UNIVERSIDAD FERMIN TORO

DECANATO DE INGENIERIA

CATEDRA MATEMATICA II

ALUMNA:

JHOIMAR GARCIA

C.I: 23576004

PROF:

DOMINGO MENDEZ

SEPTIEMBRE 2013

INTEGRAL DEFINIDA

La integración es un concepto fundamental del cálculo y del análisis matemático. Básicamente, una integral es una generalización de la suma de infinitos sumandos, infinitamente pequeños.

El cálculo integral, encuadrado en el cálculo infinitesimal, es una rama de las matemáticas en el proceso de integración o antiderivación, es muy común en la ingeniería y en la ciencia también; se utiliza principalmente para el cálculo de áreas y volúmenes de regiones y sólidos de revolución.

NOTACION SIGMA:

Sigma (Σ σ ς) es la decimoctava letra del alfabeto griego. La sigma minúscula tiene dos formas: al final de una palabra, se usa la forma ς; al inicio y en medio de palabra se usa la forma σ.

La suma o adición es la operación matemática de composición que consiste en combinar o añadir dos números o más para obtener una cantidad final o total. La suma también ilustra el proceso de juntar dos colecciones de objetos con el fin de obtener una sola colección. Por otro lado, la acción repetitiva de sumar uno es la forma más básica de contar

ELEMENTOS:

La Sumatoria es un tema un tanto difícil de trabajar ya que con todos los elementos de una determinada sucesión.

Por lo cuál para lograr facilitar este trabajo se conviene representar la adición de los términos en forma abreviada mediante el signo ∑ , el cuál se acompaña de una fórmula o término general que define a la sucesión y el rango de valores que se tomará en la variable correspondiente.

"Por lo que esta se entiende como la suma de un finito de números", denotados de la siguiente manera:

Donde:

S: Magnitud resultante de la suma.

T: Cantidad de valores a sumar.

K: Indice de la suma, que varía entre h y h+t.

H: Punto inicial de la sumatoria.

H+T: punto final de la sumatoria.

NK: Valor de la magnitud objeto de suma en el punto k.

Donde la notación:

se lee:

Suma de X sub-i (ó sigma sub-i) donde i asume todos los valores de 1 hasta n, ó simplemente suma de X sub-i donde i va de 1 a n.

Las sumatorias se pueden representar bajo dos tipos de notaciones:

* Notación suma abierta: Esta notación va de una representación de sumatoria a cada uno de los elementos que la componen, por ejemplo:

* Notación suma pertinente: Esta notación es al contrario de la suma abierta, va de la representación de cada uno de los elementos de una sumatoria a su representación matemática resumida, por ejemplo:

Ejemplo: Si X1 = 3 X2 = 9 X3 =11

encontrar:

Solución:

PROPIEDADES:

La suma del producto de una constante por una variable, es igual a k veces la sumatoria de la variable.

La sumatoria hasta N de una constante, es igual a N veces la constante.

La sumatoria de una suma es igual a la suma de las sumatorias de cada término.

La sumatoria de un producto no es igual al producto de las sumatorias de cada término.

La sumatoria de los cuadrados de los valores de una variable no es igual a la sumatoria de la variable elevado al cuadrado.

PROPIEDADES DE LA INTEGRAL DEFINIDA

La integral de la suma de dos funciones es igual a la suma de las integrales de dichas funciones:

La integral del producto de un número real por una función es igual al producto de por la integral de dicha función:

En una integral definida el límite superior de integración puede ser menor que el límite inferior de integración y

Si hacemos en la igualdad anterior se tiene que

Como el único número que coincide con su opuesto es el cero, llegamos a la conclusión de que

Para cualquier número real .

Dados tres números reales cualesquiera, se tiene que:

Si en el intervalo la función es mayor o igual que la función entonces

En particular, si , entonces

Análogamente, si , entonces

Si en el intervalo la función es mayor que la función entonces

En particular, si , entonces

Análogamente, si , entonces

TEOREMA FUNDAMENTAL DEL CÁLCULO:

El teorema fundamental del cálculo consiste (intuitivamente) en la afirmación de que la derivación e integración de una función son operaciones inversas. Esto significa que toda función continua integrable verifica que la derivada de su integral es igual a ella misma. Este teorema es central en la rama de las matemáticas denominada análisis matemático o cálculo.

El teorema es fundamental porque hasta entonces el cálculo aproximado de áreas -integrales- en el que se venía trabajando desde Arquímedes, era una rama de las matemáticas que se seguía por separado al cálculo diferencial que se venía desarrollando por Isaac Newton, Isaac Barrow y Gottfried Leibniz en el siglo XVIII y dio lugar a conceptos como el de las derivadas.

LA SUMA DE RIEMANN

En matemáticas, la suma de Riemann es un método de integración numérica que nos sirve para calcular el valor de una integral definida, es decir, el área bajo una curva, este método es muy útil cuando no es posible utilizar el Teorema fundamental del cálculo. Estas sumas toman su nombre del matemático alemán Bernhard Riemann.

La suma de Riemann consiste básicamente en trazar un número finito de rectángulos dentro de un área irregular, calcular el área de cada uno de los rectángulos y sumarlos. El problema de este método de integración numérica es que al sumar las áreas se obtiene un margen de error muy grande.

Cuatro de los métodos de suma de Riemann para aproximar el área bajo las curvas. Los métodos derecha e izquierda hacen la aproximación usando, respectivamente, los puntos finales derechos e izquierdos de cada subintervalo. Los métodos máximo y mínimo hacen la aproximación usando, respectivamente, los valores más grandes y más pequeños del punto final de cada subintervalo. Los valores de las sumas convergen a medida que los subintervalos parten desde arriba a la izquierda hasta abajo a la derecha.