universidad de guanajuatosupercuerdas/tesis/tesisraul.pdf · 2010. 8. 19. · planck. entonces,...

Universidad de Guanajuato

Division de Ciencias e Ingenierıas

Estudio sobre Transformaciones de Lorentz y

Deformaciones Simplecticas

Tesis que presenta

Raul Antonio Cuesta Ramos

Para obtener el grado de Licenciado en Fısica

Asesores:Dr. Oscar Miguel Sabido Moreno, Dr. Walberto Guzman Ramırez

Agradecimientos:

A mis padres Raul y Mercedes.A mis asesores Miguel y Walberto.

A mis sinodales Ramon y Julio.A mis todos amigos, novia y administrativos del DCI.

Indice general

1. Introduccion. 5

2. Mecanica No-Conmutativa. 92.1. Variedades Simplecticas y Mecanica Hamiltoniana. . . . . . . . . . . . . . . . . 11

2.1.1. Variedad Simplectica. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 112.1.2. Geometrıa y Mecanica Hamiltoniana. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 122.1.3. Teorema de Darboux. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 16

2.2. Mecanica Clasica No-Conmutativa. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 182.3. Partıcula Cargada en un Campo Magnetico Constante. . . . . . . . . . . . . . . 19

2.3.1. Partıcula Clasica. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 192.3.2. Partıcula Cuantica. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22

3. Electrodinamica. 333.1. Electrodinamica Clasica Canonica. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 33

3.1.1. Ecuaciones de Maxwell. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 333.1.2. Ecuaciones de movimiento para una carga puntual en presencia de un

campo electrico y magnetico. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 393.2. Electrodinamica Clasica No-canonica. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 40

3.2.1. Electroestatica: Las propiedades dielectricas del vacıo determinan la geo-metrıa euclideana. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 41

3.2.2. Magnetoestatica: El campo magnetico determina la estructura simplecti-ca del espacio fase. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 42

3.3. Electrodinamica Relativista Canonica. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 453.3.1. Transformaciones de Lorentz y cuadrivectores. . . . . . . . . . . . . . . 463.3.2. Fuerza de Lorentz y ecuaciones de Maxwell . . . . . . . . . . . . . . . . 483.3.3. Formalismo Hamiltoniano. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 50

3.4. Electrodinamica Relativista No-canonica. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 513.4.1. Ecuaciones de Maxwell: Las propiedades constitutivas del vacıo determi-

nan la geometrıa conforme del espacio-tiempo. . . . . . . . . . . . . . . 513.4.2. Fuerza de Lorentz: El campo electromagnetico determina la estructura

simplectica en el espacio fase del espacio-tiempo. . . . . . . . . . . . . . 55

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INDICE GENERAL INDICE GENERAL

4. Invariancia de Lorentz en Deformaciones Simplecticas. 594.1. Transformaciones Canonicas. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 59

4.1.1. Generadores infinitesimales de grupos de un parametro. . . . . . . . . . 594.1.2. Teorema de Noether Hamiltoniano . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 61

4.2. Transformaciones de Lorentz. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 614.2.1. Transformaciones de Lorentz no deformadas. . . . . . . . . . . . . . . . 614.2.2. Transformaciones de Lorentz deformadas. . . . . . . . . . . . . . . . . . 64

5. Conclusiones. 73

A. Dualidad de Hodge. 75A.1. Formas Diferenciales. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 75A.2. Elemento de Volumen. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 77A.3. Dual de Hodge. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 78

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Capıtulo 1

Introduccion.

La idea de una no-conmutatividad en el espacio-tiempo no es nueva, el primer artıculo escritoen esta materia fue publicado por Snyder en 1947 [1], sin embargo la primer propuesta de unano-conmutatividad en las coordenadas se le atribuye a Heisenberg a finales de 1930. Heisenbergesperaba que la no-conmutatividad suavizarıa las singularidades tıpicas de corta distancia delas teorıas cuanticas de campo, cuando se extendıan las relaciones de incertidumbre al sectorde las coordenadas. Aparentemente Heisenberg le sugirio esta idea a Peierles quien trabajabacon la fenomenologıa del estudio de sistemas electronicos en un campo externo [2].

Desde los inicios la no-conmutatividad se vio en problemas con la invariancia de Lorentz,Heisenberg y otros se encontraron con esta dificultad al tratar de cambiar al espacio-tiempo poruna retıcula fundamental, la cual arreglara las divergencias que se producıan en la nueva TeorıaCuantica de Campos, Snyder ya desde sus primeros artıculos en 1947 sobre no-conmutatividad[1] comenta que para formular una teorıa invariante ante transformaciones de Lorentz, no esnecesario asumir que el espacio-tiempo es un continuo sin embargo, para ese tiempo se habıaterminado el programa de renormalizacion y por la tanto su idea fue mas bien ignorada. Tiempodespues von Neumann introdujo el termino ’geometrıa no-conmutativa’ para referirse en generala la geometrıa en la que el algebra de funciones es reemplazada por un algebra no-conmutativa.

Las motivaciones iniciales que condujeron a la reaparicion del estudio de espacios no-conmutativos son los resultados de teorıa de cuerdas, a principios del 2000, donde apareceen teorıas de D-branas [3, 4]. A partir de aquı la cuestion de la simetrıa de Lorentz, en lo quese llamo teorıa cuantica de campos no-conmutativa, ha sido debatida seriamente [5, 6, 7, 8, 9].Ademas ahora es ampliamente aceptado que el espacio-tiempo a escalas de longitud del ordende la escala de Planck (10−33cm) ya no se puede describir a traves de fısica conocida (por ejem-plo en [10] se estudia la violacion de la invariancia de Lorentz en teorıa de campos y se proponeuna escala del parametro no-conmutativo de 10 TeV −2). En [11] se uso la conjetura del aro, la

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Introduccion.

cual nos da el criterio para la formacion de un hoyo negro en relatividad general y tambien lasrelaciones de incertidumbre en mecanica cuantica del operador de posicion a diferentes tiempospara encontrar que ningun aparato sujeto a las leyes de la mecanica cuantica, la gravedad ycausalidad puede excluir la cuantizacion de la posicion en distancias menores a la longitud dePlanck. Entonces, relatividad general y mecanica cuantica nos brindan una longitud mınimaen la naturaleza, la cual podrıa ser abordada mediante una mecanica no-conmutativa. Otramotivacion para estudiar no-conmutatividad es la necesidad de ampliar el Modelo Estandar departıculas para acoplar gravedad y el hecho de que en la naturaleza aparecen efectos relacio-nados con no-conmutatividad como en problema de Landau (que tiene importancia en Fısicade Estado Solido).

En Teorıa Cuantica de Campos No-conmutativa es usual el producto estrella (Weyl-Moyal):

(f ∗ g) = exp(i

2Θij∂i∂j

)f(x)g(y)|x=y,

en esta teorıa se han encontrado resultados interesantes, como por ejemplo, la relacion entrelas divergencias infrarrojas y ultravioletas. En materia condensada uno de los sistemas no-conmutativos mas estudiados es el efecto Hall cuantico, donde la no-conmutatividad se presentaen el sector de los momentos.

Otra faceta interesante que se ha estudiado es la mecanica clasica no-conmutativa a traves deuna estructura simplectica deformada. Por ejemplo, en [12] se estudia el oscilador armonico y elproblema de Kepler, obteniendo ecuaciones de movimiento que corresponden a un oscilador enpresencia de un campo magnetico constante y para el problema de Kepler un termino extra quetiene la forma de una fuerza de Coriolis. Siguiendo un poco este espıritu clasico no-conmutativoen [13, 14] se introduce la deformacion simplectica, proporcionando una teorıa efectiva comoalternativa para obtener la gravedad cuantica. En este punto es donde nos preguntamos si [13,14] corresponden al menos a una teorıa covariante de Lorentz o si al menos es posible construiruna relatividad no-conmutativa. Para tal motivo, se organizo el presente trabajo como sigue. Enel Capıtulo 2 se estudiaran las herramientas basicas para trabajar en deformaciones simplecticasy se resolvera el problema clasico y cuantico (problema de Landau) de una partıcula cargadaen un campo magnetico constante, de forma tanto canonica como no-canonica. En el Capıtulo3 se construira la Electrodinamica en la notacion clasica y relativista en la forma canonicausual, para finalmente comparar la formulacion de la misma teorıa pero en el formalismo devariedades simplecticas y geometrıa diferencial modificando la estructura simplectica en elsector de los momentos; esta ultima formulacion se puede encontrar en [15]. En el Capıtulo 4repasaremos los grupos de un parametro de difeomorfismos en el formalismo simplectico [16, 17],

6

Introduccion.

las transformaciones canonicas y estudiaremos las transformaciones de Lorentz en espacios no-conmutativos. Finalmente dejaremos el Capıtulo 5 para algunas conclusiones, perspectivas ydiscusiones.

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Capıtulo 2

Mecanica No-Conmutativa.

Los cambios teoricos que se han presentado en la mecanica clasica de Newton del sigloXVII han abarcado un gran espectro en la fısica actual. Contamos con un modelo estandarde partıculas basado en una teorıa cuantica de campos, un modelo estandar de la cosmologıabasado en la relatividad general de Einstein, una mecanica estadıstica para sistemas de muchaspartıculas, etc. Cada teorıa requiere de distintos formalismos, sin embargo, el principio demınima accion es algo comun entre ellas. En base a este principio, a traves de la mecanicaHamiltoniana, es como entendemos la conexion mas directa entre la mecanica clasica y lamecanica cuantica.

Aunado a este principio debemos asegurarnos de la existencia de una funcion llamada deLagrange o Lagrangiano L, que normalmente se define como la diferencia entre la energıacinetica y potencial de un sistema de partıculas. Normalmente el Lagrangiano es una funcionque depende de las posiciones y las velocidades de cada partıcula y algunas veces del tiempo.Considerar la evolucion de un sistema de n grados de libertad como una secuencia de esta-dos de equilibro (d’Alembert) bajo la accion de todas las fuerzas (efectivas, provenientes deconstricciones e inerciales), es considerar el principio de mınima accion sobre la accion

S =∫L(q, q, t)dt,

el cual puede ser visto axiomaticamente:

El estado de un sistema esta completamente determinado al especificar sus coordenadasy velocidades.

La evolucion esta completamente determinada al dar la funcion L(q, q, t) definida en elconjunto de estados.

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Mecanica No-Conmutativa.

A lo largo de todas las curvas cerradas qi = qi(t) que unen a los puntos A y B, el caminopara el cual la integral de accion S [q] =

∫L(q, q, t)dt toma el mınimo valor, representara a

la evolucion del sistema.

Estos axiomas nos llevaran a las ecuaciones de Euler-Lagrange

d

dt

∂L∂qi

− ∂L∂qi

= 0,

las cuales al ser resueltas, obtienen las ecuaciones de movimiento del sistema.La ventaja de esta formulacion de la mecanica clasica sobre la Newtoniana, es que con

esta nueva formulacion podemos encontrar de manera muy sencilla cantidades conservadas ysimetrıas del sistema, ademas de que podemos incorporar electromagnetismo por medio delacoplamiento mınimo.

Si el Lagrangiano es regular; esto es, el determinante Hessiano de la matriz

l ≡(

∂2L∂qi∂qj

)no es cero, entonces las ecuaciones de Lagrange se pueden escribir en su forma normal

qi =n∑

j=1

(l−1)ijFj ,

en donde Fj = ∂L/∂qi −∑n

k=1

(∂2L/∂qi∂qk

)qk − ∂2L/∂qi∂t

Otra formulacion es la Hamiltoniana, a la cual se llega con la transformacion de Legendreintroduciendo n nuevas variables

pi =∂L∂vi

,

estas son variables conjugadas de las q’s, o su interpretacion dinamica para algunos casos tıpicoses de momentos conjugados de las q’s. Por medio de esta transformacion construimos una nuevafuncion llamada Hamiltoniana como sigue:

H(q, p, t) =∑

i

vi∂L∂vi

− L.

Con esta nueva funcion podemos calcular las ecuaciones de Hamilton, que son las equivalentesa las ecuaciones de Lagrange. Estas ecuaciones se encuentran por medio de la variacion de laaccion

S =∫

(piqi −H(q, p)) dt,

10

Mecanica No-Conmutativa. 2.1 Variedades Simplecticas y Mecanica Hamiltoniana.

en donde sumamos sobre indices repetidos, y estan dadas por

qi =∂H

∂pi, pi = −∂H

∂qi.

Podemos definir tambien los parentesis de Poisson como

f, g =∂f

∂qi

∂g

∂pi− ∂f

∂pi

∂g

∂qi,

donde sumamos sobre indices repetidos. Con estos corchetes podemos escribir las ecuacionesde Hamilton como

qi =qi,H

, pi = pi,H

Es esta formulacion Hamiltoniana la que es un caso partıcular de la mecanica clasica no-conmutativa que deseamos construir.

2.1. Variedades Simplecticas y Mecanica Hamiltoniana.

En esta seccion estudiaremos las herramientas necesarias para formular una mecanica clasicano-conmutativa en base a las deformaciones simplecticas.

2.1.1. Variedad Simplectica.

Definicion 1 Una variedad simplectica es un par (M, ω), donde M es una variedad 2n-dimensional dotada de una 2-forma ω simplectica. Una 2-forma simplectica se define como:

1. Cerrada: dω = 0.

2. No degenerada: Si ω (X,Y ) = 0 ∀Y ∈ TpM ⇒ X = 0 ∀p ∈M.

En coordenadas tenemos que X = Xi∂i, Y = Y i∂i y ωij(p) = ωp (∂i, ∂j); la primer condicionmencionada arriba sera:

dω =12∂ωij

∂xkdxk ∧ dxi ∧ dxj = 0, (2.1)

mientras que la segunda sera:

ω (X,Y ) = XiY jωij ⇒ Xi = 0, (2.2)

⇒ Xiωij = 0 ⇒ Xi = 0. (2.3)

En otras palabras, ω define un isomorfismo i : TpM → Ω1 (M) dado por iXω = α yde algebra lineal tenemos que si la dimension del espacio vectorial de dominio es igual a la

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dimension del espacio vectorial imagen y si Ker (i) = 0 entonces Im (i) = Ω1 (M) y estoimplica que i es invertible y por lo tanto:

det (ωij (p)) 6= 0 (2.4)

y la matriz ωij es no singular.Notemos que la dimension de la variedad simplectica esta determinada por esta ultima

propiedad como sigue: ya que ωij es una matriz antisimetrica

det (ω) = det(ωT)

= det (−ω) = (−1)n det (ω) , (2.5)

por lo que, si n es impar, entonces el determinante es cero y por lo tanto la variedad dejarıa deser simplectica.

2.1.2. Geometrıa y Mecanica Hamiltoniana.

Definicion 2 Un campo vectorial X en una variedad simplectica (M, ω) es llamado localmenteHamiltoniano si

LXω = 0, (2.6)

donde LX es la derivada de Lie a lo largo del flujo generado por X.

Lo que nos sugiere esta definicion es que la 2-forma simplectica es invariante ante el flujogenerado por X. La identidad de Cartan nos dice que LXω = d (iXω)+ iX (dω) y por lo tanto,usando la propiedad 1 de la definicion 1, vemos que

d (iXω) = 0. (2.7)

Y ası, un campo vectorial localmente Hamiltoniano en M es el que satisface que la 1-formaα = iXω sea cerrada.

Si ademas α es exacta, i.e., existe una funcion H en M tal que

α = iXω = −dH, (2.8)

entonces el campo vectorial es llamado globalmente Hamiltoniano y la funcion H es llamadafuncion Hamiltoniana correspondiente a X. Esta ultima condicion nos la provee el lema dePoincare el cual establece que si dα = 0 ⇒ α es localmente exacta, i.e., hay una vecindad U

alrededor de cada punto en el cual α = dβ, por lo que, de aquı en adelante vamos a considerarque el lema se cumple. Este lema nos permite ver cada una de las definiciones de forma inversa;cualquier funcion en una variedad simplectica M, f : M → R define un campo vectorial

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Hamiltoniano Xf definido por iXfω = df . El signo en la ecuacion (2.8) es tomado solo por

conveniencia.En coordenadas locales, para un campo vectorial X = Xi∂i, una 2-forma simplectica dω =

12ωijdx

i ∧ dxj y una funcion H tal que dH = ∂H∂xidx

i, tenemos

iXω = ωijXidxj , (2.9)

el campo vectorial sera Hamiltoniano si se cumple (2.8), que en coordenadas sera

ωijXidxj = −∂H

∂xidxi, (2.10)

y ya que det (ωij (p)) 6= 0, la relacion anterior se puede escribir para determinar las componentesdel campo vectorial, i.e,

Xi = ωij ∂H

∂xj, (2.11)

en donde ωij esta determinada por

ωijωjk = ωijωjk = δi

k. (2.12)

Ademas, de la definicion de un campo vectorial vemos que sus componentes coinciden conlas derivadas respecto un parametro t de las coordenadas locales, y ası las ecuaciones (2.11) setransforman en

dxi

dt= ωij ∂H

∂xj, (2.13)

que como podemos observar son muy similares a aquellas obtenidas para la mecanica Hamil-toniana.

Otra definicion importante es la de los corchetes de Poisson.

Definicion 3 Dada la estructura simplectica (M, ω) y dos funciones diferenciales en M f yg, se define el parentesis de Poisson f, g como

f, g (p) =d

dt

∣∣∣t=0

f(φt

g (p)). (2.14)

Donde φtg denota el flujo Hamiltoniano correspondiente al campo vectorial Hamiltoniano

Xg, definido por iXgω = dg.

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Trabajando un poco esta definicion, encontramos que

f, g (p) =d

dt

∣∣∣t=0

f(φt

g (p))

(2.15)

= Xg (f) (2.16)

= LXgf (2.17)

= iXgdf (2.18)

= iXg iXfω (2.19)

= ω (Xg, Xf ) . (2.20)

En coordenadas, la ecuacion (2.20) no es mas que

f, g (p) = XifX

jgωij = ωij ∂f

∂xi

∂g

∂xj. (2.21)

Algunas propiedades de esta definicion son las siguientes:

Bilineal

αf + βg, h = α f, h+ β g, hf, αg + βh = α f, g+ β f, h , ∀f, g, h ∈ C∞ (M) , ∀α, β ∈ R, (2.22)

antisimetricaf, g = −g, f ∀f, g ∈ C∞ (M) , (2.23)

satisface la idenditad de Jacobi

f, g , h+ g, h , f+ h, f , g = 0 ∀f, g, h ∈ C∞ (M) . (2.24)

Con estas tres propiedades el parentesis de Poisson dota a C∞ (M) con una estructura dealgebra de Lie.

Ademas, el parentesis de Poisson satisface la identidad de Leibniz

f, gh = f, gh+ g f, h . (2.25)

Usando la ecuacion (2.21) para dos coordenadas locales tenemosxi, xj

= ωij . (2.26)

Si ahora aplicamos la definicion del parentesis a una coordenada y una funcion diferenciableen M encontramos

xi, f

(p) =d

dt

∣∣∣t=0

xi(φt

f (p)), (2.27)

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que es muy similar a las ecuaciones de movimiento de la mecanica Hamiltoniana clasica.Para construir una variedad simplectica, primero ocupamos de una variedad 2n-dimansional

y despues verificar si podemos construir una 2-forma simplectica en ella. Por esto, un ejemplonatural de variedad simplectica es el haz cotangente. Un punto en T ∗M es una 1-forma sobre elespacio tangente a M en algun punto de M; si qi es una eleccion de n coordenadas locales parapuntos en M, entonces, tal forma esta dada por sus n componentes pi y ası qi y pi forman unacoleccion de coordenadas locales en T ∗M. Esta discucion nos motiva a enunciar el siguienteteorema.

Teorema 1 El haz cotangente T ∗M tiene una estructura natural simplectica. En coordenadaslocales, esta estructura esta dada por la formula

ωc = dpi ∧ dqi. (2.28)

Demostracion:Sea ξ ∈ T (T ∗M) un vector tangente al haz cotangente en el punto p ∈ T ∗qM. El push-forewardf∗ : T (T ∗M) → TM de la proyeccion natural f : T ∗M → M, toma a ξ y lo lleva a unvector f∗ξ tangente a M en a. Definimos una 1-forma α en T ∗M como α (ξ) = p (f∗ξ). En lascoordenadas locales descritas antes, esta forma es α = pidq

i, si tomamos una carta alrededorde α, esta nos dice que localmente la 2-forma ωc ≡ dα es no degenarada, ya que tiene la formacanonica

ωc =(

0 −II 0

). (2.29)

A las formas diferenciales α = pidqi y ωc = dα se les conoce como 1-forma diferencial

canonica y estructura simplectica canonica respectivamente. Ademas la base donde estas formasdiferenciales tienen esa forma es llamada base canonica y con ella podemos escribir

ωc =12ωµνdx

µ ∧ dxν , µ, ν = 1 · · · 2n, (2.30)

donde qi = xi y pi = xi+n.Si ahora utilizamos (2.29) en las ecuaciones (2.13) obtenemos las ecuaciones de Hamilton

dqi

dt=∂H

∂pi, (2.31a)

dpi

dt= −∂H

∂qi, (2.31b)

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y de igual forma al usar (2.29) en (2.26), encontramos las relaciones usuales de conmutacionde las coordenadas para la mecanica clasica

qi, qj

= pi, pj = 0,qi, pj

= δi

j . (2.32)

Debido a las ecuaciones (2.31) y (2.32) es que consideramos al haz cotangente T ∗M comoel espacio fase fısico. Entonces, el Hamiltoniano es una funcion definida en C∞ (T ∗M).

2.1.3. Teorema de Darboux.

Ante cualquier cambio de coordenadas, en general, la 2-forma ωc puede llegar a dependerde las coordenadas y dejar de ser constante. Aquı es donde entra la importancia del teoremade Daroux, el cual establece que para cualquier variedad simplectica, siempre podemos escogercoordenadas locales tales que la 2-forma ωc siempre sea canonica.

Teorema 2 Si ω es una estructura simplectica en la variedad simplectica M, entonces alrede-dor de cada punto, existen coordenadas

(x1, . . . , xn, . . . , x2n

)=(q1, . . . , qn, p1, . . . , pn

), llamdas

canonicas, en las cuales ω tiene la forma

ω = dpi ∧ dqi.

La demostracion del teorema viene elaborada en dos partes y es escencialmente la que seencuentra en [19]Demostracion:Las dos partes de la demostracion son:

a) Mostrar que en un espacio vectorial simplectico V , ω solo puede tener rango 2n y ademasω se puede escribir en una base conveniente tal que tenga la forma (2.29):

El rango de ω no es mas que la dimension de la imagen de ω : V → V ∗, que envıa a v ∈ V ala 1-forma diferencial α(w) = ω (v, ·) (w) = ω (v, w) y ya que ω es no degenerada, entoncesel rango de ω es igual a 2n.

Ahora supongamos que ω esta dada por

ω =12ωµνdy

µ ∧ dyν

en la base dyµ. Podemos asumir (arreglando la base si es necesario) que ω1n+1 6= 0, entonces

ω =(dy1 − ωn+1,2

ω1,n+1dy2 − · · · − ωn+1,n

ω1,n+1dyn − · · · − ωn+1,2n

ω1,n+1dy2n

)∧ (ω1µdy

µ) +A1,(2.33)

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donde A1 no contiene expresiones que envuelvan a dx1 o dxn+1. Ahora podemos definir

dx1 = −(dy1 − ωn+1,2

ω1,n+1dy2 − · · · − ωn+1,n

ω1,n+1dyn − · · · − ωn+1,2n

ω1,n+1dy2n

),

dxn+1 = ω1µdyµ,

(2.34)

con lo que ω se escribe comoω = dxn+1 ∧ dx1 +A1.

Si A1 = 0, entonces la demostracion esta completa. De otra manera continuamos el procesohasta obtener el resultado deseado

b) Probar que para cada p ∈ M hay un sistema de coordenadas local alrededor de p en el cualω es constante:

Para esta demostracion usaremos la siguiente identidad(d

dt

)f∗t α

∣∣∣t=s

= f∗s (Lvα) . (2.35)

Donde α es cualquier forma y ft el flujo local del campo vectorial v.

Consideremos un sistema de coordenadas alrededor de p ∈M; denotaremos con α la expre-sion para una forma en dichas coordenandas. Denotaremos tambien como ω1 la 2-forma queen estas coordenadas es constante y tal que ω1 = ω (p). Sea ωt = ω + t (ω1 − ω), ωt es nodegenerada en alguna vecindad del origen ∀ t ∈ [0, 1]. Usando el lema de Pincare, podemosdefinir ω1 − ω = dα para alguna 1-forma α en la vecindad. Asumamos que ω (p) = 0.

Sea vt el campo vectorial definido por ivtωt = −α, y sea ft su flujo en el punto p. Por sudefinicion, el campo vectorial es dependiente del tiempo, etnonces

d

dt(f∗t ωt) = f∗t (Lvtωt) + f∗t

dωt

dt= f∗t divtωt + f∗t (ω1 − ω)

= f∗t (−dα) + f∗t (dα) = 0,

entonces f∗1ω1 = f∗0ω = ω, y de esta manera el mapeo f1 es el cambio de coordenadas quetransforma ω en la forma constante ω1.

Retomando las ecuaciones (2.13), las ecuaciones de Hamilton en la forma no canonica vienendadas a traves de una estructura simplectica no canonica Ω como

dyµ

dt= Ωµν ∂H

∂yν, (2.36)

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Mecanica No-Conmutativa. 2.2 Mecanica Clasica No-Conmutativa.

en una base yµ. El teorema de Darboux nos asegura que existe una transformacion S tal que,si la base canonica de las 1-formas es dxµ, entonces

dxµ = Sµνdy

ν , (2.37)

con lo que la estructura simplectica (2.30) se puede escribir como

ωc =12ωµνdx

µ ∧ dxν =12ωµνS

µαdy

α ∧ Sµβdy

β =12Ωαβdy

α ∧ dyβ, (2.38)

de donde deducimos queSTωcS = Ω (2.39)

Ademas, de la ecuacion (2.36) tenemos que

Sµα

dxα

dt= ΩµνSα

ν∂H

∂xα, (2.40)

y usando (2.39) obtenemosdxµ

dt= ωµν

c

∂H

∂xν(2.41)

solo si H (yµ (x)) = H (xµ).En la practica construimos la transformacion S de acuerdo a la demostracion del teorema

de Darboux, esto es, de forma similar a como se hace en el proceso de diagonalizacion deGramm-Schmidt.

Esto sera ejemplificado al final del capıtulo 2, donde se escribiran las ecuaciones de Maxwellcon el formalismo de geometrıa diferencial y obtendremos las ecuaciones de movimiento parauna partıcula cargada en un campo electromagnetico, haciendo uso de una deformacion en laestructura simplectica, obteniendo ademas una mecanica clasica no conmutativa.

2.2. Mecanica Clasica No-Conmutativa.

Con la motivacion de la mecanica cuantica donde aparecen operadores que no conmutanentre sı y en particular problemas donde las coordenadas y/o los momentos no conmutan,utilizamos la regla de Dirac para pasar de la mecanica cuantica a la mecanica clasica, i.e.,cambiando las relaciones de conmutacion fundamentales por

1i

[ , ] → , .

La justificacion para estudiar estos espacios fase no-conmutativos clasicos proviene de la mismamecanica cuantica, ya que se ha mostrado ([18]) que la cuantizacion a la Dirac es equivalentea una deformacion -estrella del algebra del espacio fase conmutativo.

18

Mecanica No-Conmutativa. 2.3 Partıcula Cargada en un Campo Magnetico Constante.

Entonces entendemos por mecanica clasica no-conmutativa, a una mecanica descrita por elflujo del campo vectorial Hamiltoniano X, i.e., LX = 0 a traves de una estructura simplecticaω que no es canonica y que nos proporciona, en su forma mas general, los corchetes de Poisson:

qi, qj

= Θij ,qi, pj

= δi

j , pi, pj = Bij .

2.3. Partıcula Cargada en un Campo Magnetico Constante.

El problema clasico no-conmutativo por excelencia, es el efecto Hall y en su parte cuanticael problema de Landau. Por medio del efecto Hall (se da en una placa delgada con cargas libresen presencia de un campo magnetico perpendicular a uno electico) se puede encontrar unaestimacion del numero de partıculas libres cargadas en algun material; mientras que Landauencontro que los electrones en presencia de un campo magnetico constante se agrupan enniveles de energıa discretos en una direccion y continuos en la direccion perpendicular al campomagnetico.

En este capıtulo estudiamos dichos problemas sin concentrarnos en el efecto Hall y mostra-mos que el formalismo de Dirac tambien nos brinda una no-conmutatividad en los momentos.

2.3.1. Partıcula Clasica.

En esta seccion trabajaremos el caso de una partıcula cargada sujeta a una fuerza magnetica.Para esto suponemos un campo magnetico dirigido hacia el eje z positivo y una carga q losuficientemente pequena de tal forma que no influya en el campo magnetico.

Caso Canonico

En principio, debemos comenzar con el Hamiltoniano de una partıcula libre con acopla-miento mınimo del campo magnetico, a traves de su potencial vectorial ~A:

H =1

2m

(~p− q ~A

)2, (2.42)

Debido a que en el Hamiltoniano aparece el potencial ~A, tendremos que usar alguna norma.Para describir un campo magnetico B constante en la direccion z, dos normas son: la simetrica,donde tomamos Ax = − (1/2)By, Ay = (1/2)Bx y Az = 0; y la norma de Landau, dondetomamos Ax = −By, Ay = Az = 0.

Una buena eleccion del campo ~A (norma de Landau o norma simetrica) nos proporcio-nara un campo magnetico constante en direccion del eje z. El resultado de trabajar con dicho

19


Hamiltoniano y las relaciones de conmutacion usualesxi, xj

= 0,

xi, pj

= δi

j , pi, pj = 0 (2.43)

sera la fuerza de Lorentz~F = q

(~v × ~B

). (2.44)

Entonces, las ecuaciones de movimiento deben ser

d~p

dt= q

(~v × ~B

)=

q

m

(~p× ~B

). (2.45)

La fuerza magnetica no hace trabajo sobre la partıcula, entonces, la energıa debe ser constantey por lo tanto tambien el momento. Ademas, de la ecuacion (2.44), vemos que no hay unacomponente de la fuerza paralela al campo magnetico, y la componente del momento a lolargo de esa direccion debe permanecer constante. Entonces sin perder generalidad podemosconsiderar el movimiento solamente en el plano perpendicular a ~B. Ahora, la ecuacion (2.45)nos dice que el vector ~p de magnitud constante esta haciendo un movimiento de precesionalrededor de la direccion del campo magnetico con una frecuencia

ωB =qB

m, (2.46)

que es llamada frecuencia del ciclotron. El vector de velocidad tambien debera ser constante ydebera rotar con la misma frecuencia. Entonces la partıcula debera moverse uniformemente enuna orbita circular en el plano con velocidad angular ωB. Ya que la fuerza centrifuga es iguala mv2/r, se sigue que la magnitud del momento lineal en el plano debe ser igual a

p = mrωB. (2.47)

Combinando (2.47) y (2.46) llegamos a la relacion entre el radio del cırculo y el momento:

r =p

qB. (2.48)

Notemos que la frecuencia asociada al movimiento circular no depende de la velocidad de lapartıcula. Por consiguiente, las partıculas con velocidades menores tardaran el mismo tiempoen completar el cırculo mas pequeno que las partıculas mas veloces en completar cırculos masgrandes.

20


Caso No-canonico.

La diferencia con el caso canonico es que si utilizamos el formalismo Hamiltoniano, no tene-mos que escoger una forma especıfica del campo ~A. Proponemos ahora que el campo magneticodeforma a la estructura simplectica, en este caso estaremos trabajando con un campo magneticodirigido hacia el eje z positivo. Entonces, la estructura simplectica deformada sera

(ωe,B)µν =

0 eB 0 −1 0 0−eB 0 0 0 −1 0

0 0 0 0 0 −11 0 0 0 0 00 1 0 0 0 00 0 1 0 0 0

. (2.49)

la cual nos brinda los corchetes de Poissonxi, xj

= 0

xi, pj

= δi

j

px, py = eB px, pz = 0 py, pz = 0.(2.50)

Tomaremos el Hamiltoniano de la partıcula libre

H =1

2m(p2

x + p2y + p2

z

)(2.51)

y como vimos antes, las ecuaciones de movimiento seran

dxi

dt=

pi

m, (2.52a)

dpx

dt= ωBpy, (2.52b)

dpy

dt= −ωBpx, (2.52c)

dpz

dt= 0, (2.52d)

en donde ωB = eB/m, es la frecuencia del ciclotron.Trabajando un poco estas ecuaciones obtenemos

px = A cos (ωBt) +B sen (ωBt) (2.53a)

py = −A sen (ωBt) +B cos (ωBt) (2.53b)

pz = k, (2.53c)

donde A, B y k son constantes de integracion. Con condiciones iniciales px (0) = px0, py (0) =py0 y pz (0) = pz0, encontramos A = px0, B = py0 y k = pz0 Ademas utilizando (2.52a),

21


obtenemos

x =1eB

[px0 sen (ωBt)− py0 sen (ωBt)] + x0, (2.54a)

y = − 1eB

[px0 cos (ωBt) + py0 sen (ωBt)] + y0, (2.54b)

z =pz0

mt+ z0. (2.54c)

Podemos observar que el movimiento descrito son orbitas circulares en el plano perpendiculary que la frecuencia es (2.46). Calculando la magnitud del momento proyectado en el plano,observamos que es la constante

p2x + p2

y = p2x0 + p2

y0 = p. (2.55)

mientras que el radio del cırculo en el plano es

r =√x2 + y2 =

p

eB. (2.56)

Para concluir, vimos que con una mecanica clasica no conmutativa a nivel de los momen-tos, vıa deformacion de la estructura simplectica, obtenemos las ecuaciones correctas para elproblema del movimiento de una carga en un campo magnetico constante.

2.3.2. Partıcula Cuantica.

En esta seccion resolveremos el problema de Landau, que consiste en la cuantizacion deuna partıcula en un campo magnetico constante, el cual nos llevara a los llamados nivelesde Landau, obteniendo de manera muy natural (a traves de una teorıa de constricciones desegunda clase) una mecanica cuantica no-conmutativa. Usaremos unidades donde c = 1.

Caso Canonico.

En este punto podemos agregar espın a la partıcula, este se agrega acopladandolo al campomagnetico usando el operador µ = (µ/s) s de momento magnetico intrınseco, donde s es eloperador de espın.

En este caso trabajaremos con la norma de Landau y no incluiremos espın. El Hamiltonianoque usaremos es el de partıcula libre con acoplamiento mınimo (reemplazamos el momento por~p− e ~A):

H =1

2m

(~p− e ~A

)2, (2.57)

22


entonces cambiando las variables por operadores tenemos la ecuacion de Schrodinger indepen-diente del tiempo es [

12m

(px + eBy)2 +1

2m(p2

y + p2z

)]ψ = Eψ, (2.58)

donde usamos el acoplamiento mınimo y pi = mvi + eAi.Este Hamiltoniano no contiene x ni z explıcitamente, y por lo tanto los operadores px y pz

conmutan con H, i.e. podemos diagonalizarlos simultaneamente y

piψ (x, y, z) = piψ (x, y, z) con i = x, z, (2.59)

usando separacion de variables obtenemos

ψ = e(i/)(pxx+pzz)χ (y) . (2.60)

Los valores propios px y pz toman todos los valores reales desde −∞ hasta +∞. Del acopla-miento mınimo vemos que dado Az = 0, entonces la componente z del momento generalizadoes igual al momento ordinario (cinetico) mvz. Por lo tanto la velocidad de la partıcula en ladireccion z (del campo) puede tomar cualquier valor; ası podemos decir que el movimiento alo largo del campo ”no esta cuantizado”.

Introduciendo (2.60) en (2.59) y definiendo

y0 ≡ − px

eB(2.61)

ωB ≡ |e|Bm

(2.62)

encontramos la ecuacion

− 2

2mχ′′ +

mω2B

2(y − y2

0

)χ =

(E − p2

z

2m

)χ. (2.63)

Esta no es mas que la ecuacion del oscilador armonico cuantico, por lo que el lado derechosera la energıa de este oscilador en particular, por lo que

E =(n+

12

)ωB +

p2z

2m, (2.64)

El primer termino de valores de energıa discretos corresponde al movimiento en el plano per-pendicular al campo y se llaman niveles de Landau. Las funciones propias estaran dadas por

χn (y) =1

π1/4√

2nn!xn+1/2o

(y − y0 − x2

0

d

dy

)n

exp

(−1

2

(y − y0

x0

)2), (2.65)

donde x0 =√

/mωB. Observemos que la funcion de onda esta localizado en la direccion y enfunciones Gaussianas, pero no en la direccion x. Y ya que la energıa no contiene a la cantidadpx, los niveles de energıa son degenerados continuamente.

23


Movimiento de ciclotron. Como ya vimos, clasicamente encontramos el centro del movi-miento de ciclotron xo y y0. En el caso cuantico existe su analogo. Consideremos el Hamiltonianoen el plano perpendicular al campo

H =1

2m

[(−i∂x + eAx)2 + (−i∂y + eAy)

2], (2.66)

el momento covariante (canonico)

pj = −i∂j + eAj j = x, y, (2.67)

y definimos las coordenadas guıas del centro (el vector que apunta desde el observador hastael centro del movimiento de ciclotron;)

X ≡ x+1eB

py, Y ≡ y − 1eB

px. (2.68)

Este conjunto de variables cumplen las siguientes reglas de conmutacion:

[X,Y ] = −il2 y [px, py] = i2

l2(2.69)

donde l es una longitud natural de esta teorıa, llamada longitud magnetica y definida como

l =

√eB

(2.70)

Construyendo los operadores

a ≡ l√2

(px + ipy) , a† ≡ l√2

(px − ipy) , (2.71)

con su relacion de conmutacion [a, a†

]= 1, (2.72)

el Hamiltoniano (2.66) es

H =(a†a+

12

)ωB. (2.73)

Las coordenadas de la partıcula cargada ~x = (x, y) estan descompuestas en las coordenadasguıa del centro ~X = (X,Y ) y las coordenadas relativas ~R = ~x− ~X = (Rx, Ry)

~R =1eB

(−py, px) . (2.74)

Con las ecuaciones de movimiento de Heisenberg para ~X

idX

dt= [X,H] = 0, i

dY

dt= [Y,H] = 0, (2.75)

24


vemos que el electron no se mueve en toda la muestra. Las coordenadas ~R describen el mo-vimiento alrededor de las coordenadas guıa del centro; y el Hamiltoniano en terminos de ~R

esH =

12m

p2 =ωB

2l2R2 (2.76)

entonces〈R2〉 = (1 + 2n) l2 (2.77)

en el n-esimo nivel de Landau. Las ecuaciones de movimiento para ~p seran

idpx

dt= iωBpy, i

dpy

dt= iωBpx. (2.78)

Ası que ~R hace movimiento de ciclotron

〈Rx〉 = −√

(1 + 2n)l sen (ωBt) , 〈Ry〉 =√

(1 + 2n)l cos (ωBt) , (2.79)

para el nivel mas bajo de Landau (n = 0), l es el radio del ciclotron. Para un campo alrededorde 10 Teslas, este radio es del orden de 10 nm.

Si tomamos la norma de Landau y nos restringimos al nivel mas bajo de Landau, la variabledinamica esta dada solo por la guıa del centro ~X con [X,Y ] = −il2. Ademas la funcion de onda(como vimos antes) en funcion de ~k = ~p/ es

Skx (~x) =1√π1/2l

e−ikxxexp

[− 1

2l2(y − y0k)

2

](2.80)

con y0k = kxl2.

La probabilidad de encontrar el electron en y tiene un pico en y0k = kxl2. estos estados

son bandas etiquetadas por el numero de onda kx, que se ubica en y = kxl2 y tiene ancho

∆y = l2∆kx. Aquı, ∆kx = 2π/Lx, porque con condiciones periodicas de frontera Skx (x+ Lx) =Skx (x) en una placa cuadrada de lados Lx y Ly, tenemos que kx = 2πnx/Lx. El area de cadabanda es ∆S = Lx ×∆x = Lx

2πl2

Lx= 2πl2.

Entonces, la posicion de un electron no puede ser localizada en un area menor a ∆S. Estoes porque esta confinado al nivel mas bajo de Landau, donde X y Y no conmutan.

En este caso, encontramos operadores no-conmutativos de posicion para el centro del mo-vimiento de ciclotron de cada partıcula, cuya consecuencia en el nivel mas bajo de Landau,fue la no localidad de una partıcula en un area determinada por la longitud magnetica l.

25


Lımite de campo fuerte. En este lımite encontraremos que las coordenadas de la partıculano conmutan a traves de la teorıa de constricciones de Dirac.

En este lımite consideramos B →∞, i.e., el regimen de energıa B m o m→ 0. Nuestrohamiltoniano puede contener un potencial V debido a las impuresas del material, por lo que loescribimos como

H =1

2mπ2 + V, (2.81)

donde ~π es el momento cinetico ~π = ~p − e ~A. En este lımite tenemos que ~π = 0, por loque tendremos que imponer esta igualdad como una constriccion. Ademas el Hamiltoniano sereduce a H0 = V . Como πx y πy no conmutan, entonces tendremos que tomar a ~π como unaconstriccion de segunda clase. Ası que el nuevo Hamiltoniano sera

H ′ = V + u1πx + u2πy, (2.82)

con u1 y u2 por determinar. Aplicando la condicion de consistencia con los corchetes de Poissonφj ,H

′ ≈ 0, con φj = πj , tenemos

φ1,H0+ u1 φ1, φ1+ u2 φ1, φ2 = −∂V∂x

+ u2eB ≈ 0 (2.83)

φ2,H0+ u1 φ2, φ1+ u2 φ2, φ2 = −∂V∂y

− u1eB ≈ 0. (2.84)

Despejando ~u

u1 = − 1eB

∂V

∂y, u2 =

1eB

∂V

∂x. (2.85)

Estas no son constricciones secundarias, sino que son condiciones que fijan a ui. Esto indicaque no hay grados de libertad no-fısicos. La matriz de constricciones es

M = eB

(0 1−1 0

)(2.86)

cuya inversa es

M−1 =1eB

(0 −11 0

). (2.87)

Ası que los corchetes de Dirac se definen como:

f, gDB = f, g+M−1ab f, φa φb, g . (2.88)

Usando esta definicion encontramos

x, yDB = − 1eB

(2.89)

x, pxDB = y, pyDB =12. (2.90)

26


Para proseguir con un analisis ya sea clasico o cuantico, tendrıamos que utilizar estas nuevasrelaciones de conmutacion y encontrar las nuevas ecuaciones de movimiento, ası como el com-portamiento de la funcion de onda en el espacio fase reductivo, m→ 0, limite que se proyectaen el nivel de Landau mas bajo.

Peierls en [2] observo que cuando una impureza en el sistema de electrones es descrita porV , uno puede obtener a traves de perturbaciones a primer orden en m en la energıa, el nivel deLandau mas bajo, considerando a V como funcion de las coordenas (x, y) que no conmutan.

Caso No-Canonico.

Para desarrollar la cuantizacion en una vision no-conmutativa, promovemos el Hamiltoniano(2.51) a el operador Hermıtico en algun espacio de Hilbert

H =1

2m(p2

x + p2y + p2

z

). (2.91)

Ademas, usando la regla de Dirac para obtener relaciones cuanticas a partir de relacionesclasicas, en (2.50), obtenemos el algebra de Heisenberg no-conmutativa[

xi, xj]

= 0[xi, pj

]= iδi

j

[px, py] = ieB [px, pz] = 0 [py, pz] = 0.(2.92)

al igual que en el caso canonico, pz conmuta con el Hamiltoniano y por lo tanto lo podemosreemplazar por su valor propio pz. Escribiremos ahora el Hamiltoniano en una forma masfamiliar a traves de operadores de creacion y aniquilacion. Entonces definimos

a† = A (px − ipy) , a = A (px + ipy) , (2.93)

donde A sera una constante de normalizacion. Para encontrar A, operamos el conmutador dea† y a [

a, a†]

= 2iA2 [px, py] = 2A2eB. (2.94)

Para que este conmutador sea 1, necesitamos que

A =1√

2eB. (2.95)

Ademas observamos que

a†a =1

2eB(p2

x + p2y + i [px, py]

)=

12eB

(2mH − p2

z − eB), (2.96)

27


entonces, definiendo ωB = eB/m tenemos

H = ωB

(a†a+

12

)+

p2z

2m. (2.97)

Definimos tambien el operador numero

N = a†a, (2.98)

cuyas relaciones de conmutacion con a y a† son las usuales

[N, a] = −a,[N, a†

]= a†. (2.99)

Con esto, la ecuacion de Schrodinger sera

ωB

(a†a+

12

)| n, pz〉 =

(E +

p2z

2m

)| n, pz〉, (2.100)

que no es mas que la ecuacion del oscilador armonico cuantico, con energıa

E − p2z

2m= ωB

(n+

12

)(2.101)

y entonces, la energıa del sistema sera

En = ωB

(n+

12

)+

p2z

2m, (2.102)

con n = 0, . . . ,∞.Los estadeos |n〉 estan dados por

|n〉 =

[(a†)n

√n!

]|0〉 (2.103)

y

a|n〉 =√n|n− 1〉 (2.104a)

a † |n〉 =√n+ 1|n+ 1〉 (2.104b)

con a|0〉 = 0.

Ademas podemos escribir a los operadores a y a† en terminos de los operadores px y py

como sigue

px =

√mωB

2

(a† + a

), py = i

√mωB

2

(a† − a

)(2.105)

28


En este punto debemos observar que el conjunto |px, py, pz〉 no forma una base ortonormalcomo en el caso canonico ya que no podemos diagonalizar simultaneamente los operadores px

y py. Sin embargo, una pregunta interesante es: ¿existe un casimir en el algebra central de losoperadores pi tal que determine por completo la base que buscamos?

Ademas, en el espacio de posiciones, la representacion del momento en la direccion x y y

tendra que cambiar y no es unica. Para encontrar una buena representacion proponemos elanzats

py = −i ∂

∂y+ A (x, y, z) , px = −i ∂

∂x(2.106)

donde A es una funcion, que depende de los operadores posicion, por determinar. Usaremosahora las reglas de conmutacion (2.92),

[y, py]ψ = y

(−i ∂

∂y+ A

)ψ −

(−i ∂

∂y+ A

)yψ (2.107a)

= −iy∂ψ∂y

+ yAψ + i∂yψ

∂y−Ayψ (2.107b)

= iψ. (2.107c)

Este conmutador no nos da informacion acerca de A, pero observamos que con A arbitraria semantiene. Probemos el conmutador de px con py

[px, py]ψ = −i∂A∂x

, (2.108)

por otro lado [px, py]ψ = ieBψ, entonces

∂A

∂x= −eB (2.109)

y por lo tantoA = −eBx+ f (y, z) . (2.110)

Si continuamos conmutando py con pz y con el mismo, encontraremos que f (y, z) = 0. Y porlo tanto la representacion de los momentos que cierra el algebra (2.92) es

px = −i ∂

∂x, py = −i ∂

∂y− eBx, pz = −i ∂

∂z. (2.111)

Notemos que esta representacion podrıa estar relacionada con la transformacion de Darboux(3.71).

Retomando el calculo del oscilador armonico para determinar sus estados en el espacio decoordenadas, empezaremos con el estado cero:

〈~x|a|0〉 = 0, (2.112)

29


y usando la relacion (2.105) obtenemos

〈~x| (px + ipy) |0〉 = 0 (2.113)

entonces [−i ∂

∂x+

∂

∂y− ieBx

]ψ0 (x, y, z) = 0 (2.114)

donde ψ0 = 〈~x|0〉. Usando separacion de variables

ψ0 (x, y, z) = X (x)Y (y)Z (z) , (2.115)

donde Z (z) = e(i/)(pzz), debemos distinguir tres casos:

i. La constante mayor que cero: k2.

La ecuacion diferencial para Y sera:

∂Y

∂y=k2

Y. (2.116)

Mientras que para X tenemos:

∂X

∂x= − i

k2X − eB

xX. (2.117)

Sus soluciones son

X = K1e−k4/(2eB)e−(

√eBx/(

√2)+ik2/

√2eB)2

, (2.118a)

Y = K2ek2y/, (2.118b)

Z = K3e(i/)(pzz). (2.118c)

con una sola constante para normalizar.

ii. La constante menor que cero: −k2.

Este caso es igual al anterior pero cambiando cada k2 por −k2

iii. La constante igual a cero: k2 = 0.

En este caso las soluciones son:

X = K1e−(eB/2)x2

, (2.119a)

Y = K2, (2.119b)

Z = K3e(i/)(pzz). (2.119c)

30


Para encontrar estados mas altos se usara la ecuacion (2.103), y se resolvera la ecuacion

ψn (x, y, z) = 〈~x|

[(a†)n

√n!

]|0〉 =

1√n!

(−i ∂

∂x−

∂

∂y+ ieBx

)n

ψ0. (2.120)

Observemos que en las coordenadas x la partıcula se encontrara localizada por bandasGaussianas, mientras seguiremos teniendo una degeneracion continua debido a que px no seencuentra en la energıa. En este caso, podemos seguir interpretando a los momentos comogeneradores de traslaciones, solo que modificamos el postulado de la conmutacion de traslacio-nes por uno no conmutativo. Obviamente, la funcion de onda dependera de la representacionde los operadores pi en el espacio de coordenadas, entonces, hemos pasado de el problema deescoger una norma al problema de representar a los momentos en el espacio de coordenadas.Esta representacion es basicamente una transformacion de Darboux.

Para concluir resumiremos los principales resultados de este capıtulo. Primero abordamoslas herramientas necesarias para lo que denominamos deformacion simplectica y definimoslo que sera una mecanica clasica no-conmutativa. En el siguiente capıtulo utilizaremos estasdeformaciones para formular una teorıa electromagnetica correcta a traves de un formalismoHamiltoniano. En el capıtulo 4 veremos que la mecanica clasica no-conmutativa formulada comolo hicimos, solo es una simetrıa particular generada por el Hamiltoniano. Ademas resolvimosexitosamente el problema de Landau utlizando las deformaciones simplecticas. Cambiamosel problema de escoger una norma para el potencial vectorial magnetico por el problema deescoger una transformacion de Darboux adecuada que nos de una representacion correcta delas relaciones de conmutacion fundamentales pero no-conmutativas (2.92).

31

Capıtulo 3

Electrodinamica.

Con el motivo de comparar y ejercitar el formalismo simplectico, en este capıtulo se presentala formulacion clasica (canonica) de la teorıa electromagnetica y la formulacion no canonica atraves del lenguaje de geometrıa diferencial y las deformaciones simplecticas. Comparar dichosformalismos nos permitira entender mas a fondo en que sentido se estara introduciendo posiblenueva fısica.

Mostraremos tambien que la importancia de introducir el operador ∗ (dual de Hodge) y unaestructura simplectica deformada, radica en que a traves del operador ∗ fijamos la geometrıadel espacio (Euclidiano o Conforme) con las ecuaciones constitutivas (respuesta del vacıo a lapresencia del campo electromagnetico), mientras que la estructura simplectica es deformada porla presencia del campo electromagnetico para darnos las ecuaciones de movimiento correctas(fuerza de Lorentz).

3.1. Electrodinamica Clasica Canonica.

3.1.1. Ecuaciones de Maxwell.

Conservacion de la carga.

La corriente en un alambre es la carga por unidad de tiempo pasando por un punto dado.Dada esta definicion, cargas negativas moviendose a la izquierda equivalen como positivasmoviendose a la derecha.

Una linea cargada λ viajando a una velocidad v, constituye una corriente

I = λv, (3.1)

dado que un segmento de longitud v∆t con carga λv∆t pasa por un punto en un tiempo ∆t.

33

Electrodinamica. 3.1 Electrodinamica Clasica Canonica.

La corriente como vector es~I = λ~v. (3.2)

La fuerza magnetica en un segmento de alambre es:

~Fmag =∫ (

~v × ~B)dq =

∫ (~v × ~B

)λdl =

∫ (~I × ~B

)dl (3.3)

Cuando el flujo de una carga esta distribuido a lo largo de una region tridimensional, ladescribimos con la densidad de corriente volumetrica ~J . Si consideremos un ”tubo”de secciontransversal infinitesimal da⊥ paralelo al flujo, entonces

~J =d~I

da⊥, (3.4)

ademas, si la densidad de carga volumetrica (movil) es ρ y la velocidad ~v, entonces

~J = ρ~v (3.5)

La fuerza en este caso es

~Fmag =∫ (

~v × ~B)ρdτ =

∫ (~J × ~B

)dτ. (3.6)

De acuerdo a (3.4), la corriente atravesando una superficie S es

I =∫

SJda⊥ =

∫S

~J · d~a, (3.7)

y en particular, la carga total por unidad de tiempo que deja el volumen V es∮S

~J · d~a =∫

V

(∇ · ~J

)dτ. (3.8)

Ya que la carga se conserva, lo que fluya a traves de la superficie hacia afuera debe de habervenido de dentro y por lo tanto∫

V

(∇ · ~J

)dτ = − d

dt

∫Vρdτ = −

∫∂ρ

∂tdτ (3.9)

⇒ ∇ · ~J +∂ρ

∂t= 0 ., (3.10)

que no es mas que la ley de conservacion de la carga.

34


Ley de Gauss.

En la notacion vectorial, el vector de desplazamiento electrico esta definido en terminos delmomento dipolar por unidad de volumen como

~D = ε0 ~E + ~P , (3.11)

debemos notar que ~D no proviene de un potencial, ni tiene su propia ley de Gauss, sino queproviene de una densidad de carga volumetrica producido en materiales dielectricos sumado alcampo electrico externo. Ademas de esto, muchos materiales presentan una proporcionalidadentre ~P y ~E, ası que con campos electricos no muy fuertes tendremos

~P = ε0χe~E, (3.12)

donde χe es la suceptibilidad electrica del medio y donde se usa ε0 para conservar a χe comouna cantidad adimensional. Ademas χe depende de la estructura microscopica del medio.

Concluimos que para este tipo de medios obtenemos la relacion

~D = ε0 ~E + ~P = ε0 (1 + χe) ~E, (3.13)

~D = ε ~E, (3.14)

en donde ε es la permitividad del material. La ley de Gauss sera entonces

∇ · ~D = ρf , (3.15)

donde ρf es la densidad de carga libre en el material, que bien pueden ser electrones en unconductor o iones embebidos en un material dielectrico.

Ley de Faraday.

La fuerza magnetica en una carga Q moviendose con velocidad ~v dentro de un campomagnetico ~B es

~Fm = Q(~v × ~B

), (3.16)

notemos que esta fuerza no hace trabajo: si Q se mueve d~l = ~vdt, el trabajo hecho sera

dWm ≡ ~Fm · d~l = Q(~v × ~B

)· ~vdt = 0. (3.17)

Las fuerzas magneticas pueden alterar la direccion de una partıcula, pero no pueden aceleralao frenarla.

35


En este mismo contexto, la ley de Faraday nos dice que un cambio en el campo magneticoinduce un campo electrico. Es este campo electrico inducido el que produce una fuerza elec-tromotriz en un experimento donde se mueve un magneto manteniendo un circuito cerrado dealambre fijo. Como resultado obtendremos una corriente fluyendo en el alambre. De hecho, sila fuerza electromotriz es igual a la razon de cambio del flujo, entonces

ε =∮

~E · d~l = −dφdt, (3.18)

donde ε es el trabajo hecho por una fuente, por unidad de carga y φ es el flujo de ~B por elcircuito φ =

∫~B · d~a. Y ası encontramos la ley de Faraday∮

~E · d~l = − d

dt

∫~B · d~a. (3.19)

o usando el teorema de Stokes en su forma diferencial

∇× ~E +∂ ~B

∂t= 0 (3.20)

No existencia de monopolos magneticos

Otra ley fundamental la obtenemos al aplicar la divergencia al campo ~B. Una forma rela-tivamente sencilla de encontrar este resultado, es atraves de la ley de Biot-Savart:

~B (~r) =µ0

4π

∫~J(~r′)× ~r − ~r′

|~r − ~r′|3dx′dy′dz′, (3.21)

o usando la identidad ∇×(ψ ~J)

= ∇ψ × ~a+ ψ∇× ~a obtenemos

~B (~r) =µ0

4π∇×

∫ ~J(~r′)

|~r − ~r′|dx′dy′dz′, (3.22)

en donde ~J es la densidad de corriente; y ası facilmente encontramos

∇ · ~B = 0, (3.23)

y nos dice que no existen monopolos magneticos.

36


Ley de Ampere-Maxwell.

La ley de Ampere se encuentra tomando el rotacional de la ley de Biot-Savart (3.21).Utilizaremos la siguiente notacion ~R = ~r−~r′ y R sera un vector unitario apuntando en direccionde ~R. El rotacional sera aplicado sobre las variables ~r por lo que

∇×

(~J × R

R2

)= ~J

(∇ · R

R2

)−(~J · ∇

) R

R2, (3.24)

para evaluar el segundo termino, observemos por ejemplo la componente x:

−(~J · ∇

) x− x′

R3=

(~J · ∇′

) x− x′

R3(3.25a)

= ∇′ ·[x− x′

R3~J

]− x− x′

R3

(∇′ · ~J

), (3.25b)

cuando la corriente es constante ∇′ ~J = 0; con este resultado en la integral tendremos∫V∇′ ·

[(x− x′)R3

~J

]dτ ′ =

∮S

(x− x′)R3

~J · d~a′, (3.26)

el punto esencial es que en la superficie la corriente es cero y por lo tanto (3.26) es cero. Entoncesusando

(∇ · R

R2

)= 4πδ3 (~r − ~r′) tenemos la ley de Ampere

∇× ~B = µ0~J (~r) . (3.27)

Alguna materiales en presencia de campos magneticos se magnetizan y por tal motivodefinimos la magnetizacion como ~M =momento dipolar magnetico por unidad de volumen. Aligual que en el caso de materiales dielectricos, la corriente total sera de la forma

~J = ~Jb + ~Jf , (3.28)

en donde ~Jf son corrientes libres y ~Jb = ∇× ~M son corrientes ligadas en el material. Entoncesla ley de Ampere sera

∇× ~H = ~Jf (3.29)

en donde~H =

1µ0

~B − ~M (3.30)

En materiales diamagneticos y paramagneticos, la magnetizacion se sostiene por el campo.Muchas sustancias presentan magnetizaciones proporcionales al campo por lo que

~M = χm~H, (3.31)

37


χm se llama susceptibilidad magnetica. Con esto tendremos

~B = µ0 (1 + χm) ~H, (3.32)~B = µ ~H, (3.33)

µ = µ0 (1 + χm) es la permeabilidad del material.Esta ley tiene un problema al aplicarle la divergencia: el lado derecho es identicamente cero,

mientras el izquierdo en general no lo es.Al aplicar la ley de conservacion de carga con la ley de Gauss tenemos

∇ · ~J = −∂ρ∂t

= − ∂

∂t

(ε0∇ · ~E

)= −∇ ·

(ε0∂ ~E

∂t

), (3.34)

este termino fue agregado por Maxwell y arregla el problem. Y ası la ecuacion de Ampere-Maxwell en el vacıo es

∇× ~B = µ0~J + µ0ε0

∂ ~E

∂t(3.35)

Con un material y en el caso estatico tenemos que cualquier cambio en la polarizacionelectrica conlleva un flujo de cargas ~Jp que debe ser incluido en la corriente total. en un pedazode material la polarizacion induce densidades de carga σb = P y −σb. Si P se incrementa unpoco, la carga en las orillas tambien se incrementara, dandonos una corriente de red dI =∂σb∂t da⊥ = ∂P

∂t da⊥, entonces

~Jp =∂ ~P

∂t, (3.36)

revisando la conservacion de la carga tenemos

∇ · ~Jp =∂

∂t

(∇ · ~P

)= −∂ρb

∂t(3.37)

⇒ ρ = ρf + ρb = ρf −∇ · ~P (3.38)

y ~J = ~Jf + ~Jb + ~Jp = ~Jf +∇× ~M +∂ ~P

∂t(3.39)

con todo esto obtenemos la ley de Ampere-Maxwell en algun medio

∇× ~H = ~Jf +∂ ~D

∂t(3.40)

38


3.1.2. Ecuaciones de movimiento para una carga puntual en presencia de uncampo electrico y magnetico.

Las ecuaciones de movimiento para una carga puntual Q en presencia de un campo electo-magnetico estan dadas por la fuerza de Lorentz

~F = Q(~E + ~v × ~B

), (3.41)

estas pueden ser encontradas utilizando el Hamiltoniano

H =1

2m

(~p−Q~A

)2+Qφ (~q) , (3.42)

donde se hace uso del acoplamiento mınimo, cambiando el momento conjugado por ~p−Q~A ydonde la relacion entre el momento canonico ~p y el momento cinetico m~v esta dada por

~p = m~v +Q~A = m~q +Q~A, (3.43)

el primer termino de (3.42) es la energıa cinetica m~q/2 y el segundo termino es la energıapotencial que surge del campo electrico ~E. Obviamente no existe energıa potencial que provengadel campo magnetico, ya que este ultimo nunca hace trabajo en la carga puntual a lo largo desu movimiento. Mostremos que este Hamiltoniano nos llevan a la fuerza de Lorentz (3.41). Siusamos indices i = 1, 2, 4 y la convencion de Einstein, las ecuaciones de Hamilton seran

qi =∂H

∂pi=

1m

(pi −QAi) (3.44)

y

pi = −∂H∂qi

=Q

m(pj −QAj) ∂iAj −Q∂iφ, (3.45)

usando~A =

∂ ~A

∂t+ qj∂jAi

y combinando las ecuaciones (3.44) y (3.45) obtenemos

mqi = Q

(−∂iφ−

∂Ai

∂t

)+Q (qj (∂iAj − ∂jAi)) (3.46)

mqi = Q(Ei +

(∇× ~B

)i

)(3.47)

que es la fuerza de Lorentz (3.41).

39

Electrodinamica. 3.2 Electrodinamica Clasica No-canonica.

3.2. Electrodinamica Clasica No-canonica.

Desde la aparicion de la no-conmutatividad en los resultados de teorıa de cuerdas, don-de aparece en teorıas de D-branas [3], [4], se han elaborado trabajos en muchos topicos no-conmutativos que van desde mecanica clasica [21], hasta teorıas de norma y relatividad general[22]. En esta seccion construiremos las ecuaciones de Maxwell en un formalismo de geometrıadiferencial, a traves de las formas diferenciales, las cuales nos dan de forma natural un forma-lismo Hamiltoniano que a su vez quedara deformado vıa la estructura simplectica resultandoen una no-conmutatividad en los momentos.

Cadenas y formas diferenciales.

Antes de adentrarnos al electromagnetismo con coordenadas no-canonicas, es favorableentender los procesos de integracion que ocurren en las siguientes secciones.

Consideremos el significado de las integrales de linea y superficie:

I1 =∫

CFxdx+ Fydy + Fzdz =

∫C

~F · d~r

I2 =∫

S(Gxdy ∧ dz +Gydz ∧ dx+Gzdx ∧ dy) =

∫S

~G · d~S.

Estas son una integral de linea y una integral de superficie respectivamente, que dan comoresultado un numero. Por tal motivo, ~F y ~G, son el dual de la linea y de la superficie. Llamaremosa la linea y a la superficie ”cadenas”, y los objetos que seran integrados sobre las cadenas seran”formas diferenciales”.

A las lineas las llamaremos 1-cadenas, ya que tienen dimension 1; a una superficie la lla-maremos 2-cadena, etc. y denotaremos al generico de cadena como Cn, con dimension n. Lafrontera de una n-cadena es una (n − 1)-cadena. Y definimos el operador frontera ∂, el cualmapea Cn a Cn−1

Cn∂→ Cn−1 o ∂Cn = Cn−1

Algunas cadenas no tienen frontera: como el caso de la esfera o el caso de una lınea cerrada enforma de cırculo. Estas cadenas son llamadas ciclos 2se denotan por Zn, y por lo tanto

∂Zn = 0.

Otras cadenas que son frontera de otras cadenas de mayor dimension y son denotadas por Bn:

Bn = ∂Cn+1.

40


Por ejemplo, una linea cerrada B1 es la frontera de un area. Es claro tambien que las Bn’s notienen frontera (ya que son cerradas):

∂Bn = 0.

Combinando estas ultimas dos ecuaciones obtenemos el analogo de la derivada exterior aplicadasobre ella misa, para cadenas:

∂2 = 0.

Como se menciono arriba, las formas diferenciales son los duales de las cadenas y por tal motivo,una 1-froma es algo que debe ser integrado sobre una linea; una 3-forma es algo que debe serintegrado sobre un volumen, etc. Sabemos tambien que la derivada exterior de una n-forma nosdara como resultado una (n+1)-forma, este elemento nos llevara directo al conocido teoremade Stokes, el cual dice que si ω es una p-forma y C una (p+1)-cadena, entonces∫

∂Cω =

∫Cdω

3.2.1. Electroestatica: Las propiedades dielectricas del vacıo determinan lageometrıa euclideana.

Para definir nuestras cantidades en el lenguaje de geometrıa diferencial debemos estudiarun poco los objetos importantes en electroestatica. El primer objeto es el campo electrico E,el cual asigna diferencias de voltaje a caminos por medio de una integracion de camino y porlo cual lo definiremos como una 1-forma diferencial en el espacio tridimensional . El segundoobjeto es el desplazamiento electrico D, el cual, al ser integrado en una superficie cerrada nosdevuelve el valor de la carga libre total contenida en una region, por lo cual se definira comouna 2-forma. Ademas D debe satisfacer la ley de Gauss

dD = ρdx ∧ dy ∧ dz (3.48)

dD =12∂Dµν

∂xαdxα ∧ dxµ ∧ dxν , (3.49a)

=[D23

∂x1+D31

∂x2+D12

∂x3

]dx1 ∧ dx2 ∧ dx3, (3.49b)

que no es mas que la divergencia de D; y la 3-forma ρdx ∧ dy ∧ dz es la densidad de carga encualquier region 3-dimensional.

Las dos ecuaciones fundamentales en electroestatica son: la que relaciona a D y E que esdeterminada por el medio y la segunda nos dice que E es cerrada dE = 0, lo cual nos va a

41


permitir escribir localmente a E como E = −dφ. Ya que E es una 1-forma y D una 2-forma,y en vista de que E = −dφ, no podemos usar a la derivada exterior ni el operador iX pararelacionar a ambas formas, la unica forma de relacionarlas es postulando que hay un sistemade coordenadas preferencial (Euclidiano) y que el operador ∗ tenga la forma

∗dx = dy ∧ dz, ∗dy = −dx ∧ dz, ∗dz = dx ∧ dy. (3.50)

tal queD = ε ∗ E, (3.51)

Dado el operador ∗ podemos fijar la metrica usando las ecuaciones (A.16d) y (A.18), queen este caso seran

dx ∧ ∗dx = dx ∧ (dy ∧ dz) ,dy ∧ ∗dy = dy ∧ (−dx ∧ dz) ,dz ∧ ∗dz = dz ∧ (dx ∧ dy) ,

(3.52)

y los productos cruzados dx∧∗dy, dy∧∗dz, etc. igual a cero; con estas relaciones, encontramosun sistema de seis ecuaciones con seis incognitas, donde estas ultimas son las componente deltensor metrico gµν . Resolviendo, es facil encontrar que gµν = diag (1, 1, 1).

Debemos enfatizar que no es el campo electrico por si mismo, o el desplazamiento electricolos que determinan la geometrıa euclidea, sino la respuesta del vacıo a la presencia del campo; larelacion entre E y D es la que determina la estructura euclidea, y a su vez es esta estructura laque determina las ecuaciones de movimiento de una partıcula libre en el espacio. Las ecuacionesde movimiento para una partıcula con masam y sin carga son determinadas por el HamiltonianoHm en T ∗R3 con:

Hm =1

2m||p||2, (3.53)

mientras que las ecuaciones de movimiento para una partıcula cargada estan dadas por elHamiltoniano modificado

Hm,e,φ =1

2m||p||2 + eφ (q) . (3.54)

3.2.2. Magnetoestatica: El campo magnetico determina la estructura sim-plectica del espacio fase.

En la seccion pasada definimos al campo electrico como una 1-forma, y ahora solo nos quedadefinir al flujo magnetico B como la 2-forma

B = Bxdy ∧ dz −Bydx ∧ dz +Bzdx ∧ dy (3.55)

42


y entonces la ley de Faraday es:d

dt

∫S

B = −∫γ

E. (3.56)

y (3.23) seradB = 0. (3.57)

Esto implica que la 2-forma B es cerrada y usando el lema de Poincare, podemos escribirademas a B como la 2-forma exacta B = dA. Lo que equivale en notacion vectoral al rotacionalde un potencial ~A.

Para una partıcula de prueba en presencia de B las ecuaciones de movimiento se describencomo sigue. B es una 2-forma en R3 y usando la proyeccion natural π : T ∗R3 → R3, queasigna a cada punto del espacio fase el punto correspondiente en el espacio de configuraciones,podemos considerar a B como bien definido en T ∗R3. Y escribimos

B = Bxdqy ∧ dqz −Bydqx ∧ dqz +Bzdqx ∧ dqy, (3.58)

donde qi = xi π.Las ecuaciones (3.57) y (3.58) nos permiten escribir una estructura simplectica no canonica

comoωe,B = ω + eB, (3.59)

la cual esta definida en T ∗R3 y donde ω es la estructura simplectica canonica. Con esto, estamosproponiendo que el campo magnetico modifica al haz cotangente y es a lo que llamaremosuna deformacion simplectica, ademas, como veremos mas adelante, esta deformacion nos llevanaturalmente a una teorıa clasica no-conmutativa.

Para probar que esta 2-forma es no degenerada, debemos encontrar el determinante de lamatriz

(ωe,B)µν =

0 eBz −eBy −1 0 0−eBz 0 eBx 0 −1 0eBy −eBx 0 0 0 −11 0 0 0 0 00 1 0 0 0 00 0 1 0 0 0

(3.60)

el cual es 1, por lo que es no degenerada. La cerradura de (3.59) no se debe a que B sea una2-forma constante, sino que (3.57) es quien le proporcian esta propiedad.

Tomando ahora el Hamiltoniano para una partıcula libre

He =1

2m||p||2, (3.61)

43


y la inversa de (3.60)

(ωe,B)µν =(

0 I−I eB

), (3.62)

las ecuaciones de Hamilton sondxµ

dt= ωµν

e,B

∂He

∂xν. (3.63)

Resolviendo para xi = qi y xi+n = pi, con i = 1, 2, 3 y n = 3 obtenemos

dqi

dt= ωij

e,B

∂He

∂qj+ ωi,j+n

e,B

∂He

∂pj, (3.64a)

dpi

dt= ωi+n,j

e,B

∂He

∂qj+ ωi+n,j+n

e,B

∂He

∂pj, (3.64b)

y simplificando encontramos

qi =1mpi, (3.65a)

pi =e

mBijpj , (3.65b)

combinando estas ecuaciones obtenemos

pi = eBij qj , (3.66)

y en componentes sera

p1 = e(Bz q

2 −By q3), (3.67a)

p2 = e(Bxq

3 −Bz q1), (3.67b)

p3 = e(By q

1 −Bxq2), (3.67c)

que no es mas que las componentes de la fuerza de Lorentz (3.16).Como vimos, la presencia del campo magnetico B modifica la estructura simplectica del es-

pacio fase y con las ecuaciones de Hamilton obtenemos las ecuaciones de movimiento correctas.Ademas, el campo magnetico no debe ser necesariamente constante, ya que la ecuacion de nomonopolos magneticos nos brinda las condiciones para poder incorporar al campo magnetico enla estructura simplectica. Si en vez del Hamiltoniano (3.61) tomamos el Hamiltoniano (3.54),encontraremos la fuerza de Lorentz con campo electrico y magnetico

p1 = −e ∂φ∂q1

+ e(Bz q

2 −By q3), (3.68a)

p2 = −e ∂φ∂q2

+ e(Bxq

3 −Bz q1), (3.68b)

p3 = −e ∂φ∂q3

+ e(By q

1 −Bxq2), (3.68c)

44

Electrodinamica. 3.3 Electrodinamica Relativista Canonica.

Como se habıa prometido, nos encontramos ante una mecanica clasica no-conmutativa:tomando (2.26) encontramos

qi, qj

= 0,qi, pj

= δi

j , pi, pj = eBij . (3.69)

Es de esta manera como haremos posible una mecanica clasica no-conmutatividad. En este caso,el efecto producido por trabajar con momentos que no conmutan se traduce en las ecuacionesde movimiento correctas para una partıcula cargada en presencia de un campo magnetico.

Recordando el teorema de Darboux y la transformacion (2.37), podemos construir la matriz

Sµν =

1 0 0 0 0 00 1 0 0 0 00 0 1 0 0 00 −Bz By 1 0 00 0 −Bx 0 1 00 0 0 0 0 1

. (3.70)

Esta matriz nos provee del cambio de coordenadas

q′i = qi (3.71a)

p′1 = p1 −Bzq2 +Byq

3, (3.71b)

p′2 = p2 +Bxq3, (3.71c)

p′3 = p3. (3.71d)

Si el Hamiltoniano de la partıcula libre lo escribimos en terminos de las coordenadas pri-madas y usamos (3.63), es facil mostrar que las ecuaciones de movimiento correspondientes sonlas de la partıcula libre, como se esperaba. Hay que notar que esta transformacion de la quenos provee el teorema de Darboux no es unica.

La transformacion de Darboux es la manera natural que tenemos en ir de un problemacanonica a un problema no canonico, que tiene como consecuencia trabajar en espacios no-conmutativos.

3.3. Electrodinamica Relativista Canonica.

Por electrodinamica relativista nos referimos a la formulacion de la teorıa electromagneti-ca en el lenguaje de la relatividad especial. Mucho se ha dicho sobre la invariancia de Lo-rentz en teorıas no-conmutativas; Snyder en sus primeros artıculos sobre no-conmutatividad[1], ya comenta que para formular una teorıa invariante ante transformaciones de Lorentz,

45


no es necesario asumir que el espacio-tiempo es un continuo; en [10] se estudia la violacionde la invariancia de Lorentz en teorıa de campos y se propone una escala del parametro no-conmutativo de 10TeV −2. Para acercarnos a una respuesta sobre la violacion de la simetrıa deLorentz en espacios no-conmutativos, debemos primero estudiar un ejemplo donde se incorporela no-conmutatividad y la relatividad especial.

En las proximas secciones utilizaremos los indices griegos para denotar coordenadas espacio-temporales (xµ = (ct, ~x)) e indices latinos para coordenadas espaciales. En todo momento seusara la convencion de Einstein a menos que se afirme lo contrario.

3.3.1. Transformaciones de Lorentz y cuadrivectores.

La formulacion de las ecuaciones de Maxwell y la dinamica de partıculas en presencia decampos electromageticos se basa en el analisis tensorial de una variedad pseudo-riemannianacon elemento de linea o metica invariante

ds2 = c2dt2 − |d~x|2. (3.72)

ods2 = dxµηµνdx

ν , (3.73)

donde ηµν es el tensor metrico que usamos para subir y bajar ındices y esta dada por

ηµν =

+1 si µ = ν = 0−1 si µ = ν = 1, 2, 30 si µ 6= ν

(3.74)

La invariancia de este elemento de linea es el que nos produce las transformaciones deLorentz. Si los sistemas de coordenadas x′µ y xµ son incerciales entre si, estas transformacionesson del tipo

x′µ = Λµνx

ν , (3.75)

restringidas por las condicionesΛα

γΛβδηαβ = ηγδ (3.76)

la matriz Λµν contiene rotaciones espaciales y ’boosts’ o rotaciones espacio-temporales, las cua-

les cambian a la coordenada temporal dependiendo de la velocidad relativa de los observadores.Supongamos que un observador O ve una partıcula en reposo, y un segundo observador O′ lave en movimiento con velocidad ~v. De (3.75) tenemos que

dx′µ = Λµνdx

ν (3.77)

46


o, dado que d~x = 0,

dx′i = Λi0cdt, (3.78a)

dt′ = Λ00dt. (3.78b)

Dividiendo dx′ entre dt′ encontramos la velocidad ~v, ası que

Λi0 =

vi

cΛ0

0. (3.79)

Si en la ecuacion (3.76) tomamos γ = δ = 0 obtenemos

1 = Λα0Λβ

0ηαβ =(Λ0

0

)2 −∑i

(Λi

0

)2. (3.80)

Resolviendo (3.79) y (3.80)

Λ00 = γ =

(1− |~v|2

c2

)−1/2

, (3.81a)

Λi0 = γ

vi

c= γβi. (3.81b)

Si los ejes x y x′ de dos observadores estan alineados y el observador primado solo llevavelocidad v = vx relativa al primer observador, tenemos que las transformaciones de Lorentzse reducen a

ct′ = γ (ct− βx)x′ = γ (x− βct)y′ = yz′ = z

(3.82)

Llamaremos cuadrivectores a cualquier cantidad que se transforme bajo transformacionesde Lorentz de igual forma que lo hacen las componentes del cuadrivector posicion xµ, i.e., uncuadrivector Aµ es una cantidad que se transforma como

Aµ = ΛµνA

ν . (3.83)

El producto escalar de dos de estos cuadrivectores descrito por

AµBµ = AµBνηµν = A0B0 − ~A · ~B (3.84)

es invariante ante transformaciones de Lorentz.En un sistema coordenado O′ donde el sistema esta instantaneamente en reposo, los incre-

mentos espacio temporales son dt′ = dτ , d~x′ = 0. Entonces el elemento de linea invariante esds = cdτ y tiene la forma

dτ = dt(1− β2

)1/2 =dt

γ (t). (3.85)

47


El tiempo τ es llamado tiempo propio de la partıcula o del sistema.La velocidad ordinaria esta definida como la derivada temporal de las coordenadas ~x (t). Ya

que el tiempo propio es un invariante de Lorentz, entonces podemos construir un cuadrivectorde velocidad uµ llamado cuadrivelocidad, diferenciando a la cuadriposicion respecto τ . Usando(3.85) tenemos

u0 ≡ dx0

dτ= γc (3.86)

~u ≡ d~x

dτ= γ~v, (3.87)

si utilizamos una masa invariante m y la multiplicamos por la cuadrivelocidad, obtendremos elcuadrimomento.

Si consideramos ahora el operador de derivada parcial respecto xµ vemos que su regla detransformacion es

∂

∂x′µ=∂xν

∂x′µ∂

∂xν

es la misma que la de un cuadrivector; por tal motivo definimos el cuadrivector derivada

∂α ≡ ∂

∂xα=(

∂

∂x0,∇), (3.88)

∂α ≡ ∂

∂xα=(

∂

∂x0,−∇

). (3.89)

3.3.2. Fuerza de Lorentz y ecuaciones de Maxwell

Consideremos primero la fuerza de Lorentz para una partıcula de carga q,

d~p

dt= q

(~E +

~v

c× ~B

). (3.90)

Sabemos que ~p se transforma como la parte espacial de un cadrivector

pµ = m (u0, ~u) = (E/c,m~u) . (3.91)

Si usamos el tiempo propio en vez de t, la ecuacion (3.90) se puede escribir como

d~p

dτ=q

c

(u0~E + c~u× ~B

). (3.92)

El lado izquierdo de esta ecuacion es la parte espacial de un cuadrivector. Su componentetemporal correspondiente es la velocidad de cambio de la energıa de la partıcula

dp0

dτ=q

c~u · ~E. (3.93)

48


Hasta donde sabemos la carga es un escalar de Lorentz que se conserva absolutamente. Estainvariancia experimental de la carga electrica y el requerimiento de covariancia de la fuerzade Lorentz (3.92) y (3.93) determinan las propiedades de las transformaciones de Lorentz delcampo electromagnetico. Por ejemplo el requerimiento de que (3.93) sea la componente tem-poral de un cuadrivector establece que las componentes de ~E son las partes espacio-temporalesde un tensor de rango 2 Fµν , i.e., ~E·~u

c = F 0βuβ . Usando la ecuacion (3.92) determinamos lasdemas componentes de Fµν

Fµν =

0 −Ex/c −Ey/c −Ez/c

Ex/c 0 −Bz By

Ey/c Bz 0 −Bx

Ez/c −By Bx 0

, (3.94)

que como vemos es un tensor antisimetrico de rango 2. Entonces la forma covariante de lafuerza de Lorentz es

dpµ

dτ= qFµνuν . (3.95)

Consideremos un numero grande de cargas elementales δq en reposo en un elemento devolumen pequeno d3x en el marco K. Estas cargas son representadas por una densidad de cargaρ. La carga total δq = ρd3x dentro del volumen pequeno es un invariante experimental; entonceses cierto que ρ′d3x′ = ρd3x. Pero el elemento de volumen 4-dimensional d4x = dx0d3x es uninvariante de Lorentz. Entonces la igualdad ρ′d3x′ = ρd3x implica que cρ se transforma comouna componente temporal. Con esto y el operador (3.88) podemos construir el cuadrivector

jµ =(cρ, ~J

), (3.96)

y la ecuacion de continuidad (ley de conservacion de la carga)

∂µjµ = 0. (3.97)

Definiendo el cuadrivector de potencial

Aα =(φ/c, ~A

)(3.98)

podemos escribir facilmente la condicion de Lorentz para la familia de normas de Lorentz como

∂µAµ = 0, (3.99)

esta condicion nos lleva a un par de ecuaciones de onda para los potenciales que se escriben enforma tensorial como

∂ν∂νAµ = µ0j

µ (3.100)

49


Para relacionar al tensor de esfuerzos (3.94) con el cuadrivector de potencial (3.98) usamoslas relaciones de los campos en terminos de los potenciales

~E = −∇φ− ∂0~A, (3.101)

~B = ∇× ~A. (3.102)

Escribiendo cada componente podemos concluir que

Fµν = ∂µAν − ∂νAµ. (3.103)

Las ecuaciones homogeneas de Maxwell quedaran escritas como

εαβγδFγδ = 0, (3.104)

en donde εαβγδ es el pseudotensor completamente antisimetrico de Levi-Cibita. Las ecuacionesrestantes quedaran escritas como

∂αFαβ = µ0j

β. (3.105)

Si queremos escribir las ecuaciones de Maxwell para un material necesitamos distinguirentre dos tensores de esfuerzos, Fµν =

(~E, ~B

)y Gµν =

(~D, ~H

), donde Gµν se obtiene de

cambiar ~E → ~D y ~B → ~H en (3.94) y en la ecuacion (3.105) cambiaremos Fµν por Gµν .

3.3.3. Formalismo Hamiltoniano.

Al igual que en el caso clasico, se hara uso del acoplamiento mınimo. Para una partıculalibre el Hamiltoniano viene dado por

Hlibre =1mpµpµ − c

√pµpµ, (3.106)

el segundo termino se incluye ya que en el lımite no relativista v c debemos recuperar elHamiltoniano de partıcula libre clasico (energıa cinetica). Manipulando un poco el segundotermino tenemos

c√pµpµ = mc2

√uµuµ = mc2

√1− v2

c2≈ mc2 − 1

2mv2 (3.107)

y por lo tanto el Hamiltoniano se reduce al no relativista. La diferencia entre el formalismoclasico y este es que en este caso el acoplamiento mınimo se hara sobre el cuadrimomento,obteniendo entonces el Hamiltoniano

H =1m

(pα − qAα) (pα − qAα)− c√

(pα − qAα) (pα − qAα) (3.108)

50

Electrodinamica. 3.4 Electrodinamica Relativista No-canonica.

El tiempo que usaremos en las ecuaciones de Hamilton sera el propio. Con esto obtenemosdxα

dτ=

1m

(pα − qAα) , (3.109)

dpα

dτ=

q

m(pβ − qAβ) ∂αAβ (3.110)

donde se uso la constriccion (pα − qAα) (pα − qAα) = m2c2 despues de diferenciar. Facilmentese puede mostrar que este par de ecuaciones es equivalente a la ecuacion de la fuerza de Lorentz(3.95). Hay que notar que el momento que aparece en (3.95) es el momento cinetico y no elmomento canonico que usamos en esta seccion.

Toda teorıa relativista Hamiltoniana tiene problemas de interpretacion. En este caso enparticular nuestro Hamiltoniano es un escalar de Lorentz y no una cantidad de tipo energıa,ademas, si usamos la norma del momento cinetico en el Hamiltoniano nos lleva a H = 0. Estetipo de teorıas con constricciones fue abordado por Dirac [25], sin embargo, abordar dichateorıa sobrepasa al presente trabajo.

3.4. Electrodinamica Relativista No-canonica.

En esta seccion se construiran las ecuaciones de Maxwell y se mostrara que una mecanicarelativista no-conmutativa nos lleva a las ecuaciones de movimiento correctas para una partıculaen presencia de un campo electromagnetico.

3.4.1. Ecuaciones de Maxwell: Las propiedades constitutivas del vacıo de-terminan la geometrıa conforme del espacio-tiempo.

Consideremos un intervalo [a, b] en el tiempo y el cilindro tri-dimensional S × [a, b] cuyafrontera es el cilindro bi-dimensional γ × [a, b] + S × b − S × a. Si integramos la ley deinduccion de Faraday (3.56) con respecto t desde a hasta b obtenemos la ecuacion∫

d

dt

∫SB +

∫γ×[a,b]

E ∧ dt = 0, (3.111)

la primer integral no es mas que la integral de las tapas del cilindro y dado que ambas tienenorientacion distinta, entonces se dividira en dos con signo opuesto:∫

S×bB −

∫S×a

B +∫

γ×[a,b]E ∧ dt = 0. (3.112)

Definimos F = B +E ∧ dt como una 2-forma en el espacio 4-dimensional. Sea C = S × [a, b] y∂C = S × b − S × a+ γ × [a, b]. Ahora podemos escribir la ley de Faraday como∫

∂CF = 0, (3.113)

51


ya que B es una 2-forma que solo contiene diferenciales espaciales y por lo tanto, debe ser cerocuando se restringe a el lado γ × [a, b] del cilindro, mientras que E ∧ dt debe ser cero en lastapas.

Si restringimos el cilindro C a las coordenadas espaciales en un tiempo constante, donde∂C sera la superficie en la cual dt=0, esta ley de Faraday sera∫

∂CF =

∫∂CB = 0 (3.114)

ya que dB = 0. Entonces concluimos que∫∂C F = 0 para todos los cubos tridimensionales

cuyos lados son paralelos a cualesquiera de los cuatro ejes coordenados. Esto es suficiente paraimplicar que dF = 0. La forma completa de F sera entonces

F = Bxdy ∧ dz −Bydx ∧ dz +Bzdx ∧ dy + Exdx ∧ dt+ Eydy ∧ dt+ Ezdz ∧ dt, (3.115)

y la ecuaciondF = 0 (3.116)

es equivalente a las ecuaciones de Maxwell homogeneas.La ley de Ampere dice que el flujo de corriente electrica a traves de una superficie S cuya

frontera es γ es igual a la integral de linea de ~H, y gracias a Maxwell, podemos escribir elflujo de corriente electrica como la suma de dos terminos ∂ ~D/∂t + ~Jf . Dada esta definicion,tomaremos a H como una 1-forma lineal

H = Hxdx+Hydy +Hzdz, (3.117)

mientras que la densidad de corriente sera la 2-forma

J = Jxdy ∧ dz + Jydz ∧ dx+ Jzdx ∧ dy. (3.118)

Entonces la ley de Ampere dice ∫S

(∂D

∂t+ J

)=∫

γH (3.119)

Consideremos el mismo cilindro C como en la ley de Faraday y definimos

G = D −H ∧ dt. (3.120)

Integrando la ley de Ampere de a a b respecto t obtenemos∫∂CG = −

∫CJ ∧ dt (3.121)

52


Cuando consideramos una region 3-dimensional R a tiempo constante, entonces dt = 0 en ∂R

y la integral de G sobre ∂R es igual a la integral de D. En este caso particular, la integral dellado derecho de (3.121) no es cero, sino que debe ser igual a la carga total encerrada en R,entonces ∫

∂RG =

∫Rρdx ∧ dy ∧ dz. (3.122)

Definiendo a al 3-formaj = ρdx ∧ dy ∧ dz − J ∧ dt (3.123)

vemos que ∫∂CG =

∫Cj (3.124)

para cualquier cubo tridimensional cuyos lados son paralelos a los ejes coordenados. Entonceslas ecuaciones inhomogeneas de Maxwell son

dG = j, (3.125)

ademas al tomar la derivada exterior de (3.125), obtenemos la ecuacion de continuidad dj = 0.En el vacıo tenemos las relaciones constitutivas

D = ε0 ∗ E y B = µ0 ∗H. (3.126)

Las unidades de ε0 son

cargaarea

× carga · longitudenergıa

=carga2

energıa · longitud,

y las de mu0 son

energıa · tiempocarga · longitud2 ×

tiempo · longitudcarga

=energıa · tiempo2

carga2 · longitud.

Entonces la teorıa electromagnetica tiene una velocidad fundamental, ya que 1/ε0µ0 = c2.Para poder tener una relacion constitutiva entre F y G, tenemos que definir el operador ∗reemplazando dt por cdt como sigue

∗ (dx ∧ dy) = −cdz ∧ dt,∗ (dx ∧ dz) = cdy ∧ dt,∗ (dy ∧ dz) = −cdx ∧ dt,∗ (dx ∧ cdt) = dy ∧ dz,∗ (dy ∧ cdt) = −dx ∧ dz,∗ (dz ∧ cdt) = dx ∧ dy.

(3.127)

53


Estas definiciones respetan las relaciones (3.126) y ademas

∗F = −c (Bxdx ∧ dt+Bydy ∧ dt+Bzdz ∧ dt)+ (1/c) (Exdy ∧ dz + Eydz ∧ dx+ Ezdx ∧ dy) .

(3.128)

Entonces las ecuaciones constitutivas que relacionan a G con F son

G =√ε0µ0∗ F. (3.129)

Las ecuaciones de Maxwell (3.116) y (3.125) son invariantes para cualquier transformacionen el espacio-tiempo. Al igual que en el caso clasico no-canonico, una vez que conocemos comoactua el operador ∗ y las relaciones constitutivas, podemos fijar la metrica. La diferencia eneste caso, como vimos en el teorema 4, es que la metrica no queda completamente determinada,sino que queda determinada hasta un factor escalar multiplicativo.

Esta metricas tiene por determinar 10 parametros. Entonces

ω ∧ ∗λ =12ωµνg

µαgνβλαβ (3.130)

son 21 ecuaciones para determinar los diez parametros:

g11g22 − g12g12 = 1, g11g00 − g01g01 = −1,g11g33 − g13g13 = 1, g22g00 − g02g02 = −1,g22g33 − g23g23 = 1, g33g00 − g03g03 = −1,

g11g23 = g13g12, g12g33 = g13g23, g22g03 = g02g23,g12g23 = g13g22, g11g03 = g01g03, g23g03 = g02g33,g11g02 = g01g12, g12g03 = g01g23, g12g00 = g01g02,g12g02 = g01g22, g13g03 = g01g33, g13g00 = g01g03,g13g02 = g01g23, g12g03 = g02g13, g23g00 = g02g03.

Notemos que varias de ellas son equivalentes. Si tomamos la octava y la decima obtenemosla primera. Tambien son ecuaciones cuadraticas por lo que tendran mas de una solucion. Lassoluciones son

g00 = ±1, g11 = g22 = g33 = ∓1, (3.131)

con las demas componentes igual a cero, i.e., una metrica Minkowskiana.Otra vez, al igual que en el caso clasico, debemos enfatizar que es la respuesta del vacıo a la

presencia del campo electromagnetico la que determina la metrica Minkowskiana, sin embargo,en el teorema 4 del apendice A se establece que esta metrica no es unica y que esta determinadahasta un factor multiplicativo.

54


3.4.2. Fuerza de Lorentz: El campo electromagnetico determina la estruc-tura simplectica en el espacio fase del espacio-tiempo.

Sea M una variedad 4-dimensional que describe nuestro espacio-tiempo y T ∗M denotara suhaz cotangente y ω su estructura simplectica. Consideremos tambien un campo electromagneti-co F el cual tendremos que proyectar hacia T ∗M al igual que se hizo en el caso clasico. Lasecuaciones (3.116) nos permite escribir una estructura simplectica no-canonica

ωe,F = ω + eF, (3.132)

que en forma matricial es

(ωe,F )µν

0 eEx eEy eEz −1 0 0 0−eEx 0 −eBz eBy 0 −1 0 0−eEy eBz 0 −eBx 0 0 −1 0−eEz −eBy eBx 0 0 0 0 −1

1 0 0 0 0 0 0 00 1 0 0 0 0 0 00 0 1 0 0 0 0 00 0 0 1 0 0 0 0

. (3.133)

Utilizaremos la convencion c = 1. Sea H una funcion en T ∗M y supongamos que las ecuacionesde movimiento de una partıcula libre sin cargas estan descritas vıa la estructura simplecticacanonica ω, entonces las ecuaciones de Hamilton que describen el movimiento de una partıculade carga e en presencia de un campo electromagnetico externo F son las correspondientes a laestructura simplectica ωe,F . Esto solo es posible si consideramos a la carga e suficientementepequena de tal forma que la influencia de la partıcula en el campo sea despreciable. Tomandoahora el espacio de Minkowski con la metrica usual, el Hamiltoniano sera

H (p, q) =12||p||2 =

12(p20 − p2

1 − p22 − p2

3

). (3.134)

La inversa de (3.132) viene dada por

(ωe,F )µν =(

0 I−I eF

), (3.135)

y las ecuaciones de Hamilton son

dxµ

dt= (ωe,F )µν ∂H

∂xν, (3.136)

55


entonces

dqi

dt= ωij ∂H

∂qj+ ωi,j+4∂H

∂pj= pi (3.137a)

dpi

dt= ωi+4,j ∂H

∂qj+ ωi+4,j+4∂H

∂pj= Fijpj (3.137b)

trabajando un poco estas ecuaciones obtenemos

dpi

dt= eFij

dqj

dt. (3.138)

En componentes obtenemos

p0 = e

(Ex

dq1

dt+ Ey

dq2

dt+ Ez

dq3

dt

)(3.139a)

p1 = e

(−Ex

dq0

dt−Bz

dq2

dt+By

dq3

dt

)(3.139b)

p2 = e

(−Ey

dq0

dt+Bz

dq1

dt−Bx

dq3

dt

)(3.139c)

p3 = e

(−Ez

dq0

dt−By

dq1

dt+Bx

dq2

dt

). (3.139d)

Estas son las componentes de la fuerza de Lorentz. La interpretacion que daremos a p0 vendra dela constriccion H = (1/2)m2.

En el caso clasico se introdujo a la masa como un parametro en el Hamiltoniano. Aquı T ∗Mes 8-dimensional y la masa se introdujo considerando la varidad 7-dimensional H = (1/2)m2.El campo vectorial χH es tangente a esta subvariedad, donde χH denota al campo vectorialhamiltoniano asociado a H por la forma ωe,F . Sea ωe,F,m la restriccion de ωe,F en la subvariedadH = (1/2)m2. Entonces ωe,F,m es una 2-forma cerrada de rango 6 en una variedad 7-dimensionaly entonces tiene una foliacion nula 1-dimensional expandida por χH . Las proyecciones sobreM de las curvas integrales de esta foliacion nula son las lineas de mundo de las partıculas demasa m.

De igual forma que en el caso clasico, obtenemos una mecanica relativista no conmutativaen el sector de los momentos:

qi, qj

= 0,qi, pj

= δi

j , pi, pj = eFij . (3.140)

Otra vez, el parametro no-conmutativo Fij no necesita ser constante ya que son las mismasecuaciones de Maxwell homogeneas las que nos permiten incorporar a Fij a la estructura sim-plectica.

56


Weyl en [23] aborda este mismo problema modificando el momento canonico y haciendoreferencias al Lagrangiano del sistema. En [24] se modifica la 1-forma diferencial canonicaagregando un termino de energıa constante a su parte temporal y se comenta que la violacionde la covariancia de Lorentz se rescata al considerar solo transformaciones de Lorentz que noinvolucren al tiempo.

En resumen, en el lenguaje de variedades simplecticas es necesaria la deformacion de la es-tructura simplectica y la introduccion de un operador * (dual de Hodge) para poder reescribirlas ecuaciones de Maxwell y mediante una mecanica clasica no-conmutativa encontrar las ecua-ciones de movimiento correctas. Notemos que en esta formulacion la nocion de un Lagrangianoa sido eliminada. Ademas, en una vision un tanto analoga a la relatividad general, propusimosque la respuesta del vacıo a la presencia de un campo electromagnetico dicta la geometrıadel espacio-tiempo a traves del operador estrella y el campo electromagnetico modifica a laestructura simplectica, i.e., modifica al espacio fase.

57

Capıtulo 4

Invariancia de Lorentz enDeformaciones Simplecticas.

En este capıtulo trataremos de responder una pregunta basica en el estudio de las teorıasno-conmutativas: ¿son las teorıas no-conmutativas compatibles con las transformaciones deLorentz?

En recientes fechas se han publicado varios artıculos donde se proponen transformacionespara tratar de arreglar la invariancia de Lorentz de las teorıas no-conmutativas [5, 6, 7, 8, 9],sin embargo, ninguno hace referencia a las transformadas de Darboux, ni mencionan que dichastransformaciones no son unicas.

Para adentrarnos a las simetrıas, comenzaremos estudiando transformaciones canonicas yterminaremos mostrando algunas transformaciones de Lorentz no-conmutativas.

4.1. Transformaciones Canonicas.

4.1.1. Generadores infinitesimales de grupos de un parametro.

Supongamos un sistema dinamico en T ∗M con una funcion Hamiltoniana local H (x, t), talque las ecuaciones de movimiento son ωµν x

ν = ∂H/∂xµ. Sea yµ (x, t) una transformacion localde coordenadas invertible en T ∗M. Si existe una funcion K (y, t) tal que ωµν y

ν = ∂K/∂yµ, en-tonces, la transformacion yµ se llamara localmente canonoide respecto H. Algunas transforma-ciones son localmente canonoides respecto todos los Hamiltonianos: estas forman la importanteclase de transformaciones canonicas (TC).

Dos propiedades importantes de estas ultimas son que preservan el parentesis de Poisson ya la estructura simplectica.

59

Invariancia de Lorentz en Deformaciones Simplecticas. 4.1 Transformaciones Canonicas.

Un ejemplo de un grupo de un parametro de TC es el movimiento fısico en sı, generado porel Hamiltoniano H ∈ C∞ (M) con el parametro t. Este es el grupo dinamico ϕ∆ generado porel campo vectorial dinamico ∆. Cada punto ξ ∈ T ∗M es movido a lo largo de la dinamica de∆, llegando en el tiempo t al punto ξ(t) ∈ T ∗M. Para este fin, escribiremos ξ(t) = ϕ∆

t ξ, dondeϕ∆

t ∈ ϕ∆ es un elemento del grupo. Variando t, cada ξ(t) ∈ T ∗M barre una curva integral de∆, como si los puntos de T ∗M fluyeran a lo largo de la trayectoria.

De la ecuacion iXgω = dg sabemos que ω asigna a un unico campo vectorial HamiltonianoXg ≡ G con cada variable dinamica g ∈ C∞ (M). Entonces, cada g en T ∗M nos lleva a ungrupo de un parametro ϕG, de forma mas grafica: g → G y G → ϕG ≡ ϕg. La funcion g esllamada generador infinitesimal del grupo ϕg. ϕg

0 es el mapo identidad.Consideremos f ∈ C∞ (M), la ecuacion

LGf = f, g = iGdf = iXfiGω = ω(G,Xf ) = ω(Xg, Xf ) (4.1)

nos muestra que la derivada de Lie de f respecto G nos da la variacion de f a lo largo de lascurvas integrales (flujo) de G y por lo tanto las curvas bajo la accion de ϕg.

Como ejemplo, cambiemos f por una de las coordenadas locales ξµ y cambiemos t por ε,entonces (4.1) se convierte en

LGξµ =

dξµ

dε= ξµ, g = ωµν∂νg, (4.2)

que es un conjunto de ecuaciones diferenciales para las curvas integrales ξµ(ε) de G.Consideremos a g independiente de ε y empezamos escribiendo ξ(ε) = ϕg

εξ0 (en lo que siguese entiende que ξ es una de las coordenadas) y lo insertamos en (4.2)

dξ

dε=dϕg

ε

dεξ0 = ξ, g = ϕg

εξ0, gLG (ϕgεξ0) , (4.3)

esto se puede abreviar utilizando el operador

dϕgε

dε= LG ϕg

ε = •, g ϕgε , (4.4)

usaremos esta ecuacion para obrtener una serie de potencias. En ε = 0 la TC es la identidad(ϕg

0 = I). A primer orden escribimos ϕgε ≈ I + εφ1, y entonces al menor orden en ε

dϕgε

dε≈ φ1 ≈ LG (I + εφ1) ≈ LG ≡ •, g , (4.5)

entoncesϕg

ε ≈ I + ε •, g . (4.6)

60

Invariancia de Lorentz en Deformaciones Simplecticas. 4.2 Transformaciones de Lorentz.

A segundo orden: ϕgε ≈ I + εφ1 + 1

2ε2φ2 y tomando la derivada

dϕgε

dε≈ φ1 + εφ2 ≈ LG

(I + εφ1 +

12ε2φ2

)≈ LG + εLGφ1, (4.7)

entonces φ2 = LGφ1, ası que

ϕgε ≈ I + ε •, g+

12ε2 •, g , g . (4.8)

Si continuamos, encontramos

ϕgε =

∞∑n=0

1n!

(εLG)n ≡ exp (εLG) ≡ exp (ε •, g) , (4.9)

esto sera cierto siempre que g no sea funcion de ε y la serie converja.Cuando se aplica a la dinamica Hamiltoniana ∆ con H independiente de t, la ecuacion (4.9)

nos da una solucion formal de las ecuaciones de Hamilton

ξ(t) = exp (tL∆) ξ0 ≡ exp (t •,H) ξ0, (4.10)

donde H debe estar escrita como funcion de ξ0 al igual que los Parentesis de Poisson.

4.1.2. Teorema de Noether Hamiltoniano

Una consecuencia inmediata de (4.1) es el teorema de Noether. Supongamos que H esinvariante bajo el grupo generado infinitesimalmente por g. (4.1) implica

H, g = 0, (4.11)

ası que g debe ser una constante del movimiento. Lo contrario tambien es cierto. Si dg/dt ≡g,H = 0, entonces (4.1) muestra que H es invariante bajo ϕg. Con esto enunciamos

Teorema 3 g es una constante del movimiento si y solo si H es invariante bajo el grupo detransformaciones generadas infinitesimalmente por g.

4.2. Transformaciones de Lorentz.

4.2.1. Transformaciones de Lorentz no deformadas.

Las transformaciones de Lorentz son aquellas que dejan invariante el elemento de lınea ds2.Escogiendo dos marcos de referencia inerciales O′ y O, tenemos que

ηµν = ηαβ∂x′α

∂xµ

∂x′β

∂xν, (4.12)

61


trabajando un poco esta igualdad encontraremos que dichas transformaciones son

x′µ = Λµνx

ν . (4.13)

Nos interesa estudiar transformaciones infinitesimales de Lorentz; para esto tendremos quetrabajar cerca de la identidad, por lo que escribiremos

Λµν = δµ

ν + ωµν , (4.14)

donde ωµν es infinitesimal. Entonces (4.13) sera

x′µ = xµ + ωµνx

ν , (4.15)

ademas de (4.12) vemos que

ηµν = ηµν + ωνµ + ωµν +O(ω2),

lo que implica la antisimetrıa de ω. Si derivamos (4.15) respecto del tiempo propio y lo multi-plicamos por la masa, encontraremos las transformaciones de Lorentz para el momento

p′µ = pµ + ωµνp

ν . (4.16)

Las ecuaciones (4.15) y (4.16) estan escritas en el lenguaje de una variedad pseudo-Riemanniana,donde los indices griegos van de 0 a 3. En el lenguaje de variedades simplecticas tenemosque las coordenadas son xµ =

(xi, xi+4

)=(qi, pj

), donde los indices griegos corren de 0 a

7 y los latinos de 0 a 3, sin embargo, debido a la forma en que estan escritas las ecuacio-nes de Hamilton en este ultimo lenguaje podemos mantener la notacion de las variedadespseudo-Riemannianas. Notemos entonces que las coordenadas xµ contienen a la posicion deforma contravariante y al momento de forma covariante. Entonces xµ = ηµνx

ν =(qi, p

j)

=(ηikq

k, ηjkpk

)=(q0,−q1,−q2, q3, p0,−p1,−p2,−p3

).

Utilizaremos la ecuacion (4.2) para encontrar los generadores del grupo de Lorentz. Cam-biaremos ε por ωij y g por M ij . En las ecuaciones (4.15) y (4.16) tendremos que considerar laantisimetrıa de ωij , entonces

q′i = qi +12

(ηikωklq

l − ηikωlkql), (4.17a)

p′i = pi +12

(ηjkωijpk − ηjkωjipk

). (4.17b)

Usaremos tambien (4.10) a primer orden y cambiaremos t→ ωab y H →Mab y obtendremos

q′i = qi − 12ωab

qi,Mab

, (4.18a)

p′i = pi −12ωab

pi,M

ab. (4.18b)

62


El factor 1/2 se introduce para no contar dos veces. Comparando (4.17) y (4.18) obtenemosqi,Mab

= ηibqa − ηiaqb, (4.19a)

pi,Mab

=(ηakδb

i − ηbkδai

)pk. (4.19b)

A partir de aquı hay dos formas de proceder: i)Usando el parentesis de Poisson como la derivadadel generador respecto xµ

∂Mab

∂pi= ηibqa − ηiaqb, (4.20a)

∂Mab

∂qi= −

(ηakδb

i − ηbkδai

)pk. (4.20b)

e integrando (4.20a) obtenemos Mab =(qapb − qbpa

)+ fab(q), donde fab es un tensor anti-

simetrico que solo depende de las posiciones; si integramos (4.20b) encontraremos el mismogenerador pero esta vez contendra un tensor antisimetrico que depende solo de los momen-tos. Introduciendo el resultado de (4.20a) en (4.20b) encontramos que fab = 0 y viceversa;ii)Usando las relaciones

qi, pb

= ηib y

qi, qa

= 0 en (4.19a) encontramos

qi,Mab

=qi, pbqa

−qi, paqb

, (4.21)

encontraremos una relacion similar para (4.19b).Entonces los generadores que producen las transformaciones de Lorentz en una representa-

cion en el haz cotangente sonM ij =

(qipj − qjpi

). (4.22)

Estos generadores cierran el algebra de Lorentz como sigueM ij ,M lm

= ηilM jm + ηimM lj + ηjmM il + ηjlMmi (4.23)

Ademas podemos identificar las rotaciones y los boost como sigue: Los indices latinos enmayusculas correran de 1 a 3, entonces los generadores de rotaciones espaciales son

J1 = M23, J2 = M31, J3 = M12, (4.24a)

JI = 12εIJKMJK (4.24b)

y los generadores de boost sonKI = MI0 (4.25)

63


La relacion (4.23) con estos ultimos operadores esJI , JK

= εIKLJL, (4.26a)

JI ,KJ

= εIJKKK , (4.26b)KI ,KJ

= εIJKJK . (4.26c)

Observemos que (4.26a) forma el algebra de rotaciones por sı sola generando el subgrupo derotaciones del grupo de Lorentz, mientras que (4.26c) muestra que los boost no generan ningungrupo por sı solos.

Para encontrar representaciones irreducible normalmente se escriben los generadores J y Kcomo:

A =12

(J +K) , (4.27)

B =12

(J −K) . (4.28)

Observemos que sus relaciones de conmutacion sonAI , AJ

= εIJKAK , (4.29)

Bi, BJ

= εIJKBK , (4.30)AI , BJ

= 0. (4.31)

Esto sugiere fuertemente que el grupo de Lorentz es isomorfo a SU (2)A ⊗ SU (2)B, por lo quesolo tenemos que encontrar las representaciones irreducibles de SU (2). Estas representacionesirreducibles nos llevaran a las ecuaciones de movimiento de partıculas libres, caracterizadas porsu masa y su espın.

Este tratamiento del grupo de Lorentz se puede encontrar en varios textos especializadosen Teorıa de Grupos; en especial en [26] Weinberg encuentra las representaciones unitariasgenerales e irreducibles del grupo de Lorentz homogeneo.

4.2.2. Transformaciones de Lorentz deformadas.

Recordemos que en el contexto de no-conmutatividad que estamos trabajando, modifica-remos la estructura simplectica canonica y por lo tanto los parentesis de Poisson; observemosentonces que las ecuaciones (4.20) ya no seran las mismas, encontrando ası, tal vez, nuevosgeneradores de un grupo de Lorentz deformado correspondiente a un espacio no-conmutativo.En este espıritu, deseamos conservar las ecuaciones de Lorentz fijas, modificar la estructurasimplectica y encontrar nuevos generadores que posiblemente conformen un algebra.

64


No-conmutatividad en los momentos.

Como primer ejercicio usaremos la estructura simplectica (3.133), la cual nos da una no-conmutatividad en el sector de los momentos

qi, qj

= 0,qi, pj

= δi

j , pi, pj = Fij . (4.32)

Recordemos que estos corchetes corresponden al caso de la deformacion de la estructura sim-plectica debida al campo electromagnetico, en donde la matriz de la estructura simplecticaes

Ωµν =(

0 I−I eF

). (4.33)

En este caso a diferencia del caso donde obtuvimos las ecuaciones de movimiento, tomaremosa Fij como constante.

Notemos que en este caso, en (4.19a) no hay problemas para encontrar a Mab, sin embargo,el lado derecho de (4.19b) es imposible escribirlo en terminos de corchetes pi, •, ya que losmomentos no conmutan y entonces esta manera no nos brinda un camino para encontrar unarepresentacion de los generadores del grupo de Lorentz.

Buscamos ahora en el analogo de las ecuaciones (4.20) y encontramos

∂Mab

∂pi= ηibqa − ηiaqb, (4.34a)

∂Mab

∂qi=

(ηbkδa

i − ηakδbi

)pk + Fil

∂Mab

∂pl, (4.34b)

sustituyendo (4.34a) en (4.34b) tenemos las ecuaciones diferenciales

∂Mab

∂qi=(ηbkδa

i − ηakδbi

)pk + Fil

(ηlbqa − ηlaqb

)(4.35)

Este parece un sistema de ecuaciones parciales de primer orden muy sencillo de resolver, sinembargo, no tiene solucion, como lo mostraremos a continuacion.

Integramos la ecuacion (4.34a), obteniendo Mab =(qapb − qbpa

)+ fab(q), donde fab es

un tensor antisimetrico que solo depende de las posiciones, introduciendo esta Mab en (4.35),obtenemos el sistema de ecuaciones diferenciales parciales

∂fab

∂qi= Fi

bqa − Fiaqb, (4.36)

vemos que no podemos integrar en esta notacion debido a la dependencia en las coordenadas,entonces podemos escribir esta ecuacion como

∂fab

∂qi= (Fibη0a − Fiaη0b) q0 + (FibηLa − FiaηLb) qL, (4.37)

65


donde L 6= 0. Utilizando i = 0 obtenemos

fab =12

(F0bη0a − F0aη0b)(q0)2 + (F0bηLa − F0aηLb) qLq0 + g0

ab

(q1, q2, q3

). (4.38)

Utilizamos (4.37) con i = A 6= 0, encontramos las ecuaciones diferenciales para g0ab

∂g0ab

∂qA= (FAbη0a − FAaη0b + F0aηAb − F0bηAa) q0 + (FAbηLa − FAaηLb) qL. (4.39)

El problema con esta ecuacion es que g0ab no depende de q0, sin embargo el lado derecho contiene

un termino con q0,i.e., la funcion g0ab. Entonces podemos concluir que g0

ab = 0. Si conservamosla solucion fab (ecuacion (4.38)) y la derivamos respecto qA, veremos que no es consistente conla ecuacion (4.37), lo que implica que fab = 0, pero si esto pasa, la solucion para que tenemospara Mab es inconsistente.

Por otro lado, para poder resolver g0ab podemos introducir condiciones sobre las constantes

Fij . Entonces la primer condicion sera:

FAbη0a − FAaη0b = F0aηAb − F0bηAa, ∀A = 1, 2, 3; a, b = 0, 1, 2, 3 (4.40)

Tomemos primero el caso cuando a = 0:

FAb = FA0η0b, (4.41)

si tomamos b = 0, encontramos FA0 = FA0, i.e., FA) sigue siendo arbitrario; si tomamos b = C

encontramos que FAC = 0, en terminos de campo electrico y magnetico del problema quese resolvio antes, esto nos dice que para poder continuar con el calculo de los generador detransformaciones de Lorentz necesitamos que no haya campo magnetico actuando. Si ahoratomamos el caso donde a = 1 y FAC = 0, tenemos que

F01ηAb = F0bηA1, (4.42)

si b = 0 encontraremos una relacion trivial (0 = 0), si b=A encontramos que −F01 = F0AηA1,con A 6= 1 encontramos que F01 = 0. Si seguimos con a = 2 y a = 3, encontramos F02 = F03 = 0.

Esto implica que las condiciones para encontrar generadores no-conmutativos manteniendolas transformaciones de Lorentz son que el parametro no-conmutativo sea cero.

Sin embargo, es bastante conocido el caso de relatividad no-conmutativa o mecanica clasicano conmutativa en espacios de dimension dos. Esto lo encontramos en la ecuacion (4.42), siusamos b = A tenemos que −F01 = F0AηA1, sin sumar sobre A, esto es distinto de cero solo siA=1, si continuamos con A = 2 y A = 3 encontraremos que F01 = 0.

66


Entonces en el caso de dimension dos, tenemos que resolver la ecuacion (4.39) sin el terminoque involucra a q0, entonces

g0ab =

12

(F1bη1a − F1aη1b)(q1)2. (4.43)

Entonces en dimension 2, los “generadores” son

Mab = qapb − qbpa +12

[(F0

bδ0a − F0

aδ0b) (q0)2 +

(F1

bδ1a − F1

aδ1b) (q1)2]

. (4.44)

DefinimosAba = F0

bδ0a − F0

aδ0b, (4.45)

yBba = F1

bδ1a − F1

aδ1b, (4.46)

como dos tensores antisimetricos constantes.Entonces el corchete entre “generadores” es

Mab,M cd

= ηacM bdc + ηadM cb

c + ηbdMacc + ηbcMda

c

+Aba(η0dqc − η0cqd

)+Bba

(η1dqc − η1cqd

), (4.47)

en donde Mabc es el generador del caso canonico, ademas observemos que en este caso, los

generadores no forman un algebra de Lie.

No conmutatividad en las posiciones.

La no-conmutatividad en el sector de las posiciones es de gran interes en Relatividad Ge-neral debido a que es una alternativa para una Relatividad General Cuantica, sin embargo,muchas de estas versiones de Relatividad General No-Conmutativa son altamente no lineales.En particular para aliviar este proble se han realizado teorıas efectivas, como modelos en dondela deformacion se realiza sobre las variables del minisuperespacio; como por ejemplo en [27]se estudia un modelo cosmologico cuantico no-conmutativo de la metrica Kantowski-Sachs atraves del producto moyal; en [13] se estudia el modelo clasico y cuantico cosmologico no-conmutativo con una metrica FRW acoplado a un campo escalar, a traves de una deformacionde la estructura simplectica, al igual que en este trabajo; en [14] se obtiene las ecuacionesde Friedmann no-conmutativas en el minisuperespacio, ası como la ecuacion de Klein-Gordonno-conmutativa para un campo escalar (inflaton).

67


Dada la importancia de la no-conmutatividad en el sector de las posiciones, trabajaremosaquı con la deformacion que nos proporciona tal no-conmutatividad. La estructura simplecticaque proponemos es

Ωµν =

0 θ1 θ2 θ3 1 0 0 0−θ1 0 θ4 θ5 0 1 0 0−θ2 −θ4 0 θ6 0 0 1 0−θ3 −θ5 −θ6 0 0 0 0 1−1 0 0 0 0 0 0 00 −1 0 0 0 0 0 00 0 −1 0 0 0 0 00 0 0 −1 0 0 0 0

=(

Θ I−I 0

). (4.48)

Si seguimos los pasos del calculo del caso de no-conmutatividad en los momentos, encontra-remos otra vez que solo en dimension 2, podemos encontrar “generadores” manteniendo lastransformaciones de Lorentz. Sin embargo, nos estamos preguntando si es posible construir enprincipio una relatividad especial no-conmutativa, tal que sea consistente con la simetrıa deLorentz. Para esto debemos observar desde un principio que los corchetes de Poisson, no soncovariantes de Lorentz

qi, qj

= Θij ,qi, pj

= δi

j , qi, qj = 0, (4.49)

ya que el parametro Θij es constante. Para aliviar lo pasado en [28] se formula una teorıa derelatividad general con coordenadas canonicas, donde se menciona primero que el corchete no-conmutativo entre coordenadas viola explıcitamente la covariancia de coordenadas generales,se introduce despues una transformacion sobre las coordenadas no canonicas de modo queestas nuevas coordenadas preserven tal covariancia. Ademas en [29] el autor encuentra unatransformacion a coordenadas canonicas, la cual lo llevan a una transformacion de Lorentzgeneralizada en terminos de las coordendas no-conmutativas tal que el corchete entre posicionesquede invariante ante tal transformacion.

Muchos artıculos usan esta transformacion, de forma que recobran la invariancia ante trans-formaciones de Lorentz, pero ninguno hace referencia a que esta transformacion proviene delteorema de Darboux y sobre todo, que no es unica. En lo que sigue construiremos las transfor-maciones de Lorentez no-conmutativas para una de las transformaciones de Darboux. Debemosenfatizar que esta transformacion no corresponde a las transformaciones canonicas, ya que estasultimas son las que dejan invariante a la estructura simplectica Ω, mientras que las primerasnos llevan de una estructura no canonica a una canonica y vice versa.

Denotaremos con xµ =(Qi, pj

)a las coordenadas canonicas, mientras que las no canonicas

las denotaremos por yµ =(qi, pj

). La estructura simplectica la podemos escribir en coordenadas

68


comoΩ = Ωc +

12Θildpi ∧ dpl = dpi ∧ dqi +

12Θildpi ∧ dpl, (4.50)

factorizando dpi tenemos

Ω = dpi ∧(dqi +

12Θimdpm

), (4.51)

con esto podemos definir nuestra transformacion definiendo

dQi = dqi +12Θimdpm, (4.52)

o en forma matricialdxµ = Sµ

νdyν , (4.53)

donde Sµν es la matriz

Sµν =

1 0 0 0 0 12θ1

12θ2

12θ3

0 1 0 0 −12θ1 0 1

2θ412θ5

0 0 1 0 −12θ2 −1

2θ4 0 12θ6

0 0 0 1 −12θ3 −1

2θ5 −12θ6 0

0 0 0 0 1 0 0 00 0 0 0 0 1 0 00 0 0 0 0 0 1 00 0 0 0 0 0 0 1

. (4.54)

Es facil comprobar que la matriz

Hµν =

1 0 0 0 0 θ1 θ2 θ30 1 0 0 0 0 θ4 θ50 0 1 0 0 0 0 θ60 0 0 1 0 0 0 00 0 0 0 1 0 0 00 0 0 0 0 1 0 00 0 0 0 0 0 1 00 0 0 0 0 0 0 1

, (4.55)

tambien es una transformacion de Darboux que cambia las coordenadas como sigue:

Q0 = q0 + θ1p1 + θ2p2 + θ3p3, (4.56a)

Q1 = q1 + θ4p2 + θ5p3, (4.56b)

Q2 = q2 + θ6p3, (4.56c)

Q3 = q3. (4.56d)

69


Dado el resultado encontrado en la seccion de la no-conmutatividad en los momentos, en estepunto consideraremos como fundamentales a las transformaciones de Lorentz generadas por

M ij = Qipj −Qjpi, (4.57)

estos generadores forman un algebra a traves de los corchetes de Poisson canonicos. Por talmotivo, dejaremos fijos los generadores y trataremos de encontrar nuevas transformaciones deLorentz que dejen invariante un elemento de lınea no-conmutativo.

Notemos que siempre que trabajemos con coordenadas canonicas, si se da el caso, debe-remos acompanarlas de la estructura simplectica canonica, mientras que para encontrar elanalogo no-conmutativo, trabajamos sobre las coordenadas conmutativas y multiplicamos a lascoordenadas la matriz correspondiente a la transformada de Darboux.

Como ejemplo tomemos el caso de un boost infinitesimal en la direccion x, i.e. M01 6= 0 ylos demas generadores igual a cero, tomemos tambien la transformacion de Darboux (4.54). Sihacemos la transformacion a primer orden en ω01 tendremos

Q′i = Qi − ω01

Qi,M01

= Qi − ω01

(Q0ηi1 −Q1ηi0

), (4.58)

usamos (4.52) y encontramos

Q′i = q′i +12Θimp′m = qi +

12Θimpm

−ω01

[(q0 +

12Θ0m

)ηi1 −

(q1 +

12Θ1m

)ηi0

]pm. (4.59)

Entonces usando la transformacion infinitesimal en los momentos p′m = pm−ω01

(p0δm

1 − p1δ0m)

encontramosq′i = qi − ωm

iqm +12ωl

iΘlmpm − 12Θimωm

npn, (4.60)

los momentos se mantendran como en el caso canonico y las posiciones seran

q′0 = q0 − ω10q1 +

12ω1

0(Θ1mpm −Θ01p0

), (4.61a)

q′1 = q1 − ω01q0 +

12ω0

1(Θ0mpm −Θ10p1

), (4.61b)

q′2 = q2 − 12ω0

1(Θ20p1 −Θ21p0

), (4.61c)

q′3 = q3 − 12ω0

1(Θ30p1 −Θ31p0

). (4.61d)

Si calculamos repetidamente el corchete con coordenadas canonicas encontramos las trans-formaciones de Lorentz usuales e incluyendo la transformada de Darboux encontramos lastransformaciones de Lorentz no-conmutativas.

70


Siguiendo a [29], podemos definir un elemento de lınea invariante no-conmutativo ante estastransformaciones, a traves del elemento de lınea invariante

ds2 = dQidQi, (4.62)

introducimos la transformacion (4.52) en (4.62) y encontramos

ds2nc = qiqi + Θimqipm +

14ΘimΘi

αpmpα, (4.63)

el cual es invariante ante las transformaciones (4.60) a primer orden en ωij , solo si asumimosque el cuadrado de los parametros no-conmutativos son del orden de ωij , i.e. Θ2 ∼ ω

Existe una forma de ver estas transformaciones de forma matricial. Por ejemplo, en el casocanonico definimos la matriz

Lµν =

(Λi

j 00 Λj

k

), (4.64)

como una transformacion de Lorentz sobre las coordenadas del espacio fase xµ =(Qi, pj

).

Entonces las coordenadas primadas seran

x′µ = Lµνx

ν . (4.65)

Si ademas usamos la transformacion (4.53) tendremos

Sµνy′ν = Lµ

νSνρy

ρ. (4.66)

Debemos tener cuidado con esta multiplicacion, ya que es importante recordar que el vectoryµ contiene a un cuadrivector contravariante (Qi) y a un cuadrivector covariante (pj) y quela matriz Lµ

ν no es una transformacion usual de Lorentz. Ademas si Sαµ es la inversa de la

matriz Sµν tendremos que las coordenadas no canonicas se transforman como

y′α = SαµL

µνS

νρy

ρ. (4.67)

Para finalizar observemos que encontramos transformaciones de Lorentz no-conmutativasdejando los generadores del algebra de Lorentz fijos y un elemento de linea invariante ante estastransformaciones, con el cual tal vez se pueda escribir una relatividad especial no-conmutativa.

71

Capıtulo 5

Conclusiones.

En este trabajo se estudiaron basicamente tres cosas: mecanica clasica no-conmutativa, elec-tromagnetismo no-canonico y transformaciones de Lorentz en un espacio no-conmutativo. Enel Capıtulo 2 formulamos lo que entendemos por Mecanica Clasica No-conmutativa y demos-tramos el Teorema de Darboux, el cual nos brinda un puente entre las los sistemas canonicos ylos no-canonicos. Al trabajar el problema clasico de una partıcula cargada en presencia de uncampo magnetico constante, mostramos que en el caso no-canonico en contraste con el canonicono tenemos que escoger una norma para escribir el Hamiltoniano, ya que en el caso no-canonicose usa el Hamiltoniano de una partıcula libre y se postula que el campo magnetico modifica elespacio fase del sistema; en este punto se encontro que las ecuaciones que describen la fuerza deLorentz y las propiedades del sistema canonico se pueden encontrar a traves de una mecanicaclasica no-conmutativa, donde la no-conmutatividad esta en el sector de los momentos, tambiena traves de este problema se ejemplifico el uso de las deformaciones simplecticas. En el pro-blema cuantico no-conmutativo de la partıcula cargada en presencia de un campo magneticoconstante, encontramos que el equivalente a la norma del potencial vectorial magnetico es latransformacion de Darboux al momento de escoger una representacion para los momentos enel espacio de coordenadas; la forma de escoger esta representacion, al igual que al escoger unanorma, modifica los estados encontrados.

En el Capıtulo 3 reescribimos las ecuaciones de Maxwell a traves de un lenguaje mas formal,incorporando las deformaciones simplecticas para encontrar la fuerza de Lorentz a traves delformalismo Hamiltoniano. Cabe enfatizar que las relaciones constitutivas encontradas son lasque determinan la geometrıa del espacio: en el caso clasico determinan la geometrıa euclidianay en el caso relativista la geometrıa conforme. De hecho las ecuaciones (3.116) y (3.125) sonlas ecuaciones de Maxwell generales, escritas para cualquier metrica.

En el Capıtulo 4 encontramos una representacion de los generadores del algebra de Lorentz

73

Conclusiones.

en una variedad simplectica con estructura simplectica canonica. Al introducir la deformacionsimplectica en el sector de los momentos nos preguntamos si bajo este formalismo esta permitidomantener las transformaciones de Lorentz usuales y encontrar nuevos generadores que cerraranun algebra de Lorentz deformada a traves de una estructura simplectica deformada. Cuandousamos 3+1 dimensiones, la respuesta es que es inconsistente hablar de transformaciones usualesde Lorentz con generadores deformados, para hacer consistente al sistema de ecuaciones porresolver, se pueden introducir condiciones sobre el parametro no-conmutativo, estas condicionesnos dicen que en dimension 3+1 el parametro no-conmutativo es cero y que en dimension 1+1el parametro es arbitrario (en dimension 1+1 solo hay un parametro no-canmutativo), sinembargo, en dimension 1+1 el parametro que encontramos no cierra un algebra de Lie a travesde los corchetes de Poisson no-canonicos.

Despues nos preguntamos si era posible mantener los generadores del algebra y encontrarnuevas transformaciones de Lorentz a traves de una deformacion de la estructura simplecticaen el sector de las posiciones. En este punto las transformaciones de Darboux fueron esenciales,pues no solo se encontraron nuevas transformaciones, sino que se encontro un elemento de li-nea invariante ante estas nuevas transformaciones. Ademas, se observo que cualquier ecuacioncovariante escrita en su forma canonica, se puede reescribir como su analogo no-conmutativomediante la transformacion de Darboux quedando de forma covariante ante las nuevas trans-formaciones de Lorentz.

Aun queda por discutir que pasa si deformamos la estructura simplectica y encontramosnuevas transformaciones de Lorentz y nuevos generadores del algebra de Lorentz. A simplevista parecerıa que tendrıamos que ampliar el grupo de Lorentz, pero esa afirmacion queda porconfirmar.

En el futuro se tratara de construir una Relatividad Especial No-conmutativa tratando deencontrar un significado para los terminos adicionales que se encuentren en dicha teorıa.

74

Apendice A

Dualidad de Hodge.

En este apendice definiremos y trabajaremos con el operador llamado dual de Hodge, el cualtiene su uso en la construccion de la electrodinamica clasica y relativista en espacios planos,pues a traves de el conectaremos a las propiedades del vacıo con la geometrıa del espacio-tiempo.

Empezaremos repasando rapidamente a las formas diferenciales, los elementos de volumeny finalmente definimos el dual de Hodge.

A.1. Formas Diferenciales.

Una p-forma es el equivalente matematico de un campo tensorial antisimetrico viviendo enuna variedad M. Consideremos un parche de M parametrizado por n coordenadas reales xi.Una p-forma se puede escribir como

B(x) = Bi1...ipdxi1 ∧ · · · ∧ dxip , (A.1)

donde la suma es tomada con i1 < · · · < ip (la definicion del producto cuna ∧ ser vera masabajo). Ademas, los dxi son llamados vectores cotangentes en el punto x. Formalmente unvector cotangente es un mapeo lineal del espacio vectorial tangente en el punto x a los numeroreales. El vector cotangente dxi es el mapeo lineal especıfico que mapea al vector tangenteunitario en la direccion xi a 1, y todos los vectores tangentes en las otras coordenadas a cero.De esto ultimo vemos que el mapeo lineal general del espacio vectorial tangente al punto x aR puede ser escrito como

A(x) = Ai(x)dxi. (A.2)

En otras palabras, el espacio de todas las 1-formas es precisamente el espacio vectorial de todoslos campos vectoriales cotangentes. Notemos que para cada punto x, los valores posibles de una1-forma hacen un espacio vectorial n-dimensional con coordenadas Ai(x).

75

Dualidad de Hodge. A.1 Formas Diferenciales.

Por supuesto, la notacion usando dxi sugiere una relacion con las integrales. Supongamosque tenemos una curva cerrada unidimensional γ dentro de M y mostremos que una 1-formaA(x) en M puede ser naturalmente integrada a lo largo de γ. Parametrizamos a γ con t,ası que sus coordenadas estaran dadas por xi(t). Al tiempo t, la velocidad dx(t)/dt es unvector tangente a M en el punto x(t). Uno puede insertar este vector tangente en el mapeolineal A(x) para obtener un numero real. Por definicion, al insertar el vector tangente dx(t)/dten el mapeo lineal dxi obtenemos la componente dxi(t)/dt. Si hacemos esto para todas las t,podemos integrar sobre t: ∫ (

Ai (x(t))dxi

dt

)dt. (A.3)

Es claro que esta expresion es independiente de la parametrizacion. Ademas, por la forma enque se transforman los vectores tangentes, podemos deducir la forma en que se transforman losmapeos lineales dxi, y de esto la forma en que se transforman los coeficientes Ai(x). Conociendoesto, podemos observar que (A.3) tambien es invariante ante cambios de coordenadas en M.Entonces una 1-forma puede ser integrada sin ambiguedades sobre una curva en M. Estaintegral la escribiremos como: ∫

γA =

∫γAi(x)dxi. (A.4)

De forma similar, quisieramos definir una 2-forma como algo que pueda ser integrado demanera natural sobre una superficie 2-dimensional en M. En un punto especıfico x, el planotangente a dicha superficie es generada por el par de vectores tangentes (v1, v2). Ası que parageneralizar la construccion de una 1-forma, deberıamos tener un mapeo bilineal que lleve alpar de vectores a R. El mapeo mas general de esta forma es

Bij(x)dxi ⊗ dxj , (A.5)

donde el producto tensorial de dos vectores cotangentes actua en un par de vectores como sigue(donde seguimos tomando la suma con i < j):

dxi ⊗ dxj(v1, v2) = dxi(v1)dxj(v2). (A.6)

En el lado derecho de (A.6), esta expresada la multiplicacion ordinaria de dos numeros.El mapeo bilineal (A.5) es mas general que lo que necesitamos para una buena integracion.

La razon es que nos gustarıa que la integral cambiara de signo si cambiamos la orientacionsimplemente intercambiando v1 y v2 , ası que necesitamos que nuestro mapeo bilineal seaantisimetrico ante este intercambio. Esto se hace definiendo una 2-forma como:

B = Bij(x)dxi ∧ dxj = Bij(x)(dxi ⊗ dxj − dxj ⊗ dxi

). (A.7)

76

Dualidad de Hodge. A.2 Elemento de Volumen.

Y ahora es claro por que una dos forma corresponde a un campo tensorial antisimetrico. Si ahoraparametrizamos una superficie Σ en M con dos coordenadas t1 y t2 y razonando exactamentecomo en el caso de la 1-froma, podemos mostrar que la integracion de una 2-forma en unasuperficie esta bien definida y es independiente de la parametrizacion de Σ y M.

Para p-formas de mayor grado, la construccion se realiza exactamente de la misma manera.Ademas podemos usar el producto cuna para multiplicar una p-forma arbitraria con una q-forma arbitraria como sigue:

B(1) ∧B(2) = B(1)[i1...ip

B(2)ip+1...ip+q ]dx

i1 ∧ · · · ∧ dxip+q (A.8)

Ademas existe una nocion natural de tomar derivadas de p-formas. Ya que tomar unaderivada respecto xi de un tensor antisimetrico adiere un indice covariante mas, naturalmentepodemos construir una derivada que sea un mapeo de p-formas a (p+1)-formas. Esta derivadad es llamada la derivada exterior y esta definida como:

dB ≡∂Bi1...ip

∂xjdxj ∧ dxi1 ∧ · · · ∧ dxip . (A.9)

Dadas las propiedades antisimetricas del producto cuna, tenemos que

d2 = 0. (A.10)

A.2. Elemento de Volumen.

Definicion 4 Sobre una variedad diferenciable M de dimension m dotada con una metrica g,definimos el elemento de volumen invariante como

ΩM =√|g|dx1 ∧ dx2 ∧ · · · ∧ dxm, (A.11)

donde g = det (gµν) y xµ son las coordenadas locales en una carta (U, φ).

Si yµ son las coordenadas de otra carta (V, ψ) con U ∩ V 6= 0, el volumen sera:

ΩM =

√|det

(∂xµ

∂yν

)∂xλ

∂yκgµν |dy1 ∧ · · · ∧ dym, (A.12a)

=∣∣det(∂x

∂y

) ∣∣√|g| ∂y1

∂xλ1· · · ∂y

m

∂xλmdxλ1 ∧ · · · ∧ dxλm , (A.12b)

= |det (M) |√|g|ελ1···λm

∂y1

∂xλ1· · · ∂y

m

∂xλmdx1 ∧ · · · ∧ dxm, (A.12c)

= |det (M) |√|g|det

(M)dx1 ∧ · · · ∧ dxm, (A.12d)

= ±√|g|dx1 ∧ · · · ∧ dxm, (A.12e)

77

Dualidad de Hodge. A.3 Dual de Hodge.

en donde se uso dyλ =(∂yλ/∂xµ

)dxµ y M es la inversa de la matriz M . Si x y y definen la

misma orientacion, entonces det (∂xµ/∂yν) es estrictamente positivo. Ademas debemos notarque

εµ1...µm = gµ1ν1 · · · gµmνmεν1...νm = gεµ1...µm . (A.13)

A.3. Dual de Hodge.

En geometrıa diferencial el operador de derivada exterior d es un mapeo de las r−formascon las (r + 1)−formas, de igual manera el operador iX con un campo vectorial X fijo defineun mapeo de las r−formas con las (r − 1)−formas. El siguiente mapeo que definiremos nosayudara a obtener un producto interno en el espacio de las p−formas, y por tal motivo, sunombre:

Definicion 5 El operador ∗ (estrella) de Hodge es un mapeo lineal ∗ : Ωr (M) → Ωm−r (M) yse define como sigue:

∗ (dxµ1 ∧ · · · ∧ dx

µr ) =

√|g|

(m− r)!εµ1...µr

νr+1...νmdxνr+1 ∧ · · · ∧ dxνm , (A.14)

y en general para una r−forma ω:

∗ω =

√|g|

r! (m− r)!ωµ1...µrε

µ1...µrνr+1...νmdx

νr+1 ∧ · · · ∧ dxνm , (A.15)

en donde m es la dimension de M.

Con esta definicion estamos listos para construir un producto interno en el espacio de lasr−formas.

Sean ω, η ∈ Ωr (M) y calculando el producto cuna de ambas r−formas encontramos que

ω ∧ ∗η =1r!ωµ1...µr

√|g|

r! (m− r)!εν1...νr

µr+1...µmdxµ1 ∧ · · · ∧ dxµmην1...νr , (A.16a)

=1r!

√|g|

r! (m− r)!ωµ1...µrη

ν1...νr

εν1...νrµr+1...µmεµ1...µmdx1 ∧ · · · ∧ dxm, (A.16b)

=1r!ωµ1...µrη

µ1...µr√|g|dx1 ∧ · · · ∧ dxm, (A.16c)

= 〈ω, η〉ΩM, (A.16d)

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Dualidad de Hodge. A.3 Dual de Hodge.

donde subimos y bajamos indices con la metrica gµν , usamos la relacion

ην1...νrεν1...νrµr+1...µmεµ1...µm = r! (m− r)!ηµ1...µr (A.17)

y

〈ω, η〉 =1r!ωµ1...µrη

µ1...µr . (A.18)

Si ahora queremos construir un producto interno sobre toda la variedad, vemos que ω ∧ ∗ηes una m−forma y por tanto su integral sobre M esta bien definida. Entonces podemos tomarel producto interno como

(ω, η) =∫ω ∧ ∗η =

∫M〈ω, η〉ΩM. (A.19)

Otra faceta interesante del dual de Hodge es que podemos determinar la metrica a travesdel producto 〈 , 〉. Si conocemos como opera ∗ sobre una r−forma sin conocer la metrica, larelacion

ω ∧ ∗η = 〈ω, η〉ΩM

nos dara un conjunto de ecuaciones para determinar la metrica despues de acomodar el elementode volumen y despues de usar la relacion

〈ω, η〉 =1r!ωµ1...µrg

µ1ν1 · · · gµrνrην1...νr .

En una variedad Minkoiskiana de dimension cuatro con signatura −2 es facil mostrar quesi dos metricas estan relacionadas conformemente, entonces tienen el mismo dual de Hodge:Dadas g y g tal que gµν = Θgµν , tenemos que g = εµνλρ ˆg0µ ˆg1ν ˆg2λg3ρ = εµνλρΘ4g0µg1νg2λg3ρ,entonces Θ = |g/g|

14 , ademas para 2−formas tenemos

∗F =

√|g|2

ε ρτµν Fρτdx

µ ∧ dxν =

√|g|

2Θ2FρτΘ2εµν

ρτdxµ ∧ dxν = ∗F.

Si ahora nos preguntamos por la condicion necesaria, i.e., ¿si dos operadores duales corres-pondientes a metricas distintas son iguales, entonces las metricas son iguales?, encontraremosen el siguiente teorema que la respuesta es: casi.

Teorema 4 Sean gµν y ˆgµν (reales, no degeneradas) metricas de signatura arbitraria en unavariedad de dimension cuatro, tal que para todo F ∈ Ω2 (M)

∗F ≡ ∗F =⇒ ˆgµν = ±Θgµν ,

esto es, las metricas son conformes.

La demostracion se puede encontrar en [20].

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