EL JUEGO.

Por lean-Charles MOREUX

DE PITAGORAS A VITRUVIO:"SYMETRIA" I

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mensurabilidad entre el todo y las par­tes. Principios que conducen a la Har­monía. Harmonía de los elementos ar­quitectónicos con el conjunto de un edi­ficio. Harmonía entre los miembros yel cuerpo del hombre, que considera co­mo un Microcosmos. En fin, euritmiaideal del Microcosmos y del Macrocos­mos, es decir del hombre y del Univer­so. 3

y fue sobre estos principios básicos,sobre estas sublimes proporciones, co­mo se fundaron las teorías filosóficas,esréticas y científicas de los gnósticos,de los cabalísticos,' de los pre-humanis­tas de la Edad Media, y de los huma­nistas del Renacimiento. Los geómetrasde la antigüedad, nos han dejado innu­merables figuras, cuyos trazos se aplicana las artes, tales como el tri{lI1gulo cu­yos lados tienen 3, 4 Y 5 unidades delongitud, y que es rect{lllgulo u orto­gonal, puesto que 32 + 42 = 52. Estetriángulo tuvo gran importancia en laantigüedad; era sagrado y su recíprocallevaba, entre los persas, el nombre deH ennana de la desposada. Platón lo si­túa en su número nupcial, Plutarco, enlsis y Osiris, le llama "el más bello delos triángulos". Tiene además la siguien­te propiedad: 63 = 33 + 43 + 53. Cite­mos también el triángulo equilátero oisopleure y el triángulo sublime cuyoángulo en el vértice es de 3ho.

De estos triángulos han surgido losrectángulos harmónicos: 3/4, 3/5, 4/5en donde la relación de los lados es <Den el que la altura es 1 y las basess1l.Cesivamente iguales a~ y2, y3, y4,(o 2) y5 (serie de Fibonacci) . 4

Todos estos trazados los aplicaron losescultores, pintores, ceramistas y sobretodo los arquitectos. Todos contienenun carácter criptográfico, pero con unpoco de experiencia y mucha pruden­cia, es relativamente fácil comprenderlo.Encontramos los primeros vestigios, en­tre los egipcios, en la forma y en lasección de las Pirámides (las cuales son

SABIO

Armario con símbolos, en maqueta. (En el estudio del Duque de Urbina.)

racteriza solamente algunas corrientesdel arte y del pensamiento, preocupadapor la nobleza hierática y ya, en ciertosentido "reaccionaria". Había con todoel apoyo de la investigación matemá­tica, que ilustran en Alejandría un Ni­comaco de Gerasia y los maestros de laAcademia platónica: Teofrasto, Eude·.mo, Eudoxio de Cnido y Menecmo, an­tes de los descubrimientos de Euclidesy de Arquímedes. La segunda época ale­jandrina, caracterizada por el sincretis­mo - de los neoplat' nicos durante losprimeros siglos de la era cristiana, viouna nueva conjunción de la "cienciaesotérica" y de la filosofía religiosa, conManelao, Tolomeo, Proclo y, más tar­de el romano Boecio que fue durantela Edad Media el eminente defensor detodas estas especulaciones. 2

Entre las raras obras de estos filósofosabstrusos, de sus apologistas y de susgeómetras citaremos: El iéTOS logos atri­buido a Pitágoras según Jámblico. ElEpinomis, el Teeteto y el Timeo dePlatón. El De Divisionibus (o Divisiónde los polígonos de Euclides. El libTOde los rectángulos y el Tmtado de lostrece poliedTOs semi-regulares de Arquí­medes, Syntaxismathématica o A lmages­te de Tolomeo, el manual de Harmonía,los Theologumenes aritméticos de Nico­maco de Gerasia. Pero conviene dcjarun lugar muy especial a De Architectu­m de M. P. Vitruvio (85 a. J. c., 25 a..J. C.) en el cual desarrolla con unaclaridad relativa los principios pitagó­ricos de la analogía y de la simetría.El primero se refiere al uso de las pro­porciones y a la equivalencia de lasrelaciones que engendran formas seme­jantes recurrentes. El segundo que no'tiene el sentido moderno de la semejan­za concurrente sino el sentido de con-

(1398) .UA'fS sine sciencia nihil."Jean Vignot, magíster operis

LA TRADICION ESOTERICAEN EL ARTE

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L A. ARQUITECTURA es el modelo de. todo -arte: pues ella puede mejorarque ninguna otra forma est~tica

sujetarse a una norma a la vez ul1lver­sal y secreta. El edificio de piedra no esmás que la materialización más o me­nos ríerfectade un sólido invisible y pu­ro: una figura, totalmente matemáticay transparente la exalta y la justificaa los ojos de ese observador ideal delcual Platón, Leonardo, Valéry, han evo­cado, sucesivamente, su severidad y susexigencias admirables. La belleza, es,según estos maestros, evocación, disfru­te y, en cierto modo, p~sesión del or­den cósmico más secreto. Esta obsesiónque añade al arte el prestigio de la cien­cia, y no se sabe qué sortilegio esotéricoha marcado épocas enteras, esta lejos deser extraiía a las formas más osadas delarte contemporáneo. Esta búsqueda hacaracterizado y caracteriza tal vez pro­fundamente al Occidente, y es su his­toria la que va a ser abocetada aquí.

Desde el origen de las civiliza~i~mes

existían doctrinas secretas transmItIdas,oralmente, sólo a los iniciados. :Estasdoctrinas son las llamadas acroamáticasy esotéricas. Es así como, en una cartade Alejandro a Aristóteles, Plutarc~ lehace decir: Has hecho mal en pubilcartus tmtados acroamáticos. Estas doctri­nas fueron mágicas en sus cOl:nienzo~,

tendiendo, insensiblemen te, haCia la fi­losofía y las ciencias.

Uno de los filósofos griegos más an­tiguos, es tal vez Ferecides que vivióhacia el año 600 antes J. C. y que tuvopor alumno a Pit,ígoras de Samas, elcual fundó la escuela itálica de Croto­na, donde los alumnos eran admitidossolamente después de un largo y severonoviciado. Pitágoras dio los númeroscomo principio de las cosas; teniendo,los números en sí mismos como princi­pio la unidad o mónada. Identificabaa Dios como la memada de las món:l­das, o sea con la unidad absoluta y pri­mordial. Por último afirmab:l que losdiez primeros números estaban dotadosde virtudes, y que el número diez cr:lperfecto o divino.

Esta enseñanza prestigiosa que funda­ba una ética, un:! metafísica y una es­tética nuevas basadas en la ciencia dclos números fecundó todo el p~nsamien­

LO griego. Asimilada por Platón, domi­nó las especulaciones del Timeo y delCritias, lo mismo que pJ.saba en la pr,íc­tica en los talleres de arquitectura y dee:;cultura. Pero incluso las polémicas en­tabladas por Platón contra' el arte desu tiempo prueb:m que, desde el sigloIV, no siempre se había respetado el ri­gor primitivo de la doctrina. 1 Desde elfin de la antigüedad y durante el pe­ríodo romano, l::t tradición "sabia" Gl

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DIseño para la catedral de Milán

cumbres de conocimientos). Entre losgriegos los encontramos en sus t,e~plo~.El gran templo de Poestum esta mscn­to en un rectángulo 3/5. El Arsenal delPireo, está regulado por dos triángulosadosados 3/4/5, etc.

"EL ARTE DE LA GEOMETRIA",EN LA EDAD MEDIA

N uestro conocimiento de la Edad Me­dia no es muy profundo, por tanto nopodemos dar entre los siglos VIII Y XIII,

sino algunos nombres, de los cuales va­rios brillan como diamantes negros:Alcuin, Geribert, el futuro papa Silves­tre n, el Papa del año mil. Mucho mástarde, en la mitad del siglo XI{, Abelar­do de Bath y Gerardo de Cremona, tra­dujeron a Euclides según una versiónsarracena. En el siglo XIII, Leonardo dePisa escribió la P¡'áctica geométrica,obra inspirada en los trabajos árabes.R. Bacon y Raymundo Lulio, esos dosespíritus universales. En la misma épo­ca, Campanus de Novare y DominicusParisiensis redactaron dos tratados deGeometría casi al mismo tiempo quela Geometria speculativa del Arzobispoinglés Bradwardin. Mencionemos aquí,el inestimable álbum del "magister ope­ri" Villard de Honnecourt que, segúnsu propio decir, es "un método paradibujar a línea, según el arte de le geo­metría lo manda y enseña". Por últimoa mediados del siglo XIV, Rosenkrutzprobó a renovar la doctrina de los neo­pitagóricos, que reiniciaron, sucesiva­mente J. Valentín Andrea (hacia 1614)y en el siglo XIX el Sal' Peladán.

Los maestros de obra guardaban ce­losamente sus secretos inspirados por lospitagóricos y no los transmitían más quepor tradición oral. 5 El álbum de Villardde Honnecourt, que es una excepetónnos permite ver cómo los planos y lasfachadas de las catedrales eran ~l re­sultado de trazados rectangulares bar­mónicos y cómo las figuras humanas ylos adornos, obedecían a formas trian­guIares. o poligonales. Las "Cuadratu­ras" de los maestros góticos proceden deuna búsqueda geometrizante que se re­monta lejanamente a Vitruvio, cuyo

prinCIpIO final está expuesto en l~s de­finiciones del Meno y del Tzmeo_Se puede decir en este sentido que "elsecreto de los albañiles de la Edad Me­dia se deriva remotamente de Platón".N uestra Señora de París está construidacon nueve rectángulos 3/2 (proporcióndada en el Critias a propósito de laAtlántida). Podemos añadir que raravez se encuentran figuras escritas -siosáramos hacer esta metáfora- en car­tas de piedra, como el pentagrama de lagran rosa de Amiens y el rosetón de laSanta Capilla.

Independientemente de sus implica­ciones esotéricas, el recurrir a las pro­porciones, como regla arquitectónica,era una receta p(áctica indispensablf1para compensar la ausencia de unidadmétrica en los talleres. Las discusionesque, más adelante, se han multiplicadoen torno a la conclusión de la catedralde Milán, revelan claramente las anti­guas preocupaciones de los maestros deobra. Antonio di Vicenza, y más tardeStornáloco fueron llamados en consultaen 1390 y 1391, Y sus discusiones no fue­ron sino "una disputa entre los partida­rios del cuadrado, del triángulo pitagó­rico y del triángulo equilátero". En elmomento en que las antiguas socieda­des artesanales de maestros de obra co­mienzan a disolverse, se revelan así susprocedimientos de cálculo y el espíritud€ su arte. Estaban por otra parte máso menos reinterpretados a la luz de losnuevos textos esparcidos por el huma­nismo y la imprenta, y es así que Cesa­re di L. Cesariano, que fue en un mo­mento el alumno de Bramande, ilustrasu Vitruvio con el famoso trazado de"Triangulación" de la catedral de Mi­lán, que es la coronación y tal vez ladesviación final del 'Arte geométrico"de la Edad Media.

EL "NUMERO DE ORO"Y EL ARTE MODERNO

En la época del Renacimiento, losarquitectos abrazan con entusiasmo elpensamiento de los filósofos, traducen einterpretan a Vitruvio (entre 1486 y1609, se hicieron más de 30 ediciones)y crearon obras originales aplicando lasteorías geométricas, aritméticas y modu­lares revivificadas.

L. B. Alberti encarna, por antonoma- .sia, el arquitecto humanista. 6 Fijará enDe re aedificatoria las leyes de la har­monía aplicadas a la arquitectura pormedio del Numerus o número regidorde las proporciones; por la Finitio quees el límite del número, por la Figuraque es la línea melodiosa, y, en fin, porla Collocatio o buen reparto de las par­tes del edificio previamen te determina­das por el número. Encierra de unamanera ideal la construcción en unacaja transparente y regula las relacionesnuméricas entre las tres dimensiones:anchura, largura y altura, utilizandociertas relaciones-tipo "mediaciones" (enlatín mediocTitas) que desarrolla en se­guida en el interior del edificio por eljuego analógico de las partes. Ahora.bien, estas "relaciones" fundamentalesson precisamente las que habían estable­cido los pitagóricos y que Platón habíasituado en el principio de "el alma lidmundo". 7 Nunca se ha manifestado conmás claridad que en el Renacimiento, elpaso de la Cosmología a la Estética, yla preocupación por la belleza como"cálculo escondido del alma".

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Paolo Uccello, D. Barbara, A. Dure­ro, se apasionan por los mismos asun­tos, los estudian y los adaptan a su arte.y es así como vemos a Paolo Uccello di­bujar sólidos denominados mazzochi queson torés, donde se inscriben las partesde polígonos o de poliedros regulares, 8

a Leonardo de Vinci trazar con tantaprecisión los poliedros regulares y semi­regulares de la Divina .proportione; aDurero grabar las figuras de sus cuatrolibros llamados: GeometTÍa de la sime­tría del cuerpo del hombre y su Melan­colía con 'su indefinible y misteriosa so­lidez; a Christofer Jammitzer ilustraruna Perspectiva C01'porum Regular'ium;a Rafael el amplio quicio de las ven­tanas de las "Stanze", en el Vaticano,pintar, ilusionariamente, dos armariosentreabiertos, en cuyos entrepaños hayun icosaedro, un dodecaedro, el huevosimbólico de la creación y algunos ins­trumentos de matemáticas; a J. de Bar­bari, en su cuadro de Nápoles, repre­sentar al maestro-geómetra Luca Paccio­li y un discípulo, a los cuales un dode­caedro y un icosaedro parecen servir detema de iniciación.

Luca Paccioli di Borgo, en su trata­do intitulado De Divina Pmportione(1509), reinventará, según Euclides y

Tolomeo, la forma de dividir una rectaen media y extrema razón. Demostrará,en fin y sobre todo, cómo esta divisiónpuede intervenir en la composición dela obra de arte y, hecho esto, cómo pue­de generar belleza. Esta divina propor­ción se llama también sección de OTO,

correspondiente a un invariante que losmatemáticos actuales designan por laletra <I> y cuyo valor es \/5 + 1. Kepler

2apreciaba su gran valor y la considera­ba, con el teorema de Pitágoras, con"las dos joyas de la geometría". El nú­mero <I>, y por tanto, la sección de orose encuentran en el trazado de los po­lígonos (pentágono, decágono y sus de-

Rosetón de la catedral de Amiens

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Instrumento de cálculo y símbolos del esoterismo

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rivados estrellados), así como en la re­lación entre las aristas del dodecaedroy del icosaedro. Estos dos poliedros re­gulares forman con el cubo, el octaeuroy el tetraedro, los cinco cue1'pos plató­nicos citados en el Timeo, teniendo unarepresentación tanto física como meta­física. Pietro de la Francesca los estu­dió en su Quinque Corporibus y lesañadió los poliedros semi-1'egulares deA1'químedes. ¿No es este el momento deseñalar la fundación por Cosme de Mé­dicis, de la Academia Platónica quereunía a Ficino, Alberti, el griego Ple­thon y, más tarde, Pico de la Mirandola,que trataron de hacer la santa alianzade la doctrina pitagórica y del dogmacatólico por el trujamán Hermes Tris­megisto?

Entre los autores de tratados, hay queanotar particularmente a: D. Barbara,Cataneo, Labacco, Lomazzo, Rusconi,etc. Pero es sobre todo en Andrea Pa­lladio donde conviene detenerse. En susQuatro lib,·i del['Architettura, da lamanera de trazar, armoniosamente,planos, cúpulas y fachadas por mediode los números. Se puede constatar enestas creaciones los más imprevistos re­sultados, ya sea en Vicencio (basílica),en Venecia (iglesia de San GiorgioMaggiore o de San Francesco della Vig­na); (villas: Rotonda, Maser, Malcon­tenta), etc. 9

En Francia, las teorías arquitectóni­cas humanistas fueron introducidas porlos aristas llamados por los reyes: FraGioconco, D. de Cortane, Serlio y Leo­nardo, que fue a morir allí.

Alberti fue traducido desde ]51~ yVitruvio, por Jean Martin (1547). Ph.Delorme publica, en 1541, su Primer li­bro de arquitectura que será la bibliade los arquitectos franceses. Iba a pu­blicar un segundo libro en el cual sehabría extendido particularmente .wbr-e­las proporciones, como nos dice en suprimer escrito: "Pero sobre el discursode tales proporciones, no debo exten­derme más, puesto que en el segundotomo de Las divinas proporciones (elcual espero hacer imprimir si Dios meda gracia), veréis no sólo el medio ynuevo invento para hacer las cornisas,sino también" cómo encontrar todas lasproporciones de toda clase de planos yedificar las construcciones que deseéis,basándose en las medidas del cuerpohumano." No lo escribió, desgraciada­mente, lo que no le impidió probarnosen sus obras construidas el uso admi­rable de tales principios. La capilla delcastillo de Anet ¿no es una especie dehomenaje a la geometría? Freart deCambray, A. Bosse, Le Muet (que dioa conocer en Francia Palladio) C. Pe­rrault, J. F. Blondel fueron los conti­nuadores de Ph. Delorme. Descubrimossin cesar, diseños geométricos o relacio­nes armónicas en las composiciones delos grandes arquitectos del pasado. Pe­rrault y Gabriel dividen, según la sec­ción de oro, la fachada del Louvre ylas de los pabellones de la plaza de LaConcordia donde se refleja en las fajasdel primer piso. C.-N. Ledoux aplica,a sus fachadas de las murallas de París,el trazado de rectángulos armónicos(2, 3, 4, 5). 10 Pero, insensiblemente, se

diluye esta sabia teoría de las propor-ciones y desaparece en el siglo XIX. Ennuestros días, ciertos autores y distin­guidos artistas rec?bran un poc<? del en­tusiasmo que antIguamente ammaba alos amigos de Cosme de Médicis, redes-

cubren los textos, los números y lostr~zados puestos al alcance del hombrepara crear belleza. Pero como escribePaul Valéry, a propósito de <1>: "Estenúmero no debe ser ciega y brutalmen­te utilizado. Hay que mirarlo como uninstrumento que no prescinda de la ha­bilidad y de la inteligencia del artista."y dice también y ésta será la conclusiónfinal de nuestra exposición: "El secretl)seduce y estimula."

NOTAS

1 P. M. Schuhl, Platón y d al·te de sutiempo. París, 1933.

2 E. Delatte, Estudios sobre la literaturapitagórica. París, 1919; y sobre el conjunto delmovimiento la obra de divulgación de M. C.Ghyka, El númeTO de OTO, ritos y ritmos pita·góricos en el desarrollo de la civilización occi­dental, 2 vol. París, 1931.

3 Sobre la dirección de la enseñanza deVitruvio, J. Ch. Moreaux, Histo"ia de la ar­quitectuTa, col. "Que sais-je" No. 18. reed.1948.

4 Sobre estos ritmos y estas series, M. C.Ghyka, Estética de las jJrolJorciones en la na·tumleza y en las artes. París, 1927, c. 4 y 5.

5 Fuera de capítulo de H. Focillon, El a.-tede los escult01'es romanos. París, 1925, en loque concierne a la escultura, para la arquitec­tura se puede recurrir a G. Dehio, Untersu­chungen übe,' das Gleichseitige Dreieckals Non.nGotischer ProportlOnen, Stuttgart, 1894, y masrecientemente a P. Frankl, The secret of themedieval masons, en The Art Bulletin, XXVIt

(1945), pp. 46-59, seguido de un estudio de E.Panofsky sobre la fórmula llamada de Stoma­loco.

6 P. H. Michcl, El pensamiento de L. B.A lbe·rti. París, 1933, y del mismo: Una aplica·ción de las meditaciones pitagóricas a la esté·tica arquitectónica en Mezclas de filosofía, dehistoria y de literatura, editado por H. Hauvet­te, París, 1934, pp. 181-189, del cual tomamoslos pasajes citados en la nota siguiente.

7 Los griegos llamaban mediaciones a "ungrupo de tres números, de los cuales dos desus diferencias tenían entre ellas la misma re­lación que dos de estos números", de los cua­Jes distinguían tres principales:

a-m aari tmética: ---- - 1 es decir a + b

m-b a

- 2 ma-m a

geométrica: ---- - - o sea ab - m3m-b ma-m a

armónica:m-b b

Sobre las tres "mediaciones pitagórícas" en laantigüedad: P. Tannery, Ciencias exactas el/.la antigüedad. París, 1912, J, p. 90.

8 G. 1. Kern, Der "mazzocchio" das PaoloUccello, en ]ahrbuch del' P,·euss. Kunstsalll'>'­lungen, XXXVI, (1915) '. G. Nicco. Fasola, . ed.crit., del De prospettlVa pmgendl, de p¡erodella Francesca, Florencia, 1942.

9 Ver el estudio decisivo de R. Wittkower,PrincilJles of Palladio's A"chitecture, I y 11, ell

]oumal of the Warburg and Cou.-tauld 1ns­titutes, VII, (1944), Y VIII, (1945), sobre el fu~­

damento "platónico y pitagórico" de la arqUI­tectura pallatlina y el artículo reciente de J.Ch. Moreux, Las Villas de Andrea PalladLO enA,·te y Decomción, No. 12 (primavera, 1949).

10 J. Raval y J. Ch. Moreux, Nicolas Le­doux. París, 1947.

(Tmducción de Pío Gil)