto tiene la misma dirección y sentido de A. Por el contrario si c < 0 el vector producto es de sentido opuesto a

cA

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Propiedades de la Multiplicación de un escalar por un vector1. Les asociativa para la multiplicación.

Si b y c son dos escalares la multiplicación se escribe

2. Ley distributiva para la adición vectorial.si c es un escalar, cuando este se multiplica por la suma de dos vectores se tiene

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3. Ley distributiva para la suma escalar.Si b y c son la suma de dos escalares por el vector A se tiene

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VECTOR UNITARIO • Es un vector colineal con el vector original• Tiene un módulo igual a la unidad • Se define como el vector dado entre su modulo

correspondiente es decir

ˆAAeA

ˆAA A e

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VECTOR UNITARIOS RECTANGULARES • A cada uno de los ejes coordenado se le asigna vectores

unitarios

• Cada uno de estos vectores unitario a tiene módulos iguales a la unidad y direcciones perpendiculares entre sí.

ˆˆ ˆ, ,i j k

ˆˆ ˆi j k

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DESCOMPOSICIÓN VECTORIAL En el espacio.Cualquier vector

puede descomponerse en tres componentes

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ˆˆ ˆ

ˆˆ ˆcos cos cosˆˆ ˆ(cos cos cos )

ˆ

ˆˆ ˆˆ (cos cos cos )

x y z

x y z

A

A

A A A A

A A i A j A k

A A i A j A k

A A i j k

A Ae

e i j k

2 2 2 2x y zA A A A

cos xAA

cos yAA

cos AzA

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VECTOR POSICIÓNˆˆ ˆr OP xi yj zk

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VECTOR POSICIÓN RELATIVO1 2 1 2 1 2

ˆˆ ˆ( ) ( ) ( )r x x i y y j z z k

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PRODUCTO ESCALAREl producto escalar o producto punto de dos vectores A y B denotado por y expresado A multiplicado escalarmente B, se define como el producto de las magnitudes de los vectores A y B por el coseno del ángulo que forman ellos.

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Propiedades del producto escalar1. El producto escalar es conmutativo

2. El producto escalar es distributivo

3. Producto de un escalar por el producto escalar

4. Producto escalar entre la suma de dos vectores por un tercer vector

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5. Producto escalar de dos vectores unitarios iguales

6. Producto escalar de dos vectores unitarios diferentes.

7. Producto escalar de dos vectores

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8. Producto escalar de dos vectores en forma de componentes . Entonces tenemos

9. Si el producto escalar de dos vectores es nulo. Entonces dichos vectores son perpendiculares

. 0A B A B

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VECTOR PROYECCIÓN ORTOGONAL

2 2

2

.( ) 0 ( ). 0

( . ) 0

.

c rb a rb rb

r a b r b

a brb

2

.Pr ( ) [ . ]

ˆ ˆPr [ . ]

b

b bb

a b b boy a rb b ab b b

oy a a e e

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PRODUCTO VECTORIALEl producto escalar o producto cruz de dos vectores A y B, es un tercer vector C el cual es perpendicular al plano formado por los dos vectores y cuya magnitud es igual al producto de sus magnitudes multiplicado por el seno del ángulo entre ellos y cuyo sentido se determina mediante la regla de la mano derecha. La notación del producto cruz es

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Primera forma: Tome la mano derecha y oriente el dedo índice con el primer vector y el dedo corazón el segundo vector, el dedo pulgar extendido nos da el vector producto de ambos.Segunda forma: curve los dedos de la mano derecha tendiendo a hacer girar al primer vector hacia el segundo; el dedo pulgar extendido nos da el vector producto.

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PROPIEDADES DEL PRODUCTO VECTORIAL1. El producto vectorial no es conmutativo

2. El producto vectorial es distributivo

3. Multiplicación de un escalar por el producto vectorial.

4. Multiplicación vectorial de vectores unitarios

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5. El producto vectorial de dos vectores en componentes es

6. La magnitud del producto vectorial es igual al área del paralelogramo que tiene a los vectores A y B

7. Si el producto vectorial es nulo entonces los dos vectores son paralelos.

ˆˆ ˆ ˆˆ ˆ ( ) ( ) ( )

x y z y z z y x z z x x y y z

x y z

i j kAxB A A A i A B A B j A B A B k A B A B

B B B

( ) ( )Area AxB A Bsen A h

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