VARIABLES ALEATORIAS DISCRETAS Y SUS DISTRIBUCIONES DE PROBABILIDADEn el tema anterior, las variables se definieron como caractersticas que cambian o varan con el tiempo y/o para diferentes personas u objetos bajo consideracin. Las variables cuantitativas generan datos numricos, en tanto las variables cualitativas generan datos categricos. No obstante, incluso las variables cualitativas pueden generar datos numricos si las categoras son codificadas numricamente para formar una escala. Por ejemplo, si se lanza al aire una sola moneda, el resultado cualitativo podra registrarse como 0 si es cara o como 1 si es cruz.

VARIABLES ALEATORIAS

Una variable x valuada numricamente vara o cambia, dependiendo del resultado particular del experimento que se mida. Por ejemplo, suponga que se tira un dado y se mide x, el nmero observado en la cara superior. La variable x puede tomar cualquiera de seis valores: 1, 2, 3, 4,5 y 6, dependiendo del resultado aleatorio del experimento. Por esta razn, la variable x se conoce como variable aleatoria.DEFINICIN. Una variable x es una variable aleatoria si el valor que toma, correspondiente al resultado de un experimento, es una probabilidad o evento aleatorio.Se pueden considerar numerosos ejemplos de variables aleatorias:

X= Numero de defectos en una pieza de mueble seleccionada al azar.

X= Calificacin de examen de aptitud escolar (SAT) para un universitario seleccionado al azar.

X= Nmero de llamadas telefnicas recibidas por una lnea directa de intervencin en crisis durante un periodo seleccionado al azar.

Al igual que en captulo 1, las variables aleatorias cuantitativas se clasifican ya sea como Discretas o Continuas, de acuerdo de acuerdo con los valores que x pueda tomar. Es importante distinguir entre variables aleatorias discretas y continuas, porque se usan tcnicas diferentes para describir sus distribuciones.

DISTRIBUCIONES DE PROBABILIDADDefinimos la probabilidad como el valor limitando de la frecuencia relativa cuando el experimento se repite una y otra vez. Ahora definimos la distribucin de probabilidad para una variable aleatoria x como la distribucin de frecuencia relativa para toda la poblacin de mediciones.

DEFINICIN La distribucin de probabilidad para una variable aleatoria discreta es una frmula, tabla o grfica que da los posibles valores de x, y la probabilidad p(x) asociada con cada valor de x.REQUISITOS PARA UNA DISTRIBUCIN DE PROBABILIDAD DISCRETA

0 p(x) 1

p(x) = 1

EJEMPLO: Lance al aire dos monedas imparciales y sea x igual al nmero observado de caras. Encuentre la distribucin de probabilidad de x.

Eventos simples y probabilidades al lanzar al aire dos monedas.

Evento simpleMoneda 1Moneda 2P(Ei)X

E1CC2

E2CA1

E3AC1

E4AA0

Para cada valor de x, se puede calcular p(x) al sumar las probabilidades de los eventos simples en ese evento. Por ejemplo: x = 0

P(0) = P(E4) =

Y cuando x = 1

P(1) = P(E2) + P(E3) =

Distribucin de Probabilidad para x (x= nmero de caras)EVENTOS SIMPLES

Xen XP(X)

0E4

1E2, E3

2E1

P(X) =1

A continuacin se definen la media, la varianza y la desviacin estndar a partir de una distribucin de probabilidad de una variable aleatoria discreta en general.

Definicin 10.6 El valor esperado o media de una variable aleatoria discreta X, est dado por:

= E(x) = x p(x)

.

Definicin 10.7 La varianza de una variable aleatoria discreta X, es el valor esperado del cuadrado de las desviaciones con respecto a la , y est dada por: = [ x2 p(X=x) ] 2Definicin 10.8 La desviacin estndar de una variable aleatoria discreta X, es la raz cuadrada de la varianza,

Tabla 10.2 Distribucin de Asignacin de Incentivos.

Bono01/41/23/41

Probabilidad0.120.480.30.080.02

a) Encontrar el valor esperado del bono por productividad para un trabajador.

b) Encontrar la varianza y la desviacin estndar del bono por productividad por trabajador.

Solucin:

a) =0(0.12) + (1/4)(0.48) + (1/2)(0.3) + (3/4)(0.08) +(1)(0.02)

= 0 + 0.12 + 0.15 + 0.06 + 0.02 = 0.35 bonos.

El valor promedio de los bonos asignados a los trabajadores es de 0.35b)

2 = 0.17 - (0.35)2 = 0.0475 (bonos)2 = 0.2179 bonos.

La varianza y desviacin estndar de los bonos asignados a los trabajadores es de 0.0475 y 0.2179 respectivamente.

Ejemplo: Se ha encontrado que el nmero de camiones que llegan por hora a un almacn sigue la distribucin de probabilidad que se muestra en la siguiente tabla. Calculea) El numero esperado X de llegadas por hora

b) La varianza y

c) La desviacin estndar de la variable aleatoria discreta.Nm. camiones (X)0123456

Probabilidad P (X)0.050.100.150.250.300.100.05

Distribucin Binomial

Un experimento binomial, por principio de cuentas consiste de varios ensayos con dos posibles resultados, por lo que es conocido como dictomo. Para tal efecto, supngase que se va a hacer un muestreo en un lote que contiene N artculos, de los cuales existen D defectuosos, D N, el muestreo se va a efectuar con reemplazo, es decir, cada vez que un artculo es sacado del lote, ste ser reemplazado con uno similar, defectuoso o bueno. Se desea sacar una muestra de tamao n, es decir realizar n ensayos.

Definicin

Sea Xuna variable aleatoria binomial con una probabilidad de xito p y n ensayos, entonces la media de X est dada por:

=(X)= np,

y la varianza y desviacin estndar por:

2= npqy =npq, respectivamente.

caractersticas de un experimento binomial se listan a continuacin:

i) El experimento consiste de n ensayos idnticos.

ii) Cada ensayo tiene dos posibles resultados, los cuales sern denotados por E = xito y F = fracaso.

iii) La probabilidad de xito permanece constante para todos los ensayos. La probabilidad de xito ser denotada por p y la de fracaso por q, ntese que p+q = 1.

iv) Los ensayos son independientes.

v) La variable aleatoria binomial X, denota el nmero de xitos en el experimento.

Ejemplo: Supngase que en cierta ciudad se va a seleccionar presidente municipal, existe un candidato de inters para una agencia privada y desean saber la opinin de las personas al momento de su voto. Existe una probabilidad de 0.4 de que una persona seleccionada al azar vote por el candidato de inters de dicha agencia. Si se va a seleccionar una muestra al azar de 10 personas durante la votacin, encuentre:

a) La media y la desviacin estndar del nmero de personas que votaran por el candidato de inters.

b) La probabilidad de que el nmero de personas a favor del candidato de inters, sea menor o igual que 5.

c) La probabilidad de que el nmero de votantes a favor en la muestra sea por lo menos 6.

d) La probabilidad de que el nmero de votantes a favor en la muestra sea exactamente igual a 3.

Ejemplo: La probabilidad de que un empleado asalariado elegido al azar participe en un programa de retiro voluntario es 0.40. Si en forma aleatoria se escogen cinco empleados asalariados, la probabilidad de que la proporcin de los que participan en el programa sea exactamente 0.60 es:

Ejemplo: Debido a condiciones econmicas, una empresa reporta que 30 por ciento de sus cuentas por cobrar estn vencidas. Si un contador toma una muestra aleatoria de cinco de ellas, determine la probabilidad de ocurrencia de cada uno de los eventos siguientes:

a) Ninguna de las cuentas est vencida

b) Exactamente dos cuentas estn vencidas

c) La mayora de las cuentas estn vencidas (mayor o igual a 3)

d) Exactamente el 20% de las cuentas sean cuentas vencidas.