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UNIVERSIDAD POLITÉCNICA DE MADRID
ESCUELA TÉCNICA SUPERIOR DE INGENIEROS INDUSTRIALES
Caracterización de las Propiedades Dinámicas de la Seda de Araña
Jorge Alencastre Miranda Diplom Ingenieur por la Universidad Técnica de Berlín
TESIS DOCTORAL Para la obtención del Grado de Doctor Ingeniero Industrial
2015
DEPARTAMENTO DE INGENIERÍA MECÁNICA Y FABRICACIÓN
ESCUELA TÉCNICA SUPERIOR DE INGENIEROS INDUSTRIALES
TESIS DOCTORAL
CARACTERIZACIÓN DE LAS PROPIEDADES DINÁMICAS DE
LA SEDA DE ARAÑA
Autor: Jorge Alencastre Miranda
Diplom Ingenieuer por la Universidad Técnica de Berlín
Director: Dr. José Luis Muñoz Sanz
2015
ÍNDICE
CONTENIDOS: Página
RESUMEN DE LA TESIS 1
CAPÍTULO 1: INTRODUCCIÓN
1.1 Generalidades sobre la tela de araña y su seda 3
1.2 La seda de araña 4
1.3 Contenido de la tesis 8
CAPITULO 2: ANTECEDENTES
2.1 Características de las arañas 15
2.2 La seda de araña 19
2.2.1 Generalidades 19
2.2.2 Utilización de la seda 20
2.2.3 Tipos de glándulas productoras de seda 22
2.2.4 Arquitectura molecular de la seda 23
2.2.5 Tipos de seda utilizados en la construcción de la tela de araña 25
2.3 Propiedades mecánicas y funciones de la seda de araña 26
2.3.1 Generalidades 26
2.3.2 Descripción cualitativa de las propiedades mecánicas de la seda MA y de la seda viscosa 26
2.3.3 Funciones de la seda MA y de la seda viscosa 30
2.3.4 Modelo viscoelástico de la seda MA 34
2.3.5 Amortiguamiento 37
2.3.5.1 Tipos de amortiguamiento 37
2.3.5.1.1 Amortiguamiento interno 38
2.3.5.1.2 Amortiguamiento estructural 40
2.3.5.2 Amortiguamiento equivalente 42
CAPITULO 3: PLANTEAMIENTO DE LA TESIS
3.1 Introducción 45
3.2 Planteamiento y Justificación 47
3.2.1 Vibración Libre 51
3.2.2 Vibración Forzada 52
3.2.3 Doble Péndulo 53
3.3 Objetivos 54
3.4 Método de trabajo 55
3.5 Material, equipos e instrumentos empleados en los ensayos experimentales 56
CAPITULO 4: PLANTEAMIENTO DEL MODELO CONCEPTUAL
4.1 Generalidades 57
4.2. Modelo conceptual de la estructura hecha de seda de araña MA 59
4.2.1 Análisis del amortiguamiento 60
4.2.1.1 Amortiguamiento interno también llamado elástico
o estructural (C) 62
4.2.1.2 Amortiguamiento de Coulomb o de fricción seca 62
4.2.1.3 Amortiguamiento por un medio fluido (CA) 63
4.2.2 Ecuación de movimiento de la estructura 63
4.2.3 Justificación del análisis no lineal 68
4.3 Introducción a las vibraciones no lineales 69
CAPITULO 5: ENSAYOS EXPERIMENTALES
5.1 Generalidades 85
5.2. Material utilizado 85
5.3 Técnicas experimentales 86
5.3.1 Obtención de la seda MA 86
5.3.2 Obtención del peso de la araña y su tela 87
5.3.3 Obtención de las propiedades geométricas de la seda 89
5.4 Ensayos estáticos 90
5.4.1 Ensayo de tracción 90
5.4.2 Ensayo de carga y descarga 94
5.5 Ensayos dinámicos 95
5.5.1 Ensayos experimentales realizados en condiciones ambientales 95
5.5.2 Ensayos experimentales realizados en condiciones de vacío 100
5.5.3 Evolución de frecuencia en el tiempo 103
5.5.4 Comparación de los resultados obtenidos en condiciones ambientales y condiciones de vacío 106
CAPITULO 6: VALIDACIÓN Y AJUSTE DEL MODELO
6.1 Solución de la ecuación diferencial de movimiento 107
6.2 Ajuste de la ecuación de movimiento 113
6.3 Comparación de la evolución de la frecuencia analítica con la experimental en el tiempo 120
CAPITULO 7: CONCLUSIONES 123
CAPITULO 8: BIBLIOGRAFIA 133
ANEXOS 141
SIMBOLOGÍA 169
1
RESUMEN DE LA TESIS
El término Biomimética se ha hecho común en los medios científicos, se refiere al trabajo
de diversos científicos (ingenieros, químicos, físicos, biólogos, etc.) que tratan de copiar
los procesos biológicos y aplicarlos en distintas áreas tecnológicas y científicas. En este
campo científico, uno de los productos naturales que llama más la atención es la telaraña.
Numerosos científicos en todo el mundo tratan de copiar las propiedades de la seda que
produce la araña, y lo más interesante es que hasta intentan reproducir el método que
usan las arañas para fabricar la seda
De la bibliografía consultada, se desprende la importancia de la seda en la vida de las
arañas, pues toda actividad que realizan tiene que ver de alguna manera con este
elemento. Uno de estos elementos es la tela de araña orbicular, que representa el objeto
principal para la supervivencia de la araña y su especie. Las investigaciones realizadas en
esta línea nos proporcionan información sobre sus magníficas propiedades mecánicas
como de resistencia, elasticidad y tenacidad del hilo de seguridad (seda MA) segregada
por una araña de la especie Argiope Argentata.
El enfoque de la presente tesis se realiza desde una perspectiva analítica-experimental,
tomando a la tela de araña como una clase especial de sistemas pretensados, llamados
Tensegrity Structures. Se desarrolla un modelo conceptual que describe en forma
aproximada el comportamiento dinámico de una estructura hecha de seda MA. Haciendo
uso de las técnicas experimentales de vibraciones libres se realizan los ensayos
experimentales.
La evaluación de los resultados analíticos y experimentales reflejan claramente que la
función principal de la tela de araña es la de convertir energía cinética en energía de
deformación y primordialmente en energía de disipación, el cual se efectúa gracias a las
propiedades viscoelásticas de la seda. La araña en forma instintiva recurre a la ayuda del
aire (como elemento disipador) para el buen funcionamiento de la tela de araña al
momento de la captura de las presas, disipándose el 99% de la energía total en los tres
primeros ciclos de oscilación de la tela de araña luego del impacto de la presa.
2
ABSTRACT
The term Biomimetic has become a very common word in the scientific world to describe
the reproduction of the biological processes and its application in the different technogycal
and scientific areas. One of the most notably natural product of this field is the Spiderweb.
In the present days, many scientists of the world are active working in the reproduction of
the proprieties of the Spiderweb. Most interesting even more, is the attempt to reproduce
the process of the production of the Spiderweb by the spider.
Most of the bibliography references deals whit the importance of the Spiderweb silk in the
life of the spiders and the orbicular Spiderweb represents the spider survival and of the
species. The research conducted in this field provide information about the excellent
mechanical proprieties such us strength, elasticity and tenacity of the safety fiber (silk MA
Drag-line) segregated by a spider of the Argiope Argentata species.
The present work is oriented to an analytical and experimental study considering the
Spiderweb as a special class of pre-stressed systems called Tensegrity (tensional
integrity) structures. A conceptual model maked up by a cord und a point mass has been
developed. This model approximates the dynamics performance of the structure made of
the silk MA.
The evaluation of the analytical and experimental results clear described that the main
function of the Spiderweb is the transformation of the kinetic energy in deformation energy,
and mainly in dissipation energy thank to the viscoelastic proprieties of the Spiderweb.
With the help of the Spiderweb, the spider instinctively resorts to the help of the
surroundings air as a dissipation element. This permits to dissipative the 99% of the total
energy during the three first oscillations cycles of the web after the impact of the victim.
3
1. INTRODUCCIÓN
1.1 GENERALIDADES SOBRE LA TELA DE ARAÑA Y SU SEDA
A medida que se profundiza el conocimiento científico sobre las estructuras y mecanismos
de los seres vivos, nos fascina cada vez más la complejidad y la funcionalidad de esos
sistemas biológicos, incluso de aquellos considerados “simples” o “primitivos”. El término
Biomimética, que se ha hecho común en los medios científicos, se refiere al trabajo de
diversos científicos (ingenieros, químicos, físicos, biólogos, etc.) que tratan de copiar los
procesos biológicos y aplicarlos en distintas áreas tecnológicas y científicas [38.
La historia está llena de ejemplos de ingenieros, científicos y artistas que se inspiraron en
la naturaleza. Entre ellos podemos citar a los hermanos Wright que volaron después de
observar el vuelo veloz de los buitres. Inspirado en la estructura de los huesos, Eiffel
proyectó la famosa torre que lleva su nombre y que soporta su enorme peso en sus
curvas elegantes. Otros ejemplos son las puntas de las agujas epidérmicas moldeadas
como colmillos de víboras y el Velcro que fue basado en el mismo principio de aquellos
abrojos (Xanthium spinosum) que se pegaron a las medias y al pelo de su perro, durante
una caminata por el campo del suizo George de Mestral. Y más recientemente pinturas
que imitan la superficie de la flor de Loto, siendo de esa forma pinturas que se limpian
solas [38.
En este campo científico, uno de los productos naturales que llama más la atención es la
telaraña. Numerosos científicos en todo el mundo tratan de copiar las propiedades de la
seda que produce la araña, y lo más interesante es que hasta intentan reproducir el
método que usan las arañas para fabricar la seda [38].
La relación de las arañas y sus redes ha sido conocida por el hombre desde los tiempos
más remotos; en la Biblia y el Corán se hace referencia a ella. Asimismo, muchos
hombres de la Antigüedad se interesaron por estos arácnidos; Aristóteles (384 - 322 a.C.)
hace mención de ellas en sus escritos y fue el primero en aportar datos sobre su biología
y comportamiento; también les llamaron la atención a Nicandro de Colofón (136 a. C.) y
más tarde a Plinio (23-79 d. C.).
4
En muchos pueblos del mundo existen leyendas, creencias y supersticiones que giran en
torno a las arañas. La más antigua e importante, de donde surgió el nombre de la clase
Arachnida, es la que nos relata el poeta romano Ovidio en su Metamorfosis. Habla de una
bella joven Arachne, quien vivía en la antigua Lidia de Asia Menor y que era famosa y
admirada por la belleza de sus hilados y tejidos. Un día, dicha joven, enaltecida por esta
fama y vanagloriándose de su habilidad, se atrevió a retar a un concurso a Pallas Atenea
(Minerva), diosa de la sabiduría y de las artes. Ésta, en extremo molesta por la audacia de
Arachne, destruyó su obra, provocando tal desesperación en la joven que acabó por
ahorcarse. Arrepentida de su acción, la diosa la volvió a la vida, pero convirtiéndola en
araña, destinada a permanecer colgada y a seguir hilando por toda la eternidad [32.
Los hilos de seda de la tela de araña ya fueron usados en la antigüedad en los retículos
de lunetas astronómicas, micrómetros y otros instrumentos ópticos. Algunas tribus de
América del Sur empleaban las telas de araña como hemostático en las heridas. Los
pescadores de la Polinesia usan el hilo de la araña Nephila, que es una tejedora eximia,
como hilo de pescar. En Madagascar, los nativos capturaban las arañas Nephila y
obtenían rollos de hilos que usaban para fabricar tejidos de color amarillo dorado. Algunas
tribus en Nueva Guinea usan telarañas como sombrero para protegerse de la lluvia [38.
1.2 LA SEDA DE ARAÑA
Se debe tener en cuenta que la función principal de la tela de araña de tipo orbicular es la
de capturar presas en pleno vuelo, lo que indica que dicha estructura está en la capacidad
de convertir energía cinética, proveniente de la presa y transformarla en energía de
deformación así como en energía de disipación. Esta característica de este tipo de
estructuras es construida por la araña gracias a su “inteligencia innata” desarrollada a
través de millones de años de evolución.
La tenacidad, resistencia y elasticidad de esta seda sigue intrigando a los científicos, que
se preguntan qué es lo que le da a este material natural sus cualidades inusitadas. Más
fino que un cabello, más liviano que el algodón, y (en las mismas dimensiones) más fuerte
que el acero, la tela “atormenta” a los científicos que intentan copiar sus propiedades, o
sintetizarla para producción en gran escala. Varias aplicaciones de este nuevo material
surgen en la mente de los investigadores, tales como ropa y zapatos a prueba de agua,
5
cables y cuerdas, cinturones de seguridad y paracaídas más resistentes, revestimiento
anticorrosivo, parachoques para automóviles, tendones y ligamentos artificiales, chalecos
a prueba de balas, etc. [38.
Un hilo común de seda de la tela de araña es capaz de extenderse hasta 70 kilómetros
sin quebrarse bajo su propio peso, y se puede estirar hasta 30 ó 40% más allá de su
longitud inicial - sin romperse - mientras que el nylon soporta que se lo estire sólo un 20%.
Una fibra de seda es mucho más resistente que un cable de acero de similar grosor, y
muchísimo más elástica. Se dice que un cable de seda de araña del grosor de un lápiz
podría detener a un Boeing 747 en pleno vuelo. A la vez, la singular estructura molecular
de las fibras de seda permite que puedan estirarse hasta el 40% adicional de su tamaño
inicial sin romperse. Todo ello en un material de origen natural, biodegradable e inocuo.
No es sorprendente que el hombre haya intentado, desde hace décadas, usar este
singular material para sus fines tecnológicos, intentos que resultaron infructuosos hasta
hace muy poco. El equivalente artificial más parecido, el Kevlar, la fibra sintética de la que
se fabrican los chalecos anti-balas, es tres veces menos resistente y de mucha menor
elasticidad que la seda de araña, tiene un elevado coste de producción y su fabricación
implica el uso de altas presiones y temperaturas, así como disolventes orgánicos ácidos,
altamente contaminantes [28.
Adicionalmente se puede también justificar el estudio de hilos de araña como modelo de
un nuevo material superresistente, explicada mediante el siguiente ejemplo: “En 1988, el
avión del vuelo 104 de Pan Am explosionó en el aire cuando volaba sobre Lockerbie
(Escocia) debido a una bomba alojada dentro de una maleta. Los 270 pasajeros
probablemente estarían vivos si el compartimento de equipajes hubiera estado protegido
con fibras que tuvieran las características de los hilos de las arañas” [28.
A pesar de que los hilos de seda de las arañas son, posiblemente, las fibras naturales de
más altas prestaciones mecánicas conocidas, el propósito de su estudio no es “copiarlos
directamente sino inspirarse en ellos para el diseño de nuevos materiales, porque hay que
tener en cuenta que los objetivos de la naturaleza no tienen por qué coincidir con los
nuestros” [28.
6
La materia prima inicial que las arañas usan para el tejido de la tela es una solución
líquido-cristalina que contiene proteínas, y que fluye fácilmente por los tubos (hilanderas)
presentes en el abdomen de la araña. La solución contiene 50% de proteína,
concentraciones que normalmente causan una altísima viscosidad, haciendo que el
proceso de tejer la tela en el laboratorio no sea viable. Sin embargo, las arañas pueden
resolver este problema manteniendo las proteínas en una conformación complicada
mientras están tejiendo, y solo después de eso las proteínas dejan esa conformación
complicada, estirándose y arreglándose para producir la elasticidad final del hilo, [38.
La justificación del estudio de la seda de araña como modelo de un nuevo material
resistente se debe a sus excelentes propiedades mecánicas y a las condiciones en las
que se fabrican; esto es, a temperatura ambiente, con materiales naturales y en solución
acuosa. Por el contrario, muchas fibras artificiales requieren para su fabricación altas
temperaturas, materiales costosos y disolventes muy agresivos.
Pese a las diversas investigaciones sobre la seda de araña, todavía no se ha conseguido
desarrollar una técnica que garantice la producción rentable de un material con
propiedades análogas que tendría diversos campos de aplicación. Los experimentos van
desde la resonancia magnética nuclear, espectroscopia Rahman y otros para caracterizar
el comportamiento molecular de esta seda, así como ensayos de Creep, identificación
reológica, ensayos térmicos y otros con la finalidad de caracterizar el comportamiento
mecánico de la mencionada fibra.
Tomando en cuenta que la tela de araña es una estructura bidimensional, que tiene la
finalidad de atrapar las presas, entonces desde el punto de vista estructural (la fibra como
un medio continuo) será importante poder conocer sus propiedades mecánicas de
resistencia, tenacidad así como su elasticidad, por lo tanto es de esperar que la gran
mayoría de investigaciones realizadas para determinar dichas propiedades, se centren
fundamentalmente en experimentaciones del tipo cuasi estático (con una velocidad de
ensayo muy pequeña), siendo el ensayo de tracción el más utilizado.
Sin embargo si vemos a la estructura de la tela de araña como un sistema dinámico, pues
su función principal es absorber la energía cinética proveniente de las presas y convertirla
en energía de deformación y sobre todo en energía de disipación, entonces los ensayos
7
estáticos no son suficientes para determinar los parámetros dinámicos, como la capacidad
de amortiguamiento, frecuencia natural de dicha estructura así como las propiedades
viscoelásticas del material. Por lo tanto se tiene que recurrir a ensayos de tipo dinámico.
Uno de de los ensayos más utilizados es el análisis DMTA (Análisis Térmico
Dinamomecánico), pues con este ensayo es posible caracterizar el módulo de elasticidad
compleja o módulo dinámico de materiales compuestos. Para la realización de estos
ensayos se requiere de un equipo especial cuyo costo solo se justifica si hay una línea de
trabajo centrada en la investigación y desarrollo de materiales compuestos.
Otra manera de caracterizar las propiedades dinámicas de sistemas es haciendo uso de
las técnicas de vibraciones. En la presente investigación se ha recurrido a ensayos de
vibraciones libres; estas técnicas han permitido caracterizar los parámetros dinámicos de
la estructura fabricada de seda de araña y por ende de la seda misma.
Existen dos razones por las cuales se escogió como material de estudio a la araña
Argiope argentata; la primera, porque teje una tela del tipo orbicular, constituida por una
estructura bidimensional que presenta las mejores propiedades de flexibilidad, resistencia
y tenacidad. La segunda, por ser una especie que tiene como hábitat la Reserva de
Pantanos de Villa y algunos parques y jardines de la ciudad de Lima, Perú; lo que facilita
hacer un seguimiento a las condiciones en que vive.
El enfoque del estudio se realiza desde una perspectiva analítico-experimental; es decir,
paralelamente al desarrollo del modelo conceptual se han realizado ensayos de
vibraciones libres a la estructura hecha de seda de araña producida por la araña Argiope
argentata, para luego realizar las contrastaciones del caso y hacer un ajuste al modelo
conceptual.
La presente tesis doctoral se desarrolla dentro del convenio de doctorado conjunto entre
la Universidad Politécnica de Madrid y la Pontificia Universidad Católica del Perú, por lo
tanto se abren las posibilidades de que alumnos de la UPM y la PUCP puedan realizar
sus proyectos de fin de carrera en algunos temas puntuales del tema de tesis doctoral. Se
podría pensar en formas adecuadas de colaboración conjunta entre las dos universidades
y de esa manera poder aprovechar en forma óptima los recursos de ambas.
8
Finalmente, se debe mencionar que las investigaciones que se realicen en este campo
generarán las posibilidades de realizar publicaciones en diferentes revistas, así como la
presentación de los trabajos en diversos congresos, con lo cual se pretende hacer una
contribución a la comunidad científica en estos temas.
1.3 CONTENIDO DE LA TESIS
El contenido de la monografía tiene una estructuración sistemática, donde cada capítulo
está desarrollado acorde a los planteamientos y planificación de la investigación
propuesta.
Se inicia con el capítulo 2, donde se presentan los antecedentes a esta investigación.
En primera instancia se presentan las características de las arañas, se describe la
anatomía de las arañas, se identifican las glándulas que producen las seda para la
construcción de la tela de araña. Se detallan los diferentes tipos de caza que las arañas
practican para capturar sus presas, siendo la tela de araña orbicular una de estas técnicas
de caza utilizada por la especie Argiope. Se revela la importancia de la seda en la vida de
las arañas, donde toda actividad que realiza la araña tiene que ver de alguna manera con
este elemento. Una de las funciones principales que tiene la seda segregada por la
glándula Ampulada Mayor MA (denominada también como Drag-Line), es la de dar
seguridad a la araña al momento de desplazarse, ya que la araña segrega dicho hilo de
una manera óptima, pues cuando se desprende libremente (bajo la acción de sus propio
peso), tiene una seguridad del 50%. También se estudia el comportamiento molecular de
la seda así como su composición que es fundamentalmente una proteína (fibroina).
Se realiza también una revisión sobre los tipos de hilos que son utilizados en la
construcción de la tela de araña, siendo la seda MA (fundamentalmente hecha para el
funcionamiento de la estructura) y la víscida (responsable para atrapar las presas) las que
se utilizan. Se presentan las propiedades mecánicas y funciones de los diferentes tipos de
seda que una araña puede segregar. Una de las funciones principales de la tela de araña
orbicular es la de absorber energía, a través de una propiedad de histéresis de la seda,
9
revelando que la seda MA tiene un comportamiento viscoelástico, por ser el amortiguador
el responsable para la disipación de energía. Se plantean métodos energéticos para la
determinación de la capacidad de amortiguamiento equivalente de la seda.
El capítulo 3 está dedicado al planteamiento de la tesis; se hace una introducción sobre la
tela de araña. Investigaciones sobre el estudio de la tela de araña describen a esta
estructura como una clase especial de sistemas pretensados, llamados Tensegrity
Structures (estructuras equitensionales)[30], lo cual supone una combinación única entre
la geometría y las propiedades mecánicas, generando estructuras altamente eficientes
gracias a una distribución óptima de la masa estructural. El entendimiento de estas
estructuras nos da la capacidad de diseñar estructuras ultraligeras.
Se hace un planteamiento sobre las posibilidades de desarrollar modelos conceptuales
que puedan describir en forma aproximada el comportamiento del sistema de una tela de
araña; como primera opción se tiene a un sistema compuesto por una cuerda equivalente
pretensada con una masa puntual. Este modelo representa un sistema vibratorio de un
grado de libertad, y para este modelo se predice que su frecuencia fundamental depende
únicamente de las magnitudes estáticas que conforman el sistema. Como este modelo no
considera la capacidad de amortiguamiento se recurre a un modelo ampliado de un
sistema vibratorio amortiguado de un grado de libertad. Se plantea hacer uso de las
técnicas de vibraciones libres o forzadas con la finalidad de determinar los parámetros
dinámicos de la estructura hecha de seda MA.
La justificación y viabilidad del tema de tesis, se basa en que existen los recursos
humanos y de infraestructura en la Pontificia Universidad Católica del Perú, para poder
realizar la investigación planteada, así como el desempeño académico y profesional del
doctorante dentro del campo de las vibraciones.
Se presenta el objetivo general, así como los específicos, siendo la determinación de las
propiedades dinámicas de la estructura hecha de seda MA y por consiguiente también de
la seda que la constituye, el objetivo general de esta investigación. Para su desarrollo se
plantea y planifica un método de trabajo. Se propone un esquema inicial sobre la
disposición de los ensayos experimentales, indicando el material, equipos e instrumentos
que serán necesarios para la realización de los ensayos experimentales.
10
El capítulo 4 está dedicado al planteamiento del modelo conceptual. En la presente
investigación se propone desarrollar un modelo conceptual de la estructura construida con
seda MA. Un reto que el investigador tiene que afrontar es la variabilidad de las
propiedades de la seda de una misma araña en condiciones similares, pues esto supone
una ventaja adaptiva, permitiendo adecuar las propiedades de la seda a las condiciones y
necesidades especificas. Para el investigador esto significa una dificultad; sin embargo
investigaciones sobre este tema han llegado a la conclusión de que si se recolecta el hilo
de seda que la araña segrega cuanto trepa libremente presenta propiedades similares, y
por lo tanto este será el hilo que se utilice para construir la estructura de seda MA.
La estructura construida con los hilos de seda MA, consta de dos hilos de seda
pretensados que se interceptan perpendicularmente, en cuya intersección se coloca una
masa puntual. Los hilos de seda fueron conceptualizados como elementos visco elásticos,
representados por el modelo reológico de Kelvin-Voigt. Como el modelo de Kelvin-Voigt
tiene un elemento responsable para la disipación, se realiza un análisis minucioso sobre
los tipos de amortiguamiento que están presentes en el modelo a ensayar y su respectiva
influencia en el comportamiento dinámico del sistema.
Utilizando la segunda Ley de Newton se determina la ecuación diferencial de movimiento
que describe el comportamiento dinámico del modelo planteado para estudiar la
estructura hecha de seda MA. Al incluir la participación de la fuerza restitutiva intrínseca
de la seda, la ecuación diferencial anterior se convierte en una ecuación del tipo no lineal
geométrico. Por lo mencionado anteriormente se hace un breve estudio de las vibraciones
no lineales, las cuales se caracterizan por variación de la frecuencia propia con la
amplitud.
El método de la perturbación es el que se plantea para la solución de la ecuación
diferencial no lineal que describe el comportamiento de la estructura.
El capítulo 5 está dedicado a los ensayos experimentales que se realizaron sobre la
estructura construida con el hilo de seguridad; la obtención de la seda MA se realizó
durante la segregación de la seda, que la araña efectúa mientras trepa libremente (hilo de
seguridad); para la determinación de su propiedades geométricas se utilizó el Microscopio
11
Electrónico de Barrido (SEM). Se ejecutaron los ensayos de tracción, determinando de
dichos experimentos las propiedades estáticas, tales como el rango elástico que se
encuentra entre el 0%-2% de deformación, siendo la fuerza límite de 0,016 N.
Utilizando la técnica de las vibraciones se realizaron los ensayos dinámicos a la estructura
hecha de seda MA. Los ensayos se efectuaron primeramente en condiciones
ambientales, y para la obtención de los datos se utilizó un velocímetro láser y un sistema
multianalizador de señales. De los resultados se puede notar la fuerte influencia del aire
como elemento amortiguador; pero como el propósito es caracterizar las propiedades de
amortiguamiento de la seda fue necesario realizar las mismas pruebas de vibraciones
libres en condiciones de vacío, las cuales se ejecutaron en una cámara de vacío. De igual
forma que en los ensayos en condiciones ambientales se obtuvieron las gráficas de
vibraciones, así como la evolución de la frecuencia en el tiempo, mostrada en los
diagramas de cascada y de intensidad de auto espectro.
Una primera observación sobre los resultados obtenidos de los ensayos obtenidos en las
dos condiciones antes mencionadas, es el hecho de que el tiempo que el sistema
necesita para retornar a su posición de equilibrio está en una relación aproximada
entre 41 a 51 , entre las realizadas en condiciones ambientales y las obtenidas en
condiciones de vacío.
Esta información nos da una idea de cómo la araña instintivamente construye su tela de
araña, recurriendo al amortiguamiento del aire para su buen funcionamiento.
En el capítulo 6 se presenta la validación del modelo así como el ajuste de los resultados
al modelo propuesto. Se inicia con la solución de la ecuación diferencial no lineal, y para
ello se recurre a métodos numéricos. El método de Runga- Kutta de 4to grado para
sistemas fue el que se utilizó en esta investigación.
Como datos iníciales para la solución de la ecuación diferencial es necesario ingresar los
parámetros mecánicos y geométricos que conforman la estructura hecha de seda MA. De
todos ellos el único parámetro desconocido es el coeficiente de amortiguamiento
intrínseco de la estructura, y para ello se trabajó con valores de coeficiente de
12
amortiguamiento C que varían en un rango de 0,0003 – 0,00045 ][m
Ns, puesto que el valor
máximo representa el 10% del amortiguamiento crítico.
Comparando las soluciones obtenidas analíticamente con las experimentales se observa
que no hay una buena concordancia cuantitativa, pero que cualitativamente son muy
similares, además de que la solución analítica no retorna a su posición de equilibrio
estático; este comportamiento es coherente, pues transcurrida la etapa no lineal el
sistema (modelo conceptual) entra en la zona de vibraciones lineales sin amortiguamiento
quedando una vibración remanente que no se atenúa. Tomando en cuenta que en la parte
experimental además del amortiguamiento intrínseco de la seda también están presentes
los amortiguamientos de las junturas y las del aire producto del bajo vacío, se introdujo un
término disipativo que está representado por un coeficiente de amortiguamiento global
equivalente C1. El valor de este amortiguamiento es bastante pequeño, no llegando a ser
ni el 1% del amortiguamiento intrínseco de la seda, pero es importante porque esta
magnitud es la que hace retornar al sistema a su posición de equilibrio estático. La
inclusión de este término mejora sustancialmente la solución, existiendo una muy buena
convergencia tanto cuantitativa como cualitativa entre los resultados obtenidos tanto
experimentalmente como analíticamente. Adicionalmente se comparan las soluciones de
la evolución de la frecuencia en el tiempo, encontrando errores menores al 4%, lo que
indica que el modelo conceptual planteado está representando correctamente a la
estructura hecha de seda MA.
Finalmente, en el capítulo 7 se plasman las conclusiones sobre el trabajo de investigación
realizado, haciendo comentarios generales sobre las posibles aplicaciones de la seda de
araña tanto en el campo tecnológico y como en ingeniería.
Se evalúa el comportamiento del modelo conceptual propuesto, haciendo un análisis
sobre la participación de los distintos tipos de amortiguamiento que están presentes en el
módulo de ensayo, notando claramente su influencia en el tiempo que al sistema le toma
retornar a su posición de equilibrio. Queda notoriamente identificada la gran influencia del
amortiguamiento del aire.
13
La evaluación de las frecuencias naturales, entre los valores analíticos y experimentales,
muestra resultados satisfactorios. El coeficiente de amortiguamiento intrínseco de la
estructura hecha de seda MA es bastante pequeño, lo que significa que la seda misma
tiene un cierto grado de viscosidad que será la responsable de disipar energía en forma
de calor.
Otra de las conclusiones son los rangos de trabajo (no lineal y lineal) que se presentaron
en los ensayos experimentales y analíticos. Sin embargo el rango no lineal es de muy
corta duración, pero importante para la funcionalidad de la tela de araña, pues
sustancialmente está hecha para trabajar bajo cargas impulsivas, las que también
presentan tiempos cortos de acción.
Estudios sobre estructuras hechas de seda MA en condiciones ambientales revelan que
una vez impactada la estructura, el 99% de la energía total se disipa en los tres primeros
ciclos.
Se hace énfasis en la posibilidad de utilizar técnicas de vibraciones como herramienta útil
y “sencilla” para caracterizar los parámetros de sistemas dinámicos.
Finalmente se proponen algunas líneas de investigación futura, como por ejemplo realizar
estudios de un sistema formado por la tela de araña y araña sometida a condiciones de
resonancia, hacer simulaciones computacionales, y estudios aerodinámicos entre otros.
14
15
2. ANTECEDENTES
2.1 CARACTERÍSTICAS DE LAS ARAÑAS
La araña es un artrópodo de la clase Arachnida, del orden Araneae. Hasta la fecha se
han estudiado unas 35 000 especies [23]. Se alimenta de presas vivas, principalmente
de moscas y mosquitos que atrapa con su telaraña (Fig. 2.1).
Fig.2.1 Presas almacenadas en la telaraña [13]
El cuerpo de las arañas está recubierto de un exoesqueleto de quitina, cuya función
primordial es servirle de coraza protectora contra las agresiones del medio ambiente.
Está dividida en dos partes, unidas por un pedúnculo: la sección anterior, llamada
cefalotórax o prosoma; y la posterior, conocida como abdomen u opistosoma
(Fig. 2.2).
Fig.2.2 Anatomía de la araña [54]
16
En la región del cefalotórax las arañas presentan seis pares de apéndices articulados:
un par de quelíceros, un par de pedipalpos (figura 2.3) y cuatro pares de patas.
Fig.2.3 Quelíceros y pedipalpos de la araña [48]
Los quelíceros son la principal herramienta ofensiva y defensiva. Con éstos la araña
inyecta a sus presas el veneno, procedente de las glándulas ubicadas en el
cefalotórax. Este veneno, que contiene proteínas, aminas y polipéptidos, afecta el
sistema nervioso de las víctimas, causándoles la parálisis inmediata.
Los pedipalpos, ubicados en la parte delantera del cuerpo, son semejantes a las patas;
aunque no se apoyan en el suelo. Sirven para sostener y manipular las presas.
Los cuatro pares de patas son utilizados para la función locomotora, y están
constituidas por ocho piezas o artejos (Fig. 2.4).
Fig.2.4 Artejos de la pata de la araña [3]
17
Por último, en el extremo posterior del abdomen, en las cercanías del ano, se hallan
las hileras; que constituyen la terminación de las glándulas sericígenas o productoras
de seda. Estos apéndices secretan una sustancia de consistencia viscosa, que emitida
al exterior se solidifica en hilos de seda (Fig. 2.5).
Fig.2.5 Detalle de la secreción de la seda [13]
Las arañas tienen dos estrategias principales de caza: caza libre y caza con redes.
Las arañas que cazan libremente (Fig. 2.6) esperan a su presa en una posición casi
inmóvil hasta que esta se aproxima lo suficiente y la captura con un movimiento muy
rápido. Ellas son sumamente agresivas y las presas que esquivan son perseguidas
rápidamente y dominadas mediante un salto. Sin embargo, solamente pueden cazar
presas que son más pequeñas que ellas. Las presas más grandes son mordidas en
algún lugar de los miembros. Luego la araña se retira a un lugar seguro y espera hasta
que el veneno haya paralizado la presa.
Fig. 2.6 Estrategias de caza libre [55]
18
La mayor parte de especies de arañas tejen telas para capturar a sus presas,
existiendo varios tipos de éstas. Teniendo en cuenta la configuración de su estructura,
las telarañas son de tres tipos: irregulares, bidimensionales y tridimensionales. Las
irregulares, al igual que las tridimensionales, se diferencian de las bidimensionales
(orbiculares y triangulares) por carecer de un patrón de construcción establecido (Fig.
2.7.a,b).
Fig.2.7a Tela de araña orbicular 54
Fig. 2.7b Tela de araña tridimensional tipo embudo 55
19
La telaraña del tipo orbicular está compuesta básicamente por una zona central (lugar
donde permanece la araña hasta que caiga la presa), radios, marco y una espiral
viscosa (Fig. 2.8).
Fig. 2.8 Partes de una telaraña orbicular [38]
2.2 LA SEDA DE ARAÑA
2.2.1 GENERALIDADES
Los hilos de seda han llegado a ser indispensables e insustituibles en la vida de las
arañas; en efecto, no hay actividad que lleven a cabo dentro del curso normal de su
existencia que no esté ligada en alguna forma a estos elementos.
La producción de la seda de araña ha estado marcada históricamente por los intentos
infructuosos de crear granjas de estos animales, debido al comportamiento territorial y
canibalístico de las arañas, se hace imposible domesticarlas en gran escala y de esta
manera obtener la seda para uso industrial. Razón por la cual, desde hace décadas,
se vienen estudiando sus diversas propiedades con la esperanza de sintetizar un
material con propiedades similares que pueda ser utilizado en las distintas áreas
tecnológicas y científicas.
20
Hasta el momento se han identificado siete tipos de glándulas. A pesar de que los
diversos tipos de glándulas producen diferentes tipos de seda, todas las telarañas son
estructuras proteicas altamente especializadas, y son el resultado del proceso
evolutivo de las especies que las producen.
2.2.2 UTILIZACIÓN DE LA SEDA
Las sedas se producen en las glándulas e hileras especializadas que fabrican hilos
distintos según las necesidades estructurales y la función que cumplirán.
Según la especie, la araña utiliza su seda de diversas formas:
a) Como hilo de rastreo y de seguridad
Al desplazarse a través del suelo, la araña va dejando, detrás de sí, un hilo de
seguridad o de rastreo, que le permite sostenerse cuando cae voluntariamente o por
algún motivo imprevisto, y también lo usa para encontrar el camino de regreso hacia
su refugio (Fig. 2.9).
Fig. 2.9 Araña suspendida de su hilo de seguridad [23]
b) Como medio de flotación en el aire
Las arañas - y especialmente las pequeñas - arrojan al viento desde un lugar elevado,
un conjunto de finos hilos de seda, que van extendiéndose a través del aire hasta
21
conseguir una longitud considerable, permitiéndoles de esta manera abarcar grandes
distancias mecidas por las ráfagas del viento (Fig. 2.10).
Fig. 2.10 Araña con sus hilos de seda flotante [23]
c) Como red para depositar su esperma
El macho teje una menuda red plana, de consistencia relativamente compacta, donde
deposita una gota de esperma procedente de su orificio genital. De inmediato,
mediante movimientos continuos, carga ambos pedipalpos de esperma y se dirige, con
éstos en alto, en busca de la hembra para fecundarla.
d) Como material para fabricar su ooteca
La hembra teje un capullo (ooteca) donde deposita los huevos durante la ovoposición,
dentro de éstos los huevos quedan resguardados de los cambios de temperatura y las
inclemencias del clima (Fig. 2.11).
Fig. 2.11 Ootecas de arañas [23]
22
e) Como material para construir o tapizar sus refugios
La araña fabrica un resguardo que le sirve de refugio y desde el cual acecha a sus
posibles presas; a las que captura, alertada por las vibraciones que éstas producen al
aproximarse. Los refugios sirven también para que las arañas pongan y resguarden
allí sus ootecas.
f) Como material para envolver a sus presas
La araña, después de inyectar el veneno a su presa, procede a envolverla ágilmente
con dos propósitos: inmovilizar a su víctima y facilitar su digestión.
g) Como red para capturar a sus presas
La araña teje su red; como un sistema estructural que tiene la función de capturar sus
víctimas.
2.2.3 TIPOS DE GLÁNDULAS PRODUCTORAS DE SEDA
Como se ha mencionado anteriormente las arañas presentan hasta siete tipos de
glándulas (Fig. 2.12). Cabe mencionar que cada araña posee sólo algunas glándulas,
nunca las siete simultáneamente.
Fig. 2.12 Glándulas para la producción de sedas [59]
23
La tabla 2.1 muestra la función de cada una de las siete sedas y la respectiva glándula
que la produce.
Tabla 2.1
Glándulas Productoras y Funciones de la Seda [59]
GLÁNDULA FUNCIÓN
Ampulada (Mayor y Menor) Producen la seda sobre la cual camina la araña
y es utilizada también como hilo de seguridad.
Flageliforme Produce el hilo eje de la seda víscida.
Agregada Produce el material adherente.
Piriforme Produce la seda de conexión.
Aciniforme Produce la seda para encapsular a la presa.
Cilíndricas Produce la seda para las ooteca.
2.2.4 ARQUITECTURA MOLECULAR DE LA SEDA
La telaraña es construida con una seda compuesta de una proteína de peso molecular
de 30,000 Daltons mientras está dentro de la glándula. Fuera de la glándula ésta se
polimeriza para dar origen a la fibroína (Fig. 2.13), que tiene un peso molecular de
300,000 Daltons y que está compuesta principalmente por Glicina (42%) y Alanina
(25%), además de otros aminoácidos como Arginina, Glutamina, Leucina, Prolina,
Serina, Tirosina y Valina [13].
Fig. 2.13 Estructura de la fibroína [13]
24
Como se mencionó, las arañas producen hasta siete tipos de seda, con la finalidad de
que estas sedas cumplan su función específica y se ajusten a las propiedades
mecánicas de la telaraña. La araña controla con precisión la secuencia de los
aminoácidos de las proteínas que componen cada una de estas sedas [59].
La materia prima utilizada para tejer la tela es una solución líquido-cristalina que
contiene proteínas y que fluye fácilmente por los tubos presentes en el abdomen de la
araña. La solución contiene 50% de proteína; concentraciones que normalmente
causan una altísima viscosidad, haciendo que el proceso de tejer la tela en el
laboratorio no sea viable. Sin embargo, las arañas pueden resolver este problema
manteniendo las proteínas en una conformación complicada mientras están tejiendo, y
solo después de tejer las proteínas dejan esa disposición, estirándose y arreglándose
para producir la elasticidad final del hilo. En las figuras 2.14a y 2.14b se puede
visualizar dicho proceso [38] .
Fig. 2.14 a Fibras en las hilanderas Fig. 2.14b Hilo de arrastre 26
El proceso de polimerización - al salir por la hilera la solución de proteínas - es
prácticamente instantáneo, y en él intervienen simultáneamente fenómenos físicos y
químicos.
La evaporación del agua de disolución aumenta la concentración, favoreciendo la
polimerización, pero la salida del fluido viscoso por la hilera produce el efecto de
estirado y ordenación de las cadenas orgánicas que también facilita una
polimerización adecuadamente ordenada.
25
La eficacia de esta polimerización instantánea queda ilustrada gráficamente en la Fig.
2.9, observando que la araña puede utilizar para su sostén en descenso vertical un
hilo recién fabricado. La sección y resistencia del hilo así construido es aparentemente
decidida por la araña en función de su propio peso, estableciendo un coeficiente de
seguridad de 1,5 para la tensión admisible [63].
2.2.5 TIPOS DE SEDA UTILIZADOS EN LA CONSTRUCCIÓN DE LA TELARAÑA
Los dos tipos de seda utilizados para la construcción de la tela orbicular, se muestran
en la Fig. 2.15. Los hilos víscidos, segregados por la glándula Flageliforme, que
rellenan la tela en forma de espiral, y cuya característica adhesiva es producto del
recubrimiento adherente procedente de la glándula Agregada [28]. Los hilos MA,
producidos por la glándula del mismo nombre MA (MA: Mayor Ampullate), que
constituyen los radios, los vientos, el marco y los hilos de amarre; es el mismo hilo de
seguridad que la araña segrega durante sus desplazamientos para evitar caídas.
Fig. 2.15 Tela de Araña Orbicular [28]
No solo las características del material del que está construido cada hilo, sino también
su grosor, son controladas por la araña durante la construcción de la tela.
26
2.3 PROPIEDADES MECÁNICAS Y FUNCIONES DE LA SEDA
DE ARAÑA
2.3.1 GENERALIDADES
Todos hemos visto recorrer a la araña sobre su tela para capturar a la presa que ha
caído atrapada en ésta; sin embargo, no solemos percatarnos de que la efectividad de
este mecanismo de captura encierra - en su aparente simpleza - un verdadero prodigio
de la naturaleza, que las arañas han venido perfeccionando a lo largo de su proceso
evolutivo.
La seda de araña encierra una variedad de propiedades físicas, químicas, biológicas
entre otras, las cuales al ser investigadas nos revelan una serie de informaciones
interesantes que nos permiten entender cómo con estas propiedades la araña
construye una red, que constituye una fuente de inspiración para estudiosos de las
diversas aéreas de las ciencias e ingeniería.
Las arañas, como se mencionó en el subcapítulo anterior, presentan siete tipos de
glándulas hilanderas especializadas, cada una de las cuales sintetiza una mezcla
única de polímeros acorde a las necesidades estructurales requeridas.
Desafortunadamente, el conocimiento sobre las características funcionales de las siete
glándulas es muy limitado, a excepción de las fibras MA, y en cierto grado de la seda
víscida en las cuales se han centrado los diversos estudios realizados desde los años
40 del siglo pasado, [45].
2.3.2 DESCRIPCIÓN CUALITATIVA DE LAS PROPIEDADES MECÁNICAS DE LA
SEDA MA Y DE LA SEDA VISCOSA
Las curvas características (esfuerzo-deformación) que se muestran en la Fig. 2.16,
han sido obtenidas de los ensayos de tracción realizadas a la seda MA y a la seda
viscosa de la araña Araneus diadematus. En el eje de las ordenadas de dichas curvas
se representa el esfuerzo ( ), determinado por la relación AF , en la que F es
la fuerza y A es el área de la sección transversal inicial de la fibra. En el eje de las
abscisas se registra la deformación ( ), definido como 0LL , donde L es el
cambio de longitud de la fibra y L0 es la longitud inicial.
27
Fig. 2.16 Curvas de esfuerzo-deformación de la seda MA (línea roja) y de la seda viscosa
(línea azul) de la araña Araneus diadematus. iniE , rigidez inicial [22]
La tangente a la curva esfuerzo-deformación nos proporciona la rigidez (módulo de
elasticidad) del material, los valores máximos de esfuerzo y deformación de dicha
curva (punto donde el material falla en las pruebas de tracción), que permiten conocer
los valores de esfuerzo máximo de rotura ( max ) y máxima deformación ( max ),
respectivamente. El área debajo de la curva esfuerzo-deformación representa la
energía requerida para la rotura del material y es utilizada para cuantificar su
tenacidad.
La tabla 2.2 muestra los valores del módulo de elasticidad, esfuerzo, deformación,
tenacidad e histéresis de la seda MA y la seda viscosa; comparándolos con algunos
biomateriales y materiales artificiales seleccionados.
28
Tabla 2.2
Propiedades Mecánicas de las Sedas de Araña y otros Materiales 22
Material Rigidez
iniE (GPa)
Esfuerzo
max (GPa)
Deformación
max
Tenacidad
(MJ/m3)
Histéresis
(%)
Seda MA de la Araneus 10 1,1 0,27 160 65
Seda viscosa de la Araneus 0,003 0,5 2,7 150 65
Seda del capullo del B. mori 7 0,6 0,18 70 -
Tendón de colágeno 1,5 0,15 0,12 7,5 7
Hueso 20 0,16 0,03 4 -
Lana 100% de RH 0,5 0,2 0,5 60 -
Elastina 0,001 0,002 1,5 2 10
Resilina 0,002 0,003 1,9 4 6
Caucho sintético 0,001 0,05 8,5 100 -
Fibra de nylon 5 0,95 0,18 80 -
Fibra de kevlar 49 130 3,6 0,027 50 -
Fibra de carbono 300 4 0,013 25 -
Acero de alta resistencia a
la tracción 200 1,5 0,008 6 -
En la tabla 2.2. se puede observar que el módulo de elasticidad ( iniE ) de la seda MA
es mucho mayor que el de los biomateriales poliméricos y mucho menor que el de los
materiales artificiales. Sin embargo, el esfuerzo de rotura ( max ) de dicha seda es
claramente superior al resto de biomateriales. Todo ello indica que la rigidez y el
esfuerzo de rotura podrían ser características importantes sobre el funcionamiento
mecánico de dicho material.
La lista de biomateriales de la tabla 2.2 es incompleta pero es importante resaltar que
la seda MA está entre los biomateriales poliméricos de mayor rigidez y resistencia que
se conocen. Se nota - no obstante - que la rigidez de la seda MA es mucho menor que
la del kevlar, que la fibra de carbono y que la del acero de alta resistencia; materiales
comúnmente utilizados en ingeniería para solicitaciones a tensión. También se puede
observar que el esfuerzo de rotura es algo menor que el de estos materiales. A
primera vista, se puede interpretar lo siguiente: que la seda MA es superior a algunos
biomateriales - tal como el colágeno - pero no es “tan buena” como el kevlar y las
fibras de carbono. Esta interpretación se basa en la suposición de que los materiales
rígidos y resistentes son “mejores” [22].
29
Mirando la tabla 2.2 más al detalle se observa que la seda MA es absolutamente
extensible, que falla a una deformación máxima de aproximadamente 0,27 (es decir,
27% de alargamiento); mientras que los materiales de ingeniería fallan a
deformaciones del orden de 0,01 - 0,03 (1% - 3%). La gran extensibilidad de la seda
MA; a pesar de un esfuerzo algo inferior, hace que ésta sea más tenaz que los
materiales de ingeniería. De hecho, con una energía a la fractura por unidad de
volumen (tenacidad) de 160 MJ/m3, la seda MA es 3 a 25 veces más tenaz que sus
contrapartes de ingeniería. Esto sugiere que la absorción de energía y la tenacidad
podrían ser características cruciales que nos conduzcan a una comprensión de esta
seda [13]. En la Fig. 2.17 se puede observar la energía de absorción de algunos
materiales.
Fig. 2.17 Energía de absorción U de algunos materiales [63]
La seda viscosa presenta un contraste interesante en sus mismas características, pero
a pesar de ello es un material de una tenacidad excepcional. Su rigidez inicial, de
0,003 GPa, es comparable con la del caucho ligeramente reticulado. De hecho, la
seda viscosa es la más parecida a la goma. Con una extensión máxima de
aproximadamente 2,7 (270% de elongación), esta seda no es excepcionalmente
30
elástica comparada con otros materiales semejantes a la goma, pero con una tensión
de 0,5 GPa, hace que ésta sea 10 veces mas fuerte que cualquier otro caucho natural
o sintético. En este contexto, la seda viscosa es un material verdaderamente notable, y
la combinación de una alta resistencia y extensibilidad le da una tenacidad
virtualmente idéntica a la de la seda MA [22]. Estas propiedades son producidas por
una de las hilanderas de la araña, contribuyendo a la tela de araña como un elemento
estructural, pero sobre todo indispensable para la captura de las presas.
2.3.3 FUNCIONES DE LA SEDA MA Y DE LA SEDA VISCOSA
Para entender las características que posee la telaraña ante el impacto de una presa,
se empezará por dividir los materiales de nuestra vida cotidiana en dos grandes
grupos: en primer lugar, se encuentran los materiales de consistencia frágil, capaces
de soportar cargas elevadas pero que deforman su longitud inicial en un pequeño
porcentaje antes de romperse. Por otro lado, existen los materiales dúctiles que no
soportan cargas tan altas, pero que son capaces de aumentar su longitud incluso
varias veces antes de su ruptura.
Teniendo en cuenta la división descrita, cabe la pregunta ¿A cuál de los grupos
anteriores pertenece un material que puede retener objetos en movimiento?; o, en
otras palabras, ¿cuáles son las características que debe poseer el material para
realizar esta función? Retener un objeto en movimiento supone convertir la energía
cinética de este mismo objeto en otro tipo de energía, y disiparla posteriormente [28].
En el caso de la telaraña, la energía cinética de la presa que impacta en la tela
produce la deformación de sus hilos (Fig. 2.18), y por tanto se convierte en energía
elástica.
La energía de deformación de una fibra se obtiene de multiplicar la fuerza aplicada por
la deformación que sufre, y viene regida por la siguiente expresión:
0
.dPW (2.1)
31
Fig. 2.18 Deformación de un hilo de araña [28]
Con esta definición es fácil ver que la energía empleada en deformar una fibra de la
telaraña corresponde al área situada debajo de la curva fuerza-deformación, que se
muestra de forma cualitativa en la Fig. 2.19.
Fig. 2.19 Curva fuerza - deformación de un hilo de araña [28]
Esto sugiere que para frenar objetos en movimiento es necesario disponer de
materiales que resistan cargas elevadas y grandes deformaciones, condiciones que no
cumplen simultáneamente ninguno de los grupos de materiales mencionados [28].
Otra característica importante que debe ser considerada para responder a la pregunta
formulada se refiere al modo en que esta energía es absorbida. La energía podría ser
almacenada por deformación elástica o ser disipada en forma de calor por fricción
32
molecular. Los experimentos de ciclos de carga y de descarga que se muestran en la
Fig. 2.20 indican que la histéresis (relación entre la energía disipada y la energía
absorbida) de la seda MA y de la seda viscosa, es de aproximadamente 65% (tabla
2.2). Es decir, el 65% de la energía absorbida es transformada en calor y no podrá
utilizarse para arrojar a la presa - por el efecto de retroceso elástico - fuera de la red
[22].
Fig. 2.20 Lazo de histéresis de una fibra de araña [22]
Lo dicho anteriormente sugiere que un material como la telaraña, que tiene como
función retener objetos en movimiento, debe poseer dos características: en primer
lugar, equilibrio entre el esfuerzo y la extensibilidad (que originaría gran tenacidad); y
en segundo lugar, un alto nivel de fricción molecular, que brindaría un alto grado de
histéresis. Ambas particularidades son propias de los materiales viscoelásticos y no se
presentan en los grupos de materiales citados (dúctiles y frágiles).
Un material viscoelástico se caracteriza por presentar tanto propiedades viscosas
como elásticas cuando se le deforma. La deformación en estos materiales no se
produce instantáneamente al aplicar el esfuerzo ni se recupera instantáneamente al
suprimirlo. La explicación de este fenómeno obedece a fricciones internas en el
material.
El análisis dinámico del sistema mecánico cuantifica el comportamiento elástico y
viscoso de los materiales. En estos ensayos; si un sólido viscoelástico es sometido a
una deformación que varíe sinusoidalmente, el esfuerzo que se produce también
oscilará de forma sinusoidal, aunque no estará en fase (como sería para un sólido
33
elástico ideal) ni en oposición de fase (cómo sería para líquidos perfectamente
viscosos) con la deformación (Fig. 2.21).
Fig. 2.21 Desfase entre el esfuerzo y la deformación [7]
En tal sentido, el esfuerzo en un material viscoelástico estará desfasado de la
deformación un ángulo (), que varía entre 0° y 90°, es decir: 0°< <90°. Este ángulo
de desfase o pérdida, dependerá de la cantidad de disipación interna que ocurre en el
material. Esto puede entenderse como un proceso de amortiguamiento que mide la
imperfección en la elasticidad, es decir, la reducción de la respuesta instantánea de un
material.
La relación vectorial entre las características dinámicas de los materiales es ilustrada
en la Fig. 2.22, la rigidez dinámica (E*) es determinada por el módulo de
almacenamiento (E′) y el módulo de pérdida (E′′).
Fig. 2.22 Relación vectorial de las características dinámicas [7]
La componente E’ se relaciona físicamente con la energía mecánica almacenada por
ciclo en la muestra cuando es sometida a una deformación, razón por la cual se le
conoce como módulo de almacenamiento; es la respuesta elástica y corresponde a la
34
energía totalmente recuperable. La componente E’’ es la respuesta viscosa, recibe el
nombre de módulo de pérdida y está relacionada con la energía disipada en forma de
calor por ciclo.
La relación entre el módulo de pérdida y el módulo de almacenamiento da como
resultado la tangente de pérdida (tanδ).
La tabla 2.3, muestra que la seda de araña presenta una tangente de pérdida de 0.1,
lo que significa que existe un desfase entre el esfuerzo y la deformación, detalle que
permite manifestar que la seda de araña presenta características viscoelásticas y por
consiguiente pueden ser descritas utilizando modelos conceptuales y analogías
mecánicas.
Tabla 2.3
Propiedades Dinámicas de la Seda de Araña y otros Materiales 7
Material
Módulo de
almacenamiento
(GPa)
Tangente de
pérdida
(tanδ)
Seda de araña 10 0,1
Hueso de humano 10 0,04
Lana 5,5 0,06
Madera 2,5 - 6,0 0,009 - 0,011
Policarbonato 2 - 3 0,008 - 0,013
Polipropileno 1 - 1,5 0,084 - 0,11
Caucho natural con negro
de humo 0,006 0,2
Elastina 0,002 0,2
2.3.4 MODELO VISCOELÁSTICO DE LA SEDA MA
La seda de araña, por presentar características tanto elásticas como viscosas puede
ser conceptualizada mediante analogías mecánicas compuestas por resortes y
amortiguadores.
35
El resorte, representa la parte elástica de la seda, es considerado como un sólido
elástico ideal que obedece a la ley de Hooke:
E (2.2)
El amortiguador, sistema cilindro-pistón que representa la parte viscosa de la seda, es
considerado como un líquido ideal o líquido Newtoniano:
(2.3)
La Fig. 2.23, muestra algunos modelos mecánicos que van desde un sólido elástico
ideal hasta un líquido ideal, los modelos intermedios son considerados como modelos
viscoelásticos, los mismos que dependen de la forma como estén conectados el
resorte y el amortiguador.
Fig. 2.23 Modelos mecánicos [14]
En la Fig. 2.23, el modelo viscoelástico de Kelvin-Voigt, a diferencia de los demás
modelos, supone que al descargar la seda MA ésta recupera su longitud inicial, y por
tanto que la carga a la que es sometida es menor o igual a su límite elástico.
La seda de araña, por presentar características viscoelásticas (Tabla 2.3) y por que las
solicitaciones de carga a las que será sometida tendrán valores menores o iguales a
su límite elástico, será modelado para este estudio en una primera aproximación para
la determinación de sus parámetros viscoelásticos, por el modelo de Kelvin-Voigt
36
Fig. 2.23; en este modelo el resorte y el amortiguador caracterizan respectivamente la
parte elástica y viscosa de la seda MA.
Fig. 2.24 Modelo de Kelvin-Voigt para la seda MA [14]
De la Fig. 2.24 se obtiene:
E (2.4)
Reemplazando ( ), ( ) y ( ) por las siguientes relaciones A
F ,
L
y
L
respectivamente en (2.4) se obtiene:
MASedadeEstructuraladeientoAmortiguam
MASedadeEstructuraladeRigidez
L
A
L
AEF
(2.5)
Realizando un cambio de variable L
AEK y
L
AC
, la expresión (2.5) se
transforma en:
CKF (2.6)
De la expresión (2.6) se deriva el modelo viscoelástico de Kelvin-Voigt para la
estructura hecha de seda MA (Fig.2.25), el cual será utilizado para caracterizar los
parámetros dinámicos así como las propiedades viscoelásticas de la estructura.
37
Fig. 2.25 Modelo de Kelvin-Voigt para la estructura hecha de seda MA [14]
Este modelo también tiene la particularidad de disipar energía, el responsable para
esta función en el modelo de la Fig.2.25 es el componente que corresponde al
amortiguador, por ello se realizará una breve descripción sobre el concepto de
amortiguamiento.
2.3.5 AMORTIGUAMIENTO
Se define el amortiguamiento como el fenómeno que disipa la energía mecánica de un
sistema dinámico, generalmente en forma de calor interno. El conocer el grado de
amortiguamiento en un sistema dinámico es importante para la utilización, análisis, y
pruebas del mismo. También es importante conocer el amortiguamiento de un sistema
para definir las condiciones dinámicas de funcionamiento del sistema (por ejemplo la
excitación dinámica máxima a la que el sistema puede estar sometido). Además, un
conocimiento del amortiguamiento podría ser útil para hacer modificaciones del diseño
en un sistema que ha fallado cuando se hacen las pruebas de funcionamiento.
2.3.5.1 Tipos de amortiguamiento
Existen muchas formas de disipación de energía mecánica en los sistemas mecánicos.
En un sistema mecánico hay varios tipos de amortiguamiento inherentes al sistema.
Existen tres mecanismos fundamentales de amortiguamiento, que son importantes en
el estudio de los sistemas mecánicos. Ellos son:
a. Amortiguamiento interno (del material)
b. Amortiguamiento estructural ( en uniones e interfaces)
c. Amortiguamiento producido por fluidos (mediante la interacción del fluido y la
estructura)
38
2.3.5.1.1 Amortiguamiento Interno
El amortiguamiento interno se origina por los defectos micro estructurales, como
fronteras de grano e impurezas, efectos termo elásticos causados por gradientes
locales de temperaturas como resultado de esfuerzos no uniformes, en vibraciones de
vigas; efectos de corrientes remolino en materiales ferro magnéticos; movimientos de
dislocación en metales; y movimientos de las cadenas poliméricas en polímeros. Sin
embargo, se pueden identificar dos tipos de amortiguamiento interno: amortiguamiento
visco-elástico y amortiguamiento histérico. La mayoría de los amortiguamientos
internos están asociados con un ciclo de histéresis. La relación de tensión () y
deformación () en la vibración continua de un punto presenta un ciclo de histéresis,
como se muestra en la figura 2.26.
Fig. 2.26 Ciclo de histéresis típico de un amortiguamiento mecánico [10]
El área del ciclo de histéresis representa la energía disipada por unidad de volumen
del material por ciclo de esfuerzo. Por lo tanto, se puede definir la capacidad de
amortiguamiento por unidad de volumen del material, mediante la siguiente expresión.
dd (2.7)
39
La expresión anterior implica que la fuerza de amortiguamiento necesariamente tiene
que depender de la velocidad relativa. Ahora se explica en forma muy breve el
amortiguamiento viscoso y el amortiguamiento histérico.
a) Amortiguamiento viscoso
Un amortiguamiento visco-elástico lineal puede ser representado mediante la siguiente
relación constitutiva:
dt
dEE
(2.8)
Dicha relación se conoce como el modelo Kelvin-Voigt. En la expresión anterior
E representa el módulo de elasticidad y E es un parámetro visco-elástico, se asume
que no depende del tiempo. Consecuentemente, la capacidad de amortiguamiento
para el modelo Kelvin-Voigt es:
dt
εdEdV (2.9)
Para un material que está sometido a excitaciones armónicas, la respuesta de régimen
es
t cosmax (2.10)
Sustituyendo la ecuación (2.10) en la ecuación (2.9) se obtiene
2maxεEωπdV
(2.11)
La expresión para Vd depende de la frecuencia de excitación.
b) Amortiguamiento histérico
Como hemos visto hasta el momento, el amortiguamiento visco-elástico de un material
depende de la frecuencia de excitación. Cabe resaltar que para muchos materiales se
ha observado que la fuerza de amortiguamiento no depende significativamente de la
frecuencia de excitación. Este tipo de amortiguamiento se conoce como
amortiguamiento histérico.
40
La capacidad de amortiguamiento por unidad de volumen ( hd ) de un amortiguamiento
histérico es por lo tanto independiente de la frecuencia de excitación y puede ser
representada por:
2maxJdh (2.12)
La ecuación anterior puede ser satisfecha si se tiene la siguiente relación constitutiva
td
εd
ω
EεEσ
~ (2.13)
Considerando un movimiento armónico con una frecuencia ω y con una deformación
del material dada como
tωjeεε 0 (2.14)
La ecuación (2.13) toma entonces la siguiente forma
εEjEσ )~
( (2.15)
La expresión anterior es una representación simplificada de la relación constitutiva
para un amortiguamiento histérico, el cual puede ser expresado utilizando un módulo
de elasticidad complejo, que tiene una parte real que constituye el módulo de
elasticidad lineal (elemento de almacenaje de energía) y una parte imaginaría que
corresponde al módulo de pérdida histérica (disipación de energía).
2.3.5.1.2 Amortiguamiento estructural
En el amortiguamiento estructural la energía de disipación es causada por la fricción,
resultado del movimiento relativo entre las componentes o el contacto intermitente de
las juntas de un sistema. El comportamiento de la energía de disipación depende de
los detalles de un sistema en particular. Consecuentemente, es extremadamente
dificultoso desarrollar un modelo analítico generalizado que describa
satisfactoriamente este tipo de amortiguamiento. La energía de disipación causada por
41
el rozamiento se representa usualmente mediante el modelo de fricción de Coulomb.
La energía de disipación causada por impacto, sin embargo, se determina a través del
coeficiente de restitución de los miembros que entran en contacto.
2.3.5.1.3 Amortiguamiento producido por fluidos
Considerando un componente mecánico moviéndose en un medio fluido: la dirección
relativa de movimiento a la coordenada y como se ve en la figura 2.27. La fuerza de
arrastre resultante por unidad de área proyectada al plano x-z se denomina df . Esta
resistencia es la causa de la disipación de energía de un amortiguamiento en un medio
fluido y se expresa como:
)sgn(2
1qρcf dd (2.16)
Fig.2.27 Amortiguamiento producido por fluidos [10]
42
2.3.5.2 AMORTIGUAMIENTO EQUIVALENTE
Es sistemas reales, el amortiguamiento rara vez es puramente viscoso, ni siquiera es
un amortiguador “clásico”, entonces surge la pregunta ¿por qué en la literatura y los
libros de vibraciones, en las ecuaciones que describen el comportamiento dinámico de
un sistema aparece un término puramente viscoso?; es porque con ello la ecuación es
sencilla y es fácil de integrar. Se pueden considerar como validos los resultados
obtenidos y como afectan otros amortiguadores reales y frecuentes como los antes
mencionados. Un planteamiento energético permite dar respuesta a estas dudas.
Para ello partimos de la premisa que cada tipo de amortiguador extrae una
determinada cantidad de energía del sistema por cada ciclo de vibración, dicha
cantidad de energía extraída puede hacerse equivalente a la que extrae un
amortiguamiento viscoso.
ciclociclo
dtxcdxxc 2 (2.17)
En una oscilación periódica
tsenFtF 0)( , )()( 0 tsenxtx (2.18)
en un sistema vibratorio, representado por la ecuación diferencial de movimiento
xkxcxmF <> xdxkxcxmxdF )( (2.19)
la energía aportada en el ciclo por la causa excitadora ciclo
xdF se equilibra con la
extraída por el amortiguamiento puesto que:
ciclodelfinalyprincipioaligualxxmdtxxmxdxm ciclo
ciclociclo
2
2
1
(2.20a)
ciclodelfinalyprincipioaligualxxkdtxxmxdxk ciclo
ciclociclo
2
2
1
(2.20b)
43
Mientras que la energía extraída por el amortiguador por ciclo es:
20
2 22022
0
2220
2
22
2
)(2cos21
)(cos
xωcπcx
tdt
cx
tdtxctdxcxdxc
t
t
ciclociclo ciclo
(2.21)
La situación real al final de cada ciclo será realmente equivalente con el
amortiguamiento real y con el amortiguamiento equivalente, de lo contrario sería una
contradicción al principio de conservación de energía. Por lo tanto un modelo con
amortiguamiento viscoso equivalente predice bien las amplitudes obtenidas a una
frecuencia determinada, aunque no sea fiable en cuanto a la forma de la onda.
Para un amortiguamiento estructural por ejemplo, la energía que se pierde en un ciclo
es una parte α de la energía elástica almacenada correspondiente a un
amortiguamiento viscoso equivalente igual a
kcxkxc eqeq 22
20
20 (2.22)
De igual forma se puede encontrar el amortiguamiento equivalente para un
amortiguamiento generado por fricción (amortiguamiento de Coulomb), utilizando el
mismo razonamiento anterior.
La energía perdida por fricción en un ciclo es
000
4)2(2
x
FcxcFx deqeqd
(2.23)
este amortiguamiento cobra importancia industrial en los problemas de inestabilidad
generados por vibraciones de adherencia y deslizamiento.
44
45
3. PLANTEAMIENTO DE LA TESIS
3.1 INTRODUCCIÓN
El estudio de investigación realizado sobre la caracterización de las propiedades físicas y
químicas de la seda de araña, así como las funciones a las que están destinadas los
diferentes tipos de seda que una araña pueda secretar a través de sus hilanderas, están
orientadas principalmente a entender el comportamiento molecular y mecánico de la seda
de araña; adicionalmente a esto existen investigaciones sobre el estudio de la tela de
araña como una clase especial de sistemas pre tensados llamados tensegrity structures
( estructuras equi-tensionales) 31.
Estas estructuras representan una mezcla única de la geometría y las propiedades
mecánicas, dando como resultado estructuras altamente eficientes, debido a la
distribución óptima de la masa estructural. La geometría juega un papel principal en
definir la existencia así como la rigidez de una estructura del tipo tensegrity. La pretensión
cambia muy poco la rigidez de la estructura. Sin embargo, desempeña un papel
importante en el retraso del inicio de cuerdas flojas y previene así las no linealidades
debido al aflojamiento de las cuerdas 31.
A estas estructuras se las puede considerar como estructuras espaciales, a pesar que la
tela de araña esté en un plano. La ligereza de esta estructura las coloca en la misma
clase que sistemas de cables y membranas. La naturaleza de auto-pretensado, que
proporciona la rigidez a la estructura, provee a la tela de araña el mecanismo para un
balance eficiente y económico sobre las tensiones inducidas.
Un mejor entendimiento de la interacción de las propiedades y la geometría de estas
estructuras puede darnos la capacidad de diseñar en el futuro estructuras espaciales ultra
ligeras (Figura 3.1).
46
Fig.3.1 Estructura “tensegrity” de una tela de araña 31.
Estas estructuras representan el alto grado de evolución, que las arañas poseen, para
optimizar los procesos biológicos y lograr un balance de equilibrio entre los compontes
que la conforman y las solicitaciones a las que estarán sometidas. Esta información bien
entendida puede ser utilizada para aplicaciones en los diversos ámbitos de la ingeniería.
Sin embargo hay que mencionar que la gran mayoría de investigaciones sobre el
comportamiento mecánico de la seda de araña están dirigidas a la determinación de
parámetros estáticos, tales como la rigidez, resistencia y dureza; puesto que como partes
de la tela de araña, son las propiedades que más interesan cuando se quiere “copiar”
dicha estructura con fines ingenieriles. Para la determinación de estos parámetros se
utiliza fundamentalmente el ensayo de tracción, el cual es del tipo cuasi-estático.
Estos ensayos muestran claramente que el material de la seda de araña tiene un
comportamiento visco elástico, esta característica nos hace recapacitar sobre el
comportamiento de la estructura y la araña, llegando a la conclusión de que dicha
estructura necesariamente tiene que ser un sistema dinámico, el cual puede ser abstraído
como un sistema vibratorio amortiguado.
El plantear como modelo conceptual de la estructura un sistema vibratorio amortiguado,
implica preguntarse sobre las propiedades dinámicas de dicha estructura (capacidad de
47
amortiguamiento, frecuencia natural, histéresis) y los elementos que conforman. Puesto
que son parámetros dinámicos, entonces para su determinación se tendrá que recurrir a
ensayos del tipo dinámico.
3.2 PLANTEAMIENTO Y JUSTIFICACIÓN
El hilo es un material compuesto, con lo que la determinación experimental de sus
características mecánicas ofrece la dificultad inherente a este tipo de materiales 38,
especialmente en lo relativo a su comportamiento disipativo.
Pero las dificultades experimentales se incrementan notablemente debido al tipo de
probeta con el que deben realizarse los ensayos, no solo el grosor de los hilos sino
también su masa hacen que los valores obtenidos experimentalmente sean
micromagnitudes que necesitarían una instrumentación extraordinariamente precisa
empleando metodologías de ensayo similares a las utilizadas para la caracterización de
materiales con probetas de dimensiones habituales.
Así, por ejemplo, una técnica basada en análisis DMTA resultaría inapropiada, pues la
masa extraordinariamente pequeña del hilo hace que la disipación térmica en él también
lo sea. Por ello resulta en la práctica inabordable con los medios existentes en la PUCP
en el período de realización de la tesis, e incluso con los que permisiblemente pudiesen
obtenerse para su ejecución.
El propio montaje de las probetas presenta problemas no desdeñables, precisamente
debido a sus microdimensiones y no solamente por las dificultades de amarre, sino
también por la influencia que el sistema de amarre tenga en los resultados experimentales
obtenidos, interponiendo sus efectos a la caracterización de la propia probeta y
enmascarando así de forma apreciable los datos resultantes de las pruebas.
Todo ello ha llevado a que, para la realización de la parte experimental de esta tesis, se
haya recurrido a procedimientos que, en cierta medida, puedan considerarse indirectos en
cuanto a la caracterización del material constitutivo del hilo, y basados en técnicas de
vibraciones.
48
La justificación de este planteamiento se basa en varias consideraciones previas, que
merecen ser comentadas.
Siendo el objetivo fundamental de la tesis el análisis del comportamiento dinámico de la
tela de araña, parece adecuado caracterizar el material del cual está constituida con
técnicas cercanas a este objetivo final. Pero además se han tenido en cuenta la
disponibilidad de recursos materiales y humanos para su elaboración. Por un lado la
viabilidad de que este tema de tesis doctoral sea factible se basa en que la Pontifica
Universidad Católica del Perú tiene la infraestructura adecuada (analizador de frecuencias
de última generación, velocímetro láser, microscopio electrónico de barrido, celdas de
cargas, máquina de tracción, etc.) para la realización de las experimentaciones
correspondientes. Otro aspecto también de mucha importancia es que para la
investigación se cuenta con la colaboración activa de profesores del departamento de
física, en especial los docentes del laboratorio de acústica, de películas delgadas, del
grupo de polímeros Polycom, sección electrónica, informática, etc.
En segundo lugar, ya que la labor docente y profesional del doctorante se encuentra en el
campo de las vibraciones, y adicionalmente a esto el doctorante ha realizado estudios
previos sobre las telas y sedas de araña, manteniendo desde hace varios años una
estrecha relación con el Profesor Fritz Vollrath, a quien se le considera una autoridad
mundial en la materia.
Tanto para la parte experimental como para la modelización se han requerido por tanto
criterios vibratorios. Se admite generalmente (y es opinión que el doctorante comparte
basándose en su propia experiencia) que esquemas vibratorios simples permiten no solo
analizar cualitativamente los fenómenos, sino también obtener resultados cualitativamente
aproximados a la realidad, en márgenes suficientes para su utilización en ingeniería.
Se ha realizado por tanto un esfuerzo conceptual de simplificación de los esquemas
vibratorios utilizados en la investigación, en el convencimiento de que ello no afecta a la
validez de las conclusiones de la tesis.
49
El hecho de conceptualizar los hilos de seda que conforman la estructura como elementos
estructurales tipo cable (resisten sólo cargas a tracción), formando una estructura del tipo
equitensional, nos permite idealizar a la seda como una cuerda.
Con esta característica podemos ahora abstraer la tela de araña como un sistema que
está formado por una cuerda equivalente a todas las que conforman la estructura, con
una determinada fuerza de pretensión (esta pretensión es realizada por la araña), y una
masa puntual (la araña) tal como se observa en la Fig 3.2. Este modelo representa un
sistema vibratorio de un grado de libertad no amortiguado.
Fig.3.2 Modelo conceptual de la tela de araña 1.
Para el modelo de la Fig. 3.2 es posible determinar la frecuencia fundamental de
vibración del sistema, la cual depende únicamente de la fuerza de pre tensión T, la masa
puntual m0 y la longitud L; es decir que podemos predecir una magnitud dinámica
haciendo uso únicamente de magnitudes estáticas.
Lo mencionado anteriormente tiene validez, pues la frecuencia de un sistema de un grado
de libertad sin amortiguamiento puede determinarse de una medida netamente estática.
Todo lo expuesto hasta el momento es válido bajo la suposición de que no existe
amortiguamiento, sin embargo como se manifestó en el subcapítulo 3.1, la seda de araña
presenta un comportamiento visco elástico, lo cual implica que el material tiene
propiedades de amortiguamiento intrínsecas, en ingeniería se denomina amortiguamiento
interno del material. En el capítulo 2 se hace un breve repaso sobre el concepto de
50
amortiguamiento, tipos de amortiguamiento, así como el tratamiento analítico de los
amortiguamientos que comúnmente se presentan en el campo de la ingeniería.
Para plantear algunas hipótesis, y a partir de ellas determinar los parámetros dinámicos,
como la capacidad de amortiguamiento de la estructura y por ende de la seda de araña, la
frecuencia natural del sistema, capacidad de disipación de energía, es necesario ampliar
el esquema planteado en la figura 3.2, ahora se tendrá que utilizar un modelo ampliado
introduciendo un elemento amortiguador, dicho modelo puede ser representado
inicialmente como un sistema vibratorio amortiguado de un grado de libertad, tal como se
muestra en la Fig.3.3, tanto en el dominio del tiempo como en el de la frecuencia.
Fig.3.3 Sistema equivalente de un grado de libertad 1.
El sistema mostrado en la Fig.3.3 servirá como modelo conceptual para la caracterización
de los parámetros dinámicos de la tela de araña así como de la seda. Como ya se ha
dicho para dicha caracterización pueden manejarse varias técnicas experimentales, y una
de las más utilizadas es el análisis DMTA (Análisis Térmico Dinamomecánico), que hace
posible caracterizar el módulo de elasticidad compleja o módulo dinámico de materiales
51
compuestos. Sin embargo también es posible usar técnicas de vibraciones para
caracterizar estos parámetros.
A continuación se presentan en forma resumida algunas técnicas de vibraciones que
permiten cuantificar estos parámetros, tanto en vibración libre como forzada, haciendo
especial énfasis en la determinación del amortiguamiento, como característica más
relevante (y en general desconocida) de los materiales.
3.2.1 VIBRACIONES LIBRES
Utilizaremos las vibraciones libres como primera opción para determinar la capacidad de
amortiguamiento y frecuencia natural del sistema. Para ello se le proporciona a la masa
puntual un desplazamiento inicial pequeño 0x y luego se deja oscilar libremente,
utilizando por ejemplo una cámara de alta velocidad u otro instrumento de medición se
puede censar las vibraciones de la masa. Una vez obtenida esta data podemos luego
tener la respuesta de vibración libre en el dominio del tiempo, como se muestra
cualitativamente en la figura 3.4.
Fig. 3.4 Decremento logarítmico 5.
Utilizando las definiciones del decremento logarítmico es posible determinar en primera
instancia el coeficiente de amortiguamiento, así como la frecuencia natural del sistema.
52
3.2.2 VIBRACIONES FORZADAS
El sistema es excitado con una fuente armónica de frecuencia variable ω (por ejemplo la
estructura hecha de seda puede colocarse en un túnel y ser excitado mediante un flujo de
aire o una onda acústica), entonces es posible realizar un barrido de frecuencias cercanas
a la resonancia, aquí el sensor puede ser un velocímetro láser y la señal procesada en un
analizador FFT, encontrándose con ello la curva del factor de amplificación, figura 3.5.
Fig. 3.5 Brusquedad de la resonancia 5.
Del espectro de amplitudes en la frecuencia es posible determinar el amortiguamiento del
sistema, haciendo uso de la técnica de la brusquedad de la resonancia. Del mismo gráfico
es posible obtener también la frecuencia natural del sistema.
Como se verá en el capítulo correspondiente, ambos procedimientos permiten
caracterizar con suficiente exactitud las características de la seda de araña.
53
3.2.3 DOBLE PÉNDULO
La dificultad que presentan los dos procedimientos anteriores está en la correcta
manipulación de los elementos comprometidos sobre todo porque se trabajan con
magnitudes muy pequeñas (masa, tensiones muy pequeñas), que pueden inducir a
errores significativos en los parámetros dinámicos.
Otra posibilidad que se plantea es la utilización de un doble péndulo donde 38 las masas
ya no tienen que ser del orden de los micro gramos. La figura 3.6 muestra un esquema
del experimento, pero el problema que presenta esta configuración es el correcto
posicionamiento de las fibras así como la medida de las tensiones de las mismas. Aquí se
puede utilizar una cámara de alta velocidad o un sensor de desplazamiento para medir las
vibraciones de las masas.
Fig.3.6 Esquema del experimento con un doble péndulo 1.
De la misma forma que en los dos casos anteriores, una vez obtenido los gráficos de
vibraciones es posible determinar los parámetros dinámicos.
54
3.3 OBJETIVOS
El objetivo general de la presente investigación es realizar un estudio analítico-
experimental sobre una estructura hecha de seda de araña MA, con la finalidad de poder
determinar sus propiedades dinámicas, tanto de la estructura como de la seda misma.
Los parámetros más significativos son la capacidad de amortiguamiento de la estructura y
la seda MA, las frecuencias naturales, capacidad de disipación de energía.
Por otro lado, la propia estructura geométrica de la tela de araña muestra unos criterios de
diseño de indudable interés en ingeniería, que se pretenden analizar, especialmente en lo
referente a la tela orbicular.
Un objetivo adicional es proponer, y comprobar la validez, de métodos de ensayo que se
adecuen al estudio de la seda de araña.
Como un objetivo específico se tiene también la validación de modelos conceptuales
adecuados y los ajustes correspondientes al modelo, basados en la retroalimentación
proveniente de las experimentaciones. Para poder lograr ese objetivo se trabajará bajo el
modelo conceptual de un sistema vibratorio amortiguado, de un grado de libertad.
Para el análisis de este sistema se hará uso de la teoría de vibraciones, en particular la
concerniente a las vibraciones no lineales de sistemas de un grado de libertad, así como
de las técnicas experimentales de vibraciones libres, los cuales permitirán la obtención de
los coeficientes de amortiguamiento, frecuencias naturales y coeficiente de viscosidad de
la seda.
55
3.4 MÉTODO DE TRABAJO
Para la realización de esta investigación, se iniciará con una revisión exhaustiva de las
investigaciones sobre las propiedades de la tela y seda de araña, paralelamente se
proveerá de los materiales, instrumentos y dispositivos necesarios para la preparación de
los módulos experimentales.
Se inicia con la crianza en cautiverio de las arañas (especie Argiope Argentata), esta
crianza se realiza en unas jaulas de acrílico de 40×40×10 cm.
El material, seda de araña MA, es el hilo de seguridad que la araña segrega cuando trepa
libremente, esto porque sus propiedades mecánicas son similares y son independientes
del día en que se recoge la muestra.
Una vez obtenida la seda de araña se procede a medir su sección transversal, utilizando
para ello un microscopio electrónico de barrido (SEM), luego se construye la estructura de
seda MA sobre los bastidores preparados para este fin.
Se procede a realizar los ensayos dinámicos de vibración libre, tanto en condiciones
ambientales como en condiciones de vacío, esto con la finalidad de discriminar la
influencia del amortiguamiento del aire.
Estas vibraciones se registrarán utilizando un instrumento de medición que puede ser una
cámara de alta velocidad o un velocímetro láser. Finalizados los ensayos se procesan los
datos, para luego ser evaluados. La figura 3.7 muestra un esquema cualitativo de los
ensayos a realizar.
Una vez caracterizado el material, se propondrán modelos de comportamiento dinámico
de la estructura de la telaraña, centrándose en la de tipo orbicular.
Validando estos modelos con ensayos adecuados, se extraerán las conclusiones
pertinentes para su aplicación en ingeniería.
56
Fig.3.7 Esquema cualitativo de los ensayos experimentales 2.
3.5 MATERIAL, EQUIPOS E INSTRUMENTOS EMPLEADOS EN
LOS ENSAYOS EXPERIMENTALES
Seda de araña MA de la especie Argiope Argentata.
Placas de acrílico para la fabricación de las jaulas.
Velocímetro Láser, cámara de alta velocidad.
Analizador de señales FFT de dos canales.
Sistema de excitación.
Microscopio electrónico de barrido (SEM).
Instrumentos de medición de condiciones ambientales.
Balanza electrónica.
57
4. PLANTEAMIENTO DEL MODELO CONCEPTUAL
4.1 GENERALIDADES
La mayoría de las investigaciones existentes sobre la seda de araña, referidas al
comportamiento mecánico consideran fundamentalmente parámetros cuasiestáticos
(flexibilidad, resistencia y tenacidad). Sin embargo, al respecto de extender y ahondar
en el análisis dinámico de la seda, resulta necesario abordar la investigación desde
una visión distinta.
En el presente capítulo se desarrollará un modelo conceptual de una estructura hecha
de la seda de araña MA, que servirá de marco teórico para determinar las propiedades
dinámicas en especial las frecuencias naturales, el coeficiente de amortiguamiento así
como el comportamiento visco - elástico de dicha seda.
Trabajar con algo tan fino y especial como la seda de araña presenta numerosas
dificultades experimentales, desde la obtención y manipulación del propio material,
hasta el estudio de sus características y propiedades mecánicas. Todas estas
peculiaridades hacen que el proceso de laboratorio requerido no resulte nada fácil.
Uno de los retos que debe enfrentar el investigador es la enorme variabilidad de las
propiedades de la seda, de una misma araña, en condiciones similares. Desde el
punto de vista del organismo productor, contar con un material que puede variar su
comportamiento mecánico dentro de un determinado rango, supone una ventaja
adaptativa, ya que permite adecuar las propiedades de la seda a las condiciones y
necesidades inmediatas. Desde el punto de vista del investigador, la variabilidad
observada, representa una dificultad cuando se necesita determinar la influencia de
ciertos tratamientos o condiciones ambientales sobre la seda (Fig. 4.1) [16].
Consecuentemente, se ha dedicado muchos esfuerzos en tratar de limitar la
variabilidad de las propiedades de la seda. Uno de los resultados más prometedores
se ha encontrado al analizar la seda MA producida; no durante la construcción de la
tela, sino durante los desplazamientos (hilo de seguridad).
58
Si se permite que la araña se desplace libremente sobre una superficie horizontal y se
estudia el hilo producido, no se observan mejoras significativas respecto a la
variabilidad observada en la Fig. 4.1. Sin embargo, si se recolecta el hilo que la araña
segrega mientras trepa libremente (hilo de seguridad), se encuentra que este hilo
presenta propiedades mecánicas similares, que son además independientes del día en
que se recogió la muestra, y del individuo que lo produjo [16].
Fig. 4.1 Variabilidad de la curva Esfuerzo-Deformación [16]
La similitud de las propiedades mecánicas se observa en la homogeneidad de las
curvas Esfuerzo-Deformación de la seda de araña (Fig. 4.2).
Fig. 4.2 Similitud de la curva Esfuerzo-Deformación [16]
59
La razón por la que la araña produce un hilo con unas características tan definidas
cuando trepa libremente constituye hasta el momento un misterio; pero indica que la
araña podría cambiar las propiedades del hilo según necesidades funcionales
intrínsecas.
Una posible justificación está relacionada con el comentario, contenido en la página
25, sobre la capacidad de decisión de la araña, que accionando convencionalmente
sus hileras para generar hilos de sección y resistencia adecuados a cada necesidad.
Al producir un hilo que garantice su seguridad al desplazarse verticalmente con
riesgos de caída, adapta la posibilidad de rotura del hilo a la carga de su propio peso
con un cierto coeficiente de seguridad.
No puede descartarse esta hipótesis de comportamiento inteligente innato de la araña,
cuando también muestra evidentemente un comportamiento similar, sin previo
proceso de aprendizaje, al construir una estructura tan compleja como la tela de araña.
4.2 MODELO CONCEPTUAL DE LA ESTRUCTURA DE SEDA
DE ARAÑA MA
El sistema físico, al cual se le denominará estructura hecha de seda MA (Fig. 4.3),
utilizado en la parte experimental para la caracterización de los parámetros dinámicos,
consta de dos sedas MA pretensionadas con una fuerza inicial “S”, que se interceptan
perpendicularmente, en dicha intersección se sujeta una masa puntual, conformada
por una cinta reflectiva y una limadura de hierro. Los extremos de ambas sedas, en
forma individual, se fijaron a un soporte (clavija) con un pegamento de cianoacrílico.
La disposición experimental de la estructura puede ser representada por un modelo
conceptual como se aprecia en la (Fig. 4.4).
60
Fig. 4.3 Sistema físico Fig. 4.4 Modelo conceptual
Para la determinación de los parámetros dinámicos de la seda de araña se utilizara
ensayos de vibración libre sobre el modelo conceptual mostrado en la Fig. 4.4.
Tal como se mencionó en el capítulo 2 la seda de araña es un material que puede ser
representado mediante un modelo viscoelástico, por lo tanto será necesario
caracterizar las propiedades tanto de rigidez como de amortiguamiento de la seda de
araña. Las propiedades de rigidez se determinarán mediante pruebas estáticas
(ensayos de tracción) sin embargo para caracterizar las propiedades de
amortiguamiento es necesario realizar ensayos dinámicos.
En el sistema físico mostrado en la Fig. 4.3 es fundamental hacer una investigación de
los amortiguamientos que están presentes en dicho sistema, es por ello que se hará
un estudio de los más significativos
4.2.1 ANÁLISIS DEL AMORTIGUAMIENTO
En el sistema en análisis, la vibración se amortiguará tanto interna como
externamente. Internamente como consecuencia del amortiguamiento interno de la
estructura hecha de seda MA (líneas de color rojo en la Fig. 4.3) y externamente
debido a la fricción en las junturas y a la resistencia del aire. Se desprecian otros tipos
de amortiguamiento que pudieran existir por considerar que su influencia global en el
comportamiento del sistema sería notablemente inferior.
61
Es importante sin embargo cuantificar y caracterizar cada uno de estos
amortiguamientos ya que el objetivo es determinar el comportamiento dinámico del hilo
de seda, y en definitiva del material.
Los ensayos de vibración libre permitirán determinar el amortiguamiento global, pero
habrá que establecer criterios y procedimientos para discriminar en qué medida
contribuyen cada uno de los tres amortiguamientos.
En la Fig. 4.5 se aprecia los tres tipos de amortiguamiento presentes en el sistema
vibratorio, el amortiguamiento de la seda (C), el amortiguamiento del fluido (CA) y el
amortiguamiento en las junturas. Cabe mencionar que la estructura hecha de seda MA
está representada, en la Fig. 4.5, mediante el modelo viscoelástico de Kelvin-Voigt
mostrado en la Fig. 2.25.
Fig. 4.5 Tipos de amortiguamiento en el sistema
El modelo conceptual mostrado en la Fig. 4.5, representa el punto de partida para
cuantificar y caracterizar los tres tipos de amortiguamientos actuantes en el sistema y
de esta manera determinar el comportamiento dinámico de la estructura hecha de
seda MA. (Fig. 2.24).
62
4.2.1.1 Amortiguamiento interno también llamado elástico o estructural (C)
Este tipo de amortiguamiento se presenta cuando los materiales son deformados
elásticamente. La energía es absorbida y disipada por el material en los ciclos de
histéresis (relación entre la energía disipada y la energía absorbida); este efecto surge
como consecuencia de la fricción entre planos internos del material que deslizan entre
sí cuando se producen las deformaciones.
En el sistema en estudio este tipo de amortiguamiento se presenta al desplazar la
estructura hecha de seda MA, desde la posición de equilibrio estático (P.E.E), una
determinada distancia “z” (Fig. 4.6 y Fig. 4.7) limitada por la máxima deformación
dentro del rango elástico de la curva Fuerza-Deformación de la seda MA (Fig. 5.13 -
Fig. 5.15).
La seda MA deformada trata de volver a su posición inicial (P.E.E) presentándose los
ciclos de carga y descarga que da como resultado la histéresis, como consecuencia de
la fricción interna en la seda MA.
Fig. 4.6 Desplazamiento “z” en el plano XZ Fig. 4.7 Desplazamiento “z” en el plano YZ
4.2.1.2 Amortiguamiento de Coulomb o de fricción seca
Esta clase de amortiguamiento surge debido al rozamiento entre dos cuerpos, por
ejemplo: la fricción que se presenta en las junturas, articulaciones, acoplamientos, etc.
63
En el sistema dinámico experimental este amortiguamiento resulta de la fricción
existente entre la superficie del soporte (clavija) y la seda MA.
La energía perdida por fricción en cada ciclo, y por tanto el amortiguamiento
producido, depende del coeficiente de rozamiento, la tensión en el contacto y la
amplitud de deslizamiento relativo.
Aunque estos valores son difíciles de evaluar, siempre podrán acotarse, estableciendo
así una cota superior del amortiguamiento de Coulomb producido.
Las dimensiones reducidas de la clavija y las oscilaciones del hilo implicarán
recorridos de deslizamiento bajos, que pueden llegar a ser nulos si la tensión del hilo
es suficiente para que se produzcan adherencia (sin deslizamiento y por tanto sin
pérdidas por fricción).
Todo ello redundará en una acotación del amortiguamiento de Coulomb en valores
muy bajos.
4.2.1.3 Amortiguamiento por un medio fluido (CA)
Este tipo de amortiguamiento tiene lugar en sistemas cuya masa está vibrando en un
fluido. La fuerza de amortiguamiento es función del cuadrado de la velocidad relativa
de la masa respecto al fluido y de una constante que depende de la densidad, del
coeficiente de arrastre y del área proyectada de la masa en una dirección normal a la
velocidad.
En el sistema en análisis este amortiguamiento (CA) se presenta como consecuencia
de que la masa vibra en condiciones ambientales y el fluido es el aire. Con la finalidad
de prescindir de este amortiguamiento y de esta manera cuantificar su influencia en el
amortiguamiento global del sistema, cuando el sistema vibra en condiciones
ambientales, se tendrá, que realizar ensayos en condiciones de vacío.
4. 2.2 ECUACIÓN DE MOVIMIENTO DE LA ESTRUTURA
Considerando sólo el amortiguamiento de la estructura hecha de seda MA (C). La
masa ( m ) se desplazó lateralmente, desde su posición de equilibrio estático, una
64
distancia “ z ”, de manera que la Seda MA variará su pretensión inicial “ S ” hasta un
valor limitado por la fuerza máxima de su rango elástico (Fig. 5.13 - Fig. 5.15).
La deformación del sistema en el plano “YZ” y “XZ”, se muestran en la Fig. 4.8 y en la
Fig. 4.9 respectivamente.
Fig. 4.8 Deformación en el plano YZ
Fig. 4.9 Deformación en el plano XZ
Ante la deformación desarrollada, la seda ejerce una tensión (T ) sobre la masa, tal
como se puede apreciar en la Fig. 4.10. Debe considerarse esta tensión “T ” como una
sobretensión añadida a la existente en la seda MA (S) en condiciones de reposo
(P.E.E).
b
65
Fig. 4.10 Fuerzas ejercidas sobre la masa
Aplicando la Segunda Ley de Newton se tienen los siguientes sistemas dinámicos
equivalentes (Fig. 4.11):
Fig. 4.11 Sistema de fuerzas equivalentes
Desarrollando la sumatoria de fuerzas en la dirección “ z ” y ordenando
adecuadamente se obtiene la ecuación del movimiento del sistema en esa dirección:
T
T
m
y
z
T T
m
x
z
66
0)(4 Tsenzm (4.1)
Donde:
bCL
EAST (4.2)
LzL 22 (4.3)
22 zLb (4.4)
zzL
zb
22 (4.5)
22 zL
zsen
(4.6)
Reemplazando (4.2), (4.3), (4.5) y (4.6) en (4.1), se obtiene la ecuación exacta del
movimiento del sistema:
042222
22
zL
zz
zL
zCLzL
L
EASzm (4.7)
Del análisis de la expresión (4.7), de la Fig. 4.8 y de la Fig. 4.9, se deduce que la no
linealidad del sistema surge como consecuencia de las consideraciones geométricas y
no de la no linealidad del material de la seda.
Ordenando adecuadamente la ecuación (4.7) se obtiene:
04
44
Re
222222
2
stitutivaFuerzaDisipativaFuerzaó
ientoAmortiguamdeFuerza
InercialFuerza zL
zLz
L
EA
zL
zSz
zL
zCzm (4.8)
67
Como el desplazamiento inicial “ z ” es relativamente pequeño (0,011 m) comparado
con la longitud total de la seda ( mL 11,02 ), la ecuación exacta del movimiento (4.8)
puede ser reemplazada por una ecuación simplificada expandiendo en series de
McLaurin los siguientes términos de (4.8):
L
zLzL
200
222 (4.9)
0022
L
z
zL
z (4.10)
Reemplazando los dos primeros términos de las expansiones (4.9) y (4.10) en (4.8) se
obtiene la aproximación lineal de la ecuación (4.8):
044
Re
22
stitutivaFuerzaDisipativaFuerza
InercialdeFuerza
zL
Szz
L
Czm
(4.11)
Teniendo en cuenta que la aproximación lineal es válida para pequeños
desplazamientos se despreciará los términos de orden cúbico:
04
zmL
Sz (4.12)
La ecuación anterior representa un sistema vibratorio lineal libre no amortiguado,
donde la frecuencia natural depende únicamente de los parámetros S,m y L.
Reemplazando los tres términos de las expansiones (4.9) y (4.10) en (4.8) se obtiene
la aproximación cuadrática de la ecuación (4.8):
0244
Re
33
22
stitutivaFuerzaDisipativaFuerza
InercialFuerza
zL
EAz
L
Szz
L
Czm (4.13)
Ordenando la ecuación (4.13) según el orden de la potencia se obtiene:
68
0244 3
32
2 z
mL
EAz
mL
Szz
mL
Cz (4.14)
La ecuación (4.14) representa un sistema dinámico de vibración libre amortiguado que
es geométricamente no lineal, en esta ecuación la frecuencia natural dependerá no
solamente de los parámetros que conforman el sistema sino también de las
condiciones iniciales.
4.2.3 JUSTIFICACIÓN DEL ANÁLISISS NO LINEAL
Analizando la aproximación lineal del sistema (4.8), ecuación que representa a un
sistema lineal libre no amortiguado, la misma que se cumple para desplazamientos
muy pequeños, se puede observar que la frecuencia natural del sistema está regida
por la expresión:
mL
S42 (4.15)
De (4.15) se deduce que la frecuencia natural ( ) depende únicamente de la
pretensión inicial ( S ), la masa puntual ( m ) y la semilongitud ( L ); es decir que se
puede predecir una magnitud dinámica haciendo uso únicamente de magnitudes
estáticas, que resultan insuficientes para caracterizar la frecuencia natural de la
estructura hecha de seda MA por no presentar un parámetro propio de la seda
(módulo de elasticidad y coeficiente de amortiguamiento).
Respecto al amortiguamiento, los desplazamientos del sistema son tan pequeños
(cercanos al punto de pretensión “ S ” de la curva fuerza-deformación), que la tensión
en la seda MA no varía, como consecuencia de ello, la estructura hecha de seda MA
no trabaja y por consiguiente su amortiguamiento es prácticamente nulo, razón por la
cual en la ecuación (4.12) no aparece el término correspondiente a la fuerza disipativa.
La aproximación cuadrática de la ecuación diferencial de movimiento (4.8), representa
un sistema geométricamente no lineal y de vibración libre amortiguado, válida para
desplazamientos relativamente grandes. Esta ecuación nos da una visión más clara
para la caracterización de los parámetros dinámicos de dicha estructura.
69
Con la finalidad de apreciar cómo varía la frecuencia del sistema y poder aplicar el
método de la perturbación se despreciará en (4.14) el término correspondiente a la
fuerza de amortiguamiento, obteniéndose una expresión similar a (4.28) cuya cuarta
aproximación de la frecuencia viene gobernada por la siguiente expresión:
4
63
2
42222
1 512
9
128
3
4
3
zzz
(4.16)
De (4.16) se observa que la frecuencia del sistema no lineal ( 1 ) varía con la amplitud
( z ), pero para hallar su valor se requiere de y , siendo este último un parámetro
que contiene a “ E ”, módulo que caracteriza la rigidez, en estado uniaxial, de cualquier
material y por consiguiente a la seda de araña.
Respecto al amortiguamiento, éste aparece como consecuencia de los
desplazamientos relativamente grandes, que para el análisis de la seda estará limitado
por su máxima deformación dentro del rango elástico (Fig. 5.13 - Fig. 5.15), con lo cual
la estructura hecha de seda MA comienza a trabajar, dando como resultado la
presencia de los ciclos de histéresis (relación entre la energía disipada y la energía
absorbida), que indica que un porcentaje de la energía absorbida será disipada en
forma de calor como consecuencia de la fricción interna en el material, lo cual es
caracterizado por la fuerza disipativa representada por el amortiguador.
De lo descrito se concluye que un análisis dinámico lineal no es adecuado para
caracterizar los parámetros dinámicos de la seda MA, razón por la cual se recurrió a
un análisis no lineal.
4.3 INTRODUCCIÓN A LAS VIBRACIONES NO LINEALES
El modelo conceptual propuesto nos lleva a estudiar un sistema vibratorio libre
amortiguado geométricamente no lineal; para poder determinar la respuesta de este
tipo de sistema se realizará una pequeña introducción al tratamiento de las vibraciones
no lineales.
Los sistemas vibratorios están compuestos generalmente de tres elementos: inercia,
rigidez y disipación. Se debe considerar, además de estos elementos, las fuerzas y
70
momentos aplicados externamente y las alteraciones externas provenientes de las
condiciones iniciales, o una combinación de ambos.
Los elementos de inercia almacenan y liberan energía cinética, los de rigidez
almacenan y liberan energía potencial y los de disipación o de amortiguamiento se
utilizan para expresar la pérdida de energía en un sistema. Cada uno de estos
elementos tienen características diferentes de excitación-respuesta; la excitación está
en la forma de una fuerza o un momento, y la respuesta correspondiente del elemento
está en la forma de un desplazamiento, velocidad o aceleración. Los elementos de
inercia se caracterizan por una relación entre una fuerza aplicada (o momento) y la
correspondiente respuesta de aceleración. Los elementos de rigidez se caracterizan
por una relación entre una fuerza aplicada (o momento) y el desplazamiento
correspondiente (o rotación). Los elementos de disipación poseen como característica
una relación entre una fuerza aplicada (o momento) y la respuesta correspondiente de
velocidad. La naturaleza de estas relaciones puede ser lineal o no lineal.
El movimiento de un sistema es descrito por una cantidad mínima de coordenadas
independientes, las cuales reciben el nombre de grados de libertad.
En el análisis de las vibraciones, muchas estructuras y máquinas pueden ser
idealizadas como sistemas de un solo grado de libertad (Fig. 4.12), en el que se
cumplen las siguientes hipótesis:
Fig. 4.12 Sistema de un grado de libertad [57].
71
- La inercia (masa) está guiada de tal forma, que permite únicamente desplazamientos
en una sola dirección e impide los otros dos desplazamientos y los tres giros,
también se obvia la fricción de las guías.
- El resorte tiene una masa despreciable frente a la masa principal del sistema y su
fuerza restauradora elástica es proporcional a su deformación.
- El amortiguador consta de masas móviles despreciables, frente a la masa principal
del sistema, y es del tipo viscoso; es decir, su fuerza disipativa es proporcional a la
velocidad.
- Adicionalmente se desprecia la resistencia del aire.
Bajo esas consideraciones, la ecuación que gobierna el movimiento del sistema es
lineal y viene regida por la siguiente ecuación diferencial ordinaria de segundo orden
con coeficientes constantes:
externaFuerzaarestitutivFuerzadisipativaFuerzainercialFuerza
tFkuucum )( (4.17)
La expresión (4.17) representa la forma general para describir sistemas con un grado
de libertad y constituye la ecuación del movimiento de un Sistema Lineal de Vibración
Forzada Amortiguada, a partir de dicha expresión y anulando los términos
correspondientes se obtienen las ecuaciones de los siguientes sistemas: Sistema de
Vibración Forzada no Amortiguada; en el que la fuerza de amortiguamiento se anula,
Sistema de Vibración Libre Amortiguada; en el que la fuerza externa es cero, y por
último el Sistema de Vibración Libre no Amortiguada; caso más sencillo de vibración,
en el que los términos fuerza externa y fuerza de amortiguamiento se anulan en la
ecuación (4.17).
Sin embargo, como se mencionó en el subcapítulo anterior, estas ecuaciones
diferenciales lineales son insuficientes para describir el comportamiento dinámico de
una estructura hecha de seda de araña, razón por la cual se tiene que recurrir a las
ecuaciones diferenciales no lineales.
72
Si suponemos que la masa permanece invariable en el tiempo, la forma general de la
ecuación del movimiento para un sistema de un grado de libertad no lineal puede ser
expresada como:
0),,( tuuFum (4.18)
La ecuación (4.18) se distingue de la (4.17), porque el segundo término ya no es de
tipo lineal, lo cual implica que ya no se puede utilizar el principio de superposición
para su solución y cada problema tiene una solución particular.
En general, la vibración no lineal no es armónica y su frecuencia varía con la amplitud.
Un importante tipo de no linealidad se alcanza cuando la fuerza restitutiva de un
resorte no es proporcional a su deformación. La Fig. 4.13 muestra la curva Fuerza-
Desplazamiento de un “resorte de endurecimiento” elástico no lineal, donde la
pendiente crece conforme la carga se incrementa.
Fig. 4.13 Curva Esfuerzo-Deformación de un resorte de endurecimiento [64]
La línea punteada en la Fig. 4.13 es tangente a la curva en el origen y su pendiente
“ k ” representa la rigidez inicial del resorte. Similarmente, la Fig. 4.14 representa la
curva Fuerza-Desplazamiento de un “resorte de suavización” elástico no lineal, donde
la pendiente decrece conforme la carga se incrementa.
73
Fig. 4.14 Curva Esfuerzo-Deformación de un resorte de suavización [64]
En cada una de estos casos la curva es simétrica con respecto al origen, por tal motivo
se dice que el resorte tiene una fuerza de restauración simétrica.
Un ejemplo de un sistema con características no lineales como el “resorte de
endurecimiento” elástico no lineal se muestra en la Fig. 4.15. Una pequeña masa “ m ”
es fijada en el centro de un alambre “AB” de longitud l2 , el cual está tensionado con
una fuerza inicial de magnitud “ S ”.
Fig. 4.15 Sistema con características no Lineales [64]
74
La elección de este ejemplo, para mostrar un procedimiento de solución de ecuaciones
diferenciales con coeficientes no lineales, se debe a que además se va a utilizar como
modelo conceptual para representar el comportamiento vibratorio de la estructura
hecha de la seda MA, con la finalidad de analizar, en los apartados siguientes los
datos obtenidos experimentalmente.
Cuando la masa es desplazada lateralmente una distancia “u ” desde su posición de
equilibrio estático, una fuerza restitutiva es desarrollada en el alambre, como la
indicada en la Fig. 4.16.
Fig. 4.16 Fuerza restauradora [64]
La ecuación del movimiento, que representa la vibración libre no amortiguada del
sistema, viene gobernada por la siguiente expresión:
0)(2
senl
AESum (4.19)
Observando la geometría del sistema (Fig. 4.15), se obtiene las siguientes relaciones:
lul 22 (4.20)
22)(
ul
usen
(4.21)
Sustituyendo las expresiones (4.20) y (4.21) en (4.19), se obtiene la ecuación
diferencial aproximada del movimiento:
75
0)(
222
22
ul
ul
lulAESum (4.22)
La ecuación del movimiento (4.22) puede ser reemplazada por una ecuación
simplificada (pero menos exacta) expandiendo en series de McLaurin las siguientes
funciones:
l
u
2
2
(4.23)
l
usen )( (4.24)
Sustituyendo las expresiones (4.23) y (4.24) en (4.19) se obtiene la ecuación del
movimiento aproximada:
02 3
3 u
l
AEu
l
Sum (4.25)
La ecuación (4.25) contiene un término “ u ” de orden cúbico y, por lo tanto, sigue
siendo no lineal. Si la tensión inicial “ S ” es grande y el desplazamiento “u ” es
pequeño, el término cúbico puede despreciarse, obteniéndose la ecuación lineal del
movimiento, caso contrario, el término cúbico debe considerarse y el comportamiento
de la fuerza restitutiva sería como lo representado en la Fig. 4.13, porque la pendiente
de la curva fuerza-desplazamiento se incrementaría con el desplazamiento.
Los procedimientos analíticos para la solución de ecuaciones diferenciales no lineales
requieren de un extenso estudio matemático. Las soluciones exactas conocidas son
pocas, y la mayor parte del progreso en el conocimiento de sistemas no lineales se
deriva de soluciones aproximadas y gráficas, así como soluciones usando métodos
numéricos con ayuda de la computadora. Existen diversos métodos para hallar la
solución aproximada, el método que se explicará a continuación es conocido como
Método de la Perturbación o Método de las Aproximaciones Sucesivas y será aplicado
a una vibración libre no amortiguada.
76
Si la variación de las características no lineales del resorte respecto a sus
características lineales es comparativamente pequeña, la ecuación del movimiento
para una vibración libre de un sistema de un grado de libertad no amortiguado puede
ser representada en forma genérica de la siguiente manera:
0)(2 ufuu (4.26)
Para sistemas en los cuales la curva carga - desplazamiento es simétrica respecto al
origen, se tiene:
n
i
iuuuf1
)( (4.27)
Un caso común es obtenido sustituyendo sólo el segundo término positivo de (4.27) en
(4.26), obteniéndose así:
032 uuu (4.28)
Si las condiciones iniciales del sistema para 0t son muu 0 y 00 u . El
movimiento armónico resultante de un sistema lineal que reemplaza al sistema actual
es representado por:
)cos( 1tuu m (4.29)
En la expresión anterior 1 representa la frecuencia angular del sistema sustituto. La
expresión (4.29), para las condiciones iniciales dadas, puede ser considerada como
una primera aproximación a la solución de la ecuación (4.28). Como consecuencia de
que las características no lineales del resorte respecto a sus características lineales es
comparativamente pequeña, se puede asumir que la frecuencia angular 1 no es
sustancialmente diferente de la frecuencia para un sistema lineal, en tal sentido se
puede escribir que:
)( 21
221
2 (4.30)
77
Donde )( 21
2 es una cantidad pequeña. Sustituyendo la expresión (4.30) en la
ecuación (4.28), se obtiene:
0)( 321
221 uuuu (4.31)
La primera aproximación (4.29) para “u ” puede ser ahora sustituida en los dos últimos
términos de la ecuación (4.31), obteniéndose:
)(cos)cos()( 133
121
221 tutuuu mm (4.32)
Usando la siguiente identidad trigonométrica:
4
)3cos()cos(3)(cos 11
13 tt
t
(4.33)
La expresión (4.32) se transforma en:
)3cos(4
)cos(4
31
3
1
221
221 t
utu
uuu m
mm
(4.34)
La ecuación (4.34) tiene la misma forma matemática que la ecuación para un sistema
de un grado de libertad no amortiguado sujeto a funciones armónicas forzadas. Sin
embargo, el primer término del lado derecho de la ecuación representa una función
forzada que tiene la misma frecuencia 1 que el sistema sustituto. Esto causaría una
respuesta que crece indefinidamente con el tiempo e incumple la condición de
vibraciones libres con amplitud constante. Para eliminar esta “falsa resonancia”, el
coeficiente del término )cos( 1tum debe ser igualado a cero. Este paso representa
una característica esencial del método porque representa una aproximación al valor
“ 1 ”. Así,
4
3 222
1mu
(4.35)
Considerando que el término 2 puede ser considerado como una primera
aproximación de 21 , la ecuación (4.35) representa su segunda aproximación.
78
De los términos restantes de la ecuación (4.34), se encuentra que la solución total es
regida por la siguiente expresión:
)3cos(32
)()cos( 121
3
1211 tu
tsenCtCu m
(4.36)
Para satisfacer las condiciones iniciales )0,( 00 uuu m , las constantes de
integración deben ser:
21
3
1 32 m
m
uuC y 02 C (4.37)
Por lo tanto, la segunda aproximación del movimiento está dada por:
)cos()3cos(32
)cos( 1121
3
1 ttu
tuu mm
(4.38)
Así, el término de corrección en la segunda aproximación contiene un armónico alto
proporcional a )3cos( 1t , el cual se muestra en la Fig. 4.17. Por supuesto, la
desviación respecto de una simple curva coseno sólo depende de la magnitud del
factor .
79
Fig. 4.17 Primera y segunda aproximación de la solución [64]
También se puede apreciar en (4.35) que la frecuencia angular 1 se incrementa con
la amplitud, tal como se puede apreciar en la Fig. 4.18.
Fig. 4.18 Variación de la frecuencia con la Amplitud [64]
Si una tercera aproximación del movimiento es requerida, la segunda aproximación
(4.38) se reemplazaría en la ecuación (4.31) y el proceso de repite. Sin embargo, las
manipulaciones trigonométricas llegan a ser algo complicadas, y una técnica más
ordenada es necesaria. Hacia ese fin, se observa que las ecuaciones (4.35) y (4.38)
pueden ser escritas de la siguiente manera:
80
121
2 c (4.39)
10 u (4.40)
Es decir, expresiones, para la segunda aproximación de la frecuencia y el
desplazamiento, que contienen la cantidad a la primera potencia. Para las
subsiguientes aproximaciones se toman los términos adicionales de las siguientes
series:
...33
22
121
2 ccc (4.41)
...33
22
10 u (4.42)
Las cuales contienen potencias de . En las series (4.41) y (4.42) ,,, 210 etc.,
representan funciones de tiempo desconocidas; y 321 ,, ccc etc., son constantes que
deben ser elegidas para eliminar las condiciones de falsas resonancias. Aumentando
el número de términos en las series, se puede calcular tantas aproximaciones como se
requiera. El siguiente análisis se limitará a las potencias menores iguales que tres (3)
del término . Sustituyendo las ecuaciones (4.41) y (4.42) en (4.28), se obtiene:
0)(...
...))(()(3
33
22
10
33
22
1033
22
1213
32
210
ccc (4.43)
Después de realizar las respectivas operaciones algebraicas y despreciando todas las
expresiones que contengan el término con potencias mayores que tres (3), la
ecuación (4.43) se puede representar de la siguiente forma:
0)33(...
...)3()(2
102202112033
213
3
12011022
212
23011
2110
210
ccc
ccc o
(4.44)
Esta ecuación debe ser válida para cualquier valor de , lo cual significa que el
término que acompaña a cada una de las tres potencias de debe ser igual a cero.
81
Así, la ecuación (4.28) puede ser expresada por el siguiente sistema de ecuaciones:
2102
202112033
213
12011022
212
30011
211
0210
33
3
ccc
cc
c
o
(4.45)
Considerando las mismas condiciones iniciales ( muu 0 y 00 u ) y sustituyéndolas
en la ecuación (4.42) y en su respectiva derivada, se obtiene:
mu )0()0()0()0( 33
22
1 (4.46)
0)0()0()0()0( 33
22
1 (4.47)
Esta ecuación debe ser válida para cualquier valor de , y por lo tanto el término que
acompaña a cada una de las tres potencias de debe ser igual a cero, con lo que se
obtiene:
0)0(0)0(
0)0(0)0(
0)0(0)0(
0)0()0(
33
22
11
00
mu
(4.48)
Considerando la primera ecuación del sistema de ecuaciones (4.45) y las condiciones
iniciales de la primera fila de (4.48), se encuentra que:
)cos( 10 tum (4.49)
Sustituyendo esta primera aproximación en el lado derecho de la segunda ecuación de
(4.45), se obtiene:
)3cos(4
)cos(4
3
)(cos)cos(
1
3
1
3
1
133
111211
tu
tu
uc
tutuc
mmm
mm
(4.50)
82
Para eliminar la condición de falsa resonancia, se elige 1c tal que el primer término del
lado derecho de la ecuación (4.50) sea igual a cero. De esta manera se encuentra
que:
4
3 2
1mu
c (4.51)
La solución general para la ecuación diferencial (4.50) será de la siguiente forma:
)3cos(32
)()cos( 121
3
12111 tu
tsenCtC m
(4.52)
Para satisfacer las condiciones iniciales dadas en la segunda fila del sistema (4.52), se
encuentra que:
21
3
1 32mu
C y 02 C (4.53)
Así,
)cos()3cos(32 112
1
3
1 ttum
(4.54)
Si se limita el cálculo a la segunda aproximación y se sustituye (4.49), (4.51) y (4.54)
en las ecuaciones (4.41) y (4.42), se obtiene:
)cos()3cos(32
)cos( 1121
3
1 ttu
tuu mm
(4.55)
En la ecuación anterior se tiene que:
4
3 222
1mu
(4.56)
83
Las ecuaciones (4.55) y (4.56) coinciden exactamente con las expresiones que se
obtuvieron en (4.35) y (4.38).
Siguiendo el mismo procedimiento, se obtiene: la tercera aproximación a la respuesta:
)cos()5cos(1024
)cos()3cos(32
)cos( 1141
52
1121
3
1 ttu
ttu
tuu mmm
(4.57)
Donde 1 viene determinada por la expresión:
2
42222
1 128
3
4
3
mm uu (4.58)
La cuarta aproximación a la respuesta:
)cos(5)3cos(6)7cos(32768
...
...)cos()5cos(1024
)cos()3cos(32
)cos(
11161
73
1141
52
1121
3
1
tttu
ttu
ttu
tuu
m
mmm
(4.59)
En la cual 1 viene determinada por la aproximación:
4
63
2
42222
1 512
9
128
3
4
3
mmm uuu (4.60)
En resumen, el Método de la Perturbación o Método de las Aproximaciones Sucesivas
implica la simulación de una vibración libre no lineal por una serie de funciones
obtenidas asumiendo la forma de la primera aproximación, tal como se muestra en la
ecuación (4.29), y luego solucionando repetidamente un sistema de ecuaciones del
tipo (4.45), sujetas a condiciones iniciales mostradas en (4.48).
Una aproximación seleccionada con este método satisface intrínsecamente la
ecuación del movimiento sólo en los instantes cuando el sistema vibrante está en un
extremo o en posición media. Aunque no haya teóricamente límite en el número de
84
aproximaciones sucesivas que pueden ser obtenidas, la segunda aproximación debe
ser ordinariamente suficiente para fines prácticos.
El párrafo anterior debe entenderse en el sentido de que la aproximación realizada
permite una predicción correcta de las amplitudes y frecuencias a la que se produce la
vibración, aunque no permite aproximar de igual manera la forma de la onda.
Esto no es un inconveniente para su utilización en la práctica, sobre todo con fines
experimentales, en que los datos obtenidos de los ensayos serán fundamentalmente
amplitudes y frecuencias.
Podría, por otro lado, comprobarse que la serie de términos obtenida para 1 está
constituida por términos alternativamente positivos y negativos, por lo que el error
cometido al truncar el desarrollo es fácilmente acotable por diferencia entre los dos
últimos términos.
85
5. ENSAYOS EXPERIMENTALES
5.1 GENERALIDADES
El plan de ensayos está dirigido por una parte a desarrollar los ensayos
experimentales y con ellos pretender validar el modelo conceptual propuesto en el
capítulo anterior.
Se iniciará con la descripción del material utilizado así como la obtención de la misma,
luego se describirán los medios e instrumentos utilizados para la realización de las
respectivas pruebas estáticas y dinámicas.
Finalmente se harán los comentarios correspondientes a los resultados obtenidos,
para luego en el capítulo siguiente poderlas validar con los resultados obtenidos
mediante el modelo conceptual propuesto, o en su defecto ajustar los parámetros del
modelo conceptual.
5.2 MATERIAL UTILIZADO
Las arañas con las que se trabajó pertenecen a la familia Araneidae, género Argiope,
especie Argiope Argentata, (Fig. 5.1). Las arañas se recolectaron de la Reserva de los
Pantanos de Villa, ubicada en el distrito de Chorrillos - Lima, y puestas en cautiverio de
forma individual, debido a la naturaleza solitaria de las arañas, en jaulas
experimentales fabricadas de vidrio de 25x25x5 cm (Fig. 5.2).
Fig. 5.1 Araña Argiope Argentata [58]
86
Fig. 5.2 Detalle de las jaulas experimentales [58]
Las arañas fueron alimentadas en base a una dieta de un (01) Tenebrio molitor
(Fig. 5.3) por día.
Fig. 5.3 Tenebrio molitor [58]
5.3 TÉCNICAS EXPERIMENTALES
5.3.1 OBTENCIÓN DE LA SEDA MA
La seda MA fue obtenida de tres ejemplares hembras. Con la finalidad de limitar la
variabilidad de sus propiedades mecánicas, la misma que se ve reflejada en las curvas
Esfuerzo-Deformación (Fig. 4.1 y Fig. 4.2); la obtención de la seda MA se realizó
durante la segregación de la seda que la araña efectúa mientras trepa libremente (hilo
de seguridad).
87
La seda MA está compuesta por dos (02) fibras MA, esto se debe a que la araña
presenta dos hilanderas simétricas contiguas, tal como se puede apreciar en la
Fig. 5.4.
Fig. 5.4 Hilanderas de las arañas [13]
5.3.2 OBTENCIÓN DEL PESO DE LA ARAÑA Y SU TELA
La obtención de los pesos de las arañas y sus respectivas telas se lograron haciendo
uso de una balanza electrónica AND HA200A - 210 g ± 0,1 mg, del Laboratorio de
Química Analítica de la Pontificia Universidad Católica del Perú.
El peso de la araña (Fig. 5.5) se realizó mediante el uso de un recipiente de plástico de
11,2737 gr. de peso, luego se procedió a pesar el recipiente con la araña. De la
diferencia entre esta última medida y el peso del recipiente se logró el peso de la
araña, los mismos que se pueden apreciar en la tabla 5.1.
El peso de la telaraña (Figura 5.6) se obtuvo retirando la tela de cada uno de los
recipientes de vidrio y haciendo un ovillo, el cual posteriormente se pesó. El peso de
cada una de las telarañas se muestra en la tabla 5.1.
88
Fig. 5.5 Peso de las arañas
Fig. 5.6 Peso de las telarañas
Tabla 5.1
Peso de la Araña y su Tela
DESCRIPCIÓN 1 2 3
Araña Telaraña Araña Telaraña Araña Telaraña
Peso (g) 0,2701 0,0061 0,2799 0,0132 0,3550 0,0082
89
5.3.3 OBTENCIÓN DE LAS PROPIEDADES GEOMÉTRICAS DE LA SEDA MA
La medida del diámetro de las fibras se realizó con un Microscopio Electrónico de Barrido
(SEM) y un software de procesamiento de imágenes (Fig. 5.7), disponibles en el
Laboratorio de Materiales de la Pontificia Universidad Católica del Perú.
Fig. 5.7 Microscopio electrónico de barrido
Previamente a la colocación de la seda MA en el SEM, con la finalidad de evitar la
acumulación de electrones en su superficie y de esta manera obtener imágenes de buena
calidad, las muestras fueron recubiertas con una capa conductora de oro-paladio en un
metalizador, como se puede apreciar en la Fig. 5.8.
Fig. 5.8 Metalizador
90
Para la medición del diámetro de una fibra en una determinada zona se obtuvieron
imágenes a 1 600 aumentos (Fig. 5.9).
Fig. 5.9 Medida del diámetro de la seda MA
El área de la sección transversal (9,05x10-12 m2) de la seda MA se determinó con el
diámetro promedio (2,40x10-6 m), el mismo que se obtuvo con las medidas efectuadas a
lo largo de la seda.
5.4 ENSAYOS ESTÁTICOS
5.4.1 ENSAYO DE TRACCIÓN
Para la obtención de la curva Fuerza-Deformación de la seda MA se utilizo la Máquina de
Tracción (Fig. 5.10) del Laboratorio de Polímeros y Compuestos (POLYCOM) de la
Pontificia Universidad Católica del Perú. El rango de velocidad de deformación de la
máquina varía de 0,22 mm/s a 5,50 mm/s.
91
Fig. 5.10 Máquina de tracción
Las muestras de seda MA, de 10 cm de longitud, antes de ser colocadas en la máquina
de tracción, se prepararon haciendo uso de marcos de cartulina Canson de 11x6 cm y
pegamento de cianoacrílico (Fig. 5.11).
Fig. 5.11 Marcos de cartulina Canson
Instalada la probeta en la máquina de tracción se procedió a cortar los lados del marco
que no se sujetaron con las mordazas de la máquina, detalle que se puede apreciar en la
(Fig. 5.12).
92
Fig. 5.12 Colocación de una probeta de seda MA en la máquina de tracción
El ensayo se realizó a una velocidad de deformación mínima de 0,22 mm/s, obteniéndose
la curva Fuerza-Deformación mostrada en la Fig. 5.13.
0 2 4 6 8 10 12 14 16 18 20 22 24 26 28 30 32 34 36 38 40 42 44 46 48 50 52 54 56 58 60 62 64 66 68 70700
0.015
0.03
0.045
0.06
0.075
0.09
0.105
0.120.12CURVA "FUERZA - DEFORMACIÓN"
DEFORMACIÓN (%)
FU
ER
ZA
(N
)
Fig. 5.13 Curva Fuerza-Deformación
Mordaza Móvil
Mordaza Fija
Controlador de velocidad
Controlador de Carga
Controlador de Desplazamiento
Corte del marco de la probeta
93
En la Fig. 5.13, se puede observar que el rango elástico se encuentra aproximadamente
entre el 0% y 2% de deformación y entre 0 N y 0,016 N de fuerza, la tendencia de las
curvas así como los valores se repitieron en otros ensayos los mismos que se pueden
apreciar en la Fig. 5.14 y Fig. 5.15.
0 2 4 6 8 10 12 14 16 18 20 22 24 25250
0.005
0.01
0.015
0.02
0.025
0.03
0.035
0.04
0.045
0.05
0.055
0.06
0.065
0.07
0.075
0.08
0.085
0.090.09CURVA "FUERZA - DEFORMACIÓN"
DEFORMACIÓN (%)
FU
ER
ZA
(N
)
Fig. 5.14 Curva Fuerza-Deformación
0 2 4 6 8 10 12 14 16 18 20 22 24 26 28 30 32 34 36 38 40 42 44 45450
0.01
0.02
0.03
0.04
0.05
0.06
0.07
0.08
0.09
0.1
0.11
0.12
0.13
0.14CURVA "FUERZA - DEFORMACIÓN"
DEFORMACIÓN (%)
FU
ER
ZA
(N
)
Fig. 5.15 Curva Fuerza-Deformación
94
5.4.2 ENSAYO DE CARGA Y DESCARGA
Empleando la Máquina de Tracción del Laboratorio de Polímeros y Compuestos
(POLYCOM) de la Pontificia Universidad Católica del Perú y la misma técnica en la
preparación de las muestras que el ensayo anterior se realizó el ensayo de Carga y
Descarga a fin de ratificar la ubicación del límite elástico de la seda MA.
El ensayo se realizó a una velocidad de deformación de 0,22 mm/s, obteniéndose la curva
mostrada en la Figura 5.16, en la que se puede observar que cuando la seda se deforma
y se carga más allá del 2% y 0,016 N respectivamente presenta una deformación
permanente, este comportamiento hace deducir que el ensayo de la seda se encuentra
dentro del rango elástico.
En conclusión el límite elástico se encuentra aproximadamente entre el 0% y 2% de
deformación y entre 0 N y 0,016 N de fuerza.
0 2 4 6 8 10 12 14 16 18 20 22 24 26 28 30 32 34 36 38 40 42 44 45450
0.015
0.03
0.045
0.06
0.075
0.09
0.105
0.12
0.135
0.15
0.160.16CURVAS DE CARGA Y DESCARGA
DEFORMACIÓN (%)
FU
ER
ZA
(N
)
Fig. 5.16 Curvas de Carga-Descarga
95
5.5 ENSAYOS DINÁMICOS
Para estudiar el comportamiento dinámico del sistema se realizaron ensayos
experimentales de vibración libre, dichos experimentos se ejecutaron en los
Laboratorios de Acústica y de Películas Delgadas de la Pontificia Universidad Católica
del Perú. Los ensayos se efectuaron tanto en condiciones ambientales como en
condiciones de vacío. Este último se realizó con la finalidad de eliminar la influencia
del amortiguamiento del aire en el sistema.
5.5.1 ENSAYOS DINÁMICOS REALIZADOS EN CONDICIONES AMBIENTALES
El ensayo de vibraciones libres, en condiciones ambientales, se realizó en el
Laboratorio de Acústica haciendo uso de un velocímetro láser y un sistema
multianalizador de señales con software Pulse LabShop versión 12.5.0 de Brüel &
Kjær (Fig. 5.17).
Fig. 5.17 Velocímetro láser, hardware y software
Para la excitación del sistema se empleó un electroimán de 5 000 espiras, el cual fue
alimentado por una fuente de corriente continua regulable de 0 - 30 V y 0 - 2 A
(Fig. 5.18).
96
Fig. 5.18 Material y equipo de excitación
La configuración del sistema consta de dos sedas MA con una longitud (2 L ) de 0,11
m en disposición perpendicular (como se aprecia en la Fig.4.3), pretensadas con una
fuerza “ S ” de 0,0032 N. El valor de la fuerza de pretensión se obtuvo después de
realizar varios ensayos y permite que el sistema quede lo suficientemente tenso,
además que le brinda la facilidad de elongarse hasta el límite máximo de su rango
elástico (Fig. 5.13 - Fig. 5.16) sin llegar a la ruptura.
La técnica utilizada para obtener la fuerza de pretensión la seda, consistió en colgar un
peso (0,0032 N) en un extremo de la seda mientras el otro extremo se encontraba fijo
a la estructura. Detalle que se puede apreciar en la Fig. 5.19.
Fig. 5.19 Pretensión de la seda MA
En la intersección de ambos hilos se colocó una masa puntual de 2,10x10-5 kg
conformada por una cinta reflectiva y una limadura de hierro (Fig. 5.20). Los extremos
de ambas sedas se fijaron a la estructura de aluminio con pegamento de cianoacrílico.
97
Fig. 5.20 Sedas MA con masa puntual
La disposición de las herramientas y equipos utilizados en el ensayo se muestran en la
Fig. 5.21.
Fig. 5.21 Disposición de herramientas y equipos en ensayo de condiciones ambientales
Las condiciones ambientales, temperatura y humedad relativa, a las que se realizaron
los ensayos fueron 17°C y 90% respectivamente.
Velocímetro Láser
Soporte de la Estructura hecha de
Seda MA Estructura con
Electroimán
Hardware y Software
98
Para realizar los ensayos dinámicos se tuvieron que calibrar los equipos, así como
tener la masa puntual con la cinta reflectiva en posición alineada con el velocímetro
láser.
Para dar inicio a las vibraciones libres del sistema se accionó el interruptor de la fuente
regulable, el electroimán empezó a energizarse creando un campo magnético, el cual
sirvió para atraer a la limadura de hierro desde la posición de equilibrio estático a una
distancia de 0,011m, además la velocidad inicial fue de 0 m/s.
Esta condición inicial hizo que la seda variara la fuerza de pretensión inicial “ S ”
(0,0032 N) hasta un valor restringido por su límite elástico, logrando con ello que las
propiedades elásticas del material (coeficiente de elasticidad E, sección de la seda A)
participen en la caracterización de las propiedades dinámicas del sistema.
Desplazado el sistema, se interrumpió el suministro de energía al electroimán,
cesando de esta manera el campo magnético y permitiendo que el sistema oscile
libremente hasta recobrar la posición de equilibrio estático (P.E.E). Dicho movimiento
fue captado por el velocímetro láser a través del reflectivo, ubicado en la parte reversa
de la limadura de hierro. Con la ayuda del analizador y el software de análisis se
obtuvo la curva del movimiento del sistema en condiciones ambientales Las figuras
5.22 y 5.23 son alguna de las curvas obtenidas de los múltiples ensayos realizados.
0 2.5 5 7.5 10 12.5 15 17.5 20 22.5 2525-12
-11
-10
-9
-8
-7
-6
-5
-4
-3
-2
-1
0
1
2
3
4
5
66x 10
-3 CURVA "DESPLAZAMIENTO - TIEMPO"
TIEMPO (s)
DE
SP
LAZ
AM
IEN
TO
(m
)
CONDICIONES AMBIENTALES 17°C y 90%
Fig. 5.22 Movimiento del sistema en condiciones ambientales
99
0 2.5 5 7.5 10 12.5 15 17.5 20 22.5 2525-12
-11
-10
-9
-8
-7
-6
-5
-4
-3
-2
-1
0
1
2
3
4
5
66x 10
-3 CURVA "DESPLAZAMIENTO - TIEMPO"
TIEMPO (s)
DE
SP
LAZ
AM
IEN
TO
(m
)
CONDICIONES AMBIENTALES 17°C y 90%
Fig. 5.23 Movimiento del sistema en condiciones ambientales
De las gráficas anteriores se puede observar el tiempo que el sistema emplea para
retornar a su posición de equilibrio, el cual varía aproximadamente de 22,50 a 25 s.
También se puede notar que el régimen lineal (donde el sistema se comporta
simplemente como la vibración de una cuerda pretensada con una masa puntual en el
medio) empieza aproximadamente ente los 2,50 y 5 s. después de haberse iniciado el
movimiento del sistema.
De los tantos posibles amortiguamientos presentes al oscilar el sistema en estas
condiciones los mas significativos serían: el amortiguamiento interno de la estructura
hecha de seda MA (C), el amortiguamiento debido a la resistencia del aire (CA) y el
amortiguamiento en las junturas.
A fin de prescindir, de cierto modo, de la influencia del amortiguamiento del aire (CA)
en el movimiento del sistema y poder caracterizar el amortiguamiento intrínseco de la
seda MA (C) fue necesario realizar ensayos dinámicos en condiciones de vacío.
100
5.5.2 ENSAYOS DINÁMICOS REALIZADOS EN CONDICIONES DE VACÍO
Para la realización de los ensayos dinámicos en condiciones de vacío, se tuvo que
utilizar una cámara de vacío, el cual fue proporcionado por el Laboratorio de Películas
Delgadas de la Sección Física (Fig. 5.24), se utilizaron los mismos equipos que en los
ensayos en condiciones ambientales. Por el espacio de la cámara, la realización de los
ensayos correspondientes fue mucho más complicada en su ejecución.
Cabe mencionar que el tiempo de ejecución de cada experimento fue de
aproximadamente una hora y media en promedio. Estos ensayos son los que más
tiempo demandaron, esto como consecuencia de las dificultades propias de dichos
ensayos.
Fig. 5.24 Sistema en el interior de la cámara de vacío
Las condiciones ambientales, temperatura y humedad relativa, a las que se realizaron
los ensayos fueron 18°C y 91% respectivamente.
El tiempo empleado por la cámara para proporcionar las condiciones de vacío (1 mbar)
fue de aproximadamente 45 min, al término del cual, para desplazar al sistema
vibratorio de su posición de equilibrio estático (0,011 m) se empleó la misma técnica
utilizada en el ensayo anterior.
La disposición de las herramientas y equipos utilizados en el ensayo se muestran en la
Fig. 5.25.
101
.
Fig. 5.25 Disposición de herramientas y equipos en ensayo de condiciones de vacío
Con la ayuda del analizador y el software de análisis se obtuvieron las curvas del
movimiento del sistema en condiciones de vacío, las figuras. 5.26 y 5.27 son la
muestra de los numerosos ensayos realizados.
0 5 10 15 20 25 30 35 40 45 50 55 60 65 70 75 80 85 90 95 100 105 110 115 120120-12
-11
-10
-9
-8
-7
-6
-5
-4
-3
-2
-1
0
1
2
3
4
5
6x 10
-3 CURVA "DESPLAZAMIENTO - TIEMPO"
TIEMPO (s)
DE
SP
LAZ
AM
IEN
TO
(m
)
CONDICIONES DE VACÍO 18°C, 91%, 1mbar
Fig. 5.26 Movimiento del sistema en condiciones de vacío
Cámara de Vacío
Ventana por donde se efectuaron las mediciones con el Velocímetro Láser
102
0 5 10 15 20 25 30 35 40 45 50 55 60 65 70 75 80 85 90 95 100 105 110 115 120 125 130 135 140140-12
-11
-10
-9
-8
-7
-6
-5
-4
-3
-2
-1
0
1
2
3
4
5
66x 10
-3 CURVA "DESPLAZAMIENTO - TIEMPO"
TIEMPO (s)
DE
SP
LAZ
AM
IEN
TO
(m
)
CONDICIONES DE VACÍO 18°C, 91%, 1mbar
Fig. 5.27 Movimiento del sistema en condiciones de vacío
Las condiciones iníciales fueron las mismas que para los ensayos en condiciones
ambientales: desplazamiento inicial 0,011 m y velocidad inicial 0 m/s:
Se observa que el tiempo que emplea el sistema para retornar a su posición de
equilibrio varía aproximadamente de 105,50 a 120,50 s. Se aprecia también que el
régimen lineal (ya no se presentan perturbaciones en la curva) empieza aproximadamente
a los 16 s después de haberse iniciado el movimiento del sistema. Este valor se determinó
al observar el gráfico Waterfall (Fig. 5.28 y Fig. 5.30) y el gráfico Intensidad del
Autoespectro (Fig. 5.29 y Fig. 5.31) en los cuales a partir de los 16 s el sistema entra en su
régimen lineal, rango en el que el sistema vibra con su frecuencia fundamental
(aproximadamente 17,17 Hz).
La forma de la curva, en el rango no lineal, del ensayo realizado en condiciones de
vacío (curva de color azul) presenta distorsiones, esto se puede sustentar de que en
ese lapso de tiempo (de 0 a 16 s) la masa puntual, debido a su geometría ( no es
volumétricamente simétrica) y la forma como el electroimán la ha desplazado desde su
posición de equilibrio estático, no solo le ha proporcionado un desplazamiento en la
dirección del eje “Z” si no que adicionalmente existe un giro de la masa, el cual va
103
atenuándose conforme el sistema se acerca a la posición de equilibrio, detalle que se
ve reflejado en la forma de la curva pasado los 16 s.
Los amortiguamientos presentes al oscilar el sistema en estas condiciones son: el
amortiguamiento interno de la estructura hecha de seda MA (C), el amortiguamiento
en las junturas y el amortiguamiento debido a la resistencia del aire (CA) (como
consecuencia del bajo vacío), cabe mencionar que el CA en estas condiciones es
mucho menor que el CA en condiciones ambientales.
5.5.3 EVOLUCIÓN DE LA FRECUENCIA EN EL TIEMPO
Con la finalidad de analizar el comportamiento de la frecuencia en el tiempo de las
curvas mostradas en las figuras 5.26 y 5.27 se obtuvieron los gráficos Waterfall en
tres dimensiones (3D), conocido también como gráfico de Cascada (Fig. 5.28 y Fig.
5.30) y el gráfico Autospectrum Contour, o gráfico de Intensidad del Autoespectro (Fig.
5.29 y Fig. 5.31). El intervalo de tiempo entre muestra y muestra es de 0,80 s en
ambas curvas.
Fig. 5.28 Waterfall del sistema (Eje X: Frecuencia, Eje Y: Amplitud, Eje Z: Número de Muestras)
104
Fig. 5.29 Intensidad del Autoespectro (Eje X: Frecuencia, Eje Y: Número de Muestras, Color: Amplitud)
Fig. 5.30 Waterfall del sistema (Eje X: Frecuencia, Eje Y: Amplitud, Eje Z: Número de Muestras)
105
Fig. 5.31 Intensidad del Autoespectro (Eje X: Frecuencia, Eje Y: Número de Muestras, Color: Amplitud)
Las gráficas mostradas en las figuras 5.28 y 5.30 muestran la variación de la frecuencia en
el tiempo y por ende del desplazamiento, peculiaridad de los sistemas no lineales que es
explicada en forma aproximada por la expresión 4.16. Dicha ecuación expresa que la
frecuencia es una función del desplazamiento y que tiende a la frecuencia fundamental
conforme el sistema se aproxima a su posición de equilibrio estático.
Tanto en las gráficas de cascada Waterfall (Fig. 5.28 y Fig. 5.30) como en los gráficos de
Intensidad del Autoespectro (Fig. 5.29 y Fig. 5.31) se puede observar la presencia de
armónicos, los cuales van desapareciendo conforme el sistema se acerca a su posición
de equilibrio estático. Esta particularidad de los sistemas no lineales es explicada en forma
aproximada mediante la ecuación (4.59), la cual está compuesta por una serie de
armónicos que van atenuándose conforme el sistema se aproxima a su posición de
equilibrio estático.
Como se puede observar en las figuras 5.28-5.31, la variación de la frecuencia para el
primer armónico es de aproximadamente 21,63 Hz a 17,17 Hz (frecuencia fundamental),
para el segundo armónico de 42,29 Hz a 34,44 Hz y para el tercer armónico de 62,63 Hz a
52,40 Hz.
106
5.5.4 COMPARACIÓN DE LOS RESULTADOS OBTENIDOS EN CONDICIONES
AMBIENTALES Y CONDICIONES DE VACÍO
Con la finalidad de apreciar la influencia del amortiguamiento del aire en el
amortiguamiento del sistema se graficaron las curvas obtenidas tanto en condiciones
ambientales como en condiciones de vacío en un mismo gráfico, tal como se puede
apreciar en la Fig. 5.32.
0 5 10 15 20 25 30 35 40 45 50 55 60 65 70 75 80 85 90 95 100 105 110 115 120 125 130 135 140140-12
-11
-10
-9
-8
-7
-6
-5
-4
-3
-2
-1
0
1
2
3
4
5
66x 10
-3 CURVA "DESPLAZAMIENTO - TIEMPO"
TIEMPO (s)
DE
SP
LAZ
AM
IEN
TO
(m
)
CONDICIONES DE VACÍO 18°C, 91%, 1mbar
CONDICIONES AMBIENTALES 17°C y 90%
Fig. 5.32 Influencia del amortiguamiento del aire en el amortiguamiento del sistema
En la Fig. 5.32 se observa la gran influencia del amortiguamiento del aire (CA), curva
de color verde, en el amortiguamiento del sistema. Detalle que se ve reflejado en la
duración de la vibración transitoria, mientras que el transitorio del ensayo en
condiciones ambientales dura aproximadamente 25 s, el del ensayo en condiciones de
vacío dura aproximadamente 120 s.
107
6. VALIDACIÓN Y AJUSTE DEL MODELO
6. 1 SOLUCIÓN DE LA ECUACIÓN DIFERENCIAL DE
MOVIMIENTO
La solución aproximada de la ecuación diferencial “exacta” de movimiento del sistema
(4.8), que considera sólo el amortiguamiento de la estructura hecha de seda MA ( C ),
se obtuvo utilizando métodos numéricos en especial el de Runge Kutta de 4to grado
para Sistemas (RK4S).
La programación de dicha ecuación se realizó en un entorno del Software Matlab,
versión 7.0.0.19920 (R14), el mismo que se puede apreciar en el Anexo 6.2.
El programa elaborado consta de dos archivos: el archivo “rks4.m” y el archivo “F1.m”;
el primer archivo contiene la programación del Método de Runge Kutta de 4to grado
para Sistemas mientras que el segundo archivo contiene la ecuación de movimiento
del sistema expresada como un sistema de dos ecuaciones diferenciales de primer
orden.
En la ecuación diferencial de movimiento (4.8):
04
44
Re
222222
2
stitutivaFuerzaDisipativaFuerzaó
ientoAmortiguamdeFuerza
InercialFuerza zL
zLz
L
EA
zL
zSz
zL
zCzm (6.1)
Las condiciones iniciales del sistema son:
s
mzymz 0)0(011,0)0( (6.2)
El intervalo de evaluación considerado es el concerniente al ensayo en condiciones de
vacío:
0 ≤ t ≤ 120,28 s (6.3)
108
Las componentes de inercia m (2,10x10-5 kg), la fuerza de pretensión S (0,0032 N), el
módulo de elasticidad E (8,84 GPa), la sección de la seda A (9,05x10-12 m2) y
longitud de seda L (0,055 m), de la ecuación (6.1) son conocidas, por lo tanto el único
parámetro desconocido es la capacidad de amortiguamiento del material representada
por una constante de amortiguamiento (C ), de la estructura hecha de la seda MA.
Puesto que para la solución se utiliza métodos numéricos se tuvo que asumir un valor
inicial, con el cual se obtuvo la solución de la ecuación de movimiento. La elección de
dicho valor se realizó tomado como referencia la curva obtenida experimentalmente.
Dicha solución se graficó y se superpuso a la curva obtenida en forma experimental
bajo las condiciones de vacío.
A fin de aplicar el Método de Runge Kutta de 4to grado para Sistemas (RK4S), se tuvo
que transformar la ecuación (6.1) en un sistema de dos ecuaciones diferenciales de
primer orden, para ello fue necesario realizar un cambio de variable que conllevó a que
la expresión (6.1) quede reformulada de la siguiente manera:
yz (6.4)
222222
2 444
zL
zLz
mL
EA
zL
z
m
Sy
zL
z
m
Cyz (6.5)
Las expresiones (6.4) y (6.5) se ingresan en el archivo “F1.m”, según lo indicado en el
Anexo 6.2, de esta manera la ecuación que gobierna el movimiento del sistema (4.8)
está en condiciones de ser evaluada mediante el Método de Runge Kutta (4RK4S).
Con el cambio de variable las nuevas condiciones iniciales son:
s
myemz 0)0(011,0)0( (6.6)
Para que el programa pueda trabajar se necesitan los siguientes datos:
rks4(F , a , b , Za , M) (6.7)
109
Con la ecuación del movimiento ingresada en el archivo “F1.m”, el intervalo de tiempo
según la expresión (6.3), las nuevas condiciones iniciales (6.6), un número de pasos
(M) de 50 000, una constante de amortiguamiento de la estructura hecha de seda MA
(C ) que varía de 0,0003 a 0,00045 m
sN, con incrementos de 0,00005
m
sN, e
ingresando los datos como lo indicado en la expresión (6.7) se procede a ejecutar el
programa en la ventana de comandos del Software Matlab:
rks4(‘F1’ , 0 , 120,28 , [-0,011 , 0] , 50 000) (6.8)
A partir de la ejecución del programa según lo indicado en la expresión (6.8) se obtuvo
la solución aproximada de la ecuación de movimiento (4.8) para diferentes valores de
coeficiente de amortiguamiento “C ”.
Las soluciones, en forma gráfica, se compararon con la curva experimental obtenida
en condiciones de vacío, lo cual se puede apreciar en las figuras Fig. 6.1 a la Fig. 6.4.
0 5 10 15 20 25 30 35 40 45 50 55 60 65 70 75 80 85 90 95 100 105 110 115 120 125 130 135 140140-0.015
-0.014-0.013-0.012-0.011-0.01
-0.009-0.008-0.007-0.006
-0.005-0.004-0.003-0.002-0.001
00.0010.0020.0030.004
0.0050.0060.0070.0080.0090.01
0.0110.0120.0130.0140.0150.015
CURVA "DESPLAZAMIENTO - TIEMPO"
TIEMPO (s)
DE
SP
LAZ
AM
IEN
TO
(m
)
SOLUCIÓN NUMÉRICA CON RK4S (C=0.0003 Ns/m)
CONDICIONES DE VACÍO 18 °C, 91%, 1 mbar
Fig. 6.1 Comparación de la solución numérica
m
NsC 0003.0 con la curva experimental
en condiciones de vacío mbarC 1%,91,18
110
0 5 10 15 20 25 30 35 40 45 50 55 60 65 70 75 80 85 90 95 100 105 110 115 120 125 130 135 140140-0.015
-0.014-0.013-0.012-0.011-0.01
-0.009-0.008-0.007-0.006
-0.005-0.004-0.003-0.002-0.001
00.0010.0020.0030.004
0.0050.0060.0070.0080.0090.01
0.0110.0120.0130.0140.0150.015
CURVA "DESPLAZAMIENTO - TIEMPO"
TIEMPO (s)
DE
SP
LAZ
AM
IEN
TO
(m
)
SOLUCIÓN NUMÉRICA CON RK4S (C=0.00035 Ns/m)
CONDICIONES DE VACÍO 18 °C, 91%, 1 mbar
Fig. 6.2 Comparación de la solución numérica
m
NsC 00035.0 con la curva experimental
en condiciones de vacío mbarC 1%,91,18
0 5 10 15 20 25 30 35 40 45 50 55 60 65 70 75 80 85 90 95 100 105 110 115 120 125 130 135 140140-0.015
-0.014-0.013-0.012-0.011-0.01
-0.009-0.008-0.007-0.006
-0.005-0.004-0.003-0.002-0.001
00.0010.0020.0030.004
0.0050.0060.0070.0080.0090.01
0.0110.0120.0130.0140.0150.015
CURVA "DESPLAZAMIENTO - TIEMPO"
TIEMPO (s)
DE
SP
LAZ
AM
IEN
TO
(m
)
SOLUCIÓN NUMÉRICA CON RK4S (C=0.00040 Ns/m)
CONDICIONES DE VACÍO 18 °C, 91%, 1 mbar
Fig. 6.3 Comparación de la solución numérica
m
NsC 0004.0 con la curva experimental
en condiciones de vacío mbarC 1%,91,18
111
0 5 10 15 20 25 30 35 40 45 50 55 60 65 70 75 80 85 90 95 100 105 110 115 120 125 130 135 140140-0.015
-0.014-0.013-0.012-0.011-0.01
-0.009-0.008-0.007-0.006
-0.005-0.004-0.003-0.002-0.001
00.0010.0020.0030.004
0.0050.0060.0070.0080.0090.01
0.0110.0120.0130.0140.0150.015
CURVA "DESPLAZAMIENTO - TIEMPO"
TIEMPO (s)
DE
SP
LAZ
AM
IEN
TO
(m
)
SOLUCIÓN NUMÉRICA CON RK4S (C=0.00045 Ns/m)
CONDICIONES DE VACÍO 18 °C, 91%, 1 mbar
Fig. 6.4 Comparación de la solución numérica
m
NsC 00045.0 con la curva experimental
en condiciones de vacío mbarC 1%,91,18
En las figuras 6.1-6.4 las curvas de color negro representan la solución del sistema
considerando sólo el amortiguamiento de la estructura hecha de seda MA (C ). Las
curvas de color azul representan los resultados obtenidos de los ensayos realizados
en condiciones de vacío.
Cabe hacer la aclaración de que los resultados logrados experimentalmente
consideran todos los amortiguamientos presentes en los ensayos, de todos ellos
solamente tomaremos en cuenta los más significativos, como el amortiguamiento de
la estructura hecha de seda MA (C ) así como el amortiguamiento en las junturas y el
amortiguamiento debido a la resistencia del aire (CA), producto del bajo vacío (1,00
mbar).
En las curvas de color negro de las figuras 6.1 a 6.4 se aprecia que en el intervalo de
tiempo de 0 a 16 segundos (rango no lineal del sistema) la estructura hecha de seda
MA participa como consecuencia de la variación de la amplitud del sistema; esto
significa la presencia de ciclos de histéresis (relación entre la energía disipada y la
energía absorbida), que indica que un porcentaje de la energía absorbida será
disipada en forma de calor como consecuencia de la fricción interna en el material, lo
112
cual es caracterizado por la fuerza disipativa representada por el amortiguador en la
expresión (4.8), “ecuación exacta” de movimiento del modelo conceptual planteado,
así como en (4.13) aproximación cuadrática de la ecuación (4.8).
Después de los 16 segundos el sistema trabaja en el rango lineal, los desplazamientos
del sistema son tan pequeños que la tensión en la estructura hecha de la seda MA es
aproximadamente la pretensión inicial “ S ”, como consecuencia de ello la estructura
prácticamente no trabaja y por consiguiente su amortiguamiento es despreciable,
razón por la cual en la ecuación (4.12), que representa la aproximación lineal de la
ecuación (4.8), no aparece el término correspondiente a la fuerza disipativa. Este
efecto se puede apreciar en las curvas de color negro, las cuales tienen una vibración
remanente que hacen que el sistema no vuelva a su posición de equilibrio estático tal
como lo hacen las curvas experimentales de color azul.
Este comportamiento se puede explicar si tenemos en cuenta que en los ensayos
experimentales (curvas de color azul) adicionalmente al amortiguamiento del material
(C ) se encuentran el amortiguamiento en las junturas y al amortiguamiento debido a
la resistencia del aire (CA), que aparece como consecuencia del bajo vacío (1,00
mbar).
Con la finalidad de cuantificar, en cierto modo, el amortiguamiento en las junturas y el
amortiguamiento debido a la resistencia del aire en condiciones de vacío fue necesario
realizar un ajuste a la ecuación del movimiento del sistema.
113
6. 2 AJUSTE A LA ECUACIÓN DE MOVIMIENTO
Con la finalidad de que la solución obtenida numéricamente (curvas de color negro)
se aproxime a las curvas obtenida experimentalmente en condiciones de vacío (curvas
de color azul) se realizó un ajuste a la ecuación que gobierna el movimiento del
sistema (4.8), el cual consistió en añadir un término de amortiguamiento, tal como se
puede apreciar en la ecuación (6.9):
(6.9)
El término zm
C1 en la ecuación (6.9) representa la fuerza disipativa global, que incluye
el amortiguamiento de las junturas y del aire (CA), producto del bajo vacío,
responsables para el retorno del sistema a su posición de equilibrio estático.
La ecuación del movimiento ajustada fue ingresada al programa de solución numérica.
Los datos que se ingresaron fueron, número de pasos (M) 50 000, constante de
amortiguamiento de la estructura hecha de seda MA (C ) tomando como valores
0,00035m
sN, 0,00025
m
sN, 0,00015
m
sN, 0,000145
m
sN y 0,00014
m
sN, una constante
de amortiguamiento global ( 1C ) con valores de 1,82x10-6
m
sN, 2,00x10-6
m
sN,
2,22x10-6
m
sN y 2,50x10-6
m
sN.
Dichos valores fueron ingresados al programa de solución numérica según la
expresión (6.10)
rks4(‘F1’ , 0 , 120,28 , [-0,011 , 0] , 50 000) (6.10)
Con la expresión (6.10) se obtuvo la solución aproximada de la ecuación de
movimiento ajustada (6.9) para diferentes valores de “ C ” y “ 1C ”.
04
44
Re
2222
122
2
stitutivaFuerzaJunturaslasenientoAmortiguamalyVacíoBajoaldebidoientoAmortiguam
DisipativaFuerzaóientoAmortiguamdeFuerza
InercialFuerza zL
zLz
L
EA
zL
zSz
m
Cz
zL
zCzm
114
Las soluciones fueron graficadas y comparadas con las curvas obtenidas de manera
experimental de los ensayos realizados en condiciones de vacío, lo cual se puede
apreciar en las Figuras 6.5 a la 6.24.
Las Figuras 6.5 a la 6.24 fueron graficadas para valores de “C ” iguales a
0,00035m
sN, 0,00025
m
sN, 0,00015
m
sN, 0,000145
m
sN y 0,00014
m
sN. Los valores
considerados para “ 1C ”, para cada valor de C , fueron: 1,82x10-6
m
sN, 2,00x10-6
m
sN,
2,22x10-6
m
sN y 2,50x10-6
m
sN.
0 5 10 15 20 25 30 35 40 45 50 55 60 65 70 75 80 85 90 95 100 105 110 115 120 125 130 135 140140-0.015
-0.014-0.013-0.012-0.011-0.01
-0.009-0.008-0.007-0.006
-0.005-0.004-0.003-0.002-0.001
00.0010.0020.0030.004
0.0050.0060.0070.0080.0090.01
0.0110.0120.0130.0140.0150.015
CURVA "DESPLAZAMIENTO - TIEMPO"
TIEMPO (s)
DE
SP
LAZ
AM
IEN
TO
(m
)
SOLUCIÓN NUMÉRICA AJUSTADA CON RK4S (C=0.00035 Ns/m y C1=1.82xE-6 Ns/m)
CONDICIONES DE VACÍO 18 °C, 91%, 1 mbar
Fig. 6.5 Comparación de la solución de la ecuación ajustada
m
NsxCy
m
NsC 6
1 1082.100035.0 con
la curva en condiciones de vacío mbarC 1%,91,18
115
0 5 10 15 20 25 30 35 40 45 50 55 60 65 70 75 80 85 90 95 100 105 110 115 120 125 130 135 140140-0.015
-0.014-0.013-0.012-0.011-0.01
-0.009-0.008-0.007-0.006
-0.005-0.004-0.003-0.002-0.001
00.0010.0020.0030.004
0.0050.0060.0070.0080.0090.01
0.0110.0120.0130.0140.0150.015
CURVA "DESPLAZAMIENTO - TIEMPO"
TIEMPO (s)
DE
SP
LAZ
AM
IEN
TO
(m
)
SOLUCIÓN NUMÉRICA AJUSTADA CON RK4S (C=0.00035 Ns/m y C1=2.00xE-6 Ns/m)
CONDICIONES DE VACÍO 18 °C, 91%, 1 mbar
Fig. 6.6 Comparación de la solución de la ecuación ajustada
m
NsxCy
m
NsC 6
1 1000.200035.0
con la curva en condiciones de vacío mbarC 1%,91,18
0 5 10 15 20 25 30 35 40 45 50 55 60 65 70 75 80 85 90 95 100 105 110 115 120 125 130 135 140140-0.015
-0.014-0.013-0.012-0.011-0.01
-0.009-0.008-0.007-0.006
-0.005-0.004-0.003-0.002-0.001
00.0010.0020.0030.004
0.0050.0060.0070.0080.0090.01
0.0110.0120.0130.0140.0150.015
CURVA "DESPLAZAMIENTO - TIEMPO"
TIEMPO (s)
DE
SP
LAZ
AM
IEN
TO
(m
)
SOLUCIÓN NUMÉRICA AJUSTADA CON RK4S (C=0.00035 Ns/m y C1=2.22xE-6 Ns/m)
CONDICIONES DE VACÍO 18 °C, 91%, 1 mbar
Fig. 6.7 Comparación de la solución de la ecuación ajustada
m
NsxCy
m
NsC 6
1 1022.200035.0
con la curva en condiciones de vacío mbarC 1%,91,18
116
0 5 10 15 20 25 30 35 40 45 50 55 60 65 70 75 80 85 90 95 100 105 110 115 120 125 130 135 140140-0.015
-0.014-0.013-0.012-0.011-0.01
-0.009-0.008-0.007-0.006
-0.005-0.004-0.003-0.002-0.001
00.0010.0020.0030.004
0.0050.0060.0070.0080.0090.01
0.0110.0120.0130.0140.0150.015
CURVA "DESPLAZAMIENTO - TIEMPO"
TIEMPO (s)
DE
SP
LAZ
AM
IEN
TO
(m
)
SOLUCIÓN NUMÉRICA AJUSTADA CON RK4S (C=0.00035 Ns/m y C1=2.50xE-6 Ns/m)
CONDICIONES DE VACÍO 18 °C, 91%, 1 mbar
Fig. 6.8 Comparación de la solución de la ecuación ajustada
m
NsxCy
m
NsC 6
1 1050.200035.0 con
la curva en condiciones de vacío mbarC 1%,91,18
0 5 10 15 20 25 30 35 40 45 50 55 60 65 70 75 80 85 90 95 100 105 110 115 120 125 130 135 140140-0.015
-0.014-0.013-0.012-0.011-0.01
-0.009-0.008-0.007-0.006
-0.005-0.004-0.003-0.002-0.001
00.0010.0020.0030.004
0.0050.0060.0070.0080.0090.01
0.0110.0120.0130.0140.0150.015
CURVA "DESPLAZAMIENTO - TIEMPO"
TIEMPO (s)
DE
SP
LAZ
AM
IEN
TO
(m
)
SOLUCIÓN NUMÉRICA AJUSTADA CON RK4S (C=0.00025 Ns/m y C1=1.82xE-6 Ns/m)
CONDICIONES DE VACÍO 18 °C, 91%, 1 mbar
Fig. 6.9 Comparación de la solución de la ecuación ajustada
m
NsxCy
m
NsC 6
1 1082.100025.0 con
la curva en condiciones de vacío mbarC 1%,91,18
117
0 5 10 15 20 25 30 35 40 45 50 55 60 65 70 75 80 85 90 95 100 105 110 115 120 125 130 135 140140-0.015
-0.014-0.013-0.012-0.011-0.01
-0.009-0.008-0.007-0.006
-0.005-0.004-0.003-0.002-0.001
00.0010.0020.0030.004
0.0050.0060.0070.0080.0090.01
0.0110.0120.0130.0140.0150.015
CURVA "DESPLAZAMIENTO - TIEMPO"
TIEMPO (s)
DE
SP
LAZ
AM
IEN
TO
(m
)
SOLUCIÓN NUMÉRICA AJUSTADA CON RK4S (C=0.00025 Ns/m y C1=2.00xE-6 Ns/m)
CONDICIONES DE VACÍO 18 °C, 91%, 1 mbar
Fig. 6.10 Comparación de la solución de la ecuación ajustada
m
NsxCy
m
NsC 6
1 1000.200025.0
con la curva en condiciones de vacío mbarC 1%,91,18
0 5 10 15 20 25 30 35 40 45 50 55 60 65 70 75 80 85 90 95 100 105 110 115 120 125 130 135 140140-0.015
-0.014-0.013-0.012-0.011-0.01
-0.009-0.008-0.007-0.006
-0.005-0.004-0.003-0.002-0.001
00.0010.0020.0030.004
0.0050.0060.0070.0080.0090.01
0.0110.0120.0130.0140.0150.015
CURVA "DESPLAZAMIENTO - TIEMPO"
TIEMPO (s)
DE
SP
LAZ
AM
IEN
TO
(m
)
SOLUCIÓN NUMÉRICA AJUSTADA CON RK4S (C=0.00025 Ns/m y C1=2.22xE-6 Ns/m)
CONDICIONES DE VACÍO 18 °C, 91%, 1 mbar
Fig. 6.11 Comparación de la solución de la ecuación ajustada
m
NsxCy
m
NsC 6
1 1022.200025.0
con la curva en condiciones de vacío mbarC 1%,91,18
118
De la Fig. 6.5 a la Fig. 6.11 se puede apreciar el comportamiento de la solución de la
ecuación del movimiento ajustada (curva de color naranja) para diversos valores de
“C ” y “ 1C ”, asimismo se puede observar la comparación de esta solución con la curva
obtenida experimentalmente en condiciones de vacío (curva de color azul). En las
curvas de color naranja se observa que el término de ajuste, que representa un
amortiguamiento global ( 1C ), explica de forma aproximada el amortiguamiento en las
junturas y el amortiguamiento debido a la resistencia del aire, responsables de que el
sistema retorne a la posición de equilibrio estático.
De las tendencias de la Fig. 6.5 a la Fig. 6.11 y teniendo en cuenta la distorsión, en el
rango no lineal, de la curva obtenida del ensayo en condiciones de vacío (de 0 a 16 s),
por razones ya explicadas, se desprende que la solución que mejor aproxima a la
curva en condiciones de vacío es la que tiene un valor de C =0,00025 m
sN y un valor
de 1C =2,22x10-6 m
sN, tal como se puede apreciar en la Fig. 6.11.
0 5 10 15 20 25 30 35 40 45 50 55 60 65 70 75 80 85 90 95 100 105 110 115 120 125 130 135 140140140-0.015
-0.014-0.013-0.012-0.011-0.01
-0.009-0.008-0.007-0.006
-0.005-0.004-0.003-0.002-0.001
00.0010.0020.0030.004
0.0050.0060.0070.0080.0090.01
0.0110.0120.0130.0140.0150.015
TIEMPO (s)
DE
SP
LAZ
AM
IEN
TO
(m
)
DESPLAZAMIENTO - TIEMPO
SOLUCIÓN NUMÉRICA CON RK4S (C=0.00045 Ns/m)
SOLUCIÓN NUMÉRICA AJUSTADA CON RK4S (C=0.00025 Ns/m y C1=2.22xE-6 Ns/m)
CONDICIONES DE VACÍO 18 °C, 91%, 1 mbar
Fig. 6.12 Comparación de la solución de la ecuación del movimiento
m
NsC 00045.0 con la
solución de la ecuación del movimiento ajustada
m
NsxCy
m
NsC 6
1 1022.200025.0 y con la curva
obtenida del ensayo en condiciones de vacío mbarC 1%,91,18
119
La Fig. 6.12, superposición de las figuras 6.4 y 6.11, muestra la solución de la
ecuación del movimiento, que considera únicamente el amortiguamiento de la
estructura hecha de seda MA ( C ) y es representado por la curva de color negro. La
curva de color naranja representa la solución de la ecuación de movimiento ajustada,
que considera además del amortiguamiento interno de la estructura hecha de seda MA
(C ) un amortiguamiento global ( 1C ), que incluye tanto al amortiguamiento en las
junturas como al amortiguamiento debido a la resistencia del aire (CA), como
consecuencia del bajo vacío. La curva de color azul caracteriza el movimiento del
sistema real en condiciones de vacío e involucra la presencia del amortiguamiento
interno de la estructura hecha de seda MA ( C ), el amortiguamiento en las junturas y el
amortiguamiento debido a la resistencia del aire (CA) debido al bajo vacío.
Observando la Fig. 6.12, se puede apreciar que pese a que la estructura hecha de
seda MA prácticamente no trabaja en el rango lineal (curva de color negro), el sistema
retorna a su posición de equilibrio estático (curva de color azul), este detalle ocurre
debido a la presencia del amortiguamiento en las junturas y al amortiguamiento debido
a la resistencia del aire (CA). Ambos amortiguamientos son caracterizados en la
ecuación 6.9 de manera conjunta por el factor de ajuste de amortiguamiento global
( 1C ), cuya solución está representada por la curva de color naranja en la cual se
puede apreciar que el factor de ajuste considerado explica de forma aproximada el
comportamiento del amortiguamiento global equivalente ( 1C ).
120
6.3 COMPARACIÓN DE LA EVOLUCIÓN DE LA FRECUENCIA
ANALÍTICA CON LA EXPERIMENTAL EN EL TIEMPO
Con la finalidad de comparar la evolución de la frecuencia analítica, dada por la
expresión 4.16, con la frecuencia experimental (Fig. 5.28 - Fig. 5.21) se graficó la
evolución de la frecuencia analítica a lo largo del tiempo.
Reemplazando m (2,10x10-5 kg), S (0,0032 N), E (8,84 GPa), A (9,05x10-12 m2), L (0,055
m) y considerando los valores de la amplitud ( z ) de los ensayos en vacío, en la
ecuación (4.16):
4
63
2
42222
1 512
9
128
3
4
3
zzz
(6.11)
Con la expresión anterior es posible obtener la evolución de la frecuencia “ 1 ” en
función de “ z ”, graficando “ 1 ” en el tiempo se obtiene la Fig. 6.13.
15 16.75 18.5 20.25 22 23.75 25.5 27.25 29 30.75 32.5 34.25 36 37.75 39.5 41.25 43 44.75 46.5 48.25 50 51.75 53.5 555540
55
70
85
100
115
130
145
160
175
190
205
220
Frecuencia (Hz)
Mue
stra
s
GRÁFICA "FRECUENCIA - MUESTRAS"
FRECUENCIA FUNDAMENTAL 19.62 Hz a 16.75 Hz
SEGUNDO ARMÓNICO 35.04 Hz a 33.51 Hz
TERCER ARMÓNICO 51.29 Hz a 50.29 Hz
Fig. 6.13 Evolución de la frecuencia analítica en el tiempo
121
La variación de la frecuencia, en la Fig. 6.13, para el primer armónico es de
aproximadamente 19,62 Hz a 16,75 Hz (frecuencia fundamental), para el segundo
armónico de 35,04 Hz a 33,51 Hz, para el tercer armónico de 51,29 Hz a 50,29 Hz.
Comparando la evolución de la frecuencia experimental que se muestran en los
espectros de Waterfall así como en los espectros de Intensidad de espectros, que se
pueden apreciar en las Fig. 5.28 a la 5.31 con la evolución de la frecuencia analítica en
el tiempo se aprecia que hay una coincidencia bastante buena desde el punto de vista
cualitativo, a pesar que los valores difieren en algunos porcentajes significativos.
Estas diferencias significativas entre los valores analíticos y experimentales se puede
atribuir al hecho de que las magnitudes de la frecuencia natural y el coeficiente del
término no lineal en los ensayos experimentales se pueden ver afectados por una
serie de variables que no pueden ser cuantificables analíticamente.
122
123
7. CONCLUSIONES
Una de las conclusiones iníciales se refiere a la capacidad de observación y abstracción
que posee el ser humano, la cual le permite observar lo desarrollado por la naturaleza
para luego entenderla y procesarla con la finalidad de poder utilizar esos conocimientos
para cubrir sus necesidades o en mejora de su bienestar.
Uno de los fenómenos que llama más la atención es el hecho de que el proceso evolutivo
de la naturaleza está siempre en la búsqueda permanente del equilibrio de los sistemas,
utilizando la mínima cantidad necesaria de material para un óptimo funcionamiento de
dicho sistema.
El objetivo general planteado en este tema de tesis tiene que ver con lo antes
mencionado, se ha tomado la estructura de tela de araña tipo orbicular, construida por las
arañas de la especia Argiope Argentata, como campo de investigación dentro del campo
de la Biomimética. Los criterios de diseño con los que araña construye la tela de araña, se
consideran de interés para aplicar esa funcionalidad con intenciones de poder plantear
aplicaciones en el ámbito científico, tecnológico, así como en algunas ramas de la
ingeniería.
Otra conclusión diferente, “que por otra parte es un incentivo añadido”, es la posibilidad
real demostrada de realizar una labor de carácter multidisciplinar de esta línea, en la que
físicos e ingenieros colaboran con químicos y biólogos para investigar la estructura y
fabricación de las fibras de seda. “Cuando conozcamos mejor las relaciones entre su
estructura y las propiedades mecánicas, seremos capaces de diseñar hilos con mejores
prestaciones” [28].
Por otro lado se ha comprobado que, si se hace una observación detallada de la
estructura de la tela de araña, es posible plantear modelos conceptuales, que representen
adecuadamente el comportamiento de dicha estructura.
124
Se ha comprobado la posibilidad de describir el comportamiento de la tela de araña a
través de modelos dinámicos sometidos a cargas impulsivas, en especial sistemas
vibratorios de un grado de libertad, como modelo conceptual eficaz para el análisis.
Teniendo en cuenta que la tela de araña está conformada principalmente por las seda MA
(hilo de seguridad, responsable para el funcionamiento de la estructura) y viscida
(responsable para la captura de las presas), es de importancia conocer tanto sus
propiedades estáticas como dinámicas de dichas sedas, en especial el de la seda MA.
En este sentido, para la determinación de las propiedades estáticas del hilo de seguridad
MA, se hizo uso de ensayos de tracción, en la Fig. 5.13, comprobando que el rango elástico
se encuentra aproximadamente entre el 0% y 2% de deformación y entre 0 N y 0,016 N de
fuerza. La tendencia de las curvas así como los valores se repitieron en otros ensayos los
mismos que se pueden apreciar en las Fig. 5.14 y Fig. 5.15.
Adicionalmente estos ensayos nos proporcionan información sobre el comportamiento
reológico de la seda, el cual puede ser representado como un sólido viscoelástico de
Kelvin-Voigt.
Esta conceptualización de la seda mediante el modelo de Kelvin –Voigt, Fig. 2.25, se basa
en el hecho de que este modelo mecánico tiene un elemento responsable para la
deformación, representado por la constante de rigidez a la tracción k=EA/L así como el
componente responsable para la disipación de la energía que es el elemento
amortiguador, representado por el coeficiente de amortiguamiento intrínseco de la
estructura C.
Recurriendo al principio de analogía (copiar una tela de araña), se construyó una
estructura de seda MA (Fig. 4.3), utilizada en la parte experimental para la caracterización
de los parámetros dinámicos.
El modelo conceptual considera a la seda de araña como un sólido viscoelástico, por ello
fue necesario hacer un estudio más minucioso sobre los tipos de amortiguadores que
están presentes en el módulo de ensayo, tal como se puede apreciar en la Fig. 4.5.
125
Se puede concluir que el amortiguamiento más significativo es el amortiguamiento del
aire, esto se basa en el hecho de que los ensayos realizados en condiciones ambientales,
requieren entre 22,5 a 25 segundos para retornar a la posición de equilibrio, como se
aprecia en las Figuras 5.22-5.23, mientras que los ensayos realizados en condiciones de
vacío oscilan entre los 105 a 120 segundos ( Fig.5.26-5.27), esto significa que como
consecuencia de la presencia de amortiguamiento del aire el tiempo de la etapa transitoria
se reduce entre 4,5 a 5 veces, comparado con los ensayos en condiciones de vacío.
Puesto que el objetivo principal de esta tesis es la determinación del coeficiente de
amortiguamiento de la seda fue necesario realizar los ensayos en condiciones de vacío
El modelo conceptual inicial es el sistema vibratorio constituido por una cuerda y una
masa puntual, tal como se plantea en el subcapítulo 3.2, Fig. 3.2; con los valores para las
condiciones de ensayo se obtiene que dicho sistema tiene una frecuencia fundamental de
16,75 Hertz, la cual depende únicamente de los parámetros estáticos que la conforman,
como la fuerza de pretensión, la masa puntual y la longitud del hilo.
La desventaja de este modelo es que no considera el amortiguamiento intrínseco de la
seda, adicionalmente se requiere la participación de la fuerza restitutiva intrínseca de la
seda (mediante la expresión EA), por ello se tuvo que ampliar el modelo, considerando los
parámetros antes mencionados, como se puede apreciar en las Figuras 4.6 a 4.9.
El incluir estos términos hace que la ecuación diferencial que describe el comportamiento
dinámico de dicho modelo sea una ecuación diferencial no lineal, la no linealidad es
producto del desplazamiento inicial z0= 1,1 cm.
La solución de esta ecuación diferencial se obtuvo utilizando métodos numéricos en
especial el de Runge Kutta de 4to grado para Sistemas (RK4S).
La frecuencia fundamental obtenida analíticamente varía entre 19,62 Hz a 16,75 Hz,
estabilizándose en 16,75 Hz (Fig.6.26). Esta solución coincide con la solución que se tiene
del modelo inicial de una cuerda con una masa puntual, esto no es de extrañar, pues una vez
finalizado la etapa no lineal, el sistema tiende rápidamente al rango lineal, con lo cual la
126
pretensión intrínseca de la seda así como el pequeño amortiguamiento de la seda no tienen
mayor importancia.
Las Figuras 5.28-5.31 muestran la variación de la frecuencia en el tiempo, para la frecuencia
fundamental está entre 21,63 Hz a 17,17 Hz, con una tendencia hacia los 17,17 Hz.
La diferencia entre la frecuencia, obtenida con el modelo simple de una cuerda y masa
puntual con la de los ensayos difiere en 0,42 Hz, lo que representa un error del 2,45%. Esta
pequeña diferencia entre las frecuencias fundamentales nos lleva a la conclusión de que el
modelo conceptual planteado es coherente y representa correctamente el comportamiento de
la estructura hecha de seda de araña MA (Fig. 4.3).
También se puede comparar la evolución de las frecuencias naturales en el tiempo, tanto
para los ensayos experimentales como para la solución analítica.
Las Figuras 5.28-5.31 muestran la variación de la frecuencia en el tiempo para los ensayos
experimentales en condiciones de vacío, el primer armónico varía de aproximadamente 21,63
Hz a 17,17 Hz (frecuencia fundamental), para el segundo armónico de 42,29 Hz a 34,44 Hz y
para el tercer armónico de 62,63 Hz a 52,40 Hz.
La variación de la frecuencia en el tiempo obtenida de la solución analítica se puede observar
en la Fig. 6.13, para el primer armónico varía de aproximadamente 19,62 Hz a 16,75 Hz
(frecuencia fundamental), para el segundo armónico de 35,04 Hz a 33,51 Hz, para el tercer
armónico de 51,29 Hz a 50,29 Hz.
127
Tomando en cuenta que dichos valores tienden hacia el menor valor podemos elaborar la
tabla 7.1.
Tabla 7.1
Comparación de las frecuencias naturales entre los resultados obtenidos
analíticamente así como de los ensayos en condiciones de vacío.
Primer Armónico Segundo Armónico Tercer Armónico
Ensayos 17,17 Hz 34,44 Hz 52,49 Hz
Analítico 16,75 Hz 33,51 Hz 50, 29 Hz
Error 0,42 Hz 0,93 Hz 2,2 Hz
Error (%) 2,45 2,7 4,2
La tabla anterior muestra que los errores son bastante pequeños, tanto en valor absoluto
como porcentual, lo que afirma nuevamente la validez del modelo conceptual planteado
en el capítulo 4.
También se debe mencionar que las soluciones analíticas encontradas para diferentes
valores de amortiguamiento intrínseco C, no convergen hacia los valores determinados
experimentalmente, tal como se aprecia en las Figs. 6.1-6.4. Por ello que se tuvo que
hacer un ajuste al modelo conceptual planteado, considerando un término que represente
los otros amortiguamientos presentes en la estructura al momento de realizar los ensayos,
como las de las junturas y el amortiguamiento como consecuencia del bajo vacío; ambos
amortiguamientos están representados por el coeficiente de amortiguamiento global C1.
Con ese ajuste se tiene que la solución numérica que mejor se aproxima, teniendo en
cuenta la distorsión en el rango no lineal (de 0 a 16 s), a la curva en condiciones de vacío
es la que tiene un valor de coeficiente de amortiguamiento intrínseco de la estructura
C =0,00025 m
sN y un amortiguamiento equivalente de las junturas y del bajo vacío
1C =2,22x10-6 m
sN, tal como se puede apreciar en la Fig. 6.11.
128
El amortiguamiento adicional C1, representa el 0,8% del amortiguamiento intrínseco C de
la estructura, siendo este valor muy pequeño pero importante para que la solución
analítica retorne a la posición de equilibrio estático.
El factor de amortiguamiento ξ que se obtiene de la relación del coeficiente de
amortiguamiento C y el coeficiente de amortiguamiento crítico CCri ( 04 mfCcri ) es
igual a 0,05, el cual es bien pequeño y puede ser despreciable cuando la estructura
trabaja en condiciones ambientales.
El estudio de la vibración libre de la seda MA en el rango no lineal ha permitido, como una
primera aproximación, determinar los parámetros dinámicos de la estructura hecha de seda
MA, frecuencia natural y coeficiente de amortiguamiento.
Asimismo ha permitido determinar, a través del modelo de Kelvin-Voigt, las propiedades
viscoelásticas de la seda MA (Fig. 2.24) así como de la estructura hecha de este material
(Fig. 2.25).
Fig. 7.1 Modelo de Kelvin-Voigt para la estructura de seda MA [14]
C = 0,00025 m
sN
k = 1,45 m
N
129
Fig. 7.2 Modelo de Kelvin-Voigt para la seda MA [14]
La investigación realizada muestra claramente dos rangos de trabajo: el rango lineal y el
rango no lineal.
La duración de los rangos se obtuvo analizando el gráfico Waterfall (Fig. 5.28 y Fig. 5.30), el
gráfico Intensidad del Autoespectro (Fig. 5.29 y Fig. 5.31) y la curva del movimiento de la
estructura en condiciones de vacío (Fig. 5.26 y Fig. 5.27). En dichos gráficos se observa
que iniciado el movimiento hasta los 16 s la frecuencia del sistema varía con el tiempo (rango
no lineal), pasado los 16 s la frecuencia del sistema se hace constante (17,17 Hz), de lo que
se deduce que el sistema ha ingresado en su rango lineal.
En el rango no lineal, la frecuencia del sistema ( 1 ) varía con la amplitud ( z ), expresión
4.16, pero para hallar su valor se requiere de y , siendo este último un parámetro
que contiene a “ E ”, módulo que caracteriza la rigidez, en estado uniaxial, de cualquier
material y por consiguiente a la seda de araña.
La fuerza restitutiva intrínseca del sistema presenta un comportamiento similar a un resorte de
endurecimiento, en el que la pendiente (rigidez) de la curva Fuerza-Deformación crece
conforme se incrementa la carga.
En el rango no lineal, el amortiguamiento aparece como consecuencia de los
desplazamientos relativamente grandes, para el análisis fue limitado por su máxima
deformación en el rango elástico (Fig. 5.14 - Fig. 5.15), con lo cual la estructura hecha de
seda MA comienza a trabajar dando como resultado la presencia de los ciclos de
= 1519705,10
2m
sN
E = 8,84x109
2m
N
130
histéresis (relación entre la energía disipada y la energía absorbida), que indica que un
porcentaje de la energía absorbida es disipada en forma de calor como consecuencia de
la fricción interna en el material, lo cual fue caracterizado por la fuerza disipativa
representada por el amortiguador en (4.8), ecuación exacta del movimiento del sistema,
así como en (4.13) aproximación cuadrática de (4.8).
Del análisis, las condiciones y la función de la telaraña se deduce que esta estructura está
diseñada para actuar en el rango no lineal, cuyo tiempo de duración es muy corto (Fig.
5.22 y Fig. 5.23), pasado ese período los encargados de retornarla a su posición de
equilibrio estático son el amortiguamiento del aire y el amortiguamiento en las junturas.
Adicionalmente está el hecho de que la tela de araña estará sometida a cargas
impulsivas, provenientes de las presas que caen en la red.
Investigaciones realizadas en este sentido muestran, que la mayor disipación de energía
realizada por la estructura hecha de seda de araña (estructura hecha de cuatro hilos que
se interceptan), se produjo durante sus tres primeros ciclos de oscilación con 47,37%,
17,30% y 7,55% de disipación respectivamente, con respecto a la energía cinética de
entrada; y que el porcentaje de disipación de energía realizado en los tres primeros ciclos
de oscilación con respecto a la energía total disipada fue de 65,59%, 23,97% y 10,44%
respectivamente, representado el 99% de la energía total disipada. Por lo tanto la tela de
araña y por consiguiente la seda de araña, además de poseer las características de
resistencia y extensibilidad, tienen la capacidad de disipar altos niveles de energía en
forma de energía de deformación y calor [34].
Como era de esperar, el conceptualizar a la estructura hecha de seda MA, como un sistema
vibratorio amortiguado de un grado de libertad arroja muy buenos resultados, por lo cual es
siempre pertinente tener en cuenta a este sistema, que a la luz parece sencillo, pero que es
de mucha utilidad, cuando se trata de estudiar sistemas dinámicos.
Se puede también concluir que el haber utilizado técnicas de vibraciones, en especial
vibraciones libres, es una manera “sencilla” pero eficiente cuando se tiene que caracterizar las
propiedades dinámicas de sistemas.
131
Utilizando las mismas técnicas de vibraciones se pueden plantear algunas líneas de
investigación, que se pueden trabajar en el futuro.
Se propone estudiar la tela de araña con la araña sometida a condiciones de resonancia,
planteando la hipótesis de que la araña con sus ocho patas está en la posibilidad de
cambiar la pretensión de la estructura, variando de esta manera la frecuencia natural del
sistema constituido por la tela de araña y la araña como masa puntual, esta hipótesis se
basa en la siguiente cita: "Hay que echar mano de la fantasía para introducirse en el
cuerpo de un ser que recibe a través del sentido del tacto casi toda la información sobre
las cosas que tienen significación en su vida" [23].
Como ya se ha mencionado en párrafos anteriores, se han realizado estudios sobre el
comportamiento de una estructura hecha de seda MA sometida a cargas de impacto en
condiciones ambientales, con la finalidad de poder cuantificar el porcentaje de energía de
disipación. Pero si se quiere cuantificar la capacidad de disipación de la seda misma se
tendrá que hacer ensayos experimentales en condiciones de vacío.
Los valores obtenidos, sirven para realizar simulaciones computacionales haciendo uso
de algún método numérico como por ejemplo, el método de los elementos finitos,
diferencias finitas, etc.
Haciendo uso de algún instrumento de medición es posible obtener la geometría de la tela
de araña, y luego procesarla en una plataforma CAD, para luego hacer el estudio
dinámico de la tela de araña con los métodos antes planteados.
Finalmente hay que resaltar que el éxito de esta investigación fue esencialmente porque
se supo planificar y gestionar en forma eficiente tanto los recursos humanos como de
infraestructura con que cuenta la Pontificia Universidad Católica del Perú. Esta
investigación muestra que para lograr resultados se tiene que trabajar de forma
multidisciplinaria y de manera coordinada.
132
141
ANEXOS DEL CAPÍTULO 5
142
143
A5.1 RESULTADOS EN CONDICIONES AMBIENTALES
0 2.5 5 7.5 10 12.5 15 17.5 20 22.5 2525-12
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CONDICIONES AMBIENTALES 17°C y 90%
Fig.A5.1 Movimiento del sistema en condiciones ambientales
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-3 CURVA "DESPLAZAMIENTO - TIEMPO"
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CONDICIONES AMBIENTALES 17°C y 90%
Fig.A5.2 Movimiento del sistema en condiciones ambientales
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0 2.5 5 7.5 10 12.5 15 17.5 20 22.5 2525-12
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CONDICIONES AMBIENTALES 17°C y 90%
Fig.A5.3 Movimiento del sistema en condiciones ambientales
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-3 CURVA "DESPLAZAMIENTO - TIEMPO"
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CONDICIONES AMBIENTALES 17°C y 90%
Fig.A5.4 Movimiento del sistema en condiciones ambientales
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CONDICIONES AMBIENTALES 17°C y 90%
Fig.A5.5 Movimiento del sistema en condiciones ambientales
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-3 CURVA "DESPLAZAMIENTO - TIEMPO"
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CONDICIONES AMBIENTALES 17°C y 90%
Fig.A5.6 Movimiento del sistema en condiciones ambientales
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-3 CURVA "DESPLAZAMIENTO - TIEMPO"
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CONDICIONES AMBIENTALES 17°C y 90%
Fig.A5.7 Movimiento del sistema en condiciones ambientales
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-3 CURVA "DESPLAZAMIENTO - TIEMPO"
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CONDICIONES AMBIENTALES 17°C y 90%
Fig.A5.8 Movimiento del sistema en condiciones ambientales
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A5.2 RESULTADO EN CONDICIONES DE VACÍO
0 5 10 15 20 25 30 35 40 45 50 55 60 65 70 75 80 85 90 95 100 105 110 115 120120-12
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)CONDICIONES DE VACÍO 18°C, 91%, 1mbar
Fig.A5.9 Movimiento del sistema en condiciones de vacío
0 5 10 15 20 25 30 35 40 45 50 55 60 65 70 75 80 85 90 95 100 105 110 115 120 125 130 135 140140-12
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-3 CURVA "DESPLAZAMIENTO - TIEMPO"
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CONDICIONES DE VACÍO 18°C, 91%, 1mbar
Fig.A5.10 Movimiento del sistema en condiciones de vacío
148
0 5 10 15 20 25 30 35 40 45 50 55 60 65 70 75 80 85 90 95 100 105 110 115 120 125 130 135 140140-12
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CONDICIONES DE VACÍO 18°C, 91%, 1mbar
Fig.A5.11 Movimiento del sistema en condiciones de vacío
0 5 10 15 20 25 30 35 40 45 50 55 60 65 70 75 80 85 90 95 100 105 110 115 120120-12
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CONDICIONES DE VACÍO 18°C, 91%, 1mbar
Fig.A5.12 Movimiento del sistema en condiciones de vacío
149
0 5 10 15 20 25 30 35 40 45 50 55 60 65 70 75 80 85 90 95 100 105 110 115 120120-12
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CONDICIONES DE VACÍO 18°C, 91%, 1mbar
Fig.A5.13 Movimiento del sistema en condiciones de vacío
0 5 10 15 20 25 30 35 40 45 50 55 60 65 70 75 80 85 90 95 100 105 110 115 120 125 130 135 140140-12
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CONDICIONES DE VACÍO 18°C, 91%, 1mbar
Fig.A5.14 Movimiento del sistema en condiciones de vacío
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0 5 10 15 20 25 30 35 40 45 50 55 60 65 70 75 80 85 90 95 100 105 110 115 120 125 130 135 140140-12
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CONDICIONES DE VACÍO 18°C, 91%, 1mbar
Fig.A5.15 Movimiento del sistema en condiciones de vacío
0 5 10 15 20 25 30 35 40 45 50 55 60 65 70 75 80 85 90 95 100 105 110 115 120120-12
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-3 CURVA "DESPLAZAMIENTO - TIEMPO"
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CONDICIONES DE VACÍO 18°C, 91%, 1mbar
Fig.A5.16 Movimiento del sistema en condiciones de vacío
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A5.3 DIAGRAMAS DE CASCADA Y INTENSIDAD DE
AUTOESPECTRO
Fig.A5.17 Waterfall del sistema (Eje X: Frecuencia, Eje Y: Amplitud, Eje Z: Número de Muestras)
Fig.A5.18 Intensidad del Autoespectro (Eje X: Frecuencia, Eje Y: Número de Muestras, Color: Amplitud)
152
Fig.A5.19 Waterfall del sistema (Eje X: Frecuencia, Eje Y: Amplitud, Eje Z: Número de Muestras)
Fig.A5.20 Intensidad del Autoespectro (Eje X: Frecuencia, Eje Y: Número de Muestras, Color: Amplitud)
153
Fig.A5.21 Waterfall del sistema (Eje X: Frecuencia, Eje Y: Amplitud, Eje Z: Número de Muestras)
Fig.A5.22 Intensidad del Autoespectro (Eje X: Frecuencia, Eje Y: Número de Muestras, Color: Amplitud)
154
Fig.A5.23 Waterfall del sistema (Eje X: Frecuencia, Eje Y: Amplitud, Eje Z: Número de Muestras)
Fig. A5.24 Intensidad del Autoespectro (Eje X: Frecuencia, Eje Y: Número de Muestras, Color: Amplitud)
155
Fig.A5.25 Waterfall del sistema (Eje X: Frecuencia, Eje Y: Amplitud, Eje Z: Número de Muestras)
Fig.A5.26 Intensidad del Autoespectro (Eje X: Frecuencia, Eje Y: Número de Muestras, Color: Amplitud)
156
Fig. A5.27 Waterfall del sistema (Eje X: Frecuencia, Eje Y: Amplitud, Eje Z: Número de Muestras)
Fig.A5.28 Intensidad del Autoespectro (Eje X: Frecuencia, Eje Y: Número de Muestras, Color: Amplitud)
157
ANEXOS DEL CAPÍTULO 6
158
159
A 6.1 SOLUCIONES NUMERICAS AJUSTADAS
Fig. A6.1 Comparación de la solución de la ecuación ajustada
m
NsxCy
m
NsC 6
1 1050.200025.0
con la curva en condiciones de vacío mbarC 1%,91,18
0 5 10 15 20 25 30 35 40 45 50 55 60 65 70 75 80 85 90 95 100 105 110 115 120 125 130 135 140140-0.015
-0.014-0.013-0.012-0.011-0.01
-0.009-0.008-0.007-0.006
-0.005-0.004-0.003-0.002-0.001
00.0010.0020.0030.004
0.0050.0060.0070.0080.0090.01
0.0110.0120.0130.0140.0150.015
CURVA "DESPLAZAMIENTO - TIEMPO"
TIEMPO (s)
DE
SP
LAZ
AM
IEN
TO
(m
)
SOLUCIÓN NUMÉRICA AJUSTADA CON RK4S (C=0.00015 Ns/m y C1=1.82xE-6 Ns/m)
CONDICIONES DE VACÍO 18 °C, 91%, 1 mbar
Fig. A6.2 Comparación de la solución de la ecuación ajustada
m
NsxCy
m
NsC 6
1 1082.100015.0
con la curva en condiciones de vacío mbarC 1%,91,18
0 5 10 15 20 25 30 35 40 45 50 55 60 65 70 75 80 85 90 95 100 105 110 115 120 125 130 135 140140-0.015
-0.014-0.013-0.012-0.011-0.01
-0.009-0.008-0.007-0.006
-0.005-0.004-0.003-0.002-0.001
00.0010.0020.0030.004
0.0050.0060.0070.0080.0090.01
0.0110.0120.0130.0140.0150.015
CURVA "DESPLAZAMIENTO - TIEMPO"
TIEMPO (s)
DE
SP
LAZ
AM
IEN
TO
(m
)
SOLUCIÓN NUMÉRICA AJUSTADA CON RK4S (C=0.00025 Ns/m y C1=2.50xE-6 Ns/m)
CONDICIONES DE VACÍO 18 °C, 91%, 1 mbar
160
0 5 10 15 20 25 30 35 40 45 50 55 60 65 70 75 80 85 90 95 100 105 110 115 120 125 130 135 140140-0.015
-0.014-0.013-0.012-0.011-0.01
-0.009-0.008-0.007-0.006
-0.005-0.004-0.003-0.002-0.001
00.0010.0020.0030.004
0.0050.0060.0070.0080.0090.01
0.0110.0120.0130.0140.0150.015
CURVA "DESPLAZAMIENTO - TIEMPO"
TIEMPO (s)
DE
SP
LAZ
AM
IEN
TO
(m
)
SOLUCIÓN NUMÉRICA AJUSTADA CON RK4S (C=0.00015 Ns/m y C1=2.00xE-6 Ns/m)
CONDICIONES DE VACÍO 18 °C, 91%, 1 mbar
Fig. A6.3 Comparación de la solución de la ecuación ajustada
m
NsxCy
m
NsC 6
1 1000.200015.0
con la curva en condiciones de vacío mbarC 1%,91,18
0 5 10 15 20 25 30 35 40 45 50 55 60 65 70 75 80 85 90 95 100 105 110 115 120 125 130 135 140140-0.015
-0.014-0.013-0.012-0.011-0.01
-0.009-0.008-0.007-0.006
-0.005-0.004-0.003-0.002-0.001
00.0010.0020.0030.004
0.0050.0060.0070.0080.0090.01
0.0110.0120.0130.0140.0150.015
CURVA "DESPLAZAMIENTO - TIEMPO"
TIEMPO (s)
DE
SP
LAZ
AM
IEN
TO
(m
)
SOLUCIÓN NUMÉRICA AJUSTADA CON RK4S (C=0.00015 Ns/m y C1=2.22xE-6 Ns/m)
CONDICIONES DE VACÍO 18 °C, 91%, 1 mbar
Fig. A6.4 Comparación de la solución de la ecuación ajustada
m
NsxCy
m
NsC 6
1 1022.200015.0
con la curva en condiciones de vacío mbarC 1%,91,18
161
0 5 10 15 20 25 30 35 40 45 50 55 60 65 70 75 80 85 90 95 100 105 110 115 120 125 130 135 140140-0.015
-0.014-0.013-0.012-0.011-0.01
-0.009-0.008-0.007-0.006
-0.005-0.004-0.003-0.002-0.001
00.0010.0020.0030.004
0.0050.0060.0070.0080.0090.01
0.0110.0120.0130.0140.0150.015
CURVA "DESPLAZAMIENTO - TIEMPO"
TIEMPO (s)
DE
SP
LAZ
AM
IEN
TO
(m
)
SOLUCIÓN NUMÉRICA AJUSTADA CON RK4S (C=0.00015 Ns/m y C1=2.50xE-6 Ns/m)
CONDICIONES DE VACÍO 18 °C, 91%, 1 mbar
Fig. A6.5 Comparación de la solución de la ecuación ajustada
m
NsxCy
m
NsC 6
1 1050.200015.0
con la curva en condiciones de vacío mbarC 1%,91,18
0 5 10 15 20 25 30 35 40 45 50 55 60 65 70 75 80 85 90 95 100 105 110 115 120 125 130 135 140140-0.015
-0.014-0.013-0.012-0.011-0.01
-0.009-0.008-0.007-0.006
-0.005-0.004-0.003-0.002-0.001
00.0010.0020.0030.004
0.0050.0060.0070.0080.0090.01
0.0110.0120.0130.0140.0150.015
CURVA "DESPLAZAMIENTO - TIEMPO"
TIEMPO (s)
DE
SP
LAZ
AM
IEN
TO
(m
)
SOLUCIÓN NUMÉRICA AJUSTADA CON RK4S (C=0.000145 Ns/m y C1=1.82xE-6 Ns/m)
CONDICIONES DE VACÍO 18 °C, 91%, 1 mbar
Fig. A6.6 Comparación de la solución de la ecuación ajustada
m
NsxCy
m
NsC 6
1 1082.1000145.0
con la curva en condiciones de vacío mbarC 1%,91,18
162
0 5 10 15 20 25 30 35 40 45 50 55 60 65 70 75 80 85 90 95 100 105 110 115 120 125 130 135 140140-0.015
-0.014-0.013-0.012-0.011-0.01
-0.009-0.008-0.007-0.006
-0.005-0.004-0.003-0.002-0.001
00.0010.0020.0030.004
0.0050.0060.0070.0080.0090.01
0.0110.0120.0130.0140.0150.015
CURVA "DESPLAZAMIENTO - TIEMPO"
TIEMPO (s)
DE
SP
LAZ
AM
IEN
TO
(m
)
SOLUCIÓN NUMÉRICA AJUSTADA CON RK4S (C=0.000145 Ns/m y C1=2.00xE-6 Ns/m)
CONDICIONES DE VACÍO 18 °C, 91%, 1 mbar
Fig. A6.7 Comparación de la solución de la ecuación ajustada
m
NsxCy
m
NsC 6
1 1000.2000145.0
con la curva en condiciones de vacío mbarC 1%,91,18
0 5 10 15 20 25 30 35 40 45 50 55 60 65 70 75 80 85 90 95 100 105 110 115 120 125 130 135 140140-0.015
-0.014-0.013-0.012-0.011-0.01
-0.009-0.008-0.007-0.006
-0.005-0.004-0.003-0.002-0.001
00.0010.0020.0030.004
0.0050.0060.0070.0080.0090.01
0.0110.0120.0130.0140.0150.015
CURVA "DESPLAZAMIENTO - TIEMPO"
TIEMPO (s)
DE
SP
LAZ
AM
IEN
TO
(m
)
SOLUCIÓN NUMÉRICA AJUSTADA CON RK4S (C=0.000145 Ns/m y C1=2.22xE-6 Ns/m)
CONDICIONES DE VACÍO 18 °C, 91%, 1 mbar
Fig.A6.8 Comparación de la solución de la ecuación ajustada
m
NsxCy
m
NsC 6
1 1022.2000145.0
con la curva en condiciones de vacío mbarC 1%,91,18
163
0 5 10 15 20 25 30 35 40 45 50 55 60 65 70 75 80 85 90 95 100 105 110 115 120 125 130 135 140140-0.015
-0.014-0.013-0.012-0.011-0.01
-0.009-0.008-0.007-0.006
-0.005-0.004-0.003-0.002-0.001
00.0010.0020.0030.004
0.0050.0060.0070.0080.0090.01
0.0110.0120.0130.0140.0150.015
CURVA "DESPLAZAMIENTO - TIEMPO"
TIEMPO (s)
DE
SP
LAZ
AM
IEN
TO
(m
)
SOLUCIÓN NUMÉRICA AJUSTADA CON RK4S (C=0.000145 Ns/m y C1=2.50xE-6 Ns/m)
CONDICIONES DE VACÍO 18 °C, 91%, 1 mbar
Fig.A6.9Comparación de la solución de la ecuación ajustada
m
NsxCy
m
NsC 6
1 1050.2000145.0
con la curva en condiciones de vacío mbarC 1%,91,18
0 5 10 15 20 25 30 35 40 45 50 55 60 65 70 75 80 85 90 95 100 105 110 115 120 125 130 135 140140-0.015
-0.014-0.013-0.012-0.011-0.01
-0.009-0.008-0.007-0.006
-0.005-0.004-0.003-0.002-0.001
00.0010.0020.0030.004
0.0050.0060.0070.0080.0090.01
0.0110.0120.0130.0140.0150.015
CURVA "DESPLAZAMIENTO - TIEMPO"
TIEMPO (s)
DE
SP
LAZ
AM
IEN
TO
(m
)
SOLUCIÓN NUMÉRICA AJUSTADA CON RK4S (C=0.00014 Ns/m y C1=1.82xE-6 Ns/m)
CONDICIONES DE VACÍO 18 °C, 91%, 1 mbar
Fig.A6.10 Comparación de la solución de la ecuación ajustada
m
NsxCy
m
NsC 6
1 1082.100014.0
con la curva en condiciones de vacío mbarC 1%,91,18
164
0 5 10 15 20 25 30 35 40 45 50 55 60 65 70 75 80 85 90 95 100 105 110 115 120 125 130 135 140140-0.015
-0.014-0.013-0.012-0.011-0.01
-0.009-0.008-0.007-0.006
-0.005-0.004-0.003-0.002-0.001
00.0010.0020.0030.004
0.0050.0060.0070.0080.0090.01
0.0110.0120.0130.0140.0150.015
CURVA "DESPLAZAMIENTO - TIEMPO"
TIEMPO (s)
DE
SP
LAZ
AM
IEN
TO
(m
)
SOLUCIÓN NUMÉRICA AJUSTADA CON RK4S (C=0.00014 Ns/m y C1=2.00xE-6 Ns/m)
CONDICIONES DE VACÍO 18 °C, 91%, 1 mbar
Fig.A6.11 Comparación de la solución de la ecuación ajustada
m
NsxCy
m
NsC 6
1 1000.200014.0
con la curva en condiciones de vacío mbarC 1%,91,18
0 5 10 15 20 25 30 35 40 45 50 55 60 65 70 75 80 85 90 95 100 105 110 115 120 125 130 135 140140-0.015
-0.014-0.013-0.012-0.011-0.01
-0.009-0.008-0.007-0.006
-0.005-0.004-0.003-0.002-0.001
00.0010.0020.0030.004
0.0050.0060.0070.0080.0090.01
0.0110.0120.0130.0140.015
CURVA "DESPLAZAMIENTO - TIEMPO"
TIEMPO (s)
DE
SP
LAZ
AM
IEN
TO
(m
)
SOLUCIÓN NUMÉRICA AJUSTADA CON RK4S (C=0.00014 Ns/m y C1=2.22xE-6 Ns/m)
CONDICIONES DE VACÍO 18 °C, 91%, 1 mbar
Fig.A6.12 Comparación de la solución de la ecuación ajustada
m
NsxCy
m
NsC 6
1 1022.200014.0
con la curva en condiciones de vacío mbarC 1%,91,18
165
0 5 10 15 20 25 30 35 40 45 50 55 60 65 70 75 80 85 90 95 100 105 110 115 120 125 130 135 140140-0.015
-0.014-0.013-0.012-0.011-0.01
-0.009-0.008-0.007-0.006
-0.005-0.004-0.003-0.002-0.001
00.0010.0020.0030.004
0.0050.0060.0070.0080.0090.01
0.0110.0120.0130.0140.0150.015
CURVA "DESPLAZAMIENTO - TIEMPO"
TIEMPO (s)
DE
SP
LAZ
AM
IEN
TO
(m
)
SOLUCIÓN NUMÉRICA AJUSTADA CON RK4S (C=0.00014 Ns/m y C1=2.50xE-6 Ns/m)
CONDICIONES DE VACÍO 18 °C, 91%, 1 mbar
Fig.A6.13 Comparación de la solución de la ecuación ajustada
m
NsxCy
m
NsC 6
1 1050.200014.0
con la curva en condiciones de vacío mbarC 1%,91,18
166
167
A6.2 PROGRAMA NUMÉRICO DEL MÉTODO DE RUNGE-KUTTA DE ORDEN N=4 PARA SISTEMAS
function RESULTADOS=rks4(F,a,b,Za,M)
fprintf('\n')
%DATOS % - F: ECUACIÓN DIFERENCIAL A EVALUAR.
% - a y b: SON LOS EXTREMOS DERECHO E IZQUIERDO DEL INTERVALO.
% - Z=[x1(a)...xn(a)]: ES LA CONDICIÓN INICIAL.
% - M: ES EL NÚMERO DE PASOS.
%RESULTADOS % - T: ES EL VECTOR DE LOS NODOS % - Z=[x1(a)...xn(a)]: DONDE xk(t), ES LA APROXIMACIÓN A LA K-ÉSIMA VARIABLE DEPENDIENTE.
h=(b-a)/M;
T=zeros(1,M+1);
Z=zeros(M+1,length(Za));
fprintf(' VECTOR NODOS\n')
fprintf(' T\n')
T=a:h:b;
fprintf('%12.7f\n',T)
Z(1,:)=Za;
format long
for j=1:M
k1=h*feval(F,T(j),Z(j,:));
k2=h*feval(F,T(j)+h/2,Z(j,:)+k1/2);
k3=h*feval(F,T(j)+h/2,Z(j,:)+k2/2);
k4=h*feval(F,T(j)+h,Z(j,:)+k3);
Z(j+1,:)=Z(j,:)+(k1+2*k2+2*k3+k4)/6;
end
fprintf('\n')
fprintf(' R E S U L T A D O S \n')
fprintf('\n')
fprintf(' X Y\n')
RESULTADOS=[Z];
168
% ARCHIVO QUE CONTIENE LA ECUACIÓN DIFERENCIAL A EVALUAR function Z=F1(t,Z)
x=Z(1);
y=Z(2);
Z=[ yy , ];
%Comentario: en Z = [ ], primero se escribe “y” y luego “ y ”.
169
SIMBOLOGÍA
A : Área de la sección transversal de la seda MA
C : Constante de amortiguamiento de la estructura de seda MA
1C : Constante de amortiguamiento global
E : Módulo de elasticidad de la seda MA
E : Parámetro visco-elástico
E : Rigidez dinámica
E : Módulo de almacenamiento
E : Módulo de pérdida
F : Fuerza actuante en la estructura de seda MA
)(tF : Fuerza externa
K : Rigidez de la estructura de seda MA
L : Semilongitud de la seda MA
P : Fuerza aplicada
S : Pretensión inicial de la seda MA
T : Fuerza ejercida por la seda MA
W : Energía de deformación
c : Coeficiente de amortiguamiento
dc : Coeficiente de arrastre
eqc : Amortiguamiento equivalente
d : Capacidad de amortiguamiento por unidad de volumen
170
Vd : Capacidad de amortiguamiento por unidad de volumen del modelo viscoelástico
hd : Capacidad de amortiguamiento por unidad de volumen de un amortiguamiento
histérico
)(uf : Polinomio de grado no menor que dos (2)
df : Fuerza de arrastre resultante
k : Rigidez
l : Semilongitud del alambre
m : Masa puntual del sistema
u : Desplazamiento
u : Velocidad
u : Aceleración
x : Desplazamiento
0x : Desplazamiento inicial
x : Velocidad
x : Aceleración
z : Desplazamiento en la dirección z
z : Velocidad en la dirección z
z : Aceleración en la dirección z
: Variación de la semilongitud de la seda MA
: Variación de la longitud de la seda MA por unidad de tiempo
171
3
2
mL
EA : Coeficiente del término no lineal
: Deformación
: Deformación unitaria
: Tasa de deformación
: Coeficiente de viscosidad de la seda MA
: Inclinación del alambre y de la seda respecto al eje vertical
ξ : Factor de amortiguamiento
: Esfuerzo
:Ángulo de desfase
: Frecuencia natural
1 : Frecuencia del sistema no lineal