universidad nacional de la...
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CCÁÁLCULO ESTADLCULO ESTADÍÍSTICO Y STICO Y
BIOMETRBIOMETRÍÍAA
Universidad Nacional de La PlataUniversidad Nacional de La PlataFacultad de Ciencias Agrarias y ForestalesFacultad de Ciencias Agrarias y Forestales
CONTENIDOSCONTENIDOS
UNIDAD 8: Análisis de la Varianza y Diseño de Experimentos. Modelos lineales con variables categóricas. Concepto de factor y de niveles de un factor. Modelo
de un solo factor. Partición de la suma de cuadrados total. Tabla Análisis de la Variancia. Prueba de la F global. Comparaciones particulares de las medias de los grupos. Criterios a posteriori: pruebas t, criterio de Bonferroni, Tukey, Duncan,
etc. Criterios a priori: método de los contrastes ortogonales. Verificación de los supuestos del modelo. Transformación de variables. Conceptos generales del diseño de experimentos. Diseño completamente aleatorizado (DCA). Modelos de
clasificación según dos o tres facto-res con una única observación por casilla. Diseño en bloques completos aleatorizados (DBCA). Modelos de dos o más factores fijos con repeticiones en las casillas. Concepto de interacción entre
factores. Experimentos factoriales. Diferenciación del análisis de los efectos principales según exista o no interacción entre los factores. Efectos fijos y aleatorios.
2
� MONTGOMERY D. (1991). Diseño y Análisis de experimentos.
México: Grupo Ed.Iberoamérica.
� MONTGOMERY D.; RUNGER, G. (1996). Probabilidad y
estadística aplicadas a la ingeniería. México: Mc Graw Hill.
� KUEHL, R. (2001). Diseño de Experimentos. México: Ed.
Thomson Learning.
� PEÑA, D. (1989). Estadística: Modelos y Métodos -Tomo II: Modelos Lineales. Madrid: Alianza Universidad Textos.
Bibliografía de Referencia
Prueba t : comparación de 2 medias
H0: µµµµ1 = µµµµ2 µµµµ1 - µµµµ2 = 0
H0: µµµµ1 ≠≠≠≠ µµµµ2 µµµµ1 - µµµµ2 ≠≠≠≠ 0
2
22
1
21
2121 )()(
ns
ns
xxtobs
++++
−−−−−−−−−−−−====
µµµµµµµµ
ANANÁÁLISIS DE LA VARIANCIALISIS DE LA VARIANCIA
3
Si H0 : σσσσ12 = σσσσ2
2 tobs ∼∼∼∼ t(n1+n2 –2)
221
222
2112
−−−−++++
⋅⋅⋅⋅++++⋅⋅⋅⋅====
nnsnsn
s pond
ns
xxt
pondobs 2
21
.2
)( −−−−====
Si H0 : σσσσ12 ≠≠≠≠ σσσσ2
2 tobs ∼∼∼∼ t(νννν )
(((( ))))(((( )))) (((( ))))
1/
1/
//
2
2
22
2
1
2
12
1
2
22
212
1
−−−−++++
−−−−
++++====
nns
nns
nsnsυυυυ
Contrastar 3 o más medias comparación de a pares
Inconvenientes:
Engorroso y poco práctico
Aumento de error tipo I
Ejemplo: comparación 5 medias = 10 pruebas
P(no rechazar H0/H0 es verdadero) = 0,9510 = 0,5987
ααααGlobal = 0,40
2
5
∼∼∼∼
4
Regla de Bonferroni:
Error Tipo I cada prueba:
donde:
Forma aproximada:
en nuestro caso: αααα = 0,05/10 = 0,005 (0,00511)
entonces ααααglobal = 1 - (1-αααα)10 = 1-0,995 10 = 0,0488
cglobalαααα
αααα ====
====
2
Nro.mediasc
cglobal )1(1 αααααααα −−−−−−−−====
≤≤≤≤ cglobal )1(1 αααα−−−−−−−−
MODELO DE CLASIFICACIMODELO DE CLASIFICACIÓÓN N
SEGSEGÚÚN UN SOLO FACTORN UN SOLO FACTOR
OBJETIVO: Determinar si existen diferencias significativas entre
medias correspondientes a distintos niveles de un factor
Factor: variable controlada que clasifica los individuos, también llamada
‘tratamiento’ (fertilizante, temperatura, color, estado civil)
Nivel: diversas categorías o valores que puede tomar un factor
Variable de respuesta: variable objeto de estudio (cuantitativa)
Repeticiones: conjunto de individuos que reciben igual nivel del factor
5
SUPUESTOS:
Existen k poblaciones de medias µµµµ1 , µµµµ2 , ... , µµµµk asociadas a los
distintos niveles del factor, donde las observaciones o datos están
distribuidos de manera normal e independiente, con la misma
varianza para cada población.
µµµµ1 µµµµ2 µµµµi µµµµkYijµµµµ
i = 1, 2, ... , k
j = 1, 2, ... , nj
yij = µ µ µ µ + (µµµµi - µµµµ) + (yij - µµµµi)
EFECTO TRATAMIENTO
ERROR ALEATORIO
Modelo Poblacional
yij = µ µ µ µ + ττττi + ξξξξij con ττττi = 0 y ξξξξij ∼∼∼∼ N(0,σσσσ2)∑∑∑∑====
k
i 1
Hipótesis
H0: µµµµ1 = µµµµ2 = µµµµi = ... = µµµµk = µµµµ
H1: al menos una µµµµi ≠≠≠≠
H0: ττττi = 0 ∀∀∀∀ i
H1: ττττi ≠≠≠≠ 0 para algún i
Modelo Muestral
)()( iijiij yyyyyy −−−−++++−−−−++++====
6
Descomposición de la Variablidad
)()()( iijiij yyyyyy −−−−++++−−−−====−−−−
∑∑∑∑∑∑∑∑∑∑∑∑∑∑∑∑∑∑∑∑∑∑∑∑==== ======== ======== ====
−−−−++++−−−−====−−−−k
i
n
jiij
k
i
n
ji
k
ii
n
ijij yyyyyy
1 1
2
1 1
22 )()()(
SCTotal (SCY) SCTrat (SCEntre Grupos) SCError (SCDentro Grupos)
glTotal = n.k – 1 glTrat = k - 1 glError = nk - k
Fórmulas de Cálculo
∑∑∑∑∑∑∑∑∑∑∑∑∑∑∑∑∑∑∑∑
∑∑∑∑∑∑∑∑∑∑∑∑==== ========
==== ====
======== ====
−−−−====
−−−−====−−−−====k
i
n
jij
k
i
k
i
n
jijn
jij
k
i
n
jij kn
yy
kn
y
yyy1
2..
1
2
1
2
1 1
1
2
1 1
2Total ..
)(SC
FC)(SC 1
2.
1 1
2Trat −−−−====−−−−====
∑∑∑∑∑∑∑∑∑∑∑∑ ====
==== ==== n
yyy
k
iik
i
n
ji
FC
∑∑∑∑∑∑∑∑
∑∑∑∑∑∑∑∑∑∑∑∑====
====
======== ====
−−−−====−−−−====k
i
k
iin
jij
k
i
n
jiij n
yyyy
1
1
2.
1
2
1 1
2Error )(SC Por diferencia
7
Cuadrados Medios
glSC
CM ====
2ERROR σ)E(CM ====
∑∑∑∑==== −−−−
++++====k
i
i
kn
1
22
TRAT 1.)E(CM
ττττσσσσ
ERROR
TRATOBS CM
CMF ====
Obtención Esperanzas Cuadrados Medios
Algunos conceptos previos:
Sea Y = {y1,y2, ... , yn} una variable aleatoria con media y varianza
poblacional µµµµ y σσσσ2 respectivamente y c una constante, entonces:
1) E(c) = c
2) E(yi) = µµµµ
3) E(c.yi) = c.E(yi) = c.µµµµ
4) E(yi - µµµµ)2 = σσσσ2
5) E(y1+ y2) = E(y1)+E(y2) = 2 µµµµ
6) E(y1 . y2) = E(y1).E(y2) = µµµµ2 (y1 e y2 son independientes)
7) E(y1 / y2) no necesariamente = a E(y1) / E(y2)
8
TABLA ANOVA MODELO DE CLASIFICACITABLA ANOVA MODELO DE CLASIFICACIÓÓN N
SEGSEGÚÚN UN SOLO FACTORN UN SOLO FACTOR
F.V. gl SC CM E(CM) Fobs Fcrit
Trat. k-1 FC1
2.
−−−−∑∑∑∑
====
n
yk
ii
1SCTRAT
−−−−k ∑∑∑∑
==== −−−−++++
k
i
i
kn
1
22
1.
ττττσσσσ
ERROR
TRAT
CMCM
Fcrit 5%
Fcrit 1%
Error k(n-1) Diferencia )1(
SCError
−−−−nk 2σσσσ
Total nk-1 ∑∑∑∑∑∑∑∑==== ====
−−−−k
ii
n
ijijy FC2
Estructura Tabla de Datos
Ejemplo
TRAT Repeticiones Totales
1 2 . . . i . . k
y11 y12 ... y1j ... y1n y21 y22 ... y2j ... y2n ……....................... ……....................... ……....................... yi1 yi2 ... yij ... yin ……....................... ……....................... yk1 yk2 ... ykj ... ykn
y1. Y2. . . .
yi. . .
yk.
y..
TRAT Repeticiones Tot. Medias S2
T1
T2
T3
3 5 2 3 2 4 5 4 6 7 5 7 9 8 6
15 26 35
3 5,2 7
1,5 1,7 2,5
76
9
Comparaciones IndividualesComparaciones Individuales
1. Pruebas a Posteriori H0: µµµµi = µµµµj ∀∀∀∀ i ≠≠≠≠ j
1a. Prueba LSD
nt
gl
ERROR
)2
1;CM.(crit
CM.2.
ERRORαααα
−−−−====∆∆∆∆
Rechazo H0 si | µµµµi - µµµµj | > ∆∆∆∆crit
1b. Prueba de Tukey (1953): más conservador
nq
kgl
ERROR
)2
1;;CM.(crit
CM.
ERRORαααα
−−−−====∆∆∆∆
1c. Prueba de Dunnett (1964): sólo k-1 comparaciones con testigo
H0: µµµµ0 = µµµµi ∀∀∀∀ i
1d. Pruebas de Newman-Keuls (1952) y Duncan (1955):
El valor de diferencia crítica tiene en cuenta en número de
medias p que pertenecen al rango determinado por las dos
medias analizadas
10
2. Pruebas a Priori
2a. Contrastes ortogonales: se plantean comparaciones de dos
grupos de medias por algún interés experimental antes de conocer
los resultados de la prueba F. Descomposición de SC y gl de
Tratamiento.
Ejemplo: H0: µµµµ1 vs { µµµµ2 ; µµµµ3 } H0: 2µµµµ1 - µµµµ2 - µµµµ3 = 0
FC2
)(SC
2.3.2
2.1
c1 −−−−++++
++++====nyy
ny
glc1 = 1
OJO !!!!! con FC cuando no intervienen
todas las medias en un contraste
Expresión vectorial de un contraste:
c1 : [ 2 -1 -1 ]
c2 : [ 0 1 -1 ]
Fórmula general SC de un contraste:
k’ = niveles que intervienen en el contraste
c = coeficientes del contraste∑∑∑∑
∑∑∑∑
====
====
==== '
1
2
2'
1.
c
.
.SC k
i
k
ii
cn
yc
11
2b. Polinomios ortogonales: cuando variable clasificatoria carácter
ordinal tendencia
Para 2 gl Tendencia lineal: [1 0 -1]
Tendencia cuadrática: [1 -2 1]
Para 3 gl Tendencia lineal: [-3 -1 1 3]
Tendencia cuadrática: [ 1 -1 -1 1]
Tendencia cúbica: [-1 3 -3 1]
VerificaciVerificacióón de supuestosn de supuestos
1. Aleatoriedad de residuales
2. Normalidad de residuales
3. Homocedasticidad Test de Levene
|eij| = µ µ µ µ + ττττi + ξξξξij
H0: µµµµ1 = µµµµ2 = µµµµi = ... = µµµµk = µµµµ
H1: al menos una µµµµi ≠≠≠≠
12
Conclusiones de un ANOVAConclusiones de un ANOVA
1. Agrupamiento niveles de tratamiento: uso de letras o líneas
2. Intervalos de confianza para medias
3. Intervalos de confianza para diferencias de medias
4. Representaciones gráficas
Current effect: F(2, 12)=10,561, p=,00226
Effective hypothesis decomposition
Vertical bars denote 0,95 confidence intervals
T1 T2 T3
Tratamiento
0
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
Y
Concepto de efectos fijos y aleatoriosConcepto de efectos fijos y aleatorios::
Efectos Fijos:
H0: ττττi = 0 ∀∀∀∀ i
H1: ττττi ≠≠≠≠ 0 para algún i
∑∑∑∑==== −−−−
++++====k
i
i
kn
1
22
TRAT 1.)E(CM
ττττσσσσ
Efectos Aleatorios:
H0: σσσσττττ2 = 0
H1: σσσσττττ2 > 0
22TRAT )E(CM ττττσσσσσσσσ ⋅⋅⋅⋅++++==== n
H0: µµµµ1 = µµµµ2 = µµµµi = ... = µµµµk = µµµµ
H1: al menos una µµµµi ≠≠≠≠
13
DISEDISEÑÑO ASOCIADOO ASOCIADO
DISEÑO COMPLETAMENTE ALEATORIZADO
DCA
T1
T1
T1
T1
T1 T2 T2
T2
T2 T2 T3
T3T3
T3T3
Modelo Poblacional
yij = µ µ µ µ + ααααi + ββββj + ξξξξij
Con: ααααi = 0 , ββββj = 0
ξξξξij ∼∼∼∼ N(0,σσσσ2) σσσσ2 = cte ∀∀∀∀ i,j
ααααi y ββββj aditivos
∑∑∑∑====
a
i 1∑∑∑∑
====
b
j 1
iid
i = 1,2, ... , a
j = 1,2, ... , b
MODELO DE CLASIFICACIMODELO DE CLASIFICACIÓÓN N
SEGSEGÚÚN DOS FACTORES SIN INTERACCIN DOS FACTORES SIN INTERACCIÓÓNN
14
Hipótesis
H01: µµµµ1 = µµµµ2 = µµµµi = ... = µµµµa = µµµµαααα
H11: al menos una µµµµi ≠≠≠≠
H01: ααααi = 0 ∀∀∀∀ i
H11: ααααi ≠≠≠≠ 0 para algún i
Modelo Muestral
H02: µµµµ1 = µµµµ2 = µµµµj = ... = µµµµb = µµµµββββ
H12: al menos una µµµµj ≠≠≠≠
H02: ββββj = 0 ∀∀∀∀ j
H12: ββββj ≠≠≠≠ 0 para algún j
)()()( ............ yyyyyyyyyy jiijjiij ++++−−−−−−−−++++−−−−++++−−−−++++====
Diseño asociado: DBCA (aleatorización restringuida)
C A
N A
L
R I E G O
BI BII BIII BIV BV
T1
T2 T1
T2 T1
T3
T2
T1
T2
T3 T1
T2
T3T3 T3
Técnicas en Fábricas
Nivel Social en Escuelas
15
B1 B2 ... Bj ... Bb
A1 A2 . . .
Ai . .
Aa
y11 y12 ... y1j ... y1b y21 y22 ... y2j ... y2b yi1 yi2 ... yij ... yib ya1 ya2 ... yaj ... yab
y1.
Y2. . . .
yi. . .
ya.
y.1 y.2 ... y.j ... y.b y..
Estructura Tabla de Datos
Factor B
Fac
tor
A
Sumas de Cuadrados y Grados de Libertad
bay
ba
ya
i
b
jij
..FC
2..
2
====
====
∑∑∑∑∑∑∑∑
∑∑∑∑∑∑∑∑ −−−−====a
i
b
jijy FCSC 2
TOTAL
FCSC
2.
A −−−−====∑∑∑∑
b
ya
ii
FCSC
2.
B −−−−====
∑∑∑∑
a
yb
jj
gl = a.b - 1
gl = b - 1
gl = a - 1
16
Esperanzas Cuadrados Medios
1)E(CM 1
2
2A
−−−−
⋅⋅⋅⋅
++++====∑∑∑∑
====
a
ba
iiαααα
σσσσ
1)E(CM 1
2
2B
−−−−
⋅⋅⋅⋅
++++====
∑∑∑∑====
b
ab
jjββββ
σσσσ
2ERROR σ)E(CM ====
TABLA ANOVA MODELO DE CLASIFICACITABLA ANOVA MODELO DE CLASIFICACIÓÓN N
SEGSEGÚÚN DOS FACTORES ADITIVOSN DOS FACTORES ADITIVOS
F.V. gl SC CM E(CM) Fobs Fcrit
Factor A a-1 FC
2.
−−−−∑∑∑∑
b
ya
ii
1
SCA
−−−−a
11
2
2
−−−−
⋅⋅⋅⋅
++++∑∑∑∑
====
a
ba
iiαααα
σσσσ ERROR
A
CM
CM====AF Fcrit 5%
Fcrit 1%
Factor B b-1 FC
2.
−−−−
∑∑∑∑
a
yb
jj
1
SC
−−−−bb
1
1
2
2
−−−−
⋅⋅⋅⋅
++++
∑∑∑∑====
b
ab
jjββββ
σσσσ ERROR
B
CM
CM====BF
Fcrit 5%
Fcrit 1%
Error (a-1).(b-1) Diferencia )1).(1(
SCError
−−−−−−−− ba 2σσσσ
Total a.b-1 ∑∑∑∑ ∑∑∑∑ −−−−a
i
b
jijy FC2
17
Ejemplo
Ho1: No hay efecto factor A
Ho2: No hay efecto factor B
1
A
2
B
3
Y
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
A1 B1 6,00
A1 B2 2,00
A1 B3 9,00
A1 B4 3,00
A2 B1 8,00
A2 B2 9,00
A2 B3 11,00
A2 B4 12,00
A3 B1 4,00
A3 B2 4,00
A3 B3 10,00
A3 B4 6,00
B1 B2 B3 B4
A1
A2
A3
6 2 9 3
8 9 11 12
4 4 10 6
20
40
24
18 15 30 21 84
Univariate Results for Each DV (NLIN)
Sigma-restricted parameterization
Effective hypothesis decomposition
GENERAL
EffectDegr. of
Freedom
Y
SS
Y
MS
Y
F
Y
p
Intercept
A
B
Error
Total
1 588,00 588,00 160,3636 0,000015
2 56,00 28,00 7,6364 0,022438
3 42,00 14,00 3,8182 0,076473
6 22,00 3,67
11 120,00
FC
Salidas Statistica
5,14 10,94,76 9,98
Tukey HSD test; variable Y (NLIN)
Probabilities for Post Hoc Tests
Error: Between MS = 3,6667, df = 6,0000
Cell No.A {1}
5,0000
{2}
10,000
{3}
6,0000
1
2
3
A1 0,0238 0,7512
A2 0,0238 0,0577
A3 0,7512 0,0577
18
A; LS Means
Current effect: F(2, 6)=7,6364, p=,02244
Effective hypothesis decomposition
Vertical bars denote 0,95 confidence intervals
A1 A2 A3
A
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
13
14
Y
B; LS Means
Current effect: F(3, 6)=3,8182, p=,07647
Effective hypothesis decomposition
Vertical bars denote 0,95 confidence intervals
B1 B2 B3 B4
B
0
2
4
6
8
10
12
14
Y
A1 A3 A2
B1 B2 B3 B4
Eficiencia de un DBCA respecto a un DCA
SCERROR DBCA < SCERROR DCA SIEMPRE !!!!
CMERROR DBCA significativamente < CMERROR DCA cuando efecto bloque**
)()(
EfDBCACMDCACM
error
error====
Cómo obtener CMerror(DCA)
19
F.V. gl SC CM F P-value
A 2 56,00 28,00 7,63 0,0224
B 3 42,00 14,00 3,81 0,0764
Error 6 22,00 3,67
Total 11 120,00
F.V. gl SC CM F P-value
A 2 56,00 28,00 7,63 0,0224
Error 9 64,00 7,11
Total 11 120,00
94,167,311,7
Ef ======== DBCA 94% más eficiente
Si DBCA más eficiente y deseara trabajar con un DCA
necesitaría mayor número de repeticiones para neutralizar la
heterogeneidad del material experimental que no se tiene en
cuenta al no bloquear
Existen otras expresiones de eficiencia
con correcciones por gl
20
Diseño en Cuadrado Latino
Modelo de clasificación según tres factores aditivos
ijkkjiijky ξξξξγγγγββββααααµµµµ ++++++++++++++++==== con i = j = k = 1,2, ... ,n
A B C D
B C D A
C D A B
D A B C
RIEGO
FERTILIDAD
2
2...FC
ny
====
FCSC 2TOTAL −−−−==== ∑∑∑∑∑∑∑∑∑∑∑∑
n
i
n
j
n
kijky
FC....
SC2
c2
B2
ATRAT −−−−
++++++++++++====
nyyy
FC......
SC2
.32
.22
.1FILA −−−−
++++++++++++====
nyyy
FC......
SC2
3.2
2.2
1.COL −−−−
++++++++++++====
nyyy
gl = n2 - 1
gl = n - 1
gl = n - 1
gl = n - 1
21
Concepto de interacción
droga A
2
droga B
3
droga A droga B
5
Si y entonces interacción AxB = 0
EXPERIMENTOS FACTORIALES EXPERIMENTOS FACTORIALES
droga A droga B
6
solo efecto = 2A
con B efecto = 3
solo efecto = 3B
con A efecto = 4
Entonces interacción
AxB = 1
Definición de experiencias factoriales:
Una experiencia organizada de manera de
estudiar la acción de dos o más tratamientos
o factores en todas sus combinaciones
(Yates, 1933)
22
IMPORTANTE: no es un diseño, es una forma de concebir el
experimento o dicho en otras palabras de asignar los tratamientos, si
bien algunos autores los presentan con la denominación de diseños
factoriales.
La experiencia factorial puede ser llevada a cabo a través de un diseño
completamente aleatorizado, en bloques o cuadrado latino por
ejemplo.
Ventajas de los modelos factoriales
� Revelar las interacciones cuando existen y ensayar su significación
� Igual precisión con menos repeticiones (repetición oculta o hiddenreplication)
Cálculo de sumas de cuadrado
Ejemplo: Sea un experimento factorial 2x2 o 22 con los factores
nitrógeno (N) y fósforo (P), y los niveles ausencia y presencia (en una
dosis determinada).
Las combinaciones posibles de niveles de ambos factores serán:
No Po : ausencia de ambos nutrientes
No P1 : ausencia de N y presencia de P
N1 Po : presencia de N y ausencia de P
N1 P1 : presencia de ambos nutrientes
23
ijiijy εεεεττττµµµµ ++++++++====
(((( ))))875.20
815
4922
2====−−−−====−−−−==== ∑∑∑∑
∑∑∑∑n
yySC ij
ijTotal
(((( ))))375.17
815
28511 2222222
. ====−−−−++++++++++++
====−−−−==== ∑∑∑∑∑∑∑∑
n
y
ry
SC ij
i
iTratam
N0 N1
P0 1-0 (1) 0-1 (1) 2
P1 2-3 (5) 3-5 (8) 13
6 9 15
F.V. gl SC CM Fobs
Tratam
Error
Total
3
4
7
17.375
3.5
20.875
5.791
0.875
6.618**
ijkijjiijk IPNy εεεεµµµµ ++++++++++++++++====
Ho(1): Ni = 0 ∀∀∀∀ i
Ho(2): Pj = 0 ∀∀∀∀ j
Ho(3): Iij = 0 ∀∀∀∀ i,j
Técnica clásica:
125.18
154
96 222
====−−−−++++
====NSC 125.158
154132 222
====−−−−++++
====PSC
125.1125.15125.1375.17 ====−−−−−−−−====−−−−−−−−==== PNTratamNxP SCSCSCSC
24
Fcrit(1;4)0.05 = 4,71
Fcrit(1;4)0.01 = 21,2
Técnica de los polinomios ortogonales
∑∑∑∑
∑∑∑∑
====
====
==== k
i
k
ii
cr
yc
1
2
2
1.
c
.
.
SC
F.V. gl SC CM Fobs
N
P
NxP
Error
Total
1
1
1
4
7
1,125
15,125
1,125
3,5
20,875
1,125
15,125
1,125
0,875
1,285NS
17,285*
1,285NS
TRATAMIENTO
N0P0 N1P0 N0P1 N1P1
E F E C T O
N
P
NxP
-1 +1 -1 +1
-1 -1 +1 +1
+1 -1 -1 +1
Diseño asociado a un experimento factorialDCA
DBCA
ijkjkkjiijk IPNBy εεεεµµµµ ++++++++++++++++++++====
Fcrit(1;3)0.05 = 10.1
Fcrit(1;3)0.01 = 34.1
OJO !!!! Todos efectos fijos
N0P0 N1P0 N0P1 N1P1
Bloque 1 1 0 2 3 6
Bloque 2 0 1 3 5 9
1 1 5 8 15
F.V. gl SC CM Fobs
Bloque
N
P
NxP
Error
Total
1
1
1
1
3
7
1,125
1.,25
15,125
1,125
3,5
20,875
1,125
1,125
15,125
1,125
0,7916
1,00
1,42
19,10
1,42
25
InterpretaciInterpretacióón de resultados cuando n de resultados cuando
la interaccila interaccióón resulta no significativan resulta no significativa
La interpretación de las experiencias factoriales no es la misma cuando
la interacción es o no significativa. Hay que comenzar por probar la
significación de la interacción. En el ejemplo que la interacción no es
estadísticamente significativa quiere decir que el efecto (eventual) del N
es idéntico se aplique o no P, y que el efecto (en caso que resultara
significativo) del P es idéntico, se administre o no N. Esto equivale a
decir que los efectos (eventuales) de N y P son simplemente aditivos.
El resto del análisis es simple. Se podrán contrastar las hipótesis Ho(1) y
Ho(2) usando los F-cocientes CMN/CMe y CMP/CMe. En este punto
algunos estadísticos recomiendan agrupar las SC del error y de la
interacción, lo mismo con los grados de libertad y así encontrar un
nuevo CM del error como sustituto de denominador en los test F.
InterpretaciInterpretacióón de resultados n de resultados cuando la interaccicuando la interaccióón resulta significativan resulta significativa
FCrit(1,12,0.05) = 4.75
FCrit(1,12,0.01) = 9.33
N0 N1
P0
10.0 8.6
11.4 9.4
(39.4) {9.85}
20.0 21.0
18.6 20.6
(80.8) {20.2}
120.2
P1
19.6 15.0
14.6 15.8
(65.0) {16.25}
19.2 19.6
18.4 17.2
(74.4) {18.6}
139.4
104.4 155.2 259.6
F.V. gl SC CM Fobs
N
P
NxP
Error
Total
1
1
1
12
15
157.50
24.50
61.62
26.57
270.19
157.50
24.50
61.62
2.21
71.13
11.07
27.83
26
Interacción Efecto N y P no son independientes
NO SE PUEDEN ANALIZAR LOS EFECTOS PRINCIPALES POR SEPARADO
Po
P1
N
Re
nd
8
10
12
14
16
18
20
22
No N1
No
N1
P
Re
nd
8
10
12
14
16
18
20
22
Po P1
rCM
q errorkerrorglcrítico ⋅⋅⋅⋅====∆∆∆∆ ⋅⋅⋅⋅ );;2/(αααα
26.5428.6
20.4%5 ====⋅⋅⋅⋅====∆∆∆∆crítico
89.6428.6
50.5%1 ====⋅⋅⋅⋅====∆∆∆∆ crítico
|Y_
NoPo - Y_
N1Po| = 10.35**
|Y_
NoP1 - Y_
N1P1| = 2.35NS
|Y_
NoPo - Y_
NoP1| = 6.40*
|Y_
N1Po - Y_
N1P1| = 1.60NS
|Y_
NoPo - Y_
N1P1| = 8.75**
|Y_
NoP1 - Y_
N1Po| = 3.95NS
27
Se quiere estudiar la mejor forma de controlar las malezas en el cultivo de
frutillas. Para ello se realizó una experiencia donde junto con la aplicación de
cierto herbicida en distintas dosis se realizaron labores culturales tradicionales y
conservacionistas para control de malezas. El siguiente cuadro muestra los
rendimientos de las parcelas.
DOSIS 1 DOSIS 2 DOSIS 3 TOTAL
LABOR
TRADICIONAL
3 3
6 3
5 4
3 5
5 4
3 5 49
LABOR
CONSERVACIONISTA
2 3
3 4
7 9
8 8
8 10
8 7 77
TOTAL 27 49 50 126
1
LABOR
2
DOSIS
3
REND
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
13
14
15
16
17
18
19
20
21
22
23
24
Trad D1 3
Trad D1 3
Trad D1 6
Trad D1 3
Trad D2 5
Trad D2 4
Trad D2 3
Trad D2 5
Trad D3 5
Trad D3 4
Trad D3 3
Trad D3 5
Cons D1 2
Cons D1 3
Cons D1 3
Cons D1 4
Cons D2 7
Cons D2 9
Cons D2 8
Cons D2 8
Cons D3 8
Cons D3 8
Cons D3 10
Cons D3 7
LABOR
Trad
LABOR
ConsD1 D2 D3
DOSIS
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
RE
ND
DOSIS
D1
DOSIS
D2
DOSIS
D3Trad Cons
LABOR
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
RE
ND
Univariate Tests of Significance for REND (LABOR.sta)
Sigma-restricted parameterization
Effective hypothesis decomposition
EffectSS Degr. of
Freedom
MS F p
Intercept
LABOR
DOSIS
LABOR*DOSIS
Error
661,5000 1 661,5000 567,0000 0,000000
32,6667 1 32,6667 28,0000 0,000050
42,2500 2 21,1250 18,1071 0,000049
28,5833 2 14,2917 12,2500 0,000438
21,0000 18 1,1667
Tukey HSD test; variable REND (LABOR.sta)
Homogenous Groups, alpha = ,05000
Error: Between MS = 1,1667, df = 18,000
Cell No.LABOR DOSIS REND
Mean
1 2
4
1
3
2
5
6
Cons D1 3,000000 ****
Trad D1 3,750000 ****
Trad D3 4,250000 ****
Trad D2 4,250000 ****
Cons D2 8,000000 ****
Cons D3 8,250000 ****