Universidad La SalleNezahualcóyotl

Preparatoria

• Prof. Daniel Valerio Martínez

• Técnicas de conteo.

• Diagrama de árbol

• Principios aditivo y multiplicativo

Ejemplos

• 1. A) Suponga que lanzamos dos monedas al aire, ¿de cuántas manerasdistintas pueden caer? R = 4 (aa, as, sa, ss)

• B) Si lanzamos tres monedas al aire, ¿de cuántas maneras distintas puedencaer? R = 8 (aaa, aas, asa, ass, sss, ssa, sas, saa)

• C) ¿Y si ahora lanzamos 6 monedas? R = 64 (2 elevado a la sexta)

• 3. Suponga que lanzamos un dado al aire y que cada cara del dado tiene unnúmero del 1 al 6, ¿de cuántas maneras puede caer la cara del dado quemira hacia arriba con el número dado? R = 6

• 4. Si ahora lanzamos dos dados, ¿de cuántas maneras pueden caer ambosdados? R = 36 = 6 x 6, como se muestra en la siguiente página.

Lanzamiento de dos dados

Lanzamiento de dos dados

(DADO1, DADO2)

(1,1) (2,1) (3,1) (4,1) (5,1) (6,1)

(1,2) (2,2) (3,2) (4,2) (5,2) (6,2)

(1,3) (2,3) (3,3) (4,3) (5,3) (6,3)

(1,4) (2,4) (3,4) (4,4) (5,4) (6,4)

(1,5) (2,5) (3,5) (4,5) (5,5) (6,5)

(1,6) (2,6) (3,6) (4,6) (5,6) (6,6)

Ejemplos

• 5. Felipe tiene un traje gris y uno azul; tiene 4 camisas: blanca, azul, crema ylila. ¿De cuántas maneras distintas se puede vestir, utilizando estas prendas,si todas las prendas combinan bien? R = 8

• Esto lo puedes hacer si realizas un diagrama de árbol.

• Otra manera de proceder es la siguiente: 2 (trajes) x 4 (camisas) = 8

• 6. Si Felipe tiene tres corbatas, ¿de cuántas maneras distintas se puedevestir con estas prendas? R = 24

• ¿Cómo se llegó a la respuesta?

• 2 (trajes) x 4 (camisas) x 3 (corbatas) = 24

• 7. ¿De cuántas maneras distintas, puede vestirse Felipe el día lunes y martes, si elmartes no puede usar la misma camisa del lunes pues no le dio tiempo lavarla? R =14 (sin tomar en cuenta las corbatas)

• ¿Cómo se llegó a la respuesta? Lunes: 2 (trajes) x 4 (camisas) = 8

• Martes: 2 (trajes) x 3 (camisas, no pudo lavar la del lunes) = 6

• Lunes + martes = 14

• 8. En el grupo 609, de la preparatoria Universidad La Salle, se debe elegir a un jefede grupo, un delegado de pastoral y un encargado de la libreta deacompañamiento, si el grupo consta de 49 alumnos, ¿de cuántas maneras se podráelegir dichos puestos? R = 49 x 48 x 47 = 110 544

• Recuerda que una vez que se elije al jefe de grupo éste ya no se toma en cuentapara otro puesto.

• 1. En una rifa hay dos premios y participan María, Pablo, Rodrigo y Laura.Ninguno de ellos puede ganar ambos premios. ¿De cuántas formas sepueden asignar tales premios? R = 12

• ¿Por qué? Primer premio = 4 (opciones); Segundo premio = 3 (opciones),

• Por tanto, 4 x 3 = 12. Lo puedes también resolver si utlizas un diagrama deárbol.

• 2. a) ¿Cuántos números de tres cifras pueden formarse con los dígitos 4, 5, 6, 7 y 8?Los dígitos no pueden repetirse. R = 60

• ¿Por qué? Primer cifra existen 5 opciones (que empiece con 4, con 5, con 6, con 7 ocon 8); Segunda cifra existen 4 opciones (no puedes repetir la primera cifra);Tercera cifra existen 3 opciones (no puedes repetir ni la primera ni la segunda cifraque ya elegiste anteriormente) entonces

• R = 5 x 4 x 3 = 60

• b) ¿cuántos de estos números son menores que 600? R = 24

• ¿por qué? Primero, el número debe comenzar con 4 o 5, porqué de lo contrariosiempre será mayor que 600, por ejemplo, 645, 754, 856. Entonces para el primeronúmero tienes 2 opciones, para el segundo número 4 opciones y para el tercernúmero tienes 3 opciones, entonces R = 2 x 4 x 3 = 24

• c) ¿cuántos son pares? R = 3 x 4 x 3 = 36 (Intenta descubrir por qué)

Problemas de conteo

• 3. Alguien nos propone el juego siguiente: primero, tiramos un dado, si saleun número par, entonces tiramos una moneda, y si cae sol ganamos. Siobtenemos un número impar, entonces ganamos inmediatamente.

• A) ¿Cuántos posibles resultados puede tener este juego?

• B) ¿De cuántas maneras o formas es posible ganar el juego?

• 4. En el grupo 609 asisten 27 mujeres y 20 hombres. Encuentra el número deformas en las cuales se puede elegir:

• A) Un delegado de grupo

• B) Dos delegados de grupo, una mujer y un hombre

• C) Un delegado y un subdelegado de grupo

Principios de conteo

• Principio aditivo.

• Si un evento o suceso A, puede realizarse de m maneras distintas y otroevento o suceso B, puede realizarse de n maneras distintas, entonces elevento que consiste en hacer A o B (no ambas simultáneamente , porque notiene sentido) , podrá realizarse de m + n formas.

Principios de conteo

• Principio multiplicativo.

• Si un suceso o evento A, puede realizarse de m maneras distintas y cuando asido llevado a cabo por cualquiera de esas maneras, se realiza otro evento osuceso B que puede realizarse de n maneras distintas, entonces amboseventos o sucesos pueden efectuarse de m x n formas diferentes.

Ejemplos de principio multiplicativo

• 1. ¿De cuántas maneras diferentes se pueden seleccionar parejas de distinto sexo de un grupo de 4 hombres y 6 mujeres?

• 2. Un experimento consiste en lanzar tres monedas al aire y dos dados, ¿de cuántas maneras distintas pueden caer?

• 3. ¿De cuántas maneras se pueden acomodar en una reunión de tu casa a seis personas en una fila de seis sillas?

Principio multiplicativo

• 4. Una persona desea comprar una laptop para lo cual ha pensado enseleccionar de entre las marcas HP, LENOVO y SONY. Cuando acude a hacerla compra encuentra que la HP esta en 10, 11.6 y 14 pulgadas, en los coloresgris, negro, rojo y azul, y de 32 y 64 bits. La LENOVO se encuentra en 11.6 y14 pulgadas, en los colores negro, gris y azul, de 32 y 64 bits. La SONYsolamente esta en 14 pulgadas, en colores gris y negro y solo de 32 bits.¿Cuántas maneras tiene la persona de comprar una laptop?

Problemas de placas

• 5. Supongamos que una placa de automóvil consta de dos letras distintasseguidas de tres dígitos distintos, ¿cuántas placas distintas pueden hacerse?

• 6. Supongamos que una placa de automóvil consta de dos letras y tresdígitos, tanto las letras como los dígitos se pueden repetir, ¿cuántas placasdistintas pueden hacerse?

• 7. Supongamos que una placa de automóvil consta de dos letras y tresdígitos, las letras se pueden repetir pero los dígitos no, ¿cuántas placasdistintas pueden hacerse?

Factorial

• El factorial de un número, que se representa como n! se define de la siguiente forma:

• 𝑛 ! = 1 𝑥 2 𝑥 3 𝑥 4 𝑥 . . . 𝑥 𝑛 − 2 𝑥 𝑛 − 1 𝑥 𝑛

• Para 𝑛 ≥ 2. Por definición: 0! = 1, 1! = 1

• De manera textual, el factorial de un número se define como el producto consecutivo de números enteros.

• Con base en la definición de factorial responde los siguientes ejercicios.

• A) 5! = 1 x 2 x 3 x4 x 5 = 120

• B) 7! = 1 x 2 x 3 x 4 x 5 x 6 x 7 = 5040

• Recuerda que no es necesario hacer todas las multiplicaciones ya que cuentas con la calculadora y directamente lo puedes realizar.

• C) 7! / 5! = 5040 / 120 = 42

• D) 7! X 5! = 5040 x 120 = 604 800

• E) ( 3! + 5! -4! ) / ( 2! X 4! ) = 102 / 48 = 2.125

• F) ( 33!- 28! ) / 25! = 5.598091503 x 1011

Resuelve los siguientes ejercicios

• 1. La camioneta que trasporta a los estudiantes de La Salle para eventos deportivos cuenta con 17 asientos para el mismo número de alumnos. ¿De cuántas maneras distintas pueden viajar los estudiantes en el?

• R = 17x16x15x14x13x12x11x10x9x8x7x6x5x4x3x2x1= 17! = 3.55687x1014

• Recuerda: el primer alumno tiene para elegir 17 opciones, el segundo solamente 16 opciones, etc., etc.

• 2. ¿Cuántos números telefónicos de 10 cifras se pueden formar con los números del 0 al 9 , si en un número telefónico no pueden repetirse los dígitos? R = 10 ! = 3 628 800

Prof. Daniel Valerio Martínez

Grupo: 609 Humanidades

Introducción a la probabilidad.

Tipos de eventos En la vida diaria podemos hallar o encontrarnos con

dos tipos de eventos o sucesos:

Determinístico: Evento que resulta de cualquierafirmación de la cual si se tiene certeza de cual será elresultado. Por ejemplo, al calcular la velocidad de unauto con las fórmulas de cinemática.

Aleatorio: Evento que resulta de cualquier afirmaciónde la cual no se tiene certeza de cual será el resultado.Por ejemplo, la calificación del próximo examen deestadística.

Concepto de probabilidad Los primeros estudios de probabilidad fueron

motivados por la posibilidad de acierto o fracaso en losjuegos de azar.

Ejemplos.

¿Qué probabilidad tengo de sacarme el gordo de la lotería?

¿Le entras a la catafixia mi cuate?

Me late que esta vez si le pego al melate.

Apurate, deja de contar las fichas del domino.

¿Jugamos a las cartas?, que te parece un 21.

Observaciones sobre los fenómenos aleatorios1. Se puede saber o conocer todos los resultados

posibles. Por ejemplo, la calificación de un examen.

2. Los resultados son impredecibles. ¿Cuántas vecescreíste haber echo un buen examen y cuando recibestu calificación esta fue mala?

3. Un fenómeno aleatorio se puede repetir o reproducirlas veces que sea, siempre y cuando las condicionessean similares. Por ejemplo, la aplicación de unexamen.

Conceptos de probabilidadHay tres tipos de calcular probabilidad de un evento osuceso.

A) Teórica. Está basada en la suposición de que todoslos resultados son igualmente probables oequiprobables.

B) De frecuencia relativa. Se basa en observaciones oexperimentos. Es muy común en el área de las cienciasexperimentales tales como física, química, biología, ypor supuesto, criminología.

C) Subjetiva. Es una estimación basada en laexperiencia o intuición.

Conceptos de probabilidad Experimento. Cualquier operación cuyo resultado no

puede ser predicho de anterioridad con seguridad.

Espacio muestral. Es el conjunto de todos los posiblesresultados asociados a un experimento o fenómenoaleatorio.

Ejemplo:

Experimento: Lanzar un dado

Espacio muestral = {1, 2, 3, 4, 5, 6}

Conceptos de probabilidad Evento o suceso. Es cualquier subconjunto de un espacio

muestral. Todo subconjunto es un evento.

De entre todos los eventos destacan dos:

Evento seguro. Evento que resulta de cualquier afirmaciónde la cual si se tienen certeza de cual será el resultado, apesar de ser aleatorio. Ejemplo, todos tendrán la seguridadde que una vez que concluya examen deberán tenerasignada una calificación del examen.

Evento imposible. Evento que resulta de cualquierafirmación de la cual no hay forma que pueda ocurrir. Porejemplo, que tu calificación aparezca en el grupo 409.

Conceptos de probabilidad Definición. (Clásica o de Laplace)

La definición clásica o de Laplace considera la probabilidadde un evento o suceso A como el cociente del número decasos favorables de dicho evento entre el número total decasos posibles.

P(A) = n (A)/ n (U)

n(A) número de casos que favorecen a A

n(U) número total de casos.

Recordemos que el número total de casos posibles esnuestro universo o espacio muestral, y el evento A es unsubconjunto del universo.

Probabilidad equiprobable. Esta corriente considera que todos los eventos tienen

la misma probabilidad de ocurrir, y por ello se le llamaequiprobable

Propiedades de la probabilidad

1. P(U) = 1, P(ø) = 0

2. 0 ≤ 𝑃 𝐴 ≤ 1 Para toda conjunto A subconjunto deU

3. P(A1) + P(A2) + P(A3) + … + P(An) = 1, donde A1, A2,A3, etc., son subconjuntos del espacio muestral y laintersección de dos conjuntos es siempre vacía.

Herramientas para calcular probabilidades de eventos. 1. Diagrama de árbol

2. Tablas de contingencia

3. Diagramas de Venn-Euler

4. Principio de conteo aditivo

5. Principio de conteo multiplicativo.

6. Permutaciones y combinaciones.

Permutaciones y Combinaciones Quizá descubriste que en algunos problemas

anteriores el acomodo de los números, cosas, objetos opersonas no importa, pero en otras es una condiciónque pide el problema. En otras palabras, en ocasionessi importa el orden y en otras se entiende que da lomismo.

Permutaciones y Combinaciones En aquellas situaciones donde el orden no importe, es

lo que llamamos en probabilidad COMBINACIONES.

En aquellas situaciones donde el orden si importe, es lo que llamamos en probabilidad PERMUTACIONES.

Fórmula para permutaciones

𝑛𝑃𝑟 = 𝑃 𝑛, 𝑟 = 𝑃𝑟𝑛 = 𝑛!

𝑛−𝑟 !

Definición. Una permutación de r elementos tomados de n elementos

distintos con r < n, está dada por la fórmula anterior. ¿Qué significa la fórmula anterior? n = cuántos números, objetos, elementos o personas tienes en

total r = a cuántos de ellos vas a tomar o elegir, puede ser desde 1 hasta

n.

Fórmula para combinaciones

𝑛𝐶𝑟 = 𝐶 𝑛, 𝑟 = 𝐶𝑟𝑛 = 𝑛!

𝑟! 𝑛−𝑟 !

Una combinación de r elementos tomados de n elementos distintos con r < n, está dada por la fórmula anterior.

n = cuántos números, objetos, elementos o personas tienes en total

r = a cuántos de ellos vas a elegir, puede ser desde 1 hasta n

No olvidar Las permutaciones son todos los subconjuntos de r

elementos que se pueden formar de entre un conjunto de nobjetos (nPr) y en donde una permutación con los mismoselementos que otra, pero en diferente orden, constituyeuna permutación distinta.

Las combinaciones son todos los subconjuntos de relementos que se pueden formar de entre un conjunto de nobjetos (nCr) y en donde una combinación con los mismoselementos no es otra combinación sino que es la misma,aunque los elementos se encuentren en diferente orden.

Ejemplos 5C4 = 5 ¿Por qué? 5C4 = 5! / ( 4! X (5-4)! ) En este caso estoy siguiendo la fórmula de combinaciones

donde n = 5 y r = 4. ¿Qué significa 5C4? Que en total tengo 5 opciones pero

solamente voy a elegir a 4 de ellos y donde el orden deaparición no importa. La pregunta es, ¿de cuántas manerasdistintas lo puedo hacer? R = 5

Esta operación la puedes realizar en la calculadora, busca latecla nCr. Cuando la hayas encontrado ahora procede de lasiguiente manera:

5 tecla nCr 4 = (en algunas calculadoras tendrás que usar latecla shift para utilizar dicha función, si lo hicistecorrectamente en la pantalla tendrá que aparacer 5C4)

Otro ejemplo.

7C3 = 35

¿Qué significa 7C3? Significa que tengo en total 7elementos pero solamente voy a elegir a 3 de ellos, sinimportar quienes sean o en que orden vayan a sermencionados o elegidos. ¿De cuántas manerasdistintas puedo yo elegir a los 3 de los 7 disponibles?

R = 35

Un ejemplo más.

12C11 = 12

Ejemplo de permutación 5P4 = 120 ¿Por qué? 5 P4 = 5! / (5-4)! = 120 En este caso estoy siguiendo la fórmula para calcular

permutaciones, donde n = 5 y r = 4. ¿Qué significa 5P4? Significa que tengo en total 5 opciones

pero solamente voy a elegir a 4 de ellos, pero en este caso siexiste un orden o una preferencia en como elegir dichasopciones.

Por ejemplo, voy a realizar un campeonato de fútbol con 8equipos en total, pero solamente habrá 3 premios. Aquí siimporta el orden en como queden los primeros tres lugaresporque obviamente los trofeos también van de mayor amenor precio, por decirlo. Esto es lo que llamo unapermutación, es decir, si importa el orden de aparición.

Esta operación la puedes realizar en la calculadora,busca la tecla nPr. Cuando la hayas encontrado ahoraprocede de la siguiente manera:

5 shift tecla nCr 4 = (en algunas calculadoras tendrásque usar la tecla shift para utilizar dicha función, si lohiciste correctamente en la pantalla tendrá queaparacer 5P4)

Otro ejemplo:

12P3 = 1320

Ejemplo 1. Calcula la probabilidad de obtener un 3 al lanzar un

dado.

Experimento: Lanzar un dado

Espacio muestral = {1, 2, 3, 4, 5, 6} = U (Ω)

Evento A = obtener un 3

n = 1

N = 6

P(A) = 1 / 6 = 0.16666 = 16. 66 %

Probabilidad Supongamos que seguimos lanzando el dado y definimos

los siguientes eventos con su respectiva probabilidad.

B = Obtener un 1, P(B) = 1 / 6

C = Obtener un 2, P(C) = 1 / 6

D = Obtener un 4, P(D) = 1 / 6

E = Obtener un 5, P(E) = 1 / 6

F = Obtener un 6, P(F) = 1 / 6

Si sumamos todas las probabilidades anteriores tenemos lo siguiente:

P(A) + P(B) + P(C) + P(D) + P(E) + P(F) = 1