unidad iv_esfuerzo cortante y tensión diagonal_ 09-07-2015

UNIDAD IV: ESFUERZO CORTANE Y TENSIÓN DIAGONAL

1

UNIVERSIDAD NACIONAL PEDRO RUIZ GALLO ESCUELA PROFESIONAL DE INGENIERÍA CIVIL

CONCRETO ARMADO I – UNIDAD IV - Ing. E. De La Rosa Ríos

4.1 INTRODUCCIÓN

Como ya es conocido, el objetivo del proyectista de estructuras de concreto reforzado hoy

en día es producir miembros dúctiles que den aviso la ocurrencia de fallas. Para lograr esta

meta, el código ACI provee valores del cortante de diseño que tienen factores de seguridad

mayores contra fallas por cortante que los previstos para fallas por flexión.

Las fallas por cortante de las vigas de concreto reforzado son muy diferentes de las fallas

por flexión. Las fallas por cortante ocurren repentinamente, sin previo aviso. Por tanto, las

vigas se diseñan para fallar por flexión bajo cargas que son considerablemente menores a

aquellas que causarían las fallas por cortante.

En consecuencia, esos miembros fallan dúctilmente. Pueden agrietarse y sufrir grandes

deflexiones si se sobrecargan, pero no se desploman como lo harían si la falla por cortante

fuese posible.

Por ello, en la mayoría de los casos, los elementos de concreto armado se dimensionan para

resistir las solicitaciones de flexión y posteriormente se verifica su resistencia al corte. En

caso que la sección no resista el corte aplicado, se le refuerza con acero transversal. Sólo en

el caso de vigas cortas, en las que predomina el peralte a la luz libre, las dimensiones del

elemento se definen en función a las solicitaciones de corte. En ellas, los esfuerzos

originados por la flexión no dominan el diseño.


2 CONCRETO ARMADO I – UNIDAD IV - Ing. E. De La Rosa Ríos

El efecto de la fuerza cortante varía si se trata de elementos esbeltos, vigas peraltadas, y

losas. Los mecanismos de resistencia también varían en las estructuras enumeradas. La

falla debida a esfuerzo cortante es frágil y siempre se debe tomar provisiones para

evitarla.

El comportamiento de las piezas estructurales de hormigón armado sometidas a fuerzas

cortantes, es más complejo que su comportamiento bajo solicitaciones flexionantes.

La resistencia a la compresión y a la tracción del concreto simple, la orientación del

refuerzo de acero con relación a las fisuras de corte, y la proximidad de cargas

concentradas, el nivel dentro de la viga en el que actúan las cargas, son algunos de los

factores que definen los mecanismos que se desarrollan dentro de los elementos

estructurales para resistir las fuerzas cortantes. La presencia simultánea de todos estos

factores determina que las fallas por cortante sean frágiles, lo que es una característica

indeseable que debe ser controlada durante el proceso de diseño.

Los elementos de hormigón armado afectados por fuerzas cortantes usualmente también

están sometidos a la acción de momentos flectores. Es posible que también estén

presentes solicitaciones axiales y torsionales que pueden volver aún más compleja la

predicción del comportamiento de las estructuras.

La teoría de cortante en vigas, desarrollada para materiales homogéneos, isotrópicos y

elásticos, puede ser utilizada como punto de partida, pero debe ser modificada para

tomar en consideración los restantes factores involucrados.



4.2 LOS ESFUERZOS CORTANTES: Las fuerzas cortantes transversales externas V, que actúan sobre los elementos

estructurales, deben ser resistidas por esfuerzos cortantes internos 𝜏 , igualmente

transversales, pero por equilibrio también generan cortantes horizontales como se observa

en la siguiente figura.

Figura 4.1: Fuerza cortante y esfuerzos de corte.

La Resistencia de Materiales permite definir las ecuaciones que describen la variabilidad

del flujo de cortante, y de los esfuerzos cortantes internos 𝝉, en función dela altura a la

que se miden tales esfuerzos, para materiales homogéneos, isotrópicos y elásticos.

En el caso del concreto armado, el ACI 2008 y la NTP E.060 se optó por manejar un

esfuerzo cortante referencial o característico promedio 𝒗, lo que facilita la inclusión de

los diferentes parámetros que influyen en la resistencia al cortante.



Para el caso de secciones rectangulares, secciones T, secciones L, y secciones I, el ACI

y el E.060 establecen como esfuerzo cortante característico, antes de afectarse con otros

factores, al obtenido mediante la siguiente expresión:

𝑣 =𝑉

𝑏𝑤𝑑 (4.1)

Donde:

𝑣: esfuerzo cortante referencial promedio

𝑉: fuerza cortante

𝑏𝑤: ancho del alma resistente al cortante

𝑑: peralte efectivo.

Figura 8.2: Secciones rectangular, Fuerzas cortantes y esfuerzos de corte.

En geometrías rectangulares el esfuerzo característico es el esfuerzo promedio de la

sección efectiva, mientras que en secciones T, L e I, es el esfuerzo promedio en el alma.



8.3 LA RESISTENCIA A CORTANTE EN VIGAS DE CONCRETO SIN

REFUERZO EN EL ALMA La combinación de la flexión y el cortante sobre los elementos estructurales planos

genera un estado biaxial de esfuerzos.

Figura 4.3: Líneas de esfuerzos principales en vigas con cargas uniformemente distribuidas.

Si se toma como referencia la viga de la figura 4.3, se observa el estado tensional con

flujo de esfuerzos desde un apoyo al otro, a modo de arco.



Figura 4.4: Flujo de esfuerzos de compresión.

En la dirección perpendicular al flujo de esfuerzos de compresión se produce un

flujo de esfuerzos de tracciones, que es crítico en el caso del concreto.

Figura 4.5: Flujo de esfuerzos de tracciones.



En la estructura analizada, la fisuración de tracción por flexión domina en la zona central,

mientras que la fisuración de tracción por cortante domina la zona cercana a los apoyos.

Figura 4.6: Mapa de figuraciones.

El esfuerzo mínimo resistente a corte del concreto simple se calcula mediante la

siguiente expresión básica [ACI 11.3.2], que por su forma de expresión guarda una relación

directa con la resistencia a la tracción del hormigón:

𝑣𝑐 = 0.53 𝑓´𝑐 (con 𝑓´𝑐 𝑒𝑛 𝑘𝑔/𝑐𝑚2) (4.2)

𝑣𝑐 = 0.17 𝑓´𝑐 (𝑐𝑜𝑛 𝑓´𝑐 𝑒𝑛 𝑀𝑃𝑎) Donde:

𝑓´𝑐: resistencia característica del concreto a compresión en kg/cm2 y MPa.

𝑣𝑐: esfuerzo máximo resistente a cortante del concreto en kg/cm2 y MPa.



A continuación se presenta la tabla 4.1 con valores de resistencia mínima al cortante para

diferentes calidades de concreto.

Tabla 4.1: Resistencia al cortante de diferentes tipos de concreto según ACI.

Para un análisis cuando exista, además de las fuerzas cortantes, la acción de fuerzas

axiales de compresión, el código ACI-2008 recomienda utilizar la siguiente expresión

para definir la resistencia al cortante [ACI 11.3.1.2]: 𝑣𝑐 = 0.53 1 +

𝑁𝑢

140𝐴𝑔𝑓´𝑐 (4.2-a)

Donde:

𝑁𝑢: carga axial última de compresión que ocurre simultáneamente con 𝑣𝑢, en kg.

𝐴𝑔: Sección transversal de hormigón en cm2.

𝑓´𝑐 (kg/𝑐𝑚2) 𝑣𝑐 (

𝑘𝑔

𝑐𝑚2)

𝑣𝑐 = 0.17 1 +𝑁𝑢

14 𝐴𝑔𝑓´𝑐 (Unidades SI) (4.2-b)

La cantidad 𝑁𝑢

𝐴𝑔 de 4.2-b, debe expresarse en MPa.



4.4 EL ACERO EN LA RESISTENCIA A CORTE DEL CONCRETO ARMADO

Las fisuras de tracción por flexión se empiezan a producir en la zona inferior de laviga

(zona de mayores esfuerzos de tracción) y se propagan verticalmente hacia arriba. La

propagación de estas fisuras se controla por que son absorbidas por el acero

longitudinal de flexión en la zona más crítica (fibras inferiores), que además de limitar

el ancho de las rajaduras, evita que el eje neutro se desplace excesivamente hacia

arriba, de modo que una vez que las fisuras alcanzan el eje neutro, se detiene su

crecimiento.

Figura 4.7: Armadura longitudinal que controla las fisuras de flexión.



Por otra parte, las fisuras de tracción por cortante inician en las fibras centrales (que

tienen los mayores esfuerzos) y rápidamente se propagan hacia los dos extremos (fibras

superiores e inferiores). La fisuración alcanza afectar inclusive a la porción ubicada

encima del eje neutro de flexión por lo que se requiere de acero adicional que atraviese

esas fisuras en todos los niveles y controle el crecimiento de las mismas para evitar la

falla de la estructura.

El acero resistente al corte tiene generalmente la forma de estribos transversales, y

ocasionalmente de varillas longitudinales dobladas a 45º.

Figura 4.8: Armadura transversal que controla a las fisuras de cortante.



Figura 4.9: Armadura doblada diagonal que controla a las fisuras de cortante.

Mientras los estribos cruzan a las fisuras con sus 2 ramales verticales, en el caso de

las barras dobladas el cruce se produce en un solo sitio, por lo que los estribos son

doblemente efectivos.

La fisuración por flexión se produce en la dirección transversal (zona central de la

siguiente figura), y la fisuración por cortante en la zona crítica de los apoyos se

produce aproximadamente a 45º del eje longitudinal.



Figura 4.10: Orientación de las fisuras por flexión y por cortante.

4.5 DISEÑO A CORTANTE DE VIGAS DE CONCRETO ARMADO, CON

REFUERZO TRANSVERSAL EN EL ALMA Las vigas de concreto armado presentan 2 mecanismos para resistir a las fuerzas

cortantes:

Resistencia pura del concreto

Resistencia del acero transversal o diagonal

Como consecuencia, la capacidad resistente nominal viene dada por la siguiente

expresión [ACI 11.1.1]:



Donde:

𝑉𝑛: capacidad resistente nominal a corte de la viga de concreto armado

𝑉𝑐: capacidad resistente a corte del concreto simple

𝑉𝑠: capacidad resistente a corte del acero de refuerzo

𝑉𝑛 = 𝑉𝑐 + 𝑉𝑠

Figura 4.11: Estribos transversales que cruzan las fisuras de cortante.



En el límite, la relación entre el cortante último y la capacidad resistente nominal es :

𝑽𝒖 ≤ 𝜙 ⋅ 𝑉𝑛 [ACI-11.1.1] (4.4) Donde:

𝑉𝑢: solicitación última de cortante

𝑉𝑛: capacidad resistente nominal a corte de la viga de concreto armado

𝜙 : factor de reducción de capacidad a cortante = 0.75 para ACI 2008 y NTP E.060.

Para el análisis que sigue usaremos el sino de igualad 𝑽𝒖 = 𝜙 ⋅ 𝑉𝑛

La condición básica que se debe cumplir para que la capacidad resistente sea adecuada

con relación a las solicitaciones es que:

𝑉𝑢 = 𝜙 𝑉𝑐 + 𝑉𝑠 (4.5)

La capacidad resistente del concreto simple en vigas de sección rectangular, T, L o I [ACI

11.3.2] está definida por:

𝑉𝑐 = 𝑣𝑐. 𝑏𝑤 . 𝑑 (4.6)

𝑉𝑐: capacidad resistente a corte del concreto simple

𝑣𝑐: esfuerzo resistente del concreto ( 0.53 𝑓´𝑐 ó 𝑣𝑐 = 0.53(1+ Nu /(140Ag )) 𝑓´𝑐 )

𝑏𝑤: ancho del alma resistente al cortante

𝑑: distancia desde el centroide del acero de refuerzo a tracción hasta la fibra extrema en

compresión



La parte del cortante que no puede ser absorbida por el concreto debe ser resistida por

la armadura transversal. Dicha fuerza, bajo la suposición que el acero ha entrado en

fluencia, es el producto del área de todos los estribos que cruzan la fisura por el

esfuerzo de fluencia. La ecuación que describe a la magnitud de la fuerza absorbida por

el acero transversal es:

𝑉𝑠 = 𝑛. 𝐴𝑣. 𝑓𝑦 (4.7)

Donde:

𝑉𝑠: Fuerza cortante absorbida por los estribos

𝑛: Número de estribos que cortan a la fisura

𝐴𝑣: Sección transversal de acero de cada estribo que cruza la fisura (2 veces la sección

transversal de la varilla).

𝑓𝑦: Esfuerzo de fluencia del acero de refuerzo

El número de estribos que cortan a la fisura se puede calcular en base a su espaciamiento.

𝑛 =𝑑

𝑠

Donde:

𝑑: altura efectiva de la viga

𝑠: espaciamiento longitudinal de los estribos que cortan la fisura



Reemplazando la última expresión en la ecuación (4.7) se tiene [ACI 11.4.7.2] :

𝑉𝑠 =𝑑

𝑠. 𝐴𝑣. 𝑓𝑦 (4.8)

Las ecuaciones previas expresadas en términos de esfuerzos son:

𝑣𝑢 =𝑉𝑢

𝜙𝑏𝑤𝑑 (4.9)

Donde:

𝑣𝑢: esfuerzo unitario de corte último

𝑣𝑢 = 𝑣𝑐 + 𝑣𝑠 (4.10)

Donde:

𝑣𝑐: esfuerzo unitario resistente del concreto simple

𝑣𝑠: esfuerzo unitario equivalente del acero de refuerzo transversal.

Despejando “𝑣𝑠” se tiene:

𝑣𝑠 = 𝑣𝑢 − 𝑣𝑐 (4.10-a)

Otra manera de definir “𝑣𝑠” es:

𝑣𝑠 =𝑉𝑠𝑏𝑤𝑑

(4.11)



Reemplazando el valor de “𝑉𝑠” definido en la Ecuación (4.8):

𝑣𝑠 =

𝑑𝑠 𝐴𝑣𝑓𝑦

𝑏𝑤𝑑

𝑣𝑠 =𝐴𝑣𝑓𝑦

𝑠𝑏𝑤 [ACI 11.4.7.2] (4.12)

Igualando la Ecuación (4.10a) con la Ecuación (4.12):

𝑣𝑢 − 𝑣𝑐 =𝐴𝑣𝑓𝑦

𝑠𝑏𝑤

Despejando el espaciamiento de estribos “s”:

𝑠 =𝐴𝑣𝑓𝑦

𝑣𝑢 − 𝑣𝑐 𝑏𝑤 (4.13)

La Ec. (4.13) permite determinar el espaciamiento al que deben colocarse los estribos

para absorber un esfuerzo de corte último determinado.

Para el diseño de una viga rectangular, en T, en L o en I, ante solicitaciones de corte se

utilizan las ecuaciones 4.2, 4.9, 4.10-a y 4.13.

UNIDAD II:ANALISIS Y DISEÑO DE VIGAS SOMETIDAS A FLEXIÓN - ESTADO DE ROTURA

18 CONCRETO ARMADO I – UNIDAD II - Ing. E. De La Rosa Ríos

𝒇´𝒄 𝒌𝒈/𝒄𝒎𝟐 210 280 350 420

𝛽1 0.85 0.85 0.814 0.764

𝜌𝑏 0.0214 0.0285 0.0335 0.0377

𝜌, 𝑐𝑢𝑎𝑛𝑑𝑜 𝜖𝑡 = 0.004 0.0155 0.0206 0.0247 0.0278

𝜌, 𝑐𝑢𝑎𝑛𝑑𝑜 𝜖𝑡 = 0.005 0.0135 0.0181 0.0216 0.0244

𝜌, 𝑐𝑢𝑎𝑛𝑑𝑜 𝜖𝑡 = 0.0075 0.0103 0.0138 0.0165 0.0186

𝜌𝑚í𝑛 0.0033 0.0033 0.0035 0.0039

Tabla 2.1: Cuantía básica, mínima, para valores de 𝝐𝒕 y para concretos de diferentes calidades. Según Norma ACI-318.2008.


22

CONCRETO ARMADO I – UNIDAD II - Ing. E. De La Rosa Ríos

UNIDAD I:INTRODUCCIÓN

23 CONCRETO ARMADO I – UNIDAD I - Ing. E. De La Rosa Ríos

𝟑𝟖 "

𝟏𝟐 "

𝟓𝟖 "

𝟑𝟒 "

𝟏"

𝟏𝟑

𝟖

"

𝟑𝟖 "

𝟏𝟐 "

𝟓𝟖 "

𝟑𝟒 "

𝟏"

𝟏𝟑

𝟖

"


CONCRETO ARMADO I – UNIDAD II - Ing. E. De La Rosa Ríos 24

𝟑

𝟖

"

𝟏𝟐 "

𝟓𝟖 "

𝟑𝟒 "

𝟏"

𝟏𝟑

𝟖

"





𝟏𝟐 "

𝟓𝟖 "

𝟑𝟒 "

𝟏"

𝟏𝟑

𝟖

"

27


CONCRETO ARMADO I – UNIDAD II - Ing. E. De La Rosa Ríos

1N = 0.1019716 kg. f → 1𝑘𝑔. 𝑓 = 9.80665𝑁

1𝑀𝑃𝑎 = 1𝑀𝑁

𝑚2= 101 971.6

𝑘𝑔

𝑚2= 10.19716

𝑘𝑔

𝑐𝑚2≈ 10𝑘𝑔/𝑐𝑚2

1k𝑁

𝑚3 = 101.9716 𝑘𝑔

𝑚3 ≈ 100𝑘𝑔/𝑚3



EJEMPLO 4.1

Una viga de 30 cm por 45 cm de altura está solicitada por una fuerza cortante última 𝑉𝑢 de

22.5 t. Si el 𝑓´𝑐 es 210 Kg/cm2, y el acero tiene un esfuerzo de fluencia 𝑓𝑦 = 4200 Kg/cm2,

determinar el espaciamiento de estribos rectangulares de ∅ 3"

8 .

Solución:

Los datos del ejemplo son:

𝑉𝑢 = 22500 Kg

𝑏𝑤= 30 cm

𝑑 = 39 cm

𝑓´𝑐 = 210 Kg/cm2

𝑓𝑦 = 4200 Kg/cm2

𝐴𝑣 = 2x(0.71 cm2) = 1.42 cm2

El esfuerzo cortante último es (Ec. 4.9):

𝑣𝑢 =𝑉𝑢

𝜙𝑏𝑤𝑑=

22 500

0.75 30 39= 25.641 𝑘𝑔/𝑐𝑚2

La capacidad resistente del concreto simple es (Ec. 4.2):

𝑣𝑐 = 0.53 𝑓´𝑐 =0.53 210 = 7. 68 kg/𝑐𝑚2

El espaciamiento de los estribos es (Ec. 4.13):


𝑣𝑢 − 𝑣𝑐 𝑏𝑤=

1.42 4 200

25.641 − 7.68 30= 11.06 𝑐𝑚



Se requieren estribos cerrados de ∅ 3"

8 cada 10 cm.

4.6 ESPECIFICACIONES PARA EL DISEÑO DE VIGAS ANTE FUERZAS

CORTANTES a. Capacidad Máxima del Acero por Cortante:

El esfuerzo cortante absorbido por el acero no debe superar a cuatro veces el máximo

esfuerzo cortante básico que puede absorber el concreto simple [ACI 11.4.7.9] ; esfuerzos

cortantes superiores a la especificada destruyen la integridad del hormigón.

𝑣𝑠 ≤ 2.12 𝑓´𝑐 (4.14)

EJEMPLO 4.2:

En el ejemplo 4.1, verificar que el acero de refuerzo transversal cumple con la condición de

máximo cortante admisible para el acero.

Solución:

Los datos del ejemplo 4.1 son:

𝑣𝑢= 25.641 Kg / cm2

𝑣𝑐= 7.68Kg / cm2

El esfuerzo cortante equivalente absorbido por el acero transversal es (Ec. 4.10-a):

𝑣𝑠 = 𝑣𝑢 − 𝑣𝑐=25.641 − 7.68 = 17.961 kg/𝑐𝑚2

El máximo esfuerzo cortante equivalente que puede absorber el acero es (Ec. 4.14):



𝑣𝑠 ≤ 2.12 𝑓´𝑐 = 2.12 210 = 30.72 kg/𝑐𝑚2

17.961𝑘𝑔/𝑐𝑚2 < 30.72 𝑘𝑔/𝑐𝑚2 ← 𝑂𝐾

Se verifica que el esfuerzo cortante equivalente absorbido por el acero transversal no

supera el máximo esfuerzo aceptable, por lo que el diseño previo es aceptable para ese

criterio.

b. Sección Crítica a Cortante:

La sección crítica de diseño ante fuerzas cortantes se ubica a una distancia “d” desde la

cara interna del apoyo, si se cumplen simultáneamente las siguientes 3 condiciones [ACI

11.1.3, ACI 11.1.3.1]:

La reacción en el apoyo, en dirección del cortante aplicado, produce compresión

en las zonas extremas del elemento.

Las cargas son aplicadas en o cerca de la cara superior del elemento.

Ninguna carga concentrada se aplica entre la cara interna del apoyo y la sección crítica

descrita previamente.

En caso se cumplan las 3 condiciones anteriores, todas las secciones entre la sección

crítica y la cara interna del apoyo se pueden diseñar para el cortante en la sección crítica.



En caso de no cumplirse alguna de las 3 condiciones, la sección crítica se ubicará en la

cara interna del apoyo.

Figura 4.12: Secciones críticas a cortante cuando se cumplen las 3 condiciones.

Figura 4.13: Secciones críticas a cortante cuando no se cumple alguna de las 3 condiciones.



c. Espaciamiento Mínimo de los Estribos:

El espaciamiento mínimo de los estribos en las vigas de concreto armado no debe superar

los siguientes valores [ACI 11.4.5.1]:

𝑠 ≤𝑑

2 4.15

𝑠 ≤ 60 𝑐𝑚 (4.16)

Donde:

𝑠: Espaciamiento de los estribos

𝑑: Altura efectiva de la viga

NOTA: El primer criterio permite que, en cualquier lugar del elemento estructural, al

menos 2 estribos crucen a cada fisura diagonal.

d. Espaciamiento de los Estribos de Confinamiento en Zonas Sísmicas:

En zonas sísmicas el espaciamiento de los estribos de confinamiento ubicados en el

sector de apoyo no puede superar las siguientes expresiones [ACI 21.3.4.2]:

𝑠 ≤𝑑

4 4.17

𝑠 ≤ 8∅𝐿 4.18 𝑠 ≤ 24∅𝑇 (4.19) 𝑠 ≤ 30 𝑐𝑚 (4.20)



Donde:

∅𝐿: Menor diámetro de las varillas longitudinales

∅𝑇: Diámetro de los estribos transversales.

NOTA: El primer criterio permite que en las zonas críticas a cortante de la viga, al menos 4

estribos crucen a cada fisura diagonal.

La distancia desde el apoyo hasta la cual deben colocarse los estribos con este

espaciamiento mínimo es de 2 veces la altura del elemento (2h), medidos desde la cara

interna del apoyo [ACI 21.3.4.2].

El primer estribo no puede ubicarse a más de 5 cm de la cara interna del apoyo [ACI-21.3.4.2], ni a más de la mitad del espaciamiento entre estribos (s).

e. Refuerzo Mínimo de Cortante:

Debe proporcionar acero transversal mínimo de cortante en toda la viga cuando𝑉𝑢 >0.5𝜙𝑉𝑐 , de acuerdo a la siguiente expresión [ACI 11.5.6.2]:

𝐴𝑣,𝑚í𝑛 = 0.196 𝑓´𝑐 𝑏𝑤 𝑠

𝑓𝑦𝑡 𝑒𝑛 𝑢𝑛𝑖𝑑𝑎𝑑𝑒𝑠 𝑝𝑟𝑎𝑐𝑡𝑖𝑐𝑎𝑠 (4.21)


𝑓𝑦𝑡 𝑒𝑛 𝑢𝑛𝑖𝑑𝑎𝑑𝑒𝑠 𝑆𝐼 (4.22)

Pero no menor que 3.5 𝑏𝑤 𝑠

𝑓𝑦𝑡 (4.21 − 𝑎)

Pero no menor que 0.35 𝑏𝑤 𝑠

𝑓𝑦𝑡 (4.22 − 𝑎)



Excepto: a) lozas y zapatas. b) lozas nervadas y aligeradas de concreto c) vigas con h≤ 250 𝑚𝑚, 2.5ℎ𝑓, 0.5𝑏, 𝑒𝑙 𝑚𝑎𝑦𝑜𝑟 .

f. Armado Mínimo para Comportamiento Dúctil:

Para asegurar que las estructuras aporticadas puedan desarrollar toda la ductilidad

necesaria para reducir la magnitud de las fuerzas sísmicas, los extremos de barra de

vigas y columnas, además de resistir los cortantes isostáticos últimos “VI”, deberán

resistir cortantes de plastificación “VP” [ACI 21.3.3] iguales a:

𝑉𝑃 =𝑀𝑃 +𝑀´𝑃

𝐿 (4.23)

Donde:

𝑉𝑃: Cortante de plastificación de los 2 extremos de barra.

𝑀𝑃: Momento nominal (sin factor de reducción de capacidad) de plastificación del

primer extremo de barra, empleando un esfuerzo en el acero de 1.25 𝑓𝑦.

𝑀´𝑃 : Momento nominal (sin factor de reducción) reversible de plastificación del

segundo extremo de barra, empleando un esfuerzo en el acero de 1.25 𝑓𝑦.

De modo que:



𝑉𝑢 = 𝑉𝐼 + 𝑉𝑃 (4.24)

Donde:

VI: Cortante isostático por cargas gravitacionales factoradas.

La incorporación del cortante de plastificación permite que se puedan formar

articulaciones plásticas dúctiles en los 2 extremos de barra antes de que se produzca una

falla frágil por cortante.

Figura 4.14: Cortantes generados en los extremos de barra cuando se desarrollan

rótulas plásticas normales y reversibles en esos extremos de barra.



EJEMPLO 4.3 Diseñar las secciones críticas de la viga de la figura, si se conoce que se construirá en zona sísmica, 𝑓´𝑐 = 210 Kg/cm2 y 𝑓𝑦 = 4200 Kg/cm2.

Solución:

El diagrama de cortante es: 𝑤𝑢 = 1.4 4.5 + 1.7 3 = 11.4𝑇

𝑚→ 𝑉𝑢 =

11.4 5

2= 28.5 𝑇

Las secciones críticas por cortante: a distancia 𝑑 = 55 − 6 = 44 cm de apoyos. Por

semejanza de triángulos se obtiene los cortantes últimos correspondientes:



∴ los datos del ejemplo son:

𝑉𝑢 = 23480 Kg

𝑏𝑤= 25 cm

𝑑 = 44 cm

𝑓´𝑐= 210 Kg/cm2

𝑓𝑦 = 4200 Kg/cm2

Cálculo del refuerzo requerido por resistencia:

El esfuerzo cortante último es (Ec. 4.9):

𝑣𝑢 =𝑉𝑢

𝜙𝑏𝑤𝑑=

23 480

0.75 25 44= 28.46 𝑘𝑔/𝑐𝑚2

La capacidad resistente del concreto simple es (Ec. 4.2): 𝑣𝑐 = 0.53 210 =7.68kg/𝑐𝑚2

Se pueden escoger estribos de ∅3"

8, → área de corte de cada estribo es:

𝐴𝑣 = 2x(0.71 cm2) = 1.42 cm2



El espaciamiento de los estribos es (Ec. 8.13):


𝑣𝑢 − 𝑣𝑐 𝑏𝑤=

1.42 4200

28.46 − 7.68 25= 11.48 𝑐𝑚

Cálculo del espaciamiento mínimo:

El espaciamiento mínimo hasta una distancia de 1 m (2h) desde el apoyo es (Ecs. 4.17,

4.19 y 4.20): 𝑠 ≤

𝑑

4=44

4= 11 𝑐𝑚

𝑠 ≤ 24∅𝑇 = 24 0.95 𝑐𝑚 = 22.8 𝑐𝑚 𝑠 ≤ 30 𝑐𝑚

El menor espaciamiento, de las expresiones

previas, en las proximidades de los apoyos es

de 11 cm (d/4), que al compararlo con el

espaciamiento requerido por resistencia es

más restrictivo, por lo que: 𝑠 = 11cm

A continuación se presenta el acero

transversal requerido en las proximidades de

los apoyos:→

1∅𝟑"

𝟖@𝟏𝟏𝒄𝒎



Se requieren estribos cerrados de ∅3"

8 @ 11 cm hasta una distancia de 1 m de los apoyos.

El espaciamiento mínimo para la zona central es:

𝑠 ≤𝑑

2=44

2= 22 𝑐𝑚

𝑠𝑚í𝑛 = 22 𝑐𝑚

Es necesario que la viga disponga de estribos

cerrados de ∅3"

8 @ 22 cm, en el tramo central,

como acero básico para cortante.

A continuación se presenta el armado

transversal requerido en la zona central:→

1∅𝟑"

𝟖@𝟐𝟐𝒄𝒎

Acero Mínimo de Cortante:

Los códigos establecen el siguiente requisito mínimo (Ec.4.21):


𝑓𝑦𝑡 → 𝑠𝑚í𝑛 =

𝐴𝑣𝑓𝑦

0.196𝑏𝑤 𝑓´𝑐=

1.42 4200

0.196 25 210= 83.99 𝑐𝑚

El espaciamiento de 11 cm en zona de apoyo y 22 cm en zona central son menores que el

que se acaba de calcular, se requieren estribos cerrados de ∅3"

8 cada 11 cm en la proximidad

de los apoyos y cada 22 cm en la zona central.



No se requiere acero transversal para comportamiento dúctil de los nudos por no existir

momentos de continuidad en los extremos de barra.

La distribución de los estribos transversales es la siguiente:

10 ∅3"

8 10 ∅

3"

8 13 ∅

3"

8



4.7 IMPORTANCIA DE LAS DEFLEXIONES

La adopción del método de diseño por resistencia, conjuntamente con el uso de

concretos y aceros de mayor resistencia, ha permitido el uso de miembros

relativamente esbeltos. Como consecuencia, las deflexiones y el agrietamiento

por deflexión se han convertido en problemas más severos de lo que fueron

hace algunas décadas.

Las magnitudes de las deflexiones en miembros de concreto pueden ser muy

importantes. Las deflexiones excesivas en vigas y losas pueden ocasionar pisos

combados, charcos en techos planos, vibraciones excesivas e incluso interferir

con la operación correcta de la maquinaria emplazada en esas estructuras.

Tales deflexiones pueden dañar los muros divisorios y desajustar el cierre de

puertas y ventanas.

Además, pueden afectar la apariencia de una estructura o alarmar a los

ocupantes del edificio, aun cuando éste sea perfectamente seguro. Toda

estructura usada por personas debe ser lo suficientemente rígida y

relativamente libre de vibración para generar un ambiente de seguridad.



4.8 CONTROL DE LAS DEFLEXIONES

Una de las mejores maneras para reducir las deflexiones es incrementando el

peralte de los miembros, pero los proyectistas están siempre bajo presión para

conservar a los miembros con el peralte tan bajo como sea posible. (Como se

puede ver, los miembros con bajo peralte implican pisos más delgados y los

pisos más delgados implican edificios de menor altura, con las consiguientes

reducciones en costos.

Las especificaciones de concreto reforzado usualmente limitan las deflexiones

especificando peraltes mínimos o bien calculando deflexiones máximas

permisibles.

Espesores mínimos

La tabla 9.1 de la Unidad II, que corresponde a la tabla 9.5(a) del código ACI,

muestra un conjunto de espesores mínimos que deben usarse en las vigas y

losas en una dirección, a menos que los cálculos de las deflexiones reales

indiquen que son permisibles espesores menores. Estos valores de los espesores

mínimos, que se obtuvieron primordialmente con base en la experiencia de

muchos años, deben usarse sólo en las vigas y losas que no estén cargando ni se

encuentren conectadas a paredes divisorias u otros miembros que puedan

resultar dañados por las deflexiones.



Deflexiones máximas

Si el proyectista decide no satisfacer los espesores mínimos dados en la tabla

9.1, entonces deberá calcular las deflexiones reales. Si procede así, los valores

determinados no deben exceder los valores especificados en la tabla 4.1, que

corresponde a la tabla 9.5(b) del código ACI.

Contraflecha

La deflexión de miembros de concreto reforzado también se puede controlar por

medio de la contraflecha.

Los miembros se construyen con un perfil longitudinal tal que asuman su perfil

teórico bajo alguna condición de carga de servicio (usualmente carga muerta y

quizás algo de carga viva). Se podría construir una viga simple con una pequeña

convexidad, a fin de que bajo ciertas cargas gravitacionales asumiese un perfil

recto, como se supone en los cálculos. (Véase la figura 4.1.) Algunos

proyectistas toman en cuenta tanto las cargas totales vivas como muertas al

determinar la magnitud de la contraflecha, la cual generalmente se usa sólo en

miembros de grandes luces.



Tabla 4.1Deflexiones permisibles máximas calculadas



4. 9 CÁLCULO DE DEFLEXIONES

Las deflexiones de los elementos de concreto armado son función del tiempo y

por lo tanto pueden ser de dos tipos: instantáneas y a largo plazo. Las

instantáneas se deben fundamentalmente al comportamiento elástico de la

estructura y se producen inmediatamente después que las cargas son aplicadas.

Las de largo plazo son consecuencia del creep y contracción del concreto y son

ocasionadas por cargas sostenidas a lo largo del tiempo. Las deformaciones a

largo plazo pueden llegar a ser el doble de las deformaciones instantáneas.

Deflexión instantánea

Las deflexiones instantáneas son deformaciones elásticas y por lo tanto las

expresiones de Resistencia de Materiales para materiales elásticos pueden ser

utilizadas. En la figura 4.15 se muestran algunas fórmulas para evaluar las

deflexiones en elementos prismáticos con diferentes condiciones de apoyo

sometidos a diversos estados de carga. El valor del módulo de elasticidad del

concreto se estima a través de las expresiones (2-6) ó (2-7).

El concreto es un material que se agrieta al ser sometido a un momento superior

al momento . crítico que es, como ya se definió, el que ocasiona esfuerzos de

tracción en la sección que exceden el módulo de ruptura del material.



Figura 4.15. Algunas fórmulas para cálculo de deflexiones en vigas de material elástico



Figura 4.15. Algunas fórmulas para cálculo de deflexiones en vigas de material elástico

La sección 9.5.2.3 del código da una expresión de momento de inercia para

usarse en los cálculos de deflexiones. Este momento de inercia provee un valor

de transición entre 𝐼𝑔 e 𝐼𝑐𝑟 que depende del grado de agrietamiento causado por

las cargas aplicadas. Se le llama 𝐼𝑒, el momento de inercia efectivo y se basa en

una estimación de la cantidad probable de agrietamiento causado por el

momento variable a lo largo del claro:



𝐼𝑒 =𝑀𝑐𝑟

𝑀𝑎

3𝐼𝑔 + 1 −

𝑀𝑐𝑟

𝑀𝑎

3𝐼𝑐𝑟 (Ec.9-8 ACI) (4.25)

Donde: 𝐼𝑔: 𝐸𝑠 𝑒𝑙 𝑚𝑜𝑚𝑒𝑛𝑡𝑜 𝑑𝑒 𝑖𝑛𝑒𝑟𝑐𝑖𝑎 𝑑𝑒 𝑙𝑎 𝑠𝑒𝑐𝑐𝑖ó𝑛 𝑡𝑜𝑡𝑎𝑙 (sin 𝑐𝑜𝑛𝑠𝑖𝑑𝑒𝑟𝑎𝑟 𝑒𝑙 𝑎𝑐𝑒𝑟𝑜)

𝑀𝑐𝑟: 𝐸𝑠 𝑒𝑙 𝑚𝑜𝑚𝑒𝑛𝑡𝑜 𝑑𝑒 𝑎𝑔𝑟𝑖𝑒𝑡𝑎𝑚𝑖𝑒𝑛𝑡𝑜 =𝑓𝑟𝐼𝑔

𝑦𝑡; 𝑓𝑟 = 7.5 𝑓´𝑐 ; 𝑓𝑟 = 2 𝑓´𝑐 (kg/𝑐𝑚2)

𝑀𝑎:𝑚𝑜𝑚𝑒𝑛𝑡𝑜 𝑚á𝑥𝑖𝑚𝑜 𝑏𝑎𝑗𝑜 𝑐𝑎𝑟𝑔𝑎 𝑑𝑒 𝑠𝑒𝑟𝑣𝑖𝑐𝑖𝑜 𝑞𝑢𝑒 𝑠𝑒 𝑝𝑟𝑒𝑠𝑒𝑛𝑡𝑎 𝑒𝑛 𝑒𝑙 𝑐𝑎𝑠𝑜 𝑐𝑜𝑛𝑠𝑖𝑑𝑒𝑟𝑎𝑑𝑜. 𝐼𝑐𝑟:𝑀𝑜𝑚𝑒𝑛𝑡𝑜 𝑑𝑒 𝑖𝑛𝑒𝑟𝑐𝑖𝑎 𝑑𝑒 𝑙𝑎 𝑠𝑒𝑐𝑐𝑖ó𝑛 𝑎𝑔𝑟𝑖𝑒𝑡𝑎𝑑𝑎, respecto al eje neutro.

El momento de inercia crítico, Icr, es el momento de inercia de la sección agrietada

considerando la presencia de refuerzo. Para determinarlo se emplea el concepto de sección

transformada, el cual es empleado para análisis elásticos y que es aplicable en este caso en

el cual el concreto es analizado bajo condiciones de servicio (ver figura 4.16).

El momento flector crítico se determina haciendo uso de la relación siguiente, que también

es propuesta por el código:

𝑀𝑐𝑟 =

𝑓𝑟𝐼𝑔

𝑦𝑡 (Ec. 9-9 ACI) (4.26)

donde: 𝑓𝑟: Tensión de ruptura del concreto.

Figura 4.16. Sección transformada para el cálculo del momento de inercia crítico.



Para concretos con agregados ligeros, el valor de f se determinará sustituyendo 𝑓´𝑐

por 𝑓𝑐𝑡 /1.77 siempre que éste no exceda 𝑓´𝑐 . Si no se conoce el valor de 𝑓𝑐𝑡, la

tensión de ruptura determinada a través de (1-4) será multiplicada por 0.75 si se trata

de concreto con agregado ligero, grueso y fino, y por 0.85 si se trata de concreto con

agregado ligero fino.

𝑦𝑡: Distancia del eje centroidal de la sección bruta de concreto, despreciando la presencia

del refuerzo, a la fibra extrema en tracción.



Los valores del momento de inercia efectivo 𝐼𝑒 varían con las condiciones de

carga diferentes. Esto se debe a que el momento de carga de servicio, 𝑀𝑎, usado

en la ecuación para 𝐼𝑒 , es diferente para cada condición de carga. Algunos

proyectistas ignoran este hecho y usan sólo un 𝐼𝑒 para cada miembro, aun cuando

se consideran diferentes condiciones de carga.

De las ecuaciones de equilibrio y compatibilidad de deformaciones se deduce:

𝑐 = ( 2𝑛𝜌 + 𝑛𝜌 2 − 𝑛𝜌)𝑑 (4. 27)

donde:

n: Relación modular igual a 𝐸𝑠/𝐸𝑐. c: Distancia del eje neutro a la fibra extrema en compresión bajo consideraciones elásticas.

El momento de inercia de la sección fisurada será:

𝐼𝑐𝑟 =𝑏𝑐3

3+ 𝑛𝐴𝑠 𝑑 − 𝑐 2 + 𝑛 − 1 𝐴´𝑠 𝑐 − 𝑑´ 2 (4.28)

En la figura 4.17, se muestra la variación del momento de inercia efectivo de

una sección en función del momento al cual se encuentra sometida, según la

expresión (4.25). Como se aprecia, dicha relación define la variación del

momento de inercia de una sección sin agrietar a una sección agrietada.



Figura 4.17. Variación del momento de inercia efectivo de una sección en función

del momento flector al que está sometida

A lo largo de un elemento continuo o simplemente apoyado, el momento flector va variando

como se aprecia en la figura 4.18 y por lo tanto, también su momento de inercia efectivo.

Por ello, las relaciones presentadas inicialmente para la determinación de las flechas máximas

no pueden ser utilizadas directamente pues los elementos de concreto tienen inercias

variables



Figura 4.18. Variación de Inercias efectivas en elementos continuos.



Para superar esta situación, el código del ACI propone que el momento de inercia

efectivo de un miembro continuo sea igual al promedio de las inercias efectivas de la

sección de mayor momento positivo y las de mayor momento negativo. Para elementos

prismáticos simplemente apoyados, el momento de inercia efectivo será el

correspondiente a la sección central del elemento y para los volados, el momento de

inercia será considerado en el apoyo (ACI-9.5.2.4).

Alternativamente, se puede emplear las siguientes expresiones para determinar la inercia

efectiva en elementos continuos en uno o los dos extremos:

Para miembros continuos en ambos extremos:

𝐼𝑒 = 0.70𝐼𝑒𝑚 + 0.15 𝐼𝑒1 + 𝐼𝑒2 (4.29)

Para miembros continuos en un extremo:

𝐼𝑒 = 0.85𝐼𝑒𝑚 + 0.15𝐼𝑐𝑜𝑛 (4.30)

donde:

𝐼𝑒𝑚: Momento de inercia efectivo al centro de la luz.

𝐼𝑒1, 𝐼𝑒2: Momentos de inercia efectivos en los extremos continuos del elemento.

𝐼𝑐𝑜𝑛 : Momento de inercia efectivo en el extremo continuo.

El momento flector, 𝑀𝑎, empleado para la determinación del momento efectivo

es el que corresponde a la envolvente de esfuerzos, es decir, al mayor momento

proveniente de las combinaciones de cargas actuantes utilizadas. Si se hace uso

de los momentos determinados a través del método de los coeficientes del ACI,

presentado más adelante, las deflexiones tienden a ser sobrestimadas. Si

utilizando este procedimiento no se satisfacen las flechas máximas permitidas es

necesario efectuar un análisis más exhaustivo.





4.10 DEFLEXIONES A LARGO PLAZO

Con Ie y las expresiones apropiadas para deflexiones, se obtienen las

deflexiones instantáneas o inmediatas.

Sin embargo, las cargas sostenidas o de largo plazo causan incrementos

significativos en estas deflexiones debido a la contracción y al flujo. Los

factores que afectan los incrementos de la deflexión son: humedad, temperatura,

condiciones de curado, contenido de acero de compresión, relación entre el

esfuerzo y resistencia y la edad del concreto en el momento en que se aplica la

carga.

Si el concreto se carga a temprana edad, sus deflexiones a largo plazo se incrementarán

considerablemente.

Las deflexiones excesivas en las estructuras de concreto reforzado muy a menudo

pueden deberse a la temprana aplicación de las cargas. La deformación unitaria por flujo

plástico después de aproximadamente 5 años (después de lo cual el flujo es

insignificante) puede ser mayor que 4 o 5 veces la deformación unitaria inicial cuando

las cargas se aplicaron por primera vez a los 7 o 10 días después del colado del concreto,

mientras que la proporción puede ser sólo de 2 a 3 veces cuando las cargas se aplicaron

por primera vez 3 o 4 meses después del colado del concreto.



Debido a los diversos factores mencionados en los dos últimos párrafos, sólo se

pueden estimar las magnitudes de las deflexiones a largo plazo. El inciso

(9.5.2.5) del código establece que para estimar el incremento de la deflexión

debido a estas causas, la parte de la deflexión instantánea debida a las cargas

sostenidas puede multiplicarse por el factor obtenido empíricamente que se da en

Ec. 4.31 y el resultado se puede sumar a la deflexión instantánea.

𝜆Δ =𝜉

1 + 50𝜌´ 𝐸𝑐. 9 − 11 𝐴𝐶𝐼 (4.31)

En esta expresión, que es aplicable a concretos de peso normal y ligero, 𝜉 es un

factor dependiente del tiempo que puede obtenerse de la tabla 4.2.

Si se usan tiempos que difieren de los valores dados en la tabla 4.2, los valores de

𝜉 se pueden obtener de la curva de la figura 4.16.

Tabla 4.2 Factor de tiempo para cargas sostenidas (Código ACI 9.5.2.5)



El efecto del acero de compresión en las deflexiones a largo plazo se toma en

consideración en la expresión para 𝜆 con el término 𝜌´. Es igual a 𝐴´𝑠/bd y debe

calcularse en el centro del claro en claros simples y continuos, y en los apoyos en

vigas en voladizo.

La carga muerta total de una estructura se puede clasificar como una carga

permanente, pero el tipo de ocupación determinará el porcentaje de carga viva

que pueda llamarse permanente. Para un edificio de apartamentos o para un

edificio de oficinas, quizá sólo del 20 al 25% de la carga viva de servicio puede

considerarse como permanente, mientras que de 70 a 80% de la carga viva de

servicio en una bodega se situaría en esta categoría.

Figura 4.16 Multiplicadores para deflexiones a

largo plazo(Comentario ACI, figura R9.5.2.5.).



Es lógico suponer que la carga viva no puede actuar sobre una estructura cuando la

carga muerta no está presente. Como resultado de este hecho calcularemos un 𝐼𝑒

efectivo y una deflexión ∆𝐷 para el caso en que actúe sola la carga muerta. Luego

calcularemos un 𝐼𝑒 y una deflexión ∆𝐷+𝐿 para el caso en que actúen juntas las

cargas muerta y viva. Esto nos permitirá determinar la parte de la carga viva inicial

de la deflexión, como sigue:

∆𝐿= ∆𝐷+𝐿 − ∆𝐷 (4.32)

La deflexión a largo plazo será igual a la deflexión inicial por carga viva ∆𝐿 más el

multiplicador 𝜆∞veces la deflexión por carga muerta ∆𝐷 más 𝜆𝑡 veces (𝜆𝑡 es el

multiplicador por carga viva permanente) la deflexión inicial por carga viva ∆𝑆𝐿.

∆𝐿𝑇= ∆𝐿 + 𝜆∞∆𝐷 + 𝜆𝑡∆𝑆𝐿 (4.33)

Los pasos en el cálculo de deflexiones instantáneas y de largo plazo pueden resumirse

como sigue:

a) Calcule la deflexión instantánea o de corto plazo ∆𝐷sólo para carga muerta.

b) Calcule la deflexión instantánea ∆𝐷+𝐿 para carga muerta más carga viva total.

c) Determine la deflexión instantánea ∆𝐿 sólo para carga viva total.



d) Calcule la deflexión instantánea por carga muerta más la parte permanente de la

carga viva ∆𝐷 + ∆𝐷+𝐿. e) Determine la deflexión instantánea ∆𝐿 para la parte permanente de la carga viva.

f) Determine la deflexión a largo plazo por carga muerta más la parte permanente de

la carga viva ∆𝐿𝑇 .

Como ya se mencionó, las deflexiones calculadas como se indica en este capítulo no

deben exceder ciertos límites que dependen del tipo de estructura. Las deflexiones

máximas permitidas por el ACI para diversas situaciones de pisos y techos se

presentaron previamente en la tabla 4.1.

El método presentado para estimación de deflexiones es aproximado y por lo tanto si

éstas constituyen un problema en el diseño, es conveniente efectuar cálculos más

refinados. Si con procedimientos más elaborados, aún persisten las deformaciones

excesivas, se debe considerar algún procedimiento para evitarlas. Entre ellos se tiene:

incrementar del peralte de la sección, incrementar la cuantía de acero en compresión o

proveer al elemento de una contraflecha. Este último recurso consiste en darle una ligera

curvatura al elemento de modo que al ser aplicadas las cargas, la deflexión total no sea

excesiva.



Ejemplo 4.4 Calcular la deflexión inmediata y a largo plazo que experimentará la viga mostrada en la

figura 4.17 en el centro de la luz. La viga forma parte de un sistema continuo y por ello está

sometida a momentos negativos en sus extremos. Las dimensiones de la sección se indican

en la misma figura. Las cargas que actúan sobre el elemento se presentan a continuación:

Carga D L D+L 1.4D+1.7L

w 6 250 kg/m 5 350 kg/m 11 600 kg/m 17 845 kg/m

𝑀𝐴 24 750 kg-m 21 185 kg-m 45 935 kg-m 70 664.5 kg/m

𝑀𝐵 29 900 kg-m 25 595 kg-m 55 495 kg-m 85 371.5 kg/m

Figura 4.17



Antes de proceder al cálculo de las deflexiones en el centro de la luz, se determinará el

refuerzo que requiere por flexión. Los momentos obtenidos del análisis y los cálculos

efectuados se presentan en la siguiente tabla. El peralte efectivo de la sección se ha

estimado en d =100 – 6 = 94 cm.

Sección Apoyo A Centro de luz Apoyo B

𝑀𝑢 70 644.5 kg-m 64 751.5 kg-m 85 371.5 kg-m

𝑏 35 cm 150 cm (inicialmente) 35 cm

𝑎 (estim.) ≈ 2.33𝑐𝑚 < 15𝑐𝑚 (𝑛𝑜 𝑠𝑒 𝑡𝑟𝑎𝑡𝑎 𝑠𝑒𝑐𝑐. 𝑇)

𝑅𝑛 70 644.5 100

0.9 35 94 2= 25.38 64 751.5 100

0.9 150 94 2 =5.43 85 371.5 100

0.9 35 94 2= 30.67

𝜌 0.00640< 𝜌𝑚á𝑥 = 0.0181 0.00131< 0.0181 0.00785< 0.0181

𝐴𝑠 𝑐𝑚2 21.06> 𝐴𝑠,𝑚í𝑛=10.86 18.47> 𝐴𝑠,𝑚í𝑛= 10.86 25.83> 𝐴𝑠,𝑚í𝑛= 10.86

𝐴𝑠,𝑝𝑟𝑜𝑣𝑖𝑠𝑡𝑎 6∅3"

4+ 2∅

5"

8= 21.02 2∅1" + 3∅

3"

4=18.72 4∅1" + 2∅

3"

4= 26.08

𝑎(𝑟𝑒𝑎𝑙) 21.02 4200

0.85 280 35= 10.60

18.72 4200

0.85 280 150= 2.20

< 15𝑐𝑚

26.08 4200

0.85 280 35= 13.15



𝐴𝑠𝑓 =𝑀𝑢𝐴𝐵

𝜙𝑓𝑦 𝑑−ℎ𝑓

2

= 19.804 𝑐𝑚2 → 𝑎 =𝐴𝑠𝑓𝑓𝑦

0.85𝑓´𝑐𝑏= 2.33 𝑐𝑚

𝑅𝑛 =𝑀𝑢

𝜙𝑏𝑑2 ; 𝜌 =

0.85𝑓´𝑐

𝑓𝑦1 − 1 −

2𝑅𝑛

0.85𝑓´𝑐

Para el cómputo de los parámetros requeridos para estimar la deflexión en el centro de la

viga es necesario determinar el centroide de su sección bruta y su momento de inercia

centroidal:

𝑦𝑏𝑎𝑠𝑒= 𝐴1𝑦1+𝐴2𝑦2

𝐴𝑇=

35 85 42.5 + 150 15 92.5

35 85 + 150 15= 64.03 𝑐𝑚

𝐼𝑔 =35 85 3

12+150 15 3

12+ 35 85 64.03 − 42.5 2 + 150 15 64.03 − 92.5 2 = 5036137 𝑐𝑚4

Además, se requieren las siguientes constantes:

𝑓𝑟 = 2 280 = 33.47 𝑘𝑔/𝑐𝑚2

𝐸𝑐 = 15100 280 = 252670 𝑘𝑔/𝑐𝑚2

𝑛 =𝐸𝑆𝐸𝑐

=2039000

252670= 8.06 ≈ 8



La viga forma parte de un sistema continuo, por lo tanto, su momento de inercia efectivo

varía a lo largo del elemento. La deflexión en el centro de la luz se calcula en base al

momento de inercia efectivo promedio evaluado en función de los momentos efectivos en los

extremos y el centro de la viga. En la siguiente tabla se presentan los cálculos efectuados para

determinar estos valores.

Sección Apoyo A Centro de luz Apoyo B

𝑀𝑎,(𝐷+𝐿) (kg-cm) 4 593 500 4 208 500 5 549 500

𝑦𝑡 (cm) 35.97 64.03 35.97

𝑀𝑐𝑟=𝑓𝑟𝐼𝑔/𝑦𝑡 (kg-cm) 4 686 114 2 632 508 4 686 114

𝜌 = 𝐴𝑠,𝑝𝑟𝑜𝑣./𝑏𝑑 0.00639 0.00133 0.00793

𝑐 = 2𝑛𝜌 + 𝑛𝜌 2 − 𝑛𝜌 𝑑 25.63 12.75 28.05

𝐼𝑐𝑟 =𝑏𝑐3

3+ 𝑛𝐴𝑠 𝑑 − 𝑐 2 982 480 1 092 284 1 164 940

𝐼𝑒 =𝑀𝑐𝑟

𝑀𝑎

3

𝐼𝑔 + 1 −𝑀𝑐𝑟

𝑀𝑎

3

𝐼𝑐𝑟 ≤ 𝐼𝑔 5 286 303 2 057 552 3 097 944



El momento de inercia efectivo promedio que se utiliza para el cálculo de

deflexiones es, según (4.29):

𝐼𝑒 = 0.70𝐼𝑒𝑚 + 0.15 𝐼𝑒1 + 𝐼𝑒2 𝐼𝑒 = 0.70 2 057 552 + 0.15 5 286 303 + 3 097 944 =2 697 923 𝑐𝑚4

La deflexión en la sección central de la viga es:

Debido a la carga uniformemente repartida:

Δ1,(𝐷+𝐿) =5𝑤𝑙4

384𝐸𝐼𝑒=

5 6250 + 5350 800 4

100 384 252 670 2 697 923= 0.91 𝑐𝑚 ↓

Debido al momento en A:

Δ2,(𝐷+𝐿) = ∆𝐷+𝐿=𝑀𝐴𝑙

2

16𝐸𝐼𝑒=

24 750 + 21 185 100 800 2

16 252 670 2 697 923= 0.27 𝑐𝑚 ↑

Debida al momento en B:

Δ3,(𝐷+𝐿) =𝑀𝐵𝑙

2

16𝐸𝐼𝑒=

29 900 + 25 595 100 800 2

16 252 670 2 697 923= 0.33 𝑐𝑚 ↑

Finalmente, la deflexión instantánea total es:

Δ𝑖 = Δ1 + Δ2 + Δ3 = 0.91 − 0.27 − 0.33 = 0.31 ↓



La deflexión a largo plazo es igual a la flecha instantánea multiplicada por el factor 𝝀

el cual depende de 𝝃 y 𝝆´. El primero se tomará igual a 2 pues se está evaluando la

deflexión para un periodo de aplicación de la carga mayor de 5 años. La cuantía de

refuerzo en compresión es 𝝆´ = 0 . Por lo tanto, el factor es igual a:

𝝀 =𝝃

1 + 50𝝆´=

2

1 + 0= 2

La flecha a largo plazo es:

∆∞= 𝝀∆𝒊= 𝟐 𝟎. 𝟑𝟏 = 𝟎. 𝟔𝟐 𝒄𝒎 ↓

Y la flecha total a largo plazo es:

∆𝒊 + ∆∞= 𝟎. 𝟑𝟏 + 𝟎. 𝟔𝟐 = 𝟎. 𝟗𝟑 𝐜𝐦 ↓



4.11 CORTE DEL REFUERZO Y DESARROLLO DEL

REFUERZO LONGITUDINAL A lo largo de los elementos sometidos a flexión, el momento actuante varía. En un elemento

simplemente apoyado sometido a carga repartida uniforme, se incrementa desde los apoyos

hacia el centro de la luz. El refuerzo necesario para resistir las solicitaciones externas es

mayor en la sección central que en la del extremo. Por ello, no tiene sentido colocar el

mismo refuerzo en todo lo largo del elemento, sino sólo en la cantidad necesaria, donde éste

es requerido.

Existen varios criterios que deben tomarse en cuenta en la determinación de los puntos de

corte del refuerzo, los cuales son válidos tanto para refuerzo positivo como para el negativo.

Entre ellos se tiene:

1. Las varillas deben ser cortadas en las secciones en las cuales ya no son requeridas por

solicitaciones de flexión. Estos puntos constituyen los puntos teóricos de corte de acero.

2. Las fuerzas cortantes que actúan sobre los elementos tienden a incrementar la tensión en las

varillas de acero. Este incremento debe tomarse en cuenta para el corte del refuerzo.

3. Cada varilla debe tener una adecuada longitud de anclaje para garantizar que pueda alcanzar

el esfuerzo de fluencia en los puntos de máximo esfuerzo.

4. Debe evitarse, en lo posible, el corte de barras en tensión en zonas donde la fuerza cortante

es elevada pues se producen grandes concentraciones de esfuerzos y grietas inclinadas en los

puntos de corte. En general, el número de cortes de acero debe reducirse al mínimo para

simplificar el diseño y la construcción.



En la figura 4.18.a se muestra una viga simplemente apoyada sometida a una

carga uniformemente repartida. La viga cuenta con dos varillas #8 dispuestas en

toda su luz y una varilla #8 adicional en el centro. Los extremos de esta varilla

están identificados por las letras C y C'.

Las dos varillas #8 proporcionan al elemento un momento resistente igual a 𝑀𝐴,

mientras que las tres varillas #8 le dan un momento 𝑀𝐵,. En la figura 4.18.b se

observa el diagrama de momento flector de la viga y en él se aprecia que los

puntos C y C' corresponden a las secciones que están sometidas a 𝑀𝐴.

A primera vista, pareciera que los tramos AC y C'A', provistos de dos varillas #8,

tuvieran un momento resistente constante e igual a 𝑀𝐴 y que el tramo CC',

provisto de tres varillas #8, tuviera un momento resistente igual a 𝑀𝐵. Sin

embargo, esto no es así y el diagrama de momento resistente real es el mostrado

en la figura 4.18.c.

La variación en el momento resistente en los tramos AB, CD, D'C' y B'A' se debe a que

las porciones de la varilla ubicadas a menos de 𝑙𝑑 del extremo son incapaces de

desarrollar su esfuerzo de fluencia. Por ello, la resistencia decrece desde un máximo, a 𝑙𝑑

del extremo, hasta O, en el extremo mismo.


68 CONCRETO ARMADO I – UNIDAD IV - Ing. E. De La Rosa Ríos Figura 4.18. (c) diagrama de momento resistente



Por lo anterior, el código del ACI recomienda que en los puntos de corte del acero, C y C'

en este caso, se verifique que la distancia del extremo del acero que continúa al punto de

corte sea mayor que 𝑙𝑑 para evitar situaciones como la mostrada en la figura 4.19.

El esfuerzo cortante también juega un papel importante en la determinación del punto de

corte del refuerzo. La presencia de fuerza cortante, ocasiona un incremento de la tensión

en las varillas de acero longitudinal. Como consecuencia de él es necesario prolongar el

refuerzo, más allá del punto donde teóricamente se requiere, una longitud igual a d o 12

veces el diámetro de la varilla desarrollada, 12𝑑𝑏.

Figura 4.19. Diagrama de momento actuante y diagrama de momento resistente de

una viga simplemente apoyada.



En la figura 4.20 se resumen todas las consideraciones que se debe tener para el corte de

refuerzo en regiones de momento negativo y positivo.

Como ya se indicó, el efecto de la discontinuidad de las varillas longitudinales produce

agrietamiento en el elemento. Por ello, el código establece que el refuerzo no debe ser

cortado, en zona de tracción, a menos que se satisfaga uno de los siguientes requisitos

(ACI-12.10.5):

1. Que la fuerza cortante en el punto de corte no exceda las 2/3 partes de la resistencia

nominal permitida en la sección, ∅𝑉𝑛, incluyendo los aportes del concreto y del acero.

2. Se provea estribos adicionales a los requeridos por corte y torsión en una longitud igual

a 3/4𝑑 a partir del extremo del acero longitudinal. El exceso de refuerzo 𝐴𝑣 ≥

4.2𝑏𝑤𝑠/𝑓𝑦 y su espaciamiento no será mayor a 𝑑/20𝛽𝑏 , donde 𝛽𝑏 es el cociente del

área de refuerzo cortado entre el área total de refuerzo en la sección de corte.

3. Para varillas menores o iguales a la #11, el refuerzo que no es cortado provea un área

igual al doble del área requerida por flexión y el corte no exceda las tres cuartas partes de

la resistencia nominal de la sección, ∅𝑉𝑛, incluyendo los aportes del concreto y del

fierro.

Por lo anterior, los proyectistas prefieren extender las varillas hacia los apoyos en vigas

simples o pasando los puntos de inflexión en vigas continuas.

Los criterios antes presentados para el corte del refuerzo son válidos tanto para refuerzo

positivo como negativo. A continuación se presentan algunos criterios que son aplicables

dependiendo del caso.



Figura 4.20. Consideraciones para el corte de acero en regiones de momento positivo y

negativo.



4.11.1 Desarrollo del refuerzo positivo en elementos sometidos a flexión

En la figura 4.21 se presenta un elemento simplemente apoyado provisto con

sólo dos varillas de refuerzo longitudinal. Esta pieza no desarrolla la resistencia

requerida por las cargas externas a causa de un anclaje inadecuado. A pesar que

el refuerzo se extiende a todo lo largo del elemento, en los tramos AB y CD se

aprecia que, el momento externo aplicado es superior al momento resistente.

Este fenómeno se presenta generalmente en elementos que contienen barras de

gran diámetro, donde 𝒍𝒅 es grande y por lo tanto la recta AB es secante a la

parábola.

Para garantizar que el momento resistente sea siempre superior al momento actuante, es

necesario que la pendiente de la tangente a la parábola en el apoyo sea menor que la

pendiente del diagrama de momentos resistentes, es decir:

𝜙𝑀𝑛

𝑙𝑑≥

𝑑

𝑑𝑥𝑀𝑢

0= 𝑉𝑢 (4.34)

Basándose en el criterio anterior, el código limita la longitud de anclaje del refuerzo

positivo en función de los esfuerzos a los que está sometida la pieza, tanto en los apoyos

como en los puntos de inflexión (ACI-12.11.3).



Figura 4.21. Viga simplemente apoyada y diagramas de momentos actuantes y

resistentes.



Esta limitación no se aplica al refuerzo que es anclado en apoyos simples mediante

dispositivos mecánicos o ganchos estándar. La longitud de anclaje del refuerzo positivo

deberá cumplir:

𝑙𝑑 ≤𝑀𝑛

𝑉𝑢+ 𝑙𝑎 𝐸𝑐. 𝐴𝐶𝐼 12.5 (4.35)

donde:

𝑀𝑛: Momento resistente nominal asumiendo que todo el acero de la sección está esforzado

hasta la fluencia.

𝑉𝑢 : Corte último en la sección de momento nulo.

𝑙𝑎 : Longitud de la varilla embebida en el apoyo o si el análisis es en el punto de inflexión,

el mayor entre d y 12𝑑𝑏.

El valor de 𝑀𝑛/𝑉𝑢 deberá incrementarse en un 30% cuando se analice los apoyos, si la

reacción en el apoyo es de compresión. El término 𝜙 se ha eliminado en la expresión (4-

35) para incrementar el factor de seguridad.

Para el refuerzo positivo, el código también recomienda que en elementos simplemente

apoyados por lo menos la tercera parte del refuerzo positivo sea llevada hasta el apoyo y

extendida dentro de él por lo menos 15 cm. De modo similar se debe extender la cuarta

parte del acero en elementos continuos. Cuando el miembro forma parte del sistema que

resiste las cargas laterales, el refuerzo deberá anclarse en el apoyo para desarrollar su

esfuerzo de fluencia. En la figura 4.22 se aprecia las diversas maneras de conseguirlo.



Figura 4.22. Anclaje del refuerzo longitudinal en

los apoyos.



4.11.2 Desarrollo del refuerzo negativo

El refuerzo negativo debe anclarse en los apoyos de modo que sea capaz de

desarrollar su esfuerzo de fluencia. Los mecanismos de anclaje serán similares a

los presentados en la figura 4.20. Además, por lo menos la tercera parte del acero

negativo provisto en el apoyo deberá extenderse más allá del punto de inflexión,

en una longitud no menor que 𝑑, 12𝑑𝑏 o 𝑙/16 de la luz libre del elemento.

Ejemplo 4.5

Para la viga con carga uniforme simplemente apoyada que se muestra en la figura 4.23,

determine los puntos teóricos de corte en cada extremo de la viga donde pueden cortarse

dos varillas y luego determine los puntos donde pueden cortarse dos varillas más .

𝑓´𝑐 = 210𝑘𝑔

𝑐𝑚2 , 𝑓𝑦 = 4200𝑘𝑔

𝑐𝑚2 .

9 m

𝑤𝑢 = 8.2 𝑡/𝑚

6 cm

70 cm

40 cm

6 ∅ 1" • • • • • •

Figura 4.23.



SOLUCIÓN:

9 m

𝑤𝑢 = 8.2 𝑡/𝑚

36.9 t 36.9 t

x

Cuando la viga tiene sólo 4 varillas:

𝑎 =𝐴𝑠𝑓𝑦

0.85𝑓´𝑐𝑏=

20.40 4200

0.85 210 40= 12.00 𝑐𝑚

𝜙𝑀𝑛 = 𝐴𝑠𝑓𝑦 𝑑 −𝑎

2=0.9 20.40 4200 70 −

12.0

2= 4935168𝑘𝑔. 𝑐𝑚 = 49 352 𝑘𝑔.𝑚

Para 𝜙𝑀𝑛 = 49.4 t.m, teóricamente pueden cortarse dos de las seis varillas:

El momento en cualquier sección de la viga a una distancia x del apoyo izquierdo es:

𝑀 𝑥 = 36.9𝑥 − 8.2𝑥2

2; para 𝑀 𝑥 = 49.4 𝑡.𝑚:

4.1𝑥2 − 36.9𝑥 + 49.4 = 0, 𝑟𝑒𝑠𝑜𝑙𝑣𝑖𝑒𝑛𝑑𝑜 𝑙𝑎 𝑒𝑐𝑢𝑎𝑐𝑖ó𝑛 𝑐𝑢𝑎𝑑𝑟á𝑡𝑖𝑐𝑎: 𝑥1 = 7.364 m ; 𝑥2 = 1.636 𝑚, los puntos teóricos de corte de las 2 primeras varillas

corresponde a los dos valores de x encontrados. Las 6 varillas serán de 𝑥1 − 𝑥2 = 5.728 𝑚.

Figura 4.24 Diagrama 𝜙Mn para la viga en la figura 4.23.

5.728 m

7.47m

49.4 𝑡.𝑚

49.4 𝑡.𝑚

70.56 𝑡.𝑚

25.83 𝑡.𝑚

25.83 𝑡.𝑚



Cuando la viga tiene sólo 2 varillas de ∅1“, el momento disminuye a:


0.85𝑓´𝑐𝑏=

10.20 4200

0.85 210 40= 6.00 𝑐𝑚


2=0.9 10.20 4200 70 −

6

2= 2583252𝑘𝑔. 𝑐𝑚 = 25 833 𝑘𝑔.𝑚

Para 𝜙𝑀𝑛 = 25.83 t.m, teóricamente pueden cortarse dos de las 4 varillas que quedan.

El momento en cualquier sección de la viga a una distancia x del apoyo izquierdo es:

𝑀 𝑥 = 36.9𝑥 − 8.2𝑥2

2; para 𝑀 𝑥 = 25.833 𝑡.𝑚:

4.1𝑥2 − 36.9𝑥 + 25.833 = 0, 𝑟𝑒𝑠𝑜𝑙𝑣𝑖𝑒𝑛𝑑𝑜 𝑙𝑎 𝑒𝑐𝑢𝑎𝑐𝑖ó𝑛 𝑐𝑢𝑎𝑑𝑟á𝑡𝑖𝑐𝑎: 𝑥1 = 8.235 m ; 𝑥2 = 0.765 𝑚, los puntos teóricos de corte de las 2 primeras varillas

corresponde a los dos valores de x encontrados. Las 4 varillas serán de 𝑥1 − 𝑥2 = 7.47 𝑚.


0.85𝑓´𝑐𝑏=

30.60 4200

0.85 210 40= 18.00 𝑐𝑚


2= 0.9 30.60 4200 70 −

18

2= 7055748𝑘𝑔. 𝑐𝑚 = 70 557.5 𝑘𝑔.𝑚

Cuando la viga tiene las 6 varillas de ∅1" 𝑒𝑙 𝑚𝑜𝑚𝑒𝑛𝑡𝑜 𝑟𝑒𝑠𝑖𝑠𝑡𝑒𝑛𝑡𝑒 𝑒𝑠 :



En este ejemplo se analizaron los puntos teóricos de corte. En el siguiente ejemplo se verá

complementariamente, las varillas deben prolongarse a distancias adicionales debido a las

variaciones de los diagramas de momento, a los requisitos de anclaje de las varillas, etc. En

la sección, se verá con mayor detalle el corte y doblado de las varillas de refuerzo.



Ejemplo 4.5

Diseñar la viga que se muestra en la figura 4.23 y efectuar el corte de refuerzo.

La viga está sometida a una carga permanente de 2000 kg/m (no incluye peso

propio) y a una sobrecarga de 1251 kg/m. Usar f'c=210 kg/cm2 y fy=4200

kg/cm2.

Figura 4.23

peso propio=2400x0.30x0.45=324 kg/m

La carga amplificada sobre la viga:

𝑤𝑢 = 1.4 324 + 2000 + 1.7 1251 = 5 380𝑘𝑔

𝑚= 5.38 𝑡/𝑚

SOLUCIÓN:

El peralte efectivo se ha estimado en d = 45- 6 =39 cm.



Los resultados del análisis de la viga y los cálculos efectuados para el diseño de algunas

secciones de ella se muestran en la tabla presentada a continuación.

SECC. +𝑀𝐴𝐵,𝑚á𝑥 Apoyo B +𝑀𝐵𝐶,𝑚á𝑥 Apoyo C

𝑀𝑢 15 861 kg.m 18 458 kg.m 2 377 kg.m 1 605 kg.m

𝑅𝑛 15 861 100

0.9 30 39 2 = 38.622 44.946 5.788 3.908

𝜌 0.85 210

42001 − 1 −

2 38.622

0.85 210=0.01049< 𝜌𝑚á𝑥

< 𝜌𝑚í𝑛 = 0.0033; No requiere 𝐴´𝑠

0.01256> 𝜌𝑚á𝑥 No requiere

𝐴´𝑠

0.00140<𝜌𝑚í𝑛 =0.0033

0.00094<𝜌𝑚í𝑛 =0.0033

𝐴𝑠 𝜌𝑏𝑑 = 0.01049 30 39 = 12.27 𝑐𝑚2 14.69 𝑐𝑚2 3.86 𝑐𝑚2 3.86 𝑐𝑚2

∅ 𝑎𝑠𝑖𝑔𝑛

2∅1" + 1∅3"

4 3∅1" 3∅

1"

2 3∅

1"

2

𝐴𝑠,𝑝𝑟𝑜𝑣 13.04 𝑐𝑚2 15.30 𝑐𝑚2 3.87 𝑐𝑚2 3.87 𝑐𝑚2



Corte del refuerzo: Para determinar los puntos de corte de refuerzo, es necesario calcular el momento resistente

de la viga con las diferentes distribuciones de refuerzo con que contará. Los cálculos

efectuados para este fin se muestran en la siguiente tabla.

2∅1" + 1∅3"

4 2∅1" 3∅1" 2∅

5"

8

𝐴𝑠 13.04 𝑐𝑚2 10.20 𝑐𝑚2 15.30 𝑐𝑚2 3.98 𝑐𝑚2

𝑎 10.227 𝑐𝑚 8.00 𝑐𝑚 12.00𝑐𝑚 3.122 𝑐𝑚

𝑀𝑛 18 559 Kg.m 14 994 kg.m 21 206 kg. m 6 258 kg.m

𝑀𝑢 16 703 kg.m 13 495 kg.m 19 085 kg.m 5 632 kg.m


0.85𝑓´𝑐𝑏 ; 𝑀𝑛 = 𝐴𝑠𝑓𝑦 𝑑 −

𝑎

2

Además es necesario determinar las longitudes de anclaje de las varillas empleadas. En Tabla

A.1 adjunta, se muestran estos valores determinados con las expresiones presentadas en

unidad I. De ella se ha extraído lo siguiente:

𝑙𝑑 ∅

5"

8,𝑓´𝑐=210

= 70 cm

𝑙𝑑 ∅

3"4 ,𝑓´𝑐=210

= 84 cm

𝑙𝑑 ∅1",𝑓´𝑐=210 = 140 cm



En la figura 4.24 se

muestra la

distribución que

tendrá el refuerzo.

Las letras sin

apóstrofe

corresponden a los

puntos teóricos de

corte del acero pero

deberán tomarse en

cuenta las

recomendaciones del

código para hallar los

puntos de corte

reales, los cuales

corresponden a las

letras con apóstrofe.

Figura 4.24



Acero positivo:

Para el corte del refuerzo positivo se tendrán en cuente los siguientes criterios:

1. El acero debe extenderse 𝑑 ó 12𝑑𝑏 el que sea mayor, más allá del punto donde

teóricamente es requerido. Puesto que 𝒅 es mayor que 12d, tanto para las varillas #5, #6

y #8, ésta será la longitud que se extenderá el refuerzo:

𝐸´ = 1.49 − 0.39 = 1.10 𝑚 𝐹´ = 3.37 + 0.39 = 3.76 𝑚 𝐺´ = 4.86 + 0.39 = 5.25 𝑚 𝐿´ = 1.84 − 0.39 = 1.45 𝑚 𝑀´ = 3.72 + 0.39 = 4.11 𝑚

2. El acero debe extenderse a partir del punto donde está más esforzado una longitud igual a

su longitud de anclaje. La varillas #6 del tramo AB y las #5 del tramo BC tienen su

punto de mayor esfuerzo en la sección de mayor momento positivo, mientras que las

varillas #8, en el tramo AB, lo presentan en la sección en la cual el resto del refuerzo ya

no es requerido teóricamente. 𝐸´ = 2.43 − 0.84 = 1.59 𝑚 𝐹´ = 2.43 + 0.84 = 3.27 𝑚 𝐺´ = 3.37 + 1.40 = 4.77 𝑚 𝐷´ = 1.49 − 1.40 = 0.09 𝑚 𝐿´ = 2.78 − 0.70 = 2.08 𝑚 𝑀´ = 2.78 + 0.70 = 3.48 𝑚



Si D' hubiera resultado negativo significaría que las varillas #8 no tienen suficiente

espacio para desarrollar su esfuerzo máximo si se mantienen rectas y es necesario emplear

ganchos.

De las condiciones presentadas en los puntos 1 y 2 se toma la más crítica la cual está

subrayada.

3. En los apoyos y los puntos de inflexión es necesario verificar que la longitud de anclaje

permita que en todas las secciones el momento resistente sea mayor que el momento

último. Se utilizará la expresión (4.35):

SECC. APOYO A (2∅1") P.I.1(2∅1") P.I.2(2∅5"

8) P.I.3(2∅

5"

8)

𝑀𝑛 𝑘𝑔.𝑚 13495 13495 5660 5660

𝑉𝑛 𝑘𝑔 13064 13064 6547 6547

𝑙𝑎 0.15 m. (ACI 12.11.1) 0.39 m. 0.39 m. 0.39 m.

𝑙𝑑 𝑚 1349513064

1.3 + 0.15=1.49 1349513064

+ 0.39=1.42 56606547

+ 0.39=1.25 56606547

+ 0.39=1.25

𝑙𝑑 ≤𝑀𝑛

𝑉𝑢+ 𝑙𝑎

El momento resistente de la viga 𝑀𝑛 en cada sección ha sido determinado en tabla anterior con la correspondiente distribución de 𝐴𝑠 𝑎𝑠𝑖𝑔𝑛𝑎𝑑𝑜. El parámetro 𝑙𝑎 𝑠𝑒 𝑑𝑒𝑡𝑒𝑟𝑚𝑖𝑛𝑎 𝑠𝑒𝑔ú𝑛 el 12.11.1- ACI. En ningún caso 𝑙𝑑 𝑠𝑢𝑝𝑒𝑟𝑎 los límites indicados por el ACI.



4. En los elementos continuos, por lo menos la cuarta parte del refuerzo positivo debe

extenderse hacia los apoyos y dentro de ellos por los menos 15 cm. Por lo tanto, las

dos varillas #8 del tramo AB se extenderán dentro de los apoyos A y B. Similarmente,

las dos varillas #5 del tramo BC. Se asume que el ancho de los apoyos es 40 cm.,

aunque para el diseño del refuerzo longitudinal no se ha efectuado la reducción de los

momentos a la cara del apoyo.

Acero negativo:

Las longitudes de anclaje serán las consideradas para el acero positivo, sin embargo,

deben incrementarse por el factor correspondiente a varillas superiores:

𝑙𝑑 ∅

5"

8,𝑓´𝑐=210

1.3 = 91 cm

𝑙𝑑 ∅1",𝑓´𝑐=210 1.3 = 182 cm

En la figura 4.24 se muestra la distribución del refuerzo negativo. La convención de las

letras con apóstrofe y sin él es la misma que para refuerzo positivo.

1. El acero debe extenderse d ó 124 más allá del punto donde teóricamente es requerido

H´ = 4.86 - 0.39 = 4.47 m.

J´ = 1.84 + 0.39 = 2.23 m.

I´ = 5.74 - 0.39 = 5.35 m.

K´ = 0.33 + 0.39 = 0.72 m.

N´ = 3.72 - 0.39 = 3.33 m



2. El acero debe extenderse a partir del punto donde está más esforzado una longitud igual

a su longitud de anclaje.

H´ = 5.74 – 1.82 = 3.92 m.

J´ = 0.33 + 1.82 = 2.15 m.

I´ = 0 – 1.82 = -1.82 m.

K´ = 0 + 1.82 = 1.82 m.

N´ = 4 – 1.82 = 2.18 m

La condición más crítica entre ambas está subrayada

3. Por lo menos un tercio del acero negativo debe atravesar el punto de inflexión una

longitud igual a 12d, d ó LA6, la que sea mayor. En este caso d=39 cm. es la mayor de

las tres y por lo tanto este requisito queda satisfecho simultáneamente con el requisito

1. En el apoyo B, el refuerzo que se extiende más allá del punto de inflexión equivale al

67% del refuerzo total y en el apoyo C es el 100% del refuerzo total.

Finalmente, el código recomienda que el refuerzo longitudinal no sea cortado en zona de

tensión de lo contrario es necesario proveer al elemento de refuerzo transversal adicional

en estas zonas para contrarrestar la concentración de esfuerzos que se genera. En estos

casos, lo más práctico es extender el refuerzo más allá del punto de inflexión. Sin embargo,

para mostrar el procedimiento de diseño se calculará el refuerzo transversal adicional

requerido en los puntos de corte de acero en zona de tensión.



Puntos de corte E' y F': 𝛽𝑑= 2.85/(2.85+5.1x2)=0.218

𝑠 ≤𝑑

20𝛽𝑑=

39

20 0.218= 8.94 𝑐𝑚

Se tomará s = 7.5 cm. El área Av no será menor que:

𝐴𝑣 𝑚í𝑛 =4.2𝑏𝑤𝑠

𝑓𝑦=4.2 30 7.5

4200= 0.225 𝑐𝑚2

Este acero se adicionará al refuerzo requerido por torsión y corte cuyo procedimiento de

cálculo se presentará en los capítulos siguientes.

En la figura 4.25 se muestra el detallado final del refuerzo en la viga. No se muestran los

estribos.

unidad iv_esfuerzo cortante y tensión diagonal_ 09-07-2015

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