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UNIVERSIDAD POLITECNICA DE MADRID

DEPARTAMENTO DE AUTOMATICA, INGENIERIA

ELECTRONICA E INFORMATICA INDUSTRIAL

División de Ingeniería de Sistemas y Automática (DISAM)

ESTRATEGIAS PARA LA OBTENCIÓN Y PREDICCIÓN DE LA LOCALIZACIÓN Y VELOCIDAD DE OBJETOS MÓVILES

A TRAVÉS DE SECUENCIAS DE IMÁGENES

David Gutiérrez Horrillo

Julio 2005

UNIVERSIDAD POLITÉCNICA DE MADRID

DEPARTAMENTO DE AUTOMÁTICA

INGENIERÍA ELECTRÓNICA

E INFORMÁTICA INDUSTRIAL

División de Ingeniería de Sistemas y Automática (DISAM)

ESTRATEGIAS PARA LA OBTENCIÓN Y PREDICCIÓN DE

LA LOCALIZACIÓN Y VELOCIDAD DE OBJETOS MÓVILES

A TRAVÉS DE SECUENCIAS DE IMÁGENES

Autor: David Gutiérrez Horrillo

Tutores: Jose Mª Sebastián Zúñiga

Luis Ángel Silva

Julio 2005

A mis padres y Luisa.

En primer lugar debo agradecer a Jose María Sebastián todo el tiempo dedicado y todo lo que me ha enseñado, ya que gracias a su ayuda este proyecto ha salido adelante. Del mismo modo, a Luís Ángel Silva por su colaboración en los momentos en que estaba completamente parado.

También quiero expresar mi agradecimiento a todas las personas que me han ayudado a lo largo de estos seis últimos años:

A Luisa, por aguantar estoicamente estos 6 años de carrera (y algún año más antes) ayudándome a sobreponerme en los momentos más duros y difíciles.

A mis padres, sin cuya constancia e incesante apoyo no habría logrado estar donde estoy.

A mis compañeros de clase, por los momentos compartidos durante la carrera, fuera y dentro de la universidad.

Al resto de mi familia por su interés, a mis amigos por ayudarme a desconectar y a los “happy’s” por sus risas.

Título del proyecto. Índice de contenidos. 05199212 David Gutiérrez Horrillo

22/10/2006 UPM-DISAM 1

ÍNDICE DE CONTENIDOS

Capítulo 1 Introducción. .................................................................... 9

1.1. Marco del proyecto. ..................................................................................................10

1.2. Objetivos. ..................................................................................................................11

1.3. Estructura del documento. ........................................................................................12

Capítulo 2 Estado del Arte de los Algoritmos de Estimación y

Seguimiento...................................................................................... 13

2.1. Técnicas de Estimación y Seguimiento. ...................................................................14

2.1.1. Extrapolador de Dos Puntos. .............................................................................15

2.1.2. Filtros g-h...........................................................................................................16

a) Filtros α−β. ..........................................................................................................18

b) Propiedades de los filtros g-h. .............................................................................18

c) Filtros g-h especiales. ..........................................................................................23

c.1) Filtro de Benedict-Bordner. ..........................................................................24

c.2) Filtro Críticamente Amortiguado. ................................................................25

c.3) Filtro de Mínimos Cuadrados y Filtro Polinomial de Memoria Extendida. .28

2.1.3. Filtros g-h-k. ......................................................................................................30

a) Filtros α−β−γ. ......................................................................................................31

b) Propiedades de los filtros g-h-k. ..........................................................................31

c) Filtros g-h-k especiales. .......................................................................................33

2.1.4. El Filtro de Kalman............................................................................................35

a) Notación matricial del filtro de Kalman. .............................................................36

Capítulo 3 Descripción del sistema físico. .................................... 39

3.1. HARDWARE. ..........................................................................................................40

3.1.1. La cámara...........................................................................................................40

3.1.2. La tarjeta de adquisición de imágenes. ..............................................................42


22/10/2006 UPM-DISAM 2

3.1.3. Sistema robotizado.............................................................................................43

3.1.4. PC.......................................................................................................................46

3.1.5. Entorno de trabajo..............................................................................................47

3.2. SOFTWARE.............................................................................................................48

3.2.1. Sistema operativo...............................................................................................48

3.2.2. Lenguaje de programación.................................................................................49

Capítulo 4 Alternativas planteadas para la adquisición y el

procesamiento.................................................................................. 50

4.1. Adquisición...............................................................................................................51

4.1.1. Estándar entrelazado. .........................................................................................52

4.1.2. Escaneado progresivo. .......................................................................................52

4.1.3. Escaneado de alta velocidad. .............................................................................53

4.1.4. Bining.................................................................................................................53

4.1.5. Escaneado parcial. .............................................................................................55

4.2. Procesamiento. ..........................................................................................................56

4.2.1. Segmentación.....................................................................................................57

a) Estimación del umbral para la segmentación. .....................................................58

a.1) Umbral estático. ............................................................................................58

a.2) Umbral dinámico. .........................................................................................58

b) Método de segmentación.....................................................................................60

b.1) Comprobación de la imagen completa. ........................................................61

b.2) Búsqueda de puntos candidatos y expansión................................................61

4.2.2. Extracción de características..............................................................................64

a) Centro de gravedad 2D de la pelota.....................................................................64

a.1) Imagen binaria. .............................................................................................64

a.2) Imagen en niveles de gris. ............................................................................65

b) Radio de la pelota. ...............................................................................................67

b.1) Cálculo a través del área de la imagen binaria. ............................................67

b.2) Cálculo a través del área de la imagen en niveles de gris. ...........................68


22/10/2006 UPM-DISAM 3

b.3) Medición directa del radio con precisión subpíxel.......................................68

c) Estimación de la coordenadas 3D........................................................................69

c.1) Coordenadas X e Y.......................................................................................70

c.2) Coordenada Z................................................................................................71

4.2.3. Filtrado de datos.................................................................................................73

a) Modelo del sistema. .............................................................................................74

a.1) Velocidad constante......................................................................................74

a.2) Aceleración constante. ..................................................................................75

a.3) Dependencia del tiempo de adquisición. ......................................................76

b) Modelo del sensor................................................................................................77

b.1) Medida de posición.......................................................................................78

b.2) Medida de la posición y la velocidad. ..........................................................78

c) Problemática del filtro de Kalman. ......................................................................79

4.3. Sincronización de la adquisición y el procesamiento. ..............................................82

4.3.1. Procedimiento síncrono. ....................................................................................83

4.3.2. Procedimiento asíncrono....................................................................................84

Capítulo 5 Resultados. .................................................................... 85

5.1. Sincronización de la adquisición y el procesamiento. ..............................................86

5.2. Filtrado de datos........................................................................................................88

5.2.1. Estimación del radio a través del análisis de la imagen.....................................89

5.2.2. Dimensión del vector de estado. ........................................................................95

5.2.3. Inclusión del tiempo en el modelo del sistema. ...............................................100

5.2.4. Efecto de los valores de las matrices Q y R.....................................................103

5.2.5. Modelo del sensor. ...........................................................................................108

Capítulo 6 Conclusiones. .............................................................. 109

6.1. Alternativas elegidas...............................................................................................110

6.2. Gráficos finales. ......................................................................................................112


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6.3. Predicciones. ...........................................................................................................114

Capítulo 7 Anexos.......................................................................... 117

7.1. ANEXO I. Presupuesto...........................................................................................118

7.2. ANEXO II. Estructuración de descomposición del proyecto. ................................121

7.3. ANEXO III. Diagrama de Gantt. ............................................................................123

7.4. ANEXO IV. Precisión subpíxel..............................................................................125

Título del proyecto. Índice de ilustraciones. 05199212 David Gutiérrez Horrillo

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INDICE DE ILUSTRACIONES.

Ilustración 2.1. Error en la predicción b* en estado estacionario para una referencia

moviéndose con aceleración constante. .......................................................20

Ilustración 2.2. Error transitorio de predección en un filtro g-h debido a una entrada

escalón en velocidad. ...................................................................................24

Ilustración 2.3. Ajustes por mínimos cuadrados..................................................................26

Ilustración 2.4. Polos en el plano A para el filtro g-h críticamente amortiguado. ...............28

Ilustración 3.1. Cámara Sony XC-HR50. ............................................................................40

Ilustración 3.2. Tarjeta de adquisición Matrox Meteor 2-MC/4..........................................42

Ilustración 3.3. Arquitectura del robot paralelo. ..................................................................44

Ilustración 3.4. Imágenes del robot......................................................................................45

Ilustración 3.5. Entorno de trabajo en el que se realizará el seguimiento............................47

Ilustración 4.1. Esquema de adquisición de imágenes.........................................................51

Ilustración 4.2. Imagen en movimiento capturada con estándar entrelazado. .....................52

Ilustración 4.3. Imagen de la pelota en modo no bining......................................................54

Ilustración 4.4. Imagen de la pelota en modo bining...........................................................54

Ilustración 4.5. Imagen cercana de la pelota y su histograma. ............................................57

Ilustración 4.6. Imagen segmentada sin filtrar.....................................................................61

Ilustración 4.7. Imagen segmentada y filtrada. ....................................................................61

Ilustración 4.8. Búsqueda de puntos candidatos. .................................................................62


22/10/2006 UPM-DISAM 6

Ilustración 4.9. Expansión de por el área de la pelota. ........................................................63

Ilustración 4.10. Efecto de una iluminación superior. .........................................................66

Ilustración 4.11. Sistema de referencia para definir posiciones y velocidades....................70

Ilustración 4.12. Obtención de la coordenada X en el entorno 3D. .....................................71

Ilustración 4.13. Esquema del filtro de Kalman discreto.....................................................80

Ilustración 4.14. Ejecución síncrona de adquisición y procesamiento. ...............................83

Ilustración 4.15. Ejecución asíncrona de adquisición y procesamiento. .............................84

Ilustración 5.1. Tiempos de adquisición en modo asíncrono...............................................86

Ilustración 5.2. Tiempos de adquisición en modo síncrono. ...............................................87

Ilustración 5.3. Estimación del radio a partir del área de la imagen binaria........................89

Ilustración 5.4. Estimación del radio a partir del área de la imagen en niveles de gris. ......90

Ilustración 5.5. Medida del radio con precisión subpixel según eje y. ................................91

Ilustración 5.6. Medición del radio con precisión subpíxel según eje x. .............................92

Ilustración 5.7. Medida del radio ponderado con precisión subpíxel. .................................93

Ilustración 5.8. Posiciones con vector de estado en posición y velocidad...........................95

Ilustración 5.9. Posición con vector de estado en posición, velocidad y aceleración..........96

Ilustración 5.10. Error de posición con vector de estado en posición y velocidad. .............96

Ilustración 5.11. Error de posición con vector de estado en posición, velocidad y

aceleración. ..................................................................................................97

Ilustración 5.12. Velocidades con vector de estado en posición y velocidad. .....................97


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Ilustración 5.13. Velocidades con vector de estado en posición, velocidad y aceleración..98

Ilustración 5.14. Error en velocidad con vector de estado en posición, velocidad y

aceleración. ..................................................................................................99

Ilustración 5.15. Tiempos de adquisición con retardos. ....................................................100

Ilustración 5.16. Velocidades con un modelo atemporal...................................................101

Ilustración 5.17. Velocidades con un modelo temporal.....................................................102

Ilustración 5.18. Velocidades con modelo sin error en la aceleración. .............................105

Ilustración 5.19. Velocidades con modelo con error en la aceleración. ............................105

Ilustración 5.20. Error en velocidad con un modelo sin error en aceleración. ..................106

Ilustración 5.21. Error en velocidad con un modelo sin error en aceleración. ..................106

Ilustración 6.1. Campo de posiciones filtradas de la pelota...............................................112

Ilustración 6.2. Campo de velocidades filtradas de la pelota.............................................113

Ilustración 6.3. Error de predicción en el eje x con 15 muestras. ......................................115

Ilustración 6.4. Error en la predicción en el eje z con 15 muestras. ..................................116

Título del proyecto. Índice de tablas. 05199212 David Gutiérrez Horrillo

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ÍNDICE DE TABLAS.

Tabla 2.1. Filtros g-h especiales. .........................................................................................24

Tabla 4.1. Imágenes con distintas iluminaciones con sus respectivos histogramas. ..........59

Tabla 4.2. Valores de los niveles de blanco y umbrales de segmentación. .........................60

Título del proyecto. Introducción. 05199212 David Gutiérrez Horrillo

22/10/2006 UPM-DISAM 9

Capítulo 1 Introducción.

La realización de tareas por parte de los sistemas robotizados en entornos

estructurados con presencia de objetos cuya posición y orientación es perfectamente

conocida, es un problema suficientemente estudiado en la actualidad. Sin embargo, la

realización de tareas en entornos dinámicos presenta numerosas dificultades aún no

suficientemente resueltas. Los sistemas sensoriales de visión y esfuerzos son capaces de

aportar una información extremadamente útil en estos entornos cambiantes puesto que

ofrecen información acerca de cuáles son los objetos presentes en la escena de trabajo y

además y quizás más importante, permiten determinar de una forma suficientemente

precisa su posición y orientación.

Título del proyecto. Introducción. 05199212 Marco del proyecto. David Gutiérrez Horrillo

22/10/2006 UPM-DISAM 10

1.1. Marco del proyecto.

La investigación realizada se encuadra dentro del proyecto de investigación

“Arquitecturas de tele operación en entornos dinámicos modelables” DPI 2001-3827-C02-

01 subvencionado por el Ministerio de Ciencia y Tecnología. Este proyecto, plantea el

estudio e implementación de una novedosa plataforma experimental de control visual

directo, que permita por un lado, modelar el entorno y por otro, lograr el control de las

trayectorias de sistemas robotizados, de forma que se posibilite una mayor integración del

sistema de visión y del manipulador en entornos no estructurados y dinámicos.

Debido a los requisitos de alta velocidad y aceleración de operación del sistema,

se ha seleccionado un manipulador de estructura paralela y un sistema de visión compuesto

por una cámara de escaneo progresivo y adquisición múltiple, que unido a la potencia de

cálculo de los actuales ordenadores, permite trabajar con periodos de adquisición y

procesamiento cercanos a los 4 milisegundos.

A partir de la revisión bibliográfica, se puede afirmar que la plataforma es la

primera que plantea el control de un robot paralelo mediante realimentación visual. La

plataforma llamada RoboTenis, permitirá al robot jugar al tenis de mesa, y su diseño

implicará la construcción del robot de estructura paralela, la selección e integración del

sistema de visión y el desarrollo de algoritmos de control servo-visual.

La realización del presente proyecto fin de carrera ha abarcado los algoritmos

necesarios para el control visual en la estimación de la posición y velocidad de un objeto

móvil.

Título del proyecto. Introducción. 05199212 Objetivos. David Gutiérrez Horrillo

22/10/2006 UPM-DISAM 11

1.2. Objetivos.

Como se acaba de mencionar en el apartado anterior, el objetivo principal del

presente proyecto, es el desarrollo de estrategias para el control visual del movimiento de

un robot o sistema articular en entornos dinámicos.

Tras unos estudios anteriores a este proyecto sobre estimación de posición y

velocidad en un entorno controlado, en el presente proyecto se pretende realizar un control

visual directo en tiempo real donde la información obtenida directamente de la secuencia

de imágenes sea trasladada a un robot paralelo (RoboTenis) diseñado para jugar al tenis de

mesa.

Entre los objetivos parciales a conseguir en el desarrollo del presente proyecto se

incluyen:

• Predicción de la posición y velocidad de un objeto en el espacio, a fin de

poder efectuar su seguimiento.

• Aplicación de los algoritmos de predicción al control visual para su

utilización en el robot paralelo (RoboTenis) a fin de facilitar la realización de tareas

complejas como es jugar al tenis de mesa.

• Planteamiento de otras pruebas alternativas a fin de poder evaluar los

distintos algoritmos y determinar el más adecuado de todos ellos.

Título del proyecto. Introducción. 05199212 Estructura del documento. David Gutiérrez Horrillo

22/10/2006 UPM-DISAM 12

1.3. Estructura del documento.

El documento se estructura en cinco grandes bloques que se comentan a

continuación.

• Estado del arte de los algoritmos de estimación y seguimiento.

Se pretende realizar un análisis del estado en que se encuentran las distintas

alternativas de que se dispone para la estimación y el seguimiento de objetos móviles.

• Descripción del sistema utilizado.

Se realiza una breve descripción tanto del hardware y del software empleados para

la realización de la tarea.

• Descripción del proceso y de los algoritmos de estimación propuestos.

Se describen los pasos que se siguen para que, a partir de una secuencia de

imágenes, se puedan obtener los parámetros que se le deben comunicar al robot para que

este lleve a cabo la función requerida.

• Resultados de las distintas alternativas.

Se hacen los oportunos ensayos para poder obtener los valores característicos de

cada una de las pruebas que se plantearon en el apartado anterior.

• Conclusiones.

En base a los resultados obtenidos en el apartado anterior, se concretará cual es la

alternativa más apropiada para el problema que se ha planteado.

Título del proyecto. Estado del arte. 05199212 David Gutiérrez Horrillo

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Capítulo 2 Estado del Arte de

los Algoritmos de Estimación y Seguimiento.

En el estado del arte en algoritmos de estimación y seguimiento es amplio debido

especialmente a las contribuciones realizadas en Radar y en teoría de estimación.

En este capítulo se profundiza en las técnicas de estimación y seguimiento típicas

en Radar, ya que forman parte en la mayoría de los estudios de los investigadores en el

campo de técnicas de estimación y seguimiento.

Título del proyecto. Estado del arte. 05199212 Técnicas de estimación y seguimiento. David Gutiérrez Horrillo

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2.1. Técnicas de Estimación y Seguimiento.

En esta sección se van a ver las técnicas más usuales para estimar la posición de

un único objeto.

Los algoritmos, que van desde el más sencillo, el Extrapolador de Dos Puntos, al

más sofisticado, el Filtro de Kalman, se caracterizan por predecir la posición futura de la

referencia u objeto que estamos siguiendo. Adicionalmente estiman su velocidad y en el

caso de los Filtros g-h-k y el Filtro de Kalman de tercer orden la aceleración de la

referencia.

A parte de ver el estado del arte en este tipo de estimadores, daremos sus

ecuaciones de diseño y las referencias bibliográficas para un mayor detalle.

Título del proyecto. Estado del arte. 05199212 Técnicas de estimación y seguimiento. David Gutiérrez Horrillo Extrapolador de dos puntos.

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2.1.1. Extrapolador de Dos Puntos.

El Extrapolador de Dos Puntos es el algoritmo de estimación más simple que

existe para estimar la cinemática de n proceso. Utiliza las dos últimas medidas para

determinar la velocidad y la última medida junto con la velocidad estimada para

determinar la posición [Brookner98libro].

* 1

* *1 ·

n nn

n n n

y yxT

x y T x

−

+

−=

= + (2.1)

Este estimador se caracteriza por ser muy rápido en su respuesta transitoria. Por

el contrario, no realiza ningún tipo de filtrado a la señal medida yn, lo que lo hace muy

sensible al ruido de la medida.

Título del proyecto. Estado del arte. 05199212 Técnicas de estimación y seguimiento. David Gutiérrez Horrillo Filtros g-h.

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2.1.2. Filtros g-h.

Los Filtros g-h son filtros recursivos muy simples. Se trata de estimadores de

segundo orden, es decir, estiman la posición futura y la velocidad de un objeto basándose

en un modelo dinámico en donde la referencia a seguir se mueve a velocidad constante

[Bhagavan1974, Brookner98libro, Bar-Shalom98libro].

A pesar de que asumen un modelo dinámico de velocidad constante, la referencia

puede que no se mueva así. Para tener en cuenta esta situación actualizan la velocidad del

objeto a través de la ecuación:

*

, 1* *, , 1 · n n n

n n n n n

y xx x h

T−

−

⎛ ⎞−= + ⎜ ⎟⎜ ⎟

⎝ ⎠ (2.2)

La notación utilizada obedece a lo siguiente: el superíndice “*” denota que es una

magnitud estimada. Los parámetros sin asterisco representan valores reales en posición y

velocidad del objeto. Se ha introducido un segundo subíndice que indica el instante en el

cual se ha producido la última medida para realizar la estimación. De esta manera *, 1n nx −

indica la velocidad estimada en el instante n basada en las medidas realizadas hasta el

instante n-1; análogamente *,n nx denota la velocidad estimada en el instante n teniendo en

cuenta la medida realizada en ese instante, es decir, teniendo en cuenta yn. La notación

descrita será la utilizada de aquí en adelante.

El parámetro hn, sirve para dar mayor o menor peso a la medida. En general

depende del tiempo. De esta forma, si hn tiene un valor de 1 o cercano a éste, estamos

dando más importancia a la medida yn que a la estimación *, 1n nx − , a medida que

disminuimos hn sucede lo contrario. En general, el valor de hn depende de lo preciso que

sea el instrumento de medida.

La ecuación de actualización de la posición que se utiliza es:

( )* * *, , 1 , 1·n n n n n n n nx x g y x− −= + − (2.3)


22/10/2006 UPM-DISAM 17

El parámetro gn depende, en general, del tiempo y al igual que hn sirve para dar

mayor o menor peso a la medida yn. Es decir, gn determina donde queremos poner la

estimación en posición, cerca de la medida yn o de la predicción *, 1n nx − . Del mismo modo

que ocurría con hn depende de la precisión con la que obtenemos la medida.

Las dos ecuaciones anteriores proporcionan la actualización de la posición y de la

velocidad del objeto en el instante n después de haber realizado la medida yn. A estas dos

ecuaciones se las denomina Ecuaciones g-h de Actualización o Filtrado:

( )

*, 1* *

, , 1

* * *, , 1 , 1

·

·

n n nn n n n n

n n n n n n n n

y xx x h

T

x x g y x

−−

− −

⎛ ⎞−= + ⎜ ⎟⎜ ⎟

⎝ ⎠

= + −

(2.4)

A *,n nx se le denomina estimación filtrada y estima la posición de xn en el instante

de tiempo n basándose en la medida actual yn así como en las pasadas. Esta estimación

difiere de la estimación predicha *, 1n nx − en que estima la posición xn basándose en medidas

pasadas.

Para realizar la predicción en posición asumen un movimiento de velocidad

constante obteniendo las denominadas Ecuaciones g-h de Predicción:

* *

1, ,

* * *1, , 1,·

n n n n

n n n n n n

x x

x x T x+

+ +

=

= + (2.5)

Las ecuaciones (2.4) y (2.5) nos permiten realizar el seguimiento del objeto

deseado. Por norma general, no estamos interesados en conocer *,n nx y sí *

1,n nx + . En este

caso se suelen combinar proporcionando sólo dos ecuaciones que son conocidas como

Ecuaciones g-h de Predicción y Filtrado:

( )

( )

* * *1, , 1 , 1

* * * *1, , 1 1, , 1

·

· ·

nn n n n n n n

n n n n n n n n n n

hx x y xT

x x T x g y x

+ − −

+ − + −

= + −

= + + − (2.6)


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Estas ecuaciones son muy utilizadas en sistemas radar [Bar-Shalom98libro,

Benedict1962, Blackman86libro, Brookner98libro, Farina86libro].

Una importante clase de Filtros g-h son aquellos en donde g y h son constantes a

lo largo del tiempo. En este caso los cálculos se simplifican al igual que se requiere un

menor uso de memoria.

La selección de los parámetros gn y hn determinan las características del filtro

como veremos más adelante.

a) Filtros α−β.

Para obtener las ecuaciones de los conocidos como Filtros α−β tan sólo hay que

coger las Ecuaciones g-h de Predicción y Filtrado (2.6) y sustituir g por α y h por β

obteniendo las ecuaciones de los Filtros α−β.

( )

( )

* * *1, , 1 , 1

* * * *1, , 1 1, , 1

·

· ·

nn n n n n n n

n n n n n n n n n n

x x y xT

x x T x y x

β

α

+ − −

+ − + −

= + −

= + + − (2.7)

b) Propiedades de los filtros g-h.

Se verán a continuación las propiedades más importantes de este tipo de filtros.

• Comportamiento en estado estacionario de una referencia moviéndose a

velocidad constante.

Los Filtros g-h predicen la posición con error cero, es estado estacionario, en el

caso de que la referencia se mueva a velocidad constante y no existan errores en

la medida, [Brookner98libro].


22/10/2006 UPM-DISAM 19

En este caso gn y hn se hacen cero.

• Condiciones bajo las que la asunción de velocidad constante es razonable.

Supongamos que nuestra referencia se mueve de manera arbitraria por una

trayectoria unidimensional en el tiempo, x(t). Si expresamos x(t) en términos de

su expansión en Serie de Taylor:

2 3

( ) · · · ...2! 3!n n n nt tx t x t x x x∆ ∆

= + ∆ + + + (2.8)

Tenemos que para términos 2

· 02! nt x∆

→ podemos escribir (2.8) como:

( ) ·n nx t x T x= + (2.9)

En esta última expresión se ha sustituido t∆ por T. La ecuación (2.9) es

precisamente la ecuación de un objeto moviéndose a velocidad constante. Por

tanto la asunción de que nuestra referencia se mueve a velocidad constante es

razonable siempre y cuando el periodo de muestreo sea pequeño o cuando la

aceleración sea pequeña o la combinación de ambos sea pequeña.

• Comportamiento en estado estacionario de una referencia moviéndose con

aceleración constante.


22/10/2006 UPM-DISAM 20

Ilustración 2.1. Error en la predicción b* en estado estacionario para una referencia moviéndose con aceleración constante.

Este error de predicción es denominado por otros autores como error dinámico,

error sistemático, error de bias o error de truncamiento.

El error de predicción en este caso y suponiendo que no cometemos errores de

medida, está dado por la ecuación [Asquith1969, Morrison69libro].

2

* *1,

·n n

x Tb bh+= = − (2.10)

Como se puede observar, el error de predicción es inversamente proporcional al

parámetro h. Por tanto, cuanto mayor sea h más rápido responde el Filtro g-h a

cambios de velocidad. Por otro lado, para valores menores, el filtro tendrá un

comportamiento más lento a los cambios de velocidad.

El error de predicción para la posición filtrada y para la velocidad está dado por

[Asquith1969]:


22/10/2006 UPM-DISAM 21

* 2,

*,

1· ·

2· ·2

n n

n n

gb x Th

g hb x Th

−= −

−= −

(2.11)

• Error de seguimiento debido a errores aleatorios en la medida.

La medida yn la podemos expresar como:

n n ny x υ= + (2.12)

En esta expresión xn es la posición verdadera del objeto y nυ es el error de

medida para la observación enésima. Asumimos que nυ es una variable aleatoria

de media cero y con desviación estándar υσ para todo n. Como υσ representa la

desviación de la medida podemos cambiar su notación a xσ .

Se pretende por tanto conocer la varianza en la predicción de *1,n nx + :

( ) ( ){ }22 2 * * *1, 1, 1, 1,n n n n n n n nx E x E xσ σ+ + + +

⎡ ⎤= = −⎢ ⎥⎣ ⎦ (2.13)

En esta expresión en operador E[·] representa al operador valor esperado.

Queremos expresar la ecuación (2.13) en términos de xσ y de los parámetros del

filtro. Asquito demostró que en estado estacionario y para parámetros constantes

en el Filtro g-h, está dado por [Asquith1969]:

( ) ( )2

2 2 * 21, 1,

2· 2· · ·· 4 2·n n n n xg h g hx

g g hσ σ σ+ +

+ += =

− − (2.14)

Análogamente se obtiene para la posición filtrada y para la velocidad estimada:

( ) ( )2

2 2 * 2, ,

2· 2· 3· · ·· 4 2·n n n n x

g h g hxg g h

σ σ σ+ −= =

− − (2.15)


22/10/2006 UPM-DISAM 22

( ) ( )2

2 * 21, 2

1 2· ·· 4 2·n n x

hxT g g h

σ σ+ =− −

(2.16)

• Compensación entre el error de predicción y la varianza en la estimación.

Las magnitudes 1,n nσ + y *b son parámetros de diseño a la hora de realizar el

algoritmo de estimación. El error de predicción total o error de seguimientos

viene dado por la suma de ambos parámetros. Por tanto, de nada sirve reducir

mucho uno de ellos si el otro se mantiene constante.

Queremos remarcar que estos dos requerimientos son mutuamente excluyentes. A

saber, cuanto mayores es h menor es *b , lo que produce una mayor 1,n nσ + y

viceversa, ver (2.10) y (2.14). Por tanto el diseño de los algoritmos debe de hacer

frente a este inconveniente.

Una buena elección es hacer que ambos errores sean aproximadamente del mismo

orden de magnitud. Una manera de conseguirlo es haciendo *b igual a tres veces

el rms del error de predicción [Brookner98libro]:

* 21,3· n nb σ += (2.17)

• Estabilidad.

La estabilidad es a menudo un asunto a tener en cuenta en el diseño de un filtro.

La literatura [Asquith1969, Skalansky1957, Tenne2000] muestra que un Filtro g-

h de parámetros constantes es estable cuando sus parámetros cumplen las

siguientes condiciones:

00

4 2· 0

gh

g h

>>− − >

(2.18)


22/10/2006 UPM-DISAM 23

c) Filtros g-h especiales.

En esta sección se presentan los algoritmos de estimación de la Tabla 2.1. Todos

ellos se rigen por las Ecuaciones g-h de Predicción y Filtrado (2.6). Por tanto, todos ellos

son Filtros g-h y por consiguiente Filtros α−β. La diferencia entre ellos radica en la

selección de los parámetros gn y hn. Algunos mantienen los parámetros gn y hn constantes a

lo largo del tiempo como en el caso del Filtro Benedict-Bordner, mientras que otros

pueden variar en el transcurso del tiempo, como en el filtro de Kalman. En algunos de los

filtros relatados en la Tabla 2.1 los parámetros g y h están relacionados entre si.

Filtro Wiener

Filtro polinomial de memoria gradual

Filtro polinomial de memoria extendida

Filtro de Kalman

Filtro de Bayes

Filtro de mínimos cuadrados

Filtro de Benedict-Bordner

Filtro concentrado

Filtro g-h de mínimos cuadrados

discontinuo


22/10/2006 UPM-DISAM 24

Filtro g-h críticamente amortiguado

Filtro de crecimiento de memoria

Tabla 2.1. Filtros g-h especiales.

c.1) Filtro de Benedict-Bordner.

El filtro de Benedict-Bordner es un Filtro g-h en donde sus parámetros g y h están

elegidos de forma que minimizan el error de predicción transitorio cuando se produce un

salto de velocidad [Benedict1962].

Ilustración 2.2. Error transitorio de predección en un filtro g-h debido a una entrada escalón en velocidad.

La figura 2.2 muestra esta situación. En ella podemos ver la trayectoria seguida

por la referencia a lo largo del tiempo xn y la posición predicha por el Filtro g-h, *. 1n nx − .

Inicialmente, la velocidad de la referencia es cero hasta que en t = 0 pasa a una velocidad

destinta de cero. Podemos observar como en un principio el filtro no sigue perfectamente a

la referencia produciéndose un error transitorio. El Filtro Benedict-Bordner está diseñado


22/10/2006 UPM-DISAM 25

de forma que sus parámetros g y h minimicen este error. Para ello utilizan la siguiente

función de coste que minimizan para un salto en velocidad [Benedict1962].

( )22 *, 1 1, 1

0·n n n n nn

E x xσ λ∞

− + +=

= + −∑ (2.19)

Tras la minimización, se obtienen que los parámetros g y h deben de estar

relacionados de la siguiente manera:

2

2gh

g=

− (2.20)

En [Benedict1962] los autores señalan que el análisis realizado da el valor óptimo

para el parámetro h una vez seleccionado el g. Recomiendan variar g conforme el error en

la predicción vaya aumentando.

En la literatura, el Filtro de Benedict-Bordner es también conocido como Filtro g-

h Óptimo [Asquith1969, Asquith1970, Brookner98libro].

c.2) Filtro Críticamente Amortiguado.

El Filtro Críticamente Amortiguado es óptimo en otro sentido. Este selecciona los

parámetros g y h de forma que su comportamiento sea críticamente amortiguado.


22/10/2006 UPM-DISAM 26

Ilustración 2.3. Ajustes por mínimos cuadrados.

Supongamos que tenemos 9 observaciones y0..y8, Figura 2.2. Con estas

observaciones tenemos que predecir donde estará nuestra referencia en n = 9. Una manera

de hacerlo es encontrar la recta que mejor se ajusta a estos puntos y realizar una

extrapolación para n = 9.

El ajuste de una línea por mínimos cuadrados es aquella que minimiza la suma

total de las diferencias al cuadrado entre los puntos medidos y los de dicha línea en el

instante de tiempo n [Blackman99libro]:

( )22 *

0 0

N N

n n nn n

e x yε= =

= = −∑ ∑ (2.21)

Existe un problema en utilizar este método. Este ajuste se caracteriza por dar el

mismo peso a las medidas antiguas como a las realizadas más recientemente. Por lo que si

el objeto está realizando un giro, los datos antiguos están influyendo de manera incorrecta

a la hora de predecir el camino. Para solucionar este error, en la manera de lo posible,

tenemos que dar menos peso a los datos antiguos que a los realizados más recientemente:

2

0

·

0 1

NN n

nn

e θ ε

θ

−

=

=

≤ ≤

∑ (2.22)


22/10/2006 UPM-DISAM 27

Para realizar el seguimiento de esta manera los parámetros g y h vienen dados por

[Blackman99libro]:

( )

2

2

1

1

g

h

θ

θ

= −

= − (2.23)

De esta manera, no es preciso guardar todas las medidas pasadas para realizar el

seguimiento ya que guardando la posición predicha y velocidad estimada pasada, *, 1n nx − y

*, 1n nx − , tenemos toda la información que necesitamos del pasado para realizar la predicción.

Si los parámetros g y h son fijos a lo largo del tiempo y son calculados mediante

(2.23), entonces tenemos el denominado Filtro g-h Discontinuo de Mínimos Cuadrados, el

noveno de la Tabla 2.1. En ocasiones, recibe otro nombre: Filtro Polinomial de Memoria

Gradual de grado 1, segundo de la Tabla 2.1, y se dice que es de grado 1 porque tenemos

un modelo dinámico de velocidad constante y por tanto la posición es una función lineal

del tiempo. Es también llamado Filtro g-h Críticamente Amortiguado, décimo de la Tabla

2.1, porque es críticamente amortiguado. Para comprobar esta afirmación basta con

calcular la transformada Z de las Ecuaciones g-h de Predicción y Filtrado (2.6) con g y h

dados por (2.23). Haciéndolo [Asquith1969], encontramos que este filtro posee un polo

real doble en 1 2z z θ= = . Este polo doble se encuentra dentro del círculo unidad ya que

1θ ≤ , Figura 2.4, y de ahí que sea amortiguado.


22/10/2006 UPM-DISAM 28

Ilustración 2.4. Polos en el plano A para el filtro g-h críticamente amortiguado.

c.3) Filtro de Mínimos Cuadrados y Filtro Polinomial de Memoria

Extendida.

Hasta ahora se ha asumido que se trabajaba en estado estacionario. Sin embargo,

no se ha hablado de que es lo que ocurre en el proceso de inicialización de la estimación de

nuestra referencia. Los filtros con los parámetros g y h fijos presentan un comportamiento

muy pobre en el proceso de inicialización ya que el cálculo de estos parámetros se realiza

para cuando nos encontramos en estado estacionario. Estos sobreestiman las predicciones

antiguas y subestiman las nuevas, presentando inicialmente un comportamiento pobre. Una

solución lógica es que los parámetros g y h sena dependientes del tiempo, grandes en la

fase inicial hasta alcanzar el estacionario de donde trabajaríamos con un filtro de

parámetros constantes como el Benedict-Bordner o el Críticamente Amortiguado.

Para este periodo de inicialización se suele utilizar el Filtro de Mínimos

Cuadrados, en donde básicamente se realiza un ajuste de las medidas por le método de

mínimos cuadrados y en donde los parámetros g y h varía a lo largo del tiempo n según las

siguientes expresiones [Brookner98libro]:


22/10/2006 UPM-DISAM 29

( )( ) ( )

( ) ( )

2· 2· 12 · 16

2 · 1

n

n

ng

n n

hn n

+=

+ +

=+ +

(2.24)

Con esta selección los pesos decrecen según va aumentando n. De esta manera se

asume que al principio tiene una pobre estimación (g y h grandes), por lo que se tiene más

en cuenta yn, y que ésta va mejorando a lo largo del tiempo (g y h decrecen).

El Filtro g-h de Mínimos Cuadrados, línea 6 de la Tabla 2.1, también es conocido

como Filtro Polinomial de Memoria Extendida, línea 3 de Tabla 2.1, ya que su memoria

crece linealmente a lo largo del tiempo.

El momento para realizar el cambio a un filtro con parámetros g y h constantes es

para algunos investigadores cuando [Brookener98libro]:

2 21, 1,n n n nFiltro Mínimos Cuadrados en estado estacionarioσ σ+ += (2.25)

Título del proyecto. Estado del arte. 05199212 Técnicas de estimación y seguimiento. David Gutiérrez Horrillo Filtros g-h-k.

22/10/2006 UPM-DISAM 30

2.1.3. Filtros g-h-k.

Hasta ahora se han visto estimadores que modelaban la dinámica de la referencia

suponiendo que esta se movía a una velocidad constante. Los Filtros g-h-k consideran que

el objeto se mueve con cierta aceleración con lo que su dinámica se rige por las ecuaciones

[Brookner98libro, Bar-Shalom98libro]:

2

1

1

1

· ·2

·

n n n n

n n

n n

Tx x x T x

x x x Tx x

+

+

+

= + +

= +=

(2.26)

Siguiendo el mismo procedimiento que con los Filtros g-h obtenemos las

Ecuaciones g-h-k de Actualización o Filtrado.

( )

( )( )

* * *, , 1 , 12

* * *, , 1 , 1

* * *, , 1 , 1

2· ·

·

·

nn n n n n n n

nn n n n n n n

n n n n n n n n

kx x y xThx x y xT

x x g y x

− −

− −

− −

= + −

= + −

= + −

(2.27)

Y finalmente las Ecuaciones g-h-k de Predicción:

* *1, ,

* * *1, , ,

2* * * *

1, , , ,

·

· ·2

n n n n

n n n n n n

n n n n n n n n

x x

x x x T

Tx x x T x

+

+

+

=

= +

= + +

(2.28)

La combinación de (2.27) y (2.28) nos proporciona las Ecuaciones g-h-k de

Predicción y Filtrado:


22/10/2006 UPM-DISAM 31

( )( ) ( )

( ) ( )

* * *1, , 1 , 12

* * * *1, , 1 , 1 , 1

* * * * *1, , 1 , 1 , 1 , 1

2· ·

2··

·

nn n n n n n n

n nn n n n n n n n n

n n n n n n n n n n n n n n

kx x y xT

h kx x x y x

Tx x x x g h k y x

+ − −

+ − − −

+ − − − −

= + −

+= + + −

= + + + + + −

(2.29)

a) Filtros α−β−γ.

Las ecuaciones de los Filtros α−β−γ se obtienen sustituyendo en las Ecuaciones

g-h-k de Predicción y Filtrado (2.29) los siguientes valores de g, h y k.

2

gh

k

αβγ

==

=

(2.30)

b) Propiedades de los filtros g-h-k.

Las propiedades más características de este tipo de filtros son:


aceleración constante.

Los Filtros g-h-k predicen la posición sin error en el caso de que la referencia se

mueva con aceleración constante en estado estacionario y no existan errores de

medida [Brookner98libro].

• Condiciones bajo las que la asunción de aceleración constante es razonable.


22/10/2006 UPM-DISAM 32

Siguiendo el mismo razonamiento que en el caso de Filtros g-h, para términos 3

03! nt x∆

→ podemos escribir la expansión en Serie de Taylor de x(t), ecuación

(2.8), como:

2

( ) · ·2n n n

Tx t x T x x= + + (2.31)

Esta ecuación es precisamente la de un objeto moviéndose con aceleración

constante. Por tanto, la asunción de que nuestra referencia se mueve con

aceleración constante es razonable siempre y cuando el periodo de muestreo sea

pequeño o el empuje nx sea pequeño o la combinación de ambos.


empuje constante.

En el caso de que nuestra referencia se esté moviendo con empuje constante y

estemos en estado estacionario, la predicción realizada por un filtro g-h-k posee

un error de predicción *b dado por [Asquith1970]:

3

* *1,

·2·n nx Tb b

k+= = − (2.32)

El error de predicción es inversamente proporcional al parámetro k. Por tanto,

cuanto mayor sea k más rápido responde el filtro g-h-k a cambios de aceleración.

En cambio, para valores menores el filtro tendrá un comportamiento más lento a

estos cambios.

• Error de seguimiento debido a errores aleatorios en la medida.

Asquito demuestra que en estado estacionario, para parámetros constantes en el

filtro g-h-k la varianza en la predicción está dada por [Asquith1970]:


22/10/2006 UPM-DISAM 33

( ) ( ) ( )( ) [ ]

2 2 * 21, 1,

· · 2· 4 · · 2· 2··

2· · · 2· 4n n n n x

g k g h h g g h hx

k g h k g hσ σ σ+ +

+ − + + +⎡ ⎤⎣ ⎦= =− + + −⎡ ⎤⎣ ⎦

(2.33)

Análogamente tenemos que para la posición filtrada, la velocidad estimada y la

aceleración estimada están dadas por:

( ) ( ) ( )( ) ( )

( ) ( )( ) ( )

( ) ( ) ( )

22 2 * 2, ,

3 2 22 * 2

1, 2

22 * 2

1, 4

2· · 2· 2· 3· · 2· · · 4 2··

2· 4 2· · · · 2·

2· 4· · 4· · 2·

· 4 2· · · · 2·

8· · ·· 4 2· · · · 2·

n n n n x

n n x

n n x

h g h g h g k g hx

g h g h g k k

h h k k gx

T g h g h g k k

h kxT g h g h g k k

σ σ σ

σ σ

σ σ

+

+

+ − + − −= =

− − + −

− + −=

− − + −

=− − + −

(2.34)

• Estabilidad.

Tenne y Singh en [Tenne2000] exponen que un filtro g-h-k es estable siempre y

cuando sus parámetros cumplan las siguientes condiciones:

( )

0 200

0 4 2·4· ·

2· 2

ghk

g hg hk

g

< <>>< − −

<−

(2.35)

c) Filtros g-h-k especiales.

Existen filtros g-h-k equivalentes a los filtros g-h estudiados en la sección 2.1.2.c,

como el críticamente amortiguado, el Benedict-Bordner y el polinomial de memoria

extendida.


22/10/2006 UPM-DISAM 34

El filtro g-h-k críticamente amortiguado posee tres raíces reales y representa el

filtro que minimiza el error cuadrático medio para una referencia moviéndose con

aceleración constante. En este caso los parámetros vienen dados por [Morrison69libro]:

( ) ( )

( )

3

2

3

1

1.5· 1 · 1

0.5· 1

g

h

k

θ

θ θ

θ

= −

= − −

= −

(2.36)

El filtro g-h-k Benedict-Bordner también es conocido como el filtro de Simpson y

está diseñado para minimizar el error transitorio ante un cambio escalón en la aceleración.

La relación entre g, h y k en este tipo de filtros está dada por [Simpson1963]:

( )2· · 0h g g h k− + + = (2.37)

Para k=0 obtenemos la expresión (2.20) que es la relación entre g y h para un

filtro Benedict-Bordner de segundo orden.

El filtro g-h-k polinomial de memoria extendida es el filtro de mínimos cuadrados

para una referencia moviéndose con aceleración constante. Este filtro, al igual que su

homólogo en segundo orden es utilizado en el proceso de inicialización de seguimiento de

una referencia. Se caracteriza porque sus parámetros g, h y k cambian a lo largo del

tiempo.

Título del proyecto. Estado del arte. 05199212 Técnicas de estimación y seguimiento. David Gutiérrez Horrillo El filtro de Kalman.

22/10/2006 UPM-DISAM 35

2.1.4. El Filtro de Kalman.

Hasta ahora se han visto estimadores de segundo orden que modelaban la

dinámica del objeto como si se moviera a velocidad constante. En la vida real esto no es

del todo cierto ya que siempre existe cierta incertidumbre en la trayectoria debido al ruido

de medida o a cambios de velocidad. El filtro de Kalman es un filtro g-h que tiene en

cuenta esta incertidumbre añadiendo una componente aleatoria en la dinámica de la

referencia [Kalman1960]. Por ejemplo, se puede añadir una componente aleatoria de

velocidad un.

1

1

·n n n

n n n

x x T xx x u

+

+

= += +

(2.38)

Donde un es independiente de n a n+1 para todo n y de varianza 2uσ . Físicamente

representa un salto aleatorio de velocidad justo antes de la observación n+1.

Esta componente aleatoria tiene en cuenta cualquier posible aceleración o giro de

la referencia así como los posibles ruidos de medida.

Kalman dirigió sus estudios en encontrar el estimador óptimo en medio de todas

las clases de estimadores lineales y no lineales que minimizan el error cuadrático medio.

( )2*1, 1n n nx x+ +− (2.39)

Finalmente encontró que el filtro óptimo era precisamente el filtro g-h (2.6). En

donde los parámetros gn y hn dependen de n. Y en general, dependen de la varianza de la

medida y de la precisión con la que queremos conocer la posición.

Un estudio realizado por Asquito demuestra que en estado estacionario las

constantes del filtro están dadas por [Asquith1969]:

2

2gh

g=

− (2.40)


22/10/2006 UPM-DISAM 36

Esta ecuación es idéntica a la del filtro Benedict-Bordner (2.20). Por tanto el filtro

de Kalman en estado estacionario es idéntico al filtro de Benedict-Bordner. De ahí que

algunos autores lo denominen filtro g-h óptimo.

a) Notación matricial del filtro de Kalman.

En esta sección se va a expresar el filtro de Kalman en notación matricial. Esta

notación es la más utilizada en la literatura [Bar-Shalom98libro, Blackman99libro,

Brookner98libro, Welch2002] aunque su característica más importante es que se puede

generalizar fácilmente a otros casos además del unidimensional.

El filtro de Kalman es una técnica de estimación bayesiana empleada para seguir

sistemas estocásticos dinámicos observados mediante sensores ruidosos. Proporciona un

buen marco para la estimación incremental de una cantidad en una situación en la cual las

mediciones relacionadas con la misma están disponibles a lo largo del tiempo.

El marco de trabajo de este algoritmo está relacionado con las variables de estado

de un sistema físico, el cual podemos modelizar de la siguiente manera:

1 · · ; (0, )k k k k k k kx A x B u w w N Q+ = + + → (2.41)

donde wk es una variable aleatoria que se modela como una normal de media cero

y varianza definida a través de la matriz de covarianzas Q.

Además, para la aplicación del filtro de Kalman también hay que crear un modelo

del sensor que nos relacione la medida zk con el estado del sistema xk:

· ; (0, )k k k k kz H x v v N R= + → (2.42)

donde, de la misma manera que ocurría en el modelo del sistema, existe una

variable aleatoria que se modela como una normal de media cero y varianza especificada

en la matriz de covarianzas R.


22/10/2006 UPM-DISAM 37

Conviene hacer ciertas consideraciones sobre la nomenclatura empleada en las

variables que intervienen en cada uno de los pasos de este algoritmo. Se define así el

estado estimado a priori en el momento k, como el estado que podemos estimar a través de

todos los datos conocidos hasta el instante k-1, por lo que también podemos definir la

matriz de covarianzas a priori como la matriz de covarianzas que nos dice la probabilidad

de que los datos proporcionados por el estado a priori sean correctos.

( ) ( )ˆ ˆ( | 1)

ˆ ˆ·

k

T

k k k k k

x x k k

P E x x x x

−

− − −

= −

⎡ ⎤= − −⎢ ⎥⎣ ⎦ (2.43)

Del mismo modo que antes, se definen el estado estimado a posteriori y la matriz

de covarianzas a posteriori en el instante k. La diferencia con el anterior es que en este caso

sí que se considera para la estimación del estado la posición en el momento que estamos

calculando, es decir, tenemos un dato más para realizar la estimación. La nomenclatura

empleada es la siguiente:

( ) ( )

ˆ ˆ( | )

ˆ ˆ· Tk k k k k

x x k k

P E x x x x

=

⎡ ⎤= − −⎣ ⎦ (2.44)

Una vez definidas todas las variables necesarias con su correspondiente

nomenclatura, se van a definir los pasos de que consta el algoritmo del filtro de Kalman

discreto.

En primer lugar tenemos la fase de propagación o de predicción, en la cual se

realiza la estimación del estado y matriz de covarianzas a priori:

k 1 1 1 1

k 1 1 1 1Pk k k k

Tk k k k

x A x B u

A P A Q

−− − − −

−− − − −

= +

= + (2.45)

Posteriormente viene la fase de actualización o de corrección, en la cual se

calcula la matriz de ganancia de Kalman que nos sirve para cuantificar cuanto deben crecer


22/10/2006 UPM-DISAM 38

las variables de estado que correspondan en función del ruido del sensor, la matriz de

covarianzas a priori y la matriz que define el modelo del sensor.

1

kK T Tk k k k k kP H H P H R

−− −⎡ ⎤= +⎣ ⎦ (2.46)

Después se calcula el vector de estado a posteriori como una corrección del

vector de estado a priori al que se le suma el error cometido entre la medida del sensor y la

estimación del modelo del sensor tomando como estado el modelo a priori. Con la matriz

de covarianzas también se realiza una corrección similar.

[ ]

k k k

k kP Pk k k

k k

x x K z H x

I K H

− −

−

⎡ ⎤= + −⎣ ⎦= −

(2.47)

Como se puede observar, se genera un proceso iterativo en el que, una vez que se

alcanza el punto (1.7), se vuelve a iniciar todo el proceso con el añadido de que cuantas

más medidas se van teniendo más precisa es la medición porque va disminuyendo el valor

de los elementos de la matriz de covarianzas, por lo que la incertidumbre de las medidas

que se obtienen con este algoritmo es menor.

Título del proyecto. Descripción del sistema físico. 05199212 David Gutiérrez Horrillo

22/10/2006 UPM-DISAM 39

Capítulo 3 Descripción del

sistema físico.

En este apartado se realizará una descripción de todos los elementos que han sido

necesarios para poder desarrollar el presente proyecto.

Estos elementos engloban todo el hardware y software sin el cual no habría sido

posible desempeñar las tareas que se describirán en capítulos posteriores. En base a la

clasificación de elementos hardware y software se estructurará este capítulo.

Título del proyecto. Descripción del sistema físico. 05199212 Hardware. David Gutiérrez Horrillo La cámara.

22/10/2006 UPM-DISAM 40

3.1. HARDWARE.

3.1.1. La cámara.

Como ya se mencionó la cámara que se usará será el modelo SONY XC-HR50.

Ilustración 3.1. Cámara Sony XC-HR50.

Las características principales con las que cuenta esta cámara son:

• Captura de imágenes a alta velocidad. Incluye las siguientes opciones en función de

las características de las tareas a realizar:

o Imagen Completa (525 líneas) a 60 cuadros por segundo. Tiempo de

adquisición 16 ms.

o Imagen re-escalada (263 líneas) a 120 cuadros por segundo. Tiempo de

adquisición 8 ms.

• Imágenes parciales (completa o re-escalada) hasta 362 cuadros por segundo.

• Integración progresiva: todos los píxeles se integran a la vez, lo que evita el efecto

del movimiento de entre las líneas pares e impares.

• Mínima iluminación de 1 lux.

• Tiempo de integración de hasta 1/100.000 segundos.

Título del proyecto. Descripción del sistema físico. 05199212 Hardware. David Gutiérrez Horrillo La cámara.

22/10/2006 UPM-DISAM 41

• Reducido tamaño: 29 x 29 x 32 mm. Esta característica es fundamental para su

integración en un sistema robotizado.

Título del proyecto. Descripción del sistema físico. 05199212 Hardware. David Gutiérrez Horrillo La tarjeta de adquisición de imágenes.

22/10/2006 UPM-DISAM 42

3.1.2. La tarjeta de adquisición de imágenes.

La tarjeta de adquisición será la MATROX METEOR 2-MC/4.

Ilustración 3.2. Tarjeta de adquisición Matrox Meteor 2-MC/4.

Las características más destacadas con las que cuenta la tarjeta son las que se

detallan a continuación:

• Digitalizador color/monocromo para bus PCI.

• 4MB de memoria.

• Captura video estándar o no estándar hasta 30 MHz.

• Doble buffering: permite capturar una imagen mientras se procesa la imagen

previamente grabada.

Existe una documentación adicional que se incluye al final del presente

documento con todas las características técnicas de esta tarjeta de adquisición.

Título del proyecto. Descripción del sistema físico. 05199212 Hardware. David Gutiérrez Horrillo Sistema robotizado.

22/10/2006 UPM-DISAM 43

3.1.3. Sistema robotizado.

El robot usado para la realización de la tarea será un robot paralelo, es decir, un

robot cuyo efector final está unido a la base directamente por los accionamientos o por las

barras.

Al haber más de una cadena cinemática cerrada, la cinemática de un robot

paralelo es muy diferente a la de un robot serie. La cinemática inversa de un robot paralelo

se resuelve fácilmente por métodos geométricos, mientras que la cinemática directa es

compleja y se resuelve por métodos numéricos.

Los robots paralelos poseen una serie de ventajas e inconvenientes que se

describen a continuación:

• Ventajas.

o Gran capacidad de aceleración y velocidad de operación.

o Elevada rigidez y bajo peso.

o Accionamiento directo (sin reductores), simplicidad mecánica.

• Desventajas.

o Dificultad en resolver la cinemática directa.

o El espacio de trabajo es reducido, dependiendo del tipo de robot.

Dentro de los distintos modelos de robots paralelos, el que fue elegido para

desempeñar la tarea fue el Robot Delta.


22/10/2006 UPM-DISAM 44

Ilustración 3.3. Arquitectura del robot paralelo.

Las características que caben destacar de este diseño son:

• La base y el efector final se encuentran se conectan por tres cadenas

cinemáticas cerradas e idénticas. Cada una de estas cadenas está separada 120º y consta de

un brazo superior y de un sistema de barras paralelas.

• Esta configuración confiere al efector final un movimiento de translación

según los ejes x, y, z.

• Se le puede dotar de un grado de libertad adicional con un brazo central que

tenga una articulación prismática y otra rotacional, con lo que se permitirá girar el efector

final según la aplicación deseada.

• Los motores están montados en la base y transfieren el movimiento a cada

articulación rotacional, con lo que se consigue que la carga inercial manejada sea reducida.

Algunas de las imágenes del robot ya montado y protegido dentro de una jaula de

seguridad se pueden ver en las siguientes fotografías.


22/10/2006 UPM-DISAM 45

Ilustración 3.4. Imágenes del robot.

Título del proyecto. Descripción del sistema físico. 05199212 Hardware. David Gutiérrez Horrillo Pc.

22/10/2006 UPM-DISAM 46

3.1.4. PC.

En lo referente al equipo informático necesario para poder realizar la aplicación,

la principal exigencia la poder ser compatible con la tarjeta de adquisición, disponer de

suficiente memoria RAM como para poder almacenar todos los datos de cada una de las

adquisiciones que se realicen y una velocidad de procesamiento que no limite la velocidad

de adquisición de imágenes que se puede alcanzar con la combinación tarjeta-cámara.

El equipo informático con el que se cuenta es un PC de doble procesador de

tecnología Pentium IV, con lo que la velocidad de cálculo queda suficientemente cubierta

para el procesamiento de la imagen. Es muy importante este hecho, ya que lo que se

pretende es que lo que límite el tiempo global de un ciclo de trabajo sea la adquisición de

la imagen y no el procesamiento de la misma. La adquisición viene limitada por la cámara

y la tarjeta de adquisición, con lo que, si se tiene un equipo informático eficiente, el

procesamiento de la imagen será menor que el tiempo de adquisición.

La necesidad de tener una cantidad importante de memoria RAM (2Gb) reside en

que las pruebas que se realizan precisan del almacenamiento de gran cantidad de

información como puedan ser las matrices que surgen del filtro de Kalman, los vectores de

estados, los vectores de error y todo aquello que quiera ser llevado a estudio. La necesidad

de guardarlo en memoria y no escribirlo en disco surge de las elevadas exigencias en el

tiempo de procesamiento de los datos. La escritura en disco genera un retardo en los

procesamientos que no se produce cuando se almacenan estos datos en memoria. Una vez

que se ha terminado el ciclo de análisis, se vuelcan todos estos datos al disco para

analizarlos y así liberar la memoria. Como se ha podido deducir de este apartado, las

pruebas que se realicen para el estudio de parámetros tienen que ser de tiempo limitado o

de un determinado número de ciclos para que no se desborden los datos de la capacidad de

la memoria. Es por este motivo por el que se cuenta con una memoria RAM muy grande

que permita realizar la mayor cantidad posible de ciclos de modo que los resultados puedan

ser más útiles para el estudio.

Título del proyecto. Descripción del sistema físico. 05199212 Hardware. David Gutiérrez Horrillo Entorno de trabajo.

22/10/2006 UPM-DISAM 47

3.1.5. Entorno de trabajo.

En función de lo que aparezca en la imagen que se esté procesando, se tiene que

distinguir la pelota del resto del contenido. Es por este motivo que se tiene que definir el

entorno en el que se va a mover la pelota.

Como la pelota será de color negro, para evitar cualquier tipo de confusión con

objetos que aparezcan detrás de ésta, se ha cubierto el fondo de la escena con un panel de

color blanco que permitirá distinguir fácilmente la pelota al mismo tiempo que facilita el

proceso de segmentación de la imagen.

Ilustración 3.5. Entorno de trabajo en el que se realizará el seguimiento.


22/10/2006 UPM-DISAM 48

3.2. SOFTWARE

3.2.1. Sistema operativo.

Para el desarrollo de la aplicación fue necesaria la instalación del sistema

operativo Windows NT por problemas de compatibilidad de la tarjeta de adquisición de

imágenes con otros sistemas operativos como pueda ser por ejemplo Windows 2000.

El hecho de contar con un sistema operativo Windows tiene como inconveniente

el que no se puede realizar un procesamiento adecuado en tiempo real y por lo tanto la

estimación de velocidades no se realizaría de forma precisa. Para solucionar este problema,

se cuenta con la librería Matrox Imaging Library (MIL) que se describirá más adelante.


22/10/2006 UPM-DISAM 49

3.2.2. Lenguaje de programación.

El lenguaje de programación en el que se ha desarrollado el código de la

aplicación ha sido C++, usando como entorno de programación Microsoft Visual C++ 6.0.

En este lenguaje de programación se cuenta con la librería Matrox Imaging

Library (MIL), que proporciona un conjunto de funciones para el trabajo con imágenes,

entre las que destacan el reconocimiento de patrones, obtención de medidas, análisis de

formas, etc.

Otra ventaja con la que cuenta esta librería es que dispone de un conjunto de

funciones que permite la medición de tiempos con una precisión mayor de los

milisegundos, con lo que el problema del trabajo en tiempo real se soluciona en parte

gracias a que se puede medir el tiempo que transcurre entre una adquisición y la siguiente.

Título del proyecto. Alternativas planteadas. 05199212 David Gutiérrez Horrillo

22/10/2006 UPM-DISAM 50

Capítulo 4 Alternativas

planteadas para la adquisición y el

procesamiento.

En este capítulo se tratarán de exponer las distintas alternativas que se pueden

tomar para la realización de cada una de las dos partes en que se puede dividir la tarea a

realizar: la adquisición de las imágenes y el procesamiento de las mismas.

Al final de este capítulo, se mostrarán también las alternativas de ejecución

conjunta de estas dos tareas por la importante relevancia que puede alcanzar en los

objetivos que se pretenden alcanzar.

Título del proyecto. Alternativas planteadas. 05199212 Adquisición. David Gutiérrez Horrillo

22/10/2006 UPM-DISAM 51

4.1. Adquisición.

El proceso de adquisición de imágenes se considera desde que la cámara toma la

imagen del entorno de trabajo hasta que se cuenta con dicha imagen en el computador que

llevará a cabo el procesamiento de dicha imagen para extraer las características necesarias

para conseguir los datos requeridos.

Un esquema que describiría los pasos que sigue la imagen desde que es capturada

por la imagen hasta que llega al computador son los que se muestran en el esquema que se

muestra a continuación.

Ilustración 4.1. Esquema de adquisición de imágenes.

Como se puede ver en el esquema la imagen que capta la cámara debe pasar a la

tarjeta de adquisición a cada uno de los buffers destinados a esta función para que después

el programa que se está ejecutando lo reclame y lo almacene en memoria, lugar donde será

procesada dicha imagen y de la que se extraerá la información requerida.

Todas estas funciones que permiten este flujo de la imagen se encuentran ya

implementadas en la MIL.

Merece especial atención la evolución que siguen las cámaras analógicas en el

tratamiento de la adquisición de la imagen ya que un método u otro influyen de manera

muy distinta en los tiempos de adquisición y en el resultado de la propia adquisición.

En los siguientes puntos se detallan cada uno de estos métodos y en qué

consisten, con el fin de poder realizar la elección correcta a la hora de afrontar el problema

que se plantea para la realización de los algoritmos de seguimiento.

Título del proyecto. Alternativas planteadas. 05199212 Adquisición. David Gutiérrez Horrillo Estándar entrelazado. Escaneado progresivo.

22/10/2006 UPM-DISAM 52

4.1.1. Estándar entrelazado.

Con esta solución lo que se hace es integrar en instantes de tiempos distintos el

campo par y el campo impar de la imagen. Con esta solución se busca el compromiso entre

la resolución temporal y la resolución espacial. Las velocidades de adquisición que se

consiguen con este método son de 30 frames por segundo (fps).

Con esta solución no se consiguen los tiempos necesarios para poder garantizar la

correcta realización de las tareas que desempeñan los algoritmos de seguimiento. Además,

presenta un gran problema en la adquisición de imágenes que se encuentran en

movimiento. La integración de los dos campos en instantes de tiempos distintos tiene la

consecuencia que se muestra en la siguiente imagen.

Ilustración 4.2. Imagen en movimiento capturada con estándar entrelazado.

4.1.2. Escaneado progresivo.

Con esta solución se evita el problema que se describió en el apartado anterior

referente a la adquisición de imágenes que se encuentren en movimiento, ya que se

integran todas las líneas a la vez por lo que no existe desfase temporal entre los campos par

e impar.

A pesar de esta mejora, se siguen teniendo unos tiempos de adquisición

demasiado grandes para conseguir los objetivos fijados en este proyecto.

Título del proyecto. Alternativas planteadas. 05199212 Adquisición. David Gutiérrez Horrillo Escaneado de alta velocidad. Bining.

22/10/2006 UPM-DISAM 53

4.1.3. Escaneado de alta velocidad.

Con este método se busca solucionar el problema que aun se seguía planteando en

el escaneado progresivo, el tiempo de adquisición.

Para esta solución se consiguen duplicar las velocidades, llegando hasta los 60fps.

La única consideración que se debe tomar respecto a esta opción es que, ante el aumento

de las prestaciones de la cámara, también se debe considerar el aumentar las prestaciones

de la tarjeta de adquisición, ya que las tareas que tendrá que realizar en cuanto a la gestión

de las imágenes procedentes de la cámara se duplicarán.

4.1.4. Bining.

Si con el método explicado en el apartado anterior es insuficiente, aun se puede

usar la técnica de bining a partir de la cual podemos pasar de velocidades de 60fps a

120fps. Esto se traduce en tiempos de adquisición de cerca de los 8 milisegundos, con lo

que esta velocidad se puede considerar apropiada para la tarea que se pretende desarrollar.

La duplicación de la velocidad de adquisición se consigue porque por medio de

este método se integran las líneas de la imagen de dos en dos, realizando una ponderación

de los valores de los píxeles correspondientes con lo que se procesa la mitad de la

información. Esto tiene connotaciones importantes en cuanto a cómo se recibe la imagen

en la tarjeta de adquisición y, por tanto, en como se debe procesar la información hay ahora

contenida en ella.

Si la imagen se estuviera procesando en modo no bining, se tendría lo que se

muestra a continuación:

Título del proyecto. Alternativas planteadas. 05199212 Adquisición. David Gutiérrez Horrillo Escaneado parcial.

22/10/2006 UPM-DISAM 54

Ilustración 4.3. Imagen de la pelota en modo no bining.

Pero en el caso del procesamiento bining, la imagen se encuentra reducida a la

mitad debido a que cada dos líneas horizontales se representa una sola que sería la

ponderación de las dos que se estén analizando, por lo que la imagen queda como se

muestra.

Ilustración 4.4. Imagen de la pelota en modo bining.

Título del proyecto. Alternativas planteadas. 05199212 Adquisición. David Gutiérrez Horrillo Escaneado parcial.

22/10/2006 UPM-DISAM 55

En este caso, se puede observar una deformación de la pelota en la que aparece

con forma ovalada en vez de redonda. Este factor debe tenerse en cuenta a la hora de

realizar el cálculo del radio ya que la única dimensión que conserva su valor real es la

dimensión horizontal, sabiendo que la dimensión vertical se ha reducido a la mitad.

4.1.5. Escaneado parcial.

Aún es posible ir un paso más allá en cuanto a la mejora de los tiempos de

adquisición. Mediante el escaneado parcial, lo que se pretende es no tener que analizar toda

la imagen, si no únicamente la parte de ella que resulte de interés. Esta forma de adquirir la

imagen puede proporcionar velocidades de adquisición en torno a los 240fms.

Título del proyecto. Alternativas planteadas. 05199212 Procesamiento. David Gutiérrez Horrillo

22/10/2006 UPM-DISAM 56

4.2. Procesamiento.

En este apartado se comentarán las distintas alternativas planteadas en todos los

pasos que se deben seguir para llegar desde la imagen hasta los datos necesarios que se le

deben transmitir al robot para que realice la tarea requerida.

El procesamiento de la imagen se ha descompuesto en tres grandes apartados de

los que se pueden plantear distintas alternativas de resolución. Estos apartados son los que

se resumen en las siguientes líneas.

o Segmentación.

En este apartado se pretende conseguir la distinción entre lo que en la

imagen representa pelota y lo que representa fondo o entorno.

o Extracción de características.

Una vez que se tiene definida la pelota dentro de la imagen, se ha de

extraer de ella toda la información necesaria que permita la interpretación

de las características deseadas para la realización de las tareas de

seguimiento visual.

o Filtrado.

Por consideraciones dinámicas del robot y por unas correctas predicciones

de la posición de la pelota en instantes posteriores, se deben conseguir

unas medidas carentes de ruidos que alteren la medida real.

Título del proyecto. Alternativas planteadas. 05199212 Procesamiento. David Gutiérrez Horrillo Segmentación.

22/10/2006 UPM-DISAM 57

4.2.1. Segmentación.

Como se comentó en el capítulo de la descripción del sistema físico, el entorno de

trabajo en el que se realizará el experimento consiste en una pelota negra que se mueve

sobre un fondo de color blanco. Este conocimiento del entorno de trabajo permite realizar

un análisis apropiado con el fin de encontrar la pelota dentro de la imagen y distinguirlo de

todo aquello que no lo sea, consiguiendo así la segmentación de la imagen.

La presencia de la pelota como único elemento sobre un fondo uniforme facilita

el proceso de segmentación porque en el histograma de la imagen presenta dos claros picos

que representan cada uno de los dos elementos distinguibles en la imagen. A continuación

se muestra el histograma de una pequeña región alrededor de la pelota porque en el

histograma de la imagen total la cantidad de píxeles negros son casi despreciables frente a

los blancos y no resultan fácilmente visibles por los diferentes órdenes de magnitud.

Ilustración 4.5. Imagen cercana de la pelota y su histograma.


22/10/2006 UPM-DISAM 58

a) Estimación del umbral para la segmentación.

Para poder realizar la segmentación de una imagen es necesario tener un valor de

nivel de gris que permita separar y clasificar los píxeles como parte de la pelota o parte del

fondo de la imagen. La determinación de este umbral va a ser el que dé mayor robustez al

proceso de segmentación ya que una mala estimación tendrá como resultado el considerar

píxeles que pertenecen a la pelota como pertenecientes al fondo o viceversa.

a.1) Umbral estático.

Cuando tenemos una escena en la que la iluminación es constante para todas las

imágenes que se están tomando resulta muy sencilla la determinación de este umbral sin

más que mirar el histograma y tomar un nivel de gris medio entre los dos picos que se

forman.

Es muy importante el contar con una iluminación igual para cada una de las

imágenes ya que una variación de la iluminación de la escena produce un desplazamiento

de los picos y por lo tanto las consecuencias de ello pueden ser las de realizar una mala

segmentación.

a.2) Umbral dinámico.

Cuando las condiciones de iluminación no son constantes y las capturas de la

imagen presentan múltiples fluctuaciones de iluminación debidas por ejemplo a iluminar

con tubos fluorescentes, se debe considerar la utilización de un umbral variable en función

del nivel de iluminación.

Dos imágenes iguales con distinto nivel de iluminación presentan el siguiente

histograma:


22/10/2006 UPM-DISAM 59

Imagen Histograma

Tabla 4.1. Imágenes con distintas iluminaciones con sus respectivos histogramas.

Como se puede observar en los histogramas, lo que en el primer caso podría ser

un valor aceptable para el umbral, en el segundo caso podría resultar inadecuado.

Como solución se plantea la posibilidad de tomar una medida del valor de gris

que tiene el fondo blanco en la zona más desfavorable (los bordes de la imagen por el

efecto de vignetting) y a partir de este valor considerar de forma porcentual lo que se

consideraría como nivel de gris del umbral.

Para el ejemplo que se ha planteado con los histogramas anteriores, a partir del

nivel de blanco más desfavorable se puede considerar un umbral aceptable el 50% de ese

valor. Los resultados que se tienen en uno y otro caso son los que se muestran a

continuación:


22/10/2006 UPM-DISAM 60

Imagen de mayor iluminación Imagen de menor iluminación

Menor nivel de blanco = 150 Menor nivel de blanco = 75

Mayor nivel de negro = 40 Mayor nivel de negro = 20

Umbral calculado = 75 Umbral calculado = 37

Tabla 4.2. Valores de los niveles de blanco y umbrales de segmentación.

Como se puede observar, con este método y ante distintas iluminaciones, el

umbral se adapta con relativa facilidad consiguiendo el objetivo de conseguir distinguir los

dos elementos básicos que componen la imagen.

b) Método de segmentación.

Una vez que se tiene el umbral con el que realizar la segmentación, hay que

proceder a buscar dentro de la imagen aquellos píxeles que cuentan con un valor menor

que él para poder decir que ellos forman parte de la pelota.

En función de las necesidades que se tengan, en cuanto a tiempos de

procesamiento fundamentalmente, se pueden realizar distintas estrategias para conseguir

este objetivo.


22/10/2006 UPM-DISAM 61

b.1) Comprobación de la imagen completa.

Cuando no se tienen restricciones de tiempo de ningún tipo, lo que se suele hacer

habitualmente en el proceso de segmentación es recorrer la imagen píxel a píxel

comprobando su valor con el del umbral y determinar si pertenece a la pelota o no.

Es posible que debido a una mala adquisición de la imagen, porque el cable de

comunicación introduzca algún tipo de ruido o cualquier causa que se escape del control de

la aplicación, haya píxeles que tras la umbralización hayan sido considerados como parte

de la pelota aun cuando realmente forman parte del fondo de la escena. El ruido que se

presenta en este tipo de circunstancias es fácilmente filtrado con el filtro de la mediana con

el que se obtienen muy buenos resultados.

Ilustración 4.6. Imagen segmentada sin filtrar.

Ilustración 4.7. Imagen segmentada y filtrada.

Con este filtrado se consigue facilitar el trabajo y evitar posibles errores a la hora

de calcular los parámetros de la pelota. También se podría haber aplicado el filtro de la

mediana antes de la umbralización ya que del mismo modo se habrían eliminado los

píxeles ruidosos.

b.2) Búsqueda de puntos candidatos y expansión.


22/10/2006 UPM-DISAM 62

Este procedimiento se lleva a cabo cuando se quiere limitar el tiempo de

procesamiento de la imagen a segmentar y además, como en este caso, sólo hay dos

elementos claramente distinguibles dentro de la imagen.

Para evitar el tener que recorrer toda la imagen en busca de todos los píxeles que

tienen un valor inferior al umbral establecido, lo que se hace es recorrer únicamente una

cantidad muy reducida de puntos comprobando si éstos son candidatos de pertenecer a la

pelota. La disposición de estos puntos debe garantizar que alguno de ellos pertenecerá a la

pelota, así que se distribuirán siguiendo una distribución matricial donde el espacio entre

puntos debe ser menos que el mínimo radio admisible.

Ilustración 4.8. Búsqueda de puntos candidatos.

En la ilustración superior la distancia entre puntos de forma horizontal es el doble

que la distancia vertical porque la imagen está tomada en modo bining. En caso de adquirir

la imagen en modo normal la distancia entre puntos en sentido vertical se podría duplicar,

aunque el número de puntos a comprobar sería el mismo ya que la imagen también se

duplica de tamaño.

Debido a que el número de comprobaciones se reduce considerablemente, la

probabilidad de que se encuentre un punto fuera de la pelota que se detecte como tal es

muy pequeña. Aún así, se pueden eliminar alguno de ellos que pudieran estar alejados de la

zona de mayor densidad de puntos candidatos.

Por último, el paso que queda por realizar para hallar el área de la pelota y que

ésta quede completamente definida es el de expansión. Este proceso consiste en que, a

partir de cada uno de los puntos candidatos, se compruebe que los píxeles vecinos también


22/10/2006 UPM-DISAM 63

se encuentran por debajo del umbral. Esta comprobación se hace de forma recursiva para

cada uno de los píxeles que cumplen la condición, consiguiendo abarcar todo su área sin

necesidad de tener que recorrer toda la imagen, únicamente la superficie que define la

pelota.

Ilustración 4.9. Expansión de por el área de la pelota.

Título del proyecto. Alternativas planteadas. 05199212 Procesamiento. David Gutiérrez Horrillo Extracción de características.

22/10/2006 UPM-DISAM 64

4.2.2. Extracción de características.

Una vez definida la pelota dentro de la imagen, el siguiente paso es la

interpretación de la información que en ella está contenida. El objetivo que se persigue es

el de obtener las coordenadas tridimensionales de la pelota a partir de la información que

se recoge de una sola cámara.

Como la estimación de estos datos no se puede hacer de forma directa a través de

la imagen, a partir de los datos que se extraigan habrá que realizar cálculos adicionales que

proporcionen los datos deseados.

a) Centro de gravedad 2D de la pelota.

Como primer cálculo, se debe estimar la posición del centro de gravedad de la

pelota en la imagen ya que posteriormente, mediante la proyección adecuada, se estimará

su situación 3D.

Existen dos metodologías para la estimación del centro de gravedad,

considerando la imagen binaria o considerando la imagen con su escala de grises.

a.1) Imagen binaria.

El procesamiento de la imagen binaria únicamente considera los píxeles como

pertenecientes o no a la pelota, independientemente de su valor de gris. De las expresiones

generales para el cálculo del centro de gravedad de un área en la imagen, se pasa a la

utilización de las expresiones discretas porque el entorno del que se quiere calcular el

centroide no es continuo, está formado por píxeles.

Las expresiones resultantes son las que se muestran a continuación:


22/10/2006 UPM-DISAM 65

1

1

ii pelota

g

i pelota

ii pelota

g

i pelota

xx

yy

∈

∈

∈

∈

=

=

∑∑

∑∑

(4.1)

En el numerador de estas expresiones se suman los valores de las coordenadas x e

y, mientras que el denominador se contabiliza el área de la pelota en píxeles. En esta área

se contabilizan únicamente los píxeles que la componen ya que como se explicó al

principio del apartado, sólo se tienen en cuenta los puntos que forman parte de la pelota sin

considerar su nivel de gris.

Este método tiene el inconveniente de ser poco preciso ya que desprecia

información que se encuentra contenida, especialmente, en el borde de la imagen donde

píxeles que puedan considerarse como parte del fondo realmente forman parte de la pelota

pero se localizan en la zona de transición entre la pelota y el fondo.

a.2) Imagen en niveles de gris.

En el método de cálculo mediante niveles de gris, se tiene en cuenta más

información ya que, aparte de la posición de los píxeles, se considera también el nivel de

gris de cada uno de ellos. De esta manera, los píxeles que se encuentran en el borde de la

pelota se consideran en el cálculo de la posición del centroide, pero teniendo menor peso

en la medida en que van adquiriendo un valor más cercano al blanco.

Las expresiones que rigen estas expresiones son las que se muestran a

continuación.


22/10/2006 UPM-DISAM 66

·

·

i ii pelota

gi

i pelota

i ii pelota

gi

i pelota

x nivelx

nivel

y nively

nivel

∈

∈

∈

∈

=

=

∑∑

∑∑

(4.2)

Estas expresiones tienen la misma forma que las que se encuentran en el análisis

de la imagen binaria, con la única salvedad de que existe un factor de ponderación, que es

el nivel de gris del píxel en cuestión, que aporta información adicional en cuanto al peso

que tiene ese punto concreto en la estimación del centroide.

Como ya se comentó al inicio de este apartado, esta forma de cálculo tiene la

ventaja de que considera más píxeles ponderándolos con su valor de gris para conseguir un

valor de posición del centro de gravedad más preciso ya que se introduce más información.

Sin embargo, si no se cuenta con una iluminación apropiada, la pelota podría contar con

zonas más claras y por tanto la estimación del centroide se vería afectada.

Ilustración 4.10. Efecto de una iluminación superior.

En el caso que se muestra en la figura superior (el histograma se ha multiplicado

por dos para realzar el efecto de la iluminación superior) el centro de masas de la pelota se

encontraría desplazado del lugar que debería ocupar realmente ya que a los píxeles más

claros no se les da el mismo peso que los que son más oscuros.


22/10/2006 UPM-DISAM 67

b) Radio de la pelota.

El cálculo del radio de la pelota será lo que facilite la estimación de la

profundidad ya que es la única información que nos da una referencia de esta dimensión

cuando se tiene una sola cámara para realizar las capturas.

La estimación del radio también se puede realizar mediante distintas alternativas

como puedan ser el cálculo a través del área de la imagen binaria, a través del área de la

imagen en niveles de gris, medición directa con precisión subpíxel,…

Todas las técnicas que se van a describir a continuación se encuentran

enmarcadas dentro de técnicas de precisión subpíxel ya que se aprovecha la información de

la cuantificación de la imagen para obtener una mejor resolución espacial con precisiones

menores de un píxel.

b.1) Cálculo a través del área de la imagen binaria.

El área de la imagen binaria se calcula mediante la suma del número de píxeles

que forman parte de la pelota según el umbral establecido.

1pixel pelota

Área∈

= ∑ (4.3)

De manera que con el área y la expresión que nos la relaciona con el radio de un

círculo, es fácil deducir el área de la pelota.

ÁreaRadioπ

= (4.4)

Este método de cálculo tiene el problema ya mencionado con anterioridad de la

poca precisión que se cuenta a la hora de calcular el área de la pelota considerando la

imagen binaria, siendo este error arrastrado en el cálculo del radio.


22/10/2006 UPM-DISAM 68

b.2) Cálculo a través del área de la imagen en niveles de gris.

Como se explicó en el anterior apartado, la precisión con que se calcula el área de

una imagen en niveles de gris es mayor, dando por supuesto que se cuenta con una correcta

iluminación de la escena, por lo que parece lógico pensar que sea más precisa también la

estimación del radio.

La expresión que nos da este valor es la que se detalla a continuación.

2·( )·

ÁreaRadiomáximo mínimo π

=−

(4.5)

En esta expresión, el área se calcula como la suma del nivel de gris de cada uno

de los píxeles que forman la pelota y los términos máximo y mínimo son los niveles de gris

mayor y menor de la imagen.

b.3) Medición directa del radio con precisión subpíxel.

Con este método se trata de realizar una medición directa del radio de la pelota

sin pasar por el cálculo del área, consiguiendo de esta manera quitar el error que se comete

en la estimación de su superficie. Evidentemente la medición de este radio se realizaría de

forma discreta ya que con la información que proporciona la imagen la mayor precisión

que se podría obtener sería de un píxel considerando como frontera de la pelota la

transición de los dos píxeles entre cuyos niveles de gris se encuentre el umbral.

Para mejorar este método de medición se cuentan con una serie de algoritmos que

consideran datos extraídos de la imagen para el cálculo del borde con una precisión que

sobrepasaría la del píxel.

Uno de los posibles algoritmos que permiten el cálculo de radio sería el siguiente

[Anexo IV]:


22/10/2006 UPM-DISAM 69

( ) ( )( )

1

12·i i

subpixel ii i

máximo mínimo nivel nivelx x

nivel nivel+

+

+ − += +

− (4.6)

En esta expresión, los términos máximo y mínimo hacen referencia al mayor nivel

de blanco y menor nivel de negro respectivamente. En cuanto a los índices i e i+1 se hace

referencia a los píxeles en los que se produce la transición de fondo a la pelota, siendo el

término niveli el nivel de gris del píxel i.

Para dotar de mayor robustez a la estimación del radio, se aplica este cálculo a las

tres filas de píxeles centrales de la pelota y se calcula su valor medio. Debido al tamaño de

la pelota en la imagen la diferencia de radios entre cualquiera de estas tres filas resulta

despreciable, por lo que la media de los tres radios hallados proporcionará un valor más

estable como consecuencia de la ponderación de los errores que se comenten en la

medición.

c) Estimación de la coordenadas 3D.

Las características que se han estimado hasta el momento están calculadas en la

imagen y por lo tanto sólo tienen información 2D que no resulta por sí misma útil para

llevar a cabo la aplicación. Es necesario realizar una serie de transformaciones y cálculos

en estos parámetros para poder alcanzar los objetivos marcados de localización

tridimensional de la pelota en el entorno de trabajo.

Para poder explicar con sencillez las medidas que se van a estimar se tomará

como sistema de referencia el siguiente:


22/10/2006 UPM-DISAM 70

Ilustración 4.11. Sistema de referencia para definir posiciones y velocidades.

A continuación se detallan los procedimientos seguidos para la estimación de las

coordenadas en X e Y en base al centroide de la pelota en la imagen y la estimación de la

coordenada Z basándose en el radio de la pelota.

c.1) Coordenadas X e Y.

La estimación en uno y otro eje es exactamente igual, de modo que se explicará

en una de las dos dimensiones y se extenderá la explicación a la otra de forma análoga.

Y

Z

Cámara


22/10/2006 UPM-DISAM 71

Ilustración 4.12. Obtención de la coordenada X en el entorno 3D.

Como se puede ver en la figura la relación existente entre la medida en píxeles

que se tiene en la imagen con la que se tiene en el plano de trabajo en milímetros es una

relación de homotecia o proporcionalidad. Por lo tanto, la transformación que se obtiene

entre una medida y otra es la que se muestra a continuación:

( ) ( )( ) ( )

Ancho imagen píxeles Coordenada imagen píxelesAncho trabajo mm Coordenada trabajo mm

= (4.7)

En esta expresión el ancho de la imagen en píxeles es conocido del mismo modo

que se puede medir el ancho del área de trabajo que abarca, de modo que con el dato de la

coordenada del centroide tomado de la imagen, es posible estimar la coordenada en

milímetros en el entorno de trabajo.

c.2) Coordenada Z.

En el caso de la coordenada Z, la situación es similar que la que se da en las otras

dos dimensiones con la diferencia del patrón que se tomará como referente para la

X

Plano de trabajo


22/10/2006 UPM-DISAM 72

estimación de su valor. En este caso, será el radio de la pelota lo que determine la

profundidad a la que se encuentra.

( ) ( )( )

Coordenada Z mm Diámetro dato píxelesDistancia dato (mm) Diámetro píxeles

= (4.8)

Evidentemente, la relación entre el radio y la coordenada de profundidad es

inversamente proporcional ya que a medida que aumenta el radio la pelota se va acercando

a la cámara.

En este caso los datos conocidos son el radio medido en píxeles a una distancia

que se mide offline. De esta manera al medir el radio se tiene como única incógnita la

coordenada Z que se quería calcular.

Título del proyecto. Alternativas planteadas. 05199212 Procesamiento. David Gutiérrez Horrillo Filtrado de datos.

22/10/2006 UPM-DISAM 73

4.2.3. Filtrado de datos.

Llegados a este punto, ya se tienen todos los datos que se le pueden transmitir al

robot para que realice la tarea a desempeñar. Pero existe el problema de que estos datos

tienen una componente aleatoria producida por el ruido en la adquisición y el tratamiento

de dichos datos. Las consecuencias de esta componente aleatoria pueden ser muy

perniciosas para el comportamiento del robot, ya que si, por ejemplo, se hace una

estimación de velocidad a partir de dos posiciones consecutivas y teniendo en cuenta los

bajos tiempos de adquisición, se podrían obtener velocidades con cambios muy bruscos o

incluso en sentido contrario a la que debiera ir.

Debido a esto, después de la adquisición de los datos se realiza un filtrado que

trate de eliminar esta componente de ruido. Existen varias técnicas de filtrado ya

mencionadas en el apartado del estado del arte de las técnicas de estimación y seguimiento.

A continuación se mostrarán distintas alternativas para la utilización del filtro de

Kalman en forma matricial y se comentarán las distintas ventajas e inconvenientes que

presentan cada uno de ellos.

Como se vio en la documentación previa, los parámetros que se pueden ajustar

en el filtro de Kalman son los que definen el modelo del sistema y el modelo del sensor. En

función de cómo se combinen los distintos modelos, las alternativas que permite el filtro de

Kalman son variadas.

En los siguientes apartados se muestran cada uno de los posibles modelos que se

pueden plantear, tanto para el sistema como para el sensor. Las distintas combinaciones se

estudiarán en el próximo capítulo de resultados con el fin de realizar una comparativa para

saber que combinación proporciona el resultado más apropiado.


22/10/2006 UPM-DISAM 74

a) Modelo del sistema.

Con el modelo del sistema lo que se pretende es establecer las ecuaciones que

definan el movimiento de la pelota. Como se está utilizando el modelo de Kalman discreto

y lineal, las ecuaciones que describen el movimiento pendular de la pelota no se podrán

representar con exactitud ya que se trata de un movimiento no lineal. Por este motivo se

realizarán aproximaciones del movimiento de la pelota haciendo las consideraciones

oportunas para comprobar que dichas aproximaciones no se alejan de las hipótesis.

a.1) Velocidad constante.

Uno de los posibles modelos que pueden definir el movimiento de la pelota es el

que considera que ésta se mueve con velocidad constante. Esta hipótesis es válida desde el

punto de vista de que, debido a los bajos tiempos de adquisición, entre una imagen y la

siguiente la variación que se puede apreciar en la velocidad es prácticamente despreciable,

siendo la variación que se produce asumida y corregida por el propio método del filtro de

Kalman.

Las ecuaciones que se tienen que modelar por tanto son:

1

1

·k k k

k k

x x T xx x

+

+

= +=

(4.9)

Con estas ecuaciones, se puede plantear el modelo del sistema con el vector de

estados que también se muestra a continuación.


22/10/2006 UPM-DISAM 75

( )1 0 0 0 00 1 0 0 00 0 1 0 00 0 0 1 0 00 0 0 0 1 00 0 0 0 0 1

Tx u v w u v w

TT

TA

=

⎛ ⎞⎜ ⎟⎜ ⎟⎜ ⎟

= ⎜ ⎟⎜ ⎟⎜ ⎟⎜ ⎟⎜ ⎟⎝ ⎠

(4.10)

a.2) Aceleración constante.

En este apartado la consideración que se realizará será la de tomar como

ecuaciones del movimiento la de un desplazamiento con aceleración constante. Del mismo

modo que en el apartado anterior, esta hipótesis de movimiento se puede asumir por los

bajos tiempos de adquisición y porque si la velocidad varía poco de una imagen a la

siguiente, también tendrá poca variación la aceleración.

Las ecuaciones que tendremos que usar para definir el modelo del sistema son:

21

1

1

1· · ·2

·

k k k k

k k k

k k

x x T x T x

x x T xx x

+

+

+

= + +

= +=

(4.11)

Debido a que ahora las ecuaciones consideran también la aceleración, el tamaño

de la matriz de estado crecerá quedando de la siguiente manera.


22/10/2006 UPM-DISAM 76

( )2

2

2

11 0 0 0 0 · 0 02

10 1 0 0 0 0 · 02

10 0 1 0 0 0 0 ·2

0 0 0 1 0 0 0 00 0 0 0 1 0 0 00 0 0 0 0 1 0 00 0 0 0 0 0 1 0 00 0 0 0 0 0 0 1 00 0 0 0 0 0 0 0 1

Tx u v w u v w u v w

T T

T T

T T

A TT

T

=

⎛ ⎞⎜ ⎟⎜ ⎟⎜ ⎟⎜ ⎟⎜ ⎟⎜ ⎟⎜ ⎟⎜ ⎟=⎜ ⎟⎜ ⎟⎜ ⎟⎜ ⎟⎜ ⎟⎜ ⎟⎜ ⎟⎜ ⎟⎝ ⎠

(4.12)

Esta hipótesis de movimiento presenta una ventaja frente a la anterior. El filtro de

Kalman asume el error que se comete en la consideración de aceleración constante, pero la

velocidad, parámetro fundamental para la predicción futura de la posición de la pelota, se

verá corregido por la aceleración y por el propio filtro. Esto podría proporcionar una mayor

precisión en cuanto a la estimación de este parámetro.

a.3) Dependencia del tiempo de adquisición.

En los dos casos anteriores, el planteamiento que se ha realizado de la matriz de

estados consideraba el tiempo para el cálculo de la posición en ambos casos y de la

velocidad en el caso de aceleración constante.

Este tiempo que se introduce en la matriz es el tiempo de adquisición y por lo

tanto el que permite estimar la velocidad y la aceleración en función de la posición en las

dos o tres imágenes anteriores respectivamente.

Este tiempo de adquisición se puede considerar como una constante si se

garantiza que el tiempo de procesamiento de la imagen se sitúa por debajo de los 8

milisegundos que se tarda en la adquisición. Bajo este supuesto, se puede considerar como


22/10/2006 UPM-DISAM 77

unidad temporal el propio tiempo de adquisición, con lo que las matrices que antes eran

dependientes de T, dejan de serlo.

Las matrices que se tendrían serían las que se muestran a continuación.

1 0 0 1 0 00 1 0 0 1 00 0 1 0 0 10 0 0 1 0 00 0 0 0 1 00 0 0 0 0 1

A

⎛ ⎞⎜ ⎟⎜ ⎟⎜ ⎟

= ⎜ ⎟⎜ ⎟⎜ ⎟⎜ ⎟⎜ ⎟⎝ ⎠

(4.13)

11 0 0 1 0 0 0 02

10 1 0 0 1 0 0 02

10 0 1 0 0 1 0 02

0 0 0 1 0 0 1 0 00 0 0 0 1 0 0 1 00 0 0 0 0 1 0 0 10 0 0 0 0 0 1 0 00 0 0 0 0 0 0 1 00 0 0 0 0 0 0 0 1

A

⎛ ⎞⎜ ⎟⎜ ⎟⎜ ⎟⎜ ⎟⎜ ⎟⎜ ⎟⎜ ⎟⎜ ⎟=⎜ ⎟⎜ ⎟⎜ ⎟⎜ ⎟⎜ ⎟⎜ ⎟⎜ ⎟⎜ ⎟⎝ ⎠

(4.14)

Este planteamiento simplifica el planteamiento del problema desde el punto de

vista de tener que realizar mediciones de tiempo durante la ejecución de la tarea.

b) Modelo del sensor.

El otro modelo sobre el que se puede actuar para conseguir distintos resultados es

el modelo del sensor. Este modelo viene limitado por el sensor que se usa en el sistema, en

el caso que se está tratando, la cámara. Es decir, en el modelo del sensor únicamente se

pueden introducir aquellos parámetros que puedan ser medidos por el sensor en cuestión.


22/10/2006 UPM-DISAM 78

b.1) Medida de posición.

Como ya se analizó durante la parte de procesamiento de la imagen, los

parámetros que se pueden estimar son las coordenadas en el espacio 3D, por lo que resulta

fácil ver que el vector de la medida del sensor será:

( )Tk k k kz u v w= (4.15)

En consecuencia con este vector del sensor, la matriz H que relacionará dicho

vector con el vector de estado del sistema, suponiendo el caso de modelo de aceleración

constante, será la siguiente:

1 0 0 0 0 0 0 0 00 1 0 0 0 0 0 0 00 0 1 0 0 0 0 0 0

H⎛ ⎞⎜ ⎟= ⎜ ⎟⎜ ⎟⎝ ⎠

(4.16)

En este caso, el filtro de Kalman tratará de minimizar el valor de las posiciones

del sensor con las posiciones dadas por el sistema.

b.2) Medida de la posición y la velocidad.

Otra posibilidad que se plantea en cuanto a los parámetros que puede medir la

cámara es la de que, a parte de la posición en esa adquisición, también pueda medir la

velocidad como un cálculo en base a la posición en esa imagen y en la anterior.

De este modo, el vector de medida del sensor que se obtendría sería:

1 1 1T

k k k k k kk k k k

u u v v w wz u v wT T T

− − −− − −⎛ ⎞= ⎜ ⎟⎝ ⎠

(4.17)

En consecuencia con la nueva dimensión del vector de medida del sensor, la

matriz H queda de siguiente manera:


22/10/2006 UPM-DISAM 79

1 0 0 0 0 0 0 0 00 1 0 0 0 0 0 0 00 0 1 0 0 0 0 0 00 0 0 1 0 0 0 0 00 0 0 0 1 0 0 0 00 0 0 0 0 1 0 0 0

H

⎛ ⎞⎜ ⎟⎜ ⎟⎜ ⎟

= ⎜ ⎟⎜ ⎟⎜ ⎟⎜ ⎟⎜ ⎟⎝ ⎠

(4.18)

Ahora, el filtro de Kalman no sólo minimizaría el error en posición, si no que

también minimiza el error en velocidad.

c) Problemática del filtro de Kalman.

Como ya se explicó en el estado del arte, el filtro de Kalman es un algoritmo

recursivo en el que el vector de estados se va actualizando a medida que se va

introduciendo nueva información a través de las medidas que se adquieren a través del

sensor.


22/10/2006 UPM-DISAM 80

k 1 1 1 1k k k kx A x B u−− − − −= +

k 1 1 1 1P Tk k k kA P A Q−

− − − −= +

1

kK T Tk k k k k kP H H P H R

−− −⎡ ⎤= +⎣ ⎦

k k kk k kx x K z H x− −⎡ ⎤= + −⎣ ⎦

[ ]k kP Pk kI K H −= −

k-1x

k-1P

Ilustración 4.13. Esquema del filtro de Kalman discreto.

En el esquema que se muestra encima de estas líneas, se observa que, en el bucle

que representa el filtro de Kalman, los datos que se deben introducir son el estado y la

matriz de covarianzas iniciales, es decir, los que se deben de introducir por primera vez

para que el filtro de Kalman tenga unos datos con los que trabajar en su primer ciclo.

Por este motivo, hay que buscar tanto la matriz de covarianzas y el vector de

estados que nos den una estimación buena del estado inicial que tendrá la pelota en la

primera adquisición. La ventaja que presenta el filtro de Kalman es que los valores que se

introduzcan en el filtro tienden a estabilizarse al cabo de un determinado número de ciclos.

En el caso del vector de estado, se toma como valor inicial la primera medición que se

extrae de la imagen en los parámetros de posición para evitar los primeros ciclos de

establecimiento.

Otra dificultad que se presenta a la hora de definir el filtro de Kalman, es la

estimación de los valores de los elementos de las matrices R y Q, debido a la dificultad en


22/10/2006 UPM-DISAM 81

la medición del sistema real para poder compararlo con las estimaciones que proporcionan

el modelo del sistema y el sensor.

En realidad, estas matrices son las que fijarán el comportamiento del filtro de

Kalman ya que,en función del error que se modele en cada una de ellas, el propio filtro

será capaz de tener en mayor o menor consideración el dato que da el modelo del sistema,

en el caso de la matriz Q, y el dato que da el modelo del sensor, en el caso de la matriz R.

Como es lógico, cuanto mayores sean los valores de los elementos de estas matrices,

menor influencia tendrán en el proceso de filtrado el valor calculado por el modelo

correspondiente.

En el presente proyecto, estas matrices se usarán para la calibración del filtro ya

que el comportamiento que se espera de él, en determinadas ocasiones, debe comportarse

bien en situaciones para las cuales no tiene por qué tener un buen comportamiento. Estas

situaciones son aquellas en las que el ruido que introducen los modelos no responden a la

estructura definida en teoría de ruido con media nula y varianza Q o R según el caso.

Título del proyecto. Alternativas planteadas. 05199212 Sincronización de adquisición y procesamiento. David Gutiérrez Horrillo

22/10/2006 UPM-DISAM 82

4.3. Sincronización de la adquisición y el procesamiento.

Para la realización de cualquier proceso de visión por computador, hay dos etapas

que son claves para la realización de dicha tarea: la adquisición de la imagen y el

procesamiento de la misma.

En este proceso que se está analizando, se ha medido que el tiempo de

adquisición de la imagen es del orden de 8 milisegundos, mientras que el procesamiento,

que se explicará más adelante, tiene una duración del orden de los 3 milisegundos aunque

puede sufrir muchas variaciones debido a factores no controlables del administrador de

tareas del ordenador que requieren del uso de la CPU para gestionar todas las tareas del

sistema.

En base a estos tiempos y las posibilidades que permite la MIL, se pueden diseñar

dos formas de ejecución de las dos tareas: modo síncrono y modo asíncrono.

A continuación se explican cada una de ellas con las ventajas e inconvenientes

que van asociadas a cada una de las metodologías de trabajo.

Título del proyecto. Alternativas planteadas. 05199212 Sincronización de adquisición y procesamiento. David Gutiérrez Horrillo Procedimiento síncrono.

22/10/2006 UPM-DISAM 83

4.3.1. Procedimiento síncrono.

Se trata de un procedimiento secuencial en que las tareas se van realizando a

medida que acaban las anteriores, es decir, existe un único hilo de ejecución del programa.

El procedimiento síncrono se caracteriza porque en el momento en que se

completa una adquisición de la imagen es cuando se produce el procesamiento de la

misma, de manera que cuando se debería empezar a completar el ciclo de adquisición de la

siguiente imagen, se está procesando la que se acaba de recibir y por consiguiente hay que

esperar dos ciclos de adquisiciones para capturar la siguiente imagen a analizar.

Con esto lo que se tienen son tiempos de adquisición de 16 milisegundos que

corresponden a unos primeros 8 milisegundos de adquisición seguidos de los 3

milisegundos del procesamiento, de manera que hay que esperar a la siguiente adquisición

para conseguir otra imagen completa que poder procesar.

El siguiente esquema transmite de forma sencilla la forma de trabajo que se

realiza con un procesamiento síncrono.

Ilustración 4.14. Ejecución síncrona de adquisición y procesamiento.

Con esta alternativa se está produciendo un descenso del rendimiento que nos

podría dar la cámara y la tarjeta de adquisición ya que de cada dos imágenes que se

adquieren únicamente se procesa una de ellas. Esto se podría entender también como un

descenso en el tiempo de adquisición de la cámara como consecuencia de que el conjunto

adquisición-análisis de la imagen se realiza en 16 milisegundos en lugar de los 8

milisegundos a los que está realmente adquiriendo.

Título del proyecto. Alternativas planteadas. 05199212 Sincronización de adquisición y procesamiento. David Gutiérrez Horrillo Procedimiento asíncrono.

22/10/2006 UPM-DISAM 84

4.3.2. Procedimiento asíncrono.

En este caso, se están utilizando dos hilos de ejecución de forma simultánea. En

un hilo se realiza la adquisición de la imagen y en el otro el procesamiento de la

información contenida en dicha imagen que se acaba de adquirir.

Para poder realizar este tipo de procesamiento se debe contar con un hardware

que permita el realizar las tareas de la forma en que se van solicitando por las dos líneas de

ejecución. Considerando las características de la tarjeta Meteor II, que cuenta con un doble

buffer en el que almacenar las imágenes que va recibiendo, se puede realizar el siguiente

proceso para conseguir unos tiempos de adquisición-análisis más rápidos que en el caso

anterior.

Ilustración 4.15. Ejecución asíncrona de adquisición y procesamiento.

Con este modo de funcionamiento lo que se trata es de adquirir una imagen y

guardarla en uno de los dos buffers. A continuación y de manera simultánea, se procesa la

imagen guardada en el ciclo anterior y se va adquiriendo otra imagen que se guarda en el

otro buffer.

Esta forma de trabajar es posible gracias a que el tiempo de procesamiento es

inferior al tiempo de adquisición, En caso de que no sucediese esto, se producirían retardos

en la adquisición con efectos similares a las que se explicaron en el caso de procesamiento

síncrono, con lo que no se podrían garantizar los tiempos de adquisición de 8

milisegundos.

Título del proyecto. Resultados. 05199212 David Gutiérrez Horrillo

22/10/2006 UPM-DISAM 85

Capítulo 5 Resultados.

En el presente capítulo se mostrarán los resultados que se han obtenido con cada

una de las alternativas que se han planteado anteriormente. Para la realización de las

pruebas se ha tratado de generar las condiciones apropiadas para el estudio de cada una de

ellas, de modo, que, en los casos de análisis comparativos, los factores que puedan afectar

a los resultados están controlados con el fin de no falsear los experimentos.

Sólo se realizará una exposición de los resultados que se han obtenido, dejando

para el siguiente capítulo la elección y análisis de cual es la alternativa más apropiada al

problema planteado.

Los resultados que se mostrarán en este capítulo se han obtenido de la pelota

colgada de un hilo describiendo un movimiento pendular.

Título del proyecto. Resultados. 05199212 Sincronización de adquisición y procesamiento. David Gutiérrez Horrillo

22/10/2006 UPM-DISAM 86

5.1. Sincronización de la adquisición y el procesamiento.

En cuanto a lo relativo a la sincronización de los dos pasos de que se compone la

ejecución de la tarea, lo que se debe analizar con más detalle son los tiempos en los que se

producen las adquisiciones válidas para el análisis, es decir, las adquisiciones que se

utilizarán para extraer las características de la pelota.

Por tanto, gracias a las funciones que vienen incluidas en la MIL, se pueden

realizar las mediciones de los tiempos que transcurren desde una adquisición a la siguiente.

Los resultados son los que se muestran a continuación.

Ilustración 5.1. Tiempos de adquisición en modo asíncrono.

Título del proyecto. Resultados. 05199212 Sincronización de adquisición y procesamiento. David Gutiérrez Horrillo

22/10/2006 UPM-DISAM 87

Ilustración 5.2. Tiempos de adquisición en modo síncrono.

En ambos casos se puede observar un valor inicial fuera de rango como

consecuencia de la inicialización de la tarea. Este valor ya es considerado en caso de que

sea utilizado dentro del programa de ejecución.

Título del proyecto. Resultados. 05199212 Filtrado de datos. David Gutiérrez Horrillo

22/10/2006 UPM-DISAM 88

5.2. Filtrado de datos.

Como se vio en el capítulo de las alternativas, se pueden considerar diversos

factores que afectan a los resultados que se obtienen en el filtrado de los datos que se han

obtenido directamente del análisis de la imagen.

En este apartado se analizarán cada uno de ellos por separado. Esto es dejando

fijos todos los parámetros salvo aquel que se quiere llevar a estudio.

Título del proyecto. Resultados. 05199212 Filtrado de datos. David Gutiérrez Horrillo Estimación del radio.

22/10/2006 UPM-DISAM 89

5.2.1. Estimación del radio a través del análisis de la imagen.

Como ya se mencionó en el capítulo de alternativas, existen diversas técnicas

para la estimación del radio de la pelota en la imagen. También se mencionó que la imagen

se encuentra formada por píxeles, por lo que la información que en ella se encuentra

discretizada y la precisión que se puede obtener de forma directa por medición sería de un

píxel. Esta precisión es insuficiente y por lo tanto hay que recurrir a técnicas que nos

proporcionen mayor precisión.

Todas estas técnicas se encuentran englobadas dentro de lo que se llama precisión

subpíxel. Entre los métodos ya mencionados en el anterior capítulo, se tendrán que buscar

aquellos que den un valor del radio muy estable. Por tanto, como valor más significativo en

la elección de un método u otro se calculará la desviación típica de la medida que se tome,

porque esto garantizará que un mejor resultado en la estimación de la coordenada Z de la

pelota.

El primero de los métodos será el de la estimación del radio a través del área

calculada a través de la imagen binaria. Mediante las fórmulas (1.1) y (1.2) se puede

calcular este radio, cuya representación gráfica es la siguiente:

Ilustración 5.3. Estimación del radio a partir del área de la imagen binaria.


22/10/2006 UPM-DISAM 90

A la vista de esta gráfica se puede realizar el cálculo de los valores estadísticos

que nos darán la media y la desviación típica de este método de estimación del radio.

media_radio =

16.6213

desv_radio =

0.2202

Otra forma de calcular el radio de la pelota es mediante el cálculo del área de la

pelota en niveles de gris. Debido a que se introduce nueva información para la estimación

del radio, los resultados no coincidirán con los que se acaban de realizar. La expresión que

se utilizará para los cálculos será la fórmula (1.3), a partir de la cual se estima el radio de la

pelota y se obtienen los resultados que se muestran seguidamente.

Ilustración 5.4. Estimación del radio a partir del área de la imagen en niveles de gris.

Los resultados estadísticos que se han obtenido para esta estimación se muestran

a continuación.

media_radio2 =

13.4480


22/10/2006 UPM-DISAM 91

desv_radio2 =

0.0922

Finalmente, la última metodología empleada para la estimación del radio es

aquella que lo mide directamente sobre la pelota, pero, en función del umbral establecido,

es capaz de calcular con precisión subpíxel el punto en el que se encuentra la frontera entre

la pelota y el fondo de la imagen.

A través de la expresión (1.4) se pueden estimar los radios en x e y, siendo el x

aproximadamente el doble que el y porque los experimentos se han realizado sobre una

imagen que ha sido adquirida en modo bining. Los resultados que se han obtenido en cada

uno de los ejes se detallan en las siguientes gráficas.

Ilustración 5.5. Medida del radio con precisión subpixel según eje y.


22/10/2006 UPM-DISAM 92

Ilustración 5.6. Medición del radio con precisión subpíxel según eje x.

Los resultados que se han obtenido para cada una de estas mediciones son:

media_dify =

9.0497

desv_dify =

0.0133

media_difx =

17.8443

desv_difx =

0.0228

La medición de estos valores por separado no tiene sentido ya que ambos se

complementan dentro de la misma imagen. Es por este motivo por el que resulta razonable

realizar un cálculo que proporcione una medida del radio que venga dada por las dos

mediciones anteriores. La expresión que se utilizará será la siguiente:


22/10/2006 UPM-DISAM 93

2·2

radioy radioxradio += (5.1)

Los resultados son estos:

Ilustración 5.7. Medida del radio ponderado con precisión subpíxel.

Ahora se mostrarán los resultados numéricos que se obtienen a partir de este tipo

de estimación.

media_radio3 =

17.9719

desv_radio3 =

0.0202

Se puede observar que la varianza es menor que la de los dos radios calculados

por separado. Conviene señalar que la varianza del eje y debe duplicarse para que la

comparación se efectiva ya que si se está midiendo el radio en un sentido que está reducido

a la mitad, la varianza también se verá afectada en la misma proporción, aunque,

evidentemente, también será más sensible a las variaciones. De ahí que la varianza tenga

que compararse para un mismo radio a efectos prácticos.


22/10/2006 UPM-DISAM 94

Como mejora de este método se propuso el realizarlo no sólo con la medida

obtenida para el radio, si no con la medida de tres líneas: el radio y las dos adyacentes. Con

esto se calcula el valor medio de este valor y se le aplica la fórmula (5.1) para obtener el

valor del radio de la pelota. Se muestran los resultados estadísticos obtenidos.

media_radio3 =

17.3696

desv_radio3 =

0.0186

Título del proyecto. Resultados. 05199212 Filtrado de datos. David Gutiérrez Horrillo Dimensión del vector de estado.

22/10/2006 UPM-DISAM 95

5.2.2. Dimensión del vector de estado.

En este caso, los parámetros que se van a fijar son las que se enumeran a

continuación:

• Modelo del sistema atemporal, considera tiempo constante.

• Se realizarán pruebas en las que se eviten las interrupciones.

• El modelo del sensor sólo corrige la posición.

Como se analizó en la teoría anteriormente, el vector de estado del sistema es el

que nos indica las variables que consideramos que definen el sistema. Por tanto, como se

está trabajando en un entorno 3D, dependiendo si se trata de simular un movimiento de

velocidad constante o un movimiento con aceleración constante, se trabajará con una

dimensión de 6x1 ó una dimensión 9x1.

En la siguiente gráfica se muestran las coordenadas de posición en cada uno de

los ejes cartesianos, donde se representan la curva de la medida obtenida del análisis de la

cámara y la resultante del filtrado.

Ilustración 5.8. Posiciones con vector de estado en posición y velocidad.


22/10/2006 UPM-DISAM 96

Ilustración 5.9. Posición con vector de estado en posición, velocidad y aceleración.

Como resulta complicado apreciar la diferencia que existe entre la curva inicial y

la filtrada, resultará más significativa la representación del error, entendiendo como tal la

diferencia entre el valor inicial y el valor filtrado.

Ilustración 5.10. Error de posición con vector de estado en posición y velocidad.


22/10/2006 UPM-DISAM 97

Ilustración 5.11. Error de posición con vector de estado en posición, velocidad y aceleración.

En el caso de la posición se puede apreciar que el resultado es bastante aceptable

en ambos casos, por lo que habrá que realizar el mismo análisis para la velocidad ya que

este dato será el que se utilizará para realizar las predicciones y por lo tanto debe de tener

fiabilidad.

Ilustración 5.12. Velocidades con vector de estado en posición y velocidad.


22/10/2006 UPM-DISAM 98

Ilustración 5.13. Velocidades con vector de estado en posición, velocidad y aceleración.

En este caso, las gráficas sí que nos muestran la evolución de la velocidad antes y

después de filtrarla. Bajo el supuesto de velocidad constante, el filtro de Kalman trata de

ajustar la velocidad para que ésta sea constante y las variaciones debidas a la oscilación de

la pelota las entiende como ruido que tiene que filtrar, de manera que de forma progresiva

va atenuando su efecto. La atenuación no se realiza rápidamente porque, a través de la

calibración de las matrices que definen el error del modelo del sistema, se le ha indicado al

filtro que el ruido que tiene el modelo es mucho más pequeño que las variaciones de

velocidad debidas al movimiento real. Evidentemente, en el modelo de aceleración

constante esto no ocurre porque el supuesto no implica que la velocidad no cambie, por lo

que el sistema se ajusta a los valores del movimiento.

A la vista de estos resultados, sólo tiene sentido el comprobar en qué orden de

magnitud se mueve el error de la velocidad bajo el supuesto de aceleración constante.


22/10/2006 UPM-DISAM 99

Ilustración 5.14. Error en velocidad con vector de estado en posición, velocidad y aceleración.

Como era de esperar el error en el eje Z es mucho mayor que en los otros ejes

porque pequeñas variaciones del radio producen grandes cambios en la coordenada Z, por

lo que el ruido que se aprecia de la extracción directa de las características de la imagen es

eliminado por el filtro ya en la medida filtrada.

Título del proyecto. Resultados. 05199212 Filtrado de datos. David Gutiérrez Horrillo Modelo temporal.

22/10/2006 UPM-DISAM 100

5.2.3. Inclusión del tiempo en el modelo del sistema.

Como se ha comprobado en el apartado de la sincronización de la adquisición y el

procesamiento, el tiempo es muy estable entorno al valor de los 8 milisegundos. Pero

debido a que se está trabajando bajo un entorno controlado por un sistema operativo

Windows (condicionado por la tarjeta de adquisición), existen procesos ejecutándose de

forma paralela al programa que pueden provocar interrupciones del mismo y, por tanto,

retardos en las adquisiciones.

Ilustración 5.15. Tiempos de adquisición con retardos.

Las consecuencias que pueden tener estos retardos son las de que se pueden

realizar malas estimaciones de la velocidad si no se tiene el tiempo entre una adquisición y

la siguiente. Como la velocidad se estima como la diferencia entre dos posiciones

consecutivas dividas entre el tiempo, si el tiempo se considera constante tendremos que,

después de un retardo, la posición habrá cambiado más bruscamente y por lo tanto se

estimará un pico de velocidad que no es real.

Se considerará la prueba actual bajo el supuesto de:

• Modelo del sensor dependiente únicamente de la posición.


22/10/2006 UPM-DISAM 101

• Modelo del sistema con aceleración constante.

• Matrices de modelado del error iguales para ambos casos.

La solución de introducir el tiempo en el modelo del sistema tiene los efectos que

se muestran en las siguientes gráficas.

Ilustración 5.16. Velocidades con un modelo atemporal.

Al filtro de Kalman se le ajustan los errores que tiene el modelo, de manera que,

para este caso en que el sistema no recoge la variable temporal, la señal filtrada tiende a

seguir la medida que nos da la medida sin filtrar. El hecho de querer minimizar este

comportamiento reduciendo la influencia que tiene el sensor en la etapa de actualización

del filtro de Kalman, tiene como consecuencia un desfase en la señal filtrada debido a que

el filtro está más influido por el modelo de un sistema que no reproduce el comportamiento

real de la pelota. Por tanto, esto no es solución porque en la mayor parte del tiempo las

adquisiciones se realizan en el tiempo establecido, de manera que se solucionaría un

problema puntual empeorando el comportamiento habitual.


22/10/2006 UPM-DISAM 102

Ilustración 5.17. Velocidades con un modelo temporal.

Cuando se introduce el tiempo en el modelo y dejando la misma matriz de errores

del modelo, se aprecia que el sistema anticipa el comportamiento anómalo reduciendo la

velocidad más de lo que en realidad debería. En este caso, no existe el problema de ajuste

con la matriz que modela los errores del modelo ya que para que el comportamiento sea

más próximo al real lo que se le debe indicar al filtro es que la influencia de la medida

extraída directamente de la imagen sea mayor. Como las medidas de la velocidad en las

coordenadas X e Y son bastante robustas, el permitir que la salida del filtro se acerque a la

medida extraída de la imagen resulta incluso conveniente.

En ambos casos, se ha hecho mención a las velocidades según el eje X e Y,

porque en el eje Z las medidas que se tienen se encuentran afectadas por un ruido cuya

magnitud es similar al error que produce el propio retardo en la adquisición. De este modo

lo que se puede concluir es que el ajuste que se realiza para la medida filtrada en el eje Z

no está tan influido por retardos razonables en la adquisición, así que el efecto de la

inclusión del tiempo es más difícil de percibir.

Título del proyecto. Resultados. 05199212 Filtrado de datos. David Gutiérrez Horrillo Efecto de las matrices Q y R.

22/10/2006 UPM-DISAM 103

5.2.4. Efecto de los valores de las matrices Q y R.

Como ya se mencionó en el estado del arte, el filtro de Kalman cuenta con dos

modelos, el del sistema a controlar y el del sensor. Como el modelado de éstos no es

exacto, existen dos matrices que dan el error que se comete en cada una de las

aproximaciones. Estas matrices son Q para el modelo del sistema, y R para el modelo del

sensor.

El comportamiento del filtro frente a distintos estímulos será distinto en función

de los valores que se encuentren almacenados en estas matrices. Estos valores serán los

que le indiquen al filtro si tienen que tener en más consideración la estimación realizada

por el modelo o, por el contrario, hacer más caso a la estimación que se haya obtenido del

análisis de la imagen.

Se van a considerar dos casos en los que se muestre el efecto de la modificación

de estos valores. Estas matrices de error se han considerado diagonales ya que los

elementos fuera de la diagonal principal hacen referencia a las interrelaciones de distintas

medidas y sus efectos correlacionados son muy pequeños y por tanto se han despreciado.

En el primero de ellos se considerará que la estimación que realiza el modelo

sobre la aceleración es perfecta, es decir, el error que se comete es nulo, por lo que los

valores que se introducirán en los elementos de la matriz Q correspondientes a la

aceleración serán cero.

0.01 0 0 0 0 0 0 0 00 0.01 0 0 0 0 0 0 00 0 1 0 0 0 0 0 00 0 0 0.001 0 0 0 0 00 0 0 0 0.001 0 0 0 00 0 0 0 0 0.05 0 0 00 0 0 0 0 0 0 0 00 0 0 0 0 0 0 0 00 0 0 0 0 0 0 0 0

Q

⎛ ⎞⎜ ⎟⎜ ⎟⎜ ⎟⎜ ⎟⎜ ⎟⎜ ⎟=⎜ ⎟⎜ ⎟⎜ ⎟⎜ ⎟⎜ ⎟⎜ ⎟⎝ ⎠

(5.2)


22/10/2006 UPM-DISAM 104

Los elementos que hacen referencia al error en posición y velocidad se han

determinado experimentalmente para conseguir la respuesta del filtro más adecuada al

problema que se ha planteado.

En el caso de que se quiera asumir el error que se comete en el modelado del

sistema, y por tanto en la estimación de la aceleración, se deben introducir los valores que

correspondan en cada uno de los elementos correspondientes, siendo los que se muestran a

continuación aquellos que dan un mejor resultado en cuanto al comportamiento del filtrado

de las medidas.

4

4

3

0.01 0 0 0 0 0 0 0 00 0.01 0 0 0 0 0 0 00 0 1 0 0 0 0 0 00 0 0 0.001 0 0 0 0 00 0 0 0 0.001 0 0 0 00 0 0 0 0 0.05 0 0 00 0 0 0 0 0 10 0 00 0 0 0 0 0 0 10 00 0 0 0 0 0 0 0 5·10

Q

−

−

−

⎛ ⎞⎜ ⎟⎜ ⎟⎜ ⎟⎜ ⎟⎜ ⎟⎜ ⎟=⎜ ⎟⎜ ⎟⎜ ⎟⎜ ⎟⎜ ⎟⎜ ⎟⎝ ⎠

(5.3)

Para el análisis comparativo se van a consideran las siguientes condiciones:

• Modelo del sistema dependiente del tiempo.

• Modelo del sensor que considere sólo la posición.

En las gráficas que se representarán a continuación se mostrarán únicamente

detalles de las gráficas que las representan para que se pueda apreciar con mayor nitidez el

efecto que se está analizando.


22/10/2006 UPM-DISAM 105

Ilustración 5.18. Velocidades con modelo sin error en la aceleración.

Ilustración 5.19. Velocidades con modelo con error en la aceleración.

Como se puede apreciar en las dos gráficas, el comportamiento que se tiene en el

segundo caso es mejor que en el primero. La justificación que tiene esto reside en que el

filtro de Kalman considera que la aceleración dada por el modelo del sistema es exacta, por

lo que no la corrige y por tanto no se actualiza. Como, evidentemente, el modelo no

reproduce un movimiento pendular, sino un movimiento de aceleración constante, el efecto


22/10/2006 UPM-DISAM 106

que tiene la aceleración sobre la velocidad es lo suficientemente acusado como para que se

cometa un error bastante considerable.

El error se representará en las gráficas que se muestran seguidamente como el

error cuadrático.

Ilustración 5.20. Error en velocidad con un modelo sin error en aceleración.

Ilustración 5.21. Error en velocidad con un modelo sin error en aceleración.


22/10/2006 UPM-DISAM 107

Resulta claro ver que el error cuadrático es mucho mayor en el caso en el que se

hacen consideraciones de que el modelo es perfecto en la estimación de la velocidad.

Hasta ahora se ha visto el efecto de la modificación de los parámetros de la matriz

Q, aunque para la matriz R el efecto que se consigue es exactamente igual sólo que

aplicado al modelo del sensor. De esta manera, si se considera que el error es nulo en

alguna de las medidas que se extraen de la imagen, para el filtro tendrán mucho peso estas

medidas sobre las estimaciones que se hagan con el modelo. Con esto se debe tener

cuidado respecto a que el modelo del sensor es muy sensible frente retardos en la

adquisición y sobre todo en la consideración de que el ruido en la coordenada Z es muy

grande.

Los análisis que se harían para este caso son similares a los que se mostraron para

los elementos de la matriz Q por lo que no se repetirán y se considerará el buscar los

valores que nos den un comportamiento de la salida del filtro más adecuada al problema a

resolver.

Título del proyecto. Resultados. 05199212 Filtrado de datos. David Gutiérrez Horrillo Modelo del sensor.

22/10/2006 UPM-DISAM 108

5.2.5. Modelo del sensor.

En el modelo del sensor se pueden hacer dos consideraciones distintas. Una sería

la de contar con un vector de medida de tres elementos que corresponderían a cada una de

las coordenadas espaciales que puede tomar la pelota en posición, y otra sería la que

incluiría seis elementos correspondientes a las posiciones y las velocidades en sus tres

dimensiones.

La influencia que tiene esta consideración viene en la etapa de actualización

cuando se calcula el error entre la medida del sensor y los parámetros extraídos a través del

modelo del sistema.

ACABARLO.

Título del proyecto. Conclusiones. 05199212 David Gutiérrez Horrillo

22/10/2006 UPM-DISAM 109

Capítulo 6 Conclusiones.

En este capítulo se describirán de forma detallada cada una de las opciones

elegidas para la realización de la tarea. La elección de las mismas se basará en los criterios

ya descritos en el capítulo anterior y en las consideraciones del sistema.

Además, se mostrarán gráficamente los resultados que se han obtenido en unas

vistas tridimensionales tanto para la posición y la velocidad.

Para finalizar, se realizará un breve estudio en el que se comentarán los resultados

que se pueden obtener en la predicción de futuras posiciones de la pelota en función de los

cálculos de que se disponen.

Título del proyecto. Conclusiones. 05199212 Alternativas elegidas. David Gutiérrez Horrillo

22/10/2006 UPM-DISAM 110

6.1. Alternativas elegidas.

Evidentemente, dentro de la metodología que se elegirá para la sincronización de

la adquisición y el procesamiento de la imagen, se tomará el método asíncrono porque

proporciona un mayor rendimiento de la adquisición de imágenes y unos tiempos de

adquisición mayores desde el punto de vista de aprovechamiento de las imágenes

adquiridas. Se cumple de esta manera con los requisitos establecidos de conseguir unos

tiempos de adquisición próximos a los 8 milisegundos.

Como es lógico, para lograr los tiempos de adquisición de 8 milisegundos, es

necesario realizar una captura de la imagen en modo bining ya que los métodos

predecesores no logran alcanzar los tiempos requeridos por la tarea y el método de

escaneado parcial, aunque mejora de sobra las prestaciones en cuanto a tiempo de

adquisición, complica el procedimiento de captura de la imagen.

En el apartado del procesamiento de la imagen adquirida, es donde se toman la

mayor parte de las decisiones del proyecto.

En primer lugar, la estimación del umbral debe realizarse de forma dinámica, es

decir, que sea dependiente de la iluminación de la imagen que se ha tomado ya que, como

se comentó, una iluminación que está alimentada con una fuente alterna provoca

variaciones de luminosidad de una imagen a otra. Con esto se consigue también hacer que

el proceso de segmentación sea más robusto frente a cambios no controlados de la

iluminación.

La segmentación de la imagen se realizará por el método de búsqueda de puntos

candidatos a pertenecer a la pelota y la posterior expansión a través de toda su área. Con

esto se consigue reducir el tiempo de procesamiento, con lo que se garantiza que no se

desborde el tiempo de adquisición de 8 milisegundos, y se evita además la detección

errónea de puntos por ruido en la imagen. El único inconveniente viene con la realización

del proceso de expansión, ya que el empleo de una función recursiva puede provocar el

desbordamiento de la pila del ordenador cuando la pelota se acerca mucho al objetivo de la

Título del proyecto. Conclusiones. 05199212 Alternativas elegidas. David Gutiérrez Horrillo

22/10/2006 UPM-DISAM 111

cámara. Cuando esto ocurra, la solución que se planteará será la de tratar de sustituir la

recursividad por unos bucles que realicen la misma función. De todos modos, para el

presente proyecto este problema no se plantea porque el seguimiento de la pelota se realiza

a una distancia de la cámara que garantiza el no desbordamiento de la memoria.

Para finalizar, se describirán las decisiones que se han tomado para la descripción

de los sistemas del filtro de Kalman.

En cuanto al modelo del sistema, se ha determinado que el más apropiado es

aquel que modela una aceleración constante siempre con la consideración de un tiempo

variable porque la aparición de retardos en la adquisición no puede ser controlada por estar

funcionando bajo un sistema operativo en el que no se puede trabajar en tiempo real.

El modelo del sensor tendrá un vector de medidas en el que se considerarán la

posición y la velocidad, ya que el hecho de tener más información en el sensor no supone

grandes retardos en el procesamiento, y se cuenta con una información de gran utilidad que

beneficia el procedimiento de filtrado.

Finalmente, las matrices Q y R se calibraron de forma experimental ya que no se

buscaba el funcionamiento ideal del filtro, si no un funcionamiento correcto en régimen

normal y bueno frente a situaciones frente a las cuales el filtro no tiene porqué responder

correctamente. Estas situaciones son los retardos en las adquisiciones ya que no responden

al ruido blanco para el que está diseñado el filtro de Kalman.

Título del proyecto. Conclusiones. 05199212 Gráficos finales. David Gutiérrez Horrillo

22/10/2006 UPM-DISAM 112

6.2. Gráficos finales.

Los resultados que se muestran son los que se obtienen con las consideraciones

hechas en el apartado anterior.

Ilustración 6.1. Campo de posiciones filtradas de la pelota.

Título del proyecto. Conclusiones. 05199212 Gráficos finales. David Gutiérrez Horrillo

22/10/2006 UPM-DISAM 113

Ilustración 6.2. Campo de velocidades filtradas de la pelota.

Título del proyecto. Conclusiones. 05199212 Predicciones. David Gutiérrez Horrillo

22/10/2006 UPM-DISAM 114

6.3. Predicciones.

La finalidad de obtener unas medidas carentes de ruido tiene por objetivo el

realizar predicciones del futuro estado de la pelota al cabo de un número determinado de

ciclos o muestras.

Dadas una posición y una velocidad para un instante determinado, se desea saber

la posición que tendrá la pelota al cabo de un número de ciclos posteriores. Para realizar

esta predicción simplemente se extrapolará el valor de la posición con el dato de la

velocidad para ese instante de tiempo. Evidentemente, como el resultado que se obtendrá

se obtiene de la suposición de considerar un movimiento uniforme se comete un error que

se va acrecentando en la medida en que aumentan el número de ciclos porque la velocidad

va cambiando con el tiempo.

Por tanto, para poder dar validez a las predicciones, se debe determinar el posible

margen de error que se comete. Este error vendrá dado por el funcionamiento del robot, de

modo que se ha determinado que, para golpear la pelota, el robot contará con una paleta de

un radio de 50 milímetros, por que será este el margen de error con el que se juega para

conseguir el objetivo final.

A continuación se muestran los resultados que se han obtenido para la realización

de las diferentes pruebas en cada uno de los ejes coordenados.

Para los ejes de coordenadas x e y, los resultados son similares debido a que las

predicciones que se realizan usan datos que se calculan, filtran y estiman de la misma

manera, por lo que la fuente de error es similar en ambos casos, y por tanto con incluir el

error en uno de estos ejes será suficiente.


22/10/2006 UPM-DISAM 115

Ilustración 6.3. Error de predicción en el eje x con 15 muestras.

En este caso hay que fijarse que los primeros 2 ó 3 valores están fuera de rango

debido a que la variable de velocidad no se pudo inicializar en el cálculo de valores

iniciales en el filtro de Kalman. El error que se comete en estas muestras es consecuencia

de que los valores que devuelve el filtro son los valores de transición hasta que se

estabiliza en torno a su valor de funcionamiento.

En este caso, se ha comprobado que en torno a las 15 muestras de diferencia en la

predicción se consiguen unos valores en el error de 50 milímetros por lo que se estaría en

el límite del error. Como las adquisiciones se están considerando de 8 milisegundos, esta

predicción estaría hablando de valores de entorno a los 0.12 segundos.

El caso del eje z debe considerarse a parte porque el comportamiento de los datos

según este eje es distinto al que se tiene en cualquiera de los otros dos. Del mismo modo, el

error que es permisible cometer en este eje no viene dado por el tamaño de la paleta, si no

por el espacio en el que se considera que la pelota debe ser golpeada. Por el recorrido que

debe realizar el robot en el golpeo y la coordenada en la que se considera que se debe

iniciar el movimiento del golpeo un error, también, de 50 milímetros es razonable.


22/10/2006 UPM-DISAM 116

Ilustración 6.4. Error en la predicción en el eje z con 15 muestras.

Aunque la medida es mucho más oscilante, el resultado que se obtiene es similar al del eje

x por lo que se puede garantizar un correcto funcionamiento del sistema con predicciones

de 0.12 segundos. Evidentemente por razones de seguridad y de buen funcionamiento del

robot las predicciones se realizarán a tiempos inferiores para guardar los márgenes de

seguridad.

Título del proyecto. Anexos. 05199212 David Gutiérrez Horrillo

22/10/2006 UPM-DISAM 117

Capítulo 7 Anexos.

En este capítulo se incluirán todos los documentos que hacen referencia al

proyecto pero que no pueden ser enmarcados en ninguno de los capítulos anteriores o que,

por su extensión, es más apropiado comentarlos fuera del entorno en el que se hace

mención.

Aquí se tratarán los temas relacionados con la planificación y presupuesto del

proyecto, así como la precisión subpíxel que se menciona en el capítulo 4 en la fórmula

(4.6).

Título del proyecto. Anexos. 05199212 ANEXO I. Presupuesto. David Gutiérrez Horrillo

22/10/2006 UPM-DISAM 118

7.1. ANEXO I. Presupuesto.

Todo proyecto debe ir acompañado de un presupuesto más o menos detallado que

muestre el valor de todo aquello que ha sido necesario para la realización del mismo.

Para la elaboración del presupuesto se ha tomado como estructura, para

organizarlo de una manera coherente, aquella que hace distintas partidas clasificándolas en

tres grandes grupos.

• Hardware.

Dentro de este apartado se incluirán todos aquellos elementos físicos que

son imprescindibles para la realización de la tarea. En él se encuentran todos los

elementos descritos en el capítulo 3 además de todos los elementos necesarios para

conseguir el entorno de trabajo adecuado y de seguridad.

• Software.

En esta partida del presupuesto se deben incluir todos programas que se

han usado para la elaboración del programa y la extracción de resultados, así como

las librerías específicas de que se sirven los elementos hardware que realizarán la

tarea.

• Horas-Hombre.

Aquí se deben de contemplar las horas de ingeniero que han sido

necesarias para la realización del programa, la realización de pruebas, el ajuste de

parámetros, etc.


22/10/2006 UPM-DISAM 119

HARDWARE.

SOFTWARE.

Microsoft Visual C++ 6.0

Matrox Imaging Library

Matlab 6.5 Student Version Release 13

850€

300€

150€

SUBTOTAL Software 1.200€

Robot paralelo

Tarjeta controladora de ejes

Cámara Sony XC-HR50

Ópticas

Tarjeta Martos Meteor2 MC/4

Cable de comunicación cámara-tarjeta

Jaula de seguridad

Paneles blancos

SUBTOTAL Hardware

20.000€

10.000€

1.000€

30€

1.000€

150€

150€

30€

33.860€

Ordenador 1.500€


22/10/2006 UPM-DISAM 120

HORAS-HOMBRE.

PRESUPUESTO TOTAL.

SUBTOTAL Hardware

SUBTOTAL Software

SUBTOTAL Horas-Hombre

33.860€

1.200€

30.600€

TOTAL 65.660€

Duración 2 años y medio

Ingeniero Junior (30€/h) 720h.

Ingeniero Señor (60€/h) 150h.

21.600€

9.000€

SUBTOTAL Horas-Hombre 30.600€

Título del proyecto. Anexos. 05199212 ANEXO II. EDP. David Gutiérrez Horrillo

22/10/2006 UPM-DISAM 121

7.2. ANEXO II. Estructuración de descomposición del proyecto.

La estructura de descomposición del proyecto (EDP) es el resultado de dividir el

proyecto en elementos de trabajo y organizarlos en una estructura de tipo árbol.

La EDP permitirá realizar una gestión más eficiente del proyecto gracias a que

facilita las tareas de planificación, calendario, control y seguimiento del proyecto.

La EDP debe de contar con un número de niveles que se ajuste a las necesidades

del proyecto, ya que una estructura con demasiados niveles para un proyecto sencillo

puede dificultar las tareas que se han descrito en el párrafo anterior y por tanto se entorpece

la función principal de esta herramienta.

Cada uno de los elementos de la EDP se denomina paquete de trabajo y este debe

ser una parte perfectamente identificable en cuanto a alcance y contenido, pudiendo ser

asignado a un grupo de trabajo y cuya ejecución pueda generar un entregable.

Título del proyecto. Anexos. 05199212 ANEXO II. EDP. David Gutiérrez Horrillo

22/10/2006 UPM-DISAM 122

Título del proyecto. Anexos. 05199212 ANEXO III. Diagrama de Gantt. David Gutiérrez Horrillo

22/10/2006 UPM-DISAM 123

7.3. ANEXO III. Diagrama de Gantt.

El diagrama de Gantt tiene la tarea de poner fechas a cada una de las tareas que se

han descrito en la estructura de descomposición del proyecto. Se trata de dar una fecha de

inicio y un tiempo de ejecución para la planificación y la programación de cada una de las

tareas.

En la elaboración de esta programación de las tareas se deben de tener en cuenta

todos los factores que afecten a la realización de las mismas.

Así pues, las fechas de exámenes, las vacaciones de verano y navidad, etc., deben

considerarse a la hora de hacer esta planificación ya que se trata de fechas en las que no se

va a trabajar en el proyecto.

Título del proyecto. Anexos. 05199212 ANEXO III. Diagrama de Gantt. David Gutiérrez Horrillo

22/10/2006 UPM-DISAM 124

Título del proyecto. Anexos. 05199212 ANEXO IV. Precisión subpíxel. David Gutiérrez Horrillo

22/10/2006 UPM-DISAM 125

7.4. ANEXO IV. Detección de bordes con precisión subpíxel.

En la captura de una imagen a través de una cámara, existe una digitalización que

se traduce en una cuantificación de la información recibida del entorno. La consecuencia

más importante que tiene este hecho es la pérdida de información. En este caso, la mayor

información que se puede recoger de la imagen es la que se encuentra contenida en un

píxel, y toda precisión menor de este tamaño no aporta información nueva debido a la

cuantificación de la imagen.

Para poder aumentar la precisión de esta información, surgen distintos algoritmos

de precisión subpíxel, cuya misión es la de usar la cuantificación para obtener información

adicional al muestreo espacial.

En la primera imagen, el cuadro blanco coincide con un píxel de la discretización

de la imagen, por lo que en la interpretación de ésta el píxel correspondiente tendrá el valor

de blanco y resto serán negros.

00 00 00

00 225555 00

00 00 00

6633 6633 00

6633 6633 00

00 00 00

6633 6633 00

6633 6633 00

00 00 00


22/10/2006 UPM-DISAM 126

En la segunda imagen, el cuadro blanco toca cuatro píxeles de la discretización,

por lo que la señal eléctrica que enviará el CCD será aquella en la que en cada píxel se

transforme la señal lumínica recibida en señal eléctrica. Evidentemente, no tendrá el valor

correspondiente al blanco porque no está todo el píxel cubierto de la figura blanca. El

problema surge cuando se realiza la interpretación de la matriz que se ha obtenido tras

discretizar, ya que como cada píxel tiene un valor concreto para toda el área que ocupa, el

resultado que se obtiene es el que se muestra en la tercera figura. Esto es consecuencia de

que la precisión con que se cuenta es de un píxel.

La aplicación que se va a estudiar para la precisión subpíxel es la de la detección

de bordes, para la cual existen varias metodologías dependiendo del caso en que se esté

trabajando.

• Borde en escalón puro.

En este caso los datos son los valores de los píxeles a, b y c, y la incógnita es la

coordenada x. Según esto, en base a los datos de la cuantificación y sabiendo que se

trata de un borde en escalón puro, se tiene lo siguiente.

( )1bT aTx cT xb cxa c

= + −

−⇒ =

−

Con lo que el borde queda perfectamente definido con los valores conocidos de la

cuantificación.

c c c b a a

T x


22/10/2006 UPM-DISAM 127

• Borde en escalón suavizado.

En este caso los datos y la incógnita son los mismos que en el caso anterior. En este

caso se utilizará para la detección del borde, el cálculo del centro de gravedad de la

imagen de incrementos, que es la segunda fila de la imagen superior. La expresión

de este centro de gravedad es el siguiente:

0

0

mjj

mjj

j gx

g=

=

=∑∑

Con lo que en el caso que se mostró en la primera figura se tiene:

( ) ( ) ( ) ( )( ) ( ) ( ) ( )

1 2 3 41

21b a x c b x d c x e d x a b c d ex x

b a c b d c e d e a− + − + − + − − − − −

= = + +− + − + − + − −

donde

2 1 3 1 4 11 ; 2 ; 3x x x x x x= + = + = +

Un hecho significativo de este método es que sale el mismo resultado si se aplica al

caso que se vio en el primer punto.

e e d c b a

T ∇x

0x 5x4x3x2x1x

0 0 e-d d-c c-b b-a

xg

xg

x


22/10/2006 UPM-DISAM 128

• Borde en rampa.

En la imagen se puede calcular de forma robusta los valores máximo y mínimo,

con lo que el valor del borde se considerará como el valor medio de ambos.

Además se supone que este valor estará entre los valores c y d.

( )2i

f aBorde: g x M+= = ⇒ ( ) ( )

( )2 2i

f a d cx x

d c+ − +

= +−

A esta expresión final se llega a través de una serie de consideraciones

geométricas en base a la función rampa que define el borde y los valores de los

píxeles que en ellos están contenidos.

f e d c b a

0x 5x4x3x2x1x 5xpx

qx

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