Universidad Autonoma de Nuevo Leon

Facultad de Ciencias Fısico Matematicas

REDUCCION DIMENSIONAL DECAMPOS BOSONICOS.

T E S I SQUE PARA OBTENER EL TITULO DE:

Licenciado en Fısica.

PRESENTA:MARCELO GARZA RUVALCABA.

DIRECTORES DE TESIS:Dr. Ricardo Obregon Guerra (FCFM - UANL)

Dr. Oscar Gerardo Loaiza Brito (CINVESTAV)

16 de Diciembre, 2008

A mi Papa(†) y a mi Mama.

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Agradecimientos

El realizar una tesis de licenciatura es un trabajo que requiere esfuer-zo y dedicacion, sin embargo, hay otro factor muy importante para que unproyecto de este tipo pueda llevarse a cabo; el apoyo de la familia y amigos.Intentare mencionar a la mayorıa de las personas que han sido trascenden-tales para mı en mi licenciatura y durante la realizacion de mi tesis. Elorden en que aparecen no implica mayor o menor gratitud. Pido disculpaspor las omisiones de aquellos que de alguna manera forman parte de estaetapa, pero por razones de espacio (y olvidos involuntarios al redactar esto!)prefiero agradecerles personalmente cuando sea la ocasion.

Le agradezco...

A mi familia:Mi mama y mi papa, que siempre lo han dado todo por sus hijos. Mis her-manas, Sandra, Lourdes y Claudia, que siempre me han apoyado. Mis tios,Lic. Ruperto Charles y Ma. Concepcion Ruvalcaba de Charles, por la sin-cera y desinteresada ayuda a mi familia en todo momento, y en especial,por apoyar completamente mi carrera.

Agradezco especialmente a mi asesor:Dr. Oscar G. Loaiza Brito, investigador del Cinvestav Unidad Monterrey,quien dispuso de su tiempo para trabajar conmigo, primero en un veranode investigacion y despues en mi trabajo de tesis. Es alguien que siempreesta dispuesto a transmitir su conocimiento, y ademas es muy paciente. Elhaber trabajado con el ha sido una grata experiencia. Le agradezco muchosu confianza y apoyo.

Al Dr. Hector Martın Guerrero Villa:Un buen maestro, excelente director de carrera, una fuente de inspiracion yanimo, pero sobre todo una gran persona. The last great act of defiance!

A mis maestros de la Facultad de Ciencias Fısico Matematicas, UANL:Dr. Ricardo Obregon Guerra, M.C. Pablo Salinas Estevane, Dr. Jose RubenMorones Ibarra, M.T. Sandra Nelly de la Riva Rodrıguez, Dr. Miguel AngelSalas Villegas, M.C. Enrique Raul Ramırez Hernandez, Lic. Mirtala Alanıs,Dra. Lilia Lopez Vera, M.C. Gilberto Solıs Alanıs, Lic. Rosa Alicia Gamez;

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de todos ellos aprendı cosas muy importantes e interesantes.

A mis amigos y companeros fısicos:Tania V. Arguijo Herrera, Sandra I. Eguia Eguia, Erika Y. Lozano Lopez,Carolina B. Rodrıguez Garza, David Rubin de Celis Leal, Morocco (A.K.A.Lic. Jose A. Flores Livas); por compartir muchas cosas y por las vivenciasque hemos tenido desde que los conozco.

A Mayra Luna (por su apoyo en todo momento y comprension), Lic. AnaLaura Gonzalez Estrada (por las tantas pacientes explicaciones), Julio Gal-legos (el primer amigo que conocı en la facultad), Walter Guzman Molina,Agueda M. Espinosa (una gran amiga), Ali E. Maldonado, Rosario Herrera,Claudia Karina Garcıa Reyes, Cesar Zapiaın (por las platicas tan amenasde cualquier tema), Felipe Robledo, Liliana Vazquez, Lena Davila, Karen,Gabi Zamora Chimal (por su amable revision y correccion); difıcil escribirsobre cada uno, ası que... muchas gracias a todos!.

Al Dr. Hugo Garcıa Compean (Cinvestav Unidad Monterrey), Dra. Imel-da Galaviz (Cinvestav), Jesus Cazares, Wilbert Herrera, Pablo Paniagua(Estudiantes Depto. de Fısica, Cinvestav, Unidad Zacatenco), quienes enalgun momento me aclararon dudas o me explicaron cosas tanto de fısicacomo de matematicas.

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Indice general

1. Introduccion 8

2. Aspectos de Electrodinamica 102.1. Electromagnetismo Basico . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 11

2.1.1. Campo Electrico y Ley de Gauss . . . . . . . . . . . . 112.1.2. Ley de Lenz y Ley de Induccion de Faraday . . . . . . 122.1.3. Ley de Biot-Savart y Ley de Ampere . . . . . . . . . . 142.1.4. No Monopolos Magneticos . . . . . . . . . . . . . . . . 162.1.5. Corrientes y Ecuacion de Continuidad . . . . . . . . . 172.1.6. Calculo de Cargas y Corrientes . . . . . . . . . . . . . 182.1.7. Ley de Ampere-Maxwell . . . . . . . . . . . . . . . . . 18

2.2. Potencial Vectorial y Potencial Escalar . . . . . . . . . . . . . 192.3. Sistemas de Unidades y Ecuaciones de Maxwell . . . . . . . . 192.4. Invariancias de Gauge . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 212.5. Deduccion de las Ecuaciones de Maxwell . . . . . . . . . . . . 22

3. Aspectos de Relatividad Especial y General 243.1. Relatividad Especial . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24

3.1.1. Marcos de Referencia Inerciales . . . . . . . . . . . . . 243.1.2. Postulados de Einstein . . . . . . . . . . . . . . . . . . 253.1.3. Transformaciones de Lorentz . . . . . . . . . . . . . . 263.1.4. Espacio y Tiempo . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27

3.2. Formulacion Covariante de las Ecuaciones de Maxwell . . . . 273.3. Invariancia de Lorentz de Campos Electromagneticos . . . . . 323.4. Deduccion de las Ecuaciones de Maxwell a partir de la Accion

Electromagnetica . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 323.5. Formas Diferenciales y Ecuaciones de Maxwell . . . . . . . . 33

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3.5.1. Ecuaciones de Maxwell expresadas con Formas Difer-enciales . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 34

3.6. Relatividad General . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 353.6.1. Marcos de Referencia No Inerciales . . . . . . . . . . . 353.6.2. Principio de Equivalencia . . . . . . . . . . . . . . . . 373.6.3. La Teorıa de la Relatividad General . . . . . . . . . . 383.6.4. Ecuaciones de Einstein . . . . . . . . . . . . . . . . . . 39

3.7. Campos Bosonicos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 403.7.1. ¿Que es un Campo? . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 403.7.2. Campos Bosonicos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 41

4. Reduccion Dimensional 424.1. Nocion Basica de Dimension . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 424.2. Razones Para Considerar Dimensiones Extra . . . . . . . . . 434.3. Compactificacion . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 434.4. Teorıa de Kaluza-Klein . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 444.5. Reduccion Dimensional . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 45

4.5.1. Campo Escalar en 5D . . . . . . . . . . . . . . . . . . 464.5.2. Campo Escalar en D dimensiones . . . . . . . . . . . . 474.5.3. Campos de Gauge en 5D . . . . . . . . . . . . . . . . 484.5.4. Campos de Gauge en D dimensiones . . . . . . . . . . 494.5.5. Campo B2 en 5D . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 504.5.6. Campo B2 en D dimensiones . . . . . . . . . . . . . . 514.5.7. Campo Gravitacional en 5D . . . . . . . . . . . . . . . 51

4.6. Estabilizacion de Modulos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 52

5. Conclusiones 57

A. Convenciones 59A.1. Tensores . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 59A.2. Identidades Vectoriales y Propiedades . . . . . . . . . . . . . 60A.3. Ecuaciones de Campo . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 60A.4. Teoremas Importantes . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 61

B. Ecuaciones de Movimiento deducidas a partir de la Accion 62

C. Ecuacion de Klein-Gordon 64

D. Formas Diferenciales 65

E. Constantes Fısicas y Factores de Conversion 69

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Indice de figuras

2.1. Ley de Gauss . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 112.2. Induccion de un elemento de corriente . . . . . . . . . . . . . 142.3. Fuerza entre dos circuitos con corrientes I1 e I2 . . . . . . . . 15

3.1. Principio de equivalencia 1 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 353.2. Principio de equivalencia 2 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 36

4.1. Compactificacion en un 2-toro . . . . . . . . . . . . . . . . . . 444.2. Analogıa de una dimension compacta . . . . . . . . . . . . . . 45

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Capıtulo 1

Introduccion

El desarrollo de la fısica a lo largo de la historia, muestra claramente quesu objetivo es explicar de la manera fundamental, a partir de principios yleyes, todo lo que sucede en el universo. Con este objetivo en mente, se hanpropuesto diversas teorıas que buscan unificar las 4 fuerzas fundamentalese inclusive, desarrollar una teorıa cuantica de la gravedad.

La teorıa de supercuerdas es una de las propuestas que busca esta unifi-cacion, sin embargo, una de sus implicaciones es que el espacio-tiempo debetener mas dimensiones agregadas a las 4 que observamos. Para que estetipo de teorıas formuladas en D-dimensiones1 sean correctas, debe ser posi-ble obtener una teorıa efectiva en 4 dimensiones que concuerde con los re-sultados experimentales conocidos y ademas haga predicciones que puedancomprobarse.

Una forma para extraer de estas teorıas en dimensiones extra los resul-tados ya conocidos en fısica, es mediante la reduccion dimensional, la cualconsidera que las dimensiones extra se encuentran compactificadas en unavariedad interna, y esto es la base de la presente tesis.

Este trabajo comienza con una exposicion de los conceptos importantesde Electrodinamica (capıtulo 3). En el capıtulo 4 se presentan las ideasprincipales de la Relatividad Especial para poder expresar las ecuacionesde Maxwell en su forma covariante. Tambien se reescriben las ecuaciones deMaxwell haciendo uso de las formas diferenciales. Se presenta una introduc-cion a la Relatividad General, con la finalidad de mostrar las Ecuaciones deEinstein. Se finaliza este capıtulo con la explicacion del concepto de cam-

1La teorıa de supercuerdas considera que el espacio-tiempo posee 10-dim, o bien, suversion no perturbativa, la Teorıa M, considera un espacio-tiempo de 11-dim.

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po. En el capıtulo 5 se habla sobre dimensiones, compactificacion y teorıade Kaluza-Klein. Como parte final de este trabajo, se realiza la reducciondimensional de algunos campos bosonicos y se aborda el problema de laestabilizacion de modulos.

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Capıtulo 2

Aspectos deElectrodinamica

Esta era la situacion de la electricidad y el magnetismo hasta mediadosdel siglo XIX: una serie de fenomenos y leyes aislados que relacionaban entresı la electricidad y el magnetismo. Hacıa falta una formulacion unificada deestas leyes que permitiera una comprension mas profunda de la naturalezade estas fuerzas. Tal obra fue realizada por James Clerk Maxwell.

Maxwell logro expresar las leyes descubiertas por Coulomb, Faraday yAmpere en un conjunto de formulas (ecuaciones diferenciales, en lenguajetecnico) que relacionan matematicamente las distribuciones de cargas y cor-rientes con las fuerzas electricas y magneticas que generan en cada puntodel espacio.

Las ecuaciones de Maxwell permitieron ver en forma clara que la elec-tricidad y el magnetismo son dos manifestaciones de un mismo fenomenofısico, el electromagnetismo. El fenomeno era similar a la gravitacion, cuyasleyes fueron descubiertas por Newton; ası como un cuerpo masivo produceuna fuerza gravitacional sobre otro, un cuerpo electricamente cargado y enmovimiento produce una fuerza electromagnetica sobre otro cuerpo carga-do. La diferencia mas importante es que la magnitud y la direccion de lafuerza electromagnetica dependen de la carga del cuerpo que lo produce ytambien de su velocidad; por esta razon, la teorıa del electromagnetismo esmas complicada que la teorıa newtoniana de la gravitacion, y las ecuacionesde Maxwell son mas complejas que la formula de Newton para la fuerzagravitacional.

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Figura 2.1: Ley de Gauss.

2.1. Electromagnetismo Basico

Existe una relacion muy importante entre el campo electrico a traves deuna superficie y la carga total encerrada por dicha superficie; esta relacionse conoce como ley de Gauss y se analiza a continuacion.

2.1.1. Campo Electrico y Ley de Gauss

El campo electrico en el punto ~r debido a una carga puntual Q esta dadopor

~E =Q

4πε0err2

=Q

4πε0~r

r3. (2.1)

De (2.1) vemos que ~E depende del inverso al cuadrado de la distancia. Sepuede asociar un flujo ΦE al campo ~E, siendo el flujo electrico el numerode lıneas de campo electrico que pasan a traves de una superficie, lo cual seexpresa como

ΦE =∫S

~E · ~dS. (2.2)

De la figura 2.1, esta claro que da⊥ = da cos θ y dΩ = da⊥r2 ; usando esto

y las ecuaciones (2.1) y (2.2) llegamos a

ΦE =Q

4πε0

∫S

da⊥r2

=Q

4πε0

∫S

dΩ =Q

ε0, (2.3)

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debido a que∮SdΩ = 4π. Ahora si combinamos (2.2) y (2.3), tenemos la

conocida ley de Gauss ∫S

~E · ~dS =Q

ε0, (2.4)

dondeQ =

∫V

ρ(~r)dV (2.5)

es la carga encerrada por S (que delimita al volumen V ), siendo ρ(~r) ladensidad de carga.

La ley de Gauss nos permite conocer el flujo electrico (el numero delıneas de campo electrico) que atraviesa la superficie S, debido a la cargaQ, o viceversa, saber cuanta carga hay si conocemos el flujo electrico.

Si aplicamos el teorema de la divergencia de Gauss-Ostrogradsky al ladoizquierdo de (2.4) y utilizando (2.5) tenemos∫

V

∇ · ~EdV =1ε0

∫V

ρdV

⇒∫V

(∇ · ~E − ρ

ε0)dV = 0.

Debido a que el volumen es arbitrario (ademas, estamos asumiendo la pre-sencia de carga, que debe estar contenida en un cierto volumen, el cualobviamente no puede ser cero), llegamos a la Ley de Gauss en su formadiferencial

∇ · ~E =ρ

ε0.

2.1.2. Ley de Lenz y Ley de Induccion de Faraday

La induccion de una fuerza electromotriz (fem : ε) al cambiar el flujomagnetico fue observada por primera vez por Faraday y Henry a principiosdel siglo XIX. Esta relacion entre campo electrico y campo magnetico seestablece mediante la ley de Lenz, la cual dice que la direccion de la feminducida es tal, que se opone al cambio que la produce, esto es,

ε = −dΦBdt

, (2.6)

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donde ΦB es el flujo magnetico dado por

ΦB =∫S

~B · ~dS. (2.7)

Combinando (2.6) y (2.7) tenemos

ε = − d

dt

∫S

~B · ~dS. (2.8)

Tambien sabemos que la fem se expresa como

ε =∮C

~E · ~dl. (2.9)

De esta manera, con (2.8) y (2.9) obtenemos la conocida ley de Induccionde Faraday1: ∮

C

~E · ~dl = − d

dt

∫S

~B · ~dS. (2.10)

Con esta ley podemos ver que la variacion en el tiempo de un flujomagnetico, produce un campo electrico (el signo negativo es debido a laLey de Lenz). En (2.10) podemos introducir la derivada a la integral, comouna derivada parcial, ya que ~B = ~B(~r, t). Ademas aplicando el teorema deStokes al lado izquierdo de (2.10) nos lleva a∫

S

∇× ~E · ~dS = −∫S

∂ ~B

∂t· ~dS

∫S

(∇× ~E +∂ ~B

∂t) · ~dS = 0.

De nuevo, como nuestra superficie es arbitraria, obtenemos la Ley de Fara-day en su forma diferencial

∇× ~E = −∂~B

∂t. (2.11)

1Para un circuito C estacionario y rıgido.

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Figura 2.2: Induccion en el punto p debido a un elemento de corriente.

2.1.3. Ley de Biot-Savart y Ley de Ampere

Oersted (1819) observo que corrientes electricas producen induccionmagnetica. Biot y Savart (1820) y Ampere (entre 1820 y 1825) establecieronlas leyes experimentales que relacionan induccion magnetica ~B y corrientes,y la ley de fuerza entre dos corrientes.

La induccion magnetica elemental en el punto p (figura 2.2), debido alelemento I ~dl esta dado por

~dB = kI~dl × ~x|~x|3

, (2.12)

donde k = µ04π = 10−7 ( NA2 o H

m ) en unidades del Sistema Internacional (SI).La magnitud de ~B para un alambre largo y delgado es:

| ~B| = µ0IR

4π

∫ +∞

−∞

dl

(R2 + l2)32

=µ0I

2πR,

donde R es la distancia del punto de observacion al alambre. Este es el re-sultado experimental hallado por Biot y Savart, de ahi que se le conozcacomo la Ley de Biot-Savart.

La fuerza experimentada por un elemento de corriente (figura 2.3) I1dl1

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Figura 2.3: Fuerza entre dos circuitos de corriente I1 e I2.

en presencia de una induccion magnetica ~B es

~dF = I1( ~dl1 × ~B).

Si el campo externo ~B es debido a un circuito de corriente cerrado (#2 enla figura numero) con corriente I2, entonces la fuerza total que experimentaun circuito de corriente cerrado I1, es

~F12 =µ0I1I2

4π

∮ ∮ ~dl1 × ( ~dl2 × ~x12)|~x12|3

. (2.13)

Este es el enunciado matematico de las observaciones de Ampere, acerca delas fuerzas entre circuitos portadores de corriente.

Usando (A.4) podemos expresar el integrando de (2.13) como

~dl1 × ( ~dl2 × ~x12)|~x12|3

= −( ~dl1 · ~dl2)~x12

|~x12|3+ ~dl2

(~dl1 · ~x12

|~x12|3

). (2.14)

El segundo termino del lado derecho de (2.14), implica una diferencial per-fecta en la integral sobre ~dl1, ası que no contribuye a la integral. De estaforma tenemos que (2.13) se reduce a

~F12 = −µ0I1I24π

∮ ∮( ~dl1 · ~dl2)~x12

|~x12|3.

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Aquı vemos la simetrıa en ~dl1 y ~dl2. Como conclusion vemos que las corri-entes son fuentes de densidad de flujo magnetico.

Ley Circuital de Ampere en su forma integral∮C

~B · ~dl = µ0I. (2.15)

La ley de Ampere nos dice que una corriente electrica en un cierto circuito(cerrado) C, crea un campo magnetico ~B, con direccion dada por la reglade la mano derecha. Es conocido que la corriente se expresa como

I =∫S

~J · ~dS, (2.16)

donde ~J es la densidad de corriente. Aplicando el teorema de Stokes al ladoizquierdo de (2.15) y utilizando (2.16) tenemos∫

S

(∇× ~B) · ~dS = µ0

∫S

~J · ~dS∫S

(∇× ~B − µ0~J) · ~dS = 0.

Nuevamente considerando que la superficie es arbitraria, llegamos ahora ala ley de Ampere en su forma diferencial

∇× ~B = µ0~J.

2.1.4. No Monopolos Magneticos

Ahora bien, podemos escribir (2.12) en general para una densidad decorriente ~J(~x), esto es

~B(~x) =µ0

4π

∫~J(~x′)× ~x− ~x′

|~x− ~x′|3d3x′. (2.17)

Utilizando la formula vectorial ~x−~x′|~x−~x′|3 = −∇( 1

|~x−~x′| ), y recordando (A.3),podemos expresar (2.17) como

~B(~x) =µ04π∇×

∫ ~J(~x′)|~x− ~x′|

d3x′. (2.18)

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Calculando la divergencia de (2.18) y recordando que (A.6), llegamos a

∇ · ~B = 0. (2.19)

Integrando (2.19) sobre un volumen arbitrario y aplicando el teorema de ladivergencia ∫

V

∇ · ~BdV =∫S

~B · ~dS = 0

⇒ ΦB = 0.

Con todo esto, (2.19) nos dice que el flujo neto a traves de la superficie, quecontiene el volumen V , es cero, esto es, esta ecuacion nos dice que no existen‘cargas magneticas aisladas’. Hasta la fecha, no hay evidencia experimentalque muestre la existencia de monopolos magneticos.

2.1.5. Corrientes y Ecuacion de Continuidad

La corriente electrica no es mas que cargas que se mueven en el tiempo.De esta forma podemos escribir I = dQ

dt donde [I] = 1Cs = 1A. Tambiensabemos que la densidad de corriente, es la corriente por unidad de area,~J = dI

~dadonde [J ] = 1 A

m2 .

Vemos que I =∫S~J · ~dS. Esta integral nos dice la corriente que pasa

a traves de la superficie S. Con la definicion de la corriente y (2.5), y con-siderando que ρ = ρ(~r, t), tenemos

I =∫V

∂ρ

∂tdV. (2.20)

Por otro lado tenemosI = −

∫S

~J · ~dS. (2.21)

Aqui en (2.21) hay un signo negativo ya que el vector ~n ( ~dS = ~nda) es lanormal hacia afuera, y aqui consideramos I positiva cuando el flujo netode carga va del exterior de V hacia su interior. Aplicando el teorema de ladivergencia a (2.21) e igualando a (2.20) tenemos

−∫V

∇ · ~JdV =∫V

∂ρ

∂tdV

⇒∫V

(∇ · ~J +∂ρ

∂t)dV = 0.

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Como nuestro volumen es arbitrario, obtenemos la Ecuacion de Continuidad:

∇ · ~J +∂ρ

∂t= 0.

Esta ecuacion nos dice que la disminucion en la carga con el tiempo,en un cierto volumen, debe corresponder a un flujo de carga a traves de lasuperficie del volumen. En otras palabras, la carga se conserva.

Ahora, tenemos que la fuerza actuando sobre una partıcula cargada (car-ga puntual), en presencia de un campo electromagnetico es la Fuerza deLorentz

~F = Q( ~E + ~v × ~B).

2.1.6. Calculo de Cargas y Corrientes

Sabemos que la carga la podemos expresar como Q =∫VρdV . Ademas

usando ∇ · ~E = ρε0

y el teorema de la divergencia obtenemos

Q = ε0

∫S

~E · ~dS, (2.22)

que no es mas que la Ley de Gauss, explicada anteriormente. Ahora bien, lacorriente la escribimos como I =

∫S~J · ~dS. Ahora si usamos ∇× ~B = µ0

~Jy el teorema de Stokes obtenemos

I =1µ0

∫C

~B · ~dl, (2.23)

que es la ley de Ampere, la cual se puede interpretar como la cantidad decampo magnetico que se alinea en el circuito C, debido a la influencia de lacorriente I.

Ahora, si comparamos (2.22) y (2.23), observamos que se puede calcularcarga o corriente a partir de su densidad correspondiente, o bien, mediantesu campo asociado.

2.1.7. Ley de Ampere-Maxwell

La Ley de Ampere como se formulo hasta este punto, no cumple conla conservacion de la carga. Sin embargo, Maxwell introdujo la llamada

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corriente de desplazamiento ~JD, con lo cual la ley de Ampere se completay ahora si cumple la conservacion de la carga2. La corriente ~JD y la ley deAmpere-Maxwell ahora se expresan como

~JD = ε0∂ ~E

∂t,

∇× ~B = µ0~J +

1c2∂ ~E

∂t.

2.2. Potencial Vectorial y Potencial Escalar

De la ecuacion ∇· ~B = 0, vemos que el campo ~B se puede expresar como

~B = ∇× ~A,

donde ~A es el llamado potencial vectorial. De la expresion general para ~B,(2.18), vemos que

~A(~x) =µ0

4π

∫ ~J(~x′)|~x− ~x′|

d3x′.

Tenemos que la expresion del campo electrico es

~E(~x) =−1

4πε0∇∫

ρ(~x′)|~x− ~x′|

d3x′.

Ahora bien, en electrostatica tenemos ∇× ~E = 0, esto es, ~E = −∇φ , conlo cual vemos que el potencial escalar es

φ(~x) =1

4πε0

∫ρ(~x′)|~x− ~x′|

d3x′.

2.3. Sistemas de Unidades y Ecuaciones deMaxwell

Ahora tenemos un conjunto de ecuaciones, conocidas como Ecuacionesde Maxwell, que junto a la Ecuacion de continuidad y la Fuerza de Lorentz,

2Recordando que c = 1√ε0µ0

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nos describen la dinamica de los campos electromagneticos.

En general, las ecuaciones de Maxwell3 se pueden escribir en terminosde ciertas constantes que dependen del sistema de unidades utilizado [6]:

∇ ·E = 4πK1ρ

∇ ·B = 0

∇×E = −K3∂B∂t

∇×B = 4πK2αJ + αK2

K1

∂E∂t

Sistema k1 k2 k3 αElectrostatico (esu) 1 1

c2 1 1Electromagnetico (emu) c2 1 1 1Gaussiano 1 1

c21c c

mks racionalizado 14πε0

µ04π 1 1

Heaviside-Lorentz 14π

14πc2

1c c

En lo que sigue utilizamos la Ecuaciones de Maxwell en unidades deHeaviside-Lorentz

∇ ·E = ρ (2.24)

∇ ·B = 0 (2.25)

∇×E = −1c

∂B∂t

(2.26)

∇×B =1cJ +

1c

∂E∂t

(2.27)

Recordemos que ρ es la densidad de carga, J es la densidad de corriente.Ademas, c es la velocidad de la luz4, µ0 es la permeabilidad magnetica y ε0es la permitividad.5

Otro hecho interesante en la deduccion de las ecuaciones de Maxwell, esla Ecuacion de Conservacion de la Carga:

∂ρ

∂t+∇ · J = 0, (2.28)

3En adelante, el uso de letras en negritas es para denotar vectores.4En vacıo.5Ambas del vacıo.

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donde J = ρv.Como habıamos visto, el movimiento de una partıcula decarga e y velocidad v, en presencia de un campo electromagnetico, estadado por la llamada Fuerza de Lorentz:

dPdt

= e(E +

vc×B

). (2.29)

2.4. Invariancias de Gauge

La busqueda de una teorıa de campo unificado (en aquella epoca, cam-pos gravitatorio y electromagnetico) llevo a Hermann Klaus Hugo Weyl en1918, a desarrollar la invariancia de gauge (traduccion del aleman al ingles:norma, escala o calibre). Weyl buscaba que sus ecuaciones debıan ser invari-antes frente a un cambio de escala, en las distancias y los tiempos, diferentepara cada punto del espacio-tiempo.

Una transformacion de gauge es una transformacion de algun grado delibertad interno, que no modifica ninguna propiedad fısica observable. Cuan-do se aplica la misma transformacion a todos los puntos del espacio, se diceque la teorıa tiene invariancia de gauge global. Las teorıas de gauge que usanlagrangianos, tales que en cada punto del espacio es posible aplicar trans-formaciones o “rotaciones” ligeramente diferentes y aun ası, el lagrangianose mantiene invariante, se dice que presentan invariancia de gauge local.

Podemos encontrar la expresion de E y B en terminos de campos vec-toriales y/o escalares. De (2.25) tenemos que

B = ∇×A (2.30)

debido a la propiedad (A.6). Usando (2.30) en (2.26) tenemos

E = −∇φ− 1c

∂A∂t

. (2.31)

De (2.30) y (2.31), y utilizando la propiedad (A.5), tenemos las siguientesinvariancias de Gauge para los potenciales vectorial y escalar

A′ = A +∇ε (2.32)

φ′ = φ− 1c

∂ε

∂t. (2.33)

21

2.5. Deduccion de las Ecuaciones de Maxwell

Las ecuaciones de Maxwell se pueden deducir a traves del metodo dellagrangiano, en el cual, a partir de una densidad lagrangiana se calculanlas ecuaciones de movimiento (ecuaciones de Euler-Lagrange). En el casoelectromagnetico consideramos la densidad lagrangiana

LEM =E2 −B2

8π− ρφ+

J ·Ac

. (2.34)

Si aplicamos (B.2) a LEM obtenemos

∂LEM∂φ

= −ρ (2.35)

∂LEM∂( ∂φ∂xk )

=Ek4π

∂Ek

∂( ∂φ∂xk )= −Ek

4π. (2.36)

Agrupando los resultados (2.35) y (2.36) en (B.2), y tomando en cuenta quehay una sumatoria sobre k tenemos

− 14π

3∑k=1

∂

∂xkEk − (−ρ) = 0.

Observamos que la suma de las parciales de Ek es la divergencia de E, porlo tanto se obtiene la ley de Gauss

∇ ·E = 4πρ.

Tomando en cuenta que

B = ∇×A =

x1 x2 x3∂∂x1

∂∂x2

∂∂x3

A1 A2 A3

y utilizando (B.2), obtenemos

∂LEM∂A1

=J1

c,

22

∂LEM∂A1

=E1

4π∂E1

∂A1

= − E1

4πc,

∂LEM∂(∂A1∂x2

) = −B3

4π∂B3

∂(∂A1∂x2

) =B3

4π,

∂LEM∂(∂A1∂x3

) = −B2

4π∂B2

∂(∂A1∂x3

) = −B2

4π.

Agrupando en (B.2) los resultados anteriores, tenemos

14π

(∂B3

∂x2− ∂B2

∂x3

)− 1

4πc∂E1

∂t− J1

c= 0

(∂B3

∂x2− ∂B2

∂x3

)=

1c

∂E1

∂t+

4πcJ1.

Si hacemos lo mismo para las componentes A2 y A3, obtenemos la ley deAmpere-Maxwell

∇×B =1c

∂E∂t

+4πc

J.

El otro par de ecuaciones (Ley de Faraday y Ec. de No MonopolosMagneticos), no se deducen de una accion, ya que provienen de una condi-cion geometrica (B = ∇×A ⇐⇒ ∇ ·B = 0).

Las ecuaciones que se deducen de una accion se denominan ecuaciones demovimiento y describen la dinamica de los campos involucrados, en cambio,las que no se deducen de una accion, se denominan ecuaciones geometricasy describen propiedades de los campos independientes de su dinamica, porejemplo, la ley de Induccion de Faraday.

23

Capıtulo 3

Aspectos de RelatividadEspecial y General

3.1. Relatividad Especial

A principios del siglo XX, Albert Einstein publico 4 artıculos, uno de loscuales, fue para introducir su Teorıa de la Relatividad Restringida, un mod-elo para resolver los problemas que involucran cuerpos en movimiento. Conesta teorıa, se logro unificar la Mecanica y el Electromagnetismo de maneraconsitente, ademas de ser mas completa que la Mecanica Newtoniana.

3.1.1. Marcos de Referencia Inerciales

El principio fundamental que Galileo Galilei enuncio claramente en elsiglo XVII es el siguiente: las leyes de la fısica son independientes de cualquiersistema de referencia.

Las fuerzas que surgen en un sistema de referencia unicamente por elcambio de velocidad o de trayectoria, y no por factores externos, se debena la inercia de los cuerpos masivos; por esta razon, se les llama fuerzas in-erciales. Un sistema de referencia inercial es aquel que se mueve en lınearecta sin variar su velocidad; en tal sistema de referencia no surgen fuerzasinerciales.

En particular, no se puede distinguir un sistema de referencia inercial deotro por medio de experimentos fısicos. Cualquier sistema es valido y solo

24

es una cuestion de conveniencia escoger el mas apropiado para describir unfenomeno fısico.

Sin embargo, las leyes del Electromagnetismo, tal como las planteabaMaxwell, no cumplıan este principio: al pasar de un sistema de referencia aotro, las ecuaciones de Maxwell tomaban una forma distinta. De hecho lasecuaciones del Electromagnetismo en la forma deducida por Maxwell solopodıan ser validas en un sistema de referencia muy especial, y los fısicosespecularon que ese no podıa ser otro que el espacio absoluto (o eter).

El primer experimento confiable para medir la velocidad de la Tierracon respecto al eter, y ası demostrar la existencia del eter, fue realizadoen 1887 por los norteamericanos Albert Abraham Michelson y Edward W.Morley. El aparato que utilizaron fue un interferometro, que permite medirdistancias y velocidades con enorme precision utilizando haces de luz eninteraccion. El experimento se llevo a cabo con todo el cuidado necesario,pero Michelson y Morley no detectaron ningun cambio en la velocidad dela luz.

Tal era la situacion cuando Einstein publico en 1905 el famoso artıculointitulado Sobre la electrodinamica de los cuerpos en movimiento, en unaprestigiosa revista alemana de fısica; con ese trabajo nacio la teorıa de larelatividad.

3.1.2. Postulados de Einstein

Einstein postulo que las ecuaciones de Maxwell deben tener la mismaforma en cualquier sistema de referencia inercial y que, por lo tanto, es im-posible distinguir, a partir de experimentos electromagneticos, un sistema dereferencia inercial de otro. Para que este principio de relatividad se cumpla,es necesario que las transformaciones de Lorentz sean fısicamente validas;una consecuencia era que el tiempo medido entre dos sucesos depende delmovimiento de quien lo mide.

De esta manera postulo que no existe un tiempo absoluto, ni un espacioabsoluto y, por lo tanto, tampoco un eter, ademas la velocidad de la luz (enel vacıo) es la misma en cualquier sistema de referencia inercial.

Los postulados de Einstein quedan como sigue:

Las leyes de la fisica son las mismas en todo sistema de referenciainercial, esto es, las leyes de la fısica son covariantes (Principio de

25

Relatividad).

La velocidad de la luz (c) en el espacio vacıo es la misma en todos lossistemas de referencia y es independiente del movimiento del cuerpoemisor (Invariancia de c).

3.1.3. Transformaciones de Lorentz

Las ecuaciones de Maxwell describen el comportamiento del campo elec-tromagnetico en cada punto del espacio y en cada instante de tiempo. En-tonces surgio la pregunta de si se pueden cambiar la posicion y el tiempoen las ecuaciones de Maxwell sin alterar su forma. Sabemos que en el casode las ecuaciones de la Mecanica Newtoniana, la respuesta es si, debido alPrincipio de Relatividad de Galileo, si el tiempo medido en cada sistema esel mismo.

En el caso del Electromagnetismo, el problema es mas complicado porque,no se puede recurrir a la relatividad galileana. Hendrik Antoon Lorentz(1904) demostro que existe una transformacion matematica que deja invari-ante la forma de las ecuaciones de Maxwell, siempre y cuando se cambie laposicion de un punto y ademas el tiempo.

Al principio el trabajo de Lorentz fue considerado una curiosidad matematicadesprovista de sentido fısico, pues era afirmar que el tiempo puede transcur-rir en forma diferente en sistemas de referencia distintos. Pero esto fue re-suelto por Einstein en su artıculo.

Se puede verificar que las transformaciones de Lorentz son

x′ =x− vt√1− v2

c2

y′ = y

z′ = z

t′ =t− v

c2x√1− v2

c2

26

3.1.4. Espacio y Tiempo

La teorıa de la Relatividad de Einstein cambio los conceptos de espacioy tiempo, que dejaron de ser categorıas independientes para fusionarse enun solo concepto: el espacio-tiempo.

El espacio posee tres dimensiones: para determinar la posicion de unpunto, se necesita un sistema de referencia y tres coordenadas. El tiempo esunidimensional (solo se necesita una coordenada). En la Mecanica Clasicadel siglo XIX, el espacio y el tiempo eran dos absolutos, independientes entresı. En la teorıa de la Relatividad Especial, se unen para formar el espacio-tiempo de cuatro dimensiones: tres dimensiones espaciales y una dimensiontemporal.

Ahora cada “punto” del espacio-tiempo es un suceso que se caracterizacon cuatro numeros: tres para describir la posicion donde ocurre y uno paradeterminar cuando sucede. El hecho de que el espacio-tiempo tenga cuatrodimensiones no es nada sorprendente, al contrario de lo que podrıa sugerirla idea de una cuarta dimension espacial. Lo unico novedoso es que lascuatro coordenadas del espacio-tiempo aparecen unidas en la teorıa de laRelatividad, mientras que en la fısica clasica estan separadas.

El espacio-tiempo de cuatro dimensiones posee propiedades geometri-cas bien establecidas. Esto lo demostro el matematico Herman Minkows-ki. Los fenomenos fısicos ocurren en el espacio-tiempo (llamado espacio deMinkowski), un espacio de cuatro dimensiones en el que cada punto es unsuceso y en el que se puede definir la “distancia” entre sucesos.

3.2. Formulacion Covariante de las Ecuacionesde Maxwell

Aquellas ecuaciones que no cambian de forma frente a transformacionesde Lorentz, se dice que son covariantes. Debido a que las leyes de la fısicadeben cumplir los postulados de Einstein, es importante expresar estas leyesde manera que cumplan estos postulados. Para expresar las ecuaciones deMaxwell en forma covariante, empezamos definiendo a

Jµ = (cρ, ~J) (3.1)

como el cuadrivector de corriente y

Aµ = (φ, ~A) (3.2)

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como el cuadrivector de potencial. Tambien definamos:

∂µ ≡ (1c

∂

∂t,∇) (3.3)

∂µ ≡ (−1c

∂

∂t,∇) (3.4)

como las derivadas covariantes y contravariantes, respectivamente. Noteseque µ = 0, 1, 2, 3. Con esta notacion, podemos expresar la invariancia degauge (ecuaciones 2.32 y 2.33) como

Aµ → A′µ = Aµ + ∂µε. (3.5)

De la misma forma expresamos la conservacion de la carga (2.28) como:

∂µJµ = 0. (3.6)

El hecho de tener invariancia de gauge nos da la libertad de fijar una norma.En este trabajo usamos la norma de Lorentz que se expresa como

∇ ·A +1c

∂φ

∂t= 0, (3.7)

o en su forma covariante, usando (3.2) y (3.3),

∂µAµ = 0. (3.8)

En este lenguaje covariante, la dinamica de los campos electromagneticosse expresa a traves del tensor de Maxwell, el cual se define como

Fµν ≡ ∂µAν − ∂νAµ (3.9)

dondeAµ = (−φ, ~A). (3.10)

Utilizando las ecuaciones (2.30) y (2.31), y haciendo uso de (3.9), (3.10)obtenemos:

Ei = −1c

∂Ai∂t− ∂φ

∂xi= −∂0Ai + ∂iA0 = Fi0 (3.11)

−Ei =1c

∂Ai∂t

+∂φ

∂xi= ∂0Ai − ∂iA0 = F0i (3.12)

Bz = ∂xAy − ∂yAx = ∂1A2 − ∂2A1 = F12 (3.13)

28

Bx = ∂yAz − ∂zAy = ∂2A3 − ∂3A2 = F23 (3.14)

By = ∂zAx − ∂xAz = ∂3A1 − ∂1A3 = F31 (3.15)

A partir de estos resultados podemos formar el tensor (recordando quees antisimetrico)

Fµν =

0 −Ex −Ey −EzEx 0 Bz −ByEy −Bz 0 BxEz By −Bx 0

(3.16)

De una manera similar, usando (2.30), (2.31), (3.2), (3.4) y Fµν = ∂µAν −∂νAµ tenemos

Fµν =

0 Ex Ey Ez

−Ex 0 Bz −By−Ey −Bz 0 Bx−Ez By −Bx 0

(3.17)

Tambien definimos el dual de Fµν como

Fµν =12εµνγδFγδ

o bien,

Fµν =

0 Bx By Bz

−Bx 0 −Ez Ey−By Ez 0 −Ex−Bz −Ey Ex 0

(3.18)

Tomando la ecuacion (2.24), descomponiendola en terminos de sus com-ponentes, utilizando (3.3), (3.17), y usando la convencion de suma de Ein-stein, tenemos:

∇ ·E =∂Ex∂x

+∂Ey∂y

+∂Ez∂z

= ρ

∂1F01 + ∂2F

02 + ∂3F03 =

1cJ0

29

∂νFoν =

1cJ0 (3.19)

Ahora tomamos la ecuacion (2.27) y consideramos la componente x:

∂yBz − ∂zBy −1c

∂Ex∂t

=1cJx

∂2F12 − ∂3F

31 − ∂0F01 =

1cJ1

∂2F12 + ∂3F

13 + ∂0F10 =

1cJ1

∂νF1ν =

1cJ1 (3.20)

Para la componente z:

∂xBy − ∂yBx −1c

∂Ez∂t

=1cJz

∂1F31 − ∂2F

23 − ∂0F03 =

1cJ3

∂1F31 + ∂2F

32 + ∂0F30 =

1cJ3

∂νF3ν =

1cJ3 (3.21)

De manera similar para la componente y:

∂νF2ν =

1cJ2 (3.22)

De las ecuaciones que obtuvimos, (3.19), (3.20), (3.21) y (3.22), vemosque

∂νFµν =

1cJµ.

Esta ecuacion engloba las 2 ecuaciones de movimiento, es decir, aquellas rela-cionadas con las fuentes. Las otras 2 ecuaciones se pueden escribir tomandola ecuacion (2.25) y utilizando (3.16), obteniendo

∂1F23 + ∂2F31 + ∂3F12 = 0 (3.23)

30

Ahora usando (2.26) y considerando sus componentes obtenemoscomponente x:

∂2F30 + ∂3F02 + ∂0F23 = 0 (3.24)

componente y:∂1F03 + ∂3F10 + ∂0F31 = 0 (3.25)

componente z:∂1F20 + ∂2F01 + ∂0F12 = 0 (3.26)

Conjuntando (3.23), (3.24), (3.25) y (3.26) llegamos a

∂µFνρ + ∂ρFµν + ∂νFρµ = 0.

Podemos escribir la ecuacion anterior de una forma mas compacta, si uti-lizamos la definicion del tensor dual (3.18), de esta forma tendremos de(3.23), (3.24), (3.25) y (3.26)

∂1F01 + ∂2F

02 + ∂3F03 = 0

∂2F12 + ∂3F

13 + ∂0F10 = 0

∂1F21 + ∂3F

23 + ∂0F20 = 0

∂1F31 + ∂2F

32 + ∂0F30 = 0

Por lo tanto tenemos ∂ν Fµν = 0, que tambien se conoce como la identi-dad de Bianchi.

En resumen, las Ecuaciones de Maxwell en su forma covariante son:

∂νFµν =

1cJµ (3.27)

∂ν Fµν = 0 (3.28)

31

3.3. Invariancia de Lorentz de Campos Elec-tromagneticos

La invariancia de Lorentz es un principio segun el cual las leyes de lafısica son iguales en todos los marcos de referencia inerciales. En el casodel electromagnetismo, se tiene que Fµν y ηµν son invariantes de Lorentz, ypodemos derivar algunos escalares de Lorentz a partir de estos. Uno obvioes Fµνηµν , pero Fµν es antisimetrico y ηµν es simetrico, y su producto escero. Un escalar de Lorentz muy util es

FµνFµν = 2( ~B2 − ~E2).

Utilizando el dual de Fµν , (3.18), podemos definir el escalar de Lorentzsiguiente

Fµν Fµν = 4 ~E · ~B.

En resumen, vemos que ~B2 − ~E2 y ~E · ~B son invariantes frente a transfor-maciones de Lorentz.

3.4. Deduccion de las Ecuaciones de Maxwella partir de la Accion Electromagnetica

La densidad lagrangiana electromagnetica (usando el tensor Fµν) es

LEM = −14FµνF

µν +AµJµ (3.29)

recordando que S =∫Ld4x, donde d4x = dtd3x. Para obtener las ecua-

ciones de Maxwell por medio la accion utilizmos (B.2),

∂

∂xµ

(∂L

∂(∂µΦα)

)− ∂L∂Φα

= 0.

Entonces tenemos que∂LEM∂Aν

= δνµJµ = Jν . (3.30)

Veamos que FµνFµν = FαβFαβ = ηαρηβσFαβFρσ, entonces calculamos

∂(FαβFαβ)∂(∂µAν)

= ηαρηβσ[

∂Fαβ∂(∂µAν)

Fρσ + Fαβ∂Fρσ

∂(∂µAν)

]. (3.31)

32

Ademas, Fαβ = ∂αAβ − ∂βAα

⇒ ∂Fαβ∂(∂µAν)

= δµαδνβ − δ

µβδνα. (3.32)

Combinando (3.31) y (3.32) obtenemos

∂FαβFαβ

∂(∂µAν)= ηαρηβσ

[(δµαδ

νβ − δ

µβδνα)Fρσ + (δµρ δ

νσ − δµσδνρ )Fαβ

]= (ηµρηνσ − ηνρηµσ)Fρσ + (ηαµηβν − ηανηβµ)Fαβ= Fµν − F νµ + Fµν − F νµ

= 4Fµν

⇒ ∂L∂(∂µAν)

= −Fµν . (3.33)

Poniendo los resultados (3.30) y (3.33) en (B.2) llegamos a

∂µFνµ = Jν .

que es la ecuacion(3.27). Como se comento anteriormente, el otro par deecuaciones no se pueden deducir a partir de la accion, ya que son una condi-cion geometrica.

3.5. Formas Diferenciales y Ecuaciones de Maxwell

Las formas diferenciales1 son una herramienta matematica muy poderosaen diferentes campos de la fısica y matematicas. Como sabemos, el calculovectorial y tensorial son muy utiles y han sido muy importantes en el de-sarrollo de muchos conceptos tanto abstractos como aplicados, aunque sonalgo inadecuados cuando trabajamos con teorıas en mas de 4D.

En la actualidad contamos con un formalismo muy adecuado para tratarmuchas de las nuevas teorıas de fısica y matematicas: las formas diferen-ciales. Las formas diferenciales son una generalizacion de los conceptos deescalares, vectores y tensores, y son ampliamente utilizadas en la investi-gacion actual.

1En el apendice D se hace un repaso breve de formas diferenciales.

33

3.5.1. Ecuaciones de Maxwell expresadas con FormasDiferenciales

Definamos la 2-forma F2 = 12Fµνdx

µ ∧ dxν . Sabemos que Fµν = ∂[µAν]

⇒ F2 = dA1, donde A1 = Aµdxµ es una 1-forma, siendo Aµ el cuadrivector

potencial que tratamos anteriormente. Tambien definimos la 1-forma J1 =Jµdx

µ, donde Jµ es el conocido cuadrivector de corriente. En el lenguaje deformas diferenciales, la accion electromagnetica queda expresada como

S =∫F2 ∧ ∗F2 +A1 ∧ ∗J1. (3.34)

Integrando por partes el primer termino de (3.34), asumiendo que no haycampos ni cargas en infinito, llegamos a

S =∫dA1 ∧ ∗F2 +

∫A1 ∧ ∗J1 = −

∫A1 ∧ d ∗ F2 +

∫A1 ∧ ∗J1.

Tomando la variacion de S respecto a A1 igual a cero ( δSδA1

= 0) obtenemos

d ∗ F2 = ∗J1,

que no son mas que el par de ecuaciones de Maxwell, ∂µF νµ = Jν . Tomemosla definicion de F2, y la propiedad (D.1)

F2 = dA1

⇒ dF2 = 0. (3.35)

La ecuacion anterior representa las ecuaciones ∂µF νµ = 0. Reconocemosque (3.35) es la identidad de Bianchi, en otras palabras, este par de ecua-ciones de Maxwell son una condicion geometrica.

En resumen, podemos expresar las ecuaciones de Maxwell utilizandoformas diferenciales de la siguiente manera

d ∗ F2 = ∗J1 (3.36)

dF2 = 0 (3.37)

Tambien podemos ver la correspondencia en las expresiones de las ecua-ciones de Maxwell, tanto en lenguaje covariante como con formas diferen-ciales

d ∗ F2 = ∗J1 → ∂µFνµ = Jν

dF2 = 0 → ∂µFνµ = 0

34

Figura 3.1: Caja en la superficie terrestre y caja en caıda libre.

3.6. Relatividad General

En 1916 Einstein publico su teorıa de la Relatividad General, la cualse convertirıa, junto con la Mecanica Cuantica en una de las teorıas quecambiaron el rumbo de la ciencia.

3.6.1. Marcos de Referencia No Inerciales

Existe una relacion muy profunda entre sistemas de referencia no iner-ciales y sistemas de referencia sometidos a fuerzas gravitacionales, relacionque se puede entender con un ejemplo dado por el mismo Einstein. Supong-amos que nos encontramos encerrados en una caja colocada sobre la super-ficie terrestre (figura 3.1). En su interior, sentimos la fuerza gravitacional dela Tierra que nos atrae al suelo, al igual que todos los cuerpos que se encuen-tran a nuestro alrededor. Al soltar una piedra, esta cae al suelo aumentandocontinuamente su velocidad, es decir acelerandose a razon de 9.81 metrospor segundo cada segundo, lo que equivale, por definicion, a una aceleracionde 1 g. Por supuesto, en el interior de la caja la fuerza que actua sobre uncuerpo es proporcional a su masa gravitacional.

Ahora, consideramos el caso de una caja situada en el espacio, lejos dela influencia gravitacional de cualquier planeta o estrella (figura 3.2). Si esacaja esta en reposo, todo lo que se encuentra en su interior flota. Pero si lacaja se acelera, aumentado su velocidad a razon de 9.81 metros por segundo

35

Figura 3.2: Caja con aceleracion y caja ‘flotando’ en el espacio.

cada segundo (1 g), los objetos en su interior se pegan al suelo; un cuerpoque se suelte dentro de ella se dirigira al suelo con una aceleracian de l g.La caja acelerada es un sistema de referencia no inercial, y las fuerzas, queaparecen en su interior son fuerzas inerciales que dependen de la masa in-ercial de los cuerpos sobre los que actuan.

Los ocupantes dentro de una caja no pueden determinar por medio deexperimentos fısicos si se encuentran en reposo sobre la superficie de la Tier-ra o si se encuentran en el espacio en movimiento acelerado, esto porque elPrincipio de Equivalencia2 no permite distinguir, dentro de la caja, entreuna fuerza gravitacional y una inercial.

En un sistema no inercial actuan fuerzas que permiten discernir el movimien-to. Y sobre la superficie de la Tierra se puede distinguir entre arriba y abajoobservando simplemente la caıda de un cuerpo. En realidad, un sistema dereferencia inercial perfecto debe estar aislado en el espacio sideral, lejos decualquier cuerpo que lo atraiga gravitacionalmente. Un sistema de referenciainercial es equivalente a un sistema de referencia en caıda libre, y del mismomodo un sistema no inercial es equivalente a un sistema de referencia someti-do a la fuerza gravitacional. En consecuencia, se puede extender el Principiode Relatividad a sistemas no inerciales si se toma en cuenta a la gravitacion.

2El principio de equivalencia se explica en 4.5.2

36

Einstein investigo durante varios anos la posibilidad de modificar lateorıa de la gravitacion de Newton para hacerla compatible con el Prin-cipio de Relatividad. La clave para el fue la existencia de una profundarelacion entre fuerzas inerciales y fuerzas gravitacionales:

“Estaba yo sentado en mi sillon de la oficina de patentes deBerna cuando, de repente, tuve una ocurrencia: ‘Si una personacae libremente, no siente su propio peso.’ Quede atonito. Estaidea tan simple me impresiono profundamente. Me impulso haciauna teorıa de la gravitacion.”

3.6.2. Principio de Equivalencia

En la fısica aristotelica, se creıa que los cuerpos pesados caıan mas rapi-damente que los cuerpos ligeros. Se cuenta que Galileo Galilei demostro locontrario al soltar simultaneamente desde lo alto de la Torre de Pisa dospiedras de peso desigual; las dos piedras llegaron al suelo al mismo tiempo.De esta forma, Galileo demostro fue la equivalencia entre la masa inercial yla masa gravitacional.

La masa es una medida de la cantidad de materia (y energıa, de acuerdocon la Relatividad) que contiene un cuerpo. La Tierra atrae gravitacional-mente a los cuerpos masivos con una fuerza proporcional a la masa de dichoscuerpos3 (como descubrio Newton), ası que la manera mas comun de de-terminar la masa de un cuerpo consiste en medir esa fuerza gravitacional;de aquı el concepto del peso, que es en realidad una medida de la fuerzagravitacional ejercida por la Tierra sobre el objeto pesado.

Pero existe una segunda manera de determinar la masa de un cuerpo, yes por medio de la segunda ley de Newton, segun la cual un cuerpo adquiereuna aceleracion directamente proporcional a la fuerza que se le aplica e in-versamente proporcional a su masa.

De esta manera existen dos vıas para determinar la masa de un cuerpo:una es con la que se mide la masa gravitacional, otra forma es utilizar lasegunda ley de Newton, midiendo la inercia que un cuerpo opone a la fuerzaque se le aplique, con lo que se determina la masa inercial. De esta formatenemos el principio basico de que la masa inercial y la masa gravitacional

3La atraccion gravitacional depende tambien de la masa del cuerpo atractor, en estecaso la Tierra, y disminuye con el cuadrado de la distancia entre las masas.

37

de cualquier cuerpo son iguales. Este es el principio de equivalencia queGalileo formulo por primera vez y que Einstein utilizo como fundamento desu teorıa de la Relatividad General.

La implicacion mas inmediata del principio de equivalencia es que todoslos cuerpos caen de la misma forma, independientemente de la masa queposean.

3.6.3. La Teorıa de la Relatividad General

A mediados del siglo XIX, el matematico aleman Georg Friedrich Bern-hard Riemann tuvo la idea de extender el concepto de superficie curva aun espacio con cualquier numero de dimensiones. En un espacio ası, cada“punto” esta determinado por medio de n coordenadas; se puede postularuna formula para medir la “distancia” entre dos puntos, lo cual permiteconstruir geodesicas, que sustituyen a las rectas del espacio ordinario. Esevidente que, en un espacio curvo, los postulados y teoremas basicos de lageometrıa clasica no se cumplen; las geodesicas pueden cruzarse en mas deun punto, las paralelas no mantienen constante la distancia entre ellas, lasuma de los angulos de un triangulo no da 180, entre otros.

Riemann demostro que las propiedades basicas de un espacio curvo estandeterminadas exclusivamente por la formula para medir “distancias”. Es-coger una manera de medir esta distancia equivale a definir un espacio rie-manniano, que es un espacio curvo de dos, tres, cuatro o cualquier numerode dimensiones. Einstein llego a la conclusion de que el espacio-tiempo enel que vivimos es un espacio riemanniano de cuatro dimensiones, ademas deque la fuerza gravitacional puede interpretarse como un efecto geometrico.En esta nueva teorıa de Einstein, el espacio-tiempo es curvo y la gravitaciones la manifestacion de su curvatura.

La esencia de la teorıa de Einstein es que la masa de un cuerpo deformael espacio-tiempo a su alrededor. En ausencia de masa, el espacio-tiempoes plano y una partıcula se mueve en lınea recta porque nada influye sobresu trayectoria, pero en presencia de una masa, el espacio-tiempo se curva yahora la partıcula se mueve a lo largo de una geodesica.

En su artıculo de 1916, Einstein dedujo la ecuacion matematica querelaciona la geometrıa del espacio-tiempo con la distribucion de masa yenergıa: esta formula se conoce como ecuaciones de Einstein y es la base de

38

la Relatividad General.

3.6.4. Ecuaciones de Einstein

Las ecuaciones de Einstein de la accion de Einstein-Hilbert

S =∫d4x√−gR (3.38)

donde R = gabRab es el escalar de Ricci y Rab es el tensor de Ricci. Esteultimo se escribe en terminos del llamado tensor de Riemann

Rab = Rccab

donde Rccab = gcdRdcab y

Rdcab =12

[∂2gda∂xc∂xb

− ∂2gca∂xd∂xb

− ∂2gdb∂xc∂xa

+∂2gcb∂xd∂xa

]+gmn (ΓmdaΓncb − ΓmdbΓ

nca) .

Los objetos Γαβγ son los sımbolos de Christoffel y estan dados por

Γαβγ =12gαλ

[∂gλγ∂xβ

+∂gλβ∂xγ

− ∂gβγ∂xλ

].

Tomemos la variacion de S respecto a la metrica gµν e igualandola a ceroobtenemos

δS

δgµν=∫d4x

[δ(√−g)

δgµνR+√−g δR

δgµν

]= 0. (3.39)

Pero g = detgµν

δ(√−g) = −1

2(−g)−

12 δg

dondeδg = ggabδgab = −ggabδgab

⇒ δ(√−g)

δgµν=

12

g√−g

gµν =12√−ggµν (3.40)

Por otro lado, ya que R = gµνRµν

δR

δgµν= Rµν (3.41)

39

Observese que Rµν solo depende de derivadas de gµν . Sustituyendo (3.40)y (3.41) en (3.39)

√−g(

12gµνR+Rµν) = 0

⇒ Rµν +12gµνR = 0

Estas son las Ecuaciones de Einstein en el vacıo, Rµν + 12gµνR = 0.

3.7. Campos Bosonicos

3.7.1. ¿Que es un Campo?

El concepto de campo es fundamental en fısica. Se sostiene en el conceptomatematico de funcion y se usa para describir el comportamiento de todamagnitud fısica definida en cada punto de una region del espacio-tiempo, esdecir, un campo representa una cantidad medible y variable que dependede donde y cuando se haya hecho la medida.

En fısica clasica, el concepto de campo es utilizado para describir yexplicar fenomenos como los electromageticos, gravitacionales, de fluidosy de transporte. En la fısica contemporanea es central en las teorıas departıculas elementales que buscan la elaboracion de modelos que expliquen,en una teorıa unificada, las fuerzas basicas de la naturaleza.

Un campo son ciertas cualidades fısicas de los puntos del espacio y eltiempo; es algo que existe en todo el espacio y el tiempo, en oposicion a unapartıcula que existe en un solo punto en el tiempo.

Desde una perspectiva historica de la fısica, el concepto de campo surgeen el siglo XIX, como una busqueda para explicar los fenomenos electro-mageticos. Aunque existıa una formulacion de la teorıa gravitacional enterminos de campo gravitacional y potencial, desarrollada principalmentepor Laplace y Poisson a fines del siglo XVIII, esta parecıa mas un “tru-co” matematico que una formulacion para profundizar conceptos fısicos. Sepuede afirmar que Faraday fue el iniciador de un abordaje teorico verdader-amente alternativo basado en el concepto de campo, que rechazaba la ideade accion a distancia para abordar las fuerzas electromagneticas.

Sin embargo, Maxwell (1855) dio un cuerpo matematico a las concep-ciones de Faraday: una accion fısica, en particular la electromagnetica, setransmite continuamente por el espacio y el tiempo mediante un campo,y no se ejerce a distancia segun la mecanica de Newton. Maxwell culminasus investigaciones en 1868 introduciendo la teorıa de los campos electricos

40

y magneticos sintetizada en cuatro ecuaciones para dichos campos, siendoası la primera teorıa donde la idea de campo adquiere significado fısico.

Esta teorıa afirma que una carga electrica esta rodeada por un campoelectrico que se extiende hasta el infinito, y que el movimiento de una cargaelectrica da origen a un campo magnetico que tambien tiene un alcanceinfinito. Ambos campos son magnitudes vectoriales definidas en cada puntodel espacio y el tiempo.

La teorıa de la Relatividad de Einstein mantiene la idea de Maxwell deque la interaccion mutua entre las partıculas se puede describir medianteel concepto de campo de fuerzas, es decir, en vez de hablar de la accion deuna partıcula sobre otra, afirma que una partıcula crea un campo en tornode ella, entonces una fuerza determinada actua sobre cada una de las otraspartıculas situadas en ese campo.

En la Mecanica Clasica, el campo es un modo de describir un fenomenofısico, en cambio en la teorıa de la Relatividad, debido al valor finito dela velocidad de propagacion de las interacciones, el propio campo adquiererealidad fısica; no se puede hablar de una interaccion directa entre partıculascolocadas a cierta distancia, se debe hablar de la interaccion de una partıculacon el campo y de la posterior interaccion del campo con otra partıcula.

Una teorıa de campo por lo general se refiere a una construccion de ladinamica de un campo, es decir, una especificacion de como un campo cam-bia con el tiempo y/o en el espacio. Generalmente esto se hace escribiendoun lagrangiano o un hamiltoniano del campo, y tratandolo como un sistemacon un numero infinito de grados de libertad.

3.7.2. Campos Bosonicos

Los campos bosonicos son aquellos que tienen relacionado un espın en-tero, por ejemplo,

Campos escalares (espın 0),

Campo electromagnetico (espın 1),

Campo gravitacional (espın 2).

41

Capıtulo 4

Reduccion Dimensional

4.1. Nocion Basica de Dimension

Intuitivamente podemos clasificar las estructuras geometricas como deuna, dos, tres o mas dimensiones, de acuerdo con la naturaleza de su ex-tension. Con este razonamiento, un punto (que no tiene extension) es cerodimensional, una lınea es unidimensional, una superficie es bidimensional,y un volumen es tridimensional.

Citando las definiciones dadas por Euclides:

Un punto es lo que no tiene partes. Una lınea es una longitud sinanchura. Una superficie es lo que tiene solo longitud y anchura.Un solido es lo que tiene longitud, anchura y profundidad.

Euclides senalaba que los extremos de una lınea son puntos, el lımitede una superficie es una lınea, y el lımite de un solido es una superficie.Razonando como Euclides llegamos a que una estructura tetradimensionalesta limitada por volumenes tridimensionales.

Se puede conceptualizar mejor la dimensionalidad imaginando algun mo-do de etiquetar puntos en el espacio, i.e., podemos definir dimension como elnumero de coordenadas que necesitamos para especificar la localizacion deun punto en algun espacio. Vemos que fijar el tiempo de un acontecimientorequiere un solo numero (el tiempo es unidimensional) y fijar el lugar re-quiere 3 (el espacio es tridimensional), ası, tenemos que el espacio-tiempoes tetradimensional.

Un aspecto de la dimensionalidad tiene que ver con el numero de direc-ciones mutuamente perpendiculares que hay en el espacio. Por ejemplo, en

42

el espacio tridimensional existen tres direcciones mutuamente perpendicu-lares.

4.2. Razones Para Considerar Dimensiones Ex-tra

Durante el desarrollo de las teorıas y modelos que explican las interac-ciones (electromagneticas, debiles, fuertes, gravitacionales), se ha ido espec-ulando sobre una teorıa que explique las cuatro interacciones, como con-secuencia de algo mas fundamental. Ası, surgio la Teorıa Electrodebil, lacual unifica electromagnetismo y fuerza debil, luego se desarrollo el ModeloEstandar, que incluye electromagnetismo, fuerza debil y fuerza fuerte.

El problema es unificar las interacciones del Modelo Estandar con lagravedad. Para esto han surgido varias propuestas, una de ellas es la Teorıade (Super)Cuerdas. Esta teorıa “vive” en 10 u 11 dimensiones, dependiendode las consideraciones de simetrıa y otros detalles tecnicos.

El considerar dimensiones extra, aparte de ser necesario en algunasteorıas, podrıa ayudar a resolver o comprender algunos problemas o situa-ciones aun sin respuesta que hay en las teorıas actuales, por ejemplo ([18],[22])

Abordar el problema de jerarquıa de masas.

Producir rompimiento de simetrıa electrodebil sin un boson de Higgs.

Gran unificacion a escala de TeV.

Nueva perspectiva cosmologica.

Produccion de agujeros negros en colisionadores futuros.

Cuantizacion de la interaccion gravitacional.

4.3. Compactificacion

Compactificar es el proceso de enrollar dimensiones. Hay diferentes man-eras de compactificar dimensiones; se puede compactificar en un TD−4 (D-4 toro), como en la figura 4.1, o en lo que se conoce como variedades deCalabi-Yau. A las dimensiones extra que son compactificadas se les llamacoordenadas internas.

43

Figura 4.1: Compactificacion de 2 dimensiones en un 2-toro.

4.4. Teorıa de Kaluza-Klein

A principios del siglo XX, Theodor Kaluza (1919), un profesor de matematicasde la Universidad de Konisberg, logro “unificar” gravedad y electromag-netismo. Lo hizo tomando la Relatividad General e introduciendo una dime-sion espacial extra, esto es, considero solamente gravedad en cinco dimen-siones.

La quinta dimension era solo un truco matematico, y para Kaluza notenia significado fısico. Tambien considero que los campos no dependian deesta quinta dimension. Con todo esto en mente, Kaluza obtuvo un resultadomuy interesante: la Relatividad General en 5D, reducida a 4D, reproducelas Ecuaciones de Einstein, ademas de las Ecuaciones de Maxwell y uncampo escalar, que en esa epoca no tenia razon de ser muy clara (ahorasabemos que ese campo escalar lo podemos relacionar con la Ecuacion deKlein-Gordon). Quedaba en el aire explicar porque no percibimos la quintadimension.

En 1926 Oskar Klein combino las ideas de Kaluza y la Mecanica Cuanti-ca, ademas de darle a los campos de la teorıa dependencia en la quintadimension y considerar que esta dimension adicional era periodica. De estamanera pudo dar una estimacion cuantitativa tanto de la cuantizacion dela carga como de la pequenez e inobservabilidad practica de la dimensionadicional, que se encuentra enrrollada en forma de cırculo de radio muypequeno. Una forma de imaginar esto es pensando en un cabello (figura4.2). Si lo vemos a una distancia grande comparada con las dimensiones del

44

Figura 4.2: Un cabello visto de lejos y un acercamiento.

mismo, digamos 2 metros, observaremos una lınea (1 dimension); si ahoraobservamos el cabello con un microscopio notaremos que cuenta con dosdimensiones.

4.5. Reduccion Dimensional

La experiencia nos muestra que, al menos macroscopicamente, el espacio-tiempo tiene cuatro dimensiones (tres espaciales y una temporal). Sin em-bargo, esta observacion no elimina la posibilidad de que, en escalas inacce-sibles por la tecnologıa actual, existan otras dimensiones. La introduccionde dimensiones extras es una hipotesis usual en la fısica de altas energıas,y varias teorias dependen de su existencia para ser consistentes con lo ob-servado.

Por supuesto que siempre debemos ser capaces de, a partir de una teorıaformulada en dimensiones mayores a 4, extraer la informacion relevante encuatro dimensiones.

La reduccion dimensional es el proceso utilizado para obtener teoriasefectivas en dimensiones mas bajas a partir de teorias en altas dimensiones,por ejemplo, Kaluza-Klein

GAB =

[g

(5)µν g

(5)µ5

g(5)5ν g

(5)55

]=[g

(4)µν + φAµAν φAµ

φAν φ

].

En este caso, la reduccion dimensional de la accion conduce a una teorıa de

45

la gravedad en la dimension inferior, ası como electromagnetismo y un es-calar. A continuacion se realiza la reduccion dimensional de algunos camposbosonicos, en los casos de 5 y D dimensiones.

4.5.1. Campo Escalar en 5D

Consideremos un campo escalar φ(xM ) en 5 dimensiones. Tomemos laaccion de este campo escalar como

S = −12

∫d5x∂Mφ∂

Mφ, (4.1)

donde el espacio-tiempo es la variedad M5 = M4 × S1 (M4 es el espaciode Minkowski y S1 es un cırculo de radio R). Ademas φ(xM ) = φ(xµ, y),donde M = 0, 1, 2, 3, 4, µ = 0, 1, 2, 3 son las coordenadas usuales (0 es lacoordenada temporal, 1, 2, 3 las coordenadas espaciales), y es la dimensionextra, tal que, y ∈ [0, 2πR].

El campo escalar φ(xµ, y) satisface la ecuacion de movimiento φ = 0,

∂µ∂µφ+ ∂2

yφ = 0, (4.2)

ademas es periodico, φ(xµ, y) = φ(xµ, y+2πR). Debido a esta periodicidad,podemos hacer una expansion de Fourier de φ(xµ, y)

φ(xµ, y) =1√2πR

∑n∈Z

φn(xµ)einyR . (4.3)

Sustituyendo (4.3) en (4.2) obtenemos

∂µ∂µφn −

n2

R2φn = 0

∂µ∂µφn =

n2

R2φn. (4.4)

Vemos que (4.4) tiene una gran corcordancia con la Ecuacion de Klein-Gordon

∂µ∂µφ = m2φ.

Al factor del lado derecho de (4.4), n2

R2 , se le conoce como Modos de Kaluza-Klein. Tambien podemos sustituir (4.3) en la accion (4.1) e integrar sobrey

S = −12

∑n∈Z

(1

2πR

)∫d4x

[∂µφn∂

µφ∗n +n2

R2φ∗nφn

] ∫ 2πR

0

dy

46

⇒ S = −12

∑n∈Z

∫d4x

[∂µφn∂

µφ∗n +n2

R2φ∗nφn

].

Partiendo de considerar un campo escalar en 5D, y relizando reducciondimensional, obtenemos un campo escalar sin masa (φ0), y una torre infinitade campos escalares (φn) masivos (de masa n

R ), llamada torre de estados deKaluza-Klein, todo esto en 4D.

4.5.2. Campo Escalar en D dimensiones

Ahora consideremos un campo escalar φ(xM ) en D dimensiones. Aquı elsuperınice M , corre de 0, 1, 2, 3 . . . hasta D − 1. Tomemos la accion de estecampo escalar como

S = −12

∫dDx∂Mφ∂

Mφ∗, (4.5)

siendo φ = φ(xµ, ym), donde µ = 0, 1, 2, 3 y m = 1, 2, ..., D − 4. El espacio-tiempo MD es MD = M4×TD−4. TD−4 es un D-4-toro. Ademas, φ(xµ, ym)es periodica en las coordenadas internas ym, esto es,

φ(xµ, ym) = φ(xµ, ym + 2πRm),

entonces expandimos en serie de Fourier

φ(xµ, ym) =(R1 · · ·RD−4)−

12

(2π)D−4

2

∑n∈Z

φn1,...,nD−4(xµ)ein1y1R1 · · · e

inD−4yD−4RD−4 .

(4.6)Como en el caso anterior, φ(xµ, ym) satisface la ecuacion de movimiento

∂Mφ∂Mφ∗ = ∂µφ∂

µφ∗ − ∂aφ∂aφ∗ = 0. (4.7)

Ahora sustituyendo (4.6) en (4.7) obtenemos1

1(2π)D−4(R1 · · ·RD−4)

∑n∈Z

[∂µφn∂

µφ∗n +(n2

1

R21

+ · · ·+n2D−4

R2D−4

)φnφ

∗n

]= 0.

Tambien podemos proceder sustituyendo (4.6) en la accion (4.5), e integrarsobre las coordenadas internas como sigue

S = −12

(R1 · · ·RD−4)−1

(2π)D−4

∑n∈Z

∫d4xE

∫ 2πR1

0

dy1 · · ·∫ 2πRD−4

0

dyD−4,

1Observese que φn debe ser φn1,...,nD−4 , pero por razones de espacio y presentacion,sera solamente φn. Esta consideracion se obviara en los siguientes casos donde aplique.

47

donde E =[∂µφn∂

µφ∗n +(n2

1R2

1+ · · ·+ n2

D−4

R2D−4

)φnφ

∗n

]. Al realizar las inte-

grales de las coordenadas internas obtenemos (2π)D−4(R1 · · ·RD−4), en-tonces llegamos a

S = −12

∑n∈Z

∫d4x

[∂µφn∂

µφ∗n +(n2

1

R21

+ · · ·+n2D−4

R2D−4

)φnφ

∗n

].

4.5.3. Campos de Gauge en 5D

Consideremos la siguiente accion

S = −14

∫d5xFMNF

MN .

Nuevamente, M,N = 0, 1, 2, 3, 4, ademas FMN = ∂MAN − ∂NAM , es in-variante si AM → AM +∂Mλ, y ademas obedece la ecuacion de movimiento∂MF

MN = 0, esto es,

∂M (∂MAN − ∂NAM ) = 0

∂M∂MAN − ∂N∂MAM = 0. (4.8)

En este caso elegimos la Norma de Lorentz, ∂MAM = 0, ası que la ecuacion(4.8) nos queda como

∂M∂MAN = 0. (4.9)

De esta ecuacion (4.9) obtenemos

∂M∂MAν = 0, (4.10)

∂M∂MA5 = 0. (4.11)

Debido a la periodicidad en la coordenada interna, el campo AM se puedeexpandir en serie de Fourier como

AM (xµ, y) =1√2πR

∑n∈Z

AMn (xµ)einyR . (4.12)

Desarrollamos la ecuacion (4.10) obteniendo

∂M∂MAν = ∂µ∂

µAν + ∂2yA

ν = 0,

y sustituimos la expansion de Fourier (4.12)

∂µ∂µAνn −

n2

R2Aνn = 0 → ∂µ∂

µAνn =n2

R2Aνn.

48

Recordando de electrodinamica, ∂µFµν = Jν , esto es, ∂µ(∂µAν − ∂νAµ) =Jν . Como consideramos la norma de Lorentz, ∂µAµ = 0, esto se reduce a∂µ∂

µAν = Jν .El resultado que obtenemos de analizar esta parte es “algo como” las

ecuaciones de Maxwell en 4D.Por otra parte, desarrollando la ecuacion (4.11), sustituyendo su expan-

sion de Fourier correspondiente (4.12),y definiendo A5 = φ, obtenemos

∂M∂Mφ = ∂µ∂

µφn −n2

R2φn = 0 → ∂µ∂

µφn =n2

R2φn.

Reconocemos que esto es “algo como” la ecuacion de Klein-Gordon en 4D,donde m2 = n2

R2 .

4.5.4. Campos de Gauge en D dimensiones

Retomando las ideas de la seccion anterior, se realiza un analisis en Ddimensiones de un campo FMN = ∂MAN −∂NAM . Para esto consideramosla accion

S = −14

∫dDxFMNF

MN . (4.13)

Utilizamos la siguiente expansion de Fourier para AM

AM (xµ, ym) =(R1 · · ·RD−4)−

12

(2π)D−4

2

∑n∈Z

AMn (xµ)ein1y1R1 · · · e

inD−4yD−4RD−4 . (4.14)

De la ecuacion de movimiento ∂MFMN = 0, la norma de Lorentz ∂MAM =0, separando los casos como en la seccion anterior, y sustituyendo las respec-tivas expansiones de Fourier, ademas definiendo Ab = φb (ya que AM →Aν , Ab), obtenemos

∂µ∂µAνn =

(n2

1

R21

+ · · ·+n2D−4

R2D−4

)Aνn, (4.15)

∂µ∂µφbn =

(n2

1

R21

+ · · ·+n2D−4

R2D−4

)φbn. (4.16)

Estos resultados anteriores los podemos interpretar como las general-izaciones de las ecuaciones de Maxwell y de Klein-Gordon de la seccionanterior, al pasar de D dimensiones a 4D.

49

4.5.5. Campo B2 en 5D

En el contexto de dimensiones extra es posible considerar la general-izacion del campo de Maxwell en terminos de formas diferenciales. En estecaso, consideramos el campo B2, que es una 2-forma antisimetrica, y sucampo de fuerza asociado es H3 = dB2. En particular para este campo laaccion es

S = − 112

∫d5xHMNPH

MNP , (4.17)

donde HMNP = ∂MBNP −∂PBMN+∂NBPM . Las ecuaciones de movimien-to son

∂MHMNP = 0 (4.18)

∂M (∂MBNP − ∂PBMN + ∂NBPM ) = 0

∂M∂MBNP − ∂P∂MBMN + ∂N∂MB

PM = 0.

Eligiendo la norma ∂MBMN = 0, tenemos

∂M∂MBNP = 0,

de donde encontramos las ecuaciones siguientes

∂M∂MBσδ = 0 (4.19)

∂M∂MBσ5 = 0. (4.20)

Definamos Bσ5 = Aρ, ademas de tomar la siguiente expansion de Fourierpara BNP

BNP (xµ, y) =1√2πR

∑n∈Z

BNPn (xµ)einyR . (4.21)

Tomando la ecuacion (4.19) y sustituyendo la expansion de Fourier tenemos

∂µ∂µBσδ + ∂2

yBσδ = 0

⇒ ∂µ∂µBσδn =

n2

R2Bσδn . (4.22)

Ahora tomando la ecuacion (4.20) y sustituyendo su respectiva expan-sion de Fourier tenemos

∂µ∂µAρ + ∂2

yAρ = 0

⇒ ∂µ∂µAρn =

n2

R2Aρn. (4.23)

50

4.5.6. Campo B2 en D dimensiones

Generalizando a D-dimensiones el caso anterior, tomamos la accion

S = − 112

∫dDxHMNPH

MNP , (4.24)

donde HMNP = ∂MBNP − ∂PBMN + ∂NBPM . Tenemos las ecuaciones demovimiento

∂M∂MBNP = 0,

y de estas llegamos a las siguientes

∂M∂MBσδ = 0 (4.25)

∂M∂MBσb = 0. (4.26)

Ahora utilizamos la siguiente expansion de Fourier para BNP

BNP (xµ, ym) =(R1 · · ·RD−4)−

12

(2π)D−4

2

∑n∈Z

BNPn (xµ)ein1y1R1 · · · e

inD−4yD−4RD−4 .

(4.27)Desarrollando (4.25) y sustituyendo la expansion de Fourier tenemos

∂µ∂µBσδn =

(n2

1

R21

+ · · ·+n2D−4

R2D−4

)Bσδn . (4.28)

Ahora desarrollando (4.26) y sustituyendo la expansion de Fourier tenemos

∂µ∂µBσbn =

(n2

1

R21

+ · · ·+n2D−4

R2D−4

)Bσbn (4.29)

4.5.7. Campo Gravitacional en 5D

Consideremos la teorıa de Einstein con solo gravedad en 5D, con ele-mento de lınea dS2 = gMNdx

MdxN , donde M,N = 0, 1, 2, 3, 4. Ademas

gMN = eφ√3

(gµν + e−

√3φAµAν e−

√3φAµ

e−√

3φAν e−√

3φ

). (4.30)

La accion que describe gravedad pura en 5D es

S =∫d5x√−gR. (4.31)

51

Consideremos que la quinta dimension es periodica, entonces, los camposgµν(x, y), Aµ(x, y) y φ(x, y) se pueden expandir como

gµν(x, y) =∑n∈Z

gnµν(x)einyR , (4.32)

Aµ(x, y) =∑n∈Z

Anµ(x)einyR , (4.33)

φ(x, y) =∑n∈Z

φneinyR . (4.34)

Sustituyendo (4.30), (4.32), (4.33) y (4.34) en (4.31), integrando sobre y ytomando en cuenta solamente n = 0, obtenemos

S =∫d4x√−g[R− 1

2∂µφ∂

µφ− 14φFµνF

µν ]. (4.35)

De esta manera obtenemos gravedad (R), electromagnetismo (FµνFµν)y un campo escalar (φ), a partir de gravedad pura en 5D y realizando lareduccion dimensional.

4.6. Estabilizacion de Modulos

Hemos visto que el proceso de compactificacion de una teorıa con di-mensiones extra, arroja mucha informacion en la fısica de 4 dimensiones.Sin embargo, existe un problema relacionado con la aparicion de camposescalares no masivos que indican la existencia de fuerzas de largo alcanceno observadas. Dichos campos escalares, tambien llamados modulos, estanrelacionados con la forma y volumen de la variedad interna en la que las di-mensiones extra estan compactificadas. En particular, si tomamos la accionde supergravedad en 10 dimensiones2 y compactificamos en una variedad de6 dimensiones, se obtiene una accion donde el potencial escalar correspon-diente no depende de ninguno de los mencionados campos escalares. A estose le conoce como el problema de la estabilizacion de modulos.

2En el presente trabajo no se estudia la definicion de supergravedad. Basta mencionarque se trata de una teorıa de campo cuyo parametro supersimetrico (que relaciona camposbosonicos con campos fermionicos) es local, implicando la aparicion de la gravedad. Exis-ten diferentes versiones de teorias de supergravedad, como la descrita en 10 dimensiones,que corresponde al lımite de bajas energias de la teorıa de supercuerdas tipo II, que tratacon cuerdas cerradas orientadas. Ası mismo, solo trabajaremos la parte bosonica de estaaccion.

52

Es necesario por lo tanto, encontrar un mecanismo que permita la ob-tencion de un potencial escalar 4-dimensional que dependa explıcitamentede alguno de estos modulos y mas aun, dicho potencial debe poseer unmınimo en el cual los campos escalares adquieran un valor de expectacionestable, que nos proporcione un valor a la masa. Esta masa se espera seamuy grande comparada con las excitaciones de Kaluza-Klein, y por lo tanto,las fuerzas debidas a dichos modulos son de muy corto alcance, a tal gradoque es imposible observarlas con la tecnologıa actual.

En esta seccion veremos con detalle como la inclusion de flujos en 10dimensiones estabiliza ([14], [15], [16], [19], [20]) algunos de los modulosresolviendo parcialmente el problema ya mencionado. Como primer puntopartiremos de la accion de supergravedad en 10 dimensiones sin la inclusionde dichos flujos.

La componente bosonica de la accion de supergravedad es

S = SNS + SR + SCS , (4.36)

donde3

SNS =1

2k2

∫d10x√−ge−2φ

(R+ 4∂Mφ∂Mφ−

12|H3|2

), (4.37)

SR = − 14k2

∫d10x√−g(|F1|2 + |F3|2 +

12|F5|2

), (4.38)

SCS = − 14k2

∫X10

C4 ∧H3 ∧ F3, (4.39)

ademasH3 = dB2,

F1 = dC0,

F3 = dC2, F3 = F3 − C0 ∧H3,

3Se denota por SCS al termino de la accion conocido como de Chern-Simons. Estetermino es topologico en el sentido de que no depende de la metrica. SNS denota la com-ponente que proviene del llamado sector de Neveu-Schwarz-Neveu-Schwarz de una cuerdacerrada, usualmente abreviado como NS-NS. Similarmente, SR esta relacionado con elsector de cuerdas cerradas, llamado de Ramond-Ramond y usualmente denotado comoRR. Para los propositos de este trabajo, basta mencionar que el sector NS-NS consideracuerdas cerradas cuyos campos fermionicos son antiperiodicos en ambos extremos de lacuerda. De este sector se obtienen los campos bosonicos como el dilaton, el campo B y elgraviton. El sector RR considera cuerdas cerradas cuyos campos fermionicos son periodi-cos. De este sector se obtienen como modos de vibracion, campos bosonicos denotadoscomo formas diferenciales.

53

F5 = dC4, F5 = F5 −12C2 ∧H3 +

12B2 ∧ F3,

F5 = ∗F5.

Note que esta accion se obtiene como un lımite de bajas energias de la teorıade supercuerdas y esta expreseda en terminos de los campos de dicha teorıa.Si deseamos expresar esta accion en un marco de referencia usual (es decir,la componente de la accion que contiene a la gravedad debe estar escritacomo una tıpica accion de Einstein-Hilbert) es necesario redefinir la metricacomo gmn → eφ/2gmn. Bajo esta modificacion del marco de referencia, eltermino e−2φR se transforma como

e−2φR→ R− 92∂Mφ∂Mφ, (4.40)

mientras que los terminos − 12e−2φ |H3|2 − 1

2 |F3|2 se escriben como

−12e−2φ |H3|2−

12|F3|2 → −

12eφ(F3 ∧ ∗F3 − 2C0F3 ∧ ∗H3 + SSH3 ∧ ∗H3

).

Por ultimo, de los terminos 4∂Mφ∂Mφ+R− 12 |F1|2, recordando (4.40), se

llega a

4∂Mφ∂Mφ+R− 12|F1|2 → −

12e2φ∂MS∂

MS +R.

Como veremos mas adelante es util reescribir esta accion en terminos deuna 3-forma compleja definida por G3 = F3 − SH3, donde S = C0 + ie−φ

es el llamado dilaton complejo.4 Es sencillo mostrar que

G3 ∧ ∗G3 = F3 ∧ ∗F3 − 2C0F3 ∧ ∗H3 + SSH3 ∧ ∗H3, (4.41)

y ademasG3 ∧ G3 = −2ie−φH3 ∧ F3.

De esto ultimo se observa que los terminos de la accion de supergravedadque contienen a las 3-formas H3 y F3 se pueden reescribir como

−12e−2φ |H3|2 −

12|F3|2 = −1

2eφG3 ∧ ∗G3.

En resumen, al redefinir la metrica, la accion (4.36) se expresa como

S =1

2k2

∫d10x√−g

[R− |∂S|2

2(=S)2− |G3|2

2=S− |F5|2

4

]+

18ik2

∫X10

C4 ∧G3 ∧ G3

=S.

(4.42)4En este trabajo, las partes real e imaginaria de un numero complejo z, se denotan

respectivamente como <z y =z.

54

Consideremos ahora el caso en que los flujos denotados por G3 y F5

son nulos. Claramente esta es la situacion mas sencilla puesto que existe unmenor numero de grados de libertad asociados al sistema. De esta maneratenemos

S =1

2k20

∫X10

[R ∗ 1− dS ∧ ∗dS

2(=S)2

]. (4.43)

Realicemos ahora la compactificacion, esto es, tomemos el espacio-tiempo10-dimensional X10 como el producto del espacio de Minkowski M4 y unespacio compacto 6-dimensional denotado por X6. De esta manera X10 =M4 × X6. Si compactificamos en la variedad X6, y dado que esperamosobtener una teorıa supersimetrica en 4D,5 el dilaton complejo S, que a suvez posee espın cero, debe poseer una dinamica dada por la accion efectiva

S ∼∫d4x

[kij∂

iS∂jS + . . .+ V (Φ,Φ∗)],

donde kij es la constante de acoplamiento que nos indica el orden de mag-nitud de la interaccion. Entonces, si realizamos la reduccion dimensional enla accion dada por (4.43), obtenemos

−12k2

0

∫M4

dS ∧ ∗dS2(=S)2

∫X6∗1 =

−V ol62k2

0

∫d4x

√−g

2(=S)2∂aS∂

aS,

donde∫X6 ∗1 = V ol(X6). Es inmediato observar que no se ha generado

potencial alguno que dependa explıcitamente del dilaton complejo S. Dadoque kij ∼ 1/=S es necesario darle un valor de expectacion al campo S conel objetivo de fijar la fuerza de la interaccion. Es claro por lo tanto que elpresente modelo de compactificacion conlleva a la existencia de un problemaadicional, que es precisamente el de fijar la escala de la interaccion debida aS. Aunado a ello, como ya se menciono, existen campos escalares adicionales(a una teorıa supersimetrica) relacionados con la forma y volumen de lavariedad interna X6 que al no poseer un potencial, impiden fijar su masay por tanto se deberıan observar fuerzas de largo alcance relacionados contales parametros. Este es el problema de la estabilizacion de modulos.

5Es posible demostrar que partiendo de una teorıa supersimetrica en 10 dimensiones,el proceso de compactificacion genera una teorıa en 4 dimensiones que posee al menosun generador supersimetrico, esto es, asocia a cada campo bosonico al menos un campofermionico y viceversa. El numero de generadores supersimetricos puede asociarse alnumero de gravitinos (companeros supersimetricos del graviton) presentes en la teorıa.

55

Con el objeto de solucionar este problema, partamos de condiciones ini-ciales diferentes. Consideremos de nuevo la accion dada por (4.42) dondelos flujos G3 y F5 no estan apagados. Aun mas, asumamos que los flujosque se han encendido en el espacio de 10 dimensiones solo estan definidossobre la variedad interna X6. De esta manera, de acuerdo a lo estudiado ensecciones anteriores de este trabajo, dichos campos se comportaran comocampos escalares en una descripcion 4-dimensional, permitiendonos obteneruna funcion de los flujos integrada en el espacio interno, que precisamentese comporta como un potencial escalar en 4D. Este potencial esta dado por

V = − 124k2

10

∫G3 ∧ ∗G3

=S. (4.44)

Con el fin de reescribir este potencial de una forma mas util, utilizamos elhecho de que cualquier forma compleja puede descomponerse en terminos departes duales y autoduales, en nuestro caso, podemos expresar a G3 como

G3 = G+3 +G−3 ,

dondeG±3 =

12

(G3 ± i ∗G3).

Ademas se verifica que ∗G±3 = ∓iG±3 . Tomando en cuenta lo anterior, y elhecho de que G−3 ∧ ∗G

+3 = 0, expresamos el potencial V como

V = − 112k2

10=S

∫G+

3 ∧ ∗G+3 −

i

4k210=S

∫X6

G3 ∧ G3. (4.45)

Observese que hemos descompuesto el potencial V en dos componentes.La segunda componente es precisamente el termino de Chern-Simons, quecomo ya se menciono, es puramente topologico. El primer termino de estepotencial dado por

− 112k2

10=S

∫G+

3 ∧ ∗G+3 (4.46)

resulta ser el mas interesante. Podemos ver que |G3|2 ≥ 0 y H3 ∧ F3 ≥ 0⇒ V ≥ 0. ¿Puede este potencial tener un mınimo?. Sı, y esto ocurre cuando∫X6 G

+3 ∧ ∗G3

+ = 0. En principio establecimos que G3 6= 0, sin embargosabemos que G3 = G+

3 + G−3 ⇒ G+3 = 0. De esta manera, el potencial V

tendra un mınimo en G+3 = 0 (esto es, solo se enciende G−3 ).

Hemos por lo tanto descrito un procedimiento que permite la estabi-lizacion de algunos de los modulos. En este caso se han estabilizado el di-laton S y la forma de la variedad a traves de la dependencia de V en lametrica de la variedad interna.

56

Capıtulo 5

Conclusiones

El aplicar la reduccion dimensional a los campos en teorıas con dimen-siones extra considerados en este trabajo permite obtener a una teorıa efec-tiva 4-dimensional de campos no masivos.

Cuando aplicamos la reduccion dimensional a un campo escalar en 5-dim, obtenemos un campo escalar sin masa y una torre de estados ma-sivos (modos de Kaluza-Klein diferentes de cero), esto es, el compactificaruna dimension hace que los campos adquieran masa. En otras palabras,la compactificacion es un mecanismo por el cual los campos observados en4-dimensiones adquieren masa debido a la existencia de dimensiones extracompactas y periodicas.

En otro caso analizado en este trabajo, el de un campo gravitacional en5-dim, se llega a un resultado muy interesante, pues al reducir dimensional-mente gravedad pura en 5-dim, recuperamos gravedad en 4-dim y ademas, seobtiene un campo de gauge, que en este caso es el campo electromagnetico.Vemos que el electromagnetismo surge por el simple hecho de consideraruna dimension adicional, y de esta manera, se tiene una ‘unificacion’ de dosde las cuatro fuerzas fundamentales, aunque sabemos que este ejemplo esde fin ilustrativo.

Este procedimiento se aplica de igual manera a campos bosonicos comoel tensor de Maxwell FMN y un campo antisimetrico de dos ındices llamadoel campo B y denotado por BMN . En este caso concluimos que un campoFMN definido en dimensiones extra y sin fuentes, es interpretado por un

57

observador en 4-dimensiones como un campo electromagnetico con fuentesy un campo escalar masivo. La corriente y la masa estan descritas en termi-nos de los modos de Kaluza-Klein correspondientes. Para el caso del campoB, se obtiene que en 4-dimensiones se observa un campo B con fuentes y uncampo electromagnetico con corriente. Ambas fuentes estan de igual man-era determinadas por los modos de KK.

Finalmente se estudio un problema que surge en el proceso de reduc-cion dimensional en modelos mas sofisticados como la supergravedad tipoIIB, que es el problema de la estabilizacion de modulos. Este problema con-siste en la aparicion de campos escalares no masivos en la teorıa efectivaen 4-dimensiones, implicando la existencia de fuerzas extra a las conocidas.Claramente ello debe evitarse. Sin embargo, los campos esclares no masivosestan relacionados con la forma y volumen de la variedad compacta en laque las dimensiones extra estan enrolladas.

Ahora sabemos que dicho problema se resuelve encendiendo los flujos enla accion de supergravedad (antes se consideraban nulos, y el resultado eraque no se obtenıa un valor estable para la masa de los campos escalares). Deesta manera, considerando que los flujos son no nulos, realizamos la com-pactificacion y ası, se puede obtener un potencial que a su vez posee unmınimo en el cual los campos escalares adquieren un valor de expectacion.

En resumen, gracias al hecho de que realizando la compactificacion delas dimensiones extra de alguna teoria en particular obtenemos como resul-tado la teorıa efectiva correspondiente, podemos concluir que las teorıas queinvolucran mas de 4 dimensiones muestran no ser tan extravagantes comopara desecharlas sin mas analisis. Sin embargo, es claro que el considerarsolamente que el espacio-tiempo posee mas de 4 dimensiones, no es sufi-ciente para atacar los retos que enfrenta actualmente la fısica teorica. Paraello es necesario considerar simetrıas nuevas como la llamada supersimetrıa,espacios con geometrıas complejas, etc., pero la hipotesis de la existencia dedimensiones extra abre sin duda una gran posibilidad para la explicacion defenomenos que aun no comprendemos.

58

Apendice A

Convenciones

A.1. Tensores

En este trabajo utilizamos la Metrica de Minkowski, diag(−+++), estoes,

ηµν =

−1 0 0 0

0 1 0 00 0 1 00 0 0 1

. (A.1)

Es obvio que ηµν = ηνµ, y considerando que estamos en un espacio-tiempoplano vemos que ηµν = ηµν . Las coordenadas xµ son x0 = ct, x1 = x,x2 = y, x3 = z. Vemos que µ = 0, 1, 2, 3. Para D > 4 usamos la generaliza-cion de (A.1), diag(−+ + + ...+).

Todo tensor Tµν de rango 2 se puede expresar como la suma de untensor simetrico T(µν) ≡ 1

2 (Tµν + Tνµ) y un tensor antisimetrico T[µν] ≡12 (Tµν − Tνµ), i.e.,

Tµν = T(µν) + T[µν].

Un pseudotensor muy util, es el tensor de Levi-Civita εαβγδ. Sea ε0123 = 1,entonces definimos

εαβγδ ≡

1 si αβγδ es permutacion par de 0123−1 si αβγδ es permutacion impar de 0123

0 si algun ındice se repite

59

Algunas propiedades de los cuadrivectores

V α = (V 0, ~V ) esto es, V α : V 0, V 1, V 2, V 3

Vα = ηαβVβ : V0 = −V 0, V1 = V 1, V2 = V 2, V3 = V 3

Vα = (V0, ~V ) = (−V 0, ~V )

Derivada Covariante

∂

∂xµ= ∂µ =

(1c

∂

∂t,∇·)

D’Alembertiano = −1

c

∂

∂t+∇ (A.2)

A.2. Identidades Vectoriales y Propiedades

~A× ~B = − ~B × ~A (A.3)

~A× ( ~B × ~C) = ~B( ~A · ~C)− ~C( ~A · ~B) (A.4)

∇× (∇ε) = 0 (A.5)

∇ ·(∇× ~A

)= 0 (A.6)

∇ · (∇ε) = ∇2ε (A.7)

A.3. Ecuaciones de Campo

Ley de Gauss∇ · ~E =

ρ

ε0(A.8)

Ecuacion de Poisson

~E = −∇φ⇒ ∇2φ = − ρ

ε0(A.9)

Ecuacion de LaplaceSi ρ = 0⇒ ∇2φ = 0 (A.10)

60

A.4. Teoremas Importantes

Teorema de la Divergencia de Gauss-Ostrogradsky∫V

∇ · ~FdV =∫S=∂V

~F · ~dS (A.11)

Teorema de Stokes ∫S

(∇× ~F ) · ~dS =∫C=∂S

~F · ~dl (A.12)

Teorema de Green∫V

(φ∇2ψ − ψ∇2φ)dV =∫S

(φ∇ψ − ψ∇φ) · ~dS (A.13)

Primer Identidad de Green∫V

(φ∇2ψ +∇φ · ∇ψ)dV =∫S

φ~n · ∇ψda (A.14)

61

Apendice B

Ecuaciones de Movimientodeducidas a partir de laAccion

Llamamos accion S, a la integral temporal del lagrangiano, esto es,

S =∫Ldt

donde L =∫Ld3x siendo L la densidad lagrangiana. Vamos a deducir

las ecuaciones de movimiento. Sean Φα(x) los campos de la teorıa, dondexµ = (t, ~x) son las coordenadas. Entonces expresamos la accion como

S =∫ t1

t0

Ldt =∫

Ω

L(Φα, ∂µΦα)d4x,

donde d4x = d3xdt, y Ω denota un volumen finito de espacio-tiempo. En estecaso, los campos Φα(x), juegan el papel de las coordenadas generalizadasqi en mecanica clasica, y las derivadas ∂µΦα el de las qi. Para derivar lasecuaciones de campo de la accion S por el principio de Hamilton, variamoslos campos y sus derivadas de la siguiente forma

Φα → Φ′α = Φα + δΦα

∂µΦα → (∂µΦα)′ = ∂µΦα + δ(∂µΦα)

62

δL = L(Φ′α, (∂µΦα)′)− L(Φα, ∂µΦα)

=∂L∂Φα

δΦα +∂L

∂(∂µΦα)δ(∂µΦα)

=∂L∂Φα

δΦα +∂L

∂(∂µΦα)∂µ(δΦα)

De la segunda lınea a la tercera, se puede conmutar la parcial y la deltaporque son operadores lineales. Las ecuaciones de movimiento ahora se ob-tienen del principio variacional

δS =∫

Ω

[(∂L∂Φα

− ∂µ∂L

∂(∂µΦα)

)δΦα + ∂µ

(∂L

∂(∂µΦα)δΦα

)]d4x = 0

(B.1)para variaciones arbitrarias δΦα bajo la restriccion δΦα(t0) = δΦα(t1) = 0,donde t0 y t1 son los lımites temporales del cuadrivolumen Ω. El ultimotermino de (B.1) puede ser convertido en una integral de superficie usandoel teorema de Gauss; para campos que estan localizados en el espacio, estaintegral se hace cero si la superficie es puesta en infinito. Puesto que lasvariaciones δΦα son arbitrarias, la condicion δS = 0 conduce a las ecuacionesde movimiento

∂

∂xµ

(∂L

∂(∂µΦα)

)− ∂L∂Φα

= 0. (B.2)

Conocemos de mecanica clasica que las ecuaciones de movimiento, al hacerla variacion de la accion igual a cero, son

d

dt

(∂L

∂qi

)− ∂L

∂qi= 0.

Estas son las ecuaciones de Euler-Lagrange, que es un caso particular de(B.2).

63

Apendice C

Ecuacion de Klein-Gordon

La ecuacion de Klein-Gordon debe su nombre a Oskar Klein y WalterGordon, y es la ecuacion que describe un campo escalar libre en TeorıaCuantica de Campos. Partimos de la expresion de la energıa para unapartıcula relativista

E2 = p2c2 +m2c4.

A continuacion utilizamos los operadores de energıa y momento

E = i~∂

∂t,

p = −i~∇,y los sustituimos en la primer ecuacion, obteniendo

−~2 ∂2

∂2t= −~2c2∇2 +m2c4.

Si ahora multiplicamos por 1~2c2 y pasando la parcial al lado derecho tenemos

1c2∂2

∂2t−∇2 +

m2c2

~2= 0.

La expresion anterior es un operador que podemos aplicar a un campoescalar φ, y considerando ~ = 1 llegamos a[

1c2∂2

∂2t−∇2 +m2c2

]φ = 0,

o tomando en cuenta (A.2),

2φ+m2c2φ = 0.

64

Apendice D

Formas Diferenciales

El conjunto de todos los tensores de tipo (p, q) es el llamado espaciotensorial de tipo (p, q) y se denota como T pq . El producto tensorial τ =

µ⊗ ν ∈ T pq ⊗ Tp′

q′ es un elemento de T p+p′

q+q′ definido por

τ(ω1, . . . , ωp, ξ1, . . . , ξp′ ;u1, . . . , uq, v1, . . . , vq′)= µ(ω1, . . . , ωp;u1, . . . , uq)ν(ξ1, . . . , ξp′ ; v1, . . . , vq′)

El producto exterior de dos 1-formas ω y η se define como

ω ∧ η ≡ ω ⊗ η − η ⊗ ω,

y es llamado una 2-forma. Si ω = ωµdxµ y η = ηνdx

ν , entonces

ω ∧ η = ωµην (dxµ ⊗ dxν − dxν ⊗ dxµ) =12

(ωµην − ωνηµ)dxµ ∧ dxν .

En general, una p-forma, o forma diferencial de grado p se escribe como

ωp =1p!ωµ1...µpdx

µ1 ∧ . . . ∧ dxµp ,

donde el producto exterior de p 1-formas esta definido como el productotensorial totalmente antisimetrico

dxµ1 ∧ . . . ∧ dxµp ≡ δµ1...µpν1...νp dx

ν1 ⊗ . . .⊗ dxνp .

Si ωp es una p-forma y ηq es una q-forma, entonces su producto satisface

ωp ∧ ηq = (−1)pqηq ∧ ωp.

65

Ası vemos que el producto exterior de dos formas de grado impar es anti-simetrico, mientras que todos los demas productos exteriores son simetricos.La derivada de ωp es una (p+ 1)-forma, denotada por dω,

dω ≡ 1p!∂ωµ1...µp

∂xνdxν ∧ dxµ1 ∧ . . . ∧ dxµp .

Esta es la derivada exterior de una p-forma. La derivada exterior de unproducto de formas satisface

d (ωp ∧ ηq) = dωp ∧ ηq + (−1)pωp ∧ dηq.

Una propiedad muy importante de la derivada exterior es que para cualquierforma diferencial ω, se cumple que

d2ω = 0. (D.1)

Esta identidad es una consecuencia de la definicion de la derivada exterior,mas el hecho de que las derivadas parciales siempre conmutan, ∂µ∂ν−∂ν∂µ =0.

En d-dimensiones solo hay 0-formas, 1-formas,...,d-formas; en tres di-mensiones hay 0-formas, 1-formas, 2-formas y 3-formas. Estas pueden es-cribirse como

ω0 = f(x, y, z)

ω1 = ωx(x, y, z)dx+ ωy(x, y, z)dy + ωz(x, y, z)dz

ω2 = ωxy(x, y, z)dx ∧ dy + ωyz(x, y, z)dy ∧ dz + ωzx(x, y, z)dz ∧ dx

ω3 = ωxyz(x, y, z)dx ∧ dy ∧ dz

La accion del operador de derivacion exterior d sobre cada una de estasformas diferenciales produce

dω0 =∂f

∂xdx+

∂f

∂ydy +

∂f

∂zdz

dω1 = (∂ωy∂x− ∂ωx

∂y)dx ∧ dy + (

∂ωz∂y− ∂ωy

∂z)dy ∧ dz + (

∂ωx∂z− ∂ωz

∂x)dz ∧ dx

dω2 = (∂ωyz∂x

+∂ωzx∂y

+∂ωxy∂z

)dx ∧ dy ∧ dz

dω3 = 0

66

De esto identificamos la accion de d sobre ω0 con el gradiente, d sobre ω1 conel rotacional, y d sobre ω2 con la divergencia. Vemos ası que el formalismode las formas diferenciales y la derivacion exterior reproducen de maneranatural los operadores diferenciales usuales del calculo vectorial en R3.

Se define el dual de Hodge como sigue, ∗ : Ωp(M) → Ωm−p(M), dondeΩp(M) es el espacio de las p-formas suaves en M ,

∗dxµ1 ∧ . . . ∧ dxµp =

√|g|

(m− p)!εµ1...µp

νp+1...νmdxνp+1 ∧ . . . ∧ dxνm ,

donde m = dimM y g es el determinante de la metrica, i.e.,√|g| = 1.

Ahora aplicamos ∗ a ωp ∈ Ωp(M) obteniendo

∗ωp =1

p!(m− p)!ωµ1...µpε

µ1...µpνp+1...νmdx

νp+1 ∧ . . . ∧ dxνm .

Otras propiedades utiles son

ω ∧ ∗η = η ∧ ∗ω

∗2 = −1

Sean ω y η dos r-formas

ω =1r!ωµ1...µrdx

µ1 ∧ · · · ∧ dxµr ,

η =1r!ην1...νrdx

ν1 ∧ · · · ∧ dxνr .

Utilizando el hecho de que

ην1...νrεν1...νr

µr+1...µm = ην1...νrεν1...νrµr+1...µm

dxα1 ∧ · · · ∧ dxαm = εα1...αmdx1 ∧ · · · ∧ dxm∑β,γ

εα1...αrβr+1...βmεγ1...γrβr+1...βmdxγ1∧· · ·∧dxγr = r!(m−r)!dxα1∧· · ·∧dxαr

tenemos que

ω ∧ ∗η =

√|g|r!

ωµ1...µrηµ1...µrdx1 ∧ · · · ∧ dxm. (D.2)

67

Definamos a β como una (r, s)-forma y ∗ : Ωr,s(M)→ Ωm−r,m−s(M) laestrella de Hodge definida como

∗β ≡ ∗β = ∗β,

donde ∗ : (r, s)-forma → (m− s,m− r)-forma. Para (r, s)-formas, ω y η, yλ ∈ C tenemos

¯ω = ω

ω + η = ω + η

λω = λω

Sean G3 y G3 una (3,0)-forma y una (0,3)-forma respectivamente, definidascomo

G3 =13!Gmnpdz

m ∧ dzn ∧ dzp,

G3 =13!Gmnpdz

m ∧ dzn ∧ dzp,

entonces

G3 ∧ ∗G3 =

√|g|

3!GmnpG

mnpdz1 ∧ dz2 ∧ dz3 ∧ dz1 ∧ dz2 ∧ dz3.

Sean Ω una (3,0)-forma y χ una (2,1)-forma, entonces se verifica que

∗Ω = −iΩ, ∗Ω = iΩ.

∗χ = iχ, ∗χ = −iχ.

Con el uso de las formas diferenciales se puede, por ejemplo, generalizar elteorema de Stokes como sigue∫

C

dω =∫∂C

ω.

68

69

Apendice E

Constantes Fısicas yFactores de Conversion

Algunas constantes importantes, tomadas de [7] y [11], ası como factoresde conversion de utilidad.

Velocidad de la Luz c = 3× 108 ms

Constante de Planck ~ = h2π = 1,05457266× 10−34 J · s

= 6,582122× 10−22 MeV · sConstante Gravitacional G = 6,67259× 10−11 m3

Kg·s2Carga Electrica e = 1,60217733× 10−19 C

Constante de Boltzman kB = 1,380658× 10−23 JK

Permitividad ε0 = 8,854× 10−12 C2

Nm2

Permeabilidad Magnetica µ0 = 4π × 10−7 Ns2

C2

Masa de Planck mP =√

~cG = 1,2× 1019GeV

c2

Longitud de Planck lP =√

~Gc3 = 1,6× 10−35m

Tiempo de Planck tP =√

~Gc5 = 5,3× 10−44s

Masa del Electron me = 9,1093897× 10−31 Kg= 0,51099906 MeV

c2

Masa del Proton mp = 1,6726231× 10−27 Kg= 938,27231 MeV

c2

Masa del Neutron mn = 1,6749286× 10−27 Kg= 939,56563 MeV

c2

Unidad de Energıa 1eV = 1,60217733× 10−19 J70

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