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UNIVERSIDAD AUTÓNOMA DEL ESTADO DE HIDALGO ________________________________________________________________________
INSTITUTO DE CIENCIAS BÁSICAS E INGENIERÍA
ÁREA ACADÉMICA DE MATEMÁTICAS Y FÍSICA
LA NOCIÓN DE PROMEDIACIÓN COMO EJE ARTICULADOR ENTR E EL CÁLCULO Y LA ESTÁTICA
TRABAJO DE TESIS PARA OBTENER EL GRADO DE MAESTRÍA EN CIENCIAS EN MATEMÁTICAS Y SU DIDÁCTICA
QUE PRESENTA: ARMANDO CAMACHO CASTILLO
DIRECTORES DR. CARLOS RONDERO GUERRERO
DR. OLEKSANDER KARELIN
__________________________________________________________________ Mineral de la Reforma, Hgo; Febrero 2012
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ÍNDICE
Resumen 4
Abstract 5
Introducción 6
CAPÍTULO I PLANTEAMIENTO DEL PROBLEMA
1.1 Antecedentes 8
1.2 Justificación del problema 8
1.3 Delimitación de la investigación 11
CAPÍTULO II APROXIMACIÓN HISTORICA-EPISTEMOLÓGICA DEL
EQUILIBRIO Y PROMEDIO
2.1 Desarrollo histórico epistemológico del equilibrio 12
2.2 Promedio 21
CAPÍTULO III MARCO TEÓRICO
3.1 Ideas germinales, ponderatio y equilibrium, en la constitución del saber
físico matemático 27
3.2 Matemáticas en contexto de la Ingeniería 29
3.3 Teoría de situaciones didácticas 31
3.4 Teoría de la transposición didáctica 34
3.5 Obstáculos epistemológicos 37
3.6 Representaciones semióticas 40
CAPÍTULO IV METODOLOGÍA DE LA INVESTIGACIÓN
4.1 Ingeniería didáctica 44
4.2 Metodología de la investigación 47
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CAPÍTULO V EL PROMEDIO EN LA ESTÁTICA
5.1 ¿Qué es la Estática? 49
5.2 El promedio y la Estática 49
5.3 El promedio en los centros de equilibrio 50
5.4 Centro de áreas (centroide) 53
5.5 Centro de gravedad en sistemas continuos 55
5.6 Cargas distribuidas en vigas 64
CAPÍTULO VI ANÁLISIS DIDÁCTICO
6.1 Análisis de programas de estudio 66
6.2 Análisis de libros de texto 72
CAPÍTULO VII EXPERIMENTACIÓN
7.1 Cuestionario de exploración 83
7.2 Procesamiento y análisis didáctico 86
7.3 Procesamiento y análisis didáctico de la entrevista 91
CONCLUSIONES 95
BIBLIOGRAFÍA 98
Anexo A: Formato de cuestionario 101
Anexo B: Cuestionarios
Anexo C: Transcripción de entrevista
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Resumen La Estática es una asignatura de importancia en la mayoría de las ingenierías,
su comprensión permite un mejor entendimiento de fenómenos relacionados
con la actuación de fuerzas en diversas áreas como pueden ser: mecánica de
fluidos, análisis de estructuras o mecánica de suelos; por mencionar algunas.
El equilibrio resulta de la destrucción de varias fuerzas que se que aniquilan
recíprocamente, la acción que ejercen las unas sobre otras y el fin de la
Estática es dar las leyes según las cuales éste equilibrio se produce. El
equilibrio es pues una idea fundamental para comprender a la Estática.
Equilibrio cuya matematización resulta en un promedio, se constituye en eje de
articulación entre lo discreto y continuo, la promediación a su vez se constituye
en un eje de articulación entre el Cálculo y la Estática.
En este trabajo se da evidencia de la desarticulación entre Cálculo,
promediación, equilibrio y Estática que se presenta en la práctica docente y
además se da evidencia de la necesidad de un rescate epistemológico del
trabajo de Arquímedes sobre la palanca, con lo cual se permitirá crear
conocimientos sólidos de Estática en los estudiantes de ingeniería.
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5
Abstract Statics is a subject of importance in most engineering, understanding allows
better conceptualization of phenomena related to the performance of forces
in various areas such as: fluid mechanics, structural analysis and soil
mechanics, to name a few ones.
Equilibrium resulting from the destruction of several forces that annihilate each
other, the action exerted by one over the other; the end of statics is
understand the laws by which this equilibrium occurs. The equilibrium is
therefore a key idea to Statics.
Equilibrium which mathematization results in an average, constitutes the pivot
axis between the discrete and continuous, averagingin turn becomes a pivot
axis between the Calculus and Statics.
This paper gives evidence of the disconnect between Calculus, averaging,
Statics and equilibrium that occurs in teaching practice and also gives evidence
of the need for a rescue epistemological work of Archimedes about the lever,
thus will create Static solid knowledge in engineering students.
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INTRODUCCIÓN
Equilibrio, palabra que nos invita a pensar en cierta forma de igualdad,
es algo que se encuentra entre dos opuestos. Este trabajo se enfocará al
tratamiento del equilibro desde el punto de vista de su relación con los saberes
matemáticos como lo es la promediación y sus implicaciones didácticas en la
enseñanza de la Estática.
Existe una relación muy estrecha entre el concepto de equilibrio y el de media
ponderada. Relación al parecer no evidente en la enseñanza de la Estática y la
didáctica de las matemáticas, debido a un discurso en donde a la media
ponderada se le trata como una fórmula y se oculta o no se hace evidente su
relación con otras áreas de los saberes matemáticos como son: series, raíces
de polinomios y Cálculo, entre otros, tampoco se hace evidente su relación con
el concepto físico de equilibrio. Es en éste aspecto donde la media ponderada
puede aparecer y servir de articulador, entre la Estática y el Cálculo.
El presente trabajo tiene como eje principal dar evidencias de la afirmación
anterior, a través de una investigación cuyo reporte se presenta en los
siguientes ocho capítulos.
En el capítulo 1 se plantea la problemática de la enseñanza de los conceptos:
equilibrio y media ponderada, en el aula, que motiva la presente investigación,
así como su delimitación, bajo tales consideraciones se plantean las hipótesis
de investigación y los objetivos que se pretenden alcanzar con el desarrollo de
la misma.
En el capítulo 2, se da un panorama del concepto de equilibrio en la Estática y
su desarrollo histórico-epistemológico, así como los elementos conceptuales
del promedio.
En el capítulo 3, se presentan las teorías que bajo su óptica fundamentan la
presente investigación como son: transposición didáctica, situaciones
didácticas, obstáculos epistemológicos y representaciones semióticas.
En el capítulo 4, se indica la metodología a seguir, para la cual se toma como
estrategia a la ingeniería didáctica.
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En el capítulo 5 se dan evidencias de cómo es que el concepto de promedio es
fundamental en el estudio de la Estática, particularmente en los centros de
gravedad, centroides, centros de masa y su relación con el Cálculo.
En el capítulo 6 se hace un análisis didáctico del concepto de promedio y cómo
es que aparece en los programas de estudio de la licenciatura en ingeniería
civil, así como analizar la manera en que los libros de texto, tales como los de
Cálculo y Estática, plantean la promediación.
En el capítulo 7 se describe la fase experimental, se realizan encuestas a
estudiantes de la licenciatura en Ingeniería Civil del Instituto Tecnológico de
Pachuca, así como una entrevista a un catedrático de la misma institución.
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Capítulo I
Planteamiento del Problema 1.1 ANTECEDENTES
La carrera de ingeniería civil tiene como una de sus ramificaciones, el área de
diseño estructural. Esta rama se encarga de diseñar los diferentes elementos
que componen a una estructura, cuyo objetivo es hacer que permanezcan
estables, frente a diversas acciones o cargas.
La base de estos diseños se encuentra en algunos conceptos que se vierten
en la asignatura de Estática, de entre los cuales destacan el equilibrio y los
centros de gravedad o de masas, por lo que es de suma importancia que el
ingeniero civil adquiera una clara conceptualización de éstos.
Por otro lado, tradicionalmente en la enseñanza de ésta asignatura se han
ignorado sus orígenes, se ha relegado el desarrollo histórico que condujo al
descubrimiento y evolución de la mecánica (Estática). También se ha dejado de
lado, su íntima relación con la promediación y ésta a su vez con lo discreto y lo
continuo, favoreciéndose éste último y colocando a lo discreto como actor
secundario. La consideración de estos saberes, y su adecuada articulación
puede ser un elemento que propicie la adquisición de éstos conocimientos.
1.2 JUSTIFICACIÓN DEL PROBLEMA
Uno de los problemas más frecuentes en nuestro medio educativo es la
relación que se da entre la matemática y sus bases físicas en ingeniería.
En el caso particular del sistema de Institutos Tecnológicos, los cursos de
matemáticas preceden a los cursos de especialidad, conocidos como cursos de
tronco común. En estos cursos se vierten diferentes saberes matemáticos, pero
se ven aislados del contexto, en otras palabras, el alumno no ve a las
matemáticas como un medio para comprender o para entender fenómenos
relacionados con su disciplina, no las ve como un medio que permite
desarrollar modelos, que expliquen y den fundamento teórico a diversas áreas
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de aplicación. Comúnmente no se da la articulación de los saberes
matemáticos y los conocimientos de las diferentes disciplinas en ingeniería. La
enseñanza queda limitada a sólo la aplicación de expresiones que
denominaremos fórmula; en el sentido de su uso restringido, a la sustitución de
valores (cantidades) sin profundizar sobre su significado, su origen y sus
limitaciones, lo que da como resultado una enseñanza pragmática con la
finalidad de dar soluciones expeditas, sin importar si esa solución es
consistente con la teoría que sustenta la aplicación para la cual fue creada.
El abuso en la utilización de la fórmula en el sentido antes expuesto crea,
además, una desarticulación entre dos nociones de suma importancia en el
desarrollo de las matemáticas, lo discreto y lo continuo.
Ambas concepciones siempre están presentes en cualquier ámbito de la
matemática, pero es lo continuo lo que se ha privilegiado, como lo menciona
Rondero (2001):
La identificación de lo discreto-continuo como categoría teórica de ser
una dualidad, este hecho se desprendió del estudio de tipo
epistemológico que se llevó a cabo al hacer cortes longitudinales y
transversales en diferentes épocas y autores, lo cual permitió dar una
serie de evidencias sobre cómo es que efectivamente los saberes
matemáticos son duales, en el sentido de complementarse uno al otro.
Además se ha buscado resaltar la importancia de este resultado para la
didáctica en cuanto que no es para nada conveniente el permitir que el
tratamiento siga siendo como una dicotomía, en el que a lo continuo se
le privilegia didácticamente y a lo discreto se le esconde o se le margina.
El promedio, como idea germinal1, puede constituirse en un medio que acorte
la distancia entre el saber erudito o saber sabio, que es el que poseen los
científicos o expertos, de la Estática y el saber enseñado, que es el que ha
sufrido transformaciónes para poder ser transmitido a los estudiantes. Que
puede articular lo discreto y lo continuo a través, del teorema fundamental del
Cálculo para integrales.
En ingeniería civil se observa un predominio de esta concepción de fórmula,
una vez que se pasa del tronco común a las ramas de la carrera las diversas
1 Principio u origen de un concepto.
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asignaturas se tornan pragmáticas, mediante un contrato didáctico no
explicitado. El profesor, trata de ser práctico, y facilitar el tema, así sólo se
presentan fórmulas sin entrar en detalle. Se da importancia a lo algorítmico, los
cursos se vuelven un conjunto de recetas, no se da sentido a los conceptos, y
parece no importar saberlo.
Adicionalmente el rescate epistemológico, es decir el retomar el desarrollo
histórico que da origen al concepto de promedio y su íntima relación con el
equilibrio, se hace necesario, pues estas ideas son el eje en torno al cual giran
diversos conceptos en Estática y matemáticas por lo que constituyen el eje de
articulación entre estos dos saberes.
Por lo expuesto anteriormente se pueden a plantear las siguientes preguntas
de investigación:
¿Es la noción de promediación un eje articulador entre el Cálculo y Estática?
¿Cómo explicitar la relación que se establece entre los conceptos discreto y
continuo, que se trabajan en Cálculo y Estática?
Hipótesis
En la medida en que se propicie el reforzamiento cognitivo2 y epistemológico3
de la noción de promediación, entre Estática y Cálculo se tendrá una mayor
consolidación de los conceptos involucrados con el equilibrio.
Objetivo general
Dar cuenta de cómo se presenta la articulación conceptual entre el Cálculo y la
Estática y sus consecuencias didácticas, al no evidenciarse esa articulación.
Objetivos particulares
2 En el sentido de adquirir el concepto de promedio, a través de sus diferentes representaciones, en Estática y Cálculo. 3 Reforzar un concepto a través de cómo se desarrollo dicho concepto en la historia.
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Evidenciar cómo a través de la promediación y sus diferentes
representaciones, establecen una articulación entre el Cálculo y la Estática.
Dar evidencia de cómo el desarrollo histórico de equilibrio refuerza la
conceptualización de éste.
1.3 DELIMITACIÓN DE LA INVESTIGACIÓN
El problema didáctico de la enseñanza de la Estática no es exclusivo de un
determinado estado, país o institución escolar, sin embargo pese a ser un
problema que abarca a un gran número de instituciones educativas, se hace
necesario delimitarlo.
Por lo anterior es que la investigación se ha realizado en una institución de
educación superior del Estado de Hidalgo, en la licenciatura en ingeniería civil
que se imparte en el Instituto Tecnológico de Pachuca, ubicado en la capital de
dicho estado, en el área académica de Ciencias de la Tierra.
Aún cuando la Estática es una asignatura común a la mayoría de las
ingenierías, solamente se ha considerado la investigación con alumnos de
ingeniería civil que cursan asignaturas en el área de estructuras.
Del gran abanico de temas que integran a cada una de éstas asignaturas se
han elegido aquellas que se involucran directamente con el promedio como
son: equilibrio, centro de masas, centro de gravedad y cargas distribuidas en
vigas.
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Capítulo II
Aproximación histórica epistemológica al
concepto de equilibrio
2.1 Desarrollo histórico-epistemológico del equilib rio
El equilibrio según dice Lagrange (1811). “Resulta de la destrucción de
varias fuerzas que se combaten y que aniquilan recíprocamente la acción que
ejercen las unas sobre otras.”
Damerrow (2003). El primer tratado sobre la mecánica que nos ha llegado, es
el llamado “problemas de mecánica” tradicionalmente adscrito a Aristóteles que
nació casi un siglo antes que Arquímedes, en el 384 antes de nuestra era.
Pero es sin duda, éste último, Arquímedes de Siracusa (287 a. C. – 212 a. C.)
quien más aportó al desarrollo de éste concepto, en sus dos Libros de
Equiponderantibus, o de Planorum Equilibriis.
Es el autor del principio de la palanca, el cual consiste, en que si una
palanca es cargada de dos pesos cualquiera colocados de una y otra parte del
punto de apoyo, y tienen distancias recíprocamente proporcionales de éste
punto a los mismos pesos, ésta palanca estará en equilibrio, y su apoyo será
cargado por la suma de ambos pesos (Lagrange, 1811, traducción libre).
Figura 1. Equilibrio de palancas
En la figura 1a, se muestran los bloques A y B, si ambos tienen el mismo peso,
estarán en equilibrio, siempre y cuando las distancias al punto de apoyo sean
iguales; pero si el bloque B tiene la mitad del peso de A, entonces se tendrá
equilibrio, cuando B se encuentre al doble de la distancia (d1=2d).
A B
d d
A B
d d1
a)
b)
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La célebre frase “Dame un punto de apoyo y moveré el mundo”, hacía
referencia a ésta ley, que
Colección Matemática de Pappus de Alejandría
Una idea que parte del estudio de la palanca y que
para la presente investigación
es la suma de los pesos que actúan en los brazos de la palanca
está en equilibrio, idea
gravedad de una figura ge
De acuerdo con Damerrow
equilibrio de los planos, que al principio contenía una demostración de la ley de
la palanca, formulada en las proposiciones
El tratado hace uso de sofisticados argumentos matemáticos que incluyen, en
particular, la distinción entre cantidades conmensurables e inconmensurables.
No obstante, la idea clave puede ser expresada en términos relativamente
simples tomando un ejemplo específico.
Considérese una barra dividida en seis unidades equidistantes y mantenida en
su punto medio –por tanto en equilibrio
compuesto de cuatro unidades de peso
unidades de peso (cuadros claros)
Figura 2
Ahora se toman las seis unidades de peso y se sitúan
en el punto medio de cada una de
se observa en la figura 2.
equilibrio.
4 Punto de apoyo de una palanca
La célebre frase “Dame un punto de apoyo y moveré el mundo”, hacía
sta ley, que apareció escrita en uno de los manuscritos de la
Colección Matemática de Pappus de Alejandría.
parte del estudio de la palanca y que es de importanci
para la presente investigación, es la siguiente; el peso que actúa en
es la suma de los pesos que actúan en los brazos de la palanca
dea que es básica pues es precisamente el
geométrica la que actúa como el fulcro de una palanca.
De acuerdo con Damerrow (2003), Arquímedes escribió su tratado sobre el
equilibrio de los planos, que al principio contenía una demostración de la ley de
la palanca, formulada en las proposiciones sexta y séptima del mismo.
El tratado hace uso de sofisticados argumentos matemáticos que incluyen, en
particular, la distinción entre cantidades conmensurables e inconmensurables.
No obstante, la idea clave puede ser expresada en términos relativamente
simples tomando un ejemplo específico.
Considérese una barra dividida en seis unidades equidistantes y mantenida en
por tanto en equilibrio–. Considérese además dos pesos; uno
compuesto de cuatro unidades de peso (cuadros oscuros), y el ot
(cuadros claros).
Figura 2. Palanca con las seis cargas
Ahora se toman las seis unidades de peso y se sitúan, cada una de ellas
en el punto medio de cada una de las seis secciones de la barra,
se observa en la figura 2. Entonces es evidente que la barra estará
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La célebre frase “Dame un punto de apoyo y moveré el mundo”, hacía
apareció escrita en uno de los manuscritos de la
es de importancia
el peso que actúa en el fulcro4
es la suma de los pesos que actúan en los brazos de la palanca cuando ésta
es básica pues es precisamente el centro de
el fulcro de una palanca.
Arquímedes escribió su tratado sobre el
equilibrio de los planos, que al principio contenía una demostración de la ley de
sexta y séptima del mismo.
El tratado hace uso de sofisticados argumentos matemáticos que incluyen, en
particular, la distinción entre cantidades conmensurables e inconmensurables.
No obstante, la idea clave puede ser expresada en términos relativamente
Considérese una barra dividida en seis unidades equidistantes y mantenida en
Considérese además dos pesos; uno
, y el otro de dos
cada una de ellas
las seis secciones de la barra, como
es evidente que la barra estará en
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Figura 3
Luego se asume que el efecto de las cuatro unidades de peso no
cambia cuando son situadas no una a una en la
concentradas en su punto medio, como se muestra en la figura
colocadas en el punto e
las dos unidades de peso no cambia si están concebidas como
concentradas en su punto medio
el punto e está cargado por cuatro unidades se puede suponer que las
cuatro están concentradas en el punto e y lo mismo se puede decir del
punto d (ver figura 4).
Figura 4. Las concentradas en el
Ahora si los pesos A y B se sustituyen por un
c, se mantiene el equilibrio.
cargado por la suma de los pesos,
equilibrio, es decir puede ahora sustituirse los pesos A y B
que sea A+B.
Por el contrario si se tiene un pes
otros dos pesos equivalentes (
iguales.
Figura 3. Cargas concentradas en e y d
Luego se asume que el efecto de las cuatro unidades de peso no
cambia cuando son situadas no una a una en la barra, sino cuando están
concentradas en su punto medio, como se muestra en la figura
colocadas en el punto e. Igualmente se asume que también el efecto de
las dos unidades de peso no cambia si están concebidas como
concentradas en su punto medio y colocadas en el punto d. Puesto que
el punto e está cargado por cuatro unidades se puede suponer que las
cuatro están concentradas en el punto e y lo mismo se puede decir del
.
. Las concentradas en el punto e y h, mantienen la palanca en
equilibrio
A y B se sustituyen por un único peso (A+B) concentrado en
c, se mantiene el equilibrio. Es decir; el fulcro se puede considerar como
cargado por la suma de los pesos, A y B si la palanca se encuentra en
equilibrio, es decir puede ahora sustituirse los pesos A y B por uno en el fulcro
Por el contrario si se tiene un peso (w) en el fulcro éste se puede sustituir por
otros dos pesos equivalentes (w/2) en dos lados de una palanca
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Luego se asume que el efecto de las cuatro unidades de peso no
barra, sino cuando están
concentradas en su punto medio, como se muestra en la figura 3 y
. Igualmente se asume que también el efecto de
las dos unidades de peso no cambia si están concebidas como
en el punto d. Puesto que
el punto e está cargado por cuatro unidades se puede suponer que las
cuatro están concentradas en el punto e y lo mismo se puede decir del
punto e y h, mantienen la palanca en
peso (A+B) concentrado en
el fulcro se puede considerar como
se encuentra en
por uno en el fulcro
ste se puede sustituir por
) en dos lados de una palanca con distancias
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Figura 5. Un peso W puede sustituirse por dos pesos w/2
La idea de centro de equilibrio o centro de gravedad está basada en parte en
éste hecho y es llevada por Arquímedes a la geometría con resultados muy
interesantes. Estos resultados y sus respectivas demostraciones están
contenidos en dos libros llamados el Equilibrio de los Planos.
Por ejemplo; en la proposición 4 del libro 1, Arquímedes empieza a
mencionar el centro de gravedad; (Heath,1897); “si dos cuerpos tienen el
mismo peso pero no el mismo centro de gravedad, el centro de gravedad de
ambos estará en el punto medio de la línea que une los centros de gravedad de
ambos cuerpos”5.
En las siguientes proposiciones, del mismo libro, Arquímedes demuestra la
ubicación de los centros de gravedad de figuras como el trapecio, el
paralelogramo y el triángulo.
Para observar lo anterior se reproduce la proposición 13, y cuya
demostración se realiza por reducción al absurdo, la cual dice (Heath, 1897):
“En cualquier triángulo, el centro de gravedad se encuentra en la línea que une
un vértice con el punto medio del lado opuesto”.
Sea ABC un triángulo (figura 6) y D el punto medio de BC y el segmento AD.
Supongamos que H es el centro de gravedad, el cual no está en AD, trace HI
paralelo a CB encontrándose con AD en I. Entonces, si bisecamos DC, luego
bisecamos las mitades, etcétera, hasta llegar a una longitud, como DE, menor
que HI.
Dividiendo BD y DC, en segmentos iguales a DE y a través de los puntos de
división trazar paralelas a DA hasta encontrarse con AB y AC, en los puntos K,
L, M, y N, P, Q, respectivamente.
5 If two equal weights have not the same centre of gravity, the centre of gravity of both taken together is at the middle point of the line joining their centres of gravity.
d d
w
w/2 w/2
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Figura 6. Triangulo utilizado para demostrar la proposición 13
Una MN, LP y KQ, con líneas que serán paralelas a BC.
Ahora tenemos una serie de paralelogramos como FQ, TP y SN. AD biseca el
lado opuesto de cada uno. Entonces el centro de gravedad de cada
paralelogramo se encuentra en AD y no en H como se había supuesto al inicio,
por la proposición 96, entonces el centro de gravedad de toda la figura estará
en AD.
Sea el centro de gravedad de todos los paralelogramos el punto O. Una OH y
trace también CV paralelo a DA hasta encontrarse con OH en V.
Ahora, si n es el número de partes en las cuales AC es dividido,
∆ADC: (suma de los triángulos en AN, NP,…)= AC2:(AN2+NP2+…)
= n2: n
= n : 1
= AC:AN
De manera similar
∆ABU: (suma de triángulos AM, ML,...) = AB : AM.
y AC:AN= AB:AM.
Se sigue que ∆ABC: (suma de todos los pequeños ∆s) = CA: AN
>VO: OH, por paralelas.
Suponga que V produce a X así que
6 Propocición 9: El centro de gravedad de un paralelogramo está en la recta que une los puntos medios de los lados opuestos. (The centre of gravity of any parallelogram lies on the straight line joining the middle points of opposite sides).
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∆ABC: (suma de los pequeños ∆s) = XO: OH, donde, dividiendo,
(suma de paralelogramos) : (suma de pequeños ∆s) = XH : HO.
Entonces el centro de gravedad del triangulo ABC esta H, y el centro de
gravedad de la parte de los paralelogramos esta en 0, se sigue de la
Proposición 8 que el centro de gravedad de la porción restante consistente de
todos los triángulos pequeños juntos esta en X. pero esto es imposible, ya que
todos los triángulos están de un lado de la línea que atraviesa X en paralelo a
la de AD. Por lo tanto el centro de gravedad del triángulo no puede sino
encontrarse en AD.
Arquímedes encontró una forma de hallar ese centro de gravedad de
diversas figuras, comparándolas con otras de propiedades ya conocidas. El
procedimiento seguido por Arquímedes, conocido como el Método fue enviado
en una carta a su amigo Eratóstenes. En dicho documento Arquímedes, utiliza
la ley de la palanca pero suponiendo, en lugar de pesos, figuras geométricas,
como se muestra en la siguiente descripción.
Figura 7. Figuras geométricas en una palanca
La figura 7 muestra un cuadrado P de peso Wc y un triángulo de peso WT,
como sabemos -actualmente-, W=mg, donde g es la gravedad y m es la masa,
tomando en cuenta que m= ρρρρ (Volumen), siendo ρρρρ la densidad, sustituyendo
W=Vρρρρg, de acuerdo con la ley de la palanca.
WC (������)=WT (������) Puesto que la gravedad g es la misma y considerando que los cuerpos tienen
la misma densidad, debido a que el material del cual estén compuestos es
irrelevante para este análisis, las variables ρρρρg pueden eliminarse, quedando
A DB
WT
C
P
Wc
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VC (������)=VT (������) Con esta relación puede hallarse el centro de gravedad, si los volúmenes son
conocidos o bien conocido el centro de gravedad encontrar la relación de
volúmenes.
Un ejemplo donde se utiliza lo anterior, es hallar el volumen de una esfera
utilizando la palanca.
Figura 8. Sección transversal de la esfera de radio r
La figura 8 representa la sección transversal de una esfera de radio r,
entonces, utilizando geometría analítica se tiene
(x-r)2 + y2= r2
x2-2xr+r2+y2=r2
x2+y2=2xr
Si se multiplica por π
π x2+π y2=2π xr
Figura 9. Secciones transversales de cono y esfera
La expresión anterior puede interpretarse así; π x2, es el área de la sección
transversal de un cono cuya altura es el diámetro de la sección transversal
considerada de la esfera y π y2, es el área de la sección transversal de la
esfera, tal como se muestra en la figura 9. Si la ecuación anterior se multiplica
por 2r
2r(π x2+π y2) = xπ (2r)2
r
x
(x,y)
x y
Cono Esfera
45º
y
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Figura 10. Esfera, cono y cilindro en una palanca
El miembro izquierdo representa el área de la sección transversal de dos
figuras cono y esfera colgando a una distancia del fulcro 2r y el lado derecho, el
área de la sección transversal del cilindro colgando a una distancia x, como se
observa en la figura 10.
Si x va de 0 a 2r, esto representa todas las secciones transversales, la suma
será el volumen y puesto que en la época de Arquímedes ya se sabía la
posición del centro de gravedad de un cilindro.
Así
2r (Vol. cono + Vol. esfera)= r(Vol. cilindro)
Note que se ha cambiado a x por r, esto debido a que el centro de gravedad de
un cilindro está en su punto medio.
Arquímedes también sabía que el volumen de un cono es la tercera parte de un
cilindro, esto debido a Demócrito, entonces se obtiene
2r (π (2r)3/3+Vol esfera) = r (2r)3π
Despejando al volumen de la esfera se tiene
Vol. esfera = 4πr3/3
Momento
El equilibrio de la palanca da origen a un concepto fundamental en Estática
conocido como momento, es tan importante que el mismo Lagrage (1811,
traducción libre) dice: “…es lo que se llama ahora el principio del momento,
entendido a veces como el producto de una fuerza por el brazo de la palanca
por el cual actúa. Este principio general basta para resolver todos los
problemas de la Estática”.
π x2
π y2
2r
4π r2
x
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El momento entonces está siempre relacionado con la palanca, pero en el paso
del saber sabio al saber enseñado se pierde ya que los libros de Estática no lo
relacionan con una palanca.
Supóngase una palanca angular como la que se muestra
a b
Figura 11. Palancas angulares
La palanca AC (figura 11a) tiende a producir un movimiento alrededor del punto
C y la palanca BC tiende a producir un movimiento en sentido contrario en C,
pero si ambas están unidas en C, este funciona como un fulcro, además si las
fuerzas son iguales, al tener los mismos brazos de palanca ya que forman
parte de una circunferencia, se anulan de manera que se establece el
equilibrio. La proyección de A sobre DE y la proyección de B sobre DE, forma
una palanca DCE con fulcro en C, esta palanca estará en equilibrio, puesto que
la palanca angular ACB está en equilibrio. La figura 11b muestra que cualquier
palanca angular sigue la misma ley que la palanca recta, es decir que el
producto fuerza por distancia de ambos brazos de la palanca tendrán que ser
iguales para que se genere el equilibrio.
Los libros de Estática entonces solo mencionan que la suma de los momentos
en un cuerpo debe de ser cero, si se quiere establecer el equilibrio, pero no
mencionan que esto es consecuencia de que las fuerzas en un cuerpo o figura
actúan como si estuvieran en una palanca angular con fulcro situado en un
centro de rotación o centro de gravedad.
En resumen, Arquímedes encontró que si dos fuerzas o pesos son iguales su
distancia al punto de apoyo debe ser la misma, para que exista equilibrio, es
decir;
F1
F2
d1
d2
C
A
B
D E
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21
Si F1 = F2 entonces 21 dd =
Pero si d1>d2, entonces la palanca se inclina al lado de d1. Lo esencial de éste
descubrimiento fue que Arquímedes se dio cuenta de que el producto F1d1,
F2d2,…Fndn, que hoy conocemos como momento de una fuerza (M), debería
ser de igual magnitud, para que la palanca estuviera en equilibrio.
Si aplicamos esta idea para hallar la posición del punto de equilibrio X de una
colección de fuerzas F1, F2,…., Fn, de coordenadas en x de x1, x2,…, xn, que
actúan sobre una figura plana y cuyas distancias a dicho punto son ( X -x1), ( X -
x2),…, ( X - xn), sabemos que la suma de los momentos debe ser igual a cero,
entonces ����� �� � ����
� � � � ����� �� � 0 Realizando operaciones ���� � ��� � � � ���� � ��� � �
� � � ��� Despejando a X
�� � ∑ �������∑ ������ Además ese punto debe estar cargado por la resultante de las fuerzas, puesto
que éste se comporta como el fulcro de una palanca.
Se ha observado cómo Arquímedes partiendo del principio de la palanca, lo
extiende a la geometría con resultados notables, sobre todo para el estudio de
la Estática, es por ello que lo anterior se ha centrado en los conceptos de
centro de gravedad y el momento, cuya matematización nos va a conducir al
promedio.
2.2 EL PROMEDIO
El promedio nos dice Rondero (2007), “promediar es una acción que implica un
acto de ir hacia el medio, es decir, ir en búsqueda de un valor medio,
representado por un único valor”.
Al describir grupos de observaciones, con frecuencia es conveniente resumir la
información con un solo número. Este número que, para tal fin, suele situarse
hacia el centro de la distribución de datos se denomina medida o parámetro de
tendencia central o de centralización. Cuando se hace referencia únicamente a
-
22
la posición de estos parámetros dentro de la distribución, independientemente
de que ésta esté más o menos centrada, se habla de estas medidas
como medidas de posición.
Existen varias formas de promedio; media aritmética, media ponderada, media
geométrica y media armónica.
Media aritmética.
Se define como media aritmética o media de un conjunto de n números x1,
x2,…xn, a la razón entre la suma de todos los valores de los números y el
número de elementos del conjunto.
� � � �
� � � �� � ∑ ������ Media geométrica.
La media geométrica G de una serie de n números, es la raíz enésima del
producto de los números.
� � ��
… �� � �� ������
Media armónica
La media armónica H de una serie de n números es la reciproca de los
números recíprocos de la expresión de la media aritmética. � � �1� � 1
� � � 1� ��∑ 1�����
Media ponderada
La media ponderada � de una serie de n números y sus pesos pi asociados es
� � ∑ � �����∑ �����
De estas expresiones las que interesan para la presente investigación son la
media aritmética y la media ponderada, ya que éstas se relacionan
directamente con la matematización del equilibrio en palancas, mismas que
pueden ser observadas desde otro enfoque.
Supóngase que se tiene un número x que está en la mitad de a y b, donde a
-
23
Entonces x-a será un déficit o defecto y b-x será un exceso, si x se encuentra a
la mitad entonces el defecto será igual al exceso, de tal manera que
x-a = b-x
2x=a+b
� ! � "2 Sean tres valores a, b, c tal que a
-
24
La cantidad con la que ambas tienen el mismo nivel se expresa con x, así x-a
es la cantidad de líquido que falta en A y b-x es la cantidad que sobra; con lo
que se tiene � &'( El promedio permea en muchos saberes matemáticos, tales como el cálculo de
áreas, aritmética, raíces de polinomios y Cálculo, a través de lo que se
denomina promediación.
Dentro del Cálculo, el promedio puede observarse en varios teoremas, pero es
de principal interés en ésta investigación el teorema del valor medio para
Cálculo integral.
Primer teorema del valor medio para integrales
La media o promedio aritmético como se mencionó es
� � � �
� � � �) � ∑ �����)
La integral definida nos permite extender el concepto de media o promedio a
los valores de una función sobre un intervalo.
Dividimos un intervalo [a, b] en n subintervalos iguales, cada uno con longitud ∆ � (+&� . Si ti es un punto cualquiera del i-ésimo subintervalo, entonces el promedio aritmético o medio de los valores de la función en los ti viene dado
por: !� � �� ,-�.�� � -�.� � � � -�.��/ Multiplicamos y dividimos por (b − a) y resulta:
!� � 1� 0 -�.�� " !" !���� � 1" ! 0 -�.�� " !��
��� � 1" ! 0 -�.��∆
�
���
-� � 1 1" !2 lim�67 0 -�.��∆���� La media de f sobre [a, b] se define como
-� � 1" ! 8 -��9(&
-
25
Geométricamente, -� es la altura promedio de f sobre el intervalo. El área del rectángulo de altura -� y base [a, b] es igual al área bajo la curva
�" !�-� � 8 -(& ��9 -� � : -9(&: 9(&
La figura 13 se da una interpretación geométrica de este teorema.
Figura 13. Interpretación geométrica del teorema del valor medio para
integrales
f
-� X
Y
b a
-
26
Capítulo III
Marco Teórico
La Estática gira en torno a un eje central llamado equilibrio, el cual se
encuentra en cierta forma en cada uno de los temas de ésta asignatura, éste
equilibrio a su vez tiene una relación muy estrecha con el promedio, el cual se
constituye como un puente con el saber matemático.
Cuando a la Estática como saber sabio, se le transforma en un saber
enseñable, diversos factores pueden llegar a diluir al equilibrio como eje
central y su relación con los saberes matemáticos. Nos encontramos entonces
ante un problema didáctico el cual nos obliga a observar a la Estática desde la
ésta perspectiva, para ello es necesario ubicar diversas teorías que servirán de
lentes bajo los cuales se pueda clarificar la compleja relación del sistema
saber-alumno-maestro, en relación con la enseñanza de la Estática y los
conceptos matemáticos que subyacen.
Las teorías consideradas como marco de referencia para esta investigación
son:
a) Ideas germinales, ponderatio y equilibrium, en la constitución del saber
físico matemático. Es la base de esta investigación pues se intenta dar
evidencias de que estas ideas germinales pueden servir de articuladores
de conceptos en la Estática.
b) La teoría de situaciones didácticas, la teoría de la transposición didáctica
y los obstáculos epistemológicos. Son las teorías que fundamentan la
ingeniería didáctica, que es la utilizada en ésta investigación
c) La teoría de las representaciones semióticas. Es el promedio a través de
sus diferentes representaciones que lo construyen como una noción
paramatemática útil en la articulación de saberes matemáticos.
d) Matemáticas en Contexto de las Ciencias. El equilibrio y el promedio en
el escenario de la ingeniería adquieren características propias de este
contexto que debe ser considerado en la investigación.
Estas teorías o investigaciones se describen brevemente a continuación.
-
27
Lo que el marco teórico nos ofrece es una perspectiva desde la didáctica
matemática francesa. De acuerdo con la didáctica de las matemáticas
francesa, el proyecto de la escuela tiene como cuestión central la comunicación
de saberes. Así, según sus postulados, la que ahí se establece es una relación
entre el profesor y los alumnos alrededor de un cierto objeto de saber. El
siguiente esquema, resume esta relación ternaria: Saber Maestro Alumno
Chevallard, (1991, 23) reconoce en éste triángulo un esquematismo tosco, pero
a la vez encuentra en él una virtud: la distancia que establece con las
perspectivas parciales con las que se buscó por mucho tiempo comprender los
hechos didácticos, particularmente la "relación enseñante-enseñado" que
orientó durante al menos dos décadas, el acercamiento a los hechos
didácticos. Otro rasgo característico de esta perspectiva es que los sujetos y
sus acciones no se estudian de manera aislada, sino en interacción con los
otros, mediante las reacciones que sus acciones pueden producir en esos
otros.
Figura 14. Triangulo didáctico
3.1 Ideas germinales, ponderatio y equilibrium , en la constitución del
saber físico matemático
Existen ciertas ideas que trascienden el contexto de la matemática, que se
encuentran con diferentes denominaciones en muchas ramas del conocimiento,
tales ideas permiten servir de articuladores entre diversos saberes. Dos de
estas ideas que son de importancia fundamental para la presente investigación
son el y . Al respecto Rondero (2001) dice:
En otro aspecto es de remarcar la contribución referida a la identificación
y caracterización de ideas germinales, en nuestro caso hemos podido
identificar dos de ellas a las que denominamos y
FORMACIÓN DE PROFESORES (DOCENTES)
ASPECTO EPISTEMOLÓGICO (CONOCIMIENTO)
ASPECTO COGNITIVO (ALUMNOS)
-
28
, cuya interacción ha resultado importante en la
constitución del conocimiento fisicomatemático.
Precisamente son ideas germinales porque en su propia génesis el
conocimiento propiamente físico ha recurrido para su constitución al
estudio del equilibrio como fenómeno y en la equilibración como
ejecución de la acción de equilibrar, mientras que en la génesis del
conocimiento matemático se ha recurrido para su constitución al estudio
del promedio como la matematización del equilibrio y a la promediación
como ejecución de la acción de promediar.
En Rondero (2001), se encuentra que en los alumnos investigados éstas ideas
están muy cercanas a su intuición, nos dice:
Por otra parte en cuanto a la caracterización de las ideas germinales,
siendo estas consideradas como categorías teóricas a las que el
investigador recurre como elemento explicativo de orden eminentemente
epistemológico, tienen en sí mismas la cualidad de que a través de ellas
se generan teorías completas, para lo cual se van estructurando
definiciones, propiedades, teoremas, principios y todos aquellos
resultados previos a los que haya lugar… dado que en la etapa
experimental de carácter cognitivo, se observó que efectivamente son
ideas muy cercanas a la intuición de los estudiantes. A pesar de que
prácticamente todos los estudiantes no habían reflexionado sobre cómo
es que es posible construir conocimiento en las acciones de promediar y
equilibrar, sus respuestas son bastantes consistentes e inmediatamente
identifican su importancia en cuanto al modo de hacer que el
conocimiento se construya tomando como guía generadora a ambas
ideas germinales.
La importancia del trabajo de Rondero (2001) radica, para esta investigación,
en que ambas ideas germinales son los constituyentes fundamentales de la
Estática.
Con el auxilio de los diversos constructos teóricos de la matemática educativa
podemos retomar estas ideas y con ello construir las bases de conocimiento de
la Estática en el estudiante.
-
29
3.2 Matemáticas en Contexto de las Ciencias
La importancia de la Estática en la ingeniería es evidente, sin ella gran
parte de los fenómenos presentes en la práctica ingenieril, carecerían de
explicación y por lo tanto de sustento científico.
La Estática a su vez requiere de saberes matemáticos contextualizados, como
lo menciona García (2000); “La matemática en contexto es la forma como se
imparten los temas de matemáticas necesarios en una carrera determinada de
ingeniería. En general el hablar de matemática en contexto no es simplemente
el ofrecer aplicaciones, sino desarrollar la teoría matemática a las necesidades
y ritmo que dictan los cursos de ingeniería”.
Como lo menciona Camarena (1995). La Matemática en Contexto de las
Ciencias es una teoría que nace desde 1982, la cual reflexiona acerca de la
vinculación que debe existir entre la matemática y las ciencias que la requieren,
y se fundamenta en los siguientes paradigmas:
- La matemática es una herramienta de apoyo y disciplina formativa.
- La matemática tiene una función específica en el nivel universitario.
- Los conocimientos nacen integrados.
La teoría contempla cinco fases:
- La Curricular, desarrollada desde 1984.
- La Didáctica, iniciada desde 1987.
- La epistemológica, abordada en 1988.
- La de formación docente, definida en 1990.
- La cognitiva, estudiada desde 1992.
A continuación Camarena (1995), describe brevemente cada una de estas
fases
Fase curricular
La fase curricular posee una metodología denominada DIPCING para el diseño
de programas de estudio de matemáticas en carreras de ingeniería (Camarena,
1984). La metodología se fundamenta en el siguiente paradigma educativo:
Con los cursos de matemáticas el estudiante poseerá los elementos y
herramientas que utilizará en las materias específicas de su carrera, es decir,
-
30
las asignaturas de matemáticas no son una meta por sí mismas; sin dejar a un
lado el hecho de que la matemática debe ser “formativa” para el alumno.
Asimismo, la premisa alrededor de la cual gira la metodología es que: El
currículo de matemáticas debe ser objetivo, es decir, debe ser un currículo
fundado sobre bases objetivas.
Fase de formación de profesores
La fase de formación de profesores o formación docente ha detectado las
deficiencias de profesores que dan cursos de matemáticas y que su formación
no es de matemáticos, constituyendo esto una de las grandes causas de las
deficiencias de los estudiantes en matemáticas (Camarena, 2002b).
Fase epistemológica
En la fase epistemológica se han llevado a cabo investigaciones que han
verificado cómo gran parte de la matemática que se incluye en los cursos de
áreas de ingeniería nace en el contexto de problemas específicos de otras
áreas del conocimiento y a través del tiempo pierden su contexto para ofrecer
una matemática “pura” que es llevada a las aulas de clases sin que tenga
sentido para los estudiantes que no van a ser matemáticos, como lo describe
Chevallard (1991).
Fase didáctica
La fase didáctica contempla un proceso metodológico para el desarrollo de las
competencias profesionales referidas a la resolución de eventos
contextualizados, con la cual se fomenta el desarrollo de las habilidades para la
transferencia del conocimiento, éste incluye tres etapas (Camarena, 2005a).
1. Presentar la estrategia didáctica de la Matemática en Contexto en el
ambiente de aprendizaje.
2. Implantar cursos extracurriculares en donde se lleven a cabo actividades
para el desarrollo de habilidades del pensamiento, habilidades metacognitivas y
habilidades para aplicar heurísticas al resolver problemas, así como actividades
para bloquear creencias negativas.
3. Instrumentar un taller integral e interdisciplinario en los últimos semestres de
los estudios del alumno, en donde se resuelvan eventos reales de la industria.
-
31
Fase cognitiva
El sustento fuerte de esta fase está en la teoría de aprendizajes significativos
de Ausubel (1990). Respecto a la fase cognitiva se ha determinado que el
estudiante debe transitar entre los registros aritmético, algebraico, analítico,
visual y contextual para construir y asirse del conocimiento (Camarena, 2002c).
3.3 La Teoría de las Situaciones Didácticas
Brousseau (2000). En la concepción más general de la
enseñanza, el saber es una asociación entre las buenas preguntas y las
buenas respuestas. El enseñante plantea un problema que debe saber
resolver el alumno: si el alumno responde, muestra con ello que sabe, si
no, se manifiesta una necesidad de saber que requiere una información,
una enseñanza. A priori, todo método que permite memorizar las
asociaciones favorables es aceptable.
La mayéutica socrática7 limita esas asociaciones a las que el alumno
puede efectuar por sí mismo. Esta restricción tiene como objetivo
garantizar la comprensión del saber por el alumno, ya que él lo produce.
Pero se es entonces llevado a suponer que el alumno ya posee ese
saber, sea que lo posea desde siempre (reminiscencia), sea que lo
construya por su actividad propia y aislada. Todos los procedimientos en
los que el maestro no da la respuesta, son aceptables para explicar al
alumno ese saber.
El esquema socrático puede perfeccionarse si se supone que el alumno
es capaz de obtener su conocimiento de sus propias experiencias, de
sus propias interacciones con su medio, aun si ese medio no está
organizado para fines de aprendizaje: el alumno aprende observando al
mundo (hipótesis empírico-sensualista) o formulando hipótesis entre las
que su experiencia le permite elegir (hipótesis a-prioristas) o también en
7 La Mayéutica socrática consiste en saber interrogar y a cada respuesta contraponerle una nueva pregunta, intentar con preguntas e interponer otras a las respuestas dadas hasta encontrar una respuesta verdadera que haya superado e integrado la verdad parcial de todas las anteriores.
-
32
una interacción más compleja hecha de asimilaciones y acomodaciones
como las describe Piaget.
El alumno aprende adaptándose a un medio que es productor de contradicción,
de dificultades, de desequilibrios, un poco como lo hace la sociedad humana.
Ese saber, fruto de la adaptación del alumno, se manifiesta por respuestas
nuevas que son la prueba del aprendizaje.
Ese proceso psico-genético de Piaget es lo opuesto del dogmatismo
escolástico. Uno parece no deber nada a la intención didáctica, mientras que el
otro le debe todo. Atribuyendo al aprendizaje natural lo que reposa en el arte
de enseñar según el dogmatismo, la teoría de Piaget peligra en descargar al
maestro de toda responsabilidad didáctica: esto constituye un paradójico
retorno a una especie de empirismo. Pero un medio sin intenciones didácticas
es manifiestamente insuficiente para inducir en el alumno todos los
conocimientos culturales que se desea que adquiera.
El concepto moderno de la enseñanza va pues a pedir al maestro provocar en
el alumno las adaptaciones deseadas, por una elección prudente, de los
problemas que él le propone. Esos problemas, elegidos de manera que el
alumno pueda aceptarlos, deben hacerlo obrar, hablar, reflexionar, evolucionar
con su propio movimiento. Entre el momento en que el alumno acepta el
problema como suyo y aquel en que produce su respuesta, el maestro se
rehúsa a intervenir como el que propone los conocimientos que quiere ver
aparecer. El alumno sabe bien que el problema ha sido escogido para hacerle
adquirir un nuevo conocimiento, pero debe también saber que este
conocimiento está enteramente justificado por la lógica interna de la situación y
que puede construirlo sin invocar razones didácticas. No solamente puede
hacerlo, sino que debe, pues no habrá adquirido verdaderamente ese
conocimiento hasta que sea capaz de ponerlo en práctica él mismo en
situaciones que encontrará fuera de todo contexto de enseñanza y en la
ausencia de toda indicación intencional. Tal situación es llamada situación a-
didáctica. Cada conocimiento puede caracterizarse por una (o varias)
situación(es) a-didáctica(s) que conserva el sentido y que llamaremos situación
fundamental. Pero el alumno no puede resolver de golpe no importa qué
situación a-didáctica, el maestro le prepara aquellas que están a su alcance.
Esas situaciones a-didácticas, arregladas a los fines didácticos, determinan el
-
33
conocimiento enseñado en un momento dado y el sentido particular que este
conocimiento va a tomar por el hecho de las restricciones y las deformaciones
así aportadas a la situación fundamental.
Esta situación o el problema elegido por el docente es una parte esencial de la
siguiente situación más vasta: el maestro busca devolver al alumno una
situación a-didáctica que provoca en él la interacción más independiente y más
fecunda posible. Para ello, comunica o se abstiene de comunicar, según el
caso, informaciones, preguntas, métodos de aprendizaje, heurísticas, etc. El
enseñante está pues implicado en un juego con el sistema de las interacciones
del alumno con los problemas que le plantea. Ese juego o esa situación más
vasta es la situación didáctica.
En este párrafo Brousseau (2000) nos explica los aspectos básicos de una
situación, en esta teoría se define una situación didáctica como un conjunto de
relaciones explícita y/o implícitamente establecidas entre un alumno o un grupo
de alumnos, algún entorno (que puede incluir instrumentos o materiales) y el
profesor, con un fin de permitir a los alumnos aprender, esto es, reconstruir-
algún conocimiento. Como lo menciona Panizza (2003). “Se trata de una teoría
de la enseñanza, que busca las condiciones para una génesis artificial de los
conocimientos matemáticos, bajo la hipótesis de que los mismos no se
construyen de manera espontánea”.
La construcción del conocimiento a través de situaciones didácticas de un
saber matemático, se realiza a partir de que el alumno posee ciertas
estructuras cognitivas. Estructuras que le permiten, al estar expuesto a dichas
situaciones modificarlas para construir nuevos conceptos matemáticos.
Estas estructuras previas que se acercan al concepto, pero no lo son, aquí se
conocerán como nociones.
En el proceso de abstracción a través del cual se forman los conceptos, se
considera indispensable que para llegar a ellos, se tiene que pasar necesariamente
por las nociones.
La noción –al igual que el concepto- es una representación mental, “la noción
constituye, no la representación plena de las imágenes, sino una representación
abstracta, (por que se han seleccionado los elementos comunes) de todas las
imágenes pertenecientes a una clase.”
-
34
A pesar de que tanto la noción como el concepto son representaciones mentales,
existe entre ambos diferencia notables:
-Mientras que la noción posee todavía información vaga y heterogénea, el
concepto la posee más delimitada y homogénea.
-En la noción, la información se evoca en imágenes, en el concepto se
evoca en términos, símbolos, criterios o definiciones.
-La noción posee una gran carga de subjetividad, lo que la hace difícil de
expresar, mientras que el concepto al ser más objetivo puede ser expresable y
compartido intersubjetivamente.
La noción a pesar de sus limitaciones, permite al individuo identificar situaciones,
acontecimientos y objetos e inclusive designarlos con un término, por lo que pone al
individuo en capacidad de interactuar con sus semejantes.
3.4 La Teoría de Transposición Didáctica
Chevallard (1991). El concepto de transposición didáctica, en
tanto remite al paso del saber sabio al saber enseñado, y por lo tanto
a la distancia eventual, obligatoria que los separa, da testimonio
de ese cuestionamiento necesario, al tiempo que se convierte en
su primera herramienta. Para el didacta, es una herramienta que
permite recapacitar, tomar distancia, interrogar las evidencias, poner en
cuestión las ideas simples, desprenderse de la familiaridad engañosa de
su objeto de estudio. En una palabra, lo que le permite ejercer su
vigilancia epistemológica. Es uno de los instrumentos de la ruptura que
la didáctica debe ejercer para constituirse en su propio dominio; es aquel
por el cual la entrada del saber en la problemática de la didáctica pasa
de la potencia al acto: en la medida en que el “saber” deviene para ella
problemático puede figurar, en adelante, como un término en el
enunciado de problemas (nuevos o simplemente reformulados) y en su
solución.
Las obras matemáticas tienen su génesis, en la problemática social de su
tiempo. Nuevas preguntas se plantean alrededor de dicho conocimiento
matemático, que motivan su reformulación o reconstitución, así se forma un
nuevo conocimiento más complejo, mas elaborado y profundo sobre un saber
matemático, que se denomina; saber experto, erudito o sabio.
-
35
Este saber no fue creado para ser enseñado, por lo que para cumplir dicho
propósito necesita ser modificado pasando por una serie de transformaciones
que le permitirá convertirse en un saber enseñable.
Chevallard (1991). En sentido restringido, la transposición didáctica
designa pues el paso del saber sabio al saber enseñado. Pero la
especificidad del tratamiento didáctico del saber puede comprenderse
mejor a través de la confrontación de los dos términos, de la distancia
que los separa, más allá de lo que los acerca e impone confrontarlos…El
distanciamiento ostentoso del saber sabio, suprimiendo uno de los
términos del problema planteado, borra el problema y prepara el retorno
subrepticio y obcecado de la ficción unitaria que el concepto de
transposición didáctica denuncia a través de la separación que señala
tercamente en el interior régimen del “saber”.
Ese distanciamiento, es de importancia pues si la distancia es grande el saber
enseñado se abre a la sociedad y se aleja de saber erudito, se convierte en
una ilusión, en una ficción, es decir como lo explica Chevallard (1991). El
concepto de transposición didáctica, en tanto remite al paso del saber sabio al
saber enseñado, y por lo tanto a la distancia eventual, obligatoria que los
separa, da testimonio de ese cuestionamiento necesario, al tiempo que se
convierte en su primera herramienta. Para el didacta, es una herramienta que
permite recapacitar, tomar distancia, interrogar las evidencias, poner en
cuestión las ideas simples, desprenderse de la familiaridad engañosa de su
objeto de estudio. En una palabra, lo que le permite ejercer su vigilancia
epistemológica.
Según Chevallard (1991), el sistema didáctico es un sistema abierto. Su
supervivencia supone su compatibilización con su medio. Esta le impone
responder a las exigencias que acompañan y justifican el proyecto social a
cuya actualización debe responder. Hay allí, empero, una especie de paradoja:
su respuesta consiste precisamente en no prestar atención a la cuestión. La
ficción de conformidad se instala y perdura debido a que el saber a enseñar (y
el saber sabio de donde éste deriva por designación) se encuentra rápidamente
olvidado en el curso del proceso de transposición, en tanto que punto de
partida, objeto de referencia, fuente de normatividad y fundamento de
legitimidad.
-
36
Asi el saber enseñado tiene que ser compatible con el proyecto social, por lo
que diversos intereses actúan sobre este saber.
Es preciso dar su lugar a una instancia esencial para el funcionamiento
didáctico, suerte de bastidor del sistema de enseñanza y verdadero
tamiz por donde se opera la interacción entre ese sistema y el entorno
societal. Allí se encuentran todos aquellos que, en tanto ocupan los
puestos principales del funcionamiento didáctico, se enfrentan con los
problemas que surgen del encuentro con la sociedad y, sus exigencias;
allí se desarrollan los conflictos, allí se llevan a cabo las negociaciones;
allí maduran las soluciones. Chevallard (1991).
Se está hablando de la noosfera, que afecta la periferia del sistema didáctico.
En la noosfera, pues, los representantes del sistema de enseñanza, se
encuentran, directa o indirectamente, con los representantes de la sociedad.
Por último cabria preguntarse ¿cuáles son los objetos de enseñanza?
Chevallard (1991). “Solamente esos objetos de saber, nociones matemáticas,
son en sentido estricto (candidatos para ser) objetos de enseñanza. Las
nociones paramatemáticas, por ejemplo, no constituyen el objeto de una
enseñanza: son objetos del saber, auxiliares, necesarios para la enseñanza (y
el aprendizaje) de los objetos matemáticos propiamente dichos. Deben ser
aprendidos (o mejor conocidos), pero no son enseñados (según el plan de
enseñanza de las nociones matemáticas)”.
La Estática es un saber producto de filiaciones y rupturas a través de su
historia, resultado de afrontar necesidades sociales, en ese sentido es un
conocimiento que se ha especializado, que lo han convertido en un saber
erudito. Como tal no es posible enseñarlo sin modificarlo y sin adaptarlo.
-
37
3.5 Los Obstáculos Epistemológicos
En Bachelard (1948) establece la idea de obstáculo epistemológico, el cual
debe comprenderse como el efecto limitativo de un sistema de conceptos
sobre el desarrollo del pensamiento, y da un listado extenso de los mismos,
que impiden que un modo de pensamiento pre-científico conciba asimismo el
enfoque científico.
Para Bachelard (1948) el conocimiento es concebido como un producto de la
actividad del sujeto y no en una simple reproducción del mundo de las cosas.
Brousseau se basa en esta idea al analizar el aprendizaje. Si el aprendizaje lo
entendemos como adaptación al medio, esto implica necesariamente rupturas
cognitivas, acomodaciones, cambio de modelos implícitos (concepciones), de
lenguajes, de sistemas cognitivos. Si se obliga a un alumno o a un grupo a una
progresión paso a paso, el mismo principio de adaptación puede contrariar el
rechazo, necesario, de un conocimiento inadecuado.
“Un obstáculo es una concepción que ha sido en principio eficiente para
resolver algún tipo de problemas pero que falla cuando se aplica a otro. Debido
a su éxito previo se resiste a ser modificado o a ser rechazado: viene a ser una
barrera para un aprendizaje posterior. Se revela por medio de los errores
específicos que son constantes y resistentes. Para superar tales obstáculos se
precisan situaciones didácticas diseñadas para hacer a los alumnos
conscientes de la necesidad de cambiar sus concepciones y para ayudarlos a
conseguirlo”. (Brousseau, 1986)
Brousseau (1986) da las siguientes características de los obstáculos:
- Un obstáculo es un conocimiento, no una falta de conocimiento.
- El estudiante utiliza este conocimiento para producir respuestas
adaptadas en un cierto contexto que se encuentra con frecuencia.
- Cuando se usa este conocimiento fuera de este contexto genera
respuestas incorrectas.
- Una respuesta universal exigirá un punto de vista diferente.
- El estudiante resiste a las contradicciones que el obstáculo le produce y
al establecimiento de un conocimiento mejor. Es indispensable
identificarlo e incorporar su rechazo en el nuevo saber.
-
38
- Después de haber notado su inexactitud, continúa manifestándolo, de
forma esporádica.
En el surgimiento de los obstáculos epistemológicos se pueden distinguir tres
niveles, Ferrari (2001):
El primero inherente a las actitudes, creencias, convicciones, todas ellas
debidas a una visión particular del mundo, el segundo debido a los
esquemas de pensamiento, de abordar problemas, de interpretar
situaciones, siendo aprendidos por imitación y práctica en el proceso de
socialización y educación; y por último debido al conocimiento técnico,
cuyo valor o validez se asienta en criterios más racionales de
consistencia, aplicabilidad y tipo de relaciones con sistemas de
conocimiento socialmente calificados como científicos.
A su vez los obstáculos epistemológicos podrían clasificarse en (Ceraolo,
2009):
Obstáculos fundamentales y especiales. Los primeros son la experiencia
básica (aferrarse a lo llamativo y anecdótico) y el conocimiento general
(demasiadas generalizaciones). En los obstáculos especiales encontramos a:
el obstáculo verbal, el conocimiento unitario y pragmático, el sustancialismo, el
realismo, el animismo, el conocimiento cualitativo y cuantitativo.
Obstáculo verbal: sobre valorización de las metáforas empleadas para explicar
los hechos, en donde estos quedan explicados por metáforas y no por leyes,
por recursos verbales y no por recursos matemáticos.
Conocimiento unitario: tendencias del conocimiento pre-científico a considerar
que todo está regido por un único principio general de la naturaleza, o bien que
todas las cuestiones deben encuadrarse desde una única cosmovisión.
Conocimiento pragmático: obstáculo que hace desarrollar en forma indebida
una hipótesis de tal forma que pueda ser simplemente útil (inducción utilitaria)
Entonces todo lo que no es útil es irracional y anticientífico.
Sustancialismo: creencia según la cual la noción de sustancia es suficiente
para explicar los fenómenos observados, noción a la que se apela por su
familiaridad, sencillez y contundencia.
-
39
Realismo: la realidad es tal cual como se nos presenta ante los sentidos, y eso
nos engaña. Es decir que la apariencia y la esencia es lo mismo.
Animismo: tendencia del espíritu pre-científico para explicar los fenómenos a
partir de la existencia de un impulso o fluido vital.
Conocimiento cualitativo: obstáculo por el cual solamente consideramos los
aspectos cualitativos de los fenómenos, son indagar en las relaciones
cuantitativas entre las variables.
Conocimiento cuantitativo: en el otro extremo, obstáculo que implica cuantificar
todo en una forma obsesiva, o cuantificarla mal.
El mismo profesor puede ser fuente de obstáculos, como lo menciona, Zunini
(2007). El estudiante llega a clase con un bagaje de saberes,
conocimientos, supuestos, prejuicios que –sean correctos o no– fue
adquiriendo a lo largo de su vida y estos no son revisados por el
docente. Aún cuando responda como se espera en las tareas cotidianas y en
los exámenes, la memorización no provoca un cambio en aquellas
concepciones previas. El conocimiento ingenuo original –cargado de teorías
ingenuas y estereotipos– se mantiene, pero se lo oculta instrumentalmente
bajo un conocimiento ritual –aquel que sólo sirve para cumplir con tareas
escolares–. Con estas condiciones se favorece la aparición y el
mantenimiento de obstáculos tales como el sustancialista, el realista, el
animista, el conocimiento pragmático.
Uno de los aspectos que se señalan en ésta investigación es el uso
indiscriminado de expresiones a manera de fórmula, el cual como lo
mencionado en el párrafo anterior favorece la aparición de obstáculos
epistemológicos, pues se llega a un conocimiento pragmático.
El estudiante llega a estudiar a la estática con ideas preconcebidas, muchas de
las cuales restan importancia al aspecto histórico, al matemático, porque la
experiencia con otros cursos reforzado, el obstáculo con la idea de que
profundizar en el cálculo, no es útil.
Se hace necesario romper con ese obstáculo, que se ha llamado fórmula a
través de la articulación de saberes y del rescate epistemológico.
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3.6 Representaciones semióticas
Duval (1999), nos dice; la diversificación de los registros de
representación semiótica es la constante de desarrollo de los
conocimientos, tanto desde el punto de vista individual como científico o
cultural. Su importancia para el funcionamiento del pensamiento por lo
general se explicita con base en las diferencias de costo o de limitación
para la función de tratamiento y en las diferencias en las posibilidades de
presentación para la función de comunicación que existen entre los
registros.
La invención de símbolos y signos, han propiciado la comunicación oral y
escrita, con ello el desarrollo de la civilización. En matemáticas los símbolos y
signos son cruciales pues el objeto de estudio de éstas no está presente
físicamente y sólo puede ser observado a través de sus representaciones.
Pero Duval va más allá de las simples representaciones, plantea su tesis de
que sin Semiosis no hay noesis, esto quiere decir sin producción de
representaciones semióticas y sus tratamientos no hay adquisición de
conceptos.
Ferrari (2001). Para encarar este hecho Duval (1999) desarrolla los conceptos
de representación semiótica y de articulación de registros. Delimita entonces
que las representaciones semióticas, como producciones constituidas por el
empleo de símbolos, son relativas a un sistema particular de signos (lenguaje,
escritura algebraica, gráficos cartesianos, etc.) las cuales pueden ser
convertidas en representaciones “equivalentes” en otros sistemas semióticos.
Tales sistemas deben permitir el cumplimiento de las tres actividades
cognitivas inherentes a toda representación, es decir, la formación de
representaciones en un registro semiótico particular, así como las dos
actividades ligadas a la propiedad fundamental de toda representación
semiótica, su transformabilidad en otras representaciones que conserven todo
el contenido de la representación inicial o una parte del mismo. Esta última
abarca tanto la transformación de las representaciones de un objeto en un
mismo registro, denominado tratamiento, como de un registro a otro, la
conversión.
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Figura 15. Actividad cognitiva de conversión de las representaciones
semióticas entre dos registros de representación
Este modelo (figura 15)
representaciones semióticas entre dos registros de representación.
� Las flechas 1 y 2 corresponden a transformaciones internas
registro, esto es un tratamiento al
sido formulada
� Las flechas 3 y 4 corresponden a transformaciones externas, cambio de
registro
� La flecha C, corresponde a lo que llamaremos
supone una coordinación entre dos registros
El esquema pone en evidencia dos planos
conocimiento: El de los conocimientos construidos a través de la formación y
tratamiento de las representaciones semióticas
que permite esta construcción
Sin embargo, la percepción o la reprodno significa que ipso facto
representado. Es más aun cuando se enseñen otras formas de representación
no ocurre la compresión integrativa inmediatamente, esto requiere la
coordinación de varios registros, es decir; p
representación, cuando la intuición directa del objeto mismo no es posible, es
necesario disponer de varias representaciones semióticamente heterogéneas
de ese objeto y coordinarlas.
Duval (1999), dice: “Un sujeto que ha desarrollado suficientemente la coordinación de los registros, puede atenerse a las representaciones de un
solo registro. Él dispone potencialmente de representaciones que provienen de
otros registros y que de manera latente permanecen as
Actividad cognitiva de conversión de las representaciones
semióticas entre dos registros de representación
representa la actividad cognitiva de conversión de las
representaciones semióticas entre dos registros de representación.
Las flechas 1 y 2 corresponden a transformaciones internas
registro, esto es un tratamiento al interior del mismo registro dond
Las flechas 3 y 4 corresponden a transformaciones externas, cambio de
La flecha C, corresponde a lo que llamaremos comprensión integrativa
supone una coordinación entre dos registros.
El esquema pone en evidencia dos planos en el análisis de producción del
El de los conocimientos construidos a través de la formación y
tratamiento de las representaciones semióticas y el funcionamiento cognitivo
que permite esta construcción.
a percepción o la reproducción de una representación semiótica
ipso facto haya diferenciación entre representante y
Es más aun cuando se enseñen otras formas de representación
no ocurre la compresión integrativa inmediatamente, esto requiere la
rdinación de varios registros, es decir; para no confundir un objeto y su
representación, cuando la intuición directa del objeto mismo no es posible, es
necesario disponer de varias representaciones semióticamente heterogéneas
de ese objeto y coordinarlas.
Un sujeto que ha desarrollado suficientemente la
coordinación de los registros, puede atenerse a las representaciones de un
solo registro. Él dispone potencialmente de representaciones que provienen de
otros registros y que de manera latente permanecen asociadas a las que el
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Actividad cognitiva de conversión de las representaciones
representa la actividad cognitiva de conversión de las
representaciones semióticas entre dos registros de representación.
Las flechas 1 y 2 corresponden a transformaciones internas de un
interior del mismo registro donde ha
Las flechas 3 y 4 corresponden a transformaciones externas, cambio de
comprensión integrativa:
en el análisis de producción del
El de los conocimientos construidos a través de la formación y
uncionamiento cognitivo
ucción de una representación semiótica
haya diferenciación entre representante y
Es más aun cuando se enseñen otras formas de representación
no ocurre la compresión integrativa inmediatamente, esto requiere la
ara no confundir un objeto y su
representación, cuando la intuición directa del objeto mismo no es posible, es
necesario disponer de varias representaciones semióticamente heterogéneas
Un sujeto que ha desarrollado suficientemente la
coordinación de los registros, puede atenerse a las representaciones de un
solo registro. Él dispone potencialmente de representaciones que provienen de
ociadas a las que el
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utiliza. Esta coordinación provee, frente a las representaciones semióticas que
utiliza, ese grado de libertad que a buen fin tratamientos de hechos y controlar
la pertinencia”.
Un punto fundamental de la tesis de Duval es el siguiente: La compresión
conceptual aparece ligada al descubrimiento de una invariancia entre
representaciones semióticas heterogéneas.
Una primera aproximación al equilibrio y promedio, puede parecer engañosa en
el sentido de que dichos conceptos son físicamente palpables, y de hecho en
cierto sentido lo son. Esta es su enorme ventaja pero al mismo tiempo su gran
inconveniente, porque esta imagen se queda incrustada y no permite su
coordinación, con otras formas de representación. Aún así y como lo
demuestra Rondero (2001), el promedio y el equilibrio están inmersos en la
construcción de diversos saberes físicos y matemáticos, su presencia no
resulta evidente, a primera vista por el estudiante.
Pero el hecho de que se encuentren en tan diversos conceptos, dichas
nociones, resultan ser invariantes respecto de las transformaciones y de ahí su
importancia como constructores de conceptos.
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Capítulo IV
Metodología La metodología de esta investigación, acorde al marco teórico en el que se
sustenta, es la ingeniería didáctica ya que ésta puede usarse como
metodología de investigación para profundizar sobre las nociones
paramatemáticas.
Una noción paramatemática son nociones-herramienta de la actividad
matemática y normalmente no son objetos de estudio para el matemático.
Nos dice Chevallard (1991), una noción paramatemática no constituye un
objeto de enseñanza; son objetos de saber auxiliares necesarios para la
enseñanza y el aprendizaje de objetos matemáticos. En la percepción didáctica
el docente debe tomar conciencia de las nociones paramatemáticas y nociones
matemáticas.
Es en esta vertiente que se utilizará la ingeniería didáctica para dar evidencia y
ahondar en la noción de promediación como objeto paramatemático en la
enseñanza de la Estática y su relación con el equilibrio y el Cálculo. Como lo
menciona Artigue (1995):
La ingeniería didáctica, un instrumento privilegiado para tener en cuenta
la complejidad de la clase, distingue por ejemplo las investigaciones que
abordan el estudio de los procesos de aprendizaje de un concepto
determinado y en particular la elaboración de génesis artificiales para un
concepto determinado, de aquellas que no se ciñen a los contenidos, así
su sustento sea la enseñanza de un dominio preciso…. Sin embargo, se
podría mencionar otros como los trabajos que apuntan al dominio
paramatemático (Chevallard, 1985) es decir, aquel de las nociones que,
como aquellas de parámetro, ecuación, demostración, guardan un
estatus de herramienta en la enseñanza, al menos en un nivel
determinado…
Por lo antes expuesto, serán utilizados para tal fin, evidenciar a la promediación
como noción paramatemática, diversos elementos de la ingeniería didáctica.
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4.1 Ingeniería didáctica
La ingeniería didáctica surgió en la didáctica de las matemáticas francesa, a
principios de los años ochenta, como una metodología para las realizaciones
tecnológicas de los hallazgos de la teoría de Situaciones Didácticas y de la
Transposición Didáctica. El nombre surgió de la analogía con la actividad de un
ingeniero quien, según Artigue (1995):
Para realizar un proyecto determinado, se basa en los conocimientos
científicos de su dominio y acepta someterse a un control de tipo
científico. Sin embargo, al mismo tiempo, se encuentra obligado a
trabajar con objetos mucho más complejos que los depurados por la
ciencia y, por lo tanto, tiene que abordar prácticamente, con todos los
medios disponibles, problemas de los que la ciencia no quiere o no
puede hacerse cargo.
Artigue (1995) distingue varias dimensiones ligadas a los procesos de
construcción de ingenierías didácticas:
• Dimensión epistemológica: asociada a las características del saber puesto en
funcionamiento.
• Dimensión cognitiva: asociada a las características cognitivas de los alumnos
a los que se dirige la enseñanza.
• Dimensión didáctica: asociada a las características del funcionamiento del
sistema reenseñanza.
La ingeniería didáctica, según describe Artigue (1995a), se aplica en situación
escolar, su análisis es cualitativo y recurre a lo que llama validación interna.
Sus formas de validación son básicamente cualitativas y están asociadas, se
basan en el registro de los estudios de caso y es, en esencia, interna, basada
en la confrontación entre el análisis a priori y a posteriori. La ingeniería
didáctica, con respecto a su metodología experimental, está integrada por tres
fases:
Análisis preliminar. Es una investigación previa al planteamiento de una
secuencia didáctica alrededor de un concepto matemático. Su objetivo es
conocer más de cerca la naturaleza de este concepto desde la perspectiva
didáctica, epistemológica y cognitiva con el propósito de identificar hipótesis
sobre el proceso de construcción del concepto matemático por parte de los
estudiantes en situación escolar, así como aportar elementos para el diseño de
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la secuencia didáctica. Proporciona información relevante para el diseño de la
secuencia didáctica y el análisis a priori.
Diseño de la secuencia y análisis a priori. El diseño de