unidad5 expresiones algebraicas
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Los polinomios son una parte importante del
Álgebra. Están presentes en todos los
contextos científicos y tecnológicos: desde los
ordenadores y la informática hasta la carrera
espacial.
La fórmula que
expresa el
movimiento de un
cuerpo en caída
libre viene dada
por el siguiente
polinomio:
2
2
1)( gttP
t: tiempo
g: gravedad
La fórmula para calcular
el volumen de un cubo
en función de la longitud
(l) de su lado viene dada
por:3)( llV
Monomios
Un monomio es una expresión algebraica en la
que la únicas operaciones que afectan a las letras
son la multiplicación y la potencia de exponente
natural.
Son monomios: NO son monomios:
22x2312 yzx
154abc
22 x
3
2
27 xyz
Partes de un monomio
Los coeficientes son los números que aparecen multiplicando.
La parte literal la forman las letras y sus exponentes.
El grado del monomio es la suma de los exponentes de las letras.
2. Gr 6213. Gr 171511. Gr
1 1 1
Tipos de monomios
Monomios semejantes: tienen la misma parte literal.
Monomios opuestos:
son semejantes y sus coeficientes
son números opuestos.
NO semejantes NO opuestos
2325 ba 3225 bacba 323 32ba
3225 ba 32ba
xy5 xy7
1
3225 ba 3225 ba
23
7
1yx23
7
1yx
32ba 32ba
xy xy
Operaciones con monomios
La suma (o resta) de monomios semejantes se realiza
sumando (o restando) los coeficientes y dejando la misma parte
literal.
2xy
222 35 yxxy No son semejantes,
luego no se pueden
sumar.
Ejemplo 1:
Ejemplo 2:
2xy 2xy2xy
2xy 2xy
5 3 5 7
10( )
5 3 5 7
Operaciones con monomios
Para multiplicar por un lado, multiplicamos sus
coeficientes y, por otro, sus partes literales.
2415 yx
Ejemplo 3: yy 73 2
Ejemplo 4:
3 72y y 321y( )
32 35 xxy ( )5 32xy 3x
Operaciones con monomios
Para dividir por un lado, dividimos sus
coeficientes y, por otro, sus partes literales
(si se puede).
Ejemplo 5:
Ejemplo 6:
27 7:21 yy
bba 4:25 23
21 7: ( ) ( )7y 2y :53y
25 4ba3 b3
4
25a
Polinomios
Un polinomio es una expresión algebraica formada por
la suma o resta de dos o más monomios no semejantes.
Cada uno de los monomios se llama término, y
si no tiene parte literal se llama término
independiente.
El mayor de los grados de todos sus términos se
denomina grado del polinomio.
21373 523 xyzyxxy
Términos
Término
independiente
Grado: 2 + 5 = 7
Se llama coeficiente principal al coeficiente del
monomio de mayor grado.
Coeficiente
principal
Polinomios
El valor numérico de un polinomio P(x), para un
valor x=a, lo expresamos como P(a) y se obtiene
sustituyendo la variable x por el valor a en el
polinomio y operando.
10437)( 34 xxxxP
10242327)2( 34P
10141317)1(34
P
Ejemplo:
861082411210883167
4104371041317
Polinomios
El polinomio opuesto de un polinomio P(x), que
designamos como -P(x), se obtiene cambiando el
signo de todos los términos de P(x).
10437)( 34 xxxxP
10437)( 34 xxxxP
Ejemplo:
Polinomio opuesto:
Operaciones con polinomios
Para sumar polinomios sumamos sus monomios
semejantes, dejando indicada la suma de los
monomios no semejantes.
Ejemplo: 172)( 245 xxxxP
87223)( 234 xxxxxQ
)()( xQxP
52x 4x 27x 143x 32x 22x x7 8
775222 2345 xxxxx
Operaciones con polinomios
Para restar polinomios sumamos al primero el
opuesto del segundo.
Ejemplo: 172)( 245 xxxxP87223)( 234 xxxxxQ
)()( xQxP
52x 4x 27x 143x 32x 22x x7 8
979242 2345 xxxxx
Operaciones con polinomios
Para multiplicar un monomio por un polinomio
multiplicamos el monomio por cada uno de los
términos del polinomio.
Ejemplo:3245 2por 172)( xxxxxP
)(2 3 xPx
32x
3578 21424 xxxx
172 245 xxx
Operaciones con polinomios
El producto de dos polinomio se halla multiplicando
cada uno de los términos de uno de los polinomios
por el otro, y sumando después los polinomios
semejantes.Ejemplo: 43)( 152)( 23 xxQxxxP
)()( xQxP
43 2 x
4203236 235 xxxx
152 3 xx
4208 3 xx235 3156 xxx
Operaciones con polinomiosPara dividir un polinomio entre un monomio,
dividimos cada término del polinomio entre el
monomio. Ejemplos:245 2796)( xxxxP
932
3 :273:93:63:)(
23
2224252
xx
xxxxxxxxP
xyyxxQ 57)( 3
yxx
xy
x
yxxxQ
2
5
2
7
2
5
2
72:)( 2
3
Operaciones con polinomios
Para dividir un polinomio entre un polinomio,
seguiremos los siguientes pasos:
1º) Ordenamos los términos del dividendo y del divisor y los dispondremos como una división normal.
xxxxxP 3011202)( 243
23)( 2 xxxQ
32x4x 211x x30 20 2x x3 2
Operaciones con polinomios
2º) Se divide el primer término del dividendo con el primer término del divisor, así se obtiene el primer término del cociente.
32x4x 211x x30 202x x3 22x
3º) Se multiplica el primer término del cociente por cada término del divisor y el producto pasa restando al dividendo.
2x4x
234
2
2
23
23
xxx
x
xx
234 23 xxx
Operaciones con polinomios
32x4x 211x x30 20 2x x3 2
4º) Se suman algebraicamente.
5º) Se divide el primer término del nuevo residuo, entre el primer término del divisor, así obtenemos el segundo término del divisor. Este segundo término se multiplica por el divisor y se pasa restando al dividendo.
2x234 23 xxx
203095 23 xxx
x5
xxx
x
xx
10155
5
23
23
2
xxx 10155 23
Operaciones con polinomios
6º) Se repite el procedimiento hasta que el grado del polinomio resto sea menor que el grado del polinomio divisor.
32x4x 211x x30 20 2x x3 22x
234 23 xxx
203095 23 xxxx5
xxx 10155 23
20206 2 xx
6
12186 2 xx
82 x
Operaciones con polinomios
32x4x 211x x30 20 2x x3 22x x5 6
82 x
Polinomio dividendo
)(xD
32x4x 211x x30 202x x3 2
Polinomio divisor
Polinomio cociente
Polinomio resto
)(xd
)(xc
)(xr
2x x5 6
82 x
Identidades notables
Las siguientes operaciones con binomios son
simples multiplicaciones.
Es recomendable aprenderlas de memoria por su
constante utilidad.
Uno de los errores mas frecuentes es considerar
que la expresión (a+b)2 es igual a a2+b2. Pero es FALSO.
(a+b)2
Identidades notables
Cuadrado de una suma: el cuadrado de una suma
es igual a:
• el cuadrado del primero,
• más el doble del primero por el segundo,
• más el cuadrado del segundo.
a + b
a + b
ab + b2
a2 + ab
a2 + 2ab + b2
a2
ab
ab
b2
a
b
a b
a + b
a +
b
a2(a-b)2
Identidades notables
Cuadrado de una diferencia: el cuadrado de una
diferencia es igual a:
• el cuadrado del primero,
• menos el doble del primero por el segundo,
• más el cuadrado del segundo.
a - b
a - b
- ab + b2
a2 - ab
a2 - 2ab + b2ab
ab
b2
Identidades notables
Suma por diferencia: una suma por una diferencia
es igual a:
• el cuadrado del primero,
• menos el cuadrado del segundo.
a + b
a - b
- ab - b2
a2 + ab
a2 - b2
Identidades notables