universidad de murcia departamento de matem´aticas … · sobre la teor´ıa de conjuntos que nos...

UNIVERSIDAD DE MURCIADepartamento de Matematicas

Topologıa1. Conjuntos, aplicaciones y numeros

Pedro Jose Herrero y Pascual Lucas

Resumen: En este capıtulo presentamos los conceptos fundamentalessobre la teorıa de conjuntos que nos seran muy utiles en el desarro-llo de la asignatura. Hablaremos, entre otros topicos, de conjuntos,operaciones entre conjuntos, aplicaciones, conjuntos finitos e infinitos,numerables y no numerables, y recordaremos las principales propieda-des de los numeros reales.

c© 2002 [email protected] el 18 de febrero de 2002 Version 0.2

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Indice general1. Teorıa de conjuntos

1.1. Operaciones basicas• Union de conjuntos • Interseccion de conjuntos • Diferencia de conjuntos

1.2. Otras operaciones• El producto cartesiano • El conjunto potencia

1.3. Familias de conjuntos2. Aplicaciones

2.1. Tipos de aplicaciones2.2. Composicion de aplicaciones

3. Conjuntos especiales: los numeros3.1. Conjuntos finitos3.2. Conjuntos numerables

4. Los numeros reales5. Problemas propuestos

Soluciones de los ejerciciosSoluciones de las cuestiones

Seccion 1: Teorıa de conjuntos 3

1. Teorıa de conjuntos

A la hora de estudiar los conjuntos se puede caer en el error de presentar una teorıademasiado formalista y rigurosa que se aleje, a veces demasiado, de los objetivos dela asignatura. Por esto, nosotros adoptaremos un punto de vista, mayoritario por otraparte, simple: supondremos que todo el mundo sabe lo que es un conjunto, al menosuna idea intuitiva bastante razonable.

Para avanzar un poco tambien supondremos conocidos algunos conceptos basicossobre los conjuntos. No obstante, los recordaremos brevemente sin entrar en muchosdetalles.

1.1. Operaciones basicas

Como siempre, fijaremos un poco de notacion antes de empezar. La primera operacionque se define con un conjunto es la de pertenencia de sus elementos: si un elemento apertenece a un conjunto A escribiremos

a ∈ A,

mientras que utilizaremos el sımbolo 6∈ para indicar que el objeto a no es un elementodel conjunto A.

Utilizaremos la notacion A ⊂ B para indicar que todos los elementos de A sontambien elementos de B. Entonces se dira que A es un subconjunto de B. Si existe

Toc JJ II J I Volver J Doc Doc I


algun elemento de B que no esta en A, entonces diremos que A es un subconjuntopropio de B, y se representara como A ( B.

Dados dos conjuntos A y B, podemos definir tres operaciones elementales entre ellos:

• Union de conjuntos�� A − BA ∩ BA ∪ B

A A A

BBB La union de los conjunto A y B es el conjunto formado por los elementosque pertenecen a A, a B o a ambos, y se representa por

A ∪ B = {x | x ∈ A o x ∈ B}.Los elementos que estan en ambos conjuntos no se duplican. Por ejemplo, {1}∪{1, 2} ={1, 2}.

• Interseccion de conjuntos�� A − BA ∩ BA ∪ B

A A A

BBB La interseccion de dos conjuntos A y B es el conjunto formado por loselementos que pertenecen simultaneamente a los conjuntos A y B, y serepresenta como

A ∩ B = {x | x ∈ A y x ∈ B}.La interseccion de dos conjuntos puede ser el conjunto vacıo (∅). Por ejemplo, {1, 2}∩{3, 4} = ∅.



• Diferencia de conjuntos�� A − BA ∩ BA ∪ B

A A A

BBB La diferencia de los conjuntos A y B es el conjunto formado por loselementos de A que no pertenecen a B, y se representa como

A− B = {x | x ∈ A y x 6∈ B}.El conjunto A−B se llama a veces el complemento o el complementario de B en A.

Antes de poner un ejercicio recordemos la notacion habitual para referirnos a losconjuntos de numeros: N (numeros enteros positivos), Z (numeros enteros), Q (numerosracionales), R (numeros reales) y C (numeros complejos).

Ejercicio 1.1. Considera los conjuntos A y B definidos como sigue:

A = {x ∈ R | (x− 1)2 < 4},B = {x ∈ R | |x| > 2}.

Determina los conjuntos A ∪ B, A ∩ B y A− B.

Cuestion 1.1. ¿Cuales de las siguientes afirmaciones son verdaderas?

1. A ⊂ B y A ⊂ C ⇒ A ⊂ B ∪ C.

(a) Verdadero (b) Falso

2. A ⊂ B y A ⊂ C ⇒ A ⊂ B ∩ C.




3. A ⊂ B o A ⊂ C ⇔ A ⊂ B ∪ C.


4. A ⊂ B y A ⊂ C ⇔ A ⊂ B ∩ C.


1.2. Otras operaciones

• El producto cartesiano

Ya hemos visto que la union (∪), la interseccion (∩) y el diferencia son operacionesque nos permiten obtener, a partir de dos conjuntos dados, un nuevo conjunto. Perotambien podemos construir el conjunto formado por todas las parejas de elementos deambos conjuntos.

Mas precisamente, dados dos conjuntos A y B, el producto cartesiano A×B es elconjunto definido por

A× B = {(x, y) | x ∈ A e y ∈ B}.Dado que la notacion (a, b), cuando estamos trabajando en el conjunto R de los numerosreales, indica tambien el intervalo abierto de extremos a y b, es posible tambien utilizarla notacion x × y para indicar el elemento del conjunto A × B.



• El conjunto potencia

¿Y que ocurre cuando los elementos de un conjunto A son, a su vez, conjuntos? Bueno,para evitar malentendidos y no caer en contradicciones, en este caso diremos que Aes una coleccion de conjuntos o una familia de conjuntos. No obstante, como sueleser habitual, tambien se utiliza el termino conjunto de conjuntos. Utilizaremos letrascaligraficas para referirnos a las familias de conjuntos: A, B, etc.

El ejemplo mas inmediato es el siguiente. Dado un conjunto A, el conjunto formadopor todos los subconjuntos de A se denomina conjunto potencia de A y se denota porP(A). Tambien se suele decir que P(A) es el conjunto de las partes de A.

Ejercicio 1.2. Si A es el conjunto de tres elementos {a, b, c}, ¿cual es conjuntopotencia de A?

Las operaciones entre dos conjuntos que hemos introducido anteriormente se puedenextender a un mayor numero de conjuntos, dando lugar a nuevos conjuntos. Un problemainteresante es decidir si los conjuntos ası obtenidos son o no distintos. Para ello esconveniente tener en cuenta las siguientes reglas:

Leyes distributivas: Son dos:

A ∩ (B ∪ C) = (A ∩ B) ∪ (A ∩ C) y

A ∪ (B ∩ C) = (A ∪ B) ∩ (A ∪ C).



Leyes de De Morgan: Tambien son dos:

A− (B ∪ C) = (A− B) ∩ (A− C), y

A− (B ∩ C) = (A− B) ∪ (A− C).

Ejercicio 1.3. Demuestra las leyes de De Morgan.

Cuestion 1.2. ¿Cuales de las siguientes afirmaciones son verdaderas?

1. A ⊂ C y B ⊂ D ⇒ (A× B) ⊂ (C× D).(a) Verdadero (b) Falso

2. (A× B) ⊂ (C× D) ⇒ A ⊂ C y B ⊂ D


3. (A× B) ⊂ (C× D) ⇒ A ⊂ C y B ⊂ D, suponiendo que A y B son no vacıos.


4. (A× B) ∪ (C× D) = (A ∪ C)× (B ∪ D).(a) Verdadero (b) Falso

1.3. Familias de conjuntos

Las operaciones de union e interseccion que hemos definido para dos conjuntos se puedenextender sin ninguna dificultad a una familia arbitraria de conjuntos.



Sea A una familia de conjuntos. Entonces la union de los elementos de A se definecomo el conjunto de todos los elementos que pertenecen a alguno de los conjuntos deA y lo representaremos por⋃

A∈A

A = {x | x ∈ A para algun A ∈ A}.

De modo similar, la interseccion de los elementos de A se define como el conjuntoformado por los elementos que pertenecen a todos los elementos de A, es decir,⋂

A∈A

A = {x | x ∈ A para todo A ∈ A}.

Las leyes distributivas y de De Morgan que hemos visto anteriormente pueden ex-tenderse sin excesiva dificultad al caso de familias arbitrarias de conjuntos.

Proposicion 1.1 (Leyes distributivas) Sea A = {Ai | i ∈ I} una familia arbitraria deconjuntos y B un conjunto. Entonces:

(1) B ∪ (⋂i∈I

Ai) =⋂i∈I

(B ∪ Ai).

(2) B ∩ (⋃i∈I

Ai) =⋃i∈I

(B ∩ Ai).



Demostracion. Solo demostraremos la propiedad (1), pues la otra se prueba de maneratotalmente analoga.

Sea x ∈ B ∪ (∩i∈IAi). Si x ∈ B, entonces x ∈ (B ∪ Ai) para todo i, por lo quex ∈ ∩i∈I(B ∪ Ai). En otro caso, x ∈ ∩i∈IAi, por lo que x ∈ Ai para todo i. Entoncesx ∈ B ∪ Ai para todo i, por lo que estara en su interseccion.

Recıprocamente, si x ∈ ∩i∈I(B ∪ Ai) entonces x ∈ B ∪ Ai para todo i; si x ∈ Bentonces tambien x ∈ B∪(∩i∈IAi). En otro caso, x ∈ Ai para todo i, es decir, x ∈ ∩i∈IAi,y ası x ∈ B ∪ (∩i∈IAi). �

Proposicion 1.2 (Leyes de De Morgan) Sea A = {Ai | i ∈ I} una familia arbitrariade subconjuntos de un conjunto dado X. Entonces:

(1) X− (∪i∈IAi) = ∩i∈I(X− Ai).

(2) X− (∩i∈IAi) = ∪i∈I(X− Ai).

Demostracion. Probaremos solo el apartado (1), pues el (2) es totalmente analogo.Si x ∈ X− (∪i∈IAi) entonces x 6∈ Ai para todo i, de modo que x ∈ X−Ai para todo

i, luego x ∈ ∩i∈I(X − Ai). Recıprocamente, si x ∈ ∩i∈I(X − Ai) entonces x 6∈ Ai paratodo i, por lo que x 6∈ ∪i∈IAi; entonces debe estar en su complementario. �

Para finalizar esta seccion enunciamos el siguiente resultado acerca de la diferenciade conjuntos.


Seccion 2: Aplicaciones 11

Proposicion 1.3 Sean A y B dos subconjuntos de X. Entonces se verifica lo siguiente:

(1) A− B = A ∩ (X− B).

(2) A− (A− B) = A ∩ B.

(3) A− (A ∩ B) = A− B.

Demostracion. La prueba es bastante sencilla y basta repetir las ideas expuestas en lasdemostraciones anteriores. Demostremos, por ejemplo, el apartado (2).

Si x ∈ A − (A − B) entonces x ∈ A y x 6∈ A − B. Esta segunda condicion implicaque x ∈ B. Entonces x ∈ A ∩ B. Recıprocamente, si x ∈ A ∩ B entonces x ∈ A y x ∈ B,que implica x ∈ A y x 6∈ A− B. Y ası x ∈ A− (A− B). �

2. Aplicaciones

En esta seccion nos proponemos recordar otro concepto igual de importante que el deconjunto: el concepto de aplicacion o funcion. A grosso modo, una aplicacion entre dosconjuntos A y B es una regla que asigna a cada elemento del conjunto A otro elementodel conjunto B.

Definicion 1.1 Sean X e Y dos conjuntos. Una aplicacion f entre X e Y es una co-rrespondencia o regla de asignacion entre ellos tal que a cada punto x de X se le asocia



un unico punto y de Y, denominado imagen de x y denotado por f(x). La denotaremospor

f : X −→ Y o Xf−→ Y

X se llama el origen de f e Y se llama recorrido o rango de f. El subconjunto de Xen el que esta definida f se denomina dominio y se denota por Dom(f); el subconjuntode Y formado por todas las imagenes de elementos del dominio se denomina conjuntoimagen y se denota por Im(f).

Por tanto, una funcion f : X −→ Y es un subconjunto del producto cartesiano X×Ycon la propiedad de que cada elemento de X aparece como la primera coordenada de alo sumo un par ordenado. Podemos concebir f como el conjunto Γ(f) definido por

Γ(f) = {(x, y) ∈ X× Y | x ∈ Dom(f), y = f(x)}y que denominaremos grafica de f o grafo de f.

Definicion 1.2 Sea f : X −→ Y una funcion y sea A ⊂ X. El conjunto imagen de Apor f, que denotaremos por f(A), es el subconjunto de Y formado por todas las imagenesde los elementos de A, es decir:

f(A) = {y ∈ Y | y = f(x) para algun x ∈ A}.La aplicacion f restringida al subconjunto A se denomina la restriccion de f a A y sedenota por f |A.



Cuestion 1.3. Consideremos las aplicaciones f : R → R, f(x) = x4, y g : R →R+, g(x) = x4, donde R+ denota los numeros reales no negativos. ¿Son iguales estasaplicaciones?

(a) Sı (b) No

Definicion 1.3 Sea f : X −→ Y una funcion y sea B ⊂ Y. La imagen inversa de B porf, que denotaremos por f−1(B), es el subconjunto de X formado por todos los elementoscuya imagen pertenece a B, es decir:

f−1(B) = {x ∈ X | f(x) ∈ B}.

Si B es un conjunto unipuntual {y}, usaremos la notacion f−1(y) para referirnos af−1({y}).

Tambien es importante tener en cuenta que f−1(B) no es mas que una notacion, yel sımbolo f−1 no indica que exista una aplicacion entre Y y X que sea inversa de f.

Proposicion 1.4 Sea f : X −→ Y una aplicacion y consideremos los subconjuntosA ⊂ X y B ⊂ Y. Entonces se satisface:

(1) A ⊂ f−1(f(A)).

(2) f(f−1(B)) ⊂ B.



Demostracion. La demostracion de ambas propiedades es inmediata y se deja para ellector. �

Las inclusiones que aparecen en la proposicion anterior no son, en general, igualdades.Pueden encontrarse ejemplos de funciones donde las inclusiones son propias.

Ejercicio 1.4. Encuentra dos ejemplos de funciones f en las que las inclusiones de laProposicion 1.4 sean estrictas.

2.1. Tipos de aplicaciones

Definicion 1.4 Una aplicacion f : X → Y se dice que es inyectiva (o uno-a-uno) sipara cada par de puntos distintos de X, sus imagenes por f son distintas. Se dice quees sobreyectiva (o que f aplica X sobre Y) si cada elemento de Y es la imagen por lafuncion f de algun elemento de X. Si f es a la vez inyectiva y sobreyectiva, se dice quees biyectiva (o se llama una correspondencia uno-a-uno).

Cuando f es biyectiva entonces existe una aplicacion de Y en X, denominada inversade f, que se representa por f−1, definida como f−1(y) = x, donde x es el unico elementode X tal que f(x) = y.

Cuestion 1.4.

1. ¿Cuales de las siguientes funciones f : R −→ R es inyectiva?

(a) f(x) = x3 (b) f(x) = x2 (c) f(x) = tan(x)



2. ¿Cuales de las siguientes funciones f : R −→ R es sobreyectiva?

(a) f(x) = x3 (b) f(x) = x2 (c) f(x) = tan(x)3. ¿Cuales de las siguientes funciones f : R −→ R es biyectiva?

(a) f(x) = x4 (b) f(x) = x7 (c) f(x) = cos(x)

Proposicion 1.5 Sea f : X −→ Y una aplicacion y consideremos los subconjuntosA ⊂ X y B ⊂ Y. Entonces se satisface:

(1) Si f es inyectiva entonces A = f−1(f(A)).

(2) Si f es sobreyectiva entonces f (f−1(B)) = B.

Demostracion. La demostracion de ambas propiedades es inmediata y se deja para ellector. �

Veamos ahora algunas propiedades de las aplicaciones en relacion con las inclusio-nes, las uniones, las intersecciones y las diferencias. Las demostraciones se dejan comoejercicio al lector.

Proposicion 1.6 Sea f : X → Y y sean Ai ⊂ X y Bi ⊂ Y para i = 1, 2. Entonces:

(a) B1 ⊂ B2 ⇒ f−1(B1) ⊂ f−1(B2).

(b) f−1(B1 ∪ B2) = f−1(B1) ∪ f−1(B2).



(c) f−1(B1 ∩ B2) = f−1(B1) ∩ f−1(B2).

(d) f−1(B1 − B2) = f−1(B1)− f−1(B2).

Proposicion 1.7 Sea f : X → Y y sean Ai ⊂ X y Bi ⊂ Y para i = 1, 2. Entonces:

(a) A1 ⊂ A2 ⇒ f(A1) ⊂ f(A2).

(b) f(A1 ∪ A2) = f(A1) ∪ f(A2).

(c) f(A1 ∩ A2) ⊂ f(A1) ∩ f(A2); y se da la igualdad si f es inyectiva.

(d) f(A1 − A2) ⊃ f(A1)− f(A2); y se da la igualdad si f es inyectiva.

Ejercicio 1.5.

(a) Generaliza los apartados (b) y (c) de la Proposicion 1.6 a un numero arbitrario desubconjuntos de Y.

(b) Generaliza los apartados (b) y (c) de la Proposicion 1.7 a un numero arbitrario desubconjuntos de X.

2.2. Composicion de aplicaciones

Para construir nuevas aplicaciones a partir de otras dadas, podemos restringir los con-juntos origen o modificar los rangos de las mismas. Otro mecanismo para formar nuevasaplicaciones es componerlas.


Seccion 3: Conjuntos especiales: los numeros 17

Definicion 1.5 Sean las funciones f : X −→ Y y g : Y −→ Z. Se define la composiciong ◦ f de f y g como la aplicacion g ◦ f : X −→ Z dada por (g ◦ f)(x) = g(f(x)).

Ejercicio 1.6. ¿Cual es la composicion g ◦ f de las aplicaciones siguientes?

f : R −→ R, f(x) = 3x3 + 7,

g : R −→ R, g(x) = 4x2.

Proposicion 1.8 Sean f : X → Y y g : Y → Z. Se verifica lo siguiente:

(a) Si C ⊂ Z, demuestre que (g ◦ f)−1(C) = f−1(g−1(C)).

(b) Si f y g son inyectivas, entonces g ◦ f es inyectiva.

(c) Si g ◦ f es inyectiva, entonces f es inyectiva.

(d) Si f y g son sobreyectivas, entonces g ◦ f es sobreyectiva.

(e) Si g ◦ f es sobreyectiva, entonces g es sobreyectiva.

3. Conjuntos especiales: los numeros

En esta ultima parte del capıtulo nos vamos a centrar en los conjuntos numericos. Ypara una mejor comprension de los mismos debemos introducir algunos tipos especialesde conjuntos: finitos, infinitos, numerables y no numerables.



3.1. Conjuntos finitos

Dediquemos unas palabras a los conjuntos mas sencillos: los finitos.

Definicion 1.6 Un conjunto X se dice que es finito si existe un numero natural n y unaaplicacion biyectiva entre X y el conjunto {1, . . . , n}. El numero n se llama el cardinalde X. Si X = ∅ entonces su cardinal es 0.

Algunas propiedades importantes relativas a los conjuntos finitos son las siguientes.

Proposicion 1.9 (1) Si X es finito, entonces no existe una aplicacion biyectiva entreX y un subconjunto propio de X.

(2) El cardinal de un conjunto finito X esta unıvocamente determinado por el conjuntoX.

(3) Si A es un subconjunto de un conjunto finito X, entonces A es finito. Si A es unsubconjunto propio, entonces el cardinal de A es menor que el cardinal de X.

Demostracion. La demostracion de estas propiedades no es nada trivial, en contra delo que pudiera pensarse a primera vista. Las claves son las dos propiedades siguientes:

(a) Sea n un entero positivo. Sean X un conjunto y x0 un elemento de X. Entoncesexiste una aplicacion biyectiva f entre el conjunto X y el conjunto {1, . . . , n + 1}si, y solo si, existe una aplicacion biyectiva del conjunto X −{x0} con {1, . . . , n}.



(b) Sea X un conjunto y supongamos que existe una biyeccion f : X → {1, . . . , n}para algun n ∈ N. Sea A un subconjunto propio de X. Entonces no existe biyeccionalguna g : A → {1, . . . n}, y si B 6= ∅ entonces existe una biyeccion h : A →{1, . . . ,m} para algun m < n.

�

Ejercicio 1.7. Prueba que el conjunto N de los numeros naturales no es finito.

Las siguientes propiedades son tambien faciles de probar.

Proposicion 1.10 Si X es un conjunto no vacıo, son equivalentes:

(1) X es finito.

(2) Existe un numero natural n y una aplicacion sobreyectiva f : {1, . . . , n} → X.

(3) Existe un numero natural n y una aplicacion inyectiva f : X → {1, . . . , n}.

Proposicion 1.11 Las uniones finitas y los productos cartesianos finitos de conjuntosfinitos son finitos.

Demostracion. Lo veremos solo para el caso de dos conjuntos. La demostracion en elcaso general es analoga y se realiza por induccion en el numero de conjuntos.

Demostraremos primero que si X e Y son conjuntos finitos, tambien lo es X ∪ Y.Si X o Y es vacıo no hay nada que probar. En caso contrario, existiran biyecciones



f : {1, . . . ,m} → X y g : {1, . . . , n} → Y para determinados m y n. Definimos entoncesuna funcion h : {1, . . . ,m + n} → X ∪ Y de la forma h(i) = f(i) si i = 1, 2, . . . ,m yh(i) = g(i−m) si i = m + 1, . . . ,m + n. Es facil ver que h es sobreyectiva, de lo que sededuce que X ∪ Y es finito.

Veamos ahora que el producto cartesiano de dos conjuntos finitos X e Y tambienes finito. Dado x ∈ X, el conjunto {x} × Y es finito, pues tiene el mismo cardinal queY. Pero X × Y es la union de estos conjuntos, por lo que X × Y es una union finita deconjuntos finitos, y por tanto finito. �

Ejercicio 1.8. Demuestra la Proposicion 1.11 en el caso general.

3.2. Conjuntos numerables

Definicion 1.7 Todo conjunto X que no sea finito se dice que es infinito. Si X es unconjunto infinito que esta en correspondencia biyectiva con N, entonces se dice que esinfinito numerable. En otro caso X se dice que es infinito no numerable. Diremosque X es numerable si es finito o infinito numerable.

Ejemplo 1.1. Todo subconjunto A ⊂ N de los numeros naturales es numerable. Su-pongamos que A es infinito. Vamos a construir una aplicacion biyectiva f entre A y N.Sea f(1) el menor elemento de A y denotemos A1 = A − {f(1)}; sea f(2) el menorelemento de A1 y denotemos A2 = A1−{f(2)} = A−{f(1), f(2)}; y ası sucesivamente.En general, sea f(m) el menor elemento de Am−1 y denotemos Am = Am−1 − {f(m)}.



Como A no es finito, el proceso anterior no acaba y para cada m ∈ N existe f(m) > f(i),para i < m. Es facil ver que f es una aplicacion biyectiva (observemos que f (m) ≥ mpara todo m).

La siguiente propiedad es analoga a la Proposicion 1.10, pero adaptada a los con-juntos numerables.

Proposicion 1.12 Si X es un conjunto no vacıo, entonces son equivalentes:

(1) X es numerable.

(2) Existe una aplicacion sobreyectiva f : N→ X.

(3) Existe una aplicacion inyectiva g : X → N.

Hagamos un inciso aquı para referirnos a las aplicaciones f : N → X. Este tipo deaplicaciones se denominan sucesiones y habitualmente se denotan como (xn)n o {xn}n,donde xn = f(n). No debemos confundir una sucesion con su conjunto imagen.

Proposicion 1.13 Si A es un subconjunto de un conjunto numerable X, entonces A estambien numerable.

Demostracion. Como X es numerable, existe una aplicacion sobreyectiva f : N → X.Definimos una aplicacion g : X → A por la condicion g|A = 1. Entonces h = g◦f : N→ Aes una aplicacion sobreyectiva, lo que implica que A es numerable. �



Lema 1.14 El producto finito de copias de N es un conjunto numerable.

Demostracion. Lo demostraremos para el producto N×N; el caso general se hace porinduccion en el numero de copias.

Ordenemos el conjunto N× N de la siguiente forma:

(1,1) (1,2) (1,3) . . .

(2,1) (2,2) (2,3) . . .

(3,1) (3,2) (3,3) . . .

......

.... . .

��

��

��

��

��

��

��

Es facil ver que la aplicacion f : N −→ N × N, representada por el grafico anterior, esuna aplicacion sobreyectiva. �

Ejercicio 1.9. Determina explıcitamente la funcion f anterior.

Los conjuntos numerables satisfacen las siguientes propiedades.

Proposicion 1.15 (1) Las uniones numerables de conjuntos numerables es un con-junto numerable.

(2) Los productos finitos de conjuntos numerables es un conjunto numerable.



Demostracion. (1) Sea {Xi}i∈I una familia numerable de conjuntos numerables y su-pongamos, sin perdida de generalidad, que cada conjunto X i es no vacıo.

Como cada Xi es numerable, para cada i existe una funcion sobreyectiva f i : N→ Xi.Pero I tambien es numerable, por lo que es posible encontrar otra aplicacion sobreyectivag : N→ I. Ahora definimos

h : N× N→ X =⋃n∈I

Xi

mediante la ecuacionh(k,m) = fg(k)(m).

Es facil ver que h es sobreyectiva. Como N× N es numerable, podemos encontrar unaaplicacion sobreyectiva N→ X, lo que concluye la demostracion.

(2) Supongamos X e Y dos conjuntos numerables no vacıos. Elegimos aplicacionessobreyectivas f : N → X y g : N → Y. Entonces, la aplicacion h : N × N → X × Ydefinida mediante la ecuacion h(n,m) = (f(n), g(m)) es sobreyectiva, y por tanto X×Yes numerable.

La demostracion en el caso general se realiza por induccion en el numero de factores.�

Ejercicio 1.10. Demuestre que el conjunto Q de los numeros racionales es numerable.



Tambien existen ejemplos de conjuntos usuales que no son numerables. Veamosalgunos.

Ejemplo 1.2. El intervalo [0, 1] ⊂ R no es numerable. Por tanto, R tampoco es nume-rable. En efecto, supongamos que [0, 1] es numerable y consideremos una numeraciondel mismo: {x1, x2, . . . , }, es decir, supongamos que existe una funcion sobreyectivaf : N→ [0, 1], xn = f(n). Expresemos cada numero xn en notacion decimal:

x1 = 0′a11a12 · · · a1n · · ·x2 = 0′a21a22 · · · a2n · · ·

· · ·Podemos suponer que cada xn tiene infinitos decimales; en efecto, en caso contrariopodemos considerar la expresion alternativa consistente en una sucesion infinita de 9.Por ejemplo, 1/2 = 0′5 se puede escribir como 0′499999 · · · .

Definimos el numero y = 0′b1b2 · · · bn · · · mediante bi 6= aii y bi 6= 0. Es claro quey 6= xi para todo i, por lo que y 6∈ [0, 1], lo cual es absurdo.

Ejemplo 1.3. Siguiendo las mismas ideas del ejemplo anterior, prueba que el conjuntoXω formado por todas las aplicaciones de N en {0, 1} es no numerable.


Seccion 4: Los numeros reales 25

4. Los numeros reales

Para finalizar este capıtulo, recordemos algunas de las principales propiedades de losnumeros reales.

En el conjunto R de los numeros reales podemos definir dos operaciones binarias+ y ·, llamadas suma y multiplicacion, respectivamente, y una relacion de orden <sobre R, tales que se cumplen las siguientes propiedades:Propiedades algebraicas

(1) (x + y) + z = x + (y + z),(x · y) · z = x · (y · z) para todo x, y, z en R.

(2) x + y = y + x,x · y = y · x para todo x, y en R.

(3) Existe un unico elemento de R llamado cero, representado por 0, de forma quex + 0 = x para todo x ∈ R.Existe un unico elemento de R llamado uno, distinto de 0 y representado por 1,tal que x · 1 = x para todo x ∈ R.

(4) Para cada x ∈ R existe un unico y ∈ R tal que x + y = 0.Para cada x ∈ R distinto de 0 existe un unico y ∈ R tal que x · y = 1.

(5) x · (y + z) = (x · y) + (x · z) para todo x, y, z ∈ R.


Seccion 4: Los numeros reales 26

Una propiedad mixta algebraica y de orden

(6) Si x > y, entonces x + z > y + z.Si x > y y z > 0, entonces x · z > y · z.

Otras propiedades

(7) La relacion de orden < verifica la propiedad del supremo.

(8) Si x < y, existe un elemento z tal que x < z y z < y.

Un numero es positivo si x > 0, y negativo si x < 0. Los reales positivos sedenotaran por R+ y los reales no negativos por R+. Las propiedades (1)-(5) implicanque R es un cuerpo; y la propiedad (6) nos permite decir que es un cuerpo ordenado.

Por otro lado, las propiedades (7) y (8) implican solo a la relacion de orden; porsatisfacer estas propiedades, se dice que R es un continuo lineal.

Otra propiedad interesante de los numeros reales es la propiedad arquimediana, dela que presentamos dos versiones.

Proposicion 1.16 (Propiedad arquimediana, v.1) Para cualquier numero real posi-tivo ε > 0, existe un numero natural n tal que nε > 1.

Proposicion 1.17 (Propiedad arquimediana, v.2) Para cualquier pareja de numeroreales x < y, existe un numero racional q tal que x < q < y.


Seccion 5: Problemas propuestos 27

5. Problemas propuestos

Problema 1.1. Calcule los siguientes conjuntos:

(a)⋂

n∈N(− 1n , 1

n )

(b)⋃

n∈Z(n− 1, n + 1)

(c)⋃

n∈N(−n, n)

(d)⋂

n∈N(−n, n)

Problema 1.2. Calcule la diferencia A − B en cada caso:(a) A = [0, 1] (b) A = (−1, 1]

B = (−1, 0) B = [−1, 1].

Problema 1.3. Dados los conjuntos A, B y C, exprese cada uno de los siguientesconjuntos en terminos de A, B y C, utilizando los sımbolos ∪, ∩ y −:

D = {x | x ∈ A y (x ∈ B o x ∈ C)},E = {x | (x ∈ A y x ∈ B) o x ∈ C},F = {x | x ∈ A y (x ∈ B ⇒ x ∈ C)}.

Problema 1.4. Dos conjuntos tienen el mismo cardinal si se pueden poner en corres-pondencia biyectiva. Pruebe lo siguiente:

(1) R y el intervalo (−1, 1) tienen el mismo cardinal.



(2) Dos intervalos abiertos finitos tienen el mismo cardinal.

(3) R tiene el mismo cardinal que cualquier intervalo (a, b).

Problema 1.5. Sea R el conjunto de los numeros reales. Determine si cada uno de lossiguientes subconjuntos de R × R es igual al producto cartesiano de dos subconjuntosde R.

(a) {(x, y) | x es un entero}.(b) {(x, y) | 0 < y ≤ 1}.(c) {(x, y) | y > x}.(d) {(x, y) | x no es un entero e y es un entero}.(e) {(x, y) | x2 + y2 < 1}.

Problema 1.6. Sea f : R→ R la funcion f(x) = x3 − x. Restringiendo adecuadamenteel dominio y el rango de f, obtenga a partir de f una funcion biyectiva g. Dibuje lasgraficas de g y g−1 (hay diferentes elecciones posibles para g).

Problema 1.7. Represente graficamente los siguientes subconjuntos de R2:

A = {(x, y) | x ∈ [n, n + 1], y ∈ [n, n + 1] para algun n ∈ Z}B = {(x, y) | 0 ≤ x− y ≤ 1}



Problema 1.8. Considere las funciones f , g : R → R dadas por f(x) = 2x + 1 yg(x) = x2 − 2. Determine explıcitamente las funciones compuestas f ◦ g y g ◦ f.

Problema 1.9. Sea el intervalo A = [−1, 1] y considere las funciones f , g, h : A →A definidas por f(x) = sen x, g(x) = sen(πx) y h(x) = sen(πx/2). Estudie si estasfunciones son inyectivas, sobreyectivas o biyectivas.

Problema 1.10. Considere las familias de conjuntos An = {x | x es multiplo de n},n ∈ N, y Bm = [m,m + 1], m ∈ Z. Determine los siguientes conjuntos:

(a) A3 ∩ A5

(b)⋃

i∈P Ai, donde P denota el conjunto de los numeros primos.

(c) B3 ∩ B4

(d)⋃

m∈Z Bm

(e) A5 ∩ (⋃

m≥7 Bm)

Problema 1.11. Considere la funcion f : R→ R definida por f(x) = x2. Calcule:

(a) f−1(25)

(b) f−1({x | x ≥ 0})(c) f−1({x | 4 ≤ x ≤ 25})



Problema 1.12. Para toda aplicacion f : X → Y se define la aplicacion asociada f entrelos conjuntos potencia f : P(X) → P(Y) como sigue:

f(A) = {y ∈ Y | y = f(x) para algun x ∈ A}.Demuestre que si f es inyectiva entonces f tambien lo es.

Problema 1.13. Calcule los siguientes conjuntos:

(a)⋂

n∈N[0, 1n ]

(b)⋂

n∈N(0, 1n ]

(c)⋂

n∈N[0, 1n )

(d)⋂

n∈N[n,+∞)

Problema 1.14. ¿Son ciertas o falsas las siguientes igualdades? Razone la respuesta.∞⋃

n=1

[0, 1− 1

n

]= [0, 1]

∞⋂n=1

(a− 1

n, b +

1

n

)= [a, b]

Fin del Capıtulo


Soluciones de los ejercicios 31

Soluciones de los ejercicios

Ejercicio 1.1.

A ∪ B = {x ∈ R | x < −2 o x > −1}.A ∩ B = {x ∈ R | 2 < x < 3} = (2, 3).

A− B = {x ∈ R | (x− 1)2 < 4 y |x| ≥ 2} = (−1, 2].Ejercicio 1.1



Ejercicio 1.2. P(A) es la coleccion de (¡todos!) los subconjuntos de A. Ası pues:

P(A) = {{∅}, {a}, {b}, {c}, {a, b}, {a, c}, {b, c}, {a, b, c}}Ejercicio 1.2



Ejercicio 1.4.

(1) Consideremos f : R −→ R, f(x) = x2, y el conjunto A = [1,√

2]. Entonces

f−1(f(A)) = [−√

2,−1] ∪ [1,√

2] ! A.

(2) Consideremos f : R −→ R, f(x) = sen x, y el conjunto B = [−2, 2]. Entonces

f(f−1(B)) = [−1, 1] B.

Ejercicio 1.4



Ejercicio 1.5(a) Sea {Bi ⊂ Y | i ∈ I} una familia de subconjuntos de Y. Entonces severifica:

(1) f−1(⋃i∈I

Bi) =⋃i∈I

f−1(Bi).

(2) f−1(⋂i∈I

Bi) =⋂i∈I

f−1(Bi)

�



Ejercicio 1.5(b) Sea {Ai ⊂ X | i ∈ I} una familia de subconjuntos de X. Entonces severifica:

(1) f(⋃i∈I

Ai) =⋃i∈I

f(Ai).

(2) f(⋂i∈I

Ai) ⊂⋂i∈I

f(Ai), y se da la igualdad si f es inyectiva.

�



Ejercicio 1.6. La funcion compuesta es g ◦ f(x) = 4(3x3 + 7)2. Ejercicio 1.6



Ejercicio 1.7. La funcion f : N → N− {1} definida por f(n) = n + 1 es una biyeccionentre N y un subconjunto propio de sı mismo, lo que contradice el apartado (1) de laProposicion 1.9. Ejercicio 1.7



Ejercicio 1.9. Si ponemos f(k) = (m(k), n(k)), entonces

m(k) = k− r(r − 1)2

n(k) = r + 1−m

donde r es el unico numero natural tal que

r(r − 1)2

< k ≤ (r + 1)r2

.

Ejercicio 1.9



Ejercicio 1.10. Observemos que el conjunto Z de los numeros enteros es numerable,ya que es la union de tres conjuntos numerables: Z = N∪ (−N)∪{0}. Pero Q se puedeconsiderar incluido en Z× Z, que es numerable, y por tanto es tambien numerable.

Ejercicio 1.10


Soluciones de las cuestiones 40

Soluciones de las cuestiones

Cuestion 1.3. Las aplicaciones son distintas, ya que aunque estan definidas de la mismamanera y tienen el mismo origen, sin embargo el recorrido de ambas funciones es distinto.

Fin de la cuestion



Topologıa2. Espacios topologicos


Resumen: En este capıtulo definimos lo que es un espacio topologicoy estudiamos algunos caminos para construir una topologıa sobre unconjunto, para convertirlo en un espacio topologico. Tambien consi-deramos algunos de los conceptos elementales que tienen que ver conespacios topologicos, como son las bases y las subbases, los espaciosproducto, los subespacios, ası como los conjuntos abiertos y cerrados.



Indice general1. El concepto de espacios topologico2. Base de una topologıa

2.1. Subbase para una topologıa3. Subespacios topologicos4. La topologıa producto5. Subconjuntos especiales

5.1. Conjuntos cerrados5.2. Entornos

6. Problemas propuestosSoluciones de los ejerciciosSoluciones de las cuestiones

Seccion 1: El concepto de espacios topologico 3

1. El concepto de espacios topologico

La topologıa inicio su andadura con el siglo XX y ya por los anos 20 se propusieron lasprimeras definiciones de espacio topologico. Al principio hubo varias definiciones, pro-puestas por los principales matematicos, que coincidıan en unos puntos y discrepaban enotros. Con el paso de los anos se fue unificando y en la actualidad esta ya estandarizada.

Definicion 2.1 Una topologıa sobre un conjunto X es una coleccion T de subconjuntosde X con las siguientes propiedades:

(1) ∅ y X estan en T.

(2) La union de los elementos de cualquier subcoleccion de T esta en T.

(3) La interseccion de los elementos de cualquier subcoleccion finita de T esta en T.

Un conjunto X para el que se ha definido una topologıa T se llama un espaciotopologico.

En realidad, un espacio topologico es un par (X,T) formado por un conjunto X yuna topologıa T sobre X. Los elementos de T se denominan conjuntos abiertos de(X,T) o, simplemente, abiertos.

Veamos algunos ejemplos.

Ejemplo 2.1. Si X es cualquier conjunto y consideramos T = P(X), entonces (X,T) esun espacio topologico. T se denomina topologıa discreta.



Ejemplo 2.2. Si X es cualquier conjunto y consideramos T = {∅,X}, entonces (X,T)es un espacio topologico. T se denomina topologıa indiscreta o topologıa trivial.

No todas las topologıas son discretas o indiscretas. Veamos un sencillo ejemplo.

Ejemplo 2.3. Sea X un conjunto de tres elementos, X = {a, b, c}. Hay muchas topo-logıas posibles sobre X, algunas de las cuales se indican a continuacion:

(1) T1 = {X, ∅, {a, b}, {b}, {b, c}}.(2) T2 = {X, ∅, {a}, {a, b}}.(3) T3 = {X, ∅, {a}, {b, c}}.(4) T4 = {X, ∅, {a}, {b}, {a, b}}.

Pero hay colecciones de subconjuntos que no constituyen una topologıa. Por ejemplo,las siguientes familias no son una topologıa:

(1) T5 = {X, ∅, {a}, {b}}.(2) T6 = {X, ∅, {a, b}, {b, c}}.

Ejercicio 2.1. ¿En que fallan las familias T5 y T6 para no ser una topologıa?

Ejemplo 2.4. Sea X un conjunto; sea Tcf la coleccion de todos los subconjuntos U deX tales que X−U es finito o es todo X. Entonces Tcf es una topologıa sobre X, llamadatopologıa de los complementos finitos o topologıa cofinita.



Cuando el conjunto X es finito entonces la topologıa cofinita coincide con la topologıadiscreta. Siempre que estudiemos un conjunto con la topologıa cofinita supondremosque X es infinito.

Ejercicio 2.2. Demuestra que Tcf es, efectivamente, una topologıa.

Ejercicio 2.3. Sea X un conjunto y Tcn la coleccion de todos los subconjuntos U de Xtales que X−U es numerable o todo X. Prueba que Tcn es una topologıa sobre X. Tcn sedenomina topologıa de los complementos numerables o topologıa conumerable.

Definicion 2.2 Sea X un conjunto y sean T1 y T2 dos topologıas sobre X. Si T2 ⊃ T1,diremos que T2 es mas fina que T1; si T2 contiene propiamente a T1, diremos que T2

es estrictamente mas fina que T1. Tambien diremos que T1 es mas gruesa que T2,o estrictamente mas gruesa, en estas dos respectivas situaciones. Se dice que T1 escomparable con T2 si T2 ⊃ T1 o T1 ⊃ T2.

Ejemplo 2.5. La topologıa indiscreta es mas gruesa (o menos fina) que cualquier otra,y la topologıa discreta es la mas fina posible.

Ejemplo 2.6. La topologıa conumerable es mas fina que la topologıa cofinita. En efecto,si A es abierto en Tcf entonces X − A es un conjunto finito y, por tanto, numerable.Entonces A es abierto en Tcn.


Seccion 2: Base de una topologıa 6

2. Base de una topologıa

Para describir una topologıa no es necesario indicar todos los abiertos de la misma,basta con indicar un subconjunto con algunas propiedades.

Definicion 2.3 Si X es un conjunto, una base para una topologıa T sobre X es unacoleccion B de subconjuntos de X (llamados elementos basicos) tales que cada abiertoA de T es la union de elementos de B.

Lo interesante de lo anterior es que estudiando dos propiedades podemos decidir siuna coleccion B es una base para la topologıa. Mas precisamente, tenemos el siguienteresultado.

Proposicion 2.1 Sea X un conjunto y B ⊂ P(X) una coleccion de subconjuntos de X.Entonces B es una base para una topologıa T si, y solo si, se cumple que

(1) Para cada x ∈ X, hay al menos un elemento basico B que contiene a x.

(2) Si x pertenece a la interseccion de dos elementos basicos B1 y B2, entonces existeun elemento basico B3 que contiene a x y tal que B3 ⊂ B1 ∩ B2.

Demostracion. Veamos que la coleccion T generada por la base B es una topologıasobre X:

T = {A ⊂ X | A = ∪B para ciertos conjuntos B ∈ B}.



Si U es el conjunto vacıo, satisface la condicion de ser abierto trivialmente. De la mismaforma, X esta en T, puesto que para cada x ∈ X existe algun elemento basico B quecontiene a x y contenido a su vez en X. Tomemos una familia {Aj}j∈J de elementos deT y probemos que

A =⋃j∈J

Aj

pertenece a T. Dado x ∈ A, existe un ındice j tal que x ∈ Aj. Como Aj es abierto, existeun elemento basico B tal que x ∈ B ⊂ Ai. Entonces x ∈ B y B ⊂ A, por lo que A esabierto, por definicion.

Tomemos ahora dos elementos A1 y A2 de T y probemos que A1∩A2 pertenece a T.Dado x ∈ A1 ∩ A2, elegimos un elemento basico B1 que contenga a x tal que B1 ⊂ A1;elijamos tambien un elemento basico B2 que contenga a x y tal que B2 ⊂ A2. La segundacondicion para una base nos permite elegir un elemento basico B3 que contiene a x ytal que B3 ⊂ B1 ∩ B2. Entonces x ∈ B3 y B3 ⊂ A1 ∩ A2, por lo que A1 ∩ A2 pertenecea T, por definicion.

Por ultimo, veamos que cualquier interseccion finita A1 ∩ · · · ∩ An de elementos deT esta en T. Utilizaremos la induccion. Este hecho es trivial para n = 1; supongamosque es cierto para n − 1 y probemoslo para n. Tenemos

(A1 ∩ · · · ∩ An) = (A1 ∩ · · · ∩ An−1) ∩ An.



Por hipotesis, A1 ∩ · · · ∩ An−1 pertenece a T; utilizando el resultado que acabamosde probar, la interseccion de A1 ∩ · · · ∩ An−1 y An tambien pertenece a T. Hemoscomprobado que T es, en efecto, una topologıa. �

Ejemplo 2.7. La coleccion {(a, b) | a, b ∈ R} de todos los intervalos abiertos de larecta real constituye una base para la topologıa usual Tu de R.

Ejemplo 2.8. La coleccion {[a, b) | a, b ∈ R} de todos los intervalos semiabiertosanteriores constituye una base para una topologıa sobre R. Dicha topologıa se llamatopologıa del lımite inferior y se denota T`. El espacio topologico (R,T`) se denotasimplemente por R` y se llama recta de Sorgenfrey.

x

B1

B3B2

Ejemplo 2.9. Sea B la coleccion de todas las regiones circulares(interiores de cırculos) en el plano. Entonces B satisface las doscondiciones de la Proposicion 2.1. La topologıa generada por B

se denomina topologıa usual de R2 y se denota por Tu.En esta topologıa, un subconjunto A del plano es abierto si

cada x en A esta dentro de alguna region circular contenida enA.



x

B'1 B'2

Ejemplo 2.10. Sea B′ la coleccion de todas las regiones rectan-gulares en el plano de lados paralelos a los ejes de coordenadas.Entonces B′ satisface las dos condiciones de la Proposicion 2.1,por lo que genera una topologıa en el plano.

En este caso, la segunda condicion de la definicion de basese satisface trivialmente, ya que la interseccion de dos elementosde la base vuelve a ser un elemento de la base.

En los dos ejemplos anteriores hemos encontrado dos bases B y B′ que generantopologıas en el plano. La pregunta es, ¿seran la misma? La respuesta nos la proporcionael siguiente resultado.

Proposicion 2.2 Sean B1 y B2 bases para las topologıas T1 y T2, respectivamente,sobre X. Entonces son equivalentes:

(1) T2 es mas fina que T1.

(2) Para cada x ∈ X y cada elemento basico B ∈ B1 que contiene a x, existe unelemento basico C ∈ B2 tal que x ∈ C ⊂ B.

Demostracion. (2)⇒(1) Sea U ∈ T1. Si x ∈ U, puesto que B1 genera T1, existe unelemento B ∈ B1 tal que x ∈ B ⊂ U. La condicion (2) nos dice que existe un elementoC ∈ B2 tal que x ∈ C ⊂ B. Entonces x ∈ C ⊂ U, por lo que U ∈ T2.



(1)⇒(2) Sea x ∈ X y B ∈ B, con x ∈ B. Como B pertenece a T1 por definicion y T1 ⊂ T2

por la condicion (1), entonces B ∈ T2. Puesto que T2 esta generada por B2, existe unelemento C ∈ B2 tal que x ∈ C ⊂ B. �

Ahora ya podemos ver que la coleccion B de todas las regiones circulares en el planogenera la misma topologıa que la coleccion B′ de todas las regiones rectangulares.Aunque no sea muy riguroso, la siguiente figura ilustra la demostracion que podrıahacerse:

B'B

x

B'Bx

Cuestion 2.1. ¿Que topologıa sobre R es mas fina?

(a) Tu (b) T`

2.1. Subbase para una topologıa

Hemos visto que los abiertos de la topologıa generada por una base B esta formada porla coleccion de las uniones arbitrarias de elementos de B. Si en lugar de trabajar conlas uniones arbitrarias lo hacemos con las intersecciones finitas llegamos al concepto desubbase.


Seccion 3: Subespacios topologicos 11

Definicion 2.4 Una subbase S para una topologıa sobre X es una coleccion de sub-conjuntos de X cuya union es igual a X, y la topologıa generada por la subbase S esla coleccion T de todas las uniones de intersecciones finitas de elementos de S.

Ejercicio 2.4. Comprueba que T es, efectivamente, una topologıa.

3. Subespacios topologicos

Proposicion 2.3 Sea (X,T) un espacio topologico y H ⊂ X un subconjunto. La familiaTH = {H∩A | a ∈ T} de las intersecciones de los abiertos de X con H es una topologıasobre H.

Demostracion. Evidentemente H ∈ TH, puesto que H = H ∩ X, y ∅ = H ∩ ∅, luego∅ ∈ TH.

Si tenemos una familia {H ∩ Ai | i ∈ I,Ai ∈ T} de elementos de TH, entonces launion sera ∪i∈I(H ∩ Ai) = H ∩ (∪i∈IAi). Como ∪i∈IAi ∈ T por ser abiertos, tendremosque la union de elementos de TH tambien esta en TH. Aplicando la misma propiedad,pero en sentido contrario, se prueba que la interseccion de dos elementos de TH tambienes de TH. �

Definicion 2.5 Sea (X,T) un espacio topologico y H ⊂ X un subconjunto. El espaciotopologico (H,TH) se llama subespacio topologico de X y la topologıa TH se llama


Seccion 3: Subespacios topologicos 12

topologıa inducida por T sobre H o topologıa relativa de H con respecto a (X,T). Losabiertos de TH se denominan abiertos relativos o abiertos para la topologıa relativa.

Ejercicio 2.5. Demuestra si B es una base para la topologıa de X, entonces la colec-cion

BH = {B ∩ H | B ∈ B}es una base para la topologıa inducida sobre Y.

Cuestion 2.2. Los abiertos relativos, ¿son abiertos en el espacio total?

(a) Sı (b) No

Proposicion 2.4 Sea (X,T) un espacio topologico y (H,TH) un subespacio. Entoncestodo subconjunto A ⊂ H abierto en (H,TH) es abierto en (X,T) si, y solo si, H esabierto en (X,T).

Demostracion. Si todo abierto en TH lo es en T, como H es abierto en TH entoncestambien es abierto en T.

Recıprocamente, si H es abierto en T, como todo abierto A en TH es de la formaA = H ∩ B, con B abierto en el espacio total, A sera abierto en el espacio total por serinterseccion de abiertos. �

Ejemplo 2.11. Consideremos R con la topologıa usual y el subespacio formado porlos racionales Q. Los abiertos en Q, para la topologıa inducida, seran intersecciones de


Seccion 4: La topologıa producto 13

abiertos de R con Q. Entonces el conjunto {x ∈ Q : 0 < x < 1} es abierto en Q perono lo es en R.

4. La topologıa producto

Ya hemos visto como construir nuevos espacios topologicos a partir de uno dado: lossubespacios topologicos. En esta seccion vamos a ilustrar otro metodo. Si X e Y sonespacios topologicos, vamos a definir una topologıa sobre el producto cartesiano X ×Y.

Definicion 2.6 Sean X e Y espacios topologicos. La topologıa producto sobre X×Yes la topologıa que tiene como base la coleccion B de todos los conjuntos de la formaU× V, donde U es un subconjunto abierto de X y V es un subconjunto abierto de Y.

��U1

U2

V1

V2

El conjunto B es, en efecto, una base. La primera condi-cion es trivial, puesto que X×Y es ya un elemento basico.La segunda condicion es casi igual de obvia, ya que la in-terseccion de cualesquiera dos elementos basicos U1 ×V1

y U2 × V2 es otro elemento basico. Tenemos

(U1 × V1) ∩ (U2 × V2) = (U1 ∩ U2)× (V1 ∩ V2),

y el ultimo conjunto es un elemento basico porque U1 ∩ U2 y V1 ∩ V2 son abiertos enX e Y, respectivamente. La coleccion B no es una topologıa sobre X × Y. La union de



los dos rectangulos de la figura, por ejemplo, no es un producto de dos conjuntos, porlo que no puede pertenecer a B; sin embargo, es abierto en X × Y.

Teorema 2.5 Si B es una base para la topologıa de X y C es una base para la topologıade Y, entonces la coleccion

D = {B× C | B ∈ B y C ∈ C}es una base para la topologıa sobre X × Y.

Demostracion. Utilizaremos la Definicion 2.3 de base. Dado un conjunto abierto Wde X × Y y un punto (x, y) de W, por definicion de la topologıa producto existe unelemento U × V basico tal que (x, y) ∈ U × V ⊂ W. Puesto que B y C son bases paraX e Y, respectivamente, podemos elegir un elemento B de B tal que x ∈ B ⊂ U, y unelemento C de C tal que y ∈ C ⊂ V. Por tanto, (x, y) ∈ B× C ⊂ W. Ası la coleccion D

cumple el criterio de la definicion, por lo que es una base para X × Y. �

Ejemplo 2.12. Consideremos R con la topologıa usual Tu. Entonces podemos considerarla topologıa producto sobre el producto cartesiano R × R = R2. Es facil ver que estatopologıa producto coincide con la topologıa usual en R2 que hemos introducido en elEjemplo 2.10.

Algunas veces es util expresar la topologıa producto en terminos de una subbase.Para hacer esto, primero definimos ciertas funciones llamadas proyecciones.



Definicion 2.7 Sean π1 : X × Y → X definida por π1(x, y) = x y π2 : X × Y → Ydefinida por π2(x, y) = y. Las aplicaciones π1 y π2 se llaman proyecciones de X × Ysobre su primer y segundo factor, respectivamente.

��

��

��

XX

(V )

U

V π2−1

(U )π1−1 Si U es un subconjunto abierto de X, el conjunto π−1

1 (U)es, precisamente, el conjunto U × Y, que es abierto enX×Y. De modo similar, si V es abierto en Y, ocurre que

π−12 (V) = X× V,

que tambien es abierto en X×Y. La interseccion de estosdos conjuntos es el conjunto U × V, como se aprecia en

la figura. Teniendo esto en cuenta, podemos enunciar el siguiente resultado.

Teorema 2.6 La coleccion

S = {π−11 (U) | U es abierto en X} ∪ {π−1

2 (V) | V es abierto en Y}es una subbase para la topologıa producto sobre X × Y.

Demostracion. Sean T la topologıa producto sobre X × Y y T′ la topologıa generadapor S. Puesto que cada elemento de S pertenece a T, tambien pertenecen las unionesarbitrarias de intersecciones finitas de elementos de S. Ası T′ ⊂ T. Por otro lado, cada


Seccion 5: Subconjuntos especiales 16

elemento basico U × V para la topologıa T es una interseccion finita de elementos deS, puesto que

U× V = π−11 (U) ∩ π−1

2 (V).Por lo tanto, U × V pertenece a T′, y ası T ⊂ T′. �

5. Subconjuntos especiales

5.1. Conjuntos cerrados

Definicion 2.8 Sea (X,T) un espacio topologico. Un subconjunto C ⊂ X se dice quees cerrado si su complementario Cc = X−C es abierto. La familia de todos los cerradosde X se denotara por C.

Ejemplo 2.13.

(a) En un espacio topologico con la topologıa indiscreta, los unicos cerrados son X y∅.

(b) En un espacio topologico con la topologıa discreta, todos los subconjuntos de Xson cerrados.

(c) En la topologıa cofinita, (X,Tcf), un subconjunto C ⊂ X es cerrado si, y solo si,C = X, o bien C es finito.



Ejercicio 2.6. Sea X un conjunto con la topologıa conumerable Tcn. ¿Cuales son loscerrados de (X,Tcn)?

Cuestion 2.3. Consideremos el siguiente subconjunto de la recta real:

Y = [0, 1] ∪ (2, 3)

con la topologıa relativa.

1. En este espacio, ¿es el conjunto [0, 1] abierto?

(a) Sı (b) No

2. En este espacio se satisface:(a) (2, 3) y [0, 1] son abiertos.(b) (2, 3) y [0, 1] son cerrados.(c) (2, 3) es abierto y [0, 1] es cerrado.(d) (2, 3) es cerrado y [0, 1] es abierto.

El hecho de que un conjunto sea cerrado no implica, como hemos visto en el ejercicioprecedente, que este conjunto no pueda ser abierto; de hecho, existen conjuntos queson a la vez abiertos y cerrados. Por ejemplo, el espacio total X (en cualquier topologıaT) o cualquier conjunto de un espacio con la topologıa discreta. De la misma manera,tambien existen conjuntos que no son ni abiertos ni cerrados, como cualquier intervalode la forma [a, b) en R con la topologıa usual.



Los cerrados cumplen una serie de propiedades similares (en cierto modo duales) alas propiedades de los abiertos.

Teorema 2.7 Dado un espacio topologico (X,T), se satisfacen las siguientes propieda-des:

(1) X y ∅ son cerrados.

(2) Si {Ci | i ∈ I} es una familia de cerrados en X, entonces ∩i∈ICi es un cerrado.

(3) Si {Ci | i = 1, 2, . . . , n} es una familia finita de cerrados, entonces ∪ni=1Ci es un

cerrado.

Demostracion. (1) ∅ y X son cerrados porque son los complementos de los conjuntosabiertos X y ∅, respectivamente.

(2) Dada una coleccion de conjuntos cerrados {Ci | i ∈ I}, aplicamos la ley de DeMorgan,

X−⋂i∈I

Ci =⋃i∈I

(X− Ci).

Como los conjuntos X − Ci son abiertos, la parte derecha de la ecuacion anterior re-presenta una union arbitraria de conjuntos abiertos, y es tambien abierto. Por lo tanto,⋂

Ci es cerrado.



(3) De manera similar, si Ci es cerrado para i = 1, . . . , n, consideremos la ecuacion

X−n⋃

i=1

Ci =n⋂

i=1

(X− Ci).

El conjunto de la parte derecha de esta ecuacion, al ser una interseccion finita deconjuntos abiertos, es abierto. De aquı,

⋃Ci es cerrado. �

Cuestion 2.4. ¿La union arbitraria de cerrados es un cerrado?

(a) Sı (b) No

Los cerrados en la topologıa inducida tambien son intersecciones de cerrados delespacio total con el subespacio.

Proposicion 2.8 Sea (X,T) un espacio topologico y sea H ⊂ X. Un subconjunto deF ⊂ H es un cerrado relativo si, y solo si, existe un cerrado C en el espacio total deforma que F = C ∩ H.

Demostracion. ⇒⇒⇒ Sea F un cerrado en (H,TH). Entonces su complementario en H esun abierto relativo, H − F ∈ TH. Por tanto, existe A ∈ T tal que H − F = A ∩ H. Peroentonces C = X− A es un cerrado en (X,T) y

F = H− (H− F) = H− (A ∩ H) = H− A = H ∩ (X− A) = H ∩ C.



⇐⇐⇐ Recıprocamente, sea F = C∩H con C cerrado en el espacio total. Su complementarioen H se puede expresar ası:

H− F = H− (C ∩ H) = H− C = H ∩ (X− C).

Como X − C ∈ T es abierto, por ser complementario de un cerrado, H − F ∈ TH, demodo que F es cerrado en (H,TH). �

La demostracion del siguiente resultado es similar a la Proposicion 2.4.

Proposicion 2.9 Sea (X,T) un espacio topologico y (H,TH) un subespacio. Entoncestodo subconjunto C ⊂ H cerrado en (H,TH) es cerrado en (X,T) si, y solo si, H escerrado en (X,T).

5.2. Entornos

Definicion 2.9 Dado un espacio topologico (X,T), diremos que un subconjunto U ⊂ Xes un entorno de un punto x ∈ X si existe un abierto A tal que x ∈ A ⊂ U. El conjuntoo familia de todos los entornos de un punto x ∈ X sera denotado por Ux.

Ejemplo 2.14.

(a) En un espacio topologico trivial, el unico entorno posible de un punto es el espaciototal.

(b) En un espacio topologico discreto, un conjunto U ∈ Ux si, y solo si, x ∈ U.



(c) En la topologıa cofinita, U ∈ Ux si, y solo si, x ∈ U y Uc = X− U es finito.

Proposicion 2.10 Sea (X,T) un espacio topologico. Un conjunto A es abierto si, y solosi, A es entorno de todos sus puntos.

Demostracion. ⇒⇒⇒ Si A es abierto, se tiene que x ∈ A ⊂ A y, por tanto, A es unentorno de x, para todo x ∈ A.⇐⇐⇐ Recıprocamente, si suponemos que A es entorno de todos sus puntos, entonces paratodo x ∈ A existe un abierto Ux tal que x ∈ Ux ⊂ A. De esta manera se puede escribirA = ∪x∈AUx, que sera abierto ya que es union de abiertos. �

Proposicion 2.11 Sea (X,T) un espacio topologico y un punto x ∈ X. La familia deentornos Ux verifica las siguientes propiedades:

(1) Si U ∈ Ux, entonces x ∈ U.

(2) Si U ∈ Ux y U ⊂ V, entonces V ∈ Ux.

(3) Si U,V ∈ Ux, entonces U ∩ V ∈ Ux.

(4) Si U ∈ Ux, existe V ∈ Ux tal que x ∈ V ⊂ U y V ∈ Uy para todo y ∈ V.

Demostracion.

(1) Es evidente.



(2) Como U ∈ Ux, entonces existe un abierto A de modo que x ∈ A ⊂ U, peroentonces x ∈ A ⊂ V; por tanto, V ∈ Ux.

(3) Si U,V ∈ Ux existen abiertos A, B, tales que x ∈ A ⊂ U y x ∈ B ⊂ V. Estoimplica que x ∈ A ∩ B ⊂ U ∩ V, y como A ∩ B es abierto por ser interseccion dedos abiertos, tendremos que U ∩ V ∈ Ux.

(4) Como U ∈ Ux, existe un abierto A ∈ T tal que x ∈ A ⊂ U; basta tomar A = V

�

La familia de todos los entornos es habitualmente muy grande y, con frecuencia,difıcil de representar. Incluso en el caso de R, con la topologıa usual, los entornospueden ser muy complicados, lo que se resuelve trabajando solo con los intervalos. En elcaso general introduciremos un concepto que facilitara el trabajo de forma semejante.

Definicion 2.10 Sea (X,T) un espacio topologico, un punto x ∈ X y una subfamiliaVx ⊂ Ux de la familia de entornos de x. Vx es una base de entornos de x, o base localde x, en (X,T) si se verifica que

Para todo entorno U ∈ Ux existe V ∈ Vx tal que V ⊂ U.

Ejemplo 2.15.

(1) En R con la topologıa usual, una base de entornos para cada x ∈ R es la familiaformada por los intervalos de centro x y radio r > 0 variando r, es decir, {(x −r, x + r) : r > 0}.



(2) En un espacio topologico trivial o indiscreto, (X,TI), la unica base de entornosposible es la formada unicamente por el espacio total X.

(3) Si el espacio topologico es discreto, (X,TD), {x} es un entorno de x, para todox ∈ X. Entonces la familia formada solo por este entorno Vx = {{x}} es una basede entornos de x.

Veamos, para concluir esta seccion, como son los entornos y las bases de entornosen la topologıa inducida.

Proposicion 2.12 Sea (X,T) un espacio topologico y sea H ⊂ X. Dado x ∈ H, unsubconjunto V ⊂ H es un entorno relativo de x (V ∈ UH

x ) si, y solo si, existe U entornode x en el espacio total (U ∈ Ux) de forma que V = U ∩ H.

Demostracion. ⇒⇒⇒ Sea V un entorno relativo de x: existe B ∈ TH tal que x ∈ B ⊂ V.Entonces existira A ∈ T tal que B = A ∩ H. Sea U = A ∪ V; evidentemente U ∈ Ux,pues x ∈ B = A ∩ H y x ∈ A ⊂ A ∪ V. Ademas:

U ∩ H = (A ∪ V) ∩ H = (A ∩ H) ∪ (V ∩ H) = B ∪ V = V.

⇐⇐⇐ Recıprocamente, sea U ∈ Ux y tomemos V = U∩H. Existe A ∈ T tal que x ∈ A ⊂ U.Entonces x ∈ A ∩ H ⊂ U ∩ H = V. �



Proposicion 2.13 Sea (X,T) un espacio topologico y sea x ∈ H ⊂ X. Si B(x) es unabase de entornos de x en (X,T), la familia BH(x) = {B∩H | B ∈ B(x)} es una base deentornos para la topologıa relativa.

Demostracion. Evidentemente BH(x) ⊂ UHx . Sea V ∈ UH

x ; entonces V = U ∩ H, conU ∈ Ux. Por tanto, existe B ∈ B(x) tal que x ∈ B ⊂ U; entonces B ∩H ⊂ U ∩H = V yB ∩ H ∈ BH(x). �


Problema 2.1. Sea X un conjunto y p un punto de X. Demuestre que la coleccionT−p = {X} ∪ {A ⊂ X : p /∈ A} es una topologıa sobre X. T−p se denomina topologıadel punto excluido.

Problema 2.2. Sea X un conjunto infinito y p un punto de X. Demuestre que la coleccionT = {A ⊂ X | p /∈ A} ∪ {A ⊂ X | X − A es un conjunto finito} es una topologıa sobreX. Se denomina topologıa Fort.

Problema 2.3. Sea T la familia formada por R, ∅ y todos los intervalos infinitos abiertosAq = (q,+∞), con q ∈ Q. Demuestre que T no es una topologıa sobre R

Problema 2.4. Sea T la familia de subconjuntos de R constituida por R, ∅ y todos losintervalos abiertos infinitos Ba = (a,+∞), con a ∈ R. Pruebe que T es una topologıasobre R.



Problema 2.5. Sean A y B dos subconjuntos de X. Se considera la familia T ={∅,X,A,B}. Encuentre condiciones sobre A y B para que (X,T) sea un espacio to-pologico.

Problema 2.6. Sea X = {1, 2, 3}. ¿Se puede encontrar una topologıa sobre X con dosabiertos? ¿tres? ¿cuatro? ¿cinco? ¿seis? ¿siete? ¿ocho? ¿nueve?

Problema 2.7. En el conjunto de los numeros naturales N se considera la familia desubconjuntos {∅,An}, donde An = {n, n + 1, n + 2, . . . }, para cada n ∈ N. Pruebe quese trata de una topologıa sobre N. Halle todos los conjuntos abiertos que contengan aun numero dado. ¿Cuales son los cerrados que contienen al numero 2?

Problema 2.8. Sean X un conjunto cualquiera, (Y,T) un espacio topologico y f : X −→Y una aplicacion. Pruebe que la familia de subconjuntos de X dada por {f−1(A) | A ∈T} es una topologıa sobre X. Suponga ahora que (X,T) es un espacio topologico, Zes un conjunto cualquiera y g : X −→ Z es una aplicacion. Se considera la familia{g(B) | B ∈ T}. ¿Es una topologıa sobre Z?

Problema 2.9. Pruebe que la interseccion de cualquier coleccion de topologıas sobreun conjunto X es una nueva topologıa sobre X. Sin embargo, la union de dos topologıasno es necesariamente una topologıa.

Problema 2.10. En R con la topologıa usual, estudie si los siguientes intervalos sonentornos de 0 o no lo son:

(− 1

2 , 12

]; (−1, 0];

[0, 1

2

); (0, 1].



Problema 2.11. Encuentre sobre X = {1, 2, 3, 4, 5} una topologıa que contenga alconjunto {1, 2, 5}. Halle los entornos del numero 5 y encuentre una base de entornosdel mismo.

Fin del Capıtulo




Ejercicio 2.1.

(1) T5 = {X, ∅, {a}, {b}}.La union {a} ∪ {b} = {a, b} no esta en T5.

(2) T6 = {X, ∅, {a, b}, {b, c}}.La interseccion {a, b} ∩ {b, c} = {b} no esta en T6.

Ejercicio 2.1



Ejercicio 2.2. Tanto X como ∅ estan dentro de Tcf , puesto que X−X es finito y X−∅es todo X.

Sea {Uα} una familia indexada de elementos no vacıos de Tcf ; entonces

X−⋃

Uα =⋂

(X− Uα)

El ultimo conjunto es finito, puesto que cada conjunto X−Uα es finito, por lo que⋃

Uα

pertenece a Tcf .Si U1, . . . ,Un son elementos no vacıos de Tcf , entonces

X−n⋂

i=1

Ui =n⋃

i=1

(X− Ui).

Este ultimo conjunto es una union finita de conjuntos finitos y es, por tanto, finito. Estoimplica que

⋂Ui esta en Tcf . Ejercicio 2.2



Ejercicio 2.3. Tanto X como ∅ estan dentro de Tcn, puesto que X − X = ∅ es finito(numerable) y X −∅ es todo X.

Sea {Uα} una familia indexada de elementos no vacıos de Tcn; entonces

X−⋃

Uα =⋂

(X− Uα)

El ultimo conjunto es numerable, puesto que cada conjunto X − Uα es numerable, porlo que

⋃Uα pertenece a Tcn.

Si U1, . . . ,Un son elementos no vacıos de Tcn, entonces

X−n⋂

i=1

Ui =n⋃

i=1

(X− Ui).

Este ultimo conjunto es una union finita de conjuntos numerables y es, por tanto,numerable. Esto implica que

⋂Ui esta en Tcn. Ejercicio 2.3



Ejercicio 2.4. Sera suficiente mostrar que la coleccion B de todas las interseccionesfinitas de elementos de S es una base. La primera condicion para una base es trivial.Para comprobar la segunda condicion, sean

B1 = S1 ∩ · · · ∩ Sm y B2 = S′1 ∩ · · · ∩ S′n

dos elementos de B. Su interseccion

B1 ∩ B2 = (S1 ∩ · · · ∩ Sm) ∩ (S′1 ∩ · · · ∩ S′n)

es tambien una interseccion finita de elementos de S, por lo que pertenece a B.Ejercicio 2.4



Ejercicio 2.5. Dados un abierto U en X y un punto y ∈ U ∩ H, podemos elegir unelemento B en B tal que y ∈ B ⊂ U. Entonces y ∈ B ∩H ⊂ U ∩H. Se sigue que BH esuna base para la topologıa inducida sobre H. Ejercicio 2.5



Ejercicio 2.6. Un subconjunto C ⊂ X es cerrado si, y solo si, C = X, o bien C esnumerable. Ejercicio 2.6




Cuestion 2.1. Dado un elemento (a, b) basico para Tu y un punto x de (a, b), el elemento[x, b) basico para T` contiene a x y esta en (a, b). Por otro lado, dado un elemento [x, d)basico para T`, no existe intervalo abierto alguno (a, b) que contenga a x y este dentrode [x, d). Ası T` es estrictamente mas fina que Tu. Fin de la cuestion



Cuestion 2.2. El intervalo [0, 1) no es abierto en R con la topologıa usual; sin embargo,sı es abierto en [0,+∞) con la topologıa inducida. Fin de la cuestion



Cuestion 2.3(1) El conjunto [0, 1] es la interseccion del conjunto abierto ( 12 , 3

2 ) de Rcon Y. Fin de la cuestion



Cuestion 2.4. La union arbitraria de cerrados no es, en general, un cerrado. Conside-remos la familia {[

0, 1− 1

n

]: n ∈ N

}de intervalos cerrados en R. Su interseccion es⋂

n∈N

[0, 1− 1

n

]= [0, 1),

que obviamente no es cerrado. Fin de la cuestion



Topologıa3. Espacios metricos


Resumen: En este capıtulo definimos lo que es un espacio metricoy estudiamos sus primeras propiedades. Despues de poner los prime-ros ejemplos de distancias en R, R2 y Rn, definimos la distancia aun conjunto y la distancia entre conjuntos. Introducimos las bolas yprobamos que son la base para una topologıa: la topologıa metrica.Finalizamos estudiando los espacios topologicos metrizables, por susimportantes aplicaciones en otras ramas de las matematicas.



Indice general1. Distancias

1.1. Ejemplos de distancias2. Distancia a un conjunto3. Bolas metricas

3.1. La topologıa metrica3.2. Ejemplos de bolas

4. Abiertos y cerrados4.1. Abiertos4.2. Cerrados

5. Conjuntos acotados. Distancia acotada5.1. Conjuntos acotados5.2. Distancia acotada

6. Espacios metrizables7. Problemas propuestos


Seccion 1: Distancias 3

1. Distancias

Una de las maneras mas frecuentemente usadas para dotar de una topologıa a unconjunto es definir la topologıa en terminos de una distancia en el conjunto.

Definicion 3.1 Dado un conjunto X, una distancia es una aplicacion d : X×X −→ Rque a cada par (x, y) ∈ X×X le asocia un numero real d(x, y) y que cumple las siguientescondiciones:

(1) d(x, y) ≥ 0.

(2) d(x, y) = 0 si, y solo si, x = y (separacion).

(3) d(x, y) = d(y, x) para todo x, y ∈ X (simetrıa).

(4) d(x, y) ≤ d(x, z) + d(z, y) para todo x, y, z ∈ X (desigualdad triangular).

Definicion 3.2 Un espacio metrico es un par (X, d), donde X es un conjunto y d esuna distancia definida en X.

Ejemplo 3.1.

(1) En el conjunto de los numeros reales R podemos definir una distancia tomando elvalor absoluto de la diferencia, es decir, d : R × R → R definida como d(x, y) =|x− y|.



(2) El espacio metrico discreto. Sea X un conjunto no vacıo cualquiera; definimosuna distancia d como sigue:

d(x, y) ={

0 si x = y1 si x 6= y

El siguiente resultado es bien conocido del algebra lineal, en el ambito de los espaciosvectoriales con un producto escalar.

Proposicion 3.1 (Desigualdad de Cauchy-Schwarz) Si a1, a2, . . . , an y b1, b2, . . . , bn

son numeros reales cualesquiera, entonces:(n∑

i=1

aibi

)2

≤

(n∑

i=1

a2i

)(n∑

i=1

b2i

).

Demostracion. Dado cualquier numero x ∈ R se verifica que∑n

i=1(aix + bi)2 ≥ 0. Sidesarrollamos el cuadrado y agrupamos tendremos que Ax2 + 2Bx + C ≥ 0, tomandoA =

∑ni=1 a2

i ;B =∑n

i=1 aibi y C =∑n

i=1 b2i .

En estos terminos, lo que queremos probar es que B2 ≤ AC. Si A = 0 entoncesai = 0 para todo i y, por tanto, tambien b i = 0 para todo i. Si A 6= 0 podemos poner

0 ≤ Ax2 + 2Bx + C = A

(x +

B

A

)2

+AC− B2

A



para todo x ∈ R. El segundo miembro es mınimo si x = −BA y si lo sustituimos en la

expresion anterior

0 ≤ AC− B2

Aimplica AC − B2 ≥ 0

y, por tanto, B2 ≤ AC. �

1.1. Ejemplos de distancias

Veamos ahora algunos ejemplos mas de distancias.

Ejemplo 3.2. Sea X = R2. Para los puntos x = (x1, x2) e y = (y1, y2) se definen lasaplicaciones:

d1(x, y) = |x1 − y1|+ |x2 − y2|,d2(x, y) =

√(x1 − y1)2 + (x2 − y2)2,

d∞(x, y) = max(|x1 − y1|, |x2 − y2|).Las tres aplicaciones son distancias en el plano (una demostracion de esto la propor-cionaremos en el siguiente ejemplo). Las funciones anteriores miden la distancia de unaforma distinta y en el siguiente grafico se puede ver como funciona cada una ellas (encolor azul se indica el segmento o poligonal que da la distancia):



x

y

x

y

x

y

x

y

d1(x, y) d2(x, y) d∞(x, y) d∞(x, y)Las tres distancias son generalizaciones de la distancia que hemos definido en R y lastres tienen nombre propio: d1 se llama la distancia del taxi, d2 se llama la distanciaeuclıdea o usual y d∞ se llama la distancia del ajedrez o del maximo.

Ejemplo 3.3. El ejemplo anterior se puede generalizar a Rn como sigue. Sean los puntosx = (x1, . . . , xn) ∈ Rn e y = (y1, . . . , yn) ∈ Rn. Se define:

d1(x, y) =n∑

i=1

|xi − yi|,

d2(x, y) =

(n∑

i=1

(xi − yi)2)1/2

,

d∞(x, y) = max{|xi − yi| : i = 1 . . . n}.



La prueba de que d1 y d∞ son distancias es una mera comprobacion. Lo mismo sucedecon las propiedades (1) y (2) para la distancia usual d2; no ası con la desigualdadtriangular en la que hay que utilizar la desigualdad de Cauchy-Schwarz.

Sean x, y, z ∈ Rn y consideremos

(d2(x, z) + d2(z, y))2 =

( n∑i=1

(xi − zi)2)1/2

+

(n∑

i=1

(zi − yi)2)1/2

2

=

=n∑

i=1

(xi − zi)2 +n∑

i=1

(zi − yi)2 + 2

(n∑

i=1

(xi − zi)2n∑

i=1

(zi − yi)2)1/2

= (∗)

Aplicando la desigualdad de Cauchy-Schwarz al ultimo sumando de la expresion anterior:

(∗) ≥n∑

i=1

(xi − zi)2 +n∑

i=1

(zi − yi)2 + 2n∑

i=1

(xi − zi)(zi − yi) =

n∑i=1

[(xi − zi)2 + (zi − yi)2 + 2(xi − zi)(zi − yi)

]=

n∑i=1

[(xi − zi) + (zi − yi)]2 =

=n∑

i=1

(xi − yi)2 =

( n∑i=1

(xi − yi)2)1/2

2

= (d2(x, y))2.



Ejercicio 3.1. Prueba que el conjunto C de los numeros complejos es un espaciometrico con la distancia dada por el modulo de la diferencia:

d(z1 − z2) = |z1 − z2| con z1, z2 ∈ C.

Ejercicio 3.2. Sea X = A([a, b], R) = `∞([a, b]) el conjunto de las funciones acotadasf : [a, b] → R. Dadas dos funciones f , g ∈ X definimos

d∞(f, g) = supx∈[a,b]

{|f(x)− g(x)|}.

Prueba que d∞ es una distancia y haz un un esquema grafico que represente comofunciona esta distancia. d∞ se denomina la distancia del supremo.

Ejercicio 3.3. Consideremos el espacio

`∞ = {(xn)n | sucesion acotada xn ∈ R} = {x : N −→ R | acotada}¿Podrıas definir una distancia en este espacio?

Ejemplo 3.4. Sea C([a, b], R) = {f : [a, b] −→ R | f es continua} el conjunto de lasfunciones reales continuas sobre un intervalo cerrado [a, b]. Entonces la aplicacion ddada por

d(f, g) =∫ b

a

|f(x)− g(x)|dx

es una distancia.



Proposicion 3.2 Sean (X1, d) y (X2, d′) dos espacios metricos. Para x = (x1, x2) e

y = (y1, y2) puntos de X1 × X2 se define:

d1(x, y) = d(x1, y1) + d′(x2, y2),d2(x, y) = (d(x1, y1)2 + d′(x2, y2)2)1/2,

d∞(x, y) = max{d(x1, y1), d′(x2, y2)}.Entonces d1, d2 y d∞ son distancias en el espacio producto X1 × X2.

Proposicion 3.3 Sea (X, d) un espacio metrico. Para todo x, y, z ∈ X se verifica:

|d(x, z)− d(z, y)| ≤ d(x, y).

Demostracion. Aplicando la desigualdad triangular tenemos d(x, z) ≤ d(x, y)+d(y, z) =d(x, y) + d(z, y), por lo que d(x, z)− d(z, y) ≤ d(x, y).

De forma analoga podemos poner d(z, y) ≤ d(z, x) + d(x, y) = d(x, z) + d(x, y) ytendremos que −d(x, y) ≤ d(x, z)− d(z, y).

Usando estas dos desigualdades tenemos

−d(x, y) ≤ d(x, z)− d(z, y) ≤ d(x, y)

lo que concluye la demostracion. �

El siguiente resultado, cuya demostracion es directa, nos dice que la propiedad deser espacio metrico es heredada por los subespacios.


Seccion 2: Distancia a un conjunto 10

Proposicion 3.4 Sea (X, d) un espacio metrico y sea H ⊂ X un subconjunto de X.Sea la funcion dH : H × H −→ R definida por dH(x, y) = d(x, y). Entonces dH es unadistancia sobre H, que se denomina distancia inducida por d. El par (H, dH) se diceque es un subespacio metrico de X.

Si H ⊂ Rn, cuando se hable de H como de un espacio metrico, siempre se estara su-poniendo que su distancia es la distancia inducida por la distancia euclıdea de Rn, salvoque se diga otra cosa en contra.

Ejemplo 3.5.

(1) [0, 1] con la distancia inducida por el valor absoluto es un subespacio metrico deR.

(2) C([a, b], R) con la distancia inducida por d∞ es un subespacio metrico de A([a, b], R).

(3) El espacio co de las sucesiones reales con lımite 0 es un subespacio metrico de`∞.

2. Distancia a un conjunto

Definicion 3.3 Sea (X, d) un espacio metrico, A ⊂ X un subconjunto de X y x0 unpunto de X. La distancia de x0 al subconjunto A se define como

d(x0,A) = inf{d(x0, x) | x ∈ A}


Seccion 2: Distancia a un conjunto 11

Recordemos que el ınfimo de un conjunto acotado inferiormente siempre existe.

Definicion 3.4 Sean A y B dos subconjuntos de X. La distancia del subconjunto A alsubconjunto B se define como

d(A,B) = inf{d(x, y) | x ∈ A, y ∈ B}.

Ejemplo 3.6. Si d es la metrica discreta sobre X, x ∈ X y A,B ⊂ X, entonces

d(x,A) =

{1 si x /∈ A

0 si x ∈ Ad(A,B) =

{1 si A ∩ B = ∅0 si A ∩ B 6= ∅

Cuestion 3.1. Consideremos R con la distancia usual d(x, y) = |x − y| y sea A =(1, 2] ⊂ R.

1. ¿Cuanto vale d( 32 ,A)?

(a) 0 (b) − 12 (c) 1

2

2. ¿Cuanto vale d(1,A)?(a) 1

2 (b) 0 (c) 14

3. ¿Cuanto vale d(0,A)?(a) 1 (b) 1

2 (c) 0


Seccion 3: Bolas metricas 12

Ejercicio 3.4. Consideremos (R2, d2), A = {(x, y) ∈ R2 | x2+y2 ≤ 1} y B = {(x, y) ∈R2 | x + y = 2}. Calcule la distancia d(A,B).

3. Bolas metricas

A continuacion vamos a estudiar los subconjuntos, quizas mas importantes, de un es-pacio metrico: las bolas abiertas. Se trata de una generalizacion del concepto conocidode intervalo abierto centrado en un punto en R.

Definicion 3.5 Sea (X, d) un espacio metrico, a ∈ X un punto y r > 0 un numero real.La bola abierta en X con centro en a y de radio r es el conjunto

B(a, r) = {x ∈ X | d(x, a) < r}.Si se necesita especificar con que distancia se esta trabajando, se representara porBd(a, r).

3.1. La topologıa metrica

Proposicion 3.5 Sea (X, d) un espacio metrico. La coleccion de todas las bolas B(a, r),para a ∈ X y r > 0, es una base para una topologıa en X, denominada topologıa metricainducida por d.



Demostracion.

a

x

r

δ La primera condicion de base es trivial, puesto que x ∈ B(x, r),para cualquier r > 0. Veamos ahora que si x es un punto del ele-mento basico B(a, r), entonces existe un elemento basico B(x, δ)centrado en x que esta contenido en B(a, r). Tomemos δ =r− d(x, a). Entonces B(x, δ) ⊂ B(a, r), por lo que si y ∈ B(x, δ),entonces d(x, y) < r − d(a, x), con lo que concluimos que

d(a, y) ≤ d(a, x) + d(x, y) < r.

Para comprobar la segunda condicion para una base, sean B1 y B2 dos elementos basicosy sea x ∈ B1 ∩ B2. Acabamos de ver que podemos elegir numeros positivos δ1 y δ2 detal modo que B(x, δ1) ⊂ B1 y B(x, δ2) ⊂ B2. Tomando δ = mın{δ1, δ2} concluimos queB(x, δ) ⊂ B1 ∩ B2. �

Corolario 3.6 Sea (X, d) un espacio metrico y sea Td la topologıa metrica inducida pord. Entonces un conjunto A es abierto en Td si, y solo si, para cada x ∈ A existe un δ > 0tal que Bd(x, δ) ⊂ A.

3.2. Ejemplos de bolas

Veamos ahora como son las bolas en algunos espacios metricos conocidos.



Ejemplo 3.7. En (R, | |) la bola abierta de centro a y radio r > 0 es el intervalo abiertode extremos a − r y a + r:

B(a, r) = {x ∈ R | |x− a| < r} = (a− r, a + r)

Ejemplo 3.8. En este ejemplo justificamos el nombre de bola. En (R2, d2) tenemos que

B(a, r) = {(x, y) ∈ R2 | x2 + y2 < r2},es decir, es el interior del cırculo de radio r centrado en a.

En el espacio (R3, d2) se tiene

B(a, r) = {(x, y, z) ∈ R3 | x2 + y2 + z2 < r2}que es el interior de la bola o esfera solida de radio r centrada en a.

Las bolas abiertas, sin embargo, pueden ser realmente muy diferentes y no tener laapariencia de una bola esferica, como se muestra en los siguientes ejemplos.

Ejemplo 3.9.

(1) En (R2, d∞) la bola B(a, r) es el interior del cuadrado de centro a y de ladosparalelos a los ejes de coordenadas y con longitud 2r.

(2) En (R2, d1) la bola B(0, r) es el interior del cuadrado centrado en el punto (0, 0)y con vertices en los puntos (0, r), (0,−r), (r, 0), (−r, 0).


Seccion 4: Abiertos y cerrados 15

Ejercicio 3.5.

(a) Sea una funcion f0 ∈ (C([0, 1], R), d∞). ¿Cuanto vale B(f0, r)?(b) Sea un espacio metrico discreto (X, dD). ¿Cuanto vale B(a, r)?(c) Sea H = [0, 1] ⊂ R con la distancia inducida dH por la distancia d de R. Calcule

Bd(1, 1) y BdH(1, 1).

Las bolas abiertas en un subespacio metrico son la interseccion con el subespacio dela bola del espacio total con el mismo centro y radio. Mas precisamente:

Proposicion 3.7 Sea (X, d) un espacio metrico y sea H un subconjunto de X. Entonceslas bolas abiertas del subespacio metrico (H, dH) son la interseccion de las correspon-dientes bolas en el espacio total con el subconjunto. Es decir BdH

(x, r) = Bd(x, r) ∩ H.

4. Abiertos y cerrados

4.1. Abiertos

Ya hemos visto en el apartado anterior que las bolas en un espacio metrico son la basede una topologıa, que hemos denominado topologıa metrica. En particular, las bolasson abiertos en dicha topologıa.



Teorema 3.8 (Propiedad de Hausdorff) Sea (X, d) un espacio metrico y x, y ∈ Xdos puntos distintos. Entonces existen rx, ry > 0 tales que B(x, rx) ∩ B(y, ry) = ∅.

Demostracion. Sea r = d(x, y) y consideremos rx, ry > 0 tales que rx < r/2 y ry < r/2.Entonces si z ∈ B(x, rx) se tiene

d(z, y) ≥ d(x, y)− d(z, x) = r − d(z, x) > r − r

2=

r

2,

por lo que z /∈ B(y, ry). Analogamente, si w ∈ B(y, ry) se prueba que w /∈ B(x, rx). �

Veamos ahora unos cuantos ejemplos de conjuntos abiertos en algunos de los espaciosmetricos que hemos introducido anteriormente.

Ejemplo 3.10.

(1) Cualquier intervalo abierto de la recta real, acotado o no acotado, es un subcon-junto abierto de la recta real con la distancia usual. Tambien lo son las unionesde intervalos abiertos. Sin embargo, los intervalos [a, b], [a, b) y (a, b] no lo son.

(2) Un conjunto abierto no tiene por que ser una bola abierta. Ası, el subconjunto deR2:

A = {(x, y) ∈ R2 : |x| < 1, |y| < 2}no es una bola abierta de R2 para la distancia euclıdea y, sin embargo, sı es unsubconjunto abierto. Por el contrario, el conjunto siguiente no es abierto

B = {(x, y) ∈ R2 : |x| < 1, |y| ≤ 2}.



(3) Sea (X,TD) un espacio metrico discreto (TD es la topologıa inducida por la dis-tancia discreta). Entonces cualquier subconjunto es abierto.

(4) La condicion de ser abierto depende naturalmente de la distancia y del espaciototal. (a) El subconjunto {0} ⊂ R es abierto para la distancia discreta, pero nolo es para la distancia euclıdea. (b) El intervalo [0, 1) es abierto en ([0, 2], d[0,2]),pero no lo es en R con la distancia usual.

Ejercicio 3.6. ¿Es abierto el conjunto⋂∞

n=1(−1n , 1

n )?

4.2. Cerrados

Ya hemos visto en el capıtulo anterior que tan importantes como los conjuntos abiertosson sus complementarios, los conjuntos cerrados. Antes de estudiar algunas propiedadesde estos conjuntos en los espacios metricos, veamos unos ejemplos.

Ejemplo 3.11.

(1) En R, con la distancia usual, los intervalos cerrados son subconjuntos cerrados;tambien lo son las semirrectas cerradas [a,+∞) o (−∞, b]. Sin embargo, no loson los intervalos de la forma [a, b), (a, b] o (a, b).

(2) En (R2, d2), el conjunto A = {(x, y) ∈ R2 : |x| < 1, |y| ≤ 2} no es cerrado, peroB = {(x, y) ∈ R2 : |x| ≤ 1, |y| ≤ 2} sı lo es.

(3) Cualquier recta en (R2, d2) es un conjunto cerrado.



Proposicion 3.9 Un subconjunto C de un espacio metrico (X, d) es un cerrado si, ysolo si, para todo x /∈ C existe un radio r > 0 tal que B(x, r) ∩ C = ∅.

Demostracion. ⇒⇒⇒ Si C ⊂ X es cerrado quiere decir que Cc es abierto; por tanto, paratodo x /∈ C (x ∈ Cc) existe r > 0 tal que B(x, r) ⊂ Cc. Entonces B(x, r) ∩ C = ∅.⇐⇐⇐ Si para todo x /∈ C (x ∈ Cc) existe r > 0 tal que B(x, r) ∩ C = ∅, entoncesB(x, r) ⊂ Cc y ası Cc es abierto, luego C es cerrado. �

Definicion 3.6 Sea (X, d) un espacio metrico, a ∈ X un punto de X y r > 0 un numeroreal. Llamaremos bola cerrada de centro a y radio r al conjunto

B(a, r) = {∈ X | d(a, x) ≤ r}.

Observemos que las bolas cerradas contienen a las correspondientes bolas abiertas.El siguiente resultado es obvio.

Proposicion 3.10 Las bolas cerradas en un espacio metrico son conjuntos cerrados.

Ejemplo 3.12.

(1) La union arbitraria de cerrados no es, necesariamente, un cerrado. Consideremosla familia {

[0, 1− 1

n

]| n ∈ N} de intervalos cerrados en R; su interseccion es⋂

n∈N

[0, 1− 1

n

]= [0, 1),


Seccion 5: Conjuntos acotados. Distancia acotada 19

que no es cerrado.

(2) Cualquier subconjunto en la distancia discreta es cerrado.

(3) Hay subconjuntos que no son ni abiertos ni cerrados. Por ejemplo, [0, 1) ⊂ R conla distancia euclıdea.

(4) Tambien es posible que un subconjunto sea a la vez abierto y cerrado. Por ejemplo,cualquier subconjunto en la distancia discreta es, a la vez, abierto y cerrado.

5. Conjuntos acotados. Distancia acotada

5.1. Conjuntos acotados

Definicion 3.7 Sea (X, d) un espacio metrico y H ⊂ X. Se dice que H es un subconjuntoacotado si existen un punto a ∈ X y un radio r > 0 tal que H ⊂ B(a, r). En este casose dice que (H, dH) es un subespacio metrico acotado de (X, d).

Ejemplo 3.13.

(1) Los subespacios [1, 2], [1, 2) y {0} ∪ [1, 2) de R con la distancia euclıdea sonsubespacios metricos acotados. El subespacio [−1,+∞) no es acotado.

(2) Cualquier bola, abierta o cerrada, es un subespacio acotado.



Definicion 3.8 Sea (X, d) un espacio metrico y H ⊂ X un subconjunto acotado. Eldiametro de H, representado por diam(H), se define como

diam(H) = sup{d(x, y) | x, y ∈ X}.

Ejemplo 3.14. Los diametros de los subconjuntos [1, 2], [1, 2) y {0} ∪ [1, 2) de R conla distancia usual son, respectivamente, 1, 1 y 2.

Ejercicio 3.7. Determine el diametro del subespacio A = [0, 1] × [0, 1] de R2 paracada una de las tres distancias d1, d2 y d∞.

5.2. Distancia acotada

Un caso especial surge cuando el espacio metrico X esta acotado en la distancia d.

Definicion 3.9 Un espacio metrico (X, d) se dice acotado si existe un numero realk > 0 tal que d(x, y) ≤ k para todo par de puntos x, y ∈ X. En este caso, tambien sedice que la distancia d es una distancia acotada.

Ejemplo 3.15.

(1) R con la distancia euclıdea es un espacio metrico no acotado.

(2) R con la distancia discreta es un espacio metrico acotado.



Proposicion 3.11 Un espacio metrico (X, d) esta acotado si, y solo si, existen un puntox0 ∈ X y un numero real r > 0 tales que B(x0, r) = X.

Demostracion. ⇒⇒⇒ Si el espacio metrico esta acotado por k, tomamos un punto cual-quiera x0 ∈ X. Es obvio que la bola B(x0, k + 1) ⊂ X; pero si x ∈ X, como d(x0, x) ≤ k,por ser k cota de X, tenemos que x ∈ B(x0, k + 1).⇐⇐⇐ Recıprocamente, supongamos que B(x0, r) = X, entonces el numero real 2r es unacota superior de todas las distancias entre los pares de puntos x , y del espacio. Aplicandola desigualdad triangular se tiene que d(x, y) ≤ d(x, x0) + d(x0, y) < r + r = 2r. �

Corolario 3.12 Todo subconjunto de un espacio metrico acotado es, a su vez, acotado.

Proposicion 3.13 Sea (X, d) un espacio metrico y H ⊂ X. Entonces H esta acotadosi, y solo si, existen un punto x0 ∈ X, no necesariamente de H, y un numero real r > 0tales que H ⊂ B(x0, r).

Demostracion. ⇒⇒⇒ Si (H, dH) esta acotado, existe r > 0 tal que H = BH(x0, r) =BX(x0, r) ∩ H ⊂ BX(x0, r).⇐⇐⇐ Recıprocamente, si H ⊂ B(x0, r), entonces el numero real 2r es una cota superiorde todas las distancias entre los pares de puntos x, y ∈ H, ya que dH(x, y) = d(x, y) ≤d(x, x0) + d(x0, y) < r + r = 2r y, por tanto, (H, dH) esta acotado. �


Seccion 6: Espacios metrizables 22

6. Espacios metrizables

En la Seccion 3 hemos visto que en cualquier espacio metrico (X, d) podemos cons-truir una topologıa, denominada topologıa metrica y denotada por Td. Nos podemospreguntar ahora si todo espacio topologico procede de una metrica.

Definicion 3.10 Un espacio topologico (X,T) se dice que es metrizable si existe unadistancia d definida sobre X tal que T coincide con la topologıa metrica inducida Td.

Muchos de los espacios importantes para las matematicas son metrizables, peroalgunos no lo son. La metrizabilidad es una propiedad muy deseable para un espacio,puesto que la existencia de una distancia nos ofrece una valiosa herramienta para probarteoremas sobre dicho espacio. Un problema de importancia fundamental en topologıaes encontrar condiciones sobre un espacio topologico que garanticen que es metrizable.No es un problema de facil tratamiento y, en todo caso, excede de las pretensiones deeste curso.

Ejemplo 3.16.

(1) La topologıa discreta sobre cualquier conjunto X es metrizable, siendo la distanciaasociada la distancia discreta o trivial.

(2) No todo espacio topologico es metrizable. Por ejemplo, si X es un conjunto quecontiene mas de un punto y lo consideramos dotado de la topologıa indiscreta



(X,TI), entonces no es un espacio metrizable, puesto que los unicos cerrados paraesta topologıa son ∅ y X, pero sabemos que en un espacio metrico los conjuntosfinitos son cerrados, por lo que deberıan existir mas cerrados.

Proposicion 3.14 Sea un espacio metrico (X, d) y sea un subconjunto H ⊂ X. Entoncesla topologıa asociada a la metrica inducida sobre H coincide con la topologıa inducidapor la topologıa metrica en X. Es decir: Td|H = TdH

.

Demostracion. ⊂⊂⊂ Sea A′ ∈ Td|H, entonces existe un A ∈ Td tal que A′ = A ∩ H.Veamos que A′ ∈ TdH

. Para cualquier x ∈ A′ ⊂ A existe un r > 0 tal que Bd(x, r) ⊂ A,entonces Bd(x, r)∩H ⊂ A′, pero ya hemos visto que Bd(x, r)∩H = BdH

(x, r). Por tanto,A′ ∈ TdH

.⊃⊃⊃ Sea ahora A′ ∈ TdH

. Para cualquier x ∈ A′ existe un r > 0 tal que BdH(x, r) ⊂ A′.

Como antes, BdH(x, r) = Bd(x, r) ∩ H. Si tomamos

A =⋃

x∈A′

Bd(x, r)

tendremos

A′ ⊂ A ∩ H = (∪x∈A′Bd(x, r)) ∩ H = ∪x∈A′(Bd(x, r) ∩ H) = ∪x∈A′BdH(x, r) ⊂ A′.

Entonces A′ = A ∩ H y, por tanto, A′ ∈ Td|H. �



Hemos visto que no todo espacio topologico es metrizable. Cabe entonces hacerse lasiguiente pregunta: ¿que diferencias topologicas existen entre un espacio topologico quesea metrizable y otro que no lo sea? Veamos a continuacion una propiedad fundamentalque se verifica en los espacios metrizables pero que no es cierta, en general, en unespacio topologico arbitrario.

Definicion 3.11 Un espacio topologico (X,T) se dice que es un espacio de Hausdorffo que satisface el axioma T2 si para todo par de puntos x, y ∈ X distintos existenentornos Ux ∈ Ux y Vy ∈ Uy tales que Ux ∩ Vy = ∅.

Como consecuencia directa de la definicion de entorno se tiene el siguiente resultado.

Proposicion 3.15 Un espacio topologico (X,T) es de Hausdorff si, y solo si, para todopar de puntos distintos x, y ∈ X existen abiertos A,B ⊂ X tales que x ∈ A, y ∈ B yA ∩ B = ∅.

Ejemplo 3.17.

(1) Todo espacio metrico es de Hausdorff.

(2) No todo espacio topologico es T2. La recta real, con la topologıa cofinita, no esun espacio de Hausdorff.



Vamos a comparar las topologıas metricas inducidas por dos distancias distintassobre un mismo espacio X.

Definicion 3.12 Dos metricas d y d′ sobre un mismo conjunto X se dice que sonequivalentes si dan lugar a la misma topologıa, es decir, si Td = Td′ .

Proposicion 3.16 Sean d y d′ dos distancias definidas sobre un conjunto X. Entoncesd y d′ son equivalentes si, y solo si, para todo x ∈ X y para todo r > 0 existe δ > 0 talque Bd(x, δ) ⊂ Bd′(x, r) y existe δ′ > 0 tal que Bd′(x, δ′) ⊂ Bd(x, r).

Demostracion. ⇒⇒⇒ Supongamos que d y d′ son equivalentes. Dados x ∈ X y r > 0,Bd′(x, r) es un abierto de Td′ y, por tanto, tambien esta en Td; entonces existe δ > 0tal que Bd(x, δ) ⊂ Bd′(x, r). Analogamente se demuestra la segunda afirmacion.⇐⇐⇐ Recıprocamente, si suponemos que se cumplen las dos afirmaciones veamos que dy d′ son equivalentes. Sea A un abierto de Td y sea x ∈ A. Entonces existe r > 0 talque Bd(x, r) ⊂ A. Aplicando la segunda propiedad, existira δ′ > 0 tal que Bd′(x, δ′) ⊂Bd(x, r), y entonces A es un entorno de x para Td′ y es, por tanto, abierto en estatopologıa. De forma analoga se demuestra que todo abierto de Td′ lo es tambien de Td.�

Corolario 3.17 Dos distancias d y d′ sobre un conjunto X son equivalentes si existen



constantes m,M > 0 tales que para todo x, y ∈ X se satisface

m d(x, y) ≤ d′(x, y) ≤ M d(x, y).

Demostracion. Sean x ∈ X y r > 0. Entonces tomando δ = rM se tiene que d(x, y) ≤ δ

implica que d′(x, y) ≤ Md(x, y) ≤ Mδ = r, con lo que Bd(x; δ) ⊂ Bd′(x, r). De formaanaloga, tomando δ′ = mr se tiene que Bd′(x, δ′) ⊂ Bd(x, r). �

Ejercicio 3.8. Demuestra que las tres distancias d1, d2 y d∞ en Rn son equivalentes.

No todas las distancias definidas en un conjunto son equivalentes. Por ejemplo, ladistancia euclıdea y la distancia discreta sobre R2 no son equivalentes.


Problema 3.1. Sea d : N × N −→ R definida por d(m, n) = |m2 − n2|. ¿Es (N, d) unespacio metrico? Justifique la respuesta.

Problema 3.2. Sea (X, d) un espacio metrico. Demuestre que si x, y, z, t ∈ X se cumpleque

|d(x, y)− d(z, t)| ≤ d(x, z) + d(y, t).

Problema 3.3. Sea X un conjunto. Demuestre que una aplicacion d : X× X −→ R esuna distancia si, y solo si, para x, y, z ∈ X, se verifican



(a) d(x, y) = 0 ⇔ x = y;

(b) d(x, y) ≤ d(x, z) + d(y, z).

Problema 3.4. Sea (X, d) un espacio metrico. Se definen d′1, d′2 y d′3 como sigue:

d′1(x, y) = kd(x, y), k ∈ R+

d′2(x, y) = mın{1, d(x, y)}d′3(x, y) = [d(x, y)]2

Demuestre que d′1 y d′2 son distancias sobre X, pero que d′3 no tiene por que ser nece-sariamente una distancia.

Problema 3.5. Sea X un conjunto y f : X −→ R una aplicacion inyectiva; demuestreque la aplicacion d(x, y) = |f(x)− f(y)| es una distancia sobre X.

Problema 3.6. Sea f : R −→ R una funcion estrictamente creciente. Demuestre qued(x, y) = |f(x)− f(y)| es una distancia sobre R

Problema 3.7. Sea f : [0,+∞) −→ [0,+∞) una funcion estrictamente creciente veri-ficando:

(a) f(0) = 0;

(b) Si x, y ≥ 0 ⇒ f(x + y) ≤ f(x) + f(y).



Sea (X, d) un espacio metrico. Pruebe que la aplicacion d ′ = f ◦ d, es decir, d′(x, y) =f(d(x, y)), x, y ∈ X, es tambien una distancia sobre X.

Problema 3.8. Definimos la aplicacion d : R2 × R2 −→ R como sigue:

d[(x1, x2), (y1, y2)] ={|x2 − y2| si x1 = y1

|x2|+ |x1 − y1|+ |y2| si x1 6= y1

Pruebe que d es una distancia sobre R2. Determine y represente graficamente las bolasB((0, 0), 1), B((1, 0), 1), B((0, 1), 1) y B((2, 3), 1).

Problema 3.9. Se define la parte entera de un numero real x ∈ R como [x] = el mayornumero entero menor o igual que x. Considere la aplicacion ρ : R × R −→ R definidacomo

ρ(x, y) = |[x]− [y]|+ |(x− [x])− (y − [y])|, con x, y ∈ R.

(a) Pruebe que ρ es una distancia en R.

(b) Estudie como son las bolas Bρ(0, 1) y Bρ( 32 , 1) ¿Como son las bolas abiertas?

(c) Pruebe que ρ y la distancia d(x) = |x − y| inducen la misma distancia en elconjunto Z de los numeros enteros.

Problema 3.10. Sea A ⊂ R2 definido como A = {(x, y) ∈ R2 | y = x2}. Calcule laforma explıcita de las distancias inducidas sobre A por d1, d2 y d∞.



Problema 3.11. Sea (R2, d2) y el subconjunto

A = {(x, y) ∈ R2 | (x− 2)2 + y2 ≤ 1}⋃{(x, y) ∈ R2 | (x + 2)2 + y2 ≤ 1}.

Determine en (A, d2|A) la bola cerrada de centro 0 y radio 1.

Problema 3.12. Considere R con la distancia usual y A = { 1n +(−1)n | n ∈ N}. Calcule

d(A, 1) y d(−1,A). ¿Cuanto vale lımn→∞( 1n + (−1)n)?

Problema 3.13. Sea R3 con la distancia definida por d(x, y) = mın{1, d1(x, y)} y seael conjunto

A = {(x, y, z) ∈ R3 | 0 ≤ x ≤ 1, 0 ≤ y ≤ 1, 0 ≤ z ≤ 1}.Halle los puntos de R3 que verifican d(x,A) = 1.

Problema 3.14. Sea A ⊂ R2 el cırculo A = {(x, y) ∈ R2 | x2 + y2 = 1}. Definimos laaplicacion d : A× A −→ R como

d(x, y) =

0 si x = yπ si x, y son diametralmente opuestosla longitud del arco mas corto que une x e y, en otro caso

Pruebe que d es una distancia sobre A.

Problema 3.15. Sea (X, d) un espacio metrico. Demuestre que la aplicacion d ′ : X ×



X −→ R siguiente es una distancia:

d′(x, y) =d(x, y)

1 + d(x, y).

Problema 3.16. Sea (X, d) un espacio metrico. Demuestre que:

(a) Dadas dos bolas abiertas y concentricas, entonces una es un subconjunto de laotra.

(b) Sean B(a, r) y B(b, s) dos bolas abiertas en X y x ∈ B(a, r) ∩ B(b, s). Entoncesexiste una bola abierta B(x, δ) tal que

x ∈ B(x, δ) ⊂ B(a, r) ∩ B(b, s).

Problema 3.17. Considere el conjunto de las funciones reales continuas en el intervalo[0, 1], C([0, 1]). Sean f(x) = x(1− x) y g(x) = x. Calcule d∞(f, g).

Problema 3.18. Sea (X, d) un espacio metrico y sea S ⊂ X. Demuestre la siguientedesigualdad triangular : para todo x, y ∈ X, d(x, S) ≤ d(x, y) + d(y, S).

Problema 3.19. Pruebe que en cualquier espacio metrico, los conjuntos formados porun unico punto son cerrados. Deduzca que los conjuntos finitos tambien son cerrados.

Problema 3.20. Justifique si son abiertos o cerrados los siguientes conjuntos en (R2, d2):A = {(x, y) ∈ R2 | xy = 0}



B = {(x, y) ∈ R2 | x ∈ Q}C = {(x, y) ∈ R2 | |x| < 1}D = {(x, y) ∈ R2 | 0 < x < 1, 0 < y < 1}

⋃{(x, y) ∈ R2 | x2 + y2 = 0}

Problema 3.21. Demuestre que el intervalo H = [a, b] es abierto en (H, dH), pero queno lo es en el espacio total R con la distancia euclıdea.

Problema 3.22. Calcule en (R2, d2) la distancia d2(A,B) en los siguientes casos:

A = {(0, 0)} y B = [1,+∞)× [1,+∞)

A = {(x, y) ∈ R2 | y > 1x , x > 0} y B = {(x, y) ∈ R2 | y < − 1

x , x > 0}.

Problema 3.23. Sea (R2, d2) y A = {(x, y) ∈ R2 | x + y < 1, x > 0, y > 0}. Calculeel diametro de A.

Problema 3.24. Demuestre que un subconjunto de un espacio metrico es abierto si, ysolo si, es union de bolas abiertas.

Problema 3.25. Determine las bolas en R2 para la distancia

d(x, y) = max{|x1 − x2|, dD(y1, y2)},con x = (x1, y1), y = (x2, y2).

Problema 3.26. Determine las bolas en R para la distancia d(x, y) = mın{1, |x− y|}.



Problema 3.27. Sea d : R× R −→ R la distancia definida por

d(x, y) =2|x− y|

1 + 3|x− y|.

Determine la bola Bd(0, r).

Problema 3.28. Sea d : R× R −→ R la distancia definida por

d(x, y) ={

0 si x = ydD(x, 0) + dD(0, y) si x 6= y

siendo dD la distancia discreta. Determine analıtica y geometricamente las bolas Bd(x, r).Indicacion: en primer lugar suponga x = 0.

Problema 3.29. Estudie si los siguientes conjuntos son abiertos o cerrados en R2 paralas distancias d1, d2 y d∞:

A = {(x, y) ∈ R2 | y = tan x}B = {(x, y) ∈ R2 | y =

√4− x2}

C = {(x, y) ∈ R2 | x ∈ [0, 1]}

Problema 3.30. En C([0, 1]) consideremos la distancia d∞ y la distancia

d(f, g) =∫ 1

0

|f(x)− g(x)|dx.



Sea r > 0 y consideremos las funciones f y g definidas por

f(x) = 2 para todo x ∈ [0, 1] y g(x) =

{−4x

r+ 4 si 0 ≤ x ≤ 1

2 r

2 si 12 r ≤ x ≤ 1

Pruebe que g ∈ Bd(f, r) pero g /∈ B∞(f, 1). Deduzca que d y d∞ no son equivalentes.

Problema 3.31. Sea (X, d) un espacio metrico. Pruebe que d, δ(x, y) = mın{1, d(x, y)}

y ρ(x, y) =d(x, y)

1 + d(x, y)son tres distancias equivalentes sobre X.

Problema 3.32. Sean A y B dos conjuntos en un espacio metrico (X, d). Pruebe que:

(a) Si A es abierto y B es cerrado, entonces A − B es abierto.

(b) Si A es cerrado y B es abierto, entonces A − B es cerrado.

Problema 3.33. Sea (X, d) es un espacio metrico, a ∈ X y r > 0. Pruebe que {x ∈X | d(a, x) > r} es un conjunto abierto y {x ∈ X | d(a, x) ≥ r} es un conjunto cerrado.

Problema 3.34. Sea C([0, 2π]) con la distancia del supremo. Describa analıtica y grafi-camente como son las bolas de radio 1 y centro en las funciones f (x) = sen x yg(x) = 2 + cos x, respectivamente.

Problema 3.35. Considere el espacio metrico de las sucesiones reales acotadas (`∞, d∞).Pruebe que el conjunto A = {(xn)n ∈ `∞ | lımn→∞ xn = 0} es cerrado.



Problema 3.36. Se considera el espacio topologico (R2, d2). Averigue cuales de lossiguientes conjuntos son entornos del origen de coordenadas:

(− 12 , 1

2 ]× (− 14 , 1

4 ]

(− 12 , 0]× (−1, 0]

[0, 12 )× (0, 1

4 ]

(0, 1]× (0, 12 ].

¿Sabrıa encontrar una base de entornos del (0, 0)?

Fin del Capıtulo




Ejercicio 3.3. Dadas dos sucesiones (xn)n e (yn)n,definamos

d∞((xn)n, (yn)n) = supn∈N{|xn − yn|}.

Ejercicio 3.3



Ejercicio 3.4. Una grafica ayuda a visualizar que la distancia que queremos calcular esla diferencia entre la longitud de la diagonal de un cuadrado de lado 1, que es

√2, y

diametro del cırculo A que es 1. Por tanto,

d(A,B) =√

2− 1

Ejercicio 3.4



Ejercicio 3.5(a) B(f0, r) es el conjunto de todas las funciones continuas f en [0, 1] cuyagrafica se encuentra entre las graficas de las funciones f0(x)− r y f0(x) + r. �



Ejercicio 3.5(b)

B(a, r) ={{a} si r ≤ 1X si r > 1

�



Ejercicio 3.5(c) Bd(1, 1) = (0, 2) mientras que, para la distancia inducida en H,BdH

(1, 1) = (0, 1]. �



Ejercicio 3.6. La interseccion arbitraria de abiertos no es, en general, un abierto. Siconsideramos la familia de abiertos {(− 1

n , 1n ) | n ∈ N} en (R, | |), su interseccion es

∞⋂n=1

(−1

n,1

n

)= {0},

que no es abierto. Ejercicio 3.6



Ejercicio 3.7. Los diametros, para cada una de estas tres distancias, son:

diam1(A) = 2,

diam2(A) =√

2,

diam∞(A) = 1.

Ejercicio 3.7



Topologıa4. Subconjuntos y puntos notables


Resumen: En este capıtulo introducimos la adherencia de un conjun-to y sus principales propiedades, y particularizamos el concepto a losespacios metricos. Presentamos los conjuntos densos y numerables.Estudiamos los puntos aislados, de acumulacion, interiores, exterioresy frontera. Cuando entra en juego un subespacio, es necesario estudiarla adherencia, interior y frontera relativos. Finalizamos con una secciondedicada a las sucesiones.



Indice general1. Adherencia

1.1. La adherencia en un espacio metrico1.2. Caracterizacion de la adherencia1.3. Subconjuntos densos y espacios separables

2. Puntos aislados y puntos de acumulacion3. Interior y frontera

• Puntos interiores • Puntos frontera • Relacion entre interior, clausura yfrontera

4. Adherencia, interior y frontera relativos• Adherencia relativa • Interior relativo • Frontera relativa

5. Sucesiones5.1. Sucesiones convergentes y bases de entornos5.2. Sucesiones y espacios metricos• Unicidad del lımite • Puntos adherentes, conjuntos densos y puntos frontera


Seccion 1: Adherencia 3

1. Adherencia

Definicion 4.1 Sea (X,T) un espacio topologico y sea S un subconjunto de X. Se diceque x ∈ X es un punto adherente de S si todo entorno U de x cumple que U ∩ S 6= ∅,es decir, no hay ningun entorno de x totalmente contenido en X − S. El conjunto depuntos adherentes de S se llama la adherencia o la clausura de S y se representa porS.

Nota 4.1 Tal y como hemos definido la adherencia de un conjunto S, es evidente queS ⊂ S.

Proposicion 4.1 Sea (X,T) un espacio topologico, S1 y S2 subconjuntos de X. Entoncesse satisface lo siguiente:

(a) Si S1 ⊂ S2 entonces S1 ⊂ S2.

(b) S1 ∪ S2 = S1 ∪ S2.

Demostracion.

(a) Si x ∈ S1, entonces para todo U ∈ Ux se cumple que U ∩ S1 6= ∅. ComoU ∩ S1 ⊂ U ∩ S2, se cumple tambien que U ∩ S2 6= ∅. Por tanto, x ∈ S2.

(b) ⊂⊂⊂ Tenemos que S1 ⊂ S1∪S2 y S2 ⊂ S1∪S2, luego por la propiedad (a) se cumpleque S1 ⊂ S1 ∪ S2 y S2 ⊂ S1 ∪ S2. Por tanto S1 ∪ S2 ⊂ S1 ∪ S2.



⊃⊃⊃ Para ver la inclusion contraria, sea x ∈ S1 ∪ S2. Si x no es adherente a S1 ni aS2, existiran dos entornos U1,U2 ∈ Ux tales que U1 ∩ S1 = ∅ y U2 ∩ S2 = ∅.

Por otra parte, U1∩U2 es un entorno de x y cumple que (U1∩U2)∩(S1∪S2) = ∅;pero esto es contradictorio con el hecho de que x ∈ S1 ∪ S2 pues todo entorno dex deberıa cortar a S1 ∩ S2.

�

La definicion no nos da un metodo adecuado para encontrar la clausura de unconjunto, ya que exige que se compruebe una propiedad para todos los entornos deun punto. Por tanto, serıa util disponer de una caracterizacion que permita reducir elnumero de comprobaciones. Esta es una de las razones mas importantes de la utilidaddel concepto de base de entornos.

Proposicion 4.2 Sean (X,T) un espacio topologico, S ⊂ X un subconjunto de X, x ∈ Xy B(x) un base de entornos de x en la topologıa T. Entonces x ∈ S si, y solo si, V∩S 6= ∅para cada V ∈ B(x).

Demostracion. ⇒⇒⇒ Supongamos que x ∈ S y V ∈ B(x). Como B(x) ⊂ Ux, segun ladefinicion de punto adherente se tiene que V ∩ S 6= ∅.⇐⇐⇐ Supongamos ahora que todo V ∈ B(x) cumple que V ∩ S 6= ∅. Como B(x) es basede entornos de x, para todo U ∈ Ux existe un entorno V ∈ B(x) tal que V ⊂ U. ComoV ∩ S 6= ∅ y V ∩ S ⊂ U ∩ S tenemos que U ∩ S 6= ∅. �



1.1. La adherencia en un espacio metrico

En particular, si la topologıa esta generada por una distancia, se pueden utilizar basesde entornos formadas por bolas y obtener los siguientes resultados particulares.

Corolario 4.3 Sea (X, d) un espacio metrico y S un subconjunto de X. Entonces x ∈ Xes un punto adherente de S (x ∈ S) si, y solo si, B(x, r) ∩ S 6= ∅ para todo r > 0.

Corolario 4.4 Sea (X, d) un espacio metrico y S un subconjunto de X. Entonces x ∈ Xes un punto adherente de S (x ∈ S) si, y solo si, para todo n ∈ N la bola B(x, 1

n ) decentro x y radio 1

n corta a S.

Ejemplo 4.1. Sea X la recta real R. Si A = (0, 1] entonces A = [0, 1], ya que cadaentorno del numero 0 interseca a A, mientras que cada punto fuera de [0, 1] tiene unentorno disjunto con A.

Ejercicio 4.1. Determina la clausura de los siguientes conjuntos:

(1) B = {1/n | n ∈ Z+}.(2) C = {0} ∪ (1, 2).

(3) Q (el conjunto de los numeros racionales).

(4) N (el conjunto de los numeros enteros).

(5) R+ (el conjunto de los numeros reales positivos).



La clausura de un subespacio depende del espacio ambiente donde se considere,como se prueba en el siguiente ejemplo.

Ejemplo 4.2. Consideremos el subespacio Y = (0, 1] de la recta real R. El conjuntoA = (0, 1

2 ) es un subconjunto de Y; su clausura en R es el conjunto [0, 12 ], y su clausura

en Y es el conjunto [0, 12 ] ∩ Y = (0, 1

2 ].

La propiedad mas caracterıstica de la adherencia de un conjunto S es la de que esel menor cerrado que contiene al conjunto S. Veamos primero que la clausura es unconjunto cerrado.

Proposicion 4.5 Sea (X,T) un espacio topologico y S ⊂ X un subconjunto. Entoncesla clausura S es un cerrado en (X,T).

Demostracion. Veamos que X − S es un abierto comprobando que es un entorno detodos sus puntos. Sea x ∈ X−S, entonces x no es un punto adherente, por lo que existeun entorno U de x tal que U ∩ S = ∅. Como U es un entorno de x existe un abiertoA ∈ T tal que x ∈ A ⊂ U. Por tanto, A ∩ S = ∅.

Veamos que A ⊂ X−S, con lo que X−S sera abierto. Para todo y ∈ A, el conjuntoabierto A sera un entorno de y que no corta a S, luego y /∈ S. Es decir, A ⊂ X− S. Portanto, X− S es un entorno de x. Y esto para todo x que no este en S, por lo que X− Ses abierto. �



1.2. Caracterizacion de la adherencia

Proposicion 4.6 Sea (X,T) un espacio topologico, S ⊂ X un subconjunto y C ⊂ X uncerrado tal que S ⊂ C. Entonces S ⊂ C. En otras palabras, S es el menor cerrado quecontiene a S.

Demostracion. Razonaremos por reduccion al absurdo. Sea C un cerrado con S ⊂ C ysupongamos que S 6⊂ C, es decir, que existe un punto x ∈ S tal que x /∈ C. Entonces X−Ces un abierto que contiene al punto x y como que S ⊂ C, se cumple que (X−C)∩S = ∅.Por tanto, x no es un punto adherente de S, lo cual es una contradiccion. �

Como consecuencia tenemos la siguiente caracterizacion de la adherencia.

Corolario 4.7 Sea (X,T) un espacio topologico y S ⊂ X un subconjunto. Entonces laadherencia S de S es la interseccion de todos los conjuntos cerrados de X que contienena S.

En particular, la propiedad anterior proporciona una caracterizacion de los conjuntoscerrados como aquellos que contienen a todos sus puntos adherentes.

Corolario 4.8 Un conjunto C en un espacio topologico (X,T) es cerrado si, y solo si,C = C.



Cuestion 4.1. ¿Son verdaderas o falsas las siguientes afirmaciones?

1. En un espacio topologico trivial, la adherencia de cualquier conjunto no vacıo es elespacio total.


2. En un espacio topologico discreto, la adherencia de cualquier conjunto S es el propioS.


3. En la topologıa cofinita (X,Tcf), la adherencia de cualquier conjunto esta formadapor el propio conjunto.


4. En (R,Tu), (0, 1) = [0, 1].(a) Verdadero (b) Falso

En el caso de los espacios metricos, los puntos adherentes pueden ser caracterizadosen terminos de la distancia.

Proposicion 4.9 Sea (X, d) un espacio metrico y S ⊂ X un subconjunto. Entonces unpunto x ∈ S si, y solo si, la distancia de x a S es d(x, S) = 0.

Demostracion. Supongamos que x ∈ S y que d(x, S) = λ > 0; entonces B(x, λ/2)∩S =∅, lo que contradice el hecho de que x es un punto de adherencia de S.



Recıprocamente, si d(x, S) = 0, entonces para cualquier n ∈ N existe un puntoy ∈ S tal que d(x, y) < 1

n , de modo que B(x, 1/n)∩ S 6= ∅. Por tanto, x es un punto deadherencia de S. �

1.3. Subconjuntos densos y espacios separables

Definicion 4.2 Sea (X,T) un espacio topologico. Un subconjunto S ⊂ X se dice quees denso en X si S = X.

Los subconjuntos densos pueden ser caracterizados de la siguiente forma.

Proposicion 4.10 Sea (X,T) un espacio topologico y S ⊂ X. Entonces S es denso en(X,T) si, y solo si, A ∩ S 6= ∅ para todo abierto A ∈ T.

Demostracion. ⇐⇐⇐ Supongamos que S ⊂ X es denso, es decir, S = X y sea A 6= ∅ unabierto. Si x ∈ A, como x ∈ S = X y A es entorno de x se cumple, por la definicion deadherencia, que A ∩ S 6= ∅.⇐⇐⇐ Supongamos ahora que todo abierto A 6= ∅ satisface A∩S 6= ∅. Si suponemos queS 6= X, entonces X − S serıa un abierto no vacıo, pero (X − S) ∩ S = ∅, en contra delo supuesto. Por tanto, S = X. �

Ejemplo 4.3. El conjunto de los racionales Q es denso en (R,Tu). Por tanto, R contieneun subconjunto numerable denso.


Seccion 2: Puntos aislados y puntos de acumulacion 10

Definicion 4.3 Un espacio topologico (X,T) es separable si contiene un subconjuntonumerable denso.

Ejemplo 4.4. La recta real (R,Tu) es separable.

2. Puntos aislados y puntos de acumulacion

Definicion 4.4 Sea (X,T) un espacio topologico y S ⊂ X. Diremos que un punto x ∈ Xes un punto de acumulacion (o punto lımite) de S en (X,T) si cualquier entorno Ude x contiene un punto de S distinto de x. Es decir, si (U− {x}) ∩ S 6= ∅. El conjuntode todos los puntos de acumulacion de S se dice que es la acumulacion o conjuntoderivado de S, y se representa por S′.

Un concepto dual en cierto sentido es el de punto aislado.

Definicion 4.5 Sea (X,T) un espacio topologico y S ⊂ X. Diremos que un puntox ∈ S ⊂ X es un punto aislado de S en (X,T) si existe un entorno U de x tal queU ∩ S = {x}.

El siguiente resultado da una relacion entre puntos lımites y puntos aislados.

Proposicion 4.11 Sea (X,T) un espacio topologico y S ⊂ X. Entonces:

(a) El conjunto de puntos aislados de S es S− S′.


Seccion 2: Puntos aislados y puntos de acumulacion 11

(b) S = S ∪ S′.

Demostracion. Probaremos el apartado (b), dejando el apartado (a) como ejercicio.⊃⊃⊃ Si x ∈ S′, cada entorno de x interseca a S en un punto distinto de x, luego x ∈ S.Entonces S′ ⊂ S y puesto que S ⊂ S, se sigue que S ∪ S′ ⊂ S.⊂⊂⊂ Supongamos ahora que x es un punto de S. Si ocurre que x pertenece a S, es trivialque x ∈ S∪ S′; supongamos que x /∈ S. Como x ∈ S, sabemos que cada entorno U de xinterseca a S; al tener que x /∈ S, el conjunto U debe intersecar a S en un punto distintode x. Entonces x ∈ S′, por lo que x ∈ S ∪ S′, como querıamos. �

Cuestion 4.2. Consideremos la recta real R.

1. ¿El punto 0 es un punto lımite de A = (0, 1]?(a) Sı (b) No

2. Si B = {1/n | n ∈ Z+}, entonces . . .

(a) B′ = [−1, 1] (b) B′ = {0} (c) B′ = R3. Si C = {0} ∪ (1, 2), entonces C′ es igual a . . .

(a) [1, 2] (b) [0, 2] (c) [1, 2)

Ejercicio 4.2. Determina los conjuntos derivados de Q, N y R+.

En un espacio metrico (X, d) las definiciones anteriores se concretan diciendo que unpunto x ∈ X es punto de acumulacion de S ⊂ X si para todo r > 0 (B(x, r)−{x})∩S 6= ∅


Seccion 3: Interior y frontera 12

y que un punto x ∈ S ⊂ X es un punto aislado de S si existe r > 0 tal que B(x, r)∩ S ={x}.

Ejemplo 4.5. En R con la topologıa usual, todo natural n ∈ N es un punto adherentede N pero no es de acumulacion; es decir, los naturales son puntos aislados en (R,Tu).En efecto, (B(n, 1

2 )− {n}) ∩ N = ∅.

3. Interior y frontera

• Puntos interiores

Definicion 4.6 Sea (X,T) un espacio topologico y S ⊂ X un subconjunto. Diremosque x ∈ S es un punto interior de S si S es un entorno de x. El conjunto de los puntos

interiores de S se denomina el interior de S y se representa por◦S o Int S.

Un punto x /∈ S se dice que es exterior a S si x ∈ Int(X− S).

Es obvio que para cualquier conjunto S ⊂ X se satisface◦S ⊂ S ⊂ S.

Ejemplo 4.6.

(1) En R con la topologıa usual, Int[0, 1) = (0, 1).

(2) En R con la topologıa usual,◦Q = ∅. ¿Cual es el exterior de Q?



(3) En un espacio topologico con la topologıa trivial, el interior de cualquier subcon-junto S X es el vacıo.

Proposicion 4.12 Sea (X,T) un espacio topologico y S ⊂ X un subconjunto. Un puntox ∈ S es interior de S si, y solo si, x /∈ X− S. En otras palabras, el interior de S es elabierto dado por

◦S = X− X− S.

Demostracion. ⇒⇒⇒ Si x ∈◦S, existe un abierto A tal que x ∈ A ⊂ S. Entonces

A ∩ (X− S) = ∅ y, por tanto, x /∈ X− S.⇐⇐⇐ Sea, ahora, x /∈ X− S. Como X− S ⊂ X− S, si tomamos complementarios en estarelacion cambia el sentido de la inclusion y tendremos que X − X− S ⊂ S. Ahora bien,

X− X− S es abierto, por lo que S es entorno de x, luego x ∈◦S. �

Una importante caracterıstica del interior de un conjunto es que se trata del mayorabierto contenido en dicho conjunto.

Proposicion 4.13 Sea (X,T) un espacio topologico y S ⊂ X un subconjunto. Entonces

si A ⊂ S es abierto se cumple que A ⊂◦S.

Demostracion. Sea A un abierto no vacıo tal que A ⊂ S y sea x un punto de A. ComoA es abierto, es un entorno de x y, por tanto, tambien lo es S. Entonces x es un punto



interior de S, luego A ⊂◦S. �

En particular, esta proposicion proporciona una caracterizacion de los conjuntosabiertos como aquellos en los que todos sus puntos son interiores:

Corolario 4.14 Un subconjunto S de un espacio topologico (X,T) es abierto si, y solo

si, S =◦S.

Se puede caracterizar el interior en terminos de bases de entornos (la demostracionse deja como ejercicio).

Proposicion 4.15 Sea (X,T) un espacio topologico, S ⊂ X y x ∈ S. Sea B(x) una base

de entornos de x en la topologıa T. Entonces x ∈◦S si, y solo si, existe V ∈ B(x) tal que

V ⊂ S.

Concretemos ahora estas caracterizaciones en el caso de los espacios metricos.

Corolario 4.16 Sea (X, d) un espacio metrico y S ⊂ X. Entonces x ∈◦S si, y solo si,

existe r > 0 tal que B(x, r) ⊂ S.

Observemos que la condicion anterior es equivalente a que exista n ∈ N tal queB(x, 1

n ) ⊂ S.



En el caso de espacios metricos, podemos caracterizar tambien el interior en terminosde la distancia a un conjunto.

Ejercicio 4.3. Sea (X, d) un espacio metrico y S ⊂ X. Pruebe que un punto x ∈ S esun punto interior de S si, y solo si, d(x,X− S) > 0.

El interior posee las siguientes propiedades, que son duales de las correspondientesde la adherencia, probadas en la Proposicion 4.1.

Proposicion 4.17 Sea (X,T) un espacio topologico, y sean S1 y S2 subconjuntos deX. Entonces:

(a) Si S1 ⊂ S2, entonces◦S1 ⊂

◦S2

b)◦S1 ∩

◦S2 = Int(S1 ∩ S2).

Demostracion.

(a) Si x ∈◦S1, esto significa que S1 es un entorno de x. Como S1 ⊂ S2, S2 tambien es

un entorno de x. Entonces x ∈◦S2.

(b) Segun hemos visto en la Proposicion 4.12:◦S1 ∩

◦S2 = (X− X− S1) ∩ (X− X− S2) = X− (X− S1 ∪ X− S2)

= X− (X− S1) ∪ (X− S2) = X− X− (S1 ∩ S2) = Int(S1 ∩ S2)



• Puntos frontera

Definicion 4.7 Sea (X,T) un espacio topologico y S ⊂ X un subconjunto. Diremosque x ∈ X es un punto frontera de S si todo entorno U de x cumple que U ∩ S 6= ∅ yU∩ (X− S) 6= ∅. El conjunto de puntos frontera de S se denomina la frontera de S, yse representa por Fr(S).

Como consecuencia de la definicion, el siguiente resultado es obvio.

Proposicion 4.18 Sea (X,T) un espacio topologico y S ⊂ X un subconjunto. EntoncesFr(S) = S ∩ X− S.

Corolario 4.19 Si S es un subconjunto de un espacio topologico, entonces Fr(S) escerrado.

Ejercicio 4.4.

(a) ¿Cuanto vale la frontera de (0, 1) en (R,Tu)?(b) ¿Cuanto vale la frontera de Q en (R,Tu)?

Proposicion 4.20 Sea (X,T) un espacio topologico, S ⊂ X un subconjunto y B(x) unabase de entornos de un punto x ∈ X en la topologıa T. Entonces x ∈ Fr(S) si, y solo si,para todo V ∈ B(x) se cumple que V ∩ S 6= ∅ y V ∩ (X− S) 6= ∅.



En el caso de los espacios metricos tenemos la siguiente caracterizacion.

Corolario 4.21 Sea (X, d) un espacio metrico y S ⊂ X un subconjunto. Un punto x ∈Fr(S) si, y solo si, para todo r > 0 se cumple que B(x, r)∩S 6= ∅ y B(x, r)∩(X−S) 6= ∅.

Observemos que, de forma equivalente, se puede decir que un punto x ∈ Fr(S) si, ysolo si, para todo n ∈ N se cumple que B(x, 1

n ) ∩ S 6= ∅ y B(x, 1n ) ∩ (X− S) 6= ∅.

• Relacion entre interior, clausura y frontera

Finalizamos esta seccion con una bonita relacion entre los conjuntos interior, clausuray frontera.

Proposicion 4.22 Sea (X,T) un espacio topologico y S ⊂ X un subconjunto. Entoncesla frontera de S esta dada por

Fr(S) = S−◦S.

Demostracion. La Proposicion 4.18 implica que Fr(S) = S ∩ X− S. Entonces usandola Proposicion 4.12 tenemos

S ∩ X− S = S ∩ (X−◦S) = S−

◦S,

que es lo que querıamos probar. �


Seccion 4: Adherencia, interior y frontera relativos 18

Proposicion 4.23 Sea (X,T) un espacio topologico y A ⊂ X. Entonces A es abierto si,y solo si, Fr(A) ∩ A = ∅.

Demostracion. ⇒⇒⇒ Si A es abierto, como Fr(A) = A−A tenemos que Fr(A)∩A = ∅.⇐⇐⇐ Si Fr(A) ∩ A = ∅, entonces

∅ = Fr(A) ∩ A = (A−◦A) ∩ A = A−

◦A,

lo que significa que A ⊂◦A. Por tanto, A es abierto. �

4. Adherencia, interior y frontera relativos

• Adherencia relativa

Si tenemos un espacio topologico (X,T), un subespacio suyo (H,TH) y un subconjunto

S ⊂ H, se puede estudiar la adherencia de S tanto en H, SH, como en X, S. ¿Cual es la

relacion entre ambas? Vamos a estudiarla a continuacion.

Proposicion 4.24 Sea (X,T) un espacio topologico y H ⊂ X. Consideremos el subes-pacio topologico (H,TH) y sea S ⊂ H ⊂ X. Entonces

SH

= S ∩ H.


Seccion 4: Adherencia, interior y frontera relativos 19

Demostracion. ⊂⊂⊂ Hemos visto que S ∩ H es cerrado en H. Ademas, por la mismadefinicion, tenemos que S ⊂ S ∩ H y como la adherencia de S en H es el menor de los

cerrados de H que contiene a S, tendremos que SH ⊂ S ∩ H.

⊃⊃⊃ Recıprocamente, sea x ∈ S∩H. Sea U′ ∈ EH(x). Entonces sera U′ = U∩H para algunU ∈ E(x). Como x ∈ S, tendremos que U ∩ S 6= ∅. Ahora bien, U′ ∩ S = U ∩ H ∩ S =U ∩ S 6= ∅, por lo que x ∈ S

H. �

Ejemplo 4.7. La adherencia de (0, 1) en (0,∞) (considerado este ultimo como subes-pacio topologico de R con la topologıa usual) es (0, 1].

• Interior relativo

Proposicion 4.25 Sea (X,T) un espacio topologico y H ⊂ X. Consideremos el subes-pacio topologico (H,TH) y sea S ⊂ H ⊂ X. Entonces

IntH S ⊃◦S ∩ H.

Demostracion. Es claro que◦S∩H es un abierto de H incluido en S. Como IntH S es el

abierto relativo mas grande incluido en S, se cumple◦S ∩ H ⊂ IntH S. �

La propiedad anterior no ayuda mucho a la hora de calcular el interior ya que, en general,la inclusion es estricta, como se muestra en el siguiente ejemplo.


Seccion 5: Sucesiones 20

Ejemplo 4.8. Consideremos Q como subespacio de R con la topologıa usual. Sabemos

que◦Q = ∅, pero IntQQ = Q. Por tanto,

Q = IntQQ 6=◦Q ∩Q = ∅.

• Frontera relativa

Corolario 4.26 Sea (X,T) un espacio topologico y H ⊂ X. Consideremos el subespaciotopologico (H,TH) y sea S ⊂ H ⊂ X. Entonces

FrH(S) ⊂ Fr(S) ∩ H.

Demostracion. La frontera de S en H esta dada por

FrH(S) = SH∩H− S

H= S∩H∩H− S∩H = S∩H− S∩H ⊂ S∩X− S∩H = Fr(S)∩H.

�

El Ejemplo 4.8 anterior muestra que, en general, la inclusion es estricta.

5. Sucesiones

En esta seccion vamos a estudiar el concepto de sucesion en un espacio topologicogeneral, y analizaremos la relacion que existe entre puntos adherentes y convergencia



de sucesiones, relacion que resulta ser especialmente interesante, y particularmente util,en el caso de los espacios metricos.

Definicion 4.8 Sea (X,T) un espacio topologico y (xn)∞n=1 una sucesion de puntosde X. Diremos que (xn)∞n=1 converge a x en (X,T), y lo denotaremos por xn → x olımn xn = x, si para todo entorno U de x existe n0 ∈ N de modo que si n > n0, entoncesxn ∈ U. La sucesion (xn)∞n=1 se dice que es convergente y el punto x se llama lımitede (xn)∞n=1.

Ejemplo 4.9. La convergencia de una sucesion depende de la topologıa. Sea un conjuntoX y (xn)∞n=1, con xn = x ∈ X para todo n, la sucesion constante x. Entonces se dan lasdos situaciones siguientes:

(a) (xn)∞n=1 converge a cualquier punto y ∈ X en la topologıa trivial (X,TT).

(b) {xn}∞n=1 solo converge a x en la topologıa discreta(X,TD).

5.1. Sucesiones convergentes y bases de entornos

Relacionemos las sucesiones convergentes con las bases de entornos.

Proposicion 4.27 Sea (X,T) un espacio topologico, (xn)∞n=1 una sucesion en X y B(x)una base de entornos de x en la topologıa T. Entonces (xn)∞n=1 converge a x si, y solosi, para todo V ∈ B(x) existe n0 ∈ N tal que si n > n0, entonces xn ∈ V.



Demostracion. ⇒⇒⇒ Si (xn)∞n=1 converge a x, como B(x) ⊂ Ux, la condicion se cumplepara todos los entornos V ∈ B(x).⇐⇐⇐ Si U ∈ Ux es un entorno de x, como B(x) es base de entornos, existira V ∈ B(x)tal que V ⊂ U. Entonces para este V existira n0 ∈ N de manera que si n > n0 se tieneque xn ∈ V ⊂ U. Por tanto, para todo n > n0 se tiene que xn ∈ U. �

5.2. Sucesiones y espacios metricos

En el caso de los espacios metricos podemos enunciar la convergencia de sucesionescomo sigue.

Corolario 4.28 Sea (X, d) un espacio metrico y (xn)∞n=1 una sucesion en X. Entonces(xn)∞n=1 converge a x si, y solo si:

Para todo ε > 0 existe n0 tal que n > n0 =⇒ d(xn, x) < ε.

Muy interesante es la siguiente consecuencia, en el que la convergencia se reduce,en el caso de los espacios metricos, al estudio de la convergencia de una sucesion denumeros reales:

Corolario 4.29 Sea (X, d) un espacio metrico y (xn)∞n=1 una sucesion en X. Entonces(xn)∞n=1 converge a x si, y solo si, la sucesion de las distancias (d(xn, x))∞n=1 converge a0 en (R, | |).



• Unicidad del lımite

Una propiedad importante de la convergencia de sucesiones de numeros reales es launicidad del lımite. Ya hemos visto en el Ejemplo 4.9 que esto no se cumple en losespacios topologicos generales. Sin embargo, sı es cierto para un tipo particular deespacios topologicos, que incluye a los espacios metricos.

Proposicion 4.30 Sea (X,T) un espacio topologico de Hausdorff y (xn)∞n=1 una sucesionen X. Entonces, si (xn)∞n=1 es convergente, su lımite es unico.

Demostracion. Supongamos que (xn)∞n=1 es convergente en X a dos puntos distintosx 6= y. Como X es de Hausdorff, existen entornos U ∈ Ux y V ∈ E(y) tales que U∩V = ∅.

Por otra parte, como (xn)∞n=1 converge a x, para el entorno U de x existe n0 tal quesi n > n0, entonces xn ∈ U.

Igualmente, para el entorno V de y, existe n1 tal que si n > n1, entonces xn ∈ V.Ası, para todo n > n1 y n > n0 a la vez, se cumple xn ∈ U y xn ∈ V, lo que esta encontradiccion con el hecho de que U ∩ V = ∅. �

Para concluir este apartado dedicado a las sucesiones en los espacios metricos, vamosa ver que la adherencia, los subconjuntos densos y la frontera se pueden caracterizar,en un espacio metrico, en terminos de sucesiones.



• Puntos adherentes, conjuntos densos y puntos frontera

Proposicion 4.31 Sea (X, d) un espacio metrico y sea S ⊂ X. Entonces x ∈ S si, y solosi, existe una sucesion (xn)∞n=1 ⊂ S tal que xn → x.

Demostracion. ⇒⇒⇒ Supongamos que x ∈ S. Sabemos que {B(x, 1n ) | n ∈ N} es una

base de entornos de x en (X, d). Por tanto, B(x, 1n )∩S 6= ∅. Podemos construir entonces

una sucesion de la siguiente forma:

Para n = 1 tomamos x1 ∈ B(x, 1) ∩ S.

Para n = 2 tomamos x2 ∈ B(x, 12 ) ∩ S.

Y ası sucesivamente: para cada n tomamos xn ∈ B(x, 1n ) ∩ S.

De esta manera obtenemos una sucesion (xn)∞n=1 de puntos de S que converge a xevidentemente.⇐⇐⇐ Si existe una sucesion (xn)∞n=1 en S tal que xn → x, entonces para todo U ∈ Ux

existe n0 tal que n > n0 implica que xn ∈ U, es decir, U ∩ S 6= ∅. Por tanto, x ∈ S. �

La propiedad anterior para los puntos adherentes permite dar una caracterizacionpara un conjunto denso.

Proposicion 4.32 Sea (X, d) un espacio metrico y S ⊂ X un subconjunto. Entonces Ses denso en X si, y solo si, para todo x ∈ X existe una sucesion (xn)∞n=1 en S tal quexn → x.



Demostracion. Simplemente hay que tener en cuenta la Definicion 4.2 de conjuntodenso y la Proposicion 4.31. �

Finalizamos con una caracterizacion de los puntos frontera.

Proposicion 4.33 Sea (X, d) un espacio metrico y S ⊂ X. Un punto x ∈ X es un puntofrontera de S si, y solo si, existe una sucesion (xn)∞n=1 en S y otra (yn)∞n=1 en X−S talesque xn → x e yn → x.

Demostracion. De nuevo, solo hay que tener en cuenta la Definicion 4.7 de puntofrontera y la Proposicion 4.31. �


Problema 4.1. Estudie si (R,Tcf) es un espacio de Hausdorff.

Problema 4.2. Demuestre que la familia formada por las uniones de elementos deB = {[a, b) | a, b ∈ R} es una topologıa sobre R. ¿Es de Hausdorff? ¿Es la usual de R?

Problema 4.3. Un espacio topologico (X,T) se dira puntualmente cerrado cuandotodo subconjunto unipuntual {x} sea cerrado. Demuestre que (X,T) es puntualmentecerrado si, y solo si, para cada par de puntos distintos x , y ∈ X existen abiertos A y Btales que x ∈ A−B e y ∈ B−A. Pruebe que todo espacio de Hausdorff es puntualmentecerrado. ¿Es cierto el recıproco?



Problema 4.4. Sea (X, d) un espacio metrico y C,F ⊂ X cerrados disjuntos. Pruebeque existen dos abiertos disjuntos A y B tales que C ⊂ A y F ⊂ B.

Problema 4.5. Sea (E, <) un conjunto totalmente ordenado. Un intervalo abierto escualquier conjunto de la forma (a, b) = {x ∈ E | a < x < b}; (←, b) = {x ∈ E | x < b} y(a,→) = {x ∈ E | a < x}. Demuestre que, tomando como abiertos la union arbitraria deintervalos abiertos, se tiene una topologıa sobre E y que dicha topologıa es de Hausdorff.

Problema 4.6. Pruebe que si B es una base de una topologıa T sobre un conjunto Xy H ⊂ X, entonces BH = {H ∩ B | B ∈ B} es una base para la topologıa TH inducidasobre H.

Problema 4.7. Sea (X, d) un espacio metrico. Pruebe que si F ⊂ X es cerrado, entoncesd(x,F) = 0 si, y solo si, x ∈ F.

Problema 4.8. En (R,Tu), calcule S∩R− S cuando S es i) [a, b); ii) (a, b); iii) N; iv)Q.

Problema 4.9. En (R,Tcf), calcule Fr(S)∩ (R−S) cuando S es i) un abierto; ii) finito;iii) Q.

Problema 4.10. Sean (X,T) un espacio topologico y A un subconjunto de X. Se dice

que A es fronterizo cuando A ⊂ Fr(A) y que A es raro cuando◦A = ∅.

(a) ¿Es cierto que A es fronterizo si, y solo si,◦A = ∅?



(b) ¿Es cierto que A es fronterizo si, y solo si, el complementario de A es denso enX?

(c) Encuentre en (R,Tu) dos ejemplos de conjuntos fronterizos.

(d) Encuentre en (R,Tu) dos ejemplos de conjuntos raros.

(e) ¿Todo conjunto raro es fronterizo?

(f) ¿Todo conjunto fronterizo es raro?

(g) ¿A abierto implica que Fr(A) es raro?

(h) ¿Todo conjunto cerrado y raro es la frontera de un conjunto abierto?

Problema 4.11. Sea (X,T) un espacio topologico. Demuestre que si A ⊂ B, entoncestodo punto de acumulacion de A es un punto de acumulacion de B, es decir, A ′ ⊂ B′.

Problema 4.12. Considere el conjunto X = {a, b, c, d, e} y la topologıa sobre X dadapor

T = {∅,X, {a}; {a, b}; {a, c, d}; {a, b, c, d}; {a, b, e}}.(a) Encuentre los puntos interiores de A = {a, b, c}.(b) Encuentre los puntos exteriores de A.

(c) Encuentre los puntos frontera de A.



Problema 4.13. Sea (X,T) un espacio topologico y A ∈ T un abierto. Pruebe que,

para todo B ⊂ X, se cumple que A ∩ B = A ∩ B. Proporcione un ejemplo que muestreque si A no es abierto, entonces la igualdad anterior no se cumple necesariamente.

Problema 4.14. Demuestre que un conjunto A es abierto en un espacio topologico(X,T) si, y solo si, para todo M ⊂ X tal que A ∩M = ∅, tambien es M ∩ A = ∅.

Problema 4.15. Si (X, d) es un espacio metrico y M ⊂ X. Demuestre:

(a) x ∈ M si, y solo si, d(x,M) = 0.

(b) x ∈ Int(M) si, y solo si, d(x,X−M) 6= 0.

Problema 4.16. Sea (X,T) un espacio topologico, H ⊂ X y M ⊂ H. Considere elsubespacio (H,TH). Pruebe:

(a) IntM ∩ H ⊂ IntH M.

(b) FrH(M) ⊂ Fr(M) ∩ H.

(c) Busque un ejemplo que muestre que las inclusiones de los dos apartados anteriorespueden ser estrictas.

Problema 4.17. Sea R` la recta de Sorgenfrey y A = (0, 1)∪ (1, 2). Calcule A y Fr(A).

Problema 4.18. Encuentre un ejemplo de dos subconjuntos A y B de (R2,Tu) talesque los conjuntos

A ∩ B, A ∩ B, A ∩ B y A ∩ B



sean distintos.

Problema 4.19. Sea E = [−1, 1] ⊂ R. Sea T = {A ⊂ [−1, 1] | 0 /∈ A o (−1, 1) ⊂ A}:(a) Pruebe que T es una topologıa sobre E.

(b) Calcule { 12} y Fr(−1, 1).

Problema 4.20. En (R,Tu) se consideran los subconjuntos A = [0, 1), B = Q ∩ [1, 2],C = (2, 3] ∪ {4} y D = A ∪ B ∪ C. Calcule A

D, B

Dy C

D.

Problema 4.21. Calcule en (R2, d2) el interior, el exterior y la frontera de los conjuntossiguientes:

A = {(x, y) ∈ R2 | x =1

n, n ∈ N, 0 ≤ y ≤ 1},

B = {(x, y) ∈ R2 | xy > 1},

C = {(x, y) ∈ R2 | x = n, y =1

nn ∈ N}

Problema 4.22. Determine cuales son las sucesiones convergentes en los siguientesespacios topologicos y especifique sus lımites: a)(X,TT); b)(X,TD) y c)(X,Tcf).

Problema 4.23. ¿Converge {(− 12 )n}∞n=1 en R`? En caso afirmativo, ¿a que puntos

converge? Justifique la respuesta.



Problema 4.24. Considere la recta real R y la familia T ⊂ P(R) dada por

T = {∅,R} ∪ {[−x, x]}x>0

¿Es (R,T) un espacio topologico? Justifique la respuesta.

Problema 4.25. Considere la recta real R y la familia T ⊂ P(R) dada por:

T = {A ∪ B | A ∈ Tu y B ⊂ Q}Justifique que (R,T) es un espacio topologico.

Problema 4.26. Sea R` la recta de Sorgenfrey. Para todo A,B ⊂ R, ¿se cumple siempreque A ∩ B = A∩B? En caso afirmativo, justifique la respuesta y en caso negativo, de uncontraejemplo.

Fin del Capıtulo




Ejercicio 4.1.

(1) Si B = {1/n | n ∈ Z+}, entonces B = {0} ∪ B.

(2) Si C = {0} ∪ (1, 2), entonces C = {0} ∪ [1, 2].

(3) Si Q es el conjunto de los numeros racionales, entonces Q = R.

(4) Si N es el conjunto de los numeros naturales, entonces N = N.

(5) Si R+ es el conjunto de los reales positivos, entonces la clausura de R+ es elconjunto R+ ∪ {0}.

Ejercicio 4.1



Ejercicio 4.2. Si Q es el conjunto de los numeros racionales, cada punto de R es unpunto lımite de Q. Si Z+ es el conjunto de los enteros positivos, ningun punto de Res un punto lımite de Z+. Si R+ es el conjunto de los reales positivos, entonces cadapunto de {0} ∪ R+ es un punto lımite de R+. Ejercicio 4.2



Ejercicio 4.3. Hemos visto que x es un punto interior de S si, y solo si, x /∈ X− S. Porotra parte, tambien sabemos que x ∈ X− S si, y solo si, d(x,X − S) = 0. Por tanto, xes un punto interior de S si, y solo si, d(x,X− S) 6= 0. Ejercicio 4.3



Ejercicio 4.4(a) La frontera de (0, 1) en (R,Tu) es el conjunto de dos elementos {0, 1}.�



Ejercicio 4.4(b) Todos los numeros reales son puntos frontera de Q, es decir, Fr(Q) =R. �




Cuestion 4.1(3) En la topologıa cofinita (X,Tcf), la adherencia de un conjunto finitoes el mismo, pero la clausura de un conjunto infinito es el espacio total.

Fin de la cuestion



Cuestion 4.2(1) El punto 0 es un punto lımite de A. De hecho, cada punto del intervalo[0, 1] va a ser un punto lımite de A, pero ningun otro punto de R es un punto lımite deA. Fin de la cuestion



Cuestion 4.2(2) El 0 es el unico punto lımite de B. Cualquier otro punto x de R tieneun entorno que, o no llega a intersecar a B, o interseca a B solo en el propio puntox. Fin de la cuestion



Cuestion 4.2(3) Si C = {0} ∪ (1, 2), entonces los puntos lımite de C son los puntosdel intervalo [1, 2]. Fin de la cuestion



Topologıa5. Continuidad


Resumen: En este capıtulo estudiamos la continuidad de funcionesentre espacios topologicos. Comenzamos introduciendo la continuidaden un punto y lo relacionamos con la formulacion ε-δ y con las suce-siones. Caracterizamos las continuidad a traves de los abiertos o de loscerrados, y presentamos las principales propiedades de las aplicacionescontinuas. Estudiamos algunas aplicaciones especiales: abiertas, ce-rradas y homeomorfismos. Finalizamos estudiando algunos conceptosacerca de la continuidad y convergencia uniformes.



Indice general1. Continuidad en un punto

1.1. Caracterizacion ε-δ1.2. Sucesiones1.3. Composicion de funciones continuas1.4. Continuidad y adherencia

2. Continuidad en todo el espacio2.1. Abiertos2.2. Cerrados2.3. Propiedades de las funciones continuas

3. Algunos tipos de aplicaciones3.1. Aplicaciones abiertas y cerradas3.2. Homeomorfismos y embebimientos

4. Continuidad y convergencia uniforme4.1. Continuidad uniforme4.2. Convergencia uniforme

5. Problemas propuestosSoluciones de los ejercicios

Seccion 1: Continuidad en un punto 3

De entre todas las aplicaciones que pueden definirse entre dos espacios, las aplica-ciones continuas ocupan un papel preponderante. Su estudio es fundamental no soloen topologıa, sino tambien en analisis, geometrıa diferencial y, en general, en todas lasramas de las matematicas.

En general, una funcion es continua cuando las imagenes de dos puntos proximosson tambien puntos proximos. Esto es, claro, muy informal y habra que precisar susignificado en cualquier espacio topologico.

1. Continuidad en un punto

Definicion 5.1 Sean (X,T) e (Y,T′) dos espacios topologicos y sea f : X −→ Y unaaplicacion entre ellos. Diremos que f es continua en un punto a ∈ X si para todoentorno U ∈ Uf(a) existe un entorno V ∈ Ua tal que f(V) ⊂ U.

La continuidad de una aplicacion depende no solo de la aplicacion sino tambien delas topologıas, tanto de la del dominio como de la imagen. Por eso, en sentido estricto,la aplicacion se habrıa de indicar como f : (X,T) −→ (Y,T′). No obstante, y si no existeambiguedad, suprimiremos cualquier referencia explıcita a las topologıas.

Proposicion 5.1 Sean f : X −→ Y una aplicacion entre dos espacios topologicos(X,TX) y (Y,TY). Sea un punto a ∈ X y consideremos B(a) y B(f(a)) bases de entornosde a en TX y de f(a) en TY, respectivamente. Entonces f es continua en a si, y solo si,



para todo U ∈ B(f(a)) existe V ∈ B(a) tal que f(V) ⊂ U.

Demostracion. ⇒⇒⇒ Dado U ∈ B(f(a)) existira V ∈ Ua tal que f(V) ⊂ U. Como B(a)es base de entornos tendremos que existe V ′ ∈ B(a) de modo que V′ ⊂ V, con lo quef(V′) ⊂ f(V) ⊂ U.⇐⇐⇐ Sea U ∈ Uf(a), entonces existe U′ ∈ B(f(a)) de modo que U′ ⊂ U. Por hipotesisexiste V ∈ B(a) tal que f(V) ⊂ U′ ⊂ U (lo que concluye la prueba ya que V ∈ B(a) ⊂Ua). �

1.1. Caracterizacion ε-δ

Ejemplo 5.1. Consideremos una “funcion de variable real con valores reales”, f : R →R. En cualquier curso de calculo se define la continuidad de f mediante la clasica“definicion ε-δ”.

Dado a en R, y dado ε > 0, el intervalo V = (f(x0) − ε, f(x0) + ε) es un conjuntoabierto del espacio de llegada R. Por tanto, f−1(V) es un conjunto abierto en el espaciode salida R. Puesto que f−1(V) contiene al punto a, contiene algun elemento basico(r, s) alrededor de a. Elegimos δ para que sea el mas pequeno de los dos numeros a − ry s − a. Entonces, si |x− a| < δ, el punto x debe estar en (r, s), por lo que f(x) ∈ V y|f(x)− f(a)| < ε, como se deseaba.

La caracterizacion ε− δ se puede extender a cualquier espacio metrico.



Corolario 5.2 Sean f : X −→ Y una aplicacion entre dos espacios metricos (X, d) e(Y, d′) y a ∈ X. Entonces f es continua en a si, y solo si, para todo ε > 0 existe δ > 0tal que siempre que d(x, a) < δ se verifica que d′(f(x), f(a)) < ε.

Demostracion. Supongamos que f es continua en a. Dado ε, consideramos el conjuntoB(f(a), ε) ⊂ Uf(a). Entonces existe un entorno V ∈ Ua tal que f(V) ⊂ B(f(a), ε). Comolas bolas son una base de entornos, existe alguna bola B(a, δ) centrada en a tal queB(a, δ) ⊂ V y ası f(B(a, δ)) ⊂ B(f(a), ε). Si x esta en esta bola, entonces f (a) esta enla bola centrada en f(a), que es la condicion requerida.

La condicion recıproca es igualmente sencilla y puede probarse invirtiendo el sentidode las implicaciones anteriores. �

Ejemplo 5.2. Las siguientes funciones f : R → R son continuas: (a) las funcionesconstantes; (b) la funcion identidad; (c) las funciones elementales x a, sen(x), cos(x),ex y sus inversas en sus dominios de definicion; (d) la suma y el producto de funcionescontinuas; (e) la inversa para el producto de una funcion continua no nula.

Ejemplo 5.3. Consideremos el conjunto X = {a, b, c, d} dotado con la topologıa

T = {X, ∅, {a}, {b}, {a, b}, {b, c, d}}y sea la funcion f : X −→ X definida como sigue:

f(a) = b, f(b) = d,f(c) = b, f(d) = c.



La funcion f es continua en d y no lo es en c.

Ejercicio 5.1. Sea R` el conjunto R con la topologıa del lımite inferior. Prueba quela funcion identidad f : R → R`, f(x) = x para cada numero real x, no es una funcioncontinua en ningun punto. ¿Que ocurre con la funcion identidad g : R` → R?

1.2. Sucesiones

Vamos a generalizar a espacios metricos una conocida propiedad de la continuidad defunciones reales de variable real.

Proposicion 5.3 Sean dos espacios metricos (X, d) e (Y, d′), f : X −→ Y una aplicacionentre ellos y a ∈ X. Entonces son equivalentes:

(a) f es continua en a.

(b) Si (xn)∞n=1 es una sucesion en X con lımite a, entonces {f(xn)}∞n=1 converge a f(a).

Demostracion. (a)⇒(b) Supongamos que f es continua en a ∈ X y que (xn)n → a. Paraver que (f(xn))n → f(a) tenemos que probar que

para todo ε > 0, existe n0 tal que si n > n0 entonces d′(f(xn), f(a)) < ε.

Como f es continua en a, dado ε > 0, existe δ > 0 tal que

d(x, a) < δ ⇒ d′(f(x), f(a)) < ε.



Por otra parte, como (xn)n → a, dado δ > 0, existe n0 tal que

si n > n0 ⇒ d(xn, a) < δ.

Por tanto, si n > n0 entonces d′(f(xn), f(a)) < ε, puesto que d(xn, a) < δ.(b)⇒(a) Supongamos, por reduccion al absurdo, que (f(xn))n converge a f(a) y f noes continua. Esto significa que existe ε > 0 tal que para cada δ > 0 existe xδ ∈ Xsatisfaciendo d(xδ, a) < δ y d′(f(xδ), f(a) ≥ ε. Entonces se tiene

Dado δ = 1 existe x1 con d(x1, a) < 1 y d′(f(x1), f(a)) > ε.

Dado δ = 12 existe x2 con d(x2, a) < 1

2 y d′(f(x1), f(a)) > ε.

Y ası sucesivamente: dado δ = 1n existe xn con d(xn, a) < 1

n y d′(f(x1), f(a)) > ε.

Hemos obtenido una sucesion (xn)n en X que converge hacia a, puesto que la sucesion determinos positivos (d(xn, a))n converge a; sin embargo, la sucesion (f(xn))n no convergea f(a), ya que siempre es d′(f(xn), f(a)) > ε. �

La implicacion (a)⇒(b) se satisface en cualquier espacio topologico, mientras quela implicacion contraria solo se verifica en los espacios metricos (o metrizables).

Ejemplo 5.4. La funcion f : R −→ R, en ambos casos con la topologıa usual, definidapor

f(x) ={

1x−1 si x 6= 1

1 si x = 1



no es continua en x = 1, pues la sucesion xn = 1 + 1n tiene por lımite 1 y, sin embargo,

lımn

f(xn) = lımn

11n + 1− 1

= lımn

n 6= f(1).

1.3. Composicion de funciones continuas

Proposicion 5.4 Sean (X,TX), (Y,TY) y (Z,TZ) tres espacios topologicos, y sean f :X −→ Y y g : Y −→ Z dos aplicaciones tales que f es continua en a ∈ X y g es continuaen f(a). Entonces g ◦ f es continua en a.

Demostracion. Sea U ∈ Ug(f(a)). Como g es continua en f(a), existe V ∈ Uf(a) tal queg(V) ⊂ U y como f es continua en a, existe W ∈ Ua tal que f(W) ⊂ V. Pero entoncesg(f(W)) ⊂ g(V) ⊂ U. �

1.4. Continuidad y adherencia

Proposicion 5.5 Sean (X,TX) e (Y,TY) dos espacios topologicos, f : X −→ Y unaaplicacion continua en a ∈ X y un subconjunto S ⊂ X. Entonces si a ∈ S se cumple quef(a) ∈ f(S). En otras palabras, f(S) ⊂ f(S).

Demostracion. Sea U ∈ Uf(a); como f es continua en a, existe V ∈ Ua tal que f(V) ⊂ U.Pero a es un punto de adherencia de S, por lo que V ∩ S 6= ∅. Esto implica que

∅ 6= f(V ∩ S) ⊂ f(V) ∩ f(S) ⊂ U ∩ f(S),


Seccion 2: Continuidad en todo el espacio 9

y ası f(a) es un punto de adherencia de f (S). �

Una pregunta que surge de modo natural al contemplar el resultado anterior es sidicha propiedad se conserva para otros conjuntos notables, como el interior o la frontera.La respuesta es negativa, como demuestra el siguiente ejemplo.

Ejemplo 5.5. La funcion cos : R −→ R es una funcion continua, 0 ∈◦R y, sin embargo,

cos 0 = 1 /∈ Int f(R) = (−1, 1). Por otra parte, si S = [0, π]∪{ 3π2 }, entonces 3π

2 ∈ Fr(S),pero cos( 3π

2 ) = 0 /∈ Fr(cos(S)).

2. Continuidad en todo el espacio

Definicion 5.2 Sean dos espacios topologicos (X,TX) e (Y,TY) y sea f : X −→ Y unaaplicacion entre ellos. Diremos que f es continua si lo es en todo punto de X.

2.1. Abiertos

Proposicion 5.6 Sean (X,TX) e (Y,TY) dos espacios topologicos y sea f : X −→ Yuna aplicacion. Entonces son equivalentes:

(a) f es continua.

(b) Para todo abierto A ⊂ Y, el conjunto f−1(A) es abierto en X.



Demostracion. (a)⇒(b) Supongamos que f es continua y sea A ∈ TY. Para demostrarque f−1(A) es abierto en TX veamos que es entorno de todos sus puntos. Sea x ∈ f−1(A),entonces f(x) ∈ A, luego A es entorno de f(x). Como f es continua, en particular losera en x, y existe V ∈ Ua tal que f(V) ⊂ A. Pero eso implica que V ⊂ f−1(A) yası f−1(A) ∈ Ua.(b)⇒(a) Supongamos ahora que para todo A ∈ TY, f−1(A) ∈ TX y veamos que f escontinua en cada punto de X. Sea x ∈ X y sea U ∈ Uf(x). Entonces existe A ∈ TY talque f(x) ∈ A ⊂ U. Esto significa que x ∈ f−1(A) y como f−1(A) ∈ TX se puede tomarV = f−1(A) ∈ Ux. Ademas, f(V) = f(f−1(A)) ⊂ A ⊂ U, por lo que f es continua en x.�

2.2. Cerrados

Las aplicaciones continuas tambien pueden ser caracterizadas mediante los cerrados.

Proposicion 5.7 Una aplicacion f : (X,TX) −→ (Y,TY) es continua si, y solo si, paratodo cerrado C en (Y,TY) se tiene que f−1(C) es un cerrado en (X,TX).

Demostracion. ⇒⇒⇒ Supongamos que f es continua y que C es cerrado en (Y,TY).Entonces X− f−1(C) = f−1(Y−C) ∈ TX al ser la anti-imagen de un abierto, por lo quef−1(C) es cerrado en (X,T).



⇐⇐⇐ Sea V un conjunto abierto de Y y pongamos C = Y − V. Entonces

f−1(C) = f−1(Y)− f−1(V) = X− f−1(V).

Ahora C es un conjunto cerrado de Y, entonces f−1(C) es cerrado en X por hipotesis,de modo que f−1(V) es abierto en X, como se deseaba. �

La demostracion del siguiente resultado es sencilla y se deja como ejercicio.

Proposicion 5.8 Sean (X,TX) e (Y,TY) dos espacios topologicos y B una base de(Y,TY). Son equivalentes:

(a) La aplicacion f : X −→ Y es continua.

(b) Para todo B ⊂ B, se cumple que f−1(B) es abierto en (X,TX).

En general, si f : X → Y es continua y A es un abierto en X, f (A) no tiene porque ser abierto en Y. Por ejemplo, la funcion f : R −→ R, dada por f(x) = sen(x), escontinua para la topologıa usual y, sin embargo, f (R) = [−1, 1] que no es un abierto enR.

Ejemplo 5.6.

(1) Una funcion constante f : X → Y es continua respecto de cualquier topologıa enX y cualquier topologıa en Y.



(2) Si (X,TD) es un espacio topologico discreto, toda aplicacion f : X −→ Y escontinua.

(3) Si (Y,TT) es un espacio topologico con la topologıa trivial, toda aplicacion f :X −→ Y es continua.

(4) La funcion identidad Id : (X,T) → (X,T′) es continua si, y solo si, T es mas finaque T′.

2.3. Propiedades de las funciones continuas

Como un resumen de las propiedades anteriores, el siguiente resultado proporciona meto-dos para construir funciones continuas entre espacios topologicos.

Teorema 5.9 (Reglas para construir funciones continuas) Sean X, Y y Z espaciostopologicos.

(a) Si f : X → Y es la funcion constante igual a y0 ∈ Y, entonces f es continua.

(b) Si A es un subespacio de X, la funcion inclusion j : A → X es continua.

(c) Si f : X → Y y g : Y → Z son continuas, entonces la aplicacion g ◦ f : X → Z escontinua.

(d) Si f : X → Y es continua y A es un subespacio de X, entonces la funcion restringidaf|A : A → Y es continua.



(e) Sea f : X → Y continua. Si Z es un subespacio de Y que contiene al conjuntoimagen f(X), entonces la funcion g : X → Z, obtenida al restringir el rango def, es continua. Si Z es un espacio con Y como subespacio, entonces la funcionh : X → Z, obtenida al extender el recorrido de f, es continua.

(f) La aplicacion f : X → Y es continua si X se puede escribir como la union deconjuntos abiertos Ui tales que f |Ui es continua para cada i.

Demostracion. Probaremos solo algunas de las propiedades; el resto ya se ha demos-trado o se hace de forma sencilla.

(e) Sea f : X → Y continua. Si f(X) ⊂ Z ⊂ Y, probemos que la funcion g : X → Zobtenida a partir de f es continua. Sea B abierto en Z, entonces B = Z ∩ U para algunconjunto abierto U de Y. Puesto que Z contiene completamente al conjunto imagenf(X), se tiene

f−1(U) = g−1(B).Como f−1(U) es abierto, tambien lo es g−1(B).

Para probar que h : X → Z es continua si Z tiene a Y como subespacio, observemosque h es la composicion de la aplicacion f : X → Y y la inclusion j : Y → Z.

(f) Podemos escribir X como union de conjuntos abiertos U i, tales que f |Ui escontinua para cada i. Sea V un conjunto abierto en Y. Entonces

f−1(V) ∩ Ui = (f|Ui)−1(V)


Seccion 3: Algunos tipos de aplicaciones 14

puesto que ambas expresiones representan el conjunto de los puntos x que pertenecena Ui para los que f(x) ∈ V. Como f |Ui es continua, este conjunto es abierto en U i, ypor tanto, abierto en X. Pero

f−1(V) =⋃i

(f−1(V) ∩ Ui)

por lo que f−1(V) es tambien abierto en X. �

3. Algunos tipos de aplicaciones

3.1. Aplicaciones abiertas y cerradas

Definicion 5.3 Sean dos espacios topologicos (X,TX) e (Y,TY) y f : X → Y unaaplicacion. Diremos que f es abierta si para todo A ∈ TX, f(A) ∈ TY y diremos que fes cerrada si para todo C ⊂ X cerrado en TX, f(A) ⊂ Y es cerrado en TY.

Ejemplo 5.7. La proyeccion π : (R2, d2) −→ (R,Tu) del plano sobre el eje x de lasabcisas, π(x, y) = x, es una aplicacion abierta puesto que la proyeccion de cualquierbola abierta B((a, b), r) es un intervalo abierto (a− r, a+ r). Pero no es cerrada, puestoque la proyeccion del conjunto cerrado C = {(x, y) ∈ R2 | x > 0, xy ≥ 1} es el intervalo(0,+∞), que no es cerrado.



3.2. Homeomorfismos y embebimientos

La ultima parte de esta seccion esta dedicada al estudio de los homeomorfismos. Esteconcepto tiene mucha importancia en topologıa, ya que dos espacios topologicos quesean homeomorfos se pueden considerar iguales topologicamente.

Definicion 5.4 Sean (X,TX) e (Y,TY) dos espacios topologicos. Un homeomorfismoentre X e Y es una aplicacion biyectiva f : X → Y tal que tanto f como su inversaf−1 son continuas. Diremos que dos espacios topologicos son homeomorfos si existe unhomeomorfismo entre ellos.

Diremos que una propiedad en un espacio topologico es una propiedad topologicasi es invariante por homeomorfismos. Este concepto es el analogo al existente en algebrade isomorfismo.

La siguiente caracterizacion de los homeomorfismos es consecuencia inmediata delas definiciones y de las Proposiciones 5.6 y 5.7.

Proposicion 5.10 Sea f : X → Y una aplicacion biyectiva entre espacios dos topologi-cos (X,TX) e (Y,TY). Son equivalentes:

(a) f es un homeomorfismo.

(b) Un subconjunto A ⊂ X es abierto si, y solo si, f(A) es abierto.

(c) Un subconjunto C ⊂ X es cerrado si, y solo si, f(C) es cerrado.



Ejemplo 5.8.

(1) Dos espacios topologicos triviales son homeomorfos si, y solo si, existe una biyec-cion entre ellos.

(2) Dos espacios topologicos discretos son homeomorfos si, y solo si, existe una bi-yeccion entre ellos.

(3) La aplicacion sen : (0, π/2) → (0, 1) es un homeomorfismo, ya que restringida aestos intervalos es biyectiva, y su inversa arcsen : (0, 1) → (0, π/2) es tambiencontinua.

Ejemplo 5.9. La funcion f : R → R dada por f(x) = 3x + 1 es un homeomorfismo. Sidefinimos g : R → R mediante la ecuacion

g(y) =1

3(y − 1)

entonces se puede comprobar facilmente que f (g(y)) = y y que g(f(x)) = x para todoslos numeros reales x e y. Se sigue que f es biyectiva y que g = f−1; la continuidad de fy g es un resultado conocido de analisis.

Ejercicio 5.2. Demuestra que la funcion F : (−1, 1) → R definida por

F(x) =x

1− x2

es un homeomorfismo.



Ejercicio 5.3. Una funcion biyectiva f : X → Y puede ser continua sin ser un homeo-morfismo. Denotemos por S1 al cırculo unidad

S1 = {(x, y) | x2 + y2 = 1}considerado como subespacio del plano R2, y sea

f : [0, 1) → S1

la aplicacion definida por f(t) = (cos 2πt, sen 2πt). Demuestra que f es biyectiva ycontinua pero no es un homeomorfismo.

Ejemplo 5.10. El hecho de ser acotado no es una propiedad topologica. El intervalo(−1, 1) y R son topologicamente equivalentes (como se prueba en el Ejercicio 5.2) peroel primero de ellos esta acotado y el segundo no.

Ahora supongamos que f : X → Y es una aplicacion continua inyectiva, donde Xe Y son espacios topologicos. La funcion f ′ : X → f(X), donde f(X) tiene la topologıainducida, obtenida al restringir el rango de f, es biyectiva. Si ocurre que f ′ es un homeo-morfismo de X con f(X), decimos que la aplicacion f : X → Y es un embebimientotopologico, o simplemente un embebimiento, de X en Y.

Ejemplo 5.11.

(1) La aplicacion sen : (0, π/2) → R es un embebimiento.


Seccion 4: Continuidad y convergencia uniforme 18

(2) La aplicacion f : (0,+∞) → R, dada por f(x) = 1/x, es un embebimiento, ya quef ′ : (0,+∞) → (0,+∞) es un homeomorfismo.

Ejemplo 5.12. Consideremos la funcion g : [0, 1) → R2 obtenida a partir de la funcion fdel Ejercicio 5.3 al extender el recorrido. La aplicacion g es un ejemplo de una aplicacioncontinua inyectiva que no es un embebimiento.

4. Continuidad y convergencia uniforme

4.1. Continuidad uniforme

En el caso de los espacios metricos, ademas de las aplicaciones continuas, hay otras clasesde aplicaciones interesantes, que tambien involucran un cierto concepto relacionado conla continuidad.

Definicion 5.5 Una aplicacion entre espacios metricos f : (X, d) → (Y, d′) es unifor-memente continua si para cada ε > 0 existe δ > 0 tal que para todo x, y ∈ X cond(x, y) < δ se verifica que d′(f(x), f(y)) < ε.

Ejemplo 5.13. Es facil probar que toda aplicacion uniformemente continua es continua,pero el recıproco no es cierto: basta considerar la funcion f (x) = x2. En efecto, dadoε > 0, para todo δ > 0 siempre podemos encontrar dos numeros x e y en R tales que



|x− y| < δ y, sin embargo, |x2 − y2| > ε. Observemos que

x2 − y2 = (x− y)(x + y).

Dados ε y δ, tomamos x e y tales que |x− y| = δ2 y |x + y| > 2ε

δ , entonces

|x2 − y2| = |x− y| |x + y| > ε.

Definicion 5.6 Dados dos espacios metricos (X, d) e (Y, d′), diremos que una aplicacionbiyectiva f : X → Y es una isometrıa si conserva la distancia, es decir, d(x1, x2) =d′(f(x1), f(x2)) para todo x1, x2 ∈ X. En este caso decimos que (X, d) e (Y, d′) sonespacios isometricos.

Como consecuencia de la definicion se tiene los siguientes resultados.

Proposicion 5.11 Una isometrıa es una aplicacion uniformemente continua.

Proposicion 5.12 Si dos espacios metricos son isometricos, entonces tambien son ho-meomorfos.

Ejemplo 5.14. El recıproco de la ultima proposicion no es cierto, en general. Si consi-deramos R con la distancia discreta y con la distancia

d(x, y) =

{2 si x 6= y

0 si x = y



entonces la aplicacion identidad es un homeomorfismo que no es isometrıa.

4.2. Convergencia uniforme

Finalmente, llegamos a la nocion de convergencia uniforme.

Definicion 5.7 Sea fn : X → Y una sucesion de funciones del conjunto X al espaciometrico (Y, d). Diremos que la sucesion (fn) converge uniformemente a la funcionf : X → Y si, dado ε > 0, existe un entero N tal que

d(fn(x), f(x)) < ε

para todo n > N y todo x en X.

La convergencia uniforme depende no solo de la topologıa de Y, sino tambien de sudistancia. Tenemos el siguiente teorema sobre sucesiones uniformemente convergentes:

Teorema 5.13 (El teorema del lımite uniforme) Sea fn : X → Y una sucesion defunciones continuas del espacio topologico X al espacio metrico Y. Si (fn) convergeuniformemente a f, entonces f es continua.

Demostracion. Sea V abierto en Y y sea x0 un punto de f−1(V). Deseamos encontrarun entorno U de x0 tal que f(U) ⊂ V.



Sea y0 = f(x0). En primer lugar, elijamos ε tal que la bola B(y0, ε) este contenidaen V. Entonces, usando la convergencia uniforme, elegimos N tal que para todo n ≥ Ny todo x ∈ X,

d(fn(x), f(x)) < ε/3.

Finalmente, usando la continuidad de fN, elegimos un entorno U de x0 tal que fN aplicaU en la bola de radio ε/3 en Y centrada en fN(x0).

Afirmamos que f lleva U a B(y0, ε), y de aquı, a V, como se deseaba. Para esteproposito, observese que si x ∈ U, entonces

d(f(x), fN(x)) < ε/3 (por la eleccion de N),d(fN(x), fN(x0)) < ε/3 (por la eleccion de U),d(fN(x0), f(x0)) < ε/3 (por la eleccion de N).

Sumando y usando la desigualdad triangular, vemos que d(f(x), f(x0)) < ε, como sedeseaba. �


Problema 5.1. Sea (X,T) un espacio topologico. Dado un subconjunto A ⊂ X, seconsidera la aplicacion caracterıstica de A, χA : (X,T) → (R,Tu), definida como sigue:

χA(x) ={

1 si x ∈ A0 si x /∈ A



¿Cuando es continua la aplicacion χA?

Problema 5.2. Estudie si es continua la funcion f : R` → R` definida por

f(x) =

{1 si x ≤ −1

x si x > −1

Problema 5.3. Sea la aplicacion f : (R,Tu) −→ (R,Tu), definida por

f(x) = − 1

1 + x2.

¿Es abierta? ¿Es cerrada?

Problema 5.4. Sea la aplicacion f : (R,Tcf) → (R,Tcf), definida por f(x) = sen(x),donde Tcf representa la topologıa cofinita. ¿Es f continua?

Problema 5.5. Estudie la continuidad de la funcion “valor absoluto”: | | : (R,Tu) →(R,Tu).

Problema 5.6. Encuentre un homeomorfismo entre el intervalo (a, b) de R y el propioR, con las topologıas usuales.

Problema 5.7. Dado x0 ∈ X e y0 ∈ Y, pruebe que las aplicaciones f : X → X × Y yg : Y → X× Y definidas por

f(x) = (x, y0) y g(y) = (x0, y)



son embebimientos.

Problema 5.8. Sea TS la topologıa sobre R formada por los intervalos de la forma(a, b], sus uniones y el vacıo. Se define f : R → R por

f(x) ={

x + 2 si x ≤ 30 si x > 3

Estudie la continuidad de f : (R,Tu) → (R,Tu); g : (R,TS) → (R,TS); h : (R,Tu) →(R,TS); k : (R,TS) → (R,Tu).

Problema 5.9.

(a) Supongamos que f : R → R es “continua por la derecha”, esto es,

lımx→a+

f(x) = f(a)

para todo a ∈ R. Pruebe que f es continua cuando se considera como una funcionde R` en R.

(b) ¿Puede conjeturar que funciones f : R → R son continuas cuando se considerancomo aplicaciones de R en R`? ¿Y como aplicaciones de R` en R`?

Problema 5.10. Sea f : (X,TX) → (Y,TY) y sea x ∈ X. Pruebe que f es continua en xsi, y solo si, existe U ∈ E(x) tal que f|U : (U,TU) → (Y,TY) es continua en x.



Problema 5.11. Sea f : (X,TX) → (Y,TY) y {Ai | i ∈ I} una familia de abiertos de Xtal que X = ∪i∈IAi. Si f|Ai es continua, para cada i ∈ I, pruebe que f es continua. Lomismo se puede demostrar para una familia finita de cerrados.

Problema 5.12. Sea (X,T) un espacio topologico y sean f , g : (X,T) → (R,Tu) dosaplicaciones continuas.

(a) Demuestre que {x ∈ X | f(x) = g(x)} es un subconjunto cerrado de (X,T).(b) Deduzca que si f(x) = g(x) para todos los puntos x de un subconjunto denso D

de X, entonces f(x) = g(x) para todo x ∈ X.

Problema 5.13. Sea X un conjunto infinito. Encuentre una condicion necesaria y sufi-ciente para que f : (X,Tcf) → (X,Tcf) sea un homeomorfismo.

Problema 5.14. Sea f : ([0, 1],Tu) → ([0, 1],Tu) una aplicacion continua continua.Demuestre que f tiene un punto fijo, es decir, existe p ∈ [0, 1] tal que f(p) = p.

Problema 5.15. Sea f : R → R definida como sigue:

f(x) ={

1 si x ∈ Qx si x ∈ R−Q

¿Es f : (R,Tcn) → (R,Tcf) continua? ¿Es cerrada? Justifique las respuestas.

Problema 5.16. Sea f : (X,TX) → (Y,TY) una funcion inyectiva y continua. Pruebe

que para todo A ⊂ X, Int f(A) ⊂ f(◦A).



Problema 5.17. Demuestre que, en R con la topologıa usual, cualquier intervalo cerrado[a, b] es homeomorfo al intervalo [0, 1].

Problema 5.18. Sean f y g dos aplicaciones continuas de un espacio topologico E enotro espacio topologico de Hausdorff F. Demuestre que si coinciden las restricciones def y g para cualquier subconjunto A denso en E, entonces f = g.

Problema 5.19. Se dice que una aplicacion f : (X, d) → (Y, d′) es de Lipschitz si existeun numero real k > 0 tal que d′(f(x), f(y)) ≤ kd(x, y) para todo x, y ∈ X. Demuestreque una aplicacion de Lipschitz es uniformemente continua.

Fin del Capıtulo




Ejercicio 5.1. En efecto, sea a ∈ R` y consideremos el abierto [a, b). Entonces no existeningun intervalo abierto (c, d) tal que a ∈ (c, d) y f(a) ∈ f((c, d)) ⊂ [a, b).

Por otro lado, la funcion identidad g : R` → R sı es continua, porque la imageninversa de (a, b) es el mismo, que es abierto en R`. Ejercicio 5.1



Ejercicio 5.2. En primer lugar, F es una correspondencia biyectiva que conserva elorden; su inversa es la funcion G definida por

G(y) =2y

1 + (1 + 4y2)1/2.

El hecho de que F sea un homeomorfismo se puede probar usando la continuidad delas funciones algebraicas y la funcion raız cuadrada. En efecto, tanto F como G soncontinuas al ser composicion de funciones continuas. Ejercicio 5.2



Ejercicio 5.3. El hecho de que f sea biyectiva y continua se sigue de propiedadesfamiliares de las funciones trigonometricas. Pero la funcion f−1 no es continua. Laimagen mediante f del conjunto abierto U = [0, 1

4 ) del dominio, por ejemplo, no esabierta en S1, puesto que el punto p = f(0) no pertenece a ningun conjunto abierto Vde R2 tal que V ∩ S1 ⊂ f(U). Ejercicio 5.3



Topologıa6. Espacios conexos


Resumen: En este capıtulo estudiamos los espacios conexos y su re-lacion con otras propiedades ya estudiadas. Despues de dar unos re-sultados para construir espacios conexos, estudiamos los subespaciosconexos de la recta real, lo que nos conduce al concepto de conexionpor caminos. A continuacion relacionamos conexion y continuidad yfinalizamos el capıtulo con la conexion de los productos cartesianos.



Indice general1. Conjuntos separados

1.1. Subespacios conexos1.2. Construccion de espacios conexos

2. Conexos en R2.1. Conexion por caminos

3. Conexion y continuidad4. Conexion y productos cartesianos5. Problemas propuestos


Seccion 1: Conjuntos separados 3

1. Conjuntos separados

La definicion de conexion para un espacio topologico es muy natural. Ası, se dice queun espacio puede ser “separado” si es posible dividirlo en dos conjuntos abiertos coninterseccion trivial. En caso contrario, diremos que el espacio es conexo. En terminosmas precisos, se tienen las siguientes definiciones.

Definicion 6.1 Dado un espacio topologico (X,T) y dos subconjuntos A,B ⊂ X, dire-mos que A y B estan separados si A ∩ B = A ∩ B = ∅.

Es evidente que si A y B estan separados, entonces son disjuntos. Sin embargo, elrecıproco no es cierto como queda de manifiesto en los siguientes ejemplos.

Ejemplo 6.1.

(1) En R con la topologıa usual, los intervalos (0, 1) y (1, 2) estan separados, perolos intervalos (0, 1) y [1, 2) no lo estan, a pesar de que son disjuntos.

(2) En (R2, d2) los conjuntos A y B siguientes estan separados

A = {(x, y) ∈ R2 | x2 + y2 > 1} y B{(x, y) ∈ R2 | x2 + y2 < 1}

(3) En R con la topologıa usual, Q y R−Q no estan separados.

Definicion 6.2 Un espacio topologico (X,T) se dice que es conexo si X no es union dedos subconjuntos no vacıos y separados. En caso contrario diremos que X es no conexo.



Proposicion 6.1 Sea (X,T) un espacio topologico y A,B ⊂ X dos subconjuntos dis-juntos tales que X = A ∪ B. Son equivalentes:

(a) X es no conexo (A y B estan separados).

(b) A y B son cerrados.

(c) A y B son abiertos.

Demostracion. (a)⇒(b) Supongamos que A y B estan separados, es decir, que A∩B =A ∩ B = ∅ y veamos que A es cerrado. Podemos poner

A = A ∩ X = A ∩ (A ∪ B) = (A ∩ A) ∪ (A ∩ B) = A ∪∅ = A.

Por tanto, A = A de donde A es cerrado. Analogamente se prueba que B tambien escerrado.(b)⇒(c) Suponemos ahora que A y B son cerrados. Como A ∪ B = X y A ∩ B = ∅entonces A = Bc y B = Ac. Por tanto, A y B son abiertos (pues son complementariosde cerrados).(c)⇒(a) Supongamos que A y B son abiertos y que A∪B = X. Tal y como hemos visto, Ay B son cerrados (pues son complementarios de abiertos). Entonces A∩B = A∩B = ∅y A ∩ B = A ∩ B = ∅, luego A y B estan separados. �

La conexion se puede formular de otro modo:

Corolario 6.2 Un espacio topologico (X,T) es conexo si, y solo si, los unicos conjuntosque son, a la vez, abiertos y cerrados son X y ∅.



La Proposicion 6.1 nos permite introducir un nuevo concepto.

Definicion 6.3 Sea X un espacio topologico. Una separacion de X es un par U,V deabiertos (o cerrados) disjuntos no triviales de X cuya union es X.

Obviamente, la conexion es una propiedad topologica, ya que se formula completamenteen terminos de la coleccion de los conjuntos abiertos (o de los cerrados) de X. En otraspalabras, si X es un espacio conexo, tambien lo es cualquier espacio homeomorfo a X.

Observese que si A es un subconjunto propio no vacıo de X que es a la vez abiertoy cerrado, entonces los conjuntos U = A y V = X−A constituyen una separacion de X.Recıprocamente, si U y V forman una separacion de X, entonces U es un subconjuntopropio no vacıo de X que es abierto y cerrado.

1.1. Subespacios conexos

Definicion 6.4 Sea un espacio topologico (X,T) y un subconjunto S ⊂ X. Diremos queS es un subespacio conexo si (S,TS) es conexo.

Proposicion 6.3 Un subconjunto S de un espacio topologico (X,T) es conexo si, y solosi, no existen dos subconjuntos A,B ⊂ X separados tales que A ∪ B = S.

Demostracion. Es una consecuencia inmediata de la definicion de topologıa relativa yla Proposicion 6.1. �



Ejemplo 6.2. Cualquier espacio topologico con la topologıa trivial (o con la topologıadiscreta) es conexo.

Ejemplo 6.3. Sea Y el subespacio [−1, 0)∪(0, 1] de la recta real R. Los conjuntos [−1, 0)y (0, 1] son no vacıos y abiertos en Y (aunque no en R); de esta forma, constituyenuna separacion de Y. Por otra parte, observese que ninguno de estos conjuntos contienepuntos lımite del otro.

Ejemplo 6.4. Sea X el subespacio [−1, 1] de la recta real. Los conjuntos [−1, 0] y (0, 1]son disjuntos y no vacıos pero no forman una separacion de X ya que el primer conjuntono es abierto en X. Por otro lado, observese que el primer conjunto contiene un puntolımite, el 0, del segundo. De hecho, probaremos enseguida que no existe una separaciondel espacio [−1, 1].

Ejemplo 6.5. El conjunto de los numeros racionales Q no es conexo. Es mas, los unicossubespacios conexos de Q son los conjuntos unipuntuales: si Y es un subespacio de Qconteniendo dos puntos p y q, es posible elegir un numero irracional a entre p y q yescribir Y como la union de los abiertos

Y ∩ (−∞, a) e Y ∩ (a,+∞).



1.2. Construccion de espacios conexos

Teorema 6.4 La union de una coleccion de subespacios conexos de X que tienen unpunto en comun es conexa.

Demostracion. Sea {Ai} una coleccion de subespacios conexos de un espacio X y seap un punto de

⋂Ai. Probemos que el espacio Y =

⋃Ai es conexo. Supongamos que

Y = C ∪ D es una separacion de Y. El punto p esta, bien en C bien en D; supongamosque p ∈ C. Como Ai es conexo, ya Ai ⊂ C, ya Ai ⊂ D, aunque esta ultima posibilidadse descarta pues p ∈ Ai y p ∈ C. Por tanto, Ai ⊂ C para cada i, y ası

⋃Ai ⊂ C,

contradiciendo el hecho de que D era no vacıo. �

Este resultado puede enunciarse de una forma mas general como sigue.

Teorema 6.5 La union de una coleccion de subespacios conexos de X tales que noestan separados dos a dos es conexa.

Demostracion. Hagamos la prueba por reduccion al absurdo. Supongamos que A =∪i∈IAi es no conexo; entonces existe B ⊂ A, B 6= A no vacıo que es abierto y cerradoen (A,TA).

Como B 6= ∅, existe x ∈ B ⊂ A y como B 6= A existe y ∈ A, y /∈ B. Por tanto,existen ındices ix, iy ∈ I tales que x ∈ Aix e y ∈ Aiy . Entonces B ∩ Aix 6= ∅ es abierto ycerrado en (Aix ,Tix) que es conexo por hipotesis, luego B ∩Aix = Aix lo que implica queAix ⊂ B.



De la misma forma (A − B) ∩ Aiy 6= ∅ es abierto y cerrado en (Aiy ,Tiy), luego(A− B) ∩ Aiy = Aiy , lo que implica que Aiy ⊂ B− A.

Pero A y A − B estan separados en (A,TA), pues son dos abiertos y cerrados novacıos cuya union es A, lo que lleva consigo que A ix y Aiy tambien estan separados, encontra de la hipotesis, lo que concluye la prueba. �

Corolario 6.6 Sea (X,T) un espacio topologico y {Ai}i∈I una familia de subconjuntosconexos no vacıos de X tales que A i∩Aj 6= ∅ para cada par i, j ∈ I. Entonces A = ∪i∈IAi

es conexo.

Teorema 6.7 Sea (X,T) un espacio topologico. Entonces se verifican:

(a) Si H ⊂ X es un subconjunto conexo y S ⊂ X tal que H ⊂ S ⊂ H, entonces S esconexo.

(b) Si S es un subconjunto conexo de X, entonces S es conexo.

Demostracion. (a) Si x ∈ H, entonces H ∪ {x} es conexo puesto que H y {x} sonconexos no separados (H∩{x} = {x}). Entonces podemos poner S =

⋃x∈S(H∪{x}) y,

teniendo en cuenta que H ⊂ S ⊂ H, S es union de conexos no disjuntos, lo que implicaque S es conexo.

(b) Es una consecuencia inmediata de (a). �


Seccion 2: Conexos en R 9

2. Conexos en RAntes de seguir con las propiedades de los espacios conexos en general, bueno sera queestudiemos los subespacios conexos que tenemos mas cercanos, es decir, los subespaciosconexos de la recta real. Este es el mejor sitio para encontrar subespacios conexos quepodamos utilizar para construir otros nuevos y mas complicados.

Lema 6.8 Sea (R,Tu) y un subconjunto I ⊂ R. Son equivalentes:

(a) I es un intervalo.

(b) Para cada x, y ∈ I, x ≤ y, se verifica que [x, y] ⊂ I.

Demostracion. Supongamos que se satisface (b) (la otra implicacion es trivial). Lla-memos

a = inf I y b = sup I,

teniendo en cuenta que si I no esta acotado inferiormente entonces a = −∞ y si Ino esta acotado superiormente entonces b = +∞. Vamos a ver que ha de ocurrir que(a, b) ⊂ I ⊂ [a, b]. En los casos a = −∞ y/o b = +∞ estaremos cometiendo unpequeno abuso de notacion.

Si z ∈ (a, b), tenemos que a < z y por la definicion de ınfimo, existe x ∈ I tal quex < z; de la misma manera tenemos que z < b y por la definicion de supremo, existey ∈ I tal que z < y. Entonces, como x < y con x, y ∈ I, por la hipotesis (b), z ∈ [x, y] ⊂ I,luego (a, b) ⊂ I. El contenido I ⊂ [a, b] es por la propia definicion de a y de b. �



Teorema 6.9 Un subconjunto S R, con la topologıa usual, es conexo si, y solo si, esun intervalo o un conjunto unipuntual.

Demostracion. ⇒⇒⇒ Supongamos que S es conexo y que no es un conjunto unipuntualni es un intervalo; entonces existen x, y ∈ S tales que [x, y] no esta contenido en S, esdecir, existe z ∈ (x, y) tal que z /∈ S. Consideremos los conjuntos

A = (−∞, z) ∩ S y B = (z,+∞) ∩ S.

Entonces S = A∪B, siendo {A,B} una separacion de S, en contra de que S es conexo.⇐⇐⇐ Supongamos ahora que S es un intervalo y que es no conexo. Esto quiere decir queexisten A,B ⊂ R no vacıos y separados tales que S = A ∪ B. Sean x ∈ A, y ∈ B ysupongamos que x < y. Como S es un intervalo, el Lema 6.8 implica [x, y] ⊂ S.

Consideremos el conjunto C = [x, y] ∩ A, que es no vacıo (x ∈ A) y esta acotadosuperiormente por y; por tanto, existe α = sup C.

Tenemos entonces que x ≤ α ≤ y, es decir, α ∈ [x, y] ⊂ S. Por tanto, o bien α ∈ Ao bien α ∈ B, pero no a los dos. Supongamos que α ∈ A, esto implica que α < y. ComoA es abierto en S, por definicion de topologıa relativa existira G abierto en (X,T) talque A = G ∩ S. Luego α ∈ G, de modo que existe ε > 0 tal que (α − ε, α + ε) ⊂ G.Ademas, α < y, de modo que podemos tomar ε > 0 tal que α+ ε < y, luego α+ ε ∈ Sy, por tanto, α + ε ∈ G ∩ S = A, en contra de que α es supremo. De forma analoga seve que α no puede estar en B. �



Corolario 6.10 R con la topologıa usual es un espacio conexo.

Cuestion 6.1. En R con la topologıa usual, ¿es conexo el conjunto S = [0, 1)∪ [2, 3]?(a) Sı (b) No

2.1. Conexion por caminos

La conexion de los intervalos en R nos conduce a la condicion de que cualquier par depuntos de X pueda unirse mediante un camino en X. Y esto nos lleva a la conexion porcaminos (tambien llamada conexion por arcos).

Definicion 6.5 Dados dos puntos x e y de un espacio X, un camino en X que une xcon y es una aplicacion continua f : [a, b] → X de algun intervalo cerrado de la rectareal en X, de modo que f(a) = x y f(b) = y. Un espacio X se dice que es conexo porcaminos si cada par de puntos de X se pueden unir mediante un camino en X.

Ejercicio 6.1. Prueba que todo espacio conexo por caminos es tambien conexo.

El recıproco de esta implicacion no es cierto; un espacio conexo no es necesariamenteconexo por caminos.

Ejercicio 6.2. Se define la bola unidad Bn en Rn como

Bn = {x | ‖x‖ ≤ 1},Toc JJ II J I Volver J Doc Doc I

Seccion 3: Conexion y continuidad 12

donde‖x‖ = ‖(x1, . . . , xn)‖ = (x2

1 + · · ·+ x2n)

1/2.

Prueba que Bn es conexa por caminos.

Ejercicio 6.3. Se define el espacio euclıdeo agujereado como el espacio Rn −{0},donde 0 es el origen en Rn. ¿Para que dimensiones n es conexo por caminos?

Ejercicio 6.4. Se define la esfera unidad Sn−1 en Rn como el conjunto

Sn−1 = {x | ‖x‖ = 1}.¿Es conexa por caminos?

3. Conexion y continuidad

Teorema 6.11 Sean (X,TX) e (Y,TY) dos espacios topologicos, f : X → Y una apli-cacion continua y S ⊂ X un subconjunto conexo en X. Entonces f (S) es conexo enY.

Demostracion. Supongamos que f(S) es no conexo, entonces existen A,B ⊂ Y novacıos y separados tales que f(S) = A ∪ B. Como f : S → f(S) es continua y A y B sonabiertos y cerrados en f(S) con la topologıa relativa, tendremos que f−1(A) y f−1(B)seran abiertos y cerrados en S con la topologıa relativa inducida por TX. Ademas son



no vacıos, disjuntos y cumplen

S = f−1(f(S)) = f−1(A ∪ B) = f−1(A) ∪ f−1(B),

con lo que S serıa no conexo. �

Corolario 6.12 Sean (X,TX) y (Y,TY) dos espacios topologicos homeomorfos. Enton-ces X es conexo si, y solo si, Y es conexo. En otras palabras, la conexion es una propiedadtopologica.

Corolario 6.13 Un espacio topologico (X,TX) es conexo si, y solo si, cualquier aplica-cion continua entre X y el espacio discreto {0, 1} es constante, es decir, ya f(x) = 0para todo x ∈ X, ya f(x) = 1 para todo x ∈ X.

Lema 6.14 Si (X,T) es un espacio topologico no conexo, existe una aplicacion f : X →{0, 1} continua y no constante.

Demostracion. Si (X,T) es no conexo, entonces X = A ∪ B con A y B abiertos ycerrados disjuntos. Definimos f (x) = 0 si x ∈ A y f(x) = 1 si x ∈ B. Esta aplicacion escontinua, puesto que f−1({0}) es abierto y cerrado, y lo mismo ocurre para {1}. Ahorabasta aplicar el Corolario 6.13. �



Teorema 6.15 (Teorema del valor intermedio) Un espacio topologico (X,T) es co-nexo si, y solo si, cada aplicacion continua f : X → R cumple que si x, y ∈ X y c ∈ R estal que f(x) ≤ c ≤ f(y), entonces existe z ∈ X tal que f(z) = c.

Demostracion. ⇒⇒⇒ Si X es conexo, entonces f(X) es conexo en R y, por tanto, es unintervalo.⇐⇐⇐ Supongamos que X fuera no conexo, entonces X = A ∪ B con A y B no vacıos yseparados. Consideramos una funcion g : X → {0, 1} continua como en el Lema 6.14 ytal que g(A) = {0} y g(B) = {1}. Consideremos la composicion de g con la inclusion ide {0, 1} en R. Tendremos una aplicacion g ◦ i continua de X en R, que no cumple lashipotesis. �

El teorema anterior puede enunciarse en un contexto mas general.

Teorema 6.16 (Version general del teorema del valor intermedio) Sea f : X → Yuna aplicacion continua, donde X es un espacio conexo e Y es un conjunto ordenadocon la topologıa del orden. Si x e y son dos puntos de X y c es un punto de Y que seencuentra entre f(x) y f(y), entonces existe un punto z en X tal que f (z) = c.

Demostracion. Supongamos las hipotesis del teorema. Los conjuntos

A = f(X) ∩ (−∞, c) y B = f(X) ∩ (c,+∞)

son disjuntos, y ademas son no vacıos pues uno contiene a f (x) mientras el otro contienea f(y). Cada uno es abierto en la imagen f (X) ya que son la interseccion de un rayo


Seccion 4: Conexion y productos cartesianos 15

abierto en Y con f(X). Si no existiera un punto z de X tal que f (z) = c, entonces f(X)serıa la union de los conjuntos A y B. Entonces A y B constituirıan una separacion def(X), lo cual contradice el hecho de que la imagen de un conjunto conexo bajo unaaplicacion continua sigue siendo un conjunto conexo. �

4. Conexion y productos cartesianos

Teorema 6.17 El producto cartesiano finito de espacios conexos es conexo.

Demostracion. Vamos a demostrar primero el resultado para el producto de dos espa-cios conexos X e Y. La prueba es sencilla de visualizar. Elijamos un “punto base” a × ben el producto X×Y. Observese que la “rebanada horizontal” X × b es conexa, ya quees homeomorfa a X, y que tambien lo es cada “rebanada vertical” ya que estas sonhomeomorfas a Y. Como consecuencia, cada espacio

Tx = (X× b) ∪ (x× Y)

es conexo ya que es la union de dos espacios conexos que tienen el punto x×b en comun.Ahora, consideremos la union ∪x∈XTx de todos estos espacios. Como todos tienen alpunto a× b en comun, esta union es conexa. Pero esta union es el espacio total X ×Y.

La prueba para cualquier coleccion finita de espacios conexos puede realizarse porinduccion, utilizando el hecho (facilmente demostrable) de que X1×· · ·×Xn es homeo-morfo a (X1 × · · · × Xn−1)× Xn. �




Problema 6.1. Demuestre que si A y B son dos subconjuntos disjuntos de un espaciotopologico y ambos son abiertos o ambos son cerrados, entonces estan separados.

Problema 6.2. Sean T y T′ dos topologıas en X. Si T′ ⊃ T, ¿que puede decir de laconexion de X respecto de una topologıa y respecto de la otra?

Problema 6.3. Sea {An} una sucesion de subespacios conexos de X tales que An ∩An+1 6= ∅ para cada n. Demuestre que

⋃An es conexo.

Problema 6.4. Sean {Aα} una coleccion de subespacios conexos de X y A un subespacioconexo de X. Demuestre que si A∩Aα 6= ∅ para todo α, entonces A∪(

⋃Aα) es conexo.

Problema 6.5. Demuestre que si X es un conjunto infinito, entonces X es conexo conla topologıa de los complementos finitos (o topologıa cofinita).

Problema 6.6. Sea (X,T) un espacio topologico y A,B ⊂ X separados. Pruebe:

(a) Si A ∪ B es abierto, entonces A y B son abiertos.

(b) Si A ∪ B es cerrado, entonces A y B son cerrados.

Problema 6.7. ¿Son homeomorfos [0, 1) y (0, 1) en (R,Tu)? Justifique la respuesta.

Problema 6.8. ¿Son homeomorfos (R,Tu) y (R2,Tu)? Justifique la respuesta.



Problema 6.9. ¿Es conexa la interseccion de dos subconjuntos conexos? Justifique larespuesta.

Problema 6.10. Demuestre que si (X,T) es conexo y f : (X,T) → (R,Tu) es unaaplicacion continua, entonces f (X) es un intervalo.

Problema 6.11. ¿Son homeomorfos la recta real y una circunferencia?

Problema 6.12. Sea (X, d) un espacio metrico, M ⊂ X un subconjunto conexo y f :M → R una aplicacion continua.

(a) Pruebe que si a ∈ M y α ∈ R es tal que f(a) < α entonces existe U, entorno dea, tal que f(x) < α para todo x ∈ M ∩ U.

(b) Supongamos que para todo entorno U de a ∈ M existen puntos x, y ∈ U∩M talesque f(x) y f(y) son de signos opuestos; demuestre que f (a) = 0.

(c) Pruebe que si para a, b ∈ M, f(a) y f(b) tienen signos opuestos, existe c ∈ M talque f(c) = 0.

Problema 6.13. Sea E un espacio topologico y A ⊂ E un subconjunto. Demuestre quetodo subconjunto conexo P ⊂ E que corte a A y Ac, tambien corta a la frontera de A.

Problema 6.14. Sea E un espacio topologico, A,B ⊂ E dos cerrados tales que A ∩B yA∪B son conexos. Pruebe que, entonces, A y B son conexos. Busque un contraejemplo



en R, con la topologıa usual, mostrando que la exigencia de que A y B sean cerradoses necesaria.

Problema 6.15. Sea E un conjunto totalmente ordenado, dotado de la topologıa delorden. Demuestre que si E es conexo, entonces

(a) Para todo x, y ∈ E con x < y, el intervalo (x, y) es no vacıo.

(b) Todo subconjunto A ⊂ E acotado superiormente admite supremo.

Problema 6.16. Sean A un subconjunto propio de X y B un subconjunto propio de Y.Si X e Y son conexos, demuestre que

(X× Y)− (A× B)

es conexo.

Problema 6.17. Sea Y ⊂ X y supongamos que X e Y son conexos. Demuestre que siA y B forman una separacion de X − Y, entonces Y ∪ A e Y ∪ B son conexos.

Problema 6.18.

(a) Dados los espacios (0, 1), (0, 1] y [0, 1], demuestre que ningun par de ellos sonhomeomorfos.

(b) Supongamos que existen embebimientos f : X → Y y g : Y → X. Demuestre, conun ejemplo, que X e Y no son necesariamente homeomorfos.



(c) Demuestre que Rn y R no son homeomorfos si n > 1.

Problema 6.19. Sea f : S1 → R una aplicacion continua. Demuestre que existe unpunto de S1 tal que f(x) = f(−x).

Problema 6.20. Sea f : X → X una aplicacion continua. Demuestre que si X = [0, 1],entonces existe un punto x tal que f (x) = x. El punto x se llama un punto fijo de f.¿Que ocurre si X es el espacio [0, 1) o el espacio (0, 1)?

Fin del Capıtulo




Ejercicio 6.1. Es sencillo comprobar que todo espacio X que es conexo por caminostambien es un espacio conexo. Supongamos que X = A ∪ B es una separacion de X.Sea f : [a, b] → X un camino en X. Como [a, b] es conexo, entonces el conjunto f ([a, b])debe estar contenido ya en A, ya en B. Por tanto, no existen caminos en X que unanpuntos de A con puntos de B lo cual es contrario al hecho de que X sea conexo porcaminos. Ejercicio 6.1



Ejercicio 6.2. La bola unidad es conexa por caminos; dados dos puntos cualesquiera xe y de Bn, el segmento de lınea recta f : [0, 1] → Rn definido por

f(t) = (1− t)x + ty

esta enteramente contenido en Bn ya que

‖f(t)‖ ≤ (1− t)‖x‖+ t‖y‖ ≤ 1.

Ejercicio 6.2



Ejercicio 6.3. Si n > 1, este espacio es conexo por caminos: dados x e y distintos de0, podemos unir x e y con el segmento de lınea recta que ambos determinan si estesegmento no pasa por el origen. En caso de que ası ocurriera, podemos elegir otro puntoz que no este contenido en la recta que determinan x e y y a continuacion considerarla lınea recta quebrada que determinan x, z y finalmente y. Ejercicio 6.3



Ejercicio 6.4. Si n > 1, Sn−1 es conexa por caminos ya que la aplicacion g : Rn−{0} →Sn−1 definida por g(x) = x/‖x‖ es continua y sobreyectiva y es sencillo demostrar quela imagen bajo una aplicacion continua de un espacio conexo por caminos es tambienconexo por caminos. Ejercicio 6.4



Topologıa7. Espacios compactos


Resumen: Tras las primeras propiedades analizamos como son lossubconjuntos compactos de la recta real y del espacio euclıdeo Rn.Posteriormente nos centramos en los espacios metricos, lo que nosconduce, a traves de la compacidad por punto lımite, hasta el teoremade Heine-Borel-Lebesgue. Finalizamos estudiando la relacion entre lacompacidad y las funciones continuas, y probando que la compacidadesta caracterizada por la propiedad de la interseccion finita.



Indice general1. Compacidad2. Subconjuntos compactos3. Compactos en R y Rn

3.1. Compactos en R3.2. Compactos en Rn

4. Compactos en un espacio metrico4.1. Espacios sucesionalmente compactos y totalmente acotados

5. Compacidad por punto lımite6. El teorema de Heine-Borel-Lebesgue

• El caso de Rn

7. Compacidad y funciones continuas7.1. Compacidad y continuidad uniforme

8. Propiedad de la interseccion finita9. Problemas propuestos

Soluciones de los ejerciciosSoluciones de las cuestiones

Seccion 1: Compacidad 3

Mientras que la nocion de conexion que hemos introducido y estudiado en el Capıtulo6 es muy facil de presentar, por lo que nos resulta bastante familiar e incluso intuitiva, lanocion de compacidad no nos es tan cercana ni natural. La estandarizacion del conceptode compacidad tardo muchos anos en producirse. Desde principios del siglo pasado sefueron introduciendo distintas definiciones de compacidad, que pretendıan extender aespacios topologicos arbitrarios alguna propiedad conocida de los intervalos cerrados[a, b] de la recta real que era crucial en la demostracion de ciertos teoremas, tales comoel teorema del valor maximo y el teorema de la continuidad uniforme. Surgieron ası losdistintos “tipos” de compacidad: compacidad numerable, compacidad por punto lımite,compacidad secuencial, etc. Posteriormente, los matematicos asumieron que era posibleencontrar una definicion en terminos mas debiles y generales; de hecho, en terminos decubrimientos del espacio por conjuntos abiertos.

1. Compacidad

Definicion 7.1 Sea X un conjunto y sea S ⊂ X. Un cubrimiento de S es una familiaA = {Ai}i∈I de subconjuntos de X tales que S = ∪i∈IAi. Un subcubrimiento es unasubfamilia B ⊂ A que es tambien un cubrimiento de S. Un cubrimiento se dice que esfinito si esta formado por una cantidad finita de conjuntos. Cuando (X,T) es un espaciotopologico y cada Ai es un abierto de X, se dice que A es un cubrimiento abierto deS.



Ejemplo 7.1. Sea X = R, entonces la familia A = {[−n, n]}∞n=1 es claramente uncubrimiento de S = R, pero no es un cubrimiento abierto en la topologıa usual. Unejemplo de un subcubrimiento de A serıa D = {[−2n, 2n]}∞n=1. La familia {(−n, n)}∞n=1

tambien es un cubrimiento, esta vez abierto, de R, pero no es un subcubrimiento de A.

Definicion 7.2 Un espacio topologico (X,T) se dice que es compacto si todo cubri-miento abierto de X admite un subcubrimiento finito.

Ejemplo 7.2. La recta real R no es compacta, pues el cubrimiento de R por intervalosabiertos

A = {(n, n + 2) | n ∈ Z}no contiene ningun subcubrimiento finito que cubra R.

Ejemplo 7.3. El siguiente subespacio de R es compacto:

X = {0} ∪ {1/n | n ∈ N}.Para todo cubrimiento abierto A de X, existe un elemento U de A que contiene al 0.El conjunto U contiene a todos los puntos de la forma 1/n excepto a un numero finitode ellos; elijamos para cada uno de estos puntos que no estan en U un elemento de A

que los contenga. La coleccion de estos elementos de A, junto con el propio U, es unsubcubrimiento finito de A que cubre X.



Ejemplo 7.4. Cualquier espacio X que contenga a un numero finito de puntos es tri-vialmente compacto, pues cualquier cubrimiento por abiertos de X es finito.

Ejemplo 7.5. El intervalo (0, 1] no es compacto; el cubrimiento abierto

A = {(1/n, 1] | n ∈ N}no contiene ningun subcubrimiento finito cubriendo (0, 1]. Aplicando un argumento ana-logo se demuestra que tampoco es compacto el intervalo (0, 1).

Ejemplo 7.6.

(1) La recta real con la topologıa de los complementos finitos (R,Tcf) es compacta.

(2) Cualquier espacio con la topologıa trivial (X,TT) siempre es compacto.

(3) Cualquier conjunto infinito con la topologıa discreta (X,TD) no es compacto.

Es facil ver que la compacidad es una propiedad topologica. Dejamos como ejerciciola demostracion de este hecho.

Teorema 7.1 Sea f : X → Y un homeomorfismo entre dos espacios topologicos. En-tonces X es compacto si, y solo si, Y es compacto.


Seccion 2: Subconjuntos compactos 6

2. Subconjuntos compactos

Definicion 7.3 Sea (X,T) un espacio topologico y K ⊂ X un subconjunto. Diremosque K es un conjunto compacto en (X,T) si (K,TK), con la topologıa relativa, es unespacio compacto. En este caso se dice que (K,TK) es un subespacio compacto.

Proposicion 7.2 Sea K un subespacio de un espacio topologico (X,T). Entonces K escompacto si, y solo si, para toda familia {Ai}i∈I de abiertos en X tal que K ⊂ ∪i∈IAi,existe una subfamilia finita {Ai}n

i=1 tal que K ⊂ ∪ni=1Ai.

Demostracion. ⇒⇒⇒ Supongamos que K es compacto y sea K ⊂ ∪i∈IAi, donde {Ai}i∈I

es una familia de abiertos de (X,T). Entonces, segun la definicion de topologıa relativa,{Ai ∩ K}i∈I es un cubrimiento de K por abiertos de (K,TK). Como este subespacio escompacto, existen abiertos Ai1 , . . . ,Ain tales que

K = (Ai1 ∩ K) ∪ · · · ∪ (Ain ∩ K).

De aquı se deduce que K ⊂ Ai1 ∪ · · · ∪ Ain .⇐⇐⇐ Supongamos ahora todo cubrimiento de K por abiertos de (X,T) admite un subcu-brimiento finito y veamos que (K,TK) es compacto. Para ello, sea {Ai}i∈I una familiade abiertos de (K,TK) que recubren K. Entonces cada abierto A i se puede escribir de laforma Ai = Bi ∩ K, donde Bi es un abierto en (X,T) y ası se tiene que K ⊂ ∪i∈IBi. Porhipotesis, existiran Bi1 , . . . ,Bin tales que K ⊂ Bi1 ∪ · · · ∪ Bin de forma que

K = (Bi1 ∩ K) ∪ · · · ∪ (Bin ∩ K) = Ai1 ∪ · · · ∪ Ain


Seccion 2: Subconjuntos compactos 7

y, por tanto, K es compacto. �

Teorema 7.3 Todo subconjunto cerrado C de un espacio topologico compacto (X,T)es compacto.

Demostracion. Sea A = {Ai}i∈I un cubrimiento de C por abiertos de (X,T). EntoncesA∪Cc es un cubrimiento abierto de X, del cual se puede extraer un subcubrimiento finito;si este subcubrimiento finito no contiene a Cc, estara formado unicamente por elementosde A: {Ai1 , . . . ,Ain} y como C ⊂ X ya estarıa probado. Si Cc esta en el cubrimiento finito,dicho cubrimiento sera de la forma {Ai1 , . . . ,Ain ,C

c} y como C ⊂ X = Ai1∪· · ·∪Ain∪Cc,tenemos que C ⊂ Ai1 ∪ · · · ∪ Ain . �

Teorema 7.4 Todo subconjunto compacto de un espacio topologico de Hausdorff (X,T)es cerrado.

Demostracion. Probaremos que Kc es abierto demostrando que es entorno de todossus puntos. Sea a /∈ K; si x ∈ K, x 6= a, la propiedad de Hausdorff nos asegura queexisten abiertos disjuntos Ax y Bx con a ∈ Ax y x ∈ Bx; y esto se puede hacer para cadax 6= a, x ∈ K.

Pero {Bx}x∈K es un cubrimiento de K por abiertos de X del cual se puede extraerun subcubrimiento finito Bx1 , . . . ,Bxn , para ciertos puntos x1, . . . , xn ∈ K. Entoncestomemos

A = Ax1 ∩ · · · ∩ Axn ,


Seccion 3: Compactos en R y Rn 8

que es abierto y contiene a a. Veamos que A ⊂ Kc. Si b ∈ A, entonces para cadai = 1, . . . , n se tiene que b ∈ Axi y, por tanto, b /∈ Bxi , lo que implica que b /∈ K. Deesta forma, A ⊂ Kc. �

Durante la demostracion del teorema anterior hemos probado el siguiente resultado.

Lema 7.5 Si K es un subespacio compacto de un espacio de Hausdorff (X,T) y a noesta en K, entonces existen abiertos disjuntos A y B de X conteniendo al punto a y aK, respectivamente.

Ejemplo 7.7.

(1) Usando el Teorema 7.4, los intervalos (a, b] y (a, b) no pueden ser compactos(hecho que ya sabemos) ya que no son cerrados en el espacio de Hausdorff R.

(2) La condicion de Hausdorff es imprescindible para demostrar el Teorema 7.4. Con-sideremos, por ejemplo, la topologıa cofinita en la recta real. Los unicos subcon-juntos propios de R que son cerrados en esta topologıa son los finitos. Pero todosubconjunto de R es compacto con esta topologıa, como facilmente se puedecomprobar.

3. Compactos en R y Rn

Siguiendo un camino paralelo al que hemos seguido en la busqueda de espacios conexos,vamos a buscar espacios compactos en la recta real para, a partir de ahı, construir



nuevos espacios compactos. Probaremos que cada intervalo cerrado en R es compacto.Las aplicaciones de este hecho incluyen el teorema de los valores extremos y el teoremade la continuidad uniforme. Tambien proporcionaremos una caracterizacion de todos lossubespacios compactos de Rn.

3.1. Compactos en RTeorema 7.6 (Teorema de Heine-Borel) Todo intervalo cerrado y acotado [a, b] enR con la topologıa usual es compacto.

Demostracion. Supongamos que {Ai}i∈I es un cubrimiento abierto de [a, b]. Vamos aver que se puede extraer un subcubrimiento finito. Consideremos el conjunto siguiente:

G = {x ∈ [a, b] | [a, x] se recubre con una subfamilia finita de {Ai}i∈I}.Paso 1. G 6= ∅. Ademas existe δ > 0 tal que [a, a + δ) ⊂ G.En efecto, como a ∈ [a, b] ⊂ ∪i∈IAi, existira un ındice j ∈ I tal que a ∈ Aj. Como Aj

es abierto, existe δ > 0 tal que (a − δ, a + δ) ⊂ Aj y, por tanto, [a, a + δ) ⊂ Aj. Estoimplica que si x ∈ [a, a + δ), [a, x] ⊂ [a, a + δ) ⊂ Aj, que es un subcubrimiento finito.Por tanto, [a, a + δ) ⊂ G.Paso 2. G es un intervalo.Si x, y ∈ G, entonces [x, y] ⊂ G ya que para todo z ∈ [x, y] se satisface [a, z] ⊂ [a, y] ⊂ G.Aplicando el Lema 6.8, G debe ser un intervalo.



Paso 3. b ∈ G.Consideremos c = sup{G}, que eventualmente puede ser c = +∞. Como a es cotainferior de G, entonces a < c. Pueden presentarse los siguientes casos:

Caso 1: b < c. Entonces b ∈ G, pues existirıa, por la definicion de supremo, unpunto x ∈ G tal que b < x ≤ c y ya hemos visto que G es un intervalo.

Caso 2: c ≤ b. Ahora tambien b ∈ G, pues como [a, b] ⊂ ∪i∈IAi, entonces c ∈ Ak

para algun k ∈ I. Ak es abierto, luego es entorno de c y, por tanto, existe ε > 0 talque (c − ε, c + ε) ⊂ Ak. Pero como c = sup{G} entonces c − ε ∈ G. Por tanto,[a, c − ε] ⊂ Ai1 ∪ · · · ∪ Ain , con lo cual tenemos que c + ε tambien esta en G, ya que[a, c + ε] tiene un subcubrimiento finito de la forma

[a, c + ε] ⊂ Ai1 ∪ · · · ∪ Ain ∪ Ak,

y esto es una contradiccion con el hecho de que c = sup{G}.Por tanto, b ∈ G y [a, b] tiene un subcubrimiento finito. �

3.2. Compactos en Rn

Vamos a ver en esta seccion que los rectangulos, o cubos, generalizados [a1, b1] ×[a2, b2]× · · · × [an, bn] son compactos en Rn con la topologıa usual. Haremos la pruebaen R2 y con un procedimiento similar por induccion se prueba en Rn.



Lema 7.7 Sea [c, d] ⊂ R y x ∈ R. Entonces S = {x}× [c, d] es compacto en R2 con latopologıa usual.

Demostracion. Es facil ver que S = {x}× [c, d], con la topologıa relativa, es un espaciohomeomorfo al intervalo [c, d], tambien con su topologıa usual. Basta considerar laaplicacion:

f : S = {x} × [c, d] −→ [c, d], f(x, y) = y.

Ahora no hay mas que aplicar los Teoremas 7.1 y 7.6. �

Lema 7.8 Sea un intervalo [c, d] ∈ R, x ∈ R y {Ai}i∈I un cubrimiento abierto de{x}× [c, d]. Entonces existe r > 0 tal que el producto (x−r, x+r)× [c, d] esta recubiertopor una cantidad finita de elementos de {Ai}i∈I.

Demostracion. Por el Lema 7.7 se sabe que {x}× [c, d] es compacto, por lo que admiteun subcubrimiento finito {Aj}n

j=1 ⊂ {Ai}i∈I.Para cada y ∈ [c, d], (x, y) ∈ Ak para algun k ∈ {1, 2, . . . , n}. Por tanto, existe

ry > 0 tal que

(x, y) ∈ B∞((x, y), ry) = (x− ry, x + ry)× (y − ry, y + ry) ⊂ Ak.

Tenemos entonces que {(y − ry, y + ry)}y∈[c,d] es un cubrimiento abierto de [c, d], quees compacto. Por tanto, admite un subcubrimiento finito {(yj − ryj , yj + ryj)}m

j=1.



Ahora tomamos r = mın{ryj | j = 1, . . . ,m}, de modo que

(x− r, x + r) =m⋂

j=1

(x− ryj , x + ryj).

Se concluye entonces que

(x− r, x + r)× [c, d] ⊂m⋃

j=1

{(x− r, x + r)× (yj − ryj , yj + ryj)} ⊂

⊂m⋃

j=1

{(x− ryj , x + ryj)× (y − ryj , y + ryj)} ⊂n⋃

k=1

Ak,

obteniendo el subcubrimiento finito buscado. �

Proposicion 7.9 Un rectangulo [a, b]× [c, d] ⊂ R2 es compacto.

Demostracion. Si {Ai}i∈I es un cubrimiento abierto de [a, b] × [c, d], tambien es uncubrimiento de {x} × [c, d], para cada x ∈ [a, b]. Por el Lema 7.8, para cada x existerx > 0 tal que el conjunto (x− rx, x + rx)× [c, d] admite un subcubrimiento finito. Pero{(x− rx, x + rx)}x∈[a,b] es un cubrimiento abierto de [a, b]. Por la compacidad de [a, b],dicho cubrimiento admite un subcubrimiento finito {(xk − rxk

, xk + rxk)}m

k=1. Entonces



tenemos que

[a, b]× [c, d] ⊂m⋃

k=1

{(xk − rxk, xk + rxk

)× [c, d]}

y cada uno de los conjuntos (xk − rxk, xk + rxk

) × [c, d] esta recubierto por un numerofinito de elementos de {Ai}i∈I. Luego el rectangulo [a, b]× [c, d] esta contenido en unionfinita de elementos Ai. �

Corolario 7.10 Los rectangulos generalizados [a1, b1]× [a2, b2]×· · ·× [an, bn] son com-pactos en Rn.

Demostracion. La demostracion es un proceso de induccion a partir de la Proposicion7.9. �

Finalizamos esta seccion con la siguiente generalizacion del teorema de Heine-Borel.

Teorema 7.11 (Teorema de Heine-Borel en Rn) Sea K ⊂ Rn con la topologıa usual.Entonces K es compacto si, y solo si, K es cerrado y acotado.

Demostracion. ⇒⇒⇒ Como Rn es de Hausdorff y K es compacto, la Proposicion 7.4implica que K es cerrado. Por otra parte, si a ∈ K la coleccion de bolas {B(a, n)}n∈Nconstituye un cubrimiento abierto de K que, como es compacto, admite un subcubri-miento finito. La union de esta subcoleccion sera la bola B(a,m) mas grande. Por tanto,K ⊂ B(a,m) esta acotado.


Seccion 4: Compactos en un espacio metrico 14

⇐⇐⇐ Si K esta acotado, hay alguna bola cerrada tal que K ⊂ B∞(a, r), para alguna ∈ Rn. Esta bola es un rectangulo cerrado que, por el Corolario 7.10 es compacto.Como K es cerrado y esta contenido en un compacto, la Proposicion 7.3 implica que Kes compacto. �

Ejemplo 7.8. La esfera unidad Sn−1 y la bola cerrada unidad Bn en Rn son compactos,pues son cerrados y acotados. El conjunto

A = {(x, 1

x) | 0 < x ≤ 1}

es cerrado en R2, pero no es compacto porque no esta acotado. El conjunto

S = {(x, sen(1/x)) | 0 < x ≤ 1}esta acotado en R2, pero no es compacto porque no es cerrado.

4. Compactos en un espacio metrico

En esta seccion vamos a demostrar algunos resultados que generalizan propiedades delos compactos de Rn a cualquier espacio metrico.

Proposicion 7.12 Todo subconjunto compacto K de un espacio metrico (X, d) esta aco-tado.



Demostracion. Basta repetir la prueba de la implicacion directa del Teorema 7.11. �

Teorema 7.13 Sea (X, d) un espacio metrico y (xn)n ⊂ X una sucesion. Entonces (xn)nconverge a x ∈ X si, y solo si, cada subsucesion (xnk

)k converge a x.

Demostracion. ⇒⇒⇒ Supongamos que xn → x, entonces para cada ε > 0 existe n0 ∈ Ntal que si n > n0, entonces d(xn, x) < ε. Esto quiere decir que xn ∈ B(x, ε) y, por tanto,solo hay una cantidad finita de terminos de la sucesion que no estan en dicha bola.En consecuencia, ninguna subsucesion (xnk

)k puede tener infinitos terminos fuera de labola, luego debe ser convergente a x.⇐⇐⇐ Es evidente puesto que cualquier sucesion es subsucesion de sı misma. �

Ejemplo 7.9. Si una sucesion no converge, no quiere decir que ninguna subsucesionsea convergente. Por ejemplo, la sucesion ((−1)n)n no es convergente pero tiene dossubsucesiones convergentes: (1, 1, . . . ) que converge a 1 y (−1,−1, . . . ) que convergea −1. En realidad hay infinitas subsucesiones convergentes. ¿Como son?

4.1. Espacios sucesionalmente compactos y totalmente acotados

Definicion 7.4 Sea (X,T) un espacio topologico y K ⊂ X un subconjunto. Diremosque K es sucesionalmente compacto si dada una sucesion (xn)n en K existe unasubsucesion (xnk

)k convergente a un punto de K.

Ejemplo 7.10.



(1) Cualquier espacio topologico finito es compacto y sucesionalmente compacto.

(2) El intervalo abierto (0, 1), con la topologıa inducida por la usual de R, no essucesionalmente compacto: la sucesion ( 1

n )∞n=2 ⊂ (0, 1) converge a 0 y, por tanto,cualquier subsucesion suya tambien converge a 0; pero 0 /∈ (0, 1).

Definicion 7.5 Dado un espacio metrico (X, d) y T ⊂ X un subconjunto, diremosque T es totalmente acotado si para cada r > 0 existe un numero finito de puntosx1, . . . , xn ∈ T tales que T ⊂ B(x1, r) ∪ · · · ∪ B(xn, r).

Proposicion 7.14 Sea (X, d) un espacio metrico y T ⊂ X. Se verifican:

(a) Si T es compacto, entonces T es totalmente acotado.

(b) Si T es totalmente acotado, T es acotado.

Demostracion. La prueba de estas dos propiedades es muy sencilla.(a) Sea r > 0. Entonces {B(x, r) | x ∈ T} es un cubrimiento abierto de T. La compacidadde T implica que existe un subcubrimiento finito, es decir, existe un numero finito depuntos x1, . . . , xn ∈ T tales que T ⊂ B(x1, r) ∪ · · · ∪ B(xn, r).(b) Sea r > 0 y supongamos que T ⊂ B(x1, r) ∪ · · · ∪ B(xn, r). Definamos

R = max{d(x1, xi) | i = 2, . . . , n}Entonces T ⊂ B(x1,R + r), lo que significa que esta acotado. �



Ejemplo 7.11.

(1) (0, 1) ⊂ R, con la distancia usual, es totalmente acotado, pero no es compacto.

(2) R, con la distancia discreta, es un espacio metrico acotado, pero no es totalmenteacotado.

Proposicion 7.15 Si (X, d) es un espacio metrico y K ⊂ X es sucesionalmente com-pacto, entonces K es totalmente acotado.

Demostracion. Supongamos que K es sucesionalmente compacto y no es totalmenteacotado. Existira r > 0 de modo que no existe un cubrimiento finito de K con bolasde radio r y centro en un punto de K. Vamos a construir un sucesion de la siguientemanera.

Sea x1 ∈ K un punto arbitrario. Escogemos x2 ∈ K tal que d(x1, x2) ≥ r, que existepues de lo contrario B(x1, r) serıa un cubrimiento finito de K. Tomamos x3 ∈ K tal qued(x1, x3) ≥ r y d(x2, x3) ≥ r, que existe pues en caso contrario {B(x1, r),B(x2, r)} serıaun cubrimiento finito de K. Y ası sucesivamente. Obtenemos una sucesion (xn)n en Kque verifica que d(xn, xm) ≥ r si n 6= m y que no tiene ninguna subsucesion convergenteen K, pues si tuvieramos (xnk

)k con lımk xnk= x ∈ K, dado r > 0 existirıa kr ∈ N tal

que si nk > nkr entonces d(xnk, x) < r

2 , con lo que tendrıamos que si nk, nm > nkr

d(xnk, xnm) ≤ d(xnk

, x) + d(x, xnm) <r

2+

r

2= r,



en contra de que d(xnk, xnm) ≥ r. Entonces K no serıa sucesionalmente compacto. �

Lema 7.16 (Lema de Lebesgue) Sea (X, d) un espacio metrico, K ⊂ X un subcon-junto sucesionalmente compacto y {Ai}i∈I un cubrimiento abierto de K. Entonces exister > 0 tal que para cada x ∈ K existe i ∈ I de modo que B(x, r) ⊂ Ai. Este numero r > 0se llama numero de Lebesgue del cubrimiento.

Demostracion. Supongamos que {Ai}i∈I es un cubrimiento abierto de K para el que noexiste ningun numero de Lebesgue. Entonces para cada n ∈ N existira xn ∈ K tal queB(xn,

1n ) no esta contenida en ningun Ai para todo i ∈ I.

Como K es sucesionalmente compacto, ha de existir una subsucesion (xnk)k conver-

gente a un punto x ∈ K. Ademas, como {Ai}i∈I es un cubrimiento de K, entonces x ∈ Aj

para algun j ∈ I. Pero Aj es abierto, luego existe nj ∈ N tal que B(x, 2nj

) ⊂ Aj.

Como la subsucesion anterior converge a x, dado n j > 0 existira r0 ∈ N tal que sinr ≥ nr0 entonces xnr ∈ B(x, 1

nj).

Tomemos ahora nr ≥ nr0 tal que tambien sea nr ≥ nj. Entonces B(xnr ,1nr

) ⊂ B(x, 2nj

)ya que si y ∈ B(xnr ,

1nr

) entonces

d(x, y) ≤ d(x, xnr) + d(xnr , y) <1

nj+

1

nr≤ 2

nj.

De aquı se deduce que B(xnr ,1nr

) ⊂ Aj, en contradiccion con la hipotesis. �


Seccion 5: Compacidad por punto lımite 19

5. Compacidad por punto lımite

Existen otras formulaciones de compacidad equivalentes que son frecuentemente utili-zadas. En esta seccion introducimos la mas debil, en general, aunque coincide cuandose trata de espacios metrizables.

Definicion 7.6 Un espacio se dice que es compacto por punto lımite si cada subcon-junto infinito de X tiene un punto lımite.

Esta propiedad, que es mas intuitiva y natural que la definicion de compacidad,constituyo la definicion original, mientras que la definicion en terminos de cubrimientosera llamada “bicompacidad”.

Teorema 7.17 La compacidad implica compacidad por punto lımite, pero el recıprocono es cierto.

Demostracion. Sea X un espacio compacto. Dado un subconjunto A de X, quere-mos probar que si A es infinito, entonces tiene un punto lımite. Vamos a demostrar elcontrarrecıproco —si A no tiene un punto lımite, entonces es finito.

Supongamos pues que A no tiene un punto lımite. Entonces A contiene todos suspuntos lımite, luego es cerrado. Mas aun, podemos elegir para cada a ∈ A un entornoUa de a de modo que Ua interseque a A solo en el punto a. El espacio X esta cubiertopor el conjunto abierto X−A y los abiertos Ua. Como es compacto, puede ser cubierto


Seccion 6: El teorema de Heine-Borel-Lebesgue 20

por un numero finito de tales conjuntos. Como X −A no interseca a A y cada conjuntoUa contiene unicamente un punto de A, el conjunto A debe ser finito. �

Ejemplo 7.12. Sea Y un conjunto con dos puntos; consideramos en Y la topologıatrivial, es decir, la formada por el conjunto vacıo y el propio Y. Entonces el espacioX = N×Y es compacto por punto lımite, pues cada subconjunto no vacıo de X tiene unpunto lımite. Sin embargo, no es compacto, ya que el cubrimiento de X por los abiertosUn = {n} × Y no admite una subcoleccion finita que cubra a X.

6. El teorema de Heine-Borel-Lebesgue

Veamos ahora que las tres definiciones que hemos dado de compacidad son equivalentesen el caso de los espacios metricos.

Teorema 7.18 (Teorema de Heine-Borel-Lebesgue) Sea (X, d) un espacio metricoy K ⊂ X. Las siguientes condiciones son equivalentes:

(a) K es compacto.

(b) K es compacto por punto lımite.

(c) K es sucesionalmente compacto.

Demostracion. (a)⇒(b) Supongamos que K es compacto y que S ⊂ K es un subconjuntoinfinito que no tiene ningun punto de acumulacion. Entonces para cada x ∈ K existe


Seccion 6: El teorema de Heine-Borel-Lebesgue 21

rx > 0 tal que la bola B(x, rx) no corta a S o bien solo corta a S en el propio x.La familia {B(x, rx)}x∈K es un cubrimiento abierto de K que, al ser compacto, admite

un subcubrimiento finito. Este subcubrimiento finito tambien recubre a S, con lo quesegun lo visto en el parrafo anterior S serıa finito, en contra de la hipotesis.(b)⇒(c) Si (xn)n es una sucesion en K con infinitos terminos iguales a x, no hay nada queprobar, pues ella misma converge a x. Supongamos entonces que (xn)n es una sucesionen K con infinitos terminos distintos. Segun (b), dicha sucesion tiene un punto deacumulacion x ∈ K y por la Proposicion 4.30 existe una subsucesion de (xn)n convergentea x. Por tanto, K es sucesionalmente compacto.(c)⇒(a) Supongamos que K es sucesionalmente compacto y que {Ai}i∈I es un cubrimientoabierto de K. Por el Lema de Lebesgue existe un numero de Lebesgue r > 0 para estecubrimiento. Por la Proposicion 7.15 K es totalmente acotado, de modo que existeun cubrimiento finito de X por bolas de radio r, {B(x1, r), . . . ,B(xn, r)}. Pero cadabola B(xi, r) ha de estar contenida en un abierto del cubrimiento {Ai}i∈I, por lo que{A1, . . . ,An} es un subcubrimiento finito de X. �

• El caso de Rn

Despues de los resultados que hemos demostrado en los espacios metricos referidos a lacompacidad, podemos completar el Teorema 7.11 de Heine-Borel.


Seccion 7: Compacidad y funciones continuas 22

Teorema 7.19 (Teorema de Heine-Borel-Lebesgue en Rn) Sea K ⊂ Rn con la to-pologıa usual. Las siguientes condiciones son equivalentes:

(a) K es compacto.

(b) K es cerrado y acotado.

(c) Todo subconjunto S ⊂ K infinito tiene un punto de acumulacion en K.

(d) K es sucesionalmente compacto.

7. Compacidad y funciones continuas

Teorema 7.20 Si f : X → Y es una aplicacion continua entre espacios topologicos yK ⊂ X es compacto, entonces f(K) es compacto en Y.

Demostracion. Supongamos que {Ai}i∈I es un cubrimiento abierto de f (K) en Y. En-tonces

{f−1(Ai)}i∈I

es un cubrimiento abierto de K. Por la compacidad de K, existe un subcubrimiento finito:K ⊂ f−1(A1) ∪ · · · ∪ f−1(An) = f−1(A1 ∪ · · · ∪ An), lo que implica que {A1, . . . ,An} esun subcubrimiento finito de f(K). �

Corolario 7.21 Sea K ⊂ X un subconjunto compacto de un espacio X. Entonces todafuncion continua f : X → R esta acotada en K.



Corolario 7.22 (Teorema de Weierstrass) Sea K ⊂ X un subconjunto compacto deun espacio X. Entonces toda funcion continua f : X → R alcanza sus extremos en K.

Demostracion. Si K es compacto entonces f(K) es un subconjunto compacto de R y, portanto, es cerrado y acotado. Por ser acotado, existen c = inf{f(K)} y d = sup{f(K)};y por ser cerrado, los puntos c, d ∈ f(K), de modo que existiran x, y ∈ K tales quef(x) = c y f(y) = d. �

Teorema 7.23 Sea f : X → Y una aplicacion biyectiva y continua entre un espaciocompacto X y un espacio de Hausdorff Y. Entonces f es un homeomorfismo.

Demostracion. Veamos, en primer lugar, que f transforma cerrados de X en cerradosde Y. En efecto, por la Proposicion 7.3 se tiene que si C ⊂ X es cerrado, entonces C escompacto; y por el Teorema 7.20 f(C) es compacto. Pero Y es de Hausdorff, de modoque la Proposicion 7.4 implica que tambien es cerrado.

Veamos ahora que f es un homeomorfismo. Para esto hay que probar que la aplicacioninversa g = f−1 es continua; y lo es puesto que si C ⊂ X es cerrado entonces g−1(C) =f(C) es cerrado, tal y como acabamos de ver. �

Ejercicio 7.1. Sea f : R → R una aplicacion continua. Prueba que el conjunto imagenf([a, b]) es un intervalo cerrado y acotado [c, d].



Cuestion 7.1. ¿Es cierto que toda funcion continua y estrictamente monotona f :[a, b] → R admite una inversa f−1 : [c, d] → [a, b] continua?

(a) Sı (b) No

7.1. Compacidad y continuidad uniforme

Proposicion 7.24 Toda aplicacion continua f : (X, d) → (Y, d′) entre espacios metri-cos, donde (X,Td) es compacto, es uniformemente continua.

Demostracion. Como f es continua, dado x ∈ X y dado ε > 0, existe δx > 0 tal que sid(x, y) < δx entonces d′(f(x), f(y)) < ε

2 .

Fijado ε > 0, la coleccion de bolas {B(x, δx

2 )}x∈X constituye un cubrimiento abierto

de X que, al ser compacto, admite un subcubrimiento finito {B(xi,δi

2 )}ni=1. Tomemos

δ = mın{δi/2 | i = 1, 2, . . . , n}. Tomemos x, y ∈ X arbitrarios cumpliendo d(x, y) < δ;tendremos que x ∈ B(xk, δk/2) para algun k ∈ {1, . . . , n}. Entonces

d(y, xk) ≤ d(y, x) + d(x, xk) < δ +δk

2≤ δk,

lo que implica que

d′(f(y), f(xk)) <ε

2


Seccion 8: Propiedad de la interseccion finita 25

y entonces

d′(f(x), f(y)) ≤ d′(f(x), f(xk)) + d′(f(xk), f(y)) <ε

2+

ε

2= ε.

Por tanto, f es uniformemente continua. �

Corolario 7.25 Toda funcion continua f : [a, b] → R es uniformemente continua.

8. Propiedad de la interseccion finita

Definicion 7.7 Sea F una familia de subconjuntos de un conjunto X. Se dice que F

tiene la propiedad de la interseccion finita si la interseccion de cualquier subfamiliafinita de F es no vacıa.

Ejemplo 7.13.

(1) La familia {(0, 1n )}n∈N de subconjuntos de R tiene la propiedad de la interseccion

finita.

(2) La familia {[n, n + 1]}n∈N de subconjuntos de R no tiene la propiedad de lainterseccion finita.

Cuestion 7.2. ¿Que familias de subconjuntos de R satisfacen la propiedad de inter-seccion finita?


Seccion 8: Propiedad de la interseccion finita 26

(a) {(n, n + 2)}n∈N (b) {( n−1n , n+1

n )}n∈N (c) {(−n, n)}n∈N

Proposicion 7.26 Sea X un espacio topologico. Entonces X es compacto si, y solo si,toda familia {Fi}i∈I de cerrados en X que tiene la propiedad de la interseccion finitatiene interseccion no vacıa.

Demostracion. ⇒⇒⇒ Supongamos que X es compacto y que {Fi}i∈I es una familia de sub-conjuntos cerrados de X con la propiedad de la interseccion finita tal que ∩i∈IFi = ∅. Sitomamos complementarios tendremos que ∪i∈IF

ci = X, luego obtenemos un cubrimiento

abierto de X que, por ser compacto, admite un subcubrimiento finito, F c1∪· · ·∪Fc

n = X.Tomando de nuevo complementarios tendremos que F1 ∩ · · · ∩ Fn = ∅, en contra deque la familia {Fi}i∈I tiene la propiedad de la interseccion finta.⇐⇐⇐ Sea {Ai}i∈I un cubrimiento abierto de X; entonces (∪i∈IAi)c = ∅. Por tanto∩i∈IA

ci = ∅, con lo que tenemos una familia de cerrados {Ac

i }∈I que no tiene la propie-dad de la interseccion finita; luego debe existir una subfamilia finita cuya interseccion esvacıa: Ac

i1∩· · ·∩Ac

in= ∅. Tomando complementarios obtenemos que A i1 ∪· · ·∪Ain = X

y ası hemos obtenido un subcubrimiento finito. �

Ejemplo 7.14. (R,Tu) no es compacto, cosa que ya sabemos porque no es acotado.Pero esto mismo puede deducirse de otra forma. La familia de cerrados {[z,+∞)}tiene la propiedad de la interseccion finita y, sin embargo, la interseccion de todos loselementos de esta familia es vacıa. Ahora basta aplicar la Proposicion 7.26.




Problema 7.1. Sea (X,T) un espacio topologico. Demuestre que si K,K′ ⊂ X sonsubconjuntos compactos, entonces K ∪ K′ tambien es compacto.

Problema 7.2. Demuestre que una union finita de subespacios compactos de X estambien compacto.

Problema 7.3. Sea (X,T) un espacio topologico de Hausdorff. Demuestre que si {Ki}i∈I

es una familia de subespacios compactos de X, entonces ∩i∈IKi tambien es compacto.

Problema 7.4. ¿Cuales de los siguientes subespacios de R y R2 son compactos? Justi-fique la respuesta.

(1) [0, 1)

(2) [0,+∞)

(3) Q ∩ [0, 1]

(4) D = {(x, y) ∈ R2 | x2 + y2 = 1}(5) E = {(x, y) ∈ R2 | |x|+ |y| ≤ 1}(6) F = {(x, y) ∈ R2 | x2 + y2 < 1}(7) G = {(x, y) ∈ R2 | x ≥ 1, 0 ≤ y ≤ 1/x}



Problema 7.5. Demuestre que un espacio topologico (X,T) es compacto si, y solo si,para toda familia de cerrados {Ci}i∈I tales que ∩i∈ICi = ∅ existe una subfamilia finita{Ci1 , . . . ,Cik} satisfaciendo Ci1 ∩ · · · ∩ Cik = ∅.

Problema 7.6. Sea (X,T) un espacio topologico de Hausdorff, K ⊂ X un compacto yx /∈ K. Pruebe que existen dos abiertos U y V en X tales que x ∈ U, K ⊂ V y U∩V = ∅.

Problema 7.7. Sean K y K′ dos subconjuntos compactos y disjuntos de un espacio deHausdorff (X,T). Pruebe que existen subconjuntos abiertos y disjuntos U y V tales queK ⊂ U y K′ ⊂ V.

Problema 7.8. Demuestre que si f : X → Y es continua, donde X es compacto e Y esde Hausdorff, entonces f es una aplicacion cerrada (esto es, f lleva conjuntos cerradosa conjuntos cerrados).

Problema 7.9. Demuestre que si Y es compacto, entonces la proyeccion π1 : X×Y → Xes una aplicacion cerrada.

Problema 7.10. Sea X un espacio compacto por punto lımite.

(a) Si f : X → Y es continua, ¿es f(X) compacto por punto lımite?

(b) Si A es un subconjunto cerrado de X, ¿es A compacto por punto lımite?

(c) Si X es un subespacio de un espacio de Hausdorff Z, ¿es X un cerrado de Z?



Problema 7.11. Un espacio X se dice que es numerablemente compacto si cadacubrimiento numerable de abiertos de X contiene una subcoleccion finita que cubre aX. Demuestre que para un espacio T1, la condicion numerablemente compacto equivalea la de compacto por punto lımite.

Problema 7.12. Demuestre que X es numerablemente compacto si, y solo si, cadasucesion encajada C1 ⊃ C2 ⊃ · · · de conjuntos cerrados no vacıos de X tiene interseccionno vacıa.

Problema 7.13. Sea (X,T) un espacio topologico sucesionalmente compacto y sea(Y,T′) otro espacio topologico. Sea f : (X,T) → (Y,T′) una aplicacion continua.Demuestre que (f(X),T′f(X)) es sucesionalmente compacto.

Problema 7.14. Sea X = [−1, 1] con la topologıa T = {A ⊂ X | 0 ∈ A, o bien (−1, 1) ⊂A}. Demuestre que (X,T) es un espacio topologico compacto.

Problema 7.15. Estudie si la recta de Sorgenfrey R` es un espacio compacto. ¿Soncompactos, en este espacio, los subconjuntos [0, 1) y [0, 1]?

Problema 7.16. Sea (R, d) el espacio metrico de los numeros reales con la distancia

d(x, y) =|x− y|

1 + |x− y|.

Sea A = [1,+∞). Estudie si A es cerrado, acotado o compacto en dicho espacio.



Problema 7.17. Sea (X,T) un espacio compacto y consideremos una topologıa T′

menos fina que T. Demuestre que (X,T′) es tambien compacto.

Problema 7.18. Sea (X,T) un espacio topologico y una sucesion (an)n en X que con-verge hacia a ∈ X. Pruebe que el conjunto A = (an)n ∪ {a} es compacto en X.

Fin del Capıtulo




Ejercicio 7.1. Sabemos que el intervalo cerrado [a, b] es compacto, de modo que suimagen f([a, b]) por la aplicacion continua f sera tambien un conjunto compacto. Comola recta real es de Hausdorff, la imagen f ([a, b]) debe ser cerrada. Por otra parte, comola conexion se conserva por las aplicaciones continuas, el conjunto imagen tambien debeser conexo; pero los conjuntos conexos de R son los intervalos. En conclusion, f ([a, b])es un intervalo cerrado [c, d]. Ejercicio 7.1




Cuestion 7.1. En efecto, utilizando la compacidad y la conexion del intervalo [a, b]podemos deducir, por ser f una aplicacion continua, que la imagen f ([a, b]) es un in-tervalo cerrado [c, d]. Utilizando ahora la monotonıa estricta de f puede deducirse quela aplicacion es inyectiva y, por tanto, biyectiva en la imagen. Ahora basta utilizar elTeorema 7.23 aplicado a la funcion f : [a, b] → [c, d]. Fin de la cuestion



Topologıa8. Espacios metricos completosPedro Jose Herrero y Pascual Lucas

Resumen: Comenzamos introduciendo las sucesiones de Cauchy, quecomparamos con las sucesiones convergentes. En el caso de que coinci-dan, se trata de un espacio metrico completo. Estudiamos los espacioseuclıdeos y Rω con diversas distancias. Tambien estudiamos los espa-cios de funciones continuas y acotadas. Terminamos con el teorema delembebimiento isometrico, el teorema de encaje de Cantor y el teoremade Baire.



Indice general1. Sucesiones de Cauchy2. Espacios metricos completos3. Completitud y compacidad4. El espacio Rω

5. La distancia uniforme6. La distancia del supremo7. Teorema del embebimiento isometrico

7.1. Completacion de un espacio metrico8. Algunos resultados interesantes

8.1. Teorema de encaje de Cantor8.2. Teorema de Baire


Seccion 1: Sucesiones de Cauchy 3

El concepto de completitud en R suele aparecer en los libros de calculo: es unconcepto basico para todos los aspectos del analisis. La completitud es una propiedadmetrica, mas que una propiedad topologica, pero muchos teoremas que implican a losespacios metricos completos son de naturaleza topologica.

El ejemplo mas familiar de espacio metrico completo es el espacio euclıdeo con cual-quiera de sus distancias usuales. Con este capıtulo solo pretendemos introducir al lectoren este tema, por sus importantes implicaciones en otras ramas de las matematicas. Undesarrollo profundo excede del objeto primordial de esta asignatura.

1. Sucesiones de Cauchy

Definicion 8.1 Sea (X, d) un espacio metrico. Una sucesion (xn)n de puntos de X sedice que es una sucesion de Cauchy en (X, d) si tiene la propiedad de que, dado ε > 0,existe un entero N tal que

d(xn, xm) < ε para todo n,m ≥ N.

Ejemplo 8.1.

(1) Las unicas sucesiones de Cauchy en un espacio metrico discreto X son las de colaconstante, es decir, aquellas sucesiones (xn) para las que existe un punto a ∈ X yun numero natural n0 tales que xn = a para todo n ≥ n0.

(2) La sucesion ( 1n )∞n=1 es de Cauchy tanto en (R, | |) como en ((0, 1), | |). En efecto,



dado ε > 0 existe n0 tal que 1n < ε para todo n ≥ n0. Entonces si n,m > n0 se

verifica

d(1

n,

1

m) = |1

n− 1

m| < max{1

n,

1

m} < ε.

(3) La sucesion (n)∞n=1 no es de Cauchy en (R, | |). Observemos que para todo ε > 0 ytodo numero natural n0 siempre existen numeros n,m > n0 tales que |n−m| > ε.

Ejemplo 8.2. Es trivial que cualquier sucesion convergente en X es necesariamente unasucesion de Cauchy. En efecto, si (xn) es una sucesion tal que xn → x, entonces paratodo ε > 0 existe n0 tal que si n > n0 se cumple que d(xn, x) < ε

2 . Ası, para todon,m > n0 se tiene

d(xn, xm) ≤ d(xn, x) + d(x, xm) <ε

2+

ε

2= ε.

Ejemplo 8.3. El recıproco del Ejemplo 8.2 no es cierto en general. La sucesion ( 1n )n∈N es

de Cauchy en ((0,+∞), | |) y, sin embargo, no converge. Esto justificara la introduccionde los espacios metricos completos.

Lema 8.1 Sea (X, d) un espacio metrico. Si (xn)∞n=1 es una sucesion de Cauchy que con-tiene una subsucesion (xnk

)∞k=1 que converge a x, entonces la sucesion (xn)∞n=1 tambienconverge a x.



Demostracion. Como (xn)∞n=1 es una sucesion de Cauchy, dado ε > 0 existe n1 tal quepara todo n,m > n1 se cumple que

d(xn, xm) <ε

2.

Por otra parte, la subsucesion (xnk)k es convergente a x, luego existe k0 tal que si

nk > nk0 se cumple que

d(xnk, x) <

ε

2.

Consideremos n0 = max{n1, nk0} y tomemos n > n0 y k tal que nk > n0, entonces

d(xn, x) ≤ d(xn, xnk) + d(xnk

, x) <ε

2+

ε

2= ε,

de modo que la sucesion (xn)∞n=1 converge a x. �

Proposicion 8.2 Toda sucesion de Cauchy en un espacio metrico (X, d) esta acotada.

Demostracion. Sea (xn) una sucesion de Cauchy y consideremos ε = 1. Por la condicionde Cauchy existe n0 tal que si m, n > n0 se tiene que d(xn, xm) < 1, de modo que sin > n0, entonces xn ∈ B(xn0+1, 1). Solo quedan un numero finito de terminos quepueden estar fuera de esta bola. Sea

r = max{d(x1, xn0), . . . , d(xn0 , xn0+1)}.


Seccion 2: Espacios metricos completos 6

Para todo n se cumple que d(xn, xn0+1) ≤ r. Ası deducimos

{xn | n = 1, . . . ,∞} ⊂ B(xn0+1, r + 1),

como querıamos. �

2. Espacios metricos completos

Definicion 8.2 Un espacio metrico (X, d) se dice que es completo si toda sucesion deCauchy en X es convergente.

Ejemplo 8.4.

(1) Todo espacio metrico discreto es completo.

(2) (0,∞) no es completo con la distancia usual.

Ejercicio 8.1. Sea (X, d) un espacio metrico completo y A ⊂ X un subconjuntocerrado. ¿Es A completo?

Ejercicio 8.2. Si (X, d) es completo, entonces X es completo con la distancia acotadaestandar

d(x, y) = mın{d(x, y), 1}correspondiente a d, y recıprocamente. ¿Por que?

Veamos un criterio util para comprobar si un espacio metrico es completo:



Lema 8.3 Un espacio metrico X es completo si toda sucesion de Cauchy tiene unasubsucesion convergente.

Demostracion. Sea (xn) una sucesion de Cauchy en (X, d). Vamos a probar que si (xn)tiene una subsucesion (xni) que converge a un punto x, entonces la propia sucesion (xn)converge a x.

Dado ε > 0, y puesto que (xn) es una sucesion de Cauchy, elijamos primero N losuficientemente grande para que

d(xn, xm) < ε/2

para todos n,m ≥ N. Entonces sea i un entero lo suficientemente grande para queni ≥ N y

d(xni , x) < ε/2

(utilizamos aquı el hecho de que n1 < n2 < · · · es una sucesion creciente de enterosy que (xni) converge a x). Teniendo en cuenta ambas desigualdades, obtenemos paran ≥ N

d(xn, x) ≤ d(xn, xni) + d(xni , x) < ε,

que es el resultado buscado. �

Teorema 8.4 El espacio euclıdeo Rk es completo con cualquiera de sus distancias usua-les, la distancia euclıdea d o la distancia del supremo d∞.



Demostracion. Para probar que el espacio metrico (Rk, d∞) es completo, sea (xn) unasucesion de Cauchy en (Rk, d∞). Entonces el conjunto {xn} es un subconjunto acotadode (Rk, d∞), ya que si N es tal que

d∞(xn, xm) ≤ 1

para todos n,m ≥ N, entonces el numero

M = max{d∞(x1,0), . . . , d∞(xN−1,0), d∞(xN,0) + 1}es una cota superior para d∞(xn,0). De este modo, los puntos de la sucesion (xn)permanecen todos en el cubo [−M,M]k. Dado que este cubo es compacto, la sucesion(xn) tiene una subsucesion convergente. Entonces (Rk, d∞) es completo.

Para probar que (Rk, d) es completo, observemos que una sucesion es una sucesionde Cauchy para d si, y solo si, es una sucesion de Cauchy para d∞, y una sucesionconverge en la distancia d si, y solo si, converge en la distancia d∞. �

Ejercicio 8.3. Consideremos el espacio Q de los numeros racionales con la distanciausual d(x, y) = |x− y|. ¿Es completo?

Cuestion 8.1. ¿Es el intervalo abierto (−1, 1) de R con la distancia d(x, y) = |x− y|un espacio completo?

(a) Sı (b) No


Seccion 3: Completitud y compacidad 9

La cuestion anterior demuestra que la completitud no es una propiedad topologica,es decir, no se conserva por homeomorfismos, ya que el intervalo (−1, 1) es homeomorfoa la recta real R y este espacio es completo con su distancia usual.

Proposicion 8.5 Todo subespacio completo de un espacio metrico es cerrado.

Demostracion. Sea (X, d) un espacio metrico y sea H ⊂ X tal que (H, dH) es completo.Veamos que H es cerrado comprobando que H = H. Si x ∈ H, entonces existe unasucesion en H, (xn)∞n=1, que converge a x y, por tanto, es de Cauchy, tanto en X comoen H. Como (H, dH) es completo la sucesion (xn)∞n=1 converge en H a un punto x′. Pero(X, d) es un espacio metrico y, por tanto, de Hausdorff, de modo que x = x′. Es decir,x ∈ H. �

3. Completitud y compacidad

Proposicion 8.6 Todo espacio metrico compacto es completo.

Demostracion. Sea (X, d) un espacio metrico compacto y sea (xn)∞n=1 una sucesion deCauchy en X. Como (X,Td) es compacto, tambien es sucesionalmente compacto, luegoexiste una subsucesion de (xn)∞n=1, (xnk

)∞k=1, convergente. Como consecuencia del Lema8.1 la sucesion inicial (xn)∞n=1 tambien es convergente. �

La implicacion recıproca no es cierta, en general, aunque sı se cumple si se considerauna hipotesis adicional, la de ser totalmente acotado. El siguiente resultado, que sirve de



puente entre los espacios completos y los compactos, justifica que los espacios metricostotalmente acotados reciban tambien el nombre de precompactos.

Proposicion 8.7 Todo espacio metrico completo y totalmente acotado es sucesional-mente compacto.

Demostracion. Sea (X, d) un espacio metrico completo y totalmente acotado y sea(xn)∞n=1 una sucesion en X. Vamos a construir una subsucesion de Cauchy que sera con-vergente, por ser X completo. Por tanto, X sera sucesionalmente compacto.

Si la sucesion es finita no hay nada que probar, pues tiene infinitos terminos igualesy ya tenemos la subsucesion convergente. Supongamos entonces que la sucesion S =(xn)∞n=1 tiene infinitos terminos distintos. Como X es totalmente acotado y S ⊂ X, Stambien es totalmente acotado. Por tanto, dado 1

2 existe un numero finito de bolas coneste radio que recubren S. Como S es infinito, una de estas bolas contendra infinitospuntos de la sucesion S; llamemos a esta bola B1.

Consideremos ahora B1∩S. Este conjunto es tambien totalmente acotado, de modoque si consideramos 1

22 , entonces B1 ∩ S estara recubierto por un numero finito debolas de radio 1

22 . De entre todas ellas habra al menos una, que llamaremos B2, quecontendra una cantidad infinita de terminos de la sucesion.

Ası sucesivamente vamos construyendo una sucesion de bolas Bk de radio 12k , cada

una de las cuales tiene infinitos terminos de la sucesion y que, segun se han construido,dos a dos tienen interseccion no vacıa.



Vamos a construir la subsucesion de la siguiente manera.El primer termino sera un termino arbitrario de la sucesion que este en B 1 y le

llamamos xn1 . Como en B2 hay infinitos terminos de la sucesion, existe un termino dela sucesion xn2 6= xn1 y con n2 > n1; procediendo de esta manera construimos unasubsucesion (xnk

)k, tal que cada xnk∈ Bk. Veamos que esta subsucesion es de Cauchy.

Sean p, q ∈ N con p < q. Como Bp ∩ Bq 6= ∅, si y ∈ Bp ∩ Bq tendremos que

d(xnp , xnq) ≤ d(xnp , y) + d(y, xnq) ≤1

2p+

1

2q<

1

2p+

1

2p=

1

2p−1.

Por tanto, dado ε > 0 existe m tal que 12m−1 < ε, y si p, q > m (con p > q por ejemplo),

entonces

d(xnp , xnq) <1

2p−1<

1

2m−1< ε,

lo que prueba que la subsucesion es de Cauchy. �

Teniendo en cuenta que todo espacio metrico compacto es sucesionalmente com-pacto, podemos expresar los dos resultados anteriores en el siguiente teorema.

Teorema 8.8 Un espacio metrico (X, d) es compacto si, y solo si, (X, d) es completo ytotalmente acotado.


Seccion 4: El espacio Rω 12

4. El espacio Rω

Vamos a estudiar ahora el espacio producto Rω.

Lema 8.9 Sea X el espacio producto X =∏

Xi y sea xn una sucesion de puntos de X.Entonces xn → x si, y solo si, πi(xn) → πi(x), para cada i.

Demostracion. En primer lugar, como la proyeccion πi : X → Xi es una aplicacioncontinua, entonces conserva la convergencia de sucesiones y deducimos la condicionnecesaria del lema.

Supongamos ahora que πi(xn) → πi(x), para cada i ∈ J. Sea U =∏

Ui un elementobasico de X que contenga a x. Para cada i de forma que Ui no es igual a todo el espacioXi, sea Ni un entero tal que πi(xn) ∈ Ui para todo n ≥ Ni. Si N es el numero masgrande de todos los Ni, entonces xn ∈ U, para todo n ≥ N. �

Teorema 8.10 Existe una distancia para el espacio producto Rω con la cual Rω escompleto.

Demostracion. Sea d(a, b) = mın{|a − b|, 1} la distancia acotada estandar sobre R.Sea D la distancia sobre Rω definida por

D(x,y) = sup{d(xi, yi)/i}.


Seccion 5: La distancia uniforme 13

Entonces D induce la topologıa producto sobre Rω y Rω es completo con la distanciaD. Sea xn una sucesion de Cauchy en (Rω,D). Como

d(πi(x), πi(y)) ≤ iD(x,y)

observamos que, para i fijo, la sucesion πi(xn) es una sucesion de Cauchy en R y,por tanto, converge a un numero a i. Entonces la sucesion xn converge al punto a =(a1, a2, . . .) de Rω. �

5. La distancia uniforme

Definicion 8.3 Sea (Y, d) un espacio metrico. Pongamos d(a, b) = mın{d(a, b), 1}para la distancia acotada estandar sobre Y correspondiente a d. Si x = (xi)i∈J e y =(yi)i∈J son puntos del producto cartesiano YJ, definimos

ρ(x,y) = sup{d(xα, yα) | α ∈ J}.ρ es una distancia denominada distancia uniforme sobre YJ correspondiente a la dis-tancia d sobre Y.

Los elementos de YJ son simplemente aplicaciones de J en Y. Con esta notacion,la definicion de la distancia uniforme adquiere la siguiente forma: para f , g : J → Y,entonces

ρ(f, g) = sup{d(f(α), g(α)) | α ∈ J}.



Teorema 8.11 Si el espacio Y es completo con la distancia d, entonces el espacio Y J

es completo con la distancia uniforme ρ correspondiente a d.

Demostracion. Si (Y, d) es completo, entonces (Y, d) tambien lo es, donde d es ladistancia acotada correspondiente a d. Supongamos que f1, f2, . . . es una sucesion depuntos de YJ que es una sucesion de Cauchy para la distancia ρ. Dado i en J, el hechode que

d(fn(i), fm(i)) ≤ ρ(fn, fm)para todos n,m se traduce en que la sucesion f1(i), f2(i), . . . es una sucesion de Cauchyen (Y, d). Por tanto, la sucesion converge a un punto y i. Sea f : J → Y la aplicaciondefinida por f(i) = yi. Afirmamos que la sucesion (fn) converge a f en la distancia ρ.

Dado ε > 0, elijamos N lo suficientemente grande para que ρ(fn, fm) < ε/2, paratodos n,m ≥ N. Entonces, en particular,

d(fn(i), fm(i)) < ε/2

para n,m ≥ N e i ∈ J. Manteniendo n y i fijos y haciendo tender m a infinito, obtenemosque

d(fn(i), f(i)) ≤ ε/2.

Esta desigualdad es cierta para todo α, siempre que n ≥ N. Por consiguiente,

ρ(fn, f) ≤ ε/2 < ε

para n ≥ N, como deseabamos probar. �



Supongamos ahora que X es un espacio topologico y consideremos los subconjuntosC(X,Y) y A(X,Y) de todas las aplicaciones f : X → Y continuas y acotadas, respecti-vamente, de X en Y.

Teorema 8.12 Sea X un espacio topologico y sea (Y, d) un espacio metrico. Los con-juntos C(X,Y) y A(X,Y) son cerrados en YX. Por tanto, si Y es completo entoncesestos dos espacios son completos con la distancia uniforme.

Demostracion. La primera parte de este teorema es justo el teorema del lımite uniforme.Veamos, en primer lugar, que si una sucesion de elementos fn de YX converge al elementof de YX en la distancia ρ de YX, entonces la sucesion converge uniformemente a f, parala distancia d sobre Y. Dado ε > 0, elijamos un entero N tal que

ρ(f, fn) < ε

para todo n > N. Entonces, para todo x ∈ X y todo n ≥ N,

d(fn(x), f(x)) ≤ ρ(fn, f) < ε.

Y, por tanto, (fn) converge uniformemente a f.Probemos ahora que C(X,Y) es cerrado en YX con la distancia ρ. Sea f un elemento

de YX que es un punto lımite de C(X,Y). Existe entonces una sucesion (fn) de elementosde C(X,Y) convergente a f en la distancia ρ. Por el teorema del lımite uniforme, f escontinua, de forma que f ∈ C(X,Y).


Seccion 6: La distancia del supremo 16

Finalmente, probemos que A(X,Y) es cerrado en YX. Si f es un punto lımite deA(X,Y), existe una sucesion de elementos fn de A(X,Y) convergente a f. Elijamos Nlo suficientemente grande para que ρ(fN, f) < 1/2. Entonces, para x ∈ X, tenemos qued(fN(x), f(x)) < 1/2, lo cual implica que d(fN(x), f(x)) < 1/2. Deducimos que, si M esel diametro del conjunto fN(X), entonces f(X) tiene diametro menor o igual que M + 1.Por tanto, f ∈ A(X,Y). �

Corolario 8.13 Sea X un espacio topologico. Los conjuntos C(X, R) y A(X, R) soncerrados en RX y completos con la distancia uniforme.

6. La distancia del supremo

Definicion 8.4 Si (Y, d) es un espacio metrico, podemos definir otra distancia en elconjunto A(X,Y) de las aplicaciones acotadas de X en Y por la ecuacion

ρ(f, g) = sup{d(f(x), g(x)) | x ∈ X}.Es facil observar que ρ esta bien definida porque el conjunto f (X) ∪ g(X) esta acotadosi f(X) y g(X) lo estan. La distancia ρ se conoce como distancia del supremo.

Ejercicio 8.4. ¿Que relacion hay entre la distancia del supremo y la distancia unifor-me?


Seccion 7: Teorema del embebimiento isometrico 17

7. Teorema del embebimiento isometrico

Vamos a probar ahora un teorema clasico, el cual afirma que todo espacio metrico sepuede embeber isometricamente en un espacio metrico completo.

Teorema 8.14 Sea (X, d) un espacio metrico. Existe un embebimiento isometrico deX en un espacio metrico completo.

Demostracion. Sea A(X, R) el conjunto de todas las funciones acotadas de X en R.Sea x0 un punto fijo de X. Dado a ∈ X, definamos φa : X → R mediante la ecuacion

φa(x) = d(x, a)− d(x, x0).

Aseguramos que φa esta acotada. Efectivamente, de las desigualdades

d(x, a) ≤ d(x, b) + d(a, b),d(x, b) ≤ d(x, a) + d(a, b),

se deduce que|d(x, a)− d(x, b)| ≤ d(a, b).

Poniendo b = x0, concluimos que |φa(x)| ≤ d(a, x0), para todo x.Definamos Φ : X → A(X, R) por

Φ(a) = φa.


Seccion 7: Teorema del embebimiento isometrico 18

Vamos a probar que Φ es un embebimiento isometrico de (X, d) en el espacio metricocompleto (A(X, R), ρ). Es decir, vamos a probar que, para todo par de puntos a , b ∈ X,

ρ(φa, φb) = d(a, b).

Por definicion,

ρ(φa, φb) = sup{|φa(x)− φb(x)| : x ∈ X}= sup{|d(x, a)− d(x, b)| : x ∈ X}.

Por tanto, concluimos queρ(φa, φb) ≤ d(a, b).

Por otro lado, esta desigualdad no puede ser estricta, ya que si x = a entonces

|d(x, a)− d(x, b)| = d(a, b),

y ası concluye la prueba. �

7.1. Completacion de un espacio metrico

Definicion 8.5 Sea X un espacio metrico. Si h : X → Y es un embebimiento isometricode X en un espacio metrico completo Y, entonces el subespacio h(X) de Y es un espaciometrico completo. Se conoce como completacion de X.


Seccion 8: Algunos resultados interesantes 19

En otras palabras, si (X, d) es un espacio metrico completo y X es un espacio metricoisometrico a un subconjunto denso de X, entonces (X, d) es la completacion de X.

Ejemplo 8.5. La recta real (R, | |) es una completacion de (Q, | |).

Proposicion 8.15 Todo espacio metrico (X, d) admite una completacion.

Demostracion. Es una consecuencia inmediata del Teorema 8.14. �

8. Algunos resultados interesantes

8.1. Teorema de encaje de Cantor

Teorema 8.16 Sea (X, d) un espacio metrico completo y sea {Cn}∞n=1 una sucesiondecreciente de cerrados en X, no vacıos y tales que la sucesion de sus diametros convergea 0. Entonces ∩∞n=1Cn es exactamente un punto.

Demostracion. Que la sucesion de cerrados sea decreciente quiere decir que

C1 ⊃ C2 ⊃ · · · ⊃ Cn ⊃ . . . .

Sea (xn)∞n=1 una sucesion en X de manera que xn ∈ Cn para cada n ∈ N. Veamos queesta sucesion es de Cauchy.

Como los diametros de (Cn)n forman una sucesion que tiende a 0, tendremos quedado ε > 0, existe n0 ∈ N tal que si n > n0, entonces diam(Cn) < ε. Por tanto, como la


Seccion 8: Algunos resultados interesantes 20

sucesion de cerrados es decreciente, si n,m > n0, con m > n, tenemos que xn, xm ∈ Cn.Entonces d(xn, xm) < diam(Cm) < ε y la sucesion es de Cauchy.

Como X es completo, la sucesion (xn)n es convergente a un punto x ∈ X. Veamosque x ∈ ∩n∈NCn.

Supongamos que no fuera ası. Entonces existirıa k ∈ N tal que x /∈ Ck; como Ck escerrado, tenemos que d(x,Ck) = r > 0, con lo que la bola B(x, r

2 ) y Ck no tienen puntoscomunes. Pero si n > k, entonces xn ∈ Ck (pues la sucesion de cerrados es decreciente),lo que implica que xn /∈ B(x, r

2 ), lo cual es imposible puesto que xn → x.Veamos, finalmente, que este punto es el unico en la interseccion. Supongamos que

existe otro punto y ∈ ∩n∈NCn, entonces d(x, y) ≤ diam(Cn) para todo n ∈ N y comolımn diam(Cn) = 0 ha de ser d(x, y) ≤ 0. Pero d es una distancia, luego d(x, y) = 0. Portanto, x = y. �

8.2. Teorema de Baire

Teorema 8.17 Sea (X, d) un espacio metrico completo y sea {An}∞n=1 una sucesion deabiertos de X tales que An es denso en X para cada n ∈ N. Entonces se cumple que∩∞n=1An es denso en X.

Demostracion. Es suficiente probar que todo abierto no vacıo de X corta a ∩∞n=1An.Sea A ⊂ X un abierto. Como A1 es denso, A∩A1 es no vacıo y, por tanto, x1 ∈ A∩A1.Como A ∩ A1 es abierto, existe r1 < 1 tal que la bola cerrada B(x1, r1) ⊂ A ∩ A1.



La bola B(x1, r1) es abierta no vacıa y A2 es denso, luego B(x1, r1)∩A2 es no vacıo.Por tanto, existe x2 ∈ B(x1, r1) ∩ A2; esta interseccion es abierta, luego existe r2 < 1

2tal que

B(x2, r2) ⊂ B(x1, r1) ∩ A2 ⊂ A ∩ A1 ∩ A2.

Ası, por induccion, se puede construir una sucesion de bolas {B(xn, rn)}∞n=1 tales quepara cada n ∈ N rn < 1

n y B(xn, rn) ⊂ A ∩ A1 ∩ · · · ∩ An.

Si consideramos las bolas cerradas, la familia {B(xn, rn)}∞n=1 cumple la hipotesis delteorema de encaje de Cantor y, por tanto, su interseccion es un unico punto:

∩∞n=1B(xn, rn) = {x}, x ∈ X.

En consecuencia, x ∈ A ∩ (∩∞n=1An) por lo que ∩∞n=1An es denso. �


Problema 8.1. Sea X un espacio metrico.

(a) Suponga que, para algun ε > 0, toda ε-bola en X tiene clausura compacta. Pruebeque X es completo.

(b) Suponga que, para cada x ∈ X, existe un ε > 0 tal que la bola B(x, ε) tieneclausura compacta. Muestre mediante un ejemplo que X no es completo necesa-riamente.



Problema 8.2. Sean (X, dX) e (Y, dY) dos espacios metricos, con Y completo. SeaA ⊂ Y. Demuestre que si f : A → Y es uniformemente continua, entonces f puede serextendida unıvocamente a una aplicacion uniformemente continua g : A → Y.

Problema 8.3. Dos distancias d y d′ sobre un conjunto X se dice que son metrica-mente equivalentes si la aplicacion identidad i : (X, d) → (X, d′) y su inversa sonuniformemente continuas.

(a) Demuestre que d es metricamente equivalente a la distancia acotada estandar dasociada a d.

(b) Demuestre que si d y d′ son metricamente equivalentes, entonces X es completocon la distancia d si, y solo si, es completo con la distancia d ′.

Problema 8.4. Demuestre que el espacio metrico (X, d) es completo si, y solo si, paratoda sucesion encajada A1 ⊃ A2 ⊃ · · · de subconjuntos cerrados no vacıos de X talesque diamAn → 0, la interseccion de los conjuntos An no es vacıa.

Problema 8.5. Si (X, d) es un espacio metrico, recuerde que una aplicacion f : X → Xse dice que es una contraccion si existe un numero α < 1 tal que

d(f(x), f(y)) ≤ αd(x, y),

para todos x, y ∈ X. Demuestre que si f es una contraccion de un espacio metricocompleto, entonces existe un unico punto x ∈ X tal que f(x) = x.



Problema 8.6. Un espacio X se dice que es topologicamente completo si existe unadistancia para la topologıa de X para la cual X es completo.

(a) Demuestre que un subespacio cerrado de un espacio topologicamente completoes topologicamente completo.

(b) Pruebe que un producto numerable de espacios topologicamente completos estopologicamente completo (con la topologıa producto).

Fin del Capıtulo




Ejercicio 8.1. Sı, ya que una sucesion de Cauchy en A tambien es una sucesion deCauchy en X y, por tanto, converge en X. Como A es cerrado en X, el lımite de lasucesion debe permanecer en A. Ejercicio 8.1



Ejercicio 8.2. Porque una sucesion (xn) es una sucesion de Cauchy para la distancia dsi, y solo si, es una sucesion de Cauchy para la distancia d. Y una sucesion converge enla distancia d si, y solo si, converge en la distancia d. Ejercicio 8.2



Ejercicio 8.3. El espacio Q de los numeros racionales con la distancia usual d(x, y) =|x− y| NO es completo. Por ejemplo, la sucesion

1,4, 1,41, 1,414, 1,4142, 1,41421, . . .

de numeros con una cantidad finita de decimales, que converge (en R) a√

2, es unasucesion de Cauchy en Q que no converge en Q. Ejercicio 8.3



Ejercicio 8.4. Si f, g ∈ A(X,Y) entonces

ρ(f, g) = mın{ρ(f, g), 1}ya que si ρ(f, g) > 1 entonces d(f(x0), g(x0)) > 1 para algun x0 ∈ X, de manera qued(f(x0), g(x0)) = 1 y ρ(f, g) = 1, por definicion. Por otro lado, si ρ(f, g) ≤ 1 entoncesd(f(x), g(x)) = d(f(x), g(x)) ≤ 1 para todo x, y ası ρ(f, g) = ρ(f, g).

Observemos que sobre A(X,Y), la distancia ρ es justamente la distancia acotadaestandar derivada de la distancia ρ. Ejercicio 8.4




Cuestion 8.1. El intervalo abierto (−1, 1) de R con la distancia d(x, y) = |x− y| no escompleto. En este espacio, la sucesion (xn) definida por

xn = 1− 1

n

es una sucesion de Cauchy que no converge. Fin de la cuestion


universidad de murcia departamento de matem´aticas … · sobre la teor´ıa de conjuntos que nos...

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