universidad autÓnoma del estado de hidalgo · oportunidades de aprendizaje para los estudiantes....

UNIVERSIDAD AUTÓNOMA DEL ESTADO DE HIDALGO

INSTITUTO DE CIENCIAS BÁSICAS E INGENIERÍA

ÁREA ACADÉMICA DE MATEMÁTICAS Y FÍSICA

PROCESOS COGNITIVOS QUE MUESTRAN ESTUDIANTES AL UTILIZAR

CABRI COMO UN INSTRUMENTO DE RESOLUCIÓN DE PROBLEMAS

TESIS

QUE PARA OBTENER EL GRADO DE:

MAESTRO EN CIENCIAS EN MATEMÁTICAS Y SU DIDÁCTICA

PRESENTA:

Rivelino Meneses Soto

Dirigida por:

Dr. Aarón Reyes Rodríguez

Dr. Fernando Barrera Mora

Tesis enmarcada en el Proyecto CONACYT: “Bases Teóricas y Conceptuales en la Construcción del Conocimiento Matemático y el Empleo de Herramientas Digitales”, con registro #61996.

Mineral de la Reforma, Hidalgo, mayo de 2011.

RESUMEN

A través de la historia, el desarrollo y evolución de las matemáticas han dependido en gran medida de las herramientas mediante las cuales se representan y operan los objetos matemáticos. Por esta razón, la disponibilidad de software matemático representa nuevas oportunidades de aprendizaje para los estudiantes. ¿Cuáles son las características de los procesos cognitivos que desarrolla un estudiante al utilizar un software dinámico como un instrumento para resolver problemas? Esta pregunta está formulada con la intención de documentar la importancia de utilizar estrategias de instrucción que permitan a los estudiantes incorporar a las herramientas computacionales en sus procesos de reflexión. Se pretende determinar cuáles son las características de las actividades de aprendizaje que pueden permitir a los estudiantes ampliar diferentes elementos del pensamiento matemático (identificar información, encontrar relaciones entre datos e incógnitas, resolver casos particulares, formular conjeturas, proporcionar pruebas, comunicar resultados), cuando resuelven problemas con el uso de las tecnologías digitales.

En esta investigación se analiza la forma en que los estudiantes de un grupo incorporan el uso de las herramientas computacionales en su proceso de aprendizaje de las matemáticas; particularmente, la forma en que a través del desarrollo de tareas de instrucción que promueven el uso sistemático de un software dinámico, los estudiantes construyen conocimiento mediante un proceso de integración de la herramienta, a su estructura cognitiva. En otras palabras, se estudian las características del proceso de transformación de un artefacto en un instrumento (génesis instrumental); así como sus implicaciones en el aprendizaje. El trabajo de campo se llevó a cabo con estudiantes de los primeros semestres de una licenciatura en física; quienes abordaron una tarea relacionada con mecanismos de cuatro barras. El marco conceptual utilizado para el análisis de los datos se integró por las aproximaciones teóricas de resolución de problemas, génesis instrumental y mediación instrumental. La metodología empleada fue de corte cualitativo, haciendo uso del método de estudio de caso. En la recolección de la información se utilizó la técnica de observación no participante, así como cuestionarios. Los resultados de la investigación aportan evidencia de que el uso de herramientas tecnológicas durante la resolución de problemas puede fomentar en los estudiantes el desarrollo de algunos aspectos del pensamiento matemático tales como la reflexión, razonamiento, solución de problemas y toma de decisiones. Esto es, que las herramientas computacionales son un medio no sólo para realizar cálculos rutinarios; sino que algunas de sus características pueden integrarse a la estructura cognitiva de los estudiantes y constituirse en reorganizadores de diversos procesos cognitivos.

ABSTRACT

Through the history, the developments of mathematics have been related to the tools used to represent and operate mathematical objects. For this reason, the availability of mathematical software represents new learning opportunities for students. What are the features of cognitive processes that students develop when they use dynamic software as a tool to solve problems? This question is formulated with the aim of document the importance of using instructional strategies that allow students to incorporate computational tools as part of their cognitive structure. The aim of this study is to identify the characteristics of learning activities that enable students to improve different elements of mathematical thinking (identifying information, find relationships between data and unknowns, solving individual cases, make conjectures, provide evidence, communicate results) when solving problems with the use of digital technologies.

This study examines how a group of students incorporate the use of computational tools in the learning of mathematics; particularly the way that students construct knowledge through of the use of dynamic software for solving problems and the process of incorporation of the tool to learning processes. In other words, we analyzed instrumental genesis, as well as its implications on student’s learning.

The field work was carried out with freshmen of an undergraduate program in physics. The students solved a task related with four-bar mechanisms. The conceptual framework was integrated by the theoretical approaches of problem solving, instrumental mediation and instrumental genesis. The methodology employed was qualitative; particularly we used the case study method. The data collection technique was non-participant observation and questionnaires. The research results of the investigation provide evidence that the use of technological tools in problem solving, can encourage development of students’ mathematical thinking (reflection, reasoning, problem solving and decision making). That is, some features of the computational tools can be integrated into the students’ cognitive structure and become reorganized of diverse cognitive processes.

ÍNDICE

Contenido Página

Capítulo 1. El problema de investigación

1.1 Introducción 1.2 Antecedentes 1.3 Objetivos 1.4 Preguntas de investigación

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Capítulo 2. Marco conceptual

2.1 Introducción 2.2 Mediación instrumental 2.3 Génesis instrumental 2.4 Resolución de problemas como método de aprendizaje

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Capítulo 3. Metodología

3.1 Introducción 3.2 Participantes en el estudio 3.3 Tarea de aprendizaje 3.4 Técnica de recolección de la información: observación no participante 3.5 Instrumentos de recolección de datos 3.6 Unidad de análisis y procedimiento de análisis 3.7 Criterios para evaluar el diseño de la investigación

23 24 25 30 30 31 32

Capítulo 4. Presentación de resultados

4.1 Introducción 4.2 Potencialidades y restricciones del artefacto 4.3 Fase de instrumentalización 4.4 Fase de instrumentación 4.5 Tipo de esquemas y aspectos del pensamiento matemático que emergieron durante el desarrollo de la tarea 4.6 El papel de las representaciones ejecutables en la construcción del conocimiento 4.7 Orquestación instrumental y su relación con el mantenimiento del nivel de demanda cognitiva

33 33 34 39

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Capítulo 5. Discusión y conclusiones

5.1 Contraste entre la trayectoria de los estudiantes y la trayectoria hipotética 5.2 Respuestas a las preguntas de investigación 5.3 Algunos aportes 5.4 Alcances y limitaciones

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5.5 Implicaciones didácticas 61

Referencias

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Apéndices

Apéndice A. Guía de la actividad Apéndice B. Una trayectoria hipotética para la actividad Apéndice C. Cuestionario de salida Apéndice D. Transcripción de los videos Apéndice E. Condensado de respuestas a la guía de la actividad Apéndice F. Respuestas del cuestionario de salida

69 72 86 87

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CAPÍTULO 1

EL PROBLEMA DE INVESTIGACIÓN

1.1. INTRODUCCIÓN

El hombre a través de la historia ha utilizado herramientas que han mediado su actividad y pensamiento. Desde sus orígenes, los seres humanos han empleado artefactos para modificar la naturaleza y procurarse mejores formas de vida; por ejemplo, el hombre de la edad de piedra utilizó un artefacto para defenderse y atacar a sus enemigos; tomó una piedra astillada y la convirtió en un instrumento de supervivencia: su primera arma. El mundo se ha transformado desde la aparición de esa piedra astillada hasta los avances tecnológicos que actualmente se encuentran a nuestra disposición. Hoy en día, los cambios tecnológicos y sociales se desarrollan a un ritmo acelerado, por lo que el manejo o dominio de contenidos matemáticos es una necesidad para los ciudadanos, ya que actividades cotidianas como el cálculo de impuestos, la elaboración de un presupuesto de gastos; la interpretación de la información estadística y financiera de los diarios o de los informes del gobierno, el manejo de créditos bancarios, entre otras, requieren que las personas pongan en práctica diversos niveles de pensamiento o análisis matemático; por tanto, un objetivo fundamental de la educación matemática es lograr que los estudiantes sean capaces de dar significado a los conceptos matemáticos no solamente dentro de la misma disciplina, sino también en otras áreas del conocimiento, además de que establezcan relaciones y conexiones entre esos conceptos (Santos 2001). Así, las herramientas computacionales han llegado a ser un elemento indispensable en la actividad humana; y su incorporación en los proceso de aprendizaje como herramienta didáctica, ha permitido incrementar el número de problemas que un estudiante puede abordar, ya que el uso de la computadora pone a su disposición una amplía variedad de representaciones de objetos matemáticos que se pueden visualizar y operar de forma dinámica. Durante los últimos 30 años, la resolución de problemas ha sido identificada como una actividad importante en el aprendizaje de las matemáticas. En el proceso de aprender matemáticas se pone atención especial al tipo de problemas o situaciones problemáticas que permiten a los estudiantes no sólo buscar respuestas o explicaciones, sino también reflexionar en torno al significado y formas de razonamiento asociados con la solución de los problemas. Es decir, el aprender matemáticas va más allá de memorizar y utilizar reglas, fórmulas o procedimientos para resolver listas de problemas rutinarios, los estudiantes necesitan desarrollar habilidades, actitudes así como formas de pensar, donde

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constantemente busquen y examinen diferentes tipos de relaciones, planteen conjeturas, utilicen distintos sistemas de representación (numéricos, algebraicos, geométricos), establezcan conexiones, empleen diversos argumentos o formas de justificación y comuniquen sus resultados. Esta perspectiva ha influido notablemente en diferentes propuestas curriculares. En particular, el Consejo Nacional de Profesores de Matemáticas de los Estados Unidos (NCTM, 2000) sugiere, no solamente una reorganización de los contenidos del currículo en términos de líneas generales de pensamiento matemático (números y operaciones, álgebra, patrones y funciones, geometría y relaciones espaciales, medida y análisis de datos y probabilidad), sino también el desarrollo de procesos o acciones cognitivas asociadas con la práctica de la disciplina (resolución de problemas, razonamiento y prueba, comunicación, conexiones y representaciones), además reconoce la importancia de que los estudiantes utilicen distintas herramientas computacionales en el proceso de comprensión de ideas matemáticas. ¿Qué herramientas pueden favorecer el desarrollo de un pensamiento matemático en los estudiantes? ¿Qué tipo de conjeturas y observaciones realizan los estudiantes al resolver problemas con ayuda de alguna herramienta tecnológica? ¿Qué formas de razonamiento desarrollan los estudiantes al emplear artefactos computacionales en la resolución de problemas? ¿Cuál es el papel de las representaciones ejecutables en el proceso de comprensión de ideas matemáticas?, son preguntas que orientan el análisis y reflexión sobre la trascendencia de utilizar a las tecnologías digitales en la instrucción matemática. El uso educativo de la tecnología ha generado cambios importantes sobre la forma en cómo aprenden matemáticas los estudiantes, porque los ambientes computacionales proporcionan condiciones para que identifiquen, examinen y comuniquen ideas matemáticas (Gamboa 2007). Además, el uso de la tecnología puede llegar a ser una herramienta poderosa para que los estudiantes creen distintas representaciones de ciertas tareas y sirve como un medio para que formulen sus propias preguntas o problemas, lo que constituye un elemento importante en la adquisición de una forma matemática de pensar (Barrera y Santos, 2001). En este contexto, dado que la tecnología puede modificar sustancialmente la forma en que las ideas matemáticas se desarrollan, es natural preguntar: ¿qué elementos aporta el uso de tecnologías digitales al pensamiento matemático? ¿Qué papel juega el uso de un software en la construcción de demostraciones o justificaciones matemáticas? ¿Cómo contribuye a desarrollar o comprender ideas matemáticas el uso de sistemas computacionales en actividades de aprendizaje? ¿En qué medida cambia la concepción de las matemáticas en los estudiantes que se involucran en procesos de resolución de problemas mediados por el uso de calculadoras o computadoras? .

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El uso de diversas herramientas computacionales puede aportar elementos variados al proceso de construcción del conocimiento; por ejemplo, el empleo del software dinámico ofrece claras ventajas a los estudiantes para identificar y explorar diversas relaciones matemáticas. Cuando los estudiantes interactúan con construcciones dinámicas, a través del uso del arrastre y las herramientas de medida, pueden identificar relaciones entre los elementos de una configuración, así como discriminar entre la información que puede resultar relevante de aquella que no lo es; por ejemplo, a través de ocultar elementos de una construcción. ¿Qué tipo de recursos necesitan los estudiantes para que el resultado de sus exploraciones incluya relaciones o resultados relevantes en su proceso de aprendizaje? Es una pregunta que se relaciona con la disposición matemática que los estudiantes posean, y está ligada con los valores y creencias que se formen durante sus experiencias de aprendizaje de la disciplina. Una meta importante es que los estudiantes en algún momento identifiquen el uso de la computadora o la calculadora como elementos que les pueden permitir ampliar y reorganizar sus capacidades cognitivas. En este sentido, la tecnología funciona como una lente que permite observar, explorar y analizar situaciones matemáticas desde diversos ángulos o perspectivas. El software de geometría dinámica es un recurso innovador e importante en el aprendizaje de la geometría y otras áreas, porque permite la exploración, la construcción de figuras con ciertas propiedades, la visualización de relaciones e invariantes entre objetos geométricos y la posibilidad de transformar las construcciones en tiempo real (Arcavi y Hadas, 2000), de esta manera se puede lograr que los estudiantes articulen conceptos matemáticos en redes

conceptuales robustas1. Sin embargo, se debe tener en cuenta que “la tecnología no puede

sustituir la labor del profesor de matemáticas, ni puede ser utilizada como un reemplazo de conocimientos básicos” (NCTM, 2000, p. 26), por el contrario, al profesor le corresponde tomar la decisión sobre cuándo y cómo un estudiante debe hacer uso de las tecnologías digitales, además de verificar los procesos matemáticos realizados por el estudiante y prestarles ayuda cuando la solución no es la correcta o cuando la observación que realizan no se orienta en la ruta de instrucción planteada. Su función es proponer las actividades y ser un guía de los procesos de aprendizaje (Gamboa, 2007). ¿Cuáles son las características del proceso que sigue un estudiante para transformar un artefacto en un instrumento

2 en la resolución de problemas? ¿Cuál es el papel de las

1 Por una red conceptual se entiende la forma en la cual los conceptos matemáticos se encuentran estructurados en la mente de un individuo. Se considera que la red conceptual de una persona es robusta, si es capaz de establecer conexiones múltiples entre los conceptos matemáticos presentes en su red conceptual. La idea anterior de una red conceptual robusta se basa en el constructo de aprendizaje con entendimiento propuesto por Hiebert et al. (1997) (ver Barrera y Reyes, en revisión).

2 Un artefacto es un objeto material, mientras que un instrumento es “cualquier objeto que un sujeto asocia con sus acciones para llevar a cabo una tarea” (Verillón, 2000, p. 6)

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representaciones ejecutables en el proceso de aprendizaje? ¿Qué aspectos del pensamiento matemático se destacan en la resolución de problemas con la ayuda de las tecnologías digitales? ¿Qué características deben poseer las actividades de aprendizaje donde el uso de calculadoras o computadoras propicie en los estudiantes el desarrollo de procesos inherentes del quehacer matemático? Estas preguntas están formuladas con la intención de analizar la importancia de utilizar estrategias de instrucción que permitan a los estudiantes incorporar en su reflexión matemática el empleo de las herramientas computacionales. Se enfatiza la exploración de aquellos elementos que permitan al estudiante ampliar aspectos del pensamiento matemático con el apoyo de las herramientas tecnológicas: identificar información, encontrar relaciones entre datos e incógnitas, resolver casos particulares, formular conjeturas, proporcionar pruebas, comunicar resultados; de manera que los estudiantes desarrollen recursos y estrategias que les permitan apropiarse de las tecnologías digitales, entendidas como artefactos, y transformarlas en instrumentos para la comprensión de ideas matemáticas (Guin, Ruthven y Trouche, 2005). La idea principal de este trabajo consiste en observar el desarrollo de actividades de instrucción, en las que se hace uso de las tecnologías digitales, con un enfoque basado en la resolución de problemas, con el objetivo de documentar y analizar el proceso de génesis

instrumental (transformación de un artefacto en un instrumento), así como las implicaciones de este proceso en los aspectos pedagógicos, epistemológicos y didácticos del aprendizaje. 1.2. ANTECEDENTES

El proceso que desarrolla un estudiante para transformar un artefacto en un instrumento se denomina génesis instrumental. ¿Cuál es la importancia del proceso de génesis instrumental en el desarrollo cognitivo de los estudiantes? Esta pregunta está encaminada a orientar el problema de investigación. En este sentido, es importante analizar la relación entre las características del artefacto con la actividad del estudiante, sus ideas previas y sus métodos de trabajo. Es decir, se pretende analizar la relación de modificación mutua entre el artefacto y el estudiante, con base en el supuesto teórico de que: el aprendizaje no es fenómeno exclusivo de la mente, sino un producto de la relación entre las estructuras mentales y las herramientas intelectuales originadas por la cultura (Pea, 1987); lo cual implica que el conocimiento del estudiante dirige la manera en que el artefacto es usado y por tanto da forma al instrumento3 (instrumentalización), a la vez que las potencialidades y

3 Un artefacto es algo que está dado, mientras que un instrumento es una construcción que lleva a cabo el estudiante (Rabardel, 1999; citado en Trouche, 2009). Un instrumento puede considerarse como una extensión del cuerpo, un órgano funcional hecho de un artefacto (o parte de él). El sujeto a partir de un artefacto, construye un instrumento, en un entorno determinado, para realizar una tarea específica (Trouche, 2003).

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restricciones del artefacto influyen en las estrategias de solución de problemas que lleva a cabo el estudiante, así como en las correspondientes concepciones emergentes (instrumentación) (Trouche 2009). Para los fines que se persiguen en esta investigación, interesa analizar y documentar el proceso de interacción del estudiante con las herramientas tecnológicas cuando resuelve problemas, observando aspectos relacionados con su uso, las representaciones que emplea, el tipo de conjeturas y conclusiones que obtiene y los argumentos que proporciona, con la finalidad de identificar aquellas características de las tareas y de la acción del profesor que pueden ayudar a los estudiantes a obtener una comprensión profunda de los conceptos matemáticos, así como identificar las ventajas y desventajas que se presentan al trabajar con las tecnologías digitales. ¿Qué es una actividad de aprendizaje matemático? ¿Qué objetivos se persiguen al diseñar una actividad? ¿Cuáles son las características de estas actividades? ¿Cómo diseñar actividades de aprendizaje matemático en las que el uso de un software dinámico pueda propiciar en los estudiantes el desarrollo de procesos consistentes con el quehacer de la disciplina? ¿Qué tipo de preguntas pueden formular los estudiantes como resultado de utilizar de forma sistemática Cabri Geometry en la ejecución de las actividades de aprendizaje matemático? ¿En qué medida el software dinámico4 funciona como una herramienta útil para que los estudiantes visualicen, exploren y construyan relaciones matemáticas durante sus experiencias de aprendizaje? Estas son algunas de las preguntas que guían la discusión encaminada a identificar elementos de las actividades de aprendizaje matemático en las que se promueve el uso de herramientas tecnológicas, con el fin de analizar el proceso que siguen los estudiantes al apropiarse de la herramienta para resolver problemas y reestructurar diversos elementos cognitivos en su red conceptual. A continuación se presenta un análisis de diferentes trabajos de investigación en los que se ha tratado de entender el proceso de génesis instrumental. Esta revisión de la literatura es la base para justificar la relevancia del problema y las preguntas de investigación de este trabajo. Guin y Trouche (1999), analizaron algunas dificultades que muestran estudiantes al tratar de resolver la ecuación: tan (x) = x (figura 1.1). El estudio se aplicó a 34 alumnos, de los

4 Cabri Geometry es un software dinámico que se emplea en el estudio y solución de algunos problemas matemáticos. Incluye objetos primitivos (puntos, líneas, círculos, rayos, etc.) y herramientas para dibujar líneas perpendiculares, paralelas, puntos medios de segmentos y bisectores de ángulos. También es posible aplicar transformaciones (reflexión, rotación, simetría, dilatación) y medir partes de las representaciones (longitud, área, y ángulos). Además, permite mover parte de las configuraciones y determinar el camino o lugar geométrico que se genera (Santos, 2001).

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cuales, cuatro señalaron que existen una infinidad de soluciones. Los demás estudiantes mencionaron un número finito de soluciones.

Figura 1.1. Gráfica de f(x) = tan(x) y f(x) = x. (Guin y Trouche, 1999).

Los autores mencionan que la dificultad estriba en que los estudiantes no consideran a la pantalla como si fuera una ventana en donde solamente se observa una parte de la gráfica. Otra dificultad es interpretar lo que se percibe en esa ventana. Se señala además que algunos alumnos consideran a las asíntotas como parte de la representación gráfica de la función y por tanto, proponen más intersecciones; y otros señalan que la intersección entre las dos funciones cerca del cero se da en una infinidad de puntos. Así, semejantes interpretaciones han permitido preguntarse sobre la matemática creada por el estudiante en actividades donde se emplea el uso de tecnología (Artigue, 2002). ¿Por qué suceden estos fenómenos y cómo afectan el conocimiento matemático del estudiante? Lo anterior es un ejemplo donde se identifica una falta de integración tecnológica en actividades matemáticas. El uso de recursos tecnológicos existe pero qué pasaría si el problema se representa en un software dinámico y sobre todo si el estudiante realiza la construcción y la manipula. Podría parecer que el propósito es mostrar que el uso de tecnología no es adecuado en el aula de matemáticas, pero más bien, interesa enfatizar la importancia de hacer un uso reflexivo de la misma. La intención es promover habilidades de visualización matemática en un software dinámico en el sentido de Hershkowitz (citado por Arcavi, 2002), que trata la visualización matemática como la habilidad de representar, transformar, generar, comunicar, documentar, y reflexionar sobre información visual. Existen actividades orientadas al estudio de tópicos del cálculo como el comportamiento de polinomios al variar sus coeficientes: f(x) = ax2+bx+c. Esta investigación se enfoca en el estudio del papel de la tecnología desde la perspectiva del uso de las gráficas como un concepto, donde se pretende asegurar precisamente que ese uso de las gráficas, norma cierta matemática al usar la tecnología en este caso calculadoras graficadoras, de tal manera que favorece la construcción del instrumento y así evidenciar indicadores para mejorar el aprendizaje del cálculo, donde con el uso de las calculadoras graficadoras el estudiante

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observará la variación de los parámetros en un contexto gráfico. La finalidad de lo anterior es la integración del artefacto (calculadoras gráficas) a las formas de trabajo del estudiante para que construya conocimiento matemático. En la investigación se consideró como marco referencial a la génesis instrumental, señalando que la problemática tiene que ver con una relación dialéctica técnica-conceptual, es decir, el uso del artefacto (calculadoras) incrementa las técnicas y habilidades, pero ¿de qué manera la herramienta afecta elementos conceptuales en el aprendizaje? Para responder a tal problemática es de utilidad el constructo de génesis instrumental ya que es una herramienta que permite entender la dualidad existente entre instrumentalización (esquemas de uso) e instrumentación (esquemas de acción instrumentada). En tal investigación se han encontrado avances en cuanto a los diferentes tipos de esquemas mentales que los alumnos desarrollan al resolver la actividad propuesta. Los autores reportan que un alto porcentaje de alumnos responden equivocadamente al usar la calculadora graficadora, cosa que no sucede al trabajar las mismas actividades en un ambiente de papel y lápiz. Por ejemplo, algunos alumnos empiezan a variar el parámetro c

de la parábola y observan su comportamiento. Se observa que la actividad carece de ciertas características que no permiten al estudiante integrar la tecnología en su actividad matemática, ya que es una actividad que solo maneja el uso de la calculadora. ¿Qué pasaría si estas actividades se llevarán a un software dinámico donde el estudiante manipule la construcción? ¿Cuáles son los conocimientos previos que necesita el estudiante para resolver la tarea? Es importante señalar que en esta tarea tampoco se abordan cuestiones relativas a la generalización o extensión de la tarea. Además no se hace mención de la organización de los estudiantes, esto es, si existió el trabajo en equipo o individual. De la misma manera que el uso de las calculadoras ha conducido a una reflexión sobre su utilización en el desarrollo del sentido numérico de los estudiantes, los sistemas computacionales simbólicos han permitido reflexionar sobre el desarrollo del sentido estructural algebraico, se espera que el empleo del software de geometría dinámica aporte elementos relevantes que permitan diseñar actividades para que los estudiantes desarrollen un pensamiento geométrico (Arcavi y Hadas, 2000). En otro estudio (Cedillo, 2006) se analizó el proceso de enseñanza y aprendizaje de la aritmética y el álgebra en un ambiente computarizado (derive, calculadora TI – 92) con base en el trabajo de 800 profesores de matemáticas. La investigación se centró en: los cambios que pudieran presentarse en las concepciones y prácticas de enseñanza de los docentes y la manera en que el uso sistemático en el aula de un sistema algebraico computarizado afecta la relación estudiantes-profesor. En específico, se analizaron los esquemas de utilización (esquemas de uso y de acción instrumentada) que va construyendo

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un estudiante al utilizar y apropiarse de una herramienta (artefacto) (Rabardel, 1995). Las actividades propuestas consistían en presentar ejemplos de aritmética y álgebra, los cuales se abordaron con el software mencionado, como se ilustra a continuación (figura 1.2)

Figura 1.2. Ejemplos de álgebra en un ambiente computarizado (Cedillo, 2006)

El investigador argumenta que los ejemplos anteriores permiten ver las capacidades de procesamiento numérico y simbólico de un Sistema Algebraico Computarizado (SAC); además de que ofrece facilidades para graficar y transitar de la información proporcionada a sus representaciones analítica y tabular. Las actividades presentadas anteriormente muestran poco o nulo desarrollo de habilidades matemáticas en los usuarios, solo buscan el desarrollo de la manipulación del software, se quedan en lo numérico y algebraico sin tratar de que el estudiante profundice o realice extensiones. El autor menciona que el SAC ayuda a realizar representaciones graficas, pero no presenta actividades que involucren una representación geométrica de un problema que le permita al usuario observar, identificar y conjeturar patrones numéricos o variantes de una gráfica por ejemplo. Santos Trigo (2008), implementó una actividad con un grupo de estudiantes, que consistía en repartir un terreno de forma cuadrada en dos partes iguales, de manera que cada parte tuviera la misma área. Cabe señalar que, aunque el investigador no hace uso del proceso de génesis instrumental, existe la utilización de tecnología, lo cual permite al estudiante formular conjeturas, justificar y dar una extensión del problema, además de buscar desarrollar en los estudiantes habilidades en la utilización del software dinámico. En esta actividad, el profesor hace uso de herramientas tecnológicas con la finalidad de que el estudiante identifique y explore diversas relaciones matemáticas. Así, con base en los resultados obtenidos por el estudio, el investigador argumenta que diversas herramientas pueden ofrecer oportunidades a los estudiantes para desarrollar o reconstruir conocimiento

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matemático. Por ejemplo, la utilización del software dinámico favoreció la construcción y uso de representaciones dinámicas de los objetos matemáticos involucrados en el problema, además de desarrollar algunos aspectos del pensar matemáticamente como búsqueda de conjeturas o relaciones, así como los medios para justificarlas. Por otro lado, el autor menciona que durante el desarrollo de la actividad el estudiante explora comandos dentro de la herramienta (longitud, perímetro, área, lugar geométrico…) que resultaron importantes en la búsqueda de conjeturas que ayudan a solucionar el problema. Santacruz (2009) desarrolló un proyecto de investigación, donde el problema planteado hace referencia a la actividad mediada por instrumentos y la génesis instrumental, en relación con la noción de orquestación instrumental. En este sentido, reconoce que todo aprendizaje de una noción matemática se encuentra mediado por instrumentos y que dicha mediación influye en la naturaleza transpuesta del saber matemático, las acciones del profesor, la construcción del conocimiento por parte del estudiante y la organización particular de la clase u orquestación instrumental. Así mismo, propone un papel protagónico del profesor como gestor de los sistemas de instrumentos en el contexto de la clase, es decir, como un acompañante en los procesos tanto de construcción de aprendizaje, como de génesis instrumental de los estudiantes. Para el desarrollo de la investigación plantea un diseño metodológico pensado para el diseño de situaciones didácticas cuando se tiene en consideración, alrededor de la noción de actividad, la mediación de instrumentos en el aprendizaje y la enseñanza de las matemáticas, a partir de la metodología de la ingeniería didáctica, a nivel de micro ingeniería. Las situaciones didácticas son diferentes estrategias de aprendizaje que permitan observar los marcos teóricos centrales de la investigación. Del Castillo y Montiel (2007) analizaron cómo los estudiantes pueden acceder al concepto de función (no sólo mediante representaciones geométricas sino también numéricas) a partir de un entorno de Geometría Dinámica. La investigación se realizó con estudiantes del Nivel Medio Superior de un C. B. T. i. s. de quinto semestre, donde el uso de gráficas, tablas y la dualidad instrumentación-instrumentalización les ayudaría a observar y analizar la integración del instrumento por el estudiante. Así, este trabajo hace uso de la tecnología y toma como marco a la Génesis Instrumental buscando su integración al estudiante para que construya conocimiento matemático (función). En otra investigación (Guin y Trouche, 1999) centran su atención en observar, analizar y explicar las potencialidades de las calculadoras graficadoras, con respecto a la visualización, en términos de gráficas. Para ello, plantean la siguiente pregunta: ¿La función f, definida por f(x) = ln x + 10 sen x, tiene un límite infinito cuando x tiende a + ∞? Las respuestas de los estudiantes presentadas consistieron en: si tienen una calculadora gráfica, el 25 % de ellos respondió que no, apelando a la oscilación de la representación gráfica; en un entorno de papel y lápiz, sólo el 5% de los estudiantes respondió que no. En

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conclusión, los estudiantes responden que la función esta acotada, una razón es que la asocian a funciones trigonométricas (como acotadas) y por la percepción que observan en la pantalla de sus calculadoras. Así, los autores reportan que los estudiantes responden equivocadamente al usar la calculadora gráfica, cosa que no sucede al trabajar las mismas actividades a papel y lápiz. Al analizar los diferentes reportes de investigación de esta sección, la mayoría no especifican elementos en el diseño e implementación de actividades que podrían ser de utilidad para los profesores de matemáticas. Así, muchas investigaciones solo presentan la actividad, olvidándose: ¿Por qué esa actividad? ¿Qué objetivos de aprendizaje persigue? ¿Para qué estudiantes se recomienda? ¿Qué conocimientos previos se necesitan para abordar el problema? ¿Para qué nivel educativo? Es por ello que en este trabajo se establece que una actividad de aprendizaje matemático debe considerar el conocimiento previo del estudiante y proveerle de elementos para el desarrollo de nuevos conceptos que se articulen con los ya existentes en su red conceptual. Así, es importante que una tarea de aprendizaje cuente con los siguientes elementos: (i) los objetivos de aprendizaje, (ii) los elementos matemáticos estructurados en torno a los objetivos de aprendizaje, (iii) el escenario para desarrollar la tarea y (iv) un proceso inquisitivo para desarrollarla (Barrera, 2008). Algunas actividades dan a conocer el enunciado de la actividad y solicitan al estudiante que interactué con el software realizando una construcción que represente los datos de la tarea; sin embargo, no se discute con precisión qué principios de la resolución de problemas fueron empleados, además del uso de la tecnología para su diseño, ni cómo fueron utilizados. En los reportes de investigación, se menciona, como parte de la metodología que los estudiantes tuvieron sesiones previas de entrenamiento para familiarizarse con el uso del software y en otras solo se le presentan al estudiante construcciones fijas, establecidas, donde solo se les pide discutir conceptos matemáticos o propiedades de objetos geométricos que son importantes para resolver la tarea. También se hace mención de la importancia de las características y número de participantes, así como las condiciones del lugar de instrucción, por ejemplo: aula de cómputo, calculadora, software dinámico, cañón, etc. En este sentido, se le da gran importancia al escenario de instrucción, pero no se discute a profundidad la organización del escenario, tampoco se analizan explícitamente los conocimientos matemáticos e informáticos previos necesarios que debe tener el estudiante para que pueda abordar la tarea de aprendizaje. Con base en lo anterior, interesa ilustrar por medio de diferentes actividades o tareas, la importancia que tiene la utilización de un software dinámico para explorar el desarrollo del pensamiento geométrico en los estudiantes; más aún, documentar la importancia de emplear estrategias de instrucción que permitan a los estudiantes incorporar en su reflexión

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matemática el uso de las herramientas computacionales, así mismo hacer énfasis en la exploración que le permita ampliar los diferentes elementos del pensamiento matemático; de manera que una herramienta no solamente se maneje para realizar cálculos o procedimientos que con lápiz y papel resultan tediosos para los estudiantes, más bien se espera que puedan integrar la herramienta a su estructura cognitiva para construir conocimiento y organizarlo en una red conceptual robusta. Además se considera que este trabajo pueda ofrecer información que permita completar los resultados de las investigaciones previas. 1.3. OBJETIVO GENERAL

El objetivo general de este trabajo es identificar los diversos elementos cognitivos que tienen lugar en el proceso de transformación de un software dinámico, considerado como artefacto, en un instrumento, en un contexto de resolución de problemas. OBJETIVOS PARTICULARES

Identificar, caracterizar y analizar: (i) El papel de las representaciones ejecutables en el proceso de transformación de un artefacto en un instrumento.

(ii) La función de una aproximación inquisitiva y la justificación de resultados durante la construcción de conocimiento matemático mediada por el uso de tecnologías digitales.

(iii) La relevancia de las actividades de aprendizaje matemático en el proceso de articulación de conceptos matemáticos en redes conceptuales robustas.

Los objetivos planteados tienen como fin, documentar la importancia de utilizar estrategias de instrucción que permitan a los estudiantes incorporar en su reflexión matemática el empleo de distintas herramientas computacionales, así como los aspectos asociados con el diseño de las herramientas que facilitan o dificultan su uso en la comprensión y resolución de problemas por parte de los estudiantes. También sobre el diseño de las actividades y la importancia de la utilización de herramientas computacionales en la construcción del conocimiento matemático mediado por el uso de tales herramientas. 1.4. PREGUNTAS DE INVESTIGACIÓN 1. ¿Cuáles son las características de los procesos cognitivos que muestra un estudiante al utilizar un software dinámico como un instrumento de aprendizaje? Importa ilustrar por medio de distintos ejemplos (actividades), la relevancia que tiene el uso de un software dinámico para explorar el desarrollo del pensamiento geométrico en los

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estudiantes. Así como, documentar el proceso de transformación de un artefacto en un instrumento de resolución de problemas y las implicaciones de ésta transformación en los procesos didácticos. En particular el software dinámico (Cabri-Geometry) se puede transformar en un instrumento que ayude a los estudiantes a generar representaciones que permiten visualizar elementos claves alrededor de la solución de un problema. Específicamente, interesa detectar en qué momento el estudiante se apropia de la herramienta y la utiliza en la resolución de las actividades matemáticas donde involucra el planteamiento de conjeturas, la construcción y uso de diferentes representaciones, la búsqueda de relaciones, así como la presentación y comunicación de resultados. 2. ¿Qué aspectos del pensamiento matemático se favorecen durante la resolución de problemas con el uso de las tecnologías digitales? La actividad de aprender no se reduce a memorizar un conjunto de reglas, principios, algoritmos, teoremas, definiciones y procedimientos que pueden aplicarse en la solución de problemas: es una perspectiva en la que existe una conceptualización dinámica de las matemáticas (Santos 2003). Las actividades propuestas pretenden desarrollar en los estudiantes un punto de vista matemático que valore los procesos de matematización y abstracción y tener la tendencia a aplicarlos, mediante un ambiente en donde la reflexión y comunicación de ideas matemáticas jueguen un papel central en los procesos. Con esta pregunta de investigación, se pretende documentar y analizar cuáles procesos del pensar matemáticamente se ven apoyados a través del uso sostenido de la herramienta, es decir, en qué medida el proceso de instrumentación apoya la construcción de una forma matemática de pensar. 3. ¿Qué características de las tareas de aprendizaje y de las herramientas computacionales, propician que los estudiantes estructuren redes conceptuales robustas? Para los fines que se persiguen en el presente trabajo, una tarea de aprendizaje matemático debe considerar el conocimiento previo del estudiante y proveerle de elementos para desarrollar nuevos conceptos que se articulen con los ya existentes en su estructura conceptual. Además, interesa plantear actividades o tareas de aprendizaje donde los estudiantes construyan activamente su propio conocimiento matemático, desarrollen una disposición y forma de pensar donde constantemente busquen y examinen distintos tipos de relaciones, planteen conjeturas, utilicen diferentes sistemas de representación, establezcan conexiones y comuniquen sus resultados. Con esta pregunta se busca determinar cuáles son los elementos de las tareas y de las herramientas digitales que influyen en la construcción y desarrollo de redes conceptuales robustas.

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CAPÍTULO 2

MARCO CONCEPTUAL

Las funciones mentales superiores y las acciones humanas en general están mediadas por el uso de herramientas y signos

(Wertsch, 1993, p. 28).

2.1. INTRODUCCIÓN

El Consejo Nacional de Profesores de Matemáticas de los Estados Unidos (NCTM, 1991), reconoce la importancia de que la enseñanza de las matemáticas se lleve a cabo de manera activa, desarrollando una forma matemática de pensar en los estudiantes. El surgimiento de software para la enseñanza y su incorporación al aula, exige que el profesor diseñe actividades apropiadas que ayuden al estudiante en el aprendizaje de conceptos matemáticos, apoyándose en el uso de la computadora o las calculadoras.

La existencia de la computadora plantea a los educadores matemáticos [y a los profesores] el reto de diseñar actividades que tomen ventaja de aquellas características [de las tecnologías digitales] con potencial para apoyar nuevos caminos de instrucción (Arcavi y Hadas, 2000, p. 41).

La tecnología puede ayudar a enfatizar el uso del conocimiento matemático, en la medida que el estudiante puede ir más allá de los algoritmos rutinarios que han prevalecido en muchos de los cursos de matemáticas. Así, los cambios recientes en el currículo reconocen la importancia del uso de las computadoras y calculadoras en el aprendizaje de la disciplina (Martin, 2000). En este contexto, los sistemas educativos tienen un gran desafío: lograr la transformación de sus estructuras curriculares, entendiendo que éstas ya no pueden depender totalmente de los contenidos temáticos, como ha sido tradicionalmente, sino de un desarrollo cognitivo de los individuos que incorpore el fortalecimiento de aspectos tales como la generalización, la sistematización y la abstracción. Los estudiantes, cada vez más tienen necesidad de enfrentarse a la resolución de problemas, no sólo en el ámbito escolar sino en sus futuros lugares de trabajo, en donde la creatividad y la innovación serán los elementos centrales de su actividad, además necesitan instrumentos de aprendizaje, es decir, estructuras cognitivas con alto grado de adaptabilidad.

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El logro de los objetivos anteriores requiere de un entendimiento profundo de la forma en que se modifican los procesos de aprendizaje cuando se incorpora el uso de las tecnologías digitales al desarrollo de tareas de instrucción, y esto a su vez, necesariamente requiere de la adopción de una postura teórica que oriente el proceso de comprensión de las complejidades presentes en el entendimiento de ideas matemáticas por parte de los estudiantes. En este trabajo, el fundamento teórico que permitirá dar sentido a los datos obtenidos de experiencias de aprendizaje se organiza en un marco conceptual, el cual está integrado por una estructura de justificaciones que articula diferentes elementos o constructos teóricos, con base en explicaciones de por qué se adoptan esas ideas o conceptos, así como sus posibles relaciones, y no otras, para respaldar las características relevantes del fenómeno analizado (Eisenhart, 1991; Lester, 2005). El marco conceptual de este trabajo está integrado por tres elementos, el primero es el principio de la mediación instrumental, el cual establece que las características de las herramientas utilizadas en el proceso de aprendizaje determinan la forma en que se adquiere el conocimiento. Los artefactos, como objetos materiales, han influido en el desarrollo de las matemáticas, así como en su aprendizaje. Por ejemplo, en las clases de matemáticas se usan algunos objetos manipulables como el ábaco, o las regletas de

Cuisenaire, para ejecutar y aprender a realizar operaciones aritméticas. Asimismo, los sistemas simbólicos (por ejemplo, el sistema decimal de numeración o la notación algebraica) son herramientas que indudablemente influyen en el aprendizaje, desarrollo y avance en la generación de nuevos conocimientos matemáticos. Como parte de este constructo se analiza una característica que distingue a las tecnologías digitales del resto de las tecnologías para aprender matemáticas: la posibilidad de construir y operar con representaciones ejecutables. Relacionado con el principio de mediación instrumental, se incluye el marco de la génesis instrumental, el cual será utilizado para analizar y tratar de comprender el proceso mediante el cual un artefacto se transforma en un instrumento, es decir, la forma en cómo una herramienta material, a través de la actividad del sujeto al resolver problemas se constituye en una herramienta simbólica, la cual puede integrarse al sistema cognitivo de la persona e influir en la forma en que ésta construye su conocimiento. Completa el marco de la investigación el modelo de resolución de problemas, el cual constituye el escenario en el que se lleva a cabo los procesos de mediación instrumental y génesis instrumental. Otro elemento que se debe considerar en la integración de todo marco conceptual, se relaciona con la concepción que el investigador tiene acerca de las matemáticas y de su aprendizaje. En este caso, se adoptará la postura de Schoenfeld (1992), quien reconoce que un aspecto importante en la caracterización de la naturaleza de la disciplina es pensarla como la ciencia de los patrones. Así, un aspecto esencial durante la interacción con los problemas o contenidos matemáticos, es que los estudiantes busquen, representen y

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describan patrones e invariantes de diversa naturaleza y que desarrollen una actitud inquisitiva, lo cual significa que el objetivo central de resolver un problema no es encontrar una solución, sino el desarrollo de diversos aspectos del pensamiento matemático como la formulación de nuevos problemas, conjeturas, heurísticas o aproximaciones, así como la búsqueda de relaciones y extensiones de los problemas, y diversas formas de justificación de conjeturas.

Las matemáticas revelan patrones escondidos que ayudan a comprender el mundo que nos rodea. El proceso de “hacer” matemáticas es más que cálculos y deducciones; involucra la observación de patrones, la prueba de conjeturas, la estimación de resultados (NRC, 1989, p. 31; citado en Schoenfeld, 1992).

2.2. MEDIACIÓN INSTRUMENTAL Pea y Roy (1987) desarrollan la idea de que los instrumentos de mediación funcionan como tecnologías cognitivas que ayudan a organizar, amplificar y reorganizar el conocimiento matemático. En esta dirección, Moreno (2002) menciona que no hay actividad cognitiva al margen de la mediación instrumental, en otros términos, toda acción orientada a un aprendizaje, es una acción instrumental. Una tesis central en este marco es que la presencia de los instrumentos de mediación transforma de raíz la estructura cognitiva del estudiante (Werstch, 1993), en forma análoga a lo que ocurre ante la presencia de una herramienta material vinculada a un proceso técnico.

En el desarrollo de la biología. ¿Sería concebible en este momento imaginar el estado actual de esta ciencia sin los recursos tecnológicos que se han desarrollado simultáneamente con sus cuerpos conceptuales? Pensemos en el microscopio; este no solo es un instrumento que ayuda al patólogo experimental, sino que le da acceso a un nivel de estructuración de la realidad imposible de alcanzar sin dicho instrumento. Entonces su acción cognitiva está mediada por el microscopio y el conocimiento producido está afectado de modo sustancial por él (Moreno y Waldegg, 2002, p. 57).

En el caso considerado, el microscopio permite al científico acceder a un nivel de la realidad el cual no hubiera sido posible conocer y analizar sin la mediación de la herramienta-instrumento. En este contexto, el avance del conocimiento ha sido inseparable de los instrumentos de mediación empleados, ya sean materiales o simbólicos. En la música, por ejemplo, lo que se valora es la naturaleza simbiótica de la relación músico-

instrumento musical (Moreno, 2002; énfasis agregado). Si se habla del uso de la tecnología digital en el aprendizaje de las matemáticas, en particular de Cabri-Geometry, se pretende que éste se convierta en un instrumento matemático para el estudiante cuando aborda tareas

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de aprendizaje, es decir que se establezca una relación entre el software y el sujeto (su estructura cognitiva), orientada hacia el aprendizaje y la construcción de ideas matemáticas, de forma análoga a la relación entre el músico y el instrumento, cuando se interpreta una pieza musical. Cuando un estudiante se auxilia de una calculadora para realizar ciertas operaciones en un problema cuya solución ya ha encontrado, tal vez de forma intuitiva, esa calculadora es un auxiliar de su cognición. En tal caso la calculadora es un artefacto pues se utiliza como un elemento complementario al pensamiento del estudiante, ya que no modifica, sino sólo complementa el pensamiento del estudiante. Por otra parte, es posible que el uso continuo del artefacto produzca cambios a nivel de las estrategias de solución de problemas, en cambios a nivel de la manera en cómo se plantea o entiende el problema, o sobre como se justifican resultados. En otras palabras, puede ocurrir que el pensamiento del estudiante quede afectado radicalmente por la presencia del artefacto, en este caso el artefacto se ha convertido en un instrumento de aprendizaje, ya que la herramienta estructura las acciones que lleva a cabo el estudiante. Un elemento que caracteriza a las tecnologías digitales son sus sistemas de representación ya que son sistemas ejecutables (procesables, manipulables), que “simulan” funciones cognitivas que anteriormente eran exclusivas de los seres humanos.

En sus versiones informáticas, la forma general de representación tiene una característica central: es ejecutable. Esto significa, dicho de forma simplificada, que una vez instalados en el lenguaje del medio ambiente computacional, las nuevas representaciones son procesables, manipulables. (Moreno, 2002b)

Por ejemplo al construir una figura en un software dinámico y desplazarla, ésta conserva su estructura; así el arrastre es una forma de manipulación, de ejecución de representaciones que contribuyen a proporcionar cierto nivel de realismo a estos objetos geométricos. Otro ejemplo en el que se manifiesta la propiedad de ejecutabilidad de las representaciones se presenta al construir la gráfica de la variación del área de un rectángulo inscrito en una circunferencia, en donde el estudiante no necesita determinar de forma previa la expresión algebraica que modela al fenómeno, ni llevar a cabo la construcción de una tabla para poder elaborar la gráfica correspondiente, sino que todas son acciones que ya no se llevan a cabo en la mente de un estudiante (actos cognitivos exteriorizados), sino que son realizados por el software dinámico. En otras palabras, el que las representaciones que se pueden construir con el uso de las tecnologías digitales sean ejecutables significa que el software tiene la capacidad de procesar la información que el usuario de la herramienta registra en esos medios de representación externa.

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Estos sistemas de representación ejecutables pueden permitir al estudiante trabajar un problema desde diferentes enfoques cognitivos, por ejemplo, tomar un punto de vista concreto al analizar una función. Los sistemas de representación no cumplen tan solo una función de comunicación sino que también ofrecen un medio para el tratamiento de la información y son fuente de generación de significados. El uso de las tecnologías digitales puede permitir a los estudiantes desarrollar nuevos métodos, nuevas estrategias, por ejemplo de graficación, a partir de las capacidades de procesamiento de esas herramientas (Moreno, 2002). 2.3. GÉNESIS INSTRUMENTAL La génesis instrumental, es un proceso complejo, vinculado al desarrollo de formas de pensar apoyadas en características de un artefacto (potencialidades y limitaciones); a la actividad que un sujeto desarrolla al utilizar un artefacto; así como a sus conocimientos y métodos de trabajo con el mismo (Verillon y Rabaldel, 1995). Este constructo teórico da cuenta del proceso mediante el cual un estudiante integra los esquemas de uso del artefacto en su estructura cognitiva, los cuales pueden apoyarlo en el desarrollo de una forma matemática de pensar (Artigue 2002). Se habla de un instrumento5 cuando hay una relación significativa entre el artefacto (o parte del artefacto) y la estructura mental del estudiante para hacer frente a un determinado tipo de tarea, en nuestro caso actividades matemáticas, que el estudiante resolverá con el uso de software dinámico. Así, “los instrumentos son entidades mixtas, compuestas de una parte de artefacto y de esquemas de uso” (Trouche, 2009, p. 6). Durante el proceso de génesis instrumental, el estudiante desarrolla estructuras mentales que organiza para resolver problemas y entender conceptos con base en los medios que ofrece el uso de un artefacto. Ahora bien, para entender esta construcción, la génesis instrumental debe considerarse como una dualidad “instrumentalización-instrumentación” producto del uso del artefacto, para abordar tareas de aprendizaje por parte del estudiante. En el proceso de instrumentalización, el estudiante reconoce y se adapta al artefacto, se apropia de sus características; es decir, conoce sus bondades y potencialidades, y en algún momento puede orientar las mismas hacia usos específicos durante la resolución de problemas. El nivel de logro que se obtenga en la fase de instrumentación, estará condicionado por el nivel de manejo operativo y funcional que haga del artefacto (instrumentalización). Durante la génesis instrumental se pueden identificar varias etapas: (i) etapa de descubrimiento y de selección de los comandos relevantes, (ii) etapa de personalización y (iii) etapa de transformación (Trouche, 2005).

5 Los instrumentos tienen un doble uso en el marco de las actividades educativas. En los estudiantes, influyen profundamente en la construcción del conocimiento y los procesos de conceptualización de ideas matemáticas. En los profesores, pueden considerarse como variables sobre las cuales se actúa para la concepción y el control de las situaciones pedagógicas. (Rabardel, 1995).

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Artigue (2002) menciona que en la instrumentación, la génesis instrumental está dirigida hacia el estudiante, conduciendo al desarrollo o la apropiación de los esquemas de acción instrumentada, la cual progresivamente toma forma de técnicas que permiten una respuesta efectiva hacia tareas específicas (búsqueda de patrones, detección de invariantes, etcétera). Es decir, el desarrollo y apropiación de los esquemas de acción instrumentada ayudan al estudiante a entender las ventajas y restricciones del artefacto y así apoyarse en ellas para estructurar una forma matemática de pensar. En otras palabras, la instrumentalización es un reconocimiento de las funciones del artefacto (Cabri-Geometry) y la instrumentación es una construcción que se da cuando el usuario utiliza la herramienta y ésta le permite desarrollar métodos y técnicas para resolver problemas. La instrumentalización elabora esquemas de uso y la instrumentación esquemas de acción instrumentada (Guin y Trouche, 1999). La primera fase de la génesis instrumental consiste en la producción de esquemas de uso, orientados a la utilización de los comandos e instrucciones básicas de la herramienta. Los esquemas de uso están relacionados con el artefacto, es decir, el estudiante inicia el reconocimiento de la herramienta-artefacto (Cabri-Geometry). A través del uso sostenido de la herramienta, se estabilizan los esquemas de uso, y a partir de ellos se estructuran técnicas que son el antecedente de los esquemas de acción instrumentada; los cuales corresponden a una interacción entre las potencialidades del artefacto y los esquemas mentales del estudiante para originar formas novedosas de pensar o razonar al resolver problemas. Los esquemas de acción instrumentada se construyen con base en los esquemas de uso elementales por medio de la integración de las características de la herramienta en la estructura cognitiva del estudiante. Trouche (2003) menciona que la génesis instrumental tiene aspectos tanto individuales como sociales y el equilibrio entre estos depende de factores materiales, de la disponibilidad del artefacto y del nivel de integración de la herramienta. Por ello, en este trabajo se analiza cómo la formación de instrumentos se refuerza en una comunidad de práctica social (el salón de clases), sin que esto signifique que se elimina la dimensión del trabajo individual de los estudiantes (Rabardel 2001). En este proceso de génesis también influyen aspectos de tiempo, espacio y organización de las herramientas durante el desarrollo de la actividad, por ello es importante tomar en cuenta a la orquestación

instrumental, la cual es un constructo que considera la organización de los artefactos y un plan de acción en escenarios de exploración didáctica (conjunto de configuraciones en torno a la situación problema) (Dreyfus, 1993, citado en Guin y Trouche, 2002), que puede ayudar a documentar las interacciones sociales entre pares, y las relaciones que se desarrollan entre diferentes herramientas (calculadora, computadora, objetos manipulables, lápiz y papel entre otros) (Guin y Trouche, 1999a). Las orquestaciones pueden actuar en varios niveles: (i) en el nivel de un artefacto, (ii) en el nivel de un instrumento y (iii) en el nivel de la relación de la tarea con un instrumento. A su vez estos niveles corresponden a los tres niveles de artefactos (Wartofsky, 1983, citado en Guin y Touche, 2002):

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Artefactos primarios. Se refiere a la herramienta, específicamente a cómo se utiliza ordinariamente.

Artefactos secundarios. Consiste en representaciones de los artefactos primarios y sus acciones al usarlo.

Artefactos terciarios. Corresponde al desarrollo cognitivo por simulación de situaciones matemáticas que desarrollan los estudiantes entrenados.

En esta investigación la orquestación permite analizar la relación entre la idea matemática o concepto que se enseña y las formas en que el artefacto es aplicado para entender esa idea, es decir, a partir de las potencialidades y limitaciones de la herramienta, el estudiante puede generar hipótesis acerca de cómo resolver un problema, crear o modificar técnicas para abordarlo, así como diversas formas de justificación. El papel del profesor durante la orquestación instrumental es el de un guía, de un mediador del aprendizaje (un director de orquesta) (Guin y Trouche, 1999a). 2.4. RESOLUCIÓN DE PROBLEMAS COMO MÉTODO DE APRENDIZAJE Con la integración de la resolución de problemas en el marco conceptual, se busca contar con un conjunto de principios que orienten el diseño de actividades de aprendizaje: (i) que motiven al estudiante a quererlas resolver, (ii) que permitan establecer conexiones entre los conocimientos matemáticos presentes en la red conceptual del estudiante y (iii) que permitan abordar y resolver la tarea por distintos medios, además de que promuevan el desarrollo de diversos aspectos del pensamiento matemático a través de la experimentación así como la discusión de ideas. La adopción del marco de resolución de problemas, proporciona también un contexto para la ejecución de las tareas de instrucción en el que el objetivo tradicional de la fluidez algorítmica se sustituye por el objetivo de fluidez

procedimental6 y la problematización de las tareas. Esto es, que los estudiantes puedan representar un problema en diversos sistemas de representación y sean capaces de interpretar los resultados del tratamiento que se dé a tales sistemas mediante las herramientas disponibles, aquí el papel de los profesores es proporcionar el contexto para que los estudiantes planteen conjeturas, establezcan conexiones, elaboren argumentos y comuniquen sus resultados. En esta dirección surgen preguntas que pueden guiar la discusión: ¿qué características deben incluir las actividades de aprendizaje para que el uso de herramientas tecnológicas

7 Destreza en la realización de procedimientos con flexibilidad, precisión, eficiencia y en forma apropiada. (Kilpatrick, 2001, p. 107)

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permita identificar y ampliar los aspectos del pensar matemáticamente? ¿Qué papel juegan las herramientas computacionales en el proceso de formular y validar conjeturas en los procesos del aprendizaje de las matemáticas? ¿Cómo contribuye a desarrollar un punto de vista matemático el uso de sistemas computacionales en actividades de aprendizaje? ¿En qué medida cambia la concepción de las matemáticas en los estudiantes que se involucran en procesos de resolución de problemas mediados por la tecnología? ¿Qué tan confiables son los resultados matemáticos obtenidos con el uso de herramientas computacionales cuando se diseñan actividades de aprendizaje? En este sentido, Santos y Moreno (2002) resaltan que el uso de las tecnologías digitales con el tiempo se van convirtiendo en una herramienta poderosa para que los estudiantes:

(a) den sentido a la información en un problema,

(b) realicen conjeturas y

(c) examinen diferentes estrategias en la resolución de problemas.

Un principio fundamental, al considerar la resolución de problemas en el aprendizaje de las matemáticas, es aceptar que la actividad de aprender no se reduce a un conjunto de reglas que pueden aplicarse en la solución de problemas: es una perspectiva en la que existe una conceptualización dinámica de las matemáticas y en la cual es importante identificar elementos que ayuden a desarrollar y promover una disposición matemática en los estudiantes (Santos, 2007, p. 11).

Barrera (2008) menciona que una idea importante en la perspectiva de resolución de problemas, es que el aprendizaje de las matemáticas involucre el desarrollo de cierta disposición de los estudiantes para explorar e investigar relaciones matemáticas, emplear distintas formas de representación al analizar fenómenos particulares, usar diversos tipos de argumentos y comunicar resultados. Aprender matemáticas es ante todo, desarrollar una actitud que valore los procesos del pensar matemáticamente.

Aprender a pensar matemáticamente significa (a) desarrollar un punto de vista que valore el proceso de matematización y abstracción y tener la tendencia a aplicarlos, y (b) desarrollar competencias con las herramientas de trabajo y usarlas para lograr la meta de entender las estructuras y desarrollar el sentido matemático (Schoenfeld, 1994, p. 60).

Asimismo, el reto en la instrucción matemática es generar condiciones de aprendizaje para los estudiantes (mediante las tareas de instrucción) donde se reflejen valores propios relacionados con el desarrollo de la disciplina. En particular, el salón de clase debe promover actividades y hábitos consistentes con la práctica real de la disciplina. De forma específica, una actividad de aprendizaje matemático tendrá los siguientes elementos:

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(i) Un objetivo de aprendizaje. Aquí se establecen los elementos conceptuales a ser desarrollados y articulados por el estudiante durante la realización de la actividad en el aula. (ii) Elementos matemáticos estructurados por el objetivo de aprendizaje. Se identifican los elementos matemáticos de la actividad para su construcción; los datos, utilizando los conocimientos previos del estudiante y articulándolos para generar nuevos. (iii) Escenarios para desarrollar la actividad. Es el contexto en el que se ejecuta la actividad, la cual debe incluir infraestructura y equipo necesario. La organización de los estudiantes para realizar la tarea será en forma individual y después en equipo con el fin de que el estudiante platee conjeturas, establezca conexiones y argumente sus resultados para comunicarlos a sus pares y así, fundamenten y propongan una posible solución del problema. (iv) Un proceso inquisitivo. Consiste en formular preguntas o dilemas en caminados a articular los elementos matemáticos iníciales con aquellos que conduzcan a la consecución de lo planteado en el objetivo de aprendizaje y posibles extensiones. (Barrera, 2008)

En este trabajo se analiza el proceso de implementación de tareas no rutinarias que pueden permitir a los estudiantes adquirir una forma matemática de pensar y, con el empleo de herramientas computacionales, puedan no solo hacer más potentes algunas heurísticas (estrategias de resolución de problemas), sino también desarrollar una disposición y formas de trabajo donde constantemente busquen y examinen diferentes tipos de relaciones, planteen conjeturas, utilicen distintos sistemas de representación, establezcan conexiones, empleen argumentos y comuniquen sus resultados (Santos, 2003). A continuación se presenta un diagrama que permite visualizar de forma gráfica los elementos conceptuales que integran el marco de investigación utilizado en este trabajo, así como sus relaciones (figura 2.1):

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Figura 2.1: Estructura del marco utilizado en el análisis del proceso de génesis instrumental.

Fluidez Representacional

Artefacto

Estudiante

Software dinámico

Instrumentalización Instrumentación

Reconocimiento de funciones Construcción,

entendimiento y desarrollo de la

actividad matemática

Mediación Instrumental

Esquemas de uso Orientada a un aprendizaje,

en un contexto de resolución de problemas

Nuevo potencial

Restricciones

Instrumento Estudiante

Génesis Instrumental

Esquemas de acción instrumentada

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CAPÍTULO 3

METODOLOGÍA

3.1 INTRODUCCIÓN

La metodología utilizada en esta investigación es de corte cualitativo. Con base en ella se busca realizar descripciones y análisis del proceso de génesis instrumental ocurrido durante el desarrollo de una tarea de aprendizaje matemático que abordaron estudiantes del nivel superior, haciendo uso del software dinámico Cabri Geometry. Una de las características especiales del paradigma de investigación cualitativa es el uso del estudio de caso, en el que se determinan las características y circunstancias que subyacen a un caso particular para explorar y analizar aquellos elementos que pueden servir como un ejemplo de algo más general, “no con la precisión de las ciencias exactas, sino sugestivamente como ilustración de una verdad más general y compleja” (Ernest, 1998, p. 34). La investigación cualitativa construye descripciones ricas del caso bajo estudio, de las interrelaciones y contextos de las variables que intervienen en el fenómeno. Esta descripción permite entender el caso a través de la identificación con la realidad de quien lee el reporte de investigación. De acuerdo con Yin (2003) en una investigación de corte cualitativo se estudia un fenómeno dentro de su contexto. Un estudio de caso se utiliza en situaciones técnicamente distintivas en la cual hay muchas más variables de interés que datos y, como resultado, se basa en múltiples fuentes de evidencia, cualitativas y cuantitativas, con datos que permiten la triangulación. Es decir, se utiliza el estudio de caso cuando el investigador explícitamente aborda situaciones contextuales. Así, el estudio de caso es una búsqueda empírica que investiga un fenómeno contemporáneo dentro de su contexto, especialmente cuando los límites entre el fenómeno y el contexto no se encuentran claramente delimitados. El estudio de caso es un método que: (i) Es adecuado para investigar fenómenos en los que se busca conocer cómo y por qué ocurren.

(ii) Es ideal para el estudio de temas de investigación en los que las teorías existentes son insuficientes para comprender o explicar el fenómeno.

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(iii) Permite estudiar los fenómenos desde múltiples perspectivas y no desde la influencia de una sola variable.

(iv) Permite explorar en forma más profunda y obtener un conocimiento más amplio sobre el fenómeno. (Chetty, 1996, citado en Martínez, 2006)

Por las características antes mencionadas, la metodología cualitativa ha ido ganando terreno dentro de las investigaciones que se realizan en el campo de la educación matemática, dadas las posibilidades que ofrece para la explicación de nuevos fenómenos y en la elaboración de teorías. Al utilizar esta metodología, como al utilizar cualquier otra, se deben tener claros cuáles son los objetivos que se quieren conseguir, con qué finalidad se va a recabar e interpretar la abundante información a la que se va a tener acceso, cuál es el objeto de estudio y qué se desea saber del fenómeno que se analiza. El trabajo de campo de esta investigación consistió en observar el desarrollo de una tarea de instrucción que al ser abordada por un grupo de estudiantes, les permitiera acceder y utilizar una serie de saberes y recursos matemáticos, seleccionar distintas maneras de representar y resolver un problema. Por ejemplo, al representar un cuadrilátero, un estudiante puede pensar en lados de diversos tamaños, ángulos con diferentes medidas, o congruencias de lados y ángulos para describir la figura que desea representar. El proceso de observación de la implementación de esta actividad permitió recolectar información con base en la cual se documenta y caracteriza el proceso de transformación de un software dinámico, considerado como artefacto, en un instrumento de resolución de problemas, así como analizar el papel de las representaciones ejecutables de objetos matemáticos en la aproximación inquisitiva que desarrollaron los estudiantes al abordar la actividad con el uso del software. 3.2. PARTICIPANTES EN EL ESTUDIO La tarea de aprendizaje se implementó con un grupo de 12 estudiantes que cursaban el segundo semestre de una Licenciatura en Física; sus edades oscilaban entre los 18 y 25 años y sus últimos cursos de matemáticas habían sido: Cálculo, Matemáticas Superiores y Computación, y Geometría Analítica; esta última serviría de apoyo durante la solución de la actividad, ya que en la justificación de resultados la ruta de instrucción propuesta, propone el uso de la ley de cosenos. Los estudiantes no habían trabajado con el software Cabri-Geometry, aunque habían utilizado un software similar, GeoGebra, así como el sistema de álgebra computacional MAPLE. La tarea también se implementó en un Colegio de Ciencias y Humanidades (CCH-UNAM), con un grupo de 21 estudiantes de segundo semestre, sus edades oscilaban entre 15 y 17 años de edad. Como cursos previos mencionaron: Álgebra, Trigonometría y Geometría. Los

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estudiantes de bachillerato, en su mayoría, manifestaron tener experiencia en el uso del software dinámico Cabri-Geometry. En la implementación de la actividad; con el grupo de licenciatura, se optó por una sesión de dos horas, debido a que se esperaba que los participantes tuvieran menos dificultades para desarrollar la actividad de aprendizaje que el grupo de bachillerato, con quienes se trabajaron dos sesiones no continuas de dos horas cada una, con la finalidad de que los estudiantes tuvieran tiempo suficiente para la reflexión, discusión e intercambio de ideas. Estos grupos se eligieron debido a razones circunstanciales, porque los profesores titulares de los mismos, permitieron implementar la actividad de aprendizaje; algunos otros profesores argumentaban que por cuestiones de tiempos en los avances de su programa no les era posible que se trabajara con su grupo. 3.3. TAREA DE APRENDIZAJE La tarea de aprendizaje utilizada en esta investigación fue diseñada e implementada por un profesor de matemáticas, integrante del equipo de investigación del proyecto en el que se enmarca este trabajo. El profesor que implementó la actividad no era profesor regular de los grupos en que se llevó a cabo la recolección de los datos. El autor de este trabajo solamente actuó como observador del proceso de implementación. La tarea fue diseñada considerando los cuatro elementos establecidos por Barrera (2008): (i) un objetivo de aprendizaje, (ii) un conjunto de elementos matemáticos estructurados en torno al objetivo de aprendizaje, (iii) la determinación de un escenario para desarrollar la tarea, y (iv) un proceso inquisitivo, estructurado a través de una ruta hipotética de instrucción (ver apéndice B). La tarea trata sobre un tipo de mecanismos de cuatro barras articuladas, denominados mecanismos de Grashof, que son aquellos en los cuales al menos una de las barras puede dar una revolución completa en relación con alguna otra barra que permanece fija (figura 3.1).

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Figura 3.1: Construcción en Cabri de un mecanismo de Grashof La actividad se desarrolló en dos fases. En la primera fase (preámbulo), los estudiantes trabajaron en forma individual, con la finalidad de reconocer las funcionalidades de diversos comandos del software mediante la construcción de cuadriláteros, dadas las longitudes de sus lados. En la segunda fase (actividad central), los estudiantes trabajaron en parejas, con el propósito de obtener un criterio para determinar si un mecanismo de cuatro barras es un mecanismo de Grashof. La actividad se implementó en una sesión que tuvo una duración de dos horas. Los elementos de la tarea de aprendizaje, considerados por el profesor en el diseño, son los siguientes:

1. Objetivos de Aprendizaje

(i) Identificar algunas propiedades geométricas de los triángulos y cuadriláteros. (ii) Transitar del pensamiento geométrico al aritmético y algebraico. (iii) Utilizar distintos registros de representación. (iv) Incorporar algunos recursos de la geometría analítica a la solución de un problema de geometría sintética.

2. Elementos matemáticos estructurados en torno al objetivo de aprendizaje

Conocimientos matemáticos previos (i) La desigualdad del triángulo. (ii) Relaciones trigonométricas en triángulos rectángulos y ley de los cosenos. (iii) Operaciones aritméticas básicas (suma, resta, multiplicación y división). (iv) Utilización de lenguaje algebraico.

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Conocimientos informáticos previos. Utilización de comandos del software de geometría dinámica Cabri Geometry tales como: segmento, compás, medir longitud, medir ángulo, animación, calculadora, mostrar los ejes y lugar geométrico. Se puede incorporar adicionalmente el uso de una hoja de cálculo como Excel para verificar algunos de los resultados que aparezcan en el software dinámico. Se espera que la interacción del estudiante con el software de geometría dinámica, le permita establecer rápidamente conexiones conceptuales entre las condiciones para poder construir un cuadrilátero, la relación con la desigualdad del triángulo y ley de cosenos, así como observar por medio de la animación el comportamiento que tendría un mecanismo en particular, a partir de las longitudes de sus lados. 3. Escenario para desarrollar la tarea.

Se requiere de un aula con pizarrón, pantalla de proyección, equipos de cómputo con software dinámico para cada estudiante y para el profesor, además de cañón proyector. Los estudiantes serán organizados de la siguiente forma: al inicio de la actividad trabajarán de forma individual, seguirán las indicaciones dadas por el profesor, realizarán las construcciones que éste les solicite, para lo cual será indispensable que se utilice el recurso del cañón proyector como guía para los estudiantes. Posteriormente cuando se pasa a la etapa de tratar de argumentar los criterios o condiciones solicitadas en la actividad y las posibles conjeturas surgidas con la interacción entre estudiante-software-profesor, los estudiantes trabajarán en parejas; se espera que el intercambio de ideas les permita justificar las conjeturas que posiblemente fueron planteadas en la etapa inicial. Se dispondrá de una sesión de dos horas para el trabajo propuesto.

4. Proceso Inquisitivo

Durante la ejecución de la tarea de aprendizaje por parte de los estudiantes, el profesor debe tener especial cuidado en hacer preguntas relevantes que motiven a los estudiantes a trabajar en los aspectos propios de la actividad, a tratar de justificar sus observaciones, a comunicar sus ideas y resultados. Parte de este proceso inquisitivo está destinado además, a mantener el nivel de demanda cognitiva de la tarea, las preguntas que el profesor realice no deben ayudar de más al estudiante, pero deben ser enunciadas para que lo guíen en su trabajo y le permita encontrar las conexiones propuestas en la actividad, siempre enmarcados en el objetivo de aprendizaje. A continuación, se describe la guía de aplicación de la tarea de aprendizaje que se diseñó, se especifican las preguntas que en cada etapa de la tarea el profesor debe plantear y las posibles rutas que se espera que el estudiante siga orientado por dichas preguntas. (Campos, 2010)

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Función del instructor. Su función fue guiar al estudiante: (a) en la ejecución de la tarea desde el punto de vista puramente matemático, mediante la formulación de preguntas que lo orientaran en la línea de la ruta hipotética de instrucción que había planeado y, (b) apoyarlo en la problematización de la tarea, con la finalidad de que obtuviera una visión de las matemáticas como un modo de pensar crítico. El docente promovió entre los estudiantes el desarrollo de una actitud inquisitiva, entendiéndose por esto a la formulación sistemática de preguntas encaminadas a entender y proponer soluciones a un problema o tarea (Barrera, 2008). Configuración del escenario para desarrollar la actividad

El escenario donde se implementó la actividad de aprendizaje fue un laboratorio de cómputo que contaba con un pizarrón, cañón y pantalla para realizar la proyección; así como de infraestructura (iluminación, ventilación, mobiliario) para la realización de la tarea. El laboratorio de cómputo contaba con una computadora de escritorio por cada estudiante, la cual disponía de acceso a Internet y con el software Cabri-Geometry. Por otra parte, el equipo de investigación utilizó dos cámaras de video y una cámara fotográfica, para obtener evidencia de los diferentes momentos del desarrollo de la tarea de instrucción (Figura 3.2). El instructor utilizó una computadora portátil y un cañón para proyectar y ejemplificar casos particulares de la tarea a los estudiantes. En una primera etapa los estudiantes trabajaron en forma individual con el fin de que se familiarizaran con los comandos básicos del software de geometría dinámica Cabri-Geometry, para la cual se diseño como parte de la tarea una sección denominada “preámbulo”. En una segunda etapa, se trabajó en grupos de dos (aunque hubo algunos equipos de tres estudiantes), con la finalidad de que compararan y analizaran sus conjeturas realizadas en la primera etapa y así formular nuevas conjeturas con argumentos que justificaran la posible solución del problema y comunicarlos a sus compañeros; es decir, que tuviera lugar un proceso de interacción social que aportara elementos para resolver la tarea y justificar los procedimientos utilizados. Los estudiantes eligieron la computadora que fue de su agrado para el trabajo individual, y después se pidió que trabajaran en parejas; con el fin de formular conjeturas en relación con la actividad. En este contexto, el NCTM (2000) resalta la importancia de considerar en la instrucción diferentes escenarios de aprendizaje, donde los estudiantes tengan la oportunidad de combinar el trabajo colectivo, ya sea en pequeños grupos o en la clase completa, como el individual, donde aprendan a exponer y defender sus ideas que utilizaron en sus intentos por resolver el problema. Para ello, la participación del profesor como guía en momentos precisos fue fundamental, contribuyendo a que los estudiantes avanzaran en el proceso de resolución de los problemas propuestos.

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Figura 3.2. Espacio de trabajo y organización de las herramientas durante el desarrollo de la actividad.

Pizarrón

Cañón

P

A

S

I

L

L

O

P

A

S

I

L

L

O

P A S I L L O

Cámara fotografía (móvil) Artefacto –

Instrumento

Cámara de

video

(móvil)

Cámara de

video (móvil)

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La sesión de trabajo se grabó en video, incluyendo escenas de la actividad del profesor, como de los estudiantes. Asimismo, los investigadores que acudieron a la sesión como observadores tomaron notas de campo durante el desarrollo de misma y al final de la realización didáctica (implementación de la actividad).

3.4. TÉCNICA DE RECOLECCIÓN DE LA INFORMACIÓN: OBSERVACIÓN NO PARTICIPANTE

La técnica de observación proporciona al investigador la oportunidad de conocer el desarrollo de un fenómeno de forma directa y determinar el modo en que el contexto influye sobre las características de la situación. También permite dar cuenta de cosas que de otra forma podrían omitirse de forma inconsciente o de las cuales los involucrados en el fenómeno podrían no hablar libremente en una entrevista. Los datos recolectados mediante esta técnica pueden utilizarse para obtener una visión de la complejidad fenomenológica del “mundo” de los participantes, así como de la forma en que interaccionan las variables de interés, y conocer sus conexiones, correlaciones y causas (Cohen, Manion y Morrison, 2004). Durante el proceso de recolección de datos se utilizó la técnica de observación no participante, ya que el investigador no participó de manera activa dentro del grupo que se observó, y sólo se limitó a grabar y tomar notas sin relacionarse con los estudiantes. Esta técnica fue de utilidad ya que el objetivo de la investigación es documentar cómo el software dinámico se puede transformar en un instrumento que ayude a los estudiantes a generar distintas representaciones que le permitan visualizar elementos esenciales alrededor de la solución, además de detectar en qué momento el estudiante se apropia de la herramienta y la utiliza en la resolución de la tarea de aprendizaje con el fin de ampliar algunos aspectos del pensar matemáticamente.

En el caso de este trabajo el utilizar esta técnica no causó inconvenientes porque las actividades se desarrollaron en un escenario en el que el instructor que trabajó con los estudiantes para desarrollar la actividad no fue alguno de los profesores de los cursos regulares, razón por la cual no hubo dificultades para que los estudiantes aceptarán la presencia de observadores no participantes.

3.5. INSTRUMENTOS DE RECOLECCIÓN DE DATOS Las fuentes de recolección de datos fueron la guía de la actividad, un cuestionario de salida y las grabaciones en video de la tarea, junto con notas de campo realizadas durante el proceso de observación. La guía de la actividad (ver apéndice A) tuvo la finalidad de presentar al estudiante la tarea de aprendizaje, la cual estaba formada por un “preámbulo” (objetivo: que el estudiante manipulará Cabri-Geometry, realizará construcciones de

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cuadriláteros para que observarán y analizarán su construcción, en forma individual) y la actividad central la cual consistió en que los estudiantes establecieran un criterio para determinar las condiciones para que un mecanismo de cuatro barras cumpla con la condición de ser un mecanismo de Grashof. El proceso de elaboración de las notas de campo contó con las siguientes características: (i) Las notas se registraron tan rápido como fue posible después de la observación, ya que la cantidad de información olvidada se incrementa de forma acelerada conforme pasa el tiempo.

(ii) Se llevó a cabo un proceso de reflexión posterior a la escritura de las notas.

(iii) Las notas que se realizaron durante el desarrollo de la actividad se escribieron en papel, mientras que las elaboradas posteriormente se escribieron directamente en el procesador de texto.

(iv) Las notas se escribieron de forma que se obtuviera una descripción de los sucesos que tuvieron lugar durante el proceso de observación. (Cohen, Manion y Morrison, 2004)

El cuestionario de salida (ver apéndice C), tuvo la finalidad de conocer las opiniones de los estudiantes para identificar dificultades durante el desarrollo de la tarea, si le había gustado la experiencia, etcétera. Lo anterior permitiría obtener información sobre sus concepciones y puntos de vista de la tarea de aprendizaje. Las transcripciones de las grabaciones en video fueron el elemento central para realizar el análisis de la información. Estas transcripciones se leyeron varias veces, hasta tener una idea clara de los elementos relevantes ocurridos durante la realización didáctica. Posteriormente se elaboraron categorías de análisis, las cuales sirvieron para codificar y resumir la información de las transcripciones. 3.6. UNIDAD DE ANÁLISIS Y PROCEDIMIENTO DE ANÁLISIS La unidad de análisis en esta investigación es el grupo aunque en ocasiones se centra la atención en algunos estudiantes de forma individual o en los pequeños grupos que formaron los estudiantes, se busca conocer la forma en que se desarrolló el proceso de génesis instrumental considerando al grupo como una unidad estructural que incluye a los estudiantes, al instructor y al escenario en el que se desarrolla la tarea. Una vez que se tuvieron las transcripciones de los videos se establecieron categorías de análisis con el objetivo de resumir y analizar la información. Se elaboraron dos clases de categorías, las primeras tuvieron la finalidad de identificar las acciones de los estudiantes que correspondían a las dos fases fundamentales del proceso de génesis instrumental: (i) fase de instrumentalización-esquemas de uso, y (ii) fase de instrumentación-esquemas de acción instrumentada. Asimismo, se creó otro conjunto de categorías a través de la cual se identificaron los diferentes elementos cognitivos que mostraron los estudiantes durante su

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interacción con la tarea de aprendizaje. Las categorías fueron las siguientes: (iii) construcción de ejemplos, contraejemplos y uso de casos particulares, (iv) uso de heurísticas de resolución de problemas, (v) formulación de conjeturas, (vi) justificación de resultados. Adicionalmente a las categorías anteriores se incluyó un ítem adicional a través del cual se identificaron (vii) las acciones clave del docente que permitieron mantener el nivel de demanda cognitiva durante el desarrollo de la tarea. 3.7. CRITERIOS PARA EVALUAR EL DISEÑO DE LA INVESTIGACIÓN De acuerdo con Yin (2003) la calidad del diseño de una investigación puede evaluarse con base en cuatro indicadores:

1. Validez de constructo. Se consigue a través de la utilización de diversas fuentes de evidencia y el establecimiento de cadenas de evidencia durante el proceso de recolección de datos.

2. Validez externa. Se consigue en la fase de análisis mediante el apareamiento de patrones, la construcción de explicaciones y el contraste de explicaciones rivales.

3. Validez interna. Se consigue durante la fase de diseño, al utilizar un marco teórico que sustente los resultados, explicaciones e interpretaciones del fenómeno.

4. Confiabilidad. Se obtiene durante la fase de recolección de datos, mediante la utilización de un protocolo de estudio de caso, el cual es de utilidad para mostrar que las operaciones del estudio (tales como la recolección de datos) puede repetirse con “los mismos” resultados.

En el caso de esta investigación, el elemento de la validez de constructo se cumplió al contar con diversas fuentes de evidencia, como son las videograbaciones, los registros escritos de los estudiantes, las notas de campo realizadas por los investigadores así como el cuestionario de salida. Todas esas fuentes de información fueron de utilidad para documentar el proceso de génesis instrumental que tuvo lugar durante el proceso de implementación de la tarea de aprendizaje. La validez externa se satisfizo al establecer una conexión entre las categorías que se elaboraron con base en las especificaciones derivadas de la teoría, con aquellas observadas durante el proceso de análisis de la información. El proceso de interpretación se basó fuertemente en el aparato teórico considerado en el capítulo donde se explica el marco conceptual, con lo cual también se satisface el criterio de validez interna. El requerimiento de confiabilidad se alcanzó en la medida que el la metodología del trabajo se especifican con detalle las condiciones bajo las cuales se llevó a cabo el proceso de recolección de datos, con la finalidad de que un investigador interesado pueda replicar, en cierta medida, la actividad desarrollada y comparar los resultados que él obtenga, con los de la presente investigación.

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CAPÍTULO 4

RESULTADOS

4.1. INTRODUCCIÓN

En este capítulo se presentan los resultados derivados del análisis de los datos obtenidos durante la fase de trabajo de campo. Como se mencionó en el capítulo anterior, una vez que se tuvieron las transcripciones de los videos se establecieron categorías de análisis con el objetivo de resumir y analizar la información. En una primera parte de este primer capítulo se lleva a cabo una descripción del caso (Yin, 2003), en la cual se cubren un rango de aspectos fundamentales para la comprensión del proceso de génesis instrumental, con base en sus dos componentes, los procesos de instrumentalización y de instrumentación. Posteriormente, se analiza la categorización de los datos.

4.2. POTENCIALIZADES Y RESTRICCIONES DEL ARTEFACTO

Es un software dinámico es una herramienta que permite construir puntos, segmentos, rectas, circunferencias, rectas paralelas y perpendiculares; con base en las cuales se pueden realizar construcciones similares a las que se llevan a cabo con regla y compás; además cuenta con la capacidad de realizar transformaciones geométricas, trazar cónicas, realizar mediciones de longitudes y áreas, así como trazar lugares geométricos. Sin embargo, una de las características fundamentales de este programa es que es posible manipular y transformar las figuras o construcciones una vez elaboradas, y de esta manera contar con una familia de figuras o construcciones que permiten explorar sus propiedades y determinar relaciones e invariantes, ya que cuando se desplazan los objetos por la pantalla, las figuras y construcciones conservan las propiedades con base en las cuales fueron construidas.

La principal ventaja que ofrece este ambiente virtual es que brinda a los estudiantes oportunidades para crear situaciones matemáticas problemáticas que pueden ayudarlos a desarrollar habilidades o nuevos conocimiento. Así, específicamente entre sus potencialidades se destaca que:

- Admite construir y explorar objetos geométricos de forma interactiva como puntos, rectas, triángulos, polígonos, círculos y otros.

- Permite ampliar, reducir, trasladar y girar los objetos geométricos respecto a un centro o a un punto específico.

- Posibilita construir objetos simétricos.

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- Permite construir cónicas.

- Dispone de sistemas de coordenadas cartesianas y polares.

- Cuenta con una herramienta que proporciona las ecuaciones de objetos geométricos, siempre y cuando estas sean curvas de grado menor o igual a cuatro.

- Dispone de una herramienta para ocultar objetos que se usan en las construcciones para una mejor organización de las representaciones en la pantalla.

- Permite al usuario guardar dibujos.

- Traza lugares geométricos de puntos y rectas.

En resumen, Cabri Geometry y, en general, un software de geometría dinámica constituye un entorno interactivo que puede utilizarse como ambiente de trabajo, en lugar del papel, regla y compás, ofreciendo numerosas posibilidades de desarrollar aproximaciones dinámicas al desplazar, modificar y medir, favoreciendo con ello el proceso de formulación de conjeturas, la exploración y búsqueda de relaciones y dependencias entre objetos geométricos, etcétera.

Algunas desventajas de este software en particular es que está orientado esencialmente al ámbito geométrico, a diferencia de otro software similar como GeoGebra, el cual integra elementos geométricos y algebraicos en un solo sistema.

4.3 FASE DE INSTRUMENTALIZACIÓN

En el proceso de la instrumentalización, el estudiante se adapta al artefacto, se apropia de sus propiedades iniciales, es decir el estudiante conoce sus bondades, y potencialidades. Esta fase es sumamente importante, porque el nivel de logro que obtenga el estudiante en la fase de instrumentación, estará condicionada con el nivel de manejo operativo y funcional que se haga del artefacto.

La implementación de la actividad dio inicio con la presentación de la herramienta a utilizar para el desarrollo de la tarea (Cabri-geometry). Los estudiantes empezaron por resolver las actividades presentadas en la guía; en la primera de ellas tenían que construir un cuadrilátero con lados 5, 7, 8 y 13 cm.: los estudiantes presentaron diversas dificultades para llevar a cabo la construcción, esto se debió a que la mayoría de ellos no habían trabajado con este tipo de software.

Cabe señalar, que la función del instructor aquí fue fundamental, ya que debido a las dificultades que presentaban los estudiantes tomo la decisión de ilustrar con un ejemplo la funcionalidad de diversos comandos del software.

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Después de construir un ejemplo, se pidió a los estudiante, nuevamente, que construyeran un cuadrilátero con lados 5, 7, 8 y 13 cm., ahora los estudiantes presentan las siguientes problemas al utilizar el software, por ejemplo: trazaban un segmento y obtenían su medida (con el comando distancia o longitud), tomaban alguno de sus extremos y lo hacían largo o corto hasta que obtuvieran la medida requerida, otros más, escribían el número en la pantalla, lo seleccionaban y con el comando compás trazaban la circunferencia y después con segmento; seleccionando del centro a cualquier punto de la circunferencia, con lo que obtenían un segmento del tamaño requerido, sin embargo no conectaban correctamente los extremos de los segmentos, lo que provocó que el cuadrilátero no fuera rígido; es decir, que algunos de sus lados cambiaran de longitud.

En este momento de la actividad los estudiantes empezaron por mostrar interés por el problema, ya que iniciaron a cuestionar al instructor sobre las funciones de ciertos comandos. Por otro lado, hubo algunos estudiantes que no tuvieron dificultades al utilizar la herramienta y realizaron adecuadamente la construcción de los cuadriláteros solicitados.

Debido a ello, el profesor les indica pasar a la siguiente fase de la actividad; donde tenían que construir un cuadrilátero con medidas de 2, 3, 4 y 11. Aquí los estudiantes no presentaron tantas dificultades para realizar la construcción pero algunos de ellos aún no lograban identificar ciertos comandos y sobre todo a utilizarlos adecuadamente, por ejemplo: trazaban un segmento y arrastraban uno de sus extremos hasta obtener la medida indicada y después, tomando como centro alguno de los extremos del segmento e interceptando con el otro, trazaban la circunferencia y así hasta construir el cuadrilátero, otros estudiantes trazaban todas las circunferencias con las medidas indicadas y después las arrastraban hasta lograr que se intersecaran en un punto de forma visual(es decir, las intersecciones las realizaban empíricamente, a simple vista) y así formar el cuadrilátero con las intersecciones de las circunferencias. Otros más, escribían un número que representaba la longitud del segmento, después seleccionaban la opción compás, trazaban la circunferencia con la medida indicada y después trazaban un segmento a partir del centro de la circunferencia pero no seleccionaban el límite de la circunferencia sino que trazaban el otro extremo fuera o dentro de ella y una vez trazado este segmento, trataban de arrastrar el extremo hasta lograr que visualmente se encontrara sobre la circunferencia. Cabe señalar, que aquí los estudiantes empezaron a formular conjeturas al construir adecuadamente lo indicado en la guía de actividad, como: la suma de tres de los lados de un cuadrilátero debe ser mayor que la cuarta para poder construir el cuadrilátero (apéndice D, líneas 211-214). Hasta este momento, los estudiantes identificaban el uso y utilidad de los siguientes comandos: segmento, compas, longitud, circunferencia y número.

A partir del desarrollo de las actividades del preámbulo (actividades anteriores) se logró que los estudiantes se familiarizaran con los comandos de Cabri, además el artefacto les ayudó a observar y conjeturar que características deben poseer cuatro segmentos para que a

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partir de ellos sea posible construir un cuadrilátero (apéndice D, líneas 211-214). Además, hay evidencia de que los estudiantes desarrollaron una actividad orientada a conocer las distintas funciones de los comandos de la herramienta, mientras trataban de resolver los problemas propuestos.

Para la actividad central se pidió a los estudiantes determinar las condiciones que debe satisfacer un cuadrilátero articulado para que este funcione como un mecanismo de Grashof.

En un inicio los estudiantes presentaron algunas dificultades para establecer conjeturas, ya que construían el cuadrilátero y como observaban que no cumplía con las condiciones para ser un mecanismo de Grashof lo borraban e iniciaban de nuevo con otra construcción, fue hasta que, con ayuda del profesor, los estudiantes manipularon la construcción (cambiando el valor de los números que determinaban las longitudes de los lados del cuadrilátero) y observaban las características de tales longitudes para que el cuadrilátero respectivo fuese de Grashof. Hay evidencia de que en esta actividad los estudiantes presentaron dificultades al construir cuadriláteros pero tuvieron la oportunidad de explorar diversas funciones que ofrece el artefacto (Cabri-geometry) tales como: animación, manipulación y construcción de familias de cuadriláteros. Por ejemplo, un par de estudiantes inician un intercambio de ideas al construir un cuadrilátero y observan que al darle movimiento éste se “truena”, es decir, no cumple con la condición para ser mecanismo de Grashof (apéndice D, líneas 274-283).

Un par de estudiantes construyeron un cuadrilátero con medidas establecidas por ellos y animaron la figura hasta encontrar medidas de los lados que hacían que el cuadrilátero funcionara como un mecanismo de Grashof, además formularon conjeturas acerca de cuál es el lado que deben de aminar o girar para que el cuadrilátero no se “truene”. También empezaron a utilizar los nombres que se asignan a las barras que conforman al cuadrilátero articulado (apéndice D, líneas 678-750)

Por lo anterior, la guía de actividad, contaba con características que permitieran llevar a los estudiantes a construir un mecanismo de cuatro barras articuladas y llegaran a la solución del problema y además fomentaría el trabajo en equipo, así, para entender más acerca de la actividad principal, se manejan 3 casos particulares con el fin de que los estudiantes observen por qué algunos cuadriláteros trabajan como mecanismos de 4 barras articuladas tipo Grashof y otros no.

Para el primer caso particular se pidió a los estudiante construir un mecanismo de 4 barras articuladas, en el cual, las cuatro barras tuvieran la misma longitud. Para el desarrollo de esta actividad algunos estudiantes todavía presentaron dificultades para poder realizar la construcción, debido a que aún se encontraban explorando la funcionalidad de los comandos en Cabri que les permitiera construir lo indicado, es importante mencionar que el

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trabajo en equipo facilitó la resolución de la construcción. Por ejemplo; un par de estudiantes realizaron la construcción del cuadrilátero de 4 barras iguales utilizando el comando círculo, argumentando que como se trataba de una figura de lados iguales, los radios de la circunferencia servirían como lados del cuadrilátero, otros más durante con el uso del artefacto intentaban justificar sus respuestas, realizando animaciones de diferentes cuadriláteros con lados iguales (apéndice D, líneas 615-676).

Por otro lado, hubo algunos estudiantes que presentaron dificultades para su construcción, debido principalmente a que como se trataba de lados iguales, trazaban dos circunferencias con la herramienta compás en el mismo segmento, esto es, porque no observaban que una misma circunferencia arrojaba dos lados del cuadrilátero.

En este caso en particular, hay evidencia de que una gran parte de estudiantes utilizaban el comando número para realizar la construcción, porque de acuerdo con los estudiantes era más fácil trabajar con números enteros y así manipular la medida del cuadrilátero. Otros estudiantes, utilizaban la herramienta segmento para realizar la construcción del cuadrilátero pero trazaban 4 segmentos, sin observar que con un solo segmento se podía realizar la construcción (por ser un cuadrilátero de lados iguales).

En resumen, el software dinámico puede ayudar a los estudiantes a formular diversos acercamientos a la solución de la actividad de aprendizaje, además hay evidencia de que la formación de grupos pequeños fue importante para que los estudiantes propusieran y refinaran las representaciones de la tarea. Por ejemplo, un par de estudiantes empiezan a formular conjeturas de que medidas deben ser los lados del cuadrilátero para ser mecanismo de Grashof (apéndice D, líneas 615-675).

Para el segundo caso particular, un par de estudiantes intentaron resolver la actividad con lápiz y papel, sin obtener ningún éxito, ellos mencionaban que se podría resolver utilizando el teorema de Pitágoras y sobre todo simulaban movimientos de las barras con el lápiz (haciendo circunferencias), lo importante de esto fue que ellos solos se dieron cuenta que el uso del software dinámico puede facilitar las construcciones o representaciones de situaciones problema que ayuden a analizar la tarea y a brindar posibles soluciones. En un inicio el par de estudiantes mencionaban que el software no realizaba correctamente lo que ellos le indicaban, argumentando que de acuerdo con su “imaginación” el software no funcionaba (apéndice D, líneas 469-518).

Por otro lado, en un dialogo entre estudiantes se observa como la manipulación y movimiento de las diferentes construcciones ayuda al estudiante a formular conjeturas y a tratar de presentar justificaciones de las características que deben cumplir los cuadriláteros para ser de tipo Grashof (apéndice D, líneas 367-376).

En este contexto, hubo estudiantes que no presentaron dificultades para construir los cuadriláteros indicados, esto se debió principalmente a que hacían un uso adecuado de los

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diferentes comandos, por ejemplo, para el caso donde el cuadrilátero tiene 2 pares de lados iguales utilizan correctamente los comandos para su construcción, como son: número, compas, segmento, longitud o medida, ocultar, entre otros.

Es importante mencionar que en esta fase de la actividad aun había estudiantes que construían las barras del cuadrilátero de forma que las mismas cambiaban de longitud, debido a que al realizar la construcción no colocan correctamente los puntos de intersección de las circunferencias, es decir, lo realizan arrastrando los extremos de los segmentos hasta lograr que se intersecaran visualmente. Así, un error recurrente fue realizar las construcciones basadas en la percepción visual, con lo cual sucede que los puntos no pertenecen a los objetos geométricos como una esperaría o las intersecciones no son realmente tales.

Hay evidencia de que en esta etapa de la realización didáctica, los estudiantes no solo reconocían de forma adecuada la funcionalidad de diversos comandos sino que también los utilizaban adecuadamente para abordar las tareas indicadas, además de que se observó que les permitió desarrollar algunos aspectos del pensar matemáticamente como: formulación de conjeturas y construcción de ejemplos (apéndice D, líneas 522-529).

En el último caso, aquí los estudiantes empiezan a utilizar adecuadamente los diferentes comandos, además a los estudiantes se les facilita la construcción de los cuadriláteros si se les proporcionan las medidas de sus lados, incluso hay estudiantes que relatan cómo fueron realizando la construcción del cuadrilátero.

Al concluir los tres casos particulares, los estudiantes ya conocían y además utilizaban correctamente los siguientes comandos: segmento, número, longitud o medida, compas, circunferencia, animación, ocultar/mostrar, nombrar, texto, entre otros.

Además no solo construyen un solo ejemplo sino que construyen distintos ejemplos en diferentes hojas para observar con más detalle qué condiciones debe cumplir el cuadrilátero para ser un mecanismo de Grashof. Con la construcción de diferentes ejemplos se logro que los estudiantes formularan conjeturas, trataran de argumentar geométricamente porque sucedía o se daban tales movimientos.

Cabe señalar que existen dificultades por parte de los estudiantes para entender la filosofía de las construcciones en el software dinámico, es decir que las construcciones en el software deben realizarse a partir de las propiedades que se espera que posean los objetos o las configuraciones geométricas.

Es importante mencionar que el trabajo en equipo fue un elemento primordial para que los estudiantes buscaran, compararan y justificaran conjeturas de las diferentes representaciones del problema. También, el apoyo del profesor fue un elemento fundamental para que el estudiante adquiriera conocimiento y dominio de las

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funcionalidades de los diversos comandos del software. Un elemento didáctico implementado por el profesor para que los estudiantes entendieran la forma en cómo se realizan las construcciones en el software dinámico fue hacer una analogía de cómo se realizarían las construcciones si se contara con un compás físico.

4.4. FASE DE INSTRUMENTACIÓN

La instrumentación consiste en el desarrollo y apropiación de los esquemas de acción instrumentada los cuales permitirán al estudiante desarrollar formas novedosas de trabajo y de pensamiento, las cuales no serían posibles sin el uso de la herramienta. El logro en esta etapa, está condicionado por el nivel de manejo operativo y funcional que el estudiante haya obtenido en la fase de instrumentalización. En otras palabras, la instrumentación es una idea, una construcción que el estudiante realiza con la herramienta y lo lleva a desarrollar y entender la tarea matemática.

De acuerdo con los datos, la mayoría de los estudiantes se apropiaron del software dinámico y lo utilizaron para formular conjeturas y tratar de presentar justificaciones a partir de los datos observados en las distintas representaciones realizadas en Cabri-Geometry, además de la adquisición y manipulación de los comandos. Esta etapa se logro cuando un grupo de estudiantes desarrolló y construyó adecuadamente un cuadrilátero que cumpliera con las características para ser un mecanismo de Grashof, es decir hacen una manipulación adecuada de cada uno de los comandos hasta lograr construir un mecanismo de Grashof (apéndice D, líneas 574-613).

Por ejemplo; cuando el estudiante construye el cuadrilátero y además manipula sus dimensiones hasta lograr que este cumpla con las condiciones para ser un mecanismo de Grashof, esto le permite observar distintas representaciones que le ayuden a desarrollar diversos aspectos del pensamiento matemático como la formulación de conjeturas, heurísticas o aproximaciones, así como la búsqueda de relaciones y sobre todo tratar de justificar dichas conjeturas.

En esta etapa, los estudiantes conocen y utilizan adecuadamente los siguientes comandos: segmento, punto, puntos de intersección, circunferencia, compas, lugar, distancia o longitud, medida de ángulo, calculadora, nombrar, número, marcar un ángulo, animación. Así, un elemento que resultó relevante al momento de mantener orden y centrar la atención en los comandos principales en la resolución del problema fue el de ocultar mostrar.

En esta dirección, el uso de la herramienta medida fue esencialmente en dos formas diferenciadas, por un lado, se utilizó para tener control sobre las longitudes de los lados del cuadrilátero, lo cual permitió que los estudiantes experimentaran sobre las condiciones de las longitudes de los lados de forma que el cuadrilátero funcionara como un mecanismo de

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Grashof. Y por otro lado se utilizó como un elemento para verificar que las construcciones se habían realizado de forma apropiada, por ejemplo, para verificar que las longitudes de los lados del cuadrilátero permanecían fijas cuando se animaba el mecanismo.

Con esta fase se logro que los estudiantes identificaran algunas propiedades geométricas de los triángulos y cuadriláteros, que transitaran del pensamiento geométrico al aritmético y algebraico y sobre todo que incorporaran algunos recursos de la geometría analítica y trigonometría a la solución del problema de aprendizaje (apéndice D, líneas 814-859).

En esta dirección la guía del profesor fue fundamental para que los estudiantes desarrollaran técnicas de aprendizaje en la solución de la tarea de aprendizaje y así justificar matemáticamente sus distintas representaciones, además de ampliar diversos aspectos del pensar matemáticamente (apéndice D, líneas 412 – 451).

M = muy bien, […] entonces el cruce de estos dos últimos círculos aquí me da ya la construcción donde cierra el cuadrilátero y tengo el mecanismo que espero que sea de Grashof, déjenme ocultar esos círculos, hace rato alguien me decía, es que quiero hacer un cuadro y yo digo no estoy seguro que vaya hacer un cuadrado lo que si estoy seguro es que es cuadrilátero de 4 lados iguales de hecho, ustedes que dicen es cuadrado, tiene que ser cuadrado de hecho, A = no M = no tiene que ser cuadrado, muy bien, pudiera ser cuadrado pero ni si quiera me interesa que lo sea, lo que me interesa es que una barra, por ejemplo voy a tomar esta como manivela, me interesa que pueda dar giros completos, entonces vamos a ver si con el comando animación… ahí paso algo curioso verdad, como que las cuatro barras se juntan pero sigue girando A = puede ser algo proporcional M = sigue girando, sigue girando, que tipo de figura dirían ustedes que es, o sea aquí lo que estamos viendo es un familia de cuadriláteros con lados iguales, como clasificarían todos estos cuadriláteros que se van formando... que tipo de cuadriláteros son, nose si tengan alguna idea A = romboides M = que es un romboide A = No son paralelogramos M = a paralelogramos, a que te refieres con paralelogramo A = que los lados son paralelos

Por otro lado, el trabajo en equipo fue un importante elemento que ayudo a lograr que los estudiantes desarrollaran la etapa de instrumentación, así, se muestra como un estudiante le comunica y ayuda u otro a cómo utilizar los comandos de Cabri-Geometry para la construcción de un mecanismo de Grashof (apéndice D, líneas 586-600):

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E1 = no, borra todo eso, selecciona todo y bórralo, no, elimina ese punto para que no estorbe y el otro de allá, ahora pon tus 4 líneas E2 = así, E1 = ahora una larga, traza tus segmentos, toma ese segmento y con compás, ahora esa E2 = esta es la que esta fija no, E1 = si, ahora el circulo de ese, no... Bórralo E2 = tranquilo, este aquí y ahora este va acá E1 = no salió E2 = dale control “z”, y ahora traza el otro, el de arriba, ahora júntalo, ahí, de ahí a la intersección ahora el otro punto, ya E1 = ahora, ponle el resortito, uy se rompió, acórtala E2 = esta, no esa hay que hacerla más larga, acorta la otra, ahora trázalas, en las intersecciones de los círculos son los segmentos, entonces de ahí a la intersección y de ahí al otro punto E1 = ya esta E2 = ahora ocúltalos y ponle el resortito en ese punto, uy se rompió, acórtala y esa más grande, más, más, por ahí, ya esta E1 = ya funciono

Con el uso de la herramienta los estudiantes desarrollaron recursos y estrategias que les permitieron apropiarse de ella y transformarla en un instrumento que le ayudo para la construcción y resolución del problema. Hay evidencia que el uso de la tecnología y el trabajo en equipo son dos aspectos fundamentales para que los estudiantes desarrollen procesos como: identificar información, formular conjeturas, encontrar relaciones entre datos, resolver casos particulares y comunicar resultados, por ejemplo cuando los estudiantes animaban sus construcciones, con la finalidad de observar y analizarlas. Además, el uso de la herramienta permitió a los estudiantes desarrollar formas de pensamiento que no sería posible desarrollar únicamente a través de medios como el papel y el lápiz, ya que es difícil que una vez trazado un cuadrilátero en un medio estático, el estudiante tuviera elementos imaginativos suficientes para determinar si el mecanismo contaba con la propiedad de ser de Grashof. Por lo que en una aproximación tradicional, el profesor tendría que enunciar el criterio de Grashof y el estudiante tendría que creerlo, debido a la autoridad del profesor y no por estar convencido que la regularidad establecida por el criterio es válida, como ocurrió en el caso de esta actividad en donde los estudiantes desarrollaron un profundo entendimiento matemático.

En resumen, hay evidencia que en este trabajo con el uso de Cabri-Geometry se dio el proceso de génesis instrumental, logrando una relación entre la herramienta y el estudiante para la solución de la tarea de aprendizaje, es decir una integración de las características de la herramienta en la estructura cognitiva del estudiante y además se observaron las etapas (instrumentalización – instrumentación) por las que fue pasando el estudiante hasta lograr la apropiación del artefacto.

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4.5. TIPO DE ESQUEMAS Y ASPECTOS DEL PENSAMIENTO MATEMÁTICO QUE EMERGIERON DURANTE EL DESARROLLO DE LA TAREA

Esquemas de uso. Aquí el estudiante hace reconocimiento y uso de comandos como: compás, deshacer la última acción, número, segmento para realizar la construcción del cuadrilátero. (Apéndice D, líneas 55 – 89, figura 4.1)

Figura 4.1. Esquemas de uso.

Formulación de conjeturas. Aquí el estudiante formula su primera conjetura al construir cuadriláteros, ya que al realizar la construcción del cuadrilátero de lados 2, 3, 4 y 11, formula que cuando no se puedan intersecar las dos últimas circunferencias solo hay que mover los puntos hasta lograr su intersección. (Apéndice D, líneas 169 – 173).

Esquemas de uso, formulación de conjeturas. Aquí la herramienta fue fundamental para el estudiante, porque le permitió manipular la construcción, es decir mover los puntos (segmentos) para poder manifestar que no se puede construir un cuadrilátero de lados 2, 3, 4 y 11, formulando que la suma de los 3 lados no llega a ser la otra. (Apéndice D, líneas 177 – 185, figura 4.42).

Figura 4.2. Esquemas de uso y formulación de conjeturas

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Formulación de conjeturas. Con la ayuda de la herramienta el estudiante manifiesta que para poder decidir si la construcción de un cuadrilátero es posible o no, la suma de tres de sus longitudes, debe ser mayor que la del cuarto lado, porque si fuera igual quedaría sobre puesta, entonces sería un línea recta, entonces la suma de 3 lados deber ser mayor a la del cuarto. (Apéndice D, líneas 212 – 215).

Construcción de ejemplos. El estudiante construye un cuadrilátero inventando las medidas, la herramienta le permitió observar en un inicio que el cuadrilátero era un mecanismo de Grashof, pero después la misma herramienta le hace ver que hay una parte donde el mecanismo desaparece, lo cual la herramienta fue fundamental para dar una simulación del cuadrilátero y observar si cumplía con las características para ser un mecanismo de Grashof. (Apéndice D, líneas 274 – 284, figuras 4.3)

Figura 4.3. Construcción de ejemplos

Esquemas de uso. Aquí el estudiante hace reconocimiento y uso de comandos (compas y número) de la herramienta que le ayudan a realizar construcciones y sobre todo a conocer las funciones de la herramienta. (Apéndice D, líneas 293 – 299, figura 4.4)

Figura 4.4. Esquemas de uso

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Formulación de conjeturas. Un par de estudiantes formulan que para construir un mecanismo de Grashof el cuadrilátero debe tener dos lados iguales menores al mayor, argumentando que cuando los lados iguales estén uno atrás de otro el cuadrilátero no se truena. (Apéndice D, líneas 367 – 376)

Esquemas de uso, construcción de ejemplos y formulación de conjeturas. Un estudiante aborda al profesor investigador y hace uso adecuado de los diferentes comandos y construye un cuadrilátero con lados propuestos por él y sobre todo conjetura que características debe tener un cuadrilátero para que sea un mecanismo de Grashof. (Apéndice D, líneas 377 – 409, figura 4.5)

Figura 4.5. Esquemas de uso, construcción de ejemplos y formulación de conjeturas

Casos particulares, formulación de conjeturas. Al realizar la construcción del caso particular donde todos los lados del cuadrilátero son iguales, los estudiantes observan con ayuda de la herramienta que se forma una familia de cuadriláteros son lados iguales y formulando que el tipo de cuadriláteros formados son paralelogramos porque los pares de lados son paralelos. (Apéndice D, líneas 442 – 452, figura 4.6)

Figura 4.6. Casos particulares y formulación de conjeturas

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Esquemas de uso, formulación de conjeturas, construcción de ejemplos. Aquí el estudiante propone medidas de lados para la construcción de un cuadrilátero que funcione como mecanismo de Grashof, las medidas propuestas son 2, 3, 4 y 9, esta última longitud argumentaron va a permitir que el mecanismo no se rompa porque 2+3+4=9, es decir estas tres juntas dan 9 por lo tanto va a dar giros completos, después manifestaron que la última longitud tendría que ser mayor, por lo que le asignaron el valor de 10, pero un estudiante argumento que ese mecanismo se iba a romper porque al momento que fueran colineales los tres lados con el más largo se rompería, cabe señalar que los estudiantes intentaron resolver este caso con lápiz y papel, sin obtener ningún éxito, ellos mencionaban que se podría resolver utilizando el teorema de Pitágoras y sobre todo simulaban movimientos de las barras con el lápiz (haciendo circunferencias), lo importante de esto fue que ellos solos se dieron cuenta que el uso del software dinámico puede facilitar las construcciones o representaciones de situaciones problema que ayuden a analizar la tarea de aprendizaje y a brindar posibles soluciones. (Apéndice D, líneas 469 – 519, figura 4.7).

Figura 4.7. Esquemas de uso, formulación de conjeturas y construcción de ejemplos

Formulación de conjeturas y construcción de ejemplos. Un par de estudiantes construyen un cuadrilátero con ciertas medidas y las manipulan cambiando los lados constantemente del cuadrilátero buscando que este no se “truene” para así crear un mecanismo de Grashof. (Apéndice D, líneas 522 – 529, figura 4.8)

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Figura 4.8. Formulación de conjeturas y construcción de ejemplos

Esquemas de uso. Un estudiante construye el cuadrilátero de la actividad, específicamente el caso I y lo realiza utilizando adecuadamente los diferentes comandos del software como: segmento, compás, animación. (Apéndice D, líneas 531 – 572)

Esquemas de acción instrumentada, formulación de conjeturas, justificación de resultados. Aquí los estudiantes hacen uso adecuado de cada uno de los comandos de la herramienta, llegando a la construcción correcta de un cuadrilátero que funcione como mecanismo de Grashof, hacen mención de comandos como: control Z, compas, segmento, animación, etc., y los utilizan eficazmente para llegar a la solución del problema y formular las consideraciones existentes para construir un mecanismo de Grashof, así, se apropiaron de la herramienta y la transformaron en un instrumento que les ayudo para la construcción y solución de la actividad, además el trabajo en equipo fue un aspecto fundamental para que los estudiantes desarrollaran procesos como: identificar información, formulación de conjeturas, encontrara relaciones entre datos, resolver casos particulares y comunicar y justificar resultados. (Apéndice D, líneas 574 – 613)

Formulación de conjeturas, justificación de resultados. Hay evidencia que estas líneas los estudiantes formularon conjeturas acerca del caso en donde todos los lados del cuadrilátero son iguales, hacen uso de las herramientas que ofrece el software, además con el software intentaron justificar sus respuestas, realizando animaciones de diferentes cuadriláteros con lados iguales, sin esperar a que el profesor les ayudará, sino al contrario en todo momento intentaron encontrar respuestas a sus conjeturas con ayuda del software. (Apéndice D, líneas 615 – 676, figura 4.9)

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Figura 4.9. Formulación de conjeturas y justificación de resultados

Esquemas de uso, construcción de ejemplos y formulación de conjeturas. Un par de estudiantes construyen un cuadrilátero con medidas establecidas por ellos y animan la figura hasta encontrar medidas de los lados que cumplan con el mecanismo de Grashof, además formulan conjeturas acerca de cuál es el lado que deben de aminar o girar para que el cuadrilátero no se truene. También empiezan a utilizar los nombres adecuados que se les dan a las barras formadas por el cuadrilátero. (Apéndice D, líneas 678 – 750, figura 4.10)

Figura 4.10. Esquemas de uso, construicción de ejemplos y formulación de conjeturas

Esquemas de uso y construcción de ejemplos y formulación de conjeturas. Un par de estudiantes construyen un cuadrilátero con 4 lados iguales y concluyen que en este caso si es un mecanismo de Grashof. Uno de los estudiantes conjetura que entonces también un cuadrilátero con todos los lados diferentes también es un mecanismo de Grashof, entonces empiezan a debatir y a construir distintos cuadriláteros, pero uno de ellos menciona que el software no realiza correctamente los giros como él se los imagina, después de distintas construcciones, los estudiantes realizan sus conclusiones y se convencen del potencial del software dinámico. (Apéndice D, líneas 777 – 812)

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Esquemas de acción instrumentada, justificación de resultados. Una vez que los estudiantes resolvieron el problema con la ayuda del software, los estudiantes intentaron justificar sus resultados matemáticamente, así con el uso del software observaron que como es un cuadrilátero y trazan su diagonal forman dos triángulos, entonces se percataron que los ángulos eran importantes y que al utilizar la ley de cosenos podrían justificar sus resultados. (Apéndice D, líneas 814 – 859, figuras 4.11)

Figura 4.11. Esquemas de acción instrumentada

Figura 4.11. Justificación de resultados

En general la herramienta ayudo al estudiante a desarrollar recursos y estrategias que le permitieron primeramente reconocer las funciones del software para después apropiarse de ella y transformarla en un instrumento que les ayudara a encontrar la solución del problema, además de que fue fundamental para el establecimiento de acercamientos y condiciones para la construcción de cuadriláteros, también hay evidencia que el artefacto les ayudo a construir saberes matemáticos tratando de justificarlos haciendo distintas representaciones, así el software fue fundamental para que los estudiantes desarrollaran procesos de pensar matemáticamente como: identificar información, formular conjeturas, encontrar relaciones entre datos, resolver casos particulares y comunicar resultados.

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4.6. PAPEL DE LAS REPRESENTACIONES EJECUTABLES EN LA CONSTRUCCIÓN DEL CONOCIMIENTO

Un elemento importante dentro de las representaciones ejecutables y que fue fundamental en la construcción del conocimiento en los estudiantes durante la implementación de la tarea de aprendizaje es la manipulación y simulación de las distintas construcciones realizadas en el software dinámico, particularmente cuando el estudiante desplazaba o animaba las diferentes construcciones de cuadriláteros con la finalidad de observar que características debe de cumplir un cuadrilátero para ser mecanismo de Grashof. Así, con el movimiento de dichas figuras resultó fundamental para que los estudiantes eligieran algunos conocimientos previos (desigualdad del triángulo), por ejemplo cuando manifestaron que para construir un cuadrilátero, éste debe cumplir; que la suma de tres de sus lados debe ser mayor que la cuarta (Apéndice D, líneas 211 – 213).

A = bueno eso era parte de la pregunta, la segunda pregunta dice: ¿qué criterio puedes seguir para que dados los lados de un cuadrilátero, puedas decidir si su construcción es posible o no? Esto es porque si sumamos las longitudes de 3 de los lados, esta suma debe de ser mayor al cuarto lado

Además, de ampliar algunos aspectos del pensar matemáticamente como justificar sus resultados o conjeturas (Apéndice D, líneas 815 – 850)

A1 = si mira yo le puse a, b, c y d, uy en ese punto se van para allá, se disparan, no se ven muy raro, nada mas como que llegaría aquí de ahí se regresa A2 = y cuál es su diferencia ahí A1 = diferencias, 2, 2, son las mismas no, A2 = si funciona A1 = haber lo que le habías puesto anteriormente A2 = que la diferencia tenía que ser igual o menor A1 = igual o menor, aquí la diferencia entre el balancín y esta son iguales…. M = esto se ve interesante, que se te ocurrió ahí, A = una línea que uniera a estos dos vértices y para poder observar mejor lo de los ángulos M = a perfecto tu ya pensaste en dividirlo y formar 2 triángulos, o sea un cuadrilátero si trazas una diagonal A = va variando, es que por ejemplo aquí no está así la figura, pero cuando la suma de estos 2 lados y de estos dos lados es la misma, cuando esto va girando así, esta diagonal, digamos que esta es igual que esta, cuando esta de aquí forma un ángulo de 0 o de 180 grados con este, o sea esta de aquí va a quedar encimada, ahí es donde quedan sobre puestas M = muy bien esa es una muy buena idea…, bueno ver los ángulos es algo interesante, entonces en Cabri lo que no permite ver, es que cuando este ángulo de hace de 180° es cuando el mecanismo no podría funcionar o en su defecto es cuando las 4 barras se sobre ponen y entonces dicen sus compañeros, vamos a tratar de analizar qué pasa con ese ángulo, ellos proponen lo siguiente, ello proponen trazar una diagonal, obviamente cono esta diagonal como el cuadrilátero no esta estático, como el cuadrilátero se deforma, esta diagonal

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va cambiando de hecho dicen, llega un momento en que esa diagonal vale exactamente A + D o llega un momento en que esa diagonal vale A – D, puede ser y quieren encontrar relaciones de entre estos lados y este ángulo, bueno obviamente uno también piensa en este ángulo, que de hecho en términos prácticos este ángulo importante, hecho pueden pensar que este ángulo es un dato que les dan, por ejemplo el ángulo theta…, pensemos que este es el ángulo que nos interesa y que A, B, C y D y este ángulo son datos, que relaciones se les ocurre que pueden encontrar con los datos, con esos 4 lados y este ángulo para tratar de involucrar a este y vean aquí que ya se les ocurrió la idea de trazar la diagonal, que aunque cambia, nose le podríamos llamar por ejemplo épsilon a esa diagonal, de entrada me dicen es que ya hay dos triángulos, que pueden hacer entonces para involucrar a la incógnita o al dato que queremos estudiar, tienen dos triángulos, tienen sus lados de hecho, digamos que los lados, épsilon varia, épsilon va a cambiando eso sí, A, B, C y D son datos fijos, teta varia pero podemos pensar que en momento particular que no lo dan como un dato de entrada, haber algo que se les ocurra algo que recuerden de sus cursos de matemáticas, fíjense tienen dos lados y tienen el ángulo entre ellos y pues acá hay un lado que no conocen muy bien, pero haber dos lados de un triángulo y el ángulo entre esos lados A = ley de cosenos

4.7. ORQUESTACIÓN INSTRUMENTAL Y SU RELACIÓN CON EL MANTENIMIENTO DEL NIVEL DE DEMANDA COGNITIVA

En espacio, el tiempo y la organización dentro del desarrollo de la actividad, son elementos que se consideran en la orquestación instrumental, además del trabajo individual y en grupo, estos últimos fueron fundamentales para desarrollar en los estudiantes un nivel de demanda cognitiva alta7, ya que la interacción entre pares ayudo a observar sus progresos por tratar de justificar matemáticamente sus distintas representaciones empleando sus redes conceptuales y conectándolas al nuevo conocimiento y así ampliar algunos elementos del pensar matemáticamente.

Por otro lado, la función del profesor durante la ejecución de la tarea por parte del estudiante es fundamental para mantener el nivel de demanda y así evitar que disminuya, ya que acciones como: ayudar a los estudiantes a ampliar algunos aspectos del pensar matemáticamente (identificar información y patrones, formular conjeturas…); preparar el espacio y escenario de instrucción para realizar la tarea; tratar de que relacionaran contenidos matemáticos distintos por medio de preguntas y sobre todo; prestar atención al trabajo desarrollado por el estudiante con el uso de la herramienta y ayudándoles a que formularan conjeturas y trataran de justificarlas matemáticamente, así como comunicarlas, permitieron que los estudiantes mantuvieran el nivel de demanda cognitiva.

7 El nivel de demanda cognitiva alta, es cuando se observa en el estudiante la realización de procedimientos con conexión y al hacer matemáticas (Stein, 2007)

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En esta dirección, el uso del software dinámico también fue un elemento importante para mantener el nivel de demanda, porque les ayudo a observar patrones que difícilmente con lápiz y papel el estudiante hubiese observado, a construir distintos tipos de representaciones y así formular conjeturas y justificarlas matemáticamente, a observar heurísticas y lo más importante que el estudiante se apropio de la herramienta transformándola en instrumento para la resolución de problemas.

Hay evidencia que la implementación de esta tarea de aprendizaje matemático se encuentra en tareas de alta demanda cognitiva, ya que los estudiantes se enfrentaron a una actividad que les demandó constante el uso de conocimientos previos, además de ir más allá de la utilización de un algoritmo y sobre todo a recurrir a diferentes construcciones que les permitió formularse conjeturas y validarlas matemáticamente.

A continuación se presenta un párrafo de la transcripción, donde se muestra como la demanda cognitiva se mantuvo durante la ejecución de la actividad (Apéndice D, líneas 470 – 519):

A1 = esta barra mide 2, 3 y 4, esta última longitud debe de sumarlas para que me den vueltas completas A2 = 2 + 3 + 4 = 9 A1 = exactamente, para que no se rompan, o sea esta la puedes hacer así de 9, entonces como esta al girar va a medir la dimensión de estas 3 juntas, no se va a romper A2 = no, no, hay un pequeño error que tienes, permíteme, porque si esta mide 9, créeme que tus 2 de aquí, tus 3, no van a llegar acá, aun si la haces de forma pitagórica, ok, tenemos estos dos, vamos a intentar hacerlo sin tantos transito, es más, este está recto, te parece bien, este tiene 16, entonces este es la hipotenusa entonces 4 x 4 son 16, 9 x 9 son 81, entonces esto va hacer lo que nos va a dar la otra longitud, 16 + 81 es 97, raíz de 97, A1 = no, no, por ejemplo si mueves este segmento A2 = para que sea método de Grashof, estas 3 longitudes debe ser mayor a esta, si da 10 jala, si este es 3, aquí ya da 10, 10 es mayor que 9 A1 = pero al momento que sean coplanares todos, se va a romper, porque este está más largo, mide más que este A2 = no porque por eso están los ángulos A1 = si, pero al momento que todos sean colineales, estos 3 van a medir este A2 = no tiene porque serlo, las ruedas de un ferrocarril A1 = no pero chécalo, tan solo ahí, A2 = ese es un ejemplo, yo había sacado el mismo, mira este su tránsito, ve como está el lugar como están las llantas, este el sistema, ves que esta esto así, ves que esto va dando vueltas y aun así se va moviendo todo el sistema, aquí si estos 3 lados son mayores que este, tienes la opción de que, de que cuando va a hacer esto, va a regresar, tal vez no se quede en lo que es la recta pero va a quedar arriba, o sea esto se va a bajar con una ángulo de inclinación A1 = entonces si esto mide lo mismo como te dije, este nada más se va a mover a acá, se va a estar moviendo así y no se va a romper, este es el que va a estar girando A2 = quieres que se gire o que se gire esto para que se junte con lo de acá

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A1 = este es el que va a girar, este va a dar A2 = hasta los 3 no, mira, este de 3, otro de 3, necesitamos uno de 4, pero este lo ponemos por acá y este de aquí debería de ser de 9 aproximadamente, este su movimiento va a ser a partir de este aproximadamente, ok A1 = cual va a girar, A2 = vamos a decir que gire este, cuando gira para acá, esta se desplaza hacia allá A1 = por eso pero al momento que esta, sea coplanar con esta A2 = no tiene porque serlo A1 = pero es que este va a girar, va a estar revolucionando, entonces al momento que este coincida con este, tienes que 3 y 4 son 7 y no va a alcanzar a dar una vuelta A2 = y no tenemos estos 3 de aquí, nos da 10 en total A1 = por eso, al momento que este sea coplanar con este, se tocara con este 3, este 3 no y 4 de este son 7 y estos son 9 se va a romper, A2 = así si, podemos cambiar esta por 5 A1 = por eso es lo que te estoy diciendo, esto A2 = tu aquí lo hiciste con 2, si trabajamos aquí con 5 A1 = acá 5 y 3 A2 = si a la hora de girar A1 = son 2 A2 = si, si estás bien, 5, 4 y 3, 9 A1 = ahí si no se va a romper A2 = y va a sobrar lo que es un espacio A1 = no va a ser exacto, porque si haces la suma, A2 = vamos a hacerlo, si esta correcto A1 = si o no lo que te decía A2 = yo lo entendí de otra forma, en particular A2 = acá mira, de la forma en que te digo, que gire esta o que gire esta, si esta gira, si esta barra gira la más pequeña, esta nada mas va a tener un movimiento de va i ven, cierto o no, incluso si esta grande gira, si se va a romper

En este trabajo se obtuvo evidencia de que tanto el uso de la tecnología así como las tareas no son suficientes para que los estudiantes construyan conocimiento, más bien se requiere de una interacción y estructuración de estos dos elementos (tareas y uso de la tecnología), mediados por la actividad que desarrolla el profesor en el aula para mantener el nivel de demanda cognitiva de las tareas.

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CAPÍTULO 5

DISCUSIÓN Y CONCLUSIONES

A continuación se presenta una discusión de los resultados obtenidos durante la aplicación de la tarea de aprendizaje que permitieron alcanzar los objetivos a través del desarrollo de la misma, por ello, se lleva a cabo una contrastación de los resultados de la realización didáctica con la ruta hipotética planteada en el diseño de la tarea. Lo anterior con la finalidad de responder a las preguntas de investigación planteadas. 5.1. CONTRASTE ENTRE LA TRAYECTORIA DE LOS ESTUDIANTES Y LA TRAYECTORIA HIPOTÉTICA En este apartado se contrasta con base en las observaciones de la realización didáctica y de la transcripción de la sesión, si los estudiantes siguieron la ruta supuesta o plantearon rutas alternas de solución. La ruta hipotética es una guía para el docente que le sirvió de apoyo para orientar al estudiante al desarrollo de algunos aspectos del pensar matemáticamente. En el preámbulo de la actividad diseñada se estableció un tiempo para efectuar las actividades, pero debido a las dificultades que presentaron los estudiantes para manipular el software, éste se prolongo, el ajuste que realizó el profesor instructor fue regresar a la explicación inicial y hacerlo de forma pausada, además les pidió a los estudiantes que siguieran paso a paso la construcción que ejemplificó para ellos. Así, el desarrollo continuo de acuerdo al diseño, los estudiantes enunciaron después de varias construcciones un criterio para saber en qué casos la construcción de un cuadrilátero es posible, dadas las longitudes de los lados. Al mismo tiempo, no se previó que un estudiante intentara adelantarse a la actividad central y buscará información en internet sobre los mecanismos de Grashof. En esta dirección, en el diseño de la tarea no se consideró, qué el ritmo de trabajo de los estudiantes fuera tan distinto y que mientras algunos realizaban las construcciones con rapidez, otros presentaban dificultades al utilizar correctamente los comandos del software, debido a ello, el profesor instructor decidió hacer pausas entre cada etapa de la tarea, ejemplificar construcciones en plenaria con ayuda del cañón proyector y trató de promover conclusiones grupales. Cabe señalar, que los estudiantes mostraron autonomía y disposición para trabajar en equipo al abordar la tarea de aprendizaje. En conclusión, la mayor parte de la ruta que siguieron los estudiantes durante la implementación de la tarea de aprendizaje empata con los supuestos hechos establecidos en el diseño de la actividad, excepto la fase final en la que no se llegó a justificaciones formales ni extensión de la actividad, esto se debió presumiblemente a que al inicio de la sesión tardaron mucho tiempo que no se contemplo para familiarizarse con el uso del software.

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Se llevaron demasiado tiempo en construir el primer cuadrilátero, en cuanto presentaron cierto dominio del software, intentaron sin problemas la segunda construcción y concluyeron que no era posible

Se inicia el reconocimiento de diversos comandos, por tanto el proceso de instrumentalización

El software fue fundamental para que lograran dar una justificación apoyados en el criterio de la desigualdad triangular

Los estudiantes interactúan con el software y empiezan a reconocer adecuadamente la funcionalidad de diversos comandos y los utilizaban en una forma que les permitió desarrollar algunos aspectos del pensar matemáticamente

El trabajo en equipo fue un elemento que ayudó a los estudiantes a avanzar hacia la fase de instrumentación

Algunos estudiantes iniciaron el proceso de apropiación del software y lo utilizaron para formular conjeturas y presentar justificaciones a partir de las representaciones realizadas en Cabri.

Por falta de tiempo no fue posible llegar a la extensión del problema, presumiblemente se debió a que al inicio de la sesión tardaron tiempo que no se contempló para familiarizarse con el uso de software

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5.2. RESPUESTA A LAS PREGUNTAS DE INVESTIGACIÓN 1. ¿Cuáles son las características de los procesos cognitivos que muestra un estudiante al utilizar un software dinámico como un instrumento de aprendizaje?

- Promueve el pensamiento reflexivo - Favorece las justificaciones en forma empírica y visual - Permite ligar representaciones - Permite la búsqueda de relaciones entre los elementos de las representaciones - Ayuda a formular conjeturas a partir de los datos observados en las construcciones - Favorece la generalización de casos particulares o ejemplos

La actividad presentada tuvo como objetivo general caracterizar el proceso de transformación de un software dinámico considerado como artefacto, en un instrumento, en un contexto de resolución de problemas. Este objetivo fue alcanzado, ya que los estudiantes se apropiaron del software dinámico y lo utilizaron para formular conjeturas a partir de los datos observados en las distintas representaciones realizadas en Cabri-Geometry, además de la adquisición y manipulación de los comandos. Así, con el uso de la herramienta, los estudiantes desarrollaron recursos y estrategias que le permitieron apropiarse de ella y transformarla en un instrumento que les ayudo para la construcción y resolución del problema (Apéndice D, líneas 574-613). Hay evidencia que el uso de la tecnología y el trabajo en equipo son dos aspectos fundamentales para que los estudiantes desarrollen procesos como: identificar información, formular conjeturas, encontrar relaciones entre datos, resolver casos particulares y comunicar resultados. En algún momento de la actividad, estudiantes intentaron resolverla con lápiz y papel, sin obtener ningún éxito, ellos mencionaban que se podría resolver utilizando el teorema de Pitágoras y sobre todo simulaban movimientos de las barras con el lápiz (haciendo circunferencias), lo importante de esto fue que ellos solos se dieron cuenta que el uso del software dinámico puede facilitar las construcciones o representaciones de situaciones problema que ayuden a analizar tareas de aprendizaje y a brindar posibles soluciones. La construcción de diferentes ejemplos fue un elemento fundamental que ayudo al estudiante a observar que medidas son convenientes en un cuadrilátero para ser tipo Grashof, esto permitió la manipulación de comandos y así el estudiante identificara y conociera las funciones de éstos (Apéndice D, líneas 367-376, 274-284). El uso de casos particulares permitió llevar/guiar a los estudiantes a que desarrollaran el proceso de génesis instrumental, empezando por desarrollar esquemas de uso que les permitiera conocer e identificar los distintos comandos de la herramienta y así culminar en

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esquemas de acción instrumentada que ayudarían a utilizar los comandos adecuadamente en la construcción de un cuadrilátero que cumpliera con las características para ser mecanismo de Grashof (Apéndice D, líneas 814-860). La justificación de resultados fue otro elemento importante que permitió observar si realmente los estudiantes además de resolver el problema con la ayuda del software eran capaces de fundamentar sus conjeturas en lápiz y papel matemáticamente (Apéndice D, líneas 814-859). Así, el uso del software dinámico en la resolución de problemas, permitió a los estudiantes desarrollar aspectos como: búsqueda de relaciones entre los elementos de las representaciones con el propósito de identificar la solución del problema; elaboración de conjeturas a partir de los datos observados en las diferentes representaciones realizadas con el software dinámico, en consecuencia generalizó los resultados a un caso general, además elaboró conexiones entre los resultados obtenidos. Además, permite a los estudiantes observar relaciones entre objetos matemáticos y formular conjeturas, por ejemplo, cuando se dieron cuenta que para que sea posible la construcción de un cuadrilátero, la suma de las longitudes de tres lados del cuadrilátero debe ser superior a la longitud del lado restante. 2. ¿Qué aspectos del pensamiento matemático se favorecen durante la resolución de problemas con el uso de las tecnologías digitales? Facilita:

- Identificación de información - Formulación de conjeturas - Encontrar relaciones entre datos - Resolver casos particulares y ejemplos - Generalización de resultados - Comunicar resultados - Justificación de resultados

Durante el preámbulo de la actividad, los estudiantes plasmaron sus opiniones acerca de cada una de las actividades, hay evidencia de que sus respuestas se debieron a que utilizaron el software dinámico, lo que les permitió formular conjeturas cuando ejecutaban la actividad con el uso del artefacto. Para validar sus conjeturas, los estudiantes realizaron diversas construcciones que ayudaron a manifestar un posible criterio para construcción de cuadriláteros. Además, se logró que durante estas actividades los estudiantes, que se familiarizaran con los comandos de Cabri, además el artefacto les ayudo a observar y conjeturar que

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características debe poseer un cuadrilátero para realizar su construcción y así dar pie al análisis de la actividad central; construcción de un mecanismo de Grashof. El software dinámico puede ayudar a los estudiantes a formular acercamientos a la posible solución de la actividad de aprendizaje, además hay evidencia de que la formación de grupos pequeños fue importante para que los estudiantes propusieran y refinaran las representaciones de la tarea. Hay evidencia que el uso de la tecnología en la resolución de problemas, permite a los estudiantes desarrollar conductas como: búsqueda de relaciones entre los elementos de las representaciones, con el propósito de identificar la solución de los problemas; elaboración de conjeturas a partir de los datos observados en las distintas representaciones realizadas con el uso de la herramienta, por ejemplo (Apéndice D, líneas 177-184): M = quien ya construyo el cuadrilátero de 2, 3, 4 y 11, ¿quién ya lo construyó? A = ¿cuál? M = el segundo cuadrilátero A = no se puede M = no se puede A = no cruzan, M = no cierra, pero hace rato, tampoco cerraba A = pero es que aquí la suma de los otros 3 lados, no llega a hacer la otra

También la generalización de los resultados a casos generales, a partir de la solución obtenida al trabajar con las herramientas tecnológicas; elaboración de conexiones entre los resultados obtenidos y otros contenidos matemáticos; y comprobación de los resultados obtenidos en un proceso de resolución matemático, por ejemplo: A = bueno eso era parte de la pregunta, la segunda pregunta dice: ¿qué criterio puedes seguir para que dados los lados de un cuadrilátero, puedas decidir si su construcción es posible o no? Esto es porque si sumamos las longitudes de 3 de los lados, esta suma debe de ser mayor al cuarto lado, porque si fuera igual quedarían sobre puestas, entonces sería una línea recta, entonces la suma de 3 debe ser mayor a la cuarta

Por otro lado, el trabajo en equipo fue un elemento fundamental para que los estudiantes buscaran, compararan y justificaran conjeturas de las diferentes representaciones del problema. En general, el desarrollo de esta actividad aporta datos que permiten sustentar que el auxilio de la tecnología puede resultar un instrumento poderoso para que lo estudiantes examinen situaciones y problemas desde diversos ángulos. 3. ¿Qué características de las tareas de aprendizaje y de las herramientas computacionales, propician que los estudiantes estructuren redes conceptuales robustas?

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- Deben de poseer diferentes formas de solución y varias soluciones - Actividades no rutinarias - Actividades planificadas - Tareas de aprendizaje que desarrollen un sentido matemático - Escenarios que cuenten con las herramientas disponibles para la ejecución de la

tarea - Herramientas dinámicas que permitan la manipulación de objetos

Coincidimos con Arcavi y Hadas (2000) en el sentido de que el uso de las nuevas tecnologías en el proceso de aprendizaje nos presenta el reto de proponer actividades de aprendizaje que aprovechen las ventajas de estas herramientas para sustentar nuevas formas de aprendizaje. En este trabajo, el diseño de una tarea relacionada con mecanismos articulados aprovechó las características dinámicas de Cabri para simular en tiempo real el movimiento de un mecanismo representado por un cuadrilátero. Con base en los datos se puede afirmar que la tarea es prometedora en un sentido educativo, ya que permitió a los estudiantes poner en juego y ampliar diversos elementos del pensamiento matemático. Asimismo, se considera que la actividad anterior permite hacer matemáticas en una nueva forma, que desde nuestra opinión permite desarrollar una actividad cognitiva compleja, a diferencia de las aproximaciones algorítmicas tradicionales, por ejemplo, al favorecer que los estudiantes desarrollen exploraciones que los conducen a formular sus propias conjeturas a partir de la visualización de relaciones e invariantes, al modificar dinámicamente una configuración geométrica; así como que los estudiantes se cuestionen de por qué ocurren los fenómenos, por ejemplo, porque si los lados de un cuadrilátero cumplen determinada condición, al animar la configuración el cuadrilátero se “truena”. De acuerdo con Barrera (2008) una actividad de aprendizaje debe considerar; un objetivo de aprendizaje, elementos matemáticos estructurados en torno al objetivo de aprendizaje, el escenario y un proceso inquisitivo. Estos elementos ayudaron a un mejor desenvolvimiento de los estudiantes durante la actividad, ya que el escenario y uso de la tecnología en sí; son elementos que pueden facilitar la formulación de conjeturas donde los estudiantes visualicen como es el comportamiento de las distintas representaciones construidas en Cabri-Geometry. Así, el uso de Cabri Geometry puede ayudar a la enseñanza de la geometría en aspectos, tales como: construcciones, visualización de algunos conceptos y propiedades. La implementación de la tecnología en el salón de clases exige al profesor planificar, cuidadosamente, las actividades con las que se va a trabajar y estar preparado para resultados inesperados. No siempre lo que el profesor pretende que hagan los estudiantes, realmente sucede. Los estudiantes podrían perderse durante el proceso de solución de un problema y centrarse en aspectos que no le aporten información relevante o provocar que se queden en una observación superficial de los resultados, sin dar una interpretación adecuada o elaborar exploraciones más profundas al problema.

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Además, la tarea de aprendizaje matemático se desarrollo un sentido matemático en los términos que Schoenfeld (1992) menciona, estos es, la tarea implementada permitió a los estudiantes desarrollar patrones y a comprender que las matemáticas van más allá de un conjunto de reglas y sean capaces de expresarse en un lenguaje matemático, en especifico, que el estudiante busque soluciones, no solamente memorizar procedimientos; explorar patrones, no solamente memorizar fórmulas y algoritmos; formular conjeturas, no solamente resolver ejercicios. En esta dirección, la tarea de aprendizaje matemático buscó promover en el estudiante un sentido de la matemática, sus procesos, contenidos y significados, que le permitan abordar problemas del mundo real. 5.3. ALGUNOS APORTES Una de las aportaciones que se pueden considerar dentro de esta investigación es la incorporación de elementos para el diseño de una tarea de aprendizaje. Así como, la importancia de observar y ayudar a nuestros estudiantes a utilizar adecuadamente los diferentes comandos del software dinámico. Otro aspecto relevante es la incorporación de la tecnología con la fundamentación de los marcos conceptuales mencionados anteriormente, ya que el uso de un software dinámico puede ser un elemento que ayude a los profesores al cumplimiento de los objetivos de aprendizaje propuestos. El surgimiento de diferente tipo de software para el aprendizaje de las matemáticas y su incorporación en el salón de clases, exige que sea el propio profesor de matemáticas quien introduzca conceptos de las matemáticas apoyándose en el uso de la computadora. La existencia de la computadora plantea a los educadores matemáticos el reto de diseñar actividades que tomen ventaja de aquellas características con potencial para apoyar nuevos caminos de aprendizaje. Dentro de las investigaciones ya existentes, este trabajo pudo incorporar aspectos fundamentales para la implementación de actividades donde se observe el proceso de “génesis instrumental”; por ejemplo, plantear la actividad de manera que vaya llevando al estudiante hasta la solución del problema, es decir, llevar una secuencia de actividades dentro del problema que vayan desarrollando los estudiantes; con el fin de que manipulen adecuadamente el software dinámico y reconozcan los comandos o funciones de la herramienta, así mismo como habilidades del pensar matemáticamente como: búsqueda y formulación de conjeturas, argumentación y comunicación de resultados y con ello llegar a que los estudiantes transformen y se apropien del artefacto y encontrar la solución de la actividad.

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Además, esta actividad conduce a una reflexión sobre la utilización del desarrollo del sentido numérico, del sentido algebraico y sobre todo permite que los estudiantes desarrollen un pensamiento geométrico. Existe evidencia de que el problema empleado era nuevo para los estudiantes. Fue claro que hubo un intento por utilizar eficazmente el software dinámico para tratar de entender el problema y seleccionar un plan de solución. Por ejemplo, quienes atacaron exitosamente el problema; reorganizaron la información y usaron de forma eficaz la tecnología, aquí se observó que la actividad formulada fue aplicada con éxito, ya que permitió ir llevando a los estudiantes hasta encontrar la solución, es decir, la elección de un preámbulo y el uso de casos particulares fue un factor fundamental que auxilio a los estudiantes a ir encontrando sentido a la tarea y sobre todo a apropiarse del artefacto hasta conseguir transformarlo en un instrumento que le permitiera conocer y manipular los diferentes comandos de la herramienta y así realizar representaciones adecuadas que le ayudaron a formalizar argumentos matemáticos que justificaran sus conjeturas formuladas. Durante la actividad de aprendizaje los estudiantes contestaron algunos cuestionamientos (ver apéndice F), la cual ratifico la importancia de integrar el uso de la tecnología en las aulas, ya que puede facilitar el aprendizaje y desarrollo de habilidades del pensar matemáticamente, es significativo hacer mención que esto no garantiza que los estudiantes las utilicen con éxito en la resolución de problemas, se debe hacer énfasis en la exploración que le permita ampliar los distintos elementos del pensar matemáticamente, de manera que una herramienta no solo la utilice para resolver cálculos o procedimientos que con lápiz y papel resultan aburridos para los estudiantes. 5.4. ALCANCES Y LIMITACIONES En la resolución de problemas se reconoce que pueden existir caminos distintos para promover el desarrollo del pensamiento matemático de los estudiantes; sin embargo, tanto los programas de investigación como las prácticas de instrucción coinciden en reconocer la relevancia de conceptualizar la disciplina en términos de dilemas o preguntas que los estudiantes necesitan responder y discutir en términos de recursos matemáticos. En este proceso, los estudiantes desarrollan un proceso inquisitivo que les ayude a reflexionar constantemente de manera profunda sobre las distintas maneras de representar y explorar las ideas matemáticas. Es decir, los estudiantes construyen, desarrollan, refinan, o transforman sus formas de comprender y resolver problemas como resultado de formular preguntas relevantes y responderlas con el uso de distintos medios (software), incluyendo las herramientas computacionales. En esta dirección, se sugiere que la actividad de aprendizaje planteada sea de interés al estudiante, contenga elementos como: objetivos (generales y particulares); precisando con

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detalle lo que se busca desarrollar en el estudiante, tomar en cuenta los conocimientos previos de los estudiantes y diseñar la actividad de acuerdo con su nivel de conocimientos, establecer el escenario adecuado con todos los recursos tecnológicos posibles (cámaras de video, computado por estudiante, micrófonos, cañón), también se sugiere que durante la actividad existan dos fases: en la primera que se trabaje en grupos de 2 o 3 estudiantes para que identifiquen posibles preguntas en torno a la configuración propuesta. En la segunda fase se sugieren discusiones en plenarias, con la finalidad de comparar y analizar las preguntas formuladas por cada una de los equipos y así formular y justificar una posible solución de la actividad de aprendizaje. Por otro lado, esta actividad, está planteada para estudiantes de nivel medio superior, que se encuentre cursando el tercer o cuarto semestre, en específico, está diseñada para estudiantes que posean conocimientos previos en: aritmética, álgebra y geometría analítica. Para la ejecución de la actividad de aprendizaje se sugieren dos sesiones de 2 horas, con el fin de que los estudiantes puedan llegar a una extensión del problema como se indica en la metodología, además, es fundamental que los estudiantes tengan una computadora por cada uno y si es posible una cámara que grave cada una de las representaciones que realiza el estudiante al utilizar el software, con la finalidad de observar más a detalle como el estudiante manipula y se apropia de la herramienta hasta transformarla en un instrumento que le permita solucionar el problema. En esta investigación, la función del profesor consiste en guiar al estudiante: en la realización de la tarea desde un punto de vista puramente matemático, ayudándolo a formular preguntas que lo orienten en una ruta de aprendizaje, estas preguntas deben tener como objetivo aportar elementos al desarrollo inquisitivo que orienten las rutas de aprendizaje, entendiéndose por esto, el desarrollo de la formulación sistemática de preguntas encaminadas a entender y proponer soluciones a la actividad. Durante la aplicación de la actividad se observo que los estudiantes mostraron interés y deseo por aprender a manipular el software dinámico y sobre todo hay evidencia de que el estudiante prefiere trabajar con el uso de la tecnología que de la forma tradicional, además mencionan que al utilizar la tecnología observan las diferentes representaciones y no solo las imaginan como siempre lo han hecho. También se identificó que el trabajo en equipo puede ayudar a los estudiantes a observar y analizar con más detalle las diferentes construcciones realizadas con el software, en consecuencia formulan conjeturas presentando mejores argumentos matemáticos. 5.5. IMPLICACIONES DIDÁCTICAS Resulta necesario que matemáticos, educadores y profesores trabajen conjuntamente en el diseño de planes y programas que realmente reflejen la esencia de lo que significa aprender la disciplina. En particular, lo que interesa es que los estudiantes desarrollen una forma de

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pensar y disposición hacia el estudio de las matemáticas donde exhiban distintas formas de representar fenómenos, identifiquen relaciones y patrones, formulen conjeturas, justifiquen y comuniquen resultados. De acuerdo con Santos (2008) es importante proponer un currículum en términos de secuencias de problemas donde se reflejen los aspectos inherentes que trasforman las asignaturas tradicionales en líneas de pensamiento numérico, algebraico, geométrico y estadístico, además los procesos de evaluación no deben separarse de las actividades de instrucción que se desarrollan en las clases; deben ser parte de las actividades cotidianas del salón de clases. La actividad propuesta en esta investigación, puede utilizarse primeramente para verificar y demostrar la desigualdad del triángulo (la suma de las longitudes de dos lados de un triángulo deber ser mayor que la longitud del tercer lado), así, el software dinámico puede facilitar la comprensión de este criterio, ya que los estudiantes podrían observar y analizar: un triángulo construido con regla y compás con ayuda del software, en general no pierde su forma (indeformable), de ahí se podría abordar si existe un criterio parecido para una figura de cuatro lados articulados en sus extremos. Es importante mencionar que durante la aplicación de actividad de aprendizaje se presentaron inconvenientes, por ejemplo: el tiempo destinado para la aplicación de la actividad fue poco; por lo que no permitió a los estudiantes profundizar o extender la actividad y por ello en la investigación se observó que los estudiantes desarrollaron o utilizaron con mayor frecuencia esquemas de uso, es decir, se perdió mucho tiempo en que los estudiantes conocieran las funciones y comandos del software, por el poco uso de éste en sus distintas actividades de aprendizaje relacionadas con sus asignaturas. Otro inconveniente que se presentó fue que para observar a detalle cada uno de los diferentes movimientos o representaciones que desarrollaron los estudiantes al utilizar el software dinámico fue que no se contaba con una cámara de video por cada dos estudiantes o por cada equipo. También es importante tomar en cuenta el número de estudiantes, por lo que se sugiere que no excedan de 10, ya que ello puede ayudar a que el investigador dedique más tiempo a cada uno de los estudiantes y equipos, así el estudiante tiene mayor contacto con el investigador y le presenta sus dudas u observaciones sobre la actividad. El manejo y uso de los tiempos para desarrollar la actividad son importantes, pues de ello dependerá que tanto se abarca por completo la actividad, es fundamental que el investigador desarrolle por completo la actividad, de no ser así, el proceso de génesis instrumental no se llega a observar por completo, es decir, únicamente se estaría llegando a la etapa de instrumentalización, sin llegar a la etapa más importante de este proceso; la instrumentación.

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APÉNDICES APÉNDICE A. GUÍA DE LA ACTIVIDAD Instrucciones: lee con atención lo que se te solicita, si tienes dudas pregunta al profesor, es importante que trates de responder a todas las preguntas, escribiendo todas las ideas y recursos matemáticos que utilices para dar solución.

PREÁMBULO

Abre el software de geometría dinámica Cabri Geometry y construye lo siguiente de forma individual. a) Un cuadrilátero de lados 5, 7, 8 y 13 centímetros. ¿Tuviste alguna dificultad? Compara el cuadrilátero que tú construiste con el de tus compañeros más cercanos. ¿Hay diferencia? En caso de existir diferencia ¿a qué lo atribuyes? b) Un cuadrilátero de lados 2, 3, 4 y 11 centímetros. ¿Tuviste alguna dificultad? Pregunta a tus compañeros más cercanos si ellos pudieron construirlo o no. ¿Qué diferencia percibes con respecto al cuadrilátero que se te solicitó construir anteriormente? Responde las siguientes preguntas: ¿Un cuadrilátero queda bien definido al especificar las longitudes de sus cuatro lados? ¿Por qué? ¿Qué criterio puedes seguir para que dados los lados de un cuadrilátero, puedas decidir si su construcción es posible o no?

Tiempo máximo: 15 minutos

ACTIVIDAD CENTRAL (lee con atención) En mecánica, un mecanismo de 4 barras no deformables, articuladas en sus extremos, es

también conocido como mecanismo de Grashof, si se cumple que al menos una de las

barras pueda dar una revolución completa con relación a alguna otra barra.

Dado un cuadrilátero cualquiera de lados A, B, C y D, averigüe si es un mecanismo de Grashof. ¿Qué criterio puede usar para saber si un mecanismo de 4 barras, es de Grashof?

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Sugerencia: trata de representar la información con ayuda del software dinámico, si tienes dudas respecto a la actividad pregunta al profesor. Puedes usar el comando animación para confirmar si alguna de las barras da giros completos. Si todavía no logras construir un cuadrilátero que funcione con un mecanismo de Grashof, observa con atención la animación en video que se proyectará de un mecanismo de cuatro barras. (Observar video) ¿Aún no logras representar un mecanismo de Grashof? Observa con atención los intentos que realizaste en el software dinámico. ¿De qué crees que depende que una de las barras del mecanismo pueda dar una revolución completa?

Tiempo máximo para explorar: 15 minutos. Para tratar de entender qué está pasando, por qué algunos cuadriláteros trabajan como mecanismos de cuatro barras articuladas tipo Grashof y otros no, te invitamos que trabajes los siguientes casos particulares, formando equipo con otro compañero cercano. Si tienes dudas de la forma en que vas a trabajar, pregunta al profesor. Análisis de casos particulares.

Caso I. ¿Qué pasa si A = B = C = D? Para este primer caso, con la guía del profesor, construyan un mecanismo de 4 barras articuladas, en el cual, las cuatro barras tengan la misma longitud. Anoten sus conclusiones y observaciones (discute con tu compañero y lleguen a un acuerdo). Caso II. ¿Qué pasa si A = B y C = D o A = C y B = D? A continuación realicen en equipo los casos en los que las cuatro barras no tengan la misma longitud, pero que tengan dos barras de la misma longitud y otras dos de diferente longitud a las primeras, pero iguales entre sí. Anoten sus conclusiones y observaciones (discute con tu compañero y lleguen a un acuerdo).

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Caso III. A + B = C + D; o A + C = B + D. Ahora realicen la configuración de un mecanismo, en el cual las cuatro barras sean de diferente longitud, pero que la suma de longitudes de dos, sea igual a la suma de otras dos, por ejemplo, configurar el mecanismo cuatro con los datos A = 2; B = 7; C = 4; D = 5. Anoten sus conclusiones y observaciones (discute con tu compañero y lleguen a un acuerdo).

Tiempo máximo para analizar los tres casos: 30 minutos Después de realizar los casos anteriores ¿tienen alguna conclusión respecto a la pregunta inicial? ¿Tienen sospechas respecto a qué se debe cumplir para que una barra gire vueltas completas? Discutan entre compañeros de equipo y escriban las conclusiones que tienen o los acuerdos a los que han llegado respecto a la pregunta.

Búsqueda de relaciones entre la longitud de los lados y los ángulos entre barras.

Toda vez que se han construido con ayuda del software dinámico algunos casos particulares, es posible que tengan algunas sospechas, una tal vez relacionada con el momento en que las barras B y C’ se alinean; si fueron observadores, la barra A no pudo efectuar giros completos cuando el ángulo entre B y C fue de 180°. Otra sospecha puede estar basada en que la suma de las longitudes de dos barras, comparadas con las otras dos, tiene relación con la rotación completa de la manivela. Para tratar de entender el comportamiento de estos mecanismos, trata de establecer relaciones matemáticas que involucren los datos que se sospecha tienen que ver con la rotación en particular de la barra A. ¿Qué relaciones pueden establecer que involucren los ángulos y las dimensiones de las barras del mecanismo? Discutan en equipo y traten de escribirlas. Si tienen dudas, pregunten al profesor.

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APÉNDICE B. UNA TRAYECTORIA HIPOTÉTICA PARA LA ACTIVIDAD8 Con el análisis de los siguientes casos particulares y el preámbulo se pretende que el estudiante vaya descubriendo y reconociendo las funciones (comandos) del software dinámico, donde en algún que le ayude a entender las potencialidades de la herramienta y así construir progresivamente una posible respuesta positiva a la tarea de aprendizaje. Esta etapa es sumamente importante, porque el nivel de logro que obtenga el estudiante en la fase de instrumentación, estará condicionada con el nivel de manejo operativo y funcional que el estudiante haga del artefacto (Cabri-Geometry). En este momento de la actividad, se solicita al estudiante que construya con la ayuda de Cabri-Geometry dos cuadriláteros, uno de lados 5, 7, 8 y 13 centímetros (ver figura 2) y otro con medidas 2, 3, 4 y 11 centímetros (ver figura 3), se espera que no presenten dificultades para construirlos, cuando terminen del primer cuadrilátero, se puede solicitar a los estudiantes, que con el comando apuntador de la herramienta arrastren alguno de los vértices o con el uso del comando animación, para que observen la familia de cuadriláteros que se generan y así reflexionen sobre su construcción. Es importante hacer hincapié en que el estudiante observe que al forma el cuadrilátero con los cuatro segmentos articulados y arrastrar alguno de sus vértices, identifique que los ángulos se pueden deformar, lo que permite generar una familia de cuadriláteros distintos unos de otros pero con las misma dimensiones en sus lados.

Figura 1. Construcción del cuadrilátero con medidas 5, 7, 8 y 13.

8 Versión sintética de la trayectoria propuesta en: Campos, M. (2010). Principios para el diseño de

actividades de aprendizaje matemático con el uso de la tecnología. Tesis de Maestría no publicada. Centro de Investigación en Matemáticas, UAEH. Mineral de la Reforma, México. Esta tesis fue realizada en el marco del mismo proyecto de investigación bajo el que se desarrolló este trabajo.

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En la realización del segundo cuadrilátero ¿pudieron construirlo? Es probable que alguien de los participantes recuerde algún criterio similar a la desigualdad del triángulo y así verificar por medio de las longitudes de los lados de un cuadrilátero; si es posible construirlo o no, en caso contrario de que nadie lo recuerde, se espera que al intentar la construcción y no notar que es imposible, puedan conjeturar la condición para que un cuadrilátero pueda construirse en función de las longitudes de sus lados, para ello se espera que puedan concluir que para construir un cuadrilátero, solo es importante identificar cual es el lado más grande y verificar que la suma de los otros tres lados sea mayor.

Figura 2. Para poder existir el cuadrilátero, las circunferencias se intersecarían

Una vez terminada la etapa del preámbulo, se puede pasar a mencionar la actividad central de la tarea de aprendizaje. Actividad central En mecánica, un mecanismo de 4 barras no deformables, articuladas en sus extremos, es

también conocido como mecanismo de Grashof, si se cumple que al menos una de las

barras pueda dar una revolución completa con relación a alguna otra barra.

Dado un cuadrilátero cualquiera de lados A, B, C y D (ver figura 4), averigüe si es un mecanismo de Grashof. ¿Qué criterio puede usar para saber si un mecanismo de 4 barras, es de Grashof? En este enunciado, se espera que el estudiante empiece de algún modo a manipular favorablemente el software, realizando diferentes representaciones de cuadriláteros con la ayuda de Cabri-Geometry, en particular vaya conociendo algunas de las herramientas que le pueden permitir construir cuadriláteros con ciertas características numéricas.

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Figura 3. Posible configuración de un cuadrilátero construido con Cabri-Geometry

Es decir, lo primero que debe verificar en que las longitudes de los segmentos propuestas, satisfagan la condición encontrada anteriormente, y que se asegure de que es posible construir un cuadrilátero con las dimensiones propuestas. Fase exploratoria

Se espera que el estudiante sea capaz de realizar una construcción en el software dinámico, que corresponda a los datos del problema; pudiera requerir la guía de profesor, para poder realizar la construcción. Una vez realizada, se espera que por medio de la herramienta de arrastre o con el uso de la herramienta animación, el estudiante pueda simular el funcionamiento del mecanismo, al hacer que una de las barras (manivela) gire completamente y observar el efecto que tiene en las demás barras. Es importante mencionar, que para que el mecanismo opere correctamente, una de las barras debe permanecer fija (bastidor del mecanismo), debido a que en términos prácticos, el mecanismo está sujeto a la superficie de una máquina, si fuera necesario, se deben fijar los extremos de la barra que se considere como bastidor. ¿En qué casos si es posible que una de las barras gire una revolución completa? Se espera que mediante la interacción con el software, el estudiante conjeture que existe una relación entre la longitud de los lados del cuadrilátero y el hecho de que una de las barras pueda dar una revolución completa.

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Figura 4. Representación en Cabri-Geometry de tres mecanismos de cuatro barras. En la figura 5, se propone la construcción de un mecanismo de 4 barras articuladas, se ha decidido que la barra A sea la manivela y la barra D el bastidor, por medio de arrastre o animación, se mueve el punto de conexión entre las barras A y B; este gira en una circunferencia con radio A; en (a) se muestra la configuración inicial que se obtuvo al construir el cuadrilátero, dados los segmentos A, B, C y D. En (b) la manivela ha girado prácticamente media vuelta en sentido contrario al reloj, y no parece haber problemas; en (c) se observa que para alguna configuración, las barras B y C tienden a sobreponerse, si esto sucede, el mecanismo desaparece, lo cual indica que la manivela A no puede dar un giro completo para estos valores de A, B, C y D. ¿Se ha encontrado una conjetura al respecto de la relación que guardan los lados del cuadrilátero para que este sea un mecanismo de Grashof?

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Se puede solicitar a los estudiantes que modifiquen las longitudes de los segmentos A, B, C y D; para que efectúen otras pruebas sobre el funcionamiento del mecanismo; en algún momento es posible que logren que la manivela A realice giros completos; es un buen momento para preguntar ¿de qué depende que A gire completamente? Se espera que los estudiantes puedan notar con la interacción del software, que depende las longitudes de las barras y de que las barras B y C no se plieguen, es decir que el ángulo entre estas barras sea distinto de cero. Si el estudiante aun no logra construir un cuadrilátero que funcione como un mecanismo de Grashof, esto es que una de las barras logre dar una revolución completa. Para tratar de entender qué está pasando, por qué algunos cuadriláteros trabajan como mecanismos de cuatro barras tipo Grashof y otros no, la actividad central maneja un análisis de casos particulares, con la finalidad de guiar al estudiante a la resolución del problema y sobre todo a una apropiación de la herramienta, generándole argumentos sólidos de sus conjeturas antes propuestas. Análisis de casos particulares.

Caso I. ¿Qué pasa si A = B = C = D? Para este primer caso, se les pide a los estudiantes que construya un mecanismo de 4 barras articuladas, en el cual, las cuatro barras tengan la misma longitud. Si se construye este mecanismo, con segmentos de la misma longitud, se piensa que se puede construir por la condición de que el cuadrilátero construido será un paralelogramo, ¿es un mecanismo de Grashof? Para su construcción (ver figura 6); se pide a los estudiantes que tracen un segmento de cualquier longitud, construyan el mecanismo de 4 barras y verifiquen si una de las barras pude dar giros completos.

Figura 5. Mecanismo de 4 barras articuladas, con la condición de cuatro barras con la

misma longitud.

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Se observa en la figura 6 una posible representación en Cabri-Geometry para el mecanismo con cuatro barras de la misma longitud, se pide a los estudiantes observar y analizar si el mecanismo opera correctamente cuando se utiliza el comando animación, pero es importante tomar en cuenta la posición de la cuatro barras cuando se alinean. Caso II. ¿Qué pasa si A = B y C = D o A = C y B = D? En este segundo caso en el que las cuatro barras no presentan la misma longitud, pero que tengan dos barras de la misma longitud y otras dos de diferente longitud a las primeras, pero iguales entre sí. Aquí pueden existir dos formas diferentes para su configuración en Cabri-Geometry; una podría ser cuando los segmentos iguales son articulados consecutivamente (ver figura 7) y otra cuando los segmentos opuestos sean iguales (ver figura 8).

Figura 6. Mecanismo de 4 barras en el que no todas las barras son de la misma longitud.

Figura 7. Mecanismo de 4 barras en el que no todas las barras son de la misma longitud.

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Para su construcción se pide a los estudiantes que propongan dos segmentos de diferente longitud que representarán las longitudes de las cuatro barras, en la figura 7 se conectan como barras adyacentes en un primer lugar los segmentos de menor longitud y se conectan los otros dos, y después los de mayor y se conectan con los otros dos; en 8 se puede notar que la configuración, es que las barras opuestas sean iguales, a lo que hace suponer que se tratan de paralelogramos en las dos posibles configuraciones. Ahora bien, con el comando animación en el vértice de la intersección A y B (barra A), se observa que en la figura 7; en ambos casos al parecer el mecanismo no funciona correctamente, hay posiciones en las que desaparece. En la figura 8; al parecer la configuración si funciona pero presenta un comportamiento extraño; en ambos casos las barras tienden a plegarse, lo que hace creer que existe una relación entre la suma de las longitudes de dos barras sea igual que las otras dos y sobre todo el hecho de que el mecanismo en algún momento se pliegue. Caso III. A + B = C + D; o A + C = B + D. A continuación, se pide a los estudiantes que realicen la configuración de un mecanismo, en el cual las cuatro barras sean de diferente longitud, pero que la suma de dos longitudes sea igual a la suma de otras dos, por ejemplo, representar en Cabri-Geometry el siguiente mecanismo de cuatro barras con los datos A = 2; B = 7; C = 4; D = 5 (ver figura 9).

Figura 8. Posible configuración del mecanismo con medidas establecidas. Si se tiene la sospecha de que las barras tienden a plegarse cuando la suma de las longitudes de dos barras sean igual a la suma de las otras dos, en figura 9; tal como se sospecho las barras se pliegan, el mecanismo parece ser de Grashof.

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En una segunda configuración del mecanismo, pero ahora con un orden distinto las cuatro barras (ver figura 10).

Figura 9. Posible configuración del mecanismo con medidas establecidas. ¿Es importante el orden en que se conecten las barras?

En esta representación, el mecanismo al parecer no puede realizar giros completos, a pesar de ser las mismas cuatro barras.

Búsqueda de relaciones entre la longitud de los lados y los ángulos entre barras.

Toda vez que se han construido con ayuda del software dinámico algunos casos particulares, es posible que se tengan dos sospechas, una relacionada con el momento en que las barras B y C se alinean; dado que es posible que los estudiantes pudieran percatarse de que en caso de que la barra A no pueda efectuar giros completos, las barras mencionadas se alinearon, el ángulo entre ellas fue de 180°. La otra sospecha puede estar basada en que la suma de las longitudes de dos barras, comparadas con las otras dos, tiene relación con la rotación completa de la manivela; además de que pudo haber conjeturado que si la suma de longitudes de dos de las barras, es igual a las otras dos, el mecanismo tiende a plegarse.

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Denotemos como θ el ángulo formado entre las barras A,D; γ el ángulo formado entre las

barras B,C y nombremos ε, la diagonal del cuadrilátero que va de la articulación A,B a la C,D , como se muestra en la figura:

Figura 10. Se divide el cuadrilátero en dos triángulos por medio de la diagonal, para buscar

relaciones entre sus lados y el ángulo γ

Ya que se sospecha que es posible que A no gire una revolución completa cuando γ=180°, se procede a buscar relaciones entre los datos (longitudes de las barras, para determinar el

ángulo γ:

Se puede escribir la Ley de cosenos para los triángulos A,D, ε y para B,C, ε, como sigue:

…(1)

…(2)

Al igualar (1) y (2) y despejar γ se obtiene:

Con la ecuación (3) se puede encontrar el ángulo entre las barras B y C, para cualesquiera valores de A, B, C, D y . Algunas preguntas que se pueden plantear a los estudiantes son:

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¿Qué debe suceder para que ¿Cómo se pueden saber los valores mínimo y máximo para a partir de la expresión (3)? ¿Se puede asegurar que A gira una revolución completa si Lo que se espera es que los estudiantes puedan hacer un análisis cualitativo de la expresión (3), teniendo en cuenta las propiedades de la función . Otra posible ruta para tratar de encontrar condiciones que aseguren que la barra A gira revoluciones completas, es el que se describe a continuación:

Denotemos como α el ángulo formado entre las barras A,B; β el ángulo formado entre las

barras C,D y nombremos δ, la diagonal del cuadrilátero que va de la articulación A,D a la B,C , como se muestra en la figura:

Figura 11: Se divide el cuadrilátero por medio de la otra diagonal, para buscar las

condiciones que permiten el giro completo de A.

Se puede escribir la Ley de los cosenos para los triángulos A, B, δ, y C, D, δ, como sigue:

……...(4) Supongamos que la barra A es capaz de girar una revolución completa, entonces los valores para mínimo y máximo, se obtienen cuando las barras A y B se alinean, es decir cuando

α=0 o cuando α=180°:

δ min = y δ máx = ……(5) De (4) se sigue que, dado que y dado que es por lo regular mayor que ; similares cuando (sólo iguales cuando C=D), se puede afirmar que:

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…(6) (La igualdad se cumple sólo con ) De (6) se sigue que:

Lo que implica que:

…(7) Por la desigualdad del triángulo se puede afirmar que:

…(8) De (7) y (8) se puede concluir que:

…(9) Con (5) y (9) se pueden escribir las condiciones para que la barra A realice un giro completo:

Algunas preguntas que se pueden realizar a los estudiantes, después de concluir lo anterior son: ¿Si las cuatro barras son de la misma longitud, el mecanismo es de Grashof? ¿Si A < B < C < D, se puede asegurar que el mecanismo sea de Grashof? ¿Qué pasa si se conectan A, B, C y D en orden no consecutivo? Para su correcta operación, los mecanismos de 4 barras, deben mantener una barra fija o estacionaria, que haga la función de bastidor o bancada; ¿qué diferencia existe al tomar como bastidor cada una de las 4 barras? Con la interacción con el software dinámico, se espera que los estudiantes puedan descubrir por ellos mismos, un criterio similar al enunciado conocido como la Ley de Grashof para mecanismos de 4 barras articuladas:

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Para que una de las barras alcance a dar una revolución completa respecto a las otras, se debe cumplir que la suma de las longitudes de las barras más corta y más larga, debe ser menor o igual que la suma de las longitudes de las otras dos. Si s y l son las barras más corta y más larga, q y p son las otras dos, se debe cumplir que:

s + l ≤ p + q

Figura 12. Se pide a los estudiantes que fijen una de las barras para que experimenten los

diferentes efectos que pueden ocurrir con Cabri-Geometry

Importancia de asegurarse que una de las barras gira revoluciones completas

Al respecto de la importancia de asegurarse que en el diseño un mecanismo de 4 barras articuladas, una de las barras pueda fungir como manivela, Shigley y Uicker (1999), mencionan que una de las consideraciones de mayor importancia cuando se diseña un mecanismo que se impulsará con un motor, es asegurarse que la manivela de entrada, puede realizar una revolución completa. Los mecanismos en los que ningún eslabón describe una revolución completa no serían útiles para estas aplicaciones. Cuando se trata de un eslabonamiento de cuatro barras, existe una prueba muy sencilla para saber si se presenta este caso. La Ley de Grashof afirma que, para un eslabonamiento plano de cuatro barras, la suma de las longitudes más corta y más larga de los eslabones, no puede ser mayor que la suma de las longitudes de las dos restantes, si se desea que exista una rotación relativa continua entre dos elementos. Si s y l son las longitudes de los eslabones más corto y más largo respectivamente, p y q son las longitudes de los otros dos:

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Si no se satisface esta desigualdad, ningún eslabón efectuará una revolución completa con relación a otro. (Shigley y Uicker, 1999, p.19). Extensión de la actividad: Determinación del lugar geométrico descrito por un punto.

Es fácil notar que las barras A y C que están fijas en uno de sus extremos a la barra D

(estacionaria), tratan de efectuar movimientos de rotación pura (figura 11), sin embargo la barra B tiene una tendencia muy particular, trata de rotar, pues sus extremos están articulados con los extremos libres de A y C, pero también tiene tendencia a trasladarse, este tipo de movimiento, se conoce en cinemática, como movimiento plano general. Los puntos intermedios de la barra B, también llamada barra acopladora, describen en general lugares geométricos complejos, que suelen representarse con polinomios de hasta sexto grado. La ecuación algebraica de una curva del acoplador es, en general, de sexto orden; de donde, es posible hallar curvas con gran variedad de formas y muchas características interesantes. Algunas poseen secciones que casi son segmentos rectilíneos; otras tienen secciones de arcos circulares y otras más una o más cúspides, o bien, se cruzan a sí mismas formando figuras semejantes al ocho. (Shigley y Uicker, 1999, p.23) Un caso particular en que las longitudes de las cuatro barras son iguales (figura 6), puede ser útil para que los estudiantes traten de justificar el tipo de lugar geométrico que describe un punto de la barra acopladora B. Para este caso particular, se solicita a los estudiantes que traten de justificar qué lugar geométrico describe el punto medio P de la barra acopladora. Con el comando traza o lugar geométrico, los estudiantes pueden conjeturar que el lugar descrito es una circunferencia, pero dado que en general los lugares geométricos descritos por los puntos intermedios de la barra acopladora no son cónicas, se solicita al estudiante que trate de encontrar una justificación formal. La sugerencia para los estudiantes es que introduzcan un sistema de referencia, lo cual no había sido necesario antes, se espera que los estudiantes propongan por simplicidad, que la que la barra estacionaria D, coincida con el eje de las abscisas y que el punto de articulación entre la barra impulsora A y el bastidor D, se sitúe en el origen (figura 14). Una forma de tratar de justificar qué lugar geométrico describe el punto medio de la barra B, es que a partir del sistema de referencia seleccionado, se traten de encontrar las coordenadas que representan la posición de P, para la configuración elegida.

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Es fundamental para tratar de expresar las coordenadas de P, que los estudiantes identifiquen que independientemente del ángulo de entrada entre la barra impulsora A y el bastidor D, el cuadrilátero es paralelogramo, se puede solicitar a los estudiantes que traten de explicar este hecho.

Figura 13: El lugar geométrico descrito por el punto medio de la barra B es una

circunferencia en el caso en que las cuatro barras son de la misma longitud. Si se designa como al ángulo agudo entre las barras A y D (figura 14), se espera que los estudiantes puedan tratar de escribir las coordenadas del punto P, a partir del sistema de referencia seleccionado, y logren llegar a algo como:

Lo cual confirma que el lugar descrito por el punto P es una circunferencia con centro en

, forma polar de la ecuación de una circunferencia de radio A.

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APÉNDICE C. CUESTIONARIO DE SALIDA Te agradecemos tu participación y te solicitamos para finalizar que respondas la siguiente encuesta: Edad: _________________ Semestre y carrera: ____________________________________________ ¿Cuáles han sido los últimos cursos que llevaste de matemáticas? ¿Has tenido dificultades para hacer las actividades? Explica por qué ¿Prefieres esta forma de trabajar que la tradicional? Explica por qué ¿Te ha gustado la experiencia? Explica por qué ¿Te gusto trabajar en equipo? ¿Te gustaría continuar trabajando de esta forma? Explica por qué ¿Qué es lo que más te ha gustado de esta experiencia? ¿Qué es lo que menos te ha gustado de esta experiencia? Expresa tu valoración general o los comentarios que creas que son de interés:

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APÉNDICE D. TRANSCRIPCIÓN DE LOS VIDEOS 1

2

A continuación se presenta la transcripción de los videos obtenidos durante la presentación de la actividad de aprendizaje, 3 considerando y marcando los elementos relacionados con la génesis instrumental: 4 5 Desarrollo y utilización de: 6 1. Esquemas de uso = se marcan con color amarillo 7 2. Esquemas de acción instrumentada = se marcan con color rojo 8 9 Aspectos del pensamiento matemático que se desarrollan o utilizan los estudiantes al resolver el problema: 10 3. Construcción de contra ejemplos o casos particulares = se marcan de color azul 11 4. Uso de heurísticas = se marcan de color morado 12 5. Formulación de conjeturas = se marcan de color verde 13 6. Justificación de resultados = se marcan de color gris 14 7. Participación de investigador en puntos clave = se marcan con color rosa 15

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Primera sesión: con estudiantes de una licenciatura en física 17

M= si ya tienen la guía, son cosas muy sencillas las que vamos a trabajar y además yo se que ya han trabajado un poco en 18 Cabri, entonces creo no vamos a tener muchos problemas, de todas formas cualquier duda que tengan del uso del software 19 me preguntan, de hecho ahí lo dice varias veces en la guía, cualquier duda pregúntenme a mi o alguno de mis 20 compañeros, vamos a empezar con algo muy sencillo, como dice ahí vamos a trabajar sobre esas hojas y ustedes también 21 van a estar trabajan en el software, vamos a empezar con la primera actividad o con lo que dice preámbulo, inicien 22 entonces el software y si ya tienen Cabri, la actividad del inciso a) es muy sencilla, por favor construyan un cuadrilátero 23 con las dimensiones de los lados que ahí se marcan; 5, 7, 8 y 13 centímetros, si alguien tiene alguna duda nos preguntan, 24 si no, empiecen a trabajar, yo igual lo voy a ir construyendo para que puedan guiarse si ustedes no recuerdan de repente 25 como hacerlo, como tenemos ya unas dimensiones determinadas, lo ideal sería primero introducir esos números, es decir 26 no tratar de atinarle a la medida de los segmentos arrastrándolos, entonces voy a definir esas medidas con la opción de 27 “número” y bueno pues una forma adecuada de hacerlos sería ahora con el compás ir tomando las dimensiones ahí 28 directamente, entonces cada quien construya el cuadrilátero, vamos a ver que obtenemos, les digo una forma de hacerlo es 29 con el compás ir tomando las medidas, simplemente lo voy a hacer en un orden, no tiene que ser necesariamente en ese, 30 voy a empezar con el de 5, ahí trazo ese círculo de radio 5, entonces ya puedo dibujar el primer lado del cuadrilátero o un 31 segmento que represente ese lado, los círculos los voy a ir ocultando para que no me estorben, si tienen dudas repito nos 32 preguntan, entonces ya hice el lado de 5, pues a mí me place que el lado de 13 sea como que una base, lo voy a poner a 33 continuación ese otro lado, ustedes lo pueden hacer en el orden que quieran, yo llevo dos lados el 5 y el de 13 y ahora algo 34 muy importante tienen que ver; cómo hacerle para que los otros dos lados les den las dimensiones que queremos, entonces 35 yo voy a continuar con el compás me faltan el lado de 7 y el lado de 8, y tengo dos extremos libres… yo ya termine, si 36 tienen alguna duda…Con un estudiantes… primero, ya definiste esos números, sino hay que definirlos, ese comando va 37 a reconocer las longitudes en centímetros, entonces activas tu compás, selecciona por ejemplo el numero 5, y te apoyas en 38 donde tú quieras y te va a tratar un circulo de radio 5, entonces tu ya puedes ahora apoyarte en el centro y tratar un 39 segmento y tienes la seguridad de que mide 5 centímetros, sale, entonces abres ese botón, ahí viene la opción de 40 segmento, entonces de ahí a cualquier punto de ese círculo tu sabes que ya tienes un segmento de longitud 5 que es lo que 41 querías y ahora tienes que ir colocando los otros lados de una forma similar con el compás…. 42

A = a, o sea este y luego 7 acá, 43

M = El orden no es relevante, no hay un orden en especial para irlo construyendo, yo por ejemplo lo hice en un orden en 44 especifico pero no tiene que ser el mismo, entonces lo interesante es que tu al final construyas un cuadrilátero donde los 45 lados midan esos números y se puede hacer con el compás seleccionando esas medidas, haber ¿alguien ya terminó?… Con 46 alumno… yo creo maximizamos para que nos ayude, entonces tu ya introdujiste esos números, esos datos, ahora si tu 47 utilizas la opción de compás te los reconoce como longitudes en centímetros, en este caso, si tú con el compás seleccionas 48 el número 5 y te apoyas aquí te traza un círculo de radio 5, porque es bueno hacerlo así porque entonces cualquier 49 segmento que vaya del centro a cualquier punto del circulo es un segmento de radio 5, que es lo que queríamos, yo les 50

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decía que lo iba ir ocultando para que no nos estorbe, lo oculto y entonces ahora hay que colocar en el orden que tú 51 quieras los otros 3 lado s, usando igual el compás de forma que lo que obtengamos sea un cuadrilátero, 52

M = Aquí el objetivo al inicio es que todos obtengamos un cuadrilátero donde midamos, incluso podemos medir con la 53 herramienta medida de longitud del Cabri y que tenga 4 lados con esas dimensiones, 54

A = una pregunta, para seleccionar el compás, 55

M = les sugiero a los que no han maximizado la pantalla de Cabri, lo maximicen para que podamos trabajar con más 56 comodidad… Con alumno… aquí está la herramienta compás, tú por ejemplo seleccionas este número y es como si el 57 compás lo hubieras abierto 5 centímetros, ponlo a donde gustes… 58

A = este mide 5 centímetros, 59

M = exactamente , por ejemplo aquí si tratas un radio de este círculo, tu ya tienes la seguridad de que este segmento mide 60 5, entonces por ejemplo dices; ahora quiero, conectar el lado que mide 8 aquí en este extremo, por ejemplo tomas ahora 61 con tu compás y te apoyas aquí y ya vas a poder trazar un segmento que parta de ahí y ya tienes la seguridad que mide 8 y 62 ahí te faltaría articular los otros dos, si quieres seguir con ese orden ya tienes ahí el de 5 y 8, te faltarían el de 7 y 13. 63

A = una pregunta, como va, no se pueden cruzar las que iba trazando de radios con los puntos de la circunferencia, no se 64 mueve este con este, 65

M = haber, cual fue el primer círculo que trazaste, 66

A = el de radio 5, 67

M = y que es, me imagina que es este y trazaste este segmento, 68

A = este de aquí 69

M = luego 70

A = el de radio 7 71

M = te apoyaste aquí y ya tienes el lado de radio 7, hasta ahí vas bien, tienes dos lados del cuadrilátero, luego tienes que 72 trazar el de 8 y el de 13, me imagino que este es el de 8, a mí se me hace que ahí te tenias que esperar, porque si te das 73 cuenta cuando trazas el de 8 y lo pones donde tú quieras, realmente no sabes para donde tiene que ir para que te cierre con 74 13, porque, como que cuando trazas los dos primeros lados no importa los que tu decidas pero tu trazas dos lados, si te das 75 cuenta como que tienes libertad, dices quiero empezar con el lado de 13 lo trazo como caiga, luego dices quiero trazar el 76 lado 5, lo trazas en un extremo del anterior y también como que no es muy relevante pensar hacia dónde va, pero los 77 siguientes dos lados tienen que cerrar de tal forma que te den las longitudes que tu quieres, entonces fíjate que, aquí vas 78 bien, luego cuando trazas el de 8, yo creo que te tenias que esperar, trazar primero el circulo de radio 8 y luego trazar el 79 circulo de radio 13 y ver en donde se cruzan, porque donde se cruzan es a donde tú debes de ver trazar, entonces este es el 80 circulo de radio 81

A = este de aquí de este punto del segmento es el 8 y este de aquí a este de aquí es el de 13 82

M = pero como que, el de 13 tiene que salir realmente de acá si te das cuenta, porque los 4 lados tienen que estar 83 conectados digamos que los extremos, entonces ahí, esa fue la situación, cuando trazaste estos dos y cuando apoyado aquí 84 trazaste el 8, aquí debiste apoyarte y trazado el de 13 y ver en donde se cruzan eso dos círculos, parece que eso es mejor 85 idea. 86

A = tiene alguna herramienta para regresar, 87

M = solo te deshace la última acción con “control Z”, aquí no es como otros software que te regresas hasta el inicio, 88 entonces a veces es bueno, no te preocupes, darle archivo nuevo y volvemos a empezar 89

89

M = ok, ahí ya terminamos y es el cuadrilátero que estábamos buscando, de hecho una opción es activar este menú 90 también y ahí dice distancia y longitud… seleccionamos directamente cada segmento y nos tiene que dar su medida en 91 centímetros para que corroboremos que fue el cuadrilátero… a entonces algo paso, probablemente cuando quisiste darle 92 algún cruce de dos circunferencias no le atinaste, entonces eso es buena ahí verificar. Bueno miren, como ya nos tardamos 93 un poco en esta actividad inicial, que es importante pero ya llevamos más tiempo de lo planeado, les voy a pedir de favor 94 a todos que dirijan su atención otra vez hacia la pantalla de proyección y lo voy a volver a hacer con más calma parece 95 que la explicación del inicio fue muy rápida, pero ya estuvieron trabajando y eso es bueno, ya empezaron a interactuar con 96 el software y eso es bueno, miren de inicio, en el penúltimo botón, tenemos una instrucción que dice numero, como 97 ustedes quieren construir un polígono, en este caso un cuadrilátero con lados ya definidos es buena idea que introduzcan 98 las medidas que quieren, que en este caso son: 5, 7, 8 y 13, hasta ahí creo no tuvimos ningún problema, luego como ya 99 tenemos esas medidas definidas, bueno esos números, ahora sería bueno tomarlos con el compás, sacar nuestro compás, 100 abrirlo a cada una de esas medidas para asegurarnos que vamos a tener segmentos de esa longitud, entonces otra vez aquí 101 en el quinto botón, si yo lo despliego ahí dice compás, lo selecciono y eso me va a servir mucho ahora , por ejemplo si 102 quiero trazar un segmento de longitud 5, tomo con el compás esa medida, selecciono el numero que dice 5, me apoyo en 103 algún lado, donde yo quiera y ese círculo es de radio 5, entonces ahora me voy al tercer botón y con la herramienta 104 segmento, yo se que si me apoyo en el centro de ese círculo y luego traza a cualquier punto de su periferia, es un segmento 105 de radio 5, que eso es lo que yo quería, platicábamos con alguno de sus compañeros es, si se dan cuenta, los primeros dos 106 lados como que tienen mucha libertad, porque yo por ejemplo aquí trace a donde quise, realmente no tengo alguna 107 restricción, ahora vi que muchos ya tenían círculos y ya era como que hasta confuso, yo les preguntaba y este círculo de 108 que radio es y ya no se acordaban, entonces el ultimo botón si lo despliegan tiene una instrucción que dice ocultar/mostrar, 109 yo sugiero que vayan ocultando lo que ya no van a usar, seleccionan el circulo y dan un clic por aquí afuera para que no 110 les haga ruido ese círculo, entonces esta el primer segmento de radio 5 y yo hace rato dije a mi en particular me place 111 seguir ahora este orden, el de lado 13 conectarlo aquí con este extremo del segmento, entonces lo cual va hacer en otro 112 orden pero el orden que yo siga hace rato fue ese orden, entonces ahora con el compás selecciono el número 13, 113 obviamente me tengo que apoyar ahí, me tengo que apoyar en un extremo del segmento anterior, para que de ahí salga el 114 otro lado, entonces ahí trazo el circulo de radio 13, entonces de aquí que es el centro de la circunferencia a cualquier otro 115 punto de la periferia es un radio de 13 centímetros, por eso lo hice de esa manera, entonces ahora otra vez selecciono 116 segmento y lo trazo como caiga, no se si dan cuenta, pero es lo que yo decía, aquí no importa mucho hacia donde vayan 117 esos dos lados, entonces lo trazo y ya tengo los dos lados construidos, voy a ocultar este círculo para que no me haga 118 ruido y ahí están dos lados el de 5 y el de 13, me faltan el de 7 y el de 8, es necesario que partan de los extremos libres de 119 esos dos segmentos, entonces como que aquí si no tengo que hacerle a donde caiga, voy a trazar un círculo de radio 7 aquí 120 y voy a trazar otro circulo con radio 8 acá y los segmentos no salen a donde yo quiera, tienen que salir a la intersección 121 sino no voy a cerrar el cuadrilátero como yo lo necesito, entonces eso es lo que hago a continuación, el de 7, tomo la 122 medida con el compás me apoyo en el extremo que está todavía libre en el de 5, ahora tomo el 8 con el compás, me apoyo 123 en el otro extremo, a miren fíjense aquí paso algo curioso que se supone que debería haber pasado, pues que se 124 interceptaran porque si no como cierro el cuadrilátero, si ustedes se acuerdan estos dos segmentos iniciales como que son 125 libres, yo los puedo como que modificar de posición ahorita todavía, entonces si me regreso aquí al primer botón, esa 126 flechita siempre me permite arrastrar objetos, moverlos, entonces ahorita con lo que sucedió, creo que me convendría 127 tomar este extremo y moverlo porque es lo que yo estaba esperando que se cruzaran esas circunferencias, que se 128 interceptaran, entonces pues ya saben de aquí para acá va hacer 7 y de aquí para acá 8 y entonces ya estaría terminado el 129 cuadrilátero en cuestión, entonces lo termino trazando un segmento que parta de los extremos libres de los lados que ya 130 construí, hacia la intersección de los dos círculos anteriores y ahí está, voy a ocultar esos dos círculos igual porque ahí 131 como que me confunden un poco, me pueden estorbar y esa es una opción, ese es el cuadrilátero que yo quería construir, 132 de hecho y fue una muy buena idea, hace rato que fui con uno de sus compañeros le dije; Cabri tiene una herramienta que 133 mide longitudes de segmentos y le dije para corroborar, para que estés seguro de que ese cuadrilátero que buscabas mide 134 los segmentos y resulto que el de 7, media 6.99, algo había pasado, no tiene que suceder eso, entonces miren, yo para 135 cerciorarme tomo la herramienta que dice: distancia o longitud y selecciono cada uno de los segmentos, ahí está el de 5, el 136 de 13, el de 8 y el de 7, espero que ya con esta ayuda lo puedan terminar, creo que algunos ya lo terminaron, algo 137 importante los lados no deben cambiar las dimensiones, no importa el orden en el que tracen los segmentos, no importa 138 como hayan construido su cuadrilátero debe tener dimensiones 5,7, 8 y 13 porque fue la instrucción, de repente como que 139 vi que el cuadrilátero de alguien si se alargaban más los lados y uno no está pensando en que puedan deformarse los lados 140 porque ya son datos, si ya lo hicieron espero que ya hayan terminado, ahora mi pregunta es; todos obtuvimos el mismo 141 cuadrilátero, es decir los que ya no hicieron, obtuvieron este 142

90

A = Si 143

M = es el mismo, tiene la misma forma, es más, vean el del compañero de al lado, todos obtuvieron el mismo 144 cuadrilátero… aquí hasta le está moviendo… como que no son iguales, tiene las mismas dimensiones, pero como que no 145 tiene la misma forma, acá hasta lo está deformando, entonces haber si siguen la guía de la actividad, nos dice, compara tu 146 cuadrilátero con el de tus compañeros más cercano y la pregunta es; ¿hay diferencia? En cuanto a dimensiones pues no 147 hay diferencia pues son los mismos lados pero parece que ustedes ya están notando algunas diferencias, a mi me gustaría 148 que contestaran esa pregunta, dice que en caso de que haya diferencia, a que se lo atribuyen, o sea que razón pueden dar 149 ustedes para que, a un grupo de personas se les diga que construyan un cuadrilátero pero dándole las dimensiones, dando 150 como dato las dimensiones y cada uno obtenga cuadriláteros de distinta forma, no exactamente el mismo, si con las 151 mismas dimensiones pero no necesariamente el mismo y tampoco estoy hablando de la posición, a lo mejor alguien lo 152 puede girar un poco el cuadrilátero pero completo, o sea no me refiero a que este en otra posición o algo así, me refiero a 153 que literalmente si ustedes lo ven tiene otra forma, el que hice yo tiene distinta forma a alguno de los que hicieron ustedes, 154 repito no me refiero a la posición del polígono, me refiero en si a la forma que tiene y incluso yo vi que alguno por este 155 lado empezó a arrastrar algún punto y el cuadrilátero seguía teniendo las dimensiones, de hecho yo los invito si ya 156 construyeron el cuadrilátero, por ejemplo puedo arrastrar este punto y fíjense que este cuadrilátero es ahora muy distinto 157 al primero que construí pero sigue teniendo las dimensiones o puedo por ejemplo manipular este otro lado, yo digo que 158 ahí ya cambio la forma, no solamente cambio de posición, si yo muevo esto como que cambia la forma, entonces a que le 159 atribuyen ustedes o que explicación pueden dar en el sentido de datos los 4 lados de un cuadrilátero no todos obtengamos 160 el mismo, no le piensen mucho, creo que es algo que pueden escribir ahorita rápido, sobre todo porque perdemos un poco 161 de tiempo, no se preocupen ahorita nos vamos a apurar, me gustaría que ahora hagan el otro ejercicio, el inciso b) les pide 162 que construyan un nuevo cuadrilátero, creo que ese lo van a poder hacer más rápido porque ahorita ya tienen la 163 experiencia de haber hecho el primero , no tienen que borrar eso que ya hicieron, tampoco tienen que cerrar el programa o 164 trabajar ahí mismo en esa hoja, simplemente si van a hacer una nueva construcción, yo les sugiero que aquí se vayan a la 165 opción archivo y le den nuevo y nos abre una hoja en blanco y podemos trabajar libremente ahí otra vez y no ha borrado o 166 no sea perdido lo que ya hicimos antes, en la opción ventana sigue estando la construcción anterior, entonces por dudas en 167 el software no se preocupen, cuando ustedes tengan una idea y la quieran llevar a cabo, nada más nos preguntan y 168 nosotros les auxiliamos, entonces hagan ese nuevo cuadrilátero de lados 2, 3, 4 y 11 169

A = aquí no lo logre cerrar 170

M = hace rato recuerdas, que yo tampoco lo logre cerrar al principio pero moví y si cerro, lo pude construir, originalmente 171 el cuadrilátero anterior, cuando yo lo trace, si algunos estuvieron poniendo atención, el cuadrilátero no cerraba tampoco, 172

Entre A = o ya, entonces hay que mover los puntos, porque tiene que dar una intersección con el de aquí. 173

M = entonces ahora que ya tienen más soltura con el software, entonces ahora introducen esos datos; 2, 3, 4 y 11 y con el 174 compás empezamos a trazar los segmentos 175

Entre A = no se va a poder, la suma de los tres lados, no es mayor que 11 176

M = quien ya construyo el cuadrilátero de 2, 3, 4 y 11, ¿quién ya lo construyó? 177

A = ¿cuál? 178

M = el segundo cuadrilátero 179

A = no se puede 180

M = no se puede 181

A = no cruzan, 182

M = no cierra, pero hace rato, tampoco cerraba 183

A = pero es que aquí la suma de los otros 3 lados, no llega a hacer la otra 184

91

M = a ya, entonces 185

A = no existe 186

A = es que estos 3, nunca va a cerrar 187

M = entonces eso parece interesante, queremos construir otro cuadrilátero y definimos las dimensiones y resulta que 188 cuando lo quisieron construir, ya unos se dieron cuenta y espero que estén convencidos de que, como dicen no cierra, 189 aunque empiecen a cambiar de posición algunos de los lados, si alguien no ha terminado la construcción, sería bueno que 190 si lo hagan para que se cercioren de que efectivamente con esas medidas 2, 3, 4 y 11, no se cruzan y uno piensa, bueno yo 191 puedo manipular la posición de este segmento para ver si se cruzan como hace rato le hicimos y simplemente vemos que 192 no, o sea por más que yo quiera no se van a cruzar y entonces definitivamente ese cuadrilátero no se puede construir, si 193 seguimos la guía, ahora hay 2 preguntas que me gustaría que respondan, ya trataron de hacer el inciso b), ya concluimos 194 que no se puede y ahora hay 2 preguntas, que me gustaría que de forma individual , cada uno de ustedes conteste, con la 195 experiencia que tiene ahorita de a ver querido construir el cuadrilátero del inciso a) y el del inciso b). Entonces si ya tienen 196 alguna idea, por favor contesten esas preguntas, contesten esas 2 preguntas que están antes de donde dice actividad 197 central, donde dice primer pregunta: ¿un cuadrilátero queda bien definido al especificar las longitudes de sus 4 lados? Y 198 hay que explicar por qué estamos respondiendo, si o no, y la segunda pregunta dice: ¿qué criterio puedes seguir para que 199 dados los lados de un cuadrilátero, puedas decidir si su construcción es posible o no? Esas dos de forma individual, por 200 favor, ya ahorita que terminen, si quisiera oír la opinión de alguno de ustedes o sus respuestas pero de entrada individual, 201 lo que ustedes hayan percibido, lo que ustedes hayan notado con las dos construcciones que acaban de intentar hacer 202

M = ya nos están haciendo trampa 203

A = solo que quería saber que es, 204

M = ahorita les voy a explicar, no te preocupes vamos con calma, es bueno, pues dices a que esta la tecnología, y dices 205 aquí tengo el Internet aquí ahorita reviso, pero vamos por partes, no hay que saltarse en donde dice actividad central, 206 vamos a acabar esta, vamos a concluir algunas cosas y ya luego vemos lo de la actividad y vemos eso termino raro que tu 207 ya buscaste en Internet, van a ver que suena raro para nosotros, pero tú ya notaste que es muy conocido, pues salieron 208 muchos resultados en la búsqueda, ahorita vamos a eso, no te preocupes, muy bien, nos puedes dar lo que hace rato nos 209 comentaste, nos puedes decir en voz alta, porque te diste cuenta que el cuadrilátero anterior no se va a poder construir 210

A = bueno eso era parte de la pregunta, la segunda pregunta dice: ¿qué criterio puedes seguir para que dados los lados de 211 un cuadrilátero, puedas decidir si su construcción es posible o no? Esto es porque si sumamos las longitudes de 3 de los 212 lados, esta suma debe de ser mayor al cuarto lado, porque si fuera igual quedarían sobre puestas, entonces sería una línea 213 recta, entonces la suma de 3 debe ser mayor a la cuarta 214

M = entonces, tú lo que dices es que si sumamos 2, 3 y 4 eso nos da 9, pero tú dices que eso tendría que haber superado 215 11, si están de acuerdo con su compañero, de hecho es un criterio que se parece a la desigualdad del triángulo, cuando 216 ustedes van a construir un triángulo, si se les dan los lados no están seguros si lo van a poder hacer o no, las longitudes, 217 claro de los lados, hasta que verifican la desigualdad triangular, bueno pues hay un criterio, si se dan cuenta un criterio 218 similar para poder construir cuadriláteros, si yo doy 4 lados eso no me asegura que el cuadrilátero se pueda construir, que 219 es aquí lo que hemos visto, bueno antes de pasar a la actividad central, déjenme platicarles algo, por ejemplo ustedes 220 piensen que van a construir un triángulo que si se puede construir, es decir, tienen 3 segmentos y con esos 3 segmentos si 221 es posible construir un triángulo, entonces fíjense, voy a definir ahora 3 segmentos, yo espero que cumplan con la 222 desigualdad triangular y si defino 3 segmentos y si construyo un triángulo, lo cual voy a hacer ahora muy rápido , tomo 223 este como base por ejemplo, ahora les voy a pedir que tengan un poco de imaginación y que supongan que los lados de 224 este triángulo son barras sólidas por ejemplo de metal o de madera y que en los extremos voy a conectar los otros lados 225 con otras barras de metal y tal vez con un perno y entonces como va haber pernos en los extremos estas barras podría 226 girar, tendría esa facilidad, entonces déjenme terminar este triángulo, si es posible construirlo porque sus lados cumplan 227 con la desigualdad del triángulo, no voy a tener mucho problema y efectivamente ahí el cruce o la intersección de esas dos 228 circunferencias me a segura que este triángulo, pensamos que sus lados son barras de metal o de madera se puede 229 construir, bueno la cuestión es esta; ese triángulo que acabo de construir, no se deforma, no se si me explico con eso, voy 230 a tratar de arrastrar alguno de los lados, o sea es algo similar a que si yo lo tuviera físicamente y quisiera deformarlo 231 aplicándole una fuerza, pero pues no, lo que puedo hacer es trasladarlo, girarlo, cambiarlo de posición pero no se deforma, 232

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es decir la figura geométrica que conocemos como triángulo, ya que se define y si se puede construir es una figura que no 233 cambia de forma, si le aplicamos fuerza, es por eso común que las estructuras estáticas, en los puentes por ejemplo el 234 arreglo que se hace son barras que forman triángulos, en cambio ustedes ya lo vieron, déjenme regresar a una de las 235 construcciones anteriores, en cambio este cuadrilátero que si se pudo construir porque si cumple el criterio; sumó 5, 7 y 8 236 y eso me da 20 y 20 supera a 13 que es el otro lado, por eso lo puede construir sin embargo esta figura es deformable, si 237 estuviera hecha de barras, si estuviera hecha de metal por ejemplo, y aquí tuviera pernos, pues ustedes pueden girar una de 238 las barras y cambia de forma la figura, es decir un cuadrilátero es una figura que puede cambiar de forma pese a que ya 239 estén dados sus 4 lados, bueno la cuestión es esta, en estática si ustedes van a construir una torre piensan que va a estar 240 rígida y que no quieren que se mueva y tal vez usan triángulos pero cuando quieren ustedes transmitir movimiento y es a 241 lo que vamos en la actividad central, tienen que pensar en algo que si pueda cambiar de forma y que pueda transmitir 242 cierto tipo de movimiento, en particular hay algo que se llama mecanismos, en mecánica se utilizan, unos dispositivos 243 metálicos, muchas veces formados por barras articuladas, que se llaman mecanismos, hay un caso particular, un 244 mecanismo llamado 4 barras, ahora si vamos a pasar a la actividad central, lean con atención ese enunciado, ahora si va a 245 aparecer una palabra que a lo mejor no conocían que es Grashof o mecanismo de Grashof… entonces si ya leyeron, 246 resulta que un cuadrilátero articulado, como lo habíamos platicado, puede ser utilizado como un mecanismo, un 247 mecanismo que si cumple ciertas características, en particular en mecánica se le llaman mecanismo de Grashof, un 248 mecanismo en el cual alguna de las barras, pueda dar giros completos, fíjense, yo sigo con esta figura y ustedes creo no la 249 han perdido, el primer cuadrilátero que hicieron el de medidas 5, 7, 8 y 13, el cuadrilátero físicamente se puede construir, 250 pero ahora nos preguntamos será este cuadrilátero un mecanismo de Grashof 251

A = parece mucho 252

M = cuando digo que es un mecanismo de Grashof, me refiero a que por ejemplo si yo le doy un giro, supongo que esto 253 está fijo y si yo quiero girar esta barra, algo así como una manivela, cuando ustedes le dan vueltas a la manivela del 254 parabrisas de la ventanilla, si esto logra dar un giro completo esta construcción puede considerarse como un mecanismo 255 de Grashof, entonces fíjense, hay un comando en el Cabri, que se llama animación, está en el penúltimo, entonces por 256 ejemplo si ustedes quieren animar algo, darle movimiento, yo puedo mover este punto, puedo simular que esta barra de 257 giros, entonces selecciono animación, me apoyo en este punto, no lo suelto oprimo ahí y es como si yo obtuviera un 258 resortito, este resortito yo lo puedo manipular y le va a dar movimiento, entonces para que se mueva lento no lo estiro 259 mucho y miren ahí va, parece que eso es lo que queremos, a caray, esta raro verdad, pero, nosotros queremos, que esa 260 barra la de 5 de revoluciones, chin parece que no puede dar un revolución completa, parece que no la puede dar, entonces 261 esa es la actividad central y es la pregunta, el cuadrilátero si se puedo construir pero eso no me asegura que la barra pueda 262 dar giros, aquí la otra barra que puede girar es esta, si se van cuenta las dos primeras que trazan son libres y las que 263 pueden hacer girar porque acá estas no porque hay un cruce, las obtuve por intersección de dos círculos, entonces esta no 264 puede dar giros, pero voy a tratar de girar la otra, en este caso la grande la de 13, igual con el comando animación, me 265 pongo en este extremo y ahí va, no peor esa más rápido trono el mecanismo, miren hace cosas muy raras, si quisiéramos 266 un mecanismo de esas dimensiones parece que no se va a poder hacer, entonces les sugiero como dice ahí en negritas, 267 sugerencia, traten ustedes de simplemente proponer 4 segmentos, los segmentos A, B, C y D, que de entrada cumplan con 268 el criterio que ya vimos para poder construir un cuadrilátero, propongan 4 segmentos con los que puedan construir un 269 cuadrilátero pero pueden arrastrar un punto con esta herramienta, pueden darle animación, traten de construir un 270 mecanismo que si sea de Grashof, traten de experimentar y como dice ahí traten de encontrar un criterio que les permita 271 saber en qué casos un cuadrilátero si puede ser usado como un mecanismo de Grashof de 4 barras articuladas 272

Entre alumnos: 273

A1 = Ese nunca truena 274

A2 = mmm 275

A1 = ese si funciono 276

A1 = si pero aquí truena 277

A2= hay una parte donde truena no!! 278

A1 = acá 279

93

A2 = donde ya no pasa por abajo 280

A1 = se desaparece ahí 281

M = ese iba muy bien verdad, pero 282

A = pero se truena 283

M = nosotros queremos que pueda dar giros completos esa barra, si lo logramos ya tenemos… haber ese se ve bien… 284 haber ahí hay 2 barras que puedes mover 285

A = mm si 286

M = haber porque no mueves la otra, haber es esta y cuál es la otra, parece que, se comporta me dio raro hace un extraño 287 ese mecanismo pero tu logras que se mantenga todo el tiempo, o sea ya das el giro y tu logras que se esté manteniendo, 288 ese es una buena opción, ya tienes unas dimensiones propuestas para 4 barras que cuando las articulas, ya esperas que 289 alguna ya pueda dar un giro completo o sea las otras barras se configuran de tal forma que le permiten girar 290

A = una pregunta 291

M = que paso 292

A = estoy seleccionando compás y numero y uno de los puntos que yo tengo pero no me traza el circulo 293

M = haber, compás, 294

A = ya trace estos dos 295

M = si te lo traza de hecho ya te lo trazo un montón de veces, sabes que es lo que está sucediendo, que tu estas 296 proponiendo las longitudes iguales, entonces este circulo 297

A = lo trazo varias veces 298

M = exactamente, te lo trazo varias veces ahí 299

A = entonces por ejemplo si quisiera trazar un cuadrado como le hago, bueno o sea de esa forma, utilizando circunferencia 300

M = haber dale uno nuevo, entonces tu en general quieres proponer uno que tenga 4 lados iguales… traza un segmento, 301 ese, te parece que ese sea la longitud de las barras, ahora saca el compás 302

A = ahí esta 303

M = toma el segmento, selecciónalo y traza el circulo, entonces igual que hace rato, o sea traza dos lado s, los primeros 304 dos como que no hay mucho de que pensar, con segmento s, ese ya es un lado de tu mecanismo y ese ya es otro lado, 305 entonces que te parece si seleccionas ahora circulo, porque eso te va a permitir, si abres, si te apoyas aquí y abres acá, 306 aquí, aquí dale clic, ese es otro circulo de radio 4; bueno de este radio, ahora has lo mismo de aquí para acá, ya esta 307 seleccionado, no, bueno ahora ya te cambiaste, circulo, clic en ese punto, clic en el otro y son esta y esta no, 308

A = si 309

M = ahí donde se crucen te da exactamente, lo que tú, nose si es un cuadrado de hecho, no estoy seguro, pero si son los 4 310 lados iguales, entonces puedes ocultar los 3 círculos que trazaste, muy bien ahora tratas de mover a lo mejor, son iguales, 311 verdad y además si tu mueves este segmento, cambian ahí las medidas, las puedes mover como que con libertad, puedes 312 animar el movimiento haber que pasa, parece que todo va bien, ya casi da el giro completo, ok, parece que si verdad, 313 parece que ahí tienes un mecanismo 314

A = aquí para que se mueva 315

94

M = a, aquí hay un pequeño detalle, tus puntos todos son intersecciones, los puntos que no son intersecciones no están 316 libres, para poderse mover, ahí en todo caso lo puedes trasladar, este es el punto que puedes mover, entonces con 317 animación, le das clic y no sueltas el botón para que arrastres el resorte y lo sueltas 318

A = 319

M = a, es que si te das cuenta aquí lo tú estás haciendo es que toda tu configuración, o sea todo él, es rígido para que me 320 entiendas, eso si no cambia de forma y solo lo estas girando simplemente alrededor de un punto solamente, bueno haber 321 muchachos… creo que es un buen momento, tal vez se están preguntando ustedes, que es eso de los dichosos mecanismos, 322 que aquí nos están diciendo que tratemos de encontrar una forma de cómo se pueden construir, miren esto es una 323 animación hecha en un software de ingeniería, esto ya no es Cabri , en la vida real si ustedes agarraran 4 barras, bueno 324 aquí la cuarta barra seria esta, pero uno entiende que el mecanismo tiene que estar fijo en algo, entonces les voy a 325 presentar la animación hecha en un software de ingeniería de un mecanismo de 4 barras, se parece mucho a lo que están 326 haciendo, tal vez ustedes se pregunten donde está la cuarta barra, la cuarta barra va de aquí a acá, repito se entiendo, sino 327 lo tienen que considerar que el mecanismo tiene que estar fijo en algo y por lo tanto una de las barras simplemente la 328 tengo que usar como el ancla sigamos, entonces fíjense, tal vez esto les ayude a entender mejor que se supone que está 329 pasando o que debería pasar con ese mecanismo, debe funcionar y alguno debe de dar no… entonces más o menos esa es 330 la idea, ustedes es lo que están tratando de hacer ahorita, encontrar un cuadrilátero que tenga la capacidad de poder 331 comportarse de esa forma, si se le da movimiento a una de las barras, ok, digamos que los nombres técnicos no son 332 relevantes o muy relevantes pero se los voy a mencionar, la barra queda giros completos, se le llama manivela, uno 333 siempre que piensa en algo que gira como que se le viene ese nombre a la mente, entonces la barra que gira, que impulsa 334 al mecanismo, se le llama manivela en ingeniería, la barra que es fija, aquí en este caso esta, aunque no existe, podríamos 335 considerar que es una barra, se le llama bastidor o bancada, porque esta fijo en algo, la barra que acopla a la manivela con 336 la otra, se le llama barra acopladora porque es la que lo está acoplando y la barra que finalmente como que hace el trabajo, 337 aquí cual es la barra de salida o la que hace el trabajo, esta es la manivela o sea es la que yo muevo a lo mejor con un 338 motor por eso es importante quede giros y esta es la que me está realizando algún trabajo que yo quiero, a esta barra 339 cuando se comporta de esta forma que nada más se balancea, de hecho se le llama balancín y esta barra que su función es 340 acoplar la manivela con la barra que hace el trabajo se le llama barra acopladora entonces, digo para que ustedes sepan 341 que incluso tiene nombres y que si de repente yo ahorita durante la actividad yo digo algo que la manivela, o que la barra 342 acopladora, todos entendamos de que estamos hablando, entonces aquí yo cuando intento que esta sea la manivela resulta 343 que como que se rompería la barra acopladora, no se si lo notan, es cuando desaparece, cuando le trato de dar giros a la 344 manivela, fíjense que lo voy a hacer y lo voy a hacer sin animación, poco a poco por ejemplo si quiero girar en el sentido 345 del reloj como que me permite más, aquí como que va bien, ahí no hay mucho problema miren, está girando, pero por acá 346 abajo, algo pasa por ahí miren, y desaparece por acá abajo, acá igual, miren cuando viene como que todo está bien pero 347 de repente algo pasa y como que, dicen los que dedican a esto que se rompería la barra acopladora, literalmente pudiera 348 ser que se rompiera o que simplemente el mecanismo se trabe y ya no pueda seguir girando y a nosotros son importaría 349 que el mecanismo si gire porque si esta barra, si la manivela esta acoplada a un motor pues el motor va estar 350 continuamente moviéndola y nosotros queremos que la barra de salida pues realice cierto trabajo, ahí ustedes pueden 351 pensar de que les serviría convertir un movimiento de rotación en un movimiento de va i ven, bueno algún uso se le podrá 352 dar, de hecho tiene bastantes usos, pero ahorita lo que nos interesa más es que los usos es como le hago para saber, cuando 353 dadas las dimensiones del mecanismo, si va hacer un mecanismo de Grashof, entonces en esta parte muchachos, este lo 354 que ya hicieron individual, si se pasan a la segunda hoja, y dice al principio, que se observe el video, dice, donde dice 355 tiempo máximo 15 minutos, me gustaría que de manera individual todavía contesten esa parte, dice les preguntan si a un 356 no han logrado hacer un mecanismo de Grashof, creo que algunos sí, creo que algunos otros todavía no lo hicieron, eso 357 ahorita no importa, no se preocupen, lo importe es que observen con atención lo que hayan hecho, ya sean en el caso de 358 que si hayan podido hacer un mecanismo de Grashof o que no, sería importante que escriban ahí, de que creen, de que 359 depende de que una de las barras de una revolución completa, lo que han observado hasta ahorita, su idea de porque si 360 funciona a veces y porque no funciona, entonces escriban eso, porque la siguiente parte de la actividad se va a desarrollar 361 en equipos, esto es lo último que les voy a pedir que hagan de forma individual, escribir lo que ahorita creen que está 362 pasando, en la segunda hoja donde dice algo así; como de que creen que dependa que la manivela, en este caso una de las 363 barras si pueda dar giros completos 364

365

Entre alumnos… 366

95

A1 = que paso de que.. 367

A2 = en este, debe tener dos lados iguales menores al mayor 368

A1 = dos lados iguales menores al mayor 369

A1 = si, para que cuando se queden, mmm, uno a atrás de otro, este pues todavía tengan longitud para 370

A2 = si, si la tienen 371

A3 = este punto, 372

A2 = pero te cambia el punto no… 373

A1 = si es la misma longitud 374

A1 = maldición, ya no entiendo cómo hacerle 375

M = ok, eso se ve muy bien pero hay una observación que te puedo hacer, si te das cuenta la longitud de esa barra cambia 376 y son barras rígidas, no debería de estarse deformando 377

A = Esta 378

M = exactamente, las otras 3 si están bien, pero en la practica el mecanismo es rígido, bueno uno piensa que no se va 379 deformar y que en todo caso sería mínima la deformación por eso las barras se consideran rígidas 380

A = es que no puedo lograr que ese punto se quede fijo 381

M = que paso como vas, 382

A = es que necesito que este punto de acá se quede con ese punto porque muevo y se mueve 383

M = a, eso quiere decir, que cuando tu construiste tu cuadrilátero, este segmento no va exactamente de este punto a la 384 terminación de este otro segmento que es lo que querías, entonces una buena idea 385

A = borrar este segmento 386

M = si, o si quieres, tu quieres construir este cuadrilátero, crees que va a ser mecanismo de Grashof 387

A = puede ser 388

M = si quieres, selecciona todo y borrarlo y lo hacemos rapidísimo, esto no, esto déjalo porque estos son tus datos, ok, eso 389 muy bien, y otra vez, con compas trazas, traza uno de los segmentos, ese sabes que es a donde caiga 390

A = acá, otro 391

M = el de 5 y también va a donde tú quieras de entrada, si quieres oculta estos dos para que no nos vayan a confundir, sale 392 trazaste 2, 5, y quieres repetir un lado, otro de 5 y otro lado de 8, entonces otra vez 393

A = tomas el este 394

M = pues claro y ahora el de 8 395

A = el de 8 396

M = el de 8 porque es el que te falta ahora en el otro extremo, entonces tu cuadrilátero va a cerrar así, porque para acá es 5 397 también y para acá es 8 398

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A = entonces es donde se unen los círculos 399

M = ok, ahí y ahí, esta es tu propuesta del mecanismo, si quieres oculta los círculos para que no nos confundan ahorita, 400 esa es tu propuesta, tu vas a poder mover alguna de las dos barras primeras que trazaste, esa, a ok para que si es un 401 mecanismo de Grashof entonces 402

A = si 403

M = y ya no pasa ese problema de que se separaban 404

A = así 405

M = entonces esa es una buena propuestas, si tu ya quienes alguna idea la escribes aquí, yo creo que el mecanismo va a 406 ser de Grashof cuando pasa tal cosa, o sea si tienes alguna idea 407

A = si tengo algunas 408

M = ok, les voy a pedir de favor que ya no se ponen mucho tiempo en escribir sus conclusiones para que pasen a la 409 siguiente etapa, que es donde van a trabajar en equipo, lo que sí es varios ya lograron simular un mecanismo de Grashof 410 con el software 411

M = muy bien, muchachos les voy a pedir que me pongan un poco de atención, préstenme tantito su atención, como de 412 antemano ya los veo muy interesados en discutir algunas cosas con un compañero, lo cual está muy bien, vamos a pasar a 413 la siguiente parte, dice, bueno si me interesaría que sus conclusiones personales-individuales las pongan de lo que ahorita 414 creen, pero pasemos a la parte de trabajar ya con un compañero, dice que para que tratemos de entender que está pasando 415 porque algunos cuadriláteros trabajan como mecanismos de 4 barras articuladas tipo Grashof pero otros no, los está 416 invitando a que trabajen 3 casos particulares formando equipo con un compañero cercano, lo van a trabajar en binas, 417 cualquier duda nos preguntan, de hecho el primer caso lo quiero abordar yo y que me vayan siguiendo, es un caso en el 418 que algunos de manera individual ya habían abordado, el primer caso nos dice y si suponemos que las 4 barras son 419 iguales pues porque no, entonces fíjense, síganme por favor aquí, algunos ya lo hicieron en individual pero de todos 420 modos quiero que lo tomemos como ejemplo para que los otros dos caso los desarrollen en equipo en binas, entonces si 421 yo, mi propuesta es que el mecanismo tenga 4 barras de la misma longitud, lo que puedo hacer es esto, en vez de dar una 422 medida en particular, yo doy un segmento que para mi represente la longitud que voy a utilizar para construir el 423 mecanismo que espero que sea de Grashof, entonces procedo de la misma forma; tomo e compas y trazo por acá un 424 circulo y aquí no voy a tener que hacer tantos trazos porque las longitudes son iguales, yo se que los primeros dos lados 425 son un tanto libres y los trazo sobre la misma circunferencia no tengo que cambiar, entonces eso ya esta, ahora los otros 426 dos lados siguen siendo de la misma longitud, tengo que apoyarme aquí y aquí, para trazar círculos con el mismo radio, 427 entonces lo que puedo hacer de hecho es cambiar la herramienta de compas a circulo simplemente, cambio la herramienta 428 a circulo porque yo ya tengo definido el radio, me apoyo ahí que sería el centro y abro hacia este punto y ahora hago lo 429 mismo apoyándome aquí como centro y abriendo para acá, entonces el cruce de estos dos últimos círculos aquí me da ya 430 la construcción donde cierra el cuadrilátero y tengo el mecanismo que espero que sea de Grashof, déjenme ocultar esos 431 círculos, hace rato alguien me decía, es que quiero hacer un cuadro y yo digo no estoy seguro que vaya hacer un cuadrado 432 lo que si estoy seguro es que es cuadrilátero de 4 lados iguales de hecho, ustedes que dicen es cuadrado, tiene que ser 433 cuadrado de hecho, 434

A = no 435

M = no tiene que ser cuadrado, muy bien, pudiera ser cuadrado pero ni si quiera me interesa que lo sea, lo que me interesa 436 es que una barra, por ejemplo voy a tomar esta como manivela, me interesa que pueda dar giros completos, entonces 437 vamos a ver si con el comando animación, bueno va a una velocidad un tanto lenta pero sirve que vamos viendo el 438 comportamiento, pues hasta ahí todo va bien la manivela se está moviendo en el sentido contrario al reloj, ahí paso algo 439 curioso verdad, como que las cuatro barras se juntan pero sigue girando 440

A = puede ser algo proporcional 441

97

M = sigue girando, sigue girando, que tipo de figura dirían ustedes que es, o sea aquí lo que estamos viendo es un familia 442 de cuadriláteros con lados iguales, como clasificarían todos estos cuadriláteros que se van formando, pudiera haber un 443 caso, bueno si le tomamos una foto cuando este ángulo sea recto, más o menos por ahí, o sea si le tomamos ahí la foto 444 diéramos que es un cuadrado ahí sí, pero en general se forma todo una familia de cuadriláteros de lados iguales y que tipo 445 de cuadriláteros son, nose si tengan alguna idea 446

A = romboides 447

M = que es un romboide 448

A = No son paralelogramos 449

M = a paralelogramos, a que te refieres con paralelogramo 450

A = que los lados son paralelos 451

M = que en todo momento los pares de lados son paralelos me dices, puede ser que si, sería algo que tendríamos que 452 verificar, ustedes a lo mejor lo que están observando, es que es cuadrilátero, este mecanismo que parece que si es Grashof, 453 se comportan muy diferente al de la animación del video o a algunos otros, donde la barra, si se acuerdan esta es la 454 manivela, esta es la barra acopladora y esta es la, se suponen que nada mas debería de hacer esto, un va i ven y aquí vemos 455 que también aquí está girando, bueno les platico rápido, las locomotoras antiguas se basaban más o menos en este 456 principio, una rueda al empezar a girar tenía que impulsar a todo el otro juego de ruedas porque tenían varias, entonces de 457 hecho, mecanismo de este tipo, se utilizaban para impulsar las ruedas de las locomotoras antiguas, entonces si tiene 458 sentido y entonces nos hace ver que si es un mecanismo tipo Grashof, bueno ahora sí, ya que están platicando, agárrense 459 una parejita, si alguien no tiene equipo y dice yo sobre, no importa trabajen 3 y bueno, el caso 1, como les dije yo lo iba a 460 abordar y yo hice la construcción, pero sus conclusiones, discutan ahora en equipo y pongan ahí que concluyen de este 461 caso en particular, cuando las 4 barras son iguales, porque creen que es un mecanismo Grashof y aborden el caso 2 y el 462 caso 3, cualquier duda aquí estoy yo o mis compañeros, pero ahora sí, hace rato ya estaban muy animados platicando y 463 discutiendo algunas ideas, aborden los dos siguientes casos y discutan las ideas que tengan al respecto, lo importante es 464 encontrar o estamos buscando un criterio general, por ejemplo parece que cuando las barras son iguales, ya tenemos un 465 mecanismo de Grashof, pero las barras no tienen que ser necesariamente iguales 466

467


A1 = esta barra mide 2, 3 y 4, esta última longitud debe de sumarlas para que me den vueltas completas 469

A2 = 2 + 3 + 4 = 9 470

A1 = exactamente, para que no se rompan, o sea esta la puedes hacer así de 9, entonces como esta al girar va a medir la 471 dimensión de estas 3 juntas, no se va a romper 472

A2 = no, no, hay un pequeño error que tienes, permíteme, porque si esta mide 9, créeme que tus 2 de aquí, tus 3, no van a 473 llegar acá, a un si la haces de forma pitagórica, ok, tenemos estos dos, vamos a intentar hacerlo sin tantos transito, es más, 474 este está recto, te parece bien, este tiene 16, entonces este es la hipotenusa entonces 4 x 4 son 16, 9 x 9 son 81, entonces 475 esto va hacer lo que nos va a dar la otra longitud, 16 + 81 es 97, raíz de 97, 476

A1 = no, no, por ejemplo si mueves este segmento 477

A2 = para que sea método de Grashof, estas 3 longitudes debe ser mayor a esta, si da 10 jala, si este es 3, aquí ya da 10, 10 478 es mayor que 9 479

A1 = pero al momento que sean coplanares todos, se va a romper, porque este está más largo, mide más que este 480

A2 = no porque por eso están los ángulos 481

98

A1 = si, pero al momento que todos sean colineales, estos 3 van a medir este 482

A2 = no tiene porque serlo, las ruedas de un ferrocarril 483

A1 = no pero chécalo, tan solo ahí, 484

A2 = ese es un ejemplo, yo había sacado el mismo, mira este su tránsito, ve como está el lugar como están las llantas, este 485 el sistema, ves que esta esto así, ves que esto va dando vueltas y aun así se va moviendo todo el sistema, aquí si estos 3 486 lados son mayores que este, tienes la opción de que, de que cuando va a hacer esto, va a regresar, tal vez no se quede en lo 487 que es la recta pero va a quedar arriba, o sea esto se va a bajar con una ángulo de inclinación 488

A1 = entonces si esto mide lo mismo como te dije, este nada más se va a mover a acá, se va a estar moviendo así y no se 489 va a romper, este es el que va a estar girando 490

A2 = quieres que se gire o que se gire esto para que se junte con lo de acá 491

A1 = este es el que va a girar, este va a dar 492

A2 = hasta los 3 no, mira, este de 3, otro de 3, necesitamos uno de 4, pero este lo ponemos por acá y este de aquí debería 493 de ser de 9 aproximadamente, este su movimiento va a ser a partir de este aproximadamente, ok 494

A1 = cual va a girar, 495

A2 = vamos a decir que gire este, cuando gira para acá, esta se desplaza hacia allá 496

A1 = por eso pero al momento que esta, sea coplanar con esta 497

A2 = no tiene porque serlo 498

A1 = pero es que este va a girar, va a estar revolucionando, entonces al momento que este coincida con este, tienes que 3 y 499 4 son 7 y no va a alcanzar a dar una vuelta 500

A2 = y no tenemos estos 3 de aquí, nos da 10 en total 501

A1 = por eso, al momento que este sea coplanar con este, se tocara con este 3, este 3 no y 4 de este son 7 y estos son 9 se 502 va a romper, 503

A2 = así si, podemos cambiar esta por 5 504

A1 = por eso es lo que te estoy diciendo, esto 505

A2 = tu aquí lo hiciste con 2, si trabajamos aquí con 5 506

A1 = acá 5 y 3 507

A2 = si a la hora de girar 508

A1 = son 2 509

A2 = si, si estás bien, 5, 4 y 3, 9 510

A1 = ahí si no se va a romper 511

A2 = y va a sobrar lo que es un espacio 512

A1 = no va a ser exacto, porque si haces la suma, 513

A2 = vamos a hacerlo, si esta correcto 514

99

A1 = si o no lo que te decía 515

A2 = yo lo entendí de otra forma, en particular 516

A2 = acá mira, de la forma en que te digo, que gire esta o que gire esta, si esta gira, si esta barra gira la más pequeña, esta 517 nada mas va a tener un movimiento de va i ven, cierto o no, incluso si esta grande gira, si se va a romper 518

M = me gustaría que si se reúnan con alguien, cuando menos 2 o 3, si alguien sobra, si quieren cambiarse de lugar 519 adelante, ya lo que resta de la actividad van a estar trabajando con algún compañero 520


A1 = si te dije si la suma de este y este es mayor que el acoplador y esta, si lo haces más pequeño 522

A2 = no, entonces debe ser mayor, la suma de estos dos debe ser mayor que el otro 523

A3 = su suma cuanto es 524

A1 = 6 y 5 525

A2 = haber si le pongo 6, 526

A1 = si sale porque su suma no debe, ya vez no se pierde 527

A2 = entonces, ya esta 528

529

Entre alumnos… Agustín 530

A = haber está bien este de 4, o ahí no mide 4, si ahí está, mide 4, no salió, porque no me salió 531

M = haber, ahí son 4 lados iguales no, 532

A = si pero no sale 533

M =haber 534

A = aquí nada mas aparece una parte 535

M = como la construiste, igual que ahorita con círculos 536

A = puse un segmento y trace círculos 537

M = cual trazaste primero 538

A = este de acá 539

M = de ahí trazaste ese y ese con ese mismo círculo, luego 540

A = después con ese mismo circulo trace el de aquí y el de acá y a unir segmentos 541

M = este lo hiciste de aquí para acá o de aquí para acá 542

A = de aquí para allá 543

M = a, creo que es eso, lo haces de aquí a acá y de acá para acá, haber checa la construcción 544

A = como borro 545

100

M = porque a veces puede ser ese pequeño detalle y como lo pusiste 546

A = de aquí para acá 547

M = y luego de ese punto con este otro punto, ahora sí, los círculos ya los borraste verdad, ahí está ahora vamos a hacer la 548 animación, no, igual desaparece de este lado, se supone que lo hiciste como él, cono compás, que lo hagas ahora con 549 compás 550

A = o sea si lo hice con compás, trace un segmento y ya trace con compás 551

M = tienes la instrucción para que nos anime todo lo que fuiste haciendo, el orden, se llama que, 552

A = no se 553

M = hay una 554

A = pues hay que voy ver a hacer este no, 555

M =haber otra vez, vuelve a poner el primer círculo, si a veces el orden cambia tantito y ya no te da 556

A = ahí está, trace un segmento 557

M = trazas 2 de una vez, lo que sería la manivela que es esa, ahora, ahí ya es con circulo, ya no es con compás, porque se 558 supone que ya tienes la medida, ahora une los segmentos pero en el orden que habíamos comentado, de ahí a la 559 intersección, ahora si ya 560

A = ok 561

M = ahora si ya no, 562

A = si 563

M = se supone que fue igual, cual fue la diferencia 564

A = que para a hacer estos 2 use compás, pero cuál es la diferencia 565

M = se supone que no hay diferencia, en este caso ya habíamos nosotros descubierto que lo haces con circulo o ya tienes 566 la medida y ahí si no hay ningún problema 567

A = Porque igual incluso en el anterior, trate de hacer uno con medidas iguales y no se podía 568

M = en teoría tiene que salir siempre, porque se supone que cumple la ley de Grashof, de entrada la cumple 569

A = la suma de estos dos lados es igual a la suma de los otros dos lados 570

M = bueno ahora se requiere que lo comenten entre ustedes y hagan el caso 2 y el caso 3 571

572


A1 = ya vi un factor 574

A2 = este factor 575

A1 = si 576

A2 = mira no te la sabias, ya aprendí 577

101

A1 = entonces la barra conectora y este tienen que ser mayor que la manivela y el soporte 578

A2 = si, o iguales 579

A1 = o iguales, si también iguales 580

A2 = haber si los hago que sean iguales, entonces a esta vamos a ponerle 2, 6 y 4 a esta, no 5 y 3, chécate que tal funciona 581

A1 = si, si funciona 582

A2 = ¿por qué no funciona? 583

A1 = porque tienes dos puntos diferentes, mira dale ahí donde dice que objeto y dile 584

A2 = pero qué punto? 585

A1 = no, borra todo eso, selecciona todo y bórralo, no, elimina ese punto para que no estorbe y el otro de allá, ahora pon 586 tus 4 líneas 587

A2 = así, 588

A1 = ahora una larga, traza tus segmentos, toma ese segmento y con compas, ahora esa 589

A2 = esta es la que esta fija no, 590

A1 = si, ahora el circulo de ese, no... Bórralo 591

A2 = tranquilo, este aquí y ahora este va acá 592

A1 = no salió 593

A2 = dale control “z”, y ahora traza el otro, el de arriba, ahora júntalo, ahí, de ahí a la intersección ahora el otro punto, ya 594

A1 = ahora, ponle el resortito, uy se rompió, acórtala 595

A2 = esta, no esa hay que hacerla más larga, acorta la otra, ahora trázalas, en las intersecciones de los círculos son los 596 segmentos, entonces de ahí a la intersección y de ahí al otro punto 597

A1 = ya esta 598

A2 = ahora ocúltalos y ponle el resortito en ese punto, uy se rompió, acórtala y esa mas grande, más, más, por ahí, ya esta 599

A1 = ya funciono 600

A2 = entonces este es el balancín 601

A1 = entonces la suma de este que está fijo y la manivela 602

A2 = la manivela y la fase 603

A1 = la suma de esas longitudes debe ser mayor o igual que la suma de los otros dos 604

A2 = menor 605

A1 = no mayor o igual 606

A2 = no menor, mira la suma de este y este dan 5 y algo y las otras dan 10 y algo 607

A1 = entonces la suma debe ser menor o igual 608

102

A2 = por eso, eso te estaba diciendo y tu decías que mayor 609

A1 = entonces la de la barra y la manivela 610

A2 menor o igual que las otras dos 611

A1 = ya esta 612

613

Entre alumnos… Rivelino 614

A1 = A ver, primera consideración 615

A2 = Para este primer caso, con la guía del profesor, construyan un mecanismo de 4 barras articuladas, en el cual las 616 cuatro barras tengan la misma longitud y anoten sus conclusiones, que le ponemos 617

A1 = la diferencia entre el lado fijo y la manivela, tiene que ser igual a la del coplador y a la de, no me acuerdo, como dijo 618 que se llamaba 619

A2 =no se, entonces si le ponemos, la diferencia entre 620

A1 = si mira, por ejemplo aquí, igual en el otro si le ponemos 10, si gira 621

A2 = si gira, sigue girando no, 622

A2 = entonces si funciona, cuando la diferencia es la misma, siempre y cuando estos dos lados sean más grandes no, 623

A1 = o sea los opuestos 624

A2 = si mira ahí la diferencia es una línea recta y sigue girando, digamos que la manivela y el lado fijo deben ser menos a 625 los lados opuestos, pero las diferencias deben ser iguales, a pero 626

A1 = bueno esta es la conclusión de esta no, como le ponemos 627

A2 = para que el mecanismo de Grashof funcione, la diferencia entre el lado fijo y la manivela debe ser igual 628

A1 = o mayor no, 629

A2 = haber, no, si es mayor, desaparecen 630

A1 = entonces la diferencia debe ser no mayor a la diferencia del coplador 631

A2 = y como se llama el otro lado 632

A1 = debe ser mayor o igual a la diferencia de la barra copladora y 633

A1 = como se llama esta barra que une, 634

M = la une la manivela con la que hace el trabajo, esta le llaman barra copladora 635

A1 = no la otra 636

M = esta, depende, si esta oscilando, si ya tienes el mecanismo que oscilando, le llaman balancín 637

A1 = balancín 638

M = si así se le llama porque, nada mas hace eso oscilar, hace como que una barrida, ahí no aguanta 639

103

A1 = ya vimos porque y así es cuando ya funciona 640

A1 = entonces el balancín 641

A2 = pero aparte deben de cumplir la otra condición no, que lados opuestos sean 642

A1 = para que el mecanismo de Grashof funcione, la diferencia entre el lado fijo y la manivela debe ser igual o mayor que 643 la diferencia de la barra acopladora y el balancín 644

A2 = y la barra fija debe ser menor 645

A1 = debe ser menor que la acopladora no 646

A2 = acá y que la manivela sea menor que el balancín 647

A1 = o sea la manivela es menor que esta no, 648

A2 = acá 649

A1 = oye también la diferencia de su ángulos tiene que ser la misma, es decir este con este y este con este tiene que ser la 650 misma de este con este no, haber chécalo 651

A2 = haber 8, 10 652

A1 = auméntale 1 653

A2 = pero acuérdate que ya no nos va a dar, haber 6, 9, 7, 11 654

A1 = pues salió lo mismo, si la diferencia entre los lados es la misma 655

A2 = entonces le ponemos, como le ponemos 656

A1 = la diferencia entre, 657

A2 = otra condición es la diferencia entre el acoplador y el lado fijo debe ser igual a la diferencia entre el balancín y la 658 manivela no, haber espérate, voy a ver qué pasa si le aumento y me da la diferencia entre este y este 659

A1 = si es menor también 660

A2 = si es menor la diferencia entre ambos 661

A1 = si es menor la diferencia entre el acoplador y el balancín 662

A2 = si funciona así 663

A1 = la diferencia es de 1 y la diferencia entre ambos es, ahora que pasa si esta cosa en lugar de 7 es 9, mmm ya valió, si 664 ya no, entonces esta diferencia debe ser menor o igual no, 665

A2 = con 9 desaparece 666

A1 = haber con 5, aquí la diferencia 667

A2 = es 1 y 2 668

A1 = si mira deben ser deben ser menor e igual 669

A2 = pero la del acoplador con el lado fijo 670

104

A1 = si mira la diferencia del acoplador con el lado fijo debe ser menor o igual que la diferencia con estos, mira aquí la 671 diferencia es menor 672

A2 = que pasa si le cambiamos ahora al revés, cámbiale… ahora la diferencia entre uno y otro, es decir esta diferencia es 673 menor o igual que esta 674

A1 = ahora, esta de aquí es menor… 675

676


M = 5, 5, 4, 9, haber la volvemos a intentar hacer, 5, 5, 4 y 9, haber cual es la que usaste como manivela, 678

A1= esta 679

M = con compás la de 5, o cual estabas usando 680

A = no me acuerdo con cual el sistema funciona 681

M = ok, tu ahí estas introduciendo 2 barras de la misma longitud, es una de las cosas que estoy viendo la de 5, si tenias 2 682 de 5 verdad, aquí podría poner la otra de 5 de hecho de una vez, esa sería tu propuesta, 5 y 5 y ya está, fíjate que ahora 683 esta puede ser candidata a manivela, aquí puede girar, no hay problema, esta es otra candidata a manivela, igual puede 684 girar, entonces ahí como que vamos bien, ahora necesito terminar la construcción con la de 4 que puede ir aquí o acá, se 685 me ocurre que vaya aquí y la de 9 que ahí si no hay de otra, la de 9 tiene que ir acá y yo buscaba este cruce, porque de 686 aquí para acá hay 4 y de aquí para acá hay 9, entonces esa es una propuesta con las dimensiones que tu das de 5, 5, 4 y 9 y 687 ahora esperamos que la animación funcione, porque este punto puede girar en torno a este, entonces ahora si debe permitir 688 ver su funcionamiento 689

A = … 690

M = ok aquí una sugerencia, para que no estén introduce e introduce números a cada rato otra sugerencia es esta, si tu 691 quieres construir un mecanismo, si te dicen, tienes 4 barras, dime si con esas 4 barras es posible construir el mecanismo 692 de Grashof, vamos a dar los segmentos, sin importarnos mucho la longitud, yo doy 4 segmentos, por darlos de hecho los 693 di diferentes, nada mas por alguna razón y con esos segmentos construir el mecanismo, esa va hacer mi candidata a 694 manivela y se me ocurre que el más grande, el que se ve más grande, se me ocurre que sea mi candidato al eslabón fijo al 695 que no se mueva, el que esta fijo en una maquina tal vez, entonces ahí está, hice este e hice este, ahora tengo que acoplar 696 este aquí, y este 697

A = del otro lado 698

M = exactamente, ahí esta la intersección que yo buscaba, cual es entre comillas la ventaja de hacerlo así, la siguiente, yo 699 por ejemplo animo y espero que el mecanismo funcione, a no funciono, entonces vengo acá y digo haber a lo mejor la 700 manivela la hago más chiquita, haber que pasa y animamos, haber ahora que sucede, vamos a ver, ahí está ese mecanismo 701 sería uno que si nos interesa, se parece incluso mucho al del videíto que les pase en el software de ingeniería, entonces 702 ahora uno dice, este mecanismo si es de Grashof, porque se comportará así, tú dices pues, hace rato te interesaba mucho 703 las dimensiones pues podemos seguir, de hecho aquí directamente no, lo vemos acá más directo, o sea este segmento es 704 este, o sea las dimensiones se las podemos pedir al software y tú dices a ver qué pasa si cambio las dimensiones, a lo 705 mejor dices, la barra acopladora; si es grande el mecanismo no funciona, la barra acopladora es esta, fíjate ahí 706 directamente el único que modifico es la barra acopladora y dices a ver qué pasa si la barra acopladora cambia, no paso 707 nada, bueno es otro mecanismo pero siguió funcionando, entonces ahí como que más claramente te das unas ideas porque 708 ya tienes marcadas dimensiones, tu puedes manipular acá manipular tus barras y no tiene que estar introduce e introduce a 709 cada rato números, ahí nada mas si quieres arrastrar con esa instrucción 710

711

712

105


A1 = que es eso 714

A2 = como te decía 2 y 3 son 5 y 7 es el más largo, entonces ahora este, cual es que tengo que animar, es este, 715

A1 = depende cual sea tu barra acopladora, cuál es tu barra fija 716

A2 = es este 717

A1 = a bueno entonces esta se va a quedar fija, y cuál es la que se va a mover, cual es la manivela 718

A2 = esta 719

A1 = entonces agarra ese, no la sueltes, ok ahí está, se truena porque estos dos se mueven, se supone que no se deberían 720 de mover 721

A2 = no sabes que esta se está haciendo más larga 722

A1 = igual lo podemos hacer con el Maple, igual te permite animaciones 723

A2 = bueno en si lo que pienso yo siento que es, cierto o no 724

A2 = ya les salió 725

A3 = no 726

A2 = es que por ejemplo tienes estos dos, este es el más largo no, sumas estos dos y este, son 9, entonces este tiene que ser 727 exactamente 9 para que funcione y pueda girar y no se va a romper 728

A3 = no como, 729

A2 = es que al momento, por ejemplo aquí cuando son colineales, en ese momento debe de medir los 3 juntos deben de 730 medir la longitud del más largo para que no se reviente, cuando son colineales, en el momento que son colineales 731

A3 = seria como el primero que hicimos no, 732

A2 = acá, bueno cuando gira, por ejemplo cuanto les da la suma 733

A3 = la suma de estos dos debe ser la misma que la de estos dos, si porque intentamos con otros y no nos da 734

A2 = como, como 735

A3 = acá, este y este si los sumas te da lo mismo si sumas este y este 736

A2 = aaa, si por eso, debe ser porque por ejemplo cuando este está exactamente colineal todo, debe ser la misma longitud, 737 por ejemplo estos dos y estos dos deben dar lo mismo o como te digo los 3 debe ser la misma longitud que uno 738

A3 = a parte el que debe de girar es el que tiene menor longitud 739

A2 = exactamente, el que tiene menor longitud es el que debe de girar, si giras el grande pues se va a tronar 740

A3 = que pasa si gira otro 741

A1 = el sistema funciona a partir de que la base y el cómo se llama, estas tenga la misma longitud y sin importar que estas 742 sean diferentes, inténtalo 743

A2 = lo voy a volver a hacer todo 744

106

A1 = esta y esta son las que se van a mover 745

A2 = ahí por ejemplo, la suma de los dos que se están moviéndose 746

A1 = da 5 747

A2 = bueno por ejemplo ahí, no queda coplanar porque una longitud es mayor que las otras dos completas, bueno es que 748 si sumas dos 749

M = fíjense que algunos de repente si se fueron un tanto por la libre, o sea otros si vi que estuvieron analizando estos dos 750 casos particulares, miren el caso dos, nos dice que si tengo solamente dos barras distintas, decía a = b y c = d o a = c y b = 751 d, entonces por ejemplo, yo aquí estas dos longitudes que di son distintas y hay dos formas de acoplar las 4 barras o de 752 hacer dos mecanismos distintos, este sería uno donde las dos barras iguales son las que se conectan, se ve que si funciona 753 aunque hace cosas me dio raras y la otra forma esta las barras opuestas sean las iguales como aquí, esta con esta y esta con 754 esta, como que ahí funciona más bonito el mecanismo, bueno se parece de hecho mucho en alguna parte de su 755 movimiento a lo que hicimos en el caso 1, cuando las 4 barras eran iguales, en el sentido de que en esta parte parece que 756 es un paralelogramo igual no, toda esta parte la configuración se comporta como un paralelogramo, así ya se cruzan las 757 barras y pasa algo me dio raro, es decir no da la vuelta completa la otra barra sino que regresa y acá pues como que la que 758 mueve como que arrastra a totalmente a la otra, fíjense y además como que teletransporta al mecanismo, ya vieron, si 759 como que aquí nos hace trampa, este me gusta menos que el otro pero en apariencia son mecanismo de Grashof , en 760 apariencia una de las barras si puede girar, ahorita van a ver lo que les digo como se teletransporta, pero ya vieron que 761 además se juntan ahí, ya vieron, eso como que no lo haría en la realidad, esta raro porque creo más que podría 762 comportarse así y además aquí creo que no es muy difícil justificar que en toda esta parte la configuración es un 763 paralelogramo también, bueno ese es un caso, me gustaría que con un poco, si no lo han hecho con un poco de más orden 764 en cuanto a lo que planeamos para hoy, aborden el tercer caso, ahí de plano las 4 barras ya son distintas y les da unas 765 medidas en especial, en el caso 3, que está en la tercera hoja, dice, haber piensa que una barra, la barra A mide 2, la barra 766 B = 7, C mide 4 y D = 5, y hay dos formas también de configurar ese mecanismo, nos dice que exploremos el caso en el 767 que la suma de A y B es igual a C y D o que la suma de A y C es igual a la suma de B y D, entonces traten de explorar ese 768 caso si no lo han hecho y haber que cosas concluyen, yo ya he escuchado y algunos ya tienen como que muchas ideas 769 sobre qué es lo que debe pasar para que si de giros completos la manivela, entonces vean con calma ese caso, 770 constrúyanlo y discutan en equipo que es lo que pasa, ahí lo pueden construir de dos formas, de hecho me gustaría que 771 hicieran las dos formas y vean de ambas formas funciona o no funciona, entonces váyanlo trabajando por favor como 772 estén en equipo con esas medidas en particular para que ahí así todos de alguna manera tengamos algo similar, el caso 3, 773 A vale 2, B vale 7, C vale 4 y D vale 5 nos dice 774

775


A1 = que es posible el mecanismo de Grashof con 4 lados iguales 777

A2 = cuáles son tus conclusiones 778

A1 = es posible crear un mecanismo de Grashof 779

A2 = que no me convence, o diría que no 780

A1 = es que porque está mal dibujado, bueno no mal dibujado sino que la ubicación, si esto no pasa acá, cuando esta cosa 781 gire, llega acá su máximo entonces esto se iría para abajo y este tendría que bajar, pero el programa te lo tiene que acotar, 782 realmente en la realidad debería de ocurrir que este pase por atrás, entonces sigue no, 783

A2 = entonces 784

A1 = mira por ejemplo el que continua es este punto, no es este, entonces este punto debería de seguir así y el otro por 785 acá, realmente, o sea que si existe pero el programa no, digamos que no te “experiencia” 786

107

A2 = experiencia, entonces 787

A1 = es posible crear un mecanismo de Grashof de 4 barras iguales, que más 788

A2 = pues ese es el caso en el que todas sean iguales 789

A1 = y el caso en el que sean desiguales también es posible no, 790

A2 = que pasa cuando A es igual a B 791

A1 = mira aquí también es raro no, aquí también da todo, no hace esto realmente, lo que haría es que se iría acá 792

A2 = no si haría eso, este no está creciendo 793

A1 = no, no está creciendo, mira aquí tiene una aceleración muy fuerte, lo podrías utilizar como una catapulta 794

A2 = no, el software no lo hace físicamente, es decir da la vuelta pero el software no lo hace 795

A1 = entonces el software es chismoso, no si lo hace 796

A2 = ok si podría hacerlo pero realmente esto también lo podría hacer, mira si aquí no golpeara, si en este punto no 797 golpeara en el punto rojo, si no golpea entonces esta cosa puede pasar sobre él, mira esta así, 798

A1 = ya te entendí 799

A2 = si puede 800

A1 = como si este punto estuviera pegado a la pared 801

A2 = pero que no rozara, o sea estos están libres 802

A1 = este punto está aquí y lo que hace es flotar aquí en el aire, este punto daría toda la vuelta así, entonces el software es 803 chismoso 804

A1 = si 805

A2 = entonces eso hay que anotar 806

A1 = te convenció o no te agrado, 807

A2 = es que se debe poder con el software 808

A1 = es que esto que hace seria bien cañón y es que es el tiempo que lleva la aceleración y la velocidad, lo que se tarda en 809 llegar, toda la vuelta y regresa más rápido, si te fijas la distancia que hay de este punto a este punto, es menor que la que 810 hay en dar toda la vuelta, entonces de cierta forma tiene que regresar más rápido 811

812

813

Entre alumnos… Marco 814

A1 = si mira yo le puse a, b, c y d, uy en ese punto se van para allá, se disparan, no se ven muy raro, nada mas como que 815 llegaría aquí de ahí se regresa 816

A2 = y cuál es su diferencia ahí 817

A1 = diferencias, 2, 2, son las mismas no, 818

108

A2 = si funciona 819

A1 = haber lo que le habías puesto anteriormente 820

A2 = que la diferencia tenía que ser igual o menor 821

A1 = igual o menor, aquí la diferencia entre el balancín y esta son iguales…. 822

M = esto se ve interesante, que se te ocurrió ahí, 823

A = una línea que uniera a estos dos vértices y para poder observar mejor lo de los ángulos 824

M = a perfecto tu ya pensaste en dividirlo y formar 2 triángulos, o sea un cuadrilátero si trazas una diagonal 825

A = va variando, es que por ejemplo aquí no está así la figura, pero cuando la suma de estos 2 lados y de estos dos lados 826 es la misma, cuando esto va girando así, esta diagonal, digamos que esta es igual que esta, cuando esta de aquí forma un 827 ángulo de 0 o de 180 grados con este, o sea esta de aquí va a quedar encimada, ahí es donde quedan sobre puestas 828

M = muy bien esa es una muy buena idea, de hecho se me hace muy buena, les parece si la compartimos, ya casi 829 terminamos, haber acá me acaban de platicar una idea que se me hace interesante y como ya casi terminamos, lamento que 830 no puedan extender más la actividad porque de hecho estaba para más, como dicen sus compañeros este ángulo es crucial, 831 bueno ver los ángulos es algo interesante, entonces en Cabri lo que no permite ver, es que cuando este ángulo de hace de 832 180° es cuando el mecanismo no podría funcionar o en su defecto es cuando las 4 barras se sobre ponen y entonces dicen 833 sus compañeros, vamos a tratar de analizar qué pasa con ese ángulo, ellos proponen lo siguiente, ello proponen trazar una 834 diagonal, obviamente cono esta diagonal como el cuadrilátero no esta estático, como el cuadrilátero se deforma, esta 835 diagonal va cambiando de hecho dicen, llega un momento en que esa diagonal vale exactamente A + D o llega un 836 momento en que esa diagonal vale A – D, puede ser y quieren encontrar relaciones de entre estos lados y este ángulo, 837 bueno obviamente uno también piensa en este ángulo, que de hecho en términos prácticos este ángulo importante, hecho 838 pueden pensar que este ángulo es un dato que les dan, por ejemplo el ángulo theta, es un dato que les dan porque ustedes 839 en algún momento le toman a lo mejor un fotografía al mecanismo y dicen, ahorita el ángulo entre la manivela y el 840 estacionado o el fijo es tanto y lo que quieren ver es como se está comportando el otro, pensemos que este es el ángulo 841 que nos interesa y que A, B, C y D y este ángulo son datos, que relaciones se les ocurre que pueden encontrar con los 842 datos, con esos 4 lados y este ángulo para tratar de involucrar a este y vean aquí que ya se les ocurrió la idea de trazar la 843 diagonal, que aunque cambia, nose le podríamos llamar por ejemplo épsilon a esa diagonal, de entrada me dicen es que ya 844 hay dos triángulos, que pueden hacer entonces para involucrar a la incógnita o al dato que queremos estudiar, tienen dos 845 triángulos, tienen sus lados de hecho, digamos que los lados, épsilon varia, épsilon va a cambiando eso sí, A, B, C y D 846 son datos fijos, teta varia pero podemos pensar que en momento particular que no lo dan como un dato de entrada, haber 847 algo que se les ocurra algo que recuerden de sus cursos de matemáticas, fíjense tienen dos lados y tienen el ángulo entre 848 ellos y pues acá hay un lado que no conocen muy bien, pero haber dos lados de un triángulo y el ángulo entre esos lados 849

A = ley de cosenos 850

M = ley de cosenos, les parece, entonces ley de cosenos, que les parece si escribimos la les de cosenos para este lado, 851 porque conocemos A, D y teta y queremos entonces saber épsilon, entonces el cuadrado de épsilon.. eso es verdad y yo 852 creo que ustedes están pensando que también pudo hacer lo mismo para el otro lado, porque B y C son datos y ahí me va a 853 parecer este que me interesa, entonces la ley de cosenos escrita para el otro, la otra parte del cuadrilátero y este ángulo es 854 el que me interesa, no importa cuánto valga épsilon ni cuánto valga el cuadrado de épsilon, tengo dos expresiones que me 855 relacionan épsilon, que les parece si las igualan y me dicen en términos de todo lo que obtengan cuánto vale gama, ya van 856 a poder saber cómo encontrar este ángulo y es un ángulo muy importante ya en el contexto de los mecanismos a este le 857 llaman ángulo de transmisión y de hecho cuando se construye un mecanismo hay que tener cuidado entre que valores y 858 que valores va a oscilar ese llamado ángulo de transmisión, entonces haber quien me dice… Marco hasta ahí porque si no 859 van a llegar tarde a su próxima clase. 860

109

APÉNDICE E. CONDENSADO DE RESPUESTAS A LA GUÍA DE LA 861

ACTIVIDAD 862

Preámbulo 863

Abre el software de geometría Cabri Geometry y construye lo siguiente de forma 864

individual: 865

866

a) Un cuadrilátero de lados 5, 7, 8 y 13 centímetros. ¿Tuviste alguna dificultad? 867

1. No mucha 868

2. Solo un poco 869

3. No 870

4. No 871

5. Solo al principio 872

6. Poca 873

7. Poca 874

8. Si 875

9. No contesto 876

10. Si 877

11. Al principio 878

12. A little 879

880

Compara el cuadrilátero que tú construiste con el de tus compañeros más cercanos. 881

¿Hay diferencia? 882

1. Si 883

2. Si 884

3. Si en algunos casos 885

4. Si 886

5. En la forma y posición 887

6. Si 888

7. No 889

8. Si en la forma 890

9. Si 891

10. Si 892

11. Si 893

12. Yes 894

895

En caso de existir diferencia ¿a qué lo atribuyes? 896

1. A que la suma de los lados con menor longitud es mayor a el lado con mayor longitud y 897

se pueden acomodar en distintos ángulos para obtener el cuadrilátero. 898

2. A la selección de los puntos que se eligieron 899

3. A el orden de selección de los números 900

4. Solo es una rotación y también hay variación en los ángulos internos 901

110

5. A los ángulos que se forman entre las rectas 902

6. Que cada compañero partió con distintos lugares y distintos ángulos. 903

7. No hay diferencias 904

8. A las diferentes formas de construirlo 905

9. Al ángulo al que se colocan los primeros 2 lados 906

10. Porque los lados no definen por completo al cuadrilátero 907

11. Aunque las dimensiones sean las mismas la posición de los segmentos puede ser 908

diferente 909

12. Every one is different 910

911

b) Un cuadrilátero de lados 2, 3, 4 y 11 centímetros ¿Tuviste alguna dificultad? 912

1. Si 913

2. Si 914

3. No 915

4. Si 916

5. No lo pude crear 917

6. No 918

7. Si 919

8. Si 920

9. No 921

10. No 922

11. No 923

12. More than less (más o menos) 924

925

Pregunta a tus compañeros más cercanos si ellos pudieron construirlo o no ¿Qué 926

diferencia percibes con respecto al cuadrilátero que se te solicito construir 927

anteriormente? 928

1. El lado de mayor longitud es mayor a la suma de los demás lados. 929

2. La longitud de los segmentos no permitía que se formara el cuadrilátero con los lados 930

dados 931

3. Que el segundo no se puede construir 932

4. Las longitudes de los lados 933

5. Este cuadrilátero no existe 934

6. Que este es imposible porque la suma de 3 lados debe de ser mayor al 4to lado que es de 935

11 936

7. Que no tiene solución este problema 937

8. La suma de 3 lados es mucho menor que uno de sus lados 938

9. Que no se puede construir ya que la suma 3 lados no es mayor que el lado faltante 939

10. Que no se puede construir porque los lados por más que movemos no cierra 940

11. No se puede construir dada la medida de los lados, no es posible construir 941

12. A little because you can´t build that 942

111

Responde a las siguientes preguntas. ¿Un cuadrilátero queda bien definido al 943

especificar las longitudes de sus cuatro lados? ¿Por qué? 944

1. No porque puede tomar formas diferentes. 945

2. No siempre ya que algunas veces no se puede cumplir con los datos dados 946

3. No porque puede ocurrir como en el caso del segundo, un lado era más grande en 947

relación a los otros 3 948

4. No porque existen variaciones entre los ángulos interiores 949

5. No las longitudes pueden no indicar un cuadrilátero 950

6. No porque los ángulos le dan diferente dirección a los segmentos 951

7. No para que quede bien un cuadrilátero debe haber intersección de cada uno de sus lados 952

8. No porque no sabes si la suma de tres lados es igual o mayor 953

9. Si porque al trazar con compas no cierra, es algo similar a la desigualdad del triángulo. 954

10. No porque para definir un cuadrilátero no son suficiente la longitud sino también 955

requerimos los ángulos internos 956

11. Si dadas las medidas de los lados se puede especificar si el cuadrilátero se puede 957

construir o no 958

12. No because the distance between the vértice as the figure aren´t less than one as them 959

960

961

¿Qué criterio puedes seguir para que dados los lados de un cuadrilátero, puedas 962

decidir si su construcción es posible o no? 963

1. Que el lado que tenga mayor longitud sea menor a la suma de los otros 3 964

2. Tomando en cuenta la longitud de sus lados. Que la suma de 3 de sus lados sea mayor al 965

cuarto lado mayor. 966

3. Que no puede ser cualquier longitud para construirlo, los 3 lados sumados tienen que ser 967

mayor que la longitud del último. 968

4. Es posible en caso de que la longitud del lado mayor debe ser menor que la suma de las 969

otras 3 longitudes 970

5. Que la suma de 3 lados sea mayor que a la longitud del cuarto 971

6. Que la suma de 3 de sus lados sea mayor a la del cuarto lado 972

7. Que la suma de 3 lados es mayor al cuarto de lo contrario no hubiese intersección 973

8. Que la suma de 3 lados debe ser mayor y no igual 974

9. Si la suma de 3 lados es mayor al lado faltante 975

10. Que la suma de 3 lados sean mayor al cuarto lado restante 976

11. Dados los datos de los lados, la suma de los 3 lados menores debe ser mayor al último 977

lado. 978

12. Idem 979

980

Actividad central 981

En mecánica, un mecanismo de 4 barras no deformables, articuladas en sus extremos, 982

es también conocido como mecanismo de Grashof, si se cumple que al menos una de 983

112

las barras pueda dar una revolución completa con relación a alguna otra barra. Dado 984

un cuadrilátero cualquiera de lados A, B, C y D, averigüe si es un mecanismo de 985

Grashof. ¿Qué criterio puede usar para saber si un mecanismo de 4 barras, es de 986

Grashof? 987

1. Que la suma de A + B = C + D 988

2. No contesto 989

3. Depende de la longitud de cada lado, supongo que debe existir una relación 990

4. No contesto 991

5. No contesto. 992

6. No contesto 993

7. No contesto 994

8. No contesto 995

9. No contesto 996

10. No contesto 997

11. No contesto 998

12. No contesto 999

1000

¿Aún no logras representar un mecanismo de Grashof? 1001

1. No contesto 1002

2. No 1003

3. No contesto 1004

4. Ya!!! 1005

5. Si 1006

6. Si 1007

7. No 1008

8. Ya lo logre 1009

9. No contesto 1010

10. No contesto 1011



Observa con atención los intentos que realizaste en el software dinámico. 1014

¿De qué crees que depende que una de las barras del mecanismo pueda dar una 1015

revolución? 1016

1. Que la suma de los lados A + B = C + D 1017

2. Que la suma de dos lados sea igual a la suma de los otros dos lados 1018

3. Que una debe ser pequeña en relación a los demás o 2 barras sumadas sus longitudes 1019

debe ser igual a la suma de los otros 2 1020

4. El lado más grande es la base, la suma de el lado base y la manivela tiene que ser menor 1021

que los otros 2 lados 1022

5. Que la suma de las barras consecutivas sean igual a los otros 2 o que el de la manivela y 1023

la de soporte sea que los otros 2 1024

113

6. Que la suma de las longitudes de la barra y de la manivela debe ser menor a la suma de 1025

los dos restantes 1026

7. Que la suma de dos lados debe ser igual a la suma de los otros dos 1027

8. Yo pienso que debe ser igual los lados o números continuos 1028

9. De que la medida de dos de los lados (fijos y el que gira) sea mayor el lado acoplador. 1029

10. Que la suma de 2 lados es igual a la suma de los otros dos 1030

11. El tamaño de las barras, la barra móvil debe ser más pequeña que las otras 1031

12. La longitud del paralelogramo 1032

1033

Análisis de casos particulares 1034

Caso I. ¿Qué pasa si A = B = C = D? Para este primer caso, con la guía del profesor, 1035

construya un mecanismo de 4 barras articuladas, en el cual, las cuatro barras tengan 1036

la misma longitud. 1037

Anoten sus conclusiones y observaciones (discute con tu compañero y lleguen a un 1038

acuerdo) 1039

1. Al tener los cuatro lados iguales se es un mecanismo Grashof porque la suma A + B = C 1040

+ D o A + C = B + D 1041

2. Cuando las 4 barras son iguales se consigue un mecanismo Grashof pero se forman dos 1042

segmentos iguales cada que se completa un giro. 1043

3. No es una maquina de Grashof 1044

4. Si es posible crear un mecanismo de Grashof con las 4 barras iguales pero al software no 1045

nos permite observarlo 1046

5. Es posible crear un mecanismo de Grashof con 4 barras iguales 1047

6. Es posible crear un mecanismo de Grashof con 4 barras iguales 1048

7. Que al tomar 4 lados iguales si es u mecanismo de Grashof pero construir el cuadrilátero 1049

requiere de cierto procedimiento 1050

8. Este caso es un mecanismo de Grashof, para construir el cuadrilátero con lados iguales se 1051

tiene ya un procedimiento para poder hacerlo 1052

9. Para que el mecanismo de Grashof funcione, la diferencia entre el lado fijo y la manivela 1053

debe ser igual al acoplador y el balancín. La diferencia entre el acoplador y el lado fijo debe 1054

ser igual o mayor que la diferencia entre el balancín y la manivela 1055

10. Que al tener 4 lados iguales se es un mecanismo de Grashof pero para construir el 1056

cuadrilátero requiere cierto procedimiento. 1057

11. Para que el mecanismo de Grashof funcione la diferencia entre el lado fijo y la 1058

manivela debe ser igual o mayor a la diferencia de la barra acopladora y el balancín. Otra 1059

condición es que la diferencia entre el acoplador y el lado fijo debe ser igual o mayor que la 1060

diferencia entre el balancín y la manivela 1061

12. Existe line recta. 1062

1063

114

Caso II. A + B = C + D; o A + C = B + D. A continuación, revisen en equipo los casos 1064

en los que las 4 barras no tengan la misma longitud, pero que tengan dos barras de la 1065

misma longitud y otras dos diferentes a las primeras pero iguales entre sí, anoten sus 1066

conclusiones y observaciones (discute con tu compañero y lleguen a un acuerdo). 1067

1. También es mecanismo Grashof 1068

2. También se logra el mecanismo Grashof 1069

3. En este caso si es una maquina de Grashof por la relación de desigualdad de longitud 1070

entre las barras 1071

4. Si es posible en ambos casos, pero en el primer caso no hay una parte de la trayectoria en 1072

la que las barras se pliegan 1073

5. Es posible crear un mecanismo de Grashof con 2 pares de lados iguales 1074

6. Es posible crear el mecanismo de Grashof 1075

7. Para que sea un mecanismo de Grashof dependerá mucho de su construcción 1076

8. Se debe hacer la combinación de para que tengan el mismo diámetro pero en la realidad 1077

esto se trabaría cuando los diámetros se plieguen 1078

9. Lo anterior se cumple si la medida de le lado fijo es distinta a la manivela 1079

10. Para que sea un mecanismo de Grashof va a depender de la construcción 1080

11. Lo anterior se cumple si la medida del lado fijo y la manivela son distintos 1081

12. Teletransportación 1082

1083

Caso III. A + B = C + D; o A + C = B + D. Ahora realicen la configuración de un 1084

mecanismo, en el cual las cuatro barras sean de diferente longitud, pero que la suma 1085

de longitudes de dos, sea igual a la suma de otras dos, por ejemplo, configurar el 1086

mecanismo cuatro barras con los datos A=2; B=7; C=4; D =5. Anoten sus conclusiones 1087

y observaciones (discute con tu compañero y lleguen a un acuerdo). 1088

1. También es un mecanismo Grashof pero notemos que el lado que tiene menor longitud es 1089

el que tiene que dar las revoluciones o el que tiene mayor longitud 1090

2. En este ejemplo observamos que para tener un mecanismo Grashof tenemos que hacer 1091

girar al lado menor mayor pero no a los lados que son mayores a la menor y menores a la 1092

mayor 1093

3. También es maquina de Grashof pero está limitada en longitudes 1094

4. Si A + B = C + D entonces en la trayectoria de las barras existe un momento en que se 1095

pliegan 1096

Si A + C = B + D entonces si es posible pero existe un punto crítico en el movimiento 1097

5. Si es posible crear un mecanismo de Grashof 1098

6. También es un mecanismo de Grashof 1099

7. Que en este caso no importa la forma de construcción 1100

8. Este caso es mucho mejor 1101

9. Que la diferencia entre el acoplador y el lado fijo debe ser mayor o igual que la 1102

diferencia entre el balancín y la manivela para que sea mecanismo de Grashof 1103

10. Que en este caso no importa la forma de construcción 1104

115

11. La diferencia entre el acoplador y el lado fijo debe ser mayor o igual a la diferencia 1105

entre el balancín y la manivela para que sea mecanismo de Grashof 1106

12. Si funciona y utilizando 2 manivelas con los efectos de los casos anteriores 1107

1108

Después de revisar los casos anteriores ¿tienen alguna conclusión respecto a la 1109

pregunta inicial? ¿Tienen sospechas respecto a qué se debe cumplir para que una de 1110

las barras gire vueltas completas? Discutan entre compañeros de equipo y escriban las 1111

conclusiones que tienen o los acuerdos a los que han llegado respecto a la pregunta 1112

1. Que se cumpla A + B = C + D y que la barra que gire sea la de menor longitud o la de 1113

mayor longitud 1114

2. No contesto 1115

3. La suma entre un par de barras en relación a la otra debe ser igual a la suma de los otros 1116

2: A + B = C + D o por lo menos una barra debe ser mayor a la suma de los otros 3: D A 1117

+ B + C 1118

4. No contesto 1119

5. No contesto 1120

6. No contesto 1121

7. No contesto 1122

8. No contesto 1123

9. No contesto 1124



12. Sea AB y BC segmentos de un triángulo AC es la hipotenusa y si y solo si AC es 1127

también la hipotenusa de los segmentos AD y DE esta existe 1128

1129

Búsqueda de relaciones entre la longitud de los lados y los ángulos entre barras. 1130

¿Qué relaciones pueden establecer que involucren los ángulos y las dimensiones de las 1131

barras del mecanismo? Discutan en equipo y traten de escribirlas. Si tiene dudas, 1132

pregunten al profesor. 1133

1. No contesto 1134

2. No contesto 1135

3. No contesto 1136

4. No contesto 1137

5. No contesto 1138

6. No contesto 1139

7. No contesto 1140

8. No contesto 1141

9. No contesto 1142




116

APENDICE F. RESPUESTAS DEL CUESTIONARIO DE SALIDA

¿Cuáles han sido los últimos cursos que llevaste de matemáticas? 1. Geometría, matemáticas superiores y computación 2. Matemáticas superiores, geometría analítica 3. Precálculo 4. Cálculo, Geometría analítica, matemáticas superiores y computación 5. Geometría analítica, cálculo, matemáticas superiores y computación 6. Geometría analítica, matemáticas superiores y computación 7. No recuerdo 8. Cálculo, geometría analítica 9. Matemáticas superiores, geometría analítica y cálculo diferencial 10. Cálculo, geometría 11. Matemáticas superiores, geometría analítica y cálculo diferencial 12. Cálculo, matemáticas superiores ¿Has tenido dificultades para hacer las actividades? Explica por qué 1. No, porque se me facilita el uso de la computadora 2. Si, un poco porque no conocíamos como utilizar el programa 3. No 4. No, hubo buena asesoría 5. No, el software es fácil de usar 6. Poca, por el hecho de no tener una buena preparación en el bachillerato 7. Si, cuando es con algún software 8. Un poco, porque no tenía el gusto de usar el programa Cabri 9. No, se explico muy bien la clase 10. Si, no se usar el programa 11. Al principio que no sabía exactamente cómo usar el software 12. No estoy acostumbrado a usar el Cabri – Geometry ¿Prefieres esta forma de trabajar que la tradicional? Explica por qué 1. Si porque en lugar de imaginarte las cosas de esta forma las puedes observar 2. Si porque la explicación la veo gráficamente y también se puede ver analíticamente 3. Si porque entiendo mejor se hace interactiva con el software 4. Si porque es más dinámica y tangible 5. Si, el software es de gran apoyo 6. No podría decir pues es solo una clase necesito mas para poder comparar 7. No, se pierde mucho tiempo 8. Si, es más dinámica e interesante que estar 2 horas en un pizarrón 9. Si, es más dinámico trabajar con el software 10. si porque es dinámico y observas y analizas lo que realizas

117

11. Es muy buena, me agrado, tiene didáctica y es fácil apreciar movimientos geométricos 12. No, bastante lenta ¿Te ha gustado la experiencia? Explica por qué 1. Si porque he aprendido algo 2. Si es bueno interactuar en distintos medios 3. Si porque entiendo mejor las maneras de hacer matemáticas 4. Si por la dinámica 5. Si me gusta trabajar con software 6. Si porque no conocía a este nivel el mecanismo de Grashof 7. Si aprendí a usar un nuevo programa 8. Si es muy bueno en la explicación, además aclara las dudas 9. Si porque aprendí a usar un programa nuevo 10. Si primeramente porque he aprendido ha utilizar un nuevo programa y porque fue entretenido 11. Si es una buena forma de trabajar 12. Ok aprendí algo nuevo ¿Te gusto trabajar en equipo? 1. Si para resolver dudas y opinar lo que pienso 2. Si porque puedes discutir tus ideas 3. Si porque discutimos las diferentes ideas personales 4. Si porque se pueden discutir ideas 5. Si, el trabajo se simplifica 6. Si porque fue divertido y entretenido 7. Si, de esa forma es fácil el trabajo, además que se aprende más 8. Si, se aclaran mejor las dudas y si uno tiene dudas el equipo te apoya 9. Si, es más fácil deducir cosas y obtener conclusiones 10. Si, para conocer la opinión del compañero 11. Si, la comunicación con mis compañeros es buena, compartiendo ideas se puede llegar a mejores conclusiones 12. There aren´t diference entre el trabajo habitual a clase ¿Te gustaría continuar trabajando de esta forma? Explica por qué 1. Si porque es más gráfica 2. Si porque el apoyo es mutuo y de esta manera se puede comprender mejor algunos puntos 3. Si porque lo entendí mejor y lo relacione mejor 4. Si por lo anterior 5. Solo como apoyo, creo que es importante practicar de la forma tradicional 6. Si porque es divertido

118

7. No porque él que explica se va de largo y los alumnos que no le van entendiendo le pierde interés y da sueño 8. Si, es dinámico 9. Si, las clases serían más practicas y el aprendizaje sería mucho mejor 10. Si, es agradable 11. Si, al ser dinámico se puede aprender de otra manera 12. Si porque es más didáctico. No porque no soy muy paciente ¿Qué es lo que más te ha gustado de esta experiencia? 1. Aprender que es el mecanismo Grashof 2. La utilización de software 3. La manera interactiva que se hace en el software con las matemáticas y sus aplicaciones con la realidad 4. Los comentarios anteriores 5. El uso de software 6. Manejar el software y poder manipular las barras y los mecanismos 7. Que aprendí un poco a usar el programa Cabri - Geometry 8. La utilización de Cabri y la dinámica profe clase 9. El trabajar los temas con el software 10. Que analizo lo que hago canto visual como de una forma analítica 11. El trabajar con el software 12. No hay comentarios ¿Qué es lo que menos te ha gustado de esta experiencia? 1. Que no acabamos 2. Nada 3. Nada en lo absoluto, todo estuvo bien 4. No contesto 5. No me esfuerzo por imaginar ya que el software lo nuestra 6. Que lo conocía el software 7. Que me tarde mucho en entenderle al programa Cabri 8. Estuvo agradable 9. Fue corto tiempo 10. Nada 11. Al principio no saber usar el programa 12. Mucho tiempo para poca información Expresa tu valoración general o los comentarios que creas que son de interés. 1. Muy bien 2. No contesto

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3. La analogía de las matemáticas que se involucran en la creación de artefactos, maquinas, etc., en lo personal lo entendí mejor 4. Me pareció una clase interesante, con bunas explicaciones 5. No contesto 6. Que es interesante la manera de trabajar y no es aburrida 7. Se requiere de más tiempo para que se entendiera al 100% 8. 9.9 9. Pues el trabajo con el software es mucho mejor ya que es más sofisticado además de que también se lleva a cabo la solución analítica 10. Pues buena puesto que sabía y tenía seguridad 11. Buen control de grupo y buen asesoramiento. 12. No contesto.

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