Universidad Nacional Autónoma de México

Muestreo

M. en C. Patricia I. Romero Mares

Captura y Recaptura

Alumnos:Chávez DanielaMayoral AlexandroRosales AldebaránVázquez Gerardo

Supongamos que queremos estimar el número de elementos de una población poco participativa para ser encuestada

como puede ser el hecho de estimar el número de individuos de una población de animales en proceso de extinción (sólo por citar un caso).

Para realizar tal estimación la literatura documenta la estimación por: captura - recaptura

El tamaño de una población de animales puede ser estimado mediante la

captura y marcaje de individuos de esta población que son posteriormente

liberados , para volver a ser recapturados.

Esta metodología fue utilizada en 1662

por John Graunt para estimar el tamaño

de la población londinense y fue C. G. J.

Petersen quien en 1896 lo utilizó con fines

ecológicos para estimar el tamaño de la

población de peces y medir tasas de

mortalidad.

Este método y otros (relacionados), han

sido incorporados al estudio de patos,

insectos, mamíferos y de muchos otros

organismos en donde no es posible

realizar un censo por la alta movilidad de

los individuos y debido a que no son

completamente visibles.

MODELOS

El método más simple (Petersen) se basa en los siguientes supuestos:

• La población es cerrada: ningún individuo en cuestión entra o sale, es decir N es la misma en los dos procesos.

• Cada muestra de individuos es una muestra aleatoria simple de la población, es decir cada individuo tiene la misma probabilidad de inclusión en una muestra. No ocurre, por ejemplo, que los animales más débiles o los más pequeños tengan más posibilidades de ser capturados, además no existen individuos ocultos en la población con probabilidad cero de ser capturados o recapturados.

• Las dos muestras son independientes, los animales marcados en la primera captura, se vuelven a mezclar en el hábitat ( misma población), de tal forma que el hecho de ser seleccionados (marcados) no está relacionado con la probabilidad de ser seleccionado en la segunda muestra, la probabilidad de ser atrapado en la segunda muestra no depende de su historia de captura.

• La marca o señal debe ser lo suficientemente resistente para soportar el tiempo entre la captura y recaptura.

Procedimiento (modelo Petersen)

1) Obtener una muestra aleatoria de n1 individuos los cuales son marcados.

2) Regresar los individuos marcados al medio para que se mezclen con los no marcados.

3) Capturar una nueva muestra aleatoria de tamaño n2 y contar las recapturas.

4) La proporción recapturada nos indicará el tamaño de la población total.

mnn

N

:que lo por

nm

Nn

alidadproporcionPor

12

2

1

~

:

N = Tamaño de la población

n1 = Tamaño de la primera muestra y total de elementos marcados en la población

n2 = Tamaño de la segunda muestra

m = Individuos marcados en la segunda muestra

m ≤ n2

Las fórmulas para estimar el tamaño de la población son:

19 N 18 N~ 9 n 6 n 21

Una representación en geométrica sería la siguiente:

𝑵 𝐞𝐬𝐚 } rsub { } 𝒏 𝟏 𝒄𝒐𝒎𝒐 } rsub { } 𝒏 𝟐 𝒆𝒔 𝒂 𝒎 ¿¿

)~

(~~

2/1 NVzN

Y un intervalo aproximado del (1 - α)% de confianza para el tamaño de la población es:

322

21 )(

)~

(~

mmnnn

NV

Una aproximación del estimador de la varianza para el estimador de la población es:

Chapman (1951) propone una estimación con menos sesgo :

~𝑉 (~𝑁 )=(𝑛 1+1¿ (𝑛2+1¿ (𝑛1−𝑚¿ (𝑛2 −𝑚)

¿¿

En este caso una estimación para la varianza de (propuesta por Seber) es:

Y un intervalo aproximado del (1 - α)% de confianza para el tamaño de la población es:

-1

)~

(~~

2/1 NVzN

Si el muestreo durante el segundo evento se hace con reemplazo o si en el primer muestreo no se afecta a la fracción marcada en la población, Bailey propone la siguiente modificación:

Con varianza estimada:

x

x

x

x

x x

x

x

x

xx x

x

La estimación de Lincoln- Petersen toma una muestra sin reemplazo por lo que cada individuo sólo puede ser capturado una vez por muestra

x xx

x x

x

x

x

xxxx

x

xx

x

x

En la modificación de Bayles como es con reemplazo para la segunda muestra permite que el mismo

individuo a ser capturado varias veces dentro de cada muestra.

ACTIVIDADES

Tablas de Contingencia para experimentos con captura y recaptura

Fienberg (1972) sugiere que los datos de captura y recaptura se observen en una tabla de contingencia incompleta:

Para estimar los valores esperados usamos:

Si la primera muestra es independiente de la segunda entonces la probabilidades de estar en la segunda muestra es son las mismas para las especies marcadas y las que no, es decir:

Por lo que bajo el concepto de independencia el esperado de la celda faltante es:

Por tanto :

Ejemplo:

Supongamos que deseamos estimar la población del “lobo mexicano” especie en peligro de extinción, al respecto:

La Norma Oficial Mexicana, NOM-059-ECOL-2001, establece que una especie se encuentra en peligro de extinción cuando su área de distribución o tamaño de sus poblaciones en el territorio nacional ha disminuido drásticamente poniendo en riesgo su viabilidad biológica en todo su hábitat natural, debido entre otros a factores tales como la destrucción o modificación drástica del hábitat, aprovechamiento no sustentable, enfermedades o depredación principalmente del “homo sapiens”

Recuperado de: http://www.biodiversidad.gob.mx/pdf/NOM-059-ECOL-2001.pdf

Supongamos que obtenemos estos valores:n1= 120 m = 24

Pero lo que necesitamos encontrar un valor de

Tal qué:

La primera muestra vs. la segunda muestra sean independientes:

Pero sólo se observan tres de los cuatro necesarios, por lo que no se puede verificar tal hecho.

Sin embargo podría generarse un programa que estableciera algunos valores plausibles con la intervención de un experto que supiera de la especie en estudio.

El método de captura y recaptura se puede aplicar a seres humanos.

Laplace (uno de los pioneros) lo utilizó para estimar la población de Francia a principios de siglo XIX.

La adecuación para seres humanos se realiza con marcos de muestreo (por lo menos dos listados extremadamente fidedignos) y tomar las muestras con el rigor de la aleatoriedad.

Las hipótesis de esta estimación son como antes, pero ligeramente distintas de cuando se trata de especies animales.

La población es cerrada: en estudios de la vida salvaje, esta hipótesis podría no cumplirse. Sin embargo al considerar listas como las muestras, por lo general podemos actuar como sí la población fuese cerrada, sí las listas son del mismo período.

Cada muestra de individuos es una muestra aleatoria simple de la población, es decir cada individuo tiene la misma probabilidad de inclusión en una muestra.

Las dos listas son independientes.

En lugar de capturar individuos, podemos usar listas de individuos.

En España, Antonia Domingo Salvany et al, investigadora en la Universidad Autónoma de Barcelona han utilizado estos métodos para estimar el número de adictos a la heroína.

Para ello utilizaron tres capturas, consistentes en tres listas:

Ingreso de urgencias por el abuso a la heroína, las solicitudes de desintoxicación durante un primer semestre, y los ingresos en prisión en el segundo semestre, según apareciera o no en cada una de estas listas.

Ejemplo :

Suponga que se quiere estimar la cantidad de Afinadores de pianos en una ciudad.

Se obtiene la lista de miembros de la Asociación de Afinadores Sindicalizados de Pianos (AASP) y la lista del Conglomerado de Afinadores de Pianos (CAP). (Hay otra organizaciones importantes pero para simplificar sólo se utilizan dos).

N = Población a estimar de Afinadores de Pianosn1= Lista de los miembros de AASP n2 = Lista de los miembros del CAPm = Número de personas en ambas listas

Entonces:

Podemos estimar la población de afinadores mediante:

~𝑁=𝑛1𝑛2

𝑚

¡Exactamente como si los afinadores de pianos fueran lobos!

Modelo Simple:

• No hay muertes, nacimientos ni movimientos de población.

• Solo se realizan dos capturas.

¿Si queremos tomar en cuenta la posibilidad de muertes y nacimientos o migraciones?

¿O si no se consideran solo dos capturas?

Estimaciones con varias recapturas:

Se pueden ajustar modelos más complicados si se extraen más de 2 muestras aleatorias y en particular si se utilizaron diferentes marcas para los individuos (especies animales) atrapados en las diversas muestras, con los lobos por ejemplo, se marcan, entonces un lobo capturado con un código 001 por ejemplo, implican 3 muestras, no capturado en la primera, no capturado en la segunda y capturado en la tercera.

Schnabel (1938) analizó una forma de estimar N al extraer K muestras y determinó que la estimación de máxima verosímil de N es la solución de:

ni= tamaño de la muestra i

ri =cantidad de individuos recapturados en la muestra i

Mi = es el número de individuos marcados cuando se extrae la muestra i.

En un estudio con k ocasiones de muestreo, se tienen historias distintas de capturas posibles . Hay distintas formas de analizarlas, una de ellas es considerar las capturas como conteos en un modelo log-lineal.

k2

Muestra 2 Muestra 3 Muestra 4 Muestra 5Muestra 1

Básicamente, los estimadores de Petersen en muestreo múltiple

Se capturan ni individuos

Muestra i:

Se marcan ui individuos no marcados

Se regresan los individuos a la población

Se registran ri recapturas

La relación que guardan es la siguiente:

Por lo que otra forma de ver el tamaño de muestra estimado es:

con:

Muestreo de gansos no voladores atrapados por una red de “ojo de

cerradura

Conclusiones:

A través del empleo del método de captura y recaptura es posible estimar el total de la población de interés

Los supuestos de los distintos modelos tienen que considerarse para que el estimador sea insesgado

A pesar de lo que menciona la literatura, el tamaño de la muestra es factor fundamental para que la estimación sea precisa, esto es, entre más grande sea, mejor estimación

Referencias:

Sharon L. Lohr.Muestreo: Diseño y análisis. México; International Thomson Editores (2000)

Pérez Cesar. Técnicas de Muestreo Estadístico. Teoría, práctica y aplicaciones informáticas. México; Alfaomega(2000).

Wagemann Ernst. El número, detective. México; Fondo de Cultura Económica (1958).

McCallum, H. (2000) Population Parameters: Estimation for Ecological Models. Blackwell Science, Oxford.