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Universidad Nacional Autonoma de Mexico

Facultad de Ciencias

La Conjetura de Borel

T E S I SQUE PARA OBTENER EL TITULO DE:

MATEMATICA

PRESENTA:

VIRIDIANA PEREZ MARQUEZ

DIRECTORES DE TESIS:DRA. CARMEN MARTINEZ ADAME ISAIS

DR. ULISES ARIET RAMOS GARCIA

2013

UNAM – Dirección General de Bibliotecas

Tesis Digitales

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Hoja de Datos del Jurado

1. Datos del alumnoPérezMárquezViridiana55 14 84 09 55Universidad Nacional Autónoma de MéxicoFacultad de CienciasMatemáticas305208004

2. Datos del tutorDra.CarmenMartínez-AdameIsais

3. Datos del cotutorDr.Ulises ArietRamosGarcía

4. Datos del sinodal 1Dra.GabrielaCamperoArena

5. Datos del sinodal 2Dr.ÁngelTamarizMascarúa

6. Datos del sinodal 3Dr.OsvaldoTellezNieto

7. Datos del trabajo escritoLa Conjetura de Borel134p, 2013

Agradecimientos

�

Para poder realizar esta tesis, sin duda fue necesario del apoyo de muchas personas a las cualesme gustaría agradecer.

En primer lugar, a mis padres, quienes me han apoyado de todas las maneras posibles.

A mis hermanos porque los quiero mucho.

A mis asesores de tesis, Carmen Martínez y U. Ariet Ramos, a quienes les debo muchísimo portoda la orientación, paciencia y ayuda que me brindaron.

A Gabriela Campero, porque además de ser una excelente profesora y un gran ejemplo a seguir,es una gran amiga.

A mis sinodales por aceptar revisar este trabajo y en general a todos los profesores y ayudantesque me transmitieron su conocimiento a lo largo de estos años en la Facultad de Ciencias.

Y por supuesto a todos mis amigos y a las personas con las que he compartido grandes momentosque se han transformado en recuerdos y aprendizajes que se quedarán conmigo para siempre.

La Conjetura de Borel

Viridiana Pérez Márquez

Índice general

Introducción 1

Capítulo 1. De la clasificación de los conjuntos de medida cero a la Conjetura de Borel 51.1. Les ensembles de mesure nulle 51.2. Sur la classification des ensembles de mesure nulle 9

Capítulo 2. Besicovitch y los conjuntos de medida fuertemente cero 252.1. Conjuntos Concentrados 252.2. Rarified Sets 382.3. Sierpiński y los conjuntos con la propiedad (C) 422.4. Un conjunto de medida fuertemente cero que no es concentrado 47

Capítulo 3. La propiedad de Rothberger 493.1. Un conjunto concentrado que puede ser mapeado continuamente en 2ω 523.2. Los conjuntos de Luzin, Sierpiński y la Hipótesis del Continuo 55

Capítulo 4. El σ-ideal SN 574.1. Medida fuertemente cero en espacios métricos 604.2. Una caracterización combinatoria 664.3. Medida fuertemente cero y traslaciones 694.4. Conjuntos de medida fuertemente cero no numerables sin CH 70

Capítulo 5. Consistencia de la Conjetura de Borel 755.1. forcing de Laver 755.2. Pure Decision Property 765.3. Axioma A 775.4. La propiedad de Laver 825.5. Un modelo que satisface la Conjetura de Borel 85

Apéndices 89

Apéndice A. Ordinales, cardinales y cofinalidad 91A.1. Órdenes parciales y órdenes totales 91A.2. Ordinales 92A.3. Cardinales 95A.4. Cofinalidad 99

i

ii

Apéndice B. Algunos invariantes cardinales del continuo 105B.1. Números de pseudointersección, acotación y dominancia 106B.2. Escalas 109

Apéndice C. forcing 113C.1. Modelos estándar y modelos transitivos 113C.2. Definición de forcing 115C.3. forcing Iterado 120

Apéndice D. El Axioma de Martin 125D.1. La versión topológica del Axioma de Martin 127D.2. Algunas consecuencias del Axioma de Martin 127D.3. Medida y Categoría 130

Apéndice. Bibliografía 133

Introducción

El objetivo central de esta tesis es estudiar una conjetura que fue formulada en el año de1919 por el matemático Félix Édouard Justin Émile Borel. Esta conjetura, se sabe ahora, es unenunciado que no es refutable ni demostrable bajo la axiomática usual de la Teoría de Conjuntos(abreviada ZFC, por sus siglas en inglés) pero que se formuló años antes de que se considerarala posibilidad de que incluso la Hipótesis del Continuo también fuera un indecidible.

La historia de esta conjetura comienza a principios del siglo XX, cuando Borel estaba trabajandoen sus teorías de probabilidad numerable y decide prestarle atención a los conjuntos de medidacero por la importancia que tienen en su teoría. Al clasificar estos conjuntos llegó a la definiciónde medida fuertemente cero para así, después conjeturar que los únicos conjuntos que cumplencon dicha propiedad son los numerables.

En el primer capítulo de este trabajo se expone la clasificación de los conjuntos de medida cerodada por Borel, su relación con la teoría de probabilidades numerables y se enuncia la que esconocida actualmente como la Conjetura de Borel.

Cabe señalar que no fue sino hasta 1934, quince años después de que Borel enunciara su conjetu-ra, que el matemático ruso Abram Samoilovitch Besicovitch retomó el estudio de la clasificaciónde conjuntos de medida cero, pero aparentemente sin conocer el trabajo de Borel.

Besicovitch llegó a la definición de conjunto rarified, actualmente llamados conjuntos de Sier-piński y a la definición de conjunto concentrado, ambos de medida fuertemente cero, a travésde sus estudios en teoría geométrica de la medida. El interés de Besicovitch estaba centradoen determinar cuáles subconjuntos de la recta real tienen medida cero respecto a cualquiera delas medidas que él consideraba y en determinar aquellos conjuntos en los que la variación decualquier función continua y monótona es cero. Apoyándose en que cualquier conjunto bore-liano no numerable contiene una copia del conjunto de Cantor, observa que cualquier borelianocon cualquiera de esas propiedades es a lo más numerable. Esto lo llevó a preguntarse si esteresultado es cierto en general.

El resultado principal de Besicovitch es que, suponiendo la Hipótesis del Continuo existe unconjunto concentrado, es decir, hay un conjunto no numerable que tiene medida fuertementecero, lo cual niega la Conjetura de Borel.

Con esto se tiene que la Hipótesis del Continuo implica la negación de la Conjetura de Borel.En otras palabras, que si asumimos la Conjetura de Borel, entonces 2ℵ0 > ℵ1.

1

2

Por otro lado, no se sabe si Besicovitch llegó a la construcción de su conjunto concentrado nonumerable motivado por el hecho de poder encontrar una forma más débil de un conjunto deLuzin, pues 20 años antes del trabajo de Besicovitch, el matemático ruso Nikolai NikolaevichLuzin construye un conjunto con una propiedad más fuerte que la requerida por Besicovitch,pero bajo la misma hipótesis. Estos conjuntos son ahora llamados Conjuntos de Luzin.

Luzin llega a la construcción de sus conjuntos a partir del famoso esquema de clasificación defunciones dado por Baire, donde una función pertenece a una clase si es el límite puntual defunciones de clases anteriores; pues al igual que Baire, Luzin quería saber si la condición nece-saria para que una función entre dentro en este esquema de clasificación, es también suficiente,y muestra que bajo la Hipótesis del Continuo existen funciones que gozan de esa propiedadnecesaria, a saber, funciones que son puntualmente discontinuas sobre todo conjunto perfecto,omitiendo un conjunto de primera categoría respecto al conjunto perfecto, pero que no entrandentro del esquema de clasificación. Es fácil ver que la función característica de un conjuntode Luzin tiene dicha propiedad; de hecho, dado cualquier conjunto perfecto, existe un conjuntonumerable tal que la restricción de la función característica al conjunto perfecto omitiendo eseconjunto numerable es constante.

Es importante señalar que Luzin llega a este resultado sin utlizar que los borelianos tienenla propiedad del conjunto perfecto dada independientemente por Hausdorff y Alexandroff dosaños después, pues sabiendo que las funciones de Baire son de Borel, es fácil ver que la funcióncaracterística de los conjuntos de Luzin no es de Baire. En lugar de eso, se tuvo que apoyar enun argumento constructivo usando que 2ℵ0 < 2ℵ1 .

Siete años después, Luzin demuestra la existencia de sus conjuntos sin usar la Hipótesis delContinuo pero sí el axioma de elección y de un debilitamiento de la Hipótesis del Continuo.De hecho, es en este mismo artículo donde aparece por primera vez una conexión entre losconjuntos de medida fuertemente cero y el invariante cardinal b.

Aunque Besicovitch nunca hace referencia al trabajo de Luzin, no se puede descartar la posi-bilidad de que hubiera estado consciente de la primera construcción de los conjuntos de Luzin,ya que, como se dijo anteriormente, también establece, análogamente a como lo hace Luzin yusando la Hipótesis del Continuo, la existencia de lo que llama rarified sets, ahora llamadosConjuntos de Sierpiński, aunque una evidencia de que Besicovitch no estaba interesado con ladistinción entre sus conjuntos concentrados, sus conjuntos rarified y los conjuntos de Luzin esque no se hizo ninguna pregunta a lo largo de esas líneas. Pudo, por ejemplo, haberse pregunta-do si la familia de los conjuntos de medida fuertemente cero es la misma que la de los conjuntosconcentrados, pero fue Wacław Sierpiński quien se hizo esta pregunta en el año de 1938.

De cualquier manera, Besicovitch, aunque hasta 1941, respondió la pregunta de si la familia delos conjuntos de medida fuertemente cero es la misma que la de los conjuntos concentrados yeste hecho nos hace ver su interés en esta línea de investigación.

Al contrario de Besicovitch, Sierpiński sí estaba enterado sobre los trabajos de Luzin, y en1928, motivado por un artículo publicado en 1924 del matemático ruso Mikhail Lavrentiev, endonde demostró que todo conjunto lineal homeomorfo a un conjunto de Luzin es de medida

0. Introducción 3

cero, demuestra justamente que toda imagen continua de un conjunto de Luzin es un conjuntode medida cero y que todo conjunto de Luzin es de medida fuertemente cero.

Después, en 1938, como se dijo anteriormente, Sierpiński se pregunta si la familia de los conjun-tos de medida fuertemente cero es la misma que la de los conjuntos concentrados de Besicovitch.Esta pregunta surge después de que Sierpiński se preguntara si la medida fuertemente cero deconjuntos lineales es invariante bajo transformaciones continuas u homeomorfas, e indica queen el caso de que la familia de los conjuntos concentrados fuera la misma que los de medidafuertemente cero, entonces la respuesta a sus preguntas sería afirmativa.

Es importante señalar que en 1930, el matemático polaco Szpilrajn, demuestra que la Conjeturade Borel es verdadera para los conjuntos Borel medibles y más en general para los conjuntosanalíticos, además que si un conjunto es de medida fuertemente cero, o en palabras de Sierpiński,que goza de la propiedad (C), entonces es totalmente imperfecto (es decir, que no contieneningún subconjunto perfecto), dado que todo conjunto analítico totalemente imperfecto esa lo más numerable. Para eso, Szpilrajn demuestra que la propiedad (C) es un invariantede transformaciones bajo funciones continuas de variable real, el cual es el lema que utilizaSierpiński para demostrar que la invarianza de la propiedad (C) es equivalente a saber si lafamilia de los conjuntos concentrados es la misma que los de medida fuertemente cero.

Tres años después de la pregunta de Sierpiński, Besicovitch la responde de manera negativa,pues construye bajo la Hipótesis del Continuo un conjunto de medida fuertemente cero que noes concentrado.

En el capítulo dos del presente texto se exponen dichos resultados de manera detallada.

Por otro lado, en el año de 1938 y aparentemente sin conocer el trabajo de Besicovitch, (aunqueen 1942 lo conoció y de hecho fue quien lo introdujo a la Cambridge Philosophical Society),el matemático austriaco Fritz Rothberger estudió los conjuntos de medida fuertemente cero,usando la terminología de Sierpiński de conjuntos con la propiedad (C) y estableciendo surelación con el cardinal b.

La pregunta de Sierpiński acerca de la invarianza topológica de la propiedad (C), llevó a Roth-berger a considerar otros dos tipos de clases de conjuntos a los cuales clasificó como conjuntoscon la propiedad C ′ y C ′′. Ambas clases siendo respectivamente más fuertes que la propiedad(C) (con la propiedad C ′′ más fuerte que la propiedad C ′) y las cuales sí son invariantes bajotransformaciones continuas. Así, el problema de la invarianza de la propiedad (C) bajo trans-formaciones continuas planteado por Sierpiński, se traduce a saber si la propiedad (C) y lapropiedad C ′ son equivalentes.

En el mismo año que Besicovitch, Rothberger también responde a la pregunta de Sierpińskiacerca de la invariaza topológica de la propiedad (C) de manera negativa bajo la hipótesis delcontinuo. Para eso, primero demuestra que la proposición b = ℵ1, es decir que el mínimo cardinalde una familia de sucesiones de números naturales no acotada sea igual a ℵ1, es equivalente a laexistencia de un conjunto concentrado no numerable; así, asumiendo la Hipótesis del Continuodemuestra que existe un conjunto de reales concentrado en los racionales y por tanto con la

4

propiedad (C) pero que puede ser mapeado continuamente en 2ω, el cual sabemos que no es demedida fuertemente cero.

En el mismo año, Rothberger, demuestra que la existencia de los conjuntos de Luzin y los con-juntos de Sierpiński a la vez, es equivalente a la Hipótesis del Continuo. Todos estos resultadosse encuentran en el tercer capítulo del presente texto.

Después de los resultados de Rothberger hay una gran variedad de resultados que se demostraronsobre los conjuntos de medida fuertemente cero, sobre todo resultados de caracterización yalgunas construcciones de conjuntos no numerables de medida fuertemente cero sin necesidadde la Hipótesis del Continuo pero sí del Axioma de Martin o de algunas igualdades entreinvariantes cardinales del continuo, los cuales se encuentran en el capítulo cuatro.

Para el contexto actual de la Teoría de Conjuntos, los resultados que se han mencionado nosmuestran que desde sus inicios, la Conjetura de Borel era realmente un problema de consis-tencia relativa. Por ejemplo, los hechos que se han mencionado más arriba giran entorno a laconsistencia relativa de la negación de la Conjetura de Borel. Esto es, si la teoría de ZFC no escontradictoria, entonces tampoco lo es la teoría ZFC + “existe un conjunto no numerable demedida fuertemente cero”, aunque la vía para hacer esto haya sido asumiendo por ejemplo laconsistencia relativa dee CH.

Por tanto, para dar una contestación a la Conjetura de Borel, o bien, existe en ZFC un con-junto no numerable de medida fuertemente cero o consistentemente todo conjunto de medidafuertemente cero es numerable.

Pues bien, tuvieron que transcurrir varias décadas y desarrollos de la Teoría de Conjuntos paraque finalmente Richard Laver en el año de 1976 demostrara, usando el método de forcing, laconsistencia de la Conjetura de Borel y con esto probar que dicha conjetura es independientede ZFC.

Forcing es un método general introducido en 1963 por Paul Joseph Cohen y desarrollado pos-teriormente por Robert Solovay para generar extensiones genéricas de modelos transitivos deZFC. Dicho método representa una herramienta poderosa para hacer pruebas de consistencia eindependencia relativa. Mientras que la motivación inicial se encuentra en la prueba de Cohende la consistencia relatica de la negación de CH, nociones y técnicas de forcing más sofisticadastuvieron que ser introducidas para poder dar respuesta a varios problemas que han surgido endiversas ramas de la matemática. Un ejemplo de ello fue la pruebla de 1971 de Solovay y Ten-nenbaum de la independencia de la Hipótesis de Suslin, de la cual se abstrae el bien conocidoAxioma de Martin (MA) y en donde se introduce el método de forcing iterado con soportefinito. Otro ejemplo es justamente la prueba de Laver de la consistencia de la Conjertura deBorel, donde fue necesario introducir el método de forcing con soporte numerable.

Cabe señalar que las herramientas que introduce Laver para probar dicha consistencia, marcaronun referente en el desarrollo actual del método de forcing. Así, con el propósito de hacer unanálisis global de la Conjetura de Borel, en el último capítulo de esta tesis presentamos laprueba de Laver de la consistencia de la Conjetura de Borel.

Capítulo 1

De la clasificación de los conjuntos de medida cero a la Conjeturade Borel

La primera referencia que se encuentra en la literatura acerca del interés de Félix ÉdouardJustin Émile Borel (1871-1956) por clasificar a los conjuntos de medida cero, está en el librollamado “The Book of the opening of the Rice Institute”[19], el cual es una recopilación de lasconferencias magistrales impartidas en el festival académico llevado a cabo en Octubre de 1912con motivo de la inauguración del Instituto Rice en Houston. Ahí, Borel impartió una lecturaen donde el tema es estudiar los conjuntos con medida de Lebesgue cero y clasificarlos.

Siete años después, Borel publica su artículo titulado “Sur la classification des ensembles demesure nulle”[9], en donde de manera más detallada clasifica a los conjuntos de medida cero,lo que lo lleva a definir la propiedad de medida fuertemente cero y después conjeturar que losúnicos conjuntos que cumplen con dicha propiedad son los numerables.

En este capítulo se presentan los detalles de tal clasificación, su relación con la definición deque un subconjunto de reales tenga medida fuerte cero y cómo es que con ésto Borel conjeturaque los únicos subconjuntos con tal propiedad son los numerables. Esta última afirmación, esahora conocida como la Conjetura de Borel.

1.1. Les ensembles de mesure nulle

Les ensembles de mesure nulle jouent un rôle très important dans la théorie des fonctions devariables réelles et de variables complexes; il est utile de pouvoir comparer entre eux les divers

ensembles de mesure nulle. - É. Borel1

�

El interés de É. Borel por los conjuntos de medida cero, como se verá más adelante, provieneprincipalmente de sus estudios de probabilidades numerables; para eso primero recordemos lasdefiniciones de la medida de Lebesgue y de medida de Lebesgue cero.

1Los conjuntos de medida nula juegan un papel muy importante en la teoría de funciones de variables realesy de variables complejas; debe ser útil poder comparar entre los diversos conjuntos de medida nula.

5

6 1.1. Les ensembles de mesure nulle

A continuación damos la construcción de la medida de Lebesgue.

Definición 1.1.1. Sea µ∗ : P (R) → [0, ∞], tal que para A ⊆ R:

µ∗(A) = inf{∑

n∈ω|an − bn| : A ⊆

⋃n∈ω

(an, bn)}.

�

Definición 1.1.2. Sea A ⊆ R. A es µ∗ − medible si para cualquier conjunto B se tiene que

µ∗(A) = µ∗(A ∩ B) + µ∗(A − B).

�

Definición 1.1.3. M = {A⊆R : A es µ∗ − medible}.

�

Definición 1.1.4. La medida de Lebesgue es µ∗ ↾M.

�

Notación: µ denota a la medida de Lebesgue.

�

Definición 1.1.5. Se dice que un conjunto E ⊂ R tiene medida cero si µ(E) = 0, o equiva-lentemente si si dado ǫ > 0, existe una colección de intervalos abiertos y acotados {In : n ∈ ω}tal que:

E ⊂⋃

n∈ωIn

∑n∈ω

µ(In) < ǫ.

NOTACIÓN: N = {X ⊆ R : X es de medida cero}.

�

1.1.1. Conjuntos regulares. �

Como ya se dijo anteriormente, Borel pretende clasificar a los conjuntos de medida cero. Parahacer ésto, introduce el concepto de conjunto regular (de medida cero) y comienza con la clasi-ficación de los conjuntos de medida cero, la cual está basada en la décroissance assymptotiquedes intervalles (ou carrés) d’exclusion.2

Principalmente trabaja con conjuntos en R2, para los cuales la noción de medida cero es similar,simplemente reemplazando intervalos por rectángulos:

�2Disminución asintótica de intervalos (o cuadrados) de exclusión.

1. De la clasificación de los conjuntos de medida cero a la Conjetura de Borel 7

Definición 1.1.6. Decimos que un conjunto E ⊆R2 tiene medida cero, si dado ǫ > 0, existeuna colección de rectángulos {In : n ∈ ω} tal que:

E ⊆⋃

n∈ωIn

∑n∈ω

µ(In) < ǫ.

�

En lugar de rectángulos, Borel utiliza cuadrados porque de hecho si se nos da un rectángulo,podemos encontrar un número finito de cuadrados tal que el área total de estos difiere tan pococomo queramos del área del rectángulo y tal que cada punto dentro del rectángulo esté dentrode alguno de esos cuadrados.

�

Definición 1.1.7. Un conjunto S ⊆ R2 de medida cero es regular si para cualquier {an : n ∈ ω} ⊆S sucesión numerable de puntos, S se puede escribir de la siguiente manera:

S =⋂

h∈ω

⋃n∈ω

C(h)n ,

donde{C(h)

n : n ∈ ω}

es una sucesión numerable de cuadrados para todo h ∈ ω, cuyas áreas

forman series convergentes, C(h+1)n ⊆ C(h)

n y⋂

n∈ωC(h)

n = {an}.

Proposición 1.1.8. Si A es un conjunto de medida cero, entonces hay un conjunto regular Ede medida cero tal que A ⊆ E.

Demostración:

Sea {ǫn : n ∈ ω} una sucesión decreciente de números que tienden a cero y supongamos quela serie

∑ǫn es convergente. Como el conjunto A tiene medida cero, se va a poder construir

un conjuntoA(h) de cuadrados (de lados paralelos a los ejes), donde la suma de sus áreas seainferior a ǫh y tales que todo punto de A sea interior a alguno de los cuadrados A(h).

Construyamos primero los cuadrados de A(1), luego los cuadrados de A(2); si hay porcionesde esos cuadrados A(2) que queden fuera a todos los cuadrados A(1), podemos considerarlascomo inútiles. Para proceder de una manera metódica y construirlo de una manera precisa,consideramos el primero de los cuadrados A(1), digamos A

(1)1 , y operamos sucesivamente en las

porciones de los cuadrados sucesivos de A(2) que están dentro de A(1)1 . Continuamos de la misma

manera con A(1)2 , siendo cuidadosos de cada vez omitir las porciones ya consideradas, etc. Estas

operaciones nos llevan a considerar rectángulos, cada uno de los cuales puede ser reemplazadopor una cantidad a lo más numerable de cuadrados. Esto es suficiente, con el fin de formar alos cuadrados de acuerdo con una ley definida, para construir sucesivamente el cuadrado másgrande posible dentro del rectángulo, tomando como el vértice más cercano al origen de lascoordenadas, el vértice del rectángulo que esté más cerca del origen.

8 1.1. Les ensembles de mesure nulle

Si entre los cuadrados definidos hay alguno que no contenga ningún punto del conjunto A, loomitimos.

Podemos suponer que los cuadrados pueden ser ordenados por tamaño de manera decreciente (sidos de ellos resultan ser de igual tamaño, los organizaremos de acuerdo con los valores relativosde las abscisas de sus centros; y si estas abscisas son iguales, según el valor de sus ordenadas). Dela misma manera, ordenamos los cuadrados de A(2) (después de las transformaciones requeridas),y así sucesivamente.

Luego, definimos un conjunto B que consistirá de todos los cuadrados de A(1), y además deun cierto número de cuadrados A(2), A(3),... . De la misma manera B(2) incluirá a todos loscuadrados de A(2) y, además de un cierto número de cuadrados de A(3),.. .

Es claro que la suma de las áreas de los cuadrados B(h) es menor que ǫh+ǫh+1+..., la cual esconvergente no importa que h sea y además se aproxima a cero cuando h aumenta indefini-damente y como todos los cuadrados de A(h) están contenidos en B(h), cada punto de A estádentro de alguno de los cuadrados B(h).

Pero para que el conjunto E definido por los cuadrados B(h) sea regular, debemos ser capacesde enlistar a B(h), B

(h)1 , B

(h)2 , ... , B(h)

n , de tal manera que B(h+1)n esté contenido en B(h)

n .

Llegamos a este resultado de la manera siguiente:

Consideremos ahora, si existen, los cuadrados A(1), cuya área sea mayor que ǫ2 (no existen cuyaárea sea mayor a ǫ1, pues la suma de todas las áreas de los cuadrados de A(1) es inferior aǫ1); llamémosles B

(1)1 , B

(1)2 , ... , B(1)

n2. Tomemos enseguida aquellos cuadrados A(1) cuya área es

superior a ǫ2; y llamémosles B(1)n2+1, B

(1)n2+2, ... , B(1)

p2. Consideremos ahora los cuadrados A(2) de

área superior a ǫ3; éstos están acomodados en un orden determinado, como se ha dicho. Si elprimero de ellos está dentro de alguno de los A(1) ya enlistados, por ejemplo B

(1)k , lo denotamos

por B(2)k , si no, lo denotamos a la vez por B

(1)p2+1 y por B

(2)p2+1. De manera similar, si el segundo

de los A(2) considerados es interior a alguno de los A(1) ya enlistados y es distinto de B(1)k ,

digamos B(1)h , lo denotaremos por B

(2)h . Si no está dentro de cualquiera de los cuadrados de

A(1) (no puede ser interior a un A(1) no enlistado porque su área es superior a ǫ3 y los A(1) noenlistados tienen una área inferior a ǫ2) o si está dentro de a un B

(1)k particular ya utilizado, lo

denotamos a la vez por B(1)p2+2 y por B

(2)p2+1. De esta manera, ahora definiremos un cierto número

de cuadrados B(1), digamos B(1)p2+1, B

(1)p2+2, ... , B(1)

n2y un cierto número de cuadrados de B(2),

que incluyen a todos los de A2 de área superior a ǫ3.

Consideremos ahora los cuadrados de A(1) de área superior a ǫ4; denotados por B(1)n3+1, B

(1)n3+2,

... ,B(1)p3

; procederemos de la misma manera que lo hicimos para los cuadrados de A(2) cuya áreaera superior a ǫ4, y lo haremos enseguida con los de A(3) cuya área es superior a ǫ. Aquellos deentre los cuales estaban dentro de los de B(2) ya enlistados tienen los mismos números (cadanúmero, siendo dado una sola vez). Los otros serán denotados a la vez por B

(1)3 , B

(2)3 , B

(3)3 .

Continuaremos indefinidamente de la misma manera; ǫk tiende a 0 si k crece indefinidamente


y cada operación implica sólo a un número finito de cuadrados. De esta manera todo cuadradoperteneciente a A(h) aparecerá en B(h) para un rango determinado. Además, es evidente queB(h)

q tiende a 0 cualquiera que sea q cuando h crezca indefinidamente.

Es imposible que ciertas series B(1)q , B(2)

q ,..., B(r)q terminen, porque eso significaría que ninguno

de los cuadrados A(r+1) está dentro de B(r)q ; es decir, que B(r)

q no incluiría ningún punto delconjunto A, lo cual es contrario a nuestra hipótesis.

Así,⋂

h∈ω

⋃n∈ω

B(h)n define pues, un conjunto regular que tiene a todo punto de A. �

Este resultado es importante porque más adelante Borel se apoya en él para poder comparar alos conjuntos de medida cero, como se verá en la siguiente sección.

�

1.2. Sur la classification des ensembles de mesure nulle

En el año de 1919, Borel publicó el artículo titulado “Sur la classification des ensembles demesure nulle” [9], en donde, como el nombre del artículo sugiere, clasifica a los conjuntos demedida cero X ⊆ R, asigándoles sucesiones σ : ω → R+ dependiendo de si existe una suce-sión de intervalos {In}n∈N tal que X ⊆

⋃n∈ω

In y la longitud de los In es menor a σ(n); ésta

clasificación es una reminiscencia del esquema de clasificación de convergencia dada por duBois-Reymond en el artículo “Sur la grandeur relative des infinis des fonctions”[13] y el mismoBorel reconoce el punto clave establecido por du Bois-Reymond de que familias contables desucesiones de números naturales pueden ser ≤∗ −dominadas3 en el límite. Además de ésto,introdujo la noción de que un subconjunto de reales tenga medida fuerte cero y conjeturó quelos únicos subconjuntos con tal propiedad son los numerables. Esta, como se dijo anteriormente,es conjetura es conocida como la Conjetura de Borel.

En dicho artículo, lo que Borel se propone es utilizar las propiedades elementales de fraccionesdecimales para estudiar y clasificar ciertos conjuntos de medida cero y así, mostrar cómo conesos resultados, que en apariencia parecen ser muy particulares, se pueden aplicar a casos másgenerales.

1.2.1. Conjuntos decimales de la especie (A). �

Los primeros conjuntos de medida cero que Borel clasifica son los que él llama de la especie(A). Para esto, introduce el concepto de función de tipo decimal convergente.

Definición 1.2.1. Sea n ∈ ω y λ : ω → ω con λ no decreciente. Decimos que λ es de tipodecimal convergente, si y solo si la serie

∑ 110λ(n) es convergente.

3Si f : ω → ω y g : ω → ω; f ≤∗ g si y solo si f(n) ≤ g(n) para casi toda n, es decir, exceptuando solo unnúmero finito.

10 1.2. Sur la classification des ensembles de mesure nulle

A cada tipo de serie convergente con α > 0:

1)∑ 1

n1+α

2)∑ 1

n(log n)1+α

3)∑ 1

n log n(log(log n))1+α

podemos hacerle corresponder una serie convergente de la forma∑ 1

10λ(n) , tomando como λ elvalor más grande que satisfaga las siguientes desigualdades:

1)’ 10λ < n1+α

2)’ 10λ < n(log n)1+α

3)’ 10λ < n log n(log(log n))1+α.

Se dirá que las funciones λ así definidas pertenecen al tipo decimal convergente correspondientea las series (1), (2), (3).

Definición 1.2.2. Dada una determinada función λ de tipo decimal convergente, decimos queE es un conjunto decimal de la especie (A), si está comprendido por:

1. Las fracciones decimales infinitas β que estén entre 0 y 1 que satisfagan la siguientecondición:Dada tal fracción decimal escrita, a cada valor del n-ésimo término, le hacemos corres-ponder un número µ definido como sigue: si la cifra decimal consecutiva al n-ésimotérmino es 0 o 9, tomamos µ = h, donde h es el número de cifras 0’s o 9’s (según elcaso), que son consecutivas al n-ésimo término.β ∈ E si tenemos que µ(n) ≥ λ(n) para todos los valores de n excepto para una cantidadfinita, es decir, si existe un entero m tal que si n > m entonces µ(n) ≥ λ(n).

En el caso en el que β ∈ E, diremos que la aproximación asintótica de β por los númerosdecimales es superior4 o al menos igual a λ. Esto equivale a decir que la propiedad µ(n) ≥ λ(n),se verifica para una infinidad de valores de n.

Así, los conjuntos decimales de la especie (A) son, por definición todos los conjuntos E definidospor medio de una función λ de tipo decimal convergente.

Es claro que si una función λ es asintóticamente superior a λ’, el conjunto E definido por λestá contenido en el conjunto E’ definido por λ’. Por tanto, teniendo en cuenta que si las fun-ciones λ van creciendo más rápidamente, definen conjuntos, más pequeños. Entonces sabemosque dada una sucesión de funciones crecientes {λn : n ∈ ω}, podemos definir una función λasintóticamente superior a cualquiera de las λn. Así, podemos concluir que el conjunto E’ que

4Así como decimos que la fórmula aproximada da una aproximación más grande que una segunda fórmula,cuando la diferencia con el valor exacto es más pequeño por la primera fórmula que por la segunda, lo mismodecimos aquí que la aproximación es superior a λ cuando el error es inferior a 10−λ.


esté contenido dentro de una cantidad numerable cualquiera {En : n ∈ ω} de conjuntos de laespecie (A), es también un conjunto de la especie (A).

Los conjuntos de la especie (A) son evidentemente de medida cero y el estudio de algunas de laspropiedades principales de los conjuntos de la especie (A) son mucho más simples vistos a travésde la teoría de probabilidades numerables, de hecho Borel estudia sus propiedades principalesusando esta teoría.

Recordemos las definiciones básicas de la teoría y el teorema fundamental.5

Consideremos una cantidad numerable de eventos futuros {Sn : n ∈ ω} para cada uno delos cuales se han definido dos posibilidades opuestas, que se excluyen mutuamente, el even-to favorable, cuya probabilidad es pn para Sn y el evento desfavorable, cuya probabilidad esqn = 1 − pn. Suponiendo que los eventos son independientes, tenemos dos casos, el caso de con-vergencia, donde la serie

∑n∈ω

pn es convergente, y el caso de divergencia, donde la serie∑

n∈ωpn

es divergente.

El teorema fundamental de la teoría de probabilidades numerables es el siguiente:

Teorema 1.2.3. La probabilidad para que el caso favorable se produzca una infinidad de veceses igual a 0 en el caso de convergencia y a 1 en el caso de divergencia.

Es esencial hacer notar que los casos posibles son un número infinito, probabilidad 0 no significaimposibilidad rigurosa y 1 no significa certeza rigurosa.

La probabilidad pn de que las λ cifras que le siguen al n-ésimo término sean todas igual a 0 es

pn = 110λ .

Además, la probabilidad para que haya al menos λ ceros sería:∑i∈ω

110λ+i = 10

91

10λ .

Y la probabilidad debería ser duplicada si vemos como favorable el caso donde hay por lo menosλ ceros o λ cifras 9.

Se puede observar que la serie∑

n∈ωpn es idéntica a

∑ 110λ(n) y es convergente en el caso en el que

la función λ pertenece al tipo decimal convergente. Así, la probabilidad, de que un número βpertenezca al conjunto E (es decir, que su aproximación asintótica por los números decimalessea superior a λ), es por tanto igual a 0.

Si la función λ del entero n es tal que la serie∑ 1

10λ(n) es divergente, la serie∑

n∈ωpn es también

divergente y la probabilidad para que el caso favorable se produzca una infinidad de veces es

5La demostración se encuentra en Les probabilités dénombrables et leurs applications arithmétiques

[8](Rendiconti di Palermo, t. XXVII, 1909).


igual a 1. Esto equivale a decir que la probabilidad para que la aproximación asintótica de unnúmero β sea superior a λ es ahora igual a 1.

Borel extrae de aquí una consecuencia interesante, análoga al teorema sobre fracciones continuasen las memorias citadas y define lo que llama la aproximación asintótica de un número pornúmeros racionales.

Definición 1.2.4. Sean λ1 y λ2 dos funciones de n (supongamos que λ1 es asintóticamenteinferior a λ2; λ1 y λ2 son de números enteros no decrecientes); diremos que la aproximaciónasintótica de un número β por números racionales está comprendido entre λ1 y λ2 si, dada lafunción µ(n) definida como antes, existe un entero m tal que la desigualdad n > m implica queµ(n) > λ2(n) y si, por otra parte, para una infinidad de valores de n, µ(n) ≥ λ1(n).

Considerando las dos series∑ 1

10λ1(n) y∑ 1

10λ2(n) , Borel hace notar que si ambas series sonconvergentes o ambas divergentes, la probabilidad para que la aproximación asintótica de βpor los números decimales esté comprendida entre λ1 y λ2 es igual a 0. Esta probabilidad es, alcontrario, igual a 1, si la serie

∑ 110λ1(n) es divergente y la serie

∑ 110λ2(n) es convergente. Con esto,

podría parecer muy cercana la diferencia de crecimiento entre series convergentes y divergentes,sin embargo, en este intervalo se ocupa un número al azar β, con una probabilidad igual a launidad. De una manera precisa, por lenta que crezca la función φ(n), podemos encontrar unaserie divergente de términos positivos

∑n∈ω

pn,

tal que la serie

∑n∈ω

pn

φ(n)

sea convergente.

Además, es posible, por otra parte, escoger λ1 tal que la serie∑ 1

10λ1(n) sea divergente, peromenos divergente que la serie

∑n∈ω

pn, es decir, que la serie∑ 1

10λ1(n) diverge más lento que la

serie∑

n∈ωpn y la serie

∑ 110λ2(n) convergente, pero menos convergente que la serie

∑n∈ω

pn

φ(n), es

decir, que la serie∑ 1

10λ2(n) converge más lento que la serie∑

n∈ω

pn

φ(n). De esta manera tenemos,

por tanto,

10λ2−λ1 < φ(n),

es decir

(λ2 − λ1) log 10 < log φ(n).


Así, la diferencia entre λ1 y λ2 , es una función creciente, pero ha sido elegida de tal maneraque crezca tan lentamente como se quiera. Por lento que sea el crecimiento de φ(n), si la serie∑ 1

10λ1(n) es divergente y la serie∑ 1

10λ2(n) convergente, la probabilidad es 1 para que un númeroβ sea tal que la función µ correspondiente cumpla con la desigualdad µ(n) ≥ λ1(n) para unnúmero infinito de valores de n, mientras que la desigualdad µ(n) > λ2(n) se cumple bajo lacondición de que n > m.

A toda fracción decimal infinita β, podemos hacer corresponder una función creciente n(σ)definida para cualquier σ > 0, como el más pequeño valor de n tal que, entre las n primerascifras decimales de β, figuran σ ceros consecutivos (que son necesariamente los últimos de esas nprimeras cifras, si no, n debe ser más pequeña). Si el número β es tal que no contiene a ningúngrupo de más de σ′ − 1 ceros consecutivos, la función n(σ) se vuelve infinita para σ′ ≥ σ;la probabilidad para que sea así es igual a cero. En el caso contrario, la función n(σ) creceindefinidamente con σ puesto que tenemos que n ≥ σ; en el caso en el que un número decimal,tenemos que n = σ+h (h una constante); la función inversa σ(n) es una función no decreciente,que aumenta indefinidamente con n. Podemos reemplazar en las definiciones

∑n∈ω

pn y∑

n∈ω

pn

φ(n)

a p(n) por σ(n).

1.2.2. Conjuntos decimales de la especie (B) y de la especie (C). �

Los conjuntos de la especie (A) estaban definidos en el intervalo

0 < x < 1;

para los conjuntos de la especie (B), Borel trabaja dentro del intervalo

0.1 < x < 1.

A todo n > 0, se le puede hacer corresponder un número decimal dentro del intervalo 0.1 <x < 1, que obtenemos dividiendo este número entero por una potencia de 10 igual al númerode las cifras que tenga. Por ejemplo al 17 le corresponde .17, al 3452 le corresponderá el .3452,al 345200 le corresponderá el .345200. Consideraremos a .3452 y .345200 como dos númerosdecimales distintos; el primero tiene 4 cifras decimales, el segundo 6. Vincularemos a .3452 alintervalo

0.3451 < x < .3453

y a .345200 al intervalo

0.345199 < x < .345201.

Borel define a los conjuntos de la especie (B) como sigue:


Definición 1.2.5. Un conjunto decimal de la especie (B) está definido por una sucesión cre-ciente de enteros S, además de los intervalos ligados a los números decimales correspondientesa esos enteros. Diremos que un punto pertenece al conjunto de la especie (B) si pertenece a unainfinidad de tales intervalos.

Es decir, que un número decimal β pertenece al conjunto si, de los números enteros que ob-tenemos sucesivamente, escribiéndolos uno seguido del otro de las cifras decimales de β en suorden natural, una infinidad de estos pertenece a la sucesión.

Ejemplo 1.2.6. Para el número π − 3 = 0.141519265..., estos enteros son 1, 14, 141, 1415,14159, 14592, ...

Sean

n1 < n2 < n3... < np < np+1 < ...,

los enteros que componen la sucesión creciente S; esta sucesión se dice que es de tipo convergentesi la serie

∑ 1np

es convergente, y de tipo divergente si esa misma serie es divergente.

Sea αh el número de np’s que satisfacen la siguiente condición:

10h−1 ≤ np < 10h.

�

Los índices p correspondientes satisfacen la desigualdad

α1 + α2 + ... + αh−1 < p < α1 + α2 + ... + αh

con lo que la suma de los términos correspondientes de la serie∑ 1

npestá comprendida entre

αh

10h−1 y αh

10h .

Con esto, se puede concluir que la serie∑ 1

npes convergente o divergente al mismo tiempo que

la serie∑ αh

10h .

El número de enteros que pueden cumplir la desigualdad 10h−1 ≤ np < 10h es igual a 9.10h−1;y la probabilidad para que uno de ellos, tomado al azar, sea uno de los np es

ph = αh

9.10h−1 .


Con lo que la serie∑

ph es convergente o divergente al mismo tiempo que la serie∑ 1

np.

Así que si los enteros sucesivos de 1, 2, 3, ..., h, etc. cifras, son tomados al azar, conviene decir,para cada una de ellos, que el caso favorable coincide con alguno de los np. La probabilidad paraque el caso favorable se produzca una infinidad de veces será 0 en el caso de la la convergenciay 1 en el caso de la divergencia.

Se supone que los enteros sucesivos son independientes; pero es lo mismo -en el caso deconvergencia- cuando son derivados de un cierto número irracional, es decir cuando cada unode ellos se obtiene escribiendo a la derecha del anterior un número tomado al azar; por otrolado, en el caso de la divergencia, si la sucesión de enteros dados sucesivos es especial, no es lomismo que en el caso de convergencia y para eso Borel introduce la noción de convergencia ode divergencia para intervalos, correspondiente a la noción de densidad.

Definición 1.2.7. Diremos que la sucesión de np’s es asintóticamente homogénea, si las seriesdeducidas de las series

∑ 1np

o∑ αh

10h que se quedan sólo con los términos correspondientes a unintervalo dado cualquiera (α, β) interior al intervalo fundamental (.1, 1) convergen o divergende la misma manera que las series

∑ 1np

o∑ αh

10h .

�

Definición 1.2.8. Los conjuntos de la especie (B) son aquellos para los cuales la sucesión delos np’s es asintóticamente homogénea; si esto no ocurre, entonces diremos que son de la especie(C).

Hay algunos conjuntos de la especie (C) que pueden ser vistos como uniones de conjuntos dela especie (B), los que no pueden ser vistos así serán propiamente de la especie (C).

Es decir, dentro de los conjuntos de la especie (C) va a haber una distinción, los conjuntos quepueden ser vistos como uniones de conjuntos en (B) y los que no, éstos últimos son los que diráque pertenecen propiamente a (C).

Los conjuntos de la especie (A) son un caso particular de los conjuntos de la especie (B); losnúmeros np’s con h + µ cifras constan de todos los números de h cifras, a la derecha de loscuales hemos escrito µ ceros. Es claro que µ es una función no decreciente de h.

La homogeneidad es dada aquí lo más grande posible, bajo la condición del orden con el cualestán escritos los números de h cifras. Más adelante se regresa a este punto.

Ejemplo 1.2.9. Como ejemplo de conjunto de la especie (B), Borel presenta a aquel queobtenemos al tomar los números np para los cuales la frecuencia de alguna de las cifras, porejemplo la cifra 7, es constantemente superior a una fracción superior a 1

10o constantemente

inferior a una fracción inferior a 110

. Supongamos, para fijar ideas, que la frecuencia de la cifra7 sea inferior a 99

1000. Esto significa que, para un número de cifras k, el número de cifras 7 es

inferior a 99k1000

. Si tomamos k = 1000, vemos que el número de 1000 cifras pueden contener 99


cifras 7, de manera que las primeras 99 cifras pueden ser tomadas de una manera completamentearbitraria; esta observación es útil para el estudio de la homogeneidad del conjunto.

Obtenemos también los conjuntos de la especie (B) tomando los números np’s para los cualeslas 10 cifras decimales aparecen todas exactamente el mismo número de veces, a una unidaddada. En otros términos, la diferencia entre el número de cifras 3, por ejemplo, y el número decifras 7 es igual a 0, a 1 o −1.

Los conjuntos de la especie (B) pueden estar clasificados de acuerdo con el modo de crecimientode los np’s, modo arbitrario bajo la condición de la convergencia de la serie

∑ 1np

. Tendremosvalores regulares de np teniendo los criterios de convergencia clásicos, por ejemplo:np = E(p1+α)np = E[p(log p)1+α]np = E[p log p(log2 p)1+α]

E(n) designa la parte entera de n y α un número positivo cualquiera. Si α es negativo, tendremossucesiones de tipo divergente.

1.2.3. Clasificación asintótica. �

Hasta ahora, Borel tiene que todo conjunto de medida cero está contenido en un conjuntoregular E, definido por una doble infinidad numerable de cuadrados o intervalos de exclusiónadjuntados a una infinidad numerable de puntos a los que Borel llama puntos fundamentalesy tiene una clasificación de ciertos conjuntos de medida cero a los que les llamó de la especie(A), (B) y (C).

Recordemos que el conjunto Eh está definido por los intervalos (o cuadrados){C(h)

n : n ∈ ω},

es decir Eh =⋃

n∈ωC(h)

n donde C(h+1)n ⊆ C(h)

n o C(h+1)n = C(h)

n para cada h ∈ ω. Para toda h ∈ ω,

consideramos {σn,h : n ∈ ω} la sucesión de áreas correspondientes a la sucesión de cuadrados{C(h)

n : n ∈ ω}. Es fácil ver que si consideramos las series (convergentes) de las áreas de las

series de cuadrados, es decir, eh =∑

n∈ωσn,h , se tiene que los números eh tienden a cero cuando

h → ∞. Recordemos que el conjunto regular E está definido como E =⋂

h∈ωEh.

Lo que Borel se propone ahora es dar una clasificación de los conjuntos de medida cero a travésde las series que definen; para ello introduce el concepto de conjunto regular simple y de puntosesenciales .

Definición 1.2.10. Diremos que un conjunto regular es simple cuando el área de los intervalos(o cuadrados)

σn,h = σn,1 si h ≤ n


y

σn,h = 0 si h > n.

La convergencia de la serie e1 implica que en tiende a cero. A toda serie (que sea de una serie deintervalos, es decir que cada término σn,1 de la serie es un intervalo dado (an,1, bn,1) extendidoσn,1) convergente simple e1 le corresponde, de acuerdo con las desigualdades σn,h = σn,1 si h ≤ ny σn,h = 0 si h > n, un conjunto regular simple que llamaremos (e1), mientras que E1 denotael conjunto de puntos interiores al conjunto de intervalos e1.

Es fácil ver que el conjunto (e1) está comprendido por todos los puntos del conjunto regularE, salvo tal vez los puntos fundamentales. Sea, en efecto, α un punto de E distinto de a1;entonces existe un número h suficientemente grande para que α no pertenezca a σ1,h; luego,como pertenece a Eh, pertenece a un σq,h con q distinto de 1 y pertenece por tanto a σq,1. Así,el conjunto obtenido quitándole a E1 el intervalo σ1,1, está comprendido por todos los puntosde E1 salvo puede ser a1. De igual manera, el conjunto obtenido quitándole a E1 los intervalosσ1,1, σ2,1, σ3,1 ... σh,1 tiene a todos los puntos de E, salvo quizás a1, a2, ..., an. Así, (e1) tiene atodos los puntos de E salvo puede ser los puntos fundamentales. Lo mismo para (e2), (e3), ... ,(eh), ... . Por otro lado, todo punto que pertenece a todos los (en), pertenece a todos los Eh, ypor consiguiente a E.

El conjunto E se puede definir a partir de los puntos fundamentales, como el conjunto de puntoscomunes a los conjuntos regulares simples. Llamémosle (e) a este conjunto.

Definición 1.2.11. Se dice que un punto es esencial si es un punto fundamental de E que nopertenece a (e).

Cuando ningún punto fundamental de E es esencial, es decir, cuando todos los puntos fun-damentales de E pertenecen a (e), los conjuntos E y (e) son iguales. En este caso, podemossuprimir un número finito cualquiera de puntos fundamentales y los intervalos correspondientesen los Eh sin modificar a E. De manera general, también podemos suprimir un número finitocualquiera de puntos fundamentales que no son esenciales sin modificar a E.

El caso en el cual los puntos fundamentales son esenciales, obtenemos un conjunto regularsimple (f) que incluye a E acomodándolo mediante un orden cualquiera, por ejemplo pororden de magnitud decreciente, todos los intervalos que definen una infinidad de Eh’s (quelos escogeremos de tal manera que la serie

∑h∈ω

eh sea convergente), pero el conjunto (f) es

generalmente mucho más grande que E pues está comprendido por todos los puntos de (e1), máslos puntos fundamentales. Si, al contrario, tomamos los intervalos σn,p, tomando para cada valorde n un solo valor de p, función no decreciente de n, entonces obtenemos un conjunto regularsimple contenido en E, y no podemos llegar a E como el límite de una sucesión transfinita,teniendo en cuenta los patrones transfinitos posibles de crecimiento de la función p(n).


Del conjunto (f) podemos deducir los conjuntos Fh que tienen por puntos fundamentales lospuntos fundamentales de E escogidos arbitrariamente (si se acepta la posibilidad de efectuaruna infinidad numerable de elecciones arbitrarias), pero la comparación entre estos conjuntoscon el conjuntoE no debe presentar dificultades.

Es claro que dado un punto cualquiera α podemos adjuntar una sucesión indefinida de intervalostomando en primer lugar el intervalo de índice mínimo de (f) que contiene a α, etcétera.Teniendo cuidado de escoger un primer punto α en el primer intervalo de (f), después unsegundo punto en el primero de los intervalos no utilizados por la elección anterior, etcétera,y así hasta agotar todos los intervalos de (f). Pero, incluso dejando de lado la dificultad queresulta de la infinidad de elecciones, vemos inmediatamente que esta introducción de puntosfundamentales arbitrarios es artificial. En la mayoría de las aplicaciones a la teoría de funciones,donde se satisfacen los conjuntos regulares, los puntos fundamentales son netamente definidosdespués de la naturaleza de la pregunta, y no podemos modificarlo mediante la introducciónartificial de complicaciones superpuestas.

Dado un conjunto regular simple definido por una infinidad de intervalos formando una serieconvergente, podemos, de entre estos intervalos, escoger una infinidad, tal que todo punto delconjunto que pertenezca a una infinidad de intervalos, sea interior a alguno de ellos y permanezcainterior a una infinidad de intervalos no escogidos.

Pero la aplicación indefinida de este procedimiento no conduce, en general, a una definicióndeterminada por medio de puntos fundamentales. Por ejemplo, para los conjuntos de la especie(B), no hay razón natural para ver a ciertos puntos como fundamentales en lugar de otros. Ladistinción entre los conjuntos regulares para los cuales los puntos fundamentales son esencialesy para los cuales los puntos fundamentales son arbitrarios merecerá ser profundizada; es esencialpara ciertas aplicaciones a la teoría de funciones.

En el caso de conjuntos regulares con puntos fundamentales esenciales que sean densos entodas partes, se puede establecer una biyección entre los puntos de dos conjuntos numerablesdensos, llevando el estudio de las propiedades de dicho conjunto y de los conjuntos regularescorrespondientes a un caso particular donde el conjunto numerable está determinado de unamanera precisa, coincidiendo por ejemplo con el conjunto de los números racionales o el conjuntode números decimales.

Borel hace ésto limitándose al caso de conjuntos regulares simples, para los cuales los puntosfundamentales no son dados y hace ver que tal conjunto puede ser considerado como compren-dido entre dos conjuntos decimales de la especie (B), que difieren el uno del otro de una maneraprecisa, tal que las series que les corresponden sólo difieran por un factor constante (igual porcierto a 100).

Por hipótesis, se habla de un conjunto E definido por una infinidad de intervalos (ap, bp) dondelas longitudes σp forman una serie convergente; los puntos de E son los puntos que pertenecena una infinidad de estos intervalos.

Dado que la serie∑

σp es convergente, tiene un número limitado de términos que satisfacen ladesigualdad


310n+1 < σp < 3

10n ,

donde n denota un número dado. Tal intervalo σp está comprendido en el intervalo

AP −1

10n−1 < Ap+1

10n−1 ,

donde A es un número entero y comprendido dentro de un intervalo

Bp−1

10n−1 < Bp+110n−1 ,

donde B es también un número entero.

Si denotamos por mn al número de σp’s que satisfacen la desigualdad 310n+1 < σp < 3

10n ,el número de intervalos AP −1

10n−1 < Ap+1

10n−1 ó Bp−1

10n−1 < Bp+110n−1 será igualmente mn. El conjunto de

intervalos AP −1

10n−1 < Ap+1

10n−1 tiene como suma

S =∑ 10n−1

mn

y el conjunto de los intervalos Bp−1

10n−1 < Bp+110n−1 tiene como suma

S ′ =∑ 10n−1

mn= S

100.

La suma de los σp está entre 3S10

y 3S100

.

La sucesión de Ap’s define un conjunto decimal de la especie (B) o de la especie (C), dependiendode si esta sucesión es o no asintóticamente homogénea; de igual manera para la sucesión de losBp’s; el conjunto E está comprendido dentro del primero de esos conjuntos y contiene al segundo;las series correspondientes S y S ′ son idénticas desde el punto de vista de la convergencia, desuerte que la clasificación de todos los conjuntos regulares simples se reducen a los que se hahecho para los conjuntos decimales. Diremos que estos pertenecen a la especie (B) o a la especie(C), dependiendo que el conjunto decimal correspondiente pertenezca él mismo a la especie (B)o a la especie (C).

Esta clasificación nos hace volver a considerar la rapidez de la convergencia de la serie

σ =∑

σp

y de las series que se deducen cuando sólo se mantienen los σp correspondientes a ciertosintervalos.

Definición 1.2.12. Si todas estas series tienen convergencias comparables, el conjunto demedida cero se dice que es asintóticamente homogéneo, y su densidad asintótica podrá serrepresentada por un símbolo representando la convergencia de la serie σ =

∑σp, es decir, el

modo de decrecencia de la función

σ −n∑

i=1σp = θ(n).


Esta función θ(n) tiende a 0 cuando n aumenta indefinidamente; su orden de crecimiento es,por definición,6 opuesta a la de la función inversa 1

θ(n)= φ(n). Si φ(n) = nk, el orden de φ(n)

es k y el de θ(n) es −k.

Los conjuntos que se pueden definir por medio de conjuntos particulares de números, como losnúmeros racionales o los algebraicos, presentan una homogeneidad asintótica análoga a la delos números decimales. Relativo a la aproximación de un número arbitrario α por los númerosalgebraicos, por ejemplo, podemos repetir las observaciones análogas a las que se han hechopara los números decimales.

Los números racionales positivos son las raíces de las ecuaciones

qx − p = 0.

Sean p y q tal que satisfacen las siguientes desigualdades:

0 < p ≤ n,

0 < q ≤ n

y busquemos cuántos valores de p y de q proporcionan para la ecuación qx − p = 0 una raízcomprendida entre n1 y n2. El número de valores posibles de p y de q es n2; cuando n es muygrande, el número de valores buscados es asintóticamente igual a

n2

2(x2 − x1)

si x1 < x2 < 1 y a

n2

2x1x2(x2 − x1)

si 1 < x1 < x2.

Aquí conviene decir que el valor asintótico de la probabilidad de que la ecuación qx − p = 0tenga una raíz comprendida entre x y x + dx es

dx2

para 0 < x < 1,

ydx2x2 para 0 < x < ∞.

Este valor asintótico está definido relativo a las desigualdades 0 < p ≤ n, y 0 < q ≤ n; tomaráotro valor si los tomamos de una forma diferente.

El resultado será el mismo si le agregamos a las desigualdades 0 < p ≤ n, y 0 < q ≤ n lacondición de que p sea primo relativo a q.

Consideremos ahora una ecuación de segundo grado con coeficientes enteros

rx2 − 2qx + 2p = 0

6Ver Leçons sur les series à termes positifs, [10]


y consideremos las desigualdades

0 < p ≤ n,

0 < q ≤ n,

−n ≤ r ≤ n.

La condición para que la ecuación tenga una y solo una raíz dentro del intervalo x2 − x4 darálugar a la desigualdad

(rx21 + 2qx1 + 2p)(rx2

2 + 2qx2 + 2p) < 0

que en el espacio, p, q, r, representa el diedro de dos planos donde el ángulo es dado por lafórmula

sin φ = 2|x1−x2|(x1x2+2)(x2

1+2)(x22+2)

.

Cuando φ es infinitamente pequeña, la probabilidad de que la ecuación rx2 −2qx+2p = 0 tengados raíces dentro del intervalo x2 − x1 es de tercer orden, porque esta probabilidad correspondeal volumen comprendido entre la superficie del cono

q2 − 2pr = 0

y dos planos tangentes vecinos a este cono.

Para expandir las ecuaciones algebraicas de grado n las consideraciones geométricas sobre lascuales nos apoyamos para las ecuaciones de los dos primeros grados, habría de considerarsedentro del espacio de n + 1 dimensiones la representación paramétrica del cono de dos dimen-siones descrito por el punto representativo de n + 1 coeficientes, para los cuales la ecuacióntiene n raíces iguales y sus desarrollos sucesivos que se deducen y corresponden a los casos den − 1, n − 2, ... , 2 raíces iguales.

La clasificación asintótica que se ha dado para los conjuntos de medida cero se apoya sobre ladefinición de la elección particular de intervalos; pero uno se puede preguntar si esta clasificacióntiene un valor absoluto, es decir, si dado un conjunto de medida cero definido por medio deintervalos que satisfacen cierta ley asintótica, no es posible obtener el mismo conjunto por mediode una ley asintótica diferente.

El estudio completo de esta pregunta presenta ciertas dificultades transfinitas, si se quierehacer intervenir los modos de decrecencia no comparables entre ellos; sin embargo, es posibledemostrar que la clasificación asintótica efectivamente tiene un valor absoluto. Borel demuestrasobre un ejemplo lo siguiente:

Proposición 1.2.13. Dado un conjunto de medida cero E bien determinado y una serie detérminos positivos igualmente bien determinada, hay casos donde no es posible encerrar a todoslos puntos de E dentro de intervalos asintóticamente inferiores a los de la serie dada.


Con ésto, podemos dar las siguientes definiciones:

�

Definición 1.2.14. Dado un conjunto de medida cero E, comprendido dentro del intervalo(0, 1), se dice que su medida asintótica es inferior o igual a una serie convergente dada

∑n∈ω

un

de suma menor a 1, si es posible encerrar los puntos de E dentro de intervalos con longitudesiguales a un respectivamente.

Si un conjunto tiene una medida asintótica inferior o igual a una serie∑

n∈ωvn y es tal que

vn

untiende a cero cuando n aumenta indefinidamente, se dice que tiene una medida asintótica

inferior a∑

n∈ωun.

�

Definición 1.2.15. Dado un conjunto de medida cero E, comprendido dentro del intervalo(0, 1), se dice que la medida asintótica de E es superior o igual a la serie

∑n∈ω

un si no es posible

encerrar todos los puntos de E dentro de intervalos con longitudes iguales a un respectivamente.

Si un conjunto tiene una medida asintótica superior o igual a una serie∑

n∈ωvn y además vn

un

aumenta indefinidamente conforme aumenta n, se dice que tiene una medida asintótica superiora

∑n∈ω

un.

Borel hace la observación de que cuando un conjunto de medida cero está definido por unainfinidad convergente de intervalos

∑n∈ω

σn, tal que todo punto del conjunto es interior a una

infinidad de σn’s, podemos definir igualmente la medida asintótica como inferior o igual a laserie

∑n∈ω

σn; entonces es inútil introducir la restricción análoga a∑

n∈ωun < 1.

En la teoría de la medida asintótica, el teorema de Paul de Bois-Reymond juega un rol esencialsobre las sucesiones numerables de funciones crecientes y los teoremas que se relacionan, sobrelos tipos de convergencia y de divergencia y la transfinidad de esos tipos. En particular, si unainfinidad numerable de conjuntos de medida cero son tales que la medida de cada uno de los Ek

está comprendida entre dos series dadas∑

n∈ωu(k)

n y∑

n∈ωv(k)

n , podemos construir dos series∑

n∈ωun

y∑

n∈ωvn tales que la medida asintótica de cada uno de los Ek esté comprendida entre esas dos

series, y la medida de la suma de los Ek esté igual comprendida entre∑

n∈ωun y

∑n∈ω

vn.

�

1.2.4. Conjuntos de medida fuertemente cero. �

En el artículo que hemos estado analizando se encuentra también la génesis de los conjuntosde medida fuertemente cero. Después de presentar las observaciones anteriores, Borel escribe:


“Un ensemble énumérable a une mesure asymptotique inférieure à toute série donnée àl’avance; la réciproque me parait exacte, mais je n’en possède pas de démonstration

entièrement satisfaisante.”7

El recíproco al que se refiere es ahora conocido como la Conjetura de Borel, es decir, “Todoconjunto de medida fuertemente cero (mesure asymptotique inférieure à toute série donnée àl’avance) es numerable.

La definición actual de medida fuertemente cero se traduce como sigue:

Definición 1.2.16. Un subconjunto E ⊆ R tiene medida fuertemente cero, si dada cualquiersucesión de reales positivos {ǫn : n ∈ ω} existe una sucesión {In : n ∈ ω} de intervalos abiertostales que:

E ⊆⋃

n∈ωIn

para cada n ∈ ω se tiene que µ(In) < ǫn.

Es decir, un subconjunto E ⊆ R tiene medida fuertemente cero si y sólo si tiene una medidaasintótica inferior a toda serie dada.

�

7Un conjunto numerable tiene una medida asintótica inferior a toda serie dada de antemano; el recíprocome parece exacto, pero no tengo una demostración totalmente satisfactoria.

Capítulo 2

Besicovitch y los conjuntos de medida fuertemente cero

Fue hasta 1934 que Abram Samoilovitch Besicovitch (1891-1970) retomó el estudio de la clasi-ficación de conjuntos de medida cero, aparentemente inconsciente del trabajo anterior de Borel.

La mayor parte de los trabajos de Besicovitch estaban centrados en preguntas de teoría geo-métrica de la medida; mucha de esta teoría examina medidas obtenidas al asignarles medidaa ciertos tipos de conjuntos abiertos y luego extendiendo esto a al menos los conjuntos bo-relianos. Las medidas de Hausdorff son un ejemplo típico de este tipo de construcción. Fueentonces muy natural para Besicovitch regresar, en un cierto punto, al ejemplo más simple.Este es obtenido al tomar una función φ continua y monótona definida en los reales positivos ytal que lımx→0+ φ(x) = 0 con la que define la medida de un intervalo (a, b) como φ(b − a) paraasí después definir una medida exterior de la manera usual. Los detalles de esta construcciónse encuentran en la sección 2.1.1.

2.1. Conjuntos Concentrados

En el artículo titulado “Concentrated and rarified sets of points” [7], Besicovitch afirma que suinterés está centrado en dos problemas:

“I have arrived at the definition of concentrated sets from the following two similar problems:

Problem I. What are the linear sets whose measure with respect to any continuous monotonefunction ϕ(l) is zero?

Problem II. What are the linear sets on which the variation of any continuous monotone functionis zero?”1

Apoyándose en la Propiedad del Conjunto Perfecto para los conjuntos borelianos – a saber, quetodo conjunto de Borel no numerable contiene una copia del conjunto de Cantor – Besicovitchobservó que los únicos conjuntos borelianos con tales propiedades eran los numerables. Así,entonces se preguntó a sí mismo si esto era cierto en general.

Su respuesta es que un conjunto de reales es de medida cero con respecto a todas las medidasobtenidas por funciones continuas y monótonas si y sólo si tiene la propiedad actualmente

1Llegué a la definición de conjuntos concentrados a partir de los siguientes dos problemas similares:Problema I. ¿Cuáles son los conjuntos lineales cuya medida con respecto a cualquier función monótona ϕ(l)

es cero?Problema II. ¿Cuáles son los conjuntos lineales sobre los cuales la variación de cualquier función monótona

es cero?

25

26 2.1. Conjuntos Concentrados

conocida como medida fuertemente cero. El resultado principal de Besicovitch de dicho artículoes que, suponiendo la Hipótesis del Continuo, hay un conjunto no numerable X ⊆ R que tienemedida fuertemente cero, en otras palabras, es de medida cero respecto a todas las medidasque Besicovitch considera y además, todas las funciones continuas, monótonas definidas en Xtienen variación cero.

Besicovitch construye una clase de conjuntos que llama concentrados, prueba que éstos tienenmedida fuertemente cero y muestra cómo construir un conjunto concentrado asumiendo laHipótesis del Continuo.

Definición 2.1.1. Un conjunto no numerable X ⊆ R se dice que es concentrado en la vecindadde un conjunto numerable D ⊆ R si cualquier conjunto abierto que contiene a D contienetambién al conjunto X con excepción de a lo más un conjunto numerable de E; en otraspalabras, X es concentrado si existe un conjunto numerable D ⊆ R tal que para todo conjuntoabierto G tal que D ⊆ G, X − G es a lo más numerable.

2.1.1. Medida con respecto a una función. �

Definición 2.1.2. Sea φ : R+ → R+ una función positiva y creciente definida tal que lımx→0+ φ(x) =0. Sea E ⊆ R e I =

⋃i∈ω

li cualquier sucesión de intervalos que contienen al conjunto E (li denota

ambos, el intervalo y su longitud). Denotemos por mλφ(E) a la mínima cota de la suma

∑i∈ω

φ(li)

para todos los posibles conjuntos I para los cuales la longitud del intervalo más largo no excedea λ, i.e.

mλφ(E) = inf{

∑i∈ω

φ(li) : E ⊂ I y maxi{li} < λ}.

Al lımλ→0 mλφ(E) le llamaremos la medida exterior de E con respecto a φ o bien medida φ −

exterior.

Definición 2.1.3. Sea E ⊆ R. Decimos que E es mλφ −medible si dado ǫ > 0 existen F cerrado

y G abierto tales que F ⊆ E ⊆ G y mλφ(G − F ) < ǫ.

Observación: cualquier conjunto Boreliano en Rn es mλφ − medible.

Definición 2.1.4. Mλφ ={E ⊆ R : E es mλ

φ − medible}.

�

Definición 2.1.5. La φ − medida es mλφ ↾Mλ

φ.

2. Besicovitch y los conjuntos de medida fuertemente cero 27

�

Besicovitch muestra que la φ −medida de un conjunto numerable y la variación de una funcióncontinua y monótona con respecto a un conjunto numerable son ambos cero; tal demostraciónse encuentra en la siguiente sección.

2.1.2. Un conjunto no numerable de φ-medida cero. �

Hasta ahora, Besicovitch sabe que dado un conjunto de Borel E o bien es numerable o contieneun conjunto perfecto E ′. En el segundo caso E ′ puede ser transformado a un intervalo pormedio de una función continua f(x). La longitud de tal intervalo es obviamente la variación def(x) con respecto a E ′, y por tanto, la variación con respecto a E es positiva. Así, los únicosconjuntos Borel-medibles cuya variación con respecto a cualquier función continua es cero, sonlos conjuntos numerables.

Después de esto, Besicovitch muestra que, en el caso general, hay conjuntos no numerables queson de medida cero con respecto a cualquier función φ, pero la prueba supone que 2ℵ0 = ℵ1, esdecir, la Hipótesis del Continuo.

Cabe mencionar que para los matemáticos de esa época, el uso de la Hipótesis del Continuoera bastante natural a comparación de la manera en que actualmente se utiliza.

Para esto, primero demuestra algunos teoremas preliminares:

Teorema 2.1.6. Un conjunto lineal E es de medida cero con respecto a cualquier función φ(l)si y sólo si dada cualquier sucesión decreciente de reales positivos {li, i ∈ ω}, no importando quétan rápido tienden a cero, existe siempre una sucesión de intervalos (x

′

i, x′′

i ), con x′′

i − x′

i ≤ li,que contiene al conjunto E.

Demostración:

⇒) Sea E un conjunto de medida cero con respecto a cualquier función y sea {li, i ∈ ω} unasucesión decreciente de reales positivos, supongamos que existe una sucesión decreciente dereales positivos. Definimos una función creciente φ(l) que satisfaga las siguientes condiciones:

φ(li) = 1i

, i ∈ ω.

Claramente lımx→0+ φ(x) = 0, y en consecuencia mφ(E) está bien definido y por hipótesis esigual a cero. Por tanto, existe un conjunto I de intervalos (x

′

i, x′′

i ), con x′′

i −x′

i = l′

i, decrecientesen longitud y que contienen al conjunto E y tal que

∑i∈ω

φ(l′

i) < 1.

Entonces, para cualquier n

1 >∑

i∈n+1φ(l′

i) ≥ nφ(l′n),


y

φ(l′n) < 1

n,

es decir,

l′n < ln.

⇐) Supongamos que E satisface la siguiente condición: Dada una función φ(l) que satisfagalas condiciones usuales y dadas dos constantes positivas λ y ǫ siempre podemos encontrar unasucesión de reales positivos li < λ tal que

∑i∈ω

φ(li) < ǫ

y entonces la sucesión I de intervalos (x′

i, x′′

i ), con x′′

i − x′

i = l′

i, contiene a E, lo cual muestraque la medida de E con respecto a φ(l) es cero.�

Teorema 2.1.7. Los únicos conjuntos Borel-medibles de medida cero con respecto a cualquierfunción son los numerables. Para cualquier conjunto perfecto P, existe una función φ(l) conrespecto a la cual la medida del conjunto es positiva.

Demostración:

Basta demostrar que dado cualquier conjunto perfecto P , existe una sucesión de reales positivosln, n ∈ ω tal que ningún conjunto de intervalos de longitud l1, l2,... puede cubrir por completoal conjunto P .

Claramente el conjunto P no puede ser cubierto con un solo intervalo de longitud arbitraria-mente pequeña.

Sea λ1 la mínima cota de longitud de los intervalos que cubren por completo a P (evidentementeλ1 es la distancia entre los puntos extremos de P ). Sea l1 un real positivo arbitrario menor queλ1.

Es fácil ver que el conjunto E no puede ser cubierto con un intervalo de longitud l1 y otrointervalo de longitud arbitrariamente pequeña. De otra manera sean dos intervalos

(xn, xn + l1), (yn, yn + l2,n)

donde l2,n → 0 cuando n → ∞, cubre por completo a P para cualquier n. Sea (x, y) el límitepuntual de (xn, yn). Entonces para cualquier ǫ los dos intervalos

(x − ǫ, x + l1 + ǫ), (y − ǫ, y + ǫ)


cubren a P . En consecuencia, el conjunto P está contenido en el conjunto que consiste delintervalo (x, x + l1) y el punto y. Como P es un conjunto perfecto, P no tiene puntos aisladosy por lo tanto está contenido en el intervalo (x, x + l1), lo cual es imposible.

Sea λ2 la cota inferior de las longitudes de un intervalo que junto con otro intervalo de longitudl1 cubre a P por completo. Denotando por l2 al real positivo menor que λ2 tenemos que ningúnpar de intervalos de longitudes l1, l2 puede cubrir por completo al conjunto P . Similarmentepodemos encontrar l3 > 0 tal que ninguna terna de intervalos de longitudes l1,l2, l3 puede cubrirpor completo a P y así sucesivamente. Así tenemos una sucesión de reales positivos

l1, l2, l3, ...

tal que ningún conjunto finito de intervalos cuyas longitudes están representados por los di-ferentes números de la sucesión, puede cubrir a P . Entonces por el teorema de Heine-Borel,ningún conjunto infinito de intervalos de longitudes

l1, l2, l3, ...

puede cubrir al conjunto P , lo que prueba el teorema.�

Teorema 2.1.8. Si la medida de un conjunto E es cero con respecto a cualquier función φ(l),entonces la variación de cualquier función continua y monótona f(x) en E es cero.

Demostración:

Denotemos por O{f(x), l} → 0 a la cota superior de la oscilación de f(x) en cualquier intervalode longitud l. Claramente O{f(x), l} → 0 cuando l → 0.

En consecuencia, dado ǫ > 0 podemos encontrar una sucesión decreciente de reales positivos li,i ∈ ω tal que

∑i∈ω

O{f(x), li} < ǫ.

Por otro lado, por el teorema 2.1.6, el conjunto E puede incluirse en un conjunto de intervalos(x

′

i, x′′

i ), con x′′

i − x′

i < l′

i. Entonces, denotando por Vf(E) la variación de f(x) en el conjuntoE, tenemos que

Vf(E) ≤∑i∈ω

{f(x′′

i ) − f(x′

i)}

≤∑i∈ω

O{f(x), li} < ǫ.

lo cual prueba el teorema.�

Después de estos teoremas preliminares, Besicovitch prueba la existencia de un conjunto nonumerable de medida cero con respecto a cualquier función φ(l) y muestra que los conjuntosconcentrados, si existen, son de medida cero con respecto a cualquier función φ(l).


Para eso da un conjunto E concentrado en la vecindad de un conjunto {xn : n ∈ ω} y {ln :n ∈ ω} una sucesión arbitraria de reales positivos. Por definición, el conjunto de intervalos(xn − 1

2l2n, xn + 1

2l2n) contiene todos los puntos de E excepto a lo más a un conjunto numerable

de él, que puede ser incluido en intervalos de longitud l1, l2, ... Consecuentemente, por el teorema2.1.6, el conjunto E es de medida cero con respecto a cualquier función.

Así, el problema se reduce a la prueba de la existencia de los conjuntos concentrados.

La prueba de Besicovitch está basada en la existencia de una sucesión transfinita {ϕn} defunciones positivas decrecientes a la que llama sucesion fundamental.

�

Definición 2.1.9. Decimos que una función f : ω → ω es eventualmente mayor que (mayor oigual que) otra función g(n), y escribimos

f(n) ≻ g(n)

(f(n) � g(n)),

si existe un número n0 tal que:

f(n) > g(n)

(f(n) ≥ g(n)),

para n > n0.

Definición 2.1.10. Sea ω1 el primer ordinal no numerable. Una sucesión {ϕα : α < ω1} esllamada una sucesión fundamental si cualquier función positiva f : ω → ω es eventualmentemayor que toda ϕi(n) excepto por a lo más un conjunto numerable de ellas.

La existencia de tal sucesión puede ser establecida de la siguiente manera:

Primero ordenamos el conjunto de todas las funciones positivas decrecientes en una sucesión{fi : i ∈ ω1}.

Luego, definimos por recursión sobre ω1, ϕα para α < ω1: ϕ1(n) = f1(n).

Supongamos definido ϕα, definimos ϕα+1 = mın{ϕa(n), fα+1(n)}.

Para γ un ordinal límite, consideremos una sucesión αn (n < ω) creciente de ordinales tal que:

lım αn = γ.

Luego, definimos ϕα(n) para cualquier n como

ϕα(n) = mın {fα(n), ϕk1(n), ..., ϕkn(n)}.

De esta forma, la sucesión

ϕα(n)


está definida, donde α toma todos los valores menores que ω1. La sucesión tiene las siguientespropiedades:

�

Proposición 2.1.11. �

1. Para cualquier α < ω1

fα(n) ≥ ϕα(n)

2. Cualquier ϕα(n) es una función decreciente.3. Si α < k, entonces

ϕα(n) � ϕk(n).4. Para cualquier α < ω1 le corresponde un α′ < α y menor que ω1, tal que:

ϕα(n) � ϕα′(n).

Demostración:

Las propiedades 1 y 2 son claras.

Para probar 3 basta observar que

ϕ1(n) � ϕ2(n) � ϕ3(n)...

Supongamos que estas desigualdades han sido probadas para cualquier índice menor que α.

Así, si α es un ordinal sucesor, tenemos que

ϕα−1(n) � ϕα(n)

por la definición de ϕα(n). Si γ es un ordinal límite, entonces

γ = lım kl

y de nuevo, por la definición de ϕα(n) concluimos que

ϕkl(n) � ϕα(n)

para toda l, y por tanto

ϕβ(n) � ϕα(n)

para toda β < α.

Para demostrar 4, a cualquier ordinal α < ω1 le corresponde un α′ > α y menor que ω1, tal que

ϕα(n) ≻ ϕα′(n).

Para cualquier función decreciente enumerada, tenemos


12ϕα(n) = fα′(n)

donde α′ debe ser mayor que α ya que ϕα(n) ≻ fα′(n). Como fα′(n) � ϕα′(n), tenemos que

ϕα(n) ≻ ϕα′(n).

Sea g(n) cualquier función positiva.

Definimos f(n) como sigue:

f(n) = mın{g(m) : 1 ≤ m ≤ n} .

Ahora, f(n) es una función decreciente y por tanto

f(n) � ϕα(n)

y si existe α′ > α tal que ϕα(n) ≻ ϕα′(n) tenemos que

f(n) ≻ ϕβ(n) para toda β ≥ α′,

es decir, para toda β excepto para un conjunto numerable de valores. Así, la sucesión {ϕα(n)}es fundamental.�

Lema 2.1.12. Sean {xn : n ∈ ω} un conjunto de reales denso en todas partes, {yn : n ∈ ω}cualquier sucesión numerable de puntos y f(n) cualquier función positiva. Entonces existe unpunto distinto de cualquier yn tal que la desigualdad

|a − xn| < f(n)

se satisface para una infinidad de valores de n.

Demostración:

Sea n1 cualquier entero positivo y el consideremos el intervalo (xn1 − λ1, xn1 + λ1) dondeλ1 < f(n1), con λ1 tan pequeña para que el intervalo no contenga a ninguno de los núme-ros y1, y2, ..., yn1 y diferente de xn1 . Tomamos ahora un entero n2 > n1 y un entero positivoλ2 < f(n2) tal que el intervalo (xn2−λ2, xn2+λ2) esté contenido en el intervalo (xn1−λ1, xn1+λ1),no contenga a ningún de los números y1, y2, ..., yn1, sea diferente de xn2 y así sucesivamente.

De esta manera tenemos una sucesión de intervalos

(xni− λi, xni

+ λi) con i ∈ ω

cada uno de ellos contenido en el que le precede. Cualquier punto α interior a la intersección detodos estos intervalos (si λi → 0 es sólo ese único punto) es diferente de todos los yn y satisfacela condición

|α − xni| < λi < f(ni) con i ∈ ω


lo que demuestra el lema.�

Una vez probado el lema de Besicovitch, construye un conjunto concentrado de cardinalidadℵ1.

Sea {ϕα(n) : α ∈ ω1} una sucesión fundamental de funciones y {xn} un conjunto denso entodas partes. Tomamos un punto y1 diferente de los {xn} y tal que la desigualdad

|y1 − xn| < ϕ1(n)

se satisface para una infinidad de valores de n. Luego escogemos un punto y2 diferente de todoslos {xn} y tal que la desigualdad

|y2 − xn| < ϕ2(n)

se satisface para una infinidad de valores de n. Cuando yk ha sido definido para toda k < idefinimos yi diferente a los {xn} y de los {yk : k < i}, y que satisfaga la desigualdad |yi − xn| <ϕi(n) para una infinidad de valores de n. Así, tenemos un conjunto de puntos {yα : α < ω1}.

Sea ahora {ln : n ∈ ω} una sucesión arbitraria de enteros positivos. Tomamos el conjunto deintervalos (xn − ln, xni

+ ln) con n ∈ ω y escribimos f(n) = ln. Sea i0 el mínimo ordinal tal que

f(n) ≻ ϕi0(n).

Tomemos ahora cualquier i > i0. Sabemos que

|yi − xn| < ϕi(n)

para una infinidad de valores de n y así

|yi − xn| < f(n)

para una infinidad de valores de n. Así, entre todos los intervalos (xn−ln, xni+ln) hay una infini-

dad de ellos que contienen a yi para cualquier i > i0. Como el conjunto de puntos y1, y2, .., yi0, ...es numerable podemos concluir que {yi : i < ω1} es concentrado en la vecindad del conjunto{xn}.

2.1.3. Los conjuntos concentrados y los conjuntos de Luzin. �

No se sabe si Besicovitch llegó a la construcción del conjunto concentrado no numerable motiva-do por el hecho de poder encontrar una forma más débil de un conjunto de Luzin. Sin embargo,sabemos que los conjuntos concentrados pueden existir incluso cuando los conjuntos de Luzinno.

Fue veinte años antes del trabajo de Besicovitch, a saber en 1914, que el matemático ruso NikolaiNikolaevich Luzin (1883–1950) en el artículo “Sur un problème de M. Baire” [25] construye unconjunto con una propiedad más fuerte que la requerida por Besicovitch, pero bajo la mismahipótesis. Estos conjuntos son ahora llamados Conjuntos de Luzin, aunque incluso, un año antes,el matemático alemán Friedrich Paul Mahlo (1883-1971) también publicó la misma construcción.


En el artículo mencionado, Luzin se apoya en una propiedad general de funciones que dio René-Louis Baire (1874-1932) en su famosa tesis doctoral “Sur les Fonctions de variables reélles” [3]de 1899.

�

Recordemos las siguientes definiciones:

Definición 2.1.13. Sea (M, τ) un espacio topológico.

Decimos que X ⊆ M es denso en ninguna parte si int(X) = ∅.

�

NOTACIÓN: nwd(M) = {X ⊆ M : int(X) = ∅}.

�

Definición 2.1.14. Sea (M, τ) un espacio topológico.

i) Decimos que X ⊆ M es de la primera categoría de Baire o magro, si se puede expresar comouna unión numerable de conjuntos densos en ninguna parte.

ii) Decimos que un conjunto es de la segunda categoría de Baire si no es de la primera categoría.

�

NOTACIÓN: M = {X ⊆⋃

n∈ωNn : Nn ∈ nwd}.

�

Definición 2.1.15. Sea f : [0, 1] → R , la clasificación de funciones de Baire se definen demanera recursiva de la siguiente manera:

C0 = {f : [0, 1] → R : f es continua},

Cα+1 = {f : [0, 1] → R : f /∈⋃

β∈αCβ ∪ Cα y existe {fn} ⊆

⋃β∈α

Cβ ∪ Cα tal que fn → f}

�

A las funciones pertenecientes a esta jerarquía se les conoce como funciones de Baire. El pro-pósito de Baire era demostrar que esta clasificación no era meramente nominal, es decir, quecada una de estas clases es no vacía, lo que se llamará en adelante Conjetura de Baire.

En un principio, Baire había caracterizado las funciones de C1 a través del siguiente resultado:

�

Teorema 2.1.16. Sea f : [0, 1] → R una función discontinua.

f ∈ C1 si y sólo si es puntualmente discontinua2 respecto a todo conjunto perfecto.

2f : I ⊆ R→R es puntualmente discontinua, si para todo (a, b) ⊆ I, existe c ∈ (a, b) tal que f es continuaen c.


Tal como lo hizo con las funciones de C1, Baire intenta caracterizar las funciones de C2, paraello enuncia el siguiente teorema:

�

Teorema 2.1.17. Sea f : [0, 1] → R, tal que f /∈ {C0 ∪ C1}.

f ∈ C2 si y sólo si es puntualmente discontinua sobre cada conjunto perfecto, omitiendo unconjunto de primera categoría respecto al conjunto perfecto.

Baire demostró completamente el teorema 2.1.16, mientras que del teorema 2.1.17 sólo demostróla condición necesaria, es decir, si f ∈ C2 entonces es puntualmente discontinua sobre cadaconjunto perfecto, omitiendo un conjunto de primera categoría respecto al conjunto perfecto.Sin embargo, conjeturó que se cumplía el recíproco y que la condición era similar para las clasessuperiores.

Luzin, al igual que Baire, quería saber si esa condición, necesaria para que una función entredentro de la clasificación de Baire, es también suficiente, y en el artículo citado anteriormente seencarga de mostrar que bajo la Hipótesis del Continuo existen funciones que son puntualmentediscontinuas sobre cada conjunto perfecto, omitiendo un conjunto de primera categoría respectoal conjunto perfecto pero que no están en C2; para eso demuestra los siguientes teoremas:

�

Teorema 2.1.18. Si la cardinalidad del continuo es ℵ1, entonces existe dentro del intervalo(0, 1) un conjunto E de la cardinalidad del continuo tal que todo conjunto perfecto denso enninguna parte en (0, 1) contiene a lo más un conjunto numerable de puntos de E.

Demostración:

Supongamos que 2ℵ0 = ℵ1. Podemos escribir todos los puntos del intervalo [0, 1] bajo la formade un conjunto bien ordenado :

A = {xα : α < ω1}.

Consideremos por otra parte, el conjunto de todos los conjuntos perfectos Π densos en ningunaparte en [0, 1]. Sabemos que este conjunto tiene la cardinalidad del continuo. Entonces, podemosescribir todos los conjuntos perfectos Π bajo la forma de un conjunto bien ordenado:

Π ={Πα : α < ω1}.

Tomemos el primer conjunto perfecto Π0. Los puntos de Π0 forman en el conjunto A un conjuntobien ordenado. Denotemos por ξ0 al primer elemento de ese conjunto y quitemos de A a todoslos puntos de Π0. Entre los otros conjuntos perfectos Πα de Π, existe dentro de Π un primerelemento, digamos Πα1 , α1 > 0, tal que contiene los puntos que no se quitaron de A. Los puntosde Πα1 que no se quitaron de A forman en A un conjunto bien ordenado. Denotemos por ξ1 alprimer elemento de este conjunto y quitemos de A todos los puntos de Πα1 .


Entre los otros conjuntos perfectos Πα de Π, existe dentro de Π un primer elemento, digámosleΠα2 , α2 > 0, tal que contiene los puntos que no se quitaron de A. Los puntos de Πα2 que no sequitaron de A forman en A un conjunto bien ordenado. Denotemos por ξ2 al primer elementode este conjunto y quitemos de A todos los puntos de Πα2 . Podemos continuar la aplicaciónde este método indefinidamente. Formamos un conjunto numerable de puntos ξ0, ξ1, ξ2, ...ξn, ...,correspondientes a cada uno de los conjuntos perfectos Π0, Π1, Π2, , ..., Πn, ... (0 < α1 < α2, .., <αn < ...). Ahora bien, el conjunto formado por la unión de los conjuntos perfectos no densosΠ0, Π1, Π2, , ..., Πn, ... es un conjunto de la primera categoría en [0, 1]. Así, los puntos de losΠ0, Π1, Π2, , ..., Πn, ... son suprimidos de A, pero todavía hay una infinidad no numerable depuntos en A. Se deduce que de entre los conjuntos Πα de Π existe dentro de Π un primerelemento, digamos Παω , αω > αn, tal que contiene los puntos que no se quitaron de A.

Estos puntos de Παω forman en A un conjunto bien ordenado. Denotemos por ξω al primerelemento de ese conjunto y quitemos de A a todos los puntos de Παω . La unión de los conjuntosΠ0, Πα1 , Πα2 , , ..., Παn, ...Παω es de la primera categoría en [0, 1], y existe dentro de Π un primerelemento, digamos Παω+1, αω+1 > αω que contiene los puntos que no se quitaron de A.

Llegamos así a la determinación de ξω+1. Y así sucesivamente. Procediendo de esta manera,terminaremos por determinar sin ambigüedad un conjunto E de puntos del intervalo [0, 1]:

E = {ξα : α < ω1}

que tiene la cardinalidad del continuo. Es evidente, por construcción, que todo conjunto perfectonunca denso en [0, 1] (por ejemplo Πα) contiene a lo más un conjunto numerable de puntos deE.��

Luzin comenta en su artículo que siempre es posible suponer que el conjunto E contiene sólopuntos irracionales; sino quitamos de E todos los puntos racionales, sin cambiar ninguna de laspropiedades de E ni su cardinalidad. Luego, demuestra el siguiente teorema:

�

Teorema 2.1.19. Si la cardinalidad del continuo es ℵ1, entonces existe dentro del intervalo(0, 1) un conjunto G no numerable de la primera categoría en todo conjunto perfecto (denso ono) dentro del intervalo (0, 1).

Demostración:

Tomamos, en el intervalo [0, 1], el conjunto K de todos los puntos representables por fraccionescontinuas ilimitadas en las cuales el cociente incompleto de rango n crece indefinidamente conn. Baire ha establecido una biyección entre el conjunto S de todas las sucesiones de enterospositivos (i1, i2, ..., in, ...) y el conjunto K. Consideremos por otra parte, el conjunto de todoslos puntos irracionales dentro del intervalo[0, 1]. Un punto irracional x ∈ [0, 1] es represen-table de una manera bien determinada por una fracción continua ilimitada (i1, i2, ..., in, ...) yrecíprocamente, de tal suerte que hay una biyección entre el conjunto de números irracionalesdel intervalo [0, 1] y el conjunto S de sucesiones infinitas de enteros positivos (i1, i2, ..., in, ...).


Establecemos de esa manera, entre el conjunto de los puntos irracionales del [0, 1] y el conjun-to K, una biyección. Sea f la función que nos da esa biyección. Dicho esto, tomemos dentrodel intervalo [0, 1], el conjunto E que sólo contiene puntos irracionales y con las propiedadesseñaladas por el teorema anterior.

Así, f hace corresponder al conjunto E un conjunto G bien determinado contenido dentro delconjunto K y con la cardinalidad del continuo.

Este conjunto G es de primera categoría en todo conjunto perfecto (denso o no) dentro delintervalo [0, 1].

Luzin comenta que siempre se puede suponer que el conjunto G es no medible. En efecto, elconjunto de todos los conjuntos medibles tiene la cardinalidad del continuo. Por otra parte,la cardinalidad de G tiene una cardinalidad mayor a la del continuo. Por lo tanto, existe unsubconjunto H de G no medible con la cardinalidad del continuo. Este conjunto H satisface elenunciado del teorema propuesto.��

Teorema 2.1.20. Si la cardinalidad del continuo es ℵ1, entonces existe una función con lapropiedad necesaria de Baire y no representable analíticamente.

Demostración:

Tomemos, en efecto, en el intervalo [0, 1] el conjunto G del teorema anterior. La función

f(x) =

1 si x ∈ G

0 si x /∈ G

es una función no representable analíticamente; porque el conjunto G es no medible. Por otraparte, dado cualquier conjunto perfecto P (denso o no denso) en [0, 1], la función f(x) es iguala cero en todo P , salvo por un conjunto de primera categoría en P . Por consecuencia f(x)es puntualmente discontinua (incluso uniformemente continua) sobre todo conjunto perfecto,omitiendo un conjunto de primera categoría respecto al conjunto perfecto.��

Así pues, un conjunto de Luzin se define como sigue:

�

Definición 2.1.21. Sea X ⊆ [0, 1]. Diremos que X es un conjunto de Luzin si |X| = 2ℵ0 ypara todo F ∈ M (|X ∩ F | ≤ ℵ0).

�

Es importante señalar que en 1921, Luzin, en su artículo llamado “Sur l’existence d’un ensemblenon dénombrable qui est de première catégorie dans tout ensemble parfait” [26], demuestra laexistencia de los conjuntos de Luzin sin usar la Hipótesis del Continuo pero sí el axioma deelección y de un debilitamiento de la Hipótesis del Continuo, de hecho, es en este mismo artículo,

38 2.2. Rarified Sets

en el que aparece por primera vez una conexión entre los conjuntos de medida fuertemente ceroy b, el número de acotación, es decir el mínimo cardinal de las familias no acotadas.3

En el artículo mencionado anteriormente, Luzin muestra que hay un conjunto de reales con car-dinalidad b que es de primera categoría (o magro) en todo conjunto perfecto. Este conjunto nonumerable tiene la misma propiedad que motivó a Luzin a su construcción usando la Hipótesisdel Continuo.

La construcción de Luzin, siguiendo a Baire, asocia a cada sucesión de enteros σ : ω → ω elnúmero irracional ν(σ) obtenida de la fracción continua

ν(σ) = 1σ(o)+ 1

σ(1)+ 1σ(2)+...

donde es posible tomar una escala4 {σβ}β∈ω1 y producir un conjunto de irracionales G ={ν(σβ)}β∈ω1 .

Después usa el hecho de que, dado cualquier conjunto perfecto P uno puede suponer que G ∩Pes denso en P y por lo tanto existe un ordinal γ ∈ p, donde p es la mínima cardinalidadde una familia centrada sin pseudointersecciones5 y tal que Gγ ∩ P es denso en P , dondeGγ = {ν(σβ)}β∈γ.

�

Cabe señalar que la observación de du Bois Reymond acerca de que familias numerables desucesiones pueden ser dominadas juega un papel importante para garantizar que γ ∈ p.

Con esto, Luzin demuestra que G − Gγ es relativamente magro en P . El hecho de que elmismo Gγ es relativamente magro en P es inmediato si sólo estamos interesados en producirun conjunto no numerable, dado que los segmentos iniciales son contables.

Recordemos que para ver que p está bien definido, se hace uso del Axioma de Elección6 y que elhecho de que existan escalas es equivalente a que d = b.7 Es aquí, en donde Luzin hace uso delaxioma de elección y se hace ver la relación que tiene el cardinal b para demostrar la existenciade conjuntos de medida fuertemente cero sin hacer uso de la Hipótesis del Continuo.

2.2. Rarified Sets

Aunque Besicovitch nunca hace referencia al trabajo de Luzin, no se puede descartar la posibi-lidad de que sí hubiera estado consciente de la primera construcción de Luzin, ya que tambiénestablece, usando la Hipótesis del Continuo, la existencia de lo que llama rarified sets, que

3Una familia F es no acotada si ¬(∃g ∈ ωω)(∀f ∈ F)(f ≤∗ g)4Una sucesión F = {fα : α < λ} de elementos de ωω es una λ − escala si (∀α < β < λ)(fα < fβ) y además

F = {fα : α < λ} es una familia dominante, i.e. si para toda g ∈ ωω hay fα ∈ F tal que g ≤∗ fα.5Para la definición formal véase Apéndice B.6Pues un filtro maximal libre sobre ω es un ejemplo de una familia centrada sin pseudo-intersecciones y

para demostrar la existencia de los filtros maximales se hace uso del lema de Zorn.7Para la demostración véase Apéndice B.2.3


ahora son usualmente llamados Conjuntos de Sierpiński. Dado que estos son los análogos enteoría de la medida a los conjuntos de Luzin – a saber que su intersección con todo conjuntode medida cero es numerable – es difícil pensar que Besicovitch hubiera pasado por alto laposibilidad de usar la construcción topológica de Luzin con el propósito de la primera mitadde su artículo “Concentrated and rarified sets of points”[7]. Por otro lado, Besicovitch dice quellegó a su definición de rarified sets a partir del problema dado:

“Has every plane set of infinite linear measure a subset of finite measure?”

Después de esto, comenta que parece obvio pero que no es el caso y construye un conjuntoplano de medida lineal infinita, donde cualquiera de sus subconjuntos sean o bien de medidainfinita o de medida cero y define a los rarified sets como sigue:

�

Definición 2.2.1. Sea X ⊆ R2, con |X| = 2ℵ0. Se dice que X es un rarified set si para todoA ⊆ X con µ(A) = 0 se tiene que |A| ≤ ℵ0, en otras palabras cualquier subconjunto de X,donde X es un conjunto plano de medida cero, consiste de a lo más un conjunto numerable depuntos.

�

Como se dijo anteriormente, la construcción de los rarified sets de Besicovitch se basa en laHipótesis del Continuo y lo hace como sigue:

Primero denota por E a cualquier conjunto plano de medida cero que puede ser representadopor el producto

E =∞∏

i=1Ai

donde Ai es un conjunto abierto y definido por una cantidad numerable de puntos. Así, tenemosque E también lo es. Sabemos que el conjunto de los conjuntos numerables en un plano tienela cardinalidad del continuo. Por lo tanto, el conjunto de todos los E’s tiene la cardinalidad delcontinuo.

Luego, toma dos sucesiones transfinitas {Eα : α < ω1} el conjunto de los E ′s definidos ante-riormente y {Pα : α < ω1} a los conjuntos perfectos planos de medida positiva y que estáncontenidos en el cuadrado [0, 1] × [0, 1].

Denota por m1 a un punto arbitrario del conjunto

P1 − (E1P1)

donde EiPj = {ep : e ∈ Ei ∧ p ∈ Pj}, y por m2 a un punto arbitrario del conjunto

P2 − (E1 ∪ E2)P2

con m2 distinto de m1, y por m3 a un punto arbitrario del conjunto

P3 − (E1 ∪ E2 ∪ E3)P3

40 2.2. Rarified Sets

y así sucesivamente. Después de haber definido mα ∀α < α0, mα0 estará definido como unpunto arbitrario del conjunto

Pα0 − (E1 ∪ E2 ∪ ... ∪ Eα0)Pα0

diferente de todos los mα’s para toda α < α0. Tal punto existe para toda α0 < ω1.

El conjunto plano

(E1 ∪ E2 ∪ ... ∪ Eα0)

es de medida cero ya que la unión numerable de conjuntos de medida cero es también de medidacero. Por otro lado, Pα0 es un conjunto plano de medida positiva y por lo tanto también lo esel conjunto

Pα0 − (E1 ∪ E2 ∪ ... ∪ Eα0)Pα0 .

De esta manera, el conjunto debe contener más de una cantidad numerable de puntos. Así,debe contener una cantidad no numerable de puntos diferentes mi, α < α0.

Sea G = {mα : α ∈ ω1}.

Afirmación 2.2.2.

i) La medida exterior plana de G es 1.

ii) Para todo Eio |G ∩ Ei0 | = ℵ0.

iii) Para todo A ⊆ G de medida plana cero, se tiene que |A| = ℵ0

Demostración:

i) Por construcción, Gc en [0, 1] × [0, 1] no contiene ningún subconjunto perfecto de medidaplana positiva, por tanto µ∗(G) = 1.

ii) Los puntos de G contenidos en Ei0 están todos entre los puntos mi, con i ∈ {1, 2, ..., i0} ycomo i0 < ω entonces hay una cantidad numerable.

iii) Sea A ⊆ G de medida plana cero, entonces A está contenido en algún Ei y por tanto|A| = ℵ0.

Corolario 2.2.3. La medida exterior lineal de G es infinita.

Corolario 2.2.4. G es un rarified set.

Corolario 2.2.5. G es linealmente medible.


Sea H cualquier conjunto de medida lineal exterior positiva µ∗(H) y de medida plana cero.

Dado que el conjunto G ∩ H es numerable, tenemos que

µ∗(H − G ∩ H) = µ∗(H)

µ∗(G ∩ H) = 0

y así

µ∗(H) = µ∗(H − G ∩ H) + µ∗(G ∩ H)

lo que prueba el corolario.�

�

Teorema 2.2.6. El conjunto G no tiene subconjuntos de medida exterior lineal finita positiva.

Demostración:

Sea H cualquier subconjunto de medida exterior lineal finita positiva. Por iii) G ∩ H es unconjunto numerable y por tanto H también, ya que G ∩ H = H .�

�

Así, el conjunto G nos da la solución al problema que plantea Besicovitch en la segunda partede su artículo.

Otras propiedades que tiene el conjunto G son las siguientes:

iv) El conjunto G es medible pero tiene subconjuntos no medibles.

v) El conjunto G es no medible con respecto a la medida plana.

Si fuera medible, su medida sería igual a su medida exterior, i.e. igual a 1. Luego, por elteorema de Fubini su intersección con casi todas las lineas del cuadrado, paralelas a los ladosdel cuadrado, serían conjuntos de medida lineal 1, lo cual es imposible por iii).

Así, G nos da un ejemplo de un conjunto que es medible con respecto a la medida lineal y nomedible con respecto a la medida plana.

El converso de este problema, dice Besicovitch, es bastante simple, ya que cualquier conjuntocontenido en una línea es de medida plana cero pero no necesariamente linealmente medible.

42 2.3. Sierpiński y los conjuntos con la propiedad (C)

2.3. Sierpiński y los conjuntos con la propiedad (C)

Sin embargo, otra manera de ver que Besicovitch no estaba enterado de la construcción de Luziny la relación de estos con sus conjuntos concentrados, es que no se hace ninguna pregunta acercade las relaciones entre éstos. Pudo, por ejemplo, haberse preguntado si la familia de los conjuntosde medida fuertemente cero es la misma que la de los conjuntos concentrados, sin embargo,fue Wacław Sierpiński (1882-1969) quien se hizo esta pregunta en el artículo de 1938 llamado“Remarque sur le problème de l’invariance topologique de la propriété C” [38].

De cualquier manera, en 1941, Besicovitch respondió la pregunta de Sierpiński en el artículollamado “Relations between concentrated sets and sets possessing Property C” [6] lo que noshace ver su interés en esta línea de investigación.

Como es de suponerse, Sierpiński, al contrario de Besicovitch, sí estaba enterado sobre lostrabajos de Luzin, y en el año de 1928 publicó el artículo llamado “Sur un ensemble nondénombrable, dont toute image continue est de mesure nulle” [37] en donde, motivado tambiénpor un artículo publicado en 1924 de Mikhail Lavrentiev (1900–1980) – donde se demostró quetodo conjunto lineal homeomorfo a un conjunto con la propiedad (L) es de medida cero – tienecomo principal objetivo, como sugiere el título, el de demostrar la propiedad siguiente:

“Toute image continue d’un ensemble jouissant de la propiété (L) est un ensemble de mesurenulle.”8

Que un conjunto X tenga la propiedad (L) quiere decir que es un conjunto de Luzin, i.e. quetodo conjunto perfecto denso en ninguna parte contiene a lo más un conjunto numerable delconjunto X.

Para eso, Sierpiński demuestra primero el siguiente lema:

�

Lema 2.3.1. Dado E un conjunto lineal (infinito), f(x) una función real y continua en E, existeuna descomposición E = K ∪R donde K es un conjunto de la primera categoría y µ(f [R]) = 0.

Demostración:

Sea P = {p1, p2, ..., } un subconjunto numerable de E. Sean n y k índices. Como la funciónf(x) es continua en E, entonces lo es en el punto pk y existe δk,n > 0 tal que si

|x − pk| < δn,k, x ∈ E

entonces

|f(x) − f(pk)| < 12kn

.

Denotemos por En al conjunto de todos los x ∈ E que satisfacen la siguiente desigualdad:

|x − pk| ≥ δn,k, ∀k ∈ N,

8Toda imagen continua de un conjunto que goce de la propiedad (L) es un conjunto de medida cero.


como el conjunto P es denso en E, tenemos que los conjuntos En son densos en ninguna parte∀n ∈ N, con lo que se tiene que el conjunto K =

⋃i∈N

Ei es de la primera categoría.

Consideremos R = E − K y veamos que efectivamente µ(f [R]) = 0.

Sea

Un =⋃

k∈N(f(pk) − 1

2kn, f(pk) + 1

2kn)

La suma de las longitudes de los intervalos es evidentemente igual a∑

k∈N

12kn

= 2n.

Así, el conjunto Un tiene medida menor o igual a 2n.

Además f [R] ⊆⋂

k∈NUn . Pues, en efecto, sea n ∈ N y x ∈ R = E − K, entonces x ∈ E y

x /∈ K =⋃

i∈NEi, por tanto x /∈ En, y entonces por definición de En se tiene que x no puede

satisfacer la desigualdad

|x − pk| ≥ δn,k, para algún k ∈ N.

En otras palabras, hay k ∈ N tal que

|x − pk| < δn,k, x ∈ E

y por tanto

|f(x) − f(pk)| < 12kn

,

lo que quiere decir que f(x) pertenece a al menos uno de los intervalos

Un =⋃

k∈N(f(pk) − 1

2kn, f(pk) + 1

2kn),

es decir que f(x) ∈ Un.

Así, tenemos que f [R] ⊆ Un, lo que implica que µ(f [R]) ≤ µ(Un) ≤ 2n

∀n ∈ N y en consecuenciaµ(f [R]) = 0.�

�

Con este lema, demuestra fácilmente el teorema principal:

�

Teorema 2.3.2. La imagen continua de un conjunto que tenga la propiedad (L) es un conjuntode medida cero.


Demostración:

Sea E un conjunto con la propiedad (L), y sea f(x) una función continua definida en E. Porel lema anterior, podemos descomponer a E = K ∪ R, donde K es un conjunto de la primeracategoría y µ(f [R]) = 0. El conjunto E tiene la propiedad (L), K es un conjunto a lo másnumerable y por tanto µ(f [K]) = 0. Ahora, es claro que f [E] = f(K ∪ R) = f(K) + f(R) ydado que µ(f [K]) = 0 y µ(f [R]) = 0 se tiene que y µ(f [E]) = 0.�

�

Así pues, Sierpiński concluye, aludiendo al resultado de Luzin que si 2ℵ0 = ℵ1, entonces existeun conjunto lineal de la cardinalidad del continuo donde toda imagen continua es de medidacero.

Por otro lado, Sierpiński comenta que fue el polaco Edward Marczewski Szpilrajn (1907–1976),en 1930, quien planteó la pregunta de la existencia de un conjunto lineal no numerable con lapropiedad (C), en su artículo titulado “Sur une hypothèse de M. Borel” [42].

Después de comentar eso, demuestra que si un conjunto tiene la propiedad (L) entonces tienela propiedad (C); i.e. si X es un conjunto de Luzin, entonces X tiene medida fuertemente cero:

�

Teorema 2.3.3. Todo conjunto de Luzin es un conjunto de medida fuertemente cero.

Demostración:

Sea E un conjunto con la propiedad (L) y {an : n ∈ ω} una sucesión numerable de númerospositivos y {rn : n ∈ ω, } una enumeración de los racionales. Denotamos por δ2n−1 al intervalo(rn − 1

2a2n−1, rn + 1

2a2n−1). El conjunto

⋃n∈N

(rn − 12a2n−1, rn + 1

2a2n−1)

es evidentemente denso en todas partes y por tanto, el conjunto

A = E −⋃

n∈N(rn − 1

2a2n−1, rn + 1

2a2n−1)

es denso en ninguna parte y luego, como E tiene la propiedad (L) se tiene que es a lo másnumerable. Sea {qi : i ∈ ω} una enumeración de A. Denotamos por δ2n al intervalo (qn −12a2n, qn + 1

2a2n). Los intervalos {δi : i ∈ ω} evidentemente cubren al conjunto E y la longitud

de δn es igual a an ∀n ∈ ω, con lo que se tiene que E es de medida fuertemente cero.�

�

Con este resultado, es inmediato que toda imagen continua de un conjunto con la propiedad(L) es un conjunto con la propiedad (C).

En 1938, en el artículo titulado “Remarque sur le problème de l’invariance topologique de lapropriété (C)” [38], como se mencionó anteriormente, Sierpiński se pregunta si la familia de


los conjuntos de medida fuertemente cero es la misma que la de los conjuntos concentrados deBesicovitch a partir de los dos problemas siguientes:

Problema 2.3.4. La propieté (C) des ensembles linéaires est-elle invariante par rapport auxtransformations homéomorphes? 9

Problema 2.3.5. La propieté (C) des ensembles linéares est-elle invariante par rapport auxtransformations continues?10

�

Recordemos que si X y Y son espacios topológicos, se dice que una función f : X → Y eshomeomorfa si es biyectiva, continua y con inversa continua.

Sierpiński comenta que los dos problemas que plantea tienen solución bajo la Hipótesis delContinuo y demuestra en su artículo que son equivalentes sin hacer alusión a ésta. Para de-mostrar la equivalencia, Sierpiński se apoya en un lema demostrado en 1930 por Szpilrajn queaparece en su artículo “Sur une hypothèse de M. Borel” [42] en donde de hecho demuestra quela Conjetura de Borel es verdadera para los conjuntos Borel medibles y más en general para losconjuntos analíticos, además que si un conjunto tiene la propiedad (C) entonces es totalmenteimperfecto (i.e. que no contiene ningún subconjunto perfecto), dado que todo conjunto analíticototalemente imperfecto es a lo más numerable.

Para eso, Szpilrajn demuestra que la propiedad (C) es un invariante de transformaciones bajofunciones continuas reales por la derecha, el cual es el lema que utiliza Sierpiński para demostrarque sus problemas son equivalentes.

�

Lema 2.3.6. (Szpilrajn, 1930) La propiedad (C) es un invariante de transformaciones bajofunciones reales continuas por la derecha.

Demostración:

Sea E un conjunto tal que E ⊆ I, donde I ⊆ R es un intervalo compacto cualquiera. Seaf(x) una función real valuada, continua por la derecha y {an : n ∈ ω} una sucesión arbitrarianumerable de reales positivos. Dado que I es compacto, la función f(x) es uniformementecontinua en I y por lo tanto existe una sucesión {bn : n ∈ ω} de reales positivos tal que ladesigualdad

|x1 − x2| < bn, ∀x1, x2 ∈ I

implica que

9¿La propiedad (C) de conjuntos lineales es invariante bajo transformaciones homeomorfas?10¿La propiedad (C) de conjuntos lineales es invariante bajo transformaciones continuas?


|f(x1) − f(x2)| < an.

El conjunto E por hipótesis tiene la propiedad (C) y por tanto existe una sucesión {δn} deintervalos que cubren a E y tal que la longitud de δn es bn ∀n ∈ N. En consecuencia podemosrecubrir a f [E] (pues tenemos que |f(x1) − f(x2)| < an) por una sucesión {∆n} de intervalosde longitud {an}. El conjunto f [E] por lo tanto tiene la propiedad (C). �

�

Teorema 2.3.7. Las dos siguientes problemas son equivalentes:

P1. La propiedad (C) de conjuntos lineales es invariante bajo transformaciones homeomorfas.

P2. La propiedad (C) de conjuntos lineales es invariante bajo transformaciones continuas.

Demostración:

Claramente P1 implica P2.

Para el converso, supongamos P2, es decir, que la propiedad (C) de conjuntos lineales es inva-riante bajo transformaciones continuas. Sea H un conjunto lineal que sea imagen continua deun conjunto lineal E de medida fuertemente cero. Podemos suponer que los conjuntos E y Hson ponctiformes11 y por tanto (en tanto que lineales) de dimensión cero, dado que la propie-dad (C) de un conjunto se conserva cuando adjuntamos un conjunto numerable de puntos oquitamos un subconjunto cualquiera.

Ahora, por el resultado demostrado por Sierpiński que dice que si un conjunto lineal de dimen-sión cero es la imagen continua de un conjunto E de dimensión cero, existe una función realϕ(x) y un conjunto lineal T homeomorfo a E tal que ϕ(T ) = H . Así, la respuesta al proble-ma P1 es afirmativa y el conjunto E tiene la propiedad (C) y también el conjunto T . Luego,por el lema de Szpilrajn la propiedad (C) es un invariante de transformaciones bajo funcionescontinuas de variable real: el conjunto H = ϕ[T ] tiene la propiedad (C).�

�

Así, los problemas P1 y P2 son equivalentes.

Sierpiński hace la observación de que una consecuencia de su teorema es que (bajo la Hipótesisdel Continuo) existe un conjunto lineal que tiene la propiedad β pero que no tiene la propiedad(C) y lo hace como sigue:

�

Definición 2.3.8. Se dice que un conjunto E lineal tiene la propiedad β si todo conjunto linealhomeomorfo a E tiene medida Lebesgue cero.

�

Teorema 2.3.9. Existe un conjunto lineal con la propiedad β, pero sin la propiedad (C).

11discretos; es decir, que no contienen ningún intervalo


Demostración:

Por un teorema demostrado en 1936 por Szpilrajn y Sierpiński en el artículo “Remarque sur leproblème de la mesure” [39], cualquier conjunto lineal no numerable es una proyección sobre eleje x de un conjunto plano que tiene la propiedad β y donde la proyección sobre el eje y es unconjunto lineal con la propiedad β. En consecuencia, si suponemos la Hipótesis del Continuo,existe un conjunto plano Q con la propiedad β y en donde la proyección sobre el eje y es unconjunto de dimensión cero y donde la proyección H sobre el eje x es el conjunto de todos losnúmeros irracionales (el cual es un conjunto que no tiene la propiedad (C).

Ahora, el conjunto Q es homeomorfo a un conjunto lineal E de dimensión cero, que tambiéntiene la propiedad β. El conjunto H es imagen continua de E y los dos conjuntos son dedimensión cero, luego, por el teorema de Sierpiński del artículo “...” [x], existe un conjuntolineal T homeomorfo a E y una función continua ϕ(x) real tal que H = ϕ[T ]. Si T tuviera lapropiedad (C), el conjunto H también la tendría (por el teorema de Szpilrajn) lo cual no esel caso. Así, el conjunto T (como es homeomorfo a E) tiene la propiedad β pero no tiene lapropiedad (C).�

�

Después de esto, Sierpiński cita la definición de conjunto concentrado de Besicovitch y la denotacomo propiedad P .

�

Definición 2.3.10. Se dice que un conjunto lineal E tiene la propiedad P si existe un sub-conjunto numerable D ⊆ E tal que para todo conjunto G abierto en E y G ⊆ D, el conjuntoE − D es a lo más numerable.

Luego comenta que es importante hacer ver que la propiedad topológica P implica la propiedad(C), i.e. que si X es un conjunto concentrado entonces X es de medida fuertemente cero yademás tiene la propiedad C ′ de Rothberger de la que hablaremos en el siguiente capítulo.

Inmediatamente después, Sierpiński indica que no se sabe si la propiedad (P ) es equivalentea la propiedad (C) y que en caso de ser equivalentes, i.e. que si la familia de los conjuntosconcentrados es la misma que los de medida fuertemente cero, entonces la respuesta a suproblema P1 (y por tanto también al problema P2) sería afirmativo.

2.4. Un conjunto de medida fuertemente cero que no es concentrado

En 1941, tres años después de la pregunta de Sierpiński, Besicovitch la responde en su artículollamado “Relations between concentrated sets and sets possessing Property C” [6] de maneranegativa bajo la Hipótesis del Continuo, pues construye un conjunto de medida fuertementecero que no es concentrado.

Para eso, primero construye una sucesión de tamaño ω1 de conjuntos perfectos nunca densos.Luego para cada α < ω1 toma Eα ⊆ Pα un conjunto de Luzin (relativo a Pα) y toma el conjunto

48 2.4. Un conjunto de medida fuertemente cero que no es concentrado

E =⋃

α<ω1

Eα

y demuestra que éste es un conjunto de medida fuertemente cero pero que no es concentradosobre conjuntos numerables.

�

Teorema 2.4.1. El conjunto E =⋃

α<ω1

Eα es de medida fuertemente cero.

Demostración:

Sea {ǫn : n ∈ ω} una sucesión de reales positivos. Para cada n ∈ ω sea G =⋃

n∈ωIn un conjunto

abierto denso donde µ(In) < ǫ2n . Entonces hay α < ω1 tal que:⋃

{Eβ : α < β < ω1} ⊆⋃

{Pβ : α < β < ω1} ⊆ G.

Como⋃

{Eβ : β ≤ α} es unión numerable de conjuntos de medida fuertemente cero puede sercubierto por intervalos Jn cada uno de diámetro menor que ǫ2n+1. �

�

Teorema 2.4.2. El conjunto E =⋃

α<ω1

Eα no es concentrado sobre conjuntos numerables.

Demostración:

E =⋃

α<ω1

Eα no es concentrado en ningún lado ya que para cualquier conjunto D numerable,

existe un α tal que Pα ∩ D = ∅, con lo que (Pα)c es un conjunto abierto que contiene a D perodisjunto del conjunto no numerable Eα. �

�

Con esto se tiene que la familia de los conjuntos de medida fuertemente cero contiene pero noestá contenida en la familia de los conjuntos concentrados. Pero aún queda la pregunta de sila existencia de un conjunto de medida fuertemente cero implica la existencia de un conjuntoconcentrado. Esta pregunta permaneció sin contestar hasta que en 1952 se demostró que no esdemostrable en ZFC.

Capítulo 3

La propiedad de Rothberger

�

Aparentemente, sin conocer el trabajo de Besicovitch (aunque en 1942 lo conoció y de hechofue quien lo introdujo a la Cambridge Philosophical Society), Fritz Rothberger (1902-2000)estudió personalmente a los conjuntos de medida fuertemente cero, usando la terminología deSierpiński de conjuntos con la propiedad (C) y estableciendo su relación con el cardinal b.

La pregunta de Sierpiński acerca de la invarianza topológica de la propiedad (C), llevó a Roth-berger a considerar otros dos tipos de clases de conjuntos, los cuales clasificó como conjuntoscon la propiedad C ′ y conjuntos con la propiedad C ′′, ambas propiedades más fuertes que lapropiedad (C) e invariantes bajo transformaciones continuas. Así, el problema de la invarianzade la propiedad (C) bajo transformaciones continuas planteado por Sierpiński, se traduce asaber si la propiedad (C) y la propiedad C ′ son equivalentes. Estos recultados los presentaRothberger en 1938 en su artículo “Eine Verschärfung der Eigenschaft C”, [33].

�

Definición 3.0.3. Un espacio métrico (X, d) es totalmente acotado si para toda ǫ > 0 existen

x1, x2, ..., xk ∈ X tal que X ⊆k⋃

i=1Bǫ(xi) .

�

Definición 3.0.4. Un subconjunto A de un espacio topológico (X, τ) tiene la propiedad C ′

si para toda familia {Un : n ∈ ω} de cubiertas abiertas finitas de A, existe Un ∈ Un tal que{Un : n ∈ ω} es una cubierta de A, es decir, A ⊆

⋃n∈ ω

Un.

�

Definición 3.0.5. Un subconjunto A de un espacio topológico (X, τ) tiene la propiedad C ′′ (opropiedad de Rothberger) si para toda familia {Un : n ∈ ω} de cubiertas abiertas de A, existeUn ∈ Un tal que {Un : n ∈ ω} es una cubierta de A, es decir, A ⊆

⋃n∈ ω

Un.

�

Directamene de la definición se tiene que la propiedad C ′′ es más fuerte que la propiedad C ′ yésta a su vez es más fuerte que la propiedad (C).

49

50

Cabe señalar que cualquier conjunto concentrado en un conjunto numerable tiene la propiedadde Rothberger:

�

Teorema 3.0.6. Si X es un conjunto concentrado en un subconjunto nnumerable, entonces Xtiene la propiedad de Rothberger.

Demostración:

Supongamos que X es un conjunto concentrado. Veamos que X tiene la propiedad de Roth-berger.

Si Un = {Un,m : m ∈ ω}, para n ∈ ω son cubiertas abiertas de X y X es concentrado enun subconjunto numerable D = {xn : n∈ ω}, entonces podemos escoger enteros m2n tal quexn ∈ U2n,m2n

. Así, X −⋃

n∈ωU2n,m2n

es numerable, pues⋃

n∈ωU2n,m2n

es un abierto que contiene

a D y podemos escoger m2n+1 tal que X ⊆⋃

n∈ωUn,mn y por tanto X tiene la propiedad de

Rothberger. �

�

Proposición 3.0.7. Si A es un subconjunto de un espacio métrico X totalmente acotado y Atiene la propiedad C ′ entonces A tiene la propiedad (C).

Demostración:

Sea {ǫn : n ∈ ω} una sucesión de reales positivos; como X es totalmente acotado, para cada ǫn

existen x1, x2, ..xk ∈ X tal que X ⊆k⋃

i=1Bǫn(xi) := Bǫn, es decir, hay una familia {Bǫn : n ∈ ω}

de cubiertas abiertas finitas de X. Luego, como A tiene la propiedad C ′ existe existe Un ∈ Bǫn

tal que {Un : n ∈ ω} es una cubierta de A, es decir, A ⊆⋃

n∈ ωUn y tal que diam(Un) < ǫn y por

tanto A tiene la propiedad (C)�

�

Proposición 3.0.8. La propiedad C ′ es invariante bajo transformaciones continuas.

Demostración:

Sea X tal que cumpla con la propiedad C ′, sea f : X → f [X] una función continua y sea{Un : n ∈ ω} una sucesión de cubiertas abiertas finitas de f [X], queremos ver que existe unasucesión {Un : n ∈ ω} con Un ∈ Un que cubre a f [X].

Tomemos f−1[Un], entonces {f−1[Un] : n ∈ ω} es una sucesión de cubiertas abiertas finitas deX, luego como X tiene la propiedad C ′, tenemos que existe una sucesión {Vn : n ∈ ω} conVn ∈ f−1[Un] que cubre a X. Definimos Un := f(Vn), así {Un : n ∈ ω} con Un ∈ Un cubre af [X] y se tiene que f [X] tiene la propiedad C ′.�

�

3. La propiedad de Rothberger 51

Proposición 3.0.9. La siguientes proposiciones son equivalentes:

1. Las propiedades (C) y C ′ son equivalentes.2. (C) es invariante bajo transformaciones continuas.

Demostración:

Si (C) y C ′ son equivalentes, por la proposición 3.0.7 se tiene que (C) es invariante bajotransformaciones continuas.

Para la primera parte, supongamos que las propiedades (C) y C ′ no son equivalentes, i.e. quehay un conjunto X que tiene la propiedad (C) pero no tiene la propiedad C ′ y veamos que (C)no es invariante bajo transformaciones continuas.

Como X tiene la propiedad (C) entonces por un teorema de Szpilrajn demostrado en su artículotitulado “La dimension et la mesure”, [41] se tiene que X es cero − dimensional, luego, comoX no tiene la propiedad C ′ hay una sucesión {Un : n ∈ ω} de cubiertas abiertas finitas deX tal que para toda sucesión {Un(x) : n ∈ ω} con Un(x) ∈ Un se tiene que no cubre a X.Luego, por una proposición de la separación de espacios cero dimensionales, puede reemplazarse{Un(x) : n ∈ ω} por conjuntos abiertos {U ′

n(x) : n ∈ ω} pero que son ajenos dos a dos.Consideremos

U ′′n(x) =

n⋂i=0

U ′i(x).

Para los U ′′n(x) se tiene que U ′

n(x) ∈ Un y que no cubren a X.

Sea n ≥ m, entonces o se tiene que

U′′

n (x′) ⊆ U′′

m(x′′) o U′′

n (x′) ∩ U′′

m(x′′) = ∅.

Existe por tanto, una función continua f : X → Y ⊆ R con Y un conjunto acotado que mandaa conjuntos ajenos U ′′

n(x) en intervalos ajenos. Además f satisface las siguientes propiedades:

f(U ′′n(x)) ⊆ In(f(x)) y,

In(f(x′)) = In(f(x′′)) para U ′′n(x′) = U ′′

n(x′′)

y finalmente

f−1(Y ∩ In(f(x)) = U ′′n(x).

Así, f es la función buscada para la que f(X) no cumple la propiedad C, pues si se cumpliera,entonces habría una sucesión de In(f(xn))’s tal que f(X) ⊆

⋃n∈ω

In(f(xn)) y dado que tenemos

que f−1(Y ∩ In(f(x)) = U ′′n(x) tendríamos que

X ⊆⋃

n∈ωU ′′

n(x)) ⊆⋃

n∈ωUn(x))

52 3.1. Un conjunto concentrado que puede ser mapeado continuamente en 2ω

lo que contradice que para toda sucesión {Un(x) : n ∈ ω} con Un(x) ∈ Un se tiene que nocubren a X.�

�

Lo siguiente que demuestra Rothberger es que si un conjunto tiene la propiedad (v), (y conmayor razón cualquier conjunto de Luzin) entonces tiene la propiedad C ′.

�

Definición 3.0.10. Se dice que un espacio métrico separable X tiene la propiedad (v) si todoA ⊆ X denso en ninguna parte es a lo más numerable.

�

Proposición 3.0.11. Si un conjunto tiene la propiedad (v), entonces tiene la propiedad C ′.

Demostración:

Supongamos que X tiene la propiedad (v) y sea {Un : n ∈ ω} una familia de cubiertas abiertasfinitas de X y sea {x2n : n ∈ ω} una sucesión de puntos densos en X, entonces X −

⋃n∈ω

U2n(x2n)

es a lo más numerable, entonces X −⋃

n∈ωU2n(x2n) = {x2n−1}, la cual es una sucesión (de

elementos no necesariamente distintos entre sí) y por tanto

X =⋃

n∈ωUn(xn)

con lo que tenemos que X tiene la propiedad C ′.�

�

Rothberger se preguntó si la propiedad C ′ es equivalente a la propiedad C ′′, la respuesta a estapregunta la dieron Fremlin y Miller en 1988 de manera negativa bajo la Hipótesis del Continuoen el artículo titulado “On some properties of Hurewicz, Menger, and Rothberger” [15].

�

3.1. Un conjunto concentrado que puede ser mapeado continuamente en 2ω

Fue en el año de 1941 y en el artículo titulado "Sur les familles indénombrables des suites denombres naturels et les problèmes concernant la propiété C" [35], donde Rothberger respondea la pregunta de Sierpiński acerca de la invariaza topológica de la propiedad (C) de maneranegativa bajo la Hipótesis del Continuo. Para eso, primero demuestra que la proposición b = ℵ1,es decir que el mínimo cardinal de una familia de sucesiones de números naturales no acotadasea igual a ℵ1 es equivalente a la existencia de un conjunto concentrado no numerable, luegoasumiendo la Hipótesis del Continuo demuestra que existe un conjunto de reales concentrado enlos racionales (y por tanto de medida fuertemente cero) que puede ser mapeado continuamenteen 2ω.


Para eso, utliza un lema demostrado en su artículo llamado “Sur un ensemble toujours depremière catégorie qui est dèpourvu de la propriété λ” [34], de 1939 el cual nos dice que:

Lema 3.1.1. Las siguientes condiciones sobre B ⊆ R−Q son equivalentes:

i) B, cuando lo vemos como un subconjunto de ωω, está acotado,

ii) Existe un conjunto S que es la unión numerable de conjuntos compactos tal que S ⊆ ωω conB ⊆ S,

iii) Q es intersección numerable de conjuntos abiertos en B ∪ Q ⊆ R, es decir Q es un Gδ enB ∪Q ⊆ R.

Demostración:

i) ⇒ ii) Supongamos que a B, cuando lo vemos como un subconjunto de ωω está acotado,entonces existe un conjunto S unión numerable de compactos tal que S ⊆ ωω con B ⊆ S.

Definimos el siguiente conjunto contable H ⊆ ωω de la siguiente manera:

H = {h ∈ ωω : h(n) = g(n) para toda n ∈ ω salvo por una cantidad finita}.

Así, ∀f ∈ B∃h ∈ H(f ≤ h) y por lo tanto S =⋃

h∈H

∏n∈ω

[0, hn] es el espacio requerido.

ii) ⇒ i) Supongamos ahora que existe un conjunto S que es unión numerable de compactos ytal que S ⊆ ωω con B ⊆ S; veamos que Q es intersección numerable de conjuntos abiertos enB ∪Q ⊆ R.

Sabemos que para cada compacto K ⊆ R − Q existe una g ∈ ωω tal que K ⊆∏

n∈ω[0, gn]. Por

tanto existe un conjunto numerable G ⊆ ωω tal que ∀f ∈ B ∃g ∈ G (f ≤ g). Luego, como Ges acotado, por ser numerable, se sigue que B también es acotado.

ii) ⇔iii) Dado que un subconjunto de R es un Fσ, es decir, unión numerable de cerrados de R,si y sólo si este es σ − compacto, se tiene que si y sólo si B es un Fσ en si y sólo si existe un Fσ

S en R con S ∩ (B ∪Q) = B si y sólo si existe un σ − compacto S en R con B ⊆ S y S ∩Q = ∅si y sólo si iii).�

�

Teorema 3.1.2. b = ℵ1 si y sólo si existe un conjunto X ⊆ R concentrado en Q no numerable.

Demostración:

Sea B un conjunto no acotado B ⊆ ωω formado por funciones estrictamente crecientes tal quesea bien-ordenado por <∗ con |B| = ℵ1. Si A ⊆ B y A es no numerable, entonces A es noacotada, por consiguiente A no es unión contable de conjuntos cerrados, es decir no es un Fσ

en A ∪Q . Así B ∪Q está concentrado en Q, es decir, cada vecindad de Q contiene a todos lospuntos de B ∪Q salvo una cantidad contable.

54 3.1. Un conjunto concentrado que puede ser mapeado continuamente en 2ω

Para el converso, supongamos que X ⊆ R es concentrado en Q y es no numerable, sea B ⊆X − Q. Veamos que b = ℵ1, es decir, que el mínimo cardinal de una familia de sucesiones denúmeros naturales no acotada sea igual a ℵ1.

Afirmamos que B es no acotado, cuando lo vemos como subconjunto de ωω. Supongamos queno, entonces por el lema anterior B es un subconjunto Fσ de B ∪ Q de R. Luego, como B esno numerable, se sigue entonces que B ∪Q tiene un subconjunto cerrado no numerable el cuales ajeno a Q. Esto contradice el hecho de que X es concentrado en Q.�

�

Teorema 3.1.3. Si b = c entonces existe un conjunto A ⊆ R de cardinalidad c que A esc − concentrado en los racionales y que puede ser mapeado continuamente en 2ω.

Demostración:

Supongamos que b = c, y sea {fξ : ξ < b} ⊆ ωω una sucesión de funciones crecientes no acotadabien-ordenada por <∗.

Sea {gξ : ξ < b} una enumeración de 2ω.y sea

A = {2fξ+ gξ : ξ < c}.

El conjunto A también es no acotado.

Sea h : ωω → [0, 1] el encaje natural, con h biyectiva. Si U es un abierto que contiene a[0, 1] ∩Q, entonces [0, 1] − U ⊆ [0, 1] −Q es compacto. Así, como el conjunto K = ωω − h−1(U)es homeomorfo a [0, 1]−U también es compacto. Luego se tiene que K es acotado y por tanto elconjunto K ∩h−1(A) tiene cardinalidad menor que b = c y tenemos que h(A) es c−concentradoen Q.

Para f ∈ ωω, sea F (f) = g, donde g ∈ 2ω y g(n) = f(n) mod 2 para toda n ∈ ω.

Así, h−1 ◦ F es una función suprayectiva de h(A) en 2ω.�

�

Con este resultado, se tiene que la propiedad (C) no es un invariante topológico.

Por otro lado, la equivalencia entre b = ℵ1 y la existencia de un conjunto concentrado nonumerable nos lleva a preguntarnos si la existencia de un conjunto de medida fuertemente ceroimplica la existencia de un conjunto concentrado no numerable. En otras palabras, si b > ℵ1

implica la Conjetura de Borel. Esta pregunta, tiene respuesta negativa suponiendo el Axiomade Martin y la negación de la Hipótesis del Continuo, pues bajo estas hipótesis se tiene quecov(M) = c con lo que podemos construir un conjunto de medida fuertemente cero de tamañoc1:

1Véase Corolario 4.3.3


Lema 3.1.4. Suponiendo el Axioma de Martin y la negación de la Hipótesis del Continuo setiene que cov(M) = c.

Demostración:

Dado que supusimos la negación de la Hipótesis del Continuo, tenemos que |R| = c > ℵ1,además, sabemos que el Axioma de Martin implica que la unión de menos de c conjuntos de laprimera categoría es de la primera categoría. 2 Entonces dado que cov(M) = mın{|A| : A ⊆M y ∪ M = R}, se tiene que cov(M) = c, pues si fuera menor, tendríamos que R es de laprimera categoría, lo cual es una contradicción.��

3.2. Los conjuntos de Luzin, Sierpiński y la Hipótesis del Continuo

También, en 1941, Rothberger, en su artículo llamado “Eine Äquivalenz zwischen der Konti-nuumhypothese und der Existenz der Luzinschen und Sierpińskischen Mengen” [32] demostróque la existencia de los conjuntos de Luzin y los conjuntos de Sierpiński a la vez, es equivalentea la Hipótesis del Continuo de la manera siguiente:

Lema 3.2.1. Se puede escribir a [0, 1] como unión ajena de dos subconjuntos A y B que seandensos, de la misma cardinalidad y tales que A sea de la primera categoría y no tenga medidacero y B de la segunda categoría y no tenga medida cero.

Demostración:

Sea ǫ > 0, podemos elegir una sucesión de intervalos {Jn : n ∈ ω} tales que Q ∩ [0, 1] ⊆⋃

n∈ωJn

y además∑

n∈ωµ(Jn) < ǫ. Definimos

Aǫ = R−⋃

n∈ωJn,

entonces Aǫ es cerrado, no numerable y nunca denso. Para ver que es nunca denso, supongamosque no es nunca denso; entonces existe un subconjunto (a, b) ⊆ [0, 1] tal que Aǫ es denso en(a, b), entonces [a, b] ⊆ Aǫ y por tanto Q∩[a, b] ⊆ Aǫ, lo cual es una contradicción.

Sea A =⋃

n=2A 1

n, entonces A es de primera categoría (pues es unión de nunca densos). Sea

B = [0, 1] − A. Dado que Q∩ [0, 1] ⊆ B, entonces B es denso y es de la segunda categoría, puesen caso contrario, A ∪ B = [0, 1] sería de primera categoría, lo cual contradice el Teorema deCategoría de Baire.

Por otro lado, µ(A 1n) > 1 − 1

ny por lo tanto µ(A) = 1, ya que 1

n→ 0. Con lo anterior tenemos

que µ(B) = 0; pues A ∩ B = ∅ y A ∪ B = [0, 1], además también se tiene que A es denso, puesen caso de no serlo B contendría algún intervalo no vacío. �

�2Véase Apéndice D.

56 3.2. Los conjuntos de Luzin, Sierpiński y la Hipótesis del Continuo

Lema 3.2.2. Si X es subconjunto de R de medida exterior positiva y |X| = κ , entonces Rpuede escribirse como union de κ conjuntos de primera categoría.

Demostración:

Supongamos que X es un subconjunto de R de medida exterior positiva y |X| = κ, entoncespor el lema 3.2.1 existe un conjunto B de la primera categoría tal que R−B es de medida cero.Sea {x + B : x ∈ X}, la cual es una familia de κ conjuntos de primera categoría y veamos queR =

⋃x∈X

(x + B).

Supongamos que no, es decir que existe y ∈ R−⋃

x∈X(x+B), o equivalentemente que (y−B)∩X =

∅. Se seguiría que X ⊆ R − (y − B), y por tanto R sería de medida cero, lo cual es unacontradicción.��

Lema 3.2.3. Si X es subconjunto de R de la segunda categoría y |X| = κ, entonces R puedeescribirse como union de κ conjuntos de medida cero.

Demostración:

Supongamos que X es un subconjunto de R de segunda categoría y |X| = κ, por el lemaanterior, existe B de medida cero y R − B de primera categoría. Sea {x + B : x ∈ X} unafamilia de κ conjuntos de medida cero. Veamos que R =

⋃x∈X

(x + B).

Supongamos que no, i.e. que existe y ∈ R−⋃

x∈X(x + B), o equivalentemente (y − B) ∩ X = ∅.

Se tiene que X ⊆ R− (y − B) y R es de primera categoría, lo cual es una contradicción.��

Teorema 3.2.4. Si X es un conjunto de Luzin y Y es un conjunto de Sierpiński, entonces|X| = |Y | = ℵ1.

Demostración:

Supongamos que existe X un conjunto de Luzin y Y un conjunto de Sierpiński no numerables.Como X es un conjunto de Luzin, entonces X no es de primera categoría. Luego, como los sub-conjuntos de un conjunto de Luzin son también conjuntos de Luzin sin pérdida de generalidadpodemos suponer que |X| = ℵ1. Además sabemos que existen {Nα : α < ω1} de medida cerotales que R =

⋃n<ω1

Nα y puesto que Y es un conjunto de Sierpiński, se tiene que |Y ∩ Nα| ≤ ℵ0

para cada α < ω1. Por tanto |Y | = ω1.

Análogamente, sabemos que existen {Mα : α < ω1} de la primera categoría tales queR =⋃

α<ω1

Mα

y puesto que X es un conjunto de Luzin, se tiene que |X ∩ Mα| ≤ ℵ0 para cada α < ω1. Portanto |M | = ω1.��

Capítulo 4

El σ-ideal SN

�

En este capítulo se demostrarán algunos resultados y caracterizaciones acerca de los conjuntosde medida fuertemente cero dados por diversos autores después de los resultados de Rothberger.Entre estos resultados, un hecho útil es la caracterización combinatoria de los conjuntos demedida fuertemente cero. Dicha caracterización tendrá un papel importante en la construccióndel modelo de Laver para la consistencia de la Conjetura de Borel como se verá en el Capítulo5.

Recordemos la definición de medida fuertemente cero:

�

Definición 4.0.5. Un subconjunto E ⊆ R tiene medida fuertemente cero, si dada cualquiersucesión de reales positivos {ǫn : n ∈ ω} existe una sucesión {In : n ∈ ω} de intervalos abiertostales que:

E ⊆⋃

n∈ωIn

para cada n ∈ ω se tiene que µ(In) < ǫn.

�

notación: SN = {X ⊆ R : X tiene medida fuertemente cero}.

�

Proposición 4.0.6.

1. Todo conjunto de medida fuertemente cero tiene medida cero i.e. SN ⊆ N .2. Todo conjunto numerable tiene medida fuertemente cero, i.e. [R]ω ⊆ SN .3. SN es un σ − ideal.4. Un conjunto perfecto (no vacío) no puede ser de medida fuertemente cero, por ende

SN N y ningún boreliano no numerable puede estar en SN .

Demostración:

1. Sea X ⊆ R de medida fuertemente cero, veamos que X tiene medida cero.

Sea ǫ > 0, queremos ver que existe una colección de intervalos abiertos y acotados {In : n ∈ ω}tal que:

57

58

X ⊆⋃

n∈ωIn ;

∑n∈ω

µ(In) < ǫ.

Sea {ǫn = ǫ2n+1 : n ∈ ω}; como X tiene medida fuertemente cero, existe una sucesión {In : n ∈

ω} de intervalos abiertos tales que:

X ⊆⋃

n∈ωIn

∀n ∈ ω se tiene que µ(In) < ǫ2n+1 .

Con lo que tenemos que∑

n∈ωµ(In) <

∑n∈ω

ǫ2n+1 < ǫ.

2. Sea X = {xn : n ∈ ω} un conjunto numerable y {ǫn : n ∈ ω} una sucesión de reales positivos.Sea {un : n ∈ ω} una sucesión de reales positivos. Basta considerar la siguiente sucesión deintervalos

In = (xn − ǫn

2, xn + ǫn

2).

Así, X ⊆⋃

n∈ωIn y ∀n ∈ ω se tiene que µ(In) < ǫn.

3. Veamos que SN es un σ − ideal.

Es claro que dado I ∈ SN se tiene que para toda J si J ⊆ I entonces J ∈ SN .

Ahora, dada una familia numerable de conjuntos de medida fuertemente cero {Xn : n ∈ ω},veamos que X =

⋃n∈ω

Xn ∈ SN .

Sea pues {ǫn : n ∈ ω} una sucesión de reales positivos y sea {An : n ∈ ω} una familia desubconjuntos disjuntos ajenos numerables de ω. Para cada m ∈ ω existe {xm

n : n ∈ ω} tal queXm ⊆

⋃n∈Am

(xmn − ǫn, xm

n + ǫn).

Así X ⊆⋃

n∈ω

⋃n∈Am

(xmn − ǫn, xm

n + ǫn).

4. Ningún conjunto perfecto es de medida fuertemente cero, pues todo conjunto perfecto tieneuna copia del conjunto de Cantor y sabemos que [0,1] (que tiene medida 1) es imagen continuadel Conjunto de Cantor que es homeomorfo a 2ω, y la medida fuertemente cero es invariantebajo funciones uniformemente continuas.

Así, el conjunto de Cantor es un conjunto de medida cero que no tiene medida fuertemente cero.Además, ningún conjunto de Borel no numerable puede ser de medida fuertemente cero, puestodo conjunto de Borel tiene la propiedad del conjunto perfecto, a saber, que son numerableso contienen un conjunto perfecto no vacío. �

�

4. El σ-ideal SN 59

Dado que R =⋃

n∈ω[−n, n], todas las propiedades de los conjuntos de medida fuertemente cero

son las mismas si se trabaja en [0, 1] o en R.

�

Proposición 4.0.7. Si B es una familia de intervalos que forman una base de la topología de[0, 1], las siguientes proposiciones son equivalentes:

i) X ∈ SN , X ⊆ [0, 1];

ii) para toda sucesión {ǫn : n ∈ ω} de reales positivos existe {In : n ∈ ω} ⊆ B cubierta de Xtal que µ(In) < ǫn, n ∈ ω.

Para demostrar esta proposición necesitamos el siguiente lema.

�

Lema 4.0.8. (Lema de Cubierta de Lebesgue) Sea (X, d) un espacio secuencialmente compactoy {Uα} una cubierta de X. Entonces existe δ > 0 tal que, para todo x ∈ X, existe α tal queBδ(x) ⊆ Uα, donde Bδ(x) = {y ∈ X : d(x, y) < δ}.

Demostración:

Demostraremos este lema por contradicción. Suponemos que para cada δ > 0 existe alguna bolaBδ(x) en X que no está contenida en ningún Uα. Con esto, podemos construir una sucesión{xn : n ∈ ω}, en X, tal que B 1

n(xn) no está contenida en ningún Uα. Como X es secuencialmente

compacto, {xn : n ∈ ω} tiene una subsucesión convergente, digamos xnk→ x en X. Luego,

como {Un} es una cubierta, x ∈ Uα0 para algún α0. Pero Uα0 es abierto, por lo que tenemosque Bǫ(x) ⊆ Uα0 para algún ǫ > 0. Por otro lado, dado que xnk

→ x, existe un entero N , quepodemos escoger mayor que 2

ǫ, tal que

d(xN , x) < ǫ2.

Sin embargo, esto implica que

B 1N

(x) ⊆ Uα0

ya que si z ∈ B 1N

(x), entonces d(xN , z) < 1N

y por la desigualdad del triángulo,

d(z, x) ≤ d(z, xN ) + d(xN , x) < 1N

+ ǫ2

< ǫ2

+ ǫ2

= ǫ,

y

z ∈ B 1N

(x) ⊆ Uα0 .

Lo cual es una contradicción. Por tanto debe existir un δ > 0 con la propiedad deseada.��

Afirmación 4.0.9. Dada ǫ > 0, existe δ > 0 tal que para cada intervalo I con µ(I) < δ existeJ ∈ B tal que I ⊆ J y µ(J) < ǫ.

60 4.1. Medida fuertemente cero en espacios métricos

Demostración:

Sea ǫ > 0 fija y sea Y = {J ∈ B : l(J) < ǫ} una cubierta de X por elementos de B de longitudmenor que ǫ. Como [0, 1] es un espacio métrico compacto, podemos tomar una cubierta finitade X por elementos A. Luego por el lema de cubierta de Lebesgue, para esta cubierta finita, ∃δ > 0 tal que, para todo x ∈ X, existe α tal que Bδ(x) ⊆ Jα, es decir, para cada intervalo Icon µ(I) < δ existe J ∈ B tal que I ⊆ J y µ(J) < ǫ.�

�

Ahora sí, pasemos a la demostración de la proposición 4.1.2:

Es claro que ii) implica i), veamos que i) implica ii)

Dada {ǫn : n ∈ ω} una sucesión de reales positivos, por la afirmación anterior existe unasucesión {δn : n ∈ ω} y una cubierta {In : n ∈ ω} de X por intervalos con µ(In) < δn para cadan ∈ ω, luego, para esta cubierta, existe {Jn : n ∈ ω} ⊆ B tal que

⋃n∈ω

In ⊆⋃

n∈ωJn y µ(Jn) < ǫn

para cada n ∈ ω .�

�

4.1. Medida fuertemente cero en espacios métricos

�

Ahora trataremos la relativización de la noción de medida fuertemente cero a espacios métricos.Para eso recordemos la siguiente definición:

�

Definición 4.1.1. Sea (X, d) un espacio métrico y A ⊆ X, definimos el diametro de A comosigue:

diam(A) = sup{d(x, y) : x, y ∈ A}.

�

Definición 4.1.2. Un espacio métrico (X, d) es de medida fuertemente cero si para cadasucesión {ǫn : n ∈ ω} de reales positivos existe una cubierta {Xn : n ∈ ω} de X tal quediam(Xn) < ǫn para cada n ∈ ω.

Teorema 4.1.3. Si (X, d) es de medida fuertemente cero entonces es separable.

Demostración:

Supongamos que (X, d) no es separable, entonces, dado que cualquier espacio métrico no sepa-rable contiene una colección no numerable de puntos con distancia entre cualesquiera dos deellos mayor que cero se tiene que (X, d) no puede ser de medida fuertemente cero.�

�


Proposición 4.1.4. Sea (X, d) un espacio métrico de medida fuertemente cero, x0 ∈ X yf : X → R tal que f(x) = d(x, x0), entonces:

i) f es uniformemente continua y

ii) f [X] ∈ SN

Demostración:

i) Sean ǫ > 0, x, y ∈ X y δ = ǫ.

f es uniformemente continua pues

d(x, x0) ≤ d(x, y) + d(y, x0)

d(y, x0) ≤ d(x, y) + d(x, x0)

entonces

|d(x, x0) − d(y, x0)| = |f(x) − f(y)|

pero

|d(x, x0) − d(y, x0)| ≤ d(x, y).

Así, si d(x, y) < δ se tiene que

|d(x, x0) − d(y, x0)| ≤ d(x, y) < δ = ǫ.

ii) Dado que (X, d) es de medida fuertemente cero y f es uniformemente continua, entoncespor el lema 2.3.6 se tiene que f [X] ∈ SN .�

�

En 1968, Kuratowski demostró el siguiente resultado:

�

Teorema 4.1.5. Si (X, d) es de medida fuertemente cero entonces (X, d) es 0-dimensional. 1

Demostración:

Sea ǫ > 0, x0 ∈ X y V = Bǫ(x0), queremos a x0 ∈ U con U cerrado abierto y diam(U) ≤ ǫ.Para eso, definimos una función f : X → R de la siguiente manera:

x 7→ d(x, x0).

Entonces, por la afirmación anterior, f es uniformemente continua, luego f [X] ∈ SN .

En particular, existe 0 < δ < ǫ tal que

δ /∈ f [Bǫ(x0)] ⊆ f [X] y f−1[0, δ) = f−1[0, δ] ⊆ Bǫ(x0).

1Un espacio topológico es cero dimensional si tiene una base de cerrados abiertos.


Sea U = f−1[0, δ) = f−1[0, δ], así, U es cerrado abierto con las propiedades deseadas.�

En 1993, Timothy J. Carlson en su artículo “Strong measure zero and strongly meager sets” [11]publicó varios resultados muy interesantes acerca de la medida fuertemente cero, entre ellos,que bajo la Conjetura de Borel se tiene que cualquier espacio métrico de medida fuertementecero es numerable , para hacerlo primero demuestra el siguiente lema:

Lema 4.1.6. Supongamos que (X,d) es un espacio métrico separable de cardinalidad < 2ℵ0.Entonces existe un encaje h : X → R y una constante M tal que:

|h(x) − h(x′)| ≤ Md(x, x′)

para toda x, x′ ∈ X.

Demostración:

Sea {xn : n ∈ ω} un subconjunto denso y numerable de X. Sin perdida de generalidad, podemossuponer que d(x, x′) ≤ 1 para toda x, x′ ∈ X. Para cada x ∈ X, sea hx la función analíticadada por

hx(z) =∑∞

n=0d(x,x′)

n!zn.

Si x 6= x′, entonces hx 6= hx′. En particular, hx y hx′ pueden coincidir en una cantidad numerablede z’s.

Como |X| < 2ℵ0, hay un número real positivo r tal que hx(r) 6= hx′(r) para toda x, x′ ∈ Xdistinitas.

Definimos h(x) = hx(r) para x ∈ X.

Supongamos que x, x′ ∈ X.

|h(x) − h(x′)| ≤∑∞

n=0|d(x,xn)−d(x′,xn)|

n!rn ≤

∑∞n=0

d(x′,x′)n!

rn ≤ d(x, x′)∑∞

n=0rn

n!.

En particular, podemos tomar M = er.�

Teorema 4.1.7. Supongamos que existe un espacio métrico no numerable de medida fuerte-mente cero, entonces existe un conjunto no numerable de reales de medida fuertemente cero.

Demostración:

Supongamos que (X, d) es un espacio métrico no numerable de medida fuertemente cero. Sinpérdida de generalidad, podemos suponer que |X| = ℵ1. Si 2ℵ0 > ℵ1, entonces existe un encajede X en los reales como el de arriba, con lo que se tiene que h(X) tiene medida fuertementecero. Si 2ℵ0 = ℵ1, construimos un conjunto de Luzin. �


Además de este resultado Carlson demostró que bajo la suposición de MA(κ)2, los conjuntosde medida fuertemente cero son cerrados bajo uniones de tamaño menor que κ:

Teorema 4.1.8. Suponiendo MA(κ), SN es cerrado bajo uniones de tamaño κ.

Demostración:

Supongamos MA(κ) y sea Xα un conjunto de medida fuertemente cero para cada α < κ. SeaX =

⋃α<κ

Xα. Queremos ver que X es de medida fuertemente cero, para eso, sea {ǫn : n ∈ ω} una

sucesión de reales positivos. Para usar el Axioma de Martin, definimos el orden parcial P queconsiste de los conjuntos p de intervalos abiertos con extremos racionales y con la propiedadde que a lo más n elementos de p tienen longitud mayor que ǫn para cada n ∈ ω y si mn esel número de elementos de p de tamaño mayor que ǫn entonces lım

n→∞

mn

n= 0 y ordenado por la

contención inversa.

Notemos que si p ∈ P y los intervalos en p son I0, I1,... enlistados de tal manera que el tamañode In+1 no sea más grande que el de In para cada n ∈ ω entonces el tamaño de In es a lo másǫn.

Afirmamos que P tiene la c.c.c.3. Supongamos que pξ ∈ P para ξ ∈ ω1. Para cada ξ, sea nξ conla propiedad de que si mn,ξ es el número de elementos de pξ de tamaño mayor que ǫn entoncesmn,ξ

n< 1

2para toda n ≥ nξ. Sea p′

ξ el conjunto que consiste de elementos finitos de pξ de tamañomayor que ǫn. Como sólo hay una cantidad numerable de posibles elecciones para nξ y p′

ξ existendistintos ξ y η tal que nξ = nη y p′

ξ = p′η. Es fácil ver que pξ ∪ pη es una condición en P que

extiende a pξ y a pη y por tanto P tiene la c.c.c..

Para cada α ∈ κ sea Dα el conjunto de condiciones en P tal que Xα está contenido en la uniónde intervalos en p.

Afirmamos que Dα es denso. Para demostrar esta afirmación sea p ∈ P y mn el número deelemenos de p de tamaño mayor que ǫn. Escogemos una sucesión creciente {ni : i∈ ω} tal quepara toda n se tiene que mn + |{ni : i∈ ω}| ≤ n. Como Xα tiene medida fuertemente cero, existeuna sucesión de intervalos abiertos con extremos racionales {Ii : i∈ ω} tal que µ(In) ≤ ǫn ycubren a Xα.

Sea q = p ∪ {Ii : i∈ ω}, es fácil ver que q es un condición y que Xα está contenido en la uniónde q.

Sea G un filtro D-generico y hagamos p∗ = ∪G . Notemos que p∗ tiene a lo más n elementos detamaño mayor que ǫn para cada n dado que cualquier elemento de G tiene esta propiedad. SeaI0, I1,... la lista de elementos de p∗ de tal manera que el tamaño de In+1 no sea mayor que el deIn para cada n ∈ ω. Como antes, el tamaño de In es a lo más ǫn para cada n. Además Xestácontenido en la unión de los In ya que cada Xα está contenido en la unión de algún elemento

2Véase Apéndice D3Véase Apéndice D


de G y por tanto se tiene que X tiene medida fuertemente cero, es decir, SN es cerrado bajouniones de tamaño κ.�

Como se vio en el capítulo 3, la propiedad de Rothberger es una versión topológica de lapropiedad (C).

En 1988, Fremlin y Miller en su artículo "On some properties of Hurewicz, Menger, and Roth-berger" [15], demostraron un teorema que caracteriza a la propiedad de Rothberger.

Antes de enunciar el teorema recordemos las siguientes definiciones:

Definición 4.1.9. Un espacio topológico (X, τ) tiene la propiedad de Rothberger si para todafamilia {Un : n ∈ ω} de cubiertas abiertas de X existe Un ∈ Un para n < ω tal que X ⊆

⋃n<ω

Un.

Definición 4.1.10. La métrica usual para el espacio de Baire ωω está definida por

d(x, y) = 1n+1

, donde x ↾n= y ↾n y x(n) 6= y(n).

Teorema 4.1.11. Las siguientes condiciones son equivalente para un espacio métrico (X, d):

i) X tiene la propiedad de Rothberger.

ii) X es de medida fuertemente cero con respecto a cualquier métrica que genere la topologíade X.

iii) X es cero-dimensional y cualquier imagen continua de X en ωω tiene medida fuertementecero en la métrica usual.

Demostración:

i) ⇒ ii) Supongamos que X tiene la propiedad de Rothberger. Sea d una métrica sobre X y{ǫn : n ∈ ω} una sucesión de reales positivos. Definimos

Un := {U ⊆ X : diamd(U) ≤ ǫn}

Sea Un ∈ Un tal que X ⊆⋃

n∈ωUn. Es claro que {Un : n ∈ ω} es la cubierta que garantiza que

(X, d) es de medida fuertemente cero.

ii) ⇒ i) Supongamos que X es de medida fuertemente cero con respecto a cualquier métricaque genere la topología de X. Sea {Un : n ∈ ω} una familia de cubiertas de X y d cualquiermétrica sobre X.

Queremos encontrar una sucesión de cubiertas abiertas {U∗n : n ∈ ω} de X tal que para cada

n ∈ ω:


1) U∗n es una cubierta de cerrados abiertos ajenos que refina a Un;

2) Si U ∈ U∗n entonces diamd(U) < 1

2n ;

3) U∗n+1 refina Un.

Sea σ(x, y) = 12n , donde n es el mínimo natural tal que

para toda U, V ∈ U∗n, si x ∈ U ∧ y ∈ V , entonces U 6= V .

Podemos ver que σ es una métrica. Además, si 12n < ǫ y x ∈ V ∈ U∗

m, tenemos que

Bσ(x, 12n ) ⊆ Bd(x, ǫ), V ⊆ Bσ(x, 1

2m ).

Así, la métrica σ, induce la misma topología que la métrica d.

Como X tiene medida fuertemente cero con respecto a la métrica σ, existen conjuntos Vn ∈ U∗n

de σ − diametros menor que 12n y tal que X ⊆

⋃n∈ω

U∗n. Si escogemos Un ∈ Un con Vn ∈ Un, se

tiene que (X, d) tiene la propiedad de Rothberger.

i) ⇒ iii) Basta notar que la imagen continua de un espacio con la propiedad C ′′ tiene lapropiedad C ′′

iii) ⇒ i) La prueba es análoga a ii) ⇒ i). Sea pues {U∗n : n ∈ ω} como arriba y consideremos

U∗ =⋃

{U∗n : n ∈ ω}. Sea ω<ω el conjunto de sucesiones finitas de números naturales. Como U∗

n

satisface 1), 2) y 3) es posible encontrar σ : U∗ → ω<ω tal que para cada n ∈ ω

σ[U∗] ⊆ ω

y para toda U, V ∈ U∗

U $ V si y solo si σ[U ] $ σ[V ],

donde $ en ω<ω denota a segmentos iniciales estrictos. Usamos σ para definir la función

f : X → ωω

dada por

f(x) =⋃

{σ(U) : x ∈ U ∈ U∗}.

Entonces f es continua y por hipótesis Y = f [X] tiene la propiedad C en la métrica usualsobre ωω. Supongamos que {In : n ∈ ω} cubre a Y y diam(In) < 1

n+1. Entonces hay un único

Un ∈ U∗n tal que f [Un ∩ In] 6= ∅. Así, X es cubierto por {Un : n ∈ ω} dado que si f(x) ∈ In

entonces x ∈ Un.�

66 4.2. Una caracterización combinatoria

4.2. Una caracterización combinatoria

Consideremos T : 2ω → [0, 1] , donde f 7→∑

n∈ω

f(n)2n+1 si s ∈ 2<ω, y s 7→

∑n<|s|

s(n)2n+1 , donde

s = s00....

Lema 4.2.1. T es continua y sobre.

Demostración:

Veamos que T es continua. Sea ǫ > 0 y δ = ǫ/2.

Supongamos que d(f, g) < δ, donde d(f, g) =∑

n∈ω

12n+1 dn(f(n), g(n)) es la métrica ususl en 2ω.

Así, tenemos que

d(f, g) =∑

n∈ω

12n+1 dn(f(n), g(n)) < δ.

Entonces

|T (f) − T (g)| =

∣∣∣∣∑

n∈ω

f(n)2n+1 −

∑n∈ω

g(n)2n+1

∣∣∣∣ ≤ d(f, g) =∑

n∈ω

12n+1 dn(f(n), g(n)) < δ = ǫ/2 < ǫ,

con lo que T es continua.

Por otro lado, T es sobre, pues todo número real admite un desarrollo decimal en base dos.�

�

Los siguientes resultados son muy importantes pues caracterizan a los conjuntos de medidafuertemente cero en 2ω y, como se verá más adelante, dichas caracterizaciones juegan un papelimportante en la demostración de la consistencia de la Conjetura de Borel.

Teorema 4.2.2. Para X ⊆ 2ω las siguientes condiciones son equivalentes:

i) X es de medida fuertemente cero en (2ω, d).

ii) T (X) es de medida fuertemente cero en [0, 1].

Demostración:

Sea X ⊆ 2ω.

i) ⇒ ii) Supongamos que X es de medida fuertemente cero en (2ω, d).

Veamos que T (X) es de medida fuertemente cero en [0, 1], para eso, sea {ǫn : n ∈ ω} unasucesión de reales positivos. Dado que X es de medida fuertemente cero en (2ω, d), existe{Xn : n ∈ ω} cubierta de X con diamd(Xn) < ǫn

2= δn, entonces

diam(T (Xn)) ≤ diamd(Xn) < ǫn

2


pues |T (f) − T (g)| ≤ d(f, g).

Ahora, para cada n ∈ ω existe In intervalo tal que T (Xn) ⊆ In y µ(In) ≤ ǫn, entonces

T (X) ⊆⋃

n∈ωT (Xn) ⊆

⋃n∈ω

In

por lo que T (X) es de medida fuertemente cero en [0, 1].

ii) ⇒ i) Supongamos que T (X) es de medida fuertemente cero en [0, 1].

Veamos que X es de medida fuertemente cero en (2ω, d).

Definimos g : 2<ω → B, donde

∅ 7→ [0, 1] y s 7→ (T (s), T (s ↾|s|−11) := Is, |s| ≥ 1.

Sea

D = { k2n : k ≤ 2n, n ∈ ω}.

Así,

B = {Is : s ∈ 2<ω} = {( k2n , k+1

2n ) : n ∈ ω, k < 2n}

es base para [0, 1] − D.

Observemos que T −1(Is) := Xs ⊆ 2ω y T −1(Is) ⊆ 〈s〉, pero

diamd 〈s〉 ≤ 12|s| = µ(Is),

entonces

diamd(Xs) ≤ µ(Is).

Sea pues, {ǫn : n ∈ ω} una sucesión de reales positivos; como T (X) es de medida fuertementecero en [0, 1], también lo es T (X) − D y entonces, según la proposición 4.0.7, existe {sn : n ∈ω} ⊆ 2ω tal que

T (X) − D ⊆⋃

n∈ωIsn y µ(Isn) < ǫn,

entonces

X ⊆⋃

n∈ωXsn y diamd(Xsn) ≤ µ(Isn) < ǫn.

Así, X es de medida fuertemente cero en (2ω, d).�

Dado que T es inyectiva salvo un conjunto numerable en donde es 2 a 1, entonces, según elteorema anterior, la existencia de un conjunto de medida fuertemente cero de cardinalidadκ > ℵ0 en [0, 1] equivale a la existencia de uno del mismo tipo y tamaño en (2ω, d). Por tanto,la Conjetura de Borel se reduce a su relativización a (2ω, d).

Pasemos ahora a dar la caracterización combinatoria de la noción de medida fuertemente cero:

68 4.2. Una caracterización combinatoria

Proposición 4.2.3. Las siguientes condiciones son equivalentes:

i) X ⊆ 2ω tiene medida fuertemente cero.

ii) Para todaf ∈ ωω, existe g ∈ (2<ω)ω tal que para cada n ∈ ω se tiene que g(n) ∈ 2f(n) y paratoda x ∈ X, existe n ∈ ω tal que x ↾f(n)= g(n).

iii) Para todaf ∈ ωω, existe g ∈ (2<ω)ω tal que para cada n ∈ ω se tiene que g(n) ∈ 2f(n) ypara toda x ∈ X existe una infinidad de naturales tal que x ↾f(n)= g(n).

Demostración:

i)⇒ii) Supongamos que X ⊆ 2ω tiene medida fuertemente cero y sea f ∈ ωω, sea {ǫn :=2−f(n) : n ∈ ω}, así, como X tiene medida fuertemente cero, existe {In : n ∈ ω} ⊆ B tal queµ(In) ≤ ǫn = 2−f(n) y T (X) ⊆

⋃n∈ω

In.

Para cada n ∈ ω, definimos g(n) como la sucesión finita s ∈ 2f(n) tal que T (〈s〉) = In, así, gtiene las propiedades deseadas.

ii)⇒i) Supongamos que para todaf ∈ ωω, existe g ∈ (2<ω)ω tal que para cada n ∈ ω se tieneque g(n) ∈ 2f(n) y para toda x ∈ X, existe n ∈ ω tal que x ↾f(n)= g(n), queremos ver queX ⊆ 2ω tiene medida fuertemente cero.

Sea pues {ǫn : n ∈ ω} una sucesión de reales positivos; entonces, podemos encontrar una funciónf ∈ ωω tal que 2−f(n) ≤ ǫn, luego, para esta función, por hipótesis, existe g ∈ (2<ω)ω tal queg(n) ∈ 2f(n) para cada n ∈ ω y para cualquier x ∈ X existe n ∈ ω tal que x ↾f(n)= g(n), esdecir, existe {T (〈g(n)〉) = In : n ∈ ω} ⊆ B tal que µ(In) < 2−f(n) ≤ ǫn y T (X) ⊆

⋃n∈ω

In.

ii)⇒iii) Supongamos que para todaf ∈ ωω, existe g ∈ (2<ω)ω tal que para cada n ∈ ω se tieneque g(n) ∈ 2f(n) y para toda x ∈ X, existe n ∈ ω tal que x ↾f(n)= g(n). Queremos ver que paratodaf ∈ ωω, existe g ∈ (2<ω)ω tal que para cada n ∈ ω se tiene que g(n) ∈ 2f(n) y para todax ∈ X existe una infinidad de naturales tal que x ↾f(n)= g(n).

Sea pues f ∈ ωω, y sea {Yn : n ∈ ω} ⊆ [ω]ω tal que ω =⋃

n∈ωYn, donde Yn ∩ Ym = ∅ si n 6= m.

Definimos fm = f ↾Ym, así, para cada fm, por hipótesis, tenemos que ∃gm ∈ (2<ω)ω tal quegm(n) ∈ 2fm(n) para cada n ∈ ω y para toda x ∈ X, existe n ∈ ω tal que x ↾fm(n)= gm(n).

Sea g =⋃

m∈ωgm, así, g ∈ (2<ω)ω, g(n) ∈ 2f(n) para cada n ∈ ω y ∀x ∈ X∃∞n ∈ ω tal que

x ↾f(n)= g(n).

iii)⇒ii) Se sigue inmediatamente.�


4.3. Medida fuertemente cero y traslaciones

En el siguiente teorema demostrado por F. Galvin, J. Mycielski y R. Solovay en el año de 1973en su artículo titulado “Strong measure zero sets” [17] y en el año de 1984 por A. W. Miller en[31] vemos como la categoricidad nos ayuda a caracterizar los conjuntos de medida fuertementecero en términos de traslaciones.

Recordemos que para x, y ∈ [0, 1], por x + y entendemos x + y si x + y ≤ 1 y x + y − 1 en otrocaso. Similarmente para x, y ∈ 2ω, x + y está definido como (x + y)(n) = x(n) + y(n) (mód 2).

Antes de enunciar el teorema necesitamos del siguiente lema:

�

Lema 4.3.1. Supongamos que F ⊆ [0, 1] es un subconjunto cerrado y nunca denso y J es unsubintervalo cerrado de [0, 1]. Entonces, existen una familia finita A de subintervalos de J yǫ > 0 tal que para cada intervalo I ⊆ [0, 1] con µ(I) < ǫ existe J ′ ∈ A tal que (I + J ′) ∩ F = ∅.

Demostración:

Como F es cerrado y nunca denso, para cada x ∈ [0, 1] existe un intervalo abierto Ix con x ∈ Ix

y un intervalo cerrado Jx ⊆ J tal que (Ix + Jx) ∩ F = ∅.

Luego, por la compacidad de [0, 1], existe un conjunto finito {xj : j ≤ n} tal que⋃

j≤nIxj

= [0, 1].

Sea ǫ = mın{µ(Ixi∩ Jxj

) 6= ∅} y sea A = {Jxj: j ≤ n}.

Si I ⊆ [0, 1] tiene longitud menor que ǫ, entonces existe j ≤ n de modo que I ⊆ Ixjy

I + Jxj⊆ Ixj

+ Jxj⊆ [0, 1] − F .�

Teorema 4.3.2. Sea X ⊆ R. Entonces X ∈ SN si y sólo si para cada conjunto magro F ⊆ R,X + F 6= R

Demostración:

Nótese que X + F 6= R si existe x ∈ R tal que (x + X) ∩ F = ∅.

⇐ Supongamos que X ⊆ R puede ser trasladado desde cualquier conjunto cerrado y nuncadenso. Sea {ǫn : n ∈ ω} una sucesión de reales y sea {qn : n ∈ ω} una numeración de losracionales. Sea

F = R−⋃

n∈ω(qn − ǫn, qn + ǫn).

70 4.4. Conjuntos de medida fuertemente cero no numerables sin CH

Como F es cerrado y nunca denso, existe x ∈ R − (F + X). Se sigue de aquí que x + X ⊆⋃n∈ω

(qn − ǫn, qn + ǫn) lo que nos muestra que X tiene medida fuertemente cero.

⇒ Trabajaremos en [0, 1].

Supongamos que X tiene medida fuertemente cero y sea F un conjunto magro. Sea {Cn : n ∈ ω}una familia creciente de conjuntos cerrados y nunca densos tal que F ⊆

⋃n∈ω

Cn.

Usando el lema 4.3.1 definimos inductivamente un árbol de ramificación finita T ⊆ ω<ω, unafamilia de intervalos cerrados {Js : s ∈ T} y un conjunto de reales {ǫs : s ∈ T} tales que:

1. Para cada s; t ∈ T, si s ⊆ t, entonces Jt es un subintervalo cerrado de Js, y2. Para cada s ∈ T , si I ⊆ [0, 1] y µ(I) < ǫs, entonces existe i ∈ ω tal que si t = s i y

t ∈ T , entonces (I + Jt) ∩ F|s| = ∅.

Demostremos por inducción que podemos construir dicho conjunto T . Supongamos que hemosconstruido s para s ∈ T ∩ ωk que satisface las dos condiciones de arriba.

Si s ∈ T y |s| = k, entonces aplicamos el lema 4.3.1 a Js y a F|s|. Así, obtenemos una familiaA de subintervalos de Js y un ǫs > 0. Enumeramos A como {Js i : i ∈ ks} para algún ks ∈ ω.

Para cada n ∈ ω definamos δn = mın{ǫs : s ∈ T ∩ ωn}. Sea {In : n ∈ ω} una sucesión deintervalos tales que µ(In) < δn y X ⊆

⋃n∈ω

In.

Por inducción es posible definir f ∈ ωω tal que f ↾n∈ T y satisface que (Jf |(n+1)+ In) ∩ Fn = ∅

para toda n ∈ ω. Si x ∈⋂

n∈ωJf |n , entonces (x +

⋂m∈ω

⋃n>m

In) ∩⋃

n∈ωFn = ∅. �

�

4.4. Conjuntos de medida fuertemente cero no numerables sin CH

�

Sabemos que bajo la Hipótesis del Continuo se pueden construir conjuntos de medida fuerte-mente cero no numerables, tales como los conjuntos de Luzin, Sierpiński, etc. En esta secciónse demostrará que no hace falta la Hipótesis del Continuo sino algo un poco más débil co-mo el Axioma de Martin (abreviado MA por sus siglas en inglés) o algunas igualdades entreinvariantes cardinales.

�

Los siguientes resultados requieren conceptos y resultados necesarios que se incluyen en losapéndices.

Definición 4.4.1. X es un conjunto de Luzin generalizado si para todo conjunto magro F setiene que F ∩ X tiene tamaño < |X|.


�

En el año de 1988, H. Judah en su artículo titulado “Strong measure zero sets and rapid filters”[21], demuestra el siguiente resultado:

Lema 4.4.2. Sea κ un cardinal regular no numerable y sea X un conjunto generalizado de Luzinde tamaño κ. Entonces

1. cov(M) ≥ κ2. non(SN ) ≥ κ, y3. X es un conjunto de medida fuertemente cero.

Demostración:

1. Sea {Fξ : ξ < λ < κ} una familia de conjuntos magros. Como Fξ ∩ X tiene tamaño < κpara todo ξ < λ, existe x ∈ X tal que x ∈ X −

⋃ξ<λ

Fξ y por lo tanto cov(M) ≥ κ, pues

cov(M) = mın{|A| : A ⊆ M y ∪ A = X}.

2. Supongamos que Y ∈ [0, 1]<κ, i.e. Y ⊆ [0, 1] y |Y | < κ. Veamos que Y ∈ SN .

Sea {ǫn : n ∈ ω} una sucesión de reales positivos y U =⋃

n∈ω(qn − ǫn, qn + ǫn) donde {qn : n ∈ ω}

es una numeración de los racionales.

Claramente U es un denso abierto, entonces X − U tiene tamaño < κ. Veremos que existe xtal que Y ⊆ U + x lo que finalizará la prueba.

Para cada y ∈ Y el conjunto Xy = {x ∈ [0, 1] : y /∈ U + x} es magro pues si y ∈ U + x, entoncesy − x ∈ U y podemos definir ϕy : R → R tal que x 7−→ y − x; el cual es un homeomorfismode R. Por otro lado, ϕy(U) = {x : y − x ∈ U} = {x : y ∈ U + x} = R − Xy, pero U es densoabierto, entonces ϕ−1(U) también y por tanto Xy es magro. Luego, por 1. existe x ∈ X tal quex ∈ [0, 1] −

⋃y∈Y

Xy.

Así, Y ⊆ U + x, por tanto tenemos que non(SN ) = mın{|Y | : Y ⊆ X y Y /∈ SN } no puedeser < κ.

3. Sea U =⋃

n∈ω(qn − ǫ2n, qn + ǫ2n).

Como U es un denso abierto, entonces X − U tiene tamaño < κ. Luego, por 2. este conjuntotiene medida fuertemente cero, pues non(SN ) = mın{|Y | : Y ⊆ X y Y /∈ SN } ≥ κ. Por tanto,existe {xn : n ∈ ω} tal que X − U ⊆

⋃n∈ω

(xn − ǫ2n+1, xn + ǫ2n+1). Lo que nos lleva al siguiente

resultado:

X − U ⊆⋃

n∈ω(xn − ǫ2, xn + ǫ2n) ∪

⋃n∈ω

(xn − ǫ2n+1, xn + ǫ2n+1).�

�


Corolario 4.4.3. Si cov(M) = 2ℵ0 y 2ℵ0 es un cardinal regular, entonces existe un conjuntode medida fuertemente cero de tamaño 2ℵ0.

Demostración:

Recordemos que si N ∈ nwd entonces N ∈ nwd y además N ⊆ N y por lo tanto⋃

n∈ωN ∈ Fσ, i.e.

es unión numerable de cerrados, y por tanto es boreliano. Además sabemos que los borelianosson

Borel =⋃

α<ω1

∑0α =

⋃α<ω1

∏0α,

donde en general, para cada ordinal numerable α, las clases Σ0α y Π0

α constan, respectivamente,de las uniones e intersecciones numerables de conjuntos de las clases precedentes Σ0

β y Π0β,

respectivamente, con lo que tenemos que el conjunto de borelianos tiene tamaño 2ℵ0.

Sea pues, {Fξ : ξ < 2ℵ0} una enumeración de todos los conjuntos magros borelianos.

Escogemos xξ ∈ R −⋃

η<ξFξ, para ξ < 2ℵ0 . Es claro que X = {xξ : ξ < 2ℵ0} es un conjunto

generalizado de Luzin de tamaño 2ℵ0 .�

�

Corolario 4.4.4. Si cov(M) = cof(M) = κ es regular entonces existe un conjunto X deLuzin generalizado de tamaño κ.

Demostración:

Sea {Fξ : ξ < cof(M)} una sucesión cofinal en M. Elegimos xξ ∈ [0, 1] −⋃

η<ξFξ ∪ {xη : µ < ξ}.

Sea X = {xξ : ξ < cov(M)}, entonces |X| = κ y es Luzin generalizado, pues si F ∈ M,entonces (dado que {Fξ : ξ < cof(M)} es una sucesión cofinal en M) se tiene que existeξ < cof(M) tal que F ⊆ Fξ.

Así, X ∩ F ⊆ {xη : µ < ξ} y por lo tanto |X ∩ Fξ| < |X| = κ�

�

Definición 4.4.5. Sea κ un cardinal no numerable. Una familia F ⊆ ωω se dice que esfuertemente no acotada si y solo si para toda g ∈ ωω |{f ∈ F : f ≤∗ g}| < |F |.

�

Para las definiciones de d y b véase Apéndice B.

Lema 4.4.6. Existen familias fuertemente no acotadas de tamaño d y b.

Demostración:


Supongamos que {fα : α < d} es una familia dominante. Entonces para cada α < d encontramosun gα ∈ ωω tal que fα ≤∗ gα y gα �∗ fα para β < α, así {gα : α < d} cumple que es una familiadominante fuertemente no acotada de tamaño d pues para cada función h ∈ ωω se tiene que|{gα : h ≤∗ gα}| < d.

Y dado que b ≤ d se tiene que existen también de tamaño b.�

�

En el año de 1993, M. Goldstern, H. Judah y Saharon Shelah demostraron en su artículotitulado “Strong measure zero sets without Cohen reals” [18] el siguiente resultado:

Teorema 4.4.7.

1. Supongamos que [R]<d ⊆ SN . Entonces existe un conjunto de medida fuertemente cero detamaño d.

2. Supongamos que [R]<b ⊆ SN . Entonces existe un conjunto de medida fuertemente cero detamaño b.

En particular, si b = ℵ1 entonces existe un conjunto no numerable de medida fuertemente cero.

Demostración:

Por el lema 4.4.6 basta demostrar que si F es una familia fuertemente no acotada de tamañoκ y si [R]<κ ⊆ SN , entonces existe un conjunto de medida fuertemente cero de tamaño κ.

Sea F = {fα : α < κ} una familia fuertemente no acotada. Sabemos que podemos identificara ωω con [0, 1] − Q bajo un homeomorfismo T ,4luego, si U es un conjunto abierto contenidoen Q∩[0, 1], entonces el conjunto T −1([0, 1] − U) es compacto, luego, usando que para todoconjunto A con la propiedad de Baire5 existe un abierto V tal que A △ V es magro, existe unafunción g ∈ ωω tal que T −1([0, 1] − U) ⊆ {f ∈ ωω : f ≤∗ g}.

Veamos que T (F ) tiene medida fuertemente cero.

Sea {ǫn : n∈ ω} una sucesión de reales positivos. Consideremos U =⋃

n∈ω(qn − ǫ2n, qn + ǫ2n),

entonces existe g ∈ ωω tal que

{fα : fα /∈ T −1(U)} ⊆ {f : f ≤∗ g}.

Como {fα : α < κ} es fuertemente no acotada de tamaño κ, el conjunto {α : fα ≤∗ g} tienetamaño < κ. Luego, por hipótesis existe {xn : n ∈ ω} tal que

T (F ) = U ∪⋃

n∈ω(xn − ǫ2n+1, xn + ǫ2n+1),

4A cada sucesión f ∈ ωω le corresponde el número irracional obtenido de la fracción continua T (f) =1

f(o)+ 1

f(1)+ 1f(2)+...

.

5Un conjunto A tiene la propiedad de Baire si existe un boreliano B tal que A △ B es magro.


es decir T (F ) tiene medida fuertemente cero.��

Los siguientes resultados los demostró Laver en 1976 bajo el Axioma de Martin6 en el mismoartículo en donde demuestra la consistencia de la Conjetura de Borel: “On the consistencyof Borel’s Conjecture” [24]. Para demostrar el siguiente teorema utiliza una consecuencia delAxioma de Martin conocida como la propiedad fuerte de Categoría de Baire, a saber que launión de < 2ℵ0 conjuntos de primera categoría es de primera categoría.7

�

Teorema 4.4.8. Suponiendo MA, todo conjunto X ⊆ [0, 1] de cardinalidad menor que 2ℵ0

tiene la propiedad de Rothberger y por tanto tiene medida fuertemente cero.

Demostración:

Sea X ⊆ [0, 1] de cardinalidad menor que 2ℵ0 y {In(x) : n ∈ ω y x ∈ X}, donde In(x) es unintervalo alrededor de x con extremos racionales. Escogemos para cada n∈ ω una enumeración{In(x) : x ∈ X} = {I0

n, I1n, I2

n, ...}. Para cada x ∈ X definimos Ax = {f∈ ωω : x /∈⋃

n∈ωIf(n)

n }.

Dado que cada Ax es nunca denso en ωω existe f ∈ ωω −⋃

x∈XAx. Así, X⊆

⋃n∈ω

If(n)n . Para cada

n ∈ ω escogemos xn ∈ X con If(n)n = In(xn) y por tanto X ⊆

⋃n<ω

In(xn).�

�

El siguiente teorema nos dice que el Axioma de Martin implica la existencia de un conjunto demedida fuertemente cero de tamaño 2ℵ0:

�

Teorema 4.4.9. MA implica que existe un conjunto de medida fuertemente cero de cardinali-dad 2ℵ0.

Demostración:

Basta ver que suponiendo MA y que X es concentrado en C = {cn : n < ω} entonces X tienemedida fuertemente cero.

Sea {ǫn : n ∈ ω} una sucesión de reales positivos, para cada n ∈ ω sea Jn un intervalo alrededorde cn de tamaño ǫ2n, luego, escogemos intervalos Kn de tamaño ǫ2n+1 que cubran al conjuntode medida fuertemente cero X −

⋃n∈ω

Jn.�

6Véase Apéndice D.7Véase Apéndice D.

Capítulo 5

Consistencia de la Conjetura de Borel

Con los resultados anteriores, entre otras cosas, se tiene que la Hipótesis del Continuo y b = ℵ1

contradicen la Conjetura de Borel, con lo que en cualquier modelo que satisfaga la Conjeturade Borel se debe tener que el continuo sea mayor que ℵ1.

En el año de 1976, Richard Laver (1942-2012) en su artículo llamado “On the consistency ofBorel’s Conjecture” [24], demuestra que la Conjetura de Borel es consistente con 2ℵ0 = ℵ2.

Para concluir nuestro estudio de la Conjetura de Borel, en el presente capítulo presentamosla prueba de Laver de la consistencia de dicha conjetura. La presentación es con el enfoque yterminología actual.

�

5.1. forcing de Laver

notación:

Para un árbol T ⊆ ω<ω y s ∈ T denotamos por succT (t), Ts y [T ] a los siguientes conjuntosrespectivamente:

succT (t) = {n ∈ ω : tn ∈ T},

Ts = {t ∈ T : t ⊆ s ∨ s ⊆ t},

[T ] = {f ∈ ωω : f ↾n∈ T}.

�

Definición 5.1.1. T ⊆ ω<ω es llamado un árbol de Laver si ∃sT ∈ T , llamado el tallo de Ttal que ∀t ∈ T (sT ⊆ t ∨ t ⊆ sT ) y además ∀t ∈ T si t ⊇ sT entonces |succT (t)| = ℵ0.

�

Definición 5.1.2. Definimos la noción de forcing de Laver (L, ≤L) como:

L = {T ⊆ ω<ω : T es un árbol de Laver} y sean T , T ′ ∈ L. Decimos que T ′ ≤L T , es decir T ′

es una condición más fuerte que T si T ′ ⊆ T .

�

Sea G un filtro L-genérico de árboles de Laver, en V [G] sea

75

76 5.2. Pure Decision Property

fG =⋃

{sT : T ∈ G};

Es fácil verificar que fG es una función de ω en ω. Dicha función es conocida como real deLaver. Es usual denotar a V [G] también como V [f ].

�

Definición 5.1.3. Sean T , T ′ ∈ L, ϕ : ω → ω<ω, con ϕ ↾|n≤n| enumeración de n≤n y f ∈ ωω

creciente. Definimos T ′ ≤fn T como T ′ ≤L T y ∀i < f(n) T ′(ϕ(i)) = T (ϕ(i)), donde T (ϕ(i))

denota el nodo sϕ(i) en ω<ω

�

notación: Si f es la función identidad en ω, denotamos a ≤fn como ≤n para cada n ∈ ω.

Obsérvese que ≤fn+1⊆≤f

n para cada n ∈ ω.

5.2. Pure Decision Property

�

Una propiedad de L que es crucial en la prueba de Laver es la Pure Decision Property.

�

Teorema 5.2.1. (L, ≤L) satisface la Pure Decision Property, es decir, si σ es una fórmula enel lenguaje de forcing, entonces ∀T ∈ L ∃T ′ ≤0 T (T ′ σ ∨ T ′ ¬σ).

Demostración:

Sean σ una fórmula en el lenguaje de forcing y T ∈ L. Queremos ver que hay T ′ ≤0 T

Definimos la siguiente función rnk : {t ∈ T : t ⊇ sT } → OR ∪ {∞} de la siguiente manera:

rnk(t) = 0 si ∃T ′ ≤0 T (T ′ σ ∨ T ′ ¬σ),

rnk(t) ≤ α si {n∈succT (t) : rnk(tn) < α} ∈ [ω]ω,

rnk(t) =

min{α : rnk(t) ≤ α} si ∃α ∈OR(rnk(t)≤ α)∞ si ∀α¬(rnk(t) ≤ α)

.

Afirmamos que ∀t∈T (t ⊇ sT → ∃α ∈OR(rnk(t)≤ α)), en otras palabras que rnk está biendefinido, o equivalentemente que ∀t∈T (t ⊇ sT → (rnk(t) < ∞)).

Supongamos que no, es decir que ∃t ∈ T con t ⊇ sT y tal que rnk(t) = ∞. Vamos a construirrecursivamente un subárbol T ′ ≤0 Tt tal que ∀t′ ⊇ t (rnk(t′) = ∞).

Consideremos

A = {n∈succT (t) : rnk(tn) = ∞}.

5. Consistencia de la Conjetura de Borel 77

Obsérvese que A ∈ [ω]ω, pues en caso contrario, dado que {n∈succT (t)} es infinito, se tiene que∃∞n ∈ succT (t) (rnk(tn) < ∞), es decir ∃N ∈ [succT (t)]ω tal que ∀n ∈ N∃αn(rnk(tn) ≤ αn).Así, si definimos α > sup

n∈ ωαn, entonces ∀n ∈ N(rnk(tn) < ∞), es decir rnk(t) ≤ α, lo cual es

una contradicción.

Construyamos ahora recursivamente la condición T ′ ≤0 Tt tal que ∀t′ ⊇ t (rnk(t′) = ∞).

Dado que σ es una fórmula en el lenguaje de forcing, ∃T ′′ ≤ T ′ tal que T ′′ decide σ.

Observemos que sT ′′ ∈ T ′ y por tanto rnk(sT ′′) = ∞, así, T ′′ ≤ TsT ′′ y entonces T ′′ decide σ, esdecir rnk(sT ′′) = 0, lo cual es una contradicción, con lo que se tiene que rnk está bien definido.

Afirmamos también que ∃t ∈ T (t ⊇ sT ∧ rnk(sT ) = 1). Obsérvese que rnk(sT ) = 1 equivalea decir que ∃∞n ∈ succT (t) tal que rnk(tn) = 0.

Para demostrar la afirmación, Consideremos N0 ∈ [succT (sT )]ω tal que ∀n ∈ N0 (rnk(sT n) <α) y el conjunto B = {n ∈ N0 : rnk(sT n) = 0}.

Tenemos dos casos:

Si B es infinito, se tiene que rnk(sT ) = 0, pues ∀n ∈ B ∃ Tn ≤0 TsT n tal que Tn decide σ. Así,B = B0 ∪ B1, donde B0 = {n ∈ B : Tn σ}, B1 = {n ∈ B : Tn ¬σ} y B0 ∩ B1 = ∅. Con éstotenemos que ∃i ∈ {0, 1} tal que Bi es infinito.

Consideramos T ′ =⋃

n∈Bi

Tn.

Obsérvese que sT = sT ′ y por tanto se tiene que ∃T ′ ≤0 Tt tal que s T ′ decide σ, es decir,rnk(sT ) = 0 y se tiene la afirmación.

En otro caso, se tiene que ∀n ∈ N0 0 < rnk(sT n) < α. Digamos que rnk(sT n) = αn ≥ 1.En este caso, podemos encontrar una sucesión decreciente de ordinales (y por tanto finita){αi : i < n} tal que

rnk(sT n) = αn < rnk(sT nm) = αn−1 < ... < rnk(sT nm ...k) = 1.

Con lo que tenemos que ∃t ⊇ sT tal que rnk(t) = 1 y por tanto ∃∞n ∈ succT (t) tal quernk(tn) = 0 y consideramos N ′

0 ∈ [succT (t)]ω tal que ∀n ∈ N ′0 (rnk(tn) < α) y el conjunto

B′ = {n ∈ N0 : rnk(tn) = 0}. Así, dado que ∃t ⊇ sT tal que rnk(t) = 1, se tiene que B′ esinfinito y procedemos como en el caso anterior.�

5.3. Axioma A

En esta sección consideramos una condición que cumplen varias nociones de forcing y que tienegran utilidad, pues gracias a ésta se tiene un teorema de preservación, el cual juega un papelmuy importante para la construcción del modelo para la Conjetura de Borel.

Un teorema de preservación es un teorema de la forma: “Si (Pα, Qα : α < δ) es una iteraciónde nociones de forcing y cada Qα satisface ϕ en V Pα, entonces Pδ satisface ϕ”.

78 5.3. Axioma A

Recordemos que el forcing iterado1 es una herramienta muy poderosa para probar resultadosde independencia. Esta técnica tiene sus orígenes en la prueba de la consistencia del Axiomade Martin dada por Solovay y Tennenbaum [40] en 1971 y la cual recientemente ha tenido unaserie de aplicaciones y variaciones, justamente como la prueba de Laver para la consistencia dela Conjetura de Borel.

En un argumento de forcing iterado, el modelo base V0 primero es extendido a un modelo V1

usando una noción de forcing Q0. Luego, V1 es extendida a algún universo V2, usando una nociónde forcing Q1 en V1, etcétera. Después de ω pasos se construye un modelo Vω que contiene a⋃n∈ω

Vn y la iteración continua – usualmente hasta ω1, ω2 o algún cardinal grande.

En un argumento de forcing iterado hay dos puntos principales con los que hay que tenercuidado:

(1) Que en cada extensión hecha por una noción de forcing Qi tenemos que añadir ciertosobjetos genéricos que queremos preservar en el modelo final.

(2) Que en ningún paso se añadan objetos que no queremos tener en el modelo final.

El argumento dado para garantizar (1) usualmente depende de las propiedades que tenga lanoción de forcing Qi. Similarmente, para garantizar (2) en un paso sucesor i + 1, depende delas propiedades que tenga la noción de forcing Qi.

Los teoremas de preservación son teoremas que tratan el punto (2) en pasos límites, es decir, sonteoremas que nos aseguran que los objetos “no deseados” no serán añadidos en pasos límites,siempre y cuando las nociones de forcing Qi usadas satisfagan ciertas condiciones.

Por ejemplo, el problema de preservar ciertos cardinales y cofinalidades es del tipo (2).

Uno de los teoremas de preservación más famosos es el siguiente:

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Teorema 5.3.1. La iteración con soporte finito2 de una iteración en la cual todos los iterandossatisfacen la condición de la cadena contable3 (c.c.c.) también satisface la c.c.c.

La demostración se puede consultar en [20] pág. 271.

�

La condición que a nosotros nos interesa para obtener el teorema de preservación que necesita-mos es conocida como Axioma A.

La historia del Axioma A se remonta a principios de los años setenta después del descubrimi-mento de la iteración con soporte finito en 1971 dado por Solovay y Tennenbaum en su artículotitulado “Iterated Cohen extensions and Souslin’s problem” [40] para la demostración de laconsistencia del problema de Souslin y del Axioma de Martin publicado en 1970 por Martin

1Para ver la definición formal de forcing iterado Véase Apéndice C.32Véase Apéndice C.3.113Véase Apéndice C.3.2


y Solovay en su artículo “Internal Cohen extensions” [27], pues después de éstos sucesos, latécnica de el forcing iterado se desarrolló dramaticamente considerando ahora no sólo soportefinito sino soporte numerable.

Fue en el año de 1976, cuando Baumgartner junto con Laver en el artículo titulado “Iteratedperfect-set forcing” [5] y Laver en la demostración de la consistencia de la Conjetura de Borel,utlizaron por primera vez la iteración con soporte numerable. Años después, en 1983, Baum-gartner publica en el Surveys in Set Theory, su artículo titulado “Iterated forcing” [28], endonde aisla la teoría que se necesita para garantizar teoremas de preservación. Dicha teoría esla del forcing Axioma A.

El Axioma A de Baumgartner, como se menciona anteriormente, captura mucho de las caracte-rísticas de varios conceptos (como el de c.c.c. ) que nos garamtizan que ω1 se preserva, es decir,que ω1 no se colapasa cuando se usa iteración con soporte numerable.

Otra teoría más general es la del forcing Propio, desarrollada por Shelah en su libro titulado“Proper and improper forcing” [36] en 1998. Esta teoría reemplazó la teoría del Axioma A y esla que se usa actualmente como la noción principal para garantizar teoremas de preservaciónen el forcing iterado con soporte numerable.

Por cuestiones técnicas en el presente texto se utiliza el Axioma A y no el forcing Propio.

Pasemos ahora sí a la definición.

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Definición 5.3.2. Una noción de forcing (P, ≤P, 1P) satisface el axioma A si existe una sucesiónde órdenes {≤n: n∈ ω} ⊆ P tal que

i) ≤n+1⊆≤n⊆ ... ⊆≤0=≤P.

ii) para toda {pn : n ∈ ω} ⊆ P y ∀n ∈ ω pn+1≤n pn ∃pω ∈ P tal que ∀n ∈ ω pω ≤n pn.

iii) ∀p∈P ∀n ∈ ω y para toda A ⊆ P anticadena maximal ∃q ∈ P tal que q ≤n pn y también secumple que {a ∈ A : a ‖ q} es numerable, donde p ‖ q significa que p es compatible con q, esdecir que ∃r ∈ P tal que r ≤ p y r ≤ q.

�

El teorema de preservación que necesitamos es el siguiente:

�

Teorema 5.3.3. Supongamos que Pα es el paso α de una iteración con soporte numerable4 yque además β “Qβ satisface el Axioma A” para toda β < α. Entonces Pα preserva ℵ1. Además,

si α ≤ ω2, CH se cumple y β “∣∣∣Qβ

∣∣∣ ≤ ℵ1 ” para toda β < α, entonces se tiene que Pα tienela condición de la ℵ2-cadena y por tanto todos los cardinales y cofinalidades se preservan..

4Véase Apéndice C.3.11

80 5.3. Axioma A

�

Dado que la prueba de éste teorema es bastante técnica, larga y no aporta ideas sustanciales,no se incluirá en el presente trabajo, pero la prueba se puede consultar en [28], pág 36.

Una vez que se haya demostrado que el forcing de Laver satisface el Axioma A, por el teoremaanterior podemos asegurar que ℵ1 se preserva y V Lω2 � 2ℵ0 = ℵ2.

Para demostrar que efectivamente el forcing de Laver satisface el Axioma A se necesitan algunosresultados y definiciones previas.

�

Definición 5.3.4. Dado T ∈ L, decimos que A ⊆ T es una barrera si ∀f ∈ [T ] ∃!n ∈ ω(f ↾n∈ A).

�

Lema 5.3.5. (Strong Fusion Lemma): Dada una familia {Dn : n ∈ ω} de subcobjuntos densosy abiertos de L y T ∈ L, ∃T ′ ≤ T tal que {t ⊇ sT ′ : T ′

t ∈ Dn} contiene una barrera para cadan ∈ ω.

�

Para nuestros propósitos necesitamos sólo el siguiente caso particular:

�

Lema 5.3.6. Si T ∈ L y D ⊆ L es denso abierto, entonces ∃T ′ ≤0 T tal que {t ⊇ sT ′ : T ′t ∈ D}

contiene una barrera.

Demostración:

Definimos un rango: rk : {t ∈ T : t ⊇ sT } → OR ∪ {∞} como sigue:

rk(t) = 0 si y sólo si ∃T ′′ ∈ D (T ′′ ≤0 Tt),

rk(t) = α > 0 si y sólo si ∃n ∈ ω∀m ≥ n(tm ∈ T ⇒ rk(tm) < α) y

rk(t) = ∞ si ¬∃α tal que rk(t) = α.

Afirmamos que rk(t) < ∞.

Para demostrar la afirmación, supongamos que no, es decir que ∃t ∈ T (t ⊇ sT ) tal que rk(t) =∞, entonces ∃∞m ∈ succT (t) tal que rk(tm) = ∞. Así, recursivamente, podemos construirT ∗ ∈ L tal que:

1. T ∗ ≤0 Tt

2. ∀s ∈ T ∗(s ⊇ t ⇒ rk(s) = ∞).


Ahora, como D es denso, entonces ∃T ′′ ≤ T ∗ con T ′′ ∈ D.

Nótese que T ′′ ≤0 TsT ′′ (lo que implica que rk(sT ′′) = 0) y sT ′′ ∈ T ∗ con sT ′′ ⊇ t (lo que implicaque rk(sT ′′) = ∞). Lo cual es una contradicción, con lo que se tiene que rk está bien definido.

Ahora, dado que rk está bien definido, tenemos que rk(sT ) = α y tenemos dos casos:

Si rk(sT ) = 0, entonces ∃T ′′ ∈ D (T ′′ ≤0 T ) y dado que ∀t ∈ T ′′ con t ⊇ sT ′′ se tiene queT ′′

t ≤ T ′′ y D es abierto, entonces T ′′t ∈ D. Así, A = {sT : T ∈} = {sT ∗} forma una barrera en

{t ∈ T ′′ : t ⊇ sT ′′ ∧ T ′′t ∈ D}.

Si rk(sT ) = α > 0, recursivamente construimos T ′ ≤0 T tal que ∀t ∈ T ′ si t ⊇ sT ′ y rk(t) = 0entonces T ′

t ∈ D, y si rk(t) = β > 0, entonces ∀m ∈ succT ′(t) (rk(tm) < β), es decir, elconjunto de los primeros nodos con rango cero:

{t ∈ T ′ : t ⊇ sT ′ ∧ rk(t) = 0 ∧ rk(t ↾|t|−1) > 0},

forma una barrera.��

Observación 5.3.7. La prueba del lema anterior nos da de hecho T ′ ≤0 T y A ⊆ {t ∈ T ′ : t ⊇sT ′ ∧ rk(t) = 0} barrera en T ′ tal que ∀t∈T ′ con t ⊇ sT ’ y rk(t) = 0 ∃! a ∈ A (a ⊆ t).

�

Lema 5.3.8. Sea A ⊆ L anticadena maximal y T∈ L, entonces ∃T ′ ≤0 T tal que {T ′′ ∈ A :T ′′ ‖ T ′} es numerable.

Demostración:

Hacemos DA = {T ∈ L : ∃T ′′ ∈ A(T ≤ T ′′)}. DA es denso y abierto. Es fácil ver que DA esabierto y como A es anticadena maximal entonces DA es denso.

Sean T ′ y A como en la observación 5.3.7. Afirmamos que {T ′′ ∈ A : T ′′ ‖ T ′} es numerable.

Para demostrar la afirmación, sea T ′′ ‖ T ′ y T ′′ ∈ A, entonces ∃T ∈ L con T ≤ T ′ y T ≤ T ′′.

Sea t = sT, entonces t ⊇ sT ′, T ≤0 T ′

t ≤0 Tt y T ∈ DA, con lo que se tiene que rk(t) = 0. Así,∃!a ∈ A(a ⊆ t), luego, T ≤ T ′

a, con T ′a ∈ DA y se tiene que ∃T ′′′ ∈ A tal que T ′

a ≤ T ′′′, portanto T ≤ T ′′, T ≤ T ′′′ y T ′′′ ∈ A, pero como A es anticadena se tiene que T ′′ = T ′′′.

De hecho nótese que ∀a ∈ A ∃!T a ∈ A tal que T ′a ≤ T a y por tanto {T ′′ ∈ A : T ′′ ‖ T ′} ⊆ {T a :

a ∈ A} y {T a : a ∈ A} es numerable pues A lo es.��

Finalmente, la siguiente proposición nos asegura que (L, ≤L) satisface el Axioma A.

�

Proposición 5.3.9. (L, ≤L) satisface el Axioma A.

Demostración:

82 5.4. La propiedad de Laver

Definimos {≤n: n∈ ω} ⊆ L como sigue:

T ′ ≤n T si y sólo si T ′ ≤LT y ∀s ∈ n≤n T ′(s) = T (s),

donde T (s) denota el nodo s ∈ T en ω<ω.

Obsérvese que ≤n+1⊆≤n⊆ ... ⊆≤0=≤L, con lo que se tiene la primera condición para satisfacerel Axioma A.

Para demostrar ii), sea {Tn : n ∈ ω} ⊆ L, y supongamos que Tn+1≤n Tn ∀n ∈ ω. Queremos verque ∃Tω ∈ P tal que ∀n ∈ ω Tω ≤n Tn.

Definimos

Tω =⋃

n∈ω

⋃s∈n≤n

Tn(s).

Obsérvese que Tω ∈ L y sTω = sT0 y más aún, por construcción se tiene que ∀n ∈ ω Tω ≤n Tn.

Para demostrar iii), sea T ∈ L, n ∈ ω fija y A ⊆ L anticadena maximal.

Por el lema 5.3.8, ∀s ∈ n≤n ∃T s ≤0 Ts(T ) tal que {T ′ ∈ A.T ‖ T s} es numerable.

Así, si definimos T ∗ =⋃

s∈n≤n

T s, se tiene que T ∗ ≤n T y {T ′ ∈ A : T ‖ T ∗} es numerable.�

5.4. La propiedad de Laver

�

Laver observó que para poder construir un modelo para la Conjetura de Borel se necesitabauna noción de forcing que no añadiera reales de Cohen5, ya que como lo muestra el siguienteresultado, el añadir un real de Cohen a cualquier modelo base de ZFC implica que el conjuntode reales del modelo base tenga medida fuertemente cero en la extensión.

�

Teorema 5.4.1. Sea C = (2<ω, ⊇) el forcing de Cohen. Si G es un filtro C-generico sobre V ,entonces V [G] � 2ω ∩ V ∈ SN .

Demostración:

Sea f un C-nombre tal que C′′f : ω → ω′′. Entonces, como f es un C-nombre para una

función de ω en ω, usando una definición alternativa de nombres, existen {An : n ∈ ω} ⊆ P(C)anticadenas maximales y funciones fn : An → ω tal que para cualquier n ∈ ω y cualquiera ∈ An se tiene que (a C

′′f(n) = fn(a)′′).

Por la proposición 4.2.3, queremos ver que para esta función de ω en ω se tiene que existes ∈ (2<ω)ω tal que s(n) ∈ 2f(n) para cada n ∈ ω y para cada x ∈ 2ω ∩ V existe una infinidad den ∈ ω tal que x ↾f(n)= s(n).

Sea n ∈ ω, encontremos pues la s(n) buscada.

5Véase Apéndice C.2.1


Sabemos que existe un único a ∈ An(a C′′f(n) = fn(a)′′), es decir. V [G] � f(n) = fn(a).

Definimos

s(n)(i) = cgen(|a| + i) con i < fn(a).

Veamos que ∀x ∈ X existe una infinidad de n ∈ ω(x ↾f(n)= s(n)). Supongamos que no es cierto,entonces tenemos que existe p ∈ C y ∃x ∈ 2ω ∩ V tal que p C

′′x /∈⋃

n∈ω〈s(n)〉′′,

donde 〈s(n)〉 denota al cono generado por el nodo s(n).

Sea n > |p|, como An es anticadena maximal, entonces existe a ∈ An tal que a es compatiblecon p, entonces existe q ∈ C(q ≤ a ∧ q ≤ p), entonces tenemos dos casos, (a ≤ p) y (p ≤ a),pero cabe señalar que siempre podemos suponer que para caad a ∈ An(|a| > n) y dado quen > |p|, podemos siempre reducirnos a trabajar en el caso en el que (a ≤ p).

En este caso definimos

q = ax ↾fn(a).

Así,

q C′′ax ↾fn(a)⊆ cgen

′′

y por tanto

q C′′s(n) = x ↾fn(a)

′′,

pero ésto pasa si y solo si x ∈ 〈s(n)〉, lo cual es una contradicción, pues q ≤ p y teníamos quep C

′′x /∈⋃

n∈ω〈s(n)〉′′.�

�

Este resultado llevó a Laver a considerar una propiedad conocida actualmente como Propiedadde Laver, la cual nos garantiza que cualquier noción de forcing que cumpla dicha propiedad noagrega reales de Cohen.

�

Definición 5.4.2. Una noción de forcing (P, ≤P, 1P) tiene la propiedad de Laver si y sólo si dadag : ω → [ω]<ω del modelo base y f un P-nombre para una función en ωω tal que p P

′′∀n ∈ ωf(n) ≤ g(n)′′, entonces existe s : ω → [ω]<ω tal que ∀n ∈ ω, s(n) ⊆ g(n), |s(n)| ≤ n y p′ ≤P ptal que p′ P

′′∀n ∈ ωf(n)∈s(n)′′.

�

Teorema 5.4.3. Si una noción de forcing (P, ≤P, 1P) satisface la propiedad de Laver, entoncesningún real en V P es de Cohen sobre V .

Demostración:

84 5.4. La propiedad de Laver

Sea {In : n ∈ ω} una partición de ω y tal que |In| = n. Supongamos que x es un P-nombre paraun elemento de 2ω. Definimos g(n) = x ↾In para n ∈ ω. Como P tiene a propiedad de Laver,entonces, existe s ∈ 2ω tal que P

′′∀∞n g(n) ∈ S(n)′′.

Sin pérdida de generalidad, podemos suponer que s(n) ⊆ 2In y |s(n)| = n2 para toda n ∈ ω.

Sea A = {x∈2ω : ∀∞n x ↾In∈ S(n)}. Como lım

n→∞

n2

2n = 0 se tiene que A es de medida cero y ademáses un Fσ. En particular, tenemos que A es magro y por tanto P

′′x ∈ A′′. Así, x no es unP-nombre para un real de Cohen.��

Finalmente, el siguiente resultado nos garantiza que efectivamente, el forcing de Laver (L, ≤L)tiene la propiedad de Laver.

�

Proposición 5.4.4. (L, ≤L) tiene la propiedad de Laver:

Demostración:

Sea f un L-nombre para una función en ωω y g ∈ ωω ∩ V . Supongamos que T P′′∀n ∈ ω

f(n) ≤ g(n)′′. Queremos construir s : ω → [ω]<ω tal que ∀n ∈ ω, s(n) ⊆ g(n), |s(n)| ≤ n y verque existe T ′ ≤ T tal que T ′ P

′′∀n ∈ ωf(n)∈s(n)′′.

Recursivamente, encontremos {Tn : n ∈ ω} ⊆ L y s : ω → [ω]<ω tal que:

1. ∀n ∈ ω s(n) ⊆ g(n), |s(n)| ≤ id(n).2. ∀n > 0 Tn ≤n Tn−1; T0 ≤0 T .3. ∀n ∈ ω Tn ′′f(n) ∈ s(n)′′.

Sea g(n) = {xni : i < kn}, pues sabemos que g(n) es un conjunto finito.

En el paso cero, dado que (L, ≤L) tiene la Pure Decision Property, sabemos que ∃i0 < k0 y∃T 0 ≤0 T tal que T0 ′′f(0) = x0

i0

′′. En este paso definimos s(0) = {x0i0

}.

En el paso uno, análogamente al paso cero, dado que (L, ≤L) tiene la Pure Decision Property,sabemos que ∃i1 < k1 y ∃T1 ≤0 T tal que T1 ′′f(1) = x1

i1

′′. En este paso definimoss(1) = {x1

i1}. Obsérvese que T1 ≤1 T0.

En el paso dos, por la Pure Desicion Property ∀j < id(2) ∃ij < k2 y ∃Ts1

ϕ(j)

1 ≤0 T1(s1ϕ(j)) tal

que Ts1

ϕ(j)

1 ′′ f(n) = xnij

′′ . En este paso definimos s(2) = {x2i1

: j < id(2)}.

En general en el paso n, dado que (L, ≤L) tiene la Pure Decision Property, ∀j < id(n) ∃ij < kn

y ∃Tsn

ϕ(j)n ≤0 Tn−1 tal que T sϕ(j) ′′f(n) = xn

ij

′′, con lo que podemos definir s(n) = {xnij

} y

Tn =⋃

j<id(n)T

snϕ(j) .

Obsérvese que Tn ≤n Tn−1.

Así, tenemos que se cumple que


1. ∀n ∈ ω s(n) ⊆ g(n), |s(n)| ≤ id(n),2. ∀n > 0 Tn ≤n Tn−1; T0 ≤0 T y3. ∀n ∈ ω Tn ′′f(n) ∈ s(n)′′.�

�

Por todo lo anterior y dado que Laver sabía que la técnica de iteración con soporte finitointroducida por Solovay y Tennenbaum para la consistencia del Axioma de Martin siempreañade reales de Cohen, introdujo la noción de iteración con soporte numerable (CSI, por sussiglas en inglés).

Bajo las iteraciones con soporte numerable de forcings que satisfagan el Axioma A, como es deesperarse, se preserva la Propiedad de Laver. Este es otro teorema de preservación:

�

Teorema 5.4.5. La propiedad de Laver se preserva bajo iteraciones con soporte numerable deforcings que satisfagan el Axioma A.

Dado que la prueba de éste teorema también es bastante técnica, larga y no aporta ideassustanciales no se incluirá aquí, pero se puede consultar en [4] pág. 327.

5.5. Un modelo que satisface la Conjetura de Borel

El siguiente lema demostrado por Laver en su artículo “On the consistency of Borel’s Con-jecture” [24], nos dice que ningún conjunto no numerable del modelo base va a tener medidafuertemente cero en la extensión genérica.

Recordemos la definición de que un conjunto X ⊆ 2ω tenga medida fuertemente cero:

∀f ∈ ωω ∃s ∈ (2<ω)ω tal que s(n) ∈ 2f(n) para cada n ∈ ω y ∀x ∈ X ∃∞n ∈ ω tal quex ↾f(n)= s(n).

Lema 5.5.1. Supongamos que X ⊆ 2ω ∩ V y |X| > ℵ0, entonces V L |= X /∈ SN .

Demostración:

Sea X ⊆ 2ω ∩ V no numerable y f un L-generico sobre V . Veamos que f es testigo de queX /∈ SN .

Supongamos que no, es decir, sea T ∗ ∈ L y sea {s(n) : n ∈ ω} una sucesión de L-nombres talque

T ∗ L′′∀n ∈ ω (s(n) ∈ 2f(n)) ∧ ∀x ∈ X ∃∞n ∈ ω x ↾f(n)= s(n)′′. ... (∗)

86 5.5. Un modelo que satisface la Conjetura de Borel

Afirmamos que si T ′′s(n) ∈ 2f(n) ′′ , donde n = |s| y s = sT , entonces ∃T ′ ≤0 T , y xn ∈ 2ω

tal que ∀m∈ ω ∀∞k ∈ succT ′(s) se tiene que T ′sk

′′xn ↾m= s(n) ↾m′′.

Para demostrar la afirmación, notemos que ∀k ∈ succT (s) se tiene que Tsk ′′f(n) = k′′,entonces, fijando k ∈ succT (s) y usando la Pure Decision Property, podemos decidir los valoresde s(n) hasta k con una condición T ′′ ≤0 Tsk. Luego entonces de hecho podemos encontrarT ′′ ≤0 T y {sk(n) ∈ 2k : k ∈ succT ′′(s)} tal que ∀k ∈ succT ′′(s) se tiene que T ′′

sk ′′sk(n) =

s(n)′′.

Por otro lado, por la compacidad de 2ω se tiene que ∃xn ∈ 2ω y K ⊆ succT ′′(s) infinito tal que∀m ∈ ω∀∞k ∈ K sk(n) ↾m= xn ↾m.

Sea T ′ =⋃

{T ′′sk

: k ∈ K}. Obsérvese que T ′ ≤0 T y por tanto se tiene la afirmación.

Obsérvese que si x ∈ 2ω −{xn} entonces ∀∞k ∈ succT ′(s) se tiene que T ′sk

′′x ↾k 6= s(n) ′′, yaque de lo contrario existiría K ⊆ succT ′(s) infinito tal que ∀k ∈ K se tiene que T ′

sk ′′x ↾k=

s(n) = sk(n) = s(n) ′′ con lo que se tendría que x = xn lo cual es una contradicción.�

�

El siguiente resultado demostrado por Laver nos dice que cualquier noción de forcing con lapropiedad de Laver preserva la propiedad de no ser de medida fuertemente cero.

�

Lema 5.5.2. Supóngase que X ∈ V ∩ 2ω y tal que X /∈ SN . Sea P una noción de forcing conla propiedad de Laver. Si G es un filtro P-generico sobre V , entonces V [G] � X /∈ SN .

Demostración:

Como X /∈ SN entonces ∃f ∈ ωω ∩ V creciente tal que para toda s ∈ (2<ω)ω tal que ∀n ∈ ω,s(n) ∈ 2f(n) ∃x ∈ X ∀∞n ∈ ω se tiene que x ↾f(n) 6= s(n). ... (1).

Ahora supongamos que V [G] � X ∈ SN .

Sea g(n) = f(n2), entonces existe {s(n) : n ∈ ω} sucesión de P-nombres y T ∈ L tal que

T P′′∀n ∈ ω (s(n) ∈ 2g(n)) ′′

y

T P′′∀x ∈ X ∃∞n ∈ ω(x ↾g(n)= s(n)) ′′.

Como P tiene la propiedad de Laver, existe J ∈ ([ω]<ω)ω i.e. J : ω → [ω]<ω tal que ∀n ∈ ω,J(n) ⊆ g(n), i.e. J(n) ⊆ 2ω, |J(n)| ≤ n y existe T ≥ T ′ tal que

T ′ P′′∀n ∈ ω(f(n)∈J(n)) ′′.


Sea {s(n) : n ∈ ω} una enumeración de los⋃

n∈ωJ(n) ordenados por longitud.

Obsérvese que ∀n ∈ ω∃k ∈ ω(s(n) ∈ 2g(k)), lo que implica que |s(n)| = g(k) = f(n2).

Obsérvese también que n ≤ 1 + 2 + . . . + k ≤ k2 (pues ∀n ∈ ω(|J(n)| ≤ n) y por lo tantotenemos que f(n) ≤ f(n2) = g(k) = |s(n)| , i.e. f(n) ≤ |s(n)|.

Por otro lado, afirmamos que tenemos que

X ⊆ {z ∈ 2ω : ∃∞n(x ↾|s(n)|= s(n))}.

Pues si no fuera cierto, por tanto ∃x ∈ X tal que∣∣∣{n : x ↾|s(n)|= s(n)}

∣∣∣ es finito.

Entonces existe N ∈ ω tal que

{x ↾f(n2): n ≥ N} ∩⋃

n∈ωJ(n) = ∅,

es decir que

{x ↾f(n2): n ≥ N} ⊆ (⋃

n∈ωJ(n))c. ... (2)

Pero en particular se tiene que

T ′ P′′∃∞n ∈ ω(x ↾f(n2)= s(n)) ′′

y

T ′ P′′∀n ∈ ω(s(n)∈J(n)) ′′,

con lo que se tiene que

∃n ≥ N tal que T ′ P′′x ↾f(n)= s(n)∈J(n)′′,

lo cual es una contradicción a (2), pues sabemos que la noción de contención es absoluta paramodelos transitivos; por lo tanto V [G] � X /∈ SN .�

�

Así, junto con los dos lemas anteriores se tiene que el forcing de Laver hace que cualquierconjunto no numerable del modelo base no tenga medida fuertemente cero en la extensióngenérica, y que si teníamos un conjunto no numerable que no era de medida fuertemente ceroen el modelo base entonces este conjunto, sigue sin ser de medida fuertemente cero en laextensión genérica.

Teorema 5.5.3. Si V |= ZFC +CH y Lω2 es la ω2-iteracion con soporte numerable del forcingde Laver L, se tiene que si V Lω2 |= X ∈ SN , entonces |X| = ℵ0.

Demostración:

88 5.5. Un modelo que satisface la Conjetura de Borel

Sea G un Lω2-generico sobre V . Supongamos que X∈V [G] con |X| = ℵ1. Por un argumentousual de reflexión, encontramos α < ω2 tal que X∈V [Gα], entonces por el lema 5.5.1. se tieneque X /∈ SN . Luego, por el lema 5.5.2. y dado que la propiedad de Laver se preserva bajoiteración con soporte numerable de forcing’s que satisfacen el Axioma A, lo mismo se sigue enV [G] y por tanto cualquier conjunto con medida fuertemente cero en V [G] tiene que ser a lomás numerable, es decir, en V [G] se satisface la Conjetura de Borel.�

Apéndices

89

Apéndice A

Ordinales, cardinales y cofinalidad

�

A.1. Órdenes parciales y órdenes totales

�

Definición A.1.1. Sea P un conjunto y sea < una relación binaria sobre P . Se dice que (P, <)es un orden parcial si:

1. la relación < es antirreflexiva sobre P , i.e. ∀p∈P(p ≮ p) y.2. la relación < es transitiva sobre P, i.e. ∀p, q, r∈P((p < q ∧ q < r) → p < r).

�

Definición A.1.2. Decimos que (P, <) es un orden total si es un orden parcial y la relación< es tricotómica sobre P , i.e. ∀p, q, r∈P(p < q ∨ p < p ∨ p = q) y sólo una.

�

Definición A.1.3. Sea (P, <) un orden parcial, C ⊆ P con C 6= ∅. Decimos que C es unacadena en P si (C, <↾C) := (C, < ∩C × C) es un orden total.

�

Definición A.1.4. Sea (P, <) un orden parcial, X ⊆ P conX 6= ∅, decimos que:

1. a es un elemento maximal de X si a ∈ X y ∀x ∈ X(a ≮ x),2. a es un elemento minimal de X si a ∈ X y ∀x ∈ X(x ≮ a),3. a es un maximo de X si a ∈ X y ∀x ∈ X(a ≤ x),4. a es un mınimo de X si a ∈ X y ∀x ∈ X(x ≤ a),5. a es una cota superior de X si ∀x ∈ X(x ≤ a),6. a es una cota inferior de X si ∀x ∈ X(a ≤ x),7. Si ∃a mınima cota superior de X, decimos que a es el supremo deX, el cual se denota

como sup(X),8. Si ∃a maxima cota inferior de, decimos que a es el ınfimo deX, el cual se denota

como ınf(X).

�

91

92 A.2. Ordinales

A.2. Ordinales

�

Definición A.2.1. Sea (P, <) un orden total, decimos que (P, <) es un buen orden si todosubconjunto no vacío de P tiene un elemento mínimo.

�

Definición A.2.2. Sea T un conjunto. Decimos que T es transitivo si todo elemento de T esa su vez un subconjunto de T , i.e. T ⊆ P(T ).

�

Definición A.2.3. Sea x un conjunto. Decimos que x es un numero natural si:

1. x es transitivo,2. (x, ∈) es un buen orden, y3. todo subconjunto no vacío tiene un ∈ −maximo.

�

Se puede demostrar bajo los axiomas de ZF que la colección de todos los números naturales esun conjunto.1 Dicho conjunto se denota como N y es un buen orden bajo la relación ∈.

�

Teorema A.2.4. (Teorema de Recursión para naturales). Sean A un conjunto, a ∈ A unelemento fijo y g : A → A una función. Entonces existe una única función h : N →A tal que:

1. h(0) = a, y2. para todo n ∈ N, h(n + 1) = g(h(n)).

�

La demostración se puede consultar en [1] pág 43.

�

Definición A.2.5. Dado un conjunto X, definimos el sucesor de X como el conjunto X ∪{X},denotado por s(X).

�

Definición A.2.6. Sea α un conjunto. Decimos que α es un numero ordinal si α es transitivoy (α, ∈) es un buen orden.

1Ver [1] pág 37.

A. Ordinales, cardinales y cofinalidad 93

�

notación: Denotamos por OR a la calse de todos los números ordinales.2

�

Usualmente se utilizan las letras griegas α, β y γ para referirse a los números ordinales.

�

Definición A.2.7. Dados dos números ordinales α y β, decimos que α < β si α ∈ β.

�

Cabe señalar que bajo las definiciones anteriores, el conjunto N es un número ordinal y según elorden que se ha establecido entre ordinales, es el primero en no ser un número natural. Cuandonos refiramos al conjunto de números naturales como un número ordinal se denotará como ω.

�

Definición A.2.8. Se dice que α es un ordinal sucesor si α un número ordinal tal que existeun ordinal β con la propiedad de que α = s(β).

�

Definición A.2.9. Se dice que α es un ordinal lımite si α 6= 0 y α no es un ordinal sucesor.

�

Lema A.2.10. Las siguientes proposiciones son verdaderas:

1. El conjunto ∅ es un ordinal, denotado por 0.2. Si α y β son ordinales, entonces α ∈ β si y solo si α $ β.3. La ’relación’ < se comporta como un orden total en la clase OR.4. Dado α un ordinal, α = {β : β < α}5. Si C es una clase no vacía de ordinales, ∩C es un ordinal y ∩C ∈ C.6. Dado α un ordinal, s(α) es un ordinal y s(α) = ınf{β : β > α}.7. Si X es un conjunto de ordinales, entonces sup(X) es un número ordinal y además

sup(X) = ∪X.

�

La demostración de este lema es inmediatas de las definiciones.

�

Definición A.2.11. Sean (A, <) y (B, <) dos órdenes totales. Decimos que (A, <) y (B, <) sonisomorfos si existe una función f : A → B biyectiva y además ∀x, y∈A(x < y ↔ f(x) < f(x)).

2Para ver la demostración de que OR no es un conjunto consultar [2] pág. 60

94 A.2. Ordinales

�

notación: (A, <) ∼=(B, <) denota que (A, <) y (B, <) son isomorfos.

�

Teorema A.2.12. (Teorema de Enumeración) Todo conjunto bien ordenado es isomorfo a unúnico número ordinal

�


�

El teorema de enumeración, como su nombre lo indica, nos da un ordinal que representa la ma-nera en que están bien ordenados sus elementos, por lo que tiene sentido la siguiente definición:

�

Definición A.2.13. Sea (A, <A) un buen orden. Definimos el tipo de orden de (A, <A) comoel único número ordinal α tal que (A, <A) ∼= (α, ∈).

�

Teorema A.2.14. (Inducción transfinita) Si C es una clase de ordinales tales que:

1. ∅ ∈ C,2. Si α ∈ C, entonces s(α) ∈ C, y3. Si α es un ordinal límite y β ∈ C para todo β < α, entonces α ∈ C.

Entonces C es la clase de todos los números ordinales.

�


�

Teorema A.2.15. (Recursión transfinita) Si G es un funcional definido sobre el universo deconjuntos V ,3 entonces podemos definir un único funcional F tal que:

1. el “dominio”4 de F es la clase OR y2. para cualquier α ∈ OR, F (α) = G(F ↾α).

�

La demostración se puede ver en [20] pág 22.

3Se dice que G es un funcional ya que simboliza una propiedad que se comporta como función, pues a cadaconjunto x le asocia uno y solo un conjunto G(x), pero no podemos decir que G es una función, pues si lo fuera,entonces V también sería un conjunto.

4Dado que OR es una clase y no un conjunto, F no es una función y por tanto no se puede hablar de sudominio, pero podemos pensar en el “dominio” de F como la clase en la que F se comporta como una función.


A.3. Cardinales

�

A.3.1. Dominancia, equipotencia y finitud. �

Definición A.3.1. Sean X y Y conjuntos. Decimos que X y Y son equipotentes o tienen lamisma cardinalidad si existe una función f : X → Y biyectiva. Denotamos esta propiedad porX∼Y si X y Y son equipotentes.

�

Cabe señalar que la “relación”5 dada por X∼Y es una “relación de equivalencia”.6Sin embar-go no determina cuál es la cardinalidad de un conjunto. Un primer intento para formalizar elconcepto de cardinalidad podría ser definiendo la cardinalidad de un conjunto como el repre-sentante de cada “clase de equivalencia” y así, dicho conjunto sea el cardinal de todos aquellosconjuntos que son biyectables con él; pero ésto no es una buena definición, pues la clase detodos los conjuntos biyectables con él no es un conjunto (pues si x es un conjunto y C es lacolección de todos los conjuntos biyectables con él, entonces para todo conjunto y existe unconjunto z ∈ C tal que y ∈ z, así, si C fuera un conjunto, entonces su unión también, pero estono puede ser, pues por el argumento anterior, la unión sería la clase de todos los conjuntos).

Para definir a los numeros cardinales, haremos uso de los ordinales.

�

Definición A.3.2. Dado un conjunto X, decimos que X es finito si existe un número naturaltal que X ∼ n.

�

Definición A.3.3. Dado un conjunto X, decimos que X es infinito si no es finito.

�

Definición A.3.4. Dados X y Y conjuntos, decimos que X está dominado por Y si existe unafunción inyectiva f : X → Y . Denotamos ésto, como X � Y .

�

Definición A.3.5. Dados X y Y conjuntos, decimos que X está estrictamente dominado porY si X � Y y X 6∼ Y . Denotamos ésto por X ≺ Y .

�5No se puede decir que es una relación en sentido estricto pues la clase de todos los conjuntos no es un

conjunto, pero se comporta como si fuera una relación.6Es decir es reflexiva, simétrica y transitiva.

96 A.3. Cardinales

Teorema A.3.6. (Cantor) Para cualquier conjunto X, X ≺ P(X).

Demostración:

Primero cabe señalar que la función f : X → P(X) dada por f(x) = {x} es inyectiva, así quetenemos que X � P(X).

Por otro lado, si g es una función que va de X en P(X), podemos ver que el conjunto

Y = {x ∈ X : x /∈ g(x)}

no está en la imagen de G, pues si existiera z ∈ X tal que g(z) = Y , entonces z∈Y si y solo siz /∈ Y , lo cual es una contradicción. Por tanto, tenemos que Y ∈ P(X) − Im(g), lo que significaque no hay funciones sobreyectivas que vayan de X en P(X) y entonces X 6∼ P(X).�

�

Teorema A.3.7. Si A, B y C son conjuntos tales que A � B y B � C, entonces A � C.

Demostración:

Supongamos que A, B y C son conjuntos tales que A � B y B � C„ entonces existen funcionesf : A → B y g : B → C inyectivas. Así, g ◦ f : A → C es también una función inyectiva y porlo tanto A � C.�

�

Teorema A.3.8. (Cantor-Schröeder-Bernstein) Si Si A y B son conjuntos tales que A � B yB � A, entonces A ∼ B.

�


�

Teorema A.3.9. Para cualquier conjunto A se tiene que P(A) ∼ 2A, donde se tiene que2A = {f : f : A → {0, 1}}.

Demostración:

Sea A un conjunto. Sea F : P(A) → 2A la función definida como sigue:

Para cada X ∈ P(A) y para cada a ∈ A

F (X)(a) =

1 si a ∈ X

0 si x /∈ X


Es claro que F (X)∈2A. Por otro lado, si X, Y ∈ P(A) y se tiene que F (X) = F (Y ), entoncespor definición de F se tiene que para todo x∈A, x ∈ X si y solo si F (X)(x) = 1 y como tenemosque F (X) = F (Y ), entonces F (Y )(x) = 1 y por tanto X = Y y se tiene que F es inyectiva.

Luego, dada f ∈ 2A, si definimos a X := f−1[{1}], se tiene que F (X) = f y así F es suprayectivay por tanto P(A) ∼ 2A.�

�

A.3.2. Alefs. �

En esta sección se definira la noción de cardinalidad a través del concepto de número ordinal.La idea principal es definir los cardinales como ordinales que cumplen ciertas propiedades, yaque distintos números ordinales pueden tener la misma cardinalidad, como es el caso de ω yω + 1.

�

Definición A.3.10. Sea α un ordinal. Decimos que α es un numero cardinal si no es equipo-tente con ningún β < α.

�

Usualmente se utilizan las letras griegas κ, λ y µ para referirse a los números cardinales.

�

Cabe señalar que con la definición anterior se tiene que todo número natural es un númerocardinal; de igual manera, ω es un número cardinal y es el mínimo cardinal infinito.

Por otro lado, utilizando que el Axioma de Elección es equivalente a que todo conjunto esbien ordenable7 se le puede dar sentidoal siguiente teorema que nos va a permitir terminar deestablecer la noción de cardinalidad.

�

Teorema A.3.11. Todo conjunto X es equipotenete a un único número cardinal.

�

La demostración de éste resultado se puede consultar en

�

Con esto, se puede dar la siguiente definición:

�

Definición A.3.12. El cardinal de X, denotado por |X| es el único número cardinal equipo-tente a X.

7Ver [1] pág 96.

98 A.3. Cardinales

�

El siguiente resultado nos hace ver que hay una cantidad arbitrariamente grande de númeroscardinales.

�

Teorema A.3.13. Para todo ordinal α existe un número cardinal mayor que α. Además, si Xes un conjunto de números cardinales entonces

⋃X es un número cardinal.

�

La demostración de este teorema anterior se puede consultar en [20] pág. 29.

�

Es importante hacer ver que junto con el principio del mínimo ordinal, el teorema anterior tienecomo consecuencia que para todo número cardinal κ hay un mínimo número cardinal al quedenotaremos por κ+ y que cumple que κ < κ+.

�

notación: Se denotará por CAR a la clase de todos los números cardinales infinitos.

�

Como se dijo anteriormente la clase OR no es un conjunto y todo número cardinal es, a su vez,un número ordinal, por lo que CAR tampoco puede ser un conjunto.

Otra observación importante es que cualquier número cardinal es un ordinal límite y utilizandoque para todo número cardinal κ hay un mínimo número cardinal al que denotaremos por κ+

y que cumple que κ < κ+ podemos definir una enumeración creciente de todos los númeroscardinales infinitos, a los que denominaremos alefs.

�

Definición A.3.14. Utilizando el principio de recursión para ordinales definimos al funcionalℵ : OR → CAR como el único que satisface las siguientes propiedades:

1. ℵ0 := ω2. ℵα+1 := ℵ+

α

3. ℵγ :=⋃

{ℵβ : β < γ} si γ es un ordinal límite.

�

Definición A.3.15. Si X es un conjunto tal que |X| = ℵ0 decimos que X es numerable. Si Xes finito o numerable, decimos que X es a lo mas numerable.

A un cardinal de la forma ℵα+1 se le denomina cardinal sucesor.

A un cardinal de la forma ℵγ, con γ un ordinal límite se le denomina cardinal lımite.


�

notación: Al cardinal sucesor de ℵ0 se le denota como ℵ1 y corresponde al primer ordinal nonumerable, al que se denota por ω1.

�

Teorema A.3.16. Para todo ordinal α se tiene que ℵα es un cardinal infinito. Además si κ esun cardinal infinito, entonces existe un α∈OR tal que κ = ℵα.

�

La demostración se puede consultar en

�

Con el teorema anterior se tiene que la clase de los alefs es igual a la clase CAR.

�

A.4. Cofinalidad

Presentaremos las siguientes definiciones para llegar al concepto de cofinalidad.

�

Definición A.4.1. Sean A y B conjuntos tales que (A ∪ B, <) es un orden total. Decimos queA y B son < −confinales si:

(∀x ∈ A ∃y ∈ B x ≤ y) ∧ (∀y ∈ B ∃x ∈ A y ≤ x)

�

Definición A.4.2. Si (x, <) es un orden total y y ⊆ x, decimos que y es < −confinal con xsi ∀z ∈ x ∃w ∈ y z ≤ w.

�

Proposición A.4.3. Si α y β son ordinales confinales, entonces α = β

Demostración:

Sean α y β ordinales confinales. Entonces, α ≤ β o β ≤ α. Si α ≤ β, como α es confinal con βentonces ∀δ ∈ β ∃γ ∈ α δ ≤ γ, luego, por la transitividad de α se tiene que δ ∈ α y así β ⊆ αy por tanto α = β.

Análogamente Si β ≤ α, se tiene que α = β.��

Definición A.4.4. Sean α y β ordinales. Decimos que α es cofinal en β si existe una funciónf : α → β tal que f [α] es ∈ −confinal con β. En tal caso se dice que f es una función cofinalde α en β.

100 A.4. Cofinalidad

�

Definición A.4.5. Sea (x, <) es un orden lineal y y ⊆ x, decimos que y es no − acotado en xsi ∀z ∈ x ∃w ∈ y (z < w). En caso contrario, decimos que y es acotado en x.

�

Proposición A.4.6. Sean α y β ordinales y sea f : α → β, entonces f [α] es no acotado en βsi y solo si

⋃f [α] = β.

Demostración:

Supongamos que f [α] es no acotado en β. Sea γ ∈⋃

f [α], entonces existe δ < α tal que γ ∈ f(δ)y f(δ) ∈ β y por tanto γ ∈ β y se tiene que

⋃f [α] ⊆ β. Por otro lado, si γ∈β, como f [α] es no

acotado en β ∃δ ∈ α γ < f(δ), de donde se tiene que γ ∈⋃

f [α] y por tanto β ⊆⋃

f [α].

Para el recíproco, dado γ ∈ β =⋃

f [α], entonces existe δ < α tal que γ ∈ f(δ), i.e. s f [α] es noacotado en β .��

Proposición A.4.7. Sean α un ordinal, β un ordinal límite y f : α → β, entonces f [α] es noacotado en β si y solo si f [α] es ∈ −confinal con β.

Demostración:

En general, si y ⊆ x y y es no acotado en (x, <), se tiene que y es < −confinal con x, así,dado que f [α] es no acotado en β se tiene que f [α] es ∈ −confinal con β. Para el recíproco,supongamos que f [α] es ∈ −confinal con β y sea γ ∈ β. Luego, como β un ordinal límite, setiene que γ + 1 ∈ β y como f [α] es ∈ −confinal con β, existe δ ∈ α tal que γ + 1 ≤ f(δ). Conlo que se tiene que γ < γ + 1 ≤ f(δ), en particular γ ≤ f(δ) y por tanto f [α] es no acotado enβ.��

Proposición A.4.8. Sean α , β y γ ordinales tales que α es cofinal en β y β es cofinal en γ.Si existe una función f : β → γ cofinal y no decreciente, entonces α es cofinal en γ.

Demostración:

Sea g : α → β una función cofinal. Veamos que si f : β → γ es una función cofinal y nodecreciente, entonces f ◦ g : α → γ es cofinal en γ.

Sea δ ∈ γ, como f es cofinal en γ, existe ǫ ∈ β tal que f(ǫ) ≥ δ y como g es cofinal en β,existe ξ ∈ α tal que g(ξ) ≥ ǫ. Luego, como f es no decreciente f(g(ξ)) ≥ f(ξ) ≥ δ y por tantof ◦ g : α → γ es cofinal en γ.��

Definición A.4.9. Sea β un ordinal. La cofinalidad de β, denotada por cf(β), es el mínimoordinal α tal que α es cofinal en β, es decir,


cf(β) =⋂

{α : α cofinal en β}

�

Proposición A.4.10. Sea β un ordinal. Se cumple lo siguiente.

1. cf(β) ≤ β.2. cf(β) es un cardinal y por tanto cf(β) ≤ |β| ≤ β.3. cf(β + 1) = 1.4. cf(0) = 0.5. cf(ω) = cf(ω + ω) = cf(ℵω) = cf(ℵℵω) = ω.

�


�

Con el teorema anterior, se tiene que la cofinalidad del cero y de todos los sucesores estádeterminada, de manera que las cofinalidades interesantes son las de los ordinales límite.

�

Corolario A.4.11. cf : OR → CAR ∪ {0, 1} es un funcional.

�

Proposición A.4.12. Si β es un ordinal, entonces existe una función f : cf(β) → β tal que fes cofinal y estrictamente creciente.

�


�

Proposición A.4.13. Sean α y β ordinales. Si f : α → β es cofinal y estrictamente crecienteentonces cf(β) = cf(α).

�


�

Corolario A.4.14. Para cualquier ordinal β, se tiene que cf(cf(β)) = cf(β).

�

La siguiente proposición requiere el uso del Axioma de Elección.

�


Proposición A.4.15. cf(ω1) = ω1.

Demostración:

Sea f : ω → ω1, entonces

|⋃

f [ω]| =

∣∣∣∣⋃

n∈ωf(n)

∣∣∣∣ ≤∣∣∣∣

⋃n∈ω

(f(n) × {n})

∣∣∣∣ =(∗)

∣∣∣∣⋃

n∈ω(|f(n)| × {n})

∣∣∣∣ = ∗

La última igualdad se tiene porque si f(n) ∼gn |f(n)|, entonces⋃

(f(n) × {n}) ∼⋃(g(n)×{n})⋃

(|f(n)| × {n}) y aquí es donde se usa el Axioma de Elección al elegir las funciones gn.

Así,

∗ =∑

n∈ω|f(n)| = ℵ0 · sup |f(n)| = ℵ0 · ℵ0 = ℵ0.

Y la ultima igualdad se tiene porque |f(n)| ≤ ℵ0 para toda n ∈ ω, pues f(n) ∈ ω1.

Con ésto, se tiene que cf(ω1) ≤ ω1, pero cf(ω1) es un cardinal y cf(ω1) 6= ω y por tantocf(ω1) = ω1.�

�

Proposición A.4.16. Si γ es un ordinal límite, entonces cf(ωγ) = cf(γ).

Demostración:

Definimos f : γ → ωγ donde f(α) = ωα. Claramente f es estrictamente creciente y además fno es acotada, pues γ es límite y

⋃f [γ] =

⋃α<γ

ωα = ωγ y entonces por la proposición A.4.14 se

tiene que cf(ωγ) = cf(γ).�

�

A.4.1. Ordinales (cardinales) regulares y singulares. �

Definición A.4.17. Sea α un ordinal (o cardinal). Decimos que α es regular si cf(α) = α. Siα no es regular, es decir, si cf(α) < α, decimos que α es singular.

�

Proposición A.4.18. Sea α un ordinal, entonces se cumple lo siguiente:

1. Si α es regular infinito, entonces α es cardinal y cf(ℵα) = α.2. cf(α) es un cardinal regular.3. Los ordinales 0 y 1 son regulares.4. Cualquier ordinal sucesor mayor que 1 es singular.5. Si α es límite y no es cardinal, entonces es singular.


Demostración: Sea α un ordinal.

1. Supongamos que α es regular infinito y supongamos que α no es un cardinal. Sea f : |cf(α)| →cf(α) biyectiva y sea g : cf(α) → α cofinal. Entonces f ◦g : |cf(α)| → α tiene la misma imagenque g y es cofinal, con lo que se tiene que cf(α) < α, lo cual es una contradicción, pues α esregular , por tanto α es cardinal y se tiene que cf(ℵα) = cf(α) = α.

2. Supongamos que cf(α) no es un cardinal. Sea f : |α| → cf(α) biyectiva y sea g : cf(α) → αcofinal. Entonces f ◦g : |α| → α tiene la misma imagen que g y es cofinal y por tanto cf(α) < α,luego como cf(cf(α)) = cf(α) se tiene que cf(α) es un cardinal regular.

3. cf(0) = 0 pues la función vacía es cofinal y cf(0 + 1) = 1 pues f : 1 → 1 con f(∅) = 0 escofinal en 1.

4. Sea α = β + 1 un ordinal sucesor, entonces cf(β + 1) = 1 pues f : 1 → β + 1 con f(∅) = 0es cofinal en β + 1.

5. Supongamos que α es límite y no es cardinal, sabemos que cf(α) ≤ α, pero como α no escardinal entonces no puede ser regular, pues si lo fuera entonces por 1. α es cardinal.�

�

El siguiente teorema necesita el Axioma de Elección.

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Teorema A.4.19. Para todo ordinal cardinal infinito κ, se tiene que κ+ es regular, en otraspalabras, cualquier cardinal sucesor infinito es regular.

Demostración:

Supongamos que κ es un cardinal infinito tal que κ+ es singular, i.e. cf(κ+) < κ+. Luego, porla proposición A.4.13, existe una función f : cf(κ+) → κ+ cofinal y estrictamente creciente.Entonces

κ+ =⋃

f [cf(κ+)] =⋃

ξ<cf(κ+)f(ξ).

Cabe señalar que para toda ξ < cf(κ+), se tiene quef(ξ) ∈ κ+ y por tanto |f(ξ)| < κ+ y|f(ξ)| ≤ κ. Así, κ+ es la unión de a lo más κ conjuntos, cada uno con cardinalidad menor queκ, con lo que se tiene que

κ+ ≤∑

α<κκ = κ · κ = κ,

lo cual es una contradicción y por lo tanto κ+ es regular.�

�

Corolario A.4.20. Todo cardinal singular infinito es límite.

�


Teorema A.4.21. Si κ es un cardinal infinito. La cofinalidad de κ es el menor cardinal λ talque κ se puede escribir como una unión de λ subconjuntos de κ, cada uno de cardinal menorque κ, i.e.

1. Existe una familia {Aξ : Aξ ⊆ κ, ξ < cf(κ)} tal que κ =⋃

ξ<cf(κ)Aξ y para toda ξ < cf(κ),

|Aξ| < κ, y2. Si existe una familia {Aξ : Aξ ⊆ κ, ξ < λ} tal que κ =

⋃ξ<cf(κ)

Aξ y para toda ξ < λ,

|Aξ| < κ, entonces cf(κ) ≤ λ.

�

La demostración del teorema anterior se puede consultar en [2] pág. 150.

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Corolario A.4.22. Sea κ un cardinal infinito, entonces

1. Hay una familia de cardinales {κξ : ξ < cf(κ)} tal que κ =∑

ξ<cf(κ)κξ y para toda

ξ < cf(κ), κξ < κ, y2. Si hay una familia de cardinales {κξ : ξ < λ} tal que κ =

∑ξ<cf(κ)

κξ y para toda ξ < λ,

κξ < κ, entonces cf(κ) ≤ λ.

�

La demostración del corolario anterior se puede consultar en [2] pág 151.

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Apéndice B

Algunos invariantes cardinales del continuo

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Definición B.0.23. Sea X un conjunto. J ⊆ P (X) es llamado un ideal si se cumplen lassiguientes 3 proposiciones:

Si I, J ∈ J , entonces I ∩ J ∈ J .Para todo I ∈ J se tiene que para toda J , J ⊆ I, entonces J ∈ J .[X]<ω ⊆ J .

Se dice que J es propio cuando X /∈ J .

�

Un conjunto F ⊆ P (X) es llamado filtro si {X − A : A ∈ F} es un ideal. F es un ultrafiltrosi F es maximal.

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Definición B.0.24. Si J es un ideal, se dice que es libre si ∪J =X.

�

Definición B.0.25. Un ideal J es κ − completo si para cualquier familia A ⊆ J de tamaño< κ, se tiene que ∪A ∈ J . Usaremos los nombres ℵ0−completo y σ−ideal intercambiablemente.

�

Definición B.0.26. Un subconjunto A ⊆ J es una base de J si A es cofinal en J . Es decirsi para toda B ∈ J existe A ∈ A tal que B ⊆ A.

�

Definición B.0.27. Para cualquier ideal J de subconjuntos de X, definimos los siguientescoeficientes cardinales:

add(J ) = mın{|A| : A ⊆ J y ∪ A /∈ J },

cov(J ) = mın{|A| : A ⊆ J y ∪ A = X},

non(J ) = mın{|Y | : Y ⊆ X y Y /∈ J } y

cof(J ) = mın{|A| : A ⊆ J y ∀B ∈ J ∃A ∈ A B ⊆ A}.

105

106 B.1. Números de pseudointersección, acotación y dominancia

�

Lema B.0.28. Supongamos que J es un σ − ideal sobre X que contiene a todos los unitarios,entonces:

cov(J )ր ց

ℵ0 → add(J ) cof(J ) → 2ℵ0

ց րnon(J )

donde las flechas significan un ≤.

Demostración:

Para ver que ℵ0 ≤ add(J ), basta ver que dado que J es un ideal entonces es cerrado bajouniones finitas, por lo que se tiene que ℵ0 ≤ add(J ). Además, como es un σ − ideal se tieneque add(J ) ≤ 2ℵ0 .

Es claro que add(J ) ≤ cov(J ) pues X /∈ J . También es inmediato que add(J ) ≤ non(J )pues el mínimo cardinal de conjuntos cuya unión no esté en el ideal tiene que ser menor que eltamaño del menor conjunto que no esté en X.

Para ver que non(J ) ≤ cof(J ), sea B ⊆ J una base deJ de tamaño mínimo. Entonces, paracada conjunto A ∈ B escogemos un punto xA ∈ X − A. El conjunto B = {xA : A∈B} no secubre por ningún miembro de B y por tanto B /∈ J .

Es claro que cov(J ) ≤ cof(J ). �

B.1. Números de pseudointersección, acotación y dominancia

�

Definición B.1.1. Sean f , g ∈ ωω. Se define f ≤∗ g si existe n ∈ ω tal que f(n) ≤ g(m), paratodo m ≥ n.

�

Definición B.1.2. Dados A, B ∈ [ω]ω, se define la relación de casi contención de la siguientemanera:

A está casi contenido en B, denotado por A ⊆∗ B si A − B es finito.

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Definición B.1.3. Una familia F ⊆[ω]ω es centrada si toda subfamilia finita tiene intersecciónno vacía, es decir, si para toda J ∈ [F ]<ω se tiene que |∩J | = ω.

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B. Algunos invariantes cardinales del continuo 107

Definición B.1.4. Dada una familia F ⊆ [ω]ω, y A ∈ [ω]ω, decimos que A es una pseudointerseccionpara F si para toda J ∈ F se tiene que A ⊆∗ J .

�

Definición B.1.5. Definimos el cardinal p como la mínima cardinalidad de una familia centradasin pseudointersecciones.

p = mın{|F| : F ⊆ωω ∧ F es centrada y sin pseudointersecciones}.

�

Observación B.1.6. Toda familia de cardinalidad ℵ0 tiene pseudointersección y esto se sigueque: ℵ0 < p ≤ c.

�

Definición B.1.7. Sea F ⊆ωω. Decimos que F es acotada si existe g ∈ ωω tal que para todof ∈ F se tiene que f ≤∗ g .

�

Teorema B.1.8. Si F ⊆ωω es numerable, entonces F es acotado.

Demostración:

Sea F ={fi : i ∈ ω}. Definimos g(k) = max{fi(k) : i ≤ k} + 1. Claramente f ≤∗ g para todof ∈ F .�

�

Definición B.1.9. Se define el cardinal b, el numero de acotacion, como la mínima cardina-lidad de una familia no acotada, es decir:

b = mın{|F | : F ⊆ ωω y ∀g∈ ωω ∃f ∈ F f �∗ g}

�

Teorema B.1.10. Existe una sucesión de funciones crecientes {fξ : ξ < b} no acotada.

Demostración:

Por inducción transfinita podemos construir dicha sucesión. Para obtener una función creciente,reemplazamos en cada paso af por

∑ni=0 α(i).�

Definición B.1.11. Sea F ⊆ωω. Decimos que F es dominante si para toda g ∈ ωω hay f ∈ Ftal que g ≤∗ f .

�

108 B.1. Números de pseudointersección, acotación y dominancia

Definición B.1.12. Se define el cardinal d , el numero de dominancia, como la mínima car-dinalidad de una familia dominante, es decir:

d = mın{|F | : F ⊆ ωω y ∀g∈ ωω ∃f ∈ F g ≤∗ f}.

�

Teorema B.1.13. Los cardinales p, b y d están bien definidos.

Demostración:

Es claro que ωω es una familia de funciones que no es acotada, lo cual muestra que b está biendefinido.

d está bien definido por la misma razón.

Para ver que p está bien definido, se hace uso del axioma de elección, ya que un ultrafiltro libre1

sobre ω es un ejemplo de una familia centrada sin pseudointersecciones.

En efecto, si U es un ultrafiltro sobre ω, entonces de la teoría de ultrafiltros (véase, por ejemplo,[26, Lema 1.10, p. 389]) sabemos que U consta únicamente de conjuntos infinitos, es decir,U ⊆ [ω]ω. Esto también implica que U es una familia centrada, ya que, si X1, ..., Xn ∈ U ,entonces también X1 ∩ · · · ∩ Xn ∈ U , en particular tenemos que X1 ∩ · · · ∩ Xn es un conjuntoinfinito.

Finalmente, supongamos que X ⊆ ω es una pseudointersección para U . En particular, X debede ser infinito, así que podemos “dividirlo” en dos “mitades”, es decir, escribir X = Y ∪ Z conY ∩ Z = ∅ y |Y | = |Z| = ω. Entonces, tendremos que o bien Y ∈ U o bien Z ∪ (ω − X) =ω − Y ∈ U .

Ambas opciones contradicen el hecho de que X sea una pseudointersección para U .

En el primer caso, tendríamos que X ⊆∗ Y , pero X − Y = Z que es infinito; en el segundocaso obtenemos X ⊆∗ Z ∪ (ω − X), pero X − (Z ∪ (ω − X)) = X − Z = Y , que es infinito, locual es una contradicción. Por lo tanto U es una familia centrada sin pseudointersecciones, y elcardinal p está bien definido.��

Observación B.1.14. Del teorema B.1.3. se tiene que ℵ0 < b ≤ c, donde c = 2ℵ0 . Además,dado que, en ese caso, para cada n < ω se tiene que {m < ω : g(m) ≤ fn(m)} ⊆ n, entoncesfn ≤∗ g. Con lo que se tiene que b ≥ ω1.

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Observación B.1.15. b ≤ d, pues toda familia dominante es, en particular, no acotada.

�1Para demostrar la existencia de ultrafiltros libres, también llamados filtros no principales, es necesario usar

el lema de Zorn.


Teorema B.1.16. p ≤ b

Demostración:

Sea κ < p , y consideremos cualquier familia F = {g : η ≤ κ} ⊆ ωω. Demostremos que F debede ser acotada.

Recursivamente, elegiremos, para η ≤ κ, una función estrictamente creciente fη ∈ ωω tal que(∀ξ < η)(ran(fη) ⊆∗ ran(fξ)) y (∀n < ω)(fη(n) ≥ max{gη(k) : k ≤ 2n}).

Podemos comenzar tomando, para cada n < ω,

f0(n) := max {g0(k) : k ≤ 2n} = max(g0[2n + 1]);

ahora realicemos el paso inductivo suponiendo que conocemos {fξ : ξ < η}. Debido a que, porhipótesis inductiva, tenemos que cada uno de los ran(fξ) ⊆ ran(fδ) para ξ < δ < η, entonces{ran(fξ) : ξ < η} es una familia centrada (de hecho, es lo que se denomina una torre) de tamañoη ≤ κ < p, lo cual implica que hay una pseudointersección para esta familia, llamémosla A.

Construiremos fη de tal forma que ran(fη) ⊆ A, para de este modo cumplir con la primeracondici´on. Para ello, ponemosfη(n) = mın{a ∈ A(∀k ≤ 2n)(gη(k) ≤ a) ∧ (∀k < n)(fη(k) <a)} = mın{(A − (max(gη[2n + 1]) ∪ (max(fη[n]) + 1))), y de inmediato se ve que con estadefinición se cumple la segunda condición impuesta a la construcción.

Aseguramos que fκ es una cota para F . Sea ξ ≤ κ. Dado que ran(fκ) ⊆∗ ran(fξ), hay un m < ωtal que (∀n < ω)(fξ(m + n) ∈ ran(fξ)). Pero siendo fξ inyectiva y estrictamente creciente, hade tenerse que la enumeración creciente de ran(fξ) es justamente fξ; luego como además fκ esinyectiva y estrictamente creciente, necesariamente se sigue que (∀n < ω)(fκ(m + n) ≥ fξ(n)).Ahora bien, debido a la segunda condición impuesta durante la construcción, tenemos que, paracada 2m ≤ n < ω, se cumple:

fκ(n) = fκ(n−m + m) ≥ fξ(n−m) ≥ gξ(n),

la segunda desigualdad se debe a que, dado que 2m ≤ n < ω, entonces 2(n−m) ≥ n y porlo tanto la segunda condición impuesta en la construcción recursiva implica la desigualdaddeseada.

Esto prueba que F es acotada, luego no hay familias no acotadas de tamaño menor a p y porlo tanto p ≤ b.�

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B.2. Escalas

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Definición B.2.1. Una sucesión {fα : α < λ} de elementos de ωω es una λ-escala si (∀α <β < λ)(fα < fβ) y además {fα : α < λ} es una familia dominante.

110 B.2. Escalas

�

Es un hecho que en ZFC no se puede demostrar ni la existencia ni la no existencia de unaescala, sin embargo, a continuación presentaremos un resultado de suma importancia. Para ellonecesitamos primero el siguiente lema.

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Lema B.2.2. b es un cardinal regular.

Demostración:

Sea

µ := mın{|F| : F ⊆ ωω ∧ F es una ≤∗ -cadena no acotada}.

Aseguramos que b = µ. Por la definición, es inmediato que b ≤ η.

Veamos ahora que b ≥ µ:

Sea F = {gα : α < b}una familia no acotada. Tomemos g0 = f0 y, suponiendo que ya conocemos{fξ : ξ < α}, recursivamente construiremos fα. Para ello, notemos que{gξ : ξ ≤ α} ∪ {fξ : ξ <α}tiene cardinalidad |α| < b, luego podemos elegir f_\alpha que sea una cota superior paraesta familia. Una vez que tengamos {fα : α < b}, es claro que ésta sería una familia no acotaday, por construcción, una cadena(ξ < α < b ⇒ fξ ≤∗ fα). Esto implica que µ ≤ b y por lotanto µ = b. Ahora veamos que µ = cf(µ): si {fα : α < µ} es una cadena no acotada y{αδ : δ < cf(µ)} es una sucesión cofinal en µ, entonces claramente {fαδ : δ < cf(µ)} tambiénsería una cadena no acotada; luego la minimalidad de µ implica que µ = cf(µ).�

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Teorema B.2.3. Existe una escala si y sólo si b = d.

Demostración:

Sea {fα : α < κ} una escala. Sin pérdida de generalidad podemos suponer que \kappa es uncardinal regular (debido a que, dada una sucesión {αδ : δ < cf(κ)} cofinal en κ, entonces{fαδ

: δ < cf(κ)} también es una escala. Dado que una escala es, en particular, una familiadominante, entonces de acuerdo con las hipótesis tenemos que b ≤ d ≤ κ. Con ésto, bastademostrar que κ ≤ b.

Sea λ < κ y F = {gα : α < λ} ⊆ ωω, veamos que F es una familia acotada.

Por hipótesis, dado que las fα forman una familia dominante, para cada α < λ hay un ciertoβα < κ tal que gα ≤∗ fβα. Sea β := supα<λ βα. El hecho de que κ es regular, no asegura queβ < κ, por tanto dado que los fα forman una escala, se tiene que pra cada α < λ se cumplegα ≤∗ fβα ≤∗ fβ. Lo que significa que fβ es una ≤∗ -cota superior para F , con lo que tenemosque no hay familias no acotadas de tamaño < κ y por lo tanto κ ≤ b.


Para el recíproco, supongamos que b = d = κ, entonces, por el lema anterior, κ es un cardinalregular. Sea {gα : α < κ} una famiñia dominante. Definimos recursivamente nuestra escala{fα : α < κ} de la siguiente manera:

f0 = g0, y si ya conocemos {fβ : β < α} para α < κ, dado que κ = b, podemos elegir fα que seauna ≤∗ -cota superior para {fβ : β < α} ∪ {gβ : β ≤ α}, (pues ésta última tiene cardinalidadmenor o igual a ωα < b). Luego, por construcción, si α < β < κ entonces fα ≤∗ fβ. Además,dado f ∈ ωω tenemos que, para algún α < κ, f ≤∗ gα ≤∗ fα y por lo tanto tenemos que{fα : α < κ} es una b = d = κ − escala.��

Apéndice C

forcing

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En el año de 1963, Paul Joseph Cohen (1934 – 2007) demostró en su artículo “The independenceof the Continuum Hypotesis” [12], que la negación de la Hipótesis del Continuo es consistentecon ZFC; su idea fue completamente natural: extender un modelo de la teoría de conjuntosagregándole nuevos conjuntos sobre esta y para así poder hacer que la Hipótesis del Continuofalle. Sin embargo, dado que el objetivo principal era hacer más grande el conjunto potenciade los reales, los nuevos conjuntos que se tienen que introducir deben tener propiedades muyparticulares.

El hecho de poder extender a los modelos de la teoría de conjuntos de la manera precisa fue loque hizo que el forcing se convirtiera ahora en un método de pruebas de consistencia relativacon aplicaciones no sólo en la teoría de conjuntos, sino también en otras áreas como el análisis,la topología y la teoría de la medida. El estudio de los resultados que justifican y dan formaal forcing permite entender, de manera general, cómo construyó Laver un modelo en el que secumple la Conjetura de Borel.

C.1. Modelos estándar y modelos transitivos

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Es bien sabido que la consistencia de una teoría implica que existe un modelo para ésta. Sinembargo, la Conjetura de Borel, como cualquier otro resultado que se prueba mediante forcing,presupone la existencia de un modelo transitivo y estándar. La justificación de que las pruebascon forcing siguen siendo pruebas de consistencia relativa está basada en teoremas como elteorema de Reflexión, el Colapso de Mostowski y el teorema de Löwenheim-Skolem. Aquí, seexplicará en qué consisten esas propiedades y por qué se piden.

Definición C.1.1. M es transitivo si y solo si ∀x(x ∈ M ⇒ x ⊆ M).

Definición C.1.2. Un modelo de ZFC es estandar si el símbolo ∈ se interpreta como lapertenencia entre conjuntos.

113

114 C.1. Modelos estándar y modelos transitivos

Es importante recordar que los modelos de ZFC son interpretaciones del lenguaje de la teoría decojuntos que hacen verdaderos a los axiomas, y que tales interpretaciones se pueden caracterizarcomo pares ordenados conformados por un conjunto o clase que interpreta al “universo” y unarelación que interpreta a la relación ∈. Así, si 〈M, R〉 es modelo de ZFC, éste interpreta a todafórmula ϕ del lenguaje de la teoría de conjuntos. Se puede definir formalmente (ver [22] pág.112) la interpretación de una fórmula ϕ en 〈M, R〉, denotada por ϕ〈M,R〉 y conocida como larelativización de ϕ a 〈M, R〉.

Dos ejemplos de esto serían, (x ∈ y)〈M,R〉 = xRy y (∃xφ)〈M,R〉 = ∃x ∈ M ∧ φM .

La ventaja de trabajar con modelos estándar es que la interpretación de una fórmula del lenguajede la teoría de conjuntos sólo requiere acotar los cuantificadores. Por ejemplo (∃x(x ∈ y))〈M,R〉 =∃x ∈ M ∧ x ∈ y. Dado que en forcing se trabaja con modelos estándar, de ahora en adelante enlugar de referirnos a los modelos de ZFC mediante 〈M, R〉, lo haremos simplemente medianteM .

C.1.1. Absolutez y Relativización.

Al trabajar con modelos transitivos se garantiza que el significado de cierto tipo de fórmulas-llamadas fórmulas absolutas para modelos transitivos- no varía si se relativizan a un modelotransitivo o si se piensan en el universo de todos los conjuntos. Un ejemplo es: si los elementosde un conjunto no vacío que pertenece a una clase M no están en M , entonces tal conjuntoes vacío según M . Esto se evita si M es una clase transitiva, ya que por definición contiene atodos los elementos de sus elmentos.

Definición C.1.3. Sea ϕ una fórmula del lenguaje de la teoría de conjuntos. Se dice que ϕ esuna fórmula absoluta para clases transitivas si y sólo si para toda clase transitiva M se tieneque:

∀x1, ..., xn ∈ [ϕM(x1, ..., xn) ⇔ ϕ(x1, ..., xn)].

Hay una gran variedad de fórmulas que son absolutas para modelos transitivos de ZFC; porejemplo: x = ∅, x = ω, R es relación (ver [22] pág. 120-121), pero aún más interesantes sonaquellas que no son absolutas para modelos transitivos; por ejemplo α es cardinal ó y = P(x).De hecho, la no absolutez de la noción de potencia de un conjunto juega un papel central en elforcing.

C. forcing 115

C.2. Definición de forcing

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Como se dijo anteriormente, la idea del forcing, a grandes rasgos, es el de agregarle a un modelode ZFC nuevos conjuntos, para así obtener un modelo más grande, o mejor dicho más gordo,(ya que el modelo extendido tiene los mismos ordinales que el modelo base) y en el que secumpla el enunciado con el que se quiere probar la consistencia. Una de las cosas interesanteses que los nuevos conjuntos, aunque no están en el modelo base, pueden conocerse a partir delos elementos de éste.

De manera intuitiva se puede hacer una analogía con la construcción de los reales. La clave enel forcing está en el uso de órdenes parciales muy particulares que nos hacen ver cuales son losconjuntos que no están en el modelo base y por lo tanto nos sugieren cómo se va a extender.

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Definición C.2.1. Sea (P, ≤) un orden parcial con un elemento máximo, es decir que 1P ∈ Ptal que ∀p ∈ P, p ≤ 1P .G ⊆ P es un filtro sobre P si:

i) G 6= ∅.

ii) ∀p, q ∈ G, ∃r ∈ G tal que r ≤ p y r ≤ q

iii) ∀p ∈ G, ∀q ∈ G (p ≤ q ⇒ q ∈ G)

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Observación C.2.2. Si G es filtro sobre P entonces 1P ∈ G.

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Definición C.2.3. Un conjunto D es denso en P si D ⊆ P y ∀p ∈ P ∃q ∈ D tal que q ≤ p.

�

Definición C.2.4. Sea M un modelo estándar y transitivo de ZFC y P un orden parcial talque P ∈ M . Decimos que G es P-genérico sobre M si G es filtroy para todo D ∈ M denso enP se tiene que D ∩ G 6= ∅.

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Definición C.2.5. ∀p, q ∈ P, decimos que p y q son compatibles, denotado por p ‖ q si y solosi ∃r ∈ P tal que r ≤ p y r ≤ q.

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Notación: p ⊥ q denotará el caso en el que p y q sean incompatibles, es decir cuando ∀r ∈P(r > p ∨ r < q).

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116 C.2. Definición de forcing

Definición C.2.6. Un orden parcial (P, ≤) es frondoso si ∀p ∈ P ∃s, t ∈ P (s ≤ p ∧ t <p ∧ s ⊥ t).

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Lema C.2.7. Si M es un modelo estádar y transitivo de ZFC, P un orden parcial frondoso quepertenece a M y G un filtro P-generico sobre M entonces G /∈ M .

Demostración:

Supongamos que G ∈ M y sea D = {x ∈ P : x /∈ G}.

D es denso en P y D ∈ M , ya que G ∈ M y como es modelo de ZFC, por el axioma de separaciónse tiene que D ∈ M . Por otro lado, dado que P es frondoso, se tiene que para cualquier p ∈ P∃s, t ∈ P (s ≤ p ∧ t ≤ p ∧ s ⊥ t), con lo que tenemos que s /∈ G o t /∈ G, pues de lo contrario,s y t serían compatibles, ya que G es filtro. Sin pérdida de generalidad supongamos que s /∈ G,entonces se tiene que s ∈ D y como s ≤ p, s es testigo de que existe x ∈ D tal que x ≤ p. Conlo que tenemos que D es denso en P y dado que G es un filtro P-generico entonces D ∩ G 6= ∅.Lo cual es una contradicción, pues D = P− G.��

Cabe señalar que G ∈ P(P) pero G /∈ M . Esto es muy importante para las pruebas de con-sistencia relativa y nos hace ver que la noción de potencia de un conjunto no es absoluta. Dehecho, todo modelo estándar, transitivo y numerable con un orden parcial frondoso tenga unfiltro P− genergico que no pertenezca al modelo es un punto clave para la técnica de forcing.

La prueba de la existencia de filtros P-genericos se basa en que el modelo base es numerable. Dehecho un dato curioso es que esta condición de numerabilidad involucra un resultado aparen-temente paradójico, pues si M es un modelo de ZFC numerable, entonces en M el conjunto dereales es numerable. Este resultado es conocido como la paradoja de Skolem, pero no encierraninguna contradicción (ver [22] pág. 141). Esto se debe a que la noción de ser no numerableno es absoluta, ya que un conjunto es no numerable si no hay una función suprayectiva de losnaturales en él. Así, un conjunto numerable puede ser no numerable según un modelo por elhecho de que la función que lo biyecta con los naturales no está en el modelo.

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De ahora en adelante para referirnos al orden parcial (P, ≤) sólo lo haremos con P.

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Lema C.2.8. Si M es un modelo numerable de ZFC, P un orden parcial que pertenece a M yp ∈ P, entonces hay un filtro P-generico G sonre M tal que p ∈ G.

Demostración:

Sea {Dn}n∈ω una numeración de los densos que pertenecen a M , la cual existe ya que porhipótesis M es numerable. Sea A0 = {p} y An+1 = Dn. Tomamos X = {{pn}k

n=0 : pn ∈ An, k ∈ω y ∀n < k, pn+1 ≤ pn} y definimos la siguiente relación sobre X:

C. forcing 117

∀s, t ∈ X, sRt si y solo si s = {pn}kn=0 y t = s ∪ {pk+1}.

Sea s = {pn}kn=0 ∈ X. Como pk ∈ Ak ⊆ P y Ak+1 = Dk que es denso en P, entonces existe

q ∈ Dk+1 tal que q ≤ pk. Si tomamos t = s ∪ {q}, entonces existe t ∈ X tal que sRt. En otraspalabras, X y R cumplen el principio de elección dependiente. Por lo tanto existe una sucesión{sk}∞

k=0 tal que skRsk+1, es decir sk = {pn}kn=0 ⊆ {pn}k+1

n=0 = sk+1 y además pn+1 ≤ pn.

Sea S =⋃

k∈ωsk, la cual es una sucesión infinita {pn}∞

n=0 tal que p0 = p , ∀n ∈ ω pn+1 ∈ Dn y

pn+1 ≤ pn.

Sea G = {q ∈ P : ∃n ∈ ω, pn+1 ≤ q}. Este conjunto es un filtro P-generico, pues es distito delvacío porque p = p0 ∈ G, la segunda condición se cumple pues S tiene un orden lineal y latercera condición por definición de G. Además, G es genérico pues ∀n ∈ ω pn+1 ∈ G ∩ Dn.�

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Es importante hacer ver que la numeración de los densos en P que pertenecen a M existe,aunque eso no significa que esté en M . De hecho, si P es frondoso no hay numeración en Mde los densos, pues si hubiera tal, como M es modelo del axioma de separación y G = {q ∈P : ∃n ∈ ω, pn+1 ≤ q} tendríamos, contrario al lema C.1.12 que G está en M ; lo que nos haceconcluir que ZFC se utiliza de dos maneras, con M un modelo de ZFC y como metateoríadesde donde se demuestran proposiciones como el lema anterior, pues el principio de eleccióndependiente se aplicó ’fuera’ de M ; por decirlo de otra manera, ZFC es el marco teórico desdedonde se trabajan muchos resultados de forcing.

Ahora, lo que sigue, es mostrar cómo es que se puede extender un modelo de manera quesiga siendo modelo de ZFC. La idea principal es nombrar los elementos de la extensión genéricamediante los elementos del modelo base, de tal manera que los nombres nos permitan responderpreguntas sobre cómo son los elementos de la extensión genérica.

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Definición C.2.9. Sea P un orden parcial. Decimos que τ es un P-nombre si τ es una relacióntal que ∀(σ, p) ∈ τ , σ es un P-nombre y p ∈ P.1

�

notación: Sea V el universo de todos los conjuntos, M un modelo de ZFC y P un ordenparcial en M . V P denotará a la clase de los P-nombres y MP a la clase de los P-nombres en M .

�

Definición C.2.10. Sea G un filtro P-generico y V el universo de todos los conjuntos. SeaiG : V P → V tal que ∀τ ∈ V P

iG(τ) = {iG(τ) : ∃p ∈ G tal que (σ, p) ∈ τ}.2

1Se puede dar una definición formal de manera recursiva (ver [22] pág. 188)2Se puede dar una definición formal de manera recursiva (ver [22] pág. 188)

118 C.2. Definición de forcing

�

Cabe señalar que MP, aunque está definido en principo como un conjunto de elementos parti-culares de M , puede pensarse simplemente como un conjunto de símbolos de constante que seagregan al lenguaje de la teoría de conjuntos para extenderlo a un lenguaje L′ (conocido comoel lenguaje de forcing), lo que nos explica que nos refiramos a ellos como ’nombres’. Así, en estesentido se puede decir que la función iG es una interpretación, o en otras palabras, una funciónque a cada nombre le asocia un objeto, entre muchas otras. Sin embargo, es la que nos interesa,pues existe una relación fundamental entre lo que es verdadero en la extensión genérica y loque es verdadero en el modelo base.

Para ver que G un filtro P-generico tiene un P-nombre, y por lo tanto, es un elemento de laextesión genérica es necesario introducir un tipo especial de P-nombres:

�

Definición C.2.11. Dado x ∈ M , x = {(y, 1P) : y ∈ x}, se dice que es el nombre canónico dex.

�

Lema C.2.12. iG(x) = x.

Demostración:

Lo haremos por inducción. Sea x tal que para todo y ∈ x se tiene que iG(y) = y. Comox ={(y, 1P) : y ∈ x} y para cualquier filtro G, se tiene que 1P ∈ G, entonces iG(x) = {iG(y) : y ∈ x}.Así, usando la hipótesis de inducción, tenemos que iG(x) = x. De manera que por el principiode ∈ -induccion3dado que cualquier conjunto x, iG(x) = x.�

�

El siguiente lema nos permitirá construir un P-nombre para G en M y además ver que M [G]es una extensión de M .

�

Lema C.2.13. M ⊆ M [G].

Demostración:

Sea m ∈ M y sea m el nombre canónico de m. Como iG(m) = m y m ∈ MP, entoncesm = iG(m) ∈ iG[MP] = M [G].�

�

3Si P es una propiedad acerca de conjuntos, el principio de ∈ -induccion nos dice que ∀x[∀y(y ∈ x →P (y)) → p(x)] → ∀xP (x)

C. forcing 119

Lema C.2.14. Sea P un orden parcial y G un filtro P-generico. Si Γ = {(p, p) : p ∈ P}, entoncesiG(Γ) = G.

Demostración:

Nótese que Γ es un P-nombre, pues es un conjunto de pares ordenados con dominio en losnombres canónicos y rango en el orden parcial. Así, por definición tenemos que iG(Γ) = {iG(p) :p ∈ G}. Luego, iG(p) = p. Con lo que se tiene que iG(Γ) = {p : p ∈ G} = G y G ∈ M .�

�

Estos últimos lemas garantizan que si P es un orden parcial frondoso, entonces M $ M [G]. Losiguiente sería demostrar que M [G] es modelo de ZFC. A partir de la definición de iG es posibledemostrar que M [G] es modelo de los axiomas de extensionalidad, regularidad, par, infinitoy elección (ver [22] pág. 191). Sin embargo para los axiomas como separación o potencia senecesita la noción de forzar.

�

Definición C.2.15. Sea ϕ(x1, ...xn) una fórmula del lenguaje de la teoría de conjuntos, dondex1, ..., xn son variables libres. Sea M un modelo estándar transitivo y numerable de ZFC, P unorden parcial sobre M , p ∈ P y τ1, .., τn ∈ MP. Decimos que “p fuerza a q”, denotado comop ϕ(τ1, .., τn) si dado cualquier filtro P-generico G tal que p ∈ G entonces ϕ(iG(τ1), .., iG(τn))es válida en M [G], i.e. ϕ(iG(τ1), .., iG(τn))M [G].

�

Los P-nombres son formas de referirnos a elementos de M [G] a partir de M y las condicionesestán en M , ya que son elementos de P, el cual pertenece a M un modelo transitivo. Sinembargo, la definición que se dió involucra a M [G], lo que haría imposible demostrar que M [G]es modelo de ZFC, a menos que la noción de forzar también se pudiera expresar en términosde M . Lo que nos lleva a la siguiente relación llamada forcing estrella y que es denotada por ∗.

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Lema C.2.16. (Definibilidad) ∀p ∈ P, p ∗ ϕ(τ1, .., τn) ⇔ p ϕ(τ1, .., τn).

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No se dará aquí la demostración del lema de definibilidad ni la definición formal de forcingestrella, (ver[22] p.195-197), pero para ilustrar el funcionamiento de ∗ se dará el siguienteejemplo:

�

Ejemplo C.2.17. Sean p, q ∈ P y G un filtro P-generico con Γ su P-nombre en M y sea ϕ lafórmula x1 ∈ x2, entonces p ∗ ϕ(q, Γ) si y sólo si M |= p ≤ q.

120 C.3. forcing Iterado

Por el lema anterior p ∗ ϕ(q, Γ) ⇒ p ϕ(q, Γ), entonces p ∗ ϕ(q, Γ) ⇒ (p ∈ G ⇒ q∈G)M [G],lo que significa que podemos garantizar cosas en la extensión genérica a partir de lo que sucedeen el modelo base.

�

Cabe señalar que en la definición de forzar se trata siempre de condicionales. En forcing, sip ∈ G y p ≤ q entonces q ∈ G. De hecho, el orden que heredan las sucesiones de ceros y unos delos subconjuntos de naturales finitos ordenados mediante la contención invertida, nos permitedecir que si la sucesión sn describe a x y sn ≤ sm, entonces sm también describe a x.

�

C.2.1. Reales de Cohen. �

El siguiente ejemplo describe la forma más simple de añadir un nuevo conjunto de númerosnaturales al modelo base. Un conjunto A ⊆ ω obtenido de la manera siguiente es llamado unreal de Cohen genérico.

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Ejemplo C.2.18. Definimos la sisiguiente noción de forcing: (C, <) = (2<ω, ⊇), es decir, loselementos de C son sucesiones finitas de ceros y unos y una condición p será más fuerte que q(p < q) si p extiende a q.

Claramente p y q son compatibles si o bien p ⊆ q o q ⊆ p. Sea M el modelo base (nótese que(2<ω, ⊇) ∈ M) y sea G ⊆ C un filtro genérico sobre M . Sea f =

⋃G. Como G es un filtro,

tenemos que f es una función.

Para cada n ∈ ω, definimos Dn = {p ∈ C : n ∈ dom(p)}, el cual es denso en C y por tantointersecta a G y se tiene que dom(f) = ω.

Obsérvese que f es la función característica de un conjunto A ⊆ ω y afirmamos que la funciónf (o el conjunto A) no está en el modelo base.

Para cada función característica g ∈ M , sea Dg = {p ∈ P : p * g}. El conjunto Dg es denso ypor tanto intersecta a G y se tiene que f 6= g.

C.3. forcing Iterado

Dado que existe un gran número de problemas indecidibles que han sido resuletos por el métodode forcing, no es sorprendente que ésta técnica se haya sofisticado. Una de dichas tecnicas es ladel forcing iterado, en el cual, el conjunto de condiciones de forcing es construido inductivamentey la última extensión genérica se considera obtenida en una serie de pasos, cada una, genéricasobre la que le precede. Esta técnica tiene sus raíces en la prueba de consistencia del Axiomade Martin dada por Solovay-Tennembaum en su artículo de 1971 llamado “Iterated Cohenextensions and Souslin’s problem” [40] y recientemente ha tenido una gran serie de aplicacionestales como para la prueba de Laver para la consistencia de la Conjetura de Borel.

C. forcing 121

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Definición C.3.1. Se dice que A es una anticadena en un orden parcial (P, ≤) si sus elementosson incompatibles dos a dos. A es una anticadena maximal si ninguna anticadena de P, contienea A como subconjunto propio.

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Definición C.3.2. Si κ es un cardinal y (P, ≤) un orden parcial, decimos que P tiene lacondicion de la κ-cadena si para cualquier anticadena A ⊆ P se tiene que |A| < κ.

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Definición C.3.3. Si κ es un cardinal y (P, ≤) un orden parcial, decimos que P es κ-cerradosi y solo si para cada λ < κ y cualquier sucesión {pα : α < λ} donde si α < β se tiene quepα ≤ pβ, entonces ∃p ∈ P tal que p ≤ pα para toda α < λ.

�

Las expresiones “condicion de la cadena contable” y “cerrado contable” generalmente se usanen lugar de condicion ℵ1-cadena y ℵ1-cerrado.

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Definición C.3.4. Si κ es un cardinal y (P, ≤) un orden parcial, decimos que (P, ≤) es κ-cerrado dirigido si y solo si para cualquier X ⊆ P, si X es dirigido (es decir si ∀p, q ∈ X∃r ∈ X tal que r ≤ p, q) y |X| < κ entonces ∃p ∈ P tal que ∀q ∈ X(p ≤ q).

�

Nótese que si (P, ≤) es κ-cerrado dirigido entonces (P, ≤) es κ − cerrado y si κ = ℵ1 entonces elconverso es verdadero también. Es bien sabido que si (P, ≤) tiene la condición de la κ − cadenaentonces el forcing (P, ≤) preserva a todos los cardinales ≥ κ y si (P, ≤) es κ−cerrado entoncesel forcing P preserva a todos los cardinales ≤ κ.

�

Definición C.3.5. Dada una familia de conjuntos F , decimos que es un △-sistema si y solosi existe un conjunto △ llamado el kernel del △-sistema tal que para cada A, B ∈ F si A 6= Bentonces A ∩ B = △.

�

La condición de la κ-cadena se verifica a menudo usando △-sistemas.

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Es bien sabido que la extensión genérica de una extensión genérica es expresable como una solaextensión genérica.

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Dado (P, ≤) un orden parcial y supongamos que P Q es un orden parcial.

Sea

P⊗ Q = {(p, q) : p ∈ P ∧ P q ∈ Q},

con el siguiente orden:

(p1, q1) ≤ (p2, q2) si y solo si p1 ≤ p2 y p1 q1 ≤ q2.

Identificamos los elementos (p1, q1) y (p2, q2) si (p1, q1) ≤ (p2, q2) ≤ (p1, q1). Entonces el forcingP⊗ Q hace exactamente lo mismo que el forcing primero con P y luego con Q. De manera másprecisa:

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Teorema C.3.6. a) Supongamos que G es P-genérico sobre V y H es QV [G]-genérico sobreV [G]. Sea J = {(p, q) ∈ P⊗ Q : p ∈ G ∧ qV [G] ∈ H}, entonces J es P⊗ Q-genérico sobre V .(J a veces es denotado por G ⊗ H).

b) Supongamos que J es P ⊗ Q-genérico sobre V . Entonces G = {p ∈ P : ∃q(p, q) ∈ J} esP-genérico sobre V y H = {qV [G] : ∃p(p, q) ∈ J} es QV [G]-genérico sobre V [G].


�

Observación C.3.7. 1. En ocasiones se dice que (p, q) ∈ P⊗ Q cuando sólo se ha comprobadoque p q ∈ Q. Esto se puede hacer ya que siempre hay un término r tal que r ∈ Q yp q = r.

2. Si Q ∈ V entonces P× Q es denso en P⊗ Q, ya que cada q ∈ Q se identifica con su nombrecanónico. Es fácil ver que en el Teorema D.3.6 a) y b), J ∩ (P × Q) = G × H . Así si G esP-genérico sobre V y H es Q-genérico sobre V [G], entonces por simetría tenemos el resultadode que G es P-genérico sobre V [H ].

�

Análogamente a la iteración con dos pasos, se puede iterar tres veces. Simplemente se fuerzacon (P⊗Q)⊗ R. Es natural considerar a los elementos de (P⊗Q)⊗ R no como pares ordenados((p, q), r), sino como sucesiones (p, q, r) de tamaño tres. Esto nos hace considerar de maneranatural la siguiente definición inductiva que sirve para iteraciones transfinitas.

�

Definición C.3.8. Sea α ≥ 1 un ordinal, decimos que un orden parcial (Pα, ≤α) es una α-stage de iteracion si Pα es un conjunto de α-sucesiones que satisfacen las siguientes propiedades:

a) Si α = 1, entonces para alguna noción de forcing (Q0, ≤Q0)

1) P1 es el conjunto de 1-sucesiones 〈p(0)〉, donde p(0) ∈ Q0;

C. forcing 123

2) 〈p(0)〉 ≤1 〈q(0)〉 si y solo si p(0) ≤ q(0).

b) Si α = β + 1, con β ≥ 1, entonces Pβ = {p ↾β: p ∈ Pα} es una iteración de tamaño β, y hayuna noción de forcing Qβ ∈ V Pβ tal que:

1) β Qβ es un orden parcial y p∈ Pα si y solo si p ↾β∈ Pβ y β p(β) ∈ Qβ;

2) p ≤α q si y solo si p ↾β≤β q ↾β y p ↾β β p(β) ≤ q(β).

Nótese que por inducción, el orden Pβ está bien determinado. Así, Pα = Pβ ⊗ Qβ .

c) Si α es un ordinal límite, entonces para cada β < α, Pβ = Pα ↾β= {p ↾β: p ∈ Pα} es unaiteración de tamaño β y:

1) La α-sucesión 1 = 〈1, 1, ..., 1...〉 ∈ Pα,

2) Si p ∈ Pα, β < α y si q ∈ Pβ es tal que q ≤ p ↾β entones r ∈ Pα donde para toda ξ < α ,r(ξ) = q(ξ) si ξ < β y r(ξ) = p(ξ) si β ≤ ξ < α;

3) Para toda p, q ∈ Pα, p ≤α q si y sólo si ∀β < α p ↾β≤β q ↾β.

�

Es fácil ver por inducción que si p ∈ Pα entonces p(0) ∈ Q0 y ∀β < α, si β ≥ 1 se tiene que β p(β) ∈ Qβ, y si p, q ∈ Pα entonces p ≤ q si y sólo si p(0) ≤ q(0) y ∀β < α, si β ≥ 1 se tieneque p ↾β β p(β) ≤ q(β).

�

Obsérvese que P1 está completamente determinado por Q0 y que Pβ+1 está completamentedeterminado por Pβ y Qβ . Sin embargo, si α es un ordinal límite, excepto en ciertos casostriviales Pα no está determinado por {Pβ : β < α} y hay muchas posibilidades, lo que nos llevaa las siguientes definiciones:

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Definición C.3.9. Decimos que Pα es el lımite directo de {Pβ : β < α} si se tiene que p ∈ Pα

si y sólo si ∃β < α p ↾β∈ Pβ y ∀γ si β ≤ γ < α entonces p(γ) = 1.

�

Definición C.3.10. Decimos que Pα es el lımite inverso de {Pβ : β < α} si se tiene que p ∈ Pα

si y sólo si ∀β < α p ↾β∈ Pβ .

�

Puede ser posible que haya otros tipos de límites pero son menos comunes. Así, un α-stage de iteracionPα estará completamente determinado si se especifican el orden inicial Q0, los órdenes Qβ quevan a aser usados en los stages β + 1 ≤ α y el tipo de límite que se va a tomar para cadaordinal límite δ ≤ α.

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Definición C.3.11. Si p ∈ Pα, se define el soporte de p como sp(p) = {β < α : p(β) 6= 1}.

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Nótese que, por ejemplo, si los límites directos son tomados para cada β ≤ α tal que cf(β) > ω(y cualquier tipo de límite en otra parte) entonces el soporte de cada p ∈ Pα es contable ofinito.

�

Definición C.3.12. Si I es un ideal sobre α y que contiene a todos los conjuntos finitos,entonces una iteracion con I-soporte es una iteración que para cada ordinal límite γ < α setiene que p ∈ Pγ si y sólo si ∀β < γ p ↾β∈ Pβ y sp(p) ∈ I.

�

Una de las herramientas más usadas en forcing son las iteraciones con soporte contable (o numerable),donde en la definición anterior, I es el ideal de los conjuntos contables (o numerables).

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Definición C.3.13. Una iteracion con soporte contable (o numerable) es una iteración talque para cada ordinal límie γ si cf(γ) = ω entonces Pγ es un límite inverso y si cf(γ) > ωentonces Pγ es un límite directo.

�

Apéndice D

El Axioma de Martin

En 1969, Donald A. Martin junto con R. M. Solovay en su artículo titulado “Internal Cohenextensions.” [27], propusieron lo que ahora se conoce como el Axioma de Martin. Dicho axiomaes implicado por la Hipótesis del Continuo y es un enunciado independiente de ZFC pero quees consistente con ZFC + ¬HC.

El Axioma de Martin tiene una gran cantidad de consecuencias y pudo resolver diversos pro-blemas que surgieron del estudio de la Hipótesis del Continuo.

Para llegar a la definición del Axioma de Martin recordemos las siguientes definiciones:

�

Definición D.0.14. Se dice que A es una anticadena en un orden parcial (P, ≤) si sus elementosson incompatibles dos a dos. A es una anticadena maximal si ninguna anticadena de P, contienea A como subconjunto propio.

�

Definición D.0.15. Si (P, ≤) un orden parcial, decimos que P tiene la condicion de la cadenacontable (o c.c.c) si para cualquier anticadena A ⊆ P se tiene que |A| ≤ ℵ0.

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Sea κ un cardinal infinito. La siguiente versión “restringida” del Axioma de Martin, MA(κ), nosdice que por más grande que sea nuestro orden parcial e incluso cuando tenemos tantos comoκ subconjuntos densos en nuestra colección, aún así podemos encontrar un filtro D-generico.

�

Definición D.0.16. Decimos que se cumple MA(κ) si dado (P, ≤) un orden parcial con lac.c.c. y D una colección de subconjuntos densos de P con |D| ≤ κ, entonces existe un filtroGun D-generico sobre P.

�

Nótese que si MA(λ) se cumple y κ < λ entonces MA(κ) también se cumple.

�

125

126

Proposición D.0.17. MA(ω) es un enunciado verdadero en ZFC. De hecho podemos dejarde lado la hipotesis de que P tenga la c.c.c.

Demostración:

Sea D = {Dn : n ∈ ω} una colección de subconjuntos densos de P. Definimos una sucesióndecreciente {pn : n ∈ ω}, es decir, pn+1 ≤ pn, para cada n ∈ ω y por tanto pn ∈ Dn. Esto sehace fácilmente por inducción. Sea p0 ∈ D0 arbitrario. Dado pn, como Dn+1 es denso podemoencontrar un pn+1 ∈ Dn+1 con pn+1 ≤ pn. Definimos

G = {q : ∃n ∈ ωtal que pn ≤ q}.

Es fácil ver que G es el filtro deseado.�

�

Proposición D.0.18. Si MA(κ) se cumple, entonces κ < 2ℵ0. En particular, MA(2ℵ0) es falso.

Demostración:

Supongamos que MA(κ) se cumple. Basta demostrar que dada una colección {fα : α < κ} defunciones de ω en ω podemos encontrar otra función g distinta de cualquier fα.

Sea P = Fn(ω, ω). Para cada α < κ sea

Hα = {q ∈ P : ∃n fα(n) 6= q(n)}.

Es fácil ver que Hα es denso. Sea p ∈ P arbitrario. Tomamos algún n que no esté en el dominiode p y extendemos p a q = p ∪ {(n, fα(n + 1))}. Entonces q ∈ Hα.

Sea D = {Dn : n ∈ ω} ∪ {Hα : α < κ}. Así, |D| = κ y dado que supusimos MA(κ) podemosencontrar un filtro G un D-generico. Sea g = ∪G. Obsérvese que g ∈ ωω. Afirmamos que g esla función deseada.

Sea α < κ; queremos ver que fα 6= g.

Como G es D-generico existe p ∈ G ∩ Hα. Sea n ∈ ω tal que p(n) 6= fα(n). Entonces g(n) =p(n) 6= fα(n) y por tanto fα 6= g.�

�

Definición D.0.19. El Axioma de Martin (MA) es el enunciado que dice que para todaκ < 2ℵ0, MA(κ) es verdadero.

�

Nótese que por la proposición D.0.17, si la Hipótesis del Continuo se cumple entonces MA esverdadero.

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D. El Axioma de Martin 127

D.1. La versión topológica del Axioma de Martin

�

Recordemos que el Teorema de Baire nos dice que si X es un espacio topológico de Hausdorff1

y localmente compacto, entonces toda intersección numerable de densos abiertos es denso.

La versión topológica del Axioma de Martin extiende al Teorema de Baire, en el sentido queestamos agregando la cantidad de subcojuntos densos que se permite intersectar pero restrin-giendo el espacio al considerar sólo espacios con la c.c.c.2

�

Definición D.1.1. Versión topológica del Axioma de Martin (MAT op): Para todoespacio topológico (localmente) compacto Hausdorff que satisface la c.c.c., siempre que U seauna familia de subconjuntos densos abiertos no vacíos tales que |U| < 2ℵ0, se cumple que

⋂U

es denso.

�

Teorema D.1.2. El Axioma de Martin es equivalente a la versión topológica del Axioma deMartin.

La demostración puede consutarse en [31] pág. 832.

D.2. Algunas consecuencias del Axioma de Martin

Una forma de decir cómo se puede aplicar al el Axioma de Martin es la siguiente “El Axiomade Martin nos dice que los cardinales infinitos menores que el continuo se comportan como ℵ0”.De hecho una de las primeras consecuencias de MA es la siguiente:

�

Teorema D.2.1. MA(κ) implica que para cada familia de funciones de ω en ω de tamaño alo más κ hay una única función que las domina a todas, es decir, b > κ. En particular, bajo elAxioma de Martin, b = 2ℵ0.

Demostración:

Sea F una familia de funciones de tamaño κ. Queremos encontrar una función g ∈ ωω tal quef ≤∗ g para toda f ∈ F . Para poder aplicar el Axioma de Martin necesitamos definir un ordenparcial apropiado para el cual el filtro genérico nos dé la función deseada. Definimos el siguienteorden:

1Un espacio topológico X es un espacio de Hausdorff si para cada x, y ∈ X con x 6= y existen U y W

vecindades de x y y respectivamente y tal que U ∩ W = ∅.2Un espacio topológico satisface la c.c.c. si el orden parcial de los subconjuntos abiertos de X satisface

la condición de la cadena contable, es decir, si cualesquir colección de subonjuntos abiertos no vacíos de X ydisjuntos dos a dos es contable.

128 D.2. Algunas consecuencias del Axioma de Martin

P = ({(p, A) : p ∈ Fn(ω, ω)yA ⊆ F es finito}, ≤P).

Donde (q, B) ≤P (p, A) siempre que p ⊆ q, A ⊆ B y para toda f ∈ A, si n ∈ dom(q) − dom(q)entonces q(n) > f(n).

Veamos que P tiene la c.c.c., es decir que P no tiene anticadenas no numerables, en otraspalabras, veamos que para cada colección no numerable de elementos distintos de P hay dosque son compatibles. Sea Dn = {(pα, Aα) : α < ω1} dicha colección.

Dado que Fn(ω, ω) es un conjunto contable, existe un α < β para el cual pα = pβ. Sea p = pα.Con esto, basta ver que (p, Aα) y (p, Aβ) son compatibles. De hecho, de la definición del ordendado, tenemos que (p, Aα ∪ Aβ) extiende a (p, Aα) y a (p, Aβ)

Veamos ahora que cada Dn es denso en P.

Sea (p, A) ∈ P. Buscamos una extensión que esté en Dn. Podemos suponer que n /∈ dom(p),de otra manera ya habríamos terminado. Sea A = {f1, ...fn}. Tomemos l ∈ ω mayor quef1(n), ...fk(n) y sea q = p ∪ {(n, l)}. Así, (q, A) ∈ Dn y como q(n) = l es el único valor nuevose tiene que (q, A) ≤ (p, A) y por tanto Dn es denso en P.

Para cada f ∈ F sea Ef = {(p, A) : f ∈ A}.

Afirmamos también que Ef es denso en P. Para demostrar ésto, sea (p, A) ∈ P. Basta notarque (p, A ∪ {f}) ∈ Ef y (p, A ∪ {f}) ≤ (p, A).

Ahora sea D = {Dn : n ∈ ω} ∪ {Ef : f ∈ F}. Obsérvese que |D| = κ y por tanto podemosaplicar MA(κ). Sea G el filtro D −generico sobre P que nos garantiza MA(κ). Definimos g∈ωω

tal que g(n) = m si para algún (p, A) ∈ G se tiene que p(n) = m. Como G es un filtro nosdefine una función y como para cada n ∈ ω se tiene que G ∩ Dn 6= ∅ tenemos que g es unafunción total de ω en ω.

Sólo falta ver que para toda f ∈ F se tiene que f ≤∗g . Sea pues f ∈ F , entonces G ∩ Df 6= ∅;sea (p, A) ∈ G ∩ Ef y n0 = max(dom(p)). Afirmamos que si n > n0 entonces f(n) < g(n) conlo cual ya acabaríamos.

Sea pues n > n0 y sea (q, B) ∈ G∩Dn. Por definición de filtro podemos encontrar (r, C) ≤ (p, A),(q, B) con (r, C) ∈ G. Luego, como g(n) = r(n) basta ver que f(n) < r(n) y de hecho, comon > n0, n ∈ (dom(r) − dom(p0)), y además como f ∈ A y (r, C) ≤ (p, A) por definición delorden se tiene que r(n) > f(n).�

�

Teorema D.2.2. Bajo el Axioma de Martin, para cualquier cardinal infinito κ < 2ℵ0 se tieneque 2κ = 2ℵ0

Demostración:

Sea B una familia de tamaño κ de conjuntos casi disjuntos; recordemos que A y B son casidisjuntos si A ∩ B es finito), dicha familia existe pues podemos tomar un subconjunto decualquier familia de conjuntos disjuntos que sea maximal de tamaño 2ℵ0 (una familia MAD),


(para garantizar la existencia de una familia MAD de tamaño 2ℵ0 se usa el Lema de Zorn y laestructura de R, pues para cada r ∈ R, tomamos una sucesión creciente Ar de racionales queconverja a r, así {Ar : r ∈ R} es una familia de conjuntos casi disjuntos y para garantizar lamaximalidad aplicamos el Lema de Zorn).

Para ver que 2κ = 2ℵ0 basta ver que P (B) y P (ω) tienen la misma cardinalidad.

Sea Φ : P (B) → P (ω) definida como sigue: Φ(Z) = {X ∈ B : X ∩ Z es infinito}. Es fácil verque Φ es suprayectiva.�

�

Corolario D.2.3. Bajo el Axioma de Martin se tiene que 2ℵ0 es regular.

Demostración:

Supongamos que cf(2ℵ0) = κ y por contradicción supongamos que κ < 2ℵ0 . Así, 2κ = 2ℵ0 y portanto se tiene que:

(2ℵ0)κ = (2κ)κ = 2κκ = 2κ = 2ℵ0,

pero esto contradice el Teorema de König3 pues bajo éste se tiene que (2ℵ0)κ > 2ℵ0 .�

D.2.1. La proposición Sκ. �

Una de las primeras consecuencias del Axioma de Martin que se publicaron fue la proposiciónSκ la cual fue propuesta por R. M. Solovay para demostrar que todo subconjunto de ω1 sepuede construir a partir de un subconjunto de ω y 2ℵ0 > ℵ1. Este resultado no se incluye aquípero sí algunas conseciencias interesantes:

�

Definición D.2.4. Sea Sκ la siguiente proposición: Sean A y B familias de subconjuntos de ωde cardinalidad menor que κ tales que si X ∈ B y C es un subconjunto finito de A, entoncesX −

⋃C es infinito. Entonces existe X0 ⊆ ω tal que X ∩ X0 es infinito si X ∈ B y finito si

X ∈ A.

�

Teorema D.2.5. MA(κ) para κ < 2ℵ0 implica Sκ.

La demostración puede consutarse en [27] pág. 154.

3Recordemos que el teorema de König nos dice que si Ies un conjunto y para cada i ∈ I se tienen cardinalesκi y λi tales que κi < λi entonces

∑i∈I

κi <∏i∈I

λi.

130 D.3. Medida y Categoría

D.3. Medida y Categoría

Muchas de las aplicaciones del Axioma de Martin son generalizaciones de hechos acerca deobjetos de tamaño contable.

�

Teorema D.3.1. El Axioma de Martin implica que si κ < 2ℵ0, entonces la unión de κ conjuntosde medida cero tiene medida cero.

Demostración:

Sean Aα con α < κ conjuntos de medida cero y sea ǫ > 0. Veamos que⋃

α<κAα tiene medida

exterior cero. Sea P = {X ⊆ R : µ(X) < ǫ}, y para cualesquiera X, Y ⊆ R vamos a decir queX ≤ Y si y sólo si Y ⊆ X.

Veamos que P tiene la c.c.c.. Supongamos que D es una anticadena no numerable, entoncesexiste δ > 0 tal que E = {P ∈ D : µ(P ) < ǫ − δ} es no numerable. Luego, como R es segundonumerable4, sea {Bn : n ∈ ω} una base de abiertos de R. Para cada P ∈ E sea Qp una uniónfinita de básicos tal que µ(P − QP ) ≤ δ/2. Como sólo hay una cantidad numerable de unionesfinitas de básicos, {QP : P ∈ E} es numerable. Si P1, P2 ∈ E y P1 6= P2, entonces P1 y P2 sonincompatibles, y entonces µ(P1 ∪ P2) > ǫ. Pero

µ(QP1 ∪ QP2) ≥ µ(P1 ∪ P2) − δ/2 − δ/2 ≥ ǫ − δ

y µ(QP1) ≤ µ(P1) < ǫ − δ, entonces QP1 6= QP2 . Por tanto, como {QP : P ∈ E} es numerablese tiene que E también lo es con lo que se tiene que P tiene la c.c.c..

Para cada α < κ sea Xα = {P ∈ P : Aα ⊆ P }. Veamos que Xα es denso. Sea P ∈ P, comoµ(A0) = 0, entonces existe un abierto Q con µ(Q) < ǫ − µ(P ), entonces P ∪ Q ∈ Xα.

Sea D = {Xα : α < κ}. Como D es una familia de densos, por MA sea G un filtro D-generico.Claramente

⋃G es abierto y

⋃α<κ

Aα ⊆⋃

G. Supongamos que µ(⋃

G) > ǫ, luego como R y

todos sus subespacios son espacios de Lindelöf5, existen abiertos Bn ∈ G con n ∈ ω tales que

µ(⋃

n∈ ωBn) > ǫ, y por tanto existen B1, ...BN ∈ G tales que µ(

N⋃i=0

Bi) > ǫ. Como G es filtro,

N⋃i=0

Bi ∈ G, lo cual es una contradicción. Por tanto, µ(G) ≤ ǫ y entonces⋃

α<κAα tiene medida

exterior cero.�

�

Este teorema tiene dos implicaciones inmediatas que vale la pena enunciar:

Corolario D.3.2. El Axioma de Martin implica que el ideal de conjuntos de medida cero es2ℵ0-aditivo.

4Un espacio topológico es segundo numerable si su topología tiene una base numerable.5Un espacio topológico es de Lindelöf si cualquier cubierta abierta tiene una subcubierta contable.


�

Corolario D.3.3. El Axioma de Martin implica que si A es un conjunto con |A| < 2ℵ0,entonces µ(A) = 0.

�

El siguiente teorema nos dice que el Axioma de Martin implica una proposición que se conocecomo el Teorema Fuerte de Categoría de Baire.

Teorema D.3.4. El Axioma de Martin implica que si X es un espacio topológico Hausdorffcompacto y que satisface la c.c.c., entonces la intersección de κ < 2ℵ0 densos abiertos es denso.

Es claro que el teorema anterior es equivalente a la versión topológica del Axioma de Martin(D.1.2):

Los siguientes resultados ilustran la dualidad entre medida y categoría.

Teorema D.3.5. El Axioma de Martin implica que la unión de κ < 2ℵ0 conjuntos de primeracategoría es de primera categoría.

Demostración:

Sabemos que la unión de κ conjuntos magros es magro si y solo si la intersección de κ conjuntoscomagros6 es comagro. Un conjunto comagro contiene la intersección de una cantidad contablede densos abiertos. Basta ver que la intersección de κ conjuntos densos abiertos es comagro.

Sea {Dα : α < κ} el conjunto de densos abiertos. Sea {Bi : i∈ ω} una base para los abiertos enR. Si U es un denso abierto sea

s(U) = {i ∈ ω : Bi * U}.

Para cada j ∈ ω sea

t(j) = {i ∈ ω : Bi ⊆ Bj}.

Sea A = {s(Dα) : α < κ} y sea B = {t(j) : j ∈ ω}. Veamos que A y B cumplen las hipótesis dela proposición Sκ. Sean n, j ∈ ω y s(Dα1), ..., s(Dαn) ∈ A. Como la intersección finita de densosabiertos en denso abierto existe Bi ⊆ Bj ∩ Dα1 ∩ ... ∩ Dαn , entonces, el conjunto {k : Bk ⊆ Bi}

es un subconjunto infinito de t(j) −n⋃

i=1s(Dαi

). Luego por la proposición Sκ, sea X ⊆ ω tal que

X ∩ t(j) es infinito para todo j ∈ ω y X ∩ S es finito para todo S ∈ A. Para cada n ∈ ω seaWn =

⋃n<i∈X

Bi. Como para todo j ∈ ω se tiene que X ∩ t(j) es infinito, entonces para todo

j ∈ ω existe Bi ⊆ Wn ∩ Bj . Entonces Wn es denso abierto. Para cada α < κ, W ∩ s(Dα) esfinito, entonces existe n ∈ ω tal que Wα ⊆ Dα. Por tanto

⋂n∈ω

Wn ⊆⋂

α<κDα, luego como

⋂n∈ω

Wn

es comagro se tiene que⋂

α<κDα también lo es.�

6Un conjunto es comagro si es complemento de un magro.

Bibliografía

[1] J. A. Amor. Teoría de Conjuntos para estudiantes de ciencias. Las prensas de Ciencias, 2008.[2] J. A. Amor, G. Campero, and F. Miranda. Teoría de Conjuntos, curso intermedio. Las prensas de Ciencias,

2012.[3] R. L. Baire. Sur les fonctions de variables reélles. Annali di matematica pur ed applicata, 3:1–123, 1899.[4] T. Bartoszynski and H. Judah. Set Theory on the structure of the real line. A K Peters/CRC Press, 1995.[5] J. E. Baumgartner and R. Laver. Iterated perfect-set forcing. Annals of Mathematical Logic, 17(3):271–288,

1976.[6] A. S. Besicovitch. Relations between concentrated sets and sets possessing property c. Mathematical Pro-

ceedings of the Cambridge Philosophical Society, 38:20–23, 1942.[7] A.S. Besicovitch. Concentrated and rarified sets of points. Acta Mathematica, 62:289 – 300, 1934.[8] É. Borel. Les probabilités dénombrables et leurs applications arithmétiques. Rend. Circ. Mat. Palermo,

27:247–271, 1909.[9] É. Borel. Sur la classification des ensembles de mesure nulle. Bulletin de la Société Mathématique de France,

47:97–125, 1919.[10] É. Borel and R. Adhémar. Leçons sur les séries à termes positifs. Paris : Gauthier-Villars, 1902.[11] T. J. Carlson. Strong measure zero and strongly meager sets. Proceedings of the National Academy of

Sciences of the United States of America, 118(2):577–586, 1993.[12] P. J. Cohen. The Independence of the Continuum Hypothesis. Proceedings of the National Academy of

Sciences of the United States of America, 50(6):1143–1148, 1963.[13] E. du Bois-Reymond. Sur la grandeur relative des infinis des fonctions. Annali di matematica pur ed

applicata, 4:338–353, 1870-71.[14] D. H. Fremlin. Consequences of Martin’s Axiom. Cambridge University Press, 1984.[15] D. H. Fremlin and A.W. Miller. On some properties of Hurewicz, Menger, and Rothberger. Fundamenta

Mathematicae, 129:17–33, 1988.[16] D. M. Gabbay, F. J. Pelletier, and J. Woods, editors. Handbook of the History of Logic, volume 6: Sets and

Extensions in the Twentieth Century. North Holland, 2012.[17] F. Galvin, J. Mycielski, and R. M. Solovay. Strong measure zero sets. Notices of American Mathematical

Society, pages A–280, 1973.[18] M. Goldstern, H. Judah, and S. Shelah. Strong measure zero sets without Cohen reals. J. Symbolic Logic,

58(4):1323–1341, 1993.[19] William M. Rice Institute. The Book of the opening of the Rice Institute, volume 2. 1912.[20] T. Jech. Set Theory. Springer, 3rd. millenium edition revisted and expanded edition, 2002.[21] H. Judah. Strong measure zero sets and rapid filters. J. Symbolic Logic, 53(2):393–402, 1988.[22] K. Kunen. Set Theory, An Introduction to Independence Proofs. North-Holland, 1992.[23] C. Kuratowski and W. Sierpiński. Sur les ensembles qui ne contiennent aucun sous-ensemble indénombrable

non-dense. Fundamenta Mathematicae, 26:137–142, 1936.[24] R. Laver. On the consistency of Borel’s conjecture. Acta Math., 137(3-4):151–169, 1976.[25] N. Lusin. Sur un problème de M. Baire. Comptes Rendus des Séances de l’Académie des Sciences, Série I.

Mathématique(158):1268–1261, 1914.

133

134

[26] N. Lusin. Sur l’existence d’un ensemble non dénombrable qui est de première catégorie dans tout ensembleparfait. Fundamenta Mathematicae, (2):155–157, 1921.

[27] D. A. Martin and R. M. Solovay. Internal Cohen extensions. Annals of Mathematical logic, 2(2):143–178,1970.

[28] A.R.D. Mathias, editor. Surveys in Set Theory. London Mathematical Society Lecture Notes 87. CambridgeUniversity Press, 1983.

[29] A. W. Miller. Some properties of measure and category. Transactions of the American Mathematical Society,266(1):93–114, 1981.

[30] A. W. Miller. Mapping a set of reals onto the reals. J. Symbolic Logic, 48(3):575–584., 1983.[31] A. W. Miller. Handbook of Set-Theoretic Topology. North-Holland, Amsterdam, 1984.[32] F. Rothberger. Eine Äquivalenz zwischen der Kontinuumhypothese und der Existenz der Lusinschen und

Sierpinskischen mengen. Fundamenta Mathematicae, (30):215–217, 1938.[33] F. Rothberger. Eine Verschärfung der Eigenschaft C. Fundamenta Mathematicae, 30:50–55, 1938.[34] F. Rothberger. Sur un ensemble toujours de première catégorie qui est dèpourvu de la propriété λ. Fund.

Math., 32:294–300, 1939.[35] F. Rothberger. Sur les familles indénombrables des suites de nombres naturels et les problèmes concernant

la propiété c. Proc. Camb. Phil. Soc., 37:109–126, 1941.[36] S. Shelah. Proper and improper forcing. Perspectives in Mathematical Logic. Springer-Verlag, Berlin, 2

edition, 1998.[37] W. Sierpiński. Sur un ensemble non dénombrable, dont toute image continue est de mesure nulle. Funda-

menta Mathematicae, 11:302–304, 1928.[38] W. Sierpiński. Remarque sur le problème de l’invariance topologique de la propriété (c). Fundamenta

Mathematicae, 30:56–58, 1938.[39] W. Sierpiński and E. M. Szpilrajn. Remarque sur le problème de la mesure. Fundamenta Mathematicae,

26(1):256–261, 1936.[40] R. M. Solovay and S. Tennenbaum. Iterated Cohen extensions and Souslin’s problem. Annals of Mathema-

tics, 94(2):201–245, 1971.[41] E. M. Szpilrajn. La dimension et la mesure. Fundamenta Mathematicae, 28:85.[42] E. M. Szpilrajn. Sur une hypothèse de M. Borel. Fundamenta Mathematicae, 15:126–127, 1930.

universidad nacional aut onoma de m exico132.248.9.195/ptd2013/agosto/0698715/0698715.pdf ·...

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