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UNIVERSIDAD POLITÉCNICA DE MADRID E. T. S. DE INGENIEROS DE CAMINOS, CANALES Y PUERTOS
ESTUDIO DE LA CONVERGENCIA POR FLUENCIA DE
TÚNELES CIRCULARES EN MEDIOS VISCOELÁSTICOS
PLÁSTICOS
TESIS DOCTORAL
JOSÉ GUILLERMO SANDOVAL OCAÑA
Ingeniero Civil
MADRID, 2008
UNIVERSIDAD POLITÉCNICA DE MADRID E. T. S. DE INGENIEROS DE CAMINOS, CANALES Y PUERTOS
DEPARTAMENTO DE INGENIERÍA Y MORFOLOGÍA DEL TERRENO
ESTUDIO DE LA CONVERGENCIA POR FLUENCIA DE
TÚNELES CIRCULARES EN MEDIOS VISCOELÁSTICOS
PLÁSTICOS
TESIS DOCTORAL
JOSÉ GUILLERMO SANDOVAL OCAÑA Ingeniero Civil
Directores de Tesis:
ALCIBÍADES SERRANO GONZÁLES Dr. Ingeniero de Caminos, Canales y Puertos
ÁUREA PERUCHO MARTÍNEZ
Dra. Ingeniera de Caminos, Canales y Puertos
MADRID, 2008
Título de Tesis:
“ESTUDIO DE LA CONVERGENCIA POR FLUENCIA DE TÚNELES
CIRCULARES EN MEDIOS VISCOELÁSTICOS PLÁSTICOS”
Autor: D. José Guillermo Sandoval Ocaña
Directores: D. Alcibíades Serrano González
Dña. Áurea Perucho Martínez
Tribunal nombrado por el Mgfco. y Excmo. Sr. Rector de la Universidad
Politécnica de Madrid, el día .......... de ................... de 2009.
Presidente D. ..............................................................................................
Vocal 1º D. ................................................................................................
Vocal 2º D. ................................................................................................
Vocal 3er D. .................................................................................................
Secretario D. ..............................................................................................
Realizado el acto de defensa y lectura de la tesis el día ............de ...................
de en .................., los miembros del tribunal acuerdan otorgar la
calificación de: .....................................................................................................
EL PRESIDENTE LOS VOCALES
EL SECRETARIO
Esta tesis se la dedico a Dios.
I
Agradecimientos
Quiero agradecer a todas las personas e instituciones que durante estos cuatro
años, como doctorando de la Universidad Politécnica de Madrid, me han apoyado para
llevar a cabo esta tesis doctoral.
En primer lugar quiero agradecerles sinceramente, a mis directores de tesis el
Dr. Alcibíades Serrano González y la Dra. Áurea Perucho Martínez, por haberme
dirigido esta tesis doctoral y por su confianza al admitirme en su grupo de investigación.
A ambos les agradezco por la esplendidez de su trato, su generosidad, e interés,
hallando tiempo para leer y discutir conmigo los avances, y por sus valiosas opiniones
que han sido fundamentales en el desarrollo de esta investigación. Así mismo por
dejarme documentación que me ha sido muy útil. En particular le agradezco a: D.
Alcibíades Serrano por su generosidad al compartir conmigo sus profundos
conocimientos de la Mecánica de Rocas, y a Dª Áurea Perucho, por conseguir el
financiamiento para la implementación del módulo de ensayos de fluencia triaxial, a
través de los convenios de I+D+I.
En segundo lugar, quiero agradecer al Dr. Claudio Olalla, quien en los inicios de
esta investigación fue mi codirector, por poner su confianza en mi y por su valiosa
ayuda para conseguir financiamiento para mi estancia durante el doctorado, así como
por sus gestiones para conseguir muestras de roca para la experimentación de esta
investigación.
Luego quiero agradecer al Laboratorio de Geotecnia del CEDEX y
especialmente a D. Vicente Cuellar, quien como su Director al inicio de de mi
doctorado, me dio su confianza y apoyo admitiéndome en este centro para llevar a cabo
esta investigación. También a D. Fernando Pardo actual Director del Laboratorio de
Geotecnia del CEDEX, por ratificarme su confianza y apoyo para concluir esta tesis. A
Dª María Eugenia Martín, por sus gestiones y sus acertadas ideas durante la difícil etapa
de la implementación y puesta a punto del modulo de ensayos de fluencia triaxial.
También por poner a mi disposición los recursos materiales y humanos del área de
ensayos de Mecánica de Rocas; tanto para la ejecución de la experimentación de esta
tesis como para la puesta a punto del módulo de ensayos de fluencia triaxial. Así mismo
quiero agradecer a los técnicos de la sala de ensayos de Mecánica de Rocas, a: Manuel
Geijo, Manuel Pintado y José Fernández por compartir conmigo su experiencia y darme
Agradecimientos
II
su valiosa ayuda en las labores de extracción de las muestras y ejecución de los ensayos.
A Javier Moreno por conseguir para mí la exención del pago del curso de formación de
Itasca Consultores S. L. y a Pedro Varona Director Gerente por concederme la dispensa.
A José Luis García y a Carlos de las Heras, por la información relacionada con el túnel
del Regajal y por cederme muestras de rocas de este proyecto para la experimentación.
A José Toledo y a Clemente Arias por compartir conmigo su experiencia y dejar a mi
disposición los equipos para la difícil tarea de tallar las muestras de roca. A Felipe
García por la elaboración de las piezas que hicieron falta en la etapa de la puesta a punto
del módulo de ensayos de fluencia triaxial. A Encina Polo y a Eva Rodríguez, por su
atención, y por darme información de las fuentes bibliografícas para realizar búsquedas
eficaces.
Agradezco a la Universidad de Piura, a la Universidad Politécnica de Madrid, a
la Fundación Agustín de Betancourt y al Grupo EPTISA S.I. a través de D. Rafael
Portilla; por concederme sendas becas para financiar mi estancia en Madrid a lo largo de
estos cuatro años y llevar a cabo mis estudios de doctorado. Además le agradezco a Da
Carmen Lacalle, secretaria del Departamento de Morfología e Ingeniería del Terreno
por su trato amable, ayuda e información oportuna.
También quiero agradecer a mis excelentes amigos: Cristina de Santiago, Jesús
Manzanas, José María Gómez, Diego Manzanal, Svetlana Milentijevic, Silvia García,
María Santana, Esther García y Mila Sanchez. Por las veces que han compartido
conmigo información suya, así como por sus acertadas ideas que me han sido muy
útiles. A todos ellos, además les agradezco por su amistad, por estar siempre pendientes
de cómo me iba en la realización de esta investigación, y por todos los gratos momentos
de esparcimiento que hemos pasado juntos durante estos cuatro años que he pasado en
Madrid. Particularmente le agradezco a Cristina de Santiago por hacer la descripción
petrográfica de las muestras ensayadas y a Jesús Manzanas por las veces que hemos ido
en su coche en busca de muestras de roca.
Estos agradecimientos no estarían completos si no agradezco a las personas que
mas quiero; a mi madre, a mis hermanos; Roxana, Henrry, Oscar y a mis sobrinos Jorge
Luis y María Fernanda, a todos ellos les agradezco por su cariño y apoyo.
III
Índice general
Resumen .................................................................................................................... 1 Abstract...................................................................................................................... 3 Abreviaturas y símbolos ............................................................................................ 5
1 INTRODUCCIÓN..................................................................................................... 7 1.1 Justificación........................................................................................................ 7 1.2 Objetivos ............................................................................................................ 8 1.3 Contenido ........................................................................................................... 9
2 ESTADO DEL CONOCIMIENTO......................................................................... 11 2.1 Introducción y conceptos básicos..................................................................... 11
2.1.1 Definición de la fluencia .................................................................... 11 2.1.2 Resistencia a largo plazo.................................................................... 12 2.1.3 Etapas de la fluencia........................................................................... 13
2.2 Factores que influyen en la fluencia de las rocas ............................................. 18 2.2.1 Nivel de tensión.................................................................................. 18 2.2.2 Temperatura ....................................................................................... 19 2.2.3 Presión de confinamiento................................................................... 20 2.2.4 Humedad relativa y contenido de humedad ....................................... 22
2.3 Aspectos relacionados con la fluencia.............................................................. 23 2.3.1 Medida de la resistencia a largo plazo ............................................... 23 2.3.2 Deformación volumétrica................................................................... 31 2.3.3 Fluencia de los macizos rocosos ........................................................ 35 2.3.4 Formulación de la fluencia................................................................. 36
2.4 Soluciones analíticas de la convergencia por fluencia ..................................... 73 2.4.1 Efecto del frente del túnel .................................................................. 73 2.4.2 La línea característica a largo plazo ................................................... 74 2.4.3 Soluciones publicadas ........................................................................ 77
2.5 Modelos utilizados con métodos numéricos .................................................... 93 2.5.1 Modelos viscoelásticos....................................................................... 95 2.5.2 Modelos viscoelásticos-plásticos ....................................................... 95 2.5.3 Modelos elasto/viscoplásticos............................................................ 96 2.5.4 Otros modelos .................................................................................... 98
3 DESARROLLO DE LA SOLUCIÓN PROPUESTA........................................... 103 3.1 Hipótesis......................................................................................................... 103 3.2 Elementos del campo tenso-deformacional del medio................................... 103
3.2.1 La zona viscoelastica........................................................................ 107 3.2.2 La interfase viscoelástica – viscoelastoplástica ............................... 110 3.2.3 La zona viscoelastica-plástica (zona rota)........................................ 111
3.3 Configuración mecanicista de los medios propuestos.................................... 117 3.4 Funciones temporales (viscoelásticas) de los medios propuestos .................. 118
3.4.1 Medio en cambio volumétrico ......................................................... 118 3.4.2 Medio en deformación por corte ...................................................... 119 3.4.3 Las funciones ( )s0φ , ( )sr
0φ y ( )sr
uφ .................................................... 120
3.4.4 Las funciones ( )t0φ , ( )tr0φ y ( )tr
uφ ................................................... 121
3.5 Criterios de rotura de los medios propuestos ................................................. 124
Índice general
IV
3.5.1 Criterio lineal de Mohr..................................................................... 125 3.5.2 Criterio no lineal de Hoek y Brown (GSI>25)................................. 125 3.5.3 Criterio no lineal de Hoek (GSI<25)................................................ 126
3.6 Leyes de dilatancia de los medios propuestos................................................ 127 3.6.1 Ley de dilatancia constante .............................................................. 130 3.6.2 Ley de dilatancia lineal .................................................................... 131
3.7 Planteamiento general del sistema de ecuaciones resolvente......................... 133 3.8 Convergencia del túnel en los medios propuestos.......................................... 136
3.8.1 Medio con criterio de rotura lineal y dilatancia constante ............... 136 3.8.2 Medio con criterio de rotura no lineal (GSI>25) y ley de dilatancia
lineal ................................................................................................. 138 3.8.3 Medio con criterio de rotura no lineal (GSI<25) y ley de dilatancia
nula................................................................................................... 140 3.9 Convergencia del túnel con presión interior constante .................................. 142
4 OBTENCIÓN EXPERIMENTAL DE LOS PARÁMETROS DEL MEDIO....... 145 4.1 Respuesta total del medio............................................................................... 145 4.2 Componente viscoelástica de la respuesta...................................................... 146 4.3 Componente plástica de la respuesta.............................................................. 153 4.4 Experimentación............................................................................................. 154
4.4.1 Procedencia de las muestras............................................................. 154 4.4.2 Composición mineralógica............................................................... 155 4.4.3 Composición química....................................................................... 156 4.4.4 Descripción petrográfica .................................................................. 157 4.4.5 Propiedades físicas ........................................................................... 160 4.4.6 Propiedades mecánicas..................................................................... 161 4.4.7 Obtención de los parámetros de los criterios de rotura .................... 163 4.4.8 Obtención de las constantes vicoelásticas........................................ 164
5 CÁLCULO Y VALIDACIÓN DE LAS SOLUCIONES PROPUESTAS ........... 191 5.1 Caso del túnel sin sostenimiento .................................................................... 191
5.1.1 Soluciones generales con los medios propuestos............................. 191 5.1.2 Implementación informática de las soluciones propuestas .............. 192 5.1.3 Casos resueltos ................................................................................. 200 5.1.4 Validación de las soluciones propuestas .......................................... 210
5.2 Caso del túnel con presión de sostenimiento constante ................................. 221 5.2.1 Implementación informática de las soluciones propuestas .............. 222 5.2.2 Casos resueltos ................................................................................. 225 5.2.3 Validación de las soluciones propuestas .......................................... 231
6 CONCLUSIONES Y FUTURAS LÍNEAS DE INVESTIGACIÓN.................... 243 6.1 Conclusiones .................................................................................................. 243 6.2 Futuras líneas de investigación....................................................................... 250
REFERENCIAS BIBLIOGRÁFICAS ......................................................................... 254
APÉNDICE 1 ............................................................................................................... 260
APÉNDICE 2 ............................................................................................................... 270
APÉNDICE 3 ............................................................................................................... 302
APÉNDICE 4 ............................................................................................................... 314
1
Resumen
Este trabajo está enmarcado dentro de una de las líneas de investigación
dirigidas por el profesor Serrano y está relacionada con el estudio de la convergencia de
los túneles. Línea en la que anteriormente, la Dra. Isabel Reig (2004) realizó su tesis
doctoral empleando medios elastoplásticos. En este sentido, el presente trabajo de
investigación sigue una de las futuras líneas de investigación propuestas en esa tesis. De
modo mas preciso, aquí se incorpora el comportamiento reológico del macizo rocoso
considerándolo como un medio viscoelástico – plástico.
Esta tesis, esta basada en la formulación y solución analítica de la ecuación que
permite calcular la convergencia de un túnel excavado en un medio viscoelástico –
plástico, sometido a un estado de tensión axil simétrica y de deformación plana.
Las expresiones resultantes, han sido derivadas de las condiciones de equilibrio
de fuerzas internas y de compatibilidad de deformaciones junto con la ley de
consistencia tal como fue expresada por Serrano (1976).
La formulación propuesta en este trabajo de investigación, ha sido resuelta para
obtener la convergencia de la pared del túnel abierto en un medio viscoelástico –
plástico considerando que: podría exhibir un comportamiento reológico tanto en
distorsión angular como en cambio volumétrico. Esto para tener en cuenta el
comportamiento que ha sido observado por diferentes autores en las rocas porosas.
En este trabajo, el medio ha sido implementado a través de la formulación
mecanicista. Como resultado de esto, los términos reológicos de la convergencia,
referidos como funciones temporales, han sido tratados de un modo original. Estos
términos tienen en cuenta las propiedades reológicas del medio, de las cuales depende la
evolución de la convergencia a lo largo del tiempo. Las variables de estas funciones
temporales son las constantes viscoelásticas del medio. En esta tesis, estas constantes
reológicas han sido obtenidas experimentalmente para un tipo de roca; antes y después
de su rotura. Esto se ha realizado a través de ensayos triaxiales de fluencia ejecutados
siguiendo una trayectoria de tensiones similar a la producida alrededor del túnel.
La cámara triaxial utilizada para estos ensayos, ha sido desarrollada gracias a un
proyecto de I+D+i llevado a cabo en el Laboratorio de Geotecnia del CEDEX.
Laboratorio en el cual se ha implementado un módulo para la ejecución de ensayos
triaxiales de fluencia con la trayectoria de tensiones especificada, permitiendo además la
Resumen
2
medición de deformaciones longitudinales y circunferenciales de la muestra, a lo largo
del tiempo.
La formulación propuesta, permite la consideración de criterios de rotura
lineales (como el de Mohr), y criterios de rotura no lineales (como el de Hoek y Brown).
Adicionalmente, con esta formulación es posible utilizar leyes de dilatancia
constantes así como lineales. Esto es una mejora en el estudio, debido a que la ley de
dilatancia lineal no tiene el riesgo de incumplir el postulado de irreversibilidad de
Praguer (1949), el cual es equivalente al segundo principio de la termodinámica. Riesgo
que si tiene la ley de dilatancia constante cuando se utiliza junto con un criterio de
rotura no lineal.
En esta tesis, también se ha resuelto el cálculo de la evolución de la
convergencia de la pared del túnel cuando está sometida a una presión de sostenimiento
constante. El método esta basado en el concepto de las líneas características del medio
reológico, las cuales evolucionan con el tiempo. Esta solución, se ha propuesto para los
casos en los cuales se espera grandes deformaciones por fluencia con sostenimientos
que luego de su deformación inicial elástica, mantienen una presión de sostenimiento
constante. Tales casos podrían ser aquellos en los que el sostenimiento es colocado
tempranamente y que está formado por cerchas metálicas con juntas deslizantes.
Adicionalmente, se ha hecho la implementación informática del cálculo de las
expresiones de la convergencia deducidas en esta tesis. Esta implementación se ha
realizado a través de códigos escritos en el lenguaje de programación Matlab 7.0.
Como validación de las soluciones propuestas, las soluciones obtenidas en este
trabajo han sido comparadas con las obtenidas por otros autores, para casos particulares.
Estos casos incluyen soluciones analíticas y numéricas. Las primeras desarrolladas por
Carranza – Torres (2000) y las segundas implementadas en el código de diferencias
finitas FLAC3D 3.1 desarrollado por Itasca Consulting Group Inc.
3
Abstract
This work is framed within one of the research’s lines headed by professor
Serrano, related to the study of tunnels’ convergence. A previous doctoral thesis was
done by Dr. Isabel Reig (2004) using elastoplastic media. This thesis follows one of the
future research lines proposed in that work, by incorporating the rheological behaviour
of rock mass considering it as a viscoelasto – plastic medium.
This research is based on the analytical formulation and its subsequent solution
of the equations that allow to calculate the convergence of a tunnel opened in a
viscoelasto – plastic medium when there are axial symmetrical conditions and plane
deformations.
The resulting expressions have been derived from the conditions of internal
forces equilibrium and deformations compatibility, together with the consistent law as it
was expressed by Serrano (1976).
The formulation proposed in this research has been solved to obtain the
convergence of a tunnel opened in a viscoelasto – plastic medium, considering that it
may exhibit rheological angular distortion and also rheological volume change, to take
into account the behaviour that has been observed by several researchers in porous
rocks.
In this work, the medium has been implemented through the mechanical
formulation. Because of it the rheological terms of convergence, referred as temporary
functions, have been treated in an original way. Those terms take into account the
rheological properties of the medium, on which the convergence’s evolution along the
time depends. The variables of these temporary functions are the viscoelastic constants
of the medium. These rheological constants have been obtained experimentally for a
rock before an after its yielding, by performing creep triaxial tests following the stress
path similar to the ones produced around the tunnel. The triaxial cell used for it was
developed thanks to an I+D+i project developed at CEDEX Geotechnical laboratory,
through which it was implemented a module for performing creep triaxial tests with
specified stress paths, allowing for measuring of both longitudinal and circumferential
deformations of the testing sample over time.
Abstract
4
The proposed formulation allows for the consideration of linear (like Mohr -
Coulomb) and non – linear (like Hoek & Brown) failure criteria for the rock mass, this
one more appropriate for rock masses.
Additionally, with this formulation it is possible to use both a constant and a
linear dilatancy law. This is an advantage because the last one does not have the risk of
not complying with the irreversibility postulate of Praguer (1949), equivalent to the 2nd
thermodynamic law, while the constant dilatancy law does have that risk when used
together with a non linear failure criterion.
In this thesis, it has been also solved the calculation of the evolution of the
tunnel’s convergence when subjected to constant internal pressure. The method is based
on the concept of characteristics lines of rheological media, which evolves with time. It
is proposed for cases in which large deformations are expected by creep, and whose
supports hold steady pressure after their initial elastic deformations. Such cases could be
ones in which supports are placed early and formed by metallic frameworks with sliding
joints.
In addition, it has been done the implementation of computer calculations of the
expressions of convergence. This implementation has been done through codes written
in the programming language of Matlab 7.0.
As a validation of the proposed solutions, the results obtained in this work have
been compared with the solutions obtained by other authors for particular cases. These
cases include analytical and numerical solutions. The first ones as developed by
Carranza – Torres (2000) and the latter ones implemented by the finite differences code
FLAC3D 3.1 developed by Itasca Consulting Group Inc.
5
Abreviaturas y símbolos
La nomenclatura mostrada a continuación es válida para todos los capítulos, a
excepción del capítulo 2: “Estado del conocimiento”, en el que se ha utilizado las
abreviaturas y los símbolos originales de los autores citados. En este caso se ha indicado
en el texto mismo el significado correspondiente.
Símbolo Significado
0, ψψ
ρ
critρ
maxψ
ϕ
( )tv
ς
ν
2211 ,,, ηη GG
( )tε
( ) ( )tt aθθ εε ,
( ) ( ) Rtut RrR /=θε
( )trε
( )vetε
( ) ( )vevol
ve tt εε γ , pε
pvol
p εεγ ,
ru
r
( ) ( )tt Rγγ ,
( )t0φ
( )tr0φ
( )truφ
β
Ángulo de dilatancia, ángulo de dilatancia constante
Ángulo de rozamiento interno instantáneo
Ángulo de rozamiento crítico (a partir del cual el material deja de ser
dilatante positivo)
Ángulo de dilatancia máxima (del material en tracción simple)
Ángulo de rozamiento del criterio de rotura lineal de Mohr
Cambio volumétrico en deformación plana
Coeficiente de tenacidad (formulación de Serrano y Olalla)
Coeficiente de Poisson
Constantes viscoelásticas del medio propuesto en corte
Deformación total (viscoelástica + plástica)
Convergencia o deformación tangencial alrededor del túnel, convergencia de
la pared del túnel (deformación principal mayor).
Convergencia de la interfase
Deformación radial alrededor del túnel (principal menor)
Deformación viscoelástica (angular + volumétrica)
Deformación angular viscoelástica, deformación volumétrica viscoelástica
Deformación plástica (angular + volumétrica)
Deformación angular plástica, deformación volumétrica plástica
Desplazamiento radial
Distancia radial al eje del túnel
Distorsión angular en deformación plana, distorsión angular en deformación
plana en la interfase
Función temporal del modelo viscoelástico, en deformación por corte, de la
interfase
Función temporal del modelo viscoelástico, en deformación por corte, de la
zona rota alrededor del túnel
Función temporal del modelo viscoelástico, debido al coeficiente de Poisson
viscoelástico, de la zona alrededor del túnel
Módulo resistente (formulación de Serrano y Olallla)
Abreviaturas y símbolos
6
sK
Ra xxx ,,
( ) ( )DQDP 11 ,
( ) ( )DQDP 22 ,
( ) ( )DQDP rr11
,
( ) ( )DQDP rr22
,
( ) ( )DQDPrr
11 ,
( ) ( )DQDPrr
22 ,
tD t ∂∂=∂= /
a
( )taσ yaσ
Rσ *00 , pp
*00 , critcrit pp
rσσθ ,
( )te ijij ','σ
( )tekkkk ,σ
( ) ( )DQDP 11 ,
( ) ( )DQDP 22 ,
pq,
Raa qpq ,,
t
Módulo de rigidez elástica radial del sostenimiento (sostenimiento en forma
de anillo)
Límite de integración, de las integrales de la expresión de la convergencia del
medio con el criterio de rotura original de Hoek & Brown (GSI>25):
genérico, en la pared del túnel y en la interfase
Polinomios de la formulación mecanicista de la componente viscoelástica en
corte de la zona viscoelástica
Polinomios de la formulación mecanicista de la componente viscoelástica en
compresión isótropa de la zona viscoelástica
Polinomios de la formulación mecanicista de la componente viscoelástica en
corte de la zona rota
Polinomios de la formulación mecanicista de la componente viscoelástica en
compresión isótropa de la zona rota
Transformada de Laplace de los polinomios ( ) ( )DQDP rr11
,
Transformada de Laplace de los polinomios ( ) ( )DQDP rr22
,
Operador diferencial del tiempo (derivada parcial con respecto al tiempo)
Radio del túnel (en el contexto de la ley de dilatancia lineal es un parámetro)
Tensión de sostenimiento de la pared del túnel
Tensión máxima de sostenimiento de las cimbras con juntas deslizantes.
Tensión principal menor en la interfase viscoelástica - viscoelástica plástica
Tensión isótropa inicial del medio: original y normalizada con β
Tensión isótropa inicial del medio: original y normalizada con β a partir de
la cual se produce la zona rota alrededor del túnel
Tensión tangencial y radial alrededor del túnel
Tensor de tensiones y de deformaciones por corte
Tensor de tensiones y de deformaciones isótropo
Transformada de Laplace de los polinomios ( ) ( )DQDP 11 ,
Transformada de Laplace de los polinomios ( ) ( )DQDP 22 ,
Variables de Lambe en deformación plana
Variables de Lambe en la pared del túnel, en la interfase
Variable tiempo
Anotaciones:
Cuando algún símbolo de esta lista, aparece con el superíndice “r” tiene el significado dado aquí pero
aplicado a la zona rota alrededor del túnel.
Cuando algún símbolo (función) de esta lista aparece como función de “s” o con una barra “ ” sobre él,
significa que se trata de la función en el dominio de la variable “s” de Laplace (transformada de Laplace
de la función)
7
1 Introducción
Numerosos autores, han tratado el problema de las tensiones y deformaciones
alrededor de un túnel en un medio isótropo elasto–plástico perfecto en condiciones axil
simétricas y deformación plana. Han hecho esto como una aproximación al estudio de
las deformaciones alrededor de los túneles excavados en los macizos rocosos. Sin
embargo, existe el consenso de que la las deformaciones en estas obras no son
acrónicas, sino que, evolucionan a lo largo del tiempo. Cuando el origen de estas
evoluciones de las deformaciones es de tipo mecánico, también existe el consenso de
que son producidas por el fenómeno de la fluencia del medio, el cual se presenta en
mayor o menor medida dependiendo de las propiedades viscosas de la roca. Esto, ha
dado lugar a que se introduzca la reología del medio para tener en cuenta sus
propiedades viscosas. Pasando del empleo de los medios elasto-plásticos a los medios:
viscoelásticos, viscoelásticos-plásticos y viscoplásticos.
Dentro de este marco, la investigación que se da a conocer en esta tesis, trata el
estudio de las deformaciones por fluencia empleando medios viscoelásticos-plásticos
inéditos. Calificados así, debido a que estos medios exhiben propiedades reológicas
tanto en corte como en compresión isótropa. También porque poseen criterios de rotura
no lineales y leyes de dilatancia lineal, además de los criterios de rotura lineal y leyes de
dilatancia constante ya publicados por otros autores. Con esto lo que se pretende es
emplear, en el estudio de la convergencia por fluencia, medios mas adecuados al
comportamiento de los macizos rocosos.
1.1 Justificación
A lo largo de los últimos dos siglos, se ha acumulado gran cantidad de evidencia
de la ocurrencia de grandes deformaciones en los túneles producidas por el fenómeno de
la fluencia. Sin embargo hasta la actualidad, el origen de este fenómeno aún no esta bien
entendido, y se siguen haciendo investigaciones para predecir la evolución de las
deformaciones a largo plazo. Investigaciones que están relacionadas con el tratamiento
teórico y la experimentación a largo plazo.
En este sentido, esta tesis, es una aproximación mas al estudio de la evolución de
la convergencia proponiendo medios viscoelásticos – plásticos mas adecuados al
Capítulo 1 Introducción
8
comportamiento de los macizos rocosos por los motivos dados en el apartado anterior.
La misma que se ha desarrollado con las siguientes partes:
• Una parte teórica, relacionada con el planteamiento y la solución analítica de
las expresiones de la convergencia de la cavidad, considerando la reología y
la plasticidad del medio.
• Otra parte experimental, relacionada con la determinación de: las
propiedades reológicas del medio a través de ensayos de fluencia triaxial en
el laboratorio además de otros ensayos relacionados con su resistencia a
corto plazo.
Debido a que los macizos rocosos, inicialmente se deforman de acuerdo con sus
propiedades a corto plazo, y luego a largo plazo de acuerdo con sus propiedades
reológicas, los medios teóricos deben exhibir ese comportamiento. En esta tesis se han
empleado medios viscoelásticos-plásticos debido a que tienen ese comportamiento. Así,
al inicio sufren deformaciones elasto – plásticas de acuerdo con sus propiedades a corto
plazo, y a largo plazo sufren deformaciones de acuerdo con sus propiedades reológicas
(viscosas).
Las soluciones analíticas viscoelásticas, publicadas por otros autores están
limitadas a los casos en los que el estado de tensiones alrededor del túnel no produce
deformaciones plásticas. Limitación que se resuelve con el empleo de los medios
viscoelásticos – plásticos propuestos en esta tesis.
1.2 Objetivos
El primer objetivo de esta investigación, es dar a conocer el estado actual del
conocimiento relacionado con el fenómeno de la fluencia y el estudio de sus efectos en
la convergencia de los túneles.
En esta investigación también se desarrolla una metodología inédita para
formular las relaciones constitutivas reológicas de la componente viscoelástica de los
medios propuestos en esta tesis. Relaciones que son necesarias para calcular la
evolución de las deformaciones del medio a lo largo del tiempo.
Otro de los objetivos es dar a conocer el procedimiento teórico empleado para
hallar la solución analítica de la convergencia. Partiendo desde el planteamiento de las
ecuaciones y la formulación del medio mismo.
Capítulo 1 Introducción
9
El objetivo principal de esta investigación es; hallar las expresiones analíticas de
la evolución de la convergencia del túnel, a lo largo del tiempo, empleando medios
viscoelásticos – plásticos inéditos. Los que además de ser inéditos, son mas adecuados
al comportamiento de los macizos rocosos.
1.3 Contenido
Basado de una recopilación bibliográfica actualizada, se presenta en el capítulo
2, el estado actual del conocimiento relacionado con el estudio de la convergencia por
fluencia en los túneles. En la primera parte del capítulo se presenta la evidencia
experimental relacionada con las características de la fluencia de la roca observada en el
laboratorio. También se presenta la definición de resistencia a largo plazo y los modos
propuestos por diversos investigadores para medirla. A continuación se presentan las
dos teorías que existen para la formulación de los medios reológicos. La teoría de la
viscoelásticidad, y la de viscoplasticidad, que aunque todavía no puede ser considerada
como teoría, su uso se ha extendido. Finalmente en este capítulo también se presentan
las soluciones analíticas, las soluciones empíricas y los modelos numéricos
viscoelásticos, viscoelasticos – plásticos y viscoplásticos implementados en plataformas
informáticas.
En el capítulo 3 denominado: desarrollo de la solución propuesta, se
presentan las hipótesis en las que está basada la formulación de los medios propuestos
en la tesis y el estudio de las deformaciones. Igualmente se presentan los elementos del
campo tenso – deformacional del medio. En esta tesis se emplea la formulación
mecanicista de los medios y se hace un tratamiento inédito de los términos que
dependen de las propiedades reológicas. Términos a los que se les llama funciones
temporales. También, se presentan los parámetros relacionados con el comportamiento
plástico a corto plazo, es decir los criterios de rotura y las leyes de dilatancia de los
medios. Aquí es donde se hace, el planteamiento del sistema de ecuaciones revolventes
de la convergencia. Planteamiento que se hace a partir de las condiciones de equilibrio
de fuerzas y de compatibilidad de deformaciones de un elemento diferencial del medio
viscoelástico-plástico. Luego, a partir de la expresión general de la convergencia, se
obtienen las expresiones particulares para cada uno de los medios propuestos.
Finalmente, se expone el uso de las líneas características de los medios reológicos para
el cálculo de la convergencia del túnel sometido a una presión de sostenimiento
constante.
Capítulo 1 Introducción
10
En el capítulo 4 denominado: obtención experimental de los parámetros del
medio, se muestra la procedencia de las muestras ensayadas y se hace su
caracterización. Lo más resaltante de este capítulo es la descripción del módulo de
ensayos de fluencia triaxial implementado para esta investigación. Así como también el
procedimiento de ensayo propuesto para la determinación de los parámetros reologicos
del medio.
En el capítulo 5 denominado cálculo y validación de las soluciones
propuestas, se presenta la implementación informática de las soluciones propuestas.
Esta implementación se ha realizado a través de códigos escritos en Matlab 7.0. En este
capítulo se presentan los diagramas de flujo de los códigos junto con la explicación de
sus funciones. Ejecutando el código convergencia se obtiene el dibujo de las funciones
temporales del medio y el de la evolución de la convergencia a lo largo del tiempo. A su
vez ejecutando el código lincar se obtiene el dibujo de las funciones temporales del
medio y el dibujo de la evolución de sus líneas características.
Con estos códigos, se han calculado los casos resueltos en la tesis, los casos
particulares resueltos por Carranza – Fairhurst (2000) y el caso implementado en el
código de diferencias finitas FLAC3D desarrollado por Itasca Consulting Inc.
En el capítulo 6 denominado conclusiones y futuras líneas de investigación,
se muestran las conclusiones relacionadas con: el planteamiento del estudio, los medios
propuestos, el procedimiento de ensayo de fluencia triaxial propuesto, el empleo de las
líneas características de los medios reológicos y se proponen las futuras líneas de
investigación que han surgido de esta investigación.
A continuación están las referencias bibliográficas de la tesis y cuatro
apéndices. En el apéndice 1 se presentan las deducciones de las expresiones de la
convergencia para los tres medios propuestos. En el apéndice 2 se presentan los
resultados de los ensayos de laboratorio. En el apéndice 3 están los listados de los
códigos escritos en Matlab 7.0, y en el apéndice 4 se presentan los listados de los
códigos escritos en el FLAC3D.
11
2 Estado del conocimiento
2.1 Introducción y conceptos básicos
2.1.1 Definición de la fluencia
Definida por la Real Academia de la Lengua Española como: “acción de fluir”,
cuando el término fluencia se aplica a las rocas, se refiere a la evolución de su
deformación a lo largo del tiempo, manteniendo constante la carga a la que está
sometida.
Cristescu (1998) define la fluencia como la deformación irreversible que se
produce a lo largo del tiempo, e indica que se produce en todos los tipos de rocas pero,
principalmente, en las rocas blandas como, por ejemplo, la sal y el carbón. De acuerdo
con este autor: en las rocas duras la fluencia es significativa solo después del transcurso
de mucho tiempo, por lo que en estas rocas, puede ser suficiente estudiar su
deformación únicamente a corto plazo.
De Lama y Vutukuri (1978) la definen sin embargo, como la deformación a lo
largo del tiempo, la que dependiendo del nivel de tensiones con respecto a la tensión de
rotura a corto plazo y del tiempo transcurrido, puede ser reversible o irreversible.
Es necesario distinguir la fluencia de la expansividad y de la meteorización o
alteración química, cuyos efectos también son dependientes del tiempo.
De acuerdo con Cristescu (1998), el cambio de forma irreversible que se produce
en la fluencia está “casi” libre de agrietamiento. Según este autor, la fluencia ocurre
principalmente debido al movimiento de dislocación transcristalino (entre cristales).
Como consecuencia de estos movimientos entre cristales siempre se produce la
formación de grietas dentro de los mismos. Cristescu utilizó como modelo la roca de
sal, debido a que es un material cristalino con comportamiento frágil y dúctil
dependiendo del confinamiento al que esté sometida.
Goodman (1980) alude a dos mecanismos para explicar la fluencia en las rocas:
al flujo de la masa y al agrietamiento. Algunas rocas como, por ejemplo, la sal, las rocas
bituminosas o las rocas esquistosas compactas, presentan fluencia sometidas a tensiones
desviadoras relativamente bajas, incluso aunque no tengan fisuras. En el caso de la roca
de sal y rocas de potasio, el proceso de la fluencia involucra el movimiento de las
dislocaciones y el movimiento lento intracristalino. Sin embargo, la fluencia en las
Capítulo 2 Estado del conocimiento
12
1.3rocas arcillosas no cementadas involucra la migración del agua que está dentro de los
poros y el movimiento de las partículas de la arcilla. Las rocas duras como el granito y
la caliza también pueden presentar fluencia cuando están sometidas a tensiones
desviadoras suficientemente altas como para que les produzcan la aparición de nuevas
fracturas, por ejemplo, cuando esta tensión es superior a la mitad de la resistencia a
compresión no confinada. El incremento de la tensión aplicada provocará el cambio en
la red de grietas a través del crecimiento de las antiguas y de la aparición de nuevas.
La fluencia de las rocas normalmente se expresa en términos de la velocidad de
deformación:
),,:constantes( 31 HRTdtd σσεε −=
• (2.1)
Donde •ε es la velocidad de la deformación total, t el tiempo transcurrido desde
la aplicación de la carga que la produce, 31 σσ − la tensión desviadora que produce la
fluencia, T la temperatura de la roca y HR la humedad relativa alrededor de la roca.
2.1.2 Resistencia a largo plazo
La resistencia a largo plazo es la tensión máxima que puede soportar al roca sin
que se produzca su rotura, independientemente del tiempo que transcurra soportando
esta tensión (Ladanyi, 1993).
De acuerdo con De Lama y Vutukuri (1978) esta resistencia ha sido denominada
de diferentes formas por diversos autores: “resistencia residual” por Grisss (1936),
“resistencia verdadera” por Phillips (1948), “tensión segura en el tiempo” por Potts
(1964), “resistencia a largo plazo” por Price (1966), y “resistencia con carga sostenida”
por Iyengar y otros (1967).
En la Fig. 2.1 de Goodman (1980) se ha representado la curva tensión –
deformación de un ensayo de compresión triaxial incluyendo a la fase de post pico, para
un proceso de carga rápida. De acuerdo con este autor, se puede distinguir dos niveles
críticos en al tensión de compresión, indicados por los puntos T y U de esta figura.
Para una tensión inferior a la marcada por el punto T el comportamiento de la
roca es elástico e independiente del tiempo que se mantenga la carga. Sin embargo, para
tensiones comprendidas entre los niveles marcados por los puntos T y U se produce de
forma inmediata una deformación, definida por la curva de la figura para ese nivel de
tensión, pero si se mantiene la tensión durante un tiempo, la deformación aumenta
Capítulo 2 Estado del conocimiento
13
constantemente, tendiendo a un valor final situado sobre al recta definida por los puntos
T y U, siguiendo la trayectoria EF.
Fig. 2.1 Curva tensión – deformación completa del ensayo de compresión triaxial a corto plazo (Goodman; 1980).
Si la tensión es superior al nivel marcado por el punto U y se mantiene un
tiempo suficiente la deformación aumenta constantemente hasta alcanzar la zona de
postpico de la curva, momento en el que se producirá al rotura de la roca (trayectoria
CD y AB de la figura). Es decir para estos niveles de tensión se alcanza la rotura de la
roca para una carga inferior a la que produce la rotura a corto plazo, si dicha carga se
mantiene el tiempo suficiente. Por tanto, en las rocas que presentan fluencia se puede
hablar de una resistencia a largo plazo (la tensión marcada por el punto U en la figura)
distinta de la que se obtiene en un ensayo rápido
2.1.3 Etapas de la fluencia
La herramienta experimental más utilizada para estudiar la deformación diferida
en las rocas son los ensayos de fluencia en compresión simple o confinada en el
laboratorio, en los cuales la única variable es el tiempo. En estos ensayos la
temperatura, la presión de confinamiento y la humedad se mantienen constantes debido
a que existe el consenso de que estas variables alteran el comportamiento dependiente
del tiempo, como lo muestran las experiencias presentadas mas adelante.
A través de estos ensayos se pueden observar diferentes etapas en la fluencia de
las rocas, principalmente las siguientes:
• Fluencia primaria o transitoria.
Capítulo 2 Estado del conocimiento
14
• Fluencia secundaria o estacionaria.
• Fluencia terciaria.
Estas etapas se pueden observar en el gráfico de la Fig. 2.2, debida a Lama y
Vutukuri (1978). A continuación se analizan estas etapas.
Fig. 2.2 Curva teórica “Deformación – Tiempo” debido a la fluencia; De Lama y Vutukuri (1978).
2.1.3.1 Fluencia primaria o transitoria
La Fig. 2.3, debida a Cristescu (1998), muestra los resultados típicos de los
ensayos de fluencia realizados en una roca con propiedades reológicas. Cuando la roca
se somete a una tensión desviadora, se puede producir solo una deformación instantánea
o bien una deformación instantánea más otra diferida en el tiempo, dependiendo del
valor de la tensión desviadora aplicada en relación a la resistencia a compresión simple
de la roca, como se ha visto en el apartado anterior. La parte (b) de la Fig. 2.3, muestra
como evoluciona la velocidad de la deformación con el transcurso del tiempo. Se puede
observar que inmediatamente después de la aplicación de cada escalón de carga la
deformación se produce a una velocidad alta, que disminuye continuamente con el
tiempo hasta que llega a un valor constante. A la primera etapa, en la que la velocidad
de la deformación disminuye continuamente, se le suele llamar fluencia primaria o
transitoria.
Capítulo 2 Estado del conocimiento
15
Fig. 2.3 Cinco ensayos de fluencia en compresión simple realizados a la temperatura del ambiente en especimenes de roca de sal identificada como z3OS/LS de la misma muestra y con tres escalones de carga sucesivos (BGR). La muestra procede de la mina Asse ubicada en el norte de Alemania. a) Deformación
vs tiempo; b) velocidad de deformación vs tiempo, s•ε velocidad en el estado estacionario; c) velocidad
de deformación vs deformación de uno de los ensayos; Cristescu (1998).
Cuando la tensión desviadora que actúa sobre la roca es menor que su resistencia
a largo plazo, esta etapa de la fluencia se presentará sola. La velocidad de la
deformación disminuirá prácticamente a cero y, por lo tanto, se detendrá la evolución de
Capítulo 2 Estado del conocimiento
16
la deformación con el transcurso del tiempo. De lo contrario a esta le sucederá la etapa
de la fluencia secundaria tratada a continuación.
Según Cristescu (1998) la velocidad de deformación de la fluencia, Fig. 2.3(b),
disminuye constantemente debido al endurecimiento por deformación de la roca. Este
autor opina que el endurecimiento por deformación se debe a que la cantidad de las
dislocaciones aumenta rápidamente en esta etapa, por lo que la interferencia entre ellas
se incrementa. Además, la energía producida por el desviador en esta etapa no es
suficiente para mantener la velocidad de deformación constante conforme aumenta la
cantidad de dislocaciones, con la consecuente disminución rápida de la velocidad de la
deformación cuando se mantiene constante la carga a la que está sometida.
Fig. 2.4 Curvas de fluencia de una muestra de mármol. Los valores sobre la curva de 1ε son las 1σ en MPa, 176.13 =σ MPa; Cristescu (1993).
La Fig. 2.4 (Cristescu, 1993) muestra otra característica de esta etapa de la
fluencia, que está relacionada con el cambio de volumen de la roca. La figura muestra la
deformación que se produce a lo largo del tiempo en una muestra de mármol sometida a
una tensión desviadora ( )31 σσ − aplicada en escalones crecientes. Se han representado
las deformaciones; axial ( 1ε ), circunferencial ( 2ε ), como la deformación volumétrica,
vε , que se producen en la muestra. Como puede observarse, hasta el desviador de 4.23
MPa, el cambio volumétrico es compresible, es decir, se produce una disminución de
volumen. El agrietamiento que ocurre en esta etapa es estable y no produce la rotura de
la roca. Incluso en las rocas duras o poco porosas el cambio volumétrico producido en
Capítulo 2 Estado del conocimiento
17
esta etapa es compresible, como es de esperar de acuerdo con la teoría de la elasticidad.
Las ecuaciones constitutivas se representan bien en esta etapa mediante los modelos
viscoelásticos.
2.1.3.2 Fluencia secundaria
Como se indicó anteriormente, si la tensión desviadora a la que está sometida la
roca es superior a su resistencia a largo plazo, después de la etapa de la fluencia
primaria se produce una segunda etapa de fluencia, denominada secundaria o
estacionaria. En esta etapa la velocidad de la fluencia se hace constate, como se muestra
en la Fig. 2.2.
La cantidad de deformación transitoria necesaria para llegar a esta condición de
fluencia estacionaria depende de la tensión y de la temperatura así como de la historia
de tensiones.
En la Fig. 2.3b se muestra claramente el proceso indicado: después de la
aplicación de cada escalón de carga la velocidad de la deformación disminuye
continuamente hasta un valor prácticamente constante. Como puede verse en la figura
citada, el valor de esta velocidad depende del nivel de tensión desviadora actuante. Así
para la tensión desviadora de 14 MPa el rango de la velocidad de la fluencia secundaria
es: 66 100.5102.3 −•
− << xx sε , para 16 MPa es 55 100.9105.7 −•
− << xx sε y, para 18 MPa es
44 104.1100.1 −•
− << xx sε . Siendo las unidades de estas magnitudes 1/días.
Se suele aceptar que en esta etapa de la fluencia las deformaciones son
irreversibles y que únicamente dependen del transcurso del tiempo para que se produzca
la rotura. El tiempo necesario para que se produzca la rotura dependerá del nivel de la
tensión desviadora actuante, y será tanto menor cuanto mayor sea esta. Según la
evidencia experimental mostrada más adelante, el patrón de agrietamiento y la magnitud
de las deformaciones de rotura por fluencia en compresión sin confinamiento, son
similares a las que se producirían en la curva post-pico de resistencia a compresión sin
confinamiento a corto plazo.
Debido a que el cambio volumétrico en esta etapa es producido por la
plastificación de la roca, los modelos reológicos viscoelásticos no son adecuados para
simularla (Cristescu, 1993).
Capítulo 2 Estado del conocimiento
18
2.1.3.3 Fluencia terciaria
Si la muestra no se descarga en el punto (D) de la Fig. 2.2, la velocidad de la
fluencia crece continuamente y se produce la rotura. Esta fase (DE) es llamada fluencia
terciaria.
La velocidad de deformación crece tan rápidamente que una vez iniciada no se
puede evitar la rotura. No representa un proceso de deformación pura sino también de
daño progresivo rápido. Es fundamentalmente diferente de las dos etapas anteriores. Se
presenta únicamente con niveles de tensión relativamente altos.
La mayor parte de publicaciones están dedicadas a la investigación de la fluencia
transitoria y de la fluencia estacionaria y no se ha investigado con detalle esta etapa de
la fluencia, probablemente debido a que no es importante desde el punto de vista de la
elaboración de los cálculos del proyecto (De Lama y Vutukuri 1987).
Cristescu (1998) opina que esta etapa de la fluencia, que finaliza en la rotura, se
produce por un incremento continuo del daño sufrido por la roca. Así mismo indica que
las rocas poco porosas y resistentes en donde la rotura se produce por agrietamiento (no
por el colapso de la estructura como el caso de las rocas porosas), esta etapa de la
fluencia se produce con cambio volumétrico dilatante. Por lo tanto, en esta etapa, la
fluencia y la dilatancia se producen conjuntamente. Dependiendo del nivel de tensión
aplicado, esta etapa se puede producir después de la fluencia secundaria o directamente
después de la fluencia transitoria como muestra la Fig. 2.5.
2.2 Factores que influyen en la fluencia de las rocas
Como se indicó anteriormente, la fluencia de las rocas se ve influida por
diferentes factores, como el nivel de tensión a que está sometida, la temperatura, la
presión de confinamiento, la humedad relativa y el contenido de humedad.
A continuación se trata como pueden influir estos parámetros.
2.2.1 Nivel de tensión
La velocidad y la cantidad de deformación debidas a la fluencia en cualquier
momento dependen del nivel de tensión relativo al límite de plastificación de la roca. De
Lama y Vutukuri (1987) han publicado la Fig. 2.5 correspondiente al trabajo realizado
por Griggs en 1939 y 1940 para mostrar que la respuesta viscosa de la roca depende del
nivel de tensión. Dependiendo de este nivel puede suceder que (ver Fig. 2.5):
• Únicamente ocurra fluencia transitoria (curva con 100 kgf/cm2).
Capítulo 2 Estado del conocimiento
19
• Ocurra la fluencia transitoria, estacionaria y terciaria (curvas desde 125
kgf/cm2 hasta 250kgf/cm2).
• Ocurra la fluencia terciaria directamente después de la fluencia transitoria
(curva con 300 kg/cm2).
Fig. 2.5 Curvas de fluencia del alabastro. Todos los especimenes fueron sumergidos en agua destilada y
ensayados a la misma temperatura, pero con diferente tensión desviadora (Griggs; 1940).
Cristescu (1998) ha mostrado que la reacción de una muestra de roca de sal, a la
reducción de la tensión desviadora depende del grado de reducción de la tensión y del
nivel de deformación por endurecimiento sufrido previamente.
En la Fig. 2.6 este autor muestra la curva de fluencia de un ensayo triaxial
realizado en una probeta de sal a temperatura y presión de confinamiento constante,
para diferentes escalones de carga y de descarga. Como puede observarse, al reducir la
tensión de 20 MPa a 17MPa se presenta lo que él llama fluencia transitoria inversa.
2.2.2 Temperatura
La temperatura tiene un efecto pronunciado en la fluencia de la roca, incluso
para temperaturas muy por debajo de la de fusión de la roca, el aumento de la
temperatura incrementa considerablemente la velocidad de la deformación debido a la
activación térmica de mecanismos micro mecánicos (Cristescu, 1998).
Capítulo 2 Estado del conocimiento
20
Fig. 2.6 Curva de fluencia de un ensayo triaxial del proyecto BGR en un espécimen de roca de sal realizado a 45 ºC de temperatura y 15 MPa de confinamiento. Sobre la curva se muestran los incrementos
de tensión desviadora. Notese la fluencia transitoria inversa en la etapa con reducción de la tensión (Cristescu; 1998).
Este hecho se observa claramente en la Fig. 2.7 (Cristescu, 1998). En dicha
figura se muestra la evolución de la deformación en el tiempo en una probeta de sal
sometida a compresión simple, cuando se mantiene constante la carga y se aumenta la
temperatura. Se puede destacar los dos aspectos siguientes:
• El aumento de la temperatura produce un aumento notable de la velocidad de
deformación. Asimismo, como puede verse en la Fig. 2.7b, una caída en la
temperatura produce una disminución en la velocidad de deformación.
• La velocidad de deformación para una determinada temperatura tiende a un
valor constante, que es tanto mayo cuanto mayor es esta.
2.2.3 Presión de confinamiento
La Fig. 2.8 (Cristescu, 1998) muestra otro ensayo de fluencia en compresión
triaxial con cambios escalonados de la presión de confinamiento a lo largo del tiempo.
Esta y otras evidencias experimentales muestran que hay una relación inversamente
proporcional entre la velocidad de la fluencia secundaria y la presión de confinamiento.
Es decir, que al disminuir la presión de confinamiento la velocidad de la fluencia
aumenta. La Fig. 2.8 muestra que después de cada cambio de la presión de
confinamiento se produce la fluencia transitoria y luego la fluencia secundaria.
Capítulo 2 Estado del conocimiento
21
Según De Lama y Vutukuri (1987) la cantidad de deformación desviadora y
volumétrica debidas a la fluencia es menor cuanto mayor es la presión de
confinamiento. También manifiestan que la presión de confinamiento retrasa la rotura
de la roca, ya que para la misma tensión desviadora el tiempo transcurrido antes de la
rotura de la roca será mayor cuanto mayor sea la presión de confinamiento.
Fig. 2.7 Ensayos de fluencia en compresión simple en roca de sal (z3OSU), del domo Gorleben al norte de Alemania, con cuatro incrementos sucesivos de temperatura (BGR); a) deformación vs tiempo; b)
velocidad de deformación vs tiempo, s•ε velocidad de fluencia secundaria (Cristescu; 1998).
Capítulo 2 Estado del conocimiento
22
Fig. 2.8 Curvas “Tiempo – Deformación” de dos ensayos triaxiales de fluencia a 50ºC con variaciones escalonadas de la presión de confinamiento. La curva del ensayo (2) está ligeramente afectada debido a
que el espécimen se impregnó con aceite mineral en el punto indicado con (+), el espécimen fue limpiado y el ensayo fue reiniciado (Cristescu; 1998).
2.2.4 Humedad relativa y contenido de humedad
La Fig. 2.9 (Cristescu, 1998) muestra que la humedad relativa tiene un gran
efecto en la velocidad de la fluencia de una muestra de roca de sal. En ella se muestran
las curvas de fluencia correspondientes a 2 ensayos de compresión simple realizados a
presión y temperatura constante, con diferente humedad relativa del aire ambiente. En la
curva 1 dicha humedad relativa se varió a lo largo del ensayo, desde 0% a 65%
disminuyéndola nuevamente a 0% y aumentándola de nuevo al 65%. La curva 2
corresponde a un ensayo en la misma roca en el que la humedad relativa se mantuvo
todo el tiempo constante e igual al 43%
Como puede observarse, en el ensayo 1, el incremento escalonado de la
humedad relativa desde 0 % a 65 % produjo el incremento de la velocidad de la fluencia
secundaria en 15 veces. La misma figura muestra que el efecto es reversible, es decir,
que así como el incremento de la humedad relativa aumenta la velocidad de la fluencia,
la posterior disminución de la humedad relativa disminuye la velocidad. La variación de
esta condición además produce siempre la fluencia transitoria. Los resultados muestran
que la reacción de la roca es casi inmediata.
Capítulo 2 Estado del conocimiento
23
Fig. 2.9 Curvas tiempo – deformación de dos ensayos de fluencia en compresión simple. El espécimen (1) fue ensayado variando escalonadamente la humedad relativa del aire. El espécimen (2) fue ensayado en el
mismo equipo pero con la humedad relativa constante (Cristescu; 1998).
El efecto de la humedad se produce siempre que el agua pueda penetrar hacia el
interior de la roca. Por lo tanto puede ser observado únicamente bajo condiciones
tensionales que producen la dilatancia de la roca (Cristescu, 1998).
Los trabajos publicados por Wawersik y Brown (1973) indican que la
deformación por fluencia en granito y arenisca aumenta con el contenido de humedad
de la muestra. En los ensayos de fluencia en compresión simple la velocidad de la
fluencia secundaria de las muestras saturadas con agua fue de alrededor de dos ordenes
de magnitud mayor que la correspondiente a las muestras secadas al aire.
Afrouz y Harvey (1974) hallaron que en rocas saturadas blandas la velocidad de
fluencia se incrementaba tres veces en el caso del carbón y ocho veces en el caso del
esquisto.
2.3 Aspectos relacionados con la fluencia
2.3.1 Medida de la resistencia a largo plazo
La resistencia a largo plazo, también llamada límite de fluencia o umbral de
fluencia, ha sido definida como la máxima tensión que puede resistir la roca sin que
falle sin importar el tiempo que transcurra sosteniendo la carga (Ladanyi 1993). Según
Lama y Vutukuri (1978) esta resistencia también ha sido llamada “resistencia
Capítulo 2 Estado del conocimiento
24
fundamental” por Griggs (1936), “resistencia verdadera” por Phillips (1948), “tensión
segura en el tiempo” por Potts (1964), “resistencia a largo plazo” por Price (1966), o
“resistencia con carga sostenida” por Iyengar y otros (1967).
Hay varios métodos para determinar esta resistencia, los cuales se han agrupado
en métodos directos y métodos indirectos que se describen a continuación.
2.3.1.1 Método directo
En este método las muestras son sometidas a incrementos escalonados de las
tensiones, las cuales se mantienen constantes a lo largo del tiempo. La resistencia a
largo plazo obtenida con este método es el valor más alto de la tensión sostenida para la
cual no ocurrió la rotura de la roca a lo largo del tiempo. Los ensayos se pueden realizar
en condiciones isótropas de tensión, en cuyo caso la tensión normal octaédrica es la que
se aumenta escalonadamente.
También se pueden realizar ensayos con incrementos escalonados de la tensión
cortante octaédrica manteniendo constante la tensión normal octaédrica. Sin embargo en
la mayor parte de trabajos experimentales publicados los ensayos se ejecutan con
incrementos escalonados de la tensión desviadora manteniendo constante la tensión de
confinamiento, como se muestra en la Fig. 2.10 debida a Hamami (1196).
Fig. 2.10 Curvas de fluencia correspondientes a 2 ensayos ejecutados con incrementos escalonados de la tensión desviadora, iguales a 2.5 MPa, variando entre 2.5 MPa y 10 MPa. Presión de confinamiento
constante e igual a 5 MPa (Hamami; 1996).
Capítulo 2 Estado del conocimiento
25
La Fig. 2.11 (Cristescu, 1998) muestra otro ejemplo de la determinación de la
resistencia a largo plazo empleando este método. En este caso se trata de la
determinación de esta resistencia en compresión simple de una muestra de dolomita
(Cristescu; 1998). La resistencia a compresión simple de la muestra es de
MPac 6.166=σ y se produce fluencia estacionaria a partir de cσ7.0 . Al final se produce la
rotura debido a la fluencia terciaria.
Como muestran las dos figuras mencionadas anteriormente, este método es muy
lento y puede tardar un tiempo excesivo, motivo por el cual se utilizan en muchos casos
los métodos indirectos. Estos métodos están basados en la deformación acumulada, en
el cambio volumétrico etc. y es necesario tener en cuenta el comportamiento de otras
propiedades de la roca. Entre otros podemos destacar los que se indican a continuación.
Fig. 2.11 Curva típica de fluencia en compresión simple de una muestra de dolomita. Observese la fluencia transitoria para tensiones bajas y la fluencia estacionaria y terciaria para tensiones altas
(Cristescu; 1998).
2.3.1.2 Métodos indirectos
2.3.1.2.1 Método de la fluencia transi toria
En este método se asume que la resistencia a largo plazo es la tensión para la
cual la velocidad de la fluencia secundaria es cero.
En otras palabras, la resistencia a largo plazo según este método es la tensión
máxima para la cual la roca sufre únicamente fluencia transitoria. Este método es
ligeramente más simple que el directo pero la precisión depende de la sensibilidad del
equipamiento con el que se mida la deformación.
Capítulo 2 Estado del conocimiento
26
2.3.1.2.2 Método de la dilatancia
Según este método, en las rocas poco porosas la resistencia a largo plazo viene
identificada por el nivel de tensión a partir del cual empieza la propagación inestable de
grietas. A este umbral le corresponde el inicio del incremento de deformación
volumétrica positiva en lugar de la continuación de la disminución de esta deformación,
como sería de esperar de acuerdo con la teoría de la elasticidad.
Este concepto ha sido utilizado por Bieniawski en 1967 para explicar el
mecanismo de rotura frágil de la roca. En la Fig. 2.12 (Bieniawski, 1967) se muestra la
deformación volumétrica que se produce en un ensayo de compresión de rocas poco
porosas. En ella puede verse claramente las diferentes etapas que se producen. Cuando
la roca es sometida a tensiones bajas sus microfisuras se cierran primero, debido a la
deformación elástica. Posteriormente con tensiones mayores, la roca plastifica y tiene
lugar la propagación de las fisuras. Al principio este proceso es estable y luego tiende a
ser inestable. La tensión para la cual la propagación de las fisuras se vuelve inestable
representa el punto de inversión de la curva de deformación volumétrica. Según este
método, este punto se corresponde con el valor de la resistencia a largo plazo.
Suele ocurrir que en las rocas poco porosas ocurra un incremento significativo
del volumen previamente a la rotura de la misma, el cual se debe a la aparición de un
gran número de fisuras en todo el volumen de la muestra. Varios autores han concluido
que el daño y la rotura de la roca son progresivos y están relacionados con el mismo
mecanismo que produce la dilatancia (aumento de volumen). El daño de las muestras de
roca que lleva a la rotura un tiempo después, empieza cuando empieza el incremento
positivo de la dilatancia, almenos en las rocas poco porosas. Por lo tanto, es muy
importante determinar con bastante aproximación, en el espacio de tensiones, el punto a
partir del cual la deformación volumétrica deja de ser compresible (dilatante negativo) y
se vuelve dilatante (dilatante positivo) (Cristescu; 1993).
Sin embargo Maranini (1999) y otros publicaron un estudio experimental sobre
el comportamiento debido a la fluencia de una roca porosa llamada Pietra Leccese. Una
de sus conclusiones fue que en este tipo de rocas, la dilatancia no puede ser considerada
como un índice de daño general, como suele suceder en las rocas poco porosas, ya que
en los resultados de los ensayos de fluencia hallaron que incluso con bajas presiones de
confinamiento, en los cuales la falla se producía por el agrietamiento y no por el colapso
Capítulo 2 Estado del conocimiento
27
de la estructura de la roca, la deformación volumétrica había sido compresible (dilatante
negativa) hasta la rotura.
Para el empleo de este método es esencial medir con precisión tanto la
deformación axial como la deformación circunferencial de las muestras.
Fig. 2.12 Curva típica tensión – deformación volumétrica de un ensayo de compresión de rocas poco porosas mostrando el proceso de agrietamiento (Bieniawski; 1967).
2 .3.1.2.3 Método de la deformación crí t ica acumulada
Goodman (1980) y otros investigadores opinan que la curva completa tensión -
deformación del ensayo de compresión triaxial a corto plazo podría ser utilizada para
predecir la rotura debida a la fluencia de la roca. Como muestra la Fig. 2.13, la
trayectoria de tensión – deformación de los ensayos de fluencia son constantes
(horizontales). Si la tensión inicial en la roca es cercana a la resistencia de pico, la
fluencia terminará en la rotura cuando la deformación acumulada sea tal que intercepte
la rama post – pico de la curva completa. Por ejemplo si el ensayo de fluencia empieza
en el punto (A) terminará en la rotura en el punto (B) después de un tiempo
relativamente corto. Si el ensayo de fluencia empieza en el punto (C) terminará en la
rotura en el punto (D) después de un tiempo mayor que el anterior. Por el contrario un
ensayo iniciado en el punto (E) por debajo de la tensión crítica (U) llamada resistencia a
Capítulo 2 Estado del conocimiento
28
largo plazo tenderá al punto F después de mucho tiempo y no se producirá la rotura de
la muestra.
Según este método se podría representar sobre la curva completa tensión –
deformación del ensayo de compresión a corto plazo, las trayectorias de varios ensayos
de fluencia transitoria como por ejemplo la E-F y, determinar la resistencia a largo plazo
interceptando la curva post pico con la línea que mas se ajuste a los puntos finales de los
ensayos de fluencia transitoria (T-U).
Según este método la resistencia a largo plazo se determina empleando la
deformación longitudinal sin tener en cuenta el cambio volumétrico. Debido a que la
rotura por la fluencia es un fenómeno que depende del tiempo es muy probable que el
umbral de cambio volumétrico dilatante se dé antes con lo cual el método de la
dilatancia del apartado 2.3.1.2.2 daría un resultado mas bajo de resistencia a largo plazo.
Fig. 2.13 Fluencia y relajación con relación a la curva tensión – deformación completa del ensayo de compresión triaxial a corto plazo (Goodman; 1980).
Wawersik (1973) publicó los resultados de un estudio experimental en el que
mostró el tipo de dependencia con respecto al tiempo, que tenían las deformaciones y la
rotura de la roca.
En este estudio ensayó, en compresión simple casi estática (realizado a una
velocidad de deformación de 10-5), muestras del granito de Westerly, de la arenisca de
Nugget y del mármol de Tennessee. Estos tres tipos de roca tienen propiedades bien
definidas y presentan diferentes tipos de falla. El mármol de Tennesse es conocido por
su comportamiento dúctil posterior a la rotura, es decir de la clase I. Este
Capítulo 2 Estado del conocimiento
29
comportamiento está asociado a la pérdida gradual de resistencia durante el ensayo de
compresión axial no confinado Fig. 2.14.
Fig. 2.14 Curva del ensayo de compresión simple del mármol de Tennesse (saturado: línea continua; seco al aire: línea de trazo) (Wawersik; 1973).
Mientras que el granito de Westerly y la arenisca de Nugget ambos presentan
una rotura frágil. Con un comportamiento posterior a la rotura conocido como de clase
II, Fig. 2.15 y Fig. 2.16. La rotura en este tipo de rocas es inherentemente violenta y
conlleva a la pérdida instantánea de la resistencia, en el ensayo de compresión simple,
tan pronto como se llega a su resistencia máxima, también llamada resistencia de pico.
Fig. 2.15 Curva del ensayo de compresión simple del granito de Westerly (saturado: línea continua; seco al aire: línea de trazo) (Wawersik; 1973).
Capítulo 2 Estado del conocimiento
30
Wawersik (1973) halló en todos los casos una gran correlación entre la
deformación de rotura en el ensayo de fluencia en compresión simple ( qε ), y la
diferencia de la deformación entre la curva ascendente y descendente ( q'ε ) del ensayo
de compresión simple casi estático (realizado a una velocidad de deformación de 10-5),
Fig. 2.15. Esta correlación se muestra, para el caso del granito de Westerly, en la Fig.
2.17.
Según este autor la tensión de rotura a largo plazo o el tiempo de rotura a largo
plazo debido a la fluencia podrían ser estimados con bastante certeza resolviendo la
siguiente expresión:
( ) ( ) 0',510
=−−=
•ε
σεσε qq t (2.2)
En la que: ( )tq ,σε es la deformación de rotura por la fluencia después de
transcurrido el tiempo t durante el cual la roca está sometida a la tensión σ .
( )510
'−=
•ε
σε q es la diferencia de la deformación entre la curva ascendente y
descendente del ensayo de compresión simple casi estático (realizado a una velocidad
de deformación de 10-5) correspondiente al nivel de tensión σ .
Fig. 2.16 Curva del ensayo de compresión simple de la arenisca de Nugget (saturada: línea continua; seca al aire: línea de trazo) (Wawersik; 1973).
Capítulo 2 Estado del conocimiento
31
Fig. 2.17 Datos de la tensión – deformación de granito de Westerly (curva: diferencia de la deformación entre las curva ascendente y descendente del ensayo de compresión simple casi estático (con velocidad de
deformación igual a 10-5); círculos: inicio de la fluencia terciaria; triángulos: rotura en el ensayo de fluencia) (Wawersik; 1973).
Por lo tanto, a través de este método y conociendo la relación constitutiva
reológica de la roca, se podría determinar el tiempo t que tardará en producirse la rotura
por fluencia ya que la deformación de la rotura sería ( )σε q' .
Otra de las conclusiones que publicó Wawersik (1973) fue que para niveles de
deformación mayor al de la resistencia máxima del ensayo de compresión simple casi
estática, la configuración de las grietas en todas las muestras ensayadas era la misma
que la correspondiente a los ensayos de fluencia.
2.3.2 Deformación volumétrica
La diferencia principal entre las propiedades mecánicas de la roca y de otros
materiales es el carácter de la deformación volumétrica. Esta diferencia se debe a que la
roca posee gran cantidad de micro fisuras y/o poros. Por lo tanto las peculiaridades de la
deformación volumétrica irreversible debida a la fluencia de la roca son explicadas
principalmente a través del comportamiento mecánico de sus micro fisuras y/o poros
(Cristescu; 1993).
La deformación volumétrica, irreversible y de mayor interés, que ocurre a largo
plazo debido a la fluencia, es la que sufre la roca bajo la acción de la tensión desviadora.
Capítulo 2 Estado del conocimiento
32
En los ensayos de fluencia triaxial, normalmente, esta tensión es aplicada en la segunda
etapa del ensayo, luego de la etapa de la aplicación de la tensión isótropa en la cual
321 σσσ == . Si es que en esa segunda etapa, de aplicación de la tensión desviadora,
únicamente se incrementa la tensión vertical ( 1σ ) manteniendo constante la presión de
confinamiento ( 32 σσ = ), se incrementará simultáneamente la tensión normal octaédrica
y la tensión cortante octaédrica. Provocando que las deformaciones totales tanto
longitudinales como circunferenciales tengan componente volumétrica y de distorsión
angular. Mientras que si en esa segunda etapa de aplicación de la tensión desviadora, se
varían las tensiones de acuerdo con la relación 21 2δσδσ −= , se mantendrá constante la
tensión normal octaédrica y lo único que se incrementará será la tensión cortante
octaédrica ( 232 Joct =τ ), siendo 2J el segundo invariante del tensor desviador. Esto
provocará que las deformaciones por fluencia de la segunda etapa sean únicamente
debidas a la distorsión angular.
El primer procedimiento de ensayo descrito en el párrafo anterior permite
dibujar la curva de fluencia manteniendo la presión de confinamiento constante.
Mientras que el segundo procedimiento permite dibujar la curva de fluencia
manteniendo la presión isótropa constante. En las curvas de fluencia de la mayor parte
de los artículos consultados, la presión de confinamiento es constante. Igualmente en la
mayor parte de investigaciones publicadas se ha estudiado el efecto de la presión de
confinamiento en el comportamiento reológico de la roca, en lugar del efecto de la
presión octaédrica.
La deformación volumétrica a largo plazo depende de la porosidad de la roca y
del nivel de tensiones aplicado; tanto de la presión de confinamiento como del
desviador. Existen rocas que son esencialmente dilatantes, mientras que otras son
compresibles, hasta tensiones desviadoras muy cercanas a la de rotura.
2.3.2.1 Deformación volumétrica de las rocas poco porosas
En la Fig. 2.18 se muestra la curva tensión – deformación típica de un ensayo de
fluencia triaxial de una roca poco porosa.
De las pendientes de la curva es posible estimar las componentes y los
parámetros elásticos de la deformación. Los círculos marcan la estabilización de la
deformación por fluencia. Para tensiones desviadoras pequeñas R1σ , (relativa a la
presión de confinamiento de la primera etapa del ensayo), la deformación volumétrica
Capítulo 2 Estado del conocimiento
33
por fluencia transitoria generalmente es muy pequeña si es que se presenta, y además es
compresible. No ocurre fluencia secundaria.
Con R1σ ligeramente mayor, la deformación volumétrica inmediata es elástica y
linealmente proporcional al incremento de tensión. La deformación por fluencia
transitoria empieza a ser dilatante sin que el volumen final sobrepase el volumen inicial
de esta etapa.
Fig. 2.18 Curva típica de tensión – deformación obtenida en el ensayo de fluencia triaxial de una roca poco porosa con la presión de confinamiento constante (Cristescu; 1993).
Con tensiones desviadoras mayores, la deformación volumétrica por fluencia
transitoria puede ser compresible y con el transcurso del tiempo se vuelve dilatante.
Para tensiones mucho mayores la deformación volumétrica por fluencia
transitoria y estacionaria es únicamente dilatante.
2.3.2.2 Deformación volumétrica de las rocas porosas
La Fig. 2.19 es un ejemplo de las deformaciones volumétricas que ocurren en la
segunda etapa del ensayo de fluencia triaxial, es decir cuando se aplica la tensión
desviadora en una roca blanda. En esta figura la pendiente de la deformación inmediata
es similar incluso hasta con el desviador de rotura. Otra peculiaridad es que el cambio
volumétrico es compresible casi en la mayor parte del ensayo y es dilatante con
desviadores cercanos a la rotura pero sin sobrepasar el volumen inicial de esta etapa.
Capítulo 2 Estado del conocimiento
34
Fig. 2.19 Curva tensión - deformación de un ensayo de fluencia triaxial con un espécimen de carbón (presión de confinamiento: 2.55 MPa) (Cristescu; 1993).
Maranini (1999) y otros, publicaron un estudio experimental sobre el
comportamiento debido a la fluencia de una roca débil llamada Pietra Leccese. Esta
roca, es una biocalcarenita miocénica compuesta por 93% de calcita, 6% de micas y
esquistos y 1% de cuarzo, con una porosidad mayor que 38%. Sus principales
conclusiones fueron que:
• Con presiones de confinamiento bajas, la falla por fluencia se producía
debido a la propagación y alargamiento de las fisuras. Mientras que con altas
presiones de confinamiento la falla por fluencia se producía debido al
colapso la estructura porosa.
• Además que la fluencia reduce fuertemente el umbral y el dominio de la falla
frágil a favor del colapso Fig. 2.20.
• Finalmente y debido a que la deformación volumétrica siempre había sido
compresible, esta no puede ser considerada como un índice de daño general
como suele suceder en las rocas duras. Esto permitiría la aparición de la
fluencia terciaría de forma inadvertida ya que hasta poco antes de su
aparición el cambio volumétrico sería compresible.
Capítulo 2 Estado del conocimiento
35
Fig. 2.20 Efecto de la presión de confinamiento (número que está al lado de cada curva), en las deformaciones del ensayo de fluencia triaxial de una roca blanda, Maranini y otros (2006).
2.3.3 Fluencia de los macizos rocosos
Es aceptado que las discontinuidades del macizo rocoso gobiernan su
comportamiento por fluencia. Incluyendo como discontinuidades a las juntas, fisuras y
planos de estratificación y en general a todo tipo de anomalía estructural. Dicho de
modo más preciso, la resistencia del relleno, la forma, la rugosidad de la cara y la
orientación de la junta gobiernan este comportamiento del macizo. Desafortunadamente
Capítulo 2 Estado del conocimiento
36
hasta la actualidad hay muy pocas publicaciones de ensayos de fluencia realizados en el
campo.
Ladanyi (1993), ha publicado que Schawarts y Kolluru como resultado de sus
experimentos de fluencia realizados en juntas artificiales, consideran que la fluencia de
las mismas es un proceso que depende de la rotura por corte de los contactos de la
rugosidad de la cara de la junta. Es decir, a medida que los contactos plastifican la
tensión actuante se redistribuye entre los contactos intactos, los cuales cada vez son
menores en cantidad. Esto produce que la velocidad del deslizamiento relativo entre las
caras de la junta aumente con el transcurrir del tiempo produciendo la rotura de la junta.
Por otra parte el estado de tensiones dentro de un macizo rocoso depende de las
condiciones de contorno actuales pero también de su historia de deformaciones; por
ejemplo: movimientos tectónicos, etc. Por lo tanto solamente cuando se conozca bien
estas variables, se podrá elaborar un perfil correcto del estado de tensiones actuales.
Esto es particularmente relevante para elegir acertadamente la relación constitutiva del
medio que lo represente. También porque los efectos del tiempo pasado y de la escala
natural en los parámetros reológicos, necesarios para el estudio del comportamiento a
largo plazo y a escala natural, están fuera del alcance de los ensayos de laboratorio e
incluso de los de campo (Gunzburger y otros; 2006).
2.3.4 Formulación de la fluencia
2.3.4.1 Formulación con medios viscoelásticos lineales
Los medios viscoelásticos lineales también son llamados medios hereditarios
debido a que su respuesta a lo largo del tiempo depende también de su historia de
cargas. El origen de esta terminología está en que su relación constitutiva se formula a
través de la relación del sólido ideal elástico de Hooke y del fluido viscoso de Newton.
Los fundamentos de la teoría de la viscoelasticidad lineal han sido tratados por
numerosos autores en publicaciones del medio continuo, por ejemplo Perzyna (1962),
Fung (1965).
En notación tensorial cartesiana, la relación física entre la tensión y deformación
de este medio, cuando el movimiento empieza en 0=τ a partir de unas condiciones
iniciales de tensión, es expresada a través de la integral de convolución:
( )( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ττ
τστσε dxtJtJxtx t klijklijklkl
veij ∫
∂∂
−+= ++0
,0,, (2.3)
Capítulo 2 Estado del conocimiento
37
Siendo ( ) ( )txveij ,+ε la deformación elástica mas la deformación viscosa en la
coordenada x del medio después de transcurrido un tiempo t y ( τ−t ) de actuación de
la tensión desviadora inicial de valor constante y de cualquier otra de valor dado por una
función continua, representados en esta ecuación por: ( )+0,xklσ en el tiempo inicial 0=t
y ( )τσ ,xkl en el tiempo τ=t respectivamente. En la misma expresión ( )tJ ijkl es la
función de fluencia del medio,. Para el caso de medios viscoelásticos isótropos y
homogéneos la deformación debido al cambio volumétrico y a la distorsión angular
será:
( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )τ
ττσ
τσε dx
tJtJxtx t kkkk
vekk ∫
∂∂
−+= ++0 22
,0,, (2.4)
( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )τ
ττσ
τσε dx
tJtJxtx t ijij
veij ∫
∂
∂−+= ++
0 11
,0,, (2.5)
Siendo ( ) ( )tJytJ 21 las funciones de fluencia en distorsión angular y en cambio
volumétrico respectivamente. Las ecuaciones 2.4 y 2.5 expresan la dependencia que
tienen las deformaciones actuales, en la trayectoria de tensiones pasadas que han
producido este fenómeno; por ello el nombre de materiales “hereditarios”. Para 0<t :
0== ijij εσ y, ( )+0,xklσ es el valor de la tensión inicial cuando 0→t desde el lado
positivo del tiempo, Fig. 2.21.
Fig. 2.21 Historia de carga con saltos (Fung; 1965).
En un medio en el que se cumplen las ecuaciones anteriores, el estado inicial
elástico, es descrito por las leyes de Hooke mostradas a continuación.
KGkke
kkije
ij 3,
2σ
εσ
ε ==
Capítulo 2 Estado del conocimiento
38
Donde G y K son las constantes elásticas en distorsión angular y en cambio
volumétrico respectivamente.
Debido a que la componente elástica de la deformación es acrónica y que
depende del estado inicial y final de la tensión, esta se puede separar de la deformación
total viscoelástica, dada por las ecuaciones 2.4 y 2.5, para obtener la componente
viscosa a través de las expresiones siguientes (Perzyna; 1962):
( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ))}
,0,(0{}
,0,{, 020 22 τ
ττσ
σττ
τστσε d
xxJd
xtJtJxtx t kk
kkt kk
kkv
kk ∫∂
∂+−∫
∂∂
−+= +++
( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ))}
,0,(0{}
,0,{, 010 11 τ
ττσ
σττ
τστσε d
xxJd
xtJtJxtx t ij
ijt ij
ijv
ij ∫∂
∂+−∫
∂
∂−+= +++
Cada medio viscoelástico esta definido por sus funciones tensoriales de fluencia.
Estas funciones deben determinarse experimentalmente, dependen de la naturaleza del
medio y también deben cumplir con los principios de la termodinámica.
En notación corta, la integral de convolución expresada por la ecuación 2.3 se
escribe del siguiente modo:
klijklij dJe σ∗= (2.6)
La integral de convolución tiene las siguientes propiedades:
φψψφ dd ∗=∗ (conmutativa)
( ) ( ) θψφθψφθψφ dddddd ∗∗=∗∗=∗∗ (asociativa)
( ) θφψφθψφ ddd ∗+∗=+∗ (distributiva)
0≡∗ ψφ d implica que 0≡φ o que 0≡ψ (teorema de Titchmarsh)
En estas expresiones: φ es una función definida en el intervalo ∞<≤ t0 , ψ y θ
son funciones definidas en el intervalo ∞<<−∞ t .
La propiedad conmutativa anteriormente mencionada, permite escribir la integral
de convolución, expresada por la ecuación 2.6, del siguiente modo:
ijklklklijklij dJdJe ** σσ == (2.7)
Para medios isótropos, ijklJ es invariante con respecto a la rotación de ejes
cartesianos por lo tanto: ijlkjiklijkl JJJ == , y se puede escribir que:
( )jkiljlikklijijklJJJ
J δδδδδδ ++−
=23
112 (2.8)
Capítulo 2 Estado del conocimiento
39
Siendo 21 JyJ , funciones escalares iguales a cero para 0<<−∞ t , y
denominadas funciones de fluencia en distorsión angular y en compresión isótropa
respectivamente.
Por lo tanto para estos medios isótropos, las relaciones tensión deformación tipo
fluencia, en distorsión angular y en compresión isótropa, quedan separadas al
reemplazar la ecuación 2.8 en la 2.7. Finalmente las relaciones constitutivas de tipo
fluencia desacopladas son:
En corte: ijijij dJdJe ''' 11 σσ ∗=∗= (2.9)
En compresión isótropa:
kkkkkk dJdJe σσ ∗=∗= 22 (2.10)
Siendo: kkijijijkkijijij eeey δσδσσ31'
31' −=−=
Cuando el medio viscoelastico está compuesto por un espectro discreto finito de
elementos como sucede cuando se formula “mecanicistamente” (a través de
combinaciones de muelles y pistones), las relaciones constitutivas del medio
viscoelástico isótropo son ecuaciones diferenciales del siguiente tipo:
En corte: ∑∂∂
=∑∂∂
==
1
0
1
0''
m
kijk
k
kij
n
kk
k
k et
bt
a σ (2.11)
En compresión isótropa: ∑∂∂
=∑∂∂
==
2
0
2
0
m
kkkk
k
kkk
n
kk
k
k et
dt
c σ (2.12)
Igual que en el caso de la notación corta de las integrales de convolución, se
acostumbra escribir estas ecuaciones de la siguiente forma:
En corte: ( ) ( ) ijij eDQDP '' 11 =σ (2.13)
En compresión volumétrica: ( ) ( ) kkkk eDQDP 22 =σ (2.14)
En ellas a ( )D se le denomina operador diferencial de tiempo, y tiene el
significado siguiente: k
kk
tD
∂∂
= . Por lo tanto, 21,21 ,, QQPP son polinomios de grado
21,2,1 , mmnn en D que por equivalencia con las ecuaciones 2.11 y 2.12 representan lo
siguiente:
( ) ∑∂∂
==
1
01
n
kk
k
k taDP , ( ) ∑
∂∂
==
1
01
m
kk
k
k tbDQ , ( ) ∑
∂∂
==
2
02
n
kk
k
k tcDP , ( ) ∑
∂∂
==
2
02
m
kk
k
k tdDQ
Capítulo 2 Estado del conocimiento
40
No todo polinomio del tipo mostrado puede representar un sistema físicamente
realizable. La termodinámica y las condiciones iniciales imponen algunas restricciones.
Es importante además tener en cuenta que kkijkkij eye',,' σσ son funciones del punto
( )321 ,, xxx y del tiempo t .
Las funciones de fluencia usualmente se obtienen de la formulación
“mecanicista” del medio viscoelástico. Con esta formulación el sólido elástico de Hooke
y el fluido viscoso de Newton se representan simbólicamente con un muelle y con un
pistón respectivamente Fig. 2.22.
El muelle representa la deformación elástica del medio y es directamente
proporcional a la tensión, siendo constante esta proporcionalidad en el caso de la
elasticidad lineal. Es la parte de la deformación que es reversible inmediatamente en un
proceso de descarga.
El pistón representa la deformación dependiente del tiempo (fluencia) del medio.
Es irreversible a menos que se encuentre posicionado en paralelo con un muelle. En el
caso de un fluido newtoniano la velocidad de esta deformación es proporcional a la
tensión aplicada al medio.
Fig. 2.22 Elementos reológicos básicos de los modelos viscoelásticos lineales: a) elástico b) viscoso.
Los modelos viscoelásticos mas utilizados por los investigadores son los
mostrados en la Fig. 2.23. Para cada caso particular, comúnmente se elige el modelo
cuya respuesta se ajusta más a la respuesta experimental de laboratorio o de campo.
Sin embargo Xia-Ting y otros (2006), han publicado un método basado en
algoritmos de programación genética y de optimización de elementos dentro de un
grupo para hallar el modelo reológico mas acertado; es decir la configuración y cantidad
de los elementos elásticos y viscosos cuya respuesta se ajusta mas a la respuesta
Capítulo 2 Estado del conocimiento
41
experimental de laboratorio o de campo, así como los valores de los parámetros de cada
elemento, es decir las constantes elásticas y viscosas.
Fig. 2.23 Modelos viscoelásticos mas comúnmente utilizados para simular el comportamiento reologico de un material (Ladanyi; 1993).
Con este método, cuyo diagrama de flujo se muestra la Fig. 2.24, se formula el
modelo a través de combinaciones en serie y en paralelo de los elementos básicos
muelle y pistón (Fig. 2.25), y de mutaciones (Fig. 2.26) en lugar de elegir de entre los
modelos conocidos mostrados en la Fig. 2.23. En este método los autores utilizan la
programación genética para explorar la estructura del modelo y otro algoritmo
denominado por sus siglas en inglés PSO, para determinar las constantes de cada
elemento.
La Fig. 2.27 muestra un ejemplo de la evolución de un modelo reológico
viscoelastico durante la ejecución de este algoritmo (Xia – Ting y otros; 2006).
Capítulo 2 Estado del conocimiento
42
Fig. 2.24 Diagrama de flujo mostrando el proceso de selección del modelo reológico viscoelastico a través de la programación genética y el algoritmo CSV – PSO (Xia – Ting; 2006).
Fig. 2.25 Operación de combinación en la programación genética (Xia – Ting; 2006)
Capítulo 2 Estado del conocimiento
43
Fig. 2.26 Operación de mutación en la programación genética (Xia – Ting; 2006).
Fig. 2.27 Diferentes generaciones de la evolución del modelo constitutivo tentativo para una roca argilítica: (a) generación inicial, (b) en la tercera generación, (c) en la cuarta generación (Xia – Ting;
2006).
2 .3.4.1.1 Empleo de las transformadas de Laplace en el cálculo de la
deformación viscoelast ica
En el cálculo de la respuesta viscoelástica, está involucrada la solución de
ecuaciones diferenciales e integrales de convolución con respecto al tiempo, como se ha
mostrado en apartado anterior. Las funciones involucradas en estos problemas tienen
valores igual a cero para 0<t .
La transformada de Laplace de las ecuaciones diferenciales de un medio
viscoelástico permite pasarlas del dominio del tiempo (variable t ) al dominio de la
variable algebraica s de Laplace. Se obtienen así funciones algebraicas en s
representadas por G y K del módulo de corte y del módulo volumétrico y de sus
combinaciones, en particular del coeficiente de Poisson ν .
Capítulo 2 Estado del conocimiento
44
De este modo la solución de un problema cuasi estático (con movimiento muy
lento como para que las fuerzas de inercia sean despreciables) en un medio viscoelástico
consiste en:
• Determinar la solución del mismo problema en un medio elástico.
• Siguiendo el principio de correspondencia entre la elasticidad y la
viscoelasticidad (Fung; 1965), sustituir en la solución elástica las variables
que dependen del tiempo (cargas, corrimientos y parámetros elásticos K, G
y, ν por sus transformadas en la variable s de Laplace.
• Hallar la solución de la ecuación algebraica en el dominio de la variable s .
• Encontrar la transformada inversa de Laplace, de la solución algebraica en
s para pasar de nuevo al dominio del tiempo t .
La transformada de Laplace de una función ( )tf , está definida como:
( ){ } ( ) ( )sfdttfetfL st =∫=∞
−
0
Y la transformada inversa de ( )sf es:
( ){ } ( )tfsfL =−1
En el cálculo de la respuesta de un medio viscoelástico, son de gran utilidad las
siguientes propiedades:
a.)
( ) ( ) ( ) ( )sgsfdgtfLt
⋅=⎭⎬⎫
⎩⎨⎧
∫ −0
τττ
La expresión anterior indica que la transformada de la integral de la convolución
de las funciones ( )τ−tf y ( )τg es el producto de las transformadas de la funciones ( )tf
y ( )tg . Propiedad que sirve para convertir en ecuaciones algebraicas, en el dominio de la
variable s , las relaciones constitutivas de los medios viscoelásticos del planteamiento
integral (integrales de convolución).
b.)
( ) ( ) ( )+
=−
−−∑
∂∂
−=⎭⎬⎫
⎩⎨⎧
∂∂ 0
1 1
1
ft
ssfstft
Ln
k k
kknn
n
n
Capítulo 2 Estado del conocimiento
45
Esta propidad se aplica para convertir en ecuaciones algebraicas, en el dominio
de la variable s , las relaciones constitutivas de los medios viscoelasticos del
planteamiento diferencial (formulación mecanicista del medio).
2.3.4.1.2 Equivalencia entre el planteamiento integral y el diferencial
Empleando las propiedades mostradas en el apartado anterior, las transformadas
de las relaciones constitutivas de tipo fluencia viscoelástica, planteadas a través de las
integrales de convolución indicadas por las ecuaciones 2.9 y 2.10 son, respectivamente:
En corte: ( ) ( ) ( )ssJsse ijij '' 1 σ= (2.15)
En compresión isótropa: ( ) ( ) ( )ssJsse kkkk σ2= (2.16)
Empleando la segunda propiedad mostrada en el apartado anterior, las
transformadas de las relaciones constitutivas de tipo fluencia viscoelástica plantedas a
través de las ecuaciones diferenciales 2.13 en corte y, 2.14 en compresión isótropa son:
( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )∑ ∑∂∂
−=∑ ∑∂∂
−= =
+−
−−+
= =−
−− 1
1 1
11
1
1 1
11 0''0''
m
k
k
rijrk
rkr
kijij
n
k
k
rrk
rkr
kij et
sbsesQt
sassP σσ (2.17)
( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )∑ ∑∂∂
−=∑ ∑∂∂
−= =
+−
−−+
= =−
−− 1
1 1
12
1
1 1
12 0''0''
m
k
k
rkkrk
rkr
kkkkk
n
k
k
rrk
rkr
kkk et
sdsesQt
scssP σσ (2.18)
Siendo: ( ) ∑==
1
01
n
k
kk sasP , ( ) ∑=
=
1
01
m
k
kk sbsQ
( ) ∑==
2
02
n
k
kk scsP ( ) ∑=
=
2
02
m
k
kk sdsQ
Como se puede apreciar, los segundos términos de cada uno de los miembros de
las ecuaciones 2.17 y 2.18 son las relaciones entre los valores y sus derivadas; de la
tensión y la deformación inicial en += 0t .
Siempre que se cumplan las condiciones de que:
( ) ( )∑∂∂
∑=∑∂∂
∑=
+−
−−
=
+
=−
−−
=
k
rijrk
rkr
m
kkij
k
rrk
rkr
n
kk e
tsb
tsa
1
11
11
11
10'0'σ (2.19)
( ) ( )∑ ∑∂∂
=∑ ∑∂∂
= =
+−
−−
= =
+−
−− 2
1 1
12
1 1
1 0'0'm
k
k
rkkrk
rkr
k
n
k
k
rkkrk
rkr
k et
sdt
sc σ (2.20)
Consecuentemente, las ecuaciones diferenciales en corte y en compresión
volumétrica serán:
( ) ( ) ( ) ( )sesQssP ijij '' 11 =σ (2.21)
Capítulo 2 Estado del conocimiento
46
( ) ( ) ( ) ( )sesQssP kkkk 22 =σ (2.22)
Si se parte de condiciones iniciales nulas de tensión y desplazamiento, entonces:
( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )
( ) ( ) ,..3,2,1,00,00
00,00,00,00,00,00 ''''
==∂∂
=∂∂
=∂∂
=∂∂
====
++
++++++
nparaett
ett
yee
kkn
n
kkn
n
ijn
n
ijn
n
kkijkkij
σ
σσσ
En esta situación se cumplen las condiciones indicadas por las ecuaciones 2.19 y
2.20. Si las condiciones iniciales no son nulas no está claro que se cumple estas
igualdades. A continuación se presenta el razonamiento según el cual estas igualdades
se siguen cumpliendo cuando hay un salto en las funciones en 0=t , es decir cuando las
condiciones iniciales no son nulas.
Para el caso particular de la apertura repentina de una cavidad en un medio
viscoelástico, los valores de las tensiones y deformaciones son igual a cero en
0<<−∞ t . Sin embargo sus valores no son nulos cuando 0→t , desde el lado positivo
del tiempo. Es decir hay un salto en estas funciones, tal como se aprecia en la Fig. 2.21.
Allanando este salto del modo mostrado en la Fig. 2.28, por condición de continuidad,
las relaciones tensión deformación 2.11 y 2.12 siguen siendo válidas, en el intervalo
εε <<− t , en el que 0→ε . Estas relaciones tensión deformación aplicadas a este
intervalo son respectivamente:
En corte:
( ) ( )∑∂∂
=∑∂∂
==
N
kijk
k
kij
N
kk
k
k tet
btt
a00
,',' εεσ
En compresión isótropa:
( ) ( )εεσ ,,00
tet
dtt
cN
kkkk
k
kkk
N
kk
k
k ∑∂∂
=∑∂∂
==
En las que se han reemplazado 21,2,1 , mmnn por N que sería el mayor de ellos
en cada ecuación: Para que se cumplan todas las condiciones es posible que algunos de
los coeficientes kkkk dycba ,, se deban reemplazar por cero.
Integrando con respecto al tiempo estas ecuaciones en el intervalo ( )εε ,− se
obtiene; en corte:
( ) ( ) ( ) ( )∫+∑∂∂
=∫+∑∂∂
−=−
−
−=−
− t
ijk
N
kijk
k
k
t
ijij
N
kk
k
k debtet
bdatt
aεε
τετετετσεσ ,',',','1
1
1
01
1
1
Capítulo 2 Estado del conocimiento
47
Al tomar ε=t , teniendo presente que 0→ε , la integral desaparece y esta
expresión queda como:
( ) ( )∑∂∂
=∑∂∂
=
+−
−+
=−
− N
kijk
k
kij
N
kk
k
k et
bt
a1
1
1
11
1
0'0'σ
La cual es una de las condiciones iniciales indicadas por los segundos miembros
de la ecuación 2.17, en concreto la correspondiente a 1=r . Integraciones sucesivas
proporcionan las N igualdades. Esto significa que los segundos miembros de esta
ecuación son iguales y se anulan entre sí, quedando reducida a la ecuación 2.21:
( ) ( ) ( ) ( )sesQssP ijij '' 11 =σ
Dándole el mismo tratamiento a las relaciones tensión deformación en
compresión volumétrica la ecuación 2.18 se reduce a la ecuación 2.22:
( ) ( ) ( ) ( )sesQssP kkkk 22 =σ
Fig. 2.28 Allanamiento del salto debido a la tensión inicial.
Para que la expresión polinómica 2.15 de la formulación mecanicista del medio
viscoelástico sea equivalente a la ecuación integral de tipo fluencia se requiere que los
exponentes 11 myn de sus polinomios ( )sP1 y ( )sQ1 cumplan la condición de: 11 mn < .
Esto es necesario debido a que el polinomio del denominador debe ser de mayor grado
que el polinomio del numerador para que se pueda hallar la transformada inversa ya que
un polinomio en s , no tiene transformada inversa continua de Laplace. La transformada
inversa de s , es la función impulso ( )tδ , y de 32 sys son funciones singulares de orden
Capítulo 2 Estado del conocimiento
48
mayor. Ello quiere decir que serán funciones impulso o Delta de Dirac de orden
superior.
Por lo tanto si 11 mn ≤ , por equivalencia entre la integral de convolución 2.15 y la
relación constitutiva diferencial 2.21, la expresión polinómica de la transformada de
Laplace de la función de tipo fluencia, en corte, será:
( ) ( )( )sQssP
sJ1
11 =
A través de un tratamiento similar, se halla la equivalencia en compresión
isótropa. Haciendo la equiparación de la transformada de Laplace de la relación
constitutiva del planteamiento diferencial en compresión isótropa 2.22 con la relación
constitutiva 2.16 del planteamiento integral, se halla la expresión polinómica de la
transformada de Laplace de la función de tipo fluencia en cambio volumétrico:
( ) ( )( )sQssPsJ
2
22 =
Esta equivalencia permite expresar la transformada de las funciones de
influencia de tipo fluencia con polinomios de la variable s , hallar la solución algebraica
en esta variable y a través de la transformada inversa volver al dominio del tiempo.
Muchos investigadores han utilizado relaciones constitutivas viscoelásticas
lineales para resolver problemas relacionados con la fluencia de las rocas. Sin embargo
casi todos ellos han asumido que el medio es incompresible o que el cambio
volumétrico es compresible elásticamente. Con lo cual han descartado el cambio
volumétrico compresible irreversible y el cambio volumétrico dilatante irreversible, que
sucede en algunas rocas durante la ocurrencia de este fenómeno.
Las relaciones viscoelásticas han sido muy utilizadas en el desarrollo de
proyectos de obras subterráneas. En esos casos, normalmente, han sido formuladas en
tensiones relativas, empleando como referencia el estado de tensiones de la roca antes
de la excavación.
2.3.4.2 Formulación con medios elasto/viscoplásticos lineales
Aunque la viscoplasticidad aun no puede ser considerada como una teoría en su
forma definitiva, su empleo está bastante extendido en el estudio de la fluencia de las
rocas. Al igual que los medios viscoelásticos, estos medios también son hereditarios.
Por lo tanto la deformación depende de la trayectoria de las tensiones y del tiempo
Capítulo 2 Estado del conocimiento
49
transcurrido. La ecuación constitutiva general de estos medios, aplicada específicamente
a la roca es la siguiente (Cristescu; 1998):
( )( )
( ) ( )σ
τσσ
τστσ
σσε∂
∂+
∂∂
−++=
••• ,,
,1
32SkF
HtWk
KG ST (2.23)
Siendo: icaviscoplastelasica •••
+= εεε , K y G el módulo volumétrico y de corte
respectivamente, σ la tensión equivalente del tensor desviador, σ la tensión normal
octaédrica, Tk y ( )τσ ,F el coeficiente de viscosidad y el potencial viscoplástico ambos
de la fluencia transitoria, ( )τσ ,H la función de plastificación, ( )τσ ,S y Sk el potencial
viscoplastico y el coeficiente de viscosidad de la fluencia secundaria. Finalmente ( )tW
es el trabajo o energía por unidad de volumen almacenada en la roca al comprimirse
plásticamente con el transcurso del tiempo y/o liberada al dilatarse; ambas durante la
etapa de la fluencia transitoria.
En esta relación constitutiva la velocidad de la deformación elástica esta dada
por los dos primeros términos. El tercer término proporciona la velocidad de la
deformación irreversible de la fluencia transitoria y el último término, la velocidad de la
deformación irreversible de la fluencia secundaria o permanente. De acuerdo con las
hipótesis de su autor, esta expresión es válida para el estudio de la fluencia de la roca
con las condiciones siguientes:
a.) Rocas isótropas y homogéneas. Las funciones constitutivas dependen
únicamente de los invariantes de tensiones y deformaciones, de la historia de
las tensiones y adicionalmente de un parámetro de daño, el cual tiene en
cuenta la deformación plástica total sufrida por la roca. Los invariantes
utilizados son:
La tensión normal octaédrica: ( )32131 σσσσ ++=
La tensión equivalente σ :
13322123
22
21 σσσσσσσσσσ −−−++=
La tensión de corte octaédrica τ : 2/1
'32
32
⎟⎠⎞
⎜⎝⎛== σστ II
Siendo: '')2/1(' σσσ =II el segundo invariante del tensor desviador.
Capítulo 2 Estado del conocimiento
50
b.) Desplazamientos y rotaciones pequeñas, de modo que los términos no
lineales son despreciables al compararlos con los lineales, y las
deformaciones elásticas y viscoplásticas (irreversibles) se pueden sumar:
lesirreversibe •••
+= εεε
c.) La componente elástica de la velocidad de deformación e•
ε está dada por:
KG
e
32
•••
+=σσε
Siendo: G el módulo de corte y K el módulo volumétrico, σ la tensión
equivalente del tensor desviador y σ la tensión normal octaédrica.
d.) La componente irreversible de la velocidad de la deformación leirreversib•
ε está
dada por la suma del tercer y cuarto término de la ecuación 2.23, en el caso
en que es necesario representar ambas etapas de la fluencia (transitoria y
estacionaria). Si solamente es necesario representar la fluencia transitoria,
está dada por el tercer término.
e.) La tensión de plastificación se puede considerar igual a cero. Es decir que
tan pronto como se somete la muestra a un estado tensional superior al que
tenía en las condiciones iniciales de campo se producen deformaciones
plásticas irreversibles; las cuales van siendo significativas con el transcurso
del tiempo y en función de la sobre-tensión con relación a la condición
inicial de campo.
f.) Esta relación constitutiva es válida en el espacio de tensiones dentro del
dominio limitado por la superficie de falla a corto plazo; la misma que
debería ser incorporada en la ecuación constitutiva.
En la relación constitutiva 2.23 la fluencia transitoria es descrita con el término:
( )( )
( )σ
τστσ
ε∂
∂−=
• ,,
1 FH
tWkT
I
T (2.24)
Siendo: ( )τσ ,H una función denominada de plastificación que es igual al
contorno de estabilización de la fluencia transitoria. La misma que es la ecuación del
estado de tensiones al final de la fluencia transitoria cuando finaliza la deformación
Capítulo 2 Estado del conocimiento
51
debido a esta etapa, esto quiere decir cuando: 0=• I
Tε siempre que 0=•
σ . El contorno de
estabilización depende de la historia de las tensiones con:
( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )TWTWdttdttdttTW DvT I
TT I
TvT
I
T +=∫+∫=∫=•••
000 '' εσεσεσ (2.25)
Por lo tanto la historia de tensiones está envuelta en ( )TW la cual es una variable
de estado de la roca durante la fluencia. Si la tensión es constante, como ocurre en las
pruebas de fluencia, ( )TW se incrementa con el tiempo y ( ) ( )τσ ,HTW → y se alcanza el
equilibrio cuando: ( ) ( )τσ ,HTW = .
En la ecuación 2.24 a ( )σF se le denomina potencial viscoelástico, el cual
controla la orientación de: I
T•ε . Cuando ( )σF coincide con ( )τσ ,H , la ecuación
constitutiva está asociada a la función plástica. En la mayor parte de los casos no está
asociada.
Alternativamente la ecuación 2.24 podría ser escrita empleando el tensor de
orientación de la velocidad de deformación viscoplástica ( )σN , del siguiente modo
(Cazacu; 1995):
( )( ) ( )σ
τσε N
HtWkT
I
T,
1−=•
(2.26)
Los factores ( )σ∂∂ /FkT o ( )σNkT pueden ser considerados de algún modo
equivalente a los coeficientes de viscosidad.
De acuerdo con la ecuación constitutiva 2.23 y la Fig. 2.29, durante la carga del
medio la deformación puramente elástica se produce hasta llegar al estado inicial de
tensiones de campo de la roca, ( ) Pt σσ =0 y en los procesos de descarga. Además en este
estado inicial ( )( ) PWtH =0σ con ( )0tWW P = , tan pronto como se sobrecarga la muestra,
se produce también la deformación viscoplástica.
En los procesos de carga desde ( )0tσ hasta ( ) ( )0tt σσ ≠ con 0tt > :
( )( ) ( )( )0tHtH σσ > son posibles los tres casos siguientes, dependiendo de cual de las
inecuaciones se satisfaga en el nuevo estado de tensiones:
001 >∂∂
>⋅∂∂
σσFóF compresibilidad
001 =∂∂
=⋅∂∂
σσFóF límite compresibilidad/dilatancia
Capítulo 2 Estado del conocimiento
52
001 <∂∂
<⋅∂∂
σσFóF dilatancia
Siendo: 1 el tensor unitario. σσ ∂
∂=⋅
∂∂ FF 1 debido a que F depende de los
invariantes de tensiones.
Fig. 2.29 Dominios de compresibilidad, dilatancia y elasticidad de la relación constitutiva elasto/viscoplástica. La línea gruesa es el límite entre la compresibilidad y la dilatancia 0/ =∂∂ σF . La
rotura depende de la velocidad de carga (Cristescu; 1998).
Por lo tanto el cambio volumétrico esta gobernado por la orientación de la
normal a la superficie ( )σF = constante, en el punto que representa el estado actual de
tensiones. Si la proyección de esta normal sobre el eje de la tensión normal octaédrica
σ señala hacia la dirección positiva de este eje, el estado actual de tensión produce el
cambio volumétrico compresible y en el caso contrario produce el cambio volumétrico
dilatante. Donde esta normal es ortogonal al eje de la tensión normal octaédrica no hay
Capítulo 2 Estado del conocimiento
53
cambio volumétrico irreversible, por lo tanto el comportamiento volumétrico es elástico
(Fig. 2.29).
En la relación constitutiva 2.23, la velocidad de la deformación debido a la etapa
de la fluencia estacionaria se expresa con el término:
σ
ε∂∂
=• Sk S
I
S
Siendo: ( )σS el potencial viscoplástico. El cambio volumétrico descrito por este
termino es nulo o dilatante. Solamente el término de la fluencia transitoria, ecuación
2.24 puede describir un cambio volumétrico compresible.
2.3.4.2.1 Límite entre la compresibil idad y la dilatancia
Este límite es el lugar en el plano de tensiones ( )σσ , o ( )τσ , donde el
comportamiento del cambio volumétrico de la roca pasa de ser compresible a dilatante y
por lo tanto: 0=• I
vε . Los parámetros que particularizan su ecuación se obtienen a partir
de los resultados de los ensayos triaxiales a corto plazo.
En el caso de los triaxiales clásicos ( 2σ es constante, por lo tanto: τσ −2 es
constante) este límite es el punto de la curva ( )Rv
R εσ ,1 para el cual la pendiente su
tangente es igual al módulo volumétrico elástico ( K ) ya que:elasticoR
v
R
K••
= εσ 1 . Dado que
en estos ensayos la tensión octaédrica normal varía cuando varía σσσσ =−= 211R ,
manteniendo la presión de confinamiento ( 2σ ) constante. Por lo tanto también varía la
parte elástica del cambio volumétrico. El superíndice R significa “relativo”, es decir
que las tensiones y deformaciones son medidas con respecto al estado final de la parte
hidrostática de la prueba. Por lo tanto estas medidas corresponden únicamente a las de
la segunda etapa del ensayo en donde actúa la tensión desviadora.
En el caso de los ensayos triaxiales en los que σ se mantiene constante mientras
varía τ en la etapa desviadora, el paso del cambio volumétrico compresible a dilatante
ocurre cuando la pendiente de la tangente a la curva ( )τε ,v es vertical, ya que al no
variar la tensión normal octaédrica tampoco hay variación de la deformación
volumétrica elástica (Fig. 2.30).
Capítulo 2 Estado del conocimiento
54
Fig. 2.30 Influencia de la tensión cortante octaédrica sobre el cambio volumétrico de una muestra de roca de sal durante los ensayos triaxiales ejecutados con la tensión normal octaédrica constante (Cristescu;
1994).
La ecuación del límite entre el cambio volumétrico compresible y dilatante es de
la forma:
( ) ( ) 0,0, =′= τσσσ XoX
Se halla ajustando los resultados experimentales a expresiones empíricas.
Algunas de estas expresiones son de la forma:
( ) 0, =+⎟⎟⎠
⎞⎜⎜⎝
⎛−=
∗∗ σσ
σσσσ fX
nm
Se emplea con los resultados de ensayos triaxiales clásicos ( )2σ constante,
siendo: m, n y f constantes positivas y MPa1=∗σ .
Por ejemplo, para el caso de una muestra de roca de sal, la ecuación del límite
hallada por Cristescu (1998), Fig. 2.31, ha sido:
( ) 0, 2
2
1 =+⎟⎟⎠
⎞⎜⎜⎝
⎛+−=
∗∗∗ σσ
σσ
σττσ ffX
Capítulo 2 Estado del conocimiento
55
Deducida de los resultados de ensayos triaxiales (con tensión normal octaédrica
constante) y siendo: 01697.01 −=f , 8996.02 =f , y MPa1=∗σ .
Fig. 2.31 Límite entre el cambio volumetrico compresible y dilatante de una muestra de roca de sal (Cristescu; 1998).
El límite de cambio volumétrico compresible/dilatante pasa por 0,0 == τσσ
(Fig. 2.32). Por lo tanto; ( ) 00,0 =σX . De acuerdo con esta formulación de la fluencia
( ) 00, =σX para 0σσ ≥ ya que 0σ es la menor presión normal octaédrica que cierra las
fisuras. Por lo tanto la muestra de roca sometida a estados de tensiones con 0σσ > es
incompresible o dilatante. El límite o contorno compresible/dilatante, como muestra la
Fig. 2.32, es una franja pero para simplificar la relación constitutiva se expresa como
una curva en el plano de tensiones.
Fig. 2.32 Dominios de cambio volumétrico compresible, incompresible y dilatante (Cristescu; 1998).
Las rocas poco porosas (Apartado 2.3.2.1) son ligeramente compresibles o no
compresibles. En esos casos se suele tener en cuenta únicamente dos dominios de la
deformación irreversible: el incompresible y el dilatante. Sin embargo las rocas porosas
(Apartado 2.3.2.2), son compresibles hasta estados de tensión cercanos a la rotura.
Capítulo 2 Estado del conocimiento
56
Puede darse el caso de que estas rocas en estados de tensión hidrostática alta cambien su
comportamiento compresible por el de colapso de su estructura porosa dependiendo del
estado de tensiones (Fig. 2.33).
Fig. 2.33 Dominios: compresible, dilatante y de colapso de rocas muy porosas (Cristescu; 1998).
2 .3.4.2.2 La superficie de rotura a corto plazo
La ecuación de la superficie de rotura a corto plazo está escrita en términos de
los invariantes de tensiones, teniendo en cuenta que la relación constitutiva del medio
elasto/viscoplástico es válida para roca isótropa. Aquí se expresa como:
( ) 0, 0
6
=++⎟⎟⎠
⎞⎜⎜⎝
⎛−−=
∗∗∗ σστ
στ
σττσ srY
Siendo: r , s y 0τ constantes positivas determinadas mediante el ajuste de datos
experimentales y MPa1=∗σ . La Fig. 2.34 muestra los resultados de ensayos triaxiales
clásicos ejecutados en muestras de roca y el ajuste obtenido con la ecuación empírica
anterior con los coeficientes 91.0=r , 810025.1 −= xs y 82.10 =τ .
Fig. 2.34 Superficie de rotura a corto plazo para roca de sal (Hunsche; 1992).
Capítulo 2 Estado del conocimiento
57
2.3.4.2.3 La función de plast if icación
La relación constitutiva de la etapa transitoria de la fluencia (ecuación 2.24)
describe ambos; el cambio volumétrico y el cambio de forma.
Fig. 2.35 Influencia de la historia de tensiones sobre el contorno de estabilización (Cristescu; 1998).
Cuando la roca se carga en un tiempo 0t , posteriormente, para el tiempo 0tt >
resulta: ( ) ( )( ) ( )0, tWttH >τσ y aumenta la deformación irreversible de acuerdo con la
ecuación 2.24. En el caso del ensayo de fluencia, ( )tW crece con el tiempo y
( ) ( )τσ ,HtW → hasta que: ( ) ( )τσ ,HtW = . Por lo tanto a ( )τσ ,H se le llama también
contorno de estabilización y depende de la trayectoria de tensiones (Fig. 2.35). Esta
figura muestra que el contorno de estabilización no es único. El segundo contorno se ha
hallado con escalones de carga que son el doble de los empleados en el primero.
Debido a que en los ensayos triaxiales clásicos, la etapa desviadora del ensayo se
ejecuta a presión de confinamiento constante, ( ==− 22/ στσ constante), la tensión
octaédrica normal y la tensión octaédrica de corte varían en esta etapa. Por lo tanto la
función de plastificación es de la forma:
( ) ( ) ( )τσστσ ,, DH HHH += (2.27)
Siendo los subíndices “H” y “D” descriptores de la componente hidrostática y
desviadora.
( )σHH se determina con los datos de la etapa isótropa del ensayo triaxial y es de
la forma:
( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )K
TdtttTWTW H
VHT
HHHV 2022
0σσ
εσ−
−∫==•
Capítulo 2 Estado del conocimiento
58
Siendo el último término la parte elástica. El resultado es la parte volumétrica
del contorno de estabilización o función plástica:
( ) ( )tWH VH =σ
Fig. 2.36 Variación de VW con σ de una roca de tiza (Shao y Henry; 1990).
La figura Fig. 2.36 muestra la variación típica de VW de una roca porosa.
Conforme la presión hidrostática aumenta VW tiende a ser constante. Este resultado
representa además el contorno de estabilización o función plástica ( )σHH .
( )σHH se obtiene ajustando los resultados a funciones empíricas. Por ejemplo
para la roca de la Fig. 2.36, Cristescu (1998) ha obtenido:
( ) ( )[ ]⎩⎨⎧
≥+<++−
=MPasihhMPasihsh
H H 55:55:sin
10
110
σσϕσω
σ
Con MPah 31.20 = , MPah 35.21 = , 1641.4 −= MPaω , MPas 161 = , º90−=ϕ . Esta
función también puede ser aproximada con polinomios, con la condición de que a partir
de 0σ tenga el valor constante.
( )τσ ,DH se determina en la segunda etapa de los ensayos triaxiales (etapa
desviadora). La expresión de ( )tWD si esta etapa se realiza con
2/constante22 τσσσ −=== es:
( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )
( ) ( ) ( ) ( ) ( )[ ]211112
112211
91
31
21
61
912
91
312
TKG
dttTTGK
T
TKG
TTTTTTW
RR
THT
RRH
RH
RH
RHD
σεσσσ
σσεσεσ
⎥⎦⎤
⎢⎣⎡ +−∫+⎥⎦
⎤⎢⎣⎡ −−
⎥⎦⎤
⎢⎣⎡ +−+=
•
Capítulo 2 Estado del conocimiento
59
El superíndice “R” se refiere a que la magnitud está medida con relación a su
valor al final de la etapa hidrostática.
La figura Fig. 2.37 muestra la dependencia que DW tiene de τ , para varias
presiones hidrostáticas.
Fig. 2.37 ( )τσ ,DW de varios ensayos ejecutados con σ constante empleando muestras de roca de sal; Cristescu (1998).
Como ejemplo para este caso el ajuste hallado por Cristescu (1998) es:
( ) ( ) ( ) ( ) ⎟⎟⎠
⎞⎜⎜⎝
⎛+⎟⎟
⎠
⎞⎜⎜⎝
⎛+⎟⎟
⎠
⎞⎜⎜⎝
⎛=
∗∗∗ στσ
στσ
στστσ CBAH D
314
,
Siendo: ( )6
21
⎟⎟⎠
⎞⎜⎜⎝
⎛+=
∗σσ
σa
aA , ( ) 21 bbB +⎟⎟⎠
⎞⎜⎜⎝
⎛=
∗σσσ , ( )
3
31
2
c
ccC
+⎟⎟⎠
⎞⎜⎜⎝
⎛+=
∗σσ
σ , y con:
MPaxa 211 107 −= , MPaxa 12
2 1073.6 −= , 161 1057.1 −−= MPaxb , 15
2 107.1 −−= MPaxb ,
MPac 12.261 = , MPac 00159.02 −= , MPac 31343 = , MPa1=∗σ . Los resultados predichos con
esta expresión se muestran en la figura anterior con la línea de trazos.
La forma de =H constante depende principalmente de si la roca es compresible
únicamente o de si también es dilatante.
La Fig. 2.38 muestra el resultado de una roca compresible y la Fig. 2.39 el de
una roca compresible/dilatante. En casos como estos se debe utilizar una ecuación
constitutiva no asociada debido a que el límite compresible/dilatante es muy distinto
que 0/ =∂∂ σH .
Capítulo 2 Estado del conocimiento
60
Fig. 2.38 Funciones de plastificación H=constante para esquisto (Cazacu; 1995).
Fig. 2.39 Funciones de plastificación de la roca de sal. El contorno compresible/dilatante es muy distinto de 0/ =∂∂ σH (Cristescu; 1998).
2 .3.4.2.4 El potencial viscoplast ico de la parte transi toria
En la ecuación constitutiva 2.24, al igual que la función de plastificación o
contorno de estabilización ( )σσ ,H , F también depende del primer y segundo invariante
de tensiones. Por lo tanto:
σσ
σσσ ∂∂
∂∂
+∂∂
=∂∂ FFF
31
Para ( ) ( )tWH >τσ , de la relación constitutiva de la etapa transitoria de la fluencia
resulta:
( )
( )σσ
εσ
,1
HtW
Fk
I
VT
−=
∂∂
•
(2.28)
Capítulo 2 Estado del conocimiento
61
( )
( )σσ
εεεεεε
σ,
132
2
13
2
32
2
21
HtW
Fk
I
T
I
T
I
T
I
T
I
T
I
T
T
−
⎟⎟⎠
⎞⎜⎜⎝
⎛−+⎟⎟
⎠
⎞⎜⎜⎝
⎛−+⎟⎟
⎠
⎞⎜⎜⎝
⎛−
=∂∂
••••••
(2.29)
En el caso del ensayo triaxial clásico resulta:
( )
( )σσ
εε
σ,
132
21
HtW
Fk
I
T
I
T
T
−
⎟⎟⎠
⎞⎜⎜⎝
⎛−
=∂∂
=
••
El coeficiente viscoplastico Tk se determina simultáneamente junto con el
potencial viscoplastico σ∂∂ /F a partir de los datos del ensayo siguiendo los tres pasos
siguientes:
En el primer paso se determina σ∂
∂F para 0=σ utilizando la ecuación 2.28 y los
datos de los ensayos para la estimación de I
V•ε obteniendo:
( )σϕσσ σ
=∂
∂=
∂∂
=
HTT
FkFk
0
(2.30)
La función ( )σϕ se determina en el intervalo 00 σσ ≤≤ y cumple la condición
( ) 00 =σϕ . Por su definición a partir de la expresión anterior y de la ecuación 2.28,
( ) 0=σϕ también para 0σσ ≥ ya que 0=• I
Vε para estos valores, pues se supone que el
cambio volumétrico es elástico.
La Fig. 2.40 muestra el resultado hallado para una muestra de roca de sal,
Cristescu y Hunsche (1992). Para este caso, estos autores han ajustado los resultados
con la función siguiente:
( ) ( )⎪⎩
⎪⎨⎧
≥<−
=0
02
2
:0:
σσσσσσ
σϕsisiqq
En el segundo paso se determina σ∂∂ /F para 0≠σ . Esta función es positiva en
el dominio de la compresibilidad y negativa en el dominio de la dilatancia. También
tiende hacia menos infinito cuando el estado de tensiones está próximo a la superficie de
rotura a corto plazo.
Capítulo 2 Estado del conocimiento
62
Fig. 2.40 Determinación de la derivada σ∂∂ /F a partir de ensayos triaxiales hidrostáticos; Cristescu y Hunsche (1992).
Por lo tanto:
( )σσσ
,,,YXGFkT =∂∂ (2.31)
Siendo: X el límite entre la compresibilidad y la dilatancia e Y la superficie de
rotura a corto plazo. La función de la ecuación 2.31 tiene las siguientes propiedades:
( ) ( )σϕσσσ σ
==∂∂
=
,,,0
YXGFkT (Etapa hidrostática)
( ) 0,,,0
>=∂∂
>
σσσ σ
YXGFkT (Cambio volumétrico compresible)
( ) 0,,,0
==∂∂
>
σσσ σ
YXGFkT (Limite compresible/dilatante)
( ) 0,,,0
<=∂∂
>
σσσ σ
YXGFkT (Cambio volumétrico dilatante)
( ) −∞→=∂∂
>
σσσ σ
,,,0
YXGFkT (Rotura)
La función propuesta que cumple con estas condiciones es:
( ) ( )( ) ( )[ ]σσσ
σσσσσ
σ+
Ψ=
∂∂ G
YXFkT ,
, (2.32)
ó
( )[ ] ( )( ) ( )[ ]σσσ
σσσ
σσσ
+Ψ
=∂∂
21
,, G
YsignXFkT (2.33)
Capítulo 2 Estado del conocimiento
63
La parte hidrostática de estas ecuaciones es igual a ( )σϕ de la ecuación 2.30, por
lo tanto ( )σΨ o ( )σ1Ψ se valoran con:
( ) ( )( ) ( ) ( )[ ] ( )
( ) ( )σϕσ
σσσσϕ
σσσσ =
Ψ=
Ψ0,
0,0,
0, 1
YsignXó
YX
La función ( ) ( )σσ 2GóG se valora con los resultados del ensayo de fluencia y
teniendo en cuenta que:
( )
( )( )
( ) ( )( ) ( )[ ]σσσ
σσσσσ
σσσ
σε+
Ψ=
∂∂
=−
−
••
GY
XFk
HtWK
tT
V
,,
,1
ó
( )
( )( )
( )[ ] ( )( ) ( )[ ]σσσ
σσσ
σσσ
σσ
σε+
Ψ=
∂∂
=−
−
••
21
,,
,1
GY
signXFk
HtWK
tT
V
En el tercer paso la σ∂∂ /F se determina integrando la ecuación 2.32 ó 2.33 con
respecto ha σ , para obtener:
( ) ( ) ( ) ( ) ( )σσσσσσσσσ gFgdYXGFkT +=+∫= ,,,,, 1
Derivando la ecuación anterior con respecto ha σ y combinando el resultado
con la ecuación 2.29 se obtiene:
( ) ( ) ( ) ( ) ( )σσ
σσσ
σσ
σσσ
σσ∂
∂+
∂∂
=∂
∂+=
∂∂ gFgYXGFkT
,,,,, 1
Para el caso del ensayo triaxial con =σ constante resulta:
( )( )
( )
( )σ
σσ
σσ
εεεεεε
σσ
∂∂
−−
⎟⎟⎠
⎞⎜⎜⎝
⎛−+⎟⎟
⎠
⎞⎜⎜⎝
⎛−+⎟⎟
⎠
⎞⎜⎜⎝
⎛−
=∂
∂
••••••
,
,1
32 1
2
13
2
32
2
21F
HtW
g
I
T
I
T
I
T
I
T
I
T
I
T
(2.34)
En el caso del ensayo triaxial clásico =2σ constante resulta:
( )( )
( )
( )σ
σσ
σσ
σσεε
σσ
∂∂
−−
−−⎟⎟
⎠
⎞⎜⎜⎝
⎛−
=∂
∂
••••
,
,1
232 1
2121
F
HtW
Gg
I
T
I
T
Capítulo 2 Estado del conocimiento
64
La Fig. 2.41 muestra los resultados obtenidos con la fórmula 2.34 a partir de las
mediciones de los ensayos de muestras de roca de sal realizados por Hunsche y el ajuste
obtenido mediante la fórmula empírica siguiente:
( )4
22
10 42 ⎟⎟
⎠
⎞⎜⎜⎝
⎛+⎟⎟
⎠
⎞⎜⎜⎝
⎛+=
∗∗∗ στ
στ
σττ
gggg
Con: segMPag /01.00 = , segMPaxg /105.6 51
−= , segMPaxg /109.5 62
−= .
Fig. 2.41 Determinación de la función τ∂∂ /g , la línea de trazos es la predicción; Cristescu (1998).
2 .3.4.2.5 El potencial viscoplást ico de la parte estacionaria
En la relación constitutiva 2.23 la velocidad de la deformación por fluencia
(irreversible) es la suma de la parte transitoria y de la parte estacionaria:
( )( ) σστσ
εεε∂∂
+∂∂
−=+=••• SkF
HtWk sT
I
S
I
T
I
,1 (2.35)
En esta relación el potencial viscoplástico S depende de los invariantes de
tensiones únicamente y describe el cambio de forma y el cambio volumétrico de la
fluencia secundaria o estacionaria; el mismo que es incompresible o dilatante. Por lo
tanto:
⎥⎦⎤
⎢⎣⎡
∂∂
∂∂
+∂∂
∂∂
=∂∂
=•
στ
τσσ
σσε SSkSk Ss
I
S (2.36)
De la relación constitutiva 2.35, el cambio volumétrico irreversible es:
( )( ) σστσ
ε∂∂
+∂∂
−=• SkF
HtWk sT
I
V,
1 (2.37)
Capítulo 2 Estado del conocimiento
65
De la misma relación, el cambio de forma irreversible cuando la etapa
desviadora del ensayo se ejecuta con =σ constante es:
( )( ) τττσ
εεεεεε∂∂
+∂∂
−=⎟⎟⎠
⎞⎜⎜⎝
⎛−+⎟⎟
⎠
⎞⎜⎜⎝
⎛−+⎟⎟
⎠
⎞⎜⎜⎝
⎛−
•••••• SkFH
tWk sT
IIIIII
,1
2
13
2
32
2
21 (2.38)
Cuando la fase desviadora se ejecuta con =2σ constante, el cambio de forma
irreversible es:
( )( ) τττσ
εε∂∂
+∂∂
−=⎟⎟⎠
⎞⎜⎜⎝
⎛−
•• SkFH
tWk sT
II
,12 21 (2.39)
En el dominio del cambio volumétrico compresible donde 0>X (apartado
2.3.4.2.1) la velocidad de la deformación volumétrica irreversible de la etapa
estacionaria es cero. En el dominio de la dilatancia, donde 0<X , es posible el cambio
volumétrico dilatante junto con el cambio de forma irreversibles debido a la fluencia
estacionaria (Fig. 2.42).
Por lo tanto la función empírica de este potencial ( )τσ ,S tiene las siguientes
condiciones:
⎪⎩
⎪⎨
⎧
≥
<⎟⎟⎠
⎞⎜⎜⎝
⎛⎟⎟⎠
⎞⎜⎜⎝
⎛=
∂∂
=∗∗
•
00
0
Xsi
XsibSk
nm
SS
I
V σσ
στ
σε (2.40)
Donde el coeficiente 0<b . Utilizando la fórmula 2.37 junto con la 2.40 y los
resultados de la deformación volumétrica por fluencia, en el dominio de la dilatancia, se
hallan los coeficientes b , m y n respectivamente.
Fig. 2.42 Dominios de la dilatancia y la compresibilidad (Cristecu; 1998).
Capítulo 2 Estado del conocimiento
66
Empleando la formula 2.38 ó 2.39, los resultados de la deformación angular por
fluencia del dominio completo, (dominio compresible y dominio dilatante), junto con
una de las ecuaciones siguientes (la correspondiente al estado de tensiones del ensayo
de fluencia), se halla la función 'Q .
⎩⎨⎧
≤≤
≥⎟⎟⎠
⎞⎜⎜⎝
⎛+⎟⎟
⎠
⎞⎜⎜⎝
⎛+⎟⎟
⎠
⎞⎜⎜⎝
⎛+
=∂∂
∗∗
+
∗
−
∗ ma
mnm
S y
ósiQ
nbmSk
ττσσ
ττσσ
τσσ
στ
τ1'
1
11
⎩⎨⎧
≤≤
≤⎟⎟⎠
⎞⎜⎜⎝
⎛+
⎟⎟⎠
⎞⎜⎜⎝
⎛+⎟⎟
⎠
⎞⎜⎜⎝
⎛⎟⎟⎠
⎞⎜⎜⎝
⎛+⎟⎟
⎠
⎞⎜⎜⎝
⎛⎟⎟⎠
⎞⎜⎜⎝
⎛+
=∂∂
∗∗
∗∗∗∗
+
∗
−
∗
ba
m
na
mna
m
S
ysiQ
ffbnbmSk
σσσ
ττσσ
τ
στ
σσ
στ
σσσ
στ
τ
1'
41
2/1
12
2
11
⎩⎨⎧
≥
≤⎟⎟⎠
⎞⎜⎜⎝
⎛+
⎥⎥⎦
⎤
⎢⎢⎣
⎡⎟⎟⎠
⎞⎜⎜⎝
⎛+⎟⎟
⎠
⎞⎜⎜⎝
⎛⎟⎟⎠
⎞⎜⎜⎝
⎛+⎟⎟
⎠
⎞⎜⎜⎝
⎛
−⎥⎥⎦
⎤
⎢⎢⎣
⎡⎟⎟⎠
⎞⎜⎜⎝
⎛+⎟⎟
⎠
⎞⎜⎜⎝
⎛−⎟⎟
⎠
⎞⎜⎜⎝
⎛⎟⎟⎠
⎞⎜⎜⎝
⎛+
=∂∂
∗∗∗∗
−
∗∗∗
+
∗
+
∗
+
∗
−
∗
b
mn
bn
am
nnb
na
m
S
ysiQffb
nbmSk
σσ
ττσσ
τσσ
σσ
στ
στ
σ
σσ
σσ
σσ
στ
τ
1'4
1
2/1
12
2
1111
Estas ecuaciones se hallan integrando, con respecto a σ (τ fijo), la ecuación
2.40 distinguiendo los tres casos correspondientes a las tres regiones mostradas en la
Fig. 2.43 y luego derivándolas con respecto a τ .
Fig. 2.43 Notación y regiones utilizadas para la determinación de la función S; Cristescu (1998).
El significado de mτ , aσ y bσ empleados en las ecuaciones anteriores es
mostrado en la Fig. 2.43. Para el caso particular del límite compresible/dilatante
expresado de la forma mostrada en el apartado 2.3.4.2.1:
Capítulo 2 Estado del conocimiento
67
( ) 0, 2
2
1 =+⎟⎟⎠
⎞⎜⎜⎝
⎛+−=
∗∗∗ σσ
σσ
σττσ ffX
Expresión en la cual 1f y 2f son constantes propias del tipo de roca, MPa1=∗σ
y mτ , aσ y bσ se valoran con las expresiones siguientes:
1
2/1
12
22
2
4
f
fff
b
a⎟⎟⎠
⎞⎜⎜⎝
⎛+±−
=
⎪⎪⎭
⎪⎪⎬
⎫
∗
∗
∗ στ
σσσσ
⎟⎟⎠
⎞⎜⎜⎝
⎛−=
1
22
4 ff
mτ
Con el procedimiento seguido hasta aquí se puede obtener la relación
constitutiva siguiente para describir la fluencia estacionaria de la roca. Podría presentar
cambio volumétrico dilatante junto con cambio de forma ambos irreversibles:
⎥⎦⎤
⎢⎣⎡
∂∂
∂∂
+∂∂
∂∂
=∂∂
=•
στ
τσσ
σσε SSkSk Ss
I
S (2.41)
Con relación a la Fig. 2.43 y al método expuesto para determinar el potencial
( )τσ ,S se debe aclarar que la región (3) de esta figura es prácticamente incompresible y
que por lo tanto la figura anterior debería ser la Fig. 2.44.
Fig. 2.44 Dominios del cambio volumétrico utilizados para la determinación del potencial S.
En la región (2) el cambio volumétrico compresible se representa únicamente
por la fluencia transitoria, mientras que el cambio volumétrico debido a la fluencia
secundaria es nulo. En la región (3) el cambio volumétrico de ambas etapas de la
Capítulo 2 Estado del conocimiento
68
fluencia es nulo debido a que para altas presiones de confinamiento la dilatancia no es
significativa, excepto para muy altos valores de la tensión cortante octaédrica.
El límite compresible/dilatante puede tener la forma mostrada en la Fig. 2.44 o
puede aproximarse mas a la superficie de rotura a corto plazo mostrada en la misma.
2.3.4.2.6 Combinación de la fluencia transitoria y estacionaria
Según este modelo la fluencia transitoria y estacionaria ocurren
simultáneamente. Inmediatamente después de la aplicación de la carga, la deformación
por fluencia transitoria predomina. Con el transcurso del tiempo y si es que no se
produce la estabilización de la deformación ambas se deben tener en cuenta y
finalmente despues de un periodo de tiempo muy grande, la fluencia secundaria es
predominante.
Multiplicando la relación constitutiva inicial dada por la ecuación 2.23,
tensorialmente, por la tensión σ la cual debe ser constante, e integrandola se obtiene la
deformación total debida a la parte elástica, fluencia transitoria y estacionaria, cuya
ecuación es:
( )
( )
( )[ ] ( )[ ]ttkSttkFHF
H
FH
tW
t ST
T
E −∂∂
+⎥⎦
⎤⎢⎣
⎡
⎭⎬⎫
⎩⎨⎧ −
∂∂
−
∂∂
∂∂
−+= 00
0
1exp11
1
σσ
σσσ
σεε (2.42)
Siendo Eε la parte elástica de la deformación. De acuerdo con esta relación
constitutiva la fluencia transitoria siempre estará presente desde 0t hasta ∞→t . Sin
embargo, es predominante únicamente hasta el tiempo 0ttt T >= calculado con la
expresión:
σ
σ∂∂
=Fk
HtT
T
La deformación total debido a la fluencia transitoria es:
( )
( )
σσ
σε
∂∂
∂∂
−=∞→
FH
FH
tW
t
T
IT 1
1 0
2.3.4.2.7 Criterio energético del daño
Capítulo 2 Estado del conocimiento
69
Según la evidencia experimental mostrada en el apartado 2.3.1.2.3 para el caso
de rocas poco porosas, el daño y la rotura son progresivos y están relacionados con los
mismos mecanismos que producen la dilatancia. En la relación constitutiva 2.23, el
daño que lleva a la rotura, al menos en las rocas poco porosas, empieza cuando el
cambio de volumen se vuelve dilatante. Por ello es importante determinar con precisión
el límite compresible/dilatante tratado en el apartado 2.3.4.2.1.
El parámetro energético del daño, que describe la evolución en el tiempo del
daño de la roca, se expresa a través del trabajo irreversible de la tensión por unidad de
volumen, el cual se valora empleando la siguiente ecuación:
( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )TWTWdtttdtttTW DV
IT
I
VT +=∫+∫=
••
γεσεσ 00 '
Siendo ( )TWV el trabajo realizado, hasta el tiempo T , en producir el cambio
volumétrico irreversible y ( )TWD el trabajo realizado durante el mismo período en
producir el cambio de forma.
El parámetro de daño de la roca es una medida de la energía liberada debido al
agrietamiento por dilatancia, su expresión es:
( ) ( )tWWtd VV −= (max)
Siendo: (max)VW el trabajo realizado por la tensión normal octaédrica en
comprimir irreversiblemente el espécimen hasta su volumen mínimo, maxtt > .y siendo
maxt el tiempo para el cual el VW alcanza su máximo valor.
En el caso de las rocas poco porosas el límite compresible/dilatante está muy por
debajo de la superficie de rotura a corto plazo, como muestra la Fig. 2.45(a). Por lo
tanto, si durante el ensayo triaxial la tensión normal octaedrica es 0σσ < la muestra
sufrirá compresión adicional durante la etapa desviadora y luego incremento de
volumen hasta llegar a la rotura. Este es el caso del ensayo con la trayectoria de
tensiones: DCBA −−−−0 de la Fig. 2.45(a). El (max)VW se producirá en el punto B de la
trayectoria de tensiones, Fig. 2.45(c).
Por el contrario si 0σσ > , (max)VW habrá ocurrido en la etapa isótropa con la
tensión normal octaédrica 0σ , Fig. 2.45(b), y durante la etapa desviadora del ensayo,
inicialmente la muestra será incompresible y luego dilatante hasta la rotura; este es el
caso de la trayectoria de tensiones '''0 DCA −−− .
Capítulo 2 Estado del conocimiento
70
Fig. 2.45 Forma de la variación de VW durante el ensayo triaxial con la tensión normal octaédrica constante: (a) Trayectoria de tensiones; (b) Durante la etapa hidrostática; (c) Durante la etapa desviadora
con tensión normal octaédrica baja, inferior a 0σ ; (d) Durante la etapa desviadora con tensión normal octaédrica muy alta, superior a 0σ (Cristescu; 1998).
En el caso de las rocas muy porosas el límite compresible/dilatante es muy
cercano a la superficie de rotura y la roca se comprime hasta la rotura.
Empleando la relación constitutiva del medio elasto/viscoplástico, la razón de
daño está definida por la ecuación:
( ) ( ) ( ) ( ) ( )( ) σ
σσ
σσεσ
∂∂
−∂∂
−−=−=−=••• SkF
HtW
ktttWtd SV
T
I
VV 1
Siempre que: 0<∂∂σF y que 0<
∂∂σS .
El parámetro energético que caracteriza la aparición de la rotura por fluencia,
puede ser considerado como la energía total liberada durante el agrietamiento de la
etapa dilatante del cambio volumétrico y se expresa mediante:
Capítulo 2 Estado del conocimiento
71
)((max))( roturaVVfroturaVf WWdóWd −=−=
Dependiendo de si (max)VW es despreciable con respecto al )(roturaVW . Según este
modelo la magnitud de fd es típica para cada tipo de roca y podría depender de σ y T
(Hunsche; 1996). En los ensayos a corto plazo fd se calcula siguiendo las trayectorias
de tensiones DC − ó '' DC − mostradas en la Fig. 2.45. Sin embargo para ensayos a largo
plazo fd se alcanza con valores de τ menores que los valores de la superficie a corto
plazo.
Para ensayos triaxiales clásicos la fórmula para calcular VW es:
( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )[ ]29
1232
21
211
2
0T
Kdttt
tKT
dtttTWR
THT
RRRH
VHT
Vσ
εεσσ
εσ −∫ ⎥⎦
⎤⎢⎣
⎡++−∫=
•••
Donde R significa que es “relativo” a la parte hidrostática.
2.3.4.2.8 La falla por f luencia
Si durante la fluencia ( ) == σσ t constante, el daño acumulado es igual a:
( ) ( )dttTWI
VT
V ∫=•
0 εσ
Empleando la relación constitutiva del medio elasto/viscoplástico:
( ) ( )
( )
( )[ ] ( )[ ] PVST
T
IVV WttkSttkF
HFH
FH
tW
ttW +−∂∂
+⎥⎦
⎤⎢⎣
⎡
⎭⎬⎫
⎩⎨⎧ −
∂∂
−
∂∂
∂∂
−+= 00
1exp11
1
σσ
σσσ
σσε
En donde 0t es el tiempo de inicio del ensayo, justo después de la aplicación de
la carga, y PVW es el valor de VW en el instante 0t . Por ejemplo, si se pretende describir
el ensayo de fluencia durante la etapa desviadora, después de la etapa hidrostática
ejecutada con la tensión normal octaédrica Pσ y finalizada en Ht , entonces
( ) ( )0,pHV
PV HtWW σ== .
Si se toma ( ) ( )maxVHV WtW = , entonces el parámetro de daño es:
( ) ( )tWWtd VP
V −=
Reemplazando ( )td por su valor último fd ; se podría estimar el tiempo de
ocurrencia de la rotura por fluencia.
Capítulo 2 Estado del conocimiento
72
2.3.4.3 Formulación empírica
El comportamiento a largo plazo debido a la fluencia también ha sido estudiado
empleando modelos empíricos. Esta corriente parte de la opinión de que los modelos
reológicos comúnmente utilizados dan una aproximación muy simplificada de la
relación entre tensiones y deformaciones del terreno. Debido a ello y con el objetivo de
proporcionar una relación constitutiva más cercana a la real, podría ser necesario un
gran número de elementos en el modelo, con el inconveniente de que las expresiones
matemáticas se vuelven complicadas. Como resultado de ello sería necesario valorar un
gran número de parámetros, los que por otra parte representan propiedades de la roca
que no están claramente definidas.
Los modelos empíricos se obtienen directamente de observaciones,
experimentales de laboratorio o de campo, de la evolución de las deformaciones, de la
velocidad de las deformaciones y de las tensiones a lo largo del tiempo.
Los modelos empíricos mas comúnmente utilizados son:
• El modelo con ley potencial; Obert (1965).
• El modelo hiperbólico; Mesri y otros (1981).
Los modelos con ley exponencial e hiperbólico son comúnmente utilizados para
rocas fracturadas, argilitas y otras similares.
2.3.4.3.1 Modelo con ley potencial
Este modelo es comúnmente utilizado con rocas salinas, potásicas y evaporitas.
La relación constitutiva reológica de este modelo en la forma que la propuso Obert en el
año 1965 es:
( )λ
ασε ⎟⎟⎠
⎞⎜⎜⎝
⎛=
1ttkta (2.43)
En donde ( )taε es la deformación axial en el tiempo t , ( )31 σσσ −= es la tensión
desviadora, α es el índice de la función potencial entre las tensiones y las
deformaciones, λ es el índice de la función potencial entre las tensiones y
deformaciones, el cual también es llamado parámetro de la fluencia, y k es una
constante para el tiempo de referencia 1t , que está relacionada con el módulo de la roca.
Comúnmente es utilizado el valor de una hora como tiempo de referencia.
Capítulo 2 Estado del conocimiento
73
Considerando la resistencia límite del material y la validez del principio de
normalización entre las tensiones y las deformaciones, Phienwej y otros (2006)
expresaron la relación constitutiva dada por la ecuación 2.43 del siguiente modo:
λ
αε ⎟⎟⎠
⎞⎜⎜⎝
⎛=
1tt
KD iiai
Siendo K una constante adimensional, y iD el nivel de tensiones expresado como
el cociente de desviadores ( ) ( ) f3131 / σσσσ −−
2 .3.4.3.2 Modelo hiperbólico
Este modelo tambien utilizado comúnmente para rocas blandas, ha sido aplicado
por Phienwej (2006) para el cálculo de túneles. Con relación a otros modelos empíricos,
este modelo tiene la ventaja de que todos sus parámetros tienen significado físico y
están relacionados con las propiedades mecánicas de la roca, es decir módulos y
resistencia. La relación constitutiva reológica empleando esta ley de fluencia es no
lineal y se expresa mediante la siguiente ecuación:
λ
ε ⎟⎟⎠
⎞⎜⎜⎝
⎛−
=11/
1tt
DRD
qEi
if
i
fuai (2.44)
Siendo aiε la deformación axial en el tiempo t , λ un parámetro de la fluencia,
uE el módulo tangente inicial del modelo y definido en el tiempo 1t ,
( ) ( ) fiD 3131 / σσσσ −−= siendo ( ) ff q=− 31 σσ la tensión desviadora máxima que depende
de la resistencia del material, ( )[ ]ffuf qER ε//11−= . Es un parámetro que expresa la no
linealidad de la relación entre las tensiones y las deformaciones. Finalmente, fε es la
deformación en la rotura debido a la fluencia.
2.4 Soluciones analíticas de la convergencia por fluencia
2.4.1 Efecto del frente del túnel
El desequilibrio de tensiones provocado por la excavación del túnel crea una
distribución tridimensional compleja de movimientos alrededor del mismo. La solución
teórica del proceso completo empleando medios reológicos es muy compleja.
Únicamente se han llevado a cabo algunos estudios empleando métodos numéricos. Es
necesario tener en cuenta estos movimientos, debido a que una parte significativa ocurre
al exterior del frente de avance de la excavación.
Capítulo 2 Estado del conocimiento
74
Existen varias soluciones aproximadas. Estas soluciones, aunque están basadas
en suposiciones simplistas, han demostrado en varios casos que describen
razonablemente bien el comportamiento observado en la vecindad del frente del túnel
(Ladanyi; 1993).
Básicamente hay tres tipos de estas soluciones aproximadas:
• La solución en la que se supone que el frente del túnel se comporta como una
cavidad semiesférica, mientras que hacia el exterior del frente el túnel se
comporta como una cavidad cilíndrica.
• La solución con deformación plana, en la que se supone que por delante del
frente se va reduciendo la rigidez de la roca siendo máxima la reducción en
el frente y cada vez menor en la dirección del avance.
• La solución con deformación plana en la que se supone la existencia de una
presión interior ficticia de sostenimiento, la cual disminuye con la distancia
hacia fuera del frente.
En las propuestas del estudio de la convergencia en condiciones de deformación
plana, la solución en la que se asume la existencia de una presión interior ficticia, sirve
para tomar en cuenta el efecto del frente del túnel en la sección analizada. Esto es así
debido a que la presión ficticia de esa solución y la convergencia de la sección en el
momento de la colocación del sostenimiento serían las condiciones iniciales a partir de
las cuales se debería calcular el incremento de presión sobre el sostenimiento debido a
la fluencia.
De acuerdo con estudios teóricos y experimentales, el efecto del frente del túnel
prácticamente desaparece aproximadamente a dos o tres veces el diámetro del mismo,
medidos desde el frente de excavación (Ladanyi; 1993).
Por lo tanto en la evolución de la convergencia, es necesario diferenciar el efecto
del avance del frente del túnel del efecto del comportamiento de la roca a lo largo del
tiempo.
2.4.2 La línea característica a largo plazo
La “línea característica” es el concepto en el que está basado el método de
“convergencia – confinamiento” del proyecto del sostenimiento de los túneles en
medios isótropos homogéneos en condiciones axil simétricas. Aunque hay varias
soluciones teóricas rigurosas de la interacción dependiente del tiempo entre el terreno y
Capítulo 2 Estado del conocimiento
75
el sostenimiento, halladas bajo suposiciones relativamente simplistas, actualmente se
sigue utilizando y publicando trabajos relacionados con el concepto de la “línea
característica” de los medios geotécnicos.
En principio, la curva característica es la relación entre la presión normal
aplicada en la pared del túnel y su desplazamiento radial resultante como se aprecia en
la Fig. 2.46 y Fig. 2.47.
El punto inicial de la curva es la presión media del macizo 0p correspondiente a
la profundidad a la que se ubica el túnel (Fig. 2.47). Debido a la excavación del mismo
ésta presión en la pared del túnel se vuelve nula. Dependiendo de las condiciones
tensionales en el lugar y de las propiedades mecánicas del macizo, la curva
característica presenta los siguientes tramos:
• Tramo lineal: llamado tramo elástico, en el que la presión interior (de
sostenimiento) es elevada y se cumple que criii pp > . Con la cual no se
produce la plastificación del macizo, debido a que ( )Ri qpp −> 0 , siendo Rq el
desviador de rotura del mismo.
• Tramo no lineal: llamado tramo plástico, en el que la presión interior (de
sostenimiento) es baja y se cumple que criii pp < . Con ella se produce la
plastificación del macizo debido a que ( )Ri qpp −< 0 , siendo Rq el desviador
de rotura del macizo.
Fig. 2.46 Sección transversal del túnel mostrando la notación utilizada (Ladanyi; 1993).
Capítulo 2 Estado del conocimiento
76
Fig. 2.47 Evolución de la curva característica del terreno con el transcurso del tiempo (Ladanyi; 1993).
En el estudio de la fluencia alrededor del túnel empleando este método, se
supone que aún cuando la presión inicial ip en la cara del túnel ha caído a cero debido a
la conclusión de la excavación, la roca es capaz de auto soportarse durante un tiempo
limitado, después del cual la pared se vuelve inestable y empieza la rotura del macizo
alrededor del túnel. El propósito principal del sostenimiento es reducir el
desplazamiento de la cara del túnel de modo que la roca sea capaz de soportar la
máxima presión del terreno.
Como se aprecia en la Fig. 2.47, la presión a largo plazo cp sobre el
sostenimiento así como el desplazamiento de la cara del túnel depende de:
• Las propiedades reológicas del macizo.
• De la rigidez del sostenimiento.
• Del retraso en la instalación del sostenimiento.
• Del posible huelgo entre la pared de la excavación y el diámetro exterior del
sostenimiento.
A continuación, se presentan algunas soluciones en donde se han introducido las
propiedades reológicas (viscoelásticas) de la roca en el método de “convergencia –
confinamiento”.
Capítulo 2 Estado del conocimiento
77
2.4.3 Soluciones publicadas
2.4.3.1 Solución empleando medios viscoelásticos lineales
2.4.3.1.1 Solución de Goodman (1980)
Este investigador, publicó la solución de la presión sobre el sostenimiento del
túnel circular tratándolo como un anillo elástico de pared gruesa. Asumió que los
corrimientos elásticos instantáneos ocurrían antes de la colocación del sostenimiento y
que por lo tanto era razonable emplear el modelo viscoelástico de Maxwell
generalizado. Mediante este procedimiento la presión final, a largo plazo, sobre el
sostenimiento es igual a la tensión inicial 0p del macizo. La presión ( )tpb en la interface
medio – sostenimiento es:
( ) ( )trtrb DeCeptp 21
0 1 ++=
Donde 0p es la presión inicial de equilibrio del medio.
( )( )
( )( ) ⎟⎟
⎠
⎞⎜⎜⎝
⎛−
++=⎟⎟
⎠
⎞⎜⎜⎝
⎛−
++=
12
212121
1
2
21
212112
1
2 //1,
//1rr
Grr
GD
rrGr
rG
Cηηηηηηηη
Siendo 1r y 2r las raíces reales de:
012
1
1
21
21 =+
⎥⎥⎦
⎤
⎢⎢⎣
⎡⎟⎟⎠
⎞⎜⎜⎝
⎛+++
ηηη
ηG
sBGBs
En la cual:
( )⎟⎟⎠
⎞⎜⎜⎝
⎛
−+−
=22
22'21'
1ab
abG
B ν
Finalmente, la solución del corrimiento radial del medio viscoelástico (roca) es:
( ) ( ) ( )( ) ⎟⎟
⎠
⎞⎜⎜⎝
⎛
−+−
−=22
22
2
2
'2'21
abGabtp
rbtu br
ν
Siendo: a el radio interior del sostenimiento, b el radio de la cavidad,
121 ,, Gηη las constantes reológicas del modelo, ',' Gν los parámetros elásticos del
material de que está hecho el sostenimiento.
2.4.3.1.2 Solución de Gill y Ladanyi (1987)
Estos autores, publicaron la solución de la línea característica de la cavidad
circular excavada en un medio reológico cuyo comportamiento en deformación
Capítulo 2 Estado del conocimiento
78
desviadora era el del modelo de Kelvin/Voigt y en deformación isótropa era
incompresible (Fig. 2.48). En distorsión angular, la constante de la parte elástica del
modelo es 1k y las constantes de la parte viscoelástica son: 2k y η . Los subíndices “0”
y “f” señalan que el parámetro toma el valor inicial o final, respectivamente, ηη =2 ,
01 2Gk = y ( )02 /1/1/2 GGk f −= para la parte desviadora del modelo (Fig. 2.48). Siendo
0G y fG el módulo de corte inicial y final respectivamente, mientras que Rk t=2/2η el
tiempo de relajación.
Fig. 2.48 Evolución de las líneas características del medio viscoelástico (Gill y Ladanyi; 1987).
La solución de la convergencia del medio sin sostenimiento es:
( )⎥⎥⎦
⎤
⎢⎢⎣
⎡
⎟⎟⎠
⎞⎜⎜⎝
⎛−+= tf
GG
Gp
bu
f
i 112
0
0
0 (2.45)
Siendo:
( ) ( )Rtttf /exp1 −−=
El valor de la convergencia bui / varía de 00 2/ Gp en 0=t a fGp 2/0 cuando
∞→t , b es el radio de la excavación y 0p la presión inicial.
Los autores muestran el cálculo de las líneas características isócronas siguiendo
dos procedimientos. En el primero reemplazan en la ecuación 2.45: 0p por ( )ipp −0
variando ip entre 00 ppi ≤≤ manteniendo el tiempo constante para cada isócrona. Las
Capítulo 2 Estado del conocimiento
79
líneas características resultantes son líneas rectas que pasan por el punto ( )1,0 en el
sistema de ejes ( )0/,/ ppbu ii , (Fig. 2.48).
En el segundo procedimiento la solución que se obtiene considerando el
sostenimiento de rigidez sK y colocado en el instante stt = es:
( )s
c
stt
ii
Kp
bu
tbu
+⎟⎟⎠
⎞⎜⎜⎝
⎛=
=
(2.46)
Siendo: ( ) tsti bu =/ la convergencia de la cavidad sin sostenimiento, calculada
empleando la ecuación 2.45, en el momento en el que se pone en contacto la pared de la
cavidad y el sostenimiento. La solución de la evolución con el tiempo de la presión
sobre el sostenimiento cp propuesta como “exacta”, es:
( ) ⎟⎟⎠
⎞⎜⎜⎝
⎛⎟⎟⎠
⎞⎜⎜⎝
⎛ −−⎟⎟
⎠
⎞⎜⎜⎝
⎛
+
+−−⎟
⎟⎠
⎞⎜⎜⎝
⎛
+
−=
R
s
s
fsRs
sf
fc
ttt
GKGK
ttKG
GGpp
0
0
0 /2/2
exp1/exp/21/1
La solución de la evolución con el tiempo de la presión sobre el sostenimiento
cp propuesta como “con envejecimiento”, es:
( ) ( )[ ]Ssf
fc tftfKG
GGpp
−⎟⎟⎠
⎞⎜⎜⎝
⎛
+
−=
/21/1 0
0
Con lo cual se puede hallar la presión sobre el sostenimiento cp en el instante
∞≤≤ tt s y luego la convergencia de la cavidad sostenida empleando la ecuación 2.46
(Fig. 2.48 y Fig. 2.49).
En estas figuras se aprecia que la presión sobre el sostenimiento cp de la
solución “exacta” es ligeramente mayor que la correspondiente a la solución “con
envejecimiento” para ∞<< t0 . Sin embargo debido al comportamiento asintótico del
modelo reológico empleado, ambas soluciones tienden al mismo valor cuando ∞→t :
( )Rssf
f
t
c ttKG
GGpp
/exp/21/1 0
0−⎟
⎟⎠
⎞⎜⎜⎝
⎛
+
−=⎟⎟
⎠
⎞⎜⎜⎝
⎛
∞→
Por lo tanto, si la roca presenta atenuación de la fluencia con valores finitos de
los parámetros de fluencia, cuando ∞→t , la solución “con envejecimiento” es correcta
a largo plazo.
Capítulo 2 Estado del conocimiento
80
Fig. 2.49 Evolución de la presión sobre el sostenimiento (Gill y Ladanyi; 1987).
2 .4.3.1.3 Solución de Cristescu (1993)
Posteriormente en el año 1993, Cristescu publicó la solución de la evolución de
las tensiones y desplazamientos de la interface roca – sostenimiento suponiendo que la
relación constitutiva de la roca era viscoelástica lineal de la forma propuesta
originalmente por Massier (1981):
••••
+⎟⎟⎠
⎞⎜⎜⎝
⎛−−=+⎟⎟
⎠
⎞⎜⎜⎝
⎛−−= '
21
2'''
31
3 00σσεεσσεε
GGky
KKkv
Donde K y G son los módulos dinámicos, 0K y 0G los módulos relajados, y vk
y k coeficientes de viscosidad, ε y σ la deformación y la tensión isótropa
respectivamente, y 'ε y 'σ son la deformación y la tensión desviadora respectivamente.
El estado tensional de referencia empleado por este autor fue el correspondiente al
equilibrio inicial antes de la excavación. Considerando que hvh γσσ =≈ Cristescu y
Massier, para este caso, mostraron que la tensión isótropa y la deformación isótropa no
varían debido a la excavación. Por lo tanto el corrimiento radial se produce debido a la
deformación por la distorsión angular.
Con las suposiciones anteriores la expresión del corrimiento de la pared de la
excavación sin sostenimiento es:
( ) ( ) vaktGGG
tu σ⎥⎥⎦
⎤
⎢⎢⎣
⎡−⎟⎟
⎠
⎞⎜⎜⎝
⎛−+= exp
21
21
21
00
Capítulo 2 Estado del conocimiento
81
Siendo: a el radio del túnel y vσ la presión vertical. El corrimiento radial final es
02Ga
u vt
σ=∞= .
También publicó la solución considerando la colocación del sostenimiento
elástico en forma de anillo de pared gruesa de espesor constante. La expresión de la
solución es:
( ) [ ]( )ttPPQu
PQtu −⎟
⎠
⎞⎜⎝
⎛ −+= 00 exp
Siendo:
Gbaq
ubq
GkaQ
Gbaq
bGaq
kPv
212
,
21
21 0
0
0
+
+=
+
+=
σ
Donde a es el radio del túnel, b el radio interior del sostenimiento y q su
rigidez. Si las condiciones iniciales son: 0,, 00 === puutt , el corrimiento y la presión
sobre el sostenimiento es:
bGaquGa
qpbGaq
qubau v
tv
t0
00
0
022
,2 +
−=
++
= ∞=∞=σσ
Fig. 2.50 Historia de tensiones y deformaciones en la interfase roca – sostenimiento (Cristescu; 1993).
La Fig. 2.50 muestra la evolución del corrimiento a corto plazo debido a la
excavación repentina de la cavidad. También muestra la línea característica a largo
plazo, así como el efecto en el corrimiento y en la presión final sobre el sostenimiento
de varios parámetros involucrados en el problema. Entre ellos, la rigidez del
Capítulo 2 Estado del conocimiento
82
sostenimiento y el retraso en su colocación. Como en todas las soluciones se verifica
lógicamente que al restringir el corrimiento la presión final es mayor.
El límite que marca la rotura del sostenimiento por sobrecarga se puede
determinar introduciendo el criterio de plastificación apropiado del sostenimiento
teniendo en cuenta la distribución de las tensiones sobre el mismo. Cristescu consideró
sendos criterios para sostenimientos metálicos y de hormigón.
2.4.3.2 Soluciones empíricas
2.4.3.2.1 Solución de Sulem y otros (1987)
Sulem, Panet y Guenot (1987), presentaron la solución del desplazamiento de la
pared de la cavidad cilíndrica excavada en un medio homogéneo, isótropo y con
comportamiento dependiente del tiempo. El modelo propuesto tiene en cuenta el
confinamiento que el frente del túnel produce en las secciones cercanas, a través de una
presión interior ficticia que se va perdiendo conforme el frente se aleja de la sección
analizada. Es decir utiliza la aproximación, en deformación plana, del efecto del frente,
mencionada en el apartado 2.4.1.
En el caso del túnel circular sin sostenimiento, el desplazamiento radial se
expresa a través del producto de dos funciones: una que depende del efecto del avance
del frente y otra que depende de la fluencia del material. La presión interior ficticia que
simula el efecto del frente de la excavación es:
( ) 01 σλσ −=r
Donde: 10 << λ toma los valores que muestra la Fig. 2.51. Como se aprecia
( )xλλ = es función de la distancia al frente, la cual a su vez depende de la velocidad de
avance de la excavación v y del tiempo transcurrido; es decir ( ) vttx = .
Según la propuesta de estos autores, la deformación resultante es:
pcenee εεεεεε ++=+=
Donde eε es la deformación elástica, cε es la deformación de fluencia y pε es
la deformación plástica. La deformación de fluencia se expresa como una función de la
tensión y del tiempo ( ) ( )tfgc σε = . Depende de la tensión en el instante t y no depende
de de la historia de tensiones y deformaciones antes de t . La función ( )σg es una
función lineal. La función ( )tf es una función potencial cuyo valores límite son:
Capítulo 2 Estado del conocimiento
83
( ) 00 ==tf y ( ) 1=∞=tf . También se supone que únicamente la parte desviadora de la
tensión interviene en la fluencia y que por lo tanto ocurre a volumen constante. El
material plastifica de acuerdo con el criterio de Mohr – Coulomb. Las deformaciones
plásticas, después que se ha llegado al criterio de rotura, también ocurren a volumen
constante, es decir con dilatancia nula.
Fig. 2.51 Presión de sostenimiento ficticia (Sulem y otros; 1987).
En el caso del túnel sin sostenimiento, el modelo plastifica dependiendo de la
profundidad a la que se ha excavado, de los parámetros resistentes y de la distancia al
frente. En el caso del túnel con sostenimiento, el modelo plastifica dependiendo además
del retraso en la colocación del mismo, de la rigidez y de su resistencia a la
plastificación (rotura).
Los autores además publicaron la solución de la línea característica de la cavidad
en función del tiempo empleando como sostenimiento un anillo elástico de pared
gruesa.
2.4.3.2.2 Solución de Aydan y otros (1996)
Estos autores, estudian las deformaciones por fluencia a través del “squeezing”,
término que según la ISRM está definido como: “las deformaciones grandes
dependientes del tiempo, que ocurren alrededor del túnel y que principalmente están
asociadas con la fluencia, las cuales podrían cesar durante la construcción o continuar
durante un periodo largo de tiempo”, (Barla, 1995).
Capítulo 2 Estado del conocimiento
84
Las soluciones propuestas, se han obtenido del estudio estadístico de mediciones
de campo y de ensayos de laboratorio, correlacionando el comportamiento en ambos
medios.
El concepto fundamental de este método está basado en la analogía entre la
relación tensión axial – deformación axial de la roca en las pruebas de compresión de
laboratorio y la relación tensión tangencial – deformación tangencial del macizo rocoso
alrededor del túnel.
Con los datos recogidos de túneles construidos en Japón y mostrados en la Fig.
2.52, los autores consideran que, para la ocurrencia de grandes deformaciones alrededor
del túnel a lo largo del tiempo, son importantes los siguientes factores:
• El factor de competencia propuesto inicialmente por Muirwood en el año
1972. Factor que fue definido por su autor como: “la razón entre la
resistencia a compresión simple de la roca intacta icσ , y la presión de la
cobertura sobre el túnel Hγ ”. Siendo γ el peso específico aparente del
macizo y H la profundidad del túnel.
• La deformación tangencial de la pared del túnel Rur /=θε , la cual debería
ser mayor que 1 %. Siendo ru el corrimiento radial de la pared y R el radio
del túnel.
• La porosidad de la roca, la cual debería ser alta para que ocurra la fluencia.
La resistencia a compresión simple de la roca cσ es el parámetro básico de este
método. Se considera que la pérdida de resistencia de la roca depende de la deformación
y del transcurso del tiempo.
La expresión de la pérdida de la resistencia con el transcurso del tiempo es:
τ
σσ
σσ
σσ t
c
c
c
c
c
c e−∞∞
⎟⎟⎠
⎞⎜⎜⎝
⎛−+=
0001 (2.47)
Siendo ∞cσ , la resistencia a compresión simple última (a largo plazo), 0
cσ la
resistencia a corto plazo y τ el retraso de la caída de la resistencia.
Los autores de este método suponen que la fluencia transitoria es el resultado del
comportamiento viscoelástico de la roca. Mientras que suponen que la fluencia
secundaria y terciaria son comportamientos viscoplásticos debido a que involucran la
disipación de la energía como consecuencia del fracturamiento de la roca.
Capítulo 2 Estado del conocimiento
85
Fig. 2.52 Datos de los túneles estudiados (Aydan; 1996).
En este método, las curvas tensión – deformación total de las rocas corresponden
al modelo con ablandamiento por deformación. Han sido obtenidas en los ensayos
uniaxiales y triaxiales realizados con presiones de confinamiento 3σ bajas, menores que
el 10 % de la resistencia a compresión simple. En la curvas completas de tensión –
deformación estos autores han propuesto los niveles de deformación mostrados en la
Fig. 2.53. En esta misma figura se muestra el tipo de agrietamiento de la muestra
durante la prueba de compresión completa. Los cinco estados mostrados son los
siguientes:
• Estado elástico: en el que el comportamiento de la roca es linealmente
elástico y sin agrietamiento visible.
• Estado de endurecimiento: empieza el microagrietamiento de la roca y la
orientación de este generalmente coincide con la dirección de la tensión
principal mayor.
• Estado de plastificación: después de exceder el pico de la curva tensión –
deformación, las micro grietas tienden a coalescer dando inicio a las macro
grietas.
Capítulo 2 Estado del conocimiento
86
• Estado de debilitamiento: en el que las macrogrietas crecen y se alinean en la
dirección más crítica.
• Estado de flujo: en el que las grietas coalescen completamente a lo largo de
la orientación mas crítica y forman planos de deslizamiento, o bandas, a
través de los cuales la roca completamente fracturada fluye.
Fig. 2.53 (a) Curva tensión – deformación total en el ensayo de compresión de la roca, (b) Estados asociados de squeezing (Aydan y otros; 1996).
De acuerdo con este método, estos cinco estados de la muestra de roca durante el
ensayo completo en el laboratorio, en condiciones uniaxiales o triaxiales, o en ensayos
de campo, se presentan en la roca alrededor del túnel durante la ocurrencia de la
fluencia, tal y como se muestra en la Fig. 2.54.
Los límites de deformación, entre estos estados, normalizados con los límites de
deformación elásticos ( fsp ηηη ,, ), dependen de la resistencia a compresión simple. Las
funciones correspondientes se muestran a continuación:
32.025.017.0 5,3,2 −−− ====== ce
ffc
e
ssc
e
pp σ
εε
ησεε
ησεε
η (2.48)
Siendo cσ la resistencia a compresión simple en 2/ cmkg .
Capítulo 2 Estado del conocimiento
87
Fig. 2.54 Estados de la roca alrededor del túnel durante el “squeezing” (Aydan y otros; 1996).
Las ecuaciones 2.48 correspondientes a los límites de deformación han sido
determinadas ajustando los datos de la Fig. 2.55.
Fig. 2.55 Niveles de deformación normalizados (Aydan; 1996).
Los límites fsp ηηη ,, sirven para establecer los estados de la roca alrededor del
túnel. En la Tabla 2.1, se muestran los estados posibles.
Para calcular las deformaciones alrededor del túnel y compararlas con los
estados de deformación mostrados en la Tabla 2.1, los autores del método han propuesto
una solución analítica válida para condiciones iniciales de isotropía de tensiones. El
modelo asumido de comportamiento de la roca es el elasto – plástico perfecto residual
Capítulo 2 Estado del conocimiento
88
mostrado en la Fig. 2.56, con el criterio de rotura de Mohr – Coulomb. El estado de
tensiones y deformaciones más crítico que se puede presentar alrededor del túnel es el
mostrado en la Fig. 2.57. Su ocurrencia depende de la tensión inicial 0p , de la presión
interior de sostenimiento ip y de las propiedades a corto y a largo plazo de la roca.
Tabla 2.1 Clasificación del grado del “squeezing” (Aydan; 1996).
Clase Grado del “Squeezing”
Símbolo Expresión teórica
Comentario
1 Sin ocurrencia NS 1/ ≤eaθθ εε La roca se comporta elásticamente y la
pared del túnel se estabilizará cuando el efecto del frente sea despreciable.
2 Ligero LS p
ea ηεε θθ ≤< /1 Endurecimiento de la roca conforme se deforma. La pared del túnel se estabilizará con el tiempo cuando el efecto del frente sea despreciable.
3 Medio FS s
eap ηεεη θθ ≤< / Ablandamiento de la roca conforme sufre
deformaciones grandes. Sin embargo, la deformación cesará con el tiempo cuando el efecto del frente sea despreciable.
4 Severo HS f
eas ηεεη θθ ≤< / Ablandamiento muy fuerte de la roca
conforme se deforma. La deformación será cada vez mayor con el transcurso del tiempo y no cesará cuando el efecto del frente sea despreciable.
5 Muy severo VHS eaf θθ εεη /< Colapso de la sección debido al flujo
continuo de la roca. Será necesario reexcavar la sección y colocar un sostenimiento muy fuerte.
Fig. 2.56 Modelo mecánico de la roca (Aydan; 1996).
El procedimiento de uso del método propuesto es el siguiente:
• Especificar la resistencia a compresión simple de la roca.
Capítulo 2 Estado del conocimiento
89
• Estimar los niveles de deformación de la roca empleando las ecuaciones
2.48.
• Calcular las deformaciones tangenciales y los radios de plastificación,
mostrados en la Fig. 2.57, de la cavidad sin sostenimiento.
Fig. 2.57 Elementos y estados de tensiones alrededor del túnel (Aydan; 1996).
• Comparar la deformación tangencial (convergencia tangencial) de la cara del
túnel con los niveles de la Tabla 2.1. Si es que se hallan entre los niveles
inestables, recalcular la convergencia tangencial de la cara del túnel, esta vez
teniendo en cuenta la presión interior del sostenimiento para limitar la
convergencia y la extensión de las zonas plásticas.
2.4.3.2.3 Solución de Hoek y Marinos (2000)
A diferencia del método empírico anterior, en este caso los autores del método
utilizan la resistencia a compresión simple del macizo rocoso cmσ , en lugar de la
resistencia a compresión simple de la roca intacta ciσ , para valorar el factor de
competencia 0/ pcmσ .
Hoek y Marinos (2000) mostraron que la curva de la convergencia de la pared
del túnel aurt /100(%) =ε en función del factor de competencia proporciona una base
para la estimación de la inestabilidad de la pared del túnel. Esta curva mostrada en la
Fig. 2.58, fue desarrollada a través de un análisis de Monte Carlo utilizando la solución
analítica bidimensional propuesta por Duncan - Fama en el año 1993 y la propuesta por
Capítulo 2 Estado del conocimiento
90
Carranza – Torres y Fairhurst en el año 1999. El análisis se hizo para un rango grande
de propiedades del macizo rocoso y de tensiones iniciales axil-simétricas.
Fig. 2.58 Curva de la convergencia de la pared del túnel en función del factor de competencia (Hoek y Marinos; 2000)
La influencia de la presión de sostenimiento, ip , sobre la convergencia de la
pared del túnel y sobre la deformación del frente de avance, también fue estudiada a
través de un modelo de elementos finitos en condición axil-simétrica. Este estudio fue
realizado para un rango grande de macizos rocosos, tensiones iniciales y presiones de
sostenimiento. Las ecuaciones 2.49 y 2.50, son las relaciones aproximadas de la
convergencia de la pared del túnel ( )%tε y la deformación del frente del mismo ( )%fε
en función de: el factor de competencia 0/ pcmσ y la razón 0/ ppi (relación entre la
presión de sostenimiento y la presión inicial de campo 0p ).
( ) ( )54.0/8.3/1/3
00
00115.0%
++−
⎟⎟⎠
⎞⎜⎜⎝
⎛⎟⎟⎠
⎞⎜⎜⎝
⎛−=
ppppcmi
tii
ppp σ
ε (2.49)
( ) ( )54.00/8.3/10/3
00
11.0%++−
⎟⎟⎠
⎞⎜⎜⎝
⎛⎟⎟⎠
⎞⎜⎜⎝
⎛−=
pippipcmi
f ppp σε (2.50)
Para mejorar el entendimiento del comportamiento de las deformaciones de
acuerdo con estas expresiones, se presenta la Fig. 2.59 y la Fig. 2.60 debidas a Barla
(2001).
Capítulo 2 Estado del conocimiento
91
Fig. 2.59 Forma de las curvas de la convergencia de la pared del túnel para diferentes valores de: 00 // ppyp icmσ (Barla; 2001).
Fig. 2.60 Forma de las curvas de deformación del frente de la excavación para diferentes valores de: : 00 // ppyp icmσ (Barla; 2001).
Capítulo 2 Estado del conocimiento
92
Sobre la base del tratamiento anterior y de los casos de un gran número de
túneles en Venezuela, Taiwán y la India, los autores de este método han propuesto la
curva de la Fig. 2.61 para que sirva como primera aproximación al estudio de los
problemas de inestabilidad de la pared del túnel.
Fig. 2.61 Clasificación del “squeezing” (Hoek; 2000).
A continuación se presenta la tabla comparativa, de la clasificación del
“squeezing”, entre este método y el anterior.
Tabla 2.2 Comparación de la clasificación del grado del squeezing de Aydan y otros (1996) y la clasificación de Hoek & Marinos (2000); Barla (2001).
Aydan y otros (1996) Hoek y Marinos (2000)
Clase Grado del “squeezing”
( )%ε de la pared del túnel
Grado del “squeezing”
( )%ε de la pared del túnel
1 Sin ocurrencia 1≤aθε Sin ocurrencia 1≤tε
2 Ligero 0.20.1 ≤< aθε Ligero 5.21 ≤< tε
3 Medio 0.30.2 ≤< aθε Severo 0.55.2 ≤< tε
4 Severo 0.50.3 ≤< aθε Muy severo 0.100.5 ≤< tε
5 Muy severo aθε<0.5 Extremadamente
severo tε<0.10
La estimación de la resistencia a compresión simple del macizo rocoso es una
tarea compleja. Un modo posible de estimarla podría ser empleando al expresión
propuesta por Hoek y Marinos (2000) para este tipo de análisis:
Capítulo 2 Estado del conocimiento
93
( )GSImciicm iem 1.08.0 025.0029.10034.0 −+= σσ
Siendo, ciσ la resistencia a compresión simple de la roca intacta, im y GSI los
parámetros del criterio de rotura de Hoek y Brown.
2.5 Modelos utilizados con métodos numéricos
En una revisión completa de lo métodos numéricos empleados en la ingeniería
de la mecánica de rocas publicada por Brown (1987), los métodos para resolver
problemas con dimensiones limitadas del espacio, tratado como un medio continuo,
están divididas en dos clases: aquellas en donde es necesario hacer aproximaciones
dentro del dominio del contorno y aquellas en donde únicamente es necesario hacer
aproximaciones al contorno.
La primera también es llamada clase de los métodos diferenciales y la segunda
clase de los métodos integrales. Además hay una clase de métodos muy útil y de
desarrollo reciente que combina ambas clases en la resolución de los problemas
particulares del medio continuo.
Los modelos numéricos presentados a continuación son aquellos que representan
el dominio del problema como un medio continuo y que se resuelven a través de los
métodos diferenciales. Estos son los métodos de diferencias finitas (FDM) y de
elementos finitos (FEM) ambos son métodos diferenciales del medio continuo, los
cuales requieren que se haga aproximaciones físicas y matemáticas dentro del espacio
limitado por el contorno del problema, Fig. 2.62.
En el método de las diferencias finitas (FDM), las soluciones numéricas se
obtienen por las ecuaciones resolventes en un arreglo de puntos dentro del dominio del
problema. Mientras que en el método de los elementos finitos (FEM), el dominio del
problema está subdividido en elementos discretos, los cuales proporcionan una
aproximación a la continuidad de los desplazamientos y tensiones dentro del continuo.
Para el caso de un medio continuo e isótropo, actualmente existen códigos
informáticos muy potentes para el análisis de las tensiones y deformaciones producidas
por la fluencia. En estos códigos, los modelos reológicos están implementados a través
de los métodos de las diferencias finitas (FDM) y de los elementos finitos (FEM). En la
medida en que se tengan valores acertados de los parámetros reológicos que rigen la
respuesta del macizo, se podrá predecir confiablemente el comportamiento a lo largo del
tiempo.
Capítulo 2 Estado del conocimiento
94
Con relación a las soluciones analíticas mostradas en el apartado 2.4.3 con estos
métodos se pueden hacer el estudio del comportamiento de la convergencia en
condiciones diversas como:
• Túneles no circulares.
• Estado de tensiones iniciales anisótropo.
• Excavación a través de etapas múltiples.
• Condiciones tridimensionales debido al avance del frente de la excavación.
Fig. 2.62 Modelización del límite exterior de un problema en un medio continuo: (a) Métodos diferenciales, (b) Métodos integrales.
Capítulo 2 Estado del conocimiento
95
2.5.1 Modelos viscoelásticos
2.5.1.1 Modelo de BURGER
Este modelo está implementado en la versión 3.0 del código informático
FLAC3D de la consultora Itasca, Inc , que utiliza el método de las diferencias finitas.
Es el modelo mas completo empleado en la simulación numérica del medio
continuo isótropo, viscoelástico en distorsión angular y elástico en deformación
volumétrica.
Fig. 2.63 Configuración mecanicista del modelo de Burger (ITASCA; 2005).
De acuerdo con la configuración mecanicista mostrada en la Fig. 2.63, el modelo
simula la deformación elástica así como la fluencia primaria y secundaria de la
distorsión angular. El cambio volumétrico es elástico y lineal. Como todos los modelos
viscoelásticos su resistencia es infinita.
2.5.2 Modelos viscoelásticos-plásticos
2.5.2.1 Modelo CVISC
Este modelo implementado dentro de la versión 3.0 del código informático
FLAC3D simula el comportamiento de un medio reológico con comportamiento
volumétrico elasto-plástico perfecto y con comportamiento viscoelástico-plástico
perfecto en distorsión angular. La relación constitutiva en el rango de deformaciones
elásticas es lineal y sigue la ley de Hooke, en el rango de deformaciones viscoelásticas
obedece al modelo de Burger teniendo un criterio de rotura de Mohr-Coulomb.
Capítulo 2 Estado del conocimiento
96
Fig. 2.64 Esquema del modelo CVISC (ITASCA; 2005).
La Fig. 2.64 muestra la configuración mecanicista del modelo. El criterio de
plastificación es 0=f , y su formulación, empleando los ejes principales; es:
Plastificación en corte:
φσσ φ NcNf 231 +−=
Plastificación a tracción:
3σσ −= tf
Siendo c , la cohesión del material, φ el ángulo de rozamiento interno,
( ) ( )φφφ sin1/sin1 −+=N , tσ es la resistencia a tracción, 1σ y 3σ la tensión principal mayor
y la tensión principal menor respectivamente.
La función potencial de plastificación g tiene la forma:
Falla en corte:
ψσσ Ng 31 −=
Falla a tracción:
3σ−=g
Siendo ψ el ángulo de dilatancia y ( ) ( )ψψψ sin1/sin1 −+=N .
2.5.3 Modelos elasto/viscoplásticos
2.5.3.1 Modelo VIPLA
Este modelo propuesto por Lemaitre y Chaboche (1996) está basado en el
tratado de la viscoplasticidad de Perzyna (1966). Indica que la velocidad de
deformación puede ser desacoplada en una parte elástica y en otra viscoplástica del
modo siguiente:
Capítulo 2 Estado del conocimiento
97
vp
ij
e
ijij•••
+= εεε (2.51)
El tensor velocidad de deformación viscoplástica se calcula con la regla de flujo
siguiente:
( )ij
vp
ijg
Fσ
γε∂
∂Φ=
• (2.52)
Donde γ es el parámetro de fluidez, F es la función de sobretensión y
representa la distancia desde la superficie de plastificación 0=f , g es el potencial
viscoplástico y ijσ el tensor de tensión.
La dependencia del tiempo se introduce en este modelo modificando la regla
clásica de flujo de la elastoplasticidad y desechando además la regla de la consistencia
0,0 ≤= fdf , permitiendo de este modo que la función de plastificación f sea positiva
o negativa. El potencial viscoplástico g define la dirección de vp
ij•ε y F influye en su
modulo a través de la función Φ .
En este modelo F es representada por la función de plastificación f y, Φ es
una función de tipo potencial:
nn fF ==Φ
Siendo n un parámetro constitutivo ( )1>n . La función de plastificación f está
desacoplada en dos partes: una parte f que depende únicamente del estado de tensiones
y la otra parte que depende únicamente de la deformación viscoplástica.
Su formulación es la siguiente:
( )( )vp
ij
ij
k
ff
ε
σ=
Para la función f se supone que el criterio de plastificación es el de Von Misses
( ) qf ij =σ , siendo q el tensor desviador.
El potencial de endurecimiento con la deformación se introduce a través de la
función:
( ) ( ) nmvp
qvpijk
−= εε
Capítulo 2 Estado del conocimiento
98
Siendo m un parámetro constitutivo ( )01 ≤<− mn y vpqε la deformación
desviadora viscoplástica: vpvpq J
εε
,23/4= , donde vpJ
ε,2 es el segundo invariante del
tensor de deformación viscoplástica desviadora. Bajo esta hipótesis , la condición de
0=f de la superficie de plastificación está limitada únicamente a la condición de
cambio volumétrico y no cambia con el tiempo. El potencial viscoplástico g se supone
igual a f , por lo tanto la regla de flujo es asociada. Con todas estas suposiciones las
deformaciones viscoplásticas dependen únicamente del estado de la tensión desviadora,
las cuales no inducen cambio volumétrico. Por lo tanto la ecuación 2.52 queda como:
( ) ijmvp
qn
vp
ij sq εγε 1
23 −
•=
En donde los parámetros constitutivos m y n definen respectivamente la
dependencia que tiene el tensor velocidad de deformación viscoplástica del tensor de
deformación viscoplástica equivalente y de la tensión desviadora. El parámetro γ define
la amplitud de la deformación viscoplástica.
2.5.4 Otros modelos
2.5.4.1 Modelo POTENCIAL
Este modelo tambien está implementado en la versión 3.0 del código informático
FLAC3D de la consultora Itasca, Inc , que utiliza el método de las diferencias finitas.
El modelo simula un medio con comportamiento volumétrico elástico lineal y,
dependiente del tiempo únicamente en distorsión angular. No tiene función de
plastificación por lo tanto tampoco tiene potencial plástica.
La ecuación 2.53, expresa la velocidad de deformación por fluencia en distorsión
angular.
ncr Aσε =
• (2.53)
Siendo A y n propiedades del material, ( ) 2/12/1
23 d
ijdij σσσ ⎟
⎠⎞
⎜⎝⎛= con d
ijσ el tensor
desviador de tensiones. FLAC3D incluye una opción de este modelo con dos
componentes, la cual es útil para los casos en los que es justificable el cambio de las
propiedades del material debido al incremento de la tensión.
21•••
+= εεε cr (2.54)
Capítulo 2 Estado del conocimiento
99
2.5.4.2 Modelo CPOW
Este modelo de nuevo implementado en la versión 3.0 del código informático
FLAC3D de la consultora Itasca Inc, a través del método de las diferencias finitas. Es
un modelo viscoelástico-plástico que combina el modelo potencial viscoelástico con el
modelo elastoplástico de Mohr-Coulomb. La velocidad de la deformación ij•ε total está
compuesta por la suma de la eij
•ε elástica, la c
ij•ε viscosa y la p
ij•ε plastica.
El incremento de la tensión desviadora lo produce únicamente la eij
•ε y está
expresado del siguiente modo:
⎟⎟⎠
⎞⎜⎜⎝
⎛−−=
••••pij
cijijij eeeGS 2
Siendo ijS•
la parte desviadora del tensor velocidad de tensiones y ije•
la parte
desviadora del tensor velocidad de deformaciones. El módulo tangente de corte es G .
El incremento de la tensión isótropa únicamente lo produce la parte elástica de la
deformación volumétrica, de acuerdo con la siguiente expresión:
⎟⎟⎠
⎞⎜⎜⎝
⎛−=
••• p
volvol eeK0σ
Siendo 3/3322110 ⎟⎠⎞
⎜⎝⎛ ++=
••••
σσσσ , ⎟⎠⎞
⎜⎝⎛ ++=
••••
332211 eeeevol y K es el módulo volumétrico
tangente.
La fluencia es activada por el tensor equivalente de Von Misses 23Jq = de
acuerdo con la ley potencial, siendo ( ) ijij SSJ 2/12 = el segundo invariante del tensor de
tensiones desviadoras y la velocidad de fluencia es:
ij
cr
c
ijSqee
∂∂
=••
La dirección del flujo debido a la fluencia se deriva de la definición de q :
q
SSq ij
ij 23
=∂∂
Por definición del modelo, la intensidad de la fluencia tiene dos componentes:
21
crcrcr eee•••
+=
Capítulo 2 Estado del conocimiento
100
Siendo:
⎪⎭
⎪⎬⎫
<
≥
⎩⎨⎧
=•
ref
refn
crq
qqAe
1
11
11
0 σ
σ
⎪⎭
⎪⎬⎫
>
≥
⎩⎨⎧
=•
ref
refn
crq
qqAe
2
22
22
0 σ
σ
ref1σ y ref
2σ son dos parámetros del modelo. La velocidad de deformación plástica
está definida en función de la función potencial de plastificación:
ij
p
volij
p
p
ij eg
ee δσ
•••−
∂∂
=31
Donde:
⎥⎦
⎤⎢⎣
⎡∂∂
+∂∂
+∂∂
=••
332211 σσσggg
ee p
p
vol
La dirección del flujo plástico ij
gσ∂∂ se expresa utilizando la definición de la
función potencial de plastificación g. La intensidad del flujo plástico pe•
es derivada del
criterio de plastificación 0=f y su formulación empleando los ejes principales es:
Plastificación en corte:
φσσ φ NcNf 231 +−=
Plastificación a tracción:
3σσ −= tf
Siendo c , la cohesión del material, φ el ángulo de rozamiento interno,
( ) ( )φφφ sin1/sin1 −+=N , tσ es la resistencia a tracción, 1σ y 3σ la tensión principal mayor
y la tensión principal menor.
La función potencial de plastificación g tiene la forma:
Falla en corte:
ψσσ Ng 31 −=
Falla a tracción:
3σ−=g
Capítulo 2 Estado del conocimiento
101
Siendo ψ el ángulo de dilatancia, ( ) ( )ψψψ sin1/sin1 −+=N .
2.5.4.3 Modelo SHELVIP
El modelo elasto-viscoplástico con endurecimiento está basado en el tratado de
la viscoplasticidad de Perzyna (1966). En este modelo propuesto por Debernardi (2008)
la velocidad de deformación tiene las siguientes componentes:
vp
ij
p
ij
e
ijij••••
++= εεεε (2.55)
La función de plastificación f cumple con la ley de la consistencia 0=pf y está
definida por el criterio de Drucker-Prager:
ppp kpqf −−= α
La deformación plástica pijε depende de la regla de flujo plástico de la teoría
clásica de la elastoplasticidad:
ij
ppij
gσ
λε∂
∂=
Siendo, pqg pp ω−= el potencial plástico que define la dirección de pijε , pω la
dilatancia plástica y λ el multiplicador plástico, el cual puede ser determinado utilizando
la condición de consistencia: 0=pdf , 0≤pf .
La velocidad de la deformación viscoplástica vp
ij•ε se produce cuando el estado de
tensiones actuantes está por encima de la superficie viscoplástica 0=vpf y por debajo de
la superficie de plastificación 0=pf mostradas en la Fig. 2.65; ambas definidas por el
criterio de Druker Prager. Ambas superficies se interceptan en el eje p y gracias a ello
es posible plantear:
⎟⎟⎠
⎞⎜⎜⎝
⎛−−=
p
pvpvp
kpqf
αα
Siendo vpα el parámetro viscoso de endurecimiento del material.
La velocidad de deformación viscoplástica vp
ij•ε se determina empleando la regla
de flujo de la teoría de la sobre tensión de Perzyna (1966):
( )ij
vpvp
ijg
Fσ
γε∂
∂Φ=
•
Capítulo 2 Estado del conocimiento
102
Donde la función de sobre tensión F se supone igual a la función viscoplástica
vpf y φ a través de la función potencial:
nvp
n fF ==Φ
Siendo n un parámetro constitutivo del material. El potencial viscoplástico
supuesto es pqg vpvp ω−= , siendo vpω la dilatancia viscoplástica. El endurecimiento de la
superficie viscoplástica está gobernado por al ecuación diferencial:
nm
vp
pp
vpvp
qf
kpf
mn ⎟⎟⎠
⎞⎜⎜⎝
⎛
+=
•
αα
/1
Donde m y n son parámetros constitutivos del material.
Fig. 2.65 Esquema del modelo SHELVIP en el plano (p,q) (Barla; 2008)
103
3 Desarrollo de la solución propuesta
3.1 Hipótesis
En esta tesis, el estudio de la convergencia de la cavidad excavada en los medios
viscoelásticos- plásticos propuestos se realizará haciendo las siguientes hipótesis:
• Antes de la apertura del túnel, el medio está en condiciones tensionales
isótropas (K0=1).
• Medio isótropo y homogéneo.
• Túnel de sección circular y excavado a sección completa.
• El campo de tensiones es constante, no evoluciona con el tiempo ni con las
deformaciones.
• Análisis en deformación plana con simetría axial de tensiones y
deformaciones.
• El material tiene un criterio de rotura constante, el cual no depende de la
evolución de deformaciones en el tiempo.
• Las deformaciones en la zona del macizo, donde las tensiones no han llegado
a las condiciones de rotura tienen carácter viscoelástico. Sus relaciones
constitutivas son reológicas tanto en distorsión angular como en cambio
volumétrico.
• Las deformaciones en la zona del macizo donde las tensiones verifican las
condiciones de rotura, son la suma de dos componentes:
La primera componente es viscoelástica tanto en distorsión angular como en
cambio volumétrico, y sus constantes viscoelásticas pueden ser o no iguales a las de
la zona donde no se ha alcanzado el criterio de rotura.
La segunda componente tiene un carácter puramente plástico y está regida por
la ley de dilatancia del material, la cual no depende del tiempo (acrónica).
3.2 Elementos del campo tenso-deformacional del medio
De acuerdo con las hipótesis del apartado anterior la deformación de los medios
viscoelásticos-plasticos propuestos en esta tesis son sumativas:
( ) ( ) ( ) ( ) pvol
pvevol
vepve tttt εεεεεεε γγ +++=+= (3.1)
Capítulo 3 Convergencia del túnel en los medios viscoelásticos-plásticos propuestos.
104
Siendo: ( )tε la deformación total del medio en el instante t , ( )vet γε la deformación
angular viscoelastica, ( )vevoltε la deformación volumétrica viscoelastica, p
γε la
deformación angular plástica y, pvolε la deformación volumétrica plástica.
Como consecuencia, la parte de la deformación total del medio que evoluciona a
lo largo del tiempo es la componente viscoelástica:
( ) ( ) ( )vevol
ve ttt•••
+= εεε γ (3.2)
La deformación plástica es acrónica, únicamente depende de las condiciones de
contorno impuestas al medio y de su relación constitutiva plástica. Por lo tanto la
trayectoria de tensiones para el cálculo de esta componente de la deformación depende
del criterio de rotura del medio. Mientras que la relación entre las componentes de
deformación volumétrica y de distorsión angular plásticas dependen de su ley de
plastificación. El medio sufre deformaciones plásticas en aquellas zonas en donde el
campo de tensiones verifica el criterio de rotura.
La componente viscoelástica de la deformación depende de la parte reológica de
la relación constitutiva del medio. La trayectoria de tensiones para el cálculo de esta
componente de la deformación proviene de la teoría de la elasticidad lineal. Según Fung
(1965): “excepto por la relación constitutiva del medio, en la teoría de la
viscoelasticidad lineal ocurren las mismas ecuaciones que en la teoría de la elasticidad
lineal”.
Con las hipótesis del apartado anterior, las fuerzas de masa no intervienen, por lo
tanto el macizo estará sometido al estado inicial isótropo de tensiones mostrado en la
Fig. 3.1. Hipótesis de Heim: zK hvvh γσσσσ ==== ;1/0 ; siendo γ el peso específico
aparente y z la profundidad desde la superficie libre del medio hasta la profundidad del
eje del túnel, Fig. 3.1.
Debido a que el medio es homogéneo e isótropo las funciones relacionadas con
las propiedades mecánicas y reológicas del medio no dependen de la posición ni de la
orientación de los ejes del elemento dentro del medio.
Debido a la simetría axial de tensiones y deformaciones es conveniente utilizar
el sistema de coordenadas polares ( )θ,r mostrado en la Fig. 3.2.
Capítulo 3 Convergencia del túnel en los medios viscoelásticos-plásticos propuestos.
105
Fig. 3.1 Condiciones de tensión inicial
uu
θr r
θ
a
Fig. 3.2 Orientación del sistema de coordenadas polares.
La excavación del túnel provoca la redistribución y reorientación de las
tensiones iniciales del medio alrededor del túnel. La simetría axial de tensiones y
deformaciones y el estado tensional inicial a compresión produce que: θσ sea la tensión
principal mayor orientada en la dirección tangencial a la cavidad del túnel y rσ sea la
tensión principal menor orientada en la dirección radial.
La Fig. 3.3. muestra el diagrama de sólido libre de un elemento diferencial
alrededor del túnel. Por la simetría axial, las ecuaciones de equilibrio interno se reducen
a plantear las condiciones de equilibrio del elemento diferencial en la dirección radial.
Su planteamiento produce la ecuación diferencial siguiente:
∑ = 0 radiales Fuerzas
Capítulo 3 Convergencia del túnel en los medios viscoelásticos-plásticos propuestos.
106
rdr
d rr σσσ θ −= (3.3)
Utilizando las variables de Lambe ( )qp, , la ecuación anterior se puede escribir
como:
⎟⎠
⎞⎜⎝
⎛ +±=drdq
rq
drdp 2
O en forma compacta:
( )qrddpr 22 ±=
Siendo:
⎟⎟⎠
⎞⎜⎜⎝
⎛<−>+−
±=+
=r
rrr
sisi
qpσσσσσσσσ
θ
θθθ
22
Fig. 3.3 Tensiones en un elemento diferencial alrededor del túnel circular con simetría axial de tensiones.
La Fig. 3.4 muestra los estados o zonas de deformación del medio viscoelastico-
plástico alrededor del túnel. El campo de tensiones actuantes alrededor del túnel y la
relación constitutiva del medio provocarán, que el medio se deforme únicamente
viscoelasticamente o que además se presente una zona con deformaciones
viscoelásticas-plásticas.
Capítulo 3 Convergencia del túnel en los medios viscoelásticos-plásticos propuestos.
107
Fig. 3.4 Estados de deformación alrededor del túnel.
3.2.1 La zona viscoelastica
Bajo las hipótesis de esta tesis, (indicadas en el apartado 3.1), según la solución
de Kirsch el campo de tensiones en coordenadas polares esta dado por las expresiones
siguientes:
0112
2
02
2
0 =⎟⎟⎠
⎞⎜⎜⎝
⎛−=⎟⎟
⎠
⎞⎜⎜⎝
⎛+= θθ τσσ rr r
aprap (3.4)
A partir del estado tensional inicial mostrado en la Fig. 3.1, en donde las
variables de Lambe eran 0pp = y 0=q , como resultado de la excavación del túnel que
provoca la redistribución y reorientación de las tensiones generando el campo de
tensiones expresado a través de las ecuaciones 3.4, p se mantiene constante y q
aumenta radialmente desde cero hasta su valor máximo en la interfase.
Las deformaciones a lo largo del tiempo t , de un elemento diferencial como el
mostrado en la Fig. 3.3 se estudiarán a través de sus componentes intrínsecas en
deformación plana: el cambio de volumen ( )tv o deformación isótropa y, el cambio de
forma, distorsión angular o deformación desviadora ( )tγ , calculados a través de las
expresiones siguientes:
( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )( ) ( ) ( )( ) ( )⎩
⎨⎧
<−>+
−±=+=ttsittsi
ttttttvr
rrr εε
εεεεγεε
θ
θθθ (3.5)
Siendo: ( )tθε la deformación principal mayor del elemento cuya orientación es la
direción tangencial y, ( )trε la deformación principal menor cuya orientación es la
dirección radial, asumiendo que se cumple el postulado de la coaxialidad.
Capítulo 3 Convergencia del túnel en los medios viscoelásticos-plásticos propuestos.
108
Debido a que la presión isótropa 0p es constante no hay cambio volumétrico del
medio en esta zona, solamente ocurren deformaciones por distorsión angular, ecuación
3.6.
( ) ( )tt veγγ = (3.6)
Siendo ( )tveγ la deformación por distorsión angular total en el instante t como
consecuencia de la excavación del túnel que produce la tensión desviadora q en el
tiempo 0=t . La evolución, a lo largo del tiempo, de esta deformación depende de la
relación constitutiva viscoelastica del medio.
Fig. 3.5 Trayectoria de las deformaciones en la zona viscoelástica para un instante “t”.
Empleando la formulación mecanicista del medio viscoelástico isótropo y
homogéneo, tratada en el apartado 2.1.6.1, la componente en distorsión angular de esta
relación es:
( )∑∂∂
=∑∂∂
==
N
kijk
k
kij
N
k k
k
k tet
bt
a00
''σ (3.7)
Gracias a que según las hipótesis iniciales de este capitulo, el caso que se estudia
se puede asemejar al de la apertura repentina de una cavidad en un medio viscoelastico
que para 0<t estaba en equilibrio. Reescribiendo la ecuación 3.7 con las variables ya
identificadas en este capítulo, la relación constitutiva es:
( )∑
∂∂
=∑∂∂
==
N
k k
k
k
N
k k
k
kt
tbq
ta
00 2γ
En forma compacta, esta ecuación diferencial de grado N es:
( ) ( ) ( )211tDQqDP γ
=
Capítulo 3 Convergencia del túnel en los medios viscoelásticos-plásticos propuestos.
109
En esta relación a ( )D se le denomina operador diferencial de tiempo, y tiene el
significado siguiente: k
kk
tD
∂∂
= . Por lo tanto, 11, QP son polinomios de grado N en D que
por equivalencia entre estas ecuaciones representan lo siguiente:
( ) ∑= ∂
∂=
N
k k
k
kt
aDP0
1 , ( ) ∑= ∂
∂=
N
k k
k
kt
bDQ0
1
Siendo: kk ba , coeficientes que así como N , dependen de la configuración
mecanicista del modelo viscoelástico.
Por lo tanto:
( ) ( )( ) qDQDPt
1
1
2=
γ (3.8)
Debido a que las deformaciones por fluencia son muy lentas, el problema se
puede tratar como “cuasi estático” e identificar la solución viscoelastica transformada al
dominio de la variable s de Laplace con la solución elástica correspondiente a las
mismas condiciones de contorno, fuerzas y geometría. Haciendo esto, la solución
viscoelastica transformada, obtenida de la teoría de la elasticidad lineal para la
distorsión en corte es:
ijij sGe '
21' σ= (3.9)
En donde la transformada de Laplace se simboliza con la barra colocada sobre la
función. Transformando la ecuación 3.8 para luego equipararla con la ecuación 3.9 se
obtiene que:
( ) ( )( ) qDQs
DPt
1
1
21
=γ (3.10)
( )( ) ( )sDQs
DPsG 0
1
1
21 φ==
De la que se obtiene que la expresión transformada del módulo de corte
viscoelastico es:
( )( )DPDQ
G1
12 = (3.11)
Después de resolver la función ( )s0φ se podría hallar la solución de la distorsión
angular haciendo la transformación inversa de la ecuación 3.10 con lo cual:
Capítulo 3 Convergencia del túnel en los medios viscoelásticos-plásticos propuestos.
110
( ) ( )( ) ( ){ } ( )qtqsLqDQsDPLt 00
1
1
11
21 φφγ ==
⎭⎬⎫
⎩⎨⎧
= −− (3.12)
Siendo ( )t0φ la solución en el dominio del tiempo de ( )s0φ obtenida por
transformación inversa de la solución de esta última función. La implementación de
( )s0φ y su solución para los medios propuestos en esta tesis, se presenta en el apartado
3.3.
3.2.2 La interfase viscoelástica – viscoelastoplástica
La interfase es la frontera entre las dos zonas, Fig. 3.4. La Fig. 3.6 muestra el
estado de tensión que se verifica en la interfase para que se cumpla la condición de
equilibrio.
Fig. 3.6: a.) Círculo de Mohr de tensiones en la interfase; b.) Variables de Lambe ( )Rqp ,0 en la interfase.
La evolución de las deformaciones en la interfase es el resultado de la evolución
de las deformaciones de la zona viscoelástica, por lo tanto su expresión es:
( ) ( )( ) ( ){ } ( ) RRRR qtqsLqDQsDPLt 00
1
1
11
21 φφγ ==
⎭⎬⎫
⎩⎨⎧
= −− (3.13)
Cuyo procedimiento de deducción es mostrado en el apartado anterior, siendo
Rq el desviador que actúa sobre la interfase.
Las ecuaciones 3.5 de las deformaciones intrínsecas, teniendo presente que el
cambio volumétrico de la zona viscoelastica es nulo, Fig. 3.7b, permite hallar que:
( ) ( )tt RR γε θ 2
1=
La cual es la expresión de la convergencia de la interfase obtenida a partir de la
ecuación de compatibilidad de deformaciones del medio continuo (Fig. 3.7a).
Capítulo 3 Convergencia del túnel en los medios viscoelásticos-plásticos propuestos.
111
Fig. 3.7: a.) Convergencia de la interfase b.) Circulo de Mohr de deformación de la interfase.
Además a partir de la convergencia de la interfase se puede hallar el corrimiento
de ella teniendo en cuenta que:
( ) ( )tR
ut RR =θε
Siendo: Ru el corrimiento y R el radio de la interfase.
3.2.3 La zona viscoelastica-plástica (zona rota)
La convergencia en el contorno del túnel ( )taθε , es el resultado de las
deformaciones viscoelásticas mas las deformaciones plásticas, ambas, por cambio de
volumen y por distorsión angular de la zona viscoelastica-plástica (a la que también se
le ha denominado zona rota porque el estado de tensiones está gobernado por el criterio
de rotura), la cual está sometida en la interfase a unas condiciones de contorno que
evolucionan con el tiempo en función de la reología de la zona viscoelástica, Fig. 3.8.
Fig. 3.8 Contornos de deformación de la zona viscoelastoplastica.
Capítulo 3 Convergencia del túnel en los medios viscoelásticos-plásticos propuestos.
112
La Fig. 3.9 muestra la trayectoria de tensiones del medio en la zona viscoelástica
- plástica cuando el criterio de rotura del medio es lineal y la Fig. 3.10 cuando el criterio
de rotura es no lineal. En ambos casos la trayectoria de tensiones es gobernada por el
criterio de rotura del medio. Es decir que en esta zona el medio sufre un proceso de
carga neutra. Como se aprecia en esas figuras, esta zona está delimitada por la interfase
y la pared de la cavidad.
Fig. 3.9 Trayectoria de tensiones en la zona viscoelástica – plástica, en variables de Lambe (p,q), cuando el criterio de rotura es lineal.
F ig . 3 .10 Trayector ia de tens iones en la zona v i scoe lás t ica – p lás t ica , en va r iables de Lambe
(p ,q ) , cuando e l c r i t e r io de ro tura es no l inea l .
Un elemento diferencial de esta zona identificado como (M) en la Fig. 3.9 o Fig.
3.10 sufrirá la trayectoria de tensiones C-B-M, la cual produce la disminución ( )pq ∇∇ ,
con respecto al estado tensional ( )0, pqR en (B).
Capítulo 3 Convergencia del túnel en los medios viscoelásticos-plásticos propuestos.
113
Esta variación de la presión isótropa y de la tensión desviadora, provocará en el
elemento diferencial deformaciones viscoelásticas por cambio volumétrico ( )tdv ver , y por
cambio de forma ( )td verγ .
La otra componente de las deformaciones del elemento, tendrán un carácter
puramente plástico, y estarán regidas por la ley de plastificación del material, las
mismas que se han considerado acrónicas. Éstas, sólo dependen del tiempo a través de
la condición de compatibilidad y de las condiciones de contorno.
Por lo tanto, las deformaciones intrínsecas de un elemento diferencial como el
mostrado en la Fig. 3.3, de esta zona, un tiempo t después de la apertura del túnel serán:
( ) ( ) ( ) ( ) pr
verr
pr
verr dtdtddvtdvtdv γγγ +=+= (3.14)
Siendo: ( )rtdv el cambio volumétrico total de esta zona, compuesto por la suma
del cambio volumétrico viscoelastico ( )tdv ver y el cambio volumétrico plástico p
rdv .
( )rtdγ el cambio de forma total, compuesto por el cambio de forma viscoelastico ( )td verγ
y por el cambio de forma plástico prdγ .
Siguiendo el procedimiento mostrado en el apartado 3.2.1 para hallar la
expresión del cambio de forma viscoelastico, la ecuación de ( )td verγ en esta zona es:
( ) ( )( )
( ){ } ( )dqtdqsLdqDQsDPLtd rr
r
rver 00
1
1
11
21 φφγ ==
⎪⎭
⎪⎬⎫
⎪⎩
⎪⎨⎧
= −− (3.15)
Con la diferencia de que la relación constitutiva viscoelastica es del medio en su
estado roto y del mismo modo las funciones ( )sr0φ y la transformada inversa de su
solución: ( )tr0φ .
Teniendo presente que el problema se trata como “cuasi estático”, la solución
viscoelastica transformada al dominio de la variable s de Laplace del cambio
volumétrico ( )tvd ver , obtenida por el principio de correspondencia a partir de la teoría de
la elasticidad lineal es:
( ) ( ) ( )dpsdpGs
tvd rur
rver φν 221
=−
= (3.16)
Capítulo 3 Convergencia del túnel en los medios viscoelásticos-plásticos propuestos.
114
Siendo: rν la transformada Laplace del coeficiente de Poissón viscoelastico del
medio roto, rG la transformada de Laplace del módulo de corte viscoelástico del medio
roto y ( ) ( ) sGs rrru 2/21 νφ −= .
El procedimiento para hallar la expresión de rG es el utilizado en el apartado
3.2.1 y su expresión es:
r
rr
P
QG
1
1
21
= (3.17)
Donde: ( )DQ r1 y ( )DP r
1 son las transformadas de los polinomios de la relación
constitutiva viscoelastica en distorsión angular del medio en estado roto.
Empleando el principio de correspondencia entre la elasticidad lineal y la
viscoelasticidad lineal en el dominio de la transformada de Laplace, se halla que la
expresión de la transformada del coeficiente de Poisson viscoelastico rν es:
( )rr
rrr
GKGK232
23+
−=ν (3.18)
La expresión de rG es la ecuación 3.17 y la expresión de rK se halla
equiparando la relación constitutiva viscoelastica en cambio volumétrico transformada
con la solución viscoelastica transformada obtenida a través del principio de
correspondencia.
Empleando la formulación mecanicista del medio viscoelástico isótropo y
homogéneo, tratada en el apartado 2.1.6.1, la componente en cambio volumétrico de
esta relación es:
( )∑∂∂
=∑∂∂
==
N
kkkk
k
kkk
N
k k
k
k tet
dt
c00
σ
En forma compacta, esta ecuación diferencial de grado N es:
( ) ( ) kkr
kkr eDQDP
22=σ (3.19)
Siendo ( )D el operador diferencial de tiempo, y cuyo significado es: k
kk
tD
∂∂
= .
Por lo tanto, rr QP22 , son polinomios de grado N en D que por equivalencia entre estas
ecuaciones representan lo siguiente:
Capítulo 3 Convergencia del túnel en los medios viscoelásticos-plásticos propuestos.
115
( ) ∑∂∂
==
N
k k
k
kr
tcDP
02, ( ) ∑
∂∂
==
N
k k
k
kr
tdDQ
02
Siendo: kk dc , coeficientes que así como N , dependen de la configuración
mecanicista del modelo viscoelástico.
La expresión 3.19 transformada es:
kkrkkr eQ
sP
22 =σ (3.20)
Por otra parte, teniendo en cuenta que el problema se está tratando como cuasi
estático, empleando el principio de correspondencia: la solución viscoelastica
transformada, obtenida de la teoría de la elasticidad lineal para el cambio volumétrico
es:
kkrkk
sKe σ
31
= (3.21)
En donde la transformada de Laplace se simboliza con la barra colocada sobre la
función. Equiparando las ecuaciones 3.20 y 3.21:
r
rr
P
QK
2
2
31
= (3.22)
Por lo tanto la expresión de rν en función de los polinomios de la relación
constitutiva del medio, hallada insertando las ecuaciones 3.22 y 3.17 en la ecuación 3.18
es:
rrrr
rrrrr
QPPQ
PQQP
2121
2121
2+
−=ν
Con lo cual la ecuación 3.16 en función de los polinomios de la relación
constitutiva del medio es:
( ) ( ) ( )dpsdpQPPQs
PPtvd rurrrr
rrver φ2
26
2121
21 =+
=
Después de resolver la función ( )sruφ se podrá hallar la solución del cambio
volumétrico haciendo la transformación inversa de la ecuación anterior, con lo cual:
( ) ( ) ( ){ } ( )dptdpsLdpQPPQs
PPLtdv ru
rurrrr
rrver φφ 22
232 1
2121
211 ==⎪⎭
⎪⎬⎫
⎪⎩
⎪⎨⎧
+= −− (3.23)
Capítulo 3 Convergencia del túnel en los medios viscoelásticos-plásticos propuestos.
116
Siendo ( )tru
φ la solución en el dominio del tiempo de ( )sru
φ obtenida por
transformación inversa de la solución de esta última función. La implementación de
( )sruφ y su solución para los medios propuestos en esta tesis, se presenta en el apartado
3.3.
La componente plástica de la deformación total expresada por la ecuación 3.14
depende de la ley de dilatancia ψsen cuya expresión es:
pr
pr
ddv
senγ
ψ −=
La razón de dilatancia es una función de las tensiones de rotura y por lo tanto del
ángulo de rozamiento instantaneo ρ , Serrano (1976). Por lo tanto:
ρψ Nsensen =
Siendo dpdqsen /=ρ , y N un factor que dependerá de las propiedades dilatantes
del material, Serrano (1976). El conocimiento de la razón de dilatancia permite obtener
la forma del incremento de la deformación plástica pero no su magnitud. Esta viene
dada por las condiciones de contorno. Las formulaciones de las leyes de dilatancia
propuestas en esta tesis se presentan en el apartado 3.6.
En resumen, las ecuaciones siguientes:
( ) ( ) ( ) ( ) pr
verr
pr
verr dtdtddvtdvtdv γγγ +=+= (3.24)
Se pueden escribir como:
( ) ( ) pr
rr ddqttd γφγ +=
02 (3.25)
( ) ( ) pr
rur dvdpttdv += φ2 (3.26)
El criterio de rotura se supone constante, no depende de la evolución de
deformaciones en el tiempo. Hay varias formas de expresar el criterio de rotura. Por
simplicidad, para el análisis de los casos en deformación plana, como es este, se emplea
el criterio expresado en las variables de Lambe “p” y “q”:
( )pqq = (3.27)
Además por conveniencia de tipo matemático, el criterio de rotura se expresará
en forma normalizada (adimensional), dividiendo las tensiones por el módulo resistente
Capítulo 3 Convergencia del túnel en los medios viscoelásticos-plásticos propuestos.
117
que en adelante se representará por β . Este módulo se definirá oportunamente para
cada criterio de rotura propuesto.
3.3 Configuración mecanicista de los medios propuestos
La Fig. 3.11 muestra la configuración mecanicista del medio viscoelástico –
plástico perfecto en corte. La componente viscoelástica está configurada por el medio
de Burger (apartado 2.1.6.1). A su vez, la componente plástica está configurada por el
patín conectado en serie. Al estar dispuestos en serie la deformación total en corte será
la suma de la deformación viscoelástica y la deformación plástica. Esta última se
producirá cuando la tensión aplicada llegue a la resistencia al deslizamiento ( )pq del
patín y según su ley de dilatancia ψ . Mientras que la deformación viscoelástica será
función de las constantes viscoelásticas del medio. Esta deformación será inmediata,
transitoria en el tiempo o también constante en el tiempo.
ψ2
ησ
1η
Fig. 3.11 Configuración mecanicista del medio propuesto (viscoelástico – plástico) en corte.
La configuración mecanicista del medio viscoelástico – plástico, en compresión
isótropa, se muestra en la Fig. 3.12. En este caso la componente viscoelástica está
configurada por el medio de Zener (apartado 2.1.6.1) o también llamado sólido estándar.
ψη σ
Fig. 3.12 Configuración mecanicista del medio propuesto (viscoelástico – plástico) en compresión isótropa.
Capítulo 3 Convergencia del túnel en los medios viscoelásticos-plásticos propuestos.
118
3.4 Funciones temporales (viscoelásticas) de los medios
propuestos
Con independencia de la parte plástica, se calculan a continuación las
transformadas de los polinomios 1P , 1Q , 2P , y 2Q para implementar las transformadas
( )s0φ , ( )sr0φ y ( )sr
uφ de las funciones temporales del medio propuesto.
3.4.1 Medio en cambio volumétrico
Como se ha propuesto en la Fig. 3.12, en cambio volumétrico viscoelástico el
medio tiene la configuración del sólido de Zener y está formada por el medio de Kelvin
dispuesto en serie con el medio elástico de Hooke como se muestra a continuación:
ση
Planteando las condiciones de deformación del medio, se tiene que:
( ) ( ) elasticokk
kelvinkkkk etete += . A su vez por la disposición en serie de los sólidos que forman este
medio, la tensión en compresión isótropa en ambos sólidos es la misma con lo cual: elasticakk
kelvinkkkk σσσ == . Por su parte la relación constitutiva del sólido de Kelvin es;
( ) ( )tv
kkkelvinkk K
te∂+
=η
σ
13y para el medio elástico su relación es:
23Ke kkelastico
kkσ
= .
Valiéndonos de estas condiciones y relaciones constitutivas parciales se ha
planteado la siguiente relación constitutiva del medio propuesto:
( ) ( )teKKK
Kkktvkkt
v ∂+=⎥⎥⎦
⎤
⎢⎢⎣
⎡∂+⎟⎟
⎠
⎞⎜⎜⎝
⎛+ ησ
η1
22
1 333
31 , siendo tt ∂
∂=∂
La que al transformarla al dominio de la variable s de Laplace se convierte en:
( ) ( )tesKsKK
Kkkvkk
v ηση
+=⎥⎥⎦
⎤
⎢⎢⎣
⎡+⎟⎟
⎠
⎞⎜⎜⎝
⎛+ 1
22
1 333
31 , de la cual se han obtenido los polinomios
siguientes de la relación en cambio volumétrico.
( ) sKsQ vη+= 12 3
( ) sKK
KsP v
22
12 3
1 η+⎟⎟
⎠
⎞⎜⎜⎝
⎛+=
Capítulo 3 Convergencia del túnel en los medios viscoelásticos-plásticos propuestos.
119
3.4.2 Medio en deformación por corte
A su vez en corte la configuración mecanicista de la componente viscoelástica
del medio propuesto es la siguiente (Fig. 3.11):
1η σ
η2
Este medio está formulado mecanicistamente por el medio de Kelvin dispuesto
en serie con el medio de Maxwell. Por la disposición de ambos medios se puede
plantear la siguiente condición en deformación; ( ) ( ) ( ) wellij
kelvinijij tetete max''' += .
A su vez en tensión se puede plantear la siguiente condición: well
ijkelvinijij
max''' σσσ == .
Por su parte la relación constitutiva para el caso de Kelvin es:
( ) ( )t
ijkelvinij G
te∂+
=112
''
ησ . Mientras que para el caso de Maxwell es:
( ) ijt
t
wellij
Gte '
12
' 22max ση
∂
⎟⎟⎠
⎞⎜⎜⎝
⎛+
∂
= .
Reemplazando las expresiones de ( ) ( ) wellij
kelvinij teyte max'' en la ecuación de ( )te ij' y
manipulando la ecuación resultante, se ha obtenido que la relación constitutiva del
medio completo es:
( ) ( ) ijttttijtt GGGGteG '
2222'2 2
2
1
2
1
2
1
2
1211 ση
ηη
ηη ⎟⎟
⎠
⎞⎜⎜⎝
⎛∂+∂+∂+∂+=∂+∂
Siendo tt ∂
∂=∂ y
tt
∂∂
=∂2
2 la primera y segunda derivada parcial con respecto al
tiempo. La cual se puede expresar en el dominio de la variable s de Laplace como:
( ) ( ) ijij sG
sssGGG
tessG '22
22'2 2
2
1
2
1
2
1
2
1211 σ
ηηη
ηη ⎟⎟
⎠
⎞⎜⎜⎝
⎛++++=+
De la cual se ha obtenido que los polinomios de la función en corte son:
( ) 2111 2 ssGsQ η+=
( ) 2
2
1
2
1
2
1
2
11 2
12 sG
sGGGsP η
ηη
η+⎟⎟
⎠
⎞⎜⎜⎝
⎛+++=
Capítulo 3 Convergencia del túnel en los medios viscoelásticos-plásticos propuestos.
120
3.4.3 Las funciones ( )s0φ , ( )sr0
φ y ( )sru
φ .
Por lo tanto, para el medio propuesto, las transformadas de las funciones
temporales de las ecuaciones 3.13, 3.15 y 3.23 serán las siguientes:
Para la zona viscoelástica:
( ) ( )( ) ( ) 2
11
2
2
1
2
1
2
1
2
1
1
10
2
21
2
ssG
sG
sGGG
sQssP
sη
ηηη
ηφ
+
+⎟⎟⎠
⎞⎜⎜⎝
⎛+++
==
Siendo: ( ) 2
2
1
2
1
2
1
2
11 2
12
sG
sGGG
sPη
ηη
η+⎟⎟
⎠
⎞⎜⎜⎝
⎛+++= ( ) 2
111 2 ssGsQ η+=
Para la zona viscoelástica – plástica (zona rota):
( ) ( )( ) ( ) 2
2
1
1
11
2
1
2
1
2
1
2
1
0 2
21
2
ssG
sG
sG
GG
sQssP
srr
r
r
r
r
r
r
r
r
rr
η
η
η
η
ηφ
+
+⎟⎟⎟
⎠
⎞
⎜⎜⎜
⎝
⎛+++
==
( ) ( ) ( )( ) ( ) ( ) ( ) ( )dcsbsass
hgsfses
sQsPsQsPs
sPsPs
rrrr
rrru
+++
+++=
⎥⎦⎤
⎢⎣⎡ +
=23
23
1221
21
2
3φ
Siendo:
⎟⎟
⎠
⎞
⎜⎜
⎝
⎛+=
rrrv
r
KGa
221
311ηηη
rvr
rrvr
rrvr
r
rr
r
rr
r
rv
r
G
G
K
G
K
K
G
Kb ηη
ηηη
η
η
ηη
2
1
2
11
2
11
2
11
2
1 22
3
23
3
2++++++=
rr
rr
r
rrr
r
rr
r
rv
rK
G
GK
K
GKG
KGc 1
2
11
2
111
2
11
2
1 66
22
64+++++=
η
η
η
η
r
rr KGd
2
1112
η=
rr
rv
r
KGe
22
1
2
ηη=
⎟⎟
⎠
⎞
⎜⎜
⎝
⎛++
⎟⎟
⎠
⎞
⎜⎜
⎝
⎛++=
r
r
r
r
r
r
r
r
r
rv
K
K
GG
G
Kf
2
1
2
1
2
1
2
1
21
2
31
η
η
ηη
Capítulo 3 Convergencia del túnel en los medios viscoelásticos-plásticos propuestos.
121
⎟⎟
⎠
⎞
⎜⎜
⎝
⎛++
⎟⎟
⎠
⎞
⎜⎜
⎝
⎛++=
r
r
r
r
r
r
rr
rv
r
G
G
K
K
K
Gg
2
1
2
1
2
1
22
1 1132
η
η
η
η
⎟⎟
⎠
⎞
⎜⎜
⎝
⎛+=
r
r
r
r
K
KGh
2
1
2
1 16
η
( ) 21
2
1
2
1
2
1
2
1
21
2s
Gs
G
GGsP
r
r
r
r
r
r
r
rr
η
η
η
η+
⎟⎟⎟
⎠
⎞
⎜⎜⎜
⎝
⎛+++= ( ) 2
1 112 ssGsQ rrr η+=
( ) sKK
KsP
r
rv
r
rr
22
1
312
η+
⎟⎟⎟
⎠
⎞
⎜⎜⎜
⎝
⎛+= ( ) sKsQ r
vrr η+=12
3
3.4.4 Las funciones ( )t0φ , ( )tr0φ y ( )tr
uφ
Para el estudio de la convergencia por fluencia es necesario expresar las
funciones temporales en el dominio del tiempo. Para ello es necesario hacer la
transformación inversa de la solución de las funciones ( )s0φ , ( )sr0φ y ( )sr
uφ con lo cual se
obtendría:
( ) ( ){ } ( )( )⎪⎭
⎪⎬⎫
⎪⎩
⎪⎨⎧
== −−
DQsDPLsLt
1
11 1
00φφ
( ) ( ){ } ( )( )⎪⎭
⎪⎬⎫
⎪⎩
⎪⎨⎧
== −−
DQsDPLsLt r
rrr
1
11 1
00φφ
( ) ( ){ } ( )⎪⎭⎪⎬⎫
⎪⎩
⎪⎨⎧
+== −−
rrrr
rrrr
QPPQsPPLsLt
uu
2121
211
23 1φφ
Para hacer la transformación inversa de un modo mecánico que se pueda
programar en un código informático, se ha elegido el procedimiento explicado a
continuación.
Debido a que en esta tesis se emplea la formulación mecanicista de los medios
visceolasticos las funciones ( )s0φ , ( )sr0
φ y ( )sru
φ son fracciones racionales propias de la
forma siguiente:
( ) ( )( )sNsMs =φ
Capítulo 3 Convergencia del túnel en los medios viscoelásticos-plásticos propuestos.
122
Con la condición de que ( )sM es un polinomio en s cuyo grado como máximo
es ( )1−n siendo n el grado del polinomio ( )sN . Este requisito significa que ( ) 0→sφ
si es que ∞→s con lo cual ( )tφ es una función propia.
Factorizando el polinomio denominador ( )sN , la fracción polinómica anterior
( )sφ descompuesta en fracciones parciales es:
( ) ( )( )
( )( ) ( ) ( ) ( ) rk n
rn
knn ssssssss
sMsNsMs
−−−−==
......2121
φ
La cual se puede escribir como:
( ) ( )( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )
( )∑∑= = −
=−
++−
+−
++−
+−
==
r
i
n
jj
i
ji
nr
nrn
n
i
r
r
ssC
ssC
ssC
ssC
ssC
ssC
sNsMs
1 1
2
21
1
12
1
21
1
11 ......1
1φ
Siendo n el grado del denominador e igual a:
∑=
=+++=r
iir nnnnn
121 ...
De tablas de transformadas de Laplace:
( ) ( )
tsj
ji
iejt
ssL
!11 1
1
−=
⎭⎬⎫
⎩⎨⎧
−
−−
Por lo tanto la transformada inversa de ( )sφ es:
( ) ( )∑ ∑−
== =
−r
i
in
j
tisjij etjC
t1 1
1
!1φ
Siendo:
( )( )
( )( )( ) ( ) ( )
( ) ini
i
issijin
jin
iij ss
sNsNsNsM
dsd
jnC
−=⎥
⎦
⎤⎢⎣
⎡−
==
−
−
,!
1
Para deducir la expresión de ijC se puede utilizar el siguiente procedimiento:
Multiplicar ambos lados de la ecuación de ( )sφ por ( ) knkss − es decir por el
exponente mayor de la raíz ks :
( ) ( )( ) ( )
( )∑ ∑−
−=−= =
r
i
in
jj
i
jiknk
knk ss
Css
sNsMss
1 1 (3.28)
Capítulo 3 Convergencia del túnel en los medios viscoelásticos-plásticos propuestos.
123
Si kss = todos los términos del lado derecho son cero, excepto el término
que tiene el denomidor ( ) knkss − el cual es
knkC . El lado izquierdo puede ser
calculado reduciendolo primero por el factor ( ) knkss − y luego reemplazando el valor
de kss = , con lo cual:
( )( )
( )
( )( )sNsM
sssNsMC
k
k
ksskn
k
knk =
⎥⎥⎥⎥
⎦
⎤
⎢⎢⎢⎢
⎣
⎡
−
=
=
Siendo:
( ) ( )( ) kn
kk ss
sNsN−
=
Para la determinación de los demás coeficientes ijC al diferenciar la ecuación
3.28 con respecto a s :
( ) ( )( ) ( )
( )( )
( )∑ ∑−
−∑ ∑ −−
−=−
= =+
= =
− r
i
in
jj
i
jiknk
r
i
in
jj
i
jiknkk
knk
ssjC
ssss
Cssn
sNsMss
dsd
1 11
1 1
1
( ) ( )( )
( ) ( )( )∑ ∑
−
−−−=
−= =
+
r
i
in
jj
i
jikikkn
k
ssCssjssn
sNsMss
dsd
1 11
Al sustituir kss = todos los términos del lado derecho son cero excepto el
que tiene el denominador ( ) 1−− knkss . El término con el denominador ( ) kn
kss − es cero
debido a que ahora 1−= knj . Por lo tanto el valor del lado derecho es:
( ) ( )( )
( )( )
kssk
k
kss
knk
knk sNsM
dsd
sNsMss
dsdC
==
− ⎥⎦
⎤⎢⎣
⎡=⎥
⎦
⎤⎢⎣
⎡ −=1
Diferenciando dos veces la ecuación 3.28 con respecto a s :
( )( )
( )( ) ( )( )∑ ∑
−−−−−
== =
+
−r
i
in
jijj
i
knk
knkik
k
Css
ssjssssndsd
sNsM
dsd
1 11
1
2
2
La cual se puede reescribir de la siguiente forma:
( )( )
( ) ( )( ) ( )( ) ( )( )( )∑ ∑
−−++−−−−−
−
=
= =+
− r
i
in
jijj
i
kikkikkknk
k
Css
ssjjssssjnssnnss
sNsM
dsd
1 12
222
2
2
121
Capítulo 3 Convergencia del túnel en los medios viscoelásticos-plásticos propuestos.
124
Al sustituir kss = todos los términos del lado derecho son cero excepto el
que tiene el denominador ( ) 2−− knkss . Por lo tanto el valor del lado derecho es:
( )( )
ksskknk sN
sMdsdC
=
− ⎥⎦
⎤⎢⎣
⎡= 2
2
2 21
Similarmente después de diferenciar p veces la ecuación 3.28 :
( )( )
ksskp
p
pknk sNsM
dsd
pC
=
− ⎥⎦
⎤⎢⎣
⎡=
!1
Retornando a la notación ijC , ik = y jpnk =− con lo cual se obtiene la
expresión del coeficiente:
( )( )
( )( )( ) ( ) ( )
( ) ini
i
issijin
jin
iij ss
sNsNsNsM
dsd
jnC
−=⎥
⎦
⎤⎢⎣
⎡−
==
−
−
,!
1
Recordando que la transformada inversa de ( )sφ es:
( ) ( )∑ ∑−
== =
−r
i
in
j
tisjij etjC
t1 1
1
!1φ
En el capítulo V se muestra el código escrito en Matlab 7.0 para resolver las
funciones temporales ( )t0φ , ( )tr0φ y ( )tr
uφ siguiendo el procedimiento que se ha
mostrado en este apartado.
3.5 Criterios de rotura de los medios propuestos
Hay varias formas de expresar el criterio de rotura. Por simplicidad, para el análisis de
los casos en deformación plana como es este, se ha empleado el criterio expresado en
las variables de Lambe “p” y “q”:
( )pqq = (3.29)
Además por conveniencia de tipo matemático, el criterio de rotura se ha
expresado en forma normalizada (adimensional), dividiendo las tensiones por el
“módulo resistente” que en adelante se representará por β y que se definirá
oportunamente para cada criterio de rotura propuesto.
Otro parámetro muy útil relacionado con el criterio de rotura es el ángulo de
rozamiento instantáneo ρ , (Serrano; 1976), definido por:
Capítulo 3 Convergencia del túnel en los medios viscoelásticos-plásticos propuestos.
125
dpdqsen =ρ (3.30)
En esta tesis se proponen tres criterios de rotura del medio viscoelástico –
plástico, los cuales se presentan a continuación:
• Criterio lineal de Mohr
• Criterio no lineal de Hoek y Brown (GSI>25)
• Criterio no lineal de Hoek y Brown (GSI<25).
3.5.1 Criterio lineal de Mohr
Este criterio normalizado y expresado a través de las variables de Lambe tiene la
expresión siguiente:
( ) φsenpq 1+=
Siendo en este caso el módulo resistente:
φβ ctgc=
A su vez el ángulo de rozamiento instantáneo queda expresado como:
( )1+=
pqsenρ
Donde: c es la cohesión y φ el ángulo de rozamiento del material. El ángulo de
rozamiento instantáneo ρ es constante y es igual a φ , Fig. 3.13.
Fig. 3.13 Criterio de rotura normalizado de Mohr (forma paramétrica de Serrano y Olalla).
3.5.2 Criterio no lineal de Hoek y Brown (GSI>25)
Este criterio se propone para los casos en que el criterio de rotura del medio se
ajusta mejor a la condición no lineal. Además según la propuesta de Hoek (1995) para el
caso de macizos con GSI>25.
Capítulo 3 Convergencia del túnel en los medios viscoelásticos-plásticos propuestos.
126
En la forma paramétrica de Serrano y Olalla (2000), la expresión de este criterio
de rotura es:
( ) qqpp 222 20 +=+= ζ
Expresión que está normalizada con el módulo de resistencia:
8
cimσβ =
Siendo ζ el coeficiente de tenacidad, cuya expresión es:
2
8m
s=ζ
Siendo: sym los parámetros de caracterización de Hoek y Brown y ciσ la
resistencia a compresión simple de la roca sin juntas.
Para este criterio de rotura el seno del ángulo de rozamiento instantáneo queda
expresado por la siguiente ecuación:
qdp
dqsen+
==1
1ρ
Fig. 3.14 Criterio original de rotura normalizado de Hoek (forma parametrica de Serrano y Olalla).
3.5.3 Criterio no lineal de Hoek (GSI<25)
Propuesto por Hoek (1994) para macizos con GSI<25, y dilatancia nula es el
segundo criterio no lineal de rotura de los medios propuestos.
La expresión de este criterio, al igual que los casos anteriores, parametrizada por
Serrano y Olalla (2000) es la siguiente:
( )( )qqnpp k−+=+= 110 ζ (3.31)
Capítulo 3 Convergencia del túnel en los medios viscoelásticos-plásticos propuestos.
127
La cual está normalizada con el modulo de resistencia β igual a:
cinA σβ =
Siendo, en la expresión del criterio de rotura; β el coeficiente de tenacidad
calculado con la expresión siguiente:
nmA
s=ζ
En este caso, el ángulo de rozamiento instantáneo estaría sería calculado a través
de:
kkq
sen+
=1
1ρ
Siendo: n
nk −=
1 , ( ) nn nmA /121 −−= , m, s y n los parámetros de Hoek y Brown.
Fig. 3.15 Criterio de rotura modificado normalizado de Hoek (forma parametrica de Serrano y Olalla).
3.6 Leyes de dilatancia de los medios propuestos
Como se sabe, la ley de dilatancia gobierna las deformaciones plásticas. En la
plasticidad perfecta solo se conoce la razón entre los incrementos de deformación
plástica pijdε que son el resultado de los incrementos de los corrimientos idu los que en
el lenguaje de la teoría de la plasticidad se les llama velocidades.
Así, la razón cambiada de signo, entre el incremento de deformación
volumétrica plástica pdv y el incremento de la distorsión máxima plástica pdγ está
definida como la “razón de dilatancia” o “razón de plastificación y en el caso de
deformación plana se expresa por ψsen :
Capítulo 3 Convergencia del túnel en los medios viscoelásticos-plásticos propuestos.
128
p
p
ddvsenγ
ψ −=
Siendo: ppp dddv 31 εε += el incremento de deformación volumétrica plástica,
ppp ddd 31 εεγ −= el incremento de distorsión angular máxima plástica, pd 1ε y pd 3ε los
incrementos principales de deformación plástica (Fig. 3.16).
Fig. 3.16 Circulo de Culman del incremento de deformación plástica.
La razón de dilatancia ψsen , es función de las tensiones de rotura y por lo tanto
del ángulo de rozamiento instantáneo ρ . Esta es la ley de plastificación que aquí se
expresará por:
ρψ Nsensen =
Su conocimiento permite obtener la forma del incremento de deformación
plástica pdε . Dadas las tensiones de rotura, las componentes intrínsecas del incremento
de deformación plástica son:
λγ =pd
Ndv p λ−=
Donde la magnitud viene dada por el parámetro indeterminado λ , el cual
depende de las condiciones de contorno.
Una manera alternativa de enfocar la obtención del incremento de deformación
plástica es mediante la función potencial plástica:
( ) 0=− pgq
Capítulo 3 Convergencia del túnel en los medios viscoelásticos-plásticos propuestos.
129
Por definición de la función potencial plástico ( )pg , las componentes del
incremento de deformación plástica son:
λγ =pd
dpdgdv p λ−=
Siendo el “vector incremento de deformación plástica” normal al potencial
plástico, Fig. 3.17:
Si se considera la ley de plastificación se tiene que:
dpdgsen =ψ
Si el potencial plástico es la misma función que el criterio de rotura ( ) ( )pgpq = ,
la ley de plastificación se llama asociada:
ρψ sendpdq
dpdgsen ===
Lo que quiere decir que los ángulos de rozamiento instantáneo y de dilatancia
son iguales.
Fig. 3.17 Criterio de rotura, potencial plástico y vector incremento de deformación plastica.
En general el ángulo de dilatancia de la roca es mucho menor que el ángulo de
rozamiento instantáneo, por lo tanto, frecuentemente la ley de dilatancia no es asociada.
Por este motivo en esta tesis se proponen también leyes de dilatancia no asociadas,
Capítulo 3 Convergencia del túnel en los medios viscoelásticos-plásticos propuestos.
130
constantes y lineales, con las cuales se pueda reproducir más cercanamente la evolución
de las deformaciones plásticas del medio.
3.6.1 Ley de dilatancia constante
Se usa a menudo debido a su sencillez y se expresa con la siguiente ecuación:
0ψψ sensen =
Según la ley de plastificación, el trabajo plástico de las tensiones en la rotura es:
ppp
pppp pdsen
pqpd
ddv
pqpdvqdT γψγ
γγ ⎟⎟
⎠
⎞⎜⎜⎝
⎛−=⎟
⎟⎠
⎞⎜⎜⎝
⎛+=+=Δ 0
El postulado de irreversibilidad de Praguer (1949) equivalente al 2º principio de
la Termodinámica establece que:
0≥Δ pT
En los criterios de rotura no lineales, pq / puede llegar a ser menor que 0ψsen
con lo cual se violaría el postulado de irreversibilidad (Fig. 3.18). Por lo tanto, se debe
ser prudente en estos casos y comprobar cuando se admita que 0ψψ = , no se viola este
postulado en la condición de tensiones actuantes.
Fig. 3.18 Condición de violación del postulado de irreversibilidad de Prager (después de Serrano, no publicado).
Por lo tanto se propone esta ley de dilatancia, principalmente para el caso del
criterio de rotura lineal de Mohr; en donde el ángulo de rozamiento interno φ es
constante.
Capítulo 3 Convergencia del túnel en los medios viscoelásticos-plásticos propuestos.
131
La propuesta mas clara que se puede citar con relación a esta ley es la de Hoek y
Brown (1998). En la cual estos autores proponen valores del ángulo de dilatancia en
función a la calidad de los macizos rocosos. La Tabla 3.1 es un resumen de esa
propuesta y se puede utilizar como guía para elegir el ángulo de dilatancia cuando se
pretenda utilizar esta ley. Adicionalmente a esta propuesta, Veermer y otros, basados en
evidencia experimental de laboratorio, han propuesto un valor del ángulo de dilatancia
igual a 2/φ para rocas con GSI = 100.
Tabla 3.1 Valores de dilatancia en función al ángulo de rozamiento
Calidad del macizo GSI Ángulo de dilatancia ( 0ψ )
Muy buena 75 4/φ
Buena 50 8/φ
Muy pobre 30 0
3.6.2 Ley de dilatancia lineal
Es una ley no asociada de forma muy sencilla con la que se puede modelar el
comportamiento dilatante de los macizos rocosos con gran aproximación, Fig. 3.19.
Fig. 3.19 Significado de la ley de dilatancia lineal.
Su expresión es:
( )critcrit
sensensen
sensen ρρ
ρψ
ψ −−
=1
max (3.32)
Siendo: critρ el ángulo de rozamiento instantáneo a partir del cual el material
deja de ser dilatante positivo y maxψ el ángulo máximo de dilatancia que se produce
cuando el material está sometido a tracción simple. A partir de la escasa información
disponible sobre la dilatancia en rotura de las rocas proporcionada por: Mogi (1966),
Capítulo 3 Convergencia del túnel en los medios viscoelásticos-plásticos propuestos.
132
Goodman (1980), Hoek y Brown (1980, 1997) y otros, Serrano y Olalla (2000)
elaboraron la Fig. 3.20.
0
10
20
30
40
50
60
70
80
90
5 10 15 20 25
Angulo de rozamiento crítico (º)
Ang
ulo
de d
ilata
ncia
máx
imo
(º)
RMR 30
RMR 50
RMR 75
RMR 100
Fig. 3.20 Relación entre maxψ y critρ para distintos valores de RMR.
En esta figura se proponen ángulos de dilatancia máxima y de rozamiento crítico
en función al RMR89 (índice de Bieniawski según su propuesta del año 1989). Los
cuales se podrían utilizar para implementar la expresión de esta ley de dilatancia. Para
basar la elección de estos parámetros en función del GSI, se podría utilizar la siguiente
correlación con el RMR89 debida a Hoek (1998):
589 −= RMRGSI
Donde el 89RMR tiene la razón debida al nivel freático igual a 15 y la corrección
por la orientación de las juntas igual a cero.
Se debe mencionar que en esta tesis, la ecuación 3.32 que gobierna las
deformaciones plásticas según esta ley de dilatancia; se ha empleado en la forma
siguiente debida a Serrano y Olalla:
asensen −= ρλψ
Siendo:
crit
crit
crit sensen
senasen
senρ
ρψ
ρψ
λ−
=−
=11 max
max
Capítulo 3 Convergencia del túnel en los medios viscoelásticos-plásticos propuestos.
133
En la resolución de las ecuaciones para hallar la convergencia además se
empleará el parámetro δ definido por:
( )21 a+
=λδ
La tabla siguiente muestra los valores de a , δ y λ obtenidos a partir de la Fig.
3.20.
Tabla 3.2 Valores sugeridos de λδ ya, en función del RMR.
RMR a δ λ
100 0.600 0.625 1.600
75 0.143 0.547 0.715
50 0.032 0.153 0.163
30 0 0 0
3.7 Planteamiento general del sistema de ecuaciones
resolvente
Reescribiendo la ecuación de equilibrio interno 3.3 de un elemento diferencial
de la zona rota empleando las variables de Lambe, siendo rσσ θ > y teniendo en cuenta
que en esta zona se verifica el criterio de rotura ( )pqq = , la ecuación de equilibrio
interno queda definida como:
( )dqqBr
dr=2 (3.33)
Siendo: ( )qsenqdq
dpqB 11111 ⎟⎟
⎠
⎞⎜⎜⎝
⎛−=⎟⎟
⎠
⎞⎜⎜⎝
⎛−=
ρ
Por otra parte, derivando la ecuación de la convergencia, ( ) ( )trtu rr θε= , con
respecto a r la ecuación de compatibilidad se podría escribir como:
( ) ( ) ( )dr
tdrt
drtdu r
rr θθ
εε +=
Teniendo en cuenta que por definición: ( ) ( )tdr
tdu pr
r ε= , la ecuación anterior se
podría escribir como:
( ) ( ) ( )dr
tdrtt
rrp
rθ
θε
εε +=
Capítulo 3 Convergencia del túnel en los medios viscoelásticos-plásticos propuestos.
134
De acuerdo con las expresiones de las deformaciones intrínsecas alrededor del
túnel se tiene que:
( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )ttsittttttv rr
rrr
rr
rr
rr εεεεγεε
θθθ>−=+=
Con lo cual, la ecuación de la compatibilidad se puede escribir en las dos formas
alternativas siguientes:
( ) ( ) 0=+ tdrdrtd r
r θεγ
( ) ( ) ( ) 02 =++ rrr tdvr
drttd γγ
Insertando la ecuación 3.33 en las dos ecuaciones anteriores, éstas se pueden
escribir del siguiente modo:
( ) ( ) ( ) 02 =+ tddqtqB rr θεγ (3.34)
( ) ( ) ( ) ( ) 0=++ rrr tdvdqtqBtd γγ (3.35)
Por otra parte, la ecuación de la dilatancia se puede escribir en la forma
siguiente:
0=+ pr
pr dvsend ψγ
Eliminando los incrementos de deformación plástica de esta ecuación,
empleando para ello las ecuaciones 3.25 y 3.26; la ecuación anterior se transforma en la
expresión siguiente:
( ) ( ) ( ) ( )dptdqsenttdvsentd ru
rrr φψφψγ 22
0+=+
Introduciendo en esta ecuación la condición de consistencia ρsendpdq =/ , esta
queda como:
( ) ( ) ( ) ( )dq
sent
senttdvsentdrur
rr ⎟⎟⎠
⎞⎜⎜⎝
⎛+=+
ρφ
ψφψγ2
20
Eliminando de esta el incremento de deformación volumétrica, empleando para
ello la ecuación de compatibilidad 3.35, la expresión final de la ley de dilatancia sería:
( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )⎟⎟⎠
⎞⎜⎜⎝
⎛+−=+−
ρφ
ψφγγ
ψsen
tsenttqB
dqtd
senrur
rr 2
210
(3.36)
Capítulo 3 Convergencia del túnel en los medios viscoelásticos-plásticos propuestos.
135
Esta ecuación junto con la ecuación 3.34, rescrita a continuación, forman el
sistema diferencial resolvente que rige la deformación viscoelástica-plastica.
( ) ( ) ( ) 02 =+ tddqtqB rr θεγ (3.37)
La integración de este sistema, permite obtener el valor de ( )taθε en la pared del
túnel ar = y con ello la convergencia ( )tua en el instante t después de la apertura del
túnel.
El sistema formado por las ecuaciones 3.36 y 3.37 es genérico, válido para
cualquier criterio de rotura que se pueda expresar de la forma ( )pqq = y cualquier ley de
dilatancia. Por lo tanto, es válido para el medio viscoelástico – plástico con cualquiera
de los criterios de rotura y leyes de dilatancia propuestos. Por otra parte se debe tener en
cuenta que las variables independientes de este sistema son q y t .
El método que se propone para la resolución de este sistema de ecuaciones es el
siguiente:
• Para el tiempo de interés 0>t , se debe resolver la ecuación diferencial en
( )trγ . La solución de esta ecuación teóricamente es sencilla ya que es de
primer orden con coeficientes solo dependientes de la variable independiente
q .
• Luego, la solución de ( )trγ en función de q se reemplaza en la segunda
ecuación del sistema diferencial resolvente y a través de una cuadratura se
obtiene la convergencia ( )taθε y con ella el desplazamiento de la pared del
túnel ( )tua .
Siguiendo este método, la solución genérica de ( )trγ , desarrollada con detalle en
el apéndice 1, es:
( ) ( ) ( )[ ] ( ) ( ) ( )[ ]( ) ( )[ ]qHdq
senqH
sentsentqqHtt
q
Rq
rur
RRr −⎟⎟⎠
⎞⎜⎜⎝
⎛
−⎟⎟⎠
⎞⎜⎜⎝
⎛+−−= ∫ exp
1exp22,exp 0 ψρ
φψφγγ (3.38)
Siendo:
( )[ ] ( )⎥⎦
⎤⎢⎣
⎡−
−=− ∫ dqsen
qBqHψ1
expexp (3.39)
Por lo tanto:
Capítulo 3 Convergencia del túnel en los medios viscoelásticos-plásticos propuestos.
136
( )[ ] ( )⎥⎦
⎤⎢⎣
⎡−
−=− ∫q
qRR dq
senqBqqH
ψ1exp,exp
Insertando esta función, en la expresión de la convergencia relativa (ecuación
3.37) e integrándola se halla la expresión general de la convergencia:
( ) ( ) ( ) ( )∫−=−q
Rqr
Rr dqtqBtt γεε θθ 21 (3.40)
Las expresiones de cada una de las funciones involucradas en la ecuación
general de la convergencia, dependerán del criterio de rotura ( )pq , de la ley de
dilatancia ψsen y de las funciones viscoelásticas de fluencia del medio ( )t0φ , ( )tr0
φ y
( )tru
φ las cuales se presentan en los apartados siguientes, particularizadas para cada uno
de los medios propuestos.
3.8 Convergencia del túnel en los medios propuestos
3.8.1 Medio con criterio de rotura lineal y dilatancia constante
Fig. 3.21 Estado de tensiones alrededor del túnel en un medio con criterio de rotura de Mohr.
A continuación se presentan las expresiones de: los parámetros de resistencia, de
deformabilidad, de las condiciones de contorno, y con ello de la expresión de la
convergencia en función del tiempo, particularizadas para este criterio de rotura y ley de
dilatancia.
La trayectoria de tensiones alrededor del túnel es la mostrada en la Fig. 3.21.
3.8.1.1 Parámetros de resistencia
Criterio de rotura: ( ) ϕsenpq 1+=
Capítulo 3 Convergencia del túnel en los medios viscoelásticos-plásticos propuestos.
137
Módulo resistente: ϕβ ctgc=
Cohesión: c
Angulo de rozamiento: ϕ
Coeficiente n: 11−=
ϕsenn
3.8.1.2 Parámetros de deformabilidad
Viscoelástica:
Funciones temporales: ( )t0φ , ( )tr0
φ y ( )tru
φ , las constantes viscoelásticas
del medio deben ser normalizadas con β .
Ley de dilatancia: 0ψψ sensen =
3.8.1.3 Tensiones de contorno
Estado de tensión inicial: 0p
Presión de sostenimiento: aσ
Presión crítica: n
p crit1
0 =
3.8.1.4 Condición de aparición de la zona viscoelástica-plástica.
Tensión inicial: critpp 00 >
Presión de sostenimiento: ( )( ) 1110 −−+=< ϕσσ senpRa
3.8.1.5 Planteamiento del sistema de ecuaciones resolvente
Ecuaciones del contorno:
En la pared del túnel: n
q aa
1+=
σ
En la interfase: ( ) ϕsenpqR 10 += ( ) ( ) RR qtt 02φγ =
( ) ( ) RR qtt 0φεθ
=
Cálculo de la distorsión angular:
( )qnqB =
( )[ ] ( ) 01
1exp,exp
ψ
ψ
senn
Rq
qRR q
qdqsen
qBqqH−
⎟⎟⎠
⎞⎜⎜⎝
⎛=⎥
⎦
⎤⎢⎣
⎡−
−=− ∫
Capítulo 3 Convergencia del túnel en los medios viscoelásticos-plásticos propuestos.
138
( ) ( ) ( ) ( )⎟⎟⎟
⎠
⎞
⎜⎜⎜
⎝
⎛
⎟⎟⎠
⎞⎜⎜⎝
⎛−
−+⎟⎟⎠
⎞⎜⎜⎝
⎛+−⎟⎟
⎠
⎞⎜⎜⎝
⎛=
−−
R
senn
Rrur
senn
RRr q
qsennsen
tsent
qtt01
000
01
0 11222
ψψ
ψϕφ
ψφφγ
Cálculo de la convergencia:
Insertando esta expresión en la ecuación 3.40 e integrándola, se halla que la
convergencia a la distancia r desde el eje del túnel y dentro de la zona viscoelastica-
plástica es:
( ) ( ) ( ) ( ) ( )
( )⎟⎟⎟
⎠
⎞
⎜⎜⎜
⎝
⎛−⎟⎟
⎠
⎞⎜⎜⎝
⎛⎟⎠
⎞⎜⎝
⎛ −+−
⎟⎟⎠
⎞⎜⎜⎝
⎛⎟⎟⎠
⎞⎜⎜⎝
⎛+
−++
⎥⎥⎥
⎦
⎤
⎢⎢⎢
⎣
⎡
⎟⎟⎟
⎠
⎞
⎜⎜⎜
⎝
⎛−⎟⎟
⎠
⎞⎜⎜⎝
⎛−+=
−
−
11
1111
010
000
01
00
ψ
ψ
θ
ψ
ϕφ
ψφψ
ψφε
senn
RRR
rur
senn
RR
r
qqq
nsen
sent
sentsenn
nq
qsenqtt
En el apéndice 1 se presenta detalladamente el procedimiento seguido para llegar
a esta expresión.
Particularizando la expresión para el caso de la pared del túnel, se obtendría la
expresión de ( )taθε en la que el parámetro de Lambe sería aqq = .
En el capitulo V, se presenta el código informático escrito en Matlab 7.0 con el
que se puede hallar la convergencia de la pared del túnel en el medio viscoelástico-
plástico con el criterio de rotura y la ley de dilatancia propuestos en este apartado.
3.8.2 Medio con criterio de rotura no lineal (GSI>25) y ley de
dilatancia lineal
Al igual que para el caso anterior, aquí se presenta la solución particular de la
convergencia para 0>t después de la apertura del túnel. En este caso la trayectoria de
tensiones es la mostrada en la Fig. 3.22, la misma que corresponde al criterio de rotura
no lineal de Hoek y Brown para GSI>25. Así mismo la ley de dilatancia del medio es
lineal.
3.8.2.1 Parámetros de resistencia
Criterio de rotura: qq
P +=+2
2
ζ
Módulo resistente: 8
cimσ
β =
Coeficiente de tenacidad: 2
8m
s=ζ
Capítulo 3 Convergencia del túnel en los medios viscoelásticos-plásticos propuestos.
139
Siendo ciσ la resistencia a compresión simple de la roca sin juntas, m y s
parámetros del criterio de rotura
3.8.2.2 Parámetros de deformabilidad
Viscoelástica:
Funciones temporales: ( )t0
φ , ( )tr0
φ y ( )tru
φ , las constantes viscoelásticas
deben estar normalizadas con el módulo resistente β .
Ley de dilatancia plástica: ( ) asenaasensen −+=−= ρδρλψ 21
3.8.2.3 Tensiones de contorno
Estado de tensión inicial: 0p
Presión de sostenimiento: aσ
Presión crítica: ζ20 =critp
3.8.2.4 Condición de aparición de la zona viscoelástica-plástica.
Tensión inicial: critpp 00 >
Presión de sostenimiento: ( ) 121 00 ++−+=< ζσσ ppRa
3.8.2.5 Planteamiento del sistema de ecuaciones resolvente
Ecuaciones del contorno:
En la pared del túnel: ( )ζσ += aaq 2
En la interfase: ( ) 121 0 −++= ζpqR ( ) ( ) RR qtt0
2φγ =
( ) ( ) RR qtt
0φε
θ=
Cálculo de la distorsión angular:
( )qsen
qBq
sen 1111
1⎟⎟⎠
⎞⎜⎜⎝
⎛−=
+=
ρρ
Empleando el cambio de variable: δ−++
=aq
x11
( )[ ] ( ) δδ
ψ−−=⎥
⎦
⎤⎢⎣
⎡−
−=− ∫ xexedqsen
qBqqH xR
Rxq
qRR 1
exp,exp
Capítulo 3 Convergencia del túnel en los medios viscoelásticos-plásticos propuestos.
140
( ) ( ) ( ) ( )( )
⎟⎠⎞
⎜⎝⎛ ++
+−⎟⎠⎞
⎜⎝⎛ −−=
∫∫∫
∫∫−+
−−−−−−−
dxxedxxedxxe
exatdxxeadxxeextxexeqtt
x
xR
xx
xR
xx
xR
x
xru
x
xR
xx
xR
xxrxR
RxRr
121
100
2
1222
δδδ
δδδδδδ
δδ
φδφφγ
Cálculo de la convergencia:
Insertando esta función en la ecuación 3.40 e integrándola se halla la expresión
siguiente de la convergencia a la distancia r desde el eje del túnel y dentro de la zona
rota:
( ) ( ) ( ) ( )
( ) ( )
( )( ) ⎟⎠⎞
⎜⎝⎛ +++
+⎟⎠⎞
⎜⎝⎛ −+
+++=
∫ ∫∫ ∫∫∫
∫ ∫∫∫
∫
−−−−−+−−
−−−−−
−−
dxxexedxxexedxxexeat
dxxexeadxxexeta
dxxexeqtaqtt
x
xR
x
xR
xxx
xR
x
xR
xxx
xR
xx
xR
xru
x
xR
x
xR
xxx
xR
xx
xR
xr
x
xR
xR
RxRR
r
1212
10
00
21
1
1
δδδδδδ
δδδδ
δδθ
δδφ
δφ
φφε
El procedimiento detallado seguido para llegar a esta expresión se presenta en el
apéndice 1. El cálculo de la convergencia para este caso, se realiza a través de una serie
sucesiva de cuadraturas. En el capitulo V se presenta el código informático escrito en
Matlab 7.0 con el que se calcula la evolución, en el tiempo, de la convergencia del túnel
excavado en el medio viscoelástico-plástico propuesto en este caso.
3.8.3 Medio con criterio de rotura no lineal (GSI<25) y ley de
dilatancia nula
Fig. 3.22 Estado de tensión alrededor del túnel en un medio con criterio de rotura generalizado de Hoek.
Al igual que en los casos anteriores, aquí se presenta la solución particular de la
convergencia para 0>t después de la apertura del túnel. En este caso la trayectoria de
tensiones es la mostrada en la Fig. 3.22, la misma que corresponde al criterio de rotura
Capítulo 3 Convergencia del túnel en los medios viscoelásticos-plásticos propuestos.
141
no lineal de Hoek y Brown para GSI<25. Para este caso: siguiendo la propuesta de
Hoek (1998), la cual ha sido tratada en el apartado 3.6.1, la dilatancia del medio es nula.
3.8.3.1 Parámetros de resistencia
Criterio de rotura: ( )( )qqnP k−+=+ 11ζ
Módulo resistente: cinA σβ =
Coeficiente de tenacidad: nmA
s=ζ
Siendo: ciσ la resistencia a compresión simple de la roca sin juntas, m s y n
parámetros del criterio de rotura, ( ) nn nmA
1
21−
−= y, n
nk −=
1
3.8.3.2 Parámetros de deformabilidad
Viscoelástica:
Funciones temporales: ( )t0
φ , ( )tr0
φ y ( )tru
φ , las constantes viscoelásticas
deben estar normalizadas con el módulo resistente β .
Ley de dilatancia plástica: 0=ψsen (propuesta de Hoek y Brown (1997), para
macizos rocosos con GSI<25).
3.8.3.3 Tensiones de contorno
Estado de tensión inicial: 0p
Presión de sostenimiento: aσ
Presión crítica: n
ncrit n
p ⎟⎠
⎞⎜⎝
⎛−
=10ζ
3.8.3.4 Condición de aparición de la zona viscoelástica-plástica.
Tensión inicial: 000 ≅> critpp
Presión de sostenimiento: ( ) nnRRa qn ζσσ −−=<1
1
3.8.3.5 Planteamiento del sistema de ecuaciones resolvente
Ecuaciones del contorno:
En la pared del túnel: n
naa n
q ⎟⎠
⎞⎜⎝
⎛−+
=1
ζσ
Capítulo 3 Convergencia del túnel en los medios viscoelásticos-plásticos propuestos.
142
En la interfase: ( )( ) RkRn qqnp −+=+ 110 ζ ( ) ( ) RR qtt
02φγ =
( ) ( ) RR qtt
0φε
θ=
Cálculo de la distorsión angular:
( ) 1
11 −=
+= k
k kqqBkq
senρ
( )[ ] ( ) ⎟⎠⎞⎜
⎝⎛ −−
=⎥⎦
⎤⎢⎣
⎡−
−=− ∫kRqkqq
qRR edq
senqBqqH
ψ1exp,exp
( ) ( ) ( ) ⎟⎠⎞
⎜⎝⎛ −−= −⎟
⎠⎞⎜
⎝⎛ − k
RqR
kqkqru
kqkRq
Rr eqqeeteqtt φφγ 220
Cálculo de la convergencia:
Insertando esta función en la ecuación 3.40 e integrándola se ha hallado la
expresión siguiente de la convergencia a la distancia r desde el eje del túnel dentro de
la zona viscoelástica-plástica:
( ) ( ) ( ) ( ) ⎟⎟⎠
⎞⎜⎜⎝
⎛⎟⎟⎠
⎞⎜⎜⎝
⎛−+−
+−=
⎟⎠⎞⎜
⎝⎛ −++⎟
⎠⎞⎜
⎝⎛ −
11
110
kqkRq
RkR
kru
kqkRq
Rr eqqq
kkteqtt φφε
θ
Al igual que en los casos anteriores, el procedimiento detallado seguido para
llegar a esta expresión se presenta en el apéndice 1.
Particularizando la expresión para el caso de la pared del túnel, se obtendría la
expresión de ( )taθε en la que el parámetro de Lambe sería aqq = .
En el capitulo V, se presenta el código informático escrito en Matlab 7.0 con el
que se puede hallar la convergencia de la pared del túnel en el medio viscoelástico-
plástico con el criterio de rotura y la ley de dilatancia propuestos en este apartado.
3.9 Convergencia del túnel con presión interior constante
En este apartado, se propone el método de cálculo de la evolución de la
convergencia de la cavidad cuando existe una presión interior constante. El método está
basado en el concepto de las líneas características de los medios reológicos, las cuales
evolucionan con el tiempo. Se propone para los casos de túneles en los que se espera
grandes deformaciones por fluencia y cuyos sostenimientos ejercen presión de soporte
constante después de la deformación inicial elástica. Este tipo de sostenimiento podría
ser el caso formado por cimbras metálicas con juntas deslizantes colocadas
Capítulo 3 Convergencia del túnel en los medios viscoelásticos-plásticos propuestos.
143
tempranamente. En la Fig. 3.23 se muestra el detalle de este tipo de junta en la cimbra
conocida como “Top Hat”.
El método que se presenta es gráfico. En él se hace uso de la evolución de las
líneas características del medio y de la presión de deslizamiento de la junta ( yaσ ). Para el
cálculo propuesto aσ sería igual a yaσ . En el tipo de cimbra mencionado en el párrafo
anterior, puede suceder que la presión máxima durante el deslizamiento sea menor que
la máxima soportada antes de que se produzca el deslizamiento. Esto debido a que el
coeficiente de rozamiento dinámico ( dμ ), sea menor que el coeficiente de rozamiento
estático ( sμ ). El método propuesto continuaría siendo válido debido a que; en el
concepto de las líneas características la trayectoria de tensiones de la presión de
sostenimiento es decreciente.
Fig. 3.23 Ensamblaje de las juntas deslizantes de las cimbras “Top Hat”.
La evolución, con el tiempo, de la línea característica del medio dependería de
las condiciones de contorno siguientes:
• De la profundidad a la que se halla el túnel, si se cumple que crtpp 00 > y que
Ra σσ < , condiciones que han sido definidas en el apartado 2.2.2. En ese
caso, la línea característica tiene un tramo viscoelástico y otro viscoelástico-
plástico. De lo contrario la línea característica es viscoelástica únicamente.
En este caso no se produce la zona rota alrededor del túnel, ni la interfase
viscoelástica-plástica, con lo cual las deformaciones alrededor del túnel son
únicamente de tipo viscoelástico.
• De la tensión desviadora máxima ( q ) producida por la excavación del túnel.
Cuando esta tensión, es menor que la resistencia a largo plazo del medio, la
evolución de la línea característica será temporal debido a que únicamente se
producirá fluencia transitoria. En este caso la convergencia del túnel
Capítulo 3 Convergencia del túnel en los medios viscoelásticos-plásticos propuestos.
144
sostenido ( ( )taθε ) tenderá hacia un valor finito como se pretende ilustrar en la
Fig. 3.24. La magnitud de la convergencia dependerá de la tensión de
deslizamiento de la junta ( yaσ ) y de los valores de las propiedades reológicas
del medio. Cuando el valor máximo de la tensión desviadora ( q ) producida
por la excavación del túnel es mayor que el de resistencia a largo plazo del
medio, la evolución de la línea característica será continua a lo largo del
tiempo. Esto debido a que además de la fluencia transitoria el medio sufrirá
también fluencia secundaria. En este caso, la evolución de la convergencia
( )taθε continuará hasta la ocurrencia del colapso por fluencia terciaria.
Fig. 3.24 Método propuesto para calcular la evolución de la convergencia de la cavidad con presión de sostenimiento constante.
Los pasos del método propuesto son:
• Dibujar las líneas características para diferentes tiempos, abarcando el
periodo de tiempo del estudio, como se muestra en la Fig. 3.24.
• Obtener la evolución de la convergencia, en el tiempo, a partir de leer en las
líneas características de la cavidad: el valor correspondiente a la presión de
sostenimiento ( yaσ ).
En el capitulo 5, se presenta la implementación informática del método
propuesto. En ese capítulo, se muestra el código informático denominado “lincar”, con
el cual se puede calcular y dibujar las líneas características del medio para diferentes
instantes de tiempo. Además, empleando este código, se muestran las soluciones de los
casos resueltos para los diferentes medios propuestos en esta tesis.
145
4 Obtención experimental de los parámetros del
medio
4.1 Respuesta total del medio
De acuerdo con las hipótesis del capítulo anterior las deformaciones de los
medios viscoelásticos-plásticos propuestos en esta tesis son sumativas:
( ) ( ) ( ) ( ) pvol
pvevol
vepve tttt εεεεεεε γγ +++=+=
Siendo: ( )tε la deformación total del medio en el instante t , ( )vet γε la deformación
angular viscoelástica, ( )vevoltε la deformación volumétrica viscoelástica, p
γε la
deformación angular plástica y, pvolε la deformación volumétrica plástica.
Como consecuencia, la parte de la deformación total del medio; que evoluciona
a lo largo del tiempo es la componente viscoelástica:
( ) ( ) ( )vevol
ve ttt•••
+= εεε γ
La deformación plástica es acrónica, únicamente depende de las condiciones de
contorno impuestas al medio, del criterio de rotura y de la ley de dilatancia. La relación
entre las componentes de deformación volumétrica y de distorsión angular plásticas
depende de su ley de dilatancia. El medio sufre deformaciones plásticas cuando el
campo de tensiones verifica el criterio de rotura.
La Fig. 4.1 muestra la configuración mecanicista del medio viscoelástico –
plástico perfecto en distorsión angular con comportamiento viscoelástico de tipo
Burger, criterio de rotura )( pqq = el cual puede ser cualquiera de los criterios tratados
anteriormente en el apartado 3.5, y ley de dilatancia )(ρψψ = tratada anteriormente en
el apartado 3.6.
La determinación de las constantes reológicas, en distorsión angular, del medio
se puede realizar ajustando la parte desviadora de la respuesta teórica viscoelástica a la
parte desviadora de la curva experimental del ensayo de fluencia.
La Fig. 4.2 muestra la configuración mecanicista del medio viscoelástico –
plástico perfecto en cambio volumétrico con comportamiento viscoelástico de tipo EKS,
criterio de rotura )( pqq = el cual puede ser cualquiera de los criterios tratados
Capítulo 4 Experimentación y determinación de los parámetros del modelo
146
anteriormente en el apartado 3.5, y ley de dilatancia )(ρψψ = tratada anteriormente en
el apartado 3.6.
La determinación de las constantes reológicas, en cambio volumétrico, del
medio se puede realizar ajustando la parte volumétrica de la respuesta del modelo
viscoelástico a la parte volumétrica experimental del ensayo de fluencia.
ψ2
ησ
1η
Fig. 4.1 Configuración mecanicista del modelo viscoelástico – plástico en distorsión angular.
ψη σ
Fig. 4.2 Configuración mecanicista del modelo viscoelástico – plástico en cambio volumétrico.
4.2 Componente viscoelástica de la respuesta
La Fig. 4.3 muestra la configuración mecanicista viscoelástica del medio en
compresión isótropa.
En este modelo la deformación volumétrica total es: ( ) ( ) elasticokk
kelvinkkkk etete += y la
tensión isótropa es 3/kkσ . elasticakk
kelvinkkkk σσσ == , siendo ( ) ( )tv
kkkelvinkk K
te∂+
=η
σ
13 la
deformación temporal, y 23K
e kkelasticokk
σ= la deformación inmediata.
La relación constitutiva del modelo es la siguiente expresión:
( ) ( )teKKK
Kkktvkkt
v ∂+=⎥⎥⎦
⎤
⎢⎢⎣
⎡∂+⎟⎟
⎠
⎞⎜⎜⎝
⎛+ ησ
η1
22
1 333
31
Capítulo 4 Experimentación y determinación de los parámetros del modelo
147
Siendo; tt ∂
∂=∂ , el operador diferencial con respecto al tiempo, en la notación
corta mostrada en el apartado 2.1.6.1 la relación constitutiva anterior es:
( ) ( ) ( )teDQDP kkkk 22 =σ
Siendo t
D∂∂
= , por lo tanto en la ecuación anterior los términos son polinomios
del operador diferencial del tiempo.
ση
Fig. 4.3 Configuración mecanicista de la componente viscoelástica del medio en compresión isótropa.
Empleando la transformación de Laplace para el cálculo de la respuesta
viscoelástica tal como se ha mostrado en el apartado 2.1.6.1.1 del capítulo anterior, la
transformada de la relación constitutiva en notación corta es:
( ) ( ) ( ) ( )sesQssP kkkk 22 =σ
Siendo para este caso particular: ( ) sKsQ vη+= 12 3 y ( ) sKK
KsP v
22
12 3
1η
+⎟⎟⎠
⎞⎜⎜⎝
⎛+= ambos
polinomios de la variable “s” de Laplace.
Teniendo presente que el tensor de tensión isótropa es constante, la ecuación
anterior se puede escribir como:
( ) ( ) ( )sesQs
sP kkkk
22 =σ (4.1)
Por otra parte, teniendo en cuenta que el fenómeno de la fluencia se está tratando
como cuasi estático; empleando el principio de correspondencia con la teoría de la
elasticidad lineal, la solución viscoelástica transformada, para el cambio volumétrico es:
( ) kkkksK
se σ3
1=
Equiparando estas dos últimas ecuaciones, se halla la expresión del módulo
volumétrico en el dominio de la transformada de Laplace:
Capítulo 4 Experimentación y determinación de los parámetros del modelo
148
( ) ( )( )sPsQ
sK2
23 =
O también:
( )
( )( )sPsQ
sK 2
2
31
=
Por lo tanto, la ecuación (4.1) que es la expresión de la componente viscoelástica
en cambio volumétrico en el dominio de la transformada de Laplace se puede escribir
del siguiente modo:
( ) ( )( )
( ) kkvolkkkkkk ssPssQ
sKse σφσσ ===
2
2
31
Haciendo la transformación inversa de ( )sekk se obtiene la respuesta en el
dominio del tiempo:
( ) ( )( )
( ){ } ( ) kkvolkkvolkkkkkk tsLsPssQ
LsK
Lte σφσφσσ ==⎪⎭
⎪⎬⎫
⎪⎩
⎪⎨⎧
=⎭⎬⎫
⎩⎨⎧= −−− 1
2
211
31
De la expresión anterior, se deduce que el cálculo de la respuesta viscoelástica
del medio formulado de modo mecanicista; consiste en resolver la función ( )svolφ en el
dominio de la variable “ s ” de Laplace para luego a través de la transformación inversa
de Laplace hallar la función ( )tvolφ .
Siguiendo el procedimiento mostrado en el apartado 3.3.5.2 se obtiene la
expresión de esta función del modo siguiente:
( ) ( )( ) ( )sKs
sKK
K
sPssQ
sv
v
vol η
η
φ+
+⎟⎟⎠
⎞⎜⎜⎝
⎛+
==1
22
1
2
2
33
1
La cual se puede escribir del siguiente modo; factorizando el polinomio
denominador:
( ) ( )( )
( )( )sNsM
Kss
sKK
K
sPssQ
s
v
vvol =
⎟⎟⎠
⎞⎜⎜⎝
⎛+
+⎟⎟⎠
⎞⎜⎜⎝
⎛+
==
η
ηφ
1
22
1
2
2
3
3111
La función temporal ( )tvolφ será de la forma:
Capítulo 4 Experimentación y determinación de los parámetros del modelo
149
( ) ( ){ } ( )∑ ∑−
=== =
−− r
i
in
j
tisjijvolvol et
jC
sLt1 1
11
!1φφ
En la que las raíces del denominador son 01 =s y v
Ksη
12
3−= , por lo tanto el
número de raíces es 2=r y el número de veces que se repite cada una es 1=in . Con lo
cual la expresión de la función temporal será:
( ){ } ( )t
v
K
volvol eCCtsL ηφφ13
21111
−− +==
Siendo:
( )( )
( )( )( ) ( ) ( )
⎟⎟⎠
⎞⎜⎜⎝
⎛+
=⎥⎦
⎤⎢⎣
⎡=
=
v
s Ks
sNsNsNsM
dsdC
η1
101
0
0
11 3,
!01 , por lo tanto: ⎟⎟
⎠
⎞⎜⎜⎝
⎛+=
2111 3
13
1KK
C
( )( )
( )( )( ) ( ) ( )
ssNsN
sNsM
dsdC
v
Ks
=⎥⎦
⎤⎢⎣
⎡=
−=
2132
0
0
21 ,!0
1
η
, con lo cual: 1
21 31K
C −=
Reemplazando los valores de los coeficientes y las raíces, se obtiene que la
función temporal en el dominio del tiempo es:
( )⎟⎟
⎠
⎞
⎜⎜
⎝
⎛−+=
− tv
K
vol eKK
t ηφ13
12
13
13
1
Finalmente la respuesta del cambio volumétrico en el dominio del tiempo se
puede escribir como:
( ) kk
tv
K
kk eKK
te ση
⎪⎭
⎪⎬⎫
⎪⎩
⎪⎨⎧
⎟⎟
⎠
⎞
⎜⎜
⎝
⎛−+=
− 13
12
13
13
1
σ3K
kk
2
1
kk
3Kσ σ
3Kkk
2+kk
Fig. 4.4 Forma de la respuesta viscoelástica, en cambio volumétrico, del medio.
Capítulo 4 Experimentación y determinación de los parámetros del modelo
150
La Fig. 4.4 muestra la forma de esta respuesta viscoelástica; la cual está formada
por una deformación inmediata y luego una deformación diferida en el tiempo debido a
la fluencia transitoria la que se detiene con el transcurso del tiempo.
En este modelo, ( ) ( ) ( )maxwellkelvin ''' ijijij tetete += y maxwell''' ijkelvinijij σσσ == , siendo
( ) ( )t
ijkelvinij G
te∂+
=112
''
ησ , y ( ) ij
t
t
ij
Gte '
12
' 22maxwell ση
∂
⎟⎟⎠
⎞⎜⎜⎝
⎛+
∂
= . Reemplazando las expresiones de
( ) ( ) wellij
kelvinij teyte max'' en la ecuación de ( )te ij' y operando, se obtiene que la relación
constitutiva del modelo se puede escribir de la siguiente manera:
( ) ( ) ijttttijtt GGGGteG '
2222'2 2
2
1
2
1
2
1
2
1211 ση
ηη
ηη ⎟⎟
⎠
⎞⎜⎜⎝
⎛∂+∂+∂+∂+=∂+∂
Siendo; tt ∂
∂=∂ , y
tt
∂∂
=∂2
2 .
En la notación corta mostrada en el apartado 2.1.6.1 la relación constitutiva
anterior se puede escribir como:
( ) ( ) ( )teDQDP ijij '' 11 =σ
Siendo t
D∂∂
= .
La Fig. 4.5 muestra la configuración del medio en distorsión angular.
1η σ
η2
Fig. 4.5 Configuración mecanicista de la componente viscoelástica del modelo en distorsión angular.
Empleando la transformación de Laplace para el cálculo de la respuesta
viscoelástica tal como se ha mostrado en el apartado 2.1.6.1.1 del capítulo anterior, la
transformada de esta relación constitutiva en notación corta es:
( ) ( ) ( ) ( )sesQssP ijij '' 11 =σ
Siendo para este caso particular: ( ) 2111 2 ssGsQ η+=
( ) 2
2
1
2
1
2
1
2
11 2
12 sG
sGGGsP η
ηη
η+⎟⎟
⎠
⎞⎜⎜⎝
⎛+++= ambos polinomios de la variable “s” de Laplace.
Capítulo 4 Experimentación y determinación de los parámetros del modelo
151
Teniendo presente que el tensor de tensión desviadora es constante, la ecuación
anterior se puede escribir como:
( ) ( ) ( )sesQs
sP ijij ''
11 =σ (4.2)
Por otra parte, teniendo en cuenta que el fenómeno de la fluencia se está tratando
como cuasi estático empleando el principio de correspondencia con la teoría de la
viscoelasticidad lineal, la solución viscoelástica transformada, obtenida de la teoría de la
elasticidad lineal para la distorsión angular será:
( ) ijij sGse '
21' σ=
Equiparando estas dos últimas ecuaciones, se halla que la expresión del módulo
corte en el dominio de la transformada de Laplace es la función polinómica real
siguiente:
( ) ( )( )sPsQ
sG1
12 =
O también:
( )
( )( )sPsQ
sG 1
1
21
=
Por lo tanto, la ecuación (4.2) que es la expresión de la componente viscoelástica
en distorsión angular en el dominio de la transformada de Laplace se puede escribir del
siguiente modo:
( ) ( )( )
( ) ijijijij ssPssQ
sGse '''
21'
1
1 σφσσ γ===
Haciendo la transformación inversa de ( )se ij' se obtiene que la respuesta en el
dominio del tiempo es:
( ) ( )( )
( ){ } ( ) ijijijijij tsLsPssQ
LsG
Lte ''''2
1' 1
1
111 σφσφσσ γγ ==⎪⎭
⎪⎬⎫
⎪⎩
⎪⎨⎧
=⎭⎬⎫
⎩⎨⎧= −−−
Al igual que para la componente en cambio volumétrico, para este caso el
cálculo de la respuesta viscoelástica del medio formulado de modo mecanicista;
consiste en resolver la función ( )sγφ en el dominio de la variable “ s ” de Laplace para
luego a través de la transformación inversa de Laplace hallar la función ( )tγφ .
Capítulo 4 Experimentación y determinación de los parámetros del modelo
152
Siguiendo el procedimiento mostrado en el apartado 3.3.5.2 se obtiene la
expresión de esta función es:
( ) ( )( ) ( )2
11
2
2
1
2
1
2
1
2
1
1
1
22
12
ssGs
sG
sGGG
sPssQ
sη
ηηη
ηφγ +
+⎟⎟⎠
⎞⎜⎜⎝
⎛+++
==
La cual se puede escribir del modo siguiente factorizando el polinomio
denominador:
( ) ( )( )
⎟⎟⎠
⎞⎜⎜⎝
⎛+
+⎟⎟⎠
⎞⎜⎜⎝
⎛+++
==
sGs
sG
sGGG
sPssQ
s
1
12
2
2212
1
112
1
1
1
2
211112
η
ηηηηηφγ
La función temporal ( )tγφ será de la forma:
( ) ( ){ } ( )∑ ∑−
=== =
−− r
i
in
j
tisjijvolvol et
jC
sLt1 1
11
!1φφ
En la que las raíces del denominador son 01 =s y 1
12
2ηGs −= , por lo tanto el
número de raíces es 2=r y el número de veces que se repite cada una es 21 =n y 12 =n .
Con lo cual la expresión de la función temporal será:
( ){ } ( )tG
eCtCCtsL 112
2112111 η
γγ φφ−
− ++==
Siendo:
( )( )
( )( )( ) ( ) ( )
⎟⎟⎠
⎞⎜⎜⎝
⎛+
=⎥⎦
⎤⎢⎣
⎡=
=
1
11
011
1
11 2,
!11
ηGs
sNsNsNsM
dsdC
s
, con lo cual: ⎟⎟⎠
⎞⎜⎜⎝
⎛+=
2111 2
12
1GG
C
( )( )
( )( )( ) ( ) ( )
⎟⎟⎠
⎞⎜⎜⎝
⎛+
=⎥⎦
⎤⎢⎣
⎡=
=
1
11
010
0
12 2,
!01
ηGs
sNsNsNsM
dsdC
s
, con lo cual: 2
121
η=C
( )( )
( )( )( ) ( ) ( )
22
1122
0
0
21 ,!0
1s
sNsNsNsM
dsdC
Gs
=⎥⎦
⎤⎢⎣
⎡=
−=η
, con lo cual: 1
21 21G
C −=
Reemplazando los valores de los coeficientes y las raíces, se obtiene que la
función temporal en el dominio del tiempo es:
( ) teGG
tt
G
2
112
12
112
12
1η
φ ηγ +
⎟⎟
⎠
⎞
⎜⎜
⎝
⎛−+=
−
Capítulo 4 Experimentación y determinación de los parámetros del modelo
153
Finalmente reemplazando esta expresión de ( )tγφ en la componente en distorsión
angular de la relación constitutiva viscoelástica, se obtiene que la respuesta en
distorsión angular en el dominio del tiempo es:
( ) ij
tG
ij teGG
te '112
12
1'2
112
12
ση
η
⎪⎭
⎪⎬⎫
⎪⎩
⎪⎨⎧
+⎟⎟
⎠
⎞
⎜⎜
⎝
⎛−+=
−
La Fig. 4.5 muestra la forma de esta respuesta viscoelástica; en la cual se
observa que el medio sufre deformación inmediata y deformación retrasada en el
tiempo. Este retraso en la respuesta ocurre con velocidad decreciente la cual tiende hasta
un valor constante igual a 2' /ησ ij . Dependiendo de este valor esta respuesta se puede
considerar como transitoria o permanente para propósitos prácticos del proyecto del
túnel.
+21
2
2
ij ij
ij
' '
'
'
= mση
σ σ2G 2Gσ
2G
'ij
ij
Fig. 4.6 Forma de la respuesta viscoelástica, en distorsión angular, del medio.
4.3 Componente plástica de la respuesta
Las deformaciones plásticas del modelo serán gobernadas por la ley de
dilatancia. En el caso de deformación plana esta ley, de acuerdo con el apartado 3.6, se
expresa por ψsen :
p
p
ddvsenγ
ψ −=
Capítulo 4 Experimentación y determinación de los parámetros del modelo
154
Siendo: ppp dddv 31 εε += el incremento de deformación volumétrica plástica,
ppp ddd 31 εεγ −= el incremento de distorsión angular máxima plástica, pd 1ε y pd 3ε los
incrementos de deformación plástica principales.
Se utilizará la ley de dilatancia lineal tratada en el apartado 3.6.3 cuya expresión
es:
( )critcrit
sensensen
sensen ρρ
ρψ
ψ −−
=1
max
Siendo: critρ el ángulo de rozamiento instantáneo a partir del cual el material
deja de ser dilatante positivo, maxψ el ángulo máximo de dilatancia que se produce
cuando el material está sometido a tracción simple, y ρ el ángulo de rozamiento
instantáneo.
La ecuación anterior que gobierna las deformaciones plásticas se empleará en la
forma:
asensen −= ρλψ
Siendo:
crit
crit
crit sensen
senasen
senρ
ρψ
ρψ
λ−
=−
=11 max
max
En el apartado mencionado anteriormente se muestran los valores de a y λ que
se sugiere emplear en función del GSI.
4.4 Experimentación
A través del convenio sobre “Desarrollo conjunto de actividades de formación
en el ámbito de la Ingeniería Geotécnica” suscrito entre la Fundación Agustín de
Betancourt y el CEDEX, la experimentación de esta tesis se ha realizado en el
laboratorio de Geotecnia del CEDEX.
4.4.1 Procedencia de las muestras
Las muestras ensayadas provienen de los sondeos SC-2 y SC-3, ambos
realizados para el “Estudio de las características de los materiales que pudieran incidir
en el diseño de los túneles previstos para el nuevo acceso ferroviario de alta velocidad
de Levante (Madrid – Castilla La Mancha – Comunidad Valenciana – Región de
Murcia. Tramo de Aranjuez – Ontígola)”, sondeos ejecutados dentro de la finca de “El
Capítulo 4 Experimentación y determinación de los parámetros del modelo
155
Regajal”, próxima a la población de Aranjuez (Madrid). Estudio realizado dentro del
marco del convenio existente entre el Administrador de Infraestructuras Ferroviarias
(ADIF) y el Centro de Estudios y Experimentación de Obras Públicas (CEDEX).
Según el informe geológico del proyecto, y la estratigrafía de los sondeos, las
muestras pertenecen a la unidad geotécnica HAM . Esta unidad está situada
estratigráficamente sobre las arcillas del Mioceno inferior. Esta formada por
intercalaciones de capas de halita y glauberita con niveles de arcilla compacta de color
gris.
Los resultados obtenidos en los ensayos del estudio geotécnico, y en el resto de
trabajos de campo indican de que esta unidad geotécnica ( HAM ) está formada por rocas
blandas con escasas intercalaciones de material tipo suelo.
Para el estudio de la fluencia se han obtenido siete muestras a las que se han
realizado ensayos para determinar sus propiedades mecánicas (resistencia a compresión
simple), propiedades físicas (densidad aparente, contenido de humedad, peso específico,
velocidad de ondas sónicas), composición mineralógica (difracción de rayos X),
composición química (fluorescencia de rayos X), propiedades reológicas (fluencia
triaxial).
En la tabla siguiente se presenta el listado de las muestras:
Tabla 4.1 Listado de muestras
Muestra Sondeo Profundidad (m)
5083A1 SC-2 53.65 – 53.87
5083A2 SC-2 53.65 – 53.87
5085A SC-2 57.37 – 57.62
5094C SC-3 41.45 – 41.65
5094D SC-3 41.95 – 42.12
5098A1 SC-3 47.25 – 47.53
5098A2 SC-3 47.25 – 47.53
4.4.2 Composición mineralógica
Estos análisis se han realizado en algunos casos analizando el polvo obtenido del
tallado de las muestras para los ensayos mecánicos y en otros casos a partir de los restos
después de los ensayos mecánicos.
A partir de los diagramas de rayos X, se ha realizado una estimación semi
cuantitativa con los poderes reflectantes, el análisis químico, y la estequiometría de cada
Capítulo 4 Experimentación y determinación de los parámetros del modelo
156
fase cristalina. El resumen de estos análisis se presenta en la tabla siguiente, habiéndose
identificado el mineral principal, los minerales secundarios y dentro de una tercera
categoría las trazas de otros minerales.
Como se observa en la tabla siguiente; el mineral principal presente, en las
muestras de la roca ensayada es la glauberita. El porcentaje promedio de su presencia es
63 %, el mínimo 28% y el máximo 84%.
Las muestras ensayadas, también presentan en promedio 14.5% de Halita, 8.3%
de magnesita, 7% de anhydrita. Estos son porcentajes promedio teniendo en cuenta
únicamente las muestras en las que se han hallado presentes, ya que algunas muestras
no han tenido presencia de estos minerales.
Todas las muestras han tenido trazas de cuarzo y moscovita. El porcentaje
promedio de su presencia en conjunto es de 13%.
Tabla 4.2 Resultados de los análisis mineralógicos
Muestra Mineral principal Minerales secundarios Minerales accesorios y trazas
5083A1 Glauberita (58%) Yeso (10%), Halita (13%), Anhydrita (8%)
Cuarzo + moscovita (11%)
5083A2 Glauberita (57%) Yeso (10%), Magnesita (5%), Anhydrita (7%)
Cuarzo +Illita (21%)
5085A Glauberita (78%) Halita (8%), anhydrita (6%) Cuarzo + moscovita (8%)
5094C Glaubertia (84%) Magnesita (5%) Cuarzo + moscovita (10%)
5094D Glauberita (71%) Magnesita (7%) Cuarzo + moscovita (22%)
5098A1 Glauberita (58%) Halita (8%), Yeso (7%), Magnesita (9%)
Cuarzo + moscovita (7%)
5098A2 Glauberita (73%) Anhydrita (9%), halita (8%) Cuarzo + moscovita (9%)
4.4.3 Composición química
Los componentes químicos de las muestras han sido determinados por
fluorescencia de rayos X. En la tabla siguiente se muestra el resumen de estos análisis.
Tabla 4.3 Resultado de los análisis químicos
% 5083A1 5083A2 5085A 5094C 5094D 5098A1 5098A2
SiO2 7.61 14.87 4.05 5.06 14.17 3.25 3.31
Al2O3 2.20 4.68 1.28 1.50 4.37 1.12 1.22
Fe2O3 0.92 1.81 0.62 0.70 1.75 0.58 0.63
CaO 16.21 13.36 17.60 20.25 13.75 11.00 13.49
TiO2 0.12 0.23 0.08 0.09 0.23 0.07 0.07
MnO 0.02 0.03 0.01 0.01 0.03 0.02 0.01
K2O 0.39 0.87 0.21 0.26 0.86 0.19 0.19
Capítulo 4 Experimentación y determinación de los parámetros del modelo
157
% 5083A1 5083A2 5085A 5094C 5094D 5098A1 5098A2
MgO 1.10 2.25 0.87 1.12 2.99 3.25 1.53
P2O5 0.01 0.03 0.01 0.01 0.03 0.02 0.01
Na2O 20.13 17.04 24.86 19.07 14.03 20.13 15.16
PPC 12.55 12.93 10.00 0.63 8.50 26.73 29.66
SO3 38.74 31.91 40.41 51.28 39.29 33.64 34.71
En la tabla anterior se aprecia que lo que mas predomina en las muestras de la
roca es el sulfato. Este compuesto se halló presente en todas las muestras en cantidad
promedio de 36.2%. Otros compuestos presentes en cantidad significativa en todas las
muestras y ordenados en forma decreciente de su cantidad media son: óxido de sodio
(21.4%), óxido de calcio (8.32%), óxido de silicio (7.03%). El porcentaje de pérdida por
calcinación (PPC) promedio también es significativo e igual a 16.36%.
4.4.4 Descripción petrográfica
Para la descripción petrográfica de la roca, se ha recurrido a su observación
mediante un estereomicroscopio modelo STEMI 2000-C, CARL ZEISS con campo
visual ultragrande de 23 mm, al que se le ha acoplado un sistema de captura digital de
imagen en color, de alta resolución, modelo SPOT RT220-3 KAI 2092. En los casos en
los que ha sido necesario cubrir un campo visual mayor, se han realizado fotografías
con una cámara digital.
Fotografía 4.1 Aspecto general cristalino de la roca (estereomicroscopio; muestra 5083A2)
Capítulo 4 Experimentación y determinación de los parámetros del modelo
158
Un análisis mediante estereomicroscopio, ha permitido observar un aspecto
general cristalino, y un color que oscila entre blanquecino y grisáceo en todas sus
tonalidades, desde gris muy claro a gris muy oscuro. En el seno de esta matriz cristalina
grisácea; destacan grandes fenocristales centimétricos de glauberita que en las
superficies externas muestran secciones tabulares (Fotografía 4.1).
Localmente parece observarse en estos cristales prismáticos tendencias a una
orientación preferente, como se observa en la Fotografía 4.2.
Fotografía 4.2 Orientación preferente localizada (cámara digital; muestra 5083A2)
Por otro lado, localmente la roca presenta una matriz más rica en arcillas,
observándose mediante estereomicroscopía una fábrica ligeramente diferente de la
descrita anteriormente, consistente en una matriz arcillosa compacta, muy poco porosa,
en la cual se encuentran embutidos lentejones microscópicos de glauberita.
Estos cristales lenticulares, en general se encuentran dispuestos al azar
(Fotografía 4.3), aunque localmente se detecta una sutil orientación preferente
(Fotografía 4.2 y Fotografía 4.4).
Las muestras de la roca han sido identificadas, descritas y clasificadas siguiendo
la norma UNE-EN-ISO 14689-1 “Investigación y ensayos geotécnicos. Identificación y
clasificación de rocas. Parte 1: Identificación y descripción”.
Capítulo 4 Experimentación y determinación de los parámetros del modelo
159
Fotografía 4.3 Cristales lenticulares, en general, dispuestos al azar (estereomicroscopio; muestra 5098A2)
Fotografía 4.4 Orientación preferente, localizada, (estereomicroscopio; muestra 5098A2)
Según la norma UNE-EN-ISO 14689-1 anteriormente mencionada y los
resultados químicos, mineralógicos y petrográficos obtenidos, y mencionados
Capítulo 4 Experimentación y determinación de los parámetros del modelo
160
anteriormente; las muestras estudiadas pueden ser descritas en general como rocas
sedimentarias de estructura masiva y composición mineralógica salina de tipo sulfatada.
Presentan una matriz masiva microcristalina de sales y cuarzo, localmente más arcillosa,
de coloración grisácea, con fenocristales prismáticos blancos de glauberita de tamaños
centimétricos variables. No presenta signos de meteorización o alteración, pudiendo ser
considerada una roca sana.
4.4.5 Propiedades físicas
Los valores medios de las propiedades físicas básicas de las muestras de roca se
muestran en la tabla siguiente:
Tabla 4.4 Propiedades físicas básicas de las muestras de roca
Propiedad Valor medio
Densidad aparente 2480 kg/m3
Contenido de humedad 2.33 %
Peso específico 2.65
Antes de realizar los ensayos de compresión simple y de fluencia, se midió la
velocidad de transmisión de ondas a través de las muestras. En la tabla siguiente se
presentan los resultados de estos ensayos:
Tabla 4.5 Resultados de los ensayos de ondas
Muestra Altura (mm)
Diámetro (mm)
Masa (gr)
Tp (10-6 seg)
Ts (10-6 seg)
5083A1 102.9 49.5 483.1 35.6 68.4
5083A2 99.4 47.9 441.4 24.3 47.3
5085A 100.1 50.0 485.4 50 82.4
5098A1 100.7 48.0 447.2 29 58.2
5098A2 77.2 38.3 222.2 21.7 45.3
5094D 80.5 39.9 249.2 22.5 42.5
Valor medio 93.5 45.6 388.08 30.5 57.4
Valor mínimo 77.2 38.3 222.20 21.7 42.5
Valor máximo 10.29 50.0 485.4 50.0 82.4
Desviación Standard
11.4 5.1 119.70 10.85 15.60
A partir de estos resultados, se ha calculado la velocidad de transmisión de las
ondas de compresión ( pV ), de las ondas de corte ( sV ), y la densidad ( ρ ) de la roca.
Asumiendo que la roca es homogénea, isótropa y elástica, se ha calculado el
módulo de elasticidad ( )dE , el módulo de corte ( )dG y el coeficiente de Poisson ( )dν ,
Capítulo 4 Experimentación y determinación de los parámetros del modelo
161
representativos del comportamiento de la roca para pequeñas deformaciones. Las
expresiones empleadas son:
2)( sd VG ρ=
⎟⎟⎠
⎞⎜⎜⎝
⎛−
−⎟⎟⎠
⎞⎜⎜⎝
⎛
=
12
2
2
2
2
2
s
p
s
p
d
VV
VV
ν
( ) 212 sd VE ρν+=
En la tabla siguiente se presenta los valores calculados.
Tabla 4.6 Propiedades de deformabilidad elástica (para pequeñas deformaciones)
Muestra Densidad (kg/m3)
Vp (m/seg)
Vs (m/seg)
Gd (MPa)
dv Ed (MPa)
5083A1 2440 35.6 68.4 5,521 0.31 14,513
5083A2 2464 24.3 47.3 10,883 0.32 28,746
5085A 2470 50 82.4 3,645 0.21 8,810
5098A1 2454 29 58.2 7,347 0.33 19,614
5098A2 2498 21.7 45.3 7,256 0.35 19,606
5094D 2476 22.5 42.5 8,882 0.31 23,188
Valor medio
2467 30.5 57.4 7,256 0.31 19,080
Valor mínimo
2440 21.7 42.5 3,645 0.21 8,810
Valor máximo
2498 50.0 82.4 10,883 0.35 28,746
Desviación Standard
19.93 10.85 15.60 2524 0.05 6,888
4.4.6 Propiedades mecánicas
La propiedad medida directamente en las muestras ha sido la resistencia a
compresión simple. A continuación se presenta el resumen de esta propiedad en la Tabla
4.7. Allí también se presenta la velocidad de estos ensayos.
Tabla 4.7 Resultados los ensayos de resistencia a compresión simple
Muestra RCS (MPa)
Deformación en la rotura (%)
Velocidad de ensayo (%/seg)
5083A1 6.1 0.75 0.0008
5085A 4.7 0.7 0.0006
5094C 5.2 0.6 0.009
5098A1 5.1 0.9 0.006
Capítulo 4 Experimentación y determinación de los parámetros del modelo
162
En la fotografía mostrada a continuación, se aprecia el agrietamiento típico
sufrido por todas las muestras.
Fotografía 4.5 Muestra 5094C ensayada a compresión simple
La Fig. 4.7 muestra las curvas de los ensayos incluyendo la rama post pico.
Ensayos de resistencia a compresión simple (RCS)Resumen de curvas tension - deformacion
0
1
2
3
4
5
6
7
0 0,5 1 1,5 2 2,5 3
Deformación axial (%)
Tens
ión
axia
l (M
Pa)
5098A15083A15085A5094 C
Fig. 4.7 Resumen de las curvas tensión – deformación de los ensayos de resistencia a compresión simple
Capítulo 4 Experimentación y determinación de los parámetros del modelo
163
De la Tabla 4.7 y de la Fig. 4.7 se ha hallado que el valor promedio de la
resistencia a compresión simple es: 5.28 MPa y que el valor promedio de la
deformación en la rotura es de 0.74%. En los resultados de ambas referencias, se
observa poca variación de estas propiedades. También se observa un comportamiento
dúctil de la roca.
4.4.7 Obtención de los parámetros de los criterios de rotura
Los parámetros de los criterios de rotura de la roca intacta, se han estimado a
partir de los resultados de los ensayos de resistencia a compresión simple y de las
recomendaciones publicadas por Hoek & Brown (2002).
En la Fig. 4.8 se muestran las curvas y los parámetros de los criterios de rotura
de tipo Mohr – Coulomb así como de Hoek y Brown obtenidos empleando el programa
Rocklab del portal de Internet www.rocscience.com.
Fig. 4.8 Ajustes del criterio de rotura de la roca ensayada
Capítulo 4 Experimentación y determinación de los parámetros del modelo
164
En la tabla siguiente se muestran los parámetros del criterio de rotura no lineal
de Hoek & Brown y los parámetros del ajuste de tipo Mohr.
Tabla 4.8 Parámetros del criterio de rotura
Clasificación de Hoek & Brown
icσ 5.00 MPa
GSI 100
mi 12
D 0
Parámetros del criterio de Hoek & Brown
mb 12
s 1.00
a 0.5
Ajuste de Mohr
c 1.146 MPa ϕ 40.62º
4.4.8 Obtención de las constantes vicoelásticas
4.4.8.1 Equipamiento para los ensayos de fluencia
A través del proyecto de I+D+i denominado “Convergencia de túneles en
macizos viscoelásticos-plásticos”, se ha conseguido el financiamiento para la
adquisición del equipamiento necesario para la ejecución de ensayos triaxiales de
fluencia.
Debido a que el ensayo de triaxial de fluencia es un ensayo a largo plazo en
condiciones triaxiales de tensión y de temperatura constantes, fue necesario
instrumentar el modulo de ensayo con células electrónicas de presión y de carga para
controlar y registrar continuamente la presión de confinamiento y la carga vertical.
La finalidad de este ensayo ha sido hallar las constantes viscoelásticas, de la
roca, en distorsión angular y en cambio volumétrico cuando está sometida a condiciones
constantes de tensión y temperatura. Por este motivo, el sistema de adquisición de datos
se ha diseñado de modo que permita medir continuamente, a lo largo del tiempo, las
deformaciones verticales y circunferenciales de la muestra sometida a las condiciones
triaxiales de tensión del ensayo. Con este fin la cámara triaxial se ha fabricado con
conectores estancos que permiten la conexión de cuatro bandas extensométricas,
pegadas a la superficie de la probeta; dos verticales y dos horizontales, con el
Capítulo 4 Experimentación y determinación de los parámetros del modelo
165
amplificador de señal y con la tarjeta de adquisición de datos del ordenador que controla
la ejecución del ensayo.
Para ejecutar el ensayo de fluencia siguiendo la trayectoria de tensiones
mostrada en el apartado 0, ha sido necesario que el programa informático desarrollado
controle independientemente la carga vertical y la presión de confinamiento de modo
que se puedan producir estados de compresión isótropa, estados de tensión desviadora
pura y estados acoplados de compresión isótropa y tensión desviadora.
Las adquisiciones y adaptaciones de equipos para conformar el módulo de
ensayo; con las capacidades mencionadas anteriormente son las siguientes:
• Adquisición de una cámara triaxial de alta presión.
• Adquisición de una central hidráulica.
• Adquisición de una célula de presión para el control de la central hidráulica.
• Adquisición de un ordenador personal con interfaz de adquisición de datos.
• Desarrollo del software para el control y adquisición de datos del ensayo.
En los apartados siguientes se presentan fotografías, y descripciones mas
detalladas de los equipos de este módulo de ensayo.
4.4.8.1.1 Prensa
El sistema de control de la prensa mostrada en la Fotografía 4.6 ha sido
modificado de modo que la fuerza sea controlada y registrada a través del programa del
ensayo. Este programa permite el control de la carga vertical, aplicada por la prensa,
independientemente de la presión de confinamiento dentro de la cámara.
La prensa empleada tiene la capacidad de ejercer una fuerza constante a lo largo
del tiempo (dentro del umbral de control de carga mostrado en la tabla siguiente).
Las características y especificaciones de la prensa y de la célula de carga se
muestran en la tabla siguiente:
Capítulo 4 Experimentación y determinación de los parámetros del modelo
166
Fotografía 4.6 Prensa para la aplicación de la carga vertical
Tabla 4.9 Especificaciones técnicas de la prensa
Característica Especificación
Capacidad nominal 200 KN
Altura libre para la cámara triaxial 400 mm
Distancia libre para el ancho de la cámara 300 mm
Umbral de control de la carga +/- 2 KN
Recorrido máximo del pistón 50 mm
Célula de carga: Capacidad nominal
EKMR-D / Nr 538 200 KN
Lvdt: Tipo Rango eléctrico definido Resistencia nominal
Novotechnick TS - 50 50 mm 5 K Ω
4 .4.8.1.2 Central hidráulica
A la central mostrada en la Fotografía 4.7, se le ha instalado una célula de
presión con la finalidad de que la presión sea controlada y registrada a través del
programa del ensayo. Este programa permite el control de la presión,
independientemente de la carga aplicada por la prensa.
La central tiene la capacidad de ejercer una presión constante a lo largo del
tiempo (dentro del umbral de control de presión mostrado en la tabla siguiente).
Capítulo 4 Experimentación y determinación de los parámetros del modelo
167
Las características y especificaciones de la bomba, del motor y de la célula de
presión se muestran en la tabla siguiente:
Fotografía 4.7 Central hidráulica (bomba, motor, célula de presión)
Tabla 4.10 Especificaciones técnicas de la central hidraúlica
Característica Especificación
Bomba: Capacidad del depósito Tensión de alimentación
INTERSEAL S.A. 5 l
220 v. c.a.
Motor: WA Motors 3-phase induction Frame 1AL83-4
Célula de presión: Capacidad nominal Umbral de control de la presión
150 bar +/- 1 bar
4.4.8.1.3 Cámara tr iaxial
La cámara mostrada en la Fotografía 4.8 ha sido fabricada con hierro y calculada
para que resista la presión de confinamiento máxima que puede aplicar la central
hidráulica. Posee un agujero en el asiento de la muestra al cual está conectada una
válvula que se halla en la parte exterior inferior de la cámara. Durante el ensayo esta
válvula se mantiene abierta, para verificar que la muestra no se ha contaminado con el
aceite de la cámara. La membrana empleada se ha elaborado con un polímero de alta
densidad resistente a la acción del aceite.
Capítulo 4 Experimentación y determinación de los parámetros del modelo
168
Fotografía 4.8 Cámara triaxial de alta presión
En la tabla siguiente se muestran las características de la cámara triaxial.
Tabla 4.11 Especificaciones técnicas de la cámara triaxial
Característica Especificación
Material Hierro
Altura total (con muestra de 100 mm) 387 mm
Conexiones para bandas extensométricas 4
Altura de la muestra de ensayo 100 mm
Diámetro de la muestra de ensayo 50 mm
Presión máxima de confinamiento 150 bar
Líquido de confinamiento de la muestra: Coeficiente de expansión térmica Temperatura de funcionamiento
Aceite mineral (TRANSCAL N) 0.00077 / ºC -10 – 320 ºC
4.4.8.1.4 Elementos de medición
Como elementos de medición se han utilizado bandas extensométricas pegadas a
la superficie de la muestra (dos pegadas longitudinalmente y dos pegadas
circunferencialmente). En la fotografía siguiente, se muestran las bandas pegadas en una
muestra, en su posición de medición.
Capítulo 4 Experimentación y determinación de los parámetros del modelo
169
En la etapa de puesta a punto del módulo se han realizado pruebas para verificar
que la presión de confinamiento y el transcurso del tiempo no producen variaciones del
voltaje (derivas) que llevarían a errores en la interpretación de las medidas.
Fotografía 4.9 Bandas extensométricas pegadas a una muestra
En la tabla siguiente se muestran las características de las bandas
extensométricas empleadas. El módulo de ensayo implementado permite el empleo de
cuatro bandas: dos pegadas axialmente y dos circunferencialmente. Las mediciones se
realizan por separado con la finalidad de advertir el fallo o lecturas incorrectas de
algunas de las bandas.
Tabla 4.12 Especificaciones técnicas de las bandas extensométricas
Característica Especificación
Tipo YFLA - 20
Longitud 20 mm
Resistencia 120 +/- 0.3 ohms
Factor de banda 2.13 +/- 2%
Factor de compensación por temperatura -
Sensitividad transversal -0.4%
Capítulo 4 Experimentación y determinación de los parámetros del modelo
170
4.4.8.1.5 Sistema control y de adquisición de datos
El sistema de control del ensayo y de adquisición de datos está compuesto por
un ordenador personal, un amplificador de señal y una tarjeta de adquisición de datos.
Estos equipos y sus características se muestran en la fotografía y en la tabla siguiente.
El programa para controlar la ejecución del ensayo y la adquisición de datos se
llama TRX2 y se ha desarrollado en el lenguaje de programación labVIEW.
Fotografía 4.10 Sistema de adquisición de datos
Tabla 4.13 Especificaciones técnicas del sistema de adquisición de datos
Característica Especificación
Amplificador de señal: Tipo de conexión Tensión de alimentación Tensión de salida
¼ puente 220 v. c.a.
10 v
Ordenador personal: CPU RAM HD
Pentium®4 2.80 GHz
504 MB 71.4 GB
Capítulo 4 Experimentación y determinación de los parámetros del modelo
171
Característica Especificación
Tarjeta de adquisición de datos: Velocidad de muestreo Resolución Rango de voltaje Rango de precisión Frecuencia máxima de la fuente
PCI 6023E 200 KS/s 12 bits
-10 +10 V 16.504 mV
20 MHz
4.4.8.2 Trayectoria de tensiones de los ensayos de fluencia
Las deformaciones viscoelásticas dependen de la historia de tensiones que ha
sufrido el medio. Por este motivo, en esta tesis se propone ejecutar los ensayos triaxiales
de fluencia siguiendo una trayectoria de tensiones similar a la que sufre el medio
alrededor del túnel, la cual se muestra en la Fig. 4.9.
Teniendo en cuenta esta figura, el ensayo se debe ejecutar en las tres etapas
siguientes:
a.) Etapa isótropa: en esta etapa la trayectoria de tensiones va de 00 p→ , y se
consigue aplicando el siguiente incremento de tensiones principales 0
31 p== δσδσ . Con esta etapa se pretende restablecer las condiciones
iniciales del medio antes de la apertura del túnel, en las cuales 10 =K .
b.) Etapa desviadora: en la cual la trayectoria de tensiones va de '0 Bp → . Con
esta etapa se reproduciría una trayectoria de tensiones similar a la que sufre
la interfase debido a la apertura del túnel. Esta etapa se debe ejecutar a
continuación de la anterior y a partir de cuando se ha logrado el equilibrio
inicial del medio (velocidad de deformación nula). En esta etapa 0=pδ , por
lo tanto 13 21 δσδσ −= y ( ) ( ) plazo cortoaplazo largoa 00 pqqpq RR << δ . Siendo los
incrementos de tensión relativos a la etapa isótropa.
c.) Etapa de relajación de tensiones: en esta etapa la trayectoria de tensiones va
de '' AB → . La razón de los incrementos de tensión pδ y qδ son gobernados
por el criterio de rotura a través de la relación:
ρδδ senpq
=
Capítulo 4 Experimentación y determinación de los parámetros del modelo
172
Siendo: ρ el ángulo de rozamiento instantáneo, 2
31 δσδσδ −=q y
32 31 δσδσ
δ+
=p . Estos incrementos de la tensión son relativos a la etapa anterior.
Los resultados de este ensayo permitirían implementar las funciones temporales
de la interfase y de la zona rota con las constantes reológicas correspondientes al campo
de tensiones apropiado para cada caso, partiendo además de las condiciones iniciales de
tensión, y deformación supuestas en las hipótesis de esta tesis.
Fig. 4.9 Trayectorias de tensiones: alrededor del túnel y en el ensayo de fluencia.
4.4.8.3 Cálculo de las constantes viscoelásticas
Fig. 4.10 Zonas presentes alrededor del túnel.
Capítulo 4 Experimentación y determinación de los parámetros del modelo
173
En este apartado, se presentan las expresiones de la respuesta del modelo
viscoelástico sometido al campo de tensiones de cada etapa del ensayo de fluencia
triaxial, y que han sido descritas en el apartado anterior.
Estas expresiones, son las que se han empleado para determinar las constantes
viscoelásticas de cada una de las funciones temporales involucradas ajustando la
respuesta teórica a la respuesta experimental del ensayo.
El modelo empleado en cambio volumétrico, es el que ha sido propuesto en el
apartado 4.2, cuya configuración mecanicista y respuesta se muestra a continuación:
ση
Fig. 4.11 Configuración mecanicista del medio en compresión isótropa.
( ) kk
tv
K
kk eKK
te ση
⎪⎭
⎪⎬⎫
⎪⎩
⎪⎨⎧
⎟⎟
⎠
⎞
⎜⎜
⎝
⎛−+=
− 13
12
13
13
1 (4.3)
σ3K
kk
2
1
kk
3Kσ σ
3Kkk
2+
kk
Fig. 4.12 Forma de la respuesta viscoelástica, en cambio volumétrico, del medio.
Como se muestra en la Fig. 4.12, el valor obtenido para cada una de las
constantes viscoelásticas es único debido a que cada una de las propiedades de la
respuesta depende únicamente de una constante. Así la magnitud de la deformación
Capítulo 4 Experimentación y determinación de los parámetros del modelo
174
inmediata depende de la constante 2K , la magnitud de la deformación retrasada en el
tiempo depende de la constante 1K , y el tiempo de retraso depende de la constante vη .
Lo que significa que la combinación de valores de las constantes viscoelásticas es única.
La configuración en distorsión angular del modelo ha sido propuesta en el
apartado 4.3 y es mostrada a continuación junto con la expresión de su respuesta:
1η σ
η2
Fig. 4.13 Configuración mecanicista del modelo en distorsión angular.
( ) ij
tG
ij teGG
te '112
12
1'2
112
12
ση
η
⎪⎭
⎪⎬⎫
⎪⎩
⎪⎨⎧
+⎟⎟
⎠
⎞
⎜⎜
⎝
⎛−+=
−
(4.4)
+21
2
2
ij ij
ij
' '
'
'
= mση
σ σ2G 2Gσ
2G
'ij
ij
Fig. 4.14 Forma de la respuesta viscoelástica, en distorsión angular, del medio.
Al igual que para el caso del cambio volumétrico, en este caso el ajuste es único
ya que; la deformación inmediata en distorsión angular depende únicamente de la
constante 2G , la magnitud de la deformación retrasada depende de la constante 1G , el
tiempo de retraso depende de 1η , y la velocidad de deformación con el transcurso del
tiempo tiende a un valor constante que depende de 2η (Fig. 4.14). Por lo tanto no hay
más que una combinación de valores de las constantes viscoelásticas que produce el
mejor ajuste con la respuesta experimental.
Capítulo 4 Experimentación y determinación de los parámetros del modelo
175
4.4.8.3.1 Etapa de compresión isótropa
Con esta etapa, se pretende restablecer las condiciones iniciales de tensión y
deformación de campo previas a la excavación de la cavidad, las cuales se habían
perdido durante las labores de extracción de la muestra.
Durante esta etapa, la trayectoria de la tensión es 00 p→ de la Fig. 4.9, y por lo
tanto el incremento de las tensiones principales es 031 p== δσδσ .
En este caso el cambio volumétrico medido experimentalmente en el ensayo es:
( ) ( ) ( ) ( )tetetetekk 332211 ++=
Siendo 11e la deformación axial, y 2233 ee = la deformación radial de la muestra.
Las constantes viscoelásticas en cambio volumétrico, de esta etapa, se obtienen
ajustando la respuesta del modelo expresada por la ecuación (4.3) a la respuesta
experimental. A continuación se reescribe la expresión de la respuesta del medio
viscoelástico:
( ) kk
tv
K
kk eKK
te ση
⎪⎭
⎪⎬⎫
⎪⎩
⎪⎨⎧
⎟⎟
⎠
⎞
⎜⎜
⎝
⎛−+=
− 13
12
13
13
1
Siendo ( )3311 2σσσ +=kk , 11σ la tensión vertical y 33σ la tensión de confinamiento
en esta etapa del ensayo. A través del método de los mínimos cuadrados se puede
evaluar la calidad del ajuste. Como ya se ha tratado anteriormente la forma de la curva
cambio volumétrico – tiempo es la siguiente:
σ3K
kk
2
1
kk
3Kσ σ
3Kkk
2+
kk
Fig. 4.15 Forma de la respuesta, en cambio volumétrico, del modelo.
Capítulo 4 Experimentación y determinación de los parámetros del modelo
176
4.4.8.3.2 Etapa de incremento de la tensión desviadora
Los incrementos de tensión de esta etapa son relativos al estado de tensión de la
etapa isótropa. La trayectoria de las tensiones es '0 Bp → de la Fig. 4.9. En esta etapa
0=kkδσ , por lo tanto 13 21 δσδσ −= , siendo
231 δσδσ
δ−
=q .
Teniendo en cuenta que en esta etapa, el cambio volumétrico 0=kkeδ , la
deformación axial viscoelástica de la muestra será igual a la deformación axial por
distorsión angular:
( ) ( )tete 1111 'δδ =
Siendo ( )te11δ la deformación axial total de la muestra.
También debido a que 0=kkδσ , el incremento de tensión vertical total es igual al
incremento de la tensión desviadora y por lo tanto:
1111 'δσδσ =
En esta etapa, se hallan las constantes de la función temporal de la interfase
ajustando la ecuación (4.4), la cual se rescribe a continuación, al incremento de
deformación vertical experimental de esta etapa.
( ) 112
112
1211
112
12
1 δση
δ η
⎪⎭
⎪⎬⎫
⎪⎩
⎪⎨⎧
+⎟⎟
⎠
⎞
⎜⎜
⎝
⎛−+=
−
teGG
tet
G
La forma del incremento de deformación vertical en esta etapa se muestra en la
figura siguiente:
+ 11
2Gδσδσ
2G11
2
11δσ η = mδ
1 2
11
22Gδσ11
Fig. 4.16 Forma de la deformación, por distorsión angular, del modelo.
Capítulo 4 Experimentación y determinación de los parámetros del modelo
177
4.4.8.3.3 Etapa de relajación de tensiones
Trayectoria '' AB → de la Fig. 4.9; en esta etapa los incrementos pδ y qδ son
gobernados por el criterio de rotura a través de la relación:
ρδδ senpq
=
Siendo: ρ el ángulo de rozamiento instantáneo del material, 2
31 δσδσδ
−=q y
32 31 δσδσ
δ+
=p .
Los incrementos de la tensión son relativos a la etapa anterior.
Así como en los medios elastoplásticos perfectos, se considera que las
deformaciones producidas durante el proceso de carga neutra son la suma de las
deformaciones elásticas y plásticas, en esta tesis, se ha considerado que las
deformaciones producidas por la relajación de tensiones, de esta etapa, son la suma de
las deformaciones viscoelásticas y plásticas.
Combinando las expresiones del incremento de cambio volumétrico
viscoelástico ( ) ( ) ( ) ( )τδτδτδτδ −+−+−=− tetetetekk 332211 , y de distorsión angular
viscoelástica ( ) ( ) ( )( )τδτδτδ −−−=− tetete 331111 32' en el ensayo triaxial de fluencia, la
ecuación en el tiempo de la deformación axial de la muestra sería:
( ) ( ) ( )τδτδτδ −+−=− tetete kk31'1111
Siendo. ( )τδ −te11 la deformación viscoelástica axial, ( )τδ −te33 la deformación
radial viscoelástica, y τ el instante en el que se produjo la relajación de las tensiones.
Por otra parte el incremento de la tensión desviadora es:
kkδσδσδσ31' 1111 −=
Siendo el incremento de tensión isótropa ( )3311 2313/ δσδσδσ +=kk
Teniendo en cuenta que de la teoría de elasticidad lineal, el incremento de
deformación vertical total es:
KG
e kk
331
2'11
11δσδσδ +=
Capítulo 4 Experimentación y determinación de los parámetros del modelo
178
Empleando el principio de correspondencia, la relación constitutiva viscoelástica
en el dominio de la variable “ s ” de Laplace es:
kkeee δδδ31'1111 +=
O también:
( )sKsG
se kk
331
2'11
11δσδσ
δ +=
Ecuación que a través de las funciones temporales introducidas en el apartado
4.2, se expresa como:
( ) ( ) ( ) kkvol ssse δσφδσφδ γ 31'1111 +=
Por lo tanto, el incremento de la deformación axial viscoelástica ( )τδ −te11 del
modelo, estará compuesta por una parte desviadora y otra parte volumétrica, y se puede
expresar a través de la siguiente expresión:
( ) ( ){ } ( ){ } ( ) ( ) kkvolkkvol ttsLsLte δστφδστφδσφδσφτδ γγ −+−=+=− −−
31'
31' 11
111
111
Siendo la componente axial producida por el cambio volumétrico viscoelastico
igual a:
( ) ( )( )
31
31
31
31
31
13
12
kk
trv
rK
rrkkvolkk eKK
tteδσ
δστφτδτ
η
⎪⎪⎭
⎪⎪⎬
⎫
⎪⎪⎩
⎪⎪⎨
⎧
⎟⎟⎟⎟
⎠
⎞
⎜⎜⎜⎜
⎝
⎛
−+=−=−−−
A la vez que la componente axial, debida a la distorsión angular viscoelástica del
modelo, sería igual a:
( ) ( )( )
( ) 112
1
12
121111 '11
21
21'' δστ
ηδστφτδ
τη
γ
⎪⎪⎭
⎪⎪⎬
⎫
⎪⎪⎩
⎪⎪⎨
⎧
−+⎟⎟⎟⎟
⎠
⎞
⎜⎜⎜⎜
⎝
⎛
−+=−=−−−
teGG
tte r
tr
rG
rr
Por lo tanto, las constantes viscoelásticas del modelo en la zona rota, se
obtendrían ajustando las componentes del modelo con sus respectivas componentes
experimentales dadas por las expresiones siguientes:
Capítulo 4 Experimentación y determinación de los parámetros del modelo
179
( ) ( ) ( ) ( )33
1 332211 τδτδτδτδ
−+−+−=−
tetetetekk
( ) ( ) ( )( )τδτδτδ −−−=− tetete 331111 32'
Las constantes viscoelásticas de estas funciones se han distinguido de las de la
interfase con el superíndice “r”. La Fig. 4.17 y la Fig. 4.18, muestran la forma del
incremento de la deformación producida por el cambio volumétrico y por la distorsión
angular del modelo respectivamente.
δσ3K
kk
2
1
kk
3Kδσ δσ
3Kkk
2+
kkδ
r r
r
τ
τ
Fig. 4.17 Forma del incremento de la deformación, por cambio volumétrico, del modelo
+2
11
2Gδσδσ
2G11
12
11
2Gδσ
2
11δσηm =
' '
'
' rr
r
r
11'δ
τ
τ
Fig. 4.18 Forma del incremento de la deformación, por distorsión angular, del modelo
4.4.8.4 Resultados de los ensayos de fluencia
Con la finalidad de mostrar el procedimiento de estimación de las constantes
viscoelásticas propuesto en el apartado anterior, se han realizado dos ensayos de
fluencia. A continuación se muestran por separado los resultados de cada ensayo. Al
final se han promediado los valores de las constantes halladas en cada ensayo. En un
Capítulo 4 Experimentación y determinación de los parámetros del modelo
180
proyecto real, el valor característico de estas constantes se debería determinar a través
de un estudio estadístico de los resultados de una cantidad más grande de muestras.
La trayectoria de tensiones del ensayo, de acuerdo con lo propuesto en el
apartado 0, es la mostrada en la figura siguiente:
Fig. 4.19 Trayectorias de tensiones: alrededor del túnel y en el ensayo de fluencia.
Para calcular los valores de la trayectoria de tensiones del ensayo, se ha utilizado
la situación de un túnel excavado a 150 m de profundidad y el ajuste lineal de Mohr del
criterio de rotura obtenido en el apartado 4.4.7.
4.4.8.4.1 Ensayo de la muestra 5094D
Tabla 4.14 Propiedades básicas de la muestra ensayada
Propiedad Valor medio
Diámetro 39.9 mm
Altura 80.5 mm
Masa 249.2 gr
Densidad aparente 2476 kg/m3
Los valores de las tensiones de cada una de las etapas del ensayo, mostradas en
la Fig. 4.19, se presentan en la tabla siguiente. Para el cálculo de estos valores, se ha
tenido en cuenta que al inicio del ensayo la muestra está libre de tensiones.
Capítulo 4 Experimentación y determinación de los parámetros del modelo
181
Tabla 4.15 Valores de las tensiones en cada etapa del ensayo
1δσ 1σ 3δσ 3σ qδ q pδ p
Etapa MPa MPa MPa MPa MPa MPa MPa MPa
1 3.75 3.75 3.75 3.75 0 0 3.75 3.75
2 5.5 9.25 -2.75 1 4.125 4.125 0 3.75
3 -1.65 7.6 -0.5 0.5 -0.575 3.55 -0.882 2.87
Fig. 4.20 Criterio de rotura en tensiones principales de la roca ensayada
Con relación a las tensiones de la Tabla 4.15 se debe tener en cuenta que:
• La presión isótropa de la primera etapa del ensayo ( MPap 75.3= ), sería igual
a la presión inicial del medio.
• La tensión axial ( )1σ aplicada en la etapa 2 ha sido cercana a la
correspondiente al criterio de rotura empleado (Fig. 4.20). Por encima de la
Capítulo 4 Experimentación y determinación de los parámetros del modelo
182
tensión axial ( )1σ correspondiente a la resistencia a largo plazo, se podría
utilizar cualquier valor menor que la resistencia a corto plazo, teniendo en
cuenta la suposición de que el comportamiento del medio en esta etapa del
ensayo es viscoelástico lineal.
A continuación se muestran las curvas de fluencia obtenidas en el ensayo. Estas
curvas se han calculado partiendo de las mediciones del ensayo, las cuales se muestran
en el apéndice 2.
En la Fig. 4.21, se muestran las deformaciones de las bandas extensométricas de
las etapas 2 y 3 del ensayo. Estas deformaciones son relativas a la etapa 1 (compresión
isótropa desde cero hasta p0).
En la etapa 2, la deformación vertical y circunferencial está compuesta por una
parte inmediata y una parte retrasada en el tiempo como se muestra en la Fig. 4.21.
Deformación de las bandas extensométricas, Muestra 5094D etapa1: p=3,75 Mpa, q=0 Mpa; etapa2: p=3,75 MPa, q=4,125 Mpa; etapa3: p=2,87 MPa, q=3,55 MPa
-1,000
-0,800
-0,600
-0,400
-0,200
0,000
0,200
0,400
0,600
0,8000,0 1000,0 2000,0 3000,0 4000,0 5000,0 6000,0 7000,0 8000,0 9000,0
Tiempo total (minutos)
Def
orm
ació
n re
lativ
a a
la e
tapa
isót
ropa
(%)
Def vert exp tot % Def circ exp tot %
Fig. 4.21 Deformación de las bandas extensométricas (etapas 2 y 3; muestra 5094D)
Debido a que el equipo controla la carga vertical dentro de un rango de +/- 2 KN
y la presión de confinamiento dentro de un rango de +/- 1 bar, en la etapa 2 se produjo
un incremento imprevisto de la tensión isótropa igual a 0.12 MPa. Esto ha producido
cambio volumétrico en esta etapa como se muestra en la Fig. 4.22. En esta figura se
presenta el cambio volumétrico y la distorsión angular del modelo viscoelástico
Capítulo 4 Experimentación y determinación de los parámetros del modelo
183
ajustados a los resultados experimentales. Las constantes viscoelásticas obtenidas a
través de este ajuste se muestran en la Tabla 4.16.
En la Fig. 4.23 se muestra las deformaciones de las bandas extensométricas
durante la etapa 3 del ensayo (relativas a la etapa 2). Debido a que la frecuencia de
medición fue de 5 minutos no se tomaron mas medidas intermedias antes de la rotura de
la bandas extensométricas.
Tabla 4.16 Constantes viscoelásticas de la roca
Constante Valor
G1 1.20E3 MPa
G2 8.00E2 MPa
1η 4.00E5 MPa min
2η 3.25E7 MPa min
K1 1.25E2 MPa
K2 1.50E2 MPa
volη 1.00E5 MPa
Ajuste con el modelo viscoelastico: Bγ +EKSvol etapa2: p=3,75 MPa, q=4,125 Mpa (muestra 5094D)
-0,800
-0,700
-0,600
-0,500
-0,400
-0,300
-0,200
-0,100
0,0000,0 1000,0 2000,0 3000,0 4000,0 5000,0 6000,0 7000,0 8000,0 9000,0
Tiempo total (minutos)
Def
orm
ació
n re
lativ
a a
la e
tapa
isót
ropa
(%)
Def ang exp etap % Def ang visc etap % Def vol exp etap % Def vol visc etap %
Fig. 4.22 Ajuste del cambio volumétrico y la distorsión angular con la respuesta del modelo viscoelástico (etapa 2; muestra 5094 D)
En la Fig. 4.24 se muestra el cambio volumétrico y la distorsión angular
experimentales y del modelo viscoelástico durante la etapa 3 del ensayo. Se aprecia que
al inicio de esta etapa se produjo una disminución de la distorsión angular experimental
Capítulo 4 Experimentación y determinación de los parámetros del modelo
184
acorde con la disminución de la tensión desviadora como se esperaba en el modelo
viscoelástico, pero que inmediatamente después se produjo un incremento, contrario a la
disminución de la tensión desviadora producida en esta etapa, el cual debe ser de tipo
plástico.
Deformación de las bandas extensométricas (relativa a la etapa2)muestra 5094D etapa 3: p=2,87 MPa, q=3,55 MPa
-0,200
-0,100
0,000
0,100
0,200
0,300
0,400
0,5008157 8159 8161 8163 8165 8167 8169 8171 8173 8175 8177
Tiempo total (minutos)
Def
orm
ació
n re
lativ
a a
la e
tapa
2 (%
)
Def vert exp etap % Def circ exp etap %
Fig. 4.23 Deformación de las bandas extensométricas (etapa 3; muestra 5094D)
Deformación experimental y viscoelástica teórica etap3: p= 2,87 MPa, q= 3,55 MPa (muestra 5094D)
-0,400
-0,300
-0,200
-0,100
0,000
0,100
0,200
0,3008157 8159 8161 8163 8165 8167 8169 8171 8173 8175 8177
Tiempo total (minutos)
Def
orm
ació
n re
lativ
a a
la e
tapa
2 (%
)
Def ang exp etap % Def ang visc etap % Def vol visc etap % Def vol exp etap %
Fig. 4.24 Cambio volumétrico y distorsión angular experimentales y viscoelásticas (etapa 3; muestra 5094D)
Capítulo 4 Experimentación y determinación de los parámetros del modelo
185
Deformación plástica muestra 5094D (Deformación relativa a la etapa 2) etap3: p= 2,87 MPa, q= 3,55 MPa
-0,450
-0,400
-0,350
-0,300
-0,250
-0,200
-0,150
-0,100
-0,050
0,000
0,050
0,1008158 8160 8162 8164 8166 8168 8170 8172 8174 8176
Tiempo total (minutos)D
efor
mac
ión
(%)
Def ang teor plast etap % Def vol teor plast etap %
Fig. 4.25 Cambio volumétrico y distorsión angular plásticas (etapa 3; muestra 5094D)
Restando las deformaciones viscoelásticas de las experimentales se ha obtenido
el cambio volumétrico y la distorsión angular plástica mostradas en la Fig. 4.25.
4.4.8.4.2 Ensayo de la muestra 5098A2
La forma en la que se han procesado y en la que se presentan los resultados de
este ensayo son las mismas que las del ensayo anterior. Sin embargo se vuelven a
repetir las explicaciones para cada gráfico con el fin de mejorar la claridad de los
comentarios hechos a los resultados mostrados en cada gráfico.
Las propiedades básicas de la muestra ensayada se muestran en la tabla
siguiente:
Tabla 4.17 Propiedades básicas de la muestra ensayada
Propiedad Valor medio
Diámetro 38.3 mm
Altura 77.2 mm
Masa 222.2 gr
Densidad aparente 2498 kg/m3
Los valores de las tensiones de cada una de las etapas de este ensayo son los
mismos que los del ensayo anterior con excepción de la etapa 3 (Fig. 4.26), etapa en la
que la relajación de tensiones ha sido la mitad de la del ensayo anterior, los valores se
muestran a continuación:
Capítulo 4 Experimentación y determinación de los parámetros del modelo
186
Tabla 4.18 Valores de las tensiones en cada etapa del ensayo
1δσ 1σ 3δσ 3σ qδ q pδ p
Etapa MPa MPa MPa MPa MPa MPa MPa MPa
1 3.75 3.75 3.75 3.75 0 0 3.75 3.75
2 5.5 9.25 -2.75 1 4.125 4.125 0 3.75
3 -0.825 8.42 -0.25 0.75 -0.2875 3.84 -0.44 3.31
Fig. 4.26 Trayectorias de tensiones: alrededor del túnel y en el ensayo de fluencia.
A continuación se muestran las curvas de fluencia obtenidas en el ensayo. Estas
curvas se han calculado partiendo de las mediciones del ensayo mostradas en el
apéndice 2.
En la Fig. 4.27, se muestran las deformaciones de las bandas extensométricas de
las etapas 2 y 3 del ensayo. Estas deformaciones son relativas a la etapa 1 (compresión
isótropa desde cero hasta p0).
En la etapa 2, la deformación vertical y circunferencial está compuesta por una
parte inmediata y una parte retrasada en el tiempo como se muestra en la figura
siguiente.
Debido a que el equipo controla la carga vertical dentro de un rango de +/- 2 KN
y la presión de confinamiento dentro de un rango de +/- 1 bar, en la etapa 2 se produjo
un incremento imprevisto de la tensión isótropa igual a 0.12 MPa. Esto ha producido
cambio volumétrico en esta etapa como se muestra en la Fig. 4.28. En esta figura se
presenta el cambio volumétrico y la distorsión angular del modelo viscoelástico
Capítulo 4 Experimentación y determinación de los parámetros del modelo
187
ajustados a los resultados experimentales. Las constantes viscoelásticas obtenidas a
través de este ajuste se muestran en la Tabla 4.19.
Deformación de las bandas extensométricas, Muestra 5098A2 etapa1: p=3,75 Mpa; etapa2: p=3,75 MPa, q=4,125 Mpa; etapa3: p=3,31 MPa, q=3,84 MPa
-1,000
-0,800
-0,600
-0,400
-0,200
0,000
0,200
0,400
0,600
0,8000,0 1000,0 2000,0 3000,0 4000,0 5000,0 6000,0 7000,0 8000,0
Tiempo total (minutos)
Def
orm
ació
n (%
)
Def vert exp tot % Def circ exp tot %
Fig. 4.27 Deformación de las bandas extensométricas (etapas 2 y 3; muestra 5098A2)
Tabla 4.19 Constantes viscoelásticas de la roca
Constante Valor
G1 1.50E3 MPa
G2 1.00E3 MPa
1η 3.00E5 MPa min
2η 4.00E7 Mpa min
K1 2.00E2 MPa
K2 3.00E2 MPa
volη 1.00E5 MPa min
En la Fig. 4.29se muestra las deformaciones de las bandas extensométricas
durante la etapa 3 del ensayo (relativas a la etapa 2). Debido a que la frecuencia de
medición fue de 15 minutos no se tomaron mas medidas intermedias antes de la rotura
de la bandas extensométricas.
Capítulo 4 Experimentación y determinación de los parámetros del modelo
188
Ajuste con el modelo viscoelástico: Bγ + EKSvol etapa2: p=3,75 MPa, q=4,125 Mpa (muestra 5098A2)
-0,700
-0,600
-0,500
-0,400
-0,300
-0,200
-0,100
0,0000,0 1000,0 2000,0 3000,0 4000,0 5000,0 6000,0 7000,0 8000,0
Tiempo total (minutos)
Def
orm
ació
n re
lativ
a a
la e
tapa
isót
ropa
(%)
Def ang exp etap % Def ang visc etap % Def vol exp etap % Def vol visc etap %
Fig. 4.28 Ajuste del cambio volumétrico y la distorsión angular con la respuesta del modelo viscoelástico (etapa 2; muestra 5098A2)
Deformación de las bandas extensométricas (relativa a la etapa2)muestra 5098A2 etapa 3: p=3,31 MPa, q=3,84 MPa
-0,300
-0,200
-0,100
0,000
0,100
0,200
0,300
0,400
0,5007210 7260 7310 7360 7410 7460 7510 7560 7610
Tiempo total (minutos)
Def
orm
ació
n re
lativ
a a
la e
tapa
2 (%
)
Def vert exp etap % Def circ exp etap %
Fig. 4.29 Deformación de las bandas extensométricas (etapa 3; muestra 5098A2)
En la Fig. 4.30 se muestra el cambio volumétrico y la distorsión angular
experimentales y del modelo viscoelástico durante la etapa 3 del ensayo. En esta figura
se aprecia que el cambio volumétrico experimental es muy parecido al cambio
volumétrico esperado del modelo viscoelástico.
Capítulo 4 Experimentación y determinación de los parámetros del modelo
189
Deformación experimental y viscoelástica teóricaetap3: p= 3,31 MPa, q= 3,84 Mpa (muestra 5098A2)
-0,500
-0,400
-0,300
-0,200
-0,100
0,000
0,100
0,200
0,3007210 7260 7310 7360 7410 7460 7510 7560 7610
Tiempo total (minutos)D
efor
mac
ión
rela
tiva
a la
eta
pa 2
(%)
Def ang exp etap % Def vol exp etap % Def vol visc etap % Def ang visc etap %
Fig. 4.30 Cambio volumétrico y distorsión angular experimentales y viscoelásticas (etapa 3; muestra 5098A2)
Deformación plástica teórica muestra 5098A2(Deformación relativa a la etapa 2) etap3: p= 3,31 MPa, q= 3,84 MPa
-0,500
-0,400
-0,300
-0,200
-0,100
0,000
0,1007210 7260 7310 7360 7410 7460 7510 7560 7610
Tiempo total (minutos)
Def
orm
ació
n re
lativ
a a
la e
tapa
2 (%
)
Def ang teor plast etap % Def vol teor plast etap %
Fig. 4.31 Cambio volumétrico y distorsión angular plásticas (etapa 3; muestra 5098A2)
Restando las deformaciones viscoelásticas de las experimentales se ha obtenido
el cambio volumétrico y la distorsión angular plástica mostradas en la Fig. 4.31.
Capítulo 4 Experimentación y determinación de los parámetros del modelo
190
4.4.8.4.3 Valores promedio de las constantes viscoelást icas
En la tabla siguiente se presentan los valores medios, de las constantes
viscoelásticas, obtenidos a partir de los resultados de los ensayos de fluencia mostrados
en los apartados anteriores. Estos valores medios, se han tomado como valores
característicos de la roca para el contraste de la solución de esta tesis con la solución
numérica del FLAC3D. Esto se presenta en el capítulo siguiente.
Tabla 4.20 Constantes viscoelásticas de la roca
Constante Valor
G1 1.35E3 MPa
G2 0.90E3 MPa
1η 3.50E5 MPa min
2η 3.625E7 Mpa min
K1 1.625E2 MPa
K2 2.25E2 MPa
volη 1.00E5 MPa min
191
5 Cálculo y validación de las soluciones
propuestas
5.1 Caso del túnel sin sostenimiento
5.1.1 Soluciones generales con los medios propuestos
En el apartado 3.7 se han deducido las expresiones de la convergencia según la
formulación propuesta en esta tesis. Estas expresiones han sido deducidas para cada uno
de los medios propuestos y para una distancia radial, desde el eje del túnel, r genérica
dentro de la zona rota. Por lo tanto para el estudio de la convergencia de la pared del
túnel sin sostenimiento ha sido necesario particularizarlas para el caso en el que ar = y
0=aσ . Estas expresiones así particularizadas se presentan a continuación.
Para el caso del medio con el criterio de rotura lineal de Mohr, y ley de
dilatancia constante; se ha obtenido la expresión siguiente:
( ) ( ) ( ) ( ) ( )
( )⎟⎟⎟
⎠
⎞
⎜⎜⎜
⎝
⎛−⎟⎟
⎠
⎞⎜⎜⎝
⎛⎟⎠
⎞⎜⎝
⎛ −+−
⎟⎟⎠
⎞⎜⎜⎝
⎛⎟⎟⎠
⎞⎜⎜⎝
⎛+
−++
⎥⎥⎥
⎦
⎤
⎢⎢⎢
⎣
⎡
⎟⎟⎟
⎠
⎞
⎜⎜⎜
⎝
⎛−⎟⎟
⎠
⎞⎜⎜⎝
⎛−+=
−
−
11
1111
010
000
01
00
ψ
ψ
θ
ψ
ϕφ
ψφψ
ψφε
senn
a
RRRa
rur
senn
a
RR
a
qqq
nsen
sent
sentsenn
nqqsenqtt
(5.1)
Haciendo lo mismo para el caso del medio con el criterio de rotura no lineal de
Hoek & Brown (GSI>25), y ley de dilatancia lineal; se ha conseguido la expresión
siguiente:
( ) ( ) ( ) ( )
( ) ( )
( )( ) ⎟⎠⎞⎜
⎝⎛ +++
+⎟⎠⎞⎜
⎝⎛ −+
+++=
∫ ∫∫ ∫∫∫
∫ ∫∫∫
∫
−−−−−+−−
−−−−−
−−
dxxexedxxexedxxexeat
dxxexeadxxexeta
dxxexeqtaqtt
aa aa
aa
aR
xxR
xxR
xxxxR
xxR
xxxxR
xxxR
xru
xxR
xxR
xxxxR
xxxR
xr
xxR
xR
xRR
r
1212
10
0
21
1
10
δδδδδδ
δδδδ
δδ
δδφ
δφ
φφεθ
(5.2)
Finalmente la expresión de la convergencia de la cavidad en el medio con; el
criterio de rotura no lineal de Hoek & Brown (GSI<25) y ley de dilatancia nula, es la
siguiente:
( ) ( ) ( ) ( ) ⎟⎟⎠
⎞⎜⎜⎝
⎛⎟⎟⎠
⎞⎜⎜⎝
⎛−+−
+−=
⎟⎠⎞⎜
⎝⎛
+⎟⎠⎞⎜
⎝⎛
11
10
kRq
RkR
ru
kRq
Ra eqq
kkteqtt φφε
θ (5.3)
Capítulo 5 Cálculo y validación de las soluciones propuestas
192
En estas expresiones, intervienen las funciones temporales: ( ) ( ) ( )ttt ru
r φφφ ,, 00 que
dependen del comportamiento reológico del medio y que han sido tratadas en los
apartados 3.2 y 3.3. El significado de las demás variables se ha tratado en el apartado
3.7.
Para el cálculo y gráfico de la solución de la convergencia ( )taθε se ha escrito el
código informático presentado a continuación.
5.1.2 Implementación informática de las soluciones propuestas
5.1.2.1 Código “convergencia”
Para el cálculo de la convergencia, empleando la solución propuesta, se ha
desarrollado un código informático escrito en Matlab 7.0. El mismo que está formado
por un código administrador llamado “convergencia” y varios subcódigos
administrados. La función del administrador es ejecutar los subcódigos en el orden en
que se muestra en el diagrama de flujo de la Fig. 5.1.
Fig. 5.1 Diagrama de flujo del código “convergencia”
Estos códigos mostrados en el diagrama de flujo anterior a su vez ejecutan otros
códigos los cuales son mostrados en sus diagramas de flujo correspondientes. A
continuación, se describen las funciones de cada uno de estos códigos administrados a
Ejecución del código: “con_vis”
Ejecución del código: “fun_tem”
Ejecución del código: “cri_rot_ley_dil”
Ejecución del código: “cal_con”
Fin
Capítulo 5 Cálculo y validación de las soluciones propuestas
193
la vez que se presentan sus diagramas de flujo. El listado del contenido de cada código,
se presenta en el apéndice III.
5.1.2.2 Código “con_vis”
Ejecutando el código “con_vis”, cuyo diagrama de flujo se muestra en la Fig.
5.2., se asignan las constantes viscoelásticas del medio (normalizadas con el parámetro
β del criterio de rotura). Constantes que se determinan siguiendo la metodología
propuesta en el apartado 4.4.8. Sus valores deben estar normalizados debido a que el
criterio de rotura del medio se ha formulado en la forma paramétrica de Serrano y Olalla
(2000).
La solución propuesta en esta tesis tiene en cuenta que el comportamiento por
fluencia de la interfase puede ser diferente al de la zona rota. Debido a ello es que, en
este código, las constantes viscoelásticas se asignan para cada una de las zonas por
separado. Esto permite que, cada zona sufra el tipo de fluencia que se ha presentado
realmente en cada una de las etapas del ensayo propuesto siguiendo la trayectoria de las
tensiones alrededor de la cavidad. Por este motivo las constantes viscoelásticas de
ambas zonas no tienen porque ser iguales sino que serán las que se obtengan de cada
etapa del ensayo de fluencia.
Fig. 5.2 Diagrama de flujo del código “con_vis”
Durante la ejecución de este código se muestra en el monitor del ordenador la
ventana interactiva de la Fig. 5.3. A través de ella se ingresan y se asignan los valores de
las constantes viscoelásticas.
Ejecución solicitada por el código: “convergencia”
Retorno al código “convergencia”
Ingreso de las constantes viscoelásticas de la interfase: 2121 ,,, ηηGG
Ingreso de las constantes viscoelásticas de la zona rota: rv
rrrrrr KKGG ηηη ,,,,,, 212121
Capítulo 5 Cálculo y validación de las soluciones propuestas
194
Fig. 5.3 Ventana interactiva del código “con_vis”
5.1.2.3 Código “fun_tem”
Para calcular y graficar las funciones temporales ( )t0φ , ( )tr0φ y ( )tr
uφ , se ejecuta el
código “fun_tem”, cuyo diagrama de flujo se muestra en la Fig. 5.4.
En este código se emplea la opción de cálculo simbólico del Matlab. Con este fin
la variable tiempo “ t ”, se declara como variable simbólica y por lo tanto las expresiones
finales de las funciones temporales serán objetos simbólicos los cuales se pueden
utilizar como argumentos de los comandos del cálculo simbólico.
Las funciones temporales ( )t0φ y ( )tr0φ ya han sido resueltas empleando el
método propuesto en el apartado 3.4.4 y sus expresiones son funciones de la variable
simbólica “ t ” escritas dentro de las líneas del código “fun_tem”. Para el caso de la
función temporal ( )truφ , se ha implementado el algoritmo del método anteriormente
mencionado. Esto debido a que no es posible factorizar el polinomio denominador de la
fracción polinómica en “ s ” sin antes conocer los valores de las constantes
viscoelásticas. En el proceso de solución, el primer paso es calcular las raíces del
Capítulo 5 Cálculo y validación de las soluciones propuestas
195
polinomio denominador, operación que se ejecuta con los comandos que el Matlab tiene
implementados en sus librerías.
Fig. 5.4 Diagrama de flujo del código “fun_tem”
5.1.2.4 Código “sol_fup”
En este paso se ejecuta el código “sol_fup”, el cual a través del diagrama de
flujo mostrado en la Fig. 5.5 calcula la función ( )truφ . Para llegar a la solución de esta
función, primero se determina el número de raíces diferentes is del denominador de
( )sruφ y el número in de veces que se repite cada raíz. Esto se realiza a través de la
ejecución del código “can_rai” cuyo diagrama de flujo se muestra en la Fig. 5.6. El
algoritmo de este programa consiste en comparar una a una las raíces ir obtenidas y
almacenar las que son diferentes como is junto con el número de veces que se repite
cada una. Luego siguiendo el método mostrado en el apartado 3.3.5.2 se calcula los
coeficientes ijC y se conforma la función temporal a través de la sumatoria siguiente:
( ) ( )∑ ∑−
== =
−nr
i
in
j
tisjijru et
jC
t1 1
1
!1φ
Retorno al código “convergencia”
Ejecución solicitada por el código: “convergencia”
Calculo de la función ( )tr0φ
Ejecución del gráfico de las funciones temporales ( )t0φ ( )tr
0φ y ( )truφ
- Conformación de la función ( ) ( )( )sNsMsr
u =φ .
- Cálculo de las raíces del polinomio denominador ( )sN .
- Conformación del vector ir formado con las raíces anteriores.
Ejecución del código: sol fup
Capítulo 5 Cálculo y validación de las soluciones propuestas
196
Fig. 5.5 Diagrama de flujo del código “sol_fup”
Para: i=1 hasta nº raíces diferentes nr : ( )isspr −=
1>in
( ) inisspr −=
Ejecución solicitada por el código: fun_tem
Si
0=− jni
( )( )sNsMC
iij =
Para k=1 hasta ni-j
( )( )sNsM
dsd
ijin
jin
−
−
Ejecución del código: can_rai
( ) ( )pr
sNsNi =
( )( )( )
issijin
jin
iij sN
sMdsd
jnC
=−
−
⎥⎦
⎤⎢⎣
⎡−
=!
1
No
( ) ( )∑ ∑−
== =
−nr
i
in
j
tisjijru et
jC
t1 1
1
!1φ
( ) 0=truφ
Retorno al código: func temp zona plastica
Para: j=1 hasta ni
No
Si
Siguiente iteración del bucle
Siguiente iteración del bucle
Capítulo 5 Cálculo y validación de las soluciones propuestas
197
5.1.2.5 Código “can_rai”
Fig. 5.6 Diagrama de flujo del código “can_rai”
Para: i=1 hasta lr-1
i=posc
Para: j=i+1 hasta lr posc=posc+1
Ejecución solicitada por el código: sol_fup
posc=1, 1=nr , lr=tamaño de ir
No
Si
ji rr =
inrrs = , repn
nr= , 1+= nn rr
Salir del bucle
1+= reprep
irn rs =
repnnr
=
No
( ) ( )1,1, jrir =
jnrrs = , 1=
nrn
No
Resultado: nr raíces diferentes y nr exponentes de raíces
Si
Retorno al código: “fup”
Si
Siguiente iteración del bucle
Lectura de los datos del vector ir del código “fun_tem”
Capítulo 5 Cálculo y validación de las soluciones propuestas
198
5.1.2.6 Código “cri_rot_ley_dil”
A través del código “cri_rot_ley_dil”, cuyo diagrama de flujo se muestra en la
Fig. 5.7, se elije el criterio de rotura y la ley de dilatancia y se introducen los parámetros
correspondientes tratados en el apartado 3.7. Otro dato que se ingresa a través de este
código es la presión inicial del medio ( )0p , adimensionalizada con el parámetro β . Es
necesario recordar que debido a que se ha empleado la formulación de Serrano y Olalla,
todos los parámetros de la relación constitutiva deben ingresarse normalizados con el
parámetro β .
Fig. 5.7 Diagrama de flujo del código “cri_ rot_ley_dil”
5.1.2.7 Código “cal_con”
Ejecutando el código “cal_con” se conforma la expresión de la convergencia y
se grafica en función del tiempo. Para esto la variable tiempo t se declara previamente
como simbólica. En el caso del criterio de rotura de Mohr, la expresión de la
convergencia totalmente resuelta está expresada por la ecuación 5.1 y lo mismo sucede
cuando el criterio de rotura es el de Hoek & Brown modificado (GSI<25) cuya
expresión de la convergencia está dada por la ecuación 5.3. Cuando el criterio de rotura
es el de Hoek & Brown original (GSI>25) es necesario resolver primeramente las
integrales definidas en función de las cuales está dada la expresión de la convergencia
(ecuación 5.2). Este cálculo se ejecuta con el código “int_num” cuyo diagrama de flujo
Ejecución solicitada por el código: “convergencia”
Elección del criterio de rotura, de la ley de dilatancia e ingreso de los
parámetros correspondientes
Retorno al código “convergencia”
Ingreso del dato: p0 (adimensionalizado con el parámetro β )
Capítulo 5 Cálculo y validación de las soluciones propuestas
199
se muestra en la Fig. 5.9. Para ello la variable x que corresponde con el cambio de
variable mostrado en el apartado 3.7.2, se declara como variable simbólica.
Fig. 5.8 Diagrama de flujo del código “cal_con”
5.1.2.8 Código “int_num”
Los algoritmos de este código ejecutan el cálculo de las primitivas de las
integrales no definidas de la expresión de la convergencia (integrales cuyo límite
superior es la variable genérica x ). Este código también calcula las constantes de
integración. Para esto calcula los valores de las primitivas en la condición de contorno
de la expresión, condición en la que Rxx = .
Posteriormente, ejecuta el cálculo numérico de las integrales definidas entre los
límites ( )aR xx , a través del método de los trapecios.
Concluido este cálculo, se implementa la expresión total de la convergencia con
los términos que dependen del tiempo (funciones temporales) y los términos acrónicos
que dependen de las condiciones de contorno, del criterio de rotura y de la ley de
dilatancia del medio.
Finalmente se ejecuta el grafico de la convergencia en función del tiempo.
Ejecución solicitada por el código: “convergencia”
Retorno al código “convergencia”
Ingreso de la variable: t_limite1 (límite de tiempo para el cálculo de la convergencia)
¿El criterio de rotura es el criterio original
de Hoek?
Conformación y gráfico de la función: ( )ta
θε
Ejecución del código: “int num”
Si
No
Capítulo 5 Cálculo y validación de las soluciones propuestas
200
Fig. 5.9 Diagrama de flujo del código “int_num”
5.1.3 Casos resueltos
Con el objeto de ilustrar el empleo de las tres soluciones generales propuestas,
en los apartados siguientes se han resuelto los casos con cada criterio de rotura y con
cada ley de dilatancia propuesta. En cada caso se ha resuelto el cálculo de la
convergencia de un túnel de radio a=1.00 m, excavado a 150.00 m de profundidad en la
roca ensayada en el capítulo IV. Para facilitar la lectura de estos apartados, se ha
resumido sus propiedades en la tabla siguiente:
Tabla 5.1 Propiedades de la roca ensayada
Constantes viscoelásticas
Constante Valor
G1 1.35E3 MPa
G2 0.90E3 MPa
1η 3.50E5 MPa min
2η 3.625E7 Mpa min
K1 1.625E2 MPa
K2 2.25E2 MPa
volη 1.00E5 MPa min
Parámetros del criterio de rotura
Ajuste Mohr - Coulomb
c 1.146 MPa ϕ 40.62º
Ajuste Hoek & Brown
Ejecución solicitada por el código:“cal_con”
Declaración de la variable “x” como variable simbólica
Cálculo de las primitivas ( )xF de ( )xf de la ecuación 5.2: ( ) ( )∫ += CxFdxxf
Retorno al código: “cal_con”
Cálculo numérico de las integrales de la ecuación 5.2: ( ) ( ) ( )[ ]dxCxFxgxxHa
R
x
xaR ∫ +=,
Capítulo 5 Cálculo y validación de las soluciones propuestas
201
mi 12
icσ 5 MPa
Propiedades físicas básicas
Densidad aparente 2480 kg/m3
A partir de esta tabla, se han obtenido los parámetros correspondientes a cada
ajuste utilizado.
5.1.3.1 Medio con criterio de rotura lineal de Mohr, ley de dilatancia
constante, comportamiento viscoelástico en corte de tipo Burger
y de tipo Zener en compresión isótropa
En este caso, el medio tiene un comportamiento viscoelástico en compresión
isótropa. El cual, en cuanto a propiedades del medio, dependerá de 1K , volη y 2K de la
Tabla 5.1. Los parámetros del criterio de rotura corresponden al ajuste de Mohr. En
ausencia de un levantamiento geomecánico, se ha considerado un GSI = 75 con lo cual
el ángulo de dilatancia (ψ ) sería igual a 4/φ de acuerdo con la recomendación del
apartado 3.6.1.
5.1.3.1.1 Solución propuesta en la tesis
Para este caso, la solución de la convergencia está expresada por la ecuación 5.1
rescrita a continuación:
( ) ( ) ( ) ( ) ( )
( )⎟⎟⎟
⎠
⎞
⎜⎜⎜
⎝
⎛−⎟⎟
⎠
⎞⎜⎜⎝
⎛⎟⎠
⎞⎜⎝
⎛ −+−
⎟⎟⎠
⎞⎜⎜⎝
⎛⎟⎟⎠
⎞⎜⎜⎝
⎛+
−++
⎥⎥⎥
⎦
⎤
⎢⎢⎢
⎣
⎡
⎟⎟⎟
⎠
⎞
⎜⎜⎜
⎝
⎛−⎟⎟
⎠
⎞⎜⎜⎝
⎛−+=
−
−
11
1111
010
000
01
00
ψ
ψ
θ
ψ
ϕφ
ψφψ
ψφε
senn
a
RRRa
rur
senn
a
RR
a
qqq
nsen
sent
sentsenn
nqqsenqtt
Donde cada uno de los parámetros de la expresión tiene el significado indicado
en el apartado 3.8.1. Los valores de la tensión inicial y de las constantes viscoelásticas
del modelo normalizados con el parámetro MPa336.1=β (Serrano y Olalla) son:
731.2*0 =p , 3*
1 10*010.1=G , 592.673*2 =G , día912.181*
1 =η , día3*2 10*841.18=η ,
621.121*1 =K , díavol 974.51* =η , 398.168*
2 =K .
Utilizando el código “convergencia” para resolver este caso, se han calculado y
graficado las funciones temporales de la expresión anterior (Fig. 5.10, Fig. 5.11 y Fig.
5.12), así como la evolución de la convergencia de la pared del túnel (Fig. 5.13). Estos
resultados, se muestran en las cuatro figuras siguientes.
Capítulo 5 Cálculo y validación de las soluciones propuestas
202
0 1 2 3 4 5 6 70.7
0.8
0.9
1
1.1
1.2
1.3
1.4
1.5
1.6
x 10-3
Tiempo (días)
Función temporal de la interfase
Φ0(t
) n
orm
aliz
ada
con
ß
Φ0(t)
Fig. 5.10 ( )t0φ del medio con criterio de rotura lineal de Mohr, ley de dilatancia constante, comportamiento viscoelástico en corte de tipo Burger y de tipo Zener en compresión isótropa
0 1 2 3 4 5 6 70.7
0.8
0.9
1
1.1
1.2
1.3
1.4
1.5
1.6
x 10-3
Tiempo (días)
Función temporal de la zona rota
Φ0r (t
) n
orm
aliz
ada
con
ß
Φ0r (t)
Fig. 5.11 ( )tr0φ del medio con criterio de rotura lineal de Mohr, ley de dilatancia constante,
comportamiento viscoelástico en corte de tipo Burger y de tipo Zener en compresión isótropa
Capítulo 5 Cálculo y validación de las soluciones propuestas
203
0 1 2 3 4 5 6 71.2
1.4
1.6
1.8
2
2.2
2.4
2.6
2.8
x 10-3
X: 0Y: 0.001272
X: 6.989Y: 0.002888
Tiempo (días)
Función temporal de la zona rota
Φur (t
) n
orm
aliz
ada
con
ß
Φur (t)
Fig. 5.12 ( )truφ del medio con criterio de rotura lineal de Mohr, ley de dilatancia constante,
comportamiento viscoelástico en corte de tipo Burger y de tipo Zener en compresión isótropa
0 5 10 15 20 25 30
2
3
4
5
6
7
8
x 10-3
X: 0Y: 0.002193
X: 29.95Y: 0.008289
Tiempo (días)
Evolución de la convergencia de la cavidad sin sostenimiento
Con
verg
enci
a: ε
θa (t)
εθa(t)sin sost
Fig. 5.13 ( )taθε del medio con criterio de rotura lineal de Mohr, ley de dilatancia constante,
comportamiento viscoelástico en corte de tipo Burger y de tipo Zener en compresión isótropa
Capítulo 5 Cálculo y validación de las soluciones propuestas
204
La Fig. 5.13, muestra que debido a las propiedades reológicas del medio, la
convergencia evoluciona con el tiempo desde el valor inicial de 0.0022 hasta 0.0083 al
cabo de 30 días. Esta evolución continuará con el transcurso del tiempo siguiendo el
mismo patrón hasta que se presente la fluencia terciaria.
5.1.3.2 Medio con criterio de rotura no lineal de Hoek (GSI>25), ley de
dilatancia lineal, comportamiento viscoelástico en corte de tipo
Burger y de tipo Zener en compresión isótropa
En este caso los parámetros del criterio de rotura corresponden al ajuste de Hoek
y Brown. El valor empleado del GSI es igual a 100. Habiéndose considerado además
una ley de dilatancia lineal con º90max =ψ y º22=critρ de acuerdo con la recomendación
del apartado 3.6.2. El medio es viscoelástico tanto en compresión isótropa como en
corte. Las constantes viscoelásticas del medio son los de la roca ensayada en esta tesis,
la cuales se muestran en la Tabla 5.1
5.1.3.2.1 Solución propuesta en la tesis
En este caso, la solución de la convergencia está expresada por la ecuación 5.2
reescrita a continuación:
( ) ( ) ( ) ( )
( ) ( )
( )( ) ⎟⎠⎞⎜
⎝⎛ +++
+⎟⎠⎞⎜
⎝⎛ −+
+++=
∫ ∫∫ ∫∫∫
∫ ∫∫∫
∫
−−−−−+−−
−−−−−
−−
dxxexedxxexedxxexeat
dxxexeadxxexeta
dxxexeqtaqtt
aa aa
aa
aR
xxR
xxR
xxxxR
xxR
xxxxR
xxxR
xru
xxR
xxR
xxxxR
xxxR
xr
xxR
xR
xRR
r
1212
10
0
21
1
10
δδδδδδ
δδδδ
δδ
δδφ
δφ
φφεθ
Donde cada uno de los parámetros tiene el significado indicado en el apartado
3.8.2. Los valores de la tensión inicial y de las constantes viscoelásticas del modelo,
normalizados con el parámetro MPa5.7=β (Serrano y Olalla) son: 487.0*0 =p ,
00.180*1 =G , 120*
2 =G , día408.32*1 =η , día3*
2 10*357.3=η , 667.21*1 =K , 00.30*
2 =K ,
díavol 259.9* =η . A continuación se muestran los gráficos obtenidos con el código
“convergencia”.
En la Fig. 5.17, se observa que debido a las propiedades reológicas del medio, la
convergencia evoluciona con el tiempo desde el valor inicial de 0.00469 hasta 0.01685
al cabo de 30 días. Esta evolución continuará con el transcurso del tiempo siguiendo el
mismo patrón hasta que se presente la fluencia terciaria.
Capítulo 5 Cálculo y validación de las soluciones propuestas
205
0 1 2 3 4 5 6 74
4.5
5
5.5
6
6.5
7
7.5
8
8.5
9
x 10-3
X: 6.989Y: 0.009026
X: 0Y: 0.004167
Tiempo (días)
Función temporal de la interfase
Φ0(t
) n
orm
aliz
ada
con
ß
Φ0(t)
Fig. 5.14 ( )t0φ del medio con criterio de rotura no lineal de Hoek (GSI=100), ley de dilatancia lineal, comportamiento viscoelástico en corte de tipo Burger y de tipo Zener en compresión isótropa.
0 1 2 3 4 5 6 74
4.5
5
5.5
6
6.5
7
7.5
8
8.5
9
x 10-3
X: 0Y: 0.004167
X: 6.989Y: 0.009026
Tiempo (días)
Función temporal de la zona rota
Φ0r (t
) n
orm
aliz
ada
con
ß
Φ0r (t)
Fig. 5.15 ( )tr0φ del medio con criterio de rotura no lineal de Hoek (GSI=100), ley de dilatancia lineal,
comportamiento viscoelástico en corte de tipo Burger y de tipo Zener en compresión isótropa.
Capítulo 5 Cálculo y validación de las soluciones propuestas
206
0 1 2 3 4 5 6 70.007
0.008
0.009
0.01
0.011
0.012
0.013
0.014
0.015
0.016
X: 0Y: 0.007143
X: 6.989Y: 0.01621
Tiempo (días)
Función temporal de la zona rota
Φur (t
) n
orm
aliz
ada
con
ß
Φur (t)
Fig. 5.16 ( )truφ del medio con criterio de rotura no lineal de Hoek (GSI=100), ley de dilatancia lineal,
comportamiento viscoelástico en corte de tipo Burger y de tipo Zener en compresión isótropa.
0 5 10 15 20 25 300.004
0.006
0.008
0.01
0.012
0.014
0.016
X: 0Y: 0.004686
X: 29.95Y: 0.01685
Tiempo (días)
Evolución de la convergencia de la cavidad sin sostenimiento
Con
verg
enci
a: ε
θa (t)
εθa(t)sin sost
Fig. 5.17. ( )taθε del medio con criterio de rotura no lineal de Hoek (GSI=100), ley de dilatancia lineal,
comportamiento viscoelástico en corte de tipo Burger y de tipo Zener en compresión isótropa
Capítulo 5 Cálculo y validación de las soluciones propuestas
207
5.1.3.3 Medio con criterio de rotura no lineal de Hoek (GSI<25), ley de
dilatancia nula, comportamiento viscoelástico en corte de tipo
Burger y de tipo Zener en compresión isótropa
En este caso el valor empleado del GSI es igual a 20. De acuerdo con la
recomendación dada en el apartado 3.6.1., debida a diferentes autores, se ha empleado
un ángulo de dilatancia nula. El medio es viscoelástico tanto en compresión isótropa
como en corte. Las constantes viscoelásticas del medio son los de la roca ensayada en
esta tesis, la cuales se muestran en la Tabla 5.1
5.1.3.3.1 Solución propuesta en la tesis
En este caso, la solución de la convergencia está expresada por la ecuación 5.3
reescrita a continuación:
( ) ( ) ( ) ( ) ⎟⎟⎠
⎞⎜⎜⎝
⎛⎟⎟⎠
⎞⎜⎜⎝
⎛−+−
+−=
⎟⎠⎞⎜
⎝⎛
+⎟⎠⎞⎜
⎝⎛
11
10
kRq
RkR
ru
kRq
Ra eqq
kkteqtt φφε
θ
Donde cada uno de los parámetros tiene el significado indicado en el apartado
3.8.3. Los valores de la tensión inicial y de las constantes viscoelásticas del modelo,
normalizados con el parámetro MPa439.0=β (Serrano y Olalla) son: 314.8*0 =p ,
3*1 10*075.3=G , 3*
2 10*05.2=G , día658.553*1 =η , día3*
2 10*344.57=η , 159.370*1 =K ,
528.512*2 =K , díavol 187.158* =η . A continuación se muestran los gráficos de las funciones
temporales obtenidos con el código “convergencia”, (Fig. 5.18, Fig. 5.19 y Fig. 5.20).
Así mimo, en la Fig. 5.21, se observa que debido a las propiedades reológicas
del medio, la convergencia evoluciona con el tiempo desde el valor inicial de 0.0389
hasta 0.1343 al cabo de 30 días. En este caso es más realista la determinación de las
constantes viscoelásticas del medio a partir de ensayos de fluencia de campo (por
ejemplo en galerías). Esto permitiría tomar en cuenta las condiciones de campo que
hacen que el GSI del macizo sea igual a 20. Probablemente se hubiese presentado la
fluencia terciaria en esos ensayos antes de llegar a este nivel de deformaciones. Sin
embargo, aquí se ha resuelto este caso con las propiedades reológicas de la roca intacta
(GSI=100), únicamente para ilustrar el empleo de la solución propuesta para un medio
viscoelástico – plástico con el criterio de rotura no lineal de Hoek y Brown, GSI<25 y
ley de dilatancia nula.
Capítulo 5 Cálculo y validación de las soluciones propuestas
208
0 1 2 3 4 5 6 7
3
3.5
4
4.5
5
x 10-4
Tiempo (días)
Función temporal de la interfase
Φ0(t
) n
orm
aliz
ada
con
ß
Φ0(t)
Fig. 5.18 ( )t0φ del medio con criterio de rotura no lineal de Hoek (GSI=20), ley de dilatancia nula, comportamiento viscoelástico en corte de tipo Burger y de tipo Zener en compresión isótropa
0 1 2 3 4 5 6 7
3
3.5
4
4.5
5
x 10-4
Tiempo (días)
Función temporal de la zona rota
Φ0r (t
) n
orm
aliz
ada
con
ß
Φ0r (t)
Fig. 5.19 ( )tr0φ del medio con criterio de rotura no lineal de Hoek (GSI=20), ley de dilatancia nula,
comportamiento viscoelástico en corte de tipo Burger y de tipo Zener en compresión isótropa.
Capítulo 5 Cálculo y validación de las soluciones propuestas
209
0 1 2 3 4 5 6 7
4.5
5
5.5
6
6.5
7
7.5
8
8.5
9
9.5
x 10-4
Tiempo (días)
Función temporal de la zona rota
Φur (t
) n
orm
aliz
ada
con
ß
Φur (t)
Fig. 5.20 ( )truφ del medio con criterio de rotura no lineal de Hoek (GSI=20), ley de dilatancia nula,
comportamiento viscoelástico en corte de tipo Burger y de tipo Zener en compresión isótropa.
0 5 10 15 20 25 30
0.04
0.05
0.06
0.07
0.08
0.09
0.1
0.11
0.12
0.13
0.14
X: 0Y: 0.0389
Tiempo (días)
Evolución de la convergencia de la cavidad sin sostenimiento
Con
verg
enci
a: ε
θa (t)
X: 29.95Y: 0.1343
εθa(t)sin sost
Fig. 5.21 ( )taθε del medio con criterio de rotura no lineal de Hoek (GSI=20), ley de dilatancia nula,
comportamiento viscoelástico en corte de tipo Burger y de tipo Zener en compresión isótropa.
Capítulo 5 Cálculo y validación de las soluciones propuestas
210
5.1.4 Validación de las soluciones propuestas
En cuanto a la validación de la solución propuesta, se debe decir que la
propuesta de esta tesis, es un aporte original al estudio de la convergencia por fluencia
en túneles; en la cual se emplean medios inéditos. Por este motivo, no es posible validar
todos los casos posibles de resolver con las soluciones propuestas en el apartado 5.1.1.
Lo que se ha hecho es contrastar la respuesta obtenida con esta nueva formulación para
los casos ya resueltos por otros autores.
Con este fin, se ha resuelto a partir de las expresiones generales, el caso
particular implementado por el código de diferencias finitas FLAC3D desarrollado por
Itasca Consulting Group Inc. Este caso es el del medio viscoelástico – plástico
“CVISC”, implementado y denominado de este modo en el FLAC3D.
5.1.4.1 Medio con criterio de rotura lineal de Mohr, ley de dilatancia
constante, comportamiento viscoelástico en corte de tipo Burger
y elástico en compresión isótropa
En este caso, el medio tiene un comportamiento elástico en compresión isótropa.
El cual, en cuanto a propiedades del medio, dependerá únicamente de su módulo de
rigidez volumétrica igual a 2K de la Tabla 5.1. Los parámetros del criterio de rotura
corresponden al ajuste de Mohr. En ausencia de un levantamiento geomecánico para el
caso, se ha considerado un GSI = 75 con lo cual el ángulo de dilatancia (ψ ) sería igual a
4/φ de acuerdo con la recomendación del apartado 3.6.1.
5.1.4.1.1 Solución propuesta en la tesis
Para este caso, la solución de la convergencia está expresada por la ecuación 5.1
rescrita a continuación:
( ) ( ) ( ) ( ) ( )
( )⎟⎟⎟
⎠
⎞
⎜⎜⎜
⎝
⎛−⎟⎟
⎠
⎞⎜⎜⎝
⎛⎟⎠
⎞⎜⎝
⎛ −+−
⎟⎟⎠
⎞⎜⎜⎝
⎛⎟⎟⎠
⎞⎜⎜⎝
⎛+
−++
⎥⎥⎥
⎦
⎤
⎢⎢⎢
⎣
⎡
⎟⎟⎟
⎠
⎞
⎜⎜⎜
⎝
⎛−⎟⎟
⎠
⎞⎜⎜⎝
⎛−+=
−
−
11
1111
010
000
01
00
ψ
ψ
θ
ψ
ϕφ
ψφψ
ψφε
senn
a
RRRa
rur
senn
a
RR
a
qn
senqq
sent
sentsenn
nqqsenqtt
Donde cada uno de los parámetros de la expresión tiene el significado indicado
en el apartado 3.7.1. Los valores de la tensión inicial y de las constantes viscoelásticas
del modelo normalizados con el parámetro MPa336.1=β (Serrano y Olalla) son:
731.2*0 =p , 3*
1 10*010.1=G , 592.673*2 =G , día912.181*
1 =η , día3*2 10*841.18=η ,
Capítulo 5 Cálculo y validación de las soluciones propuestas
211
398.168*2 =K . Debido a que el medio implementado en el FLAC3D tiene las mismas
constantes viscoelásticas para ambas zonas alrededor del túnel, y lo que se pretende en
este caso es utilizar el mismo medio en la solución propuesta, estas se han empleado
tanto para la interfase como para la zona rota en la solución propuesta. Por el mismo
motivo se ha utilizado: díavol 974.51* =η , 3*1 10*621.121=K (1000 veces mayor que el de la
Tabla 5.1), para no tener en cuenta el comportamiento viscoelástico en cambio
volumétrico.
Utilizando el código “convergencia”, presentado en el apartado 5.1.2,
desarrollado para el cálculo de la solución propuesta, se han calculado y graficado las
funciones temporales de la expresión anterior (Fig. 5.22, Fig. 5.23 y Fig. 5.24) así como
la evolución de la convergencia de la pared del túnel (Fig. 5.25).
La última figura muestra que debido a las propiedades reológicas del medio, la
convergencia evoluciona con el tiempo desde el valor inicial de 0.0022 hasta 0.00807 al
cabo de 30 días. Evolución que continuará con el transcurso del tiempo siguiendo el
mismo patrón hasta que se presente la fluencia terciaria.
0 1 2 3 4 5 6 70.7
0.8
0.9
1
1.1
1.2
1.3
1.4
1.5
1.6
x 10-3
Tiempo (días)
Función temporal de la interfase
Φ0(t
) n
orm
aliz
ada
con
ß
Φ0(t)
Fig. 5.22 ( )t0φ con criterio de rotura lineal de Mohr, ley de dilatancia constante, comportamiento viscoelástico en corte de tipo Burger y elástico en compresión isótropa.
Capítulo 5 Cálculo y validación de las soluciones propuestas
212
0 1 2 3 4 5 6 70.7
0.8
0.9
1
1.1
1.2
1.3
1.4
1.5
1.6
x 10-3
Tiempo (días)
Función temporal de la zona rota
Φ0r (t
) n
orm
aliz
ada
con
ß
Φ0r (t)
Fig. 5.23 ( )tr0φ con criterio de rotura lineal de Mohr, ley de dilatancia constante, comportamiento
viscoelástico en corte de tipo Burger y elástico en compresión isótropa.
0 1 2 3 4 5 6 7
1.3
1.4
1.5
1.6
1.7
1.8
x 10-3 X: 6.989
Y: 0.001855
X: 0Y: 0.001272
Tiempo (días)
Función temporal de la zona rota
Φur (t
) n
orm
aliz
ada
con
ß
Φur (t)
Fig. 5.24 ( )truφ con criterio de rotura lineal de Mohr, ley de dilatancia constante, comportamiento
viscoelástico en corte de tipo Burger y elástico en compresión isótropa.
Capítulo 5 Cálculo y validación de las soluciones propuestas
213
0 5 10 15 20 25 30
2
3
4
5
6
7
8
x 10-3
Tiempo (días)
Evolución de la convergencia de la cavidad sin sostenimiento
Con
verg
enci
a: ε
θa (t)
εθa(t)sin sost
Fig. 5.25 ( )taθε del medio con criterio de rotura lineal de Mohr, ley de dilatancia constante,
comportamiento viscoelástico en corte de tipo Burger y elástico en compresión isótropa.
5.1.4.1.2 Solución hallada con el FLAC3D
Para el cálculo de la solución a través de este programa de diferencias finitas se
ha escrito el código listado en el apéndice IV.
Teniendo en cuenta las condiciones de simetría de las cargas y de la geometría
del túnel, se ha analizado la cuarta parte de la sección transversal. Esto además para
disminuir el tiempo de cálculo el cual se reduce exponencialmente con la disminución
del tamaño de la malla.
En la Fig. 5.26, se muestra la condición de tensión inicial isótropa, igual a 0p , en
el contorno del modelo. También se muestran las condiciones impuestas debido a la
simetría axial y de deformación plana. Así como también el modelo viscoelástico –
plástico asignado al medio. Las condiciones de deformación plana están representadas a
través de la imposición de razones de deformaciones nulas en la dirección del eje axial.
Mientras que la axisimetría, esta representada por la imposición de la condición de
desplazamientos nulos en la dirección tangencial a la cavidad a lo largo del eje X y del
eje Z.
Capítulo 5 Cálculo y validación de las soluciones propuestas
214
FLAC3D 3.10
CEDEXJoseGuillermo
©2006 Itasca Consulting Group, Inc. Settings: Model Projection15:37:31 Mon Oct 13 2008
Center: X: 7.500e+000 Y: 5.000e-001 Z: 7.500e+000
Rotation: X: 0.000 Y: 0.000 Z: 0.000
Dist: 4.198e+001 Size: 1.670e+001
Job Title: Cavidad cilindrica sin sostenimiento- modelo cvisc
Block Model: Mechanical Live mech zones shown
cviscous
FAP Maximum = 1.955e+006 Linestyle
Fixity Conditions Linestyle
Axes Linestyle
XY
Z
Fig. 5.26 Condiciones de simetría y tensiones de contorno
Como resultado de la aplicación de las condiciones de contorno anteriores, se ha
obtenido la Fig. 5.27. En esta figura se muestra las direcciones del tensor de tensiones
principales y el valor de la tensión isótropa inicial antes de la excavación del túnel.
Como se muestra, el valor de las componentes del tensor de tensiones principales es
igual a 0p . Así como también se muestra que las direcciones de las tensiones
principales son las de los ejes del sistema de coordenadas (x,y,z). Direcciones a partir de
las cuales se producirá la reorientación y redistribución de tensiones debido a la
excavación del túnel.
La Fig. 5.28 se ha obtenido luego de ejecutar el análisis por fluencia hasta 30
días después de la ejecución de la excavación. En esta figura se muestran dos
resultados: la historia de la evolución del desplazamiento de la pared del túnel en
función del tiempo transcurrido después de la excavación del mismo, y el gradiente del
desplazamiento alrededor del túnel al cabo de 30 días. Se muestra que la convergencia
evoluciona con el tiempo desde el valor inicial de 0.00216 hasta el valor de 0.00800 al
cabo de este periodo. La convergencia inicial se debería a las deformaciones
elastoplásticas del medio y la evolución de la convergencia a lo largo del tiempo a las
deformaciones viscoelásticas producidas por las propiedades reológicas del medio.
Capítulo 5 Cálculo y validación de las soluciones propuestas
215
FLAC3D 3.10
CEDEXJoseGuillermo
©2006 Itasca Consulting Group, Inc. Settings: Model Projection15:57:41 Mon Oct 13 2008
Center: X: 7.500e+000 Y: 5.000e-001 Z: 7.500e+000
Rotation: X: 0.000 Y: 0.000 Z: 0.000
Dist: 4.198e+001 Size: 1.670e+001
Job Title: Cavidad cilindrica sin sostenimiento- modelo cvisc
Block Contour of Min. Prin. Stress Live mech zones shown
-3.6490e+006 to -3.6400e+006-3.6500e+006 to -3.6490e+006
Interval = 1.0e+004
Principal Stresses Magfac = 0.000e+000 Live mech zones shown Compression Linestyle Max Compression = -3.649e+006 Max Tension = 0.000e+000
Axes Linestyle
XY
Z
Fig. 5.27 Estado de tensiones iniciales y direcciones del tensor de tensiones principales
FLAC3D 3.10
CEDEXJoseGuillermo
©2006 Itasca Consulting Group, Inc. Step 43662 Model Perspective16:58:03 Mon Oct 13 2008
Center: X: 1.500e+000 Y: 0.000e+000 Z: 1.500e+000
Rotation: X: 350.000 Y: 0.000 Z: 40.000
Dist: 4.198e+001 Mag.: 3Ang.: 22.500
Job Title: Cavidad cilindrica sin sostenimiento- modelo cvisc
Contour of Displacement Mag. Magfac = 0.000e+000 Live mech zones shown
1.1718e-003 to 2.0000e-003 2.0000e-003 to 3.0000e-003 3.0000e-003 to 4.0000e-003 4.0000e-003 to 5.0000e-003 5.0000e-003 to 6.0000e-003 6.0000e-003 to 7.0000e-003 7.0000e-003 to 8.0000e-003 8.0000e-003 to 8.0449e-003
Interval = 1.0e-003
Axes Linestyle
XY
Z
History
0.0 0.5 1.0 1.5 2.0 2.5
Tiempo (segundos) x10^6
1.0
2.0
3.0
4.0
5.0
6.0
7.0
8.0ur (m) x10^-3
3 Displacement Mag. Gp 177 Linestyle 2.971e-004 <-> 8.002e-003
Fig. 5.28 Evolución del desplazamiento de la pared del túnel y gradiente de desplazamientos alrededor del túnel al cabo de 30 días
Capítulo 5 Cálculo y validación de las soluciones propuestas
216
En la Fig. 5.29, se muestra las nuevas direcciones del tensor de tensiones
principales debido a la redistribución de tensiones producida por la excavación del
túnel. Se observa que estas nuevas direcciones de las tensiones principales siguen las
direcciones tangencial, axial y radial del túnel. Siendo la tensión tangencial la mayor, la
axial la intermedia y la radial la menor. En la figura mencionada se muestra el gradiente
de la tensión radial alrededor del túnel. La cual aparece como la tensión máxima debido
a que es la más positiva.
FLAC3D 3.10
CEDEXJoseGuillermo
©2006 Itasca Consulting Group, Inc. Step 43662 Model Projection18:11:30 Mon Oct 13 2008
Center: X: 1.285e+000 Y: 3.892e-001 Z: 9.076e-001
Rotation: X: 350.000 Y: 0.000 Z: 40.000
Dist: 4.198e+001 Size: 2.241e+000
Job Title: Cavidad cilindrica sin sostenimiento- modelo cvisc
Contour of SMax Magfac = 0.000e+000 Live mech zones shown Gradient Calculation
-3.3693e+006 to -3.0000e+006-3.0000e+006 to -2.5000e+006-2.5000e+006 to -2.0000e+006-2.0000e+006 to -1.5000e+006-1.5000e+006 to -1.0000e+006-1.0000e+006 to -5.0000e+005-5.0000e+005 to -8.2719e+003
Interval = 5.0e+005
Principal Stresses Magfac = 0.000e+000 Live mech zones shown Compression Linestyle Max Compression = -6.639e+006 Max Tension = 0.000e+000
XY
Z
Fig. 5.29 Direcciones del tensor de tensiones principales y gradiente de la tensión radial
5 .1.4.1.3 Comparación de las soluciones
Exportando los resultados de la convergencia obtenidos por ambos métodos
(método analítico de la tesis y el método numérico del FLAC3D), hacia una hoja de
cálculo de Excel, se ha realizado la comparación de ambas soluciones. Esta
comparación, se ha mostrado en la Fig. 5.30, en ella se muestra la evolución del
desplazamiento de la pared del túnel calculado por ambos métodos. Se aprecia que la
respuesta es la misma, tanto en magnitud como en la forma de la evolución. Así la
diferencia inicial es de 0.00004 y al cabo de 30 días es de 0.00007.
Capítulo 5 Cálculo y validación de las soluciones propuestas
217
Contraste de las soluciones
0
0,001
0,002
0,003
0,004
0,005
0,006
0,007
0,008
0,009
0 500000 1000000 1500000 2000000 2500000 3000000
Tiempo (seg)
Des
plaz
amie
nto
(m)
FLAC3D Tesis
Fig. 5.30 ( )tuar por ambos métodos. Medio con criterio de rotura lineal de Mohr, ley de dilatancia
constante, comportamiento viscoelástico en corte de tipo Burger y elástico en compresión isótropa
5.1.4.2 Medio con criterio de rotura lineal de Mohr, ley de dilatancia
constante, comportamiento viscoelástico en corte de tipo Burger
y de tipo Zener en compresión isótropa
En este caso, el medio tiene un comportamiento viscoelástico en compresión
isótropa. El cual, en cuanto a propiedades del medio, dependerá de 1K , volη y 2K de la
Tabla 5.1. Los parámetros del criterio de rotura corresponden al ajuste de Mohr. Al
igual que en el caso anterior, se ha considerado un GSI = 75 con lo cual el ángulo de
dilatancia (ψ ) sería igual a 4/φ de acuerdo con la recomendación del apartado 3.6.1.
Para este caso, la solución de la convergencia está expresada por la ecuación 5.1
rescrita a continuación:
( ) ( ) ( ) ( ) ( )
( )⎟⎟⎟
⎠
⎞
⎜⎜⎜
⎝
⎛−⎟⎟
⎠
⎞⎜⎜⎝
⎛⎟⎠
⎞⎜⎝
⎛ −+−
⎟⎟⎠
⎞⎜⎜⎝
⎛⎟⎟⎠
⎞⎜⎜⎝
⎛+
−++
⎥⎥⎥
⎦
⎤
⎢⎢⎢
⎣
⎡
⎟⎟⎟
⎠
⎞
⎜⎜⎜
⎝
⎛−⎟⎟
⎠
⎞⎜⎜⎝
⎛−+=
−
−
11
1111
010
000
01
00
ψ
ψ
θ
ψ
ϕφ
ψφψ
ψφε
senn
a
RRRa
rur
senn
a
RR
a
qn
senqq
sent
sentsenn
nqqsenqtt
Donde cada uno de los parámetros de la expresión tiene el significado indicado
en el apartado 3.8.1. Los valores de la tensión inicial y de las constantes viscoelásticas
Capítulo 5 Cálculo y validación de las soluciones propuestas
218
del modelo normalizados con el parámetro MPa336.1=β (Serrano y Olalla) son:
731.2*0 =p , 3*
1 10*010.1=G , 592.673*2 =G , día912.181*
1 =η , día3*2 10*841.18=η ,
621.121*1 =K , díavol 974.51* =η , 398.168*
2 =K .
Utilizando el código “convergencia” para resolver este caso, se han calculado y
graficado las funciones temporales de la expresión anterior (Fig. 5.31, Fig. 5.32 y Fig.
5.33), así como la evolución de la convergencia de la pared del túnel (Fig. 5.34).
En comparación con el caso anterior se observa que, debido a que en este, el
medio tiene un comportamiento viscoelástico en cambio volumétrico; tanto la función
temporal ( )truφ como la convergencia evolucionan de modo diferente a lo largo del
tiempo partiendo de los mismos valores iniciales. Así, tanto en la Fig. 5.33 como en la
Fig. 5.12, el valor inicial de la función temporal es de 0.001272. Para el caso de la
convergencia el valor para 0=t que se observa en la Fig. 5.34 y en la Fig. 5.13 es igual
a 0.00219. Esto es así debido a que para 0=t los términos viscoelásticos no intervienen.
Es decir que para ese instante inicial las deformaciones son únicamente de carácter
elastoplástico. Luego con el transcurso del tiempo, las deformaciones evolucionan de
modo diferente en función a las propiedades viscoelásticas del medio.
0 1 2 3 4 5 6 70.7
0.8
0.9
1
1.1
1.2
1.3
1.4
1.5
1.6
x 10-3
Tiempo (días)
Función temporal de la interfase
Φ0(t
) n
orm
aliz
ada
con
ß
Φ0(t)
Fig. 5.31 ( )t0φ del medio con criterio de rotura lineal de Mohr, ley de dilatancia constante, comportamiento viscoelástico en corte de tipo Burger y de tipo Zener en compresión isótropa.
Capítulo 5 Cálculo y validación de las soluciones propuestas
219
0 1 2 3 4 5 6 70.7
0.8
0.9
1
1.1
1.2
1.3
1.4
1.5
1.6
x 10-3
Tiempo (días)
Función temporal de la zona rota
Φ0r (t
) n
orm
aliz
ada
con
ß
Φ0r (t)
Fig. 5.32 ( )tr0φ del medio con criterio de rotura lineal de Mohr, ley de dilatancia constante,
comportamiento viscoelástico en corte de tipo Burger y de tipo Zener en compresión isótropa.
0 1 2 3 4 5 6 71.2
1.4
1.6
1.8
2
2.2
2.4
2.6
2.8
x 10-3
X: 0Y: 0.001272
X: 6.989Y: 0.002888
Tiempo (días)
Función temporal de la zona rota
Φur (t
) n
orm
aliz
ada
con
ß
Φur (t)
Fig. 5.33 ( )truφ del medio con criterio de rotura lineal de Mohr, ley de dilatancia constante,
comportamiento viscoelástico en corte de tipo Burger y de tipo Zener en compresión isótropa.
Capítulo 5 Cálculo y validación de las soluciones propuestas
220
0 5 10 15 20 25 30
2
3
4
5
6
7
8
x 10-3
X: 0Y: 0.002193
X: 29.95Y: 0.008289
Tiempo (días)
Evolución de la convergencia de la cavidad sin sostenimiento
Con
verg
enci
a: ε
θa (t)
εθa(t)sin sost
Fig. 5.34 ( )taθε del medio con criterio de rotura lineal de Mohr, ley de dilatancia constante,
comportamiento viscoelástico en corte de tipo Burger y de tipo Zener en compresión isótropa.
Como resultado de lo anterior, al cabo de 30 días, en este caso la convergencia
es mayor e igual a 0.008289. No es mayor debido a que en la trayectoria de las
tensiones únicamente hay variación de la presión isótropa en la zona rota, también
debido al poco tiempo transcurrido. Esta tendencia continuaría con el transcurso del
tiempo siguiendo el mismo patrón hasta que se presente la fluencia terciaria.
5.1.4.2.1 Solución para el instante inicial con el FLAC3D
Teniendo en cuenta que para 0=t , los términos viscoelásticos no intervienen. Es
decir que para ese instante inicial las deformaciones son únicamente de carácter
elastoplástico. Se presenta la Fig. 5.35, en la cual se muestra el corrimiento inicial de la
pared del túnel calculado por el método numérico del FLAC3D. Ya que si la solución
analítica propuesta en la tesis es correcta, para este caso, debe coincidir con la respuesta
numérica del FLAC3D. Esto se verifica ya que la convergencia que se observa en esa
figura, la cual es igual a 0.00216, es la misma que la convergencia inicial de la Fig. 5.13
obtenida con la solución propuesta.
Capítulo 5 Cálculo y validación de las soluciones propuestas
221
FLAC3D 3.10
CEDEXJoseGuillermo
©2006 Itasca Consulting Group, Inc. Step 4092 Model Perspective13:43:35 Fri Nov 28 2008
Center: X: 8.258e-001 Y: 7.553e-001 Z: 6.764e-001
Rotation: X: 350.000 Y: 0.000 Z: 40.000
Dist: 4.198e+001 Mag.: 9.77Ang.: 22.500
Job Title: Cavidad cilindrica sin sostenimiento- modelo cvisc
Block State Live mech zones shown
Noneshear-p
History
1.0 2.0 3.0 4.0
iteraciones x10^3
0.4
0.6
0.8
1.0
1.2
1.4
1.6
1.8
2.0
ur (m) x10^-3
3 Displacement Mag. Gp 177 Linestyle 2.974e-004 <-> 2.158e-003
Vs. Step 1.000e+001 <-> 4.090e+003
Axes Linestyle XY
Z
Fig. 5.35 Zona plastificada y desplazamiento elastoplástico de la pared del túnel para t = 0.
5.2 Caso del túnel con presión de sostenimiento
constante
El caso de la convergencia del túnel, con presión de sostenimiento constante, se
ha estudiado a partir de la evolución de las líneas características del medio. Las cuales
relacionan la convergencia ( )ia tθε con la presión de sostenimiento aσ para el instante de
tiempo it , en este sentido algunos autores también las han llamado líneas características
isócronas.
En el apartado 3.7 se han deducido las expresiones de la convergencia según la
formulación propuesta en esta tesis. Estas expresiones han sido deducidas para cada uno
de los medios propuestos y para una distancia radial, desde el eje del túnel, r genérica
dentro de la zona rota. Por lo tanto para el estudio de la convergencia de la pared del
túnel con presión de sostenimiento constante ha sido necesario particularizarlas para el
caso en el que ar = y 00 pa ≤≤ σ . Estas expresiones así particularizadas se presentan a
continuación.
Para el caso del medio con el criterio de rotura lineal de Mohr, y ley de
dilatancia constante; se ha obtenido la expresión siguiente:
Capítulo 5 Cálculo y validación de las soluciones propuestas
222
( ) ( ) ( ) ( ) ( )
( )⎟⎟⎟
⎠
⎞
⎜⎜⎜
⎝
⎛−⎟⎟
⎠
⎞⎜⎜⎝
⎛⎟⎠
⎞⎜⎝
⎛ −+−
⎟⎟⎠
⎞⎜⎜⎝
⎛⎟⎟⎠
⎞⎜⎜⎝
⎛+
−++
⎥⎥⎥
⎦
⎤
⎢⎢⎢
⎣
⎡
⎟⎟⎟
⎠
⎞
⎜⎜⎜
⎝
⎛−⎟⎟
⎠
⎞⎜⎜⎝
⎛−+=
−
−
11
1111
010
000
01
00
ψ
ψ
θ
ψ
ϕφ
ψφψ
ψφε
senn
a
RRRa
rur
senn
a
RR
a
qqq
nsen
sent
sentsenn
nqqsenqtt
(5.4)
Haciendo lo mismo para el caso del medio con el criterio de rotura no lineal de
Hoek & Brown (GSI>25), y ley de dilatancia lineal; se ha conseguido la expresión
siguiente:
( ) ( ) ( ) ( )
( ) ( )
( )( ) ⎟⎠⎞⎜
⎝⎛ +++
+⎟⎠⎞⎜
⎝⎛ −+
+++=
∫ ∫∫ ∫∫∫
∫ ∫∫∫
∫
−−−−−+−−
−−−−−
−−
dxxexedxxexedxxexeat
dxxexeadxxexeta
dxxexeqtaqtt
aa aa
aa
aR
xxR
xxR
xxxxR
xxR
xxxxR
xxxR
xru
xxR
xxR
xxxxR
xxxR
xr
xxR
xR
xRR
r
1212
10
0
21
1
10
δδδδδδ
δδδδ
δδ
δδφ
δφ
φφεθ
(5.5)
Finalmente la expresión de la convergencia de la cavidad en el medio con; el
criterio de rotura no lineal de Hoek & Brown (GSI<25) y ley de dilatancia nula, es la
siguiente:
( ) ( ) ( ) ( ) ⎟⎟⎠
⎞⎜⎜⎝
⎛⎟⎟⎠
⎞⎜⎜⎝
⎛−+−
+−=
⎟⎠⎞⎜
⎝⎛
+⎟⎠⎞⎜
⎝⎛
11
10
kRq
RkR
ru
kRq
Ra eqq
kkteqtt φφε
θ (5.6)
En estas expresiones, intervienen las funciones temporales: ( ) ( ) ( )ttt ru
r φφφ ,, 00 que
dependen del comportamiento reológico del medio y que han sido tratadas en los
apartados 3.2 y 3.3. El significado de las demás variables se ha tratado en el apartado
3.7.
Para el cálculo y gráfico de la solución de la convergencia ( )ia tθε vs aσ se ha
escrito el código informático presentado a continuación.
5.2.1 Implementación informática de las soluciones propuestas
5.2.1.1 Código “lincar”
Para el cálculo de las líneas características, empleando la solución propuesta, se
ha desarrollado un código informático escrito en Matlab 7.0. El mismo que está
formado por un código administrador denominado “lincar” y un código administrado
llamado “dib_lin_car”. El código administrador además ejecuta los códigos
administrados “con_vis”, “fun_tem” y “cri_rot_ley_dil” ya tratados anteriormente en
el caso del túnel sin sostenimiento. Por lo tanto para la ejecución correcta de los códigos
Capítulo 5 Cálculo y validación de las soluciones propuestas
223
es conveniente que todos estén en un mismo directorio, y de ese modo códigos
administradores llamarán a ejecución a sus correspondientes códigos administrados.
La Fig. 5.36 muestra el diagrama de flujo del código “lincar”. Como se ha dicho
este código a su vez ejecuta otros códigos, los cuales son mostrados en el diagrama de
flujo. De los cuales únicamente se tratará el código “dib_lin_car” ya que los demás han
sido tratados anteriormente en el caso del túnel sin sostenimiento.
Fig. 5.36 Diagrama de flujo del código “lincar”.
5.2.1.2 Código “dib_lin_car”
Este código ejecuta el cálculo y dibujo de las líneas características para los
tiempos it indicados a lo largo de su ejecución. A continuación se muestra el diagrama
de flujo de este código en la Fig. 5.37.
Ejecución del código: “con_vis”
Ejecución del código: “fun_tem”
Ejecución del código: “cri_rot_ley_dil”
Ejecución del código: “dib_lin_car”
¿Dibujar líneas características adicionales?
Si
fin
No
Capítulo 5 Cálculo y validación de las soluciones propuestas
224
Fig. 5.37 Diagrama de flujo del código “dib_lin_car”
Ejecución solicitada por el código: “lincar”
Retorno al código “lincar”
Ingreso de los tiempos “ it ” para el cálculo de las líneas características
¿Si el criterio de rotura es el criterio original de Hoek?
Para 0=aσ hasta Ra σσ = (incremento Rσ1.0 )
Si
Cálculo de: ( ) ( ) ( )irui
ri ttt φφφ ,, 00
Para cada it
Para 0=aσ hasta Ra σσ = (incremento Rσ1.0 )
Graficar:
( )0p
vst a
ai
a σε
σθ
No
Ejecución del código: “int num”
Calcular:
( )0
,p
t a
ai
a σε
σθ
Siguiente iteración del bucle
Siguiente iteración del bucle
Capítulo 5 Cálculo y validación de las soluciones propuestas
225
5.2.2 Casos resueltos
Con el objeto de ilustrar el empleo de la evolución de las líneas características en
el cálculo de la convergencia del túnel con presión de sostenimiento constante; en los
apartados siguientes, se han resuelto los casos calculados anteriormente en el apartado
5.1.3., pero esta vez con la cavidad sometida a diferentes presiones de sostenimiento
constante. Por lo tanto, al igual que para la condición del túnel sin sostenimiento, aquí
se resolverá el caso de un túnel de radio a=1.00 m, excavado a 150.00 m de profundidad
en la roca ensayada en el capítulo IV, cuyas propiedades se han mostrado en la Tabla
5.1.
A partir de esta tabla, se han obtenido los parámetros correspondientes a cada
ajuste dependiendo del criterio utilizado. Es decir, dependiendo del criterio de rotura del
medio en cada caso resuelto, se han tomado los parámetros del ajuste de Hoek y Brown
o del ajuste de Mohr.
5.2.2.1 Medio con criterio de rotura lineal de Mohr, ley de dilatancia
constante, comportamiento viscoelástico en corte de tipo Burger
y de tipo Zener en compresión isótropa
En este caso, el medio tiene un comportamiento viscoelástico en compresión
isótropa. El cual, en cuanto a propiedades del medio, dependerá de 1K , volη y 2K de la
Tabla 5.1. Los parámetros del criterio de rotura corresponden al ajuste de Mohr. En
ausencia de un levantamiento geomecánico, se ha considerado un GSI = 75 con lo cual
el ángulo de dilatancia (ψ ) sería igual a 4/φ de acuerdo con la recomendación del
apartado 3.6.1.
Para este caso, la línea característica se calcula resolviendo la expresión de la
convergencia dada por la ecuación 5.4, rescrita a continuación, para el rango de
tensiones de sostenimiento: Ra σσ ≤≤0 .
( ) ( ) ( ) ( ) ( )
( )⎟⎟⎟
⎠
⎞
⎜⎜⎜
⎝
⎛−⎟⎟
⎠
⎞⎜⎜⎝
⎛⎟⎠
⎞⎜⎝
⎛ −+−
⎟⎟⎠
⎞⎜⎜⎝
⎛⎟⎟⎠
⎞⎜⎜⎝
⎛+
−++
⎥⎥⎥
⎦
⎤
⎢⎢⎢
⎣
⎡
⎟⎟⎟
⎠
⎞
⎜⎜⎜
⎝
⎛−⎟⎟
⎠
⎞⎜⎜⎝
⎛−+=
−
−
11
1111
010
000
01
00
ψ
ψ
θ
ψ
ϕφ
ψφψ
ψφε
senn
a
RRRa
rur
senn
a
RR
a
qqq
nsen
sent
sentsenn
nqqsenqtt
Donde cada uno de los parámetros de la expresión tiene el significado indicado
en el apartado 3.8.1. Los valores de la tensión inicial y de las constantes viscoelásticas
Capítulo 5 Cálculo y validación de las soluciones propuestas
226
del modelo, normalizados con el parámetro MPa336.1=β (Serrano y Olalla) son:
731.2*0 =p , 3*
1 10*010.1=G , 592.673*2 =G , día912.181*
1 =η , día3*2 10*841.18=η ,
621.121*1 =K , díavol 974.51* =η , 398.168*
2 =K .
Utilizando el código “lincar” para resolver este caso, se han calculado y
graficado las funciones temporales de la expresión anterior así como la evolución de las
líneas características del medio. Las funciones temporales del medio son las mismas que
las del caso del túnel sin sostenimiento ya que dependen únicamente de sus propiedades
viscoelásticas. Por este motivo ya no se han vuelto a graficar aquí.
A continuación se muestra la evolución de la línea característica.
0 0.01 0.02 0.03 0.04 0.05 0.060
0.1
0.2
0.3
0.4
0.5
0.6
0.7
0.8
0.9
1
σa/p
0
Convergencia: εθa
Evolución de la línea característica de la cavidad
t = 0 dt = 1 dt = 2 dt = 4 dt = 7 dt = 15 dt = 30 dt = 60 dt = 90 dt = 120 dt = 150 dt = 180 dt = 210 dt = 240 dt = 270 dt = 300 dt = 330 dt = 365 d
Fig. 5.38 Evolución de la línea característica del medio con criterio de rotura lineal de Mohr, ley de dilatancia constante, comportamiento viscoelástico en corte de tipo Burger y de tipo Zener en compresión
isótropa
A partir de esta evolución de la línea característica, se ha obtenido la evolución
de la convergencia de la cavidad para las presiones de sostenimiento indicadas en la
figura siguiente.
Capítulo 5 Cálculo y validación de las soluciones propuestas
227
Solución propuesta de la evolución de la convergencia(túnel con presión de sostenimiento constante)
0.000
0.010
0.020
0.030
0.040
0.050
0.060
0 50 100 150 200 250 300 350 400
Tiempo (días)
Cor
rimie
nto
de la
par
ed (m
)
0,3p0 0,075p0 0.5p0
Fig. 5.39 Evolución de la convergencia de la cavidad para diferentes presiones de sostenimiento. Medio con criterio de rotura lineal de Mohr, ley de dilatancia constante, comportamiento viscoelástico en corte
de tipo Burger y de tipo Zener en compresión isótropa
5.2.2.2 Medio con criterio de rotura no lineal de Hoek (GSI>25), ley de
dilatancia lineal, comportamiento viscoelástico en corte de tipo
Burger y de tipo Zener en compresión isótropa
En este caso los parámetros del criterio de rotura corresponden al ajuste de Hoek
y Brown. El valor empleado del GSI es igual a 100. Habiéndose considerado además
una ley de dilatancia lineal con º90max =ψ y º22=critρ de acuerdo con la recomendación
del apartado 3.6.2. El medio es viscoelástico tanto en compresión isótropa como en
corte. Las constantes viscoelásticas del medio son los de la roca ensayada en esta tesis,
la cuales se muestran en la Tabla 5.1
5.2.2.2.1 Solución propuesta en la tesis
Para este caso, la línea característica se calcula resolviendo la expresión de la
convergencia dada por la ecuación 5.5, rescrita a continuación, para el rango de
tensiones de sostenimiento: Ra σσ ≤≤0 .
( ) ( ) ( ) ( )
( ) ( )
( )( ) ⎟⎠⎞⎜
⎝⎛ +++
+⎟⎠⎞⎜
⎝⎛ −+
+++=
∫ ∫∫ ∫∫∫
∫ ∫∫∫
∫
−−−−−+−−
−−−−−
−−
dxxexedxxexedxxexeat
dxxexeadxxexeta
dxxexeqtaqtt
aa aa
aa
aR
xxR
xxR
xxxxR
xxR
xxxxR
xxxR
xru
xxR
xxR
xxxxR
xxxR
xr
xxR
xR
xRR
r
1212
10
0
21
1
10
δδδδδδ
δδδδ
δδ
δδφ
δφ
φφεθ
Capítulo 5 Cálculo y validación de las soluciones propuestas
228
Donde cada uno de los parámetros tiene el significado indicado en el apartado
3.8.2. Los valores de la tensión inicial y de las constantes viscoelásticas del modelo,
normalizados con el parámetro MPa5.7=β (Serrano y Olalla) son: 487.0*0 =p ,
00.180*1 =G , 120*
2 =G , día408.32*1 =η , día3*
2 10*357.3=η , 667.21*1 =K , 00.30*
2 =K ,
díavol 259.9* =η .
Utilizando el código “lincar” para resolver este caso, se han calculado y
graficado las funciones temporales de la expresión anterior así como la evolución de las
líneas características del medio. Las funciones temporales del medio son las mismas que
las del caso del túnel sin sostenimiento ya que dependen únicamente de sus propiedades
viscoelásticas. Por este motivo ya no se han vuelto a graficar aquí. A continuación se
muestra la evolución de la línea característica.
0 0.01 0.02 0.03 0.04 0.05 0.06 0.07 0.08 0.09 0.10
0.1
0.2
0.3
0.4
0.5
0.6
0.7
0.8
0.9
1
σa/p
0
Convergencia: εθa
Evolución de la línea característica de la cavidad
t = 0 dt = 1 dt = 2 dt = 4 dt = 7 dt = 15 dt = 30 dt = 60 dt = 90 dt = 120 dt = 150 dt = 180 dt = 210 dt = 240 dt = 270 dt = 300 dt = 330 dt = 365 d
Fig. 5.40 Evolución de la línea característica del medio con criterio de rotura no lineal de Hoek (GSI>25), ley de dilatancia lineal, comportamiento viscoelástico en corte de tipo Burger y de tipo Zener en
compresión isótropa
A partir de esta evolución de la línea característica, se ha obtenido la evolución
de la convergencia de la cavidad para las presiones de sostenimiento mostradas en la
figura siguiente.
Capítulo 5 Cálculo y validación de las soluciones propuestas
229
Evolución de la convergencia de la cavidad para diferentes presiones de sostenimiento
0.000
0.010
0.020
0.030
0.040
0.050
0.060
0 50 100 150 200 250 300 350 400
Tiempo (días)
Cor
rimie
nto
de la
par
ed (m
)
0,1p0 0,3p0 0,5p0
Fig. 5.41 Evolución de la convergencia de la cavidad para diferentes presiones de sostenimiento del medio con criterio de rotura no lineal de Hoek (GSI>25), ley de dilatancia lineal, comportamiento
viscoelástico en corte de tipo Burger y de tipo Zener en compresión isótropa.
5.2.2.3 Medio con criterio de rotura no lineal de Hoek (GSI<25), ley de
dilatancia nula, comportamiento viscoelástico en corte de tipo
Burger y de tipo Zener en compresión isótropa
En este caso el valor empleado del GSI es igual a 20. De acuerdo con la
recomendación dada en el apartado 3.6.1., debida a diferentes autores, se ha empleado
un ángulo de dilatancia nula. El medio es viscoelástico tanto en compresión isótropa
como en corte. Las constantes viscoelásticas del medio son los de la roca ensayada en
esta tesis, la cuales se muestran en la Tabla 5.1
5.2.2.3.1 Solución propuesta en la tesis
Para este caso, la línea característica se calcula resolviendo la expresión de la
convergencia dada por la ecuación 5.6, rescrita a continuación, para el rango de
tensiones de sostenimiento: Ra σσ ≤≤0 .
( ) ( ) ( ) ( ) ⎟⎟⎠
⎞⎜⎜⎝
⎛⎟⎟⎠
⎞⎜⎜⎝
⎛−+−
+−=
⎟⎠⎞⎜
⎝⎛
+⎟⎠⎞⎜
⎝⎛
11
10
kRq
RkR
ru
kRq
Ra eqq
kkteqtt φφε
θ
Donde cada uno de los parámetros tiene el significado indicado en el apartado
3.8.3. Los valores de la tensión inicial y de las constantes viscoelásticas del modelo,
Capítulo 5 Cálculo y validación de las soluciones propuestas
230
normalizados con el parámetro MPa439.0=β (Serrano y Olalla) son: 314.8*0 =p ,
3*1 10*075.3=G , 3*
2 10*05.2=G , día658.553*1 =η , día3*
2 10*344.57=η , 159.370*1 =K ,
528.512*2 =K , díavol 187.158* =η .
Utilizando el código “lincar” para resolver este caso, se han calculado y
graficado las funciones temporales de la expresión anterior así como la evolución de las
líneas características del medio. Las funciones temporales del medio son las mismas que
las del caso del túnel sin sostenimiento ya que dependen únicamente de sus propiedades
viscoelásticas. Por este motivo ya no se han vuelto a graficar aquí. A continuación se
muestra la evolución de la línea característica.
0 0.1 0.2 0.3 0.4 0.5 0.60
0.1
0.2
0.3
0.4
0.5
0.6
0.7
0.8
0.9
1
σa/p
0
Convergencia: εθa
Evolución de la línea característica de la cavidad
t = 0 dt = 1 dt = 2 dt = 4 dt = 7 dt = 15 dt = 30 dt = 60 dt = 90 dt = 120 dt = 150 dt = 180 dt = 210 dt = 240 dt = 270 dt = 300 dt = 330 dt = 365 d
Fig. 5.42 Evolución de la línea característica del medio con criterio de rotura no lineal de Hoek (GSI<25), ley de dilatancia nula, comportamiento viscoelástico en corte de tipo Burger y de tipo Zener en
compresión isótropa.
A partir de esta evolución de la línea característica, se ha obtenido la evolución
de la convergencia de la cavidad para las presiones de sostenimiento mostradas en la
figura siguiente.
Capítulo 5 Cálculo y validación de las soluciones propuestas
231
Evolución de la convergencia de la cavidad para diferentes presiones de sostenimiento
0,000
0,020
0,040
0,060
0,080
0,100
0,120
0,140
0,160
0 50 100 150 200 250 300 350 400
Tiempo (días)
Cor
rimie
nto
de la
par
ed (m
)
0,1p0 0,3p0 0,5p0
Fig. 5.43 Evolución de la convergencia de la cavidad para diferentes presiones de sostenimiento del medio con criterio de rotura no lineal de Hoek (GSI<25), ley de dilatancia nula, comportamiento
viscoelástico en corte de tipo Burger y de tipo Zener en compresión isótropa.
5.2.3 Validación de las soluciones propuestas
Al igual que para la validación de la solución propuesta de la convergencia del
túnel sin sostenimiento, en este caso a modo de validación se ha contrastado la respuesta
obtenida para los casos ya resueltos por otros autores.
Con este fin, se ha resuelto a partir de las expresiones generales, el caso
particular implementado por el código de diferencias finitas FLAC3D desarrollado por
Itasca Consulting Group Inc. Este caso es el del medio viscoelástico – plástico
“CVISC”, implementado y denominado de este modo en el FLAC3D.
También y debido a que las deformaciones de los medios viscoelásticos –
plásticos propuestos, son elastoplásticas en el instante inicial ( 0=t ); también se han
resuelto los casos con los medios elastoplásticos empleados por Carranza y Fairhurst
(2000). Esto con el afán de por lo menos validar las soluciones generales propuestas,
con el criterio de rotura no lineal de Hoek y Brown para el instante inicial. Ya que la
línea característica evoluciona a partir de la correspondiente a 0=t .
5.2.3.1 Medio con criterio de rotura lineal de Mohr, ley de dilatancia
constante, comportamiento viscoelástico en corte de tipo Burger
Capítulo 5 Cálculo y validación de las soluciones propuestas
232
y elástico en compresión isótropa (modelo “CVISC” del
FLAC3D)
En este caso, el medio tiene un comportamiento elástico en compresión isótropa.
El cual, en cuanto a propiedades del medio, dependerá únicamente de su módulo de
rigidez volumétrica igual a 2K de la Tabla 5.1. Los parámetros del criterio de rotura
corresponden al ajuste de Mohr. En ausencia de un levantamiento geomecánico para el
caso, se ha considerado un GSI = 75 con lo cual el ángulo de dilatancia (ψ ) sería igual a
4/φ de acuerdo con la recomendación del apartado 3.6.1.
5.2.3.1.1 Solución propuesta en la tesis
Para este caso, la línea característica se calcula resolviendo la expresión de la
convergencia dada por la ecuación 5.1, rescrita a continuación, para el rango de
tensiones de sostenimiento: Ra σσ ≤≤0 .
( ) ( ) ( ) ( ) ( )
( )⎟⎟⎟
⎠
⎞
⎜⎜⎜
⎝
⎛−⎟⎟
⎠
⎞⎜⎜⎝
⎛⎟⎠
⎞⎜⎝
⎛ −+−
⎟⎟⎠
⎞⎜⎜⎝
⎛⎟⎟⎠
⎞⎜⎜⎝
⎛+
−++
⎥⎥⎥
⎦
⎤
⎢⎢⎢
⎣
⎡
⎟⎟⎟
⎠
⎞
⎜⎜⎜
⎝
⎛−⎟⎟
⎠
⎞⎜⎜⎝
⎛−+=
−
−
11
1111
010
000
01
00
ψ
ψ
θ
ψ
ϕφ
ψφψ
ψφε
senn
a
RRRa
rur
senn
a
RR
a
qn
senqq
sent
sentsenn
nqqsenqtt
Donde cada uno de los parámetros de la expresión tiene el significado indicado
en el apartado 3.8.1. Los valores de la tensión inicial y de las constantes viscoelásticas
del modelo, normalizados con el parámetro MPa336.1=β (Serrano y Olalla) son:
731.2*0 =p , 3*
1 10*010.1=G , 592.673*2 =G , día912.181*
1 =η , día3*2 10*841.18=η ,
621.121*1 =K , díavol 974.51* =η , 398.168*
2 =K .
Utilizando el código “lincar” para resolver este caso, se han calculado y
graficado las funciones temporales de la expresión anterior así como la evolución de las
líneas características del medio. Las funciones temporales del medio son las mismas que
las del caso del túnel sin sostenimiento ya que dependen únicamente de sus propiedades
viscoelásticas. Por este motivo ya no se han vuelto a graficar aquí. En las figuras
siguientes se muestra la evolución de la línea característica y la evolución de la
convergencia para tres presiones de sotenimiento.
Capítulo 5 Cálculo y validación de las soluciones propuestas
233
0 0.01 0.02 0.03 0.04 0.05 0.060
0.1
0.2
0.3
0.4
0.5
0.6
0.7
0.8
0.9
1
σa/p
0
Convergencia: εθa
Evolución de la línea característica de la cavidad
t = 0 dt = 1 dt = 2 dt = 4 dt = 7 dt = 10 dt = 15 dt = 30 dt = 45 dt = 60 dt = 90 dt = 120 dt = 150 dt = 180 dt = 210 dt = 240 dt = 270 dt = 300 dt = 336 d
Fig. 5.44 Evolución de la línea característica del medio con criterio de rotura lineal de Mohr, ley de dilatancia constante, comportamiento viscoelástico en corte de tipo Burger y elástico en compresión
isótropa (modelo “CVISC” del FLAC3D).
Solución propuesta de la evolución de la convergencia(túnel con presión de sostenimiento constante)
0,00E+00
1,00E-02
2,00E-02
3,00E-02
4,00E-02
5,00E-02
6,00E-02
0 50 100 150 200 250 300 350 400
Tiempo (días)
Cor
rimie
nto
de la
par
ed (m
)
0,3p0 (tesis) 0,075p0 (tesis)
Fig. 5.45 Evolución de la convergencia de la cavidad para diferentes presiones de sostenimiento del medio con criterio de rotura lineal de Mohr, ley de dilatancia constante, comportamiento viscoelástico en
corte de tipo Burger y elástico en compresión isótropa (modelo “CVISC” del FLAC3D).
Capítulo 5 Cálculo y validación de las soluciones propuestas
234
A partir de la evolución de la línea característica mostrada en la Fig. 5.44, se ha
obtenido la evolución de la convergencia de la cavidad para las presiones de
sostenimiento mostradas en la Fig. 5.45. Se ha calculado la solución para dos presiones
de sostenimiento diferentes. Con la primera, que ha sido 0.3p0, para hallar la respuesta
se emplearía la parte viscoelástica de línea característica. Mientras que con la segunda,
que ha sido igual a 0.075p0, se emplearía la parte viscoelástica – plástica de la línea
característica. De este modo se pretende comparar las respuestas para los dos estados
posibles del medio.
5.2.3.1.2 Solución hallada con el FLAC3D
Para el cálculo de la solución a través de este programa de diferencias finitas se
ha escrito el código listado en el apéndice IV. Aunque se han resuelto ambos casos del
apartado anterior, es decir: para la presión de sostenimiento de 0.3p0 y 0.075p0,
únicamente se muestra el desarrollo del primero para no repetir lo mismo. Sin embargo
la respuesta del segundo caso también se muestra en el gráfico comparativo del apartado
siguiente.
Debido a que con relación al caso de la cavidad sin sostenimiento lo único que
ha cambiado es la presión de sostenimiento, las condiciones de contorno y de simetría
siguen siendo las mismas y por ello ya no se han tratado ni justificado aquí. Ya que
estas pueden verse en el caso del túnel sin sostenimiento.
La Fig. 5.46 se ha obtenido luego de ejecutar el análisis por fluencia hasta 336
días después de la ejecución y sostenimiento de la excavación. En esta figura se
muestran dos resultados: la historia de la evolución del desplazamiento de la pared del
túnel en función del tiempo transcurrido después de la excavación del mismo, y el
gradiente del desplazamiento alrededor del túnel al cabo de 336 días. Se muestra que la
convergencia evoluciona con el tiempo desde el valor inicial de 0.001426 hasta el valor
de 0.03661 al cabo de este periodo. La convergencia inicial se debería a las
deformaciones elastoplásticas del medio y la evolución de la convergencia a lo largo del
tiempo a las deformaciones viscoelásticas producidas por las propiedades reológicas del
medio.
En la Fig. 5.47, se muestran las nuevas direcciones del tensor de tensiones
principales debido a la redistribución de tensiones producida por la excavación del
túnel. Se observa que estas nuevas direcciones de las tensiones principales siguen las
direcciones tangencial, axial y radial del túnel. Siendo la tensión tangencial la mayor, la
Capítulo 5 Cálculo y validación de las soluciones propuestas
235
axial la intermedia y la radial la menor. En la figura mencionada se muestra el gradiente
de la tensión radial alrededor del túnel. La cual aparece como la tensión máxima debido
a que es la más positiva.
FLAC3D 3.10
CEDEXJoseGuillermo
©2006 Itasca Consulting Group, Inc. Step 307363 Model Perspective20:11:32 Thu Dec 04 2008
Center: X: 1.500e+000 Y: 0.000e+000 Z: 1.500e+000
Rotation: X: 350.000 Y: 0.000 Z: 40.000
Dist: 4.198e+001 Mag.: 3Ang.: 22.500
Job Title: Cavidad cilindrica con tensión de sostenimiento constante- modelo cvisc
Contour of Displacement Mag. Magfac = 0.000e+000 Live mech zones shown
4.6672e-003 to 5.0000e-003 5.0000e-003 to 1.0000e-002 1.0000e-002 to 1.5000e-002 1.5000e-002 to 2.0000e-002 2.0000e-002 to 2.5000e-002 2.5000e-002 to 3.0000e-002 3.0000e-002 to 3.5000e-002 3.5000e-002 to 3.6660e-002
Interval = 5.0e-003
History
0.5 1.0 1.5 2.0 2.5
Tiempo (segundos) x10^7
0.5
1.0
1.5
2.0
2.5
3.0
3.5
ur (m) x10^-2
3 Displacement Mag. Gp 177 Linestyle 1.426e-003 <-> 3.661e-002
Vs. 5 Creep Time
XY
Z
Fig. 5.46 Evolución del desplazamiento de la pared del túnel y gradiente de desplazamientos alrededor del túnel al cabo de 335 días; medio con con criterio de rotura lineal de Mohr, ley de dilatancia constante,
comportamiento viscoelástico en corte de tipo Burger y elástico en compresión isótropa (modelo “CVISC” del FLAC3D)
5.2.3.1.3 Comparación de las soluciones
Exportando los resultados de la convergencia obtenidos por ambos métodos
(método analítico de la tesis y el método numérico del FLAC3D), hacia una hoja de
cálculo de Excel, se ha hecho la comparación de ambas soluciones. Esta comparación,
se ha mostrado en la Fig. 5.48 en ella se muestra la evolución del desplazamiento de la
pared del túnel calculado por ambos métodos. Se observa que ambas soluciones
coinciden tanto en su magnitud como en la forma de la evolución a lo largo del tiempo.
Capítulo 5 Cálculo y validación de las soluciones propuestas
236
FLAC3D 3.10
CEDEXJoseGuillermo
©2006 Itasca Consulting Group, Inc. Step 307363 Model Perspective20:23:18 Thu Dec 04 2008
Center: X: 1.202e+000 Y: 4.034e-001 Z: 8.354e-001
Rotation: X: 350.000 Y: 0.000 Z: 40.000
Dist: 4.198e+001 Mag.: 9.16Ang.: 22.500
Job Title: Cavidad cilindrica con tensión de sostenimiento constante- modelo cvisc
Contour of SMax Magfac = 0.000e+000 Live mech zones shown Gradient Calculation
-3.3571e+006 to -3.0000e+006-3.0000e+006 to -2.5000e+006-2.5000e+006 to -2.0000e+006-2.0000e+006 to -1.5000e+006-1.5000e+006 to -1.1158e+006
Interval = 5.0e+005
Principal Stresses Magfac = 0.000e+000 Live mech zones shown Compression Linestyle Max Compression = -6.019e+006 Max Tension = 0.000e+000
AxesXY
Z
Fig. 5.47 Direcciones del tensor de tensiones principales y gradiente de la tensión radial; medio con con criterio de rotura lineal de Mohr, ley de dilatancia constante, comportamiento viscoelástico en corte de
tipo Burger y elástico en compresión isótropa (modelo “CVISC” del FLAC3D)
Contraste entre la solución propuesta en la tesis y la simulación con el FLAC3D(túnel con presión de sostenimiento constante)
0,00E+00
1,00E-02
2,00E-02
3,00E-02
4,00E-02
5,00E-02
6,00E-02
0 50 100 150 200 250 300 350 400
Tiempo (días)
Cor
rimie
nto
de la
par
ed (m
)
0,3p0 (tesis) 0,075p0 (tesis) 0,3p0 (FLAC3D) 0,075p0 (FLAC3D)
Fig. 5.48 Evolución de la convergencia por ambos métodos; medio con con criterio de rotura lineal de Mohr, ley de dilatancia constante, comportamiento viscoelástico en corte de tipo Burger y elástico en
compresión isótropa (modelo “CVISC” del FLAC3D)
Capítulo 5 Cálculo y validación de las soluciones propuestas
237
5.2.3.2 Medio con criterio de rotura no lineal de Hoek (GSI>25), ley de
dilatancia constante, comportamiento viscoelástico en corte de
tipo Burger y de tipo Zener en compresión isótropa
Como se había mencionado al inicio del apartado 5.2.3, debido a que las
deformaciones de los medios viscoelásticos – plásticos propuestos, son elastoplásticas
en el instante inicial ( 0=t ); también se han resuelto los casos con los medios
elastoplásticos empleados por Carranza y Fairhurst (2000) en su artículo “Application
of the Convergence – Confinement Method of Tunnel Design to Rock Masses That
Satisfy the Hoek – Brown Failure Criterion”. Esto con el afán de: por lo menos validar
las soluciones generales propuestas, con el criterio de rotura no lineal de Hoek y Brown
para el instante inicial. Teniendo en cuenta además, que a partir de ese instante, las
líneas características de los medios propuestos evolucionan únicamente en función a sus
propiedades viscoelásticas.
Con este motivo se han resuelto los tres casos de la publicación citada en el
párrafo anterior. En los tres casos, se han calculado las líneas características de una
cavidad de radio 1.00 m, considerando una presión isótropa inicial MPap 5.70 = . Así
mismo se han adoptado las siguientes propiedades del medio intacto: resistencia a
compresión simple MPaci 20=σ , parámetro del criterio de rotura 15=im , coeficiente de
Poisson 25.0=ν y ángulo de dilatancia º30=ψ . En cuanto a las propiedades del macizo
se han empleado tres valores del GSI, (50, 40 y 30), con lo cual las propiedades de los
medios han sido:
Tabla 5.2 Propiedades del medio
GSI mb s Grm (GPa)
50 2.5 3.9x10-3 1.8
40 1.8 1.3x10-3 1.0
30 1.2 0.4x10-3 0.6
5.2.3.2.1 Solución propuesta en la tesis
Para este caso, la línea característica se ha calculado resolviendo la expresión de
la convergencia dada por la ecuación 5.2, rescrita a continuación, para el rango de
tensiones de sostenimiento: Ra σσ ≤≤0 .
Capítulo 5 Cálculo y validación de las soluciones propuestas
238
( ) ( ) ( ) ( )
( ) ( )
( )( ) ⎟⎠⎞⎜
⎝⎛ +++
+⎟⎠⎞⎜
⎝⎛ −+
+++=
∫ ∫∫ ∫∫∫
∫ ∫∫∫
∫
−−−−−+−−
−−−−−
−−
dxxexedxxexedxxexeat
dxxexeadxxexeta
dxxexeqtaqtt
aa aa
aa
aR
xxR
xxR
xxxxR
xxR
xxxxR
xxxR
xru
xxR
xxR
xxxxR
xxxR
xr
xxR
xR
xRR
r
1212
10
0
21
1
10
δδδδδδ
δδδδ
δδ
δδφ
δφ
φφεθ
Donde cada uno de los parámetros tiene el significado indicado en el apartado
3.8.2. Los valores de la tensión inicial y de las constantes viscoelásticas del modelo,
normalizados con el parámetro β (Serrano y Olalla) han sido:
Tabla 5.3 Propiedades de la roca ensayada
Parámetros normalizados
GSI = 50 GSI = 40 GSI = 30
β (MPa) 6.25 4.4 MPa 3
ζ 0.00499 0.00328 0.00267
p0* 1.20 1.7046 2.5
G1* 216 306.818 450
G2* 288 227.273 200
1η * 38.889 55.24 81.019
2η * 4.028 5.7213 8.391
K1* 26 36.9318 54.167
K2* 480 381.04 333.3
volη * 11.111 15.7827 23.148
En los tres casos, las constantes elásticas corresponden a las del medio
presentado en el apartado anterior, mientras que las constantes viscoelásticas
corresponden a las de la roca ensayada en la tesis.
Utilizando el código “lincar” para resolver estos casos, se han calculado y
graficado las evoluciones de las líneas características de los tres casos. Estos gráficos se
muestran a continuación.
Al comparar las tres figuras anteriores se observa que conforme se incrementa el
GSI del medio, la evolución de las líneas características es más lenta. Es así que para el
medio con GSI = 50; la convergencia llega a ser igual a 0.1683 al cabo de 180 días,
mientras que para el medio con GSI = 40; la convergencia llega a ser igual a 0.1734 al
cabo de 90 días, y para el caso con GSI = 30; la convergencia llega a ser igual a 0.1616
al cabo de 15 días.
Capítulo 5 Cálculo y validación de las soluciones propuestas
239
0 0.02 0.04 0.06 0.08 0.1 0.12 0.14 0.16 0.180
0.1
0.2
0.3
0.4
0.5
0.6
0.7
0.8
0.9
1
σa/p
0
Convergencia: εθa
Evolución de la línea característica de la cavidad
t = 0 dt = 1 dt = 2 dt = 4 dt = 7 dt = 15 d
Fig. 5.49 Medio con criterio de rotura no lineal de Hoek (GSI=30), ley de dilatancia constante, comportamiento viscoelástico en corte de tipo Burger y de tipo Zener en compresión isótropa
0 0.02 0.04 0.06 0.08 0.1 0.12 0.14 0.16 0.180
0.1
0.2
0.3
0.4
0.5
0.6
0.7
0.8
0.9
1
σa/p
0
Convergencia: εθa
Evolución de la línea característica de la cavidad (GSI 40)
t = 0 dt = 1 dt = 2 dt = 4 dt = 7 dt = 15 dt = 30 dt = 45 dt = 60 dt = 90 d
Fig. 5.50 Medio con criterio de rotura no lineal de Hoek (GSI=40), ley de dilatancia constante, comportamiento viscoelástico en corte de tipo Burger y de tipo Zener en compresión isótropa.
Capítulo 5 Cálculo y validación de las soluciones propuestas
240
0 0.02 0.04 0.06 0.08 0.1 0.12 0.14 0.16 0.180
0.1
0.2
0.3
0.4
0.5
0.6
0.7
0.8
0.9
1
σa/p
0
Convergencia: εθa
Evolución de la línea característica de la cavidad
t = 0 dt = 1 dt = 2 dt = 4 dt = 7 dt = 15 dt = 30 dt = 60 dt = 90 dt = 120 dt = 150 dt = 180 d
Fig. 5.51 Medio con criterio de rotura no lineal de Hoek (GSI=50), ley de dilatancia constante, comportamiento viscoelástico en corte de tipo Burger y de tipo Zener en compresión isótropa.
Líneas caracteríticas para t = 0(Solución propuesta en la tesis)
0
0,1
0,2
0,3
0,4
0,5
0,6
0,7
0,8
0,9
1
0 0,01 0,02 0,03 0,04 0,05 0,06
Convergencia
Tens
ión
de s
oste
nim
ient
o / p
0
GSI 40 GSI 50 GSI 30
Fig. 5.52 Solución propuesta en la tesis para 0=t para los casos resueltos por Carranza y Fairhurst (2000)
Capítulo 5 Cálculo y validación de las soluciones propuestas
241
En la Fig. 5.52, a modo de resumen, se presentan las líneas características para el
instante 0=t , las cuales se han extraído de las tres figuras anteriores. Las mismas son
las líneas características a partir de las cuales, estas evolucionan con el tiempo.
5.2.3.2.2 Solución propuesta por Carranza y Fairhurst (2000)
La Fig. 5.53 se ha copiado del artículo al que se hace referencia en el título de
este apartado, y en ella se muestran las líneas características debidas a las
deformaciones elastoplásticas de los tres medios resueltos en el apartado anterior. Es
decir para los medios con GSI = 30, GSI = 40 y GSI = 50. Las cuales se
corresponderían con las tres líneas características que se muestran en la Fig. 5.52. A
partir de las cuales cada línea característica evoluciona con el tiempo.
Fig. 5.53 Solución propuesta por Carranza y Fairhurst (2000).
5 .2.3.2.3 Comparación de las soluciones
Como se observa en la Fig. 5.54; las líneas características obtenidas con la
solución propuesta en esta tesis, y las líneas características halladas por Carranza –
Fairhurst (2000) son idénticas. Con lo cual se pueden sacar las siguientes conclusiones:
que la solución propuesta es correcta, y que el medio viscoelástico – plástico al inicio
sufre deformaciones elastoplásticas y luego a lo largo del tiempo sufrirá deformaciones
viscoelásticas.
Capítulo 5 Cálculo y validación de las soluciones propuestas
242
Grafico comparativo de las líneas características para t = 0
0,0
1,0
2,0
3,0
4,0
5,0
6,0
7,0
8,0
0,00 5,00 10,00 15,00 20,00 25,00 30,00 35,00 40,00 45,00 50,00 55,00 60,00
ur (mm)
pi (M
Pa)
GSI 30 (TESIS) GSI 40 (TESIS) GSI 50 (TESIS) GSI 30 (C-F) GSI 40 (C-F) GSI 50 (C-F)
Fig. 5.54 Grafico comparativo de la solución propuesta en la tesis para 0=t , y la solución hallada por Carranza y Fairhurst (2000).
243
6 Conclusiones y futuras líneas de investigación
6.1 Conclusiones
Planteamiento del estudio
Las soluciones propuestas, en esta tesis, de las expresiones de la convergencia
axil simétrica en medios viscoelásticos - plásticos están basadas en un planteamiento
analítico del estado de tensiones y deformaciones alrededor del túnel. Así las
expresiones resultantes (apartado 3.8); se han deducido a partir de las condiciones de
equilibrio interno y de compatibilidad en deformación plana alrededor del túnel
(apartado 3.7).
En esta tesis, también se da a conocer un modo inédito de tratar los términos de
la convergencia que dependen de las propiedades viscoelásticas del medio. Términos a
los en este estudio se les ha llamado funciones temporales y que se representan por
( )t0φ , ( )tr0φ y ( )tr
uφ , (apartado 3.4). Estos términos, se han formulado de acuerdo con la
respuesta de la componente viscoelástica de los medios propuestos. Tal como se han
planteado en este estudio, cabe mencionar que las variables de estas funciones son las
constantes viscoelásticas del medio. Gracias a la formulación mecanicista de los medios
propuestos, se ha podido resolver el caso en que estos términos representen cambios
volumétricos viscoelásticos además de distorsiones angulares viscoelásticas.
El planteamiento empleado en la tesis, además ha permitido utilizar medios
viscoelásticos – plásticos con el criterio de rotura no lineal de Hoek y Brown. Esto es un
aporte al estudio de las deformaciones por fluencia empleando medios viscoelásticos –
plásticos. Debido a que la resistencia de la roca no aumenta linealmente con el nivel de
la tensión de confinamiento es más adecuado utilizar criterios no lineales en lugar de
criterios lineales. Otra mejora es que al emplear este criterio es posible incorporar los
rasgos geológicos y geotécnicos del macizo rocoso que se pretende representar con el
medio.
Adicionalmente, con la formulación propuesta, se ha podido utilizar la ley de
dilatancia lineal, la cual no tiene el riesgo de incumplir con el postulado de
irreversibilidad de Praguer (1949), que es equivalente al segundo principio de la
termodinámica (apartado 3.6.1). Riesgo que si tiene la ley de dilatancia constante,
cuando se utiliza conjuntamente con criterios de rotura no lineales.
Capítulo 6 Conclusiones y futuras líneas de investigación
244
En cuanto a la validación de la solución propuesta, se debe decir que la
propuesta de esta tesis en la cual se emplean medios viscoelásticos-plásticos inéditos, es
un aporte original al estudio de la convergencia por fluencia en túneles. Por este motivo,
no es posible comparar las soluciones de todos los casos posibles de resolver con las
soluciones propuestas, en el apartado 3.8, con soluciones propuestas por otros autores.
Lo que se ha hecho es comparar la respuesta obtenida con esta nueva formulación, para
los casos particulares ya resueltos por otros autores. Esto teniendo en cuenta que la
solución obtenida en los casos particulares será correcta si es que lo es la solución
genérica a partir de la cual se deriva.
Con este fin, en el apartado 5.1.4 se ha resuelto a partir de las expresiones
genéricas el caso particular implementado por el código de diferencias finitas FLAC3D,
desarrollado por Itasca Consulting Group Inc. Este caso es el del medio viscoelástico –
plástico “CVISC”, implementado y denominado de este modo en el FLAC3D. En ese
apartado se observa que la respuesta hallada por ambos métodos es la misma tanto en
magnitud como en evolución a lo largo del tiempo.
Los medios propuestos
Con la formulación empleada, se ha conseguido resolver medios viscoelásticos –
plásticos que pueden exhibir cambios de forma y de volumen: elásticos y viscoelásticos
que se suceden en el tiempo y que son provocados por los diferentes tipos de fluencia.
Pero además, los medios propuestos, pueden exhibir estos tipos de fluencia en la
magnitud, orden y duración en las que se presentan en los experimentos de fluencia a
partir de los cuales se obtienen las constantes viscoelásticas.
Todos los medios reológicos propuestos por otros investigadores son
compresibles elásticamente o incompresibles. Sin embargo, en esta tesis se han
propuesto medios que pueden exhibir cambio volumétrico viscoelástico, el cual se
ajustaría al comportamiento reológico observado por diversos investigadores en las
rocas porosas (apartado 2.3.2.2).
Con la formulación propuesta, el medio podría reproducir de forma mas realista
la fluencia en cada una de las zonas alredor del túnel, ya que sus funciones temporales
se implementan a partir de las constantes viscoelásticas obtenidas experimentalmente
aplicando los estados de tensiones de cada zona alrededor del túnel (apartado 4.4.8.3).
Para el caso de las funciones temporales de la zona rota, estas se implementarán
con las constantes reológicas determinadas con la relajación de tensiones gobernada por
Capítulo 6 Conclusiones y futuras líneas de investigación
245
el criterio de rotura y la presión de sostenimiento esperada (apartado 4.4.8.3.3). En esta
etapa de relajación de tensiones, el comportamiento de la roca ensayada es
viscoelástico-plástico. La predominancia de la deformaciones viscoelásticas o plásticas
dependerá de las propiedades reológicas de la roca rota, de la ley de dilatancia y de la
magnitud de la relajación de tensiones.
En el cálculo de la convergencia de la pared del túnel, basta con emplear la
evolución de la interfase viscoelástica como condición de contorno, tal como se ha
hecho en la solución propuesta en esta tesis (ecuación 3.40). Esta afirmación se ha
comprobado al obtener los mismos resultados con la respuesta analítica y con los
métodos numéricos, los cuales toman en cuenta la evolución de toda la zona
viscoelástica (apartados 5.1.4 y 5.2.3).
Procedimiento propuesto de ensayo de fluencia triaxial
El método de ensayo de fluencia triaxial con la trayectoria de tensiones
propuesta, permite hallar las constantes reológicas del material sano antes de la rotura
del material y después de la rotura (apartado 4.4.8.3), sometiéndolo en ambos casos al
campo de tensiones apropiado (al que estará sometido alrededor del túnel), partiendo
además de las condiciones iniciales de tensión y deformación de cada una de las zonas
que se presentan alrededor del túnel.
La finalidad de los ensayos de fluencia triaxial realizados ha sido la de obtener
experimentalmente las constantes viscoelásticas del medio, para luego implementar las
funciones temporales ( )t0φ , ( )tr0φ y ( )tr
uφ , con las constantes viscoelásticas deducidas.
Debido a que las deformaciones viscoelásticas dependen de la historia de tensiones que
ha sufrido el medio, en esta tesis se propone ejecutar los ensayos triaxiales de fluencia
siguiendo una trayectoria de tensiones similar a la que sufre el medio alrededor del
túnel, y que es mostrada en la Fig. 6.1. Para ello, el ensayo se debe ejecutar en las tres
etapas siguientes:
d.) Etapa isótropa. En esta etapa la trayectoria de tensiones es: 00 p→ , y se
consigue aplicando el siguiente incremento de tensiones principales 0
31 p== δσδσ . Con esta etapa se pretende restablecer las condiciones
iniciales de campo antes de la apertura del túnel, en las cuales 10 =K .
e.) Etapa desviadora. En ella la trayectoria de tensiones va de: '0 Bp → . Con esta
etapa se reproduciría una trayectoria de tensiones similar a la que sufre la
Capítulo 6 Conclusiones y futuras líneas de investigación
246
interfase debido a la apertura del túnel. Esta etapa se debe ejecutar a
continuación de la anterior y a partir de cuando se ha logrado el equilibrio
inicial del medio (velocidad de deformación nula). En esta etapa 0=pδ , por
lo tanto 13 21 δσδσ −= y ( ) ( ) plazo cortoaplazo largoa 00 pqqpq RR << δ . Los
incrementos de tensión de esta etapa serían relativos a los de la etapa
isótropa.
f.) Etapa de relajación. En esta etapa la trayectoria de tensiones va de '' AB → ,
(Fig. 6.1). La razón de los incrementos de tensión pδ y qδ son gobernados
por el criterio de rotura a través de la relación:
ρδδ senpq
=
Siendo: ρ el ángulo de rozamiento instantáneo, 2
31 δσδσδ −=q y
32 31 δσδσ
δ+
=p . Estos incrementos de la tensión son relativos a la etapa
anterior, y al igual que en aquella etapa se aplicarían súbitamente. Se
propone que esta etapa se ejecute después que la velocidad de deformación
de la etapa anterior sea nula o haya llegado a un valor constante. Si la
velocidad de deformación de la etapa anterior ha llegado a ser nula, sería
evidencia de que para ese nivel de tensiones el material únicamente ha
sufrido deformaciones retrasadas debido a la fluencia transitoria, también
llamada primaria. De lo contrario, si la velocidad de deformación ha llegado
a un valor constante sería evidencia de que el material está sufriendo la
fluencia secundaria. En este caso, se propone que esta tercera etapa de
relajación de tensiones se ejecute después de que las deformaciones totales
de la etapa anterior hayan sido mayores a las deformaciones de rotura a
corto plazo.
Esto permitirá implementar las funciones temporales de la interfase y de la zona
rota con las constantes reológicas determinadas empleando el campo de tensiones
apropiado para cada caso Partiendo además de las condiciones iniciales de tensión y
deformación supuestas en las hipótesis de esta tesis.
Capítulo 6 Conclusiones y futuras líneas de investigación
247
Fig. 6.1 Trayectorias de tensiones: alrededor del túnel y en el ensayo de fluencia.
Empleo de las líneas características de los medios reológicos
En el apartado 3.9 se ha propuesto el método de cálculo de la evolución de la
convergencia de la cavidad con presión interior constante. El método está basado en el
concepto de las líneas características de los medios reológicos, las cuales evolucionan
con el tiempo como se muestra en la Fig. 6.2. Se propone para los casos de túneles en
los que se espera grandes deformaciones por fluencia y cuyos sostenimientos ejercen
presión de soporte constante después de la deformación inicial elástica, como se
muestra en la figura siguiente. Este tipo de sostenimiento podría ser el caso formado por
cimbras metálicas con juntas deslizantes, colocadas tempranamente. En la figura 3.23,
se muestra el detalle de este tipo de junta en la cimbra conocida como “Top Hat”.
Fig. 6.2 Trayectoria de tensiones válida para el empleo de las líneas características en el cálculo de la convergencia de la cavidad con sostenimiento.
Capítulo 6 Conclusiones y futuras líneas de investigación
248
Al igual que para la validación de la solución propuesta de la convergencia del
túnel sin sostenimiento, en este caso a modo de validación se ha comparado la respuesta
obtenida para los casos ya resueltos por otros autores.
Con este fin, se ha resuelto a partir de las expresiones generales el caso
particular implementado por el código de diferencias finitas FLAC3D desarrollado por
Itasca Consulting Group Inc. Este caso es el del medio viscoelástico – plástico
“CVISC”, implementado y denominado de este modo en el FLAC3D. Al comparar los
resultados obtenidos por ambos métodos, se observa que las respuestas son idénticas,
como se muestra en la figura siguente.
Contraste entre la solución propuesta en la tesis y la simulación con el FLAC3D(túnel con presión de sostenimiento constante)
0,00E+00
1,00E-02
2,00E-02
3,00E-02
4,00E-02
5,00E-02
6,00E-02
0 50 100 150 200 250 300 350 400
Tiempo (días)
Cor
rimie
nto
de la
par
ed (m
)
0,3p0 (tesis) 0,075p0 (tesis) 0,3p0 (FLAC3D) 0,075p0 (FLAC3D)
Fig. 6.3 Evolución de la convergencia por ambos métodos; medio con criterio de rotura lineal de Mohr, ley de dilatancia constante, comportamiento viscoelástico en corte de tipo Burger y elástico en
compresión isótropa (modelo “CVISC” del FLAC3D)
Asimismo, teniendo en cuenta que las deformaciones de los medios
viscoelásticos – plásticos propuestos son elastoplásticas en el instante inicial ( 0=t ),
también se han resuelto los casos con los medios elastoplásticos empleados por
Carranza y Fairhurst (2000). Esto con el afán de por lo menos validar las soluciones
generales propuestas, con el criterio de rotura no lineal de Hoek y Brown para el
instante inicial, ya que la línea característica evoluciona a partir de la correspondiente a
0=t .
Capítulo 6 Conclusiones y futuras líneas de investigación
249
Las líneas características obtenidas con la solución propuesta son idénticas a las
líneas características calculadas por Carranza y Fairhurst (2000), como se observa en la
Fig. 6.4.
Grafico comparativo de las líneas características para t = 0
0,0
1,0
2,0
3,0
4,0
5,0
6,0
7,0
8,0
0,00 5,00 10,00 15,00 20,00 25,00 30,00 35,00 40,00 45,00 50,00 55,00 60,00
ur (mm)
pi (M
Pa)
GSI 30 (TESIS) GSI 40 (TESIS) GSI 50 (TESIS) GSI 30 (C-F) GSI 40 (C-F) GSI 50 (C-F)
Fig. 6.4 Grafico comparativo de la solución propuesta en la tesis para 0=t , y la solución hallada por Carranza y Fairhurst (2000).
Finalmente, aquí se recalca que debido a que los medios viscoelásticos-plásticos
son medios hereditarios, únicamente se puede calcular la evolución de la convergencia
del túnel sostenido, empleando las líneas características, si es que la trayectoria de
tensiones en la pared del túnel sigue la trayectoria con la que se construyen estas líneas.
Es decir, si es que es constante o en descarga como se muestra en la figura Fig. 6.2.
Por lo tanto, no se deberían utilizar las líneas características de los medios
viscoelásticos – plásticos, para calcular la convergencia de la pared del túnel cuando la
presión ejercida por el sostenimiento aumenta con el tiempo. Este sería el caso en el que
la presión ejercida por el sostenimiento, sobre la pared del túnel, aumentara en la
medida en que el sostenimiento restringiese el corrimiento de la pared a lo largo del
tiempo.
Esto conlleva a la siguiente conclusión: el empleo clásico del método
convergencia – confinamiento en rocas viscosas produce doble error en el cálculo de la
de la presión sobre el sostenimiento. Primero, debido a que no se toma en cuenta la
Capítulo 6 Conclusiones y futuras líneas de investigación
250
fluencia de la roca y, segundo, debido a que la trayectoria de tensiones del método no es
correcta.
Durante el desarrollo de este trabajo de investigación, han ido surgiendo ideas de
futuras líneas de investigación que ampliarían y complementarían el alcance de este
trabajo. A partir de estas ideas y de las conclusiones presentadas en el apartado 6.1, se
proponen las siguientes líneas de investigación.
6.2 Futuras líneas de investigación
Estudio de la convergencia con evolución de la presión de
sostenimiento
Resolver el caso del túnel sostenido siguiendo la trayectoria de tensiones
mostrada en la Fig. 6.5. Se propone esta línea de investigación teniendo en cuenta que
esa sería la trayectoria de tensiones que sufriría el medio al colocarle un sostenimiento
elastoplástico un tiempo 0t después de la excavación del túnel. Lo anterior, siempre que
la tensión del sostenimiento evolucione a lo largo del tiempo como resultado de su
interacción con el medio viscoelástico – plástico.
Debido a que estos medios son hereditarios, es decir, medios en los que las
deformaciones a lo largo del tiempo dependen de toda la trayectoria de tensiones del
pasado, no es correcto utilizar el concepto de las líneas características para estudiar el
caso en el que la trayectoria de tensiones es la mostrada por la Fig. 6.5. No es correcto
porque en el concepto de las líneas características la trayectoria de tensiones siempre
produce la relajación de la tensión de sostenimiento. Mientras que en el caso mostrado
en esta figura, se produce la relajación total de la tensión de sostenimiento, relajación
que se mantiene mientras no se coloque el sostenimiento (hasta 0t ), y después de su
colocación se produciría el incremento de la tensión siguiendo un proceso de carga
neutra a lo largo del tiempo e influenciado por la rigidez del sostenimiento.
En la Fig. 6.5, sK sería la rigidez equivalente del sostenimiento, 0t el momento
de su colocación, y ( )ia tσΔ el incremento de la tensión sobre el sostenimiento para el
tiempo it .
Capítulo 6 Conclusiones y futuras líneas de investigación
251
Fig. 6.5 Evolución de la convergencia y la tensión en la pared del túnel cuando se retrasa la colocación del sostenimiento.
Para el desarrollo de esta línea de investigación, se propone calcular la evolución
de la convergencia del túnel con sostenimiento empleando las formulaciones y los
resultados de esta tesis. Precisando mas, se propone calcular la convergencia de la
cavidad sostenida ( )( )tcaθε , sumando a la convergencia de la cavidad sin sostenimiento
( )( )taθε , la reducción de carácter viscoelástico producida por la evolución del
confinamiento ejercido por el sostenimiento ( )( )tcfaθε como se muestra en la Fig. 6.6a.
Con lo cual la expresión de la convergencia de la cavidad sostenida sería:
( ) ( ) ( )tttt cfaacaθθθ εεε −+= 0;0
Por otra parte, como se muestra en la misma figura, la expresión de la
convergencia del sostenimiento se puede escribir como:
( ) ( ) ( )0;0ttt acasaθθθ εεε −=
La que a su vez es igual a:
( ) ( ) ( )∫==t
as
sasa d
KKtt
0
1/ τσσεθ
Con lo cual la evolución de la tensión sobre el sostenimiento se podría calcular a
partir de la siguiente expresión:
( ) ( ) ( )ttKt cfaasa θθ εεσ −Δ= 0;/
Capítulo 6 Conclusiones y futuras líneas de investigación
252
Siendo, ( )0;taθεΔ el incremento de la convergencia de la cavidad sin
sostenimiento a partir del momento 0t de la colocación del mismo, y ( )tcfaθε la
reducción de carácter viscoelástico debido a la evolución del confinamiento producido
por el sostenimiento, como se muestra en la Fig. 6.6a.
El incremento de la convergencia de la cavidad sin sostenimiento ( )0;taθεΔ , se
podría calcular con las soluciones halladas en esta tesis, y la reducción debida a la
evolución del confinamiento con la integral de convolución siguiente:
( ) ( )τ
ττε
ε θθ d
dd
tt cfa
cfa ∫=0
Siendo ( ) ( ) ( )τσσ
γτεθ dddqqBd cfa
2−= , expresión en la que los factores se han
tratado en el capítulo tres.
Fig. 6.6: a.) Evolución de la convergencia de la pared del túnel sostenido; b.) Evolución de la presión de sostenimiento.
Capítulo 6 Conclusiones y futuras líneas de investigación
253
Para este caso propuesto, la tensión sobre el sostenimiento evolucionaría en
función a las propiedades reológicas y al nivel de tensiones iniciales del medio. En el
caso mas drástico esta tensión evolucionaría hasta llegar a ser igual a la presión inicial
0p como se muestra en la Fig. 6.6b.
Implementación informática de los medios propuestos a través de los
métodos numéricos
Programar el modelo viscoelástico – plástico, con criterio de rotura no lineal de
Hoek y Brown y ley de dilatancia lineal, para su empleo en el análisis por fluencia de la
roca a través de los métodos numéricos. Una opción para llevar a cabo esta propuesta
podría ser utilizar la plataforma del FLAC3D. Esto es factible debido a que este código
informático tiene la opción “modelos constitutivos del usuario”. Opción que permite
programar modelos constitutivos propios, empleando el lenguaje de programación
Visual C++.Net, y utilizarlos en las simulaciones numéricas ejecutadas a través del
FLAC3D.
Incorporación de criterios de rotura dependientes del tiempo
Los medios viscoelásticos – plásticos poseen criterios de rotura acrónicos. Para
tener en cuenta que debido a la evolución de las deformaciones de la zona viscoelástica,
se puede producir la fluencia terciaria, se propone el estudio de la convergencia por
fluencia empleando medios viscoelásticos – viscoplásticos. Con lo cual, la zona rota no
solamente evolucionaría debido a las componentes viscoelásticas de sus deformaciones
y a las condiciones que le impone la interfase, sino que además crecería debido a que el
criterio de rotura sería función del tiempo.
254
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260
Apéndice 1
Deducción de las
expresiones de la convergencia
Medio con criterio de rotura de Mohr Coulomb Medio con criterio de rotura de Hoek & Brown (GSI>25) Medio con criterio de rotura de Hoek & Brown (GSI<25)
Apéndice 1 Deducción de las expresiones de la convergencia
261
Medio con criterio de rotura de Mohr Coulomb
( ) ∫∫ ∫ =−
=−
=−
=q
Rq
q
Rq
q
RqR q
dqsenndq
senqndq
senqBqqH
000 1)1(1)(,
ννν
( ) ⎟⎟⎠
⎞⎜⎜⎝
⎛−
=−−
=R
R qq
sennqq
senn ln
1lnln
1 00 νν
( )qnqB =
( )⎥⎥⎥
⎦
⎤
⎢⎢⎢
⎣
⎡
⎟⎟⎠
⎞⎜⎜⎝
⎛=⎟⎟
⎠
⎞⎜⎜⎝
⎛−
=− 01
0
lnln1
,ν
ν
senn
RRR q
qqq
sennqqH
( )[ ]01lnln
01,expν
νsen
n
qRq
qRq
senn
R eeqqH−
⎟⎟⎠
⎞⎜⎜⎝
⎛⋅
− ==−
( )[ ] 01,exp
νsenn
RR q
qqqH−
⎟⎟⎠
⎞⎜⎜⎝
⎛=−
sR
R Gq
=γ
( ) ( )[ ] ( )[ ]qHdqqHsenG
sensen
q
Rq r −
⎥⎥⎥⎥
⎦
⎤
⎢⎢⎢⎢
⎣
⎡
⎟⎟⎟⎟
⎠
⎞
⎜⎜⎜⎜
⎝
⎛
−−
−+
− ∫ expexp1
21
0
0
νϕμν
01)(ln)( νsenn
qqH −=
[ ]⎟⎟⎠
⎞⎜⎜⎝
⎛−
=−
01
1)(exp
νsennq
qH
[ ]⎟⎟⎠
⎞⎜⎜⎝
⎛−
⎟⎟⎠
⎞⎜⎜⎝
⎛−
−
==−01
01 1)(expν
ν
senn
senn
q
qqH
( ) ( )[ ] ( )[ ] =−
⎥⎥⎥⎥
⎦
⎤
⎢⎢⎢⎢
⎣
⎡
⎟⎟⎟⎟
⎠
⎞
⎜⎜⎜⎜
⎝
⎛
−−
−+
− ∫ qHdqqHsenG
sensen
q
Rq r expexp1
21
0
0
νϕμν
Apéndice 1 Deducción de las expresiones de la convergencia
262
( ) ( )[ ] ( )[ ]qHdqqHsenG
sensen
q
Rqr
r
−
⎥⎥⎥⎥
⎦
⎤
⎢⎢⎢⎢
⎣
⎡
−
−+
= ∫ expexp1
21
0
0
νϕμ
ν
( ) ( )( ) ( )∫ −−
−
⎥⎦
⎤⎢⎣
⎡−
⋅−
+−
=q
Rq
senn
senn
rr dqqqsensenGsenG
sen 0101
00
0
1121
1νν
νϕμ
νν
( ) ( ) ⎥⎦
⎤⎢⎣
⎡−
⋅−
+−
=00
0
1121
1 νϕμ
νν
sensenGsenGsenA rr
( )
q
qR
senn
senn
q
senn
qA1
01
0
01
11
1 +−−
−
⎟⎟⎠
⎞⎜⎜⎝
⎛+
−
= νν
ν
( ) ⎟⎟
⎠
⎞
⎜⎜
⎝
⎛−
−+−
= −−+
−−+
−−
0101
0101
0
001
11
νν
νν
ν
νν
sensenn
Rsen
sennsen
n
qqsenn
senqA
( ) ( ) ( ) ⎟⎟⎟
⎠
⎞
⎜⎜⎜
⎝
⎛−
−+−
⎟⎟⎠
⎞⎜⎜⎝
⎛−
−+
−=
⎟⎟⎠
⎞⎜⎜⎝
⎛+
−⎟⎟⎠
⎞⎜⎜⎝
⎛+
−−− 1
01101
0
001
00
0
11
1121
1ννν
νν
νϕμ
νν sen
n
Rsen
nsen
n
r
r
r qqsenn
senqsensenGsenG
sen
( )[ ] ( )( ) ( )[ ] ( )[ ] BAqHdqqH
senGqEqqH
q
Rq r
r
RR −=−⎥⎦
⎤⎢⎣
⎡−
−−= ∫ expexp1
,exp0ν
γγ
( )[ ] 01,exp
νγ
senn
Rs
RRR q
qGqqqHA
−
⎟⎟⎠
⎞⎜⎜⎝
⎛=−=
⎟⎟⎟
⎠
⎞
⎜⎜⎜
⎝
⎛
⎟⎟⎠
⎞⎜⎜⎝
⎛−
−+⎟⎟⎠
⎞⎜⎜⎝
⎛ −+=
−
R
senn
Rr
r
r qqqq
sennsenGGsenB
01
0
0
11121 ν
νϕμν
( ) ( ) ( )∫ ∫∫ −=→−=→−=
q
Rq
q
RqR
RdqqBdqqBdqB
dqd γεεγεγε
θθ
θε
θεθ
θ
222
∫∫∫∫ +−=−
−=−=q
Rq
q
RqR
q
RqR
q
RqR dq
qBndq
qAndq
qBAndq
qn
22)(
22 θθθθ εεγεε
21 XXR +−= θθ εε
Apéndice 1 Deducción de las expresiones de la convergencia
263
⎟⎟
⎠
⎞
⎜⎜
⎝
⎛−⎟
⎠⎞
⎜⎝⎛ −
−=
=
−−
==⎟⎟⎠
⎞⎜⎜⎝
⎛=
−−
−−+
−−
−−
+−⎟⎟
⎠
⎞⎜⎜⎝
⎛−
+−+−
−
∫ ∫
010101
01
0
0110101
110101
1
12
122
12
ννν
νννν
ν
ν
ν
senn
Rsen
nsen
n
Rs
q
Rq
senn
q
Rq
q
Rq
senn
Rssen
nsen
n
Rs
senn
Rs
R
qqn
senqGn
senn
qqGndqqq
Gndq
Gq
qnX
⎥⎥⎥
⎦
⎤
⎢⎢⎢
⎣
⎡−⎟⎟
⎠
⎞⎜⎜⎝
⎛−−=
⎥⎥⎥
⎦
⎤
⎢⎢⎢
⎣
⎡
⎟⎟⎠
⎞⎜⎜⎝
⎛−−=
−
−
−1
21
21 01
0010
1
νν νν senn
RRsRR
senn
Rs q
qqGsenqq
GsenX
( )
( )
( )⎥⎥⎥
⎦
⎤
⎢⎢⎢
⎣
⎡
⎥⎥⎥
⎦
⎤
⎢⎢⎢
⎣
⎡−⎟⎟
⎠
⎞⎜⎜⎝
⎛−+−=
⎥⎥⎥
⎦
⎤
⎢⎢⎢
⎣
⎡
⎥⎥⎥
⎦
⎤
⎢⎢⎢
⎣
⎡−⎟⎟
⎠
⎞⎜⎜⎝
⎛−+−=
⎥⎥⎥⎥⎥
⎦
⎤
⎢⎢⎢⎢⎢
⎣
⎡
⎥⎥⎥⎥
⎦
⎤
⎢⎢⎢⎢
⎣
⎡
−−
−−=⎥⎥
⎦
⎤
⎢⎢
⎣
⎡−=
⎟⎟⎟
⎠
⎞
⎜⎜⎜
⎝
⎛−=
⎟⎟⎟
⎠
⎞
⎜⎜⎜
⎝
⎛
⎟⎟⎠
⎞⎜⎜⎝
⎛−
−+⎟⎟⎠
⎞⎜⎜⎝
⎛ −+==
−
−
−−
⎟⎟⎠
⎞⎜⎜⎝
⎛+
−⎟⎟⎠
⎞⎜⎜⎝
⎛+
−−⎟⎟
⎠
⎞⎜⎜⎝
⎛+
−
⎟⎟⎠
⎞⎜⎜⎝
⎛+
−−⎟⎟
⎠
⎞⎜⎜⎝
⎛+
−
−−
−
∫∫
∫
∫∫
11
1
1
1
11121
22
010
3
010
3
0
01101
3
101
101
3
101
101
3
101
0
012
ν
ν
νννν
νν
ν
ν
ν
ν
νϕμν
senn
RRR
R
senn
RRR
q
Rq
senn
senn
RR
q
Rq
senn
q
Rq
senn
R
q
Rq
senn
senn
R
q
RqR
senn
Rq
Rq r
r
r
qqq
nsenqqX
qqqq
nsenqqX
senn
qqqqXdqqqdqX
dqqqX
dqqqqqq
sennsenGGsenndqqBnX
( ) ( ) ( ) ( )tXtXtt R 21 ++= θθ εε
( ) ( )tqRt sR 0Φ=θε
( ) ( ) ( )
( ) ( ) ( )
( ) ( ) ( )
⎥⎥⎥
⎦
⎤
⎢⎢⎢
⎣
⎡−⎟⎟
⎠
⎞⎜⎜⎝
⎛=
−+⎟⎟⎠
⎞⎜⎜⎝
⎛Φ+Φ=
⎥⎦⎤
⎢⎣⎡ −
+−=
Φ−=
−1
111
11
01
4
0003
40
32
4001
ν
μ νϕν
νν
senn
R
rr
RR
Rs
qqX
sennsentsentntX
Xqn
senqqtXtX
XqtsentX
Apéndice 1 Deducción de las expresiones de la convergencia
264
Medio con criterio de rotura de Hoek & Brown (GSI>25)
( )[ ] ( ) ( )[ ]( ) ( )[ ]qHdq
senGqHqEqqH
q
Rq rRR −⎟⎟⎠
⎞⎜⎜⎝
⎛−
−−= ∫ exp1exp,exp
νγγ
( )ρμν
sensenqE
r21−+=
321 γγγγ ++=
( )[ ]
( )[ ] ( )[ ]( )
( )[ ] ( ) ( )[ ]( )∫
∫
−−
−−=
−−−=
−=
q
Rq r
r
q
Rq r
RR
sensenGqHqH
dqsenG
qHsenqH
qqH
ρνμγ
ννγ
γγ
1exp21exp
1expexp
,exp
3
2
1
( )[ ]( )
∫ −−
=−dq
senqB
eqH ν1exp
( )qsen
qB 111⎟⎟⎠
⎞⎜⎜⎝
⎛−=
ρ
dpdqsen =ρ
Utilizando el criterio de rotura de Hoek y Brown:
( ) 1111
11
1=⎟
⎠⎞
⎜⎝⎛ −
+=→
+=
qqqB
qsen ρ
crit
crit
sensensena
ρνρ
−=
1max
Ley de dilatancia lineal
( ) ( )( ) δνϕλν
qaasenasensen
++
−+=−→−=1111
2
( )
( ) ( )∫∫++
−+−=
−−
δν
qaa
dqdqsenqB
111
1 2 siendo ( )21 a+
=λδ y
critsensen
ρνλ
−=
1max
Cambio de variable: δ−++
=aqx
11
Apéndice 1 Deducción de las expresiones de la convergencia
265
( )( )
( ) ( )( )2
2
2
22
2 1111
11
11
δδδ
++
=++
→+
=⎟⎟⎠
⎞⎜⎜⎝
⎛++
→+=⎟⎠⎞
⎜⎝⎛
++
xq
qa
xqax
aq
( ) ( )axq ++=+ 11 δ ; ( ) dxadq += 1
( ) ( )( ) ( ) ( ) ( )
( )( ) ( )⎟⎟
⎠
⎞⎜⎜⎝
⎛+
−+=+
++−+=
++
−+δδ
δδ
xa
xaxa
qaa 11111
111 2
2
( ) ( ) ( )( )
( )( )( )
∫ ∫ ∫+
+++
−=
⎥⎦⎤
⎢⎣⎡ −
++
++
−=
++
−+−⇒
xx
axdxa
aq
qa
dq
qaa
dq
2
22 11
11
11
111 δ
δδδ
( ) ( )xxdxx
x logδδ+−=
+−⇒ ∫
( )[ ] ( ) xxx exeqH −−+− ==−⇒ δδ logexp
( )[ ]qqH RR ,exp1 −= γγ ; Rs
sR
R qGq
02φγ ==
( )[ ] ( )[ ] ( ) ( )RxRxxxRR eexxHqqH loglogexp,exp δδ ++−=−−=−
( ) ( ) δδδδ φφγ −−−+−+ == xexeqeeq xR
RxR
sxxRxRxR
s0
loglog01 22
( )[ ] ( )[ ]( ) dq
senGqHsenqH
q
Rq r∫ −−−=
ννγ
1expexp2
( )[ ] ( )xxeqH logexp δ+−−=−−
( ) aqasen −
++
= δν11 2
; ( ) ( )( ) δν
qaasen
++
−+=−1111
2
( )( )
( )( )
( ) ( )( ) ( ) ( )
xx
aa
xx
xa
a
xa
axa
aq
qa
aqa
qa
sensen δδδδ
δδ
δ
δ
νν +
+−=
++
−=+
++−
=
⎟⎠⎞
⎜⎝⎛ −
++
++
⎟⎟⎠
⎞⎜⎜⎝
⎛
++
−++
=− 1
111
11
11
11
11
1
2
2
2
2
( )( ) ( ) dxae
xx
aa
xGe xx
x
Rxr
xx
+⎟⎠⎞
⎜⎝⎛ +
+−−= +
+−
∫ 11
loglog
2δ
δ δδγ
( ) ( ) ( )δδδδδδ
δδδ
δδδδ
δδδδ
xeaxexeaxeaxeaxe
xexaxeaaexx
xa
ax
xxxxxx
xxx
−=−−+=
+−+=+⎟⎠⎞
⎜⎝⎛ +
+−
−−−−
−−
1111
11111
⎟⎠⎞
⎜⎝⎛ −−= ∫ ∫−
−− x
Rx
x
Rx
xxr
x
dxxeadxxeG
ex δδδ
δγ 12
Apéndice 1 Deducción de las expresiones de la convergencia
266
⎟⎠⎞
⎜⎝⎛ −−= ∫ ∫−−−
x
Rx
x
Rx
xxxr dxxeadxxeex δδδ δφγ 102 2
( )[ ] ( ) ( )[ ]( )∫ −
−−−=
q
Rq
r
dqsensenG
qHqHρν
μγ1
exp21exp3
( ) ( )( )
( )( ) ⎟
⎠⎞
⎜⎝⎛ −
++
++
=++
−+=− δδνaq
qa
qaasen
11
11
1111
22
; q
sen+
=1
1ρ
Cambio de variable:
( )( ) ρν
δδ sensen
xx
aqx −=
+⇒−
++
= 111
2
( ) ( ) ( ) ( )∫∫
++−=+
+−−= −−−−
x
Rx
xru
xx
Rx
xr
rx dx
xxexaexdxaex
xx
Gex
δδδδ δφδμγ
22
3 12121
( ) ( ) 1212222
222 −+ ++=⎟⎟⎠
⎞⎜⎜⎝
⎛++=
++=
+= δδδδ
δδ
δδδ
δδδδ xexexexe
xx
xxexx
xxex xxxx
xx
( ) ⎟⎠⎞
⎜⎝⎛ +++−= ∫ ∫∫ −+−−
x
Rx
x
Rx
xxx
Rx
xru
x dxxedxxexeaex 1213 212 δδδδ δδφγ
Cálculo de la convergencia unitaria
( )∫−=−
q
RqR dqqB γεε θθ 2
; ( ) 1=qB ; Rs
sRR
R qGq
022φγεθ ===
( )∫ ∫ ∫ ++−=−=−=q
Rq
q
Rq
q
RqR
sR
sR dqqdqqdq 32100 2
121
21
γγγφγφγεε θθ
Cambio de variable:
δ−++
=aqx
11 ; ( ) dxadq += 1
( ) ( )∫ +++
−=x
RxR
s dxaq 3210 21 γγγφεθ
∫∫ −−=x
Rx
xR
RxR
sx
Rxdxxexeqdx δδφγ 01 2
⎟⎠⎞
⎜⎝⎛ −−= ∫ ∫∫∫∫ −−−−−
x
Rx
x
Rx
xx
Rx
xxx
Rx
xrx
Rxdxxeexadxxeexdx δδδδδφγ 1
02 2
( ) ⎟⎠⎞
⎜⎝⎛ +++−= ∫∫∫∫∫∫∫ −−−−−+−− dxxeexdxxeexgxeexadx
x
Rx
xx
Rx
xx
Rx
xx
Rx
xx
Rx
xx
Rx
xru
x
Rx
1213 212 δδδδδδ δφγ
Apéndice 1 Deducción de las expresiones de la convergencia
267
En forma compacta
( ) ( )3213210 IIIIIIq RRs ++−=++−= θθ εφε
Siendo:
( ) ∫ −−+=x
Rx
xR
RxR
s dxxexeqaI δδφ01 1
( ) ⎟⎠⎞
⎜⎝⎛ −+−= ∫∫∫∫ −−−−−
x
Rx
xx
Rx
xx
Rx
xx
Rx
xr dxxeexadxxeexaI δδδδδφ 102 1
( ) ⎟⎠⎞
⎜⎝⎛ +++−= ∫ ∫∫∫∫∫ −−−−−+−−
x
Rx
x
Rx
xx
Rx
xx
Rx
xx
Rx
xxx
Rx
xru dxxeexdxxeexdxxeexaI 1212
3 21 δδδδδδ δδφ
Apéndice 1 Deducción de las expresiones de la convergencia
268
Medio con criterio de rotura de Hoek & Brown (GSI<25)
Solución de la ecuación no homogénea
( )1211 +−
−=+ − kk qkG
qkdqd μγγ
Solución homogénea
dqqkdqkdqd kk 11 0 −− −=→=+
γγγγ
( )[ ]qHe dqkqkh −== ∫ −− exp
1γ ; ( )[ ] kqqH −=−
qkh e−=γ
Solución no homogénea
( )[ ] ( ) ( )[ ]( ) ( )[ ]qHdq
senGqHqEqqH
q
RqRR −⎟⎟
⎠
⎞⎜⎜⎝
⎛−
−−= ∫ exp1exp,exp
νγγ
110 =−→= νν sen
( ) ( ) ( )121 +−= kqkqE μ ; ( )[ ] kqeqH =exp ; ( )[ ] kqeqH −=−exp
( ) ( )kR
kq
Rq
kR qqqqqH −−=−=− ,
( )[ ] kRqkq
kRqkq
R eeqqH +−⎟⎠⎞⎜
⎝⎛ −−
==− ,exp
21 γγγ +=
( )[ ] kqkRq
sR
RR eeGqqqH −=−= ,exp1 γγ
( ) ( ) ( )121 +−= kr qkqE μ
( ) ( )[ ]( )
( ) ( ) ( ) ( ) ( ) kqr
rkqkr
r
kqkr
eG
eqkGG
eqksenG
qHqE μμμν
21211211exp −
+−
=+−
=−
( )
⎟⎠⎞
⎜⎝⎛ +⎟
⎠⎞⎜
⎝⎛
⎟⎟⎠
⎞⎜⎜⎝
⎛ −−=
⎟⎠⎞
⎜⎝⎛ +⎟⎟
⎠
⎞⎜⎜⎝
⎛ −−=
∫ ∫
∫−
−
q
Rq
q
Rq
kqkqkkqr
r
q
Rq
kqkqkr
rkq
dqedqeqkeG
dqeeqkG
e
μ
μγ
21
212
Apéndice 1 Deducción de las expresiones de la convergencia
269
Integrando por partes
kevdqqedv
kqkkq =→= −1 ; dqkduqku =→=
∫ ∫−=⇒ dqk
ekk
eqkdqeqkkqkqkqk
⎟⎟
⎠
⎞
⎜⎜
⎝
⎛+−⎟⎟
⎠
⎞⎜⎜⎝
⎛ −−=⇒ ∫ ∫− dqedq
kek
keqke
Gkq
kqkqkqr
rμγ 212
⎟⎟⎠
⎞⎜⎜⎝
⎛−= −
q
Rq
kqkqru eqeφγ 22
⎟⎠⎞
⎜⎝⎛ −−= −
kRq
Rkqkqr
u eqeqeφγ 22
Cálculo de la convergencia
( ) ( ) ( )∫ ∫ +−=−=q
Rq
q
RqRR dqqBdqqB 212
121 γγεγεε θθθ
( ) 1−= kqkqB
( ) ∫∫ ⎟⎠⎞
⎜⎝⎛ −−== −−−−
q
Rq
kRqkq
kRq
Rskqk
q
Rq
kRq
sR eeeqdqeqke
GqdqqB 0
11 22
1φγ
( ) ⎟⎟⎠
⎞⎜⎜⎝
⎛−−=
⎟⎠⎞⎜
⎝⎛ −
∫ 121
01
kqkRq
Rs
q
RqeqdqqB φγ
( )
( )
( ) ⎟⎟⎠
⎞⎜⎜⎝
⎛⎟⎟⎠
⎞⎜⎜⎝
⎛−+−
+−=
⎟⎠
⎞⎜⎝
⎛⎟⎠⎞
⎜⎝⎛ −+−
+−=
⎟⎟⎠
⎞⎜⎜⎝
⎛⎟⎠⎞⎜
⎝⎛−−
+−=
⎟⎠⎞
⎜⎝⎛ −−=
⎟⎠⎞
⎜⎝⎛ −−=
⎟⎠⎞⎜
⎝⎛ −++
−−++
−+
−−
−−
∫∫
∫∫
11
1
1
21
11
11
1
1
12
kqkRq
RkR
kru
kRqkq
kRq
RkR
kru
q
Rq
kqkRq
R
q
Rq
kru
q
Rq
kqkq
Rq
kRq
Rkr
u
q
Rq
kqkRq
Rkr
u
q
Rq
eqqqk
k
eeeqqqk
k
eeqqk
k
dqeqkeqqk
dqeeqqqkdqqB
φ
φ
φ
φ
φγ
( ) ⎟⎠⎞
⎜⎝⎛
⎟⎠⎞
⎜⎝⎛ −+−
++⎟⎟
⎠
⎞⎜⎜⎝
⎛−+= −−++⎟
⎠⎞⎜
⎝⎛ − k
RqkqkRq
RkR
kru
kqkRq
Rs
Rs eeeqqq
kkeqq 11
00 11 φφφεθ
[ ] ( ) [ ]( )⎥⎦⎤
⎢⎣⎡ −−+−
++−= ++ 1exp
1exp 11
0kk
RRkR
kru
kkRR
s qqqqqk
kqqq φφεθ
270
Apéndice 2
Resultados de los ensayos
Difracción de rayos X • M5083A1 (clave IGME: 07037633) • M5083A2 (clave IGME: 07037634) • M5085A (clave IGME: 07037636) • M5094D (clave IGME: 07037647) • M5094C (clave IGME: 07037650) • M5098A1 (clave IGME: 07037658) • M5098A2 (clave IGME: 07037659) Fluorescencia de rayos X • M5083A1 (clave IGME: 600-33) • M5083A2 (clave IGME: 600-34) • M5085A (clave IGME: 600-36) • M5094D (clave IGME: 600-47) • M5094C (clave IGME: 600-50) • M5098A1 (clave IGME: 600-58) • M5098A2 (clave IGME: 600-59) Resistencia a compresión simple • M5083A1 • M5085A • M5094C • M5098A1 Fluencia triaxial • M5094D • M5098A2
Apéndice 2 Ensayos realizados
271
DRX M5083A1 (clave IGME: 07037633)
Apéndice 2 Ensayos realizados
272
DRX M5083A2 (clave IGME: 07037634)
Apéndice 2 Ensayos realizados
273
DRX M5085A (clave IGME: 07037636)
Apéndice 2 Ensayos realizados
274
DRX M5094D (clave IGME: 07037647)
Apéndice 2 Ensayos realizados
275
DRX M5094C (clave IGME: 07037650)
Apéndice 2 Ensayos realizados
276
DRX M5098A1 (clave IGME: 07037658)
Apéndice 2 Ensayos realizados
277
DRX M5098A2 (clave IGME: 07037659)
Apéndice 2 Ensayos realizados
278
Estimación semi cuantitativa de los análisis de DRX
Apéndice 2 Ensayos realizados
279
Continuación de la estimación semi cuantitativa de los
análisis de DRX
Apéndice 2 Ensayos realizados
280
Análisis de FRX
Apéndice 2 Ensayos realizados
281
Continuación de FRX
Apéndice 2 Ensayos realizados
282
Ensayo de compresión simple (M5083A1)
Ensayo de compresión simple (M 5083A1)
0
1
2
3
4
5
6
7
0 1 2 3 4 5 6
Deformación axial (%)
Tens
ión
axia
l (M
Pa)
Tensión de rotura: 6,10 MpaDeformación de rotura: 0,75%
Diámetro: 49,50 mmAltura: 102,9 mmDensidad: 2,44 gr/cm3
Parámetros del ensayo de compresión simple (M5083A1)
0
0,2
0,4
0,6
0,8
1
1,2
0 100 200 300 400 500 600
Tiempo (seg)
Fuer
za (T
n)
0,00
0,50
1,00
1,50
2,00
2,50
3,00
3,50
4,00
4,50
5,00D
efor
mac
ión
(%)
Fuerza (Tn) Deformación
Apéndice 2 Ensayos realizados
283
Ensayo de compresión simple (M5085A)
Ensayo de compresión simple (M5085A)
0
0,5
1
1,5
2
2,5
3
3,5
4
4,5
5
0 0,5 1 1,5 2 2,5 3 3,5 4 4,5 5
Deformación axial (%)
Tens
ión
axia
l (M
Pa)
Tensión de rotura: 4,70 MpaDeformación de rotura: 0,71%
Diámetro: 50,0 mmAltura: 100,1 mmDensidad: 2,47 gr/cm3
Parámetros del ensayo de compresión simple (Muestra 5085A)
0
0,2
0,4
0,6
0,8
1
0,00 200,00 400,00 600,00 800,00 1000,00 1200,00
Tiempo (seg)
Fuer
za (T
n)
0,00
0,50
1,00
1,50
2,00
2,50
3,00
3,50
4,00
4,50
5,00D
efor
mac
ión
(%)
Fuerza Deformación
Apéndice 2 Ensayos realizados
284
Ensayo de compresión simple (M5094C)
Ensayo de compresión simple (M 5094C)
0
1
2
3
4
5
6
0 0,5 1 1,5 2 2,5 3
Deformación axial (%)
Tens
ión
axia
l MP
a
Tensión de rotura: 5,23 MpaDeformación de rotura: 0,62%
Diámetro: 40,20 mmAltura: 80,9 mmDensidad: 2,52 gr/cm3
Parámetros del ensayo de compresión simple (Muestra 5094C)
0
1
2
3
4
5
6
7
8
0 100 200 300 400 500 600 700 800
Tiempo (seg)
Fuer
za (K
N)
0,00
0,50
1,00
1,50
2,00
2,50
3,00
3,50
4,00
4,50
5,00D
efor
mac
ion
(%)
Fuerza Def prim etapa Def segunda etapal
Apéndice 2 Ensayos realizados
285
Ensayo de compresión simple ()
Ensayo de compresión simple (M5098A1)
0
1
2
3
4
5
6
0 0,5 1 1,5 2 2,5 3
Deformación axial (%)
Tens
ión
axia
l (M
Pa)
Tensión de rotura: 5,05 MpaDeformación de rotura: 0,90%
Diámetro: 48,00 mmAltura: 100,7 mmDensidad: 2,45 gr/cm3
Parámetros del ensayo de compresión simple (M 5098A1)
0
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
0 100 200 300 400 500 600 700 800 900 1000
Tiempo (seg)
Fuer
za (K
N)
0,00
0,50
1,00
1,50
2,00
2,50
3,00
3,50
4,00
4,50
5,00D
efor
mac
ión
(%)
Fuerza Def primera etapa Def segunda etapa
Apéndice 2 Ensayos realizados
286
FLUENCIA TRIAXIAL (M5094D)
Deformación de las bandas extensométricas, Muestra 5094D etapa1: p=3,75 Mpa, q=0 Mpa; etapa2: p=3,75 MPa, q=4,125 Mpa; etapa3: p=2,87 MPa, q=3,55 MPa
-1,000
-0,800
-0,600
-0,400
-0,200
0,000
0,200
0,400
0,600
0,8000,0 1000,0 2000,0 3000,0 4000,0 5000,0 6000,0 7000,0 8000,0 9000,0
Tiempo total (minutos)
Def
orm
ació
n re
lativ
a a
la e
tapa
isót
ropa
(%)
Def vert exp tot % Def circ exp tot %
Muestra 5094D etapa1: p=3,75 Mpa, etapa2: p=3,75 MPa, q= 4,125 MPa, etapa3: p=2,87 MPa, q=3,55 MPa
0,00
4,00
8,00
12,00
0,0 1000,0 2000,0 3000,0 4000,0 5000,0 6000,0 7000,0 8000,0 9000,0
Tiempo total (minutos)
Fuer
za a
xial
sob
re la
mue
stra
(KN
)
0
5
10
15
20
25
30
35
40
Con
finam
ient
o (b
ar)
F/muestra (KN) Confinamiento (bar)
Apéndice 2 Ensayos realizados
287
Altura (mm): 80,5 Diametro (mm): 39,9 Peso (g) 249,2
Fecha Hora Tiempo Fuerza lvdt fijo Confina lvdt movil Etapa(minutos) (KN) (mm) (bar) (0,1 mm) Dato C1 Dato C2 Dato C3 Dato C4 (p;q)
% *100 % *100 % *100 % * 100 MPa31/07/2008 19:43 0,1 5 25,7 37,5 -22 10 9,8 -49,2 -67,8 (3,75;0)31/07/2008 19:44 0,2 11 26,1 10,6 -19,2 -14,8 -27,8 -42,8 -61,4 (3,75;4,125)31/07/2008 19:44 0,3 11 26,1 10,5 -19,2 -14,8 -27,8 -42,8 -61,4 (3,75;4,125)31/07/2008 19:44 0,7 11 26,1 10,5 -19,2 -14,8 -27,8 -42,8 -61,4 (3,75;4,125)31/07/2008 19:44 0,7 11 26,5 10,5 -19,2 -14,8 -27,8 -42,8 -61,4 (3,75;4,125)31/07/2008 19:44 0,8 13 26,5 10,1 -18,8 -17,2 -31 -42,4 -60,6 (3,75;4,125)31/07/2008 19:44 0,9 12 26,5 10,3 -18,4 -18,8 -32,6 -42 -60,2 (3,75;4,125)31/07/2008 19:44 1 12 26,5 10 -18,4 -20 -33,8 -42 -60,2 (3,75;4,125)31/07/2008 19:44 1,1 12 26,5 10 -18,4 -20,4 -34,6 -42 -60,2 (3,75;4,125)31/07/2008 19:45 1,2 12 26,5 10 -18,4 -20,4 -34,6 -42 -60,2 (3,75;4,125)31/07/2008 19:45 1,3 12 26,5 10 -18,4 -20,8 -35 -42 -60,2 (3,75;4,125)31/07/2008 19:45 1,4 12 26,5 10 -18,4 -20,8 -35 -42 -60,2 (3,75;4,125)31/07/2008 19:45 1,5 12 26,5 11 -18,4 -20,8 -35,4 -42 -60,2 (3,75;4,125)31/07/2008 19:45 1,6 12 26,5 11 -18 -21,2 -35,4 -42 -60,2 (3,75;4,125)31/07/2008 19:45 1,7 12 26,5 10,8 -18 -21,2 -35,4 -42 -60,2 (3,75;4,125)31/07/2008 19:45 1,8 12 26,5 10,9 -18 -21,2 -35,8 -42 -60,2 (3,75;4,125)31/07/2008 19:45 1,9 12 26,5 10,9 -18 -21,6 -35,8 -42 -60,2 (3,75;4,125)31/07/2008 19:45 2 12 26,5 10,9 -18 -21,6 -36,2 -42 -59,8 (3,75;4,125)31/07/2008 19:45 2,1 12 26,5 10,9 -18 -21,6 -36,2 -42 -59,8 (3,75;4,125)31/07/2008 19:46 2,2 12 26,5 11 -18 -21,6 -36,2 -42 -59,8 (3,75;4,125)31/07/2008 19:46 2,3 12 26,5 11 -18 -21,6 -36,2 -42 -59,8 (3,75;4,125)31/07/2008 19:46 2,4 12 26,5 11 -18 -21,6 -36,6 -42 -59,8 (3,75;4,125)31/07/2008 19:46 2,5 12 26,5 11 -18 -21,6 -36,6 -42 -59,8 (3,75;4,125)31/07/2008 19:46 2,6 12 26,5 10,8 -18 -22 -36,6 -42 -59,8 (3,75;4,125)31/07/2008 19:46 2,7 12 26,5 10,9 -18 -22 -36,6 -42 -59,8 (3,75;4,125)31/07/2008 19:46 2,8 12 26,5 10,9 -18 -22 -36,6 -42 -59,8 (3,75;4,125)31/07/2008 19:46 2,9 12 26,5 10,9 -18 -22 -37 -42 -59,8 (3,75;4,125)31/07/2008 19:46 3 12 26,5 10,9 -18 -22 -37 -42 -59,8 (3,75;4,125)31/07/2008 19:46 3,1 12 26,5 10,9 -18 -22 -37 -42 -59,8 (3,75;4,125)31/07/2008 19:47 3,2 12 26,5 10,9 -18 -22 -37 -42 -59,8 (3,75;4,125)31/07/2008 19:47 3,3 12 26,5 10,9 -18 -22 -37 -42 -59,8 (3,75;4,125)31/07/2008 19:47 3,4 12 26,5 10,9 -18 -22,4 -37 -42 -59,8 (3,75;4,125)31/07/2008 19:47 3,5 12 26,5 10,9 -18 -22,4 -37 -42 -59,8 (3,75;4,125)31/07/2008 19:47 3,6 12 26,5 10,9 -18 -22,4 -37,4 -42 -59,8 (3,75;4,125)31/07/2008 19:47 3,7 12 26,5 10,9 -18 -22,4 -37,4 -42 -59,8 (3,75;4,125)31/07/2008 19:47 3,8 12 26,5 10,9 -18 -22,4 -37,4 -42 -59,8 (3,75;4,125)31/07/2008 19:47 3,9 12 26,5 10,9 -18 -22,4 -37,4 -42 -59,8 (3,75;4,125)31/07/2008 19:47 4 12 26,5 10,9 -18 -22,4 -37,4 -42 -59,8 (3,75;4,125)31/07/2008 19:48 5 12 26,5 10,9 -18 -22,8 -37,8 -42,4 -59,8 (3,75;4,125)31/07/2008 19:49 6 12 26,5 10,9 -18 -22,8 -38,6 -42,4 -59,8 (3,75;4,125)31/07/2008 19:50 7 13 26,5 11 -17,6 -24,4 -40,2 -42,4 -59,4 (3,75;4,125)31/07/2008 19:51 8 13 26,5 11 -17,6 -24,8 -41,4 -42 -59,4 (3,75;4,125)31/07/2008 19:52 9 13 26,5 10,9 -17,6 -25,2 -42,2 -42 -59,4 (3,75;4,125)31/07/2008 19:53 10 13 26,5 10,9 -17,6 -25,2 -42,6 -41,6 -59,4 (3,75;4,125)31/07/2008 19:54 11 13 26,5 10,9 -17,2 -25,6 -43 -41,6 -59,4 (3,75;4,125)31/07/2008 19:55 12 13 26,5 10,8 -17,2 -25,6 -43,8 -41,2 -59,4 (3,75;4,125)31/07/2008 19:56 13 13 26,5 10,8 -17,2 -26 -44,2 -41,2 -59,4 (3,75;4,125)31/07/2008 19:57 14 13 26,5 10,8 -17,2 -26 -44,6 -40,8 -59,4 (3,75;4,125)31/07/2008 19:58 15 12 26,5 10,8 -17,2 -26 -44,6 -40,8 -59,4 (3,75;4,125)
MUESTRA: 5094D
Bandas vert Bandas horiz
Apéndice 2 Ensayos realizados
288
31/07/2008 20:13 30 12 26,5 10,6 -16,8 -26,8 -47,8 -39,6 -59 (3,75;4,125)31/07/2008 20:28 45 12 26,5 10,7 -16,8 -27,2 -49,4 -38,8 -59 (3,75;4,125)31/07/2008 20:43 60 12 26,5 10 -16,8 -27,2 -50,2 -38,4 -59 (3,75;4,125)31/07/2008 20:58 75 12 26,5 10,1 -16,8 -27,2 -51 -38 -59 (3,75;4,125)31/07/2008 21:13 90 12 26,5 10,1 -16,8 -27,6 -51,4 -37,6 -59 (3,75;4,125)31/07/2008 21:28 105 12 26,5 10,2 -16,4 -27,6 -52,2 -37,6 -59 (3,75;4,125)31/07/2008 21:43 120 12 26,5 10,3 -16,4 -27,6 -52,2 -37,2 -59 (3,75;4,125)31/07/2008 21:58 135 12 26,5 10,7 -16,4 -27,6 -53 -37,2 -59 (3,75;4,125)31/07/2008 22:13 150 13 26,5 10,1 -16,4 -28 -53,8 -36,8 -59 (3,75;4,125)31/07/2008 22:28 165 12 26,5 10,3 -16,4 -28 -54,2 -36,4 -59 (3,75;4,125)31/07/2008 22:43 180 12 26,5 10,6 -16,4 -28 -54,6 -36 -59 (3,75;4,125)31/07/2008 22:58 195 12 26,5 10,1 -16,4 -28 -54,6 -35,6 -58,6 (3,75;4,125)31/07/2008 23:13 210 12 26,5 10,4 -16,4 -28 -55 -35,6 -58,6 (3,75;4,125)31/07/2008 23:28 225 12 26,5 10 -16,4 -28 -55 -35,6 -58,6 (3,75;4,125)31/07/2008 23:43 240 12 26,5 10,4 -16 -28,4 -55,4 -35,2 -58,2 (3,75;4,125)31/07/2008 23:58 255 12 26,5 10 -16,4 -28,4 -55,8 -35,2 -58,6 (3,75;4,125)01/08/2008 0:13 270 12 26,5 10,4 -16,4 -28 -55,8 -35,2 -58,6 (3,75;4,125)01/08/2008 0:28 285 12 26,5 10,1 -16 -28 -55,8 -34,8 -58,6 (3,75;4,125)01/08/2008 0:43 300 12 26,5 10,4 -16 -28 -55,8 -34,8 -58,6 (3,75;4,125)01/08/2008 0:58 315 12 26,5 10,1 -16 -28 -56,2 -34,8 -58,2 (3,75;4,125)01/08/2008 1:13 330 12 26,5 10,5 -16 -28 -56,2 -34,8 -58,2 (3,75;4,125)01/08/2008 1:28 345 12 26,5 10,2 -16 -28 -56,6 -34,4 -58,2 (3,75;4,125)01/08/2008 1:43 360 12 26,5 10,4 -16 -28 -56,6 -34,4 -58,2 (3,75;4,125)01/08/2008 1:58 375 12 26,5 10,1 -16 -28 -57 -34 -58,2 (3,75;4,125)01/08/2008 2:13 390 12 26,5 10,6 -16 -28 -57 -34 -58,2 (3,75;4,125)01/08/2008 2:28 405 12 26,5 10,3 -16 -28 -57 -34 -58,2 (3,75;4,125)01/08/2008 2:43 420 12 26,5 10 -16 -28 -57 -33,6 -57,8 (3,75;4,125)01/08/2008 2:58 435 12 26,5 10,5 -16 -28 -57 -33,6 -57,8 (3,75;4,125)01/08/2008 3:13 450 12 26,5 10,2 -16 -28 -57 -33,6 -57,8 (3,75;4,125)01/08/2008 3:28 465 13 26,5 10,1 -16 -28,4 -57,8 -33,6 -57,8 (3,75;4,125)01/08/2008 3:43 480 13 26,5 10,6 -16 -28,4 -57,8 -33,2 -57,8 (3,75;4,125)01/08/2008 3:58 495 13 26,5 10,2 -16 -28,4 -57,8 -33,2 -57,8 (3,75;4,125)01/08/2008 4:13 510 13 26,5 10,7 -16 -28 -57,8 -32,8 -57,8 (3,75;4,125)01/08/2008 4:28 525 12 26,5 10,3 -16 -28 -57,8 -32,8 -57,4 (3,75;4,125)01/08/2008 4:43 540 12 26,5 10 -16 -28 -58,2 -32,8 -57,4 (3,75;4,125)01/08/2008 4:58 555 12 26,5 10,4 -16 -28 -57,8 -32,4 -57,4 (3,75;4,125)01/08/2008 5:13 570 12 26,5 10,5 -16 -28 -57,8 -32,4 -57,4 (3,75;4,125)01/08/2008 5:28 585 12 26,5 10,1 -16 -28 -58,2 -32,4 -57,4 (3,75;4,125)01/08/2008 5:43 600 12 26,5 10,5 -16 -28 -58,2 -32,4 -57,4 (3,75;4,125)01/08/2008 5:58 615 12 26,5 10,1 -16 -28 -58,2 -32,4 -57,4 (3,75;4,125)01/08/2008 6:13 630 12 26,5 10,6 -16 -28 -58,2 -32,4 -57,4 (3,75;4,125)01/08/2008 6:28 645 12 26,5 10,2 -16 -27,6 -58,2 -32 -57 (3,75;4,125)01/08/2008 6:43 660 12 26,5 10,6 -16 -27,6 -58,2 -32 -57 (3,75;4,125)01/08/2008 6:58 675 12 26,5 10,2 -16 -27,6 -58,2 -32 -57 (3,75;4,125)01/08/2008 7:13 690 12 26,5 10,5 -16 -27,6 -58,2 -32 -57,4 (3,75;4,125)01/08/2008 7:28 705 12 26,5 10,1 -16 -27,6 -58,2 -32 -55,8 (3,75;4,125)01/08/2008 7:43 720 12 26,5 10,5 -16 -27,6 -58,2 -32 -57 (3,75;4,125)01/08/2008 7:58 735 12 26,5 10,1 -16 -27,6 -58,2 -31,6 -57 (3,75;4,125)01/08/2008 8:13 750 12 26,5 10,4 -16 -27,6 -58,2 -31,6 -57,4 (3,75;4,125)01/08/2008 8:28 765 12 26,5 10,1 -16 -27,6 -58,2 -31,6 -56,6 (3,75;4,125)01/08/2008 8:43 780 12 26,5 10,3 -16 -27,6 -58,2 -31,6 -57 (3,75;4,125)01/08/2008 8:58 795 13 26,5 10 -16 -28 -59,4 -31,2 -57 (3,75;4,125)01/08/2008 9:13 810 13 26,5 10,3 -16 -28 -59,4 -31,6 -57,4 (3,75;4,125)01/08/2008 9:28 825 13 26,5 10,6 -15,6 -28 -59,4 -31,2 -56,6 (3,75;4,125)01/08/2008 9:33 830,1 13 26,5 10,1 -15,6 -28 -59,4 -31,2 -57 (3,75;4,125)01/08/2008 9:43 840 13 26,5 10 -16 -28 -59,4 -31,2 -56,6 (3,75;4,125)
Apéndice 2 Ensayos realizados
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01/08/2008 10:43 900 13 26,5 10,4 -15,6 -28 -59,8 -31,2 -57 (3,75;4,125)01/08/2008 11:43 960 13 26,5 10,6 -15,6 -28,4 -60,2 -31,2 -57 (3,75;4,125)01/08/2008 12:43 1020 12 26,5 10,8 -15,6 -28,4 -60,2 -31,2 -57,4 (3,75;4,125)01/08/2008 13:43 1080 12 26,5 10 -15,6 -28,8 -60,6 -30,8 -57,8 (3,75;4,125)01/08/2008 14:43 1140 12 26,5 10,3 -15,6 -29,2 -61 -31,2 -57,8 (3,75;4,125)01/08/2008 15:43 1200 12 26,5 10,3 -15,6 -29,2 -61,4 -31,2 -57,8 (3,75;4,125)01/08/2008 16:43 1260 13 26,9 10,1 -15,6 -29,6 -62,2 -30,8 -58,2 (3,75;4,125)01/08/2008 17:43 1320 12 26,5 10,6 -15,6 -30 -62,2 -31,2 -58,2 (3,75;4,125)01/08/2008 18:43 1380 12 26,9 10,7 -15,6 -30 -62,6 -31,2 -58,2 (3,75;4,125)01/08/2008 19:43 1440 12 26,9 10,1 -15,6 -30 -62,6 -31,2 -58,6 (3,75;4,125)01/08/2008 20:43 1500 12 26,9 10,1 -15,2 -30,4 -63,4 -30,8 -58,6 (3,75;4,125)01/08/2008 21:43 1560 12 26,9 10,5 -15,2 -30,4 -63,4 -30,8 -58,6 (3,75;4,125)01/08/2008 22:43 1620 12 26,9 10,3 -15,2 -30,4 -63,4 -30,4 -58,6 (3,75;4,125)01/08/2008 23:43 1680 13 26,9 10,6 -15,2 -30,4 -64,2 -30,4 -58,2 (3,75;4,125)02/08/2008 0:43 1740 13 26,9 10,4 -15,2 -30,4 -64,6 -30 -57,8 (3,75;4,125)02/08/2008 1:43 1800 12 26,9 10,6 -15,2 -30 -64,2 -29,6 -57,8 (3,75;4,125)02/08/2008 2:43 1860 12 26,9 10,1 -15,2 -30 -63,8 -29,2 -57,4 (3,75;4,125)02/08/2008 3:43 1920 12 26,9 10,7 -15,2 -29,6 -63,8 -29,2 -57,4 (3,75;4,125)02/08/2008 4:43 1980 12 26,9 10,1 -15,2 -29,6 -63,8 -28,8 -57,4 (3,75;4,125)02/08/2008 5:43 2040 13 26,9 10,5 -15,2 -29,6 -64,2 -28,8 -57 (3,75;4,125)02/08/2008 6:43 2100 12 26,9 10,5 -15,2 -29,6 -64,2 -28,4 -56,6 (3,75;4,125)02/08/2008 7:43 2160 12 26,9 10,4 -15,2 -29,2 -64,2 -28,4 -56,6 (3,75;4,125)02/08/2008 8:43 2220 13 26,9 10,5 -15,2 -29,2 -64,2 -28 -56,6 (3,75;4,125)02/08/2008 9:43 2280 13 26,9 10,6 -15,2 -29,2 -64,6 -28 -57 (3,75;4,125)02/08/2008 10:43 2340 13 26,9 10,1 -15,2 -29,6 -65 -28 -56,6 (3,75;4,125)02/08/2008 11:43 2400 13 26,9 10,3 -15,2 -30 -65 -28 -57 (3,75;4,125)02/08/2008 12:43 2460 12 26,9 10,1 -15,2 -30 -65 -28 -57,4 (3,75;4,125)02/08/2008 13:43 2520 12 26,9 10,3 -15,2 -30 -65 -28 -57,4 (3,75;4,125)02/08/2008 14:43 2580 12 26,9 10,2 -15,2 -30,4 -65,4 -28 -57,8 (3,75;4,125)02/08/2008 15:43 2640 12 26,9 10,1 -15,2 -30,4 -65,4 -28 -57,8 (3,75;4,125)02/08/2008 16:43 2700 12 26,9 10,6 -15,2 -30,8 -66,2 -28 -57,8 (3,75;4,125)02/08/2008 17:43 2760 12 26,9 10,3 -15,2 -30,8 -66,2 -27,6 -57,8 (3,75;4,125)02/08/2008 18:43 2820 12 26,9 10,3 -14,8 -30,8 -66,6 -27,6 -57,8 (3,75;4,125)02/08/2008 19:43 2880 13 26,9 10,4 -14,8 -31,6 -67 -27,6 -57,8 (3,75;4,125)02/08/2008 20:43 2940 13 26,9 10,1 -14,8 -31,6 -67,4 -27,6 -58,2 (3,75;4,125)02/08/2008 21:43 3000 12 26,9 10,2 -14,8 -31,2 -67 -27,6 -58,2 (3,75;4,125)02/08/2008 22:43 3060 12 26,9 10,7 -14,8 -31,2 -67 -27,6 -58,2 (3,75;4,125)02/08/2008 23:43 3120 12 26,9 10,1 -15,2 -31,2 -67 -27,6 -58,2 (3,75;4,125)03/08/2008 0:43 3180 12 26,9 10,5 -14,8 -31,6 -67,4 -27,2 -57,8 (3,75;4,125)03/08/2008 1:43 3240 12 26,9 10,5 -14,8 -31,2 -67,4 -27,2 -57,8 (3,75;4,125)03/08/2008 2:43 3300 12 26,9 10,4 -14,8 -31,2 -67,4 -26,8 -57,8 (3,75;4,125)03/08/2008 3:43 3360 12 26,9 10,4 -14,8 -30,8 -67,4 -26,8 -57,4 (3,75;4,125)03/08/2008 4:43 3420 12 26,9 10,3 -14,8 -30,8 -67,4 -26,4 -57,4 (3,75;4,125)03/08/2008 5:43 3480 12 26,9 10,4 -14,8 -30,8 -67,4 -26,4 -57,4 (3,75;4,125)03/08/2008 6:43 3540 13 26,9 10,6 -14,8 -30,8 -67,8 -26 -57 (3,75;4,125)03/08/2008 7:43 3600 13 26,9 10,6 -14,8 -30,8 -67,8 -26 -57,4 (3,75;4,125)03/08/2008 8:43 3660 12 26,9 10,5 -14,8 -30,4 -67,4 -26 -57 (3,75;4,125)03/08/2008 9:43 3720 12 26,9 10,6 -14,8 -30,4 -67 -26 -57 (3,75;4,125)03/08/2008 10:43 3780 12 26,9 10 -14,8 -30,4 -67,4 -26 -57 (3,75;4,125)03/08/2008 11:43 3840 12 26,9 10,4 -14,8 -30,8 -67,4 -26 -57 (3,75;4,125)03/08/2008 12:43 3900 13 26,9 10,7 -14,8 -31,2 -67,8 -26,4 -57,4 (3,75;4,125)03/08/2008 13:43 3960 13 26,9 10,7 -14,8 -31,2 -68,2 -26,4 -57,8 (3,75;4,125)03/08/2008 14:43 4020 12 26,9 10,1 -14,8 -31,2 -68,2 -26,4 -57,8 (3,75;4,125)03/08/2008 15:43 4080 12 26,9 10,6 -14,8 -31,2 -68,2 -26,4 -57,4 (3,75;4,125)03/08/2008 16:43 4140 12 26,9 10,1 -14,8 -31,2 -68,2 -26 -57,4 (3,75;4,125)03/08/2008 17:43 4200 12 26,9 10,4 -14,8 -31,2 -68,2 -26 -57,4 (3,75;4,125)
Apéndice 2 Ensayos realizados
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03/08/2008 18:43 4260 12 26,9 10,6 -14,8 -31,2 -68,2 -26 -57,4 (3,75;4,125)03/08/2008 19:43 4320 13 26,9 10,3 -14,8 -31,2 -68,6 -26 -57,4 (3,75;4,125)03/08/2008 20:43 4380 13 26,9 10,2 -14,8 -31,6 -68,6 -26 -57,4 (3,75;4,125)03/08/2008 21:43 4440 13 26,9 10,5 -14,8 -32 -69,4 -26 -57,8 (3,75;4,125)03/08/2008 22:43 4500 13 26,9 10,6 -14,8 -32,4 -69,4 -26 -57,8 (3,75;4,125)03/08/2008 23:43 4560 12 26,9 10,6 -14,8 -32 -69 -26 -58,2 (3,75;4,125)04/08/2008 0:43 4620 12 26,9 10,2 -14,8 -32 -69 -26 -58,2 (3,75;4,125)04/08/2008 1:43 4680 12 26,9 10,1 -14,8 -32 -69,4 -25,6 -57,8 (3,75;4,125)04/08/2008 2:43 4740 12 26,9 10,4 -14,8 -32 -69,4 -25,6 -57,8 (3,75;4,125)04/08/2008 3:43 4800 12 26,9 10,6 -14,8 -32 -69,4 -25,6 -57,8 (3,75;4,125)04/08/2008 4:43 4860 12 26,9 10,6 -14,8 -32 -69,4 -25,2 -57,4 (3,75;4,125)04/08/2008 5:43 4920 12 26,9 10,7 -14,8 -31,6 -69,4 -25,2 -57,4 (3,75;4,125)04/08/2008 6:43 4980 12 26,9 10,7 -14,8 -31,6 -69 -25,2 -57,4 (3,75;4,125)04/08/2008 7:43 5040 12 26,9 10,7 -14,8 -31,2 -69 -24,8 -57 (3,75;4,125)04/08/2008 8:43 5100 12 26,9 10,7 -14,8 -31,2 -69,4 -24,8 -57 (3,75;4,125)04/08/2008 9:43 5160 12 26,9 10,2 -14,8 -31,2 -69,4 -24,4 -57 (3,75;4,125)04/08/2008 10:43 5220 13 26,9 10 -14,8 -31,6 -69,8 -24,4 -57 (3,75;4,125)04/08/2008 11:43 5280 13 26,9 10,4 -14,8 -32 -69,8 -24,8 -57 (3,75;4,125)04/08/2008 12:43 5340 12 26,9 10,2 -14,8 -31,6 -69,4 -24,8 -57,4 (3,75;4,125)04/08/2008 13:43 5400 12 26,9 10,1 -14,8 -31,6 -69,4 -24,8 -57,4 (3,75;4,125)04/08/2008 14:43 5460 12 26,9 10 -14,8 -31,6 -69,4 -24,8 -57 (3,75;4,125)04/08/2008 15:43 5520 13 26,9 10,7 -14,8 -31,6 -69,8 -24,8 -57 (3,75;4,125)04/08/2008 16:43 5580 13 26,9 10,5 -14,8 -31,6 -69,8 -24,4 -57 (3,75;4,125)04/08/2008 17:43 5640 12 26,9 10,7 -14,8 -31,2 -69,4 -24,4 -57 (3,75;4,125)04/08/2008 18:43 5700 12 26,9 10,3 -14,8 -31,2 -69,4 -24 -56,6 (3,75;4,125)04/08/2008 19:43 5760 12 26,9 10,2 -14,8 -31,2 -69,4 -24 -57 (3,75;4,125)04/08/2008 20:43 5820 12 26,9 10,2 -14,8 -31,2 -69,8 -24,4 -57 (3,75;4,125)04/08/2008 21:43 5880 12 26,9 10,2 -14,8 -31,6 -69,8 -24,8 -57,4 (3,75;4,125)04/08/2008 22:43 5940 12 26,9 10,7 -14,8 -31,6 -69,8 -24,8 -57,4 (3,75;4,125)04/08/2008 23:43 6000 12 26,9 10,2 -14,4 -32 -70,2 -24,8 -57,8 (3,75;4,125)05/08/2008 0:43 6060 12 26,9 10,2 -14,8 -32 -70,2 -24,8 -57,8 (3,75;4,125)05/08/2008 1:43 6120 12 26,9 10,6 -14,8 -32 -70,2 -25,2 -57,8 (3,75;4,125)05/08/2008 2:43 6180 12 26,9 10,7 -14,4 -32 -70,6 -24,8 -57,8 (3,75;4,125)05/08/2008 3:43 6240 12 26,9 10,2 -14,4 -32 -70,6 -24,8 -57,4 (3,75;4,125)05/08/2008 4:43 6300 12 26,9 10,8 -14,4 -32 -70,2 -24,8 -57,4 (3,75;4,125)05/08/2008 5:43 6360 12 26,9 10,5 -14,4 -32 -70,2 -24,4 -57,4 (3,75;4,125)05/08/2008 6:43 6420 13 26,9 10,6 -14,4 -31,6 -70,6 -24,4 -57 (3,75;4,125)05/08/2008 7:43 6480 13 26,9 10,8 -14,4 -32 -70,6 -24 -57 (3,75;4,125)05/08/2008 8:43 6540 12 26,9 10,6 -14,8 -31,6 -70,2 -24 -57 (3,75;4,125)05/08/2008 9:43 6600 12 26,9 10,6 -14,4 -31,6 -70,2 -24,4 -57 (3,75;4,125)05/08/2008 10:43 6660 12 26,9 10 -14,4 -32 -70,6 -24 -57,4 (3,75;4,125)05/08/2008 11:43 6720 12 26,9 10 -14,4 -32 -70,6 -24,4 -57,4 (3,75;4,125)05/08/2008 12:43 6780 12 26,9 10 -14,4 -32,4 -71 -24,4 -57,4 (3,75;4,125)05/08/2008 13:43 6840 12 26,9 10,4 -14,4 -32,4 -71 -24,4 -57,4 (3,75;4,125)05/08/2008 14:43 6900 12 26,9 10,5 -14,4 -32 -71 -24,4 -57,4 (3,75;4,125)05/08/2008 15:43 6960 12 26,9 10,6 -14,4 -32 -71 -24,4 -57,4 (3,75;4,125)05/08/2008 16:43 7020 12 26,9 10 -14,4 -32 -71 -24 -57,4 (3,75;4,125)05/08/2008 17:43 7080 13 26,9 10,5 -14,4 -32,4 -71,4 -24,4 -57,4 (3,75;4,125)05/08/2008 18:43 7140 13 26,9 10,2 -14,4 -32,4 -71,4 -24 -57,4 (3,75;4,125)05/08/2008 19:43 7200 12 26,9 10,1 -14,4 -32,4 -71 -24,4 -57,4 (3,75;4,125)05/08/2008 20:43 7260 12 26,9 10,2 -14,4 -32,4 -71 -24,4 -57,4 (3,75;4,125)05/08/2008 21:43 7320 13 26,9 10,2 -14,4 -32,8 -71,8 -24,4 -57,8 (3,75;4,125)05/08/2008 22:43 7380 13 26,9 10,4 -14,4 -32,8 -72,2 -24,8 -57,8 (3,75;4,125)05/08/2008 23:43 7440 12 26,9 10,5 -14,4 -32,8 -71,8 -24,8 -58,2 (3,75;4,125)06/08/2008 0:43 7500 12 26,9 10,4 -14,4 -32,8 -71,8 -24,8 -57,8 (3,75;4,125)06/08/2008 1:43 7560 13 26,9 10,3 -14,4 -33,2 -72,2 -24,4 -57,8 (3,75;4,125)
Apéndice 2 Ensayos realizados
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06/08/2008 2:43 7620 12 26,9 10 -14,4 -32,8 -71,8 -24,4 -57,8 (3,75;4,125)06/08/2008 3:43 7680 12 26,9 10,7 -14,4 -32,4 -71,8 -24,4 -57,8 (3,75;4,125)06/08/2008 4:43 7740 13 26,9 10,1 -14,4 -32,8 -72,6 -24 -57,4 (3,75;4,125)06/08/2008 5:43 7800 13 26,9 10,3 -14,4 -32,8 -72,6 -23,6 -57 (3,75;4,125)06/08/2008 6:43 7860 13 26,9 10,4 -14,4 -32,8 -72,6 -23,6 -57 (3,75;4,125)06/08/2008 7:43 7920 13 26,9 10,5 -14,4 -32,4 -72,2 -23,2 -57 (3,75;4,125)06/08/2008 8:43 7980 12 26,9 10,5 -14,4 -32 -71,8 -23,2 -56,6 (3,75;4,125)06/08/2008 9:43 8040 12 26,9 10 -14,4 -32 -71,8 -23,2 -57 (3,75;4,125)06/08/2008 10:43 8100 12 26,9 10,6 -14,4 -32 -71,8 -23,6 -57 (3,75;4,125)06/08/2008 11:40 8156,9 12 26,9 10,5 -14,4 -32,4 -71,8 -23,6 -57 (3,75;4,125)06/08/2008 11:40 8156,9 12 26,9 10,5 -14,4 -32,4 -71,8 -23,6 -57 (3,75;4,125)06/08/2008 11:40 8157 12 26,9 10,5 -14,4 -32,4 -71,8 -23,6 -57 (3,75;4,125)06/08/2008 11:40 8157 12 26,9 10,5 -14,4 -32,4 -71,8 -23,6 -57 (3,75;4,125)06/08/2008 11:40 8157,1 12 26,9 10,5 -14,4 -32,4 -71,8 -23,6 -57 (3,75;4,125)06/08/2008 11:41 8157,2 12 26,9 10,5 -14,4 -32,4 -71,8 -23,6 -57 (3,75;4,125)06/08/2008 11:41 8157,3 12 26,9 10,5 -14,4 -32,4 -71,8 -23,6 -57 (3,75;4,125)06/08/2008 11:41 8157,4 12 26,9 10,4 -14,4 -32,4 -71,8 -23,6 -57 (3,75;4,125)06/08/2008 11:41 8157,5 12 26,9 10,4 -14,4 -32,4 -71,8 -23,6 -57 (2,87;3,55)06/08/2008 11:41 8157,6 12 26,5 10 -14,4 -32 -71,4 -23,2 -57 (2,87;3,55)06/08/2008 11:41 8157,7 10 26,9 5,3 -15,2 -27,6 -65,4 -21,2 -57,4 (2,87;3,55)06/08/2008 11:41 8157,8 10 26,5 5,4 -15,2 -27,6 -65,8 -17,6 -57 (2,87;3,55)06/08/2008 11:41 8157,9 10 26,9 5,5 -15,2 -27,6 -65,4 -14 -56,6 (2,87;3,55)06/08/2008 11:41 8158 10 26,9 5,7 -15,2 -27,6 -65,4 -10,4 -56,2 (2,87;3,55)06/08/2008 11:41 8158,1 10 26,5 5,2 -15,2 -27,6 -65,4 -7,6 -56,2 (2,87;3,55)06/08/2008 11:42 8158,2 10 26,5 5 -15,2 -27,6 -65,4 -6 -56,2 (2,87;3,55)06/08/2008 11:42 8158,3 10 26,5 5 -15,2 -27,6 -65 -5,2 -56,2 (2,87;3,55)06/08/2008 11:42 8158,4 10 26,5 5 -15,2 -27,6 -65 -4,4 -56,2 (2,87;3,55)06/08/2008 11:42 8158,5 10 26,5 5 -15,2 -28 -65 -4,4 -56,6 (2,87;3,55)06/08/2008 11:42 8158,6 10 26,5 5 -15,2 -28 -64,6 -4 -56,6 (2,87;3,55)06/08/2008 11:42 8158,7 10 26,5 5 -15,2 -28 -64,6 -4,4 -57 (2,87;3,55)06/08/2008 11:42 8158,8 10 26,5 5 -15,2 -28 -64,2 -4,4 -57 (2,87;3,55)06/08/2008 11:42 8158,9 10 26,5 5 -15,2 -28 -64,2 -4,4 -57 (2,87;3,55)06/08/2008 11:42 8159 10 26,5 5 -15,2 -28 -64,2 -4 -57 (2,87;3,55)06/08/2008 11:42 8159,1 10 26,5 5 -15,2 -28 -64,2 -4 -57,4 (2,87;3,55)06/08/2008 11:43 8159,2 10 26,5 5 -15,2 -28 -64,2 -4 -57 (2,87;3,55)06/08/2008 11:43 8159,3 10 26,5 5 -15,2 -28 -64,2 -4 -57 (2,87;3,55)06/08/2008 11:43 8159,4 10 26,5 5 -15,2 -28 -64,2 -4 -57,4 (2,87;3,55)06/08/2008 11:43 8159,5 10 26,5 5 -15,2 -28 -64,2 -4 -57,4 (2,87;3,55)06/08/2008 11:43 8159,6 10 26,5 5 -15,2 -28 -64,2 -3,6 -57,4 (2,87;3,55)06/08/2008 11:43 8159,7 10 26,5 5 -15,2 -28 -64,2 -3,6 -57,4 (2,87;3,55)06/08/2008 11:43 8159,8 10 26,5 5 -15,2 -28 -64,2 -4 -57,4 (2,87;3,55)06/08/2008 11:43 8159,9 10 26,5 5 -15,2 -28 -64,2 -4 -57,4 (2,87;3,55)06/08/2008 11:43 8160 10 26,5 5 -15,2 -28 -64,2 -4 -57,4 (2,87;3,55)06/08/2008 11:43 8160,1 10 26,5 5 -15,2 -28 -64,2 -4 -57,4 (2,87;3,55)06/08/2008 11:44 8160,2 10 26,5 5 -15,2 -28 -63,8 -4 -57,4 (2,87;3,55)06/08/2008 11:44 8160,3 10 26,5 5 -15,2 -28 -63,8 -4 -57,8 (2,87;3,55)06/08/2008 11:44 8160,4 10 26,5 5 -15,2 -28 -63,8 -4 -57,8 (2,87;3,55)06/08/2008 11:44 8160,5 10 26,9 5 -15,2 -28 -63,8 -4 -57,8 (2,87;3,55)06/08/2008 11:44 8160,6 10 26,5 5 -15,2 -28 -63,8 -4 -57,8 (2,87;3,55)06/08/2008 11:44 8160,7 10 26,5 5 -15,2 -28,4 -64,2 -4 -57,4 (2,87;3,55)06/08/2008 11:44 8160,8 10 26,9 5 -15,2 -28 -64,2 -4 -57,8 (2,87;3,55)06/08/2008 11:44 8160,9 10 26,5 5 -15,2 -28 -64,2 -4 -57,8 (2,87;3,55)06/08/2008 11:44 8161 10 26,5 5 -15,2 -28,4 -64,2 -4 -57,8 (2,87;3,55)06/08/2008 11:44 8161,1 10 26,5 5 -15,2 -28,4 -64,2 -4 -57,8 (2,87;3,55)06/08/2008 11:45 8161,2 10 26,5 5 -15,2 -28,4 -64,2 -4 -57,8 (2,87;3,55)06/08/2008 11:45 8161,3 10 26,5 5 -15,2 -28,4 -64,2 -3,6 -57,8 (2,87;3,55)
Apéndice 2 Ensayos realizados
292
06/08/2008 11:45 8161,4 10 26,5 5 -15,2 -28,4 -64,2 -3,6 -57,8 (2,87;3,55)06/08/2008 11:45 8161,5 10 26,5 5 -15,2 -28,4 -64,2 -3,6 -57,8 (2,87;3,55)06/08/2008 11:45 8161,6 10 26,5 5 -15,2 -28,4 -64,2 -3,6 -57,8 (2,87;3,55)06/08/2008 11:45 8161,7 10 26,5 5 -15,2 -28,4 -64,2 -3,6 -57,8 (2,87;3,55)06/08/2008 11:45 8161,8 10 26,5 5 -15,2 -28,4 -64,2 -3,6 -57,8 (2,87;3,55)06/08/2008 11:45 8161,9 10 26,5 5 -15,2 -28,4 -64,2 -3,6 -57,8 (2,87;3,55)06/08/2008 11:45 8162 10 26,5 5 -15,2 -28,4 -64,2 -3,6 -57,8 (2,87;3,55)06/08/2008 11:45 8162,1 10 26,5 5 -15,2 -28,4 -64,2 -3,6 -57,8 (2,87;3,55)06/08/2008 11:46 8162,2 10 26,5 5 -15,2 -28,4 -64,2 -3,2 -57,8 (2,87;3,55)06/08/2008 11:46 8162,3 10 26,5 5 -15,2 -28,4 -64,2 -3,2 -57,8 (2,87;3,55)06/08/2008 11:46 8162,4 10 26,5 5 -15,2 -28,4 -64,2 -3,2 -57,8 (2,87;3,55)06/08/2008 11:46 8162,5 10 26,5 5 -15,2 -28,4 -64,2 -3,2 -57,8 (2,87;3,55)06/08/2008 11:46 8162,6 10 26,5 5 -15,2 -28,4 -64,2 -3,2 -57,8 (2,87;3,55)06/08/2008 11:46 8162,7 10 26,5 5 -15,2 -28,4 -64,2 -3,2 -57,8 (2,87;3,55)06/08/2008 11:46 8162,8 10 26,5 5 -15,2 -28,4 -64,2 -3,2 -57,8 (2,87;3,55)06/08/2008 11:46 8162,9 10 26,5 5 -15,2 -28,4 -64,2 -3,2 -57,8 (2,87;3,55)06/08/2008 11:46 8163 10 26,5 5 -15,2 -28,4 -64,2 -3,2 -57,8 (2,87;3,55)06/08/2008 11:46 8163,1 10 26,5 5 -15,2 -28,4 -64,2 -3,2 -57,8 (2,87;3,55)06/08/2008 11:47 8163,2 10 26,5 5 -15,2 -28,4 -64,2 -3,2 -57,8 (2,87;3,55)06/08/2008 11:47 8163,3 10 26,5 5 -15,2 -28,4 -64,2 -3,2 -57,8 (2,87;3,55)06/08/2008 11:47 8163,4 10 26,5 5 -15,2 -28,4 -64,2 -3,2 -57,8 (2,87;3,55)06/08/2008 11:47 8163,5 10 26,5 5 -15,2 -28,4 -64,2 -2,8 -57,8 (2,87;3,55)06/08/2008 11:47 8163,6 10 26,5 5 -15,2 -28,4 -64,2 -2,8 -57,8 (2,87;3,55)06/08/2008 11:47 8163,7 10 26,5 5 -15,2 -28,4 -64,2 -2,8 -57,8 (2,87;3,55)06/08/2008 11:47 8163,8 10 26,5 5 -15,2 -28,4 -64,2 -2,8 -57,8 (2,87;3,55)06/08/2008 11:47 8163,9 10 26,5 5 -15,2 -28,4 -64,2 -2,8 -57,8 (2,87;3,55)06/08/2008 11:47 8164 10 26,5 5 -15,2 -28,4 -64,2 -2,8 -57,8 (2,87;3,55)06/08/2008 11:47 8164,1 10 26,5 5 -15,2 -28,4 -64,2 -2,8 -57,8 (2,87;3,55)06/08/2008 11:48 8164,2 10 26,5 5 -15,2 -28,4 -64,2 -2,8 -57,8 (2,87;3,55)06/08/2008 11:48 8164,3 10 26,5 5 -15,2 -28,4 -64,2 -2,8 -57,8 (2,87;3,55)06/08/2008 11:48 8164,4 10 26,5 5 -15,2 -28,4 -64,2 -2,8 -57,8 (2,87;3,55)06/08/2008 11:48 8164,5 10 26,5 5 -15,2 -28,4 -64,2 -2,8 -57,8 (2,87;3,55)06/08/2008 11:48 8164,6 10 26,5 5 -15,2 -28,4 -64,2 -2,8 -57,8 (2,87;3,55)06/08/2008 11:48 8164,7 10 26,5 5 -15,2 -28,4 -64,6 -2,8 -57,8 (2,87;3,55)06/08/2008 11:48 8164,8 10 26,5 5 -15,2 -28,4 -64,6 -2,8 -57,8 (2,87;3,55)06/08/2008 11:48 8164,9 10 26,5 5 -15,2 -28,4 -64,6 -2,8 -57,8 (2,87;3,55)06/08/2008 11:48 8165 10 26,5 5 -15,2 -28,4 -64,6 -2,4 -57,8 (2,87;3,55)06/08/2008 11:48 8165,1 10 26,5 5 -15,2 -28,4 -64,6 -2,4 -57,8 (2,87;3,55)06/08/2008 11:49 8165,2 10 26,5 5 -15,2 -28,4 -64,6 -2,4 -57,8 (2,87;3,55)06/08/2008 11:49 8165,3 10 26,5 5 -15,2 -28,4 -64,6 -2,4 -57,8 (2,87;3,55)06/08/2008 11:49 8165,4 10 26,5 5 -15,2 -28,4 -64,6 -2,4 -57,8 (2,87;3,55)06/08/2008 11:49 8165,5 10 26,5 5 -15,2 -28,4 -64,6 -2,4 -57,8 (2,87;3,55)06/08/2008 11:49 8165,6 10 26,5 5 -15,2 -28,4 -64,6 -2,4 -57,8 (2,87;3,55)06/08/2008 11:49 8165,7 10 26,5 5 -15,2 -28,4 -64,6 -2,4 -57,8 (2,87;3,55)06/08/2008 11:49 8165,8 10 26,5 5 -15,2 -28,4 -64,6 -2,4 -57,8 (2,87;3,55)06/08/2008 11:49 8165,9 10 26,5 5 -15,2 -28,4 -64,6 -2,4 -57,8 (2,87;3,55)06/08/2008 11:49 8166 10 26,5 5 -15,2 -28,4 -64,6 -2,4 -57,8 (2,87;3,55)06/08/2008 11:49 8166,1 10 26,5 5 -15,2 -28,4 -64,6 -2,4 -57,8 (2,87;3,55)06/08/2008 11:50 8166,2 10 26,5 5 -15,2 -28,4 -64,6 -2,4 -57,8 (2,87;3,55)06/08/2008 11:50 8166,3 10 26,5 5 -15,2 -28,4 -64,6 -2,4 -57,8 (2,87;3,55)06/08/2008 11:50 8166,5 10 26,9 5 -15,2 -28,4 -64,6 -2,4 -57,8 (2,87;3,55)06/08/2008 11:53 8169,6 10 26,9 5 -14,8 -29,6 -66,6 8,4 -59,4 (2,87;3,55)06/08/2008 11:53 8170 10 48,1 5 -14,8 -29,6 -67 13,2 -59,4 (2,87;3,55)06/08/2008 11:58 8175 10 51,3 5 32,4 -3,5 -80,4 20,1 47,2 (2,87;3,55)
Apéndice 2 Ensayos realizados
293
FLUENCIA TRIAXIAL (M5098A2)
Deformación de las bandas extensométricas, Muestra 5098A2 etapa1: p=3,75 Mpa; etapa2: p=3,75 MPa, q=4,125 Mpa; etapa3: p=3,31 MPa, q=3,84 MPa
-1,000
-0,800
-0,600
-0,400
-0,200
0,000
0,200
0,400
0,600
0,8000,0 1000,0 2000,0 3000,0 4000,0 5000,0 6000,0 7000,0 8000,0
Tiempo total (minutos)
Def
orm
ació
n (%
)
Def vert exp tot % Def circ exp tot %
Muestra 5098A2 etapa1: p=3,75 Mpa, etapa2: p=3,75 MPa, q= 4,125 MPa, etapa3: p=3,31 MPa, q=3,84 MPa
0,00
4,00
8,00
12,00
0,0 1000,0 2000,0 3000,0 4000,0 5000,0 6000,0 7000,0 8000,0
Tiempo total (minutos)
Fuer
za a
xial
sob
re la
mue
stra
(KN
)
0
5
10
15
20
25
30
35
40
Con
finam
ient
o (b
ar)
F/muestra (KN) Confinamiento (bar)
Apéndice 2 Ensayos realizados
294
Altura (mm): 77,2 Diametro (mm): 38,3 Peso (g) 222,2
Fecha Hora Tiempo Fuerza lvdt fijo Conf lvdt movil Etapa(minutos) (KN) (mm) (bar) (0,1 mm) Dato C1 Dato C2 Dato C3 Dato C4 (p;q)
% *100 % *100 % *100 % * 100 MPa08/08/2008 12:05 32 4 25,7 38 -10,2 20,8 14,3 -46,0 -59,8 (3,75;0)08/08/2008 12:05 32,4 11 26 10,7 -7,3 8 -14,7 -36,6 -60,1 (3,75;4,125)08/08/2008 12:06 33 11 26,1 10,6 -6,8 5,9 -19,3 -34,6 -60,1 (3,75;4,125)08/08/2008 12:07 34 11 26,1 10,9 -6,6 4,9 -21,4 -33,9 -60,1 (3,75;4,125)08/08/2008 12:08 35 12 26,1 10,9 -6,4 4 -23 -33,3 -60 (3,75;4,125)08/08/2008 12:09 36 11 26,2 10,8 -6,3 3,3 -24,7 -32,7 -59,9 (3,75;4,125)08/08/2008 12:10 37 11 26,2 11 -6,2 2,8 -25,6 -32,4 -59,9 (3,75;4,125)08/08/2008 12:11 38 11 26,2 10,7 -6,1 2,4 -26,4 -32,1 -59,8 (3,75;4,125)08/08/2008 12:12 39 11 26,2 10,8 -6,1 2,2 -26,9 -31,9 -59,8 (3,75;4,125)08/08/2008 12:13 40 11 26,2 10,9 -6,1 2 -27,3 -31,8 -59,8 (3,75;4,125)08/08/2008 12:14 41 11 26,2 10,9 -6 1,8 -27,6 -31,7 -59,8 (3,75;4,125)08/08/2008 12:15 42 11 26,2 11 -6 1,7 -27,9 -31,6 -59,8 (3,75;4,125)08/08/2008 12:16 43 11 26,2 11 -6 1,5 -28,1 -31,5 -59,8 (3,75;4,125)08/08/2008 12:17 44 11 26,2 10,6 -5,9 1,4 -28,4 -31,4 -59,8 (3,75;4,125)08/08/2008 12:18 45 11 26,2 10,6 -5,9 1,3 -28,7 -31,3 -59,8 (3,75;4,125)08/08/2008 12:33 60 11 26,2 10,3 -5,7 0,2 -30,9 -30,6 -59,7 (3,75;4,125)08/08/2008 12:48 75 12 26,2 10,3 -5,5 -1,2 -33,9 -29,7 -59,2 (3,75;4,125)08/08/2008 13:03 90 12 26,2 10,3 -5,3 -1,9 -35,5 -29,2 -59 (3,75;4,125)08/08/2008 13:18 105 12 26,3 10,3 -5,3 -2,3 -36,4 -28,9 -58,9 (3,75;4,125)08/08/2008 13:33 120 12 26,3 10,1 -5,2 -2,5 -37 -28,7 -58,8 (3,75;4,125)08/08/2008 13:48 135 11 26,3 10,2 -5,2 -2,7 -37,5 -28,6 -58,8 (3,75;4,125)08/08/2008 14:03 150 11 26,3 10,3 -5,2 -2,9 -37,8 -28,5 -58,8 (3,75;4,125)08/08/2008 14:18 165 11 26,3 10,2 -5,1 -3,1 -38,1 -28,4 -58,8 (3,75;4,125)08/08/2008 14:33 180 11 26,3 10,2 -5,1 -3,2 -38,5 -28,3 -58,8 (3,75;4,125)08/08/2008 14:48 195 11 26,3 10,1 -5,1 -3,2 -38,6 -28,2 -58,8 (3,75;4,125)08/08/2008 15:03 210 11 26,3 10,3 -5,1 -3,3 -38,7 -28,2 -58,8 (3,75;4,125)08/08/2008 15:18 225 11 26,3 10,4 -5 -3,5 -39,1 -28,1 -58,8 (3,75;4,125)08/08/2008 15:33 240 11 26,3 10,2 -5 -3,6 -39,3 -28,1 -58,8 (3,75;4,125)08/08/2008 15:48 255 11 26,3 10,4 -5 -3,7 -39,5 -28,0 -58,8 (3,75;4,125)08/08/2008 16:03 270 11 26,3 10,4 -5 -3,8 -39,6 -28,0 -58,8 (3,75;4,125)08/08/2008 16:18 285 11 26,3 10,1 -5 -3,8 -39,7 -27,9 -58,7 (3,75;4,125)08/08/2008 16:33 300 11 26,3 10,4 -5 -3,9 -40,1 -27,8 -58,7 (3,75;4,125)08/08/2008 16:48 315 11 26,3 10,3 -5 -4 -40,2 -27,8 -58,7 (3,75;4,125)08/08/2008 17:03 330 11 26,3 10,2 -5 -4 -40,2 -27,8 -58,7 (3,75;4,125)08/08/2008 17:18 345 11 26,3 10,2 -5 -4 -40,3 -27,8 -58,7 (3,75;4,125)08/08/2008 17:33 360 11 26,3 10,1 -4,9 -4,3 -40,7 -27,7 -58,7 (3,75;4,125)08/08/2008 17:48 375 11 26,3 10,2 -4,9 -4,3 -40,8 -27,7 -58,7 (3,75;4,125)08/08/2008 18:03 390 11 26,3 10,1 -4,9 -4,4 -40,9 -27,6 -58,7 (3,75;4,125)08/08/2008 18:18 405 11 26,3 10,4 -4,9 -4,5 -41,1 -27,6 -58,6 (3,75;4,125)08/08/2008 18:33 420 11 26,3 10,1 -4,9 -4,5 -41,2 -27,5 -58,6 (3,75;4,125)08/08/2008 18:48 435 11 26,3 10,4 -4,9 -4,5 -41,2 -27,5 -58,7 (3,75;4,125)08/08/2008 19:03 450 11 26,3 10,5 -4,9 -4,5 -41,3 -27,5 -58,6 (3,75;4,125)08/08/2008 19:18 465 11 26,3 10,4 -4,9 -4,5 -41,3 -27,5 -58,7 (3,75;4,125)08/08/2008 19:33 480 11 26,3 10,3 -4,8 -4,7 -41,6 -27,4 -58,6 (3,75;4,125)08/08/2008 19:48 495 11 26,3 10,4 -4,8 -4,7 -41,7 -27,4 -58,6 (3,75;4,125)08/08/2008 20:03 510 12 26,3 10 -4,8 -5 -42,2 -27,3 -58,5 (3,75;4,125)08/08/2008 20:18 525 12 26,3 10,3 -4,8 -5,1 -42,5 -27,2 -58,4 (3,75;4,125)08/08/2008 20:33 540 12 26,3 10,3 -4,7 -5,2 -42,7 -27,1 -58,4 (3,75;4,125)08/08/2008 20:48 555 12 26,3 10,1 -4,7 -5,3 -42,9 -27,1 -58,3 (3,75;4,125)
MUESTRA: 5098A2
Bandas vert Bandas horiz
Apéndice 2 Ensayos realizados
295
08/08/2008 21:03 570 12 26,3 10,3 -4,7 -5,3 -43 -27,1 -58,2 (3,75;4,125)08/08/2008 21:18 585 12 26,3 10,2 -4,7 -5,4 -43,1 -27,0 -58,2 (3,75;4,125)08/08/2008 21:33 600 12 26,3 10,4 -4,7 -5,4 -43,2 -27,0 -58,2 (3,75;4,125)08/08/2008 21:48 615 12 26,3 10,1 -4,7 -5,5 -43,3 -27,0 -58,2 (3,75;4,125)08/08/2008 22:03 630 11 26,3 10,4 -4,7 -5,5 -43,4 -26,9 -58,1 (3,75;4,125)08/08/2008 22:18 645 11 26,3 10 -4,7 -5,5 -43,5 -26,9 -58,1 (3,75;4,125)08/08/2008 22:33 660 11 26,3 10,4 -4,7 -5,5 -43,5 -26,9 -58,1 (3,75;4,125)08/08/2008 22:48 675 11 26,3 10,2 -4,7 -5,5 -43,5 -26,9 -58,1 (3,75;4,125)08/08/2008 23:03 690 11 26,3 10,1 -4,7 -5,5 -43,5 -26,9 -58,1 (3,75;4,125)08/08/2008 23:18 705 11 26,3 10,2 -4,7 -5,5 -43,5 -26,9 -58,1 (3,75;4,125)08/08/2008 23:33 720 11 26,3 10,3 -4,7 -5,5 -43,5 -26,8 -58,1 (3,75;4,125)08/08/2008 23:48 735 12 26,3 10,1 -4,6 -5,7 -43,9 -26,8 -58 (3,75;4,125)09/08/2008 0:03 750 12 26,3 10,1 -4,6 -5,7 -44 -26,7 -57,9 (3,75;4,125)09/08/2008 0:18 765 12 26,3 10,2 -4,6 -5,7 -44 -26,7 -57,9 (3,75;4,125)09/08/2008 0:33 780 12 26,3 10,3 -4,6 -5,7 -44,1 -26,7 -57,9 (3,75;4,125)09/08/2008 0:48 795 12 26,3 10,5 -4,6 -5,7 -44,1 -26,7 -57,9 (3,75;4,125)09/08/2008 1:03 810 12 26,3 10,3 -4,6 -5,7 -44,1 -26,7 -57,8 (3,75;4,125)09/08/2008 1:18 825 11 26,3 10,3 -4,6 -5,7 -44,2 -26,6 -57,8 (3,75;4,125)09/08/2008 1:33 840 11 26,3 10,2 -4,6 -5,7 -44,2 -26,6 -57,8 (3,75;4,125)09/08/2008 1:48 855 11 26,3 10 -4,6 -5,7 -44,2 -26,6 -57,7 (3,75;4,125)09/08/2008 2:03 870 11 26,3 10 -4,6 -5,7 -44,3 -26,6 -57,7 (3,75;4,125)09/08/2008 2:18 885 11 26,3 10,4 -4,6 -5,7 -44,3 -26,6 -57,7 (3,75;4,125)09/08/2008 2:33 900 11 26,3 10 -4,6 -5,7 -44,3 -26,5 -57,6 (3,75;4,125)09/08/2008 2:48 915 11 26,3 10,3 -4,6 -5,7 -44,3 -26,5 -57,6 (3,75;4,125)09/08/2008 3:03 930 11 26,3 10,2 -4,6 -5,7 -44,4 -26,5 -57,6 (3,75;4,125)09/08/2008 3:18 945 11 26,3 10,3 -4,6 -5,7 -44,4 -26,5 -57,6 (3,75;4,125)09/08/2008 3:33 960 11 26,3 10 -4,6 -5,7 -44,4 -26,5 -57,5 (3,75;4,125)09/08/2008 3:48 975 11 26,3 10,1 -4,6 -5,7 -44,4 -26,5 -57,5 (3,75;4,125)09/08/2008 4:03 990 11 26,3 10,2 -4,6 -5,7 -44,5 -26,5 -57,5 (3,75;4,125)09/08/2008 4:18 1005 11 26,3 10 -4,6 -5,7 -44,5 -26,4 -57,5 (3,75;4,125)09/08/2008 4:33 1020 11 26,3 10,2 -4,6 -5,7 -44,5 -26,4 -57,4 (3,75;4,125)09/08/2008 4:48 1035 11 26,3 10,2 -4,6 -5,7 -44,5 -26,4 -57,4 (3,75;4,125)09/08/2008 5:03 1050 11 26,3 10 -4,6 -5,7 -44,5 -26,4 -57,4 (3,75;4,125)09/08/2008 5:18 1065 12 26,3 10,1 -4,6 -5,9 -44,9 -26,3 -57,3 (3,75;4,125)09/08/2008 5:33 1080 12 26,3 10,2 -4,5 -5,9 -45 -26,3 -57,2 (3,75;4,125)09/08/2008 5:48 1095 12 26,3 10,1 -4,5 -5,9 -45,1 -26,3 -57,2 (3,75;4,125)09/08/2008 6:03 1110 12 26,3 10,3 -4,5 -5,9 -45,2 -26,2 -57,2 (3,75;4,125)09/08/2008 6:18 1125 12 26,3 10,1 -4,5 -6 -45,2 -26,2 -57,1 (3,75;4,125)09/08/2008 6:33 1140 12 26,3 10,2 -4,5 -6 -45,2 -26,2 -57,1 (3,75;4,125)09/08/2008 6:48 1155 12 26,3 10,2 -4,5 -6 -45,3 -26,2 -57,1 (3,75;4,125)09/08/2008 7:03 1170 11 26,3 10,1 -4,5 -6,1 -45,4 -26,1 -57 (3,75;4,125)09/08/2008 7:18 1185 11 26,3 10,3 -4,5 -6 -45,4 -26,1 -57 (3,75;4,125)09/08/2008 7:33 1200 11 26,3 10 -4,5 -6 -45,4 -26,1 -57 (3,75;4,125)09/08/2008 7:48 1215 11 26,3 10,3 -4,5 -6 -45,4 -26,1 -57 (3,75;4,125)09/08/2008 8:03 1230 11 26,3 10,2 -4,5 -6 -45,4 -26,1 -57 (3,75;4,125)09/08/2008 8:18 1245 11 26,3 10 -4,5 -6 -45,4 -26,1 -56,9 (3,75;4,125)09/08/2008 8:33 1260 11 26,3 10,3 -4,5 -6 -45,4 -26,1 -56,9 (3,75;4,125)09/08/2008 8:48 1275 11 26,3 10,3 -4,5 -6 -45,4 -26,1 -56,9 (3,75;4,125)09/08/2008 9:03 1290 12 26,3 10 -4,5 -6,1 -45,6 -26,0 -56,8 (3,75;4,125)09/08/2008 9:18 1305 12 26,3 10,1 -4,5 -6,1 -45,6 -26,0 -56,8 (3,75;4,125)09/08/2008 9:33 1320 11 26,3 10,3 -4,5 -6,1 -45,6 -26,0 -56,8 (3,75;4,125)09/08/2008 9:48 1335 11 26,3 10,2 -4,5 -6,1 -45,6 -26,0 -56,8 (3,75;4,125)09/08/2008 10:03 1350 11 26,3 10,2 -4,5 -6,2 -45,7 -26,0 -56,8 (3,75;4,125)09/08/2008 10:18 1365 11 26,3 10,3 -4,5 -6,2 -45,7 -26,0 -56,8 (3,75;4,125)09/08/2008 10:33 1380 11 26,3 10,3 -4,5 -6,2 -45,7 -25,9 -56,8 (3,75;4,125)09/08/2008 10:48 1395 11 26,3 10,3 -4,5 -6,3 -45,9 -25,9 -56,8 (3,75;4,125)
Apéndice 2 Ensayos realizados
296
09/08/2008 11:03 1410 11 26,3 10 -4,5 -6,3 -45,9 -25,9 -56,8 (3,75;4,125)09/08/2008 11:18 1425 11 26,3 10 -4,5 -6,3 -46 -25,9 -56,8 (3,75;4,125)09/08/2008 11:33 1440 11 26,3 10,1 -4,5 -6,3 -46 -25,9 -56,9 (3,75;4,125)09/08/2008 11:48 1455 11 26,3 10,1 -4,4 -6,3 -46 -25,9 -56,9 (3,75;4,125)09/08/2008 12:03 1470 11 26,3 10,3 -4,5 -6,3 -46 -25,9 -56,9 (3,75;4,125)09/08/2008 12:18 1485 11 26,3 10 -4,5 -6,4 -46 -25,9 -56,9 (3,75;4,125)09/08/2008 12:33 1500 11 26,3 10,2 -4,4 -6,5 -46,2 -25,8 -56,9 (3,75;4,125)09/08/2008 12:48 1515 11 26,3 10,1 -4,4 -6,5 -46,2 -25,8 -56,9 (3,75;4,125)09/08/2008 13:03 1530 11 26,3 10,3 -4,4 -6,5 -46,3 -25,8 -56,9 (3,75;4,125)09/08/2008 13:18 1545 11 26,3 10,3 -4,4 -6,5 -46,3 -25,8 -56,9 (3,75;4,125)09/08/2008 13:33 1560 11 26,3 10,1 -4,4 -6,6 -46,3 -25,8 -57 (3,75;4,125)09/08/2008 13:48 1575 11 26,3 10,3 -4,4 -6,6 -46,3 -25,8 -57 (3,75;4,125)09/08/2008 14:03 1590 11 26,3 10,1 -4,4 -6,6 -46,4 -25,8 -57 (3,75;4,125)09/08/2008 14:18 1605 11 26,3 10 -4,4 -6,6 -46,4 -25,8 -57 (3,75;4,125)09/08/2008 14:33 1620 11 26,3 10 -4,4 -6,8 -46,6 -25,7 -57 (3,75;4,125)09/08/2008 14:48 1635 11 26,3 10,2 -4,4 -6,8 -46,7 -25,7 -57 (3,75;4,125)09/08/2008 15:03 1650 11 26,3 10 -4,4 -6,8 -46,7 -25,7 -57 (3,75;4,125)09/08/2008 15:18 1665 11 26,3 10 -4,4 -6,8 -46,7 -25,7 -57 (3,75;4,125)09/08/2008 15:33 1680 11 26,3 10,3 -4,4 -6,8 -46,7 -25,7 -57 (3,75;4,125)09/08/2008 15:48 1695 11 26,3 10,3 -4,4 -6,8 -46,7 -25,7 -57 (3,75;4,125)09/08/2008 16:03 1710 11 26,3 10,3 -4,4 -6,8 -46,7 -25,7 -57 (3,75;4,125)09/08/2008 16:18 1725 11 26,3 10,1 -4,4 -6,9 -46,8 -25,7 -57 (3,75;4,125)09/08/2008 16:33 1740 11 26,3 10,3 -4,4 -6,9 -46,9 -25,7 -57 (3,75;4,125)09/08/2008 16:48 1755 11 26,3 10,1 -4,4 -6,9 -46,9 -25,7 -57 (3,75;4,125)09/08/2008 17:03 1770 11 26,3 10,1 -4,4 -7 -46,9 -25,7 -57 (3,75;4,125)09/08/2008 17:18 1785 11 26,3 10,1 -4,4 -7 -46,9 -25,7 -57 (3,75;4,125)09/08/2008 17:33 1800 11 26,3 10,2 -4,4 -7 -46,9 -25,7 -57 (3,75;4,125)09/08/2008 17:48 1815 11 26,3 10,4 -4,4 -7 -46,9 -25,7 -57 (3,75;4,125)09/08/2008 18:03 1830 12 26,4 10,3 -4,3 -7,1 -47,3 -25,6 -57 (3,75;4,125)09/08/2008 18:18 1845 12 26,4 10,1 -4,3 -7,1 -47,3 -25,6 -56,9 (3,75;4,125)09/08/2008 18:33 1860 12 26,4 10,4 -4,3 -7,2 -47,4 -25,6 -56,9 (3,75;4,125)09/08/2008 18:48 1875 12 26,3 10 -4,3 -7,2 -47,4 -25,6 -56,9 (3,75;4,125)09/08/2008 19:03 1890 12 26,4 10 -4,3 -7,2 -47,4 -25,5 -56,9 (3,75;4,125)09/08/2008 19:18 1905 12 26,4 10,2 -4,3 -7,2 -47,5 -25,5 -56,9 (3,75;4,125)09/08/2008 19:33 1920 12 26,4 10,1 -4,3 -7,2 -47,5 -25,5 -56,9 (3,75;4,125)09/08/2008 19:48 1935 12 26,4 10,4 -4,3 -7,2 -47,5 -25,5 -56,9 (3,75;4,125)09/08/2008 20:03 1950 11 26,4 10 -4,3 -7,4 -47,7 -25,5 -56,9 (3,75;4,125)09/08/2008 20:18 1965 11 26,4 10 -4,3 -7,4 -47,7 -25,5 -56,9 (3,75;4,125)09/08/2008 20:33 1980 11 26,4 10,4 -4,3 -7,4 -47,7 -25,5 -56,9 (3,75;4,125)09/08/2008 20:48 1995 11 26,4 10,4 -4,3 -7,4 -47,7 -25,5 -56,9 (3,75;4,125)09/08/2008 21:03 2010 11 26,4 10,2 -4,3 -7,4 -47,7 -25,5 -57 (3,75;4,125)09/08/2008 21:18 2025 11 26,4 10,6 -4,3 -7,4 -47,7 -25,5 -56,9 (3,75;4,125)09/08/2008 21:33 2040 11 26,4 10 -4,3 -7,4 -47,7 -25,5 -56,9 (3,75;4,125)09/08/2008 21:48 2055 12 26,4 10,1 -4,3 -7,5 -47,9 -25,4 -56,9 (3,75;4,125)09/08/2008 22:03 2070 12 26,4 10,2 -4,3 -7,5 -48 -25,4 -56,9 (3,75;4,125)09/08/2008 22:18 2085 12 26,4 10,1 -4,3 -7,6 -48 -25,4 -56,8 (3,75;4,125)09/08/2008 22:33 2100 12 26,4 10,3 -4,3 -7,6 -48 -25,4 -56,8 (3,75;4,125)09/08/2008 22:48 2115 12 26,4 10,2 -4,3 -7,6 -48 -25,4 -56,8 (3,75;4,125)09/08/2008 23:03 2130 12 26,4 10,3 -4,3 -7,6 -48,1 -25,4 -56,8 (3,75;4,125)09/08/2008 23:18 2145 12 26,4 10,1 -4,3 -7,6 -48,1 -25,4 -56,8 (3,75;4,125)09/08/2008 23:33 2160 11 26,4 10,1 -4,3 -7,6 -48,2 -25,3 -56,8 (3,75;4,125)09/08/2008 23:48 2175 11 26,4 10,1 -4,3 -7,6 -48,2 -25,3 -56,7 (3,75;4,125)10/08/2008 0:03 2190 11 26,4 10 -4,2 -7,6 -48,2 -25,3 -56,7 (3,75;4,125)10/08/2008 0:18 2205 11 26,4 10,1 -4,3 -7,6 -48,2 -25,3 -56,7 (3,75;4,125)10/08/2008 0:33 2220 11 26,4 10 -4,3 -7,6 -48,2 -25,3 -56,7 (3,75;4,125)10/08/2008 0:48 2235 11 26,4 10,4 -4,2 -7,6 -48,2 -25,3 -56,7 (3,75;4,125)
Apéndice 2 Ensayos realizados
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10/08/2008 1:03 2250 11 26,4 10,1 -4,2 -7,6 -48,2 -25,3 -56,7 (3,75;4,125)10/08/2008 1:18 2265 11 26,4 10,1 -4,3 -7,6 -48,2 -25,3 -56,7 (3,75;4,125)10/08/2008 1:33 2280 12 26,4 10,2 -4,2 -7,7 -48,5 -25,2 -56,6 (3,75;4,125)10/08/2008 1:48 2295 12 26,4 10,1 -4,2 -7,7 -48,5 -25,2 -56,6 (3,75;4,125)10/08/2008 2:03 2310 12 26,4 10,1 -4,2 -7,7 -48,5 -25,2 -56,6 (3,75;4,125)10/08/2008 2:18 2325 12 26,4 10 -4,2 -7,7 -48,6 -25,2 -56,5 (3,75;4,125)10/08/2008 2:33 2340 12 26,4 10,2 -4,2 -7,7 -48,6 -25,2 -56,5 (3,75;4,125)10/08/2008 2:48 2355 12 26,4 10,2 -4,2 -7,7 -48,6 -25,2 -56,5 (3,75;4,125)10/08/2008 3:03 2370 12 26,4 10,1 -4,2 -7,7 -48,6 -25,2 -56,5 (3,75;4,125)10/08/2008 3:18 2385 11 26,4 10,1 -4,2 -7,7 -48,6 -25,1 -56,4 (3,75;4,125)10/08/2008 3:33 2400 11 26,4 10,6 -4,2 -7,7 -48,6 -25,1 -56,4 (3,75;4,125)10/08/2008 3:48 2415 11 26,4 10,1 -4,2 -7,7 -48,7 -25,1 -56,4 (3,75;4,125)10/08/2008 4:03 2430 11 26,4 10,4 -4,2 -7,7 -48,6 -25,1 -56,4 (3,75;4,125)10/08/2008 4:18 2445 11 26,4 10 -4,2 -7,7 -48,7 -25,1 -56,4 (3,75;4,125)10/08/2008 4:33 2460 11 26,4 10,2 -4,2 -7,7 -48,6 -25,1 -56,3 (3,75;4,125)10/08/2008 4:48 2475 11 26,4 10 -4,2 -7,7 -48,7 -25,1 -56,3 (3,75;4,125)10/08/2008 5:03 2490 12 26,4 10,3 -4,2 -7,7 -48,8 -25,1 -56,3 (3,75;4,125)10/08/2008 5:18 2505 12 26,4 10,1 -4,2 -7,7 -48,8 -25,1 -56,3 (3,75;4,125)10/08/2008 5:33 2520 12 26,4 10,1 -4,2 -7,7 -48,8 -25,0 -56,2 (3,75;4,125)10/08/2008 5:48 2535 12 26,4 10 -4,2 -7,7 -48,8 -25,0 -56,2 (3,75;4,125)10/08/2008 6:03 2550 12 26,4 10,1 -4,2 -7,7 -48,8 -25,0 -56,2 (3,75;4,125)10/08/2008 6:18 2565 12 26,4 10,1 -4,2 -7,7 -48,8 -25,0 -56,2 (3,75;4,125)10/08/2008 6:33 2580 12 26,4 10,2 -4,2 -7,7 -48,8 -25,0 -56,2 (3,75;4,125)10/08/2008 6:48 2595 12 26,4 10,1 -4,2 -7,7 -48,9 -25,0 -56,1 (3,75;4,125)10/08/2008 7:03 2610 12 26,4 10,1 -4,2 -7,7 -48,9 -25,0 -56,1 (3,75;4,125)10/08/2008 7:18 2625 12 26,4 10,1 -4,2 -7,7 -48,9 -25,0 -56,1 (3,75;4,125)10/08/2008 7:33 2640 11 26,4 10,2 -4,2 -7,7 -48,9 -25,0 -56,1 (3,75;4,125)10/08/2008 7:48 2655 11 26,4 10 -4,2 -7,7 -48,9 -25,0 -56,1 (3,75;4,125)10/08/2008 8:03 2670 11 26,4 10,3 -4,2 -7,7 -48,9 -25,0 -56,1 (3,75;4,125)10/08/2008 8:18 2685 11 26,4 10 -4,2 -7,7 -48,9 -25,0 -56 (3,75;4,125)10/08/2008 8:33 2700 11 26,4 10,3 -4,2 -7,7 -48,9 -25,0 -56 (3,75;4,125)10/08/2008 8:48 2715 11 26,4 10,1 -4,2 -7,7 -48,9 -24,9 -56 (3,75;4,125)10/08/2008 9:03 2730 11 26,4 10,1 -4,2 -7,7 -49 -24,9 -56 (3,75;4,125)10/08/2008 9:18 2745 11 26,4 10,2 -4,2 -7,7 -49 -24,9 -56 (3,75;4,125)10/08/2008 9:33 2760 11 26,4 10,1 -4,2 -7,7 -49 -24,9 -56 (3,75;4,125)10/08/2008 9:48 2775 11 26,4 10,1 -4,2 -7,7 -49 -24,9 -56 (3,75;4,125)10/08/2008 10:03 2790 11 26,4 10,2 -4,2 -7,7 -49 -24,9 -56 (3,75;4,125)10/08/2008 10:18 2805 11 26,4 10,1 -4,2 -7,7 -49 -24,9 -56 (3,75;4,125)10/08/2008 10:33 2820 12 26,4 10,3 -4,2 -7,8 -49,2 -24,9 -55,9 (3,75;4,125)10/08/2008 10:48 2835 12 26,4 10,1 -4,1 -7,9 -49,3 -24,8 -55,9 (3,75;4,125)10/08/2008 11:03 2850 12 26,4 10,1 -4,1 -7,9 -49,3 -24,8 -55,9 (3,75;4,125)10/08/2008 11:18 2865 12 26,4 10 -4,1 -7,9 -49,4 -24,8 -55,9 (3,75;4,125)10/08/2008 11:33 2880 12 26,4 10,1 -4,1 -8 -49,4 -24,8 -55,9 (3,75;4,125)10/08/2008 11:48 2895 12 26,4 10,1 -4,1 -8 -49,4 -24,8 -55,9 (3,75;4,125)10/08/2008 12:03 2910 12 26,4 10,2 -4,1 -8 -49,4 -24,8 -55,9 (3,75;4,125)10/08/2008 12:18 2925 12 26,4 10,3 -4,1 -8 -49,5 -24,8 -55,9 (3,75;4,125)10/08/2008 12:33 2940 11 26,4 10,2 -4,1 -8,1 -49,6 -24,8 -55,9 (3,75;4,125)10/08/2008 12:48 2955 11 26,4 10,3 -4,1 -8,1 -49,6 -24,8 -55,9 (3,75;4,125)10/08/2008 13:03 2970 11 26,4 10,4 -4,1 -8,1 -49,6 -24,7 -55,9 (3,75;4,125)10/08/2008 13:18 2985 11 26,4 10 -4,1 -8,1 -49,6 -24,7 -55,9 (3,75;4,125)10/08/2008 13:33 3000 11 26,4 10 -4,1 -8,1 -49,6 -24,7 -55,9 (3,75;4,125)10/08/2008 13:48 3015 11 26,4 10 -4,1 -8,1 -49,6 -24,7 -55,9 (3,75;4,125)10/08/2008 14:03 3030 11 26,4 10,3 -4,1 -8,1 -49,6 -24,7 -55,9 (3,75;4,125)10/08/2008 14:18 3045 12 26,4 10 -4,1 -8,2 -49,8 -24,7 -55,8 (3,75;4,125)10/08/2008 14:33 3060 12 26,4 10,1 -4,1 -8,2 -49,9 -24,7 -55,8 (3,75;4,125)10/08/2008 14:48 3075 12 26,4 10,4 -4,1 -8,2 -49,9 -24,7 -55,8 (3,75;4,125)
Apéndice 2 Ensayos realizados
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10/08/2008 15:03 3090 12 26,4 10,1 -4,1 -8,2 -49,9 -24,7 -55,8 (3,75;4,125)10/08/2008 15:18 3105 12 26,4 10,4 -4,1 -8,2 -49,9 -24,7 -55,8 (3,75;4,125)10/08/2008 15:33 3120 12 26,4 10,1 -4,1 -8,3 -49,9 -24,6 -55,8 (3,75;4,125)10/08/2008 15:48 3135 12 26,4 10,4 -4,1 -8,2 -49,9 -24,6 -55,8 (3,75;4,125)10/08/2008 16:03 3150 11 26,4 10 -4,1 -8,3 -50 -24,6 -55,8 (3,75;4,125)10/08/2008 16:18 3165 11 26,4 10,1 -4,1 -8,3 -50 -24,6 -55,8 (3,75;4,125)10/08/2008 16:33 3180 11 26,4 10,1 -4,1 -8,3 -50 -24,6 -55,8 (3,75;4,125)10/08/2008 16:48 3195 11 26,4 10,2 -4,1 -8,3 -50 -24,6 -55,8 (3,75;4,125)10/08/2008 17:03 3210 11 26,4 10,2 -4,1 -8,3 -50,1 -24,6 -55,8 (3,75;4,125)10/08/2008 17:18 3225 11 26,4 10,3 -4,1 -8,3 -50,1 -24,6 -55,8 (3,75;4,125)10/08/2008 17:33 3240 11 26,4 10,3 -4,1 -8,3 -50,1 -24,6 -55,8 (3,75;4,125)10/08/2008 17:48 3255 11 26,4 10 -4,1 -8,3 -50,1 -24,6 -55,8 (3,75;4,125)10/08/2008 18:03 3270 12 26,4 10,3 -4 -8,4 -50,3 -24,6 -55,7 (3,75;4,125)10/08/2008 18:18 3285 12 26,4 10,3 -4,1 -8,4 -50,4 -24,5 -55,7 (3,75;4,125)10/08/2008 18:33 3300 12 26,4 10,1 -4 -8,4 -50,4 -24,5 -55,7 (3,75;4,125)10/08/2008 18:48 3315 12 26,4 10,2 -4 -8,4 -50,4 -24,5 -55,8 (3,75;4,125)10/08/2008 19:03 3330 12 26,4 10,1 -4 -8,5 -50,4 -24,5 -55,7 (3,75;4,125)10/08/2008 19:18 3345 12 26,4 10,4 -4 -8,5 -50,5 -24,5 -55,7 (3,75;4,125)10/08/2008 19:33 3360 12 26,4 10 -4 -8,5 -50,5 -24,5 -55,7 (3,75;4,125)10/08/2008 19:48 3375 11 26,4 10 -4 -8,6 -50,5 -24,5 -55,7 (3,75;4,125)10/08/2008 20:03 3390 11 26,4 10,3 -4 -8,5 -50,6 -24,5 -55,7 (3,75;4,125)10/08/2008 20:18 3405 11 26,4 10,2 -4 -8,6 -50,6 -24,5 -55,7 (3,75;4,125)10/08/2008 20:33 3420 11 26,4 10,3 -4 -8,6 -50,6 -24,5 -55,7 (3,75;4,125)10/08/2008 20:48 3435 11 26,4 10,1 -4 -8,6 -50,6 -24,5 -55,7 (3,75;4,125)10/08/2008 21:03 3450 11 26,4 10,1 -4 -8,6 -50,6 -24,5 -55,7 (3,75;4,125)10/08/2008 21:18 3465 11 26,4 10,1 -4 -8,6 -50,6 -24,5 -55,7 (3,75;4,125)10/08/2008 21:33 3480 12 26,4 10,3 -4 -8,8 -50,9 -24,4 -55,7 (3,75;4,125)10/08/2008 21:48 3495 12 26,4 10,2 -4 -8,8 -50,9 -24,4 -55,7 (3,75;4,125)10/08/2008 22:03 3510 12 26,4 10 -4 -8,8 -51 -24,4 -55,7 (3,75;4,125)10/08/2008 22:18 3525 12 26,4 10 -4 -8,8 -51 -24,4 -55,7 (3,75;4,125)10/08/2008 22:33 3540 12 26,4 10,3 -4 -8,8 -51 -24,4 -55,7 (3,75;4,125)10/08/2008 22:48 3555 12 26,4 10,2 -4 -8,8 -51,1 -24,4 -55,7 (3,75;4,125)10/08/2008 23:03 3570 12 26,4 10,1 -4 -8,8 -51,1 -24,3 -55,6 (3,75;4,125)10/08/2008 23:18 3585 12 26,4 10,1 -4 -8,8 -51,1 -24,3 -55,7 (3,75;4,125)10/08/2008 23:33 3600 12 26,4 10,1 -4 -8,8 -51,1 -24,3 -55,6 (3,75;4,125)10/08/2008 23:48 3615 12 26,4 10,1 -4 -8,8 -51,1 -24,3 -55,6 (3,75;4,125)11/08/2008 0:03 3630 12 26,4 10,1 -4 -8,8 -51,1 -24,3 -55,6 (3,75;4,125)11/08/2008 0:18 3645 12 26,4 10,1 -4 -8,9 -51,2 -24,3 -55,6 (3,75;4,125)11/08/2008 0:33 3660 12 26,4 10,1 -4 -8,8 -51,2 -24,3 -55,6 (3,75;4,125)11/08/2008 0:48 3675 12 26,4 10 -4 -8,8 -51,2 -24,3 -55,5 (3,75;4,125)11/08/2008 1:03 3690 12 26,4 10 -4 -8,9 -51,2 -24,3 -55,5 (3,75;4,125)11/08/2008 1:18 3705 11 26,4 10 -4 -8,9 -51,3 -24,3 -55,5 (3,75;4,125)11/08/2008 1:33 3720 11 26,4 10,1 -4 -8,9 -51,3 -24,2 -55,5 (3,75;4,125)11/08/2008 1:48 3735 11 26,4 10 -4 -8,9 -51,3 -24,2 -55,5 (3,75;4,125)11/08/2008 2:03 3750 11 26,4 10,1 -4 -8,9 -51,3 -24,2 -55,5 (3,75;4,125)11/08/2008 2:18 3765 11 26,4 10,1 -4 -8,9 -51,4 -24,2 -55,5 (3,75;4,125)11/08/2008 2:33 3780 11 26,4 10 -4 -8,9 -51,4 -24,2 -55,4 (3,75;4,125)11/08/2008 2:48 3795 11 26,4 10,2 -4 -8,9 -51,4 -24,2 -55,4 (3,75;4,125)11/08/2008 3:03 3810 12 26,4 10,1 -4 -8,9 -51,4 -24,2 -55,4 (3,75;4,125)11/08/2008 3:18 3825 12 26,4 10,1 -4 -8,9 -51,5 -24,2 -55,4 (3,75;4,125)11/08/2008 3:33 3840 12 26,4 10 -4 -8,9 -51,5 -24,2 -55,3 (3,75;4,125)11/08/2008 3:48 3855 12 26,4 10,2 -4 -8,9 -51,5 -24,2 -55,3 (3,75;4,125)11/08/2008 4:03 3870 12 26,4 10 -4 -8,9 -51,5 -24,2 -55,3 (3,75;4,125)11/08/2008 4:18 3885 12 26,4 10 -4 -8,9 -51,5 -24,2 -55,3 (3,75;4,125)11/08/2008 4:33 3900 12 26,4 10,1 -4 -8,9 -51,5 -24,2 -55,3 (3,75;4,125)11/08/2008 4:48 3915 12 26,4 10,2 -4 -8,9 -51,5 -24,1 -55,3 (3,75;4,125)
Apéndice 2 Ensayos realizados
299
11/08/2008 5:03 3930 11 26,4 10,3 -3,9 -8,9 -51,6 -24,1 -55,2 (3,75;4,125)11/08/2008 5:18 3945 11 26,4 10,1 -3,9 -8,9 -51,6 -24,1 -55,2 (3,75;4,125)11/08/2008 5:33 3960 11 26,4 10,3 -3,9 -8,9 -51,6 -24,1 -55,3 (3,75;4,125)11/08/2008 5:48 3975 11 26,4 10,2 -3,9 -8,9 -51,6 -24,1 -55,2 (3,75;4,125)11/08/2008 6:03 3990 11 26,4 10,2 -3,9 -8,9 -51,6 -24,1 -55,2 (3,75;4,125)11/08/2008 6:18 4005 11 26,4 10,1 -3,9 -8,9 -51,6 -24,1 -55,1 (3,75;4,125)11/08/2008 6:33 4020 11 26,4 10 -3,9 -8,9 -51,6 -24,1 -55,1 (3,75;4,125)11/08/2008 6:48 4035 12 26,4 10,2 -3,9 -9 -51,7 -24,1 -55,1 (3,75;4,125)11/08/2008 7:03 4050 12 26,4 10,1 -3,9 -9 -51,8 -24,0 -55,1 (3,75;4,125)11/08/2008 7:18 4065 12 26,4 10,3 -3,9 -9 -51,8 -24,0 -55 (3,75;4,125)11/08/2008 7:33 4080 12 26,4 10,2 -3,9 -9 -51,8 -24,0 -55 (3,75;4,125)11/08/2008 7:48 4095 12 26,4 10,2 -3,9 -9 -51,8 -24,0 -55 (3,75;4,125)11/08/2008 8:03 4110 12 26,4 10,2 -3,9 -9 -51,8 -24,0 -55 (3,75;4,125)11/08/2008 8:18 4125 12 26,4 10 -3,9 -9 -51,8 -24,0 -55 (3,75;4,125)11/08/2008 8:33 4140 11 26,4 10,1 -3,9 -9 -51,8 -24,0 -55 (3,75;4,125)11/08/2008 8:48 4155 11 26,4 10,2 -3,9 -9 -51,9 -24,0 -54,9 (3,75;4,125)11/08/2008 9:03 4170 11 26,4 10,1 -3,9 -9 -51,9 -24,0 -54,9 (3,75;4,125)11/08/2008 9:18 4185 11 26,4 10 -3,9 -9 -51,9 -24,0 -54,9 (3,75;4,125)11/08/2008 9:33 4200 11 26,4 10,1 -3,9 -9 -51,9 -24,0 -54,9 (3,75;4,125)11/08/2008 10:33 4260 12 26,4 10,3 -3,9 -9 -52 -23,9 -54,9 (3,75;4,125)11/08/2008 11:33 4320 11 26,4 10 -3,9 -9,1 -52 -23,9 -54,9 (3,75;4,125)11/08/2008 12:33 4380 11 26,4 10 -3,9 -9,1 -52,1 -23,9 -54,9 (3,75;4,125)11/08/2008 13:33 4440 11 26,4 10,3 -3,9 -9,1 -52,1 -23,9 -54,9 (3,75;4,125)11/08/2008 14:33 4500 11 26,4 10 -3,9 -9,1 -52,1 -23,9 -54,9 (3,75;4,125)11/08/2008 15:33 4560 11 26,4 10,2 -3,9 -9,1 -52,1 -23,9 -55 (3,75;4,125)11/08/2008 16:33 4620 11 26,4 10 -3,9 -9,1 -52,2 -23,9 -54,8 (3,75;4,125)11/08/2008 17:33 4680 11 26,4 10,3 -3,9 -9,1 -52,2 -23,9 -54,8 (3,75;4,125)11/08/2008 18:33 4740 11 26,4 10,2 -3,9 -9,3 -52,4 -23,8 -54,9 (3,75;4,125)11/08/2008 19:33 4800 11 26,4 10,3 -3,9 -9,4 -52,5 -23,8 -54,9 (3,75;4,125)11/08/2008 20:33 4860 11 26,4 10,1 -3,9 -9,5 -52,6 -23,8 -54,9 (3,75;4,125)11/08/2008 21:33 4920 12 26,4 10 -3,9 -9,5 -52,7 -23,7 -54,9 (3,75;4,125)11/08/2008 22:33 4980 11 26,4 10,2 -3,8 -9,5 -52,7 -23,7 -54,9 (3,75;4,125)11/08/2008 23:33 5040 11 26,4 10,3 -3,8 -9,6 -52,9 -23,7 -54,8 (3,75;4,125)12/08/2008 0:33 5100 11 26,4 10,2 -3,8 -9,5 -52,9 -23,7 -54,8 (3,75;4,125)12/08/2008 1:33 5160 12 26,4 10 -3,8 -9,6 -53 -23,6 -54,7 (3,75;4,125)12/08/2008 2:33 5220 12 26,4 10,1 -3,8 -9,6 -53 -23,6 -54,6 (3,75;4,125)12/08/2008 3:33 5280 11 26,4 10,3 -3,8 -9,5 -53,1 -23,6 -54,4 (3,75;4,125)12/08/2008 4:33 5340 11 26,4 10,3 -3,8 -9,5 -53,1 -23,5 -54,5 (3,75;4,125)12/08/2008 5:33 5400 11 26,4 10,1 -3,8 -9,4 -53 -23,5 -54,2 (3,75;4,125)12/08/2008 6:33 5460 12 26,4 10,1 -3,8 -9,4 -53,1 -23,5 -54,1 (3,75;4,125)12/08/2008 7:33 5520 12 26,4 10,1 -3,8 -9,4 -53,1 -23,4 -54,1 (3,75;4,125)12/08/2008 8:33 5580 11 26,4 10,1 -3,8 -9,4 -53,2 -23,4 -54 (3,75;4,125)12/08/2008 9:33 5640 11 26,4 10,2 -3,8 -9,4 -53,2 -23,4 -53,9 (3,75;4,125)12/08/2008 10:33 5700 12 26,4 10,3 -3,8 -9,5 -53,2 -23,4 -53,9 (3,75;4,125)12/08/2008 11:33 5760 12 26,4 10,1 -3,8 -9,5 -53,3 -23,3 -53,9 (3,75;4,125)12/08/2008 12:33 5820 11 26,4 10,3 -3,8 -9,6 -53,4 -23,3 -54 (3,75;4,125)12/08/2008 13:33 5880 11 26,4 10,1 -3,8 -9,6 -53,5 -23,3 -54 (3,75;4,125)12/08/2008 14:33 5940 12 26,4 10,3 -3,7 -9,7 -53,7 -23,3 -54 (3,75;4,125)12/08/2008 15:33 6000 12 26,4 10,4 -3,7 -9,8 -53,7 -23,3 -54,1 (3,75;4,125)12/08/2008 16:33 6060 12 26,4 10,1 -3,7 -9,8 -53,8 -23,3 -54,1 (3,75;4,125)12/08/2008 17:33 6120 11 26,4 10,3 -3,7 -9,9 -53,8 -23,3 -54,1 (3,75;4,125)12/08/2008 18:33 6180 11 26,4 10 -3,7 -9,9 -53,9 -23,2 -54,1 (3,75;4,125)12/08/2008 19:33 6240 11 26,4 10 -3,7 -10,1 -54,1 -23,2 -54,1 (3,75;4,125)12/08/2008 20:33 6300 11 26,4 10,2 -3,7 -10,1 -54,1 -23,2 -54,2 (3,75;4,125)12/08/2008 21:33 6360 11 26,4 10,1 -3,7 -10,1 -54,2 -23,2 -54,2 (3,75;4,125)12/08/2008 22:33 6420 11 26,4 10,2 -3,7 -10,1 -54,2 -23,2 -54,2 (3,75;4,125)
Apéndice 2 Ensayos realizados
300
12/08/2008 23:33 6480 11 26,4 10,3 -3,7 -10,1 -54,3 -23,2 -54,1 (3,75;4,125)13/08/2008 0:33 6540 11 26,4 10,1 -3,7 -10,1 -54,3 -23,1 -54 (3,75;4,125)13/08/2008 1:33 6600 12 26,4 10 -3,7 -10,1 -54,3 -23,1 -53,9 (3,75;4,125)13/08/2008 2:33 6660 12 26,4 10,1 -3,7 -10,1 -54,3 -23,1 -53,8 (3,75;4,125)13/08/2008 3:33 6720 11 26,4 10,1 -3,7 -10,1 -54,4 -23,1 -53,5 (3,75;4,125)13/08/2008 4:33 6780 11 26,4 10,1 -3,7 -10 -54,4 -23,0 -53,7 (3,75;4,125)13/08/2008 5:33 6840 11 26,4 10 -3,7 -10 -54,3 -23,0 -53,6 (3,75;4,125)13/08/2008 6:33 6900 12 26,4 10,1 -3,7 -10 -54,5 -23,0 -53,5 (3,75;4,125)13/08/2008 7:33 6960 12 26,4 10,2 -3,7 -10 -54,5 -22,9 -53,4 (3,75;4,125)13/08/2008 8:33 7020 11 26,4 10,1 -3,7 -10 -54,6 -22,9 -53,4 (3,75;4,125)13/08/2008 9:33 7080 11 26,4 10,2 -3,7 -10 -54,6 -22,9 -53,3 (3,75;4,125)13/08/2008 10:33 7140 12 26,4 10 -3,7 -10,1 -54,7 -22,8 -53,3 (3,75;4,125)13/08/2008 11:33 7200 12 26,4 10,1 -3,7 -10,1 -54,8 -22,8 -53,3 (3,75;4,125)13/08/2008 12:15 7241,9 11 26,4 10,2 -3,6 -10,2 -54,8 -22,8 -53,4 (3,75;4,125)13/08/2008 12:15 7241,9 11 26,4 10,1 -3,6 -10,2 -54,8 -22,8 -53,4 (3,75;4,125)13/08/2008 12:15 7242 11 26,4 10,1 -3,6 -10,2 -54,8 -22,8 -53,3 (3,75;4,125)13/08/2008 12:15 7242,1 11 26,4 10,1 -3,6 -10,2 -54,8 -22,8 -53,4 (3,75;4,125)13/08/2008 12:15 7242,2 11 26,4 10,1 -3,6 -10,2 -54,8 -22,8 -53,4 (3,75;4,125)13/08/2008 12:15 7242,3 11 26,4 9,4 -3,6 -10,2 -54,8 -22,8 -53,4 (3,31;3,84)13/08/2008 12:15 7242,4 9 26,4 7,5 -3,8 -9,3 -53,6 -21,4 -53,4 (3,31;3,84)13/08/2008 12:15 7242,5 10 26,4 7,2 -3,7 -9,5 -53,9 -16,3 -51,7 (3,31;3,84)13/08/2008 12:15 7242,6 10 26,4 7,5 -3,7 -9,6 -54,2 -15,4 -51,2 (3,31;3,84)13/08/2008 12:15 7242,7 10 26,4 7,3 -3,7 -9,7 -54,4 -14,4 -50,7 (3,31;3,84)13/08/2008 12:16 7242,8 10 26,4 7,4 -3,7 -9,7 -54,5 -13,9 -50,4 (3,31;3,84)13/08/2008 12:16 7242,9 10 26,4 7,4 -3,7 -9,7 -54,4 -13,5 -50,3 (3,31;3,84)13/08/2008 12:16 7243 10 26,4 7,5 -3,7 -9,7 -54,5 -13,4 -50,2 (3,31;3,84)13/08/2008 12:16 7243,1 10 26,4 7,2 -3,7 -9,7 -54,5 -13,2 -50,1 (3,31;3,84)13/08/2008 12:16 7243,2 10 26,4 7,3 -3,7 -9,7 -54,5 -13,0 -50 (3,31;3,84)13/08/2008 12:16 7243,3 10 26,4 7,3 -3,7 -9,7 -54,5 -12,9 -50 (3,31;3,84)13/08/2008 12:16 7243,4 10 26,4 7,3 -3,7 -9,7 -54,5 -12,7 -49,9 (3,31;3,84)13/08/2008 12:16 7243,5 10 26,4 7,3 -3,7 -9,7 -54,5 -12,7 -49,9 (3,31;3,84)13/08/2008 12:16 7243,6 10 26,4 7,3 -3,7 -9,7 -54,5 -12,5 -49,8 (3,31;3,84)13/08/2008 12:16 7243,7 10 26,4 7,3 -3,7 -9,7 -54,5 -12,5 -49,8 (3,31;3,84)13/08/2008 12:17 7243,8 10 26,4 7,3 -3,7 -9,7 -54,5 -12,4 -49,8 (3,31;3,84)13/08/2008 12:17 7243,9 10 26,4 7,3 -3,7 -9,7 -54,6 -12,4 -49,7 (3,31;3,84)13/08/2008 12:17 7244 10 26,4 7,4 -3,7 -9,7 -54,6 -12,3 -49,7 (3,31;3,84)13/08/2008 12:17 7244,1 10 26,4 7,4 -3,7 -9,8 -54,6 -12,3 -49,7 (3,31;3,84)13/08/2008 12:17 7244,2 10 26,4 7,4 -3,7 -9,7 -54,6 -12,2 -49,6 (3,31;3,84)13/08/2008 12:17 7244,3 10 26,4 7,4 -3,7 -9,8 -54,6 -12,2 -49,6 (3,31;3,84)13/08/2008 12:17 7244,4 10 26,4 7,4 -3,7 -9,8 -54,6 -12,1 -49,6 (3,31;3,84)13/08/2008 12:17 7244,5 10 26,4 7,4 -3,7 -9,8 -54,6 -12,1 -49,6 (3,31;3,84)13/08/2008 12:17 7244,6 10 26,4 7,4 -3,7 -9,8 -54,6 -11,9 -49,5 (3,31;3,84)13/08/2008 12:17 7244,7 10 26,4 7,4 -3,7 -9,8 -54,6 -11,9 -49,5 (3,31;3,84)13/08/2008 12:18 7244,8 10 26,4 7,4 -3,7 -9,8 -54,6 -11,9 -49,5 (3,31;3,84)13/08/2008 12:18 7244,9 10 26,4 7,4 -3,7 -9,8 -54,6 -11,9 -49,5 (3,31;3,84)13/08/2008 12:18 7245 10 26,4 7,4 -3,7 -9,8 -54,6 -11,8 -49,5 (3,31;3,84)13/08/2008 12:18 7245,1 10 26,4 7,4 -3,7 -9,8 -54,7 -11,8 -49,4 (3,31;3,84)13/08/2008 12:18 7245,2 10 26,4 7,4 -3,7 -9,8 -54,7 -11,8 -49,4 (3,31;3,84)13/08/2008 12:18 7245,3 10 26,4 7,4 -3,7 -9,8 -54,6 -11,7 -49,4 (3,31;3,84)13/08/2008 12:18 7245,4 10 26,4 7,4 -3,7 -9,8 -54,7 -11,7 -49,4 (3,31;3,84)13/08/2008 12:18 7245,5 10 26,4 7,4 -3,7 -9,8 -54,7 -11,7 -49,4 (3,31;3,84)13/08/2008 12:18 7245,6 10 26,4 7,4 -3,7 -9,8 -54,7 -11,7 -49,4 (3,31;3,84)13/08/2008 12:18 7245,7 10 26,4 7,4 -3,7 -9,8 -54,7 -11,7 -49,4 (3,31;3,84)13/08/2008 12:19 7245,8 10 26,4 7,4 -3,7 -9,8 -54,7 -11,5 -49,3 (3,31;3,84)13/08/2008 12:19 7246 10 26,4 7,4 -3,7 -9,8 -54,7 -11,5 -49,3 (3,31;3,84)13/08/2008 12:20 7247 10 26,4 7,3 -3,7 -9,8 -54,8 -11,3 -49,2 (3,31;3,84)
Apéndice 2 Ensayos realizados
301
13/08/2008 12:21 7248 10 26,4 7,3 -3,7 -9,9 -54,8 -11,0 -49,1 (3,31;3,84)13/08/2008 12:22 7249 10 26,4 7,2 -3,7 -9,9 -54,9 -10,8 -49 (3,31;3,84)13/08/2008 12:23 7250 10 26,4 7,2 -3,7 -9,9 -54,9 -10,5 -48,9 (3,31;3,84)13/08/2008 12:24 7251 10 26,4 7,1 -3,7 -10 -55 -10,3 -48,8 (3,31;3,84)13/08/2008 12:25 7252 10 26,4 7,1 -3,6 -10 -55 -10,0 -48,7 (3,31;3,84)13/08/2008 12:33 7260 10 26,4 6,7 -3,6 -10,2 -55,5 -8,9 -47,5 (3,31;3,84)13/08/2008 12:48 7275 9 26,4 6,7 -3,5 -10,4 -56,3 -7,8 -45,6 (3,31;3,84)13/08/2008 13:03 7290 9 26,4 6,6 -3,5 -10,7 -56,8 -7,1 -44,4 (3,31;3,84)13/08/2008 13:18 7305 9 26,4 7 -3,4 -10,8 -57,3 -6,7 -43,5 (3,31;3,84)13/08/2008 13:33 7320 9 26,4 6,6 -3,4 -10,9 -57,6 -6,2 -42,7 (3,31;3,84)13/08/2008 13:48 7335 9 26,4 6,7 -3,4 -11,1 -58 -6,0 -42,1 (3,31;3,84)13/08/2008 14:03 7350 9 26,4 7,1 -3,4 -11,2 -58,2 -5,7 -41,6 (3,31;3,84)13/08/2008 14:18 7365 9 26,4 6,9 -3,4 -11,2 -58,4 -5,6 -41,3 (3,31;3,84)13/08/2008 14:33 7380 9 26,4 6,8 -3,3 -11,3 -58,6 -5,5 -41 (3,31;3,84)13/08/2008 14:48 7395 9 26,5 6,6 -3,3 -11,4 -58,8 -5,4 -40,7 (3,31;3,84)13/08/2008 15:03 7410 9 26,4 7,1 -3,3 -11,4 -58,9 -5,3 -40,5 (3,31;3,84)13/08/2008 15:18 7425 9 26,5 6,8 -3,3 -11,5 -59,1 -5,2 -40,2 (3,31;3,84)13/08/2008 15:33 7440 9 26,5 6,6 -3,3 -11,5 -59,3 -5,1 -39,9 (3,31;3,84)13/08/2008 15:48 7455 10 26,5 6,6 -3,2 -11,9 -60,3 -3,9 -37,7 (3,31;3,84)13/08/2008 16:03 7470 10 26,5 6,6 -3,1 -12,1 -61,2 -2,9 -35,8 (3,31;3,84)13/08/2008 16:18 7485 10 26,5 6,6 -3 -12,3 -61,9 -1,9 -34,1 (3,31;3,84)13/08/2008 16:33 7500 10 26,5 6,5 -3 -12,5 -62,7 -1,1 -32,5 (3,31;3,84)13/08/2008 16:48 7515 10 26,5 7 -2,9 -12,7 -63,4 -0,2 -30,9 (3,31;3,84)13/08/2008 17:03 7530 10 26,5 7,1 -2,8 -12,9 -64,2 0,5 -29,4 (3,31;3,84)13/08/2008 17:18 7545 10 26,5 7 -2,8 -13,2 -65,1 1,4 -27,6 (3,31;3,84)13/08/2008 17:33 7560 10 26,5 6,9 -2,7 -13,4 -65,9 2,5 -25,7 (3,31;3,84)13/08/2008 17:48 7575 10 26,5 6,7 -2,6 -13,8 -66,9 3,7 -23,5 (3,31;3,84)13/08/2008 18:03 7590 9 26,5 6,6 -2,5 -14,1 -68,2 5,3 -20,6 (3,31;3,84)13/08/2008 18:18 7605 9 26,6 6,7 -2,3 -14,7 -70,2 7,9 -16 (3,31;3,84)13/08/2008 18:33 7620 9 26,6 7,1 -1,7 -16,5 -77,1 16,2 -0,8 (3,31;3,84)13/08/2008 18:48 7635 9 38,2 18,3 32,7 -175,1 -114,6 126,7 147,2 (3,31;3,84)
302
Apéndice 3
Listado de los códigos en Matlab 7.0
Código: convergencia Código: con_vis Código: fun_tem Código: sol_fup Código: sumapoli Código: can_rai Código: cri_rot_ley_dil Código: int_num Código: lincar Código: cal_con Código: dib_lin_car
Apéndice 3 Listado de los códigos en MATLAB v7.0
303
Código: “convergencia” clear all;close all;clc;
disp('***********************************************************************')
disp(' Codigo para dibujar la convergencia ')
disp(' a lo largo del tiempo en medios viscoelásticos plásticos ')
disp('***********************************************************************')
disp('***********************************************************************')
disp(' Constantes viscoelásticas de las funciones temporales del medio ')
disp('***********************************************************************')
con_vis
disp(' ')
disp('***********************************************************************')
disp(' Cálculo y dibujo de las funciones temporales ')
disp('***********************************************************************')
fun_tem
% disp('*********************************************************************')
% disp(' Criterio de rotura y ley de dilatancia ')
% disp('*********************************************************************')
cri_rot_ley_dil
% disp(' ')
% disp('*********************************************************************')
% disp(' Evolución de la convergencia de la cavidad sin sostenimiento ')
% disp('*********************************************************************')
cal_con
return;
Código: “con_vis” disp('***********************************************************************')
disp(' Constantes viscoelásticas de la función temporal de la interfase' )
disp('***********************************************************************')
G1=input('Ingrese el modulo de corte G1 normalizado con ß : ');
n1=input('Ingrese el coeficiente de viscocidad n1 en corte normalizado con ß (día): ');
G2=input('Ingrese el modulo de corte G2 normalizado con ß : ');
n2=input('Ingrese el coeficiente de viscocidad n2 en corte normalizado con ß (día): ');
disp(' ')
disp('***********************************************************************')
disp(' Constantes viscoelásticas de la función temporal de la zona rota' )
disp('***********************************************************************')
G1p=input('Ingrese el modulo de corte G1 normalizado con ß : ');
n1p=input('Ingrese el coeficiente de viscocidad n1 en corte normalizado con ß (día) : ');
G2p=input('Ingrese el modulo de corte G2 normalizado con ß : ');
n2p=input('Ingrese el coeficiente de viscocidad n2 en corte normalizado con ß (día): ');
K1p=input('Ingrese el modulo volumetrico K1 normalizado con ß : ');
nvp=input('Ingrese el coeficiente de viscocidad volumetrico normalizado con ß (día): ');
K2p=input('Ingrese el modulo volumetrico K2 normalizado con ß : ');
return;
Código: “fun_tem” % Cálculo y dibujo de las funciones temporales del medio
disp(' ')
disp('***********************************************************************')
LimT1=input('Límite de tiempo, en días, para el gráfico de las funciones temporales : ');
disp(' ')
Apéndice 3 Listado de los códigos en MATLAB v7.0
304
% Declaración del tiempo como variable simbólica
t=sym('t');
f0=1/(2*G2)+t/n2+1/(2*G1)*(1-exp(-2*G1*t/n1));
f0p=1/(2*G2p)+t/n2p+1/(2*G1p)*(1-exp(-2*G1p*t/n1p));
%calculo de fup
aa=(3*K2p*G2p)/((3*K2p+G2p)*(n1p*nvp));
b=(2*n1p*nvp/n2p+3*n1p*K1p/G2p+n1p+K1p*n1p/K2p+2*nvp*G1p/(3*K2p)+2*nvp+2*G1p*nvp/G2p)*aa;
c=(4*G1p*nvp/n2p+6*n1p*K1p/n2p+2*G1p+2*K1p*G1p/K2p+6*K1p+6*G1p*K1p/G2p)*aa;
d=12*G1p*K1p*aa/n2p;
e=(n1p*nvp/(2*G2p*K2p))*aa;
f=(nvp/K2p*(1+G1p/G2p+n1p/n2p)+(3*n1p)/(2*G2p)*(1+K1p/K2p))*aa;
g=((2*G1p*nvp)/(n2p*K2p)+3*(1+K1p/K2p)*(1+G1p/G2p+n1p/n2p))*aa;
h=((6*G1p)/n2p*(1+K1p/K2p))*aa;
disp('En la transformada de la funcion fup(t) los coeficientes del polinomio numerador y denominador son:')
numerador=[e f g h]
denominador=[1 b c d 0]
disp('las raices del denominador son: ')
r=roots(denominador);
disp(r)
sol_fup;
%dibujo de las funciones temporales
figure(1);
ezplot(f0,[0,LimT1]);hold on;
legend('\Phi_0(t)',0);
grid;
title('Función temporal de la interfase')
xlabel('Tiempo (días)'); ylabel('\Phi_0(t) normalizada con ß');
figure(2);
ezplot(f0p,[0,LimT1]);hold on;
legend('\Phi_0^r(t)',0);
grid;
title('Función temporal de la zona rota')
xlabel('Tiempo (días)'); ylabel('\Phi_0^r(t) normalizada con ß');
figure(3);
ezplot(fup,[0,LimT1]);hold on;
legend('\Phi_u^r(t)',0);
grid;
title('Función temporal de la zona rota')
xlabel('Tiempo (días)'); ylabel('\Phi_u^r(t) normalizada con ß');
return;
Código: “sol_fup” %codigo para hallar el numero de raices, su valor y las veces que se repite cada una
can_rai
%codigo para hallar los coeficientes Ci,j de la funcion fu
for i=1:length(s)
pr=[1 -s(i,1)];
pc=[1 -s(i,1)];
if n(i,1)>1
for j=1:n(i,1)-1
pr=conv(pr,pc);
end;
end;
for j=1:n(i,1)
[N,resto]=deconv(denominador,pr);
M=numerador;
if n(i,1)-j==0
Mval=polyval(M,s(i,1));
Nval=polyval(N,s(i,1));
Apéndice 3 Listado de los códigos en MATLAB v7.0
305
C(i,j)=Mval/Nval;
else
for k=1:n(i,1)-j
dM=polyder(M);
dN=polyder(N);
vdu=conv(N,dM);
udv=conv(M,dN);
v2=conv(N,N);
M=sumapoli(vdu,-udv);
N=v2;
end;
vduval=polyval(vdu,s(i,1));
udvval=polyval(udv,s(i,1));
v2val=polyval(v2,s(i,1));
C(i,j)=((vduval-udvval)/v2val)/factorial(n(i,1)-j);
end;
end;
end;
disp('Los coeficientes de la funcion temporal fup son: ')
disp(C)
fup=0;
for i=1:length(s)
for j=1:n(i,1)
fup=fup+C(i,j)/factorial(j-1).*power(t,j-1).*exp(s(i,1).*t);
end;
end;
return;
Código: “sumapoli” function p=sumapoli(a,b)
if nargin<2
error('parametros insuficientes');
end
a=a(: ).';
b=b(: ).';
na=length(a);
nb=length(b);
p=[zeros(1,nb-na) a]+[zeros(1,na-nb) b];
return;
Código: “can_rai” %Codigo escrito para hallar la cantidad de raices diferentes y las veces que se repite cada una
%el input es el vector r(i,1) formado por las raices del polinomio denominador
%los datos de salida son el vector s(i,1) que contiene las raices diferentes y
%el vector n(i,1) que contiene las veces que se repite cada raiz del vector s(i,1)
posc=1;
rn=1;
lr=length(r);
for i=1:lr-1
if i==posc
rep=1;
for j=i+1:lr
posc=posc+1;
if r(i,1)~=r(j,1)
s(rn,1)=r(i,1);
n(rn,1)=rep;
rn=rn+1;
Apéndice 3 Listado de los códigos en MATLAB v7.0
306
break;
elseif r(i,1)==r(j,1)
rep=rep+1;
end;
s(rn,1)=r(i,1);
n(rn,1)=rep;
end;
end;
end;
if r(i,1)~=r(j,1);
s(rn,1)= r(j,1);
n(rn,1)=1;
end;
% disp('Las raices diferentes del polinomio denominador son: ')
% disp(s)
% disp('Cada raiz se repite: ')
% disp(n)
return;
Código: “cri_rot_ley_dil” %Eleccion del criterio de rotura y la ley de dilatancia
disp(' ')
disp('***********************************************************************')
disp(' Criterios de rotura del medio ')
disp('***********************************************************************')
disp(' ')
disp('1.- Criterio original de Hoek & Brown (GSI>25)')
disp('2.- Criterio modificado de Hoek & Brown (GSI<25)')
disp('3.- Criterio de rotura de Mohr')
disp(' ')
crit_rot=input('Elija el criterio: ');
switch crit_rot
case 1
disp(' ')
disp('***********************************************************************')
disp(' Propiedades mecánicas del medio con ')
disp(' el criterio de rotura original (GSI>25) ')
disp('***********************************************************************')
disp('Escriba los siguientes datos: ')
% beta=input('El valor de ß (MPa): ');
cheda=input('El valor de zeta: ');
p0Crit=sqrt(2*cheda);
fprintf('El macizo plastificará a partir de p0 (normalizado con ß) = %f',p0Crit )
disp(' ')
disp('***********************************************************************')
disp(' Ley de dilatancia ')
disp('***********************************************************************')
disp('1.- Lineal')
disp('2.- Asociada')
disp('3.- Constante')
ley=input('Elija la ley de dilatancia: ');
switch ley
case 1
disp('Escriba los siguientes datos: ')
NuMax=input('El ángulo de dilatancia max (º): ');
RoCrit=input('El ángulo de rozamiento crítico (º): ');
lambda=sind(NuMax)/(1-sind(RoCrit));
a_fluenc=sind(RoCrit)*sind(NuMax)/(1-sind(RoCrit));
delta=lambda/power(1+a_fluenc,2);
Apéndice 3 Listado de los códigos en MATLAB v7.0
307
case 2
a_fluenc=0;
lambda=1;
delta=1;
case 3
nu_const=input('Escriba el ángulo de dilatancia (º):');
a_fluenc=-sind(nu_const);
delta=0;
lambda=0;
end
case 2
disp(' ')
disp('***********************************************************************')
disp(' Propiedades mecánicas del medio con ')
disp(' el criterio de rotura modificado (GSI<25) ')
disp('***********************************************************************')
syms q n_crit k_crit p_0
S=p_0-q-(1-n_crit)*q^(k_crit+1);
disp('Escriba los siguientes datos: ')
% cheda=input('El valor de zeta: ');
n_crit=input('El valor de n: ');
disp(' ')
case 3
disp(' ')
disp('***********************************************************************')
disp(' Propiedades mecánicas del medio con ')
disp(' el criterio de rotura de Mohr ')
disp('***********************************************************************')
% syms q n_crit k_crit p_0 % normalizado con beta del criterio
% S=p_0-q-(1-n_crit)*q^(k_crit+1);
disp('Escriba los siguientes datos: ')
n_crit=input('El valor de n: ');
phi_crit=input('El ángulo de rozamiento (º): ');
psi_crit=input('El ángulo de dilatancia (º): ');
disp(' ')
end
% Ingreso de los valores de p0
disp('***********************************************************************')
p_0=input('presión isótropa inicial p0 (normalizada con ß): ');
disp(' ')
return;
Código: “int_num” %calculo de las integrales delta-1, delta y delta+1:
%declaracion de la variable simbólica x
x=sym('x');
%funcion delta-1
f_d_1=power(x,delta-1)*exp(x);
%integral indefinida de la función
P_d_1=int(f_d_1);
%Cálculo de la constante de integración
C_d_1_simb=subs(P_d_1,xR);
C_d_1=double(C_d_1_simb);
%funcion delta
f_d=power(x,delta)*exp(x);
%Integral indefinida de la función
P_d=int(f_d);
Apéndice 3 Listado de los códigos en MATLAB v7.0
308
%Cálculo de la constante de integración
C_d_simb=subs(P_d,xR);
C_d=double(C_d_simb);
%funcion delta+1
f_d1=power(x,delta+1)*exp(x);
%Integral indefinida de la función
P_d1=int(f_d1);
%Cálculo de la constante de integración
C_d1_simb=subs(P_d1,xR);
C_d1=double(C_d1_simb);
%función delta negativa
f_d_neg=power(x,-delta)*exp(-x);
%Integral de la función delta negativa multiplicada por la primitiva de
%la integral delta-1
y1=subs(P_d_1*f_d_neg,x,[xR:-0.0001:xa]);
%Integral de la función delta negativa multiplicada por la primitiva de
%la integral delta
y2=subs(P_d*f_d_neg,x,[xR:-0.0001:xa]);
%Integral de la función delta negativa multiplicada por la primitiva de
%la integral delta+1
y3=subs(P_d1*f_d_neg,x,[xR:-0.0001:xa]);
%Valoración de la función delta negativa
y4=subs(f_d_neg,x,[xR:-0.0001:xa]);
%Integrales definidas
x=xR:-0.0001:xa;
q1=trapz(x,y1);
q2=trapz(x,y2);
q3=trapz(x,y3);
IDef_d_neg=trapz(x,y4);
%Primera integral del segundo termino de la convergencia
I2_a=q1-C_d_1*IDef_d_neg;
%Segunda integral del segundo termino de la convergencia
I2_b=q2-C_d*IDef_d_neg;
%Primera integral del tercer termino de la convergencia
I3_a=q3-C_d1*IDef_d_neg;
%Segunda integral del tercer termino de la convergencia
I3_b=q2-C_d*IDef_d_neg;
%Tercera integral del tercer termino de la convergencia
I3_c=q1-C_d_1*IDef_d_neg;
return
Código: “lincar” clear all;close all;clc;
disp('***********************************************************************')
disp(' Codigo para dibujar las líneas características de túneles ')
disp(' en medios viscoelasticos plasticos ')
disp('***********************************************************************')
% disp('***********************************************************************')
% disp(' Constantes visccoelásticas de la de las funciones temporales del medio')
% disp('***********************************************************************')
% disp(' ')
con_vis
disp('***********************************************************************')
disp(' Cálculo y dibujo de las funciones temporales ')
disp('***********************************************************************')
fun_tem
% disp('*********************************************************************')
% disp(' Criterio de rotura y ley de dilatancia ')
% disp('*********************************************************************')
Apéndice 3 Listado de los códigos en MATLAB v7.0
309
cri_rot_ley_dil
% disp(' ')
% disp('*********************************************************************')
% disp(' Dibujo de las lineas características para los tiempos ')
% disp(' indicados (sa*/p0* vs convergencia) ')
% disp('*********************************************************************')
dib_lin_car
disp(' ')
disp('***********************************************************************')
disp(' Dibujo de líneas características para tiempos adicionales ')
disp('1.-Si')
disp('2.-No')
disp('***********************************************************************')
lin_car_adi=input('pulse [1] o pulse [2] : ');
while lin_car_adi==1
dib_lin_car
lin_car_adi=input('pulse [1] para dibujar mas líneas de lo contratio pulse [2] : ');
end
return;
Código: “cal_con” %Calculo de la convergencia dependiendo del criterio de rotura del medio
LimT2=input('Límite de tiempo, en días, para el gráfico de la convergencia : ');
disp(' ')
switch crit_rot
case 1
%criterio original de Hoek (GSI>25)
p0=p_0;
q_R=sqrt(1+2*(p0+cheda))-1;
xR=(1+q_R)/(1+a_fluenc)-delta;
sR=p0-q_R;
sa=0;
qa=sqrt(2*(sa+cheda));
%variables xR_r,xa
xa=(1+qa)/(1+a_fluenc)-delta;
%cálculo de las integrales numéricas
int_num;
%parte elástica de la convergencia
I1=(1+a_fluenc)*f0*q_R*exp(xR)*power(xR,delta)*IDef_d_neg;
%parte plastica de la convergencia
I2=-(1+a_fluenc)*f0p*(delta*I2_a-a_fluenc*I2_b);
I3=-fup*power(1+a_fluenc,2)*(I3_a+2*delta*I3_b+power(delta,2)*I3_c);
%convergencia total
conv_rel=f0*q_R-(I1+I2+I3);
%Dibujo de la evolución de la convergencia
figure(4);
ezplot(real(conv_rel),[0:LimT2]);hold on;
legend('\epsilon_\theta^a(t)^{sin sost}',0);
grid on; hold on;
title('Evolución de la convergencia de la cavidad sin sostenimiento')
ylabel('Convergencia: \epsilon_\theta^a(t)');xlabel('Tiempo (días)');
case 2
%criterio modificado de Hoek (GSI<25)
k_crit=(1-n_crit)/n_crit;
f=subs(S);
p0=p_0;
%calculo de qR
qR_simb=solve(f);
q_R=double(qR_simb);
sR=p0-q_R;
sa=0;
Apéndice 3 Listado de los códigos en MATLAB v7.0
310
qa=(sa/(1-n_crit))^n_crit;
conv_rel=f0.*q_R*exp(q_R^k_crit-qa^k_crit)+fup*(k_crit/(k_crit+1)*(qa^(k_crit+1)-q_R^(k_crit+1))+q_R*(exp(q_R^k_crit-qa^k_crit)-1));
%Dibujo de la evolución de la convergencia
figure(4);
ezplot(conv_rel,[0:LimT2]);hold on;
legend('\epsilon_\theta^a(t)^{sin sost}',0);
grid on; hold on;
title('Evolución de la convergencia de la cavidad sin sostenimiento')
ylabel('Convergencia: \epsilon_\theta^a(t)');xlabel('Tiempo (días)');
case 3
%criterio de Mohr
%cheda para el cálculo de la convergencia con el sostenimiento
p0=p_0;
%calculo de qR
q_R=(p0+1)*sind(phi_crit);
sR=p0-q_R;
sa=0;
qa=(sa+1)/n_crit;
X4=((q_R/qa)^(n_crit/(1-sind(psi_crit)))-1);
X1=(1-sind(psi_crit))*q_R*f0*X4;
X3=(n_crit)*(f0p*sind(psi_crit)+(1/sind(phi_crit))*fup)*(1/(n_crit+1-sind(psi_crit)));
X2=X3*((qa-q_R)+((1-sind(psi_crit))/n_crit)*q_R*X4);
conv_rel=q_R*f0+X1+X2;
%Dibujo de la evolución de la convergencia
figure(4);
ezplot(conv_rel,[0:LimT2]);hold on;
legend('\epsilon_\theta^a(t)^{sin sost}',0);
grid on; hold on;
title('Evolución de la convergencia de la cavidad sin sostenimiento')
ylabel('Convergencia: \epsilon_\theta^a(t)');xlabel('Tiempo (días)');
end
return;
Código: “dib_lin_car” %Cálculo y dibujo de las líneas características del medio
t=input('Tiempos en días para dibujar las líneas características [t1 t2...] : ');
% Sustitución de los valores de la variable "t" en las funciones temporales
% simbólicas y conversión de estas funciones simbólicas en númericas
f0_t=subs(f0);
f0p_t=subs(f0p);
fup_t=subs(fup);
%Calculo de las líneas características dependiendo del criterio de rotura del medio
switch crit_rot
case 1
%criterio original de Hoek (GSI>25)
p0=p_0;
qR=sqrt(1+2*(p0+cheda))-1;
xR=(1+qR)/(1+a_fluenc)-delta;
sR=p0-qR;
i=0;
for sa=[0 0.025*sR 0.05*sR 0.1*sR 0.2*sR 0.3*sR 0.4*sR 0.5*sR 0.6*sR 0.7*sR 0.8*sR 0.9*sR]
qa=sqrt(2*(sa+cheda));
%variables xR_r,xa
xa=(1+qa)/(1+a_fluenc)-delta;
i=i+1;
%Generacion del elemento número i del vector con los valores
Apéndice 3 Listado de los códigos en MATLAB v7.0
311
%de la tension radial de sostenimiento sa(i)
sa_p0(i)=sa/p0;
%cálculo de las integrales numéricas
int_num;
%Generacion del elemento número i del vector con los valores de las integrales
%de la parte viscoelástica de la convergencia de la zona
%rota
IntDef_d_neg(i)=IDef_d_neg;
%Generacion del elemento número i del vector con los valores de las Integrales
%de la parte plástica de la convergencia de la zona rota
Int2_a(i)=valor_I2_a;
Int2_b(i)=valor_I2_b;
Int3_a(i)=valor_I3_a;
Int3_b(i)=valor_I3_b;
Int3_c(i)=valor_I3_c;
end
sa_p0(13)=sR/p0;
sa_p0(14)=1;
for i=1:length(t)
for j=1:14
if j<13
%parte viscoelástica de la convergencia
I1(j)=(1+a_fluenc)*f0_t(i)*qR*exp(xR)*power(xR,delta).*IntDef_d_neg(j);
%parte plastica de la convergencia
I2(j)=-(1+a_fluenc)*f0p_t(i).*(delta*Int2_a(j)-a_fluenc*Int2_b(j));
I3(j)=-fup_t(i)*power(1+a_fluenc,2).*(Int3_a(j)+2*delta*Int3_b(j)+power(delta,2)*Int3_c(j));
%convergencia total
conv_rel(j)=f0_t(i)*qR-(I1(j)+I2(j)+I3(j));
elseif j==13
conv_rel(j)=f0_t(i)*qR;
else
conv_rel(j)=0;
end
end
%dibujo de la línea característica
figure(4);
plot(real(conv_rel),sa_p0);hold on;
fprintf('\nSe ha dibujado la línea característica para t = %f días.',t(i))
disp(' ')
end
case 2
%criterio modificado de Hoek (GSI<25)
k_crit=(1-n_crit)/n_crit;
f=subs(S);
p0=p_0;
%calculo de qR
qR=solve(f);
q_R=double(qR);
sR=p0-q_R;
for i=1:length(t)
j=0;
for sa=[0 0.025*sR 0.05*sR 0.1*sR 0.2*sR 0.3*sR 0.4*sR 0.5*sR 0.6*sR 0.7*sR 0.8*sR 0.9*sR sR]
qa=(sa/(1-n_crit))^n_crit;
j=j+1;
sa_p0(j)=sa/p0;
conv_rel(j)=f0_t(i).*q_R*exp(q_R^k_crit-qa^k_crit)+fup_t(i)*(k_crit/(k_crit+1)*(qa^(k_crit+1)-q_R^(k_crit+1))+q_R*(exp(q_R^k_crit-qa^k_crit)-1));
Apéndice 3 Listado de los códigos en MATLAB v7.0
312
end
sa_p0(14)=1;
conv_rel(14)=0;
%dibujo de las línea característica
figure(4);
plot(conv_rel,sa_p0);hold on;
fprintf('\nSe ha calculado la línea característica para t = %f días.',t(i))
disp(' ')
end
case 3
%criterio de Mohr
p0=p_0;
%calculo de qR
q_R=(p0+1)*sind(phi_crit);
sR=p0-q_R;
for i=1:length(t)
j=0;
for sa=[0 0.025*sR 0.05*sR 0.1*sR 0.2*sR 0.3*sR 0.4*sR 0.5*sR 0.6*sR 0.7*sR 0.8*sR 0.9*sR sR]
qa=(sa+1)/n_crit;
j=j+1;
sa_p0(j)=sa/p0;
X4=((q_R/qa)^(n_crit/(1-sind(psi_crit)))-1);
X1_t(i)=(1-sind(psi_crit))*q_R*f0_t(i)*X4;
X3_t(i)=(n_crit)*(f0p_t(i)*sind(psi_crit)+(1/sind(phi_crit))*fup_t(i))*(1/(n_crit+1-sind(psi_crit)));
X2_t(i)=X3_t(i)*((qa-q_R)+((1-sind(psi_crit))/n_crit)*q_R*X4);
conv_rel(j)=q_R*f0_t(i)+X1_t(i)+X2_t(i);
end
sa_p0(14)=1;
conv_rel(14)=0;
%dibujo de la línea característica
figure(4);
plot(conv_rel,sa_p0);hold on;
fprintf('\nSe ha calculado la línea característica para t = %f en días.',t(i))
disp(' ')
end
end
figure(4);
ylabel('\sigma_a/p0'); hold on;
xlabel('Convergencia: \epsilon_\theta^a'); hold on;
title('Evolución de la línea característica de la cavidad'); hold on;
disp(' ')
grid on; hold on;
return;
314
Apéndice 4
Listado del código en FLAC3D 3.1
Código: conv_ini_sin_sos Código: conv_visc_sin_sos Código: conv_ini_con_sos_0.3p0 Código: conv_visc_con_sos_0.3p0 Código: conv_ini_con_sos_0.075p0 Código: conv_visc_con_sos_0.075p0
Apéndice 4 Listado del código en FLAC3D 3.1
315
Código: “conv_ini_sin_sos” new
;---------------------------------------------------------------------------------
; Cavidad cilindrica sin sostenimiento - modelo cvisc
; alcances de este codigo:
;- análisis viscoelastico/plástico de la convergencia inicial
; del túnel sin sostenimiento
;---------------------------------------------------------------------------------
;
title
Cavidad cilindrica sin sostenimiento- modelo cvisc
;
;Parámetros geotécnicos, geométricos y mecánicos
;---------------------------------------------------------------------------------
def parm_geo
;presión de campo
p0=3.65e6 ;(Pa)
;propiedades viscoelasticas y plásticas del medio
cc=1.146e6 ;Cohesión (Pa)
fideg=40.62 ;Angulo de rozamiento (grados sexagecimales)
K_e=225e6 ;Módulo volumétrico (Pa)
G1=1.35e9 ;Módulo de corte kelvin (Pa)
n1=1.05e13 ;Constante viscosa Kelvin (Pa*seg)
G2=0.9e9 ;Módulo de corte maxwell (Pa)
n2=1.0875e15 ;Constante viscosa maxwell (Pa*seg)
dildeg=10. ;Dilatancia (grados sexagecimales)
res_ten=1.33612e6 ;Resistencia a tracción (Pa)
; parametros del túnel y del sostenimiento
po=-p0
rtunel=1. ;Radio del tunel (m)
tam_x=15. ;tamaño del modelo en el eje x (m)
tam_y=1. ;tamaño del modelo en el eje y (m)
tam_z=15. ;tamaño del modelo en el eje z (m)
end
parm_geo
config creep
;Generación de la malla
;-----------------------------
def parm_geom
;Coordenadas del grupo terreno
x0=0.
y0=0.
z0=0.
x1=tam_x
y1=y0
z1=z0
x2=x0
y2=tam_y
z2=z0
x3=x0
y3=y0
z3=tam_z
x4=tam_x
y4=tam_y
z4=z0
Apéndice 4 Listado del código en FLAC3D 3.1
316
x5=x0
y5=tam_y
z5=tam_z
x6=tam_x
y6=y0
z6=tam_z
x7=tam_x
y7=tam_y
z7=tam_z
x8=rtunel
y8=y0
z8=z0
x9=x0
y9=y0
z9=rtunel
x10=rtunel
y10=tam_y
z10=z0
x11=x0
y11=tam_y
z11=rtunel
;Datos de la zonas del modelo
n1x=4.
n2y=4.
n3t=15.
n4r=30.
;Ratios
r1=1.
r2=1.
r3=1.
r4=1.1
end
parm_geom
gen zon radcyl p0 x0 y0 z0 p1 x1 y1 z1 p2 x2 y2 z2 p3 x3 y3 z3 p4 x4 y4 z4 p5 x5 y5 z5 &
p6 x6 y6 z6 p7 x7 y7 z7 size n1x n2y n3t n4r ratio r1 r2 r3 r4 dim rtunel rtunel rtunel rtunel fill gro tunel
;Modelo constitutivo y propiedades de cálculo
;-----------------------------------------------------------
mod cvisc
pro bul=K_e coh=cc dil=dildeg fri=fideg ten=res_ten ksh=G1 kvis=n1 msh=G2 mvis=n2 ran mod cvisc
;Condiciones de contorno axi-simétricas
;----------------------------------------------------
def parm_cc
x0m=x0-0.01
x0p=x0+0.01
y0m=y0-0.01
y0p=y0+0.01
z0m=z0-0.01
z0p=z0+0.01
x1m=x1-0.01
x1p=x1+0.01
z1m=z1-0.01
z1p=z1+0.01
x3m=x3-0.01
x3p=x3+0.01
z3m=z3-0.01
z3p=z3+0.01
y2m=y2-0.01
Apéndice 4 Listado del código en FLAC3D 3.1
317
y2p=y2+0.01
x4m=x4-0.01
x4p=x4+0.01
x5m=x5-0.01
x5p=x5+0.01
z5m=z5-0.01
z5p=z5+0.01
x8m=x8-0.01
x9m=x9-0.01
rtunelp=rtunel+0.01
rtunelm=rtunel-0.01
x_gp_con=0.7071*rtunel+0.01 ;x del nodo de control de la pared del túnel
z_gp_con=0.7071*rtunel+0.01 ;z del nodo de control de la pared del túnel
end
parm_cc
;Condiciones de simetria
;-------------------------------
fix x y ran x x0m x0p
fix y ran y y0m y0p
fix y z ran z z0m z0p
fix y ran y y2m y2p
;Inicialización de tensiones
;----------------------------------
ini sxx po
ini syy po
ini szz po
app nstre po ran x x1m x1p
app nstre po ran z z3m z3p
;Excavación del túnel
;-------------------------
mod null ran gro tunel
;Establecimiento correcto de las deformaciones de Kelvin (de acuerdo con las tensiones iniciales)
;---------------------------------------------------------------------------------
def setKstrains
p_z = zone_head
loop while p_z # null
iflag = 0
if z_model(p_z) = 'burger' then
iflag = 1
end_if
if z_model(p_z) = 'cviscous' then
iflag = 1
end_if
if iflag = 1 then
kg2 = 2.0 * z_prop(p_z, 'kshear')
if kg2 > 0.0 then
sig0 = (z_sxx(p_z) + z_syy(p_z) + z_szz(p_z))/3.0
z_prop(p_z,'k_exx') = (z_sxx(p_z) - sig0) / kg2
z_prop(p_z,'k_eyy') = (z_syy(p_z) - sig0) / kg2
z_prop(p_z,'k_ezz') = (z_szz(p_z) - sig0) / kg2
z_prop(p_z,'k_exy') = z_sxy(p_z) / kg2
z_prop(p_z,'k_exz') = z_sxz(p_z) / kg2
z_prop(p_z,'k_eyz') = z_syz(p_z) / kg2
end_if
Apéndice 4 Listado del código en FLAC3D 3.1
318
end_if
p_z = z_next(p_z)
endloop
end
setKstrains
;Historias de control
;--------------------------
his unbal ;Historia de la máxima fuerza de desbalanceo.
his ratio ;Historia de la máxima relación de desbalanceo.
his gp dis x_gp_con 0.5 z_gp_con ;Historia del desplazamiento de la pared del túnel.
his dt
his crtime
;Figuras
;----------
plo cre 1
plo add his 3 ;Gráfico del desplazamiento de la pared del túnel vs iteraciones
plo sho
;Análisis de la excavación en el t=0seg
;-------------------------------------------------
ini xv 0 yv 0 zv 0
set creep off
;Figuras
;----------
plo cre 2
plo set rot 0 0 0
plo set cen 1.5 0 1.5
plo set mag 3
plo add con sma out on ;Gráfico de la tensión principal menor alredor del túnel
plo add axes pos 0.5 0 0.75 scale 0.075 black
plo cre 3
plo copy 2 3 sett
plo add con dis int 1.e-3 out on ;Gráfico del corrimiento radial alrededor del túnel
plo add his 3 xla 'iteraciones' yla 'ur (m)'
set movie avi step 20 file evol_corr_ini.avi
movie start
solve
movie finish
save conv_ini.sav
return
Apéndice 4 Listado del código en FLAC3D 3.1
319
Código: “conv_visc_sin_sos” new
;---------------------------------------------------------------------------------
; Cavidad cilindrica sin sostenimiento - modelo cvisc
; alcances de este codigo:
;- análisis viscoelastico/plástico de la convergencia del túnel sin sostenimiento
;---------------------------------------------------------------------------------
;
res conv_ini.sav
;Asignación de los parámetros para el análisis viscoelástico
;----------------------------------------------------------------------------
ini xv 0 yv 0 zv 0
set creep on
set cre dt 1.0e-5
set cre lat 10
set cre lfo 1.0e-3
set cre lmu 1.01
set cre mindt 1.0e-5
set cre maxdt 100.
set cre ufo 5.0e-3
set cre umu 0.90
set cr dt auto on
;Figuras
;----------
plo cre 4
plo add his 3 vs 5 ;Gráfico del corrimiento de la pared del túnel vs tiempo
plo cur 3
plo sub 2
plo add his 3 vs 5 xla 'Tiempo (segundos)' yla 'ur (m)'
set movie avi step 100 file corr_visc.avi
movie start
solve age 2.592e6 ;Análisis viscoelástico hasta 30 días.
save conv_30dias.sav
movie finish
ret
Código: “conv_ini_con_sos_0.075p0” new
;---------------------------------------------------------------------------------
; Cavidad cilindrica con sostenimiento constante - modelo cvisc
; alcances de este codigo:
;- análisis viscoelástico/plástico de la convergencia inicial
;---------------------------------------------------------------------------------
;
title
Cavidad cilindrica con sostenimiento constante- modelo cvisc
;
;Parámetros geotécnicos, geométricos y mecánicos
;-------------------------------------------------------------------
def parm_geo
;presión de campo
p0=3.65e6 ;(Pa)
;propiedades viscoelasticas y plásticas del medio
Apéndice 4 Listado del código en FLAC3D 3.1
320
cc=1.146e6 ;Cohesión (Pa)
fideg=40.62 ;Angulo de rozamiento (grados sexagecimales)
K_e=2.25e8 ;Módulo volumétrico (Pa)
G1=1.35e9 ;Módulo de corte kelvin (Pa)
n1=1.05e13 ;Constante viscosa Kelvin (Pa*seg)
G2=0.9e9 ;Módulo de corte maxwell (Pa)
n2=1.0875e15 ;Constante viscosa maxwell (Pa*seg)
dildeg=10. ;Dilatancia (grados sexagecimales)
res_ten=1.33612e6 ;Resistencia a tracción (Pa)
; parametros del túnel y del sostenimiento
po=-p0
rtunel=1. ;Radio del tunel (m)
tam_x=15. ;tamaño del modelo en el eje x (m)
tam_y=1. ;tamaño del modelo en el eje y (m)
tam_z=15. ;tamaño del modelo en el eje z (m)
rad_m=1.5*tam_x
pre_sos=0.075*po ;presión de sostenimiento (Pa)
end
parm_geo
config creep
;Generación de la malla
;-----------------------------
def parm_geom
;Coordenadas del grupo terreno
x0=0.
y0=0.
z0=0.
x1=tam_x
y1=y0
z1=z0
x2=x0
y2=tam_y
z2=z0
x3=x0
y3=y0
z3=tam_z
x4=tam_x
y4=tam_y
z4=z0
x5=x0
y5=tam_y
z5=tam_z
x6=tam_x
y6=y0
z6=tam_z
x7=tam_x
y7=tam_y
z7=tam_z
x8=rtunel
y8=y0
z8=z0
x9=x0
y9=y0
z9=rtunel
x10=rtunel
y10=tam_y
z10=z0
x11=x0
Apéndice 4 Listado del código en FLAC3D 3.1
321
y11=tam_y
z11=rtunel
;Datos de la zonas del modelo
n1x=4.
n2y=4.
n3t=15.
n4r=30.
;Ratios
r1=1.
r2=1.
r3=1.
r4=1.1
end
parm_geom
gen zon radcyl p0 x0 y0 z0 p1 x1 y1 z1 p2 x2 y2 z2 p3 x3 y3 z3 p4 x4 y4 z4 p5 x5 y5 z5 &
p6 x6 y6 z6 p7 x7 y7 z7 size n1x n2y n3t n4r ratio r1 r2 r3 r4 dim rtunel rtunel rtunel rtunel fill gro tunel
;Modelo constitutivo y propiedades de cálculo
;-----------------------------------------------------------
mod cvisc
pro bul=K_e coh=cc dil=dildeg fri=fideg ten=res_ten ksh=G1 kvis=n1 msh=G2 mvis=n2 ran mod cvisc
;Condiciones de contorno axi-simétricas
;----------------------------------------------------
def parm_cc
x0m=x0-0.01
x0p=x0+0.01
y0m=y0-0.01
y0p=y0+0.01
z0m=z0-0.01
z0p=z0+0.01
x1m=x1-0.01
x1p=x1+0.01
z1m=z1-0.01
z1p=z1+0.01
x3m=x3-0.01
x3p=x3+0.01
z3m=z3-0.01
z3p=z3+0.01
y2m=y2-0.01
y2p=y2+0.01
x4m=x4-0.01
x4p=x4+0.01
x5m=x5-0.01
x5p=x5+0.01
z5m=z5-0.01
z5p=z5+0.01
x8m=x8-0.01
x9m=x9-0.01
z9m=z9-0.01
rtunelp=rtunel+0.01
rtunelm=rtunel-0.01
x_gp_con=0.7071*rtunel+0.01 ;x del nodo de control de la pared del túnel
z_gp_con=0.7071*rtunel+0.01 ;z del nodo de control de la pared del túnel
end
Apéndice 4 Listado del código en FLAC3D 3.1
322
parm_cc
;Condiciones de simetria
;-------------------------------
fix x ran x x0m x0p z z9m z3p
fix y ran cyl end1 x0 y0m z0 end2 x0 y0p z0 rad rad_m cyl end1 x0 y0m z0 end2 x0 y0p z0 rad rtunelm not
fix z ran z z0m z0p x x8m x1p
fix y ran cyl end1 x0 y2m z0 end2 x0 y2p z0 rad rad_m cyl end1 x0 y2m z0 end2 x0 y2p z0 rad rtunelm not
;fix x y z ran x x0m x0p z z0m z0p
;fix x y z ran x x1m x1p
;fix x y z ran z z3m z3p
;Inicialización de tensiones
;----------------------------------
ini sxx po
ini syy po
ini szz po
app nstre po ran x x1m x1p
app nstre po ran z z3m z3p
;Excavación del túnel
;-------------------------
mod null ran gro tunel
;Aplicación de la tensión de sostenimiento
;------------------------------------------------------
app nstre pre_sos ran cyl end1 x0 y0m z0 end2 x0 y2p z0 rad rtunelp
;Establecimiento correcto de las deformaciones de Kelvin (de acuerdo con las tensiones iniciales)
;---------------------------------------------------------------------------------
def setKstrains
p_z = zone_head
loop while p_z # null
iflag = 0
if z_model(p_z) = 'burger' then
iflag = 1
end_if
if z_model(p_z) = 'cviscous' then
iflag = 1
end_if
if iflag = 1 then
kg2 = 2.0 * z_prop(p_z, 'kshear')
if kg2 > 0.0 then
sig0 = (z_sxx(p_z) + z_syy(p_z) + z_szz(p_z))/3.0
z_prop(p_z,'k_exx') = (z_sxx(p_z) - sig0) / kg2
z_prop(p_z,'k_eyy') = (z_syy(p_z) - sig0) / kg2
z_prop(p_z,'k_ezz') = (z_szz(p_z) - sig0) / kg2
z_prop(p_z,'k_exy') = z_sxy(p_z) / kg2
z_prop(p_z,'k_exz') = z_sxz(p_z) / kg2
z_prop(p_z,'k_eyz') = z_syz(p_z) / kg2
end_if
end_if
p_z = z_next(p_z)
endloop
end
setKstrains
;Historias de control
Apéndice 4 Listado del código en FLAC3D 3.1
323
;--------------------------
his unbal ;Historia de la máxima fuerza de desbalanceo.
his ratio ;Historia de la máxima relación de desbalanceo.
his gp dis x_gp_con 0.5 z_gp_con ;Historia del desplazamiento de la pared del túnel.
;Análisis de la excavación en el t=0seg
;-------------------------------------------------
ini xv 0 yv 0 zv 0
set creep off
solve
;Figuras
;----------
plo cre 1
plo add his 3
plo sho
plo cre 2
plo set rot 0 0 0
plo set cen 1.5 0 1.5
plo set mag 3
plo add con sma out on ;Gráfico de la tensión principal menor alredor del túnel
plo add axes pos 0.5 0 0.75 scale 0.075 black
plo cre 3
plo copy 2 3 sett
plo add con dis int 0.5e-3 out on ;Gráfico del corrimiento radial alrededor del túnel
plo add his 3 xla 'iteraciones' yla 'ur (m)'
;Video
;-------
set movie avi step 20 file evol_corr_ini.avi
movie start
solve
movie finish
save conv_ini.sav
return
Código: “conv_vis_con_sos_0.075p0” new
;---------------------------------------------------------------------------------
; Cavidad cilindrica con sostenimiento constante - modelo cvisc
; alcances de este codigo:
;- análisis viscoelastico/plástico de la convergencia del túnel con tensión
; de sostenimiento constante.
;---------------------------------------------------------------------------------
;
res conv_ini.sav
title
Cavidad cilindrica con tensión de sostenimiento constante- modelo cvisc
;Historias de control adicionales
;-----------------------------------------
his dt
his crtime
;Figura 4
Apéndice 4 Listado del código en FLAC3D 3.1
324
;----------
plo cre 4
plo set rot 0 0 0
plo set cen 1 0 1
plo set mag 10
plo add con sma int 0.5e6 out on ;Gráfico de la tensión principal menor alrededor del túnel
pause
;Asignación de los parámetros para el análisis viscoelástico
;----------------------------------------------------------------------------
ini xv 0 yv 0 zv 0
set creep on
set cre dt 1.0e-5
set cre lat 10
set cre lfo 1.0e-3
set cre lmu 1.01
set cre mindt 1.0e-5
set cre maxdt 100.
set cre ufo 5.0e-3
set cre umu 0.90
set cr dt auto on
;Figuras
;----------
plo cre 5
plo add his 3 vs 5 ;Gráfico del corrimiento de la pared del túnel vs tiempo
;Video
;-------
plo cur 3
plo sub 2
plo add his 3 vs 5 xla 'Tiempo (segundos)' yla 'ur (m)'
set movie avi step 100 file corr_visc.avi
movie start
solve age 604.8e3 ;Análisis viscoelástico hasta 1 semana.
save conv_1sem.sav
solve age 2.4192e6 ;Análisis viscoelástico hasta 4 semanas.
save conv_4sem.sav
solve age 29.0304e6 ;Análisis viscoelástico hasta 48 semanas.
save conv_48sem.sav
movie finish
ret
Código: “conv_ini_con_sos_0.3p0” En este caso únicamente se debe cambiar la línea:
pre_sos=0.075*po ;presión de sostenimiento (Pa)
por la línea:
pre_sos=0.3*po ;presión de sostenimiento (Pa)
del código “conv_ini_con_sos_0.075p0”
Código: “conv_vis_con_sos_0.3p0” Es el mismo que el código: “conv_vis_con_sos_0.075p0”