universidad nacional de piura - dspace home
TRANSCRIPT
UNIVERSIDAD NACIONAL DE PIURA
Facultad de Ciencias
Escuela Profesional de Matemática
TESIS
ANÁLISIS DEL MÉTODO DEL INTERVALO DIVIDI DO EN UNA
RAZÓN DADA PARA APRO XIMAR LA RAÍZ DE UNA ECUACIÓN
NO LINEAL EN UNA SOL A VARIABLE
Presentada por:
Br. Araceli Margarita Acevedo Ruiz
Asesor: Lic. Robert Ipanaqué Chero
Línea de investigación: Geometría y Cálculo Simbólico
Piura, Perú
201 9
ii
iii
iv
UNIVERSIDAD NACIONAL DE PIURA
v
vi
DEDICATORIA
Dedico este trabajo de investigación a Dios primero por
darme la oportunidad de alcanzar este logro, a la memoria
de mi padre Oscar, a mi madre Florencia, a mi esposo Harry
Pasapera, quien ha sido mi apoyo para el logro de mis
metas; así mismo, a mis hermanos que siempre me
animaron a seguir esforzándome.
vii
AGRADECIMIENTOS
A Dios todo poderoso que nos ha conservado con vida,
con salud, que me dio inteligencia, y me ha guiado y
cuidado hasta hoy.
A todas aquellas personas que de una u otra forma,
colaboraron o participaron en la realización de esta
investigación.
viii
ÍNDICE GENERAL
Introducción .......................................................................................................................................i
I. Aspectos de la problemática ......................................................................................................
1
1.1. Descripción de la realidad problemática ............................................................................ 1
1.2. Formulación del problema de investigación ...................................................................... 1
1.3. Justificación e importancia de la investigación .................................................................. 1
1.4. Objetivos ........................................................................................................................... 1
1.4.1. Objetivo general ........................................................................................................ 1
1.4.2. Objetivos específicos ................................................................................................. 2
1.5. Delimitación de la
investigación........................................................................................ 2
II. Marco teórico ............................................................................................................................
2
2.1. Antecedentes de la investigación ....................................................................................... 2
2.2. Bases teóricas .................................................................................................................... 2
2.2.1. Teorema de conservación del signo. .......................................................................... 2
2.2.2. Teorema de Bolzano. ................................................................................................. 3
2.2.3. Teorema del valor intermedio para funciones continuas ............................................ 4
2.2.4. División de un segmento en una razón dada .............................................................. 4
2.2.5. Método de bisección .................................................................................................. 5
2.2.6. Algoritmo del método de bisección ........................................................................... 9
2.2.7. Máquinas programables ............................................................................................. 9
2.2.8. Cómputo .................................................................................................................. 10
2.2.9. Computador ............................................................................................................. 10
2.2.10. Programación........................................................................................................... 10
2.2.11. Lenguajes de programación ..................................................................................... 10
2.2.12. Modelos abstractos de cómputo ............................................................................... 11
2.2.13. Modelo imperativo .................................................................................................. 11
ix
2.2.14. El lenguaje FORTRAN............................................................................................ 12
2.3. Glosario de términos básicos ...........................................................................................
12
2.3.1. Aproximación .......................................................................................................... 12
2.3.2. Error absoluto .......................................................................................................... 12
2.3.3. Error relativo ........................................................................................................... 12
2.3.4. Método de bisección ................................................................................................ 12
2.4. Hipótesis ..........................................................................................................................
12
III. Marco metodológico............................................................................................................ 13
3.1. Enfoque ........................................................................................................................... 13
3.2. Nivel ................................................................................................................................ 13
3.3. Tipo ................................................................................................................................. 13
3.4. Métodos y procedimientos............................................................................................... 13
3.5. Aspectos éticos ................................................................................................................ 13
IV. Resultados y discusión ........................................................................................................ 14
4.1. El método del intervalo dividido en una razón dada ........................................................ 14
4.2. Rapidez de la convergencia ............................................................................................. 18
4.3. Algoritmo del método del intervalo dividido en una razón dada ..................................... 19
4.4. El método del intervalo dividido en una razón dada en fortran ........................................ 19
V. Referencias bibliográficas .......................................................................................................
23
Anexos ............................................................................................................................................ 24
Matriz básica de consistencia ...................................................................................................... 25
Matriz general de consistencia .................................................................................................... 26
x
ÍNDICE DE FIGURAS
Figura 1. Un caso particular del teorema de conservación del signo. ................................................ 3
Figura 2. Otro caso particular del teorema de conservación del signo. .............................................. 3
Figura 3. Un esquema del conjunto Γ = 𝑥 ∈ [𝑎, 𝑏] | (𝑥) < 0. ........................................................ 4
xi
RESUMEN
En este trabajo de tesis se hace analiza el método del intervalo dividido en una razón dada
para aproximar la raíz de una ecuación no lineal en una sola variable como una generalización del
tradicional método de bisección.
PALABRAS CLAVE: Bisección, razón dada, raíces.
xii
ABSTRACT
In this thesis, we analyze the interval method divided into a given ratio to approximate the root of a
nonlinear equation in a single variable as a generalization of the traditional bisection method.
KEYWORDS: Bisection, given reason, roots.
INTRODUCCIÓN
Uno de los problemas básicos de la aproximación numérica es el problema de la búsqueda
de raíces. Este problema se remonta por lo menos al año mil setecientos antes de Cristo. Una tabla
cuneiforme que pertenece a la Yale Babylonian Collection, y que data de este periodo, da un número
sexagesimal (base sesenta) equivalente a una aproximación a la raíz cuadrada de dos con una
precisión de hasta diez a la menos cinco (Burden & Faires, 2002).
La primera técnica de aproximación de raíces se conoce con el nombre de método de
bisección (Kincaid & Cheney, 1991). Esta técnica requiere un intervalo inicial de aislación de la raíz
(Bolgov & Otros, 1983) de la ecuación (de forma que la función tome en los extremos del mismo,
valores de distinto signo). Tal intervalo inicial se va dividiendo sucesivamente por la mitad (se
bisecta) tomándose el subintervalo que contiene a la raíz. A pesar de ser un método que siempre
converge a una solución, converge muy lentamente (Wikipedia, 2017).
El proceso de dividir por la mitad el intervalo inicial de aislación de la raíz de la ecuación
puede interpretarse como el proceso de dividir dicho intervalo en la razón uno:uno. En este trabajo
se analiza la división del intervalo dado en la razón eme:ene. Para ello dada se procede a dividir el
intervalo inicial en una razón dada, mediante la fórmula de división de un segmento en una razón
dada, generándose así dos subintervalos de diferente longitud. Luego se vuelve a dividir aquel
subintervalo que contiene la raíz y así sucesivamente. A partir de este proceso se enuncia un lema y
un teorema, los cuales son rigurosamente demostrados. Con los resultados obtenidos al culminar la
demostración se concluye cuál método converge más rápido.
La metodología que se utiliza tiene un enfoque cuantitativo, un diseño experimental, un nivel
descriptivo y es de tipo básica.
Esta investigación se realizó porque no se registra un estudio analítico del intervalo dividido
en una razón dada para aproximar la raíz de una ecuación no lineal en una sola variable y para
determinar con toda certeza si es más conveniente bisectar el intervalo dado, para aproximar la raíz
de una ecuación no lineal en una sola variable, o dividirlo en la razón eme:ene.
1
I. ASPECTOS DE LA PROBLEMÁTICA
1.1. DESCRIPCIÓN DE LA REALIDAD PROBLEMÁTICA
Uno de los problemas básicos de la aproximación numérica es el problema de la búsqueda
de raíces, el cual consiste en obtener una raíz, o solución, de una ecuación de la forma de igual
cero para una función dada . Este problema se remonta por lo menos al año mil setecientos antes de
Cristo. Una tabla cuneiforme que pertenece a la Yale Babylonian Collection, y que data de este
periodo, da un número sexagesimal (base sesenta) equivalente a una aproximación a la raíz cuadrada
de dos con una precisión de hasta diez a la menos cinco (Burden & Faires, 2002).
La primera técnica de aproximación de raíces, que se basa en el teorema del valor intermedio
para funciones continuas, se conoce con el nombre de método de bisección (Kincaid & Cheney,
1991). Requiere un intervalo inicial de aislación de la raíz (Bolgov & Otros, 1983) de la ecuación (de
forma que la función tome en los extremos del mismo, valores de distinto signo). Dicho intervalo
inicial se va dividiendo sucesivamente por la mitad (se bisecta) tomándose el subintervalo que
contiene a la raíz. A pesar de ser un método que siempre converge a una solución, converge muy
lentamente (Wikipedia, 2017).
El proceso de dividir por la mitad en intervalo inicial de aislación de la raíz de la ecuación
puede interpretarse como el proceso de dividir dicho intervalo en la razón uno:uno.
1.2. FORMULACIÓN DEL PROBLEMA DE INVESTIGACIÓN
¿Qué pasaría si en lugar de bisectar el intervalo dado, para aproximar la raíz de una ecuación
no lineal en una sola variable, se le divide en la razón eme:ene?
1.3. JUSTIFICACIÓN E IMPORTANCIA DE LA INVESTIGACIÓN
Esta investigación se realiza porque no se registra un estudio analítico del intervalo dividido
en una razón dada para aproximar la raíz de una ecuación no lineal en una sola variable.
Esta investigación se realiza para determinar con toda certeza si es más conveniente bisectar
el intervalo dado, para aproximar la raíz de una ecuación no lineal en una sola variable, o dividirlo
en la razón eme:ene.
1.4. OBJETIVOS
1.4.1. Objetivo general
Analizar el método del intervalo dividido en una razón dada para aproximar la raíz de una
ecuación no lineal en una sola variable.
2
1.4.2. Objetivos específicos
• Establecer un teorema que defina el método del intervalo dividido en una razón dada.
• Demostrar el teorema que define el método del intervalo dividido en una razón
dada.
• Concluir cuál método converge más rápido.
• Adaptar el algoritmo del método de la bisección al método del intervalo dividido en
una razón dada.
• Programar el método del intervalo dividido en una razón dada en el lenguaje de
programación Fortran.
1.5. DELIMITACIÓN DE LA INVESTIGACIÓN
Universidad Nacional de Piura, desde julio de 2018 hasta julio de 2019, con gastos asumidos
por el tesista.
II. MARCO TEÓRICO
2.1. ANTECEDENTES DE LA INVESTIGACIÓN
Existen un sinnúmero de autores de libros de análisis numérico que tratan acerca del método
de bisección. Sin embargo, con respecto a lo que propone en este trabajo no se ha encontrado ningún
antecedente.
2.2. BASES TEÓRICAS
2.2.1. Teorema de conservación del signo.
Si 𝑓: 𝐴 ⊆ ℝ → ℝ es una función continua en 𝑞 ∈ 𝐴 y (𝑞) ≠ 0, existe un entorno de en el
que la función tiene el mismo signo que 𝑓(𝑞) (Apostol, 1984).
Demostración. Supongamos que (𝑞) > 0 (si 𝑓(𝑞) < 0, la demostración es similar). Como (𝑥) es
continua en 𝑥 = 𝑞, para cualquier 𝜖 > 0 existe un 𝛿 > 0 tal que
|𝑥 − 𝑞| < 𝛿 ⇒ |𝑓(𝑥) − 𝑓(𝑞)| < 𝜖 .
Como (𝑞) > 0, podemos escoger , para el cual existirá el correspondiente 𝛿0, de forma
que
,
3
con lo que
.
Por lo tanto, (𝑥) > 0.
Figura
1. Un caso particular del teorema de conservación del signo.
Figura
2. Otro caso particular del teorema de conservación del signo.
1 Axioma del supremo. Todo conjunto no vacío acotado superiormente tiene supremo.
4
2.2.2. Teorema de Bolzano.
Sea 𝑓: [𝑎, 𝑏] ⊂ ℝ → ℝ una función continua en [𝑎, 𝑏] tal que (𝑎) ⋅ 𝑓(𝑏) < 0. Entonces, existe
al menos un 𝑐 ∈ ⟨𝑎, 𝑏⟩ tal que (𝑐) = 0 (Apostol, 1984).
Demostración. Supongamos que (𝑎) < 0 y que 𝑓(𝑏) > 0 (si 𝑓(𝑎) > 0 y 𝑓(𝑏) < 0, la demostración
es similar). Sea Γ = {𝑥 ∈ [𝑎, 𝑏] | (𝑥) < 0}.
El conjunto es acotado superiormente por ; además, es un conjunto no vacío pues 𝑓(𝑎) < 0 y
por tanto 𝑎 ∈ Γ.
Teniendo en cuenta lo antes mencionado, podemos afirmar que existe el supremo, , del conjunto Γ1.
Desde que 𝑐 ∈ [𝑎, 𝑏], entonces está claro que es continua en . A continuación, se demostrará que
(𝑐) = 0.
Figura 3. Un esquema del conjunto Γ = {𝑥 ∈ [𝑎, 𝑏] | (𝑥) < 0}.
En efecto, asumamos que (𝑐) ≠ 0. Por el teorema de continuidad del signo, existiría un entorno de
en el que la función tendría el mismo signo que (𝑐).
Sea |𝑥 − 𝑐| < 𝛿 tal entorno.
• Si (𝑐) < 0, entonces . Pero esto contradiría el hecho que es el supremo de ;
puesto que, por cumplirse , entonces pertenecería a .
• Si (𝑐) > 0, entonces . Esto también contradiría el hecho que es el supremo
de ; ya que, por ser el supremo, debería pertenecer a , es decir debería
cumplirse que .
5
2.2.3. Teorema del valor intermedio para funciones continuas
Sea 𝑓: [𝑎, 𝑏] ⊂ ℝ → ℝ una función continua en [𝑎, 𝑏]. Entonces para cada , tal que 𝑓(𝑎) <
𝜙 < 𝑓(𝑏), existe al menos un 𝑐 ∈ ⟨𝑎, 𝑏⟩ tal que 𝑓(𝑐) = 𝜙 (Apostol, 1984).
Demostración. Defínase la función (𝑥) = 𝑓(𝑥) − 𝜙, la cual es continua por serlo 𝑓(𝑥).Claramente se
cumple que, 𝑔(𝑎) < 0 y 𝑔(𝑏) > 0. Por lo tanto, por el teorema de Bolzano, existe al menos un
𝑐 ∈ ⟨𝑎, 𝑏⟩ tal que (𝑐) = 0 y en consecuencia 𝑓(𝑐) = 𝜙.
2.2.4. División de un segmento en una razón dada
Según (Lehmann, 1989), si 𝑃1(𝑥1) y 𝑃2(𝑥2) son los puntos extremos dados de un segmento
dirigido, la coordenada (𝑥) de un punto que divide a 𝑃1𝑃2 en la razón dada 𝑟 = ̅�̅�1̅̅�̅�: ̅�̅̅��̅�2̅ es
.
En particular, si 𝑟 = 1 se tiene
.
2.2.5. Método de bisección
Ampliando lo establecido por (Troestler, 2011), se enuncia y demuestra el siguiente lema.
Lema. Sea 𝑓 ∈ 𝐶0([𝑎, 𝑏] ⊂ ℝ), con 𝑓(𝑎) ⋅ 𝑓(𝑏) < 0. Dada la sucesión {𝑥𝑛}∈ℕ, tal que
,
se cumple que , para cualesquiera 𝑚 ≥ 𝑛.
Demostración. Es un hecho que . Ahora, con base en la suposición
(𝑎𝑛−1)𝑓(𝑥𝑛−1) > 0 se deduce que
.
Por otra parte, si se supone que (𝑎𝑛−1)𝑓(𝑥𝑛−1) < 0 se llega al mismo resultado
.
Lo anterior nos permite escribir
6
= ⋮
Note que para 𝑘 = 𝑛 − 1 queda
.
En particular tomaremos la igualdad
donde 𝑘 = 2: (𝑛 − 1).
Y después de operar en la última igualdad resulta
.
Más aun, generalizando
,
donde 𝑖 = 1: (𝑛 − 2), 𝑘 = (𝑖 + 1): (𝑛 − 1).
Ahora, con base en la suposición (𝑎𝑛−𝑖)𝑓(𝑥𝑛−𝑖) > 0 es posible deducir que
.
Por otra parte, si se supone que (𝑎𝑛−𝑖)𝑓(𝑥𝑛−𝑖) < 0 se llega al mismo resultado
.
Así que resulta válido anotar
.
Por lo tanto, para 𝑘 = 0: (𝑛 − 1),
|𝑥𝑛 − 𝑥𝑛−𝑘| = |𝑥𝑛 − 𝑥𝑛−1 + 𝑥𝑛−1 − 𝑥𝑛−2 + 𝑥𝑛−2 − ⋯ − 𝑥𝑛−𝑘−1 + 𝑥𝑛−𝑘−1 − 𝑥𝑛−𝑘|
= |∑𝑘𝑖=1(𝑥𝑛−𝑖+1 − 𝑥𝑛−𝑖)|
Pero, es una sucesión geométrica cuyo valor es
.
7
Esto permite arribar a
Además, se cumple que
1 ≤ 2𝑘 < +∞; 𝑘 = 0,1,2, …
de donde se obtiene
Por lo cual, para 𝑘 = 0: (𝑛 − 1), es factible escribir
Finalmente, tomando 𝑚 = 𝑛 y 𝑛 = 𝑛 − 𝑘 (con lo que 𝑚 ≥ 𝑛) se concluye que
.
Ahora, modificando adecuadamente el teorema enunciado por (Troestler, 2011), se enuncia y
demuestra el siguiente teorema que define el método de bisección.
Teorema. Sea 𝑓 ∈ 𝐶0([𝑎, 𝑏] ⊂ ℝ), con 𝑓(𝑎) ⋅ 𝑓(𝑏) < 0. La sucesión {𝑥𝑛}∈ℕ, tal que
,
se cumple que converge a , con 𝑓(𝑝) = 0, tan rápido como converge a cero.
Demostración. Denotemos por [𝑎𝑛, 𝑏𝑛], 𝑛 = 1,2, …, los intervalos que se generan con la sucesión
previa, entonces
8
,
con brevedad anotaremos .
1. Demostraremos por inducción que 𝑥𝑛 está bien definida y que 𝑎𝑛 ≠ 𝑏𝑛 y 𝑓(𝑎𝑛) ⋅ 𝑓(𝑏𝑛) < 0
(salvo cuando 𝑎𝑛 = 𝑏𝑛 pues implicaría 𝑓(𝑎𝑛) = 𝑓(𝑏𝑛) = 0).
Para 𝑛 = 1 no hay nada que demostrar.
Supongamos que se cumple para 𝑛 = ℎ, es decir se cumple
𝑎ℎ ≠ 𝑏ℎ y (𝑎ℎ) ⋅ 𝑓(𝑏ℎ) < 0,
probaremos que también se cumple para 𝑛 = ℎ + 1, esto es
𝑎ℎ+1 ≠ 𝑏ℎ+1 y (𝑎ℎ+1) ⋅ 𝑓(𝑏ℎ+1) < 0.
Con base en , se tiene que 𝑎ℎ ≠ 𝑥ℎ ≠ 𝑏ℎ y
si 𝑓(𝑎ℎ) ⋅ 𝑓(𝑥ℎ) < 0 (𝑎ℎ+1 = 𝑎ℎ ≠ 𝑥ℎ = 𝑏ℎ+1) ó 𝑓(𝑥ℎ) ⋅ 𝑓(𝑏ℎ) < 0 (𝑎ℎ+1 = 𝑥ℎ ≠ 𝑏ℎ =
𝑏ℎ+1), se cumple 𝑎ℎ+1 ≠ 𝑏ℎ+1 y (𝑎ℎ+1) ⋅ 𝑓(𝑏ℎ+1) < 0; ó
si 𝑓(𝑎ℎ) ⋅ 𝑓(𝑥ℎ) ≥ 0 y 𝑓(𝑥ℎ) ⋅ 𝑓(𝑏ℎ) ≥ 0 se deduciría, por ser 𝑎ℎ ≠ 𝑥ℎ ≠ 𝑏ℎ,
(𝑎ℎ) ⋅ 𝑓(𝑥ℎ) = 0 y 𝑓(𝑥ℎ) ⋅ 𝑓(𝑏ℎ) = 0 ;
y como por hipótesis inductiva 𝑓(𝑎ℎ) ⋅ 𝑓(𝑏ℎ) < 0, entonces 𝑓(𝑥ℎ) = 0.
En consecuencia 𝑎ℎ+1 = 𝑏ℎ+1 = 𝑥ℎ (con esto es seguro que 𝑥ℎ+1 = 𝑥ℎ) y (𝑎ℎ+1) =
(𝑏ℎ+1) = 0.
2. Demostraremos que la sucesión {𝑥𝑛}∈ℕ es de Cauchy.
En efecto, para todos los 𝑚 ≥ 𝑛 ≥ 𝑁 (en ) se cumple que
.
Además,
Por tanto, considerando los resultados previos y el lema anterior, se tiene
.
La sucesión es de Cauchy. Por consiguiente, existe un 𝑝 ∈ [𝑎, 𝑏] tal que 𝑥𝑛 → 𝑝.
9
3. Seguidamente se demostrará que (𝑝) = 0. En efecto, ya que
y
,
se cumple , y puesto que
|𝑎𝑛 − 𝑝| = |(𝑎𝑛 − 𝑥𝑛) + (𝑥𝑛 − 𝑝)| ≤ |𝑥𝑛 − 𝑎𝑛| + |𝑥𝑛 − 𝑝| y
|𝑏𝑛 − 𝑝| = |(𝑏𝑛 − 𝑥𝑛) + (𝑥𝑛 − 𝑝)| ≤ |𝑏𝑛 − 𝑥𝑛| + |𝑥𝑛 − 𝑝|
implican que 𝑎𝑛 → 𝑝 y 𝑏𝑛 → 𝑝.
El último resultado nos permite afirmar que (𝑝) = 0, ya que de no ser así cuando 𝑛 → ∞ se
tendría que 𝑓(𝑎𝑛) ⋅ 𝑓(𝑏𝑛) → [𝑓(𝑝)]2 < 0.
4. Resta demostrar lo de la convergencia. Considerando que {𝑥𝑚}𝑚≥𝑛 ⊆ [𝑎𝑛, 𝑏𝑛] y 𝑥𝑚 → 𝑝, entonces
donde .
2.2.6. Algoritmo del método de bisección
Según (Burden & Faires, 2002) el algoritmo para el método de bisección se enuncia de la
siguiente manera.
Algoritmo para obtener una solución a (𝑥) = 0 dada la función continua determinada en el intervalo
[𝑎, 𝑏], donde 𝑓(𝑎) y 𝑓(𝑏) tienen signos opuestos.
ENTRADA extremos y ; tolerancia 𝑇𝑂𝐿; número máximo de iteraciones .
SALIDA solución aproximada o mensaje de error.
Paso1 Tome 𝑖 = 1;
𝐹𝐴 = 𝑓(𝑎).
Paso2 Mientras 𝑖 ≤ 𝑁 haga pasos 3-6
Paso3 Tome 𝑞 = (𝑎 + 𝑏)/2;
𝐹𝑄 = 𝑓(𝑞)
Paso4 Si 𝐹𝑄 = 0 o (𝑏 − 𝑎)/2 < 𝑇𝑂𝐿 entonces
SALIDA ( );
PARAR.
Paso5 Tome 𝑖 = 𝑖 + 1.
Paso6 Si 𝐹𝐴 ⋅ 𝐹𝑄 > 0 entonces tome 𝑎 = 𝑞;
10
𝐹𝐴 = 𝐹𝑄
si no tome 𝑏 = 𝑞.
Paso7 SALIDA (‘El método fracasó después de iteraciones, 𝑁 =’, );
(Procedimiento terminado sin éxito.)
PARAR.
2.2.7. Máquinas programables
Según (Cerrada & Collado, 2010) en general, las máquinas operan a lo largo del tiempo, por
lo que el concepto de máquina lleva asociado el de un proceso de funcionamiento en el cual diferentes
operaciones se van realizando sucesiva o simultáneamente. Desde el punto de vista del control de su
funcionamiento, podemos clasificar las máquinas dos tipos.
Las máquinas no automáticas, o de control manual, son gobernadas por un operador o agente
externo que desencadena unas determinadas operaciones en cada momento. Por ejemplo, una
máquina de escribir imprime letras o mueve el papel de acuerdo con las teclas pulsadas por el
mecanógrafo.
Las máquinas automáticas actúan por sí solas, sin necesidad de operador, aunque pueden
responder a estímulos externos. Por ejemplo, un ascensor automático gobierna por sí mismo los
movimientos de subida y bajada incluyendo cambios de velocidad, apertura y cierre de puertas, etc.
En este caso el comportamiento de la máquina será fijo, en el sentido que a unos determinados
estímulos externos responderá siempre de la misma manera.
Otras máquinas automáticas se denominan programables, y su comportamiento no es siempre
el mismo. Una máquina programable se puede concebir como una máquina base, de comportamiento
fijo, que se completa con una parte modificable que describe el funcionamiento de la máquina base.
Esta parte modificable se denomina programa.
2.2.8. Cómputo
Según (Cerrada & Collado, 2010) la palabra cómputo es sinónimo de cuenta o cálculo, ya
que proviene del latín computum que significa determinación indirecta de una cantidad mediante el
cálculo de ciertos datos. En esta definición se puede apreciar que un cómputo es una operación de
tratamiento de información. A partir de una información conocida se obtiene otra nueva como
resultado de unos cálculos. En informática y de una forma general puede identificarse el concepto de
cómputo con el de tratamiento de la información.
11
2.2.9. Computador
Según (Cerrada & Collado, 2010) la máquina programable por excelencia es el computador.
Un computador se define como una máquina programable para tratamiento de la información, es
decir, un computador es una máquina para realizar cómputos.
Un computador, como máquina programable que es, posee unos elementos fijos (máquina
base) y otros modificables (programa). De forma simplificada podemos asociar los elementos fijos a
los dispositivos físicos del computador, que constituyen el hardware, y los elementos modificables
a las representaciones de los programas en sentido amplio, que constituyen el software.
2.2.10. Programación
Según (Cerrada & Collado, 2010) la labor de desarrollar programas se denomina en general
programación. En realidad, este término se suele reservar para designar las tareas de desarrollo de
programas en pequeña escala, es decir, realizadas por una sola persona. El desarrollo de programas
complejos, que son la mayoría de los usados actualmente, exige un equipo más o menos numeroso
de personas que debe trabajar de manera organizada. Las técnicas para desarrollo de software a gran
escala constituyen la ingeniería de software.
2.2.11. Lenguajes de programación
Según (Cerrada & Collado, 2010) un computador funciona bajo control de un programa que
ha de estar almacenado en la unidad de memoria. El programa contiene una descripción codificada
del comportamiento deseado del computador.
Cada modelo de computador podrá utilizar una forma particular de codificación de
programas, que no coincidirá con la de otros modelos. La forma de codificar programas de una
máquina en particular se dice que es su código de máquina o lenguaje de máquina. La palabra
“lenguaje” utilizada habitualmente en el vocabulario informático en español es, en realidad, una
transcripción directa del término inglés “language”, cuyo significado correcto es “idioma”.
2.2.12. Modelos abstractos de cómputo
Según (Cerrada & Collado, 2010) los lenguajes de programación permiten describir
programas o cómputos de manera formal, y por tanto simbólica y rigurosa. La descripción se hace,
naturalmente, basándose en determinados elementos básicos y formas de combinación de estos
elementos simples para construir programas tan complicados como sea necesario.
Existen muchísimos lenguajes de programación distintos que unas veces difieren en aspectos
generales y otras simplemente en detalles. Si analizamos estos lenguajes podremos observar que
12
muchos de ellos utilizan elementos básicos y formas de combinación similares, aunque
representándolos con símbolos diferentes.
Si de un conjunto de lenguajes de programación basados en elementos computacionales
similares extraemos los conceptos comunes, obtendremos un modelo abstracto de cómputo. Existen
diversos modelos abstractos de cómputo, o modelos de programación, que subyacen en los lenguajes
de programación actuales. Entre ellos están la programación imperativa, programación funcional,
etc. Todos estos modelos son modelos universales, en el sentido que pueden utilizarse para describir
cualquier cómputo intuitivamente posible.
2.2.13. Modelo imperativo
Según (Cerrada & Collado, 2010) el modelo de programación imperativa responde a la
estructura interna habitual de un computador, que se denomina arquitectura Von Neumann. Un
programa en lenguaje de máquina aparece como una lista de instrucciones u órdenes elementales que
han de ejecutarse una tras otra, en el orden en que aparecen en el programa. El nombre programación
imperativa deriva del hecho de que un programa aparece como una lista de órdenes a cumplir.
El orden de ejecución puede alterarse en caso necesario mediante el uso de instrucciones de
control. Con ello se consigue ejecutar o no, o repetir, determinadas partes del programa dependiendo
de ciertas condiciones en los datos.
Las instrucciones de un programa imperativo utilizan datos almacenados en la memoria del
computador. Esta capacidad de almacenamiento de valores se representa en los programas
imperativos mediante el uso de variables. Una variable no tiene aquí el mismo significado que en
matemáticas, sino que representa un dato almacenado bajo un nombre dado. Una variable contiene
un valor que puede ser usado o modificado tantas veces como se desee.
2.2.14. El lenguaje FORTRAN
Según (Pérez, 2008) el FORTRAN fue el primer lenguaje de programación desarrollado (por
la International Business Machines Corporation, IBM). Su nombre (FORmula TRANslation) indica
claramente que su filosofía es proveer al ordenador de un traductor para realizar cálculos
matemáticos. Es un lenguaje de modelo de programación imperativa. El uso del FORTRAN se ha
extendido ampliamente en la comunidad científica, y a pesar de la aparición de otros lenguajes, más
versátiles y que permiten una mayor facilidad en la programación, el FORTRAN a través de sus
sucesivas versiones (compatibles entre ellas) continúa siendo hoy día ampliamente utilizado.
Mayor información con respecto al FORTRAN puede hallarse en (Bolgov & Otros, 1983;
SunSoft, 1995).
13
2.3. GLOSARIO DE TÉRMINOS BÁSICOS
2.3.1. Aproximación
Según la RAE, aproximación es el resultado inexacto, pero próximo al exacto, que se obtiene
en una medición o en un cálculo cuando no se puede precisar absolutamente.
2.3.2. Error absoluto
La diferencia entre el valor aproximado y el valor exacto de un número, se llama error
absoluto de dicho valor aproximado (Burden & Faires, 2002).
2.3.3. Error relativo
Se llama error relativo de un número aproximado, la razón de su error absoluto al número
exacto (Burden & Faires, 2002).
2.3.4. Método de bisección
Dada una función 𝑓 ∈ 𝐶0([𝑎, 𝑏] ⊂ ℝ), con 𝑓(𝑎) ⋅ 𝑓(𝑏) < 0, el método de la bisección, ideado
con base en los teoremas previos, consiste en bisecar el intervalo inicial [𝑎, 𝑏] mediante el cálculo
del punto medio de éste, generándose así dos subintervalos de igual longitud. Luego se vuelve a
bisecar aquel subintervalo que contiene la raíz y así sucesivamente (Burden & Faires, 2002).
2.4. HIPÓTESIS
El método del intervalo dividido en una razón dada para aproximar la raíz de una ecuación
no lineal en una sola variable converge más lento que el método de bisección para aproximar la raíz
de una ecuación no lineal en una sola variable.
III. MARCO METODOLÓGICO
3.1. ENFOQUE
Este trabajo tiene un enfoque cuantitativo ya que tiene como objetivo encontrar la respuesta
a una consulta por medio de evidencia numérica.
3.2. NIVEL
Este trabajo tiene un nivel descriptivo ya que responde a la pregunta: ¿Cómo enunciar y
demostrar un teorema que defina el método del intervalo dividido en una razón dada?
14
3.3. TIPO
Este trabajo es de tipo básico ya que tiene como finalidad la obtención y recopilación de
información para ir construyendo una base de conocimiento que se va agregando a la información
previa existente.
3.4. MÉTODOS Y PROCEDIMIENTOS
Dada una función 𝑓 ∈ 𝐶0([𝑎, 𝑏] ⊂ ℝ), con 𝑓(𝑎) ⋅ 𝑓(𝑏) < 0 se procederá a dividir el intervalo
inicial [𝑎, 𝑏] en una razón dada, mediante la fórmula de división de un segmento en una razón dada,
generándose así dos subintervalos de diferente longitud. Luego se volverá a dividir aquel subintervalo
que contiene la raíz y así sucesivamente.
A partir de este proceso se enunciarán un lema y un teorema, los cuales serán rigurosamente
demostrados. Con los resultados obtenidos al culminar la demostración se concluirá cuál método
converge más rápido. Finalmente se codificará un programa en el lenguaje de programación Fortran.
3.5. ASPECTOS ÉTICOS
Se utilizará una versión en línea de Fortran, la cual se puede encontrar en el sitio web:
https://www.jdoodle.com/
IV. RESULTADOS Y DISCUSIÓN
4.1. EL MÉTODO DEL INTERVALO DIVIDIDO EN UNA RAZÓN DADA
Lema. Sea 𝑓 ∈ 𝐶0([𝑎, 𝑏] ⊂ ℝ), con 𝑓(𝑎) ⋅ 𝑓(𝑏) < 0. Dada la sucesión {𝑥𝑛}∈ℕ, tal que
,
con 𝜇, 𝜈 > 0, se cumple que , para cualesquiera 𝑚 ≥ 𝑛.
Demostración. Es un hecho que . Ahora, con base en la suposición
(𝑎𝑛−1)𝑓(𝑥𝑛−1) > 0 se deduce que
.
Por otra parte, si se supone que (𝑎𝑛−1)𝑓(𝑥𝑛−1) < 0 se llega a un resultado similar
.
15
Lo anterior nos permite escribir
≤ ⋮
Note que para 𝑘 = 𝑛 − 1 queda
.
En particular tomaremos la igualdad
donde 𝑘 = 2: (𝑛 − 1).
Y después de operar en la última igualdad resulta
,
.
Más aun, generalizando
,
donde 𝑖 = 1: (𝑛 − 2), 𝑘 = (𝑖 + 1): (𝑛 − 1).
Ahora, con base en la suposición (𝑎𝑛−𝑖)𝑓(𝑥𝑛−𝑖) > 0 es posible deducir que
.
Por otra parte, si se supone que (𝑎𝑛−𝑖)𝑓(𝑥𝑛−𝑖) < 0 se llega al mismo resultado
.
16
Así que resulta válido anotar
.
Por lo tanto, para 𝑘 = 0: (𝑛 − 1),
|𝑥𝑛 − 𝑥𝑛−𝑘| = |𝑥𝑛 − 𝑥𝑛−1 + 𝑥𝑛−1 − 𝑥𝑛−2 + 𝑥𝑛−2 − ⋯ − 𝑥𝑛−𝑘−1 + 𝑥𝑛−𝑘−1 − 𝑥𝑛−𝑘|
= |∑𝑘𝑖=1(𝑥𝑛−𝑖+1 − 𝑥𝑛−𝑖)| ≤ ∑𝑘
𝑖=1|𝑥𝑛−𝑖+1 − 𝑥𝑛−𝑖|
Pero, es una sucesión geométrica cuyo valor es
.
Esto permite arribar a
.
Pero
,
de modo que
.
Además, se cumple que
de donde se obtiene
.
Por lo cual, para 𝑘 = 0: (𝑛 − 1), es factible escribir
17
Finalmente, tomando 𝑚 = 𝑛 y 𝑛 = 𝑛 − 𝑘 (con lo que 𝑚 ≥ 𝑛) se concluye que
.
Ahora, modificando adecuadamente el teorema enunciado por (Troestler, 2011), se enuncia y
demuestra el siguiente teorema que define el método de bisección.
Teorema. Sea 𝑓 ∈ 𝐶0([𝑎, 𝑏] ⊂ ℝ), con 𝑓(𝑎) ⋅ 𝑓(𝑏) < 0. La sucesión {𝑥𝑛}∈ℕ, tal que
,
se cumple que converge a , con 𝑓(𝑝) = 0, tan rápido como converge a cero.
Demostración. Denotemos por [𝑎𝑛, 𝑏𝑛], 𝑛 = 1,2, …, los intervalos que se generan con la sucesión
previa, entonces
,
con brevedad anotaremos .
1. Demostraremos por inducción que 𝑥𝑛 está bien definida y que 𝑎𝑛 ≠ 𝑏𝑛 y 𝑓(𝑎𝑛) ⋅ 𝑓(𝑏𝑛) < 0
(salvo cuando 𝑎𝑛 = 𝑏𝑛 pues implicaría 𝑓(𝑎𝑛) = 𝑓(𝑏𝑛) = 0).
Para 𝑛 = 1 no hay nada que demostrar.
Supongamos que se cumple para 𝑛 = ℎ, es decir se cumple
𝑎ℎ ≠ 𝑏ℎ y (𝑎ℎ) ⋅ 𝑓(𝑏ℎ) < 0,
probaremos que también se cumple para 𝑛 = ℎ + 1, esto es
𝑎ℎ+1 ≠ 𝑏ℎ+1 y (𝑎ℎ+1) ⋅ 𝑓(𝑏ℎ+1) < 0.
Con base en , se tiene que 𝑎ℎ ≠ 𝑥ℎ ≠ 𝑏ℎ y
si 𝑓(𝑎ℎ) ⋅ 𝑓(𝑥ℎ) < 0 (𝑎ℎ+1 = 𝑎ℎ ≠ 𝑥ℎ = 𝑏ℎ+1) ó 𝑓(𝑥ℎ) ⋅ 𝑓(𝑏ℎ) < 0 (𝑎ℎ+1 = 𝑥ℎ ≠ 𝑏ℎ =
𝑏ℎ+1), se cumple 𝑎ℎ+1 ≠ 𝑏ℎ+1 y (𝑎ℎ+1) ⋅ 𝑓(𝑏ℎ+1) < 0; ó
si 𝑓(𝑎ℎ) ⋅ 𝑓(𝑥ℎ) ≥ 0 y 𝑓(𝑥ℎ) ⋅ 𝑓(𝑏ℎ) ≥ 0 se deduciría, por ser 𝑎ℎ ≠ 𝑥ℎ ≠ 𝑏ℎ,
(𝑎ℎ) ⋅ 𝑓(𝑥ℎ) = 0 y 𝑓(𝑥ℎ) ⋅ 𝑓(𝑏ℎ) = 0 ;
y como por hipótesis inductiva 𝑓(𝑎ℎ) ⋅ 𝑓(𝑏ℎ) < 0, entonces 𝑓(𝑥ℎ) = 0.
En consecuencia 𝑎ℎ+1 = 𝑏ℎ+1 = 𝑥ℎ (con esto es seguro que 𝑥ℎ+1 = 𝑥ℎ) y (𝑎ℎ+1) =
18
(𝑏ℎ+1) = 0.
2. Demostraremos que la sucesión {𝑥𝑛}∈ℕ es de Cauchy. En efecto, para todos los 𝑚 ≥ 𝑛 ≥ 𝑁 (en
) se cumple que
,
con . Además,
Por tanto, considerando los resultados previos y el lema anterior, se tiene
,
con . La sucesión es de Cauchy. Por consiguiente, existe un 𝑝 ∈ [𝑎, 𝑏] tal que 𝑥𝑛 →
𝑝.
3. Seguidamente se demostrará que (𝑝) = 0. En efecto, ya que
se cumple . Además
|𝑎𝑛 − 𝑝| = |(𝑎𝑛 − 𝑥𝑛) + (𝑥𝑛 − 𝑝)| ≤ |𝑥𝑛 − 𝑎𝑛| + |𝑥𝑛 − 𝑝| y
|𝑏𝑛 − 𝑝| = |(𝑏𝑛 − 𝑥𝑛) + (𝑥𝑛 − 𝑝)| ≤ |𝑏𝑛 − 𝑥𝑛| + |𝑥𝑛 − 𝑝|
implican que 𝑎𝑛 → 𝑝 y 𝑏𝑛 → 𝑝.
El último resultado nos permite afirmar que (𝑝) = 0, ya que de no ser así cuando 𝑛 → ∞ se
tendría que 𝑓(𝑎𝑛) ⋅ 𝑓(𝑏𝑛) → [𝑓(𝑝)]2 < 0.
4. Resta demostrar lo de la convergencia. Considerando que {𝑥𝑚}𝑚≥𝑛 ⊆ [𝑎𝑛, 𝑏𝑛] y 𝑥𝑚 → 𝑝, entonces
donde .
19
4.2. RAPIDEZ DE LA CONVERGENCIA
Puesto que la razón dada es 𝜇: 𝜈 está claro que , son números enteros positivos. Además,
,
De modo que,
,
Para el primer caso
.
Para el tercer caso
.
Por lo tanto
.
Este resultado reafirma la convergencia del método del intervalo dividido en una razón dada.
Además, permite concluir con todas certeza que el método de la bisección converge más rápido que
cualquier otro método de división de un intervalo que considere una razón diferente a 1: 1.
20
4.3. ALGORITMO DEL MÉTODO DEL INTERVALO DIVIDIDO EN UNA
RAZÓN DADA
Algoritmo para obtener una solución a (𝑥) = 0 dada la función continua determinada en el intervalo
[𝑎, 𝑏], donde 𝑓(𝑎) y 𝑓(𝑏) tienen signos opuestos.
ENTRADA extremos y ; tolerancia 𝑇𝑂𝐿; número máximo de iteraciones .
SALIDA solución aproximada o mensaje de error.
Paso1 Tome 𝑖 = 1;
𝐹𝐴 = 𝑓(𝑎).
Paso2 Mientras 𝑖 ≤ 𝑁 haga pasos 3-6
Paso3 Tome 𝑞 = (𝜈𝑎 + 𝜇𝑏)/(𝜇 + 𝜈);
𝐹𝑄 = 𝑓(𝑞)
Paso4 Si 𝐹𝑄 = 0 o máx{𝜇, 𝜈} (𝑏 − 𝑎)/(𝜇 + 𝜈) < 𝑇𝑂𝐿 entonces
SALIDA ( );
PARAR.
Paso5 Tome 𝑖 = 𝑖 + 1.
Paso6 Si 𝐹𝐴 ⋅ 𝐹𝑄 > 0 entonces tome 𝑎 = 𝑞;
𝐹𝐴 = 𝐹𝑄
si no tome 𝑏 = 𝑞.
Paso7 SALIDA (‘El método fracasó después de iteraciones, 𝑁 =’, );
(Procedimiento terminado sin éxito.)
PARAR.
4.4. EL MÉTODO DEL INTERVALO DIVIDIDO EN UNA RAZÓN DADA EN
FORTRAN
En esta sección se presenta el código del programa basado en el algoritmo de la sección 4.3.
Adicionalmente, se muestran algunos ejemplos.
PROGRAM internal1
REAL :: a,b,TOL,q,FA,FQ
INTEGER :: N,i
READ*,a
READ*,b
READ*,mu
READ*,nu
READ*,TOL
READ*,N
CALL bisec
IF (i .GT. N) THEN
21
PRINT *,"El método falló después de",N,"iteraciones."
ELSE
PRINT '("q = ",f10.8)',q
END IF
CONTAINS
SUBROUTINE bisec
i=1
FA=f(a)
DO WHILE (i .LE. N)
q=(nu*a+mu*b)/(mu+nu)
FQ=f(q)
IF ((FQ .EQ. 0) .OR. (MAX(mu,nu)*(b-a)/(mu+nu) .LT. TOL)) THEN RETURN END IF
i=i+1
IF (FQ*FA .GT. 0) THEN
a=q FA=FQ ELSE
b=q END IF
END DO
END SUBROUTINE bisec
FUNCTION f(x) REAL :: x
f=sin(x)
END FUNCTION f END PROGRAM internal1
Por ejemplo, se aproximará el valor de la raíz de la ecuación
sen(𝑥), con 2 ≤ 𝑥 ≤ 4
mediante el método de bisección, considerando 20 iteraciones.
En este caso los valores de entrada son 𝑎 = 2, 𝑏 = 4, 𝑚𝑢 = 1, 𝑛𝑢 = 1, 𝑇𝑂𝐿 = 0.001,
𝑁 = 20. El resultado obtenido es 𝑞 = 3.14160156 (sen(𝑞) = −0.00000890641).
Ahora, se aproximará el valor de la raíz de la misma ecuación (en el mismo intervalo) con
método de la razón 1: 2, considerando 20 iteraciones.
En este otro caso los valores de entrada son 𝑎 = 2, 𝑏 = 4, 𝑚𝑢 = 1, 𝑛𝑢 = 2, 𝑇𝑂𝐿 = 0.001,
𝑁 = 20. El resultado obtenido es 𝑞 = 3.14146423 (sen(𝑞) = 0.000128424).
22
CONCLUSIONES
1. Dada una función , de valor real, continua en un intervalo de aislación de una raíz de la ecuación
𝑓(𝑥) = 0, entonces la sucesión construida con base en el cálculo del punto que divide dicho
intervalo en una razón dada es una sucesión bien definida.
2. La sucesión definida en 1 es una sucesión de Cauchy.
3. Si es el límite de la sucesión definida en 1, entonces (𝑝) = 0.
4. El método de la bisección converge más rápido que cualquier otro método de división de un
intervalo que considere una razón diferente a 1: 1.
23
RECOMENDACIONES
1. Ampliar el análisis para cuando se trate de razones aleatorias.
2. Usar los resultados obtenidos para ampliar la perspectiva de los estudiantes de pregrado.
24
REFERENCIAS BIBLIOGRÁFICAS
Apostol, T. (1984). Calculus (Vol. I). Barcelona: Reverté.
Bolgov, V., & Otros. (1983). Problemas de las matemáticas superiores (Vol. I). Moscú: MIR.
Burden, R., & Faires, D. (2002). Análisis Numérico. International Thomson Editores S.A.
Cerrada, J. A., & Collado, M. E. (2010). Fundamentos de programación. Madrid: Editorial
Universitaria Ramón Areces.
Kincaid, D., & Cheney, W. (1991). Numerical Analysis. Austin: Brooks/Cole Publishing Company.
Lehmann, C. (1989). Geometría Analítica. México: Limusa.
Pérez, J. (2008). Obtenido de Notas elementales sobre programación en FORTRAN:
http://juperez.webs.ull.es/manual%20de%20fortran.pdf
SunSoft. (Noviembre de 1995). Obtenido de FORTRAN 77 4.0 Reference Manual:
http://wwwcdf.pd.infn.it/localdoc/f77_sun.pdf
Troestler, C. (8 de Octubre de 2011). Obtenido de Introduction à l’analyse numérique:
http://math.umons.ac.be/anum/ftp_san/Numerique.pdf
Wikipedia. (1 de Diciembre de 2017). Resolución numérica de ecuaciones no lineales. Recuperado
el 18 de Julio de 2018, de https://es.wikipedia.org/wiki/Resoluci%C3%B3n_num%C3%
A9rica_de_ecuaciones_no_lineales
ANEXOS
MATRIZ BÁSICA DE CONSISTENCIA
Título del Proyecto:
ANÁLISIS DEL MÉTODO DEL INTERVALO DIVIDIDO EN UNA RAZÓN DADA PARA
APROXIMAR LA RAÍZ DE UNA ECUACIÓN NO LINEAL EN UNA SOLA VARIABLE
Nombre del tesista:
Araceli Margarita Acevedo Ruiz
Preguntas Hipótesis Objetivos
G ¿Qué pasaría si en lugar de
bisectar el intervalo dado,
para aproximar la raíz de una
ecuación no lineal en una sola
variable, se le divide en la
razón eme:ene?
El método del intervalo
dividido en una razón dada
para aproximar la raíz de una
ecuación no lineal en una sola
variable converge más lento
que el método de bisección
para aproximar la raíz de una
ecuación no lineal en una sola
variable.
Analizar el método del
intervalo dividido en una
razón dada para aproximar la
raíz de una ecuación no lineal
en una sola variable.
E1 ¿Será posible enunciar un
teorema que defina el método
del intervalo dividido en una
razón dada?
Es posible enunciar un
teorema que defina el método
del intervalo dividido en una
razón dada.
Enunciar un teorema que
defina el método del
intervalo dividido en una
razón dada.
E2 ¿Será factible demostrar el
teorema que define el método
del intervalo dividido en una
razón dada?
Es factible demostrar el
teorema que define el método
del intervalo dividido en una
razón dada.
Demostrar el teorema que
define el método del
intervalo dividido en una
razón dada.
E3 ¿Será posible adaptar el
algoritmo del método de la
bisección al método del
intervalo dividido en una
razón dada?
Se puede adaptar el algoritmo
del método de la bisección al
método del intervalo dividido
en una razón dada.
Adaptar el algoritmo del
método de la bisección al
método del intervalo dividido
en una razón dada.
E4 ¿Será factible programar el
método del intervalo dividido
en una razón dada en el
Mathematica?
Es posible programar el
método del intervalo dividido
en una razón dada en el
Mathematica.
Programar el método del intervalo dividido en una razón dada en el
Mathematica.
25
MATRIZ GENERAL DE CONSISTENCIA
Título: ANÁLISIS DEL MÉTODO DEL INTERVALO DIVIDIDO EN UNA RAZÓN DADA PARA APROXIMAR LA RAÍZ DE UNA ECUACIÓN NO LINEAL EN UNA SOLA VARIABLE Nombre del tesista: Araceli Margarita Acevedo Ruiz
Problemas Objetivos Hipótesis Metodología
General ¿Qué pasaría si en lugar de bisectar el intervalo dado, para aproximar la raíz de una ecuación no lineal en una sola variable, se le divide en la razón eme:ene?
Específicos 1. ¿Será posible enunciar un
teorema que defina el método del intervalo dividido en una razón dada?
2. ¿Será factible demostrar el teorema que define el método del intervalo dividido en una razón dada?
3. ¿Será posible adaptar el algoritmo del método de la bisección al método del intervalo dividido en una razón dada?
4. ¿Será factible programar el
método del intervalo
dividido en una razón dada
en el Mathematica?
General Analizar el método del intervalo dividido en una razón dada para aproximar la raíz de una ecuación no lineal en una sola variable.
Específicos 1. Enunciar un teorema que
defina el método del intervalo dividido en una razón dada.
2. Demostrar el teorema que define el método del intervalo dividido en una razón dada.
3. Adaptar el algoritmo del método de la bisección al método del intervalo dividido en una razón dada.
4. Programar el método del intervalo dividido en una razón dada en el
Mathematica.
General El método del intervalo dividido en una razón dada para aproximar la raíz de una ecuación no lineal en una sola variable converge más lento que el método de bisección para aproximar la raíz de una ecuación no lineal en una sola variable.
Específicos 1. Es posible enunciar un teorema que
defina el método del intervalo dividido en una razón dada.
2. Es factible demostrar el teorema que define el método del intervalo dividido en una razón dada.
3. Se puede adaptar el algoritmo del método de la bisección al método del intervalo dividido en una razón dada.
4. Es posible programar el método del intervalo dividido en una razón dada en el Mathematica.
Justificación Esta investigación se realiza porque no se registra un estudio analítico del intervalo dividido en una razón dada para aproximar la raíz de una ecuación no lineal en una sola variable.
Enfoque: Cuantitativo.
Diseño: Experimental.
Nivel: Descriptivo.
Tipo: Básica.
Métodos - Método del intervalo dividido en una
razón dada. - Programas en el software de cálculo
simbólico Wolfram Mathematica
v.11.2.
Importancia Esta investigación se realiza para
determinar con toda certeza si es más
conveniente bisectar el intervalo dado,
para aproximar la raíz de una ecuación no
lineal en una sola variable, o dividirlo en
la razón eme:ene.
27