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"UNIVERSIDAD AUTONOMA METROPOLITANA"
DIVISION DE CIENCIAS BASICA E INGENIERIA
DEPARTAMENTO DE QUIMICA
'ESTUDIO SOBRE LA CARACTERIZACION DE L A S
PROPIEDADES DE MOJADO DE ROCAS FRACTURADAS'
Tesis que Presenta el Alumno
José Antonio Moreno Razo Matrícula 92321769
Para la Obtención del Grado: Licenciado en Quimica
Asesor Dr. Armando Dominguez Ortiz
”UNIVERSIDAD AUTONOMA METROPOLITANA”
DIVISION DE CIENCIAS BASICA E INGENIERIA
DEPARTAMENTO DE QUIMICA
’ESTUDIO SOBRE LA CARACTERIZACION DE L A S
PROPIEDADES DE MOJADO DE ROCAS FRACTURADAS’
Tesis que Presenta el Alumno
José Antonio Moreno Raza Matrícula 92321769
Para la Obtención del Grado: Licenciado en Quámica
Asesor Dr. Armando Dominguez Ortiz
Enero del 2001
"ESTUDIO SOBRE LA CARACTERIZACION DE L A S PROPIEDADES DE MOJADO DE ROCAS
FRACTURADAS"
José Antonio Moreno Razo
17 de enero de 2001
Indice General
0.1 INTRODUCCIóN . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 6
0.2 DEFINICION DE MOJABILIDAD . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 7
0.3 MOJADO DE UNA SUPERFICIE IDEAL . . . . . . . . . . . . . . . . . . 10 0.3.1 Las Tensiones Interfaciales y la Superficie Sólida . . . . . . . . . . . 10
0.4 HISTERESIS EN EL ANGULO DE CONTACTO . . . . . . . . . . . . . . 16
0.4.1 Definición de Histéresis . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 16 0.5 MEDICIONES DEL ANGULO DE CONTACTO . . . . . . . . . . . . . . . 18
0.5.1 Método de la Elevación Capilar . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 0.5.2 Método de la Placa de Wilhelmy . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 0.5.3 Método del Anillo . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 0.5.4 Medidas del Volumen y Peso de la Gota . . . . . . . . . . . . . . . . 22 0.5.5 Método de la Gota Pendiente . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23
0.6 MOJADO EN SUPERFICIES DE BAJA ENERGIA . . . . . . . . . . . . . 23 0.7 MODELOS MOLECULARES Y TEORIA DE DISPERSION . . . . . . . . 26
0.7.1 Teoría de Lifshitz . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 28 0.7.2 Modelo de Hough y White . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 28 0.7.3 Modelo de Israelachvili . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 30
0.7.4 Mojabilidad Interfacial . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 32 0.8 INTRODUCCION . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 40
0.9 POROSIDAD . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 53 0.9.1 Defición de Porosidad . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 53 0.9.2 Determinación de la Porosidad . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 57
0.10 COMPRESIBILIDAD DE ROCAS . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 58
1
0.10.1 Compresibilidad de Arenas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 64 0.11 PERMEABILIDAD . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 65
O . 11.1 Medio isotrópico . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 68 0.11.2 Unidades de la Permeabilidad . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 71 O . 11.3 Validez de la ley de Darcy . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 72
0.11.4 Tipos de permeabilidad . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 78
O . 11.5 Término de Forchheimer . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 79
0.11.6 Permeabilidad de Klinkenberg . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 81 0.11.7 Relaciones K y . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 86
2
Indice de Figuras
1
2
3 4
5 6 7
8 9
10 11 12 13 14 15 16
17
18
Mojado de una gota en una superficie ideal . . . . . . . . . . . . . . . . . . 8 Medición del ángulo de contacto . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 9 Trabajo de Adhesión . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 13 Trabajo de Cohesión . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 14 Angulo de Contacto como Función del Cubrimiento de la Superficie . . . . . 17 Método de elevación capilar . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 Métodos de la Placa de Wilhelmy: a) Separación; b) Estático . . . . . . . . 21 Medida de la tensión interfacial por el método del anillo . . . . . . . . . . . 22 Separación de una gota desde la punta de un tubo estrecho . . . . . . . . . 23 Modelo de Hamaker . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27 Modelo de Israelachvili . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 31 Triángulo de Neumann . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 32 Cronología de importantes escritos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 49 Cronología de importantes desarrollos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 51 Respresentación un Medio Poroso . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 54 Porosidad de bolas de dos tamaños diferentes (dl =diámetro de las pequeñas, d2 =diámetro de las mayores), los valores reportados es el co- ciente de d l ld2 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 55 Representación esquemática de distintos tipos de rocas indicando su
relación entre su textura y porosidad . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 56 Gráfica de Dobrynin para determinar los cambios en porosidad y densidad como función de la presión de sobrecarga, (C, =compresibilidad del poro ( x p=presión neta de sobrecarga ( x lo3) . . . . . . . . . . . . . . . . 60
3
19 20
21 22 23 24
25
26 27
28 29
30
Experimento de Darcy . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 68 Experimento de Darcy en una columna inclinada . . . . . . . . . . . . . . . 69 Curva Esquemática de la relación entre el flujo y el gradiente hidráulico . . 73 Representación Esquemática del flju através de Medios Porosos . . . . . . . 74
Modelo de Arena par Flujo Rectilíneo Horizontal . . . . . . . . . . . . . . . 75 Flujo Vertical. ( u ) Flujo Libre; (b) Flujo Descendente con Columna de Fluido; (e) Flujo ascendente con Columna de Fluido . . . . . . . . . . . . . 77
Modelo para el Flujo Radial de Fluidos hacia el pozo . . . . . . . . . . . . . 78
Volumen Elmental Representativo,VER . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 80 Concepto de Deslizamiento un Gas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 84 Efecto de la Presión en el deslizamiento de un Gas . . . . . . . . . . . . . . 85 Efecto del Peso Molecular en el deslizamiento de un Gas . . . . . . . . . . . 85 Representación Gráfica del Concepto de Tortusidad . . . . . . . . . . . . . . 88
4
Índice de Tablas
1 2
3
4
5
6
7 8
9 10
1 1
Tensión Superficial crítica de varios grupos determinados por Zisman . . . . 34 Constantes de Hamaker ( x~O-~OJ) calculadas por Hough y White (C=alcano; A=aire; W=Agua) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 34 Constantes de Hamaker ( x 10-20J) para diferentes materiales calculadas por Hough y White (M=material; A=aire; W=Agua) . . . . . . . . . . . . . 35 Distancias de Corte (LC = Do.nm). Constantes de Hamaker ( x~O-~OJ).
Tensiones Interfaciales (20C. y Densidades (20C. 10-3Kgm-3) . . . 35
Angulos de Contacto Teóricos y Experimentales en PTFE; Constantes de Hamaker ( x 10-204 . asumiendo distancias de corte iguales. (S=PTEF; L=Alcano; A=aire) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 36 Porosidades de Empaquetados Regulares . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 90 Análisis granulométrico . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 90 Varlores de la porosidad eficaz para diferentes materiales . . . . . . . . . . . 91 Técnicas de Medición de la Porosidad . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 92
Relaciones Empíricas obtenidas por Teodorovich et . al . . . . . . . . . . . . . 93
Valores de el factor de forma de algunas geometrías . . . . . . . . . . . . . . 93
5
Capitulo I 6
0.1
La mojabilidad se refiere a la respuesta cuando un líquido entra en contacto con una
superficie sólida inicialmente en contacto con otro fluido, en la cual varias posibilidades pueden existir, primero, que el líquido pueda moverse sobre el sólido, desplazando al fluido original, y finalmente llegar a detenerse cuando el ángulo entre la interfase sólido-fluido y sólido-líquido alcanza un cierto valor, un úngulo de contacto. De otra manera, el líquido puede esparcirse sin límite; desplazando al fluido original, en tal situación el ángulo de contacto es de O O . La importancia de la mojabilidad en recubrimientos, adhesión, deter-
gencia, lubricación y otras operaciones en las cuales los líquidos se aplican directamente a las superficies sólidas. Esto también controla la imbibición espontánea de líquidos en medios porosos. Aunque el significado de la mojabilidad ha sido cuestionado, su cuantifi- cación se basa en el ángulo de contacto, y éste tiene una larga historia. Thomas Young, en 1805 [Young, 18051 relacionó el ángulo de contacto con la energía de superficie de las interfases en la unión de las tres fases (línea de tensión), y J. Willard Gibbs [Gibbs, 19281 en 1878 expresó su relación en forma matemática, dándole al ángulo
de contacto una propiedad termodinámica. La primera aplicación convincente de la energía de una superficie fue realizada por W. A. Zisman et al. [Fowkes, 19641 en un trabajo realizado durante y después de la Segunda Guerra Mundial en un Laboratorio de Investigación Naval. Zisman evitó los riesgos de la irreproducibilidad por sus cuidadosas restricciones en sus sistemas y procedimientos. En muchos casos fijó su atención en superficies sólidas y limpias, suaves, de 'baju energia' (superficies que no se contaminan fácilmente) en contacto con líquidos puros, los cuales fueron incapaces de penetrar ó químicamente inactivos con la superficie. Las mediciones de los ángulos de contacto, fueron reportados en la situación en la cual el líquido no avanza sobre la superficie sólida (Úngulos de contacto estúticos). Bajo tales condiciones, no únicamente la reproducibilidad de las ángulos de contacto, para un sólido dado, sino también el gráfico de los valores de los ángulos de contacto versus l a s tensiones superfi- ciales de los líquidos usados. Tales 'grúficos de Zismun' permiten extrapolar linealmente la tensión interfacial a la condición tal que cos(6) = 1, dando como resultado la 'tensión superficial critica de Zisman'.
6
Capitulo I 7
La mayor desventaja en las mediciones de los ángulos de contacto, la cual Zisman evitó,
es la histéresis, generalmente la histéresis se observa entre los úngulos de avance (OA) 3
retroceso (OR) y su relación con la heterogeneidad química de la superficie y su morfología, esto fue dado a conocer en un artículo de Johnson y Dettre en 1969 [Johnson, 19691,
'. . . los a'ngulos de contacto en una medición común y exitosa de la mojabilidad.
Esto da información acerca de la energia de superficie y la heterogeneidad de la
superficie. Su medición es sensible a contaminación en la superficie y controla
muchos procesos técnicos . . . '
Muchos autores se centran en medir en superficies de baja energía, del tipo estudiado por Zisman, en contacto con gases u otros líquidos. Ellos incorporan desarrollos re- cientes en entender las fuerzas de dispersión y reexaminar las gráficas de Zisman, como los son los conceptos de Girifalco y Goog [Girifalco, 19751, Fowkes [Fowkes, 19641 y Neu- mann [Neumann, 19741 en esa dirección. También actualmente se han usado técnicas experimentales para medir los ángulos de contacto y evaluar, en particular los efectos de
la solubilidad de la superficie. Los desarrollos más importantes en cuestión de mojabilidad en los pasados cincuenta años, se pueden dividir en tres categorías:
1. Creciente entendimiento de las interacciones moleculares, dentro del líquido y a través de las interfases líquido-sólido y líquido-líquido, responsables de la mojabili- dad.
2. Un mejor entendimiento de la dinámica del mojado.
3. Un reconocimiento de la importancia del fenómeno de la mojabilidad en procesos y productos para los cuales el entendimiento era mínimo o nulo.
0.2 DEFINICION DE MOJABILIDAD.
La mojabilidad, no necesariamente involucra la interacción de un sólido. La mojabilidad
se define como la tendencia de un fluido a esparcirse o adherirse sobre un superficie sólida
7
Capitulo I 8
en presencia de un fluido inmiscible [Anderson, 19861. Puede ocurrir que el líquido cubra la superficie, penetre en el sólido poroso ó el desplazamiento de un líquido por otro. Esto puede ayudar a caracterizar la superficie y determinar las interacciones sólido/líquido.
VAPOR
Figura 1: Mojado de una gota en una superficie ideal.
La mojabilidad muchas veces es descrita por la gota asentada. Un diagrama esquemático se presenta en la figura 1. El ángulo de contacto es una mediada de la
mojabilidad, y se mide hacia la fase más densa en el punto-tangente a la coexistencia de las tres fases, figura 2. A valores pequeños del ángulo de contacto, la mojabilidad es alta
y a valores del ángulo de contacto altos, la mojabilidad es pobre. Los ángulos de contacto son siempre menores que 180' (el ángulo de contacto más alto observado, mercurio, (Hg), en una superficie de vidrio, se ha reportado y tiene un valor de 148' [Young, 19281. En sistemas que tiene más de un ángulo de contacto estables se dice que muestran histéresis
en el ángulo de contacto.
La interacción de superficies de baja energía con líquidos es a través de fuerzas de dispersión o de van der Wals. La teoría de Hamaker-Lzfshitz (H- L) [Hamaker, 1953, Lifshitz, 19561 proporciona un entendimiento preciso en las fuerzas de dispersión. Dos artículos muy importantes, uno de Lifshitz y White [Hough, 19801 y
8
Capitulo I 9
VAPOR
4
Ysv YQL SOLIDO
Figura 2: Medición del ángulo de contacto.
otro por Israelachvili [Israelachvili, 19731, Lifshitz los aplicó en la teoría del mojado. Su trabajo se centra en evaluar los conceptos y teorías de Zisman, Girifalco y Goog, Fowkes
y otros. La teoría de H-L requiere modificaciones en los conceptos de Zisman, i.e., el efecto del empacado molecular, la estructura de la superficie y la longitud de la cadena
de las monocapas en el mojado. Por otro lado, la teoría H-L ignora la posibilidad de la penetración de las moléculas del líquido mojante dentro de la superficie del sustrato.
Los gráficos de Zisman (cos(@ us. la tensión superficial del líquido mojante) se han usado por mucho tiempo para caracterizar la mojabilidad en superficies de baja energía. Estos gráficos dan un buen ajuste empírico a los datos experimentales. El intercepto de
éstas curvas con el eje del cos(8) = 1 se conoce como la tensión superficial critica, Sin embargo, las pendientes en los gráficos de Zisman han sido virtualmente ignorados, estas contienen mucha información, particularmente acerca de la solubilidad de la superficie.
Una controversia adicional en la literatura del mojado ha sido la ecuación de estado de superficie de Neumann [Neumann, 19741. Muchos otros problemas que se notan en la literatura son causados al aplicar ecuaciones de equilibrio a sistemas en no-equilibrio. Otros problemas ocurren cuando el ángulo de contacto se aproxima a cero. Algunos confusiones existen entre la fuerza de superficie y la energia libre de superficie.
El mojado de una superficie por un líquido provee la prueba más directa de las teorías
9
Capitulo I 10
del mojado y las interacciones entre las fases. Esto es porque la tensión superficial, la
tensión interfacial y la presión de esparcimiento se pueden evaluar. Li et al. [Li, 19911 sugiere que los sistemas líquido/líquido/vapor no siguen las mismas leyes que los sistemas sólido/líquido/vapor, sin embargo, los sistemas sólido/líquido/vapor tienen un mayor
importancia en detergencia, recuperación secundaria del petróleo y en muchos procesos biológicos. La ecuación de Bartell-Osterhof (B-O) es la que relaciona el contacto
interfacial con los ángulos de contacto medidos en aire. La clave para entender la mojabilidad es el entendimiento que, ésta se determina entre . " , las fuerzas de adhesión entre el líquido y el sólido y las fuerzas de cohesión en el líquido. :?
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Las primeras causan que el líquido cubra al sólido y las segundas obligan al líquido a formar una gota. El ángulo de contacto se determina por la competencia entre estas dos fuerzas. p, r:: (? i.
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c-1 A
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0.3 MOJADO DE UNA SUPERFICIE IDEAL.
Casi todas las teorías del mojado usan el mismo modelo de superficie ideal. Esta superficie no presenta histéresis, es suave y no deformable. Cuando una gota de un líquido se coloca en tal superficie, se asume un ángulo característico, figura 2. El ángulo de contacto es independiente de la gravedad [Johnson, 19591.
0.3.1 Las Tensiones Interfaciales y la Superficie Sólida.
Tensión Superficial sólido/vacío.
-ys/o, es comúnmente llamada tensión superficial, es el trabajo reversible para formar una área unitaria de superficie del sólido en vacío. se define por la ecuación ( 1):
10
Capz’tulo I 11
donde, Gs/,, es la energía libre de Gibbs de exceso de la interfase sólido/vacío, T la temperatura absoluta, p la presión, Aslo el área de la superficie sólida y Nj es el número de moles de la superficie de exceso de la j - esirno componente. En la ecuación ( 1) indica que la derivada se realiza a T, p y el número de componentes
de exceso, Nj, constantes.
Tensión Superficial sólido/vapor.
YSlv, la tensión superficial sólido/vapor, es el trabajo reversible asociado para formar una superficie unitaria cuando la superficie esta en equilibrio con el vapor saturado de un líquido, esto se define en la ecuación ( 3):
Ys/v = Ys/o - XTT, f.
donde:
donde l?s/v es la energía libre de Gibbs de exceso del vapor en le sólido, p es la presión y
po es la presión de vapor del líquido y R es la constante de los gases.
Tensión Interfacial sólido/líquido.
Ts/l es la tensión interfacial sólido/líquido, es el trabajo reversible para formar una unidad de área de la interfase sólido/líquido. Esta se define por:
11
Cavitulo 1 12
donde, Gs/l es la energía libre de Gibbs de exceso de la interfase sólido/líquido y A,/1 el área sólido/líquido.
Gibbs obtuvo la misma ecuación minimizando la energía libre del sistema en un
desplazamiento virtual de las superficies e interfases [Johnson, 19591. Gibbs enfatizó que es muy difícil medir ys/l y yslv. El consideró que la ecuación ( 6) puede ser mas simple y
más general que la ecuación de Young:
donde:
7rs/l mide la tendencia de un líquido a esparcirse. Esta es una cantidad negativa que Gibbs llamó: "la tensión superficial del fluido en contacto con el sólido". "/l/v mide la tendencia de la gota a contraerse bajo las fuerzas de tensión. Las interacciones de éstas presiones superficiales y tensiones superficiales se pueden representar por vectores, figura 2. Para superficies de baja energía, 7rsIv es cero ó cercano a cero cuando 8 es mayor que cero. Esto es una observación experimental. Además se explica asumiendo que el líquido no se absorbe en un sólido el cual tiene una tensión superficial más baja que la del líquido. En este caso, la ecuación ( 6) se simplifica en la ecuación ( 9), La cual
muestra la competencia entre fuerzas adhesivas, ns/l y fuerzas cohesivas, y+,. Para que ocurra un mojado completo solo se requiere que la tensión superficial del sólido
sea más grande que la tensión interfacial del líquido. De la ecuación de Young, se observa que esta es condición necesaria pero no suficiente. El trabajo de adhesión W,, figura 3, es el trabajo que se requiere para separar en una área unitaria al líquido del sólido, y se define por:
12
Capitulo I 13
Figura 3: Trabajo de Adhesión.
De la ecuación ( 9) se nota que cuando una área unitaria del líquido es separada de un sólido, una área unitaria de la interfase sólido/vapor y una área unitaria de la superficie líquido/vapor se crea y una área unitaria de la interfase sólido/líquido desaparece. El procedimiento de separación deja una capa de vapor absorbida en la superficie del líquido. El trabajo de cohesión Wc, figura 4 , es una medida de las interacciones moleculares para
moléculas simétricas, se define por:
La ecuación anterior, se deduce separando una columna de líquido en dos partes, creando dos superficies líquido/vapor. La energía libre de éste proceso es 2../1/,. La orientación de las moléculas puede ocurrir durante este proceso. De estas dos cantidades podemos definir la ecuación ( 11) la cual ilustra la competencia entre las fuerzas de cohesión, W,, y las fuerzas de adhesión, Wa.
El coeficiente de esparcimiento en equilibrio, W,, se define por:
13
Camhlo I 14
Figura 4: Trabajo de Cohesión.
este también se puede definir como:
Este coeficiente únicamente puede ser negativo o cero. Aunque algunos textos sugieren la posibilidad de que pueda ser positivo, esto se confunde con W:, el coeficiente de esparcimiento en no-equilibrio, definido por:
Cuando una gota de líquido inicialmente en contacto en una superficie sólida W:, puede ser positivo. Harkins [Harkins, 19521 llama a W: como el coeficiente inicial de esparcimiento y Ws el Coeficiente final de esparcimiento. Como ocurre adsorción en la interfase sólido/vapor, W: decrece hasta alcanzar un valor de cero ó negativo en el equilibrio. Los sistemas con un valor inicial positivo de W,* y un valor negativo de Ws son llamado autofbbicos, los cuales son líquidos comunes de moléculas asimétricas que fácilmente se
14
Ca&ulo I 15
adsorben en el sólido.
Cuando 6' = O, la ecuación de Young se reduce a:
% / u = Ys/u - Ys/l
y la ecuación de Gibbs-Young:
la ecuación ( 18) es conocida como la regla de Anton08 [Antonoff, 19071. Han existido algunas objeciones en las ecuaciones ( 18) y ecuación ( 19) en base en que la ecuación de Young no es aplicable cuando 6' es cero. De hecho, la ecuación de Young
es válida cuando 6' es cero. Tales objeciones se pueden resolver por la distinción entre las tensiones de adhesión en equilibrio y no-equilibrio. Una excelente discusión se encuentra en el libro de Landau y Lifshitz [Landau, 19581.
Un problema más serio es cuando la ecuación de Antonoff se aplica a sistemas que tienen un ángulo de contacto finito. Donde el criterio para la validez de la regla de Antonoff es un ángulo de contacto cero, y aplicada donde el ángulo de contacto no es cero produce resultados absurdos. La ecuación ( 4) muestra que xs/, se determina por la integración de rSju us. p de p a
po, un criterio para un ángulo de contacto finito es que rsru sea finito en p = po. Como p se aproxima a po, la capa absorbida puede llegar a ser más ancha que la película de la
superficie exterior que tienen las propiedades del seno de líquido; esto es, la superficie más externa no se ve afectada por el sustrato, Harkins llama a ésta película duplex. El trabajo de formación de una área unitaria de la superficie completa ys/u de una película duplex es ~ l / ~ más el trabajo de formación de la interfase interna ys/l.
Y s / u = Y l / u - Ys/l (20)
la cual es la regla de Antonoff. En resumen la regla de Antonoff es correcta únicamente cuando 6' = O. Cuando 8 = O,
15
Capitulo I 16
7rSlv puede llegar a ser significativo y no puede ser ignorado.
0.4 HISTERESIS EN EL ANGULO DE CONTAC-
TO.
La histéresis en el ángulo de contacto es causada por la existencia de muchos estados termodinúmicos metaestables, para sistemas que tienen tres fase (sólido/líquido/vapor). A diferentes ángulos de contacto se les asocia un estado metaestable. El máximo ángulo
estable se le llama úngulo de avance, t9A. El mínimo ángulo estable se refiere como el Úngulo de retroceso, OR. La histéresis es la diferencia entre estos dos.
De acuerdo con Adamson [Adamson, 19901, existen tres tipos de causas que producen histéresis en el ángulo de contacto. La primera causa es la contaminación del sólido ó
líquido. Una limpieza rigurosa puede dar buenos resultados en el ángulo de contacto. La segunda, rugosidades en la superficie, definitivamente causan histéresis en el ángulo de contacto y la tercera causa que aparece es la inmovilidad de la superficie en una
escala macromolecular. Por ejemplo, en el caso de un líquido y una superficie sólida, es necesario que la película de vapor absorbida sea mobible.
0.4.1 Definición de Histéresis.
La Histéresis es la causa de estados metaestables en la interfase sólido/líquido/vapor. Cada uno de éstos estados metaestables es caracterizado por un ángulo de contacto. Estos estados pueden ser producto de heterogeneidades en la superficie, rugosidades en la superficie o superficies deformables. Las barreras entre los estados metaestables tienen estados que pueden ser más grandes que k T . Si hay una vibración en el sistema, las barreras de energía necesariamente pueden ser más grandes que la energía de vibración. La causa mayor de histéresis es la heterogeneidad en la superficie. Pequeñas zonas de heterogeneidad pueden implicar una gran histéresis. Aunque las regiones heterogéneas no
16
Cawitulo I 17
necesariamente deben ser macroscópicas , las regiones pueden ser pequeñas más pequeñas que 4 ó 5 nm de diámetro.
Porcentaje del Area Cubierta
Figura 5: Angulo de Contacto como Función del Cubrimiento de la Superficie.
Johnson y Dettre [Johnson, 19641 analizaron un modelo de superficie heterogénea
con bandas circulares concéntricas. El resultado obtenido esta dado en la figura 5. El eje X es la fracción de la superficie cubierta con un material que produce un ángulo de contacto calculado. El eje Y es el ángulo de contacto calculado. La curva superior
corresponde al úngulo de contacto de avance,thetaA y la curva inferior al úngulo de
contacto de retroceso,thetaR. De acuerdo con su modelo, a los úngulos de avance se les asocia con regiones de baja mojabilidad y a los úngulos de retroceso con regiones de alta mojabilidad.
La figura 5 también incluye una curva para una superficie heterogénea, en la cual las áreas individuales de los dos componentes de la superficie son también producto de pequeños estados metaestables. Esta curva, etiquetada con 8, corresponde a un mínimo de energía libre para el sistema [Gibbs, 19281. Esta se calcula por la ecuación de
Cassie [Girifalco, 1975, Good, 1958, Good, 19601, ecuación ( 21).
cos(@ = fl cos(O1) + f2 cos(&)
17
Capitulo I 18
0 es ángulo de contacto del líquido en la superficie heterogénea, O1 y 02 son los ángulos de contacto de cada uno de los componentes, f i y f2 son sus respectivas fracciones en la superficie. Como el tamaño de las regiones heterogéneas puede ser pequeño, las curvas
exteriores envuelven a la curva de Cassie.
0.5 MEDICIONES DEL ANGULO DE CONTAC-
TO.
El fenómeno de la tensión interfacial es conocido desde la antigüedad, las primeras obser- vaciones cuantitativas fueron hechas por el científico árabe Algacini, en el siglo XIII, y lo describe en su libro: ’La balanza de la sabiduria’ [Pugacevich, 19751. Más tarde éste fenómeno fue estudiado por otros científicos entre los cuales podemos
citar a Leonardo da Vinci, Newton, Thomas Young, Gauss, Poisson, Mendeleev, Van der Waals, Bohr, Einstein, Schodinger y muchos más. Las primeras mediciones que se efectuaron para calcular la tensión interfacial en sólidos fue realizada por Mervo [Pugacevich, 19751 empleando mercurio. Realmente la expan-
sión del estudio de la tensión interfacial en el ámbito científico comenzó a principios del siglo XIX en el que se desarrollaron varias teorías acerca de la tensión interfacial, una
de las más importantes fue realizada por Young y Laplace, que establece una relación entre la diferencia de presiones sobre los lados interno y externo de una superficie curva de un líquido. El fenómeno de la tensión superficial es puramente físico el cual se debe básicamente a fuerzas intermoleculares que actúan entre las moléculas de la superficie líquida o cercanas a ella y estas fuerzas difieren de las que se ejercen entre moléculas a mucha profundidad del interior del líquido.
Los métodos de medición para la tensión interfacial pueden ser de tres tipos: estáticos, semiestáticos y dinámicos.
18
Capitulo I 19
0.5.1 Método de la Elevación Capilar.
Es un método exacto para determinar las tensiones interfaciales, cuando se usa cor- rectamente. Puesto que las mediciones no implican una perturbación en la superficie, es posible seguir efectos del tiempo lentos. La elevación de un líquido por un capilar
estrecho viene dada por:
rhgnP y = 2cos(B)
para un ángulo de contacto cero se reduce a:
1 y = -rhgAp
2 (23)
Para hacer medidas precisas es necesario una corrección debido al menisco. En un capilar
estrecho el menisco es aproximadamente esférico y, por lo tanto:
En el caso de capilares más anchos, hay que tener en cuenta que el menisco no tiene exactamente la forma hemisférica [Adamson, 19901. En la práctica, el método de elevación capilar solo se usa cuando el ángulo de contacto es cero.
0.5.2 Método de la Placa de Wilhelmy.
Del brazo de una balanza se cuelga una placa de mica que se sumerge parcialmente en un líquido [Wilhelmy, 18631, como se indica en la figura 7.
o Cuando se usa como método de separación de la superficie, ver figura 7a, el depósito que contiene al líquido va bajando gradualmente y se anota el tirón sobre la balanza
19
Capitulo I 20
Figura 6: Método de elevación capilar.
en el punto de despegue. Para una lámina de longitud x, anchura y y peso W, suponiendo que el ángulo de contacto es cero:
e El método de la lámina también puede utilizarse como un método estático, figura 7b, para la medida de cambios de tensión superficial. Se mide la variación de la
fuerza necesaria para mantener la placa a un nivel de inmersión determinado al
cambiar la tensión superficial.
0.5.3 Método del Anillo.
En este método se determina la fuerza necesaria para separar un anillo de la superficie,
bien suspendiendo el anillo del brazo de una balanza ó utilizando un hilo de torsión (tensiómetro Noiiy [Lecomte, 19191). La fuerza para desprenderlo esta relacionada con la tensión superficial o interfacial por la expresión:
20
Capitulo I 21
a) SEPARACION b) ESTATICO
Figura 7: Métodos de la Placa de Wilhelmy: a) Separación; b) Estático.
P f y = - 47rr
donde f es el empuje aplicado al anillo, en dinas, r el radio medio del anillo y p un fac- tor de correlación. Para tener un ángulo de contacto cero y, por lo tanto, constante, se utilizan anillos de platino cuidadosamente limpios con ácidos fuertes o flemeándolos. Es esencial que el anillo repose plano en una superficie tranquila. Para medidas en interfases, el líquido inferior debe mojar con preferencia la anillo. El factor de corrección P tiene en cuenta que las fuerzas de tensión no están dirigidas ver-
ticalmente y también la complicada forma del líquido que cuelga del anillo en el momento de despegarse; por lo tanto, depende de las dimensiones del anillo y de la naturaleza de la interfase. Harkins y Jordan [Harkins, 19301 han tabulado valores de ,O que también pueden calcularse de la ecuación de Zudeima y Waters [Zuidema, 1941 3 .
4b 1 7r2 R2 4R7r (pl - p2)
(P - u)2 = f “
Donde p1 y p2 son las densidades de la fase interior y superior, u = 0.725 y b = 9.075 x
para todos los anillos, c = (0.04534 - 1.679;) y r es el radio del hilo.
21
Capz'tulo I 22
I "__... . . . I ............... I ....
I """""""""""- AGUA _ _ _ _ _ - _ _
Figura 8: Medida de la tensi6n interfacial por el método del anillo.
0.5.4 Medidas del Volumen y Peso de la Gota.
Consisten en medir el peso o el volumen de un agota de un líquido que se desprende lentamente de la punta de un tubo estrecho montado verticalmente (figura 9j. En el
momento de desprenderse las gotas:
donde m es la masa de la gota, v el volumen, p la densidad del líquido, r el radio del tubo y Q> un factor de corrección. Este factor es preciso porque:
o la gota formada no se desprende completamente de la punta del tubo y
o la fuerzas de tensión superficial muy raramente son son verticales, depende del cociente "&. Harkins y Brown [Harkins, 19191 han determinado empíricamente
22
Capitulo I 23
valores de a. Se observa que son preferibles valores de "& comprendidos alrededor de 0.6 y 1.2.
X
Figura 9: Separación de una gota desde la punta de un tubo estrecho.
0.5.5 Método de la Gota
Se basa en fotografiar una gota en imétrico. A partir de la variación
Pendiente.
formación, o proyectando su imagen en papel mil- de las dimensiones de la gota se puede calcular la
tensión superficial o interfacial [Adamson, 19901.
0.6 MOJADO EN SUPERFICIES DE BAJA ENER- GIA.
Zisman et al. [Zimerman, 19641, iniciaron los estudios de mojabilidad. Bertell et al., y algunos otros introdujeron algunos conceptos importantes. En el tiempo de Zisman,
cuando hicieron sus primeras investigaciones, la mayor característica de la mojabilidad su pobre reproducibilidad. Muchos artículos fueron escritos en ese tiempo con títulos como: 'Es el AnguZo de Contacto es una Propiedad Termodinámica?' La mayor parte de su trabajo sobre superficies fluorinadas; algunas de sus conclusiones de Zisman son:
23
Capitulo I 24
o Cuando superficies de baja energía fueron mojadas por alcanos, el coseno del ángulo de contacto us. la tensión superficial del líquido mojante es una línea recta (gráfico de Zisman)
0 La intersección de ésta línea recta con el cos(0) = 1 se le llama tensión superficial crítica ó T~ [Kobza, 20001, Figura 13
o Cuando se miden ángulos de contacto en superficies de baja energía por líquidos que
pueden formar puentes de hidrógeno internos o en otro caso asociarse, los gráficos de Zisman muestran una curvatura.
o Los grupos químicos más alejados de la cadena determinan la mojabilidad.
La repulsión de los grupos químicos fluorocarbonados e hidrocarburos en la interfase decrece en el orden:
La tabla 1 lista las tensiones superficiales críticas de varios grupos determinados por Zisman. En tiempos posteriores, los datos fueron reproducibles e intentos por explicar los resultados que Zisman había obtenido. Un resultado intrigante fue que para hidro- carburos en superficies de baja energía de fluorocarbonados, el ángulo de contacto era una función única de la tensión interfacial crítica del líquido. Esto fue el foco de muchos trabajos teóricos de Girifalco y Good [Girifalco, 1975, Good, 1958, Good, 19601, argumentaron que si las tensiones interfaciales (energías libres de superficie) son el resultado únicamente de las fuerzas de dispersión, entonces las reglas de combinación para las tensiones superficiales e interfaciales pueden ser similares a esas interacciones de van del Waals entre moléculas diferentes en la fase gas. Utilizando la relación de Barth- elot [Bertholet, 18981 para la interacción de moléculas, ellos desarrollaron la ecuación ( 30)
24
Capitulo I 25
La relación de estados de Barthelot es que la constante de interacción de dispersión entre dos moléculas diferentes del gas es la media geométrica de l a s con-
stantes de interacción de esas moléculas. La ecuación ( 30) solo puede ser aplicada cuando:
o la superficie tiene la misma estructura que en su seno,
o las interacciones entre las moléculas son de wan der Waals.
Combinando la ecuación ( 30) con la ecuación de Young y haciendo T,/, = O, implica:
cos(0) = 2 - - y40 1 J yil, la ecuación ( 31) no predice una relación lineal entre 0 y sin embargo:
Girifalco y Good reconocieron las limitaciones e introdujeron @.Una interpretación mejor fue realizada por Fowkes [Fowkes,
un parámetro ajustable 19671. El reconoció que
los factores críticos que controlan la mojabilidad son las interacciones entre las fases es
a través de las interfases. Sugirió que estas interacciones fueran relacionadas con las clases de fuerzas que actúan entre las moléculas de cada fase. Estas fuerzas pueden ser independientes una de la otra. Por lo tanto, si ambas, puentes de hidrógeno y fuerzas
de dispersión actúan a través de la interfase, el trabajo total de adhesi-”on puede ser
el trabajo dispersivo de adhesión más el trabajo de adhesión debido a los puentes de hidrógeno. La ecuación ( 31) se puede reescribir en términos de interacciones. Estas
interacciones están definidas por las componentes (y,“ y y+) de las tensiones superficiales de dispersión. Para yllv = y$,, la ecuación ( 31) se transforma en:
25
Capitulo I 26
Para sistemas donde solo existe interacción únicamente por puentes de hidrógeno y
fuerzas de dispersión.
w, = w,“+ w,“ (34)
donde W,d es el trabajo de adhesión por fuerzas de dispersión y W,h es el trabajo de adhesión por puentes de hidrógeno.
Owens y Wendt [Owens, 19691, Kaelble [Kaelble, 19701 y otros también aplicaron los
conceptos de Fowkes:
w, = w,”+w,“+wap (35)
donde W,P es el ’trabajo de adhesión polar’, Fowkes [Fowkes, 19671, mostró que todas la interacciones a través de la interfase se ajustan a dos tipos: dispersión y úcido-base. Esto
requiere dos términos en la ecuación del trabajo de adhesión porque para cada grupo ácido puede haber un correspondiente grupo básico. Esto implica:
donde A/B representa una interacción ácido-base y B/A una interacción base-ácido.
0.7 MODELOS MOLECULARES Y TEORIA DE DISPERSION.
Las fuerzas de dispersión son causadas por las fluctuaciones de las nube electrónica que rodea a los átomos. El entendimiento entre las fuerzas de van der Waals únicamente
puede ser posible con el desarrollo de la mecánica cuántica. Hamaker [Hamaker, 19531 fue el primero en mostrar que las fuerzas intermoleculares de dispersión pueden contar para las fuerzas atractivas entre coloides y cuerpos macroscópicos. Su modelo su muestra
26
Capitulo I 27
I I I I I I I I I I I I I I I I I I
en la figura 10.
SOLIDO VAPOR
I I I I I I I I I
LIQUIDO I I I I I I I
Figura 10: Modelo de Hamaker
Las fases sólida y líquida tienen una forma infinita separadas por un vacío ó vapor, La energía de interacción entre los dos planos separados por una distancia D, esta dada
por la ecuación de Hamaker.
donde A,/1 es la contante sólido/líquido de Hamaker y D la distancia de separación entre los planos en el equilibrio. En la aproximación más cercana D = Do. Esta separación se determina por un balance entre las fuerzas atractivas de dispersión y fuerzas de repulsión
de Born. Hamaker dedujo A,/1 por la integración de las interacciones de dispersión entre todos los elementos en las dos fases.
donde las v’s son los elementos de volumen de las dos fases, las q’s son las correspondientes densidades de átomos por unidad de volumen, X es la contante de interacción molecular y r es la distancia entre átomos en las dos fase. La integración se realiza sobre planos semiinfinitos. Las constantes de Hamaker se pueden definir para cada fase.
27
Capitulo I 28
Padday y Unffindell [Padday, 19681 calcularon A,/l de la teoría molecular de Moelwyn- Hughes y ajustando Do, ellos calcularon la tensión superficial de alcanos con mucha
exactitud. Ajustando los datos pudieron calcular las interacciones entre grupos más que entre átomos. Sus valores calculados de A,/1 fueron diferentes a los valores calculados
por la teoría de Lifshitz.
0.7.1 Teoría de Lifshitz.
La teoría de Lifshitz [Lifshitz, 19561 de las fuerzas de dispersión es una de la teorías
más exactas en la física de superficies. Su desarrollo elimina muchos de los problemas asociados con la con la aproximación de Hamaker.
El modelo de Lifshitz es el mismo como Hamaker. La diferencia entre las dos teorías es el camino para determinar la constante de Hamaker. El método de Hamaker determina la constante integrando ó sumando las interacciones moleculares. El método de Lifshitz determina la constante del espectro de absorción electromagnética. La ventaja en los cálculos de Lifshitz hoy en día es que las mediciones ópticas se pueden realizar en objetos
macroscópicos homogéneos.
0.7.2 Modelo de Hough y White.
El trabajo de Hough y White [Hough, 19801 tiene un mayor interés. El punto de partida es la ecuación fundamental de Lifshitz:
28
Capitulo I 29
donde h es la constante de Planck, k' la constante de Boltzmann y E la energía entre la mitad del espacio entre los planos 1 y 3 separados por 2. La prima en la sumatoria indica que el término n = O. La prima en la contante de Boltzmann se usa para distiguirla del índice k empleado por Hough y White. ~ ( 2 5 ) está relacionado con la respuesta dieléctrica
€(u), donde w es la frecuencia de radiación electromagnética. Hough y White hicieron un cambio de variable para convertir las ecuaciones anteriores
en una forma más resumida:
A123 -E123 = 12TL
donde A123 es la constante es la distancia media entre
3k'T O3
A123 " c 2 0
(43)
sólido/líquido de Hamaker definida por la ecuación ( 44) y L los espacios 1 y 3:
donde x = 2kL. A123 es dependiente de las propiedades del material del sistema através de la fución q (ZC) .
Los ángulos de contacto se pueden calcular de la ecuación ( 46)
y resolviendo para 8:
29
Camhlo I 30
Para un líquido simple donde las moléculas no se orientan en la superficie:
- Al/, - 2 4 ~ L2
donde L es la separación del líquido. Sustiyendo Yllv de la ecuación ( 3):
2As/1 - 24rL2~, / , cos(8) = -1
Al/,
Hough y White asumen que 7rslv es cero, lo cual produce la ecuación aproximada:
2As/1 Al/,
cos(e) = __ -
La tabla 2 muestra las constantes de Hamaker alcanos y agua. La tabla 3 muestra las constantes
calculadas por Hough de Hamaker calculadas
y White para para diferentes
materiales. La tabla 4 da las constantes de Hamaker, tensiones superficiales, densidades y distancias de corte para alcanos. La tabla 5 da cálculos teóricos realizados para
el politretafluoroetileno (PTFE) por Hough y White, usando la ecuación ( 43). Los resultados experimentales se tomaron de Fox y Zisman [Fox, 19501.
0.7.3 Modelo de Israelachvili.
La ecuación de Hamaker y Lifshitz únicamente se aplica a sólidos homogéneos. Is-
raelachvili [Israelachvili, 19731 extendió el análisis de Lifshitz a sistemas donde el sólido es dopado por una película ó monocapa. La figura 11 muestra su moldelo.
Esto es similar al modelo de Hamaker-Lifshitz, excepto que una película se adhiere al sólido. Usando la teoría de Lifshitz, Israelachvili derivó la ecuación ( 52). Mostró que la ecuación ( 44) se puede obtener de la teoría de Hamaker con error experimental menor
30
Capz’tulo I 225998.9 31
I I I I I I
i SOLIDO I I I I I I I
FILM
T - VAPOR
D -
I I I I I I
LIQUIDO I I I I I I I I
Figura 11: Modelo de Israelachvili.
al 20%. Do es un parámetro ajustable, esta relacionado con la distancia entre los planos.
All, es la constante de Hamaker líquido/substrato y Allf es la constante de Hamaker líquido/película.
Ordinariamente, uno asocia la mojabilidad con un sustrato sólido. Sin embargo, el moja- do de un líquido por otro puede ser extremadamente útil para entender la termodinámica
y probar las tareas de mojado. Los estudios líquido/líquido tiene papel dominante en el desarrollo de todas las teorías del mojado. Los conceptos anteriores pueden aplicarse sistemas líquido/líquido/sólido definiendo, 8, como el ángulo de contacto equivalente:
cos(8,) = YLl/V - YLI/L2
Y L d V (53)
Los subindices L1 y L2 se refieren a fluidos inmiscibles. 8, no puede medirse directamente pero puede calcularse de la ecuación ( 46) de las mediciones independientes de las tensiones interfaciales y los ángulos interfaciales. Las relaciones geométricas en la línea de las tres fases líquido/líquido/vapor se definan por el triángulo de Neumann [Neumann, 18941 y se muestra la figura 12. Los vectores representan las magnitudes de las tensiones interfaciales y tensiones superficiales. El símbolo ’S’ se puede interpretar como otra fase líquida. El ángulo p se puede calcular del
31
Capz’tulo I 32
triángulo, pero ,B no es Be.
Figura 12: Triángulo de Neumann.
0.7.4 Mojabilidad Interfacial
La Ecuación de Bartell-Osterhof.
La mojabilidad interfacial es el mojado de un sólido por un líquido que está rodeado por un segundo. Un punto de partida para el estudio de la mojabilidad interfacial es usualmente la ecuación de Bartell-Osterhof. El subídice w, designa la fase acuosa (líquido 1) y b la fase aceitosa (líquido 2), f9L es el ángulo ángulo de contacto del aceite en el sólido medido a través de la fase acuosa. La
ecuación de Young para una gota de agua en una superficie con agua rodeada por aceite, en equilibrio:
donde el ángulo de contacto f9L se mide a través del agua. La ecuación por el sistema sólido/aceite/vapor:
32
Capitulo I 33
La ecuación de Young para el sistema sólido/agua/vapor:
Yw/w cos(Qw) = Ys/o - Ys/w
La ecuación de Young, sino se considera adsorción es:
Melrose [Melsrose, 19671 extendió la derivación incluyendo la adsorción. El trabajo de
adhesión del agua rodeada por aceite estaba por( 52).
33
Capz’tulo I 34
Superficie ,-yc (mJ m-2, 20C)
-CF3 6
-CF2H 15
-CF2- 18 -CH3 cristal 22
- C H3 monocapa 24
-CH2- 31
Polimeros ”
Politetrafluroetano ”
Polietileno 18.5
Tabla 1: Tensión Superficial crítica de varios grupos determinados por Zisman.
Alcano C-A- C C- W- C C- W-A C-A- W C-A- Weal W- C-A pentano 3.75 0.336 0.153 3.63 3.72 0.108
Hexano 4.07 0.360 -0.004 3.78 3.88 0.285
Heptano 4.32 0.386 -0.118 3.89 4.00 0.423
Octano 4.50 0.410 -0.200 3.97 4.08 0.527
Nonano 4.66 0.435 -0.275 4.05 4.15 0.624
Decano 4.82 0.462 -0.344 4.11 4.22 0.719 Pentadecano 5.23 0.540 -0.519 4.28 4.40 0.964
Agua 3.70
Tabla 2: Constantes de Hamaker ( x 10-20J) calculadas por Hough y White (C=alcano; A=aire; W=Agua).
34
Camhlo I 35
Material M-A-M M- W-M M- W - A M - A - W C-A- Weal Silica Fundida 6.55 0.85 -1.03 4.83 4.92
Calcita 10.10 2.23 -2.26 6.00 6.11 Fluoruro de Calcio 7.20 1 .O4 -1.23 5.06 5.16 Policloruro de Vinilo 7.78 1.30 -1.50 5.25 5.37
Poliisopreno 5.99 O. 74 -0.84 4.59 4.71
Teflon 2.75 0.38 0.69 3.12 3.19
Tabla 3: Constantes de Hamaker ( x 10-20J) para diferentes materiales calculadas por Hough y White (M=material; A=aire; W=Agua).
6 4.07 18.4 0.6603 7 4.32 20.1 0.6838 8 4.50 21.6 0.7025 9 4.66 22.9 0.7176 10 4.82 23.8 0.7300 11 4.88 24.7 0.7402
12 5.03 25.4 0.7487 13 5.04 26.0 0.7564
14 5.05 26.6 0.7628 15 5.10 27.1 0.7685 16 5.23 27.4 0.7733
Agua 3.70 73.0 0.9970
L: (DO 1 0.1785 0.1712 0.1685
0.1660 O. 1644
0.1637 0.1618 0.1622 0.1604 0.1594 0.1588 0.1507 0.1420
Tabla 4: Distancias de Corte (LC = Do, nm), Constantes de Hamaker ( x ~ O - ~ O J ) , Ten- siones Interfaciales (20C, r n J v ~ - ~ ) y Densidades (20C, 10-3Kgrn-3).
35
Cavitulo I 36
Pentano Hexano
Heptano Octano Nonano Decano Undecano Dodecano
Tridecano
Tetradecano Pent adecano Hexadecano
3.75 3.77 3.74
3.91 3.93 4.06
4.03 4.05 4.31
4.11 4.13 4.49
4.18 4.21 4.66
4.25 4.28 4.81
4.28 4.30 4.87
4.35 4.37 5.03
4.35 4.38 5.04
4.38 4.40 5.09
4.40 4.42 5.15
4.43 4.45 5.22
1 .O06
0.924
O. 869
0.831
0.798
0.768
0.758
0.730
0.728
0.719
0.709
0.698
moja moja 22 12
29 21
34 26
37 32
40 35
41 39
43 42
43
44 44
45
46 46
Tabla 5: Angulos de Contacto Teóricos y Experimentales en PTFE; Constantes de Hamak- er (x10-204, asumiendo distancias de corte iguales, (S=PTEF; L=Alcano; A=aire).
36
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[Zuidema, 1941 ] Zuidema
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Capitulo 11 40
0.8 INTRODUCCION
Para resolver problemas prácticos de interés en los campos de la Hidrogeología, Ingeniería de la Agricultura, Ingeniería Petrolera, Ingeniería Ambiental, Física de Suelos y Geofísica
es necesario tener estimaciones reales de parámetros hidráulicos como: permeabilidad, conductividad hidrúulica y porosidad. Desde los trabajos pioneros de Darcy, Dupuit, Forchheimer y otros en Europa en la segunda mitad del siglo XIX, un cuerpo sustancial de literatura se ha acumulado en diversos campos de las ciencias de la tierra y métodos pertinentes en ingeniería, para estimar las características hidráulicas. Para estudiosos de ciencias de la tierra es de gran importancia no únicamente de cómo las ideas están relacionadas en la caracterización hidráulica que históricamente se les ha involucrado sino también descifrar las nociones fundamentales en los métodos involucrados. Los métodos usados hasta hoy en día tienen algo en común: una ecuación empirica de movimiento, familiarmente conocida como la ley Darcy, la cual da una noción formal de la permeabilidad y la ecuación de conducción de calor originalmente propuesta por Fourier en 1807, la cual establece un modelo de trabajo para los procesos de difusión en
las ciencias físicas. En la ecuación de movimiento está inmersa en la ecuación de difusión. Intrínsecamente a la ecuación de transporte por difusión están los parámetros de con-
ductividad hidráulica y capacidad hidráulica. En cambio, la capacidad hidráulica incluye entre otras propiedades: la porosidad del medio. La capacidad hidráulica representa la cantidad de agua liberada del almacenaje por un cambio unitario en la presión debido a la combinación de tres procesos independientes: cambio en el volumen del poro, cambio en la saturación de agua y una expansión del agua. La ecuación de difusión proporciona los fundamentos para la caracterización hidráulica. Ultimamente, todos los métodos
para la caracterización hidráulica consisten en ajustar los datos del campo a la ecuación de difusión y el mejor ajuste en la combinación de los parámetros que concuerdan con los datos del campo. Por lo tanto, los métodos de caracterización hidráulica son métodos inversos concordantes con estimación de parámetros compatibles con el modelo de difusión. La ley Darcy juega un papel central en el estudio del flujo de fluidos en medios porosos. El movimiento de fluidos en materiales geológicos está basado en el tratado del flujo de fluidos como un proceso matemáticamente análogo a la conducción
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de calor en sólidos. Como una consecuencia, el modelo de trabajo matemático para el transporte de fluidos en materiales geológicos es una ecuación diferencial parcial de la conducción del calor, originalmente por propuesta por Fourier (Theorie de la Propagation
de la Chaleur duns les solides, manuscrito sometido al Instituto de Francia en 1807). El trabajo de Fourier, nunca fue formalmente publicado [Gratton-Guinness, 19721. Después de mucho trabajo adicional, (Laplace, Lagrange y Lacroix) el trabajo clásico de Fourier fue publicado en 1822. La construcción de termómetros de confianza para las mediciones precisas del calor fue crítico en el desarrollo de la ciencia del calor y durante la mitad del siglo XVIII. Aunque el termómetro de mercurio (Hg) fue construido en Francia por Boulliau en 1659, los termómetros exactos con escalas bien definidas fueron posibles hasta la mitad del siglo XVIII por Fahrenheit en 1724 y Celsius en 1742 [Cajori, 18981. Con la capacidad de estos instrumentos, Joshep Black, un pionero en la química cuantitativa moderna, descubrió el calor latente y la capacidad calor@ca en un calorímetro y determinó estas cantidades en
1760, sin embargo, é1 nunca publicó sus resultados. Las primeras mediciones publicadas
de estas cantidades se le atribuyen a Lavoisier y Laplace (’Mernoire sur la Chaleur’)
presentado en la Real academia de Francia en 1783. Fourier en su manuscrito de 1807 de la propagación del calor, introdujo el parámetro de conductiwidad (que éI llamó ’conductiwidad espec$ca interna ’) en términos matemáticos precisos. En su trabajo más importante, ’Hydrodynamica’ publicado en 1738, Daniel Bernoulli,
identificó tres componentes que provienen de la energía mecánica, del movimiento de un fluido: energia potencial debida a la gravedad, energia elcistica debida a la presión y
energia cinética. Trabajando en esta dirección, Ohm en 1827 [Ohm, 18271, determinó experimentalmente la relación inversa entre la corriente eléctrica y el voltaje a través
de un conductor, la constante de proporcionalidad es la resistencia eléctrica debido al cuerpo conductor. Por lo tanto, la resistencia es una función del material de conducción. Poiseuille [Poiseulle, 18421, un médico, interesado en el mecanismo del flujo de sangre a través de las venas de animales y humanos, estudió los mecanismos que gobiernan
el flujo de fluidos a través de tubos capilares. Estos experimentos meticulosos fueron realizados en tubos horizontales y flujos bajos como: 0.1crn3 sobre varias horas de medición. Aunque estos experimentos establecieron que el flujo volumétrico del líquido
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Capitulo 11 42
es directamente proporcional a la presión sobre el tubo y al área de la sección transversal e inversamente proporcional a la longitud del tubo, la constante de proporcionalidad se representa por K . De acuerdo con Herschel [Herschel, 19401, la expresión comunmente usada involucra la ley a la cuarta potencia en el radio del capilar que no fue propuesta
por el mismo Poiseuille. Después la función la derivó James Clerk Maxwell, integrando las ecuaciones de Newton de la viscosidad aplicadas a tubos cilíndricos. En Alemania,
Hagen [Hagen, 18391, obtuvo resultados experimentalmente similares. Es fácil notar de los precedentes al tiempo de Darcy se aventuraron en estudios experi- mentales de conducción en filtros de arenas para suministrar agua a Dijon [Darcy, 18561, un marco bien definido fue preparado para el diseño de experimentos y la interpretación
de los resultados, gracias a las contribuciones de Fourier, Ohm y Poiseuille. Podemos asumir que Darcy fue consciente de estos desarrollos y lo usó para su trabajo. Es pertinente hacer notar las diferencias entre las formas matemática de la ley de Darcy y la ley Ohm. En la ley de Ohm se considera la resistencia del cuerpo conductor como un todo. La resistencia, como aparece en la ley de Ohm, es una integral, evaluada sobre el
cuerpo como un todo. En la ley de Darcy que tiene una forma exactamente la ley de Fourier para la conducción del calor e involucra derivadas parciales del potencial. La ley de Darcy en observaciones experimentales tiene una forma compatible con la ecuación diferencial, la ley de Ohm, es inherente a ecuaciones integrales y flujos netos. Inmediatamente en la contribución de Darcy, analogías a la conducción del calor fueron
inmediatamente propuestas por ingenieros en Austria, Francia y Alemania para resolver problemas prácticos en el flujo de acuíferos y la segunda mitad del siglo X I X . Aunque la ecuación de Fourier, esta direccionada al proceso de conducción de calor, estos ingenieros civiles restringieron por asimismo a sistemas en flujo estacionario. Mientras que el proceso de transporte involucra dos parámetros (conductancia y capacitancia), el estado estacionario involucra únicamente el parámetro de conductividad. Jules-Juvenal Dupuit, un contemporáneo de Darcy, fue un ingeniero teórico orientado a los problemas de flujo en canales abiertos. El capítulo, que se refiere a los filtros en su libro de flujos en canales abiertos [Dupuit, 18631 probó que puede ser una referencia en el tema. Es interesante que Dupuit, inició de los principios hidráulicos del flujo en canales abiertos, derivó una expresión por el movimiento de agua a través de suelos que probó ser equivalente a la ley
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empírica de Darcy. Integrando las ecuaciones del movimiento sobre un dominio radial, Dupuit obtuvo la solución para el flujo estacionario en acuíferos confinados y en acuíferos no confinados. Otra importante figura en este periodo fue Joshep Boussinesq, quien, en la investigación del papel de la fricción en flujo laminar de fluidos y (líquidos y gases), obtuvo la expresión por el flujo de agua en una fractura idealizada de planos paralelos, ahora referida como la ley cúbica [Boussinesq, 18681. En Alemania, Adolf Theim, y,
después, su hijo, Gunther Thiem, iniciaron el trabajo pionero del flujo de agua y en
filtros, especialmente en el estudio del flujo de agua pozos. A ellos también se les acredita una extensa colección de información en este tema. Aunque el después llegó a estar consciente de las contribuciones de Dupuit y Darcy, Adolph Thiem independientemente
obtuvo la expresión para el flujo radial estacionario del agua en acuíferos confinados y no-confinados. En ese campo de la Hidrología, Gunther Thiem [Thiem, 19061, que es ampliamente conocido por la ecuación que describe el flujo radial estacionario del agua en acuíferos confinados, aunque la solución fue obtenida posteriormente por Dupuit. La palabra 'groundwater', (grundwasser en alernún) aparece la literatura por la época de 1880 en el trabajo de Adolph Theim. Quizás el investigador más conocido de esa
época fue Phillipp Forchheimer de Australia. El tempranamente reconoció los conceptos
de líneas isopotenciales y líneas de pujo con aplicación a filtros de agua subterránea, y extendió estos conceptos sistemáticamente a la generación de los flujos netos como una medida cuantitativa analizando el flujo estacionario en campos, incluyendo el flujo de agua a pozos variando las condiciones geométricas. Forchheimer formalmente escribió
sobre la ecuación de Laplace [Forchheimer, 18981, que describe el flujo estacionario de agua subterráneas. En Estados Unidos, Slichter [Slichter, 18991 en 1899, pionero en el estudio de sistemas de flujos subterráneos, analizando matemáticamente el flujo estacionario de agua a través de medios geológicos. Slichter desconocía los trabajos de Forchheimer y formuló la ecuación
de Laplace independientemente. Estudiando l a s propiedades geométricas de varios empaquetados esféricos, Slichter identificó el componente geométrico y los componentes del arrastre viscoso de la conductividad hidráulica. Edgar Buckingham, un líder físico de ese tiempo, en Norteamérica, fue miembro del Laboratorio de Física de la Oficina de Suelos, Departamento de Agricultura de los
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Ca&tulo II 44
Estados Unidos (USDA), durante la primera década del siglo pasado. Sus estudios exitosos en el mojado de suelos, fueron publicados como boletines de la USDA. En el
primero, desarrolló la aireación de suelos, y formuló [Buckingham, 19041, la ecuación parabólica que describe el movimiento de gases en suelos insaturados. Buckingham, parecer ser el primero que trabajó en la migración de fluidos en la superficie de la tierra.
En el segundo boletín publicado en 1907 [Buckingham, 19071, probó que puede alcanzar un gran impacto. Estudiando el movimiento de la humedad de suelos insaturados teórica y experimental, é1 definió el potencial capilar y propuso una ecuación similar en la forma
a la de Darcy. Una característica especial en su formulación, fue que la conductividad
hidráulica fue tratada como una función del potencial capilar más que como una simple constante, como la ley de Darcy. La amplia visión de la contribución de Buckingham llegó a ser posible después con la invención del tensiómetro. Buckingham [Buckingham, 19141,
es también ampliamente conocido por su contribución en el análisis adimensional. Muchos de los métodos usados para cambiar los datos de campo en la obtención de los
parámetros hidráulicos, en base a las soluciones analíticas de grupos adimensionales para minimizar el número de variables que necesariamente son utilizadas. El principio para
definición lógica de estos grupos adimensionales se encuentra propuesto por Buckingham en 1914 en el "teorema pi". En la evolución de ideas pertinentes al flujo de fluidos en medios geológicos, en el periodo
de 1920-1940, es realmente digno de comentarse. A través de una combinación de estudios de laboratorio, observaciones de campo y análisis matemáticos, durante este periodo fue
realmente importante para entender el estudio sistemático del flujo de fluidos. Willard Gardner fue uno de los primeros [Gardner, 19211, que intentó cuantificar el movimiento no-estacionario de fluidos en suelos insaturados en términos de una ecuación análoga a
la ecuación de difusión del calor propuesta por Fourier. El fallo en alcanzar satisfactoriamente la concordancia entre la teoría y el experimento
fue el hecho de que la dependencia de la conductividad hidráulica en el potencial capilar no lo consideró, propuesta una década antes por Buckingham. En otras palabras, é1 intentó ajustar los datos experimentales a una ecuación diferencial parcial lineal, cuando de hecho, una ecuación parabólica no lineal debería de haber usado. A principios de 1920 se publicó un libro clásico: "Introduction to the Mathematical Theory of Conduction of
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Capitulo II 45
Heat of Solid" [Carslaw, 19211. Este libro y su revisión [Carslaw, 19471, constituyen un compendio de una variedad de soluciones exactas a problemas en estado estacionario y
conducción del calor. La disponibilidad de estas soluciones y los métodos usados para obtener estas soluciones ha proporcionado un gran beneficio a científicos e ingenieros en
el estudio de las ciencias de la tierra y sobre los pasados 75 años en la solución de una multitud de problemas en el flujo de fluidos.
Terzaghi [Terzaghi, 19241, experimentalmente estudió la deformación de arcillas saturadas y estableció la relación entre las fuerzas externas, presión de poro y deformación. En
el proceso, introdujo una importante notación en las fuerzas efectivas. Aunque algunas referencias lo consideran como el fundador de la disciplina de mecánica de suelos. Terzaghi escribió sobre el problema y solución para el movimiento del agua en una
columna unidimensional de arcilla en analogía con la ecuación de conducción del calor.
Terzaghi fue muy meticuloso en establecer uno a uno la relación entre los atributos de un sistema en la conducción del calor y el de flujo en el medio poroso. Probablemente fue el primero en establecer la compresibilidad de la arcilla un concepto análogo al calor
específico de un sólido. Una segunda contribución de los años veinte fue el trabajo de Meinzer [Meinzer, 19281, quienes muchos lo consideran como el fundador de la disciplina de la hidrología en Estados Unidos. Forchheimer [Forchheimer, 19301, publicó su libro: "Hydraulzk" y Dachler [Dachler, 19361, publicó su libro: "Groundwater Flow", el cual contiene una cantidad de problemas sobre el tema. Por esa misma época, el tensiómetro llegó a ser desarrollado, gracias a los intentos de Willard Gardner et al. [Gardner, 19221. En resumen, su trabajo, reportará la primera referencia al tensiómetro, un instrumento que juegan un papel vital en evolución de la física moderna en suelos. Porque con el tensiómetro, las mediciones del contenido de un fluido y su relación con la presión capilar son posibles [Richards, 19281. Combinando el trabajo de Buckingham [Buckingham, 19071, en la ecuación del movimiento de agua en suelos insaturados, Richards [Richards, 19311, formalmente escribió, por primera vez, una ecuación diferencial parcial no lineal que describe transporte del flujo de agua suelos insaturados. La ecuación de Richards permaneció sin resolver cerca de dos décadas. Klute [Klute, 19521 y Philip [Philip, 19551 y otros obtuvieron la solución a la ecuación de
i I'"
i
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Richards en condiciones simplificadas usando métodos numéricos. En el campo de Ingeniería de Yacimientos, la década de 1930 que fue muy azarosa. La necesidad de aplicar métodos rigurosos de la física matemática en el entendimiento de la dinámica del aceite y gas en yacimientos fue reorganizado.
Muskat y Botset [Muskat, 19311 experimentalmente estudiaron el flujo estacionario de gases en materiales geológicos y verificaron que el flujo de masa del gas es proporcional al cuadrado de la presión a través del camino del fluido. Formularon la ecuación parabólica no lineal para flujo de gas en un reservorio y resolvieron un caso especial del flujo radial estacionario en un reservorio radial.
Wyckoff et al. [Wyckoff, 19321, con la ayuda de modelos físicos experimentalmente estudió el flujo radial de agua en un cuerpo arenoso con una superficie libre y verifico las suposiciones de Dupuit. La anotación para estimar la permeabilidad del reservorio de
las pruebas de campo fue iniciada por Moore et al. [Moore, 19331. Hurst [Hurst, 19341 formuló la ecuación parabólica lineal en coordenadas radiales para fluidos ligeramente compresibles (líquidos) y obtuvo soluciones para la producción a presión constante. Muskat [Muskat, 19371, publicó su trabajo definitivo en el flujo de fluidos homogéneos a
través de medios porosos, en el cual formuló problemas fundamentales en la ingeniería de yacimientos y métodos matemáticos para resolverlos.
Theis [Theis, 19351, formuló y obtuvo una solución a la ecuación parabólicas similar a la propuesta por Hurst [Hurst, 19341 y Muskat [Muskat, 19311, pero considerando un
acuífero lateralmente infinito. Y verificó la credibilidad de este modelo aplicándolo a datos de campo en un acuífero no-confinado. Theis usó el término 'coeficiente de almacenamiento' al denotar el parámetro de capacitancia hidráulica, en la ecuación parabólica, un término que ahora es de uso
común. Aunque é1 fue consciente de la analogía entre la capacidad calorífica y la capacidad hidráulica [Freez, 19851, Theis no discutió explícitamente la medida física en el coeficiente de almacenamiento en su artículo. Parece ser que Theis, habló del coeficiente de almacenamiento, restringido al problema particular en el cual é1 estaba interesado,
un acuífero lateralmente infinito, en el cual el flujo de agua es horizontal. Por lo tanto, Theis [Theis, 19401 explicó el coeficiente de almacenamiento como el volumen de agua liberado de un prisma vertical del acuífero de sección transversal unitaria, en respuesta
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Capitulo 11 47
al cambio unitario de la presión hidráulica. Sin embargo, Theis [Theis, 19401, identificó el papel de la compresibilidad con respecto al coeficiente de almacenamiento en un
acuífero pero no reconoció la expansión del agua. La visión restringida del coeficiente de almacenamiento llegó a ser popular entre los hidrólogos en la USGS en décadas posteriores. Uno de los factores que contribuyeron a la popularidad del trabajo de Theis, parese ser el hecho de que los hidrólogos de la USGS activos, desarrollaron técnicas para aplicar la solución de Theis en sus resultados de las pruebas en acuíferos. Ellos ampliamente comunicaron sus resultados a través de publicaciones de la USGS, los cuales
realmente son útiles para el campo de los geólogos. Es evidente, que la noción de capacidad es esencial para describir el proceso del transporte del fluido. En el trabajo de Gardner y Widstoe [Hurst, 19341, la capacidad hidráulica fue restringida al cambio en la velocidad de saturación como la presión capilar, referida como la capacidad de humedecimiento en la literatura de la física de suelos. En el trabajo de Terzaghi, la capacidad hidráulica fue restringida solamente a la
compresibilidad de los medios porosos 'suaves', para los cuales uno puede razonable- mente despreciar la compresibilidad del agua. En el trabajo de Meinzer, combinó la compresibilidad del medio poroso y la expansión del fluido dando forma a la capacidad hidráulica. Hurst y Muskat [Muskat, 19341, restringieron la capacidad hidráulica
solamente a la capacidad del fluido [Narasimhan, 1986, Narasimhan, 19881. En general, la capacidad hidráulica de un medio poroso e instaurado incluye los tres componentes:
cambio en el volumen del poro, cambio en la saturación del agua y la expansión del agua [Narasimhan, 19771. Artur Casagrande es un nombre respetable en la mecánica de suelos, aunque el nunca publicó muchos de sus resultados en la teoría de flujo en pozos, Hall [Hall, 19541, observó
que comenzó en 1934. Casagrande introdujo a sus estudiantes de la Universidad de Harvard, nuevas ideas con respecto a la teoría del deslizamiento, incluyendo el flujo de
agua en pozos. En la década de 1940, fue más exitosa en el estudio del transporte del flujo de fluidos en sistemas subterráneos. Hubbert [Hubbert, 19401, publicó: "The Theory of Ground Water Motion", un artículo que permanece definitivo. En esté artículo Hubbert elaboró las mediciones físicas de un fluido potencial, formalmente define permeabilidad en
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Capitulo 11 48
base al balance entre las fuerzas impulsoras y las fuerzas resistivas, derivó una ley tangente para la refracción de las líneas de flujo, y estableció los fundamentos para el estudio de yacimientos petroleros. Jacob [Jacob, 19401, fue más allá en el coeficiente de almacenamiento y en esencia en la capacidad hidráulica y derivó una expresión que
combina la deformación del medio poroso y la compresibilidad del agua. Jacob en un escrito clásico derivó una expresión para el cambio en la presión en acuíferos sujetos a una fuerza externa. Jacob informó de las condiciones para el flujo no laminar, el cual ocurre a altas velocidades, tal flujo en ocasiones se refiere como flujo ’no-Darciano’. Richards, quién formuló la ecuación diferencial parcial no lineal para el flujo de fluidos en suelos insaturados fue conocido principalmente por su innovación en los experimentos. Richards
et al., [Richards, 19561 demostró un método por el cual la conductividad hidráulica puede ser estimada en el campo por mediciones con el perfil de la profundidad en los cambios de
presión y el contenido de humedad como una función del tiempo durante la distribución de la humedad en el suelo. Un poderoso y exitosos desarrollo en la década de 1950, en el campo de la física de suelos fue el uso de la dispersión de neutrones para cuantificar la humedad en sue-
los, [Gardner, 19521. Otra importante contribución de esta misma época fue el trabajo de Skempton [Skempton, 19541, un mecánico de suelos, Skempton investigó la relación entre los cambios de las fuerzas externas en la presión del fluido y los cambios en la presión del fluido en el poro en suelos saturados. En el campo de lo Hidrología, Todd [Todd, 19591, publicó un libro de texto: ”Groundwater”, desarrolla una considerable atención en el campo de la hidrología y una literatura muy comprensible en ese tópico. Roger de Wiest, trajo al mundo occidental algunos resultados desarrollados en la Unión Soviética, por la traducción del libro: ”Theory of Ground Water Movemen” [Polubarinova-Kochina, 19521.
En la década de 1960, inició un interés en usar modelos análogos a los eléctricos para analizar el comportamiento del transporte de los sistemas del agua subterránea. Aunque
el uso de modelos de redes eléctricas fue conocido en otras ramas de la ciencia, Skib- itzke [Skibitzke, 19631, reconoció la posibilidad de usar un modelo de redes de resistores para simular el comportamiento del transporte de fluidos en acuíferos, con la similitud de la resistencia eléctrica a la resistencia hidráulica y la capacitancia eléctrica análoga a la capacitancia hidráulica. Papadopulos [Papadopulos, 19651, usó un modelo semejante
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Capz’tulo 11 49
para verificar su solución analítica para el flujo de agua en un acuífero anisotrópico, mientras que Bedehoeftet al. [Bredehoeft, 19661, usó un circuito de osciladores armónicos
con resistores y capacitores para simular los efectos inerciales del movimiento de una columna de agua en un diámetro finito.
Jacob, 1946
Jacob, 1947; von Everdingen &
Klute 1952; Philip, 1955; Bouton, 1954
Hubbert & Willis, 1957
I
arenblnn et al., 1960; Manar & Kse, 1962
Bredehoelr, 1967
H u m , 1934; Muskah 1934; Th&, 1935
Jacob, 1940; Hubbcrt, 1940
Green y Ampl, 1911
Carslay 1921 Gardner et d.1922
I I I
Labaslie, 1990
Fhmbady & Markest, 1992
Figura 13: Cronología de importantes escritos.
Durante esta misma época, el movimiento de aceite en yacimientos fracturados alcanzó la atención de los ingenieros petroleros por dos diferentes razones: el agotamiento
de los yacimientos fracturados y la reacción en la presión de yacimientos simulados por fracturamiento hidráulico. El análisis del flujo en yacimientos naturalmente fracturados alcanzó un ímpetu significante desde los trabajos en la antigua Unión Soviética de Barenblatt et al. [Berenblatt, 19601, que propuso un modelo para la interacción dinámica entre la red de fracturas y la matriz de la roca. El trabajo de Barenblatt et al. fue extendido formalmente al estudio de yacimientos petroleros con una red de fracturas idealizadas, propuesto por Warren y Root [Warren, 19631. La base conceptual proporcionada por Warren y Root, hasta hoy es ampliamente usada
I
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en el estudio de yacimientos petroleros y en la hidrología. Las frases frecuentemente referidas como: 'sistemas de doble porosidad', 'sistemas de porosidad dual e 'interacción múltiple continua', su existencia se deriva del trabajo de Barenblatt et al., y Warren y Root.
Una década anterior, Graham y Richardson [Graham, 19501, usaron un bloque de cuarzo fundido en sus experimentos, este bloque tenía forma de un triángulo isósceles, los lados
de igual longitud medían 1 ft de largo y 1.5 in de espesor. La permeabilidad del bloque fue de 27 darcies y porosidad de 45%, el bloque fue sellado con recubrimiento plástico excepto uno de los dos lados iguales, el cual representaba la fractura. Agua destilada y keroseno fueron los fluidos utilizados en sus experimentos. La presión en el experimento,
la producción del aceite y agua fueron medidas variando la anchura de la fractura y la velocidad de inyección del agua, la cual fue de 1.15 crn3/s a 6.31 crn3/s. Los resultados
graficados fueron los gráficos de la razón agua-aceite ( r w - 0 ) us. la saturación del agua (Sw), para un tamaño de fractura constante, variando las velocidades de inyección. Estos
autores realizaron procedimientos de escalamiento para determinar la producción del yacimiento de sus experimentos.
Mattax y Kyte en 1962 [Mattax, 19621, derivaron una ley de escalamiento al
realizar pruebas de imbibición en núcleos pequeños del yacimiento. Para verificar su derivación, realizaron varios experimentos. Sus muestras analizadas fueron núcleos
cilíndricos de alundum de varias longitudes y permeabilidades, revestidas de plástico, con una de sus caras abiertas. Las muestras fueron saturadas con aceite e inmersas en agua, la cual fue embebida por la cara abierta. Los experimentos tridimensionales también fueron realizados y núcleos de arenisca berea fueron utilizados para estos experimentos.
Para todos sus experimentos, los gráficos presentados fueron la recuperación de aceite us. un tiempo de escalamiento adimensional. La última secuencia de sus experimentos,
fueron dos núcleos mojables por agua con una de sus caras abiertas al flujo, estos núcleos fueron unidos en sus caras abiertas separadas por espaciadores metálicos, variando el tamaño de los espaciadores para evaluar los efectos de la anchura de la fractura. Fracturas mayores que 25 mm produjeron curvas idénticas de recuperación. El escalamiento en los datos experimentales fueron realizados usando la fórmula empírica propuesta por
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I I I
Figura 14: Cronología de importantes desarrollos.
Aronofsky et al., en 1958 [Aronofsky, 19581. Por esta misma década, Parsons y Chaney en 1966 [Parsons, 19661, usaron muestras de un afloramiento en Madison, una formación en Wyoming para sus experimentos. Las muestra de carbonato fueron tratadas por
solventes en la limpieza y calor para hacerlos mojables por agua. Al tratarlos con calor observaron una fuerte imbibición, más que con los solventes de la limpieza. Utilizaron
aceite blanco mineral y agua destilada como fluido desplazante. Realizaron dos tipos de experimentos, el primero de ellos fue un experimento donde la muestra saturada con aceite fue sumergida en un baño de agua. Los bloques iniciales tenían 2 x 2 ~ 1 in, los cuales fueron cortados en cuatro cubos de dimensiones l x l x l in y las mediciones se
realizaron otra vez. Los gráficos de cada una de estas pruebas no se traslapaban, ellos graficaron la producción de aceite us. el parámetro de escalamiento propuesto por Mattax y Kyte [Mattax, 19621. Su respuesta a este resultado fue atribuida a la heterogeneidad de la roca. En la década de 1970, Kyte notó que en los casos donde la segregación por gravedad
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Capitulo 11 52
es importante como en la imbibición, realizó experimentos en una centrífuga, los cuales podían ser usados para predecir la recuperación. El procedimiento que utilizó fue, primero obtener núcleos preservados y cortó una muestra del núcleo para simular la geometría de un bloque de la matriz del yacimiento. La muestra fue saturada con aceite y agua de formación, entonces la muestra se centrifugó para contabilizar el agua desplazada. Núcleos cilíndricos de dimensiones 1.88 cm de diámetro por 4.9 cm de longitud y 3.76 cm de diámetro por 9.8 cm de longitud. Los resultados, con el error experimental, concordaron con la teoría propuesta por el autor. El escaló algunos
experimentos de inversión y mostró que la recuperación, considerando la gravedad, fueron considerablemente más alta que la recuperación por imbibición solamente. Dos años después, Iffly et al. en 1972 [Iffly, 19721, realizó experimentos con una variedad de muestras de yacimiento de un campo de ELF. Algunas muestras fueron consolidadas
pero muchas fueron no-consolidadas. Sus porosidades varían desde 10 a 35% y la permeabilidad de 30 a 200 md. Cada muestra presentaba diferentes constituyentes primarios: carbonatos, arcillas y silica. Las muestras fueron colocadas en el tubo del aparato de medición, donde era posible controlar las condiciones de entrada y salida, las cuales fueron variadas. Las condiciones con agua a potencial constante arriba y debajo de la muestra (pruebas tipo A), agua en la superficie de debajo de la muestra sin flujo en la parte superior de la muestra (pruebas tipo B), agua en la superficie superior de la muestra sin ningún flujo en la superficie inferior de la muestra (pruebas tipo C), agua en la superficie posterior de la muestra con aceite en la superficie inferior de la muestra (pruebas tipo D) y por último, agua en la superficie inferior de la muestra con aceite en la superficie superior de la muestra (pruebas tipo E). Las pruebas tipo E, fueron la configuración más favorable para la recuperación del aceite, mientras que las tipo B, fueron las configuración más desfavorable. Crudo, agua y agua de mar cerca del campo fueron usados en sus experimentos. Las discrepancias en sus resultados, los autores se las atribuyeron a las razones pequeñas en la tensión interfacial , con los fluidos del campo comparadas con las razones de fluidos sustitutos. En el soporte de la construcción
de modelos numéricos en sistemas fracturados, Kleppe y Morse en 1974, realizaron experimentos similares a los de Mattax y Kyte. En 1978, Lefebvre du Prey, realizó dos tipos de experimentos, el primero de ellos fue el desplazamiento por imbibición en
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Capitulo II 53
presencia de fuerzas gravitacionales, como en los experimentos de Kyte en 1970. El segundo tipo de experimentos los realizó con paralepípedos de arenisca Fountanbleau,
la cual fue usada en sus experimentos. Las caras del bloque fueron selladas, excepto una de las caras. La cara abierta fue colocada junto a una lámina de vidrio. El bloque inicialmente saturado con aceite, el agua fue inyectada por la parte inferior de la fractura sin flujo en la parte superior. El flujo en la fractura fue observado visualmente. Otros experimentos, para simular la recuperación del aceite en yacimientos fracturados fueron realizados por: Kazemy y Merrill en 1979; Horie et al., en 1990; Labastie en 1990;
Firoozabadi y Markeset en 1992, y Babdagli y Ershaghi en 1992.
0.9 POROSIDAD.
0.9.1 Defición de Porosidad.
El estudio microscópico del comportamiento de un medio poroso es extraordinariamente complejo dada la forma complicada de los poros y canalículos por los que debe circular el fluido. Afortunadamente puede establecerse leyes de carácter macroscópico que tratan el medio como un continuo con unas propiedades medias bien definidas; estas leyes se basan en la consideración de tres parámetros fundamentales: la porosidad, la permeabilidad y el
coeficiente de almacenamiento. Un medio poroso puede ser consolidado 6 no-consolidado
según exista un cemento que aglutine, figura 15 y ligue las diversas partículas integrantes, o se establezca alguna cohesión entre las mismas.
Si se tiene un volumen V, de un material, el cual Vp son poros y V, = V - Vp es
el material compacto, la porosidad total se define como:
a = - - vp V
En el material existen poros de muy diversas categorías; mientras puede existir una red de poros interconectados y el fluido pueda circular libremente por ellos, existen
53
Capitulo 11 54
SOLIDOS MATERIAL CEM
Figura 15: Respresentación un Medio Poroso.
otros totalmente cerrados en los que el fluido que está confinado; también existen poros simicerrados a través de los cuales el fluido circula con cierta dificultad y lentitud y los intercambios del material con el exterior se realizan principalmente por difusión. En estudios del movimiento de un fluido subterráneo sólo importa los poros interconectados y a veces los semicerrados. Así nace el concepto de porosidad eficaz Q e , que tiene en cuenta el volumen de esos poros, respecto al volumen total del material considerado:
K Qe = -
V
Estudiando un empaquetamiento de bolas de igual tamaño, se puede obtener su porosi- dad, tabla 0.11.7 [Schneebeli, 19661.
Entre los diferentes empaquetados regulares, [Polubarinova-Kochina, 19521 el em- paquetado cúbico da la mayor porosidad y el romboédrico la menor. Si la disposición es irregular y no ha existido un proceso de compactación se puede llegar a porosidad supe- riores al 50%. Para otros tipos de empaquetados de esferas, cada una en contacto con otras cuatro se puede llegar a tener porosidades hasta 87.6%.
54
Capitulo II 55
En la práctica, los granos no son esféricos, ni tampoco de un tamaño uniforme. Para ello se puede obtener porosidades muy variables según la forma, disposición y distribución del tamaño de los granos. En materiales con notable dispersión de tamaño de grano, los más pequeños pueden situarse en el espacio que queda entre los mayores, y así se reduce no- tablemente la porosidad. En la figura 16 se dibujan las curvas de porosidad de mezclas los tamaños de bolas en proporción variable. Existe una proporción que produce la máxima reducción de la porosidad.
O
O "!
(0
2 " " - T " " T - " - r " " r " " r " " r - " - ~ - - - - r - - - - t " - - -
I I I I I I I I I I I I I I I I I I I I I I I I I I I I I I I I I I I I
O 10 20 30 40 50 60 70 80 90 1 O0
% de Granos Finos
Figura 16: Porosidad de bolas de dos tamaños diferentes (d l =diámetro de las pequeñas,
d2 =diámetro de las mayores), los valores reportados es el cociente de dl/&.
Los materiales con un tamaño de grano un informe se llamanbien clasificados y los que poseen variaciones de granos se llaman poco cZasz~cados. La distorsión del tamaño de grano, o simplemente mulometeria, de un material, se determina haciendo pasar cierta
55
Capitulo II 56
cantidad de material disgregado por una cascada de camisas de mallas cada vez menor y midiendo por pesada el porcentaje de material retenido en cada tamiz. El ancho de la malla de los tamices d, se mide en mm o en micras (10-3mm), existiendo varias series de tamices standard, entre los cuales la más usada y es la ASTM', O. 11.7. En la figura 17 se presenta esquemáticamente varios tipos de rocas indicando la relación entre su granulometría y su porosidad. En la tabla 0.11.7 se indican los valores de las porosidades de diferentes tipos de rocas. La porosidad de las rocas es fuertemente afectada por la fracturación y por esfuerzos tectónicos, los cuales tienen a elevarla. En arcillas, el efecto de disminución de porosidad por cementación es muy importante y se acentúa rápidamente con la profundidad, en general de forma exponencial.
A B Espacio Poroso
E
C
D F
Figura 17: Representación esquemática de distintos tipos de rocas indicando su relación entre su textura y porosidad.
( A ) Depósito sedimentario de granulometría homegénea y gran porosidad.
(B) Depósito sedimentario de granulometría homegénea cuya porosidad ha disminuido por ce-
'American Standards for Testing Materials
56
Capz'tulo 11 57
mentación de sus intersticios con materias minerales. (C) Depósito sedimentario de granulometría heterogénea y escasa porosidad. (D) Depósito sedimentario de granulometría homogénea, formado por elementos que a su vez son porosos; por lo tanto porosidad muy elevado.
(E) Roca porosa por disolución. (F) Roca porosa por fracmentación.
0.9.2 Determinación de la Porosidad.
La media de la porosidad puede efectuarse por muy diversos métodos de laboratorio y
otros de campo. Los métodos de campo son los mejores, porque miden el material en su estado natural; los métodos de laboratorio suponen una alteración de la muestra que se toman respecto a su estado inicial, en especial si se trata de materiales no-consolidado
que es preciso reconstruir. En general la determinación de un valor real de la porosidad
media de una formación es un problema difícil. Numerosos métodos 0.11.7 han sido desarrollados para determinar la porosidad de rocas consolidadas que tienen porosidad
intergranular. Muchos de los métodos desarrollados se han diseñado para muestras pequeñas. En las mediciones de la porosidad en el laboratorio, es necesario solamente determinar dos de los tres parámetros básicos: volumen total, el volumen de poro y el
volumen de grano.
La porosidad puede ser clasificada de acuerdo a su origen:
o Primaria u original
o Secundaria o inducida.
La porosidad primaria es la que se desarrolla en procesos originales de formación del medio poroso, tales como: depositación, compactación, etc. La porosidad se- cundaria se debe a procesos posteriores que experimenta el medio poroso, como la disolución del material calcáreo por corrientes friáticas, acidificación, fracturamientos, etc.
57
Capátulo I1 58
0.10 COMPRESIBILIDAD DE ROCAS
La porosidad de rocas sedimentarias ha sido mostrada por Krumbein y
Sloss [Krumbein, 19511, que puede ser una función del grado de compactación de la roca. Una excelente discusión en diagénesis de sedimentos ha sido presentada por Müller [Muiller, 19671. El término diagénesis es comúnmente aplicado a todos los cambios en los que tiene lugar un depósito sedimentario hasta que alcanza la etapa
de metamorfismo. De acuerdo Müller [Muiller, 19671, únicamente el tamaño de grano,
composición del mineral y la temperatura juegan un papel importante en la reducción de la porosidad bajo una profundidad cercana a 500 m. A esta profundidad, el volumen total del sentimiento decrece cerca de 50%. La reducción del espacio hueco en una
formación arcillosa como un resultado de la presión de sobrecarga depende los siguientes
factores:
o Litología
o Espesor Inicial
o Máxima Fuerza Efectiva
o Descomposición del Material Orgánico
0 La Recristalización y Transformación del Material Arcilloso.
Las observaciones del laboratorio relacionadas en la compactación se pueden dividir
en dos grupos: (a) las primeras consisten de resultados de laboratorio de pruebas de compresión en materiales dispersos a bajas y altas presiones, estos resultados casi nunca
son útiles en la aplicación geológica. Skempton [Skempton, 19701, presentó una serie de curvas para una amplia intervalo de depósitos sedimentarios, relacionando la razón de huecos con la presión de sobrecarga (presión efectiva = presión total - presión
de poros) a bajas presiones. (b) el segundo tipo de datos son mediciones de núcleos
provenientes de yacimientos, la reducción en el volumen y los cambios compresibilidad, permeabilidad, porosidad y densidad han sido investigadas en relación con la profundidad, Fatt [Fatt, 19531, Knudson e t al. [Knutson, 19631.
58
Capitulo 11 59
Las relaciones: porosidad vs. presión son más útiles que las relaciones porosidad vs. pro-
fundidad. Liebermann y Schreiber [Liebermann, 19711, presentaron una excelente revisión en el estudio de las propiedades elásticas y de minerales. Dobrynin [Dobrynin, 19621, 0.10
estudió los cambios de la densidad en areniscas saturadas a muy altas presiones. Los cambios relativos a la densidad de la roca porosa los expresó como:
Weller [Weller, 19591, enunció que la porosidad es una función inversa de la presión en sedimentos homogéneos. Esta es una relación fundamental la cual es considerada en todos sus estudios de compactación. Muchos autores concuerdan
con las variaciones de la porosidad como una función de la profundidad, escritos
de Athy [Athy, 19301, Hedberg [Hedberg, 19361, Hammer [Hammer, 19501, Dall-
mus [Dallmus, 19581, Weller [Weller, 19591, Von Engelhardt [Von Engelhardt, 19631, McCrossan [McCrossan, 19611, Wadlard [Wadlard, 19621 y McCulloh [McCulloh, 19651 por mencionar algunos. Los cambios en porosidad son principalmente una función de la presión neta de sobrecarga y del tiempo, aunque esto también se ve afectado por la litología, diagénesis, fuerzas tectónicas, etc. La correlación entre estos factores es muy compleja y consecuentemente
las curvas que relacionan 'porosidad vs. presión son muy distintas de un lugar a otro.
Teodorovich y Chernov [Teodorovich, 19681, presentaron dos gráficos, los cuales se relacionan la porosidad, la profundidad y la velocidad sónica. Y derivaron las fórmulas empíricas que relacionan la porosidad con la permeabilidad k, y la profundidad
D 0.11.7 Muchas de las propiedades de las rocas sedimentarias cambian con el decrecimiento
de la porosidad bajo una alta presión sobrecarga. La magnitud de estos cambios están relacionados con la compresibilidad del poro, mientras que para altas presiones esto también está relacionado con la compresibilidad de los granos del material. Los
estudios en compresibilidad de areniscas y carbonatos no son tan numerosos, Carpenter
59
Capítulo 11 60
A@/@, % r o o 4 8 12 16 20
8 O " O
O
Figura 18: Gráfica de Dobrynin para determinar los cambios en porosidad y densidad co- mo función de la presión de sobrecarga, (C,=compresibilidad del poro ( x p=presión neta de sobrecarga ( x lo3).
y Spencer [Carpenter, 19401, Fatt [Fatt, 19531, Hall [Hall, 19531, Harville [Harville, 19671, Harville y Hawkins [Harville, 19671, Fatt [Fatt, 19581, McLatchie et al. [McLatchie, 19581, van der Knaap [Van der Knaap, 19591, Dobrynin [Dobrynin, 19621, Knutson y Bo- hor [Knutson, 19631, van der Knaap y van der Vlis [Van der Knaap, 19671. La compresibilidad de las rocas varía ampliamente, valores de la compresibilidad del poro varían desde 1 x lop6 psi-' a más de 300 x 10-6psi-1 También, como la presión del yacimiento decae, descensos en la presión del fluido
60
Capitulo II 2 2 5 9 8 9 61
en el yacimiento y la compresibilidad efectiva de la roca son posibles. Geerst- ma [Geerstma, 19571 indica tres clases de compresibilidad de la roca bajo condiciones
isotérmicas:
o Compresibilidad total de la roca 66
o Compresibilidad del poro:
c = -[-I 1 avp P
'P 'p Ü-p,T
o Compresibilidad de la matriz rocosa:
c, = -[-I 1 av, 'T 'p ü-p,T
donde p es la presión del fluido en el yacimiento, T la temperatura y 8 la fuerza externa promedio.
Aunque Rieke I11 y Chilingarian [Rieke 111, 19741, consideran además de los anteri- ores, la compresibilidad del fluido, C f . La compresibilidad del volumen total, c b ,
matemáticamente ésta detenida por:
ó
donde, V,, es el volumen total y p, la presión efectiva de compactación (Presión efectiva = presión total de sobrecarga - presión de poro, esta última fue la atmosférica en muchos
experimentos en varios investigadores) El volumen total, &, es igual a la suma del volumen de sólidos, V, y el volumen de vacíos, VV. Cuando el cambio en el volumen de sólidos, la ecuación 66 se convierte:
61
Capitulo 11 62
definiendo
Entonces:
Puesto que la razón de vacíos, e us. log@), es comúnmente una línea recta, entonces:
e = a - nlog(p)
Por lo tanto, según Handy [Rieke 111, 19741,
a + l log(Cbe) -0.3623 - log@) - log (7 - log(P))
El término, (-6e/Sp) se le conoce en mecánica de suelos como en coeficiente de compre- sibilidad, a,.
Puesto que, es igual a 2 y 6@ = svb, entonces:
S@ c = - b 6P
El cual es una manera para determinar, Cb. Otra forma más directa de terminar la compresibilidad es, de una sección transversal del material que se está compactando permanece constante, mientras cambian el espesor h, la compactación del material se mide directamente cuando incrementa la presión de compactación. La compresibilidad se determina del ancho us. la relación entre la presión, y se le designa por C b h . Como:
Por lo tanto:
62
CaPz'tulo 11 63
Entonces:
h' h 2 . 3 0 3 ~ Cbh = -
h' no es constante como lo
del poro, matemáticamente
Entonces:
fue n en la ecuación (19). Por definición la compresibilidad se expresa:
Dobrynin en 1962 mostró que la compresibilidad (cb) se puede expresar en términos de
C,, @ y Cp, si AV, # O.
Cb = CP@ + (1 - qcs (79)
Van der Knaap en 1959, mencionó que los fluidos en los poros pueden ser influenciados por las propiedades elásticas del medio poroso. Por definición la compresibilidad isotérmica
de un fluido es:
Cf = - (z) T
donde, Cf es la compresibilidad del fluido, Vf es el volumen del fluido y T la temperatura. El decrecimiento en el volumen del material a muy altas presiones puede ser un resultado en la deformación elástica continua, el fracturamiento de los granos del material y la compresibilidad del fluido en los poros. La expresión total para la compresibilidad de núcleos de yacimiento puede entonces contener los términos de la compresibilidad para el aceite, gas, agua y poros. Tal expresión para la compresibilidad total generalmente se escribe en términos separados [Craft, 19591.
donde, Ct es la compresibilidad total, Co es la compresibilidad del aceite, C, es la compresibilidad del gas y Cp la compresibilidad del poro; So, S, y S, son los porcentajes
63
Capitulo II 64
de saturación del aceite, gas y agua respectivamente.
Muchos resultados experimentales se expresan en términos de la reducción de la porosidad, y la siguiente ecuación puede ser usada para calcular la compresibilidad media
entre la porosidad inicial al y la porosidad final @2:
La compresibilidad de la roca de yacimiento es el resultado de dos efectos: cuando la presión del poro decrece isotérmicamente, una expansión en los granos de la roca, y
además, la fuerza efectiva en el incremento en la roca y por lo tanto la disminución de la porosidad. Frecuentemente se ha encontrado que la porosidad y muchas otras propias de la roca dependen de grano en grano o de la presión neta de confinamiento pn, definida por:
En experimentos el efecto de la presión de confinamiento en la velocidad del sonido en rocas, Brandt [Brandt, 19671 modificó la ecuación 83.
el factor n lo introdujo Brandt para considerar las superficies en las cuales las partículas pueden estar unidas. El valor promedio de n que é1 encontró fue de 0.85.
0.10.1 Compresibilidad de Arenas.
Las areniscas limpias usualmente muestran un comportamiento totalmente elástico sobre un intervalo límite en la fuerza, aunque numerosas excepciones pueden ser encontradas. Botset y Reed [Botset, 19351 en experimentos en arenas encontraron que existe un efec- to en la compactación inicial el cual difiere del subsecuente comportamiento elástico, y otros investigadores encontraron que muchas rocas contienen microfisuras las cuales se
cierran por una fuerza aplicada después de compactarse elásticamente. Brandt apuntó
64
Capitulo 11 65
que los factores que afectan la compresibilidad pueden ser divididos en dos grupos, uno perteneciente a las propiedades de la roca tales como composición mineral, porosidad, re- arreglo y reforma de los granos, edad geológica, etc., y el otro consiste en las condiciones impuestas en la roca tales como la temperatura y la saturación del fluido. Brandt derivó
una fórmula para la compactación hidrostática para esferas perfectas:
donde n = (2/3) y A es una constante empírica para cada material. Para un material linealmente elástico el valor de n es 1 y Teeuw [Teeuw, 19371, sugirió que la variación
de n puede indicar la desviación del contacto esférico, por lo tanto: n < (2/3) rugoso, n > (2/3) liso.
0.11 PERMEABILIDAD.
viscoso es:
d2 Ap v = ”- 32 p L
La ecuación de Fanning
2d Ap v2 = ”- f P L
donde V es la velocidad a través de la tubería, L
Se ha establecido que la permeabilidad es una medida de la capacidad del medio para transmitir fluidos y esta en función de la porosidad. Por analogía con los conductores eléctricos, la permeabilidad representa el recíproco de la resistencia que ofrece el medio
poroso al flujo de fluidos. El flujo de fluidos en tuberías circulares puede ser descrito por las ecuaciones de Pouiseuille y Fanning [Bear, 19881. La ecuación de Pouiseuille para flujo
para flujo turbulento y viscoso es:
(87)
del fluido en el diámetro de la tubería, Ap es la caída de presión
la longitud de la tubería sobre la cual se mide la caída de presión, p la viscosidad del fluido, p la densidad del fluido y f el factor de fricción. Una forma más
conveniente de la ecuación de Pouiseuille es:
65
Capitulo II 66
donde r es radio de la tubería y Q el gasto volumétrico de flujo. Si el núcleo del yacimiento
se considera como un conjunto de tuberías tal que el flujo de fluidos pueda ser representado por una sumatoria del flujo de todas ellas, entonces el flujo total sería:
donde n es el número de tuberías de radio r j . Si los poros de la roca consistieran en un grupo de tuberías de diferente radio, entonces:
donde nj es el número de tuberías de radio y m el número de grupos de tubería de diferente
radio. La ecuación anterior se reduce a:
Si 90 se considera como un coeficiente de flujo para un grupo particular de tuberías, la ecuación se reduce a:
AP Qt = C-
P L (93)
Si los canales de conducto de fluidos en un medio poroso pudieran ser definidoa como a la
dimensión del radio y el número de cada radio, podría ser posible utilizar la ecuación de flujo de Pouiseuílle. Como hay numerosas tuberías y radios involucrados en cada segmento de roca porosa, sería prácticamente imposible medir estas cantidades en todas y cada una de las muestras de roca. En el intento por usar la ecuación de flujo de Pouiseuille para
definir el flujo en el medio poroso, se supuso que una serie de tubos de longitud L, que forman el sistema. Está visto que los canales del flujo son de diferentes formas y tamaños
y están conectados casualmente. Por lo tanto, es imposible medir la dimensión exacta de todos los canales de flujo y su enlace con los demás. De alguna manera esto significaba que tenía que encontrarse otra ley que no fuera la Pouiseuille de que definiera el coeficiente de flujo en una roca.
66
Capitulo 11 67
En 1856, Henry Darcy, investigó el flujo de agua en filtros verticales de arena homogéneos en conexión con las fuentes de la ciudad Dijon, Francia, figura 19. De sus experimentos
Darcy concluyó que el gastó del flujo, Q es
o Proporcional a la sección transversal A
o Proporcional a (hl - h2)
o Inversamente proporcional a L
cuando se combinan estas conclusiones da la famosa ley de Darcy:
donde K es el coeficiente de proporcionalidad.
”Ces experiences demontrent positivement que les volume d’eau qui á travers
une couche de sable d’une nature donn’ee est proportionnel á la pression et
raison inverse de l’epaisseur des couches traversées; ainsi, en appelant S la
superficie d’un filtre, k un coeficient d&pendant de la nature du sable, e
l’épaisseur de la couche de sable, P-H, la pression sous la couche filtrante,
P +H la pression atmosphérique augmentée de la hauter d’eau sur le fil-
tre; on a pour le debit de ce dernier Q = 5 (H -k e + Ho), qui se réduit á
Q = t ( H + e) quand Ho = O ou quand la pression sous le filtre est kgale au
poids de l’atmosphre. [Richards, 19491”
Como la altura piezométrica describe la suma de la presión y la energía potencial
del fluido por unidad de peso, (hl - ha)/L, esto se interpreta como el gradiente hidráulico.
Denotando este gradiente por J (= (h, - hz)/L) y definiendo la descarga específica por
q, como la descarga por unidad de área de sección transversal en la dirección del flujo (q = Q/A), se obtiene:
q = K J (95)
La figura 20 muestra que la ley de Darcy puede ser extendida al flujo a través de una columna inclinada en un medio poroso homogéneo.
67
Capitulo 11 68
(a) (b) (C)
GRADIENTE DE PRESION 0.0 980 980
GRADIENTE HIDRAULICO 111 I=1 I=-2
VEL. DE DESCARGA(rela1iva) V4 .0 V4 .0 v=2.0
Figura 19: Experimento de Darcy.
O. 11.1 Medio isotrópico.
Los experimentos de Darcy fueron realizados para el flujo unidimensional, para un fluido homogéneo incomprensible. Cuando el flujo es tridimensional, la generalización de la
forma de Darcy, es:
q = KJ = -KV$
donde q es el vector del flujo específico con componentes, qz, yy, q2 en las direcciones del plano cartesiano respectivamente y J = -Vq5 es el gradiente hidráulico con componentes:
84 dz
J, = --
Cuando el flujo se realiza a través de un medio isotrópico homogéneo, el coeficiente K es una constante escalar, entonces:
68
Capitulo II 69
Figura 20: Experimento de Darcy en una columna inclinada.
q y = KJy
42 = KJ2
para un medio isotrópico, K es un escalar y los vectores q y V$ son colinales. La ley de
Darcy algunas veces se escribe:
$ se le llama velocidad potencial (en términos de hidrodinámica, donde la velocidad se deriva del potencial: V = O$). En el flujo través de medios porosos 4 se refiere a la descarga potencial específica. Un medio se dice que puede ser homogéneo con respecto a cierta propiedad si esta propiedad es independiente de la posición dentro del medio. De otra manera el medio se dice que puede ser heterogéneo. Un medio se dice que puede ser isotrópico con respecto a cierta propiedad si esta propiedad es independiente de la
69
Capitulo 11 70
dirección dentro del medio. Si en un punto dentro del medio una propiedad con respecto al medio, e.g., permeabilidad o conductividad térmica varían con la dirección, el medio se dice que puede ser anisotrópico o aletrópico en el punto considerado con respecto a esa propiedad. Por lo tanto, la ley de Darcy representa una relación lineal simple entre las componentes de la descarga específica y el gradiente hidráulico para un medio anisotópico, la relación general entre las componentes del flujo (9) y el gradiente hidráulico (J = -04)
QX = K x x J x + K x y J y 4- K x z J z (110)
Qy = K y z J x + K y v J y + K y z J z (111)
Qz = K z x J x + K z y J y + K Z Z J Z (112)
donde x, y, z son las coordenadas cartesianas y Kxx, Kzy, - a , Kzz son nueve coeficientes constantes. El coeficiente de proporcionalidad K , que aparece las diversas formas de la ley de Darcy es comúnmente llamado conductividad hidrdulica. En un medio isotrópico se define como la descarga específica por un gradiente hidráulico. Esto es un escalar que expresa la fa- cilidad con la cual un fluido es transportado a través de material poroso. Por lo tanto,
es un coeficiente que depende de la matriz sólida y las propiedades de los fluidos. Las
propiedades relevantes del fluido son: densidad p y viscosidad, p o por la forma combi- nada de la viscosidad cinemática, v. Las propiedades relevantes de la matriz sólida son principalmente la distribución del tamaño de grano, forma de los granos, tuortuosidad, superficie específica y porosidad. De un análisis adimensional, la conductividad hidráulica se puede expresar como [Nutting, 19301:
K
donde k depende
cada es llamada permeabilidad o permeabilidad intrínseca de la matriz porosa, solamente de la matriz sólida y y / p representa la influencia de las propiedades
de fluido. Como es mencionado por Katz e Ibrahim [Katz, 19711, el término conductividad hidrúulica
9 la permeabilidadson indistinguiblemente usados en la literatura. Entonces la ley y Darcy
70
Cavitulo 11 71
se puede expresar:
84) axi qi K -
La permeabilidad k, y la conductividad hidráulica K, de un medio un medio poroso son tensores de segundo orden [Aris, 19621. Las relaciones entre descarga específica q ( q l , q 2 , 4 7 3 )
y el gradiente J( J1 , J2, J3) 3 (-04) en el caso que medio isotrópico, se pueden escribir de las siguiente forma:
donde K es un tensor simétrico (Le. Kij = K p ) . En forma matricial:
0.11.2 Unidades de la Permeabilidad
Las dimensiones de la permeabilidad se puedan establecer sustituyendo las unidades de los otros términos en las ecuaciones, sea: M = Masa; L = longitud; T = tiempo.
L K M M L T MILT L2T2 L3T2 - - - "(""->
Por lo tanto:
k = L2 (121)
En los sistemas de medidas anglosajones la unidad racional de la permeabilidad serían los f t2 y en el sistema cgs, cm2. Sin embargo, ambas unidades son medidas demasiado grandes para usarse con la porosidad. Por lo tanto, la industria petrolera adoptó como unidad de permeabilidad, el darcy, originalmente propuesto en un escrito de Wyckoff, Botset, Muskat y Reed en 1933 [Wyckoff, 19331, y se define como sigue:
71
Capítulo 11 72
”Se dice que una roca porosa y permeable tiene una permeabilidad de un darcy,
si ha través de una muestra de ella de 1 cm de longitud y una área transversal
expuesta al flujo de 1 cm cuadrado podemos hacer escurrir un fluido de un
centipoise de viscosidad a un gasto de 1 cm cúbico por segundo cuando la
caída de presidn entre las caras de entrada y salida es de una atmósfera”
Varias unidades son usadas en la práctica para la conductividad hidráulica, K (dimen- siones L/T). Los hidrólogos prefieran las unidades m/d (metros por día). Y los científicos
de suelos usan en cm/s. El sistema de medición anglosajón utiliza gal/día f t2 .
1 USgal/día f t2 = 4.72 x c m / s
= 4.08 x m / d
En Norteamérica a veces se emplea como unidad de K el meizner que es el caudal de agua en gpd (galones americanos por día) que pasa a través de una sección de f t 2 bajo
un gradiente hidráulico unitario y a una temperatura de 60’3’.
1 meizner = 0.041 m/día (124)
para el agua a 20°C. Otro término usado es la trunsmisividad T, y es por definición T = Kb, donde b es el de espesor del acuífero, tiene por dimensiones L2/T y suele expresarse en m2/día o en cm2/s .
O. 11.3 Validez de la ley de Darcy
En la ley de Darcy, la relación lineal entre la descarga específica, q y el gradiente
hidráulico, J ha sido demostrada por varios investigadores que puede ser válida. La
figura 21 muestra resultados experimentales típico de esta conclusión.
En el flujo a través de conductos, el número de Reynolds (Re), número adimensional que expresa la razón de las fuerzas inerciales y las fuerzas viscosas, esto se usa como un criterio para distinguir entre el flujo laminar que ocurre a bajas velocidades y el flujo
turbulento. El Re crítico entre flujo laminar y flujo turbulento es alrededor de 2100. Por
72
Capitulo 11 73
J t R e 4 O /
1 /K
Figura 21: Curva Esquemática de la relación entre el flujo y el gradiente hidráulico.
analogía, un número de Reynolds se define también para el flujo través de medios porosos:
qd Re = - U
Donde, d es la longitud del medio poroso y v la viscosidad cinemática del fluido. De la analogía con el flujo en conductos, el flujo través de medios porosos se puede expresar
como una relación entre factor fricción y Re. Una relación muy usada es el factor de fricción de Darcy-Weisbach:
2gd J f = 7
Cuando el Re se incrementa, se observa una desviación de la relación lineal en la ley de
Darcy. A bajos números de Re se tiene una región donde el flujo es laminar, las fuerzas viscosas son predominantes y la relación lineal en la ley de Darcy es válida. Cuando el
Re se incrementa se observa una zona de transición, donde las fuerzas inerciales empiezan a gobernar en el fluido. El límite donde la ley de Darcy es válida es en un valor del Re entre 1 y 10, figura 22.
Hasta aquí, hemos visto la ley de Darcy generalizada, sin embargo, frecuentemente
Capitulo 11 2 2 5 9 8 9 74
c S o m u.
-2 -1 O 1 2 3
Re(xl0)
Figura 22: Representación Esquemática del flju através de Medios Porosos.
se presenten sistemas de flujo para la medida y aplicación de la permeabilidad, estos sistemas pueden ser:
1. Flujo horizontal. El flujo rectilíneo horizontal en un régimen de flujo en estado permanente es común para casi todas las medidas de permeabilidad. Consideremos un bloque de medio poroso como el de la figura 23.
Aquí Q es el gasto de volumen de flujo, es distribuido uniformemente sobre la cara de entrada del flujo de área A. Si el bloque está saturado al 100% de un fluido incomprensible y es horizontal entonces, y la ecuación general se reduce a:
Integrando desde los límites O y L en x, donde pl es la presión de entrada y p2 es la presión de salida:
74
Capz'tulo 11 75
Figura 23: Modelo de Arena par Flujo Rectilíneo Horizontal.
Entonces:
2. Flujo vertical. La figura 24 ilustra tres sistemas de flujo frecuentemente encon-
trados en la práctica. Cada sistema consta de sección transversal A. Para el primer caso, consideremos que la presión de la entrada y la de la salida son iguales (flujo
libre), tal que solamente las fuerzas gravitacionales están manejando los fluidos. Así que: 4 = z. Y, por lo tanto:
Para estas condiciones, por definición:
64 6Xa - = o
Por lo tanto la ecuación se reduce a:
IC
Pa Qi = " S P
Q - _ - A
75
Capitulo II 76
Ahora consideramos el caso de flujo hacia abajo cuando la altura del fluido sea h.
En este caso:
Por lo tanto:
Por último, cuando el flujo, es ascendente y la altura es h (z es positiva hacia abajo), se tiene:
Entonces:
Por lo tanto:
3. Flujo radial. En la figura 25, se presenta un sistema de flujo radial, análogo al flujo en una región de drene cilíndrica hacia el pozo. Considerando el cilindro horizontal de radio r y flujo general y obtener permanente de un
radial hacia el interior del pozo, es posible integrar la ecuación una ecuación para el flujo radial en régimen de flujo en estado fluido incomprensible. Por definición: 66 = -6r. De la ecuación:
O sea,
- Q" - Q A 27rh
76
Capitulo 11 77
I h
X
L
Figura 24: Flujo Vertical, ( u ) Flujo Libre; (b) Flujo Descendente con Columna de Fluido; (c) Flujo ascendente con Columna de Fluido.
Por lo tanto,
separando variables que integrando:
Finalmente:
donde Q es el gasto volumétrico, k la permeabilidad, h el espesor, p viscosidad, la presión en la frontera externa, q5, la presión en la frontera interna, T, el radio de la frontera externa, r , el radio de la frontera interna.
En resumen la ley de Darcy supone la siguiente:
77
Capitulo 11 78
Figura 25: Modelo para el Flujo Radial de Fluidos hacia el pozo.
o Fluido homogéneo, de una sola fase e incompresible.
o El fluido satura 100% al medio poroso.
o Régimen laminar
o El medio poroso es homogéneo e isotrópico (la porosidad y la permeabilidad del medio no varían)
o No existen reacciones químicas entre los fluidos del yacimiento y la roca que los
contiene.
o La permeabilidad no es función del espacio ni del tiempo.
0.11.4 Tipos de permeabilidad.
Se ha clasificado la permeabilidad en tres tipos de acuerdo a los fluidos involucrados durante su medición:
78
Gavpitulo II 79
o Absoluta
o Efectiva
o Relativa.
1. Permeabilidad absoluta. Si revisamos las suposiciones que incluía la ley de Darcy, notaremos que involucra a fluidos de una sola fase. Cuando se mide la permeabilidad de un fluido en presencia del mismo fluido el cual satura 100% el
medio poroso, a esta propiedad se le conoce como permeabilidad absoluta.
2. Permeabilidad efectiva. La permeabilidad efectiva es una medida relativa de la conductividad del medio poroso para una fase del fluido, cuando el medio está
saturado con más de un fluido. El medio puede tener una permeabilidad distinta para cada fase.
3. Permeabilidad relativa. La permeabilidad relativa se define como el cociente de
la permeabilidad efectiva a un fluido, entre la permeabilidad absoluta del medio
0.11.5 Término de Forchheimer.
La ley de Darcy forma una base para modelar el transporte de un fluido en un medio
poroso. En aplicación donde las velocidades del fluido son bajas, tales como en el movimiento del agua subterránea y petróleo, etc., sin embargo, en aplicaciones donde las velocidades de los fluidos son altas, el transporte predicho por la ley de Dar-
cy se aparta de las mediciones consideradas. Se ha demostrado por muchos investi- gadores [Whitaker, 1986, Auriault, 1987, Bear, 1988, Rubistein, 1989, Ene, 19901 que la
ley de Darcy realmente representa la ecuación del momentum un para el flujo Stoke sobre un volumen elemental representativo 0.11.5, VER, [Bear, 19911.
Forchheimer en 1901, fue primero en indicar las desviaciones en las mediciones
predichas por la ley de Darcy, las cuales se deben al efecto cinético del fluido, el cual no es incluido en los modelos para el flujo a bajos números de Re. Por esta razón, é1 sugirió
79
Cadulo 11 80
t l Microescala Macroescala I Megaescala I
minimo tamaño < VER < maximo tamaño
Figura 26: Volumen Elmental Representativ0,VER.
un término adicional representativo de la energía cinética, del fluido, pq2.
Este término después fue llamado como el término de Forchheimer, aunque se han prop- uesto diferentes nombres [Firoozabadi, 19791.
El término de Forchheimer fue también representado en la forma ,Opqm, donde m = 1.6 - 2.0 [Forchheimer, 1930, Carman, 1937, White, 19351. Los casos cuando m > 2, también se han reportado en la literatura [Scheidegger, 1974, Bear, 19881. Diferentes val- ores para m se determinan realizando el mejor ajuste, de los datos experimentales para
diferentes sistemas. La dimensión consistente requiere que el parámetro de Forchheimer, ,O, tenga dimensiones de L-'. La expresión para ,O ha sido estudiada por muchos inves-
tigadores [Scheneebeli, 1955, Irmay, 1964, Ward, 1964, Ahmad, 1967, Scheidegger, 19741. Una expresión ampliamente usada es la de Ergun [Ergun, 19521.
donde CE es llamada la constante de Ergun. Aunque la constante de Ergun es adimension- al, no es una constante universal y se encontró que varía con los cambios en la porosidad y la estructura del medio poroso:
Empleando el modelo de tubos capilares para un medio poroso y asumiendo que el término de Forchheimer puede ser proporcional a la pérdida de la que cinética en un flujo
80
Cazlitulo 11 81
capilar. Ergun y Orning [Ergun, 19491 concluyeron que el parámetro de Forchheimer en columnas empacadas fue proporcionar al área específica de las partículas sólidas, la cual es inversamente proporcional al diámetro de la partícula [Teng, 20001.
Cornel1 y Katz [Cornell, 19531, determinaron los coeficientes inerciales o factores de turbu- lencia para una gran variedad de rocas de yacimientos y sus resultados los correlacionaron con la permeabilidad [Katz, 19551, Tek et al. [Tek, 19621, presentó una correlación que involucra la permeabilidad y la porosidad. Firoozabadi y Katz [Firoozabadi, 19791, compararon las correlaciones de varios autores. Geertsma [?] mostró que la razón
pkia con 6 es una constante para medios porosos no consolidados. Ezeudembah y Dranchuk [Ezeudembah, 19821 establecieron las bases físicas para el término cúbico de
Forchheimer .
0.11.6 Permeabilidad de Klinkenberg
k puede determinarse por mediante métodos de laboratorio como a través de medidas realizadas en el campo. En el primer caso, la conductividad hidráulica puede obten- erse por medio de los permeúmetms [Taylor, 19481, en los que en las muestras tomadas en diferentes puntos de un yacimiento se exponen al movimiento determinado por una columna hidrostática, constante o variable. Estas muestras están generalmente alter- adas y, además, aunque en el proceso de su obtención y manipulación se mantenga sin
alterar, en general no suelen ser representativas del valor medio de K del yacimiento. Mu- chos especialistas han intentado investigar mediante trabajos experimentales y analíticos
los diferentes factores que influyen en la permeabilidad y, por consiguiente, en la con- ductividad hidráulica. La influencia de la porosidad ha sido estudiada, entre otros por
Kozeny [Kozeny, 19271, la del tamaño de granos por Hazen [Hazen, 19111, y la de la pro- porción de huecos por Zunker [Zunker, 19301. Otras contribuciones importantes se deben a Slichter [Slichter, 1899, Hantsuh, 19641, Fair y Hatch [Fair, 19351, Rose [Rose, 19451 y
Bakhmeteff y Feodoroff [Bakhmeteff, 19371. En la ecuación de Darcy, se evidencia la influencia que sobre el valor de la conductividad hidráulica ejercen las propiedades del fluido, de ahí que ésta suela medirse con relación a diferentes tipos de fluidos. Es posi-
81
ble, por lo menos en principio, medirla utilizando un gas, aire por ejemplo, calculando la permeabilidad k; una vez conocido este valor basta multiplicado por g/v.
Sameshima [Sameshima, 19261 dedujo una ecuación de los datos experimentales para el flujo de gas en placas porosas:
1 Q - z CpnM? (148)
M es el peso molecular del gas C y n son constantes independientes del gas pero dependi-
entes del medio poroso. Adzumi [Adzumi, 19371, fue el primero en dar una explicación de las ecuaciones del flujo de gas de la forma anterior en términos del deslizamiento molecu-
lar, construyo un modelo teórico del medio poroso. El medio poroso es representado por un conjunto de tubos capilares paralelos, cada uno con diámetro diferente. Usando una
modificación de la ley de Knudsen [Scheidegger, 1974, Kaviany, 19951:
Q = --{”-- 4 2nRT a3 Ap M h P
para el flujo a través de un capilar, Adzumi, obtuvo una ecuación para a través del medio poroso:
(149)
el flujo de un gas
q = -
A es la sección transversal, E es la constante de Adzumi (= 0.9); E = [ (nRt)/( h)] y
F = [ (nRi) / ( h)], n es el número de poros en A, Ro es el radio medio de los poros. La ecuación de Adzumi explica el acontecimiento de un término de deslizamiento en la
ecuación de flujo en un modelo capilar del medio poroso. Posteriormente Klinkenberg en 1941, también explicó anomalías observadas en el flujo de gas, aparentemente sin conocer el trabajo realizado por Adzumi. Klinkenberg ideó un modelo capilar simple del medio poroso y aplicando la teoría de deslizamiento de Warburg a cada capilar [Kundt, 18751, obtuvo una ecuación para el flujo de gases en un medio poroso considerando los efectos de deslizamiento. La ecuación de Klinkenberg fue probada por: Grunberg y Nissan en 1943, Calhoun y Yuster en 1946, Heit et al. en 1950, Hoogschagen en 195; Collins y Crawford en 1953. La teoría de Klinkenberg ha sido comparada con la Adzumi por Rose [Rose, 19481, quién
82
Cavitulo II 83
mostró que las dos teorías son idénticas; Adzumi mostró la dependencia de la velocidad, q
sobre la presión media, p,, mientras Klinkenberg introdujo la permeabilidad 'superficial'
del gas definida por: ka q = "vp P
e investigó esta dependencia con el recíproco de la presión que esta dependencia puede ser lineal si el deslizamiento flujo del gas:
m IC, 1 b+-
P,
media. Klinkenberg encontró es la explicación correcta del
b y m son constantes.
Deryagin, Fridlyand y Krylova [Deryagin, 19481, usaron una modificación de la ley del
flujo Knudsen para capilares y la aplicaron al modelo capilar de medios porosos. Basado en el análisis teórico del fenómeno de deslizamiento en capilares circulares y asumiendo un comportamiento análogo en un medio poroso, la relación de Klinkenberg entre la permeabilidad de un medio poroso al gas y al líquido no reactivo:
IC, = k ( l + F )
donde IC, es la permeabilidad aparente o permeabilidad observada con gas, k es la perme- abilidad absoluta al gas en altas presiones, A es el camino libre medio de las moléculas
del gas, y es el radio del capilar y c una constante de proporcionalidad. El camino libre medio se expresa como:
- 1 x = &d2n
RT &d2 Np,
- -
d es el diámetro de colisión, n es la concentración de las moléculas por unidad de volumen, N el número de Avogadro, p, es la presión media, T la temperatura absoluta y R la constante de los gases. Entonces:
IC, = IC ( 1 +
= IC 1 + - ( P:)
83
Capitulo II 84
donde b es referido como el factor de Klinkenberg y usualmente se toma como una con- stante para un gas dado y un medio poroso. b es directamente proporcional a la temper- atura. M. Aruna [Aruna, 19761, estudió los efectos de la temperatura y la presión en la permeabilidad absoluta en areniscas. La figurai 27 muestra el efecto del deslizamiento del gas. Las moléculas líquidas están estacionarias con respecto a la capilaridad de las paredes. Por otra parte las moléculas del gas están en movimiento con respecto a las paredes. Esta velocidad extra se refiere
como el deslizamiento del gas y resulta en permeabilidades al gas más grandes que a las permeabilidades del líquido.
LIQUIDO GAS
Vel. Pared = 0.0 Vel. Finita en la pared
Figura 27: Concepto de Deslizamiento un Gas.
La figura 28 muestra el efecto de la presión en el deslizamiento del gas. Incremen- tando la presión del gas, trae las moléculas más juntas y más cerca resultando en una
distancia más corta antes de colisionar. Por lo tanto, al incrementar la presión, el desliza- miento disminuye conduciendo al establecimiento Klinkenberg de que el comportamiento
de presión infinita del gas se aproxima a la de un líquido no reactivo.
El tamaño molecular también afecta la permeabilidad, la figura 29 muestra el efecto del peso molecular en el deslizamiento. El largo viaje de las moléculas moviéndose lentamente a una distancia más corta antes de colisionar, resultando en un deslizamiento del gas más bajo; El rápido bajo peso molecular que los gases exhiben incrementa el deslizamiento debido a las distancias más grandes que ellas tienen que viajar antes de que ocurra una colisión.
84
- - Presion Alta Baja Presion Pequeña distancia antes de Distancia Grande antes Colisionar de la Colision Deslizamiento pequeño Incrementa el Deslizamiento
Figura 28: Efecto de la Presión en el deslizamiento de un Gas.
- - P.M Alto, Mov. Lento P.M Bajo Mov. Rapido
Deslizamiento pequeño Incrementa el Deslizamiento
Figura 29: Efecto del Peso Molecular en el deslizamiento de un Gas.
Por último, el tamaño del conducto también afecta el deslizamiento del gas. En
capilares más pequeños la contribución al deslizamiento a la velocidad total es más sig- nificante, los conductos más grandes reciben una contribución significativamente menos
de un deslizamiento del gas al flujo total. Las muestras que contiene arcilla y limo cambian la conductividad hidráulica en
función del tipo de fluido utilizado. En general, las permeabilidades determinadas con aire arrojan los valores máximos, les siguen los determinados con salmueras, mientras que los obtenidos con agua destinada son los mínimos. La diferencia entre los valores correspondientes al aire y al agua se explican por el hecho de que la hidratación de las
85
Capitulo 11 86
arcillas y otros minerales provoca que los granos se hinchen y, en consecuencia, que los poros se obstruyan. En sedimentos ricos en arcillas, la permeabilidad para el aire puede
ser más de 100 veces superior a la que representa para el agua. Lo mismo ocurre con las
salmueras y el agua destilada; en este último caso, la diferencia se debe también a los efectos de una hidratación parcial; las moléculas de agua la superficie de la arcilla tienden a permanecer en equilibrio osmótico con los fluidos intersticiales que las circundan; cuando
el fluido intersticial es una salmuera, solamente una pequeña porción de moléculas de agua
puede 'arracimarse' en torno a las partículas de arcilla y el volumen efectivo de estas es pequeño. Cuando disminuye la concentración iónica en el fluido intersticial se establece un
nuevo equilibrio, en el que un mayor grupo de moléculas de agua rodea a cada partícula de arcilla; de esta manera, el volumen efectivo de la arcilla se incrementa con la consiguiente disminución del espacio poroso y de la permeabilidad.
0.11.7 Relaciones K y @
El valor de K (conductividad hidráulica) en la ecuación de Darcy, depende no solo de la viscosidad del fluido, sino también de las dimensiones y de la disposición geométrica
de las partículas sólidas en el material poroso. De lo anterior es difícil predecir el valor de k adecuado a un juego particular de condiciones. Uno de los muchos intentos para obtener una expresión más precisa, es el realizado por el Austríaco Josef Kozeny en
1927. Esta ecuación relaciona la permeabilidad de un medio poroso con el área superficial específica y con la porosidad. La ecuación únicamente es aplicable bajo condiciones de flujo viscoso, y para medios porosos no consolidados. En la recuperación del petróleo, los
problemas del flujo de fluidos son multifásicos y las rocas sedimentarias que constituyen los yacimientos son generalmente consolidados. Kozeny consideró que el medio poroso
estaba formado por partículas sólidas pequeñas, y que el flujo era, considerándolo en
forma amplia, unidimensional; así, aún cuando el flujo sigue una trayectoria relativamente sinuosa a través del material, no existe flujo neto a través del bloque de material en ninguna otra dirección que, por decir, la dirección x. Cualquiera que sea la forma real de los pasajes de flujo individuales, el resultado general es el mismo que se tendría, si en lugar del material poroso existiera un gran número de tubos capilares paralelos idénticos,
86
Cardtulo 11 87
con sus ejes en la dirección x. Kozeny razonó entonces que, como la resistencia al flujo resulta del requisito de no deslizamiento en algún límite sólido, los tubos capilares y el medio poroso serían verdaderamente equivalentes si, para un volumen dado ocupado por el fluido, el área superficial total de límites sólidos fuera la misma para cada cmo. De la
definición de la porosidad:
Donde S es el área superficial total. El valor para un tubo capilar de diámetro interno d y longitud 1, es (d /4 ) . Así, si el juego de tubos capilares debe ser equivalente al medio poros, entonces cada uno debe tener un diámetro interior:
f Vq@ (1 + @) S
d =
Ahora, si todos los pasajes del flujo en el material poroso estuvieran por completo en una dirección. La velocidad promedio debería se (u/@). Pero en realidad las trayectorias son sinuosas y tienen una longitud promedio, 1,.
ld2@ q = - 32& AP
a3
Donde: 2
c = 2 ( f )
Carman aplicó la ecuación de Kozeny y remplazó la constante c por la expresión: 1
c = IC0 (4)'
donde IC0 es un factor de forma adimensional(1a tabla 0.1 1.7 presenta diversos valores), y ( l e / Z ) 2 comúnmente se le denomina la tortuosidad (T), figura 30.
En muchas rocas sedimentarias, la porosidad está relacionada con la permeabili- dad [Rieke 111, 19741. Terzaghi en 1925, propuso la siguiente relación entre la porosidad
y la permeabilidad K:
IC = X (e - 0.15)3 (1 +e ) (164)
87
Camhlo 11 88
Figura 30: Representación Gráfica del Concepto de Tortusidad.
Donde X es una constante y e es la razón de vacíos. Resultados experimentales muestran
que en el intervalo de porosidad de 20-80% esta relación puede expresarse de la siguiente forma:
Donde n es alrededor de 5. Basados en resultados experimentales, Nishida y Nakagawa
en 1969 [Nishida, 19691, desarrollaron una ecuación, la cual aproxima el coeficiente de
permeabilidad (cm/s) con la razón de vacíos, e, y el índice de plasticidad, PI (%o). e
0.OlPI + 0.05 logk = - 10
Más recientemente, Meegoda et al. [Meegoda, 19891, propusieron la siguiente ecuación
para el flujo a través de medios porosos.
Q3 A' k =
3 (1 + a) S2T
Donde A' es la anisotropía del medio, Taylor en 1948 [Taylor, 19481, propuso una relación empírica entre el logaritmo de K y la razón de vacíos:
logk = log& - ~
ei, - e ck
88
Capitulo II 89
donde Ck es el índice del cambio en la permeabilidad, i.e, la pendiente de la línea recta en el espacio e us. log k , kin es la permeabilidad in situ y ei, es la razón de vacíos
in situ. Mesri y Olson [Mesri, 19711, encontraron que si consideraba sobre un amplio intervalo de la razón de vacíos, la ecuación anterior no era aplicable en todos los casos.
Como resultado, ellos propusieron la siguiente relación lineal entre el logaritmo de k y e.
logk = Aloge+ B (169)
donde A y B son constantes. Recientemente Samarasinghe et al. [Samarasinghe, 19821, sugirió una versión modificada para la ecuación de Kozeny-Carman, la cual generalmente es aplicable en arcillas consol- idadas:
@b k = c-
l + @
Donde c es una permeabilidad de referencia la cual caracteriza al material y b un expo- nente (número real), en el orden de 4 a 5. Tavenas et al., en 1983, obtuvo resultados experimentales en arcillas aplicables a la ecuación anterior.
89
Capitulo 11 90
Empaquetado ¿Daproz
Cúbico 47.64% Ortorrómbico 39.54% Romboédrico 25.95%
Tabla 6: Porosidades de Empaquetados Regulares.
Tamiz ASTM Abertura, mm % retenado % acumulado
10
20
30 40 50 70 100
140 200 2 70
2.000 0.840
0.590 0.420
0.297 0.210 0.149
0.105 0.074
0.053
3.41
17.35 24.34
30.14 14.59 4.92
2.02 1.75
0.69 0.78
3.41
20.76
45.10
75.24 89.83 94.75
96.78 98.53 99.22
100.00 ~
Tabla 7: Análisis granulométrico.
90
Capitulo 11 91
Arcuilla arenosa Arena fina
Arena media Arena gruesa
Arena con grava Gravas finas Gravas medias
Gravas gruesas
12
28 32
35
35 35 26 26
3 7 10 21 15 26 20 27
20 25 21 25
13 23 12 22
Tabla 8: Varlores de la porosidad eficaz para diferentes materiales.
91
Capitulo I . 92
Principio Cantidad Medida Porosidad Porosidad Local
Directo: Volumen total comparado con el volumen 'aplastado'
Fotografia: (2-D)
Suma de las Breas de los
sólidos comparada con la suma de los vacíos Imbibición: (líquido mojante)
Masa de la matriz cuando esta totalmente embebida con un
líquido mojante comparada con la matriz seca
Injección d e Hg: (líquido no-mojante)Volumen de Hg injectado dentro de la matriz Injección de Gus: Presión dentro de un
contenedor antes y después de la expansión (via conexión
con un segundo contenedor) Atenuación(rayos 7)
Atenuación en la intensidad del haz atraves de la matriz porosa, comparada con la atenuación de una rebanada de un sólido del mismo espesor
Volumen Verdadera
Area Verdadera
Masa y Volumen Efectiva
Volumen
Presión y Volumen
Intensidad
Efectiva
Efectiva
No
Si
No
No
No
Verdadera Si
Tabla 9: Técnicas de Medición de la Porosidad.
92
Cavitulo 11 93
Tipo de Roca Ecuación Intervalo de Profundidad
Sedimentarias @ = 29.50 - 0.0030[m] 10 < 0 < 4500
@ = 31.53 exp( -0.000152D) log(K) = 2.961 exp(-0.0001470) 500 < 0 < 4500
Areniscas @ = 28.21 exp( -0.0001220) @ = 28.74 - 0.0030
log(K) = 2.803 exp( -0.000074D) log(K) = 2.88 - 0.00020
Tabla 10: Relaciones Empíricas obtenidas por Teodorovich et. al..
__
Forma de la Sec. Trans. ko Círculo 2 ELIPSE Eje Mayor=2 eje menor 2.13 Eje Mayor=lO eje menor 2.45
Cuadrado 1.78 RECTÁNGULO Ancho=:! Largo 1.94 Anch =10 Largo 2.65
Ancho = inf 3.00
Tabla 11: Valores de el factor de forma de algunas geometrías.
93
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