valuación de opciones ( modelo black scholes)
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7/23/2019 Valuacin de Opciones ( Modelo Black Scholes)
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Unidad 2:
VALUACION DE OPCIONES BAJO EL
MODELO DE BLACK - SCHOLES
Profesor: Alejandro Daz Ramos
Escuela de Ingeniera ComercialUniversidad de Atacama
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Modelo Black - Scholes
En el ao 1997, los economistas Robert Merton yMyron Scholes; ganaron el Premio Nobel deEconoma, por sus aportaciones respecto a un
modelo que permita determinar el valor deopciones financieras.
Con este modelo, se introducen el clculo
estocstico, permitiendo que el comportamiento delos precios fuese descrito en lenguaje deprobabilidad.
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Modelo Black - Scholes
El modelo B-S permite calcular el valor actual deuna opcin europea, de compra (call) o venta(put), sobre acciones en una fecha futura,
siempre que la accin NO PAGUE DIVIDENDOS.
Donde:
=
= ()
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Modelo Black - Scholes
y
=
ln( ) + + 2
=ln( ) + (
2)
Por lo tanto
=
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Modelo Black - Scholes
N(X)= funcin de probabilidad acumulativa para
una variable normal estandarizada.
S0
= precio spot de la accin.
K = precio de ejercicio.
r = tasa libre de riesgo con capitalizacin
continua.T= tiempo al vencimiento.
= volatilidad del precio de la accin.
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Modelo BlackScholes: Ejemplo
El precio de una opcin seis meses antes del
vencimiento de una opcin es de $42, el precio
de ejercicio de la opcin es de $40, la tasa libre
de riesgo es de 10% anual y la volatilidad es de20%.
Es decir:
= 42; = 40; = 0,1; = 0,2; = 0,5
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Modelo BlackScholes: Ejemplo
=ln(42 40) + 0,1 + 0,2 2 0,5
0,2 0,5= 0,7693
=ln(42 40) + (0,1 0,2 2)0,5
0,2 0,5= 0,6278
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Modelo BlackScholes: Ejemplo
Utilizamos los valores de tabla, para unadistribucin normal.
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Tabla de valores de N(X),
cuando x>=0
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Tabla de valores de N(X),
cuando x=
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Modelo BlackScholes: Ejemplo
= 42 0,779 40,,0,7341 = 4,7861
= 40 (,,) 0,2650 42 0,2221 = 0,7543
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Modelo BlackScholes: Ejemplo
Con lo anterior, en el caso del inversionista quetoma una posicin larga en opcin de compra, elprecio de mercado de la accin debera aumentar
en $2,7861 (K=40), para que el inversionistatermine sin prdidas.
Del mismo modo, el precio de la accin debe bajar
en $2,7543 (S0 = $42) para que el inversionista quetom una posicin larga en una opcin de ventatermine en equilibrio.
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Modelo BlackScholes: Ejemplo
Con lo anterior, en el caso del inversionista quetoma una posicin larga en opcin de compra, elprecio de mercado de la accin debera aumentar
en $2,7861 (K=40), para que el inversionistatermine sin prdidas.
Del mismo modo, el precio de la accin debe bajar
en $2,7543 (S0 = $42) para que el inversionista quetom una posicin larga en una opcin de ventatermine en equilibrio.
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Modelo BlackScholes (Con
dividendos)
Cuando la empresa paga dividendos, la
valuacin de la opcin se debe ajustar por este
pago.
Fecha ex dividendo: fecha en que se anuncia el
pago de dividendo por accin. En un mercado
eficiente, el precio de la accin deber disminuir
en la misma cantidad del dividendo anunciado.
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Modelo BlackScholes (Con
dividendos)
Eficiencia de mercado: Grado en que el precio
de la accin incorpora la informacin respecto a
la empresa y sus expectativas.
La eficiencia de mercado se puede presentar en
3 niveles.
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Modelo BlackScholes (Con
dividendos)
Eficiencia dbil: los precios reflejan la
informacin contenida en los precios pasados.
Ningn inversionista puede obtener excesos
de retorno (sobre la media del mercado)basndose en informacin histrica (anlisis
tcnico).
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Modelo BlackScholes (Con
dividendos)
Eficiencia semi fuerte: los precios reflejan la
informacin histrica y adems la informacin
pblica relacionada con la empresa (por ej.
Estados financieros o hechos relevantes). Eneste caso ningn inversionista podr obtener
retornos excesivos o anormales, con el uso de
la informacin pblica disponible.
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Modelo BlackScholes (Con
dividendos)
Eficiencia fuerte: los precios reflejan la
informacin histrica, la informacin pblica
disponible, y adems informacin privada
(privilegiada) respecto al emisor. Ningninversionista puede obtener retornos
anormales con el uso de la informacin
privilegiada.
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Modelo BlackScholes (Con
dividendos)
El modelo B-S asume que el mercado presenta
una eficiencia semi-fuerte, por lo tanto se
considera que el anuncio de pago de dividendos,
se incorpora al precio de la accin mediante unabaja en el precio de la misma.
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Modelo BlackScholes (Con
dividendos): ejemplo.
Considere una opcin de compra sobre una accincon fechas ex dividendo en 2 y 5 meses. Se esperaque el dividendo sea de $0,5. El precio actual de la
accin es de $40, el precio de ejercicio es de $40, lavolatilidad del precio de la accin es de 30% anual,la tasa de inters libre de riesgo es de 9% anual, yel tiempo al vencimiento es de 6 meses.
A cunto asciende el precio de la opcin decompra?
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Modelo BlackScholes (Con
dividendos): ejemplo.
Primero: calculamos el valor presente de los
dividendos.
= 0,5,/ + 0,5,/ = 0,9741
Por lo tanto, el precio de la accin debera
disminuir en $0,9741
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Modelo BlackScholes (Con
dividendos): ejemplo.
Por lo tanto:= 40 0,9741 = 39,0259 = 40 = 0,09, = 0,3; = 0,5
=
ln(39,0259 40) + 0,09 + 0,3 2 0,5
0,3 0,5 = 0,2017
=ln(39,0259 40) + (0,9 0,3 2)0,5
0,3 0,5= 0,0104
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Modelo BlackScholes (Con
dividendos): ejemplo.
Por tabla
= 0,2017 =0,5793 + 0,5832
2
= 0,58125
= 0,0104 =0,4960 + 0,4920
2 = 0,494
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Modelo BlackScholes (Con
dividendos): ejemplo.
Finalmente, valorizamos la posicin larga en una
opcin de compra (call):
=
= 39,0259 0,58125 40,,0,494
= $3,79
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