universidad aut´onoma de guerrero facultad de matem´aticassi dos rectas son intersectadas por una...

Universidad Autonoma deGuerrero

Facultad de Matematicas

Manuel OlımpicoIntroductorio

Indice general

1. Geometrıa 5

1.1. Introduccion . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 5

1.1.1. Rectas y Angulos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 5

1.1.2. Triangulos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 7

1.1.3. Cuadrilateros . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 8

1.2. El postulado de las paralelas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 9

1.3. El Teorema de Tales y su recıproco . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 12

1.4. Semejanza de triangulos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 14

1.4.1. Criterio de Semejanza AA (Angulo - Angulo) . . . . . . . . . . . 14

1.4.2. Criterio de Semejanza LAL (Lado-Angulo-Lado) . . . . . . . . . 14

1.4.3. Criterio de Semejanza LLL (lado-Lado-Lado) . . . . . . . . . . . 15

1.5. Triangulo rectangulo . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 15

1.6. Puntos y rectas importantes en el triangulo . . . . . . . . . . . . . . . . 15

1.6.1. Medianas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 15

1.6.2. Bisectriz . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 16

1.6.3. Mediatriz . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 17

1.6.4. Altura . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 18

1.7. Problemas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 18

1.7.1. Primera y segunda categorıa . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 18

1.7.2. Primera, segunda tercera y cuarta categorıa . . . . . . . . . . . . 20

2. Aritmetica 21

2.1. Divisibilidad . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21

2.1.1. Algunos criterios de divisibilidad . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22

2.2. Maximo Comun Divisor (MCD) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25

3

4 INDICE GENERAL

2.2.1. Procedimientos para obtener el maximo comun divisor . . . . . . 25

2.3. Mınimo Comun Multiplo (MCM) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26

Capıtulo 1

Geometrıa

1.1. Introduccion

En esta seccion recordaremos algunas definiciones de conceptos que se usan con frecuen-cia en la Olimpiada, no definiremos los conceptos de punto, linea, linea recta, etc.

1.1.1. Rectas y Angulos

Una semirecta es una porcion de recta que tiene un punto inicial y es ilimitada en elotro sentido.

O A

Un segmento de recta es una porcion de recta que tiene punto inicial y punto final.

A B

Un angulo es la abertura que forman dos semirectas con origen comun, el origen comunse llama vertice y las semirectas, lados del angulo.Tambien podemos pensar en un angulo como la abertura generada por una semirectamovil (OB), al rotar alrededor de una semirecta fija (OA), por el punto P .

O

A

BEn la figura anterior, O es el vertice y OA, OB son los lados.

Algunos angulos reciben nombres especiales.

El angulo que resulta cuando el lado movil se mueve hasta coincidir por primera vezcon el lado fijo, recibe el nombre de angulo perıgono; el angulo que cuya medida es lamitad de la medida de un angulo perıgono recibe el nombre de angulo llano; el angulocuya medida es la cuarta parte de la de un angulo perıgono lo llamamos angulo recto.

5

6 CAPITULO 1. GEOMETRIA

OA B

Angulo perıgonoOA B

Angulo llanoO

A

B

Angulo recto

Si tres puntos estan en la misma linea recta diremos que ellos son puntos colineales.Notemos que en un angulo llano, los puntos A,O,B son colineales.

Si una recta pasa por el vertice de un angulo y divide a este en dos angulos iguales,diremos que esta recta es una bisectriz del angulo.

A

O B

Bisectriz

Ademas de los angulos ya mencionados, se utilizan mucho algunos tipos especiales deangulos que estan enmedio de los anteriores. Aclarando lo anterior, diremos que unangulo es agudo si es menor que un angulo recto, que un angulo es obtuso, si es mayorque un angulo recto y menor que un angulo llano.

O

A

B

Angulo agudo

O

A

B

Angulo obtuso

Existen varias formas de medir numericamente un angulo. La que se usara en este folletoconsiste en dividir en angulo perıgono en 360 partes iguales y cada una de ellas recibeel nombre de un grado, denotado como 1◦.Por lo que con esta forma de medir los angulos, un angulo llano medira 180◦, mientrasque uno recto medira 90◦.

Diremos que dos rectas son perpendiculares, si al intersectarse forman un angulo recto, yque dos rectas son paralelas, si no se intersectan aunque se prolonguen indefinidamente.

1.1. INTRODUCCION 7

O

A

B

Perpendiculares ParalelasSi ocurre que una recta es perperdicular a un segmento de recta por su punto medio,decimos que la recta es mediatriz del segmento. En la figura vemos a la recta l que esmediatriz del segmento AB.

A B

P

l

Una propiedad muy importante de la mediatriz es que cualquier punto de ella esta a lamisma distancia de los extremos del segmento, esto es, AP = PB.

1.1.2. Triangulos

Para su estudio, los triangulos se clasifican por sus angulos o por sus lados.Por sus lados, los triangulos se clasifican en:

• Triangulo escaleno, es el triangulo en el que sin importar que par de lados escoja-mos, siempre tendran longitudes distintas.

• Triangulo isosceles, es el triangulo que tiene un par de lados de la misma longitud.

Si en un triangulo isosceles los tres lados tienen la misma longitud el triangulo se llamaequilatero.

Por sus angulos, los triangulos se clasifican en:

• Triangulo acutangulo, es el triangulo en el que sus tres angulos interiores sonagudos.

• Triangulo rectangulo, es el triangulo que tiene un angulo interior recto.


• Triangulo obtusangulo, es el triangulo que tiene un angulo interior obtuso.

Las clasificaciones anteriores no son excluyentes, esto es, podemos construir un triangulorectangulo isosceles, o un triangulo obtusangulo isosceles, etc. Dejamos como ejerciciohacer bosquejos de las otras posibilidades.

T. rectangulo isosceles T. obtusangulo isosceles

1.1.3. Cuadrilateros

Los cuadrilateros son los polıgonos de 4 lados, la clasificacion que veremos esta dada enfuncion del paralelismo de sus lados opuestos:

• Un cuadrilatero es trapezoide, si ningun par de lados opuestos es paralelo,

• es trapecio, si tiene un par de lados opuestos,

• es paralelogramo, si sus dos pares de lados opuestos son paralelos.

Trapezoide Trapecio Paralelogramo

Trapecios

A algunos trapecios se les ha dado un nombre:

• trapecio rectangulo, si uno de los angulos internos es recto,

• trapecio isosceles,si los dos lados lados no paralelos tienen la misma longitud,

• trapecio escaleno, si los lados no paralelos tienen longitudes diferentes.

1.2. EL POSTULADO DE LAS PARALELAS 9

Clasificacion de los Paralelogramos

Para su estudio, los paralelogramos se pueden clasificar en dos tipos:

• rectangulo, si sus 4 angulos internos tienen la misma medida,

• rombo, si sus 4 lados tienen la misma longitud.

Si un paralelogramo es al mismo tiempo rectangulo y rombo, es decir, si sus 4 angulosinternos y sus 4 lados tienen la misma medida, diremos que es un cuadrado.

+ =

1.2. El postulado de las paralelas

Si dos rectas son intersectadas por una tercera, esta ultima recibe el nombre de trans-

versal, en la figura resultante se forman 8 angulos, como puede verse en la siguientefigura.

ab

c dl1

l2

ef

g

h

Estos angulos los podemos clasificar por parejas en las siguientes categorias:

Angulos alternos internos Angulos alternos externos

• a y g, • c y e,

• b y h. • d y f .

Angulos correspondientes

• a y e,

• b y f ,

• c y g,

• d y h.

El postulado de las paralelasSi se da el caso que l1 y l2 son paralelas, en sımbolos l1 ‖ l2, entonces cada pareja deangulos en la definicion anterior son iguales.


l1

l2

a = c = e = g

b = d = f = h

ab

cd

ef

gh

Podemos usar el postulado de las paralelas, para demostrar el siguiente teorema:Teorema 1.La suma de los angulos interiores de cualquier triangulo es igual a 2 angulos rectos(180◦).

Demostracion. En el triangulo △ABC, construyamos la recta l paralela a BC y quepasa por el punto A.

A

B C

X Y

45

El angulo XAB = B, por ser alternos internos entre paralelas; por la misma razonY AC = C. Notamos que el XAY = 180◦. Entonces

∠A+ ∠B + ∠C = ∠A+ ∠XAB + ∠Y AC (1.1)

= 180◦. (1.2)

Una consecuencia del teorema anterior es el siguiente teorema igualmente util.Teorema 2.Un angulo exterior de cualquier triangulo es igual a la suma de los no adyacentes a el.

Demostracion. En la figura vemos que ∠θ+∠γ = 180◦ = ∠α+∠β+∠γ, por lo que quetiene que ser ∠θ = ∠α+ ∠β.

B C

A

β γ θ

α

1.2. EL POSTULADO DE LAS PARALELAS 11

Veamos algunos problemas en donde podemos aplicar lo anterior.Ejemplo 1. En el triangulo △ABC se tiene que ∠C = 70◦. Calcula el valor del angulo∠AIB.

A B

C

I

Como sabemos que ∠A + ∠B + ∠C = 180◦, entonces ∠A + ∠B = 110◦. Ademas AI

y BI son bisectrices, por lo que 12∠A + 1

2∠B = 55◦, por todo lo anterior en el △IAB;∠AIB + 1

2∠A+ 12∠B = 180◦ de donde deducimos que ∠AIB = 180◦ − 55◦ = 125◦.

Ejemplo 2. ABCD es un cuadrilatero arbitrario, encuentra el valor de la suma de susangulos internos.

Para resolver el problema anterior los unico que tiene que hacerse es trazar una de lasdiagonales del cuadrilatero, digamos la AC y entonces nos damos cuenta que hemospartido la figura en dos triangulos que no se traslapan, por lo que la suma de los angulosinternos de un cuadrilatero es dos veces la suma de los angulos internos de un triangulo.

A B

C

D

Ejemplo 3. Encuentra el error en la demostracion de que la suma de los angulos internosde un pentagono arbitrario es 900◦.En el pentagono ABCDE, ubicamos el punto P interior al pentagono y trazamos lossegmentos PA,PB,PC,PD,PE, como se forman 5 triangulos, entonces la suma de losangulos interiores es igual a 5× 180◦ = 900◦.

A B

C

D

E

P


1.3. El Teorema de Tales y su recıproco

Antes de enunciar el problema de Tales resolveremos algunos problemas:Ejemplo 4. El la figura, la linea l es paralela a AB, ¿que triangulo tiene mayor area△ABC o △ABD?

A B

C Dl

Solucion 1. Sabemos que el area de un triangulo es igual a la mitad del producto dela base por altura, como en ambos triangulos estas cantidades son las mismas, las areasson iguales.

Ahora supongamos que los triangulos △ABC y △ABD tienen igual base aunque dife-rente altura, es claro que en este caso las areas seran diferentes, sin embargo al tomarla razon de las areas, obtenemos

area △ABC

area △ABD=

bh1

2bh2

2

=h1

h2

A B

C

D

h1

h2

Lo anterior puede resumirse diciendo que las areas de triangulos con la misma base sonproporcionales a sus alturas.

Razonando de forma totalmente analoga podemos demostrar que las areas de triangulosque tienen la misma altura son proporcionales a sus bases. Esto es, si AB = b1, AE = b2,entonces:

1.3. EL TEOREMA DE TALES Y SU RECIPROCO 13

A B

C D

E

h h

area △ABC

area △ADE=

b1h

2b2h

2

=b1

b2

Teorema 3 (Teorema de Tales).En el triangulo △ABC, sean D y E puntos de AB y AC respectivamente, tales que DE

es paralela a BC. Entonces

AB

AD=

AC

AE

A

B C

D E

El recıproco de este teorema tambien es cierto, es decir,Teorema 4 (Recıproco del teorema de Tales).Si en el triangulo △ABC tenemos puntos D y E sobre los lados AB y AC respectiva-mente, tales que

AB

AD=

AC

AE

entonces DE es paralelo a BC.

Una consecuencia del teorema de Tales es:Teorema 5.Consideremos dos rectas r y t las cuales son cortadas por dos o mas rectas paralelas,entonces los segmentos de la recta r determinados por las paralelas son proporcionalesa los segmentos correspondientes de la recta t.

AC

CE=

BD

DFo

AE

AC=

BF

BD, etc.


A B

C D

E F

r t

El recıproco de este teorema tambien es verdadero.

1.4. Semejanza de triangulos

Dos triangulos △ABC y △A′B′C ′ son semejantes, si sus angulos respectivos son iguales,y sus lados correspondientes son proporcionales,

A

B C B′ C ′

A′

∠ABC = ∠A′B′C ′

∠ACB = ∠A′C ′B′

∠BAC = ∠B′A′C ′

AB

A′B′=

BC

B′C ′=

CA

C ′A′.

Es posible determinar si dos triangulos son semejantes sin necesidad de verificar lastres igualdades de angulos y la proporcionalidad de los tres lados, a estos “atajos” lesllamamos criterios de semejanza, ellos garantizan la semejanza de los triangulos si tenerque verificar todas las condiciones.

1.4.1. Criterio de Semejanza AA (Angulo - Angulo)

Si dos triangulos tienen dos de sus angulos correspondientes iguales entonces los triangu-los son semejantes.

Observemos que basta garantizar que dos triangulos tengan dos de sus angulos corres-pondientes iguales, ya que debido a que la suma de los angulos interiores de los anguloses constante (180◦), el tercer angulo de ambos triangulos debera tener el mismo valor.

1.4.2. Criterio de Semejanza LAL (Lado-Angulo-Lado)

Si dos triangulos tienen dos lados correspondientes proporcionales y ademas el angulocomprendido entre ellos es igual, entonces los dos triangulos son semejantes.

1.5. TRIANGULO RECTANGULO 15

1.4.3. Criterio de Semejanza LLL (lado-Lado-Lado)

Si dos triangulos tienen sus tres lados correspondientes proporcionales, entonces lostriangulos son semejantes.

1.5. Triangulo rectangulo

Teorema 6 (Teorema de Pitagoras).Si el triangulo△ABC es un triangulo rectangulo entonces el cuadrado de la hipotenusa es

igual a la suma de los cuadrados de los catetos, esto es

A

CB

BC2 = CA2 +AB2

[Recıproco del teorema de Pitagoras] Tambien es cierto el recıproco del teorema dePitagorasTeorema 7.Si en el triangulo △ABC se cumple que: BC2 = CA2 + AB2 entonces el triangulo△ABC es rectangulo en A.

Como consecuencia del resultado anterior tenemos que si en un triangulo △ABC, ABes el lado mayor y

• BC2 < CA2 +AB2 entonces el triangulo △ABC es acutangulo,

• BC2 > CA2 +AB2 entonces el triangulo △ABC es obtusangulo.

1.6. Puntos y rectas importantes en el triangulo

1.6.1. Medianas

Definicion 1. En un triangulo los segmentos que van de un vertice al punto medio dellado opuesto se llaman medianas.

Proposicion 1. El segmento que une los puntos medios de dos lados de un trianguloes paralelo al tercer lado y de longitud igual a la mitad de tal tercer lado.

Teorema 8.Las medianas de un triangulo son concurrentes.


El punto de concurrencia de las medianas del triangulo △ABC, se denota por G y se lellama el centroide, centro de gravedad o baricentro del triangulo.

A

B

C

DE

F

G

1.6.2. Bisectriz

Definicion 2. La bisectriz interna del angulo ∠CAB del triangulo △ABC es la rectapor A que divide al angulo en dos angulos iguales. Cada punto P de la bisectriz equidistade cada lado del angulo, esto es, si Z es el pie de la perpendicular de P sobre AB y Y

es el pie de la perpendicular de P sobre CA, entonces PZ = PY ; esto se sigue de quelos triangulos rectangulos △AZP y △AY P son congruentes.

B C

A

P

Y

Z

Recıprocamente, un punto P dentro del angulo ∠CAB de un triangulo △ABC, quecumpla que PZ = PY (donde Y y Z son los pies de las perpendiculares de P sobre CA

y AB) es necesariamente un punto de la bisectriz interna; en efecto, los dos triangulosrectangulos △APY y △APZ son congruentes, por lo tanto ∠PAZ = ∠PAY , lo quemuestra que P se encuentra sobre la bisectriz.Teorema 9.Las bisectrices internas de un triangulo son concurrentes.

Teorema 10 (Teorema de la bisectriz).Sea △ABC un triangulo arbitrario y L un punto en BC tal que AL es bisectriz delangulo ∠A entonces

1.6. PUNTOS Y RECTAS IMPORTANTES EN EL TRIANGULO 17

B

A

CL

AB

BL=

AC

LC

Definicion 3. El punto de concurrencia de las bisectrices se denota por I y se conocepor incentro del triangulo △ABC. La distancia del incentro a cada lado del triangulo esla misma, esta distancia se conoce como inradio y se denota como r. A la circunferenciade centro I y radio r se le llama incırculo

B C

A

I

X

r

1.6.3. Mediatriz

La mediatriz de un segmento AB es la recta perpendicular al segmento que pasa por supunto medio. Una manera de caracterizarla es como el conjunto de puntos P que cumplenque la distancia a cada extremo A,B es la misma, esto es, PA = PB. En efecto, si M esel punto medio de AB y P se encuentra en la mediatriz, entonces podemos formar los dostriangulos rectangulos △PAM y △PBM . Por el criterio LAL, estos son congruentes,por tanto PA = PB.Teorema 11.Las mediatrices de los lados de un triangulo son concurrentes.

Definicion 4. El punto de concurrencia de las mediatrices, que se denota por O, seconoce como el circuncentro del triangulo △ABC. Como los vertices equidistan a O, lacircunferencia de centro O y radio R pasa por los vertices. La circunferencia se llama elcircuncırculo del triangulo △ABC y el radio R el circunradio.


A B

C

b O

1.6.4. Altura

Teorema 12.Las alturas de un triangulo son concurrentes.

Definicion 5. El punto comun de las alturas se llama ortocentro.

1.7. Problemas

1.7.1. Primera y segunda categorıa

Problema 1.Sea ABCD un cuadrilatero tal que ∠C = 76

◦

y ∠D = 128◦

. Se trazan las bisectrices de∠A y de ∠B, que se cortan en P . Hallar ∠APB.

Problema 2.Sea △ABC un triangulo con ∠B = 35

◦

,∠C = 28◦

. Se traza por A una paralela r al ladoBC. La mediatriz de AC corta a r en D y la mediatriz de AB corta a r en E. Quedaformado el cuadrilatero BCDE. Hallar sus angulos interiores.

Problema 3.En un triangulo △ABC que tiene ∠B = 37

◦

y ∠C = 38◦

se marcan los puntos P y Q enel lado BC de manera tal que ∠BAP = ∠PAQ = ∠QAC. Se traza por B una paralela aAP y se traza por C una paralela a AQ, que corta a la anterior en D. Calcular ∠BDC.

Problema 4.Sean ABCD un rectangulo, M punto medio del lado BC, N punto medio del ladoCD y P el punto de interseccion de DM y BN . Se sabe que ∠BPM = 31

◦

y que∠DAN = 26

◦

. Calcular ∠BAM .

Problema 5.

1.7. PROBLEMAS 19

En el papalote1 ABCD las diagonales se cortan en el punto F (los lados iguales sonAB = BC y CD = DA). Sobre la prolongacion del lado BC se marca un punto E demodo que CF = CE y el cuadrilatero FCED es papalote. Si ∠ABC = 122

◦

, ¿cuantomide el angulo ∠ADE?

Problema 6.Un barco navega entre dos orillas paralelas, siguiendo el recorrido de la figura.

X D

C

B

A

40◦

105◦

Se sabe que ∠ABC = ∠CDX y ∠CBD = ∠CDB. Calcular ∠ABC.

Problema 7.En el triangulo isosceles △ABC, con AB = AC, P es el punto del lado AB tal queAP = PC. Si la bisectriz del angulo ∠ABC corta a PC en O de modo que PO = BO,hallar los angulos del triangulo △ABC.

Problema 8.Sea △ABC un triangulo isosceles con AB = BC y ∠B = 144

◦

. Se consideran el puntoK en AB, el punto L en BC y el punto M en AC de modo que KL es paralelo a AC,KM es paralelo a BC y KL = KM . La recta LM intersecta a la prolongacion del ladoAB en P . Hallar la medida del angulo ∠BPL.

Problema 9.Sea △ABC un triangulo con ∠C = 85

◦

. Se considera un punto P en el lado AB, unpunto Q en el lado BC y un punto R en el lado AC tales que AP = AR y BP = BQ.Calcular la medida del angulo ∠QPR.

Problema 10.Sea D un punto interior del triangulo △ABC tal que ∠BDC = 123

◦

, ∠ABD = 15◦

y∠ACD = 21

◦

. Calcular la medida del angulo ∠BAC.

Problema 11.Dado un triangulo equilatero ABC, sean P y Q exteriores al triangulo tales que BQ

corta al lado AC, CP corta al lado AB, AP = AQ = AB y ∠BCP = ∠CBQ = 25◦

.Calcular ∠APQ.

Problema 12.Se tiene un triangulo ∠ABC y un punto interior P tal que AP = BC, ∠PBC = ∠PCB

y ∠PAC = ∠PCA = 20◦

. Calcular los angulos del triangulo △ABC.

1Un papalote es un cuadrilatero que tiene dos pares de lados consecutivos iguales


1.7.2. Primera, segunda tercera y cuarta categorıa

Problema 13.Sea △ABC un triangulo obtusangulo con ∠A < ∠C < ∠B. La bisectriz exterior delangulo ∠A intersecta a la prolongacion del lado CB en X y la bisectriz exterior delangulo B intersecta a la prolongacion del lado AC en Y . Si AX = AB = BY , calcularla medida del angulo ∠A.

Problema 14.El triangulo △ABC tiene ∠A = 67

◦

y ∠B = 79◦

. Sean P en el lado AB, Q en el ladoBC y R en el lado CA tales que los angulos ∠APR = ∠BPQ, ∠BQP = ∠CQR y∠CRQ = ∠ARP . Hallar las medidas de los angulos del triangulo △PQR.

Problema 15.Sea ABCD un cuadrilatero de lados AB,BC,CD y DA, tal que AB = AC, AD = BD

y ∠ADB = 30◦

+ ∠BAC. Calcular la medida del angulo ∠CBD.

Problema 16.En el triangulo acutangulo △ABC, sea D en el lado AC tal que BD es perpendicular aAC y sea E en el lado AB tal que CE es perpendicular a AB. Si se sabe que ∠CBD =2∠ABD y ∠ACE = 3∠BCE, calcular las medidas de los angulos del triangulo △ABC.

Capıtulo 2

Aritmetica

2.1. Divisibilidad

Dado un numero arbitrario vemos que siempre es posible escribirlo en forma de productode al menos 2 numeros.Ejemplo 5. 1991 = 11 · 181; 72 = 1 · 72 = 6 · 12 = 2 · 4 · 9, 19 = 1 · 19.

Definicion 6. Diremos que el natural a divide exactamente al natural b si podemosencontrar otro natural c tal que b = a · c. En este caso diremos que a y c son divisoresde b, tambien decimos que a y c son factores de c.

De los ejemplos anteriores vemos que 1991 es divisible por 11, 12 es factor de 72, etc.Notemos que existen naturales tales que solo tienen una representacion como productode otros dos naturales, a esos numeros les damos un nombre especial.Definicion 7 (Numero primo y compuesto). Un numero natural es primo si susunicos divisores enteros positivos s on 1 y el mismo. Diremos que un numero es com-

puesto, si no es primo.

Un concepto muy usado es:Definicion 8 (Primos relativos). Diremos que un par de a y b numeros son primos

relativos si el unico divisor comun es el numero 1.

Ejemplo 6. Los numeros 15 y 36 NO son primos relativos, ya que ambos numero sondivisibles por 3. 15 y 14 SI son primos relativos ya que el unico divisor comun de ambosnumeros es el 1.

Antes de continuar daremos una convencion.Los numeros 0 y 1, no son primos ni compuestos.

Si escogemos cualquier natural, siempre es posible escribirlo como un producto de nume-ros de numeros primos.Ejemplo 7. 72 = 2 · 2 · 2 · 3 · 3 = 23 · 32; 28 = 2 · 2 · 7 = 22 · 7.

21

22 CAPITULO 2. ARITMETICA

Esta observacion es un resultado muy importante de la aritmetica.Teorema 13 (Teorema fundamental de la Aritmetica).Todo numero natural puede escribirse de forma unica, salvo el orden, como un productode numeros primos.

Este teorema es importante ya que nos dice que si un numero dado no es primo, entonceses divisible por algun primo; sin embargo, el teorema no da informacion acerca de comoobtener los factores.

2.1.1. Algunos criterios de divisibilidad

Un criterio de divisibilidad es una regla que me permite saber si un numero dado se divideentre otro sin tener que efectuar la division. En esta seccion veremos algunos criteriospara numeros primos y luego derivaremos otros croterios para numeros compuestos.

Criterio de divisibilidad por 2Un numero natural A se divide por 2, si la cifra de la unidades de A es un numero par.Ejemplo 8. 129386 y 1360 son divisibles entre 2 ya que tanto 6 como 0 son pares, 1287no es divisible, porque 7 no es par.

Criterio de divisibilidad por 3Un numero es divisible por 3 si la suma de sus dıgitos es divisible por 3.Ejemplo 9. 125073 es divisible por 3 ya que 1+ 2+ 5+ 0+ 7+ 3 = 18 y 18 es divisibleentre 3. 7561 no es divisible ya que 7 + 5 + 6 + 1 = 19 y 19 no es doivisible entre 3.

Criterio de divisibilidad por 5Un numero es divisible entre 5 si la cifra de las unidades es divisible entre 5.Ejemplo 10. 9820 es divisible entre 5 ya que 0 es divisible entre 5.

Criterio de divisibilidad por 7Para saber si un numero es divisible entre 7, multiplicamos por 2 la cifra de las unidadesy restamos el resultado al numero que resulta de eliminar la cifra de las unidades delnumero original. Si el resultado del proceso anterior es divisible por 7 lo sera tambien elnumero original, si no, el numero original tampoco lo sera. Este proceso se puede repetirlas veces necesarias.Ejemplo 11. Averiguemos si 2674 es divisible por 7.

2 6 7 48

2 5 91 8

7

Como 7 es divisible entre 7; 2674 tambien es divisible por 7.

2.1. DIVISIBILIDAD 23

Criterio de divisibilidad por 11Un numero es divisible por 11 si la suma de las cifras de posicion par menos la suma delas cifras de posicion impar es divisible por 11. Esto se ve mas claro con un ejemplo:Ejemplo 12. 1084204 es divisible entre 11, ya que (1+8+2+4)−(0+4+0) = 15−4 = 11y 11 es divisible entre 11.847436 no es divisible por 11 porque (8 + 7 + 3) − (4 + 4 + 6) = 18 − 14 = 4 y 4 no esdivisible entre 11.

Criterio de divisibilidad por 13, 17 y 19Los criterios de 13, 17 y 19 son similares al criterio de divisibilidad por 7, pero en vezde multiplicar por 2 hay que multiplicar por 9, 5 y 17 respectivamente.Ejemplo 13.

9 8 9 32 7

9 6 21 8

7 8

y como 78 es divisible por 13; 78 = 3 · 6; 9893 tambien lo es.

Criterios para algunos numeros compuestos los podemos derivar de los criterios anterio-res.

Criterio de divisibilidad por 4Un numero es divisible entre 4, si termina en dos ceros, o si el numero formado por lascifras de las decenas y las unidades es divisible por 4.Ejemplo 14. 1936 es divisible por 4, porque 36 lo es. 93814 no es divisible por 4 porque14 no lo es.

Criterio de divisibilidad por 8Un numero es divisible entre 8, si termina en tres ceros, o si el numero formado por lascifras de las decenas y las unidades es divisible por 8.Ejemplo 15. 2000 es divisible por 8, 1204 no es divisible por 8, porque 204 no lo es.

Criterio de divisibilidad por 6Un numero es divisible por 6 si es divisible simultaneamente entre 2 y 3.Ejemplo 16. 53616 es disible entre 6. 1893 no es divisible entre 6, porque no es divisibleentre 2.

Criterio de divisibilidad por 9Un numero es divisible por 9 si la suma de sus dıgitos es divisible por 9.Ejemplo 17. 1476 es divisible entre 9.

Criterio de divisibilidad por 10Un numero es divisible entre 10 si la cifra de las unidades es cero.


Si queremos criterios de divisibilidad de numeros compuestos, debemos factorizar elnumero en cuestion en grupos de factores de tal forma que sin importar que pareja defactores tome ellos sean primos relativos, y despues aplicar los criterios de divisibilidadde cada factor.Ejemplo 18. Veamos algunos criterios:

• Si queremos el criterio de divisibilidad por 6, nos damos cuenta que 6 = 2 · 3, ycomo 2 y 3 son primos relativos, al numero en cuestion le aplicamos por separadoel criterio de divisibilidad por 2 y 3.

• Para encontrar el criterio de divisibilidad por 12, nos damos cuenta que 12 =2 · 6 = 3 · 4. Pero no podemos usar los criterios de 2 y 6 porque ellos no son primosrelativos.

• para encontrar el criterio de divisibilidad por 12, nos damos cuenta que:

84 = 2 · 42 No sirve porque 2 y 42 no son primos relativos

= 3 · 28 Sirve, porque 3 y 28 son primos relativos



= 3 · 4 · 7 Sirve, porque en cada pareja (3 y 4); (3 y 7); (4 y 7)

los numeros son primos relativos

Como se ve, en muchos casos se puede se puede construir el criterio de divisibilidad demas de una forma, en este caso la eleccion dependera del problema. Asi, podemos decirque un numero es divisible por 84 si es divisible por 7 y 12; o si se prefiere diremos queun numero es divisible por 84 si es divisible por 3, 4 y 7, etc.

En la mayoria de los casos al tomar dos numeros naturales, encontramos que uno nodivide exactamente al otro. Esto es, que la division tiene un residuo o resto. Este hechoes lo podemos expresar en el siguiente teorema.Teorema 14 (El Algoritmo de la division).Dados dos numeros enteros a y b, suponiendo que b no es cero, existen unicos q llamadocociente y r llamado residuo o resto que cumplen la condicion

a = bq+ r,

y ademas el residuo r siempre es mas grande o igual a cero, pero mas pequeno que b.

Podemos interpretar el algoritmo de la division como el problema de dividir un segmentode longitud a en segmentos de longitud b, como se ve en la figura

b

0 b 2b bq b(q + 1)

r

b b b b b

2.2. MAXIMO COMUN DIVISOR (MCD) 25

Vamos marcando segmentos de longitud b si en algun momento “caemos” exactamenteen a esto quiere decir que el residuo r es igual a cero, en caso de que no “caigamos” encero nos fijamos en el multiplo de b que no supere a a, y lo que falte sera r.Ejemplo 19. Por ejemplo si tomamos a = 57 y b = 7, tenemos que q = 8 y r = 1.

Ejercicios

1. Decida si los siguientes numeros son primos o compuestosi) 512 iv) 203

ii) 102 v) 99

iii) 87 vi) 1991

2. Encuentra la factorizacion en numeros primos de los numeros del ejercicio anterior.

3. Usando los criterios de divisibilidad, diga cual es el menor primo que divide a lossiguientes numeros.

i) 817284 iv) 918285

ii) 123471 v) 91835

iii) 1111 vi) 13951

4. Usando el algoritmo de la division obtenga el cociente y el residuo de:i) 71226 al dividir entre 6 iv) 2637 al dividir entre 323

ii) 893 al dividir entre 17 v) 3 al dividir entre 8

iii) 9514 al dividir entre 10

2.2. Maximo Comun Divisor (MCD)

Definicion 9. Si tenemos un conjunto de numeros naturales, un divisor comun de todosellos es un natural que los divide exactamente.

Ejemplo 20. 12 es divisor comun de 48 y 120.

Definicion 10. El maximo comun divisor de un conjunto de numeros es el mayor detodos los divisores comunes.

Ejemplo 21. El maximo comun divisor de 48 y 120 es 24, ya que no existe un enteromayor que divida a ambos.

2.2.1. Procedimientos para obtener el maximo comun divisor

1. FactorizandoEjemplo 22. Obtener el mcd de 60 y 36. Factorizamos ambos numeros en sus factores:

36 = 2 · 2 · 3 · 3 = 22 · 32,

60 = 2 · 2 · 3 · 5 = 22 · 3 · 5.


Como estamos buscando un divisor comun de ambos numeros, como factores del mcdsolo podran estar los factores comunes a ambos numeros, en este caso 2 y 3. Ahora nosfijamos en la mayor potencia de estos numeros que divida a ambos numeros. Aunque32 es factor de 36 este no es factor de 60, asi que la mayor potencia de 3 que divide aambos numero es es 32.

Por lo anterior el mcd(36, 60) = 22 · 3 = 12.

2. Usando el Algoritmo de la divisionAntes de ver el metodo, hagamos la siguiente observacion que nos ayudara a entenderlo.

Observacion 1. Si los naturales a, b, c cumplen a = b+ c y ademas hay un numero d

que divide a a y a b entonces necesariamente a divide a c.

Supongamos que queremos el mcd de los numeros a y b, con a > b. Aplicamos elalgoritmo de la division a a y b, lo que da:

a = bq + r y ademas b > r.

Por la observacion anterior cualquier divisor de a y b sera divisor de r, entonces elmcd(a, b) = mcd(b, r). La ganancia esta en el hecho de que ahora nos preocupa sacarel mcd de dos numeros que son mas pequenos que los originales. En caso de que ahorael problema no sea trivial, podemos reiterar el metodo, es decir, aplicar el algoritmode la division a los numeros b y r, y asi sucesivamente. Este algoritmo parara cuandoobtenemos un residuo cero, y entonces el mcd de los numeros originales, sera el ultimoresiduo no cero.Ejemplo 23. Calcular el mcd de 60 y 156.

156 = 60(2) + 36

60 = 36(1) + 24

36 = 24(1) + 12

24 = 12(2) + 0

como el ultimo residuo no cero es 12, este sera el mcd de 60 y 156.

Este metodo es bastante util cuando los numeros son “grandes”.

Si necesitamos sacar el mcd de mas de dos numeros, lo unico que tenemos que hacer essacar el mcd por parejas para ir reduciendo la cantidad de numeros.

2.3. Mınimo Comun Multiplo (MCM)

Definicion 11. Si tenemos un conjunto de numeros naturales, un multiplo comun deellos, es un numero que es divisible por cada uno de los numeros del conjunto.

2.3. MINIMO COMUN MULTIPLO (MCM) 27

Ejemplo 24. Un multiplo comun de 6 y 8, es 96. ya que tanto 6 como 8 dividen a 96.

Definicion 12. El mınimo comun multiplo de un conjunto de numeros es el menor detodos los multiplos comunes. Es tambien el menor de los numeros que son divisibles portodos los numeros del conjunto.

Ejemplo 25. El mınimo comun multiplo de 6 y 8 es 24. Ya que no existe un numeromenor que sea divisible por 6 y 8.

Procedimientos para obtener el mınimo comun multiplo

1. FactorizandoEjemplo 26. Obtener el mcm de 60 y 36. Factorizamos ambos numeros en sus factoresprimos.

36 = 2 · 2 · 3 · 3 = 22 · 32,

60 = 2 · 2 · 3 · 5 = 22 · 3 · 5.

Como estamos buscando un numero que sea divisible por 36 y 60, en dicho numerodeberan estar los todos los factores primos, en este caso 2, 3 y 5. Como estamos buscandoun numero que sea divisible entre los dos las potencias deberan ser las mayores queaparezcan, esto es el mcm(36, 60) = 22 · 32 · 5

Una forma de verificar esto es escribir la lista de los multiplos y fijarse en el menorcomun.

36 : 36, 72, 108, 144, 180 , 216, 252, 288, 324, 360 , 396, . . .

60 : 60, 120, 180 , 240, 300, 360 , 420, . . .

2. Usando el mcdEjemplo 27. Si como en el ejemplo anterior queremos calcular el mcm de 36 y 60,haremos uso del siguiente:Teorema 15.El mcm de dos numeros es igual al producto de ellos dividido entre el mcd, esto es:

mcm(a, b) =ab

mcd(a, b)

entonces, mcm(36, 60) = 30(60)mcd(36,60) =

216012 = 180

Ejercicios

1. A Andres le dan $75 de domingo cada semana, a Benito le dan $80. ¿Cuantas sema-nas tendran que pasar para cada uno de ellos para que por ves primera coincidanen la cantidad de dinero?


2. Una pista de carreras es recorrida por una persona corriendo en 60 segundos,otra persona en patineta la recorre en 45 segundos, y finalmente una persona enbicicleta la recorre en 25 segundos. Si ellos salen el mismo tiempo, ¿cuanto tiempotiene que pasar para que vuelvan a coincidir por primera vez?, ¿y si solo queremosque coincidan la persona corriendo y la persona en bicicleta?

3. Una fabrica de focos necesita colocar 250 focos de 100 watts y 75 focos de 60 watts,en cajas, de forma que en cada caja se ponga la mayor cantidad posible de focos,pero sin mezclar ambos tipos en una misma caja, ademas en cada caja debe ir lamisma cantidad de focos. ¿Cuantos focos deben ir en cada caja? ¿cuantas cajas senecesitan?

4. Una bolsa tiene menos de 200 canicas si se agrupan de 9 en 9 no sobra ninguna,y si se agrupan de 11 en 11 sobra 1. ¿Cual es la menor cantidad de canicas quepuede haber? ¿y la mayor?

5. En una serie de focos navidena hay foquitos verdes, blancos y rojos. Los verdesse encienden cada 15 segundos, los blancos cada 18 segundos y los rojos cada110 segundos. Si al encenderse se encienden juntos, ¿cada cuantos segundos seencienden juntos otra vez?, ¿cuantas veces se encienden juntos durante una hora?

6. Juan tiene estampas que cuestan $3.60 c/u, y Pedro calcomanias que cuestan $4.80c/u. Juan le da Pedro estampas y Pedro a Juan calcomanias. ¿Cual es el menornumero de cada clase que pueden cambiar sin que ninguno de los dos pierda? ¿cuales el valor de lo que aporta cada uno?

7. Un trozo de cartulina mide 100 cm × 45 cm y se quiere dibujar una cuadrıcula demayor tamano posible de forma que todos sean cuadrados ¿Cual sera el lado delmayor cuadrado posible?

Problemas

1. Se escribe con lapiz azul la lista de los multiplos de 9, empezando con 9. Al ladode cada numero azul se escribe con lapiz rojo la suma de sus dıgitos. ¿Que apareceantes en la lista roja, el numero 45 o una secuencia de por lo menos cinco numeros36?

2. En una carrera de 50 metros, si Daniel le da 4 metros de ventaja a Gerardo, o seaGerardo recorre 46 metros, llegan juntos a la meta. En una carrera de 200 metros,si Gerardo le da 15 metros de ventaja a Marcelo, llegan juntos a la meta. ¿Cuantosmetros de ventaja debera darle Daniel a Marcelo para llegar juntos a la meta enuna carrera de 1000 metros? (Se supone que los tres atletas corren a velocidadesconstantes.)

3. En un hotel de Acapulco hay 120 personas distribuidas entre la recepcion, el bar,el comedor y el salon de reuniones. La cantidad de personas que hay en el bar es

2.3. MINIMO COMUN MULTIPLO (MCM) 29

un quinto de la que hay en el comedor; en la recepcion hay un octavo de las quehay en el saln.

Al pasar diez personas del comedor al salon y seis del bar a la recepcion, en larecepcion hay un sexto de las que quedan en el comedor. ¿Cuantas personas habıainicialmente en cada uno de los lugares mencionados del hotel?

4. Reemplazando x e y por dıgitos, hallar todos los numeros naturales de cinco cifras65x1y que son multiplos de 12.

5. Ivan cobra en un banco un cheque por $2700 y le pide al cajero que le entreguecierta cantidad de billetes de $10, 20 veces esa cantidad de billetes de $20 y elresto en billetes de $50. ¿Cuantos billetes de cada clase le entrega el cajero?

6. Un triangulo equilatero se divide en cuatro triangulitos equilateros iguales (verfigura). Quedan determinados 9 segmentos que son lados de triangulitos. Distribuirlos numeros 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9 en los lados de los triangulitos, sin repeticiones,de modo que la suma de los tres numeros correspondientes a cada triangulito seasiempre la misma

b b

b

b b

b

7. Con los dıgitos 1, 2, 3, 4, 5, 6, formar un numero de seis cifras distintas abcdef talque el numero de tres cifras abc sea multiplo de 4, el numero de tres cifras bcd seamultiplo de 5, el numero de tres cifras cde sea multiplo de 3 y el numero de trescifras def sea multiplo de 11.

universidad aut´onoma de guerrero facultad de matem´aticassi dos rectas son intersectadas por una...

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