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UNIVERSIDAD POLITÉCNICA DE MADRID

ESCUELA TÉCNICA SUPERIOR DE INGENIEROS INDUSTRIALES DE

MADRID

TRABAJO FIN DE GRADO:

OPTIMIZACIÓN DEL FLUJO EN EL

INTERIOR DE UN DIFUSORUTILIZANDO FREEFEM++

AUTOR: ALBERTO ESCOLAR CÓCERA

TUTORES: JAIME CARPIO HUERTAS

JAVIER GARCÍA GARCÍA

Junio de 2016

Departamento de Ingeniería Energética y Fluidomecánica

RESUMEN

En este proyecto se presenta un método para optimizar la eficiencia de un difusor bidi-mensional mediante cálculo numérico. Este método se basará en la modificación de la geometríadel difusor buscando obtener una menor separación del flujo. Para su realización, se acudirá ala aerodinámica, que es la rama de la mecánica de fluidos que estudia las acciones que aparecensobre los cuerpos sólidos cuando existe un movimiento relativo entre éstos y el fluido gaseosoque los baña.

En concreto, para poder hacer realidad este proyecto se recurre a la Dinámica de fluidoscomputacional, que utiliza métodos numéricos y algoritmos para resolver problemas sobre elflujo de sustancias. Es conocido que la ventaja principal de los métodos numéricos es que permi-ten obtener de manera muy aproximada la solución de ciertos problemas complejos realizandocálculos puramente aritméticos y lógicos. Así, el software elegido para ejecutar las simulacionespropuestas será FreeFem++, el cual está basado en el método de los elementos finitos.

En el proyecto presente, el problema seleccionado se basará en la resolución de las ecua-ciones temporales de Navier-Stokes, que son un conjunto de ecuaciones en derivadas parcialesno lineales. Estas ecuaciones describen el movimiento de un fluido, y son las que gobiernan laatmósfera terrestre, las corrientes oceánicas y el flujo alrededor de vehículos o proyectiles; engeneral, cualquier fenómeno en el que se involucren fluidos newtonianos. Como FreeFem++es capaz de resolver ecuaciones diferenciales en derivadas parciales (EDP) numéricamente, laelección de este software se presenta muy acertada.

El análisis numérico se basará en una discretización de una región del espacio median-te la creación de un mallado, pudiendo resolver en cada pequeño volumen las ecuaciones deconservación discretizadas. Este método será idóneo para la resolución de las ecuaciones tem-porales de Navier-Stokes, ya que no existe una solución general y es muy complejo hallar unasolución analítica, obteniendo así una solución aproximada. Se buscará calcular posteriormentela solución estacionaria en caso de existir.

Para la ejecución de las simulaciones se ha seleccionado una geometría sencilla, como lade un difusor bidimensional:

Figura 1: Geometría del difusor bidimensional

3

RESUMEN

El difusor se define como un importante componente en muchos aparatos que contienenun flujo, como sistemas de tuberías, túneles de viento y turbomáquinas. La elección de estageometría es muy apropiada debido a la sección divergente que presenta ya que, en sistemascon un fluido interno, dicha divergencia permite decelerar el fluido. De acuerdo con el principiode Bernoulli, la presión estática aumentaría según:

P + ρgh+1

2ρv2 = constante

no obstante, debido a gradientes de presión adversa puede producirse una separación del flujolaminar en las paredes. Esta separación del flujo causaría grandes pérdidas de presión y dete-rioraría la función del difusor. Así, el objetivo principal de este proyecto busca minimizar laseparación mencionada ya que llevaría asociada pérdidas de energía y, por tanto, eficiencia enel funcionamiento del difusor.

Para lograr este cometido, en este proyecto se presenta un análisis basado en el cálculode las zonas de flujo separado laminar en difusores simétricos bidimensionales. Este análisispermitirá determinar la posición y extensión de los desprendimientos mencionados en las pa-redes superior e inferior del difusor. Debido a que la forma y situación de las recirculacionesformadas por dichos desprendimientos dependen de varios factores, se observarán los efectosque se producen al variar parámetros como el número de Reynolds, la relación entre el tamañode las secciones de salida y entrada al difusor, o el semiángulo del difusor. Los resultados mos-trarán que, mediante la representación de las líneas de corriente del flujo, pueden producirsesituaciones en las que surge una separación del flujo simétrica o asimétrica, como las que serepresentan a continuación:

Figura 2: Separación simétrica del flujo laminar

Figura 3: Separación asimétrica del flujo laminar

Un punto importante en la realización de este proyecto será el mallado utilizado para rea-lizar las simulaciones, residiendo aquí una de las ventajas de FreeFem++ ya que cuenta conun generador de mallas automático muy avanzado. Esta opción permitirá trabajar con malladosisótropos o también proceder a la adaptación anisótropa de mallados triangulares bidimensio-nales.

4 Escuela Técnica Superior de Ingenieros Industriales (UPM)

OPTIMIZACIÓN DEL FLUJO EN EL INTERIOR DE UN DIFUSOR

De la teoría de elementos finitos es conocido que, para problemas isótropos, son másapropiados los mallados compuestos por triángulos equiláteros. Para la adaptación de malladosisótropos sólo tendrá que definirse el tamaño del triángulo y se podrá determinar así la longitudhk de los lados del triángulo, mientras que la forma de éste se mantiene lo más equiláteraposible, como se muestra en la figura siguiente:

Figura 4: Mallado triangular isótropo

Desafortunadamente, en algunos casos la solución del problema muestra comportamien-tos direccionales y el uso de adaptación isótropa tiende a menudo a usar demasiados elementosen las regiones donde el error de la solución es grande. En estas situaciones, se observa uncomportamiento óptimo al usar mallados de triángulos anisótropos, los cuales permiten ele-mentos de aspecto alargado, ofreciendo mejores resultados con un número mucho menor degrados de libertad. Para realizar esta adaptación, FreeFem++ utilizará una función denominadaadaptmesh, cuyo objetivo es obtener una mejor solución a un coste más bajo. Esta funciónsupondrá una disminución en el número total de elementos al ser estos triángulos anisótroposy, por tanto, un ahorro en el tiempo necesario para alcanzar un estado estacionario:

Figura 5: Mallado triangular anisótropo

Posteriormente, una vez se ha realizado el análisis de las zonas en las que se produceseparación del flujo laminar, se procederá a realizar un procedimiento de optimización en elque se busca una mejora en el funcionamiento del difusor. En el proyecto presente se muestraespecial interés en la evaluación de la capacidad de un método que permita el control de laseparación de la capa límite. El procedimiento elegido para reducir la separación de la capalímite se basará en la modificación de la geometría del difusor, recurriendo a la introducción decavidades con formas adecuadas en las paredes del difusor. Estas cavidades tendrán una formasemielíptica y se situarán al comienzo de la zona de divergencia del difusor; comenzarán conuna parte ascendente con forma de semielipse y finalizarán con una parte recta hasta alcanzarlas paredes divergentes del difusor.

Figura 6: Parámetros de las cavidades semielípticas

Alberto Escolar Cócera 5

RESUMEN

La idea de añadir estas cavidades se fundamenta en la creación de un vórtice atrapadoen la cavidad, el cual permitirá un retraso en la separación del flujo. Esta separación daríalugar a una gran recirculación asimétrica en un difusor sin cavidades, pero el flujo se vuelve aadherir a las paredes después de la cavidad, retrasando así el desprendimiento principal. Estagran recirculación surge debido a que se seleccionará un difusor con una geometría determinadaque da lugar a una separación asimétrica del flujo, buscando así reducir la zona de recirculaciónprincipal y mejorar la eficiencia del difusor.

En las dos imágenes siguientes se muestra la recirculación que surge cuando no se introdu-cen cavidades (figura 7) y aquella que surgiría cuando se incluyen unas cavidades semielípticasadecuadas (figura 8), apreciando una gran mejora en el segundo caso:

Figura 7: Líneas de corriente en el interior de un difusor sin cavidades

Figura 8: Líneas de corriente en el interior de un difusor con cavidades

Para poder cumplir con los objetivos propuestos, se realizará un análisis paramétrico quebusca obtener unos valores óptimos para los parámetros que definen las cavidades introduci-das. La interpretación de los resultados se realizará mediante la representación de las líneasde corriente del flujo (como en las figuras 7 y 8). Además, se definirán algunos coeficientespara evaluar el desempeño del difusor tras la modificación de la geometría. Dichos coeficien-tes son: el coeficiente medio de recuperación de la presión cp, la eficiencia η y el coeficiente derecuperación de la presión en el eje cpa . Las simulaciones también se comparan evaluando gráfi-camente el valor del coeficiente medio de recuperación de la presión cpx en diferentes seccionesa lo largo de la longitud del difusor. Por tanto, se analizarán los efectos producidos medianterepresentaciones gráficas y resultados numéricos.

La razón de elección de estos coeficientes es simple, ya que cuanto mayor sea el despren-dimiento de la capa límite, mayor será la pérdida de presión que se produce por las recircula-ciones producidas, lo cual conllevará a un retraso en la recuperación de la presión y a un valormenor de dichos coeficientes.

Se simularán un total de 25 casos que incluyen una combinación de cinco valores de t/hy cinco valores de b/h, manteniendo unos valores constantes en el resto de parámetros. Así, seprocederá a una representación tridimensional de los valores en los coeficientes mencionadosque permitirá encontrar una zona óptima en la que se producen aumentos en la recuperación dela presión de aproximadamente un 15 % (en comparación con el difusor que no contiene cavida-des). Se estudiará también el efecto que produce la modificación de cada uno de los parámetroscon detenimiento, presentando algunos casos en los que la modificación de las cavidades supon-drá una reducción drástica en la recuperación de la presión con respecto al difusor de referencia,lo que daría lugar a un empeoramiento de la situación.



Finalmente, se expondrá un apartado de conclusiones en el que se evalúa la aptitud deFreeFem++ a la hora de realizar estas simulaciones, ya que es otro de los objetivos principalesde este proyecto. A su vez, se propondrán otras conclusiones y líneas futuras.


Índice general

1. INTRODUCCIÓN 17

1.1. Contenido del proyecto . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21

1.2. Objetivos y alcance del proyecto . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22

2. PROGRAMACIÓN EN FREEFEM++ 25

2.1. Generalidades de FreeFem++ . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25

2.2. Problema elíptico en 2D resuelto por elementos finitos . . . . . . . . . . . . . 26

2.2.1. Planteamiento y formulación débil del problema con condiciones decontorno de Dirichlet homogéneas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27

2.2.2. Planteamiento y formulación débil del problema con condiciones decontorno de Dirichlet no homogéneas . . . . . . . . . . . . . . . . . . 28

2.2.3. Planteamiento y formulación débil del problema con condiciones decontorno de Neumann homogéneas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 28

2.2.4. Planteamiento y formulación débil del problema con condiciones decontorno de Neumann no homogéneas . . . . . . . . . . . . . . . . . . 28

2.3. Métodos numéricos con diferencias finitas para EDPs de evolución - Euler im-plícito . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 29

2.4. Ejemplos sencillos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 30

2.5. Métodos de Lagrange-Galerkin para ecuaciones de convección - difusión . . . 35

2.5.1. Método de Lagrange-Galerkin sin considerar difusión . . . . . . . . . 37

2.5.2. Método de Lagrange-Galerkin considerando difusión . . . . . . . . . . 40

3. ADIMENSIONALIZACIÓN Y DISCRETIZACIÓN DE LA ECUACIÓN DE NA-VIER - STOKES EN 2D 43

3.1. Cálculo de la fuerza sobre un objeto . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 46

3.2. Variación de la fuerza en flujo alrededor de un cilindro . . . . . . . . . . . . . 47

3.3. Representación de las líneas de corriente en 2D . . . . . . . . . . . . . . . . . 50

3.4. Líneas de corriente en flujo alrededor de un cilindro . . . . . . . . . . . . . . . 51

9

ÍNDICE GENERAL

4. CAPA LÍMITE 53

4.1. Espesor de capa límite . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 54

4.2. Capa límite con gradiente de presión: desprendimiento de la capa límite . . . . 55

5. CÁLCULO DE LAS ZONAS DE FLUJO SEPARADO LAMINAR EN DIFUSO-RES SIMÉTRICOS BIDIMENSIONALES 57

5.1. Introducción al estudio . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 57

5.2. Adaptación anisótropa de mallados 2D de elementos finitos . . . . . . . . . . . 59

5.3. Búsqueda del estado estacionario . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 60

5.4. Resultados . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 61

5.5. Discrepancias con respecto al caso teórico . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 68

6. OPTIMIZACIÓN DE LA EFICIENCIA DE DIFUSORES SIMÉTRICOS BIDI-MENSIONALES POR MEDIO DE CAVIDADES 73

6.1. Introducción . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 73

6.2. Definición de geometría del difusor y características de la simulación . . . . . . 74

6.3. Características del flujo y validación . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 75

6.4. Análisis paramétrico y resultados . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 77

6.4.1. Resultados en difusor con cavidades semielípticas . . . . . . . . . . . 77

6.4.2. Efectos producidos por la variación de b/h . . . . . . . . . . . . . . . 82

6.4.3. Efectos producidos por la variación de t/h . . . . . . . . . . . . . . . 86

6.4.4. Efectos producidos por la variación de a/h . . . . . . . . . . . . . . . 89

6.4.5. Variación negativa en la recuperación de la presión . . . . . . . . . . . 90

7. CONCLUSIONES Y LÍNEAS FUTURAS 99

8. PLANIFICACIÓN Y PROGRAMACIÓN 101

8.1. Estructura de Descomposición del Proyecto . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 101

8.2. Diagrama de Gantt . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 103

9. PRESUPUESTO 105

BIBLIOGRAFÍA 108

ANEXO I. CÓDIGO DE FREEFEM++ PARA FLUJO ALREDEDOR DE UN CILIN-DRO 109

ANEXO II. CÓDIGO DE FREEFEM++ PARA FLUJO EN EL INTERIOR DE UNDIFUSOR 111


Índice de figuras

1. Geometría del difusor bidimensional . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3

2. Separación simétrica del flujo laminar . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 4

3. Separación asimétrica del flujo laminar . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 4

4. Mallado triangular isótropo . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 5

5. Mallado triangular anisótropo . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 5

6. Parámetros de las cavidades semielípticas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 5

7. Líneas de corriente en el interior de un difusor sin cavidades . . . . . . . . . . 6

8. Líneas de corriente en el interior de un difusor con cavidades . . . . . . . . . . 6

1.1. Presión vs. Velocidad . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19

1.2. Vista lateral del difusor . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19

2.1. Malla no uniforme generada con rectangulo.edp . . . . . . . . . . . . . . . . . 30

2.2. Dos mallas uniformes generadas con dosrectangulos.edp . . . . . . . . . . . . 31

2.3. Dos mallas complementarias generadas con hueco.edp . . . . . . . . . . . . . 32

2.4. Mallas con hueco generadas con hueco.edp . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 32

2.5. Variación de u en función de la posición . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 33

2.6. Representación de qx en función de la posición . . . . . . . . . . . . . . . . . 35

2.7. Valores de c mediante el método de Galerkin sin difusión . . . . . . . . . . . . 38

2.8. Valores de c mediante el método de Lagrange-Galerkin sin difusión . . . . . . 39

2.9. Valores de c mediante el método de Galerkin con difusión . . . . . . . . . . . . 40

2.10. Valores de c mediante el método de Lagrange-Galerkin con difusión . . . . . . 41

3.1. Magnitudes de referencia . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 43

3.2. Isolíneas de la velocidad según el eje x en el instante inicial . . . . . . . . . . . 47

3.3. Isolíneas de la velocidad vx . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 48

3.4. Variación de la fuerza de sustentación en función del tiempo . . . . . . . . . . 49

3.5. Variación de la fuerza de arrastre en función del tiempo . . . . . . . . . . . . . 49

3.6. Concepto de líneas de corriente . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 50

11

ÍNDICE DE FIGURAS

3.7. Líneas de corriente para el cilindro . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 51

4.1. Descripción de la capa límite . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 53

4.2. Condición de contorno en la superficie de un sólido en reposo. Caso ideal yviscoso . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 54

4.3. Definición del espesor de la capa límite (δ) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 54

4.4. Efecto del gradiente de presión adverso . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 55

5.1. Configuración y nomenclatura del difusor . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 58

5.2. Ilustración esquemática de los dos tipos de mallado utilizados por Tsui y Wang 58

5.3. Mallado de triángulos isótropos en el interior de un difusor . . . . . . . . . . . 60

5.4. Mallado de triángulos anisótropos en el interior de un difusor . . . . . . . . . . 60

5.5. Variación del coeficiente de fricción con el tiempo para la búsqueda del estadoestacionario . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 60

5.6. Líneas de corriente del flujo para (a) θ = 15º y (b) θ = 75º en el caso teórico . 61

5.7. Líneas de corriente del flujo para θ = 15º en el caso I con FreeFem++ . . . . . 62

5.8. Líneas de corriente del flujo para θ = 15º en el caso II con FreeFem++ . . . . . 62

5.9. Líneas de corriente del flujo para θ = 15º en el caso III con FreeFem++ . . . . 63

5.10. Líneas de corriente del flujo para θ = 15º en el caso IV con FreeFem++ . . . . 63

5.11. Líneas de corriente del flujo para θ = 75º en el caso I con FreeFem++ . . . . . 63

5.12. Líneas de corriente del flujo para θ = 75º en el caso II con FreeFem++ . . . . . 63

5.13. Líneas de corriente del flujo para θ = 75º en el caso III con FreeFem++ . . . . 63

5.14. Líneas de corriente del flujo para θ = 75º en el caso IV con FreeFem++ . . . . 64

5.15. Líneas de corriente del flujo para θ = 90 en el caso IV mediante la simulaciónFreeFem++ . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 64

5.16. Longitudes de separación y reincorporación para los (a) caso I, (b) caso II, (c)caso III y (d) casi IV en el caso teórico y mediante FreeFem++ . . . . . . . . . 65

5.17. Longitudes de separación y reincorporación para el caso I mediante la simula-ción FreeFem++ . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 66

5.18. Longitudes de separación y reincorporación para el caso IV mediante la simu-lación FreeFem++ . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 67

5.19. Longitudes de separación y reincorporación para el caso II mediante la simula-ción FreeFem++ . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 69

5.20. Longitudes de separación y reincorporación para el caso III mediante la simu-lación FreeFem++ . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 69

6.1. Geometría del difusor y marco de referencia . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 74

6.2. Líneas de corriente en el interior del difusor sin cavidades . . . . . . . . . . . . 75

6.3. cpx para el difusor de referencia . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 76



6.4. Parámetros a optimizar . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 77

6.5. Líneas de corriente en el interior de la cavidad semielíptica . . . . . . . . . . . 77

6.6. Representación tridimensional de la variación de cp . . . . . . . . . . . . . . . 79

6.7. Isolíneas de la variación de cp . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 79

6.8. Representación tridimensional de la variación de η . . . . . . . . . . . . . . . 80

6.9. Isolíneas de la variación de η . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 80

6.10. Representación tridimensional de la variación de cpa . . . . . . . . . . . . . . . 81

6.11. Isolíneas de la variación de cpa . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 81

6.12. Variación ( %) de cp con respecto de b/h con t/h = 12 . . . . . . . . . . . . . 83

6.13. Variación ( %) de la eficiencia con respecto de b/h con t/h = 12 . . . . . . . . 83

6.14. Variación ( %) de cpa con respecto de b/h con t/h = 12 . . . . . . . . . . . . . 84

6.15. cpx para el difusor de referencia, con b/h = 0,20 y b/h = 0,12 manteniendot/h = 12 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 85

6.16. Líneas de corriente en el interior del difusor de referencia . . . . . . . . . . . . 85

6.17. Líneas de corriente en el interior del difusor con cavidades para b/h = 0,20 cont/h = 12 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 85

6.18. Líneas de corriente en el interior del difusor óptimo para b/h = 0,12 con t/h = 12 86

6.19. Líneas de corriente en el interior de la cavidad para b/h = 0,20 con t/h = 12 . 86

6.20. Líneas de corriente en el interior de la cavidad para b/h = 0,12 con t/h = 12 . 86

6.21. Variación ( %) de cp con respecto de t/h con b/h = 0,12 . . . . . . . . . . . . 87

6.22. Variación ( %) de la eficiencia con respecto de t/h con b/h = 0,12 . . . . . . . 87

6.23. Variación ( %) de cpa con respecto de t/h con b/h = 0,12 . . . . . . . . . . . . 88

6.24. cpx para el difusor de referencia, con t/h = 16 y t/h = 12 manteniendo b/h =0,12 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 89

6.25. Líneas de corriente en el difusor óptimo con a/h = 0,34 . . . . . . . . . . . . 90

6.26. Líneas de corriente en el difusor óptimo con a/h = 0 . . . . . . . . . . . . . . 90

6.27. Líneas de corriente en la cavidad del difusor óptimo con a/h = 0,34 . . . . . . 90

6.28. Líneas de corriente en la cavidad del difusor óptimo con a/h = 0 . . . . . . . . 90

6.29. Líneas de corriente en el interior del difusor con cavidades para t/h = 12 yb/h = 0,24 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 91

6.30. Líneas de corriente en la cavidad para t/h = 12 y b/h = 0,24 . . . . . . . . . . 91

6.31. cp, η y cpa para los difusores de referencia, con b/h = 0,20 y b/h = 0,24manteniendo t/h = 12 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 91


6.33. Variación ( %) de cp con respecto de b/h con t/h = 12 incluyendo b/h = 0,24 . 92


ÍNDICE DE FIGURAS

6.34. Variación ( %) de η con respecto de b/h con t/h = 12 incluyendo b/h = 0,24 . 93

6.35. Variación ( %) de cpa con respecto de b/h con t/h = 12 incluyendo b/h = 0,24 93




6.39. Variación ( %) de cp con respecto de b/h con t/h = 16 incluyendo b/h = 0,24 . 96

6.40. Variación ( %) de η con respecto de b/h con t/h = 16 incluyendo b/h = 0,24 . 96

6.41. Variación ( %) de cpa con respecto de b/h con t/h = 16 incluyendo b/h = 0,24 97

8.1. Diagrama de Gantt . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 103


Índice de cuadros

5.1. Valores de longitudes de separación y reincorporación con FreeFem++ para loscasos I y IV . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 67

5.2. Valores de longitudes de las recirculaciones con FreeFem++ para los casos I y IV 68

5.3. Valores de longitudes de separación y reincorporación con FreeFem++ para loscasos II y III . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 70

5.4. Valores de longitudes de las recirculaciones con FreeFem++ para los casos II yIII . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 70

5.5. Resultados obtenidos en FreeFem++ y OpenFOAM para θ = 22 en el caso III . 71

6.1. Valores obtenidos con FreeFem++ de cp, η y cpa en el difusor sin cavidades . . 76

6.2. Análisis paramétrico de cp . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 78

6.3. Análisis paramétrico de η . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 78

6.4. Análisis paramétrico de cpa . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 78


6.6. cp, η y cpa para los difusores de referencia, con t/h = 16 y t/h = 12 mante-niendo b/h = 0,12 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 88

6.7. cp, η y cpa para los difusores con a/h = 0,34 y a/h = 0 . . . . . . . . . . . . . 89


9.1. Presupuesto total del proyecto . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 106

15

Capítulo 1

INTRODUCCIÓN

La mecánica de fluidos es la ciencia que se encarga del estudio de fluidos en movimiento(dinámica de fluidos) o estáticos (estática de fluidos) y, subsecuentemente, de los efectos queéstos producen sobre los recipientes que los contienen o superficies que están en contacto conellos.

Los gases y los líquidos están clasificados como fluidos, y existe una gran gama de apli-caciones de ingeniería relacionadas con este campo. El estudio de la mecánica de fluidos puedeayudarnos tanto a comprender la complejidad del medio natural, como a mejorar el mundo quehemos creado.

Actos tan cotidianos como tomar una ducha, respirar o beber agua, requieren necesaria-mente la circulación de fluidos. También existe una gran variedad de aplicaciones relacionadascon canales, presas, obras de alcantarillado y agua potable, o incluso relacionadas con los flujossanguíneos.

El conocer y entender los principios básicos de la mecánica de fluidos es esencial en elanálisis y diseño de cualquier sistema en el cual el fluido es el elemento de trabajo. Hoy endía, el diseño de todos los medios de transporte requiere la aplicación de dichos principios.Entre estos medios se incluyen tanto los aviones como máquinas terrestres, barcos, submarinosy típicamente automóviles. También están basados en esos principios los sistemas de propulsióncomo cohetes.

Es bastante común realizar estudios en modelo reducido para determinar las fuerzas aero-dinámicas y estudiar el flujo alrededor de edificios, puentes u otras estructuras complejas. Lossistemas de calefacción y de ventilación, tanto de viviendas e industrias como de construccio-nes subterráneas, túneles y otros, así como el diseño de sistemas de cañerías, son ejemplos deaplicación en cuanto a técnicas de diseño.

Incluso el sistema de circulación del cuerpo humano es un sistema fluido. De ahí que eldiseño de corazones artificiales, máquinas de diálisis, ayudas respiratorias y otros aparatos estébasado en la mecánica de fluidos.

Esta amplia gama de aplicaciones ha dado origen a dos ramas importantes de la mecánicade fluidos: la aerodinámica y la hidrodinámica. La aerodinámica es la rama de la mecánicade fluidos que estudia las acciones que aparecen sobre los cuerpos sólidos cuando existe unmovimiento relativo entre éstos y el fluido que los baña, siendo este último un gas y no unlíquido. En el caso de tratarse de un líquido, se estudiará dicho caso en la hidrodinámica.

Así, la hidrodinámica estudiará la dinámica de los líquidos. Permite comprender multitudde hechos tales como el fluir del agua en las tuberías, en la calefacción ó los efectos producidos

17

INTRODUCCIÓN

por la caída del agua en los embalses. A su vez, tiene numerosas aplicaciones industriales comodiseño de canales, construcción de puertos y presas, fabricación de barcos, turbinas...

Por otro lado, la aerodinámica es la parte de la mecánica de fluidos que estudia los gasesen movimiento y las fuerzas o reacciones a las que están sometidos los cuerpos que se hallanen su seno. Con las ecuaciones de continuidad, cantidad de movimiento y energía se puedenobtener modelos que describen el movimiento de los fluidos. Un caso particular ocurre cuandoel movimiento del fluido es estacionario, es decir, las propiedades del fluido solo cambian conla posición en el campo fluido pero no con el tiempo, y cuando además se puede despreciar laviscosidad del fluido. Con estas dos características, movimiento estacionario y no viscoso, sepuede obtener una función potencial que al ser derivada proporcione la velocidad del fluido encada punto del campo, pudiendo así hallar otras magnitudes importantes.

Modelando el campo del fluido es posible calcular, en casi todos los casos de maneraaproximada, las fuerzas y momentos que actúan sobre el cuerpo o cuerpos sumergidos en elcampo fluido. La relación entre fuerzas sobre un cuerpo moviéndose en el seno de un fluido ylas velocidades viene dada por los coeficientes aerodinámicos. Estos coeficientes pueden dar lafuerza de sustentación L y la resistencia aerodinámica D:

Coeficiente de sustentación: CL = L12ρV 2St

Coeficiente de resistencia: CD = D12ρV 2St

donde V es la velocidad, ρ es la densidad del fluido y St es el área transversal.

A la importancia propia de la aerodinámica hay que añadir el valor de su aportación ala aeronáutica. Así, según su aplicación, podemos distinguir entre aerodinámica aeronáutica yaerodinámica civil.

También se pueden establecer otras clasificaciones según la naturaleza del fluido: com-presible e incompresible, o según el número de Mach. El número de Mach es una medida develocidad relativa que se define como el cociente entre la velocidad de un objeto y la veloci-dad del sonido en el medio en que se mueve dicho objeto. Se puede distinguir así un régimensubsónico cuando el número de Mach es inferior a la unidad, un régimen transónico cuando elnúmero de Mach es muy cercano a uno, o un régimen supersónico cuando el número de Maches superior a la unidad.

El conjunto de aplicaciones que hoy en día se hacen a partir de los conocimientos aero-dinámicos permiten desde viajar a 10 kilómetros de altura o tomar una curva a 180 km/h sinsalirnos de la calzada.

Hay ciertas leyes de la aerodinámica, aplicables a cualquier objeto moviéndose a travésdel aire, que explican el vuelo de objetos pesados. Para el estudio del vuelo, es lo mismo consi-derar que es el objeto el que se mueve a través del aire, como que este objeto esté inmóvil y es elaire el que se mueve (de esta forma se prueban en los túneles de viento prototipos de aviones).

Para comprender este fenómeno se define el perfil aerodinámico, el cual es un cuerpoque tiene un diseño determinado para aprovechar al máximo las fuerzas que se originan porla variación de velocidad y presión cuando este perfil se sitúa en una corriente de aire. Un alaes un ejemplo de diseño avanzado de perfil aerodinámico. Por tanto, no se puede hablar deaerodinámica sin tener en cuenta la importancia de las formas geométricas de los cuerpos; eselemental deducirlas para aprovechar su aplicación.



Cuando un aparato dotado de perfiles aerodinámicos (como alas) se mueve en el aire a unacierta velocidad y con determinada colocación hacia arriba (ángulo de ataque), el ala produceun flujo de aire en proporción a su ángulo de ataque y a la velocidad con que el ala se mueverespecto a la masa de aire que la rodea.

Figura 1.1: Presión vs. Velocidad

De este flujo de aire, el que discurre por la parte superior del perfil tendrá una velocidadmayor que el que discurre por la parte inferior, lo que implica una menor presión según elteorema de Bernoulli. Se tiene así que la superficie superior del ala soporta menos presión quela inferior. Dicha diferencia de presiones produce una fuerza aerodinámica que empuja el ala dela zona de mayor presión (abajo) a la zona de menor presión (arriba). Pero además, la corrientede aire que fluye a mayor velocidad por encima del ala, al confluir con la que fluye por debajodeflecta a esta última hacia abajo, produciéndose una fuerza de reacción adicional hacia arriba.Se obtiene así la fuerza de sustentación, que mantiene el avión en el aire.

Las leyes de la aerodinámica permiten también comprender el comportamiento de losvehículos de competición en los circuitos de Fórmula 1. Una de las partes más importantesde estos vehículos son las prestaciones aerodinámicas, ya que en los circuitos de F1 no suelehaber demasiados sectores donde explotar la velocidad máxima que permita el motor. Se buscagenerar la mayor carga aerodinámica. Por tanto, elementos como los alerones y los difusores seestudian a fondo para permitir grandes prestaciones aerodinámicas en la curva.

El objetivo de estos elementos busca acelerar el flujo de aire que circula por debajo delcoche para crear una zona de baja presión y así generar carga aerodinámica. Al aumentar eldifusor la sección de paso del flujo por debajo del coche, ésta tiene que ser ocupada por el airey, para ello, este flujo se ha de acelerar a lo largo del fondo plano para poder ocupar más espaciodel que ocupaba, provocando así una reducción de presión a la entrada del difusor y, por tanto,una ganancia aerodinámica.

Figura 1.2: Vista lateral del difusor


INTRODUCCIÓN

Si este aire a baja presión fuera extraído directamente al exterior, que se encuentra apresión ambiental, se generarían unas turbulencias que aumentarían las fuerzas de resistenciaal avance del coche. Esta adaptación se ha de hacer de una forma progresiva para evitar lainfluencia negativa del gradiente de presión adversa y la separación del flujo (se puede ver unaexplicación más detallada en [1]).

Dicha separación del flujo puede ocurrir en muchos flujos tanto externos como internos.Desde un punto de vista práctico, debido a las pérdidas de energía frecuentemente asociadas conla separación del flujo de las paredes, un problema crucial en muchas aplicaciones tecnológicases el desarrollo de metodologías que permitan reducir o, si es posible, evitar dicha separación,ya que dicha separación podría dar lugar a grandes pérdidas de presión y deteriorar la funciónde los aparatos.

Para afrontar este problema, actualmente se utilizan softwares que permiten ejecutar so-luciones numéricas. Estos programas simulan el comportamiento de un fluido en una geometríadada, pudiendo observar muchos datos de interés, como la distribución de velocidades o depresiones, y cálculos aproximados de los coeficientes de resistencia al avance y de sustentación.

En ámbitos tan distintos como el diseño de naves y la meteorología se encuentran ecuacio-nes, como las de Navier-Stokes, que desempeñan un papel fundamental. Debido a la inexistenciade una solución general y a la complejidad existentes a la hora de hallar una solución analíticade estas ecuaciones, se recurrirá al análisis numérico para determinar una solución aproximada.

Los métodos numéricos son técnicas mediante las cuales es posible formular problemasde tal forma que sean resueltos con operaciones aritméticas. Aunque hay muchos tipos de mé-todos, todos comparten una característica común, ya que llevan a cabo un buen número decálculos aritméticos y emiten soluciones aproximadas. Por tanto, la importancia de los métodosnuméricos no radica en buscar la solución exacta de un problema, sino la aproximada pero conla precisión requerida, es decir, con un error lo suficientemente pequeño y próximo a cero.

Un factor importante también es el tiempo empleado en obtener la solución, y en esto hajugado un papel muy importante el enorme desarrollo de la tecnología computarizada, ya quela enorme velocidad actual de los medios computarizados de cómputo ha reducido considera-blemente el tiempo de obtención de la solución, lo que ha motivado la popularidad, el enormeuso y aceptación que hoy tienen los métodos numéricos. Además, los ordenadores son capacesde dar soluciones con la precisión requerida.

El procedimiento descrito se denomina Dinámica de fluidos computacional, que es una delas ramas de la mecánica de fluidos que utiliza métodos numéricos y algoritmos para resolvery analizar problemas sobre el flujo de sustancias. Los ordenadores son utilizados para realizarmillones de cálculos requeridos para simular la interacción de los líquidos y los gases con su-perficies complejas proyectadas por la ingeniería y definidas con condiciones de contorno. Aúncon ecuaciones simplificadas y superordenadores de alto rendimiento, solo se pueden alcanzarresultados aproximados en muchos casos.

La continua investigación, sin embargo, permite la incorporación de softwares que aumen-tan la velocidad de cálculo y disminuyen el margen de error, al tiempo que permiten analizarsituaciones cada vez más complejas.

El método llevado a cabo consiste en discretizar una región del espacio creando lo que seconoce por una malla espacial, dividiendo una región del espacio en pequeños volúmenes decontrol. Después se resuelve en cada uno de estos volúmenes las ecuaciones de conservacióndiscretizadas, de forma que se está resolviendo una matriz algebraica en cada celda de forma



iterativa hasta tener un residuo lo suficientemente pequeño. Finalmente, se usará un postproce-sador para el análisis y visualización de la solución resultante.

Algunos de los métodos de discretización que se pueden usar son:

Método de los volúmenes finitos: permite discretizar y resolver numéricamente ecuacio-nes diferenciales. Se considera una malla de discretización del espacio fluido. En torno acada punto de esta malla se construye un volumen de control que no se traslapa con los delos puntos vecinos. De esta forma el volumen total del fluido resulta ser igual a la sumade los volúmenes de control considerados. La ecuación diferencial a resolver se integrasobre cada volumen de control, lo cual entrega como resultado una versión discretizadade dicha ecuación.

Método de los elementos finitos: es un método de aproximación de problemas continuos.El continuo se divide en un número finito de partes (elementos) cuyo comportamientose especifica mediante un número finito de parámetros asociados a ciertos puntos carac-terísticos denominados "nodos". Estos nodos son los puntos de unión de cada elementocon sus adyacentes. Las incógnitas del problema dejan de ser funciones matemáticas ypasan a ser el valor de estas funciones en los nodos. El comportamiento en el interior decada elemento quedará definido a partir del comportamiento de los nodos mediante lasadecuadas funciones de interpolación.

En definitiva, la gran ventaja de la aplicación de métodos numéricos es que permitiráobtener de manera muy aproximada la solución de ciertos problemas complejos realizandocálculos puramente aritméticos y lógicos.

1.1. Contenido del proyecto

En esta sección se detallará el orden que se ha seguido en la realización del proyecto,proporcionando una somera descripción acerca del contenido de cada capítulo.

Para comenzar, se proporciona información acerca de FreeFem++ en el Capítulo 2. Estesoftware ha sido elegido para ejecutar las simulaciones necesarias y está basado en el métodode los elementos finitos. Para comprender su funcionamiento, se proporciona previamente unainformación que facilitará dicha comprensión.

En las Secciones 2.2 y 2.3 se muestra el proceso seguido para la discretización del pro-blema, ya que la sintaxis de FreeFem++ permite la introducción de ecuaciones discretizadas.Para un mejor manejo de FreeFem++, se incluyen algunos ejemplos sencillos relacionados conla generación de mallas en la Sección 2.4.

En la Sección 2.5 se muestran algunos ejemplos para entender la resolución de problemastemporales gracias al método de Lagrange-Galerkin, que permitirá el uso de parámetros queevitan la inestabilidad del método numérico y llevan a un error menor.

Posteriormente, se mostrará en el Capítulo 3 el proceso de adimensionalización de lasecuaciones de Navier-Stokes, ya que FreeFem++ puede trabajar con valores adimensionales.Mediante la aplicación de las herramientas previamente definidas, se obtendrá la formulaciónvariacional del problema con la cual será posible empezar a ejecutar las principales simulacio-nes.


INTRODUCCIÓN

Además, en el Capítulo 3 se presentará el caso del flujo alrededor de un cilindro. Seintroducirán así parámetros útiles como el cálculo de la fuerza de sustentación o la fuerza dearrastre. También se procede a la representación de las líneas de corriente.

Con el objetivo de permitir una adecuada compresión de este proyecto, se introduce en elCapítulo 4 el concepto de capa límite. Para profundizar en el concepto de capa límite laminar, seprocederá a la explicación de conceptos fundamentales como son: el espesor de la capa límite,el coeficiente de fricción o el desprendimiento de la capa límite.

Después, se presenta en el Capítulo 5 un artículo que hace referencia a la realización desimulaciones en geometrías sencillas como un difusor bidimensional. Se realizarán unas simu-laciones que se podrán comparar con el artículo, y se buscará calcular las zonas en las cuales seproduce desprendimiento de la capa límite. Se busca así analizar las asimetrías que surgen en elflujo mediante la modificación de la geometría del difusor o del número de Reynolds.

En la Sección 5.2 se presenta el procedimiento de adaptación anisótropa de mallados 2Dde elementos finitos que se ha utilizado para ejecutar dichas simulaciones.

Una vez realizadas, se presentan en la Sección 5.4 los resultados obtenidos. Como surgenalgunas discrepancias con respecto del artículo, éstas se analizan más detalladamente en laSección 5.5, mostrando resultados obtenidos mediante otro software.

Debido a que se busca reducir los desprendimientos mencionados, se llevará a cabo unprocedimiento de optimización en el Capítulo 6. Dicho procedimiento se basará en la modifica-ción de la geometría del difusor. Para evaluar los resultados obtenidos por cálculo numérico, sedefinirán unos coeficientes de recuperación de la presión en la Sección 6.3. Estos coeficientessurgen debido a la pérdida de presión que se produce por el desprendimiento de la capa límite.

A continuación, se realizará un análisis parámetrico en la Sección 6.4. Para ello, se intro-ducirán unas cavidades definidas por ciertos parámetros, y se estudiará el efecto que producecada parámetro en la recuperación de la presión en las Subsecciones 6.4.2, 6.4.3 y 6.4.4, obte-niendo unos parámetros óptimos. Finalmente, se presentarán los parámetros que conllevan unasituación desfavorable en la Subsección 6.4.5.

Por último, se expondrán las principales conclusiones obtenidas a partir de la realizaciónde este proyecto en el Capítulo 7.

Todas las simulaciones y resultados que se muestran en esta memoria han sido realizadospor el autor del presente TFG gracias al programa FreeFem++, y se han podido interpretargracias a la herramienta Matlab.

1.2. Objetivos y alcance del proyecto

A lo largo de la realización de este proyecto se han planteado una serie de objetivos:

Aprender a manejar el software FreeFem++ para la resolución numérica de problemas demecánica de fluidos por el método de elementos finitos.

Resolución de problemas temporales mediante el método de Lagrange-Galerkin.

Cálculo de parámetros útiles que surgen a causa del movimiento del flujo e interpretacióncon Matlab.



Estudio de geometrías sencillas como un difusor bidimensional.

Estudio del desprendimiento de la capa límite y asimetrías en el flujo.

Optimización de geometrías mediante la realización de un análisis paramétrico y el usodel cálculo numérico.

Aprender a seleccionar un mallado adecuado utilizando en algunos casos métodos deadaptación anisótropa.

Búsqueda de unas condiciones óptimas en la ejecución de las simulaciones, variandoparámetros como el paso de tiempo de resolución del problema o el número de elementosde la malla, de forma que se obtenga una solución adecuada para un coste bajo.

Estudiar la aptitud de FreeFem++ para la ejecución de las simulaciones propuestas y laobtención de unos resultados adecuados.

En cuanto al último objetivo, es necesario mencionar que se ha tenido la oportunidadde trabajar en paralelo con otros compañeros en el Departamento de Ingeniería Energética yFluidomecánica. Estos compañeros han realizado un proyecto común en muchos aspectos peroutilizando otros programas, teniendo así la posibilidad de comparar diferentes situaciones yresultados.


Capítulo 2

PROGRAMACIÓN EN FREEFEM++

2.1. Generalidades de FreeFem++

El software utilizado en este proyecto es FreeFem++, el cual es un programa gratuito ca-paz de resolver ecuaciones diferenciales en derivadas parciales numéricamente. Se recuerda queuna ecuación diferencial en derivadas parciales (EDP) es la relación entre una función de va-rias variables y sus derivadas (parciales). Muchos problemas en física, ingeniería y matemáticasestán definidos mediante una o varias EDP’s.

Este programa se encuentra disponible en las plataformas GNU/Linux, Solaris, OS X yMS Windows. El programa fue reescrito en C++, por tanto, tiene un lenguaje de programaciónpropio con características de C++.

FreeFem++ está basado en el método de los elementos finitos y tiene un generador demallas automático muy avanzado basado en el algoritmo de Delaunay-Voronoi (la densidad delos puntos del interior es proporcional a la densidad de puntos del contorno), permitiendo unaposterior adaptación de la malla con elementos anisótropos. Tiene una gran cantidad de elemen-tos finitos triangulares, como son: lineales, elementos discontinuos P1 (mediante polinomios deprimer grado), elementos de un tipo no escalar, mini elementos. . . pero no cuadrados.

Admite problemas con varias variables, varias ecuaciones, en 2D, 3D, dependientes deltiempo, lineales o no lineales; sin embargo, el usuario debe describir los procesos de iteraciónpara reducir el problema a un problema lineal. Ejemplos de estos problemas son: problemaselípticos, parabólicos, hiperbólicos, flujos mediante Navier-Stokes, elasticidad, etc. Para la des-cripción del problema se utilizará la formulación variacional, con acceso a los vectores y matri-ces internos en caso de ser necesario, pudiendo especificar las condiciones de contorno en cadasuperficie.

Permite también generación de archivos .txt, .eps, .gnu, inserción y guardado de mallaspara una posterior manipulación. Los archivos de órdenes se guardan con la terminación .edp,pudiendo ejecutar así el programa.

En este proyecto se utilizará la versión FreeFem++ 3.45. Para su instalación es necesarioabrir el link siguiente: http://www.freefem.org/ff++/ y elegir tu plataforma: Linux,Windows, MacOS X, o ir al final de la página para ver la lista completa de descargas (el manualcompleto se encuentra en [2]).

Se ha utilizado un MacBook Pro 13” para realizar las simulaciones necesarias, por loque se muestra a continuación su procedimiento de instalación. Una vez descargado el archivo

25

http://www.freefem.org/ff++/


necesario, se extrae todo el contenido y se pone la aplicación FreeFem+.app en el directorio/Aplicaciones. Para ejecutar la aplicación, solo es necesario hacer doble click en un iconocon la terminación .edp.

Es necesario utilizar un editor de texto para escribir el código que ejecute el programa;en este caso se ha utilizado Notepad++. Para su instalación y funcionamiento de acuerdo conFreeFem++ solo es necesario descargarlo en https://notepad-plus-plus.org/ yseguir los siguientes pasos:

Abrir Notepad++, entrar en el menú «Run» y pulsar «Run...»

En la nueva ventana introducir launchff++ "$(FULL_CURRENT_PATH)".

Hacer click en Save, e introducir FreeFem++ en el hueco «Name». Ahora elige el mé-todo rápido para ejecutar directamente FreeFem++ (por ejemplo alt+shift+R).

Para añadir una sintaxis de colores compatible con FreeFem++ en Notepad++,

• En el menú «Settings», hacer click en «Style Configurator...» y pro-ceder así:

• En el apartado «Language» seleccionar C++

• Añadir «edp» en el campo «User ext.»

• Seleccionar «INSTRUCTION WORD» en la lista «Style:» y en el hueco llamado«User-defined keywords» cortar y pegar la siguiente lista: P0 P1 P2 P3P4 P5 P1dc P2dc P3dc P4dc P5dc RT0 RT1 RT2 RT3 RT4 RT5 macro plot int1dint2d solve movemesh adaptmesh trunc checkmovemesh on func buildmesh squareEigenvalue min max imag exec LinearCG NLCG Newton BFGS LinearGMREScatch try intalledges jump average mean load savemesh convect abs sin cos tan atanasin acos cotan sinh cosh tanh cotanh atanh asinh acosh pow exp log log10 sqrt dxdy endl cout

• Seleccionar «TYPE WORD» en la lista «Style» y en el hueco «User-definedkeywords» cortar y pegar la siguiente lista: mesh real fespace varf matrix problemstring border complex ifstream ofstream

• Hacer click en Save & Close, y Notepad++ ya estará configurado.

2.2. Problema elíptico en 2D resuelto por elementos finitos

El método de los elementos finitos (MEF) es un método de aproximación de problemascontinuos, de tal forma que el continuo se divide en un número finito de partes, “elementos”,cuyo comportamiento se especifica mediante un número finito de parámetros asociados a cier-tos puntos característicos denominados “nodos”. Estos nodos son los puntos de unión de cadaelemento con sus adyacentes.

La solución del sistema completo sigue las reglas de los problemas discretos; por tanto,el sistema completo se forma por ensamblaje de los elementos. Las incógnitas del problemadejarán de ser funciones matemáticas y pasarán a ser el valor de estas funciones en los nodos.


https://notepad-plus-plus.org/


El comportamiento en el interior de cada elemento quedará definido a partir del comportamientode los nodos mediante las adecuadas “funciones de interpolación”.

Esta acción de transformar un cuerpo de naturaleza continua en un modelo discreto apro-ximado se denomina “discretización del modelo”. El conocimiento de lo que sucede en el inte-rior de este modelo del cuerpo aproximado se obtiene mediante la interpolación de los valoresconocidos en los nodos. Es, por tanto, una aproximación de los valores de una función a partirdel conocimiento de un número determinado y finito de puntos.

El MEF es un método numérico general para la aproximación de soluciones de ecuacionesdiferenciales parciales muy utilizado en diversos problemas de ingeniería y física. Está pensadopara ser usado en computadoras y permite resolver ecuaciones diferenciales asociadas a unproblema físico sobre geometrías complicadas. Se usa en el diseño y mejora de productos yaplicaciones industriales.

Se muestra a continuación la aplicación del método. Para un dominio acotado D ⊂ R2

con frontera ∂D, donde (x, y) ∈ D, se considera el problema de contorno 2.1:−∇ · (k(x, y)∇u) +

−→b (x, y)∇u+ c(x, y)u = f

Condicion de contorno u|∂D(2.1)

con U : D → R, f : D → R, k : D → R,−→b : D → R2, c : D → R.

Se definen previamente los espacios funcionales:

L2(D) :=

v = D → R/ˆ

D

v2dx <∞

H1(D) :=

v : D → R, v ∈ L2(D),∇v ∈ L2(D)× L2(D)

H1

0 (D) :=v ∈ H1(D)/ v|∂D = 0

siendo v la función base asociada a u.

2.2.1. Planteamiento y formulación débil del problema con condicionesde contorno de Dirichlet homogéneas

Sea v : D → R, si la condición de contorno es de Dirichlet homogénea:

u|∂D = 0 (2.2)

la formulación débil del problema 2.1 es la siguiente:

hallar u ∈ H10 (D) tal que ∀v ∈ H1

0 (D) se verifica:

ˆ

D

k(x, y)∇u∇vdD +

ˆ

D

−→b (x, y)∇uvdD +

ˆ

D

c(x, y)uvdD =

ˆ

D

fvdD (2.3)



2.2.2. Planteamiento y formulación débil del problema con condicionesde contorno de Dirichlet no homogéneas

Sea v : D → R, si la condición de contorno es de Dirichlet no homogénea:

u|∂D = g1(x, y) (2.4)


hallar u ∈ H1g1

(D) tal que ∀v ∈ H10 (D) se verifica:

ˆ

D

k(x, y)∇u∇vdD +

ˆ

D


ˆ

D

c(x, y)uvdD =

ˆ

D

fvdD (2.5)

2.2.3. Planteamiento y formulación débil del problema con condicionesde contorno de Neumann homogéneas

Sea v : D → R, si la condición de contorno es de Neumann homogénea:

− k ∂u

∂−→n

∣∣∣∣∂D

= 0 (2.6)


hallar u ∈ H1(D) tal que ∀v ∈ H1(D) se verifica:

ˆ

D

k(x, y)∇u∇vdD +

ˆ

D


ˆ

D

c(x, y)uvdD =

ˆ

D

fvdD (2.7)

2.2.4. Planteamiento y formulación débil del problema con condicionesde contorno de Neumann no homogéneas

Sea v : D → R, si la condición de contorno es de Neumann no homogénea:

− k ∂u

∂−→n

∣∣∣∣∂D

= g2(x, y) (2.8)


hallar u ∈ H1(D) tal que ∀v ∈ H1(D) se verifica:

ˆ

D

k(x, y)∇u∇vdD +

ˆ

D


ˆ

D

c(x, y)uvdD =

ˆ

D

fvdD −ˆ

∂D

g2vdD (2.9)



2.3. Métodos numéricos con diferencias finitas para EDPs deevolución - Euler implícito

Una vez descrito el método de los elementos finitos, se explica el método de Euler im-plícito para poder discretizar derivadas temporales. Este método resuelve algunas ecuacionesen derivadas parciales mediante métodos numéricos que discretizan tanto el espacio como eltiempo. Así se buscarán soluciones aproximadas a la solución del problema.

Como ejemplo se toma un problema de contorno parabólico, considerando la ecuacióndel calor o ecuación de la difusión dependiente del tiempo:

∂u

∂t= α

∂2u

∂x2, x ∈ [0, L], (2.10)

donde la solución, u(x,t), satisface las siguientes condiciones de frontera:

u(0, t) = f0(t), u(L, t) = fL(t) (2.11)

y condiciones iniciales:

u(x, 0) = g(x) (2.12)

El primer paso para obtener una aproximación numérica y resolver esta ecuación es dis-cretizar el tiempo y el espacio en intervalos igualmente espaciados, t = n4t, n = 0, 1, 2, ..., yx = x0 + i4x, i = 0, 1, ..., Nx + 1.

Se toma una aproximación para la derivada temporal de la forma

∂u

∂t≈ u(x, t+4t)− u(x, t)

4t+©(4t) (2.13)

Para la derivada espacial se hará una discretización por elementos evaluando en el instanten+1:

∂2u

∂x2≈ ∂2u

∂x2

∣∣∣∣n+1

(2.14)

Se suele utilizar la notación uin como la aproximación numérica a u(n4t, x0 +i4x). Paraevitar problemas de estabilidad, se puede evaluar la derivada segunda espacial en el instanten4t, obteniendo de este modo la aproximación:

un+1i − uni4t

= α∂2u

∂x2

∣∣∣∣n+1

(2.15)



2.4. Ejemplos sencillos

Con la finalidad de entender mejor el funcionamiento de FreeFem++, se proporcionanalgunos ejemplos relacionados con la generación de mallas o con la transferencia de calor (al-gunos ejemplos se han extraído de [3]).

Para crear una malla en un rectángulo (o una superficie cualquiera del plano) primerose describe paramétricamente el contorno de la superficie y de cada lado del mismo. A cadaporción descrita paramétricamente se le puede asignar una etiqueta mediante la orden label=.Si no se usa label=, la etiqueta será por defecto el nombre dado al trozo de la frontera.Mostrando un ejemplo sencillo:

Archivo rectangulo.edp:

mesh Th;

int n=5;

border S1(t=0,2)x=t;y=0;label=1;;

border S2(t=0,1)x=2;y=t;label=2;;

border S3(t=0,2)x=2-t;y=1;label=3;;

border S4(t=0,1)x=0;y=1-t;label=4;;

Th=buildmesh(S1(2*n)+S2(n)+S3(2*n)+S4(n));

plot(Th,ps="rectangulo.eps");

A partir de dicho código se obtiene la figura 2.1:

Figura 2.1: Malla no uniforme generada con rectangulo.edp

Con la orden border se define un segmento del contorno de la geometría y con lasórdenes mesh y buildmesh se genera la malla. Se puede alterar la numeración de los ladosmediante la orden label.

Es importante tener en cuenta que el contorno de la superficie se debe de describir ensentido contrario a las agujas del reloj. Además, varios lados pueden tener el mismo número dereferencia si van a tener la misma condición de contorno.La orden square genera por defecto una malla uniforme del rectángulo unidad, y la nume-ración por defecto de los lados es 1, 2, 3, 4 para base, derecha, superior e izquierda; aunquetambién puede servir para generar un rectángulo cualquiera.



En el caso de rectángulos, la diferencia entre la orden square y la orden buildmeshes que la primera genera un mallado uniforme mientras que la segunda genera un mallado nouniforme. Para ilustrar tal diferencia se presenta otro ejemplo:

Archivo dosrectangulos.edp:

mesh Th,th;

int n=5,m=20;

real x0=1.2,x1=1.8;

real y0=0,y1=1;

Th=square(n,m,[x0+(x1-x0)*x,y0+(y1-y0)*y]);

th=square(4,5);

plot(Th,th,ps="dosrectangulos.eps");

Se obtiene así la figura 2.2, donde se observa la diferencia entre el mallado uniforme y nouniforme si se compara con el ejemplo anterior:

Figura 2.2: Dos mallas uniformes generadas con dosrectangulos.edp

Se pueden dibujar dos mallas al mismo tiempo con la orden plot y la opción ps=...,generando así un fichero postscript.

Para generar dominios con agujeros simplemente es necesario cambiar el sentido de orien-tación, o de la descripción paramétrica, de la frontera interna:

Archivo hueco.edp:

mesh thwithouthole;

mesh thwithhole;

real pi=4*atan(1.0);

border S1(t=0,2*pi)x=2*cos(t);y=sin(t);label=1;;

border S2(t=0,2*pi)x=0.3+0.3*cos(t);y=0.3*sin(t);label=2;;

thwithouthole=buildmesh(S1(50)+S2(30));

thwithhole=buildmesh(S1(50)+S2(-30));

plot(thwithouthole,wait=1,ps="thsinhueco.eps");

plot(thwithhole,wait=1,ps="thconhueco.eps");



Se obtienen así las figuras 2.3 y 2.4, que se diferencian por el cambio del sentido deorientación mencionado:

Figura 2.3: Dos mallas complementarias generadas con hueco.edp

Figura 2.4: Mallas con hueco generadas con hueco.edp

Se considera un problema de transferencia de calor de evolución temporal definido por:

∂u

∂t= ε4u+ f (2.16)

donde ε = 1,2 y f = 1.

Se tiene una condición inicial de la forma: uo = 10 + 90x5

y, para un rectángulo de dimen-siones 5x1, se tienen unas condiciones de contorno de la forma:

u = uo para las superficies 2 y 4

−ε∂u∂n

= α(u− ue) para las superficies 1 y 3, donde α = 2,25 y ue = 25

Para discretizar el término temporal, se aplicará el método de Euler implícito, quedando:

un+1 − un

4t= ε4un+1 + f (2.17)

Tras hallar su formulación variacional será posible entrar en FreeFem++. Se presentan uy v como funciones en un espacio de dimensión finita fespace Vh(Th,P1) donde Vh es



el nombre del espacio de elementos finitos, Th hace referencia a la malla y P1 indica el gradode los polinomios para la discretización por elementos finitos.

El problema a resolver se denominará calor, y dentro de tal problema se encuentranelementos interesantes en la sintaxis de FreeFem++. El término int2d(Th) indica una inte-gral de dos dimensiones aplicada a Th, dx y dy implican derivadas del argumento respecto dex e y, y on indica condiciones de contorno de tipo Dirichlet.

La sintaxis del programa se presenta de la forma siguiente:

real At=0.1,eps=1.2,alpha=2.25,Ue=25,T=5;

func uo=10+90*x/5;

mesh Th=square(10,10,[5*x,y]);

fespace Vh(Th,P1);

Vh unew,uold,v;

problem calor (unew,v)=int2d(Th)(unew*v/At)-int2d(Th)(uold*v/At)

+int2d(Th)(eps*dx(unew)*dx(v)+eps*dy(unew)*dy(v))

-int2d(Th)(1*v)

+int1d(Th,1,3)(alpha*unew*v)-int1d(Th,1,3)(alpha*Ue*v)

+on(2,4,unew=uo);

uold=uo;

int i;

for (i=0;i<T/At;i=i+1)

calor;

plot(unew,wait=1,ps="valoru.eps",value=1);

uold=unew;

Se obtiene la figura 2.5:

Figura 2.5: Variación de u en función de la posición



La imagen obtenida indica que a la derecha se obtiene una pérdida de calor al tener mayortemperatura, mientras que a la izquierda se obtiene una ganancia de calor. Se tendrá así un flujode calor que va hacia la izquierda.

Se puede hallar el flujo de calor según:

−→q = −ε∇u (2.18)

Añadiendo a la sintaxis anterior la correspondiente a esta formulación variacional se ob-tiene:

real eps=1.2,alpha=2.25,Ue=25,At=0.1;

func uo=10+90*x/5;

mesh Th=square(50,10,[5*x,y]);

fespace Vh(Th,P1);

Vh unew,uold,v;

fespace Wh(Th,P0);

Wh qx,qy;

problem calor(unew,v)=int2d(Th)(unew*v/At)-int2d(Th)(uold*v/At)

+int2d(Th)(eps*dx(unew)*dx(v)+eps*dy(unew)*dy(v))

-int2d(Th)(1*v)

+int1d(Th,1,3)(alpha*unew*v)

-int1d(Th,1,3)(alpha*Ue*v)+on(2,4,unew=uo);

real T=5;

uold=uo;

int i;

real[int] vector=[10,20,30,40,50,60,70,80,90,100];

ofstream ff("parametros.txt");

for (i=0;i<T/At;i++)

calor;

qx=-eps*dx(unew);

qy=-eps*dy(unew);

plot([qx,qy],unew,viso=vector,wait=1,ps="vectorqx.eps");

cout<<"Flujo de calor en el medio"<<-eps*dx(unew)(2.5,0.5)<<endl;

ff<<"Flujo de calor en el medio"<<-eps*dx(unew)(2.5,0.5)<<endl;

uold=unew;

El término viso permite representar los isovalores que se indican en vector.



Se obtiene la figura 2.6 que representa el flujo de calor qx:

Figura 2.6: Representación de qx en función de la posición

Observando la sintaxis, se distinguen dos formas de sacar datos:

1. Por pantalla: se utiliza el término cout y los valores del flujo de calor en el medio vanmostrándose por pantalla.

2. Por fichero: en la carpeta donde está guardado el archivo .edp se guardará un archivocon el nombre de parametros.txt, donde se guardarán los valores del flujo de caloren el medio gracias a los términos ofstream y ff.

2.5. Métodos de Lagrange-Galerkin para ecuaciones de con-vección - difusión

A continuación, se presenta un método que permitirá realizar las simulaciones evitandola inestabilidad del método numérico y obteniendo un menor error en la resolución con pasosde tiempo grandes. Se explicará dicho método mediante algunos ejemplos.

Para ello, se supone la ecuación prototipo del problema de convección-difusión para eltransporte de una partícula fluida con velocidad convectiva −→v , cuya concentración se denotapor c(

−→X, t), en un dominio acotado Ω ⊂ Rd con una frontera ∂Ω (más información en [4]):

∂c∂t

+−→v · ∇c = 0

c(−→X, 0) = c0(−→x )

(2.19)

A continuación, se introducen las curvas características del operador diferencial de primerorden:

∂

∂t+ v · ∇ (2.20)

que son la solución (si existe) del sistema de ecuaciones diferenciales ordinarias:d−→X (−→x ,tn;t)

dt= −→v

−→X (−→x , tn; t) = −→x

(2.21)



La notación−→X (−→x , tn; t) de la solución del sistema anterior se usa para dejar clara la

dependencia de la condición inicial (−→x , tn), es decir, la partícula se encuentra en−→X en el

instante t, y alcanza el punto −→x en t = tn. Si c(−→X (−→x , tn; t), t) denota el valor de la variable

c en el instante t en la curva−→X (−→x , tn; t), la variación de c a lo largo de tal trayectoria se

representa mediante:

Dc(−→X (−→x , tn; t), t)

Dt=∂c(−→X (−→x , tn; t), t)

∂t+d−→X (−→x , tn; t)

dt· ∇c(

−→X (−→x , tn; t), t) =

=∂c(−→X (−→x , tn; t), t)

∂t+−→v (

−→X (−→x , tn; t), t) · ∇c(

−→X (−→x , tn; t), t) (2.22)

Por tanto, el problema 2.19 se puede escribir como una ecuación diferencial ordinaria alo largo de la trayectoria

−→X (−→x , tn; t) de la forma:

DcDt

= 0,−→X (−→x , tn; t) ∈ Rd, t > 0

c(−→X (−→x , 0; 0), 0) = c0(−→x )

(2.23)

cuya solución vendrá dada de la forma: c(−→X (·, t; t+ τ), t+ τ) = c(·, t).

Si en vez de una condición inicial para t = t0, se conoce para el instante tn−1, se tomarácn(−→x ) = cn−1(

−→X (−→x , tn; tn−1)).

Se tiene de nuevo la ecuación

∂c

∂t+−→v · ∇c = 0 (2.24)

y, mediante aplicación de Euler implícito y discretización de Lagrange-Galerkin, se obtiene:

cn(−→x )− cn−1(−→x )

4t= 0 (2.25)



Si en vez de igualar a cero, se igualara a una función f , de la ecuación 2.26

∂c

∂t+−→v · ∇c = f (2.26)

se obtendría:

cn(−→x )− cn−1(−→x )

4t= fn (2.27)

El término cn−1(−→x ) aparecerá en FreeFem++ como el operador convect, cuya funciónes evaluar el pie de la curva característica en el instante anterior. Para comprender su funciona-miento se presentan a continuación algunos casos que funcionarán como ejemplo.

2.5.1. Método de Lagrange-Galerkin sin considerar difusión

Si se considera el caso de convección pura (sin considerar difusión), existe la posibilidadde utilizar el método de Galerkin o el método de Lagrange-Galerkin.

Para utilizar el método de Galerkin, se parte del problema 2.28:∂c∂t

+−→v · ∇c = 0, en Ω

c(−→X, 0) = c0(−→x )

(2.28)

Mediante la aplicación del método de Euler implícito, la ecuación principal del problema2.28 tendrá la forma:

cn − cn−1

4t+−→vn∇cn = 0 (2.29)

Para introducir el problema en FreeFem++, solo es necesario formular la ecuación 2.29mediante el método de elementos finitos:

ˆ

Ω

cnϕ

4tdΩ +

ˆ

Ω

(vnx∂cn

∂x+ vny

∂cn

∂y)dΩ =

ˆ

Ω

cn−1ϕ

4tdΩ (2.30)

Una vez introducido en FreeFem++, se obtienen los valores de c y se aprecia cómo unapartícula que se mueve con una trayectoria circular se deforma a medida que aumenta el tiempo(realiza una revolución):



t = 0,25, cmin = −1,5e− 05, cmax = 0,5393 t = 0,5, cmin = −4,3e− 06, cmax = 0,4114

t = 0,75, cmin = −2,2e− 05, cmax = 0,3467 t = 1, cmin = −7,7e− 06, cmax = 0,3038

Figura 2.7: Valores de c mediante el método de Galerkin sin difusión

Para utilizar el método de Lagrange-Galerkin, se parte de nuevo del problema 2.28:∂c∂t

+−→v · ∇c = 0, en Ω

c(−→X, 0) = c0(−→x )

Mediante la aplicación del método de Euler implícito y de Lagrange-Galerkin, la ecuaciónprincipal del problema 2.28 tendrá la forma:

cn − cn−1

4t= 0 (2.31)

Para introducir el problema en FreeFem++, solo es necesario formular la ecuación 2.31mediante el método de elementos finitos:



ˆ

Ω

cnϕ

4tdΩ =

ˆ

Ω

cn−1ϕ

4tdΩ (2.32)

Con este método se observa como la deformación experimentada mediante el métodoanterior es mucho menor. Estos esquemas de Lagrange-Galerkin funcionan muy bien con pasosde tiempo grandes, dando menos error.

Para introducir el término cn−1 en FreeFem++, se hará uso del operador convect.

Una vez introducido en FreeFem++, se obtienen los valores de c y se aprecia cómo unapartícula que se mueve con una trayectoria circular sufre una deformación menor a medida queaumenta el tiempo (realiza una revolución):

t = 0,25, cmin = −0,00015, cmax = 0,96609 t = 0,5, cmin = −0,00059, cmax = 0,94036

t = 0,75, cmin = −0,0029, cmax = 0,939705 t = 1, cmin = −0,00948, cmax = 0,91668

Figura 2.8: Valores de c mediante el método de Lagrange-Galerkin sin difusión

Se hace notar que el mínimo no es cero por la basura numérica, es decir, errores numéricosque se propagan debido a aproximaciones. Toda la zona amarilla debería tener un valor cero.



2.5.2. Método de Lagrange-Galerkin considerando difusión

Si ahora se considera el término difusivo, se vuelve a tener la opción de utilizar el métodode Galerkin o el método de Lagrange-Galerkin.

Para utilizar el método de Galerkin, se parte del problema:∂c∂t

+−→v · ∇c = ε4c, en Ω

c(−→X, 0) = co(−→x )

(2.33)

A continuación, se aplica el método de Euler implícito, y para introducir el problema enFreeFem++, solo es necesario formular el problema mediante el método de elementos finitos:

ˆ

Ω

cnϕ

4tdΩ +

ˆ

Ω

ε∇cn∇ϕdΩ +

ˆ

Ω

(vnx∂cn

∂x+ vny

∂cn

∂y)dΩ =

ˆ

Ω

cn−1ϕ

4tdΩ +

ˆ

∂Ω

ε∂cn

∂−→nϕdΓ (2.34)

Una vez introducido en FreeFem++, se obtienen los valores de c :

t = 0, cmin = 0, cmax = 2 t = 10, cmin = −4,01e+11, cmax = 5,60e+11

t = 20, cmin = −7,5e+ 25, cmax = 1e+ 26 t = 40, cmin = −2,7e+ 54, cmax = 3,7e+ 54

Figura 2.9: Valores de c mediante el método de Galerkin con difusión



La zona blanca son valores que no se pintan debido a que tenderán al infinito; se observaque se vuelve inestable el método numérico.

Para utilizar el método de Lagrange-Galerkin, se parte de nuevo del problema 2.33:∂c∂t

+−→v · ∇c = ε∆c, en Ω

c(−→X, 0) = c0(−→x )

A continuación, se aplica el método de Euler implícito, y para introducir el problema enFreeFem++, solo es necesario formular el problema mediante el método de elementos finitos:

ˆ

Ω

cnϕ

4tdΩ +

ˆ

Ω

ε∇cn∇ϕdΩ =

ˆ

Ω

cn−1ϕ

4tdΩ +

ˆ

∂Ω

ε∂cn

∂−→nϕdΓ (2.35)

Una vez introducido en FreeFem++, se obtienen los valores de c :

t = 0, cmin = 0, cmax = 2 t = 100, cmin = −0,14429, cmax = 0,795312

t = 150, cmin = −0,12053, cmax = 0,630418 t = 250, cmin = −0,19975, cmax = 0,294097

Figura 2.10: Valores de c mediante el método de Lagrange-Galerkin con difusión

Finalmente, se evitará la inestabilidad del método numérico.


Capítulo 3

ADIMENSIONALIZACIÓN YDISCRETIZACIÓN DE LA ECUACIÓNDE NAVIER - STOKES EN 2D

En este proyecto se resolverán las ecuaciones temporales de Navier-Stokes para calcularposteriormente la solución estacionaria en caso de existir. Dichas ecuaciones son un conjuntode ecuaciones en derivadas parciales no lineales. En muchas ocasiones, es interesante escribirlas ecuaciones básicas en forma adimensional. Así, se estarán describiendo fenómenos conindependencia de la magnitud de las escalas, apreciando mejor la relación entre términos.

Debido a que FreeFem++ puede trabajar con valores adimensionales, se procederá a laadimensionalización de las ecuaciones de Navier-Stokes que definirán el problema principal deeste proyecto, para que la dependencia paramétrica sea menor.

Se procede a la adimensionalización de la ecuación de Navier-Stokes para fluido incom-presible (líquidos y gases que se mueven a velocidades muy inferiores a las del sonido) para elestudio típico de una esfera de diámetro D, en una corriente de un flujo con velocidad V , de unfluido de densidad ρ y viscosidad µ constantes (proceso detallado en [5]),

ρ[∂−→v∂t

+ (−→v ·−→∇)−→v ] = −

−→∇p+ µ4−→v + ρ

−→fm

div−→v = 0(3.1)

donde se desprecia el término de fuerzas másicas. La segunda ecuación indica la condición defluido incompresible. En el problema presentado se tiene una velocidad de referencia V y unalongitud de referencia D. Además, el fluido tiene una densidad ρ y una viscosidad dinámica µ.

Figura 3.1: Magnitudes de referencia

43

ECUACIÓN DE NAVIER-STOKES EN 2D

La velocidad y la posición pueden ser escritas de forma adimensional tomando estas mag-nitudes como referencia:

−→v ′ =−→vV

; −→r ′ =−→rD

(3.2)

las cuales son vectoriales según:v′x = vx

V

v′y = vyV

;

x′ = x

D

y′ = yD

(3.3)

El tiempo adimensional se puede calcular usando como referenciaD/V , que tiene dimen-siones de tiempo, t′ = t

DV

= tVD

y la presión adimensional es p′ = pρV 2 .

Por otro lado, hay que tener en cuenta que las derivadas también son adimensionales,

∂

∂x=

∂

∂(Dx′)=

1

D

∂

∂x′⇒

−→∇ = 1

D

−→∇ ′

4 = 1D24′

(3.4)

Se procede a la adimensionalización de los términos de la ecuación de Navier-Stokes:

∂−→v∂t

= ∂(V−→v ′)∂(D

Vt′)

= V 2

D∂−→v ′∂t′

(−→v ·−→∇)−→v = ((V−→v ′) · 1

D

−→∇ ′)(V−→v ′) = V 2

D(−→v ′ ·

−→∇ ′)−→v ′

−−→∇p = −(

−→∇ ′D

)(p′ρV 2) = −ρV 2

D

−→∇ ′p′

µ4−→v = µ( 1D24′)(V−→v ′) = µV

D24′−→v ′

La ecuación de Navier-Stokes se obtendrá de la forma:ρ[V

2

D∂−→v ′∂t′

+ V 2

D(−→v ′ ·

−→∇ ′)−→v ′] = −ρV 2

D

−→∇ ′p′ + µV

D24′−→v ′

div−→v ′ = 0(3.5)

Dividiendo todos los términos por ρV2

D, y definiendo previamente el número adimensional

de Reynolds Re = ρV Dµ

, se tiene la ecuación de Navier-Stokes adimensional:∂−→v ′∂t′

+ (−→v ′ ·−→∇ ′)−→v ′ = −

−→∇ ′p′ + 1

Re4′−→v ′

div−→v ′ = 0(3.6)

Si a continuación se aplican los métodos de Euler implícito y Lagrange-Galerkin definidospreviamente al sistema original, se obtiene un sistema de ecuaciones de la forma

ρ[−→vn−−−−→vn−1

4t ] = −−→∇pn + µ4−→vn

div−→vn = 0

(3.7)

donde se ha transformado el operador convectivo (término no lineal) en uno lineal.



Para poder obtener la formulación débil del problema, se multiplicarán las ecuacionespresentes en 3.7 por la función vectorial base −→ϕ y por la función base escalar q:

(ρ[−→vn−−−−→vn−1

4t ] = −−→∇pn + µ4−→vn)−→ϕ

(div−→vn = 0)q

(3.8)

Siempre se suele coger−→vn y −→ϕ un orden superior a p y q. Suele tomarse: −→v , ϕ ∈ P2 y

p, q ∈ P1.

A continuación, se integra en todo el dominio para obtener la formulación débil del pro-blema:

ˆ

Ω

ρ

−→vn−→ϕ4t

dΩ−ˆ

Ω

ρ

−−→vn−1−→ϕ4t

dΩ =

ˆ

Ω

−−→∇pn−→ϕ dΩ +

ˆ

Ω

µ4−→vn−→ϕ dΩ +

ˆ

Ω

div−→vnqdΩ (3.9)

donde los siguientes términos se pueden expresar de la forma:

−→∇pn−→ϕ =∇ · (pn−→ϕ )− pn∇ · −→ϕ por aplicación del teorema de Gauss.

div−→vnq = ∇ · −→vnq

Por tanto, la formulación débil del problema tendrá la forma:

ˆ

Ω

ρ

−→vn−→ϕ4t

dΩ−ˆ

Ω

ρ

−−→vn−1−→ϕ4t

dΩ =

=

ˆ

Ω

−∇·(pn−→ϕ )dΩ+

ˆ

Ω

pn∇·−→ϕ dΩ−µˆ

Ω

∇−→vn∇−→ϕ dΩ+

ˆ

∂Ω

µ∂−→vn

∂n−→ϕ dΓ+

ˆ

Ω

∇·−→vnqdΩ (3.10)

y mediante la aplicación del teorema de Green:

ˆ

Ω

ρ

−→vn−→ϕ4t

dΩ−ˆ

Ω

ρ

−−→vn−1−→ϕ4t

dΩ =

=

ˆ

∂Ω

(−pn−→n + µ∂−→vn

∂n−→ϕ )dΓ +

ˆ

Ω

pn∇ · −→ϕ dΩ− µˆ

Ω

∇−→vn∇−→ϕ dΩ +

ˆ

Ω

∇ ·−→vnqdΩ (3.11)



3.1. Cálculo de la fuerza sobre un objeto

Las ecuaciones de Navier-Stokes se tratan de un conjunto de ecuaciones en derivadasparciales no lineales que describen el movimiento de un fluido. Estas ecuaciones gobiernancualquier fenómeno en el que se involucren fluidos newtonianos, y se obtienen aplicando losprincipios de conservación de la mecánica y la termodinámica a un volumen fluido.

Considerando la incompresibilidad del fluido, para un fluido newtoniano e isótropo (laspropiedades del fluido no cambian con la dirección), la deducción de estas ecuaciones plan-tea el equilibrio de fuerzas sobre un volumen de control. Las fuerzas que se ejercen sobre elcontorno de este volumen de control son unas tensiones sobre la superficie del mismo que sepueden representar con un tensor de tensiones τ , de manera que los elementos de la diagonalde este tensor son las fuerzas normales por unidad de superficie en el contorno del volumen yel resto de componentes serían las componentes tangenciales de dichas fuerzas. Por equilibriode momentos se demuestra que el tensor de tensiones es simétrico.

El tensor de tensiones se puede descomponer a su vez, para el caso de fluido incompresi-ble, en la suma de dos, como se muestra en 3.12.

El primero representa su parte isótropa, que es una matriz diagonal 3 × 3 de componentesiguales, mientras que el resto se podría llamar tensor de tensiones viscosas τv, es decir:

τ = −pI + τv (3.12)

donde I representa la matriz identidad y p es un escalar que indica la presión dinámica.

Un fluido newtoniano es aquel que cumple la ley de Newton, según la cual la tensióntangencial entre dos capas de fluido en movimiento es proporcional a la velocidad relativa en-tre dichas capas. Matemáticamente esto se traduce en que el tensor de tensiones viscosas esproporcional a la parte simétrica del tensor de velocidad de deformación, y se escribe como:

τv = 2µD (3.13)

donde µ es el coeficiente de viscosidad dinámica y D es la parte simétrica del tensor velocidadde deformación que, en componentes, responde a la expresión 3.14:

dij =1

2(∂vi∂xj

+∂vj∂xi

) (3.14)

Finalmente podríamos representar el tensor de tensiones τ según:

τ =

(−p 00 −p

)+

2µ∂vx∂x

µ(∂vx∂y

+ ∂vy∂x

)µ(∂vy∂x

+ ∂vx∂y

)2µ∂vy

∂y

(3.15)

Para calcular la fuerza que ejerce un fluido sobre la superficie S un cuerpo, aplicaremos(información más detallada en [6]):

−→F =

ˆ

S

τ−→n dS =

ˆ

S

−pI−→n dS +

ˆ

S

τv−→n dS (3.16)



Es necesario mencionar que para calcular la fuerza que ejerce un fluido sobre un cuerpose tomará el vector normal −→n exterior al cuerpo, pero FreeFem++ trabaja por defecto con elvector normal exterior al fluido, por lo que será necesario cambiar de signo el vector −→n en casode querer hallar dicha fuerza sobre el cuerpo.

3.2. Variación de la fuerza en flujo alrededor de un cilindro

Como ejemplo, se supone un cilindro en el interior de un campo fluido que se está mo-viendo de izquierda a derecha [7]. Se supone un recinto suficientemente grande de dimensiones25 × 20 con un cilindro de radio unidad en su interior. Se define la superficie inferior 1, lasuperficie de salida 2, la superficie superior 3 y la superficie de entrada 4:

Figura 3.2: Isolíneas de la velocidad según el eje x en el instante inicial

Las líneas representan isolíneas de la velocidad según el eje x. Esta velocidad va dismi-nuyendo al acercarse al cilindro, hasta volverse nula en su contorno finalmente. Al tomarse unpunto cada vez más alejado de la superficie del cilindro, se va recuperando la velocidad delcontorno. Sin embargo, se observa la formación de una estela aguas abajo del cilindro fruto deldesprendimiento de la capa límite. Dicha estela se observará con más detalle en la figura 3.3.

Planteando la formulación débil del problema obtenida en 3.11 para la ecuación de Navier-Stokes, se toman las siguientes condiciones de contorno:

Paredes 1 y 3: condición de contorno tipo Dirichlet no homogénea con vx = 1, vy = 0.

Entrada 4: condición de contorno tipo Dirichlet no homogénea con vx = 1, vy = 0.

Salida 2: condición de contorno tipo Neumann homogénea con p = 0, µ∂−→v∂n

= 0, por

tanto, se anula la integral´∂Ω

(−pn−→n + µ∂−→vn

∂n−→ϕ )dΓ

Superficie cilindro: condición de contorno tipo Dirichlet homogénea con vx = 0, vy = 0.



Si se tomaRe = 50, se puede representar la velocidad según el eje x en distintos instantesde tiempo:

Figura 3.3: Isolíneas de la velocidad vx

En la mitad izquierda (desde el punto más alto hasta el más bajo del cilindro) se tieneuna zona de capa límite adherida, mientras que en la zona posterior del cilindro hay menosvelocidad del flujo, por lo que se presentarán desprendimientos de la capa límite (los cualesse explicarán más adelante con más detalle en la Sección 4.2) y, por tanto, se comenzarán adesprender vórtices; la estela formada por vórtices es la de von Kármán.

Para hallar la fuerza sobre el cilindro, se hace uso de la expresión 3.16 deducida en laSección 3.1:

−→F =

ˆ

Scil

τ−→n dS =

ˆ

Scil

−pI−→n dS +

ˆ

Scil

τv−→n dS (3.17)



La circulación va cambiando de signo según la situación en la parte superior o inferior,por lo que la fuerza según el eje y será muy oscilante. Representando los resultados obtenidoscon Matlab se obtiene una variación de la fuerza de sustentación según:

Figura 3.4: Variación de la fuerza de sustentación en función del tiempo

La fuerza según el eje x será menos oscilante, y será distinta de cero por la estela: habrá unafuerza de arrastre siempre positiva.

Figura 3.5: Variación de la fuerza de arrastre en función del tiempo



3.3. Representación de las líneas de corriente en 2D

Se definen las líneas de corriente como las evolventes de los vectores velocidad de laspartículas fluidas para cada instante de tiempo; así se cumple que el vector velocidad es siempretangente a las líneas de corriente en un instante t determinado.

El concepto de líneas de corriente permite una representación gráfica del flujo. Si el flujoes permanente las líneas de corriente estarán fijas en el tiempo y coinciden con la trayectoria delas partículas.

Figura 3.6: Concepto de líneas de corriente

Para representar las líneas de corriente se hará uso de la función de corriente Ψ, quepuede ser definida para fluidos 2D e incompresibles (información extraída de [8]). Las líneasde corriente serán las isolíneas de la función Ψ que se define según la resolución del problema3.18:

−4Ψ = rot(u) = ∂yux − ∂xuy en Ω

Condicion de contorno Ψ|∂Ω

(3.18)

Es necesaria la formulación débil del problema para poder entrar en FreeFem++. Defi-niendo ϕ como la función base asociada a Ψ y recordando que se cumple:

−ˆ

Ω

4ΨϕdΩ =

ˆ

Ω

∇Ψ∇ϕdΩ−ˆ

∂Ω

∇Ψ−→n ϕdΓ (3.19)

la formulación débil del problema 3.18 tendrá la forma:

ˆ

Ω

∇Ψ∇ϕdΩ−ˆ

∂Ω

∇Ψ−→n ϕdΓ =

ˆ

Ω

(∂ux∂y− ∂uy

∂x)ϕdΩ (3.20)

donde se cumple:

∂Ψ

∂x= −vy,

∂Ψ

∂y= vx (3.21)



3.4. Líneas de corriente en flujo alrededor de un cilindro

Como ejemplo, se supone un cilindro en el interior de un campo fluido con las condicionesanteriores.

Planteando la formulación débil del problema obtenida en 3.20 se toman las siguientescondiciones de contorno:

Pared 1: condición de contorno tipo Dirichlet homogénea con Ψ = 0.

Pared 3: condición de contorno tipo Neumann no homogénea con ∂Ψ∂y

= vx = 1, portanto, se cumple

´∂Ω∇Ψ−→n ϕdΓ =

´∂Ωvx−→n ϕdΓ = −

´∂ΩϕdΓ

Entrada 4: condición de contorno tipo Neumann homogénea con ∂Ψ∂x

= −vy = 0, portanto, se anula la integral

´∂Ω∇Ψ−→n ϕdΓ

Salida 2: condición de contorno tipo Neumann no homogénea con ∂Ψ∂x

= −vy, por tanto,se cumple

´∂Ω∇Ψ−→n ϕdΓ =

´∂ΩvyϕdΓ

Superficie cilindro: condición de contorno tipo Neumann homogénea con ∂Ψ∂n

= v = 0,por tanto, se cumple

´∂Ω∇Ψ−→n ϕdΓ = 0.

Si se toma ρ = 1 y Re = 50, se pueden representar las líneas de corriente en distintosinstantes de tiempo:

Figura 3.7: Líneas de corriente para el cilindro


Capítulo 4

CAPA LÍMITE

Se presenta el movimiento de un objeto en el seno de un fluido; conforme el objeto vapenetrando en el fluido, las partículas son arrastradas y adquieren unas determinadas distribu-ciones de velocidad y de presión.

En un sistema de referencia inercial fijo al objeto, se tendría un flujo uniforme que sedirige al objeto, y que alrededor de él se divide en dos regiones: una región viscosa en las proxi-midades de la superficie del objeto, y una región exterior no viscosa (sin tensiones tangencialespor ser nulo el correspondiente gradiente de velocidad).

La región viscosa se denomina capa límite (más información en [9]), se inicia en lasproximidades del borde de ataque y su extensión va aumentando aguas abajo. El espesor de lacapa límite es creciente y normalmente de poca extensión, y depende de la geometría del objetoy del número de Reynolds.

Figura 4.1: Descripción de la capa límite

Así la capa límite ocurre en la superficie de un cuerpo, y supone una zona en la que lavelocidad del fluido relativa al cuerpo pasa del valor cero, correspondiente al fluido real, a unvalor correspondiente al deslizamiento sobre la superficie que daría la teoría ideal, como semuestra en la figura 4.2:

53

CAPA LÍMITE

Figura 4.2: Condición de contorno en la superficie de un sólido en reposo. Caso ideal y viscoso

A continuación se profundizará en el concepto de capa límite laminar, considerando elcaso de flujo bidimensional e incompresible.

4.1. Espesor de capa límite

En la capa límite, la distribución de velocidades es monótona creciente, desde cero en lasuperficie de contacto del fluido con el objeto, hasta alcanzar el valor de la velocidad uniformede la corriente exterior.

En una determinada posición (entre el borde de ataque y el borde de estela), se defineel espesor de la capa límite δ, como la posición (normal a la sección) en donde se alcanza lavelocidad de la corriente exterior. Por el carácter asintótico de la distribución de velocidades, sesuele definir por la posición en donde se alcanza el 99 % de la velocidad de la corriente exterior.

Figura 4.3: Definición del espesor de la capa límite (δ)

Para objetos que oponen gran área frontal al flujo, aunque la capa límite sigue siendorelativamente pequeña, se tienen puntos de separación de la capa límite, que originan su des-prendimiento de la superficie y la formación de una estela turbulenta, de alta vorticidad y decarácter no estacionario.

En la capa límite, suponiendo el espesor δ, el término viscoso es del orden del convectivo:

ρU2

L∼ µU

δ2(4.1)



por lo que el espesor de la capa límite laminar resulta:

δ ∼ (µUL

ρU2)1/2 ∼ L

(ρUL/µ)1/2(4.2)

es decir, que, al ser Re >> 1, el espesor de la capa límite es mucho menor que el tamaño delcuerpo.

El esfuerzo cortante en la pared se expresa de la siguiente forma:

τw = µdu

dy(4.3)

por lo que, mediante adimensionalización, el coeficiente de fricción se expresa como:

CF =τw

12ρU2

=µ du

dy

∣∣∣y=0

12ρU2

(4.4)

4.2. Capa límite con gradiente de presión: desprendimientode la capa límite

En una placa plana, el espesor de la capa límite aumenta con la distancia a partir del bordede ataque, lo que se explica por la deceleración que sufre el fluido a causa del esfuerzo cortante.Este efecto se produce cuando el gradiente de presiones se mantiene neutro a lo largo de la placaplana.

Si se tiene un conducto o sección convergente, la aceleración del flujo compensa la dece-leración que sufre por el esfuerzo cortante, y se opone al aumento de espesor de la capa límite.

Sin embargo, si el conducto o sección es divergente, la presión aumenta en la direcciónde la corriente, produciéndose un gradiente de presiones adverso que se opone al movimientoy tiende a retardar el flujo, lo cual se suma al efecto decelerador producido por el esfuerzocortante. Esto produce que la capa límite se pueda separar del contorno, produciéndose el efectode desprendimiento de capa límite (más información en [10]).

Figura 4.4: Efecto del gradiente de presión adverso


CAPA LÍMITE

Como muestra la figura 4.4, el flujo en las proximidades del contorno se va continuamentedecelerando a causa de la velocidad, hasta que en el punto A, la velocidad es cero. La forma delcontorno exigiría aún una disminución mayor de la velocidad, porque allí el contorno diverge;pero como esto es imposible, el flujo se separa del contorno al mismo tiempo que se produce uncontraflujo producido por el gradiente de presiones adverso. En esa zona de desprendimiento seproduce una zona de baja presión.

Aguas arriba la presión será más alta que aguas abajo. El cuerpo sumergido en el flujoexperimentará una fuerza debida a este gradiente de presiones.


Capítulo 5

CÁLCULO DE LAS ZONAS DE FLUJOSEPARADO LAMINAR EN DIFUSORESSIMÉTRICOS BIDIMENSIONALES

5.1. Introducción al estudio

Se estudiará a continuación la separación del flujo en el caso de un difusor. La función deun difusor es ir aumentando gradualmente su sección de tal forma que el flujo vaya decelerán-dose. De acuerdo con el principio de Bernoulli, se producirá un descenso de la velocidad quellevará a un aumento de la presión estática.

Se recuerda que la ecuación de Bernoulli se puede considerar como una apropiada decla-ración del principio de la conservación de la energía para el movimiento fluido, siendo esta dela forma:

P + ρgh+1

2ρv2 = constante (5.1)

sin embargo, debido a gradientes de presión adversos el flujo puede separarse de las paredes.Esta separación del flujo causaría grandes pérdidas de presión y deterioraría la función deldifusor.

A continuación, se presenta un estudio en el cual se analizan las zonas en las que seproducen separaciones del flujo laminar para difusores simétricos bidimensionales. Dicho estu-dio ha sido llevado a cabo por el profesor asociado Yeng-Yung Tsui y el estudiante graduadoChia-Kang Wang en la Universidad Nacional Chiao Tung de Taiwan (dicho artículo se puedeencontrar en [11]).

57

CÁLCULO DE ZONAS DE FLUJO SEPARADO LAMINAR

La configuración de dicho difusor se muestra en la figura 5.1:

Figura 5.1: Configuración y nomenclatura del difusor

En esta figura θ es el semiángulo de difusión. Para θ = 90º el difusor se volvería un perfilcon dos escalones.

Se define también el radio de expansión ER = W2

W1como la relación entre las secciones

de salida y entrada del difusor.

Para realizar dicho estudio se ha recurrido a métodos numéricos, discretizando las ecua-ciones de flujo incompresible, constante y bidimensional mediante la técnica del volumen decontrol. Los mallados usados en este estudio están dispuestos de una forma no escalonada,utilizando dos tipos de mallados representados en la figura 5.2:

Figura 5.2: Ilustración esquemática de los dos tipos de mallado utilizados por Tsui y Wang

El primer tipo se utiliza para semiángulos menores de 50º y el segundo para semiángulosmayores de 50º.

La razón por la que se presenta este estudio es comprobar la veracidad de los resultadospropuestos mediante la realización de los ejemplos propuestos con el programa FreeFem++. Setomará el caso propuesto por Tsui y Wang como un caso teórico y se propondrán unos resultadosobtenidos con FreeFem++.

Este estudio analiza cuatro casos al considerar números de ReynoldsRe = 56 yRe = 114con radios de expansión ER = 3 y ER = 4.

Se comprobará que para el número de Reynolds y radio de expansión bajos el flujo enel difusor es prácticamente simétrico respecto del eje central, independientemente del ángulo



de difusión. A medida que el Reynolds o el radio de expansión aumentan, una larga región derecirculación se forma en un lado de la pared y una pequeña en el otro lado. Para el caso conRe = 114 y ER = 4 el pequeño flujo de recirculación desaparece para ángulos de difusiónpequeños y una tercera zona de flujo de recirculación aparece en el mismo lado que la pequeñazona de recirculación para ángulos de difusión grandes.

Posteriormente, se examinarán los flujos de recirculación en difusores simétricos en dosdimensiones mediante el uso de métodos numéricos. Se presta atención al régimen laminar conlos números de Reynolds y radios de expansión propuestos variando el semiángulo de difusiónentre 15º y 90º.

5.2. Adaptación anisótropa de mallados 2D de elementos fi-nitos

De la teoría de elementos finitos es conocido que, para problemas isótropos, son másapropiados los mallados compuestos por triángulos equiláteros. Por esta razón, los estudios enrefinamiento local se han concentrado principalmente en la adaptación de mallados isótropos,en los cuales sólo tendrá que definirse el tamaño del triángulo y la métrica será un campo escalarque indicará la longitud hk de los lados del triángulo, mientras que la forma de éste se mantienelo más equilátera posible.

Desafortunadamente, en algunos casos la solución del problema muestra comportamien-tos direccionales y el uso de adaptación isótropa tiende a menudo a usar demasiados elementosen las regiones donde el error de la solución es grande. En estas situaciones, se observa un com-portamiento óptimo al usar mallados anisótropos (explicación más detallada en [12]), los cualespermiten elementos de aspecto alargado, ofreciendo mejores resultados con un número muchomenor de grados de libertad.

Para realizar esta adaptación, FreeFem++ utilizará una función denominada adaptmesh,cuyo objetivo es obtener una mejor solución a un coste más bajo. Esta función supondrá unadisminución en el número total de elementos al ser estos triángulos anisótropos y, por tanto, unahorro en el tiempo necesario para alcanzar un estado estacionario.

Para acelerar la adaptación, hay una serie de parámetros que se pueden modificar a mano,permitiendo un nuevo mallado más fino o más grueso (la lista completa de parámetros disponi-bles se puede encontrar en [13]):

hmin valor: indica la longitud mínima de borde de los elementos (el valor por defectodepende del tamaño del dominio a mallar y de la precisión del generador).

hmax valor: indica la longitud máxima de borde de los elementos (el valor por defectodepende del diámetro del dominio a mallar).

err valor: error de interpolación P1 (por defecto 0.01).

nbvx valor: máximo número de vértices generados (por defecto 50000).

ratio valor: indica el ratio de suavizado de la métrica (por defecto 0). Si valor < 1.1→ no hay suavizado. Si valor > 1.1→ la velocidad de variación del tamaño de malladoestá acotado por log(valor). Con valores cercanos a 1, el número de vértices generados seincrementa.



Estos parámetros se irán modificando para cada caso según sea conveniente.

Para ilustrar la diferencia entre ambos mallados, se presenta el mismo difusor con unejemplo de mallado isótropo (figura 5.3) y un mallado anisótropo (figura 5.4):

Figura 5.3: Mallado de triángulos isótropos en el interior de un difusor

Figura 5.4: Mallado de triángulos anisótropos en el interior de un difusor

5.3. Búsqueda del estado estacionario

Los resultados que se muestran en la Sección 5.4 se sitúan todos en un estado estacionario.La simulación llevada a cabo en FreeFem++ comenzará en un estado distinto del estacionarioy, a medida que avanza el tiempo, se llegará a un estado en el que las características del flujo yano varían con el tiempo.

Para la búsqueda de ese estado, se han seleccionado algunos puntos situados en las paredesdel difusor y se ha calculado el coeficiente de fricción en esos puntos a lo largo del tiempo deforma que, cuando se observa que alcanzan un valor constante con el tiempo, se ha alcanzadoel estado estacionario buscado. Se presenta un ejemplo obtenido con Matlab en la figura 5.5:

Figura 5.5: Variación del coeficiente de fricción con el tiempo para la búsqueda del estadoestacionario



Por tanto, se habrá llegado al estado estacionario a partir del instante de tiempo 14000.

Es necesario mencionar que los picos que se observan en el gráfico hacen referencia a loscambios de mallado que se producen por la función adaptmesh hasta que se encuentra unmallado constante que sirve para el estado estacionario.

5.4. Resultados

El dominio computacional se extiende hasta 30S a partir de la entrada del difusor, dondeS denota la altura del difusor. Como se verá más adelante, las zonas de reacoplamiento de losprincipales flujos de recirculación no excederán 10S en los casos considerados. Por tanto, seespera que las condiciones de contorno impuestas en la salida no afecten al flujo en la regióncercana al difusor.

En este estudio se define el número de Reynolds según Re = UsW1

ν, donde Us es la

máxima velocidad a la entrada del difusor y W1 es la altura del canal de entrada. El radio deexpansión se define como ER = W2

W1, donde W2 es la altura del canal de salida. Como se había

mencionado anteriormente, dos números de Reynolds y dos radios de expansión se analizan. Entotal, se consideran cuatro casos:

Caso I: Re = 56, ER = 3

Caso II: Re = 56, ER = 4

Caso III: Re = 114, ER = 3

Caso IV: Re = 114, ER = 4

Se consideran los semiángulos θ = 15º, 22º, 30º, 45º, 60º, 75º y 90º. Las líneas de corrientepara θ = 15º y 75º según el artículo de Tsui y Wang se representan en la figura 5.6:

Figura 5.6: Líneas de corriente del flujo para (a) θ = 15º y (b) θ = 75º en el caso teórico



Para obtener estos resultados, en el caso teórico se han utilizado cuatro mallados diferen-tes para así examinar la sensibilidad de la solución: 80× 40, 100× 60, 130× 80 y 160× 100.Como los resultados coinciden, se adopta el mallado de 100× 60 para los cálculos de ER = 3y el mallado de 130× 80 para ER = 4.

Para el Re bajo y ER bajo (caso I) el flujo se adhiere a las paredes y es prácticamentesimétrico respecto del eje central para θ = 15º, como se puede apreciar en la figura 5.7. CuandoER aumenta a 4, una pequeña zona de recirculación cerca del difusor comenzaría a surgir en lafigura 5.8. Para el Re alto se pueden apreciar desprendimientos mayores en ambos lados paraER = 3, como en la figura 5.9. Para ER = 4, el flujo de Re alto lleva a una gran recirculaciónen una pared mientras que el flujo se adhiere a la otra pared (véase figura 5.10).

Para el semiángulo θ = 75º el flujo siempre se separa a la entrada del difusor en ambasparedes. Para Re = 56 y ER = 3 el tamaño de las dos regiones de recirculación es práctica-mente idéntico y el flujo permanece casi simétrico, como se aprecia en la figura 5.11. Para losotros casos una pequeña región de recirculación se forma en un lado y otra más larga se formaen el otro lado (observar figuras 5.12 y 5.13). Es interesante destacar que una segunda recircu-lación se puede encontrar en la pared de la pequeña recirculación en el caso IV, representada enla figura 5.14.

El origen de esta asimetría está relacionado con la inestabilidad de las capas de cortaduraformada por la separación del flujo. La inestabilidad puede originar desde pequeñas perturba-ciones incrustadas en la capa de cortadura, las cuales se pueden ampliar para formar regionesde flujo onduladas, hasta estructuras de vórtice.

A continuación, se representan los resultados obtenidos utilizando FreeFem++, donde seha hecho uso de la función adaptmesh nombrada anteriormente. Para ello se impone un perfilde velocidades de Poiseuille en la entrada que alcanza el valor unidad en el eje del difusor, yuna vez se llega al estado estacionario se obtienen las situaciones representadas a continuación(explicadas anteriormente):

Figura 5.7: Líneas de corriente del flujo para θ = 15º en el caso I con FreeFem++

Figura 5.8: Líneas de corriente del flujo para θ = 15º en el caso II con FreeFem++



Figura 5.9: Líneas de corriente del flujo para θ = 15º en el caso III con FreeFem++

Figura 5.10: Líneas de corriente del flujo para θ = 15º en el caso IV con FreeFem++

Figura 5.11: Líneas de corriente del flujo para θ = 75º en el caso I con FreeFem++

Figura 5.12: Líneas de corriente del flujo para θ = 75º en el caso II con FreeFem++

Figura 5.13: Líneas de corriente del flujo para θ = 75º en el caso III con FreeFem++



Figura 5.14: Líneas de corriente del flujo para θ = 75º en el caso IV con FreeFem++

Para la obtención de estos resultados, se ha hecho uso del mallado de alrededor de 6000elementos triangulares anisótropos que proporciona adaptmesh. Los parámetros que se hanespecificado en dicha función son:

hmin = 0,003.

hmax = 7.

err = 0,01.

Se observa que se produce una asimetrización del flujo que se estabiliza en un instantede tiempo de valor 14000 tomando un paso de tiempo de valor 0, 06 para la resolución de laecuación de Navier-Stokes, lo cual equivale a un tiempo adimensionalizado de valor 850 yaproximadamente 4 horas de ejecución del programa.

En la representación de todos los semiángulos considerados, se ha situado la recirculaciónmás grande en la pared superior para facilitar una comparación entre las imágenes. Para ellosimplemente se ha volteado la imagen cuando ha sido conveniente. La probabilidad de queuna recirculación surja arriba o abajo es la misma, siendo casualidad que se produzca en laparte superior. Esto se debe a que el mallado puede ser más regular en la parte superior o en lainferior y podrá estar más perturbado en una de estas zonas, tendiendo la solución estable a laasimétrica. Se representa, por ejemplo, el caso de θ = 90º para el caso IV, donde la localizaciónde la recirculación grande se sitúa en la pared inferior según:

Figura 5.15: Líneas de corriente del flujo para θ = 90º en el caso IV mediante la simulaciónFreeFem++

Posteriormente, se evalúan las distancias en las cuales el flujo se separa y en las quevuelve a adherirse. Se representan a continuación los cuatro casos considerados anteriormentepara los semiángulos θ = 15º, 22º, 30º, 45º, 60º, 75º y 90º mediante el procedimiento utilizadoen el artículo de Tsui y Wang y mediante simulaciones realizadas con FreeFem++:



Figura 5.16: Longitudes de separación y reincorporación para los (a) caso I, (b) caso II, (c) casoIII y (d) casi IV en el caso teórico y mediante FreeFem++

Mediante esta imagen se pretende facilitar una comparación entre los resultados propues-tos por el artículo y los obtenidos con FreeFem++. Se observan algunas diferencias que seanalizarán posteriormente en la Sección 5.5.

La nomenclatura utilizada hace referencia a la representada en la figura 5.1:

XSU: separación del flujo en la pared superior.

XRU: reincorporación del flujo en la pared superior.

XSL: separación del flujo en la pared inferior.



XRL: reincorporación del flujo en la pared inferior.

X1: separación del flujo en la pared inferior para el torbellino secundario.

X2: reincorporación del flujo en la pared inferior para el torbellino secundario.

Por tanto, el tamaño del torbellino de recirculación será la longitud existente entre laslongitudes de separación y reincorporación del flujo.

Para el caso I los resultados reflejan el hecho de que el flujo es prácticamente simétrico.El flujo apenas se separa para θ = 15º y se separa a una cierta distancia de la entrada del difusorpara θ = 22º. Para θ ≥ 30º el punto de separación del flujo es cercano a la entrada del difusor yel tamaño de la recirculación es aproximadamente 4S. La recirculación superior es ligeramentemás larga que la inferior para θ ≥ 60º.

Para el caso II el tamaño de la recirculación incrementa de 4S para θ = 30º a 6S paraθ = 90º. Sin embargo, el flujo se vuelve asimétrico θ ≥ 60º y el tamaño de la recirculaciónmenor es de aproximadamente 3S.

Si se comparan los casos III y IV con los casos I y II, respectivamente, se observa que eltamaño de la recirculación aumenta con el aumento del número de Reynolds. Para los casos IIIy IV, tanto la recirculación superior como la inferior mantienen un tamaño prácticamente cons-tante cuando el semiángulo del difusor es suficientemente grande. El tamaño de la recirculaciónsuperior es de aproximadamente 9S en ambos casos mientras que la recirculación inferior tieneuna longitud de 3,5S en el caso III y 3S en el caso IV. El tamaño de la recirculación secundariaque surge en el caso IV es menor de 3,5S.

A continuación, se representan los resultados obtenidos utilizando FreeFem++ para loscasos I y IV. En la Sección 5.5 se mostrarán los resultados obtenidos para los casos II y IIIdebido a discrepancias que han surgido con el caso teórico.

Figura 5.17: Longitudes de separación y reincorporación para el caso I mediante la simulaciónFreeFem++



Figura 5.18: Longitudes de separación y reincorporación para el caso IV mediante la simulaciónFreeFem++

Analizando los resultados, se obtienen los siguientes valores con FreeFem++ para laslongitudes de desprendimiento y reincorporación de la capa límite:

θ XSU XRU XSL XRL X1 X2

CASO I

15º - - - - - -22º 1,22S 3,32S 1,22S 3,32S - -30º 0,50S 3,43S 0,49S 3,44S - -45º 0,14S 3,61S 0,14S 3,61S - -60º 0,05S 3,73S 0,05S 3,72S - -75º 0,28S 3,81S 0,28S 3,80S - -90º 0,08S 3,86S 0,08S 3,83S - -

CASO IV

15º 0,62S 9,59S - - - -22º 0,26S 9,40S 0,79S 2,83S - -30º 0,14S 9,42S 0,24S 3,02S - -45º 0,06S 9,48S 0,07S 3,17S 8,80S 11,69S60º 0,03S 9,45S 0,03S 3,17S 8,49S 12,18S75º 0,31S 9,42S 0,31S 3,15S 8,33S 12,37S90º 0,09S 9,39S 0,09S 3,13S 8,25S 12,53S

Cuadro 5.1: Valores de longitudes de separación y reincorporación con FreeFem++ para loscasos I y IV



Para ello, se han medido dichas longitudes sobre las paredes superior e inferior para unalongitud de valor 15S, obteniendo resultados a lo largo de intervalos de valor 0,01S.

Se observa que, en efecto, no se produce desprendimiento de la capa límite en el caso Ipara θ = 15º, mientras que para θ = 15º en el caso IV solo se produce desprendimiento en lapared superior, habiendo separación del flujo en ambas paredes para ambos casos si θ ≥ 15º.La recirculación secundaria surgirá solamente en el caso IV para θ ≥ 45º.

Se obtienen tanto casos de separación simétricas del flujo como asimétricas. En el caso I laseparación es prácticamente simétrica respecto de las paredes superior e inferior, mientras queen el caso IV dicha separación es siempre asimétrica, surgiendo además una nueva recirculaciónque se ha tenido en cuenta en la representación.

En cuanto a la longitud de las recirculaciones, como se ha explicado anteriormente, bastacon hacer la diferencia entre las distancias de separación y reincorporación del flujo. Se mues-tran los valores obtenidos para los tres tipos de recirculación vistos:

θLong. recircul. Long. recircul. Long. recircul.

superior inferior secundaria

CASO I

15º - - -22º 2,10S 2,10S -30º 2,93S 2,95S -45º 3,47S 3,47S -60º 3,68S 3,67S -75º 3,53S 3,52S -90º 3,78S 3,75S -

CASO IV

15º 8,97S - -22º 9,14S 2,04S -30º 9,28S 2,78S -45º 9,42S 3,10S 2,89S60º 9,42S 3,14S 3,69S75º 9,11S 2,84S 4,04S90º 9,30S 3,04S 4,28S

Cuadro 5.2: Valores de longitudes de las recirculaciones con FreeFem++ para los casos I y IV

5.5. Discrepancias con respecto al caso teórico

En este apartado se representarán los resultados obtenidos utilizando FreeFem++ para loscasos II y III. La razón por la cual se incluyen en un nuevo apartado es que surgen ciertas dife-rencias respecto del caso propuesto por Tsui y Wang. Los resultados referentes a las longitudesde separación y reincorporación del flujo para los casos II y III tienen la forma siguiente:



Figura 5.19: Longitudes de separación y reincorporación para el caso II mediante la simulaciónFreeFem++

Figura 5.20: Longitudes de separación y reincorporación para el caso III mediante la simulaciónFreeFem++



Analizando los resultados de la misma forma que en la Sección 5.4, se obtienen los si-guientes valores con FreeFem++ para las longitudes de desprendimiento y reincorporación dela capa límite:

θ XSU XRU XSL XRL X1 X2

CASO II

15º 3,65S 3,70S 3,65S 3,70S - -22º 0,82S 3,70S 0,81S 3,69S - -30º 0,34S 3,89S 0,34S 3,89S - -45º 0,10S 4,14S 0,10S 4,15S - -60º 0,04S 4,30S 0,04S 4,33S - -75º 0,02S 4,42S 0,02S 4,43S - -90º 0,08S 5,37S 0,08S 3,39S - -

CASO III

15º 1,27S 6,70S 1,26S 6,74S - -22º 0,45S 8,84S 0,69S 4,06S - -30º 0,22S 9,12S 0,31S 3,88S - -45º 0,08S 9,44S 0,10S 3,79S - -60º 0,03S 9,39S 0,03S 3,77S - -75º 0,28S 9,66S 0,28S 3,66S - -90º 0,09S 9,73S 0,09S 3,66S - -

Cuadro 5.3: Valores de longitudes de separación y reincorporación con FreeFem++ para loscasos II y III

En cuanto a la longitud de las recirculaciones, los valores obtenidos con FreeFem++ paralos tres tipos de recirculación vistos son:

θLong. recircul. Long. recircul. Long. recircul.

superior inferior secundaria

CASO II

15º - - -22º 0,05S 0,05S -30º 3,55S 3,55S -45º 4,04S 4,05S -60º 4,26S 4,29S -75º 4,40S 4,41S -90º 5,29S 3,31S -

CASO III

15º 5,43S 5,48S -22º 8,39S 3,37S -30º 8,90S 3,57S -45º 9,36S 3,69S -60º 9,36S 3,74S -75º 9,38S 3,38S -90º 9,64S 3,57S -

Cuadro 5.4: Valores de longitudes de las recirculaciones con FreeFem++ para los casos II y III

En comparación con el caso teórico, se observan diferencias tanto en el caso II como enel caso III.



En el caso II se observa que, mediante la simulación en FreeFem++, para θ = 60º y θ =75º el flujo es prácticamente simétrico, surgiendo recirculaciones simétricas tanto en la paredsuperior como en la inferior, mientras que en el caso teórico se produce un desprendimientoasimétrico de la capa límite para θ ≥ 60º.

En el caso III se aprecia una separación del flujo asimétrica en θ = 22º obtenida gracias aFreeFem++ que se mantiene prácticamente constante a medida que aumenta el semiángulo. Encambio, en el caso teórico dicha separación asimétrica se produce para θ ≥ 30º, produciéndosesimetría en las recirculaciones superior e inferior para θ = 22º.

Para asegurarse de la veracidad de los resultados de FreeFem++ se ha recurrido a dife-rentes alternativas: se ha probado a utilizar mallados más finos, ejecutar el programa durante untiempo mayor para asegurarse de que se alcanza el estado estacionario o ejecutar el programacon un paso de tiempo menor en la resolución de Navier-Stokes a fin de obtener un error menor,pero los resultados son prácticamente invariables.

Afortunadamente, se ha tenido la oportunidad de trabajar en paralelo con un compañeroque ha realizado un proyecto similar mediante el programa OpenFOAM. Este programa estádiseñado como un gran paquete de funciones para simulaciones numéricas basado en el métodode volúmenes finitos. Tiene un gran rango de características para resolver cualquier problemarelacionado con un movimiento fluido.

Los datos obtenidos han resultado similares a los obtenidos mediante FreeFem++, por loque se propone un ejemplo para comprobar ambos resultados. El ejemplo considerado es el quepresenta θ = 22º en el caso III.

Mediante OpenFOAM se ha utilizado un mallado estructurado con elementos de formacuadrilátera no constante. Se observa que el flujo se asimetriza en un paso de tiempo adimen-sionalizado t

lu

∼ 500s2m

5m/s

= 1250, lo que da lugar a un tiempo total de simulación de aproximada-

mente 10 horas hasta encontrar el resultado. Comparando ambos resultados se obtiene:

XSU XRU XSL XRLFreeFem++ 0,45S 8,84S 0,69S 4,06SOpenFOAM ∼ 0,3S ∼ 9S ∼ 0,3S ∼ 4S

Cuadro 5.5: Resultados obtenidos en FreeFem++ y OpenFOAM para θ = 22º en el caso III

Se observa así que mediante la imposición de las mismas condiciones de contorno seobtiene en efecto una asimetría en la separación del flujo para θ = 22º en el caso III.


Capítulo 6

OPTIMIZACIÓN DE LA EFICIENCIADE DIFUSORES SIMÉTRICOSBIDIMENSIONALES POR MEDIO DECAVIDADES

Una vez se ha hecho un análisis de las zonas en las que se produce separación del flujolaminar para difusores simétricos bidimensionales, se procede a buscar una mejora en el fun-cionamiento del difusor. El objetivo del nuevo estudio será reducir y, siempre que sea posible,eliminar la separación de la capa límite mediante métodos numéricos. El método seguido sebasará en la introducción de cavidades con formas adecuadas en las paredes del difusor. Dichaidea se ha extraído de [14], un artículo a partir del cual se ha seguido un procedimiento similar.

De nuevo, se utilizará un número de Reynolds de forma que se puedan dejar a un ladoefectos de turbulencia. Así, se usará un Re = 500 basado en la semialtura y la velocidad en eleje existentes en la entrada de un nuevo difusor. Se elegirá una configuración caracterizada porun radio de expansión ER = 2 y un ángulo de divergencia de 7 grados de forma que, sin laintroducción de estas cavidades, habrá una larga zona de separación de la capa límite de formaasimétrica.

Para poder reducir la zona de separación y mejorar la eficiencia del difusor, un par decavidades simétricas se introducirán en las paredes divergentes. Se llevará a cabo un procedi-miento de optimización para obtener la geometría de la cavidad que maximiza la recuperaciónde la presión en el difusor y minimiza la extensión de la separación del flujo.

6.1. Introducción

La separación del flujo laminar puede ocurrir tanto en flujo internos como externos, ylleva asociadas grandes pérdidas de energía. La idea de usar cavidades con formas apropiadasen las paredes del difusor busca crear un vórtice atrapado en dicha cavidad. El procedimientodel vórtice atrapado se basa en la observación de que la formación de vórtices en el interior decavidades realizadas en paredes sólidas produce un momento mayor para estar presentes en elfinal de la capa límite, así que la separación se podría retrasar. En este método, las cavidadesson más grandes que el espesor de la capa límite.

73

OPTIMIZACIÓN DE LA EFICIENCIA POR MEDIO DE CAVIDADES

En el trabajo presente, se utilizarán simulaciones numéricas para investigar la efectividaddel método propuesto. La elección de un flujo laminar con una expansión geométrica tienenumerosas aplicaciones en ingeniería, especialmente en el campo de microfluidos; por ejemplo,el diseño de microbombas o de intercambiadores de calor electrónicos. También se encuentransimilares configuraciones del flujo para problemas biomédicos.

El objetivo de este estudio será, por tanto, encontrar la forma óptima de la cavidad. Gra-cias al reducido coste de las simulaciones numéricas para el problema considerado, se lleva acabo una optimización considerando cuatro parámetros distintos que caracterizan tanto la loca-lización como la geometría del par de cavidades simétricas.

6.2. Definición de geometría del difusor y características dela simulación

La geometría del difusor considerado está constituida por una primera parte que constade una sección constante, una segunda parte en la que el ancho crece linealmente y, finalmente,una parte con una sección constante de nuevo (véase la figura 6.1):

Figura 6.1: Geometría del difusor y marco de referencia

El difusor se caracteriza por los siguientes parámetros: la semialtura de la entrada, h (quese usa como longitud de referencia), la semialtura de la salida k = 2h, la longitud desde laentrada hasta el comienzo de la parte divergente, l1 = 3h, la longitud de la parte divergente,l2 = 16,35h, la longitud desde el final de la parte divergente hasta el final del difusor, l3 =30,65h y el semiángulo de divergencia, α = 3,5º. La relación entre la sección de salida y lade entrada, o radio de expansión, es ER = 2. Finalmente, la longitud total del difusor serál = l1 + l2 + l3 = 50h.

Las simulaciones se llevan a cabo para Re = h·uν

= 500, donde u es la velocidad segúnel eje x en el eje del difusor en la sección de entrada y ν la viscosidad cinemática. El campo develocidades de entrada al difusor se especifica según el grosor de la capa límite en la entrada,teniendo un espesor δ0 = 0, lo que equivale a un perfil de velocidades uniforme que alcanza elvalor unidad en la entrada.

Para la obtención de estos resultados, se ha dejado de usar la función adaptmesh, usan-do un mallado de aproximadamente 40000 elementos triangulares isótropos. Se observa que seproduce una asimetrización del flujo que se estabiliza en un instante de tiempo de valor 30000tomando un paso de tiempo de valor 0,085 para la resolución de la ecuación de Navier-Stokes,lo cual equivale a un tiempo adimensionalizado de valor 2500 y aproximadamente 72 horas deejecución del programa.



6.3. Características del flujo y validación

La visualización de las líneas de corriente que se muestra en la figura 6.2 está caracteriza-da por una larga zona de separación del flujo, que se vuelve a adherir a la pared antes del finaldel difusor.

Figura 6.2: Líneas de corriente en el interior del difusor sin cavidades

El desempeño del difusor se evalúa a través del coeficiente medio de recuperación de lapresión cp, que se define como:

cp =pout − pin

12ρuin

2, (6.1)

donde pin y uin son la presión y la velocidad según el eje x medios en la sección de entrada deldifusor (X = 0) y pout es la presión media en la sección de salida del difusor (X = 50).

El funcionamiento del difusor también se evalúa a través de la eficiencia η, definida como:

η =cp

cpideal, (6.2)

donde el coeficiente ideal de recuperación de la presión cpideal se calcula como:

cpideal = 1−(

1

ER

)2

= 1−(h

k

)2

, (6.3)

por lo que, para este difusor (con ER = 2) se tiene cpideal = 0,75. Se busca acercarse lomás posible al valor de cpideal debido a que equivale a la presión que se obtendría mediante laecuación de Bernoulli (sin pérdidas), ya que en el caso real se produce una pérdida de presión.

Un parámetro más se utiliza para evaluar el funcionamiento del difusor, denominado coe-ficiente de recuperación de la presión en el eje cpa , definido como:

cpa =paout − pain

12ρu2

ain

(6.4)

donde pain , paout y uain son los valores de la presión y velocidad según el eje x a lo largo del ejedel difusor en las secciones de entrada y de salida.

Las simulaciones también se comparan evaluando el coeficiente medio de recuperaciónde la presión cpx en diferentes secciones a lo largo de la longitud del difusor, el cual se definecomo:

cpx =px − pin

12ρuin

2(6.5)



donde px es la presión media en la sección X considerada.

Es necesario mencionar que para hallar px se hace uso de la regla del trapecio. Si seconsidera una sección X del difusor situada entre la entrada y la salida, se tiene:

px =1

Ax

ˆSx

pxdS =1

lx

nelem∑j=1

xj+1ˆ

xj

pxdx '1

lx

nelem∑j=1

xj+1 − xj2

(p(xj) + p(xj + xj+1)) =

=1

lx

nelem∑j=1

4y2

(p(xj) + p(xj+1)) =1

lx

4y2

[p(x1) + 2p(x2) + ...+ 2p(xn) + p(xn+1)] =

=4ylx

[n∑i=2

p(xi) +1

2p(x1) +

1

2p(xn+1)] (6.6)

donde se ha tomado un intervalo4y = 0,01 para aproximar el valor de la integral definida.

El comportamiento de cpx a lo largo del difusor se muestra en la figura 6.3:

Figura 6.3: cpx para el difusor de referencia

Se observa que hay una expansión inicial debida al engrosamiento de la capa límite enla zona inicial (X ≤ 3). Debido a ello, la velocidad en el eje en X = 3 será mayor que en laentrada por conservación del caudal, lo que lleva a una caída de la presión. Posteriormente, enla parte divergente del difusor hay una disminución de la velocidad y la presión aumenta, peroel efecto de separación de la capa límite es retrasar tal aumento de presión y, por tanto, cpx .

En cuanto al resto de coeficientes, se obtienen los siguientes valores:

cp η cpa0,262314 0,349752 0,3191

Cuadro 6.1: Valores obtenidos con FreeFem++ de cp, η y cpa en el difusor sin cavidades



6.4. Análisis paramétrico y resultados

A continuación, se presenta un análisis paramétrico mediante el cual se buscan los pa-rámetros óptimos de las cavidades presentadas que optimizan el funcionamiento del difusor.Para ello, primero se presentará la estructura de unas cavidades semielípticas y, a partir de labúsqueda de los parámetros óptimos, se presentará la posibilidad de utilizar unas cavidades enforma de escalón con la obtención de resultados similares.

6.4.1. Resultados en difusor con cavidades semielípticas

Un par de cavidades simétricas se posiciona en cada lado del difusor. Las cavidades co-mienzan con una parte recta, continúan con una parte ascendente en la parte superior (o descen-dente en el caso de la cavidad inferior) con forma de semielipse, y finalizan con otra parte rectahasta llegar a las paredes divergentes del difusor (véase la figura 6.4).

Figura 6.4: Parámetros a optimizar

El procedimiento descrito anteriormente se utilizará para determinar la forma óptima delas cavidades que maximiza el coeficiente de recuperación de la presión cp. Las variables aoptimizar son: la distancia desde el comienzo de la divergencia en el difusor hasta la base de lasemielipse, s/h, la longitud total de la parte recta de la cavidad, t/h, el eje de la elipse paraleloa la pared divergente del difusor, a/h, y el eje de la elipse normal a la pared divergente, b/h.

Para llevar a cabo el análisis paramétrico, se tomarán unos valores s/h = 0 y a/h = 0,34.De esta forma, se estudiará el efecto producido en los coeficientes de recuperación de la presióna partir de la modificación de los parámetros b/h y t/h, en las Subsecciones 6.4.2 y 6.4.3,respectivamente. Más tarde, se comprobará como el efecto de a/h es prácticamente despreciableen la Subsección 6.4.4.

A partir de la visualización de las líneas de corriente en el difusor con cavidades op-timizadas, es evidente que el flujo se separa en el interior de la cavidad pero se reincorporainmediatamente fuera de ésta, formando una primera zona de recirculación; además, la separa-ción del flujo asimétrico se retrasará y su extensión se reducirá. Se muestra a continuación unejemplo de la primera recirculación que se forma en el interior de la cavidad semielíptica:

Figura 6.5: Líneas de corriente en el interior de la cavidad semielíptica



La elección de una geometría adecuada en dicha cavidad llevará a un exitoso control de lazona de separación de la capa límite. Se encuentra un aumento en la recuperación de la presióndel 16,26 % comparando con el difusor de referencia sin cavidades (cp aumenta de 0,262314a 0,304982 en la configuración con cavidades óptimas). El coeficiente de recuperación de lapresión en el eje del difusor cpa también confirma los resultados de dicha optimización, ya quese presenta un aumento de cpa de 0,3191 a 0,365139 (+14,42 %).

En cuanto a los parámetros óptimos de la cavidad, se ha llevado a cabo un estudio basadoen el efecto que produce en los coeficientes de recuperación de la presión la modificación de losparámetros t/h y b/h. Se han simulado un total de 25 casos que incluyen una combinación de losparámetros t/h = 8, 10, 12, 14, 16 y b/h = 0,04, 0,08, 0,12, 0,16, 0,20. Como se ha mencionadoanteriormente, se mantienen unos valores s/h = 0 y a/h = 0,34.

Se muestran en los cuadros 6.2, 6.3 y 6.4 los resultados obtenidos en los coeficientes derecuperación de la presión a partir de la variación de los parámetros anteriores:

Coeficiente medio de recuperación de la presión cpt/h

8 10 12 14 16

b/h

0,04 0,279363 0,279589 0,281764 0,281809 0,2810050,08 0,294686 0,298493 0,298835 0,297168 0,295880,12 0,300734 0,302702 0,304982 0,30224 0,3023550,16 0,302525 0,302743 0,30213 0,300895 0,2987260,20 0,298067 0,300431 0,293659 0,280143 0,267971

Cuadro 6.2: Análisis paramétrico de cp

Eficiencia ηt/h

8 10 12 14 16

b/h

0,04 0,372483 0,372785 0,375685 0,375745 0,3746740,08 0,392915 0,397991 0,398447 0,396224 0,3945070,12 0,400979 0,403603 0,406643 0,402987 0,403140,16 0,403366 0,403658 0,40284 0,401193 0,3983010,20 0,397423 0,400575 0,391546 0,373523 0,357294

Cuadro 6.3: Análisis paramétrico de η

Coeficiente de recuperación de la presión en el eje cpat/h

8 10 12 14 16

b/h

0,04 0,341855 0,342721 0,344191 0,343968 0,3437260,08 0,357516 0,361263 0,361445 0,359784 0,358110,12 0,363157 0,366099 0,365139 0,365003 0,3652370,16 0,365116 0,367321 0,3662 0,364421 0,3610550,20 0,361446 0,363117 0,35456 0,342159 0,330634

Cuadro 6.4: Análisis paramétrico de cpa



Para tener una visión más clara de los datos presentados, se representarán tridimensio-nalmente con el objetivo de ver las tendencias de dichos coeficientes cuando se modifican losparámetros. También se presentan los datos en forma de isolíneas.

Para el coeficiente medio de recuperación de la presión cp se obtienen las figuras 6.6 y6.7:

Figura 6.6: Representación tridimensional de la variación de cp

Figura 6.7: Isolíneas de la variación de cp

Se observa que para el coeficiente medio de recuperación de la presión cp la geometríaóptima se obtiene con los valores t/h = 12 y b/h = 0,12, obteniéndose igualmente valoresóptimos para valores de b/h y t/h que no se alejen mucho de los óptimos. Cualquier valor decp por encima de 0,302 supone un aumento por encima del 15 %, siendo éste un porcentaje muyadecuado.



Para la eficiencia η se obtienen las figuras 6.8 y 6.9:

Figura 6.8: Representación tridimensional de la variación de η

Figura 6.9: Isolíneas de la variación de η

Efectivamente, la eficiencia η conlleva una situación similar a la de la variación produ-cida en el cp. Obtendremos así de nuevo los valores óptimos para t/h = 12 y b/h = 0,12,consiguiendo aumentos del 15 % para aquellos valores que tienen una eficiencia η por encimade 0,402.



Para el coeficiente de recuperación de la presión en el eje cpa se obtienen las figuras 6.10y 6.11:

Figura 6.10: Representación tridimensional de la variación de cpa

Figura 6.11: Isolíneas de la variación de cpa



Mediante el análisis de estas imágenes se observa que para el coeficiente de recuperaciónde la presión en el eje cpa la geometría óptima pasa a ser t/h = 10 y b/h = 0,16. Por debajode esos valores, se contempla un aumento por encima del 14 % para aquellos cpa que superan elvalor 0,364.

Tras examinar todas las imágenes detenidamente, se puede afirmar que los valores óp-timos serían aquellos que cumplen t/h = 10 − 12 y b/h = 0,12 − 0,16, ya que se obtienenresultados muy favorables en dicho intervalo para los tres coeficientes de recuperación de lapresión.

El parámetro b/h es muy significativo porque determina el ancho de la zona de recircu-lación y, por tanto, la posibilidad de que el flujo se vuelve a adherir después de las cavidades.Se observa que este parámetro se vuelve aún más significativo cuando se aproxima a la zonaóptima. En la Subsección 6.4.5 se presentarán los efectos producidos en la recuperación de lapresión cuando este parámetro es demasiado grande.

El parámetro t/h, en cambio, tiene menos influencia en el intervalo óptimo pero pasa aser más decisivo cuando se estudia la geometría fuera de dicho intervalo. Para valores de b/hpequeños sigue teniendo una influencia despreciable, pero cuando se obtienen valores por enci-ma de b/h = 0,18 los resultados varían drásticamente en función de t/h, pasando de tener unvalor aceptable en la recuperación de la presión a un valor que puede llegar a dar una variaciónnegativa en los casos más extremos.

A continuación, se investigan los efectos que se producen al llevar a cabo pequeñas modi-ficaciones en la cavidad para evaluar si este procedimiento de control del flujo es válido cuandose sale de los parámetros óptimos. Para realizar este estudio, se contemplará una modificaciónde los parámetros dentro de los límites establecidos en las imágenes anteriores. Más adelante,se contemplará algún caso que puede ser perjudicial en la recuperación de la presión. El ob-jetivo de este análisis es estudiar más en detalle los resultados obtenidos. Para ello, se seguirátomando un valor de s/h = 0, es decir, no se incluirá una zona de divergencia inicial antes delas cavidades.

6.4.2. Efectos producidos por la variación de b/h

Primero, se presta atención al eje de la elipse normal a las paredes divergentes del difusor,b/h, que se identifica como el parámetro más importante al determinar el ancho de la zona derecirculación producida por la cavidad. La validez del procedimiento de control del flujo conrespecto a b/h se analiza variando éste en el intervalo b/h = 0,04−0,20; con respecto a los otrosparámetros, t/h se mantiene en unos de sus valores óptimos (t/h = 12) y se toma a/h = 0,34,recordando su efecto despreciable.

En el rango de b/h = 0,08− 0,16 la configuración propuesta es válida, porque los incre-mentos de cp, η y cpa están por siempre por encima del 11 % comparado con el difusor que nopresenta cavidades. Se presentan en las figuras 6.12, 6.13 y 6.14 dichas variaciones:



Figura 6.12: Variación ( %) de cp con respecto de b/h con t/h = 12

Figura 6.13: Variación ( %) de la eficiencia con respecto de b/h con t/h = 12



Figura 6.14: Variación ( %) de cpa con respecto de b/h con t/h = 12

Se observa un aumento de los tres valores con el aumento de la altura normal de la cavidadsiempre y cuando el flujo se vuelva a adherir tras la región de recirculación producida por lacavidad. Pero cuando se alcanza el valor óptimo, en el intervalo b/h = 0,08− 0,16, se produceuna disminución en la variación producida.

Sin embargo, todos los valores estudiados dan un resultado favorable en mayor o menormedida con respecto al difusor de referencia. Se podría tomar así el valor b/h = 0,20 y daría unresultado favorable, aunque menor que el que se obtendría para b/h = 0,12.

Comparando los coeficientes presentados anteriormente:

cp η cpaReferencia 0,262314 0,349752 0,3191b/h = 0,20 0,293659 (+11,94 %) 0,391546 (+11,94 %) 0,35456 (+11,11 %)b/h = 0,12 0,304982 (+16,26 %) 0,406643 (+16,26 %) 0,365139 (+14,42 %)

Cuadro 6.5: cp, η y cpa para los difusores de referencia, con b/h = 0,20 y b/h = 0,12 mante-niendo t/h = 12

Si se compara el coeficiente medio de recuperación de la presión cpx en diferentes seccio-nes X para el difusor de referencia, el difusor con b/h = 0,20 y el difusor óptimo, por ejemplo,con b/h = 0,12, se obtiene la figura 6.15:



Figura 6.15: cpx para el difusor de referencia, con b/h = 0,20 y b/h = 0,12 manteniendot/h = 12

Se observa que en la zona inicial de sección constante (X ≤ 3) se tiene la misma bajadadel coeficiente ya que aún no se tiene ninguna diferencia en cuanto a cavidades, pero cuandocomienza la zona de divergencia, hay un aumento en la recuperación de la presión conforme seacercan los valores de b/h al óptimo.

Además, el patrón de líneas de corriente es similar al del difusor de referencia mostradoanteriormente. Comparando dichos patrones para el difusor de referencia, para el difusor conb/h = 0,20 y para el óptimo con b/h = 0,12, se obtienen las figuras 6.16, 6.17 y 6.18:

Figura 6.16: Líneas de corriente en el interior del difusor de referencia

Figura 6.17: Líneas de corriente en el interior del difusor con cavidades para b/h = 0,20 cont/h = 12



Figura 6.18: Líneas de corriente en el interior del difusor óptimo para b/h = 0,12 con t/h = 12

Mediante el análisis de las imágenes se observa como la región de recirculación principalva disminuyendo a medida que el valor de b/h se acerca al óptimo. Por otro lado, un análisisen profundidad de la recirculación formada en la cavidad muestra que ésta tiene una longitudmayor para el valor de b/h = 0,20 que para el óptimo con b/h = 0,12, debido a que llegaráun valor alejado del óptimo para el cual se unirán ambas recirculaciones y la recuperación de lapresión será como la del difusor o incluso menor.

A continuación se presentan dos imágenes en las que se compara la longitud de la recir-culación que surge en las cavidades para los dos casos mencionados (véanse las figuras 6.19 y6.20):

Figura 6.19: Líneas de corriente en el interior de la cavidad para b/h = 0,20 con t/h = 12

Figura 6.20: Líneas de corriente en el interior de la cavidad para b/h = 0,12 con t/h = 12

6.4.3. Efectos producidos por la variación de t/h

El valor de t/h se varía a continuación en el rango de 6 − 16 para evaluar la validezdel método, mientras que los demás parámetros se mantienen con los valores b/h = 0,12 ya/h = 0,34. Se presentan en las figuras 6.21, 6.22 y 6.23 los incrementos de cp, η y cpa:



Figura 6.21: Variación ( %) de cp con respecto de t/h con b/h = 0,12

Figura 6.22: Variación ( %) de la eficiencia con respecto de t/h con b/h = 0,12



Figura 6.23: Variación ( %) de cpa con respecto de t/h con b/h = 0,12

Se demuestra que pequeñas variaciones del parámetro t/h no causan una reducción sig-nificativa en alguno de los tres coeficientes porque la forma de la cavidad sigue siendo similar,obteniendo los mejores resultados para un intervalo t/h = 10 − 14. Sin embargo, todos losresultados rondan un incremento del 15 % comparado con el difusor de referencia.

Es necesario mencionar que esta situación se da para valores próximos al óptimo, ya queal alejarse de valores cercanos al óptimo comienza a tener más influencia. Así, cerca de la zonaóptima el aumento de los coeficientes de recuperación de la presión ocurrirá siempre y cuandoel flujo se vuelva a adherir inmediatamente después de la cavidad. Se verá en la Subsección6.4.5 que puede darse una situación en la que el flujo después de la cavidad no se vuelve aadherir generando así una gran recirculación que lleva a grandes pérdidas en la recuperación dela presión.

Comparando los coeficientes presentados anteriormente:

cp η cpaReferencia 0,262314 0,349752 0,3191t/h = 16 0,302355 (+15,26 %) 0,40314 (+15,26 %) 0,365237 (+14,45 %)t/h = 12 0,304982 (+16,26 %) 0,406643 (+16,26 %) 0,365139 (+14,42 %)

Cuadro 6.6: cp, η y cpa para los difusores de referencia, con t/h = 16 y t/h = 12 manteniendob/h = 0,12

El análisis del coeficiente medio de recuperación de la presión cpx en diferentes seccio-nes X refleja que dicho coeficiente es prácticamente idéntico para el óptimo con t/h = 12 y



para el difusor con t/h = 16, habiendo una ligera diferencia cuando se acerca la zona de larecirculación principal, como se muestra en la figura siguiente:

Figura 6.24: cpx para el difusor de referencia, con t/h = 16 y t/h = 12 manteniendo b/h = 0,12

6.4.4. Efectos producidos por la variación de a/h

Como ya se ha mencionado, el eje de la elipse paralelo a las paredes divergentes deldifusor, a/h, no es un parámetro significativo en el método de optimización. Por tanto, en vezde llevar a cabo un análisis con respecto a este parámetro, se analizará el efecto que produce sueliminación.

Para ello, se tomará un valor a/h = 0. Así, la cavidad semielíptica será reemplazada porun escalón perpendicular a las paredes divergentes, con una altura igual a la que se había defi-nido anteriormente como óptima. Se tendrá así un difusor con cavidades en forma de escalón,en el cual se tomarán los parámetros b/h = 0,12 y t/h = 12.

Los resultados obtenidos con las dos geometrías diferentes se acercan mucho; de he-cho, en el difusor con el escalón se encuentra un incremento de cp de 0,262314 a 0,30468(+16,15 %), un incremento de η de 0,349752 a 0,40624 (+16,15 %) y un aumento de cpa de0,3191 a 0,36714 (+15,05 %).

Comparando los valores presentados con los que se obtuvieron para a/h = 0,34 y con eldifusor de referencia:

cp η cpaReferencia 0,262314 0,349752 0,3191a/h = 0,34 0,304982 (+16,26 %) 0,406643 (+16,26 %) 0,365139 (+14,45 %)a/h = 0 0,30468 (+16,15 %) 0,40624 (+16,15 %) 0,36714 (+15,05 %)

Cuadro 6.7: cp, η y cpa para los difusores con a/h = 0,34 y a/h = 0



Comparando las figuras 6.25 y 6.26 se puede ver que, en efecto, se presenta una regiónsimilar de recirculación en los dos casos:

Figura 6.25: Líneas de corriente en el difusor óptimo con a/h = 0,34

Figura 6.26: Líneas de corriente en el difusor óptimo con a/h = 0

Es necesario mencionar que en estas dos figuras se ha representado un número líneas decorriente mayor que en la figura 6.18 con el objetivo de apreciar la zona de recirculación conmayor detalle.

Además, si se observa con más detalle la cavidad en las figuras 6.27 y 6.28 se observa quela región de recirculación interna es también similar:

Figura 6.27: Líneas de corriente en la cavidad del difusor óptimo con a/h = 0,34

Figura 6.28: Líneas de corriente en la cavidad del difusor óptimo con a/h = 0

Finalmente, se concluye que desde el punto de vista de la Fluidodinámica, las dos confi-guraciones trabajan de una manera similar y, en consecuencia, la elección entre una u otra podráestar determinada por requisitos de fabricación.

6.4.5. Variación negativa en la recuperación de la presión

A raíz de observar que la recirculación que surge en la cavidad tiene un tamaño mayorconforme los parámetros se alejan de la zona óptima, se ha optado por ampliar ligeramente



el análisis paramétrico y analizar qué ocurriría cuando se aumenta b/h más de lo descrito. Elanálisis siguiente se realizará con los parámetros s/h = 0 y a/h = 0,34.

Para estudiar este caso, se va a analizar primero el aumento de b/h cuando se tiene t/h =12, que correspondería a un valor óptimo. Para ello, se propone un valor de b/h = 0,24, ytras observar la figura 6.29, lo que más llama la atención es la gran recirculación principal quesurge en el difusor. Esto se debe a que el alto valor de b/h, que determina el tamaño de dicharecirculación, provoca la unión de la recirculación que surge en la cavidad semielíptica y laprincipal.

Figura 6.29: Líneas de corriente en el interior del difusor con cavidades para t/h = 12 y b/h =0,24

Se obtiene así una separación completa del flujo en la parte superior, ya que surge unarecirculación muy amplia en la cavidad que se solapa con la principal de la forma siguiente:

Figura 6.30: Líneas de corriente en la cavidad para t/h = 12 y b/h = 0,24

Si se tienen en cuenta los valores de los tres coeficientes de recuperación de la presióndefinidos anteriormente, se observa que hay un abrupto decrecimiento de cp, η y cpa respecto delvalor que se obtenía para b/h = 0,20. El decrecimiento es tan grande que la variación pasará aser negativa y se obtendrán peores resultados que los que se obtenían en el difusor de referencia:

cp η cpaReferencia 0,262314 0,349752 0,3191b/h = 0,20 0,293659 (+11,94 %) 0,391546 (+11,94 %) 0,35456 (+11,11 %)b/h = 0,24 0,255878 (−2,45 %) 0,34117 (−2,45 %) 0,316599 (−0,78 %)

Figura 6.31: cp, η y cpa para los difusores de referencia, con b/h = 0,20 y b/h = 0,24 mante-niendo t/h = 12

El análisis del coeficiente medio de recuperación de la presión cpx en diferentes seccionesX refleja que, en el momento que el desprendimiento de la capa límite es lo suficiente intenso,la recuperación de la presión cae por debajo de la que se obtenía para el difusor sin cavidades,obteniendo una variación negativa.




Representando la variación porcentual de los coeficientes se obtienen las figuras 6.33,6.34 y 6.35 para t/h = 12:

Figura 6.33: Variación ( %) de cp con respecto de b/h con t/h = 12 incluyendo b/h = 0,24



Figura 6.34: Variación ( %) de η con respecto de b/h con t/h = 12 incluyendo b/h = 0,24

Figura 6.35: Variación ( %) de cpa con respecto de b/h con t/h = 12 incluyendo b/h = 0,24

Se observa así el decrecimiento que supone el nuevo valor de b/h en comparación con losque se encuentran dentro de la zona óptima.



Por otro lado, si se observa detenidamente la representación tridimensional de la variaciónde los tres coeficientes de recuperación de la presión en la Subsección 6.4.1, se observa quepara b/h = 0,20 y t/h = 16 hay una caída brusca en la recuperación de la presión con respectoa la zona óptima, obteniendo unos valores similares a los que se obtenían en el difusor dereferencia. Por tanto, se ha decidido analizar detenidamente esa zona (una zona bastante alejadade la óptima) y también se ha aumentado b/h hasta un valor de 0,24 para estudiar los efectosque se producen en el funcionamiento del difusor.

Si se tiene en cuenta el caso del difusor con los valores b/h = 0,20 y t/h = 16 represen-tado en la figura 6.36, tras evaluar las líneas de corriente interiores al difusor se comprueba quela imagen es bastante similar a la mostrada en la figura 6.29.


En cambio, al aumentar a b/h = 0,24 el valor del eje normal de la elipse, se obtieneuna recirculación mucho mayor que lleva a un decrecimiento enorme de la recuperación de lapresión en comparación con el difusor de referencia (véase figura 6.37).


Se recuerda que la distribución de colores de la figura 6.37 es distinta a las anterioresdebido a que la recirculación principal ha surgido en el lado opuesto. Tras esto, se ha volteadola imagen para facilitar una mejor comparación entre imágenes.

Mediante la evaluación de los tres coeficientes de recuperación de la presión cp, η y cpa ,se observa que para este último caso el desempeño del difusor es mucho peor, llevando a unagran pérdida de energía.



cp η cpaReferencia 0,262314 0,349752 0,3191b/h = 0,20 0,267971 (+2,15 %) 0,357294 (+2,15 %) 0,330634 (+3,61 %)b/h = 0,24 0,224555 (−14,39 %) 0,299407 (−14,39 %) 0,287446 (−9,91 %)

Cuadro 6.8: cp, η y cpa para los difusores de referencia, con b/h = 0,20 y b/h = 0,24 mante-niendo t/h = 16

Como se puede comprobar en el cuadro 6.8, para b/h = 0,24 hay un descenso inmensoen la recuperación de la presión.

Analizando el coeficiente medio de recuperación de la presión cpx en diferentes seccionesX en la figura 6.38, se observa que el difusor con b/h = 0,20 tiene un comportamiento similaral de referencia, pero la elección de un valor b/h = 0,24 supone un gran decrecimiento de laforma:


Representando la variación porcentual de los coeficientes se obtienen las figuras 6.39,6.40 y 6.41 para t/h = 16:



Figura 6.39: Variación ( %) de cp con respecto de b/h con t/h = 16 incluyendo b/h = 0,24

Figura 6.40: Variación ( %) de η con respecto de b/h con t/h = 16 incluyendo b/h = 0,24



Figura 6.41: Variación ( %) de cpa con respecto de b/h con t/h = 16 incluyendo b/h = 0,24

Se aprecia así el gran decrecimiento que produce en la variación de los coeficientes derecuperación de la presión el nuevo valor de b/h.

Tras el estudio de estos dos casos se concluye que para valores de b/h lo suficientementegrandes, la eficiencia del difusor se puede volver incluso peor que la del difusor sin cavidades.Por tanto, el hecho de introducir un par de cavidades simétricas no implica directamente unamejora en la eficiencia, sino que es necesario hacer un análisis previo para averiguar cuáles sonlos parámetros adecuados que conducen a un aumento en la recuperación de la presión.


Capítulo 7

CONCLUSIONES Y LÍNEAS FUTURAS

Una vez finalizado el proyecto presente, se puede asegurar que se han cumplido los obje-tivos propuestos al inicio del mismo:

Se ha aprendido a utilizar FreeFem++ gracias a ejemplos sencillos y geometrías como ladel difusor bidimensional.

Se han estudiado los casos que pueden surgir tras el desprendimiento de la capa límite.

Se han encontrado unos parámetros óptimos que optimizan la eficiencia del difusor me-diante un análisis paramétrico, buscando minimizar la extensión de las recirculacionesproducidas.

Se han elegido unas condiciones adecuadas ejecutando las simulaciones con pasos detiempo y mallados adecuados.

Se ha evaluado la aptitud del software FreeFem++ mediante comparación con resultadosextraídos de casos teóricos y otros resultados procedentes de programas que han realizadoproyectos similares en paralelo.

De los resultados obtenidos gracias a la realización de este proyecto se pueden extraervarias conclusiones:

El método de discretización de Lagrange-Galerkin permite la ejecución de las simulacio-nes con pasos de tiempos mayores, produciendo un error menor.

FreeFem++ es un programa válido para la simulación de fluidos, obteniendo unos resul-tados adecuados. Sin embargo, el tiempo de cálculo ha sido bastante largo en las simula-ciones realizadas para optimizar el difusor, que coinciden con los casos en los que se hadejado de utilizar adaptmesh.

La adaptación del mallado mediante triángulos anisótropos en FreeFem++ (uso de lafunción adaptmesh) permite la ejecución de las simulaciones de una forma más rápidasuponiendo un menor coste, lo que ha supuesto un ahorro en el tiempo empleado hastaencontrar el estado estacionario.

La mayoría de los resultados obtenidos concuerdan con los obtenidos en la bibliografía.Se comprueba que se pueden obtener soluciones simétricas y asimétricas, dependiendode parámetros como el número de Reynolds Re y el radio de expansión.

99

CONCLUSIONES Y LÍNEAS FUTURAS

Mediante la incorporación de cavidades en el difusor con los parámetros adecuados sepueden minimizar los efectos negativos producidos por la formación de las recirculacio-nes, ya que se forma en su interior una pequeña recirculación que permite el retraso yla reducción de la recirculación principal. Se produce un aumento en la eficiencia deldifusor, pudiendo llegar a conseguir aumentos de los coeficientes de recuperación de lapresión del 15 %.

En el análisis paramétrico se han encontrado unos parámetros óptimos para unas cavida-des con forma semielíptica que presentan la siguiente influencia:

• El parámetro correspondiente al eje de la elipse normal a las paredes divergentes deldifusor es muy significativo ya que determina el ancho de la zona de recirculación.

• El parámetro correspondiente al eje de la elipse paralelo a las paredes divergentes deldifusor, en cambio, no se considera un parámetro crítico ya que se le puede asignarun valor nulo (obteniendo una cavidad con forma de escalón) y se obtendrían unosresultados similares en el desempeño del difusor. La elección de este parámetropodría estar determinada por requisitos de fabricación.

• El parámetro que une la parte superior de la semielipse con las paredes divergentesdel difusor puede tener tantos efectos despreciables como significativos. Cerca de lazona óptima la variación de este parámetro no supondrá grandes cambios en la efi-ciencia del difusor, llegando a considerarse despreciable. Esto se producirá siemprey cuando el flujo se vuelva a adherir inmediatamente después de la cavidad. En cam-bio, si se aleja de la zona óptima supondrá una reducción drástica en la recuperaciónde la presión.

Para valores del parámetro correspondiente al eje de la elipse normal a las paredes di-vergentes del difusor suficientemente grandes, se obtiene una variación negativa en larecuperación de la presión respecto del difusor sin cavidades. Tras esto se concluye quela elección de los parámetros puede llevar tanto a un aumento como a un descenso de laeficiencia.

En cuanto a objetivos personales, la elaboración de este proyecto me ha permitido recibiruna formación complementaria a la ya recibida en la universidad. Los casos relacionados conla Fluidomecánica siempre han supuesto un gran interés para mí debido al amplio campo deaplicaciones que tiene en la actualidad. Se ha tenido la oportunidad de trabajar en un caso y laexperiencia ha sido muy positiva, sobre todo por la atención recibida en el Departamento.

En cuanto a líneas futuras, este trabajo de fin de grado puede suponer una base para unproyecto que contenga un estudio basado en la continuación de este tema. En futuras investi-gaciones, se puede abordar la eficiencia de difusores con diferentes ángulos de divergencia onúmero de Reynolds mayores. También existe la posibilidad de añadir cavidades con geometríasdiferentes en función de los costes derivados de los requisitos de fabricación.


Capítulo 8

PLANIFICACIÓN Y PROGRAMACIÓN

A continuación, se presenta una Estructura de Descomposición del Proyecto (EDP) y undiagrama de Gantt. El objetivo de estos apartados es transmitir un seguimiento de las actividadesllevadas a cabo, mostrando el orden seguido y la duración empleada en cada una de ellas.

8.1. Estructura de Descomposición del Proyecto

El objetivo de esta EDP es reducir sistemáticamente la complejidad de este proyecto,descomponiéndose en fragmentos constituido por bloques de tareas. Se presenta seguidamenteuna descripción básica de las actividades en las que se ha dividido este proyecto:

Estudios previos:

• Aprendizaje del uso de FreeFem++

• Formulación de elementos finitos para poder trabajar con el software

• Métodos de Lagrange-Galerkin para problemas de convección-difusión

• Adimensionalización y discretización de las ecuaciones de Navier-Stokes en 2D

• Estudio del flujo alrededor de un cilindro y cálculo de parámetros como la fuerza olíneas de corriente

Práctica con casos sencillos:

• Flujo laminar sobre placa plana

• Flujo laminar sobre depósito con rampa

• Introducción al desprendimiento de la capa límite mediante los casos de placa planay depósito con rampa

101

PLANIFICACIÓN Y PROGRAMACIÓN

Uso de nuevas herramientas y análisis de distintos casos:

• Introducción a la función adaptmesh para acelerar las simulaciones y permitirunos resultados óptimos

• Análisis del desprendimiento de la capa límite en depósito con rampa mediantemodificación del ángulo de la rampa

• Introducción al difusor

Análisis del difusor en profundidad

• Estudio de desprendimiento de la capa límite mediante modificación de geometríay número de Reynolds

• Similitudes y diferencias con caso teórico propuesto en el artículo

Optimización de la eficiencia en difusor por medio de cavidades

• Introducción al proceso de optimización

• Introducción a los coeficientes de recuperación de la presión

• Efectos producidos por la incorporación de cavidades semielípticas

• Análisis paramétrico para determinar los parámetros óptimos que permiten una re-cuperación de la presión adecuada

Elaboración de la memoria

Es necesario mencionar que para la realización de este proyecto se ha comenzado utili-zando material informático propio, pero para acelerar las simulaciones y ser capaz de ejecutarvarios casos a la vez se ha procedido a utilizar el ordenador proporcionado por el Departa-mento de Ingeniería Energética y Fluidomecánica los últimos meses, lo cual se detallará en elpresupuesto.



8.2. Diagrama de Gantt

En el diagrama de Gantt que se muestra en la figura 8.1 se expone el tiempo de dedicaciónempleado para cada una de las actividades en la EDP realizada en la Sección 8.1.

Figura 8.1: Diagrama de Gantt


Capítulo 9

PRESUPUESTO

En este capítulo se presenta un presupuesto para el proyecto, bajo la hipótesis de que setrata de un informe realizado por un ingeniero junior.

Este proyecto se ha realizado durante 8 meses. Durante los dos primeros meses se ha tra-bajado durante 10 horas semanales, aprendiendo a utilizar el programa FreeFem++ con ejem-plos sencillos, y los seis meses restantes se ha trabajado a media jornada (20 horas semanales).Por lo tanto, el número de horas asignadas al proyecto ha sido:

Hproyecto = 10 h/sem ·4 sem/mes ·2 meses+ 20 h/sem ·4 sem/mes ·6 meses = 560 horas

Se ha considerado que los honorarios correspondientes a un ingeniero junior con la cuali-ficación necesaria para la elaboración de este informe son de 12C por hora.

Considerando las amortizaciones de los equipos informáticos y las licencias utilizadaspara los programas de software, bajo la hipótesis de una vida útil para los dos equipos de hard-ware utilizados de 4 años (48 meses) con un valor aproximado de 1000C y considerando unarenovación de licencias informáticas cada año con un valor de 70C, se obtiene:

Amortizacion mensual del equipo informatico propio = 10001

48+ 70

1

12= 26,66C/mes

Amortizacion mensual del equipo informatico universitario = 10001

48= 20,83C/mes

Para la realización del presupuesto total del proyecto se ha tenido en cuenta que los 8meses que ha durado el proyecto se ha utilizado un MacBook Pro 13” particular, donde tam-bién se han interpretado resultados con el software Matlab. En cambio, el PC Intel Premium4 se ha utilizado solo durante los 2 últimos meses debido a que se buscaba una manera másrápida de ejecutar las simulaciones para obtener resultados. Este último ordenador pertenece alDepartamento de Ingeniería Energética y Fluidomecánica.

105

PRESUPUESTO

En el cuadro 9.1 se muestra el presupuesto total del presente proyecto:

1. Descripción del proyectoTítulo OPTIMIZACIÓN DEL FLUJO EN EL INTERIOR DE UN DIFUSOR UTILIZANDO FREEFEM++

Duración 8 meses

2. Presupuesto total del proyecto8.440,96C

3. Desglose de cantidadesPersonal

Apellidos, Nombre Categoría profesional Honorarios (C/h) Duración total (h) Coste (C)

Escolar Cócera, Alberto Ingeniero Junior 12 560 6.720,00C

Equipos

Descripción Coste amortización (C/mes) Número de meses Coste total (C)

MacBook Pro 13” 20,83 8 167,00C

PC Intel Pentium 4 20,83 2 42,00C

Licencia Matlab 5,83 8 47,00C

4. Resumen de costesPersonal 6.720,00C

Equipos 256,00C

IVA 21 %

Total 8.440,96C

Cuadro 9.1: Presupuesto total del proyecto


Bibliografía

[1] R. Camúñez, Elementos y dispositivos aerodinámicos en la Fórmula 1: parte central delvehículo, Escuela Técnica Superior de Ingeniería Industrial de Barcelona (2014) pp. 24-31

[2] F. Hecht, FreeFem++ Third Edition, Version 3.40, Laboratoire Jacques-Louis Lions, Uni-versité Pierre et Marie Curie, Paris http://www.freefem.org/ff++/ftp/freefem++doc.pdf pp.14-19

[3] E. Chacón, Notas sobre FreeFem++ 2D y 3D: traducción del manual de F. Hecht, De-partamento de Ecuaciones Diferenciales y Análisis Numérico, Facultad de Matemáticas,Universidad de Sevilla http://www.freefem.org/ff++/ftp/freefem++Spanish.pdf (2010) pp.3-5

[4] R. Bermejo, Lagrange-Galerkin methods for convection-diffusion equations, Depto. Ma-temática Aplicada, ETSII, Universidad Politécnica de Madrid pp. 7-9

[5] R. Castilla, P.J. Gamez-Montero, Teoría de modelos, http://projecte-hermes.upc.edu/(2011-2012) pp. 1-2

[6] A. Crespo, Mecánica de fluidos, E.T.S.I. Industriales, Universidad Politécnica de Madridpp. 222-229

[7] G. Rubio, Métodos espectrales en ecuaciones diferenciales, pp. 59-63

[8] E. Chacón, Notas sobre FreeFem++ 2D y 3D: traducción del manual de F. Hecht, De-partamento de Ecuaciones Diferenciales y Análisis Numérico, Facultad de Matemáticas,Universidad de Sevilla http://www.freefem.org/ff++/ftp/freefem++Spanish.pdf (2010) pp.27-32

[9] A. Crespo, Mecánica de fluidos, E.T.S.I. Industriales, Universidad Politécnica de Madridpp. 642-651

[10] J.M. Egea, Resolución aproximada de la capa límite mediante la ecuación de VonKarman empleando una ley logarítmica. Aplicación a un buque militar, EscuelaUniversitaria de Ingeniería Naval y Oceánica, Universidad Politécnica de Cartagenahttp://repositorio.upct.es/bitstream/handle/10317/3964/pfc5666.pdf?sequence=1 pp. 17-24

[11] Y. Tsui, C. Wang, Calculation of Laminar Separated Flow in Symmetric Two-DimensionalDiffusers, Department of Mechanical Engineering, National Chiao Tung University, Hsin-chu 300, Taiwan (December 1995)

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BIBLIOGRAFÍA

[12] A. Fernández, Adaptación anisótropa de mallados 2D de elementos finitos, Es-cuela Técnica Superior de Ingeniería (ICAI), Universidad Pontificia Comillashttp://www.iit.comillas.edu/pfc/resumenes/4c29d6943c224.pdf (2010) pp. 26-27, 86-88

[13] FreeFem++ Wiki Manual - Adaptmesh, http://www.um.es/freefemv3/ff++/pmwiki.php(2014)

[14] A. Mariotti, A.N. Grozescu, G. Buresti, M.V. Salvetti, Separation control and efficiencyimprovement in a 2D diffuser by means of contoured cavities, Dipartimento di IngegneriaCivile e Industriale, Università di Pisa, Pisa, Italy (2013)


ANEXO I. CÓDIGO DE FREEFEM++PARA FLUJO ALREDEDOR DE UNCILINDRO

Se presenta a continuación el código utilizado en FreeFem++ para simular el caso delflujo alrededor de un cilindro presentado en las Secciones 3.2 y 3.4:

109

ANEXO II. CÓDIGO DE FREEFEM++PARA FLUJO EN EL INTERIOR DE UNDIFUSOR

Se presenta a continuación un ejemplo del código utilizado en FreeFem++ para simularlos casos del flujo en el interior de un difusor:

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CÓDIGO PARA FLUJO EN EL INTERIOR DE UN DIFUSOR


universidad politÉcnica de madridoa.upm.es/42847/1/tfg_alberto_escolar_cocera.pdf · lizar las...

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