unidad legaria una secuencia de modelaciÓn para la
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INSTITUTO POLITÉCNICO NACIONAL
CENTRO DE INVESTIGACIONES EN CIENCIA APLICADA Y TECNOLOGÍA AVANZADA
Unidad Legaria
UNA SECUENCIA DE MODELACIÓN PARA LA INTRODUCCIÓN SIGNIFICATIVA DE LA FUNCIÓN CUADRÁTICA
Tesis para obtener el grado de Maestro en Ciencias en Matemática Educativa
Presenta: Octavio Augusto Briceño Silva
Directora de Tesis Dra. Gabriela Buendía Ábalos
México, D. F., marzo de 2014.
Autorización de uso de obra
Instituto Politécnico Nacional P r e s e n t e Bajo protesta de decir verdad el que suscribe Octavio Augusto Briceño Silva (se anexa
copia simple de identificación oficial), manifiesto ser autor y titular de los derechos
morales y patrimoniales de la obra titulada Una Secuencia de Modelación para la
Introducción Significativa de la Función Cuadrática, en adelante “La Tesis” y de la
cual se adjunta copia, por lo que por medio del presente y con fundamento en el artículo
27 fracción II, inciso b) de la Ley Federal del Derecho de Autor, otorgo a el Instituto
Politécnico Nacional, en adelante El IPN, autorización no exclusiva para comunicar y
exhibir públicamente total o parcialmente en medios digitales “La Tesis” por un periodo
de (diez años) contado a partir de la fecha de la presente autorización, dicho periodo se
renovará automáticamente en caso de no dar aviso a “El IPN” de su terminación.
En virtud de lo anterior, “El IPN” deberá reconocer en todo momento mi calidad de
autor de “La Tesis”.
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patrimoniales de “La Tesis”, manifiesto que la misma es original y que la presente
autorización no contraviene ninguna otorgada por el suscrito respecto de “La Tesis”, por
lo que deslindo de toda responsabilidad a El IPN en caso de que el contenido de “La
Tesis” o la autorización concedida afecte o viole derechos autorales, industriales,
secretos industriales, convenios o contratos de confidencialidad o en general cualquier
derecho de propiedad intelectual de terceros y asumo las consecuencias legales y
económicas de cualquier demanda o reclamación que puedan derivarse del caso.
México, D.F., 12 de marzo de 2014. Atentamente
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UNA SECUENCIA DE MODELACIÓN PARA LA INTRODUCCIÓN SIGNIFICATIVA DE LA FUNCIÓN CUADRÁTICA
ÍNDICE
RESUMEN ....................................................................................................................... 5
ASTRACT ........................................................................................................................ 6
INTRODUCCIÓN ........................................................................................................... 7
CAPÍTULO 1. ANTECEDENTES ............................................................................ 12
1.1 El problema de investigación .............................................................................. 12
1.2 Antecedentes ....................................................................................................... 18
1.2.1 La modelación y función cuadrática ............................................................ 19
1.2.2 Otros estudios sobre función cuadrática ...................................................... 24
1.3 Aspectos variacionales de la función cuadrática ............................................. 27
1.4 La investigación ................................................................................................. 32
1.4.1 Objetivos .................................................................................................... 35
CAPÍTULO 2 ESTADO DEL ARTE ........................................................................ 37
2.1 La modelación .................................................................................................... 37
2.1.1 La modelación en el ambiente escolar .......................................................... 41
2.1.2 La modelación como competencia ............................................................... 45
2.1.3 La modelación en Colombia ......................................................................... 46
2.1.4 El papel de las gráficas en la modelación ..................................................... 48
2.1.5 Reflexión....................................................................................................... 52
2.2 La función cuadrática ......................................................................................... 54
2.2.1 La función cuadrática y la modelación ......................................................... 54
CAPÍTULO 3 MARCO TEÓRICO ........................................................................... 62
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UNA SECUENCIA DE MODELACIÓN PARA LA INTRODUCCIÓN SIGNIFICATIVA DE LA FUNCIÓN CUADRÁTICA
3.1 La modelación con un enfoque socioepistemológico ......................................... 62
3.2 Prácticas, resignificación y modelación ............................................................. 66
CAPÍTULO 4 EXPERIMENTOS DE DISEÑO ....................................................... 72
4.1 Descripción metodológica de los experimentos de diseño ................................. 72
4.2 La importancia de la investigación ..................................................................... 77
4.3 Cuestionario diagnóstico ..................................................................................... 80
4.3.1 Planeación cuestionario diagnóstico .................................................................. 83
4.3.2 Metodología prueba diagnóstica ......................................................................... 84
4.3.3 Análisis del cuestionario diagnóstico ................................................................. 85
4.4 Malla de análisis ................................................................................................. 93
4.5 Diseño de las secuencias ..................................................................................... 97
4.5.1 Secuencia 1 ............................................................................................... 101
4.5.2 Secuencia 2 ............................................................................................... 109
4.6 Aspectos metodológicos ................................................................................... 119
4.6.1 Planeación: secuencia 1 ........................................................................... 119
4.6.2 Planeación: secuencia 2 ........................................................................... 121
4.7 Descripción de la experiencia ........................................................................... 124
4.7.1 Secuencia 1 .............................................................................................. 125
4.7.2 Secuencia 2 .............................................................................................. 131
CAPÍTULO 5 ANÁLISIS DE RESULTADOS SECUENCIA 1 ........................... 140
5.1 El tiempo como variable independiente ............................................................ 140
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UNA SECUENCIA DE MODELACIÓN PARA LA INTRODUCCIÓN SIGNIFICATIVA DE LA FUNCIÓN CUADRÁTICA
5.2 Uso de la gráfica: puntos clave ......................................................................... 145
5.3 Uso de la gráfica: intervalos ............................................................................. 153
5.4 Uso de tablas: secuencia numérica ................................................................... 161
CAPÍTULO 6 ANÁLISIS DE RESULTADOS SECUENCIA 2 ........................... 164
6.1 El tiempo como variable independiente ............................................................ 164
6.2 Uso de la gráfica: puntos clave ......................................................................... 171
6.3 Uso de la gráfica: intervalos ............................................................................. 179
6.4 Uso de tablas: secuencia numérica ................................................................... 187
6.5 Síntesis final ...................................................................................................... 191
COMENTARIOS FINALES ...................................................................................... 195
BIBLIOGRAFÍA ......................................................................................................... 200
ANEXOS ...................................................................................................................... 212
LISTADO DE FIGURAS (fotografías) Y TABLAS1
Tabla 1. Perspectivas de modelación según Blomhøj (2008) .......................................... 38
Figura 1. Etapas de la modelación de acuerdo a Rodríguez (2007) ................................ 40
Figura 2. Representación de gráficas ............................................................................... 86
Figura 3. Esbozo de una gráfica lineal ............................................................................ 87
Figura 4. Trayectoria de un auto en línea recta ............................................................... 88
Figura 5. Trayectoria de un auto en una montaña ........................................................... 89
Figura 6. Argumentos verbales para describir una gráfica .............................................. 92
Figura 7. Movimiento de un auto de un punto (B) a otro (C) ....................................... 101
Tabla 2. Relación de las preguntas con los aspectos variacionales ............................... 102
1 Las figuras expuestas en el capítulo 5 y 6 no son mencionadas en el índice, puesto que se especifican claramente en el capítulo y son parte del contexto de análisis
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UNA SECUENCIA DE MODELACIÓN PARA LA INTRODUCCIÓN SIGNIFICATIVA DE LA FUNCIÓN CUADRÁTICA
Figura 8. Movimiento del objeto verticalmente ............................................................ 110
Tabla 3. Relación de las preguntas con los aspectos variacionales ............................... 112
Figura 9. Distribución de los estudiantes en el aula ...................................................... 121
Figura 10. Lanzamiento de la pelota con regleta ........................................................... 123
Figura 11. Toma de medidas directamente del applet ................................................... 126
Figura 12. Gestos con sus manos para indicar el movimiento del auto ........................ 127
Figura 13. Tomando mediciones ................................................................................... 128
Figura 14. Simulación utilizando el software de GEOGEBRA .................................... 128
Figura 15. Gráficas con pendiente positiva ................................................................... 129
Figura 16. Trazos realizado por estudiantes .................................................................. 130
Figura 17. Gráfica en el segundo cuadrante ................................................................. 130
Figura 18. Gráfica del movimiento del auto, pero separado la ida del regreso ............. 131
Figura 19. Lanzamiento de dos pelotas ......................................................................... 132
Figura 20. Movimientos de las manos realizada por los estudiantes............................. 132
Figura 21. Pruebas realizadas por los estudiantes para obtener la trayectoria y los puntos
clave ............................................................................................................................... 133
Figura 22. Gráfica con tiempo en la vertical ................................................................. 134
Figura 23. Explicación sobre el movimiento de la pelota ............................................. 135
Figura 24. Uso de implementos para tomar medidas .................................................... 135
Figura 25. Gráficas de ida y de vuelta ........................................................................... 136
Figura 26. Uso del applet de geogebra sobre el lanzamiento vertical .......................... 137
Figura 27. Tablas y toma de datos ................................................................................. 138
Figura 28. Gráfica en el segundo cuadrante .................................................................. 138
Figura 29. Gestos de poco entendimiento ..................................................................... 139
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UNA SECUENCIA DE MODELACIÓN PARA LA INTRODUCCIÓN SIGNIFICATIVA DE LA FUNCIÓN CUADRÁTICA
RESUMEN
La inquietud que surge en muchos investigadores en matemática educativa donde
constantemente hay un mundo cambiante en conocimiento y tecnología, ha llevado a
buscar alternativas de enseñanza como las didácticas que muestren los caminos y
permitan que el proceso enseñanza aprendizaje se logre de manera significativa.
Esta investigación fortalece el proceso didáctico dando a conocer secuencias didácticas
donde la modelación como práctica es el medio para obtener conocimiento matemático
escolar sobre la función cuadrática y sus aspectos variacionales (el tiempo como
variable independiente; uso de la gráfica a través del reconocimiento de puntos clave;
uso de la gráfica a través de intervalos y uso de tablas por medio de secuencias
numéricas). La aplicación a estudiantes de comienzos del bachillerato permite que
ellos interactúen entre sí, con el medio y el profesor, para que surjan compendios que
aporten al proceso enseñanza aprendizaje de la función cuadrática.
La investigación tiene en cuenta la práctica de modelación, pero además es enriquecida
y fortalecida por las contribuciones que se obtienen al usar Design Experiment (Cobb
et al. ,2003) como un aporte de la metodología y donde el marco teórico que sustenta la
investigación es la socioepistemología.
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UNA SECUENCIA DE MODELACIÓN PARA LA INTRODUCCIÓN SIGNIFICATIVA DE LA FUNCIÓN CUADRÁTICA
ABSTRACT
The concern that arises in many researchers in mathematics education where there is a
constantly changing world where knowledge and technology has led to seek alternative
teaching as didactic, showing roads and allow the teaching-learning process is achieved
significantly.
This research strengthens the learning process revealing didactic sequences where
practice is modeling as a means to obtain knowledge of school mathematics quadratic
function and its variational aspects (time as an independent variable, use of graphics
through recognition of key points, use of the graph through intervals and by using tables
of numerical sequences). The application of sequences early high school students,
allows them to interact with each other, with the environment and the teacher, so that
schemes that contribute to the teaching-learning process of the quadratic function arise.
The research takes into account the practice of modeling, but also is enriched and
strengthened by the contributions obtained by using Design Experiment (Cobb et al.,
2003) as a contribution to the methodology and where the theoretical framework
underpinning the research is the socioepistemology.
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UNA SECUENCIA DE MODELACIÓN PARA LA INTRODUCCIÓN SIGNIFICATIVA DE LA FUNCIÓN CUADRÁTICA
INTRODUCCIÓN
La necesidad de estructurar didácticas donde el estudio de la matemática se lleve fuera
de las cuatro paredes del aula estableciendo una interacción con el medio es una de las
ideas que enmarcan algunos investigadores para el proceso enseñanza aprendizaje de la
matemática. La práctica de modelación ofrece las herramientas necesarias para
establecer ese vínculo entre contextos diferentes a los establecidos en libros de texto y
en el discurso matemático escolar. La importancia de buscar alternativas de enseñanza
que propicien en nuestros estudiantes aprendizajes significativos en matemática,
rompiendo esos paradigmas donde consideran a la matemática como algo inalcanzable o
muy difícil de entender, nos lleva a retomar la modelación como práctica para obtener
los objetivos y llegar a las metas propuestas.
En el trabajo de investigación se toma la modelación como práctica porque permite
considerar argumentos, herramientas y significaciones. En la práctica de modelación
modelar es traer la realidad al aula en el sentido en que hay un conocimiento científico y
conocimiento escolar. Modelar significa generar una relación significativa y articulada
entre elementos de ambos mundos. Tomando casos concretos como los que se
desarrollan a través de la tesis, se sabe que los estudiantes modelaron, cuando
relacionan la forma de variar el fenómeno y los modelos matemáticos que se enseñan
en la escuela, de esta manera están dando significados a elementos que están formando
o llevando a que se desarrolle esta relación. O cuando se tiene un elemento del
conocimiento científico como las trayectorias visibles a la imaginación (conocimiento
científico) con un elemento como las gráficas cartesianas y las tablas (conocimiento
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UNA SECUENCIA DE MODELACIÓN PARA LA INTRODUCCIÓN SIGNIFICATIVA DE LA FUNCIÓN CUADRÁTICA
escolar), modelaron cuando el estudiante es capaz de desarrollar, proponer y articular
elementos, que favorecen esta relación es decir que se estén generando bases de
significados para estas relaciones. En el ejercicio intencional de la práctica de
modelación esas bases de significados para las relaciones del conocimiento científico y
el conocimiento escolar se dan para su desarrollo. Es decir para que con ellas se pueda
introducir elementos necesarios para llegar a la resignificación de la función cuadrática.
En la presente investigación se pretende dar a conocer secuencias de aprendizaje donde
se le da al estudiante un conjunto de significados, que provienen de haber puesto
intencionalmente actividades de modelación y dejar que los conocimientos matemáticos
se transformen en herramientas y argumentos, para estudiantes de un curso intermedio
del bachillerato entre 12 y 13 años. También se acreditará que a través de la práctica de
modelación puedo analizar aspectos variacionales de la función cuadrática tales como:
el tiempo como variable independiente; el uso de la gráfica en intervalos; el uso de la
gráfica en puntos clave y el uso de tablas.
En el ambiente escolar vivido en el aula los estudiantes realizan y experimentan
acciones como seres humanos que a través de la modelación como práctica y utilizando
la metodología adecuada son capitalizadas para crear ambientes ricos en significados.
Las expresiones, los gestos, las interacciones entre pares y profesor, los trabajos escritos
y todas aquellas acciones que realiza el estudiante son utilizadas para enmarcar un
conocimiento significativo sobre la función cuadrática en sus aspectos variacionales.
En la investigación los experimentos de diseño mirados desde una perspectiva de ayuda
metodológica son un aporte en el desarrollo del trabajo, porque brindan junto con la
práctica de modelación las herramientas y los argumentos para llegar a los objetivos
propuestos en la investigación.
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UNA SECUENCIA DE MODELACIÓN PARA LA INTRODUCCIÓN SIGNIFICATIVA DE LA FUNCIÓN CUADRÁTICA
La propuesta de secuencias didácticas de modelación para la introducción de la función
cuadrática en estudiantes donde el conocimiento del concepto es muy elemental por su
edad escolar es bastante probable que de sus frutos y se logren los objetivos como se
demuestra en esta investigación. Las secuencias propuestas están dirigidas y
organizadas de una manera que cualquier estudiante con o sin conocimientos previos
pueda realizarla. Dichas secuencias están estructuradas para llegar a entender que
cuando se habla de introducción significativa de la función cuadrática se refiere a
generar bases ricas de significados.
La investigación se estructura de una manera en que el lector pueda relacionar cada uno
de los capítulos e interactuar de forma adecuada con ellos.
CAPÍTULO 1. Titulado antecedentes, es aquí donde se determina la problemática de
investigación que se establece como la ausencia de herramientas didácticas que aborden
en forma introductoria el estudio de la función cuadrática en sus aspectos variacionales
para estudiantes que comienzan el trascurrir hacia el precálculo. Se prosigue con los
antecedentes que incluyen la modelación y la función cuadrática enmarcada en esta
práctica. Aparece también en el capítulo un recuento de los aspectos variacionales a
tratar de la función cuadrática y donde el pensamiento variacional es tomado como
aquel que interactúa con los demás pensamientos, el numérico, el estadístico, el
geométrico. Se mencionan los cuatro aspectos variacionales sobre los cuales se realiza
la investigación. Tiempo como variable independiente, Uso de la gráfica: intervalos,
Uso de la gráfica: puntos clave, Uso de tablas: secuencia numérica. Termina el
capítulo con una explicación sobre los fundamentos de la investigación.
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UNA SECUENCIA DE MODELACIÓN PARA LA INTRODUCCIÓN SIGNIFICATIVA DE LA FUNCIÓN CUADRÁTICA
CAPÍTULO 2. Titulado el estado del arte, donde se comenta lo relacionado con la
modelación como práctica en el ambiente escolar, la modelación como competencia, la
situación de la modelación en Colombia, el papel de las gráficas en la modelación y una
breve reflexión sobre la modelación. Seguidamente se describen algunas investigaciones
sobre función cuadrática teniendo como práctica la modelación.
CAPÍTULO 3. Titulado el marco teórico, en este capítulo se comenta la modelación
con un enfoque socioepistemológico y este enfoque se muestra como una teoría basada
en el reconocimiento de prácticas entre ellas la modelación. También se profundiza un
poco sobre la resignificación en matemática y modelación como práctica.
CAPÍTULO 4. Titulado los experimentos de diseño, en él se describen los experimentos
de diseño relacionado como metodología y que para nuestra investigación fortalece la
práctica de modelación porque brinda herramientas metodológicas que son
aprovechadas en el trabajo desarrollado. Seguidamente se hablará de la importancia de
la investigación y lo interesante de la propuesta. Inmediatamente después se tomará lo
relacionado con el cuestionario diagnóstico, el diseño, la metodología utilizada y el
análisis del cuestionario. Después se trata la malla de análisis con cada uno de los
aspectos variacionales nombrados en el capítulo 1, pero retomados nuevamente aquí.
Posteriormente se comenta el diseño de cada una de las secuencias con el análisis a
priori de cada una de ellas. Seguidamente aparecen los aspectos metodológicos donde
toma la planeación hacia la puesta en escena de cada una de las secuencias. Luego se
describe la dinámica que se llevó a cabo en la puesta en escena, donde se muestra las
reacciones, acciones, gestos, interacciones y trabajo de los estudiantes.
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UNA SECUENCIA DE MODELACIÓN PARA LA INTRODUCCIÓN SIGNIFICATIVA DE LA FUNCIÓN CUADRÁTICA
CAPÍTULO 5. Titulado análisis de resultados de la secuencia 1, en él se mostrará todos
los resultados de la primera puesta en escena de la secuencia con las opiniones de los
estudiantes, argumentaciones y respuestas. El análisis se realizó teniendo en cuenta los
aspectos variacionales de la función cuadrática nombrados en el capítulo 1. Para esto se
toman las preguntas que se relacionaron con cada uno de los aspectos variacionales y se
analizan las respuestas dadas por los grupos.
CAPÍTULO 6. Titulado análisis de resultados de la secuencia 2, en él se mostrará todos
los resultados de la puesta en escena de la secuencia con las opiniones de los
estudiantes, argumentaciones y respuestas. El análisis se realizó teniendo en cuenta los
aspectos variacionales de la función cuadrática nombrados en el capítulo 1. Para esto se
toman las preguntas que se relacionaron con cada uno de los aspectos variacionales y se
analizan las respuestas dadas por los grupos.
COMENTARIOS FINALES. En él se hacen comentarios referentes a la investigación
desarrollada que redundarán en seguir ampliando los diferentes aspectos de la
investigación.
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UNA SECUENCIA DE MODELACIÓN PARA LA INTRODUCCIÓN SIGNIFICATIVA DE LA FUNCIÓN CUADRÁTICA
CAPITULO 1
ANTECEDENTES
La función cuadrática como objeto de enseñanza en toda institución educativa y que
progresivamente se tomará como referencia para situaciones problema planteadas es el
objeto de estudio en esta investigación. Este capítulo mostrará los fundamentos del
porqué se desarrolla la investigación, que prácticas escolares se pueden poner en juego,
los aspectos variacionales en la función cuadrática (nos centraremos en reconocer los
aspectos variacionales de la función cuadrática a través de investigaciones referidas a
este pensamiento matemático) y por último hacia dónde se dirige la investigación.
Todo enmarcado en la práctica de modelación en el ámbito socioepistemológico. Con
base en lo anterior formularemos nuestros objetivos.
1.1 El problema de investigación
La enseñanza del concepto de función trigonométrica, exponencial, logarítmica, y en
especial las polinómicas lineal y cuadrática tiene relevancia especialmente en los
últimos grados del bachillerato (estudiantes entre los 15-17 años) y a comienzos de los
cursos universitarios. Pero si se quiere mirar el conocimiento sobre funciones que un
estudiante ha adquirido lo podemos observar en los niveles universitarios, donde el
estudiante retoma en profundidad los conceptos mostrados en el bachillerato y puede a
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UNA SECUENCIA DE MODELACIÓN PARA LA INTRODUCCIÓN SIGNIFICATIVA DE LA FUNCIÓN CUADRÁTICA
través de la modelación tomar casos de la vida real y aplicarlos a la matemática. Desde
inicios de los estudios secundarios, los estudiantes están expuestos a la enseñanza de
funciones comenzando con la lineal, cuadrática, polinómica, y ampliándose a las demás
a medida que avanza en los diferentes grados; debido a la manera de realizar el proceso
enseñanza aprendizaje muchos estudiantes terminan el bachillerato sin tener un
conocimiento claro de la variabilidad de las magnitudes que conforman la función; de
las diferentes relaciones que se pueden dar; cómo las puedo correlacionar con el mundo
real; cómo usarlas en las prácticas de modelación.
Dentro del trabajo de aula muchos profesores aplican nuevas alternativas o estrategias
que nos ayudan en el discurso matemático para la enseñanza de la función cuadrática.
Uno de estos casos es el trabajo presentado por Gómez y Carulla (2001) que nos
presentan una investigación en el campo de la matemática educativa, y su propuesta
hace relación a modelos pedagógicos para la enseñanza de la matemática. Proponen dos
herramientas que pueden aportar a una mayor comprensión de las matemáticas escolares
y a la construcción de estrategias para abordar los problemas a los que nos enfrentamos
en el aula de clase de matemáticas. Se trata de los sistemas de representación y los
mapas conceptuales. Como ejemplo para observar la aplicación de estas herramientas
toman la función cuadrática y con ella como concepto a tratar se organiza un mapa
conceptual teniendo en cuenta en establecer en dos bloques mayoritarios como las
representaciones y las aplicaciones. Las representaciones se subdividen en simbólicas y
geométricas y las aplicaciones en física, química, sociales, matemáticas y otras. El
trabajo se centra en el estudio del contenido matemático, pero con intención de servir de
base para explorar, analizar, y producir estrategias que aborden la problemática de la
enseñanza y aprendizaje del tema.
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UNA SECUENCIA DE MODELACIÓN PARA LA INTRODUCCIÓN SIGNIFICATIVA DE LA FUNCIÓN CUADRÁTICA
Para nuestra investigación este estudio me guía en cómo ligar las representaciones con
la práctica de modelación y qué clase de fenómenos puedo utilizar con más simplicidad
para realizar la propuesta.
El Ministerio de Educación Nacional (2006) nos dice en uno de sus apartes que es
necesario diseñar situaciones matemáticas donde el estudiante pueda tomar decisiones,
exponer sus criterios, establecer discusiones, proponer nuevos argumentos para un
mejor proceso enseñanza aprendizaje. Todavía en algunos colegios se sigue enseñando a
los estudiantes definiciones y algoritmos matemáticos sin ninguna relación entre el
discurso escolar y lo que el joven observa en el mundo que se mueve y se desenvuelve.
Nuestra investigación se encamina a brindar unas secuencias que propiciará alternativas
de discusión en la enseñanza de los aspectos variacionales de la función cuadrática en
un contexto real (fenómenos ida y vuelta de un auto, lanzamiento vertical de una
pelota).
En particular el aprendizaje de función cuadrática en los grados octavo y noveno (13-14
años) se rige por los estándares básicos de competencias del Ministerio de Educación
Nacional (2006) los cuales son organizados y detallados en el currículo de matemática
de las instituciones. La enseñanza del concepto de función cuadrática no es sencilla; el
tener en cuenta sus variaciones en el plano cartesiano, cómo puedo interpretar el
fenómeno propuesto para llegar al modelo, las diferentes relaciones que se pueden dar
como tabla-gráfica, toma de datos- fenómeno, variable independiente-dependiente,
magnitudes entre otras. Esto puede causar desánimo en algunos estudiantes como en
profesores. Nuestra investigación brinda algunas luces para que el estudiante ponga en
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UNA SECUENCIA DE MODELACIÓN PARA LA INTRODUCCIÓN SIGNIFICATIVA DE LA FUNCIÓN CUADRÁTICA
juego herramientas y argumentos variacionales de la función cuadrática, teniendo como
práctica la modelación enmarcada en la teoría socioepistemológica.
Oaxaca y Valderrama (sf) nos comentan como conclusión en su reporte, la manera
como se enseña la matemática en el aula de clase. Referente a la función cuadrática nos
dicen que el profesor induce al estudiante a conocer las formas de la ecuación cuadrática
olvidándose de sus representaciones geométricas en la obtención de la ecuación
partiendo de la gráfica. Continúan diciendo que de esta misma manera están diseñados
los libros de texto, manejando un pensamiento analítico- aritmético, dando solo una
introducción a sus representaciones de situaciones gráficas y la solución de los
problemas es de forma algorítmica para que el estudiante solamente memorice o
mecánicamente aplique los métodos matemáticos para la solución de las situaciones
problema planteadas.
El concepto de función a través del bachillerato es visto y tratado con regularidad. Se
extiende hacia los niveles tecnológicos y universitarios donde se amplía la visión de
aplicación, donde su gran importancia como herramienta modeladora de distintos
fenómenos matemáticos, físicos, químicos, económicos entre otros, permite que sea
usada en variadas situaciones problema, debido a la multiplicidad de sus
representaciones en diferentes contextos y a su forma algorítmica.
El estudiante de hoy en día tiene otra visión del mundo totalmente diferente al que se
tenía alguna década atrás, necesita otras alternativas de aprendizaje que lo ubiquen y le
hagan entender de mejor manera su vida, su aprendizaje, para qué de las cosas, porqué y
para qué aprender matemática. Existe una ausencia de herramientas didácticas
(propuestas didácticas) que aborden la función cuadrática más allá de ejercicios
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UNA SECUENCIA DE MODELACIÓN PARA LA INTRODUCCIÓN SIGNIFICATIVA DE LA FUNCIÓN CUADRÁTICA
rutinarios y de aplicaciones aisladas, donde aspectos cognitivos, epistemológicos y
prácticas escolares deben ser afrontados para que aporten a una mayor comprensión de
las matemáticas escolares dentro del aula de clase. Es necesario en nuestro ambiente
educativo realizar propuestas didácticas donde la práctica de modelación se haga
presente en los diseños y planificación de las actividades. Esto lo podremos observar en
el capítulo referente al diseño y puesta en escena que veremos más adelante.
En la enseñanza de la función cuadrática y en especial cuando se toma el tema de lo
variacional, surgen dificultades para obtener conocimiento sobre el comportamiento de
la función referente a la variación de una de sus variables. Dolores (1996) nos comenta
que en condiciones ordinarias de enseñanza el desarrollo del pensamiento y lenguaje
variacional, en especial del análisis del comportamiento de las funciones es deficiente.
Hablar del pensamiento y leguaje variacional es penetrar en un campo avanzado de la
matemática, pero que no implica que no se pueda dar a conocer a nuestros estudiantes.
Cantoral (1997) nos comenta que el pensamiento y lenguaje variacional (PLV) es parte
del pensamiento matemático avanzado y comprende las relaciones entre la matemática
del cambio por un lado y los procesos del pensamiento por otro; implica la integración
de sistemas numéricos, desde los naturales hasta los complejos. También involucra
conceptos de variable, función, derivada e integral, así mismo sus representaciones
simbólicas, sus propiedades y el dominio de la modelación elemental de los fenómenos
del cambio.
El tener en cuenta el pensamiento variacional en el proceso enseñanza aprendizaje se
debe hacer desde los primeros años con el propósito de ir introduciendo al estudiante en
el conocimiento y análisis de actividades referentes a este pensamiento. El Ministerio de
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UNA SECUENCIA DE MODELACIÓN PARA LA INTRODUCCIÓN SIGNIFICATIVA DE LA FUNCIÓN CUADRÁTICA
Educación Nacional (2006) nos manifiesta que uno de los propósitos de cultivar el
pensamiento variacional es construir desde la educación básica primaria distintos
caminos y acercamientos significativos para la comprensión y uso de los conceptos y
procedimientos de las funciones y sus sistemas analíticos, para el aprendizaje con
sentido del cálculo numérico y algebraico y, en la Educación Media, del cálculo
diferencial e integral.
A nivel de estudiantes de bachillerato en el estudio de la función cuadrática, se
mencionan aspectos variacionales como: intervalos, constantes, variables, magnitudes,
relaciones gráfica-tablas, fenómenos-gráfica, modelación-gráfica-tablas. Al tratar estos
aspectos en el discurso escolar, se observará dificultad para su aprendizaje en
estudiantes.
De acuerdo a lo anterior nuestro problema de investigación se basa en la problemática
que se vive en el aula en la enseñanza del concepto de función cuadrática a nivel de
grados inferiores del bachillerato (12 a 13 años) y que se fundamenta en aquellos
aspectos que hacen relación a la variación. La pregunta que enmarca esta investigación
está conformada de la siguiente manera: ¿Cómo las prácticas escolares de modelación
me permiten favorecer lo variacional en la función cuadrática al momento del ingreso
del bachillerato para contribuir a una articulación significativa?
Esto me lleva a decir que hay una ausencia de herramientas didácticas que aborden el
estudio de la función cuadrática en sus aspectos variacionales para estudiantes que
comienzan el trascurrir hacia el precálculo. Se debe por estos motivos realizar
propuestas didácticas que afronten aspectos epistemológicos, cognitivos y de las
prácticas escolares desarrolladas al modelar.
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UNA SECUENCIA DE MODELACIÓN PARA LA INTRODUCCIÓN SIGNIFICATIVA DE LA FUNCIÓN CUADRÁTICA
Pensando en indagar cómo las prácticas escolares de modelación pueden dar una visión
más clara de los aspectos variacionales de la función cuadrática, me lleva a realizar esta
investigación apoyándome en la teoría socioepistemológica.
1.2 Antecedentes
Es muy popular en la actualidad hablar en las instituciones escolares sobre modelación
de fenómenos con un objetivo de aprendizaje de conceptos variados en la matemática.
Sin embargo la puesta en práctica está bastante lejos de llevarse a cabo por motivos que
no tienen que ver con la matemática en sí. La función cuadrática ha sido objeto de
estudio para muchos investigadores y en especial en la última década, donde se ha
ampliado el campo de acción en diferentes postulaciones. Entre los antecedentes
mostraremos algunos trabajos que han realizado en el campo de la modelación y el
objeto de estudio la función cuadrática. La modelación como práctica es considerada
dentro de la educación matemática como un pilar fundamental para el desarrollo de las
actividades. Gran cantidad de investigaciones se han realizado con el fin de mostrar las
virtudes de esta práctica en diferentes campos. El interés por trabajar con modelación
viene desde antiguo, pero en las últimas décadas los trabajos han sido de gran valor y
contenido.
En esta sección se comentará sobre la modelación como práctica y además se mostrarán
investigaciones sobre función cuadrática en diferentes aspectos. La modelación de la
función cuadrática teniendo como fundamento la teoría socioepistemológica
desarrollada en el ambiente de aula es una de nuestras prioridades.
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UNA SECUENCIA DE MODELACIÓN PARA LA INTRODUCCIÓN SIGNIFICATIVA DE LA FUNCIÓN CUADRÁTICA
1.2.1 La modelación y la función cuadrática
La modelación ha sido una herramienta muy utilizada no solo en matemática sino
también en otras áreas como la física, química y sociales. Referente a esta modelación
Rodríguez (2007) nos comenta en su trabajo que las etapas de modelación como son: el
dominio real, el dominio pseudo-concreto y el dominio matemático donde el pseudo
concreto permite estudiar cómo el estudiante pasa de una situación abierta (dominio
real) a un modelo matemático preciso (dominio matemático). El presentar diseños de
situaciones donde intervenga la modelación puede mostrar los alcances y limitaciones
que nos brindan esta clase de actividades en los estudiantes de bachillerato.
Los aportes que nos da el aplicar la modelación desde muchos otros campos en
situaciones físicas y geométricas, permite establecer relaciones entre el conocimiento
matemático y los diferentes fenómenos de la vida real. Hitt (2000) nos comenta que a
través de las diferentes funciones que se enseñan, se pueden modelar matemáticamente
fenómenos de la vida real, relacionar diferentes contextos sin necesidad de estar
realizando a cada instante una descripción verbal o cálculos dificultosos de los sucesos
que se están analizando.
Algunos investigadores en sus artículos nos aportan sobre la modelación matemática
opinando que ésta puede ser aplicada a estudiantes sin distinción de edad. Lesh y
Lehrer (2003), Lesh, Zawojewski y Carmona (2003) nos dicen que las actividades
donde la modelación se hace partícipe a menudo conducen a la obtención de logros
notables por parte de los estudiantes, sin importar que sean demasiado jóvenes o posean
19
UNA SECUENCIA DE MODELACIÓN PARA LA INTRODUCCIÓN SIGNIFICATIVA DE LA FUNCIÓN CUADRÁTICA
poca capacidad para el desarrollo de esta clase de actividades concernientes al
pensamiento matemático.
Otros investigadores han realizado trabajos con estudiantes del nivel de primaria donde
utilizan la modelación para la enseñanza. Verschaffel y De Corte (1997) probaron y
proporcionaron apoyo a la hipótesis de que es factible de llevar a cabo en estudiantes
entre 10 – 11 años de edad, el papel del conocimiento de la modelización matemática.
Se quería además contribuir a favorecer en el estudiantado una disposición hacia la
modelación matemática más realista. En el programa experimental donde se llevó a
cabo el trabajo, se tomó como control una clase de la misma escuela donde se seguía el
programa tradicional. Las prácticas de ambas clases con una prueba inicial, una prueba
final y una prueba de retención y todas ellas con problemas similares. Revelaron
entonces un elevado efecto positivo del programa y de sus condiciones.
Estas investigaciones nos muestran que la enseñanza de las matemáticas utilizando la
práctica de modelación no solamente se debe dejar para la universidad o finales del
bachillerato, sino que es factible aplicarla desde una escolaridad primaria y en
estudiantes del comienzo del bachillerato.
Los autores de libros guía para el estudiante y profesor, que aportan a la enseñanza del
concepto de función en torno a la modelación, toman como referencia situaciones
donde relacionan el contexto físico-real; si lo llevamos al ambiente matemático esta
relación se considera como una correspondencia llamada función. Pero cuando
queremos dar la definición del concepto simplemente la llevamos a la relación entre dos
cantidades. Callahan y Hoffman (1995) afirman que una función está descrita como
aquello donde una de sus cantidades depende de la otra.
20
UNA SECUENCIA DE MODELACIÓN PARA LA INTRODUCCIÓN SIGNIFICATIVA DE LA FUNCIÓN CUADRÁTICA
La modelación como práctica me permite estar en contacto con las demás personas y
poder interactuar con ellos y con los sucesos. Arrieta (2003) comenta que la modelación
reconocida como actividad humana es una manera particular de participar en el mundo,
también es una forma de establecer una relación con los otros y con los
acontecimientos. Menciona lo cuadrático, lineal, lo periódico y otras funciones
estableciéndolas como herramientas utilizadas en las prácticas sociales de modelación
desarrolladas en contextos sociales.
Reconocer la modelación como práctica escolar, nos brinda las herramientas para el
desarrollo de actividades donde se quiera dar las primeras bases para el concepto de
función cuadrática mirada desde la teoría emergente de la socioepistemología.
La función cuadrática ha sido objeto de estudio por una cantidad apreciable de
investigadores en matemática educativa, que centran sus trabajos a buscar maneras más
asequibles para la enseñanza mostrándolas a través de didácticas; otros toman la
modelación como práctica para enseñar el concepto o profundizar sobre función
cuadrática. Tomaremos en cuenta aquellos trabajos donde se utiliza la modelación como
práctica para el desarrollo de las propuestas. También tendremos en cuenta que la
tecnología juega en la actualidad un papel preponderante en el proceso enseñanza
aprendizaje de la matemática y en especial de la función cuadrática. Por tal motivo es
prudente mostrar trabajos que usan esta herramienta como ayuda para el desarrollo de
las actividades.
Respecto a la enseñanza de la función y en especial la función lineal y cuadrática a nivel
escolar según los estándares se hace necesario comenzar a impartir el conocimiento en
los grados octavo y noveno. Cuando se comienza a observar lo interesante e importante
del concepto, aparecen personas curiosas (profesores-investigadores) y deseosas de
21
UNA SECUENCIA DE MODELACIÓN PARA LA INTRODUCCIÓN SIGNIFICATIVA DE LA FUNCIÓN CUADRÁTICA
mirar alternativas para el proceso enseñanza aprendizaje de este concepto, con el objeto
de que el joven adquiera un aprendizaje significativo. Hay estudios que se centran en
encontrar secuencias que ayuden y se enfoquen hacia el aprendizaje. Pech y Ordaz
(2010) muestran una secuencia didáctica para la enseñanza de la función en estudiantes
de octavo grado, utilizando la metodología de ingeniería didáctica, en un contexto
socioepistemológico. Al analizar las producciones de los estudiantes en una situación
exploratoria observan que ellos construyen conocimiento matemático referente al
concepto de función, en situaciones variacionales pero los resultados podrían ser
mejores, si el estudiante no tuviera conocimientos previos sobre función es decir, estar
condicionado a ciertos procesos y conocimientos.
En otro estudio presentado por Mercado, Aguas y Arrieta (2010) nos muestran a través
de una secuencia didáctica la comprensión del concepto de función por parte de los
estudiantes, usando situaciones del contexto sociocultural en la práctica de modelación,
analizando inicialmente las dificultades que presentan los estudiantes aplicando un
diagnóstico y así poder establecer estrategias didácticas. Estas estrategias estuvieron
fundamentadas en talleres que fueron aumentando paulatinamente de complejidad. Se
logra mostrar que diseñar situaciones cercanas a un contexto real ayuda al aprendizaje
de los estudiantes, porque son aprovechadas y se vuelven interesantes para ellos.
Este estudio da una pauta muy interesante y es lo relativo al diagnóstico, el cual para
nuestra investigación se tomará en cuenta.
Siguiendo con estudios referentes a modelación de la función cuadrática nos
encontramos con el trabajo de Cordero y Suárez (2005) el cual muestra una
investigación para resignificación de la parábola utilizando gráficas. Se utiliza un
contexto físico para que el estudiante plasme este fenómeno en una gráfica. La
22
UNA SECUENCIA DE MODELACIÓN PARA LA INTRODUCCIÓN SIGNIFICATIVA DE LA FUNCIÓN CUADRÁTICA
graficación es el medio por el cual la relación modelación-graficación-tecnología se
puede implementar en las aulas para construir conocimiento matemático. Se utiliza la
tecnología como apoyo para estudiar fenómenos de movimiento como actividades de
modelación.
En muchas ocasiones se hace evidente la utilización de las gráficas para poder
identificar un proceso, plasmar un fenómeno y poder a partir de ella obtener
información valiosa para la construcción de conocimiento, en nuestro caso el de función
cuadrática.
El aspecto variacional en la función cuadrática ha sido también de interés y es así que
Villa (2008) en su investigación se basa en el estudio del concepto de función cuadrática
como elemento necesario para el desarrollo del pensamiento variacional, poniendo
énfasis en la modelación de situaciones de variación. Considera que para lograr un
mejor conocimiento del concepto de función desde la perspectiva variacional hay que
tener en cuenta aspectos como la relación entre dos magnitudes, el llevar los datos a una
tabla, identificar la razón de cambio entre las magnitudes, el reconocer la variabilidad
de la razón de cambio y comprender la función como un modelo. Para la concepción del
concepto cuadrático parte del conocimiento de la función lineal donde la razón de
cambio es una constante; luego interpreta la función cuadrática desde una perspectiva
variacional, donde la razón de cambio varía en forma lineal. Concluye diciendo que los
fenómenos de variación en la función cuadrática son útiles para construcción del
concepto, concediendo ideas para el diseño de situaciones que ayudarán al estudiante a
obtener un conocimiento significativo sobre función cuadrática.
Entonces mirando estos aportes podemos reconocer que el proceso enseñanza
aprendizaje de la función cuadrática no es tan sencillo como generalmente nosotros
23
UNA SECUENCIA DE MODELACIÓN PARA LA INTRODUCCIÓN SIGNIFICATIVA DE LA FUNCIÓN CUADRÁTICA
tratamos de darla a entender a los estudiantes por el método tradicional de algoritmación
y memorización. Sin embargo con dedicación y esfuerzo se puede lograr el cometido de
utilizar la modelación para la enseñanza de la función cuadrática.
Gaspar, Mederos y Mayén (2011) nos presentan una investigación donde una propuesta
didáctica es experimentada y evaluada para los estudiantes de bachillerato, donde el
concepto de parábola es manejado en diferentes representaciones, verbales, analíticas,
tabulares, y gráficas, usando la modelación como medio de obtención de conocimiento.
Para la implementación de la propuesta, se ha diseñado un instrumento de diagnóstico y
actividades que deberán servir para que los estudiantes reconozcan, construyan y
descubran los elementos de la parábola y sus diferentes representaciones.
1.2.2 Otros estudios sobre función cuadrática
El uso de herramientas informáticas para la enseñanza de la función cuadrática se hace
plausible en algunos estudios. Huapaya (2012) propone una serie de experimentos
donde aplica la modelación ayudado con el software FUNCIONSWIN32 y la hoja de
cálculo facilitando el aprendizaje de la función cuadrática en el marco teórico de la
teoría de representaciones semióticas (TRRS). Las diferentes situaciones problema
propuestas llevaron al estudiante a utilizar diversas representaciones facilitando la
práctica de modelación.
La tecnología en algunas ocasiones se hace necesaria para poder realizar las diferentes
representaciones. El uso de herramientas informáticas como GRAPH 4.3, GEOGEBRA,
CABRY GEOMETRY, MODELLUS, TRACKER-310, entre otras, da un impulso para
el desarrollo de las actividades y en otras facilitan la consecución de objetivos, porque
24
UNA SECUENCIA DE MODELACIÓN PARA LA INTRODUCCIÓN SIGNIFICATIVA DE LA FUNCIÓN CUADRÁTICA
ayudan a la simulación que se relaciona directamente con la modelación. Es así como
Guevara (2011) realiza en su investigación una propuesta didáctica para el aprendizaje
significativo del concepto de función cuadrática a través de la modelación y simulación.
Para lograrlo utiliza las diferentes representaciones que conducen a la modelación de
funciones. Además a través de la reflexión donde se proponen módulos de actividades
de simulación y modelación con el objeto de integrar distintas representaciones de las
funciones en los cursos de precálculo.
El uso de nuevas tecnologías para el proceso enseñanza aprendizaje de las matemáticas
es una ayuda bastante significativa, debido a que provee de los medios necesarios para
el profesor, y atractivos para los estudiantes. Medina, Buitrago y Mendible (2010) nos
comentan una propuesta didáctica aplicada a estudiantes universitarios, usando un
artefacto de ayuda como la calculadora graficadora para la enseñanza de funciones
reales, siguiendo el proceso de modelización matemática. La investigación parte de
conocer lo que el estudiante sabe y por eso inicia con un carácter evaluativo donde se
analizan los apuntes y toda producción escrita de los estudiantes para luego seguir con
la aplicación del curso taller. Las actividades programadas en el taller se refieren a
situaciones donde el estudiante tiene como ayuda la calculadora. Se realizó con el
objeto de que los estudiantes logren explorar, analizar, conjeturar, y validar
conocimientos matemáticos referentes a funciones. En el análisis de estos procesos se
logra que el estudiante se inmiscuya con el tema y además los individuos adquieren
competencias matemáticas relacionadas con el concepto tratado.
En la investigación realizada por Méndez y Sosa (2011) determinan una secuencia
didáctica usando como herramienta el software de Derive para la enseñanza de la
función cuadrática, potenciando representaciones de manera tabular, algebraica y
25
UNA SECUENCIA DE MODELACIÓN PARA LA INTRODUCCIÓN SIGNIFICATIVA DE LA FUNCIÓN CUADRÁTICA
gráfica. Consiguen de esta manera que el estudiante fortalezca las diferentes
representaciones, estableciendo las transiciones respectivas entre ellas.
La enseñanza de la función cuadrática a través de la práctica de modelación brinda las
bases para poder entender otros conceptos que tienen relación con la función. La
investigación anterior con el lenguaje sencillo presentado y con las experiencias
indicadas, permite que el lector entienda claramente cada uno de los procesos y lo más
importante que lo pueda aplicar en diferentes contextos. El uso o no de los variados
recursos tecnológicos que tenemos a nuestra mano es una elección que puede facilitar el
desarrollo de las actividades propuestas; sin embargo esto no es camisa de fuerza para
poder desarrollar las actividades.
El gran conglomerado de investigaciones sobre funciones que se han realizado es
bastante extenso. Algunas de esas investigaciones aunque no utilizan la modelación
como práctica, sí utilizan secuencias didácticas que pueden ayudar al aprendizaje de
función cuadrática. Una de estas investigaciones la de Ibarra y Hernández (2007)
propone una secuencia didáctica para la enseñanza de la función cuadrática en el primer
año de bachillerato, tomando como teoría la semiosis de Raymond Duval, que consiste
en tomar el objeto matemático y representarlo en forma gráfica, tabular y algebraico
empleando como mediador el lenguaje matemático. La investigación tomó dos
momentos esenciales: una prueba piloto y la puesta en escena final. Éstas consistían en
la solución de un cuestionario en forma individual que contenía actividades relacionadas
con el tema tratado y sin límite de tiempo. De esta manera se observó en el estudiante
una mayor confianza para exponer sus criterios en grupos pequeños, se favoreció la
cooperación creando un conflicto cognitivo en el estudiante conduciéndolo al
razonamiento análisis y la resolución de situaciones problemáticas.
26
UNA SECUENCIA DE MODELACIÓN PARA LA INTRODUCCIÓN SIGNIFICATIVA DE LA FUNCIÓN CUADRÁTICA
Otra de las investigaciones es la de Amaya y Gulfo (2010) que en su trabajo nos
muestra cómo relacionan lo lúdico manejando origami para el aprendizaje de funciones
cuadráticas en estudiantes de media académica. Se analiza las dificultades y aciertos que
ellos obtienen al estudiar la definición del concepto de función. Para el trabajo se halló
el área lateral de cada una de las figuras propuestas, teniendo en cuenta la familia de
figuras y el número de módulos para luego realizar tablas de acuerdo al módulo y su
respectiva gráfica. Con este trabajo se mostró que el origami se puede tomar como una
herramienta lúdica para la enseñanza de funciones en este caso la cuadrática.
1.3 Aspectos variacionales de la función cuadrática
Tomar los aspectos variacionales de la función cuadrática en el proceso enseñanza
aprendizaje, no es solo reconocer que las funciones se pueden representar a partir de un
algoritmo algebraico o a través de una gráfica o que a partir de una tabla podemos
reconocer la función, sino además qué relaciones podemos establecer entre las
variables, cómo puedo a través de un gráfico determinar parejas de variables, cómo
relaciono gráfica-tabla, cómo predigo entre otras. Esto es, considerar a la función y sus
variaciones de forma sistemática, articulada a través de diferentes registros y dándole
significado a lo anterior a través de diferentes prácticas.
Para un mejor análisis de situaciones es necesario establecer la diferencia entre cambio
y el término variacional. Reconocemos la definición de cambio como una modificación
de estado, de apariencia, de comportamiento o de condición de un cuerpo; mientras que
lo variacional es la cuantificación del cambio. Podemos decir que una persona utiliza
argumentos y estrategias de tipo variacional cuando hace uso de ideas, técnicas o
27
UNA SECUENCIA DE MODELACIÓN PARA LA INTRODUCCIÓN SIGNIFICATIVA DE LA FUNCIÓN CUADRÁTICA
explicaciones que de alguna manera reflejan y expresan el reconocimiento cuantitativo
y cualitativo del cambio de un cuerpo, sistema u objeto que se esté estudiando
(Cantoral, Molina y Sánchez, 2005).
Referente a lo variacional Cantoral y Farfán (2003) nos comentan que el pensamiento y
el lenguaje variacional tenido en cuenta dentro del seno socioepistemológico, es
entendido como una línea de investigación. Desarrollar este pensamiento entre los
estudiantes va a llevar a que se adquiera resignificación de los conceptos de la
matemática básica y de los diferentes mecanismos de pensamiento relacionados. En este
mismo artículo nos ilustran sobre el significado de predicción como esa noción que se
construye socialmente a partir de lo vivido por el estudiante en su quehacer diario; esto
relacionándolo con situaciones donde al pasar el tiempo debo averiguar un dato de una
magnitud participante.
En los lineamientos curriculares propuestos por el Ministerio de Educación Nacional
(1998) se plantea como propósito de la educación matemática de los niveles básica y
media, favorecer el desarrollo del pensamiento matemático a partir de situaciones
problemas derivadas del contexto sociocultural de otras ciencias o de la misma
matemática. Dentro de los pensamientos se nombra el pensamiento variacional como
uno de los pilares para el desarrollo del conocimiento matemático en el aula.
Se propone el desarrollo del pensamiento variacional con la intención de estructurar los
conceptos y procedimientos que permitan organizar y modelar matemáticamente
situaciones problema tanto en el quehacer diario del hombre como en la ciencia.
Vasco (2006) señala que el propósito del pensamiento variacional es la modelación
matemática. Además nos dice que no es propiamente la resolución de problemas ni de
28
UNA SECUENCIA DE MODELACIÓN PARA LA INTRODUCCIÓN SIGNIFICATIVA DE LA FUNCIÓN CUADRÁTICA
ejercicios; al contrario, los mejores problemas o ejercicios deberían ser desafíos o retos
de modelar algún proceso. Señala también que para resolver un problema interesante se
debe armar primero un modelo de la situación, en donde las variables covaríen en forma
semejante a la de la situación problemática y no es posible realizarlo sin estar presente
el pensamiento variacional.
Este pensamiento variacional se establece como base del diseño curricular de la
matemática y no trabaja solo ni aislado, necesita del pensamiento métrico y el
pensamiento numérico que unidos entablan el conocimiento matemático para los
estudiantes de bachillerato.
Cantoral y Reséndiz (2003) comentan que en investigaciones realizadas por el Área de
Educación Superior del Departamento de Matemática Educativa del Centro de
Investigación y Estudios Avanzados del IPN, sostienen que el actual discurso
matemático escolar dado en las escuelas, parece que inhabilita el desarrollo de ideas
variacionales en los estudiantes. Esto porque la enseñanza del cálculo ha sido entendida
como el desarrollo de habilidades algorítmicas algebraicas, para derivar, integrar y
optimizar variables, dando poco margen de escenarios para significar la variación. En
esta investigación centran la atención en el estudio de noción de variación.
Comprueban a través de la investigación que el fenómeno de envejecimiento de las
situaciones de enseñanza, se afecta por el papel que juegan las explicaciones como
medio de interacción discursiva en el aula. Opinan que es fundamental desarrollar
estudios sobre la vida cotidiana en el aula incluyendo lo que el estudiante pueda o no
pueda hacer como tarea matemática, en virtud de la dinámica del aula. Reséndiz y
Cantoral (2004) retoman el estudio teniendo como objetivo localizar y analizar las
29
UNA SECUENCIA DE MODELACIÓN PARA LA INTRODUCCIÓN SIGNIFICATIVA DE LA FUNCIÓN CUADRÁTICA
maneras en que se introduce y desarrolla la noción de variación en situación de
enseñanza en el nivel superior.
Los estudios referentes a los aspectos variacionales en funciones es fortalecida por
grupos de investigadores que aclaran aspectos necesarios para un conocimiento amplio
de función. Dolores y Guerrero (2004) en su artículo reportan los resultados de una
investigación que explora las concepciones alternativas de profesores y estudiantes de
bachillerato acerca del comportamiento variacional de funciones. Para tal exploración se
diseñó un cuestionario en el que se usan los sistemas de representación verbal, gráfico y
analítico. En especial se exploraron concepciones relativas al comportamiento
variacional de funciones. Primeramente se diseñaron nueve (9) preguntas para aplicarla
a los profesores y luego a los estudiantes donde los profesores imparten clase. Dicho
cuestionario se estructuró para que permitiera extraer información sobre las
concepciones de los estudiantes al analizar el comportamiento de funciones por medio
de los sistemas de representación gráfico, analítico y verbal.
Esta investigación muestra que los aspectos variacionales son fundamentales para el
estudio de funciones, pero a la vez nos muestra que es donde tanto los profesores como
estudiante pueden tener dificultad para completar el estudio de la función, en nuestro
caso la cuadrática.
De la misma manera Díaz (2004) hace referencia en su investigación a los estudiantes
de secundaria donde sus representaciones cotidianas de variación tienen naturaleza
estática y discreta, como también dinámica y continua constituyendo conocimientos en
los que la noción de variación forma parte de dicho conocimiento. También nos dice
que el pensamiento variacional de los estudiantes remite a cosmovisiones cíclicas y
lineales (en el sentido de una sola dirección) y a ilustraciones de modo de pensar tanto
30
UNA SECUENCIA DE MODELACIÓN PARA LA INTRODUCCIÓN SIGNIFICATIVA DE LA FUNCIÓN CUADRÁTICA
dinámicos como estáticos. Observando las nociones de variación del discurso escolar
las producciones de los estudiantes muestran dificultades para expresar variaciones en
una gráfica distancia-tiempo. Esto debido a que conciben el tiempo como una distancia
y al entrar a graficar encuentran dificultad con la dimensión de desplazamiento.
El reconocer en los estudiantes que sus representaciones son dinámicas y continuas, y
que a través de éstas crean conocimiento es prudente decir que las secuencias
propuestas sobre la modelación de función cuadrática en sus aspectos variacionales
llevan a que el individuo desarrolle esas representaciones.
Algunos trabajos realizados sobre función cuadrática se dirigen especialmente al estudio
de la función en sus aspectos variacionales, donde se indaga en cómo es el
comportamiento en forma tabular o gráfica de un fenómeno o situación problema, cómo
varía una de las magnitudes ante otra que se toma como variable independiente, además
el uso de fenómenos físicos para mostrar la variación de uno de los parámetros frente al
tiempo como variable independiente y el uso de software como instrumento de apoyo
o mediación en el desarrollo de las actividades. La función cuadrática es junto con la
función lineal un referente para la enseñanza del tema de funciones, al ser éstas las más
mostradas para éste tema. Las secuencias didácticas son herramientas que me permiten
o facilitan el proceso enseñanza aprendizaje.
Los aspectos variacionales en la función cuadrática permiten enlazar el conocimiento
de función cuadrática con la práctica de modelación, porque a través de esta práctica se
puede determinar de qué manera llego al conocimiento, qué relaciones utilizo, por qué
camino me dirijo, para qué del conocimiento, las herramientas utilizadas y otras. La
práctica de modelación lleva al estudiante a que descubra y ponga en práctica los
31
UNA SECUENCIA DE MODELACIÓN PARA LA INTRODUCCIÓN SIGNIFICATIVA DE LA FUNCIÓN CUADRÁTICA
aspectos variacionales que se quieren introducir estableciendo una relación
modelación-aspectos variacionales.
Las propuestas didácticas donde interviene la función cuadrática son extensas. Los
aspectos variacionales de la función cuadrática nos puede dar las pautas para introducir
en el proceso enseñanza aprendizaje el concepto de función cuadrática. Entre los
investigadores se pueden mencionar a Villa 2008, Mesa y Villa 2007, Villarraga 2012 y
otros, proponen didácticas donde utilizan aspectos variacionales para la enseñanza de la
función cuadrática.
En nuestra investigación los aspectos variacionales son tenidos en cuenta en el diseño
de cada una de las secuencias y analizados en los reportes que presentan los estudiantes
al responder las preguntas de las secuencias. Dentro de estos aspectos se tendrá en
cuenta cuatro de ellos que en el capítulo de la metodología (malla de análisis) y en el
capítulo de análisis de secuencias se mencionará. Para nuestra investigación los aspectos
tenidos en cuenta son:
1. Tiempo como variable independiente
2. El uso de las gráficas teniendo en cuenta los puntos clave
3. El papel de los intervalos en el uso de las gráficas
4. Uso de tablas a través de secuencias numéricas
1.4 La investigación
32
UNA SECUENCIA DE MODELACIÓN PARA LA INTRODUCCIÓN SIGNIFICATIVA DE LA FUNCIÓN CUADRÁTICA
La enseñanza de la función cuadrática a nivel de bachillerato se realiza con el objeto de
que el estudiante conozca el significado de función, manejando procesos algebraicos,
para conocer los términos que la conforman como son los parámetros (a, b c) partiendo
una expresión 𝑎𝑎𝑥𝑥2 + 𝑏𝑏𝑥𝑥 + 𝑐𝑐; se da su gráfica pero generalmente está aislada de la
realidad y no se suele relacionar con la variación de los parámetros.
La importancia de evitar que el estudiante aprenda los conceptos enmarcados solamente
en procesos algorítmicos y memorísticos, lleva a que se desarrolle esta investigación
para fortalecer el conocimiento a través de los significados y diferentes contextos
expuestos en las secuencias. Esto permitirá abordar cuestiones como los aspectos
variacionales de la función cuadrática que se pueden dar en fenómenos físicos, la
interpretación y uso de los gráficos relacionándolos con el concepto, el uso de tablas y
su relación con los gráficos. En conclusión que pueda realizar una coordinación
significativa entre la gráfica, los fenómenos y aspectos analíticos, abordando cuatro
elementos variacionales que me dan una base de significados para la introducción
significativa de la función cuadrática.
Nuestra investigación se espera que brinde las herramientas necesarias para la
aplicación en el ambiente de aula de los procesos de enseñanza para que el estudiante
logre un aprendizaje significativo. Además, cómo a través de la práctica de modelación
se pueden favorecer los aspectos variacionales propuestos para la introducción de la
función cuadrática en estudiantes de inicio del bachillerato. La investigación también
mostrará un proceso de secuencia organizado con la aplicación metodológica adecuada
donde el estudiante observe y favorezca los diferentes aspectos variacionales de la
función cuadrática. La modelación como práctica y teniendo como marco teórico la
socioepistemología me ofrece las alternativas necesarias para que el estudiante obtenga
un conocimiento articulado y pleno sobre bases significativas de función cuadrática y
33
UNA SECUENCIA DE MODELACIÓN PARA LA INTRODUCCIÓN SIGNIFICATIVA DE LA FUNCIÓN CUADRÁTICA
lo pueda aplicar en diferentes contextos. La investigación reconoce la importancia que
tiene el contexto sociocultural en el aprendizaje del individuo y por esto lo incluye en el
desarrollo de las actividades y en las diferentes interacciones que se pueden presentar.
A través de la modelación como práctica esperamos que el estudiante fundamente el
saber hacer en contexto, generando significados para el conocimiento matemático. Este
conocimiento se concibe no en función de la adquisición de un concepto sino en la
generación de significados a través de la práctica de modelación. A esto lo llamaremos
resignificación.
La modelación como práctica en esta investigación evidencia la resignificación de
conceptos que aportarán para un conocimiento significativo de la función cuadrática, en
la clase de matemática para estudiantes de octavo2 grado de bachillerato, teniendo en
cuenta los cuatro aspectos variacionales necesarias en el desarrollo de la investigación.
El trabajo se apoyará en las diferentes interacciones que se generan y suscitan en la
práctica, las cuales se analizarán a través de videos, audios, las creaciones orales y
escritas de los estudiantes.
En la presente investigación se tratará de generar una relación estrecha entre el saber
científico, el saber escolar y la matemática utilizada; lo cual se traduce en mejores
ambientes para adquirir conocimiento. El objeto de utilizar este engranaje no es que el
estudiante aprenda la matemática de una manera aislada de su ambiente; tampoco de
crear matemáticas, sino la de usarla en prácticas sociales en diferentes áreas del
conocimiento, en las ciencias, ingenierías, economías, en la vida diaria, etc.
2 . Jóvenes comprendidos entre los 12 y 13 años de edad.
34
UNA SECUENCIA DE MODELACIÓN PARA LA INTRODUCCIÓN SIGNIFICATIVA DE LA FUNCIÓN CUADRÁTICA
La investigación, mirando la problemática que se plantea, se dirige en crear ambientes
ricos en significados y en argumentos partiendo de cada una de las acciones de los
individuos como seres humanos en las actividades matemáticas trazadas, donde las
prácticas, entre ellas la modelación, son utilizadas para producir los efectos que
queremos en el estudiante y así lleguen a obtener el conocimiento de la manera
acertada y práctica.
Entre los efectos que se quiere lograr en el estudiante tenemos:
Que el estudiante posea la capacidad de enlazar las ideas propuestas sobre los aspectos
variacionales-función cuadrática que se presentan en un fenómeno físico.
Que use los conocimientos adquiridos y aplique en otras áreas.
Que sea capaz de usar las diferentes herramientas pedagógicas para dar solución a
situaciones problema y a fenómenos matemáticos que se presenten.
Que el estudiante resignifique su saber y haga variaciones a partir de los preconceptos
que tenga.
1.4.1 Objetivos
Teniendo en cuenta la problemática planteada y la importancia que tiene los entes
tratados en el proceso enseñanza aprendizaje del concepto, nuestros objetivos son los
siguientes:
Objetivo general
35
UNA SECUENCIA DE MODELACIÓN PARA LA INTRODUCCIÓN SIGNIFICATIVA DE LA FUNCIÓN CUADRÁTICA
Discutir el favorecimiento de aspectos variacionales de la función cuadrática a través de
la práctica escolar de modelación manejando fenómenos de variación y cambio.
Objetivos específicos
Describir la manera en que los estudiantes resignifican el concepto de la función en
general y la cuadrática en particular a través de la modelación de fenómenos.
Analizar las relaciones que se suscitan en la clase de matemáticas en las actividades de
la práctica escolar de modelación favoreciendo aspectos variacionales de la función
cuadrática.
Analizar el proceso que siguen los estudiantes de acuerdo a sus respuestas al tratar con
fenómenos del mundo real, en el conocimiento de los aspectos variacionales de la
función cuadrática.
36
UNA SECUENCIA DE MODELACIÓN PARA LA INTRODUCCIÓN SIGNIFICATIVA DE LA FUNCIÓN CUADRÁTICA
CAPÍTULO 2
ESTADO DEL ARTE
La función cuadrática ha sido objeto de estudio en variedad de investigaciones desde
diferentes tópicos. El uso de la modelación como práctica está siendo tomada en muchas
investigaciones para adentrarla en el ámbito escolar.
En este capítulo informaremos lo referente a modelación en el ámbito escolar, la
modelación como competencia, la modelación en Colombia, el papel de las gráficas en
la modelación y una pequeña reflexión. Además trataremos como un segundo tópico lo
referente a función cuadrática en la modelación (propuestas didácticas sobre función
cuadrática teniendo en cuenta la modelación como práctica).
2.1 La modelación
En muchos países los trabajos sobre modelación son variados permitiendo que se haga
un avance significativo sobre el proceso de modelación, que repercute en la enseñanza
de las matemáticas. En Norte América las investigaciones que se han realizado en la
última década tienen conexión con las teorías del aprendizaje. Algunos autores como
Lesh y Doerr (2003), mencionado por Blomhøj (2008) han centrado sus estudios en el
desarrollo y prueba de diseños para el modelado de actividades, que se guían por seis
principios:
37
UNA SECUENCIA DE MODELACIÓN PARA LA INTRODUCCIÓN SIGNIFICATIVA DE LA FUNCIÓN CUADRÁTICA
1) El principio de realidad: la situación debe aparecer significativa para los
estudiantes y conectarse a sus experiencias anteriores.
2) El principio de la construcción del modelo: la situación debe crear una necesidad
para que los estudiantes desarrollen construcciones gramaticales en matemática.
3) El principio de auto-evaluación: la situación debe permitir a los estudiantes evaluar
los modelos realizados.
4) El principio de documentación del constructo: la situación y el contexto deben
exigir que los estudiantes expresen sus pensamientos durante la solución del problema.
5) El principio de generalización del constructo: debe ser posible generalizar el
modelo que se produjo a otras situaciones similares.
6) El principio de simplicidad: la situación del problema debe ser simple.
Las diferentes perspectivas de investigación sobre modelación han abierto el campo de
visión y de trabajo en el aula y fuera de ella. Blomhøj (2008) nos resume en una tabla
cada una de las visiones que caracterizan las investigaciones.
TABLA 1. Perspectivas de modelación según Blomhøj (2008) PERSPECTIVA OBJETIVOS ANTECEDENTES ESTUDIOS EN
(TSG21) PREGUNTAS DEL OBJETIVO DE INVESTIGACIÓN
ROL DEL CICLO DE MODELACIÓN
REALISTA Objetivos pragmáticos- utilitario
Pollak (1969) Kadijevich (Lombardo & Jacobini)
¿Qué Condiciones y apoyo (en forma de IT) son necesarias para modelar un problema en particular?
Se utiliza para el análisis de una práctica de la vida real o situación problemática.
CONTEXTUAL Asuntos relacionados con objetivos psicológicos
Lesh & Doerr (2003) Lesh & Caylor (2007)
Cómo diseñar contextos para los estudiantes con actividades significativas de modelado?
El proceso de modelado no es el estudio, sino las actividades que lo provocan.
EDUCACIONAL: APRENDIZAJE DE LA MATEMÁTICA
Modelado como medio para el
Niss (1987,1989) Blum & Niss (1991)
Lombardo & Jacobini Vom Hofe et al.
Cómo desafiar las concepciones de los estudiantes en
Se utiliza para diseñar y analizar las
38
UNA SECUENCIA DE MODELACIÓN PARA LA INTRODUCCIÓN SIGNIFICATIVA DE LA FUNCIÓN CUADRÁTICA
aprendizaje de la matemática
Blum & Leiss (2005)
Ludwig & Xu; Meier Aravena & Caamaño Oliveira & Barbosa Rodríguez (Kadijevich
matemáticas (GVS) y cómo apoyar el aprendizaje matemático?
tareas de modelado con respecto a las intenciones particulares para el aprendizaje de los estudiantes.
EDUCACIONAL: APRENDIZAJE- MODELADO
Modelación de la competencia como meta educativa
Blum, Niss et al. (2006)
Lombardo & Jacobini vom Hofe et al. Ludwig & Xu; Meier Aravena & Caamaño Oliveira & Barbosa Rodríguez (Kadijevich)
¿Qué es una tarea de modelado bien hecha? ¿Qué dificultades específicas de aprendizaje se pueden detectar en las diferentes fases de modelado?
Se utiliza para definir la competencia de modelos matemáticos como un objetivo de aprendizaje.
EPISTEMOLÓGICO
Resignificación matemática a través de la modelación, RME, praxeología matemática
Freudenthal (1983) Traffers (1987) Chevallard
Andresen Tarp Siller
¿Cómo se puede utilizar el modelado en la resignificación del concepto de función?
Se enfatiza la matematización y la transición entre modelo – modelo. Usado para caracterizar la modelación praxeológica
COGNITIVO Análisis de los procesos cognitivos involucrados en la modelación matemática
Piaget, Skemp Boromeo Ferri (2006)
(Tarp) (Ludwig & Xu) Gamarena
¿Qué estructuras cognitivas están involucrados en la competencia de modelado, y que habilidades cognitivas se relacionan con las diferentes fases de ciclo de modelado?
Se utiliza para estructurar el proceso de modelado a fin de identificar las habilidades cognitivas necesarias para modelar una situación dada
SOCIOCULTURAL
La parte crítica, y reflexiva, la comprensión de la realidad, y el uso de modelación matemática
Skovsmose (1994, 2005) D’Ambrosio (1999)
Barbosa Araujo Caldeira
Descubrir el poder del formato de modelado en la matemática. ¿Cómo crear discursos reflexivos entre los estudiantes?
Estructura la crítica y reflexiones en relación con el proceso de modelado y los procesos aplicados.
Si observamos la tercera y cuarta perspectiva de investigación ambas van encaminadas a
que el estudiante aprenda conceptos matemáticos a través de modelos; son temas
importantes en el ámbito escolar, porque a través de estas iniciativas, se establecen
secuencias didácticas que ayudan en gran medida al proceso enseñanza aprendizaje.
Referente a las perspectiva epistemológica, cognitiva y sociocultural, se enmarcan en un
ambiente donde no solo es importante la consecución del modelo como parte esencial,
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UNA SECUENCIA DE MODELACIÓN PARA LA INTRODUCCIÓN SIGNIFICATIVA DE LA FUNCIÓN CUADRÁTICA
sino que además interesa el proceso de consecución del objetivo, el porqué del
concepto, cuáles son las habilidades y debilidades del estudiante, cómo trasciende el
concepto en otros contextos. En fin, la investigación en estas perspectivas se acomoda
en gran medida al objetivo que se piensa desarrollar en nuestra investigación.
La modelación ha sido una herramienta muy utilizada no solo en matemática sino
también en otras áreas como la física, química y sociales. Concerniente a esa
modelación Rodríguez (2007) en su investigación hace referencia a la introducción de
noción de la ecuación diferencial como herramienta para modelar en física. La
investigación se dirige en establecer un modelo a través de la modelación que constituya
una referencia para caracterizarlo posteriormente desde la perspectiva antropológica
para la clase de matemática y física. El proceso de modelación de referencia está
conformado por ocho etapas como lo muestra la siguiente figura:
Figura 1. Etapas de la modelación de acuerdo a Rodríguez (2007)
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UNA SECUENCIA DE MODELACIÓN PARA LA INTRODUCCIÓN SIGNIFICATIVA DE LA FUNCIÓN CUADRÁTICA
Se observa en el diagrama anterior que hay un dominio o etapa que sirve de enlace entre
el dominio real y el dominio matemático llamado pseudo-concreto, donde se pueden
analizar las representaciones mentales necesarias para que el estudiante adopte el
aprendizaje del objeto que se desarrolla.
2.1.1 La modelación en el ambiente escolar
Cuando se quiere obtener un modelo matemático a partir de ciertos fenómenos reales, el
proceso para la obtención recibe el nombre de modelación matemática. La modelación
matemática se puede mirar desde dos puntos de vista, uno como el medio para enseñar
un concepto matemático y el otro como herramienta para generar significados. En el
primero se establecen unas secuencias para enseñar cualquier concepto y en el segundo
se generan significados articulando diferentes contextos para afirmar el aprendizaje.
La modelación matemática si se mira desde el punto de vista como el proceso que ayuda
a obtener un modelo matemático es valiosa para los profesores cuando se quiere enseñar
un algoritmo o cuando se quiere llegar a que entiendan cómo modelar; esto debido a que
cuando se habla de matemática en algunas ocasiones se concentra el estudio en lo que
tradicionalmente se ha enseñado, que son fórmulas y procesos para obtención del
concepto. Sin embargo cuando se quiere dar a conocer en el modelo las diferentes
relaciones entre el concepto e individuo, contextos y medio, la modelación juega un
papel primordial porque forma un ciclo o red de actividades y de sucesos que lleva a
obtener el objetivo propuesto. La manera anteriormente mencionada es acogida en gran
medida en las investigaciones de matemática educativa porque brinda las herramientas
para que el profesor pueda analizar y valorar el conocimiento del concepto propuesto.
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UNA SECUENCIA DE MODELACIÓN PARA LA INTRODUCCIÓN SIGNIFICATIVA DE LA FUNCIÓN CUADRÁTICA
Rodríguez (2012) nos menciona que si se tiene como objetivo enseñar la matemática
para formar estudiantes capaces de aplicar la matemática fuera de la escuela y en
contextos diferentes, entonces la modelación matemática se convierte en una estrategia
adecuada para lograr los objetivos, creando un vínculo entre la matemática escolar y la
experiencia de vida.
Hoy en día el uso de tecnologías en cualquier ambiente y en nuestro caso el ambiente
escolar es una ayuda y en algunos casos prioritaria porque permite la interacción directa
entre estudiante-modelo-profesor. Ferreira y Jacobini (2008) nos comentan que la
modelación matemática establece una relación mutua con la tecnología, donde ésta es
un apoyo importante que contribuye a superar muchos desafíos en el aula de clase,
como la falta de interés del estudiante y ayuda en la deficiencia de habilidades de
algunos de ellos.
Para el desarrollo de nuestra investigación en algunos momentos se hace necesario
utilizar software matemático para realizar simulaciones de movimiento.
En las anteriores investigaciones se habla de la modelación matemática generalmente
para la obtención de un modelo y que habitualmente se utiliza a nivel universitario
cuando a través de simulaciones se busca esto. Debemos aclarar que con el desarrollo de
nuestra investigación queremos no solo obtener el modelo, sino que además reconocer
que la modelación es ese vínculo de unión entre la matemática escolar y el mundo real,
permitiendo llevar el quehacer diario del estudiante a nuestras aulas, donde se tiene en
cuenta el entorno del estudiante, la manera como realiza las actividades, con quién las
realiza, los recursos utilizados sus relaciones y sus acciones es decir todo mirado desde
la perspectiva socioepistemológica.
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UNA SECUENCIA DE MODELACIÓN PARA LA INTRODUCCIÓN SIGNIFICATIVA DE LA FUNCIÓN CUADRÁTICA
La modelación brinda una gran variedad de oportunidades para el aprendizaje en el aula
de clase, donde el estudiante es fuerza activa dentro del desarrollo y el proceso de
análisis de las actividades propuestas. Para implementar el proceso de modelación en el
aula de clase, Villa (2010) centra la discusión en dos aspectos importantes: el profesor y
el estudiante.
Respecto al primero es agente importante en la identificación y el diseño de las
situaciones desde contextos de los estudiantes y de las demás ciencias. El estudiante es
quien enfatiza la actividad de identificar situaciones y de investigar maneras de cómo
producir matemáticas a través de las situaciones planteadas; el estudiante es el
encargado de escoger el tema de trabajo de organizar de planear, lo cual conlleva a que
se fomente en él otras características como de responsabilidad, compromiso, y
participación.
Agregaría a lo anterior otro aspecto que hace relación al trabajo colaborativo, donde
intervienen el estudiante, los pares y el profesor tomándolos como grupo encargado de
la investigación. Este trabajo colaborativo donde se ligan los dos aspectos tratados en el
anterior párrafo es posible aplicarlo en el desarrollo de nuestra investigación teniendo en
cuenta los dos entes como son los estudiantes y profesor (investigador).
Respecto a la participación del profesor en la modelación en el ambiente escolar, Villa,
Rojas y Cuartas (2010) entre sus consideraciones nos dicen que las discusiones sobre
noción de realidad debe incluirse al profesor, debido a que no solamente la modelación
matemática tiene que ver con matemática y realidad, sino también la concepción que el
profesor tenga de realidad, pues van a determinar la situación problema o el fenómeno a
tratar; esto condiciona el punto de partida de la modelación para trabajo en el aula.
Además nos comentan que el papel de la modelación en el aula de clase debe permear
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UNA SECUENCIA DE MODELACIÓN PARA LA INTRODUCCIÓN SIGNIFICATIVA DE LA FUNCIÓN CUADRÁTICA
la perspectiva que los profesores tienen sobre la realidad social y cultural de su entorno;
claro está que esto se logrará siempre y cuando el profesor tenga la capacidad de
identificar contextos reales para llevarlos al aula.
Los comentarios dados anteriormente sobre la participación del profesor en las
actividades sobre modelación, permiten reconocer la importancia del docente como
profesor o como investigador en el desarrollo de cada una de las actividades propuestas.
Esto se retoma para el desarrollo de nuestra investigación porque no solamente está la
figura del profesor como tal, sino que además es parte activa de la investigación.
En la gran mayoría de los países latinoamericanos la matemática educativa ha sido
permeada por nuevas teorías y prácticas brindando una visión diferente a la enseñanza
de esta área. La modelación como práctica en las aulas de clase se da a conocer en
Colombia en 1998 con la promulgación de los lineamientos curriculares, donde se
propende desarrollar el pensamiento matemático a través de cinco procesos: el
razonamiento; la modelación; la resolución y planteamiento de problemas; la
comunicación y la elaboración, comparación y ejercitación de procedimientos. Los
documentos del Ministerio de Educación Nacional, en la actualidad llevan propuestos
más de una década y sin embargo en algunas instituciones no se ha podido implementar
en el área de matemática estos procesos incluidos la modelación.
La práctica de modelación en un ambiente de aula conlleva a que el estudiante traiga
esos fenómenos de la vida real y los plasme en el medio escolar, encontrando una
conexión entre lo matemático y lo social. La modelación permitirá la consecución de los
conceptos estableciendo una relación estrecha entre el conocimiento- lo real- y lo
didáctico. El enseñar matemática en el aula de clase usando la modelación como
práctica puede dar las herramientas y la motivación suficiente para lograr los objetivos
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UNA SECUENCIA DE MODELACIÓN PARA LA INTRODUCCIÓN SIGNIFICATIVA DE LA FUNCIÓN CUADRÁTICA
propuestos en los currículos de las instituciones latinoamericanas. Nuestra propuesta
busca en dar a conocer unas secuencias donde la modelación como práctica es tenida en
cuenta y cuyas secuencias puedan servir de apoyo para la introducción significativa de
la función cuadrática manejando los aspectos variacionales.
2.1.2 La modelación como competencia
Cuando se comienza a nivel institucional a hacerse la pregunta ¿cómo saber hacer?
surge la modelación como proceso de aprendizaje, donde la competencia de modelación
es tomada como la capacidad de identificar preguntas relevantes, variables, relaciones o
supuestos en una situación del mundo real. Blum (2002) define la competencia de
modelación como la capacidad de estructurar, matematizar, interpretar y solucionar
problemas, además la toma como la capacidad de analizar o comprobar los modelos
obtenidos en la investigación de los supuestos.
Cuando en matemática se habla de competencia en muchos currículos lo relacionan con
procesos matemáticos y es por eso que Solar, Azcárate y Deulofeu (2009) nos dicen
que el interés por desarrollar procesos matemáticos no es nuevo; aparece una gran gama
de procesos como representar, argumentar, demostrar, clasificar, analizar, resolver,
conjeturar, razonar, visualizar, calcular, etc. Los procesos han estado presentes en los
planes de estudio de matemáticas, pero no tienen el papel sobresaliente en comparación
con los contenidos.
Aunque no es parte del desarrollo de nuestra investigación el profundizar en estos
procesos, si es recomendable tenerlos en cuenta porque sobre ellos se fundamenta el
estudiante para dar a conocer sus creaciones.
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UNA SECUENCIA DE MODELACIÓN PARA LA INTRODUCCIÓN SIGNIFICATIVA DE LA FUNCIÓN CUADRÁTICA
El hablar de aprendizaje por competencias es hablar de un aprendizaje significativo y
comprensivo. Las competencias matemáticas no se logran al azar, sino que necesitan de
ambientes de aprendizaje enriquecidos de situaciones problemas significativos. Es aquí
donde la modelación me facilita esos ambientes estableciendo ese canal de conexión
entre el fenómeno real- estudiante- y saber escolar.
En algunos países latinoamericanos entre ellos Colombia, retoman la modelación como
competencia porque coloca al estudiante en relación directa con el mundo real, donde él
puede relacionar, proponer, argumentar, realizar conjeturas y en conclusión no
solamente sabe (adquirir conocimiento), sino que también sabe hacer (aplicación a
contextos diferentes).
2.1.3 La modelación en Colombia
La competencia matemática tomada como el conjunto de conocimientos habilidades,
actitudes, comprensiones y comprensiones cognitivas, socioafectivas y psicomotoras en
contexto relacionadas entre sí, ayudan al desarrollo de conocimiento en los individuos
de una manera clara y eficaz. Cuando en 1998 en Colombia se publican los lineamientos
curriculares con los cuales se rige el sistema educativo colombiano, se comienza a
tomar la matemática de una manera más abierta, donde el estudiante pueda relacionar
situaciones en contextos diferentes, analizando cada una de ellas y relacionarlas entre sí.
En estos mismos lineamientos el Ministerio de Educación Nacional (MEN), establece
cinco procesos de actividad matemática; 1) formular y resolver problemas; 2) modelar
procesos y fenómenos de la realidad; 3) comunicar; 4) razonar; 5) formular, comparar,
ejercitar procedimientos, y algoritmos. Aparece la modelación como herramienta
necesaria para un mejor proceso enseñanza aprendizaje.
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UNA SECUENCIA DE MODELACIÓN PARA LA INTRODUCCIÓN SIGNIFICATIVA DE LA FUNCIÓN CUADRÁTICA
El Ministerio de Educación Nacional (1998) nos comunica que es necesario realizar una
correlación entre los contenidos de aprendizaje con la experiencia cotidiana que tienen
los estudiantes, presentándolo y enseñándolos en un contexto determinado,
intercambiando los puntos de vista propuestos por ellos. De acuerdo con esta visión, se
afirma que uno de los propósitos de la matemática escolar es el desarrollo del
pensamiento matemático y por tanto, es por una parte la modelación y por la otra la
resolución de problemas los procesos fundamentales para alcanzar este propósito.
El Ministerio de Educación Nacional (2006) define la modelación como el proceso de
detección de esquemas que se observan en situaciones científicas, cotidianas y
matemáticas, para luego reconstruirlas mentalmente. En este mismo escrito relacionan
la modelación como sinónimo de la matematización, término del cual habla
Fraudenthal (1977); se entiende la modelación como la complejidad de una situación
real y llevarla a otra situación ya conocida, de forma que se pueda observar qué
esquema se le puede aplicar, qué relaciones se pueden establecer con otras situaciones
y qué operaciones matemáticas se pueden utilizar para responder a los interrogantes que
produce dicha situación. Respecto a lo que se entiende como modelo de acuerdo al
concepto formulado, nos dicen que se entiende como un sistema figurativo, mental,
gráfico o tridimensional que representa la realidad en forma de esquemas para hacerla
más comprensible al individuo. Es una estructura que puede usarse para mostrar lo que
se trata de comprender, una imagen analógica, que permite volver cercano y concreto un
concepto para la apropiación y manejo.
El mismo escrito comenta que cuando se tiene una situación problema la modelación
permite decidir qué variables y relaciones entre variables son importantes, lo que
posibilita establecer modelos matemáticos de distintos niveles de complejidad, a partir
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UNA SECUENCIA DE MODELACIÓN PARA LA INTRODUCCIÓN SIGNIFICATIVA DE LA FUNCIÓN CUADRÁTICA
de los cuales se pueden hacer predicciones, utilizar procedimientos numéricos, obtener
resultados y verificar qué tan razonable son éstos respecto a las condiciones iniciales.
La variabilidad es un aspecto que se debe tener en cuenta en la práctica de modelación
porque brinda las pautas para establecer relaciones variadas en la situación presentada.
Esto puede crear en el estudiante una relación entre el conocimiento adquirido y la
práctica (el cómo hacerlo). Entonces podemos decir que la modelación en el ambiente
escolar colombiano es tomada como una competencia.
2.1.4 El papel de las gráficas en la modelación
La matemática educativa ha abierto el campo de acción de la investigación
permitiendo grandes avances en trabajos de investigación sobre modelación matemática
en el ambiente escolar. Existen variedad de trabajos donde la modelación es tomada
como práctica y donde las gráficas son parte esencial del desarrollo de los trabajos.
El uso de las gráficas para dar nuevos significados a conceptos matemáticos permite
establecer una relación armoniosa entre modelación- y graficación que puede dar buen
provecho para nuestro estudio relativo a función cuadrática. Los estudios realizados
sobre modelación referentes a la función cuadrática como la presentada por Cordero y
Suarez (2005) nos muestra una investigación para resignificación de la parábola
utilizando gráficas. La actividad mostrada se relaciona con una situación en un contexto
físico y al estudiante se le pide realizar una descripción de dicha situación en una
gráfica. La actividad se basa en dar una gráfica donde se representa el movimiento
explícito que realiza una persona y el estudiante debe determinar cuál debe ser el
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UNA SECUENCIA DE MODELACIÓN PARA LA INTRODUCCIÓN SIGNIFICATIVA DE LA FUNCIÓN CUADRÁTICA
movimiento real para que se presente esta gráfica; en este caso se usa la tecnología de
calculadoras con sensores. El uso de las gráficas debe ser predominante en el sistema
educativo debido a que hay una concentración en representar en forma algebraica. Sin
embargo el potencial de la graficación no se limita a esto sino va más allá porque puede
ser considerada en sí misma como modelación. Las características que debería cumplir
son:
1) Las gráficas se obtienen a partir de una simulación donde se pueden realizar ajustes
2) La gráfica es dinámica donde puedo crear modelos gráficos que ayudan para
describir nuevos movimientos
3) La gráfica propicia la búsqueda de explicaciones y enfatiza los comportamientos
invariantes en las situaciones
Los aportes de este estudio para nuestra investigación hacen relación al conocimiento de
la gráfica y sus usos; ello nos establece una relación modelación-gráfica-tecnología que
se puede implementar en las aulas para construir conocimiento matemático. Se utiliza la
tecnología como apoyo para estudiar fenómenos de movimiento como actividades de
modelación. A través de una gráfica podemos establecer relaciones de una manera más
coherente debido a la visualización del comportamiento del fenómeno tratado. La
gráfica es pilar importante en el proceso enseñanza aprendizaje cuando se quiere llevar
al medio escolar un concepto a través de la práctica de modelación, como sucede con la
función cuadrática. La misma gráfica me permite observar las variaciones que puede
sufrir un fenómeno cuando se tiene una variable independiente como el tiempo.
El reconocer las gráficas como parte importante en la interpretación de fenómenos es
una característica muy particular que es empleada por algunos investigadores. Radford
(2009) en su artículo trata la interpretación de movimientos a través de gráficos
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UNA SECUENCIA DE MODELACIÓN PARA LA INTRODUCCIÓN SIGNIFICATIVA DE LA FUNCIÓN CUADRÁTICA
cartesianos propuestos a estudiantes del grado 8°. Tiene en cuenta un marco teórico
sociocultural, prestando atención al proceso discursivo y semiótico que el estudiante
maneja para dar sentido a los gráficos. También es tenido en cuenta la interpretación
de procesos a partir de constructos teóricos, la objetivación, la configuración de signos
matemáticos, los gestos y palabras que usan los estudiantes para lograr un mayor nivel
de conceptualización. El uso de los videos y el análisis de los discursos a través del
audio ofrecen una visión general de las interpretaciones y versiones que dan los
estudiantes en el desarrollo de la actividad.
Las actividades fueron planeadas por un equipo de investigación incluido el profesor.
Se centró en la interpretación, reproducción y la construcción de gráficas. Se dividió el
grupo grande en otros más pequeños de tres estudiantes cada uno y el trabajo iba
aumentando en dificultad a medida que se iba avanzando. Se utilizaron herramientas
informáticas, calculadoras graficadoras, cintas métricas, cronómetro y sensores de
movimiento. La actividad consiste en dar a los estudiantes dos gráficas donde se
manifiesta el movimiento que hace Tina al caminar mostrando la distancia que recorre
en determinado tiempo y en la otra el movimiento que realiza Jean mostrando la
distancia que recorre respecto al tiempo. En cada una se les pide a los estudiantes
interpretar lo que sucede en el movimiento de las dos personas.
De acuerdo a lo mostrado en el trabajo se ve cómo el estudiante evoluciona en su
interpretación de las diferencias conceptuales entre espacio, lugar y origen. Poco a poco
los estudiantes toman el conocimiento distinguiendo los significados matemáticos.
Para formar y acceder a los niveles más profundos del conocimiento y
conceptualización, los estudiantes recurrieron a los gestos, símbolos y el habla. Estos
signos pertenecen a diferentes sistemas semióticos.
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UNA SECUENCIA DE MODELACIÓN PARA LA INTRODUCCIÓN SIGNIFICATIVA DE LA FUNCIÓN CUADRÁTICA
Es importante recordar que todo aquello real tiene que ser concebido en condiciones
espacio y tiempo jugando un papel preponderante en el análisis de la situación
presentada.
En la investigación el autor nos dice que el uso pedagógico de las diferentes formas en
que los estudiantes y los profesores recurren a los signos y artefactos en los procesos de
enseñanza y aprendizaje todavía merece más investigación. Los conocimientos y la
objetivación de los estudiantes como su relación con las actividades que ofrecemos a
ellos en el aula, puede ayudar a diseñar contextos más amplios en los que los
estudiantes pueden participar de manera significativa en los conceptos matemáticos.
En esta investigación podemos decir que es claramente observable la importancia de la
gráfica para poder responder qué es lo que sucede al moverse cada uno de ellos, qué
acciones realizan, qué significa las líneas paralelas al eje o qué significa las líneas
inclinadas o con pendiente cero, cómo transcurre el tiempo y cómo se relaciona el
desplazamiento con el tiempo.
En nuestra investigación aunque no se fundamenta en el uso de las gráficas en la
modelación sí se consideran tales usos, especialmente cuando se quiere mostrar un
fenómeno físico y llevarlo a una gráfica.
El empleo de videos y grabaciones de audio es bastante atractivo, porque a través de
ellos podemos captar movimientos, gestos, interacción con los compañeros, lo que
hablan y comentan, lo que analizan y deducen. Esto mirado desde la práctica escolar es
bastante atrayente para la aplicación en nuestra investigación. Los movimientos y gestos
que los estudiantes realizan me pueden dar información preponderante de cómo piensa,
relaciona, interpreta y quiere resolver cada una de las preguntas propuestas en la
51
UNA SECUENCIA DE MODELACIÓN PARA LA INTRODUCCIÓN SIGNIFICATIVA DE LA FUNCIÓN CUADRÁTICA
secuencia. El uso de estas características para complementar la investigación son
permitidas en la práctica de modelación desde el enfoque teórico de la
socioepistemología en el cual se apoya nuestra investigación.
2.1.5 Reflexión
La modelación como práctica, permite en el ambiente de aula disponer de una
herramienta educativa que pueda ser usada sin ninguna restricción por todo el
profesorado estableciendo una estrecha relación entre estudiante-saber escolar- y
fenómeno.
La práctica de modelación me permite establecer una relación entre los modelos y los
fenómenos. Podemos decir que la práctica de modelación es el proceso de
matematización en el aula, que lleva a que los fenómenos de la naturaleza
(conocimiento científico) interactúen con el conocimiento escolar (modelos
matemáticos) dando las herramientas y argumentos que se van construyendo a medida
que los individuos realizan acciones, fundando los conceptos en forma progresiva. De
esta manera podemos establecer una relación estrecha entre modelación- modelos- y
fenómenos.
La modelación hace unas décadas era utilizada solamente a nivel universitario para
desarrollar simulaciones o para investigaciones. La socioepistemología la acoge como
práctica y le da un papel epistemológico en el proceso enseñanza aprendizaje de los
estudiantes, brindando oportunidades para el aprendizaje. Si lo consideramos a la luz del
quehacer en el aula, coincide en algunos aspectos con investigación que la presentan
como un método de enseñanza. En este sentido Hein y Biembengut (2006) nos dice que
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UNA SECUENCIA DE MODELACIÓN PARA LA INTRODUCCIÓN SIGNIFICATIVA DE LA FUNCIÓN CUADRÁTICA
el objetivo de la modelación como método de enseñanza es el de proveer al estudiante
de una mejor aprehensión de los conceptos enseñados, capacidad para comprender,
interpretar, formular y resolver situaciones problema, afianzando el sentido crítico y
creativo en el estudiante.
Las investigaciones desarrolladas sobre modelación han brindado herramientas para que
el proceso enseñanza aprendizaje de la matemática sea más productivo.
Cantoral (2004) describe la socioepistemología de la siguiente manera:
La socioepistemología, o epistemología de las prácticas sociales relativas al saber,
es una aproximación teórica de naturaleza sistémica que permite tratar con los
fenómenos de producción y difusión del saber desde una perspectiva múltiple, pues
articula en una misma unidad de análisis a las interacciones entre la epistemología
del conocimiento, su dimensión sociocultural, los procesos cognitivos que le son
asociados y los mecanismos de su institucionalización vía la enseñanza (p. 1).
La socioepistemología en la matemática educativa es una teoría que se está incluyendo
en gran medida en las investigaciones relacionadas con la matemática. La parte teórica
de la socioepistemología y algunos puntos de vista se ampliarán en el capítulo 3
referente al marco teórico.
Resulta importante entonces reconocer el uso de las gráficas dentro de la visión
socioepistemológica y cómo impactan en la investigación. Tales uso de las gráficas
entonces permiten establecer una relación modelación-gráfica-tecnología- y mundo real
la cual se puede llevar a las aulas para construir conocimiento. Esto reconociendo los
conocimientos previos en el estudiante, sus relaciones con el medio, sus acciones, los
recursos utilizados y cómo interactúa entre lo real y el conocimiento.
53
UNA SECUENCIA DE MODELACIÓN PARA LA INTRODUCCIÓN SIGNIFICATIVA DE LA FUNCIÓN CUADRÁTICA
2.2 La función cuadrática
La función cuadrática mirada desde el punto de vista escolar, hoy en día está
cambiando la visión de su conocimiento. Anteriormente solamente se centraba en dar a
conocer la forma algebraica olvidándose de todas sus relaciones. En la actualidad la
escuela está insistiendo en dar a conocer de la función cuadrática además de las formas
analíticas, también las gráficas y su manejo, que el estudiante conozca los fenómenos
asociados a lo cuadrático y así poder relacionar lo analítico con lo gráfico y lo
fenomenológico. Nuestra investigación quiere retomar la mirada sobre función
cuadrática de la actualidad a través de propuestas didácticas referente a la función
cuadrática utilizando la práctica de modelación.
2.2.1 La función cuadrática y la modelación
En esta sección del capítulo, se expondrán algunas propuestas didácticas sobre función
cuadrática usando la modelación como práctica. Al finalizar cada propuesta se hace un
pequeño análisis de cada una de ellas.
A través de la historia para desarrollar el concepto de función, algunas situaciones se
han basado en la modelación de los fenómenos de variación, llevando a que la
modelización sea útil en la construcción de conocimiento referente a función. Villa
(2008) considera que para lograr un mejor conocimiento del concepto de función desde
la perspectiva variacional, se deben tener en cuenta algunos aspectos importantes
como:
• La identificación de las relaciones de dependencia entre dos magnitudes.
54
UNA SECUENCIA DE MODELACIÓN PARA LA INTRODUCCIÓN SIGNIFICATIVA DE LA FUNCIÓN CUADRÁTICA
• La cuantificación de la relación mediante tablas de valores.
• La identificación de la razón de cambio y la forma en cómo puede cambiar dicha
razón.
• El reconocimiento de la razón de cambio constante como elemento que identifica las
funciones lineales.
• El reconocimiento de la variación lineal de la razón de cambio como elemento que
identifica las funciones cuadráticas.
• La compresión de la función como un modelo que atrapa la covariación entre dos
magnitudes.
Mesa y Villa (2007) en su investigación nos presentan una propuesta didáctica mediante
la cual se pueda construir el concepto de función cuadrática utilizando la modelación de
fenómenos variacionales. La propuesta consiste en exponer un ejemplo sobre una
empresa de viajes donde se ofrece una serie de ofertas turísticas. La situación presentada
está dada de tal manera que el estudiante pueda identificar las cantidades que
intervienen tanto variables como constantes. Referente a la función cuadrática se
permite identificar características tales como: crecimiento, decrecimiento, punto de
máximo/mínimo, rapidez de cambio. El trabajo practicado en esta propuesta es el
colaborativo trabajando en grupos, permitiendo a los estudiantes discutir, reflexionar y
comunicarse entre sí. Las preguntas van dirigidas a que el estudiante establezca
relaciones utilizando el lenguaje natural. En un segundo momento se pretende que los
estudiantes identifiquen características de cómo cambian las variables, de tal forma que
a través del análisis pueda establecer un procedimiento que le permita construir la tabla
y a través de manejo de ésta pueda obtener conclusiones favorables o desfavorables
referente a los pasajeros o para la empresa.
55
UNA SECUENCIA DE MODELACIÓN PARA LA INTRODUCCIÓN SIGNIFICATIVA DE LA FUNCIÓN CUADRÁTICA
En la anterior propuesta didáctica el estudiante debe de encontrar en el análisis de la
tabla cuáles variables intervienen en el problema y ya identificadas, poder desarrollar y
responder cada una de las preguntas propuestas. Al lograr utilizar la gráfica para
responder algunas preguntas, podemos establecer que a través de ella se puede realizar
modelación. Aunque las preguntas están relacionadas para usar en momentos solamente
las tablas y en otros la gráfica, se puede llevar al estudiante a que establezca una
relación importante entre modelación-tabulación-gráfica. El uso de las tablas y el uso de
las gráficas en la propuesta es necesaria para poder desarrollar el proceso de modelación
como se menciona en ella. En el desarrollo de nuestra investigación los aspectos
variacionales son necesarios para el planteamiento de las secuencias; por eso los
fenómenos variacionales que se tienen en cuenta en los trabajos anteriores, pueden dar
una luz para nuestra investigación.
Los fenómenos físicos y el uso de tecnología en la actualidad son utilizados para el
proceso enseñanza aprendizaje de la matemática con los cuales se puede establecer una
relación entre el conocimiento escolar y lo cotidiano. Villarraga (2012), en su propuesta
de investigación, nos propone una didáctica de la función cuadrática donde se modelan
situaciones de variación y cambio usando herramientas tecnológicas como instrumentos
de mediación. La propuesta es dirigida a estudiantes del grado noveno de bachillerato.
Basándose en los lineamientos curriculares dados por el ministerio de educación, la
propuesta plantea metas de enseñanza como: aprovechar las herramientas tecnológicas
como instrumentos de mediación para la conceptualización de función cuadrática a
través de la modelación; proporcionar experiencias significativas y estimular el uso y
traducción de diferentes representaciones funcionales (verbal, algebraica, gráfica,
visual, numérica); encontrar el modelo matemático a partir de un fenómeno físico o
situación real. La propuesta consta de tres actividades y en cada una se utiliza una
56
UNA SECUENCIA DE MODELACIÓN PARA LA INTRODUCCIÓN SIGNIFICATIVA DE LA FUNCIÓN CUADRÁTICA
herramienta tecnológica adecuada para dar solución a algunas preguntas propuestas.
Divide las actividades por momentos. Llega a la conclusión que los instrumentos de
mediación son necesarios para articular los diferentes sistemas de representación. Las
nuevas tecnologías traerán beneficios al proceso de enseñanza dependiendo del uso que
se haga de ellas.
De acuerdo a lo visto en esta investigación, tratan de guiar a que el estudiante use de
manera primordial las herramientas tecnológicas que tienen a su disposición. Llevan al
estudiante a que realice tablas y gráficos usando los medios tecnológicos como
mediadores de la enseñanza en el concepto de función cuadrática. También el utilizar
los fenómenos físicos para modelar permite una mejor aprehensión del conocimiento.
Se lleva a que el estudiante establezca relaciones entre las variables que posee cada
actividad. Toman tanto en la actividad uno como en la actividad tres el tiempo como
una variable necesaria. La propuesta está dada para que se tome como referencia y
aplicarla en el medio escolar para poder así analizar las respuestas de los estudiantes y
tomar decisiones sobre las ventajas de la tecnología como mediadora de la enseñanza.
Las actividades muestran un gran potencial en el proceso enseñanza aprendizaje que se
puede explotar en la práctica de modelación usando las mismas herramientas como
mediadoras. Sin embargo las preguntas son encaminadas a que se resuelvan al estilo
tradicional y no establecen una relación clara con la práctica de modelación. Pero si a
las preguntas las direccionamos, podemos obtener buenos dividendos.
Otra investigación que también usa tecnologías para la conceptualización de la función
cuadrática a través de la práctica de modelación es la expuesta por Guevara (2011)
quien realiza en su investigación una propuesta didáctica para el aprendizaje
significativo del concepto de función cuadrática a través de la modelación y simulación.
57
UNA SECUENCIA DE MODELACIÓN PARA LA INTRODUCCIÓN SIGNIFICATIVA DE LA FUNCIÓN CUADRÁTICA
Esta propuesta se visualiza desde una red conceptual, con la cual se puede facilitar la
enseñanza significativa del concepto de función para los estudiantes; con base en ésta se
facilitaría hacer la reestructuración de los contenidos de la asignatura matemáticas
básicas o precálculo en las lecciones referentes al tema de funciones. Se utiliza para
implementarlo herramientas informáticas como el GRAPH 4.3 y el programa de
GEOGEBRA, como apoyo a las diferentes actividades propuestas. Una de las
actividades propuestas es la de un triángulo rectángulo y en éste está inscrito un
rectángulo en el cual se puede variar sus dimensiones; con esta actividad se puede
modelar una función cuadrática de acuerdo a la variación del área del rectángulo y a
través de los programas mencionados se logra obtener la función cuadrática en forma
gráfica y algebraica. Otra de las actividades es la suma de áreas para maximizar o
minimizar, donde se toma una longitud cualquiera y con ella realizar dos cuadrados con
áreas diferentes variando las medidas para cada uno varias veces. También sirve esta
actividad para modelar funciones cuadráticas.
En la propuesta anterior se dan una serie de actividades que son aplicables a los
estudiantes y que llevando las preguntas menos dirigidas y tradicionales, podemos
sacar provecho de la modelación como práctica para la enseñanza de la matemática en
el aula. En las preguntas se lleva al estudiante a que establezca relaciones entre las
variables de la situación problema, a que use la gráfica para modelar, realice
tabulaciones y relacione con las gráficas, modele algebraicamente. Se centra en gran
medida en la simulación de las actividades. El uso de la tecnología como apoyo es
bastante aceptable y que para el desarrollo de secuencias como la propuesta en nuestra
investigación puede dar buenos dividendos. En el diseño de secuencias se debe tener
cuidado en no saturar las actividades de preguntas que pueden llevar a que la respuesta
se haga de manera tradicional para salir del paso.
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UNA SECUENCIA DE MODELACIÓN PARA LA INTRODUCCIÓN SIGNIFICATIVA DE LA FUNCIÓN CUADRÁTICA
De la misma manera el uso de software dinámico libre que se encuentra en el mercado
es una herramienta de ayuda para el desarrollo de las actividades matemáticas que
practicamos en la escuela. Esto nos lleva a decir que si usamos dichas herramientas
como recursos de la enseñanza de la matemática en el aula de clase nos puede arrojar
grandes beneficios. Ávila (2011) nos muestra que su investigación se basa en el trabajo
de los conceptos de función lineal y función cuadrática en el campo de estudio de casos,
usando software dinámico como el GeoGebra y el Modelllus. Las pruebas creadas se
aplicaron a estudiantes de grado décimo y la actividad referente tiene relación con un
applet del movimiento acelerado de un vehículo que se mueve de un punto determinado
a otro variando su velocidad. Se quiere con esta actividad que el estudiante obtenga el
comportamiento gráfico del fenómeno y luego use el software para compararlo. El
propósito era el de identificar características específicas del razonamiento relacionadas
con sus habilidades y conocimientos matemáticos, así como también los diferentes
procesos que involucran la covariación y las diferentes formas de trabajarlo. Las
actividades planteadas buscaban que el estudiante utilice herramientas (lápiz, papel,
software), como también aquellos conceptos y temáticas trabajadas, el uso de la
intuición, sus procesos analíticos y la forma como razona y reflexionan para realizar
operaciones.
El tomar fenómenos cotidianos para realizar investigaciones es bastante particular
porque coloca al estudiante a analizar situaciones que él no encuentra relacionadas con
la matemática. El software usado como herramienta de ayuda en la enseñanza es
bastante atrayente en especial para los estudiantes. Las relaciones de variación de
magnitudes físicas que se pueden establecer en el fenómeno físico del movimiento de
un auto pueden llevar a determinar cómo se modifica una magnitud cualquiera frente al
tiempo. Esto permite realizar modelación y determinar cómo varía una magnitud
59
UNA SECUENCIA DE MODELACIÓN PARA LA INTRODUCCIÓN SIGNIFICATIVA DE LA FUNCIÓN CUADRÁTICA
referente a otra. Sin embargo el proponer secuencias donde utilice la modelación
solamente para hallar un modelo matemático, no es el fin de nuestra investigación más
bien es tomar todas las características del fenómeno y analizar cómo el estudiante llega
a responder cada una de las preguntas de manera acertada o no y el porqué de esto. Se
debe tener también cuidado en la planeación de las secuencias, que éstas usen la
práctica de modelación como base de la actividad.
Las calculadoras con sensores son usadas en educación matemática ofreciendo una
herramienta de ayuda tecnológica. Los estudios realizados sobre modelación referentes
a la función cuadrática como la presentada por Cordero y Suarez (2005) nos muestra
una investigación para resignificación de la parábola utilizando gráficas. Las
características de la propuesta son explicitadas en el numeral 2.1.4 el papel de las
gráficas en la modelación.
La propuesta de Huapaya (2012) muestra su trabajo de diseño de experimentos de
acuerdo a lo que indica Cobb et al. (2003) en su propuesta. Se ayuda del software
FUNCIONSWIN32 y de la hoja de cálculo EXCEL aplicando la modelación para la
enseñanza de la función cuadrática. La secuencia de actividades y tareas tienen por
objetivo observar si los estudiantes logran por medio de diferentes representaciones
transitar entre los siguientes registros (verbal, numérico, algebraico y verbal
nuevamente).
Esta propuesta aporta a la investigación sobre la importancia del uso de tecnología en la
enseñanza de la función cuadrática a través de la modelación, como también el diseño
de experimentos para la aplicación de las actividades. Sin embargo centra su
60
UNA SECUENCIA DE MODELACIÓN PARA LA INTRODUCCIÓN SIGNIFICATIVA DE LA FUNCIÓN CUADRÁTICA
importancia en el manejo de los software y no es muy específico en presentar las
actividades dentro del campo de la modelación y en su análisis respectivo.
Arrieta (2003) en su investigación en una de las secuencias planteadas nos presenta lo
cuadrático usando la práctica de modelación. Para esta parte presenta dos actividades
una de caída libre y la otra de un plano inclinado. En la primera proporciona una tabla
con datos y en las preguntas propuestas se observa que toma el tiempo como variable
independiente. Además reconoce la graficación como parte en la modelación. En la
segunda proporciona el fenómeno y pide una tabla con datos usando la calculadora para
luego usarlos en la graficación. En esta última también retoma el tiempo como parte del
engranaje de la actividad.
Esta investigación nos proporciona una idea sobre la práctica de modelación en el
sentido cuadrático y lineal. En la propuesta se expone una unión entre gráfica-
modelación- y tabulación. El uso de las calculadoras como ayuda para la modelación es
aplicable en algunos trabajos. La toma del tiempo como variable es un aspecto que en
nuestra investigación también se tiene en cuenta.
Las propuestas de didácticas vistas en esta sección del capítulo, ofrecen una variedad de
alternativas de las cuales se pueden sacar algunas proposiciones que ayudarán en el
desarrollo y puesta en escena de nuestra investigación. Recordando que nuestra
investigación no solo utilizará recursos informáticos, utilizará software, no solo se
quiere modelar para obtener un modelo, sino que además se generen significados a
través de la práctica de modelación, que con la práctica de modelación se establezcan
relaciones entre el saber científico-saber escolar- y la matemática utilizada y que pueda
traer el mundo real al aula.
61
UNA SECUENCIA DE MODELACIÓN PARA LA INTRODUCCIÓN SIGNIFICATIVA DE LA FUNCIÓN CUADRÁTICA
CAPÍTULO 3
MARCO TEÓRICO
En una primera etapa, la modelación surge como herramienta para obtener un modelo
matemático y es aplicada originalmente en grados universitarios donde el nivel
conceptual está más fundamentado; más tarde se trata de introducir a niveles inferiores
con el mismo propósito. En estos niveles inferiores no solo se desea encontrar el modelo
matemático, sino además establecer las relaciones que puede tener el individuo al
desarrollar una actividad con todo aquello que lo rodea y consigo mismo.
3.1 La modelación con un enfoque socioepistemológico
El hablar de la Socioepistemología en Matemática Educativa es hablar de la teoría que
se ocupa específicamente del problema que plantea la construcción social del
conocimiento matemático y su difusión institucional. Debido a que este saber se ha
constituido socialmente en ámbitos no escolares, su transmisión hacia y desde el sistema
de enseñanza, hace que se realicen algunas modificaciones que afectan directamente su
estructura y funcionamiento, afectando también las relaciones que se establecen entre
los estudiantes y sus profesores (Alanís et al, 2000; Cantoral, 1999).
62
UNA SECUENCIA DE MODELACIÓN PARA LA INTRODUCCIÓN SIGNIFICATIVA DE LA FUNCIÓN CUADRÁTICA
El hablar y tratar la teoría de la Socioepistemología nos lleva a establecer una
articulación entre cuatro componentes básicos en la construcción social del
conocimiento: la naturaleza epistemológica, su dimensión sociocultural, la parte
cognitiva y los modos de transmisión vía enseñanza (Cantoral, 1999).
Para Cantoral y Farfán (2003) la socioepistemología es el eje fundamental de
investigación del pensamiento matemático y lenguaje variacional, donde el énfasis
teórico se pone en la importancia que se le da a las prácticas sociales, las cuales
adquieren sentido en el campo de la variación y del cambio en los diferentes sistemas
educativos.
En la socioepistemología se habla de analizar la matemática desde el punto de vista de
las prácticas sociales que permiten la generación de conocimiento matemático. Para
llegar a este conocimiento interactúan unas dimensiones como la didáctica, la
epistemología, la cognitiva y las prácticas sociales, conformando un bloque sistémico
en la construcción del conocimiento. La conjunción de estas cuatro dimensiones se le
ha llamado aproximación socioepistemológica (Cantoral y Farfán, 1998; Cantoral,
2000; Cordero, 2001).
La Socioepistemología como teoría permite mirar la educación matemática no como
una práctica donde solamente se transmiten conocimientos, se expresan postulados, se
solucionan problemas, se realizan demostraciones, sino además me permite mirar más
allá de los conceptos, cuál es el trasfondo de ellos, me permite transformar, me permite
llevar los conceptos a otros contextos, me acerca al mundo real. La socioepistemología
se basa fundamentalmente en cuatro grandes pilares que de acuerdo a Torrellas y
Romano (2009), los clasifica de la siguiente manera:
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UNA SECUENCIA DE MODELACIÓN PARA LA INTRODUCCIÓN SIGNIFICATIVA DE LA FUNCIÓN CUADRÁTICA
El primero ve el fenómeno de aprendizaje no solo como lo que está ocurriendo en las
cuatro paredes del aula o la escuela, sino que se transporta hacia la sociedad, cuando
ésta produce conocimiento.
El segundo no está viendo al contenido matemático desde el punto de vista formal,
rígido pegado a los cánones del conocimiento, y estrictamente organizado, sino más
bien como un conocimiento que es formado en instancias diferentes a la escuela, o sea
fuera de ella, donde lo importante es la experiencia y en donde se utilice ese
conocimiento.
El tercero ve la forma de enseñar a través de una resignificación continua, pero también
la forma de investigar involucra y ve el fenómeno de la didáctica no como el proceso de
transmisión de contenidos nada más, sino que involucra lo cognitivo, lo social, lo
cultural, lo didáctico de una manera integral.
El cuarto se refiere al aspecto epistemológico social es decir, cómo me llega el
conocimiento, de qué manera llegó a mí, cómo lo valido, cómo es el lugar donde surgen
las ideas sobre el concepto.
Se observa que estas cuatro áreas involucran todo el ámbito sociocultural del concepto a
enseñar, ampliando la visión, aplicación, y aprehensión del conocimiento.
Para Buendía y Montiel (2011) la socioepistemología se constituye como un enfoque
teórico para entender y comprender a la luz de la matemática educativa esos fenómenos
específicos que se relacionan con la transmisión de conocimiento matemático. Nos
dicen también que las investigaciones socioepistemológicas sobre matemática han
problematizado el saber matemático en al menos tres dimensiones de análisis: su
naturaleza epistemológica; su resignificación y sus procesos de transmisión.
64
UNA SECUENCIA DE MODELACIÓN PARA LA INTRODUCCIÓN SIGNIFICATIVA DE LA FUNCIÓN CUADRÁTICA
Camacho (2006) cita a (Cantoral y Farfán, 2003) y dice que la socioepistemología
aparece como eje de investigación del pensamiento y el lenguaje variacional, donde las
prácticas sociales adquieren sentido dentro del estudio de la matemática de la variación
y el cambio en el sistema educativo. En esa investigación se sugieren actividades que
requieren que el estudiante construya gráficas, para desarrollar la noción de predicción a
través de fenómenos que involucran movimiento o cambio, retomando la fórmula del
binomio de Newton.
En el ambiente escolar la socioepistemología favorece crear situaciones usando
fenómenos para el aprendizaje de un concepto y a la luz de prácticas como la
modelación. Camacho (2006) citado en Cordero (2011) ordena las trayectorias de la
socioepistemología referentes al campo de la investigación así: una orientada hacia la
reconstrucción del conocimiento matemático escolar, teniendo como fundamento el
diseño de situaciones; la otra dirigida hacia la investigación experimental, donde la
simulación y la modelación son usadas con el fin de que el estudiante construya
conocimiento a través de la actividad de resignificación.
En Hernández y Arrieta (2005) tomando la socioepistemología en el sistema escolar, se
dice que confluyen cuatro dimensiones. La que tienen que ver con la naturaleza social
del conocimiento, su formación histórico cultural, la producción y reproducción del
mismo, que es la epistemología; la cognitiva, que hace relación a las interacciones de
aprendizaje, las dadas entre los actores y las referentes al mundo; la didáctica, referente
a las formas de intervención en los procesos escolares; lo social, cómo se desarrollan y
viven en nuestro entorno las prácticas que dan lugar a los conocimientos.
Considerando a la socioepistemología como una nueva base didáctica, sobre la cual la
matemática escolar debe reorganizar la obra matemática, podemos reconocer que en
65
UNA SECUENCIA DE MODELACIÓN PARA LA INTRODUCCIÓN SIGNIFICATIVA DE LA FUNCIÓN CUADRÁTICA
esta teoría interesa no solamente analizar a los que intervienen en las actividades, los
conceptos a aplicar, la relación entre ellos, sino a la práctica social debido a que ésta
explica las formas de constituir conocimiento (Cordero, 2005).
Por esto los trabajos enmarcados en la socioepistemología no se circundan en los
conceptos, pero sí en las personas en un contexto sociocultural específico. Es decir en
cómo se usa el conocimiento, en la manera que se construye, qué razonamientos se
asocian y qué clase de significados se comparten.
3.2 Prácticas, resignificación y modelación
Cuando se habla de modelación inmediatamente se relaciona con la palabra modelo,
donde se considera como reproducción de algo ya establecido. La modelación en la
matemática es considerada como una herramienta didáctica que permitirá que el
estudiante realice representaciones eficientes del objeto matemático en estudio. Si se
tiene el objeto de estudio la función cuadrática y se quiere enseñar, se debe buscar la
didáctica adecuada para que el estudiante construya tal objeto usando las diferentes
representaciones como ecuación cuadrática, fórmulas, tablas y gráficas donde el
individuo debe transitar por cada una de ellas y la modelación juega como la
herramienta facilitadora de este tránsito. Esta es la modelación que busca un modelo
algebraico determinado centrándose en el uso de fórmulas, ecuaciones, tablas y gráficas,
mostrando el objeto enseñado basado en estas representaciones.
La enseñanza de las matemáticas se ha mirado como problemática de las teorías
educativas y psicológicas; pero si queremos que el estudiante tome el conocimiento
66
UNA SECUENCIA DE MODELACIÓN PARA LA INTRODUCCIÓN SIGNIFICATIVA DE LA FUNCIÓN CUADRÁTICA
matemático a nivel social, debemos dejar de mirar cuál es la utilidad de este
conocimiento en la vida y más bien buscar la función de éste en el medio. Esto me
permite integrar el conocimiento a la vida para transformarla, llevando a que en toda
acción didáctica que se realice se construye conocimiento. Entonces podremos decir que
el estudiante aprende a través de nuevos significados del concepto tratado
(resignificación).
En la enseñanza de la matemática a diferentes niveles, se observa el desinterés, la
desmotivación del estudiante en el aprendizaje de los conceptos que conlleva a la
dificultad para que un profesor pueda impartir la enseñanza de los conceptos
matemáticos de acuerdo a lo estipulado en los lineamientos del currículo de cada
institución. Esto debido a que el estudiante no encuentra las relaciones entre teoría,
definiciones, teoremas, propiedades y aplicaciones porque generalmente no se establece
una liga entre ellas y esto hace que ellos no logren los significados relevantes para un
aprendizaje significativo. Entonces se debería favorecer la resignificación para que nos
demos cuenta que el conocimiento matemático tiene significados propios, contextos,
historia, e intención enriqueciendo el significado de conocimientos en un grupo
humano.
La modelación en el ambiente escolar no solamente debe ser una aplicación matemática,
sino más bien una argumentación del concepto tratado. La modelación tomada como
práctica lleva a que el estudiante establezca una relación estrecha entre el saber
científico-saber escolar- y herramientas matemáticas, para desarrollar de esta manera los
procesos mentales conduciendo a un aprendizaje significativo.
Es necesario e importante tener claro lo que significa resignificación, para poder
profundizar en el concepto que se quiere tratar. Buendía (2004) nos comenta que
67
UNA SECUENCIA DE MODELACIÓN PARA LA INTRODUCCIÓN SIGNIFICATIVA DE LA FUNCIÓN CUADRÁTICA
resignificación no es establecer un significado nuevo en un contexto, para luego buscar
otro que resignifique lo ya significado; más bien es la construcción del conocimiento
mismo en la organización del grupo humano, y regulado por aspectos institucionales, y
culturales.
La modelación como práctica desde el enfoque socioepistemológico nos permite que los
estudiantes resignifiquen conceptos matemáticos de una manera diferente a la
tradicional. Esto lo podemos observar en la investigación de Córdoba (2011) quién nos
muestra la práctica de modelación en una perspectiva socioepistemológica, tratando el
fenómeno de enfriamiento de Newton, usando la ecuación diferencial de primer orden
como conocimiento matemático aplicado a estudiantes de nivel ingenieril. Él analiza
las diferentes interacciones de los estudiantes para obtener una resignificación del
conocimiento matemático tratado, ecuaciones diferenciales lineales. Las respuestas
dadas por los estudiantes llevaron a la conclusión de que se puede comprender un
conocimiento matemático de forma diferente a la tradicional como es conceptos
matemáticos sueltos fuera de contexto, sino más bien encadenados y estructurados
donde las prácticas de modelación favorecen la resignificación de estos conceptos.
Al tratar la socioepistemología como una visión teórica de la modelación, intervienen
cuatro dimensiones, y entre ellas la sociocultural que muestra cómo se desarrollan en
nuestro entorno las prácticas que ayudan a formar y/o transformar el conocimiento.
Las prácticas sociales dentro de la socioepistemología son tan importantes que éstas le
dan el fundamento necesario para tratarlo como una teoría emergente. Cordero (2006)
nos comenta sobre algunas prácticas mencionando la graficación que me permite
ampliar el campo de acción de la problemática como también la visión y perspectiva de
la matemática educativa. La resignificación como significación continua, motivada por
68
UNA SECUENCIA DE MODELACIÓN PARA LA INTRODUCCIÓN SIGNIFICATIVA DE LA FUNCIÓN CUADRÁTICA
las prácticas donde el conocimiento como parte necesaria de la actividad por sí solo no
puede modificar el objeto, sino que requiere de la práctica para lograrlo. Menciona la
predicción también como práctica social y donde es el punto de apoyo para la
resignificación; es decir se pueden diseñar situaciones donde la predicción sea el
argumento para generar la resignificación.
Ferrari y Farfán (2008) nos comentan que las prácticas sociales son generadoras de
herramientas y representaciones sociales, que nos permiten generar conocimiento y
construirnos modificándolas y modificándonos. Para Arrieta (2003) en una práctica
social se comprende y transforma la naturaleza y es fuente que desarrolla procesos de
matematización, donde el estudiante construye argumentos, significados, herramientas y
nociones relacionadas con la matemática en la intervención con los fenómenos de la
naturaleza.
Hernández, Muñoz, y Buendía (2007) nos dicen que prácticas sociales como la
predicción y la interpolación en la modelación matemática de fenómenos, favorecen la
reconstrucción del cálculo escolar, donde la socioepistemología reconoce las prácticas
sociales como actividad humana y generadoras de conocimiento matemático.
Investigadores como Arrieta y Hernández (2005), Méndez (2006 y 2008) y Suárez
(2008), entre otros consideran la modelación como una práctica social y se ha
demostrado que al interactuar en diseños de situaciones problema basados en
modelación, es bastante posible que se construya conocimiento matemático por los
individuos que participan en el desarrollo de estas situaciones. Nos comentan que a
través de la modelación surgen conocimientos matemáticos como herramientas de
intervención; por ejemplo, se ha dado evidencia que a través de actividades que hacen
69
UNA SECUENCIA DE MODELACIÓN PARA LA INTRODUCCIÓN SIGNIFICATIVA DE LA FUNCIÓN CUADRÁTICA
referencia a fenómenos físicos, los individuos construyen conocimiento usando
herramientas aplicando la modelación junto a la graficación.
En nuestra investigación se reconoce la modelación en un acercamiento
socioepistemológico, teniendo en cuenta el contexto en cual se desarrollan las diferentes
prácticas diseñadas. En las actividades desarrolladas interviene la naturaleza, la
experimentación, las diferentes relaciones, para resignificar, con el propósito de
elaborar procesos de conocimiento matemático en el aula referente a aspectos que
pueden variar en la función cuadrática. En muchas ocasiones se utiliza la modelación
para enseñar a modelar, para desarrollar teorías, o para realizar la medición de un objeto
matemático simplemente; en esta investigación se desarrollan situaciones didácticas
teniendo en cuenta la epistemología de lo cuadrático, la parte cognitiva, la didáctica y el
contexto social en el cual se desarrollan las actividades propuestas a través de la
argumentación e interacción de los estudiantes. Todo esto utilizando la modelación
como práctica, para así obtener un conocimiento significativo por parte de los
estudiantes en el concepto tratado.
Se puede comentar que la práctica de modelación es el proceso de matematización en el
aula, que lleva a que los fenómenos de la naturaleza (conocimiento científico)
interactúen con el conocimiento escolar (modelos matemáticos). En conclusión en
nuestra investigación la modelación no es solo una aplicación matemática sino algo más
sólido como una práctica, donde se argumente la situación tratada en nuestro caso la
introducción de la función cuadrática. Es así que podemos decir que a través de los
aspectos variacionales (el tiempo como variable independiente, el uso de puntos clave
en la gráfica, el uso de intervalos en la gráfica y sucesiones numéricas en tablas) se
manifiestan argumentos que se van construyendo a medida que el estudiante realiza
70
UNA SECUENCIA DE MODELACIÓN PARA LA INTRODUCCIÓN SIGNIFICATIVA DE LA FUNCIÓN CUADRÁTICA
acciones, con las condiciones que ellos capturan y transforman y los conceptos que van
construyendo de manera progresiva.
Dentro del concepto tratado, la función cuadrática, en nuestra investigación aparecen los
aspectos variacionales, donde esos aspectos contribuirán a que se logre la
resignificación del concepto. En el capítulo 1, en aspectos variacionales de la función
cuadrática propusimos cuatro aspectos sobre los cuales se establecieron las secuencias a
aplicar a los estudiantes. Cada uno de estos aspectos tienen relación con la práctica de
modelación: el tiempo tomado como variable independiente, el análisis de los
intervalos teniendo la gráfica como soporte, los puntos clave que se toman en una
gráfica para poder dar respuesta a las preguntas propuestas y el uso de las tablas donde
los valores numéricos pueden establecer relaciones entre las magnitudes.
Entonces resignificar la función cuadrática en esta investigación es tomar todas aquellas
interacciones, proposiciones, determinaciones y relaciones dadas por los estudiantes
referentes al tiempo como variable independiente, el uso de las gráficas en los puntos
clave e intervalos y el uso de tablas.
Estos aspectos variacionales se tratan de evidenciar en cada una de las secuencias y en
las preguntas diseñadas para la investigación. Tomar el compendio de aspectos
variacionales permitirá, junto a la práctica de modelación y usando la metodología
adecuada resignificar la función en general que me llevará a una introducción
significativa de la función cuadrática.
71
UNA SECUENCIA DE MODELACIÓN PARA LA INTRODUCCIÓN SIGNIFICATIVA DE LA FUNCIÓN CUADRÁTICA
CAPÍTULO 4
EXPERIMENTOS DE DISEÑO
En nuestra investigación se tendrán en cuenta los estudios realizados sobre
experimentos de diseño donde se dan pautas para conocer qué sucede en el aula. El
deseo de los profesores e investigadores ha conducido a buscar metodologías que sean
sensibles a la complejidad de los contextos del proceso enseñanza aprendizaje,
permitiendo entender la relevancia de las investigaciones en la práctica.
En este capítulo comenzaremos hablando de la metodología de los experimentos de
diseño, donde comentaremos también lo relevante de nuestra investigación junto con el
cuestionario diagnóstico como punto de partida de las secuencias. En nuestro trabajo se
propuso una serie de acciones y actividades necesarias para la consecución de los
objetivos de la investigación. Seguidamente se presentan los diseños de las secuencias
donde se hará un análisis a priori de estas actividades. A continuación se hablará de
cómo se planearon la puesta en escena de cada una de las secuencias. Después se
presentará la dinámica que se vivió en el desarrollo de cada actividad programada.
4.1 Descripción metodológica de los experimentos de diseño
Esta clase de metodología se basa en los aportes dados por Cobb et al. (2003) y otros
autores que han publicado artículos relacionados con la metodología.
72
UNA SECUENCIA DE MODELACIÓN PARA LA INTRODUCCIÓN SIGNIFICATIVA DE LA FUNCIÓN CUADRÁTICA
Cuando se habla de investigación de diseño se puede relacionar con una metodología
cualitativa desarrollada dentro de las ciencias de aprendizaje (learning sciences) la cual
se nutre de un amplio campo multidisciplinar que incluye la antropología, la psicología,
la sociología, la neurociencia y otras didácticas (Confrey, 2006). El objetivo principal es
el de analizar el aprendizaje en contexto, mediante el diseño y estudio sistemático de
formas particulares de aprendizaje, de estrategias y herramientas de enseñanza de una
forma sensible a la naturaleza sistémica del aprendizaje, la enseñanza y evaluación. El
ambiente en que se desarrolla el aprendizaje y la actividad en la que participan los
estudiantes e investigadores ha hecho que surjan la necesidad de desarrollar
herramientas tecnológicas, currículum y teorías que ayuden a comprender y predecir
sistemáticamente cómo ocurre el aprendizaje. La investigación de diseño surge en este
contexto ante la necesidad de metodologías que permitan obtener argumentaciones
basadas en la evidencia de contextos naturales, de abordar cuestiones teóricas sobre la
naturaleza del aprendizaje en un determinado contexto y de producir resultados de
investigación a partir de la evaluación formativa.
Confrey (2006) nos comenta que referente a las investigaciones de diseño lo que se
quiere es documentar qué recursos y conocimientos previos ponen en juego los
estudiantes en las tareas, cómo interaccionan los alumnos y profesores, cómo son
creadas las anotaciones y registros, cómo brotan y evolucionan las nociones, qué
recursos se usan, y cómo es llevada a cabo la enseñanza a lo largo del curso de la
instrucción; todo ello mediante el trabajo de los estudiantes, grabaciones de vídeos y
audios recopilados durante el desarrollo de las actividades.
73
UNA SECUENCIA DE MODELACIÓN PARA LA INTRODUCCIÓN SIGNIFICATIVA DE LA FUNCIÓN CUADRÁTICA
No se quiere solamente crear diseños efectivos para algún aprendizaje, sino que además
expliquen por qué el diseño instruccional propuesto funciona y sugerir formas con las
cuales puede ser adaptado a nuevas circunstancias.
Las características de los experimentos de diseño es que son complejos, multivariables,
multiniveles, intervencionistas, iterativos, orientados por la teoría y hacia la práctica y
generadores de modelos teóricos. Ocurren en contextos de la vida real donde
habitualmente se produce algún tipo de aprendizaje. Por lo consiguiente, las situaciones
que se pueden relacionar son variadas: un equipo de investigadores trabajando con un
pequeño grupo de alumnos; un grupo de investigadores trabajando en un aula en
colaboración con un profesor; un grupo de investigadores y formadores de profesores y
maestros en activo promoviendo conjuntamente el desarrollo de una comunidad
profesional.
La mayoría de los experimentos de diseño de aula se conceptualizan como casos del
proceso de apoyo a los grupos de aprendizaje de los estudiantes en un dominio de
contenido particular. La intención teórica, por lo tanto, es la de identificar y explicar los
patrones sucesivos de pensamiento del estudiante al relacionar estos patrones a los
medios por los cuales se desarrolló. Pero los experimentos de diseño en el aula pueden
ir dirigidos a diferentes zonas: una podría centrarse en relación a las normas del aula o
normas para la argumentación matemática o científica y el aprendizaje de los
estudiantes. Otra podría enfatizar la diversidad en que la experiencia previa de los
estudiantes puede ser aprovechada como recurso para garantizar que todos los
estudiantes pueden tener acceso a las ideas disciplinarias significativas.
Como parte de la preparación de un experimento de diseño del aula, el equipo de
investigación también especifica sus suposiciones acerca de los puntos de partida
74
UNA SECUENCIA DE MODELACIÓN PARA LA INTRODUCCIÓN SIGNIFICATIVA DE LA FUNCIÓN CUADRÁTICA
intelectual y social de las formas previstas de aprendizaje. Para conseguir el programa
de instrucción, el equipo identifica las capacidades actuales de los estudiantes, las
prácticas actuales y otros medios que podría ser capaz de construir. En los zonas
relativamente bien investigadas se puede acudir a la literatura para desarrollar
conjeturas sobre interpretaciones y declaraciones iniciales de los estudiantes. Sin
embargo, en las zonas menos investigadas, el equipo de investigación necesita llevar a
cabo un trabajo piloto para documentar estos conocimientos y, por tanto, las
consecuencias de historias educativas previas de los estudiantes. Además es muy
importante que los investigadores comuniquen en su mayoría lo que se está logrando en
la investigación. Esto implica que se generen datos que apoyen el análisis sistemático
del fenómeno que se investiga. Para poder lograr estos datos se necesita la recopilación
y coordinación de una gama de fuentes de datos donde deben aparecer los productos del
aprendizaje (el trabajo de los estudiantes), el discurso en el aula, la postura corporal y
los gestos, las tareas y estructuras de la actividad, los patrones de interacción social,
inscripciones, anotaciones y otras herramientas, las respuestas a las entrevistas o
cuestionarios, pruebas u otras formas de evaluación. El apoyo tecnológico para la
generación de estos tipos de datos (por ejemplo, cámaras de video, sistemas de
grabación de audio sofisticados dispositivos electrónicos de almacenamiento en masa)
permite aunar esfuerzos, pero también impone sus propios desafíos (por ejemplo, el
desarrollo de herramientas y procedimientos para la gestión y el análisis de grandes
cantidades de datos).
Aparece un aparte muy interesante en este experimento de diseño y es el análisis
retrospectivo de los datos recogidos en la actividad de aula desarrollada. Mediante el
análisis de las grabaciones, audios o notas recogidas durante cada intervención, el
investigador-profesor puede reactivar sus recuerdos de las experiencias vividas en el
75
UNA SECUENCIA DE MODELACIÓN PARA LA INTRODUCCIÓN SIGNIFICATIVA DE LA FUNCIÓN CUADRÁTICA
aula pudiendo así recordar las interpretaciones espontáneas que fueron realizadas en el
momento de la intervención, como respuesta a las acciones de los estudiantes. Además
esta retrospectiva permite recordar u observar las interacciones de las actividades de los
estudiantes que de pronto no fueron detalladas en el desarrollo de la investigación.
Los experimentos de diseño no solamente persiguen crear diseños prácticos, sino
también explicar por qué el diseño propuesto funciona y así poder sugerir cómo
adaptarlos a nuevas situaciones. Se incluye y refleja un compromiso para entender las
relaciones existentes entre teoría educativa, práctica e instrumentos (ya sean recursos
didácticos o herramientas conceptuales). Esto es posible porque, al mismo tiempo que
se estudia el proceso de aprendizaje, también se analizan los modos mediante los
cuales éste se sustenta y se organiza.
En nuestra investigación los experimentos de diseño no solamente forman parte del
conocimiento de una metodología, sino que además servirán para ponerlos en práctica
en el desarrollo y análisis de la investigación. Los experimentos de diseño aportarán al
trabajo aquellas acciones que en la recopilación de datos pasan inadvertidas y las cuales
aportan para la complementación de la investigación.
La observación directa, la escucha de los diálogos, reconocer las acciones que los
estudiantes realizan en el desarrollo de la actividad, las interacciones entre pares, los
gestos, el uso de los recursos son algunos parámetros que se tendrán en cuenta para el
avance de la investigación.
76
UNA SECUENCIA DE MODELACIÓN PARA LA INTRODUCCIÓN SIGNIFICATIVA DE LA FUNCIÓN CUADRÁTICA
4.2 Importancia de la investigación
Dentro de la matemática educativa el campo de estudio de la función cuadrática tiene un
nivel de acogida bastante grande, mirada desde diferentes aspectos de investigación. Se
reconocen una gran variedad de investigaciones en didáctica de la función cuadrática
teniendo como herramienta la práctica de modelación como se menciona en este trabajo
a lo largo de cada uno de los capítulos expuestos. Pero esto no es impedimento para
seguir buscando alternativas de enseñanza de la función cuadrática en otros aspectos.
Lo interesante de nuestra propuesta es que se centra en estudiantes de inicio del
bachillerato entre 12 y 13 años, donde el conocimiento sobre función cuadrática hasta
ahora comienza a dar sus primeros pasos y están en tránsito hacia el precálculo. La tesis
está fortalecida hacia la propuesta de una didáctica realizable en el aula de clase lo cual
se reporta en el diseño de las secuencias y en el análisis de éstas. Se usan grupos
experimentales en el aula tanto en la prueba diagnóstica como en las dos secuencias.
El tomar como parte metodológica los experimentos de diseño hace que nuestra
propuesta se encamine en analizar aspectos de una manera diferente en el aula de clase.
Los experimentos de diseño, no son tareas de clase sino que están dentro de un diseño
pedagógico mirado hacia el aula de una manera inteligente y propositiva a partir de
resultados de la investigación, permitiendo además desarrollar teoría. Referente a lo
teórico es determinar cómo los aspectos variacionales pueden vivir en el aula de clase
con los estudiantes. Se propone una malla de análisis para observar a través de sus
componentes cómo está explicitada la función en general y cómo se introduce la
función cuadrática mirada desde los aspectos variacionales tomando la modelación
como práctica para el desarrollo de las secuencias.
77
UNA SECUENCIA DE MODELACIÓN PARA LA INTRODUCCIÓN SIGNIFICATIVA DE LA FUNCIÓN CUADRÁTICA
No es solo ver que la modelación funciona con las secuencias, tampoco es solo ver que
a los estudiantes les gustó la función cuadrática y que a través de fenómenos físicos
pudieron reconocerla, sino que además se desarrolla teoría en el sentido de que la teoría
se puede ver en forma concreta y precisa en el aula.
Más allá de crear diseños efectivos para algún aprendizaje, se persigue explicar por qué
el diseño instruccional propuesto funciona y sugerir formas con las cuales puede ser
adaptado a nuevas circunstancias. Se incluye y refleja un compromiso para entender las
relaciones existentes entre teoría educativa, práctica e instrumentos (ya sean recursos
didácticos o herramientas conceptuales). Esto es posible porque, al mismo tiempo que
se estudia el proceso de aprendizaje, se analizan los modos mediante los cuales éste se
sustenta y se organiza (Cobb et al. 2003).
La meta teórica de los experimentos de diseño es la de desarrollar un marco
interpretativo que explique las relaciones entre las prácticas del profesor y el escenario
institucional en el cual se trabaja. Por ejemplo se puede analizar patrones en el
pensamiento del estudiante, las relaciones entre las normas del aula es decir relaciones
entre el profesor con los líderes, profesor con los demás y líderes con los demás.
También las relaciones de los estudiantes con el saber y con el fenómeno de
movimiento tanto el de ida y regreso como el de lanzamiento vertical. El realizar una
experiencia previa como el cuestionario diagnóstico puede capitalizarse como recurso y
con esta información la encaminamos hacia lo que puede suceder, teniendo en cuenta la
experiencia del investigador. Para Cobb et al. (2003) los trabajos previos son necesarios
para documentar los conocimientos.
Los experimentos de diseño nos dan el punto de unión entre la teoría-estudiante-
prácticas- y profesor; nos permitirán obtener argumentaciones basadas en la evidencia
78
UNA SECUENCIA DE MODELACIÓN PARA LA INTRODUCCIÓN SIGNIFICATIVA DE LA FUNCIÓN CUADRÁTICA
procedente de contextos naturales, de abordar cuestiones teóricas sobre la naturaleza del
aprendizaje en contexto y de producir resultados a partir de evaluación formativa.
También nos aclara que a partir de fuente de datos como el trabajo de los estudiantes,
sus interacciones, sus posturas corporales, sus gestos, la interacción entre estudiantes,
las respuestas a las preguntas, se puede obtener información relevante para la
investigación. Otro aspecto interesante es que me permite el uso de recursos variados
(videos, audios, los trabajos escritos) para el análisis de la actividad propuesta. El papel
de investigador-profesor es crucial ya que puede tomar decisiones en los experimentos
formulados. Por último permite proponer secuencias donde interviene la práctica de
modelación para la función cuadrática teniendo en cuenta sus aspectos variacionales.
En nuestra investigación se mostrarán secuencias aplicables a estudiantes de cualquier
nivel del bachillerato que adaptadas también pueden llevarse a nivel universitario.
Nuestro trabajo está enmarcado en la socioepistemología y no solo se ciñe en el
concepto tratado de la función cuadrática o en las mismas personas, sino más bien en
cómo los estudiantes usan el conocimiento, cómo significan la función cuadrática a
través de tomar intencionalmente aspectos variacionales, qué razonamientos se asocian
y qué clase de significados se comparten.
Cuando se habla en la investigación de introducción de la función cuadrática, se
reconoce que se quiere dar al estudiante un conjunto de significados que provienen de
haber puesto intencionalmente una actividad de modelación y dejar que los
conocimientos matemáticos se transformen en herramientas y argumentos para el
estudiante. Argumentos como el de un comportamiento curvo es el que conforma los
significados para la función cuadrática rompiendo lo lineal y que me abre el horizonte
no solo para lo cuadrático sino para otros comportamientos.
79
UNA SECUENCIA DE MODELACIÓN PARA LA INTRODUCCIÓN SIGNIFICATIVA DE LA FUNCIÓN CUADRÁTICA
Examinando que la investigación trata como primera medida que el estudiante genere
una base de significados, donde se empiece a romper con lo lineal y es por eso que se
quiere favorecer una base de elementos (aspectos variacionales). Es aquí donde
podemos hablar de introducción no como una introducción escolar, sino una que
favorezca la socioepistemología es decir que muestre significados articulados.
4.3 Cuestionario diagnóstico
Con este cuestionario se quiere indagar qué conocimiento posee el estudiante referente a
trayectorias, gráficas, relación distancia-tiempo y tratamiento de situaciones que reflejan
la modelación como práctica. Además analizar cuáles podrían ser las respuestas ante las
situaciones y preguntas propuestas. Cobb et al. (2003) propone que en las zonas menos
investigadas, el equipo de investigación necesita llevar a cabo un trabajo piloto para documentar
estos conocimientos.
El cuestionario consta de cinco preguntas y es aplicado a estudiantes de séptimo entre
los 11 y 12 años de edad, correspondiente a un grado menor al que se aplica las
secuencias 1 y 2 que se mostrarán más adelante. La población escogida pertenece a la
misma institución y a la misma sede. La prueba diagnóstica que aquí mostraremos es
aplicada como se mencionó anteriormente a estudiantes de un grado inferior a los que se
aplica la secuencia y que por ir en proyección se supone que tiene un menor
conocimiento sobre los aspectos matemáticos tratados. Como se desarrolla un mismo
sistema curricular aprobado por la institución, se sigue una secuencia progresiva de los
conocimientos matemáticos, en ambos grados se usa el mismo sistema de discurso
escolar, el sistema de evaluación es consensuado siguiendo el sistema de evaluación
80
UNA SECUENCIA DE MODELACIÓN PARA LA INTRODUCCIÓN SIGNIFICATIVA DE LA FUNCIÓN CUADRÁTICA
establecido en la institución. Por estos criterios la información que pueden proporcionar
los estudiantes a los cuales se les aplica el cuestionario, sirven para tenerlos en cuenta
referidos a los estudiantes a los que se les aplica las secuencias. Cobb et al. (2003) nos
comentan que los medios para apoyar a los estudiantes son interpretados en términos
generales de acuerdo a la complejidad del proceso enseñanza-aprendizaje. Esto implica
que el grupo de investigación debe generar múltiples formas de datos para documentar
adecuadamente el aprendizaje. Si en el aprendizaje nos centramos en el aula de clase es
importante hacer hincapié en que el enfoque y la forma de documentación varían de
acuerdo con el marco institucional.
Las preguntas diseñadas para el cuestionario diagnóstico son las siguientes:
1. De acuerdo a sus conocimientos dibuje una gráfica cualquiera.
2. ¿Qué entiende por una gráfica lineal? Esbócela
3. Un automóvil se mueve en línea recta una distancia de 200m.Dibuje esta
trayectoria
4. El mismo auto después debe subir una montaña de 250m y 250 m de bajada.
Dibuja esta trayectoria.
5. La gráfica siguiente describe el movimiento de una oruga tomando en cuenta el
tiempo y la distancia. Si a usted le muestran la siguiente gráfica y le piden que
debe describir con palabras dicho movimiento a sus compañeros que no han
visto la gráfica, ¿qué les dirías?
81
UNA SECUENCIA DE MODELACIÓN PARA LA INTRODUCCIÓN SIGNIFICATIVA DE LA FUNCIÓN CUADRÁTICA
Mirando lo que nosotros como investigadores esperamos de este cuestionario, podemos
reconocer en las preguntas algunos parámetros importantes y a continuación los
daremos a conocer. Cobb et al. (2003) nos dicen que en la prueba diagnóstica, el equipo
también puede desarrollar nuevos métodos para evaluar aspectos del razonamiento del
estudiante que necesitan ser documentados, dados los efectos del experimento.
PREGUNTA 1
Esta pregunta se realiza para identificar el nivel de conocimiento que el estudiante posee
sobre gráficas. Además poder establecer si reconocen la diferencia entre una gráfica y
una figura cualquiera. Determinar si usa al realizar la gráfica puntos claves y de qué
forma los utiliza.
PREGUNTA 2
Con esta pregunta se quiere que el estudiante determine algunas formas geométricas de
las gráficas en este caso la lineal. Él reconocerá un punto de partida y un punto final,
82
UNA SECUENCIA DE MODELACIÓN PARA LA INTRODUCCIÓN SIGNIFICATIVA DE LA FUNCIÓN CUADRÁTICA
estableciendo puntos clave para darle forma. También que relacione o establezca parejas
ordenadas.
PREGUNTA 3
Cuando se le dice al estudiante que dibuje una trayectoria se espera que realice un trazo
de línea sin interesar la inclinación que se le dé. Nuevamente se espera que en esta
trayectoria establezca un punto de inicio y un punto final para realizarla.
PREGUNTA 4
La pregunta se propone para que el estudiante establezca que el movimiento del auto
depende de la forma del trayecto. En el establecerá puntos clave como partida, llegada y
punto de cambio de dirección.
PREGUNTA 5
Se espera con esta pregunta que el estudiante pueda establecer una relación entre
lenguaje visual-gráfico y un lenguaje verbal. Para poder realizar la anterior acción debe
de identificar puntos claves de la gráfica partida y llegada, relación entre las variables
propuestas en la gráfica y realizar representaciones en tiempo real.
4.3.1 Planeación cuestionario diagnóstico
El cuestionario diagnóstico se concibió con el fin de aplicárselo a estudiantes de un
nivel inferior al que se aplica las secuencias y el propósito de esta prueba es la de
conocer aquello que los estudiantes saben sobre trayectoria, gráficas, relación distancia-
tiempo. Cada una de las preguntas se diseñaron dirigidas a estudiantes de entre 11 y 12
años con un lenguaje verbal y matemático acorde a esta edad.
83
UNA SECUENCIA DE MODELACIÓN PARA LA INTRODUCCIÓN SIGNIFICATIVA DE LA FUNCIÓN CUADRÁTICA
El cuestionario se diseña pensando en averiguar cuál sería la reacción del estudiante
ante situaciones que de pronto en ninguna ocasión se les había mencionado y cómo
llegarían a la respuesta. Se realiza a la par con las secuencias teniendo en cuenta algunos
criterios como la edad y algunos conocimientos previos que pueden tener.
Los estudiantes se escogieron al azar de dos grupos conformados por 35 estudiantes
cada uno y pertenecientes al Instituto Integrado San Bernardo de la ciudad de
Floridablanca-Colombia.
En esta situación no se tuvieron en cuenta grabación de audio ni vídeo, solamente nos
interesa los comentarios y lo que ellos plasmen cada uno en sus respuestas. Se
desarrolló en el aula de clase en horas normales y en presencia de todos los demás
compañeros, los cuales realizaban otra actividad.
En la planeación del cuestionario aparecen más preguntas pero a medida que nos
concentramos en el objetivo de la investigación se reduce el cuestionario hasta quedar el
que se presenta a los estudiantes. En esta planeación se tiene en cuenta que son
estudiantes que de una u otra forma están en constante interacción con el medio y que
en este sentido también pueden desarrollar actividades que hacen relación a la
modelación.
4.3.2 Metodología Prueba diagnóstica
La prueba diagnóstica se aplicó a estudiantes del mismo instituto, pero de un grado
inferior como se mencionó anteriormente. Fue tomada por 27 estudiantes, los cuales
resolvieron y dieron su opinión sobre cada una de las preguntas propuestas de una
manera individual. Se les menciona que la prueba no es de carácter obligatorio y no
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UNA SECUENCIA DE MODELACIÓN PARA LA INTRODUCCIÓN SIGNIFICATIVA DE LA FUNCIÓN CUADRÁTICA
tiene una nota específica en el área. Al no tener ninguna presión de grabar audio ni
video me parece que la respondieron en un tiempo prudente de aproximadamente una
hora. Usaron reglas, lápices y lapiceros sin ningún inconveniente. Los interrogantes
presentados por los estudiantes fueron pocos, pero la pregunta que les causó más
inconveniente fue la referente a la oruga (pregunta 5) donde debían a través de palabras
comunicar una situación problema.
Entre los interrogantes que se hacían los estudiantes ante la pregunta 5 de la prueba era
que si se debían utilizar números para indicar a los otros lo que sucedía. Otros se
preguntaban que si podía hacerse como si fuera un problema (tipo de problema
matemático que comúnmente se les sugiere a los estudiantes que desarrollen). Referente
a las demás preguntas propuestas en la prueba no se presentó ningún inconveniente o
interpelación, lo cual se supuso que habían comprendido que hacer en cada una de
ellas.
Al observar el desarrollo del cuestionario se pudo detallar que los estudiantes de
acuerdo a sus conocimientos matemáticos sobre trayectoria y gráficas responden las
preguntas relacionadas. Los estudiantes estuvieron muy concentrados en dar respuesta a
las preguntas sin ningún llamado de atención por desorden o falta de interés en éstas.
Usaron artefactos para la construcción de las gráficas como reglas o escuadras.
4.3.3 Análisis del cuestionario diagnóstico
En este análisis mostraremos aquellas respuestas relevantes que dieron los estudiantes a
las cuales se les aplicó el cuestionario diagnóstico.
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UNA SECUENCIA DE MODELACIÓN PARA LA INTRODUCCIÓN SIGNIFICATIVA DE LA FUNCIÓN CUADRÁTICA
PREGUNTA 1
Los estudiantes demostraron a través de esta pregunta que tienen conocimiento aunque
no profundo sobre lo que es una gráfica, manifestando características importantes de
ella. Todos establecen ejes horizontal y vertical y en ellos proponen valores numéricos.
También en aquellas gráficas donde trazan una línea o una curva establecen parejas
ordenadas como puntos guía para realizar las uniones de puntos. Otros estudiantes
realizan diagramas de barras (en algunos momentos son tomadas como gráficas en el
discurso escolar) indicando también valores numéricos en sus ejes. Unos pocos
establecen en los ejes magnitudes.
Figura 2. Representación de gráficas
PREGUNTA 2
En esta pregunta los estudiantes en su mayoría esbozan una gráfica lineal, con valores
numéricos en los ejes. Algunos expresan verbalmente lo que es una gráfica lineal. La
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UNA SECUENCIA DE MODELACIÓN PARA LA INTRODUCCIÓN SIGNIFICATIVA DE LA FUNCIÓN CUADRÁTICA
mayoría establece parejas ordenadas para realizar la gráfica teniendo puntos clave. Uno
de los estudiantes explica lo que es una gráfica pero no la esboza y otro no tiene
conocimiento sobre lo que es una gráfica lineal.
Que es una grafica que al tener ya todos los resultados forme una línea recta
Figura 3. Esbozo de una gráfica lineal
PREGUNTA 3
Al resolver esta pregunta la mayoría de estudiantes establecen la trayectoria a través de
una línea recta horizontal mostrando un punto de partida y un punto de llegada. Algunos
estudiantes realizan divisiones numéricas en todo el trayecto. Muchos de ellos en el
trayecto pintan el auto. Dos estudiantes dibujan la trayectoria como si esta fuera una
gráfica estableciendo ejes y valores en ellos; podemos creer que la pregunta genera un
obstáculo, debido a que los estudiantes por cuestiones institucionalizadas toman una
trayectoria como un comportamiento rectilíneo. Otro estudiante realiza la trayectoria en
línea recta pero colocando una inclinación o pendiente.
87
UNA SECUENCIA DE MODELACIÓN PARA LA INTRODUCCIÓN SIGNIFICATIVA DE LA FUNCIÓN CUADRÁTICA
Figura 4. Trayectoria de un auto en línea recta
PREGUNTA 4
Para responder a esta pregunta los estudiantes en su mayoría reconocen lo que es una
trayectoria que transcurre en forma curva y pintan una montaña con 250 m de subida y
250 m de bajada. Muchos de ellos pintan también en la montaña un auto y puntos de
partida, llegada y el punto en el cual el auto comienza a bajar. También en los dibujos
mostrados por estos estudiantes marcan el valor numérico de subida como el de bajada.
Dos de los estudiantes realizan un bosquejo pero usando ejes y parejas ordenadas; es
aquí donde podemos expresar que aparece un obstáculo, el de reconocer una trayectoria
curva como un comportamiento rectilíneo. Otro pinta una especie de triángulo
rectángulo para indicar el movimiento del auto y podemos determinar que los
estudiantes relacionan cualquier movimiento con líneas rectas. Establecen puntos de
apoyo para realizar o mostrar la respuesta.
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UNA SECUENCIA DE MODELACIÓN PARA LA INTRODUCCIÓN SIGNIFICATIVA DE LA FUNCIÓN CUADRÁTICA
Figura 5. Trayectoria de un auto en una montaña
PREGUNTA 5
En esta pregunta loa estudiantes encuentran gran dificultad en dar la respuesta. La
mayoría no tiene la fluidez verbal y el conocimiento para transformar un lenguaje
gráfico en un lenguaje verbal. Algunos optaron por escribir simplemente lo que se les
venía a la cabeza. Otros escribieron que la oruga partía de un metro de distancia y
llegaba hasta una distancia de 6 m en 10 horas. Algunos pocos escribieron que la oruga
recorría 1m cada 2 horas, dando una interpretación más acorde a lo observado. Otros
estudiantes mencionan que deben hacer una gráfica y dibujar una línea recta con
magnitudes de distancia y tiempo sin mencionar los puntos de partida ni de llegada. Sin
embargo unos pocos en su lenguaje tratan de proponer una especie de problema
recordando el discurso escolar sobre el cual han desarrollado conocimiento. Aunque
pocos comprenden la situación, sí la reportan de una manera aceptable en su escrito. Sin
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UNA SECUENCIA DE MODELACIÓN PARA LA INTRODUCCIÓN SIGNIFICATIVA DE LA FUNCIÓN CUADRÁTICA
intención unas copias dadas a los estudiantes no mostraban claramente los puntos de
unión del plano cartesiano que sí tenían la mayoría; esto parece que dificultó para que
relacionaran claramente la distancia con el tiempo y dieran respuestas coherentes y
acordes a la gráfica. Lo anterior nos muestra cómo la institucionalización de parejas
ordenadas en una gráfica, ayuda a encontrar resultados o puede ser un obstáculo el dar
siempre esta clase de guías para crear significados.
Una oruga se mueve en una distancia de 6 metros en un tiempo de 10 horas o sea en cada hora recorre 0,6m. la
grafica verticalmente tiene una distancia en mt y horizontalmente tiene un tiempo en horas determinado de 10.
Realice la grafica de acuerdo con los datos.
90
UNA SECUENCIA DE MODELACIÓN PARA LA INTRODUCCIÓN SIGNIFICATIVA DE LA FUNCIÓN CUADRÁTICA
En la distancia de metros la oruga recorre 10 horas. En 1 metro la oruga recorre 1 hora. En 2 metros la oruga
recorre 2 horas, en 2,5 metros la oruga recorre 3 horas, en 3 metros la oruga recorre 4 horas, en 3,5 la oruga
recorre 5 horas, en 4 metros la oruga recorre 6 horas, en 4,5 metros la oruga recorre 7 horas, en 5 metros la oruga
recorre 8 horas,, en 5,5 metros la oruga recorre 9 horas y en 6 metros la oruga recorre 10 horas.
Una oruga que en un metro de distancia se demora una hora y en cuatro metros se demora cuatro horas.
Cuantas horas se demoraran en recorrer 10 metros.
91
UNA SECUENCIA DE MODELACIÓN PARA LA INTRODUCCIÓN SIGNIFICATIVA DE LA FUNCIÓN CUADRÁTICA
El movimiento de la oruga el tiempo y distancia la oruga por 2 horas recorre una distancia de 1 metro.
Figura 6. Argumentos verbales para describir una gráfica
REFLEXIÓN
En esta prueba diagnóstica los resultados nos llevan a creer que los estudiantes a través
de situaciones cotidianas, con proposiciones claras, nos puede dar un indicio de que sí
se puede tener en cuenta la práctica de modelación en las diferentes actividades
programadas en matemática. Esta prueba me sirve de referente para la aplicación de las
secuencias y tener así un indicio del objetivo que se quiere obtener. Cuando se
establecen magnitudes en una gráfica, cuando establecen relaciones de dichas
magnitudes, cuando son capaces de diferenciar entre trayectoria y gráfica y cuando
transforma un lenguaje gráfico en verbal o viceversa se logra un conocimiento que guía
para la aplicación de las secuencias. También podemos analizar cuando se presentan
algunos obstáculos como el de relacionar movimientos con un comportamiento lineal
sin serlo o establecer que una trayectoria es lo mismo que una gráfica.
92
UNA SECUENCIA DE MODELACIÓN PARA LA INTRODUCCIÓN SIGNIFICATIVA DE LA FUNCIÓN CUADRÁTICA
4.4 Malla de análisis
Nuestra investigación se centra en los aspectos variacionales de la función cuadrática,
los cuales encierran una serie de elementos necesarios para tener en cuenta en el análisis
de las secuencias diseñadas para este propósito.
Los aspectos variacionales en el estudio de la introducción de la función cuadrática se
establecen como elementos que van a beneficiar el análisis en el desarrollo de la
investigación. Cada uno de estos aspectos y el conjunto de ellos encierran el objetivo de
la investigación, el de discutir el favorecimiento de los aspectos variacionales en los
fenómenos físicos presentados en las secuencias.
Los aspectos variacionales a reconocer en el análisis de investigación y que conforman
la llamada malla de análisis son los siguientes:
1. Tiempo como variable independiente
2. Uso de la gráfica: intervalos
3. Uso de la gráfica: puntos clave
4. Uso de tablas: secuencia numérica
En la investigación aunque los aspectos variacionales fueron diseñados a la luz de
referencias, lecturas y argumentaciones dadas por autores, el objetivo no es la de poner
en funcionamiento los aspectos variacionales que se señalan, sino analizar qué pasa con
cada uno de ellos en las secuencias propuestas.
Tiempo como variable independiente. Las dos secuencias propuestas tienen el tiempo
como variable. El tomar fenómenos físicos para el estudio de la variabilidad de la
función cuadrática, implica reconocer el tiempo como variable independiente donde se
93
UNA SECUENCIA DE MODELACIÓN PARA LA INTRODUCCIÓN SIGNIFICATIVA DE LA FUNCIÓN CUADRÁTICA
analiza la variación de otro componente como distancia o altura al poner un objeto
cualquiera en movimiento. El reconocer el tiempo como esa variable que transcurre sin
regresar, hace que en la propuesta se tenga en cuenta y forme parte del análisis a
realizar. En cada una de las preguntas siempre debe aparecer el tiempo como algo
tangible, aunque no se vea explícitamente y no esté escrito. Dolores, Alarcón y Albarrán
(2002) en su investigación comentan que las representaciones semióticas del
movimiento utilizadas con frecuencia en cinemática hacen visible las trayectorias y en
matemática escolar a las gráficas cartesianas. Reconocen el tiempo como variable en las
dos representaciones, pero las trayectorias son cercanas a lo que nosotros observamos,
mientras que las gráficas cartesianas están más alejadas de una percepción inmediata.
En otra investigación desarrollada por Díaz (2005) muestra el trabajo realizado a
estudiantes de décimo grado referente a las concepciones que tienen los estudiantes con
respecto al tiempo cuando se les da una actividad a desarrollar. La investigación de
Díaz recopila los textos de los estudiantes a través de bitácoras y el análisis lo realiza
identificando metáforas en los textos. A partir de los discursos de los estudiantes se
reconoce el tiempo como connatural donde tienen que ver con estados distintos de
acuerdo al paso del tiempo, donde hay un antes y un después de una misma cosa a la
que se le detectan estados diferentes y se describen dando cuenta del tipo de cambio
sucedido. En el análisis de las actividades se ve una concepción cotidiana en la que el
tiempo es la duración de las cosas sujetas a mudanza; pero a su vez es el tiempo que
dura algo o que transcurre entre el comienzo y el fin de un proceso. El reconocer la
representación matemática que concibe al tiempo como una distancia, compite a la hora
de graficarlos juntos.
94
UNA SECUENCIA DE MODELACIÓN PARA LA INTRODUCCIÓN SIGNIFICATIVA DE LA FUNCIÓN CUADRÁTICA
Uso de la gráfica: puntos clave. Cuando se dan una serie de datos ya sea tabulados o
que se toman directamente de la realidad y los cuales se quieren llevar a una gráfica,
generalmente se usan puntos que son fundamentales para la graficación. En nuestro caso
el tomar puntos clave del movimiento del auto de ida y regreso como el lanzamiento
vertical de la pelota, lleva al estudiante a identificar más claramente el movimiento del
objeto y así poder realizar o desarrollar las preguntas propuestas y llevar a que el
estudiante obtenga el conocimiento sobre los aspectos variacionales de la función
cuadrática. Los puntos clave en algunas gráficas me indican cambios de dirección o
sentido del movimiento, dando una mejor visión del movimiento en forma gráfica.
Buendía (2012) comenta que otra estrategia de resolución de las preguntas propuestas
cuando se usa la gráfica es la identificación de puntos clave o significativos, ya sea
numéricamente para utilizarlos en fórmulas o de forma gráfica, para hallar las
coordenadas de intersección.
Con los puntos clave tomados y llevados a una gráfica facilita la consecución de los
intervalos de tiempo o distancia, porque estos puntos clave permiten realizar
interpretaciones y cálculos de movimiento del objeto. Los puntos clave están ligados
con los intervalos, porque lleva de una concepción local a una global. De acuerdo al
reporte del diagnóstico podemos pensar que los estudiantes toman puntos clave en la
horizontal y los relacionan con otros puntos en la vertical, pero siempre estableciendo
proporciones numéricas y guiándose por el plano cartesiano para localizar puntos en
especial cuando el plano proporciona una cuadrícula.
Uso de la gráfica: intervalos. Con el reconocimiento del tiempo como variable
independiente, el uso que podemos darle a la gráfica para la interpretación del
95
UNA SECUENCIA DE MODELACIÓN PARA LA INTRODUCCIÓN SIGNIFICATIVA DE LA FUNCIÓN CUADRÁTICA
movimiento en el fenómeno de lanzamiento vertical y el de ida y vuelta del auto que se
proponen es bastante interesante porque a través de una gráfica podemos establecer
relaciones de una manera más coherente debido a la visualización del comportamiento
del fenómeno tratado. Además qué sucede cuando se toman intervalos de tiempo o
porciones del movimiento referente a la distancia o altura. Se puede detallar cuál es el
comportamiento del movimiento cuando se analiza cada uno de los intervalos
propuestos o cuando le piden hallar relaciones teniendo en cuenta un intervalo. La
gráfica me permite visualizar la manera que se realiza el movimiento referente a dos
magnitudes dadas y si una de ellas hace referencia al tiempo. Cuando se toman
intervalos en una gráfica se pueden analizar trozos de ésta es decir volver más pequeño
los trayectos, con el propósito de que el estudiante establezca las diferencias cuando se
tiene un porción grande de la gráfica referente a cuando es pequeña. Buendía (2012) en
su trabajo reconoce el uso de los intervalos en la gráfica como una estrategia de
resolución de la actividad propuesta, donde la acumulación de distancias de intervalos
da la proporción total. También podemos pensar que el estudiante para esbozar la
gráfica utiliza el plano cartesiano usando cuadrícula para establecer intersecciones entre
distancia-tiempo y de esta manera mostrarla. Cuando el estudiante utiliza los puntos de
la anterior manera, los convierte en puntos muy importantes para la graficación o
esbozo de una trayectoria.
Uso de tablas: secuencia numérica. Teniendo el tiempo como variable independiente
y la distancia o altura como variable dependiente, el uso de tablas para el manejo
ordenado de los datos es indispensable y necesario. Además algo muy importante es la
visualización que pueden dar las tablas, porque a partir de ellas se puede llegar a
determinar la proporcionalidad de los datos y en algunos casos el comportamiento del
movimiento. El tomar intervalos de tiempo iguales permite observar en las tablas si la
96
UNA SECUENCIA DE MODELACIÓN PARA LA INTRODUCCIÓN SIGNIFICATIVA DE LA FUNCIÓN CUADRÁTICA
distancia o altura aumenta o disminuye en el transcurrir del tiempo. Arrieta (2003) en su
trabajo de investigación llama la numerización de los fenómenos a aquellas prácticas de
modelación donde se parte de la recolección de datos numéricos de un fenómeno para
construir modelos numéricos. Estas prácticas se centran en el uso de modelos
numéricos. Según Arrieta cuando el estudiante interactúa con el fenómeno identifican
las variables que intervienen en él, organizando los datos obtenidos en una tabla
numérica.
Esta malla de elementos propuestos para el análisis de las secuencias, me permitirá
puntualizar e interactuar con estos elementos y encaminar la investigación hacia los
objetivos presentados.
4.5 Diseño de las secuencias
Las investigaciones realizadas al seno de Matemática Educativa poseen muchos matices
donde se tratan de buscar respuestas a situaciones que den explicación de cómo
aprenden los estudiantes, cómo enseñar un objeto de estudio, los procesos mentales que
suceden en los estudiantes al realizar el aprendizaje, entre otras.
Nuestra investigación fundamenta la atención en las prácticas que nosotros como
humanos realizamos en la escuela para el aprendizaje de la función, teniendo en cuenta
cuáles de esas prácticas nos llevan a la construcción significativa del conocimiento del
objeto de estudio en nuestro caso la función cuadrática.
En esta etapa se busca desarrollar en forma intencional la modelación en el aula de
clase a través de las secuencias que se proponen.
97
UNA SECUENCIA DE MODELACIÓN PARA LA INTRODUCCIÓN SIGNIFICATIVA DE LA FUNCIÓN CUADRÁTICA
Las secuencias diseñadas parten de fenómenos físicos extraídos de la observación
diaria donde sin tanto conocimiento de conceptos físicos el estudiante puede relacionar
y establecer procesos matemáticos para el aprendizaje referente a la introducción de la
función cuadrática. Cobb et al. (2003) nos dicen que los experimentos de diseño
ocurren en contextos de la vida real donde habitualmente se produce algún tipo de
aprendizaje.
Las secuencias son aplicadas a estudiantes del grado octavo3 del Instituto Integrado San
Bernardo Floridablanca (Colombia) siguiendo los lineamientos curriculares, y
estándares de matemática propuestos por el ministerio de educación nacional. Entre los
estándares se establece la aplicación de la modelación en el ambiente escolar para los
grados octavo y noveno en el pensamiento variacional, sistemas algebraicos, y
analíticos (MEN, 2006, p. 87).
El conocimiento que se tiene en este grado de función cuadrática es solamente
introductorio; se establecen relaciones entre gráfica-álgebra-tabulaciones, se toman
situaciones para explicar y se dan algunas aplicaciones al terminar la
conceptualización. El cuestionario diagnóstico refleja el nivel de profundidad propio de
estos estudiantes que tienen sobre función y función cuadrática y que se deben plasmar
en sus informes. Por tal motivo como se describió en los objetivos se piensa mostrar
cómo la modelación favorece la introducción a estudiantes de inicio del bachillerato el
concepto de función cuadrática. Las secuencias serán el medio por el cual se muestra
la intencionalidad de la modelación para que los estudiantes logren establecer
relaciones significativas entre gráfica-álgebra-tabulaciones, relaciones entre magnitudes
3 . Estudiantes comprendidos entre 12-13 años correspondientes a una grado intermedio del bachillerato.
98
UNA SECUENCIA DE MODELACIÓN PARA LA INTRODUCCIÓN SIGNIFICATIVA DE LA FUNCIÓN CUADRÁTICA
variables, relaciones entre diferentes contextos e integre el mundo real al ámbito
escolar.
Con el diseño de estas secuencias se quiere despertar el interés de cada uno de los
estudiantes llevándolos a que desarrollen las preguntas propuestas, estableciendo las
diferentes relaciones matemáticas para lograr lo requerido. Además de acuerdo al
ambiente que se propicie entre ellos usen el método colaborativo, realicen discusiones
entre grupos y propongan soluciones a cada actividad.
El diseño de las secuencias se fortalece en el ámbito de lo cotidiano es decir en aquello
que el estudiante puede observar y relacionar con el medio ambiente en el que vive. Por
esto se plantean dos secuencias relacionadas con el movimiento de ida y regreso de un
auto y el lanzamiento vertical de una pelota. Respecto a los objetivos propuestos para la
investigación dados en el capítulo 1, se necesita de algunos aspectos a tener en cuenta y
que con la implementación y diseño de estas secuencias se pueden obtener. Entre esos
aspectos mencionaremos el de observar los comportamientos de los estudiantes en el
desarrollo de cada una de las actividades, el cómo llega a la solución de la situación, que
herramientas utiliza, la interacción entre sus compañeros. Podemos agregar además los
siguientes aspectos: el observar y analizar cómo el estudiante usa y desarrolla los
aspectos variacionales de función cuadrática formulando conjeturas, realizando
predicciones, identificando variables, usando gráficas, realizando tablas y mirando la
proporcionalidad de los datos y estableciendo relaciones entre tabulaciones-gráficas; el
relacionar cómo aprende el estudiante, qué herramientas y mecanismos usa para lograr
el objetivo a través de secuencias prácticas aplicadas a cada uno de ellos; cómo puede
el individuo relacionar el concepto de función cuadrática con la realidad, cómo
contextualiza, qué medios utilizan para relacionarlo con el entorno. Todo lo anterior
99
UNA SECUENCIA DE MODELACIÓN PARA LA INTRODUCCIÓN SIGNIFICATIVA DE LA FUNCIÓN CUADRÁTICA
reunido brinda los elementos necesarios para el fortalecimiento de nuestra
investigación.
Los fenómenos que se ponen en escena en la investigación son idealizados. Una de las
fuerzas de la tesis es que el profesor investigador está analizando su actividad en el aula,
se idean las secuencias no se toman ya hechas, no son secuencia producto de la
investigación, son del quehacer diario del profesor. Las secuencias se fueron
modificando de acuerdo al quehacer en el aula del profesor más que a la investigación
misma.
Cuando se diseñan las dos secuencias el investigador se encamina hacia la búsqueda de
alternativas para el proceso enseñanza aprendizaje de la introducción significativa de la
función cuadrática enfocándose en todos aquellos argumentos y formas que el
estudiante usa para poder desarrollar su trabajo.
Cobb et al. (2003) nos comentan que la mayoría de los experimentos de diseño de aula
se conceptualizan como casos del proceso de apoyo a los grupos de aprendizaje de los
estudiantes en un dominio de contenido particular. La intención teórica, por lo tanto es
identificar y explicar un pensamiento variacional en el estudiante al relacionar estos
patrones con los medios por los cuales se desarrolla. Sin embargo, los experimentos de
diseño en el aula pueden fijar su atención en diferentes zonas de estudio. Entre las zonas
se puede mencionar la que trata la relación entre normas del aula o normas para la
argumentación matemática o científica, y el aprendizaje de los estudiantes. Otro estudio
podría enfatizar las formas en que la diversidad de las experiencias previas de los
estudiantes puede ser aprovechada como recurso.
Para el desarrollo de nuestra investigación nos centraremos en la zona que trata sobre
las normas en el aula.
100
UNA SECUENCIA DE MODELACIÓN PARA LA INTRODUCCIÓN SIGNIFICATIVA DE LA FUNCIÓN CUADRÁTICA
4.5.1 Secuencia 1
En esta secuencia la actividad se basa en el estudio del desplazamiento que sufre un
automóvil de un punto determinado al otro. Este tipo de situaciones son presentadas con
alguna regularidad en aplicaciones del movimiento de cuerpos en física, en el tema
conocido como cinemática. Sin embargo generalmente son propuestas con el objeto de
que el estudiante aplique los algoritmos establecidos sobre movimiento ya sea de
desplazamiento y velocidad en función del tiempo y simplemente remplace valores sin
profundizar nada más. En esta secuencia se quiere que el estudiante tome el fenómeno
de movimiento de un auto y a través de ésta pueda instaurar comparaciones y establecer
relaciones tiempo- distancia. Además que se pueda analizar cómo el estudiante favorece
los aspectos variacionales de función cuadrática, si identifica variables, cómo realiza y
usa gráficas y tablas mirando la proporcionalidad de los datos. El binomio práctica de
modelación-gráfica podría servir como medio para el aprendizaje de función cuadrática.
La secuencia comienza mostrando la figura (7) en la que se pide observar cómo debería
ser el movimiento de un auto desde el punto (B) al punto (C) y luego también analizar
el regreso hasta (B).
Esta actividad tiene el propósito de que el estudiante analice el movimiento de un
objeto para que busque y encuentre las diferentes relaciones entre lo que ve y piensa
plasmándolo en el desarrollo de cada una de las preguntas propuestas.
Figura 7. Movimiento de un auto de un punto (B) a otro (C)
101
UNA SECUENCIA DE MODELACIÓN PARA LA INTRODUCCIÓN SIGNIFICATIVA DE LA FUNCIÓN CUADRÁTICA
En el movimiento del auto se plasma la trayectoria que sigue a medida que avanza hacia
la izquierda y de la misma manera en su regreso al sitio de partida, todo con relación al
tiempo como variable independiente. El fenómeno propuesto del movimiento se simula
a través del software de GeoGebra.
El uso de ayudas tecnológicas en el desarrollo de las secuencias permitirá al estudiante
tener un poco más de visión del fenómeno tratado y que puede recordar los
movimientos y formas de éste. Cobb et al. (2003) nos dicen que una fuente de
discontinuidad en la especificación curricular es que los nuevos recursos, tales como
programas informáticos, pueden ser usados para apoyar la forma prevista de
aprendizaje.
La secuencia consta de 7 preguntas donde los aspectos variacionales de la función
cuadrática expuestos en la malla de análisis se consideran. Estos aspectos variacionales
se reconocerán en la secuencia donde las preguntas llevan a que se establezcan estos
aspectos para dar las respuestas. Asimismo podemos extraer a través de ellas cómo
podría el estudiante transformar el lenguaje visual en lenguaje matemático por medio de
las gráficas utilizando las prácticas escolares de modelación, articulando el
conocimiento del estudiante con lo cotidiano.
Tabla 2. Relación de las preguntas con los aspectos variacionales
Pregunta/ Aspecto Tiempo como variable independiente
Uso de la gráfica: intervalos
Uso de la gráfica: puntos clave
Uso de tablas secuencia numérica
PREGUNTA 1
Si dos autos se ponen en movimiento al mismo instante uno va en forma horizontal moviéndose de B-C a C-B y otro a través de una montaña, las distancias que recorren son las mismas y el tiempo
Las trayectorias brindan la oportunidad de tomar intervalos de distancia. Reconocer partes pequeñas del movimiento del
En dos trayectorias diferentes se toman puntos que marcan distancias equivalentes y las transfieren de una a la otra. Estos
102
UNA SECUENCIA DE MODELACIÓN PARA LA INTRODUCCIÓN SIGNIFICATIVA DE LA FUNCIÓN CUADRÁTICA
transcurrido también es idéntico ¿Cómo serían sus trayectorias? Dibújelas. Y se quiere llevar los puntos marcados en el movimiento de ida y regreso horizontal (B, G, H, I, C) al movimiento del auto en montaña. Discuta con sus compañeros dónde los localizaría. Márquelos
auto como intervalo en el transcurrir del tiempo y relacionarlo con la distancia
puntos son aquellos que el estudiante remarca con una simbología especial (número, letra o cualquier otra) y que establece una conexión entre un movimiento y el otro. Los puntos clave sirven de guía para realizar el bosquejo de la trayectoria. Los puntos pueden ser mediciones numéricas que pueden determinar con valores tomados al azar o del applet
PREGUNTA 2
Tomando el tramo B-G y el I-C de ida Al comparar los tiempos gastados en esos tramos ¿Cómo serían y porqué?
Reconocer el tiempo como variable independiente, reconociendo un antes y un después o un ida y vuelta, y llevarlo a un gráfico cartesiano junto a la distancia
En la trayectoria reconocer intervalos de tiempo como partecitas pequeñas de un todo para relacionarlos con la otra variable distancia
Uso de puntos clave para el análisis de la pregunta, tomándolos de datos tabulados o de mediciones directas y que sirven como guía para realizar la trayectoria. Estos puntos son los que remarcan con un símbolo o simplemente identificándolo con una letra
PREGUNTA 3
Si tomo esos mismos tramos pero de regreso C-I y G-B ¿Cómo sería la comparación de los tiempos con respecto al movimiento de ida?
Reconocer el tiempo como variable, determinando un antes y un después para tener la idea del esbozo de la gráfica. Reconocer el tiempo como algo que pasa y no regresa
En la trayectoria reconocer intervalos de tiempo como una parte que pertenece a un todo y relacionarlos con la distancia respectiva
Uso de puntos clave para el análisis de la pregunta, tomándolos del movimiento del auto y realizar la trayectoria del movimiento. Estos puntos son los que remarcan con un símbolo especial o simplemente identificándolo con una letra
PREGUNTA 4
Si le pidieran llevar el movimiento del auto F a una gráfica teniendo como magnitudes el tiempo y la
Reconocer el tiempo como variable, a través de un antes y después
Intervalos de tiempo para la gráfica como partes equivalentes para
Puntos clave para realizar la gráfica a partir mediciones directas y que
103
UNA SECUENCIA DE MODELACIÓN PARA LA INTRODUCCIÓN SIGNIFICATIVA DE LA FUNCIÓN CUADRÁTICA
distancia ¿Cómo lo haría? Esbócela
Reconocer en el fenómeno una ida y vuelta plasmándolo en una gráfica cartesiana junto a la distancia. Usar ejes para cada magnitud tratada
la graficación tiempo distancia
sirven como guía para realizar la gráfica cartesiana. Los puntos clave pueden indicar cambio de dirección La graficación se determina como una línea recta. Los puntos se identifican cuando el estudiante señala en la gráfica con una marca especial (número, letra) y establece intersecciones entre el tiempo y distancia
PREGUNTA 5
Compara la gráfica que obtuvo con la de otros compañeros ¿Qué diferencias encuentras?
Reconocer el tiempo como variable. Determinar al tiempo como magnitud que se establece en uno de los ejes
Puntos de la gráfica similares y diferentes que muestran la similitud o diferencia de una gráfica. Reconocer los puntos clave como ayuda para el cambio de dirección. Puede identificar los puntos a través de señalamientos que el equipo de trabajo realiza
PREGUNTA 6
Tomando intervalos de tiempo pequeños en el movimiento que hace el auto de ida y regreso medir las distancias recorridas, y plasmarlas en una tabla. ¿Cómo cree que es la relación de los datos numéricos del tiempo referente a la altura? Comente
Tomar el tiempo como variable independiente estableciendo magnitudes donde aparece el tiempo como una de ellas
Tomar del fenómeno propuesto intervalos de tiempo y distancia de acuerdo al tamaño de la medida que decidan y establecerlo en forma progresiva.
Usar las tablas extrayendo los valores para relacionar parejas ordenadas y plasmarlos en la gráfica. Determinar las relaciones proporcionales entre tiempo y distancia
PREGUNTA 7 ¿Cómo cree que sería la gráfica del movimiento teniendo en cuenta la situación del numeral anterior? ¿Tiene alguna similitud con la esbozada anteriormente por usted? Compara la gráfica y de su opinión
Tomar el tiempo como variable independiente en uno de los ejes del plano cartesiano
Tomar intervalos de tiempo de las tablas para graficar y realizar uniones de parejas ordenadas
Establecer puntos clave para la gráfica con el propósito de realizar el esbozo Con ayuda de las parejas establecidas en la tabla entre tiempo
Tener en cuenta los datos numéricos para la graficación y reconocer las relaciones de proporcionalidad que se dan en la tabla
104
UNA SECUENCIA DE MODELACIÓN PARA LA INTRODUCCIÓN SIGNIFICATIVA DE LA FUNCIÓN CUADRÁTICA
y espacio se esboza la gráfica. Los puntos se identifican cuando el estudiante señala en la gráfica con una seña especial (número, letra) y establece intersecciones entre el tiempo y distancia y además establece una cuadrícula para la unión de puntos
Análisis a priori
Reconociendo los conocimientos previos que posee el estudiante y estableciendo una
relación con lo cotidiano, determinamos lo que el joven puede y cómo responde a cada
pregunta estipulada referente a los aspectos variacionales.
PREGUNTA 1
1. Si dos autos se ponen en movimiento al mismo instante uno va en forma horizontal moviéndose
de B-C a C-B y otro a través de una montaña, las distancias que recorren son las mismas y el
tiempo transcurrido también es idéntico ¿Cómo serían sus trayectorias? Dibújelas. Se quiere
llevar los puntos marcados en el movimiento de ida y regreso horizontal (B, G, H, I, C) al
movimiento del auto en montaña. Discuta con sus compañeros dónde los localizaría Márquelos.
Se espera con esta pregunta que el estudiante dibuje las trayectorias seguidas por los dos
autos y pueda establecer las diferencias y similitudes entre los dos movimientos; que
pueda observar que en dos movimientos que visualmente son diferentes se pueden
tomar puntos de uno y llevarlos al otro, reconociendo que éstos marcan una trayectoria
con intervalos de distancias equivalentes para las dos trayectorias; que sepa localizar
puntos clave que le ayudarán a determinar la trayectoria.
105
UNA SECUENCIA DE MODELACIÓN PARA LA INTRODUCCIÓN SIGNIFICATIVA DE LA FUNCIÓN CUADRÁTICA
Referente a los puntos clave responderán de acuerdo a lo que ellos conocen que son
puntos que sirven de guía para realizar construcciones en este caso una trayectoria.
Relacionarán estos puntos con mediciones numéricas que generalmente es lo que ellos
conocen. En la toma de intervalos tratarán de hacer mediciones de la manera más
sencilla relacionando el tiempo con la distancia. El estudiante reconoce las trayectorias
como medio para mostrar un movimiento en este caso el de ida y regreso. Esperamos en
algún caso que los estudiantes enmarquen la trayectoria curva como un comportamiento
curvo que les puede estar creando un obstáculo para el conocimiento pleno de función o
función cuadrática.
PREGUNTA 2
2. Tomando el tramo B-G y el I-C de ida Al comparar los tiempos gastados en esos tramos ¿cómo
serían y porqué?
En esta pregunta se quiere que el estudiante comience a comparar fracciones de tiempo
en tramos diferentes y pueda establecer sus diferencias o similitudes. Es importante que
a través del movimiento mostrado establezca el tiempo como variable y comience a
reconocer intervalos de tiempo como parte necesaria para el trabajo. Nuevamente en
esta pregunta los puntos en la trayectoria son necesarios para responderla.
Se quiere reconocer el tiempo como un todo sabiendo que hay una ida y vuelta y que el
tiempo no tiene regreso. Relacionar el tiempo con la distancia atribuyendo partes
pequeñas para el análisis. Los puntos clave los tomarán de manera directa del fenómeno
de movimiento presentado en el applet.
PREGUNTA 3
106
UNA SECUENCIA DE MODELACIÓN PARA LA INTRODUCCIÓN SIGNIFICATIVA DE LA FUNCIÓN CUADRÁTICA
3. Si tomo esos mismos tramos pero de regreso C-I y G-B ¿Cómo sería la comparación de los
tiempos con respecto al movimiento de ida?
Ahora con la pregunta se quiere establecer una comparación y llevar al estudiante a
determinar que estos tiempos tanto de ida como de regreso son similares en cada tramo
nombrado. Es determinante que el estudiante tome el tiempo como variable
independiente. Los puntos claves establecidos en el análisis del movimiento pueden
determinar la guía para la realización de una gráfica adecuada.
Se quiere que el estudiante reconozca el tiempo como algo que pasa y que no tiene
regreso. Los intervalos son parte de algo más grande y que se puede dividir. Los puntos
clave son esos que se marcan y que sirven de guía para hacer la trayectoria.
PREGUNTA 4
4. Si le pidieran llevar el movimiento del auto F a una gráfica teniendo como magnitudes el tiempo
y la distancia. ¿Cómo lo haría? Esbócela
Con esta pregunta se lleva a que el estudiante establezca la gráfica del movimiento del
auto teniendo en cuenta el tiempo como variable independiente, el uso de puntos clave
para realizarla y los intervalos de tiempo servirán de guía para el boceto de la gráfica.
Se busca que el estudiante establezca las diferencias entre lo que observa y lo que puede
plasmar en el lenguaje matemático que en muchas ocasiones no es lo mismo.
Se busca reconocer en el fenómeno una ida y vuelta plasmándolo en una gráfica
cartesiana junto a la distancia. Determinar los intervalos para realizar uniones entre
parejas que representan puntos guías estableciendo proporciones que determinan el
bosquejo de la gráfica cartesiana. Realizar la gráfica usando ejes donde dispone las
magnitudes de tiempo y distancia. Reconocer que algunos puntos clave indican cambio
107
UNA SECUENCIA DE MODELACIÓN PARA LA INTRODUCCIÓN SIGNIFICATIVA DE LA FUNCIÓN CUADRÁTICA
de dirección. También esperamos que los estudiantes siempre linealicen cualquier
movimiento y establezcan que el fenómeno de ida y regreso al graficarlo es una línea
recta.
PREGUNTA 5
5. Compara la gráfica que obtuvo con la de otros compañeros ¿Qué diferencias encuentras?
El propósito es que el estudiante dialogue, discuta y compare su trabajo con los demás
compañeros para que se dé cuenta de sus aciertos y dificultades. De esta manera pueda
usar la gráfica para determinar movimientos, relaciones en las cuales el tiempo es
preponderante y determine los puntos clave de la gráfica.
Se busca tomar el tiempo como magnitud y que se puede llevar a uno de los ejes de la
gráfica cartesiana. Los puntos clave pueden indicar un cambio de dirección. Reconocer
parejas ordenadas unidas con líneas para realizar la gráfica. Determinar la diferencia de
gráficas por tamaño y forma.
PREGUNTA 6
6. Tomando intervalos de tiempo pequeños en el movimiento que hace el auto de ida y regreso
medir las distancias recorridas, y plasmarlas en una tabla. ¿Cómo cree que es la relación de los
datos numéricos del tiempo referente a la altura? Comente
Con esta pregunta se espera que el estudiante tome el tiempo como variable
independiente, mida intervalos de tiempo y los relacione con la distancia, use las tablas
para mostrar la toma de secuencias numéricas. Además reconozca relaciones como las
de proporcionalidad entre las magnitudes.
108
UNA SECUENCIA DE MODELACIÓN PARA LA INTRODUCCIÓN SIGNIFICATIVA DE LA FUNCIÓN CUADRÁTICA
Se busca establecer el tiempo como magnitud para relacionarlo con la distancia
realizando una tabla donde la toma de datos usando el applet se hace presente. Tomar el
tiempo como algo que va aumentando progresivamente plasmándolo en la tabla. Los
intervalos sean iguales para cada uno de los datos tomados.
PREGUNTA 7
7. ¿Cómo cree que sería la gráfica del movimiento teniendo en cuenta la situación del numeral
anterior? ¿Tiene alguna similitud con la esbozada anteriormente por usted? Compara la gráfica y
de su opinión.
Con esta pregunta se espera que el estudiante realice comparaciones y determine las
diferencias o similitudes que puede existir entre la gráfica propuesta y el modelo
obtenido a través del fenómeno de movimiento del auto. También que el estudiante
realice comparaciones de los fenómenos cotidianos y sus diferencias o similitudes al
llevarlos a un lenguaje matemático.
Se busca ubicar el tiempo como magnitud en uno de los ejes de la gráfica cartesiana.
Tomar los intervalos dados en la tabla y ubicarlos en el plano cartesiano estableciendo
uniones con líneas. Reconocer las proporciones establecidas en la tabla manteniendo un
orden en la gráfica. Los movimientos de ida y vuelta los establece en una gráfica.
Los estudiantes al observar la forma de la gráfica establezcan que no todos los
movimientos son líneas rectas, sino que también se pueden presentar de otra manera
entre ellas un comportamiento curvo que manifiesta una función no lineal.
4.5.2 Secuencia 2
109
UNA SECUENCIA DE MODELACIÓN PARA LA INTRODUCCIÓN SIGNIFICATIVA DE LA FUNCIÓN CUADRÁTICA
En esta secuencia se presenta una actividad también de movimiento pero ahora en
desplazamiento diferente a la primera actividad: el lanzamiento de una pelota de
manera vertical. En los estándares, y lineamientos curriculares de Colombia están
propuestas competencias en el área de física referente a estos movimientos. Son muy
pocas las ocasiones en las cuales se trata con situaciones como ésta en el laboratorio por
motivos variados que no vienen al caso mencionarlos, pero que impiden que el
estudiante pueda relacionar, analizar y profundizar en estos fenómenos del mundo real.
La secuencia comienza presentando en la figura (8) sobre cómo sería el lanzamiento de
la pelota; para realizar el experimento se colocará un fondo especial con el fin de captar
con mayor nitidez el movimiento del objeto lanzado. Se coloca una regleta graduada
con el propósito de poder tomar en el análisis los datos de distancia correspondiente a
cada tiempo referido.
Figura 8. Movimiento del objeto verticalmente
Este movimiento ejecutado por el cuerpo que se lanza me permite realizar un análisis
profundo de sus características y poderlo llevar a la clase de matemática donde el
estudiante a través de la observación, de la manipulación, de tomar la modelación como
110
UNA SECUENCIA DE MODELACIÓN PARA LA INTRODUCCIÓN SIGNIFICATIVA DE LA FUNCIÓN CUADRÁTICA
práctica y así poder obtener nuevos significados para la introducción de función
cuadrática.
El estudio de la matemática relacionándola con el mundo real es una forma de mostrar
la matemática no como algo abstracto sino más bien algo que puedo comprender y así
aplicar el concepto de manera asertiva.
Para el análisis del fenómeno de lanzamiento vertical se utilizará el software Tracker-
310 y el software Modellus, programas de libre acceso que ayudan a realizar
modelaciones de esta clase de situaciones de movimiento.
Nuevamente en esta secuencia la ayuda tecnológica aparece en el manejo de los dos
software. En los currículos de las instituciones los nuevos recursos, tales como
programas informáticos, pueden ser usados para apoyar la forma prevista de aprendizaje
(Cobb et al., 2003).
Esta secuencia se diseña con el propósito de que el estudiante con los conocimientos
escolares que posee los relacione con lo cotidiano y a través de la práctica de
modelación desarrolle significados sobre la función cuadrática y sus aspectos
variacionales. Como en la anterior secuencia en esta se busca que el estudiante articule
los aspectos variacionales de la función cuadrática tratados en la investigación, para
adquirir conocimiento. La actividad además de la articulación de aspectos es dinámica,
busca que el estudiante esté en constante consulta de sus conocimientos y aparición de
conflictos cognitivos que lo lleven al conocimiento tratado. Consta de siete preguntas
relacionadas con el fenómeno de lanzamiento vertical.
Tabla 3. Relación de las preguntas con los aspectos variacionales
111
UNA SECUENCIA DE MODELACIÓN PARA LA INTRODUCCIÓN SIGNIFICATIVA DE LA FUNCIÓN CUADRÁTICA
Pregunta/ Aspecto Tiempo como
variable independiente
Uso de la gráfica: intervalos
Uso de la gráfica: puntos clave
Uso de tablas secuencia numérica
PREGUNTA 1 Realice los siguientes lanzamientos con una pelota: un lanzamiento vertical y uno que forme una curva. Suponiendo que se demoran los movimientos igual tiempo en caer y llegan a la misma altura. Discuta con sus compañeros ¿Tomando unos puntos cualesquiera en el lanzamiento vertical, transportarlos al otro movimiento dónde los ubicaría? Dibuja en una hoja las dos trayectorias y localiza los puntos.
Tomar intervalos de distancia para responder la pregunta Reconocer partes pequeñas del movimiento de la pelota como intervalo en el transcurrir del tiempo y relacionarlo con la altura
Los puntos clave en la trayectoria permiten realizar las comparaciones Los puntos clave tomados como guía para realizar el bosquejo de la trayectoria. Estos puntos son los que el estudiante remarca con una simbología especial (número, letra o cualquier otra) y que establece una conexión entre un movimiento y el otro. Determinar los puntos como valores numéricos extraídos al azar del applet u observados en el lanzamiento que hacen de la pelota
PREGUNTA 2 ¿Cómo llevarías el movimiento que hace la pelota al lanzarla verticalmente desde el punto de partida (P) hasta que llega nuevamente a su inicio a una gráfica?
Reconocer el tiempo como variable a través de un antes y después Reconocer en el fenómeno un subida y bajada plasmándolo en una gráfica
Uso de puntos clave para realizar la gráfica a partir mediciones directas y que sirven como guía para realizar la gráfica cartesiana Reconocer puntos clave de cambio de dirección. Los puntos se identifican cuando el estudiante señala en la gráfica con una marca especial (número, letra) y establece intersecciones entre el tiempo y altura.
PREGUNTA 3 Discutir con sus compañeros sobre el lanzamiento de la pelota hacia arriba un instante antes de llegar la pelota al punto donde se regresa y
Reconocer el tiempo como variable reconociendo un antes y un después o un subida y
En la trayectoria reconocer intervalos de tiempo como algo que se puede partir en porciones de un todo para
Uso de puntos clave para el análisis de la pregunta tomándolos de mediciones directas del applet
112
UNA SECUENCIA DE MODELACIÓN PARA LA INTRODUCCIÓN SIGNIFICATIVA DE LA FUNCIÓN CUADRÁTICA
ese mismo intervalo de tiempo después que se regresa ¿Cómo serían las alturas en esos puntos y qué pasa con el tiempo transcurrido? ¿Por qué sucede eso?
bajada, y llevarlo a un gráfico cartesiano estableciendo relaciones con la distancia
relacionarlos con la otra variable altura
o del movimiento real que realizan y que sirven como guía para realizar la trayectoria. Estos puntos son los que remarcan con un símbolo especial o simplemente identificándolo con una letra de acuerdo a lo observado en el applet.
PREGUNTA 4 Si tomamos un intervalo pequeño de tiempo después del lanzamiento y ese mismo momento de tiempo, pero antes de caer ¿Qué piensa sobre las alturas en ese intervalo y a qué se debe?
Reconocer el tiempo como variable determinando un antes y un después para tener la idea del esbozo de la gráfica. Reconocer el tiempo como algo que va siempre progresando sin regresar
Intervalos de tiempo para el análisis Reconocer los intervalos como algo que se puede partir en partes de un todo para relacionarlo con otra magnitud la altura
Uso de puntos clave para el análisis de la pregunta, tomándolos del movimiento de la pelota y realizar la trayectoria del movimiento. Estos puntos son los que remarcan con un símbolo especial o simplemente identificándolo con una letra de acuerdo a lo observado en el applet.
PREGUNTA 5 Tomando intervalos de tiempo pequeños, medir las alturas correspondientes y mostrarlas en una tabla. Deben ser más de diez tomas. ¿Cómo cree que es la relación de los datos numéricos del tiempo referente a la altura? Comente
Reconocer el tiempo como variable independiente estableciendo magnitudes donde aparece el tiempo como una de ellas. Establecer el tiempo como algo que no regresa
Tomar parejas ordenas teniendo como base intervalos de tiempo y altura de acuerdo al tamaño de la medida que decidan establecer el tiempo como algo progresivo
Usar tablas numéricas para ordenar datos y extraer información Relacionar parejas ordenadas para plasmarlos en la gráfica. Determinar las relaciones proporcionales entre tiempo y altura
PREGUNTA 6 ¿Cómo cree que sería la gráfica del movimiento teniendo en cuenta la situación del numeral anterior? tiene alguna similitud con la esbozada anteriormente en el numeral 2? Compara su gráfica con la obtenida por otros grupos y de su opinión
Tomar el tiempo como variable independiente en uno de los ejes del plano cartesiano Reconocer el tiempo como algo que siempre progresa aumentando
Tomar los intervalos de tiempo ya establecidos y graficar Establecer parejas ordenadas
Establecer puntos clave para esbozar la gráfica Con ayuda de las parejas establecidas en la tabla entre tiempo y espacio se esboza la gráfica Establecer puntos guía donde muestre el momento de
Usar los datos numéricos de las tablas para la graficación y reconocer las relaciones de proporcionalidad que se dan en la tabla
113
UNA SECUENCIA DE MODELACIÓN PARA LA INTRODUCCIÓN SIGNIFICATIVA DE LA FUNCIÓN CUADRÁTICA
regreso de la pelota. Los puntos se identifican cuando el estudiante señala en la gráfica con una seña especial (número, letra) y establece intersecciones entre el tiempo y altura y además establece una cuadrícula para la unión de puntos
PREGUNTA 7 Si le pidieran comprobar que el modelo gráfico que se obtuvo es el indicado para el fenómeno mostrado de lanzamiento vertical ¿Qué debes hacer?
Tomar el tiempo como variable independiente Reconocer el tiempo como una variable que no tiene regreso y siempre progresa
Tomar intervalos de tiempo para relacionar con la altura Tomar los intervalos dados en la tabla y comprarlos con el fenómeno real
Observar los puntos clave Establecer puntos que sirven para hacer la comprobación entre el fenómeno presentado y la gráfica. Toma puntos específicos de la tabla o del movimiento en el vídeo, los señala con algún símbolo para llevarlos a la gráfica y hacer las comparaciones
Tener en cuenta los datos numéricos para comparar Establecer proporciones que faciliten la toma de datos del fenómeno real
Análisis a priori
PREGUNTA 1
1. Realice los siguientes lanzamientos con una pelota: un lanzamiento vertical y uno que forme una
curva. Suponiendo que se demoran los movimientos igual tiempo en caer y llegan a la misma
altura. Discuta con sus compañeros ¿Tomando unos puntos cualesquiera en el lanzamiento
vertical, transportarlos al otro movimiento dónde los ubicaría? Dibuja en una hoja las dos
trayectorias y localiza los puntos.
En la pregunta se quiere que el estudiante pueda establecer las diferencias entre las dos
trayectorias y además que al escoger unos puntos cualesquiera en una figura pueda
trasladarlos a la otra observando que poseen en esos intervalos de tiempo la misma
114
UNA SECUENCIA DE MODELACIÓN PARA LA INTRODUCCIÓN SIGNIFICATIVA DE LA FUNCIÓN CUADRÁTICA
altura. La pregunta además se introduce con el propósito de que el estudiante comience
a establecer las comparaciones pertinentes a tiempo y movimiento. La toma de puntos
clave es fundamental para poder dar respuesta al interrogante planteado.
Se busca reconocer los intervalos como parte de algo mayor. Determinar el tiempo
como progresivo. Determinar los puntos clave como valores numéricos que se toman de
la simulación del movimiento o del lanzamiento de la pelota que realizan. Usar los
puntos clave para determinar la trayectoria del objeto.
Para algunos estudiantes al presentársele una trayectoria curva, pueden estar
relacionándola con un comportamiento curvo, produciendo un obstáculo entre la
diferencia de trayectoria y gráfica.
PREGUNTA 2
2. ¿Cómo llevarías el movimiento que hace la pelota al lanzarla verticalmente desde el punto de
partida (P) hasta que llega nuevamente a su inicio a una gráfica?
En la pregunta se lleva al estudiante a utilizar sus conocimientos sobre magnitudes y
teniendo en cuenta los puntos de apoyo dados en la figura y así establecer la gráfica con
115
UNA SECUENCIA DE MODELACIÓN PARA LA INTRODUCCIÓN SIGNIFICATIVA DE LA FUNCIÓN CUADRÁTICA
o sin utilizar valores numéricos. Los aspectos variacionales como el uso de gráficas y el
uso de puntos claves son bastante notorios. Aunque no se espera en general que tomen
el tiempo como variable, se estima que aparezca en algún análisis.
Se busca determinar el tiempo como aquello que no regresa. Reconocer en el fenómeno
una subida y bajada plasmándolo en una gráfica. Usar los puntos clave como guías para
realizar la gráfica cartesiana. Reconocer algunos puntos como inflexiones mostrando el
cambio de dirección. Una de las tendencias de los estudiantes es la de creer que todos
los movimientos se grafican en línea recta como se manifiesta en el fenómeno real.
PREGUNTA 3
3. Discutir con sus compañeros sobre el lanzamiento de la pelota hacia arriba un instante antes de
llegar la pelota al punto donde se regresa y ese mismo intervalo de tiempo después que se
regresa ¿Cómo serían las alturas en esos puntos y qué pasa con el tiempo transcurrido? ¿Por qué
sucede eso?
Con la exposición de la pregunta se espera que el estudiante se dé cuenta que hay
alturas iguales en tiempos diferente en un punto determinado. Además que establezca el
tiempo como variable, que a través de la observación manifieste la importancia de
localizar puntos estratégicos para obtener la información requerida y vea necesaria la
figura para el análisis de la situación.
Se quiere reconocer un antes y un después. Determinar la subida y bajada estableciendo
puntos clave que ayudan a dar forma a la trayectoria. Reconocer intervalos de tiempo
como algo que se puede desmenuzar en partes de un todo. Tomar la posición de la
pelota como clave para relacionarla con el tiempo.
PREGUNTA 4
116
UNA SECUENCIA DE MODELACIÓN PARA LA INTRODUCCIÓN SIGNIFICATIVA DE LA FUNCIÓN CUADRÁTICA
4. Si tomamos un intervalo pequeño de tiempo después del lanzamiento y ese mismo momento de
tiempo, pero antes de caer ¿Qué piensa sobre las alturas en ese intervalo y a qué se debe?
Nuevamente con la pregunta esperamos que el estudiante manifieste que hay alturas
iguales en tiempos diferentes. Además que establezca el tiempo como variable
independiente, la utilización de puntos clave en el análisis son necesarios.
Se busca tomar el tiempo como algo que pasa y que no tiene regreso. Los intervalos se
pueden tomar de algo más grande. Los puntos clave son esos que se marcan y que
sirven de guía para hacer la trayectoria del movimiento de la pelota.
PREGUNTA 5
Para realizar la siguiente actividad los estudiantes toman una pelota y realizan un
lanzamiento vertical hacia arriba. Con anterioridad se han marcado en una regleta que se
coloca valores numéricos con el propósito de medir las alturas en un determinado
tiempo.
5. Tomando intervalos de tiempo pequeños, medir las alturas correspondientes y mostrarlas en una
tabla. Deben ser más de diez tomas. ¿Cómo cree que es la relación de los datos numéricos del
tiempo referente a la altura? Comente
Con esta pregunta se espera que el estudiante no solamente establezca relaciones usando
las gráficas sino también que pueda establecerlas a través de tablas numéricas. Que
determine las relaciones que se pueden dar entre tiempo y altura observando la serie
numérica del tiempo y comparándola con la altura. Que además pueda establecer
relaciones entre tiempo y altura, observando alguna variabilidad en ellas.
Se busca establecer magnitudes, entre ellas el tiempo que se instaura como variable.
Establecer el tiempo como algo que no regresa. Tomar relaciones entre tiempo y altura
117
UNA SECUENCIA DE MODELACIÓN PARA LA INTRODUCCIÓN SIGNIFICATIVA DE LA FUNCIÓN CUADRÁTICA
estableciendo proporciones. Establecer el tiempo como algo progresivo. Reconocer
parejas de valores entre el tiempo y la altura.
PREGUNTA 6
6. ¿Cómo cree que sería la gráfica del movimiento teniendo en cuenta la situación del numeral
anterior? tiene alguna similitud con la esbozada anteriormente en el numeral 2? Compara su
gráfica con la obtenida por otros grupos y de su opinión
Se espera que el estudiante establezca una relación tabular-gráfica determinando
visualmente las variaciones que se dan en el tiempo y altura. Con el conocimiento
adquirido lleve las parejas numéricas y las localice en una gráfica, reconociendo de esta
manera intervalos de tiempo y puntos en parejas. Además que observe la variación de la
altura con respecto al tiempo tomado como variable independiente. Se lleva a que el
estudiante además establezca puntos clave y pueda establecer una gráfica continua.
Tomar el tiempo como variable independiente y graficarlo en el plano cartesiano.
Reconocer el tiempo como algo que siempre progresa aumentando. Establecer puntos
guía donde muestre el momento de regreso de la pelota. Reconocer las relaciones de
proporcionalidad que se dan en la tabla. Esperamos que los estudiantes establezcan que
no todos los movimientos son líneas rectas, sino que también se pueden presentar de
otra manera entre ellas un comportamiento curvo que manifiesta una función no lineal.
PREGUNTA 7
7. Si le pidieran comprobar que el modelo gráfico que se obtuvo es el indicado para el fenómeno
mostrado de lanzamiento vertical ¿Qué debes hacer?
Esta pregunta se realiza con el objeto que el estudiante tome parejas ordenadas de la
gráfica y las corrobore con los datos tomados. Es decir que tomando el tiempo como
118
UNA SECUENCIA DE MODELACIÓN PARA LA INTRODUCCIÓN SIGNIFICATIVA DE LA FUNCIÓN CUADRÁTICA
variable mida la altura y la compare con la tomada en la gráfica. También podría ser que
mencione un modelo algebraico para comprobarlo. Con esto debe el estudiante
establecer relación entre lo tabular-y gráfica.
Se espera que tomen los intervalos dados en la tabla y comparen con el fenómeno real.
Establecer puntos que sirven para hacer la comparación con el fenómeno presentado.
Establecer proporciones que faciliten la toma de datos del fenómeno real. Reconocer el
tiempo como una variable que no tiene regreso y siempre progresa.
4.6 Aspectos metodológicos
Las puestas en escena de las secuencias son importantes para poder lograr los objetivos
que se proponen. No basta con proponer y diseñar una buena secuencia sino que además
se necesita desarrollarla y llevarla a término.
4.6.1 Planeación: secuencia 1
Esta secuencia se comienza a planear mirando aquellos fenómenos más cercanos al
estudiante o que diariamente los presencian. Esto se logra dialogando con ellos e
intercambiando ideas, hasta observar que fenómenos como los propuestos son bastante
conocidos por ellos.
Inicialmente se piensa introducir la velocidad como magnitud, pero traería confusión y
dificultad en las respuestas a las preguntas. El número preliminar de preguntas aparecen
12, de las cuales se comienzan a unir y a conformar de mejor manera hasta quedarnos
con siete preguntas.
119
UNA SECUENCIA DE MODELACIÓN PARA LA INTRODUCCIÓN SIGNIFICATIVA DE LA FUNCIÓN CUADRÁTICA
Ya seleccionadas las siete preguntas con las que se forma la actividad de la secuencia,
se dispone a elegir a los estudiantes participantes. La escogencia fue voluntaria y de los
que aspiraban se eligió a 12 de ellos al azar para la aplicación. Después a estos doce se
les habló de cómo era la dinámica del desarrollo de la actividad y de las herramientas a
utilizar. Lo anterior se realizó en una hora diferente a la clase formal de matemáticas.
Entre las herramientas utilizadas se tuvo en cuenta el software de GEOGEBRA, el cual
sirvió para realizar el diseño del movimiento del auto de ida y regreso.
Se escogió el lugar para desarrollar la secuencia propuesta, que sería un aula de clase y
el día 12 de Julio como fecha en horas de no clase para ellos, es decir solamente estarían
en la institución los doce estudiantes.
Los doce estudiantes se dividirían en cuatro grupos de tres integrantes, el profesor no
intervino en la selección de los grupos sino que ellos mismos lo conformaron de
acuerdo a su libre albedrio.
Se dispuso de equipos de computación, audio y video para las evidencias en el
desarrollo de la actividad. Cada grupo tuvo una grabadora de audio y un computador.
Se posicionó una cámara de video en un lugar fijo que estuvo controlada por una
persona y otra cámara rodante que tomó videos cortos y fotografías manejada por una
persona, a la cual se le indicará los momentos o instantes que debe realizar las tomas.
Cobb et al. (2003) nos dicen que el apoyo tecnológico para la generación de los datos
(por ejemplo, cámaras de video, sistemas de grabación de audio sofisticados
dispositivos electrónicos de almacenamiento en masa) permite aunar esfuerzos, pero
también impone sus propios desafíos (por ejemplo, el desarrollo de herramientas y
procedimientos para la gestión y el análisis de grandes cantidades de datos).
120
UNA SECUENCIA DE MODELACIÓN PARA LA INTRODUCCIÓN SIGNIFICATIVA DE LA FUNCIÓN CUADRÁTICA
El bosquejo de la ubicación de los estudiantes en el aula con sus respectivos
instrumentos se da en la figura 9.
Figura 9. Distribución de los estudiantes en el aula
Antes de la aplicación de la actividad de la secuencia se instruyó a los estudiantes
seleccionados sobre el uso del applet del movimiento de ida y regreso del auto. Se les
informó la manera de usarlo, cuando podían parar, o iniciar nuevamente el movimiento.
Referente al manejo de GEOGEBRA, ya se tenían algunos indicios sobre éste, porque
en anteriores oportunidades se había trabajado con el software.
4.6.2 Planeación: secuencia 2
Teniendo como punto de partida la secuencia 1 y estableciendo aquellos aspectos que
no debían ir en el diseño de la secuencia, se trabajó para conformar una actividad que
llamara la atención al estudiante y que generalmente pudiera observar cotidianamente el
121
UNA SECUENCIA DE MODELACIÓN PARA LA INTRODUCCIÓN SIGNIFICATIVA DE LA FUNCIÓN CUADRÁTICA
fenómeno a tratar. Entonces fluye la idea del fenómeno de lanzamiento vertical de una
pelota con todas sus características de desplazamiento y de transcurrir del tiempo. Esto
se da cuando se intercambian ideas con los estudiantes.
Se comienza diseñando una variedad de preguntas ajustadas al fenómeno, pero que a
medida que se trataba el caso y se relacionaba con los objetivos propuestos, éstas se
iban depurando hasta lograr siete preguntas correspondientes al fenómeno elegido.
Para la aplicación de la secuencia a los estudiantes, se mantuvieron los mismos doce
seleccionados para la primera secuencia. Con anterioridad se le preguntó a cada
estudiante si querían colaborar para la aplicación de esta secuencia y su respuesta fue
afirmativa.
Se eligieron las herramientas informáticas con las cuales se quería desarrollar la
actividad. Se tomó nuevamente GEOGEBRA y se adicionaron dos nuevos software
como ayuda para simular el movimiento, el Modellus y el Tracker-310 de libre
adquisición. El adiestramiento de estos software se realizó en una clase extra solamente
para los estudiantes escogidos para la aplicación de la secuencia. Cobb et al. (2003)
nos comentan los nuevos recursos, tales como programas informáticos, pueden ser
usados para apoyar la forma prevista de aprendizaje.
El lugar escogido para la aplicación de la secuencia fue el aula de informática y
tecnología de la institución dispuesta de mesas y sillas adecuadas para el ejercicio de las
actividades. Cada mesa estaba equipada con un computador y audio; una cámara de
video fija controlada por una persona y otra móvil también controlada por otra persona.
La disposición del ambiente de trabajo fue similar al mostrado en la figura 4.
122
UNA SECUENCIA DE MODELACIÓN PARA LA INTRODUCCIÓN SIGNIFICATIVA DE LA FUNCIÓN CUADRÁTICA
La actividad se aplicó el día 19 de Julio en horas extraclase con el fin de que los
estudiantes dispusieran del tiempo que desearan para la actividad.
En un tiempo prudente fuera de la hora de matemática se tomaron una serie de videos
donde el estudiante realizaba un lanzamiento de una pelota en forma vertical y
observaba cómo se hacía el lanzamiento, qué sucedía con la pelota, qué características
se podrían observar. Los videos tomados tienen al fondo una regleta que les
proporcionó las mediciones de altura. El punto que se observa es el punto cero y las
demás líneas indican 5 centímetros. Esta toma se realizó unas horas antes de la
aplicación de la secuencia con el fin de que el estudiante tuviera más tiempo para
desarrollar la actividad programada.
Figuras 10. Lanzamiento de la pelota con regleta
Los estudiantes de cada grupo realizaron lanzamientos que son tomados en video y
algunos movimientos no resultaron adecuados, pero entre ellos mismos escogieron los
más acertados y son llevados para el desarrollo de las secuencias.
Referente al investigador en las dos secuencias fue el encargado de organizar los
grupos, de buscar los lugares adecuados, de dirigir el desarrollo de las actividades. Es el
123
UNA SECUENCIA DE MODELACIÓN PARA LA INTRODUCCIÓN SIGNIFICATIVA DE LA FUNCIÓN CUADRÁTICA
diseñador de las dos secuencias y las pone en escena. Es el encargado de guiar a las
personas que ayudan en la logística. Fue un partícipe activo en cada sección de trabajo.
Además es el agente para guiar al estudiante cuando haya perdido el rumbo, debe ser
partícipe directo en la alimentación y retroalimentación de conocimiento. No es el que
tenga que decirle al estudiante la respuesta porque ellos no son capaces o no quieren
realizarlo. A través de su observación se podrán obtener datos valiosos necesarios en el
desarrollo de la investigación. Además de toda la logística y andamiaje que debe
realizar será el motivador para que las actividades se desarrollen y cumplan los
objetivos trazados. El profesor es el encargado de diseñar cada una de las secuencias de
acuerdo a su quehacer diario con las herramientas y argumentos necesarios para lograr
el proceso enseñanza aprendizaje.
Para Cobb et al. (2003) el profesor también es parte importante en el desarrollo de las
actividades programadas y de acuerdo al alcance de las actividades las subdividen en
grupos de trabajo. Para nuestro caso se relaciona con el modelo uno-a-uno (profesor -
investigador y estudiante) experimentos de diseño en el que un equipo de investigación
lleva a cabo una serie de sesiones de enseñanza con un pequeño número de estudiantes.
Debemos reconocer que en nuestro trabajo el grupo tomado es experimental donde se
quiere crear a pequeña escala la ecología de aprendizaje.
4.7 Descripción de la experiencia
En esta parte del capítulo mostraremos una descripción de la dinámica en la cual se
llevó a cabo las secuencias con todos aquellos aspectos matemáticos relacionados con
las respuestas que los estudiantes dieron en el desarrollo de cada una de ellas.
124
UNA SECUENCIA DE MODELACIÓN PARA LA INTRODUCCIÓN SIGNIFICATIVA DE LA FUNCIÓN CUADRÁTICA
4.7.1 Secuencia 1
Dadas las indicaciones pertinentes los estudiantes comienzan a desarrollar la actividad
sin ningún problema. Al inicio poco hablan debido al miedo escénico porque estaban
siendo grabados en video y audio a pesar de que con anterioridad se les había indicado
que todo esto se iba a hacer. Interviene el profesor para motivarlos a que hablen y
realicen la actividad sin ninguna restricción. Después comienzan a tomar confianza y se
sueltan más realizando diálogos y haciendo propuestas.
Un inconveniente que se presentó este día fue el lugar elegido; es un sitio bastante
fresco con condiciones aceptables para la aplicación de las secuencias. Sin embargo
hubo un poco de ruido, debido a que los vecinos decidieron ese día realizar algunos
trabajos externos en sus viviendas entorpeciendo en alguna medida el desarrollo de la
actividad. No se pensó en cambiar de lugar porque las aulas de clase mejor dotadas
están construidas en todo el contorno del colegio y el problema sería de igual manera
en todas las demás aulas.
En cada uno de los grupos se observa un líder que es el encargado de guiar, de realizar
preguntas, de animar. Sin embargo para alguno de los líderes el accionar no fue el más
adecuado porque no escuchaba opciones de los demás y la intervención del investigador
se hizo evidente.
En la primera pregunta: dos grupos usaron las reglas para medir la distancia que
recorría el auto en forma rectilínea y saber cuánto era la distancia. Otro grupo después
de realizar la medición con la regla optó la comparación con los dedos mostrando el
movimiento rectilíneo y el movimiento curvo. El grupo faltante tomó un hilo realizó la
125
UNA SECUENCIA DE MODELACIÓN PARA LA INTRODUCCIÓN SIGNIFICATIVA DE LA FUNCIÓN CUADRÁTICA
medida del movimiento rectilíneo en el applet y lo plasmó en el movimiento de la
curva.
Figura 11. Toma de medidas directamente del applet
El movimiento de las manos es muy particular en los estudiantes para indicar
desplazamiento, para mostrar el movimiento que realiza el auto que va en la montaña y
compararlo con el que se mueve en forma recta. El uso de las manos daba a entender lo
que conocían sobre el movimiento y trataban de representarlo con ellas. Las expresiones
gestuales que intercambiaban entre ellos les permitían explicar mejor lo que querían
comunicar. Cobb et al. (2003) comentan que es necesario generar datos que apoyen el
análisis del fenómeno que se investiga y para esto se necesita la recopilación y
coordinación de fuentes de datos donde aparezcan los productos del aprendizaje entre
los que se encuentra el discurso de aula, la postura corporal, los gestos, las
interacciones, las tareas entre otros.
126
UNA SECUENCIA DE MODELACIÓN PARA LA INTRODUCCIÓN SIGNIFICATIVA DE LA FUNCIÓN CUADRÁTICA
Figura 12. Gestos con sus manos para indicar el movimiento del auto
Aunque en las primeras preguntas no pedían realizar mediciones, ellos las toman con la
intención de realizar comparaciones y de esa manera retoman el discurso escolar
impartido en el aula donde para ellos la matemática es todo lo relacionado con números.
Algo particular, tomaban las reglas y medían en la pantalla del computador las
distancias. En este aspecto podemos evidenciar la participación activa de los estudiantes
en la solución de la pregunta propuesta.
127
UNA SECUENCIA DE MODELACIÓN PARA LA INTRODUCCIÓN SIGNIFICATIVA DE LA FUNCIÓN CUADRÁTICA
Figura 13. Tomando mediciones
Un grupo usa el software para hacer una simulación con el movimiento del auto en la
montaña y así compararlo
con el que se mueve en
forma rectilínea.
Figura 14. Simulación utilizando el software de GEOGEBRA
Cobb et al. (2003) nos comentan que las tareas realizadas por los estudiantes en el aula,
la manera como las hacen, las interacciones entre ellos se hacen necesarias tenerlas en
cuenta para el logro de los objetivos.
128
UNA SECUENCIA DE MODELACIÓN PARA LA INTRODUCCIÓN SIGNIFICATIVA DE LA FUNCIÓN CUADRÁTICA
En la segunda pregunta: todos los grupos se fijan y manipulan el applet
proporcionado para la actividad con el propósito de observar el movimiento y poder dar
respuesta a lo pedido.
En la tercera pregunta: sucede lo mismo que en la segunda pregunta usan el applet de
movimiento del auto para responderla.
En la cuarta pregunta: referente al uso del software, los estudiantes le dan un uso
adecuado manipulándolo de la mejor manera para responder los interrogantes
propuestos en la secuencia y lo referente a la pregunta. Los estudiantes usan escuadras y
reglas para realizar los trazos de la gráfica. Todos los grupos reconocen el movimiento
del auto al llevarlo a la gráfica con una recta de pendiente positiva.
Figura 15. Gráficas con pendiente positiva
En la quinta pregunta: los estudiantes de cada grupo establecen diálogo con otros
grupos y observan las diferencias y similitudes de la gráfica y lo plasman en su escrito.
En la sexta pregunta: en esta pregunta los estudiantes se dedican a tomar datos usando
el applet como ayuda. Usan escuadras y reglas para realizar tablas como también el uso
de calculadoras aunque no las necesitaran. En la toma de datos muy juiciosos la realizan
129
UNA SECUENCIA DE MODELACIÓN PARA LA INTRODUCCIÓN SIGNIFICATIVA DE LA FUNCIÓN CUADRÁTICA
estableciendo la relación distancia-tiempo en cada tabla. Un grupo toma a parte los
datos de ida y los de regreso.
Figura 16. Trazos realizado por estudiantes
En la séptima pregunta: Al realizar la gráfica un grupo no toma el primer cuadrante
como generalmente se hace para realizar la gráfica, sino que toma el segundo cuadrante
y establece las magnitudes en los ejes. Lo hacen sin preguntarse si lo están haciendo o
no bien. Es decir espontáneamente.
Figura 17. Gráfica en el segundo cuadrante
Otro grupo al llevar los datos recopilados en la tabla toma los datos de ida y grafica con
estos. Luego los de regreso y grafica de la misma manera, proporcionando dos gráficas.
130
UNA SECUENCIA DE MODELACIÓN PARA LA INTRODUCCIÓN SIGNIFICATIVA DE LA FUNCIÓN CUADRÁTICA
Figura 18. Gráfica del movimiento del auto, pero separado la ida del regreso
Este mismo grupo toma el tiempo como variable en el eje vertical, mientras los demás
en el eje horizontal.
El tiempo aproximado para el desarrollo de la actividad fue de 221 horas. Uno de los
grupos le tomó más del tiempo que los demás 243 ℎ𝑜𝑜𝑜𝑜𝑎𝑎𝑜𝑜.
4.7.2 Secuencia 2
Dadas las indicaciones los estudiantes comienzan a realizar la actividad programada
para la secuencia 2. El sitio que se eligió para el desarrollo de la actividad se encuentra
en un segundo piso y corresponde a la sala de tecnología e informática, perteneciente al
contorno de la institución. Este día no hubo interrupciones de ningún tipo.
El líder de cada grupo anima a comenzar, la relación entre los integrantes es más
confiada, ya no tienen tanto miedo a las grabaciones. Una de las personas que poco
participó en la anterior secuencia en esta lo hace más asiduamente y sus aportes
colaboran en las respuestas de las preguntas.
Iniciando la actividad los compañeros hacen lanzamientos de pelotas en sentido vertical
y formando un ángulo, con el fin de hacer comparaciones entre los movimientos.
131
UNA SECUENCIA DE MODELACIÓN PARA LA INTRODUCCIÓN SIGNIFICATIVA DE LA FUNCIÓN CUADRÁTICA
Figura 19. Lanzamiento de dos pelotas
En la primera pregunta: El movimiento de las manos es muy particular en los
estudiantes para mostrar la trayectoria de la pelota cuando sube y baja. Luego para
reconocer que ese movimiento se representa en una gráfica en forma curva. Estos gestos
se presentan en todos los grupos, unos lo realizan con más vehemencia que otros.
Figura 20. Movimientos de las manos realizada por los estudiantes
132
UNA SECUENCIA DE MODELACIÓN PARA LA INTRODUCCIÓN SIGNIFICATIVA DE LA FUNCIÓN CUADRÁTICA
En la metodología experimentos de diseño los gestos, las anotaciones, las interacciones
de los estudiantes son parte del análisis para lograr los objetivos propuestos
(Cobb et al.2003).
Cuando se les pide comparar la trayectoria del lanzamiento vertical con la pelota
lanzada con ángulo y llevar los puntos de una a la otra, algunos grupos no captan de
entrada la pregunta y realizan dibujos hasta encontrar la correcta.
Figura 21. Pruebas realizadas por los estudiantes para obtener la trayectoria y los puntos clave
Referente a los ejes un grupo no toma el tiempo en el eje horizontal y la altura en el
vertical sino al contrario, pero manteniendo la relaciones entre altura-tiempo.
133
UNA SECUENCIA DE MODELACIÓN PARA LA INTRODUCCIÓN SIGNIFICATIVA DE LA FUNCIÓN CUADRÁTICA
Figura 22. Gráfica con tiempo en la vertical
En la segunda pregunta: todos los grupos en esta pregunta usan el applet de un
movimiento de lanzamiento vertical diseñado para la actividad. Algunos grupos piden
más explicación sobre el movimiento que realiza la pelota o ellos mismos tratan de
simular nuevamente el movimiento.
134
UNA SECUENCIA DE MODELACIÓN PARA LA INTRODUCCIÓN SIGNIFICATIVA DE LA FUNCIÓN CUADRÁTICA
Figura 23. Explicación sobre el movimiento de la pelota
Usan las escuadras para tomar medidas directamente del applet presentado para
responder esta pregunta. Estos datos les sirven de guía y punto de partida para responder
alguna pregunta del movimiento.
Figura 24. Uso de implementos para tomar medidas
Uno de los grupos dibuja la gráfica aparte la de ida y aparte la de vuelta. Fue el mismo
grupo que la dibujó de esa manera en la primera secuencia.
135
UNA SECUENCIA DE MODELACIÓN PARA LA INTRODUCCIÓN SIGNIFICATIVA DE LA FUNCIÓN CUADRÁTICA
Figura 25. Gráficas de ida y de vuelta
En la tercera pregunta: en esta pregunta los estudiantes no se demoran mucho tiempo
en responderla y solamente utilizan el applet para observar los puntos que les pueden
guiar para responder la pregunta.
En la cuarta pregunta: sucede algo parecido a la pregunta dos usan el applet para
observar el movimiento y marcar los puntos de apoyo. Para todos los grupos el uso del
applet del movimiento de la pelota hacia arriba y hacia abajo fue una ayuda que les
proporcionó directrices para desarrollar las preguntas y la cual utilizaron con bastante
solvencia.
136
UNA SECUENCIA DE MODELACIÓN PARA LA INTRODUCCIÓN SIGNIFICATIVA DE LA FUNCIÓN CUADRÁTICA
Figura 26. Uso del applet de geogebra sobre el lanzamiento vertical
En la quinta pregunta: Cuando se les pide realizar las tablas las organizan de una
manera muy especial, algunos enumeran cada una de las tomas, otros antes de escribir
los datos en la tabla realizan operaciones en hojas diferente.
137
UNA SECUENCIA DE MODELACIÓN PARA LA INTRODUCCIÓN SIGNIFICATIVA DE LA FUNCIÓN CUADRÁTICA
Figura 27. Tablas y toma de datos
En la sexta pregunta: Dos grupos no grafican en el primer cuadrante sino lo hacen en
el segundo cuadrante pero manteniendo las magnitudes de tiempo en la horizontal y la
altura en la vertical.
Figura 28. Gráfica en el segundo cuadrante
Los estudiantes intercambian información y observan las gráficas obtenidas por los
grupos para responder la pregunta propuesta.
138
UNA SECUENCIA DE MODELACIÓN PARA LA INTRODUCCIÓN SIGNIFICATIVA DE LA FUNCIÓN CUADRÁTICA
En la séptima pregunta: en esta pregunta los grupos establecen poco diálogo para dar
la respuesta. En forma general los grupos en su mayoría demuestran gran alegría y
entusiasmo para realizar las actividades entregándose de lleno a dar solución a cada una
de las preguntas. El entusiasmo decae en un grupo cuando ya querían terminar debido al
cansancio que presentaban, respondiendo ante un compañero que los anima a realizar
las cosas bien que es mejor dejar las cosas así como están. Para otros la incertidumbre al
no entender la pregunta de qué hacer para resolverla se manifestaba en los gestos. El
profesor se acerca y aclara las dudas en el grupo.
Figura 29. Gestos de poco entendimiento
El tiempo utilizado por los grupos fue de aproximadamente 3 horas. Recordando que
tanto en la primera como en la segunda secuencia no había límite de tiempo para
desarrollar las secuencias. El audio en dos grupos se terminó un par de minutos antes de
culminar la actividad.
Estos comentarios muestran en forma global lo que pasó en el desarrollo de las dos
secuencias propuestas a los estudiantes, donde se manifiesta los apartes más
sobresalientes en cada una de ellas.
139
UNA SECUENCIA DE MODELACIÓN PARA LA INTRODUCCIÓN SIGNIFICATIVA DE LA FUNCIÓN CUADRÁTICA
CAPÍTULO 5
ANÁLISIS DE RESULTADOS SECUENCIA 1
En este análisis se tomaron en cuenta los aspectos variacionales explicitados en el
capítulo cuatro en la malla de análisis.
La información que aquí se detalla es la más relevante y que ofrece elementos que dan
significado.
5.1 El tiempo como variable independiente
Para el análisis de este aspecto variacional se toman las preguntas 2, 3, 4, 5, 6, 7.
En las respuestas dadas por los estudiantes, referente a la pregunta 2 y 3, hacen
mediciones de tiempo de acuerdo al applet dado. Reconocen la diferencia entre los
tramos en distancia de acuerdo a los datos tomados por ellos y también las diferencias
de tiempo que se dan en los tramos. Se dan cuenta en forma numérica que los tiempos
gastados en los tramos son diferentes. Los estudiantes reconocen el tiempo como algo
que transcurre en forma progresiva cuando toman valores numéricos y realizan
comparaciones. Reconocen a partir de un punto dado que hay un antes y un después, en
nuestro caso un ida y un regreso. Dan opinión de porqué en el tramo C-I se demora más,
estableciendo que el movimiento en el tramo C-I es más lento.
140
UNA SECUENCIA DE MODELACIÓN PARA LA INTRODUCCIÓN SIGNIFICATIVA DE LA FUNCIÓN CUADRÁTICA
G-B = 1.01 segundos C-I =3.38 segundos. Igual sino que de C a I se demora un poco ya que buelve a arranca y
mientras arranca se demora.
Para esbozar la gráfica que se pide en la pregunta 4, los estudiantes dibujan una gráfica
representando en los ejes las variables dadas en la pregunta. En uno de estos ejes
colocan el tiempo como variable. Algunos establecen valores numéricos para el tiempo
donde éste siempre va hacia adelante aumentando. No todos establecen parejas
ordenadas realizando las uniones. Reconocen al menos en sus diálogos que hay una ida
y vuelta.
141
UNA SECUENCIA DE MODELACIÓN PARA LA INTRODUCCIÓN SIGNIFICATIVA DE LA FUNCIÓN CUADRÁTICA
I: que hace el auto cuando pasa el tiempo
E1: si subimos el tiempo va cambiando
E1: a medida que va subiendo cambia el tiempo y la distancia
I: observen lo que hace el auto en el applet
E2: el auto va hasta una distancia y vuelve
En la comparación referente a la pregunta 5 de las gráficas con los demás compañeros
generalmente manifiestan que unas gráficas son más grandes que las otras; para esto se
fijaron en los ejes, las variables y los valores numéricos los cuales hacen relación al
tiempo como variable independiente.
Me parece que las diferencias son: que mis compañeros se enfocaron en que el carro no se detenia e hicieron
una línea recta.
142
UNA SECUENCIA DE MODELACIÓN PARA LA INTRODUCCIÓN SIGNIFICATIVA DE LA FUNCIÓN CUADRÁTICA
En la pregunta 6 los grupos de estudiantes establecen para la tabla dos magnitudes,
tiempo y distancia. Tres de los grupos le dan unidades a estas magnitudes como
segundos para el tiempo y metros para la distancia. Saben que el auto se mueve y la
distancia aumenta lo mismo el tiempo, pero llega un punto donde se regresa y el tiempo
sigue su curso. Reconocen la relación que existe entre el tiempo y la distancia,
estableciendo una correlación directa hasta un punto y una correlación inversa en otro
punto. Reconocen una ida y vuelta en el movimiento del auto y al tiempo como algo
progresivo.
I: el intervalo de tiempo que quieren lo desean de 0,5 más pequeño o más grande?
E1: ¿se puede de 1?
I: como ustedes quieran
E1: el tiempo recorre de segundo en segundo
E2: en el tiempo 1 segundo
E2: la distancia es 3,5
E3: no, es 3,75
143
UNA SECUENCIA DE MODELACIÓN PARA LA INTRODUCCIÓN SIGNIFICATIVA DE LA FUNCIÓN CUADRÁTICA
E3: entonces queda en distancia 16 y tiempo 8
E3: entonces ahí voltea
E2: se está regresando
E3: regresa por la misma distancia
E2: la distancia va aumentando con el tiempo
E3: a partir del regreso la distancia vuelve a ser la misma pero el tiempo va
aumentando
Con la pregunta 7, todos los grupos de estudiantes reflejan en la gráfica propuesta que el
tiempo es una variable al establecerla en uno de sus ejes. Reconocen al tiempo como
algo progresivo dándole valores numéricos que siempre van en aumento. En la
comparación que se propone, manifiestan que el tiempo sigue aumentando siempre,
mientras que la distancia aumenta en un momento y después empieza a disminuir. Se
aprecia en sus gráficas cartesianas que tratan de establecer una ida y una vuelta
determinando el tiempo en el momento que sucede.
144
UNA SECUENCIA DE MODELACIÓN PARA LA INTRODUCCIÓN SIGNIFICATIVA DE LA FUNCIÓN CUADRÁTICA
I: ¿por qué la gráfica que anteriormente ustedes dibujaron creyeron que era de esa
manera y ahora aparece de otra?
E1: en la primera nos da una recta
I: ¿a qué se debe eso?
E1: porque no tomamos el regreso
E3: ah, ya se
E2: a lo que retrocede, la distancia
E3: sigue siendo la misma
E3: al regreso vuelve a recorrer la misma distancia, pero con tiempo aumentando
5.2 Uso de la gráfica: Puntos clave
145
UNA SECUENCIA DE MODELACIÓN PARA LA INTRODUCCIÓN SIGNIFICATIVA DE LA FUNCIÓN CUADRÁTICA
Referente a este aspecto variacional las preguntas que hacen relación son la pregunta 1,
2, 3, 4, 5 y 7.
En la pregunta 1 los estudiantes toman los puntos representándolos con letras (B, G, H,
I) necesarios para realizar la trayectoria del auto, reconociendo que estos puntos forman
parte de dicha trayectoria sin hacer distinción en su localización y sin determinar que
existe un movimiento de ida y otro de vuelta. En sus representaciones se observa que
toman los puntos en una sola dimensión ya sea en línea recta o en la montaña. Toman la
recta con los puntos marcados con letras y simplemente le dan forma curva. Reconocen
que los movimientos tienen formas diferentes, pero al localizar puntos clave no los
colocan en los puntos adecuados. Toman una recta unidimensional marcando los puntos
con letras y le dan la forma de curva para representar la montaña.
Reconocen el movimiento de la montaña como si solo se realizara del Punto B al C
olvidándose del regreso del auto y cuando se hace la comparación de los puntos
marcados, simplemente distribuyen al azar estos puntos más o menos equidistantes a los
mostrados en el movimiento horizontal. Se evidencia un obstáculo al tratar de llevar
puntos que se muestran en un movimiento recto a una curva, debido a que el estudiante
siempre relaciona cualquier movimiento con una recta.
146
UNA SECUENCIA DE MODELACIÓN PARA LA INTRODUCCIÓN SIGNIFICATIVA DE LA FUNCIÓN CUADRÁTICA
Reconocen que los dos movimientos son diferentes, pero tratan de que las distancias
recorridas por ambos autos sean similares para poder localizar los puntos.
E1: uno que sube una montaña y otro que va horizontal
E1: Es una trayectoria, como la mostrada por el gusanito
E2: hágale una carretera una con una curva y otra derecha
E3: ya entendí, uno va de B a C y el otro va a través de una montaña ese que va y no
vuelve más
E3: es una trayectoria
E3: como la montaña se eleva más debe ser más cortica, claro
E1: da lo mismo porque si fuera una montaña empinada ahí sí tendría que hacer
esfuerzo para subir
E3: tendría que ser más cortica, porque se aplasta la montaña
E3: si usted tiene el dedo así y yo lo estiro se va para adelante
Toman como base para responder la pregunta 2 y 3 puntos especiales que son dados en
la pregunta para poder mostrar su respuesta. Utilizan valores numéricos para
147
UNA SECUENCIA DE MODELACIÓN PARA LA INTRODUCCIÓN SIGNIFICATIVA DE LA FUNCIÓN CUADRÁTICA
determinar la posición de los puntos clave tomándolos del applet o directamente a
través de mediciones que ellos realizan, usando un hilo como magnitud para obtener la
longitud. Tres de los grupos utilizan valores numéricos para expresar sus respuestas
indicando los puntos clave a que corresponde.
Tomando el tiempo de B_G dura 1 segundo y la distancia es 4. Y el tramo de I-C dura 4 segundos y la distancia
es 5,30 de distancia porque de B-G duran 1 segundo la que distancia tiene 4 y de I-C dura 4 segundos de ida y
mientras mas larga sea la distancia mas tiempo demora en llegar.
G-B = 1.01 segundos C-I =3.38 segundos. Igual sino que de C a I se demora un poco ya que buelve a arranca y
mientras arranca se demora.
Cuando en la pregunta 4 se les pide realizar una gráfica cartesiana, toman puntos de
partida y algunos grupos puntos de llegada remarcando puntos guías para el esbozo de
la gráfica. Al establecer ejes cartesianos y ubicar en ellos valores numéricos pueden
obtener parejas ordenadas que guían para hacer la gráfica, mostrando que estos puntos
determinados con letras y números establecen puntos bidimensionales. Aquí podemos
opinar que el estudiante está resignificando el concepto de punto clave en una gráfica
al pasar de puntos unidimensionales a bidimensionales. La falta del uso del punto de
inflexión en este caso el de regreso del auto, causa que los estudiantes dibujen la gráfica
como una línea recta. Sin embargo en sus diálogos mencionan que el auto se regresa
indicando de esta manera que existe un punto clave para este proceso. Uno de los
148
UNA SECUENCIA DE MODELACIÓN PARA LA INTRODUCCIÓN SIGNIFICATIVA DE LA FUNCIÓN CUADRÁTICA
grupos realiza una inflexión donde muestra el momento que el auto se detiene para
devolverse, pero prosiguen con la recta ascendente. Se evidencia con las respuestas de
los estudiantes un obstáculo en graficar cualquier movimiento en línea recta.
E3: ¿qué es esbozar?
E3: ah pues pintar
E3: aquí va a estar la distancia y aquí el tiempo
E3: ¿cuál es el tiempo?
E1: el tiempo está acá (deslizador en el applet)
E3: déjelo que recorra
149
UNA SECUENCIA DE MODELACIÓN PARA LA INTRODUCCIÓN SIGNIFICATIVA DE LA FUNCIÓN CUADRÁTICA
E2: ¿y la distancia?
E3: la distancia es también de 16
E2: porqué le hizo más (valores en el tiempo)
E2: no importa eso no se usa
E3: profe ¿esto cada metro que recorre en un segundo se uniría?
I: ¿cómo cree que sería la gráfica? observen el movimiento
E2: no dicen que paran en ningún punto
E3: sino que se devuelve
Referente a la pregunta 6 aunque no la habíamos determinado para este aspecto en el
análisis a priori, un grupo de estudiantes para realizar la tabla toman puntos clave como
el de regreso y cuando se menciona que el auto va hasta un punto determinado y luego
se devuelve también explicitan como punto clave. Esto me manifiesta que el estudiante
comienza a romper el obstáculo de considerar que cualquier fenómeno se muestra en
una gráfica linealizada.
Creo que como se debuelve también disminulle la distancia asta la partida y seria la distanciade 16 segundos =
0 metros.
150
UNA SECUENCIA DE MODELACIÓN PARA LA INTRODUCCIÓN SIGNIFICATIVA DE LA FUNCIÓN CUADRÁTICA
E1: vamos a medir la distancia y el tiempo
E1: ahora vamos para atrás (se refiere a voltear la hoja para continuar el trabajo)
E3: ahora vamos a comparar esto
I: estas tablas que son
E1: la tabla de ida
E2: y la tabla de vuelta
Otro grupo establecen en un momento el siguiente diálogo.
I: el intervalo de tiempo que quieren lo desean de 0,5 más pequeño o más grande?
E1: ¿se puede de 1?
I: como ustedes quieran
E1: el tiempo recorre de segundo en segundo
E2: en el tiempo 1 segundo
E2: la distancia es 3,5
E3: no, es 3,75
E3: entonces queda en distancia 16 y tiempo 8
E3: entonces ahí voltea
E2: se está regresando
151
UNA SECUENCIA DE MODELACIÓN PARA LA INTRODUCCIÓN SIGNIFICATIVA DE LA FUNCIÓN CUADRÁTICA
E3: regresa por la misma distancia
En la pregunta 7 la representación de la gráfica en el plano cartesiano lleva a los
estudiantes a establecer parejas ordenadas que sirven de guía para realizar el bosquejo
de la gráfica. Aunque las divisiones de distancia no son tan precisas reconocen la
necesidad de tomar datos como parejas y marcarlos en la gráfica. Los estudiantes
manifiestan al hacer la comparación con la gráfica que ellos realizaron con anterioridad,
que la diferencia se debe a que en la primera no se toma el momento del regreso y que
en la segunda lo determinan como un punto clave. Con la manifestación de los
estudiantes podemos decir que la creencia de linealidad de las gráficas de cualquier
fenómeno se comienza a romper y se tienen las bases para juzgar que algunos
fenómenos de movimiento pueden ser curvos, aunque uno de los grupos realiza la
gráfica utilizando líneas rectas. Uno de los grupos determina al realizar la comparación
con la gráfica hecha anteriormente que son similares, esto debido a que en la primera
toman un punto para el regreso y lo marcan.
152
UNA SECUENCIA DE MODELACIÓN PARA LA INTRODUCCIÓN SIGNIFICATIVA DE LA FUNCIÓN CUADRÁTICA
Que tuvimos en cuenta la de ida y la de regreso. Tambien en la primera grafica hicimos una línea reta y en 2
una curbiada.
Tiene una similitud ya que como la una aumenta y despues comienza a disminuir la otra tambien hizo lo mismo.
I: ¿por qué la gráfica tomada de los datos les da de esa manera?
I: que no tuvieron en cuenta en la primera y en la segunda sí.
E1: ah que para y regresa
E2: si, regresa
E1: que en la primera solo tenemos el movimiento de ida y en la segunda tomamos
también el de regreso
E3: ah en esta tenemos en cuenta la de ida y regreso
5.3 Uso de la gráfica: intervalos
Para el análisis de este aspecto de acuerdo a nuestra malla de análisis las preguntas que
hacen relación son la 1, 2, 3, 4, 6, 7.
En la pregunta 1, los estudiantes reconocen tramos pequeños de uno grande en un
movimiento y los transportan a otro que tiene forma diferente. Reconocen que el
153
UNA SECUENCIA DE MODELACIÓN PARA LA INTRODUCCIÓN SIGNIFICATIVA DE LA FUNCIÓN CUADRÁTICA
movimiento que realiza el auto se hace en dos tramos grandes uno de ida y otro de
vuelta. Usan las medidas para ayudarse y establecer las diferencias y similitudes entre
las dos trayectorias. Uno de los grupos para realizar esas mediciones usa un hilo y
directamente del applet toman la medida; los otros toman los intervalos de distancia
mostrados en el applet y los llevan al movimiento que realiza el auto en la montaña. Los
intervalos los plasman solamente en una dirección olvidándose que existe la ida y
regreso. Algunos tratan de pintar la montaña más corta para simular que como es el
mismo tramo debe ser más reducida y esto lo mencionan en sus diálogos.
I: que están ustedes haciendo?
E1: estamos haciendo la figura para estirarla para saber cuánto mide
I: ¿como la plasmó allá?
El estudiante con un hilo muestra al investigador la manera como lo está tomando
E1: esto es para calcular en cuanto es la medida de la montaña
154
UNA SECUENCIA DE MODELACIÓN PARA LA INTRODUCCIÓN SIGNIFICATIVA DE LA FUNCIÓN CUADRÁTICA
I: le piden las medidas?
E1. No pero piden las trayectorias y dibújelas
E2: pero usted cortó la medida acá y debe llegar hasta acá
E1: ahí está bien, lo que yo estoy mirando es la trayectoria
E2: está la línea recta, ahora vamos hacer la montaña
En el análisis de la pregunta 2 y 3, los estudiantes reconocen que los puntos marcados
en el movimiento del auto que se simula en el applet marcan pedazos de distancias que
los caracterizan como intervalos. Al realizar las comparaciones de los tramos elegidos
toman valores numéricos del tiempo dado en el simulador que sirven para reconocer
cuál tramo se demora más y cuál menos. Uno de los grupos toma para el análisis los
intervalos grandes el de ida y vuelta, pero no los dados en la pregunta.
Son iguales porque tienen el mismo trayecto de hida y de regreso.
El die ida fue 8 segundos y el de vuelta solo se demoro 7,84 segundos
E1: de B a G dura un segundo ya que es solo 4 de distancia y de I a C dura más ya que
son 5,30 de distancia.
E1: y entre más larga sea la distancia más tiempo se demora en llegar.
155
UNA SECUENCIA DE MODELACIÓN PARA LA INTRODUCCIÓN SIGNIFICATIVA DE LA FUNCIÓN CUADRÁTICA
I: que distancia hay de B-G y de I-C
E1: de B-G hay 4 y de I-C hay 4 de distancia
I: es decir
E1: tienen la misma distancia
E1: pero uno se demora más que el otro
Otro pequeño diálogo que hace referencia de otro grupo.
E3: los tiempos serían iguales
E2: todos van a ser iguales?
E3: claro, porque si de I a C gastan digamos 5 minutos de C a I sería la misma cosa
Referente a la pregunta 4, establecen relaciones entre el tiempo y la distancia
manifestándola a través de valores numéricos. Reconocen la necesidad de usar ejes
cartesianos para mostrar intervalos numéricos tanto del tiempo como la distancia. Uno
de los grupos establece parejas ordenadas para indicar los tramos en los cuales se
divide tanto el tiempo como la distancia; los otros grupos marcan divisiones en ambos
ejes pero no establecen relación con ninguno de ellos. Los grupos de estudiantes no
toman sino un tramo del movimiento del auto aunque algunos si lo mencionan en sus
diálogos que hay un tramo de ida y otro de vuelta. Un grupo trata de simular el
movimiento de regreso estableciendo una pequeña inflexión cuando se devuelve.
Nuevamente podemos mencionar que el estudiante no concibe que el movimiento se
manifieste en forma curva y por eso los intervalos de distancia siempre son ascendentes.
156
UNA SECUENCIA DE MODELACIÓN PARA LA INTRODUCCIÓN SIGNIFICATIVA DE LA FUNCIÓN CUADRÁTICA
E3: ¿qué es esbozar?
E3: ah pues pintar
E3: aquí va a estar la distancia y aquí el tiempo
E3: ¿cuál es el tiempo?
E1: el tiempo está acá (deslizador en el applet)
E3: déjelo que recorra
E2: ¿y la distancia?
E3: la distancia es también de 16
E2: porqué le hizo más (valores en el tiempo)
E2: no importa eso no se usa
157
UNA SECUENCIA DE MODELACIÓN PARA LA INTRODUCCIÓN SIGNIFICATIVA DE LA FUNCIÓN CUADRÁTICA
E3: profe ¿esto cada metro que recorre en un segundo se uniría?
I: ¿cómo cree que sería la gráfica? observen el movimiento
E2: no dicen que paran en ningún punto
E3: sino que se devuelve
Con respecto a la pregunta 6, la mayoría de estudiantes establecen intervalos de tiempo
determinando valores enteros para facilitar la consecución de las tomas. Uno de los
grupos toma intervalos de tiempo al azar y establecen sus parejas referente a la
distancia. Todos los grupos establecen magnitudes y en algunos les asignan unidades.
Cuando se les indaga por la relación entre los datos numéricos de tiempo referente a la
distancia, establecen al tiempo como un todo y a la distancia como algo que aumenta y
luego disminuye. Un grupo trata de establecer una proporción numérica entre distancia
y tiempo. Se manifiesta que los estudiantes pueden determinar intervalos en especial
cuando sucede la inflexión, rompiendo con la creencia de intervalos crecientes sin que
suceda un cambio de dirección.
158
UNA SECUENCIA DE MODELACIÓN PARA LA INTRODUCCIÓN SIGNIFICATIVA DE LA FUNCIÓN CUADRÁTICA
Cada distancia que recorre el auto va subiendo el doble del tiempo que es 24.
I: ¿estas tablas que son?
E1: la tabla de ida
E2: y la tabla de vuelta
I: que pasa con el tiempo
E3: va aumentando
I: que pasa con la distancia?
E1: aumenta
I: ¿hasta qué momento?
E1: ah, hasta aquí
E1: luego la distancia disminuye
I: ¿hasta dónde?
E1: ah ya, hasta el punto de partida
En la pregunta 7, los grupos toman en la gráfica intervalos numéricos del tiempo y los
relacionan con la distancia también numéricamente. Un grupo toma los ejes diferentes a
los demás colocando la variable de tiempo en la vertical y la distancia en la horizontal,
pero estableciendo que la gráfica es una curva. Este mismo grupo divide las gráficas en
ida y vuelta. Otro grupo toma los ejes no en el primer cuadrante sino en el segundo y
nuevamente se manifiesta una curva en su gráfica. Dos grupos al realizar la pregunta de
159
UNA SECUENCIA DE MODELACIÓN PARA LA INTRODUCCIÓN SIGNIFICATIVA DE LA FUNCIÓN CUADRÁTICA
comparación de la gráfica con la que habían hecho anteriormente responden que son
diferentes porque en la segunda toman en cuenta la ida y vuelta, mientras que en la
primera no. Otro grupo dice que si son similares, esto debido a que ellos son los que
hacen una pequeña inflexión del regreso del auto. Otro simplemente responde que no
son similares porque una es curva.
160
UNA SECUENCIA DE MODELACIÓN PARA LA INTRODUCCIÓN SIGNIFICATIVA DE LA FUNCIÓN CUADRÁTICA
I: ¿por qué la gráfica tomada de los datos les da de esa manera?
I: que no tuvieron en cuenta en la primera y en la segunda sí.
E1: ah que para y regresa
E2: si, regresa
E1: que en la primera solo tenemos el movimiento de ida y en la segunda tomamos
también el de regreso
E3: ah en esta tenemos en cuenta la de ida y regreso
E1: en la primera nos da una recta
E1: en la segunda es una línea curveada
5. 4 Uso de tablas: secuencia numérica
Para el análisis de este aspecto las preguntas que hacen relación son las preguntas 6 y 7.
En la pregunta 6, casi la totalidad de los grupos establecen una secuencia numérica,
iniciando con la variable independiente del tiempo y buscando a partir de ésta la
relación con la distancia. Esto debido a que el tiempo es medible a través de un cursor
que se establece en la simulación y se puede establecer en forma entera o como decida
el usuario. Uno de los grupos no toma una secuencia numérica para el tiempo sino que
161
UNA SECUENCIA DE MODELACIÓN PARA LA INTRODUCCIÓN SIGNIFICATIVA DE LA FUNCIÓN CUADRÁTICA
lo toma a su arbitrio. En las tablas un grupo establece el momento de la inflexión de
regreso del auto marcando dicho momento, determinando a la tabla como un medio para
mostrar puntos especiales para la graficación o análisis.
Respecto a la pregunta 7, todos los grupos toman como referencia la tabla y su
secuencia numérica para realizar la gráfica. En cada una de las gráficas que realizan los
grupos plasman los valores numéricos estableciéndolos en los ejes de forma ascendente
en el caso del tiempo y de la misma manera con la distancia, teniendo en cuenta que ésta
regresa a partir de uno de sus valores. Con el uso adecuado de las secuencias numéricas
pueden establecer el punto de regreso del auto, estableciendo una ida y vuelta. Tratan
con los instrumentos que poseen realizar la gráfica en el plano cartesiano de la mejor
manera. En cada una de las relaciones establecidas logran establecer parejas y unirlas a
través de líneas punteadas.
162
UNA SECUENCIA DE MODELACIÓN PARA LA INTRODUCCIÓN SIGNIFICATIVA DE LA FUNCIÓN CUADRÁTICA
163
UNA SECUENCIA DE MODELACIÓN PARA LA INTRODUCCIÓN SIGNIFICATIVA DE LA FUNCIÓN CUADRÁTICA
CAPÍTULO VI
ANÁLISIS DE RESULTADOS SECUENCIA 2
Para el desarrollo del capítulo se tomaron cada uno de los aspectos variacionales y a
partir de ellos las respuestas que hacen relación al aspecto.
La información que aquí se detalla es la más relevante y que ofrece elementos que dan
significado.
6.1 El tiempo como variable independiente
Las preguntas que tienen relación con el aspecto son las preguntas 2, 3, 4, 5, 6, 7 y a las
cuales analizaremos.
Referente a la pregunta 2, los grupos reconocen que el movimiento de la pelota se
realiza de dos formas una hacia arriba y otra hacia abajo. Tres grupos consideran que el
tiempo es continuo. Uno de los grupos entre ellos discuten y aclaran que cuando la
pelota sube el tiempo va avanzando, pero cuando se regresa el tiempo retrocede y este
mismo grupo hace la gráfica una para la subida y otra para la vuelta. Se observa que los
estudiantes en esta situación están tomando el tiempo como una distancia. Establecen el
tiempo como variable al dibujarla en uno de los ejes de la gráfica. Tres de los grupos
suponen valores numéricos para la variable del tiempo y el otro simplemente realiza el
164
UNA SECUENCIA DE MODELACIÓN PARA LA INTRODUCCIÓN SIGNIFICATIVA DE LA FUNCIÓN CUADRÁTICA
bosquejo. Un grupo realiza la gráfica colocando el tiempo en el eje vertical, pero
conservando el movimiento que hace la pelota. Con lo anterior establecen el tiempo
como algo que siempre va avanzando.
E1: coloquemos el tiempo aquí y la distancia en la otra
E1: las distancias en k tienen un tiempo pero para L tienen otro tiempo, y para llegar a
P tiene otro tiempo.
E1: aquí estamos representando tanto el de subida como el de bajada
165
UNA SECUENCIA DE MODELACIÓN PARA LA INTRODUCCIÓN SIGNIFICATIVA DE LA FUNCIÓN CUADRÁTICA
E1: el tiempo total es 8 segundos, tenemos que saber la distancia
E1: tomemos la distancia de dos en dos
E2: más o menos se debe dar es la gráfica
Otro grupo expresa lo siguiente referente al tiempo
I: ¿tomaron el movimiento bajando y subiendo?
E2:¿ ahh tocaba bajando también?
E1: hagamos otra gráfica pero con el regreso
I: ¿por qué no la hacen en la misma gráfica?
E1: sí
E2: según lo que entendí el tiempo aumenta pero cuando se regresa el tiempo va
retrocediendo
En la pregunta 3 y 4, tres grupos reconocen que el tiempo transcurre a medida que se
realiza el movimiento y este va aumentando en cada momento. Un grupo dice que el
tiempo va avanzando a medida que la pelota sube, pero cuando ésta baja el tiempo
retrocede; parece ser que toman el tiempo como un movimiento que se puede realizar en
los dos sentidos. Sin embargo entre ellos mismos se corrigen y determinan que el
tiempo va avanzando. Un grupo introduce las palabras de velocidad y aceleración para
referirse al movimiento de subida y de bajada.
166
UNA SECUENCIA DE MODELACIÓN PARA LA INTRODUCCIÓN SIGNIFICATIVA DE LA FUNCIÓN CUADRÁTICA
La pelota inicia del punto P hasta llegar al punto K y a la medida que se va moviendo la pelota el tiempo va
avanzando.
I: ¿qué pasa con el tiempo de subida?
E3: el tiempo es 4
E3: que es el mismo de bajada
I: ¿cómo serían las alturas en ese punto tomado como referencia?
E1: las alturas son las mismas lo que cambia es el tiempo
E3: lo que cambia es el tiempo
E2: si
E1, E2: sucede porque la altura es fija y el tiempo cambia
Otro aporte de un grupo es el siguiente
I: ¿cómo serían las alturas en un punto que ustedes eligen?
167
UNA SECUENCIA DE MODELACIÓN PARA LA INTRODUCCIÓN SIGNIFICATIVA DE LA FUNCIÓN CUADRÁTICA
E2, E1: la misma
I: ¿y el tiempo?
E2: distintos
E1: la pelota que pasa por un punto el tiempo es diferente tanto en el de subida como el
de bajada
E1: ¿por qué?
E2: porque, cuando va subiendo la pelota el tiempo va avanzando y cuando baja el
tiempo va retrocediendo
E1: no, de todos modos el tiempo va aumentando siempre, solo que la pelota sube y
baja
Respecto a la pregunta 5, los grupos reconocen que el tiempo siempre aumenta
mientras la otra variable en unos momentos aumenta y en otros disminuye. Dos grupos
establecen unidades de tiempo y distancia (segundos y centímetros), mientras que los
otros dos simplemente mencionan las variables tiempo y distancia. Reconocen un antes
y después en el tiempo cuando establecen el punto donde la pelota se regresa.
La altura va aumentando pero a la vez va disminuyendo pero el tiempo siempre aumenta.
168
UNA SECUENCIA DE MODELACIÓN PARA LA INTRODUCCIÓN SIGNIFICATIVA DE LA FUNCIÓN CUADRÁTICA
E2: a partir del tiempo 12 comienzan los mismos datos de altura
E3: cuando la pelota sube, el tiempo y la altura aumentan, pero cuando baja el tiempo
sigue
I:¿qué pasa con la altura en el punto de regreso?
E2: se retrocede
En la pregunta 6, los grupos reconocen el tiempo como algo que siempre avanza, en
especial cuando realizan las gráficas y proponen las magnitudes en los respectivos ejes.
Cuando utilizan valores numéricos y los plasman en la gráfica están determinando que
el tiempo siempre prosigue. Al determinar un punto de inflexión donde la pelota se
regresa y graficarlo, están estableciendo un antes y después. Cuando se les pide
comparar la gráfica con la de sus compañeros contestan que son parecidas; esto porque
se fijan en la forma de la gráfica y tienen en cuenta los ejes donde se manifiesta el
tiempo como variable. Parece que solamente se fijan en la forma de la gráfica y no
reconocen que unas son esbozadas en el segundo cuadrante o que otra es realizada en
dos secciones, una de subida y otra de bajada. Esto enmarcado en lo que el estudiante
conoce y de acuerdo al diagnóstico reportado podemos decir que poco les interesa
donde realizar una gráfica en el plano cartesiano; lo fundamental para ellos es hacerla y
darle forma.
169
UNA SECUENCIA DE MODELACIÓN PARA LA INTRODUCCIÓN SIGNIFICATIVA DE LA FUNCIÓN CUADRÁTICA
Creo que la grafica aumenta asta cierto punto la altura pero disminuye despues y el tiempo sigue aumentando.
I: ¿Qué pasa con el tiempo?
E1: va aumentando
I: ¿qué pasa con la altura?
E1: va aumentando
E1: y llega a un punto y cambia
Referente a la pregunta 7, tres grupos en su respuesta reconocen la necesidad de tomar
el tiempo como variable para poder comprobar que el modelo gráfico es correcto. El
otro no menciona el tiempo directamente en su respuesta pero si señala que se miran las
proporciones para determinar la validez del modelo. Un grupo al responder la pregunta
170
UNA SECUENCIA DE MODELACIÓN PARA LA INTRODUCCIÓN SIGNIFICATIVA DE LA FUNCIÓN CUADRÁTICA
hace una relación fenómeno-gráfica para comprobar que un punto o coordenada
cualquiera del movimiento de la pelota, pertenece al modelo gráfico obtenido.
Determinan que a partir de un tiempo obtienen una altura y la pueden llevar a la gráfica
para su comprobación. Toman el tiempo como aquello que relaciona en este caso el
movimiento con la gráfica cartesiana.
Yo miraría en el video que tiempo va el numero de la regla en la pared y miraría los centimetros y el tiempo que
se han demorado la pelota en bajar o subir según mi nesesidad .
El lanzamiento vertical del video la distancia aumenta y el tiempo aumenta y a la vez disminuye si es el indicado
a la grafica.
6.2 Uso de la gráfica: Puntos clave
Para el análisis de este aspecto variacional se tendrán en cuenta las preguntas 1, 2, 3, 4,
6, 7.
En la pregunta 1, tres grupos reconocen que los puntos del movimiento de lanzamiento
vertical se pueden llevar al otro movimiento curvo y que los puntos que se toman en los
dos movimientos tanto de subida como de bajada son los mismos porque la pelota pasa
por esos puntos. Estos grupos usan como puntos clave los mostrados en el applet para
transportarlos de un movimiento al otro. Dos de estos grupos realizan la trayectoria
curva muy cerrada, tal vez creyendo que si la realizan más abierta el tiempo que
171
UNA SECUENCIA DE MODELACIÓN PARA LA INTRODUCCIÓN SIGNIFICATIVA DE LA FUNCIÓN CUADRÁTICA
transcurre es mayor. En cambio otro de los grupos la hace más ancha sin mencionar en
sus comentarios el porqué. El otro grupo cuando se le pide dibujar la trayectoria curva la
plasma como sucedió el movimiento en forma real, donde el punto P o de partida está
más alto que el punto de llegada, simbolizando uno de los puntos la altura de la persona
que lo lanza y el otro el suelo.
172
UNA SECUENCIA DE MODELACIÓN PARA LA INTRODUCCIÓN SIGNIFICATIVA DE LA FUNCIÓN CUADRÁTICA
E1: hagamos la trayectoria con rayitas
E2: los puntos de la trayectoria vertical la llevamos a la trayectoria curva
E1: ah, si
E1: los puntos de subida son los mismos que de bajada
E2: si pasan por el mismo punto deben ir al mismo nivel
E3: igual que el carrito
E2: Sebastián para que necesitan valores si solamente nos piden localizar
E1: ah, si
Referente a la pregunta 2, tres de los grupos marcan en el plano cartesiano puntos clave
(K, L, M, N, P) como guías para realizar la gráfica. Establecen valores numéricos en
uno de los ejes (tiempo) para hacer la correspondencia con los puntos nombrados
anteriormente que indican para ellos valores de altura y uno de los grupos establece
parejas ordenadas y las indica con líneas punteadas. De esta manera determinan una
relación entre tiempo y altura que muestran en sus gráficas. El otro de los grupos en su
gráfica no establece ningún valor en el eje del tiempo y tampoco en el de altura. Dos
grupos identifican el punto en el cual la pelota cambia de dirección. Otro grupo aunque
realiza la gráfica de subida y bajada por separado localiza el punto de regreso de la
pelota. En síntesis para ellos los puntos clave son necesarios para el esbozo de la
gráfica, pero además podemos reflexionar que toman estos puntos en forma
bidimensional estableciendo correlaciones entre el tiempo y la altura. Con los puntos
173
UNA SECUENCIA DE MODELACIÓN PARA LA INTRODUCCIÓN SIGNIFICATIVA DE LA FUNCIÓN CUADRÁTICA
establecen una continuidad que les muestra el movimiento de la pelota. Los grupos
usan los puntos para unir segmentos de recta y así dar la apariencia de la curva.
E1: la altura es diferente para tiempos diferentes
E1: coloquemos el tiempo aquí y la distancia en la otra (se refiere colocar el tiempo en
la vertical y la altura en la horizontal)
E1: las distancias en k tienen un tiempo pero para L tienen otro tiempo, y para llegar a
P tiene otro tiempo.
E1: aquí estamos representando tanto el de subida como el de bajada
E1: el tiempo total es 8 segundos, tenemos que saber la distancia
E1: tomemos la distancia de dos en dos
E2: más o menos se debe dar es la gráfica
174
UNA SECUENCIA DE MODELACIÓN PARA LA INTRODUCCIÓN SIGNIFICATIVA DE LA FUNCIÓN CUADRÁTICA
Respecto a la pregunta 3 y 4, los grupos reconocen que a través de los puntos mostrados
en el movimiento de la pelota visto en el applet sirven de guía y con ellos poder
esbozar la gráfica. Al poner en movimiento la simulación los grupos toman datos de
tiempo del deslizador mostrado en la simulación y a partir de estos determina el valor
respectivo para la altura.
E2: el punto donde se regresa es el K
E1: de para arriba disminuye la velocidad y de para abajo va aumentando
E1: para ese movimiento es el mismo intervalo de tiempo
E3: las alturas serían las mismas
Otro comentario es el siguiente
E1: ah, es lo mismo que arriba
E2: un intervalo de tiempo, es decir como en el punto M
E1: es el mismo punto para subida y bajada
E2: el tiempo sería más largo porque va pasando
E2: es lo mismo que lo de arriba pero ahora empezando
175
UNA SECUENCIA DE MODELACIÓN PARA LA INTRODUCCIÓN SIGNIFICATIVA DE LA FUNCIÓN CUADRÁTICA
I: ¿Qué pasaría con las alturas?
E1, E2: serían las mismas
E1: pero el tiempo más largo
En la pregunta 6, todos los grupos reconocen en los puntos el medio como guía para
realizar la gráfica. Establecen ejes donde colocan magnitudes y distribuyen valores
numéricos que sirven de guía y unión para indicar puntos que van a dar forma a la
gráfica. Establecen un punto de regreso de la pelota y lo marcan en la parte superior de
la gráfica. A partir de este punto pueden establecer un antes y un después. Para tres
grupos las parejas ordenadas establecidas en un sentido sirven para el otro, simplemente
prolongando las líneas. Aunque el otro grupo no une las parejas como los anteriores a
través de líneas, si establece los puntos y los marca en la gráfica. En esta pregunta se
puede observar que los puntos son usados para determinar el comportamiento curvo del
movimiento y romper lo de linealidad en los fenómenos de movimiento.
176
UNA SECUENCIA DE MODELACIÓN PARA LA INTRODUCCIÓN SIGNIFICATIVA DE LA FUNCIÓN CUADRÁTICA
I: ¿Qué pasa con el tiempo?
E1: va aumentando
I: ¿qué pasa con la altura?
E1: va aumentando
E1: y llega a un punto y cambia
Otro grupo comenta lo siguiente:
E3: haga las mismas rayitas que el tiempo pero coloca las medidas
E3: ahora unimos los puntos del tiempo con la altura
E3: ahora una al revés
E2: ¿cómo así?
E3: este con este y este con este así todos (se refiere a que los datos de altura ya
marcados se unen con los otros datos de tiempo pero esta vez cuando baja la pelota)
177
UNA SECUENCIA DE MODELACIÓN PARA LA INTRODUCCIÓN SIGNIFICATIVA DE LA FUNCIÓN CUADRÁTICA
E2: nos van a sobrar
E3: no, porque el cero también se toma
E2: ¡nos quedo como una montaña¡
Con respecto a la pregunta 7, los grupos para determinar la comprobación de modelo
gráfico toman como base unos puntos que sirven como claves para desarrollar la
pregunta. Uno de los grupos dice que tomando datos del fenómeno se puede comprobar
en la gráfica. Otro menciona que mirando el video y tomando tiempo y altura podría
comprobar lo más probable en la gráfica si estos puntos corresponden. Otro grupo trata
también de explicar que a través del video se pueden tomar datos que ayudarán a
conseguir lo que se quiere. Cuando mencionan la toma de datos están relacionándola
con puntos necesarios para realizar la comprobación.
Pues mirariamos las proporciones y la grafica y veriamos si es correcta
178
UNA SECUENCIA DE MODELACIÓN PARA LA INTRODUCCIÓN SIGNIFICATIVA DE LA FUNCIÓN CUADRÁTICA
6.3 Uso de la gráfica: intervalos
Para el análisis de este aspecto variacional se tuvo en cuenta las preguntas 1, 3, 4, 5, 6,
7.
En la pregunta 1, todos los grupos reconocen en los intervalos como la parte necesaria
para poder mostrar la trayectoria pedida. Reconocen que dividir una porción grande en
otras pequeñas, facilita realizar la trayectoria del movimiento de la pelota. Los grupos
toman en el lanzamiento vertical intervalos más o menos equidistantes teniendo en
cuenta la inflexión de regreso de la pelota. Uno de los grupos discuten entre ellos la
forma como sería la trayectoria y la posición de los puntos que marcan los intervalos
tomados para realizarla. Dos grupos toman los intervalos del movimiento vertical y los
transportan de idéntica manera a la curva. El otro grupo aunque toma intervalos
marcados con los puntos en el lanzamiento vertical, no los transporta de igual manera a
la curva.
179
UNA SECUENCIA DE MODELACIÓN PARA LA INTRODUCCIÓN SIGNIFICATIVA DE LA FUNCIÓN CUADRÁTICA
E1: hagamos una línea recta para el lanzamiento vertical
E1: ustedes tienen alguna otra manera de hacerla?
E1: así está bien?
E3: sí
E2: sí
I: cuando la pelota sube pasa por estos puntos y ¿cuándo baja?
E3: pasa también por esos puntos
E2: verticalmente bajan por los mismos puntos y la otra no
E1: ¡no¡, si pasan por los mismos puntos
E3: no pasan por los mismos puntos
E1: si porque empiezan en P y vuelve otra vez a P
E3: entonces la K sería arriba
E1: pasaría por P dos veces, por M dos veces, por N dos veces, por L dos veces
180
UNA SECUENCIA DE MODELACIÓN PARA LA INTRODUCCIÓN SIGNIFICATIVA DE LA FUNCIÓN CUADRÁTICA
Referente a la pregunta 2, los grupos realizan la gráfica reconociendo que una porción
grande, ya sea altura o tiempo se puede dividir en otras más pequeñas; esto se puede
observar cuando realizan su gráfica, donde señalan a través de valores numéricos o
alfabéticos posiciones que me indican intervalos, pero siempre marcando y uniendo
éstos con segmentos rectos mostrando que la linealidad en sus conceptos sigue estando
presente. Cada vez que los estudiantes reconocen puntos marcados con números o
letras están diciendo que estos pequeños pedazos de un todo son importantes en la
gráfica para realizarla.
Referente a las preguntas 3 y 4, los grupos toman el tiempo como variable y además
reconocen que este se puede dividir en pedazos pequeños como lo demuestran sus
respuestas a las preguntas y determinando con esto una correspondencia con la altura.
Para tomar estos intervalos usan puntos que demarcan las posiciones de estos intervalos.
Reconocen que hay una subida y una bajada, y con esto están demarcando dos
porciones del movimiento.
181
UNA SECUENCIA DE MODELACIÓN PARA LA INTRODUCCIÓN SIGNIFICATIVA DE LA FUNCIÓN CUADRÁTICA
E1: debemos saber cuánto tiempo hay desde L hasta K
E1: para M, N, P de bajada el tiempo va aumentando
I: ¿qué pasa con el tiempo de subida?
E3: el tiempo es 4
E3: que es el mismo de bajada
I: ¿cómo serían las alturas en ese punto tomado como referencia?
E1: las alturas son las mismas lo que cambia es el tiempo
E3: lo que cambia es el tiempo
E2: si
E1, E2: sucede porque la altura es fija y el tiempo cambia
Respecto a la pregunta 5, los grupos toman intervalos de tiempo para poder hallar los
valores correspondientes a la altura. Tres de los grupos toman intervalos de tiempo de
acuerdo a lo que le muestra el simulador de 0,033 segundos y a cada uno de ellos su
correspondiente altura. El otro grupo aunque toma intervalos de tiempo con valores de
0,66 segundos halla su equivalente a la altura en cada valor de tiempo marcado. Un
182
UNA SECUENCIA DE MODELACIÓN PARA LA INTRODUCCIÓN SIGNIFICATIVA DE LA FUNCIÓN CUADRÁTICA
grupo hace relación no solo entre el tiempo y la altura sino también con el número de
divisiones o tomas que hacen. Todos los grupos establecen magnitudes para realizar la
tabla y dos de ellos establecen unidades tanto para el tiempo (segundos) como la altura
(centímetros). El dividir un todo en partes iguales o diferentes como los estudiantes lo
hacen, determinan que la toma de intervalos es necesaria en el desarrollo de la pregunta.
E2: las tomas las vamos hacer para la regla, la altura y el tiempo
E2: algunas alturas tienen diferentes medidas, no van de cinco en cinco
E2: ¿el tiempo lo tomamos de 0,033?
E1: si
I: ¿para la altura que hacen?
E2: contamos las líneas para saber dónde queda la pelota
E1: ¿la altura siempre aumenta?
183
UNA SECUENCIA DE MODELACIÓN PARA LA INTRODUCCIÓN SIGNIFICATIVA DE LA FUNCIÓN CUADRÁTICA
I: observen bien el movimiento
E1: ah, en la 13 toma empieza a disminuir
En la pregunta 6, los grupos para realizar la gráfica toman los intervalos de tiempo con
su correspondiente altura escritos en el numeral anterior en la tabla y los instauran en
dos ejes uno para el tiempo y el otro para la altura y establecen una relación
bidimensional. Establecen parejas ordenadas tiempo vs altura. Dos de los grupos
dibujan la gráfica en el segundo cuadrante, las otras dos en el primer cuadrante y una de
ellos no une puntos con líneas. Cuando se les indaga la comparación entre la gráfica
realizada por cada grupo con la de sus compañeros determinan diferencias como la de
cifras numéricas ya que unos toman los intervalos de tiempo como 0, 033 segundos y
otros como 0,066 segundos (recordando que uno de los grupos no escribe 0,066 sino
0,66 segundos). En uno de los grupos se admiran al observar la forma de la gráfica
como de una montaña; se puede creer que los estudiantes empiezan a romper el
comportamiento lineal de estos fenómenos. Otro dice que al unir parejas ordenadas
quedan como una escalera. Con lo anterior los estudiantes afirman la necesidad de usar
intervalos para dibujar la gráfica.
184
UNA SECUENCIA DE MODELACIÓN PARA LA INTRODUCCIÓN SIGNIFICATIVA DE LA FUNCIÓN CUADRÁTICA
Las graficas son iguales lo unico que las diferencian es el tamaño y las cifras.
185
UNA SECUENCIA DE MODELACIÓN PARA LA INTRODUCCIÓN SIGNIFICATIVA DE LA FUNCIÓN CUADRÁTICA
Las graficas son casi iguales se diferencian solamente en su tamaño
E2: la gráfica es como la de la vez pasada
E2: ¿cómo hacemos la altura?
E3: haga las mismas rayitas que el tiempo pero coloca las medidas
E3: ahora unimos los puntos del tiempo con la altura
E3: ahora una al revés
E2: ¿cómo así?
E3: este con este y este con este así todos (se refiere a que los datos de altura ya
marcados se unen con los otros datos de tiempo pero esta vez cuando baja la pelota)
E2: nos van a sobrar
E3: no, porque el cero también se toma
E2: ¡nos quedo como una montaña¡
E1: eso queda así
E3: esto no va siempre recto
E3: tenemos que comparar con los demás
Otro grupo opina sobre la forma de la gráfica lo siguiente:
I: unan la gráfica de subida y la de bajada en una sola
186
UNA SECUENCIA DE MODELACIÓN PARA LA INTRODUCCIÓN SIGNIFICATIVA DE LA FUNCIÓN CUADRÁTICA
E3: esto queda como una escalera
E2: hay que unir los puntos, de ida y vuelta
E2: arriba se va volviendo más pequeña
Referente a la pregunta 7, los grupos mencionan siempre el tiempo como parte
fundamental para comprobar la validez del modelo y para esto tienen en cuenta
intervalos de tiempo con valores numéricos para obtener el respectivo valor en altura.
Un grupo menciona las proporciones tomadas de la gráfica para realizar la
comprobación lo más probable con el vídeo. Dos grupos mencionan el vídeo como
recurso para tomar intervalos numéricos de tiempo para hallar la altura y comprobarlos
en la gráfica.
6.4 Uso de tablas: secuencia numérica
Para el análisis de este aspecto variacional se tuvo en cuenta las preguntas 5, 6, 7.
En la pregunta 5, los grupos establecen una secuencia numérica para realizar la tabla,
donde se muestra el tiempo como variable independiente y la altura como la otra
variable. Establecen a partir de un intervalo de tiempo su respectivo valor para la altura.
187
UNA SECUENCIA DE MODELACIÓN PARA LA INTRODUCCIÓN SIGNIFICATIVA DE LA FUNCIÓN CUADRÁTICA
Miden el tiempo a través del simulador utilizado, donde pueden tomar el tiempo de
acuerdo al intervalo que ellos deseen. Los grupos a través de la tabla establecen puntos
que indican el momento en el cual se devuelve la pelota. Reconocen en la tabla
momentos como un antes y un después. Uno de los grupos toma los datos del tiempo
como 0,66 y no como 0,066 pero la relación de alturas si la dan correcta.
En la pregunta 6, todos los grupos toman como referencia la tabla y su secuencia
numérica para realizar la gráfica. En cada una de las gráficas que realizan los grupos
plasman los valores numéricos estableciendo el eje horizontal para el tiempo y la altura
para la vertical. Establecen parejas ordenadas tomadas de las tablas y las unen a través
de líneas para localizar el punto bidimensional. Ordenadamente colocan los valores
188
UNA SECUENCIA DE MODELACIÓN PARA LA INTRODUCCIÓN SIGNIFICATIVA DE LA FUNCIÓN CUADRÁTICA
numéricos en sus respectivos ejes. Con el uso adecuado de las secuencias numéricas
pueden establecer el punto de regreso de la pelota.
¿Se comienza desde cero?
E3: si, desde cero hasta el dato 26
E3: de cuanto en cuanto vamos a tomar los datos
189
UNA SECUENCIA DE MODELACIÓN PARA LA INTRODUCCIÓN SIGNIFICATIVA DE LA FUNCIÓN CUADRÁTICA
E1: 0,066 en tiempo
Otro grupo opinan lo siguiente:
E1: vamos hacer tiempo-altura en la gráfica
E1: ya me acordé el tiempo abajo y la altura arriba
E1: no entiendo cómo hacer la gráfica
I: tomen los datos y los grafican
E2: ahí no tiene que bajar
E1: si tienen que bajar porque estamos en la de bajada
Referente a la pregunta 7, tres de los grupos establecen que tomando valores numéricos
del vídeo de tiempo y midiendo la altura se puede comprobar el modelo gráfico. El otro
grupo dice que estableciendo proporciones es decir a través de valores numéricos se
puede comprobar la validez del modelo. Los grupos toman en cuenta que con
secuencias numéricas tomadas del vídeo o tabla de valores se puede comprobar si el
modelo es válido para la gráfica. Aunque ninguno de los grupos menciona directamente
el uso de las tablas para comprobar el modelo, reconocen el uso de datos y para esto se
necesita ordenarlos en una tabla. Uno de ellos menciona las proporciones, las cuales
son más fáciles de observar en datos tabulados.
190
UNA SECUENCIA DE MODELACIÓN PARA LA INTRODUCCIÓN SIGNIFICATIVA DE LA FUNCIÓN CUADRÁTICA
Que cada tiempo tiene su distancia como en el video que vimos.
E3: miraríamos la gráfica para comprobar y el movimiento en el video
E2: la pelota para y se devuelve, volviéndose más lenta
E3: miraríamos las proporciones y la comparamos con la gráfica
6.5 Síntesis final
Al realizar el análisis de cada una de las secuencias y sus respectivas preguntas,
debemos reconocer el interés puesto por los estudiantes en el desarrollo de las
actividades que se plasman en cada uno de los argumentos escritos o comentados a
través de los audios y videos.
Los aspectos variacionales propuestos son los encargados de darle al estudiante la
dinámica para que inicie el proceso de indagación de conocimiento mostrando las
secuencias como un reto realizable.
En el desarrollo de las secuencias el estudiante a través de sus acciones favorece los
cuatro aspectos variacionales, los cuales proporcionan una introducción al conocimiento
de función cuadrática enlazada con la práctica de modelación, estableciendo relaciones,
creando inquietudes sobre el conocimiento y eligiendo las herramientas que lo llevan a
la consecución de este conocimiento.
191
UNA SECUENCIA DE MODELACIÓN PARA LA INTRODUCCIÓN SIGNIFICATIVA DE LA FUNCIÓN CUADRÁTICA
Cada uno de los aspectos variacionales analizados contribuyeron y aportaron para
resignificar el concepto de función cuadrática desde la práctica de modelación.
El análisis de las propuestas didácticas donde los cuatro aspectos variacionales son
descubiertos y utilizados por los estudiantes, permitieron formar un engranaje entre
estudiante-práctica de modelación- ambiente-y profesor para llegar a la consecución de
los logros propuestos en nuestro trabajo de investigación.
Un análisis variacional es cuando se proponen argumentos herramientas y estrategias
para estudiar el cambio, analizarlo, cualificarlo, cuantificarlo y graficarlo. En este
sentido Cantoral, Molina y Sánchez (2005) nos comentan que una persona utiliza
argumentos y estrategias de tipo variacional cuando hace uso de ideas, técnicas o
explicaciones que de alguna manera reflejan y expresan el reconocimiento cuantitativo
y cualitativo del cambio de un cuerpo, sistema u objeto que se esté estudiando.
Se pudo observar que el estudiantado utiliza algunas propiedades y características para
significar el tiempo estableciendo que es independiente, se le puede dar valores
numéricos, lo toman como intervalos y como un todo. Si se toma el tiempo en una
dimensión lo reconocen como ese algo que siempre avanza representándolo como un
punto y cuando la toman en forma bidimensional ya sea para relacionarla con la
distancia del auto o la altura de la pelota, establecen intersecciones señalando puntos
donde esto sucede. Los estudiantes reconocen el tiempo como variable independiente y
son capaces de analizar una trayectoria, pero cuando se piensa relacionar el tiempo en
una gráfica se les dificulta y no lo perciben fácilmente (Dolores, Alarcón y Albarrán,
2003). El tiempo es algo que avanza y es progresivo. A través del análisis del tiempo se
puede establecer un antes y un después. Un grupo en sus comentarios y respuestas trata
de manifestar el tiempo como una distancia, estableciendo que si un objeto va hacia un
192
UNA SECUENCIA DE MODELACIÓN PARA LA INTRODUCCIÓN SIGNIFICATIVA DE LA FUNCIÓN CUADRÁTICA
punto y nuevamente regresa el tiempo también lo hace es decir aumenta y luego se
regresa. Un acercamiento a lo que este grupo quiso decir con esto del tiempo puede ser
que querían significarlo como una variable (distancia) que se puede recorrer en ambos
sentidos.
De acuerdo a lo visto y analizado en cada una de las secuencias se puede comentar que
las gráficas en el caso que nos compete son básicas para observar las variaciones de las
magnitudes establecidas, determinar el comportamiento del fenómeno, establecer
relaciones distancia-tiempo o altura-tiempo, establecer proporcionalidad, establecer
puntos clave, establecer parejas ordenadas y reconocer intervalos (algo que se puede
partir en porciones). Por esto tomamos como aspecto variacional los intervalos y los
puntos clave; el uso de las gráficas se percibe como una herramienta para que dichos
aspectos sean significativos. Con los intervalos al tomar partes pequeñas de un todo
están permitiendo analizar un cambio que puede ser cualitativo o cuantitativo.
Cualitativo en el momento que el estudiante establece el intervalo en el cual el objeto
regresa o baja y cuantitativo cuando reconoce que el objeto se detiene aludiendo que no
hay movimiento y su velocidad es cero. El estudiante para responder las preguntas
propuestas usa la gráfica identificando puntos clave o significativos, ya sea
numéricamente o posicionales utilizándolos para hallar las coordenadas de intersección,
reconociendo que son clave porque muestran las características del cambio sucedido en
el punto. La utilización de intervalos en la gráfica le permite al estudiante dar solución
a las actividades propuestas, donde el cúmulo de intervalos da la proporción final
(Buendía, 2012).
Las tablas sirven de organizador de los datos numéricos para llevarlos a la gráfica; pero
también me dan indicios de la proporcionalidad, del comportamiento del fenómeno,
193
UNA SECUENCIA DE MODELACIÓN PARA LA INTRODUCCIÓN SIGNIFICATIVA DE LA FUNCIÓN CUADRÁTICA
permite establecer magnitudes y unidades y muestra en forma global el camino para la
construcción de la gráfica. En ella se establecen relaciones entre sus magnitudes. Son un
punto de unión entre el fenómeno real y el esbozo de una gráfica. Las tablas les permite
un ordenamiento de datos y observar su relevancia en la graficación estableciendo una
relación sucesiones numéricas-gráfica y la de fenómeno-sucesiones numéricas. El
estudiante interactúa con el fenómeno identificando las variables que intervienen en él,
tomando y organizando los datos obtenidos en una tabla numérica (Arrieta, 2003).
Se sugiere que cuando se quiera analizar o buscar los aspectos variacionales para
diseños instruccionales primero se debe realizar una prueba diagnóstica que le va a dar
luces para comenzar a establecer estos aspectos. Seguidamente cuando se esté
diseñando las actividades incluir de manera implícita los aspectos variacionales que se
quieran dar en las actividades propuestas. Después del diseño en la metodología para la
obtención de los datos debe tener en cuenta todo aquello que el estudiante realiza
durante el desarrollo de las actividades (la manera como pregunta y responde, los gestos
que realiza, los movimientos que hace, las relaciones que establece con los compañeros,
el uso de los recursos, los escritos, audios que puede obtener de ellos y/o vídeos). Lo
anterior facilita la obtención de datos que por otro medio no se puede lograr. En el
análisis de los resultados es muy importante tener claro los aspectos variacionales y
tomando lo dicho anteriormente sobre el reconocer en el análisis todo lo que el
estudiante hace para obtener los resultados satisfactorios.
194
UNA SECUENCIA DE MODELACIÓN PARA LA INTRODUCCIÓN SIGNIFICATIVA DE LA FUNCIÓN CUADRÁTICA
COMENTARIOS FINALES
La propuesta de una secuencia didáctica a través de la práctica de modelación para
estudiantes que están en transición hacia el precálculo enmarcada en la
socioepistemología, tuvo entre sus proposiciones crear ambientes ricos en significados
y en argumentos partiendo de cada una de las acciones de los individuos como seres
humanos en las actividades matemáticas trazadas, donde la modelación es utilizada
como práctica en la obtención de conocimiento.
Las secuencias diseñadas fueron ideadas con el fin de discutir y favorecer en el
desarrollo de las actividades los aspectos variacionales de la función cuadrática, donde
la práctica de modelación toma parte activa en el proceso enseñanza aprendizaje de la
función cuadrática. La investigación ha contribuido a formar un marco de referencia
que involucra la modelación, la teoría (aspectos variacionales, uso de gráficas), la
metodología y el uso de la tecnología como recurso. La perspectiva motivó a que el
estudio para la introducción de la función cuadrática en sus aspectos variacionales se
dirigiera a la generación de conocimiento.
Las respuestas dadas por los estudiantes favorecieron los aspectos variacionales
propiciando la resignificación de función cuadrática como una introducción.
El tiempo como variable independiente. Se estableció que los estudiantes reconocen
que el tiempo es una magnitud que siempre es positiva y no tiene regreso, siempre va
aumentado. Aunque algunos al graficar no tomaban el tiempo en el eje horizontal
generalmente la reconocieron como variable en todas la preguntas de las secuencias que
195
UNA SECUENCIA DE MODELACIÓN PARA LA INTRODUCCIÓN SIGNIFICATIVA DE LA FUNCIÓN CUADRÁTICA
hacían alusión al tiempo dándole un significado. La concepción del tiempo en el eje
horizontal, el estudiante lo acepta como algo que se debe aprender simplemente. A
través del análisis del tiempo se puede establecer un antes y un después en las acciones
realizadas por los estudiantes. Toman el tiempo en algunas ocasiones como si fuera una
distancia que puede aumentar y en otras regresar.
En la investigación es relevante que se tome el tiempo como variable independiente,
debido a que en la escuela está institucionalizado de este modo y el objetivo de la tesis
se dirige tenerlo en cuenta de esta manera. Recordando que es a través de la
modelación que se quiere relacionar el conocimiento científico (trayectorias visibles a la
imaginación) con el conocimiento escolar (el tiempo como variable independiente). Se
recomienda en otras investigaciones tomar el tiempo como variable simplemente. Y de
esto nuestra investigación da luces que pueden ser el punto de partida.
Uso de la gráfica: Puntos clave. La mayoría reconoció la diferencia entre trayectoria y
gráfica, y en ambas situaciones identificó y estableció puntos necesarios para
realizarlas, como también puntos de partida y de llegada. Aunque inicialmente cuando
se les pide el bosquejo de una gráfica de acuerdo al fenómeno dado, no determinan su
comportamiento, pero sí reconocen que existen puntos necesarios para realizarla. Con
el uso de puntos clave determinan lugares donde establecen a través de la variable
independiente (tiempo) un antes y un después. Los puntos clave ayudan a que el
estudiante rompa con la linealidad en los fenómenos que se presentan, reconociendo que
no todos los fenómenos tienen comportamiento lineal. Los puntos clave permiten al
estudiante visualizar cambios.
Uso de la gráfica: intervalos. La palabra intervalos para ellos era ajena al discurso
matemático escolar, sin embargo toman divisiones iguales del tiempo para realizar
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UNA SECUENCIA DE MODELACIÓN PARA LA INTRODUCCIÓN SIGNIFICATIVA DE LA FUNCIÓN CUADRÁTICA
tomas de datos como también para realizar la graficación y establecer correlación con la
distancia o altura a través de la cuadrícula. Al tomar un intervalo de tiempo
inmediatamente lo relacionan en la gráfica con otra magnitud ya sea distancia o altura
de acuerdo al fenómeno que se estudió. Establecen parejas ordenadas y reconocen
intervalos (algo que se puede partir en porciones) para en conjunto realizar los
bosquejos de la gráfica. Los intervalos son ayuda para que el estudiante reconozca los
cambios que sufren los objetos en movimiento ya sean cualitativos o cuantitativos.
Uso de tablas: secuencia numérica. Establecieron magnitudes como variables que se
tienen en cuenta para realizar una tabla. Algunos reconocieron dentro de la tabla puntos
clave y usaron intervalos de tiempo para establecer los valores de la variable
dependiente. Con las secuencias numéricas constituidas en la tabla se establecen
relaciones y proporcionalidad. Éstas son un punto de unión entre el fenómeno real y el
esbozo de una gráfica. El uso de secuencias numéricas les permitió un ordenamiento de
datos y observar su relevancia en la graficación estableciendo una relación de
fenómeno-sucesiones numéricas y sucesiones numéricas-gráfica.
Cuando se hace la comparación de las gráficas que los estudiantes en grupo realizaron
inicialmente como bosquejo y luego con los datos de la tabla, se admiraron de ver el
comportamiento de la gráfica en forma de curva. Algunos comentan que al establecer
parejas ordenadas se observa como si fueran escaleras que le dan forma a la gráfica.
Esto manifiesta que los estudiantes reconocen que no todo fenómeno se representa en
forma de línea recta en una gráfica rompiendo con la linealidad en los fenómenos.
El cuestionario diagnóstico a parte de haber servido como preámbulo para determinar el
conocimiento sobre gráficas y aspectos variacionales, nos mostró que las secuencias
eran adecuadas para la aplicación en el grado establecido.
197
UNA SECUENCIA DE MODELACIÓN PARA LA INTRODUCCIÓN SIGNIFICATIVA DE LA FUNCIÓN CUADRÁTICA
También en esta investigación la metodología “experimentos de diseño” permitió
obtener información determinante y adecuada, porque es a través de esta metodología
que se recopilaron datos, argumentaciones procedentes de contextos naturales, se
abordaron aspectos teóricos relativos a la variación y al uso de las gráficas de la función
cuadrática.
La intervención del investigador dentro del desarrollo investigativo permitió una
interacción directa entre los estudiantes y motivó a que se despertara esa dinámica entre
ellos.
El tener como referente los experimentos de diseño permitió reconocer las posturas de
los estudiantes en las secuencias expuestas. Esto ayudado con los gestos, movimientos,
acciones, intervenciones y proposiciones que realizaron los estudiantes captado en
videos y audios; es el complemento necesario que se tuvo en cuenta en el análisis de
resultados.
La investigación nos lleva a creer que las bases de significados alrededor de cuatro
elementos variacionales para el conocimiento de la función cuadrática y donde es tenida
en cuenta la práctica de modelación en una perspectiva socioepistemológica y a través
de la aplicación de secuencias es realizable en el aula de clase para estudiantes entre 12-
13 años, que hasta ahora comienzan el trasegar en el precálculo.
Esta propuesta de investigación en matemática educativa se encamina a ser un referente
en el proceso enseñanza aprendizaje de la matemática a nivel de bachillerato y con sus
adaptaciones a otros niveles. Donde la modelación sea tomada como una práctica a
partir de la cual se resignifica conocimiento matemático usando los experimentos de
diseño como complemento, de forma que no solo es valioso lo que el estudiante plasma
198
UNA SECUENCIA DE MODELACIÓN PARA LA INTRODUCCIÓN SIGNIFICATIVA DE LA FUNCIÓN CUADRÁTICA
en un escrito, sino que además sus relaciones con el medio y con sus semejantes, sus
formas de expresar, de proponer brindarán respuestas a algunos interrogantes de la
investigación no observables en el discurso escolar cotidiano. Así podemos creer que
estableciendo una interacción acorde a cada uno de los momentos entre fenómeno-
modelación- experimento de diseño podemos formar un conglomerado que directa o
indirectamente contribuyen a la resignificación de conocimiento en nuestro caso el de
función cuadrática.
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UNA SECUENCIA DE MODELACIÓN PARA LA INTRODUCCIÓN SIGNIFICATIVA DE LA FUNCIÓN CUADRÁTICA
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UNA SECUENCIA DE MODELACIÓN PARA LA INTRODUCCIÓN SIGNIFICATIVA DE LA FUNCIÓN CUADRÁTICA
ANEXOS
ANEXO 1
Estándares Básicos de Competencias en Matemáticas
OCTAVO A NOVENO
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UNA SECUENCIA DE MODELACIÓN PARA LA INTRODUCCIÓN SIGNIFICATIVA DE LA FUNCIÓN CUADRÁTICA
ANEXO 2
CUESTIONARIO DIAGNÓSTICO: TRAYECTORIA Y GRÁFICA
El siguiente cuestionario puede ser aplicado a estudiantes comprendidos entre los 10- 11 años de los grados sexto y séptimo.
1. De acuerdo a sus conocimientos dibuje una gráfica cualquiera.
2. ¿Qué entiende por una gráfica lineal? Esbócela
3. Un automóvil se mueve en línea recta una distancia de 200m.Dibuje esta
trayectoria
4. El mismo auto después debe subir una montaña de 250m y 250 m de bajada.
Dibuja esta trayectoria.
5. La gráfica siguiente describe el movimiento de una oruga tomando en cuenta el
tiempo y la distancia. Si a usted le muestran la siguiente gráfica y le piden que
debe describir con palabras dicho movimiento a sus compañeros que no han
visto la gráfica, ¿qué les dirías?
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UNA SECUENCIA DE MODELACIÓN PARA LA INTRODUCCIÓN SIGNIFICATIVA DE LA FUNCIÓN CUADRÁTICA
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UNA SECUENCIA DE MODELACIÓN PARA LA INTRODUCCIÓN SIGNIFICATIVA DE LA FUNCIÓN CUADRÁTICA
ANEXO 3
SECUENCIA 1
MOVIMIENTO DE IDA Y REGRESO
En esta actividad se da un Applet a los estudiantes donde se muestra un automóvil que
se mueve a través de una autopista partiendo del punto (B) hasta un punto (C)
efectuando un movimiento donde se detiene en (C) y se devuelve hacia el punto (B). En
cada punto marcado se toman distancias y velocidades. De acuerdo a estos criterios
dados precisar las siguientes preguntas, observando el movimiento del auto.
1. Si dos autos se ponen en movimiento al mismo instante uno va en forma horizontal moviéndose de B-C a C-B y otro a través de una montaña, las distancias que recorren son las mismas y el tiempo transcurrido también es idéntico ¿Cómo serían sus trayectorias? Dibújelas. Se quiere llevar los puntos marcados en el movimiento de ida y regreso horizontal (B, G, H, I, C) al movimiento del auto en montaña. ¿Discuta con sus compañeros dónde los localizaría? Márquelos
2. Tomando el tramo B-G y el I-C de ida ¿Al comparar los tiempos gastados en esos tramos cómo serían y porqué? _________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________
3. Si tomo esos mismos tramos pero de regreso C-I y G-B ¿Cómo sería la comparación de los tiempos con respecto al movimiento de ida? _________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________
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UNA SECUENCIA DE MODELACIÓN PARA LA INTRODUCCIÓN SIGNIFICATIVA DE LA FUNCIÓN CUADRÁTICA
4. Si le pidieran llevar el movimiento del auto F a una gráfica teniendo como
magnitudes el tiempo y la distancia ¿Cómo lo haría? Esbócela
5. Compara la gráfica que obtuvo con la de otros compañeros ¿Qué diferencias encuentras?
_________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________
6. Tomando intervalos de tiempo pequeños en el movimiento que hace el auto de ida y regreso medir las distancias recorridas, y plasmarlas en una tabla. ¿Cómo cree que es la relación de los datos numéricos del tiempo referente a la altura? Comente
______________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________
7. ¿Cómo cree que sería la gráfica del movimiento teniendo en cuenta la situación
del numeral anterior? ¿Tiene alguna similitud con la esbozada anteriormente por usted? Compara la gráfica y de su opinión.
______________________________________________________________________________________________________________________________________________________
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UNA SECUENCIA DE MODELACIÓN PARA LA INTRODUCCIÓN SIGNIFICATIVA DE LA FUNCIÓN CUADRÁTICA
ANEXO 4
SECUENCIA 2
LANZAMIENTO VERTICAL
Se lanza una pelota hacia arriba en forma vertical observando su movimiento hasta que
nuevamente llegue al lugar de lanzamiento. Cada grupo de estudiantes debe precisar las
preguntas expuestas respondiendo de manera clara, y argumentativa.
1. Realice los siguientes lanzamientos con una pelota: un lanzamiento vertical y uno que forme una curva. Suponiendo que se demoran los movimientos igual tiempo en caer y llegan a la misma altura. Discuta con sus compañeros ¿Tomando unos puntos cualesquiera en el lanzamiento vertical, transportarlos al otro movimiento dónde los ubicaría? Dibuja en una hoja las dos trayectorias y localiza los puntos.
2. ¿Cómo llevarías el movimiento que hace la pelota al lanzarla verticalmente desde el punto de partida (P) hasta que llega nuevamente a su inicio a una gráfica?
3. Discutir con sus compañeros sobre el lanzamiento de la pelota hacia arriba un
instante antes de llegar la pelota al punto donde se regresa y ese mismo intervalo
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UNA SECUENCIA DE MODELACIÓN PARA LA INTRODUCCIÓN SIGNIFICATIVA DE LA FUNCIÓN CUADRÁTICA
de tiempo después que se regresa ¿Cómo serían las alturas en esos puntos y qué pasa con el tiempo transcurrido? ¿Por qué sucede eso?
______________________________________________________________________ ______________________________________________________________________ ______________________________________________________________________
4. Si tomamos un intervalo pequeño de tiempo después del lanzamiento y ese
mismo momento de tiempo, pero antes de caer ¿Qué piensa sobre las alturas en ese intervalo y a qué se debe?
______________________________________________________________________ ______________________________________________________________________ ______________________________________________________________________
Para realizar la siguiente actividad los estudiantes toman una pelota y realizan un lanzamiento vertical hacia arriba. Con anterioridad se han marcado en una regleta que se coloca valores numéricos con el propósito de medir las alturas en un determinado tiempo.
5. Tomando intervalos de tiempo pequeños, medir las alturas correspondientes y mostrarlas en una tabla. Deben ser más de diez tomas. ¿Cómo cree que es la relación de los datos numéricos del tiempo referente a la altura? Comente
____________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________
6. ¿Cómo cree que sería la gráfica del movimiento teniendo en cuenta la situación del numeral anterior? tiene alguna similitud con la esbozada anteriormente en el numeral 2? Compara su gráfica con la obtenida por otros grupos y de su opinión
____________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________
7. Si le pidieran comprobar que el modelo gráfico que se obtuvo es el indicado para el fenómeno mostrado de lanzamiento vertical ¿Qué debes hacer?
____________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________
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