®® Gabriel Cano GGabriel Cano Góómez, 2008/09 mez, 2008/09 Dpto. FDpto. Fíísica Aplicada III (U. Sevilla)sica Aplicada III (U. Sevilla)

Campos ElectromagnCampos ElectromagnééticosticosIngeniero de TelecomunicaciIngeniero de Telecomunicacióónn

V. Corrientes V. Corrientes elelééctricasctricas

4. Conductores lineales: 4. Conductores lineales: medios medios óóhmicos hmicos

2Campos ElectromagnCampos Electromagnééticos (I. Telecomunicaciticos (I. Telecomunicacióón) n) V. Corrientes elV. Corrientes elééctricasctricas

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Comportamiento lineal de conductorComportamiento lineal de conductorrégimen estacionario en medio conductor:

equilibrio dinámico

modelo lineal de fuerza “disipativa”efecto del medio sobre la corriente

Ley de OhmLey de Ohmrelación constitutiva del medio óhmico:

Conductividad eléctrica “σ”sólo depende del medio: σ≠σ(|E|)en medios óhmicos es siempre positiva: σ ≥0medio óhmico inhomogéneo: σ=σ(r)

( )dis( )q d dt± ± ±= ⇒ =E r + F 0 v 0

Ley de Ohm: conductividad (medio Ley de Ohm: conductividad (medio óóhmico)hmico)

dis ( )γ± ±= −F v r

( )( ) ( )q γ±± =v r E r ( ) ( )⇒ = σJ r E r

→ velocidad arrastre

conductor perfectodieléctrico ideal

0 ⎧⎨⎩

σ → ∞ :σ = :

→

E(r)J(r)

ΔτΔτ ∼∼PPt t ≥≥ tt00

ρlib(r)= n+q++n− q−, cte.

q_

v_(r)

Fe_

Fdis_

q+v+(r)

Fe+

Fdis+ Ω; σ

3Campos ElectromagnCampos Electromagnééticos (I. Telecomunicaciticos (I. Telecomunicacióón) n) V. Corrientes elV. Corrientes elééctricasctricas

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Tubo de corriente (estacionaria)Tubo de corriente (estacionaria)conjunto de líneas de corriente entre dos superficies equipotenciales:

J es tangente a la superficie lateral SLen medio óhmico, J es normal a S1 y S2

ley de conservación de la carga:en el tubo entra y sale la misma intensidad

Resistencia elResistencia elééctricactricarelación dif. de potencial−intensidad en τ:

sólo depende de su geometría y de σ

unidades (en el SI):

Resistencia elResistencia elééctricactrica

J(r)= σE(r)

nL ⊥ J

Ω; σ

n1S1: φ(r)=V1

|| J

|| J

0d∂τ

⋅⋅ =∫ J S 2 12 1S SI dS dS⇒ = ⋅⋅ = − ⋅⋅∫ ∫J n J n

(ohmio)V A = = Ω[ ] [ ] [ ]R V Iτ =

ley de Ohmley de Ohm(integral)(integral)

S

dSn|| Jτ

SL

P1

P2

dr

n2

1 2V VRIτ−

=( )2

1

P

P

S

σ=

⋅

⋅∫

∫J dr

J dS

S2: φ(r)=V2

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Ejercicio 5.4: resistencia elEjercicio 5.4: resistencia elééctrica de corona cilctrica de corona cilííndricandrica

a)a) en la direccien la direccióón longitudinaln longitudinal

Ω; σ

z=0

z=L

Jext=0

nlat=uρn=uz

S

V =V1−V2

S2:φ(z=L)=V2

S1:φ(z=0)=V1

I

long VRIΩ

= ( )2 2L

b aπ=

−σ

JΩ(r)

EΩ(r)

Eext≠0;

ε0; σ=0

JΩ(r)

Ω; σ Ω; σ

EΩ(r)

JΩ ⊥

Z

ba∂τ

K

n2

Jext=0

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Ω; σ Ω; σ

Ejercicio 5.4: resistencia elEjercicio 5.4: resistencia elééctrica de corona cilctrica de corona cilííndricandrica

b)b) en la direccien la direccióón transversaln transversal

Ω; σ

z=0

z=L

Jext=0 S

V =V1−V2

S2:φΩ(ρ=b)=V2

Itran VR

IΩ= ( )ln

2b a

Lπ=

σ

JΩ(r)

EΩ(r)

Eext≠0;

ε0; σ=0

JΩ(r)

EΩ(r)

⊥ JΩ

ba

S1:φΩ(ρ=a)=V1

n=uρ

nlat=uz Z

Jext=0

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( )( ) ( )

lI

S≈J r T r

J(r)

DescripciDescripcióónn“hilo” de material óhmico Ωfil:

se identifica con curva C: r=r(l)T(r) vector tangente unitario

Densidad de corrienteDensidad de corrientelíneas de J confinadas en Ωfil ≈ C:

verifica condiciones de contornoen general, no verifica ∇·J=0

sección variable S(l):Resistencia del hiloResistencia del hilo

el hilo constituye un tubo de corriente

Conductores filiformesConductores filiformes

dS=dS T

nL

Ωfil; σ

L δδ→0

T(r)

SL

S→0

Jext=0

nL·[J]SL=0

Ωfil ≈ C

S1φ( )=V1 φ( )=V2S2II

1 2fil

V VRI−

=0

L dlS

≈σ∫ ( , ctes.) S

LS

σ=σ

( )( ) ( )I S⇒ ≈J r T r0d

SI

→= ⋅∫ J S S≈ J

[ ] [ ][ ][ ]1 S(siemens)m m

LR S

= = =Ω

σ

l=0 l=L

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Potencia disipada en medio Potencia disipada en medio óóhmicohmicotrabajo “disipativo” en Δτ~P:

en régimen estacionario: potencia “disipativa” (por unidad de volumen):

potencia disipada (perdida) en región Ω:

Ley de JouleLey de Joulecalor por unidad de tiempo cedido por Ω:

la energía se pierde en forma de calor: efectoJoule

DisipaciDisipacióón de energn de energíía. Ley de Joulea. Ley de Joule

dis ( )q± ±= −F E r

( )dis disdis n nW dtτ + + − − −Δ +δ ≈ ⋅ ⋅ Δτ+F Fv v

E(r)

J(r)

ΔτΔτ ∼∼ PP ρlib(r)= n+q++n− q−, cte.

q_

v_(r)

Fe_

Fdis_

q+v+(r)

Fe+Fdis+

Ω; σ

δQ

I

ΩJ(r)=σ E(r)

=|δWdis|

dis dP Ω Ω= − ⋅ τ∫J E

2 dσΩ

= − τ∫ E 0<

( )disdis0

limP

W dtdPd τ τΔ →

δ

Δ=

τ

Qdt

δ

Ω

= 2I RΩ disd PΩ

= ⋅ =τ∫J E

( ) ( )= − ⋅J r E r

φ( )=V2S2φ( )=V1S1