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UNIVERSIDAD POLITÉCNICA DE MADRID
ESCUELA TÉCNICA SUPERIOR DE INGENIERÍA
AERONÁUTICA Y DEL ESPACIO
GRADO EN INGENIERÍA AEROESPACIAL
TRABAJO FIN DE GRADO
Definición de instrumentación para ensayos modales mediante diseño experimental.
AUTOR: Miguel ALONSO DÍAZ
ESPECIALIDAD: Vehículos Aeroespaciales
TUTOR DEL TRABAJO: Marcos CHIMENO MANGUÁN
Julio de 2018
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Resumen
A la hora de acometer un ensayo experimental de vibraciones, una de las decisiones
crıticas que deben ser tomadas es la de la posicion de los sensores. Actualmente, la mayor
parte de las veces esta decision recae sobre la experiencia y el conocimiento del experi-
mentador. En ocasiones, cuando este conocimiento no esta disponible, se hace patente la
necesidad de un algoritmo que localice las posiciones optimas de sensores en una estructura
para realizar el ensayo correctamente.
En este trabajo se ha desarrollado un algoritmo basado en modelos de elementos finitos
y herramientas de calculo modal como es el Modal Assurance Criterion (MAC) que permita
calcular las posiciones optimas de sensores para el caso de un ensayo de una viga en
voladizo y de una placa plana en condiciones libre-libre. Las frecuencias y vectores modales
obtenidos a partir de los modelos FEM han sido comparados con los aportados por modelos
analıticos. Se desarrollara el algoritmo necesario para extraer los vectores modales de un
ensayo de vibraciones, basandose en el metodo Peak Picking. Se analizaran dependencias
de parametros que influyen en la posicion optima de los sensores, principalmente numero
de sensores disponibles y numero de modos propios evaluados. Se buscaran patrones en
las posiciones finales que pueden ser seguidos para asegurar un ensayo modal correcto.
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Abstract
When undertaking experimental vibration tests, the position of the sensors is one of
the most crucial decisions to be taken. This decision is usually made by an technician with
enough knowledge and know-how about the subject. When this knowledge is not available,
it becomes clear that there is a need for an algorithm that locates the optimal positions
of sensors in a structure for the test to be performed correctly.
The present research work aims to develop an algorithm that calculates the optimal
sensor positions for the cases of a cantilever beam and a free rectangular plate. The
algorithm is based on finite element models (FEM) and modal calculation tools such as
the Modal Assurance Criterion (MAC). The modal properties have been compared to
results provided by external theorical models. The work aims to study parameters that
influence the final sensor disposition provided by the algorithm, including the number of
sensors and the number of modal frequencies considered.
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Indice general
1. Introduccion 17
1.1. Posicionamiento de sensores en un ensayo de vibraciones . . . . . . . . . . 17
1.2. Formas de abordar el posicionamiento de sensores . . . . . . . . . . . . . . 18
1.3. Objetivo del trabajo . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19
2. Metodologıa 21
2.1. Desarrollo modelos FEM . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21
2.1.1. Desarrollo modelos FEM para la viga en voladizo . . . . . . . . . . 21
2.1.2. Desarrollo modelos FEM para la placa plana . . . . . . . . . . . . . 23
2.2. Calculo de modos y frecuencias . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25
2.2.1. Calculo de frecuencias en el caso de la viga . . . . . . . . . . . . . . 25
2.2.2. Calculo de frecuencias en el caso de la placa . . . . . . . . . . . . . 26
2.3. Verificacion de la coherencia . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26
2.3.1. Verificacion por ortogonalidad . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27
2.3.2. MAC. Modal Assurance Criterion . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 28
2.4. Reduccion de Guyan . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 31
2.5. Frecuencia maxima . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 33
2.6. Problema con un numero limitado de sensores . . . . . . . . . . . . . . . . 35
2.7. Ensayo modal simulado . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 35
2.7.1. Definicion del ensayo . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 35
2.7.2. Obtencion de los desplazamientos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 36
2.7.3. Obtencion de la FRF. Observaciones . . . . . . . . . . . . . . . . . 37
2.7.4. Metodos para obtener los modos a partir de la FRF . . . . . . . . . 39
2.7.5. Metodo elegido. Peak Picking . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 41
2.8. Optimizacion posicion sensores . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 42
2.8.1. Algoritmo de fuerza bruta . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 42
2.8.2. Algoritmo de optimizacion. Variaciones . . . . . . . . . . . . . . . . 42
3. Viga en voladizo 45
3.1. Modelos FEM . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 45
3.2. Frecuencias y modos obtenidos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 46
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3.2.1. Ortogonalidad y MAC . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 47
3.3. MAC con reduccion de Guyan . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 51
3.4. MAC con frecuencia limitada . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 53
3.5. MAC para un numero limitado de sensores . . . . . . . . . . . . . . . . . . 54
3.6. Ensayo simulado de percusion . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 56
3.7. Optimizacion de la posicion de sensores . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 59
3.7.1. Estudio de la funcion de optimizacion . . . . . . . . . . . . . . . . . 59
3.7.2. Algoritmo de optimziacion . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 61
4. Placa plana. 67
4.1. Modelos FEM . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 67
4.2. Frecuencias y modos obtenidos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 68
4.2.1. MAC . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 69
4.3. MAC con reduccion de Guyan . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 70
4.4. MAC con frecuencia limitada . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 71
4.5. MAC para un numero limitado de sensores . . . . . . . . . . . . . . . . . . 71
4.5.1. Estudio de las lıneas nodales en la placa plana . . . . . . . . . . . . 71
4.5.2. Estudio de las simetrıas en la placa plana . . . . . . . . . . . . . . . 73
4.6. Ensayo simulado de percusion . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 76
4.7. Optimizacion de la posicion de sensores . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 79
4.8. Estudio de la funcion de optimizacion . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 79
4.9. Optimizacion de la posicion . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 80
4.9.1. Optimizacion distinto numero de frecuencias . . . . . . . . . . . . . 80
4.9.2. Optimizacion distinto numero de sensores . . . . . . . . . . . . . . 81
5. Conclusiones 85
10
Indice de figuras
1.1. Figuras de Chladni. Patrones formados por una sustancia granular sobre
una placa plana vibrando a determinadas frecuencias, que se corresponden
con distintos modos propios. Se observan las lıneas nodales en las que la
sustancia granular no se mueve. Estas zonas tienen desplazamiento nulo [1]. 18
2.1. Discretizacion de la viga en voladizo. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22
2.2. Representacion de los valores del MAC. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 29
2.3. Discretizacion de onda empleada: 6 puntos por longitud de onda. . . . . . 34
2.4. Ejemplo de FRF para la viga en voladizo. FRF medida en el punto medio
de la viga para una percusion localizada en el extremo en voladizo. . . . . 38
2.5. FRF de la viga en voladizo medida en el extremo en voladizo para una
percusion en el punto medio de la viga. Se observa que es identica a la FRF
mostrada en la figura 2.4, demostrando la simetrıa de la matriz de FRF’s. . 39
2.6. Esquema del proceso seguido en el algoritmo del Peak Picking. . . . . . . . 40
2.7. Esquema del proceso seguido en algoritmos basados en interpolaciones que
tienen en consideracion el resto de modos. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 41
3.1. Modos propios de la viga para la viga obtenidas por simulaciones de 5 y 20
elementos. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 48
3.2. Comprobacion de la ortogonalidad para las simulaciones de la viga en voladizo. 49
3.3. Comprobacion del MAC para las simulaciones de la viga en voladizo de 5
y 20 elemento. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 49
3.4. PMACs de desplazamientos y giros para los vectores modales obtenidos de
la simulacion de cinco elementos. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 50
3.5. PMACs de desplazamientos y giros para los vectores modales obtenidos de
la simulacion de veinte elementos. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 51
3.6. MAC de los vectores modales tras aplicar la reduccion de Guyan conside-
rando todas las frecuencias disponibles. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 52
3.7. MAC de la simulacion de 20 elementos tras aplicar Guyan y tener en cuenta
la frecuencia maxima representable. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 53
3.8. MAC y posicion arbitraria de los sensores (1/4). . . . . . . . . . . . . . . . 54
11
3.9. MAC y posicion arbitraria de los sensores (2/4). . . . . . . . . . . . . . . . 55
3.10. MAC y posicion arbitraria de los sensores (3/4). . . . . . . . . . . . . . . . 55
3.11. MAC y posicion arbitraria de los sensores (4/4). . . . . . . . . . . . . . . . 56
3.12. FRF’s medidas utilizadas en el metodo Peak Picking. . . . . . . . . . . . . 57
3.13. MAC obtenido a partir del ensayo modal simulado. . . . . . . . . . . . . . 58
3.14. Valor de yopt para distintas combinaciones de posiciones de dos sensores
considerando distinto numero de modos propios. . . . . . . . . . . . . . . . 60
3.15. Posiciones optimas de los sensores a lo largo de la viga considerando distinto
numero de frecuencias propias (simulcion de 20 elementos). . . . . . . . . . 62
3.16. Posiciones optimas de sensores en la viga considerando distinto numero de
frecuencias propias para 100 elementos.. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 63
3.17. Posiciones optimas de sensores en la viga para distinto numero de sensores
variando el numero de sensores. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 65
4.1. Modos propios de la placa plana con condiciones libre-libre. . . . . . . . . . 70
4.2. MAC de la simulacion de 20x40 elementos de la placa plana tras la reduccion
de Guyan teniendo en cuenta la frecuencia maxima representable. . . . . . 72
4.2. Isobaras que muestran las lıneas nodales de cada modo de la placa plana. . 73
4.3. Posicion de sensores que problematicas desde el punto de vista de las lineas
nodales y MAC correspondiente. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 74
4.4. Posiciones de sensores colocadas simetricamente en la placa plana y MAC
correspondiente. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 75
4.5. Posiciones de sensores colocadas de manera arbitraria en la placa plana y
MAC correspondiente. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 75
4.6. FRF medida en un punto si la percusion es aplicada en el centro de la placa. 76
4.6. FRF’s de cada uno de los puntos del ensayo modal simulado de la placa
plana. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 77
4.7. MAC obtenido a partir del ensayo simulado para la placa plana. . . . . . . 78
4.8. Posiciones optimas de cuatro sensores en la placa considerando distinto
numero de frecuencias propias. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 81
4.8. Posiciones optimas de cuatro sensores en la placa considerando distinto
numero de frecuencias propias. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 83
12
Indice de tablas
2.1. Ejemplo de tabla que muestra los valores del MAC. . . . . . . . . . . . . . 29
3.1. Comparacion de las primeras diez frecuencias propias de la viga en voladizo
obtenidas analıticamente y con las simulaciones. . . . . . . . . . . . . . . . 46
3.2. Comparacion de las primeras diez frecuencias propias obtenidas analıtica-
mente y mediante las simulaciones antes y despues de aplicar la reduccion
de Guyan. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 52
3.3. Valor de yopt para las posiciones arbitrarias dispuestas a lo largo de la viga. 54
3.4. Error absouto entre los terminos del MAC a partir de los vectores modales
del problema de autovalores y el MAC a parir de los vectores modales
provenientes del metodo Peak Picking. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 58
3.5. Valores mınimos de yopt para dos sensores con distinto numero de frecuencias
propias. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 59
3.6. Valores mınimos de yopt para tres sensores con distinto numero de modos
propios considerados. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 61
3.7. Valores de yopt mınimos y tiempos de computacion para posiciones optimas
de cuatro sensores a lo largo de la viga considerando distinto numero de
frecuencias propias (simulcion de 20 elementos). . . . . . . . . . . . . . . . 62
3.8. Valores de yopt mınimos y tiempos de computacion para posiciones optimas
de cuatro sensores a lo largo de la viga ccon distinto numero de modos
propios (simulcion de 100 elementos) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 64
3.9. Valores de yopt mınimos y tiempos para seis modos propios con numero de
sensores variable para 100 elementos. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 64
4.1. Frecuencias propias para la placa plana simplemente apoyada. . . . . . . . 68
4.2. Frecuencias propias para la placa plana en condiciones libre-libre. Obtenidas
para la simulacion con 20x40 elementos. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 69
4.3. Valores de yopt en el problema de la placa para las simulaciones consideradas. 69
4.4. Valores de yopt en el caso de la placa para las dos simulaciones consideradas. 71
13
4.5. Error absoluto entre los terminos del MAC a partir de los vectores modales
del problema de autovalores y el MAC a parir de los vectores modales
provenientes del metodo Peak Picking. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 78
4.6. Valores de yopt mınimos y tiempos para cuatro sensores. . . . . . . . . . . . 80
4.7. Valores de yopt mınimos y tiempos para seis modos propios con numero de
sensores variable para 100 elementos. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 82
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Nomenclatura
A∗ Conjugado complejo de A
B−1 Matriz inversa de B
d Desplazamientos en longitud
f Fuerzas en desplazamientos
E Modulo de elasticidad de Young
Hpq Magnitud de la Funcion de Respuesta de Frecuencia medida en el nodo p
con excitacion en q
[K] Matriz de rigidez de la estructura
[Kel] Matriz de rigidez del elemento
[Kdd] Submatriz de rigidez de los terminos referidos a desplazamientos
[Kgg] Submatriz de rigidez de los terminos referidos a giros
[Kgd] Submatriz de rigidez de terminos cruzados de desplazamientos y giros
[KGuyan] Matriz de rigidez reducida por Guyan
[M ] Matriz de masas de la estructura
[Mel] Matriz de masas del elemento
MACcdr MAC que evalua los modos c y d, con la referencia r
{q} Vector de desplazamientos
{q} Vector de aceleraciones
{q0} Condicion inicial en desplazamientos
θ Desplazamientos en giro
ψT Traspuesta de ψ
ψc Vector modal del modo c
ψcr Vector modal del modo c, referencia r
φpq Fase de la Funcion de Respuesta de Frecuencia medida en el nodo p
con excitacion en q
ω Velocidad angular
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Capıtulo 1
Introduccion
1.1. Posicionamiento de sensores en un ensayo de vi-
braciones
Actualmente, los metodos de elementos finitos (FEM) son ampliamente utilizados para
la obtencion de las caracterısticas dinamicas del sistema, lo que incluye el calculo de los
modos propios y las frecuencias propias de una estructura. Los modos propios son formas
de moverse del sistema en las que los movimientos de todos sus puntos tienen la misma
frecuencia. Estas frecuencias son las denominadas frecuencias propias.
Sin embargo, en muchas ocasiones aparecen diferencias entre las caracterısticas dinami-
cas de un sistema obtenidas por distintos modelos FEM. Igualmente, los datos experimen-
tales procedentes de ensayos pueden diferir de los resultados obtenidos por aquellos meto-
dos. En este ultimo caso es conveniente recordar que el metodo de elementos finitos es una
aproximacion a la realidad. Un ensayo llevado a cabo correctamente se asemeja mas a la
realidad que cualquier otro modelo. Es conveniente llevar a cabo ensayos experimentales
siempre que sea viable. Ası se pueden corregir los modelos de elementos finitos para que
se adecuen mas a la realidad. Este hecho hace patente la necesidad de desarrollar una
metodologıa adecuada para llevar a cabo los ensayos.
La manera mas comun de llevar a cabo un ensayo de vibraciones es mediante sensores
puntuales situados en la estructura. Se coloca un numero determinado de sensores y estos
miden la respuesta a una carga aplicada. Los datos son procesados para hallar finalmente
los modos propios, frecuencias propias y demas parametros dinamicos.
Cuantos mas sensores se colocan en la estructura, en general se podran obtener resulta-
dos mas precisos al haber mas informacion disponible. Sin embargo, el numero de sensores
suele ser limitado. Ademas, la colocacion de sensores en la estructura puede alterar los
resultados finales al cambiar la masa del sistema. De aquı surge la necesidad de estudiar el
posicionamiento optimo de los sensores para llevar a cabo el ensayo. Ası se pueden evitar
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ensayos fallidos e innecesarios, ahorrando tiempo y dinero.
1.2. Formas de abordar el posicionamiento de senso-
res
La posicion de los sensores es uno de los factores fundamentales para que un ensayo
de vibraciones sea exitoso. La gran mayorıa de veces, la colocacion de los sensores en la
estructura viene dada por la experiencia del realizador del ensayo. Un experimentador
habilidoso los colocara atendiendo distintos factores, como pueden ser el aprovechamiento
de las simetrıas de la estructura o la situacion de puntos donde los sensores son incapaces
de medir modos propios (puntos y lıneas nodales).
El principal fenomeno que hay que evitar a la hora de disponer los sensores son las
llamadas lıneas y puntos nodales. Cuando la estructura se mueve segun un modo propio,
algunos de sus puntos experimentan un desplazamiento nulo. Estas son las zonas nodales.
Un sensor dispuesto en alguna de estas zonas no detectara el movimiento de este modo
propio. De esta manera, perderemos la informacion relativa a este modo. Un experimen-
tador con conocimientos sobre la materia tendra este fenomeno en cuenta al disponer los
sensores.
Figura 1.1: Figuras de Chladni. Patrones formados por una sustancia granular sobre una
placa plana vibrando a determinadas frecuencias, que se corresponden con distintos modos
propios. Se observan las lıneas nodales en las que la sustancia granular no se mueve. Estas
zonas tienen desplazamiento nulo [1].
Ademas de la experiencia del realizador del ensayo, otro enfoque para obtener el posi-
cionamiento de los sensores es desarrollar un algoritmo de optimizacion que proporcione
la mejor disposicion posible de los sensores. La principal ventaja de esta estrategia es
que garantiza que el ensayo se llevara a cabo de manera adecuada, a cambio de aportar
recursos en el desarrollo del algoritmo de optimizacion.
Diferentes algoritmos de optimizacion usan distintas estrategias. Algunos de ellos se
centran en la optimizacion de la posicion de los sensores por metodos numericos [2], mien-
tras que otros usan algoritmos basados en Machine Learning [3].
18
1.3. Objetivo del trabajo
El objetivo del presente trabajo es desarrollar un algoritmo de optimizacion basado
en metodos numericos para obtener la posicion de los sensores que optimice el diseno
del ensayo modal. Los ensayos modales considerados seran el de una viga en voladizo y
una placa plana. El criterio de optimizacion se basara en obtener el conjunto de vectores
modales mas coherente segun la herramienta MAC, que se desarrollara mas adelante.
Para ello, se desarrollaran los modelos FEM pertinentes con los que se obtendran sus
caracterısticas dinamicas.
El trabajo se estructurara de la siguiente manera. Primero se desarrollara la metodo-
logıa general del trabajo. Este apartado incluye el desarrollo de los modelos FEM usados, el
estudio del Modal Assurance Criterion (MAC) que sera usado durante el resto del trabajo
y las especificaciones iniciales de la optimizacion objetivo. Posteriormente, se presentaran
y comentaran los resultados de los dos problemas analizados, primero el de la viga en
voladizo y posteriormente el de la placa plana. El trabajo finalizara con conclusiones sobre
los resultados y posibilidades de estudios derivados de este trabajo.
19
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Capıtulo 2
Metodologıa
En este capıtulo se presentara y expondra el proceso completo que se ha seguido du-
rante el trabajo. Primero se desarrollaran los modelos FEM, con los que se han obtenido
las frecuencias propias y modos propios de acuerdo a la teorıa clasica de vibraciones. Pos-
teriormente, se llevara a cabo un ensayo de percusion simulado para comprobar como de
diferentes son los modos obtenidos a partir de la simulacion con respecto a los elaborados
a partir de la teorıa clasica de vibraciones. Se estudiaran distintas posiciones de sensores
para observar como varıa la calidad del ensayo. Finalmente, se desarrollara el algoritmo de
optimizacion de las localizaciones de los sensores para el diseno del ensayo modal. Todas
las simulaciones se han llevado a cabo con el lenguaje de programacion MATLAB.
El problema que se desea estudiar es el de la placa plana. Este es una de las estructuras
mas ampliamente utilizadas en la ingenierıa, tanto en la industria aeronautica, arquitec-
tura, automovilıstica, etc. Ademas de la placa plana, se decidio estudiar el problema de la
viga en voladizo. Este caso es mas sencillo, y su desarrollo previo permite ciertas ventajas:
identificar potenciales problemas numericos que pueden surgir en el problema de la placa,
anticiparlos y tenerlos en cuenta desde un principio al desarrollar el codigo.
2.1. Desarrollo modelos FEM
Los modelos de elementos finitos son metodos numericos usados ampliamente en el
campo de la ingenierıa. Se desarrollaran los modelos de elementos finitos necesarios para
estudiar las caracterısticas dinamicas del sistema para los dos casos: la viga en voladizo y
la placa plana.
2.1.1. Desarrollo modelos FEM para la viga en voladizo
El problema de la viga en voladizo es uno de los clasicos de la teorıa de Resistencia
de Materiales. Consiste en una viga a la que se ha impuesto el impedimento del giro y
21
desplazamiento en uno de sus extremos.
Se ha elegido una viga de aluminio, por ser uno de los materiales mas presentes en los
laboratorios. Las caracterısticas del aluminio son las siguientes.
Modulo de Young = 70 000 MPa.
Densidad = 2700 Kg/m2.
Modulo de Poisson = 0,33.
La geometrıa de la viga es la siguiente:
Longitud = 0.5 m
Anchura = 0.05 m
Altura = 0.005 m
Se han usado elementos viga de Euler-Bernoulli para modelizar la viga en voladizo.
Esta viga solo tiene en cuenta los esfuerzos de flexion e ignora los esfuerzos cortantes. En
contraposicion, el elemento viga de Timoshenko tiene en cuenta tanto esfuerzos de flexion
como cortantes. El uso de la viga de Euler esta justificado al tratarse de una viga muy
esbelta [4]. La esbeltez de la viga propuesta es del orden de 10, suficiente para poder
modelizarla con una viga de Euler-Bernoulli.
Los elementos empleados son lineales, es decir, el elemento viga tiene dos nodos donde
se miden los desplazamientos y donde se pueden aplicar cargas. Cada nodo tiene dos grados
de libertad: desplazamiento vertical y giro. Se han elegido elementos lineales porque son
los mas sencillos y es posible introducir un mayor numero de elementos para obtener
resultados mas precisos. Se variara el numero de elementos para comprobar la influencia
de este parametro.
La discretizacion de los elementos es equiespaciada, todos los elementos tienen la misma
longitud. De esta manera, sus matrices de masa y rigidez son las mismas, facilitando la
obtencion de las matrices finales de la estructura.
Figura 2.1: Discretizacion de la viga en voladizo.
Las matrices de rigidez [Kel] y de masa [Mel] del elemento viga Euler-Bernoulli son
obtenidas a partir de la teorıa de elementos finitos, basandose en metodos energeticos [5].
22
[Kel] =EI
L3
12 6L −12 6L
6L 4L2 −6L 2L2
−12 −6L 12 −6L
6L 2L2 −6L 4L2
[Mel] =Me
420
156 22L 54 −13L
22L 4L2 13L −3L2
54 13L 156 −22L
−13L −3L2 −22L 4L2
La matriz de masas del elemento usada en primera estancia es consistente, es decir,
con coeficientes no nulos en todos sus terminos. Una aproximacion es usar una matriz de
masas diagonal, con terminos no nulos unicamente en la diagonal principal. El uso de esta
matriz esta justificado en los ordenes de los distintos terminos, como se demostrara en
siguientes apartados. Se variara la matriz de masas usada para ver su influencia en los
resultados finales.
[Mel] =Me
4
1 0 0 0
0 0 0 0
0 0 1 0
0 0 0 0
Las matrices de los elementos se ensamblan [6] teniendo en cuenta el orden de los
elementos para obtener las matrices finales de la estructura de rigidez [K] y masa [M ].
Estas son las que se usaran en la resolucion de los sistemas finales.
2.1.2. Desarrollo modelos FEM para la placa plana
Igualmente, se desarrollara el modelo FEM para la placa plana. La placa plana se ha
considerado asimismo de aluminio, por lo que comparte las propiedades del material de la
viga definidas en el apartado anterior.
La placa plana tiene las siguientes dimensiones geometricas.
Longitud = 1 m
Anchura = 2 m
Espesor = 0.005 m
23
Se ha considerado el estudio de una placa rectangular. El estudio de una placa cuadrada
implica la aparicion de numerosas frecuencias propias dobles debido a la alta simetrıa de
la estructura. Estas frecuencias son causa de que un modo puede aparecer varias veces con
distintas simetrıas y con la misma frecuencia. Al definir una placa rectangular, el numero
de frecuencias dobles se reduce sustancialmente, resultando mas interesante a efectos de
comparacion de vectores modales.
Las condiciones de contorno consideradas en el problema de la placa son libre-libre.
Estas condiciones no imponen ninguna restriccion en los grados de libertad de la placa.
Las condiciones de contorno libre-libre permiten un ensayo mas facil y asequible que
con otro tipo de condiciones, como pueden ser la de apoyo simple o un empotramiento. La
manera de imponer apoyos simples o empotramientos en un ensayo de vibraciones no es
trivial, y suele ser fuente de errores. Para el caso de las condiciones libre-libre, es posible
colgarla de elementos elasticos del techo. El empleo de las condiciones libre-libre inducen
modos como solido rıgido (traslaciones y rotaciones) que no implican deformacion de la
estructura. Estos seran descartados durante el desarrollo del problema.
Se han utilizado elementos placa de Kirchhoff para modelizar la placa. La placa de
Kirchhoff deprecia la deformacion por cortante. Otro tipo de elementos, como puede ser
la placa de Reissner-Mindlin, si tienen en cuenta estos efectos. La placa plana definda
tiene el espesor adecuado para aplicar las hipotesis de Kirchhoff. Estas hipotesis pueden
aplicarse cuando el espesor relativo esta aproximandamente entre 10 y 100 [7]. En el caso
de la placa definida, el espesor relativo es del orden de 100, siendo adecuadas las hipotesis
de Kirchhoff.
Los elementos empleados son lineales: cada elemento placa tiene cuatro nodos con tres
grados de libertad: desplazamiento vertical en el eje z y giros alrededor de x e y. Por
lo tanto, cada matriz de rigidez y masa de cada elemento tendra un tamano de 12x12
coeficientes.
Para la matriz de rigidez del elemento placa de Kirchhoff se ha recurrido a un modelo
que ha demostrado ser adecuado para placas delgadas con densidad uniforme [8]. Esta
matriz tiene en cuenta tanto esfuerzos de flexion como de torsion.
Al desarrollar el problema de la placa libre suponiendo una solucion de Rayleigh-Ritz,
se demuestra que la matriz de masas de la placa plana puede ser tomada como diagonal
[9]. En el caso de la placa definida, se cumple que los ordenes de magnitud de las inercias
masicas en desplazamientos son mucho mayores que las de los giros. De esta manera, se
puede considerar la matriz de masas del elemento placa se ha definido como una matriz
diagonal con terminos no nulos unicamente en los desplazamientos. Esta hipotesis tiene el
objetivo de facilitar el calculo de la matriz de masas.
Al igual que en el caso de la viga, las matrices de los elementos se ensamblan para
obtener las de la estructura. En el caso de la placa (un problema bidimensional), el orden
24
de los elementos no es tan trivial como en el de la viga, (unidimensional). Sin embargo, la
filosofıa es la misma.
En ninguno de los dos casos, ni la viga ni la placa, se ha optado por introducir amor-
tiguamiento. En estructuras simples como vigas y placas de aluminio, el amortiguamiento
afecta muy poco a las dos principales medidas dinamicas que se quieren seguir en el trabajo:
las frecuencias propias y los modos propios [11], estando justificado que el amortiguamiento
no sea considerado. No introduciendo estos terminos, el problema es mas sencillo.
2.2. Calculo de modos y frecuencias
Una vez se han obtenido las matrices de la estructura, se obtienen sus frecuencias y
modos propios mediante la formulacion de vibraciones [12].
Partiendo de la ecuacion final de la mecanica Lagrangiana:
[M ]{q}+ [K]{q} = {0}
Los modos propios son funciones de las propiedades del material y de su geometrıa,
independientes de la carga. Para la obtencion de los modos propios, las cargas impuestas
son nulas [14].
Suponiendo respuestas armonicas del sistema con la misma frecuencia y cargas nulas:
{q} = {q0}eiωt
[M ][−ω2]{q0}eiωt + [K]{q0}eiωt = {0}
{[K]− ω2[M ]
}= 0 (2.1)
Se llega finalmente a un problema de autovalores y autovectores. Su resolucion propor-
ciona los vectores modales y frecuencias propias, que se corresponden con los autovalores y
autovectores. La expresion final (2.1) es general para todos los sistemas dinamicos siempre
que no se tenga en cuenta el amortiguamiento.
Con el fin de evaluar la precision del metodo descrito, las frecuencias propias obtenidas
del problema de autovalores se compararan con las obtenidas por otros medios teoricos.
2.2.1. Calculo de frecuencias en el caso de la viga
Para el caso de la viga en voladizo, las frecuencias tienen solucion analıtica al resolver
el problema por modelos continuos basandose en la teorıa de vigas de Euler-Bernuilli [13].
Estas toman la forma:
25
fn =βn
2
2πL2
√EI
ρA
βnL = 1,875, 4,694, 7,854, 10,996, 14,137, 17,279...
Las frecuencias propias obtenidas por este metodo teorico se consideraran las reales de
la viga.
2.2.2. Calculo de frecuencias en el caso de la placa
En el caso de la placa plana, a pesar de que existen modelos para obtener frecuencias
propias en problemas con condiciones de contorno libre-libre, las soluciones que proporio-
nan estos modelos son muy complejas [9] [10]. Se decidio variar las condiciones de contorno
a otras que proporcionen soluciones analıticas mas sencillas con el objetivo de validar el
conjunto del codigo numerico. Se ha estudiado el problema de la placa en condiciones de
contorno simplemente apoyada, del que se conocen las frecuencias propias [14]. Dichas fre-
cuencias son obtenidas suponiendo una serie de senos a lo largo de la placa que modelizan
los modos propios. Tienen la siguiente forma:
wmn = π2(m2
a2+n2
b2)
√D
ρh
D =Eh3
12(1− ν)
Por otro lado, las frecuencias propias de la placa en condiciones libre-libre se compro-
baran usando el programa Nastran-Patran.
El problema de autovalores 2.1 proporciona las frecuencias y vectores modales del
sistema. Una vez comprobadas las frecuencias propias comparandolas con los metodos
antes mencionados (que se consideran los reales de la estructura) es necesario confirmar
que los vectores modales son correctos.
2.3. Verificacion de la coherencia
La comporbacion de la validez de los vectores modales es un paso fundamental en
un ensayo de vibraciones. En un ensayo real hay factores que pueden alterar las medidas
sustancialmente (ruido, instrumentos poco precisos, una mala ejecucion del ensayo, etc).
Algunos autores denominan al criterio para comprobar si los vectores modales son correctos
la funcion de coherencia [16]. La coherencia es, en este caso, una herramienta que mide
26
la calidad de los datos obtenidos, asegurando que estos vectores representan los modos
dinamicos de la estructura.
La funcion de coherencia puede evaluarse de diversas maneras. El primer metodo que
historicamente se ha usado para corroborar la validez del ensayo ha sido la comprobacion
de la ortogonalidad entre los vectores modales.
2.3.1. Verificacion por ortogonalidad
Los vectores modales de una estructura deben ser ortogonales entre sı respecto a las
matrices de masa y rigidez del sistema.
Este hecho es evidente al recordar que son soluciones de un problema de autovalo-
res. Los autovalores son por definicion ortogonales. Comprobando la ortogonalidad, se
determina si los vectores son efectivamente los modales del sistema. Matematicamente, la
ortogonalidad se expresa de la siguiente manera.
Para r 6= s {ψr}[M ]{ψs} = 0
Para r = s {ψr}[M ]{ψs} = [Mr]
La ortogonalidad se puede expresar con respecto a cualquier matriz de la estructura:
masa [M ] o rigidez [K].
Uno de los problemas de usar la ortogonalidad como funcion de coherencia es que al
menos una de las matrices de la estructura es necesaria. La matriz debe ser obtenida por un
metodo FEM. Esta suele ser la matriz de masas, ya que son las mas precisas y asequibles
de obtener por estos metodos [15]. La matriz de masas empleada debe ademas tener las
mismas dimensiones que los vectores modales, cuya dimension coincide con el numero de
sensores. Como el modelo FEM suele proporcionar una matriz de masas con dimensiones
mucho mayores, se requiere un algoritmo de reduccion de matrices.
Si la condicion de ortogonalidad no se cumple, puede ser por alguno de estos tres
motivos:
1. Los vectores modales son erroneos.
2. La matriz de masas es erronea.
3. La reduccion de la matriz de masas es erronea.
El objetivo del ensayo es medir los vectores modales de la estructura. Sin embargo, la
comprobacion de la ortogonalidad no indica cual de estas situaciones es la causa del apa-
rente error en la ortogonalidad. Desde el punto de vista del responsable del experimento,
27
es importante desarrollar un metodo para saber en que casos los vectores modales son la
causa del problema. Con este objetivo surgen nuevas maneras de asegurar la coherencia
entre vectores. Una de ellas es el Modal Assurance Criterion (MAC).
2.3.2. MAC. Modal Assurance Criterion
El Modal Assurance Criterion (MAC) es un procedimiento que permiten comparar
vectores modales, proporcionando una medida de coherencia entre ellos. Es un indicador
estadıstico, siendo sensible a los mayores cambios de los coeficientes e insensible a los
cambios menores [15]. El MAC actua como un indicador del grado de causalidad entre
estas estimaciones.
Definicion del MAC
El MAC es calculado como el producto escalar normalizado entre dos sets de vectores
que forma una matriz. Matematicamente se expresa de la siguiente manera:
MACcdr ={ψcr}{ψ∗
dr}{ψcr}{ψ∗
crψdr}{ψ∗dr}
(2.2)
No incluye la matriz de masa, diferencia fundamental con el metodo de comprobacion
de la coherencia con la ortogonalidad. De esta manera, el MAC tiene una aplicacion mucho
mas directa al no requerir el calculo de aquella matriz. Si el MAC no es correcto, se puede
asegurar que el fallo es causado por los vectores modales. Esta es la principal ventaja de
este metodo de comprobacion.
Otra ventaja del MAC es la normalizacion de los valores obtenidos. Proporciona una
matriz cuadrada de dimensiones igual al numero de vectores modales analizados. Sus
coeficientes toman valores de 0, cuando no existe correspondencia entre vectores, a 1,
que representa la total consistencia, y por lo tanto, se refieren al mismo modo. Esto
proporciona una representacion grafica muy intuitiva, proporcionando en el caso ideal una
matriz identidad. El MAC puede mostrarse graficamente (figura 2.2) o en una tabla (tabla
2.1).
28
Modo 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13
1 1,000 0,003 0,138 0,148 0,332 0,011 0,133 0,001 0,172 0,243 0,063 0,433 0,608
2 0,003 1,000 0,003 0,000 0,006 0,000 0,005 0,007 0,004 0,001 0,000 0,001 0,000
3 0,138 0,003 1,000 0,131 0,376 0,000 0,000 0,079 0,030 0,011 0,007 0,005 0,008
4 0,148 0,000 0,131 1,000 0,108 0,082 0,066 0,018 0,019 0,105 0,009 0,008 0,028
5 0,332 0,006 0,376 0,108 1,000 0,018 0,011 0,107 0,000 0,085 0,011 0,069 0,056
6 0,011 0,000 0,000 0,082 0,018 1,000 0,020 0,140 0,015 0,005 0,029 0,040 0,004
7 0,133 0,005 0,000 0,066 0,011 0,020 1,000 0,033 0,216 0,138 0,002 0,180 0,058
8 0,001 0,007 0,079 0,018 0,107 0,140 0,033 1,000 0,083 0,093 0,184 0,033 0,018
9 0,172 0,004 0,030 0,019 0,000 0,015 0,216 0,083 1,000 0,221 0,009 0,258 0,097
10 0,243 0,001 0,011 0,105 0,085 0,005 0,138 0,093 0,221 1,000 0,070 0,054 0,060
11 0,063 0,000 0,007 0,009 0,011 0,029 0,002 0,184 0,009 0,070 1,000 0,019 0,236
12 0,433 0,001 0,005 0,008 0,069 0,040 0,180 0,033 0,258 0,054 0,019 1,000 0,192
13 0,608 0,000 0,008 0,028 0,056 0,004 0,058 0,018 0,097 0,060 0,236 0,192 1,000
Tabla 2.1: Ejemplo de tabla que muestra los valores del MAC.
(a) Representacion del MAC en 2D. (b) Representacion del MAC en 3D.
Figura 2.2: Representacion de los valores del MAC.
Condiciones en las que el MAC es valido
Sin embargo, para que el grado de coherencia del MAC sea equivalente al de ortogona-
lidad como funcion de coherencia, hay que comprobar que no se estan dando situaciones
que lleven a una conclusion erronea. Las situaciones que pueden ser la causa de un MAC
proximo a cero son:
Que el sistema sea no estacionario. Si esto ocurre, dos vectores que se suponen
29
coherentes podran estar sometidos a distintos niveles de excitacion.
La existencia de ruido, que no puede ser eliminado del set de datos recogido.
Que los vectores modales sean, efectivamente, ortogonales.
Las posibles situaciones que provocan un MAC proximo a la unidad son:
Los vectores modales han sido medidos de manera incompleta. Esto puede suceder
si no se han colocado suficientes sensores para medir la respuesta de la estructura
correctamente.
Los vectores modales obtenidos han sido provocados por una fuerza externa distinta
a la considerada. Esto puede deberse, por ejemplo, a una pieza indeseada del equipo
que esta en contacto con la estructura estudiada.
Los vectores modales son ruido coherente.
Los vectores modales son, efectivamente, coherentes.
Si las causas indeseables son descartadas, el resultado del MAC puede ser interpretado
como una medida de la ortogonalidad. Sin embargo, no son exactamente iguales. El MAC
se basa en la posicion de los sensores que detectan los grados de libertad de interes de la
estructura, pero no detecta ni mide matrices de masa ni rigidez (algo que sı hace la orto-
gonalidad). Esto provoca que colocar un numero suficientes de sensores sea imprescindible
para que el MAC lleve a un resultado satisfactorio, sobre todo en una estructura compleja.
Un numero insuficiente de sensores es una de las principales causas del error del MAC.
Dicho de otra manera: dos vectores modales seran siempre ortogonales. Pero el coefi-
ciente del MAC correspondiente que mide la relacion entre los dos vectores no tiene por
que ser exactamente nulo.
En el caso de la simulacion por metodos de elementos finitos, no existe ruido ni terminos
no estacionarios que puedan dar lugar a fallos del MAC. Lo que sı afectara es el numero
y la posicion de los sensores. Si el modo no es detectado con una suficiente cantidad de
informacion, es probable que sea confundido con otro modo.
Utilidades y ventajas del MAC.
El metodo MAC tiene muchas utilidades en casos diversos.
Puede ser utilizado para comprobar el grado de coherencia de los vectores modales,
comparandolos entre sı. Es lo que se conoce como AutoMAC. El MAC puede comprobar la
coherencia de los modos medidos desde distintas localizaciones de sensores o para detectar
cambios en los vectores modales tras una modificacion de la estructura.
30
Tambien es usado para comparar vectores obtenidos de distintas fuentes, como puede
ser los procedentes de ensayos experimentales y los proporcionados por simulaciones con
modelos FEM. Este uso se denomina CrossMAC.
Esta versatilidad, junto con la inmediatez de su uso, hace que el Modal Assurance
Criterion sea una potente herramienta en el calculo dinamico estructural.
Diferentes versiones del MAC.
Ademas del metodo MAC original, hay diversas modificaciones que son apropiadas
para casos particulares [15]. Algunas de ellos son:
Partial Modal Analysis Criterion (PMAC) [17]. El PMAC fue desarrollado como una
version limitada del Modal Assurance Criterion en la que solo se usa un subconjunto
de los coeficientes de los vectores modales. Este subconjunto es elegido por el usuario
y suele reflejar solo uno de los grados de libertad de los varios que contengan los
vectores modales.
Scaled Modal Assurance Criterion (SMAC) [18]. El SMAC es un caso en el que
se aplican pesos en forma de matrices elegidos para equilibrar el escalamiento del
MAC cuando se incluyen diversos grados de libertad (traslaciones y rotaciones, por
ejemplo). Esto es necesario ya que el MAC es dominado por valores grandes. Es
posible que uno de los grados de libertad este dando valores mucho mas grandes que
otro.
Modal Assurance Criterion Square Root (MACSR) [19], ideado para ser mas con-
sistente con la condicion de ortogonalidad. Se basa en la raız cuadrada del MAC,
tendiendo a aumentar los valores bajos no nulos del MAC.
Todas las variaciones del MAC comparten el concepto y la premisa comun del MAC
original. En este trabajo se usara principalmente el MAC debido a su simplicidad y sus
ventajas, y en ocasiones puntuales se usara el PMAC.
2.4. Reduccion de Guyan
Desde el punto de vista ingenieril, los desplazamientos son magnitudes mucho mas utiles
para ser medidas que los giros. En un ensayo, la mayorıa de los sensores pueden medir
facilmente desplazamientos, mientras que mediciones de giros son complicadas. Ademas,
la informacion de la posicion de la estructura esta ya contenida en los desplazamientos,
siendo los giros redundantes. Por otro lado, una reduccion de las matrices disminuye el
tiempo de procesado del programa y la memoria usada.
31
Los vectores modales contienen tanto grados de libertad de traslacion (desplazamien-
tos) como de rotacion (giros). Esta combinacion de grados de libertad de distinta natura-
leza pueda dar problemas al evaluar el MAC [15].
Con el doble objetivo de ahorrar memoria y tiempo de procesado, y de mejorar el MAC
al tener solo en cuenta un tipo de grado de libertad, se eliminaran los grados de libertad de
giros de los vectores modales. Para ello se hara uso de la reduccion de matrices de Guyan.
La reduccion de Guyan es una de las tecnicas mas utilizadas en problemas estructurales
para reducir el tamano de las matrices del sistema [20]. Sus mayores ventajas son su
eficiencia y su facilidad de implementacion. Sin embargo, esta reduccion es aceptable
unicamente si se cumplen determinadas hipotesis:
Que los terminos de la matriz de masas sean menores que los de rigidez [20]. Esta
condicion se cumple tanto en la viga en voladizo como en la placa plana, siendo los
ratios entre terminos de rigidez y masa de ordenes 109 y 105 respectivamente.
Los terminos de masa de los grados de libertad omitidos (en este caso, los giros)
deben ser de menor orden que los terminos masicos de los grados de libertad conser-
vados (desplazamientos) [20].
En el caso de la viga, esta hipotesis se cumple, los terminos masicos de desplaza-
mientos son del orden de 103 veces mayores que los asociados a giros.
Para asegurar el cumplimiento de esta condicion, las matrices de masa de la viga y
la placa se modificaran antes de aplicar la reduccion de Guyan.
La matriz de masas usada para aplicar la reduccion sera una matriz de masas con-
centradas en los nodos, con coeficientes no nulos unicamente en los terminos de
desplazamientos de la diagonal principal. Con este cambio se introducira un error
en las frecuencias y modos propios, pero se garantizara que se cumple uno de los
requisitos necesarios para acometer la reduccion de Guyan.
No hay cargas de momentos aplicadas sobre los giros [20]. En efecto, las cargas
supuestas en el ensayo modal se aplicaran unicamente sobre los grados de libertad
de desplazamiento en forma de percusiones. Este caso es la carga mas facil de aplicar
en un ensayo.
El metodo de reduccion de Guyan esta pensado para equilibrios estaticos. Sin embargo,
es valido para obtener la rigidez de la estructura. Las caracterısticas de rigidez y masa no
cambian dependiendo del tipo de problema, son constantes.
32
A continuacion se muestra la formulacion de la reduccion de Guyan. En cuanto a la
matriz de rigidez:
{Kdd Kdg
Kgd Kgg
}{d
θ
}=
{f
0
}
Kgdd+Kggθ = 0
θ = −K−1gg Kgdd
{Kdd −K−1gg Kgd}d = f
KGuyan = {Kdd −K−1gg Kgd} (2.3)
Al reducir la matriz de masas puntuales concentradas en los nodos, es necesario refor-
mular la reduccion para evitar la aparicion de terminos infinitos.{Mdd 0
0 0
}{d
θ
}=
{f
0
}
MGuyan = Mdd (2.4)
Tras aplicar las reducciones, el tamano de las matrices se reduce a la mitad en el caso
de la viga, y a un tercio en el caso de la placa. Las matrices reducidas se someten al
problema de vibraciones anteriormente enunciado 2.1.
2.5. Frecuencia maxima
El problema de vibraciones proporciona tantas frecuencias propias como grados de
libertad incluye el modelo. Conforme aumenta el numero de elementos, se obtienen mayores
frecuencias propias.
Las frecuencias proporcionadas por el modelo FEM son comparadas con frecuencias
analıticas procedentes de otros modelos, que se toman como correctas. Se halla el error
relativo entre las frecuencias obtenidas por ambos metodos.
El error relativo se incrementa de forma general en cuanto las frecuencias consideradas
son mas elevadas, hasta que llega un punto en el que no es posible darlas por validas.
El siguiente paso es buscar un criterio para establecer cual es la frecuencia maxima que
se puede considerar correcta. Solo los modos propios cuya frecuencia es menor que la
frecuencia maxima son tenidos en cuenta en el calculo del MAC.
Los modos propios estan formados por ondas. Estas ondas que se propagan por la es-
tructura tienen una resolucion que coincide con el mallado del modelo de elementos finitos
33
empleado, ya que solo se miden desplazamientos en los nodos de los elementos. Se puede
imponer una resolucion mınima para las ondas. Una vez impuesta una resolucion mınima,
y sabiendo los elementos del modelo FEM, es posible conocer la frecuencia maxima que
puede ser representada correctamente. Las frecuencias propias por debajo de la frecuencia
maxima se consideran no lo suficientemente precisas. Conforme aumenta el numero de
elementos, un mayor numero de frecuencias propias halladas son mas exactas.
Cada estructura tiene una velocidad de propagacion de las ondas en flexion que depende
de sus caracterısticas geometricas y del material. Cuando la estructura se mueve segun
un modo propio, lo hara con una determinada frecuencia, la frecuencia propia. A mayores
frecuencias propias, mayor sera igualmente la velocidad de propagacion de las ondas en
flexion, y por tanto, menor sera su longitud de onda caracterıstica.
Cuanto menor es la longitud de onda caracterıstica, mas difıcil es su representacion,
basada en la discretizacion del modelo FEM empleado. Llega un momento en el que, para
un numero de elementos dado, la onda tiene muy poca resolucion, siendo imposible su
correcta representacion.
El criterio a partir del cual una onda se considera poco precisa es variable. El requisito
mınimo para que una onda sea representable es la obtencion de dos puntos por longitud
de onda. Para este trabajo, el criterio empleado es el de las representacion de seis puntos
por longitud de onda 2.3.
De esta manera, una vez se enuncia el criterio mınimo de puntos por longitud de onda,
hay una relacion directa entre el numero de elementos empleado y el numero de modos
propios que se puede tomar como valido.
Figura 2.3: Discretizacion de onda empleada: 6 puntos por longitud de onda.
Se pueden hallas las velocidades caracterısticas tanto de la viga como de la placa [21],
obteniendo junto al criterio de resolucion enunciado anteriormente la frecuencia maxima.
De esta manera, el problema inicial ha sido sometido a dos modificaciones:
34
Reduccion de Guyan.
Consideracion unicamente de modos con una frecuencia menor a una frecuencia
maxima.
Con estas variaciones, las matrices se someteran al problema de autovalores. Se calcu-
laran los nuevos vectores modales y el MAC para el problema.
2.6. Problema con un numero limitado de sensores
El problema de autovalores halla los modos considerando todos los nodos del modelo
FEM en los que hay desplazamiento. En un ensayo en la vida real, se tiene un numero
limitado de sensores que se disponen en la estructura. Para ilustrar este caso, se elegiran
determinados puntos del modelo FEM para hallar el MAC unicamente con la informacion
que estos proporcionan.
Se variaran las posiciones de los sensores de manera arbitraria para tener una primera
idea de como varıa el MAC. Para el caso de la placa plana se llevara a cabo un estudio
mas exhaustivo de potenciales problemas que encontrara un experimentador a la hora de
realizar un ensayo de vibraciones. Estos problemas son, principalmente, la existencia de
las lıneas nodales y las simetrıas presentes en la placa plana.
2.7. Ensayo modal simulado
En un ensayo real no se pueden obtener los vectores modales a partir de la resolucion
de un problema de autovalores. Es necesario obtener esta informacion de otra manera.
En el siguiente apartado se desarrolla la manera de proceder para obtener los vectores
modales a partir de mediciones realizadas en ensayo simulado basado en el mismo modelo
FEM. Se aplicara tanto para el caso de la viga como para el de placa.
2.7.1. Definicion del ensayo
Se medira la respuesta de la estructura a una carga externa. La manera de definir esta
carga condicionara el ensayo y las medidas obtenidas.
El ensayo puede seguir dos filosofıas segun el tipo de excitacion aplicada. Puede ser un
shaker test o un impact test. Mientras en el shaker test la carga se aplica con un vibrador,
el impact test hace uso de una especie de martillo para provocar una percusion en la
estructura.
El shaker test emplea un vibrador con el que se puede variar la frecuencia de la exci-
tacion. Esto permite un barrido en frecuencias que facilita la obtencion de la Funciones
35
de Respuesta de Frecuencia (FRF), de las que se hablara mas adelante. Para que este
metodo sea valido, el vibrador debe estar excitando a una frecuencia concreta el tiempo
suficiente para que solo sea visible la parte estacionaria de la respuesta, sin que incluya
el regimen transitorio. Este tiempo de espera hace el ensayo excesivamente largo. Aun
con este inconveniente, el barrido en frecuencias permite buscar y obtener con bastante
precision las frecuencias de resonancia de un sistema (Resonance search) en un tiempo
razonable si se sabe aproximadamente el intervalo de frecuencia en el que se encuentran.
Otro enfoque del shaker test implica no aplicar una excitacion de una frecuencia con-
creta, sino utilizar una senal que se denomina ruido blanco. La densidad espectral de
potencia de esta senal aleatoria es constante, por lo que contiene todas las frecuencias con
la misma potencia.
El impact test emplea la percusion producida por un martillo en la estructura. En este
caso, se obtiene un movimiento transitorio y no estacionario. La senal obtenida debe ser
convertida mediante la Transformada de Fourier al dominio de la frecuencia. Este tipo de
ensayo no garantiza que la senal sea periodica. Por ello, es necesario recurrir a windows,
herramientas que aseguran que se puede aplicar la transformacion. Una de las ventajas
apreciables del impact test es que es mucho mas sencillo mover un martillo que un vibrador
a lo largo de la estructura.
En el caso del ensayo simulado en el presente trabajo, se ha decidido usar una per-
cusion como carga externa. Al no haber introducido amortiguamiento, la senal sera lo
suficintemente periodica como para no ser necesaria la aplicacion de windows.
Se elige el punto en el que se aplicara la percusion y los puntos en los que se eva-
luara el desplazamiento. Evaluar el desplazamiento equivale a instalar un sensor en esta
localizacion.
El primer paso es obtener los desplazamientos de los puntos donde se han colocado los
sensores. Posteriormente, se obtendra la medida mas importante del ensayo de vibraciones:
la matriz de Funcion de Respuesta de Frecuencia (FRF), que representa el cociente entre la
respuesta del sistema (output) y la fuerza aplicada (input). Suele dar suficiente informacion
para determinar los modos y frecuencias propias.
2.7.2. Obtencion de los desplazamientos
Es posible hallar las respuestas en los nodos de los elementos de la viga y de la placa
a partir de la teorıa de vibraciones [12]. A continuacion, se muestra el procedimiento para
la obtencion de los desplazamientos q de los puntos de la viga para una percusion dada.
[M ]{q}+ [K]{q} = {0}
{q0} = {0}
36
{q0} =
0
0...
1
(2.5)
La ecuacion y condiciones iniciales se premultiplican y multiplican por [ψ]T y [ψ] res-
pectivamente para que los terminos puedan desacoplarse, quedando con la forma:
m1η1 + k1η1 = 0
{η10} = {0}
{ ˙η10} = [ψ]T{ ˙q10}
La solucion de la ecuacion diferencial toma la forma:
η1 =˙η10ω1
sen(ω1t)
El vector q muestra la respuesta de estos puntos de la estructura en funcion del tiempo.
Sin embargo, el dominio del tiempo no es el mas util para obtener las caracterısticas
modales. Es mucho mas util el de la frecuencia. La ventaja mas obvia de este cambio
de dominio es la extraccion directa de las frecuencias propias [16]. La respuesta de la
estructura en este dominio es lo que se conoce como Funciones de Respuesta de Frecuencia
(FRF).
2.7.3. Obtencion de la FRF. Observaciones
Para pasar del dominio del tiempo a la frecuencia se usa la transformada de Fourier.
En el codigo desarrollado se usara el algoritmo Fast Fourier transform (fft). Este algoritmo
es una aplicacion numerica de la transformada de Fourier analıtica.
Para la obtencion de los modos de la estructura los datos utiles de la FRF son su mag-
nitud y su fase. Las representaciones de la FRF seran dobles, mostrando ambos aspectos
de la funcion. Conceptualmente, la magnitud de la FRF indica la amplitud relativa del
desplazamiento del punto donde ha sido medida para las distintas frecuencias, y la fase,
su posicion con respecto al resto de puntos. Un pico en la magnitud de FRF indica la
presencia de un modo propio para esa frecuencia (ver figura 2.4).
Cada punto estudiado tiene asociada una FRF distinta para cada localizacion de la
percusion. Este hecho implica que se hable de una “matriz de FRF’s”, en las que se
contemplan todas las posibles combinaciones de puntos donde el desplazamiento es medido
y puntos donde se aplica la percusion.
37
Figura 2.4: Ejemplo de FRF para la viga en voladizo. FRF medida en el punto medio de
la viga para una percusion localizada en el extremo en voladizo.
La matriz de FRF’s es simetrica. Esto es debido a que todas las matrices involucradas
en el problema son simetricas [16]. Se traduce en que el punto donde se aplica la percusion
y donde se mide el desplazamiento se pueden intercambiar, dando lugar a identica FRF. La
figura 2.5 hace patente dicha simetrıa al evaluar el punto en voladizo para una percusion
aplicada en el centro de la viga. La FRF es la misma que la de la figura 2.4.
En ocasiones la FRF no representa adecuadamente un modo propio determinado. Esto
ocurre cuando el punto en el que se esta evaluando la respuesta es un punto nodal de dicho
modo propio [16].
Una solucion para este problema es colocar mas sensores, pero el numero de sensores
suele ser una limitacion en el ensayo. Una de las primeras soluciones propuestas por Ri-
chardson y Kniskern [22] a este problema es hacer la suma media de distintas columnas o
filas de la FRF. De esta manera, las columnas (o filas) que tengan informacion sesgada o
incorrecta son compensadas con el resto. Esta solucion puede ser adecuada si a priori no
se conocen las frecuencias propias del sistema.
El siguiente paso es obtener las formas y vectores modales a partir de la FRF.
38
Figura 2.5: FRF de la viga en voladizo medida en el extremo en voladizo para una percusion
en el punto medio de la viga. Se observa que es identica a la FRF mostrada en la figura
2.4, demostrando la simetrıa de la matriz de FRF’s.
2.7.4. Metodos para obtener los modos a partir de la FRF
Hay diversos metodos para obtener los vectores modales a partir de la FRF del sistema.
Uno de los metodos mas sencillos usados con este objetivo es el metodo Peak Picking.
El metodo Peak Picking parte de la hipotesis de que para cada frecuencia propia, toda
la respuesta recogida en la FRF es debida a su modo propio correspondiente [23]. En ese
supuesto, cada pico (peak) de la FRF puede ser aislado y se corresponde con un modo
propio. La frecuencia a la que este pico ocurre es la frecuencia propia de dicho modo. La
amplitud de la magnitud de la FRF a esa frecuencia se corresponde con el modulo de la
magnitud de la FRF. El signo del desplazamiento viene dado por el signo de la fase de
FRF. Repitiendo el proceso con varias FRF’s se obtiene el valor del vector modal.
Es decir, para cada uno de los modos:
qij(1) = Hij(1) sign(φij(1))
39
Figura 2.6: Esquema del proceso seguido en el algoritmo del Peak Picking.
La principal ventaja de este metodo es su simplicidad y su precision en casos no exce-
sivamente complejos. Sin embargo, tiene ciertos inconvenientes:
Parte de la hipotesis de que a una frecuencia propia la respuesta es unicamente causa
de un modo. Esto no es cierto, el resto de modos tambien contribuyen. La hipotesis
es aun menos adecuada si hay dos frecuencias propias muy proximas.
El metodo Peak Picking necesita el valor de los picos de la FRF, muy difıciles de
medir en un caso real debido al ruido de la senal.
Este ultimo impedimento no influye en la simulacion de un ensayo modal , ya que la
precision de la FRF puede ser ajustada sin problemas (no depende de la precision de los
sensores del laboratorio, sino del codigo del programa) y no hay ruido. Sin embargo, la
proximidad de las frecuencias propias en el caso de la placa puede suponer un problema.
Existen modificaciones propuestas al metodo Peak Picking original para obtener unos
mejores resultados con el objetivo de eliminar la influencia de unos modos sobre otros en
frecuencias cercanas a las propias. Unaa posible modificacion conssite en, primero, hallar
las caracterısticas modales relativas solo a la primera frecuencia propia. Luego, se forma
una FRF de un solo grado de libertad relativa a esta frecuencia y es restada a la FRF
global. De esta manera, el resto de frecuencias no se ven afectadas por la primera. Se
procede de igual manera para las siguientes frecuencias.
Este metodo puede ser adecuado para el caso de un ensayo con percusion, ya que los
modos con menores frecuencias propias tienen en general mayor magnitud que el resto,
distorsionando mas la grafica para el resto de modos.
Otros metodos para obtener las caracterısticas modales mas proximos a la realidad
consideran desde un principio que hay distintos modos en la FRF. Mediante interpelacio-
nes, se determinan las caracterısticas modales del sistema. Algunos de ellos son el Complex
Mode Indicator Function (CMIF) [23], que realiza una interpolacion por mınimos cuadra-
tos, o el Curve-fitting [23], que se basa en la representacion del cırculo de Nyquist hasta
40
obtener las caraterısticas modales correctas. Estos algoritmos son mas complejos que el
metodo Peak Picking y adecuados para estructuras complejas.
Figura 2.7: Esquema del proceso seguido en algoritmos basados en interpolaciones que
tienen en consideracion el resto de modos.
2.7.5. Metodo elegido. Peak Picking
De entre las distintas opciones disponibles para hallar los vectores modales, se valoro
el desempeno de cada una en el codigo.
El lenguaje MATLAB en el que se ha desarrollado todo el codigo tiene implementadas
rutinas para analizar las frecuencias propias y vectores modales a partir de la FRF a traves
de la funcion modalfit. Sin embargo, esta funcion ofrecio resultados instisfactorios, por lo
que se opto por desarrollar el algoritmo del metodo Peak Picking en MATLAB.
Las frecuencias propias son senaladas a partir de una FRF media entre todas las
medidas. Esto tiene el objetivo de asegurar la presencia de los picos en la magnitud de
la FRF relativos a todos los modos propios, en el caso de que alguno de los sensores se
encuentre en un punto nodal.
Tras la localizacion de las frecuencias propias, se obtiene la magnitud y fase de las
FRF’s correspondientes al resto de grados de libertad, informacion a partir de la cual se
obtienen las caracterısticas modales mediante el metodo Peak Picking.
De esta manera se completa el ensayo modal simulado. Los vectores obtenidos se com-
pararan con los surgidos del problema de autovalores y autovectores para determinar la
precision del metodo Peak Picking tanto en el problema de la viga en voladizo como en el
de la placa plana.
41
2.8. Optimizacion posicion sensores
Hasta ahora se han elegido arbitrariamente las posiciones donde se colocan los senso-
res. El siguiente paso es desarrollar un algoritmo que logre encontrar las posiciones que
permitan obtener las medidas de los vectores modales que sean mas coherentes entre sı.
Para ello se hara uso del MAC.
La calidad de los vectores modales obtenidos se mide con el MAC descrito en el
apartado 2.3.2. En el caso ideal, los coeficientes de la diagonal del MAC tienen de valor
unidad y el resto de coeficientes son nulos.
Como se pretende que los vectores modales sean lo mas coherentes posibles y la cohe-
rencia se mide a traves del MAC, la funcion a optimizar dependera de este. La funcion
elegida ha sido la de la media cuadratica de los terminos fuera de la diagonal del MAC,
inspirada en la funcion desviacion estandar estadıstica.
yopt =
√√√√ 1
(N − 1)
n∑i,j=1
MACij2 si i 6= j
Se han probado otras funciones de optimizacion, entre ellas la de la media aritmetica,
pero no hay diferencias apreciables en los resultados finales obtenidos.
El uso de esta funcion ofrece otra la ventaja de que con su valor se puede deducir
la calidad del MAC rapidamente. Un MAC correcto debe tener sus terminos fuera de la
diagonal principal por debajo de 0.2 [15]. La funcion de optimizacion yopt deberıa estar por
debajo de este valor para considerar un MAC valido, sin necesidad de representar siempre
los valores.
2.8.1. Algoritmo de fuerza bruta
El problema de la viga en voladizo es lo suficientemente facil como para permitir una
optimizacion con un algoritmo de fuerza bruta, es decir, comprobando todas las posibili-
dades posibles. Este algoritmo proporcionara informacion valiosa a tener en cuenta en el
momento de implementar el algoritmo de optimizacion.
2.8.2. Algoritmo de optimizacion. Variaciones
Se han valorado distintos algoritmos para el desarrollo del metodo de optimizacion.
En primer lugar, se trabajo con un algoritmo de optimizacion que usa metodos clasicos
de optimizacion, basados en gradientes de funciones [24]. La funcion fmincon de MATLAB
se basa en estos algoritmos. Esta funcion permite establecer condiciones y restricciones a
las soluciones.
42
El principal problema que surgio al usar esta funcion es que este tipo de algoritmos
presenta dificultades para admitir inputs enteros. La posicion de los sensores, precisamente,
se localiza como combinacion de numeros enteros. Este obstaculo se intento resolver con
dos estrategias:
Redondeando los inputs al numero entero mas proximo (round) para que la funcion
fmincon pudiera trabajar con ellos.
Manipular los parametros internos de la funcion fmincon, concretamente los incre-
mentos mınimos y la tolerancia de la optimizacion.
Aun ası, este algoritmo no ofrecıa buenos resultados. Se valoro implementar otro algo-
ritmo.
Otros metodos de optimizacion se basan en algoritmos geneticos. Estos se basan en una
poblacion de individuos que evolucionan de una manera aleatoria, similar a la que ocurre
en la evolucion biologica. Un proceso de seleccion determina que individuos son escogidos
para la siguiente generacion. Con este proceso, y tras varias generaciones, el algoritmo
genetico de optimizacion se aproxima a un mınimo.
La funcion ga (genetic algorithm) implementa un algoritmo genetico en MATLAB. Su
mayor ventaja con respecto a otros algoritmos basados en gradientes de funciones es que
permite usar inputs enteros sin problema.
La implementacion del algoritmo genetico aporto resultados muy positivos, siendo el
metodo de optimizacion finalmente usado. Se estudiaron distintas variaciones del algorit-
mo, concretamente de las variables objetivo a optimizar.
43
44
Capıtulo 3
Viga en voladizo
En el siguiente capıtulo se expondran los resultdos obtenidos al estudiar el problema
de la viga en voladizo.
3.1. Modelos FEM
A continuacion se recuerdan las propiedades fısicas de la viga de aluminio elegida.
Modulo de Young = 70 000 MPa.
Densidad = 2700 Kg/m2.
Modulo de Poisson = 0,33.
Las dimensiones de la viga han sido elegidas de tal manera que se cumplan las hipotesis
necesarias para modelizarla con una viga de Euler-Bernoulli. La esbeltez de la viga es
del orden de 10, por lo que el esfuerzo cortante puede considerarse despreciable [4]. Sus
dimensiones son las siguientes.
Longitud = 0.5 m
Anchura = 0.05 m
Altura = 0.005 m
Se han llevado a cabo dos simulaciones, con 5 y 20 elementos, para comprobar la
influencia del numero de elementos elegido. La discretizacion de la viga es equiespaciada.
45
3.2. Frecuencias y modos obtenidos
Se calculan los autovalores y autovectores del problema de vibraciones, obteniendo las
frecuencias y modos propios de la estructura.
En la siguiente tabla se muestran las diez frecuencias propias obtenidas tras resolver
el problema de autovalores 2.1. Tambien se muestran las frecuencias que proporciona
el modelo continuo analıtico [13] enunciado en el capıtulo 2.2.1. Esta solucion ha sido
considerada la frecuencia real de la viga, por lo que los errores han sido calculados respecto
a esta.
Problema analitico 5 el. 5 el 20 el. 20 el.
No modo f(Hz) f(Hz) Error( %) f(Hz) Error( %)
1 16,45 16,45 0,00 16,45 0,00
2 103,09 103,14 0,05 103,09 0,00
3 288,66 289,70 0,36 288,67 0,00
4 565,66 572,30 1,17 565,70 0,01
5 935,09 949,87 1,58 935,24 0,02
6 1396,90 1578,00 12,97 1397,38 0,03
7 1950,98 2307,84 18,29 1952,39 0,07
8 2597,46 3346,88 28,85 2600,75 0,13
9 3336,29 4754,49 42,51 3343,17 0,21
10 4167,48 6994,11 67,83 4180,68 0,32
Tabla 3.1: Comparacion de las primeras diez frecuencias propias de la viga en voladizo
obtenidas analıticamente y con las simulaciones.
En general, a mayores frecuencias propias, mayor es el error de ambas simulaciones.
En cuanto a las frecuencias proporcionadas por la simulacion con 5 elementos, hasta la
quinta frecuencia propia se encuentran en un rango razonable de error, menor del 2 %. Sin
embargo, el error crece muy rapidamente para mayores frecuencias con un error superior
al 10 %, inadmisible.
Para la simulacion con 20 elementos, el error crece desde ser practicamente nulo para
las menores frecuencias propias hasta el 0.5 % en la decima frecuencia.
Se observa que el numero de elementos tiene una consecuencia directa en el numero
de frecuencias que pueden ser tomadas como validas. Cuantos mas elementos tenga la
46
discretizacion, un mayor numero de frecuencias estan dentro de un nivel aceptable del
error (que puede tomarse, dependiendo de los objetivos del ensayo, alrededor del 2 %). En
apartados posteriores se tendra en cuenta el numero de elementos para hallar la frecuencia
maxima admisible en cada simulacion.
El problema de autovalores proporiciona las frecuencias propias y los modos propios,
que se corresponden con los autovectores hallados (2.1). Las figuras 3.1 representan los
cinco primeros modos propios obtenidos para simulaciones de 5 y 20 elementos. Basta con
representar el coeficiente referido al desplazamiento de cada punto para cada modo.
Las formas modales coinciden con las reales de una viga en voladizo [11], por lo que se
toman como correctas.
Se observa que la representacion de los modos con mayores frecuencias es demasiado
pobre en el caso de la simulacion para cinco elementos, a pesar de que la frecuencia propia
obtenida para dichos modo esten dentro de un error razonable.
Cuantos mas elementos tiene el modelo FEM, las frecuencias y las formas modales
son mas exactas. Sin embargo, demasiados elementos suponen un excesivo tiempo de
simulacion, que puede no ser practico. El numero de elementos debe ser elegido teniendo
en cuenta los objetivos del ensayo, que debe especificar el numero de frecuencias que se
pretende medir. En el caso de este trabajo, se ha elegido como solucion de compromiso
el caso de 20 elementos. En cualquier caso, es imprescindible elaborar un criterio para
desechar aquellos modos que no sean suficientemente exactos. Esta necesidad se detallara
en el apartado 3.4.
3.2.1. Ortogonalidad y MAC
Los vectores modales se han obtenido a partir de un problema de autovalores y auto-
vectores, por lo que son ortogonales por definicion.La figura 3.2 muestra la medida de la
ortogonalidad para los vectores (apartado 2.3.1) para las simulaciones de 5 y 20 elementos.
Se puede apreciar la total ortogonalidad de los vectores. Es un resultado previsible, ya
que los autovectores son ortogonales por definicion.
Ahora comprobaremos el MAC. Aunque los vectores sean ortogonales, el MAC no
tiene por que salir exactamente diagonal. El MAC se basa unicamente en la posicion de
los puntos donde se mide el desplazamiento, sin medir la ortogonalidad a traves de la
matriz de masas. El MAC para ambas simulaciones se representa en la figura 3.3.
Como se aprecia en la figura, los MAC obtenidos tienen numerosos terminos fuera de
la diagonal principal que no son nulos. Esto es mas apreciable en el caso de la simulacion
con menos elementos.
Un MAC inadecuado puede ser debido a una mala colocacion de los puntos de medicion,
que no estan midiendo suficiente informacion o la que miden es muy parecida. Sin embargo,
47
(a) Modo 1 para la simulacion de 20 elementos. (b) Modo 1 para la simulacion de 5 elementos.
(c) Modo 2 para la simulacion de 20 elementos. (d) Modo 2 para la simulacion de 5 elementos.
(e) Modo 3 para la simulacion de 20 elementos. (f) Modo 3 para la simulacion de 5 elementos.
(g) Modo 4 para la simulacion de 20 elementos. (h) Modo 4 para la simulacion de 5 elementos.
Figura 3.1: Modos propios de la viga para la viga obtenidas por simulaciones de 5 y 20
elementos.
48
(a) Para la simulacion de 5 elementos. (b) Para la simulacion de 20 elementos.
Figura 3.2: Comprobacion de la ortogonalidad para las simulaciones de la viga en voladizo.
(a) Para la simulacion de 5 elementos. (b) Para la simulacion de 20 elementos.
Figura 3.3: Comprobacion del MAC para las simulaciones de la viga en voladizo de 5 y 20
elemento.
49
(a) PMAC considerando unicamente desplazamientos. (b) PMAC considerando unicamente giros.
Figura 3.4: PMACs de desplazamientos y giros para los vectores modales obtenidos de la
simulacion de cinco elementos.
en el MAC representado en 3.3, la informacion que se esta considerando es la de todos
los puntos que se estan desplazando. Dicho de otra manera, no puede obtenerse mas
informacion, por lo que esta no es la causa del MAC erroneo.
Otra posible causa de la diferencia entre el MAC y la ortogonalidad es la coexistencia
de distintos tipos de grados de libertad en un mismo vector modal. Estos contienen tanto
desplazamientos como giros debido a la inicial formulacion del elemento viga. Esta situa-
cion puede ocasionar problemas a la hora de calcular el MAC [15]. Para comprobarlo, se
decidio hacer un MAC aplicado a cada grado de libertad por separado, uno a los despla-
zamientos y otro a los giros. Este MAC recibe un nombre particular, el PMAC (Partial
Modal Assurance Criterion) [9]. El PMAC es representado en las figuras 3.4 y 3.5 para las
simulaciones de cinco y veinte elementos respectivamente.
Se aprecia una sustancial mejora de los resultados, mucho mas similares a la medida
de la ortogonalidad representada en la figura 3.2. La mejora es mas notable en el caso de
la simulacion con mayor numero de elementos. Esta comprobacion apunta a que la causa
principal de la existencia de terminos no nulos fuera de la diagonal principal de los MAC
(3.3) son debidos a terminos cruzados de desplazamientos y giros. Al considerar cada grado
de libertad por separado, el MAC mejora notablemente.
Esta demostracion indica que para que el MAC sea mas similar a la condicion de
ortogonalidad, sera necesario presentar unicamente un tipo de grado de libertad: o des-
plazamientos o giros. Una manera de terne en cuenta solo un tipo de grado de libertad es
mediante reducciones de matrices. Se llevara a cabo la reduccion de Guyan de las matrices
para tener en cuenta unicamente desplazamientos.
50
(a) PMAC considerando unicamente desplazamientos. (b) PMAC considerando unicamente giros.
Figura 3.5: PMACs de desplazamientos y giros para los vectores modales obtenidos de la
simulacion de veinte elementos.
3.3. MAC con reduccion de Guyan
Se aplica la reduccion de Guyan desarrollada en el apartado 2.4 a las matrices para
considerar solo desplazamientos.
Esta reduccion requiere hipotesis que hacen necesario modificar las matrices iniciales.
Concretamente, la matriz de masas sera diagonal y con elementos no nulos unicamente en
los terminos relativos a los desplazamientos (2.4). Estos cambios en la matriz de masas
estan justificados porque los terminos masicos relativos a los desplazamientos son 103 veces
superiores a los relativos a los giros.
Estas modificaciones repercuten en las frecuencias propias halladas. La tabla 3.2 mues-
tra las frecuencias propias obtenidas para la simulacion de 20 elementos antes de aplicar
la reduccion, tras aplicar la reduccion y las analıticas, con el error correspondiente. Se in-
cluyen de nuevo las frecuencias propias que proporciona el modelo continuo [13] enunciado
en el capıtulo 2.2.1.
Se observa un error mayor en las frecuencias propias tras aplicar la reduccion de Guyan.
Este es debido a la modificacion de la matriz de masas antes mencionada. El error crece
cuando mayores frecuencias son consideradas, siendo ligeramente inferior al 3 % para la
decima frecuencia.
Tras la reduccion de Guyan se obtienen unos nuevos vectores modales que incluyen
unicamente desplazamientos. Los MAC de estos vectores son representados en la figura
3.6.
Al tener en cuenta solo desplazamientos, se comparan unicamente terminos con las mis-
mas unidades, dando como resultado un MAC muy similar al obtenido por ortogonalidad
51
Problema analıtico 20 el. 20 el. 20 el. 20 el.
No freq. f(Hz) fNOGUY AN(Hz) error ( %) fGUY AN(Hz) error ( %)
1 16,45 16,45 0,00 16,43 0,11
2 103,09 103,09 0,00 102,68 0,40
3 288,66 88,67 0,00 286,79 0,65
4 565,66 565,70 0,01 560,51 0,91
5 935,09 935,24 0,02 924,09 1,18
6 1396,90 1397,38 0,03 1376,62 1,45
7 1950,98 1952,39 0,07 1917,14 1,73
8 2597,46 2600,75 0,13 2544,36 2,04
9 3336,29 3343,17 0,21 3256,48 2,39
10 4167,48 4180,68 0,32 4050,71 2,80
Tabla 3.2: Comparacion de las primeras diez frecuencias propias obtenidas analıticamente
y mediante las simulaciones antes y despues de aplicar la reduccion de Guyan.
(a) Para cinco elementos. (b) Para veinte elementos.
Figura 3.6: MAC de los vectores modales tras aplicar la reduccion de Guyan considerando
todas las frecuencias disponibles.
52
(figura 3.2).
El MAC tras aplicar Guyan ha demostrado ser satisfactorio. Sin embargo, el error
introducido por la modificacion de la matriz de masas a la hora de hallar las frecuencias
propias hace necesario un criterio para discernir entre aquellas que pueden ser tomadas
por validas de las que no. Para ello se empleara el metodo basado en las velocidades
caracterısticas de la viga y la resolucion de los modos explicada en el apartado 2.5.
3.4. MAC con frecuencia limitada
Se recuerda que el criterio elegido es que la longitud caracterıstica de las ondas de
propagacion de la estructura deben tener al menor seis puntos de representacion.
De ahora en adelante solo se considerara la simulacion de veinte elementos, debido
a que la simulacion con menos elementos arroja resultados muy poco precisos. Con el
criterio enunciado y para veinte elementos, se pueden representar unicamente hasta seis
modos. Para esta simulacion y con este criterio de resolucion, el ultimo modo (y por tanto
el menos preciso) tiene un error por debajo del 2 %.
La figura 3.7 representa el MAC en este caso.
Figura 3.7: MAC de la simulacion de 20 elementos tras aplicar Guyan y tener en cuenta
la frecuencia maxima representable.
Tras estas modificaciones, el MAC obtenido es identico a la condicion de ortogonalidad,
con terminos fuera de su diagonal principal menores de 0.01. Al haber una resolucion
restrictiva para los modos, no se confunden formas modales que pudieran tener una forma
similar.
53
Posicion 1/4 2/4 3/4 4/4
yopt 0.384 0.244 0.318 0.148
Tabla 3.3: Valor de yopt para las posiciones arbitrarias dispuestas a lo largo de la viga.
3.5. MAC para un numero limitado de sensores
Hasta ahora se ha tenido en consideracion la informacion de todos los puntos de la
discretizacion de elementos finitos, es decir, de veinte nodos a lo largo de la viga. Sin
embargo, en un ensayo real el numero de sensores es limitado, y por tanto solo se dispone
informacion de algunos puntos.
En el presente apartado se llevara a cabo un estudio preliminar de los MAC para
distintas posiciones arbitrarias de sensores a lo largo de la viga. Se ha establecido en
el apartado un numero fijo de cuatro sensores disponibles con el objetivo de estudiar
unicamente la influencia de su posicion, y no su numero.
Se recogen tanto la representacion del MAC y la posicion de los sensores como el valor
de la funcion yopt, definida en el apartado 2.8 para cada caso. Esta funcion es de gran
ayuda para tener una idea de la exactitud del MAC.
(a) (b)
Figura 3.8: MAC y posicion arbitraria de los sensores (1/4).
La primera posicion (figura 3.8) representa una de las posiciones tıpicas que un expe-
rimentador puede probar cuando se dispone a llevar a cabo este tipo de ensayo: cuatro
sensores a lo largo de la viga posicionados a la misma distancia, con uno en el extremo. Sin
embargo, el MAC obtenido es el peor de los cuatro logrados con las posiciones arbitrarias,
con un valor de yopt de 0.384.
54
(a) (b)
Figura 3.9: MAC y posicion arbitraria de los sensores (2/4).
(a) (b)
Figura 3.10: MAC y posicion arbitraria de los sensores (3/4).
La segunda posicion (figura 3.9) es similar a la primera pero con el conjunto de sensores
desplazados hacia la izquierda, es decir, desplazados hacia en empotramiento. El MAC
mejora ligeramente, con un valor de yopt de 0.244, pero sigue sin ser optimo.
La tercera disposicion de los sensores (figura 3.10) representa dos sensores relativamente
juntos cerca del empotramiento y del extremo en voladizo. Es poco intuitiva, ya que
alguien puede pensar que existe la posibilidad de que los sensores tengan medidas parecidas
y aporte un MAC erroneo. Sin embargo, demuestra ser mejor que la primera posicion
escogida, con un yopt de 0.318.
La cuarta y ultima posicion (figura 3.11) esta distribuida ligeramente orientada hacia
la media mitad de la viga del extremo en voladizo, con los sensores proximos entre sı. Se
obtiene la mejor yopt, con un valor de 0.148.
55
(a) (b)
Figura 3.11: MAC y posicion arbitraria de los sensores (4/4).
Es evidente que la posicion optima de los sensores para obtener un MAC optimo no es
intuitiva. De aquı surge la necesidad de elaborar un algoritmo de optimizacion que permita
obtener la posicion idonea.
3.6. Ensayo simulado de percusion
En un ensayo real, los vectores modales no son obtenidos mediante un problema de
autovalores. Se debe desarrollar el proceso para obtener los vectores modales a partir de
un ensayo experimental.
En el siguiente apartado se comentaran los resultados obtenidos al aplicar el metodo
Peak Picking desarrollado en el apartado 2.7.5 a un ensayo simulado de percusion. Se
obtendran los vectores modales correspondientes, su MAC y posteriormente se comparara
con el obtenido de los modelos FEM.
Con el objetivo de efectuar la comparacion, las posiciones de los sensores son las mismas
que las de la primera posicion arbitraria del apartado anterior (figura 3.8).
La percusion es aplicada en un punto arbitrario de la estructura. Se ha elegido como
tal el punto medio de la viga. Se obtienen las FRF’s de cada uno de los sensores.
Observando la figura 3.12 se comprueba que todas las frecuencias propias estan presen-
tes. Las frecuencias propias ya son conocidas al haber resuelto el problema de autovalores
previamente, recogidas en la tabla 3.1. El hecho de que la FRF muestre todas las frecuen-
cias propias significa que ninguno de los sensores ha sido dispuesto en un punto nodal.
Las frecuencias propias obtenidas son practicamente las mismas que las obtenidas por el
problema de autovalores, con pequenas variaciones debidas solo a la resolucion de la FRF.
56
(a) (b)
(c) (d)
Figura 3.12: FRF’s medidas utilizadas en el metodo Peak Picking.
Tambien se aprecia que las frecuencias propias estan separadas entre sı. La suficiente
separacion entre frecuencias propias es uno de las condiciones para que el metodo Peak
Picking proporcione buenos resultados [23].
Se aplica el MAC a los vectores modales obtenidos a partir del ensayo modal simulado.
Dicho MAC se representa en la figura 3.13.
El MAC surgido del ensayo simulado es muy similar al MAC proporcionado por los
vectores modales del problema de autovalores (figura 3.8). Es logico, ya que la informacion
de los modos propios debe ser la misma en los dos casos, sin importar el medio por el que
se obtienen los vectores modales. La tabla 3.4 muestra el error absoluto entre el MAC
surgido del ensayo simulado y el obtenido a partir del problema de autovalores. Se ha
elegido mostrar el error absoluto porque el error relativo proporciona numeros enganosos
al haber algunos terminos cercanos a cero. Aunque los valores para distintos metodos son
57
Figura 3.13: MAC obtenido a partir del ensayo modal simulado.
similares en estos terminos, arrojan un error relativo muy alto.
Modo 1 Modo 2 Modo 3 Modo 4 Modo 5 Modo 6
Modo 1 0 7E-05 7E-05 3E-05 8E-05 1E-04
Modo 2 7E-05 0 7E-05 4E-05 2E-05 7E-05
Modo 3 7E-05 7E-05 0 4E-05 1E-04 5E-05
Modo 4 3E-05 4E-05 4E-05 0 1E-05 9E-06
Modo 5 8E-05 2E-05 1E-04 1E-05 0 1E-05
Modo 6 1E-04 7E-05 5E-05 9E-06 1E-05 0
Tabla 3.4: Error absouto entre los terminos del MAC a partir de los vectores modales del
problema de autovalores y el MAC a parir de los vectores modales provenientes del metodo
Peak Picking.
Hay una mınima diferencia entre los MAC comparados debida a las hipotesis iniciales
del metodo Peak Picking, principalmente que se suponga que toda la respuesta en la
frecuencia propia es debida a un unico modo propio [23]. Sin embargo, el hecho de que
las frecuencias propias esten suficientemente separadas contribuye a que este efecto tenga
poca repercusion en el calculo final del MAC de los vectores modales. Ante un resultado
tan preciso, se puede concluir que el metodo Peak Picking es adecuado para el analisis del
caso de la viga.
58
De esta manera, queda demostrada la exactitud del metodo Peak Picking para el
problema de la viga.
El siguiente paso es la elaboracion del algoritmo de optimziacion que obtenga la posi-
cion de los sensores para tener un MAC optimo.
3.7. Optimizacion de la posicion de sensores
En el presente apartado se analiza y pone a prueba el algoritmo de optimziacion de la
posicion de los sensores. Se recuerda la funcion de optimizacion escogida yopt, enunciada
previamente en el apartado 2.8.
yopt =
√√√√ 1
(N − 1)
n∑i,j=1
MACij2 si i 6= j
Se ha considerado positivo hacer un estudio previo de la funcion de optimizacion para
saber conceptualmente como influyen los distintos parametros.
3.7.1. Estudio de la funcion de optimizacion
El principal objetivo de este estudio es saber la forma de la funcion yopt, incluyendo la
existencia de maximos y mınimos. De esta manera se podra prever ciertos comportamientos
del algoritmo de optimziacion y proponer soluciones.
El caso mas facil de estudiar es el del comportamiento de yopt para dos sensores a lo
largo de la viga. Este problema permite una representacion en tres dimensiones: en los
ejes x e y se disponen las posiciones de los sensores y en el eje z se muestra el valor de la
funcion.
La figura 3.14 muestra la forma de la funcion para el posicionamiento de dos sensores
considerando distinto numero de modos propios: 2, 3 y 4. Los valores mınimos de yopt han
sido recogidos en la tabla 3.5.
Numero de modos 2 3 4
yopt 0.001 0.251 0.422
Tabla 3.5: Valores mınimos de yopt para dos sensores con distinto numero de frecuencias
propias.
59
(a) Considerando dos modos propios (b) Considerando tres modos propios
(c) Considerando cuatro modos propios
Figura 3.14: Valor de yopt para distintas combinaciones de posiciones de dos sensores
considerando distinto numero de modos propios.
Conforme se aumenta el numero de modos propios considerados, los valores de yoptaumentan de forma general. Es logico, ya que al considerar mas modos propios para un
igual numero de sensores, es mas posible que algunos de ellos tengan una forma similar.
El MAC los confunde y los reconoce como modos parecidos.
Para el caso de dos frecuencias propias, yopt presenta una forma muy definida con
un claro valle donde se encuentra el mınimo global de la funcion (y donde, por tanto,
se encuentran las posiciones optimas de los sensores). Al considerar mas modos propios
para mismo numero de sensores, la funcion se hace mas irregular, presentando numerosos
mınimos locales. La irregularidad de la funcion es mayor cuando se consideran mayor
numero de modos. En estos casos, si se considera un numero excesivo de modos, la gran
cantidad de mınimos locales que no son globales puede presentar problemas a la hora de
60
implementar el algoritmo de optimziacion.
Se puede apreciar una marcada simetrıa del problema. En el caso de dos sensores, el
problema tiene una simetrıa debida a que las posiciones de los sensores son intercambiables.
El numero de simetrıas presentes son proporcionales a la permutacion del numero de
sensores: para tres sensores hay 3 simetrıas y para cuatro sensores, 12. Las simetrıas seran
consideradas en el algoritmo final de optimizacion para hacerlo mas eficiente.
Tras el estudio efectuado para el caso de dos sensores, se procede al analisis de yoptpara tres sensores. Este caso no permite una representacion visual tan inmediata como el
anterior, pero se puede evaluar el valor de yopt mınimo para distintos numero de modos
propios considerados. Los valores son mostrados en la tabla 3.6.
Numero de modos 2 3 4 5 6
yopt 3e-07 0.002 0.119 0.201 0.251
Tabla 3.6: Valores mınimos de yopt para tres sensores con distinto numero de modos propios
considerados.
Para dos frecuencias propias, la funcion de optimziacion tiene un valor practicamente
nulo. Cuando se estudia un numero de frecuencias menor que el propio numero de sensores,
los modos propios son inconfundibles, obteniendo un MAC muy similar al ideal y un valor
de yopt muy reducido. El valor de yopt mınimo aumenta cuantas mas frecuencias propias
se tienen en cuenta.
Al representar en 3D yopt con un codigo de colores para las distintas posiciones de
sensores, se observa un comportamiento analogo al anterior. Cuantas mas frecuencias
propias se consideran, hay mas irregularidad en la funcion y los mınimos globales dejan
de ser claros. Estas representaciones no han sido incluidas al ser poco intuitivas.
3.7.2. Algoritmo de optimziacion
Se implementa el algoritmo genetico de optimizacion enunciado en el apartado 2.8.2.
Para estudiar su comportamiento en profundidad, se decidio analizar dos situaciones:
Para un numero de sensores fijo, variar el numero de modos contemplado en el calculo
del MAC y por tanto, en el calculo de yopt
Variar el numero de sensores dejando fijo el numero de modos contemplado en el
calculo del MAC.
61
Optimizacion para distinto numero de frecuencias
A la hora de fijar el numero de sensores, se ha elegido como en apartados anteriores
disponer de cuatro sensores. Se resolvera el algoritmo de optimizacion para tres, cuatro,
cinco y seis frecuencias propias. El lımite superior es el proporcionado por el criterio de la
resolucion de los modos del apartado 2.5. Para el lımite inferior, se ha considerado poco
adecuado estudiar el caso para dos frecuencias propias, ya que para dos y tres sensores, el
valor de yopt obtenido es lo suficientemente bajo como para considerar un MAC correcto.
Mas sensores no mejoran mas el MAC en estos casos.
Se obtienen las posiciones optimas de los sensores para cada caso proporcionadas por
el algoritmo genetico. Estas posiciones son representadas en las figuras 3.15. La tabla 3.7
indica el valor de yopt mınimo para dicha posicion y el tiempo de computacion.
(a) Considerando tres frecuencias propias. (b) Considerando cuatro frecuencias propias.
(c) Considerando cinco frecuencias propias. (d) Considerando seis frecuencias propias.
Figura 3.15: Posiciones optimas de los sensores a lo largo de la viga considerando distinto
numero de frecuencias propias (simulcion de 20 elementos).
Numero de modos 3 4 5 6
yopt 3e-04 0,012 0,064 0,131
t(s) 5,73 8,79 10,62 14,01
Tabla 3.7: Valores de yopt mınimos y tiempos de computacion para posiciones optimas de
cuatro sensores a lo largo de la viga considerando distinto numero de frecuencias propias
(simulcion de 20 elementos).
Al ser el numero de sensores constante, cuantas mas frecuencias se consideran, mas
62
posibilidades hay de que ciertos modos se confundan, aumentando el valor de yopt y em-
peorando el MAC.
Se observa que las posiciones optimas son distintas en cada caso, aunque es posible
apreciar ciertos patrones. Los sensores estan generalmente equiespaciados con una distan-
cia del orden de un quinto de la longitud de la viga, y ligeramente lejos del extremo en
voladizo. Este puede ser el criterio final que alguien que se dispone a hacer un experimento
de vibraciones de una viga en voladizo para medir los modos propios deberıa seguir.
En la vida real, el experimentador sabe que numero de frecuencias propias va a medir,
actuando en consecuencia y eligiendo la distribucion se sensores que mejor se adapte a sus
necesidades.
En cuanto al tiempo de computacion, crece uniformemente para cada nueva frecuencia
considerada. Para mayor numero de frecuencias, se ha comprobado que crece exponencial-
mente.
Se valoro comprobar las posiciones optimas obtenidas para una discretizacion mas
tupida. En este caso el algoritmo de optimizacion tiene mas posiciones que estudiar, y por
lo tanto tiene posibilidades de alcanzar un valor de yopt menor. La figura 3.16 muestra las
posiciones optimas y la tabla 3.8) indica los valores yopt y de tiempos de computacion en
el caso de una discertizacion de cien elementos.
(a) Considerando tres frecuencias propias. (b) Considerando cuatro frecuencias propias.
(c) Considerando cinco frecuencias propias. (d) Considerando seis frecuencias propias.
Figura 3.16: Posiciones optimas de sensores en la viga considerando distinto numero de
frecuencias propias para 100 elementos..
63
Numero de modos 3 4 5 6
yopt 2e-05 0,012 0,063 0,121
t(s) 7,76 11,09 16,26 17,23
Tabla 3.8: Valores de yopt mınimos y tiempos de computacion para posiciones optimas de
cuatro sensores a lo largo de la viga ccon distinto numero de modos propios (simulcion de
100 elementos)
Las posiciones son en general muy parecidas que en la anterior simulacion, salvo pe-
quenas diferencias. El valor optimizado de yopt es ligeramente menor. El tiempo de compu-
tacion es similar al caso anterior (del mismo orden, alrededor del 50 % mayor), a pesar de
que el algoritmo tenıa para elegir un 400 % mas de posiciones que en el caso anterior. Para
el caso de la viga en voladizo, una discretizacion mas tupida tiene un mayor desempeno,
aunque simulaciones realziadas con un mayor numero de elementos (del orden de 500) no
mejoran apreciablemente los resultados pero llevan considerablemente mas tiempo.
El siguiente paso es estudiar la influencia del numero de sensores en el algoritmo de
optimizacion.
Optimizacion distinto numero de sensores
En este apartado se fijara el numero de modos propios estudiados y se variara el numero
de sensores.
El numero de modos considerados ha sido fijado en los seis primeros modos. Esta
eleccion ha sido basada de nuevo en el criterio establecido en apartados anteriores 2.5. Se
variara el numero de sensores a dos, tres, cuatro, cinco y seis, realizando la optimizacion
para cada caso. De nuevo, se muestran las posiciones (figura 3.17) y los valores yopt y de
tiempos de computacion (tabla 3.17) obtenidos para una discertizacion de cien elementos.
Numero de sensores 2 3 4 5 6 7
yopt 0,500 0,221 0,121 0,041 0,002 0,001
t(s) 14,50 17,89 18,87 23,38 23,72 36,89
Tabla 3.9: Valores de yopt mınimos y tiempos para seis modos propios con numero de
sensores variable para 100 elementos.
64
(a) Posicion optima para dos sensores. (b) Posicion optima para tres sensores.
(c) Posicion optima para cuatro sensores. (d) Posicion optima para cinco sensores.
(e) Posicion optima para seis sensores. (f) Posicion optima para siete sensores.
Figura 3.17: Posiciones optimas de sensores en la viga para distinto numero de sensores
variando el numero de sensores.
Para un numero de sensores notablemente escaso (2 o 3), es imposible obtener un valor
lo suficientemente bajo de yopt. El MAC detecta como iguales gran cantidad de modos
propios, evaluandolos incorrectamente. Las posiciones para estas cantidades de sensores
son muy erraticas. La causa de estas posiciones tan poco intuitivas es la propia forma de
la funcion yopt. Si se toma como referencia la grafica del estudio de la funcion yopt para
dos sensores (figura 3.14), se comprueba que para alto numero de frecuencias con solo
dos sensores, la funcion se vuelve relativamente plana, con muchos mınimos locales en
posiciones muy distintas. Las posiciones que se corresponden con un valor de yopt mınimo
global no se corresponden con un valor de yopt mucho mas bajo que el resto de posiciones.
Por esta razon, las posiciones de los sensores son extranas.
En cuanto se aumenta el numero de sensores, se observa el mismo patron que el de
la figura 3.16: los sensores se disponen una distancia regular unos de otros, siempre con
una separacion del voladizo y del extremo empotrado similar que la que existe entre ellos
mismos.
Si se dispone de un set de sensores suficientemente grande que garantice medidas
correctas de los modos propios, la posicion optima ha demostrado ser la enunciada ante-
65
riormente. Para que el numero de sensores sea suficientemente grande, debe haber como
mınimo aproximadamente la mitad del numero de frecuencias propias que se van a medir.
66
Capıtulo 4
Placa plana.
En el presente capıtulo se estudiara el problema de la placa plana en condiciones libre-
libre.
4.1. Modelos FEM
En primer lugar, se definiran las caracterısticas de la placa plana.
La placa plana definida es de aluminio, con las siguientes propiedades.
Modulo de Young = 70 000 MPa.
Densidad = 2700 Kg/m2.
Modulo de Poisson = 0,33.
La placa definida es rectangular para limitar el numero de simetrıas del sistema. Una
estructura muy simetrica tiene numerosas frecuencias propias dobles y formas modales
simetricas. Un problema con menos frecuencias dobles es mas interesante desde el punto
de vista del analisis modal.
Las dimensiones de la placa son las siguientes:
Longitud = 1 m
Anchura = 2 m
Espesor = 0.005 m
Sus dimensiones han sido elegidas para que sean compatibles con la teorıa de placas
planas de Kirchhoff. El espesor relativo de la placa elegida es del orden de 100-200, mientras
que las hipotesis de Kirchhoff son plausibles cuando este valor esta en torno a estos valores
[7].
67
Los modelos de elementos finitos de la placa plana rectangular tendran 20 elementos
en una direccion y 40 en la otra. Se recuerda que, para estos elementos, cada nodo tiene
tres grados de libertad: desplazamiento vertical en z, giro en x y giro en y.
4.2. Frecuencias y modos obtenidos
Como en el caso de la placa, se resuelve el problema de autovalores y autovectores
(2.1), obteniendo las frecuencias propias y los vectores modales del sistema.
Con el objetivo de estudiar la influencia del numero de elementos en la placa planan
y de validar el codigo empleado en las simulaciones, se estudiaran en primer lugar las
frecuencias propias del caso de la placa plana con condiciones de contorno simplemente
apoyadas. El problema con estas condiciones de contorno ofrece una solucion analıtica
sencilla con la que se compararan los resultados [14]. Posteriormente se tratara el problema
en condiciones de contorno libre-libre.
La tabla 4.1 muestra las ocho primeras frecuencias propias obtenidas por modelos con-
tinuos [14] como por la resolucion del problema de autovalores para la placa en condiciones
simplemente apoyadas. Se han realizado dos simulaciones, con 10x20 y 20x40 elementos
para comprobar la influencia de este parametro.
Caso continuo 10x20 el. 10x20 el. 20x40 el. 20x40 el.
No freq. f(Hz) f(Hz) error ( %) f(Hz) error ( %)
1 15,29 15,27 0,14 15,28 0,03
2 24,46 24,37 0,35 24,44 0,09
3 39,75 39,55 0,48 39,70 0,12
4 51,97 51,89 0,17 51,95 0,04
5 61,15 60,81 0,56 61,06 0,14
6 76,43 75,68 0,99 76,24 0,25
7 88,66 88,12 0,61 88,53 0,15
8 97,83 96,50 1,37 97,50 0,35
Tabla 4.1: Frecuencias propias para la placa plana simplemente apoyada.
Se observa un comportamiento analogo al de la viga en voladizo. Cuanto mas tupida es
la discretizacion del modelo FEM, las frecuencias propias tienen menor error. El error es
muy bajo para frecuencias bajas y aumenta progresivamente conforme estas son mayores.
68
Esta comprobacion sirve de validacion del codigo empleado, ademas de que apuntala las
conclusiones aportadas del problema de la viga relacionadas con el numero de elementos
y las frecuencias propias obtenidas.
El siguiente paso es estudiar el problema de la placa con condiciones de contorno libre-
libre. Las frecuencias propias obtenidas son mostradas en la tabla 4.2. En este caso se ha
usado el programa Nastran-Patran para conseguir las frecuencias de la misma placa, con
los mismos resultados.
No modo 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10
f(Hz) 6,57 8,04 17,74 18,25 26,95 30,85 31,76 36,42 43,93 48,74
Tabla 4.2: Frecuencias propias para la placa plana en condiciones libre-libre. Obtenidas
para la simulacion con 20x40 elementos.
Se pueden representar los modos propios del sistema de manera similar a como se hizo
con la viga en voladizo. La figura 4.1 representa los primeros nueve modos propios obteni-
dos para el caso de estudio, el de la placa en condiciones libre-libre. Estas formas modales
han sido tambien comparadas con las que proporciona Nastran-Patran, demostrando ser
correctas.
Los vectores modales seran estudiados a continuacion con el MAC.
4.2.1. MAC
En el problema de la placa plana, los MAC tienen notablemente mayores dimensiones
que en el caso de la viga. Para la malla de la placa de 20x40 elementos, hay 2583 grados
de libertad, lo que proporciona un MAC inicial de dichas dimensiones. Ante MAC’s tan
grandes, se ha optado por omitir las representaciones del MAC y mostrar preferentemente
los valores de yopt (que al fin y al cabo tienen una relacion directa con la calidad del MAC).
El unico MAC representado sera el que haya sido sometido a la reduccion de Guyan y al
criterio de maximo modo representable.
No elementos 10x20 20x40
yopt 0.026 0.003
Tabla 4.3: Valores de yopt en el problema de la placa para las simulaciones consideradas.
Los valores de yopt muestran que aunque el MAC no es identica a la condicion de
ortogonalidad, sı es mucho mas similar que en el problema de la viga (figura 3.2). Esto es
69
(a) Modo 1o. (b) Modo 2o. (c) Modo 3o.
(d) Modo 4o. (e) Modo 5o. (f) Modo 6o.
(g) Modo 7o. (h) Modo 8o. (i) Modo 9o.
Figura 4.1: Modos propios de la placa plana con condiciones libre-libre.
debido a que el problema tiene de por sı numerosos puntos de los que extrae informacion. El
MAC con toda la informacion es capaz de discernir los distintos modos con mas facilidad.
De nuevo, se aplicara la reduccion de Guyan para considerar solo los desplazamientos
en los vectores modales. El objetivo principal de elaborar esta reduccion en este caso es
aligerar lo mas posible la carga de computacion del programa.
4.3. MAC con reduccion de Guyan
La reduccion de Guyan aplicada en el problema de la placa plana elimina tanto el giro
en x como en y, conservando unicamente los desplazamientos verticales.
Como se han usado masas puntuales desde el principio, no se hace modificacion algu-
na en el problema original (como sı se hizo en la viga). Por este motivo, las frecuencias
70
aportadas por el problema reducido de Guyan son exactamente las mismas que las pro-
porcionadas por el problema sin reducir.
No elementos 10x20 20x40
yopt 3E-03 4E-04
Tabla 4.4: Valores de yopt en el caso de la placa para las dos simulaciones consideradas.
El valor de yopt mejora al aplicar la reduccion de Guyan de manera muy similar al caso
de la viga en voladizo.
4.4. MAC con frecuencia limitada
El siguiente paso es tener en cuenta unicamente aquellos modos que tienen suficien-
te resolucion como para considerarlos correctos. Para ello se tendra en cuenta tanto la
discretizacion como las caracterısticas fısicas y geomtetricas de la placa [21].
Con a discretizacion de 20x40 elementos y el mismo criterio de resolucion (represen-
tacion de longitud de onda del modo en seis puntos), se pueden representar hasta ocho
modos propios de manera adecuada.
La figura 4.2 muestra la representacion del MAC para la simulacion con 20x40 elemen-
tos tras aplicar la reduccion de Guyan y el criterio de la frecuencia maxima.
El MAC es practicamente identico al del caso ideal.
4.5. MAC para un numero limitado de sensores
El siguiente paso es evaluar el MAC para unas posiciones arbitrarias de los sensores
colocados en la placa. El numero de sensores ha sido de nuevo fijado en cuatro con el
objetivo de evaluar unicamente su posicion.
Se prestara especial atencion a algunos de los fenomenos que pueden hacer fracasar un
ensayo experimental de vibraciones que estan relacionados con las posiciones que ocupan
los sensores. Uno de estos sucesos es la colocacion de los sensores en las lıneas nodales de
la estructura.
4.5.1. Estudio de las lıneas nodales en la placa plana
Como ya se enuncio en el apartado 1.2, las lıneas nodales son las zonas de la estructura
que tienen desplazamiento nulo en un determinado modo cuando vibran a una frecuencia
propia. Un sensor colocado en estas lıneas no realizara ninguna medicion.
71
Figura 4.2: MAC de la simulacion de 20x40 elementos de la placa plana tras la reduccion
de Guyan teniendo en cuenta la frecuencia maxima representable.
A continuacion se presentan las lıneas nodales de los ocho primeros modos propios de
la placa objeto de estudio.
(a) Isobaras para el modo 1. (b) Isobaras para el modo 2.
(c) Isobaras para el modo 3. (d) Isobaras para el modo 4.
72
(e) Isobaras para el modo 5. (f) Isobaras para el modo 6.
(g) Isobaras para el modo 7. (h) Isobaras para el modo 8.
Figura 4.2: Isobaras que muestran las lıneas nodales de cada modo de la placa plana.
Si alguno de los sensores se situa alguna de las lıneas nodales, no realizara ninguna
medicion de dicho modo. Este hecho producira una perdida de calidad considerable del
MAC. Para iluestrar este ejemplo, la figura 4.3 presenta una disposicion en la que todos
los sensores estan colocados en algun cruce de lıneas nodales, mostrando la disposicion de
los sensores y el MAC medido.
Se aprecia facilmente como el MAC es erroneo. Una gran mayorıa de los modos han sido
tomados por iguales (aquellos que tienen un valor unidad fuera de la diagonal principal)
a pesar de no serlo. Los sensores detectan el mismo desplazamiento de valor nulo para
distintos modos propios. Esta perdida de informacion provoca un MAC equivocado.
En el caso real en el que alguien se dispone a hacer un ensayo y debe decidir donde
colocar los sensores, es vital que sepa de antemano donde se localizan las lıneas nodales.
De esta manera puede evitarlas a la hora de disponer los sensores en las estructura y
prevenir que el ensayo sea errado.
4.5.2. Estudio de las simetrıas en la placa plana
Cuando una persona que no esta demasiado versada en el campo de las vibraciones se
dispone a realizar un ensayo experimental en una estructura simetrica (como es la placa
plana rectangular), puede verse tentado de colocar los sensores en posiciones simetricas.
73
(i) (j)
Figura 4.3: Posicion de sensores que problematicas desde el punto de vista de las lineas
nodales y MAC correspondiente.
Esto puede ser una muy mala decision, ya que es probable que algunos modos compartan
ejes de simetrıa de la propia estructura. Puede darse el caso de que la magnitud de los
desplazamientos medidos en distintos modos sean iguales por causa de la simetrıas, pero
no porque sean el mismo modo. Estas medidas falsean el MAC.
La figura como muestra la figura 4.4 muestra una disposicion de los sensores de una
manera altamente simetrica y el MAC final obtenido.
En este caso, numerosas combinaciones de diferentes modos (del orden de un decimo
de las combinaciones posibles) son detectadas como identicas por el MAC, mientras que
el resto de combinaciones son detectadas como totalmente ortogonales.
Puede valorarse la opcion de colocar los sensores aprovechando las simetrıas de una
manera mas inteligente para obtener un MAC adecuado. Sin embargo, hay un riesgo de
que una colocacion que no atienda a las simetrıas de manera correcta aporte unos malos
resultados.
Por ultimo, la figura 4.5 muestra un posicionamiento de los sensores distribuidos evi-
tando tanto lıneas nodales como simetrıas de la estructura.
74
(a) (b)
Figura 4.4: Posiciones de sensores colocadas simetricamente en la placa plana y MAC
correspondiente.
(a) (b)
Figura 4.5: Posiciones de sensores colocadas de manera arbitraria en la placa plana y MAC
correspondiente.
El MAC es considerablemente mejor que los anteriores, evitando casos evidentes de
modos que se confunden totalmente y el MAC identifica como iguales. Sin embargo, dista
75
de ser optimo. Para encontrar la posicion optima se debe recurrir al algoritmo de optimi-
zacion.
4.6. Ensayo simulado de percusion
En este apartado se desarrollara el ensayo de percusion simulado. Se obtendran los
vectores modales de la placa partiendo de las FRF’s mediante el metodo Peak Picking.
Los resultados finales se compararan con los obtenidos del problema de autovalores.
Se disponen cuatro sensores en las posiciones del caso mostrado en la figura 4.5. Es
necesario establecer donde se va a aplicar la percusion.
La posicion de la percusion es igualmente importante para el buen desempeno del
ensayo. Como se enuncio en la metodologıa (capıtulo ??), las FRF’s se disponen en matrices
simetricas. Es equivalente excitar el punto a y medir la FRF del punto b, que viceversa.
De este hecho se desprende que las mediciones seran erroneas si la percusion se dispone
en un punto nodal.
Para visualizar este fenomeno, la figura 4.6 muestra la FRF medida en un punto de
la placa (no situado en una lınea nodal) cuando se excita el punto medio de la placa
correspondiente. Por este punto pasan numerosas lıneas nodales (figura 4.2).
Figura 4.6: FRF medida en un punto si la percusion es aplicada en el centro de la placa.
Se observa como solo se detectan los picos de frecuencia correspondientes a los modos
cuyas lıneas nodales no pasan por el punto donde se ha dado la percusion. Esta medicion
conlleva igualmente a un ensayo modal fallido. Es necesario evitar las lıneas nodales tanto
en las posiciones de los sensores como en las de los puntos donde se excita la estructura.
76
La posicion de los sensores es la misma que en el caso 4.5 con el objetivo de comparar
los MACs obtenidos. A continuacion, se muestran las cuatro FRFs usadas en el proceso
peak picking.
(a) (b)
(c) (d)
Figura 4.6: FRF’s de cada uno de los puntos del ensayo modal simulado de la placa plana.
Se obtienen las frecuencias propias y los vectores modales mediante el metodo Peak
Picking. Las frecuencias obtenidas son practicamente las mismas que las que devuelve el
problema de autovalores y autovectores, con un pequeno error debido a la resolucion de
la FRF del codigo numerico.
Al representar la FRF se puede apreciar la cercanıa entre algunas frecuencias propias.
Esta situacion es negativa para un buen desempeno del metodo Peak Picking para obtener
los vectores modales. El MAC de estos vectores modales se muestra a continuacion.
77
Figura 4.7: MAC obtenido a partir del ensayo simulado para la placa plana.
El MAC es muy similar al MAC proporcionado por los vectores modales del problema
de autovalores. La tabla 4.5 muestra la diferencia en valor absoluto de ambos MAC’s.
Modo 1 Modo 2 Modo 3 Modo 4 Modo 5 Modo 6 Modo 7 Modo 8
Modo 1 0 1E-02 5E-03 1E-02 2E-02 4E-03 5E-03 3E-02
Modo 2 1E-02 0 1E-01 5E-02 2E-02 7E-03 2E-02 3E-02
Modo 3 5E-03 1E-01 0 1E-03 4E-03 7E-02 9E-02 5E-02
Modo 4 1E-02 5E-02 1E-03 0 2E-02 6E-03 3E-02 7E-03
Modo 5 2E-02 2E-02 4E-03 2E-02 0 6E-03 7E-02 1E-03
Modo 6 4E-03 7E-03 7E-02 6E-03 6E-03 0 2E-01 1E-03
Modo 7 5E-03 2E-02 9E-02 3E-02 7E-02 2E-01 0 1E-01
Modo 8 3E-02 3E-02 5E-02 7E-03 1E-03 1E-03 1E-01 0
Tabla 4.5: Error absoluto entre los terminos del MAC a partir de los vectores modales
del problema de autovalores y el MAC a parir de los vectores modales provenientes del
metodo Peak Picking.
Los coeficientes de los MAC surgidos del problema de autovalores y del ensayo modal
simulado difieren en general valores menores que 0,1. Esta diferencia es mayor que en el
78
caso de la viga (en el que era del orden de 10−4), crecimiento causado por la proximidad
de las frecuencias propias en el caso de la viga, que dificulta la aplicacion del metodo
Peak Picking [23]. Sin embargo, los resultados del ensayo simulado en la placa son todavıa
muy similares a los resultados del problema de autovalores, lo que permite afirmar que el
metodo es muy adecuado para este problema, aunque las frecuencias propias esten muy
proximas entre sı.
4.7. Optimizacion de la posicion de sensores
En este apartado se optimizara la posicion de los sensores mediante la funcion yopt, al
igual que se hizo en el problema de la placa.
4.8. Estudio de la funcion de optimizacion
La preocupacion principal es la cantidad de mınimos y maximos locales que no son
globales y que pueden dificultar la busqueda del mınimo global.
Se ha representado el valor de yopt para la posicion de dos sensores a lo largo de la
placa considerando unicamente dos frecuencias propias, de manera analoga a como se
procedio en el problema de la viga en voladizo (figura 3.14). Para el caso de la placa
plana, la funcion de optimizacion tiene una forma muy erratica, con numerosos mınimos
locales de un valor muy proximo al mınimo global. Este tipo de funcion puede augurar
dificultades para encontrar con claridad mınimos globales. La funcion se vuelve aun mas
irregular cuando son considerados un mayor numero de modos. Esta representacion no ha
sido incluida por considerarse poco visual.
La forma erratica de la funcion es principalmente debida a la ordenacion de los elemen-
tos en la placa plana. La variable de la posicion de los sensores recorre una fila entera y
cuando acaba, recorre la siguiente. Esta variable es la que el algoritmo optimiza. Cuando
la variable de posicion recorre una fila, cambia bruscamente de posicion, por lo que la
funcion cambia abruptamente.
La forma de la funcion yopt hace prever que sera difıcil de optimizar. Se considero
hacer una modificacion del problema con el objetivo de que fuera mas suave y facilitar la
optimizacion. La modificacion consistio en el cambio de variable de la localizacion de los
nodos de la discretizacion de elementos finitos. En vez de tener una variable que recorre
todos los nodos, se emplearon dos variables que dan la posicion en carterianas de los nodos.
Ası, los cambios abruptos antes descritos desaparecen.
Aunque esta modificacion hacıa la funcion mas suave, hacıa multiplicar por dos las
variables objetivo a optimizar. Finalmente el algoritmo con esta modificacion tardaba
practicamente lo mismo que el problema original, por lo que termino desechandose.
79
En la optimiazcion se ha usado de nuevo el algoritmo genetico. Debido a la mayor
complejidad del problema de la placa plana con respecto a la viga, para un correcto
desempeno del algoritmo genetico fue necesario modificarlo anadiendo un mayor numero
de puntos iniciales y mas iteraciones con respecto al caso de la viga en voladizo [24].
4.9. Optimizacion de la posicion
Al igual que en el caso de la viga en voladizo, primero, se optimizara el problema
para un numero de sensores fijo variando el numero de frecuencias. Posteriormente, se
mantendra fijo el numero de frecuencias para variar el numero de sensores.
4.9.1. Optimizacion distinto numero de frecuencias
Se optimizara la posicion para cuatro sensores para un numero de modos propios
variable de cuatro a nueve.
La tabla 4.6 presenta los valores de yopt y el tiempo de computacion empleado en cada
caso.
Numero de modos 4 5 6 7 8 9
yopt 0,001 0.077 0.126 0,163 0,184 0,187
t(s) 8,75 9,75 25,12 15,69 32,60 48,10
Tabla 4.6: Valores de yopt mınimos y tiempos para cuatro sensores.
Se aprecia que para incluso un numero muy alto de modos propios, cuatro sensores
presentan un buen comportamiento y proporcionar un MAC aceptable. Para nueve modos
propios considerados, el MAC es aun menor de 0.2, que se suele considerar el lımite practico
de un MAC correcto.
En cuanto al tiempo de computacion, no crece uniformemente como sı ocurrıa en el
caso de la viga. Esto es otra prueba del caracter irregular de la funcion. El orden de este
tiempo es, sin embargo, similar al del caso de la viga.
Las posiciones optimas halladas por el algoritmo se presentan en la figura 4.8. Las
localziaciones de los sensores parecen no seguir ningun patron determinado. La misma
posicion de un sensor no se repite cuando se estudia un numero distinto de modos propios.
Resulta difıcil encontrar un patron para las posiciones obtenidas.
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(a) Considerando cuatro frecuencias propias. (b) Considerando cinco frecuencias propias.
(c) Considerando seis frecuencias propias. (d) Considerando siete frecuencias propias.
(e) Considerando ocho frecuencias propias. (f) Considerando nueve frecuencias propias.
Figura 4.8: Posiciones optimas de cuatro sensores en la placa considerando distinto numero
de frecuencias propias.
4.9.2. Optimizacion distinto numero de sensores
En este apartado se fija el numero de modos considerados, variando el numero de
sensores disponibles.
Se decidio incluir hasta el decimo modo porque en el apartado anterior ha quedado
demostrado que hasta nueve modos propios son recogidos por cuatro sensores de manera
adecuada.
La tabla 4.7 presenta los valores de yopt y el tiempo de computacion empleado en cada
caso.
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Numero de sensores 3 4 5 6 7 8 9 10
yopt 0,339 0,225 0,157 0,113 0.084 0,074 0,052 0,044
t(s) 67.79 38,93 28,98 28,57 50,37 40,03 159,00 137,72
Tabla 4.7: Valores de yopt mınimos y tiempos para seis modos propios con numero de
sensores variable para 100 elementos.
Los valores de yopt decrecen unifromemente conforme hay mayor numero de sensores
disponibles. Se logran MAC’s adecuados para relativamente poco numero de sensores,
teniendo en cuenta que se estan tratando diez modos propios. Con un numero mayor de
ocho sensores, el MAC es ya muy proximo al del caso ideal.
El tiempo de computacion en general crece conforme se aumenta el numero de sensores.
Esta es la primera vez en la que el tiempo de computacion alcanza el orden de dos minutos.
Al igual que en el caso del numero de sensores fijados, la forma en la que crece el tiempo
de computacion no es uniforme.
(a) Para tres sensores. (b) Para cuatro sensores.
(c) Para cinco sensores. (d) Para seis sensores.
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(e) Para siete sensores. (f) Para ocho sensores.
(g) Para nueve sensores. (h) Para diez sensores.
Figura 4.8: Posiciones optimas de cuatro sensores en la placa considerando distinto numero
de frecuencias propias.
Las posiciones obtenidas de la optimizacion estan recogidas en la figura 4.8. Al igual
que ocurre al observar las posiciones optimizadas para cuatro sensores, es difıcil establecer
un patron comun para estas distribuciones. Se puede decir que las localizaciones de los
sensores estan generalmente equiespaciadas unas de otras, pero no es exactamente cierto
(como se ve en la ultima subfigura, con diez sensores)
El estudio de la optimizacion para las posiciones en la placa plana ha resultado mas
difıcil que en el caso de la viga, siendo complicado establecer un criterio de caracter general
basado en los patrones que muestran las posiciones optimas. En el caso de la viga, si se
pudo dar con un patron comun que siguen las posiciones optimas.
83
84
Capıtulo 5
Conclusiones
En este trabajo se han desarrollado existosamente algoritmos numericos para la busque-
da de las posiciones de sensores que optimizan un ensayo modal simulado. Para ello se
ha hecho uso del MAC, herramienta que proporciona un grado de coherencia entre los
candidatos a ser vectores modales.
Se ha desarrollado un metodo de elementos FEM para los problemas de la viga en
voladizo y la placa plana en condiciones libre-libre. Se ha comprobado que un metodo de
elementos finitos con mayor numero de elementos proporciona un mayor numero de fre-
cuencias y modos suficientemente exactos. Por regla general, las frecuencias propias mas
bajas obtenidas por metodos FEM son mas exactas que mayores frecuencias. Este hecho
hace que un metodo de elementos finitos de pocos elementos pueda ser suficiente si el ob-
jetivo de la simulacion es hallar frecuencias propias bajas. Ademas, sera mas rapido desde
el punto de vista computacional. Dependiendo del tipo de la simulacion y sus objetivos,
habra una solucion de compromiso: cierto numero de elementos optimo que proporciona
los modos propios de interes con suficiente exactitud con un tiempo computacional no
excesivamente alto. Esta relacion entre numero de frecuencias y mınimo numero de ele-
mentos necesarios en el modelo ha sido estudiada y considerada durante el desarrollo del
trabajo a traves de la precision especificada y deseada para cada modo y frecuencia propia.
Se ha comprobado que la medida del MAC aplicado a los vectores procedentes de
una simulacion de elementos finitos mejora sustancialmente cuando se aplica la reduccion
Guyan. Vectores modales que tienen en cuenta desplazamientos y giros no proporcionan
una medida del MAC adecuada. Este hecho es debido a los terminos cruzados de des-
plazamientos y giros que pueden contener. Al aplicar una reduccion y considerar solo
desplazamientos, el MAC pasa a ser muy similar al caso ideal. La reduccion de Guyan
tiene la notable ventaja de que al reducir las dimensiones de las matrices de la estructura,
el tiempo de computacion se reduce sustancialmente. Las ventajas de usar la reduccion de
Guyan aconsejan su uso siempre que el problema cumpla los requisitos para su aplicacion
[20].
85
Durante el desarrollo del trabajo se ha modelizado un ensayo modal de percusion. El
metodo usado ha sido el de Peak Picking tanto en el caso de la viga como en el de la placa.
Este metodo ha demostrado ser muy solvente, al proporcionar resultados muy similares a
los obtenidos directamente del problema de autovalores de la Teorıa de Vibraciones. Es
remarcable que el metodo ha tenido buenos resultados incluso cuando existen frecuencias
propias muy proximas entre sı, como ocurre en el caso de la placa.
Tras obtener las posiciones de los sensores que optimizan el ensayo modal de la viga,
se pueden observar ciertos patrones para la gran mayorıa de numero de modos propios
analizados y numero de sensores disponible. Los sensores se disponen de manera aproxi-
madamente equiespaciada a lo largo de la viga, a la misma distancia caracterıstica de los
extremos empotrado y en voladizo que de ellos mismos. En ausencia de otros datos, este
posicionamiento de sensores es altamente probable que proporcione buenas medidas de las
caracterısticas dinamicas y que lleve a un ensayo exitoso.
Para el caso de la placa, sin embargo, los resultados de la optimizacion no permiten
establecer un patron que asegure un ensayo modal satisfactorio. Esta ausencia de pauta
para poder colocar los sensores es debida a la propia naturaleza del problema de la placa
plana y de la funcion objetivo a optimizar elegida. Existe un numero no desdenable de
posiciones en las que se puede alcanzar una calidad del ensayo modal muy similar. La
funcion es erratica, lo que dificulta su optimizacion. Para establecer un patron no trivial
se deberıa hacer un estudio mas en profundidad del problema.
Ante la ausencia de un patron claro de posiciones optimas en la placa plana, lo que se
puede hacer es evitar potenciales problemas a la hora de disponer los sensores. Estos son: no
disponer los sensores ni el excitador en lineas nodales o tener en cuenta las simetrıas para
que distintos modos no resulten confundidos. Estas indicaciones las puede seguir cualquier
persona que se vaya a enfrentar a un ensayo modal, aunque no tenga gran conocimiento
sobre la materia. Aun ası, disposiciones elegidas unicamente evitando los fenomenos que
provocan un ensayo fallido proporcionan un MAC muy mejorable, pudiendo ser necesaria
una repeticion del ensayo. La unica solucion para garantizar que el ensayo es disponer de
un algoritmo de optimizacion que garantice las posiciones optimas.
La falta de conclusiones contundentes en el problema de la placa plana permite seguir
investigando en este campo. El algoritmo genetico utilizado cumple su mision y propor-
ciona las posiciones optimas de sensores, pero con estos resultados no se puede sacar un
patron de estas.
Es posible que variaciones sustanciales del algoritmo utilizado den lugar a resultados
con los que se puedan obtener patrones concluyentes. Un ejemplo puede ser una funcion
de optimizacion distinta que no este relacionada con la media cuadratica estadıstica.
Otra posibilidad para un trabajo futuro que siga en esta lınea es la de no estudiar uni-
camente las posiciones que optimizan una funcion, sino analizar un conjunto de posiciones
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muy favorables, sin que lleguen a ser optimas. Durante el trabajo se ha demostrado que
hay numerosas posibles posiciones de sensores que hacen el MAC muy favorable, aunque el
trabajo se ha centrado en las optimas. Actuando de esta manera, es posible que se extraiga
un conjunto con pautas para seguir de manera general en un ensayo de una placa plana,
como si se ha conseguido hacer en el caso de la viga en voladizo.
El presente trabajo ha sido profundamente teorico. Se han desarrollado metodos para
la obtencion de los modos propios de ensayos simulados. El siguiente paso, que ha quedado
mas alla del alcance de este trabajo, es ir a un banco de ensayos y colocar los sensores
en las mismas posiciones que las optimas. Ası se podra garantizar que las ubicaciones
obtenidas certifican un buen ensayo, o hay algun elemento externo adicional que ha de ser
tenido en cuenta en el desarrollo teorico.
Durante este trabajo se ha atendido unicamente figuras bidimensionales rectangulares.
En la vida real, muchas estructuras estan formadas a partir de placas planas de distinta
forma (como pueden ser circulares o triangulares). Este algoritmo esta disenado para pla-
cas rectangulares de cualquier tamano, pero necesitarıa generalizarse para poder abarcar
placas con geometrıa mas diversa.
Se ha comprobado la dificultad que entrana definir un ensayo modal para que sea
exitoso. La localizacion de los sensores durante el ensayo es una decision crıtica de la que
depende en gran medida la consecucion del ensayo. Aunque se pueden tomar medidas para
evitar un ensayo infructuoso, al fin y al cabo, la unica manera de asegurar el exito del
ensayo es mediante programas y algoritmos que proporcionen las posiciones donde colocar
los sensores.
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