EL USO DE ALGORITMOS EVOLUTIVOS EN DISEÑO DE REDES DE ABASTECIMIENTO DE AGUA MULTIOBJETIVOS

Klebber Teodomiro Martins Formiga; Fazal Hussain Chaudhry

Resumen

El diseño de las cadenas de suministro tiene como principal problema la determinación de los diámetros de las tuberías. Varios investigadores han intentado en el pasado décadas una metodología capaz de escalar estas redes considerando diversos aspectos y incertidumbres propias de este tipo de proyectos. El objetivo de este trabajo es el uso de un método basado en algoritmos evolutivos multi-objetivo para la generación de una serie de soluciones no dominadas. Se evaluaron las funciones objetivo: el costo de la aplicación de la sistema, las pérdidas por fugas en la red y la capacidad de servicio del flujo. A la determinación de la frontera de Pareto, utilizamos el dominio público MOEA caja de herramientas desarrollado por MATLAB acoplado a un simulador hidráulico híbrido basado en el método de Nielsen. El enfoque parece ser prometedor, ya que es posible determinar la región no dominada en un número relativamente pequeño de iteraciones.

Resumen

El problema crítico en el diseño de las redes de abastecimiento de agua refiere a la determinación del diámetro de la tubería. Varios autores se han centrado en los métodos capaces de dimensionamiento de la red teniendo en cuenta la incertidumbre y otros aspectos importantes. Este estudio presenta una aplicación de toma de decisión multiobjetivo usando algoritmos evolutivos para generar una serie de soluciones no dominadas. Las tres funciones objetivos considerados aquí incluyen los costos de inversión, las pérdidas por fugas y la relación de oferta y demanda del sistema. Con el fin de determinar la frontera de Pareto el dominio público a MATLAB caja de herramientas desarrollado Ministerio de Economía acoplado con un simulador hidráulico híbrido basado en el método de Nielsen. Esta técnica se encuentra para ser muy prometedor, la región no dominados siendo problema identificado en razonablemente pequeño número de iteraciones.

Palabras clave: optimización multi-objetivo, diseño de redes, algoritmos evolutivos.

INTRODUCCIÓN

Uno de los principales retos que han enfrentado los investigadores tamaño técnicas de redes de abastecimiento es la definición de una metodología que puede ser aplicada para generar una red económica y fiable desde el punto de vista de la demanda en diferentes situaciones. En la búsqueda de esta respuesta, se han propuesto varios métodos, sin embargo, estos métodos tienen desventajas, ya sea por la dificultad o imposibilidad de esto aplicando numéricamente, es por la generación de resultados satisfactorios desde el punto de vista del funcionamiento práctico de las redes.

La primera red tamaño métodos, mientras que las técnicas de investigación operativa, intentó obtener el máximo rendimiento económico. Estos métodos, como propone Alperovitz y Shamir (1977), surgieron en la red de mediados del decenio de 1970 y propuesta escala teniendo en cuenta los aspectos económicos de la implementación y operación. Estas metodologías se

basaron inicialmente en la programación lineal (Alperovitz y Shamir, 1977; Quidry et al., 1981), fueron más adelante utiliza diferentes técnicas de programación no lineales (Morgan y Gouter, 1985; Fujiwara et al., 1987; Hormiga en 1997), además de los algoritmos genéticos (Savic y Walters, 1997). Se encontró, sin embargo, que las redes eran más económicas, la viabilidad del punto de vista operacional se cometió, ya que el proyecto, que debía ser un moteado, tiende a convertirse en una red ramificada, ya que es más barato que el primero, y el método de optimización matemática tienden a encontrar siempre la solución de costo menor.

Debido a esta situación, hemos intentado desarrollar una metodología para el diseño de sistemas de distribución de agua que consideran su capacidad para satisfacer las demandas en condiciones adversas o en condiciones diferentes de flujo. La primera dificultad de este caso refiere a la definición y la elección de la medida de la falta. Tradicionalmente, se considera que el sistema falló cuando, en un momento dado, la presión en un nodo de la red es inferior a una presión mínima necesaria. Modelos de simulación como el EPANET2 (Rossman, 2000), utilizado para la evaluación de la red hidráulica, asume que la demanda se cumple totalmente. Es decir, en caso de fallo, no cumplen con presión mínima, no hay ninguna diferencia si la carga en el nodo fue 99% o 1% del mínimo requerido.

Para solucionar este problema que surja de la definición tradicional del fracaso fueron desarrollados métodos que incorporan la gravedad de la falta de la modelo. Conceptos de capacidad de servicio que consideren las demandas como ser dependiente de la carga hidráulica en el nodo han sido usados (Bhave (1981), Jowitt y Xu (1993), Fujiwara y Li (1998), Tanyimboh et al (2001)). Tales métodos, aunque con diferentes funciones para relacionar las demandas nodales con las presiones tienen generalmente el mismo propósito: para determinar el porcentaje de restricción sobre la demanda de no cumplir con un cargo mínimo requerido.

El uso de una manera de medir la capacidad de atención también incorpora un concepto muy común hoy en día que es a escala de un proyecto, con la esperanza de que puede fallar en algunas situaciones. Para la red, esto es debido a la necesidad de implementación de nuevos proyectos y con una marcada escasez de recursos, principalmente del gobierno.Además de los aspectos de la falta, una cuestión que se han incorporado al diseño de sistemas de distribución de agua es la reducción de la presión sobre nosotros, sobre todo en periodos cuando se reduce el consumo de agua, como ocurre durante la mañana. Esta reducción de la presión tiene como objetivo la disminución de las pérdidas por fugas. Aunque estas pérdidas son difíciles de predecir incluso en la fase de diseño, ciertamente ocurren, porque, a pesar de que la ejecución de proyectos de construcción puede cumplir las más estrictas de la opresión, el despliegue de la página conexiones no son tan estricto como bien y estos enlaces son responsables de casi el 80% de las pérdidas por fugas en ciudades brasileñas (Scott, 1998).

Los métodos comunes de optimización de trabajo tratando de encontrar una única solución óptima. Sin embargo, trabajar con sólo una perspectiva de proyecto no puede ser la mejor opción, especialmente cuando esta alternativa es grande en relación con sólo algunos aspectos. Por ejemplo, al optimizar el sistema de suministro es una configuración optimizada para lograr el menor costo. Sin embargo, puede ser un diseño con un costo ligeramente superior, pero presenta una mayor capacidad y una menor pérdida por fugas, de esa manera, puede aceptar un costo ligeramente mayor y obtener resultados más favorables. Por lo tanto, es necesario obtener un conjunto de soluciones optimizadas para luego decidir cuál sería el más apropiado.

Desde esta perspectiva, por la adopción de un método de dimensionamiento que toma en consideración una serie de objetivos del proyecto y también puede tener una influencia directa de la persona responsable de hacer el trabajo o en su financiación. Este trabajo tiene como objetivo la aplicación de una técnica basada en algoritmos evolutivos multiobjetivo para determinar el conjunto de soluciones "no dominado" supuestas. Se tratarán los objetivos:

minimizar el costo de implementación del sistema, maximizando la capacidad de satisfacer las demandas y reducir al mínimo las pérdidas por fugas.

ALGORITMO DE OPTIMIZACIÓN

A continuación se mostrarán los principios de optimización Multiobjective y algunas estrategias para el uso de algoritmos genéticos para problemas multiobjetivo.

Problemas multiobjetivo

En problemas de Optimización multiobjetivo desea maximizar o minimizar cierta M, número de funciones. Siendo el vector x, llamada las variables de decisión, el problema puede expresarse como:

Maximizar ou Minimizar Z(x) = [Z1(x), Z2(x), Z3(x), ... ZM(x)] (1)sujeito a: gj(x) 0 ∀j=1,2, ...Jhk(x) ≥0 ∀k=1,2, ...Kxi (U) ≥xi ≥xi(L) ∀i=1,2, ...N

donde xi(U) e xi(L) los límites superiores e inferiores de las variables de la decisión y g (x) y h (x) son funciones de restricción. La situación en el ámbito de las variables de decisión obligada por la igualdad y las restricciones de desigualdad se llama la región factible (Xf).

Problemas de optimización simple en todas las partes de la región factible pueden solicitarse totalmente según la función objetivo f como sigue: ser x (1) y (2) dos soluciones pertenecientes a Xf, entonces una de las expresiones siguientes es verdadera:

f(x(1)) > f(x(2));f(x(1)) < f(x(2));f(x(1)) = f(x(2))..

Sin embargo, cuando se trata de más de un propósito, la región factible no puede ser totalmente ordenó, pero parcialmente ordenada. (Pareto, 1896 apud Zitzler 1999).

Técnicas más multiobjetivo para la delimitación de la región utilizan el concepto de dominación de Pareto. Según este concepto, todas las soluciones son en comparación con los dos a la vez ser verificado o no dominación de uno sobre el otro.

Según Deb (2001), el concepto de dominancia se puede escribir como sigue:una solución x (1) domina una solución x (2), si ambas afirmaciones son ciertas:

1) la solución x (1) no es menos que la solución x (2) en cualquier de M y metas;2) la solución x (1) es estrictamente mejor que la solución x (2) en al menos un gol.

De eso concepto puede decirse que hay tres posibilidades para la dominación entre dos x soluciones X (1) y X(2):

x (1) f x (2)

x (1) p x (2)

x (1) ~ x (2)

x(1) domina x(2)

x(2) domina x(1)

x(1) e x(2) son indiferentes.

Es una serie de soluciones P, el conjunto de soluciones no dominadas P ', consiste en todas las soluciones que no estén dominadas por cualquier elemento de P. cuando la serie P, está representado en toda la región puede ser alcanzada, el conjunto no dominado, dando por resultado P ', se llama el conjunto óptimo de Pareto (Deb, 2001).

Los algoritmos genéticos

Las bases teóricas para algoritmos evolutivos (EA) fueron propuestas por John Holland en los años 1960. Desde entonces varias técnicas evolutivas se han desarrollado y mejorado, incluyendo los algoritmos genéticos (gas). Estos métodos funcionan con candidatos que cambian constantemente mediante el uso de dos principios básicos de la evolución natural de las especies: selección y variación. Estos principios intentan representar la competencia donde los individuos más aptos todavía están vivos y se reproducen generando su código genético (Deb, 2001).

Debido a su manera de trabajar con una gama de soluciones para cada generación, los AGs son capaces de encontrar varias soluciones no dominadas durante todo el proceso de optimización. Esta propiedad, junto con su adaptabilidad a diferentes tipos de problemas, hacer importantes herramientas de Optimización multiobjetivo de AGs.

AGs se rigen básicamente por tres componentes (Vendhuizen, 1999):

Poblaciones de candidato Proceso de selección de candidato más capaz; Procesos de manipulación genética , generalmente y recombinaciones mutaciones.

Haciendo analogía con el proceso de selección natural, las soluciones de candidato se llaman a personas, siendo todas estas selecciones llamadas población. En el proceso de selección, que puede ser deterministas o estocásticos, individuos de menor capacidad de adaptación se retiran mientras los individuos más aptos reproducen generar descendientes.

Recombinación y mutación, ayudar a generar a nuevos individuos a partir de las variaciones de los individuos existentes. El operador de la recombinación (crossover), por lo general, la creación de dos nuevos individuos (niños) de una pareja (padres) que ya existe, utilizando, para simular el naturaleza estocástica de la evolución, una probabilidad de recombinación se asocia con este operador.

El operador de mutación es responsable de modificar al individuo a través de pequeñas variaciones en su código genético según una probabilidad de mutación.

Basado en los conceptos anteriores, la evolución de los individuos es simulada por un método iterativo que se describen a continuación. En primer lugar, una población inicial se genera aleatoriamente, y esta población el primer punto de la evolución. Entonces, una secuencia repetitiva de procesos que consisten en evaluar, seleccionar, recombinar y mutar individuos, generando nuevas poblaciones. Estos procesos se llevan a cabo sobre la base de la idoneidad de cada solución, en el que individuos con mejores habilidades tendrán una mayor probabilidad de ser seleccionados para el proceso de recombinación, así parte de sus genes a las poblaciones futuras. Cada iteración de este proceso recibe su nombre de. El número máximo de generaciones generalmente se adopta como criterio de parada, sin embargo, existen otras

condiciones tales como: estancamiento de la población; existencia de un individuo con cualidades bastante satisfactorios; entre otros.

La solución solicitada será la mejor persona, es decir, aquel que tiene la mayor aptitud de la población, o una población en el proceso.

Los problemas de implementación Multiobjetivos AGs

Dependiendo del tipo de estrategia adoptada, el multiobjetivos AGs (MOGA) pueden clasificarse en:

métodos que consideran los objetivos por separado: estos métodos tienen en cuenta el proceso evolutivo, uno de los objetivos a la vez, es decir, cada vez, la elección del individuo para la reproducción se hace teniendo en cuenta un objetivo diferente;

Métodos que utilizan técnicas de agregación de objetivos: estas técnicas se basan en las pesas tradicionales método, en el cual el problema multiobjetivo se sustituye por una función simple, sin embargo, el peso de esta función son muy variadas al azar de cada generación;

métodos basados en el concepto de dominación de Pareto: estos métodos utilizan el concepto de dominación de Pareto propuesto por Goldberg (1989), que pretende separar a los individuos a través de una orden o clasificación. Individuos no dominados corresponden al rango 1, que luego se retira temporalmente de la población. Individuos no dominaban otras entonces fila 2 y así sucesivamente. La aptitud de cada individuo se basará en su clasificación y ranking más bajo son los más aptos.

En este estudio, el método utilizado se basa en el concepto de dominación de Pareto, puesto que esta clase de métodos resultó más eficaz que el otro.Las dos mayores dificultades para la aplicación de los problemas de AGs multiobjetivos son (Zitzler, 1999):

realizar la adaptabilidad a los procesos de selección para que la búsqueda de la región óptimo de Pareto;

mantener la diversidad de la población evitando la convergencia prematura y mantener una buena distribución de las soluciones a lo largo de la frontera no dominado.

Técnicas para alcanzar estos dos objetivos se abordarán a continuación.

Procesos de idoneidad y selección

A diferencia de problemas de optimización simple en el que las funciones objetivo e idoneidad son generalmente iguales, en multiobjetivos el cálculo de los problemas de aptitud y el proceso de selección de los individuos, deben considerar los objetivos múltiples del problema. Se han desarrollado diversas estrategias, basado en las técnicas utilizadas para encontrar lugares en funciones multimodales para la solución de este problema.

Para buscar la región óptima de Pareto usando técnicas evolutivas, es necesario introducir un formulario de búsqueda donde se pueden encontrar soluciones diferentes en esta zona. Por esta razón, mantener la diversidad de la población es fundamental para el proceso de Optimización multiobjetivo exitosa. Algoritmos genéticos tradicionales tienden a converger a una única solución como avanza el proceso, no ha podido encontrar una manera apropiada a los dominados. Para superar esta deficiencia, se han desarrollado varias técnicas y los más utilizados se describen a continuación.

División fitness

Se basa en el principio de que los individuos pertenecientes a la misma región tienen que dividir los recursos de ese lugar, permitiendo el mantenimiento de la estabilidad de las subpoblaciones (nichos).

Según esta idea, individuos situados en las proximidades de otro compartirá con él su condición física. En este caso, el barrio se define en términos de la distancia entre dos individuos d (i, j) y sujeto a una zona de influencia del radio de la vivienda (nicho).Matemáticamente, fitness, F ' (1), un individuo que yo seré un fitness original, F (i),dividido por un factor de nicho.

F`(1) = F(1) ∑s

donde s es una división de recursos entre el individuo y sus vecinos, que se calcula por:

s(d(i, j))= { 1 - ( d(i,j) )c si d(i,j) > σnicho

0 σnicho d(i,j) ≤ σnicho

Restricción recombinante

Recombinación es posible entre dos individuos cuando los dos pertenecen a la misma región, que es limitada por un parámetro mate de distancia. Este método minimiza la aparición del supuesto muertos personas, es decir, los individuos que tienen condiciones de idoneidad menos que sus padres, y también mejora el proceso de optimización de rendimiento.

FUNCIONES OBJETIVO

Los tres objetivos abordados en este trabajo se describen a continuación.

Minimizar los costos

La función de costos debe incorporar el gasto en los principales componentes presentes en los sistemas de distribución de agua. Estos gastos se dividen en costos de implementación y los costos operativos. Costos de implementación se forman por las compras de gasto y la instalación de equipos, tales como tuberías y bombas, así como la construcción de instalaciones, tales como embalses. El gasto está directamente relacionado con diámetro de la tubería y la clase de presión de la misma, como se ocupan de las redes de suministro, en el que las presiones son, por regla general, limitada superiormente 50 mca, aunque en algunos casos puede superar los 100 mca. La clase de tubería no tendrá la misma relevancia que compara, por ejemplo, los proyectos de red de agua, por lo tanto el factor que influye en el coste de la tubería, este trabajo será el diámetro. El costo del motor-bomba está conectada directamente a la caudal bombeado y la altura de la aducción. Sin embargo, la elección particular de bombas y motores se producirá sólo en la etapa final del proyecto. Por lo tanto, se hará la adopción del costo del motor-bomba teniendo en cuenta el coste de la potencia instalada. El costo del depósito se define por la altura y la capacidad del depósito. A medida que la capacidad se define por la norma, entonces esta función de coste es alto. Los gastos relacionados con la operación se puede expresar como una función de la potencia consumida por el conjunto de motor-bomba.

Estos gastos ocurrir durante la vida útil del proyecto, por lo que es necesario el uso de un

coeficiente de gastos de actualización.

Los costos de implementación y operación de sistemas de abastecimiento de agua se puedeescribir de la siguiente manera:

Costo = ΣCT (D) i Li + ΣCR (HR) HR j j + ΣCB (Pot) ak k Potk + ΣCEk Potknhk (4)

 Costo - El costo total de la implementación y operación del sistema, CT (D) i - el coste relativo a la Di diámetro utilizado en el apartado i; Li - longitud de la sección i;NT - número de tramos de la red;CR (H), - el coste del depósito HRJ relacionado con la elevación de la misma;HRJ - j elevación del depósito;NR - Número de depósitos en el sistema;CB (Pot) k - coste de la Potk Potencia del motor de la bomba;Potk - potencia del motor-bomba k;NB - Número de conjuntos motor-bomba;ak - frecuencia de actualización de los costos de operación;CEK - costo de energía para el conjunto de k; nhk - número medio de horas de uso anual de todos los k;

Esta es la formulación más general del problema, y en algunos casos no aparecen en uno omás términos.

Maximizar la capacidad de servicio

La cantidad de agua suministrada a un nodo dado es una función de la presión en ella. Para hacer que la correspondencia entre la carga en el nodo y su demanda es necesario determinar una función que relaciona estas dos variables.

Varios trabajos (Tucciareli et al 1999;. Fujiwara y Ganesharajah, 1993) fórmulas desarrolladas para tal fin, sin embargo, la mayoría de estas fórmulas a pesar de algunas elegancia matemática, ya que no tienen continuidad, tanto primera como segunda orden se basan en criterios puramente empírica. Una relación hidráulicamente más racional, teniendo en cuenta el nodo como un agujero, fue propuesto por Chandapillai (1991). De acuerdo con este trabajo de carga en un nodo dado puede ser expresado como:

Reducir al mínimo las pérdidas por fugas

El propósito de la introducción de las pérdidas a través de fugas en la función objetivo es tratar de calcular los efectos nocivos de altas presiones en el sistema. Los primeros intentos para minimizar las fugas en el sistema de distribución de agua de diseño intentaron minimizar el exceso de presión en la red (1984 Bargiela Miyaoka y Funabashi 1984). Sin embargo, la incorporación de una formulación considerada como directamente dependiente de la pérdida de presión sólo se hizo para Germanoupolus y Jowitt (1989). Recientemente, Tucciarelli et al. (1999) propusieron una formulación que se relaciona directamente con la fuga nosotros en vez de pasajes como el trabajo de Germanoupolus y Jowitt (1989). Esta nueva formulación tiene dos ventajas: un gran punto de vista computacional, ya que en la mayoría de los modelos de simulación de trabajo con ecuaciones de nivel de nodo en lugar de estiramiento, y el otro para incluir diámetro de la tubería como una variable, mejorando determinación del coeficiente de pérdida. La relación entre el nodo y la fuga hidráulica propuesto por Tucciarelli et al. (1999) viene dada por:

ESTUDIO DE CASO

El modelo de optimización propuesto en este trabajo se aplicó a una red compuesta por 9 secciones y 8 nodos (Figura 1), propuesta por Alperovitz y Shamir (1977). El sistema también tiene dos depósitos, uno de los cuales sirve como un depósito de sobra.

El sistema de distribución se sometió a dos situaciones de carga. Al principio, puede ser suministrado por dos embalses en el segundo depósito se encuentra en el nodo 1, llene el depósito de nodo 8. Las demandas de datos, las cuotas y las presiones mínimas requeridas en los nodos se muestran en la Tabla 1. La longitud de los pasajes y los coeficientes de caída de presión se muestran en la Tabla 2. El precio por metro de longitud de la tubería se muestran en la Tabla 3.

Además de los diámetros de las secciones se encuentran también las alturas de los reservorios. LaLifting costo unitario de cada tanque fue UMT 2000 / m.Los datos relativos a las posibles pérdidas de fugas de agua en el sistema son arbitrados por tomar en cuenta los valores obtenidos en la literatura. Para se encontró coeficiente de fuga a ser 7,10 m-0 18s-1 para todas las partes, mientras que el exponente fue considerado

como 1,18.

 

Para la

simulación hidráulica se utiliza un modelo híbrido basado en la Teoría de los métodos lineales y Newton-Raphson. Este modelo ha demostrado ser muy eficiente en la solución de la simulación de sistemas que son capaces de converger en unas pocas iteraciones (Nielsen 1989; Souza 1994). La idea principal de este esquema es la capacidad de utilizar las ventajas de cada método. El método de Newton-Raphson tiene una pequeña tasa de convergencia no tiende a cualquier solución en algunos casos, cuando la solución de partida no está en la vecindad de la solución final. Para sortear este problema, los implementos son generalmente subrutinas para la determinación de la solución inicial. El método de la teoría lineal proporciona una mejor tasa de convergencia inicial del método de Newton-Raphson que no requieren valores iniciales también. Sin embargo, este método tiende a oscilar alrededor de la solución final, con problemas de convergencia para sistemas complejos. El método propuesto por Nielsen (1989) es primero pocas iteraciones del método con la Teoría lineal, obteniéndose una buena aproximación de la tasa de flujo de cargas hidráulicas y los nodos. Este enfoque es la solución inicial del método de Newton-Raphson, que, a partir de esta solución tiende a converger a un muy pequeño número de iteraciones.

El simulador hidráulico se implementó en MATLAB 6.1 es capaz de bombas que funcionan, tanques, válvulas y la reducción de la presión común, así como para trabajar con fugas y demandas dependientes de la presión.La determinación de la región no dominada se hizo con la caja de herramientas de MATLAB MOEA (Tan et al. 2001). Esta herramienta utiliza algoritmos genéticos y técnicas evolutivas

tales como la división de la idoneidad y la restricción de apareamiento para determinar la región óptima de Pareto.

En este trabajo, se utilizaron los parámetros del algoritmo genético:- Método de selección: Torneo 2 personas;- Probabilidad de mutación: 0,1;- Probabilidad de recombinación: 0,7;- Número de puntos de cruce: 2.

Figura 6 - La superficie no dominado porque después de 500 generaciones 

El procedimiento de optimización se aplica teniendo en cuenta tres funciones objetivos ya mencionados, esta red para estas funciones son: 

Hemos simulado dos situaciones: en primer lugar, las variables de decisión son sólo los diámetros (Di) de 9 secciones en los segundos diámetros se encuentran más allá de la altura (HRJ) de Dos embalses. Los resultados se muestran en las Figuras 2 a 6 y en la Tabla 4 

Se puede observar que las primeras 20 iteraciones, las soluciones encontradas por los procedimientos propuestos eran cerca de la frontera no dominada (Figuras 2 y 3). 

También se observa que a partir de la generación 100a no hay cambios significativos en la no dominada, permaneciendo prácticamente sin cambios hasta que la generación

500a, que fue el último obtenido (Figura 4 y 5). 

Se observa que los costes presentan una variación 87000-290000 UMT y que son directamente proporcionales a las pérdidas por fugas (Figura 6). 

Las fugas tienen un rango de aproximadamente 15 a 55 l/s. Este último valor corresponde a aproximadamente el 28% las pérdidas por fugas, lo que representa una banda de valores observados en la práctica. 

La capacidad de servicio presenta una variación proporcional a los costos potenciales, mientras que en comparación con la evolución de las filtraciones, han mostrado una tendencia lineal. 

Estas relaciones están justificadas, teniendo en cuenta que, mediante el aumento de los diámetros de las tuberías, y sus costos, habrá una disminución en la pérdida, y, en consecuencia, un aumento de la presión sobre nosotros, lo que aumenta la capacidad de servicio y también pérdidas por fugas.

Aunque es posible para delimitar la región óptima de Pareto, el método Ministerio de Economía presenta una cierta pérdida de individuos "buenas", que tiende a hacer que su convergencia más lenta. Para resolver esta dificultad, es interesante adoptar un método multi-objetivo elite evolutiva, que es capaz de mantener un "buen" conjunto de soluciones no dominadas, o soluciones que sean capaces de cubrir de manera más uniforme a lo largo de la frontera de gran generaciones.

CONCLUSIONES

En este trabajo se aplicó un método evolutivo multiobjetivo para la determinación de una región dominada no considerando como objetivo la minimización de costes, maximización de la capacidad de servicio y reducir al mínimo las pérdidas por fugas.

El modelo propuesto se aplicó a un ejemplo de red se compone de 9 secciones y 8 nudos y se suministra con dos embalses. Se utilizó una herramienta de dominio público evolutiva multiobjetivo (MOEA) para MATLAB, combinado con un simulador hidráulico híbrido basado en el método propuesto por Nielsen.

Los resultados indican que el método era capaz de converger con el Ministerio de Economía no dominante en un número relativamente pequeño de iteraciones.

Aunque demostrado ser capaz de encontrar la metodología evolutiva multiobjetivo no

dominada utilizado perdió más de sus generaciones, algunas personas "buenas". Existe, pues, la necesidad de utilizar técnicas de élite con el fin de preservar las mejores soluciones durante todo el proceso.

GRACIAS Los autores agradecen la financiación de proyectos FINEP como agencia de RECOPE-

REHIDRO, cuya infraestructura se utilizó para el desarrollo de este trabajo. Esta investigación también fue apoyada por la Fundación para el Apoyo a la Investigación del Estado de São Paulo (FAPESP), que proporcionó apoyo financiero para el primer autor del artículo en forma de beca.

REFERENCIAS BIBLIOGRÁFICAS

ALPEROVITS, E. e SHAMIR, U.; Design of optimal water distribution systems WaterResources Research. AGU. Vol. 13, Nº 6, New York, NY, USA, 1977, p. 885-900.

BARGIELA, A. On-line monitoring of water distribution systems. Doctorial Thesis. Universityof Durham. (1984).

BHAVE, P.R.; Node Flow analysis of water distribution systems. Journal of TransportEngineering, ASCE, Vol. 107 Nº 4, New York, NY, USA. 1981. p. 457-467.Chandapillai, J.; Realistic Simulation of Water Distribution System. Journal of TransportationEngineering, Vol. 117 Nº 2. 1991. p. 258-263.

DEB, K. Multi-Objective Optimization Using Evolutionary Algorithms. John Willey & Sons,Chichester, England, 2001. 498p.

FORMIGA, K. T. M.; Otimização de redes malhadas utilizando a programação não linear.Dissertação de Mestrado. Universidade Federal da Paraíba. Campina Grande, PB, 1999.

FUJIWARA, O.; JENCHAIMAHAKOON, B.; EDIRISINGHE, N. C. P.. A Modified LinearProgramming Gradient Method for Optimal Design of Looped Water DistributionNetworks. Water Resources Research. AGU. Vol. 23, Nº 6, New York, NY, USA, 1987. p.977-982.

FUJIWARA, O. e LI, J.; Reliability analysis of water distribution networks in consideration ofequity, redistribution, and pressure dependent demand. Water Resources Research. AGU.Vol. 34, Nº 7, New York, NY, USA, 1998, p. 1843-1850.

FUJIWARA, O. e GANESHARAJAH, T.; Reliability assessment of water supply systems withstorage and distributions networks. Water Resources Research. AGU. Vol. 29, Nº 8, NewYork, NY, USA, 1993, p. 2917-2924.

GERMANOPOULOS, G. e JOWITT, P. W.; Leakage reduction by excessive pressureminimization in a water supply network. Proc. Institution. Civil Engineers, Part 2, 87(June). 1989. p. 195-214.

GOLDBERG, D. E. Genetic Algorithms in Search, Optimization and Machine Learning.Addison-Wesley Publishing Company, Reading, Massachusetts, 1989.

JOWITT, P. W. e XU, C.; Predicting pipe failure effects in water distribution networks. Journalof Water Resources Planning and Management, ASCE, Vol. 119 Nº 1, New York, NY,USA, 1993. p. 18-31.

MORGAN, D. R. e GOULTER, I. C.; Optimal urban water distribution design. WaterResources Research, AGU, Vol. 21, Nº 5, New York, NY, USA. 1985. p. 642-652.

MIYAOKA, S. e FUNABASHI, M.; Optimal control of water distribution system by networkflow theory. IEEE Trans. Automatic Control, Vol. 29 Nº 4. 1984. p. 303-311.

NIELSEN, H. B.; Methods for Analyzing Pipe Networks. Journal of Hydraulic Engineering.ASCE, Vol 125 Nº 2, New York, NY, USA ,1989. p. 139-157.

PARETO, V. Cours D’Economie Politique, Volume 1. Lausanne: F. Rouge, 1986.QUINDRY, G., BRILL, E. D., e LIEBMAN, J. C.; Optimization of looped distribution systems.Journal of Environmental Engineering, ASCE, Vol. 107 Nº 4, New York, NY, USA. 1981.p. 665-679.

ROSSMAN, L. A.; EPANET 2: User’s Manual, U.S. Environmental Protection Agency, 2000.200p.

SAVIC, D. A. e WALTERS, G. A.; Genetic algorithms for least-cost of water distributionnetworks, Journal of Water Resources Planning and Management, ASCE, Vol. 123 Nº 2,New York, NY, USA, 1997. p. 67-77.

SILVA, R. T.; Indicadores de perdas nos sistemas de abastecimento de água. ProgramaNacional para o COntrole e Desperdício de Água, Ministério do Planejamento e Orçamento,Secretaria de Política Urbana, Brasília-DF, 1998. 70p.

SOUZA, R. S.; Aspectos computacionais da analise de redes de distribuição de água comcomponentes hidráulicos em regime permanente, Dissertação de Mestrado, Universidade deSão Paulo, 1994, 236p.

TAN, K. C., LEE, T. H., KHOO, D. e KHOR, E. F.; “A multi-objective evolutionary algorithmtoolbox for computer-aided multi-objective optimization” in IEEE Transactions onSystems, Man and Cybernetics: Part B (Cybernetics), Vol. 31, n°. 4, 2001. p. 537-556.

TANYIMBOH, T. T., TABESH, M. e BURROWS, R.; Appraisal of source head methods forcalculating reliability of water distribution networks. Journal of Water Resources Planningand Management, ASCE, Vol. 127 Nº 4, New York, NY, USA, 2001. p. 206-213.

TUCCIARELLI, T. CRIMINISI, A. e TERMINI, D.; Leak analysis in pipeline systems bymeans of optimal valve regulation. Journal of Hydraulic Engineering. ASCE, Vol 125 Nº 3,New York, NY, USA ,1989. p. 277-285.

VELDHUIZEN, D. A Van. Multiobjective Evolutionary Algorithms: Classifications, Analyses,and New Innovations. PhD thesis, Department of Electrical and Computer Engineering.Graduate School of Engineering. Air Force Institute of Technology, Wright-Patterson AFB,Ohio, 1999. 270p.

ZITZLER, E. Evolutionary Algorithms for Multiobjective Optimization: Methods andApplications. PhD thesis, Swiss Federal Institute of Technology (ETH), Zurich,

Switzerland, 1999. 120p.