Unidad temática 3: Límites y Continuidad

Límites

Consideremos la función f, definida por f(x) = 2x + 1 y analicemos lo que pasa en la siguiente tabla:

x 2 − x > 0 f(x) |f(x) − 5|

f(x) x − 2 > 0 x

1.5 0.5 4 1 6 0.5 2.5

1.9 0.1 4.8 0.2 5.2 0.1 2.1

1.99 0.01 4.98 0.02 5.02 0.01 2.01

1.999 0.001 4.998 0.002 5.002 0.001 2.001

1.9999 0.0001 4.9998 0.0002 5.0002 0.0001 2.0001

En la primera columna podemos notar que los valores de x están cada vez más cerca de 2, con x < 2, diremos que x tiende a 2 por la izquierda y anotaremos x 2 −.

En la segunda columna, observamos que el que los valores de x estén cada vez más cerca de 2 por la izquierda (x tiende a 2 −), es equivalente a que la diferencia 2 − x > 0 se hace cada vez más pequeña (2 − x tiende a 0) y anotamos 0 < 2 − x < δ.

Pero cuando esto ocurre, ¿qué pasa con los valores de f(x)?

En la tercera columna vemos que los valore de f(x) están cada vez más cerca de 5, y en la cuarta columna notamos que esto es equivalente a que la diferencia en valor absoluto entre f(x) y 5 se acerca cada vez más a cero y anotamos |f(x) − 5| < ε.

Diremos que el límite de f(x) cuando x tiende a 2 por la izquierda es 5 y anotaremos

, lo que significa que:

ε > 0, δ > 0: 0 < 2 − x < δ |f(x) − 5| < ε.

para todo

existe, algún

entonces

En la séptima columna podemos notar que los valores de x están cada vez más cerca de 2, con 2 < x, diremos que x tiende a 2 por la derecha y anotaremos x 2 +.

En la sexta columna, observamos que tener que los valores de x están cada vez más cerca de 2 por la derecha (x tiende a 2 +), es equivalente a que la diferencia x − 2 > 0 se hace cada vez más pequeña (x − 2 tiende a 0) y anotamos 0 < x − 2 < δ.

Pero ¿qué pasa con los valores de f(x)?

En la quinta columna vemos que los valore de f(x) están cada vez más cerca de 5, y en la cuarta columna notamos que esto es equivalente a que la diferencia en valor absoluto entre f(x) y 5 se acerca cada vez más a cero y anotamos |f(x) − 5| < ε.

Diremos que el límite de f(x) cuando x tiende a 2 por la derecha es 5 y anotaremos

, lo que significa que:

ε > 0, δ > 0: 0 < x − 2 < δ |f(x) − 5| < ε.

Neuimann - López Límites y continuidad 54

Con f(x) = 2x +1, el valor del límite es el mismo, ya sea x tienda a 2 por la derecha ( 0 < 2 − x < δ) o por la izquierda (0 < x − 2 < δ), simplemente diremos que cuando x tiende a 2 (0 < |x − 2| < δ) el valor del límite es 5:

El límite de f(x) cuando x tiende a 2 es 5 y anotaremos

, es decir:

ε > 0, δ > 0: 0 < |x − 2| < δ |f(x) − 5| < ε.

Sea f una función, el límite de f(x) cuando x tiende a c por la izquierda es l, si y sólo si:

ε > 0, δ > 0: 0 < c − x < δ |f(x) − l| < ε.

Notación:

Sea f una función, el límite de f(x) cuando x tiende a c por la derecha es l, si y sólo si:

ε > 0, δ > 0: 0 < x − c < δ |f(x) − l| < ε.

Notación:

Sea f una función, el límite de f(x) cuando x tiende a c es l, si y sólo si:

ε > 0, δ > 0: 0 < |x − c| < δ |f(x) − l| < ε.

Notación:

Ejemplo

Demuestra que:

1.

Suponemos que 0 < |x − (−1)| = |x + 1| < δ

|(3x + 4) − 1| = |3x +3| = 3|x + 1| < 3δ = ε

Con se tiene: 0 < |x − (−1)| < δ |(3x + 4) − 1| < ε

2.

Suponemos que 0 < |x − 2| < δ

|(x2 − 2) − 2| = |x2 − 4| = |(x + 2)(x − 2)| = |x + 2||x − 2| < |x + 2|δ

Neuimann - López Límites y continuidad 55

Suponemos además que |x − 2| < 1 −1 < x − 2 < 1 −5 < 3 < x + 2 < 5 |x + 2| < 5

Luego: |(x2 − 2) − 2| < |x + 2|δ < 5δ

Con se tiene: 0 < |x − 2| < δ |(x2 − 2) − 2| < ε

3.

Suponemos que 0 < |x − 1| < δ

< δ

Suponemos además que |x − 1| < 1 −1 < x − 1 < 1

3 < x + 3 < 5 6 < 2(x + 3) < 10

Luego < δ < δ

Con se tiene: 0 < |x − 1| < δ < ε

4.

Suponemos que 0 < |x − 1| < δ

= |18x2 − 15x +10||x − 1|

< |18x2 − 15x +10| δ

Suponemos además que:

|x − 1| < 1 −1 < x − 1 < 1 −2 < 0 < x < 2 |x| < 2

|18x2 − 15x +10| 18|x|2 + 15|−x| + 10 < 184 + 152 + 10 = 112

Luego: < |18x2 − 15x +10| δ < 112δ

Con se tiene: 0 < |x − 1| < δ < ε

Teorema

1. si, y sólo si,

Es decir, el límite de una función existe si, y sólo si, los límites laterales (por la izquierda y la derecha) son iguales.

2. Si existe, éste es único.

Teorema

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Si y donde l, m IR, entonces:

1.

(El límite de una suma es igual a la suma de los límites)

2.

(El límite de una constante por una función es igual a la constante por el límite de la función)

3.

(El límite de un producto es igual al producto de los límites)

4. si m 0

(El límite de un cociente es igual al cociente de los límites, siempre que el denominador no tienda a cero)

5. Si y entonces

A partir de algunos límites básicos y con las propiedades de límite, podremos calcular una gran variedad de límites algebraicos.

El siguiente teorema nos da algunos límites básicos.

Teorema

1.

2.

3.

4. si n impar y c IR

si n par y c IR +

Ejemplo

1.

2.

3.

4.

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5.

6. = =

y entonces =

Ejemplo

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