variables aleatorias y modelos de probabilidad.pdf

CURSO:

LIC. LUIS FERNANDO GUERRA JORDN

Universidad Nacional de San

Agustn de Arequipa

AREQUIPA- 2015-I

ESCUELA PROFESIONAL DE

CONTABILIDAD

ESTADISTICA APLICADA A LOS

NEGOCIOS

Los resultados de un experimento

aleatorio pueden ser numricos

Toda accin (proceso), pormedio de la cual se obtienenresultados que no se puedenpredecir anticipadamente.

EXPERIMENTO ALEATORIO ( )

Ejemplo

Resultado Numrico

Inspeccionar un envo de100 productos

Nmero de productosque tienen algn defecto.

nmero de defectos en una

inspeccin de productos,

Se extraen 20 peces de una

lago, y se cuenta cuntos

superan los 15 c. de largo

Se mide el peso de los

contenidos de arroz en bolsas a

la salida de una empacadora.

La descripcin numrica del resultado de unexperimento aleatorio se denomina variable aleatoria.

"nmero de hijos varonesde una familia con 3 hijos"

VARIABLE ALEATORIA

Es funcin que asigna un valor numrico real "" a cada unode los resultados "" que pertenecen al espacio muestral

de un experimento aleatorio .

(Dominio)

(Rango)

Grficamente tenemos:

EJEMPLO 1

: Si se considera el nmero decaras al lanzar 3 monedas.

SSS SSC SCS CSS CCS CSC SCC CCC

0 1 2 3 caras

= 0;1;2;3

El Espacio muestral asociado al experimento aleatorioes:

De un lote de productos, endonde el 10% son defectuosos, seelijen al azar a 3 de ellos.

EJEMPLO 2

Si se define a:

X como el nmero de productos defectuososseleccionados, entonces X tomar los valores: 0, 1,2, 3.

Esto significa que el espacio rango de X ser:

RX = {0, 1, 2, 3}.

De 2 varones y 3 damas, se elige un comit de tresmiembros.

EJEMPLO 3

Se define a X como el nmero de varones que puedenconformar el comit , en este caso X: 0, 1, 2.

Segn esto, el rango ser:

RX = {0, 1, 2}

EJEMPLO 4

La firma Pregunta S.A. realiza suacostumbrado trabajo de campo duranteuna campaa electoral, se conoce que laprobabilidad de lograr una entrevistaexitosa es 0,70. Para lograr unaentrevista debe realizar varios intentosindependientes, por la dificultad deconseguir personas que acepten laentrevista.

Se define a X la variable aleatoria definida como elNmero de intentos realizados hasta obtener unaentrevista exitosa.

Segn esto, el rango ser:

RX = {0, 1, 2, 3, , }

Una nave de combate lanzaproyectiles a una va frrea. staquedar destruida si el proyectil caea 30 metros de la va.

EJEMPLO 5

Se define a X como la distanciaentre el punto de impacto delproyectil y la va frrea.

La variable aleatoria X en este caso, toma infinitosvalores dentro de un rango; es decir,

RX = { x R / -c x c }, donde "c" es la mximadistancia entre el punto de impacto del proyectil y la vafrrea.

CLASIFICACIN

VARIABLESALEATORIAS

Si el nmero de posibles valores de X (esto es su RX) esfinito (contable) o es infinito numerable.

Ejemplos:X : Nmero de caras en n lanzamientosY : Nmero del dado al lanzarloZ : Nmero de fallas antes de darle a un blanco

DISCRETA

Si el nmero de posibles valores de X (esto es su RX) esinfinito no e numerable, es decir puede tomar infinitosvalores dentro de un intervalo de la recta real.

Ejemplos:X = temperatura ambienteY = tiempo en el que falle cierto dispositivoZ = distancia del robot a la pared

CONTINUA

Ejemplo de variables aleatorias discretas

(Rango)(Aleatorio)

Ejemplo de variables aleatorias continuas

(Rango)(Aleatorio)

DISTRIBUCIN DE PROBABILIDAD

En muchas ocasiones el inters se centra en laprobabilidad de que una variable aleatoria, asuma un valorparticular

Sea la variable aleatoria X: Nmero de productosdefectuosos; podemos estar interesados en cuantificarla probabilidad de que no se encuentre ningn productodefectuoso.

La distribucin de una variable X se define como unadescripcin del conjunto de valores posibles de X,junto con la probabilidad asociada con cada uno deestos valores.

DISTRIBUCIN DE PROBABILIDAD

+ + + + +. . + +

Funcin de probabilidad o de Cuanta

Funcin de Distribucin Acumulada

Es una funcin de probabilidad , que asigna alconjunto de sus posibles valores numricos de lavariable aleatoria discreta , sus probabilidades correspondientes, es decir:

Funcin de probabilidad o de Cuanta

: ; =

Tal que:f xi P X xi

= =

Donde:

a) Funcin de probabilidad: (Frmula) b) Tablac) Diagrama o Grfica

La distribucin de probabilidad se puederepresentar mediante:

Representacin

Consideremos X:Nmero de caras al tirar 3monedas". Obtener la funcin de probabilidad.

Se puede obtener la funcin de probabilidad (), usando ladefinicin clsica de probabilidad

Ejemplo:

ir,

Recordemos, del ejemploinicial:

= = = = = =

Calculemos la probabilidad cuando la variable aleatoria X es 0:

ir,

= = = = =

=


= + +

=

+ +

=

ir,

= = = = =


=

= + +

=

+ +

=

ir,

As obtenemos, en forma general:

=

= = = = = =


= : ; ;

Tabla

Diagrama

1

1/8

3/8

2 30

Luego, se cumple:

Funcin de probabilidad

=

=

Ejemplo:

Si una agencia automotrizvende 50% de su inventariode cierto vehculoextranjero equipado conbolsas de aire,

Encuentre la frmula para la distribucin deprobabilidad del nmero de automviles con bolsasde aire entre los siguientes 4 vehculos que vendala agencia.

Solucin:

La probabilidad de vender un vehculo con bolsas de aire es 0,5

El espacio muestral para los siguientes 4 vehculos tendra = posibles resultados:

puede ser 0; 1; 2; 3; 4

El evento de vender modelos con bolsas de aire y 4 modelos sin bolsas de aire es una combinacin con 4

formas.

Entonces la distribucin de probabilidad es:

=

4

.

16

Cada resultado sera 1 16 del espacio muestral

Es una funcin de probabilidad acumulada , de queuna variable discreta X tome un valor menor o igual axi . Es el concepto acumulativo de la probabilidad.


: ; = =

De acuerdo a las propiedades (1) y (2) tenemos quela grfica correspondiente a la funcin dedistribucin (acumulada) es:

Propiedad 3.

La funcin de distribucin acumulada estrelacionada con la funcin de probabilidad (cuantao masa) de la siguiente manera:

= ;

Consideremos "El nmero de caras al tirar 3monedas". Obtener la funcin de distribucin

Sabemos que la funcin de probabilidad esta dado por la siguiente tabla:

Por consiguiente, la funcin de distribucin tomara los siguientes valores:

Hay que hacer notar que la funcin de distribucin est definida paracualquier nmero real, es decir que toma un valor tambin para valoresque no tome la variable aleatoria, por ejemplo:

Ejemplo 1:

En el ejercicio anterior se consideraba la variable aleatoria X:Nmero de caras al tirar 3 monedas". Los valores que puedetomar esta variable son 0, 1, 2 o 3. Obtenemos la funcin dedistribucin:

1

1/8

4/8

7/81

DIAGRAMA

Una agencia bancaria tiene trescajeros automticos. Laprobabilidad de que unocualquiera de ellos falle despusde un tiempo determinado de uso,es 0.1. Los cajeros operanindependientemente uno de otro.

Ejemplo 2:

En una hora determinada, cul ser la distribucin deprobabilidad del nmero de cajeros que fallen?

SolucinSea X la variable aleatoria definida como el nmero de cajeros quefallan en una hora determinada. Segn esto, pueden fallar 0, 1, 2 olos 3 cajeros; por lo que los valores posibles de X son 0, 1, 2, 3; esdecir:

Sea el evento Un cajero falla tal que = , el evento Un cajero no falla luego = ,

= ; ; ;

Entonces:

= = = = , = , = = =

= + + = , , = ,

= = = = + + = , , = ,

= = = = , = ,

Tabla

Frmula =

, , = :; ;

Luego la distribucin de probabilidad del nmero de cajeros que fallen ser:

La funcin de cuanta (masa) de probabilidad puede escribirse como,

1

0,729

O,243

2 30

O,027O,001

Diagrama

La funcin de distribucin puede escribirse:

1

0,729

0,9720,999

1

Diagrama

Ejemplo 3:

Suponga la distribucinde probabilidad de latabla.

(a) Calcule la funcin de distribucin acumulada

(b) Verifique que:

Solucin

(a) Calcule la funcin dedistribucin acumulada

Por definicin tenemos:

f xi P X xi = = Recordemos por notacin qu:Luego:

Solucin

(b) Verifique que:

De acuerdo a la funcin de distribucin acumulada y latabla de probabilidades tenemos:

Luego:

Ejemplo 4:

Suponga que la funcin de distribucin acumuladade la variable aleatoria X es la de la figura:

Determine la funcin de probabilidad (cuantao masa) de la variable aleatoria X.

De acuerdo a la grfica y la propiedad ( segn el ejercicioanterior) tenemos

Solucin

= (Propiedad 3 )

Luego, la funcin de probabilidad (cuanta o masa) de lavariable aleatoria X es:

i

ii xXPxXE )(

Es el valor promedio, a largo plazo de lavariable aleatoria. Es conocida tambin comosu valor esperado

i

ii xXPXExXV )()(2

Se utiliza para describir el grado de dispersin ovariacin en una distribucin de probabilidades.

CARACTERSTICAS

ESPERANZA

VARIANZA

En el caso del nmero de carasal lanzar 3 monedas. Calcular einterpretar la media y la desviacinestndar de X:

X P(X) X. P(X)

0 1/8 0 0

1 3/8 3/8 3/8

2 3/8 6/8 12/8

3 1/8 3/8 9/8

12/8 = 1,5 24/8 = 3

Luego, la desviacin estndar de X es:

Se espera al realizar un gran nmero de lanzamientos demonedas obtener 1,5 caras.

Hay una variabilidad en el nmero esperado de caras de 0,866caras.

Ejemplo:

Interpretacin

Una agencia bancaria tiene trescajeros automticos. Laprobabilidad de que unocualquiera de ellos falle despusde un tiempo determinado deuso, es 0.1. Los cajeros operanindependientemente uno deotro.

Ejemplo:

En una hora determinada, cul es el nmeroesperado de cajeros que fallen?

Solucin:

La distribucin del nmero de cajeros que fallen,resuelto anteriormente, es

Luego el valor esperado de X es

E(X) = 0(0.729) + 1(0.243) + 2(0.027) + 3(0.001) = 0.3

Interpretacin

Propiedades del valor esperado

Sea X una variable aleatoria con valor esperado . Si

son constantes, entonces:

=

=

+ = +

+ = +

Ejemplo:

Una pareja casada trabajapara un empresario. La pagaextra de Navidad de la mujeres una variable aleatoria cuyovalor esperado es 1500dlares.

(a) Si la paga extra del marido se fija igual al 80% de la de lamujer, encuentre el valor esperado de la paga extra delmarido

(b) Si la paga extra del marido se establece igual a 1000dlares ms que la de su mujer, encuentre su valoresperado.

Solucin:

Denote como X la paga extra (en dlares) de la mujer.

(a) Puesto que la paga extra del marido es 0,8X; se tiene que

= , = , =

(b) En este caso, la paga extra del marido es X+100; porconsiguiente

= + = + =

Valor Esperado de una funcin de variable aleatoria

Sea una variable aleatoria discreta con funcin de

probabilidad () y sea () una funcin de . El valor

esperado de (), denotado por () est dado por:

Suponga que el nmero deautomviles que pasan por un autolavado entre las 4:00 y las 5:00 enun viernes cualquiera tienen lasiguiente distribucin deprobabilidad.

Sea g(x)=2x-1 la cantidad de dinero en dlares que eladministrador le paga al empleado. Encuentre laganancia que espera el dependiente en ese periodoespecfico

Ejemplo:

Solucin:

El dependiente espera recibir en ese periodoespecfico:

Propiedades de la Varianza

Sea X una variable aleatoria con varianza . Si son

constantes, entonces:

=

+ =

= 2

+ = 2

MODELOS DE DISTRIBUCIN DE PROBABILIDAD

Muchas variables aleatorias dan origen a lamisma distribucin de probabilidad, como porejemplo:

Inspeccionar 10 objetos para ver si son o nodefectuosos.

Preguntar a 5 personas si tienen o no tienentrabajo

Ejemplo:

Una tienda de computadoras compr tresmquinas a 500 dlares c/u. Las vender a1000 dlares la pieza. El fabricante estde acuerdo en volver a comprar lascomputadoras que no se vendan despus deun periodo especificado a 200 dlares lapieza. Sea X el nmero de computadorasvendidas y suponga que:

Si h(X) representa la ganancia obtenida con la venta de Xunidades, la informacin proporcionada indica que

P(0)=0.1, P(1)=0.2, P(2)=0.3 y P(3)=0.4.

Entonces cual ser la ganancia esperada ?

Solucin:

Si h(X) representa la ganancia obtenida con la venta de Xunidades, la informacin proporcionada indica que:

=1000X+200(3-X)-1500=800X-900

h(X)=ingreso-costo

Entonces:

Vamos a considerar algunas variables y susdistribuciones de probabilidad, entre las masutilizadas tenemos:

MODELOS DE DISTRIBUCIN DE PROBABILIDAD

DISTRIBUCIN BINOMIAL

DISTRIBUCIN POISSON

DISTRIBUCIN NORMAL

DISCRETAS CONTINUAS

Se repiten un nmero finito de veces, Cada prueba del experimento con dos

resultados posibles, Los cuales son repetidos en idnticas

condiciones y de forma que cadaresultado de una prueba o repeticin esindependiente del resultado de otra;

Experimento Binomial

La probabilidad de obtener xito ofracaso siempre es la misma en cadaocasin.

En una encuesta de 10 hogares que tienen el televisor,estn sintonizando el programa Cuarto Poder

DISTRIBUCIN BINOMIAL

FUNCIN DE PROBABILIDAD

= P( E ): Probabilidad de xito

= = P(F): Probabilidad de fracaso

= , , , . . , (Nmero de xitos en n ensayos o pruebas)

(Nmero de ensayos o pruebas del experimento binomial)

NOTACIN Tambin se suele representar como:

ESPERANZA

VARIANZA

Nmero combinatorio

FUNCIN DE PROBABILIDAD ACUMULADA

Ejemplo:

El programa de televisin 60 minutos de la CBS, hasido exitoso por muchos aos. Recientemente tuvo unndice de audiencia de 20, lo que significa que detodos los televisores encendidos, el 20% estabansintonizados en 60 minutos. Suponga que unanunciante desea verificar ese valor del 20%realizando su propia encuesta, y que inicia unaencuesta piloto con 10 hogares que tienen el televisorencendido en el momento en que se transmite elprograma 60 minutos.

El gerente de una gran tienda necesitadeterminar cul es la probabilidad deque 2 de tres clientes que ingresan ala tienda hagan una compra. El sabeque la probabilidad de que un clientecompre es de 0,3.

Ejemplo:

Respuesta:

la probabilidad de que de 3 clientes que ingresan ala tienda 2 compren es de 18,9%.

Solucin:

Luego la probabilidad de que de 3 clientes que ingresan a latienda 2 compren es de 0,189 (18,9%)

La probabilidad de que unreloj salga de fbricadefectuoso es del 4 %. Halla:El nmero esperado de relojesdefectuosos en un lote de1000

Se espera que 40 relojes salgan defectuosos en unlote de 1000 es de 40

Ejemplo:

Respuesta:

Se espera que 40 relojes salgan defectuosos en unlote de 1000 es de 40

Solucin:

Ejemplo:

Ejemplo:

Solucin:

Experimento Poisson

Las llamadas telefnicas que se reciben en un da

Ejemplo

Ejemplos

El nmero de errores de ortografa que uno cometeal escribir una nica pgina.

DISTRIBUCIN POISSON

: nmero medio o esperado de xitos por unidad de tiempo, rea o producto

FUNCIN DE PROBABILIDAD

ESPERANZA

VARIANZA


FUNCIN DE PROBABILIDAD ACUMULADA

~ ()

Los clientes llegan a una maquinafotocopiadora a una tasa mediade dos cada cinco minutos.

Calcular la probabilidad que:

Ejemplo 1

a) Se produzcan dos llegadas en un periodo decinco minutos

b) Se produzcan como mximo tres llegadas en unperiodo de cinco minutos.

c) Se produzcan ms de dos llegadas en un periodode cinco minutos. Respuesta: 0.3233

Respuesta: 0.2707

= 1 P(0) P(1) P(2)

= 1 0.1353 0.2707 0.2707 = 0.3233

Solucin:

c) Se produzcan ms de dos llegadas en un periodode cinco minutos.

> = ( )

> = ,

a) Se produzcan dos llegadas en un periodo de cincominutos.

= = e-2(2)2 = (0.135335)(4) = 0.27072! 2

Una compaa telefnicarecibe llamadas a razn de 5por minuto. Si la distribucindel nmero de llamadas esde Poisson, calcular laprobabilidad de:

Ejemplo 2

a)Recibir exactamente cinco llamadas en un minuto.b)Recibir menos de cuatro llamadas en un determinadominuto.c) Recibir ms de ocho llamadas en un determinadominuto.

Por determinado tramo decarretera se observa el pasode vehculos con una frecuenciade 2 vehculos por minuto.Calcular:

a) Probabilidad de que durante 60 segundosconsecutivos no se alcance ver ningn vehculo en estetramo.b) Probabilidad de que lleguen ms de tres vehculos enel intervalo de 2 minutos.c) Tiempo de observacin mnimo para tener unaprobabilidad al menos del 95 % de ver un mnimo de 4vehculos.

Ejemplo 3

Sea X ="no de averas en una semana si de media hay =2"Poisson( = 2).EntoncesP (X = 0) = e2 20 0! = 0.14Si en una semana hay 2 averas de media, entonces en unmes hay 24 = 8 averas de media. Sea entonces Y ="no deaveras en un mes si de media hay = 8" Poisson( = 8)P (Y 5) = P (Y = 0)+ + P (Y = 5) = e2 20 0! + + e2 255!= 0.191

Solucin:

En un taller se averan una media de 2mquinas a la semana. Calcula laprobabilidad de que no haya ningunaavera en una semana. Y de que hayamenos de 6 en un mes?

TALLER APLICATIVO

APROXIMACIN DE LA DISTRIBUCINBINOMIAL A LA DE POISSON

~ ()

> ; ,

La probabilidad de que hayaun accidente en unacompaa de manufactura esde 0,02 por cada da detrabajo. Si se trabajan 300das al ao,Calcular la probabilidad detener 3 accidentes

Ejemplo 1

Solucin:

La probabilidad de que unproducto salga defectuosoes de 0,012.

Cul es la probabilidadde que entre 800productos ya fabricadoshayan 5 defectuosos?

Ejemplo 2

Solucin:

Ejemplo 3:

Ejemplo 4

La probabilidad de que aladministrrsele un antibitico aun ave rapaz en recuperacin sele presente una reaccinnegativa es 0.05. Si se le va aadministrar el antibitico a 80de estas aves.

Calclese la probabilidad de que:1. No haya reaccin negativa en ningn ave (0.0183)2. Al menos haya reaccin negativa en dos de ellas

(0.9084)3. Como mucho la haya en 5 (0.7851)

Introduccin

- Caracteres morfolgicosde individuos ( personas,animales, plantas)

- Caracteres fisiolgicos,como el efecto de una mismadosis de un frmaco, o de unamisma cantidad de abono.

- Caracteres sociolgicos,como el consumo de ciertosproductos por individuos deun mismo grupo humano.

- Caracteres psicolgicos,como el cociente intelectual,grado de adaptacin a unmedio.

- Caracteres fsicos, como la resistenciaa la rotura de ciertas piezas. . .

DISTRIBUCIN NORMAL

La importancia de la distribucin normal se debe principalmente a que haymuchas variables asociadas a fenmenos naturales que siguen el modelo dela normal.

PROPIEDADES

Esperanza

Varianza

REPRESENTACIN GRFICA

DISTRIBUCIN NORMAL

FUNCIN DE DENSIDAD

FUNCIN DE DISTRIBUCIN


La distribucin normal estndar, tipificada o reducida, es aquella quese obtiene por resultado de un cambio de variable, que permite tener suvalor medio cero , = 0 y por desviacin tpica la unidad, =1

Para indicar que una variable Z, sigue una distribucin normal demedia y desviacin estndar usaremos la expresin:

= 0

=1

DISTRIBUCIN NORMAL ESTNDAR

FUNCIN DE DENSIDAD

Tablas de la normal N(0, 1)

x 0,00 0,01 0,02 0,03 0,04 0,05 0,06 0,07 0,08 0,090,0 0,5000 0,5040 0,5080 0,5120 0,5160 0,5199 0,5239 0,5279 0,5319 0,53590,1 0,5398 0,5438 0,5478 0,5517 0,5557 0,5596 0,5636 0,5675 0,5714 0,57530,2 0,5793 0,5832 0,5871 0,5910 0,5948 0,5987 0,6026 0,6064 0,6103 0,61410,3 0,6179 0,6217 0,6255 0,6293 0,6331 0,6368 0,6406 0,6443 0,6480 0,65170,4 0,6554 0,6591 0,6628 0,6664 0,6700 0,6736 0,6772 0,6808 0,6844 0,68790,5 0,6915 0,6950 0,6985 0,7019 0,7054 0,7088 0,7123 0,7157 0,7190 0,72240,6 0,7257 0,7291 0,7324 0,7357 0,7389 0,7422 0,7454 0,7486 0,7517 0,75490,7 0,7580 0,7611 0,7642 0,7673 0,7704 0,7734 0,7764 0,7794 0,7823 0,78520,8 0,7881 0,7910 0,7939 0,7967 0,7995 0,8023 0,8051 0,8078 0,8106 0,81330,9 0,8159 0,8186 0,8212 0,8238 0,8264 0,8289 0,8315 0,8340 0,8365 0,83891,0 0,8413 0,8438 0,8461 0,8485 0,8508 0,8531 0,8554 0,8577 0,8599 0,86211,1 0,8643 0,8665 0,8686 0,8708 0,8729 0,8749 0,8770 0,8790 0,8810 0,88301,2 0,8849 0,8869 0,8888 0,8907 0,8925 0,8944 0,8962 0,8980 0,8997 0,90151,3 0,9032 0,9049 0,9066 0,9082 0,9099 0,9115 0,9131 0,9147 0,9162 0,9177

2121( ) ( ) e

2

xt

F x PZ x dt

x 0,00 0,01 0,02 0,030,0 0,5000 0,5040 0,5080 0,51200,1 0,5398 0,5438 0,5478 0,55170,2 0,5793 0,5832 0,5871 0,59100,3 0,6179 0,6217 0,6255 0,62930,4 0,6554 0,6591 0,6628 0,66640,5 0,6915 0,6950 0,6985 0,70190,6 0,7257 0,7291 0,7324 0,73570,7 0,7580 0,7611 0,7642 0,76730,8 0,7881 0,7910 0,7939 0,79670,9 0,8159 0,8186 0,8212 0,82381,0 0,8413 0,8438 0,8461 0,84851,1 0,8643 0,8665 0,8686 0,87081,2 0,8849 0,8869 0,8888 0,89071,3 0,9032 0,9049 0,9066 0,9082

Manejo de tablas

P(Z 1,23) = 0,8907

X

Y

01,23

x 0,00 0,01 0,02 0,030,0 0,5000 0,5040 0,5080 0,51200,1 0,5398 0,5438 0,5478 0,55170,2 0,5793 0,5832 0,5871 0,59100,3 0,6179 0,6217 0,6255 0,62930,4 0,6554 0,6591 0,6628 0,66640,5 0,6915 0,6950 0,6985 0,70190,6 0,7257 0,7291 0,7324 0,73570,7 0,7580 0,7611 0,7642 0,76730,8 0,7881 0,7910 0,7939 0,79670,9 0,8159 0,8186 0,8212 0,82381,0 0,8413 0,8438 0,8461 0,84851,1 0,8643 0,8665 0,8686 0,87081,2 0,8849 0,8869 0,8888 0,89071,3 0,9032 0,9049 0,9066 0,9082

Manejo de tablas

P(Z 1,23) =

X

Y

01,231,23

1 P(Z 1,23) = 1 0,8907 = 0,1093

x 0,00 0,01 0,02 0,030,0 0,5000 0,5040 0,5080 0,51200,1 0,5398 0,5438 0,5478 0,55170,2 0,5793 0,5832 0,5871 0,59100,3 0,6179 0,6217 0,6255 0,62930,4 0,6554 0,6591 0,6628 0,66640,5 0,6915 0,6950 0,6985 0,70190,6 0,7257 0,7291 0,7324 0,73570,7 0,7580 0,7611 0,7642 0,76730,8 0,7881 0,7910 0,7939 0,79670,9 0,8159 0,8186 0,8212 0,82381,0 0,8413 0,8438 0,8461 0,84851,1 0,8643 0,8665 0,8686 0,87081,2 0,8849 0,8869 0,8888 0,89071,3 0,9032 0,9049 0,9066 0,9082

Manejo de tablas

P(1,01 Z 1,23) =

X

Y

01,23

P(Z 1,23) P(Z 1,01) =

= 0,8907 0,8438 = 0,1469

1,01

x 0,00 0,01 0,02 0,030,0 0,5000 0,5040 0,5080 0,51200,1 0,5398 0,5438 0,5478 0,55170,2 0,5793 0,5832 0,5871 0,59100,3 0,6179 0,6217 0,6255 0,62930,4 0,6554 0,6591 0,6628 0,66640,5 0,6915 0,6950 0,6985 0,70190,6 0,7257 0,7291 0,7324 0,73570,7 0,7580 0,7611 0,7642 0,76730,8 0,7881 0,7910 0,7939 0,79670,9 0,8159 0,8186 0,8212 0,82381,0 0,8413 0,8438 0,8461 0,84851,1 0,8643 0,8665 0,8686 0,87081,2 0,8849 0,8869 0,8888 0,89071,3 0,9032 0,9049 0,9066 0,9082

Manejo de tablas

P(1,23 Z 1,01) =

X

Y

0

= P(Z 1,23) P(Z 1,01) = 0,8907 0,8438 = 0,1469

1,231,011,23 1,01

P(1,01 Z 1,23) =

x 0,00 0,01 0,02 0,030,0 0,5000 0,5040 0,5080 0,51200,1 0,5398 0,5438 0,5478 0,55170,2 0,5793 0,5832 0,5871 0,59100,3 0,6179 0,6217 0,6255 0,62930,4 0,6554 0,6591 0,6628 0,66640,5 0,6915 0,6950 0,6985 0,70190,6 0,7257 0,7291 0,7324 0,73570,7 0,7580 0,7611 0,7642 0,76730,8 0,7881 0,7910 0,7939 0,79670,9 0,8159 0,8186 0,8212 0,82381,0 0,8413 0,8438 0,8461 0,84851,1 0,8643 0,8665 0,8686 0,87081,2 0,8849 0,8869 0,8888 0,89071,3 0,9032 0,9049 0,9066 0,9082

Manejo de tablas

P(1,23 Z 1,01) =

X

Y

0

= P(Z 1,01) (1 P(Z 1,23)) = 0,8907 1+ 0,8438 = 0,7345

P(Z 1,01) P(Z 1,23) =

1,011,23

Apuntes: Algunas probabilidades bajo la N(, )

X

Y

m + m + 2m 2 m m + 3m 30,683

0,954

0,997

Ejemplo 1:Las calificaciones de los 500aspirantes presentados a unexamen para contratacin laboral,se distribuye normalmente conmedia 6,5 y varianza 4.

a) Calcule la probabilidad de que un aspiranteobtenga ms de 8 puntos.b)Determine la proporcin de aspirantes concalificaciones inferiores a 5 puntos.c)Cuntos aspirantes obtuvieron calificacionescomprendidas entre 5 y 7,5 puntos ?.

a) Calcule la probabilidad de que un aspiranteobtenga ms de 8 puntos.

Datos:

=

= , =

P(X > 8)

Planteamiento: X: Calificacin de un aspirante

86,5

> ,

>

> ,

P(Z > 0,75)

0,750

Procedimiento:

Uso de tabla Z

Tabla de Distribucin normalestndar Z acumulada

> , = ( , ) Buscamos en la tabla laprobabilidad correspondiente

Reemplazando tenemos: > , = , = ,

Respuesta: La probabilidad de que un aspirante obtenga msde 8 puntos es del 22,66%.

b)Determine la proporcin de aspirantes concalificaciones inferiores a 5 puntos.

Datos:

=

= , =

Planteamiento:

< ,

<

< , = ,

Procedimiento:

<

5 6,5

-0,75 0Respuesta: La probabilidad de que un aspirante obtenga menos

de 5 puntos es del 22,66%.

c)Cuntos aspirantes obtuvieron calificacionescomprendidas entre 5 y 7,5 puntos ?.

Datos:

=

= , =

Planteamiento:

,

, ,

,

Procedimiento: ,

5 7,5

, , = , , = ,

Respuesta: La probabilidad de que un aspirante obtengacalificacin entre 5 y 7,5 puntos es de 46,49%

Consideremos un caso en el cual un fabricante deropas, desea estudiar la distribucin de laestatura de las personas. Reconoci que el pblicoestaba en constante cambio en su tamao fsico yen sus proporciones. En un esfuerzo por producirla ropa de mejor ajuste, la gerencia sinti que senecesitaba un anlisis completo de las tendenciasactuales en los tamaos de moda.

Ejemplo 2:

Se supone que si el fabricante fuera a medirlas estaturas de todos sus clientespotenciales, encontraran que las estaturasestn distribuidas normalmente alrededor deuna media de 170 cm. Es decir, que mientrasque la estatura promedio es de 170 cm,algunas personas son mas bajas y algunas masaltas. Esta dispersin por encima y por debajode la media podra medirse mediante ladesviacin estndar. Se asume que ladesviacin estndar en las estaturas de losclientes es de 5 cm.

Distribucin normal estndar

CLCULO DE PROBABILIDADES DE UNA DISTRIBUCIN NORMAL

Estandarizar una distribucin normal permite determinarms fcilmente la probabilidad que ocurra cierto evento.

Ejemplo 3El personal de la empresa del ejemplo anterior, puedehallar la probabilidad de que un solo cliente tenga entre170 y 175 centmetros de estatura, simplementehallando el rea que est bajo la curva normal entre170 y 175.

Tabla de Distribucin normalestndar acumulada

Ejemplo 4

Supongamos que el personal de la empresa deseahallar la probabilidad de que un solo cliente tengamas de 180 centmetros de estatura.

Ejemplo 5Se desea hallar la probabilidad de que un solocliente su estatura este comprendida entre 165y 174 centmetros de estatura.

Usando la tabla de distribucinacumulada tenemos:

Usando la tabla de distribucinacumulada tenemos:

v

v

RespuestaLa probabilidad de que un solo cliente suestatura este comprendida entre 165 y 174centmetros de estatura es de 62,94%

Ejemplo 6:

Se sabe que la longitud de las alasextendidas de un tipo de ave rapazes una variable aleatoria que sigueuna distribucin Normal, de media120 cm. y desviacin tpica 8 cm.

1. Calclese la probabilidad de que la longitud de un aveelegida al azar sea:

a.- Mayor de 130 cm (0,1056)b.- Menor de 100 cm (0,00621)c.- Est comprendido entre 110 y 130 cm (0,7888)

2. Obtener la longitud mnima, del 10 % de las avestienen una longitud superior de sus alas medidas .

Solucin

1.a.) La probabilidad de que la longitud de un ave elegida al azarsea mayor de 130 cm.

X N(120; 8) = = y : Longitud de las alas extendidas de un tipo de ave rapaz (cm).

Estandarizando X tenemos:

,

USO DE

TABLAS

Respuesta: La probabilidad de que la longitudde un ave elegida al azar sea mayor de 130cm. es del 0,1056 (10,56%)

Solucin

2. Obtener la longitud tal que solo el 10 % de las aves tienen unalongitud superior.

Estandarizando X tenemos:

Respuesta: La longitud mnima, del 10 % delas aves que tienen una longitud superior desus alas medidas es de 130,24 cm.

APROXIMACIN DE LA DISTRIBUCIN BINOMIAL A LA DISTRIBUCIN NORMAL

Sea X una variable aleatoria con distribucin Binomial:

Si se verifica que n es grande y p ni muy grande nimuy pequeo, es decir :

La Distribucin Binomial se aproxima a unadistribucin Normal de parmetros = y =, respectivamente:

; 0,5 ; 0,5

Cuando aproximamos una distribucin binomial mediante unanormal, estamos convirtiendo una variable X discreta (tomaun nmero determinado de valores) en una continua X (tomavalores en un intervalo).

En el siguiente esquema se muestran todas las situacionesposibles:

Exactamente a

a-0,5 a+0,5

A lo sumo a

a+0,5

Ms que a

Al menos a

Menos que a

a-0,5

a+0,5

a-0,5

Un examen tipo test consta de 38 preguntas a contestarverdadero o falso. El examen se aprueba si se contestacorrectamente al menos 20 preguntas. Un alumno responde alexamen lanzando al aire una moneda y contestando verdadero sisale cara y falso si sale cruz. Hallaa) La probabilidad de aprobar el examenb) Probabilidad de acertar ms de 24 y menos de 31.

Ejemplo

Solucin

= 38 0,5 = 19 0,5

20-0,5=19,5

Solucin

24+0,5 31-0,5

Solucin

Tenemos = sujetos independientesy X ;suponemos que la proporcin de lapoblacin es de = 2 3 de lo que sededuce = 1 3 Utilizaremos unadistribucin normal para aproximar ladistribucin binomial.

Paso 1:

Paso 2:

Si es lo suficientemente grande (mayor que cinco), ladistribucin de Poisson puede aproximarse mediante ladistribucin normal. Tal aproximacin es consecuencia de lareproductividad de la distribucin de Poisson y del Teoremadel limite central. La aproximacin de la distribucin dePoisson a travs de la distribucin normal se expresa de lasiguiente manera:

APROXIMACIN DE LA DISTRIBUCIN DE POISSON A LA DISTRIBUCIN NORMAL

Ejemplo

Supngase que una editorialimprime un texto que contieneerratas al azar con una tasade = , erratas porpgina. Calcular laprobabilidad de que en 200pginas se encuentren ms de80 erratas.

Solucin

Se tiene la variable aleatoria X: Nmero de erratas en200 pginas. sta sigue una distribucin de Poisson con = , =

Dado que = , = > , es posible realizar laaproximacin a la distribucin normal.

> + ,

= > 1,95

= , Z =-1,95

APROXIMACIN DE LA DISTRIBUCIN BINOMIAL Y POISSON A LA DISTRIBUCIN NORMAL

variables aleatorias y modelos de probabilidad.pdf

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