varios. aplicación del círculo de mohr en 2d
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8/17/2019 Varios. Aplicación Del Círculo de Mohr en 2D
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APLICACIÓN DEL CÍRCULO DE MOHR EN 2D A MECÁNICA DE SUELOS
Introducción
En el caso de un suelo depositado en capas horizontales y sin que haya estado sometido a
otras acciones exteriores que no sean su propio peso, las tensiones vertical y horizontal serán las
principales. Sin embargo, si en superficie se apoya una cimentación, si el terreno está inclinado,
si ha estado afectado por una obra próxima, etc,... las tensiones y planos principales, se verán
afectados, reorientándose en una dirección que no siempre es inmediato conocer (Fig. 1)
Figura 1.- Estados de tensiones del terreno y reorientación de las tensiones principales.
Planteamiento del círculo de Mohr.
Sea el estado tensional más general de los expuestos en un punto cualquiera (Fig. 1c). Se
entiende que para determinar las tensiones actuantes (σθ τθ) sobre un plano que no sea el vertical
o el horizontal, basta con establecer el equilibrio de fuerzas conocidas (σX σZ τXZ ) proyectando
según un plano paralelo al estudiado (obteniéndose τθ) y proyectando según un plano
perpendicular (obteniéndose σθ). Las expresiones resultantes son:
θ τ θ σ σ
τ
θ τ θ
σ σ σ σ
σ
θ
θ
2cos22
22cos22
⋅−⋅−
=
⋅−⋅
−
+
+
=
xz x z
xz
x z x z
sen
sen
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En la Figura 2 se ilustran estas ideas. Nótese el criterio de signos empleado en Mecánica de
Suelos, tomando las compresiones como positivas. En principio, se omitirá el efecto del agua, por
lo que no se hará distinción entre tensiones totales y efectivas.
X
Z
Zσ
σX
στθ
θ
θ
τXZ
XZττθσ
θ
Σ F N
ΣT
F
τθθσ
XστXZ
σ
XZτ
Z
θ
σ +
τ+
Criterio de Signos
Figura 2.-Esquema de fuerzas, proyección sobre un plano cualquiera y criterio de signos.
Resulta interesante, simplificar las dos expresiones anteriores como:
θ τ θ τ
θ τ θ σ
θ
θ
2cos2
22cos
⋅−⋅=
⋅−⋅+=
xz
xz
senq
senq p
siendo:
2
2
x z
x z
q
p
σ σ
σ σ
−=
+=
Propiedades geométricas del círculo de Mohr
Pese a que con las expresiones anteriores el problema queda resuelto, a continuación se
verá que los valores de las tensiones actuantes en un plano cualquiera (σθ τθ), cumplen unas
relaciones geométricas muy interesantes, que:
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- Facilitan su resolución gráfica (muy útil en la época de Mohr, hacia 1810, en que
resultaba más cómodo resolver un problema de modo gráfico que de modo numérico);
- Ayudan a la comprensión académica del tema de resistencia (es más visual).
Veamos las propiedades geométricas. En efecto, si ambas expresiones se elevan alcuadrado, se suman y se reordenan términos, resulta la siguiente expresión, igualmente válida:
2
2
2
2
22 θ θ
τ σ σ
σ τ σ σ
+⎟ ⎠ ⎞
⎜⎝ ⎛ +−=+⎟
⎠ ⎞
⎜⎝ ⎛ + x z
xz x z
Adviértase que dicha expresión responde a la expresión de un círculo (Fig. 3.)
Figura 3.- Equivalencia geométrica de la relación entre σθ y τθ cn la de un círculo.
Propiedad 1 de círculo de Mohr (el ángulo doble):
Si se conoce el círculo de Mohr que representa el estado de tensiones de un punto, las
tensiones (σθ τθ) que actúan sobre un plano cualquiera con una orientación θ respecto de un plano
del cual conocemos sus tensiones, para obtener las tensiones (σθ τθ), basta girar un ángulo 2θ en
sentido antihorario, respecto el centro del círculo, desde el punto del que conocemos sus
tensiones. Véase la Figura 4.
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Figura 4.- Propiedad del ángulo doble del círculo de Mohr.
Propiedad 2 del círculo de Mohr (el Polo):
Otra propiedad gráfica es que siempre existe un punto del círculo de Mohr, que
denominaremos Polo, que cumple lo siguiente: si se traza por él una recta con la orientación real
de un plano cualquiera π, el otro punto de intersección con el círculo de Mohr (su ordenada y su
abscisa) nos da las tensiones (σ τ) actuantes sobre dicho plano π.
Dando la vuelta a la propiedad anterior, si tenemos representado el círculo de Mohr y
conocemos las tensiones actuantes sobre un plano concreto (sabemos su orientación), basta con
dibujar en el círculo de Mohr la tensión de dicho plano y hacer pasar por él una recta con la
misma orientación del plano que conocemos. Finalmente, el otro punto de intersección de la recta
con el círculo será el Polo de este estado de tensiones.
Para comprobar que la obtención gráfica de las tensiones (σθ τθ), usando una o otra
propiedad en el fondo es lo mismo, se requiere recordar la siguiente propiedad geométrica:
Sean dos puntos cualesquiera A y B de una circunferencia, que forman un arco de 2 θ desde
el centro (O); entonces, se cumple que el ángulo formado desde cualquier otro punto P de la
circunferencia valdrá θ. Véase la Figura 5.
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θ
θ2θ2 θ2θ
θ
Caso general
A
P
B
PA
B
P=A
B
Figura 5.- Propiedad geométrica del ángulo doble y mitad.
A continuación se muestran 3 ejemplos sencillos, en los que partiendo de las tensiones
sobre planos verticales y horizontales conocidas, puede determinarse las tensiones según
cualquier otro plano. Como se ve, la resolución usando la propiedad del ángulo doble o la del
Polo, en el fondo son coincidentes.
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Polo
1σ σ
τ
σV=σ=σ3 H
θ
θ
σV
σH τθσθ
θτ
σθ
θ
θ2
2θ
θ
Z
Z
Xθτθ
θσ
σ γ= ZV
= k ZσH γ 0
Ejemplo 1. Suelo normalmente consolidado.
Polo
1σ σ
τ
σH=σ=σ3 V
θ
θ
σV
σHX
Z
Vσ
σH
στθ
θ
θτ
σθ
θ
θ2Z
= Zγ
= k Zγ0 θτ
σθθ
0k >1 (muy preconsolidado)
θσ τθ
Ejemplo 2. Suelo muy sobreconsolidado (k 0>1)
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Polo
1σ σ
τ
σ3
θ
θ
X
Z
Zσ
σX
στθ
θ
θτ
σθ
θ
Z
θτσθ
θ
θσ τθ
τXZXZτ
τXZXσ
σ
τXZ
Z
θ2
τXZ
σZ
Xσ
Ejemplo 3. Estado tensional más general.