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Métodos Cuantitativos II MAE Luis Fernando López 1

UNIVERSIDAD NACIONAL AUTONOMA DE HONDURAS FACULTAD DE CIENCIAS ECONOMICAS

DEPARTAMENTO DE METODOS CUANTITATIVOS METODOS CUANTITATIVOS II

Encuentre la ecuación de la recta que pasa por los siguientes puntos y grafique:

1) (3,-7) (1,0) 2) (3,2) (-1,-2) 3) (-4,-1) (1,-1) 4) (-4,5) (-4,8) 5) Pasa por (3,5) con pendiente 3 6) Pasa por (-3,1) con pendiente 1/4 7) Pasa por (4,-3) con pendiente 0 8) Pasa por (0,5) con pendiente indefinida

De las siguientes ecuaciones encuentre la pendiente y la ordenada al origen y grafique:

a) 4y - 12x + 15 = 0 b) x + y + 1 = 0 c) -2x – 4y = 0 d) -3x + y = 0 e) y = -2+3x f) 3x+6=0

Aplicaciones de Funciones Lineales

1. La ganancia de un fabricante de bicicletas se puede aproximar mediante la ecuación 000,8060 xP , donde x es el número de bicicletas fabricadas y vendidas.

a. Trace una gráfica de las ganancias contra con el número de bicicletas vendidas (hasta 5000 bicicletas)

b. Estime el número de bicicletas que deben venderse para que la compañía recupere sus gastos.

c. Calcule el número de bicicletas que deben venderse para que la compañía obtenga una utilidad de US$150,000.00

2. El costo semanal de operación de un taxi es de $75.00 más 15 centavos por

kilometro recorrido. a. Escriba una ecuación que exprese el costo semanal C en términos de los

kilómetros k. b. Trace una gráfica que muestre el costo semanal contra el número de

kilómetros conducidas por semana.(hasta 200 km) c. Calcule el costo semanal si Juan recorre 150 kilómetros. d. Calcule los kilómetros de recorrido efectuado por Juan si el costo es de

$135.00


3. El salario semanal de Pedro es de $200.00 más 10% de comisión sobre

ventas semanales. a. Plantee una ecuación b. Trace una gráfica del salario semanal comparado con las ventas

semanales c. ¿Cuál es el salario de Pedro si sus ventas fueron de $20,000.00? d. Si su salario a la semana es de $1,200.00,¿De cuántos fueron sus ventas?

4. El costo variable de fabricar una mesa es de L 9.00 y los costos fijos son

L200.00 al día. Determinar el costo total “y” de fabricar “x” mesas al día. ¿ Cuál es el costo de fabricar 150 mesas al día?

5. El costo variable de fabricar una mesa es de L 15.00 y los costos fijos son L25,000 al mes. Cada mesa se vende a L 150.

a) Determinar la ecuación de costo total. b) Determinar la ecuación de ingreso. c) Determinar la ecuación de utilidad. d) ¿Cuál es el costo de fabricar 150 mesas al día? e) ¿Cuál es el ingreso de fabricar 150 mesas al día? f) ¿Cuál es la utilidad de fabricar 150 mesas al día? g) Encuentre el punto de equilibrio. h) Grafique en un mismo plano cartesiano las ecuaciones de ingreso y costo

total.

6. La demanda de reproductores de DVD vendidos en un mes es una función lineal del precio, p, para $150≤p≤$400. Si el precio es $200, entonces se venderán 50 DVD por mes. Si el precio es $300 solo se venderán 30 DVD.

a) Determine la ecuación de demanda b) Determine la demanda cuando el precio es $260 c) Determine el precio que se cobra si la demanda es de 45 DVD.

7. Un fabricante de detergente encuentra que las ventas son de 10,000

paquetes a la semana cuando el precio es de L 1.20 por paquete, pero que las ventas se incrementan en 2,000 paquetes cuando el precio se reduce a L1.10 por paquete. Determine la relación de demanda, suponiendo que es lineal.

8. El ingreso, I, de una obra de teatro es una función lineal del numero de boletos vendidos, t. Cuando se venden 80 boletos el ingreso es de $1000. Cuando se venden 200 boletos el ingreso es $2500.

a) Utilice estos datos para escribir la ecuación. b) Determine el ingreso si se vendieron 120 boletos c) Si el ingreso es $2200, ¿ cuantos boletos se vendieron?


9. Una compañía que repara copiadoras cobra por un servicio una cantidad fija mas una tarifa por hora. Si un cliente tiene una factura de L 150.00 por un servicio de una hora y L 280.00 por un servicio de tres horas, determine la función lineal que describa el precio de un servicio en donde x es el numero de horas de servicio. Grafique.

10. Un fabricante de zapatos colocara en el mercado 50,000 pares de zapatos cuando el precio es $35 el par y 35,000 pares de zapatos cuando el precio es $30. Determine la ecuación de oferta.

11. La demanda semanal de televisores es 1200 unidades cuando el precio es de $575 cada uno, y 800 unidades cuando el precio es de $725 cada uno.

a) Determine la ecuación de demanda para los televisores, suponiendo un comportamiento lineal.

b) ¿Cuántos televisores vende si el precio es de $800? c) ¿A que precio debe de vender los televisores si espera vender 1500

televisores? d) Haga la grafica.

12. El costo de un boleto de autobús en Tegucigalpa depende de la distancia

viajada. Un recorrido de 2 millas cuesta L 4, mientras que un recorrido de 6 millas cuesta L 6.

a) Escriba la ecuación que represente el costo de boleto de autobús. b) Si un cliente pago L 7, ¿Cuántas millas recorrió? c) Haga la grafica

13. El salario semanal de Juan esta compuesto por un salario base mas una

comisión por sus ventas realizadas. En la primera semana su salario semanal fue de $650 cuando vendió $1000. En la segunda semana su salario semanal fue de $875 cuando vendió $2500 a) Encuentre la ecuación que represente el salario semanal de Juan.( Las

ventas representan la variable ¨x¨ y el salario semanal la variable ¨y¨) b) Si Juan vendió $4000 en la semana, ¿cuánto fue su salario semanal? c) Si el salario semanal de Juan es de $777.50, ¿cuánto vendió en esa

semana? d) ¿Cuál es el salario base que recibe Juan?

14. Una compañía vende 2000 unidades y su utilidad es de $10000. Cuando

vende 2250 unidades su utilidad es de $15000. a) Encuentre la ecuación de utilidad suponiendo es lineal. b) Determine la utilidad si se venden 3200 unidades. c) Si la compañía tiene una utilidad de $23000, ¿Cuántas unidades vendió? d) Encuentre la cantidad de unidades que debe vender para que la

compañía no sufra perdida.


15. El salario semanal de Juan está compuesto por un salario base más una comisión

por sus ventas realizadas. En la primera semana su salario semanal fue de $770 cuando vendió $1000. En la siguiente semana su salario semanal fue de $950 cuando vendió $2500

a. Encuentre la ecuación que represente el salario semanal de Juan.( Las

ventas representan la variable ¨x¨ y el salario semanal la variable ¨y¨) b. Si Juan vendió $4000 en la semana, ¿cuánto fue su salario semanal? c. Si el salario semanal de Juan es de $860, ¿cuánto vendió en esa semana? d. ¿Cuál es el salario base que recibe Juan?

Funciones Cuadráticas Grafique las siguientes funciones

1) f(x)= 3(x-2)(1-x) 2) f(x)= -3x2 +4x 3) f(x) = x2 – 4 4) f(x) = x2 + 6x + 9 5) f(x) = x2 – 8 6) f(x)=1/2 x2 + x -1 7) f(x)=2/3 x2 +4/3 x -1 8) f(x)= -x2 - 2x 9) f(x)= 3x2 -8x +2 10) f(x)= 1/2x2-25 11) f(x)= -(x+10)2

12) 23

1021)( 2 xxxf

13) 462)( 2 xxxf Aplicaciones de Funciones Cuadráticas

1. Un negocio vende n sillas, n≤50, a un precio de (50-0.4n) dólares cada una. ¿Cuántas sillas deben venderse para obtener un ingreso de $660.

2. Un negocio vende ¨x¨ sillas, a un precio de (50-0.2x) dólares cada una. ¿Cuántas sillas deben venderse para que el ingreso sea máximo?

3. Para calcular el total de estudiantes inscritos entre los años 1990 y 2008 en el nivel universitario, se puede utilizar la función N(t)= -0.043t2+1.22t + 46 en millones. En la ecuación t es el numero de años desde 1989, 1≤t≤19.

a) Calcule el total de niños inscritos en 1995 b) En que años el total de niños inscritos es de 54 millones de estudiantes?


4. La ganancia mensual P ( en miles de dólares) de una compañía de bicicletas puede estimarse mediante la función P = -2x2 + 16x – 12, donde x es el numero de bicicletas en cientos, producidas y vendidas al mes. Cuantas bicicletas deben producir y vender para maximizar la ganancia? Determine la ganancia máxima?

5. La utilidad semanal de una tienda de videos, P, en miles de dólares es una función del precio de alquiler de las cintas, t. La ecuación de utilidad es P=0.2t2+1.5t-1.2 , 0≤t≤5.

a) Si la tienda cobra $3 por cinta, ¿Cuál es la utilidad o perdida semanal? b) Si cobra $5 por cinta, ¿Cuál es la utilidad o perdida semanal? c) Cual debe ser el precio de alquiler de cada cinta para que la utilidad

semanal sea $1600?

6. Una compañía de investigación de mercado estima que “n” meses después de la introducción de un nuevo producto, f(n) miles de familia lo usaran, en donde:

F(n) = (10n/9)(12-n) , 0≤n≤12 Estime el numero máximo de familias que usaran el producto y grafique.

7. Una compañía productora de alimento para aves obtiene una utilidad semanal de acuerdo con la función f(x)=-0.4x2+80x-200, donde x es el numero de bolsas de alimento para aves fabricadas y vendidas.

a) Determine el numero de bolsas de alimento para aves que debe vender para obtener la utilidad máxima.

b) Determine la utilidad máxima.

8. La compañía teatral de una escuela considera que el ingreso total, I, en cientos de dólares, que obtendrá por una puesta en escena, puede calcularse con la formula I=-x2+22x-45 donde 2≤x≤20, donde x es el costo de un boleto.

a) ¿Cuánto debe cobrar para obtener el ingreso máximo? b) ¿Cuál es el ingreso maximo?

9. La dueña de la compañía contrato a un consultor para analizar las operaciones

del negocio. El consultor dice que sus ganancias )(xP de la venta de “x” unidades, están dadas por:

)120()( xxxP . a. ¿Cuántos unidades debe vender para maximizar las ganancias?

¿Cual es la ganancia máxima? b. ¿Cuál es el intervalo de ventas en el cual al menos su ganancia es

cero? c. Haga la grafica

10. La demanda de cierto producto es de x unidades cuando el precio fijado al

consumidor es de p dólares en donde p+2x=50. El costo en dólares de producir x unidades esta dado por c(x)=200 + 6x. ¿Qué precio por unidad deberá fijar al consumidor con objeto de que la utilidad sea máxima.


11. La función de demanda de una empresa es p=0.9-0.0004q, donde p es el precio

por unidad cuando los consumidores demandan q unidades. Determine el nivel de producción que maximizara el ingreso total del fabricante y determine este ingreso.

12. Una compañía encuentra que los costos de producir x unidades están dados por la ecuación 40050)( 2 xxxc . El precio de venta de cada unidad es de L250

a) Encuentre la función de utilidad. b) Determine la utilidad si se venden 50 unidades. c) Encuentre la cantidad de unidades que deben venderse para poder

obtener la utilidad máxima. d) Encuentre la utilidad máxima

13. Una compañía encuentra que los costos de producir x unidades están dados por

la ecuación 2402000)( xxxc . El precio de venta de cada unidad es de L 130

a) Encuentre la función de utilidad. b) Encuentre el numero de unidades que deben venderse para que la

compañía no obtenga perdidas c) Encuentre la cantidad de unidades que deben venderse para poder

obtener la utilidad máxima. d) Encuentre la utilidad máxima e) Grafique la función de utilidad

14. Un negocio vende ¨x¨ relojes a un precio de p = 30 - 0.10x dólares cada uno.

a) Encuentre la función de ingreso b) Determine la cantidad de relojes que debe vender para obtener el ingreso

máximo c) Cuantos relojes debe vender para obtener un ingreso de $2160. d) Determine el precio al que debe vender cada reloj para que el ingreso sea

máximo.


Función Valor Absoluto 1) f(x)= ½ - 1/3│1/4-1/5x│ 2) f(x) = - │x + 3│ + 3 3) f(x) = -3 – 2│- x – 1│ 4) f(x) = 2│- x – 1│+3 5) f(x) = -│- x + 2│ +5 6) f(x) = - │x + 3│ + 3 7) f(x) = 2│x + 3│ -1 8) f(x) = │x + 1│ - 4 9) f(x) = 3│1/2x +2│ - 6 10) f(x) = │x│ +1/2 11) f(x) = -2│1/3 -2x│ +4 12) y-1 = 1/2│x-2│ 13) y = -│1-x│+│-2│ 14) y= 5-│x│ 15) 432)( xxf

16) 314)( xxf

17) 1432)( xxf

Función Radical

1) xy 1231 2) 31)-(-2x2 y

3) 1 - 1 x f(x) 4) 1 -3x - 2- f(x) 5) 3x f(x) 6) 2 x-4 f(x) 7) 3 1/2 x 2- f(x) 8) x- - 2- f(x) 9) 2 x- 1 - f(x) 10) 4 - 1 x3 1 x 2 f(x) 11) 423)( xxf 12) xy 2211 13) 632)( xxf


Funciones Racionales

1. x

13x

f(x)

2. 1/x1 f(x)

3. 16x

x

f(x) 2

4. 2

2

x 4- x

f(x)

5. 1x

12-x- x

f(x)2

6. 4x x

f(x) 2

3

7. 4

4

x-1 1 x

f(x)

8. 1x

32 x

f(x) 2

2

x

9. 9x

5) x(x

f(x) 2

10. 11x

1

f(x)

11. 1x

3 x

f(x) 2

12. 4x

16 x

f(x)2

13. 62)( 2

2

xxxxxf


14. )4)(1(

2)(

xxxxf

15. 24

2)( 2

x

xf

16. 152

)(

x

xxf

17. 23

3)(

x

xf

18. 4

210)( 2

2

x

xxf

19. Hacer la grafica de la función con la siguiente información:

Cuando YX ,0 Cuando YX ,0 Cuando YX ,2 Cuando YX ,2 AH y=0 Ix no tiene Iy no tiene

20. Hacer la grafica de la función con la siguiente información: Cuando YX ,2 Cuando YX ,2 Cuando YX ,2 Cuando YX ,2 Ix (0,0) Iy (0,0) Corta en x=4 AH y=1


21. Hacer la grafica de la función con la siguiente información: Cuando YX ,1 Cuando Y,1X Cuando Y,2X Cuando Y,2X Cuando 1,YX Cuando 1Y,X )0,2(IX )1,0(IY

22. Haga el bosquejo de la gráfica con las siguientes características:

a. Cuando 2, XY

b. Cuando YX ,2

c. Cuando YX ,3

d. Cuando YX ,3 e. Asíntota Horizontal , la cual corta en el punto (0,0) f. Ix (0,0), Iy(0,0) g. Punto Faltante (3,1)


a. Cuando 2,YX

b. Cuando 2,YX

c. Cuando YX ,3

d. Cuando YX ,3

e. Cuando YX ,3

f. Cuando YX ,3 g. La función tiene un punto máximo en (0,0) h. Ix (0,0), Iy(0,0)


24. Haga el bosquejo de la gráfica con las siguientes características: a. Cuando YX ,2

b. Cuando 2, XY

c. Cuando YX ,2

d. Cuando 2, XY e. Asíntota Horizontal y=-2 f. Ix (-3,0)(-1,0)(3,0)(1,0), Iy (0,-1)


a. Cuando YX ,3

b. Cuando YX ,3

c. Cuando YX ,0

d. Cuando YX ,0

e. Cuando YX ,2

f. Cuando YX ,2

g. Cuando XY ,1

h. Cuando XY ,1 i. Ix (-1,0)(-4,0), Iy= no tiene j. No se cruzan las asíntotas horizontales

26. Haga el bosquejo de la gráfica con las siguientes características: a. Cuando 2, XY

b. Cuando YX ,2

c. Cuando YX ,3

d. Cuando YX ,3 e. Asíntota Horizontal y=0, la cual corta en el punto (0,0) f. Ix (0,0), Iy (0,0) g. Punto faltante en (3,1/2)


Complete la información utilizando las siguientes graficas:

Complete:

a) Si x→ 2- entonces y→_____ b) Si x→ -3- entonces y→_____ c) Si x→ 2+ entonces y→_____ d) Si x→ 5+ entonces y→_____ e) Si x→ -3+ entonces y→_____ f) Si x→ 5- entonces y→_____ g) El rango es _____________ h) El dominio es____________

Complete:

a) Si x→ -1- entonces y→_____ b) Si x→ 1- entonces y→_____ c) Si x→ -1+ entonces y→_____ d) Si x→ 1+ entonces y→_____ e) El rango es _____________ f) El dominio es____________


Complete:

a) Si x→ -5- entonces y→_____ b) Si x→ 1- entonces y→_____ c) Si x→ -5+ entonces y→_____ d) Si x→ 1+ entonces y→_____ e) Si x→ 3+ entonces y→_____ f) Si x→ 3- entonces y→_____ g) El rango es _____________ h) El dominio es____________

Complete:

a) Si x→ -1- entonces y→_____ b) Si x→ -1+ entonces y→_____ c) El punto faltante es_______ d) El rango es _____________ e) El dominio es____________


Soluciones Graficas de Funciones Lineales

1 2

3 4

5 6


7 8

a b

c d


e f Funciones Cuadráticas 1 2 3 4


5 6 7 8 9 10


11 Función Valor Absoluto 1 2 3 4


5 6 7 8 9 10


11 12 13 14 15


Función Radical 1 2 3 4 5 6


7 8

9) 10) 11)


Funciones Racionales 1 2 3 4 5 6


7 8

9 10

11 12


13

Selección única

1) La función abx

xf

1

2)( tiene asíntota vertical x=1/5 y asíntota

horizontal en y=3 cuando:

a) a=3 b=5

b) a=1/5 b=3

c) a=0 b=5

d) a=3 b=0

2) La parábola y= 3(x-a)(x-5) tiene eje de simetría en x=17/6 entonces:

a) a=2/9

b) a=1/3

c) a=2/3

d) a=-3/2


3) El rango de la función f(x) = 2x2 -4x + 1 es:

a) [1,+∞[

b) ]-∞,1]

c) [-1,+∞[

d) ]-∞,-1]

4) El gráfico de la función 21

3)(

x

xf corta al eje x en el punto

a) (5/2,0)

b) (2,1)

c) (0,-5)

d) (0,5/2)

5) La parábola de vértice (1,2) que pasa por (0,5) tiene ecuación:

a) y= 3x2 +6x + 5

b) y= x2 +2x + 3

c) y= 3x2 -6x + 5

d) y= x2 -2x + 3

6) Las ecuaciones de todas las asíntotas de f(x) = 182)( 2

2

xxxf son:

a) y=1 y= -1 x=2

b) x=-2 x=2

c) y=0 x=1

d) y=2 x= -1 x=1


7) Una fábrica de calzados tiene costos fijos de $6600 por semana y un costo de $15por cada par de zapatos. Si vende cada par a $20, la cantidad de pares que necesita vender por semana para cubrir los costos de producción es

a) 660 b) 1320 c) 440 d) 330

8) La recta pasa por los puntos (1,-3) y (0,5) tiene ecuación:

a) y = -1/8(x) +5 b) y = -8x c) y = -8x+5 d) y = 5x-8

9) Si f(x)=mx +b y f(-3)=8 y f(3)=-4 entonces:

a) m=2 y b=-2 b) m=4 y b=-8 c) m=-2 y b=2 d) m=-4 y b=20

10) Cuál es la ecuación de la recta que pasa por (0,-4) y (2,0) a) 2x +4y =8 b) 4x +2y =8 c) 2x -4y =8 d) 4x +2y = -8 e) ninguna

11) Cuál es el dominio de xxf 4)( es:

a) Todos los numero reales b) x≥4 c) x≤ -4 d) x≤ 4 e) ninguna

12) El rango de 542)( 2 xxxf es:

a) Todos los numero reales b) y≤3 c) y≥ -3 d) ninguna


13) La función 108)( 2 xxxf :

a) Tiene un punto máximo en (4,6) b) Tiene un punto máximo en (4,-6) c) Tiene un punto mínimo en (4,6) d) Tiene un punto mínimo en (4,-6) e) Ninguna

14) La función 108)( 2 xxxf :

a) Abre hacia abajo y tiene 2 intercepciones en el eje x b) Abre hacia arriba y no tiene intercepciones en el eje x c) Abre hacia abajo y no tiene intercepciones en el eje x d) Abre hacia arriba y tiene 1 intercepto en el eje x e) Ninguna

15) El dominio de la función f(x)=2-2(x-1) es:

a)[1,+∞[ b) ]-∞,1] c) R d)ninguna

16) El rango de la función 122)( xxf es: a) [-2+∞[ b) ]-1,+∞[ c) ]-∞,-1[ d)ninguna

17) La función 4

16)( 2

2

xxxf tiene asíntota vertical en:

a)x=2 b)x=-2 c)x=±2 d)no tiene

18) El vértice de la función 113)( xxf es:

a)(1,-1) b)(-1,-1) c)(-1,2) d)ninguna


19) El dominio de la función 223)( xxf es:

a)x≥-2 b)[2,+∞[ c)]-∞,3] d)a y b son correctas

20) En la función 44)( 2 xxxf , el vértice es:

a) V(-2,8) b) V(2,-16) c) V(-2,0) d) V(2,-8)

21) La pendiente de la recta que pasa por los puntos (2,3) y (2,-3) es: a) Indefinida b) 0 c) -6/4 d) 6/4

22) El dominio de la función 23)( xxf es:

a) x≥3 b) x≤-3 c) [3,+∞[ d) ]-∞,3]

23) En la función 62)( xxf el rango es: a) Los reales b) ]-∞,6] c) [6,+∞[ d) [-6,+∞[

24) En la función cbmxkxf )( , donde c>0 y k>0 entonces: a) Tiene un Ix b) Tiene dos Ix c) No tiene Ix d) ninguna


25) Dada la siguiente gráfica:

El dominio de la gráfica es: a) x ≤ -3 b) x ≥ 0 c) x ≥ -3 d) x ≤ 0

El rango de la gráfica es:

a) ,0 b) ,3 c) 0, d) 3, El punto (-3 ,0 ) representa un:

a) Punto Final b) Punto máximo c) Punto mínimo d) Punto inicial

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