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Programa Educación Adultos 2000

Coordinador pedagógico:Lic. Roberto Marengo

Equipo técnico-pedagógico:Lic. Valeria CohenLic. Daniel López

Lic. Norma MerinoLic. Noemí ScaletzkyLic. Alicia Zamudio

Matemática ACoordinador/a:Prof. Dora GuilProf. Ernesto Maqueda

Equipo docente:Prof. Matías BruzzoniProf. Claudia MazzeoProf. Susana MuñozProf. Gabriela Otero

Asesor de alumnos:María AlemFernando Piquero

Guía de estudios Matemática A

Coordinación de la producción y edición:Lic. Norma MerinoLic. Noemí Scaletzky

Especialistas en contenidos:Prof. Dora GuilProf. Ernesto Maqueda

Procesamiento didáctico:Lic. Betina AkselradLic. Alejandra Amantea

Supervisión legal:Dra. Fabiana Leonardo

Diseño gráfico y diagramación:Juan Carlos Badino


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Material de distribución gratuita

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MATEMATICA

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MATEMATICA

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En este anexo de la Guía de estudio de Matemática A le presentamos:

• los enunciados de los Ejercicios de integración correspondientes a cadaunidad del Programa.

• la Autoevaluación integradora de la materia.

En cada una de las unidades de la Guía de estudio le propusimos resolver unaserie de actividades. A través de ellas usted fue incorporando los conceptosmatemáticos correspondientes a cada unidad.

Al finalizar el trabajo de las actividades propuestas en cada unidad le indica-mos, para completar el estudio de los conceptos de la misma, que resuelva losejercicios de integración.

La resolución de estos ejercicios de integración le permitirá hacer una sín-tesis de los temas trabajados en la unidad; aplicar los conceptos y la simbo-logía estudiados a la resolución de nuevas situaciones; vincular entre sí losconceptos trabajados y profundizar el tratamiento de algunos contenidos.Además, en algunas unidades, trabajaremos aspectos de los contenidos de launidad que aún no fueron tratados en las actividades propuestas en la Guíade estudio.

La resolución de los ejercicios también le dará la oportunidad de decidir si estáen condiciones de continuar avanzando con el estudio de la unidad siguienteo si todavía necesita detenerse un tiempo más en la unidad que está estudian-do. En este último caso deberá retomar aquellas cuestiones que no haya podi-do resolver o en las que sienta que aún tiene dificultades.

Tenga en cuenta que el hecho de tener que revisar algunos conceptos no sig-nifica que usted se "atrase". Por el contrario, afianzar las nociones en las quetenga dificultades le permitirá asegurarse la posibilidad de acceder a nocionesnuevas. Como en el ejemplo que utilizamos en la presentación de la Guía deestudio: si el albañil pone de manera desordenada los ladrillos de la primerahilera del muro porque trabaja rápido, sólo conseguirá al final de la obra unapared torcida que a la larga le requerirá mucho más tiempo y más trabajo yaque deberá, en definitiva, hacerla nuevamente.

Por eso, no deje de resolver los ejercicios de integración correspondientes acada unidad antes de avanzar con el estudio de la unidad siguiente. El estudiocompleto de una unidad requiere la realización de estos ejercicios.

También incluimos en este anexo una Autoevaluación Integradora.

Usted deberá resolver esta evaluación al finalizar el trabajo propuesto en todaslas unidades del programa.


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La resolución de las actividades que conforman la autoevaluación le permitirá:

• indagar su situación en relación con la materia completa;

• integrar algunos de los conceptos trabajados a lo largo de todo el programa;

• saber si ha aprendido todos los contenidos de la materia, o si necesita reto-mar alguno de ellos antes de presentarse a rendir examen;

• tener indicadores claros sobre cuáles son aquellos contenidos o símbolosmatemáticos que aún debe revisar y retrabajar con la guía antes de dar porfinalizado el estudio de la materia.

No deje de resolverla.

Al finalizar su resolución usted podrá comparar sus respuestas con las que ledamos al término de los enunciados de las actividades de Autoevaluación bajoel título Orientaciones sobre los Ejercicios de Autoevaluación.


Ejercic io N° 1

Parte A

Se realiza un experimento en el que se mide la temperatura de una barra de metal en dis-

tintos instantes. Se observa que la temperatura c (medida en grados) después de 3 minu-

tos de comenzado el experimento se puede calcular haciendo la cuenta c = 5 . 3 + 2.

Después de 7 minutos de comenzado el experimento, la temperatura se calcula haciendo

c = 5 . 7 + 2. A los 20 minutos de empezar el experimento, la temperatura se puede calcu-

lar así: c = 5 . 20 + 2.

Teniendo en cuenta la información anterior, responda las siguientes preguntas:

1. ¿Cuáles son las variables que intervienen en este experimento?

2. a) Calcule la temperatura de la barra a los 3 minutos de comenzar el experimento.

b) Calcule la temperatura a los 7 minutos de empezar el experimento.

c) ¿Cuál es la temperatura a los 20 minutos de comenzado el experimento?

3. ¿Con qué cuenta calcularía la temperatura de la barra a los 12 minutos de comenza-

do el experimento?

4. Si utilizamos la letra t para expresar cualquier instante de tiempo a partir de que

comienza el experimento, escriba una fórmula que le permita calcular la temperatu-

ra c de la barra en cualquier instante t.

5. La fórmula que dio en el ítem anterior, ¿se puede usar para calcular la temperatura

que se espera que tenga la barra metálica después de 30 minutos de empezar el

experimento? Explique lo que tiene en cuenta para responder.

Parte B

Se pudo determinar que la cuenta que se hizo para calcular la temperatura después de

3, 7 y 20 minutos, se puede usar para cualquier instante hasta los 25 minutos de empe-

zado el experimento.

Teniendo en cuenta esta nueva información:

1. Vuelva a responder la pregunta que le formulamos en el ítem 5. de la Parte A.

2. a) Calcule cuál es la temperatura que se espera que tenga la barra después de 17

minutos de comenzado el experimento.

b) ¿Cuál es la temperatura esperable de la barra después de 13,5 minutos de comen-

zado el experimento?

3. Si al medir la temperatura a los 10 minutos de comenzado el experimento, el termó-

metro marcara 52,2 ºC, ¿diría que la fórmula que dio en el ítem 4. de la Parte A no

tiene validez? Explique su respuesta con sus palabras.

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Ejercic io N° 2

Parte A

En un laboratorio, luego de someter una sustancia a una fuente de calor durante un

minuto, se formuló un modelo matemático en el que la temperatura y (en grados) de la

sustancia después de x segundos de observaciones puede calcularse a partir de la

siguiente fórmula y = 3 . x + 5.

De acuerdo con el modelo anterior, responda las siguientes preguntas:

1. ¿Cuál es la temperatura de la sustancia a los 10 segundos de ser sometida al calor?

2. ¿Cuál es la temperatura inicial de la sustancia?

3. ¿Cuál es la temperatura esperable de la sustancia después de un minuto?

4. ¿Cuál es la temperatura esperable de la sustancia a los 70 segundos de comenzado el

experimento?

Parte B

En el laboratorio continuaron realizando el experimento y observaron que la tempera-

tura de la sustancia a los 70 segundos de comenzado el experimento fue de 185°.

Teniendo en cuenta esta nueva información, revise su respuesta del ítem 4. de la Parte A.

¿Qué puede decir respecto de la validez del modelo matemático planteado?

Parte C

Se pudo establecer que la fórmula y = 3 . x + 5 sirve de modelo matemático de lo obser-

vado con la temperatura de la sustancia durante el primer minuto del experimento. A

partir de ese instante, la temperatura se mantiene constante.

Teniendo en cuenta la información dada, complete la siguiente tabla:

x (tiempo en segundos) 5 18 36 45 58 61 75 100

y (temperatura en grados)


Ejercic io N° 3

En la siguiente tabla se registraron los pesos y los precios de una determinada merca-

dería en un negocio:

x (peso de la mercadería en kg) 1 2 3 4 5

p (precio en $) 5 10 15 20 25

A partir de los datos de la tabla, escriba una fórmula que le permita calcular el precio p,

si se conoce el peso x de la mercadería.

Ejercic io Nº 4

Se quiere estudiar qué pasa con la cantidad de alumnos que asisten a una Universidad.

Más precisamente, se necesita saber cuál es la relación entre la cantidad de alumnos que

comienzan las clases y la cantidad de alumnos que terminan las clases. Para eso se han

registrado las cantidades de alumnos que comenzaron y que finalizaron las clases en los

últimos años en la siguiente tabla:

Cantidad de alumnos que comienzan 200 250 180 170 220 150

Cantidad de alumnos que terminan 102 124 90 88 111 78

A partir de la información anterior, responda:

1. Si este año, en esa Universidad comenzaron las clases 300 alumnos, ¿qué cantidad de

alumnos debe preverse, aproximadamente, que terminen las clases?

2. ¿Qué relación aproximada ha existido cada año entre la cantidad de alumnos que

comienzan las clases y la cantidad de alumnos que terminan las clases? Expréselo con

sus palabras.

3. ¿Con qué cuenta puede calcular la cantidad de alumnos que terminan las clases si

conoce la cantidad de alumnos que comienzan las clases?

4. Si con la letra x expresamos a la cantidad de alumnos que comienzan las clases cada

año, y con la letra y expresamos a la cantidad de alumnos que terminan las clases

cada año, escriba una fórmula que permita calcular, en forma aproximada, la canti-

dad y si se conoce la cantidad x.

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Ejercic io Nº 5

Se mide la altura de una planta joven. Se considera como t = 0 al instante en que se

comienza con las observaciones. El tiempo t se mide en días y la altura a se mide en

centímetros. Los datos observados se muestran en la siguiente tabla:

t (días) 1 2 3 4 5

a (cm) 6,2 10,9 16 21,4 25,8

Responda las siguientes consignas teniendo en cuenta la información anterior:

1. ¿Cuál de las siguientes fórmulas permite calcular, aproximadamente, la altura a de la

planta en cada día t?

• a = 5 . t - 1 • a = t + 5

• a = 5 . t + 1 • a = 6 . t

2. a) Utilice la fórmula que eligió en el ítem 1. para predecir cuál será la altura aproxi-

mada esperable de la planta a los 7 días de observación.

b) ¿Es posible que la altura que calculó en el ítem a) no sea la que se mida en la plan-

ta a los 7 días de observación? Explique por qué.

3. ¿Cuál fue la altura de la planta en el momento en que comenzaron las observaciones?

Ejercic io N° 6

Responda las siguientes consignas:

1. a) Para calcular el doble de 4, ¿qué cuenta hace?

b) Para calcular el doble de 12, ¿qué cuenta hace?

c) Para calcular el doble de 37, ¿qué cuenta hace?

d) Para calcular el doble de un número cualquiera que identificamos con la letra m,

¿qué expresión usa para indicar la cuenta que hace?

2. a) Para calcular el triple de 6, ¿qué cuenta hace?

b) Para calcular el triple de 25, ¿qué cuenta hace?

c) Si identificamos con la letra p a un número cualquiera, ¿qué expresión utiliza para

indicar que calcula el triple de p?


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3. a) Para calcular el número siguiente o consecutivo de 34, ¿qué cuenta hace?

b) Para calcular el siguiente de 69, ¿qué cuenta hace?

c) Para calcular el consecutivo de 52, ¿qué cuenta hace?

d) Para calcular el siguiente o consecutivo de un número cualquiera t, ¿cómo expre-

sa la cuenta que hace?

4. a) Para calcular el número anterior al doble de 7, ¿qué cuenta hace?

b) Para calcular el consecutivo del doble de 50, ¿qué cuenta hace?

c) ¿Cómo expresa la cuenta que hace para calcular el siguiente del doble de un

número cualquiera identificado con la letra x?

5. Exprese con sus palabras qué calcula con cada una de las siguientes expresiones:

a) 4 . x

b) z – 1

c) 3 . y + 2

d) 2 . d – 1

Ejercic io N° 7

1. Pedro tiene 5 años menos que su hermano, José.

a) Si José tiene 27 años, ¿con qué cuenta calcula cuántos años tiene Pedro?

b) Si José tiene 42 años, ¿con qué cuenta calcula cuántos años tiene Pedro?

c) Si José tiene J años y Pedro tiene P años, ¿con qué fórmula puede expresar la edad

de Pedro a partir de la edad de José?

2. El sueldo mensual de Pablo es de $ 15 menos que el doble del sueldo mensual de

Andrés.

a) Si el sueldo mensual de Andrés es de $ 650, ¿cuánto cobra Pablo por mes?

b) Si el sueldo mensual de Andrés se expresa usando la letra x, y el sueldo mensual

de Pablo se expresa usando la letra y, ¿cuál de las siguientes fórmulas expresa la

relación entre los dos sueldos?

• y = 2x + 15 • x = 2y - 15 • y = 2x - 15 • y = 2x

c) Compruebe la fórmula que eligió en el ítem b) usando los valores de sueldos dados

en el ítem a).


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Ejercic io N° 8

Una con flechas cada expresión coloquial de la columna de la izquierda con su corres-

pondiente expresión simbólica de la columna de la derecha.

y es el triple de x x = 2 . 3 . y

x es el anterior de y x = y – 1

La suma de x e y es 25 y = 3 . x

La diferencia entre x e y es 25 x = 3 . y

y es el doble del triple de x x – y = 25

x es el siguiente del cuádruplo de y y = 4 . x + 1

y = x – 1

x + y = 25

y = 2 . 3 . x

x = 4 . y + 1

Ejercic io N° 9

El propósito de este ejercicio consiste en favorecer la construcción de una especie de

"mapa" del recorrido por la Unidad 1. Le proponemos que:

1. Busque en esta Guía de estudio el programa de Matemática A.

2. Lea los contenidos de la Unidad 1 y para cada uno de ellos identifique:

¿En qué actividades de la Guía de estudio fue tratado cada contenido?

3. Confeccione un cuadro con el encabezado que le damos a continuación y compléte-

lo teniendo en cuenta lo que pensó en el ítem 2.

Contenidos de la UnidadActividades de la Guía

de estudio


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4. Relea los Propósitos de la Unidad 1.

¿Cree que ha logrado lo que ahí le proponemos?

Si su respuesta es afirmativa en todos los casos, puede empezar a estudiar la Unidad 2.

Si su respuesta es negativa en alguno de los casos, le indicamos que busque cuáles son

los contenidos involucrados en dichos propósitos y que rehaga las actividades que tra-

taron esos contenidos.

Le servirá de ayuda el cuadro que confeccionó en el ítem 3. de este ejercicio.

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Ejercic io Nº 1

La empleada de la biblioteca de una escuela al final de cada día, controla los movi-

mientos de libros efectuados en la jornada. Para hacerlo registra minuciosamente cada

ingreso o salida de libros.

El día 31 de marzo, a la hora de cierre, se encontró con el siguiente listado:

• Apertura: 2543 ejemplares

• Préstamos a docentes: 132 libros

• Préstamos a alumnos: 856 libros

• Devoluciones: 270 libros

• Donación de editoriales: 624 libros

• Donación del Ministerio de Educación: 67 libros

• Enviados al taller de reparación: 76 libros

• Recibidos del taller de reparación: 48 libros

1. De acuerdo con la información anterior, calcule con cuántos libros abrió la biblioteca

el 1 de abril.

2. Escriba de dos formas diferentes el cálculo que realizó en el ítem 1.

Ejercic io N° 2

1. Complete el con el signo " = " o " " según corresponda:

a) 24 + (11 + 17) 24 + 11 + 17 d) 12 - 5 - 7 12 - (5 + 7)

b) 85 - (25 + 15) 85 - 25 + 15 e) 15 - (5 - 3) 15 - 5 + 3

c) 85 + (25 - 15) 85 + 25 + 15

2. Complete el con el signo " = " o " " según corresponda, utilizando a = 36, b = 12

y c = 8. Es:

a) a - b + c a - (b + c) d) a + (b - c) a + b - c

b) a + b + c a + (b - c) e) a + b + c a + (b + c)

c) a - (b - c) a - b + c

El recurso de asignar valores particulares a las letras que usamos en los

ítems 1. y 2. para poder decidir si una igualdad es válida o no, le puede

resultar de mucha utilidad. Téngalo presente y recurra a él cada vez que le

surjan dudas sobre si puede o no resolver una cuenta de determinada

manera, aún cuando nosotros no se lo propongamos como tarea.

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3. De acuerdo con sus respuestas a los ítems 1. y 2. de este ejercicio, complete en el

con el signo " = " o " " según corresponda. Tenga en cuenta que en este caso a, b

y c representan a un número natural cualquiera.

a) a - (b - c) a - b - c d) a - (b - c) a - b + c

b) a + (b - c) a + b - c e) a - (b + c) a - b - c

c) a + (b + c) a + b + c

4. Teniendo en cuenta sus respuestas a los ítems 1., 2. y 3. de este ejercicio complete las

siguientes frases para que resulten verdaderas:

a) En un cálculo donde intervienen sumas y restas entre números naturales, para eli-

minar paréntesis precedidos por un signo " - " debe ................................................

..........................................................................................

b) En un cálculo donde intervienen sumas y restas entre números naturales, para eli-

minar paréntesis precedidos por un signo " + " debe ................................................

...........................................................................................

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En el Ejercicio Nº 2 usted obtuvo conclusiones sobre la forma de eliminarparéntesis en un cálculo en el que intervienen sumas y restas de números natu-rales. Esas conclusiones pueden extenderse a cualquier otro conjunto numéricocomo el conjunto de números enteros y el conjunto de números racionales.

Ejercic io Nº 3

1. Juan y Luis tienen que resolver la cuenta: 300 - 100 . 2

Juan dice: "El resultado es 400".

En cambio, Luis afirma que el resultado es 100.

De acuerdo con la información anterior responda las siguientes preguntas:

a) ¿Quién de los dos respetó el orden en el que deben resolverse las operaciones para

que el cálculo sea correcto?

b) ¿Cuál de las siguientes situaciones planteadas pueden resolverse o interpretarse

con la cuenta dada?

• Si tenía $ 300 en mi billetera, y pagué 2 cuotas de un crédito de $ 100 cada

una. ¿Cuánto dinero me queda?


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• Al iniciar el día, en el stock de una fábrica, hay 300 paquetes de un produc-

to. Durante el día se vendieron 100 paquetes. Si cada paquete tiene 2 uni-

dades del producto, ¿cuántas unidades quedan al terminar el día?

c) Una de las dos situaciones planteadas en el ítem b) no puede expresarse con la

cuenta dada. ¿Cómo debería escribirse la cuenta que interpreta dicha situación?

Es posible que usted pueda resolver las situaciones anteriores sin ninguna

dificultad. Pero que, en el momento de escribir las cuentas que interpre-

tan las situaciones, tenga dudas o le resulte complicado hacerlo. Lo mismo

para decidir si es Juan o Luis el que tiene razón. Trate de resolver esta difi-

cultad teniendo en cuenta que tan sólo debe respetar el orden estableci-

do por la Matemática para resolver las operaciones. Este orden está for-

malizado en la Guía de estudio a partir de la resolución de la actividad de

las compras de la familia López.

Observe que usted puede resolver situaciones concretas sin dificultad aun-

que no conozca el convenio matemático. Pero no ocurriría lo mismo si la

situación en lugar de estar expresada en lenguaje coloquial, estuviera

expresada en lenguaje simbólico. En este caso, el desconocimiento del

orden adecuado de resolución de las operaciones puede llevarlo a resul-

tados erróneos.

2. De acuerdo con las conclusiones anteriores, resuelva las siguientes cuentas combi-

nando sumas, restas, multiplicaciones, divisiones y el uso de paréntesis:

a) 15.3 - 12 : 4 - 7.3 =

b) (12 + 2) : 7 - 2 =

c) 5 + (8 + 20) . (13 - 4) - 10 =

d) (13 + 24 : 8) : 2 - (4 + 2) =

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En el Ejercicio Nº 3 usted trabajó con el orden de resolución de las operacio-nes en cálculos en los que intervienen sumas, restas, multiplicaciones y divi-siones de números naturales. Esas conclusiones pueden extenderse a cualquierotro conjunto numérico como el conjunto de números enteros y el conjuntode números racionales.


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Ejercic io Nº 4

1. Determine, para cada uno de los siguientes casos, dos fracciones que verifiquen las

condiciones dadas:

a) Sean equivalentes.

b) Tengan numerador 5 y sean mayor que 1.

c) Tengan numerador 5 y sean menor que 1.

d) Tengan denominador 5 y sean mayor que 1.

e) Tengan denominador 5 y sean menor que 1.

f) Tengan el mismo denominador y su suma sea equivalente a un entero.

g) Tengan distinto denominador y su suma sea equivalente a un entero.

h) Que su producto sea equivalente a un entero.

i) Que su división sea equivalente a un entero.

2. Exprese con sus palabras, como si le tuviera que contar a un compañero de estudio,

qué hay que hacer frente a cada una de las siguientes situaciones:

a) Hallar fracciones equivalentes.

b) Sumar fracciones.

c) Multiplicar dos fracciones.

d) Dividir dos fracciones.

e) Simplificar fracciones

Ejercic io Nº 5

1. Observe los dos cuadrados representados a continuación:

a) Si los dos cuadrados son iguales y usted tiene que pintar la zona sombreada en

cada uno de ellos:

La cantidad de pintura que necesita para pintar la zona sombreada en el cuadra-

do I, ¿es mayor, menor o igual que la que necesita para pintar la zona sombreada

en el cuadrado II?

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b) Indique la fracción que representa la zona sombreada en cada uno de los cuadra-

dos.

2. La siguiente frase está referida a la figura dibujada abajo. Decida si la frase es ver-

dadera o falsa. Dé argumentos que justifiquen su respuesta.

FRASE: "La zona sombreada representa una cuarta parte de la figura".

3. Una empresa constructora compra a la inmobiliaria de la Actividad N° 4 de la Guía de

estudio, una cantidad de lotes equivalente a una manzana. Los subdivide y comien-

za a construir edificaciones de diferentes formas y tamaños. El plano de la manzana

con las subdivisiones y las construcciones realizadas en una primera etapa es el

siguiente:

La zona sombreada corresponde a las construcciones realizadas hasta el momento.

Responda las siguientes preguntas a partir de la información anterior:

a) ¿Qué fracción de la manzana fue edificada en esta etapa?

b) ¿Qué fracción de la manzana todavía no fue edificada?

c) ¿Cómo podría calcular la fracción de la manzana que todavía no fue edificada usan-

do como dato la fracción de la manzana que está edificada? Realice dicho cálculo.

d) Si la superficie de la manzana es de 10000 m2, ¿cuánto mide la superficie edifica-

da y cuánto mide la superficie libre?


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4. Un almacenero cortó un queso en partes iguales tal como se muestra en el siguiente

dibujo. A la mañana vendió las partes sombreadas y durante la tarde del total del

queso.


a) ¿Qué fracción del total del queso se vendió a la mañana?

b) ¿Qué fracción del queso quedó sin vender al final del día?

c) Si el queso pesa 5 kg, ¿qué cantidad de kilogramos vendió el almacenero durante

la tarde?

Ejercic io Nº 6

1. Una Universidad ofrece a la comunidad un curso gratuito de computación. Por razo-

nes de infraestructura y organización, decidió dividir la oferta en 3 sedes con cupos

limitados.

• El cupo fijado para la Sede 1 fue de 1200 alumnos. El primer día de inscripción se

anotó las partes del cupo de la sede.

• En la Sede 2, se inscribieron 480 personas, que representan los del cupo de la

sede.

• En la Sede 3, se inscribieron 1750 personas, que representan las partes del cupo

de la sede.

Responda las siguientes preguntas de acuerdo con la información anterior:

a) ¿Cuántos alumnos se inscribieron en la Sede 1 el primer día?

b) ¿Cuántas personas más se pueden anotar en la Sede 2?

c) ¿Cuál es el cupo de la Sede 2?

d) Sin calcular cuál es el cupo de la Sede 3, indique, basándose en la información dada

sobre la inscripción, ¿cómo resulta ser la cantidad de alumnos inscriptos respecto

del cupo de la Sede? Piense argumentos que justifiquen su respuesta.

e) ¿Cuál es el cupo de la Sede 3?

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2. Se vendieron 9000 entradas para un recital de Los Auténticos Sonrientes.

De las entradas vendidas, la sexta parte fueron plateas, 3500 fueron para el césped y

las demás fueron populares.

De acuerdo con la información anterior:

a) ¿Cuántas plateas y cuántas populares se vendieron?

b) ¿Qué parte del total de entradas vendidas corresponden al césped?

c) ¿Qué parte del total de entradas vendidas corresponden a populares?

Ejercic io Nº 7

Gustavo y Florencia se fueron juntos de vacaciones llevando $ 1250 en total. Durante la

primera semana de vacaciones gastaron la mitad del dinero que llevaban.

Parte A

1. ¿Cuánto dinero les quedó para el resto de las vacaciones?

2. De acuerdo con lo ocurrido durante la primera semana, ¿cuántos días más cree usted

que podrían seguir de vacaciones? Explique por qué.

Parte B

Al ver lo que estaba ocurriendo con su dinero, Gustavo y Florencia decidieron ajustar los

gastos para poder extender un poco más sus vacaciones: la segunda semana gastaron la

mitad de lo que les quedaba.

1. ¿Cuánto dinero gastaron en la segunda semana?

2. ¿Qué fracción del dinero con el que salieron gastaron durante la segunda semana?

3. ¿Qué parte del dinero con el que salieron les queda al finalizar la segunda semana

de vacaciones?

4. Si durante el resto de las vacaciones gastan por semana la misma cantidad de dinero

que durante la segunda semana, ¿podrían llegar a estar un mes de vacaciones? Expli-

que por qué. Si su respuesta es negativa indique de qué modo deberían producirse

los gastos para que lograran llegar al mes de vacaciones.

Parte C

Durante la tercera semana decidieron movilizarse a dedo para ahorrar el dinero que gas-

tarían en transporte. Recorrieron 360 km en tres autos. Con el primer auto recorrieron

los de la distancia total. Con el segundo auto recorrieron las tres cuartas partes de la

distancia que les faltaba, y el tercer auto los alcanzó hasta la ciudad de Bariloche que

era su destino final.

23


�� 22

1. ¿Cuántos kilómetros recorrieron con el primer auto?

2. ¿Qué fracción del recorrido total hicieron con el segundo auto?

3. ¿Cuántos kilómetros recorrieron en la tercera etapa del viaje a dedo?

Ejercic io N° 8

1. a) Si usted compra 1 kilo y medio de pan, ¿cuántos paquetes de medio kilogramo de

pan puede armar?

b) Resuelva la siguiente suma: 1 +

2. a) Si usted pide 2 kg y de carne, ¿cuántos cuartos kilogramos de carne le dan?

b) Resuelva la suma: 2 +

3. a) En una familia comen 1 de pizza, es decir una pizza y de otra. ¿Cuántos octa-

vos de pizza comen?

b) Resuelva la suma: 1 +

'!��'��"

En el ítem 1. de este ejercicio se compran 3 medios kilogramos de pan ya queen 1 kilogramo hay dos medios kilogramos y además compra otro medio kilo-

gramo. Esto es lo mismo que calcular el resultado de 1 +

Este pedido de pan se puede escribir así: 1 kg y debe interpretarse como

1 + . Asimismo, en el ítem 2., el pedido de carne es de 2 = 2 + ; y

en el ítem 3., se consumen 1 = 1 + de pizza.

En general, a expresiones del tipo a las interpretamos como la suma del

número entero a y la fracción . En símbolos:

a = a +

12

34

34

78

78

78

12

12

12

78

78

bc

bc

bc

bc

23

23


�� &�!��'"��(!��#��)�� 23

Uso de la calculadora científica: Si usted tiene una calculadora científica, verá

que tiene una tecla en la que figura la expresión a . Dicha tecla se usa para operar

con fracciones. Indicaremos acá cómo se ingresa una fracción, por ejemplo en su

calculadora: Teclee 7, después la tecla a por último, teclee 6. Aparecerá en la pan-

talla la escritura 7 6, que equivale al número . El número ya está cargado en su

máquina, listo para operar con cualquier otro que usted desee.

Ejercic io Nº 9

Resuelva los siguientes ejercicios utilizando fracciones. Tenga en cuenta el orden en el

que deben resolverse las operaciones.

a) c)

b) d)

Una vez resuelto el ejercicio controle su resultado utilizando la calculadora.

Ejercic io Nº 10

1. En el dibujo que sigue se han representado posiciones de algunos objetos que están

sobre el nivel del mar y otros que están debajo de ese nivel.

F representa el extremo más alto de un faro que mide 12 m, A representa el extremo deuna antena de una radio de 8 m, M y N las posiciones de dos submarinos, que se encuen-tran a una profundidad de 10 y 12 m.

b

c 7

6

7

6

b

c

35

12

45

+ . =

152

23

+ – 1 : =

12

43

12

. + 3 : =

73

15

12

12

75

16

+ – . . =


a) Escriba las posiciones de cada uno de los puntos utilizando números enteros.

b) Represente en la recta numérica los puntos A, F, M y N.

2. En la siguiente tabla se indican las fechas y las temperaturas promedios registradas

en dichas fechas en la ciudad de Buenos Aires. Indique el día que hizo más frío y el

día que hizo menos frío.

3. Represente en la recta los números enteros pertenecientes al conjunto

A = {-5 ; -4 ; -3 ; -2 ; -1 ; 0 ; 1 ; 2 ; 3 ; 4 ; 5}

4. Determine, en cada una de las siguientes rectas numéricas, la ubicación del número

0 y del número 1:

Ejercic io Nº 11

Le presentamos los siguientes casos:

CASO I

Juan se desplaza en su bicicleta por una ruta.

• El 0 indica la posición de inicio.

• Cada kilómetro que Juan se desplaza hacia el oeste se lo representa con y con

el número entero -1.

• Cada kilómetro que Juan se desplaza hacia el este, se representa con y con el

número entero +1 ó simplemente 1.

Se quiere saber, después de que realiza dos movimientos, cuál es su posición final.

�� 24

Fecha 3 de febrero

Temperatura (°C) 30

3 de junio

-3

3 de julio

-1

3 de diciembre

25


�� &�!��'"��(!��#��)�� 25

CASO II

Pedro anota "sus bienes".

• Para indicar que tiene, por ejemplo, $ 2 lo indica así: +2 o simplemente 2.

• Para anotar que debe dos pesos lo escribe con el número entero -2.

• Cada dos anotaciones calcula cuál es su situación financiera.

Parte A

Se anotaron en el siguiente cuadro algunas posibles situaciones de estos casos.

Le pedimos que complete el cuadro. Para ello, traduzca las sumas de números enteros a

cada uno de los casos concretos dados y los casos concretos dados a sumas de números

enteros.

En el cuadro anterior utilizamos dos situaciones concretas para interpretar

la suma de números enteros. Recurra a ellas, o a cualquier otra situación

que a usted le resulte significativa, cada vez que necesite operar con

números enteros y se encuentre con dificultades para hacerlo.

Interpretación del desplazamiento de labicicleta de Juan sobre la ruta

Interpretación respecto de los bienes de Pedro

Como suma deenteros

Resultado de la suma

Movimientos Posición final1ra

Oport.2da

Oport.Su estimación

es

3 + 5 8Tiene

$ 3Tiene

$ 5Tiene

$ 8

7 + (-5)Tiene

$ 7

(-3) + (-5) -8Debe$ 3

Debe$ 5

Debe $ 8

5 + (-7) Debe $ 7

Debe$ 8

Tiene$ 2

Debe$ 6

8 + (-4)

8Tiene

$ 8


Parte B

1. Un compañero suyo le dice que la situación de que Juan se mueva 6 km al este y

luego 4 km al oeste, puede expresarse:

• así: 6 + (-4) = 2, como una adición;

• ó así: 6 - 4 = 2, como una sustracción.

¿Está de acuerdo?

2. Si su compañero dijera: "Como yo sé sumar números enteros, también puedo restar

números enteros".

¿En qué cree que se basa para hacer dicha afirmación? Escriba su respuesta con sus

palabras.

3. ¿Cuál o cuáles de las siguientes expresiones pueden expresar que "Juan se movió 8

km al este, luego 3 km al oeste y, por último, 2 km al oeste"?

8 - 3 - 2 8 + (-3 - 2) 8 - (3 + 2)

Parte C

1. En cada caso coloque en el el símbolo " = " o " " según corresponda:

a) 8 - 3 - 2 8 + (-3 - 2) c) 8 + (-3 - 2) 8 - (3 + 2)

b) 8 - 3 - 2 8 - (3 + 2)

2. Resuelva las siguientes sustracciones:

a) 30 - 12 = e) 15 - 20 = b) -40 - 10 =

f) 15 - 2 - 3 = c) 20 - (-9) = g) 15 - (2 + 3) =

d) -20 - (- 7) = h) 15 - (2 - 3) =

Ejercic io Nº 12

La siguiente tabla muestra los movimientos efectuados en una cuenta de un banco

durante el mes de Julio. El saldo inicial (al comenzar el mes) es de $ 60.

1. ¿Cuál o cuáles de las siguientes cuentas permiten calcular el saldo de la cuenta a fin

de julio?

• 60 + 350 - 100 + 400 - 100 - 350 - 170

• 60 + 350 + (-100) + 400 + (-100) + (-350) + (-170)

• 60 + [350 + (-350)] + (-100) + 400 + (-100) + (-170)

• 60 + 0 + (-100) + 400 + (-100) + (-170)

�� 26

Movimiento deposita extrae depositapaga cuen-

tas porextrae extrae

$350 $100 $400 $100 $350 $170


�� &�!��'"��(!��#��)�� 27

• 60 + (-100) + 400 + (-100) + (-170)

• 60 + 400 + [(-100) + (-100) + (-170)]

• 460 + (-370)

2. Todas las cuentas dadas permiten calcular el saldo de la cuenta a fin de julio. Indique

cuáles son las propiedades de la adición que se usaron para obtener cada forma de

cálculo.

3. Calcule el saldo a fin de julio.

Ejercic io Nº 13

Para cada uno de los cálculos de la columna de la izquierda hay un cálculo en la colum-

na de la derecha que tiene su mismo resultado.

Una con una flecha cada cálculo de la columna de la izquierda con su cálculo corres-

pondiente en la columna de la derecha.

-5 - (-3) -2 . 8

-2 . (5 + 3) [(-2) + (-5) ] + 3

-2 + [(-5) + 3 ] -5 - 3

-5 + (-3) -10 + 3

-2 . 5 + 3 -5 + 3

-2 - [(-5) + 3 ] (-3) - (-5)

-2 + 5 - 3

[-2 - (- 5) ] + 3

Ejercic io Nº 14

1. En cada caso, complete el con el símbolo " = " o " ", según corresponda. En los

casos que complete con " = ", indique la propiedad que justifica la igualdad.

a) 18 + (-3) + 3 18 b) 24 : (-3 + 8) 24 : (-3) + 24 : 8

c) 3 - 8 8 - 3 d) (-3).(5 + (-2)) (-3).5 + (-3).(-2)

e) -45 + 38 + 0 38 + (-45) f) -5 + (-2) + 8 -5 + 6

2. Teniendo en cuenta la convención sobre el orden en que se resuelven las operacio-

nes, calcule:

a) -3 - [5 + 2.(-3)] = b) 48 : (-2 + 6) - 5 . (-4) =

c) 17 - (5 - 8) - 3 . (5 - 8) + 3 : (5 - 8) = d) (-8 - 2) . (4 + 5) + 38 : (-2) =


�� 28

Ejercic io Nº 15

La Matemática agrupa a los números en conjuntos. En esta unidad trabajamos con los

conjuntos de los números naturales (N), enteros (Z), racionales (Q) y presentamos el con-

junto de los números reales (R).

Podemos agrupar también sólo algunos números de cada uno de estos conjuntos. Por

ejemplo, podemos armar un conjunto formado por los números 0, 1, 2, 3, 4 y 5. Escribi-

mos a este conjunto en lenguaje simbólico de dos maneras:

• Nombrando todos sus elementos, así: {0, 1, 2, 3, 4, 5}

• Indicando la característica que verifican los elementos del conjunto de modo

que la misma nos permita identificar cuáles son los números que lo forman.

Así: que leemos "conjunto formado por elementos x que perte-

necen al conjunto de los números naturales y que son menores o iguales que 5".

El símbolo x se utiliza para representar a cada uno de los elementos que forman

el conjunto y que verifican la característica indicada.

Si escribimos en lenguaje simbólico, por ejemplo, al conjunto formado por los números

7, 8, 9 y 10, podemos hacerlo de las siguientes formas:

A partir de la información anterior responda las siguientes consignas:

1. Exprese, cuando sea posible, cada uno de los conjuntos dados a continuación nom-

brando todos sus elementos.

2. Represente todos los elementos de cada conjunto en las rectas dadas.


�� &�!��'"��(!��#��)�� 29

'!��'��"

Al responder lo pedido en el Ejercicio N° 15, habrá notado que podemosnombrar a todos los elementos del conjunto sólo para los conjuntos A y C.Todos los demás conjuntos están formados por infinitos elementos y resultaimposible nombrarlos a todos.Podemos representar los conjuntos en la recta numérica. Cuando la cantidadde elementos del conjunto es infinita y estos elementos pertenecen al conjun-to de números racionales Q o al conjunto de números reales R, la representa-ción gráfica resulta una parte de la recta comprendida entre los valores extre-mos del conjunto. Lo indicamos pintando o sombreando la parte de la rectacorrespondiente. Esto ocurre, como dijimos, si los elementos que forman el conjunto pertene-cen al conjunto de los números racionales Q o al conjunto de los números rea-les R. Si bien gráficamente no notaremos diferencia entre un conjunto y otro,en un conjunto cuyos elementos sean números reales habrá números que nose encuentran en un conjunto cuyos elementos sean números racionales. Porejemplo, al conjunto E = {x ∈ R : -3 < x < 4} pertenece el número 2 que no pertenece al conjunto D = {x ∈ Q : -3 < x < 4} porque 2 no es un número racional. En general, un conjunto formado por números reales delimitado por dosnúmeros reales cualesquiera, recibe el nombre de intervalo. En el conjunto E estamos definiendo un conjunto de números reales delimi-tados por el -3 y por el 4 sin que estos dos valores formen parte del conjunto.Llamamos intervalo abierto a ese conjunto y lo escribimos simbólicamenteasí: (-3 ; 4).El conjunto F = {x ∈ R : -3 < x < 4} está formado por todos los números rea-les ubicados entre -3 y 4 incluyendo también al -3 y al 4. A este conjunto lollamamos intervalo cerrado y lo escribimos simbólicamente así: [-3 ; 4].En el conjunto G = {x ∈ R : -3 < x < 4} no está el -3 pero sí está el 4. Lla-mamos intervalo semiabierto o semicerrado a este conjunto y lo escribimossimbólicamente así: (-3 ; 4].Respecto de cómo representar gráficamente al conjunto según si los extremosdel segmento pertenecen o no a él, acordaremos en representar:

Intervalo Abierto

Intervalo Cerrado

Intervalo Semicerrado


�� 30

El conjunto B = {x ∈ Z / x < 4} está formado por todos los números enterosmenores que 4. Como son infinitos, no podemos representarlos a todos y tam-poco podemos sombrear la parte de la recta correspondiente a los númerosmenores que 4 porque estaríamos indicando números que no pertenecen alconjunto B (los números no enteros). Sólo podemos dar una idea gráfica dequé números forman parte del conjunto como le mostramos en el siguientegráfico:

Ejercic io Nº 16

Ubique el 0 y el 1 en cada una de las siguientes rectas numéricas:

1.

2.

Ejercic io Nº 17

Resuelva los siguientes cálculos combinados utilizando fracciones. Tenga en cuenta el

convenio sobre el orden en que deben efectuarse las operaciones:

1. – 1 – . + : – – – =

2. – + : + 2 – – . – =

3. 6 + . – – + – : =

4. – . – – + : + 1 =

5. – . – – 3 + 2,1 : =

6. – – 2,4 . – 2 + : =

Una vez finalizado cada uno de los cálculos controle su resultado utilizando calculadora.

3

7

5

7

3

2

3

2

2

5

7

3

7

3

5

2

5

2

11

6

1

2

3

7

21

2

7

5

2

3

5

6

4

5

1

4

2

3

6

5

3

5

2

3

5

4

4

3

1

6

8

3

7

2

1

5

1

10

4

7


�� &�!��'"��(!��#��)�� 31

Ejercic io Nº 18

1. Utilice la definición de potenciación para calcular:

a) (-5)1 = b) (-2)3 = c) (-2)4 = d) (-876)0 =

e) – 0

f) 3= g)

2= h) –

2=

i) – 3

j) – – 3= k) – –

2= l)

-2=

m) (–5)-2= n) (–5)-3= o) – – -1

p) – -1

2. Utilice la definición de radicación para calcular, cuando sea posible:

a) 49 = b) 4 81 = c) 3 125 = d) -16 =

e) 3 -27= f) 4 – 81 = g) 3 –27 = h) – 4 81 =

i) = j) = k) 3

– l) – – =

3. Un compañero hace la siguiente afirmación:

"Como 24 = 42 entonces la potenciación es conmutativa"

¿Está de acuerdo con su compañero? ¿Por qué?

4. Coloque en cada el signo " = " ó " ", según corresponda, considerando en cada

caso los valores de a y b indicados:

a) (a + b)2 a2 + b2 para a = 5 y b = 3

b) a – b a – b para a = 25 y b = 16

c) ( a . b )3 a3 . b3 para a = 5 y b = 2

d)3

a - b 3

a - 3

b para a = 27 y b = 8

e) a5 : b5 ( a : b )5 para a = 10 y b = 5

f) a . b a . b para a = 9 y b = 4

5. De acuerdo con las igualdades o desigualdades obtenidas en el ejercicio anterior,

usted ha podido verificar, con un ejemplo, que:

a) La potenciación es distributiva respecto de .....................................................

b) La potenciación no es distributiva respecto de ................................................

c) La radicación es distributiva respecto de .........................................................

d) La radicación no es distributiva respecto de ...................................................

1

128

1

22

7

2

7

1

3

1

3

1

3

4

9

27

8

27

8

4

9

1

3

1

3

1

3


�� 32

6. Si dentro de un tiempo le piden que resuelva la cuenta (a + b)2 y le surge la duda

sobre si puede o no hacer a2 + b2. ¿Qué podría hacer para verificar si es válida o no

dicha acción?

7. Complete el siguiente cuadro. Para hacerlo tenga presente la definición de poten-

ciación y las propiedades vistas en el libro.

Ejercic io Nº 20

Resuelva los siguientes cálculos combinados utilizando fracciones. Tenga en cuenta el

convenio sobre el orden en que deben efectuarse las operaciones.

a)

b)

c)

d)

Al finalizar cada uno de los cálculos controle su resultado usando calculadora.

– 2

– 4 – . (– 2) – – 2 +3

– =2

3

3

5

4

31

4

1

8

Exprese lo indicado en la primera columna como:

ParaMultiplicación y/ó

división de factor a

Una propiedad o"regla". En símbolos y

su nombre.

Una sola potenciade base a

a ∈ Q, a2 . a3

a ∈ Q, (a2)3

a ∈ Q, a5 : a2

a ≠ 0

a ∈ Q, a2 : a5

a ≠ 0

3 . – + : + – 0

7

4

3

2

1

2

2

3

4

5

2,8 + – – : – – 2

+ 7 + – (–2)27

2

9

5

2

9

3

21

9

2+

3. – 2–3 + 2,515

2

16

34

3


�� &�!��'"��(!��#��)�� 33

Ejercic io Nº 21

En este ejercicio lo orientaremos para que trabaje un contenido que no fue trabajado todavía en

la guía, utilizando el libro Matemática en Red 8 EGB, de López A. y Pellet, C., editorial AZ.

En el capítulo 3 - Números racionales (va con negrita)

1. Lea "Notación Científica" en la página 94. Lea también el recuadro Para saber

hacer, del pie de página.

2. Resuelva las actividades N° 46, 47 y 48 de la página 95. Puede compara sus res-

puestas con las dadas en la página 265. (va con texto actividad)

Ejercic io Nº 22

1. Calcule:

3 . 104 = 8,02 . 1012 =

3,21 . 107 = 1,002 . 1010 =

2. Calcule:

3 . 10-4 = 8,02 . 10-12 =

3,21 . 10-7 = 1,002 . 10-10 =

3. Los números dados en los ítems 1. y 2. de esta actividad están expresados como una

multiplicación de un número mayor ó igual que 1 y menor que 10, por una potencia

de 10. Es decir, están expresados utilizando notación científica. Tenga en cuenta los

resultados obtenidos en cada uno de los casos anteriores y lo realizado en el Ejercicio

21 de la Unidad 2 en la Guía de estudio para expresar los siguientes números utili-

zando notación científica:

a) 2.000.000 e) 0,00000000535

b) 49.000.000.000 f) 0,000000076

c) 1.040.000.000.000 g) 0,02

d) 8.902.000.000 h) 0,0768

4. Complete cada con el número correspondiente de modo que las igualdades resul-

ten verdaderas:

a) 45367 = 4,5367 . 10 �

b) 0,00005890 = 5,89 . 10 �

c) 4238,53 = 4,23853 . 10 �

d) 7,3 . 1015 = 73000 . 10 �


�� 34

e) 5,8 . 10-3 = 0,000058 . 10 �

5. Si cuenta con una calculadora científica, calcule:

a) 8730000000 . 439100000

b) 0,000000564 : 32000000

Uso de calculadora científica

Al resolver los cálculos anteriores su calculadora le devolvió resultados como

los siguientes:

• Para el ítem a): 3,83334318 . Este número está escrito utilizando notación

científica. Al leerlo, usted debe interpretar el siguiente resultado:

3,833343.1018 que es 3833343000000000000.

• Para el ítem b): 1.765-14 Este número también está escrito utilizando notación

científica y debe interpretarse como 1,765.10-14 que es 0,00000000000001765.

6. a) Intente resolver la siguiente cuenta con su calculadora científica:

367000000000000 + 566600000000

¿Qué es lo que ocurre? ¿Puede introducir todas las cifras de cada número en la

máquina?

b) Escriba la operación del ejercicio anterior expresando los números dados u s a n d o

notación científica.

'!��'��"

En la mayoría de las calculadoras comunes, se pueden cargar números de hasta10 ó 12 cifras. Es decir que los números dados para operar en el ítem 6. no sepueden cargar en esas máquinas. Entonces, ¿cómo hacer para operar en la cal-culadora con este tipo de números? Tenemos que expresarlos utilizando nota-ción científica.

La operación dada para resolver expresada utilizando notación científica nosqueda así: 3,67.1014 + 5,666.1011.

Para operar con la calculadora cargando los números expresados de estamanera tenemos que usar la tecla “EXP”

Para introducir en la calculadora el número 3,67.1014 , debe teclear:

3,67→EXP →14

y aparecerá en pantalla escrito así: 3,6714


�� &�!��'"��(!��#��)�� 35

c) Usando su calculadora, termine de resolver el cálculo pedido en el ítem 6. a).

Ejercic io Nº 23

1. En el cuadro que sigue le mostramos la distancia media al Sol de los planetas de

nuestro Sistema Solar:

Planeta Distancia media al Sol (en km)

Mercurio 58000000

Venus 108000000

Tierra 149000000

Marte 228000000

Júpiter 778000000

Saturno 1428000000

Urano 2873000000

Neptuno 4501000000

Plutón 5905000000

a) Exprese las distancias del cuadro utilizando notación científica.

b) Un año luz es la distancia que recorre la luz en un año y se utiliza para medir dis-

tancias astronómicas. Un año luz mide aproximadamente 9,46 . 1012 km. Exprese la

distancia media del Sol a cada uno de los planetas del cuadro en años luz.

2. Exprese cada una de las siguientes medidas utilizando notación científica:

a) Un virus mide aproximadamente 0,000000018 metros de ancho.

b) Las bacterias miden 0,000002 metros de diámetro.

c) Una molécula de hidrógeno mide alrededor de 0,00000001 cm de diámetro.

d) Una molécula de hemoglobina mide alrededor de 0,000001 cm de diámetro.

e) Un átomo mide aproximadamente 0,00000002 cm de diámetro.

3. a) Si compara una molécula de hidrógeno con una molécula de hemoglobina, ¿cuál

de ellas tiene mayor diámetro?

b) Si las moléculas de hidrógeno pudieran ponerse en fila, ¿cuántas moléculas serían

necesarias para equiparar el diámetro de una molécula de hemoglobina?


�� 36

Ejercic io Nº 24


"mapa" del recorrido por la Unidad. Le proponemos que:



a. ¿En qué actividades de la Guía de estudio fue tratado cada contenido?

b. ¿En qué parte del libro de texto que usted ha consultado (capítulo, situación y / o

páginas) fue tratado?






Si su respuesta es negativa en alguno de los casos, le indicamos que busque cuáles

son los contenidos involucrados en dichos propósitos y que rehaga las actividades que

trataron esos contenidos.

Le servirá de ayuda el cuadro que confeccionó en el ítem 3. de este ejercicio

Contenidos de la UnidadActividades de la Guía de

estudioReferencia del Libro


Ejercic io N° 1

1. En cada uno de los siguientes casos verifique, sin resolver la ecuación, que:

a) x = -4 es solución de la ecuación 3 x + 5 = -7

b) x = -5 es solución de la ecuación 7x + 45 = -2x

c) x = 3 es solución de la ecuación x2 - 9 = 0

d) x = -3 es solución de la ecuación x2 - 9 = 0

e) x = 0 es solución de la ecuación 5(x - 10) = x - 50

f) x = -4 es solución de la ecuación 7 - (3x - 6) = 2x + 33

g) x = es solución de la ecuación x + = 3x +

2. A continuación, en la columna de la izquierda aparecen varias ecuaciones y en la

columna de la derecha se proponen posibles soluciones de las mismas. Le pedimos

que, sin resolverlas, una con flechas cada ecuación con su o sus soluciones. Tenga en

cuenta que puede haber ecuaciones con más de una solución. Además puede haber

números de la columna de la derecha que sean solución de más de una ecuación y

otros que no sean solución de ninguna.

3x - 4 = x x = 0

x2 - 4 = 0 x =

5x = 8x x = 2

2(x - 4) = x - 8 x = 6

5x - 3x + 2 = 20 x = -2

7 - (2x - 7) = 0 x = -7

7 - (2 - x) : 4 = 6 x = -19

6 - (4x + 6) = 0 x = 9

x – = 13 x =

x= 11

70 + 5(2x - 40) = x - 10 x = 7

54

12

32

403

1

2

3

4

5

2

1

2

– – x = 2

�� &�!��'"��(!��#��)��, 37

��

UN

IDA

D 3

54

12


x = x

Ejercic io Nº 2

Resuelva las siguientes ecuaciones y verifique las soluciones que halle:

1. 3 . x + x - 25 - x = 11

2. 2 = 4 . x + x - 32 - 3 . x + 4

3. 3 . x - 7 = 1 + x

4. 2 . x - 28 + x = 4 - x

5. -2x - 5 = x + 7

6. 6 - (3 - x) : 5 = 2

7. -5x + 2x - 8 = -x - 12

8.

9. 3 . (x - 5) = x + 19

10. x = 2 . (3x + 20)

11. 8 - (4x - 7) = 35

12.

13.

14. 6x = -9x

15.

�� 38

x + . x – = –34

12

45

45

23

– x + = 2 . x +

2 . x – 1,3 = 4 . x +

32

52

14

43

23

23

54


Ejercic io N° 3

1. A continuación, en la columna de la izquierda hay frases escritas en lenguaje colo-

quial y en la columna de la derecha se escriben posibles traducciones de esas frases

a lenguaje simbólico. Le pedimos que una con una flecha cada expresión en lengua-

je coloquial con su correspondiente expresión simbólica.

2. Las expresiones simbólicas dadas son ecuaciones donde la incógnita es el número del

que se habla en la frase dada en lenguaje coloquial. Resuelva dichas ecuaciones para

encontrar cuál es ese número.

3. Verifique las soluciones halladas en cada caso.

La cuarta parte de la mitad de un número es 22.

Frases en lenguaje coloquial

Las tres cuartas partes de un número es 24.

La diferencia entre las dos quintas partes de un

número y 4 es 12.

Las dos quintas partes de la diferencia entre un

número y 4 es 12.

A la tercera parte de un número se le agrega 3 y se

obtiene 18.

Expresión simbólica

La suma entre las dos terceras partes de un número y

la mitad de ese número es 14.

La tercera parte de la suma entre un número y 3 es

18.

La suma entre la mitad de un número entero y la ter-

cera parte del siguiente de ese número es 17.

La mitad de la suma entre un número y 3 es igual que

la tercera parte de la diferencia entre ese número y 1.

(x + 3) = 1813

x + 3 = 181

3

(x – 4) = 122

5

x – 4 = 122

5

x = 243

4

. x = 221

4

1

2

x + (x + 1) = 171

2

1

3

x + x = 142

3

1

2

(x + 3) = (x – 1)1

21

3

�� &�!��'"��(!��'��)��, 39


�� 40

Ejercic io N° 4

Parte A

Un campo se divide en 2 parcelas que se dedican al cultivo de distintos cereales. Una de

esas parcelas ocupa de la superficie del campo y en ella se cultiva trigo. La otra par-

cela tiene una superficie de 48 hectáreas y está sembrada con maíz.

Teniendo en cuenta el enunciado anterior, responda las siguientes consignas:

1. ¿Cuál de las siguientes ecuaciones permite encontrar la superficie x (en hectáreas)

del campo?

2. Resuelva la ecuación que eligió en el ítem 1).

3. ¿Cuál es la superficie del campo medida en hectáreas?

4. ¿Cuántas hectáreas están sembradas con trigo?

5. Verifique la solución que halló en el ítem 2).

Parte B

A continuación le daremos algunos enunciados de problemas. Para cada uno de ellos:

• Identifique cuál es la incógnita.

• Plantee una ecuación que traduzca las condiciones dadas en el enunciado.

• Resuelva la ecuación que planteó.

• Conteste la o las preguntas planteadas en cada problema.

• Verifique la solución hallada.

Los enunciados son los siguientes:

1. Los dos tercios de un terreno están edificados. Si la parte edificada ocupa 320 m2,

¿cuál es la superficie del terreno?

2. Pedro gasta los tres quintos de su sueldo mensual durante 3 semanas. Le quedan $ 130.

¿Cuál es el sueldo de Pedro?

3. Un laboratorio elabora dos tipos de productos. Para eso utiliza la droga MT. Esta

droga está envasada en paquetes que contienen x gramos. En la elaboración de uno

de los productos se necesitan de un paquete de MT y para el otro producto las

tres cuartas partes de un paquete de dicha droga. Un día se abrieron y utilizaron dos

paquetes de MT para elaborar un producto de cada tipo y sobraron 170 gramos de

esa droga. ¿Cuántos gramos contiene cada paquete de MT?

5

13

4

10

• x + x = 485

13• x + 48 = x5

13• x + 48 = x5

13


4. Ignacio tiene que comprar 18 bidones de lavandina para su negocio. Por pago al con-

tado le hacen un descuento de $ 7. Ignacio paga $ 101 al contado por su compra.

¿Cuál es el precio de cada bidón de lavandina?

5. Un campo se divide en dos parcelas que se dedican al cultivo de distintos cereales.

Una de esas parcelas ocupa de la superficie del campo y en ella se cultiva trigo.

La otra parcela tiene una superficie de 72 hectáreas y está sembrada con maíz. ¿Cuál es

la superficie del campo en hectáreas? ¿Cuántas hectáreas están sembradas con trigo?

6. Un automovilista divide su viaje en tres etapas. En la primera recorre del camino,

en la segunda recorre del camino y en la tercera recorre 275 kilómetros. ¿Cuán-

tos kilómetros recorre en total? ¿Cuántos kilómetros recorre en la primera etapa? ¿Y

en la segunda?

7. Martín gastó de su sueldo mensual en gastos de supermercado, del resto del

sueldo en pagos de servicios y le quedaron $ 441 para otros gastos. ¿Cuánto dinero

cobró Martín? ¿Cuánto gastó en el supermercado? ¿Cuánto gastó en el pago de ser-

vicios?

8. Actualmente, Juan tiene de la edad que tendrá dentro de 6 años. ¿Cuántos años

tiene Juan?

Ejercic io N° 5

1. a) Verifique que son soluciones de la

ecuación 0 . x = 0

b) ¿Es posible encontrar algún otro número que resulte solución de la ecuación? Si su

respuesta es afirmativa indíquelo. Si su respuesta es negativa explique porqué no

es posible encontrar otro valor de x que resulte solución de la ecuación.

c) ¿Cuántos números podría encontrar que resulten ser solución de la ecuación?

d) En lugar de escribir la ecuación 0 . x = 0, ¿se podría escribir 0 = 0? Explique por qué.

2. a) Verifique que son soluciones de la

ecuación 4 . (x - 2) = 4x - 8

b) ¿Es posible encontrar algún otro número que resulte solución de la ecuación? Si su

respuesta es afirmativa indíquelo. Si su respuesta es negativa explique porqué no

es posible encontrar otro valor de x que resulte solución de la ecuación.

c) ¿Cuántos números podría encontrar que resulten ser solución de la ecuación?

x = -2, x = 0, x = 8, x = – , x = y x = 1000

�� &�!��'"��(!��'��)��, 41

3

11

2

72

5

3

102

5

2

3

6

5

x = -2, x = 0, x = 8, x = – , x = y x = 10002

3

6

5

2

3


3. Explique, con sus palabras, por qué la ecuación 0 . x = 0 tiene infinitas soluciones.

4. Resuelva la ecuación 4 . (x - 2) = 4x - 8. ¿Cuántas soluciones tiene?

5. Resuelva la ecuación .

Ejercic io N° 6

1. a) Explique, con sus palabras, por qué la ecuación 0 . x = 7 no tiene solución.

b) En lugar de escribir la ecuación 0 . x = 7, ¿se podría escribir 0 = 7? Explique por qué.

2. Resuelva la ecuación 3 . (x + 1) + x = 1 + 4x. ¿Cuántas soluciones tiene?

'!��'��"

En los Ejercicios Nº 5 y Nº 6 trabajamos con ecuaciones especiales (como lasde la página 120 del libro).

Las ecuaciones del Ejercicio Nº 5 tienen infinitas soluciones. Teniendo encuenta que cualquier valor de x multiplicado por 0 da por resultado 0, pode-mos explicar que la ecuación 0 . x = 0 tenga infinitas soluciones. Por lo tanto,la ecuación 0 . x = 0 es equivalente a 0 = 0.

Como conclusión: si al resolver una ecuación, llegamos a la igualdad 0 = 0,podemos interpretar que esa ecuación tiene infinitas soluciones.

Las ecuaciones del Ejercicio Nº 6 no tienen solución. Por ejemplo, la ecuación0 . x = 7 no tiene solución porque cualquiera sea el valor que se nos ocurra parax, al multiplicarlo por 0 el resultado nunca puede ser 7. La ecuación 0 . x = 7es equivalente a 0 = 7.

Como conclusión: si al resolver una ecuación, llegamos a que 0 es igual a unnúmero no nulo, podemos concluir que dicha ecuación no tiene solución.

Ejercic io Nº 7

Parte A

Trabajaremos ahora un tema que quedó pendiente de la Unidad 2: el procedimiento que

permite encontrar la fracción correspondiente a una expresión decimal periódica. Lo hare-

mos utilizando el libro Matemática En Red 8 EGB de López A. y Pellet, C., editorial A-Z.

En el Capítulo 3 - Números racionales:

Lea el recuadro "Para saber hacer" en la página 84.

�� 42

3 – x + = 4 – x + 2

5

2

5

11

10

1

4


�� &�!��'"��(!��'��)��, 43

Parte B

En el libro, usted ha leído un recurso para encontrar la expresión fraccionaria de algu-

nas expresiones decimales periódicas.

'!��'��"

Llamamos expresiones decimales periódicas puras a aquellas en que el períodocomienza inmediatamente después de la coma. Por ejemplo: 0,3 ó 0,7.

1. Convierta cada una de las siguientes expresiones decimales periódicas puras en frac-

ción utilizando el recurso de la página 84 del libro:

a) 0,8

b) 0,12

c) 0,135

'!��'��"

Las fracciones correspondientes a las expresiones decimales anteriores son, res-

pectivamente: , , y .

2. De acuerdo con los resultados obtenidos en el ítem 1.:

a) ¿Qué puede decir sobre los numeradores de cada una de las fracciones anteriores

respecto de su expresión decimal?

b) ¿Qué puede decir de sus denominadores?

c) De acuerdo con las observaciones que hizo en los ítems a) y b), escriba una regla

que sirva para convertir en fracción las expresiones decimales periódicas puras con

parte entera nula.

3. Convierta cada una de las siguientes expresiones decimales periódicas puras en fracción:

(Sugerencia: Por ejemplo, tenga en cuenta que 1,8 = 1 + 0,8 )

a) 1,8

b) 5,12

c) 27,135

89

1299

135999


�� 44

'!��'��"�

Llamamos expresiones decimales periódicas mixtas a aquellas en que elperíodo no comienza inmediatamente después de la coma. Por ejemplo: 1,23ó 24,3567.

4. Los siguientes procedimientos permiten expresar expresiones decimales periódicas

mixtas como fracción. Fueron realizados utilizando el recurso de la página 84 del

libro. Complételos.

a) Para x = 0,23

100 . x = …………..

10 . x = …………..

….…. . x = 23 - 2

x = …………

b) Para x = 1,573

1000 . x = ……………

100 . x = ……………

…… . x = 1573 - 157

x = ……….

c) Para x = 1,573

………… . x = 1573,73

………… . x = 15,73

990 . x = …………

x = …………

5. De acuerdo con los resultados obtenidos en el ítem 4.:

a) ¿Qué puede decir sobre los numeradores de cada una de las fracciones anteriores

respecto de su expresión decimal?

b) ¿Qué diría de sus denominadores?

c) De acuerdo con las observaciones que hizo en los ítems a) y b), escriba una regla

que sirva para convertir en fracción las expresiones decimales periódicas mixtas.


�� &�!��'"��(!��#��)��, 45

'!��'��"

A partir de lo hecho en los ítems 4. y 5., se puede observar que:

El numerador de la fracción correspondiente a una expresión decimal perió-dica mixta es el resultado de la resta entre "el número completo sin la coma"y la parte de ese número que no forma parte del período.

El denominador de dicha fracción está formado por tantos nueves como cifrastenga el período, seguidos de tantos ceros como cifras no periódicas tenga laparte decimal.

Parte C

1. Resuelva las Actividades 21) y 22) de la página 85 del libro Matemática En Red 8 EGB

de López A. y Pellet, C., editorial A-Z. Puede comparar sus respuestas con las dadas

en la página 264.

2. Resuelva la Actividad 37) b) de la página 89 del libro Matemática En Red 8 EGB de

López A. y Pellet, C., editorial A-Z. Puede comparar su respuesta con las dadas en la

página 265.

Ejercic io N° 8

Parte A

1. a) Decida si los números reales x = 4, x = 4,1, x = 3,9 verifican la inecuación x > 4.

b) Indique 10 valores de x que verifiquen la inecuación x > 4.

c) ¿Cuántos números reales x verifican la inecuación x > 4?

d) Represente, sombreando en la recta, el conjunto solución de la inecuación dada. Es

decir, sombree la parte de la recta que representa a todos los números reales que

verifican la inecuación dada.

'!��'��"

Cualquier número real mayor que 4 verifica la inecuación x > 4. Es decir quehay infinitos números que cumplen con la desigualdad planteada. Podemosrepresentar el conjunto solución de la inecuación x > 4, sombreándolo en unarecta. Así:


�� 46

También podemos indicar el conjunto solución de la inecuación de la siguien-te manera: {x ∈ R / x > 4}.

Si lo necesita, revea este tipo de simbología en el Ejercicio de Integración Nº 15de la Unidad 2.

Como vimos en el Ejercicio de Integración Nº 15 de la Unidad 2, este con-junto también se puede expresar usando notación de intervalo. En este caso,se trata de un intervalo sin fin a la derecha. Por eso, escribimos (4; +∞), quese lee "intervalo abierto 4, más infinito".

2. a) Decida si x = 4, x = 4,1, x = 3,9 verifican la inecuación x > 4.

b) Indique 10 valores de x que verifiquen la inecuación x > 4.

c) Represente, sombreando en la recta, el conjunto solución de la inecuación dada.

d) Exprese el conjunto solución de la inecuación usando un intervalo.

3. ¿Cuál es la diferencia entre el conjunto solución de la inecuación x > 4 y el conjunto

solución de la inecuación x > 4?

'!��'��"

En el conjunto solución de la inecuación x > 4 está el número 4 y además todoslos números reales mayores que 4. En cambio, en el conjunto solución de la ine-cuación x > 4 no está el 4, solo están los números reales mayores que 4.

Si usamos la notación de intervalos, indicamos esta diferencia de la siguientemanera:

[4; +∞) expresa que el 4 pertenece al intervalo,

(4; +∞) expresa que el 4 no pertenece al intervalo.

El intervalo [4; +∞) también se puede expresar como R>4. Con esta expresiónindicamos a todos los números reales mayores o iguales que 4.

El intervalo (4 ; + ∞) también se puede expresar como R>4. Con esta expre-sión indicamos a todos los números reales mayores que 4.

4. Una con flechas cada inecuación de la columna de la izquierda con su correspon-

diente conjunto solución expresado como intervalo en la columna de la derecha.


�� &�!��'"��(!��#��)��, 47

x < -2 (-2; + ∞)

-5 < x < -2 [-5; -2)

-5 < x < -2 (−∞; -2]

x > -2 [-5; -2]

-5 < x < -2 (-5; -2)

x > -2 (−∞; -2)

x < -2 (-5; -2]

-5 < x < -2 [-2; +∞)

Parte B

1. Verifique, sin resolver la inecuación, que x = -3, x = 0, x = 5, x = – y x = forman

parte del conjunto solución de la inecuación -2x + 3 > - 7

2. Compruebe que x = 5,2 y x = 17 no forman parte del conjunto solución de la inecua-

ción dada en el ítem anterior.

Ejercic io Nº 9

Manuel y Victoria participan de un juego con las siguientes instrucciones:

• El juego consta de un tablero, un bolillero y tarjetas con consignas.

• Cada bolilla tiene un número entero y cada tarjeta indica una operación.

• En cada jugada, se saca un número del bolillero y una tarjeta con la consigna que

deben cumplir ambos jugadores.

• Para iniciar el juego, cada participante debe sacar una bolilla con un número.

• Cada jugador mueve una ficha en un "tablero de posición" cuyo esquema se mues-

tra abajo.

• Después de cada jugada, se anota un punto para el jugador que queda más cerca

del FARO.

• El juego termina cuando alguno de los jugadores llega al FARO o después de 10

jugadas. En este caso, gana el jugador que acumula el mayor puntaje.

Veamos el desarrollo de las primeras jugadas entre Victoria y Manuel.

Para iniciar el juego y ubicar las fichas en el tablero, Manuel sacó una bolilla con el núme-

ro -4 y Victoria sacó una con el número 4. Por lo tanto, sus fichas quedaron ubicadas así:

12

72


�� 48

Para hacer la primera jugada, sacaron el número 2 del bolillero y una tarjeta de consig-

na que decía: "sumen". Las posiciones en el tablero quedaron como se indica en el

esquema de abajo:

Como puede observar, Victoria quedó más cerca del FARO que Manuel. Es decir que la

ficha de Victoria quedó a la derecha de la ficha de Manuel, porque se verifica la desi-

gualdad 6 > -2. Por lo tanto, el puntaje asignado por esta jugada es:

Victoria Manuel

1 0

En la segunda jugada, sale el número 3 del bolillero y la tarjeta correspondiente dice:

"resten". Por lo tanto, quedan ubicados así:

Después de esta jugada el puntaje es:

Victoria Manuel

2 0

¿Por qué?

En la tercera jugada, sale el -2 del bolillero y la tarjeta correspondiente dice: "resten".

Por lo tanto, la ubicación en el tablero y los puntajes correspondientes son:

Victoria Manuel

3 0


�� &�!��'"��(!��'��)��, 49

Parte A

En la cuarta jugada, sale el 2 del bolillero y la tarjeta correspondiente dice: "multipliquen".

Teniendo en cuenta esta información:

Ubique las fichas de Manuel y de Victoria en el esquema siguiente y señale el puntaje de

cada uno de ellos en el cuadro correspondiente.

Victoria Manuel

'!��'��"

Podemos resumir las cuatro jugadas en el siguiente cuadro. En las desigualda-des dadas en la columna "Justificación del puntaje" figura siempre la posiciónde Victoria en primer lugar.

Parte B

1. Teniendo en cuenta que gana el que obtiene más puntaje al cabo de 10 jugadas,

¿piensa que Manuel tiene oportunidad de ganar? Si piensa que sí, indique ejemplos

de números y consignas que deberían salir en las siguientes jugadas que le den a

Manuel la posibilidad de ganar. Si piensa que no, explique por qué.

Jugada Nº

Númerodel

bolilleroPosiciones en el tablero

Puntaje

Victoria Manuel

Justificación de

puntaje

Consigna de la

tarjeta

inicio -4 y 4

6 > -2

3 > -5

5 > -3

10 > -6

1 2 1 0sumen

2 3 2 0

3 0

resten

3

4

-2

2 4 0

resten

multipli-quen


�� 50

2. El juego sigue. En la quinta jugada sale -1 y la consigna "multipliquen". De acuerdo

con esta información:

a) Represente la ubicación de la ficha de cada jugador.

b) ¿Qué observa respecto de las posiciones de las fichas de Manuel y de Victoria?

c) Indique el correspondiente puntaje de Victoria y Manuel hasta la quinta jugada.

Victoria Manuel

3. a) Dé un ejemplo de sexta jugada que favorezca a Victoria.

b) Dé un ejemplo de sexta jugada que favorezca a Manuel.

4. En el siguiente cuadro resumimos desde la quinta hasta la décima jugadas del juego

ya iniciado. Le pedimos que complete el cuadro. Recuerde que en la "Justificación del

puntaje" debe figurar la posición de Victoria en primer lugar.

5. ¿Quién ganó esta partida del juego?

6. De acuerdo con lo observado en el juego, ¿en qué casos las fichas de Victoria y de

Manuel intercambian posiciones en el tablero? Explíquelo, con sus palabras, tenien-

do en cuenta la operación que aparece en la consigna de la tarjeta y la característica

del número que sale del bolillero cuando ocurre ese intercambio.

Jugada Nº

Númerodel

bolilleroPosiciones en el tablero

Puntaje

Victoria Manuel

Justificación de

puntaje

Consigna de la

tarjeta

5 -1 4 1 -10 < 6

-5 < 3

multipli-quen

6 2 4 2dividan

7 -1 sumen

8

9

-2

3

dividan

multipli-quen

10 – .multipli-

quen13


�� &�!��'"��(!��'��)��, 51

'!��'��"

En el juego, observamos que las posiciones de las fichas de Manuel y de Victo-ria cambian de orden en el tablero cuando la consigna de la tarjeta es "multi-pliquen" o "dividan", y el número del bolillero es negativo. Cuando las con-signas son "sumen" o "resten" las fichas de los dos jugadores no cambian deorden entre sí salga el número que salga en el bolillero. Tampoco cambian si lasconsignas son "multipliquen" o "dividan" y el número del bolillero es positivo.

Si se tienen en cuenta las desigualdades, se puede observar lo dicho anterior-mente en la última columna de los cuadros.

Parte C

Se empieza otra partida entre los mismos jugadores. Ahora llamaremos x a una posible

posición inicial de Victoria. Después de la segunda jugada resulta que la posición de Vic-

toria en el tablero cumple la desigualdad 3x - 2 < 7.

1. a) Le pedimos que complete el siguiente cuadro, con la intención de averiguar cuáles

pueden haber sido las posibles posiciones iniciales de Victoria. Para eso, tenga en

cuenta cómo se "arma" la expresión 3x - 2 a partir de la posición inicial x.

b) ¿Cuál es una posible posición inicial de Victoria?

c) ¿Esta posible posición es única? En caso afirmativo indique el por qué de su res-

puesta. En caso negativo, indique otra posible posición inicial para Victoria.

d) ¿Cuántas serían las posibles posiciones iniciales de Victoria? ¿Por qué?

e) Al finalizar la segunda jugada, ¿quién está ganando?

f) Observe la última columna del cuadro. Teniendo en cuenta lo que hizo para com-

pletarla explique a sus compañeros los pasos que debería realizar para pasar de

una desigualdad a otra de la columna, partiendo de la desigualdad correspon-

diente a la segunda jugada para llegar a obtener la desigualdad que da las posi-

ciones iniciales de Victoria.

Jugada Nº

Númerodel

bolillero En el tablero

Puntaje

Victoria ManuelComo

desigualdad

Consigna de la

tarjeta

2da 3 x - 2 7 3x - 2 < 7resten

1era 3

Inicio x

Posiciones indicadas


�� 52

g) En cada una de esas desigualdades, ¿qué representa x?

h) Los posibles valores de x, ¿se modifican en cada una de las desigualdades o siguen

siendo los mismos?

i) ¿Cuál de las desigualdades nos indica en forma inmediata todas las posibles posi-

ciones iniciales de Victoria?

2. a) El cuadro que sigue se refiere a otra partida entre los mismos jugadores. Complé-

telo como lo hizo en el ítem anterior.

b) ¿Cuáles son las posibles posiciones iniciales x de Victoria?

c) ¿Quién está ganando al finalizar la segunda jugada?

d) Observe la última columna del cuadro. Teniendo en cuenta lo que hizo para comple-

tarla explique a sus compañeros los pasos que debería realizar para pasar desde la

desigualdad de la segunda jugada a la desigualdad que da las posiciones iniciales.

e) En cada una de esas desigualdades, ¿qué representa x?

f) Los posibles valores de x, ¿se modifican en cada una de las desigualdades o siguen

siendo los mismos?

g) ¿Cuál de las desigualdades responde en forma inmediata a la pregunta del ítem b)?

'!��'��"

Para resolver una inecuación debemos tener en cuenta las conclusiones queobtuvimos con el juego. Estas son:

• Si se suma o se resta un mismo número en los dos miembros de una desi-gualdad, se mantiene el sentido de la desigualdad.

• Si se multiplica o divide a ambos miembros de una desigualdad por unmismo número positivo, la desigualdad mantiene su sentido.

• En cambio, si se multiplica o divide a ambos miembros de una desigualdadpor un mismo número negativo, cambia el sentido de la desigualdad.

Jugada Nº

Númerodel

bolillero En el tablero

Puntaje

Victoria ManuelComo

desigualdad

Consigna de la

tarjeta

2da 5 -3x - 5 > 4resten

1era -3 -3 . x .

Inicio x .

Posiciones indicadas


�� &�!��'"��(!��'��)��, 53

Si observa la última columna del cuadro anterior, puede notar que en cada filahay una inecuación equivalente a la de la fila de arriba. Decimos que son equi-valentes porque tienen los mismos valores posibles de x como solución. Esdecir, todas ellas tienen el mismo conjunto solución.

Dichas inecuaciones son: 3x - 5 > 4

-3x > 9

x < -3

¿Coinciden con las que dio usted?

Observe que:

• Para pasar de la primera inecuación a la segunda, se suma 5 a ambosmiembros de la desigualdad:

-3x - 5 + 5 > 4 + 5 o sea -3x > 9

• Para pasar de la segunda inecuación a la tercera, se divide por -3 a ambosmiembros de la desigualdad:

o sea x < -3.

Acá cambió el sentido de la desigualdad porque se divide a ambos ladosde la desigualdad por un número negativo.

En la última inecuación podemos leer fácilmente que las posibles posicionesiniciales x de Victoria, son las posiciones menores que -3.

Los pasos que se acaban de realizar forman la resolución analítica de la ine-cuación -3x - 5 > 4. Los números menores que -3 forman su conjuntosolución.

Podemos representar el conjunto solución en la recta numérica. Así:

También podemos expresar el conjunto representado utilizando lenguajesimbólico. Así:S = (-∞ ; -3)

Esta expresión representa al conjunto de todos los números reales menores que-3 y la leemos: intervalo abierto "menos infinito, menos tres".

La solución de la inecuación 3x - 2 < 7 es el intervalo abierto "menos infini-to, tres". Esto se escribe simbólicamente así: S = (-∞ ; 3).

<3x

-3

-9

-3


�� 54

Ejercic io N° 11

• Resuelva las siguientes inecuaciones.

• Represente en la recta el conjunto solución de cada una de ellas.

• Exprese el conjunto solución de cada una utilizando notación de intervalos.

1) 3x - 12 > 36 6) 3(x - 4) < -6

2) -2x - 7 < 3 7) (x - 5) : 4 > 2

3) x : 6 > -2 8) (x + 1) : (-3) < -4

4) x : 3 - 5 < 8 9) 3x - 5x + 3 > 7

5) 1 + x : 5 > -3 10) (x - 3) . 2 + 3x < 4

Ejercic io N° 12

1. Entre las inecuaciones que se dan a continuación, elija la inecuación que le permita

resolver el siguiente problema y resuélvala.

La empresa de electricidad TODELEC cobra $ 0,5 por kwh consumido y un cargo fijo

de $ 4 por mes. ¿Cuánta electricidad debe consumir una familia si no quiere pagar

más de $ 50 por mes?

• 4x + 0,5 < 50 • 0,5 x + 4 > 50· • 4x + 0,5 < 50

• 0,5x + 4 > 50 • 0,5x + 4 < 50 • 0,5x + 4 < 50

2. Plantee una inecuación que le permita resolver el siguiente problema y resuélvala.

En una empresa deciden que el jefe de sección cobre $ 50 menos que el doble de lo que

cobran sus empleados. También deciden que el jefe debe cobrar por lo menos $ 2500 por

mes. ¿Cuál será el sueldo mensual de los empleados?

Ejercic io N° 13









�� &�!��'"��(!��'��)��, 55













�� 56


MATEMATICA

�� &�!��'"��(!��'��)��. 57

��

Ejercic io N° 1

Para realizar este ejercicio usted debe completar el siguiente cuadro. Para hacerlo debe

tener en cuenta las actividades que resolvió en la Guía y el Libro.

UN

IDA

D 4

Tema VocabularioEn la situación

de la lista de pre-cios de Don Juan

Simbología

Función

f: A �B / y = f(x)

"Una funciónes:

...........................................

(complete)

Conjunto departida

Cantidades ven-didas de café

En la funciónf: A�B/ y = 2x

A = {2 ; 3}

Conjunto dellegada

precios del café B = {4 ; 6 ; 7}

Dominio

ConjuntoImagen

Im f = {4 ; 6}

Imagen dea, para a ∈ A

10 es imagen de1, porque $10 esel precio de 1 kg

de café.

b = f(a)

Preimagen oimagen

inversa deun elemento

b ∈ B

Fórmula y = f(x)

Par ordenado

Representa-ción gráfica

(a ; b)

TablaLista de precios

de Don Juan


�� 58

Ejercic io N° 2

La relación r de A en B dada en la tabla vincula los días de la primera semana de julio

de cierto año con la temperatura mínima registrada en cada uno de esos días en la ciu-

dad de Buenos Aires:

Tenga en cuenta que A = {1 ; 2 ; 3 ; 4 ; 5 ; 6 ; 7} y B = R.

R es el conjunto de los números reales que presentamos en la Unidad 2.

Responda las siguientes preguntas:

1. ¿Qué temperatura mínima se registró en la ciudad de Buenos Aires el 3 de Julio?

2. ¿Qué día se registró una temperatura mínima de 2 ºC bajo cero en la ciudad de Bue-

nos Aires?

3. Determine r(4) y r-1(1).

4. Interprete cada uno de los valores determinados en el ítem 3. en términos de la situa-

ción de las temperaturas mínimas que estamos analizando.

5. ¿Cuál es el dominio de la relación r?

6. Escriba el conjunto imagen de la relación r.

7. Escriba todos los pares ordenados de la relación r.

8. La relación r, ¿es función? Justifique su respuesta.

9. Represente la relación r en un sistema coordenado cartesiano.

Ejercic io N° 3

El siguiente gráfico expresa la cantidad de litros de combustible que tiene un tanque en

cada instante t (medido en minutos) de un período de tiempo durante el que se regis-

tra la variación de su contenido. Se considera t = 0 al momento en el que se iniciaron los

registros.

Día x 1 2 3 4 5 6 7

-3 -2 -1 0 -1 1 2Temperatura

mínima y (en ºC)


�� &�!��'"��(!��'��)��. 59

Responda las siguientes consignas a partir de la representación gráfica:

1. ¿Qué cantidad de combustible tenía el tanque en el momento en que se iniciaron los

registros?

2. ¿Qué cantidad de combustible queda en el tanque luego del tercer minuto de registros?

3. ¿En qué instante del período de registro el tanque tuvo 25 litros?

4. Complete la siguiente tabla de valores, en la que c representa a la cantidad de com-

bustible que hay en el tanque en cada minuto t:

5. ¿Durante cuánto tiempo se realiza el registro de la cantidad de litros de combustible

que tiene el tanque? Escriba el período de tiempo pedido utilizando lenguaje de con-

juntos.

Si no puede responder lo pedido en relación con el lenguaje de conjuntos retome lo trabajado en

los Ejercicios de integración correspondientes a la Unidad 2. Más específicamente, retome lo rea-

lizado en el Ejercicio Nº 15.

6. En términos de la función que describe el gráfico, ¿qué nombre se le da al conjunto

escrito en el ítem 5.?

7. ¿Cuál de las siguientes fórmulas expresa la cantidad c de litros de combustible que

tiene el tanque en cada minuto t del período de registro?

c = 5 . t + 40 c= t + 40 c= - t + 40 c = - 5 t + 40

8. ¿Cuál es el conjunto imagen de la función que expresa la cantidad de litros de com-

bustible que tiene el tanque en cada minuto de registro? Para responder tenga en

cuenta la representación gráfica, la tabla o la fórmula que acaba de seleccionar.

9. Escriba en lenguaje simbólico una función c que exprese lo mismo que la representa-

ción gráfica dada. Esta función, ¿es única? ¿Por qué?

10.Para la función c escrita en el ítem anterior determine c(2,5) y c-1(15).

11.Exprese cada uno de los valores calculados en el ítem 10. en términos de la situación

del registro de la cantidad de combustible del tanque.

12.Si el tanque continuara vaciándose del mismo modo que durante los 20 minutos

registrados en el gráfico, ¿cuánto tiempo más debería transcurrir hasta que se acabe

el contenido del tanque?

t (en minutos) 0 5 10 15 20

c (litros)


�� 60

Ejercic io N° 4

En un bar consumen mensualmente entre 5 y 9 litros de detergente. La siguiente fun-

ción expresa el gasto y (en pesos) del bar de acuerdo con la cantidad x (en litros) de

detergente que utiliza mensualmente:

f: [5 ; 9]� R / y = f(x) = 1,25 . x

Responda las siguientes consignas a partir de la información anterior:

1. Identifique el conjunto de partida y el conjunto de llegada de la función f.

2. ¿Cuánto dinero gastaron en detergente en el bar un mes en el que se utilizaron 7

litros y medio?

3. ¿Cuántos litros de detergente se usaron en el bar un mes en el que el gasto en ese

rubro fue de $ 10?

4. Exprese las preguntas planteadas en los dos ítems anteriores en lenguaje matemático.

5. Calcule f(7) y f-1(11,25).

6. Exprese los dos valores calculados en el ítem 5. en términos de la situación del gasto

en detergente.

7. Complete la siguiente tabla de valores para encontrar algunos pares ordenados de la

función f:

8. Escriba el dominio y el conjunto imagen de la función f.

9. Represente la función f en un sistema coordenado cartesiano.

Ejercic io N° 5

En la siguiente tabla se muestran las diferentes posiciones de un móvil en los instantes

t indicados:

x 5 6,5 7 8,25 9

f (x)

Tiempo t (en segundos) 0 1 2 3 4

0 1 4 9 16Posición y (en metros)


�� &�!��'"��(!��'��)��. 61

Parte A

Responda las siguientes preguntas a partir de la información dada en la tabla:

1. Escriba todos los pares ordenados que pueden determinarse a partir de los valores de

la tabla.

2. ¿Qué expresa el par ordenado (2 ; 4) en términos de la situación de las posiciones del

móvil?

3. ¿Qué posición tiene el móvil después de 3 segundos?

4. ¿Después de cuántos segundos el móvil había recorrido 4 metros?

5. Escriba las preguntas planteadas en los ítems 3. y 4. en lenguaje simbólico.

6. Si a partir de la tabla definimos una relación s que exprese la posición del móvil en

los instantes t dados, ¿cuál podría ser el conjunto de partida de la relación? ¿Y el con-

junto de llegada?

7. Elija cuál de las fórmulas dadas a continuación permite calcular la posición y del móvil

en cada instante t:

y = 2. t y = t + 2 y = t2 y = 2t

8. A partir de los conjuntos de partida y de llegada dados en el ítem 6. y de la fórmula

elegida en el ítem 7. escriba la relación s en lenguaje simbólico.

9. La relación s, ¿es función? Justifique su respuesta.

10.Indique el dominio y el conjunto imagen de la relación s.

11.Represente la relación s en un sistema coordenado cartesiano.

Parte B

La función f: {t ∈ R / 0 < t < 4} � {y ∈ R / 0 < y < 16} / y = f(t) = t2,

1. ¿Puede expresar las posiciones del móvil en cada instante t? ¿Por qué?

2. ¿Cuál es el conjunto de partida de la función f? ¿Cuál es el conjunto de llegada?

3. ¿Cuál es la fórmula de la función f?

4. ¿Qué diferencias y qué similitudes observa entre la función s que dio en la Parte A

y la función f dada en esta Parte B? Para responder compare el conjunto de parti-

da, el conjunto de llegada y la fórmula de la función f con estos mismos datos de

la función s.

5. Hablando en términos de la situación de las posiciones del móvil en cada instante t,

¿a qué se deben las diferencias y similitudes observadas entre ambas funciones en el

ítem 4.?


�� 62

6. A partir de la fórmula de la función f, y usando la calculadora cuando lo necesite,

encuentre las posiciones del móvil para los valores de t indicados en la tabla que

sigue:

7. Represente la función f en un sistema coordenado cartesiano.

8. ¿Qué diferencia observa entre las representaciones gráficas de las funciones s y f?

¿A partir de qué datos quedan determinadas estas diferencias?

9. Indique el dominio y la fórmula de la función h representada a continuación:

10.La función h, ¿puede expresar las posiciones del móvil en cada instante t? ¿Por qué?

Ejercic io N° 6

En un taller de artesanías se cortan placas metálicas con las dimensiones que los clien-

tes soliciten. Al taller llega el siguiente pedido:

Tiempo t (en segundos) 1,5 3 1,973

2,6

Posición y (en metros)


�� &�!��'"��(!��'��)��. 63

"Cortar 8 placas como la dibujada a la derecha:

La medida x del ancho de cada placa, debe ser respectivamente: 0,125 m; 0,25 m; 0,375

m; 0,5 m; 0,625 m; 0,75 m; 0,875 m y 1 m. Cada una de las placas debe tener una super-

ficie igual a 1 metro cuadrado".

Si llamamos y a la medida del largo de la placa, como la superficie de cada placa debe

ser de 1 metro cuadrado, la relación que se debe verificar entre la medida y del largo y

la medida x del ancho es: x . y = 1

Tenga en cuenta que la superficie de la placa se calcula multiplicando la medida del largo por la

medida del ancho.


1. ¿Considera que se puede obtener la medida y del largo de cada placa a partir de la

información dada sobre la relación que se verifica entre el largo y el ancho? Explique

cómo lo haría.

2. Un empleado del taller puso los datos que tenía en una tabla como la que sigue y

expresó cada uno de los valores del ancho x como una fracción. Luego calculó la

medida y del largo correspondiente. Complete los datos que faltan en la tabla:

3. De acuerdo con las cuentas realizadas para completar la tabla, escriba una fórmula

que permita calcular la medida y del largo de las placas de un metro cuadrado de

superficie, dada la medida x del ancho.

4. Para la relación p que vincula la medida x del ancho con la medida y del largo de las

placas de superficie 1 m2, escriba:

a) El conjunto de partida y el conjunto de llegada de la relación p.

b) La fórmula que permite encontrar los valores de y a partir de los valores de x.

c) Escriba la relación p en lenguaje simbólico.

Medida x delancho (en metros)

0,125 = 0,25 = 0,375 =18

0,5 = 12

1 = 11

0,625 = 0,75 = 0,875 =

483

Medida y del largo(en metros)

x


�� 64

d) Escriba todos los pares (medida x del ancho; medida y del largo) de la relación p.

e) Represente los pares ordenados de la relación p en un sistema coordenado cartesiano.

f) La relación p, ¿es función? Justifique su respuesta.

5. Escriba el conjunto de partida, el conjunto imagen y la fórmula correspondiente a la

función f representada a continuación:

6. ¿Qué diferencias y qué similitudes observa entre la representación gráfica de la fun-

ción p que hizo en el ítem 4. e) y la representación gráfica de f dada en el ítem 5.?

7. Un compañero necesita que usted le explique cómo realizar la representación gráfi-

ca de la función f. Escriba con sus palabras qué indicaciones le daría.

8. Represente la función g: [-3 ; 5]→ R / g(x) = 2 . x - 3 utilizando las indicaciones dadas

a su compañero.

Ejercic io N° 7

Parte A

1. Represente en un sistema coordenado cartesiano el conjunto solución de cada una de

las ecuaciones dadas a continuación:

a) y = 1,5 . x b) y = -1,5 . x

c) y = 2x - 3 d) y = -2x + 5

e) y = 4 f) x = -1


�� &�!��'"��(!��'��)��. 65

2. Represente en un sistema coordenado cartesiano el conjunto solución de cada una de

las inecuaciones planteadas a continuación:

a) y > 1,5 . x b) y > 1,5 . x

c) y < 1,5 . x d) y < - 1,5 . x

Parte B

Para cada una de las siguientes representaciones gráficas, escriba la ecuación o la ine-

cuación correspondiente:

Ejercic io N° 8

En la siguiente tabla se muestran, para cada año de un colegio secundario, los prome-

dios obtenidos por los alumnos:

Año x 1 2 3 4 5

5,5 6,3 6,2 5,8 5,2Promedio de notas y


�� 66

1. Si la tabla anterior describe a cada una de las relaciones que se dan a continuación,

¿cuál o cuáles de ellas son funciones? ¿Por qué?

f: N → R / y = f(x)

g: {1; 2; 3; 4; 5} → Q / y = g(x)

h: {1; 2; 3; 4; 5} → R / y = h(x)

j: {1; 2; 3; 4; 5} → [0 ; 10] / y = j(x)

2. Indique el dominio y el conjunto imagen de cada una de las relaciones dadas en el

ítem anterior.

Ejercic io N° 9

Entre el conjunto de los habitantes de la República Argentina y el conjunto de números

naturales N se establecen las siguientes relaciones:

a) A cada habitante se le hace corresponder su edad en años.

b) A cada habitante se le hace corresponder su número de DNI.

c) A cada habitante se le hace corresponder la cantidad de hermanos que tiene.

Analice si cada una de las relaciones anteriores son funciones. Explique el por qué de

cada una de sus respuestas.

Ejercic io N° 10

1. Indique si las siguientes relaciones son funciones. Justifique sus respuestas.

a) f: {7 ; 12 ; 17 ; 22} → N / f(x) = x + 5

b) g: {0 ; 2 ; 4 ; 6 ; 8 ; 10} → {0 ; 1 ; 2 ; 3 ; 4 ; 5 ; 6 ; 7 ; 8} / g(x) = x : 2

c) h: {1 ; 2 ; 3 ; 4 ; 5} → {0 ; 1 ; 2 ; 3} / h(x) = - x + 2

d) j: {1; 3; 5; 7; 9} → {2; 4; 6; 8; 10} /

x 1 3 5 7 9

j (x) 8 2 4 6 10

e) k: N → N / k(x) = x : 2

f) l: N → Z / l(x) = - x + 2

g) m: N → Z / m(x) = - x + 2

h) n: {0 ; 1 ; 2 ; 3 ; 4} → {0 ; ; 1 ; ; 2 ; } / n(x) = 1

2

3

25

21

x


�� &�!��'"��(!��'��)��. 67

i) o: N → N / o(x) =

j) p: R → R / o(x) =

k) q: {1; 3; 5; 7; 9} → {2; 4; 6; 8; 10} /

x 1 3 5 7 9

q (x) 8 2 4 6 10

l) r: {1; 3; 5; 7; 9} → {2; 4; 6; 8; 10} /

x 1 3 5 7 9

q (x) 4 4 4 4 4

2. Determine f(7), g(6), h(3), j(9), k(3), l(8) y n(0). En los casos en que no exista el valor

pedido, indique cuál es la razón que provoca su inexistencia.

3. Determine f-1 (22), m-1 (-6) y p-1 (8). Escriba todos los cálculos que realice para res-

ponder.

Ejercic io N° 11

De una relación h se sabe que cumple con todas las condiciones que siguen:

• El conjunto de partida de h es: {-2 ; 0 ; 1 ; 3 ; 4}

• El conjunto de llegada de h es: {0 ; 1 ; 2 ; 3 ; 4 ; 5}

• h(-2) = 5

• h-1(4) = 3

• El par (0 ; 0) pertenece a la relación h.

• La imagen de 1, que es 2, coincide con la imagen de 4.

De acuerdo con la información anterior:

1. Determine todos los pares de la relación h.

2. Represente la relación h en un sistema de coordenadas cartesianas.

3. Decida si la relación h es función.

4. Escriba el dominio y el conjunto imagen de h.

1x1x


�� 68

Ejercic io N° 12

Parte A

Una empresa telefónica cobra, por bimestre, una suma fija de $ 30 más $ 0,05 por cada

pulso consumido.


1. ¿Cuánto se debe pagar en una vivienda que está deshabitada y en la que no se con-

sumen pulsos telefónicos en todo el bimestre?

2. ¿Cuánto paga una vivienda que consumió 245 pulsos en un bimestre?

3. ¿Y otra en la que se consumieron 456 pulsos?

4. ¿Qué cuenta realiza para calcular la cantidad de pesos a pagar de acuerdo con la can-

tidad de pulsos utilizados?

5. Si llamamos x a la cantidad de pulsos, e y a la cantidad de pesos a pagar, escriba una

fórmula que permita calcular el valor de y a partir de x.

6. ¿Cuál de las siguientes funciones puede expresar la situación de las tarifas de la

empresa telefónica? Explique el por qué de su elección.

• f: R → R / f(x) = 0,05 . x + 30

• g: R > 0→ R / g(x) = 0,05 . x + 30

R > 0 representa al conjunto de los números reales mayores o iguales que cero. Si le resulta nece-

sario, puede volver a trabajar con estas formas de expresión en los ejercicios de integración de las

unidades 2 y 3.

• h: N → N / h(x) = 0,05 . x + 30

• j: N → R / j(x) = 0,05 . x + 30

7. A partir de la función que eligió en el ítem 6., ¿es posible estimar cuál será la tarifa

a pagar si se consumen 621 pulsos en un bimestre? Si su respuesta es afirmativa, indi-

que la tarifa. Si su respuesta es negativa, explique con sus palabras por qué no puede

hacerlo.

Parte B

Una empresa de electricidad cobra bimestralmente un cargo fijo de $ 20 más un cargo

variable en el que por cada kilowatt hora consumido se cobran $ 0,05.

Escriba una función que permita calcular el valor de la tarifa y a pagar de acuerdo con

el consumo x de kilowatts hora bimestrales.


�� &�!��'"��(!��'��)��. 69

Ejercic io N° 13




2. Lea los contenidos de la Unidad y para cada uno de ellos identifique:




3. Confeccione un cuadro con el encabezado que le damos a continuación y complételo

teniendo en cuenta lo que pensó en el ítem 2.




Si su respuesta es negativa en alguno de los casos, busque cuáles son los contenidos invo-

lucrados en dichos propósitos y rehaga las actividades que trataron esos contenidos. Le

servirá de ayuda el cuadro que confeccionó en el ítem 3. de este ejercicio.




�� 70


MATEMATICA

71

��

�� &�!��'"��(!��'��)��%

Ejercic io N° 1

Le pedimos que complete un cuadro cuyo encabezado sea como el que le damos a conti-

nuación. Los temas que deberá incluir en el cuadro son: ángulos opuestos por el vértice -

ángulos adyacentes - bisectriz de un ángulo - ángulos complementarios - ángulos suple-

mentarios - ángulos correspondientes entre paralelas - ángulos alternos internos entre

paralelas - ángulos alternos externos entre paralelas - ángulos conjugados internos entre

paralelas - ángulos conjugados externos entre paralelas. A modo de ejemplo, le mostramos

lo que tiene que realizar usando con el tema "Ángulos opuestos por el vértice":

Ejercic io Nº 2

En la columna de la izquierda se escriben frases incompletas. Debe completarlas usando

las frases escritas en la columna de la derecha.

UN

IDA

D 5

TemaPropiedades y / ocaracterísticas más

importantes

Representación gráfica o geomé-trica

Angulos opuestospor el vértice

opuesto por el vértice a

opuesto por el vértice a

Los ángulosopuestos porel vértice soncongruentes

o iguales

=

=

Enunciado Símbolos

Frases incompletas

suman 180º

son iguales

Los ángulos complementarios ...

Los ángulos correspondientes entre paralelas ...

Los ángulos agudos de un triángulo rectángulo ...

Los ángulos suplementarios ...

Los ángulos alternos entre paralelas ...

Los ángulos interiores de un triángulo ...

suman 90º

Los ángulos adyacentes ...

Los ángulos conjugados entre paralelas ...

Los ángulos opuestos por el vértice ...


�� 72

Ejercic io Nº 3

Resuelva los siguientes problemas:

1. El plano de la casa de la familia Blanco es el que se reproduce a continuación:

El carpintero construyó una biblioteca a medida y la ubicó en el ángulo marcado en el

living. Pero la familia ha decidido cambiarla de lugar.

a) ¿En qué otro u otros lugares de la casa podría ubicarla?

b) ¿De qué manera nombra la Matemática a cada uno de los pares de ángulos deter-

minados entre cada nueva ubicación posible y la antigua ubicación del mueble?

2. En cada uno de los casos que siguen, calcule las medidas de los ángulos y :

a) m / / n

b) m / / n ; a / / b


c) m / / n / / r ; a / / b

d) m / / n / / r

= 2x – 34º

= x + 39º

e) El ángulo es complementario del ángulo y se sabe que mide el cuádruplo

de .

f) Los ángulos y son suplementarios y se sabe que = 2(x – 17º) y = x + 39º.

Ejercic io Nº 4

Usted ya trabajó todo lo referente a triángulos en la Guía y el libro. En este ejercicio le

pedimos que organice lo leído y trabajado de alguna forma que le resulte cómoda. Para

ayudarlo le decimos cuáles son los temas sobre los que queremos que organice la infor-

mación y todo lo que debe incluir sobre cada uno de ellos.

1. Clasificación de triángulos según sus lados. No deben faltar: los nombres que reciben

los triángulos según las medidas de sus lados; un ejemplo gráfico de cada uno y la

característica que distingue a cada uno de ellos.

2. Clasificación de triángulos según sus ángulos. No deben faltar: los nombres que reci-

ben los triángulos según las medidas de sus ángulos; un ejemplo gráfico de cada uno

y la característica que distingue a cada uno de ellos.

�� &�!��'"��(!��'��)��% 73

1

2

1

2


�� 74

3. Propiedad de la suma de los ángulos interiores de un triángulo. No debe faltar:

representación geométrica; notación simbólica y enunciado de la propiedad.

4. Propiedad de un ángulo exterior de un triángulo. No debe faltar: representación

geométrica; notación simbólica y enunciado de la propiedad.

5. Propiedad de los ángulos interiores de un triángulo isósceles. No debe faltar: repre-

sentación geométrica; notación simbólica y enunciado de la propiedad.

6. Alturas de un triángulo. No debe faltar: representación gráfica de las alturas en un

triángulo de cada tipo de las clasificaciones vistas según sus ángulos.

7. Teorema de Pitágoras. No debe faltar: representación geométrica; notación simbóli-

ca y enunciado del teorema.

Ejercic io Nº 5


1. Las fichas de un juego tienen distintas formas. Algunas de ellas son triángulos equilá-

teros y otras son triángulos isósceles rectángulos. Para fabricarlas se necesita saber

cuánto miden sus ángulos interiores. Calcule cuánto miden los ángulos interiores de

cada tipo de fichas.

2. Un señor que trabaja en albañilería debe colocar un piso combinando cerámica con

madera. El siguiente dibujo se repite en todo el piso:

La figura sombreada es de madera. El ángulo señalado mide 20°.

Para obtener las partes de madera, este señor cuenta con placas rectangulares. Sobre

una placa, como la dibujada abajo, ha marcado por dónde va a realizar los cortes. El pri-

mer corte será paralelo a dos de los lados del rectángulo. Realizará el segundo corte for-

mando un ángulo con el borde de la placa. Para hacer el tercer corte, deberá tener

en cuenta un ángulo con el segundo corte.


�� &�!��'"��(!��'��)��% 75

Teniendo en cuenta la información anterior, responda las siguientes preguntas usando

las propiedades de ángulos y el vocabulario vistos en esta unidad.

a) ¿Con qué medida de la figura de madera habrá decidido determinar el primer

corte?

b) ¿Cuánto debe medir el ángulo que da la inclinación del segundo corte? O sea,

¿cuánto debe medir el ángulo ?

c) ¿Cuánto debería medir el ángulo para que, al hacer el tercer corte, resulte la

figura deseada?

3. Una escalera de dos pies tiene un ángulo máximo de apertura de 30°. Calcule cuán-

to mide cada ángulo que determinan cada uno de los pies de la escalera con el piso

cuando la misma se encuentra abierta en su ángulo máximo.

Ejercic io N° 6


1. Se quiere sostener un árbol debilitado por una tormenta. Para eso, se apoya un poste

en el tronco del árbol a una altura de 2 metros. Dicho poste se apoya en el suelo a 3

metros de la base del tronco y se logra que el mismo quede perpendicular al suelo.

a) Complete el siguiente diagrama con las longitudes dadas.

b) Calcule la longitud del poste que sostiene al árbol.


�� 76

2. Para cargar y descargar un camión de transporte de automóviles se usa una rampa

que mide 4 metros de largo. Sobre el suelo (horizontal) la distancia que hay entre el

punto de apoyo de la rampa y la proyección vertical del extremo del camión es de 3,9

metros.

a) Ubique las longitudes dadas en el siguiente diagrama.

b) Calcule la altura del camión.

Ejercic io N° 7

Determine las medidas de los ángulos indicados en cada caso utilizando los datos que se

dan a la derecha de cada esquema.

1.

2.

= x + 29º

= x - 32º

= 48º

1

23

4

= (x - 27º)

= x - 41º

mide la cuarta

parte de lo que

mide .

r s

5

3


�� &�!��'"��(!��'��)��% 77

3.

Ejercic io Nº 8

Usted ya trabajó todo lo referente a cuadriláteros en la Guía y el libro. En este ejercicio

le pedimos que organice lo leído y trabajado de alguna forma que le resulte cómoda.

Para ayudarlo le decimos cuáles son los temas sobre los que queremos que organice la

información y todo lo que debe incluir sobre cada uno de ellos.

1. Paralelogramo. No deben faltar: representación geométrica; propiedades de sus

lados; ángulos y diagonales; representación geométrica, características y propiedades

de los paralelogramos especiales: rombo, rectángulo y cuadrado.

2. Trapecio. No deben faltar: representación geométrica, propiedades de los trapecios

isósceles y de los trapecios rectángulos.

3. Romboide. No deben faltar: representación geométrica, propiedades de sus lados,

ángulos y diagonales.

Ejercic io N° 9

Complete el siguiente cuadro de resumen de la forma de calcular áreas de algunas figuras.

= 3x + 2º

= 2x - 10º

AB = BC

r t

u v

Datosnecesa-

rios

Figura

Fórmula

Rectángulo

Base . altu-ra

Cuadrado Paralelogramo

Longitudes dela base y de la

altura

Triángulo Trapecio Rombo Romboide


�� 78

Ejercic io N° 10

Claudia quiere comprar un terreno para construir una casa.

Realizó varias consultas. Una de ellas en la inmobiliaria que vende los lotes y las fraccio-

nes de lote (la de la Unidad 2, ¿recuerda?). El encargado de la venta le mostró los pla-

nos de varios terrenos y le dijo que aunque los terrenos tienen diferentes dimensiones,

todos tienen el mismo perímetro. “En definitiva son todos iguales”, acotó el vendedor.

Los terrenos se venden a $ 200 el metro cuadrado. Los planos de los terrenos que el

encargado le ofreció a Claudia son los siguientes:

Parte A

Responda las siguientes consignas de acuerdo con la información anterior:

1. Calcule el perímetro de cada terreno.

2. ¿Está de acuerdo con lo dicho por el vendedor?

Parte B

Claudia no quedó satisfecha con algo de lo dicho por el vendedor. Para analizar la situa-

ción decidió reproducir los planos de los terrenos ofrecidos por la inmobiliaria. Hizo las

representaciones de los terrenos en papel cuadriculado. El lado de cada cuadradito del

papel utilizado equivale a un metro del terreno real. Los dibujos que hizo Claudia son

los siguientes:


�� &�!��'"��(!��'��)��% 79

Responda las siguientes preguntas a partir de los gráficos anteriores:

1. ¿Qué cantidad de cuadraditos le quedaron en cada lote?

2. ¿Con qué medida del lote coincide el número total de cuadraditos que le quedaron

en cada lote?

3. Como conclusión de lo anterior, ¿da lo mismo comprar un terreno u otro? ¿Por qué?

4. Si Claudia tiene $ 165000 en total para la compra del terreno, ¿cuál de los tres terre-

nos ofrecidos podría comprar?

5. Si no tuviera restricciones económicas y pudiera comprar el terreno más grande, ¿cuál

compraría?

Parte C

1. Represente, en una hoja cuadriculada, 3 terrenos rectangulares diferentes que ten-

gan 80 metros de perímetro.

2. Calcule la superficie de cada uno de los terrenos dibujados.

3. ¿Cuál de los 3 terrenos es el de mayor superficie?

4. En general, ¿cuál es el rectángulo de mayor superficie?

'!��'��"

El encargado de la venta tiene razón respecto de que todos los terrenos queofrece tienen el mismo perímetro, ya que si sumamos las medidas de los 4lados da 120 metros en los tres casos. Pero no da lo mismo comprar uno uotro terreno ya que la superficie de cada uno es distinta. Es decir, que unamisma medida de perímetro de varias figuras no significa que la superficieencerrada sea la misma en cada una de ellas.

Pudimos observar también que en figuras rectangulares de igual perímetro laque tiene mayor superficie es el cuadrado.


�� 80

Ejercic io Nº 11


1. Se construyó una pista de atletismo con forma de rombo. Para la inauguración de la

misma se organizó una carrera en la que los participantes debían dar 4 vueltas a la

pista. La distancia total a recorrer es de 1728 metros. ¿Cuántos metros mide cada uno

de los lados de la pista?

2. Un campo rectangular tiene 1,5 kilómetros de ancho y 5 kilómetros de largo.

a) Calcule cuántos kilómetros de alambre será necesario comprar para bordear todo

el campo.

b) Calcule la superficie del campo en km2.

c) Las tres quintas partes del campo se dedican a pastoreo de ganado. ¿Cuántos km2

pueden utilizar los animales?

d) La mitad del resto del campo están cultivadas con cereales. ¿Cuántos km2 ocupa

esta parte del campo?

3. Para construir un barrilete de plástico con forma de romboide se usan dos varillas de

madera que se cruzan como se muestra en el siguiente dibujo:

a) Calcule cuántos cm2 de plástico serán necesarios para construir el barrilete.

b) Se quiere reforzar los bordes del barrilete con cinta. ¿Cuántos centímetros se nece-

sitarán?

4. Un salón cuadrado tiene una superficie de 64 m2. Si hay una puerta de 1,2 m de

ancho, ¿cuántos metros de zócalo se necesitan para proteger la base de las paredes?

��

��


�� &�!��'"��(!��'��)��% 81

Ejercic io N° 12

Resuelva las actividades que le proponemos a continuación referidas a paralelogramos

ABCD. Para eso, utilice las propiedades de los paralelogramos que trabajó en esta unidad.

1. En cada uno de los siguientes casos, calcule la medida de todos sus ángulos interio-

res sabiendo que:

a) El ángulo D mide 85º.

b) D = x + 30º y B = 2x - 45º

c) A = 3 (x - 28º) y D = 2x + 14

2. Calcule la medida de sus diagonales sabiendo que el segmento BO mide 3 cm y que

el segmento OC mide 4 cm (O es el punto donde se cortan las diagonales).

3. Calcule cuánto mide cada lado del paralelogramo si se sabe que el lado AD mide el

doble que el lado DC y el perímetro es de 126 cm.

Ejercic io N° 13

Tenga en cuenta las propiedades de los trapecios para resolver las actividades que

siguen:

Parte A

Para un trapecio isósceles como el representado a continuación:

1. Calcule la medida de todos sus ángulos interiores sabiendo que el ángulo B mide 43º.


�� 82

2. a) Calcule la medida de los lados no paralelos, sabiendo que los lados paralelos miden

9 cm y 15 cm cada uno y que el perímetro de la figura es de 34 cm.

b) Calcule cuánto mide la altura del trapecio.

c) Calcule la superficie del trapecio en cm2.

3. Calcule la medida de las diagonales del trapecio sabiendo que:

AC = 2x - 3 cm y BD = x + 4 cm.

Parte B

A continuación representamos el trapecio isósceles MNPQ.

Le informamos que:

• La recta e es el eje de simetría del trapecio.

• BP mide 3 cm.

• AQ // NP y MQ // AP

A partir de la información anterior, responda las siguientes preguntas:

1. ¿Qué nombre reciben los cuadriláteros MAPQ y QANP?

2. ¿Cuál es la medida del lado MA del cuadrilátero QMAP?

3. ¿Cuál es la medida de la base mayor del trapecio MNPQ?

4. Sabiendo que la superficie del triángulo QAP es de 12 cm2, ¿cuál es la superficie, en

cm2, del trapecio MNPQ?

Parte C

Para un trapecio rectángulo como el representado a continuación:

�


�� &�!��'"��(!��'��)��% 83

1. Calcule la medida de todos sus ángulos interiores sabiendo que uno de sus ángulos

interiores mide 120º.

2. Se sabe que una base mide 5 cm más que la otra, que el lado no perpendicular a las

bases mide 13 cm y el perímetro es de 70 cm.

a) Calcule cuánto miden los lados del trapecio.

b) Calcule la superficie del trapecio en cm2.

Ejercic io N° 14

Resuelva los siguientes problemas teniendo en cuenta las propiedades de los romboides

estudiadas en esta unidad.

1. Calcule la medida de todos los ángulos interiores del romboide ABCD, sabiendo que

las medidas de los ángulos del triángulo BCD son: B = 45º, C = 110º y D = 25º.

2. Calcule la medida de los lados de un romboide sabiendo que su perímetro es de 134 cm

y que uno de sus lados mide 25 cm.

3. Del romboide ABCD dibujado a la derecha se sabe que:

• Su perímetro es de 21 cm.

• El lado CD mide 3,5 cm.

• El ángulo A mide 120º.


�� 84

A partir de la información anterior, responda las siguientes consignas:

a) Calcule las medidas de los tres lados restantes del romboide.

b) Calcule la medida del ángulo marcado en la figura.

4. El esquema dado a continuación representa un romboide MNPQ, donde NQ es la dia-

gonal principal. Se sabe que el lado MN mide 2 cm más que un quinto del lado MQ.

Además el perímetro del romboide mide 436 cm.


a) Si con x se expresa la medida (en cm) del lado MQ , elija entre las siguientes ecua-

ciones una que le permita traducir las condiciones dadas.

b) Resuelva la ecuación que eligió en el ítem a).

c) Calcule cuánto mide el lado MN en cm.

Ejercic io N° 15

En este ejercicio le pedimos que resuelva algunas actividades del libro Matemática En

Red 8 EGB de López A. y Pellet, C., editorial A-Z.

1. Resuelva las actividades 18), 19) y 24) de la página 115. Puede comparar sus respues-

tas con las dadas en la página 266.

2. Resuelva la actividad 44) de la página 121. Puede comparar su respuesta con la dada

en la página 266.

3. Resuelva la actividad 49) de la página 123. Puede comparar su respuesta con la dada

en la página 266.

4. Resuelva las actividades 59), 60) y 64) de la página 125 y la actividad 67) de la página

126. (Nota: Esta actividad figura con el número 63) en la edición 2000 del libro.)

Puede comparar sus respuestas con las dadas en la página 266.

• x + 2 + x + 2 = 436 • x + 2 + x = 218 • x + 2x + 4 = 43615

15

15

25


�� &�!��'"��(!��'��)��% 85

Ejercic io Nº 16


1. ¿Cuánto mide cada ángulo interior de un pentágono regular?

2. ¿Cuánto mide cada ángulo interior de un hexágono regular?

3. ¿Cuánto mide cada ángulo interior de un octógono (polígono de 8 lados) regular?

4. ¿Cuánto mide cada ángulo interior de un decágono (polígono de 10 lados) regular?

5. Si la suma de ángulos interiores de un polígono es 1620º, ¿cuántos lados tiene?

6. ¿Es posible que la suma de ángulos interiores de un polígono sea de 1180º? Justifi-

que su respuesta.

Ejercic io N° 17

Calcule el área de cada uno de los salones cuyas formas y medidas se dan en los siguien-

tes esquemas:

a)

b)


�� 86

Ejercic io N° 18




















MATEMATICA

87

��

�� &�!��'"��(!��'��)��/

Ejercic io N° 1

1. Complete las siguientes equivalencias:

a) Longitud

1 m = ...........mm

1 m = ...........dm

1 m = ...........dam

1 m = ...........hm

b) Capacidad

1 l = ............cl

1 l =..............kl

1 l =..............ml

c) Peso

1 g = ...........kg

1 g = ...........dg

1 g = ............dag

1 g = ............mg

1 tonelada = 1000 kg =.......................g

2. Complete las siguientes tablas de equivalencias:

a) Superficie

b) Volumen

UN

IDA

D 6

Nombre

Símbolo

Equivalenciaen m2

kilómetrocuadrado

Múltiplos

hectómetrocuadrado

decámetrocuadrado

decímetrocuadrado

0,01 = 10-2

Submúltiplos

centímetro cuadrado

milímetrocuadrado

Unidad fundamental

metrocuadrado

m2

Nombre

Símbolo

Equivalenciaen m3

kilómetrocúbico

Múltiplos

hectómetrocúbico

1000000= 106

decámetrocúbico

decímetrocúbico

Submúltiplos

centímetro cúbico

milímetrocúbico

Unidad fundamental

metrocúbico

m3


�� 88

3. Responda las siguientes preguntas:

a) ¿Cuántos dm3 hay en 1 m3?

b) ¿Cuántos litros hay en 1 kl?

c) Teniendo en cuenta lo que contestó en los ítems a) y b), establezca una equiva-

lencia entre kl y m3.

d) ¿Cuántos cm3 hay en 1 dm3?

e) ¿Cuántos ml hay en 1 litro?

f) Teniendo en cuenta lo que contestó en los ítems d) y e), establezca una equiva-

lencia entre dm3 y l.

4. Responda las siguientes preguntas, teniendo en cuenta lo que conoce de su vida coti-

diana:

a) ¿Cuántos segundos hay en un minuto?

b) ¿Cuántos minutos hay en una hora?

c) ¿Cuántos segundos hay en una hora?

d) ¿Cuántas horas hay en un día?

e) ¿Cuántos minutos hay en un día?

f) ¿Cuántos segundos hay en un día?

g) ¿Cuántos días hay en un año?

h) ¿Cuántas horas hay en un año?

i) ¿Cuántos minutos hay en un año?

j) ¿Cuántos segundos hay en un año?

Ejercic io Nº 2

1. En cada uno de los siguientes casos, indique qué unidad o unidades de longitud le

resulta más conveniente para medir:

• La distancia entre la ciudad de La Plata y la ciudad de Córdoba.

• El ancho de un aula de la sede de Adultos 2000.

• Una cuadra.

• El cuerpo de un insecto.


89�� &�!��'"��(!��'��)��/

2. En cada uno de los siguientes casos, indique qué unidad o unidades le resultan más

convenientes para medir:

• La superficie de una provincia.

• La superficie de un terreno para construir una casa.

• La superficie de un campo.

• La superficie de un aula de la sede de Adultos 2000.

• La superficie de una hoja de esta guía de estudio.

• La superficie de un cuadradito de una hoja cuadriculada.



• El volumen de una botella de gaseosa.

• El volumen de un lago.

• El volumen de un frasco de remedio.

• El volumen de un pozo cavado para hacer una pileta de natación.

4. En cada uno de los siguientes casos, indique qué unidad o unidades de capacidad le

resultan más convenientes para medir:

• El contenido de una botella de vino.

• El contenido de un frasco de remedio.

• La cantidad de agua de un lago.

• La cantidad de agua en una pileta de natación.

• La cantidad de jarabe para la tos de una dosis.



• El peso de una persona.

• El peso de un automóvil.

• El peso de un camión.

• El peso de una lata de picadillo de carne.

• El peso de un insecto.


�� 90

Ejercic io N° 3

Resuelva las siguientes situaciones:

1. El lado de una habitación cuadrada tiene una longitud de 3,5 metros.

a) ¿Cuál es el área en m2?

b) ¿Cuántos centímetros mide cada lado?

c) ¿Cuántos cm2 de área tiene la habitación?

d) ¿Qué cuenta hace para obtener el área en cm2 a partir del área en m2 ?

2. Un campo rectangular tiene un ancho de 1350 m y un largo de 2400 m.

a) ¿Cuántos m2 de área tiene el campo?

b) ¿Cuántos km mide cada lado del campo?

c) ¿Cuál es el área del campo en km2 ?

d) ¿Qué cuenta hace para obtener el área en km2 a partir del área en m2 ?

e) ¿Cuántos hm mide cada lado del campo?

f) ¿Cuál es el área del campo en hm2 ?

g) ¿Qué cuenta hace para obtener el área en hm2 a partir del área en m2 ?

h) ¿Qué cuenta hace para obtener el área en hm2 a partir del área en km2 ?

Ejercic io N° 4


1. Un terreno tiene una superficie de 3,75 hm2 . ¿Cuál es el área del mismo en m2 ?

2. La superficie de una baldosa es de 625 cm2 . ¿Cuál es su área en m2 ?

3. La superficie de un azulejo cuadrado es de 4 dm2 . ¿Con cuántos de esos azulejos se

cubre una pared cuadrada cuya superficie es de 9 m2 ?

4. En una ciudad acostumbramos llamar manzana a un cuadrado rodeado por cuatro

calles. Si cada lado de ese cuadrado es una cuadra de 100 m, ¿cuál es el área de una

manzana en m2 ? ¿Y en hm2 ?

5. La superficie de un campo es de 1200 hectáreas. ¿Cuál es el área del campo en km2 ?

Para responder, tenga en cuenta que una hectárea es una unidad agraria de superfi-

cie equivalente a 1 hm2 .

6. ¿Cuál es el área de un barrio de 35 manzanas en hectáreas?

7. La superficie de una estancia es de 23,5 km2 . ¿Cuál es su área en dam2 ? ¿Y en

hectáreas?


91�� &�!��'"��(!��'��)��/

Ejercic io Nº 5

En un campo rectangular el largo mide 2 hm más que el triple del ancho. Para cercarlo

completamente se usan 68 hm de alambrado.


1. Si con x se expresa la medida del ancho del campo, ¿con cuál de las siguientes expre-

siones se representa la medida del largo?

• 3x - 2 • 2x + 3 • 3x + 2

2. Teniendo en cuenta las condiciones dadas en el enunciado,¿cuál de las siguientes

ecuaciones permite calcular la medida x del ancho del campo?

• 2x + 3 + x = 68 • 6x + 4 + 2x = 68

• 3x + 2 + x = 68 • 4x + 6 + 2x = 68

3. Resuelva la ecuación que eligió en el ítem 2.

4. ¿Cuánto mide el ancho del campo en hm?

5. ¿Cuánto mide el largo del campo en hm?

6. ¿Cuál es la superficie del campo en hm2 ?

7. ¿Cuántos metros de alambrado se necesitan para cercar el campo completamente?

Ejercic io N° 6


1. En un diario se lee la siguiente información: "El temporal continúa haciendo estra-

gos en varias provincias: 550 mil hectáreas del sudeste cordobés están bajo las aguas.

Más de 700 milímetros de agua cayeron este mes en el sudoeste de Santa Fe."

a) La superficie de la Ciudad de Buenos Aires es de unos 200 km2 . ¿Cuántas "ciuda-

des de Buenos Aires" estarían inundadas en el sudeste de Córdoba?

b) ¿Cuántos metros de agua cayeron en el sudoeste santafesino?

2. Se cava un pozo para hacer una piscina. El volumen de tierra que se saca para hacer

el pozo es de 56 m3. La tierra se retira con carretillas que en cada viaje pueden car-

gar 400 dm3.

a) ¿Cuántos viajes de la carretilla son necesarios para retirar toda la tierra del pozo?

b) ¿Con cuántos litros de agua se llena la pileta de natación?

c) ¿Cuántos kilolitros de agua son necesarios para llenar la pileta?


�� 92

3. El volumen de un bidón es de 7500 cm3.

a) ¿Con cuántos litros de agua se puede llenar ese bidón?

b) ¿Cuántos mililitros llenan el bidón?

c) Si el contenido del bidón se quiere repartir en botellas de 0,5 dm3, ¿cuántas de

éstas serán necesarias?

4. En las Cataratas del Iguazú caen 1700 m3 de agua por segundo.

a) ¿Cuántos litros de agua caen por minuto?

b) ¿Y por hora?

c) ¿Y por día? Exprese el resultado utilizando notación científica.

5. Se necesita enmarcar una lámina cuadrada de 32,5 cm de lado. ¿Cuánto cobran por

el trabajo si el metro de marco elegido cuesta $ 5 colocado?

Ejercic io N° 7

1. La luz recorre 300000 km en un segundo, es decir que la velocidad de la luz es de

300000 km/segundo. Para medir distancias entre estrellas, o entre nuestro planeta y

las estrellas se utiliza una unidad llamada año luz. Un año luz es la distancia que reco-

rre la luz en un año.

a) Calcule cuántos kilómetros equivalen a un año luz. Escriba su respuesta usando nota-

ción científica. (Nota: Para responder, tenga en cuenta lo que respondió en el ítem 4.

del Ejercicio Nº 1).

b) La estrella más brillante de la constelación Centauro, Alpha Centauri, es también la

tercera estrella más brillante en el cielo. Está a unos 4,3 años luz de la Tierra y es la

estrella visible más próxima al Sistema Solar. ¿A cuántos km de la Tierra está esta

estrella? Exprese su respuesta utilizando notación científica.

2. Un libro de 1800 hojas tiene 4,2 cm de espesor. ¿Cuál es el espesor de cada hoja en

cm? Escriba su respuesta utilizando notación científica.

Ejercic io N° 8

Parte A

Imagine (o busque) una caja de zapatos. Supongamos que esa caja de zapatos tiene 20

cm de ancho, 35 cm de largo y 10 cm de alto. Se quiere llenar con dados (o cubos) que

tienen 1 cm de arista.


93�� &�!��'"��(!��'��)��/


1. ¿Cuántos dados caben en la caja?

2. ¿Cuál es el volumen de cada dado?

3. ¿Cuál es el volumen de la caja?

4. ¿Cuál es la superficie, en cm2 , de la base de la caja?

5. Si multiplica la superficie de la base por la altura de la caja, ¿qué obtiene?

6. ¿Cuántos cm2 de cartón se necesitan para armar la caja?

'!��'��"

Una caja de zapatos es un ejemplo de un cuerpo geométrico llamado prismarecto porque sus "paredes" son perpendiculares a la base. Observe el siguien-te gráfico:

Según la forma que tenga la base, hay distintos tipos de prismas. El caso de lacaja de zapatos es un prisma recto rectangular (su base es un rectángulo). Tam-bién hay prismas rectos cuadrangulares (con base cuadrada), triangulares (conbase triangular), pentagonales (su base es un pentágono), hexagonales, etc.

Para obtener el volumen de un prisma recto, como habrá calculado para la cajade zapatos, se multiplica la superficie de la base por la altura del prisma. Esdecir que:

Volumen prisma recto = Superficie de la base . altura

Para calcular la cantidad de cartón a utilizar para construir la caja, sumamoslas superficies de sus caras (que, en este caso, son 6 rectángulos).

Parte B

1. En un envase de salsa de tomate con forma de prisma recto rectangular, los lados de

la base miden 6 cm y 8 cm y la altura mide 5 cm.

a) ¿Cuál es el volumen del envase en cm3?


�� 94

b) ¿Cuál es la capacidad de ese envase en litros?

2. Un envase de 1 litro de jugo tiene forma de prisma recto cuadrangular. Cada lado de

la base mide 8 cm. ¿Cuánto mide la altura?

3. Se quiere construir un depósito con forma de prisma recto rectangular para contener

200 hl de agua. La altura del depósito es de 2 m.

a) ¿Cuál es la superficie de la base del depósito?

b) Si el largo del depósito mide el triple del ancho, ¿cuáles son las dimensiones del

mismo?

4. Un baño mide 4 m de largo, 3 m de ancho y 2,6 m de alto. Tiene una puerta que mide

1 m de ancho y 2 m de alto. Se quiere cubrir sus paredes con azulejos cuadrados de

20 cm de lado y las 5 sextas partes del piso con baldosas rectangulares de 10 cm de

ancho y 20 cm de largo.

a) ¿Cuántos azulejos se necesitarán?

b) ¿Cuántas baldosas se necesitarán?

c) El costo de cada azulejo es de $ 1,50. El costo de cada baldosa es de $ 1,20 y por la

colocación el albañil cobra $ 150. ¿Cuánto cuesta el arreglo del baño? Escriba un

cálculo combinado que le permita averiguar este costo.

Ejercic io N° 9





¿En qué actividades de la Guía de estudio fue tratado cada contenido?




Contenidos de la Unidad Actividades de la Guía de estudio


�� &�!��'"��(!��'��)��/ 95








�� 96


MATEMATICA

97

��

�� &�!��'"��(!��'��)��+

Ejercic io Nº 1

1. Calcule:

a) El 1 % de 1000.

b) El 10 % de 1000.

c) El 25 % de 1000.

d) El 50 % de 1000.

e) El 75 % de 1000.

f) El 100 % de 1000

g) El 125 % de 1000

2. ¿Con qué fracción del total coincide cada uno de los valores que calculó en el ítem 1.?

3. Calcule:

a) El 25 % de 432.

b) El 33 % de 947.

c) El 45 % de 124.

d) El 66 % de 1535.

e) El 130 % de 2400

4. Escriba la fracción del total equivalente a cada uno de los valores que calculó en el

ítem 3.


a) ¿Qué porcentaje de 1200 es 300?

b) ¿Qué porcentaje de 1200 es 400?

c) ¿Qué porcentaje de 1200 es 600?

d) ¿Qué porcentaje de 1200 es 900?

e) ¿Qué porcentaje de 1200 es 1200?

6. ¿Qué fracción de 1200 es 300? ¿Y 400? ¿Y 600? ¿Y 900? ¿Qué relación existe entre

cada fracción y cada porcentaje calculado en el ítem 5.?


a) ¿Qué porcentaje de 4325 es 1384?

b) ¿Qué porcentaje de 824 es 535,6?

c) ¿Qué porcentaje de 42 es 23,52?

d) ¿Qué porcentaje de 100 es 120?

UN

IDA

D 7


98 �� &�!��'"��(!��'��)��+

Ejercic io Nº 2

1. Según datos recogidos por el Departamento de Comercialización de una empresa de

productos lácteos, el 45 % de una población de 3000 habitantes consume alguno de

sus productos. ¿Qué cantidad de consumidores eligen productos de esta empresa?

2. Todos los años, una sala de teatro con capacidad para 250 personas presenta una

obra nueva. El dueño del teatro impone una cláusula en el contrato por la cual él

puede decidir el levantamiento de la obra en cartel si, en promedio, el número de

entradas vendidas en cada día del fin de semana no supera el 30 % de las localida-

des del teatro. La obra actualmente en cartel vende, en promedio, 85 entradas los

sábados y 78 los domingos respectivamente. ¿Qué podrá decidir el dueño del teatro

respecto del futuro de la obra en cartel?

3. Un comerciante calcula los precios de venta al público de sus productos incremen-

tando en un 28 % el precio de costo (es decir el precio que le sale comprar o produ-

cir el producto).

a) ¿A qué precio vende al público un artículo que tiene un precio de costo de $ 13,50?

b) ¿Cómo puede calcular el precio de venta al público haciendo una sola operación?

c) ¿Qué precio de costo tiene un producto que se vende al público a $ 47?

d) ¿Cómo puede calcular el precio de costo haciendo una sola operación?

4. Otro comerciante compró un artículo a $ 34 de costo y lo vendió a $ 44,50, ¿qué por-

centaje de ganancia obtuvo respecto del costo?

Ejercic io Nº 3

El siguiente detalle pertenece a una factura telefónica de una vivienda de la Ciudad de

Buenos Aires:

• Abono bimestral: $ 30,11

• Comunicaciones urbanas: $ 7,50

• Comunicaciones interurbanas: $ 15,41

• Comunicaciones a celulares: $ 5,22

A partir de la información anterior, responda las siguientes preguntas:

1. ¿Cuál es el total a pagar por el usuario si debe pagar el 21 % de la facturación en

carácter de impuestos?

2. ¿Cómo puede calcular el total a pagar haciendo una sola operación?


99�� &�!��'"��(!��'��)��+

Ejercic io Nº 4

Un negocio de venta de ropa está de liquidación por fin de temporada. Publica en el dia-

rio la siguiente lista de precios:

Precio de temporada Precio de liquidación

Pantalón 65 43,50

Camisa 27,50 18,50

Campera 130 87

¿Qué porcentaje de descuento tienen aproximadamente los precios de liquidación en

relación con los precios de temporada?

Ejercic io Nº 5

En algunas farmacias podemos ver carteles como éste:

MEDICAMENTOS

PAMI

60 % + 40 %

DE DESCUENTO


1. En términos del descuento que recibe el afiliado al PAMI, ¿cómo interpreta lo que

dice el cartel?

2. De acuerdo con lo dicho en el cartel, ¿el afiliado al PAMI recibe un 100 % de des-

cuento por la compra de sus medicamentos en esa farmacia?

3. Si un medicamento tiene un precio de lista de $ 85:

a) ¿Qué descuento recibe un afiliado al PAMI por su compra?

b) ¿Cuánto paga por su compra un afiliado al PAMI?

c) ¿Qué porcentaje de descuento real recibe el afiliado al PAMI por la compra de este

medicamento?

d) Explique en lenguaje coloquial la interpretación que debe darse al mensaje del

cartel.


100 �� &�!��'"��(!��'��)��+

Ejercic io Nº 6

En el diario Clarín del 15 de Noviembre de 2004 se publicó la siguiente información

sobre el Hospital Muñiz:

• El hospital atiende entre 12000 y 14000 consultas mensuales.

• El 80 % de las consultas recibidas es de enfermos de VIH.

• El 80 % de los pacientes atendidos no vive en la Ciudad de Buenos Aires.

• El hospital tiene un total de 926 empleados de los cuales 600 son médicos y enfer-

meros.

• El hospital cuenta con 400 camas.

• El índice de contagio laboral no supera el 1 %.

• En el hospital trabajan 300 médicos.

Responda las siguientes preguntas teniendo en cuenta la información anterior:

1. ¿Qué cantidad de las consultas mensuales son de enfermos con VIH?

2. ¿Qué cantidad de los pacientes atendidos mensualmente vive en la ciudad de Buenos

Aires?

3. ¿Qué porcentaje de la población total de la Ciudad de Buenos Aires es atendida en

el Hospital Muñiz?

Para responder tenga en cuenta el cuadro con los datos censales dado en la Parte A de la Activi-

dad N° 4 de la Unidad 7 de la Guía de estudio.

5. ¿Qué porcentaje de los empleados del hospital son enfermeros?

6. De acuerdo con el índice de contagio laboral, ¿qué cantidad de los empleados del

hospital podrían resultar contagiados accidentalmente?

7. ¿Qué porcentaje de los pacientes atendidos mensualmente podría permanecer inter-

nado en el hospital?

8. Construya un gráfico de dos barras verticales que muestre las cantidades de pacien-

tes del hospital que habitan en la Ciudad de Buenos Aires o en otros sitios.

Ejercic io Nº 7

En un negocio los precios están rebajados un 20 % por liquidación de stock. En ese nego-

cio también ofrecen un descuento del 5 % por pago contado.


101�� &�!��'"��(!��'��)��+

Teniendo en cuenta la información anterior, responda las siguientes consignas:

1. Luciana compró un producto cuyo precio de liquidación es de $ 36,50 y pagó al

contado:

a) ¿Cuánto pagó Luciana?

b) ¿Cuál era el precio del producto antes de la liquidación?

c) ¿Qué porcentaje total de descuento sobre el precio original obtuvo Luciana por

comprar en la liquidación y al contado?

2. Pablo está interesado en un producto de ese negocio para el que no había tenido

dinero suficiente antes de la liquidación. El precio del producto en ese momento era

de $ 127.

a) ¿Cuál será el precio del producto en la liquidación?

b) ¿Cómo puede calcular ese precio haciendo una sola cuenta?

c) ¿Cuánto pagará si compra al contado?

d) ¿Qué porcentaje total de descuento obtuvo Pablo por comprar el producto en la

liquidación y al contado?

3. De acuerdo con las conclusiones obtenidas en los ítems 1. y 2. decida si la siguiente

afirmación es verdadera o falsa. Escriba los argumentos que justifican su decisión:

"Si el precio de un producto se rebaja un a % sobre una cantidad rebajada previa-

mente un b %, entonces el precio del producto tiene una rebaja total del a % + b %".

Ejercic io Nº 8

Los siguientes datos fueron obtenidos a través de la encuesta anual de hogares 2003 rea-

lizada en la Ciudad de Buenos Aires. De acuerdo con ella, el 54,2 % de la población total

de la ciudad son mujeres y el 45,8 % varones. El 24,8 % de la población de la ciudad se

atiende sólo en el sistema público de salud; el 74,6 % vive en departamentos; el 31,8 %

tiene mascotas y de ellos más del 60 % tienen perro.

Responda las siguientes consignas utilizando la información anterior y los datos sobre la

cantidad total de habitantes de la ciudad de Buenos Aires obtenidos en el último censo

nacional (Actividad N° 4 de la Unidad 7 de la Guía de estudio):

1. ¿Qué cantidad de habitantes de la ciudad de Buenos Aires se atiende sólo en el sis-

tema público de salud?

2. ¿Qué cantidad de habitantes de la ciudad de Buenos Aires no vive en departamentos?


102 �� &�!��'"��(!��'��)��+

3. Los porcentajes de mujeres y varones que habitan en la ciudad de Buenos Aires obte-

nidos a través de la encuesta, ¿coinciden o difieren de los porcentajes de mujeres y

varones obtenidos a partir del censo nacional 2001?

4. ¿Qué cantidad de habitantes de la ciudad tienen perro?

Ejercic io Nº 9

Los siguientes datos sobre la tasa de fecundidad en la Argentina fueron publicados por

el diario Clarín del domingo 17 de octubre de 2004:

En 1970, el promedio de hijos por cada mujer era 3,2. En 1980: 3,4. En 1990: 3. Y en 2001

bajó a 2,3.


1. ¿Qué interpretación le da a cada uno de los valores promedios indicados? Escriba su

interpretación utilizando sus palabras.

2. ¿Es posible que en el año 1970 alguna mujer haya tenido 5 hijos? ¿Y 8 hijos?

3. ¿Es posible que en el año 1980 alguna mujer haya tenido 1 hijo?

4. Represente en un diagrama de barras la evolución de la tasa de fecundidad en la

Argentina entre 1970 y 2001.

Ejercic io Nº 10

Carlos está preocupado por sus notas de Historia. En los dos primeros trimestres los pro-

medios de sus notas fueron de 5,40 y 5,80, respectivamente. Una vez terminado el año,

para aprobar la materia, debe tener un promedio de 6 ó más entre los promedios de los

3 trimestres.


1. ¿Qué promedio necesita en el tercer trimestre para aprobar Historia?

2. En las dos primeras pruebas del tercer trimestre tuvo un 5 y un 6. Queda una prue-

ba todavía.

a) ¿Tiene posibilidades de aprobar la materia?

b) Si considera que tiene posibilidades, indique qué nota debería sacar como mínimo

en la tercera prueba para aprobar la materia.


103�� &�!��'"��(!��#��)��+

Ejercic io Nº 11

La radio anuncia que existe un conflicto salarial entre los trabajadores y los dueños de

una empresa. Los trabajadores reclaman un aumento del 25 % de sus salarios congela-

dos desde hace 15 años.

La radio entrevista a uno de los directivos de la empresa quien dice lo siguiente:

"No entiendo cuál es el reclamo. Los empleados de la empresa cobran un sueldo pro-

medio de algo más de $ 1200, que de ninguna manera es un sueldo que justifique esta

medida de fuerza".

Parte A

A partir de la información anterior, escriba su opinión sobre el conflicto de los trabaja-

dores con la empresa y sobre las declaraciones realizadas por el directivo de la empresa

a los medios.

Parte B

Consultando a los trabajadores de la empresa obtuvimos el siguiente cuadro con la can-

tidad de empleados que tiene la empresa y el sueldo que cobra mensualmente un

empleado de cada sector:

Cantidad Sueldo

(en $)

Gerentes generales 4 7500

Gerentes zonales 15 4800

Contadores 15 3500

Encargados 15 2500

Empleados administrativos 35 950

Empleados para atención al publico 70 550

Técnicos 95 400

Responda las siguientes preguntas a partir de la información que le brinda el cuadro:

1. ¿Qué cantidad de empleados tiene la empresa?

2. ¿Cuánto dinero gana mensualmente un empleado de atención al público?

3. ¿Cuántos empleados de la empresa cobran un sueldo de $ 2500 mensualmente?


104 �� &�!��'"��(!��'��)��+

4. ¿Cuántos empleados ganan un sueldo igual o superior al sueldo promedio calculado

por el directivo de la empresa?

5. ¿Cuántos empleados ganan un sueldo inferior al sueldo promedio calculado por el

directivo de la empresa?

6. ¿Por qué cree usted que el directivo de la empresa utilizó el valor del sueldo prome-

dio para hacer sus declaraciones a los medios?

7. ¿Qué opina ahora sobre las declaraciones realizadas por el directivo de la empresa a

los medios de comunicación?

8. De acuerdo con el porcentaje de aumento pedido por los trabajadores a la empresa,

¿a cuánto ascendería el sueldo de cada empleado según el sector en el que trabaja?

9. Realice un diagrama de barras verticales que muestre en el eje horizontal los dife-

rentes sueldos que paga la empresa y en el eje vertical la cantidad de empleados de

la empresa que recibe cada uno de esos sueldos.

Ejercic io Nº 12

Parte A

La siguiente lista corresponde a los pesos de 30 bebés recién nacidos en la Ciudad de

Buenos Aires durante el primer trimestre del año 2004. Los pesos están expresados en

kilogramos:

2,850 3,560 3,500 4,100 3,150 4,050 2,350 1,890 3,240 2,670

3,140 3,000 2,270 3,000 2,900 2,950 3,700 2,990 4,000 3,510

2,480 2,230 4,100 2,000 3,100 3,600 1,850 2,740 2,990 3,890

1. Calcule el peso promedio de los 30 bebés.

2. Exprese, en gramos, el peso promedio que calculó en el ítem 1.

Parte B

En la lista que sigue le indicamos las tallas de los 30 bebés cuyos pesos indicamos en la

Parte A. Las tallas están indicadas en centímetros:

40 45,3 47,2 55 40,8 54,5 39 36 43,8 39,9

44,8 42,5 38,5 40,8 41 41,6 50 42,3 52,8 48,7

40,1 38,9 56,5 38,4 45,6 48,9 35 40,2 42 54

1. Calcule la talla promedio de los 30 bebés.

2. Exprese, en metros, la talla promedio.


�� &�!��'"��(!��#��)��+ 105

Ejercic io Nº 13

El siguiente gráfico de barras muestra los resultados de una encuesta realizada en la Ciu-

dad de Buenos Aires con el objetivo de medir la duración media de los botines Golazo:

Responda las siguientes consignas a partir de los datos que le brinda la representación

gráfica:

1. Complete las siguientes frases para que resulten verdaderas:

• Los botines Golazo tuvieron una duración media de 18 meses para ......... de las per-

sonas encuestadas.

• Para 50 de las personas encuestadas los botines Golazo tuvieron una duración

media de .......... meses.

2. Construya una tabla que muestre la misma información que el gráfico.

3. ¿Qué cantidad de personas fueron encuestadas?

4. ¿Qué porcentaje de las personas encuestadas respondieron que los botines tuvieron

una duración media de 18 meses?

5. ¿Qué fracción de las personas encuestadas respondieron que los botines tuvieron una

duración media de 18 meses?

Ejercic io Nº 14

Después de consultar el precio de un producto en 5 comercios de la Ciudad de Buenos

Aires, se calculó que el precio promedio de venta al público del mismo es de $ 5,40.

A partir de la información anterior decida cuál o cuáles de las siguientes afirmaciones

podría corresponder a la situación de los comercios consultados. En cada caso justifique

su decisión con un ejemplo numérico.


�� 106

• En todos los comercios el precio de venta al público del producto es de $ 5,40.

• En ningún comercio el precio de venta al público del producto es de $ 5,40.

• En algunos comercios el precio de venta al público del producto es de $ 5,40.

• En 4 comercios el precio de venta al público del producto es de $ 5, 80.

• En ningún comercio el precio de venta al público del producto puede ser superior

a $ 5,40.

Ejercic io Nº 15

Parte A

El siguiente gráfico de barras muestra la evolución de la producción de pomelo en la

provincia de Salta:

Responda las siguientes preguntas a partir de la lectura del gráfico:

1. ¿Qué es lo que se indica en el gráfico en las dos primeras barras?

2. ¿Qué podría decirse sobre la evolución de la producción de pomelo entre los años

1980 - 1997?

3. ¿En qué año se produjo la mayor cantidad de toneladas de pomelo? ¿Cuál fue, apro-

ximadamente, la producción en ese año?

4. ¿En qué año se produjeron aproximadamente 80000 toneladas?

5. ¿Cuántas toneladas de pomelo se produjeron aproximadamente en la provincia de Salta

en el año 1996? ¿Puede visualizar este valor en forma exacta a través del gráfico?


�� &�!��'"��(!��#��)��+ 107

Parte B

El siguiente gráfico muestra el destino de las exportaciones de pomelo de la provincia

de Salta y de todo el país durante el año 1997:

Responda las siguientes preguntas a partir de la observación del gráfico anterior:

1. ¿Qué porcentaje de la producción total de pomelo del país se destina a exportación?

2. ¿Qué parte de la producción total de pomelo del país se destina a exportación?

3. ¿Qué porcentaje de la producción de pomelo de la provincia de Salta se destina a

exportación?

Parte C

Responda las siguientes preguntas observando los gráficos dados en las Partes A y B:

1. ¿Cuántas toneladas de pomelo se destinan a exportación en la provincia de Salta?

2. ¿Cuántas toneladas de pomelo se destinan al mercado interno en la provincia de

Salta?


�� 108

Ejercic io Nº 16

El siguiente gráfico circular muestra los destinos turísticos elegidos por 1000 argentinos

durante la temporada 2004 - 2005:

De acuerdo con la información que le da el gráfico, responda las siguientes preguntas:

1. ¿Qué parte de la población considerada elige cada uno de los destinos turísticos que

muestra el gráfico?

2. ¿Qué porcentaje de argentinos elige la costa como lugar de vacaciones?

3. ¿Qué porcentaje de los 1000 argentinos considerados en el gráfico eligieron como

destino vacacional el sur argentino?

Ejercic io N° 17

1. Para cada uno de los sucesos descriptos a continuación determine si corresponde a un

experimento aleatorio o determinístico:

• Que salga un 5 al arrojar un dado cuyas caras están numeradas del 1 al 6.

• Que salga un 5 al arrojar un dado cuyas caras están pintadas de diferentes colores.

• Sacar una bola roja de una urna donde hay 25 bolas rojas.

• Obtener una copa al sacar una carta de un mazo de 40 cartas españolas.

• Obtener una copa al sacar una carta de un mazo de 52 cartas de póquer.

• Sacar un alfajor de chocolate de una caja en la que hay 12 alfajores de chocolate.

• Sacar un alfajor de chocolate de una caja en la que hay 6 alfajores de chocolate y

6 alfajores de fruta.

• Obtener una vacante en un curso con un cupo de 50 asistentes y 40 inscriptos.

• Obtener una vacante en un curso con un cupo de 50 asistentes y 100 inscriptos.

• Aprobar un examen para el que no se ha estudiado.


�� &�!��'"��(!��#��)��+ 109

2. Para cada uno de los sucesos enunciados en el ítem 1., determine si es probable, segu-

ro o imposible.

3. Para cada uno de los sucesos enunciados en el ítem 1., determine cuál es su probabi-

lidad de que ocurra.

Ejercic io N° 18

1. Calcule la probabilidad de cada uno de los siguientes sucesos:

• Obtener una cara al arrojar una moneda.

• Sacar una bola roja de una caja en la que hay 6 bolas rojas y 4 bolas verdes.

• Sacar un as de espadas de un mazo de 40 cartas españolas.

• Sacar un alfajor de chocolate de una caja en la que hay 3 alfajores de chocolate y

5 alfajores de fruta.

2. Indique los sucesos complementarios de cada uno de los sucesos definidos en el ítem 1.

3. Calcule la probabilidad de los sucesos complementarios definidos en el ítem 2. de dos

formas distintas.

Ejercic io N° 19

Parte A

De los 1500 aspirantes a cursos de capacitación laboral que ofrece el gobierno de la Ciu-

dad de Buenos Aires, 450 se inscribieron sólo para el curso de carpintería, 670 se inscri-

bieron sólo para el curso de plomería, 245 se inscribieron a ambos cursos y 135 se inscri-

bieron a otros cursos.

Responda las siguientes consignas a partir de la información anterior:

1. Vuelque al siguiente gráfico la información dada en el enunciado:

��


�� 110

2. Si se elige un inscripto al azar, ¿cuál es la probabilidad de que resulte un alumno ins-

cripto solamente al curso de carpintería?

3. ¿Cuál es la probabilidad de que resulte un alumno inscripto a los dos cursos?

4. ¿Cuál es la probabilidad de que resulte un alumno inscripto al curso de carpintería?

5. ¿Cuál es la probabilidad de que no resulte un alumno inscripto al curso de carpin-

tería?

6. ¿Cuál es la probabilidad de que resulte un alumno que no esté inscripto ni al curso

de carpintería ni al curso de plomería?

Parte B

Los datos que se muestran en el siguiente cuadro muestran algunas características de los

inscriptos a los cursos de capacitación laboral:

Hombres Mujeres Más de 21 años

Carpintería 497 198 482

Plomería 589 326 559

Otros cursos 26 109 98

Responda las siguientes preguntas a partir de los datos que le brinda el cuadro:

1. ¿Cuál es la probabilidad de que un inscripto al curso de carpintería elegido al azar

resulte ser mujer?

2. ¿Cuál es la probabilidad de que resulte ser hombre? Calcule este valor de dos formas

diferentes.

3. ¿Cuál es la probabilidad de que sea menor de 21 años? Calcule este valor de dos for-

mas diferentes.

4. ¿Cuál es la cantidad total de hombres inscriptos a los cursos de capacitación?

5. ¿Qué parte de los inscriptos a los cursos de capacitación laboral son hombres?

6. ¿Qué porcentaje del total de inscriptos al curso de capacitación laboral son hombres?

7. ¿Cuál es la probabilidad de que un inscripto elegido al azar resulte ser hombre?

8. ¿Cuál es la cantidad total de inscriptos a los cursos de capacitación mayores de 21

años?

9. ¿Qué parte del total de inscriptos a los cursos de capacitación laboral son mayores

de 21 años?


�� &�!��'"��(!��#��)��+ 111

10. ¿Qué porcentaje de los inscriptos a los cursos de capacitación laboral son hombres?

11. ¿Cuál es la probabilidad de que un inscripto a los cursos elegido al azar resulte mayor

de 21 años?

Ejercic io N° 20













Si su respuesta es afirmativa en todos los casos, usted ha finalizado el estudio de la uni-

dad 7.





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�� !��"��

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�� 112

��

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��)��!�

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A continuación le proponemos que resuelva las actividades de autoevaluación de la

materia. Usted debe realizarlas al finalizar el trabajo propuesto en las siete unidades del

programa.

La resolución de estas actividades le permitirá evaluar su situación en relación con la mate-

ria completa; integrar algunos de los conceptos estudiados; saber si ha aprendido todos los

contenidos del programa, o si necesita retomar alguno de ellos antes de presentarse a ren-

dir examen; y tener indicadores claros sobre cuáles son aquellos contenidos o símbolos

matemáticos que aún debe revisar antes de dar por finalizado el estudio de la materia. Para

hacerlo deberá retomar el trabajo realizado con la guía de estudio y la bibliografía.

No deje de realizar estas actividades. Una vez que haya obtenido sus propias respuestas,

controle las mismas con las que le damos al término de los enunciados de las actividades.

Recuerde que estas respuestas sólo tendrán sentido para usted si previamente usted ha

podido elaborar alguna respuesta.

Actividad N° 1

Parte A

Un grupo de inversores quiere construir un parque temático. Para parques de ese tipo,

la municipalidad de la ciudad dispone que los terrenos a utilizar cumplan la siguiente

condición: Deben ser terrenos rectangulares en los que el largo mida 5 hm más que las

dos terceras partes del ancho. En una zona de la ciudad, hay disponible un terreno con

esas características que tiene un perímetro de 5 km.

En esa zona, cada m2 de terreno cuesta $ 80. El grupo inversor decide comprarlo. Acuer-

da con la municipalidad que el pago se realizará de la siguiente manera: una suma equi-

valente a la centésima parte del precio del terreno para reservarlo, el 10 % del precio

del terreno al momento de la firma del boleto de compra - venta y el resto se paga en

el momento de la firma de la escritura.

Teniendo en cuenta la información anterior, responda:

1. Si con la letra x representamos el largo del terreno, ¿cuál de las siguientes expresio-

nes permite determinar el ancho del terreno?

• •

2. ¿Cuáles son las dimensiones (largo y ancho) del terreno? Para responder esta pre-

gunta, elija una de las siguientes ecuaciones y resuélvala. En todas ellas x representa

al largo del terreno.

• •

• •

MATEMATICA

113

��

��2 � !�"��#�

x + 523

5x +23

x + 5 + x = 5023

x + 5 = 5023

x + 5 + x + x + 5 - x = 5023

23 5x + + x + 5x + + x = 50

23

23


3. ¿Cuál es la superficie del terreno en km2?

4. ¿Cuál es la superficie del terreno en m2?

5. ¿Cuánto cuesta ese terreno?

6. ¿Cuánto se debe pagar para reservar el terreno? ¿Y al firmar el boleto de compra -

venta? ¿Y al escriturar?

Parte B

Para la construcción de los distintos sectores del parque, se hará una primera división uti-

lizando una de las diagonales del terreno. Dicha división se realizará utilizando un cerco

alambrado ya que en uno de los sectores habrá animales sueltos.

En uno de los sectores triangulares en los que quedará dividido el terreno se construirá un

edificio que se usará como museo. Ese edificio se construirá sobre una parte del terreno

con forma de trapecio rectángulo y ocupará de la superficie de ese sector. Los lados

paralelos de ese trapecio rectángulo medirán 100 m y 150 m. La edificación cuesta $ 300

por m2.

El 15 % del terreno se utilizará para instalar juegos infantiles.


1. Al trazar la diagonal del terreno, éste queda dividido en dos sectores triangulares.

a) Haga un dibujo del terreno subdividido.

b) Clasifique a cada uno de los triángulos en los que queda dividido el terreno tenien-

do en cuenta las medidas de sus lados y de sus ángulos.

2. ¿Cuántos hectómetros deberá tener el cerco alambrado que separa los dos sectores

triangulares?

3. ¿Cuál es la superficie ocupada por el museo?

4. ¿Cuánto costará construir el museo?

5. ¿Qué porcentaje del terreno está ocupado por el museo?

6. a) Haga un esquema con la forma del terreno en el que se construirá el museo y ubi-

que en él los lados que tiene como datos.

b) ¿Cuántos metros mide el lado perpendicular a los lados que ubicó como datos?

c) ¿Cuánto mide el cuarto lado del museo?

7. ¿Cuál es la superficie que se destinará a juegos infantiles?

�� 114

380


�� &�!��'"��(!��'��)��* 115

Parte C

En el parque se instalarán diversos tipos de puestos. Las partes de esos puestos se

dedicarán a la venta de alimentos, la quinta parte será de venta de recuerdos y los 36

puestos restantes se destinarán a diversos entretenimientos.

A partir de la información anterior, responda:

1. ¿Cuántos puestos habrá? Para determinarlo, plantee y resuelva una ecuación en la

que la incógnita x sea la cantidad de puestos.

2. ¿Cuántos puestos de venta de alimentos y cuántos de venta de recuerdos habrá?

Parte D

Los integrantes del grupo inversor averiguaron antecedentes de este tipo de parques.

Los siguientes gráficos y tablas muestran algunos de los datos que consiguieron:

Ventas de vales de comida por puesto en los parques A, B, C y D durante una semana:

100

200

300

350

400

450

A B C DPARQUE

VALES

500

600

2

7


�� 116

Ventas de vales de bebida por puesto en los parques A, B, C y D durante una semana:

Visitantes del museo:

Nota: El parque D no tiene museo

100

200

300

400

500

600

A B C DPARQUE

VALES

800

700

900

Domingo

740

580

En el parque A

En el parque B

Lunes

160

200

Martes

250

190

Miércoles

180

310

Jueves

340

400

Viernes

500

400

Sábado

980

860

600En el parque C 90 250 230 280 420 1070


�� &�!��'"��(!��'��)��* 117

Pases vendidos en cada puesto de entretenimientos por semana en los otros parques:


1. Construya un gráfico de barras verticales que muestre las visitas al museo en el par-

que A durante una semana.

2. Construya un gráfico de barras horizontales que muestre las visitas a los museos de

los parques A, B y C en un día sábado.

3. Calcule el promedio de vales de comida vendidos por puesto en los otros parques por

semana.

4. Calcule el promedio de vales de bebida vendidos por puesto en los otros parques por

semana.

5. Calcule el promedio de pases vendidos por puesto de entretenimiento en los otros

parques por semana.

6. Teniendo en cuenta la asistencia de visitantes a los museos de los otros parques, cal-

cule el promedio esperable de visitantes al museo por semana.

Parte E

En los puestos de alimentación, cada vale de comida costará $ 2,50 y cada vale de bebi-

da costará $ 1,50. En los puestos de entretenimientos, cada pase valdrá $ 2. Se estima

que cada puesto de recuerdo venderá un promedio de $ 840 de mercaderías por día. La

entrada al parque será gratuita y la entrada al museo valdrá $ 5. El parque estará abier-

to todos los días.

Por impuestos, deberán pagar el 21 % de lo recaudado. Por día, a cada encargado de

un puesto se le pagará $ 30 y a cada uno de los 5 guías del museo $ 36. Además por la

compra de alimentos y bebidas se gastará $ 1000 por puesto por semana y en recuer-

dos, $ 15000 en total.

A

B

C

D300

400

350370

PARQUE

PASES


�� 118

Se espera que, por semana, cada puesto de alimentación, cada puesto de entreteni-

mientos y el museo sean visitados por una cantidad promedio de personas igual a la que

visitó puestos similares en los otros parques.


1. ¿Cuánto dinero es esperable que ingrese semanalmente en todo concepto en el par-

que?

2. ¿Cuánto dinero deben pagar semanalmente los dueños del parque?

3. Calcule la ganancia esperable de una semana en el parque.

4. ¿Cuál o cuáles de los siguientes cálculos combinados le permite averiguar dicha

ganancia?

• 21250 + 20250 + 82320 + 25560 + 15050 - 34530,30 - 14700 - 1260 - 20000 - 15000

• 21250 + 20250 + 82320 + 25560 + 15050 - (34530,30 + 14700 + 1260 + 20000 + 15000)

• 2,50 . 20 . 425 + 1,50 . 20 . 675 + 14 . 840 . 7 + 36 . 2 . 355 + 3010 . 5 - . 21 -

70 . 30 . 7 - 5 . 36 . 7 - 20 . 1000 - 15000

• 20 . (2,50 . 425 + 1,50 . 675) + 14 . 840 . 7 + 36 . 2 . 355 + 3010 . 5 - -

7 . (70 . 30 + 5 . 36) - 20 . 1000 - 15000

• 2,50 . 20 . 425 + 1,50 . 20 . 675 + 14 . 840 . 7 + 36 . 2 . 355 + 3010 . 5 - ( +

70 . 30 . 7 + 5 . 36 . 7 + 20 . 1000 + 15000)

Parte F

1. Si con x se expresa la cantidad de vales de comida vendidos en un puesto de alimen-

tación por día, defina una función f que sirva de modelo para describir la recauda-

ción de ese puesto. Considere que ese puesto puede vender hasta 150 vales de comi-

da por día.

2. Para la función f que definió en el ítem 1.:

a) Calcule, si existe, f(70).

b) Calcule, si existe, f(170).

c) Calcule f-1(165).

d) Indique el dominio de f.

e) Determine el conjunto imagen de f.

f) Represente gráficamente la función f en un sistema de ejes coordenados cartesianos.

3. Interprete los valores f(70) y f-1(165) calculados en el ítem 2. expresándolos en térmi-

nos de la situación que representa la función f.

164430100

164430100

164430100


�� &�!��'"��(!��'��)��* 119

Parte G

El siguiente esquema representa el trazado de senderos que se utilizarán para recorrer

el sector del parque con animales:

En él se deberá verificar que: r s t; u v; AB = BC ; CF = CH ; ,


1. ¿Qué propiedad de los ángulos le permite plantear una ecuación para hallar el valor

de x? Plantee y resuelva dicha ecuación.

2. ¿Cuánto mide el ángulo ? ¿Cuánto mide el ángulo ?

3. ¿Cuánto miden los ángulos indicados con los números 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 10, 11 y

12? En cada caso, explique qué propiedades de los ángulos, triángulos y cuadriláte-

ros tiene en cuenta para responder.

4. ¿Qué tipo de triángulo es la región determinada por los puntos E, G y F? ¿Y por los

puntos C, F y H? ¿Y por C, O y B? ¿Y por C, A y B? ¿Y por C, B y D? Justifique sus res-

puestas.

5. ¿Qué tipo de cuadrilátero es la región determinada por los puntos D, E, F y C? ¿Y por

los puntos A, B, C y D? ¿Y por B, I, H y C? ¿Y por A, E, F y B? Justifique sus respuestas.

= 2x - 12= (x + 36)23


�� 120

Actividad N° 2

Parte A

Resuelva los siguientes cálculos combinados. En los ítems 2., 3., 4., 5., 6. y 7., utilice frac-

ciones para resolver.

1.

2.

3.

4.

5.

6.

7.

Parte B

Resuelva las siguientes ecuaciones. Verifique en cada caso que el valor de x hallado es

solución de la ecuación.

1. - 4x + 25 = 40 - 5x

2. 5x + 7 = 3x + 25

3. (x + 2) : 3 = 9

4. 5 + 4 . (x - 7) = 21

5.

6. 2 . (x - 5) = x -

7.

8.

-3x - = x + 123

53

x + 5 + x + 5 = 43013

13

6 + = -3x + 1

2

Actividad N° 2


g–1 y g–1 (0)

121

Parte C

Resuelva las siguientes inecuaciones. Verifique en cada caso que los valores de x encon-

trados sean solución de la inecuación:

1. 2x + 7 > -3

2. 2x + 7 < -3

3. -5x - 4 > 2

4. -5x + 4 < 2

Parte D

1. Para la función f: R → R / y = f(x) = - 2 . x + 3

a) Identifique el conjunto de partida, el conjunto de llegada y la fórmula de la fun-

ción.

b) Calcule .

c) Determine .

d) Escriba el dominio y el conjunto imagen de la función f.

e) Represente la función f en un sistema coordenado cartesiano.

2. Para la función

a) Identifique el conjunto de partida, el conjunto de llegada y la fórmula de la fun-

ción.

b) Calcule g(-5), g(0) y g(3).

c) Determine g-1 y g-1(0) .

d) Escriba el dominio y el conjunto imagen de la función g.

e) Represente la función g en un sistema coordenado cartesiano.

�� )�'�0�1)��'��(!��'!�

f – , f(0) y f(4)23

f–1 y f–1(0)45

g: [-5 ; 3] → R / g(x) = x + 512

72


MATEMATICA

��)��#��)1�'"�� 122

��

Al controlar sus respuestas con las nuestras tenga en cuenta el resultado final al que

usted llegó, el proceso de resolución y la simbología matemática utilizada en cada reso-

lución.

Recuerde que es posible que haya varios caminos de resolución de una situación, todos

igualmente válidos.

!�" )�"��"��0��3�")"� �!��"4

Act iv idad Nº 1

Parte A

1. Teniendo en cuenta que el enunciado de la situación dice que el largo del terreno

mide 5 hm más que las dos terceras partes del ancho x, la opción correcta para

expresar cómo se puede encontrar el largo a partir del ancho es . En esta

expresión, con se traduce la condición "las dos terceras partes del ancho" y se

suma 5 porque se le agregan 5 hm.

2. Para elegir la ecuación correcta entre las dadas, debemos tener en cuenta la relación

encontrada entre largo y ancho del terreno en el ítem anterior. Además, como los lados

opuestos del rectángulo son iguales, para calcular el perímetro (o suma de los 4 lados)

tenemos que sumar dos lados que miden x y dos lados que miden . Como el

dato del perímetro está dado en km y la relación entre largo y ancho del terreno está

expresada en hm, debemos tener en cuenta que 5 km = 50 hm. Por eso la ecuación

que nos permite traducir las condiciones dadas en el enunciado es:

Si resolvemos esta ecuación, hallamos la medida del ancho x del terreno. A conti-

nuación mostramos los pasos de la resolución de la ecuación.

(ya que, pensando como en la Actividad de la fábrica de jugos de la

Unidad 3,

Para los pasos que siguen recuerde los operadores que hacen y deshacen que traba-

jamos en la Unidad 3.

50 � 50 - 10 � 40 �� 12 = x

Por lo tanto, el ancho del terreno mide 12 hm. Para calcular cuánto mide el largo

hacemos . 12 + 5 = 8 + 5 = 13. Por lo tanto, el largo del terreno mide 13 hm.

23

x + 523

x + 523

x + 5 + x + x + 5 + x = 502323

23

x + 5 + x + x + 5 + x = 5023

23

x + x + x + x = x y 5 + 5 = 10)23

23

23

103

103

x + 10 = 50103

x23


123�� !�" )�"��"��1��)�'�0�1)��'��(!��'!�

3. Teniendo en cuenta que la superficie de un rectángulo se calcula multiplicando la

medida del largo por la medida del ancho (o base por altura), resulta:

Superficie del terreno = 12 hm . 13 hm = 156 hm2.

El enunciado pide la superficie del terreno en km2. Debemos hacer la conversión de

hm2 a km2. Como vimos en la Unidad 6, la unidad km2 se encuentra un lugar a la

izquierda de la unidad hm2, entonces para hacer la conversión dividimos a la canti-

dad de hm2 por 102.

Resulta: 156 hm2 = 156 : 102 km2 = 156 : 100 km2 = 1,56 km2. Por lo tanto, la superfi-

cie del terreno es de 1,56 km2.

También se puede calcular esta superficie convirtiendo primero las medidas del largo

y el ancho del terreno a km. En este caso para hacer la conversión dividimos a la can-

tidad de hm por 10.

Así resulta 12 hm = 12 : 10 km = 1,2 km; 13 hm = 1,3 km, y la superficie del terreno =

1,2 km . 1,3 km = 1,56 km2.

En el cálculo de la superficie del terreno le mostramos dos formas distin-

tas de obtener un mismo resultado. Lo mismo puede ocurrir en muchos

otros casos en los que nosotros no le mostremos varias alternativas de

resolución. No descarte un procedimiento utilizado por usted porque

difiere del nuestro. El suyo puede ser igualmente correcto.

4. Si queremos calcular la superficie del terreno en m2, hacemos la conversión teniendo

en cuenta que como la unidad m2 se encuentra dos lugares a la derecha de la unidad

hm2, tenemos que multiplicar dos veces por 102 ó, lo que es lo mismo, multiplicar por

104 a la cantidad de hm2.

156 hm2 = 156 . 104 m2 = 156 . 10000 m2 = 1560000 m2

Por lo tanto, la superficie del terreno es de 1560000 m2. También, como en el ítem 3.,

se puede calcular la superficie directamente en m2, trabajando con las medidas del

largo y del ancho en metros.

5. Como cada m2 de terreno cuesta $ 80, el costo total se calcula haciendo 1560000 . 80

= 124800000. Por lo tanto, el terreno cuesta $ 124800000.

6. Para reservar el terreno se debe pagar la centésima parte de $ 124800000. Es decir,

Por lo tanto, se debe pagar $ 1248000 para reservar el terreno.

Para firmar el boleto de compra - venta se debe pagar el 10 % de $ 124800000. Es

decir, . 124800000 = 12480000. Por lo tanto, en el momento de la firma del bole-

to de compra - venta se debe pagar $ 12480000. (Observe que el 10 % de una canti-

dad es equivalente a la décima parte de la misma).

110


�� 124

En el momento de la escritura se paga el resto. Es decir, 124800000 - (1248000 +

12480000) = 111072000. También se puede calcular esta cantidad haciendo

124800000 - 1248000 - 12480000 = 111072000. Por lo tanto, al escriturar, se debe

pagar $ 111072000.

Si es necesario, puede revisar los contenidos utilizados en la resolución de esta Parte A en la Uni-

dad 2 (operaciones), Unidad 3 (ecuaciones), Unidad 5 (superficies), Unidad 6 (conversión de uni-

dades) y Unidad 7 (porcentaje).

Parte B

1.a)

b) Cada uno de los triángulos en que queda subdividido el terreno es rectángulo (por-

que tiene un ángulo recto) y escaleno (porque las medidas de sus 3 lados son dis-

tintas).

2. Para calcular cuánto mide la diagonal del rectángulo tenemos en cuenta que es la

hipotenusa de un triángulo rectángulo. Entonces podemos usar el teorema de Pitá-

goras. Aplicándolo a este caso, resulta Diagonal2 = largo2 + ancho2. Es decir, Diago-

nal2 = (13 hm)2 + (12 hm)2� Diagonal2 = 169 hm2 + 144 hm2

� Diagonal2 = 313 hm2

� Diagonal = 313 hm2 = 17.69 hm. Por lo tanto, el cerco alambrado deberá medir

17,69 hm (aproximadamente).

3. El museo ocupa de la mitad del terreno, esto es

Por lo tanto, el museo ocupa una superficie de 29250 m2.

4. El costo de construcción del museo será de $ 8775000, ya que 29250 . 300 = 8775000.

5. El museo ocupa el 1,875 % del terreno, ya que

380

. 1560000 m2 = 29250 m23

80

1

2

. 100 = 1,875 29250

1560000


125�� !�" )�"��"��1��)�'�0�1)��'��(!��'!�

6. El siguiente es el esquema que muestra la forma del terreno en el que se construirá

el museo.

Teniendo en cuenta que los datos que se tiene son las bases (o lados paralelos) del tra-

pecio, la superficie y que la altura coincide con uno de los lados, ya que se trata de un

trapecio rectángulo, podemos plantear la siguiente ecuación:

entonces . Teniendo en cuenta los operadores que hacen y deshacen,

resolvemos . Por lo tanto, el lado perpendicular a las bases mide 234 m.

Observe en el esquema dado más arriba que el cuarto lado del trapecio es la hipotenu-

sa de un triángulo rectángulo cuyos catetos miden 234 m y 50 m. Entonces para deter-

minar cuánto mide el cuarto lado usamos el teorema de Pitágoras.

Resulta: (Cuarto lado)2 = (234 m)2 + (50 m)2 = 54756 m2 + 2500 m2 = 57256 m2. Entonces,

Cuarto lado = 57256 m2 = 239,28 m. Por lo tanto, el cuarto lado del museo mide 239,28 m.

7. La superficie destinada a juegos infantiles es de 234000 m2, ya que el 15 % de

1560000 m2 es . 15 = 234000.

Si es necesario, puede revisar los contenidos utilizados en la resolución de esta Parte B en la Uni-

dad 2 (fracciones), Unidad 5 (triángulos y teorema de Pitágoras) y Unidad 7 (porcentaje).

Parte C

1. Si la cantidad total de puestos es x, las 2/7 partes de x la expresamos mediante x

y la quinta parte de esa cantidad la expresamos mediante x . Teniendo en cuenta

esto, podemos plantear la siguiente ecuación: x + x + 36 = x. Teniendo en cuen-

ta lo visto sobre resolución de ecuaciones en la Unidad 3, resolvemos:

36 = x - x - x , o sea 36 = x , de donde se deduce que x = 36. = 70.

Por lo tanto, habrá 70 puestos.

29250 = . h (100 + 150)

2

29250 = . h 2502

h = 29250 : 2502

1560000 2

2

71

5

1

518

35

35

18

1

52

7

2

7


�� 126

2. Habrá 20 puestos de venta de alimentos (porque ) y 14 puestos de

venta de recuerdos (porque ).

Si es necesario, puede revisar los contenidos utilizados en la resolución de esta Parte C en la Uni-

dad 2 (operaciones con fracciones) y Unidad 3 (ecuaciones).

Parte D

1. El gráfico de barras verticales que muestra las visitas al museo en el parque A duran-

te una semana es el siguiente:

2. El gráfico de barras horizontales que muestra las visitas a los museos de los parques

A, B y C en un día sábado es el siguiente:

3. En cada puesto de venta de alimentos de los otros parques se vende un promedio de

425 vales de comida por semana, ya que (600 + 450 + 350 + 300) : 4 = 425.

. 70 = 20 2

7

. 70 = 14 1

5

Días

Visitas


127�� !�" )�"��"��1��)�'�0�1)��'��(!��'!�

4. En cada puesto de venta de alimentos de los otros parques se vende un promedio de

675 vales de comida por semana, ya que (800 + 600 + 500 + 400) : 4 = 675.

5. En cada puesto de entretenimiento en los otros parques se vende un promedio de

355 pases por semana, ya que (300 + 350 + 370 + 400) : 4 = 355.

6. Por semana, suman 3150 personas que visitan el museo del parque A, 2940 personas

que visitan el museo del parque B y también 2940 personas que visitan el del parque

C. El promedio de visitantes por semana de los museos de los otros parques es de

3010, ya que (3150 + 2940 + 2940) : 3 = 3010. Por lo tanto, se espera un promedio de

3010 visitantes del museo por semana.

Si es necesario, puede revisar los contenidos utilizados en la resolución de esta Parte D en la Uni-

dad 2 (operaciones) y Unidad 7 (porcentaje, gráficos de barras y promedio).

Parte E

1. Semanalmente, en el parque se espera que ingresen las siguientes cantidades de

dinero:

• Por semana, en cada uno de los 20 puestos de venta de alimentos se espera ven-

der 425 vales de comida a $ 2,50 cada uno. Entonces el ingreso esperable sería de

20. 425 . 2,50 = $ 21250.

• Por semana, en cada uno de los 20 puestos de venta de alimentos se espera ven-

der 675 vales de bebida a $ 1,50 cada uno. Entonces el ingreso esperable sería de

20 . 675 . 1,50 = $ 20250.

• En cada uno de los 14 puestos de venta de recuerdos se espera vender $ 840 por

día. Entonces, en una semana se espera un ingreso de 14 . 840 . 7 = $ 82320.

• Por semana, en cada uno de los 36 puestos de entretenimientos se espera vender

355 pases a $ 2 cada uno. Entonces, se espera un ingreso de 36 . 355 . 2 = $ 25560.

• Se esperan 3010 visitantes al museo que pagarán $ 5 cada uno. Entonces, el ingre-

so esperable sería de 3010 . 5 = $ 15050.

Entonces, en una semana se espera que el dinero que ingrese en el parque sea de $

164430 (ya que 21250 + 20250 + 82320 + 25560 + 15050 = 164430).

2. Por semana, los dueños del parque deberán pagar las siguientes cantidades de dinero:

• Para impuestos, el 21 % de lo recaudado, es decir que pagarán:

• Por los 7 días de trabajo de los encargados de los 70 puestos que cobran $ 30 cada

uno, pagarán 7 . 70 . 30 = $ 14700.

. 21 = $ 34530,30 164430

100


�� 128

• Por los 7 días de trabajo de los 5 guías del museo que cobran $ 36 cada uno,

pagarán 7 . 5 . 36 = $ 1260.

• Por los gastos de $ 1000 por semana en comida y bebida de los 20 puestos se

pagarán 1000 . 20 = $ 20000.

• Por el costo de los recuerdos pagarán $ 15000.

Entonces, semanalmente los dueños del parque deberán pagar $ 85490,30 (ya que

34530,30 + 14700 + 1260 + 20000 + 15000 = 85490,30).

3. La ganancia esperable de una semana en el parque será de $ 78939,70 (porque

164430 - 85490,30 = 78939,70).

4. Cualquiera de los cálculos combinados dados le permite averiguar la ganancia sema-

nal en el parque.

Si es necesario, puede revisar los contenidos utilizados en la resolución de esta Parte E en la Uni-

dad 2 (operaciones) y Unidad 7 (porcentaje).

Parte F

1. Si con x se expresa la cantidad de vales de comida vendidos en un puesto de alimen-

tación por día, una función f que sirve de modelo para describir la recaudación de ese

puesto es la siguiente:

f : {0; 1; 2; 3; … ; 148; 149; 150} � R / f(x) = 2,5 . x

En el conjunto de partida de esta función se tiene en cuenta que ese puesto puede ven-

der hasta 150 vales de comida por día. La fórmula de esta función permite calcular

cuánto recauda este puesto por la venta de cualquier cantidad x de vales de comida.

2. Para la función f que definimos en el ítem 1.:

a) f(70) = 175 (ya que 2,5 . 70 = 175).

b) No existe f(170) ya que el número 170 no está en el conjunto de partida de la fun-

ción f ya que no es posible vender 170 vales en ese puesto.

c) f-1(165) = 66 (porque si 2,5 . x = 165, entonces, resolviendo esta ecuación resulta x

= 165 : 2,5 = 66).

d) El dominio de f es Dom f = {0; 1; 2; 3; … ; 148; 149; 150}.

e) El conjunto imagen de f es Im f = {0; 2,5; 5; 7,5; … ; 370; 372,5; 375}.

f) La siguiente es la representación gráfica de la función f en un sistema de ejes coor-

denados cartesianos.


3. Las interpretaciones pedidas son las siguientes:

• f(70) = 175 expresa que por la venta de 70 vales de comida, en ese puesto se recau-

dan $ 175.

• f-1(165) = 66 expresa que si se recaudan $ 165 es porque se vendieron 66 vales de

comida.

Si es necesario, puede revisar los contenidos utilizados en la resolución de esta Parte F en la Uni-

dad 1 (modelo matemático y fórmulas), Unidad 2 (operaciones), Unidad 3 (ecuaciones), Unidad 4

(funciones).

Parte G

1. Los ángulos dados y son conjugados internos entre paralelas. Por eso son suple-

mentarios, es decir suman 180º. Esta propiedad nos permite plantear una ecuación

para hallar el valor de x. Es la siguiente: .

Para resolver esta ecuación comenzamos distribuyendo en el primer paréntesis:

Queda así: . A partir de aquí seguimos resolviendo aplican-

do lo visto en las actividades de la Unidad 3 de la guía de estudio.

� . Por lo tanto, la solución de la ecuación

planteada es x = 63.

129�� !�" )�"��"��1��)�'�0�1)��'��(!��'!�

. (x +36) + 2x - 12 = 18023

x +24 + 2x - 12 = 18023

x =(180 -12) : = 6383

23

x +12 = 18083

x (vales)

En el gráfico sólo fueronrepresentados algunospuntos.


2. El ángulo mide 66º (porque ). El ángulo mide 114º (ya que

2 . 63 - 12 = 114). Se puede verificar que 66º + 114º = 180º.

3. El ángulo 1 mide 66º porque es adyacente a o porque es correspondiente entre

paralelas de .

El ángulo 2 mide 114º porque es conjugado interno entre paralelas de o porque es

ángulo opuesto de en el paralelogramo DCFE.

El ángulo 3 mide 66º porque es adyacente de 2 .

El triángulo CFH es isósceles, por lo tanto, los ángulos 4 y 5 son iguales. Teniendo en

cuenta la propiedad de los ángulos interiores de los triángulos resulta que:

3 + 4 + 5 = 180º , o sea que 4 + 5 = 180º - 66º = 114º . Como 4 = 5, resulta que cada uno

de ellos mide 114º : 2 = 57º. Por lo tanto, 4 = 57º y 5 = 57º.

El ángulo 6 mide 57º porque es correspondiente entre paralelas con el ángulo 5 .

El ángulo 7 mide 57º porque es correspondiente entre paralelas con el ángulo 5 .

El ángulo 8 mide 33º (la mitad de 66º que es la medida del ángulo opuesto por el vér-

tice al ángulo 3) porque CA es diagonal del rombo ABCD y las diagonales de un

rombo son bisectrices de los ángulos cuyos vértices une.

El ángulo 9 mide 57º (la mitad de 114º que es la medida del ángulo correspondiente

entre paralelas a ) porque DB es la otra diagonal del rombo ABCD.

El ángulo 10 mide 123º ya que es adyacente al ángulo 4 .

El ángulo 11 mide 123º porque es correspondiente entre paralelas con el ángulo 10.

El ángulo 12 mide 90º porque está determinado por las dos diagonales del rombo ABCD.

4. El triángulo EGF es isósceles ya que tiene dos ángulos iguales y acutángulo porque

sus ángulos son agudos. El triángulo CFH es isósceles ya que los datos nos indican que

CF = CH y acutángulo ya que sus ángulos resultan agudos. El triángulo COB es esca-

leno ya que sus lados son distintos y rectángulo ya que tiene un ángulo recto. El trián-

gulo CAB es isósceles ya que los datos nos informan que AB = BC y obtusángulo ya

que tiene un ángulo obtuso. El triángulo CBD es isósceles acutángulo.

5. El cuadrilátero DEFC es un paralelogramo ya que sus dos pares de lados opuestos son

paralelos. El cuadrilátero ABCD es un rombo porque sus lados opuestos son paralelos

y sus lados consecutivos son iguales. El cuadrilátero BIHC es un trapecio ya que tiene

un par de lados opuestos paralelos. El cuadrilátero AEFB es un paralelogramo porque

sus dos pares de lados opuestos son paralelos.

Si es necesario, puede revisar los contenidos utilizados en la resolución de esta Parte G en la Uni-

dad 2 (operaciones), Unidad 3 (ecuaciones), Unidad 5 (ángulos, triángulos y cuadriláteros y sus

propiedades).

�� 130

. (63 + 63) = 6923


131�� !�" )�"��"��1��)�'�0�1)��'��(!��'!�

Act iv idad N° 2

Parte A

Para resolver cualquiera de los ítems de esta Parte, además de saber operar en los dife-

rentes conjuntos numéricos, es necesario que usted tenga en cuenta el orden en que

debe resolver esas operaciones. Si tiene dudas al respecto vuelva a trabajarlo en la Uni-

dad 2 de la Guía de estudio.

1.

2.

3.

4.

5.

6.

7.


6 + = -3 → -3 - 6 → x + 1 = -9 . 2 → x = - 18 - 1 → x = -19

�� 132

Parte B

Para resolver las ecuaciones planteadas en esta Parte debe tener en cuenta los opera-

dores que "hacen" y "deshacen" con los que trabajamos en la Unidad 3 de la Guía de

estudio. Si tiene dificultades vuelva allí a trabajar nuevamente con ellos.

1. 4x + 25 = 40 - 5x → -4x + 5x = 40 - 25 → x = -15

2. 5x + 7 = 3x + 25 → 5x - 3x = 25 - 7 → 2x = 18 → x = 18 : 2 → x = 9

3. (x + 2) : 3= 9 → (x + 2) = 9 . 3 → x = 27 - 2 → x = 25

4. 5 + 4 . (x - 7) = 21 → 4 . (x - 7) = 21 - 5 → (x - 7) = 16 : 4 → x = 4 + 7 → x = 11

5.

6.

7.

8.

Para verificar si cada uno de los resultados obtenidos es solución de la ecuación corres-

pondiente, usted debe verificar que se cumpla la igualdad cuando x toma el valor encon-

trado al resolverla. Para ello debe reemplazar a x en cada ecuación por el valor obteni-

do, realizar las operaciones planteadas en cada miembro de la igualdad y verificar que

los resultados de las operaciones den lo mismo a un lado y otro de la misma.

No deje de hacerlo cada vez que deba resolver una ecuación. La verificación le permitirá

saber si la resolvió bien o no.

Parte C

Si tuviera dificultades para resolver las inecuaciones planteadas en esta parte de la acti-

vidad, debe retomar los ejercicios en los que se trabajó este tema. Puede encontrarlos

en los Ejercicios de integración de la unidad 3.

1. 2x + 7 > -3 → 2x > - 3 - 7 → x > -10 : 2 → x > -5

Por lo tanto el conjunto solución de la inecuación dada es S = (-5 ; +∞).

2. 2x + 7< -3

Observe que en esta inecuación lo único que cambia en relación a la resuelta en el ítem 1.

es el sentido del signo. En el ítem 1. le pedíamos que determine los valores de x que hacen

que la expresión 2x + 7 sea mayor que -3 y ahora le pedimos que determine los valores de

x que hacen que dicha expresión sea menor o igual que -3. Por lo tanto, el conjunto solu-

ción es el conjunto que completa la recta numérica a partir del anterior, incluyendo a

x + 12

x + 12

2 . (x - 5) = x - → 2x - 10 = x - → 2x - x = - + 10 → x = 13

13

13

293

-3x - = x + 1 → -3x - x = 1 + → - x = → x = : - → x = -23

53

53

53

53

514

23

143

143

x + 5 + x + 5 = 430 → x + 10 = 430 → x = 430 - 10 → x = 420 →13

x = 420 : → x = 630

13

23

23

23

23


x = -5 porque con este valor de x la expresión 2x + 7 es igual a -3. Es decir que S = (-∞ ; -5].

Si tiene dificultades con la notación simbólica utilizada para expresar el conjunto solución en cada

caso, retome este tema en los ejercicios de integración de la Unidad 2 y 3.

3. -5x - 4 > 2 → -5x > 2 + 4 → x < 6 : (-5) (se invierte el sentido de la desigualdad por-

que se divide a ambos miembros por un número negativo). El conjunto solución es:

S = -∞ ; .

4. -5x + 4 < 2

Tal como pensamos en el ítem 2., el conjunto solución de esta inecuación es el comple-

mentario del determinado al resolver la inecuación -5x - 4 > 2. Es decir, S = [- ; +∞).

Para verificar si el conjunto encontrado en cada caso es el conjunto solución de la ine-

cuación correspondiente, usted debe verificar que se cumpla la desigualdad cuando

x toma valores pertenecientes a ese conjunto. Para ello debe reemplazar a x en cada

inecuación por valores pertenecientes al conjunto solución, realizar las operaciones

planteadas en cada miembro de la desigualdad y observar que los resultados obteni-

dos a un lado y a otro verifiquen el sentido de la desigualdad.

No deje de hacerlo cada vez que deba resolver una inecuación. La verificación le per-

mitirá saber si la resolvió bien o no.

Parte D

1. a) El conjunto de partida es R y el conjunto de llegada también es R. La fórmula es

f(x) = - 2 . x + 3

b) f = - 2 . + 3 = + 3 =

f(0) = -2 . 0 + 3 = 3

f(4) = -2 . 4 + 3 = - 8 + 3 = -5

c) Para calcular f -1 planteamos la ecuación = - 2x + 3. Resolviendo la ecuación

resulta x = .

Para determinar f -1(0) planteamos la ecuación 0 = -2x + 3. Resolviendo la ecuación nos

queda x = .

d) Dom f = R e Im f = R

133�� !�" )�"��"��1��)�'�0�1)��'��(!��'!�

65

23

43

133

-

45

1110

32

45

23

-

65

-


�� 134

e)

2. a) El conjunto de partida es el conjunto [-5 ; 3], el conjunto de llegada es R y la fór-

mula es g(x) = x + 5.

b) g(-5) = . (- 5 ) + 5 = - + 5 =

g(0) = . 0 + 5 = 5

g(3) = . 3 + 5 = + 5 =

c) Para determinar g-1 planteamos la ecuación . x + 5 = , de donde resulta

x = -3

Para calcular g-1(0) planteamos x + 5 = 0, y despejando, x = -10

d) Dom g = [-5 ; 3] e Im g = [ - ; ]

e)

12

12

1212

52

32

12

12

52

132

72

132

52

72


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�� 136


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