Profesor: Francisco Javier Hernández Velasco.

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UNIVERSIDAD NACIONAL AUTÓNOMA DE MÉXICO COLEGIO DE CIENCIAS Y HUMANIDADES

ACADEMIA DE MATEMÁTICAS UNIDAD III. PROBABILIDAD PROPÓSITO. El alumno estudiará los fenómenos aleatorios, resolviendo problemas utilizando los tres enfoques: subjetivo, frecuencial y clásico, para comprender los conceptos fundamentales que te permitan asociar a la Probabilidad y a sus reglas directamente con la Inferencia Estadística. ENFOQUES DE LA PROBABILIDAD Podemos acceder al concepto de probabilidad de estas tres formas básicas: 1. Por la observación de la frecuencia relativa de cada evento simple. (Enfoque

frecuencial) 2. Haciendo juicios subjetivos sobre la probabilidad de ocurrencia de cada evento

simple. (Enfoque subjetivo) 3. Suponiendo que cada evento simple de un espacio muestra, es igualmente

probable. (Enfoque clásico) Ejemplo. Un experimento consiste en lanzar una moneda y, si en este primer lanzamiento se presenta un sol, ha de lanzarse por segunda ocasión. Si en este lanzamiento se presenta un águila, entonces se lanza un dado una vez. Determina el espacio muestral. Solución. Para listar los elementos del espacio muestral que arroja la mayor cantidad de información se construye el diagrama de árbol, que se muestra a continuación:

Primer Segundo Punto resultado resultado muestral

s s s s a s a 1 a 1

2 a 2 a 3 a 3 4 a 4 5 a 5 6 a 6 En forma de lista

S= {(s, s), (s, a), (a, 1), (a, 2), (a, 3), (a, 4), (a, 5), (a, 6)} EJERCICIOS 1. Determina el espacio muestral de los siguientes experimentos:

a) Lanza tres monedas al aire (o su equivalente, lanza una moneda tres veces). b) Lanza al aire tres monedas y observa el número total de soles. c) Lanza tres monedas al aire y al número de soles obtenidos se le resta el

número de águilas obtenidas.

Definición. El conjunto que consiste de todos los resultados posibles de un experimento se denomina espacio muestral.

“. . . Y cuando se hizo grande, su padre le dijo: - Hijo mío, no todos nacen con alas. Y si bien es cierto que no tienes obligación de volar, opino que sería penoso que te limitaras a caminar teniendo las alas que el buen Dios te ha dado…. Para aprender a volar siempre hay que empezar corriendo un riesgo. Si uno no quiere correr riesgos, lo mejor será resignarse y seguir caminando para siempre.” Jorge Bucay

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2. Determina el espacio muestral del experimento: Se prueban diodos de un lote, de uno en uno, y se marcan como defectuoso (d) o no defectuoso (b). Este proceso prosigue hasta encontrar dos artículos defectuosos o haber probado cuatro artículos.

3. Una computadora genera pares de números enteros. El primer entero se

encuentra entre 1 y 5, inclusive, el segundo entre 1 y 4, inclusive. Ilustra el espacio muestral en un sistema de ejes coordenados. En el eje x muestra el primer número, y en el eje y al segundo número.

4. Determina el espacio muestral del experimento: Una caja contiene tres bolas, una

roja (R), una blanca (B) y una azul (A), se seleccionan dos bolas, una por una, se extrae la primera se anota su color y se regresa a la caja (con reemplazo), se elige a la siguiente bola y se anota su color.

EJERCICIOS 1. En un experimento en el que se arrojan al aire dos monedas para determinar

cuántas águilas o soles ocurren, contesta las siguientes preguntas: a) ¿Cuántos eventos simples existen? b) ¿Obtener dos águilas, es un evento simple o compuesto?

2. Supón que un experimento consiste en examinar tres fusibles; cada fusible puede ser defectuoso (D) o no defectuoso (B), los ocho resultados posibles del espacio muestral son: {BBB, BDB, BBD, BDD, DBD, DBB, DDB, DDD}. Escribe los resultados que conforman cada uno de los eventos siguientes, e identifica cual es simple.

a) E1 = El primer fusible está defectuoso. b) E2 = El primer fusible y el último están defectuosos. c) E3 = Todos los fusibles son buenos. d) E4 = Al menos un fusible está defectuoso. e) E5 = A lo más un fusible está defectuoso.

3. Considera el experimento de lanzar un dado rojo y uno negro, y observa los posibles casos; los 36 resultados posibles del espacio muestral son:{(1,1), (1, 2),..., (6,6)}.

Da una descripción para los eventos: a) {(1, 1), (2, 1), (3, 1), (4, 1), (5, 1), (6, 1)} b) {(1, 1), (2, 2), (3, 3), (4, 4), (5, 5), (6, 6)} c) {(3, 4), (4, 3), (5, 2), (2, 5), (6, 1), (1, 6)} d) {(5, 6), (6, 5)} e) {(1, 1)} f) {(4, 4)}

4. Para el experimento de lanzar los dos dados del ejercicio 3, lista los resultados de los eventos siguientes:

a) La suma es par. b) La suma es divisible entre 5.

Definición. Un evento es cualquier subconjunto de un espacio muestral S.

Definición. Un evento simple o elemental es un evento que contiene un sólo elemento.

Definición. Un evento compuesto llamado también simplemente evento, es un conjunto de uno o más eventos simples.

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c) La suma es un número primo. d) El número del dado negro es dos unidades mayor que el número del dado

rojo. e) La suma es impar. f) La suma no es divisible exactamente entre 5.

Operaciones entre eventos EJERCICIOS 1. Suponga que en una familia hay dos niños de diferente edad y que nos interesa

conocer cuál es su sexo. Sea A el evento de todas las posibilidades que no incluyen varones; B el evento que contiene dos varones, y C , el evento que contiene al menos un varón. Lista los elementos de los siguientes eventos: a) A b) cC c) A B d) A BU e) A Bc f) Ac B g) Ac C

2. Se tiran dos dados. Sea A el evento la suma es 7; B el evento ambos dados

muestran números impares, y sea C el evento únicamente un dado muestra un número impar.

a) Haga una lista de los elementos en , ,A B C , A B , BC y A BU . b) ¿Son A y B mutuamente excluyentes? ¿Lo son B y C ?

3. En la tabla 1 se clasifica a 200 personas. Indica cuántas caen dentro de las

clasificaciones de los siguientes eventos.

Sexo Republicanos Demócratas Totales Masculino 50 60 110 Femenino 20 70 90 Totales 70 130 200

Tabla 1. Miembros de los partidos políticos.

a) ¿Cuántas son republicanos y femeninas? b) ¿Cuántas son republicanos o femeninas? c) ¿Cuántas no son ni femeninas ni demócratas? d) ¿Cuántas no son republicanas?

Definición. La intersección de dos eventos A y B , denotada por A B , es el evento que contiene todos los elementos comunes a A y B .

Definición. Dos eventos A y B son mutuamente excluyentes si A B = φ , es decir, si A y B no tienen elementos en común.

Definición. La unión de dos eventos A y B , denotada por A BU , es el evento que contiene todos los elementos que pertenecen a A , a B , o a ambos.

Definición. El complemento de un evento A con respecto a S , es el conjunto de todos los elementos de S que no están en A . Se denota al complemento de A como A , ζ A o Ac .

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Cálculo de probabilidades. EJERCICIOS 1. Se lanza un dado no cargado. ¿Cuál es la probabilidad de obtener

a) un número impar? b) un número mayor que 4? 2. Se lanzan dos monedas. ¿Cuál es la probabilidad de obtener

a) exactamente un sol? b) a lo más un sol? 1. Se lanzan dos dados no cargados. Determina la probabilidad de que

a) Los números tengan una suma igual a 11. b) Ambos muestren un número primo. c) Los números tengan una suma divisible por 3.

2. Se elige una carta de una baraja de 52 cartas. ¿Cuál es la probabilidad de que sea

a) una reina? b) una carta roja? 3. Una caja contiene tres canicas azules, cuatro amarillas y dos verdes; se elige una

canica al azar. ¿Cuál es la probabilidad de que la canica resulte: a) azul? b) amarilla? c) verde?

4. Un estudio sobre los empleados de una gran organización proporcionó la

estadística siguiente según el sexo y el estado civil: Estado civil

Sexo Casado Soltero Divorciado Viudo Hombre 25% 11% 10% 3% Mujer 30% 8% 7% 6%

Suponga que se elige a un empleado al azar. ¿Cuál es la probabilidad de que resulte:

a) casado? b) Viudo? c) Hombre? 5. Se consultan 10 familias con respecto a la contaminación. De ellas 7 se oponen a

la contaminación y 3 están a favor o son indiferentes. a) ¿Cuál es la probabilidad de que dos familias escogidas aleatoriamente éstas se

opongan a la contaminación? b) ¿Cuál es la probabilidad de que una se oponga y la otra sea indiferente?

Definición. La probabilidad de un evento A es la suma de las probabilidades de todos los eventos simples de A . Por lo tanto,

0 ( ) 1P A≤ ≤ , ( ) 0P φ = y ( ) 1P S = .

Definición. Si un experimento puede dar como resultado cualquiera de N resultados diferentes igualmente probables, y si exactamente n de estos resultados corresponde al evento A , entonces la probabilidad del evento A es

P(A) = nN