VECTORES EN EL PLANO

PEDRO GODOY G.

2012

SANTIAGO

MIAMI

MADRID

A

B C

Un avión puede volar de Santiago a Madrid haciendo una escala técnica en Miami, sin embargo, se puede ahorrar combustible y

contaminar menos la atmosfera, si el viaje se hace directamente, sin escalas, de Santiago a Madrid.

u

v

w��������������

AB v����������������������������

BC u����������������������������

AC w����������������������������

Asi tenemos que

v u w ������������� �

Def: Un vector es un segmento dirigido que tiene un origen y un extremo.

Características del vector

El MODULO de un vector, es la longitud de este, lo representamos como

o vAB����������������������������

DIRECCION : es la dirección de la recta que lo contiene. Si dos vectores son paralelos tienen la misma dirección.

SENTIDO es el que va del origen al extremo, lo representamos por la punta de la flecha. Una dirección tiene dos sentidos.

Vectores equipolentes:Vectores equipolentes:

Son aquellos que tienen la misma dirección, el mismo sentido, y elSon aquellos que tienen la misma dirección, el mismo sentido, y elmismo módulo.mismo módulo.

Vector libre: Es el conjunto formado por un vector y todos los vectores equipolentes a el.

Suma geométrica de un vector:

Para sumar dos vectores u y v podemos hacerlo de dos maneras

1.- Desde un punto cualquiera del plano colocamos un vector equipolente a udel extremo de este colocamos otro vector que sea equipolente a v de maneraque coincidan el extremo del primero con el origen del segundo. La suma es el vector que tienen como origen el origen del primero y como extremo el extremodel segundo.

uv

u+v

2.- Ley del paralelogramo: Formamos un paralelogramo con dos vectores equipolentes a los dados de forma que coincidan los orígenes y la suma es la diagonal del paralelogramo tomando como origen de los vectores equipolentes elegidos

u

u v

v

OBS: Si a es un vector cualesquiera entonces –a es un vector con la misma dirección, el mismo módulo pero no el mismosentido.

a-a

a

ka

Resumiendo, multiplicar un vector por un número k equivale a alargar (o encoger) su módulo tantas veces como indica el valor absoluto de k, e

invertir su sentido si k es negativo.El número k por el que se multiplica un vector recibe el nombre de

escalar.

Propiedad conmutativa

Propiedad distributiva

Dados los vectores a y b es posible obtener gráficamente lo siguiente

EJERCICIO: Dados los vectores

Aplicando la regla del paralelogramo dibuja en tu cuaderno los vectores

Base:Dos vectores cualesquiera del plano con distinta direcciónforman una base porque nos permiten expresar cualquier otroVector como combinación lineal de ellos

a

b

v

De este modo se verifica que v = xa + yb

A los números (x, y) se les llama coordenadas de v respecto de la base

Obs: Se le llama base canónica a dos vectores perpendiculares y modulo unidad

Se anotan por {i , j } siendo i y j los vectores citados.

Sistema de referencia en el plano.Es el conjunto formado por:- Un punto fijo O, llamado origen.Tomando la base canónica B= {i , j} como base habitual, un sistema de referencia queda expresado en la forma siguiente

, ,P O i j

Dado un sistema de referencia , a cada punto P del plano se le asocia un vector OP que recibe el nombre de vector de posición

Es decir, las coordenadas de i son (1, 0)las coordenadas de j son (0, 1)

Podemos, por tanto, expresar i y j en función de sus coordenadas.I =(1, 0)j = (0. 1)

En el caso de v y w será: v = 3i +4j = (3, 4); w =9i +5j = (9, 5)

En general, si v =xi + yj, podemos poner v = (x, y) donde x e y son las coordenadas del vector.

OBS. Si A (a,b) y B(c,d) son dos puntos del plano, entonces el vector asociado es

( , )AB c a d b ��������������

Operaciones con vectores expresados en coordenadas de una base canónica.

Suma:

),( 11 yxu ),( 22 yxv

),( 2121 yyxxvu

Vemos que las coordenadas de u+v se obtienen sumando las coordenadas de u y vEn general, si

y

entonces,

PRODUCTO

Si a es un vector cualquiera, y k es real

Si k > 0 entonces Ka es un vector que tiene la misma dirección, y sentido

Si k < 0 entonces Ka es un vector que tiene la misma dirección, y cambia de sentido

a

kaK>0 b

kb K<0

Sea v = xi + yj y u = ai + bj entonces el producto

v u = (xi + yj )(ai + bj )=xaii+xbij+ yaji + ybjj

Pero ii = 1, ij = ji=o y jj= 1

Tenemos que v u= (x,y)(a,b)= xa + yb

Ejemplo : v u = (2,3) (4,5)= 8 + 15 = 23

Obs : v u = u v

OBS: Si u v = 0 entonces u y v son vectores perpendiculares

u

v

VECTOR UNITARIO

a

Luego se cumple la relación aaa ˆ

O bien

a

aa ˆ

Proyección de vector sobre otroProyección de vector sobre otro

Al proyectar el vector sobre la dirección del

Vector ; obtenemos:

v

u

Proyección de sobre :

medida del segmento

v u

ABAB Vector proyección de sobre = v u AB

'

) u sobre v de (cos

vu

proyecciónuvuvu

'

) v sobre u de (cos

uv

proyecciónvvuvu

' = y ' = .u

u v u vv v

u u

����������������������������

' = y ' = .u v u v

u u vv v

����������������������������

a b

c d ad bc

Operaciones básicas de determinantesOperaciones básicas de determinantes

a b c

x y z

p q r

a b

x y

p q

+ + +- - -

( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )ayr bzp cxq pyc qza rxb

VECTORES EN EL ESPACIO

( , , ) (1,0,0) (0,1,0) (0,0,1)x y z x y z

i=(1,0,0)

j=(0,1,0)

k=(0,0,1)

donde

(x,y,z)=xi+yj+zk

luego

Modulo de un vector