vectores en 3d nivel cero

8/16/2019 Vectores en 3d Nivel Cero

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12/02/2009FLORENCIO PINELA - ESPOL 1

Representación Gráficade un Vector

dirección: obviomagnitud: longitud

La localización es irrelevante

Estos sonidénticos


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Representación de un vector enCoordenadas Rectangulares

Cualquier vector A que se encuentre en el planox-y es posible representarlo por medio de suscomponentes rectangulares Ax y Ay

A

A x

A y

A x

= A cos

A y = A sen

2 2

x y A A A A

1tan tan

y y

x x

A A

A A

x y A A A

2 2 2

x y A A A! !4

3

7

x

y

x y

Cuidado A

A

A A A



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Representación de un vector enCoordenadas Polares

Algunas veces es más conveniente representar un punto en el planopor sus coordenadas polares, (r , ) donde r es la distancia desde elorigen hasta el punto de coordenadas ( x,y ) y es el ángulo entre r yun eje fijo, medido contrario a las manecillas del reloj.

r

( x,y)

x

y

o

tan y

x

2 2r x y

1

tan

y

x

12/02/2009 FLORENCIO PINELA - ESPOL 3


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La dirección de un vector en 2-D

x

y

-α

Sea = 130

Sen 130 = 0,766

Cos 130 = -0,643

α = - 230

Sen(-230 )= 0,766

Cos(-230 )=-0,643• Positivo en “sentido” antihorario

• Negativo en “sentido” horario



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Ejemplo: Encuentre el vector en coordenadas polaressi sus coordenadas en el plano x-y son (-2, -5)

-2

-5

¡Cuidado cuando usetan = y/x !

' 1 5

tan 68,22

o

¡Línea de acción delvector!

180 68,2o or

2 2( 2) ( 5) 29r : 29; 248,2or



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El Método Gráfico para la Suma de Vectores

Los vectores se unenextremo con origen,

conservando sumagnitud y dirección.

El vector resultanteparte del origen delprimero al extremo

del último

A

B

A+B

C

A+B+C

D

R R = A + B +C + D

R A B C D

Florencio Pinela

12/02/20096FLORENCIO PINELA - ESPOL

http://faraday.physics.utoronto.ca/PVB/Harrison/Flash/Vectors/Add3Vectors.htmlhttp://faraday.physics.utoronto.ca/PVB/Harrison/Flash/Vectors/Add3Vectors.html


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LA SUMA DE VECTORES ES CONMUTATIVA(ejemplo de cinco vectores)



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EL VECTOR NEGATIVOLA MAGNITUD O MODULO DE UN VECTOR ES

SIEMPRE UNA CANTIDAD POSITIVA.

Un vector es negativo cuandoapunta en dirección contraria a unodefinido como positivo.

A -A B -B C

-C

Cuando un vector NO está referido a unsistema de coordenadas.



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RESTA DE VECTORES

RESTARLE UN VECTOR A OTRO VECTOR ESEQUIVALENTE A SUMARLE SU VECTOR NEGATIVO

A – B = A + (- B)

A B

A-B A-B

Polígono

Del extremo de B alextremo de A

Unamos los vectores por su origen



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Pregunta de concepto

Para los vectores a, b y c, indicados en la

figura. ¿Cuál de las siguientes alternativas escorrecta?

3) c b a

1) a c b

2) a b c

4) Todas son correctas

a

b

c



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LA LEY DEL COSENO

•

Sean los vectores a y b

a

b

a

b

Sea el menor ángulo formado entre los vectoresunidos por su origen

Sea el ángulo formado entre los vectores unidosextremo con origen



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Sea P el vector resultante de la diferenciaentre los vector a y b, y sea R la resultante

de la suma entre a y b.

a

bP

R

R2 = a2 + b2 + 2ab Cos

P2 = a2 + b2 - 2ab CosRecuerde que la magnitud del vector a –b es iguala la magnitud del vector b – a

P = a - bR = a + b



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Vectores Unitarios:

Un Vector Unitario es un vector

que tiene magnitud 1 y no tieneunidades

Es usado para especificar unadirección

Un vector unitario u apunta en ladirección de U

A menudo denotado con un“sombrero”: u = û

Ejemplos útiles son los vectoresunitarios cartesianos [ i, j, k ]

apuntando en las direcciones

de los ejes x , y y z

U

x

y

z

i

j

k

û


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LOS VECTORES UNITARIOS i, j y k

ˆ U

uU

Un vector unitario es la relación entre el vector y su magnitud

x

y

z

i

j

k

x y z A A A A

ˆˆ ˆ x y z

A A i A j A k



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Suma de Vectores usandocomponentes:

Considere C = A + B .

(a) C = (A x i + Ay j ) + (B x i + By j ) = (A x + B x )i + (Ay + By ) j

(b) C = (C x i + C y j )

Comparando las componentes de (a) y (b):

C x = A x + B x

C y = Ay + By

C

B xA

B yB

A x

A y


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A = Ax i + Ay j + Az k

Cualquier vector puede ser expresado entérmino de vectores unitarios.

Se pueden sumar, restar y multiplicar

Sean los vectores A= 2i – 4j + 6k y B= 4i + 2j – 3k

A B

A B

2 A B



17/62

A

B

C

Exprese los vectores de la figura en función de vectores unitarios



18/62

A

B

C

Para los vectores de la figura realice la siguiente operación:

A + B – 2C


18


19/62


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Exprese el vector indicado en la figura enfunción de sus componentes rectangulares

i, j k.

10

4

8

x

y

z

10 i

- 8 j

4 k

A

¿Cuál sería la magnituddel vector A?



21/62

Determine la magnitud de los vectores A, B y C

5

6

8

A B

C



22/62

ax

z

b

6

4

5

y

UTILIZANDO LA LEY DEL COSENO DETERMINE ELVALOR DEL ÁNGULO FORMADO ENTRE LOS

VECTORES a Y b DE LA FIGURA

12/02/2009 22FLORENCIO PINELA - ESPOL


23/62

Para el paralelepípedo de la figura, determine el ánguloformado entre los vectores a y b.

a) 45,0º

b) 48,2º

c) 50,2º

d) 53,8º

e) 55,2º

a x

z

b

6

4

5

y



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LA LEY DEL SENO

a

b

c


Sen Sen Sen

a b c

a b c

Sen Sen Sen


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Utilice la ley del seno para determinar los valoresde las tensiones de cada una de las cuerdas.

20

40

100 N

T1T2

T3



26/62

20

40

100 N

T1

T2

T3

70

40

70

3 22

40100

70 40 70

o

o o o

T T senT N

sen sen sen

3 1 100T T N

T1

T2

T3=100 N

3 1

70 70o o

T T

sen sen



27/62

El Método Analítico para

la Suma de Vectores

• El método geométrico de suma de vectores NO es elprocedimiento recomendado en situaciones donde se requiere altaprecisión o en problemas tridimensionales.

En esta sección se describe un método para sumar vectores quehacen uso de las proyecciones de un vector a lo largo de los ejes deun sistema de coordenadas rectangular.

A estas proyecciones se las llama componentes del vector.Cualquier vector se puede describir completamente por suscomponentes.



28/62

SUMA DE VECTORES: COMPONENTES ORTOGONALES

AB

C



29/62

A

Ax

Ay

Bx

By

Cx

Cy

R

B C

Rx

Ry

x x x x R A B C

y y y y R A B C


Ó Ó


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Ry

Rx

R

Rx = Ax + Bx + Cx (suma vectorial)

Ry = Ay + By + Cy (suma vectorial)

Magnitud del vector R

2 2

x y R R R

Línea de acción delvector R

1tan y

x

R

R

DETERMINACIÓN DE LA MAGNITUD Y DIRECCIÓNDEL VECTOR R



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Determine el vector que al sumarse a losvectores a y b den una resultante nula.

a) i – 10j + 3k b) 2i – 5j + 6k c) 5j + 6k

d) 10j – 3k e) – 10j + 3k

5

37

a b

x

y

z



32/62

A

Ax

Ay

Az

x ACos A

y ACos A

z ACos A

VECTOR EN 3-D Y LOS COSENOS DIRECTORES

x

y

z



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NOTAS IMPORTANTES SOBRE LADIRECCIÓN DE UN VECTOR

Si el vector se encuentra en el plano (2-D), ladirección del vector será indicada a través del valor

del ángulo que forma el vector con el eje positivo delas “x”.

Si el vector se encuentra en el espacio (3-D), la

dirección del vector será indicada por los ángulosque forma el vector con cada una de las direccionespositivas de los ejes de coordenadas.



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RELACIÓN ENTRE LOS COSENOS DIRECTORES

A

ACos x

A

ACos

y

A

ACos z

2222

z y x A A A A

2222222 Cos ACos ACos A A

)( 22222 CosCosCos A A

1222 CosCosCos

2222 )()()( ACos ACos ACos A

Con esta expresión, si conocemos dos de lostres ángulos podemos hallar el tercero.

Teorema dePitágoras en

3-D



35/62

10

4

8

x

y

z

10 i

- 8 j

4 k

A¿Cuál es la direccióndel vector A?



36/62

El vector mostrado en la figura tiene unamagnitud de 20 unidades. El ángulo queforma el vector con el eje y es:

a) 30,0º

b) 60,0º

c) 72,5º

d) 41,1º

e) 35,2º

8

6

y

z

x



37/62

Para los vectores del gráfico determine elángulo formado entre los vectores a y – b

a) 55° b) 62°

c) 72°d) 82°e) 90°

5

37

a b

x

y

z



38/62

EL PRODUCTO ESCALAR DE VECTORESSean A y B dos vectores y sea el menor ángulo formado

entre los vectores unidos por su origen

A

B

A • B = A B Cos

De acuerdo a la definición, A • B es un númeroque puede ser positivo, negativo o cero, tododepende del valor del ángulo entre losvectores.



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A•

B = 0

A•

B < 0

A • B > 0

A

B

B

A

A

B



40/62

A

B BA A

B

Dados los vectores A y B. En cuál de los siguientes casosel valor de A•B tiene el mayor valor

1

2 3



41/62

EL PRODUCTO ESCALAR EN COORDENADAS CARTESIANAS

SEAN LOS VECTORES: A = Ax i + Ay j + Az k y B = Bx i + By j + Bz k

A • B = (Ax i + Ay j + Az k) • (Bx i + By j + Bz k)

A • B = (Ax i) • (Bx i + By j + Bz k) + Ay j • (Bx i + By j + Bz k) + Az k •(Bx i + By j + Bz k)

El producto escalar entre vectores respectivamenteperpendiculares es igual a cero

A • B = Ax i • (Bx i) + Ay j • (By j) + Az k •(Bz k)

A • B = Ax Bx + Ay By + Az Bz



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A = Ax i + Ay j + Az k y B = Bx i + By j + Bz k

A • B = Ax Bx + Ay By + Az Bz

¡TENGA CUIDADO CON LOS SIGNOS DE LASCOMPONENTES DE LOS VECTORES!

A•

B = B•

AEL PRODUCTO ESCALAR ES

CONMUTATIVO

A • B = Suma de los productos de sus respectivas componentes


Ó É


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INTERPRETACIÓN GEOMÉTRICA DEL PRODUCTO ESCALAR

A

B Acos es la proyección del vector Asobre el vector B, esto es AB

El área del rectángulo que tienepor lados A Cos y B, es AB Cos

AB Cos es por definición el resultado demultiplicar escalarmente dos vectores demagnitudes A y B que forman un ángulo .

A • B =ABB = BAA = AB Cos = Ax Bx + Ay By + Az Bz



44/62

Dado el siguiente gráfico:

P

QS

Entonces: S•P = S•Q

a) Verdad

b) Falso

c) Faltan los ángulos de los vectores



45/62

Para que los vectores: a = 6 i – 3 j + 6 k y b = i – 2 j + 3 k sean ortogonales,

debe tomar el valor de

a) – 4 b) 4c) – 6d) 6e) – 8



46/62

Sean lo vectores: a = 5i - 2 j + 3k yb = 2i + 5 j + 6k. La proyección delvector a sobre el vector b es.

a) 4.6 b) 3.2c) 2.8d) 2.2

e) 1.2



47/62


48/62

Conociendo que |A| = 10 u y |B| = 1 5 u ,el ángulo formado entre los vectores

A y B esa) 90,0º

b) 86,4ºc) 80,4d) 76,4ºe) 70,4º

x

y

z

5a

b


EL PRODUCTO CRUZ DE VECTORES


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EL PRODUCTO CRUZ DE VECTORESSean A y B dos vectores y sea el menor ángulo formado entrelos vectores unidos por su origen.

A

B

Se define el producto A x B como otro vector, llamemos C aeste vector. Por definición C es un vector perpendicular alplano formado por los vectores A y B y su dirección está de

acuerdo a la regla de la “mano derecha”, la magnitud delvector C es por definición:

C C AB Sen

C A x B


L l d l d h l


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La regla de la mano derecha y ladirección del vector C

Cruce el vector A con elvector B “barriendo” elmenor ángulo. El pulgar

extendido le da ladirección del vector C


Ó


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A

B

C

B

A

-C

A x B = C

B x A = - C

A x B = - B x A

El producto vectorialno es conmutativo!!!

DIRECCIÓN DEL VECTOR C


INTERPRETACIÓN GEOMÉTRICA DEL


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INTERPRETACIÓN GEOMÉTRICA DELPRODUCTO VECTORIAL

A

B

A Sen

C = AB Sen => Área del paralelogramo formadopor los vectores A y B

A x B = C = AB sen


P l ió t t s C A B


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Para la operación entre vectores C = AxBindique si cada enunciado es correcto o no

1. (A x B) x C = 0 V F

2. C (A x B) = C2 V F

3. La proyección del vector A sobre V Fel vector C es cero

4. La proyección del vector C sobre V F

el vector B es diferente de cero5. La magnitud del vector C V F

corresponde al área del paralelogramo formado de A y B

12/02/200953


54/62

EL PRODUCTO VECTORIAL EN COORDENADAS CARTESIANAS

SEAN LOS VECTORES: A = Ax i + Ay j + Az k y B = Bx i + By j + Bz k

A x B = (Ax i + Ay j + Az k) x (Bx i + By j + Bz k)

A x B = (Ax i) x (Bx i + By j + Bz k) + (Ay j) x (Bx i + By j + Bz k) + (Az k) x (Bx i + By j + Bz k)

El producto cruz de vectores que tienen la misma dirección vale cero!!

A x B = (Ax i) x (By j + Bz k) + Ay j x (Bx i + Bz k) + Az k x (Bx i + By j)

A x B = AxBy i x j + AxBz i x k + AyBx j x i + AyBz j x k + AzBx k x i + AzBy k x j



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A x B = AxBy i x j + AxBz i x k + AyBx j x i + AyBz j x k + AzBx k x i + AzBy k x j

i

jk

i x j = k

j x k = i

k x i = j

i x k = - j

j x i = -k

A x B = AxBy k + AxBz (-j) + AyBx (-k) + AyBz i + AzBx j + AzBy (-i)

A x B = (AyBz – AzBy)i + (AzBx – AxBz) j + (AxBy – AyBx)k

i

j

k -j

-k

Agrupemos los términos i, j y k



56/62

A x B = (AyBz – AzBy)i + (AzBx – AxBz) j + (AxBy – AyBx)k

A x B =

i j k

Ax Ay Az

Bx By Bz

=Ay AzBy Bz i -

Ax AzBx Bz j + Bx By

Ax Ayk

ˆ( )( (ˆ ˆ) )

y x z

x z z x y z z y

C

x y y x

C C

A B A B A B A BC k A B A B ji



57/62

Sean los vectores A = 3 i – j + 2 k y B = -2 i – 2 j – 4 k , elvector unitario perpendicular al plano formado por los

vectores A y B es

k jib192

8

192

8

192

8)

k jia128

8

128

80)

k jie

384

8

384

8

384

8)

k jic186

8

186

11

186

1)

k jie384

8

384

16

384

8)



58/62

¿Cuál de las siguientes alternativas representa unvector perpendicular al plano sombreado de lafigura?.

a) 24i + 20 j + 30k b) – 5i + 6 j + 8k

c) – 12i – 10 j + 15k d) 12i – 10 j – 15k e) 24i + 20 j+ 15k 4

5

6

x

y

z


DETERMINE EL VALOR DEL ÀREA DEL PLANO


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DETERMINE EL VALOR DEL ÀREA DEL PLANOSOMBREADO DE LA FIGURA

4

5

6

x

y

z

A

B


Dos vectores A y B vienen expresados por:


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Dos vectores A y B vienen expresados por:A = 3i + 4 j + k ; B = 4i - 5 j + 8k. Es verdad que A yB:

a) Son paralelos y apuntan en la misma dirección. b) Son paralelos y apuntan en direcciones contrarias.c) Forman un ángulo de 45º entre sí.

d) Son perpendiculares.e) Todas las alternativas anteriores son falsas.



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Sean las rectas AB y AC las que se cruzan en el punto A decoordenadas (4,-5,6), y los puntos B y C de coordenadas(2,3,5) y (5,4,2) respectivamente. ¿Cuál de las siguientesalternativas representaría un vector perpendicular al planoformado por las rectas?.

a) – 23 i – 9 j – 26 k b) 9 i – 14 j + 8 k c) 9 i – 23 j + 26 k d) 23 i – 9 j + 26 k e) – 9 i + 14 j – 8 k


Sean las rectas AB y AC las que se cruzan en el punto A de


62/62

Sean las rectas AB y AC las que se cruzan en el punto A decoordenadas (4,-5,6), y los puntos B y C de coordenadas (2,3,5) y(5,4,2) respectivamente. ¿Determine un vector que sea

perpendicular al plano formado por las rectas?.

A

B

C

vectores en 3d nivel cero

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