Repaso para el primer capıtulo de Geometrıa

Analıtica Vectorial

Ana Cristina Chavez Caliz

13 de octubre de 2009

1. Que es un vector?

Un vector es un conjunto ordenado de numeros, es decir, coordenadas.Tambien lo podemos ver como cualquier cosa que sea elemento de un espaciovectorial.Ejemplos de un espacio vectorial tenemos a los polinomios de grado mayor oigual a 2 y las matrices.

1.1. Propiedades

1.1.1. Las Operaciones

1) Hay un proceso, llamado adicion, por el cual se pueden combinar dosvectores del conjunto, el resultado de lo cual se denomina suma; tambien es unvector (unico) del conjunto x + y = z (la ley de la cerradura para la suma).

2) Hay otro proceso, llamado multiplicacion, por el cual un vector x se puedemultiplicar por cualquier numero real a llamado escalar, para dar otro vectory = ax

1.1.2. Los Postulados

1) Se cumple la ley conmutativa para la suma de vectores : x + y = y + x2) Se cumple la ley asociativa para la suma de vectores : x + (y + z) =

(x + y) + z3) Hay un vector unico, 0, en el conjunto, llamado el elemento cero o vector

nulo tal que x+0 = x para todo elemento x del conjunto (Existencia de neutroaditivo)

4) A cada elemento x le corresponde un unico elemento inverso −x delconjunto, tal que x + (−x) = 0 (Existencia de inverso aditivo)

5) Una ley distributiva : a(x + y) = ax + ay6) Otra ley distributiva : (a + b)x = ax + bx7) Se cumple la ley asociativa para el producto de escalares y vectores de la

siguiente forma : a(bx) = (ab)x

1

Figura 1: Suma de vectores por metodo del Paralelogramo

8) Para todo x del conjunto se cumple que : 1 · x = x9) Para todo x del conjunto se cumple que : 0 · x = 010) Para todo x del conjunto existe el escalar 1

|x| tal que el producto deel vector con este escalar da como resultado un vector de norma 1, pero condireccion y sentido igual al del vector original.

2. Cosas a tomar en cuenta

1. Un vector es igual a otro sı y solo sı ambos vectores tienen la mismanorma, direccion y sentido: por lo tanto podemos concluir que en vectores, noimporta la posicion en la que se encuentren; pues hablamos de vectores libres.

2. El tamano se denomina norma; para un vector u su norma se escribe como|u|. Si un vector va de la coordenada (a1, a2, a3) a (b1, b2, b3) la norma de dichovector esta dado por la siguiente formula: |u| =

√(a1 − b1)2 + (a2 − b2)2 + (a3 − b3)2

3. La suma solo se da entre vectores, y la suma se puede efectuar mediantedos metodos:

3a. Metodo del paralelogramo: Este metodo nos permite sumar solo dos vec-tores a la vez; consiste en trasladar los vectores (llamemoslos u y v de forma queambos tengan el mismo origen, y luego, completar un paralelogramo: copiandoel vector u, poniendo su inicio en el final del vector original v; y copiando elvector v, poniendo su inicio en el final del vector original u. El vector u + vtendra su inicio en el origen de los vectores, y el final en donde se unen lasflechas de los vectores como podemos ver en la figura 1; tambien en esta figurapodemos ver como encontrar el vector u− v

3b. Metodo del polıgono: Este metodo sirve para sumar mas de dos vectoresa la vez,y se construye de la siguiente manera: Llamemos a los vectores a sumaru1, u2, . . . un. entonces trasladamos el inicio del vector u2 al final del vector u1,trasladamos el inicio del vector u3 al final del vector u2, y ası sucesivamente,como indica la figura 2. El vector resultante tendra inicio en donde empieza elvector u1 y fin en el termino del vector un

4. Los vectores se pueden multiplicar por escalares:4a. Cuando el escalar (k) es positivo, obtenemos un vector con la misma

direccion y sentido, y con magnitud resultante |ku|

2

Figura 2: Suma de vectores por metodo del Polıgono

4b. Cuando multiplicamos por un escalar (q) negativo, obtenemos un vectorcon la misma direccion, pero sentido opuesto

5. Sobre los angulos: para calcular el angulo entre dos vectores, se trasladande forma que tengan el mismo origen.

6. Los vectores los podemos pensar basados en el origen, estos son los vectoresposicion, que se escriben como suma de vectores unitarios i (en el sentido deleje x), j (en el sentido del eje y) y k (en el sentido del eje z), de la siguienteforma: ai+ bj+ ck, donde a, b y c son las coordenadas que tendrıa el punto finaldel vector si lo trasladaramos al origen. Para sumar vectores posicion, basta consumar las coordenadas correspondientes.

7. Teorema: Dos vectores u y u son paralelos si y solo si existe un escalar ktal que u = kv o bien que existe un escalar l tal que v = lu

8a. Para pasar de coordenadas cartesianas (a, b) a coordenadas polares (radior, con angulo α) usamos las siguientes formulas:

r =√

a2 + b2

α = arctanb

a

8b.Para pasar de coordenadas polares (radio r, con angulo α) a coordenadascartesianas (a, b) usamos las siguientes formulas:

a = r cos α

b = r sen α

3. Angulos

3.1. Cosenos directores

En el espacio, al trasladar un vector al origen, podemos notar que el vectorforma angulos con los ejes x, y y z; al angulo formado con el eje x le denominamosα, al angulo formado con el eje y le denominamos β y al angulo formado con eleje z le denominamos γ, como muestra la figura 3. Llamamos Cosenos directores

3

Figura 3: Vector en el espacio

a los cosenos de los angulos α, β y γ, los cuales estan dados por las siguientesformulas:

cos α =a√

a2 + b2 + c2

cosβ =b√

a2 + b2 + c2

cos γ =c√

a2 + b2 + c2

Ademas tenemos que cos2 a+cos2 b+cos2 c = 1, y afirmamos que dos vectorestienen el mismo sentido si y solo si sus cosenos directores son iguales.

3.2. Angulo entre vectores

Si conocemos dos vectores u = ai + bj + ck y v = pi + qj + rk, y queremosconocer el angulo δ que hay entre estos dos vectores, usamos la formula: cos δ =

ap+bq+cr√a2+b2+c2

√p2+q2+r2

.

En el plano, la formula es similar: cos δ = ap+bq√a2+b2

√p2+q2

4

3.3. Producto punto punto o producto escalar

Ya habiamos dicho que el producto entre un vector y un escalar resultabaotro vector; pero, cuando multimplicamos dos vectores, obtenemos un escalar. Aeste procedimiento, se le conoce como producto punto punto o producto escalar,y en general, para dos vectores u = ai + bj + ck y v = pi + qj + rk, el productopunto entre u y v se escribe como u · v = ap + bq + cr.

Si ponemos atencion, podremos notar que esta ultima parte es precisamentela que aparece como numerador en la formula para calcular el angulo entre dosvectores, mientras que las expresiones

√a2 + b2 + c2 y

√p2 + q2 + r2 correspon-

den a las normas de los vectores u y v, respectivamente, por lo que podemosreducir la formula a la siguiente expresion:

cos δ =u · v|u||v| ⇒ u · v = |u||v| cos δ

Este ultimo despeje nos permite ver que si el producto punto entre dosvectores dados es cero, entonces estos vectores son perpendiculares.

Como observacion, agregamos que el producto punto entre dos vectores esmenor o igual al producto de sus normas; dicho de otra forma:

u · v ≤ |u||v|

3.4. Producto cruz

Ahora, ya sabemos como comprobar que dos vectores son perpendiculares(simplemente comprobamos que su producto punto sea cero). En esta seccionaprenderemos como, dado un vector, encontrar uno perpendicular a el.

En el plano (R2), dado un vector u = ai+bj, basta con invertir los coeficientesde i y j y cambiar el signo de uno de ellos, en este caso, un vector perpendicularserıa v = bi− aj o bien v = −bi + aj

En el espacio (R3), usamos el producto cruz, es decir, dados los vectoresu = ai + bj + ck y v = pi + qj + rk, el producto cruz de u y v se escribe como:

u× v = (u2v3 − v2u3)i + (u3v1 − v3u1)j + (u1v2 − v1u2)k

Debido a que el producto cruz arroja un vector que es perpendicular a otrosdos vectores, esta operacion solo puede hacerse en el espacio. Sobre el vectorresultante de esta operacion, para determinar el sentido correcto, se usa la reglade la mano derecha: colocamos el pulgar en el sentido del vector u, y el ındiceen el vector v; el dedo medio nos indicara el sentido del vector u× v.

Otras cosas interesantes sobre el producto cruz, es que, la magnitud quearroja esta operacion esta dada por la expresion |u × v| = |u||v| sin δ; y re-sulta ser que este resultado, desde el punto de vista geometrico, es el area delparalelogramo formado por u y u.

Tambien, como observacion, recordemos que si el producto cruz de dos vec-tores es 0, entonces esos dos vectores son paralelos (tambien se cumple el recıpro-co)

5

4. Triple producto escalar

Llamamos triple producto escalar a la expresion u · (v×w) o bien (u×v) ·w(son lo mismo); y representan el volumen del paralelepıpedo formado por losvectores u, v y w.

5. Triple producto vectorial

Llamamos triple producto vectorial a la expresion u× (v ×w).Sin embargo, al contrario que en el triple producto escalar, u×(v×w) 6= (u×

v)×w. Por lo tanto hay dos tipos de producto vectorial: izquierdo (u×(v×w))y derecho ((u× v)×w).

Es facil ver que el vector resultante del triple producto vectorial (por ejemplo,de u× (v ×w)) es un vector perpendicular a u y a v ×w.

Un teorema importante sobre el triple producto vectorial nos dice que esteproducto se puede calcular mediante la siguiente formula:

u× (v ×w) = (u ·w)v − (u · v)w

6