universidad tecnolÓgica de la mixteca y personal academico/1.2...el método de los mínimos...

UNIVERSIDAD TECNOLÓGICA DE LA MIXTECA

Dra. Beatriz Hernández Carlos

ESTADÍSTICA DE LOS DATOS ANALÍTICOSMaestría en Ciencias: Productos Naturales y Alimentos

Análisis Químico Cuantitativo

Se analizaron periódicamente muestras conocidas para verificar que un método de cuantificación de EDTA en sangre funcionaba bien. Blancos de sangre dopados con cantidades conocidas de EDTA dieron los resultados que se indican más adelante. La precisión se expresa como el coeficiente de variación, y la exactitud como la diferencia en % entre la concentración medida y la concentración conocida.

Para cada uno de los tres niveles de enriquecimiento hallar la precisión y exactitud de las muestras de control de calidad

22.2 ng/mL 88.2 ng/mL 314 ng/mL

33.3 83.6 322

19.5 69.0 305

23.9 83.4 282

20.8 100 329

20.8 76.4 276

EDTA encontrado (ng/mL)

𝑃𝑟𝑒𝑐𝑖𝑠𝑖ó𝑛 = 100 ×𝐷𝑒𝑠𝑣𝑖𝑎𝑐𝑖ó𝑛 𝑒𝑠𝑡á𝑛𝑑𝑎𝑟

𝑚𝑒𝑑𝑖𝑎𝐸𝑥𝑎𝑐𝑡𝑖𝑡𝑢𝑑 = 100 ×

𝑚𝑒𝑑𝑖𝑎 − 𝑣𝑎𝑙𝑜𝑟 𝑐𝑜𝑛𝑜𝑐𝑖𝑑𝑜

𝑣𝑎𝑙𝑜𝑟 𝑐𝑜𝑛𝑜𝑐𝑖𝑑𝑜


R= 22.2 ng, precisión = 23.8%, exactitud=6.6%


A partir de medidas previas de concentraciones bajas de analito porespectrofotometría se estimo que el limite de detección de absorbancia esaproximadamente 0.002. Se preparó una muestra de concentración baja, y 9medidas replicadas dieron las siguientes absorbancias: 0.047, 0.0054, 0.0062,0.0060, 0.0046, 0.0056, 0.0052, 0.0044, y 0.0058, trabajando con una cubetade 1 cm. Los 9 blancos de reactivos dieron los siguientes valores : 0.0006,0.0012, 0.0022, 0.0005, 0.0016, 0.0008, 0.0017, 0.0010, y 0.0011. Laabsortividad molar del analito es 2.24 x 104M-1 cm-1. Hallar el límite dedetección para una cubeta de 1 cm , utilizando las siguientes ecuaciones:

𝑦𝑙𝑑 = 𝑦𝑏𝑙𝑎𝑛𝑐𝑜 + 𝑡 × 𝑠

Ley de Beer

A = εbc donde ε = absortividad molar (cuanta luz absorbe un compuesto a una longitud de

onda dada), b = camino óptico en cm; c concentración en M

𝑦𝑙𝑐 = 𝑦𝑏𝑙𝑎𝑛𝑐𝑜 + 10𝑠


s muestras blanco

0.0006414 0.047 0.0006

0.0054 0.0012

0.0062 0.0022

0.006 0.0005

0.0046 0.0016

0.0056 0.0008

0.0052 0.0017

0.0044 0.001

0.0058 0.0011

yblanco 0.00118889

𝑦𝑙𝑑 = 𝑦𝑏𝑙𝑎𝑛𝑐𝑜 + 𝑡 × 𝑠

𝑦𝑙𝑑 = 0.001189 + 2.896 × 0.00064

𝑦𝑙𝑑 = 0.00306 𝑙í𝑚𝑖𝑡𝑒 𝑑𝑒 𝑑𝑒𝑡𝑒𝑐𝑐𝑖ó𝑛 𝑑𝑒 𝑙𝑎 𝑠𝑒ñ𝑎𝑙

𝑐 = 𝐴𝑏𝑠𝑜𝑟𝑏𝑎𝑛𝑐𝑖𝑎 (𝑙𝑖𝑚𝑖𝑡𝑒 𝑑𝑒 𝑑𝑒𝑡𝑒𝑐𝑐𝑖ó𝑛 − 𝑏𝑙𝑎𝑛𝑐𝑜 𝑚𝑒𝑑𝑖𝑜

𝐴𝑏𝑠𝑜𝑟𝑡𝑖𝑣𝑖𝑑𝑎𝑑 × 𝑙𝑜𝑛𝑔𝑖𝑡𝑢𝑑 𝑑𝑒𝑙 𝑐𝑎𝑚𝑖𝑛𝑜 ó𝑝𝑡𝑖𝑐𝑜

𝑐 =0.00306 −0.001189

2.24 x 104M−1 cm−1×1 𝑐𝑚= 8.3 × 10−8 𝑀 𝑐𝑜𝑛𝑐𝑒𝑛𝑡𝑟𝑎𝑐𝑖ó𝑛

Correspondiente al límite de detección de la señal

Límite de cuantificación de la señal = 0.001189 + (10) (0.000641) = 0.00763

Límite de cuantificación de la concentración

𝑐 =0.00763 − 0.001189

2.24 x 104M−1 cm−1 × 1 𝑐𝑚= 2.9 × 10−7 𝑀


COMPARACION DE LA PRECISIÓN DE MEDIDAS TEST F

HIPOTESIS NULALAS PRECISIONES SON IDENTICASLAS DESVIACIONES ESTÁNDAR SON IGUALES

1. Si el método A es más preciso que el método B2. Si hay diferencia de precisión entre dos

métodos

Si el valor F calculado es menor que el valor crítico, la hipótesis nula no puede ser desestimada al nivel de probabilidad deseado.


Problema

El porcentaje p/p de carbonato de sodio en las cenizas de sosa

puede determinarse mediante una titulación ácido base. Los

resultados obtenidos por dos analistas son los que se muestran a

continuación:

Analista A: 86.82, 87.04, 86.93, 87.01, 86.20, 87.00

Analista B: 81.01, 86.15, 81.73, 83.19, 80.27, 83.94

Indique si la diferencia entre los valores medios es significativa con

un a= 0.05 (¿es posible combinar todos los resultados?)

𝑥 𝐴 = 86.30 %

𝑠𝐴 = 0.32

𝑥 𝐵 = 82.71%

𝑠𝐵 = 2.16

𝐹𝑒𝑥𝑝 =𝑠𝐵

2

𝑠𝐴2

La Fexp es 45.6 y el valor crítico es 7.15; se rechaza la hipótesis nula y las varianzas son significativamente diferentes


Límites de detección

La ecuación

Es útil para determinar límites de detección, se calcula la desviación estándar a partir de varias determinaciones del blanco. La cantidad mínima detectable Dxmin

Número de grados de libertad = N1 + N2 -2


Ejercicios

Gács y Ferraroli describieron un nuevo método para la vigilancia

de la concentración de SO2 en el aire. Compararon su método con

el patrón, analizando muestras de aire urbano de un solo lugar.

Las muestras se recogieron extrayendo aire a través de una

disolución de recogida durante 6 minutos. A continuación se

resumen sus mediciones de las concentraciones de SO2

expresadas en microlitros por metro cúbico.

Método de referencia: 21.62, 22.20, 24.27, 23.54, 24.25, 23.09, 21.02

Método nuevo: 21.54, 20.51, 22.31, 21.30, 24.62, 25.72, 21.54

Usando un test estadistico adecuado, determine si existe alguna

diferencia entre el método de referencia y el nuevo, con a= 0.05


Las clorofilas a y b son pigmentos de plantas que absorben luz solar y utilizan laenergía de la fotosíntesis de hidratos de carbono a partir de CO2 y H2O, liberandoO2 en el proceso. Se midieron clorofilas en cinco hojas de una clase de hierbarecogidas en cada uno de dos lugares mediante el siguiente procedimiento: cadahoja se corto en pequeños fragmentos, y se tomo aprox 0.1 g para análisis. Losfragmentos se machacaron en un mortero de vidrio con una mezcla deacetona/agua (80:20 en volumen). La mezcl ase filtro y se recogió el liquido verde.Los residuos se machacaron dos o tres veces más con nuevo disolvente hasta queno se extrajo más color verde. Los extractos reunidos se diluyeron a 25 mL con lamisma mezcla de extracción, en un matraz aforado, y se midió la absorbencia a645 y 663 nm. Se calcularon las concentraciones de clorofilas a y b con un par deecuaciones linealesA645 = -0.0143 + 17.11 (cloro a) + 45.60 (cloro b)A663 = +0.0014 + 81.91(cloro a) + 10.33 (cloro b)La tabla siguiente muestra los resultados de clorofila a de cuatro análisis

separados de cinco hojas de hierba de dos sitios. En cada sitio, las cuatro réplicasde cada hoja de hierba son una indicación de la precisión del proceso analítico.Las diferencias entre los valores medios de cada una de las cinco hojas de hierbason una medida de la variabilidad debida al muestreo.a) Realizar un análisis de varianza para determinar si la varianza del muestreo essignificativamente distinta de la varianza analítica en el punto 1. Si existe unadiferencia significativa, hallar la desviación estándar atribuible al muestreo y laatribuible al análisis. Análisis Químico Cuantitativo

hojas 1 2 3 4 5

1 1.09 1.26 1.19 1.23 0.85

2 0.86 0.96 1.21 1.30 0.65

3 0.93 0.80 1.27 0.97 0.86

4 0.99 0.73 1.12 0.97 1.03

media 0.97 0.94 1.20 1.12 0.85

desv est 0.10 0.24 0.06 0.17 0.16

S1 S2 s3 s4 s5

h= numero de muestras = 5; n= número de replicados = 4; nh = 20 medidas totales

Varianza dentro de las muestras

s 0.10 0.24 0.06 0.17 0.16

s2 0.01 0.06 0.00 0.03 0.02 0.12

varianza media dentro de las muestras 1/h (s21 + S22 + s23 +…

0.0246 varianza dentro

Grados de liberta de la varianza dentro de la muestra nh-h

20 -5 = 15

𝑣𝑎𝑟𝑖𝑎𝑛𝑧𝑎 𝑚𝑒𝑑𝑖𝑎 𝑑𝑒𝑛𝑡𝑟𝑜 𝑑𝑒 𝑙𝑎𝑠 𝑚𝑢𝑒𝑠𝑡𝑟𝑎𝑠 = 1

ℎ 𝑠𝑖

2


Varianza entre muestras

Media total 1/nh x suma 1.0135

1.09 1.26 1.19 1.23 0.85

0.86 0.96 1.21 1.30 0.65

0.93 0.80 1.27 0.97 0.86

0.99 0.73 1.12 0.97 1.03

suma 3.87 3.75 4.79 4.47 3.39 20.27

Varianza de los valores medios respecto del valor medio total

s2 medias 1/h-1

Medias de las muestras 0.97 0.94 1.20 1.12 0.85

media total 1.0135 1.0135 -0.05 -0.08 0.18 0.10 -0.17

0.002116 0.005776 0.033856 0.010816 0.027556 0.08012 SUMA

S2 medias 0.02003

Grados de libertad de la varianza de los valores medios respecto a la media global

4

varianza entre muestras

4(0.02) 0.08012 varianza entre

𝑚𝑒𝑑𝑖𝑎 𝑡𝑜𝑡𝑎𝑙 = 𝑥 = 1

𝑛ℎ (𝑡𝑜𝑑𝑎𝑠 𝑙𝑎𝑠 𝑚𝑒𝑑𝑖𝑑𝑎𝑠

𝑠𝑚𝑒𝑑𝑖𝑎𝑠2 =

1

ℎ−1 (𝑚𝑒𝑑𝑖𝑎 𝑑𝑒 𝑙𝑎 𝑚𝑢𝑒𝑠𝑡𝑟𝑎 − 𝑥 2

𝑠𝑒𝑛𝑡𝑟𝑒2 = 𝑛𝑠𝑚𝑒𝑑𝑖𝑎𝑠

2


Comprobación de la hipótesis con la prueba F

valor tablas para 4 grados de libertad en S1 y 15 grados de libertad en s2 3.06

F 0.08012

0.02456 3.2622 es mayor que 3.06Hay diferencia significativa

Asignación de fuentes de varianza

varianza muestreo 0.01389

Desviaciones estándar

s del muestreo 0.1179

0.02455833 s del análisis 0.1567

𝐹 =𝑠𝑒𝑛𝑡𝑟𝑒

2

𝑠𝑑𝑒𝑛𝑡𝑟𝑜2

ℎ − 1 𝑔𝑟𝑎𝑑𝑜𝑠 𝑑𝑒 𝑙𝑖𝑏𝑒𝑟𝑡𝑎𝑑

𝑛ℎ − ℎ 𝑔𝑟𝑎𝑑𝑜𝑠 𝑑𝑒 𝑙𝑖𝑏𝑒𝑟𝑡𝑎𝑑

𝑠𝑚𝑢𝑒𝑠𝑡𝑟𝑒𝑜2 =

1

𝑛 𝑠𝑒𝑛𝑡𝑟𝑒

2 − 𝑠𝑑𝑒𝑛𝑡𝑟𝑜2

𝑠𝑚𝑢𝑒𝑠𝑡𝑟𝑒𝑜 = 𝑠𝑚𝑢𝑒𝑠𝑡𝑟𝑒𝑜2

𝑠𝑎𝑛𝑎𝑙𝑖𝑠𝑖𝑠 = 𝑠𝑑𝑒𝑛𝑡𝑟𝑜 = 𝑠𝑑𝑒𝑛𝑡𝑟𝑜2

𝑠𝑒𝑛𝑡𝑟𝑒2 = 𝑠𝑑𝑒𝑛𝑡𝑟𝑜

2 + 𝑛𝑠𝑚𝑢𝑒𝑠𝑡𝑟𝑒𝑜2


Curva de calibración

𝑦 = 𝛽0 + 𝛽1𝑥

Donde y = señal; x = cantidad del analito; 𝛽0 = ordenada al origen y 𝛽1 = la pendiente verdadera

Objetivo de la regresión lineal:Determinar el mejor calculo de la pendiente y de la ordenada, minimizando el error residual entre los valores experimentales (yi) y aquellos valores previstos en la ecuación anterior (yv).El análisis de regresión lineal también se llama tratamiento de los mínimos cuadrados

Error residual: Diferencia entre un valor experimental y el valor obtenido mediante una ecuación de regresión


Suposiciones1. Existe una realmente una relación lineal

entre la variable medida (y) y la concentración del analito (x)

2. Cualquier desviación de los puntos individuales respecto a la recta son debido a errores de medida. Es decir que no hay error en los valores x de los puntos. Para el caso de la curva de calibrado se supone que se conocen las concentraciones exactas de los patrones


El método de los mínimos cuadrados para obtener curvas de calibrado

Regresión lineal Técnica matemática usada en el ajuste de una ecuación , como la de la línea recta, a datos experimentalesLa línea generada por el método de los mínimos cuadrados es aquella que minimiza la suma de los cuadrados de los residuos de todos los puntos

Residual= desviación vertical de cada punto de la recta= yi –(mxi +b)


Conviene definir 3 cantidades: 𝑆𝑥𝑥 , 𝑆𝑦𝑦 𝑦 𝑆𝑥𝑦 de la forma siguiente:

𝑆𝑥𝑥 = (𝑥𝑖 − 𝑥 2 = 𝑥𝑖2 −

( 𝑥𝑖 2

𝑁

𝑆𝑦𝑦 = (𝑦𝑖 − 𝑦 2 = 𝑦𝑖2 −

( 𝑦𝑖 2

𝑁

𝑆𝑥𝑦 = (𝑥𝑖 − 𝑥 , 𝑦𝑖 − 𝑦 = 𝑥𝑖𝑦𝑖 − 𝑥𝑖 𝑦𝑖

𝑁

Donde 𝑥𝑖 y 𝑦𝑖 son pares de datos individuales de x y y

N = número de pares de datos utilizados para la curva de calibración

𝑥 y 𝑦 son los valores medios de las variables

Se pueden obtener seis parámetros útiles a partir de 𝑆𝑥𝑥 , 𝑆𝑦𝑦 𝑦 𝑆𝑥𝑦

1. La pendiente de la línea 𝑚

𝑚 = 𝑆𝑥𝑦

𝑆𝑥𝑥

2. La ordenada al origen 𝑏

𝑏 = 𝑦 − 𝑚𝑥

3. La desviación estándar de la regresión 𝑠𝑟

𝑠𝑟 = 𝑆𝑦𝑦 − 𝑚2𝑆𝑥𝑥

𝑁 − 2

4. La desviación estándar de la pendiente 𝑠𝑚

𝑠𝑚 = 𝑠𝑟

2

𝑆𝑥𝑥


1. La desviación estándar de la ordenada al origen 𝑠𝑏

𝑠𝑏 = 𝑠𝑟 𝑥𝑖

2

𝑁 𝑥𝑖2 − ( 𝑥𝑖

2 = 𝑠𝑟

1

𝑁 −( 𝑥𝑖

2

𝑥𝑖2

2. La desviación estándar de los resultados obtenidos a partir de la curva de calibrado

𝑠𝑐 = 𝑠𝑟

𝑚𝑖

1

𝑀+

1

𝑁+

(𝑦 𝑐 − 𝑦 2

𝑚2𝑆𝑥𝑥

Esta ecuación proporciona una forma de calcular la desviación estándar de la media 𝑦 𝑐 de

una serie de análisis repetidos, de muestras de concentración desconocida cuando se

utiliza una curva de calibrado que contiene N puntos

La desviación estándar de la regresión 𝑠𝑟 es la desviación estándar de y, cuando se miden

las desviaciones respecto a la recta que se ha obtenido y no respecto a la media de y:

𝑠𝑟 = 𝑦𝑖 − (𝑏 + 𝑚𝑥𝑖

2𝑁𝑖=1

𝑁 − 2

Esta ec. Es la desviación estándar respecto a la media de y (la desviación del resultado)


mg de sulfato/L, Cx Lectura del turbidímetro

0.00 0.06

5.00 1.48

10.0 2.28

15.0 3.98

20.0 4.61

La concentración de ión sulfato en agua natural puede determinarse

midiendo la turbidez, que resulta cuando se añade un exceso de

cloruro de bario a una cantidad medida de muestra. El instrumento

usado para el análisis, un turbidímetro, se calibro con una serie de

disoluciones estándar de sulfato de sodio. En el calibrado se

obtuvieron los siguientes resultados:


Suponer que existe una relación lineal entre la lectura del instrumento

y la concentración

A) Representar los datos y trazar una línea recta, ajustándola

aproximadamente a través de los puntos

B) Calcular la ecuación de mínimos cuadrados de la relación entre

las variables

C) Comprobar la línea recta de la relación calculada en B con la de A

D) Calcular la desviación estándar de la pendiente y de la ordenada

al origen de la línea de regresión

E) Calcular la concentración de sulfato de una muestra que da en el

turbidímetro una lectura de 3.67. Calcular la desviación estándar

absoluta del resultado y el coeficiente de variación

F) Repetir los cálculos de E suponiendo que 3.67 fue la media de 6

lecturas del turbidímetro.


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