UNIVERSIDAD NACIONAL DE SAN CRISTÓBAL DE HUAMANGA

(SEGUNDA UNIVERSIDAD FUNDADA EN EL PERÚ)

FACULTAD DE INGENIERÍA DE MINAS, GEOLOGÍA Y CIVIL

ESCUELA DE FORMACIÓN PROFESIONAL DE INGENIERÍA

CIVIL

EJERCICIOS PROPUESTOS DE CINEMÁTICA DE PARTÍCULAS

Y CINEMÁTICA DE CUERPOS RÍGIDOS

DOCENTE:

Ing. Cristian CASTRO PÉREZ

CURSO:

Dinámica (IC - 244)

ALUMNOS:

CERDA AYALA, Wilbert Teófilo 16105692

ASTO BERROCAL, Richar 16090630

FELIX PAHUARA, Carlos 16095048

LLAMOJA CONDE, Carmen Mary 16001213

SEMESTRE ACADÉMICO:

2012 – II

AYACUCHO - PERÚ

3

Cinemática

EJERCICIOS RESUELTOS DE CINEMÁTICA DE PARTÍCULAS Y CINEMÁTICA DE

CUERPOS RÍGIDOS

2.16. El bloque B se mueve hacia la derecha con una velocidad constante vo. Escribir la

expresión para la velocidad y aceleración del punto c extremo inferior de la varilla , cuando

desliza a lo largo del plano inclinado.

Solución:

Hallando ecuación:

………. (1)

…….. (2)

Entonces de (3)

……(3)

Ahora:

………………..(a)

…………. (b)

……..(c)

De (3) y (c)

( ) ……….. (3c)

De (b) y (2)

( ) ….. (2b)

De (3c) y (2b)

De (2), (b) y usando la identidad

Luego usando la formula general:

√

√( )

4

Cinemática

2.18. Obtener una expresión para la velocidad del émbolo si la manivela gira con una rapidez

angular .

Solución:

ˆ ˆ ˆ

ˆ ˆ

A

A

A

v r

v k aSen i aCos j

v aCos i aSen j

/

/1

2 2 2

1

2 2 2

1 1

2 2 2

1 1

ˆˆ ˆ ˆ ˆ ˆ

ˆ ˆ ˆ ˆ ˆ

ˆ ˆ ˆ( ) ( )

B B A A

B AB A

B

B

B

v v v

v r v

v i k l a Cos i aCos j aCos i aSen j

v i aCos i l a Cos j aCos i aSen j

v i aCos aCos i l a Cos aSen j

Comparando coordenadas, tenemos:

1 /Bv aCos aCos m s

2.25. Un pequeño anillo m esta colocado sobre un aro de alambre de radio r. Una varilla OA

pasa por el anillo y gira alrededor del punto o sobre el aro con una velocidad .

a) Si es una constante, hallar la velocidad y la aceleración de M.

b) Si M se mueve con una rapidez constante , hallar y .

Solución:

a) Si es una constante, hallar la velocidad y la aceleración de M.

2

ˆ ˆ

ˆ ˆ( ) ( 2 )

v e e

a e e

Por ley de cosenos: 2 2 2 2 cos

2 cos

r r r

r

2

2 ,

2 cos , 0

r sen

r

2 2 2 2 2 2

ˆ ˆ2 2 cos

4 4 cos

2

v r sen e r e

v r sen r

v r

O B

A

aSen𝜽

A

a l

O B 𝒍𝟐 𝒂𝟐𝑪𝒐𝒔𝜽𝟐 aCos𝜽

𝜽

𝝆 r

r

5

Cinemática

2 2 2

2 2

2 2 2 2 2 2

2

ˆ ˆ( 2 cos 2 cos ) ( 4 cos )

ˆ ˆ( 4 cos ) ( 4 )

( 4 ) cos ( 4 )

4

a r r e r e

a r e r sen e

a r r sen

a r

b) Si M se mueve con una rapidez constante , hallar y .

0

2

s v

s

s v r sen

2 2 2

2

2 cos

4

v

r sen

r

r sen

2.32. Hallar la velocidad angular de la barra AC para la posición general que se muestra. es

constante.

Solución:

( )

2.43. El bloque esta originalmente B. El anillo en A rodea el poste y a la cuerda y se mueve

hacia abajo a razón de 1m/s. ¿Cuál es la velocidad del bloque cuando el anillo esta en D?

Solución: 2 2 2( ) ..........(1)x y l t

1 4

4

axv t d

t

t s

6

Cinemática

Cuando está en la posición A: 2 2 2

2

4 (8 2 4)

53.4903 16

6.1229

f

f

f

x

x

x m

Derivando:

2 2 2( )

(8 2 4)

6.1229 4( 1) (8 2 4)

6.1229 4 8 2 4

8 8 2

6.1229

0.5411 /

x y

f B f A

B

B

B

B

xv yv l t

v v y v

v

v

v

v m s

2.57. El eje CD gira alrededor de AB con velocidad angular constante ; el disco gira con

velocidad angular constante relativa al eje. La cuenta P se mueve en el interior y a lo largo

de la ranura radial con rapidez relativa al disco y esta disminuyendo en la razón . Determinar

la aceleración de P suponiendo que esta a la mitad de su recorrido cuando la ranura está en su

posición vertical, que se muestra. Efectuar los cálculos cuando , , , , ,

a) Resolver utilizando un sistema móvil de coordenadas fijo en el disco.

b) Resolver utilizando un sistema móvil de coordenadas fijo en el eje CD.

Solución:

En el disco:

1

2

ˆ

ˆ

5 ˆ2

ˆ

r

O

r

a sj

a a i

r j

v sj

1 2 2 2

1 2 2 2

2

1 2 2

2

1 2 2

( ) 2

5ˆ ˆ ˆ ˆ ˆ ˆ ˆ( ) 2 ( )2

5 ˆ ˆˆ ˆ ˆ ( ) 22

5 ˆˆ ˆ ˆ 22

5 ˆˆ ˆ( ) 22

r O ra a a r v

a sj a i i i j i sj

a sj a i i k sk

a sj a i j sk

a a i s j sk

7

Cinemática

En la barra:

2

2 2

1

2

5 ˆˆ ˆ 22

0

ˆ

5ˆ ˆ2

5 ˆˆ2

r

O

r

a sj j sk

a

j

r ai j

v sj k

2 2 2

2 2 2

2

2 2

5ˆ ˆ ˆ ˆ ˆ ˆ( ) 2 ( )2

5 ˆˆ ˆ ˆ ˆ( ) 22

5 ˆˆ ˆ 22

r

r

r

a sj i i j i sj

a sj i k i sj

a sj j sk

2

2

5ˆ ˆ ˆ2

5 ˆˆ2

r ov v v r

v sj i j

v sj k

2

2 2 1 1 1 2

2

2 2 1 1 1 2

2 2

2 2 1 1 2

2 2

1 1 2 2

5 5 5ˆ ˆˆ ˆ ˆ ˆ ˆ ˆ ˆ ˆ2 ( ( )) 2 ( )2 2 2

5 5ˆ ˆˆ ˆ ˆ ˆ2 ( ) 22 2

5 5ˆˆ ˆ ˆ ˆ2 22 2

5 5ˆ ˆ ˆ( 2 ) ( ) 22 2

a sj j sk j j ai j j sj k

a sj j sk j ak i

a sj j sk ai i

a ai i s j

2ˆsk

2.64. La barra delgada uniforme AB es de 12m de longitud y descansa horizontalmente sobre

un canal que, como se muestra, tiene paredes laterales de 45°. Si la aceleración angular de la

barra es de en el sentido de las manecillas del reloj, hallar la velocidad angular de

la barra para la cual la aceleración del extremo a será cero.

Solución:

A x

B y

v v

v v

Se tiene que:

0 0A xa a cuando y

2 2 2..........(1)x y l

8

Cinemática

Entonces:

............(4)

..........(3)

x

x

y

xSenB lCosB v

l

y v

x v

xTanB

y Se deriva: ( )

d dxyTanB

dt dt

2

2 2 2 2

..........(4)

2

y x

x y x y

v TanB y Sec B v

a v Sec B TanB a v Sec B y Sec B y Sec B TanB

Sustituyendo: 2 2 22 2 2

2 2 2

2

2 2 2 2 2 2

2x x y

x

x x x

xa v vl x l l l xa x x y y

y y y y y y y

a x l x a yl a y

Sustituyendo con las condiciones iniciales:

0

0

xa

y

Despejamos:

2

2 2

y

l y

2 0

0

2.82. El disco rueda sin deslizamiento con una velocidad angular de 9 rad/s en el sentido de las

manecillas del reloj, mientras que el bloque se desliza hacia abajo del plano inclinado. Hallar la

velocidad del punto P.

Solución:

ˆ9 /k rad s

ˆ ˆ9 1.2

ˆ10.8 /

OAA

A

A

v r

v k j

v i m s

Mediante el centro instantáneo de rotación de la barra AB, en el triángulo ABC, tenemos:

/

/

4.8

3.6

6

A C

B C

BA m

r m

r m

/

/

ˆ 10.8 / :

10.8

3.6

3 /

A

A AB A C

AAB

A C

AB

AB

Si v i m s

v r

v

r

rad s

9

Cinemática

Determinamos la velocidad de P:

/

/

ˆˆ ˆ10.8 3 1.5

ˆ ˆ10.8 4.5 /

P A P A

P AP A AB

P

P

v v v

v v r

v i k i

v i j m s

11.7 /Pv m s

2.88. La rueda está rodando sin deslizamiento en la superficie horizontal sobre su cubo de 2.40

m de diámetro en el punto B. una barra rígida DE esta articulada al diámetro exterior de la rueda

en D y resbala a lo largo de la superficie horizontal. Hallar la velocidad de E, suponiendo que la

velocidad de A sea de 3 m/s hacia la derecha. Usar el método de los centros instantáneos.

Solución:

Por la figura determinamos que:

3 /D Av v m s

Determinamos el centro instantáneo de rotación de la barra DE:

Hallamos el ángulo en el triángulo:

2.1

7.5

2.1

7.5

0.28

Sen

arcSen

Por el teorema de los senos hallamos rD/C y rD/C:

/

/

/

7.5

53 82.72

7.5 82.72

53

9.39

D C

D C

D C

r

Sen Sen

Senr

Sen

r m

/

/

/

7.5

53 37.28

7.5 37.28

53

5.69

E C

E C

E C

r

Sen Sen

Senr

Sen

r m

10

Cinemática

Si vD= vA =3 m/s. Determinamos DE :

/

/

3

9.39

0.32 /

ˆ0.32 /

D D C

D

D C

v r

v

r

rad s

k rad s

Por lo tanto la velocidad en E es:

/

ˆˆ5.69 0.32

ˆ1.82 /

1.82 /

E CE

E

E

E

v r

v j k

v i m s

v m s

2.91. La placa rectangular es “móvil” y, según se muestra, sus extremos están en contacto con el

suelo y el plano inclinado. Si la aceleración de A es 7.5m/s2 hacia la derecha y la velocidad

angular de lado CD es cero, determinar la aceleración angular del lado AB.

Solución:

Se observa que el triángulo formado es equilátero.

Por ello:

/ ' / 'A C B Cr r

Entonces:

/ '

/ '

A A C

B B C

v r

v r

A Bv v

Como también:

A Ba a

/ '

2

7.5 3

2.5 /

A A Ca r

rad s

C’

3m 60°

60°

60° 3m

3m

11

Cinemática

2.95. El cuerpo rígido ABC gira alrededor de un pivote sin fricción O con una celeridad angular

de 5 rad/s contraria a las manecillas del reloj y una aceleración angular de 10 rad/s2 de sentido

opuesto. Determine la velocidad y aceleración del bloque que desliza en el instante en que el

mecanismo adopta la posición que se muestra.

Solución:

2

ˆ5 /

ˆ10 /

k rad s

k rad s

En el cuerpo rígido ABC:

ˆ ˆ ˆ5 0.4 0.3

ˆ ˆ1.5 2 /

OCC

C

C

v r

v k i j

v i j m s

Para el bloque:

/

ˆˆ ˆ ˆ ˆ1.5 2 0.25

ˆ ˆ ˆ ˆ1.5 2 0.25

D CD C DC

D DC

D DC

v v r

v i i j k i

v i i j j

Comparando coordenadas:

1.5Dv ^

2 0.25 0

0.25 2

8

DC

DC

DC

→ ˆ1.5 /

ˆ8 /

D

DC

v i m s

k rad s

2

ˆ ˆ ˆˆ ˆ ˆ ˆ10 0.4 0.3 5 5 0.4 0.3

ˆˆ ˆ ˆ ˆ3 4 5 1.5 2

ˆ ˆ ˆ ˆ3 4 10 7.5

ˆ ˆ13 3.5 /

OC OCc

c

c

c

c

a r r

a k i j k k i j

a i j k i j

a i j i j

a i j m s

( ) ( )/ /

/ /

ˆ ˆ ˆˆ ˆ ˆ ˆ ˆ13 3.5 8 8 0.25 0.25

ˆˆ ˆ ˆ ˆ ˆ13 3.5 8 2 0.25

ˆ ˆ ˆ ˆ ˆ13 3.5 16 0.25

ˆ ˆ ˆ ˆ3 3.5 0.25

n tD C D C D C

D C D CD C DC DC DC

D DC

D DC

D DC

D DC

a a a a

a a r r

a i i j k k i k i

a i i j k j j

a i i j i j

a i i j j

12

Cinemática

Comparando coordenadas:

3Da ^

2

3.5 0.25 0

0.25 3.5

14 /

DC

DC

DC rad s

→ 2ˆ3 /Da i m s

2.98. a) En la posición que se indica, la velocidad del pasador B es 6j0 m/s; determinar para este

instante la velocidad de la mosca parada en el eslabón C.

b) Determinar la aceleración de la mosca suponiendo que la aceleración de B sea horizontal.

Solución:

a) Usando velocidad relativa con respecto a A:

( ) de donde se tiene

Hallando la velocidad en el punto C

( ) ( ) ( ) ( ) De donde se tiene:

Velodidad de la mosca en el instante que muestra la figura:

( )

Por coordenadas:

b) Si:

ˆB Ba a i y ˆ10AB k

2

ˆ ˆ ˆ0.6

ˆ60

60 /

ABB AB AB

B AB AB

B

B

a r

a k k i

a i

a rad s

/ /

ˆ ˆ ˆˆ ˆ1.5 3 3 1.5

ˆ ˆ1.5 13.5

C D C DC CD CD CD

C CD

C CD

a r r

a k j k k j

a i j

13

Cinemática

/ /

ˆ ˆ ˆˆ ˆ ˆ ˆ ˆ ˆ ˆ1.5 13.5 60 1.2 0.9 ( 5 ) ( 5 ) 1.2 0.9

ˆ ˆ ˆ ˆ ˆ ˆ ˆ1.5 13.5 60 ( 30 ) 22.5 0.9 1.2

C B C BC B BC BC BC

CD BC

CD BC BC

a a r r

i j i k i j k k i j

i j i i j i j

Comparando coordenadas:

2 /

30 /

CD

BC

rad s

rad s

Entonces:

/

/ /

ˆ ˆ ˆˆ ˆ ˆ ˆ1.5 2 13.5 3 3 0.6 2 0.6

ˆ ˆ1.8 8.1 /

P C P C

P

P C P CP CD CD CD

P

a a a

a i j k k j k j

a r r

a i j m s