DISCRIMINANTE DE UNA CONICA

DISCRIMINANTE DE UNA CONICA

UNIVERSIDAD PRIVADA DEL NORTE

ESCUELA ACADEMICO PROFESIONAL DEINGENIERIA CIVIL

GEOMETRA ANALTICA Y ALGEBRA

INFORME DE INVESTIGACIN

VALORES Y VECTORES PROPIOS

Nombre: Cotrina Mendoza, Alex.

2013

I. INTRODUCCIN

Aunque, en general, un vector bajo una transformacin de un espacio vectorial en s mismo no es un vector paralelo al vector inicial, existen vectores especiales para los cuales la accin de la transformacin es muy sencilla: el vector y su imagen tienen la misma direccin. Estos vectores especiales los denominamos vectores propios y conocerlos son de gran ayuda en el anlisis de la transformacin puesto que en la direccin de ellos, la transformacin slo encoge o estira los vectores, cambiando, en algunos casos, el sentido de ellos.

A continuacin trataremos de encontrar una manera ms rpida para distinguir qu tipo de cnica es la ecuacin de una cnica dada. Para ello en este tema se tratara de comprobar el discriminante de las cnicas es decir de la Parbola, Elipse e Hiprbola.

II. OBJETIVOS

Explicar de forma clara y precisa, la comprobacin del discriminante de las cnicas. Analizar a partir del discriminante en qu casos la cnica puede representar una elipse, una parbola o hiprbola. Proponer o plantear ejercicios desarrollados que contribuyan al entendimiento completo del uso del discriminante.

III. MARCO TERICO

3.1. ANALISIS

Partiendo del estudio de las cnicas notamos una caracterstica muy importante: todas las cnicas se representan mediante ecuaciones de segundo grado, por lo tanto cuando tenemos una ecuacin de segundo grado su representacin grfica solo puede ser una cnica, es decir: una elipse, una circunferencia, una hiprbola o una parbola. Es as que podemos decir que existe una manera de obtener la naturaleza de las cnicas rpidamente mediante el discriminante sin la eliminacin del trmino xy es decir B0. 3.2. DEMOSTRACIN DEL DISCRIMINANTE POR ROTACIN DE COORDENADAS

Sea la ecuacin Ax2 +Bxy + Cy2 +Dx+Ey+F =0, hacemos una rotacin de ejes:

Remplazando en la ecuacin estos valores tenemos:

A+B( +C(+D(+E()+F=0

Multiplicando cada coeficiente a todos los factores y factorizando () quedndonos:

+F=0Luego si:A= B=C= D= E= F=F

Remplazamos en la ecuacin nos queda:Ax2 +Bxy + Cy2 +Dx+Ey+F =0Como se demuestra que los coeficientes A, B, C y A, B, C satisface la condicin:B2-4AC = B2- 4AC

Para cualquier rotacin de los ejes. Esto significa que la cantidad B2-4AC no cambia al rotar los ejes o es invariante. Y es as que a esta condicin la llamamos Discriminante (I)= B2-4AC

3.3. UTILIZACIONES DEL DISCRIMINANTE PARA RECONOCER LA NATURALEZA DE LAS CONICAS

3.1.1. Si B 0: Se cumple que una ecuacin de segundo grado representa: Una elipse (o particularmente, un solo punto o un lugar vaco)si B2-4AC < 0 Una hiprbola (o en algunos casos, un par de rectas secantes) B2-4AC > 0 Una Parbola(o en casos particulares, un par de rectas paralelas, una sola recta o un lugar vaco) si B2-4AC = 0

I0

ElipseParbolaHiprbola

3.1.2. Si B=0, es decir se carece del termino xy Elipse: si A y C son del mismo signo Hiprbola: si A y C son de diferente signo Parbola: S A = C

3.4. DESARROLLO DE EJERCICIOS

IV. CONCLUSIONES

En conclusin el discriminante es muy til para determinar si una ecuacin cuadrtica de la forma general pertenece a una parbola, elipse, o hiprbola; adems nos va a servir para al momento de aplicar el mtodo de rotacin de coordenadas; muy complicadas saber que cnica tendremos como resultado.

V. BIBLIOGRAFA

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