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Escuela Agropecuaria. Facultad de Cs. Veterinarias. UBA Matemática 2° A y B

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UNIDAD N°1: 2º PARTE

NÚMEROS IRRACIONALES

A los números cuya expresión decimal tiene infinitas cifras no periódicas se les llama números irracionales. A su conjunto lo representaremos con la letra a .

Son números irracionales:

Números irracionales Los números irracionales aparecen en las construcciones geométricas más sencillas. Por ejemplo, en un cuadrado de lado igual a 1, la diagonal adopta como valor raíz de 2, un número irracional.

El conjunto formado por los números racionales e

i rracionales es e l conjunto de los números reales , se des igna

por .

Atenc ión! ! ! Recordá que no podemos resolv er las raíces d e

índice par de números negativos, y la división por cero.


2

1) Marcar los números que son irracionales.

a) 1,737475767778… b) -2,040404040… c) 1349 d) 6 32

e)4,12345678 f) 90

360 g) 5 32 h) 216

2) Hallar el valor de X . a) b)


3

c) d) e) f) ¿Puede existir este triángulo?

La recta real

A todo número real le cor responde un punto de la rec ta y a

todo punto de la recta un número real .

Representación de los números rea les

Los números reales pueden ser representados en la rec ta

con tanta aprox imac ión como queramos, pero hay casos en los

que podemos representarlos de forma exacta.


4

4) Apliquen el teorema de Pitágoras para representar los siguientes números irracionales en la recta real. a) 20 c) 29 c) 40 d) 27 5) Escribir un número irracional mayor que 2 y menor que 2,1 6) Escribir un número racional . a) mayor que 1 y menor que 2 b) mayor que 105 y 7) Encuentren la regla que haya podido usarse para generar los siguientes números, indiquen si son racionales o irracionales y escriban las cinco cifras decimales siguientes. a) 0,101100111000… b) 8,10200300040… c) 1,73207320… d)-3,010203… e) 8,991991… f) 8,991992… g) 5,212022212322… h)-404004000,4040… i) -2,959697… j) 0,123212321232… 8) Entre que números enteros consecutivos se encuentra cada uno de los siguientes números. No hagas cuentas. .......... 7 .......... .......... 18 .......... .......... 50 .......... .......... 7 .......... .......... 108 .......... .......... 29 .......... 9) Con ayuda de tu calculadora encontrá un número racional comprendido entre :

8171)32) ybya 10) Escribí un par de números racionales entre los que se encuentre:

72)5) ba 11) Sobre un cuadrado negro se ha colocado otro gris y sobre él uno blanco. Sabiendo que la superficie del cuadrado negro es de 264cm , calculá la longitud de los lados del cuadrado gris y del blanco.


5

12) Indicá si estos números son irracionales o no. Justificá en todos los casos. 53 3)27)7.7)66)37) edcba 13) Escribí un Número real “a” que cumpla con las condiciones pedidas: a) 7<a<7,28 y es irracional. b)7<a<7,28 y es racional, c)-5<a<-4 y tiene una expresión decimal periódica mixta. 14) Sumas algebraicas con números irracionales. ¿Te animás?

a) 3 4 3 6 3 b) 3 7 14 72 7

c)

23 5 5

2 5

d) 32353

e) 232 f) 35333 15) Resolvé las siguientes operaciones y coloca una cruz en TODAS las casillas que corresponda Natural Entero Racional Irracional

23

33

43

53

63

16) Sin resolver el cálculo decidí si el resultado se trata de un numero Irracional o Racional, fundamentá tu respuesta

a) 112 b) 11

4 c) 817 d) 107

17)Sabiendo que 5 es irracional decidí si son o no irracionales los siguientes números, fundamentá tu decisión.

a) 4 5 b) 35 c) 5 3 d) 55

e) 56 5

f) 25· 5· 5

g) 5 3,1 h) 156

18) Leo afirma que 8 2 2 , Caro hace las cuentas con la calculadora y le da la razón. a) ¿Alcanza con “mirar” la pantalla de la calculadora para justificar esa igualdad? Explicá cualquier respuesta


6

b) Buscá una explicación “analítica” que fundamente esa igualdad. 19) A partir de lo hecho en el ejercicio anterior, extrae todos los factores que sea posible de la raíz y escribí una igualdad como la del ejercicio anterior. a) 50 b) 18 c) 300 3125)125)81)27)128) hgfed 20) Primero extrae todos los factores que sea posible y luego resolver las siguientes operaciones de suma y resta de Números Irracionales. a) 184823

b) 98635328

c) 987318

32

345

2803

d) 5504822572

43322

e) 34317551282

663

f) 3752482

6108

227

g)2 4980.745

31

16920

h) 625

10244

2581

20023

2723

i) 1445001245

511808

j) 605125524531802

k) 294412164863150

21

l) 163962422565 21) Resolver los siguientes ejercicios combinados de Números Irracionales.

a) 53.5

b) 72.73

c) 233.34

e) 983142.83

f) 2310450

23


7

g)125

51.90

32.108

21

h)

72

101.485.322

i) 23.26 22) Hallar el perímetro de las siguientes figuras, cuyas medidas están en cm. Luego hallar el área en los casos b),c),d) y e). a) b) c) d) e)

Rtas: a) 72

13 b) 26;28 cm c) 21;23 cm d) 26;104 cm

e) 275;11752 cmcm

23) Se sabe que la suma de las aristas de un cubo es de 36 cm a) ¿Cuál es en cm la medida de una arista?

b) ¿Cuánto mide en cm la diagonal de una cara? 24) Resolvé aplicando la propiedad distributiva a) 2 5 · 2 b) 2 5 · 2 5 c) 2 5 · 2 5 d) 21.22


8

e) 32.23 f) 325.2232 25) Expresar como potencias de exponente fraccionario.

a) 5 3x b) xy c) 21 d) 3

zxy

26)Paula calculó la medida del lado de un cuadro de forma cuadrada que tiene un

área de 2

21cm y obtuvo como resultado cm

41

21

.¿Está bien lo que hizo?¿Por qué?

27) Realizar las siguientes operaciones ( Sugerencia: escribir como potencias de exponente fraccionario)

a)

74

24 1

21:2 b)

2

431:

31 c) 5

256

37

: xx

=

28) Mariana y Leandro calcularon la medida de la diagonal de una bandeja cuadrada

de lado .81m Leandro dice que la diagonal mide 0,5 m y Mariana, .

41 2

1

m

¿Quién tiene razón?¿Por qué? 29) Mariana y Leandro siguen discutiendo. Ahora calcularon la medida de la arista del alhajero de su mamá que tiene forma de cubo de volumen 0,343 dm3 . Leandro dice que da 1/7 dm y Mariana,7/10 dm. ¿Quién tiene razón? ¿Por qué? Aproximación por Redondeo y Truncamiento: Cuando trabajamos con números racionales periódicos o no periódicos, no podemos escribirlos con su desarrollo decimal completo porque tienen infinitas cifras. Con fines prácticos, en muchos casos usamos un valor aproximado. Por ejemplo: 2,3 es un valor aproximado de 7/3. 3,1416 es un valor aproximado de π. Para aproximar un número podemos hacerlo por redondeo o truncamiento. . Observen algunos ejemplos de cómo aproximamos 1,2329.

Redondeo a los centésimos: 1,2379 ≈ 1,24 Le sumamos 1 al 3 (la cifra del centésimo) porque le sigue un número mayor o igual que 5.

Redondeo a los décimos: 1,2379 ≈1,2 Desechamos las cifras siguientes sin cambiar nada porque al 2 le sigue una cifra menor que 5.

Truncamiento a los centésimos:


9

1,2379 ≈ 1,23 Cortamos el número en la cifra pedida y desechamos las siguientes.

Truncamiento a los décimos: 1,2379 ≈ 1,2 Cortamos el número en la cifra pedida y desechamos las siguientes. Como conclusión final: Truncamiento: Truncar una expresión decimal en una cifra determinada significa eliminar todas las cifras que le siguen. Redondeo: Redondear una expresión decimal a una cifra determinada es reemplazarla por la expresión decimal exacta más cercana, con ese número de cifras. Se va a entender mejor observando el siguiente cuadro de ejemplos: Expresión original Nº de decimales a aproximar truncamiento redondeo 1,5686 2 1,56 1,57 5,12894 3 5,128 5,129 3,123155 4 3,1231 3,1232 0,1234544 3 0,123 0,123 1,0002121 4 1,0002 1,0002 4,0048 2 4 4 4,0054 2 4 4,01 4,9006 3 4,9 4,901 0,70000210 5 0,7 0,7 0,50000088 6 0,5 0,500001 30) Completar la tabla:

31) Mariana pagó en el mes de mayo las facturas de gas y servicio eléctrico. En los dos casos se abonó en IVA (21%), que se calcula sobre el subtotal:

a) ¿Cuánto pagó por la factura del gas, si el subtotal que figura en la boleta era de $16,88, sin considerar el IVA? Aproximen el resultado al centésimo.

b) Si por la factura de la electricidad le cobraron IVA $ 6,99, ¿cuál fue el importe total que debió abonar? Aproximen el resultado al décimo.

32) Redondear a milésimos y truncar a centésimos: a) 25,6782= b) 41,9995= c) 101,2996= d)52,3394= e )102,4453= f )π=

Expresión fraccionaria

Expresión decimal

Aproximación por truncamiento a los centésimos

Aproximación por redondeo a los centésimos

1 16

1 6

7 12


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TRABAJAMOS CON LA CALCULADORA. Las calculadoras científicas tienen entre sus funciones una que nos permite seleccionar la cantidad máxima de cifras decimales con las que deseamos trabajar. Para lograr esto utiliza la aproximación por redondeo. Esta función se activa pulsando las teclas MODE 7 y el número de cifras decimales deseadas. Se desactiva pulsando las teclas MODE 9. 33) Hallen y redondeen a 2 y3 cifras decimales. a) 2 b) 3 7 ERROR DE LAS MEDICIONES. Cuando aproximamos números cometemos errores intencionales. Por ejemplo: Si un paquete de fideos cuesta $1,67 el cajero cobra $1,65, comete un error de $0,02 a favor del cliente. Error absoluto= aproximadovalorverdaderovalor 34) Sergio va al supermercado a realizar sus compras, pero no quiere gastar más de $50. Para evitar problemas en la línea de cajas, redondea el precio en forma mental y suma. Artículo Precio Pan lacteado 7,83 1 paq. de salchichas 4,56 1 Docena de huevos 6,09 1 paq. de ñoquis 12,34 caldo 1,01 Carne picada 15,07 Jugo exprimido 1,78 Jugo exprimido 2,37 a) Si redondea a una cifra decimal,¿cuál es el error cometido?,¿a quién favorece? b) El cajero suma correctamente y redondea la suma;¿cuál es el error cometido?,¿a quién favorece?

35) ¿Cuál es el error que se comete al sumar 85

165 y si se opera con sus

expresiones decimales redondeadas a dos cifras decimales? 20) En caso de querer escribir una aproximación decimal de 7 ,¿ cuándo cometemos menor error, al escribir 2,64 ó 2,65? Fundamentá tu respuesta. 36)¿Cuánto mide la superficie de una habitación rectangular de 5,33 m de largo por 7,12 m de ancho? a) Redondea a los décimos la medida de la superficie. b)¿Cuál es el error absoluto que se comete al efectuar ese redondeo?


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INTERVALOS EN REALES 37) Completá la siguiente tabla Inecuación Intervalo Representación en la recta

0<x23

-----------)-√2----0-----√3(---- ;4]4;(

x>21

------------0----2[--------)9----- 38) Escribir las siguientes desigualdades como intervalos reales. a) 2x b) 66 x c) x32 d)x 23 x e) 135 x 39) Marcar en la recta numérica los siguientes intervalos.

a) 17;)2

17;40;3)47;)2;

316);2

edcb

INECUACIONES: Las inecuaciones son desigualdades que se verifican cuando sus miembros toman ciertos valores. Para resolver una inecuación podemos proceder de la misma forma que para resolver una ecuación, pero teniendo en cuenta el sentido de la desigualdad. Ejemplos: Pensemos juntos… -2 < 6 -10>-15 -2 . (-3)……6 . (-3) -10 : (-5)…..-15 : (-5) 6 …… -18 2 …..3 Resolvemos inecuaciones: a) 3x-4<12 3x<16 Sumamos 4 a ambos miembros X<16/3 Dividimos por 3 a ambos miembros

b) - 432

x

12

x Restamos 3 a ambos miembros

x 2 Multiplicamos por -2 a ambos miembros.

ATENCIÓN Si se multiplica o divide a ambos miembros de una desigualdad por un número negativo, la desigualdad cambia de sentido.


12

Verifica las inecuaciones anteriores.

40) Resolver las siguientes inecuaciones en R y expresar el conjunto solución como intervalo:

a) 1,05

572

)5(22

13)49)2.(3

49)

6162

25

xxxcxbx

66

218

53)6

16225

352)12

423

23) xxxfxxexxd

222 222)5,02

3,07)12213) xxxixhxxg

41) Expresá mediante inecuaciones:

a) Temperatura probable : Mínima 15°C/Máxima 26°C b) La clasificación de una película dice que es prohibida para menores de 18

años.

c) En un cierto juego no pueden ser menos de 2 ni más de 6 participantes. d) Si sabés que el lado de un cuadrado no es menor que 6 cm, ¿qué podés decir

de su perímetro?

42) En un ascensor tienen que viajar 2 personas con un equipaje de 41 kg. Una de las personas pesa la mitad del peso de la otra aumentado en 10 kg. Sabiendo que la carga máxima del ascensor es de 225 kg ,¿Cuál es el máximo peso posible de la persona de mayor peso?

43)El perímetro de un corral de forma rectangular debe ser menor o igual que 300 m. El lado menor debe medir 50 m,¿ qué medidas puede tomar el otro lado?

Bibliografía. D Albano Carina, Giambini Rosana (2009) Guías de 2° año.Material de

Cátedra. Illuzzi María Alejandra, Menéndez Stella Maris (2002) Matemática 8. Serie

Convergencias. Editorial Kapelusz. Matemática para resolver problemas III. Santillana prácticas(2010) Actividades de Matemática 9 .Santillana.(2009)

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