VectorEn física, un vector1 es un ente matemático como la recta o el plano. Unvector se representa mediante un segmento de recta, orientado dentro delespacio euclidiano tridimensional. El vector tiene 3 elementos: módulo,dirección y sentido.2 Los vectores nos permiten representar magnitudesfísicas vectoriales, como las mencionadas líneas abajo.

En matemáticas se define vector como un elemento de un espaciovectorial. Esta noción es más abstracta y para muchos espacios vectorialesno es posible representar sus vectores mediante el módulo y la dirección.En particular los espacios de dimensión infinita sin producto escalar no sonrepresentables de ese modo. Los vectores en un espacio euclídeo se puedenrepresentar geométricamente como segmentos de recta , en el plano (bidimensional), o en el espacio (tridimensional).

Algunos ejemplos de magnitudes físicas que son magnitudes vectoriales: la velocidad con que se desplaza un móvil, ya que noqueda definida tan solo por su módulo que es lo que marca el velocímetro, en el caso de un automóvil, sino que se requiereindicar la dirección (hacia donde se dirige), la fuerza que actúa sobre un objeto, ya que su efecto depende además de su magnitudo módulo, de la dirección en la que actúa; también, el desplazamiento de un objeto, pues es necesario definir el punto inicial yfinal del movimiento.

Conceptos fundamentalesDefiniciónCaracterísticas de un vectorMagnitudes vectorialesNotaciónClasificación de vectoresComponentes de un vectorRepresentación gráfica de los vectores

Suma de vectoresProducto por un escalar

Operaciones con vectoresSuma de vectores

Suma de vectores sobre un mismo puntoMétodo del paralelogramoMétodo del triángulo o método poligonalMétodo analítico para la suma y diferencia de vectores

Producto de un vector por un escalarProducto escalarProducto vectorialDerivada ordinaria de un vectorDerivada covariante de un vectorÁngulo entre dos vectoresDescomposiciones de un vector

Representación gráfica de un vector comoun segmento orientado sobre una recta.

Índice

Cambio de base vectorial

Requerimientos físicos de las magnitudes vectoriales

Véase también

Referencias

Bibliografía

Enlaces externos

Esta sección explica los aspectos básicos, la necesidad de los vectores para representar ciertas magnitudes físicas, lascomponentes de un vector, la notación de los mismos, etc.

Se llama vector de dimensión a una tupla de números reales (que se llamancomponentes del vector). El conjunto de todos los vectores de dimensión serepresenta como (formado mediante el producto cartesiano).

Así, un vector perteneciente a un espacio se representa como:

, donde

Un vector también se puede ver desde el punto de vista de la geometría comovector geométrico (usando frecuentemente el espacio tridimensional o bidimensional ).

Un vector fijo del plano euclídeo es un segmento orientado, en el que hay que distinguir tres características:3 4 5

Módulo: la longitud del segmento.Dirección: la recta donde está representado el segmento.Sentido: la orientación del segmento, del origen al extremo del vector.

En inglés, la palabra direction indica tanto la dirección como el sentido del vector, con lo que se define el vector con solo doscaracterísticas: módulo y dirección.6

Los vectores fijos del plano se denotan con dos letras mayúsculas (y una flecha hacia la derecha encima), por ejemplo , queindican su origen y extremo respectivamente. Es decir, el punto A es el origen o punto de aplicación y el punto B es el extremo

del vector , cuyas coordenadas son:

Un vector se puede definir por sus coordenadas, si el vector está en el plano xy, se representa:

siendo sus coordenadas:

Conceptos fundamentales

Definición

Componentes de un vector.

Características de un vector

Si consideramos el triángulo formado por las componentes (como

catetos) y (como hipotenusa): se puede calcular multiplicando porel cosα (siendo α el ángulo formado por y ) o multiplicando por elsenβ (siendo β el ángulo formado por y ). De igual forma se puedecalcular multiplicando por el senα o multiplicando por el cosβ(considerando las posiciones de α y β mencionadas anteriormente).

Siendo el vector la suma vectorial de sus coordenadas:

Si un vector es de tres dimensiones reales, representado sobre los ejes x, y,z, se puede representar:

siendo sus coordenadas:

Si representamos el vector gráficamente podemos diferenciar los siguientes elementos:

La recta soporte o dirección, sobre la que se traza el vector.

El módulo o amplitud con una longitud proporcional al valor del vector.

El sentido, indicado por la punta de flecha, siendo uno de los dos posibles sobre la recta soporte.

Coordenadas cartesianas.

Coordenadas tridimensionales.

El punto de aplicación que corresponde al lugar geométrico al cual corresponde la característica vectorial representado por elvector.

El nombre o denominación es la letra, signo o secuencia de signos que define al vector.

Por lo tanto en un vector podemos diferenciar:

NombreDirecciónSentidoMóduloPunto de aplicación

Frente a aquellas magnitudes físicas, tales como la masa, la presión, elvolumen, la energía, la temperatura, etc; que quedan completamentedefinidas por un número y las unidades utilizadas en su medida, aparecenotras, tales como el desplazamiento, la velocidad, la aceleración, la fuerza,el campo eléctrico, etc., que no quedan completamente definidas dando undato numérico, sino que llevan asociadas una dirección. Estas últimasmagnitudes son llamadas vectoriales en contraposición a las primerasllamadas escalares.

Las magnitudes vectoriales quedan representadas por un ente matemáticoque recibe el nombre de vector. En un espacio euclidiano, de no más detres dimensiones, un vector se representa por un segmento orientado. Así,un vector queda caracterizado por los siguientes elementos: su longitud omódulo, siempre positivo por definición, y su dirección, la cual puede serrepresentada mediante la suma de sus componentes vectorialesortogonales, paralelas a los ejes de coordenadas; o mediante coordenadaspolares, que determinan el ángulo que forma el vector con los ejes positivos de coordenadas.7 8

Se representa como un segmento orientado, con una dirección, dibujado de forma similar a una "flecha". Su longitud representa elmódulo del vector, la recta indica la dirección, y la "punta de flecha" indica su sentido.3 4 5

Magnitudes vectoriales

Representación gráfica de una magnitudvectorial, con indicación de su punto deaplicación y de los versores cartesianos.

Las magnitudes vectoriales se representan en los textos impresos por letrasen negrita, para diferenciarlas de las magnitudes escalares que serepresentan en cursiva. En los textos manuscritos, las magnitudesvectoriales se representan colocando una flecha sobre la letra que designasu módulo (el cual es un escalar).

Ejemplos

... representan, respectivamente, las magnitudesvectoriales de módulos A, a, ω, ... El módulo de una magnitudvectorial también se representa encerrando entre barras lanotación correspondiente al vector: ...

En los textos manuscritos se escribe: ... para losvectores y ... o ... para los módulos.

Cuando convenga, se representan la magnitud vectorial haciendo referencia al origen y al extremo del segmento orientado que la

representa geométricamente; así, se designan los vectores representados en la Figura 2 en la forma , ...resultando muy útil esta notación para los vectores que representan el desplazamiento.

Además de estas convenciones los vectores unitarios o versores, cuyo módulo es la unidad, se representan frecuentemente con uncircunflejo encima, por ejemplo .

Según los criterios que se utilicen para determinar la igualdad o equipolencia de dos vectores, pueden distinguirse distintos tiposde los mismos:

Vectores libres: no están aplicados en ningún punto en particular.Vectores deslizantes: su punto de aplicación puede deslizar a lo largo de su recta de acción.Vectores fijos o ligados: están aplicados en un punto en particular.

Podemos referirnos también a:

Vectores unitarios: vectores de módulo unidad.Vectores concurrentes o angulares: son aquellas cuyas direcciones o líneas de acción pasan por un mismopunto. También se les suele llamar angulares porque forman un ángulo entre ellas.

Vectores opuestos: vectores de igual magnitud y dirección, pero sentidos contrarios.3 En inglés se dice que sonde igual magnitud pero direcciones contrarias, ya que la dirección también indica el sentido.Vectores colineales: los vectores que comparten una misma recta de acción.Vectores paralelos: si sobre un cuerpo rígido actúan dos o más fuerzas cuyas líneas de acción son paralelas.Vectores coplanarios: los vectores cuyas rectas de acción son coplanarias (situadas en un mismo plano).

Un vector en el espacio euclídeo tridimensional se puede expresar como una combinación lineal de tres vectores unitarios oversores, que son perpendiculares entre sí y constituyen una base vectorial.

En coordenadas cartesianas, los vectores unitarios se representan por , , , paralelos a los ejes de coordenadas , , positivos.Las componentes del vector en una base vectorial predeterminada pueden escribirse entre paréntesis y separadas con comas:

Representación de los vectores.

Notación

Clasificación de vectores

Componentes de un vector

o expresarse como una combinación de los vectores unitarios definidos enla base vectorial. Así, en un sistema de coordenadas cartesiano, será

Estas representaciones son equivalentes entre sí, y los valores , , ,son las componentes de un vector que, salvo que se indique lo contrario,son números reales.

Una representación conveniente de las magnitudes vectoriales es medianteun vector columna o un vector fila, particularmente cuando estánimplicadas operaciones matrices (tales como el cambio de base), del modo siguiente:

Con esta notación, los vectores cartesianos quedan expresados de la siguiente manera:

El lema de Zorn, consecuencia del axioma de elección, permite establecer que todo espacio vectorial admite una base vectorial,por lo que todo vector es representable como el producto de unas componentes respecto a dicha base. Dado un vector solo existenun número finito de componentes diferentes de cero.

Hay personas que no recomienda usar gráficos para evitar la confusión de conceptos y la inducción al error, sin investigación quelo corrobore, también es cierto que la memoria se estimula con mejores resultados. Para ello:

Se llama vector a la representación visual con el símbolo de flecha (un segmento y un triángulo en un extremo).La rectitud visual de una flecha o curvatura de la misma, no la hace diferente en símbolo si los dos extremospermanecen en el mismo lugar y orden.El que una flecha cierre en sí misma, indica la ausencia de efectos algebraicos.Para visualizar la suma de vectores se hará encadenándolos, es decir, uniendo el extremo que tiene un triángulo(final) del primer vector con el extremo que no lo tiene (origen) del segundo vector manteniendo la dirección ydistancia, propias al espacio, de sus dos extremos, ya que estas dos cualidades los distingue visualmente deotros vectores.Los escalares se representarán con una línea de trazos a modo, exclusivamente, de distinción ya que nosiempre pertenecen al espacio de vectores.

Se examinan cada uno de los casos que aparecen en la definición de las operaciones suma de vectores y producto por un escalar:

La definición suma de vectores en el orden u+v produce otro vector, es como encadenar, siempre visualmente, un vector u y luegouno v. Diremos que u+v se simplifica como un vector w o que w descompone como suma de vectores u y v.

Componentes del vector.

Representación gráfica de los vectores

Suma de vectores

1) Decir que u+v=v+u, es exigir que las dos sumas simplifiquen en el mismo vector, ennegro. Véase que en física los vectores en rojo simulan la descomposición de fuerzasejercidas por el vector negro en su origen, y se representa con un paralelogramo.

2) Decir que u+(v+w)=(u+v)+w, es exigir que las simplificaciones de sumas de vectorespuedan ser optativas en cualquier cadena de sumas.

3) Decir que existe un vector cero (elemento neutro) tal que u+0=u, equivale a exigir queexista un vector incapaz de efectuar, mediante la suma, modificación alguna a todos losvectores.

4) Decir que u+(-u)=0, es exigir la existencia de un elemento opuesto, -u, que sumado a usimplifique en un vector cero.

La definición producto por un escalar produce otro vector; es como modificar el extremo final del vector u, siemprevisualmente.

Por un lado la representación del producto en el caso que el cuerpo de los escalares sea modifica, visualmente, lalongitud de la imagen del vector, quedando ambos siempre superpuestos; por otro lado las representaciones en el caso que

además de modificar la longitud, también agrega rotaciones, para facilitarlas visualmente considérense centradas en elorigen del vector, siendo estas modificaciones un poco más expresivas, visualmente, pero no más fáciles que en el caso real:

Producto por un escalar

a)Decir que a(bu)=(ab)u, es exigir que los productos encadenados a(b(u)) puedensimplificarse como uno, c=ab, luego (ab)u queda como cu.

b) Decir que existe el escalar 1 tal que 1u=u, equivale a decir exista un escalar incapazde efectuar, mediante producto, modificación alguna a todos los vectores.

c) Decir que a(u+v)=au+av, es exigir la propiedad distributiva respecto la suma vectorial.

d) Decir que (a+b)u=au+bu, es exigir la propiedad distributiva respecto la suma escalar.

Para el caso real se han de eliminar las rotaciones de los ejemplos anteriores.

Para sumar dos vectores libres (vector y vector) se escogen como representantes dos vectores tales que el extremo final de unocoincida con el extremo origen del otro vector.

Operaciones con vectores

Suma de vectores

Suma de vectores sobre un mismo punto

La suma de vectores está bien definida si ambos vectores pertenecen al mismo espacio vectorial, en física para que dos vectorespuedan ser sumados deben estar aplicados en el mismo punto. La composición de fuerzas sobre un sólido rígido cuando lospuntos de aplicación no coinciden lleva a la noción de momento de fuerza dados dos fuerzas con puntos de aplicación se definen la fuerza resultante como el par:[cita requerida]

Donde es la suma generalizada a vectores aplicados en diferentes puntos. El punto de aplicación es el punto de intersecciónde las rectas de acción de las fuerzas. Las componentes del vector de fuerza resultante es de hecho la suma de componentesordinarias de vectores:

El momento resultante es el momento de fuerza del conjunto de fuerzas respecto al punto calculado para la fuerza resultante.

Este método permite solamente sumar vectores de dos en dos. Consiste endisponer gráficamente los dos vectores de manera que los orígenes deambos coincidan en un punto, trazando rectas paralelas a cada uno de losvectores, en el extremo del otro y de igual longitud, formando así unparalelogramo (ver gráfico). El vector resultado de la suma es la diagonalde dicho paralelogramo que parte del origen común de ambos vectores.

Consiste en disponer gráficamente un vector a continuación de otro,ordenadamente: el origen de cada uno de los vectores coincidirá con elextremo del siguiente. El vector resultante es aquel cuyo origen coincidecon el del primer vector y termina en el extremo del último.

Dados dos vectores libres,

El resultado de su suma o de su diferencia se expresa en la forma

y ordenando las componentes,

Método del paralelogramo

Método del paralelogramo.Método del triángulo o método poligonal

Método del triángulo.

Método analítico para la suma y diferencia de vectores

Con la notación matricial sería

Conocidos los módulos de dos vectores dados, y , así como el ángulo que forman entre sí, el módulo de es:

La deducción de esta expresión puede consultarse en deducción del módulo de la suma.

El producto de un vector por un escalar es otro vector cuyo módulo es elproducto del escalar por el módulo del vector, cuya dirección es igual a ladel vector, y cuyo sentido es contrario a este si el escalar es negativo.

Partiendo de la representación gráfica del vector, sobre la misma línea desu dirección tomamos tantas veces el módulo de vector como indica elescalar.

Sean un escalar y un vector, el producto de por se representa y se realiza multiplicando cada una de las componentes del vector por elescalar; esto es,

Con la notación matricial sería

Dado un vector que es función de una variable independiente

Producto de un vector por un escalar

Producto por un escalar.

Producto escalar

Producto vectorial

Derivada ordinaria de un vector

Calculamos la derivada ordinaria del vector con respecto de la variable t, calculando la derivada de cada una de sus componentescomo si de escalares se tratara:

teniendo en cuenta que los vectores unitarios son constantes en módulo y dirección.

Con notación matricial sería

Veamos un ejemplo de derivación de un vector, partiendo de unafunción vectorial:

Esta función representa una curva helicoidal alrededor del eje z,de radio unidad, como se ilustra en la figura. Podemos imaginarque esta curva es la trayectoria de una partícula y la función representa el vector posición en función del tiempo t. Derivandotendremos:

Realizando la derivada:

La derivada del vector posición respecto al tiempo es la velocidad, así que esta segunda función determina el vector velocidad dela partícula en función del tiempo, podemos escribir:

Este vector velocidad es un vector tangente a la trayectoria en el punto ocupado por la partícula en cada instante. El sentido eshacia los valores crecientes de los valores escalares.6 Si derivásemos de nuevo obtendríamos el vector aceleración.

Cuando en lugar de emplear una "base fija" en todo el dominio de un vector se usan "bases móviles" como cuando se empleancoordenadas curvilíneas la variación total de un vector dependiente del tiempo depende no solo de la variación de componentescomo en el caso de la derivada ordinaria sino también de la variación de la orientación de la base. La variación total se llama

Derivada covariante de un vector

derivada covariante:

Cuando se emplea una base fija (coordenadas cartesianas) la derivada covariante coincide con la derivada ordinaria. Por ejemplocuando se estudia el movimiento de una partícula desde un sistema de referencia no inercial en rotación, las aceleraciones deCoriolis y centrípeta se deben a los factores que contienen y otros factores menos comunes.

El ángulo determinado por las direcciones de dos vectores y viene dado por:

Dado un vector y una dirección de referencia dada por un vector unitario se puede descomponer el primer vector en unacomponente paralela y otra componente perpendicular a la dirección de referencia:

En física esta descomposición se usa en diferentes contextos como descomponer la aceleración en una componente paralela a lavelocidad y otra componente perpendicular a la misma. También el tensión mecánica en un punto sobre un plano puededescomponerse en una componente normal al plano y otra paralela.

También dado un campo vectorial definido sobre un dominio de Lipschitz, acotado, simplemente conexo y de cuadradointegrable admite la llamada descomposición de Helmholtz como suma de un campo conservativo y un camposolenoidal:

En matemáticas las rotaciones son transformaciones lineales que conservan las normas en espacios vectoriales en los que se hadefinido una operación de producto interior. La matriz de transformación tiene la propiedad de ser una matriz unitaria, es decir, esortogonal y su determinante es 1. Sea un vector expresado en un sistema de coordenadas cartesianas (x, y, z) con una basevectorial asociada definida por los versores ; esto es,

Ángulo entre dos vectores

Descomposiciones de un vector

Cambio de base vectorial

Ahora, supongamos que giramos el sistema de ejes coordenados,manteniendo fijo el origen del mismo, de modo que obtengamosun nuevo triedro ortogonal de ejes (x′, y′, z′), con una basevectorial asociada definida por los versores . Lascomponentes del vector en esta nueva base vectorial serán:

La operación de rotación de la base vectorial siempre puedeexpresarse como la acción de un operador lineal (representadopor una matriz) actuando sobre el vector (multiplicando alvector):

que es la matriz de transformación para el cambio de base vectorial.

Ejemplo

En el caso simple en el que el giro tenga magnitud alrededor del eje z,tendremos la transformación:

Al hacer la aplicación del operador, es decir, al multiplicar la matriz por elvector, obtendremos la expresión del vector en la nueva base vectorial:

siendo

las componentes del vector en la nueva base vectorial.

No cualquier n-tupla de funciones o números reales constituye un vector físico. Para que una n-tupla represente un vector físico,los valores numéricos de las componentes del mismo medidos por diferentes observadores deben transformarse de acuerdo conciertas relaciones fijas.

Cambio de base vectorial.

Cambio de base vectorial.

Requerimientos físicos de las magnitudes vectoriales

En mecánica newtoniana generalmente se utilizan vectores genuinos, llamados a veces vectores polares, junto conpseudovectores, llamados vectores axiales que realmente representan el dual de Hodge de magnitudes tensoriales antisimétricas.El momento angular, el campo magnético y todas las magnitudes en cuya definición interviene el producto vectorial son enrealidad pseudovectores o vectores axiales.

En teoría especial de la relatividad, solo los vectores tetradimensionales cuyas medidas tomadas por diferentes observadorespueden ser relacionadas mediante alguna transformación de Lorentz constituyen magnitudes vectoriales. Así las componentes dedos magnitudes vectoriales medidas por dos observadores y deben relacionarse de acuerdo con la siguiente relación:

Donde son las componentes de la matriz que da la transformación de Lorentz. Magnitudes como el momento angular, elcampo eléctrico o el campo magnético de hecho en teoría de la relatividad no son magnitudes vectoriales sino tensoriales.

Producto escalarProducto vectorialDoble producto vectorialProducto mixtoProducto tensorialCombinación lineal

Sistema generadorIndependencia linealBase (álgebra)Base ortogonalBase ortonormal

1. No en general también llamado vector euclidiano ovector geométrico.[cita requerida]

2. [San Marcos (http://www.editorialsanmarcos.com/%7CEditorial)] Comprueba el valor del |enlaceautor=(ayuda) (2018). «2». En Editorial San Marcos.Compendio de Física. Editorial San Marcos. ISBN 978-612-315-362-5.

3. Enrico Bompiani, Universidad Nacional del Litoral,ed., Geometría Analítica (http://books.google.es/books/ucm?id=jLHB0fdw67AC&pg=PA15), pp. 14-15,ISBN 9789875084339

4. Llopis, GÁlvez, Rubio, López (1998), Editorial Tebar,ed., Física: curso teórico-práctico de fundamentosfísicos de la ingeniería (http://books.google.es/books/ucm?id=AJA-GRmTzHEC&pg=PA26), p. 26-27,36,70,71,82, ISBN 9788473601870, «(cito algunosejemplos) [de página 26] [Otras magnitudes]llamadas vectoriales, donde no basta conocer suvalor numerico, sino que además es necesario dartambién su dirección y sentido. [página 70] (...) elcual es un vector que en general tendrá distintadirección y sentido que r(t). [página 71] (...)Consecuencia de la definición es que la dirección de

este vector derivada, dr/dt, es tangente a la curvaindicatriz, su sentido es el de los valors crecientesdel parámetro escalar t, y que su módulo es: (...)»

5. Manuela Blanco Sánchez, Marcial Carreto Sánchez,José Ma González Clouté (1997), Ediciones de laTorre, ed., Programa de diversificación curricular:ámbito científico-tecnológico: 2o. ciclo de ESO (http://books.google.es/books/ucm?id=ICOmEDmY6gYC&pg=PA200), Proyecto Didáctico Quirón. Ciencias ytecnología 102 (ilustrada edición), pp. 200,202,216,ISBN 9788479601867

6. Mitiguy, Paul, Chapter 2: Vectors and dyadics (http://www.stanford.edu/class/engr14/Documents/VectorHandout.pdf) (en inglés), p. nota 1 en página 2

7. «Euclidean vector» (http://planetmath.org/encyclopedia/Vector.html) (en inglés). PlanetMath.org.Consultado el 3 de junio de 2010.

8. «Vector» (http://www.mathacademy.com/pr/prime/browse.asp?LT=F&PRE=vector&LEV=B&TBM=Y&TAL=Y&TAN=Y&TBI=Y&TCA=Y&TCS=Y&TDI=Y&TEC=Y&TGE=Y&TGR=Y&THI=Y&TFO=Y&TNT=Y&TPH=Y&TST=Y&TTO=Y&TTR=Y) (en inglés). MathAcademy Online. Consultado el 3 de junio de 2010.

Véase también

Referencias

Bibliografía

Ortega, Manuel R. (1989-2006). Lecciones de Física (4 volúmenes). Monytex. ISBN 84-404-4290-4, ISBN 84-398-9218-7, ISBN 84-398-9219-5, ISBN 84-604-4445-7.Resnick, Robert & Krane, Kenneth S. (2001). Physics (en inglés). New York: John Wiley & Sons. ISBN 0-471-32057-9.Serway, Raymond A.; Jewett, John W. (2004). Physics for Scientists and Engineers (en inglés) (6ª edición).Brooks/Cole. ISBN 0-534-40842-7.Tipler, Paul A. (2000). Física para la ciencia y la tecnología (2 volúmenes). Barcelona: Ed. Reverté. ISBN 84-291-4382-3.

Wikcionario tiene definiciones y otra información sobre vector.

Weisstein, Eric W. «Vector» (http://mathworld.wolfram.com/Vector.html). En Weisstein, Eric W. MathWorld (eninglés). Wolfram Research.

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