universidad de oriente
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UNIVERSIDAD DE ORIENTEDEPARTAMENTO SOCIO HUMANÍSTICO
MATEMÁTICA I NÚCLEO MONAGAS
Sucesiones, Sumatorias y Progresiones (Aritméticas y Geométricas)
Profesora: Milagros Coraspe
Integrantes:Pantoja Lianys C.I 27.118.572 Prado Reymari C.I 26.984.646
Maturín, Febrero 2017
Estos temas se dice que fueron estudiados por los babilonios en la época babilónica (2000 a.C), también pudieron encontrarse que los egipcios y árabes también los estudiaron e incluso hallaron fórmulas, fueron encontrando los por artes, las secesiones fueron primero para luego multiplicar el termino anterior por un numero fijo y sacaron las progresiones y luego encontraron en una progresión de forma aritmética y geométrica. En épocas recientes, el estudio de las progresiones y de su sumas aparece relacionado con la aproximación de números irracionales o de funciones.
INTRODUCCIÓN
Es aquella en la cual la diferencia entre dos términos consecutivos es una constante. La formula para el termino general de una sucesión aritmética es an + b en donde a y b son constantes y n es el numero del termino deseado.
Ejemplo: Notemos la sucesión: 8,11,14,17,20,23,26
La diferencia entre cualquier termino y el anterior es 3 de modo que el termino general de la sucesión es: 3n+5.Para encontrar el valor de b podemos utilizar el primer termino, en donde n=1.De esta forma, 3(1)+b=8, y por lo tanto b=5.Por lo tanto, el termino general de la sucesión es 3n+b.Si queremos encontrar el termino 25 de la sucesión, sustituimos 25 en la anterior formula: 3(25)+25=80.De modo que el termino 25 de la sucesión tiene el valor de 80.Si queremos encontrar la suma de los primero 12 términos de esta sucesión utilizamos la formula a = 3b = 5 y n =12.(12)(12+1)+5(12)=294.
SUCESIONES ARITMÉTICAS
El elemento general de la sucesión debe
ser una función n, en donde n solamente
puede tomar valores enteros positivo, de tal
manera que cuando se le de el valor de
n=1, al sustituir en la formula se obtenga el
primer elemento, que cuando n=2, al
sustituir en la formula se obtenga el
segundo elemento; que cuando n=3, al
sustituir en la formula ( an =a1 + n – 1 x d)
se obtenga el tercer elemento; y así
sucesivamente.
Encontrando el termino N-esimo
(pasos)1. Determinar el valor de a(1). Es
el primer termino de la sucesión.
2. Realizar la diferencia d entre dos términos consecutivos en la sucesión, esa diferencia b debe ser igual ara cualquier par de términos escogidos.
3. Comprobar el resultado dado, haciendo la respectiva sucesión paso a paso. Si no tenemos una sucesión, entonces utilizamos la formula cuando tenemos un termino y la constante o distancia entre dos términos.
Elemento
general
de la sucesión
Una sucesión geométrica es aquella en la cual el cociente entre dos términos consecutivos es una constante llamada razón r y puede ser positiva o negativa .
Ejemplo:Sea la sucesión 5,15,45,135,405,1215 es geométrica porque cada termino es multiplicado por la misma constante que es 3.Sea la sucesión -2, 4, -8, 1, -32, 64,… es geométrica porque cada términos multiplicado por la misma constante, que es 2.
Notación:Comúnmente se denominan los términos de una sucesión del a siguiente manera: a(1) = primer termino de la sucesión a(2) segundo termino de la sucesión a(n) = n-esimo termino de la sucesión r= razón El n-esimo termino de una sucesión geométrica es la regla que determina como se calculan los términos de la misma
SUCESIONES GEOMÉTRICAS.
• Convergente: son las sucesiones que tienen limite finito: 1, , , , ,… .• Divergentes: estas no tienen limite finito: 5,7,9,11,13,… 2n + 3
limite: ∞• Oscilante: estas no son convergente ni divergentes. Sus términos
alternan de mayor a menor y viceversa: 1,0,3,0,5,0,7.• Alternas: son aquellas que alternan los signos de sus términos:• -1,2,-3,4,-5…n
Tipos de Sucesiones:
Para saber lo que es una suma aritmética y geométrica debemos de conocer lo que es sucesión y progresión, ya que esto no es mas que la suma de los términos de estas. La suma de los términos en un segmento inicial de una progresión se conoce a veces como serie. Existe una formula para las series. La suma de los n rimeros valores de una sucesión finita viene dada por la formula:
SUMATORIA ARITMÉTICA Y GEOMÉTRICA
Donde es el primer termino, es el ultimo y ∑ es la notación del sumatorio
Por ejemplo: 2+5+8+11+14 La suma puede calcularse rápidamente tomando el numero de términos n de la progresión ( en este caso 5), multiplicando el primer y ultimo termino de la progresión ( aquí 2 + 4 =16), y dividiendo entre 2. Tomando la formula seria:2+5+8+11+14 = = = 40 Esta formula funciona para cualquier progresión aritmética de números reales conociendo .
Es una sucesión de números tales que la diferencia de dos términos sucesivos cualesquiera de la secuencia es una constante, cantidad llamada , o incluso .
Por ejemplo: 3, 5, 7, 9, es una progresión aritmética de diferencia constante 2 .
PROGRESIÓN ARITMÉTICA
Términos y diferencia de una progresión aritmética:
= Primer término. = Segundo término. = Tercer término. = Cuarto término. = Ultimo término.
Termino General: En todas las progresiones aritméticas se puede encontrar una expresión que permite obtener cualquier termino, sabiendo el lugar que ocupa. A esta expresión se le denomina termino general de la progresión aritmética
Es una secuencia en la que el elemento siguiente se obtiene dividiendo el elemento anterior por una constante denominada razón o factor de la progresión. Se suele reservar el termino progresión cuando la secuencia tiene una cantidad finita de términos mientras que se usa sucesión o serie cuando hay una cantidad infinita de términos así: 5, 15, 45, 135, 405,… Es una progresión geométrica con razón igual a 3, porque cada elemento es el triple del anterior. Se puede obtener el valor de un elemento arbitrario de la secuencia mediante la expresión del termino general, siendo an el termino en cuestión, al primer termino y r, la razón:
an = •
PROGRESIÓN GEOMÉTRICA
Interpolar medios geométrico o proporcionales entre dos números, es construir una progresión geométrica que tenga por extremos los números dados.Sean los extremos a y b, y el numero de medios a interpolar m.
r = m + 1
Interpolación de términos en una progresión aritmética
Producto de dos
términos equidistantes
Sean ai y aj dos términos equidistantes de
los extremos, se cumple que el producto
de términos equidistantes es igual al
producto de los extremos : ai • aj = •
Clasificación progresión geométrica:
Ascendente: aquella en que cada termino tiene mayor valor que el ascendente Descendente: aquella en que cada termino tiene menor valor que el antecedente.
Se han obtenido conjunto de números cuyos términos cumplen una determinada regla lo que nos permite encontrar en otros términos de manera única. Es decir, se puede determinar cual es el primer termino, cual es el segundo y así sucesivamente. Esta forma de proceder es valida para resolver cualquier otro tipo de ejercicio, pues la esencia es encontrar como se obtienen unos términos a partir de otros dados o la regla de formación.
CONCLUSIÓN.
www.thelles.es/matematicas/progresiones.com Anónimo, 2015
www.vitutor/sucesiones.com Autor: Giménez Luis. Junio 2016
www.hiru.es.matematicas.progresiones.sucesiones.geometricas.com anónimo,
www.vandenumeros.es.com anónimo, noviembre 2014
BIBLIOGRAFÍA .