Variación directa y variación inversa 26 mayo, 2015 charitofuentes Sentido numérico y pensamiento algebraicocantidad constante, cantidad variable, constantes y variables, ejercicios resueltos de variación inversamente proporcional, ejercicios resueltos de variación proporcional, magnitudes directamente proporcionales,magnitudes inversamente proporcionales, variable dependiente, variable independiente, variación directamente proporcional, variación inversamente proporcional

Cantidad variable y cantidad constante

Cantidad variable es aquella que puede tomar diversos valores.

Cantidad constante es aquella que tiene un valor fijo y

determinado.

Ejemplo:

En este ejemplo el costo del metro de cable no cambia, siempre es

$12.00; ésta es una cantidad constante. Mientras que el número

de metros de los rollos y su costo si cambian; éstas son cantidades

variables.

Las cantidades variables pueden ser dependientes e

independiente. Cuando una cantidad variable depende de otra se

dice que es función de esta última.

La función se define así:

Y la notación para expresar que Y es función de X es:

En nuestro ejemplo el precio del rollo es la función y depende de la

cantidad de metros que tenga, y es la variable dependiente;

mientras que el número de metros es la variable independiente.

Otros ejemplos para que queden claros los conceptos anteriores.

1.- El salario que te paguen, dependerá de los días que trabajes,

entonces el salario es función del número de días de trabajo

2.- El tiempo que se ocupe para construir una casa, dependerá de

la cantidad de albañiles que se ocupen, entonces el tiempo es

función de la cantidad de obreros.

3.- Si la base de un rectángulo es fija, el área del rectángulo

dependerá de la altura que tenga, por ello el área del rectángulo es

función de su altura; entre más altura tenga, mayor área será.

Variación proporcional

Las magnitudes puedes ser directamente proporcionales o

inversamente proporcionales.

Variación directamente proporcional

Dadas dos cantidades, si a un aumento de una corresponde un

aumento para la otra; o a una disminución de una, corresponde

una disminución para la otra, se dice que son directamente

proporcionales.

Por lo tanto las magnitudes directamente proporcionales son dos

magnitudes tales que multiplicando una de ellas por un número, la

otra queda multiplicada por el mismo número; y dividiendo una

de ellas por un número, la otra queda dividida por el mismo

número.

Ejemplo 1.

Ejemplo 2.

La velocidad de un auto es constantemente igual a 60 km por

hora, el espacio recorrido y el tiempo empleado en recorrerlo son

directamente proporcionales, pues a mayor espacio recorrido,

corresponde mayor tiempo, y a menor espacio recorrido,

corresponde menor tiempo.

Observa en la siguiente tabla:

En este ejemplo, el espacio y el tiempo son variables y la velocidad

es constante.

En la tabla se observa con claridad que, a medida que se recorre

más espacio hay un aumento en el tiempo; y a medida que se

recorre menos espacio, hay una disminución en el tiempo; por esto

se dice que el espacio y el tiempo son magnitudes directamente

proporcionales. Si divides espacio entre tiempo el cociente

siempre es igual a 60.

El tiempo es la variable dependiente y el espacio recorrido la

variable independiente.

La variación directamente proporcional de espacio y tiempo en

este ejemplo se expresa así:

Ejemplo 3.

Si el kilogramo de café cuesta $28.00, el número de kilogramos

comprados y el costo de la compra son las cantidades

directamente proporcionales.

Veamos la tabla.

En este ejemplo, los kilos y el costo son variables y el precio del kg

es constante.

En la tabla se observa con claridad que, a medida que se compran

más kilos hay un aumento en el costo; y a medida que se compran

menos kilos, hay una disminución en el costo; por esto se dice que

los kilogramos y el costo son magnitudes directamente

proporcionales. Si divides costo entre kilogramos el cociente

siempre es igual a 28.

El costo es la variable dependiente y los kilogramos la variable

independiente

La variación directamente proporcional de los kilogramos y el

costo en este ejemplo se expresa así:

Problemas

1.- Si con $168.00 compro 6kg de frijol, ¿cuántos kilos puedo

comprar con $364.00?

Como el costo y el número de kilogramos son directamente

proporcionales se tiene la proporción directa:

Recuerda que en la proporción el producto de un extremo es igual

al producto de los medios entre el extremo conocido. Por lo tanto

el problema se resuelve así:

2.- Un ciclista recorrió un circuito de 12 km 3½ veces. ¿Cuántos

kilómetros recorrió?

Proporción y solución:

Variación inversamente proporcional

Dadas dos cantidades, puede ocurrir que, a un aumento de una,

disminuya la otra; o que, al disminuir una, la otra aumente. Si

pasa esto se dice que las dos cantidades son inversamente

proporcionales.

Por lo tanto las magnitudes inversamente proporcionales son dos

magnitudes tales que multiplicando una de ellas por un número la

otra queda dividida por el mismo número; y dividiendo una por un

número, la otra queda multiplicada por el mismo número.

Ejemplo 1.

Si un tren recorre 300 km, la velocidad que lleve y el tiempo

empleado en recorrer esa distancia son cantidades inversamente

proporcionales porque a mayor velocidad tardará menor tiempo; y

a menor velocidad tardará mayor tiempo.

Observa la siguiente tabla:

En la tabla se observa que, a medida que la velocidad aumenta, el

tiempo disminuye, y que cuando la velocidad disminuye, el tiempo

aumenta. Por ello decimos que la velocidad y el tiempo son

cantidades inversamente proporcionales. El producto de la

velocidad por el tiempo siempre es igual a 300

La variación inversamente proporcional de la velocidad y el

tiempo se expresa así:

Ejemplo 2.

Si el área de un rectángulo es siempre la misma, 12 cm², la base y

la altura son cantidades inversamente proporcionales.

Observa las figuras y la tabla.

En las figuras y la tabla se ve que, siendo el área constantemente

igual a 12 cm², a medida que disminuye la base, la altura aumenta,

y cuando aumenta la base, disminuye la altura. Por ello decimos

que la base y la altura son inversamente proporcionales. El

producto de la base por la altura siempre es igual a 12.

La variación inversamente proporcional de la base y la altura se

expresa así:

Problemas

1.- A 40 km por hora, un tren recorre cierta distancia en 6 horas.

¿Qué velocidad deberá llevar para hacer el mismo recorrido en 5

horas?

Como la velocidad y el tiempo son cantidades inversamente

proporcionales, se tiene la proporción inversa:

Y se resuelve así:

2.- Un internado de 360 alumnos cuenta con provisiones para 30

días. ¿Cuánto tiempo durarán las provisiones si se admiten 40

alumnos más?

El número de alumnos y el tiempo en consumir las provisiones son

las cantidades inversamente proporcionales, por ello se resuelve

con la proporción inversa: